sve o digitalnim mjernim instrumentimaFull description
Full description
Full description
Seminar o sigurnosti digitalnog potpisa
Full description
f) fl.
ii
. '-<...,\f\--'
I
I
I
Dr MILIC R. STOJIC profeaor Univerziteta u Beogtadu
I \
DIGITALNI SISTEMI' UPRA VLJANJA III IZMENJENO I DOPUNJENO IZDANJE
c
121NI1UKA BEOGRAD, 1994.
.
-·':! ·...::~
~~
ill
Prof. dr Milic R. Stojic DIGITALNI SISTEMI UPRAVLJANJA
lzdavac IP .. Nauka" Bulevar revolucije 314/25, Beograd
-.......-·
Recenzenti Prof dr llija Stojanovic Prof dr Petar Miljanic
SADRZAJ
Za izdavaca Nikola Dontel', direktor, glavni i odgovorni urednik
flf5J!K9Tf«~ Hlfii:?PUIIGifnt :)AJf~IIT£11
Korice Milos Majstorol'ic
..,.. ,_, UJ-
12 r;IS -..t
1. ii'.: Tira.Z 500 primeraka ISBN 86-7621-017-9
CIP- KaTanom3auHja y ny6nHKaUHjH HapouHa 6H6JlliOTeKa Cp6Hje, Beorpau
681.51(075.8)
cromn., M11n11h P. Digitalni sistemi upravljanja I Milic R. Stojic. - 3. izmenjeno i dopunjeno izd. Beograd : Nauka, 1994 (Bor : Bakar). - VI, 395 str. : ilustr. ; 24 em Tira.Z 500. -
Bibliografija uz svako poglavlje. - Registaf.
62-52(075.8)
.
a) .[(HrHTa.rma TeXHHKa b) CI·1CTe]'.!H ayTOMaTcKor yrrpanJbaH>a
ID =30655756
Stampa Stamparsko-izdavacko preduzece .,BAKAR"- Bor
Str.
I.
UVOD
I
2.
KOMPONENfE DIGITALNIH SISlEMA
7
2.1. Brojni sistemi 2.2. Biname operacije 2.3. Digitalni moduli 2.3 .I. Elementama logicka kola 2.3.2. Flip-flopovi 2.4. Digitalni enkoderi 2.4.1. Kodovi sa cetiri bita 2.4 .2. Kodovi sa vise od cetiri bita 2.5. Ob1tni enkoderi 2.6. Enkoder brojackog tipa 2.7. Primena enkodera 2.8. Konve1tori 2.8.1. Digitalno-analogni konvertori 2.8.2. Analogno-digitalni konvertori 2.8.3. Zahtevi konerzije 2.9. Koracni motor .............. . 2.9.1. Tipovi koracnih motora 2.9.2. Motori promenljive reluktanse 2.9.3. Motor sa permancntnim magnetom 2.9.4. Dinamika koracnog motora 2.9.5. Kolo pobude koracnog motora 2.1 0. Primene koracnog motora ........... . 2.10.1. Pozicioni servomchanizam 2.1 0.2. Digitalna povratna sprega za koracni motor 3.
STRUKTURA DIGITALNOG SISTEMA UPRAYLJANJA I PROCES ODADIRANJA
3.1. Struktma digitalnog sistema upravljanja 3.2. Proces odabiranja i zad.rske ................. . 3.3. Komplcksni lik i frekvencijske karakteristike povorke odbiraka 3.3.1. Osobine kompleksnog lika povorke odbiraka 3.3.2. Karakteristike frekvencijskog spektra povorke odbirab 3.<1. Teorcma odabiranja 3.5. Kola zadrske .... 3.5.1·. Kolo zadrskc nultog n:da 3.5.2. Kolo zadrske prvog rcda
7 10 18 19 19 26 26 27
28 32 34 35 36 39 40 42 42 43
43 45 47 48 48 49
55
...._,.. 57 62 66 71 72 74 75 77 79
M
' IV
v
Str. 4.
Z-1RANSFORMACIJA I FUNKCIJA DISKRElNOG PRENOSA
4.1. Definicija z-transformacije 4.2. Preslikavanja iz s- u z-ravan 4.2.1. Kontura stabilnosti 4.2.2. Konfura dozvoljenog vremena smirenja 4.2.3. Kontura dozvoljenog stepena oscilatomosti 4.3. Inverzna z-transformacija ....................... . 4.3.1. Razvoj F(z) u potencijalni red po 4.3.2. Razlaganje F(z) u zbir parcijalnih razlomaka 4.3.3. Odredivanje inverzne z-transformacije integracijom po koni:uri 4.4. Osobine z-transformacije 4.4.1. Lineamost ........ . 4.4.2. Pomeranja u vremenskom domenu 4.4.3. Pomeranje kompleksnog lika 4.4.4. Pocetna vrednost originala 4.4.5. Krajnja vrednost originala 4.4.6. Parcijalni izvod ...... . 4.4.7. Konvolucija originala 4.5. Funkcija diskretnog prenosa 4.6. Algebra fun.kcija diskretnog prenosa - 4.7. Modifikovana z-transformacija -,-4.8. Oigitalni sistemi sa transpm1nim kasnjenjima 4.9. Oigitalni sistemi sa odabiracima razlicitih brzina odabiranja
5.
REALIZACIJA I OS013lNE FUNKCIJE DISKRElNOG PRENOSA
5.1. Rekurzivni algoritam 5.1.1. Oirektna realizacija 5.1.2. Kanonicna realizacija 5.1.3. Pedno i paralelno programiranje 5.1.4. Kriterijumi za izbor tipa struktume realizacije ~ 5.2. OFT algoritam .......................... . '· 5.3. FFT algoritrni sracunavanja OFT 5.3 .I. Oesetkovanje po vremenu 5.3.2. Desetkovanje po ucestanosti 5.3.3. Programska realizacija FFT algoritma 5.4. Primer realizacije fwlkcije diskretnog prenosa OFT algoritmom 5.5. Frekvencijske karakteristike digitalnog procesora
6.
KONCEPCIJA STANJA DIGITALNIH SISTEMA
6.1. Oiskretizacija modela kontinualnog sistema 6.2. Kretanje digitalnog sistema u prostmu stanja 6.3. Ractmarske metode simulacije dinamickih sistema 6.3.1. Numericko odredivru* diferencue jednacine stanja 6.3.2. Eulerova metoda ......... . 6.3.3. Tustinova aproksimacija 6.3.4. Metoda Rw1ge-Kutta ... 6.3.5. Prediktor-korektor metoda Adamsa i Moultona 6.4. Oigitalni sistemi sa iskljucivo diskretnim elementima 6.5. Relacija izmedu di ferencne jednacine stanja i matrice funkcija diskrctnog prenosa ..................................... . 6.6. Kontrolabilnost digitalnog sistema 6.7. Opservabilnost digitalnog sistema 6.8. Izbor periode odabiranja i svojstva kontrolabilnosti i opservabilnosti
Str.
83
7. 83 86 86 87 87 88 88 89
90 91 91 91 92
93 93 94 94 95 97
100 104 106.
109 113 115 116 117
119 120 124
125 129
131 131 135 139 140 142 145 145 147
150
STABILNOST
7 .I. Definicija stabilnosti 7.2. Uslovi stabilnosti lineamog digitalnog sistema 7.3. Algebarski kriterijumi stabilnosti 7.3.1. Jurijev test stabilnosti 7.3.2. Primena Routh-Hwwitzovog kriterijuma u analizi stabilnosti digitalnih
(jg()\
7.5.
SINTEZA DIGITALNIH KOMPENZA TORA
Zadavanje karaktera ponasru~a i tacnosti rada sistema u stacionamom stanju Ocena kvaliteta ponasanja sistema u prelaznom procesu Izbor peri ode odabiranja ............... . Metoda geometrijskog mesta korena Vrste digitalne kompenzacije Sinteza rednog diferencijalnog kompenzatora Sinteza rednog integralnog kompenzatora Paralelna digitalna kompenzacija 8.8.1. Opis sistema ............... .. ~ 8.8.2. Oigitalni brzinski setvomchanizam 8.8.3. Oigitalni pozicioni setvomehanizam 8.8.4. Podcsavanje spektra polova sistema 8.8.5. Primeri podesavat~a parametara 8.9. Sintcza pozicionog setvomehanizma sa asinhronim motorom .... ........ . .. ....... 8.9.1. Struktuma sinteza setvomehanizma 8.9.2. Optimizacija l~neamog rezima 8.9.3. Optimalni nclineami zakon upravljanja
8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. ,[_8.7. 8.8.
u
165 167 168 168 171 173 173 178
7.4.
<~?.
165
SINTEZA KONVENpONALNIH DIGIT ALNIH REGULATOR;\
Struktura kontme regulacije 9.1.1. Opis dinamickih svojstava objekta 9.1.2. Sprezanje digitalnih algoritama upravljanja sa izvrsnim organima 9.1.3. Konvencionalni digitalni zakoni upravljanja 9.2. Podesavanje parametru·a digitalnih rcgulatora 9.2.1. Takahashijeva procedma 9.2.2. Oahlinov algoritan1 9.3. Sintcza nekonvencionalnih digitalnih rcgulatora industrijskih proccsa 9.3.1. Projektovanjc sistema sa mininnm10m trajanja prelaznog proccsa ~ 9.3.2. Sintcza opsctvera sa minimumom vremcna odziva .................... . · 9.3.3. Projektovanje sistema i opservera sa minimalnim vremcnima trajanja prelaznih procesa
9.1.
183 183 188 194
' 196' 201 203 204 .. 20(J
206 208
209 211 214
216 217 220 224 231
232 233 235 242 246 248 249 256 257 259
259
152
154
10.
SINI'EZA DIGITALNIH SISTEMA SA VI~E ULAZA IIZLAZA
265
154
155 157 159 161
10.1. Kvadratni pokazatelj kvaliteta ponasanja 10.2. Princip optimalnosti 10.3. Lineami optimalni regulator stanja 10.4. Poddavanjc spektra polova digitalnog sistema 10.5. Sistemi sa modalnim upravljanjem
2M
267 270 276 280
VI Str. I 0.6. Projektovanje digitalnog sistema sa zadatirn vremenom trajanja prelaznog procesa ............................ I 0. 7. Sinteza opservera identiteta iii estimatora stanja 10.8. Sinteza redukovanog opservera I0.9. Primer primene opservera u sintezi upravljanih elektromotornih pogona - 10.9.1. Strukturna sinteza i pode~vanje parametara sistema I0.9.2. Sinteza pro§irenog opservera I 0.1 0. Sinteza sistema pracenja
SINTEZA DIGITALNIH SISTEMA SA SLUCAJNIM POREMECAnMA
Il.l. Elementi teorije stohastickih procesa II. I. I. Osnovni pojmovi 11.1.2. Markovljevi procesi 11.1.3. Ska)arn'! stohasticke diferencne jednacine Il.2. Identifikilcija sistema II.~.I. Diskretni model procesa i signala Il.2.2. Rekurzivna metoda najmanjih kvadrata Il.4·.3. Pro§irena rekurzivna metoda najmanjih kvadrata Il.2.4. Metoda stohasticke aproksimacije II.3. Regadatori mini maine varijanse II.4. Optimalni regulator sa poremecajima tipa belog suma 11.5. Optimalni regulator sa estimatorom stanja u uslovima dejstva poremecaja tipa belog suma .. Il.6. Kalmanov estimator stanja Il.6.1. Usrednjavanje ponderisanih merenja 11.6.2. Rekw-zivna estimacija stanja .......... II.6.3. Slucajni dinamicki procesi sa merljivim ulazima
PREDGOVOR Ova knjiga nije pisana strogo namenski kao udzbenik za odredeni predmet u programima nastave automat ike na tehniCkim fakultetima, mada knjiga u celosti sadrzi materiju predmeta Digitalni sistemi upravljanja, koji autor predaje na Elektrotehnickom fakultetu u Beogradu. Medutim, knjiga sadrzi znatno vise od programa ovog predmeta, tako da moze korisno posluziti u nastavi srodnih oblasti gde se koriste digitalna obrada signa/a, digitalni prenos podataka i, opste uzev.fi, digiralni procesori informac(ia. Razvoj teorije i tehnike digitalnih sistema je blisko povezan sa koriscenjem savremene mikroracunarske tehnike i tehnologije. Stoga je autor nastojao da Citaocu pribliZi OI'U tehniku kao korisniku tako da rezultate analitickog projektovanja sistema direktnog digitalnog upravljanja moze uspesno realizol•ati u vidu mikrorac
M.S.
PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU Drugo izdanje ove knjige pojavljuje se godinu dana posle izlaska iz stampe prvog izdanja. Usled nedostatka vremena autor nije uspeo da unese planirane dopune rukopisa. U odnosu na prvo izdanje unete su ispravke neznatnog broja stamparskih gresaka. Bitnije izmene su uCinjene na kraju 9. glave, gde je nekoliko slika zamenjeno novim prikazima rezultata simulacije, koji se po fonni slaiu sa slicnim ilustracijama u ostalim delovima knjige. U Beogradu, oktobra 1990.
M.S.
PREDGOVOR TRECEM IZDANJU Ovo izdanje se razlikuje od prethodnog u nekoliko pojedinosti. U drugoj glavi, posvecenoj komponentama digitalnilz sistema upravljanja, usaglaseni su grajicka notacija elementarnilz logickilz kola i memorijskih modula sa oznakama koje se koriste u impulsnoj i digitalnoj elektronici. Osmoj glavi su dodati rezultati istraiivanja domaCilz autora u podrucju strukturne i parametarske sinteze digitalnog sistema upravljanja u pozicionom servomelzanizmu sa asinhronim motorom. Na slican naCin prosirena je i deseta glava primerom sinteze sistema upravljanja sa opserverom koji moie da radi korektno i u uslovima kada na objekat upravljanja deluje konstantan spoljni poremecaj. Posle ovih dopuna rukopisa usaglrueni su paginacija i regis tar pojmova. Zalzvaljujem se dr Slobodanu Vukosavicu, docentu Elektrotehnickog fakulteta u Beogradu, na saradnji u pisanju dodatih de/ova knjige. Takode se zahvaljujem EJordu Stojicu, dipl.ing. elektrotehnike, na sugestijama za poboljsanje izvesnilz delova rukopisa i na pomoCi pri tehnickoj obradi teksta. U Beogradu, oktobra 1994.
M.S.
1 UVOD . Sistemi upravljanja sa regulatorima diskretnog dejstva su se pojavili u ranoj fazi razvoja teorije i prakse automatskog upravljanja. Tako su prvi regulatori brzine obrtanja vratila parnih masina i prvi regulatori termickih procesa bili najpre rclejnog tipa, a zatim sa sirinskom modulacijom upravljacke promenljive. Tek kasnije, zahvaljujuci pre svega razvoju teorije upravljanja, primenjuju se kontinualni linearni regulatori kojima se postize daleko bolji kvalitet regulacije. U pocetku su to bili konvencionalni regulatori P, I i D dejstva, a zatim sve slozeniji, tako da danas tehnika upravljanja raspolaze optimalnim re8enjima automatizacije slozenih multivarijabilnih objekata upravljanja koji rade u razlicitim rdimima i u uslovima dejstva deterministickih i slucajnih spoljnih poremecaja. In teres za primenom regulatora diskretnog dejstva se ponovo javlja sa pot rebarna upravljanja radiolokacionim objekatima i sistemima digitalnih telekomunikacija. Razvoju teorije i prakse digitalnih sistema upravljanja (DSU) naroCito doprinosi usavrsavanje i sve sira primena savremene mikroracunarske tehnike koja usled svoje prirode koristi prenos i vrsi obradu informacija u digitalnom obliku. Takvom razvoju, takode, doprinose novija saznanja da se sistemi masovnog opsluzivanja pa, cak, i ekonQmski i bioloski sistemi mogu uspesno opisati diskretnim modelima pogodnim za analizu i simulaciju na digitalnom racunaru. Generalno, sistem se smatra diskretnim ako neke njegove promenljive podldu diskretizaciji po nivou, po vremenu iii i po nivou i po vremenu. U prvu kategoriju sistema, u kojoj su izvesne promenljive kvantovane po nivou. spadaju relejni sistemi; ako se kvantovanje promenljivih vrsi po vremenu, rec je o impulsnim sistemima sa amplitudnom modulacijom odbiraka; pod digitalnim sistemom se, P!!-k. podrazumeva sistem u kome se kvantovanje promenljivih vrsi i po ni.'
r ·I
1
2
Uvod
-~
~
usredsredena iskljucivo na metode analize, projektovanja i realizacije digitalnih sistema upravljanja, koji poslednjih godina privlace interes istrazivaca i inzenjcra usled stalnog usavrsavanja tehnologije i mogucnosti primene mikroracunarske tehnike, koja omogucava da se ovi sistemi realizuju relativno .iednostavno, fleksibilno i otuda sa mnogim prakticnim preimucstvima u odnosu na analogne ekvivalente. Za razliku od kontinualnih sistema ciji se dinamicki modeli daju u vidu funkcija prenosa iii sistema diferencijalnih jednac.ina, modeli DSU se daju kao funkcije diskretnog prenosa iii u obliku diferencnih jednacina. Otuda su i tchnike analize i projektovanja DSU novijeg datuma u poredenju sa klasicnim metodama vremenskog i frekvencijskog domena, koje se primenjuju u kontinualnim sistemima. Stoga su poslednjih godina ucinjeni znacajni doprinosi teoriji diskretnih transformacija i modela koji, zajedno sa razvojem tehnologije i tehnike mikroracunara, otvaraju neslucene mogucnosti razvoja vise srodnih podrucja tehnike, posebno oblasti upravljanja sistemima u realnom vremenu i podrucjima gde se primenjuje digitalna obrada signc:la. Osim toga, razvoj diskretnih odnosno digitalnih sistema je taka brz da ono sto se juce cinilo nemogucim vee nam jc danas na dohvat ruke. Ova knjiga je prevashodno posvecena analizi, projektovanju i mikroracunarskoj realizaciji sistema direktnog digitalnog upravljanja. Medutim, veliki deo izlozene materije, pre svega delovi koji tretiraju teoriju diskretnih sistema i signala, kao i delovi o komponentama digitalnih sistema i primeni mikroracunara u programskoj i hardverskoj realizaciji digitalnih procesora informacija, imaju siri znacaj kao zajednicka teorijska osnova digitalnih sistema uopste. Otuda se ti delovi knjige mogu koristiti za razumevanje osnova srodnih tehnickih oblasti, kao sto su digitalna obrada signala, digitalne tclekomunikacije, radiolokacioni sistemi i sl. Objekti upravljanja u DSU su kontinualni (elektromotorni pogoni, tehnoloski procesi, objekti u prostoru i sl.). Zbog toga u knjizi nisu posebno razmatrane tehnike .modeliranja objekata upravljanja, jer se prctpostavlja dovoljno poznavanje kontim(alni h sistema upravljanja. U drugoj glavi su, zbog toga, izlozene samo komponente diskretnog dcjstva, koje su tipicne za DSU. Najpre su date osnove brojnih sistema koji se najccsce koriste u radu sa mikroracunarima: zatim. binarne aritmeticke i logicke operacije, kao i elementarna logicka kola. memorijski elementi i digitalni moduli. Posebna paznja je posvecena digitalnim enkoderima pozicionog i inkrerri.entalnog tipa, koji se koriste za detekciju uglovnc pozicije i brzine obrtanja vratila elektromotornog pogona. Sa gledista tacnosti detckcije, postoje razlicite varijante primene ovih komponenti, koje zahtcvaju manje iii vise slozen hardver. Izlozene su glavne varijante i ukazano na njihove prednosti i nedostatke u konkretnoj .primeni. U nastavku su dati principi konstrukcije digitalnojanalognih i analogno/digitalnih konvertora sa detaljnijim osvrtom na parametre i zahtcve konvcrzije, kao sto su rezolucija, vreme konvcrzije. tip binarnog koda i dr., koji su od posebnog interesa kada se ove komponente koriste u DSU kao elementi procesa odabiranja i zadrske. Stavise, izvesni parametri konverzije sc moraju uzeti u obzir vee u fazi analitickog projektovanja DSU. Vecina hidraulickih, pneumatskih i elektlomehanickih izvrsnih organa industrijskog tipa sa standardnim ulazima i izlazima se podjednako uspe5no mogu koristiti u kontinualnim i diskretnim sistemima upravljanja. Ipak, koracni motor je tipican izvrsni organ u DSU. Stoga je ovoj komponenti posvecena posebna paznja: dati su tipovi i postupci pobudivanja koracnih motora i analizirani su karakteri njihovog dinamickog ponasanja u razlicitim rezimima rada. Kao tipican primer primene koracnog motora opisan je pozicioni servomehanizam sa ciljem da se ukaze na nedostatke ove komponente aka se ne .uvcde digitalna povratna sprega koja omogucava pravilno koracanje motora i u uslovima velikih promena mom<:>nta opterecenja:
.]
:1· ~
Uvod
3
Vecina knjiga o DSU polazi od modela sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom datom u vidu tipicnog strukturnog blok dijagrama. Medutim, za razumevanje notacija u tom dijagramu neophodno je dublje razumevanje svih procesa u toku diskretizacije kontinualnog signala, obrade diskretne informacije i prevodenja diskretnog signala u kontinualan. Stoga je u trecoj glavi na primeru DSU koji radi u raspodeljenom vremenu pokazano kako se dolazi do tipicnog strukturnog blok dijagrama DSU, analizirajuci sve procese u toku rada posmatranog sistema. Detaljnije se analiziraju proces odabiranja i zadrske, kompleksni lik i frekvencijske karakteristike digitalnog signala sa ciljem brizljivog pracenja informacije saddane u prvobitnom analognom ekvivalentu. Rezultati ove analize su, izmedu ostalog, teorema odabiranja i uslovi koje treba da ostvare kola zadrskc da bi se sacuvao potreban sadrzaj informacije digitalnog signala i umanjili negativni efekti prisustva ovih kola na stabilnost i kvalitet dinamickog ponasanja DSU sa zatvorenom povratnom spregom. Naglasimo da materija izlozena u ovoj glavi predstavlja osnove teorije diskretnih signala na kojima se zasnivaju prakticne metode i tehnicka resenja u nizu srodnih disciplina. Zapravo, du.blje razumevanje ove materije je neophodno za uspe8no projektovanje i za rad sa bilo kojim sistemom u kome se u ulozi procesora informacija koristi digitalni racunar. Metode analize i projektovanja DSU se mogu svrstati u dve kategorije: prvu, koja koristi tzv. algebarsko podrucje ili z-transformaciju i drugu - zasnovanu na koncepciji diskretnog prostora stanja, koja koristi vremensko podrucje. Cetvrta glava je posvecena z-transformaciji, pojmu i osobinama funkcije diskretnog prenosa, odnosno osnovnim sredstvima klasicnih metoda analize i projektovanja digitalnih sistema. Posle definisanja i navodenja osobina z-transformacije dosta paznje je posveceno vaznom pitanju sagledavanja osobina originala na osnovu z-kompleksnog lika, jer to zahteva bitne promene u nacinu tretiranja slicnih problema u kontinualnim sistemima. Posle uvodenja pojma funkcije diskretnog prenosa date su teoreme koje omogucavaju da se linearni DSU proizvoljne strukture modelira u vidu ekvivalentnog strukturnog blok dijagrama. S tim u vezi podsetimo da prisustvo transportnog kasnjenja u kontinualnom sistemu sa povratnom spregom izaziva negativne efekte na stabilnost i druge pokazatelje kvaliteta dinamickog ponasanja sistema. U DSU transportno kasnjenje je uvek prisutno bilo usled prirode objekta upravljanja ili zbog vremena potrebnog mikroracunaru za izvrsavanje algoritma upravljanja. Poznato je, takode, da transportno kasnjenje u kontinualnom sistemu upravljanja usloznjava primene klasicnih metoda vremenskog i frekvencijskog podrucja u analizi i projektovanju sistema. Medutim, zahvaljujuci primeni modifikovane z-transformacije, takve teskoce ne postoje u projektovanju DSU sa transportnim kasnjenjima. Zbog toga se modifikovana z-transformacija izlaze detaljno; najpre definicija i osobine transformacije, a zatim njena uloga u projektovanju DSU sa transportnim kasnjenjem. Dat je jos jedan primer primene ove transformacije u sintezi upravljanja sistemom Ciji se pojedini delovi bitno razlikuju po brzini reagovanja. Takav je slucaj elektromotorni pogon kao objekat upravljanja u kome drajver (pojacavac snage, tiristorski ispravljac i sl.) obicno ima za red velicine manje vremenske konstante nego elektromehanicki deo sistema. U sintezi sistema upravljanja za slicne objekte postize se bit no poboljsanje kvaliteta dinamickog ponasanja sistema ako se u brzem delu primeni brzi, au sporijem- sporiji proces odabiranja i zadrske. Pokazano je da se takvi digitalni sistemi sa razlicitim brzinama odabi. ranja mogu takode uspesno trctirati modifikovanom z-transformacijom. Programskim i hardverski m real.izacijama funkcije diskretnog prenosa posvecena je peta glava. Fizicki ostvarljiva funkcija diskretnog prenosa se moze rea-
I ·.~ ":'i
4
5
Uvod
Uvod
Iizovati pomocu jednog od sledeca tri algoritma: konvolucionim, rekurzivnim i algoritmom diskretne Fourierove transformacije (DFT - Discrete Fourier Transform). Istine radi treba reci da se u DSU primenjuje iskljucivo rekurzivni algoritarri. Ipak, u ovoj glavi se daju sve mogucnosti realizacije funkcije diskretnog prenosa digitalnog procesora informacija, kao i algoritmi brze Fourierove transformacije (FFT - Fast Fourier Transform). Data je, takode, programska podrska za FFT i organizacija izvornog programa za digitalni racunar opste namene za realizaciju funkcije diskretnog prenosa DFT algoritmom. Ova materija se, inace, ne srece u knjigama o DSU, vee u radovima i rukopisima posvecenim digitalnoj obradi signala. Ovde su navedeni svi algoritmi sa ciljem da se ukaze na cinjenicu da sve oblasti savremene tehnike zasnovane na koriscenju digitalnih racunara u ulozi procesora informacija pocivaju na istim teorijskim osnovama. Osim toga, poimanje ove cinjenice i dublje razumevanje teorije izlozene u ovoj i prethodnim glavama omogucava citaocu da bez vecih teskoca prihvati resavanje zadataka u drugim podrucjima tehnike, gde se vrsi diskretizacija, prenos i obrada digitalne informacije. Ranije je bilo pomenuto da se na koncepciji diskretnog prostora stanja zasniva vecina savremenih metoda analize i projektovanja DSU. Takav prilaz je pogodan za koriscenje savremene racunarske tehnike; omogucava da se na osnovu modela DSU datog u vidu diferencne jednacine stanja i diskretne algebarske jednacine izlaza ispitaju osobine kontrolabilnosti i opservabilnosti, koje su vazne sa gledista upravljanja; konacno, veliki broj algoritama upravljanja, kao i noviji rezultati istrazivanja u podrucju DSU, iskazuju se jezikom prostora stanja. Modeliranju objekta upravljanja u vidu diferencne jednacine stanja i jednacine izlaza, ispitivanju osobina kontrolabilnosti i opservabilnosti, kao i transformacijama roodeJa iz jednog vida u drugi, posvecena je sesta glava. u glavi su, osim toga, date najcesce koriscene metode integracije modela, odnosno simulacije dinamickih sistema na digitalnom racunaru. Metode i kriterijumi analize stabilnosti linearnih DSU su izlozeni u sedmoj glavi. Pored Juryjevog testa stabilnosti, tipicnog za DSU, ukazano je na transformaciju koja omogucava primenu klasicnih algeba1skih kriterijuma stabilnosti kontinualnih sistema u analizi stabilnosti linearnih DSU. Pokazano je, takode, na koji se nacin direktna metoda Ljapunova primenjuje u analizi potrebnih i dovoljnih uslova stabilnosti linearnih DSU. Vise prostora je dato grafo-analitickim kriterijumima, posebno originalnom postupku analize stabilnosti linearnog DSU zasnovanog na ispitivanju kriterijuma argumenta vektora karakteristicn_og polinoma. Postupak omogucava analizu uslova stabilnosti, zadatog vremena smirenja i dozvoljenog stepeha oscilatornosti prelaznog procesa; postupak je sveden na algoritam u vidu programa za analizu st.al;>ilnosti DSU na digitalnom racunaru. U ostali!TI_glavama suizlozene metode projektovanja i mikroracunarska realizacija Dsu:- U uvodnom delu osme glave dati su postupci odredivanja karaktera ponasanja i tacnosti rada DSU u stacionarnom stanju, a zatim je opisan nacin specifikacije parametara cije vrednosti karakterisu kvalitet prelaznog procesa (brzinu reagovanja, pretek stabilnosti. uticaj spoljnih poremecaja na upravljane promenljive i sl.). S tim u vezi podsetimo da frekvencijske karakteristike stabilnog kontinualnog linearnog sistema imaju poznati. fizicki smisao. Otuda se metode frekvencijskog podrucja za analizu i projektovanje ovih sistema cesto primenjuju i tretiraju kao inzenjerske. Slicne metode se mogu koristiti u DSU ako se pojam >>Ucestanosti« uvede vestacki pomocu bilinearne transformacije, koji tada nema fizicki smisao. Zbog toga sc te metode nece izlagati; radije se opredeljujemo za metode algebarskog, odnosno vremenskog podrucja, kao sto je metoda geometrijskog mesta k:o-
rena za DSU, sa kojima je u procesu sinteze moguce brizljivo pratiti prakticne efekte sinteze rednih, paralelnih, rednofparalelnih i kompenzatora po merljivim poremecajima na pojedine pokazatelje kvaliteta ponasanja sistema. Potrebno je jos jednom naglasiti da je objekat upravljanja u DSU kontinualan, tako da je samo na osnovu posmatranja upravljane promenljive nemoguce prepoznati da li je sistem upravljanja analogan iii digitalan. Stoga se u knjizi, kad god je rec o sintezi, nastoji da usvojeni kriterijumi za sintezu, kao sto je na primer zadati spektar polova funkcije spregnutog diskretnog prenosa, sagledaju u svetlu efekata koje ti kriterijumi i veJicina periode odabiranja imaju na parametre kontinualnog odziva sistema. Tek nakon toga je moguce vrsiti sintezu razlicitih tipova digitalnih kompenzatora. Ova sinteza je u knjizi ilustrovana sa vise oglednih i prakticnih primera. Sa razvojem mikroracunarske tehnike sve vise je prisutna tdnja da se konvencionalni regulatori u upravljanju elektromotornim pogonima i industrijskim procesima, kao i analogni kompenzatori u drugim sistemima upravljanja, zamenjuju digitalnim ekvivalentima. Naglasavamo da tako prosto preslikavanje analognih u digitalne elemente upravljanja, koje se cak ponekad vrsi pribliznim metodama numericke integracije, bez dubljeg razumevanja procesa diskretizacije, obrade diskretne informacije i njene zadrske i bez koriscenja prednosti DSU daje negativne efekte; tako dobijeni DSU je znatno skuplji i sa Iosijim dinamickim karakteristikama od analognog ekvivalenta. S obzirom na pomenuti interes za koriscenjem digitalnih konvencionalnih regulatora, u devetoj glavi su dati svi aspekti njihove sinteze metodama direktnog digitalnog upravljanja uz koriscenje prednosti koje pruza sistem upravljanja koji radi u realnom vremenu. U glavi su najpre navedene jednostavne metode identifikacije modela sporih tehnoloskih procesa i postupci sprezanja mikroracunarskog digitalnog regulatora sa proporcionalnim i integrirajucim izvrsnim organima hidraulickog. pneumatskog i elektricnog tipa. Zatim su navedene procedure podesavanja parametara digitalnih konvencionalnih P, PI i PlD i nekonvencionalnih regulatora. Treba naglasiti da cesto optimalno podesen regulator ne moze prakticno da se primeni, jer izvrsni organ nije u stanju da korektno prati iii da odraduje upravljacku promenljivu na izlazu regulatora uskd njenih velikih promena iii »treptanja«. Stoga je svaka proccdura podesavanja regulatora testirana na realnom primeru simulacijom na digitalnom racunaru pri cemu je posmatrana regulisana promenljiva i upravljanje. Na osnovu ove analize predlozene su modifikacije zakona upravljanja sa kojima izvrsni organi korektno prate upravljanja. U desetoj glavi se izlazu metode digitalnog upravljanja multivarijabilnim sistemima optimalnim u odnosu na kvadratne pokazatelje kvaliteta dinamickog ponasanja iii sa unapred zadatim minimalnim vremenom trajanja prelaznog procesa. Izlozene su takode metode projektovanja tzv. modalnog upravljanja. kao i algoritmi sinteze multivarijabilnih DSU sa zadatim spektrom polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom. Sva pomenuta re5enja zahtevaju potpunu povr~tnu spregu, odnosno podrazumevaju da su sve koordinate stanja objekta upravljanja merljive, sto je redak slucaj u praksi. Tamo gde celo stanje sistema nije merljivo, pokazani su algoritmi rekonstrukcije nemerljivih koordinata stanja pomocu opservera identiteta iii estimatora stanja i pomocu redukovanog opservera. Testiranja izbora pokazatelja kvaliteta ponasanja sistema i ponasanja sistema u celini sa objektom, regulatorom i opserverom vrsena su pomocu simulacije sistema pri razlicitim pocetnim uslovima objekta i opservera. Dakle, u ovoj glavi su izlozene samo metode analitickog projektovanja cije su upotrebne vrednosti verifikovane u inzenjerskoj praksi. Vecina drugih algoritama predlozenih u naucnoj Jiteraturi su
' \~
6
Uvod
najeesce preosetljivi na inale netacnosti modela i na kvantovanja promenljivih i parametara do kojih neminovno dolazi u njihovoj mikroracunarskoj realizaciji. Metode sinteze DSU sa slucajnim poremecajima se izlafu u jedanaestoj glavi. Za praeenje ove materije neophodno je poznavanje elemenata teorije verovatnoce, slueajnih diskretnih promenljivih i stohastickih procesa. Ipak, u uvodnom delu daju se opsti pojmovi i pokazatelji osobina slucajnih procesa i zatim se izlafu diskretni modeli slucajnih procesa i signala, kao i osnovne rekurzivne metode parametarske identifikacije sistema koji radi u slucajnoj sredini. Za objekte upravljanja koji rade u stohastickom okruzcnj11 pokazani su postupci projektovanja vise razlicitih regulatora minimalne verijanse, kao i algoritmi sinteze optimalnog upravljanja za sisteme sa slucajnim poremecajima razlicitog tipa. Posebna poglavlja su posvecena sintezi estimatora stanja tipa Kalmanovog filtra za slucajni dinamicki proces sa merljivim ulazima. Poslednja dvanaesta glava je u celosti posvecena mikroracunarskoj realizaciji analitickih resenja datih u prethodnim glavama. Ne ulazeci u teoriju i detalje racu~ narske tehnike, autor je nastojao da izlozi clemente arhitekture; softvera i organizacije mikroracunara, koji su neophodni za uspesnu realizaciju mikroracunarski orijentisanih sistema upravljanja koji rade u realnom vremenu. Kao ogledni primer usvojen je jedan mikrokontroler novije generacije; data je njegova arhitektura, opisan proces rada, softver i hardver. Sa nekoliko ilustrativnih primera i sa primerima realizacije dva konkretna mikroracunarska sistema upravljanja osvetljeni su prakticni aspekti realizacije ovih i slicnih sistema. Posebno je naglasena potreba pravilne organizacije programa sa ciljem da se minimiziraju negativni efekti prisustva transportnog kasnjenja koje usled vremena racunanja unosi mikrokontroler u sistem. U toku izlaganja cesto se koriste ilustrativni, ogledni i prakticni primeri sa ciljem da se ukaze na razlicite prakticne aspekte u projektovanju DSU. Primeri i analiza rezultata analitickog projektovanja su najcesce radeni simulacijom na personalnom racunaru i digitalnom racunaru opste namene. U tu svrhu autor je koristio simulacione jezike SIMMOD iii TUTSIM, kao i problemski orijentisan jezik CC. Za resavanje slozenijih problema analitickog projektovanja koriscen je interaktivni jezik LAS (Linear Algebra and Systems) na digitalnom racunaru opste namene. Pri tome nije posebno objasnjavana programska podrska; pretpostavlja se da citalac poznaje pomenute programske pakete, koji su raspolozivi u vecini nasih istrazivackih i razvojnih ustanova.
·;.:
2 KOMPONENTE DIGITALNIH SISTEMA UPRAVLJANJA Projektovanje diskretnih, a posebno digitalnih sistema upravljanja zahteva dublje poznavanje opste teorije diskretnih sistema i rezultata njihove sinteze u mogucim rezimima rada i sa razlicitim zahtevima u pogledu kvaliteta ponasanja. Teorija diskretizacije i digitalne obrade signala je relativno starog datuma, dobro poznata i, to treba naglasiti, prvobitno razvijena u svrhu analize i projektovanja diskretnih sistema upravljanja. Ovc tehnike su preuzele i sada ih koriste nove srodne tehnicke discipline, kao sto je digitalna obrada signala i sl. U prisutnom razvoju, tehnike sinteze diskretnih sistema sa povratnom spregom se stalno obogacuju novim resenjima, pa se otuda od inzenjera upravljanja koji radi i istrazuje u ovoj oblasti zahteva azurno pracenje savremene naucne i strucne literature. ,od interesa je vee sada naglasiti da je prisutni jaz izmedu teorije i prakse digitalnih sistema upravljanja veci nego u drugim tchnickim disciplinama. Nairne, teorijske osnove su date u analitickoj formi, a resenja za sintezu sistema- prvenstveno u vidu rezultata analitickog projektovanja. S druge strane, prakticne realizacije upravljanja se vecinom zasnivaju na mikroracunarima u ulozi procesora informacija i na pridruzenim digitalnim komponentama, cija se tehnologija stalno usavrsava i obogacuje. Otu
8
osnovom 10 (dekadni) smatra »prirodnim«, pa ipak, usled svoje fiziCk-e·.realizacije racunari rade sa binarnim sistemom cija je brojna osnova 2. I pored toga racunare opste namene korisnik posmatra kao dekadni uredaj, jer takvi sistemi, zahvaljujuci delu programske poddke za konverziju dekadnog u binarni sistem i obratno, prihvataju ulazne i izdaju izlazne informacije u dekadnom obliku. Medutim, u kori~ cenju specijalizovanih racunara kao elemenata upravljanja racunar se mora posmatrati kao elektriena komponenta koj~- realizuje zeljenu funkciju prenosa za ulazni signal koji je najeesce elektricne prirode. Mada programska podrska saddi instrukcije i potprograme cijom se organizacijom u odgovarajuci program moze realizovati zadata funkcija prenosa, ovakav nacin kori~cenja ipak zahteva izvestan stepen poznavanja principa rada i organizacije racunara, da bi se sto racionalnije ostvarila zeljena funkcija, pravilno zadao program i memorisali potrebni podaci i parametri; omogucila jednostavna komunikacija na relaciji operator-sistem upravljanja i korektno ostvarila veza upravljackog dela sistema sa pridruzenim ulazno jizlaznim jedinicama i objektom upravljanja. Dekadni sistem ima brojnu osnovu 10 i cifre od 0 do 9. U dekadnom brcju cifre su ponderisane u zavisnosti od svoje pozicije u odnosu na decimalni zarez: od zareza nalevo svaka pozicija vredi 10 puta vise od prethodne pozicije, a od zareza nadesno svaka naredna pozicija je 10 puta manja od prethodne. Tako se, na primer, broj 253 moze izraziti kao 253=3-10°+5· 101 +2·10 2• Na slican nacin, 32,25 = 5 · I0- 2 + 2 · 10- 1 + 2 · 10° + 3 · I 0 1 • Prema tome, struktura broja u dekadnom sistemu se moze predstaviti slikom 2.1. U op~tem slucaju, struktura broja u sistemu sa brojnom osnovom N se moze predstaviti slikom 2.2. 2
I10N[. ·IJ~
0
~J0}~ ~' ~~~11ilJ1il
Sf. 2.1. Struktura dekadnog broja
[RNI···I
2
R
1R'l
9
2.1. Brojni sistemi
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
0
R
1·1
Prevodenja celobrojnih vrednosti iz jednog sistema u drugi u osnovi se svodi na izracunavanje polinoma
N=a.R"+a._ 1 R•-l + · · · +a 1 R 1 +a0 R0
gde su N celobroj11a vrednost, R brojna osnova, a an, an-I. ... , a0 cifre brojnog sistema. Sliean polinom prosiren clanovima sa negativnim eksponentima brojne osnove se koristi za prevodenja necelih (decimalnih) brojnih vrednosti. TABLICA 2.1. CIFRE I BROJANJE U BROJNIM SISTEMIMA
·~
~~
Binarni 0 I 10 II 100 101 110 Ill 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 Ill I 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 lOIII 11000 11001 11010 11011 11100 11101 IJ 110 IIIII 100000
I i~'::
,.,
R'l R 1···1 RNI 2
Sf. 2.2. Struktura broja u sistemu sa brojnom osnovom R
Za rad sa racunarom od prakticnog interesa su binarni, oktalni, dekadni i heksadecimalni brojni sistemi. Binarni sistem ima brojnu osnovu 2 i cifre 0 i I. Ovaj sistcm ima prvorazrednu ulogu u digitalnim racunskim masinama, koje su zapravo binarne masine: sve aritmeticke, logicke i druge operacije izvode u binarnom obliku. StaviSt:, mcmorijski medijumi, kao sto su papirne i magnetne trake, diskovi, kartice i sl. poseduju binarne memorijske celije koje imaju samo dva stanja. Dakle, ))prirodni brojni sistem« za korisnika je dekadni, a za racunar binarni. Oktalni sistem ima brojilu osnovu 8 i cifre od 0 do 7. Sistem se cesto koristi u komunikaciji korisnika sa racunarom, zahvaljujuci cinjenici da brojna osnova pripada povorci brojeva 2" (8=2 3), pa je otuda prevodenje iz binarnog sist(ma u oktalni i obratno vrlo jednostavno. Osim toga, sto je brojna osnova veca, to je manji potreban broj cifara za predstavljanje nekog broja. Sa tog stanovista za komunikaciju sa racunarom oktalni sistem je pogodniji od binamog. Iz istih razloga se koristi heksadecimalni sistem koji ima brojnu osnovu 16 ( =2 4). Prvih deset cifara ovog sistema su iste kao u dekadnom sistemu, a ostalih 6 cifara se oznacavaju sa prvih 6 slova alfabeta. Cifre i postupci brojanja u navedenim sistemima su dati u tablici 2.1.
Primer I. Binarni broj 11010011 2= I· 20+ I· 2'+0 · 22+0 · 23+ I · 24+0 · 25+ I · 26+ +I · 27= I +2+ 16+64+ 128=211 10 u dekadnom sistemu. Primer 2. Broj u oktalnom sistemu 427 8 =7·80+2·81+4·82=7+16+256=279 10 . IIi, 427s=l00010 111=100010111 2. Uocimo da se prevodenje iz oktalnog u binami sistem izvodi jednostavno: cifre u oktalnom broju se zamene odgovarajucim trojkr.ma binamih cifara. Obmut postupak je, takode, jednostavan: 100010111 2 = 100 010 Ill =427s.
sa2
Primer 3. Da se broj 279 10 prevede u binami sistem, pos"'atra se ~rna sukcesivnog deljenja 279=2·(139)+1 139=2·(69) +I
10
2.2. Binarne operacije
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja 69=2 · (34) +I
Zatim se sabiraju cifre naredne kolone zajedno sa prenetom jedinicom iz prethodne. Ponovo je zbir 2 iii 10 2 . Potpisuje se 0, a I prenosi u sledecu kolonu
34=2 ° (17) +0 17=2 ° (8)
+1
8=2 ° (4)
+0
4=2 ° (2)
+0
2=2 ° (1)
+0
1 =2 ° (0)
+1
/I
00001001 00000011 00 U sabiranju cifara trece kolone zajedno sa prenetom jedinicom iz druge rezultat je I i njega potpisujemo bez prenosa u narednu kolonu
'I
A..t
Po ovom postupku cifre odgovarajuceg binarnog broja od najstarije (prve sleva) do najmlade (prve zdesna) se dobijaju kao ostaci deljenja pocev od poslednjeg pa natrag do prvog. Dakle, 279 10 =100010111 2 • Slicnim postupkom sukcesivnog deljenja sa brojnom osnovom se dekadni broj prevodi u proizvoljan brojni sistem. Na primer: 52555= 16 · (3284)+ II
(B)
3284= 16 ° (205) + 4
(4)
205=16·(12)
+13
(D)
12= 16 · (0)
+ 12
(C)
I' ~ ·1
Il'1 j
~ ,·~··
~~-.j ~'
•'i:
<·;:"
Ako se ostaci deljenja oznace ciframa heksadecimalnog sistema i zatim te cifre poredaju po ukazanom redosledu, dobija se 52555IO=CD4B 16 . Primer 4. Binarni broj 1100110101001011 2 = 1100 1101 0100 1011 = CD4B 16 = B · 160 + + 4 · 161 + D · 162 + C · 163 = II + 4 · 16 + 13 · 256 + 12 · 4096 = 52555 10 . Na slican naCin, 1100110101001011=1 100110 101 001 011=146513 8 .
U prethodnim primerima indeksom je oznacavano kom sistemu pripada broj. S obzirom na to da se u prakticnom radu obicno podrazumeva brojni sistem, naznake u indeksu najeesce se ne koriste.
~~·;
';:,
~-·_; •;·,
~,:} '.\
2.2. BINARNE OPERACIJE Postoji izvesna slicnost aritmetickih operacija u dekadnom i u binarnom sistemu. Tako se sabiranje binarnih brojeva vrsi zbrajanjem cifara sabiraka po odgovarajucim kolonama po~injuci od prve desne kolone i rezultat zbrajanja se pise is pod. Ako je zbir cifara veci od I, vrsi se »prenos« jedinice u prvu susednu kolonu nalevo. S obzirom da je najveca cifra binarnog sistema I, prenos jedinice u susednu kolonu ce nastupiti kad god je zbir cifara prethodne kolone veci od l. Navedeni postupak je pokazan na primeru sabiranja binarnih brojeva 00001001 i 00000011. Napisimo najpre brojeve jedan ispod drugog 00001001 +00000011 Zbir najmladih cifara je 2= 102 . Dakle, potpisuje se 0, a I prenosi u susednu kolonu i prenos oznacava apostrofom I
00001001 00000011
----0
II
~~~
~;'
:·~
~~
·;f
~] -~i
00001001 00000011 100 Zbir cifara cetvrle kolone slcva je I, a svih preostalih kolona 0, tako da jc krajnji rezultat sahiranja 00001001 00000011 00001100 U dekadnom sistemu sabirci su 9 i 3. a njihov zbir 12. Dakle, rezultat sabiranja je ispravan (11002=121o). Slicno sabiranju i operacija oduzimanja bi se mogla vrsiti analogno oduzimanju u dekadnom sistemu. lpak, racunari tako ne rade. vee oduzimanje svode na dodavanje negativne vrednosti. Stoga jc najpre ncophodno ustanoviti sta se podrazumeva pod negativnim binarnim brojem. U izvesnim binarnim masinama najstariji bit je prcdviden za indikaciju algebarskog znaka. U takvoj naznaci negat ivne vrednost i (sign-magnitude scheme) broj 3 u binarnoj notaciji 00000011 postaje -3=10000011 poslavljanjem I u najstarijem bitu. Napomenimo da je ovakav postupak primenjivan u masinama starijeg datuma. Novije masine koriste tzv. jedno- iii dvo-komplementnu nolaciju negativnih brojeva. U jedno-komplementnoj notaciji negativni broj se obrazuje komplementiranjem svih bitova odgovarajuceg pozitivnog broja. Na taj nacin se, na primer, komplementiranjem 00000011 (=3) dobija 11111100 (=-3). U ovoj notaciji se oduzimanje nekog hroja mozc zamcniti sabiranjem njegove negativne vrednosti. Ako se pri tome u sabiranju najstarijih bitova pojavi prenos I, prenesenu jedinicu treba vratiti natrag i sabrati sa najmladim bitom polpisane reci. Na primer. koristcci jedno-k'omplementnu notaciju. izvrsimo oduzimanje 7-4. Najprc obrazujmo --4 00000100 11111011
H -4
Ovo jedno-komplemenlno -4 dodajmo 7 1ooooo: 11 +11111011 00000010
+7 -4 +2
2. K.omponente digitalnih sistema upravljanja
12
Medurezultat je ocigledno pogresan. Ako se preneta jedinica u sabiranju najstarijih bitova vrati natrag i sabere sa potpisanim medurezultatom 00000010 I (prenos u sabiranju najstarijih bitova) 000000.-:::=:-::-::-:1:-:-1- +3 rezultat je ispravan. 7--4=3. Poslednja operacija vracanja natrag prenosa i njegovog sabiranja sa potpisanom reci je karakteristicna za oduzimimje u jedno-komplementnoj notaciji negativnih binarnih brojeva. Jedno-komplementna notacija ima ozbiljan nedostatak koji sc ogkda u nejednoznacnom predstavljanju nule. Nairne, ako sc komplementira OOCOOOOO, dobija se llllllll. S obzirom na to da za nulu nije definisana negativna vrednost, nastala protivurecnost izaziva te5koce u testiranju rezultata. Otuda vecina savremenih racunara koristi dvo-komplementnu notaciju negativnih binarnih brojeva, koja se dobija tako sto sc najpre obrazuje jedno-komplementna notacija i njoj zatim doda jedinica. I u ovoj notaciji se oduzimanje zamenjuje sabiranjem negativne vrednosti. ali se sada evcntualni prenos u sabiranju najstarijih bitova ignorise. Na primer, za oduzimanje 7-4 u dvo-komplementnoj notaciji najpre je potrebno formirati jcdno-komplementno -4 i tome dodati jedinicu 11111011
+
I ~
~ ~
I I fe,
t\
Usled konacne duzine reci, razume se, postoje ogranicenja u pogledu maksimalnih vrednosti rezultata aritmetickih operacija. Na primer,
1/i i~
~i
~~[<
;.~;;
t~~: ?,-~
~}~
(dvo-komplementno -4)
+3
1111111 II
+
I
--0~
postajc. kao sto se vidi, idcnticna nekomplementiranoj nuli, ako ~e zanemari prenos van najstarijeg bita u dodavanju jedinice. Prethodno izlaganje zahteva da se ponovo, ovoga puta sistfmatski, osvetl i postupak tretiranja negativnog binarnog broja. Podsetimo se da je u prvom postupku najstariji bit bio rezervisan za indikaciju znaka: ako je nula, broj je pozitivan, a kada je I, - negativan. U jed no- i dvo-komplementnoj notaciji algebarski znak se zadaje popunjavanjem sa nulama iii sa jedinicama najstarijeg bita, rezervisanog
12010 910
IOOJOOOI
Za rad sa racunarima od in teresa su izvesne binarne operacije koje sene srecu u dekadnorn sistemu. Tako 1-operacija dvaju binarnih brojeva rezultuje u broj koji ima I u pozicijama gdc oba argumenta imaju jedinice. U svim ostalim pozicijama rezultata je nula. Ova op;:racija se cesto naziva /ogickim proizvodom binarnih broj~va. Na primer. logicki proizvod 11010111 i 10100101 je
+7
U dvo-komplementnoj notaciji nc postoji protivurecnost u predstavljanju nule. Nairne. ako se u 00000000 komplementiranju svi bitovi. dobija se 11111111, pa dodavanjem I dobijena dvo-komplementna nula
01111000 +00001001
Rezultat jc ispravan (10000001 2 =d29 10 ), ako se tumaci kao pozitivan broj. Medutim, najstariji jedinicni bit rezultata se nalazi u 8. poziciji, koja je u 8-bitnim masinama rezervisana za indikaciju algebarskog znaka. Dakle, rezultat bi se mogao interpretirati i kao negativan, ali tada je njrgova vrednost u dvo-komplementnoj notaciji 11111111. dobijcna postavljanjem jcdinica od najstarijeg bita reci do najstarijeg nenultog bita rezultata, jednaka -127 10 , sto je apsurdno. Problemi premasl"nja ograniccne duzine reci se u radu sa racunarima programski resavaju.
