Sistemi automatskog upravljanja

Sistemi Automatskog upravljanja 1 Osnovni pojmovi i principi sistema automatskog upravljanja .................................................. ...................................................................3 .................3 1.1 Definisati pojam i osnovne probleme automatskog upravljanja ....................................................... ........................................................3 .3 1.2 Osnovni elementi sistema automatskog upravljanja (SAU bez i sa povratnom spregom ................3 1.3 !rojektovanje SAU. !roce"ura projektovanja SAU ..........................................................................3 2 #atemati$ki #atemati$ ki mo"eli sistema ...................................................... ............................................................................. ........................................................... .........................................% .....% 2.1 Definisati i objasniti osnovne korake pri analizi "inami$ki& sistema ................................................% 2.2 Opisivanje fizi$ki& sistema "iferencijalnim je"na$inama .................................................... ..................................................................% ..............% 2.3 'inearizacija mo"ela fizi$ki& sistema ................................................. ........................................................................ .............................................. ........................ . 3 !rimena 'aplasove transformacije u sistemima automatskog upravljanja ................................................ 3.1 Definicija i osobine 'aplasove transformacije transformacij e .................................................... ................................................................................... ............................... 3.2 Stan"ar"ne pobu"ne funkcije ............................................. .................................................................... .............................................. ..................................... ..................) ....) 3.3 *nverzna 'aplasova transformacija ......................................................... ............................................................................................. ...........................................+ .......+ 3.% !rimena 'aplasove transformacije u analizi SAU ............................................................................., % -unkcija prenosa sistema automatskog upravljanja .............................................................. ................................................................................... ..................... %.1 -unkcija prenosa sistema automatskog upravljanja sa je"nim ulazom i je"nim izlazom .................. %.2 Strukturni blok "ijagram SAU ................................................. ........................................................................ ................................................. ................................... ......... %.3 Algebra funkcije prenosa ........................................... .................................................................. .............................................. ................................................1/ .........................1/ %.% 0raf toka signala ........................................... .................................................................. .............................................. ............................................ .................................. ................11 ...11 %. #asonov # asonov obrazac .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................. ................................12 ......12 %.) -unkcije prenosa multivarijabilni& sistema .............................................................. ......................................................................................12 ........................12 %.+ Analiza SAU primenom ra$unara ........................................... .................................................................. ......................................... ............................... ................13 ...13  #o"elovanje SAU u prostoru stanja ............................................. .................................................................... .............................................. ....................................13 .............13 .1 oncepcija prostora stanja. !rincip o"reivanja promenljivi& stanja ..............................................13 ..............................................13 .2 O"nos izmeu matemati$kog mo"ela sistema u vremenskom i kompleksnom "omenu .................1% .3 !rva kanoni$na forma (re"no programiranje ............................................... .................................................................................. ...................................1 1 .% Druga kanoni$na forma ("irektno programiranje ........................................... ..................................................................... ................................1) ......1) . 4or"anova kanoni$na forma ............................................. .................................................................... ...............................................................1+ ........................................1+ .) 4or"anova matrica stanja za slu$aj sistema sa vi5estrukim realnim polovima ................................1+ .+ 'inearizacija nelinearni& sistema i formiranje linearizovanog mo"ela u prostoru stanja ................1, ) Analiza SAU u prostoru stanja ........................................... .................................................................. .............................................. ...............................................2/ ........................2/ ).1 !ona5anje stanja i o"ziva sistema .............................................. ..................................................................... ............................................... ................................2/ ........2/ ).2 -un"amentalna matrica ("efinicija6 osobine6 na$ini o"reivanja ...................................................21 ).3 O"reivanje fun"amentalne matrice primenom nesingularne transformacije .................................22 ).% ontrolabilnost sistema ("efinicija i na$in provere ........................................................................23 ........................................................................23 ). Observabilnost sistema ("efinicija i na$in provere ....................................................... .........................................................................23 ..................23 + arakteristike arakte ristike i performanse SAU ............................................. .................................................................... .............................................. .......................................23 ................23 +.1 Osetljivost sistema na promenu vre"nosti parametara para metara ...................................................... ................................................................... ...............23 ..23 +.2 7egulacija tranzijentnog o"ziva SAU .................................................... ........................................................................... ...................................... ...................2% ....2% +.3 Signal poreme8aja u sistemima automatskog upravljanja .................................................... ................................................................2% ............2% +.% 0re5ka ra"a u stacionarnom stanju sistema sa otvorenom i zatvorenom povratnom spregom ........2 +. 9ena povratne sprege ............................................. .................................................................... .............................................. .......................................... ............................2 .........2 +.) !reformanse SAU : karakteristike sistema "rugog re"a ........................................................ ..................................................................2) ..........2) +.+ ;eza ;eza izmeu lokacije polova funkcije prenosa SAU u kompleksnoj sravni i o"ziva u prelaznom re
,.% =ur>itzov kriterijum kriter ijum stabilnosti SAU ..................................................... ............................................................................ .................................. ................31 .....31 ,. Stabilnost SAU opisani& matemati$kim ma temati$kim mo"elom u prostoru stanja ...............................................31 ...............................................31  0eometrijsko mesto korena .............................................. ..................................................................... ................................................................. .......................................... ......31 .1 Definicije 0# .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ....................................31 .............31 .2 onstrukcija 0# : broj grana6 po$etak i zavr5etak grana6 simetrija 0# ..................................31 .3 onstrukcija 0# : na$in o"reivanja asimptota grana6 intervali preklapanja grana 0# i 7e ose .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ........................................32 .................32 .% onstrukcija 0# : ugao po" kojim grane 0# napu5taju je"nostruke i vi5estruke polove i "olaze u je"nostruke i vi5estruke kona$ne nule funkcije povratnog prenosa sistema ...........................32 . onstrukcija 0# : ta$ke spajanja i raz"vajanja grana 0# i 7eose ........................................32 .) onstrukcija 0# : presek grana 0# i *mose sravni ..............................................................33 ..............................................................33 .+ onstrukcija 0# : o"reivanje poja$anja funkcije povratnog prenosa u proizvoljnoj ta$ki 0# .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ..............................................33 .......................33 ., !rimena meto"a 0# na o"reivanje uticaja promene poje"ini& parametara na lokaciju polova sistema ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. ..........................................................33 ...................................33 1/ -rekventne meto"e analize sistema automatskog upravljanja ...............................................................3% ...............................................................3% 1/.1 Definisati amplitu"no fazno frekventnu karakteristiku ............................................. ..................................................................3% .....................3% 1/.2 Definisati ?o"eove "ijagrame ........................................... .................................................................. .............................................. ..................................... ...............3% .3% 1/.3 ?o"eovi "ijagrami elementa sa konstatnim poja$anjem6 nule i pola u koor"inatnom po$etku .....3 1/.% ?o"eovi "ijagrami aperio"i$nog elementa prvog re"a (nula i pol na realnoj osi .........................3) 1/. ?o"eovi "ijagrami oscilatornog elementa "rugog re"a (kompleksne nule i polovi sistema ........3+ 1/.) O$itavanje konstanti gre5ke sa ?o"eovi& "ijagrama "ijagra ma ...................................................... ......................................................................3, ................3, 1/.+ Definisati @uuistov kriterijum stabilnosti ...................................................... ............................................................................. .............................3, ......3, 1/., arakteristike ra"a sistema u prelaznom re
2

1 Osnovni pojmovi pojmovi i principi principi sistema sistema automatsko automatskog g upravljanj upravljanja a 1.1

Definisa Definisati ti pojam pojam i osnovne osnovne proble probleme me automat automatskog skog uprav upravljan ljanja ja

Sistem automatskog upravljanja (SAU) je skup međusobno povezanih komponenti projektovan radi postizanja (ostvarivanja) zadatog cilja (zadatka, svrhe, namere). Moderna praksa SAU podrazumeva projektovanje upravljanja (upravljakih strategija) strategija) u cilju unapređenja procesa pr ocesa proizvodnje, e!ikasnije potrosnje energije, ostvarivanje naprednog i inteligentno upravljanje. "ompletna struktura i !izika sistema opisuje se relativno jednostavnim jed nostavnim modelima. Sistemi su naje#$e kompleksni i te#ko razumljivi a samim tim te#ki za modelovanje i upravljanje (hemijski procesi, kontrola saobra$aja, robotski sistem). U praksi se esto susre$u sistemi koji u sebi kombinuju komponente (i probleme) iz vi#e razliitih oblasti.

1.2

Osnovni elementi sistema automatskog automatskog upravljanja upravljanja (SAU bez i sa povratnom povratnom spregom) spregom)

Sistem sa otvorenom spregom koristi aktuator "a "irektno upravlja  procesom6 bez povratne informacije.

SAU sa povratnom spregom je sistem koji o"r
ulaz

aktuator


 proces

kontroler 

izlaz

 proces

merenje

Sistem sa zatvorenom povratnom spregom koristi izmerenu iz merenu vre"nost izlaznog signala i povratnu spregu "a bi taj signal bio uporeen sa
rojekt rojektovan ovanje je SAU. SAU. ro! ro!e"ur e"ura a projek projektova tovanja nja SAU

!rojektovanje je proces smi5ljanja ili pronala
3

2 Matema Matematič tički ki modeli modeli sistema sistema 2.1

Definisa Definisati ti i objasnit objasnitii osnovne osnovne korake korake pri analizi analizi "inami "inami'ki 'ki siste sistema ma

#atemati$ki mo"el slu
Opisiva Opisivanje nje fizi' fizi'ki ki siste sistema ma "iferen "iferen!ij !ijalni alnim m je"na'in je"na'inama ama

D4 koje opisuju poje"ine sisteme se postavljaju na osnovu fizi$ki& zakona koji opisuju poje"ine procese. U nekim slu$ajevima se fizi$ki razli$ite pojave opisuju je"na$inama istog oblika i ta"a se uspostavljaju analogije. f(t : sila koja vu$e telo u "esno F(t F(t : polo
" F t

f   t  G #⋅

"t

2

"F  t    ⋅F  t  "t

 b⋅

Blektri$no kolo se mo
H H H H H

Blektri$ne veli$ine struja i(t fluks I(t kapacitivnost 9 provo"nost 0 recipro recipro$na $na vre"no vre"nost st in"uk in"uktiv tivnos nosti ti 1J'

2.3

inea ineariz riza!i a!ija ja mo"el mo"ela a fizi' fizi'ki ki sist sistema ema

;e8ina fizi$ki& sistema je linearna u o"reenim granicama. Osobina linearnosti sistema se "efini5e preko  pojmova pobu"e (ulaza i o"ziva (izlaza. 0eneralno6 mi 8emo pobu"u ozna$avati sa u(t a o"ziv sa F(t.  @eop&o"an uslov "a bi sistem sistem bio linearan mo
N

N

/

N

N

/

/

/

3 Primena Laplaso Laplasove ve transformaci transformacije je u sistemima sistemima automats automatskog kog upravljan upravljanja ja 3.1

Defini!i Defini!ija ja i osobin osobinee aplas aplasove ove transfor transforma!i ma!ije je

'E funkcije f(t se ∞"efini5e na sle"e8i na$in na$ in −s⋅t  L { f  t  } G -  s  G ∫ f  t ⋅e "t /

g"e je s G ± j  kompleksna promenljiva. 'E 'E se ne mo
$isto vremensko ka5njenje  za sve funkcije istog oblika f(t i f(tT6 g"e "ruga kasni za prvom za vreme T6 se mo
3.

 pomeranje kompleksnog lika  pogo"no za o"reivanje 'E funkcija funkcija koje sa"r
#.

t

t

/

/

konvolucija originala f  t  G f 1  t ∗f 2  t  G ∫ f 1  t −⋅f 2   "  G∫ f 1 ⋅f 2  t − "  

$.

teorema o izvo"u originala

"f  t  R G s⋅-  s −f  /   "t n " n f  t  n n −k  k − 1 ⋅f   /    'E 'E ntog izvo"a funkcije f unkcije f(t  L Q n R G s ⋅-  s −∑ s "t k G1  f(/po$etna vre"nost f(t u trenutku /  'E 'E prvog izvo"a funkcije f(t  L Q

%.

teorema o integralu originala t - s  L Q∫ f  t  "tRG s /

 L Q

t

t

t

t

/

/ / /

∫ ...∫∫∫ f  t  " n t R G -s ns

 

6nG16263...

n " -  s &. teorema o izvo"u kompleksnog lika  L Q t ⋅f  t  R G −1  ⋅ "s n n

*.

