1. Struktura digitalnog sistema upravljanja i proces odabiranja U diskretnom postupku obrade i prenosa signala se najpre diskretizuje ili kvantuje po nivou i/ili po vremenu, pa se zatim obrađuje i prenose samo diskretne (kvantovane) vrednosti signala. U procesu kvantovanja po nivou kontinualni signal se zamjenjuje sumom sumom una unapre predd zadati zadatihh vrednos vrednosti ti koje koje kon kontin tinual ualan an signal signal dos dosti tiže že u proizv proizvolj oljnim nim trenutcima (sl. 1.a). U kvantovanju po vremenu vremenski intervali (intervali odabiranja) se unapred fiksiraju, pa se zatim kontinualni signal u procesu kvantovanja zamenjuje povorkom diskretnih vrednosti (odbiraka) koje signal poprima u trenutcima odabiranja (sl. 1.b.). Kao što je pokazano na sl. 1.(c), u procesu kvantovanja i po nivou i po vremenu kontinu kontinuala alann signal signal se zamenj zamenjuje uje pov povork orkom om fiksir fiksirani anihh diskre diskretni tnihh nivoa nivoa najbli najbližim žim vrednostima kontinualnog signala u trenucima odabiranja.
Sl. 1. Tipovi kvantovanja: a) po nivou, b) po vremenu i c) po nivou i vremenu
Kada je reč samo o diskretnim sistemima automatskog upravljanja, tada se oni mogu razvrstati u tri kategorije: relejne, impulsne i digitalne. U relejnim se kvantovanje signala vrši samo po nivou, u impulsnim - po vremenu, a u digitalnim – i po nivou i po vremenu. Kvantovanje po nivou se postiže relejnim elementom čiji izlaz može poprimati neke unapred fiksirane nivoe. U prostijim, ali najčešće sretanim slučajevima, broj takvih nivoa je dva ili tri. Kada se broj zadanih nivoa povećava i razlike između njih smanjuju, relejni sistem se sve više približava kontinualnom. U impulsnim sistemima se kvantovanje po vremenu vrši odabiračem, koji se može tretirati kao tip impulsnog modulatora. Na ulaz odabirača se dovodi kontinualan signal, a
na izla izlazu zu se dobi dobija ja po povor vorka ka impul impulsa sa (odbiraka) u trenutcima odabiranja koji koji se ponavljaju periodom odabiranja T (sl. 1.b). Pri tome, odbirci su jednaki vrednostima ulaznog signala u trenutcima odabiranja. U digitalnom sistemu se kvantovanje i po nivou i po vremenu postiže amplitudnokodova kod ovani nim m modul modulat ator orom om ili ili spec specij ijal alni nim m digi digita taln lnim im uređa uređaje jem, m, na prim primje jer, r, A/D A/D konve kon vert rtor orom om.. Teor Teorij ijsk skii pos posma matr tran ano, o, pris prisus ustv tvoo kva kvant ntova ovanj njaa po nivo nivouu čini čini sist sistem em nelinearnim. Naime, pri malom broju kvantnih nivoa, kada je kvantovanje po nivou dominantno, digitalni sistem poprima svojstva relejnog. Ali, kada je broj kvantnih nivoa dovoljno veliki, tj. tamo gdje je Δ y mali, tako da su kvantovani odbirci približno jednaki vrednostima vrednostima kontinualno kontinualnogg signala signala u trenutcima trenutcima odabiranja, digitalni sistem poprima poprima domina dominantn ntnaa svo svojst jstva va impul impulsno snogg i sa stanovn stanovništ ištva va diskre diskretiz tizaci acije je se može može prakti praktično čno smatrati linearnim. Kada se u ulozi impulsno – kodovanog modulatora nalazi A/D konvertor, njegov ulaz je kontinualan signal, a izlaz – povorka po vorka brojnih vrednosti (digitalni signal) ulaznog signala u trenucima odabiranja 0, T, 2T... (sl. 1.c). Tačnije, na svom izlazu A/D konvertor daje brojne vrednosti odbiraka u binarnom kodu, odnosno povorku digitalnih reči dužine izlaznog registra konvertora.
1.1. Proces odabiranja i zadrške U digitalnom sistemu diskretizacija kontinualnog signala inherentno sadrži dve operacije: proces odabiranja i zadrške. Ako se diskretizacija vrši i po nivou i po vremenu i kvantovani odbirci ne menjaju (zadržavaju) do sledećeg trenutka odabiranja, tada se rezultat procesa odabiranja i zadrške može predstaviti kao na sl. 2., gdje je F (t ) kontinualan signal koji se diskretizuje, a f h (t ) je digitalni signal čije su vrednosti konstantne između dva sukcesivna trenutka odabiranja.
Sl. 2. Odabiranje i zadrška kontinualnog signala
Diskretni nivoi signala f h (t ) su, dakle, dati u vidu digitalnih reči i, ako je dužina reči dovoljno velika, tj. ako je kvant ∆ y po nivou vrlo mali, može se privatiti da su diskretni nivoi u j f h (t ) jednaki vrednostima f (kT ) siganala f (t ) u trenutcima odabiranja.