(jedno-komplementno --4)
1 na ovaj nacin rezultat je ispravan. ali sada bez vracanja nat rag prenosa u sabiranju najstarijih bitova. Prenos se, daklc. prosto brise.
za indikaciju znaka, i svih ostalih bitova nadesno od njega zakljucno sa najst;1rijom jedinicnom cifrom broja. Na taj nacin, 00001011 i lllllllO su, re~pektivno, 11 i -2 u dvo-komplementnom sistemu. Najcesce se pojam negativnog broja odnosi na dvo-komplementnu notaciju, dok se jedno-komplementna notacija obicno naziva komplementom iii, cesce, logickim komplementom.
~~
~~
Zatim se dvo-komplementno -4 doda 7 100000111 +11111100 00000011
13
s obzirom na konacnu duzinu reci digitalnih masina, postoje dodatne pojedinosti o kojima treba voditi racuna u radu sa komplementiranim sistrmima. Tako, ukupan broj negativnih binarnih brojeva koje masina moze da prihvati veci je za jedan od ukupnog broja pozitivnih binarnih brojeva. u 8-bitnoj masini, na primer, najveci moguci pozitivni broj je 01111111 = 127 10 , dok je najveci moguci negativni broj 10000000=-1281o·
!!'I
I
11111100
2.2. Binarne operacije
11010111 . ·.~
-~
1\ 10100101 10000101 Simbol 1\ oznacava 1-operaciju. Logicki proizvod se najcesce koristi za tzv. maskiranje, odnosno za brisanje saddaja jednog dela iii celog registra. Na primer ako se zele izbrisati najvisa cetiri bita u reci 10110101, dovoljno je izvrsiti logicki proizvod ove reci sa brojem 00001111 cija su najvisa cetiri bita 0, a najniza 4 bita I. Na taj nacin se dobija rezultat 10110101
1\ 00001111 00000101
(rec) (maska)
cija su najvisa cetiri bita obavezno 0, dok su najniza cetiri bita identicna sa odgovarajucim bitovima u prvobitnoj reci. Logicka I U-operacija il i logicki zbir dvaju binarnih brojeva daje u rezultatu broj koji ima I u pozicijama gde argumenti, bilo jedan od njih iii oba, imaju I; tamo
14
15
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
2.2. Binarne operacije
gde oba argumenta imaju 0 i rezultat poseduje 0. Za razliku od logickog proizvoda, ovom operacijom se upisuju zeljeni saddaji u prazne delove registra. Na primer, ako se u najvise cetiri pozicije reci 00001001 zeli upisati 1011. dovoljno je izvrsiti logicko sabiranje.
izgubljenim. Na primer, u toj varijanti pomeranja, nakon pomeranja za jedan bit udesno, broj 00000001 postaje 00000000. Stoga je u vecini masina predvideno i rotirajuce pomeranje u kome se bit koji je ispao preko jedne granice pojav1juje preko druge granice na suprotnoj strani reci. Na primer, posle rotirajuceg pomeranja za jednu poziciju udesno rec 01011001 se preobrazava u 1010! 100. u drugoj, takode eesto primenjivanoj varijanti rotirajuceg pomcranja. bit koji je ispao preko rama reci se ne pojavljuje na suprotnoj strani, vee se memorise u posebnom 1-bitnom registm, kao indikator i~padanja jedinicnog bita. U 8-bitnim masinama, kao sto je INTEL 8080, takav jednobitni registar ima zatim ulogu dodatnog rezervnog bita.
00001001
v
10110000 10111001
Simbol V oznacava I LT-operaciju. U rezultatu se vidi da je u najvisa 4 prazna bita registra upisana zeljena rec, dok su 4 nize pozicije ostale nepromenjene u odnosu na prvobitni sadrzaj registra. Operacija eskluzivno ILl il i /ogicka ra:::/ika nad dva binarna broja daje rczultat koji ima I u pozicijama gde bilo prvi iii drugi od argumcnata ima I. Dakle, kada su u istim pozicijama argumenata bitovi jednaki (0 iii 1), tada jc u odgovarajucim pozicijama rezultata 0. Operacija se najcesce korist i kada je potrebno uporediti dva binarna broja u procesu racunanja. Nairne, s obzirom na prirodu operacije, rezultat njene primene ce biti nula kad god su argumenti identicni. Na primer, rezultat logicke razlike
ii!j
~J
ffi•J
~ I~)
ti(';
11101010
f];
i<;f 01101100
h
r,"·.
10000110 nije nula, jer stL argumenti razliciti. Medutim. kada su argumenti identicni. kao u primeru, 10111000
:'!
t~~
t~~
00000000 rczultat je obavezno nula. Usvojena oznaka logicke razlikc je simbol ·"if. Logicke binarne operacijc je laksc pamtiti u tahelarnom obliku
ILl 0
o Io o I
0
I
:,-;,
P,,
\:!· 10111000
0
r,s
I
o[Ol II
I
Ekskluzivno l Ll 0 I
0 I
[fll II 0
Sledece operacije, vazne za rad na racunaru, strogo govoreci, nisu logicke. One se svode na prosto pomeranje binarno kodovanog podatka iii broja ulevo iii udesno za izvestan broj bita, odnosno pozicija, pri cemu sc upraznjene pozicijc popunjavaju nulama. Na primer, binarni broj 00101101 posle pomeranja za jedan bit ulevo postaje 01011010. Buduci da je brojna osnova binarnog sistema 2, pomeranja za l ,2,3, ... pozicija ulevo odgovaraju mnozenjima binarnog broja sa 2,4,S, ... I obrnuto, pomeranjima udesno odgovaraju, na isti nacin, deljenjima sa 2" , gdc jc n duzina pomeranja u broju bita. Ovc konstatacije vaze samo ako sc pomcranja vr5e unutar zadate duzine. odnosno kada jedinicni bitovi ne »ispadaju« preko granice reci. Kada usled pomeranja neki jedinicni bitovi ispadnu preko granicc reci, oni se u jednoj varijanti. poznatoj. kao·loRic'ko poml!ranje smatraju definitivno
G~
r~
u ~ w d l;;
Da bi pomeranje za jedan bit zdesna ulevo ili sleva udesno odgovaralo uvek mnozenju iii deljenju sa 2, ocigledno je da se mora obezbediti cuvanje jedinicnih bitova koji usled pomeranja ispadaju preko ramova reci. Tako, na primer, 1011 2 ~~ =lito pomereno za jedan bit zdesna ulevo postaje 101l02=·22tt)• sto je ispravno. Medutim, gubljenjem najstarijeg bita rezultat hi bio pogresan, 0110 2=6 10 =F22 10. Kada binarni brojevi koji se pomeraju mogu biti i negativni, tada je neophodno u postupku pomeranja sacuvati informaciju 0 algebarskom znaku broja. u racunarima koji nemaju fizicku opremu predvidenu za ovu svrhu cuvanje znaka binarnog broja se izvodi programski. Operacije pomeranja u kojima se cuva znak binarnog broja su aritmeth'ka pomerania. Manj i racunari obicno ncmaju fizicku opremu za mnozenje, pa &e operac(ia mnoienja mora izvoditi programski. Najjednostavniji postupak rnnozenja celobrojnom konstantom b.i se mogao predstavit i sukcesivnim sabiranjem: urnnozeniku se dodaje sopstvena vrednost onoliko pula koliki je mnozilac. Ovakav postupak, medutim. nije pogodan: traje dugo i ne daje ispravan rezultat kada je mnozilac nula. Mnozenje bi se moglo razumeti i na drugi nacin. Na primer, 42 puta 15 je 42 puta 5 plus 42 puta 10. IIi. koristeci linije podvlacenja, 42 15 210 +42 630-
(umnozenik) (mnozilac) (42 x broj jedinicnih cifara (5)) (42 x broj desetnih cifara (I)) (proizvod)
Analogno se izvodi operacija mnozenja binarnih brojeva. Stavise, ona je po ovom postupku jednostavnija od mnozenja dekadnih brojeva, jer su cifre binarnih brojeva 0 i I, pa mnozenje sa njima daje iii nulu iii kopiju umnozenika. Postupak se ilustruje na primeru mnozenja 7 x 5 Ill 101 Ill 000 Ill 100011
(umnozcnik) (mnozilac) (umnozenik puta najmlada cifra mnozioca) (umnozenik puta sledeca cifra mnozioca) (umnozenik pula
16
2.2. Binarne operacije
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
Cifra 8 pomnozena sa deljenikom 23 daje 184 koje, kada se oduzme od 187, odreduje ostatak deljenja 3. U osnovi isti postupak se primenjuje u deljenju binarnih brojeva. Ipak, postoje izvesna ogranieenja usled konacne duzine reci ra~unara. Jasno je, pre svega, da vrednost, odnosno duzina koli~nika mora biti manja od duzine re~i ra~unara. Kada kolicnik prekoraci ovu vrednost, nastaje greska deljenja iii greika prekoracenja. U racunarima koji poseduju fizicku opremu za deljenje ova greska se signalizira i tada se obicno zapoceti proces deljenja prekracuje. Podsetimo da je u 8-bitnim masinama 7 bita predvideno za moduo broja, a najstariji 8. bit - za algebarski znak. Otuda u ovim masinama prekoracenje kolicnika nece biti kad god je, posle odbacivanja mladih 7 bita deljenika, preostali deo u visim pozicijama deljenika manji od delitelja. U primeru
se poeeti mnozenje sa najstarijom cifrom mnozioca, a pomeranja parcijalnih proizvoda vrsiti sleva nadesno: Ill 101 Ill 000 Ill 100011 Mnozenje binarnih brojeva koji mogu biti pozitivni i negativni se vrsi na isti ali se pri tome mora odrediti i algebarski znak proizvoda - najpre se nade proizvod modula, pa zatim odredi znak prema tome da Ii su umnozenik i mnozilac istog iii suprotnog znaka. Karakter ILI-operacije, naved~ne u prethodnom delu ovog poglavlja, omogucava da se znak proizvoda ustanovi njenom primenom na umnoZe:nik i mnozilac. Nairne, algebarski znak rezultata primene ILJ-operacije na dva binarna broja i algebarski znak proizvoda tih brojeva se poklapaju. Navedeni algoritam je daleko brfi od postupka sukcesivnog sabiranja, ali je jos uvek spor, jeri on zahteva izvrsavanje relativno velikog broja naredbi u programskoj realizaciji. Medutim. u prakti~noj primeni postoje cesti slucajevi gde se umnozenik menja (neka promenljiva sistema) od jedne operacije mnozenja do druge, a mnozilac stalno ostaje isti (neka zadata vrednost parametra). Tada se mogu koristiti izvesne dosetke [8] koje bitno skracuju vreme mnozenja. Na primer, dopustimo da se umnozenik menja, ada je mnozilac konstantan i jednak 3,14159 ... Broj 7t se moze prilicno dobra aproksimirati koli~nikom /01 i64 ciji je imenilac 64 = 2°, pa se deljenje sa 64 svodi na pomeranje deljenika za 6 pozicija sleva udesno. Otuda se mnozenje sa 1t moze svesti najpre na mnozenje sa 20 I, a zatim na pomeranje dobijenog proizvoda za 6 pozicija udesno. Slicno se moze mnoziti sa osnovom e prirodnog logaritma, koja se dobro aproksimira sa 87/32. Daklc, u tom slucaju bi se umnozenik najpre mnozio sa 87. a zatim rezultat pomerao za 5 pozicija udesno (32 = 25). Ovaj postupak zahteva da se pronade kolicnik koji sto bolje aproksimira mnozilac ida muje imenilac neki broj iz povorke 2n. u vecini slucajeva takva aproksimacija se lako odreduje koristeci rucni kalkulator. Slicno kao sto se mnozenje moze svest i na sukcesivna sabiranja, deljenje se moze interpretirati sukcesivnim oduzimanjem. Kao ilustracija moze da posluzi primer deljenja dekadnih brojeva 417:23. Broj 417 ima ulogu deljenika, a 23delitelja. Proces deljenja zapocinje tako sto se odabere broj koga sacinjavaju najstarija i njoj susedne cifre deljenika tako da taj broj podeljen sa deliteljem daje kolienik ne veci od najvece cifre 9 dekadnog sistema. U posmatranom primeru to je broj 41 koji podeljen sa 23 daje I sa ostatkam 18. Ta se obi~no pise ovako 417: 23 =I 23 18 na~in,
Zapravo, efektivni ostatak je 187 koji se dobija »spustanjem« sledece cif're deljenika. Ovaj ostatak se zatim deli sa 23 i u koli~niku upisuje sledeca cifra 8 417:23 = 18 23 187 184 3
17
000010101 1110111 00010110
.4 ~i
"'
~~
,~~)- ~ t
0
(deljenik) (del ite1j)
navedeni uslovi su ispunjeni, jer je posle odbacivanja mladih 7 bita deljenika (izdvojenih prazninom) preostali deo deljenika u visim pozicijama 10101 < 10110. Medutim, u sledecem primeru 000010101 1110111 00010101
~~
~
fQ ~···
,!
~ I,
~!:
;..~
:t
to, ocigledno. nije slucaj i nastala bi greska prekoracenja. Uostalom, u to se mozemo uveriti prelaskom u dekadni sistem. Nairne, de1jenik 00001011110111 (=2807 10) i delitelj 00010101 (=21 10) daju kolicnik 133 i ostatak deljenja 14. Broj 133 10 je suvise veliki da bi stao u rec sa algebarskim znakom ciji maksimalni pozitivni sadrzaj moze biti +127. Proces deljenja je kombinacija sukcesivnih operacija pomeranja i oduzimanja. Pretpostav1ja se da su deljenik i delitelj respektivno duzina dve i jedne reci. Najpre je potrebno delite1j napisati ispod vise reci deljenika. Proces deljenja zapocinje pomeranjem deljenika za jednu poziciju zdesna ulevo i oduzimanjem delitelja od broja koga cine odgovarajuce cifre pomerenog deljenika iznad delitelja. Ako je razlika negativna, najstarija cifra kolicnika je 0, a ona je I, kad je razlika pozitivna. Ostale, mlade cifre kolicnika se do.bijaju sukcesivnom primenom navedenog postupka. U rezultatu kolicnik ce imati isti broj cifara kao delitelj. Pogodno je na kraju kolicnik potpisati ispod desnog kraja deljenika. Tada, cifre deljenika koje preteknu nalevo od najstarije jedinicne cifre kolicnika odreduju ostatak deljenja. Kao primer se posmatra 4-bitna masina U kojoj Se VrSi deljenje 27:7
2 Digitaloi sistemi upravljanja
'r ~· 18
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
deljenik OOOllOI I deliteij OI11 00011011 Ill! 1110 0001101I 1111
+ +
DOl
0001101i 1111 0100 000110I 1 1111 0110
+ +
000110I 1 001 I
---.,.-:-:c--
110
( =27 10) = 0011 (=7Io)
19
2.3. Digitalni moduli
(=31 0) (kolicnik)
2.3.1. ELEMENTARNA LOGICKA KOLA
Logicka kola realizuju razlicite prekidace funkcije koje poprimaju samo dve moguce vrednosti 0 iii 1. Tako ILI-kolo realizuje logicki zbir C=A+B, dok I-kolo ostvaruje /ogicki proizvod C=A · B, prema sledecim tabelama Ill I
(=-7) (negativno)
A 0 I 0 I
(-7) (negativno) (-7) (pozitivno)
B 0 0 1 1
C 0 I I I
A 0 I 0 I
B 0 0 1 1
C 0 0 0 1
ILl i I moduli su najeesce realizovani kompaktno u vidu diodno-tranzistorskih prekidackih kola ciji se ulazi i izlazi menjaju skokovito, od nula do nivoa nekog pozitivnog iii od nula do nivoa nekog negativnog napona. Dakle, u ovom tipu kola sli od interesa samo dva naponska nivoa. Velicina i polaritet napona mogu biti razliciti i zavise od tipa upotrebljenih tranzistora odnosno od proizvodaca kola. Najcdce se odsustvo napona tretira kao logicka nula, a prisustvo pozitivnog (pozitivna logika) iii negativnog (negativna logika) napona kao logicka jedinica. Usvajaju se i razlicite oznake ovih modula. Na sl. 2.3 data je jedna od tih blok notacija.
(-7) (pozitivno)
(kolicnik) ( =6 10) (ostatak deljenja)
U izvesnim slucajevima moze se zahtevati mnozenje i deljenje u dvostrukoj tacnosti. Kao sto ce se videti, i takvo mnozenje se izvodi jednostavno. Neka su umnozenik A+B i mnozilac C+D oba u dvostrukoj tacnosti, tj. sadrzani u po dva registra pri cemu A i C predstavljaju vise-, a B i D nizerazredne reci (registri). To znaci da bi u 8-bitnim masinama umnozenik i mnozitelj bili duzina od po 16 bita i zauzimali bi po dva 8-bitna registra (bajta). Njihov proizvod je tada (A+B) (C+D)=AC+AD+BC+BD
~
~
Sl. 2.3. Usvojena o=naka za logicko ILl kolo.
Sl. 2.4. Usvojena oznaka za logicko I kolo.
B
~
u parcijalnim proizvodima ucestvuju faktori duzina od po jedne reci, tako da su parcijalni proizvodi dvostruke tacnosti - duzina dve reci. Krajnji rezultat se dobija sabiranjem parcijalnih proizvoda po sledecoj semi (AC)v (AC)N (AD)v (AD)N (BC)v (BC)N (BD)v (BD)N Indeksi Vi N oznacavaju respektivno visu i nifu rec odgovarajuceg proizvoda u zagradi. Vidi se da je rezultat dvostruko duzi od umnozenika, odnosno mnozioca. Na primer, ako su dva broja svaki duzine od po 16 bita, njihov proizvod ce biti duzine 32 bita, sto se vidi iz prethodne seme.
B Sl. 2.5. Usvojena oznaka za logicko NIL/ kolo.
B
D-C
B Sl. 2. 6. Usvojena oznaka za logicko NI kolo.
Na slikama 2.5 i 2.6 prikazane su graficke notacije kola koja ostvaruju NILI i Nllogicke funkcije na ulaznim signalima. Nairne, pri istim signalima A i B na ulazima ILl i NILI kola na slikama 2.3 i 2.5 izlaz jednog od ova dva kola bice komplement izlazu drugog kola. Potpuno isto vaii za I i NI kola na slikama
2.4 i 2.6.
2.3. DIGITALNI MODULI Pri upotrebi digitalnih racunara kao procesora informacija u digitalnim sistemima upravljanja cesto se koriste tranzistorizovani kompaktni elementi malih dimenzija, koji realizuju odredene logicke funkcije. Mada su funkcionalni delovi digitalnog racunara, u stvari, sastavljeni od ovakvih modula, ti elementi se cesto pojedinacno iii u strukturnim kombinacijama koriste za realizaciju prostijih procesora. Sa stanovista upotrebe racunara u upravljanju moguce je uociti tri osnovne namene ovih jednostavnih elemenata: (i) projektovanje digitalnih kola koja sluze za sinhronizaciju sistema u toku rada, (i i) generisanje signa Ia za podesa\'anje vremenskog redosleda i za upravljanje radom racunara i (iii) projektovanje uredaja za sprezanje analognih i digitalnih delova sistema upravljanja.
~ ~
~ ~;
2.3.2. FLIP-FLOPOVI Flip-flop iii bistabilni multivibrator omogucava memorisanje logickih uslova u digitalnom uredaju, pa se otuda moze tretirati kao jednobitni memorijski element. Prema rezimu rada, flip-flopovi mogu biti asinhroni, kada rade bez signata takta, i sinhroni, ako je promena stanja moguca samo u prisustvu signata takta na ulazu flip-flopa. Prema funkciji koju ostvaruju, flip-flopovi mogu biti RS, JK, RST, T i D tipa. Realizacije, rezimi rada i razliciti tipovi flip-flopova daju se u literaturi iz oblasti digitalne elektronike [15]. Ovde se navode samo 2 •
I i
20
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
pobuda na R i S ulazu. Uo~imo u tablici da pobuda R = I i S = 1 nije reguiarna jer pri takvoj pobudi prelaz iz zate~enog u naredno stanje nije definisan ili nije odreden. Slika 2.8 prikazuje usvojene oznake za T flip-flop, koji se pobuduje signalima impulsnog tipa na T ulazu. Kad god se T flip-flop pobudi ovakvim impuisom, on menja stanje bez obzira kakvo je ono bilo u trenutku pobudivanja. Slike 2.8 (a) i (b) prikazuju usvojene oznake za T flip-flopove koji menjaju zate~ena stanja respektivno pri silaznoj i uzlaznoj ivici pobudnog signala na T ulazu. U grafickim notacijama T flip-flopa na sl. 2.8 prikazani su i ulazi neposredni set (Sd) i neposredni reset (Rd), koji l!Zivaju najvi§i nivo prioriteta. Drugim re~ima, kada se na ulaz Sd dovede signal, flip-flop se prevodi u stanje set (Q = I) bez obzira na zateceno stanje i eventualno prisustvo signala na T ulazu. Slicno, kada se naRd ulaz dovede pobudni signal, flip-flop se prevodi u stanje reset (Q = 0) bez obzira na zateceno stanje i pobudu na T ulazu. Prioritetni ulazi Sd i Rd mogu postojati i u RS flip-flopu prikazanom na sl. 2.7 (a).
neophodni detalji o asinhronim RS iT flip-flopovima, koji 6e se kasnije pojavljivati u realizacijama digitalnih modula. Flip-flop poseduje 'dva stacionarna stanja 0 i 1 i ostaje u jednom od ta_dva stanja sve do pojave impulsa na ulazu koji mou da promeni zateteno stanje. Flip-flop obitno ima tri ulaza: brisuei ili reset (R) ulaz koji uspostavlja stanje 0, upisni ili set (S) ulaz koji uspostavlja stanje li komplementarni ili trig (T) brojatki ulaz koji menja stanje 0 u I ili I u 0 bez obzira u kom stanju se nalazio flip-flop u trenutku dovodenja impuisa na broja~ki uiaz. U normalnoj upotrebi koriste se dva izlaza flip-flopa: prvi ili "istinit" izlaz Q i drugi komplementarni izlaz Q, koji se oznatavaju i kao izlazi I i 0, respektuivno. Us~znaka za RS :ip-:p
s
a
·"
-
0
a
R
o
{a)
o 1
1
o
1
1
~~~: na sl.
o
o-
"
0
2.7 (a).
n
1
1
o
I
I
(b) fj ·-~
Sf. 2. 7. (a) Usvojena oznaka za RS flip-flop. (b) Tablica prelaza RSflip-flopa.
'1
~
Binarni brojac. Prvi primer primene flip-flopa u sintezi prostih automata je binarni brojac koji broji unapred, odnosno sleva udesno. Broiac, koii koristi flio-flopove sa brojackim ulazima, prikazan je na sl. 2.9. Tri identicna flip-flopa u brojackoj sprezi cine trostepeni brojacki lanac. Kada jedan od flip-flopova promeni
Vi
Na sl. 2.7. (b) dataje tablica prelaza RS flip-flopa koja opisuje prelaze zatetenih stanja (Qn, Qn) flip-flopa u sledeca stanja (Qn+l ,Qn+l) pod dejstvom mogucih
NEPOSREDNI SET
21
2.3. Digitalni moduli
ac
~
I
aB
'L
Ul.AZ
aA 2
'L
a T
C
T B
T A
NEPOSREDNI SET
Rd.
KASL EDECEM STEP ENU
a
NEPOSREDNO BRISANJE
T
T Sf. 2.9. Trohitni binami brojuc
I
I
(a)
{b)
NEPOSREDNI RESET
NEPOSREDNI RESET
Sf. 2.8. Usvojene oznake T flip-flopa koji menja zateceno stanje pri (a) silaznoj ivici i (b) uzlaznoj ivici pobudnog signa/a na T ulazu. Silazna ivica predstavlja prelaz signa/a sa I na 0, a uzlazna- sa 0 na /.
svoje stanje od I na 0, to ce izazvati pro menu stanja sledecegflip-flopa. Stanje flip-flopa C koji se nalazi prvi u lancu se menja svaki put kada se na njegov brojacki ulaz, koji je istovremeno i u'az brojaca, dovede odgovarajuci pobudni signal impulsnog tipa. Flip-flop B menja svoje stanje samo kada C menja stanje od I na 0 i tako dalje kroz ceo brojacki lanac. Dakle, svaki naredni flip-flop ce menjati stanje dva puta rede od prethodnog. Drugim recima, u ovakvoj sprezi proizvoljno odabran flip-flop menja svoje stanje dolaskom pobudnog impulsa na ulaz brojata samo ako su u prethodnom stanju svi flip-flopovi ispred njega bili u stanju I. Otuda se postupak brojanja moze predstaviti tablicom 2.2. Prema tome, sadrzaj brojaca koji se ocitava u binarnom kodu j{dnak je broju impulsa na ulazu brojaca. Sadrzaj se moze ponistit i (izbrisati) u bilo kom trenutku
or
22
2. Komponente
di~italnih
se moze Jzbrisati dovodenjem signata I na ulaz neposrednog brisanja. Sadrfaj brojaca se moze postaviti na maksimalnu mogucu vrednost, kada su svi flip-flopovi u stanju 1, dovodenjem signata 1 na ulaz neposrednog popunjavanja brojai:!:a.
brisucim signalom I koji se dovodi na neposredni reset ula7 brojaea. Dakle, takav signal prevodi sve flip- flopove brojackog Janca u stanje 0. TABLICA 2.2. BROJACKE POVORKE
Dekadna
I
23
2.3. Digitalni moduli
sistema upravljanja
q,
a.
ac
QA
Dinarna ABC
0 }
2 3 4
5 6 7
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 I I 1
0
1 0 I 0 I 0 1
Brojac na sl. 2.9 broji sleva udesno, odnosno unapred. Ako se sprezanje flip-flopova izmeni tako da se brojacki ulazi poveZ.u sa 0 izlazima prethodnih stepena, dobio bi se binarni brojac koji broji zdesna ulevo, tj. unazad. Brojac na sl. 2.9 ima tri stepena, pa se moze.nazvati trobitnim i on moze da broji od 0 do 7. Dodavanjem narednih stepeni u istoj konfiguraciji moze se po zelji povecavati broj bita u maksimalnom sadrzaju brojaca i tako omoguciti brojanje veceg broja impulsa na ulazu. NEPOSREONO POPUNJAVANJE (... 111)
St. 2.11. Dekadni brojac
Binarno kodovan dekadni brojac. Naizmenicno brojanje do 10 se moi:e izvesti sprezanjem cetiri flip-flopa, kao na st. 2.11: Ovaj automat broji do 9 ; prilikom prelaska u stanje I 0 svi flip-flopovi se resetuju, kada zapocinje novi brojacki ciklus. Sukcesivni sadri:aji brojaca dati su u tablici 2.3. ~~4
C D 0 0 0 I I 0 1 I 0 0 0 I I 0 I I 0 0 0 I 0 0 --
i!
NEPOSREDNO BRISANJE
(... 000)
1:~
R
5 t';
St. 2.10. Trobitni binarni reverzibitni brojac
ReverzibUni broja~ prikazan na sl. 2.10 predstavlja kombinaciju binarnih · brojaea koji broje unapred i unazad. Ulaz brojaca je signal impu,lsnog tipa, koji se dovodi na brojacki ulaz prvog flip-flopa u brojackom Iancu. Sta,nju ovog flip-flopa odgovara pozicija 20 u binamom sadrfaju brojaca. Druga, dva ulaza brojal'a su konstantni signali koji su prikliuceni na 1-kola paralelno izlazima u flip-flopovima. Ako zelimo brojanje unapred, ovi signali treba da su NAP RED= 1 i NAZAD=O. Obrnuto, kada relimo brojanje unazad, tada su NAPRED=O i NAZAD=l. Razume se da ovi ulazi ne smeju istovremeno biti I. Saddaj brojaea
Memorijski registar. U nizu mogucih primena flip-flopa za sintezu razlicitih t ipova memorija ovde je (sl 2.12) prikazan registar za privremeno upisivanje (memorisanje) podataka iii brojnih vrednosti predstavljenih u binarnom kodu. U normalnom radu sadrfaj registra se najpre poni~ti tako §to s.e na bri~uce ulaze svih flip-flopova dovede signal I. U trobitnom registru na sl. 2.12 rec koja se zeli me, morisati se ocitava tako sto se na ulaze !-kola odgovarajucih stepana registra dovedu signali 0 iii I iz zadnte biname reci, a zatim se registar pobudi signalom I na ulazu ucitavanja sadri:aja. Nakon toga ce svaki flip-flop poprimiti stanje 0 iii I u zavisnosti od odsustva iii prisustva signala na ulazu svoga !-kola. Prema tome, stanja 0 iii I stepeni registra odgovarace prisustvu nule iii jedinice u pozicijama 2°, 2 1, 2 2 zadate biname reci. Memorisanje dui:ih binamih reci se vrsi registrima sa vecim brojem stepeni. Navedeni primer je samo jedna ilustracija u nizu mogucih primenn flip-flopa za sintezu memorijskih modula.
r 24
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja 20
2'
Kolo kasnjenja se najees6e primenjuje za generisanje zakasnelih impulsa iii za formiranje signata konstantne vrednosti i zeljenog vremena trajanja. Tipieno kolo se moze podesiti da proizvodi intervale vnmenskog kasnjenja od reda mikrosekundi do reda sekundi. Dufa kasnjenja se mogu dobiti jednostavnim vezivanjem vise elementarnih kola kasnjenja na red. Jedna od primena ovog kola je opisana u nastavlcu teksta. Komparator brzine ponavljanja impulsa slufi za merenje periode ponavljanja pravougaonog signata, koja se monotono smanjuje. Pravougaoni signal proizvoljne amplitude maze biti, na primer, izlaz nekog ugaonog enkodera u vidu diska sa prstenom koji saddi jedan provodni i jedan neprovodni segment. Kada se disk obrce, na eetkici prstena se pojavljuje pravougaoni impuls cije se trajanje i perioda ponavljanja smanjuju sa brzinom obrtanja diska. Nekoj zadatoj brzini ce odgovarati konstantna perioda. Kola treba da detektuje trenutak dostizanja zeljene brzine, jer se ona nadalje zeli oddavati konstantnom. ·
22
uCrrAVANJE SADRZAJA
a0
a,
a.
Sf. 2. I 2. Trobitni memorijski registar ;_~
Kolo za kldojenje iii monostabilni multivibrator je osnovni elemenat u uredajima za vremenslcu sinhronizaciju. Kada se ulaz kola promeni od 0 na I, i njegov izlaz menja stanje od 0 na I, ali samo u izvesnom vremenskom periodu. Nakon isteka tog perioda, cije se trajanje moze podesavati, izlaz kola se vraca u prvobitno stanje 0. Monostabilni multivibrator se maze realizovati pomocu flip-flopa sa RC integrirajucim kolom u povratnoj sprezi, kao na sl. 2.13. Kao izlaz kola kasnjenja sluzi 0 izlaz flip-flopa, koji je u normalNEPOSREDAN nom stanju 0. Ako se na T ulaz dovede R UPIS ( .. 1) pobudni signal, flip-flop menja svoje stanje od 0 na I i ostaje u tom stanju sve dok aperiodicki napon punjenja kondenzatora RC kola u povratnoj grani ne IZLAZ poraste dovoljno da pobudi sd ulaz i taka flip-flop vrati u prvobitno stanje Q= I, kada je izlaz kola ka~njenja Q= 0. Sf. 2.13. Monostabilni multi vibrator Usvojena oznaka kola kasnjenJa je data na sl. 2.14a. u vecini primena pogodnije je da se ulaz dovodi posredno preko 1-kola, kao ~to je pokazano na sl. 2.14b.
I] J
~
ULAZ
y
KASNJENJE
SIGNAL DOZVOLE
" KASNJENJE (b)
(a)
Sf. 2.14. Kolo w ka.,njenje: (a) usvojena oznaka, (b) kola za kaSnjerrje sa
1-kolom na ulazu.
25
2.3. Digitalni moduli
'~~% ~~~
~: ~.;:.;
f;i
t~ t
~
fJ ~
'·J ;::.;:, :;'I
~;
~g~
f~ i:·~
ru fl
·:~
ULAZ
s
a
R
a
IZLAZ
v
SMITOVO KOLO
PONAVLJANJE MERENJA
Sf. 2.15. Blok sema komparatora brzine ponavljanja impulsa
Na sl. 2.15 prikazan je komparator u blok notaciji. Sastoji se od flip-flopa, 1-kola, ka~njenja i Smitovog okidnog kola.* Smitovo kola uoblicava impulse sa enkodera u povorci impulsa cija frekvencija odgovara ueestanosti ponavljanja pozitivnih impulsa na ulazu. Na taj nacin ovo kolo ima ulogu elementa za spregu. U poeetku, kada se disk pokrece, povorka impulsa na ulazu Smitovog kola ima malu ucestanost, odnosno impulsi se retko ponavljaju. Kasnjenje kola kasnjenja na ciji se ulaz dovodi povorka impulsa sa izlaza Smitovog kola se podesi da bude manje od periode ponavljanja impulsa na ulazu pri brzini obrtanja nizoj od zeljene. Pre merenja periode i indikacije dostizanja zeljene brzine obrtanja flip-flop se nalazi u stanju 0. Pre svakog merenja on se moi.e resetovati u stanje 0 sil~;nalom 1 na R ulazu. · Komparator radi na principu promene stanja flip-flopa. lmpuls na izlazu Smitovog kola prevodi kolo ka~njenja u stanje I. Signal I konstantnog vremena trajanja sa izlaza kola kasnjenja prikljucen je na jedan od ulaza 1-kola, ciji je drugi ulaz prikljucen neposredno na izlaz Smitovog kola. Medutim, izlaz !-kola ostaje u stanju 0, ler je prisustvo ka~njenja na njegovom ulazu vece od trajanja impulsa sa izlaza Smitovog kola, pa stoga I-kolo ne propusta pobudni signal na set (S) ulaz flip-flopa. Rezim rada detektora je prikazan talasnim oblicima na sl. 2.16. Kako raste brzina ponavljanja ulaznih impulsta, jednog trenutka ce impuls sa izlaza Smitovog kola pristici na ulaz !-kola u trenutku dok jo~ uvek traje
* Podsetimo da Smitovo kolo, kada se pobudi poz;tivnim impulsom proizvoljne amplitude.na svom izlazu daje konstantan pozitivan pravougaoni impul; o~tre prednje ivice i rnalog vremena trajanja. Stoga se kolo koristi kao uobli~ava~ impulsa.
1H
ftl"'
11111''
L :'
j!i•.
26
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
logicka jedinica na izlazu kola kasnjenja, koja preko drugog ulaza dd:i otvorenim 1-kolo.za prolaz impulsa sa Smitovog kola na S ulaz flip-flopa. Kada se ovo dogodi, u stvari je detektovana dostignuta zeljena brzina obrtanja diska. Operacija detekcije se moze ponavljati dovodenjem signala ponavljanja na R ulaz flip-flopa. PROIZYOUNA AMPLITUDA-
ULAZ
~~
r 1:·
otuda naziva binarno kodovana dekadna aritmetika. Ona koristi i izvesne operacije iz aritmetike dekadnog brojnog sistema. Na primer, u njoj se pojav1juje »prenos« pri premasenju dekadne cifre 9.
Sf. 2./6. Talasni ob!ici signata u komparatoru na sl. 2.15.
2.4. DIGITALNI ENKODERI Savremeni racunari su binarne masine, a njihovi korisnici su navikli da rade u dekadnom sistemu. Stoga je veeina racunara opremljena ulaznojizlaznim jedinicama za konverziju dekadnih cifara, brojeva i simbola u binarni sistem i obratno. Uloge takvih konvertora eesto vrse ulazno/izlazne mehanitke napra"e, kao sto su citaci i buSaci papirnih traka iii kartica, ugaoni enkoderi koji imaju dekadni ulaz i binarni izlaz i sl. Za korisnika digitalnog racunara opste namene, koji koristi neki visenivojski jezik (FORTRAN, na primer) nije od interesa da zna u detalje sta se zapravo desava sa binarnim velicinama unutar racunara i na relaciji izmedu centralnog procesora i dekadnih ulaznih i izlaznih velicina i podataka van njega. Korisnik vidi sarno ulaze i izlaze koji su u dekadnorn sistemu. Medutirn, za strogo narnensku upotrebu racunara u upravljanju iii u nekorn drugom specijalizovanom podrucju neophodno je dublje poznavanje procesa konverzije dekadnih u binarne velicine i obratno. Najpre ce se razmotriti kodovi cija je uloga predstavl!anje dekadnih cifara i podataka binarnirn cifrarna iii bitovima. Buduci da J:OSioji 10 dekadnih cifara, kod za njihova predstavljanje koji poseduje 4 bita cini se najkornpaktnijirn. lpak, postoje kodovi i sa brojem bita veeim od 4. Upotrebna vrcdnost nekog koda se procenjuje prvenstveno Iakocom ocitavanja odgovarajucih dekadnih ekvivalenata, a zatirn i jednostavnoseu izvodenja aritmetickih i drugih · operacija nad vrednostima predstavljenih datirn kodorn. 2.4.1. KODOVI SA CETIRI BITA
U tablici 2.4 je navedeno nekoliko kodova sa 4 bi1a. Prvi iii 8421 kod poseduje brojnu osnovu 2, kao i binarni brojni sistern. Ovaj kod se jedr.ostavno interpretira, a aritmeticke operacije nad kodovanim vrednostima, kao sto su sabiranje i oduzimanje, se vrse slicno kao u binarnom brojnom sistemu. Ta aritmetika se primenjuje na dekadne brojne vrednosti u kojima su dekadne cifre binarr:o kodovane, pa se
!~
i'('
U kodu sa dodatkom 3 cifra dekadnog broja D se predstavlja binarnim ekvivalentom broja 0+3. Stoga takav kod nije ponderisuei, ali se u njemu povorke binarnih cifara obrazuju na isti nacin kao u obicnorn binarnorn kodu, pa sui aritmeticke operacije u njernu jednostavne. u tablici 2.4 su navedeni izvesni ponderisuei kodovi sa eetiri bita, kao sto su 2421, 5421 i 5311 kodovi. Uocimo da oznaka ponderisueeg koda vee sadrfi faktore ponderacije pozicija u kodnoj reci. Na primer, u 2421 kodu cifri 7 odgovara I 101 = = 2 · 1+4 · 1 +2 · O+ 1 . 1 = 7. U razlicitim rnogucnostirna formfranja kodova bira se kod koji poseduje izvesne prednosti za odredenu primenu. Na primer, kod 2421 je pogodan za primenu u brojackim sistemirna. IIi, kod sa dodatkorn 3 i vee pornenuti 2421 kod su samokornplementarni; u njirna je nula kornplement od 9, l je komplement od 8, 2- od 7, 3- od 6, itd. Posebnu odliku ima Grayov ili binarno ciklicni kod koji se najeesce koristi u obrtnim enkoderima sa ci1jem smanjenja greske usled neodredenosti u detekciji kodovane ve1icine. Grayov kod se 1ako dobija iz obicnog iii prirodnog 8421 koda, tako sto se iduci zdesna ulevo u prirodnorn binarnom kodu komp1ementiraju sve one cifre iza kojih neposredno s1edi l. Tako ee broju 1110 u prirodnorn binarnorn kodu odgovarati 1001 u Grayovom kodu. 0 ovom kodu biee vise reei u poglavlju o obrtnim enkoderima. Zasada treba istaei njegovo najvaznije svojstvo da se Grayovi kodovi bilo koja dva susedna broja raz1ikuju samo u jednorn bitu. 2.4.2. KODOVI SA VISE OD CETIRl BITA
Ovakvi kodovi se jednostavno dekodiraju i cesto koriste u detekciji gresaka. U tablici 2.5 navedena su tri takva najcesee upotrebljavana koda. Dvojedinicni kod koristi dve jedinice i pet nu1a u predstav1janju dekadnih cifara; detekcija rnoguce greske u kodovanju se vrsi prebrojavanjem ukupnog broja nula i jedinica. Kodom prstenastog brojaea se elernenti iz skupa od 10 simbola dekadnog sistema predstavljaju pomocu jedne jedinice i devet nula. Takav kod je primenjen, na primer, na ulaznim karticama nekih racunara opste narnene. S gledista kodiranja ovaj kod je ocigledno najjednostavniji, ali, s druge strane, zahteva relativno veliki broj
-~~~c-
~
i
I
I
'
i; I
I
2.5. Obrtni enkoderi
28
ima obicno precnik od 5 em i moze da ima najkraee segmente na krajnjem perifernom prstenu duzina od 0,01 em, sto u takvom enkoderu omogucuje rezo1uciju od 57t [0,01 = 1570 segmenata. Dak1e, takav enkoder bi u detekciji uglovnog pomeraja imao tacnost od 1/1570 iii ispod 0,1 procenta. Stavise, taenost se moze po zetji povecavati bilo produzavanjem precnika diska iii usitnjavanjem srgmenata.
binarnih simbo1a. Ovaj kod se koristi u raz1icitim operacijama trojanja. Nairne, povorke binarnih cifara u ovom kodu (vidi tab1icu 2.5) generiSe prstenasti brojac koji se rea1izuje kao desetostepeni pomeracki registar sa pridodatom povratnom spregom sa izlaza poslednjeg na ulaz prvog stepena. S obzirom na operaciju koju obav1ja pomeracki registar, takav prstenasti brojac ce pri pobudivanju povorkom impu1sa beskonacno »Vrteti« jedinicu u krug od jednog do drugog stepena.
Po nacinu konstrukcije raz1ikuju se tri vrste obrtnih enkodera: enkoderi sa cetkicama, opticki i magnetni enkoderi. Enkoderi se, osim toga mogu raz1ikovati po vrsti koda u kome daju digita1ne signa1e na svojim izlazima.
TABLICA 2.5. KODOVI SA VISE OD CETIRI BITA Dekadni 0 I 2 3 4 5 6 7 8
I Kod prsten. broj. 0000000001 0000000010 0000000100 0000001000 0000010000 0000100000 0001000000 0010000000 0100000000 1000000000 - -
-
I
Kod preklopnog prst. broj. 00000 00001
OOOJI 00111 01111 1 1111 I 1110 II 100 11000 10000
~
~},
~:1
~y
-
u tablici 2.5 je pokazan jos jedan kod brojackog tipa, koji koristi vise od cetiri bita. Taj tzv. kod preklopnog prstenastog brojaca je efikasniji cd koda obicnog prstenastog brojaca, jer zahteva upola manji broj bita, odnosno petostepeni prstenasti brojac. Postupak njegovog dekodiranja je takode jednostavan; izvodi se pomocu 1-kola sa ulazima iz susednih flip-flopova u brojacu.
~! ~~: ~-:· ~·
:-·
~}i )''
\l,;_;: 2.5. OBRTNI ENKODERI
~\ :~{;
~
'' .
:liil
29
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
Obrtni enkoder predstavlja poseban tip elektrornehanickog pretvaraca ugaonih pomeraja u povorke impulsa koje obrazuju digitalne izlaze enkodera. Stoga se obrtni enkoder moze smatrati digitalnim ekvivalentom obicr.om potenciometru u analognoj tehnici. Stavise, ako se izlaz obrtnog enkodera numericki diferencira, sto se lako izvodi, enkoder moze vrsiti i ulogu tahogeneratora sa digitalnim izlazom. Obrtni enkoder se konstruise u vidu diska. Koncentricno u odnosu na osovinu diska se nalazi odreden broj prstenova izdeljenih na provodne i neprovodne segmente ciji se broj, a samim tim i duzine razlikuju po pojedinim prstenovima. Osa diska se spreze sa osovinom ciji se ugao zaokretanja zeli detektovati u digitalnom vidu. Obrtni enkoder rnoze raditi tacnije od analognih det( ktora slicne namene: potenciometra, selsina, obrtnog transformatora i sl. Na primer, potenciometar kao tipican pretvarac ugla u napon teorijski ima beskonacnu rezoluciju. Prakticno, nije tako. U zicanim potenciometrima poduzna otj:ornost se postize namotavanj€rn tanke zice po telu potenciometra. Rezolucija takovog potmc;c-metra u stvari je konacna i odredena prirastajem ugla potrebnim da klizac potenciometra prede sa jednog navojka zice na susedni. Pored toga, izlaz potenciometra je opterecen; kad je potenciometar u radu, struja klizaca postoji, bez obzira sto je obicr:o vrlo mala. Otuda je tacnost potenciometra u transformisanju ugla u napon ipak ograni&na i nalazi se u granicama od 0,5 do I procenta. S druge strane, disk obrtnog enkodcra
~! L~
~; ~:.f:i
r:
~ ::,
Enkoderi sa ~etkicama sadrze po dve g1avne komponente: disk i po jednu cetkicu na svakom diskovom prstenu sa provodnim i neprovodnim segmentima. Sematski prikaz diska je dat na sl. 2.17. U savremenim enkoderima broj prstenova na disku se krece u granicama od 2 do 30. Prvi prsten uz samu osovinu diska nema segmente i on odreduje referentni potencija1 za ostale prstenove sa segmentima. Referentni i svi 0stali prstenovi imaju po jednu cetkicu. Sve eetkice su postav1jene na zamisljenoj pravoj liniji koja prolazi kroz osu diska. Ako se izmedu referentnog prstena i provodnih se.gmenata diska prikljuci neki jednosmerni napon, tada ce pri obrtanju diska na cetkicama pojedinih prstenova postojati naponski signal (logicka jedinica) iii ga nece biti (logicka nula) u zavisnosti od toga da li je trenutni polozaj odgovarajuce cetkice na provodnom iii na neprovodnom segmentu. U enkoderu na sl. 2.17 postoji ukupno 4 prstena sa segmentima, pa ce otuda digitalni signal na izlazu imati 4 bita. Sa ovim brojem bita moguce je razlikovati ukupno 16 razlicitih vrednosti i stoga je najmanji ugaoni prirastaj, koji je moguce detektovati, jednak 27t/l6= =0,3927 rad. Treba naglasiti da realni enkoderi poseduju daleko veci broj prstenova, pa im je i tacnost neuporedivo veca. Razume se da moguci broj prstenova zavisi od precnika diska i od sirine segmenata, Sf. 2.17. Disk enkodera: cetiri prstena odgovaraju pozicijama 2", 21, 22 i 2J u digitalnom izlazu; koja u enkoderima sa cetkicama ne odgovarajuce cetkice su oznacene sa Bo, B 1 , B2 i BJ moze biti manja od 2 mm. Usled prisustva cetkica postoje i ogranicenja za ovu vrstu enkodera u pogledu maksimalno dozvoljene brzine obrtanja diska. Opticki enkoder se sastoji od tri glavna elementa: diska, svetlosnih izvora i svetlosnih detektora. Analogno provodnim i neprovodnim segmentima enkodera sa cetkicama, u optickim enkoderima segmenti su prozirni i neprozimi. Za ovu vrstu enkodera ne postoje ogranicenja u pogledu brzine obrtanja diska, a segmenti mogu biti sirine svega 0,1 mm.