n

t teorema o promeni vremenske skale  L Q f   R G a⋅-  a⋅s  a

 prva grani$na teorema f  t  Glim s⋅-  s   va
K

t ∞

3.2

s /

Stan"a Stan"ar" r"ne ne pobu" pobu"ne ne funk!i funk!ije je

=evisaj"ov signal

{

&  t  G / 6 t / 1 6 t ≥/

&(t (t

}

∞

-  s  G L Q &  t  R G ∫ f    t ⋅e

− s⋅t

"t G

1

/K

∞

G ∫ e−s⋅t "t G −

− s⋅t

e

s

/K

N

∞

/

G

1 s

Delta impuls. @a ovaj na$in se mo
{

}

  t  G / 6 t ≠/ 1 6 t G/

t

(t

V

∞

∫   t " t G 1

−∞

 "&  t  R G s⋅ L Q &  t  R− &  /  G t

 L Q   t  R G  L Q

G s⋅1 −/ G 1 s 4e"ini$ni nagibni signal f  t  G / 6 t / f  t  G t⋅&  t  t 6 t≥ / ∞ −s⋅t  L Q t⋅&  t  R G∫ t⋅e "t G

{

}

/

t −s⋅t G − ⋅e s

N

∫ ∫ u⋅"vGu⋅v −∫ v⋅" u 6 u G t 6 " v G e−s⋅t "t  )

/ f(t 1

∞

1 1 − s⋅t "t G 2 / ⋅ e s / s ∞

t

/

1

t

3.3

-nver -nverzna zna aplas aplasova ova transf transfor orma! ma!ija ija

 @a osnovu poznatog kompleksnog kompleksnog lika mogu8e je o"re"iti funkciju u vremenskom "omenu primenom primenom inverzne 'E  j⋅ 1 −1 ⋅ ∫ -  s ⋅e s⋅t "s 6 t /  L Q -  s  R G f  t  G 2⋅⋅ j − j⋅ -unkcije koje su o" posebnog interesa "ate su u obliku realni& racionalni& funkcija kompleksne  promenljive s6 tj. kao razlomak "va polinoma sa realnim koeficijentima koeficijentima m m −1  !  s   b m⋅s  b m −1⋅s ...  b1⋅s b / -  s G G W s  s n a n −1⋅s n −1...a 1⋅s a / 7azmatra8e se situacija ka"a je nXm6 koja je i naj$e58a u analizi i sintezi kontinualni& stacionarni& linearni& sistema sa koncentrisanim parametrima. oreni polinoma !(s su nule6 a koreni polinoma W(s su polovi funkcije -(s. !rvo se funkcija -(s rastavlja na parcijalne razlomke pa se tek on"a primenjuje inverzna 'E 'E. O" posebnog zna$aja su polovi funkcije -(s i tu se mogu uo$iti $etiri karakteristi$na karakter isti$na slu$aja 1.

svi polovi funkcije -(s su realni i prosti

*zvr5i se faktorizacija polinoma W(s6 o"nosno re5i se je"na$ina W(sG/ m m −1 !  s   b m⋅s  bm −1⋅s ... b1⋅s  b/ -  s G G W s  s −s1 ⋅ s −s 2⋅...⋅ s−s n 

    !  s   1  2 ...  n G W  s  s −s 1 s −s 2 s −s n ! s  6 kG1626...6n oeficijenti se izra$unavaju prema izrazu  k  G s −s k ⋅ W s s G s  @akon o"reivanja koeficijenata mogu8e je o"retiti inverznu 'E 'E -(s se razvije u parcijalne razlomke -  s  G

[

 L

−1

]

k 

n

{ -  s  } G f  t  G ∑  k ⋅e s ⋅t k 

k G1

2.

 postoje konjugovano kompleksni polovi6 a realni su6 ako postoje6 prosti

!retpostavka je "a je"na$ina W(sG/ ima samo je"an par konjugovano kompleksni& polova (s 1 i s 2 G sY1  a "a su svi ostali realni i prosti  Y1  2  n !  s   bm⋅s m b m−1⋅s m−1...  b1⋅s b /  1 - s G G G ...     W s   s −s1 ⋅ s −sY1 ⋅ s −s 3⋅...⋅ s−s n  s −s1 s−s Y1 s −s 2 s−s n Ako je s1 G − j⋅ i sY1 G −− j⋅ 6 ta"a je  1 G −a  j⋅ b i  Y1 G −a − j⋅ b n n  k   k   j⋅ b − j⋅ b   a a s - s G G 2⋅a⋅ 2  b  ∑ − ⋅ ⋅  ∑  s− j⋅ s  j⋅ k G 3 s −s k   s   2 2 s  2 2 k G3 s −s k  *nverzna 'E je −⋅t

f  t  G 2⋅a⋅e

⋅cos ⋅ ⋅t −2⋅ b⋅e

n

⋅sin  ⋅t ∑  k ⋅e s ⋅t

−⋅ −⋅t

k 

k G3

[

! s oeficijent  1 G a  j⋅ b se izra$unava prema obrazcu  k  G a  j⋅ b G  s − j⋅ ⋅ W  s 3.

]

s G − j⋅

funkcija -(s ima vi5estruke realne polove

!retpostavka je "a je"na$ina j e"na$ina W(sG/ ima je"no vi5estruko (npr. (npr. trostruko re5enje s 16 a "a su ostali polovi funkcije -(s realni i prosti m m −1  11  12  13  %  n  !  s   b m⋅s  bm −1⋅s ... b1⋅s  b/ - s G G G ...      W  s s−s n  s−s 1 3⋅ s−s % ⋅...⋅ s −s n   s −s1 3 s −s 12 s−s 1 s −s %

+

oeficijenti se izra$unavaju prema izrazu 2 !  s " 1 " 3 !s  3 !  s  11 G s −s 1 ⋅  12 G  13 G ⋅ 2  s−s 13⋅  s −s1  ⋅ W s  s G s "s W s  s Gs 2 "s W s Op5ti obrazac za koeficijente  rm rm Z mG1626...6p vi5estrukog pola sGs r 6 vi5estrukosti p je m−1 ! s  1 " ⋅ m −1⋅ s −s r  p⋅  rm G  m −1 ! "s W s s G s n 1 2 s ⋅t s ⋅t s ⋅t *nverzna 'E je f  t  G ⋅ 11⋅t ⋅e   12⋅t⋅e  13⋅e ∑  i⋅es ⋅t 2 iG%

[

]

[ 

1

[ 

]

]

3.#

]

s G s1

r 

1

#.

[ 

1

1

1

i

funkcija -(s ima vi$estruke konjugovano kompleksne polove : re5ava se primenom konvolucije rimena rimena aplasov aplasovee trans transform forma!ij a!ijee u analizi analizi SAU

Sistem je opisan "iferencijalnom je"na$inom " 2F  t   b⋅"F  t    ⋅F  t  f  t  G #⋅ 2  "t "t "F f(t    /   G / . @akon  @eka je f(tG/6 F(/GF/G1 i "t #  primene 'E 'E uz uva
Ako su polovi konjugovano kompleksni uvo"e se veli$ine ] : relativni r elativni koeficijent prigu5enja i ^ n : sopstvena neprigu5ena u$estanost. [ s G

#⋅s  b 2

⋅F / G

#⋅s  b⋅s  

s 2⋅⋅ n 2

s 2⋅⋅ n  n

2

⋅F / 6 g"e je  G

b 2⋅  ⋅#

 

 i n G    . 7e5enja #

karakteristi$ne je"na$ine su s162 G −⋅ n ± j⋅ n⋅ 1− 2 (po5to su polovi konjugovano kompleksni pa  je ]_1. *mQsRGjM^ s1

*mQsRGjM^ smer  porasta  porasta ]

 jM^ M1] 2 ^n

2MM^ n

 I M^n / s2

,

/_]_1 7eQsRG

jM^ M1]

2

]G/ ]`1 /

]`1 /_]_1

smer  porasta  porasta ]

]G/

7eQsRG

Sa slike se vi"i "a je ]Gcos6 ali se $e58e koristi izraz ]G cosI. ompleksna sravan slu




 @akon primene inverzne 'E 'E6 sreivanja i po5to je  Gcos  (  1− 2 Gsin  6 pret&o"ni izraz se mo
n

F(t

 polov  polovii sistem sistemaa su realni realni i prosti prosti. o"ziv je prigu5eno aperio"i$an. t  polov  polovii sistem sistemaa su konju konjuggovan ovanoo kompl kompleksn eksnii. o"ziv sje prigu5eno oscilatoran.

4 Funkcija Funkcija prenosa prenosa sistema sistema automats automatskog kog upravljanja upravljanja #.1

unk!ija prenosa sistema automatskog automatskog upravljanja upravljanja sa je"nim je"nim ulazom ulazom i je"nim izlazom

-unkcija prenosa sistema se "efini5e "efin i5e kao o"nos 'E 'E izlazne (F(t i ulazne (u(t veli$ine6 uz pretpostavku "a su svi po$etni uslovi nulti i "a je F(tGu(tG/6 t_/. U op5tem slu$aju je sistem opisan D4 " n F  a ⋅" n −1 F  ... a ⋅"F a ⋅F G b ⋅" m u  b ⋅" m −1 u  ... b ⋅"u  b ⋅u n −1 1 m m −1 1 "t / "t / "t n "t n−1 "t m "t m−1 Ako se na pret&o"nu je"na$inu primeni 'E6 'E6 uz uva
u(t

Strukt Strukturn urnii blo blok k "ij "ijagr agram am SAU

0

F(t

Ovakav na$in pre"stavljanja sistema se naziva blok "ijagram. #atemati$ki mo"el sistema g"e je veza izmeu poje"ini& komponenti prikazana blok "ijagramima naziva se struktuirani blok "ijagram (S?D. 

Ovakav na$in pre"stavljanja mo"ela sistema je pogo"an jer ukazuje na unutra5nju strukturu sistema i meusobne veze izmeu poje"ini& promenljivi& veli$ina. *pak6 za "etaljniju analizu pona5anja sistema  potrebna je funkcija prenosa koja se sa S?D naj$e58e naj$e58e ne mo
Alge Algebr bra a funk funk!i !ije je pren prenos osa a

Algebra funkcije prenosa slu
U(s

02

01

Blementi vezani u  paralelu

...

0n

01 02  . . .

U(s

  .  . .

[(s

[(s

U(s

01M02M...M0n

U(s

0102...0n



[(s

[(s

0n Svoenje povratne sprege na je"an blok 

U(s

[(s

0

U(s

 = !reme5tanje bloka = iz povratne sprege

U1(s 0 1

K

02  =

!reme5tanje "iskriminatora ispre"  bloka 01

U1(s

01

K

02  =

!reme5tanje "iskriminatora iza  bloka 02

U1(s 0 1

K

02  =

!reme5tanje bloka = iz "irektne grane

U(s

01

02 =

1/

0 1 0=

[(s

     f

[(s

U1(s

01 =

K 

U2(s [(s

U1(s

K

U1(s

[1(s [2(s

= 01

 02= U(s

01=

[(s U2(s

[(s

0102 K

U2(s

[(s U2(s

0102 

U2(s

[(s

02=

U2(s

02 [1(s = [2(s

!reme5tanje $vora ispre" bloka 01

U(s

02

01

= !reme5tanje $vora iza U(s  bloka 02

02

01

= Deljenje "iskriminatora na "va "ela

1

K

2 K

[1(s

U(s

010

[2(s [1(s

2

01=

U(s

[2(s

3

010 = 02 K

[2(s

[1(s

2

1

[1(s

K 2

[2(s

3 3

K

3

K 2 o" sistema sa povratnom spregom se mo
#.# #.#

/raf raf tok toka a sig signa nala la

Eransformacija i re"ukcija mo"ela SAU pre"stavljeni& preko S?D je neka"a veoma komplikovana. Alternativnu meto"u ponu"io je #ason i ona se bazira na pre"stavi sistema preko linijski& segmenata i teoriji grafova. #eto"a se zove graf toka signala (0ES i pru
#.$ #.$

0ason asono ov v obr obraz aza! a!

Direktna (otvorena putanja 0ES je skup grana koje meusobno spajaju "va $vora i pri tome grane kroz svaku ta$ku prolaze samo je"anput. !etlja (zatvorena putanja 0ES je zatvoren put koji prolazi i zavr5ava se u istom $voru i pri tome sve grane iz petlje kroz svaku ta$ku prolaze samo je"nom. Dve putanje (otvorene ili zatvorene se ne "o"iruju ako nemaju zaje"ni$ki& $vorova ili grana.  @a osnovu pret&o"no uve"eni& pojmova otvorene i zatvorene putanje i nji&ovog nji&ovog meusobnog o"nosa ("a li se "o"iruju ili ne mogu8e je "efinisati #asonov obrazac pomo8u koga se o"reuje funkcija prenosa 0ES. -unkcija prenosa 0ES se o"reuje pomo8u obrasca n

∑ ! ⋅  [  s  i G1 i i 0 s G G  U s g"e je !i : prenos (poja$anje ite "irektne putanje (o" ulaza "o izlaza  : "eterminanta grafa i : "obija se o"  tako 5to se iz  izbace sve petlje koje "o"iruju itu "irektnu putanju (izbacuju se i svi  proizvo"i g"e te petlje u$estvuju kao $inioci n : broj "irektni& grana u grafu Determinanta grafa  se o"reuje na osnovu izraza  G 1 −−1 k 1⋅∑ ∑ !kj G 1−∑ !1j ∑ ! 2j−∑ !3j ∑ !%j−... k 

g"e je

∑! !kj ∑  j

1j

 j

#.%

 j

 j

 j

 j

 j

 zbir poja$anja svi& zatvoreni& putanja grafa  zbir proizvo"a poja$anja po k zatvoreni& putanja koje se meusobno ne "o"iruju

unk!ije unk!ije prenosa prenosa multivar multivarijab ijabilni ilni  siste sistema ma

!osmatramo sistem sa p ulaza i r izlaza.

u1(t u2(t  . . .

F1(t F2(t  . ..

!o pretpostavci je ovaj sistem linearan pa se mo
N

[ ][

k 

][ ]

Svaki multivarijabilni sistem pose"uje je"an j e"an je"ini je"instveni karakteristi$ni polinom. Ako Ako imenioci svi&  prenosa matrice 0(s nisu je"naki6 ta"a je karakteristi$ni polinom sistema nji&ov najmanji najmanji zaje"ni$ki sa"r
Anali Analiza za SAU SAU prime primenom nom ra'una ra'unara ra

7a$unarski mo"el SAU se koristi "a bi se ispitale osobine i projektovalo upravljanje sistemom bez njegove fizi$ke realizacije. Simulacija pona5anja sistema pomo8u ra$unara slu
 pretposta  p retpostavl vljanje janje   mo"elovanja   matemati$ki   mo"el

fizi$ki sistem

matemati$ka   analiza

ra$unarska  simulacija o"ziv mo"ela

uslo
 pre"ikci  pre"ikcija ja o$ekivani o$ekivani o"ziv o"ziv fizi$kog sistema

  mo"ifikacija  parametara  parametara si sistema stema

5 Modelo Modelovanj vanjee !" u prost prostoru oru stanja stanja $.1

on!ep!i on!ep!ija ja prostor prostora a stanja. stanja. rin!ip rin!ip o"reiv o"reivanja anja prome promenlji nljivi vi stanja stanja

#atemati$ki mo"el sistema u prostoru stanja se pre"stavlja u vi"u skupa D4 ili D4 prvog re"a i ove  je"na$ine opisuju stanje sistema. U je"na$inama figuri5u promenljive promenljive stanja 16...n posmatrano o" vremena tGt/ koji zaje"no sa za"atim ulazom u 16...ur  o"reuje  o"reuje stanje sistema u bu"u8em vremenu tXt /. oncept prostora stanja ima nekoliko pre"nosti u o"nosu na klasi$ni pristup6 posebno ako se posmatra sa aspekta kori58enja "igitalni& ra$unara o"govaraju8e D4 vi5eg re"a 1.  br
13

[] []

u1 u G u2 u1 u2

F1 F2

(16...6n   objekat upravljanja

"

F1 F G F2 "

u r  Fm ;ektori u(t i F(t su funkcije vremena pa se mo
O"nos O"nos izmeu izmeu matemati matemati'kog 'kog mo"ela mo"ela sistem sistema a u vremensko vremenskom m i kompleksnom kompleksnom "omenu "omenu

Ako se razmatra multivarijabilni linearni stacionarni sistem6 njegova analiza se mo
[

1%

]

Eransformacija iz vremenskog u kompleksni "omen je je"nozna$na i je"nostavna i primenom 'E na  je"na$ine stanja i izlaza koje prestavljaju sistem u prostoru stanja uz pretpostavku nulti& po$etni& po$etni& uslova /G/6 "obija se s⋅ s  G A⋅  s ?⋅U  s    s  G s⋅* − A −1⋅?⋅U  s  [  s  G 9⋅s⋅* − A −1⋅?⋅U  s  D⋅U  s  [  s  s G G 9⋅ s⋅* − A −1⋅?D U  s Eransformacija iz kompleksnog u vremenski mo"el je mnogo te
rva kanoni'n kanoni'na a forma forma (re"no (re"no program programiran iranje) je)

 @eka je "ata funkcija prenosa sistema op5teg oblika ( uz pretpostavku pretpostavku "a je anG1 n n− 1 [ s   bn⋅s  b n−1⋅s ... b1⋅s  b/ G U s  s n a n −1⋅s n −1... a 1⋅s a / Ca slu$aj "a je re" polinom u brojiocu m i "a va
∫

∫  b ⋅u −a ⋅F ∫  b ⋅u −a ⋅F  "t  "t...] "t } "t

∫

F  t  G bn⋅u  { bn −1⋅u − a n−1⋅F  [ bn −2⋅u −a n −2⋅F ... 

1

1

/

/

 @a osnovu ove je"na$ine formira se 0ES za prvu kanoni$nu formu

 b2

 bm  . . .

 b1  b/

u(t

. n a /

   1 1  . . 1  . 1  .  s s n1 Gn2 s s nm1 1 2 ... ... . a n1 nGn1 . nm ... a n2 a 1 a 2 ... a m ... a mK1

1  s

Sa"a je mogu8e napisati matemati$ki sistem u matri$noj formi

[ ][

][ ] [

]

−a n−1 1 / $ / 1 # 1  bn −1−a n −1⋅ b n # 2 G −a n−2 / 1 $ / ⋅  2   b n −2−a n −2⋅ bn ⋅u  t 

" # n

"

−a /

" "$ " / / $ /

"

n

"  b/ −a /⋅ bn

1GF(t

[]

1 F  t  G [1 / / & / ]⋅  2 [ bn ]⋅u  t 

"

n

1

$.#

Druga Druga kanoni kanoni'na 'na form forma a ("irek ("irektno tno prog programi ramiranj ranje) e)

!rvi na$in (na osnovu 0ES za prvu kanoni$nu formu  @a 0ES u prvoj kanoni$noj kanoni$noj formi treba izvr5iti sle"e8e transformacije  – zameniti mesta ulaza i izlaza  – obrnuti smer grana  – izabrati novi vektor promenljivi& veli$ina stanja (za promenljive veli$ine stanja usvajaju se izlazi iz integratora i formirati matemati$ki mo"el Drugi na$in ("irektno programiranje Uvo"i se nova promenljiva C(s n− 1

n

[ s   b n⋅s  b n−1⋅s ... b1⋅s  b/ G n n −1 U  s s a n −1⋅s ...a 1⋅s  a /

⋅

C s  C s 

− ... a ⋅s a ] [ − [  s  G C  s ⋅[ b  b ⋅s  b − ⋅s ... b ⋅s  b ] n

U  s  G C  s ⋅ s a n−1⋅s

n 1

1

n

n

n

n

/

1

1

1

/

Sa"a se za promenljive veli$ine stanja usvajaju 1  s  G C  s  Z 2 s  G s⋅C  s  G s⋅ 1 s  Z 3  s  G s 2⋅C  s  G s⋅ 2  s  Z & n s  G sn −1⋅C s  G s⋅n −1  s  Ako posmatramo stanja kao izlaze iz integratora mo
...  b 2  b1

u(t

1

. . 1  . 1  n s nGn1 s n1 Gn2 ...

   1 . m s

. m1 ...

a m1

... a 2

1  . 2 s

a n1 a n2

...

a m

a 1

1  . s 1

1  b/

a /

-ormira se matri$ni mo"el sistema u "rugoj kanoni$noj formi #  1 1 / 1 / / $ / / #  2 2 / / 1 / $ / / " G " " " " $ " ⋅ "  " ⋅u / / / / $ 1 # n−1  n− 1 / − a / − a 1 − a 2 −a 3 $ −a n − 1  n 1 #  n

[ ][

][ ] [ ]

F G b /⋅ 1 b1⋅ 2... b n−2⋅ n−1 b n−1⋅ n  bn⋅#  n

[]

# n G −a /⋅1− a 1⋅ 2−...− a n−1⋅ n u

1 F G [  b /−a /⋅ b n   b 1−a 1⋅ bn  $  b n−1− a n−1⋅ bn  ]⋅  2 [ bn ]⋅u

"

n

1)

F(t

$.$ $.$

4or" 4or"an ano ova va kan kanon oni' i'na na form forma a

!ri formiranju matemati$kog mo"ela u obliku 4or"anove kanoni$ne forme te
n

 s  G

 i

∑ s −s iG1

i

1 Ca proizvoljan parcijalni razlomak oblika s−s va
sn !romenljive veli$ine stanja o"reuju se kao izlazi integratora. Sa"a je mogu8e formirati matemati$ki mo"el

[ ] [ ][ ] [ ]

# 1  s 1 / $ / 1 1 # 2 G / s 2 $ / ⋅  2  1 ⋅u

" # n

$.%

" " $ " / / $ sn

"

"

n

1

[]

1 F G [ k 1 k 2 & k n ]⋅  2

"

n

4or"ano 4or"anova va matri!a matri!a stanja stanja za slu'aj slu'aj sistema sistema sa vi5estruk vi5estrukim im realni realnim m polovima polovima

 s  G

! s ! s G W  s   s −s1 ⋅ s −s 2⋅&⋅ s −sr m⋅&⋅ s− sn 

Svi polovi su realni i prosti osim pola s r  koji  koji je vi5estruki re"a m. @akon =evi"ajsovog razvoja6 prenosna funkcija se mo
0ES    1 . 1 s 1 1  . . .

u(t

 . . . 1

1

1

s1 1 .    2 s

k 1

s2

k 2  . . .

 . . .

k rm

   1 . rm s

2

1 .    r(m1 s

rm

sr 

1

sr 

 . . .    1 . n s

r(m1 ...

 . . .

1

F(t

k r(m1    1 . r1 s

... k r1 r1

sr 

k n n

sn #atemati$ki mo"el

[ ] [ ][ ] [ ] # 1 # 2

" # r1 # r2 "

#

r  m − 1

# rm

" # n

$.&

 s 1 / $ / / / $ / / $ / / s2 $ / / / $ / / $ /

" "$ / / $ G / / $ " "$ / / $ / / $ " "$ / / $

" " "$ s r  1 / $ / s r  1 $ " " "$ / / / $ / / / $ " " "$ / / / $

1 2

1 1

" "$ " " "  / / $ / / r1 / / $ / ⋅  r2  / ⋅u " " "$ " " / s r  1 $ /  r  m −1  1 / s r  $ /  rm " " "$ " " 1 / / $ sn n

[]   1 2 "

F G [ k 1 k 2 & k r1 & k rm & k n ]⋅  r1 "

 rm "

n

ineariza!ija ineariza!ija nelinearni nelinearni sistema i formiranje formiranje linearizovanog linearizovanog mo"ela mo"ela u prostoru prostoru stanja

!ona5anje realni& "inami$ki& sistema se naj$e58e opisuje nelinearnim matemati$kim mo"elom6 jer su relacije izmeu ulazni& veli$ina6 veli$ina stanja i veli$ina izlaza takoe nelinearni. Unutar svakog nelinearnog procesa postoje razli$ite forme nelinearnosti i to "o"atno ote
2.

stati$ka linearizacija

;r5i ;r5i se u vremenskom "omenu6 mo"el se zamenjuje ekvivalentnim linearnim linearni m uz pretpostavku "a je sistem  po"vrgnut poreme8ajima poreme8ajima koji imaju normalnu (0ausovu raspo"elu 3.

 petrubacija (aproksimacija tangente

 @elinearni izrazi se zamenjuju linearnim u okolini ra"ne ta$ke6 koja je $esto i stacionarna. !otrebno je "a relacije u okolini ra"ne ta$ke bu"u bar je"nom "iferencijabilne. @elinearne relacije treba razviti u Eejlorov re"6 pri $emu $e mu se vi5i $lanovi zanemaruju. !ostupak je ta$niji 5to su promene stanja oko ra"ne ta$ke manje. !erturbaciona linearizacija se najlak5e mo
N