I
'!1'1'!'
:r'
30
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
Magnetni enkoder je vrlo efikasan digitalni detektor ugla i 8toga je sve eesee u upotrebi. Rad mu se zasniva na principu magnetnog zasicavanja feritnog materijala koji je po segmentima utisnut na disku. Za ocitavanje magnetnog stanja segme nata koriste se mala eetvrtasta magnetna jezgra iii magnetne glave postavljene na malim rastojanjima uz povrsinu diska. Obicno magnetne glave poseduju dodatne namotaje koji sluze za promenu magnetnih stanja segmenata na disku. U klasi analogno-digitalnih detektora, kojoj pripada i obrtni enkoder, od posebne vdnosti je vrsta koda digitalnog izlaza konvertora. Treba naglasiti da obiean binarni kod nije pogodan u ovoj vrsti primene usled toga sto se dva susedna binama broja N i N+1 mogu razlikovati u vise bita. Na· primer, u tablici 2.4 se vidi da se 8421 kodovi brojeva 3 i 4 razlikuju u tri bita. Otuda male nepodesenosti citaea (eetkica, svetlosnih detektora, magnetnih glava) mogu izazvati velike greske u procesu analogno-digitalne detekcije. Kao ilustracija moze da posluzi sl. 2.18,
tJ w
i ~r:
Stoga se u ovom tipu enkodera sa neposrednim ocitavanjem najcesee koristi Grayov iii binarno ciklicni kod u kome se kodovane vrednosti bilo koja dva susedna broja N i N+ I mogu razlikovati samo u jednom bitu. Maska Grayovog koda je prikazana na sl. 2.18b, gde se lako mo:Ze zakljuciti da bi u ovom slueaju greSka usled prisutne nepodesenosti elemenata za detekciju mogla biti najvise jedan prirdtaj u detektovanoj velicini; umesto ispravnog, ocitao bi se prvi susedni broj. U realnim enkoderima takva greska je vrlo mala i mo:Ze se tolerisati. Uocimo na sl. 2.18 da su maske napravljene da mogu davati i negativne digitalne vredoosti na .izlazu. Obrtnom enkoderu sa takvom maskom bi u analognoj tehnici odgovarao potenciometar sa srednjim izvodom na masi. Od interesa je navesti neke osobine Grayovog koda i njegove relacije u odnosu na obican binarni kod. U tu svrhu pretpostavimo broj N u dekadnom sistemu cije su binarne notacije u obicnom binarnom i u binarno ciklicnom kodu NB i Nc, respektivno, (2.2) NB=anan-tan-2 ... ak ... a1ao
~1
Nc=bnbn-thn-2 ... bt ... htbo
l''
[~ tip
~
t'~~
g;
~~
c~ B
r.:·'
...
31
2.5. Obrtni enkoderi
•(-'
·.;
A
(2.3)
gde su ciffe ak i bk bilo 0 iii I. I. Izracunavanje dekadnog broja N na osnovu njegove binarno cikliene notacije se vrsi po formuli n (2.4) N= L ±bk(2k+l_!) k=O
'·'·
.-"
;L; ';'!;:
I ~
"'
t~
~
(al
(b)
Sl. 2.18. Maske: (a) binarnog, (b) binarno·ciklifnog (Grayovog) koda
~
li ~
E ~
U prethodnom obrascu ueestvuju samo nenulte cifre bk- Najstarija jediniena cifra se uzima sa predznakom »plus«, sledeca jedinicna cifra sa »minus« i tako naizmenicno. Na primer, za Nc=110l dobijamo N=1·(24-1)-1·(23-1)+1·(21-1)=15-7+I =9. 2. Paritet od Nc, koji je definisan kao zbir po modulu 2 cifara broja Nc, je paran iii neparan, ako je najmlalia cifra u NB a0=0 iii a0 =1, respektivno. Dakle, n
Paritet
Nc=
L bk=a
Ova osobina se moze uociti u tablici 2.4. gde se vidi gde god je ukupan broj jedinica u binarno ciklicnom kodu paran, najmlalia cifra a0 u odgovarajueem binarnom kodu je 0, a gde god je - neparan, a0 = l. 3. Cifre u NB i Nc su medusobno povezane relacijama
k:
$
na kojoj su sematsx:i prikazane maske obicnog binarnog i binarno ciklicnog (Grayovog) koda. Za taenost detekcije je vazno da elementi za ocitavanje budu na zamisljenoj Iiniji, u ovom slueaju strogo horizontalno jedan pored drugog. U realnim uslovima, gde su prstenovi sa segmentima vrlo uski, a segmenti malih du:Zina, nemoguce je idealno podesiti elemente za ocitavanje. Pretpostavimo da se ti elementi nalaze na liniji A koja nije idealno horizontalna, kao na sl. 2.I8a. Kao sto se vidi, izlaz enkodera je tada 0010=2 10 . Ako se linija tlemenata za ocitavanje pomeri u smeru porasta detektovane velicine i dolie u polozaj B, tada bi ispravan izlaz enkodera trebalo da bude 0110=3 10 . Meliutim, usled prisutnog nagiba linije digitalni izlaz ee biti Oil I= 7 10 , sto predstavlja nedopustivu gresku koja bi izazvala vel ike numericke te~oce u eventualnoj kasnijoj obradi digitalnog izlaza enkodera.
:=J i~
(2.5)
0
k=O
bn=an,
b,~:=a.~:+a.~:+t
(bez prenosa)
(2.6)
U rezultatu primene ovih relacija moguce je izvesti jednostavan postupak prevodenja iz obicnog binarnog u binarno ciklicni kod: krecuci se zdesna ulevo pocev od najmlade cifre a0 , komplementiraju se sve cifre ak ispred kojih neposredno u smeru kretanja sledi I. 4. Vee je istaknuta vazna osobina: u bilo kom paru sukcesivnih brojeva N i N +I njihove binarno ciklicne notacije se razlikuju u samo jednom bitu. Ako se izlaz enkodera u binarno ciklicnom kodu dovodi na neki digitalni procesor koji obavlja aritmeticke i druge operacije nad ulazniin podacima u obienom binarnom kodu, tada je neophodno izlaz enkodera, pre dovolienja na procesor, prevesti iz binarno ciklicnog u obican binarni kod. Blok sema jednog takvog kon-
,,,Rf!
32
2. Komponente digitaloih sistema upravljanja
2.6. Enkoderi brojackog tipa
vertora je prikazana na sl. 2.19. Njegov nacin rada se zasniva na navedenim osobinama binarno ciklienog koda. Neka su NB i Nc dati kao u (2.2) i (2.3). Osobina 2, odilosno formula (2.5), omogueava da se najmladi bit o0 i NB odredi prebrojavanjem jedinica u Nc. To se jednostavno postize pomocu flip-flopa u brojackoj vezi, koji je najpre dovodenjem signala I naRtlulaz preveden u stanje 0. U ovakvoj sprezi flip-flop radi kao binarni brojac po modulu 2, tako da, kad je ukupan broj jedinica u Nc neparan, krajnje
v
SINHRONIIMPULS
KASNJENJE
Sf. 2.19. Blok sema konvertora ciklicnog u binarni kod
stanje flip-flopa je I, a ako je paran - bice 0. Na osnovu osobine 3. naredna cifra o 1 se dobija dodavanjem b0 na o0 bez prenosa, sto odgovara dovodenju b0 na T ulaz flip-flopa. Sve ostale cifre ok+ 1 se dobijaju na isti nacin, dodavanjima b1c na a1c. Dakle, NB se dobija sukcesivnim dovodenjem cifara od Nc na brojacki ulaz flip-flopa i to dva puta: prvi put sa ciljem dobijanja a0 i drugi put radi sabiranja b0 i o0, b1 i 01, b2 i o2 ••• , bez prenosa, kada se generiraju ostale cifre Of> a2 , a 3, ••• u NB. Da hi konvertor radio ispravno, kasnjenje na sl. 2.19 treba da je jednako duzini binarno ciklicnog broja, tako da tek nakon sto sve cifre tog broja prvi put budu dovedene na ulaz flip-flopa pojavi se po drugi put na tom ulazu najpre najmlada, a zatim sve ostale cifre od Nc. Na sl. 2.19 su prisutna dva dodatna signala A i B na ulazima 1-kola. Signal A u odgovarajueem trenutku zatvara prvo 1-kolo i tako onemogucava da binarno ciklicni kod vise od jedan put prode kroz petlju sa kolom ka8njenja u povratnoj sprezi, dok signal B blagovremeno otvara i zatvara I-kolo na izlazu i tako omogueava pravilno ocitavanje izlaza konvertora. 2.6. ENKODER BROJACKOG TIPA
~f~
1~
;,~
-~~
~
:;
.
t:
1~
~~~ ~·:.
f~
~
~\ ~ 'I
Obrtni enkoderi opisani u prethodnom poglavlju pripadaju klasi analogno-digitalnih detektora sa direktnim ocitavanjem; velicina analogne promfnljive se neposredno detektuje i prevodi u digitalni oblik. u novije vreme se eesce koriste inkrementalni enkoderi koji detektuju male prirastaje analogue promenljive. Svakom prirastaju (kvantu) odgovara po jedan impuls sa enkodera, a ukupna vrednost detektovane promenljive se dobija sabiranjem impulsa iz generisane povorke. Inkrementalni enkoderi se najcesce koriste za merenje brzine obrtanja i ugaone pozicije vratila motora u brzinskom i pozicionom servomehanizmu. Inace, brzinu je moguee meriti tahogeneratorom, a poziciju potenciometrom i zatim napone tahogeneratora i potenciometra prevesti u digitalni oblik posredstvom A/D konvertora. U cilju da se izbegne A/D konverzija, zbog vremena konverzije i uno8enja dodatnih gresaka pri merenju malih brzina, radije se primenjuju inkrementalni enkoderi koji omogucavaju da se odbirci ugaone brzine i pozicije dobiju neposredno
.;
r:~
1~-i ~-·::
,
~
33
u digitalnom obliku. U koriseenju inkrementalnih enkodcra moguce je primeniti vise postupaka od kojih navodimo tri najcesce koriscena. Brojanje impulsa enkodera u toku periode odabiranja. Ovo je jednostavan postupak detekcije ugaonog pomeraja i primenjuje se u digitalnim sistemima upravljanja, gde se mikroracunar koristi u ulozi procesora informacija. U ovom postupku se na vratilu motora spreze inkrementalni enkoder u vidu prozracnog plasticnog diska sa prstenom na periferiji, na kome su gusto naneti neprozracni ekvidistantni markeri. Citac markera je u ovom slucaju svetlosni detektor. U toku obrtanja diska citac markera generise povorku impulsa koja puni binarni brojac. u ekvidistantnim trenucima vremena (trenucima odabiranja) mikroracunar zaustavlja brojanje, ocitava sadrzaj brojaca, resetuje brojac i ponovo omogueava brojanje. Ceo ovaj proces se lako programira grupom naredbi mikroracunaru, a izvodi se za vrlo kratko vreme (par mikrosekundi), tako da u toku ocitavanja sadr:laja brojaca i njegovog resetovanja na ulaz brojaca ne pristize sledeci impuls iz povorke impulsa sa enkodera. Lako se zakljucuje da su sukcesivni sadrzaji brojaca srazmerai vrednostima brzine obrtanja u trenucima odabiranja, a sabiranjem sukcesivnih sadrzaja brojaca dobija se ugaoni prirastaj u digitalnom vidu. Metoda je neosetljiva na sum i garantuje konstantnu periodu odabiranja, sto je vazno sa gledista primene najcesce koriscenih metoda analize i projektovanja digitalnih sistema upravljanja. Medutim, da bi se postigla visoka tacnost merenja, perioda odabiranja T mora biti dovoljno velika i/ili primenjeni enkoder mora imati veliki broj markera. Nairne, neophodno je da u toku jedne peri ode odabiranja sto veci broj impulsa sa enkodera pristignc u binarni brojac cime se povecava rezolucija merenja brzine. Drugi nedostatak met ode se oglcda u cinjenici da se na ovaj nacin, zapravo, ne mere odbirc i ugaone brzine cu(nT), odnosno vrednosti brzine c.J(t) u trenucima odabiranja 1 = =0, T, 2T, .. .. vee srednje vrednosti brzine u toku periode odabiranja. Merenje nemenskih intervala izmedu impulsa. Vremenski interval izmedu dva sukcesivna impulsa sa cnkodcra je obrnuto proporcionalan brzini obrtanja vratila motora. Otuda se brzina obrtanja moze odrediti merenjem ovih intervala, tako sto se impulsima iz pomocnog gencratora impulsa visoke ucestanosti puni binarni brojac u intervalu izmcdu dva sukcesivna impulsa sa enkodera. I ovaj metod je jednostavan i nudi visoku tacnost, koja se moze uvecavati poveeavanjcm ucestanosti impulsa pomocnog generatora. Medutim, ako se zeli mcrenje i malih brzina, tada ovaj postupak zahteva brojac sa velikim brojem bita. Ozbiljniji nedostatak postupka se ogleda u cinjenici da vremenski intervali izmedu impulsa sa enkodera nisu konstantni, vee zavise od brzine obrtanja motora. pa se otuda efektivna vrcdnost periode odabiranja menja u sirokim granicama sto. sa svoje strane, onemogucava primenu klasicnih metoda projektovanja digitalnih sistema upravljanja. Osim. toga, pojava slucajnog signa Ia izmcdu dva impulsa sa enkodera moze izazvat i ozbiljne greske u merenju. Kombinovana metoda. Najefikasniji postupak detekcije brzine i ugac ne pozicije vratila se postize kombinovanjem prethodne dve metode. Za ilustraciju postupka pretpostavimo da inkrementalni enkoder ima ukupno P markera. tj. da generise P impulsa po jednom obrtaju vratila i neka je pri tome ucestanost pomocnog generatora .f;. mnogo veca od ucestanost i impulsa sa enkodera. Tada se povorke ovih impulsa mogu prikazat i kao na sl. 2.20. Primenicemo dva brojaca: prvi koj i broji impulse sa enkodera u toku fiksne periode odabiranja T i drugi -- koji broji impulse pomocnog generatora u toku periode odabiranja T i dodatnog vremena CiT od trenutka odabiranja do pojave prvog narednog impulsa sa enkodera. Posto J Digit..:..lni sistemi upravljanja
rr• ~
;\
34
2. Komponente digitalnih 4istema upravljanja
pojave impulsa sa enkodera, u opstem slucaju, ne koincidiraju sa trenucima odabiranja, interval punjenja drugog brojaca Td bice Td=T+!l.T, kao sto je na sl. 2.20 prikazano. Pretpostavimo da je u vremenskom intervalu T prvi brojac dostigao sadrzaj Mi> a u vremenskom intervalu Td drugi brojac- saddaj Mz. Tada je brzina obrtanja vratila motora 60fcM, [obr/min].
N Ml
nmlililJlJU I
M2
TP
I
]1111111- - - - -- -· - - - - - - .. T Td
co~
cu,J ----f'T --
n
1\.-{ 1 ,:;(.) -
(2.7)
T=-.
'b-
.
.
I
POVORKA
(p impulsa/obrtul
t"
WlllP~~~~io~~~~~~~r 1 6T I
~
·~
:i-I:
R
2.7. PRIMENA ENKODERA Kao sto je vee pomenuto, enkoderi se najcesce koriste kao elementi povratnih sprega u digitalnim servomehanizmima. Tipican primer takve primene enkodera prikazan je na sl. 2.21. Komparator na slici ima dva digitalna ulaza, referentni ulaz i signal povratne sprege, dok mu je izlaz analogni signal greske. Na slici je, dakle, ilustrovan primer primene enkodera sa direktnim ocitavanjem. P:\F'LOGNJ S!Gi'IRL GRESKE
REVERZIB!L.N!
vPR = -T ,
~ ~~!
Ako su N i P reda nekoliko stotina, fluktuacije !l.T oko f1ksne periode odabiranja T su reda milisekunde. Sa povecanjem P ove fluktuacije se smarijuju, tako da se u uslovima primene savremenih enkodera, koji imaju vise od 1000 markera, ove fluktuacije mogu zanemariti. Dakle, ovaj postupak ima sve dobre osobine prethodne dve metode: visoku tacnost, malu osetljivost na sum i prakticno konstantnu periodu odabiranja. Postupak, istina, zahteva vise hardvera i softvera, ali za uzvrat nudi efikasno merenje brzine [14).
I
p
'.
Sl. 2.20. Povorke impulsa enkodera i ponwcnog genera/ora
I
I
Impulsi sa mkrementalnog enkoo .. BROJA~ · t"• X' IMPULSA IZ d era pns 1zu sa nekom u ...x estano~cu OBRTNOG ENKODERR ft istovremeno na ulaz reverzibilnog · Sl. 2.22. Detekcija brzine ponav/janja impulsa brojaca i na drugi ulaz pomerackog registra. Ako jef>/t. broj impulsa zateeenih unutar pomerackog registra bice jednak broju impulsa koji su pristigli u toku prethodnog vremenskog intervala T, pa je otuda prosecna brzina ponavljanja impulsa
IMPULSI ENKODEREl
.
I
I
tervalu. Kolo se sastoji od dve osnovne komponente: pomerackog registra sa n bita i reverzibilnog brojaca. Saddaj registra se pomera sleva udesno pod dejstvom pobudnih signata konstantne ucestanosti f. Otuda pomeracki registar vrsi funkciju elementa kasnjenja. Nairne, vreme poUCESTANOST trebno da se informacija na drugom POMERANIA f n-STEPENI ulazu registra pojavi na njegovom izPOMERRCKI REGISTAR lazu jednako je
OJ-= JL
PM2
35
2. 7. Primena enkodera
(2.8)
gde je P broj impulsa izbrojan u vremenskom intervalu T. Buduci da svaki impuls enkodera, cim se pojavi, ulazi u pomeracki registar i posto se saddaj registra pomera konstantnom ucestanoscu, usrednjena brzina ponavljanja impulsa se kontinualno registruje. Naime, bilo kakva promena u brzini ponavljanja impulsa enkodera odmah ce se odraziti na vrednost VPR· Uloga reverzibilnog brojaca je da pokaze broj impulsa koji se trenutno zatekao u pomerackom registru. Impulsi sa enkodera povecavaju, a impulsi sa izlaza pomerackog registra smanjuju sadrzaj reverzibilnog brojaca. U nekom trenutku t=T saddaj brojaca ce biti Vr=
T
T-T
T
i=O
i=O
i=T-T
L P;- L P;= L
P;= P,
(2.9)
gde je P; trenutna brzina ponavljanja impulsa iii, ako se koristi (2.8),
~
~~
~
(
~"'~:.:
Vr=TVPR·
(2.10)
Na taj nacin, saddaj reverzibilnog brojaca, koji se lako ocitava, predstavlja digitalni signa 1proporcionalan srednjoj brzini ponavljanja impulsa. Period usrednjavanja se lako podesava, koristeci relaciju (2.7) 2.8. KONVERTORI
Sf. 2.21. Servomehanizam sa saft enkoderom
Na sl. 2.22 prikazano je jos jed no kolo koje, kada se pridruzi inkrementalnom enkoderu, vr!ii funkciju digitalnog detektora brzine obrtanja. Kolo daje kontinualnu indikaciju brzine ponavljanja impulsa usrednjene na odabranoru vremenskom in-
Ovi uredaji predstavljaju vazne i uvek prisutne komponente u digitalnim sistemima upravljanja, gde ostvaruju sprezanja analognih sa digitalnim i, obratno, digitalnih sa analognim delovima sistema. Otuda se razlikuju analogno-digitalni i digitalno-analogni konvertori. U ovom poglavlju se daju principi njihovih realizacija. 3'
36
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja 2.8. Konvertori
37
2.8.1. DIGITALNO·ANALOGNI KONVERTORI
do dvostruke vrednosti referentnog napona. Posmatrajmo, na primer, 3-bitni DAC sa referentnim naponom od -4V. U tablici 2.6 su dati izlazi konvertora pri razlicitim binarnim recima na njegovom ulazu.
Najjednostavniji digitalno-analogni konvertor (DAC) se moze realizovati u vidu sprege (sl. 2.23) memorijskog registra i operacionog pojacavaca tipa sabiraca. Digitalna rec koju treba konvertovati u analogni napon se najpre upise u registar. Na istinite izlaze (1-izlaze) flip-flopova prikljuceni su ulazi sabil:aca, tako da u zavisnosti od stanja flip-flopova zavisi da li ce ulazi sabiraca biti na maim iii na u,.r· Relativni odnosi otpornosti direktnih grana R i povratne grane sabiraca su podeseni da odgovaraju tezinskim faktorima pozicija cifara u binarv >---'-- lZ nom broju. Tako, ulazna grana sa najstarijeg bita (NSB) ima ot4R pornost R, istu kao otpornost povratne grane, grana sa sledeceg mladeg bita 2R itd. sve do najmladeg bita (NMB) kome odgoSl. 2.23. Princip digitalno-analogne konverzije vara ulazna grana otpornosti nR. Na sl. 2.23 je prikazana konverzija 3-bitne reci. Opste uzev, u slucaju konverzije n-bitne reci izlaz sabiraca hi bio U· = IZ
gde FFi oznacava stanje i-tog flip-flopa unutar registra. U semi na sl. 2.23 naponski nivo Urer odgovara logickoj jedinici digitalnih modula. Buduci da ovaj napon nije stabilisan u meri koju zahteva analogni sabirac, izmedu registra i operacionog pojacavaca se postavljaju nivojski pojacavaci koji, kada se na njihovim ulazima dovedu signali logickih jedinica, na svojim izlazima daju signale strogo odredenih amplituda. Tako upotpunjen DAC je prikazan na sl. 2.24. U njemu nivojski sabiraci prekljucuju ulaze sabiraca iii na masu iii na izlaz stabilizatora referentnog napona. Otuda i s obzirom na (2.11 ), izlaz digitalno analognog konvertora je ogranicen: uzima vrednost i unutar opsega od nule (mase)
B N A R N
v.
TABLICA 2.6. DIGITALNO-ANALOGNA KONVERZIJA BINARNIH BROJEVA Binarni broj
000 001 010
A
z NNOJSKJ POJACAVACI
I 2 3
100 101 110 Ill
;r; ~:-
4
5 6
7
U prethodnoj tablici se vidi, kad su svi bitovi ulazne reci nula, da je izlaz OV; kad su svi bitovi na ulazu jedinice, izlaz konvertora je 7V, sto je manje od dvostruke vrednosti referentnog napona, koja iznosi 8V. Najcesce se zahteva konverzija binarnih brojeva koji mogu biti pozitivni i negativni. Pretpostavimo da· je za predstavljanje negativnih brojeva usvojena dvo-komplementna notacija, gde je, podsetimo, najstariji bit rezervisan za indikaciju algebarskog znaka. Nadalje, pretpostavimo da je rec 0 konverziji 3-bitne reci. Tada konvertor ima oblik prikazan na sl. ~Yo 2.25. U njemu je, za razliku od konvertora na sl. 2.23, ptva ulazna grana sabiraca prikljucena, ne na istiR nit, vee na komplementarni (0-izlaz) ~v~ izlaz prvog flip-flopa cije je stanje odredeno najstarijim bitom ulazne reci. Osim toga, u konvertoru na sl. 2.25 pridodata je ulazna grana na Sl. 2.25. DfA konvertor pozitivnih i negativnih (u dvo-komplementarnoj notaciji) binarnih brojeva cijem kraju je stalno prikljucen referentni napon. Tablica 2.7 ilustruje proces konverzije u ovom slucaju. TABUCA 2.7. DIGITALNO-ANALOGNA KONVERZIJA POZITIVNIH I BROJEVA U DVO-KOMPLEMENTARNOJ NOTACIJI
+3 +2 +I 0 -I
Sf. 2.24. Digitalno-analogni konvertor
0
011
Dekadni brojevi
u
Naponski izlaz konvertora u voltima
-2 -J
Binarni brojevi u dvo-ko~plemen. notactJ 1 011 010 001
, Druga kolona prethodne tab! ice sadrzi reci u dvo-komplementarnoj notaciji, koje se dovode na ulaz konvertora. Treca kolona oznacava stanja flip-flopova unutar registra. Treba uociti da su u odnosu na drugu kolonu najstariji bitovi reci u trecoj koloni invertovani, jer je izlaz u flip-flopu cije stanje odgovara najstarijem bitu uzet sa komplementa stanja. Cetvrta kolona pokazuje naponske izlaze u voltima, koji bi postojali da nije pridodata cetvrta ulazna grana sabiraca. Prisustvo ove grane rezultuje u stalnom smanjenju naponskog nivoa na izlazu sabiraca za 4V, tako da stvarni izlazi konvertora odgovaraju 5. poslednjoj koloni u tablici 2.7. Uocimo da konvertor radi isfl~avr.,:,: analogni izlazi tacno odgovaraju binarnim brojevima u dvo-komplementnoj notaciji na ulazu konvertora. Digitalno-analogni konvertor moze obavljati ulogu elektronskog mnozaca visoke tacnosti. Takav DAC koji mnozi promenljivi analogni napon sa digitalnim signalom je prikazan na sl. 2.26.
Proces konverzije analognog napona u digitalni signal se moze izvrsiti na VISe nacina. Izbor postupka zavisi od zeljene brzine konverzije. Konvertori koji poseduju vrlo velike brzine konverzije su relativno sk:upi uredaji, dok vrlo jcdnostavni i otuda jeftini konvertori zahtevaju cesto nedopustivo veliko vreme konverzije. Postupak koji omogucava zadovoljavajuci kompromis izmedu slozenosti i cene konvertora zasniva se na tzv. sukcesivnoj konverziji.
R PROMENLJIV1 ANALOGNI
NAPON~
1
I
I
;:;..
I
I
u 0
I
I
A
T Z A
L 9 I N
:t'"'R
N I
A R
Sf. 2.27. Struktara AJD konvertora
N I
u L A
z
NIVOJSKI POJN:;AV/>CI
Sf. 2.26. D!A konvertor u ulo=i mnoiaca
S obzirom na funkciju konvertora, datu relacijom (2.11), jasno je da, ako je referentni napon Urcr(t) promenljiv, iz!2.z konvertora ce u svakom trenutku biti proporcionalan proizvodu Urcr i digitalnog sigm:la na ul2zu. Ako se, na primer, urer(l) menja u granicama od - 5Y do +5Y, izlaz konvertora ce varirati u granicarna od -lOY do t lOY. Digitalno-analogni konvertori u ulogama mnozac~ se cesto koriste u hibridnim racunskim ma.sinama za mnozenje analognih napona sa konstantnim parametrima. Yreme konverzije digitalno-analognog konvertora je ukupno vreme potrebno za upisivanje ulazne digitalne reci u registar, prekljucivanje nivojEkih pojacavaca i za operaciju sabiranja u operacionom pojacavacu. Ovo vreme je relativno malo i dostize nekoliko mikrosekundi. Od interesa je uociti vaznu ulogu digitalno-analognog konvertora. Nairne, kada konvertor sadrzi registar dovoljne duzine tako da moze prihvatiti sve digitalne vrednosti koje se u datoj primeni mogu pojaviti, tada analogni naron na izlazu ostaje u zatecenoj vrednosti sve dok se ulazni digitalni signal ne promeni. Takav rad konvertora je istovetan funkciji koju vrsi kolo zadrske nultog reda. Ovaj tip kola je cesto prisutan u digitalnim sistemima upravljanja, pa ce stoga 0 kolima zadrske biti vise reci u kasnijim izlaganjima.
rt
li\
~
~ ~
Analogno-digitalnl konvertor koji koristi postupak sukcesivne konverzije poseduje povratnu spregu, kao sto je pokazano u blok semi na sf. 2.27. Njegove glavne komponente su: komparator, kolo sinhronizacije i upravljanja, upravljacki registar sekvencijalnog tipa i dodatne tri komponente koje su vee prikazane u realizaciji digitalno-analognog konvertora. Proces konverzije zapocinje pojavom startnog impulsa u kolu sinhronizacije i upravljanja. Odmah zatim se sadrzaj izlaznog registra postavlja na brojnu vrednost koja je jednaka polovini opsega unutar koga se pojavljuje ulazni analogni napon. Na primer, ako taj opseg sadrzi uk:upno I 28 kvantnih nivoa, • tada je polovina od toga 64 iii binarno 10000000. Ta binarna rec u izlaznom registru se zatim preko nivojskih pojacavaca i sabiraca konvertuje u analogni napon na nacin objasnjen u prethodnom poglavlju. Napon na izlazu sabiraea se na komparatoru poredi sa ulaznim analognim naponom. Izlaz konvertora ce biti I iii 0, respektivno, ako je analogni napon veci iii manji od napona povratne sprege sa izlaza sabiraca, odnosno u zavisnosti od toga da li se trenutna vrednost analognog naJ::ona nalazi u gornjoj iii u donjoj polovini opsega. Ako pripada gornjoj polovini, najstariji bit u izlaznom registru ostaje sa zatecenom vrednoscu I, a ako pripada donjoj, bit se brise, odnosno vraca u vrednost 0. Sekvencijalni registar na sl. 2.27 je zapravo prstenasti brojac koji jednu jedinu logicku jedinicu pomera u krug od jednog do drugog stepena brojaca i na taj nacin omogucava da se u drugom koraku konverzije sledeci bit (prvi do najstarijeg)
&\" ~-;
• Kvantni nivo iii kvant je jednak najmanjem prira~taju analognog napona koji konvertor moze detektovati, odnosno to je vrednost najmladeg bita u digitalnoj rel!i na izlazu kc-nvertora.
~!
'
i
40
u izlaznom registru postavi na vrednost 1. Prema tome, u drugom koraku sadrzaj iii 01000. u zavisnosti da li je u prvom ko~ izlaznog registra ce biti iii 11000. raku najstariji bit ostao na vrednosti I iii nije. Sada se ponovo sadriaj izlaznog registra konvertuje i izlaz sabiraea poredi sa ulaznim analognim naponom. Dakle, u ovom koraku komparator odreduje kojoj eetvrtini opsega pripada trenutna vrednost analognog napona na ulazu. Mogucnosti su da pripada najvisoj (cetvrtoj), 01000. trecoj, drugoj i prvoj eetvrtini i njima ce odgovarati saddaji 11000. 00000 ... , 00000. . . izlaznog registra na kraju drugog koraka konverzije. Na pocetku treceg koraka sekvencijalni registar upisuje I u treci (drugi do najstarijeg) bit izlaznog registra i proces konverzije se nastavlja na identican nacin u svakom koraku sve dok se ne odredi i poslednji (najmladi) bit digitalne reci r.a izlazu, koja ostaje zapisana u izlaznom- registru i moze se ocitati kao rezultat konverzije. Slika 2.28 ilustruje ceo postupak konverzije u slucaju 3-bitnog konvertora. Vreme konverzije zavisi od zahtevane ----111 ~111---110 tacnosti, odnosno od duzine izlazne reci. Medutim, vreme ne raste linearno sa povecanjem ~ ----101 101---100 broja bita u digitalnoj reci na izlazu. Na primer, savremeni konvertori sa 6 i 12 bita zahte1[JCJ \ vaju, respektivno, 9 i 12 mikrosekundi za kon. / 011 - - - 010 verziju. Stoga konvertori obicno poseduju indi010 ~ ___..001 ~0Cl1---080 kaciju zavrsetka procesa konverzije. Ocigledno, dok traje jedan proces konSf. 2.28. Princip rada trobitnog AjD verzije ulazni analogni napon ne bi smeo da konvertora se promeni za vise od jednog kvantnog nivoa. Stoga je neophodno, u slucaju brzopromenljivog ulaznog napona, taj napon najpre propustiti kroz kolo zadrske nu!tog reda koje ce na pocetku svakog procesa konverzije zadriati konstantnom zatecenu vrednost ulaznog napona. 0
0
0
toku procesa konverzije konstantan. Brzina, odnosno gustina trenutaka odabiranja 0, T, 2T, 3T, ... · u kojima se uzimaju odbirci ulaznog analognog signala se naziva brzinom odabiranja i ona ima prvorazrednu ulogu u procesu analize i sinteze digitalnih sistema upravljanja. Sa sl. 2.29 se vidi da se, ukoliko je brzina odabiranja veca (T manje), dobija bolja aproksimacija analognog signala na izlazu kola zadrske. Medutim, treba imati u vidu cinjenicu da kvalitet aproksimacije nije presudan; o drugim relevantnim faktorima koji uticu na izbor periode T bice kasnije vise reci.
0
0
/110
41
2.8. Konvertori
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
0
'
0
0
'
0
----011
:';1
~:
2.8.3. ZAHTEVI KONVERZIJE 0
U projektovanju i koriscenju ana!ogno-digitalnih konvertora postoji nekoliko pojedinosti iii zahteva o kojima treba voditi racuna. Brzina uzimanja odbiraka i perioda odabiraoja. Kao sto je pomenuto u prethodnom poglavlju, ako se analogni napon na u!azu konvertora sporo menja tako da je njegova promena u vremenu konverzije manja od jednog kvantnog nivoa, tada se takav signal 14 rKVANTNI NIVOI ANALOGNI moze neposredno dovesti na ulaz 12 konvertora. Kada se, pak, ulazni 1: ULAZI KONVERTORA signal brze menja, on se najpre mora propustiti kroz kolo zadrske 6~ nultog reda, tako da se tada na ~t ulazu konvertora pojavljuje ste~ penasti signal prikazan na sl. 2.29, 2' VREME koji se ne menja izmedu diskretnih trenutaka u kojima se sukIZLRZ KONVERTORR cesivno obavljaju procesi konverzije. U svakom slucaju, moze se Sf. 2.29. Anafogni ulaz i digitafni izlaz 4-bitnog A/D smatrati dl/. je ulaz konvertora u konvertom
If,<:
;:~
h~~
Rezolucija odreduje preciznost konverzije u trenucima cdabiranja 0, T, 2 T, 3 T, ... , odnosno tacnost procesa kvantovanja. Ako se vrednost analognog signala na ulazu kvantuje, na primer, sa 7 bita, rezolucija, kvantni nivo iii prosto kvant je I /27 =I /128. Na slican nacin, kada se kvantovanje vrsi sa 10 bita, rezolucija je 1(210=1(1024 itd. Dakle, rezolucija je odredena duzinom digitalne reci na izlazu konvertora. Na primer, ako se zahteva rezolucija od 1 prema 1000, neophodno je koristiti konvertor sa izlaznom reci duzine 10 bita. Usled konacne vrednosti kvanta proces analogno-digitalne konverzije uvek sadrzi gresku kvantovanja, koja ima karakter aditivnog suma u procesu konverzije. Nairne, bilo kakva varijacija ulaznog signala u granic2.ma izmedu dva susedna kvantna nivoa nece izazvati promenu digitalnog signala ~a izlazu konvertcra. Ocigledno je da greska kvantovanja nastaje usled konacne duzine reci digitalnih modula, pa se otuda moze smanjivati povecavanj'm broja bita u izfazu konvertora. Vreme konverzije predstavlja vremenski interval od trenutka dovodenja signala na ulaz konvertora do trenutka dobijanja izlaza konvertora u granicama zahtevane tacnosti. Drugim recima, to je vreme koje zahtevaju operacije kvantovanja i kodiranja unutar konvertora. Razume se da ovo vreme mora svakako biti manje od periode odabiranja. U slucaju kada se zahteva da tacnost konverzije bude u granicama jednog kvantnog nivoa potrebno je da konvertor generira novu digitalnu vrednost svaki put kada se njegov ulaz promeni sa nekog kvantnog nivoa na susedni. Brzina kojom ulazni signal menja kvantne nivoe zavisi od nagiba signala u odnosu na vremensku osu i od velicine kvanta zadatog uredajem za konverziju. Tamo gde je kvant dovoljno mali, vreme potrebno da se vrednost ulaznog signala promeni za jedan kvantni nivo se moze priblifuo odrediti kao odnos kvanta i nagiba ulamog signala. Ovaj odnos se zatim moze koristiti za procenu gornje dozvoljene granice za vreme konverzije. Neophodno je, takode, ukazati na cinjenicu da se vrcme konverzijc pojavljuje kao cis to vremensko kasnjenje il i transportno kasnjenjc unutar kola povratnc sprege digitalnog sistema upravljanja, u kome se nalazi analogno-digitalni konvertor. Usled negativnih efekata koje transportno kasnjenje moze imati na kvalitet ponasanja sistema sa povratnom spregom, duga transportna kasnjenja nisu pozeljna, pa stoga vreme konverzije treba da bude sto je moguce krace. Ono. inace. varira u zavisnosti od tipa uredaja za konverziju i krece se u granicama od nekoliko mikrosekundi do desetina milisekundi. Gre~ka usled dvosmislenosti u ocitavanju je, kao sto jc ranije pokazano, prisutna u analogno-digitalnim konvertorima tipa obrtnih enkodera i slicnih uredaja sa kodnim maskama i elementima za ocitavanje. Kada je kodna rnaska, odnosno izlaz ovih uredaja, u konvencionalnom binarnom kodu, mogu nastati znatne greske usled nepreciznosti iii dvosmislenosti u ocitavanju samo jrdnog bita. Uobicajeni postupak za smanjenje ove greske je da se umesto konvencionalnog binarnog koda
fJ.rr
42
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
43
2.9. Korafni motor
koristi binarno-ciklicni il i Grayov kod. Pomenimo da postoje i drugi postupci, kao sto su koriscenje dvostrukih citaca iii upotreba specijalnih kola za eliminaciju greske u ocitavanju.
mentu dimenzije koracnog rnotora sa velikim brojem statorskih namotaja znatno vece od gabarita koracnog motora sa malim brojem namotaja u statoru.
Prisustvo memgrijskih modula tipa kola zadrske nultog reda je cesto neophodno da bi se obezbedilo da ulaz konvertora bude konstantan dok traje proces konverzije. Ovakvi tipovi memorijskih modula za privremeno memorisanje vrednosti promenljivih mogu biti prisutni u razlicitim delovima digitalnog sistema upravljanja. Na primer, u sistemu gde se diskretne digitalne vrednosti pojavljuju u slucajnim trenucima vremena, kao sto je digitalni racunar, te vrednosti se privremeno rnoraju memorisati do trenutka upotrebe. Privremeno rnernorisanje se takode zahteva kada izlaz racunara u ulozi procesora informacija u digitalnom sistemu upravljanja !reba da ostane nepromenjen u vremenu izmedu dva sukcesivna resenja.
2.9.2. MOTORI PROMENLJIVE RELUKTANSE
y
2.9. KORACNI MOTOR U razvoju tehnologije digitalnih sistema upravljanja koracni motor je jedno od najinteresantnijih otkrica. To je jedinstvena komponenta u klasi izvr~nih organa, kojom se moze upravljati digitalnim procesorom bez posredstva digitalno-analognog konvertora. Nairne, koracni motor je elektromeha:njcki_QFetvarac ciji je ulaz binarno kodoyan napansk.i_ signal, a lzfaz kvantovan ugaon-lp.orrieraj odreden ulazmm .lorn. Dakle, koi-a8lil motor pie
Postoji vise vrsta koracnih motora visokog kvaliteta ponasanja. Neki od njih se mogu obrtati samo u jednom smeru; drugi su dvosmerni. Otuda postoje motori sa razdvojenim ulazima: za pozitivan smer (suprotno od ~mera kazaljke na casovniku) i za negativan smer obrtanja. Druga vrsta motora ima jedinstven ulaz i u njima se promena smera obrtanja postize posebnim uredenjem povorke impulsa u kodovanom ulazu. lpak. svi koracni motori se mogu svrstat i u dve sire kategorije: l. koracne motore sa permanentnim magnetom, odnosno sa induktorom ~nhronOg lt.lla, koji konste pojavu elektromagnetne sde tzmedu pobudnth namotaji1 na statoru i pol ova permanentnog magnet a na rotoru; 2. koracn,_· motore Q[Offif:J}.:, !jive reluktanse, koji koriste pojavu elektromagnetne sile~udnih namoJ_aja na statoru 1 "kratkospoJenog rotora od mekog gvozda u kome se indukuju struje, aflille i magnetni polovt usled promena magnetnog polja statorskih namotaja. Opste uzev. koracni motor se moz~Rgsmatrati kao naizmenicni motor.ciji. ~~ statorski namotaji sekvencijalno pobu.fuuu pravougaonim nal'..omki_!!!..._s_ignalima uSfeoeega se rotor obrce korak po korak u ~:ovnim kvantim.a. · Duzina koraka zavisi od konstrukcije motora i krece se u opsegu od jednog ugaonog stepena do maksimalno 120 stepeni. U principu je moguce postici da ugaoni korak irna bilo koju vrednost od 27:/n radijana, gde je n;;;, 3. Meclutim, mali ugaoni kvant zahteva veliki broj namotaja u statoru. sto ima izvesne nedostatke. Nairne. istovremeno se pobudujc relativno mali broj namotaja, pa su stoga pri istom mo-
Koracni motori promenljive reluktanse su relativno malih dimenzijaj__m.Q&l!___ postizati velike koracne brzine i pokretacke momente. Koriste elektromagnetne rotore c1 1 e broJ manjl od broJa polova na statoru. Otuda polovi rotora ne mogu 1stovrerneno sv1 111 naspram statorskih polova. Na pnmer, u sematskom prikazu preseka motora na sl. 2.30 stator ima 12, a rotor 8 polova. Svaki pol statora poseduje svoj namotaj. Namotaji na statorskim polovima su grupisani u tri skupa, oznacena sa A, B i C na sl. 2.30. Jedni krajevi namotaja su vezani u cvoristc zvezde, a drugi su izvedeni van motora i sluze za njegovo pobudivanje. U nekom trenutku samo je jedan skup polova pohllilen. Na pnmer, st. 2.30 odgovara stanju u kome je po": buden sirup polova A, pa se otuda 4 pola rotora nalaze naspram statorskih polova iz skupa A; El ostali polovi rotora se nalaze naspram meduSf. 2.30. Poprebri presek statora prostora izmedu polova iz skupova B i C. Posto i rotora motora sa 12 i 8 polova ose polova rotora, koji se nalaze naspram meduprostora, zaklapaju uglove od !5° u odnosu na magnetne ose statorskih polova iz skupova B i C, pobudivanje bilo polova B iii polova C ce rezultovati u ugaoni korak rotora od...!1: respektivno, bilo u smeru kazaljke na casovniku iii u suprotnom smeru. ~a taj nacin, redosled i ~ina pobudivanja statorskih namotaja odreduju respektivno smer i brzinu obrtanja rnotora.
ii' I"
~;
.·,
~
~!
-··-··---
2.9.3. MOTOR SA PERMANENTNIM MAGNETOM
~~
~ri lf·,'
toru
Zbog prisustva relativno veliko broja isturenih polova i na statoru 1 na roronim induktorom pose UJU manje rzme, 0 re ene Sa
mo OTI sa SIO
~
c~~j
c
(2.12)
gde je n broj obrtaja u minutu, N broj isturenih polova rotora. a ·e bro· obudnih ciklusa u sekondi. Pod pobudni-m c1 usom se po razumeva ureden skup naponskih slgnala kojJma se pobuduju namotaji statora. Jednacina (2.12) se moze objasniti pomocu sematskog prikaza popreenog preseka motora na sl. 2.31. Kao sto je vee receno, stator poseduje dve faze od kojih je, u slucaju motora na sl. 2.31, svaka namotana na po cetiri pola. tako da mo-
F ,. 44
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
2.9. Kora
tor ima ukupno osam isturenih polova. Rotor motora na slici ima 10 isturenih polova. Zeljena magnetna svojstva rotora se postizu posebnom konstrukcijom koja se sastoji od dva identicna diska i permanentnog magneta. Diskovi profila kao na sl. 2.31 su medusobno spojeni preko cilindricnog permanentnog m2gneta koji je magnetisan aksijalno. Otuda di~k sa jedne strane magneta ima magnetne osobine severnog, a disk sa druge strane - juznog magnetnog pola. Da se magnetni fluksevi isturenih polova ne bi medusobno neutralisali i da bi se mogla koristiti zaj(dnicka magnetna struktura statora, diskovi sa je.dne i druge strane permanentnog magneta su zaokrenuti jedan u odnosu na drugi za polovinu sirine isturer,og pola na disku.
Sf. 2.31. Popre{ni presek dvofaznog koracnog 111o1ora
Sf.
(4~.1
namotaji A 1 i B 1 i tada se maksimalni fluks pojavljuje na polu N 1 ; rotor zauzima polozaj N 1 u kome je par njegovih isturenih polova postavljen naspram statorskih polova N 1• U drugom delu ciklusa pobuduju se namotaji A 2 i B 1 ; maksimalni fluks se pojavljuje na polovima N 2 i rotor tada izvrsi ugaoni pomeraj (korak) od 9°. U trecem delu ciklusa se pobuduju namotaji A 2 i B2 , u cetvrtom - namotaji A 1 i B2 , u petom- ponovo namotaji A 1 i B 1 itd. U svakom delu pobudnog ciklusa na sl. 2.33 rotor izvrsi korak od 9°. Na taj nacin celom pobudnom ciklusu ce odgovarati ukupan ugaoni pomeraj od 36°, sto vazi za motor koji na rotoru ima 10 isturenih polova. Generalno, ugaoni korak dvofaznog koracnog motora sa n isturenih polova na rotoru je 2rt/n radijana. Pri tome, u toku jednog pobudnog ciklusa rotor ucini 4 koraka. ·Dakle, da bi dvofazni koracni motor sa 10 isturenih polova na rotoru ucinio pun obrt, neophodno je 10 pobudnih ciklusa prikazanih na sl. 2.33. Motor ce se obrtati u smeru kazaljke na casovniku ako pravougaoni impulsi pobude slede povorku 12341234 ... , kao na sl. 2.33. Obrnutim redosledom pobudivanja 43214321. . . bi se postiglo obrtanje motora u suprotnom smeru. Bitna karakteristika konstrukcije ovog motora je bifilarno motanje statorskih namotaja. Time je omoguceno da se koriscenjem samo jednog naponskog izvora i elektronskih prekidaca postize promena smera struje u namotajima. Na kraju treba ukazati na cinjenicu da se koracni motori sa permanentnim magnetom vise koriste nego motori promenljive reluktanse. Stavise, motori sa sinhronim induktorom se i dalje sve vise usavrsavaju.
2.32. Serna napajanja koracnog 1110/ora sa bi/ifarnim namotajima
2.9.4. DINAMIKA KORA(NOG MOTORA
Namotaji na polovima statora su motani bifilarno (dvostrukom zicom) i tako je omogueeno da se pobudivanje namotaja moze vrsiti sa samo jednim izvorom jednosmernog napona. Krajevi izvora napona se mogu pomocu elektronskih prekidaca prikljucivati prema semi na sl. 2.32, cime se postize promena smera struje koja se uspostavlja u isturenim polovima statora. ·
{
([)
(2)
(3)
,
(4)
R, R,
~ Bz
11 PO ZIT IVAN SMER
11.._ I'JEGAT'IVAN
S~t::~
Sf. 2.33. Pohudni cikfus koracnog motora
Za lakse razumevanje rada motora koji se pobuduje pravougaonim naponskim signalima moze da posluzi sl. 2.33. U prvom delu pobudnog ciklusa pobuduju se
Kada je brzina pobudivanja pravougaonim impulsima mala. koracni motor je u stanju da promeni smer obrtanja. Ovu srosobnost motor zadrzava sve dok brzina pobudivanja ne dostigne kriticnu granicu posle koje se motor moze obrtati samo u jednom i to zatecenom smeru. Pomenuta dva rdima rada se mogu podrobnije prouciti na osnovu matematickog modela motora ...u cilju s~~.davan~ dinamike motora dovoljno je posmatrati slucaj kada motor obuden pravougaonim stgna om 1zvrsi Jedan korak o 1 e ovo Jno ma 1 tako da sc dinam1c o ponasan.Je ·maze apro sim1rat1 mearmm modelom. Zanemarujuci induktivnosti namotaja, difercncijalne jednacine koje u okolini nekog stacionarnog stanja 6.,, osovinc opisuju dinamicko ponasanje motora imaju oblik (2.13) liP= Ri + K,, li,.