N

N

N

  ∆u u u u Ovaj postupak je se mo
i G 16 1 62 6 ..... 6 n j G 16 1 62 6 ..... 6 m

On"a se postupak linearizacije mo
N

N

N

a ij G

) f i )  j

N

G ' 6 u G u'

6 b ik  G

) f i ) u k 

N

G ' 6 u G u'

N

N

  Z i 6 j G162 G162...6 n Z k G1626 G1626 ...6r 

oeficijenti aij i bik  pre"stavljaju  pre"stavljaju elemente matrice stanja A i matrice upravljanja ? pa prema tome va
N

N

N

N

N

N

N

1

stanja #  t  G A⋅  t ?⋅u  t    Z F G 9⋅  t  ;a
# !nali$ !nali$a a !" !" u pros prostor toru u stanj stanja a %.1

ona5 ona5anj anjee stan stanja ja i o"ziv o"ziva a siste sistema ma

#atemati$ki mo"el u prostoru stanja pokazuje "inami$ku zavisnost izmeu ulazni& i izlazni& veli$ina i sa"r
 * A A  s⋅* −A  G  2  3   ... s s s −1

Ako se zna "a va
6 ta"a inverzna 'E ovog izraza ima sle"e8i oblik

A 2⋅t 2 A 3⋅t 3  L { s⋅* −A  } G *  A⋅t    ...Ge A⋅t 2! 3! a"a je"na$inu stanja pomo8u inverzne 'E 'E vratimo iz kompleksnog u vremenski "omen6 "obijamo sle"e8e je"na$ine −1

−1

t

A⋅t

∫

  t  G e ⋅  /  e /

A⋅ t −

⋅?⋅u   " 

t

  t  G , t ⋅  / ∫ ,  t −⋅?⋅u   "  /

Ove je"na$ine su re5enja ne&omogene je"na$ine stanja i pre"stavljaju kretanje sistema u prostoru stanja. #atrica Φ pre"stavlja fun"amentalnu matricu sistema. 4e"na$ina kretanja sistema se sastoji o" "ve "ve komponente ,  t ⋅  /   kretanje sistema po" "ejstvom po$etni& uslova t

∫ ,  t −⋅?⋅u   " 

 kretanje sistema po" "ejstvom spoljne pobu"e

/

Ako u je"na$inu izlaza zamenimo (t sa re5enjem je"na$ine stanja6 "obijamo pona5anje izlaza sistema t

F  t  G 9⋅,  t ⋅  / 9⋅∫ , t −⋅?⋅u   "  D⋅u  t  /

g"e je 9⋅,  t ⋅  /    pona5anje izlaza sistema usle" "ejstva po$etni& uslova t

9⋅∫ ,  t −⋅?⋅u  "  D⋅u  t    pona5anje izlaza sistema usle" "elovanja spoljne pobu"e /

U slu$ajevima ka"a je"na$ina stanja ima &omogenu formu # G A⋅ (nema spoljni& uticaja6 pona5anje stanja sistema je opisamo samo prvom komponentom. Do re5enja po5etnog sistema se mo
− A⋅t

#  t  G A⋅  t ?⋅u  t  % ⋅e

e−A⋅t⋅ #  t − A⋅  t   G "  e−A⋅t⋅  t  G e−A⋅t⋅?⋅u  t  "t *ntegraljenjem ovog izraza o" / "o t "obija se sle"e8a je"na$ina t

⋅  t  G   / ∫ e−A⋅⋅?⋅u   " 

−A⋅t

e

/

t

  t  G e A⋅t⋅  / ∫ e A⋅ t −⋅?⋅u   "  /

%.2

un"amen un"amental talna na matri!a matri!a ("efini ("efini!ij !ija6 a6 osobine6 osobine6 na'ini na'ini o"re o"reivan ivanja) ja)

-un"amentalna matrica je matrica prelaza stanja sistema $ija je "imenzija je"naka re"u sistema6 tj. n  n. " , t  G ,  t ⋅A  t  6 bez obzira "a li je sistem stacionaran ili ne. Ca"ovoljava "t *zraz za fun"amentalnu matricu ,  t  G e A⋅t G L−1 { s⋅* −A −1 } -un"amentalna matrica nosi sve informacije o slobo"i kretanja sistema #  t  G A⋅  t  . *z re5enja  je"na$ine #  t  G , t ⋅  /  se vi"i "a re5enje &omogene je"na$ine stanja u trenutku t pre"stavlja transformaciju stanja sistema. Osobine 1. 2. 3. #. $.

,  /  G e A⋅/ G * ,  t  G e A⋅t G  e−A⋅t −1 G ,− t −1 6 ,  t −1 G ,− t  ,  t n G , n⋅t  ,  t 1 t 2 G e A⋅ t  t  G e A⋅t ⋅e A⋅t G ,  t1 ⋅,  t2  G , t 2 ⋅, t 1  ,  t3 −t 2⋅,  t 2− t1 G ,  t 3− t1 G ,  t 2− t1 ⋅,  t3− t2  1

2

1

2

 @a$ini o"reivanja 1. razvojem u eksponencijalni re"  @eka je sistem "at sa #  t  G A⋅  t  6 uz "ato  / G   /  . 7e5enje se mo
  t  G   / ∫ A⋅   "  /

 @ajprostije re5enje je  /  t  G   /  . U prvoj aproksimaciji se "obija t

 1  t  G   / ∫ A⋅ /   "  G   /  A⋅t⋅  /  G  *  A⋅t ⋅  /  /

Druga aproksimacija t

∫

 2  t  G   / 

/

2

t   "  G  *  A⋅t A ⋅ ⋅  /  A⋅ 1  2 2

 @astavljaju8i istim potupkom "obija se kona$an oblik oblik ∞ ∞ i i i i A ⋅t ⋅   t  G ∑ A t ⋅  /  6 o"nosno ∑ G e A⋅t G , t  i! i G1 i G 1 i!

  

2.

"irektnom primenom 'E

 @a je"na$ine koje $ine matemati$ki mo"el sistema u prostoru stanja se primenjuje 'E 'E. Dobija se sistem  je"na$ina na osnovu koga se formira fun"amentalna fun"amentalna matrica u kompleksnom "omenu. !rimenom !rimenom inverzne 'E 'E na pret&o"no formiranu matricu "obija se fun"amentalna matrica u vremenskom "omenu. !o$etni uslov  / G   /  #  t  G A⋅  t  %  L 21

s⋅ s −  /  G A⋅  s    s  G s⋅* − A −1⋅  /    t  G  L−1 { s⋅* − A −1 }   /  G , t ⋅  /  Dakle6 fun"amentalna matrica je ,  t  G L−1 { s⋅* −A −1 } . #atrica  s⋅* −A −1 naziva se rezolventna matrica.  primenom 4or"anove kanoni$ne forme

3.

Ako je matrica stanja sistema A za"ata u obliku On"a se fun"amentalna matrica mo
[ ] [ ]

[ ] 1

2

i

n−1

n

-n

U slu5aju sistema sa realnim i vi5estrukim karakteristi$nim vre"nostima $ 4/ / / / / $ / 4 k   -1  / / / 1

G $ /

$

$ $ $ 4 k   -i  $ $ $ /

/

$

$

/

/

$ $ $

i

$

/

$ / 4 k   -n  n

[

 - 1 / $ / / -2 $ / !o"matrice su 4 / G $ $ $ $ / / $ -i−1

[

-i 1 / / -i 1 4 k   -i  G $ $ $ / / $ / / $ i

$ $ $ -i

G4

]

/ / $

1

/ -i

]

6 g"e 4/ sa"r
6 g"e λ  pre"stavlja karakteristi$nu vre"nost k ivi5estrukosti 1

7e5enje .  t  se mo
e 4⋅t G

#.

%.3

[

e4 ⋅t / - ⋅ / e4 t /

k 1

$

$

/

/

$

$

/

/

1

/ / $ $ $

/

$ $ $

e

4k  - i ⋅t i

$ $

/ /

/ /

$ $ $

$

/ e

/ $ 4 k   -n ⋅t n

]

nesingularnom transformacijom O"reiv O"reivanje anje fun"amen fun"amentaln talnee matri!e matri!e primenom primenom nesingula nesingularne rne transform transforma!ij a!ijee

Ako matrica stanja A nije "ijagonalna6 a sve njene karakteristi$ne vre"nosti su realne i proste6 mo
#  t  G A⋅  t  ?⋅u  t  F  t  G 9⋅  t  D⋅u  t  Uvo"i se nesingularna transformacija  G !⋅. 6 ! : neka nesingularna kva"ratna matrica6 .  : novi vektor stanja. 9ilj ove transformacije je "ijagonalizacija matrice stanja A. . G !−1⋅ ( .# G !−1⋅# G !−1⋅A⋅  !− 1⋅?⋅u

#. G !−1⋅A⋅!⋅. !−1⋅?⋅u Sa"a je matemati$ki mo"el #. G A. ⋅. ?. ⋅u F G 9. ⋅.  D⋅u 6 g"e su A. G !−1⋅A⋅! 6 ?. G !−1⋅? 6 9. G 9⋅! . 7e5enja se "obijaju za novi vektor stanja . 6 a ne za 6 tj. . G e A⋅t⋅.  /  . O"ziv ostaje isti. Ovakva matrica A. se uvrsti u A. G !−1⋅A⋅!  ( !⋅A. G A⋅! "obi8e -1 G1626 ....6 n o"nosno se n je"na$ina oblika A⋅ pi G -i⋅ p i 6 i G1626 -2 /  A −-i⋅* ⋅ p i G/ 6 i G1626 ..... .....6 .6 n . . AG 7e5avanjem ovog sistema "obija se matrica transformacije . ! G [ p  p1  p 2 $  pn ] 6g"e je pi vektor kolone matrice transformacije !. !. /

[

%.#

n −1

-n

]

ontro ontrolabi labilnos lnostt sistema sistema ("efi ("efini!i ni!ija ja i na'in na'in prover provere) e)

Ca za"ati sistem ka
Observab Observabilno ilnost st sistem sistema a ("efini ("efini!ija !ija i na'in na'in prover provere) e)

Sistem je potpuno observabilan ako je na osnovu merenja izlaza sistema u "ovoljno "ugom vremenskom intervalu mogu8e rekonstruisati proizvoljno po$etno stanje sistema. Da bi u fizi$kom smislu ova osobina va
Osetlji Osetljivost vost siste sistema ma na pro promenu menu vre" vre"nosti nosti parameta parametara ra

!roces6 pre"stavljen funkcijom prenosa 0(s6 bez obzira na svoju priro"u6 je po"lo
 s s   [  s   S Ako je spregnuti prenos sistema  s  s  G 6 osetljivost se "efini5e kao S G s 6 o"nosno U  s  0  s 0 s

ako se sa kona$no mali& pree na beskona$no male promene parametara ) s s  S  ) ln  s s  SG s G ) 0 s ) ln 0  s  0  s  @a osnovu ove je"na$ine se vi"i "a "a je osetljivost sistema bez povratne sprege je"nak 1. Ako je spregnut ) s 0 0 s 1 ⋅ G  prenos sistema  s  s  G 6 ta"a je osetljivost S0 G . Osetljivost 1 0⋅= s  ) 0  s 1 0  s ⋅=  s  sistema sa povratnom spregom na promene elementa povratne sprege =(s je )  s = −0⋅= ⋅ G S G . ;i"i ;i"i se "a za velike vre"nosti 0M= osetljivost sistema se pribli
s

&.2

7egula 7egula!i !ija ja tran tranzi zije jentn ntnog og o"zi o"ziva va SAU SAU

Eranzijentni o"ziv je o"ziv sistema u funkciji vremena. !o5to je namena SAU "a obezbe"e za&tevani o"ziv6 o"ziv6 tranzijentalni o"ziv se po"e5ava "ok go" izlaz sistema ne postigne o"govaraju8u vre"nost. Ako sistem bez povratne sprege ne "aje za"ovoljavaju8i o"ziv6 mora se promenuti ceo proces 0(s ili neka njegova komponenta "ok ko" se sistema sa povratnom spregom
Signal Signal pore poreme8a me8aja ja u sistem sistemima ima auto automats matskog kog upravl upravljanj janja a

Signal poreme8aja je ne
[

Ako se uve"u oznake

 t 2 G

][ ]

1 s G

 a⋅0  s 

1  a⋅ t⋅0  s 

i

0 s  [  s  G [  1  s   2  s  ]⋅  U  s  6 pret&o"ni izraz se mo
[ ].