. dum · . e M,=K,mt= 1 dt+FIJ,-:-1<,( 0m- ,,),
(2.14)
gde su: u1, - napon pobude namotaja, i - struja namotaja. M,, - pokretacki momenat motora srazmeran struji namotaja i fl 111 - ugaona brzina obrtanja. Parametri su: R- otpornost namotaja, J i F- koeficijenti inercije i viskoznog trenja rotora, respektivno. K 711 , i Krm - su respektivno mehanicko-elektricna i elektricno-mehanicka impedansa i K, - koeficijent magnetnog momenta motora. Podsetimo [12] da jednacina (2.14) izrazava ravnotezu pokretackog momenta i otpornih momenata motora. Na desnoj strani ove jednacine se, pored momenta inercije i momenta viskoznog trenja, pojavljuje i_ momenat magnetnog opiranja M, = = K, (6m.-6st) nastalog us led zaostalog magnet1zma u pobudnim statorskim olovima, koji tdi da rotor vrati u prvobitno stac10narno stanJe. tporni magnetni
Ji'r'" f:l~ ! .
46
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
momenat je proporcionalan odstupanju trenutne ugaone pozicije Om od stacionarnog stanja 6st u kome je motor bio pobuden. Bez gubitka u opstosti, moze se prihvatiti da je prvobitno stacionarno stanje jednako nuli. Zamenjujuci 6st=0 u jednacinu (2.14), poznatim jednostavnim operacijama nad jednacinama (2.13) i (2.14) lako se izvodi funkcija prenosa koracnog motora
smer obrtanja moze promeniti spoljnim upravljackim signalom. Osim toga, ako se motor u sinhronom rezimu zeli zaustaviti u tacno odredenoj poziciji, bice neophodno da se smanjivanjem brzine pobudivanja najpre vrati u koracni rezim rada, pa tek onda zaustavi. 2.9.5. KOLO POBUDE KORACNOG MOTORA
G"' (s) = 0"' (s) = K.m Up(s) RJs 2 +(RF+K,mKm,)s+ RK, K"' T2 s 2 + 2 ~ Ts + I
gde su
Buduci da koracni motor vrsi funkciju elektromehanickog pretvaraca velike snage, logicki signali iz sekvence njegove pobude moraju biti viseg energetskog nivoa. U raspolozivim koracnim motorima ovi signali pripadaju opsegu od 3 do 30V jednosmernog napona, dok je strujno opterecenje reda od 0,1 do desetina ampera. S druge strane, upravljacki logicki signali motora se generisu u digitalnim kolima, pa su otuda niskog energetskog nivoa. Dakle, pobudno kolo mora ostvarivati dve funkcije: prevodenje povorke impulsa u binarno kodovane sekvence pobude koju zahteva konstrukcija datog korac!log motora i pojacanje po snazi pravougaonih impulsa u pobudnim sekvencama.
(2.15)
K"' =Kem/RK,,
(2.16)
T= VJ!K,.
(2.17)
~=(RF+K,111 K111 ,)/2 VRJ.
(2.18)
Na osnovu funkcije prenosa (2.15) se zakljucuje da se motor dinamicki ponasa poput oscilatornog elementa drugog reda. Pri dovoljno velikoj periodi pobudivanja .- odzivi motora Om(t) na odskocne signale pobude up(t)=h(t). h(t--r), ... bi bili pseudoperiodicne prigusene oscilacije, kao na sl. 2.34. Uocimo u izrazu (2.18) da je faktor relativnog prigusenja ~ proporcionalan koeficijentu viskoznog trenja F i jacini elektromagnetne si le motora. odnosno mehanicko-elektricnoj impedansi motora Kmr. Za konstrukciju motora od posebnog in teresa je uociti da je prigusenje. takode. proporcionalno omskoj otpornosti namotaja R. U tipicnim koracnim motorima R je veliko. tako da je prigusenje vrlo izrazeno, pa otuda prelazni procesi u njima brzo iscezavaju. POZ.3
--l--
--------j T
r - ~ _, ___ _
47
2.9. Koracni motor
OIR-POVORKA IMPULSA
POLUPROVOONICKI
PREKIO,A,CI A 1 QDll___
~2 QDll___ ~. QCll___ ~2
~
REV·POVORKA IMPULSA
P07.5
POZ.4
::::·;.
Sf. 2.36. Kofo pobude dvofaznog korai:nog motora sa permanentnim magnetom POZ. POZ.t
t
t
0
Sf. 2.34. Odziv motora u korai'nom reiimu
0
2t
]T
qr
5T
Sf. 2.35. Odziv motora u sinhronom reiimu
Kada brzina pobudivanja dostigne kriticnu granicu, tako da oscilacije u prelaznom procesu jos uvek traju u trenutku dovodenja novog pobudnog signala, motor ulazi u tzv. sinhroni reZ.im rada. On tada radi poput sinhronog motora i njegov odziv tada ima karakter prikazan na sl. 2.35. U ovom reZ.imu motoru se ne moze promeniti smer obrtanja. Stavise, da bi se motor iz sinhronog vratio u koracni rezim rada, potrebno je vreme od nekoliko perioda pobudivanja. Dakle, u galopirajueem rezimu kretanje motora je sinhronizovano sa pobudom, ali se tada motor ne moze zaustaviti u toku samo jedne periode pobudivanja, niti mu se
l t
I
f
I.
f. IL [.
Pomenute dve funkcije se mogu postici u kolu koje se sastoji od digitalnih modula i poluprovodnickih prekidaca. Primer takvog kola pobude za motor sa permanentnim magnetom i dve faze na statoru je prikazan na sl. 2.36. Ulazi kola su dve povorke impulsa promenljive periode: DIR i REV povorke, respektivno, za obrtanje motora u smeru kretanja kazaljke na casovniku (direktnom) i u suprotnom (reverzibilnom) smeru. Kolo sadrfi dva flip-flopa u sprezi preklopnog prstenastog brojaca, koji generiraju potrebnu sekvencu pobudnih impulsa. Izlazi flip-flopova ukljucuju odnosno iskljucuju cetiri poluprovodnicka prekidaca preko kojih se pravougaoni signali sa strujnog izvora prikljucuju na statorske namotaje motora. Rad preklopnog prstenastog brojaca se moze objasniti ako pretpostavimo da se fl ip-flopovi prvobitno nalaze u stanju D= I i C= I. Tada ce sledeci impuls iz DIR povorke promeniti stanje C flip-flopa u C=O. Sledeci impuls ce promeniti stanje D flip-flopa u D=O. Sa sl. 2.36 se lako moze zakljuciti da se pobudivanjem
~·'i
p'i
48
2. Komponente digitalnih sistem upravljanja
prisutan signal greske. Stoga ovaj sistem poseduje astatizam prvog reda u odnosu na ulazni signal [12], odnosno radi kao pozicioni servomehanizam. Zapravo, moguce je da postoji gre5ka stacionarnog stanja, ali ona ne mo:i:e biti veca od jednog uglovnog koraka motora.
impulsima iz DIR povorke dobija DIR sekvenca pobude u tablici 2.8, koju zahteva posmatrani tip motora kada se zeli obrtanje u smeru kretanja kazaljke na casovniku. Dovodenjem impulsa iz REV povorke na ulaz kola pobude na sl. 2.36 dobija se na izlazu kola REV selcvenca u tablici 2.8, koja pokrece motor u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na casovniku.
-)-
TABLICA 2.8. POBUDNE SEKVENCE MOTORA U pravljacki impulsi I 2 3
4 5
I
DIR sekvenca
c
D
I 0 0 I I
I I 0 0 I
49
2.10. Primene koracnog rnotora
REV sekvenca
c
D
I
I 0 0 I I
J 0 0 I
I ~UI.RZ
--
Sf. 2.37. Pozicioni servomehanizam sa koracnim motorom
2.10. PRIMENE KORACNOG MOTORA
U cilju da se izbegnu eventualne koracne oscilacije u okolini zadate uglovne pozicije izmedu pretvaraca i pobudnog kola motora se mo:i:e postaviti monostabilni multivibrator u ulozi kola kasnjenja, koga pobuduje upravljacka povorka impulsa, a izlaz mu je spregnut sa drugim ulazom pobudnog kola. Vreme kasnjenja multivibratora se podesava tako da bude nesto krace od periode ponavljanja impulsa koji nastaju usled koracnih oscilacija u okolini zadate uglovne pozicije. Ovaj tip oscilacija nastaje zato sto motor ne mo:i:e da »pronade« onu poziciju izlazne osovine pri kojoj je signal greske tacno jednak nul i. Sa gledista kvaliteta dinamickog ponasanja prikazani pozicioni servomehanizam i odgovarajuci analogni servosistem su elcvivalentni, s tom razlikom sto je u slucaju sistema na sl. 2.37 odziv izrazito prigusen. U vremenu neposredno posle zadavanja :i:eljene ugaone pozicije signal greske je vel iki, pa je i brzina ponavljanja impulsa na izlazu pretvaraca velika i tada motor radi u sinhronom re:i:imu. Kako se u procesu pozicioniranja velicina signala greske smanjuje, proreduju se impulsi u upravljackoj povorci i jednog trenutka motor iz sinhronog prelazi u koracni re:i:im rada, kada se uspostavlja jednoznacna korespondencija izmedu uglovnih koraka i pobudnih signala. Stoga se preskok u odzivu servomehanizma na sl. 2.37 nece pojavljivati, osim mo:i:da u krajnje nepovoljnim slucajevima kada je mehanicko opterecenje na osovini motora tako veliko da motor posustaje i ne mo:i:e vise da adekvatno »koraca«.
Sve sira primena koracnog mot ora u razl icitim podrucjima upravljanja je uslovljena cinjenicom da postoji direktna korespondencija izmedu pobudnih digitalnih signala i koracnog kretanja motora. Kada je brzina pobudivanja spora i inercija optere~enja motora dovoljno mala, koracni motor prevodi digitalne impulse pobude u odgovaraju~e diskretne uglovne pozicije. Pri tome, postoji i to bez multiplikativnc greske jednoznacna korespondencija izmedu digitalnog signala na ulazu i izlazne uglovne pozicije. Otuda je ovakav tip motora vrlo pogodan za primenu u razlicitim uredajima digitalne instrumentacije, kao sto su printeri, pisaci i registratori. U ovim i slicnim uredajima parametri mehanickog opterecenja se ne menjaju i zahtevi za brzinom rada su unapred poznati. Medutim, ovakav rezim rada je, ipak, karakteristican za usko podrucje primene koracnog motora. U sirem podrucju primene postoje ozbiljnija ogranicenja koja namecu velike varijacije u brzini pobudivanja i u promenama mehanickog opterecenja. Tada ce, kao sto se maze videti sa sl. 2.34, doci do izrazaja oscilatorni karakter prelaznog procesa od jednog koraka do drugog. Negativni efekti koje takav prelazni proces maze imati na ponasanje motora se mogu znatno ubla:i:iti primenom povratne sprege, koja je prcdmet razmatranja u ovom poglavlju. 2.10.1. POZICIONI SERVOMEHANIZAM
2.,10.2. DIGITALNA POVRATNA SPREGA ZA KORAtNI MOTOR
Kao prvi primer primene koracnog motora u sistemu sa povratnom spregom mo:i:e da poslu:i:i pozicioni servomehanizam, prikazan na sl. 2.37. Upravljacki signal na ulazu kola pobude motora generise pretvarac analognog signala greske i to u vidu povorke impulsa sa periodom ponavljanja koja je proporcionalna velicini analognog signala greske na ulazu pretvaraca. Osim toga, pretvarac je osetljiv na pro menu polariteta analognog signal a greske, tako da na svom izlazu, pored upravljacke povorke impulsa, daje i logicki signal, koji u zavisnosti od polariteta signala gre5ke menja smer obrtanja motora. Prema tome, u ovom sistemu sa povratnom spregom brzina motora, odnosno ucestanost ponavljanja koraka, je proporcionalna signalu gre5ke, tj. odstupanju trenutne od zadate ugaone pozicije. Dakle, upravljacki signal u vidu povorke impulsa na ulazu pobudnog kola postoji samo ako je
~~ !?.•
I
Digitalni servomehanizam sa koracnim motorom poseduje mogucnosti koje zaslu:i:uju posebnu pa:i:nju. Te izvanredne karakteristike se posti:i:u zahvaljujuci posebnom vidu digitalne povratne sprege koja znatno povecava mogucnosti koracnog motora kada se koristi u ulozi izvrsnog organa [7]. Postupak formiranja digitalne povratne sprege ce se prikazati na primeru dvofaznog koracnog motora koji ima 200 koraka po jednom obrtu i u kome su namotaji na statoru motani bifilarno, kao na sl. 2.32. Kao sto je ranije pokazano. za ovakav tip motora se primenjuju 4 razlicite kombinacije pobudivanja namotaja, koje su prikazane u tablici 2.9 i one se mogu posmatrati kao 4 razlicita ulaza, odnosno kao 4 razlicite pobude mot ora I, 2, 3 i 4. Pri tome, motor mo:i:e da bude 4 Dlaitalni sistcmi upravljanja
'f!l!!
50
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
pobuden jednom od ovih pobuda u bilo kojoj od 200 mogucih stacionamih pozicija izlazne osovine.
I
I
A1 da da
2 3 4
A2 B1 da
da da da da da
I
Bz'
da da
I
Pozicija
ao
POZICIJA
0°+7,2° n 1,8°+ 7,2° n 3,6°+7,2° n 5,4°+7,2° n 7,2°+7,2° n n=1,2, ... , 50
51
motora
da je 23,4°=3·7,2°+1,8°. Otuda ce pri bilo kojoj poziciji izlazne osovine provoditi samo jedna dioda. Zapravo, u zavisnosti od ugla zaokretimja enkoder ce generisati povorke impulsa prikazane na sl. 2.39. Na taj nacin, enkoder daje informaciju o broju koraka 1, 2, 3 iii 4, koji motor trenutno zauzima. Razume se da ce ovi koraci naizmenicno da se ponavljaju u toku obrtanja vratila motora, kao sto se vidi na sl. 2.39.
TABLICA 2.9. POBUDIVANJE NAMOTAJA U RAZLICITIM POZICUAMA Ulazni impulsi
kora~nog
2.10. Primene
PC
I
I
I
Ill
No.I
J.Bo 3.6o s.qo 7.2o 9.0oi0.Bol2.6olq,qo16.2"1B.0a
f'Tll
lf'Tll I (1( I
l,..hl I I~ I
I
No.2 PC No.3 PC
I
PC
1
1 '
I
I
I
1,..+,1
I
I
I~
I
I
I
I
I I
I I
rt"1 Ill
No.4
lfT]I 1 ~ 1
1
1
I
I
m I
_ _!___
I
1
1 1
lthl I
~
1I
II
I
I
m :
~
I
PC
Odziv motora u stacionarnom stanju na neku od 4 moguce pobude ce biti jedna od 200 ugaonih pozicija izlazne osovine. Dve susedne pozicije se razlikuju za 360{200= I ,8 ugaonih stepeni. Kada se motor pobudi jednim od 4 ulaza, on zauzima odgovarajucu poziciju najblifu trenutnom polozaju izlazne osovine. Mada postoji 200 mogucih ugaonih pozicija izlazne osovine, primenjuju se samo 4 ulazne komande koje rezultuju u 4 odgovarajuca rezima rada motora. Te su komande: STOP: Od motora se zahteva da ostane u poziciji koju trenutno zauzima. DTR: Od motora se zahteva da ucini jedan korak od 1,8° u smeru kt etanja kazaljke na casovniku. · Od motora se zahteva da ucini jedan korak od 1,8° u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na casovniku. DK: Dvostruki korak- od motora se zahteva da ucini dva koraka bilo u DTR iii u REV smeru. Poslednja DK ulazno-izlazna IZVOR relacija se ne moze uslovljavati i smerom, posto motor pri ovoj komandi razvija nulti pokretacki momenat, pa je otuda smer vee odreden smerom okretanja motora u trenutku dovodenja komande DK. Koracnim motorom se moze upravljati pomocu kola povratne sprege sematski prikazanog na sl. (-) 2.38. Kolo se sastoji od enkodera u vidu diska prievrscenog na osovini motora. Po periferiji diska se nalazi 50 kruznih proreza postavljenih tako ([ da se polozaji dva susedna razlikuju z )Ult-.l ~ IL > za 7,2°. Uz disk su postavljene 4 foto 1w Y•·Ct:l:: {.o1 0 0:: O>ru diode sa pridru:Zenim svetlosnim izvorima. Polozaji dve susedne fotoSl. 2.38. Pri11cip formiranja digiralne povrallle sprege koracnog motora diode se razlikuju za 23,4°. Uoeimo
Sl. 2.39. Povorke impulsa na izlazu enkodera
U kolu povratne sprege na sl. 2.38, pored enkodera se nalazi i translator cija je uloga da najpre uoblici signale sa fotodioda koji daju informaciju o trenutnom polozaju osovine, a zatim da na osnovu zadatih komandi STOP, DIR, REV iii DK obezbedi odgovarajuce pobudivanje statorskih namotaja A 1, A2 , B1 i B2 motora. Na primer, ako je trenutna ugaona pozicija osovine korak broj 3, a komanda je REV, translator ce generirati pobude na namotaje A1 i B2 (vidi tablicu 2.9), koje odgovaraju koraku broj 2; dakle, za jedan korak unazad. Tablica 2.10 opisuje funkciju, odnosno nacin rada translatora. Ako se u tablici 2.10 elementi prve vrste prihvate kao stanja vratila motora, tada tablica pokazuje kako ce pojedine komande prevoditi ta stanja u druga stanja.
REV:
TABLICA 2.10. FUNKCIJA PRELAZA TRANSLATORA
I
STOP DIR REV
..,-,
-,
',-....)
I I
2 4 3
DK
a:~
1-1
Izlaz enkodera
Ulazne komande
3
4
I
3 4 2
4
4
I
2 2 3
I
3 2
Digitalna povratna sprega omogucava dva razlicita nacina rada motora: (i) Kada su komande u vidu impulsa, tada ce svaki od impulsa proizvoditi korake motora prema tablici 2.10; (ii) Kada su komande u vidu konstantnih signata, motor kontinualno izvrsava zadatu naredbu. Na primer, pri signalu konstantne vrednosti na DIR ulazu translatora motor ce se, sve dok je signal prisutan, obrtati u smeru kretanja kazaljke na casovniku. IIi, ako je komanda konstantan signal na DK ulazu translatora, motor ee se poveeanom brzinom obrtati u zateeenom smeru obrtanja. Dakle, u rezimu (i) motor se ponasa kao regularni koracni izvrsni organ, a u rdimu (ii) - funkcionise kao sinhroni induktivni motor. Funkcija prelaza translatora se moze realizovati pomocu logickih digitalnih modula. Jedna od mogucih strukturnih realizacija logickog upravljackog kola translatora je prikazana na st. 2.40. U zavisnosti od stanja osovine motora i zelje1
..
1I 52
2.10. Primene koral!nog motora
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
nog rezima rada zadatog odgovarajucom komandom ovo kolo generira logicke signale pobude statorskih namotaja motora. Rad kola se najlakse moze razumeti ako se posmatraju pojedinacno moguce situacije. Na primer, neka je trenutna pozicija osovine motora korak broj 1,a komanda je STOP(sip;nal na STOP ulazu translatora na sl. 2.40). U poziciji I, odnosno koraku broj 1, fotodioda PCl provodi, pa je F 1=1, a F 2 =0. Komandi STOP odgovara kod F 3 =1 i F4 =0. Pri :P 3 =0 i F4 =0 samo ce STOP izlaz grupe od 4 NILI-kola biti 1, ostali izlazi ove grupe su 0.
SUTOVOKOlO
' ~' I
53
Digitalna povratna sprega bitno poboljsava radne karakteristike koracnog motora. Osnovna korist od ovakve povratne sprege se ogleda u mogucnosti da motor »trci« brzinom koja je u sinhronizaciji sa trenutnom brzinom obrtanja. Na primer, pri komandi DK (dvostruki korak iii visa brzina) motor je u stanju da se kontinualno ubrza sve do 2000 koraka u sekundi. Medutim, bez povratne sprege maksimalna brzina ponavljanja koraka moze biti svega 200 koraka u ~e kundi. Stavise, u prisustvu povratne sprege motor ce raditi uspesno i u uslovima znatnih promena mehanickog opterecenja na izlaznoj osovini. Nairne, on tada automatski odabira sopstvenu brzinu ponavljanja koraka i, kad se opterecenje promeni, brzo se oporavlja da hi ponovo »trcao« istom sinhronom brzinom. Ovo dragoceno svojstvo motor ne poseduje kada radi u otvorenoj povratnoj sprezi; ako bi se opterecenje bitno promenilo u zatecenom stanju velike brzine ponavljanja koraka, motor bi se »zagusio«, izgubio mogucnost daljeg korektnog izvrsavanja komandi. Kao zakljucak, u prisustvu digitalne povratne sprege koracni motor 1adi poput elektromehanickog pretvaraca upravljanog sa 4 razlicite ulazne komande: STOP, DIR, REV i DK. Eksperimentalna ispitivanja su pokazala da koracni motor u prisustvu digitalne povratne sprege moze da se ubrza od nule do priblizno 280 koraka u sekundi za svega 25 milisekundi i to kada se komanda promeni od STOP na DIR i REV. Ako se ulazna komanda promeni od STOP na DK, iz stanja mirovanja motor se ubrzava do priblizno 2300 koraka u sekundi za svega 0,5 sekundi. Dakle, motor se ponasa kao dvobrzinski uredaj; niza brzina se postize naredbama DIR i REV, a visa sinhrona brzina - naredbom DK. Motor se, pak, moze zaustaviti naredbom STOP i u visoj i u nizoj brzini. Razume sc da ce prelazni proces pri zaustavljanju zavisiti od trenutne brzine motora i karakteristika opterecanja. Ne treba izgubiti iz vida da koracni motori omogucavaju precizno pozicioniranje i bez informacije o trenutnom polozaju vratila motora (bez povratne sprrge). Medutim, ovakav rad motora sa otvorenom povratnom spregom je moguc samo ako su promene opterecenja neznatne. Osim toga, tada brzina ponavljanja upravljackih impulsa motora mora biti usaglasena sa prelaznim procesom u svakom koraku. Medutim, prisustvo digitalne povratne sprege omogucava daleko bolje karakteristike, jer se tada brzina ponavljanja upravljackih impulsa podesava automatski u zavisnosti od trenutne brzine motora i karakteristika opterecenja. Stavise, povratna sprega omogucava maksimalnu brzinu ponavljanja upravljackih impulsa u toku procesa ubrzavanja motora i u toku regulacije neke konstantne brzine obrtanja vratila motora .
., LITERATURA Sl. 2.40· Logicko kola za upravljanje koracnim motorom
Otuda ee grupa od 8 NI-kola sa po dva ulaza tada imati izlaze (11011101), gledano odozgo nadole. Buduci da sada dva krajnja Nl-kola sa po 4 ulaza imaju po jedan od ulaza 0, njihovi izlazi su A 1 =I i B1=I, sto odgovara zahtevanoj pobudi namotaja za poziciju I (vidi tablicu 2.9). Dakle, motor se nalazi u poziciji I i komanda STOP ga u njoj zaustavlja. Citaocu se prepusta da sam analizira rad translatora pri drugim mogucim kombinacijama trenutnih pozicija i ulaznih naredbi.
[I) Small Computer Handbook, Digital Equipment Corporation, Massachusetts. [2] Logic Handbook, Digital Equipment Corporation, Maynard, Massachusetts. (3] Handbook of Analog Computation, Systron Donner Corporation, Concord, California, June 1967. (4] To u, J. T., Digital and Sampled Data Control Systems, McGraw-Hill, New York, 1959. [5] Hanna u e r, G., Basics of Parallel Hybrid Computers, Electronic Associations, Inc., Princeton, N.J., 1967. [6] Systems Designer's Handbook, Benwill Publishing Corporation, 167 Corey Road Brookline, Massachusetts.
r~!r
I
i
:i
54
2. Komponente digitalnih sistema upravljanja
[7] Fredriksen, T. R., Closed-loop stepping-motor application, 1965 Joint Automatic Con-
:j
trol Conference, pp. 531-538. [8] S to j i c, M. R. and P. J o v a n o vi c, Direct digital servo control system: design, practice, and algorithms for microprocessor application, Automatika, Zagreb, vol. 22, No. 5-6, 1981, pp. 179-'-188. [9] S to j i c, M. R., Design of the microprocessor-based system for DC motor speed control, IEEE Trans. on Industrial Electronics, vol. IE-31, No. 3, August 1984, pp. 243-249. [10] M c C Ius key, E. J., Introduction to the Theory of Switching Circuits, McGraw-Hill, New York, 1965. [11] Susskind, A. K., Notes on AnaloP Digital Conversion Techniques, John Wiley, N.J., 1957. [12] Foss, F. A., The use of digital codes in digital control systems, IRE Trans. of Electronic Computer, vol. EC-7, No. 4, Dec. 1954. [13] S to j i c, M. R., Kontinua/ni sistemi automatskog upravljanja, Naucna knjiga, Beograd, 1988 {peto izdanje). [14] 0 h mae, T. et al, A microprocessor-controlled high accuracy wide range speed regulator for motor drives, IEEE Trans. on Industrial Electronics, vol. IE-29, August 1982, pp. 267271. (15] t_ i v k o vic, D. i M. Popovic, Impulsna i digitalna elektroni!
3 STRUKTURA DIGITALNOG SISTEMA UPRA VLJANJA I PROCES ODABIRANJA Rad sistema za prenos informacija, regulfciju -i· upravljanje, u sirem smislu, se najvecim delom zasniva na obradi i prenosu signata. Stavise, od postupka obrade i prenosa signala zavise konstrukcija i svojstva sistema u celini. Ovi postupci se mogu svrstati u dve kategorije: analogni (kontinualni) i diskretni. U analognom postupku se obraduju i prenose sve trenutne vrednosti signala, tj. signal u celini. Prakricno, u prenosu analognog signata koriste se razliciti tipovi modulacije; na primer, prostoperiodicna fizicka velicina se modulise po zakonu odredenom trenutnim vrednostima prenosenog signata. U diskretnom postupku obrade i prenosa signal se najpre diskretizuje iii kvantuje po nivou i/ili po vremenu, pa se zatim obraduju i prenose samo diskretne (lcvantovane) vrednosti signala. U rocesu kvantovan·a o nivou kontinualni si nal ~umom unapred zadatih vre nost1 ]coje kontinualan signal dostize 1!. proizvoljnim trenucima lil. 3.la). U kvantovanju o vremenu vremenski intervaT, (interval! odab1ranja) se unapre 1 suaju. zatim kontmua ni si n~L.!l-~--M.. 'Van ovanta zamenJuJe oovorkom vre nost1 (odbiraka) koie au trenucima Odabiran"a sl. 3.lb). Kao sto je pokazano na sl. 3.1 Signal c , u procesu kvan ovanja 1 po mvou i po vremenu kontinualan signal se zamenjuje povorkom fiksiranih diskretnih nivoa najblizim vrednostima kontinualr.og signata u trenucima odabiranja. Pri tome, pomenuti diskretni nivoi poseduju celobrojne vrednosti kvanta t!.y. Za prenos diskretnih signala primenjuju se razliciti tipovi modulacije: ampli~~dno-i~ulsna-'.. sirinsko-impulsna, impulsno-kodovana, koja odgovara kvantovanju i po nivou ,· po vremenu, i druge. Tacnost analognog vida obrade i prenosa signata najvecim delom zavisi od preciznost i uredaja za obradu i prenos i nije narocito vel ika. Pored toga, na kvalitet prenosa bitno utice prisustvo sumova i smetnji ciji negativni uticaj raste sa povecanjem rastojanja u prenosu. Tacnost obrade i stepen zastite od smetnji u analognom vidu obrade i prenosa signala su relativno mali. Zastita od smetnji se bitno povecava u diskretnim sistemima; ali, u slueaju kvantovanja samo po nivou tacnost ostaje ista kao u odgovarajucem kontinualnom sistemu. Medutim, u di~kretnom sistemu sa kvantovanjem signala i po nivou i po vremenu tacnost i stepen zastite od smetnji se znatro· rovecavl'ju, tako da m, za-
'
.
f\u.-1:.
~.~~~r,
I·! ,i
lir
•!
56
3. St ruktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
pravo tada prakticno neogranieeni. Ako se pri tome ima u vidu i mogucnost prenosa vise diskretnih signala po jednom zajednickom kanalu, postaje razumljiv intenzivan razvoj i sve sira primena diskretSIGNAL nih vidova prenosa signala u sistemima tele(a) komunikacija, telemehanike i automatike. y3 Kad je rec samo o diskretnim sistey ·-------mima automatskog upravljanja, tada se oni 2 mogu razvrstati u tri kate onje: rele'ne unl2l ~ne I rugttai~ U reiejnim Se kvantovayl riJe signala vrsi samo po mvou, u tmpulsnim SIGNAL (b) - p_o vremenu, a u digitalnim - i po nivou i po vremenu. Kvantovanje po nivou se postize relejnim elementom ciji izlaz moze poprimati neke 0 VRG1E unapred fiksirane nivoe. U prostijim, a! i najcesce sretanim slucajevima, broj takvih nivoa (c) S~GN,RL, , 4Ay -,- 1 - r -,- r -,- T -,- 1je dva iii tri. Kada se broj zadatih nivoa 3Ay •povecava i razlike izmedu njih smanjuju, 2Ay relejni sistem se sve vise priblizava kontinuAY alnom. Na pri_~_,~mehanizam sa zica' , vREME nim potenciometrom kaoa~ l2l -Ay 't::.-, ~)OZICIJe CeS{O tretuamo kao kontmuaJan j -2Ay -:- ~ - ~ -:- L -'- 1 - :- ~ hnearan, mada Je Signal sa potencwmetra . . . . kvantovan po nivou usled preskoka klizaca st. 3.1. Trpovr kvamovan;a: (a) po nrvou, . . -· I · (b) po vrememr i (c) po nivo 11 i po vremenu po naVOJClma z1ce na te u potenc1ometra. Relejni sistemi pripadaju klasi najprostijih uredaja za upravljanje; oni su u praksi cesto primenjivani, a sa teorijskog stanovista su podrobno prouceni.
vre enu ostize ampliU digitalnom sistemti"se kvantovan'e i o nivou i tudno- o ovanim modulatorom iii specijalnim digitalnim uredaj~_Q!j_mer, A/D konvertorom. TeonJskt posmatrano, pnsustvo kvantovanJa po nivou cini sistem nelinearnim. Nairne, pri malom broju'kvantnih nivoa, kada Je kVantovanje po nivou dominantno, digitalni sistem poprima svojstva relejnog. Ali, kada je oroj kvantnih nivoa dovoljno veliki, tj. tamo gde je kvant 6.y mali, tako da su kvantovani odbirci priblizno jednaki vrednostima kontinualnog signala u trenucima odabiranja, digitalni sistem poprima dominantna svojstva impulsnog i sa stanovista diskretizacije se moze prakticno smatrati linearnim. Kada se u ulozi impulsno-kodovanog modulatora ll~~~_A/D konvertor, njegov· ulaz Je kontinualan signal, a izlaz - povorka brojnih vrednosti (digitalni signal) ulaznog signala u trenucima odabiranja 0, T, 2T, . . . (sl. 3.1c). Tacnije, na svom izlaz[ A~ konvertor daje nosno povorku brojne vrednosti odbiraka u binarnom kodu (vidi Pogl. :f :t), digitalnih reci duzine izlaznog registra konvertora. Razume se, sto je duzina reci veca, kvant 6.y je relativno manji u odnosu na normiranu vrednost ulaznog kontinualnog signala, pa je rezolucija iii tacnost.konverzije veca.
3. L Struktura digitalnog sistema upravljanja
57
Dakle, pod odredenim uslovima u pogledu velicine kvanta 6.y sistemi automatskog upravljanja sa amplitudnom modulacijom odbiraka (impulsni) i sa impulsno-kodovanom modulacijom (digitalni) se mogu podvesti pod zajednicki pojam - impulsni sistemi. Stalno usavrsavanje mikroelektronske tehnologije, performansi digitalnih racunara, posebno mikroprocesora, kao i razvoj digitalnih zakona i algoritama upravljanja doprineli su velikcm interesu za digitalnim sistemima upravljanja i njihovoj sve siroj primeni u inzenjerskoj praksi. Stoga ce se u sledecim izlaganjima podrazumevati da je rec o digitalnim sistemima, a tamo gde to nije slucaj, bice posebno naglaseno. Medutim, vecina metoda i rezultata teorije digitalnih sistema se moze neposredno primeniti i za druge tipove diskretnih sistema bez obzira na njihovu konstrukciju, fizicku prirodu i namenu. 3.1. STRUKTURA DIGITALNOG SISTEMA UPRAVWANJA
I ~ KOMUTP.TORI - - - - .
2
St. 3.2. 1/ustracija rada digiratnog sistema uprm·/janja u raspode/jennm vremenu
~
"l'f iI
! 58
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
upravljanja, odnosno brzina promene upravljane promenljive dozvoljava da. perioda odabiranja bude dovoljno velika, tako da procesor moze da obavi svoje funkcije u relativno kratkom vremenu neposredno posle trenutka odabiranja, unutar peri ode T. U ostatku raspolozivog realnog vremena do sledeceg trenutka odabiranja procesor moze mirovati iii, sto je uobicajeno, vrsiti druge operacije neophodne za efikasniju realizaciju primenjenog algoritma upravljanja (qbradu mernih signata, estimaciju promenljivih u ravl"anja, identifikaci' realizaciju delova argQn a u s VUJU o ta a raspolozivi podaci, adaptaCIJU sJstema+sl.}: Za razumevanje tipicne strukture digitalnog sistema upravljanja pogodan je primer gde racunar u realnom vremenu upravlja sa nekoliko procesa razlicitih uprav'ljanih fizickih promenljivih. Struktura takvog sistema za koji se kale da radi u realnom raspodeljenom vremenu izmedu dva sukcesivna trenutka odabirania sematskl Je pnkazana na sl. 3.2. Na shCJ se VIde komutatori koji vrse raspodelu realnog vremena. Pobudivanje komutatora i sinhronizacija sistema nisu prikazani eksplicitno; pcdrazumeva se da su ove funkcije sastavni delovi algoritma rada racunara. Referentne ulaze generisu pretvaraci Pr I, Pr 2, . . . u vidu digitalnih reci koje su po duzini kompatibilne izlazima odgovarajucih A/D konvertora u kolima povratnih sprega. Kada su zadati ulazi r 1(t), r2(t), ... analogni signali pretvaraci Pr I, Pr 2, . . . mogu biti, takode, A/D konvertori. Medutim, zadati ulazi se mogu saopstavati numericki, pa tada pretvaraci sluze da prevedu zadate brojne vrednosti u binarni kod. Ulaz moze biti i fizicka velicina koju pogodan enkoder pretvara u digitalni signal. Na primer, ako je r(t) ugaona pozicija, ulogu pretvaraca moze vrsiti ugaoni enkoder (vidi Pogl. 2.5). Bez obzira kako se generise referentni ulaz u vidu digitalnog signata, kada komutator omoguci pristup signata Pf
....
•·Ctl •--~---·······-'
Sf. 3.3. Blok clijagmm jecbwg pudsistema
11
sistemu
lUI
sf. 3.1.
j-tc povratne sprege na ulaz racunara. trenutne vrednosti referentnog ulaza i signata povratne sprege se zadrze u zatecenoj vrednosti sve do komutacije na sledeci kana!. Ocigledno, n kanala na st. 3.2 su medusobno nezavisni i mogu se posmatrati svaki ponaosob, kao na st. 3.3. Buduci da se strukture kana Ia ne razl ikuju, na sl. 3.3 je izostavljen redni broj kanala. lsprekidanim linijama koje povezuju pretvarac na ulazu, A/0 konvertor u povratnoj sprczi i preklopnik na izlazu procesora naglaseno je da su komutatori na sl. 3.2 sinhronizovani. Oigitalni racunar vrsi procesiranje i nformacija u svakom kanalu. Otuda je u posmatranom kanalu na sl. 3.2 posebno naglasen autonomni procesor kana Ia, koji u svakoj periodi odabiranja najpre ocita digitalne vrednosti refercntnog ulan i promenljive povratne sprege, zatim formira digitalni odbirak signala grcskc i po zadatom programu (algoritmu) za posmatrani kana! gcnerisc oobirak upravljal:ke
3.1. Struktura digitalnog sistema upravljanja
59
promenljive, koji se u vidu digitalne reci pojavljuje na ulazu D/A konvertora. Formiranje programa za digitalni procesor je zadatak sinteze sistema upravljanja; za sada se pretpostavlja da program obezbeduje ponasanje sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi u skladu sa unapred postavljenim zahtevima u pogledu tacnosti rada sistema u stacionarnom stanju i kvaliteta dinamickog ponasanja u prelaznom procesu. Dakle, u svakoj periodi odabiranja procesor generiilt, po jedan odbirak, tj. u toku vremena - povorku digitalnih odbiraka upravljacke promenljive, koja se zatim posredstvom D/A konvertora prevodi u kontinualan stepenasti signal. Izlaz D /A konyertora je signal niskog energetskog nivoa. Stoga se njegovo delovlin'e na roces u ravljanja ostva:ruJe posredno, reko jaeavaca.···-snage--(PS) nr·naponskofstrujnog onvertora 1 1zvrsnog organa sa 1 1 ez servomotora. Nairne, u cesto sretanoj varijanti objekat na sl. 3.3 ima strukturu prikazanu na sl. 3.4. u klasi tehnoloSkih procesa (temperatura, protok, nivo, pritisak, mesavina i st.) upravljana iii regulisana fizicka promenljiva se meri detektorom koji na izlazu daje najcesce standardni strujni iii naponski signal. Prema tome, A/D konvertor na sl. 3.3 prevodi standardne merne signale u digitalne odbirke promenljive povratne sprege. Merenje i postupak konverzije signala u povratnoj sprezi pomocu detektora i A/0 konvertora su tipicni. Ali, u izvesnim slueajevima detekcija upravljane pro~BJEKHT--------_.~ menljive se moze vrsiti neposredno u vidu digiI : talnog signala. Na primer, kada je objekat upravljanja elektromotorni pogon, a upravljana promenljiva brzina obrtanja iii ugaona pozicija 3.4. Struktura objekta upravljanja vratila motora, tada se brojne vrednosti uSf.sirem smislu: PS - pojacavac snage, odbiraka ove promenljive mogu dobiti u bi10 - iz•·rsni organ i proces narnom kodu pomocu enkodera brojackog tipa (vidi Pogl. 2,6). U tipicnoj strukturi digitalnog sistema upravljanja (sl. 3.3) mogu se uociti dva po prirodi razlicita del a: kontinualni, koji sadrfi D /A konvertor, objekat upravljanja, detektor upravljane promenljive i A/0 konvertor i digitalni (diskretni) deo sa procesorom u glavnoj ulozi. koji ocitava odbirke referentne vrednosti iii zadatog zakona promene i upravljene promenljive, izracunava signal greske, programski realizuje diskretnu upravljacku promenljivu i eventualno obavlja druge operacije koje mogu. ali ne moraju biti iskljucivo u funkciji upravljanja. U daljem razmatranju strukture digitalnog sistema upravljanja pretpostavlja se da je duzina reci digitalnih modula dovoljno.velika, tako da se nelinearni efekti usled kvantovanja promenljivih po nivou mogu zanemariti. Tada se moze zamisliti da su unutar bloka odabiranja i zaddke sadrzane tri operacije: odabiranje (registrovanje brojnih vrednosti zadatog ulaza r(t) u trenucima odabiranja i konverzija tih vrednosti u binarni kod), zadrska (cuvanje zatecene vrednosti odbirka do sledeeeg trenutka odabiranja) i cis to vremensko (transportno) kasnjenje T 1 (vreme potrebno za proces odabiranja i konverzije odbirka). Na isti nacin sc moze razloziti proces AID konverzije u povratnoj sprezi, tako da se struktura sistema detaljnije moze prikazati kao na sl. 3.5, gde je T 2 vreme A/0 konverzije. Proces regis'! trovanja brojnih vrednosti zadatog ulaza r(t) i upravljane promenljive c(t) u trep~\~ nucima odabiranja je simbolicki predstavljen odabiracima S1 i S2 (sl. 3.5). Za sada ,:., 'L.,se pretpostavlja da s. i s2 deluju respektivno Tt sec i T2 sec pre nego sto komutator /f,i'·' , ) I na sl. 3.2 prikljuci digitalni racunar u spregu posmatranog kana Ia, odnosno pre 1 fi. ;/: trenutka delovanja odabiraca S 3 . Odabirac S4 deluje Tc sec posle trenutka delovanja '~~~~~~~~ odabiraca S_;. gde je Tr transportno kasnjenje potrebno da se obavi zadati program.
~)
A X' ~
~· I
'
il:
60
3.1. Struktura digitalnog sistema upravljanja
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
61
..
Periodicnim izvrsavanjem programa procesor na svom izlazu generise povorku digitalnih odbiraka upravljacke promenljive. U sistemu gde je objekat upravljanja digitalni uredaj ulogu D/A konvertora na sl. 3.5 vrsila bi zadrska (ZAD),
programa i nije bitno da li njihova zadrska postoji iii ne; rezultat procesiranja u oba slucaja je isti. Dakle, u strukturnom blok dijagramu na sl. 3.7 i zadrska odbiraka signala greske se moze izostaviti. Dalje, odbirci upravljacke promenljive, tj. povorka digitalnih signala na izlazu procesora su u odnosu na trenutke odabiranja
r ( t)
Sf. 3.5. Detafji strukture sistema 1ra sf. 3.3
,,, :;'ti
Sl. 3.7. Strukturni blok dijagram sistema na sl. 3.3
na isti nacin kao u ulaznom kolu i povratnoj sprezi. To znaci da bi se odbirak upravljacke promenljive zadrzavao na zatecenoj vrednosti sve do sledeceg delovanja odabiraca S4 • Medutim, u tipicnom slucaju objekat upravljanja je kontinualan dinamicki proces i tada ulogu zaddke vrsi D/A konvertor: na ulaz muse dovcdi povorka digitalnih signala, a na izlazu se dobija naponski signal cije su vrednosti k')nstantne izmedu sukcesivnih trenutaka odabiranja i proporcionalne brojnim vrednostima digitalnih odbiraka na pocetku intervala odabiranja. Posmatrana struktura sistema se bitno uproscava u s • prakticnom slucaju sinhronizacije, kada preklopnici komuf~~tJ tatora na sl. 3.2 poseduju kon.stantnu ugaonu ucestanost T St. 3.6. Simbolitka oz11aobrtanja I (T, tj. kada je perioda odabiranja T konstantka ideafnog odabirata na. Tada se ocitavanje odbiraka vr5i periodicno u trenucima odabiranja t=kT, k=O, I, 2, ... , sto se simbolicki predstavlja idealnim odabiracem na sl. 3.6. Dakle, povorka odbiraka f* (t) na izlazu idealnog odabiraca zadovoljava uslov
f* (I)
={'~(nT), l=nT ,
cisto vremenski zakasnjeni za vreme Tc potrebno za izvrsavanje programa. Elemenat transportnog kasnjenja e-Tc, koji modelira ovo kasnjenje, se nalazi ispred simbola idealnog odabiraca u dijagramu na sl. 3.7. Ocigledno je da sa gledista modela elemenat transportnog kasnjenja i simbol idealncg odabiraca mogu izmeniti mesta, jer ce se bez obzira na njihov redosled na ulazu D/A konvertora pojaviti ista povorka digitalnih signala. S obzirom na ove napomene, model na sl. 3. 7 se moze svesti na ekvivalentni strukturni blok dijagram prikazan na sl. 3.8.
~·
- T
~
~T
(3.1)
li=nT
gde su ((nn=/(1) za 1=0, T, 2T, ... , a f(t) je kontinualan signal cija se diskretizacija vrsi i po nivou i po vremenu. U slucaju konstantne peri ode cdabiranja T odabiraci S 1, S 2 i S3 su idealni i deluju istovremeno. Ocigledno, tada ce odbirci signala greske biti isti u prisustvu i bez odabiraca S 1 i S2 • Prema tome, sa gledista modela ova dva odabiraca se mogu izostaviti. Stavi5e, u modeliranju sistema sa idealnim odabiracima S 1• S 2 i S 3 mogu se izostaviti i operacije zadrske u ulaznom kolu i povratnoj sprezi. Nairne, ocigledno je da su odbirci signala greske koje ucitava program procesora isti bez obzira da li su naznacene zadrske na ulazu i u povratnoj sprezi. Posle ovih napomena struktura sistema na sl. 3.5 se moze svesti na ekvivalentni strukturni blok dijagram na sl. 3.7. Medel na sl. 3.7 se moze dalje redukovati. Za realizaciju zadatog programa procesora relevantni su samo odbirci signala gre~ke, oni se ucitavaju na pocetku
Sl. 3.8. Ekvivale111ni struktumi blok dijagram
Podsetimo da su vremena T 1 i T 2 , koja se pojavljuju kao transportna kasnjenja u modelu sistema na sl. 3.5, vremenski intervali potrebni za registrovanje i konverziju odbiraka zadatog ulaza i promenljive povratne sprege pre trenutka prikIjucenja racunara u spregu posmatranog kanala. Medutim, u prakticnom slucaju procesor radi drukcije: on u trenutku odabiranja inicira konverziju iii ocita njen rezultat, ako je konverzija do tog trenutka vee obavljena, pa tek zatim izvrsava zadati algoritam upravljanja. Ako procesor na pocetku procesiranja u trenutku odabiranja inicira konverziju, tada treba imati u vidu da je vreme konverzije i ucitavanja 6dbiraka referentnog ulaza i promenljive povratne sprege obicno mnogo krace od vremena Tc potrebnog za izvrsenje zadatog programa, pa se u tim uslovima T 1 i T 2 mogu zanemariti. U pomenutom rezimu rada procesora, vreme A/D kon-
verzije T2 se efektivno pridodaje ukupnom transportnom kasnjenju procesora, koje tada postaje Td=Tc+T2 , tako da se strukturni blok dijagram moze svesti na sl. 3.9. ·
:;,, ;
63
zadr~ke
3.2. Proces odabiranja i
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
k=-oo
PROCt:SuO:
gde je h(t) Hevisajdov signal u trenutku t=O. S obzir~~- da ,)e[h(t-)]= 1/s i primenom teoreme Laplaceove transformacije o cis tom vremenskom ka§njenju, kompleksni lik signala f,. (t) je . -----------------------------------·-· oo 1-e-Ts Fh (s) = L f(kT) e-kTs = (3.3) \
~_/:
:i
-T~T-
St. 3.9. Tipican strukturni blok dijagram digitalnog sistema upravtjanja sa jednim utazom i jednim iztazom
I
Dijagram na sl. 3.9 je dobijen kao rezultat analize rada jednog kanala u digitalnom sistemu upravljanja sa raspodeljenim realnim vremenom (sl. 3.2). Posto su kanali u ovom sistemu prakticno nezavisni, do istog strukturncg blok dijagrama bi se doslo analizom rada digitalnog sistema sa autonomnim procesorom. Treba pomenuti da su, pored prikazanog tipicnog blok dijagrama, moguce i druge strukture digitalnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom u kojima procesor, na primer, pored odbiraka signala greske, procesira signale iz kola lokalne povratne sprege, od poremecaja i dr. Medutim, razumevanje postupka modeliranja osnovne strukture omogucava da se relativno lako strukturno modelira drugi slozeniji slucaj. Zapravo, model na sl. 3.9 nije doreeen; pre analize i sinteze ovakvog sistema neophodno je odrediti model D/A konvertora i funkcije prenosa objekta upravljanja i detektora. Kada ovi delovi pripadaju klasi linearnih stacionarnih kontinualnih sistema sa koncentrisanim parametrima, njihove funkcije prenosa je moguce izvesti poznatim tehnikama modeliranja kontinualnih sistema [2]. Analiza i sinteza sistema zahtevaju, takode, da se najpre detaljnije prouci proces odabiranja i, kad je rec 0 sintezi, da se resi zadatak formiranja i realizacije programa procesora, koji ee obezbediti zeljeni kvalitet ponasanja sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi.
s
k=-00
1 _ e-Ts
i
I
oo
L
=
,
J(kT)e-kTs.
(3.4)
\
~ , s k=-oo _ ~r..-;-~1 ~---,--c:.p-:;:;1 -~frr<:.:t--!·e-·
;-?--
r{
t"'f
.,_ \
BeskonaC..IJAJ>!lmJl: u prethodnoln' izrafu je jednoznacno odredena. odbircima f@~i f*(J), pafe ta siima:zapiavo, bilinearna iaphiceova trinsformaCija T!Tkompl'eksni lik povorkef*(t): ____________________ _ ,
1
.
~s;~ I
•
r
---......
~~--:- .
f(kT)
. /4' _
e~~~
k=-00
.'\(-
-,.-~-...
(3.5)
.
.