oeficijenti osetljivosti su S   s G S   s G S   s G 1

t

2

t

2

a

− a⋅ t⋅0 s  1  s  i S  G . Osetljivost 1  a⋅ t⋅0  s  1   a⋅ t⋅0  s  2

a

funkcija prenosa  1(s i 2(s na promenu poja$anja elemenata povratne sprege je je"naka i velika. S "ruge strane6 osetljivost funkcije prenosa  1(s na promenu poja$anja  a je veoma mala. Ovako slaba osetljivost je posle"ica "ejstva povratne sprege. !ri konfigurisanju SAU o" velikog zna$aja je izbor elemenata povratne sprege i o" nji&ovog kvaliteta zavisi kvalitet upravljanja6 i to u znatno ve8oj meri nego o" promene karakteristika samog procesa ili regulatora sa aktuatorom. 2%

&.#

/re5ka /re5ka ra"a u sta!ionarnom sta!ionarnom stanju sistema sa otvorenom otvorenom i zatvorenom zatvorenom povratnom povratnom spregom

!osmatra se o"ziv sistema tokom vremena kao na slici. riva se vremenski mo
1

 prelaz  prelaznni re
stacionarno stanje

;re"nost ;re"nost nekog signala (t u stacionarnom stanju   t  ili izra$unava se kao   ∞ Glim t ∞   ∞  Glim s⋅ s  ("ruga grani$na teorema 'E. s /

0re5ka ra"a sistema u stacionarnom stanju je gre5ka ra"a nakon 5to u sistemu i5$eznu svi prelazni  procesi. 1  @eka je sistem pobuen je"ini$nom o"sko$nom o"sko$nom funkcijom U  s  G . s Ca sistem bez povratne sprege B /  s  G U  s − [  s  G [ 1−0  s  ]⋅U  s  1 e /  ∞ Glim e /  t  Glim s⋅B/  s  Glim s⋅[1 −0  s  ]⋅  G 1 −0  /  s t ∞ s/ s / Da ne bi bilo gre5ke u stacionarnom stanju treba "a je 0(/G1. Ca sistem sa povratnom spregom B c  s  G 1 ⋅U  s  10  s 

1 ⋅1 1 e c  ∞  Glim ec  t  Glim s⋅Bc  s  Glim s⋅ G 1  0  s  s 10  /  t ∞ s / s / Da ne bi bilo gre5ke u stacionarnom stanju treba "a va
9ena 9e na povr povrat atne ne spr sprege ege

!ovratna sprega "onosi o"reene pre"nosti ali i cenu  – raste broj komponenti i slo
"olazi "o gubitka poja$anja. U sistemu bez povratne sprege je 0(s i on se smanjuje na

0  s 10  s 

zatvaranjem je"ini$ne negativne povratne sprege. Otvorenom povratnom spregom se 5te"i ali se tom u5te"om gubi kvalitet upravljanja. Sistem koji je bez  povratne sprege bio stabilan mo
&.%

reform reformanse anse SAU : karakter karakteristi istike ke siste sistema ma "rugog "rugog re"a re"a

 @a po$etku analize i sinteze SAU se "efini5u performanse i nji&ove mere koje pre"stavljaju pre"stavljaju matemati$ki opis fizi$ki& karakteristika o"ziva sistema. Catim se po"e5avaju parametri sistema u cijlu obezbeivanja kvaliteta o"ziva. Osobine "inamike SAU se opisuju terminima vezanim za prelazni re
 2n 2

2

s⋅s  2⋅⋅ n⋅s  n 

6 o"nosno u

vremenskom "omenu F  t  G 1− 1 2⋅e−⋅ ⋅t⋅sin  n⋅ 1 −2⋅t   1− F t  G 1 . ;re"nost ;re"nost signala F(t u stacionarnom stanju je Fss G F  ∞ Glim t ∞ Sa"a se "efini5u sle"e8e veli$ine Ek  :  : vreme ka5njenja : vreme "a se F(t promeni o" / "o /q F ss Eu1 : vreme uspona (/1//q F ss : po5to je za veliko ] jako "ugo uzima se E u (1/q/q F ss E p : vreme preskoka : trenutak ka"a F(t "ostigne maksimalnu vre"nost F ma q  preskok : "efini5e se u procentima F −F 1 q G ma ss⋅1//q F ss Es : vreme smirenja : vreme postrebno "a amplitu"a F(t ue u pojas 5irine 2M oko vre"nosti Fss6 o"nosno u pojas F ssM(1. Ca  se naj$e58e usvaja 2q ili q vre"nosti F ss n

2)

^ nMt

&.& ;eza izmeu loka!ije loka!ije polova polova funk!ije funk!ije prenosa prenosa SAU u kompleksnoj kompleksnoj sravni sravni i o"ziva o"ziva u prelaznom re
 @a osnovu polo
2  s −s  i

i G1

*mpulsni o"ziv sistema je [(sG s(s. @eka je p polova realno i prosto i neka je r pari polova konjugovano kompleksno (pK2MrGn. 7ealni polovi su s iGi6 a kompleksni s k G Gk jM^ jM^k . Sa"a je  p

[ s G

?k ⋅s 9k 

r 

Ai

∑ s ∑ s 2⋅ ⋅s     iG1

i

k G1

 p

2

k 

2 k 

2 k 

6 o"nosno ptimenom inverzne 'E u vremenskom "omenu

r 

 zavisi o" ? k 6 9k 6 k  i i ^k . F  t  G ∑ Ai⋅e− ⋅t∑ D k ⋅e− ⋅t⋅sin  k ⋅t 3 k  6 g"e Dk  zavisi i

iG1

k 

kG 1

Sistem 8e u8i u stacionarno stanje samo ako je   i/ i  k / i ta"a 8e biti Fss G F  ∞ Glim F  t  G / 6 o"nosno sistem 8e na kona$nu pobu"u "ati kona$an o"ziv ako i samo ako su t ∞

realni "elovi svi& polova strogo manji o" nule. Ako su polovi u levoj  poluravni o"ziv i5$ezava tokom vremena6 "ok za  polove u "esnoj raste. to su polovi u levoj poluravni  bli
/re5ka /re5ka ra"a ra"a SAU sa povratno povratnom m spregom6 spregom6 u sta!ion sta!ionarno arnom m stanju stanju : o"sko'na o"sko'na pobu"a pobu"a

!osmatra se sistem sa povratnom spregom $iji je izlaz opisan je"na$inom 0  s [  s  G B a  s ⋅0  s  G 0  s ⋅[ U  s −=  s ⋅[  s  ] ( [  s  G ⋅U  s  1 0⋅=  s  1 ⋅U  s   je u stvari mera gre5ke B(sGU(s[(s6 i ako je =(sG16 ta"a !okreta$i signal B a s  G 1 0⋅= s  2+

 je Ba(sGB(s. 0re5ka sistema u stacionarnom stanju je e ss G e  ∞  Glim e  t  Glim s⋅B  s  Glim t ∞

!olovi pk  i i nule zi funkcije  prenosa su poznati6 a r je broj  polova u koor"inatnom koor"inatnom po$etku.. Cbog =(sG1 je 0(sG(s.

m

 s G

!m  s  W n s

2  s z  i

i G1 t

G r 

2  s  p 

s⋅

k 

s /

s /

s⋅U  s  1 0  s 

.

g"e je rKtGn. r se naziva re" astatizma i fizi$ki pre"stavlja  broj integratora u "irektnoj grani sistema.

kG1

A O"sko$na pobu"a u  t  G A⋅&  t  ( U  s  G s A s⋅ s A e ss Glim G 1 lim   s  s  / 1   s  s /

m

A Defini5e se konstanta polo
  p p Glim s /

2  s z i

iG1 t r 

s ⋅2  s p k  kG1

A  r G / (   p Gconst ∞ ( e ss G 1   p 6p  r ≥1 (   p G ∞ ( ess G / Sistem pobuen o"sko$nim signalom 8e ra"iti bez gre5ke u stacionarnom stanju ako pose"uje minimalno astatizam prvog re"a. &.+

/re5ka /re5ka ra"a ra"a SAU sa povratno povratnom m spregom6 spregom6 u sta!ion sta!ionarno arnom m stanju stanju : nagibna nagibna pobu"a pobu"a

Uvo" kao u pitanju +.,. A  @agibni signal u  t  G A⋅t⋅&  t  G ( U  s  G 2 s A s⋅ 2 s A A e ss Glim Glim G lim s⋅  s  s  / 1  s  s  / s  s⋅  s  s /

A lim s⋅  s  ( e ss G Defini5e se brzinska konstanta  v G lim  v s /

m

 v Glim s /

 s z i  2 i G1 t

s ⋅2  s p k  r −1

kG 1

 r G / (  v G / ( e ss G ∞

A constt∞ ( ess G  r G 1 (  v G cons  

 r ≥ 2 (  v G ∞ ( e ss G /

v

Sistem pobuen nagibnim signalom 8e ra"iti bez gre5ke u stacionarnom stanju ako pose"uje minimalno astatizam "rugog re"a. &.1,

/re5ka /re5ka ra"a ra"a SAU sa povratnom povratnom spregom spregom66 u sta!ionarn sta!ionarnom om stanju stanju : paraboli'na paraboli'na pobu"a pobu"a

Uvo" kao u pitanju +.,.  A 2 !araboli$na pobu"a u  t  G A⋅t ⋅&  t  ( U  s  G 3 s

2,

A s⋅ 3 s Glim A A e ss Glim G 2 2 2 s  / 1 s  s  / s s ⋅ s  lim s ⋅ s  s /

m

Defini5e se konstanta ubrzanja

A  a Glim s ⋅  s  ( e ss G  a s / 2

2 s  z  i

iG1

 a Glim s /

s

t

⋅2  s  pk 

r −2

kG1

 r G / (  a G / ( ess G ∞  r G 1 (  a G / ( e ss G ∞

constt ∞ ( ess G A  r G 2 (  a G cons  

a

Sistem pobuen paraboli$nim signalom 8e imati konstantnu gre5ku u stacionarnom stanju ako pose"uje minimalno astatizam "rugog re"a. &.1 &.11

-n"e -n"eks ksii per perfo form rman anse se

*n"eks performanse je kvantitativna mera performanse sistema o"abrana tako "a 5to bolje istakne o"reenu te&ni$ku karakteristiku. Optimalni SAU je sistem ko" koga su parametri po"e5eni tako "a in"eks performanse "osti
*ntegral gre5ke *B G ∫ e  t  "t  "aje lo5e rezultate za oscilatorne procese pa se prakti$no ne koristi /

E

*ntegral kva"rata gre5ke *SBG∫ e 2  t  "t  E je naj$e58e Es6 lako se meri (postoje kola za kva"ratiranje /

signala6 a pogo"an je i za matemati$ku6 ra$unarsku obra"u E

*ntegral apsolutne gre5ke *ABG ∫*s  t *"t  uglavnom se koristi pri ra$unarskim simulacijama /

E

*ntegral proizvo"a apsolutne gre5ke i vremena *EABG∫ t⋅*e  t *"t  "efini5e se "a bi smanjio uticaj /

velike po$etne vretnosti gre5ke6 a istakao uticaj gre5ke koji sistem ima kasnije u o"zivu E

*ntegral proizvo"a kva"rata gre5ke i vremena *ESBG ∫ t⋅e2  t  "t  sli$an je kao *EAB *EAB i lako se uo$ava /

uticaj parametara Ovo nisu je"ini in"eksi performansi koji se primenjuju. Op5ti oblik in"eksa performansi je E

* G ∫ f  e  t  6 u  t  6 F  t  6 t  "t /

g"e je f funkcija koja zavisi o" gre5ke e(t6 ulaza u(t6 izlaza F(t i vremena t. ' !nali$a !nali$a sta(iln sta(ilnosti osti !" alge(ar alge(arski ski kriteri kriterijumi jumi *.1

Defin Definisa isati ti osob osobin inu u stabi stabilno lnost stii SAU

 @ajva
o"re"iti i stepen stabilnosti6 i to je pojam relativne stabilnosti. Stabilniji sistemi su te
*.2

Objasni Objasniti ti vezu vezu izmeu izmeu loka!ije loka!ije polova polova u komple kompleksno ksnojj sravni sravni i stabilno stabilnosti sti SAU