Zamenom (3.5) u (3.4) dobija se
/F,-(s) ~-Gh-(s)cF* (~).-- '/
gde funkcija prenosa
L__
"--,.o-
.. ·
(3.6)
-
l-e-Ts Gh(s)=-s
predstavlja WEdeL zad~~e vredi!Q_!>_tj_ odabiranja. · -·-~---------------
·· _..!I.Jiigitalnom sistemu -ldiskretizacija kontin.\la!ngg signala inh!!~c;:ntno saddi dve <~J>~~acue: J!!'Oc~s__o]~lfilliiii~Tiii(jrs1Qf.~Ako se diskret izaCija vrsi'Tpo niVou i po vremenu i kvantovani odbirci ne menjaju (zaddavaju) do sledeceg trenutka odabiranja, tada se rezu)tat procesa odabiranja i zadrSke moze predstaviti kao na -----:;:(:;)·;; ( t ) . .. --sl. 3)0~ gde.je f(t) kontinualan signal koji n f ( t) se dlsTCretizuje, a f,(t) je digitalni signal ~ije su vrednQsti konstlmtne izme.dll___ dva si.ikcesivrui. tn;nutka odabiranja. Diskretni nivoi signala f,(t) su, dakle, d~~J uj:-i_"Q_\!digitli.lnlli"reCi 1-,ako je_duzin_a_ ~:eC1~d_Qvol]rlo · I I -ver[ka, _tL:i~o}e 1cVaii.t-&y po _f1iyoti~vrlo I I maJC inoze -se-prthvatHi-dli su diskretni e t nivoi Tl [h(t )"jedii.a](} vr~dnostiiila f(kT) ~gnala f{i)'u treii.udma adabiranja. St. 3./0.0dabiranje i zadrska kontinuatnog signata
Aka signal. f(t) ne sadrfi impuls u bilo kam trenutku adabiranja, tada se
--Original, odnosno inverzna Laplaceova transformacija, za (3.?) je
J(;;~)-=---'~ ~~T)8(;-~~;),
l~-~ k - - ...---~ ---=------·-·---··= - 00
---
... -
-~ ~ / .
(3.8)
zr
gde su 8(t-kT) Dirakovi signali u trenucima odabiranja. Na zalost, matematicka interpretacija (3.8) povorke odbiraka nije saglasna .prethodnoj definiciji (3.1). Su§tina nesporazuma potice usled pretpostavke da se u pro~~SJJ oclabiranja vrednosti oc{)>iraka registruju trenutno, a to po prirodi nije ffioguee. {,J stv~T!· iive}<: postqj!__!I_~Q_l!l!J:IQ. Yt:em.e r.
·' ! '
I~ I
64
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
bija kao na sl. 3.11. Na osnovu slike 3.11 napisimo najpre izraz za tim taj izraz pomnozimo i podelimo ~a E:
3.2. Proces odabiranja i
J: (t),
pa za-
00
L:
J;(t)=
J
k=-00
L
=E
f(kT) h(t-kT)-h(t-kT
E)
(3.9)
e;
k= -oo f(t),f*(t)
~f(t)
... -T
t
Sf. 3. 11. Proces odabiranja fj_zii!kim_ideal.nim .. ad.JJ:::__ biracem
Posto je E mala pozitivna konstanta, razlomak u prethodnom izrazu aproJCsimira Dirakov signal 'S(t-kT) u trenutku t=kT, pa je stoga ri--'----~· --~--...:..:-=-.-~:':';:"~:.:.=;_:::.~.;::;=--="-~~=-:=:~-==--=-:.·
_fj_zj~~j oda blrac generi se__poyor leu. od biraka- sa -po'{rsinama proporci onalnim vred~~ti_l!ll!_ !<9-ritln~~og slgnalaJ(i) u odablranja; koeficijentproporcio-
-ireiiU:Cima
. ~I'
+
nalnostiu izrazu(3.10) je E, dok je u slucaju (3.8) jednak jedinici. U prakticnom slucaju procesa odabiranja u A/D konvertoru idealno odabiranje podrazumeva da je vreme A/D konverzije malo, tako da se u procesu konverzije analogni signal na ulazu A/D konvertora ne stigne da promeni za jedan kvant diskretizacije po nivou, tj. da se dok traje konverzija najmladi bit u digitalnoj reci na izlazu konvertora ne promeni sa 0 na I iii sa 1 na 0. Medutim, bez obzira kojim se od dva pomenuta nacina tretira proces odabiranja rezultat zadr~ke odbiraka je isti. Nairne, zadr!ikom odbiraka u povorci .r:(t) na sl. 3.11 dobio bi se isti signal zadr~kefh(t) kao na slici 3.10. Dakle, u oba slucaja kompleksni lik Fh(s) je dat izrazom (3.3), Koji se, sa ciljem uvodenja F; (s) umesto F*(s), moze formalno prepisati u obliku Fh(s)=
1-
e-Ts [
J
oo
ek=~oof(kT)e-kr. =Gh&(s)F,*(s).
(3.11)
Buduci da F ~ (s) u srednjoj zagradi jednacine (3.11) predstavlja kompleksni lik povorke odbiraka (3.10), model zadrske u slucaju idealnog fizickog odabiraca se opisuje funkcijom prenosa Gh, (s)
I - e-Ts
(3.12)
65
zadr~ke
U brojnoj literaturi [1,3-10] posvecenoj diskretnim sistemima postoji konfuzija u pogledu razlicitih interpretacija prccesa cdabiranja. U cilju boljeg razumevanja tog procesa, treba ponovo uociti da se uvodenjem pojma idealnog fizickog odabiraca, tj. koris6enjem izraza (3.10) za povorku o~bV;aka i funkcije prenosa zadrske u obliku (3~12) dobija korektan rezultat (3.3/fi"komp1eksni lik signala dobijenog u procesu cdabiranja i zadrske. Medutim, ovakva interpretacija zahteva da se uvek ima u vidu priroda vremena e: i da se ta konstanta dosledno pise u izrazima (3.10) i (3.12). Medutim, u proizvodu Fh (s)=Gh< (s) F; (s) ova konstanta se skracuje, tako da se korektan rezultat dobija i kad se E izostavi u izrazima (3.10) i (3.12), sto tada odgovara prvobitnom tretmanu procesa odabiranja i zadrske pomocu povorke (3.8) i funkcije prenosa zadrske (3.7). Ova forma1na podudarnost cisto matematicke i fizicke interpretacije prccesa odabiranja i zadrske je verovatno razlog sto vecina autora, uz izvesne napomene, radije prihvata matematicku interpretaciju. Medutim, postoje tipovi signala f(t) i klasa impulsnih sistema gde ovakav tretmanoovodi __(:IQ jre~akil. u--iinalizi. . .. . ~--Posmatrafmo impulsni sistem sa amplitudnom modulacijom odbiraka. U takvom sistemu se moze zamisliti da diskretizaciju vrsi pravi fizicki odabirac; na primer, prekidac koji se periodicno zatvara i svaki put kontakt traje neko malo vreme E. Zanemarivanjem promene signalaf(t) na ulazu prekidaca u toku vremena E, kao rezultat odabiranja na izlazu prekidaca bi se dobila povorka odbiraka j; (t) prikazana na sl. 3.11 i opisana izrazom (3.10). Izostavljanje konstante E iz izraza (3.10) u ovom slucaju bi znacilo previd faktora slabljenja E koje odabirac unosi u posmatrani sistem. Dakle, eksperimentalna merenja u takvom sistemu tada ne bi bila saglasna sa teorijskim proracunima statickcg pojacanja. Ako se ne vodi racuna o fizickoj prirodi procesa odabiranja u uslovima kada signal f(t) poseduje impulse u nekim trenucima odabiranja, tada mogu nastati greske cak i u slucaju kada je u procesu odabiranja sadr:Zana operacija zadrske. Za ilustraciju, pretpostavimo da signal /y (t) predstavlja impuls trajanja y u trenutku odabiranja t=jT. Za malo vreme y signal se moze aproksimirati sa
f, (I)- h (1-jT) -h(l- jT-y) ~·(I- jT), /~-
pa je rezultat diskretizacije ovog signa Ia idealnim fizickim .
h_<~r_-.::_jn_;__-_h_,_
"( { h (t- jT)- h (t- jT- e) "(
'
(J.IJ)
odabirace~{' odreden sa ------------
y::;:;E (3.14)
,
y>e
Prema tome, ako je y::; E, na izlazu fizickog odabiraca ce se pojaviti impuls fy (t) u neizmenjenom obliku, dok ce se u slucaju y> E, umesto impulsa /y (t) povrsine 1, na izlazu odabiraca u trenutku t=jT pojaviti impuls trajanja E i povrsine E/y. Neka je, na primer, sirina impulsa y manja odE. Tada se za signalf(t)=/y (t)+ +/1(t), dobijen superpozicijom posmatranog impulsa i nekog kontinualnog signala / 1(t) koji ne saddi impulse u trenucima odabiranja, diskretizacijom fizickim odabiraeem dobija povorka odbiraka J:(t)R=~'S(t-jT)+e:
e:s
2: k=-oo
S Dig:italni sistemi upravljaoja
f.(kT)~(t-kT).
(3.15)
"'~1·'
·~J
.
/4P 66
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
3.3. Kompleksni lik i frekvencijske karakteristike povorke odbiraka
Kao sto se vidi, u izrazu za povorku j." (t) konstanta E je pridruzena samo odbircima signata f 1(t), a ne i superponiranom impulsu. Prethodnu diskusiju ilustruje sl. 3.12. Na delu slike pod (a) strukturno je prikazan proces odabiranja i zadrske idealnim fizi~kim odahiracem, koji u povorku odbiraka j." (t) unosi faktor slabljenja E, a zadrska ima model u vidu funkcije prenosa (3.12). Slika 3.12 (b), pak, ilustruje potpuno idealizovan proces odabiranja, koji bi generisao povorku odbiraka po formuli (3.8) i imao zadrSku funkcije prenosa (3.7). U prakticnim slucajevima digitalnih sistema automatskog upravljanja signal f(t) ne saddi impulse u trenucima IDEALNI FIVCKI\ odabiranja, a zadrska odbiraka izmedu O?ABIRAC . Gn U retkim slueajevii!La,., __gde_l~alni fizicki
fC~f·ct~~~-e-r~l fh~t)
/flf)'~-o;~~aj
.. =-...:---
. -·
.pa se,
s obzirom-n:a-(3.16), jednacina (3.17) moze napisati u obliku f*(t)= L:f(kT)8(t-kT).
I
U razmatranju procesa diskretizacije kauzalnih signata rezultat (3.18) se dobija i kada se izostavi deo povorke i(t) za t
L:
i(t)=
8(t-kT).
(3 .19}
k=O
Kompleksni lik povorke odbiraka se dobija iz (3.18) u obliku i
.
/ F* (s)
=
00
:Z [/* (t)] = L
f(kT) e-kTs.
(3.20)
k=O
-5-
·s-e u
(3 .18)
. _k =Q. ..... .
~·genensepovo_!kua.!!!PJi!u_dE_~-
auhsanillOabiraka koji zatim ne prolaze ICroz pro_~~~--~Arsf~::-n i-u sl\l,c!l}u·Iqlaa cbl ~ ICOnttnl1alnisignaJ . \l procesu odabiranj3:_i Sl. 3.12. Prikaz procesa odabiranja: (a} sa -~~.
\68~~~~c
67
lLf.fji§yojiti kao,_t=O. __ pakle, u tom slueaju
I . .,11-e-TSI
l
.·+;. ) '\ . I j )
Uocimo da sracunavanje F*(s) po prethodnoj formuli zahteva poznavanje signata f(t) u vremenskom domenu, odnosno vrednosti tog signa1a f(kT) u trenucima odabiranja. Medutim, u analizi i projektovanju sistema automatskog upravljanja CeStO SU od intereSl!_QQ§_t~~!'.?-iJ.!!!!lVanja _!* (s) na_QSfiOV_!! __:k._QJ!lp_lek~nog lika F(s) kontmualnog signata JJ!.L Takve postupke om()gi!CUjC!_!~Q~~~~-o konvoluctJI u kompl~ksnom podrucju, poznafa-u teoriji Laplaceove. transformacije-[2]. Primeii
ove
·;;·c;);;:.Yti(t)i-(r)J
I
Y+ioo
3.3. KOMPLEKSNI LIK I FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE POVORKE ODBIRAKA
=
2~}
J
F(p)I(s-f)_'!!·
y-Joo
Prema relaciji (3.8) iii (3.10}, proces odabiranja se moze tretirati kao vid impulsne modulacije, prikazan na sl.~3:n;-gde je nosecl signal povorka jeginicnih-i"nip_!l_lsa···--·-·---, · ······· ·· - ·····
L:
i(t)= k=
a modulisuci signal f(t}.
~ko
8(t-kT),
(3.16)
-00
signal
nn-ll:e~if~.I.Tnmill~-=-\1=·-!ren'!ci~ ~anta i ako-se _gene!;is~~-E>dhi=:
'
~~--,
r (t)=f(t); (t).
(3.21)
gde su F(s) i /~kompleksni likovi, respektivno, signala f(t) i povorke jedinienih impulsa i{t). Podsetini_o_l;!:l,j~--~-a-~ist~£i.u integrala.Q1!l_n~QW.Q<.l!l_o_!ia prava _Re g~y ~~z Koje se vrsf"Il\tegf~~ija _u p-ravni razdvaja sip.gularitete tipa. polova . ~tegralriil!_fU:n~c_ti~ J'.J.R.U_ _!(L;R1 · ·· · Kompleksni lik povorke jedinicnih impulsa i (t) se dobija neposredno iz (3.19): . I ----· ---·-- ·-----··------,, 1
/(s)=
·
. ra~ -~osm~tr.!LJ~a~ __!!!zultat procesa oCfa:blraiijif i zadrske u uslovima brze ((t)~f(t_); ( t ) k()_I!Y!!n;ij~< .Lm_1;1Jc:>g kvanta dlskietiiicli~ Po nivou, tada se, kao §to je pokazano u pfefhcdnom poglavlju, moze, bez Sf. 3.13. Jmpulsni modulator kao odabirac negativnih posledica u pogledu tacnosti, prihvatiti idealizovana interpretacija procesa odabiranja (sl. 3.12b), gde je, prema sl. 3.13, povorka odbiraka data sa
/ _/
'
oo L
I
le-T'I
e-kTs=--,,
k=o··
l-e-Ts·
(3.22)
'
Prethodni rezultat j~-dobijen sracuna~an]em sume kao geometrijske progresije sa faktorg_!!1~t::!;:. Dakle, pretpostavlja se da je moduo ovog faktora manji od I, tj:. da je'~.?-~JOvaj uslov_ odreduje oblas! definisanosti L~plac~ove transformaciJe. Uslov-se poarazumeva 1 nece se ubuduce posebno nag1asavati. Smenom (3.22) u (3.21) dobija se
J
y+joo
F* (s)
(3.17)
1
= - --
2rtj
F(p) .
y-joo
~·
1 1-e-T(s-p)
dp.
(3.23)
r
68
3.3. Kompleksni lik i frekvencijske karakteristike povorke odbiraka
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
I! I'
Za sracunavanje konvolucionog integrala (3.23) neophodno je konsultovati sliku 3.I4. Slika prikazuje p-ravan sa pravom Re p=y i polovima podintegralnih funkcija. jim p
--
"""-PRAVA Re
--""'~
/
j6fl
/
J4n
/
;
'"'
,'-tc',
j20 I
•"
•'
I
"-1('1
I
Y+Joo
/\
\
1-e~T(s-pl
' J I
,_
·-j2f:-
Re.,P
:1• """/ /__..<-c-'
FCpl
-J4n
'
r._/',,
-
1
-J6n
-....._
·- -
I R-+oo -2rtj
-~;~ J~
F* (s) =
l(s-p)=-~I-
J
il~
i=l
P(Rei 6) Rei& Q (Rei&)
(3.24)
1 1 _ e-Th-ReiO) jd {l = O,
e-T(s-p)
1 .J: - P(p) 2rt"J' n J c n(p-p) i=l
su koreni jednacine ili
e-T(s-p)
=I · e 2 n"',~
n
=
0, ± I, ± 2, . . .
(3.25)
Resenje ove jednacine odreduje beskonacan broj pol ova kompleksnog lika l(s-p):
. 2 7t ~.;;.;::-)' ;Pn~_-S,+JnT=t~!n~,j _,.·
n=O,
±I, ±2, ...
\;:·(s)
(3 .26)
'././
T
1 1-e-T(s-p)
d p.
(3.31)
i
r;es i=l
=
i
- F(p)
u polovima funkcije F(p) =
l-e-T(s-p)
P(p,) _ _1
l=tQ'(p1)
(3.32)
1-e-T(s-pi)
P(p.) = P(p)
I
P=P;
Q' (p.) =
d~p) lp=p ..
(3.33)
I
U posmatranoj klasi signata f(t) kompleksni lik F(p) se dobija u vigu realne racionalne funkcije, tj. kao odnos dva poffii.oma />(p) i Q(p) s~f realnlin koefii:ijen-
tima:--- · -
P(p)
fi (p-p,)
• 1-1
gde su
(3.27)
kruzna ucestanost odabiranja.
P(p)-
=
)
(
koji se multipliciraju paralelno imaginarnoj osi p-ravni sa rastojanjem j0. izmedu dva susedna pola, gde je
F(p)= Q(p)-
(3. 30)
Po Caushyjevoj teoremi o ostacima, prethodni integral je jednak zbiru ostataka u polovima podintegralne funkcije koji se nalaze unutar konture C, a to su u posmatranom slucaju samo polovi kompleksnog lika F(p). Dakle,
. '--_.
0.=~
(3.29)
n:/2
Polovi kompleksnog lika
I- e-TCs-p) = 0
-dp.
jer je u limesu njegova podintegralna funkcija jednaka nuli. Dodavanjem clana (3.30) nulte vrednosti integralu (3.29) neee se promeniti vrednost za F*(s), ali se tada F*(s) moze definisati integralom po konturi C:
Sf. 3.14. Konture integracije u p-ravni
1-
•
1-e-TCs-p)
(p-p,)
Jn:/2
lim
-
1 -'
P(p)
Pod navedenom pretpostavkom o mogucnosti razdvajanja polova podintegralnih funkcija konvolucioni integral (3.29) je moguce sracunati primenom Caushyjeve teoreme o ostacima. Za to je najpre potrebno dopuniti pravu Re p=y polukrugom beskonacnog poluprecnika koji zajedno sa pravom Re p=y obrazuje konturu C, koja u pozitivnom smeru (obrnuto od kretanja kazaljke na casovniku) obuhvata celu levu poluravan p-ravni. Ako je stepen n polinima Q(p) bar za 2 veci od stepena m polinoma P(p) (n~m+2), tada je integral duz pridodatog polukruga konture C
1
IC /
/
n
\
I
L.POLOVI 00
'
J IT
I F*(s)=--. 2rt} y-Joo
p -RAVR'<
POLOVI 00
R=<><>
-I--
\
X
Pretpostavimo za sada da su _po~ pros!i i da ni jedan cd .I?.Q.!p~~ nije u desnoj poluravni {R~--.£1.~, sto je dovoljan uslov da posto"i rav · e p~y7 koJa razdvaja singularitete tipa polova podintegralnih funkcija F(p) i s-p u (3.23), kao na sl. 3.14. Smenom (3.28) u (3.23) dobija se
p= '0
' '''
/
69
(3.28)
Ostaci u (3.32) su izracunati poznatim Lopitalovim pravilom i nema teskoca da se slicno postupi i u slucaju kada kompleksni lik F(p) poseduje visestruke polove [2]. Do istogj~r:'!~_p,:m @__f*{s)se moze doci_i_~ru}ccijiJ!l_ rezonovanjem. Nairne, primenomHevisajdovog razvoja za F(ji);;;,PrfJ)/Q(p) dobija se--r;zr- -----------~-----
U ovom slucaju se, umesto primenom Caushyjevc teoreme o ostacima, kompleksni lik F*(s) lakse sracunava pomocu jednacina (3.34)-(3.36). Pored (3.20) i (3.32), moguce je izvesti i ~J3i4-.1compl_e_~~n9._!Llika F*(s) povorke odbiraka. U tom cilju, sada dopunimo pravu Rep:=)' u p-ravni na sl. 3.14 pglu~!Ugom besko!lacnog p9luprecnika, k!,lji _za~(!~o sa pravom obraz:uje konturu C', koja u negativnom smeru (sirierii }Cretanja kazaTftee ria caso\iiiiku) obuhvata celu deshu poluravari p~ravni. Tada se integral (3.23)rrioze napisati u obliku
f
J
-rt/2
F(p)
d
1 - e-T(s-p)
. p- 1tm
R--+oo
•
F(Rej6)Rej6 ·cte . 1 .
(3.38)
I -
(3.39)
e-T(s-p)
Primenom Lopitalovog pravila sracunava se osta~ak u polu Pn=s+jnD., kao \1
=',--
:T
F(s
.. . I
··---:..::-..., 3.3. t. OSOBINE KOMPLEKSNOG LIKA POVORKE ODBIRAKA
/
Za dalja izlaganja vee sada je vazno da se uoce dve glavne osobine kompleksnog Iika F*(s). Prva: aslje periodicna funkcija pericde jD.. Ova osobina se dokazuje pomocu imiza (3.2Uf, Naime;-zameiiorrissa·:i-+JmD.·ii (3.20) dobija se, kada je m celobrojna konstanta,
L f(kT) e-kT(>+imn>
=
L f(kT)e-kn, k=O
jer je
e-jmkTO
= e-imkln =I. Dakle,
i ;~ (~:-;~~n) ~F.-(s)~·
u polovima funkcije _ _I
I - e-T(s-p)
(3.42) /
k=O
C'
;.- F(p)
. .. ... ....
F* (s + jmD.) =
F(p) 1 - e-TCs-p) dp = -~Res 1 --"" e-T(s-p)
lim (p- s -- jn D.)~
2
n=-oo
L.-· .-· --------
.,.,_ D.JO·
s obzirom da se u prvom clanu na desnoj strani prethodnog izraza integracija vrsi po konturi u negativnom smeru, taj clan je jednak negativnom zbiru ostataka podintegralne funkcije u polovima funkcije koji se nalaze unutar te konture, a to su sada samo polovi (3.26) kompleksnog lika (3.24). Dakle,
p--+s+jnO
T
Od interesa je uociti da izraz (3.42) daje kompleksni lik povorke odbiraka kao svojevrsnu superpozi.ciju kompleksnih likova kontinualnog signala /(t) koji seotskr(!tii\i)e~· Otuda, svojstva kompleksnog lika F*(s),-koja ii:razava'(J:-42), imaju sustinski znacaj za dublje razumevanje fizickih svojstava procesa diskretizacije, pa je stoga prirodno sto se vid (3.42) prikazivanja F*(s) eesto koristi kao polazna osnova u projektovanju digi_talnih filtara i u postupcima primene digitalne obtade signala u razlicitim podrucjima savremene inzenjerske delatnosti. Napomenimo da se prva dva vida (3.20) i (3.32) predstavljanja kompleksnog lika povorke odbiraka cesce koriste u metcdama analize i projektovanja digitalnih sistema automatskog upravljanja.
rt/2
C'
-2~jf
rt/2
-- ... ----- .-------1 t. F*(s)=~1 L F(s+jnD.)+-f(O+).
Ako je stepen n polinoma u imeniocu samo za 1 veci od stepena m polinoma u brojiocu kompleksnog lika F(p) (n=m+ 1), tada, po prvoj granicnoj teoremi Laplaceove transformacije, postoji granicna vrednost
*()1 F s - --2 rtj
(3.41)
Smenjujuci najpre ostatke (3.40) u (3.39), pa zatim (3.39) i (3.41) u (3.38), izraz za F*(s) se dobija u obliku ___ -· _ .. . ·-
Ako postoji granicna vrednost (3.37), drugi clan na desnoj strani (3.38) ima vrednost
(;(.c
~ P'(P;)
"":~
T
3.3. Kompleksni lik i frekvencijske karakteristike povorke odbiraka
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
70
--- -
+ jn D.), n = 0, ± I. ± 2, ...
(3.40)
,,.
(3.43)
? /'(( ~ (3 .44)
kad je m celobrojna konstanta. Drugim recima, ako je poznata vrednost funkcije F*(s) u nekoj tacki s=s 1, u svim tackama s=s 1 +JmD. funkcija F*(s} ee imati tu istu vrednost, ako je m celobrojna konstanta. Druga osobina je, zapravo, posledica prve: Ako kompleksni lik F*(s) poseduje pol iii nulu u nekoj tacki s=s~o posedovaee polove odnosno nule i u svim tackama s=s 1 +jmD. odredenim svim celobrojnim vrednostima m u opsegu od -oc do + Xl. Ovu osobinu ilustruje slika 3.15.
-, )!.
/
;._-"' I :· I I ,.J'
1
/1-1
c
/
\_
f.I
3.3. Kompleksni lik i frekvencijske karakteristike povorke odbiraka
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
72
Unutar srafirane oblasti, koja se naziva primarnim pojasom; na sl. 3.15 prikazan je pretpostavljeni spektar kriticnih ueestanosti (polova i nula) koji karakterise kompleksni Iik F(s) signata f(t). Ako se ceo spektar od F(s) nalazi unu,ar primarnog pojasa, tada c':e, prema pokaznoj osobini, spektar kompleksnog lika F*(s) sadrZa.vati u celosti spektar od F(s) i beskonacno dodatnih spektara kcji se dobijaju multiplikacijom osnovnog spektra od F(s) nagore i nadolc u s-ravni sa · korakom jil. Ovi dodatni komplementarni spektri u spektru od F*(s) ieZe unutar komplementarnih pojaseva, koji imaju iste '" • m " sirine jil kao i primarni pojas. Ocigledno 11 ~ ovakav nacin formiranja spektra od F*(s) ~ , • J~--z je moguc ako se ceo spektar kriticnih m . . . . ~--- - - - - - • - o- - _.JZ n ueestanost1 od F(s) nalaz1 unutar pn1\> o • . ~ marnog pojasa. Stoga, podrucje ucestag; " • J 3 -znosti
tL=::J: -"
S -G!A'/RU
r n -2:. /lwl~2- T
jQ
n
'J;> , \ Re s h"h4
._I ima vaznu ulogu u frekvencijskim metodama analize i projektovanja digitalnih sistema upravljanja i u digitalnom pro~sir~J1j~ signata. !9 p_Qdrucje_senaziva 'Njjquistovim-podiucjem u~t:,s~a'!l!_~il ono -O
~
-j0 -
·''
za: 0:0
-
-
-
2
• -•·-
{I
-- - · ...... -
o
•
0
)(
l
J n
-
j 3n-
2
§······~·-···l·i'" j n o
a
~
x
....
~:~-
-
(3.45)
2
0
:.:
nata
f(t)_~adrfane
su u povorci odbir:aka.L>I<.(t1-J.i,__iillQrmacija koju___lHlJIJzi signal
- .. Na osnovu (3.46), frekv~~~ijskTspektar I F*(}w)J-povorke bija kao
IF* (jw) I=
"cdblriik:a"se"do-
~ L=~oo F(jw+ jn D.) I~~- n=~oo IF(j w+ jn!l) 1-
(3.48)
Prethodna relacija pokazuje da, pored osnovne komponente F(jw), spektar F*(jw) sadrzi vise harmonike iii komplementarne komponente F(jw+jnD.). Po redosledu n-ta komplementa,rna komponenta u .F*(jw) sc dobija mnozenjem sa I /T fundamentalne komponente i njenim pomeranjem za nil u pcdrucje visih ucestanosti. Dakle, idealni odabirac se u roc s abiran ·a moze tretirati kao harmol.!!,iski g~- ~: u re vencijskom spektru povorke cdbiraka na njegovom izlazu.. svak1 harmonik amplitude A i ucestanosti w ulaznog signala f(t) je multipliciran u osnovni harmonik amplitude A/T i ucestanosti w i u beskonacno komplementatnih harmonika amplituda A /T i ucestanosti w +nil, n= ± I, ± 2, ± 3; . . . Prema tome, harmonici povorke octbiraka u pcdrucju niskih ucestanosti 1w 1-~ 012 cuvaju cetu informaciju sadrzanu u kontinualnom signalu f(t). IHjc.>)j (a) {!
Kad se vrsi diskretizacija signata, od prvorazrednog znacaja je sacuvati informaciju sadrzanu u kontinualnom signalu koji se diskretizuje. Detaljnijom analizom izraza (3.42) moze se videti nacin prenosa informacije u procesu odabiranja. Nairne, pri f(O+)=O, Fourierova transformacija F*(jw) povorke odbiraka se dobija smenom s=jw u (3.42): F*(jw)=_!_
~
F(jw+jnD.).
(3.46)
=_l_F(jw)
(3 .47)
T •=-""
Komponenta u F*(jw) za n=O Fo(jw)=F*(jw)\ n=O
T
predstavlja Fourierovu transformaciju kontinualnog signata f(t), ponderisanu sr. I iT. Dakle, konstatuje se vrlo vazna cinjenica: sve frekvencijske ICompori.efite-~~Tg-
Sf. 3.16. Milftiplikacija frekvencijskog spektra povorke odbiraka
Prethodnu diskusiju ilustruje slika 3.16. Na vrhu slike je prikazan frekvencijski spektar kontinualnog signata f(t) amplitude A, ciji frekvencijski spektar I F(jw) I ima granicnu ucestanost w0 . Dakle, po pretpostavci ovaj signal ne sadrzi informaciju, odnosno harmonike, van podrucja ucestanosti I w I> w 0 . Kada granicna ueestanost nije veea od polovine kruzne ucestanosti odabiranja, frekvencijski spektar povorke odbiraka se dobija u obliku kao na sl. 3.16 (b), dok u slucaju w 0 > D.f2 taj spektar ima oblik prikazan na sl. 3.16 (c). Vidi se da je u prvom slucaju ( w 0 ~ D. /2) osnovni spektar I F(jw) I u celosti sacuvan unutar Nyquis'tovog pc drucja ueestanosti I w I ~ D./2 u frekvencijskom spektru povorke odbiraka. Prema tome, proces inverzan diskretizagji, tj. rekonstrukcija prvobitnog kontinualnog sigriala na: osnovu njegove po.vofke -~dbiraka -moguc samo-ako ]e- -~~~-n /2~ ti to-je dovol]iioproj)iiS11fi -povorleu- cdblriika-Tna -Jiriirier;-povoflm-lmpUlsa sa -a.m.-pmu.--::----dama jednakim vrednostima signata f(t) u trenucima odabiranja) kroz idealni (hipoteticki) niskopropusni (NF) filtar, koji ima ravnu amplitudnu i linearnu faznu
]e
r
l !
3.5. Kola zadrske
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
74
frekvencijsku karakteristiku (sl. 3.17) u Nyquistovom podrucju ueestanosti. Odziv idealnog NF filtra na takvu pobudu bi bio signal f(t-Ta) po obliku isti kao f(t), AMPLITUDNA ali vremenski zakasnjen za Ta, gde je Ta=2tp 0 /0. grup/ no kasnjenje jednako nagibu fazne frekvencijske kar-~-~-t__:_~l rakteristike filtra. Medutim, kada je w0 >0./2, osnovni T i komplementarni spektri u I F*(jw) I se medusobno preklapaju (sl. 3.16c) i tada osnovni spektar (informacija saddana u kontinualnom signalu) nije vise verno sacuvan u frekvencijskom spektru povorke n 0~ -2 odbiraka. Dakle, tada se definitivno gubi informa"f ~~ fAZNA cija signala f(t) i ne postoji teorijski postupak niti fizicki uredaj kojim bi se mogao rekonstruisati prvoSt. 3.17. Frekvencijske karaktebitni signal na osnovu njegove povorke odbiraka. 0
l-
ristike idealnog niskopropusnog filtra
3.4. TEOREMA ODABIRANJA
75
jako potisnuti, tako da se sa pravom u praksi moze usvojiti ogranicen frekvencijski spektar. Usled toga, kao i cinjenice dane postoji fizicki ostvarljiv idealni NFfiltar sa frekvencijskim karakteristikama kao na sl. 3.17 nikada prakticno nije moguce verno rekonstruisati kontinualan signal f(t) na osnovu povorke njegovih vrednosti f(kT), k=O, I, 2, ... Obicno se unapred zna koja perioda odabiranja najbolje cdgovara posmatranoj klasi signala. Na primer, za govorni signal se prakticno usvaja da ima granicu frekvencijskog spektra pri fo =5kHz. Otuda, za govorni signal treba usvojiti T=l/2/0 =I0-4s. Dakle, sa 10 hiljada cdbiraka u sekundi digitalizovani govorni signal saddi svu informaciju i karakteristike govora. U digitalnim sistemima automatskog upravljanja perioda odabiranja moze biti znatno veca. Na primer, signali temperature, nivoa, protoka, pritiska i sl. dozvoljavaju pericde odabiranja reda nekoliko desetina m s. Napomenimo da postoje i vrlo spori signali, kao na primer seizmoloski, gde se u procesu diskretizacije moze usvojiti perioda odabiranja reda desetina sekundi. 3.5. KOLA ZADRSKE
Na osn.ovu prethodnih izlaganja moze se zakljuciti da postoji ogranicenjc u ol"ene criode odabjranja, odnosno minimalne b_gLJ1e pogledu maksi a! o:2'a uanJa;E!I kojoj je moguce rekonstruisati signal na osnovu njegovih vrednosti u trenucima odabiran.ill, Medutim, sa tog stanovista teorijski ne postoji ogranicen.fe za gorDJU granicu brzine cdabiranja, cdnosno za smanjivanje periode odabiranja pocev od teorijski dozvoljene maksimalne vrednosti. Razume se, kada se pericda odabiranja drasticno smanji, povorka cdbiraka se, u stvari, svodi na kontinualan signal. Ipak, prakticna ogranicenja postoje. Pre svega, nije moguce fizicki realizovati uredaj koji bi neograniceno brzo registrovao odbirke i vrsio njihovu konverziju u brojne vrednosti. Zatim, ne postoji idealni prcce~ cdabiranja; cdbirci poseduju neko trajanje c potrebno za njihovo registrovanje i konverziju, pa otuda perioda odabiranja ne mozc biti kraca od e. Konacno, suvise mala perioda odabiranja znaci vrlo siroko Nyquistovo podrucjc ucestanosti I w I ~rcfT. Unutar tako velikog podrucja ucestanosti moze doci do izrazaja nemodelirana dinamika analiziranog realnog sistema iii, kad je rec o digitalnoj obradi signala, povecan uticaj superponiranog suma na vrednosti odbiraka. Frekvencijski s ektar F* ·w na sl. 3.16 c okazu·e da ovorka odbiraka verno cuva in ormaciju sadrzanu u au t ako je kruzna ucestanost odab_iranja veca o vostruke vrednosti ranicne kruzne ·ucestanosti frekvenci" skog spekra s1 nala t . va onstataciJa predstavlja, zapravo, teoremu odabiranja [11cija precizna formulacija glasi: Aka kontinualan signal f(t) ne ~~d_!zi harmonike u podrucju ucestanosti wo radfs, on""se" moze komp"/eino "olZarakterisatr vrednostima ---------- -----·-- -. -·· --·., I . . . --······signa/a merenim u trenucima medusobno udaljenim za 1•reme 'T=--.. -·· . 2 (2rc/wo). Ova 0
vrednost peri ode odabiranja predstavlja teorijski maksimtim.-Medutim-- po'stoji vise prakticnih razloga .k:oji nalazu da se pericda cdabiranja usvoji manjom od teorijski dopustene maksimalne. Tako, na primer, u digitalncm sistemu upravljanja relativno velika pericda cdabiranja u cdnosu na realnu dinamiku sistema negativno utiee na stabilnost sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi. Treba, takode, imati u vidu da ne postoji fizicki signal sa strcgo cdredenom granicncm ucestanosti frekvencijskog spektra, kao na sl. 3.16 (a). Nairne, svi fizicki signali poseduju harmcnike u sirem podrucju ucestanosti. Istina, harmonici visih ucestancsti su obicno
U vecini digitalnih sistema upravl.ia.rua visi harmonici u spektru povorke oct~!@!ii-::.~<>i'i([ifsnrktcmit1 in_·re_~~iolfeiliii-4JsJc:retnog Cdlgitalnog) sig~al
e/~~')'-"U~~M.J ~~ Sf. 3.18. Struktumi blok dijagram tipibwg digitalnog sistema upravljanja
Na slici 3.18 je prikazan tipican strukturni blok dijagram digitalncg sistema automatskog upravljanja sa jednim ulazom i jednim izlazom, koji predstavlja, zapravo, dijagram na sl. 3.9 sa nesto izmenjenom notacijom. Na dijagramu (sl. 3.18) sa u*(t) je oznacena povorka odbiraka upravljacke promenljive, a sa m(t) od2ovarajuci kontinualan upravljacki signal na izlazu kola zadrske. Podrazumeva
3.5. Kola zadrske
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
76
se da je u procesu projektovanja sistema uvazavana teorema cdabiranja, tj. da je kruzna ueestanost odabii:apja n bar dva puta veca od grani~ne ucestanosti frekvencijskog spektra signata re e e t . om s ucaJU 1 ea na s ru CIJa m(t) ri t 1 se post1gla dovodenjem u*(t) na kolo zadrSke sa frekvencijskim karakteristikama datim na sl. 3.17. Na zalost, takvo kolo zadrske tipa idealncg NF filtra nije moguce fizicki ostvariti. Stoga se u ulozi kol~ zadrske koriste razlicita prakticna resenja, koja manje iii vise aproksimiraju karakteristike idealnog NF filtra. Prakticno kolo zadrske treba, dakle, da na osnovu povorke brojnih vrednosti u(O), u(T), u(1 T), ... , u(kT), .. , rekonstruise signal m(t) koji ~uva informaciju sadrzanu u u*(t). Drugim re~ima, od ovog kola se oeekuje da u realnom vremenu proceni zakon promene slgnala m(t) u intervalu kT~ t<(k+ i)T, za bilo koje celobrojno k~ 0, na osnovu do tada poznatih odbiraka u(kT), u[(k- l)T], u[(k ·- 2)T], ... , u(T), u(O) u trenucima odabiranja kT, (k- 1)T, (k- 2)T, ... , T, 0. Za prccenu zakona promene signata m(t) u intervalu kT~ t<(k+l)T vazno je najpre proceniti brzinu promene tog signala na poeetku posmatranog intervala u t=kT. Da se to pokaze, napisimo Taylorov red za procenjivanu funkciju m(t) u intervalu izmedu trenutaka odabiranja kT i (k+ l)T:
m< 2>(kT) 2 mi<(t)=mtkT)+m
mdt)=m(t), m
za
,,
kT~t<(k+I)T
m(kT)=dzm~t)~ dt
{3.49)
,
1
_!_ {m
(3.53)
Zamenom prvih izvoda u (3.53) odgovarajucim izra;zima tipa (3.52) dobija se
(kT) = - {m (kT)- 2m [(k- I) T] + m [(k- 2) TJ}.
(3.54)
]'2
OCigledno, sto je procenjivani izvod od m(t) visi, to je potrebno pamtiti veci broj odbiraka koji prethode intervalu cdabiranja u kome se procenjuje funkcija m(t). Preciznije, kada se prccenjuje izvod m<•> (kT), potrebno je pamtiti (n+ I) vrednosti signata. Otuda, u opstem slucaju kolo zadr5ke sadrzi niz elemenata za \
mk(t)=u(kT) za kT~t<(k+ l)T pri svim k=O, I, 2, ...
(3.55)
gho ( t )
1 1 JEnmrc~1r IMf'UI.S
0
t C a)
Sl. 3.19. NaCin rada kola zadr:fke nultog reda: u• (I) - ulazna povorka odbiraka, m (t) --kontinualni signal na izlazu
0
T-:1't (b)
Sl. 3.20. (a) Jedinicna impulsna pahuda. (h) Normalni impul.mi odzil• kola zadrske nultog reda
(3.52)
T
I
Vee je pomenuto da kolo zadrske nultog reda na svom izlazu daje signal sa talasnim oblikom koji ima konstantne vrednosti izmedu dva sukcesivna trenutka odabiranja, tj. gde su
(3.51)
Na slican nacin se procenjuju visi izvodi od m(t) u trenucima cdabiranja. Na primer,
m(2)
13.5.1. KOLO ZADRSKE NULTOG REDA
I= kT
m
=
pamcenje i cisto vremensko (transportno) kasnjenje prethodnih odbiraka. Broj tih elemenata raste sa stepenom tacnosti koji se zeli postici u procenjivanju zakona promene (3.50). S tim u vezi treba imati u vidu da prisustvo vecih kasnjenja unutar konture sistem~.a___p_gvratnom spregom poyravilu smanjuje pretek stabilnosti, taro da se poku!l!ii.Q!'oceiie-vlslli~djl_ u 'koiU::rndi]kesa~cill~lD._.Yernije'proceiie~- signala m11Jsuocavaju sa-ozoirrum roblemom s!al2ilizaci,U:___sis_tema. Stavise, kola zadrske koja koriste VISe lzvo e su ompleksnija i znatno s up a. To su razlozi zbog kojih se u praksi koristi najcesce kolo zadrske nultog reda koje procenjuje m(t) kao stepenasti signal cije su vrednosti izmedu sukcesivnih trenutaka odabiranja konstantne i jednake odbircima u povorci u*(t). Izuzetno se primenjuje kolo zadrske prvog reda, koje procenjuje signal mk(t) u vidu segmenta kose prave, odnosno polinoma prvog reda, ana osnovu odbiraka u(kT) i u[(k- l)T].
(3.50)
Medutim, signal m(t) je nepoznat; poznate su samo njegove vrednosti na pocetku intervala i u trenucima odabiranja koji prethcde trenutku t=kT, pa se i izvodi funkcije m(t) mogu pwcenjivati jedino na osnovu tih vrednosti. Kada je T dovoljno malo tako da zadovoljava uslove teoreme odabiranja, prvi izvod od m(t) u trenutku t=kT se moze aproksimirati sa
m< 2 >(kT)
,. '
77
Prema tome, ovo kolo konvertuje povorku u*(t) brojnih vrednosti odbiraka u analogni signal m(t), kao na sl. 3.19. Odziv ovog kola na jedinicnu impulsnu pobudu u trenutku t=O ima oblik prikazan na sl. 3.20, gde je
/
gho(t)~h(t)-h(t-T). --
(3.56)
Posto je ovo, po pretpostavci, normalan impulsni odziv (pocetni uslovi jednaki nuli), Laplaceova transformacija od g, 0 (t) je, po definiciji, funkcija prenosa kola zaddke nul tog reda: ____ -~=~-~-.:::..c: 1 - e· Ts / G,o(s) =2 [gho(t)J = - - · s
-'!
(3. 57)
Od interesa je prouciti frekvencijske karakteristike ovog kola. Smenom s=jcd u (3.57) dobija se
•'i-<
78
1-e-iwT
Gho(jw)=--.--]W
=
T
eiwT/2 _ e-JwT/2
·- e-iCo>T/2
j2{wT/2)
I.
=T sin(w T/2}
I
e-·Jo>T!z
.
sgn [sm (w T/2)].
(3.58)
wT/2
Dakle, amplitudna frekvencijska karakteristika kola .zadrske nultog reda je IG ("w)I=T! sin(wT/2) 1=27tl sin(7tw/0.)_1· 1 I hO w T/2 Q 7tW/0.
I
I
( 3 .59)
Fazna frekvencijska karakteristika kola zadrske nultcg reda se dobija iz (3.58) kao argument izraza e·-Jo>T/ 2 sgn[sin(wT/2)] iii e-irr
/Gh 0 (jw)=---1t 2 2•
2:
oo
k{h(w-k0.)-h[w-(k+I)0.J}.
(3.60)
k=O
!Gho ( .i"'l I
R=r,
IOER:.RN ~1r FILTRR
=T
/ I
121
kolo zadrske nultog reda unosi slabljenja amplituda visih harmonika unutar osnovnog spektra povorke odbiraka. Pored toga, dok idealni NF filtar definitivno uklanja harmonike unutar svih komplementarnih spektara, kolo zadrske te harmonike propusta oslabljene. Pri tome, nivo slabljenja se povecava za harmonike komplementarnih spektara visih podrucja ucestanosti. Prema tome, u analognom signalu na izlazu kola zadrske nultog reda sadr:Zani su delom oslabljeni harmonici osnovnog spektra povorke odbiraka na ulazu i pridruzeni znatno oslabljeni harmonici iz komplementarnih spektara povorke odbiraka. Ovo se moze konstatovati i na osnovu sl. 3.19, gde se u talasnom obliku signata m(t) na izlazu kola zadrske nultog reda vide skokovite promene usled prisustva viSih harmonika. Stika 3.21, takode, pokazuje znacaj izbora periode odabiranja T -sa stanovista filtarskih sposobnosti kola zadrske: sto je T manje, odnosno Q vece, ove sposobnosti su efikasnije. U digitalnim sistemima automatskog upravljanja u ulozi kola zadrske nultog rcda najeesce se koristi D /A konvertor. Kao sto je u pogl. 2.8.1 receno, ako je prihvatni registar unutar D/A konvertora dovoljne duzine, tako da prihvata bez odsecanja sve digitalne vrednosti odbiraka ulazne povorke u*(t), tada analogni signal na izlazu konvertora ostaje sa zatecenom konstantnom vrednoscu sve dok se ulazni digitalni signal ne promeni, tj. konvertor vrsi funkciju kola zadrske nultog reda. Ako brojne vrednosti vecih odbiraka premasuju duzinu prihvatnog registra, dolazi do odsecanja usled konacne duzine reci i tada seD/A konvertor moze predstaviti kao kolo zadrske nultog reda sa redno pridruzenom nelinearnoscu tipa zasicenja. Kad je rec o D/A konvertoru u ulozi kola zadrSke nultog reda, treba imati u vidu svojstvo konvertora da moze sluziti i kao mnozac digitalnih signata na ulazu sa naponom napajanja konvertora, pa je, u stvari, furikcija prenosa, D/A konvertora M{s)
KOLO ZRDRSI
U* (s)
Q
"
2 30
2
.., ,
20
50
2
30
"
/IDERLRN NF FIL TAR
~::[~--------~~~0, I
I
-e-Ts
(3.61)
Gh 0 (s) = - - = K1, - - - .
,,
-"'l't-----"::::.....:;:-..., .
79
3.5. Kola zadr§ke
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
Priroda koeficijenta proporcionalnosti Kh je V /(brojna vrednost). Na primer, za 8-bitni D/A konvertor ciji se izlazni napon moze menjati u granicama od -lOY do + IOV ovaj koeficijent ima vrednost Kh=l0/2 8 =0,0390625 V /(brojna vrednost). Na kraju treba napomenuti da kolo zadrske nultog reda na zadovoljavajuci nacin obavlja zahtevane funkcije u digitalnom sistemu automatskog upravljanja. Prisustvo visih harmonika u signalu na izlazu ovog kola ne prouzrokuje ozbiljnije probleme, jer kontinualni deo sistema sam poseduje niskopropusni karakter ponasanja. Nairne, objekat upravljanja deluje kao NF filtar, sto u velikoj meri potiskuje prisustvo visih harmonika u kontinualnom delu zatvorene konture digitalnog sistema sa povratnom spregom.
I
3.5.2. KOLO ZADRSKE PRVOG REDA
Sl. 3.21. Frekvencijske karakteristike kola zadrske nu/tog reda
Na slici 3.21 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrske nultog reda, koje pokazuju da se ovo kolo ponasa kao NF filtar. Poredenjem sa idealnim NF filtrom se vidi da postoje karakteristicna odstupanja. Za razliku od idealnog NF filtra, kolo zadrske nultog reda nema ravnu, vee nagibnu amplitudnu frekvencijsku karakteristiku u podrucju ucestanosti osnovnog spektra I w I ::;.0./2. Otuda
Ovo kolo vrsi promenu kontinualnog signata m(t) na svom izlazu izmedu trenutaka odabiranja kTi (k+ i)T u vidu polinoma prvog reda (segmenta prave), ana osnovu vrednosti odbiraka u(kT) i u[(k-J)T] na svom ulazu. Ovakav postupak esktrapolacije odbiraka u kontinualan signal se moze izraziti pomocu prva dva clana Taylorovog reda (3.49). Dakle, mk (t) =
u (kT) + uO> (kT)(t- kT),
kT~ t <(k
+I) T.
(3.62)
,_ ·~
3.5. Kola zadr§ke
3. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja
80
81
Pt_vr; 6
Zamenom prvog izvoda z/ 1l (kT) procenjenog na osnovu u(kT) i u[(k-I)T] sa (3.52) dobija se 1 mk(t) = uckT) +- {u(kT)- u [(k- l) Tl}(t- kT). (3.63) T Normalan impulsni odziv g111 (t) se dobija pobudom kola sa jedinicnim impulsom u trenutku t=O. Stoga se za k=O iz (3.63) dobija
m 0 (t)=u(O)
1 +[u(O)-u(- T)] t,
0~
t
(3.64)
T
Posto je jedinicni impuls u(O)= I, a u(-T)=O, normalni impulsni odziv kola zadrske prvog reda u intervalu 0 ~ t
(3.65)
Odziv u intervalu T~ t<2T se moze dobiti postavljanjem k= I u (3.63). Tako se dobija 1 {3.66) m (t) = u (T) +- [u (T)- u (0)] (t- T). 1
T
S obzirom da su u(O)=l i u(T)=O, ~'
gk 1(t)
u intervalu T::;;t<2Tpostaje
(t) = m 1 (t) = 1 - t/T.
K1r1
+
g hi
(3.68)
( t)
2
JEDINICNI
IMPULS 0
t (a)
0
-1
Sf. 3.22. (a) Jedinicna impulsna pobuda. (b) Normalni impulsni odziv kola zadrske prvog redo
CP[
=...L.
)] glrt(t
Ts+ 1 ( 1 -T•)2 =--;_;:;;--e .
(3.69)
Na sl ici 3.23 je pokazano kako OVO kolo vrsi ekstrapolaciju povorke odbiraka u kontinualan signal. Kao sto se vidi.ova ekstrapolacija nije bitno bolja u poredenju sa rezultatom rada kola zadrske nultog reda; stavise, u pojedinim interval ima odabiranja ona je cak losija. s druge strane, funkcija prenosa (3.69) pokazuje da kolo zadrske prvog reda saddi vece integralno dejstvo, sto u podruc·u visih ucestanosti povecava grupno kasnjenJe, o nosno nagib fazne frekvencijske karaktefisttke -to smaUJuJe pretek faze i otuda-negativno utice na stabilnost dinamickog sistema u povratnoJ sprezi. Istine radi, treba reci da je pri maloj periodi odabiranja pFocesek.SfrapolaciJe ov1m kolom bolji nego kolom zadrske nultog reda, ali stabilizacija sistema u tom slucaju postaje jos kriticnija. Ako se pri tome ima u vidu da kolo zaddke prvog reda zahteva bitno slozeniju fizicku realizaciju jer, izmedu ostalog, mora da pamti dva prethcdna odbirka umesto jednog, kao kod kola zadrske nultog reda, postaje razumljivo zasto se ovo kolo, kao uostalom i kola zadrske viSeg reda, prakticno ne koristi u projektovanju digitalnih sistema automatskog upravljanja
UTERATURA [J]
~)h(t)-2(1 +t~T)h(t-T)+
t-2 T) h(t- 2T), + ( I +-T-
M(s) Glrt () s = U*(s)
(3.67)
Normalni impulsni odziv gh 1(t) za t;?; 2T je identicki jednak nuli, jer je u(kT)=O za k~ 1. Stoga i na osnovu (3.65) i (3.67) ovaj odziv ima oblik prikazan na sl. 3.22. Analiticki izraz za talasni oblik na sl. 3.22, koji, dakle, predstavlja normalni impulsni odziv gh 1(t) za svako t;?-0, dobija se pozna tim postupkom superponiranja, kao ght(t)=(1
pa je funkcija prenosa kola zadrske nu1teg reda
Sf. 3.23. NaCin rada kola zadr.fke prvog redo: u• (t) - ulazna povorka odbiraka, m (t) kontinualan signal na izlazu
U: H UK H H Jf. J., Teopufl UMIIYIIbCHbiX cucmeM, rocy,QapCTBeHoe HlAaTeflhCTBO lj!H3HKO-
·MaTeMaTH~eCKOH JTHTepaTypbt, MocKBa, 1958. · [2] S to j i c M. R., Kontinualni sistemi automatskog uprav/janja, Naucna knjiga, Beograd, 1985. [3] K u o B. C., Discrete-Do/a Control Systems, Prentice-Hall, 1nc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1970. [4] Jury E. I., Samp/ed-Dala Control Systems, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1963. [5] To u J. T., Digital and Sampled-Data Control Systems, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1959. [6] Murphy G. J., Basic Aulomatic Control Theory, D. Van Nostrand Company, .Inc., Princeton, 1966. [7] Cadzow J. A. and Martens H. R., Discrele-Time and Computer ConJrol Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1970. [8] Rag a z z i n i J. R. and Frank I i n G. F., Sampled-Data Control SysJems, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1958. [9] Frank I in G. F. and Pow e II J.D., Digital Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 1980. [10] Phi IIi p s C. L. and Nag I e, Jr. T. H., DigiJal Control System Analysis and Design, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 1984. [II] Shannon C. E., Communication in the presence of noise, Pro~. I. R. E., Vol. 37, January 1949, pp. 10-21. [12]Shannon C.E., Oliver B.M. and Pierce J.R.,Thephilosophyofpulsecode modulation, Proc. I. R. E., Vol .. 36, November 1948, pp. 1324-1331.
6 Digitalni s:isaemi upravljanja
-~
82
3. Struktura digi talnog sistema upravljanja i proces odabiranja
(13] F o ge I L. J., A note of the sampling theorem, I. R. E. Trans. on Information Theory, Vol. 1, March 1955, pp. 47-48. [14] Jager man and Fog e I L. J., Some general aspects of the sampling theorem, /. R. E. Trans. on Information Theory, Vol 2, December 1956, pp. 139-146. [15] Linden D. A., A discussion of sampling theorem, Proc. I. R. E., Vol. 47, July 1959, pp. 1219-1226. [16] Barker R. H., The reconstruction of sampled-data, Proc. Conference on Data Processing and Automatic Computing Machines, Australia, June 1957. [17] S t o j i c M. R., S t a n k o v i c M. i S t a n k o v i c R., Diskretne transformacije u primeni, Nau~na knjiga, Beograd, 1987.
4 Z -
TRANSFORMACIJA I FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA
Z-transformacija predstavlja osnovno matematicko sredstvo u klasicnim metodama analize i projektovanja digitalnih sistema. U stvari, z-transformacija u linearnim digitalnim sistemima ima ulogu koju Laplaceova transformacija vrsi u linearnim kontinualnim sistemima. Ipak, treba reci da se z-transformacija uspesno prim~njuje u linearnim iii, generalno,
sa
4.1. DEFINICIJA z,..TRANSFORMACIJE Motiv za uvodenje z-transformacije u teoriju digitalnih sistema se maze razumeti analizom izraza (3.20) i (3.36) za kompleksni Iik F*(s) povorke odbiraka f*(t). U oba ova izraza kompleksna promenljiva s Laplaceove transformacije se pojavljuje kao argument uvek u eksponentu od e-sT. Otuda se primena Laplaceove transformacije bitno usloznjava u digitalnim sistemima: (i) U ovim sistemima korru>~ Ieksni likovi nisu realne racionalne funkcije kompleksnLp..romenlJ!V.e_s,·ka·o ukonri"iiualriim sistemima, vee iraciorialne funkcije, (ii) Buduci da je clan e-sT periodicna funkcija po s, kompleiCsiil"fik f*(i-fpose(fiije beskOnacanoroj}Crltlciiill·l!~e~tanosti (polova i nula) u s-ravni, st6, pored ()sTalog; namece:lriatne teskoce u nalazenju inverzne transformacije, tj. u odredivanju povorke od_biraka f*(t) (originala) na osnovu F*(s) (kompleksnog I ika). 6'
r..
Pomenute teskoee se mogu bitno umanjiti uvo,denjem z-transformacije, 1 sto se, u osnovi, svodi na zamenu periodicnog clana es sa novom kompleksnom promenljivom
~lnz).
z=esT (iii s=
(4.1)
pa je Laplaceova transformacija od [ 0 (t) F* (s) = "" e-•kT e-•kT =
k:O
1
•=rlnz
=F*(_!_lnz). T
(4.2)
po~to
....
~ .~--- ~--··
~
00
F (z) = £7. [!* (t)]
=
... .----·
F(z)=£1.[/* (t)]=
L .f(kT) z-k
_J
k,l_ __ ,
/
I P~pi) _z_. i=• Q (p)
(4.4)
2l't"j
2rt;
Y
z-ePT
c
gde, kao i u diskretnoj Laplaceovoj transformaciji, kontura C obuhvata sve polove funkcije F(p) u p-ravni.
Primer 1. Z-kompleksni lik povorke jedini~nih odbiraka se mo:Ze dobiti ako se najpre dis-
kretizuje Hevisajdov signal:
00
L
h* (t) =
8 (t-kT),
k=O
pa se zatim odredi Laplaceova transformacija od h* (I) kao 1
00
H*(s)=
L
e-kT•=---
k=O
1-e-T•
za le-T•j
Smenom z=esT u prethodni izraz, dobija se z-kompleksni lik jedini~nih brojnih vrednosti
1
povorkejedini~nih impulsa iii povorke z
H(z)=r;I. [ h ( t ) ) = -1 - = - - . 1-z-
z-1
Primer 2. Na sli~an na~in, kao u prethodnom primeru, mo:Ze se odrediti z-kompleksni lik povorke odbiraka dobijene diskretizacijom signal a f (I )=e-ar, gde je a neka realna konstanta. Nairne, diskretizacijom s.ignala se dobija 00
f" (t) =
L e- akT /! (t-kD,
k=O
I e- (•+ro) T I< 1.
za
z =--z-e-aT
za
1
z- 1 l
z -----dp~Res
c
p+a z-ePT
[1 z] ----p+a z-ePT
u polu p=-a
I z z -·"lim ( p + a ) - - - - - = - - - , . p~-a p+a z- ePT z- e·-a'l
Primer 3. Povorka odbiraka dobijena diskretizacijom prostoperiodi~nog signata f (t )= =sin w t se moze predstaviti u obliku ~
00
eiwkT- e-ic.ukT
k=O
k=O
2]
L sinwkTIJ(t-kT)= L
pa je F*(s)=
z-ePiT
Definicioni konturni integral pomocu koga se neposredno moze sracunavati z-transformacija dobija se smenom (4.1) u (3.31): 1 (4.6) F(z)=£7. [f* (t)]=-- . .i F(p)z dp,
1-e-aTz-1
1f1
F(z)=--
/*(1)=
(4.5)
T
Do istog rezultata se dolazi neposrednom primenom definicionog obrasca (4.6). Nairne, je F(p)= 1/(p+a), imamo
F( z) i nverznom z-transformac~··91!!___ ._ .--- ------_
lika
1
F(z)=
Povorka odbiraka iii original.f*(t) se odreduje na osnovu z-kompleksnog lika
f* (t)=£1.-1 [F(z)]. ) (4.3) -----.. I Smenom (4.1) u (3.20) i (3.36) dobijaju -;e-~g{>Varajuci vidovi z-kompleksnog povorke odbiraka, !ili sada u vid:U ~ealn!h racion_!llnih__funkcija po z:
1 1-e-(•+•)
Smenom z=esT u izraz za F* (s) dobija se
Na taj nacin, z-kompleksni lik iii z-transformacija od f(t) iii f*(t) postaje F(z)=r;;L[f*V)]=F*(s)\
85
4.1. Definicija z-transformacije
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
84
00
ejwkT-e-JwkT
k=O
2]
L
.
1 e-kT•=-
.
l
2j
1
1-e-T(s-l<•l
IJ(t-kT),
_
1
] =
1-e-T(s+iw)
e- T• sin w T e- zT,_ 2 e-T• cos w T+ 1
Otuda je
z- 1 sin wT F(z)- - - - - - - - -
r'-2z-' coswT+l
z·sin wT
z'-2zcoswT+1
Dati primeri ilustruju postupke nalazenja z-kompleksnih likova za relativno jednostavne signale, odnosno povorke odbiraka. Ne nastaju bitno tdi problemi kada treba odrediti z-kompleksni lik slozenijeg signala. Tada se obicno s-kompleksni lik signala razlaze u zbir parcijalnih razlomaka, pa se zatim za svaki razlomak ponaosob odreduje z-kompleksni lik. Razume se, bez prethodnog razlaganja u zbir parcijalnih razlomaka moguce je sracunati z-kompleksni lik neposrednom primenom definicionog obrasca (4.6). Za tipicne signale koji se najcesce srecu u tretiranju dinamickih sistema vee su sracunati z-kompleksni Iikovi i sredeni u prigodne tablice. Takva jedna tablica data je u prilogu ove knjige. Post0J_]Ji1na_r!lz!jka izmedu Laplace_Qve i z-transfpnnacije, kojl!Jreba imati u.Yidu:Todsetimo da sii-Laplaceova ~- rijena inverzna transformacija_jt;ovorkom.f*(t), kao sto je i povorka_ *(1)-Jeano-=znacno odredena kompte)(snlm likom F(z), ali signal.f(t) nije jednoznacno odreden originalom F(z). To je i fizicki jasno, jer jednu istu povorku.f*{t) moze imati prakticno neogranicen skup razlicitih kontinualnih signala .f(t). Otuda kompleksni lik F(z) saddi informaciju samo o brojnim vrednostima signata f(t) u trenucima odabiranja. Dakle, Q:[[(t)]=Q:[f*(t)]= F(z) i f*(t)=Q: -1 [F(z)], dok .f(t) nije definisano na osnovu F(z).
F lj;"· ~ -~' !·\
....
li
86
ji
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
4.2. Preslikavanja iz s- u z-ravan
dace segmenti primarnog pojasa ispod realne ose s-ravni da se preslikaju u z-ravan simetricno odgovarajucim segmentima iznad realne ose. Na taj nacin s~ ceo primarni pojas iz s-ravni preslikava u konturu prikazanu na sl.4.l(b)u z-ravni .._Posto 2 je e<•+Jnm = e•T ein "=z, za svako celobrojno n, svi komplementarni pojasevi iz s-ravni ce se periodicno jedan za drugim preslikavati u istu konturu prikazanu na sl. 4.l(b) u z-ravni.
4.2. PRESLIKAVANJA IZ S- U Z-RAV AN
~~
;;
f.!
Kontinualni signal se moze okarakterisati u vremenskom podrucju sa f(t), u kompleksnom - sa F(s), odnosno sa spektrom kriticnih ueestanosti (polova i nula) u s-ravni. Neke karakteristicne osobine signata u vremenskom domenu, kao sto su aperiodicnost, vreme smirenja, stepen oscilatornosti ili brzina iscezavanja u toku vremena i sl. mogu se relativno dobro proceniti na osnovu parametara koji · odreduju polozaj kriticnih ucestanosti u s-ravni: rastojanja od imaginarne ose, neprigusene prirodne ueestanosti i faktora relativnog prigusenja. Slicno se mogu procenjivati i osobine povorke odbiraka na osnovu polozaja kriticnih ucestanosti kompleksnog lika F(z) u z-ravni; za to je najpre potrebno ustanoviti preslikavanja tipicnih kontura iz s- u z-ravan.
·!;
n: ::i
4.2.2. KONTURA DOZVOLJENOG VREMENA SMIRENJA
Signalf(t) ce iseezavati u toku vremena tako da mu je vreme smirenja manje od 1/cr, ako se svi polovi kompleksnog Iika F(s) nalaze levo od prave Res=-cr (cr>O) u s-ravni. Na segmentu ove prave koji se nalazi unutar primarnog pojasa s=-cr+jw (cr>O, jwj ,;,QJ2), pa je tu z=e-aTeiwT i, lead sew menja od 0 do D./2 ( =7}/~~;'v.s~gment se preslikava u gornji polukrug kruga poluprecnika e-aT< I
'l 4.2.1. KONTURA STABILNOSTl
(.i, / ,,
Kontinualni signal iscezava u toku vremena iii pripad!!_~Si ~~L!!Pll... poeetriifi uslova ako se sv1 polovi koc!Bflleksnog lika Signaianalaze.levo od imagi~. '~_r_lle....Q_s mce stabilnost1 u s-ravru-:----N"a-st:-4:-t{a)"prikai:an je--primamT pojas odreden Nyquistovim podrucjem ucestanosti Iwl ,;,_ D./2. Napomenimo, ako je za dati signal f(t) perioda odabiranja T usvojena u skladu sa teoremom odabiranja, odnosno ako je sirina primarnog pojasa 0.=27t/T dovoljno velika, svi polovi od F(s) bice unutar ovog pojasa.
-------t~: •
~
-r~
..
<'
.1.·-
i1
lt~!
®lj4
<
!\9- I.VK
-1/':\-12\0
\VI I ~ z
-®1-jf
..
.ii•i::_ ;:~ '.
.
';>
)\,,.~
~,~
~\ '\.,
),. / W·
fJ"
I Jn ------------
/1-,f .
jim z
s-RAVAN
I®
•
-~\ •
J
(a)
(b)
------------1-jl'l Sl'. 4.1. Preslikavanja primamog pojasa iz s-ravni u wmtraJnjost ]edi· nicnog kruga u z-ravni
Sva preslikavanja iz s- u z-ravan vrse se po funkciji z=esT. Duz segmenta l-2 primarnog pojasa kompleksna promenljiva je s=jw, pa je z=ej"'T. Dakle, tu je moduo od z jedinica, a argument digitalna ucestanost iii ugao wT urad. Kada sew menja od 0 do rlf2=7tjT, digitalna ucestanost se menja od 0 do 1t rad. Prema tome, segment 1-2 na imaginarnoj osi s-ravni preslikava se u gornji polukrug je.dinicnog kruga sa centrom u koordinatnom pocetku z-ravni (sl. 4.\b). Duz gornje granice (segmenta 2-3) primarnog pojasa s=-cr+jw (O,;,cr
z-RAVAN
®I. I Jf
lj ®=:;~
- - - - - - - - - _,_- <-j
0- 6'
\® •
,
@
(J)I
·_I:'
\A
0 ., "' ' ,,)
-1
I
I~--.-....- l'r.:
s-RAVAN
"·j•
I®
87
Q
Cal
1')1
-j
\VI I
I
~e
z
(b)
Sf. 4.2. Preslikavanje oblasti wzapred zadatog vremena smirenja unutar primamog pojasa iz s-ravni u Z·ravan
sa centrom u koordinatnom pocetku z-ravni. Segment 5-l ce se preslikati u donji polukrug ovog kruga, dok ce sva ostala preslikavanja konture na sl. 4.2(a) da se vrse na isti nacin kao u slucaju konture na sl. 4.l(a). Prema tome, unutrasnjost konture na sl. 4.2 (b) predstavljaoblast zadatog vremena smirenja T.=l/cr. Nairne, ako svi polovi kompleksnog Iika F(z) leze unutar ove konture, vreme smirenja povorke odbiraka f*(t) nece biti vece od zadatog
:r..
.
4.2.3, KONTURA DOZVOLJENOG STEPENA OSCILATORNOSTI
Stepen oscilatornosti (velicina amplituda i vreme trajanja oscilacija) signala f(t) bice manji od nekog unapred zadatog ako se svi polovi kompleksnog lika F(s)
tog signala nalaze levo od ~-prave u s-ravni (sl. 4.3a). Duz segmenta 1-2 ~-prave unutar primarnog pojasa S = - ~wn+j Wn Ill ~ 2 (~=const., o,;, Wn,;,1tjTjiJ-~2) i:.--:.-, -c. c~-~ pa je tu __._,_ Z =
eJT = e -r,"),T
ei")nTVI-~i.
1
{4.7)
Prema tome, kada seWn menja cd 0 do 7t/TV1 Q, moduo od z se'menja od 2 do exp (-7t~fi11-~ J, a argument -od 0 do -7t, pa se segment 1-2 preslikava u
•..
~~··
88
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
4.3. Inverzna z-transformacija
z-ravan kao deo spirale 1-2 koji pocinje u tacki (I ,jO) na realnoj osi, a zavrsava se na negativnom delu realne ose z-ravni u tacki sa koordinatom exp (~7t~/VI- ~2 ). Ocigledno, segment ~-prave ispod realne ose unutar primarnog pojasa ee se preslikati simetricno segmentu 1-2 u odnosu na realnu osu z-ravni, pa se deo primarnog
funkcije u kojoj stepen polinoma u imeniocu nije manji od stepena polinoma u brojiocu, postize jednostavno deljenjem polinoma u brojiocu sa polinomom u imeniocu. Primer. Za z-kompleksni lik F(z)
jim z
s-RRVRN
j
-
CD Re
""")I_ ..
z'+2z-3
z'- 4 z' + 5 z- 6
deljenjem brojioca sa imeniocem dobija se (z'+2 z- 3):(z'-4z'+5 z-6)~z-' +6z-';- 16z-'+40z-' + · · · -(z'-4z+ 5- 6z-')
.c;:l -oOl
89
z
6z- 8+ 6z- 1
1 .
-(6 z-24 + 30 z- 1 -36 z- 2) 16-24z- 1 +36z-z
(a)
-(16-64 z-' +so z- 2 -96 z-')
-j
40 Z" I ·- 44 Z- l + 96 z- J
.................... Sf. 4.3. Preslikavanje oblasti unapred zadatog stepena oscilatornosti unutar. primarnog pojasa s-ravni u z-ravan
I
I
1.'
l
~
pojasa levo od ~-pravih preslikava u unutrasnjost konture C 1 na sl. 4.3(b). Otuda ce stepen oscilatornosti povorke odbiraka biti manji od nekog unapred zadatog sa vrednoscu ~. ako svi polovi kompleksnog lika F(s) te povorke odbiraka leze unutar ove konture. Ako se zahteva da i vreme smirenja i stepen oscilatornosti povorke odbiraka budu manji od nekih unapred zadatih, respektivno sa cr i ~. tada svi polovi kompleksnog lika F(z) moraju biti unutar oblasti koju ogranicavaju konture C 1 i C 2 na sl. 4.3(b).
4.3. INVERZNA Z-TRANSFORMACIJA Kao sto je ranije naglaseno, kompleksnim likom F(z) jednoznacno,{e odredena povorka odbiraka, tj. samo vrednosti signala f(t) u trenucima cdabiranja 0, T, 2T, . . . Nairne, na osnovu F(z) se ne moze nista reci o signalu u vremenskim intervalima izmedu trenutaka odabiranja, mada povorka f*(t) cuva informaciju sadrzanu u signaluf(t), ako je perioda odabiranja odabrana dovoljno malom tako da ispunjava uslov teoreme odabiranja. Dakle, inverzna z-transformacija daje originalf*(t) iii povorku diskretnih vrednostif(kT), k=O, I, 2, ... na osnovu kompleksnog lika F(z). Moguca su tri postupka inverzne z-transformacije.
rezultata deljenja vidi se da su odbirci I (0)=0, I (T)=I, I (2T)=6, I (3T)= 16, INa(4 osnovu T)=40, ...
Nedostatak ovog postupka je ocigledan; da bi se cdredila vrednost ~ignala f(t) u nekom trenutku odabiranja f(nT) potrebno je, u opstem slucaju, najpre odrediti vrednosti signala u svim trenucima odabiranja pre trenutka t=nT. 4.3.2. RAZLAGANJE F(z) U ZBIR PARCIJALNIH RAZLOMAKA
U naj6pstijem slucaju, kada je F(z) dato u vidu realne racionalne funkcije po z viseg reda, odredivanje inverzne z-transformacije se moze izvrsiti tako sto se najpre faktorizuje polinom u imeniocu od F(z), pa se zatim poznatim postupkom F(z) razlozi u zbir prostijih parcijalnih razlomaka za koje se u tabeli inverzpe z-transformacije mogu pronaci odgovarajuci originali. U cilju ilustraciJe ovog po~ tupka podsetimo na z-kompleksne likove nekoliko cesto sretanih signal a:
g_ [e-at]= _z_ , z -e-aT
Q: [te-at]=
(4.9)
Te-aT z (z- e-aT)Z '
Q [t2 e-ar]= T2 e-aT z(z +e-aT).
(4.10) (4.11)
(z- e-aT)J 4.3.1. RAZVOJ F(z) U POTENCIJALNI RED PO z-1
Kada se izraz (4.4) napise urazvijenom obliku, kao F(z)=f(O)+f(T)z-1 +/(2 T)z-2+ ... ,
(4.8)
vidi se da su koeficijenti u razvoju F(z) po z-1 zapravo vrednosti signata f(t) u trenucima odabiranja. Prema tome, da bi se po ovom postupku odredila inverzn2. z-transformacija, dovoljno je razviti F(z) po z-1, sto se, u slucaju realne racionalne
Na osnovu ovih tablicnih slucaJeva moze se zaiCIJuCiti: (i) realnom polu p visestrukosti m u F(z) odgovara clan (nT)"'- 1 p" u izrazu zaf(nT); (ii) u parcijalnim razlomcima oblika (4. 9) i (4.1 0), koji odgovaraju respektivno pros tern i dvostrukom polu u F(z), nalazi se faktor z u brojiocu; (iii) kao sto (4.11) pckazuje, ako je rcalni pol u F(z) visestrukosti vece od 2, tada cdgovarajuci parcijalni razlomak sadrii veci broj konacnih nula. Razume se, kada F(z) poseduje konjugovano kompleksne polove, odgovarajuci parcijalni razlomci imaju slozenije oblike. Prema tome, ako F(z) ima samo realne, proste i/ili dvostruke, polove, potrebno je funkciju F(z)/::
90
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
4.4. Osobine z-transformacije
razloziti u zbir parcijalnih razkmaka, da bi se zatim mnozenjem sa z funkcija F(z) dobila u vidu zbira parcijalnih razlomaka tipa (4.9) i (4.10), koji poseduju faktor z u brojiocu, odnosno konacnu nulu u z=O.
91
gde je r kontura u z-ravni koja obuhvata polove z= I i z= e-aT od F(z). Konturni integral se moze sracunati primenom teoreme o ostacima: /(kT)="L.Res cd F(z)zk-l u polovima od F(z),
pa je otuda Primer. Ovaj postupak ce biti ilustrovan na primeru kompleksnog Jika F(z)
Kz(z+O,I)
/(kT)=L-Res od
(z- 0,2) 2 (z- 0,3) (z- 0,4)
--z-= K
r
275 400 125 (z-0,2)' + z--0,2- z-0,3 + z-0,4 15
1
r
'
l
l5 z
275 z
400z
-~
\
da je
za bilo koje
II=
00
00
k=O
k=O
.L J8
125z]
---+------+--. (z-0,2) 2 z --0,2 z-- 0,3 z-0,4
Poredenjem razlomaka u srednjoj zagradi prethodnog izraza sa (4.9) i (4.10) zakljucuje se f(nT)
=
~to predstavlja povorku odbiraka u vremenskom domenu.
pa je F(z)=K
zk-• u z=l i z=e- 01'.
Prema tome, trazeni original j e -
Hevisajdov razvoj [I] za funkciju F(z)/z daje F(z)
Izvodenja z-transformacije za konkretne signale iii povorke odbiraka, kao i primena z-transformacije, mogu se eesto uprostiti koriscenjem osobina ove transformacije od kojih se ovde navode najcesce koriscene. YeCina tih osobina se moze pokazat i polazeci neposredno od definicije z-transformacije. 4.4.1. LINEARNOST
Ocigledno, efikasnost primene ovog postupka umnogome zavisi cd karaktera i visestrukosti polova z-kompleksnog lika. Nairne, ako F(z) saddi realne polove visestrukosti vece od dva iii pri tome jos i konjugovano kompleksne polove, tada je razlaganje F(z) u zbir tablicnih parcijalnih razlomaka slozeno.
Operator z-transformacije je linearan, sto znaci da za z-transformaciju vaze principi aditivnosti i homogenosti. Ovi principi se jednostavno dokazuju na osnovu defi nicije z-transformacije. Prema principu aditivnosti, ako su F 1(z)=Q:[Ji (t)] i F2 (z)=Q: (Jz(t)], tada
2
4.3.3. ODREDIVANJE INVERZNE Z-TRANSFORMACIJE INTEGRACIJOM PO KONTURI
Najopstiji postupak odredivanja originala f*(t) zasniva se na sracunavanju f(kT) pomocu definicionog konturnog integrala inverzne z-transformacije
~ ((kT)= 1 -1F(z)zk- 1 dz,\ J __;'
~ (J-e-uT)z
F(z)~(z-l)(z-e
a1')
Smenjujuci dato F (z) u (4.12), dobija se __
}(kT)~
f
I -- • 2rr:j.
r
(1-e··a''): . z<·-l dz, (z-l)(z-e-aT)
(4.13)
Q: (af(t)J = aF(z),
(4.14)
gde je a konstanta nezavisna od vremena. (4.12)
gde kontura l' u z-ravni obuhvata sve polove funkcije F(z). Formula (4.12) se ovde daje bez izvodenja. Napomenimo samo da se konturni integral (4.12) dobija polazeci od odgovarajuceg integrala inverzne transformacije za F*(s) [2-4]. Primer. Kao ilustraciju ovog postupka. odredimo original kompleksno!; lika
[.t;(t) +/ 2 (t)] =F1 (z) + F 2 (z).
Po principu homogenosti, ako je F(z)=Q:(((t)], bice
4.4.2. POMERANJA U VREMENSKOM DOMENU
Ova osobina z-transformacije se vrlo cesto koristi. Po toj osobini, ako je
F(z)=Q:[f(t)], tada su
~ (f(t - nT)]
=
z-n F(z)
1
Q: [f(t + nT)] =zn[F(z)- ~Kf(iT)z-i].
(
4. 15)
(4.16)
gde je n proizvoljna pozitivna celobrojna konstanta. l ove osobine se mogu dokazati polazeci od definicionog izraza za z-transformaciju (4.4), prema kome je 00
Q: (f(t -nT)]
=
L f(kT- nT)z-k. k=O
(4.17)
92
4.4. Osobine z-transformacije
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
93
4.4.4. POCETNA VREDNOST ORIGINALA
Prethodni izraz se formalno moze prepisati u obliku 00
Q: [/(t-nT)]= z-n
L
[(k- n) T] z-(k-n).
(4.18)
Vrednost signalaf(t) u okolini tacke t=O moze se odrediti na osnovu z-kompleksnog lika F(z) tog signala. Polazeci od definicije
k=O
L
z-n
=
f(kT) z -k = f(O)
+f(T) z-1 +/(21) z-2 + ...
k=O
f(iT) z- 1
t
j=-n
~
00
L
z-"
(4.19)
f(iT) z-i = z-n F(z),
4.4.5. KRAJNJA VREDNOST ORIGINALA
,_,.r· ....
Ako je F(z)=Q.T{(t)] i ako funkcija (I - z-1 )F(z) nema polova na i van jej<
00
f(kT + nT) z-k
d;,;,nog km"' "' oontcom,'Lkoocd;oatoom poiietku
k=O 00
L .f(kT+ nT)z-
= :::"
(4.26)
Z->00
Razume se, primena prethcdnog rezultata podrazumeva'da postoji navedena granicna vrednost od F(z).
i=O
jer je deo sume za i
r:;z [f(t + nT)] = L
(4.25)
i dopustajuci da u prethodnop Izra~co, dobijamo
00
Q: [f( t - nT)]
L
F(z) =
Posle zamene i=k-n prethodna jednacina postaje
(4.20)
k=O
Posle smene i=k+n u (4.20) imamo
limf(kT)=lim (I- z-1) F(z).
(4.27)
z-~1
k-+oo
L---------·----------~ Ovu vaznu i cesto primenjivanu osobinu z-transfo~macije lako je dokazati polazeci od sledeca dva konacna niza n
Uocimo da je u drugom nizu izostavljen clan f(-T), jer je /(t)=O za t
sto je trebalo dokazati.
q_ [ei'"' f(t)] =
( 4.28)
F(zl)
=
F(ze±•T),
(4.24)
n
lim
n-1
L f(kT) z-k =lim L f(kT) z-k =
n-+oo k=O
n-+oo k=O
F(z),
(4.33)
·,:~~
4.5. Funkcija diskretnog prenosa
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
94
dobija se
(4.34)
!imf(nT)=!im (l-z- 1)F(z). n~oo
z-..l
4.4.6. PARCIJALNIIZVOD
Neka je F(z, a) z-kompleksni lik signalaf(t, a), gde je a nezavisno promenljiva iii konstanta. Tada je · 0 }. 0 (4.35) r;I. - [f(t, a)] = - F(z, a). {oa oa Ovo se lako dokazuje polazeci od definicije z-transformacije po kojoj je
r;I. -0 [f(t, a)] } = {oa
00
L -0
f(kT, a) z-k
k=ooa
=~ ~f(kT,a)z-k=~-F(z, oa k=O
a).
(4.36)
Oa
Ova osobina se moze iskoristiti za nalazenje kompleksnih likova izvesnih tipova signala. Parcijalni izvod nalazi takode primenu u definisanju i odredivanju . funkcija osetljivosti digitalnih sistema. 4.4.7. KONVOLUCIJA ORIGINALA
Ako su kompleksni likovi signala .ft(t) i J;(t) respektivno F1(z) i F2(z) i ako su za t
l
L~/1 (mT)/ (nT- mT) 2
(mT)/2 (nT- mT)
]= n~o m~/1 ~
00
(mT)f2 (nT -mT)z-n
00
L L !1 (mT)J; (nT- mT) z-•,
( 4.38)
n=O m=O
jer je fz(nT-mT)==.O za nT-mTn. Izmenom redosleda sumiranja i zamenom k=n-m dobija se
r;z.[J/
1
(mT)/2 (nT- mT)
]= ,~/1
(mT) z-m
k~m/2 (kT)z-k.
( 4.39)
Posta jefz(kT)==.O za k
zLt/~ (mT)fz (nr- mn]= J/~ (mT) z-m k~/z (kT) z-k =
F 1 (z) F2 (z).
Vazno je uociti, analogno kao u kontinualnim sistemima, da inverzna z-transformacija proizvoda dvaju z-kompleksnih likova F 1(z) i F2(z) u kompleksnom podrucju nije jednaka proizvodu povorki f* 1(t)=r;I.-l[F1(z)] i f*2(t)=r;I.-l[Fz(z)] u vremenskom podrucju. Na kraju jos jednom treba naglasiti da z-transformacija predstavlja osnovno matetfuibcko sredstvo klasicnih metoda analize i projektovanja digitalnih sistema. U nekim pri'Inenama ove transformaciJe postoje ogramCCnjiiOleoJima se mora vo-diti racuna. Najpre se moraju imati u vidu pretpostavke, navedene u prethodnoj glavi, u vezi procesa odabiranja i :z;adrske. Nairne, Laplaceova transformacija F*(s) i zatim z-transformacija F z ·skretno si nal ' vedene su od pretpostavkom d · n mua m s1gna u procesuodabiranja zamenjen pavor om o Ira a sa .QOVrSJnama JednakJm vrednostima SJgnala u trenuc1ma odabiranja. Ova pretpostavka 1ma praktJcnog sm1sla tamo gde Je traJanJe procesa odabJlilnJa dovoljno malo talCo da je U procesu konverZIJe promena leontmua!nog SignaJa manja od jedifog kVantnog mvoa, ih tamo gde Je trajanJe procesa konverZIJe analognog s1gnala u digJtalni znatno manje od najmanje vremenske konstante sistema na cijem se izlazu nalazi posmatrani signal. Zatim, z-kompleksni lik C(z) izlaza nekog linearnog kontinualnog sistema omogucava da se odrede vrednosti izlaza sistema c(t) samo u trenucima odabiranja; C(z) ne sadrzi bilo kak:vu informaciju o vrednostima signala c(t) izmedu trenutaka odabiranja. Konacno, kada se analizira neki linearni kontinualni sistem pomoeu z-transformacije, tada funkcija prenosa G(s) posmatranog sistema mora imati broj polova bar za jedan veci od broja konacnih nula, tj. normalni impulsni odziv tog sistema ne sme imati skokovitu promenu (diskontinuitet) u tacki t=O. Ako to nije slucaj, odnosno ako su stepeni polinoma u imeniocu i brojiocu od G(s) isti, primena z-transformacije u odredivanju normalnog impulsnog odziva nije verodostojna iii daje pogresan rezultat.
(4.37)
U cilju dokaza ove osobine, uocimo da se desna strana gornjeg izraza moze prepisati kao
r;z.Lt/1
95
(4.40) '
4.5. FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA
Do sada izlaganja su se odnosila samo na osobine i matematicki tretman diskretnog signala, odnosno povorke odbiraka. Za teoriju i praksu digitalnih sistema neophodno je prouciti sta se desava kada se diskretnim signalom pobuduje linearni kontinualni stacionarni sistem sa koncentrisanim parametrima, opisan funkcijom prenosa G(s). Takav slucaj je prikazan na sl. 4.4. Napomenimo da od,..5_At) birci u povorci r*(t) mogu biti impulsi, I T ako S shvatimo kao fizicki odabirac koji rC~-~tl ostvaruje vremenski kratke kontakte peT~ riodicno svakih T sekundi. Medutim, u digitalnim sistemima, a to je sada najcesci slucaj diskretnih sistema, odabirac s simbolicki predstavlja proces odabiranja. Nairne, u digitalnom sistemu odbirci u povorci r*(t) su digitalne reel, odnosno (b) vrednosti analognog signala r(t) u trenucima odabiranja, date u binarnom kodu i Sl. 4.4. llustracija definisanja funkcije diskretnog prenosa dobijene, na primer, na izlazu nekog A/D
.;--;_:¥-'"
96
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
4.5. Funkcija diskretnog prenosa
konvertora. Signal tak:ve prirode nije moguee dovesti na ulaz vecine kontinualnih sistema koji se srecu u praksi digitalnih sistema automatskog upravljanja. Stoga se takav digitalni signal najpre propusta kroz D/A konvertor koji se nalazi ispred kontinualnog procesa, kao sto je pokazano na sl. 4.4 (b). Posto D[A konvertor u ulozi kola zadrske nultog reda ima funkciju prenosa Gh 0(s)=(1-e-•T)fs, tada je ukupna funkcija prenosa G(s) kontinualnog dela sistema odredena sa G(s)=
1-e-n
s
(4 41)
Gp(s),
gde je Gp(s) funkcija prenosa procesa. Dakle, kada se ubu(luee bude govorilo o diskretnom signalu na ulazu kontinualnog sistema, podrazumevace se da diskretni signal moze biti i digitalni signal, ako je struktura kontinualnog sistema kao na sl. 4.4 (b). Razume se da ce izlaz sistema c(t) n;_sl. 4.4 biti kontinualan, bez obzira sto je ulaz diskretan. Laplaceova transformacija iii kompleksni lik izlaza C(s) je C(s)=G(s)R*(s),
(4.42)
--·"·------
gde je R*(s) Laplaceova transformacija ulazne povorke odbiraka. S obzirom na relativno slozen. oblik kompleksnog lika R*(s) usled prisustva komplementarnih spektara, odredivanje kontinualnog odziva c(t) na osnovu (4.42) je komplikovano. Stoga zamislimo da je izlaz c(t) diskretizovan odabiraeem koji je sinhronizovan sa odabiraeem na ulazu. Napisimo kompleksni lik tako dobijene povorke u obliku
/
t
~~f .. C(<+jn!l)~f}~ G(<+jn0)R~(•+jn!l}j(443) · poglavlju 2.3.1 Je pokazano da Je kmnpleksm hk d1skretnog signala periodicna funkcija ueestanosti, periode jednake kruznoj ucestanosti odabiranja 0.=27t/T. Prema tome, za svako n=O, ±1, ±2, ...
R*(s+jnD.)=R*(s) pa se (4.43) moze prepisati u obliku
C*(s)=R*(s)[~ n=~oo G(s+jnD.)
l
(4.44)
(4.45)
Uocimo da je izraz u srednjoj zagradi prethodne jednacine kompleksni lik iii Laplaceova transformacija povorke odbiraka koja bi se dobila diskretizacijom normalnog impulsnog odziva g(t) posmatranog sistema, tj. 1
G* (s)=,Z[g* (t)] = -
T
00
2:
G(S+ jnD.).
(4.46)
97
Ovaj rezultat1ma prvorazredni znacaj za teoriju i praksu diskretnih sistema uopste, a posebno digitalnih sistema upravljanja. Moze se lako zamisliti slozencst izlaza kontinualnog sistema na cijem ulazu deluje povorka odbiraka. Razume se da su samim tim slozene i metode za analiticko odredivanje odziva sistema. Medutim, ako se ne trazi potpun odziv sistema, vee samo njegove vrednosti u trenucima cdabiranja, problem izracunavanja tih vrednosti se krajnje pojednostavljuje. Relacije (4.47) i (4.48) pokazuju da je za izracunavanje odbiraka izlaznog signala dovcljno odrediti C(z) kao proizvod G(z)R(z) i zatim naci inverznu z-transformaciju c*(t)= =Q:-l[C(z)). Odnosi kompleksnih likova C*(s)fR*(slJli
prenosaTstovremeno, ta funkciJa Je deflmsana 1kao z-transformaciJa III z-kompleksm
Ilk normalnog impulsnog odziva sistema
00
G(z)=Q: [g(t)J =
L g(kT)z-k_ k=O
( 4.49)
Otuda, inverzna z-transformacija funkcije diskretnog prenosa predstavlja povorku odbiraka koja bi se dobila diskretizacijom normalnog impulsnog odziva sistema g*(t)=
L g(kT)a(t-kT)=Q:-l[G(z)J. k=O
!4.50)
Povorka odbiraka g*(t) se cesto naziva tdinskcm funkcijom iii impulsnom povorkom sistema. Prema tome, ako je dinamika nekog linearnog kontinualnog sistema zadata funkcijom prenosa G(s), a zelimo da definisemo odgovarajucu funkciju diskretnog prenosa, tada bi trebalo pisati G(z)=Q:{,.2'- 1 [G(s)J},
(4.51) jer se z-transformacija definise na kontinualncm signalu il i na povorci odbiraka u vremenskom domenu. Dakle, u posmatranom slucaju G(z) bi trebalo definisati na normalnom impulsnom odzivu sistema, a taj cdziv je, prema teoriji kontinualnih sistema, jednak inverznoj Laplaceovoj transformaciji (originalu) funkcije prenosa sistema. Medutim, radi jednostavnosti pisanja ubuduce cemo umesto izraza (4.51) pisati G (z) = Q [G (s)], (4.52) sto je, gledan6 matematicki, nerigorozno. Ta nerigoroznost nema negativne efekte, pa se mozemo dogovoriti da, kad pisemo (4.52), u stvari, podrazumevamo (4.51). 4.6. ALGEBRA FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA
n=-oo
U prethodnom poglavlju na primeru sistema na sL 4.4 u stvari je dokazana osnovna teorema algebre funkcija diskretnog prenosa:
Otuda i na osnovu (4.45) sledi C* (s)
=
G* (s) R* (s).
Smenom s=_!_lnz u (4.47) dobija se T C(z)=G(z) R(z).
(4.47)
Ako je C(s) = G(s) R* (s), C(z)
( 4.48)
skdi C' (s) =
G (z) R (z).
=
G* (s) R* (s) iii
( 4. 53) Ova teorema omogucava odredivanje razl icitih funkcija digitalnih sistema slozenijih struktura. Ilustrovacemo primenu teoreme (4.53) na nekoliko primera. 7 Digitalni :~i:-.l~·mi upra\ ljanj:..t
98
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
4.6. Algebra funkcija diskretnog prenosa
Za sistem na sl. 4.5 vaze relacije (4.54)
C(s) = G2 (s) M* (s).
M(s) = G1 (s) R* (s)
Primenom teoreme (4.53) na jednacine (4.64) i (4.65) i zatim eliminacijom E*(s) iz tako dobijenih jednacina imamo · C* (s) =
Primenom teoreme (4.53) na prethodne dve jednacine i zatim eliminacijom M*(s) iz tih jednacina dobija se C* (s) = G1 * (s) G2 * (s) R* (s)
(4.55)
C(z)= G1 (z) G2 (z)R(z).
(4.56)
G* (s)
r(~~)
Sl. 4.5. Prvi primer digitalnog sistema bez povratne sprege
Sl. 4.6. Drugi primer digilalnog sistema bez povratne sprege
T~
T~T~
pa primena teoreme (4.53) daje iii
C* (s) -= [G 1 (s) G2 (s)]* R* (s)
(4.58)
Cl. [G 1 (s) G2 (s)] R(z).
(4.59)
C (z) =
i
(4.60)
R(z).
(4.66)
(4.67)
(4.68) Posle primene teoreme (4.53) na prethodne dve jednacine i eliminacije E*(s) iz tako dobijenih jednacina dobija se
R * (s) =I+ G*G*(s)(s)H*__ (s)
iii
C(z) =
G (z) R(z), 1 + G(z)H(z)
(4.69)
sto je, razume se, razlicito od (4.66). Podsetimo da je u linearnim kontinualnim sistemima uvek bilo moguce za sistem proizvoljne strukture odrediti funkciju spregnutog prenosa, tj. odnos kompleksnih likova izlaza i ulaza sistema. Medutim, u linearnim digitalnim .sistemima postoje slucajevi kada to nije moguce. Takav je, na primer, sistem na sl. 4.9 za koji vaze relacije M(s)=G 1 (s)R(s)
Q: [G 1 (s) G2 (s)] = G 1 G2 (z),
G(z)
1 + GH(z)
C (s) = G (s) E* (s).
Radi kratkoce pisanja, uvode se oznake [G 1 (s) G2 (s)]* = G1 G/ (s)
C(z)
E(s) = R(s)- H(s) C* (s)
C* (s)
(4.57)
iii
Sistem slicne strukture, prikazan na sl. 4.8, moze se opisati jednacinama
U sistemu slicne strukture na sl. 4.6 imamo C(s) = G1 (s) G2 (s) R* (s),
R* (s)
1 + GH* (s)
iii
rC~~~)
99
C (s) = G2 (s) M* (s),
(4.70)
odakle se primenom teoreme (4.53) lako izracunava C* (s) = G2 * (s) G 1 R* (s)
pa se (4.59) pise u obliku
iii
C(z) ~- G2 (z) G1 R (z).
( 4. 71)
(4.61)
C(z) ~ G1 G2 (z) R(z).
Naglasimo da sistemi na slikama 4.5 i 4.6 nisu isti, jer ocigledno G ,(z)G2(z)!=
r~m(ty~
c(_t)
~T·~
!=G1 G2 (z), odnosno
!J. [G 1 (s)] Q: [G 2 (s)l!=!Z [G 1 (s) G2 (s)].
(4.62)
Posmatrajmo sada digitalni sistem sa povratnom spregom na sl. 4.7. Za ovaj sistem vaze relacije (4.63) E(s) = R(s)- H(s) C (s) ( 4.64)
C (s)-= G (s) E* (s).
c
(t)
""·Y'"~~ f.-~:f" -
T
G(s)
H(s l
Sl. 4.10. Treci primer digilalnog sistema sa povratnom spregom
Na desnoj strani prethodnih izraza ne pojavljuje se R(z) eksplicitno, vee zajedno sa G1(s) u z-kompleksnom liku G 1R(z)=Cl.[G 1(s)R(s)]. Otuda, u sistemu na sl. 4.9 nije moguce odrediti funkciju diskretnog prenosa od ulaza do izlaza, tj. odnos C(z) I R(z). Funkciju spregnutog diskretnog prenosa nije moguce odrediti ni u sistemu na sl. 4.10. U ovom sistemu se lako izracunava. C(s) = G (s) R (s)- G (s) H(s) C* (s),
T
Sf. 4.7. Prvi primer digitafnog sistema
Sf. 4.8. Drugi primer digitafnog sistema
sa povratnom spregom
sa pmTatnom spregom
Smenom C(s) iz (4.64) u (4.63) dobija se E (s) = R (s)- G (s) H (s) E* (s).
Sf. 4.9. Treci primer digitalnog sistema bez povratne sprege
( 4.65)
odakle se primenom teoreme (4.53) i odredivanjem C(z) dolazi do I' I . ) 'j G/l.(z) (_ C(z)=----. <... ·- &=-l + GH(z)
(4.72) }
/1{4. 73)
Ocigledno, ni ovde nije moguce izraziti C(z)/R(z}. Napomenimo da se ovi i slicni tipovi digital nih sistema, u kojima nije moguce odrediti funkciju diskretnog prenosa 7*
100
101 '-
4. 7. ·Modifikovana z-transformacija
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
od ulaza do izlaza, retko srecu u praksi. Zapravo, ne vidi se motiv strukturne sinteze takvih sistema. Cilj datih primera je da pokazu postupke odredivanja karakteristicnih funkcija u digitalnim sistemima i da pos1uze kao pokazni primeri za odredivanje ovih funkcija u slucajevima digitalnih sistema slozenijih struktura. Navescemo dva takva sistema i njihove funkcije spregnutog diskretnog prenosa.
odredivanje vrednosti signala i izmedu trenutaka odabiranja; na primer, metod visestrukog odabiranja i modifikovana z-transformacija, koju cemo ovde pokazati zbog njenog izuzetnog znacaja i primene. U cilju definisanja modifikovane z-transformacije posmatra se primer digitalnog sistema na sl. 4.13. Zamislimo da se izlaz sistema c(t), koji je kontinualan, najpre propu!lta kroz kolo sa transportnim kasnjenjem Td, pa zatim diskretizuje odabiracem koji je sinhronizovan sa odabiracem S u sistemu. r -=rd_s,cdct)
s. . . c;~ t )
r - - - --.... •-- ~ T
r1e
I
.s.,lt)
~----------------------__,H(s)~--------~
~ "''f
Sl. 4.II. Digitalni sistem upravljanja slozenije strukture
----....:~-
Strukturni blok dijagram digitalnog sistema sa dve konture uprav1janja prikazan je na sl. 4.11. Funkcija spregnutog diskretnog prenosa ovog sistema je .£(z)=C(z) R R(z)
Na sl. 4.12 prikazan je struktumi blok dijagram sistema slozenije strukture na koga, pored referentnog u1aza, deluje i poremecaj f(t). Kompleksni lik C(z) izlaza sistema se maze izracunati kao C(z) D 1 (z)G 1 G2 (z)R(z)-D 3 (z)G 1 G2 F(z) + GIG2 F(z) ( 4 .75) 1 + D 1 (z)G 1 G2 H 1 (z)+D 2 (z)G 1 G 2 H 2 (z)
/!sT4:13fPrimer digitalnog sistema za defbtisanje modifiko··--c:.· f vane z-transformacije
•
•V
Pretpostavimo da transportno kasnjenje Ta nije vece od periode odabiranja T, tj. neka je Td=aT, O
-~. 1
1-
=
I - a,
0 ~ m < I.
za m=l--rt. i O~m
Q[cAt)]=
C(z, m)=Q',.[c(t)]=Q{c[t--(1--m)T]},
U prethodna dva primera dati su samo krajnji rezultati; citaocu se prepusta da ove rezultate izvede koristeci teoremu algebre funkcija diskretnog prenosa i prethodno date pokazne primere njene primene. 4.7. MODIFIKOVANA Z-TRANSFORMACIJA Podsetimo na ogranicenje da pomocu z-transformacije nije moguce sazuati bilo sta o vrednostima kontinualnog izlaza nekog sistema izmedu trenutaka cdabiranja. U teoriji diskretnih sistema predlozeno je vise postupaka koji omogucavaju
(4.77)
Modifikovana z-transformacija promenljive c(t) definise se kao z-tiansformacija zakasnjenog signal a cd(t)=c(t- aT)=,c [t -(1 -m) T]
T
Sl. 4.12. Digital11i sistem uprav/janja sa rednim iparalelnim kompenzatorima i kompenzacijom poremecaja
_,
IJ_
O~m<
(4.78) 1.