!osmatra se elementarna upravlja$ka struktura U(s

(s

[(s

 @eka je   s  G  ⋅  s  s G



!m  s  Wn  s 

6 nXm. -ukncija spregnutog prenosa je

 ⋅! m  s   ⋅!  s   s G G n m 1   s   ⋅! m  s W n  s  2  s − s i i G1

*mpulsni o"ziv sistema je [(sG s(s. @eka je p polova realno i prosto i neka je r pari polova konjugovano kompleksno (pK2MrGn. 7ealni polovi su s iGi6 a kompleksni s k G Gk jM^ jM^k . Sa"a je  p r  Ai ?k ⋅s 9 k  [ s G∑ ∑ 2 6 o"nosno primenom inverzne 'E u vremenskom "omenu   k 2 2k  i G 1 s i k G1 s 2⋅ k ⋅s   p

F  t  G ∑ Ai⋅e

− i⋅t

iG1

r 

∑ D k ⋅e− ⋅t⋅sin  k ⋅t 3 k  6 g"e Dk  zavisi  zavisi o" ? k 6 9k 6 k  i i ^k . k 

kG 1

Sistem 8e u8i u stacionarno stanje samo ako je   i/ i  k / i ta"a 8e biti Fss G F  ∞ Glim F  t  G / 6 o"nosno sistem 8e na kona$nu pobu"u "ati kona$an o"ziv ako i samo ako su t ∞

realni "elovi svi& polova strogo manji o" nule. Daljom analizom se "olazi "o sle"e8i& zaklju$aka F  t  G A . O"ziv sistema je konstantan u  – ako 4 + / 5   i / 6 i ≠  5  k /  (  F ss Glim t ∞ stacionarnom stanju6 je"an pol se nalazi u koor"inatnom po$etku a svi ostali u levoj poluravni kompleksne sravni6 i sistem se nalazi na aperio"i$noj grani$noj stabilnosti F  t  G Dv⋅sin  v⋅t 3v  . O"ziv sistema u  – ako 4  v G / 5   i  / 5   k / 6 k ≠ v  ( F ss Glim t ∞ stacionarnom stanju je oscilatoran sa konstantnom amplitu"om6 postoji par kompleksni& polova sistema na imaginarnoj osi a ostali u levoj poluravni kompleksne sravni6 i sistem se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti. G ∞ . O"ziv sistema o"lazi u beskona$nost6 postoji bar je"an pol ili  – ako 4 i / 6 4 k /  ( lim t ∞  par konjugovano kompleksni& kompleksni& polova u "esnoj "esnoj poluravni kompleksne sravni i sistem sistem je nestabilan. *.3

7out 7outov ov kri kriter terij ijum um stabi stabiln lnost ostii SAU SAU

!osmatra se karakteristi$na je"na$ina sistema f  s  G a n⋅s n a n−1⋅s n−1... a 1⋅s a / G / i na osnovu koeficijenata karakteristi$nog polinoma se formira 7out&ova 5ema koeficijenata sn a n a n−2 a n −% $ !rve "ve vrste 7out&ove 5eme se sastoje o" koeficijenata s n−1 a n−1 a n−3 a n − $ karakteristi$nog polinoma6 "ok se elementi po$ev5i o" tre8e vrste ra$unaju na sle"e8i na$in n−2 s  b1  b2  b3 $ a n −1⋅a n −%−a n⋅a n −  a n −1⋅a n−2− a n⋅a n−3 n−3  b G  b G ... 2 1 s c1 c2 c3 $ a n− 1 a n− 1

3/

"

"

s/

&1

a"a je 5ema formirana gle"a se prvo kolona : 7out&ova kolona. ;a
=ur>i =ur>itz tzov ov kri kriter terij ijum um stabi stabilno lnosti sti SAU SAU

!osmatra se karakteristi$na je"na$ina sistema f  s  G a n⋅s na n−1⋅s n−1... a 1⋅s a / G / i na osnovu koeficijenata karakteristi$nog polinoma se formira =ur>itzova "eterminanta koeficijenata a n−1 a n−3 a n−( $ / / Sa"a vaitzove "eterminante bu"u ve8i o" / a n−1 a n−3 $ / / nule. Sistem 8e biti stabilan ako su svi "ijagonalni minori & G / a n a n−2 $ / / =ur>itzove "eterminante ve8i on nule. " " " " " " a a n −3 / 6 ...  n G  & G  n−1⋅a /  G a n−1/ 6 2 G n −1 1 / / / $ a1 / a n a n −2 / / / $ a2 a/

*

*

*

*

Sistem je nestabilan ako su neki "ijagonalni minori pozitivni a neki negativni.Sistem 8e biti grani$no nestabilan ako je neki o" "ijagonalni& minora je"nak nuli : ako je posle"nji on"a ima pol u koor"inatnom  po$etku6 u suprotnom ima par par konjugovano kompleksni& kompleksni& polova na imaginarnoj osi. *.$

Stabilno Stabilnost st SAU opisa opisani ni matema matemati'k ti'kim im mo"elo mo"elom m u prostoru prostoru stanj stanja a

Sistem opisan matemati$kim mo"elom u prostoru stanja # G A⋅ ?⋅u F G 9⋅ D⋅u -unkcija prenosa sistema je [ s 9⋅a"j[ s⋅* − A ]⋅? "et [ s⋅* −A ]⋅D s s G G 9⋅[ s⋅* −A ]−1⋅? D G U s "et [ s⋅* − A ] *z ovoga se vi"i "a je karakteristi$ni polinom f  s  G"et [ s⋅* − A ] . Ca analizu stabilnosti se moitza. !roce"ura za analizu stabilnosti  – formira se karakteristi$ni polinom kao "et [ s⋅* − A ]  – na osnovu koeficijenata karakteristi$nog polinoma se formira 7out&ova 5ema koeficijenata ili =ur>itzova "eterminanta  –  primene se o"govaraju8i kriterijumi i proceni stabilnost ) *eome *eometr trij ijsk sko o mesto mesto kor korena ena +.1 +.1

Defi De fini ni!i !ije je /0 /0

0# sa$injavaju krive u kompleksnoj sravni po kojima se kre8u polovi funkcije spregnutog  prenosa6 o"nosno koreni koreni karakteristi$ne je"na$ine6 ka"a se faktor poka$anja  funkcije povratnog  prenosa menja o" nule "o beskona$nosti. beskona$nosti. Smer grana je o"reen smerom porasta poja$anja. poja$anja. 2. 0# se sastoji o" ta$aka s i kompleksne sravni u kojima je mo"uo funkcije povratnog prenosa  je"nak je"inici6 a argument funkcije povratnog prenosa prenosa je"nak 1,/. 1.

+.2

onstru onstruk!ij k!ija a /0 : broj broj grana6 grana6 po'etak po'etak i zavr5e zavr5etak tak grana6 grana6 simetri simetrija ja /0

?roj grana 0# je je"nak broju polova sistema6 o"nosno broju korena karakteristi$ne je"na$ine jer se po svakoj grani kre8e po je"an pol. 31

!o$etak grana 0# je u polovima funkcije povratnog prenosa za vre"nost poja$anja G/. Cavr5etak grana 0# je za \V6 m grana zavr5ava u kona$nim nulama funkcije povratnog prenosa6 a ostali& nm grana o"laze u beskona$nost. 0rane 0# su simetri$ne u o"nosu na realnu osu. !o5to je karakteristi$na je"na$ina polinom sa realnim koeficijentima njegovi kompleksni koreni6 ako i& ima6 se pojavljuju u konjugovanim parovima. +.3 onstruk!ija onstruk!ija /0 : na'in o"reivanja o"reivanja asimptota asimptota grana6 grana6 intervali intervali preklapanja preklapanja grana grana /0 i 7eose

Asimptote su poluprave kojima nm grana 0# te
ta$ke

m

∑  p j−∑ zi

 a G  jG 1

iG1

6 koja se jo5 naziva i te
n− m

realne ose zaklapa ugao 3 k G

 2⋅k 1 ⋅ 6 kG/616...6nm1. n− m

*ntervali preklapanja grana 0# i realne ose se nalaze levo o" neparni& a "esno o" parni& $isto realni& nula iJili polova funkcije spregnutog prenosa. +.# onstruk!ija onstruk!ija /0 : ugao po" kojim kojim grane /0 /0 napu5taju napu5taju je"nostruke je"nostruke i vi5estruke vi5estruke polove polove i "olaze u je"nostruke i vi5estruke kona'ne nule funk!ije povratnog prenosa sistema n

Ugao Lk  po"  po" kojim grana 0# napu5ta pol p k  je  je "at izrazom 7 k G −1,/ 8 −

∑

m

 j G 16 j≠k 

7 j∑  i 6 g"e je L j iG1

ugao koji zaklapa vektor ? j povu$en iz jtog pola p j u kti pol p k  sa  sa pozitivnim smerom realne ose6 a  i je ugao koji zaklapa vektor A i povu$en iz ite nule z i u kti pol p k  sa  sa pozitivnim smerom realne ose. m

Ugao k  po"  po" kojim grana 0# "olazi u nulu z k  je  je "at izrazom k  G1,/ 8 −

∑

iG16i ≠ k 

n

i ∑ 7 j 6 g"e je L j  j G 1

ugao koji zaklapa vektor ? j povu$en iz jtog pola p j u ktu nulu z k  sa  sa pozitivnim smerom realne ose6 a  i je ugao koji zaklapa vektor A i povu$en iz ite nule z i u ktu nulu z k  sa  sa pozitivnim smerom realne ose. Ako se na realnoj osi nalazi pol p j ili nula z i vi5estrukosti r ta"a se ugao L k  izlaska  izlaska grana 0# iz pola p j iJili ulaska u nulu z i o"reuje kao  2⋅k 1⋅ 7 k G 6 k G/ G/6616.. 16...6r −1 ako se "esno o" vi5estrukog pola p j ili nule z i nalazi paran broj r  realni& nula i polova funkcije povratnog prenosa 2⋅k ⋅ 7 k G 6 k G/ G/6616.. 16...6r − 1 ako se "esno o" vi5estrukog pola p j ili nule z i nalazi neparan broj realni& r  nula i polova funkcije povratnog prenosa +.$

onstru onstruk!ij k!ija a /0 : ta'ke ta'ke spaja spajanja nja i raz"vaj raz"vajanja anja grana grana /0 /0 i 7eose 7eose

Ea$ka spajanja iJili raz"vajanja je ta$ka u kojoj grane 0# napu5taju iJili pristi
vi5eg re"a se re5avanje je"na$ina svo"i na re5avanje algebarske je"na$ine mKn1 re"a6 5to je neprakti$no. hesto se ta$ka ra$vanja o"reuje pribli
onstru onstruk!ij k!ija a /0 /0 : pres presek ek grana grana /0 /0 i -mose -mose sravn sravnii

Ea$ke preseka grana 0# i imaginarne ose mogu se re5iti na sle"e8e na$ine 1. re5avanjem karakteristi$ne je"na$ine  ⋅!m  s W n  s  G / 7eQsRG/6 o"nosno sGjM^6 a poja$anje je  gr   i ^gr  se  se "obijaju re5avanjem sistema gr .  gr  gr  i 7eQ ⋅!m  j⋅ Wn  j⋅ R G / *m Q ⋅ !m  j⋅Wn  j⋅ R G / 2.

 primenom 7out&ovog kriterijuma stabilnosti stabilnosti n n−1 f  s  G a n⋅s a n−1⋅s ... a 1⋅s a / G / 6 g"e neki koeficijenti a i zavise o" . -ormira se 7out&ova 5ema i u prvoj koloni se uo$e elementi koji zavise o" . O"re"i se  za koje je sistem grani$no stabilan (element 7out&ove kolone je"nak nuli ali se re5enje G/ o"bacuje jer je to poja$anje za koje grane 0# izviru iz polova. Dobijeno  gr  se  se uvrsti u 7out& ovu 5emu i "obija se vrsta sastavljena isklju$ivo o" nula. -ormira se pomo8ni polinom 7(s o" vrste pre vrste sastavljene o" nula. 7e5avanjem je"na$ine 7(sG/ se o"reuje sGjM^ gr  ili  ili 2 G  primenom je"na$ine  gr 

a/ 7 n −1

6 g"e je a / slobo"ni $lan karakteristi$nog polinoma f(s6 a 7 n1 n1

n1 $lan 7out&ove kolone (n re" sistema. +.& onstruk!ija onstruk!ija /0 : o"reivanje o"reivanje poja'anja poja'anja funk!ije funk!ije povratnog prenosa u proizvoljnoj proizvoljnoj ta'ki /0

!oja$anje   funkcije povratnog prenosa u nekoj nekoj proizvoljnoj ta$ki s  0# se o"reuje po formuli n  g"e je ? j "u
m

m

2A i G1

 j

2A G1 i

i G1

n

6 pa je   G 2 ? j  jG 1

+.* rimena meto"a meto"a /0 na o"reivanje o"reivanje uti!aja uti!aja promene promene poje"ini poje"ini parametara parametara na loka!iju loka!iju polova sistema