(4.79)
Inverzna modifikovana z-transformacija ce, prema tome, dati vrednosti c[(n+m -l)T] promenljive c(t) izmedu trenutaka cdabiranja, tj. ·.- ...... -----
Smenom izracunatih vrednosti za G (z, m), GH (z) i R (z) u izraz za C (z, m) dobija se . 1,25 (e-"' + m-1) z'- (2,5 e-m+ 1,71 m- 2,96) z+ 1,25 e-m +0,46 m-0,92
C(z, m)
Posle zamene e-vT =z-l u prethodni izraz dobija se definicioni konturni tegral. modifikovane z-transformacije
1 F(z, m)=-2 1tj
§ e'"PTF(p) dp, c
z 3 -1,90 8z' + 1,606 z -- 0,698
In-
{4.82)
Odredimo vrednosti izlazne promenljive c (t ), na primer, u trenucima t=(n+m-J) T za n=O, I, 2, 3, 4 i 5 i m=0,2; 0,4; 0,6 i 0,8. Deljenjem polinoma u brojiocu sa polinomom u imeniocu izraza za C (z, m) dobija se
Z- ePT
C (z, m) = 1,25 (e-m +m-1) z-' + (- 0,115 e-m +0,675 m+0,575) z- 2
gde kontura C u p-ravni obuhvata sve polove funkcije F(p) i gde je "Stepen polinoma u imeniocu veci bar za jedan od stepena polinoma u brojiocu od F(p). Slicno konturnom integralu (4.12), i inverzna modifikovana z-transformacija je definisana sa
gde kontura I' obuhvata sve polove od F(z,m) u z-ravni. Napomenimo da su postupci sracunavanja modifikovane z-transformacije i njene inverzne prakticno isti kao u obicnoj z-transformaciji. c[(n+m-1)T]=
Primer. Izracunajmo modifikovanu z-transfonnaciju izlaza sistema na sl. 4.13. Sa slike se vidi da su Cc~ (s) ~ G (s) e-< 1 -m)s7' E* (s)
E (s) ~ R (s)- G (s) H (s) E* (s). Primenom teoreme (4.53) na prethodne dve jednacine dobija se C (z, m) = Q E (z)
Eliminacijom E (z) iz prethodne dve jednacine dobija se
G (z, 111) 1 + GH (z).
R (z).
Pretpostavimo da je sistem pobuden jedinicnim odskocnim signalom r (I )=It (1). da je H(s)=l ida G(s) predstavlja rednu vezu D/A konvertora, pojacavaca snage i motora, ukupnc funkcije prenosa 1-e-s'l' 5_~ G (s) = -~-.-- -.;-(., + 2) Tada, pri T=0,5 s, dobijamo R(z)= z-1 1 -e-sT 5 ] [ 5 ] GH(z)=r;I - · - - - - - - =(1--z- 1)!1: . 2- - [ s (s + 2) s s (s + 2)
z 2 - 1,368 z + 0,368
-0,115e-m+0,675m+0,575
n=2
-0,9775e-m-0,260m+2,185
n=3
-0,80625e-'"-0,707m+2,3715
n=4
-·0,05e-"'-0,46m+1,4J81
n=5
Trazene vrednosti za izlaznu promenljivu c (I) su izraljunate i sredene u tablici 4.1. c[(n+m-1 )TJ
TABLICA 4.1. DlSKRETNE VREDNOSTI IZLAZA SISTEMA
~~
I
0 1 2 3 4 5
0,0000 0,0000 0,4600 1,2075 1,5653 1,3681 I
o,2
0,0000 0,0234 0,6158 1,3327 1,5700 1,2852
I
o,4
I
0,0000 0,0879 0,7679 1,4258 1,5383 1,2006
o,6 0,0000 0,1860 0,9169 1,4925 1,5048 1,1147
I
2
I
c [(n+m-1) T] o.o
--
0,46 z + 0,33
n=O n=1
G (z, m) E (z)
R (z) - G H (z) E (z).
C (z, 111) =
I !
0
1,25(e-m+m-1)
0,8
0,0000 0,3117 1,0633 1,5378 1,4436 1,0276
c(3TJ
c( 2 T~rlllfllllr~~4Tl
1.5
c (5Tl
, 1 r r 1r 1t 1 11111t 1t rT
0.51 c(TJI I ,
0
1
r,
1
IIIIIIIIIIIIIIIJJJIII)Ii
0.5
1
1.5
2
2.5
,:._ sec
Sl. 4.14. Odbirci izlaza sistema izracun ati primenom inverzne z-modifikovane transformacije
Na sl. 4.14 graficki su prikazani rezultati primene modifikovane z-transfcnr.acije u odredivanju odziva posmatranog sistema. Sudeci na osnovu izracunatih vrednosti, posmatrani digitalni servosistem je stabilan.
104
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
4.8. Digitalni sistemi sa transportnim ka~njenjima
105
4.8. DIGITALNI SISTEMI SA TRANSPORTNIM KASNJENJIMA Modifikovana z-transformacija ima znacajnu ulogu u analizi i projektovanju digitalnih sistema sa transportnim kasnjenjima. Napomenimo da se ovaj tip kasnjenja cesto srece u sistemima automatskog upravljanja. Na primer, u sistemu sa povratnom spregom kod koga se negde unutar kola povratne sprege nalazi covek koji kao operator ucestvuje u realizaciji upravljanja, tzv. reakciono vreme coveka se ogleda kao cisto vremensko (transportno) kasnjenje; u regulisanom tehnoloskom procesu, dinamika objekta upravljanja se, u opstem slucaju, maze opisati funkcijom prenosa sa nekoliko vremenskih konstanti i transportnim kasnjenjem; u digitalnim sistemima autorratskog upravljanja, vreme racunanja mikro.~ procesora i vreme A /D konverzije se u modelu, sistema pojavljuju kao trans~_!ll~ ,kasnjenJa. Otuda, svaki digitalm s1stem automatskog upravljanJa poseduje transportno kasnjenje unutar kola povratne sprege. Uistinu, cesto se to kasnjenje u digitalnom sistemu zanemaruje, ako je dovoljno malo u poredenju sa usvojenom periodom odabiranja. Prisustvo transportnog kasnjenja u kontinualnom sistemu bitno usloznjava primenu poznatih metoda anal ize i projektovanja sistema. Pored toga, transportno kasnjenje uvek pogorsava kvalitet dinamickog ponasanja. kontin~~feriia: smarijl.lje._PfeTelC -sf!lDilnosli t-br:t:inu Teilgovaiija,_ Ova konstatacija postaje jasnija aiCo se 1ma u v'idu da elemenat e Tds, kojim se modelira transportno kasnjenje Td, kada se nalazi unutar kola povratne sprege, ne utice na amplitudnu frekvencijsku karakteristiku sistema u otvorenoj povratnoj sprezi. jer je moduo e-Taiw jednak jedinici. Medutim, taj clan ce unositi negativni fazni pomeraj -TdW u fazu harmonika signala unutar kola povratne sprege; dakle, R.Q.Vecava strminu fazne frekvenc~~ke karakteristike sistema u otvorenoj povratnoj sprezl. Otuda se sman]U]e.pietek faze i povecava vreme kasnjenja Tk, odnosno smanjuje se pretek stabilnosti i brzina reagovanja sistema. Za raz\iku od kontinuainih sistema, prisustvo transportnog kasnjenja unutar kola povratne sprege digitalnog sistema upravljanja ne usloznjava primenu poznatih metoda analize i projektovanja digitalnih sistema. Uistinu, i u digitalnim sistemima transportna kasnjenja po pravilu negativno uticu na stabilnost i brzinu reagovanja, ali ne u meri kao kod kontinualnih sistema. Stavise, postoje slucajevi gde malo transportno kasnjenje pozitivno utice na stabilnost [5]. ~
- ~ i1 ii
r(t)l~~t 1 _
~
/~/~Ts c(t) T~T· 0/R e d G(s)
~-------------~
Neka je Td
W(z) =D (z)(l -z- )Q: [G5 (s) e-Tds) =D (z)(l-z-l) Gs(z, m) lm=I-Td/T
=D(z)(I-z- 1)G5 (z, 1-Td/T).
(4.85)
Prema tome, karakteristicna jednacina l + W(z)=O sistema na sl. 4.15 je z+D(z)(z-I)G5 (z, 1-Td/T)=O.
( 4.86)
U slucaju kada je Td vece iii jednako T, transportno kasnjenje se maze predstaviti kao Td=nT+"AT, gde je n celobrojna pozitivna konstanta, a O~"A
=D(z)(I-z- )z-nG5 (z, m)lm=H =D(z)(l-z- 1)z-nG (Z, 1-"A). 5
r------------------MIKROPROCESOR
1
I
I
i
T
I
-----------..1
'
H ~ 1Csl •
I
Sl. 4.16. Digitalni sistem upravljanja sa dva transportna kasnjenja
Sa ciljem ilustracije primene modifikovane z-transformacije u analizi digitalnag sistema slozenije strukture sa vise razlicitih transportnih kasnjenja, posmatra se sistem na sl. 4.16. Neka je, na primer, u datom sistemu T=O,OI s, a transportna kasnjenja T1 ==.-0,005 s i 1'z=0,008 s. Primenom teoreme algebre funkcija diskretnog prenosa za sistem na sl. 4.16 izracunava se sledeca funkcija spregnutog diskretnog prenosa _£(z)= D 1 (z)(l-z- 1)G5 (z; 0,5) 1 R l +D 1 (z)(l-z- )G5 H 1 (z; 0,5)+D2 (z)(l-z- 1)z-l G5 H (z; 0,7)
-
2
Sl. 4.15. Digitalni sistem upravljanja sa transportnim kasnjenjem
zD 1 (z)(z -I) Gs(z; 0,5) 2
Primenu modifikovane z-transformacije u analizi digitalnog sistema sa transportnim kasnjenjem ilustrovacemo na primeru sistema na sl. 4.15. Ukupno transportno kasnjenje Td objedinjuje vreme racunanja mikroprocesora, vreme A/D konverzije i eventualno transportno kasnjenje u modelu objekta upravljanja. Funkcija povratnog diskretnog prenosa sistema je
z +zD 1 (z)(z-l)G 5 H 1 (z; 0,5)+D2 (z)(z-l)G5 H (z; 0,7)'
(4.84)
(4.88)
2
gde su G,(z; 0,5)= Q:[G(s) e-T,s]=Q:m[G(s)] s
] 1 e-sT W(z)=D(z)Q: --=-;--e-TdsG(s) . [
(4.87)
s
,
Gs H 1 (z; 0,5)=Q:[G(s) H 1 (s) e-T,s]=Q:m[G(s) H (s)J 1
S
S
(4.89)
m=I-T,JT=o.s
m=I-TtfT=O,S
(4.90)
106
4. Z-transforrnacija i funkcija diskretnog prenosa 4.9. Digitalni sisterni sa odabiracirna razlicitih brzina odabiranja
G(s) ] =z-1 Q:m ---Hz(S) . ( 4.91) [ s 111=1-0.3=0.7 Navedeni primeri dovoljno jasno pokazuju da .se primenom modifikovane z-transformacije mogu dobiti sve karakteristicne funkcije diskretnog prenosa digitalnog sistema automatskog upravljanja proizvoljne strukture i sa vise razlicitih transportnih kasnjenja. Funkcije diskretnog prenosa izracunate pomocu modifikovane z-transformacije dobijaju se u vidu realnih racionalnih funkcija kompleksne promenljive z. Dakle, te funkcije se po karakteru ne razlikuju od funkciJa diskr~tnog prenosa dobijenih primenom obicne z-transformacije. Stoga se sve metode analize i projektovanja digitalnih sistema podjednako uspesno primenjuju bez obzir'i da 1i sistem poseduje iii ne transportna kasnjenja, sto inace nije slucaj u teoriji kontinualnih sistema.
l
I d n ~
~
]
t w
r~·
~~
~
i!II;
i!
~ll
·i
4.9. DIGITALNI SISTEMI SA ODABIRACIMA RAZLICITIH BRZINA ODABIRANJA U izvesnim sistemima automatskog uprav1janja objekti upravljanja mogu sadr:lavati po prirodi i po dinamici razlicite delove. Na primer, u regulisanom jednosmernom elektromotornom pogonu unutrasnja ili lokalna kontura regulacije struje rotora motora poseduje da1eko br:lu dinamiku nego spoljna kontura regulacije brzine obrtanja vratila motora, jer je lokaina kontura objekta upravljanja elektricna, a spo1jna (glavna) mehanicka. Kada se projektuje digita1no upravljanje u sistemima sa ovakvim i slicnim objektima upravljanja, eesto je pogodno u delu koji poseduje br:lu dinamiku usvojiti manju, a u delu sa sporijom dinamikom vecu periodu odabiranja. Pri tome, analiza i projektovanje ovakvih sistema se mogu znatno uprostiti ako se usvoji da je veca perioda odabiranja neki multipl manje i da su procesi odabiranja sa razlicitim brzinama sinhronizovani u trenucima odabiranja najsporijeg odabiraca. Napomenimo da se ovi uslovi mogu lako ostvariti u digitalnom sistemu. ·
s 1·
107
sistem na sl. 4.17 moze zameniti ekvivalentnim sistemom na sl. ~.18 u ko'me su svi odabiraci sinhronizovani i imaju istu periodu odabiranja T. Ocigledno, sistem na sl. 4.18 se da1je moze zameniti ekvivalentnim sistemom na sl. 4.19. T
-
c(t)
T
Sf. 4.18. Blok dijagram ekvivalentan sistemu na
st. 4.17
U sistemu na sl. 4.19, z-transformacije elemenata e-
Q
G2 (s)] za sve k=O, I, 2, ... , n-1. [e-(kT/tr)s
=
!2111 [G2 (s)]m=l-k/n = Gz (z,
1-k/n),
(4.92)
-
c(t)
T
Sf. 4.19. Blok dijagram ekvivalentan dijagramu na sf. 4.18
s2
G 1(s) G2
Sf. 4.17. Digitalni sistem sa dva razliCita procesa odabiranja
Pokazacemo na primeru sistema na sl. 4.17 da se primenom modifikovane z-transformacije analiza i projektovanje digitalnih sistema sa odabiracima razlicitih brzina mogu vrsiti prakticno na isti nacin kao u sistemima sa istcdobnim procesima odabiranja. U sistemu na sl. 4.17 se pretpostavlja da su odabiraci S 1 i S2 sinhronizovani u trenucima odabiranja t=O, T, 2T, ... sporijeg odabiraca, a da br:li odabirac S2 vrsi odabiranja u trenucima t=jT+kT/n j=O, I, 2, ... ; k= I, 2, ... , n-1. Analizom dejstava elemenata kasnjenja i prednjacenja moze se zakljuciti da se
Z-transformacije elemenata e
Q
[E'
c, (s)] = zCZ [e-0-k!,JTs c, (s)] = Z
2, [G 1 (s)]
111
=',fn
= zG 1 (z, kjn),
(4.93)
za sve k=O, 1. 2, .... n--1. Jednacine (4.92) i (4.93) omogucavaju da se za sistem na sl. 4.19, odnosno ekvivalentni sistem na sl. 4.17, a samim tim i za sisteme slozenijih struktura sa odabiracima razlicitih brzina, odrede sve karakteristicne funkcije potrebne u procesu analize i projektovanja. Odredimo. na primer, funkciju spregnutog diskretncg
4. Z-transformacija i funkcija diskretnog prenosa
108
prenosa, odnosno z-komp1eksni 1ik iz1aza c(t) sistema na sl. 4.17. Na osnovu ekvivalentne strukture na sl. 4.19 i jednacina (4.92) i (4.93) dobija se n-1
z
I
G1 (z, k/n) G2 (z, 1- k/n)
C(z)= ___k=O 1 +z
n-1
I
R(z).
(4.94)
G 1 (z, k/n)G 2 (z, 1-k/n)
k=O
Ocigledno, funKcija spregnutog diskretnog prenosa C(z)/R(z), kao i ostale karakteristicne funkcije digita1nog sistema sa odabiraCima razlicitih brzina, dobijaju se u vidu realnih racionalnih funkcija koje se po karakteru ne razlikuju od odgovarajucih funkcija u obicnom digitalnom sistemu. Dakle, moaifikovana z-transformacija omogucava da se i u slucaju ove vrste sistema analiza i sinteza vrse bez dodatnih teskoca u primeni metoda razvijenih za obicne digitalne sisteme.
LITERATURA [I] S t oj i c M. R., Kontinualni sistenli automat>kog uprav/janja, Naucna knjiga,.Beograd, 1985. [2] Rag a z z in i J. R. and Frank I in G. F., Sampled-Data Control Systems, McGraw-Hill Book Company, New York, 1958. [3] To u, J. T., Digital and Sampled-data Control Systems, McGraw-Hill Book Company, New York, 1959. [4] Jury E. I., Sampled-data Control Systems, John Wiley and Sons, Inc., London, 1963. [5] C To H 'I M. P. H C T o H 'I P. M., AHanll3 'IYBCTBHTenbHOCTH l.lbi
11 I'
'!I p,
:;
5 REALIZACIJA I OSOBINE FUNKCIJE DISKRETNOG PRENOSA Podsetimo da je funkcija diskretnog prenosa sistema definisana kao cdnos z-kompleksnih likova izlazne i ulazne povorke odbiraka pri pocetnim tislovima jednakim nuli iii kao z-kompleksni lik tezinske funkcije, cdnosno impulsne povorke sistema koja se dobija kao odziv sistema na pobudu u vidu jedinicnog impulsa. Dakle, postoji izvesna analogija funkcija kontinualnog i diskretnog prenosa. Nairne, u kontinualnim sistemima funkcija prenosa je defi_nisana kao odnos s-kompleksnih likova izlaza i ulaza sistema pri svim pocetnim uslovima jednakim nuli iii kao Laplaceova transformacija tezinske funkcije, odnosno normalnog impulsnog odziva sistema. Nalazenje funkcije prenosa se moze tretirati i kao problem analize sistema. Zadatak sinteze je inverzan ovom problemu: data je funkcija prenosa, realizovati sistem sa dinamikom koja odgovara toj funkciji. U kontinualnim (analognim) sistemima zadatak sinteze se resava raz1icitim postupcima. Na primer, u elektricnim sistemima - koriscenjem pasivnih elemenata (otpornika, kondenzatora i induktivnih kalemova) iii, u najcescem slucaju, pomocu aktivnih kola (operacionih po.iacavaca). Analogno se postavlja zadatak sinteze funkcije diskretnog prenosa: treba realizovati uredaj koji ce pri nekoj povorci odbiraka na ulazu generisati povorku odbiraka na izlazu, takvu da je odnos z-kompleksnih likova izlazne i ulazne povorke jednak zadatoj funkciji diskretnog prenosa. U ovoj glavi bice pokazano kako se ovako postavljeni zadatak resava hardverski, koriscenjem modula digitalne racunske tehnike, iii programski na digitalnom racunaru opste namene iii pomocu mikroracunara. Bile da je rec o hardverskim iii programskim, sve realizacije funkcije diskretnog prenosa se zasnivaju na jed nom od tri tipa algoritama: konvolucionom. rekurzivnom iii DFT algoritmu. Konvolucioni algoritam se zasniva na primeni osobine konvolucije· originala (vidi poglavlje 4.5.7). Podsetimo na tu osobinu z-kompleksnih likova. Neka se na ulazu digitalnog sistema (procesora informacija) funkcije diskretnog prenosa H(z) nalazi digitalni signal r*(t), ciji su odbirci r(O), r(T), r(2T), . . . Tada ce z-kompleksni lik izlazne povorke c*(t), ciji su odbirci c(O), c(T), c(2T), ... , biti C(z)=H(z)R(:::), tj. izlazna povorka se dobija diskretnom konvolucijom n
c(nT)=
I
111=0
I.
h(mT)r(nT-mT),
n =0, I, 2, ...
( 5.1)
110
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa 5. Realizacija ·i osobine funkcije diskretnog prenosa
Prema tome, realizacija funk.cije diskretnog prenosa H(z) po konvolucionom algoritmu moze se svesti na pisanje programa za digitalni racunar po kome se generisu odbirci c(nT) izlazne povorke u vidu ponderisane sume svih odbiraka ulaznog ~ignala u trenucima t=O, T, 2T, ... , (n-1)T, koji prethode trenutku t=nTu kome se izracunava c(nT). Koeficijenti ponderacije su jednoznacno odredeni zadatom funkcijom diskretnog prenosa H(z), jer su ti koeficijenti, zapravo, jednaki odbircima impu1sne povorke zadatog procesora. Nairne, ako je ulazni signal r*(t) jedinicni impuls, tj. povorka 1, 0, 0, ... ' izlazna povorka c*(t) ce, prema (5.1), biti impulsna povorka procesora h(O), h(T), h(2T), . . . U najcescem slucaju od interesa su stabilni procesori kod kojih se pri ogranieenim vrednostima odbiraka ulaznog signata u rezultatu procesiranja na izlazu procesora dobijaju odbirci izlaznog signata ogranicenih vrednosti. Moguce je pokazati [I] da procesor poseduje osobinu stabilnosti ako odbirci njegove impulsne povorke ispunjavaju uslov
~
(5.2)
\h(nT)\
Ill
Posto prethodna jednacina vazi za svako n, moze .se pisati 00
L c(nT)z-"=Kz- L c(nT- T)z-(n1
n=O
1)
+
n=O
00
L r(nT)z-n. n=O
(5.5)
Suma na tevoj i druga suma na desnoj strani ove jednacine predstavljaju z-kompleksne likove respektivno izlazne i ulazne povorke odbiraka. I prva suma na desnoj strani jednacine (5.5) predstavlja z-kompleksni lik izlazne povorke, sto se lako dokazuje zamenom i =n -1 i uzimanjem u obzir da je c{ -· T)=O. Na taj nacin se jednacina (5.5) moze prepisati u obliku C(z) =Kz- 1 C(z) + R(z).
(5.6)
Iz jednaC'ine (5.6) se vidi da se rekurzivnim algoritmom (5.3), zapravo, realizuje funkcija diskretnog prenosa
n=O
'
' !p
tJ d
~ ~
1 !j
~
~
~
~
~~
:ij ;j
~· -i.
,. ~:
t·1
d'
{:·'
Ii I,
! .
) .
Uslov prethodne nejednakosti je moguc samo u dva s1ucaja: (i) digitalni procesor poseduje ogranicenu impulsnu povorku (FIR procesor) kod koga je h(nT)= =0 svuda, sem u slucaju N 1 ~n~ N 2 ; (ii) procesor poseduje neogranicenu impulsnu povorku (IIR procesor), ali kod koga h(nT)-+0, kad n-+oo; na primer, kod koga su h(nT)=K•, a \K\ < 1. Ipak, IIR procesor je prakticno nemoguce realizovati konvolucionim algoritmom, jer sa porastom broja odbiraka ulaznog signata raste i broj potrebnih mnozenja koje zahteva jednacina (5.1) da bi se dobio odbirak izlaznog signata. Na primer, ako se procesira govorni signal diskretizovan sa periodom T= lQ-4 s, tada je za dobijanje poslednjeg odbirka prccesirancg signata u trajanju od samo jedne sekunde kroz neki digitalni filtar H(z) potrebno izvrsiti 10.000 mnozenja, a to je prakticno neizvodljivo u realnom vremenu. Uistinu, mcguce je reatizovati i IIR stabilni procesor konvolucionim algoritmom, ali priblizno - odbacivanjem malih ponderisucih faktora h(nT) u diskretnoj konvotuciji (5.1), koji odgovaraju velikim vrednostima za n. Medutim, takav algoritam, nazovimo ga empirijskim, se ne primenjuje, jer u tehnici digitalne obrade signata postoje drugi tacniji postupci sinteze i realizacije liR i FIR procesora [10]. Drugi opsti atgoritam realizacije funkcije diskretnog prenosa zasniva se na predstavlJanJU funkcije odgovarajucom diferencnom iii rekurzivnom jednacinom, pa se otuda ovaj algoritam naziva rekurzivnim. Za sada cemo samo ilustrovati ovaj algoritam na najjednostavnijem primeru diferencne jednacine prvog reda
c (nT) =Kc (nT- T) +r (nT),
sa
c (- T) = 0,
(5.3)
gde su r(nT) i c(nT) (n=O, 1, 2, ...) odbirci ulaznog i izlaznog signala procesora i gde je \K\ < 1. Prema ovoj retaciji, realizacija procesora je jednostavna: u nekom trenutku odabiranja t=jT odbirak izlaznog signata c(jT) se dobija tako sto se odbirku signata r(iT) pristigtom na ulaz procesora u tom trenutku dada odbirak iztaznog signata Kc(jT-T) dobijen u prethodnom trenutku i pomnozen koeficijentom K. Ova procedura se ponavlja u svim trenucima odabiranja i na taj nacin generira izlazni digitalni signal, odnosno realizuje zadati digitatni procesor. Ocigledno je da se ovaj' algoritam moze realizovati jednostavno hardverski ili programski. Ovaj postupak, u stvarl, odgovara realizaciji funkcije diskretnog prenosa procesora. Da to pokazemo, pomnozimo levu i desnu stranu jednacinc (5.3) sa z-" i zatim napisimo tako dobijenu jednacinu u obliku c (nT) z-" = Kr 1 c (nT- T) z-(n-l) + r (nT) z-". (5.4)
C(z)=H(z)=--R(z) 1-Kz- 1
z
z-K
(5.7)
Razume se da je ovakav rekurzivni algoritam moguce primeniti u realizaciji rna kako slozene fizicki ostvarljive funkcije diskretnog prenosa, 0 cemu ce kasnije biti vise reci.
Trec~sti postupak realizacije funkcije diskretnog prenosa zasniva se na DFT algorFu, odnosno na primeni diskretne Fourierove transformacije. Zasada, bice navedena samo osnovna ideja ovog algoritma. Korisno je najpre podsetiti na analogan postupak u kontinualnim sistemima. Pretpostavimo da je H(s) funkcija prenosa nekog stabilnog analognog filtra. Ako je R(jw) Fourierova transformacija ulaznog signata tog filtra, tada se frekvencijski spektar C(jw) izlaznog signala filtra dobija kao C(jw)=H(jw)R(iw), gde je H(jw) frekvencijska funkcija prenosa iii Fourierova transformacija norinalnog impulsnog odziva filtra. Drugim recima, izlaz filtra se dobija konvolucijom c (t) =
Jh ('r) r (t- •) d
T.
0
(5.8)
Prethodne relacije imaju svoje ekvivalente u digitalnim sistemima. Da to pokazemo, pretpostavimo da je za ulaznu povorku od N odbiraka r(nT) (n=O, I, 2, ... , N-1) sracunata diskretna Fourierova transformacija, po formuli N-1
R(kD)=DFT{r(nT)}=
L
r(nT)e-jnTnk, k=O, I, 2, ... , N-1.
(5.9)
n=O
U prethodnoj formuli, koja predstavija definicioni obrazac DFT, perioda odabiranja u frekvencijskom domenu je D=2rr:(NT, dok je pericda odabiranja u vremenskom domenu T. Pretpostavimo, takode, da je za N odbiraka impulsne povorke filtra izracunata DFT, kao N-1
H(kD)=DFT{h(nT)}=
L
h(nT)e-jnTnk, k=O, I, 2, ... , N-1. (5.10)
11=0
U cilju da pokazemo kako se DFT koristi u realizaciji funkcije diskretnog prenosa, najpre se navodi teorema o ciklicnoj konvoiuciji, koja ce kasnije biti do-
112
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
5.1. Rekurzivni algoritam
kazana. Po toj teoremi, ako su R(kD.) i H(kD.) (k=O, 1, 2, ... , N-1) diskretni spektri iii DFT respektivno odbiraka r(nT) i h(nT) (n=O, 1, 2, ... , N-1) ulaznog signata i impulsne povorke procesora, tada proizvod H(kD.)R(kD.) za k=O, 1, 2, ... , N-l predstav1ja DFT od ciklicne konvo1ucije skupova cdbiraka r(nT) i h(nT): H (k D.) R (k D.)= DFT
c~~ r (mT) h [((n- m)) T]}
(5.11)
gde ((n-m)) oznacava (n-m) po modulu N. Uocimo bitnu razliku izmedu kontinualncg i digitalnog filtra iii digitalnog procesora i nformacija: u kontinualnom filtru proizvcd Fourierove transformacije ulaznog signata i frekvencijske karakteristike filtra jednak je Fourierovoj transfcrmaciji izlaznog signala iii konvolucionog integra1a (5.8), dok u digitalnom filtru proizvod DFT ulazne povorke i DFT impulsne povorke filtra nije jednak DFT izlazne povor~e (5:1), vee je taj proizv~d jedna~ DF~-o~tgiklic~v,~I\lcij~ (5.11). Ako, pak, pnhvatJmo da pod odredemm us1ovtma ctkhcna konvoluctJa (5.11) maze biti ekvivalentna linearnoj diskretnoj konvoluciji (5.1), tada se DFT algoritam realizacije digitalnog prccesora svodi na sledece korake: 1. Za skup odbiraka r(nT) (n=O, 1, 2, ... , N-1) ulazne povorke sracuna se diskretni spektar R(kD.)=DFT{r(nT)} (k=O, 1, 2, ... , N-1), koristeci formulu (5.9).
2. Taka dobijen spektar R(kD.) se pomnozi sa skupom H(kD.), koji prcdstavlja diskretne vrednosti zeljene frekvencijske karakteristike digitalncg filtra u ucestanostima kD.=2rtk/NT (k=O, I, 2, ... , N-1). 3. Za dobijeni proizvod H(kD.)R(kD.) izracuna se inverzna DFT, sto precstavlja povorku odbiraka procesiranih prccesorom funkcije diskretnog prenosa H(z) iii frekvencijskom karakteristikom H(ei"'T): I N-1 c(nT)=- L H(kD.)R(kD.)ei!:lTnk, n=O, 1, 2, ... , N-1. N k=O
(5.12)
Uocimo da je u ovom algoritmu glavni zadatak sracunavanje DFT. U tu svrhu su razvijene razlicite varijante FFT (Fast Fourier Transform) algoritama. Raivoj ovih algoritama, koji ce kasnije biti pokazani detaljno, je najvise doprineo taka sirokoj primeni digitalne obrade signata u savremenoj praksi. Nairne, DFT algoritam je moguce uspesno koristiti u programskoj, pa, cak, i hardverskoj realizaciji digitalnog procesora. U slucaju kada je impulsna povorka zadatog digitalnog procesora dugacka, saddi, na primer, nekoliko stotina iii vise hiljada odbiraka, tada je DFT algoritam, zahvaljujuci FFT algoritmima za sracunavanje DFT, znatno efikasniji, sa tacke gledista obi rna potrebnih racunanja, od konvolucionog algoritma. Cilj prethodnih izlaganja je bio pregled opstih postupaka i osnovnih ideja u realizaciji funkcije diskretnog prenosa digitalnog procesora. Napomenimo da se konvolucioni i DFT algoritmi prvenstveno koriste u tehnikama digitalne abrade signata, gde se cesto snimljen signal procesira digitalnim procesorom na specijalizovanom racunaru iii na racunaru opste namene. M"~dutim. kada je neophodno bavra svoju funkciju u realnom vremenu, sto je uvek sluca· u di" italda r ~t.ero..JL.aJJ.1um~:!skogup~~ onsti se rekurz1vnt algoritam realizacije. Zbog velike prakticnevreonosti, u nastavku ce biti detaljnije izlozeni tekurzivni i DFT algoritmi.
5.1. REKURZIVNI ALGORITAM U proteklom izlaganju na jednostavnom primeru diskretnog sistema prvog reda (5.7) nagovesteno je da se funkcije diskretnog prenosa mogu predstavljati ekvivalentnim diferencnim jednacinama. Pokazacemo kako se to postize u najopstijem slucaju fizicki ostvarljivog diskretnog sistema opisanog funkcijom diskretnog prenosa D(z). Inace, u zavisnosti od namene, za pojam diskretnog sistema ovog tipa koriste se razliciti sinonimi: digitalni procesor informacija, - kontroler, - kompenzator, - zakon upravljanja i digitalni filtar. Nairne, pokazacemo da se rad digitalnog procesora inforrnacija u osnovi rnoze svesti na sledeci linearni program, koji se hardverski iii programski moze ostvariti na digitalnom racunaru,
c (iT) =a0 r (JT)+a 1 r [(j- 1) T] + a2r [(j- 2)TJ +
!
· · · +am r [(j- m) T]-
-b 1 c[(j-l)T]-b 2 c[(i-2)1]- · · · -bnc[(j-n)T], (5.13) gde su r(jT) i c(jT) odbirci respektivno ulaznog i izlaznog digitalnog signata u trenutku odabiranja t=jT. Linearni program (5.13) izvodi se jednostavno: u svakorn trenutku odabiranja, na primer t=jT, odbirak izlaznog signata c(jT) se generise tako sto se koeficijenat a0 pomnozi sa odbirkom r(jT) ulaznog signala prispelirn u tom trenutku, rezultatu mnozenja se dodaju proizvodi koeficijenata a , a , ..• , am 1 2 sa odbircima ulaznog signala koji su ranije pristigli na ulaz procesora u trenucima, respektivno (j-!)T, (j-2)T, ... , (j-m)T i zatirn se oduzmu proizvoqi koeficijenata b 1, b2, ... , bn sa odbircima koji su bili na analogan nacin generisani na izlazu procesora u prethodnim trenucirna, respektivno, (j-l)T, (j-2)T, ... , (j-n)T. Ako se sve operacije mnozenja i sabiranja algebarskih vrednosti, potrebne za generisanje odbirka izlaznog signala, obavljaju u vremenu kracem od periode odabiranja, dakle pre pristizanja sledeceg odbirka na ulaz digitalnog procesora, za dati procesor se kaze da radi u realnom vremenu. Pomnozimo diferencnu jednacinu (5.13) sa z-i i zatim prepisimo dobijenu jednacinu u obliku c (jT)z-i = a0 r (JT)z-i + a 1 z- 1 r [(j- I) T] z-U-o + + a2z- 2 r [(j- 2) T] z-(j-2) + · .. +am z-m r [(j- m) T] z-U-m)- b 1 z- 1 c [(j- 1) T] z-fi-1)- b2 z- 2c [(j- 2) 1] z-U-2)- · · · -bnz-nc[(j-n)T]z-U-n>. (5.14) Posto ova jednacina vazi za svako j, moze se pisati 00
L
00
c(JT)z-j=a0
i=-oo
00
L
i=-oo
r(JT)z-i+a 1 z-1
+ a 2 z- 2 L
L
r[(j-1)1]z-U-IJ+
i=-oo
r ,{(j- 2) TJ z-U-z)
+ ... +
i=-oo
+am z-"'
L
r [(j-m)T]z-fj-m)_
j=-oo 00
-b 1 z- 1
L
c[(j-!)T]z-(j-1)_
i=-00 00
- b 2 z- 2
L
c [(j- 2) T] z-U-2) _ ... _
j=-oo 00
- bn z-n
L i=-oo
Iii
113
8 Digitalni sistemi uprav/janja
c [(j- n) T] z-f i-nJ.
(5.15)
114
5.1. Rekurzivni algoritam
5. Realizacija i osobinc funkcije diskretnog prenosa
Uocimo u prethodnoj jednacini da su sume koje sadde odbirke ulaznog i izlaznog signata z-kompleksni likovi R(z) i C(z) tih signata, respektivno. Ova konstatacija vazi i u slucaju kada su ulazni r*(t) i iz!azni signal c*(t) kauzalni, tj. kada su svi odbirci r(jT) i c(jT) jednaki nuli za j
(5.16)
Na osnovu prethodne jednacine se zakljucuje da rekurzivna relacija iii linearni program (5.13), u stvari, realizuje digitalni procesor funkcije diskretnog prenosa 2"' akz-k D(z)= C(z~= k=On R(z) 1+2bkz-k
/??.·
"/•_!
p 11!05:.-[..
(5.17)
praksi se, medutim, cesce postavlja zadatak: za datu funkciju diskretnog prenosa D(z) treba realizovati digita1ni procesor u vidu 1inearnog programa tipa (5.13). Zadatak je moguce resiti samo ako procesor ispunjava uslov fizicke ostvarljivosti, koji cemo pokazati u najopstijem slucaju funkcije diskretnog prenosa zadate u vidu realne raciona1ne funkcije D (z) = C (z) = 1Xo zP +a! zP-! + cx_2 zP-2 + ... + O(P. R(z) z"+b 1 z"- 1 +b 2 z"- 2 + ···+b.
u (5020), biti odbirci koji tek treba da pristignu na ulaz procesora u trenucima odabiranja posle trenutka t=jT generisanja c(jT)o Posto realan sistem ne moze unapred znati sta ce se u buducnosti pojaviti na njegovom ulazu, u slucaju p>n procesor je fizicki neostvarljivo U granicnom slucaju, kada je p=n, prema relaciji (5020), odbirak izlaznog signala u trenutku t=jT se generise na osnovu pristiglog odbirka ulaznog signala u tom trenutku i izvesnog broja odbiraka ulaznog i izlaznog signala iz prethodnih trenutaka odabiranjao Strogo govoreci, ni tada procesor nije fizicki ostvarljiv, jer mno:Zenja i sabiranja algebarskih vrednosti na desnoj strani (5020) zahtevaju vreme, taka da odbirak c(jT) nije moguce generisati tacna u trenutku t=jT, vee nakon transportnog kasnjenja jednakog vremenu racunanja procesora od trenutka t=jTo lpak, smatraeemo da je i u slucaju p=n procesor fizicki ostvarljiv, imajuci na umu da realizacija podrazumeva i prisustvo pomenutog transportnog kasnjenja, koje u ovom slucaju treba pridodati funkciji diskretnog prenosa procesorao U zakljucku: da bi digita!ni procesor bio fizicki ostvarljiv, potrebno je i dovoljno da "sfeperi. polirioma u imeniocu funkcije diskretnog prenosa procesora bude veci iii jednak stepenu polinoma u brojiocu te funkcijeo 5o1o1o DIREKTNA REALIZACIJA
k=l
u
115
OCigledno, funkcija diskretnog prenosa fizicki ostvarljivog digitalnog procesora se uvek maze, deljenjem polinoma u brojiocu i imeniocu sa najstarijim cianom polinoma u imeniocu, svesti na oblik m
2 akz C(z) k=O D(z)= R(z)= 1+
--
i
(5.18)
-k 0
bkz-k
( 5.21)
k=!
Deljenjem polinoma u brojiocu i imeniocu ove funkcije sa z" i zatim izdvajanjem C(z) na levu stranu jednacine dobija se C(z)=(oc zP-"+cx 1 zP-•- 1+a 2zP-•- 2 + · · · +O(Pz-•)R(z)0 (5.19) -(b1z-1+b2z-2+ · · · +b.z-•)C(z). Na osnovu osobine z-transformacije o pomeranju u vremenskom domenu (vidi poglavlje 4.5.2) i primenom inverzne z-transformacije, odbirak izlaznog signata u nekom trenutku t=jT dobija se iz (5.19) kao c (jT)= a r [(j+ p- n) T]+ a: 1 r [(j +P -n- 1) T] + a 2 r lU+ P -n- 2) T] +
Iz prethodne jednacine dobija se C(z)=(a0 +a1 z- 1 +a2 z- 2 + z- 1
- (b 1
- · · · -b,.c[(j-n)T].
(5.20)
Anatizirajmo rekurzivnu relaciju (5.20) za razne vrednosti p i n. Ako jc pO), tada ce odbirak r[(i+p-n)T]=r[(j-i)T], kao i svi ostali odbirci utaznog signata koji ucestvuju u generisanju c(jT), biti odbirci koji su vee pristigli na ulaz procesora u trenucima cdabiranja pre trenutka t=jT generisanja cejT). Dakle, tada je moguce raspolagati u memoriji procesora sa svim odbircima ulaznog i izlaznog signata koji se pojavljuju na desnoj strani jednacine (5.20), pa je tada izracunavanje c(jT) moguce; digitalni procesor je fizicki ostvarljiv. Medutim, ako je p>n iii p-n=i>O, tada ce odbirak ulaznog signata r[(J+ p-n)T]=r[(j !· i)T] u prvom clanu na desnoj strani (5.20), a moguce i jos neki odbirci ulaznog signata
o
0
+amz-m)R(z)-
+ o o o + b" z-") C(z)o
(5.22)
Na osnovu osobine z-transformacije o pomeranju u vremenskom domenu, iz prethodne jednacine se izvodi algoritam generisanja odbiraka izlaznog signala u trenucima odabiranja t=jT (j=O, I, 2, 0 0 o): c(jT) =a0 r (jT)+a 1 r [(j-1) T]+a2 r [(j -2) T]+ o o o + amr [(j-m) T]-
-b1c[(j-I)TJ-b2c[(j-2)T]-- 0 0 0 -b.c[(j-n)T]o
0
+ · · · +IX/ ((j -· n) T]- b1c [(j- I) T]- b 2 c [(j- 2) T]-
+ b2
z- 2
o
(5.23)
Dakle, ovaj algoritam se izvodi direktno na osnovu zadate funkcije diskretnog prenosa procesora i maze se na pogodan nacin predstaviti strukturnom realizacijom digi talnog procesora prikazanom na sl. 5.1. Dijagram na sl. 5.1 se jednostavno tumaci. Blokovi oznaceni sa a0 , a 1 , a2 , ... , am i -bj, -b 2 , •.. , -bn predstavljaju registre sa fiksnim sadrzajima, u kojima su u vidu digitalnih reci upisane vrednosti koeficijenata a0 , a 1 , a2 , 0 .. ,. am, odnosno -b!> -b 2 , • 0 0, -bn. Odbirci ulaza r*(t), izlaza c*(t) i izlazi blokova oznacenih sa z- 1 , sto predstavlja vremensko pomeranje (kasnjenje) za jednu periodu odabiranja, se upisuju u memorijske registre promenljivog sadr:Zaja. U nekom trenutku odabiranja t=jT prispeli odbirak r(jT) ulaznog signata se upise u svoj registar, taj sadr:Zaj se pomnozi sa sadrzajem registra a0 , rezultatu tog mnozenja se dodaju sadrzaji regi,~tra r(jT-T), r(jT-2T), s•
44%%E.k..b£1i&
·--·-------·.. =
116
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
5.1. Rekurzivni algoritam
... , r(jT-mT) i c(jT-T), c(jT-2T), ... , c(jT-nT) sa sadrZa.jima odgovarajucih registara a1o a 2 , ••• , ami -b~o -b 2 , ..• , -bn, respektivno. U rezultatu izvrsene operacije generise se odbiraK c(jT) izlaznog signala i ovaj postupak se ponavlja u svim periodama odabiranja. Razume se, nakon sto se na ovaj nacin generise odbirak c (jT), registri promenljivog saddaja r(jT), r(jT-T), r (jT-2T), ... , r (jT-mT) i c (jT}, c(jT-T), c(jT-2T), ... , c(jT- nT) razmenjuju (pomeraju) svoje saddaje, tako da r (jT) -+r (jT-T), r(jT-T)-+r(jT-2T), ... i c(jT)-+ c(jT-T), c(jT-T)-+c(jT-2T), ... Posle ovih pomeranja svi sadrZa.ji registara promenljivih saddaja, osim registara gde se upisuju odbirci Sl. 5.1. Direktna strukturna realizacija digitalnog ulaznog i izlaznog signala, mogu se procesora pomnoziti sa saddajima registara gde su upisane vrednosti odgovarajucih koeficijenata ak i -bk, tako da u trenutku pristizanja narednog odbirka ulaznog signala treba samo pomnoziti prispeli odbirak sa saddajem registra a0 i pridodati rezultate vee izvrsenih mnozenja a 1r(jT- T), a2 r (jT-2 T), ... , amr (jT-mT) i -btc(jT-T),-bzc(jT-2T), ... , -bnc(jT-nT). Na taj nacin se minimizira transportno kasnjenje usled racunanja pri generisanju izlaznog signala.
Strukturni blok dijagram na sl. 5.2 odgovara prethodrum dvema jednacinama i ilustruje postupak kanorucne realizacije digitalnog procesora. Inace, interpretacija dijagrama na sl. 5.2 je ista kao u slucaju strukturnog dijagrama na sl. 5.1.
Sf. 5.2. Kanonicna strukturna realizacija digitalnog procesora
5.1.3. REDNO I PARALELNO PROGRAMIRANJE
5.1.2. KANONICNA REALIZACIJA
U cilju da pokazemo postupak kanonicne realizacije razlozimo funkciju diskretnog prenosa (5.21) procesora kao D (z) = C(z) = G, (z) G2(z), R(z)
Pored dve prikazane osnovne realizacije (direktne i kanonicne), moguce je ostvariti vise drugih kombinovanih postupaka strukturne realizacije funkcije diskretnog prenosa. U tzv. postupku rednog programiranja najpre je potrebno faktorizovati polinome u brojiocu i imeniocu funkcije diskretncg prenosa (5.21) i zatim tako dobijenu funkciju D(z) predstaviti proizvodom faktora. Na primer, u najjednostavnijem slueaju, kada su sve nule polinoma u brojiocu i imeniccu realne i proste, D(z) se posle faktorizacije moze predstaviti u obliku
(5.27)
ao
IT (1 + qi z-1) i=l
D(z)
n
IT (I +hr') i=l
=ao
I + q z- 1 I + q z- 1
I +qmz-1
i+p,z-11+p2z-1
1 + PnrZ- 1 I+ Pm+1 z- 1
I
2
-----
1+pnz-1
pa je, prema (5.24) i (5.27), C(z) = G2 (z) c, (z) =(ao + al z-l + a2 z- 2 + ... +a,;, z-"') cl (z).