Sistem je opisan karakteristi$nim polinomom f  s  G a n⋅s na n−1⋅s n−1... a 1⋅s a / G / . @eka je je"an o" koeficijenata ai promenljiv i neka je a iGconstK. Sa"a je karakteristi$na je"na$ina f  s  G a n⋅s n a n−1⋅s n−1... const ⋅s i... a1⋅s a / G / i na osnovu nje se formira pomo8na si  8 funkcija povratnog prenosa   s  G ⋅ n . Ako vi5e sabiraka a n⋅s a n−1⋅s n−1... const⋅s i... a1⋅s a / karakteristi$nog polinoma sa"r
33

1+ Frekventne Frekventne metode metode anali$e anali$e sistema sistema automat automatskog skog upravlj upravljanja anja 1,.1

Definisa Definisati ti amplit amplitu"no u"no fazn fazno o frekven frekventnu tnu karakt karakteris eristiku tiku

!ore" o"sko$ne pobu"e pri ispitivanju SAU $esto se koristi i prostoperio"i$na (sinusna pobu"a. U okviru frekventni& meto"a se analizira o"ziv sistema u stacionarnom stanju na prostoperio"i$nu pobu"u. !obu"ni sinusni signal u  t  G Au⋅sin  ⋅t 3 u  G A u⋅e j⋅⋅t3  O"ziv sistema [(s [  s  G 0  s ⋅U  s  u

t

!rimenom inverzne 'E i konvolucije "obija se F  t  G ∫ Au⋅e j⋅⋅ t−3 ⋅g   "  u

/

−  a granice 6 po"integralna funkcija se mo
!o5to je za t

&  t −+/ ∞

u

/

/  granice integrala Ca svaku funkciju (signal va
i

1,.2 1,.2

Defin Definisa isati ti ?o"eo ?o"eove ve "ijagr "ijagram amee

 @a je"nom "ijagramu se crta zavisnost *0  j⋅* o" promenljive frekvencije ^6 a na "rugom zavisnost ArgQ0  j⋅ R o" ^. @a taj na$in se "obijaju "va "ijagrama sa koji& se "irektno o$itava vre"nost mo"ula i faze funkcije prenosa sistema. 7a"i pro5irenja intervala frekvencija koje se razmatraju uvo"i se logaritamska po"ela na apscisi (log 1/^ umesto ^ i na taj na$in je mogu8e prikazati opseg o" vrlo niski& "o vrlo visoki& u$estanosti bez gubitka preciznosti crte
koja se $e58e kotisti6 ali je manje precizna i ona se prikazuje zaje"no sa realnom logaritamskom na amplitu"nom "ijagramu. @agib kosog "ela asimptotske karakteristike se ra$una na sle"e8i na$in *0  j⋅ 1*"b−*0  j⋅ 2 *"b  6 g"e je ^ 2`^1. Ako je ^ 2G1/M^1 ta"a one $ine "eka"u. U literaturi se susre8e i  pojam oktave (^2G2M^1.

Osnovna pre"nost logaritamski& "ijagrama je to multiplikativni elementi pretvaraju u a"itivne. Eako se ?o"eovi "ijagrami je"nostavno mogu formirati "o"avanjem je"nog po je"nog elementa na crte<. 1,.3

?o"eovi "ijagrami "ijagrami elementa sa konstatnim konstatnim poja'anjem poja'anjem66 nule i pola u koor"inatnom koor"inatnom po'etku

onstantno poja$anje (  b b *zraz za amplitu"u 2/⋅log*  b* Gconst "b *zraz za fazu   3 G / 8 <    b /   3 G−1,/ 8 <    b/ arakteristi$ni "ijagrami 0d"b

x 2/Mlog1/ ( / log1/ ^ 1

/.1

1/

*zraz za amplitu"u

1

 j⋅ n

* j⋅ * n

  1

!ol u koor"inatnom po$etku

G 2/⋅log

"b

1,/

log1/ ^

`/ 1

1/

_/

 i"ealni integri$u8i element6 integrator ili astatizam 1

* j⋅ *G− n⋅2/⋅log  n

. Amplitu"na karakteristika ovog

elementa je pre"stavljena pravom linijom $iji je nagib :nM2/ "bJ"ec. 1  G n arctg − ⋅    G− n⋅/ 8 . -aznu karakteristiku ovog elementa *zraz za fazu   3 GArg n /  j⋅  pre"stavlja prava linija $ija je vre"nost celobrojni umno
{ }

0d"b

x /

%/ 2/ /.1

1

log1/ ^ 1/ nG1

/ 1,/

log1/ ^ 1

1/

nG1 nG2

nG2 nG2 3

 @ula u koor"inatnom po$etku  j⋅ n   i"ealni "iferencijator ili "iferenciraju8i element *zraz za amplitu"u * j⋅ n*"b G 2/⋅log* j⋅ n* G n⋅2/⋅log   . Amplitu"na Amplitu"na karakteristika ovog elementa  je pre"stavljena pravom linijom $iji je nagib nM2/ "bJ"ec.  n *zraz za fazu   3 GArg { j⋅  } G n⋅arctg    G n⋅/ 8 . -aznu karakteristiku ovog elementa /  pre"stavlja prava linija $ija je vre"nost celobrojni umno
x 1,/

nG2 nG1 nG1 1

/.1

nG2 nG1

/

1/ log ^ 1/

2/

/

1

%/

1,.#

1/

log1/ ^

?o"eovi ?o"eovi "ijagram "ijagramii aperio"i' aperio"i'nog nog element elementa a prvog re"a re"a (nula (nula i pol na realnoj realnoj osi)





1  aperio"i$ni element prvog re"a 1 j⋅⋅E 1 1 2 *zraz za amplitu"u 1 j⋅⋅E G 2/⋅log 1 j⋅⋅E G −2/⋅log  1⋅E  "b  – umesto realne amplitu"ne karakteristike ovog elementa $esto se crta asimptotska amplitu"na karakteristika koja se formira na sle"e8i na$in 1 1 1  0 (  : ( ⋅E : 1  ( 1 ⋅E 2= 1 ( =−2/⋅log  1  G/"b E E 1 j⋅⋅E "b 1 1 1  ≥ ( ; ( ⋅E ; 1 ( 1⋅E 2=⋅E 2 ( =− 2/⋅log ⋅ ⋅E  E E 1  j⋅⋅E "b 0rani$na frekvencija ^G1JE se zove prelomna (ugaona frekvencija.Amplitu"na karakteristika se sastoji o" "ve prave linije prva je &orizontalna i o"govara frekvencijama /_^1JE6 a "ruga je po" nagibom 2/"bJ"ec i o"govara frekvencijama 1JE^_V. !ol na realnoj osi

*

*

*

*

*

*

*

*zraz za fazu   3 GArg

{

*

}

1 G − arctg  ⋅E  1 j⋅⋅E

0d"b

x 2/Mlog1/ ( 3"b

/ log1/ ^

/.1

1

1/

log1/ ^ 1

1/

/

 @ula na realnoj osi  1 j⋅⋅E  *zraz za amplitu"u *1 j⋅⋅E*"b G 2/⋅log*1 j⋅⋅E*G 2/⋅log  1⋅E 2  – asimptotska amplitu"na karakteristika se formira na sle"e8i na$in 1 1  0 (  : ( ⋅E : 1  ( 1 ⋅E 2= 1 ( *1  j⋅⋅E*"b= 2/⋅log 1  G/"b E E 3)

1 1 (  ; ( ⋅E ; 1  ( 1 ⋅E 2=⋅E 2 ( *1  j⋅⋅E*"b= 2/⋅log  ⋅E  E E 0rani$na frekvencija ^G1JE se zove prelomna (ugaona frekvencija. Amplitu"na karakteristika se sastoji o" "ve prave linije prva je &orizontalna i o"govara frekvencijama /_^1JE6 a "ruga je po" nagibom 2/"bJ"ec i o"govara frekvencijama 1JE^_V. *zraz za fazu   3 GArg {1 j⋅⋅E } Garctg  ⋅E   ≥

0d"b

x 2/Mlog1/ (

log1/ ^

/ log1/ ^

3"b 1

/.1

1,.$

/.2

 1/

1

/

1/

?o"eovi "ijagrami "ijagrami os!ilatornog os!ilatornog elementa elementa "rugog "rugog re"a re"a (kompleksne (kompleksne nule i polovi sistema) sistema)



onjugovano kompleksni par polova

1



2⋅

 1 j⋅ ⋅  j⋅ n n

0  j⋅ G

1

 2

 oscilatorni element "rugog re"a

2

6 /  1

  2⋅⋅ *zraz za amplitu"u je *0  j⋅ * G− 2/⋅log 1−             -unkcija prenosa je "ata izrazom

2⋅

 1 j⋅ ⋅  j⋅ n n 2 2

"b

2

n

n

Asimptotski "ijagram mo"ula se formira na sle"e8i na8in 2 2   ⋅⋅ 2  n  (  : : n  ( : 15 : 1  ( *0  j⋅*"b=− 2/⋅log  1  G/"b  

    ⋅⋅     (  ; ;  (   ; 5 ;  ( *  ⋅* =−    n

n

2

n

1

n

2

2

n

1

n

   2⋅⋅

*zraz za fazu   ArgQ0  j⋅ R G −arctg

0  j

"b

2/⋅log

 

%



   G− %/⋅log n n

n

  1− n

2

3+

1,.%

O'itavan O'itavanje je konsta konstanti nti gre5 gre5ke ke sa ?o"eovi ?o"eovi "ijagram "ijagrama a

onstante greske su   p Glim  s   v Glim s⋅ s   a Glim s2⋅  s  s /

s /

s /

ompleksna promenljiva s se zameni frekvencijom ^ i posmatraju se ?o"eovi "ijagrami za jako niske frekvencije6 o"nosno prvi segment "ijagrama. !  j⋅   p G lim   j⋅  G lim  ⋅ G   W  j⋅  /  /

 ako je re" astatizma /

!  j⋅  v Glim  j⋅⋅  j⋅ Glim  ⋅ G    ako je re" astatizma 1  j⋅⋅W  j⋅   /  / !  j⋅  a Glim  j⋅ 2⋅  j⋅ Glim  ⋅ G    ako je re" astatizma 2  / /  j⋅ 2⋅W  j⋅  @acrta se "ijagram6 o"re"i re" astatizma i na osnovu prvog segmenta segmenta "ijagrama se o$ita vre"nost konstante gre5ke na sle"e8i na$in onstanta polo
0d"b 2/ "bJ"ec

 v_1 ^G v log1/ ^

0d"b

2/ "bJ"ec

 v`1 ^G v log1/ ^

onstanta ubrzanja  a : po$etni segment amplitu"ne karakteristike sa astatizmom "rugog re"a je 2/Mlog( : %/Mlog(^. a" se izje"na$i sa nulom "obija se G ^2 5to zna$i "a je  v  je"naka kva"ratu vre"nosti ^ za koju po$etni po$etni segment "ijagrama se$e apscisu. Ako prvi segment ne se$e apscisu on"a se on pro"u
0d"b %/ "bJ"ec

 a_1 ^G v log1/ ^

0d"b

%/ "bJ"ec

 a`1 ^G v log1/ ^

1,.&

Definisa Definisati ti @uuisto @uuistov v krite kriteriju rijum m stabil stabilnosti nosti

Da bi sistem sa zatvorenom povratnom spregom bio stabilan6 potrebno je6 i "ovoljno6 "a se pri promeni u$estanosti ^ o" / "o V6 vektor $iji se po$etak nalazi u ta$ki (16jM/ a vr& na A-- (jM^ sistema u otvorenoj povratnoj sprezi6 obrne u pozitivnom smeru za ugao !My6 g"e je j e ! broj nestabilni& polova6 tj. "a A-- obu&vati kriti$nu ta$ku (16jM/ u pozitivnom smeru !J2 puta. Ako je sistem stabilan u otvorenoj povratnoj sprezi6 potreban i "ovoljan uslov "a bu"e stabilan i nakon zatvaranja povratne sprege jeste "a kroti$na ta$ka (16jM/ le
1,.*

arakter arakteristi istike ke ra"a siste sistema ma u prelazno prelaznom m re
!retek faze 3 pf  G1,/ 8 ArgQ  j⋅1  R ^1 : prese$na u$estanost poja$anja6 "obija se iz *  j⋅ 1* G 1 x pf _/ _/ : sistem je stabilan x pf G/ G/ : sistem je grani$no stabilan x pf `/ `/ : sistem je nestabilan 1 !retek poja$anja " G   j⋅  * * ^y : prese$na u$estanost faze6 "obija se iz   ArgQ  j⋅1  R G −1,/ 8 "_1 : sistem je stabilan "G1 : sistem je grani$no stabilan "`1 : sistem je nestabilan

1,.+ 1,.+

9ipkin 9ipkinovo ovo pravil pravilo o prel prelaza aza

Slu
Osnovni Osnovni tipovi tipovi regulat regulatora ora (6 (6 -6 D)

7egulator je naj$e58a forma upravlja$ki& ureaja koji na osnovu o"reeni& matemati$ki& zakona (zakona upravljanja obrauju signale i generi5u upravlja$ka "ejstva. lasifikacija regulatora se naj$e58e vr5i na osnovu vrste zakona upravljanja proporcionalni6 integralni i "iferencijalni. !omo8u nave"eni& regulatora mogu8e je formirati slo
t

*ntegralni (* regulator  o" ovog regulatora se ostvaruje integralni zakon upravljanja koji proporcionalno povezuje gre5ku e(t sa  brzinom promene upravlja$ke promenljive u(t "u  t  G  i⋅e  t  "t 3

∞

*ntegraljenjem se "obija uobi$ajeni oblik je"na$ine integralnog regulatora u  t  G  i⋅∫ e  t  "t . /

-unkcija prenosa integralnog regulatora 0i s  G

U  s   i 1 G G 6 g"e je Ei recipro$na vre"nost B  s  s E i⋅s

 poja$anja  i i pre"stavlja vreme integraljenja. Uvo"jenjem integralnog regulatora se pove8ava inertnost e(t sistema (sistem sporije reaguje na spoljne uticaje ali zato trajno otklanja gre5ku ra"a sistema u stacionarnom stanju. 1  @egativna strana je i "estabilizuju8e "ejstvo u sistemu usle" ka5njenja.

u(t  i t

t 1

Diferencijalni (D regulator  Diferencijalni zakon upravljanja je o"reen proporcionalnom zavisno58u izmeu upravlja$ke promenljive u(t i brzine promene gre5ke e(t "e  t  u  t  G  "⋅ "t U s  G  "⋅s -unkcija povratnog prenosa "iferencijalnog regulatora 0"  s  G B s Samostalno postojanje D regulatora nema smisla jer je u stacionarnom stanju signal gre5ke konstantan pa  je izvo" ovog signala nula6 tj. D regulator bi reagovao reagovao samo na brze promene (zbog osobine osobine "a je upravlja$ka akcija proporcionalna brzini promene (prvom izvo"u gre5ke u vremenu. D regulator "obija na zna$aju kombinovanjem sa ! iJili * regulatorom6 posebno u prelaznom re
- regul egulat ator or

ombinovanjem proporcionalnog i integralnog zakona upravljanja "obija se !* regulator. Delovanje ovog "u  t  "e  t    i⋅e  t  6 o" koje se integraljenjem "obija zakon G   p⋅ regulatora o"reeno je D4 "t "t t

upravljanja !* regulatora u  t  G   p⋅e  t   i⋅∫ e  t  "t /

Ako se na ulazu !* regulatora pojavi signal u u(t e(t obliku o"sko$ne funkcije proporcionalni $lan 8e trenutno postaviti u(t na vre"nost   p p6 a po" 1 uticajem integralnog $lana 8e u(t nastaviti "a  i MEiG  p raste linearno i u trenutku Ei 8e biti u(tG2M  p. Ei   p t  je vreme integraljenja6 o"nosno vreme potrebno t "a se u(t po" uticajem integralnog $lana promeni Ei Ei za onu vre"nost za koju se po" "ejstvom proporcionalnog $lana skokovito promenilo. U s 1 -unkcija povratnog prenosa je 0 pi s  G B  s  G   p⋅ E ⋅s 1 i !* regulator ima "va po"esiva parametra   p p i Ei.   p u o"sustvu integralnog "ejstva pre"stavlja promenu u(t za je"ini$nu promenu gre5ke e(t6 a sa E i se vr5i po"e5avanje integralnog "ejstva. Ca veliko  proporcionalno po"ru$je se javljaju spore oscilacije sa velikim amplitu"ama6 a one one su posle"ica smanjene  brzine usle" "ejstva integralnog zakona upravljanja.



%/



11.3 1.3

D regul egulat ator or

ombinovanjem proporcionalnog i "iferencijalnog zakona upravljanja "obija se !D regulator $ije je "e  t  "elovanje o"reeno D4 u  t  G   p⋅e  t   "⋅ . "t Uvo"i se pojam "erivacije vremena. Ako se na ulaz e(t u(t !D regulatora "ovo"i nagibni signal ta"a treba "a  proe vreme "erivacije E" "a bi se u(t po" 1 "ejstvom proporcionalnog 5lana promenio za   pME"G " vre"nost  " za koju se u po$etku skokovito  " t  promenio po" "ejstvom "iferencijalnog $lana6 1 t o"nosno posle vremena E  vre"nost upravljanja u(t E E "



"

"



"e  t  8e biti 2M " iz $ega sle"i  "G  pME". Sa"a se za u(t mo
-D -D reg regul ulat ator or

ombinovanjem sva tri osnovna zakona upravljanja "obija se !*D regulator $ije se pona5anje mo


11.$ 11.$







t

Bksperimentalno Bksperimentalno o"reivanje o"reivanje parametara parametara regulatora regulatora (otvorena (otvorena i zatvorena zatvorena sprega) sprega)

Bksperiment u otvorenoj sprezi iroka klasa procesa u in"ustriji (temperatura6 protok6 nivo6 pritisak... ima sli$no "inami$ko ponapanje6 tj. nji&ov o"sko$ni o"ziv je aperio"i$nog karaktera. Dinami$ko pona5anje se mo
!ri analiti i sintezi sistema zgo"no  je transce"entnu funkciju prenosa zameniti linearnom funkcijom   ⋅ −s⋅=   0 s G e E⋅s1  E⋅s 1 n 7e" linearnog mo"ela i njegova vremenska konstanta se mogu o"re"iti pomo8u grafikona.

Bksperiment u zatvorenoj sprezi !rvo se "ejstvo regulatora sve"e samo na proporcionalno (  p p6 postavljanjem vremenske konstante integralnog "ejstva na maksimum (Ei\V6 a vremenske konstante "iferencijalnog "ejstva na minimum (E"G/.   p se postavlja na manju vre"nost6 sistem se po"uuje o"sko$nim signalom i   p p se pove8ava u malim iznosima. U je"nom trenutku 8e pove8anje vre"nosti   p p "ovesti sistem na granicu stabilnosti6 5to se "etektuje pojavom prostoperio"i$ni& neprigu5eni& oscilacija u o"zivu sistema. !amte se vre"nosti  poja5anja za koju je sistem prooscilovao (  pkr  i i perio"a oscilovanja Ekr . @a osnovu o$itani& vre"nosti se o"reuju parametri sistema. 11.%

Ciegler Ciegler@i! @i!olso olsova va meto"a meto"a po"e5avanj po"e5avanja a parametara parametara regula regulatora tora

Slu
Defi De fini nisa sati ti "ig "igit ital alni ni SAU SAU

Digitalni SAU koristi "igitalne signale i "igitalni ra$unar u cilju upravljanja procesom i njegovom regulacijom. Digitalni ra$unar prima signal gre5ke u "igitalnom obliku6 vr5i njegovu obra"u i na svom izlazu "aje "igitalni signal potreban za upravljanje procesom. 7ezultati merenja se iz analognog oblika konvertuju u "igitalni pomo8u AJD konvertora i nakon procesiranja se "igitalni signal konvertuje naza" u analogni pomo8u DJA konvertora. ;e8ina ;e8ina ra$unara je j e sposobna "a prima i obrauje vi5e razli$iti& ulazni& signala6 tako "a je "igitalni SAU $esto multivarijabilni. izlaz referentni ulaz "igitalni ra$unar   proces DJA konvertor  aktuator  AJD konvertor  %2

senzor 

12.2

Sistemi Sistemi sa sa me5ovit me5ovitim im analogn analognim im i "iskr "iskretni etnim m komponen komponentama tama

7a$unar u SAU je sa aktuatorom i procesom povezan preko konvertora signala. Svi ulazni i izlazni signali ra$unara "olaze i o"laze u je"nakim vremenskim intervalima E : perio" o"abiranja. !o"aci o vre"nosti neke promenljive (t "obijeni u "iskretnim vremenskim intervalima se ozna$avaju sa (kME i nazivaju se semplovani po"aci ("iskretni signal. O"abira$ se mo  − ⋅  t n E Dirakov impuls. r   t  G r  n⋅E ⋅> t − n⋅E  6 g"e je Signal rY(t pre"stavlja povorku impulsa koji r(kME r(t  po$inje u trenutku tG/6 meusobni meusobni razmak r(2ME impulsa je∞ E6 a nji&ova amplitu"a je r(kME r(E r(3ME r(%ME r Y  t  G ∑ r  k ⋅E ⋅> t− k ⋅E  kG/ t t / E 2E 3E %E %E / E 2E 3E %E %E 12.3 12.3

olo olo za"r za"r5k 5kee nult nultog og re" re"a a

DJA konvertor konvertor je ureaj $ija je uloga "a o"abira$ "iskretnisignal rY(t pretvori u kontinualni signal  p(t i on se obi$no pre"stavlja kolom za"r5ke r(t nultog re"a (C@7. olo C@7 uzima vre"nost signala r(kME i "r
C@7  rY(t 0 (s / r(t

 p(t t

*mpulsni o"ziv kola C@7 se mo
 p(t 1

/ E !reciznost se "efini5e kao stepen ta$nosti sa kojim je registrovana vre"nost signala. !reciznost ra$unara je ograni$ena "u
Defin Definisa isati ti Ctra Ctransf nsfor orma! ma!ij iju u ∞

*zlaz i"ealnog o"abira$a je pre"stavljena izrazom r   t  G ∑ r  k ⋅E ⋅> t − k ⋅E  . Y

 @akon primene 'E 'E sle"i

Y L Q r   t  R G

∞

kG/

∑ r  k ⋅E ⋅e−k ⋅s⋅E k G/

s⋅E

*zraz z G e  pre"stavlja preslikavanje iz sravni u zravan. Ctransformacija se "efini5e izrazom ∞ ∞ − k  Y C Q r   t  R G ∑ r  k ⋅E ⋅z 6 ili u op5tem slu$aju C Q f   t  R G - Q z R G ∑ f   k ⋅E ⋅z−k  k G/

kG/

%3

12.$

Diskretna Diskretna funk!ija funk!ija prenosa prenosa SAU sa otvorenom otvorenom i zatvorenom zatvorenom povratnom povratnom spregom spregom

!osmatra se sistem g"e je izvr5ena "iskretizacija ulaznog (7(z i izlaznog ([(z signala. -unkcija  [  z   prenosa u z"omenu je 0  z  G 7  z  Ako oba o"abira$a imaju istu perio"u o"abiranja (nji&ov ra" je sin&ronizovan on"a se mo
Defini!i Defini!ija ja stabilno stabilnosti sti sistema sistema u C"om C"omenu enu

'inearni kontinualni SAU je stabilan ako se svi polovi funkcije spregnutog prenosa nalaze u levoj ⋅ ⋅E  poluravni kompleksne sravni. 7elacija koja povetuje sravan i zravan je z G e s⋅E G e  j⋅ koji se ⋅E mo
7ealiza! 7ealiza!ija ija -D -D regul regulator atora a u "igit "igitalno alnojj teni! teni!ii

  U s G  1 2  3⋅s . U "igitalnom obliku funkcija B s s  prenosa !*D se mo
u  k ⋅E  G

 "e "t

N

t G k ⋅E

G

1 [ e  k ⋅E −e  k −1 ⋅E ] E

 1− z−1  z −1 Ctransformacija je U  z  G ⋅B  z  G ⋅B  z  E E⋅z  – za integral se mo
[

]

Literatura

Ca izra"u ovog "okumenta kori58eni su !D- fajlovi koje je profesor -ilip uli8 koristio na pre"avanjima i koji se nalaze na &ttpJJcc".ns.ac.FuJausJsauJsau.&tm &ttpJJcc".ns.ac.FuJausJsauJsau.&tm.. Ovaj "okument sam napravio ja ra"i lak5eg u$enja (nemam
%