(5.28)
Na osnovu z-kompleksnih likova (5.27) i (5.28) dobijaju se sledeee dve rekurzivne relacije koje opisuju algoritam kanonicne realizacije c 1 (jT) = r (jT)- b1 c 1 (jT- T) -b 2 C 1 (JT- 2 T)- · · · -bn c 1 (jT -nT)
(5.29)
Cal
Cbl
Sf. 5.3. (a) Direktna realizacija faktora ao (l+qz- 1 }/(l+pz- 1}. (b) Kanonicna realizacija faktora (1 + qz- 1) f (1 +pz- 1)
(5.31)
l 118
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
l
5.1. Rekurzivni algoritam
119
5.1.4. KRITERIJUMI ZA IZBOR TIPA STRUKTURNE REALIZACIJE
U nastavku postupka, sada se prvih m faktora na desnoj strani (5.31) moze rea1izovati direktno i/ili kanonicno, kao na sl. 5.3. Kanonicne i direktne rea1izacije ostalih n-m faktora su iste; ocigledno, rea1izacija faktora 1/(l+ptz-1) se dobija kada se u strukturi na sl. 5.3 (b) ukinu drugi sumator i blok sa koeficijentom q 1 • Dakle, realizacija cele funkcije diskretnog prenosa D(z) rednim programiranjem dobija se kaskadnim povezivanjem realizacija tipova prikazanih na sl. 5.3. U slucaju kada po1inomi u brejiocu i imeniocu od D(z) poseduju konjugovano kompleksne polove, tada ce se mnozenjem clanova (l+qiz-1) i (1+qi+lz-l) i1i (1 + P; z- 1) i (1 +Pi+ 1 z- 1) faktorizovanih polinoma respektivno u brojiocu i1i imeniocu, koji odgovaraju konjugovano kompleksnim parovima nula (- qi, - qt+l) iii pol ova (-pi, - PH 1), na desnoj strani (5.31) pojaviti i faktori tipa 1+q;z-' , 1+y;z-'+i1;z-2, 1 (5.32) 2 1 l+a;z- 1 +~;z- 2 1+a;z- 1 +~;z- 2 l+a;z- +~;zKakvi ce se konkretno faktori pojaviti u razlaganju funkcije D(z) zavisi i od nacina pridruzivanja clanova faktorizovanih polinoma u formiranju racionalnih faktora. U postupku rednog programiranja faktori drugog reda se mogu realizovati direktno i/ili kanonicno. U paralelnom programiranju funkcija diskretnog prenosa D(z) se najpre razlozi u zbir racionalnih razlomaka prvog i/ili drugog reda (ako postoje konjugovano komp1eksni polovi) pa se zatim direktne i/ili kanonicne realizacije dobijenih sabiraka poveru paralelno. Kada se na neki od navedenih postupaka formira strukturna realizacija od D(z), tada se neposredno na osnovu realizacije moze pisati algoritam rada procesora. Primer. Moguca varijanta rednog programiranja procesora funkcije diskretnog prenosa C(z) D (z) ~ - - ~ a R(z)
(l+q 1 z- 1 )(l+q 2 z-
0
) _ _ __:__ _ __:_----'-
(1+P 1 z- 1 )(J+a 2 z- 1 +~ 2 z- )
1 +q 1 z-
~a 0
1 +PI
1
1
z-l
1 +q 2 z-
2
1
(5.33)
1 +a, z - l + r~, z- 2
je da se najpre funkcija D (z) razlozi u proizvod dva faktora, kao u izrazu (5.33). Zatim se, na primer, prvi faktor moze realizovati direktno, a drugi - kanonicno. Na taj nacin se rednim prograc"(tl
Sf. 5.4. Struktuma realizacija rednim programiranjem funkcije diskretnog
prenosa (5.33)
miranjem dolazi do strukturne realizacije procesora prikazane na sl. 5.4. Na osnovu sl. 5.4 nerosredno se formira rekurzivni algoritam rada procesora:
c (jT) = a0 r (jT)+ a0 q 1 r (jT- T)- p 1 c 1 (jT- T), 1
c (jT) = c 1 (jT)- oc 2 c2 (jT- T)- ~ 2 c 2 (jT- 2 T),
(5.34)
2
c (jT) = c 2 (jT) + q2 C 2 (jT- T). Za generisanje odbiraka izlazne povorke c* (I) po ovom algoritnw potrebni su samo odbirci ulazne povorke r* (t) procesora; medupovorke c 1* (t) i c,• (I) su pomocne.
i
\
Na osnovu iziaganja u prethodnim poglavijima vidi se da su moguce brojne varijante strukturne realizacije funkcije diskretnog prenosa D(z) digitalnog procesora. Podsetimo da se D(z) moze reaiizovati direktno iii kanonicuo bez prethodne faktorizacije poiinoma u brojiocu i imeniocu od D(z). Kada se izvdii ova faktorizacija, funkcija D(z) se moze predstaviti proizvodom iii zbirom faktora, odnosno parcijainih raziomaka nizeg reda, ..pa se zatim u postupku rednog iii paraielnog programiranja dobijeni faktori mogu strukturno realizovati direktno iii kanonicno. Stoga se namece pitanje koju od veiikog broja mogucih varijanti strukturne realizacije usvojiti u konkretnom siucaju? Postoje cetiri kriterijuma za izbor varijante reaiizacije: zahtev za memorijom, zahtev za radom u realnom vrememi, mini · ci'a tr ns ortnog kaslljenJa usled ra "racunanja i minimizaci ·a osetljivosti procesora na prcces kvantova · i pro men JIVl . Razmotrimo po o nos moguct rea tzactJa u svet u ovi ntenjuma. Uocimo da je u direktnoj realizaciji (sl. 5.1) neophodno raspoiagati u svakom trenutku odabiranja odbircima uiaznog i iziaznog signala, sa m-1 odbiraka ulaznog signala i sa n-1 odbiraka izlaznog signala iz prethodnih trenutaka cdabiranja, sto sve zajedno zahteva m+n memorijskih registara promenijivih saddaja. Tome treba dodati jos m+n+1 memorijskih registara fiksnog saddaja, gde su upisane vrednosti koeficijenata a0 , al> a 2 , ..• , ami -bl> -b 2 , •.• , -bn. Dakle, ova rea1izacija zahteva minimalno 2m+2n+1 memorijskih registara fiksnog iii promenljivog saddaja. Kanonicna realizacija (sl. 5.2) zahteva, takode, m+n+ 1 registara fiksnog saddaja za koeficijente a1c i b1c, ali svega dodatnih n+2 registara promenijivog saddaja: tri registra za upisivanje odbiraka ulazne r*(t), pomocne c1 *(t) i izlazne c*(t) povorke odbiraka i n-1 registara za pamcenje odbiraka pomocne povorke iz prethodnih trenutaka odabiranja. Dakle, ova realizacija zahteva bar 2n+m+3 memorijskih registara fiksnog iii promenljivog ~addaja. Zapravo, sve osta1e realizacije, direktna i one dobijene bilo rednim iii paralelnim programiranjem zahtevaju vise memorijskih modula, tako da je sa gledista zahteva za memorijom, kanonicna realizacija najpogodnija. Obti\na zahtey za memorijom nije kritican. Cesce se postavlja uslov za radom u reaTilom vremenu, a ispulljenje tog zahteva se moze odrediti na osnovu broja, vrsta i trajanja aritmetickih operacija potrebnih za generisanje jednog odbirka izIaznog signala. Sa sl. 5.1 se vidi da je za generisanje odbirka c(jT) neophcdno m+ +n+ 1 mnozenja i is to toliko sabiranja uz dodatne operacije pomeranja sadrzaja registara, memorisanja i sl. U stvari, sa gledista vremena racunanja najkriticnija operacija je mnozenje, jer ona traje znatno duze od ostalih. Isti broj mnozenja i sabiranja, kao u direktnoj, zahteva kanonicna realizacija. Medutim, postoji razlika, koja moze biti bitna: u izvesnom broju operacija ucestvuju cdbirci ulazne i izlazne, odnosno pomocne povorke koji su prethodili posmatranom trenutku odabiranja. Ti odbirci se, dakle, znaju, pa se odgovarajuce operacije mogu izvrsiti nakon generisanja odbirka izlaznog signala i rezultati izvrsenih operacija pripremiti za sracunavanje iziaza u narednom trenutku odabiranja. Na taj naCin se u posmatranom trenutku t=jT najpre vrse operacije koje zavise od odbirka ulaznog signala r (jT) i zatim se njima pridrufuju rezultati vee izvrsenih operacija u kojima ucestvuju prethodni odbirci i take generise izlazni odbirak sa sto kracim transportnim kasnjenjem usled racunanja. Ocigledno, sto jc veci broj operacija u kojima ueestvuje r(jT), utoliko je transportno kasnjenje vece. Poredenjem direktne i kanonicne realizacije na slikama 5.1 i 5.2 vidi se da je u karionicrio:f realizaciji' brOj operacija u za-
cl 120
I I
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
Vafun kriterijum za izbor varijante realizacije moze da bude minimizacija negativnih efekata na tacnost procesiranja, koji nastaju usled kvantovanja koeficijenata i promenljivih. Nairne, s~ki digitalni modul, pa samim tim i digitalni procesar u celini, poseduje konacnu duiinu reci._ Otuda se koeficijenti i promenl]ive :Roji po vrednosti premasuju zadatu duzinu reci odsecaju (zaokruiuju), sto unosi manju iii vecu gresku u rezultate procesiranja u zavisnosti od duzine reci i osetljivosti strukturne realizacije procesora na kvantovanje koeficijenata i/ili promenljivih [2, 3]. I bez posebne teorijske analize moze se konstatovati da su direktna i kanonicna realizacija najosetljivije na ova kvantovanja. Nairne, ako u bilo kom registru fiksnog iii promenljivog sadriaja ovih realizacija nastupi odsecanje, to ce imati negativne posledice na tacnost vise diskretnih promenljivih. U tom pogledu su daleko n·e osetljive realizacije dobi"ene rednim ili paralelnim programiranjem. Je razumljivo, Jer se u ov1m Ipov1ma realizac1]a gr • rrOvalija odrazavaju lokalno u pojedinim paralelnim granama, ako je rec 0 paralelnom programiranju, iii u kaskadnim segmentima realizacije dobijene rednim programiranjem.
5.2. DFT ALGORITAM
5.2. DFT algoritam
121
Moze se pokazati da je pri datom D.=21t/NT pomocu (5.37) moguce izracunati samo N razlicitih vrednosti za F(kD.) pri k=O, I, 2, ... , N-1. Nairne, ako se u formulu (5.37) zameni celobrojno k sa k=rN+k0 , gde je ko=k po modulu N, a r=(k-k0)fN, dobijamo N-1
F (k D.) =
L J (nT)
n=O
e-i 0.
in (rN +k 0 ).
(5.38)
Posto je D.TN=21t, iz (5.38) se dobija F(kD.)=F(k 0 D.). (5.39) Frekvencijski spektar digitalnog signala se moze predstaviti u z-ravni. Nairne, z-kompleksni lik skupa odbiraka f(nT) je N-1
F(z)=
L
f(nT)z-n,
(5.40)
n=O
pa se F(kD.) moze razumeti kao vrednost kompleksnog lika F(z) u tacki na jedinicnom krugu odredenoj sa z=eiO.Tk (sl. 5.6). Na taj nacin, formula (5.37) omogucava izracunavanje samo N razlicitih odbiraka diskretnog spektra od kojih su dva sukcesivna pomerena jedan u odnosu na drugi za D.. Medutim, formula (5.37) takode daje i beskonacan broj odbiraka frekvencijskog spektra, ali koji se u 'skupovima od po N razliCitih odbiraka ponavljaju periodicno pri svakom narednom obrtanju po jedinicnom krugu na sl. 5.6.
U uvodnom delu ove glave date su osnove i pomenute tehnike DFT algoritma realizacije digitalnog procesora. Glavnu ulogu u ovom algoritmu ima diskretna Fourierova transformacija (DFT) i racunarski orijentisani algoritmi brze Fourierove transformacije (FFT) za sracunavanje DFT. Stoga je neophodno;-pfe izlaganja samog algoritma DFT, upoznati diskretnu Fourierovu transformaciju i FFT algoritme. Pretpostavimo da je neki signal (informacija) konacnog trajanja diskretizovan i preveden u digitalni signal u vidu N odbiraka (brojnih vrednosti) f(nT) na intervatu 0 ~ n ~ N-1, gde je T perioda odabiranja (sl. 5.5). Pretpostavimo, zatim, da se frekvencijski spektar F(jw) f[(N-llTJ zadatog digitalnog signala f* (t) moze predstaviti skufell) f(tZTlHCJLN-2lTJ porn od N odbiraka F (kD.) na intervalu 0 ~ k ~ N-1, f(T) gde je D. perioda odabiranja u frekvencijskom domenu. Dakle, ako skup odbiraka f(nT) obrazuje digitalni signal .
t
FOn) FC4n).
N-1
_.Jill.._..LT_2.LT--JCN-2 lT CN-1 lT
f*(t)=
Sl. 5.5. Skup odbiraka digitalnog signa/a
L f(nT)'O(t-nT),
St. 5.6. llustracija periodicnog spektra nad jedinicnim krugom u z-ravni
(5.35)
k=O
tada su odbirci frekvencijskog .spektra DFT od f* (t) u frekvencijskom podrucju
U sledecem izlaganju izvesnih osobina DFT cesto se srece izraz »x po moduiu N« koji se oznacava sa ((x)) i znaci
N-l
DFT{f*(t)}=
L
F(kD.)'O(w-kD.),
F(k D.)=
2:
n=o
f(nT)
e-i
n Tnk
2 7t za D.=-NT
O~x+rN~N,
(5.41)
gde je r nula iii najmanji ceo broj pri kome je zadovoljena nejednakost u (5.41). Takode ce se cesto koristiti cinjenica da je
gde su N-1
((x})=xmodN=x+rN,
(5.36)
k=O
k=0,1,2, ... ,N-l.
(5.37)
e-i
jer je
e-iO.TrN=e-i2rtr
=!.
n T ((x))
= e-i n T (x +rN) = e-i n Tx
(5.42)
122
l
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
Uocimo da se DFT od kompleksnog sinusoidalnog signala k.ruzne ucestanosti w=qD., ciji su odbirci J(nT)=ejqOnT,
(5.43)
n=O, I, 2, ... , N-1,
lako izracunava pomocu (5.37) kao F(kil)=
11'-1
L
n=O
v·11
1-v~~'
=--,
k=O, I, 2, ... , N-1,
(5.44)
1 -v
gde je v=e-jOT(q-k). Razume se, prethodni rezultat vazi za svako q (celobrojno iii ne). Medutim, ako je q celobrojno, tj. ako je kru:lna ucestanost sinusoide neki multipl od D., tada je F(kD.)=O uvek, o~im kada je k=((q)). Nairne, ako kcf.((q)), tada je vN=I, pa je F(kD.)=O; ali ako je k=q+rN, tada je i v=l, pa se iz (5.44) za takvo q dobija F(kD.)=0/0 iii, posle izracunavanja Jimesa kad v-+1, dobija se F(kD.)=N. Dakle, kompleksna sinusoida cija je kruzna ucestanost jednaka neJcom multiplu od Q (w=qD.) ima di3kretnu Fourierovu transformaciju F(kD.)={N 0
(5.45)
za k=((q)) za svako drugo k
Otuda se konstatuje vazno svojstvo za DFT zbira kompleksnih sinusoida
DFTt~aqejqOnT}=Nak. '
II
Ovo ujedno predstavlja osobinu selektivnosti DFT, koju je interesantno uporediti sa odgovarajucim rezultatom u Fourierovoj transformaciji kontinualnog signala. Stoga podsetimo da je frekvencijski spektar zbira kontinualnih kompleksnih sinusoida
* Zbog·kratkoce pisanja, izuzetno u poglavljima o DFT, kada se bude pisalo I kasnije
In
podrazumevace se ne samo jedan odbirak
1, 2, ... , N-1.
I
(nT) u t= nT, vee skup
I
Inverzna DFT omogucava da se na osnovu diskretnog spektra (N odbiraka u frekvencijskom domenu u ucestanostima od kojih se svake dve sukcesivne razlikuju za D.) dobije original - skup odbiraka f(nT) u vremenskom domenu u trenucima odabiranja. Inverzna DFT je definisana sa
!
l
1
!
f(IT)=N
I
I
(nT) iii (nT) za n=O,
N-1 L F(kD.)ejOTkt,
1=0, I, 2, ... , N-1.
Uocimo da se obrasci (5.37) i (5.50) respektivno za DFT i inverznu DFT razlikuju po faktoru 1f N i znaku eksponenta. Otuda se programi za sracunavanje DFT i njene inverzne razlikuju u svega nekoliko naredbi. Pokazacemo da (5.50) zaista daje original. U tu svrhu zamenimo F(kD.) iz (5.37) u (5.50). Tako se dobija 1
j
I l 1
! 1 ! i
l
(5.50)
k=O
II'- I N-1
- L L f(nT)e-jOTnkejfi.Tik
(5.47)
Taj spektar, dakle, predstavlja skup impulsa u frekvencijskom domenu u ucestanostima svih kompleksnih sinusoida. Medutim, ako je zbir tih sinusoida diskretizovan na konacnom vremenskom intervalu i za tako dobijenih N odbiraka izracunata DFT, tada se u frekvencijskom domenu za sinusoide cije su kruzne ucestanosti multipli od D. dobija po jedan impuls u ucestanostima odredenim sa (5.45). Medutim, posto u sracunavanju DFT ucestvuje samo N razlicitih odbiraka (brojeva), najvise N takvih sinusoida je moguce razdvojiti (selektovati) u frekvencijskom domenu. Za razliku od kontinualnog spektra (5.47), ako se uzme N odbiraka sa samo jedne kompleksne sinusoide, cija ueestanost nije jednaka multiplu od n, tada, kao sto se vidi iz (5.44), sve vrednosti u DFT ce biti nenulte. Navedimo jos neka vazna svojstva DFT. Iz same definicije (5.37) sledi osobina linearnosti, odnosno svojstvo aditivnosti *
123
5.2. DFT algoritam
(5.51)
N k=O n=O odakle se, posle zamene redosleda sumiranja, dolazi do
[N-1
-1 N-1 Lf
]
(nT) L ej o T(l-n)k . (5.52) N n=O k=O Suma po k ima slican oblik kao (5.44), pa je stoga ta suma jednaka N za ((l))=n, a nula u svim ostalim slucajevima. Dakle, samo jedan clan sume po n u (5.52) i to Nf(IT) je razlicit od nule, pa je na taj nacin obrazac (5.50) dokazan. Slicno DFT i njena inverzna moze davati odbirke u vremenskom domenu ivan intervalaO~/~N-1, alice ti odbirci biti prosto ponavljanje odbiraka unutar osnovnog intervala. Graficki se to moze predstaviti krugom po kome je visestruko motana vremenska osa, tako da deo ose 0 ~ t ~ (N-1 )T odgovara obimu kruga; svaki sledeci segment ose ove duzine namotava se ponovo na krugu. U tackama po krugu pocev od 0 do (N-1 )T nalazi se N odbiraka j(nT); u is tim tackama prilikom sledeceg obilaska kruga dobijaju se odbirci f(nT) za n=N, N+ I, N+2, ... , 2N-l, itd. Na taj nacin, inverzna DFT daje beskonacan broj odbiraka koji se dobijaju periodicnim obilazenjima ovog kruga. Medutim, pri svakcm sledecem obilasku ponavlja se isti skup odbiraka f(nT) za n=O, I, 2, ... , N-1. U uvodnom izlaganju pominje se da je inverzna DFT proizvoda X(kl:l) i Y(kQ) jednaka ciklicnoj konvoluciji skupova odbiraka x(nT) i y(nT). Dokazacemo ovaj stav, koji ima vaznu ulogu u realizaciji funkcije diskretnog prenosa digitalnog procesora pomocu DFT algoritma. Neka su x(nT) i y(nT) skupovi od po N odbiraka (brojeva) i izracunajmo inverznu DFT [ 11'-1
v(IT)=N
L
X(kQ)Y(Hl)ej!l7lk.
(5.53)
k=O
l
Uvrstimo izraze za X(kD.) i Y(k!l) u (5.53). Tako se dobija
1
Ako izmenimo redosled sabiranja i pogodno preuredimo prethcdn i izraz, dobija se
l j J
] N-1 L [N-1 L x(nT)e-j!lTnk Jx [N-1 L y(mT)e-jf!Tmk1ej!lTlk.
v(IT)=N
k=O
11=0
I ,,._,.V-I
(5.54)
m=O
v(IT)=- L L :r(nT)y(nT) N nz=O n~o
[N-1 L ej!lT(l-m-n)k ] . k=O
(5.55)
1
5o3o FFT algoritmi
sra~unavanja
OFT
125
5o Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
124
tada je za sracunavanje jednog odbirka F(kil) diskretnog spektra po formull (5037) potrebno izvrsiti N kompleksnih mnozenja i N kompleksnih sabiranja uz koriscenje N koeficijenata tipa e-ii:!Tnko Ovi koeficijenti imaju vrednosti koje su po modulu jednake odbircima jedne cetvrtine sinusne oscilacije i mogu se uzimati iz unapred pripremljene i memorisane tabeleo Mnozenje dva kompleksna broja zahteva cetiri mnozenja i dva sabiranja reatnih brojeva, a sabiranje dva kompleksna broja zahteva dva sabiranja realnih brojevao Otuda je ukupno vreme za sracunavanje odbiraka DFT po formuti (5037)
Kao i u prethodna dva slucaja (5.44) i (5.52), suma u srednjoj zagradi od (5o 55) je jednaka nuli za sve m i n, osim u kombinacijama gde je m=((l-n)) (5056) i tada je suma u zagradi jednaka No Dakle, izraz (5055) se svodi na
VI=
N-l
2
k~O
N-l
XnY((t-n))=
2
(5°57)
J'nX((t-n))o
Tc= 4 N(tm + ts + f 0 s1) M,
n~O
Iz prve sume se moze dobiti druga suma u izrazu (5057) prostom zamenom oznacavanja promentjivih pomocu indeksao Na taj nacin je dokazano da se odbirci v dobijaju cikticnom konvotucijom skupova cdbiraka Xn i Yno Prircda ove konvo1 lucije je ilustrovana na sl. 5070 Pretpostavimo da postoji po 6 odbiraka u digitatnim signalima Xn i Yno Zamistimo da je deo vremenske ose 0.:;:; t.:;:; 5T savijen u dva kruga razlicitih poluprecnikao Po vecem krugu neka su rasporedeni u pozitivnom smeru odbirci .~ x t y J x x 0 , x 1, 0 0 0, x 5, a po manjem - u negativnom 0 '0 I smeru odbirci y 0 , y 1, 0 00, y 5° U pocetnom po31 3 lozaju manji krug je postavtjen u odnosu na veci kao na sl. 5o70 U tom polozaju v0 se dobija kao zbir proizvoda susednih odbiraka na maneophodnjem i vecem kruguo Da se dobije no je najpre zaokrenuti manji krug u pozitivS/0 5°7° 1/ustracija cik/icne konvolucije nom smeru za ugao 27t/6 (iii, u opstem slucaju, za 27t/N) i formirati zbir proizvoda susednih odbiraka na manjem i vecem kruguo Ponavljanjem ovog postupka dobijaju se ostati odbirci v U rezultatu ovog postupka bi se dobito 1 Vo=XoYo+ x, Ys+ X2Y4 + X3Y3 + X4Y2 + x,y,
I
·1
l
01
l
;]
1
v"
0
l j
~=~~+~h+~h+~h+~h+~h
j
~=~h+~~+~h+~h+~h+~h ~=~h+~h+~~+~h+~h+~h
W=e-ji:!T=e-j(2Tt/N)o
(5o60)
,,
'\
5o3ol. DESETKOVANJE PO VREMENU
i
Razdelimo N odbiraka fi u vremenskom domenu na dva skupa odbiraka: skup g 1 koji sadrzi sve odbirke skupa fi sa parnim indeksima i h1 - sa neparnim indeksima (sl. 508)0 Dakle, skupovi g 1 i h1 na sl. 508 se mogu formatno izraziti sa
Vs = Xo Ys + x, Y4 + X2Y3 + X3Y2 + X4Y1 + XsYo
Postoji vise atgoritama za izracunavanje odbiraka DFT za date ucestanosti kfJ.o Za sracunavanje se maze neposredno koristiti obrazac (5037)0 Medutim, takav postupak nije pogodan jer zahteva dugo masinsko vreme i vetiku memoriju Zl! pamcenje medurezultata izracunavanjao Ako prihvatimo da u opstem stucaju odbirci f(nT) mogu biti kompleksni (kao, na primer, odbirci kompteksne sinusoide),
2/, wnk,
Vazno je uociti da faktor Wzavisi od broja odbiraka No Zbog toga, na primer, ako se po formuli (5o60) umesto za N odbiraka sracunava DFT za Nf2 odbiraka, ne samo sto gornju granicu sume treba zameniti sa N/2-1, vee i na mesto W treba staviti wzo Sve varijante FFT atgoritama mogu se svrstati u dve kategorije zasnovane na desetkovanju po vremenu i desetkovanju po ueestanostio
~=~h+~h+~h+~~+~h+~h
5.3. FFT ALGORITMI SRACUNAVANJA DFT
N-l
Fk=
n~O
(5058)
Stika 507 ujedno ilustruje zasto se cikticna konvolucija ponekad naziva periodicnomo Za raztiku od cikticne, obicna konvolucija kontinuatnih signata se moze tretirati kao aperiodicnao
(5o59)
gde su t"' - vreme potrebno za jedno realno mnozenje, t s - za jedno realno sabiranje, tost - vreme potrebno za ostale operacije (ocitavanje koeficijenata iz tabele, memorisanje i sl.), N - broj odbiraka f(nT) i M - broj razlicitih odbiraka u DFT koji se zele sracunatio Prema tome, za sracunavanje DFT od N odbiraka f(nT) neposredno koriscenjem obrasca (5037) potrebno je izvrsiti ukupno N2 kompleksnih mnozenja i N2 kompteksnih sabiranjao Ocigtedno, vee kod skromnog broja odbiraka, recimo iznad 1000, takvo izracunavanje DFT bi zahtevato enormno dugo masinsko vremeo Postupci izracunavanja DFT koji ekonomisu sa masinskim vremenom zasnivaju se na ideji koja se namece na osnovu cinjenice da sracunavanje DFT za rN odbiraka zahteva r2 vise masinskog vremena od vremena potrebnog za sracunavanje DFT za N odbirakao Algoritmi zasnovani na ovoj ideji nazivaju se FFT atgoritmima (Fast Fourier Transform) [1,4---8]0 Kolika se usteda masinskog vremena postize primenom ovih atgoritama pokazuje sledeci primer, koji ce kasnije biti dokazano Ako je broj N odbiraka f(nT) jednak nekom stepenu od 2, tada FFT algoritmi zahtevaju ne broj operacija (ovde se pod operacijom podrazumeva zajedno jedno kompleksno mnozenje i jedno kompteksno sabiranje) proporcionalan N2, vee proporcionatan Nlog 2 N, sto, na primer, za N=1024 (=210) predstavtja ustedu od oko 99% masinskog vremenao Radi jednostavnosti pisanja, u datjem izlaganju ce se koristiti indeksno oznacavanje, kao u (5057), tjo usvaja se notacija fn=f(nT) i h=F(kfJ.)o Sa istim ciljem cest faktor e-ji:!T oznacavaeemo sa Wo U usvojenoj notaciji formula (5037) postaje
1
l
g/=/21
h1 =/21+1
za
/=0, I, 2, .. 0, N/2-1.
(5061)
1 1
126
127
5.3. FFT algoritmi sracunavanja DFT
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
Oiskretne Fourierove transformacije povorki g 1 i h 1 se dobijaju u vidu odgovarajuce dve povorke Gk i Hk od po N/2 odbiraka u frekvencijskom podrucju, koje se ponavljaju sa periodom N/2. Te povorke se sracunavaju kao N/2-1 Gk= 2: g/W2)ik 1=0 (5.62) N/2-1 Hk = 2: ht(W2)ik 1=0
rJJllllJ t • t•l jj I 0
I 2
3
'l
5
6
7
8
WJ 0
I
r~
·0
2
T
1 11 . 1
2
3
I
T
5.
'l
3
t.
9 10 II 12 13 l'l 15
'l
I7 •
6
1 5
t
1 6
·~ 7
t
Sf. 5.8. Desetkovanje po vremenu povorke od 16 od-
biraka
Nas, medutim, interesuje DFT od cele prvobitne povorke izracunati na osnovu Gk i Hk, koristeci relaciju Fk=
N/2-1
2:
1=0
[g 1W2ik+h 1W<21+0k]
fi, sto se moze (5.63)
Jednostavnim preuredenjem prethodne relacije dobija se N/2-1 N/2-1 (5.64) Fk= 2: gt(W2)1k+ W" 2: ht(W2)1k=Gk+ WkHk. 1=0 1=0 Ustanovljeni odnos izmedu Fk sa jedne i Gk i Hk sa druge strane ima veliki znacaj za formiranje FFT algoritama. Podsetimo da sracunavanje Gk i Hk ponaosob zahtevaju po (N/2)2 operacija, a njihovo koriscenje u izrazu (5.64) za h trazi dodatnih N operacija, sto sve zajedno predstavlja N+2(N/2)2=N+N2j2 potrebnih operacija (operacija: jedno kompleksno mnozenje i jedno kompleksno sabiranje). S druge strane, neposredno sracunavanje Fk pomocu formule (5.37) zahteva N2 operacija, pa otuda sracunavanje FTc pomocu (5.62) i (5.64) zahteva gotovo dva puta manje masinskog vremena nego u slucaju neposrednog sracunavanja Fk pomocu (5.37). Napomenimo da se u izrazu (5.64) indeks k menja od 0 do· N-1, iako Gk i Hk imaju periodu N/2, tj. izracunavaju se samo za k od 0 do N/2-1. Stoga je
neophodno uociti nacin dobijauja Fk za k dok se k menja u granicama od 0 do N/2-1 i od N/2 do N-l. Analizom prethodnih izraza se dobija - Gk+ WkHk FkGk-N/2 + Wk Hk-N/2
za za
O~k~N/2-1
N/2~k~N -1
(5.65)
Prethodnu relaciju ilustruje graftoka signala na sl. 5.9, koji pokazuje postupak sracunavanja OFT za 8 odbiraka f 1 desetkovanjem po vremenu povorke f 1 na dve povorke od po 4 odbirka. Neka je i broj N /2 deljiv sa 2. U tom slucaju, posto Gk i Hk ponaosob predstavljaju DFT, njihovo izracunavanje se moze izvrsiti prethodnim postupkom izracunavanja h i tako jos vise ekonomisati masinskim vremenom. Za razumevanje algoritma FFT u celini pretpostavimo da prvobitna povorka fi saddi N odbiraka, gde je N broj jednak nekom stepenu od Ga 2. Tada se takva povorka najpre moze razdeliti na dve, kao u (5.61), zatim fa tako dobijene dve povorke mogu se na DFT isti nacin razdeliti na dve da se dobiju f2 CN=4) 4 povorke; dobijene 4 se dele na po dve da se dobije 8 povorki itd., sve dok f4 se kao krajnji rezultat deljenja ne dobiju povorke koje sadde samo po jedan fs odbirak. Na taj nacin sracunavanje I DFT se moze organizovati tako da zar1 pocne sa izracunavanjem DFT za po H, samo jedan odbirak, sto ne zahteva ni DF"T f3 jednu operaciju. Na osnovu tako doCN=4) H2 bijenih DFT pokazanim postupkom se fs izracunavaju OFT za skupove od po dva odbirka; ovi OFT se koriste za f ~ H3/ :--..._ , 7 7 izracunavanje DFT za skupove od po N' 4 odbirka itd, sve dok se na kraju ne S/. 5.9. Graf toka signata za izracunavanje dobije DFT od cele prvobitne povorke DFT razlaganjem 8 odbira~a na dva skupa od fi. Ovaj postupak predstavlja FFT po 4 odbirka algoritam desetkovanja po vremenu i ilustrovan je na slikama 5.9, 5.10 i 5.11 za slucaj povorke od 8 odbiraka. Razmotrimo podrobnije sl. 5.11, koja moze da posluzi kao ilustracija znacajnog prakticnog aspekta FFT algoritma. Graf na sl. 5.11 ima 8 x 3 cvorova, ne racunajuci cvorove (izvore grafa) kojima su pridruzeni ulazni podaci odbirci (fi). U ove cvorove poniru po dve grane, sto cini ukupno 2 X 8 X 3 grana, kojima, U opstem slucaju, odgovara Nlog 2 N sabiranja i 2 Nlog 2 N mnozenja. Polovina od ovih mnozenja se ne racuna, jer grane bez naznaka imaju pojacanja jednaka jedinici, a takvih grana je polovina od ukupnog broja. Od preostalih mnozenja polovina se takode ne racuna jer je w=e-j"=- I. Prema tome, ako je N broj jednak nekom stepenu od 2, sracunavanje DFT za N odbiraka zahteva Nlog 2 N sabiranja i najvise (Nlog 2 N)/2 mnozenja. Za praksu postoji jos jedno vazno svojstvo FFT algoritma. Pretpostavimo da su ulazni podaci slozeni u memoriju racunara po redosledu
I
fo,
h· /2,
f6,
f,, .f;, f,,
f1
(5.66)
128
5. Realizacija i osobine funkcijc diskretnog prenosa
5.3. FFT algoritmi sracunavanja DFT
kao sto je pokazano na sl. 5.11. Tada FFT algoritam zahteva minimum memorije racunara i, kako se obicno kaze, izvcdi se »u mestu«. To znaci da se u svakom koraku algoritma koriste rezultati samo iz prethodnog koraka. Da se to pokaze, pretpostavimo da memorisanje promenljivih pridruzefa nih cvorovima grafa na sl. 5.11 zahteva po dva registra za svaku f4 promenljivu jer su one, u opstem slucaju, kompleksni brojevi. Cvof2 rovi na levom kraju grafa po vertikali I sadr:le odbirke f/ po f& redosledu (5.66). Rezultat prvog koraka algoritma su sadr:laji ref, gistara koje predstavljaju cvorovi po vertikali II. U trecem korafs ku algoritma koriste se samo sadr:laji registara po II vertixali grafa. Stoga se posle prvog koraf3 ka algoritma rezultati izracunavanja mogu smestiti u registre po vertikali I, gde su se na pocetku izracunavanja nalazili odbirci f/, Sl. 5.10. Graf toka signa/a za izracunavanje DFT raz/aganjem 8 odbiraka na 4 skupa od po 2 odbirka jer oni vise nisu potrebni u drugom koraku. Ova procedura koriscenja is tog memorijskog polja ostaje ista u toku celog algoritma: rezultati izracunavanja u svakom koraku algoritma mogu se smestiti u memorijsko polje gde su se na poeetku tog korak.a nalazili potrebni pcdaci za taj korak, jer oni nece vise biti potrebni u sledecem koraku algoritma. Na taj nacin se zapravo jedno isto polje memorije koristi u toku celog algoritma, tako sto se sadr:laji memoIII I rijskih registara polja zamenjuju posle .. 7\ • ? f0..... • :;>"( svakog koraka algoritma. U prakticnim izracunavanjima DFT moze ucestvovati desetine hiljada odbiraka, pa 7\: ), \ • 7/ 7 f.q ~ .. 4 "--
f, ....... A
fs
,c
f 3 'C
i
~II
~
•
-..__ • )( ·"~ ..
/
~IV
/
)( )( X·~
r/
1/
)(a.V /
)(
\
\
.. \
'\•~
129
u mestu, a kao rezultat se dobijaju cdbirci diskretnog spektra u prircdnom redosledu F'o, F1, F2, F3, F4, Fs, F6, F 1. Pokazano je [~] da se FFT algoritam moze izvrsiti u mestu i kad su f/ memorisani u prirodnom redosledu, ali se tada c dbirci diskretnog spektra dobijaju u bit-inverznom redosledu. Ako se, pak, zeli da odbirci f/ budu zadati u prirodnom redosledu i da se odbirci h dobiju, takode, u prircdnom redosledu, i to je naravno moguce, ali se tada FFT algoritam ne moze obaviti u mestu, vee je neophodno dobaviti dcdatnu memoriju. TABLICA 5.1. FORMIRANJE BIT-INVERZNOG REDOSLEDA Prirodni redosled
Binarni broj
I
0
5 6
000 001 010 011 100 101 110
7
Ill
I 2 3
4
I
Binarno-inverzni
IBit-inverzni redosled
000 100 010 iiO
0 4 2 6 I
001 101 011
5
Ill
7
3
Do sada je razmatran samo slucaj kada je N jednako nekom stepenu od 2. Moguce je izvesti FFT algoritam i u opstem slucaju N, ali se toj vrsti algoritama manje posvecuje paznja. Razlog za to je binarna prircda digitalnog racunara i cinjenica da se u slucaju velikog N, koje nije jednako nekom stepenu od 2, postupak sastavljanja programa za racunar znatno usloznjava. Inace, i u tom slucaju se primenjuje osnovna ideja FFT algoritma. Nairne, ako se N odbiraka u vremenskom domenu moze podeliti nap skupova od po Nfp odbiraka, tada se DFT od prvobitnog skupa odbiraka moze izracunati koristeci DFT od podskupova odbiraka ponaosob sa znatnom ekonomijom u masinskom vremenu. Algoritam prikazan u ovom poglavlju se zasniva na ideji razlaganja prvobitnog skupa odbiraka na podskupove sa manjim brojem odbiraka dobijenih sporijim postupkom diskretizacije (vecom periodom odabiranja). Otuda potice naziv FFT algoritam desetkovanja po vremenu. 5.3.2. DESETKOVANJE PO UCESTANOSTI
Pretpostavimo da je izvorna povorka od N odbiraka, gde je N neki stepen od 2, podeljena na dva skupa odbiraka g1 i h1 pri cemu je prvom skupu pridruzeno prvih Nf2, a drugom poslednjih Nt2 odbiraka skupa fi. Formalno se povorke g 1 i h1 mogu zapis~ti kao
Kt=fi
za
ht=ft+NI2
1=0, I, 2, ... , N/2-1.
(5.67)
Odbirci diskretnog spektra Fk se mogu izraziti preko g i h 1
1
N/2-1 f7
Fk
=
2
(g,
Wlk
+ h1 WU+N/2) k)
1~0
Sl. 5.11. Graf toka signa/a za izracunavanje DFT potpunim desetkovanjem po vremenu povorke od 8 odbiraka
N/2-1
2
1~0
9* Digila/ni si$temi upravljanja
(gl+ e-hrk hi)
Wlk.
(5.68)
T i
I
I
! 130
5.3. FFT Algoritmi sracunavanja DFT
5. Realizacija i osobine funkcije dis_k__re_t_n_:o_,gc_:p_r_en_o.:._s_a_ _ _ _ _ _ _ __
Sada, razmotrimo parne i neparne odbirke Ft ponaosob. (Otuda potice naziv FFT algoritam desetkovanja po ucestanosti). Ako u formuli (5.68) zamenimo k sa 2k, dobija se N/2-l (5.69) Fzk = 2 (gr + hr)(W2)lk, 1=0
a kada u (5.68) zamenimo k sa 2k+ 1, imamo N/2-l
2
Fzk+t =
(5.70)
[(gr-hr) wr](wzyk.
1=0
fe fe
.
f,'
'\ 9
f2'
"
(
){.
/
' .,
/
'
..,
(N=4)
f2• \
'·
f3 ,
r5
OFT
\.
{
..,
y
A )(" / "'i
,l/\t~-" .. 1
X X X• /
- t
I
•. "' ""i ... - t Fs
F3
\~·
Fs
w3
f
w
F7,
'7
Sf. ·5.13. Gtaf taka signa/a za izracunavanje DFT padelam 8 adbiraka na 4 skupa ad pa 2 adbirka
Sl. 5.1 2. Graf taka signa/a za izracunavanje DFT padelam 8 adbiraka na dva skupa ad pa 4 adbirka
~IV
I
~II
~ 1 II
Za ilustraciju primene DFT algoritma u realizaciji funkcije diskretnog prenosa posmatra se digitalni rezonator opisan linearnim programom
fI f2
• \
f3
. VVY·/
f4
I
<
~?
'I"
./ ~~ r •
v v y.)...
'-~--....
,_v
.
K
•7
c(nT)=K1 c(nT-T) -K2 c(nT -2 T)+ !1.r (nT)
r2
I
f7 -
,
I
\ ;;:II~· \t: ~~
-w3
k
(5.71)
sa pocetnim uslovima c(- T)=c(- 2T)=0. Rekurzivna relacija (5.71) odgovara funkciji diskretnog prenosa H(z) u jednacini
•")>r6
!1. zZ z2-Ktz+Kz R(z)=H(z)R(z).
!1. R(z) C(z)= I -KJ z-1 + Kz z-2
':::?''
fs
f6
Na sl. 5.15 data je jedna varijanta FORTRAN programa, koji realizuje FFT algoritam desetkovanja po ucestanosti. Uocimo nekoliko pojedinosti u vezi potprograma na sl. 5.15: (i) Potprogram je pisan za N=2M; ako je broj odbiraka procesirane povorke manji od predvidenog N, povorci se mogu pridodati nulti odbirci tako da broj prvobitnih i pridodatih nultih odbiraka bude predvideno N koje je jednako nekom stepenu od 2. (ii) Potprogram na st. 5.15 moze izvrsavati direktnu i inverznu DFT, sto se po zelji specificira indikatorom 11 (II =0- direktna DFT, 11 =I - inverzna DFT). (iii) Indeksiranje promenljivih u potprogramu pocinje sa i=l, dok indeksiranje odbiraka u DFT pocinje od n=O; dakle, n=i- I. 5.4. PRIMER REALIZACIJE FUNKCIJE DISKRETNOG PRENOSA DFT ALGORITMOM
'~
fe
Izrazi (5.69) i (5.70) se mogu tumaciti i kao DFT od po Nf2 parnih (g1+h1) i neparnih (g1 -h1)W1 odbiraka. Na taj nacin se dolazi do drugog postupka za izracunavanje DFT od N odbiraka fn preko DFT od dva skupa od po N /2 odbiraka. Na sl. 5.12 ilustrovan je ovaj postupak u slucaju N=8. Slike 5.13 i 5.14 pokazuju kako se dalje ekonomise ,sa masinskim vremenom u sracunavanju DFT deljenjem skupova od po 4 odbirka na po dva skupa od po 2 odbirka i, konacno, deljenjem skupova od po 2 na po dva sk:upa koji sadde samo po jedan odbirak. Na taj nacin se dolazi do grafa toka signala FFT algoritma desetkovanja po ucestanosti (sl. 5.14). Kao i u slucaju FFT algoritma desetkovanja po vremenu, broj potrebnih operacija za odredivanje ponora grafa na sl. 5.14 je srazmeran Nlog2N. Uocimo da su u grafu FFT algoritma desetkovanja po ucestanosti ulazni podaci (odbirci f 1) u prirodnom redosledu, a odbirci diskretnog spektra na izlazu u bit-inverznom redosledu i da se i ovaj algoritam izvrsava u mestu. Pokazano je da se ovaj algoritam moze izvesti u mestu i kada se :leli da odbirci Fk budu u prirodnom redosledu, ali tada ulazni podaci moraju biti u bit-inverznom redosledu. Inaee, ako se zeli da i ulazni i izlazni odbirci budu u prircdnom redosledu, i to je moguce [14], ali se tada algoritam ne moze izvesti u mestu, vee je potrebno angazovati dodatnu memoriju. 5.3.3. PROGRAMSKA REALIZACIJA FFT ALGORITMA
F3
a\3'"1
f71
7'•
f.
'• f6'
''
fl'
OFT
131
•/:>F.3
Sf. 5.14. Graf taka signa/a za izracu11avanje
DFT parpunim deserkovanjem pa ucesranasti pavarke ad 8 adbiraka
(5. 72)
Pretpostavimo da je rezonator pobuden jedinicnim impulsom u trenutku t=O, tj. neka je r(nT)=l za n=O, a r(nT)=O za n#O. Tada je R(z)=l i impulsna povorka rezonatora se moze odrediti inverznom z-transformacijom
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
132
5.4. Primer realizacije funkcije diskretnog prenosa DFT algoritmom
•••••••••
• POTPROGRAM ZA IZVRSAVANJE ALGORITMA FFT • Ulaz: X kompleksni vektor duzine N odbiraka ulaznog signala • N broj tacaka FFT (odbiraka diskretnog spektra) • M logaritam za osnovu 2 od N 11 indikator pravca FFT: II ~O- direktan • • II ~ I - inverzan
c c c c c c c c c c c
• • • •
gde su YI, 2
COMPLEX X (1), U, PI =3.14159265358979
c
w;
T
DO 20 L=I, M LE=2** (M+I-L) LE!=LE/2 U=(I.O, 0.0)
c
IF (11-EQ. 0) THEN W=CMPLX(COS (PI/REAL (LEI)), -SIN (PI/REAL (LEI))) ELSE W=CMPLX (COS (PI/REAL (LEI)), SIN (PI/REAL (LEI))) ENDIF
c c
DO 20 J=I, LEI
IO 20
c
c
25
c
26
c 30 c 40
c c
DO IO I=J, N, LE IP=I+LEI T=X (I)+X (IP) X (IP) =(X (I)-X (IP))•U X (I)=T U=U•W NV2=N/2 NMI=N-I J=l DO 30 I= I, NMI IF (I..GE. J) GO TO 25 T=X(1) X (J)=X (I) X(I)=T K=NV2 IF (K .GE. J) GO TO 30 J=J-K K=K/2 GO TO 26 J=J+K IF (11 .NE. 0) THEN DO 40 I=I, N X(I)=X(I)/N ENDIF RETURN END • • * * •
Od posebnog interesa je slucaj kada je Kf /4 -K2 <0. Tada su polovi y 1 i Y2 od H(z) konjugovano kompleksni i mogu se predstaviti sa y 1=reibT i rz=re-jbT , gde su r i b odredeni sa r2=K2 i 2r cos bT=K1• Posle zamene ovih vrednosti za Y1 i Y2 u (5.75) impulsna povorka rezonatora dobija se u obliku IX rn c (nl)=--sin [(n+ 1)bTJ. sinbT
(5.76)
Kao sto se vidi, ako je faktor prigusenja r<1, izraz (5.76) daje povorku odbiraka pseudoperiodicnog sinusnog signala sa digitalnom kruznorn ucestanoscu bT izrazenorn u radijanima. Usvojimo u primeru r=0,8, rezonantnu ucestanost.fc=IOOO Hz i periodu odabiranja T=I0-4 s. Tadaje bT=21tfcT=1t/5 rad, pa su K1 =2rcosbT=1,294427191 i K 2 =r2=0,64. Faktor au H(z) odaberimo tako da pri pobudi rezonatora povorkorn jedinicnih impulsa (R(z)=z/(z -1)) izlaz rezonatora u stacionarnorn stanju bude takode povorka jedinicnih impulsa. Dakle lirn(z-1)H(z)-z-= z-+t
z- 1
oc
1 - K 1 + K2
=1,
(5. 77)
pa je a=1-K1 +Kz=0,345572809. Na sl. 5.16 prikazana je organizacija izvornog programa realizacije funkcije diskretnog prenosa rezonatora. U primeru se pretpostavlja da je rezonator pobuden povorkorn jedinicnih impulsa rn=1 za n=O, 1, 2, ... , 512 dobijenoj diskretizacijorn Hevisajdovog signala periodom odabiranja T= IQ-4 s. Podsetimo da se u rezultatu izvrsavanja bFT algoritma, opisanog u uvcdnom izlaganju ove glave, dobija povorka odbiraka koja je jednaka ciklicnoj konvoluciji ulazne povorke i impulsne povorke prccesora. Medutim, tacna reR!izacija podrazumeva generi~anje izlazne povorke kao Iinearne diskretne konvolucije (5.1) ulaznog digitalncg signala i impulsne povorke procesora. Da bi ciklicna hila ekvivalentna Iinearncj konvoluciji, neophodna je izvesna modifikacija ranije izlozenog DFT algoritma na nacin prikazan na sl. 5.16. Pretpostavimo da je potprogram na sl. 5.15 za sracunavanje DFT pomocu FFT algoritma predviden za NFFT odbiraka ulaznog signala u vremenskom domenu. Neka je stvaran broj odbiraka ulazne povorke N, a broj cdbiraka u impulsnoj povorci procesora M i neka je M ~ N. Tada je potrebno, u organizaciji izvomog programa prikazanoj na sl. 5.16, ulaznoj povcrci rn pridcdati najmanje M -l nultih odbiraka tako da ukupan broj prvobitnih i pridodatih nultih odbiraka u prosirenoj povorci rn' bude NFFT~ N+M -1. Pozivom potprograma FFT za izvrsenje FFT a!goritma sracuna se diskretni spektar Rn' =DFT{r,.'}. Diskretni spektar impulsne povorke procesora se izracunava neposredno na osnovu zadate funkcije diskretnog prenosa rezonatora H(z) u vidu M cdbiraka u frekvencijskom domenu Ht=H(ejwT) za w=2nkfMT (k=O, I, 2, ... , M -1). Jmpulsna
.T I I
I
! 134
5. Realizacija i osobine funkcije diskretnog prenosa
povorka procesora duzine M odbiraka u vremenskom domenu se zatlm dobija kao h,.=DFT-1 {Hn}. U nastavku ovu povorku je neophodno prosiriti dodavanjem najmanje N-1 nultih odbiraka tako da prosirena impulsna povorka h,.' bude duzine NFFT, kao i prosirena povorka r,.' ulaznog signata. Nakon izracunavanja DFT prosirene impulsne povorke h,.' dobija se diskretni spektar Hk', koji, kada se pomnozi sa ranije izracunatim spektrom Rn' daje diskretni spektar Ck' ciklicne konvolucije prosirenih povorki r,.' i hn'. Dakle, nalazenjem inverzne DFT od ovog spektra
n
I
0 1 2 3 4
5
IzRACUNAVRNJE M ODBIRRKA
6 7 8 9 10 II 12 13
DISKRETNOG SPEKTRA
'Hk=H(ei"'T) za w=2nk{MT (k=O, 1, 2, ... , M -1) !MPULSNA POVORKA PROCESORA oul:INE M DOOAVANJE NUL TIH ODBIRAKA
14 15
PROS IRENA POVORKA DUZ INE NFFT )M+N-l
16 17 18
PR05IRENR
POVORKA DU'ZINE
19
NFFT) M+N-1
20
DISKRETNI SPEKTRR SIKLtO£ KONVOLUCIJE POVORKI r- ~ I h ~