Ako signal f (t ) ne sadrži impuls u bilo kom trenutku odabiranja, tada se f h (t ) može izraziti zbirom pravougaonih signala trajanja T i amplituda f(kT), k=0, ±1, ±2,... f h (t ) =
∞
∑ f (kT ) { h ( t − kT ) − h t − ( k +1) T } ,
k =−∞
(1.1) gdje je h(t) Hevisajdov signal u trenutku t=0. S obzirom da je Z [h(t)]=1/s i primenom teoreme Laplasove transformacije o čistom vremenskom kašnjenju, kompleksni lik signala f h (t ) je Fh
=
∞
1 − e −Ts
k =−∞
s
∑ f (kT )
=
1 − e−Ts s
∞
∑ f (kT )e
e− kTs =
− kT
,
k =−∞
(1.2) i (1.3) Beskonačna suma u prethodnom izrazu je jednoznačno određena odbircima f (kT ) u povorci f * (t ) , pa je ta suma, zapravo, bilinearna Laplasova transforacija ili kompleksni lik povorke f * (t ) : F ( s) = *
∞
∑ f (kT )e
− kTs
k =−∞
,
(1.4) Zamenom (1.4) u (1.3) dobija se Fh ( s) = Gh ( s) F * ( s)
(1.5) gde funkcija prenosa Gh ( s) =
1 − e−Ts s
(1.6) predstavlja model zadrške vrednosti odbiraka između dva sukcesivna trenutka odabiranja. Original, odnosno inverzna Laplasova transformacija, za (1.4) je
f (t ) = *
∞
∑ f (kT )δ (t − kT )
k =−∞
(1.7) gdje su δ (t − kT ) Dirakovi signali u trenucima odabiranja. Sa ciljem rigoroznijeg tretmana procesa odabiranja, pretpostavimo najpre da je signal f (t )
kontinualan u intervalima
kT t〈〈 kT + ε
( k = 0,±1,±2,...)
i da ne sadrži impuls u bilo
kom trenutku odabiranja. Pretpostavimo, takođe, da se signal f (t ) menja relativno sporo, tako da je u toku vremena ε promena signala f (t ) manja od jednog kvanta ∆ y f (t ) za vreme ε očitava i konvezije odbiraka diskretizacije po nivou. Tada se promena ∆ u digitalni signal može, sa praktičnog staovišta, zanemariti. U takvom procesu diskretizacije po nivou i vremenu povorka dbiraka f * (t ) na izlazu pretpostavljenog idealnog fizičkog odabirača se dobija kao na sl. 3. Na osnovu slike 3. napišimo najpre izraz za f * (t ) , pa zatim taj izraz pomnožimo i podelimo sa ε : ε
ε
fε * (t ) = ∞
∞
∑ f (kT ) h ( t − kT ) − h ( t − kT − ε )
k =−∞
= ε ∑ f (kT ) k =−∞
h ( t − kT )
− h ( t − kT − ε ) ε
(1.8)
Sl.3. Proces odabiranja fizičkim idealnim odabiračem
Pošto je ε mala pozitivna konstanta, razlomak u prethodnom izrazu aproksimira Dirakov signal δ (t − kT ) u trenutku t = kT , pa je stoga ∞
f ε (t ) ≈ ε ∑ f (kT )δ (t −kT ) *
0〈ε = T
k =−∞
(1.9) Prethodno razmatranje se može interpretirati formalno: zamišljeni idealni fizički odabirač generiše povorku odbiraka sa površinama propocionalnim vrednostima kontinualnog signala f (t ) u trenucima odabiranja; koeficijent propocionalnosti u izrazu (1.9) je ε, dok je u sučaju (1.7) jednak jedinici. Zadrškom odbiraka u povorci f z * (t ) na sl. 3 dobio bi se isti signal zdrške f h (t ) kao na sl. 2. U oba slučaja kompleksni lik F h ( s) je dat izrazom (1.2), koji se, sa ciljem uvođenja F * ( s) umesto F * ( s) , može formalno prepisati u obliku ε
1 − e −Ts
∞ Fh ( s ) = ε ∑ f ( kT ) e − kTs = Ghe ( s ) Fε * ( s ) ε s k =−∞ (1.10) Budući da F * ( s ) u srednjoj zagradi jednačine (10) predstavlja kompleksni lik povorke odbiraka (9), model zadrške u slučaju idealnog fizičkog odabirača se opisuje funkcijom prenosa ε
Ghε ( s ) =
1 − e−Ts ε s
(1.11) Prethodnu diskusiju ilustruje sl. 4.
Sl. 4. Prikaz procesa odabiranja: a) sa fizičkim i idealnim odab iračem i b) sa idealnim odabiračem koji ilustruje matematičku transformaciju
Na delu slike pod (a) strukturno je prikazan proces odabiranja i zadrške idealnim fizičkim odabiračem, koji u povorku odbiraka f * (t ) unosi faktor slabljenja ε, a zadrška ima model u vidu funkcije prenosa (1.11). Slika 4 (b), ilustruje potpuno idealizoan proces odabiranja, koji bi generisao povorku odbiraka po formuli (1.7) i imao zadršku funkcije prenosa (1.6). ε
U praktičnim slučajevima digitalnih sistema automatskog upravljanja signal f (t ) ne sadrži impulse u trenucima odabiranja, a zadrška odbiraka između sukcesivnih trenutaka odabiranja uvek postoji. Otuda se u većini sistema proces odabiranja i zadrške može tretirati idealizovano, kao na sl. 4 (b), bez posebnih napomena i bojazni od mogućih grešaka.
1.2. Kompleksni lik i frekvencijske karakteristike povorke odbiraka Prema relaciji (1.7) ili (1.9) proces odabiranja se može tretirati kao vid impulsne modulacije, prikazan na sl. 5, gdje je noseći signal povorka jediničnih impulsa i (t ) =
∞
∑ δ (t − kT )
k =−∞
(1.12) a modulišući signal
f (t ) .
Sl. 5. Impulsni modulator kao odabirač
Ako signal f (t ) ne sadrži impulse u trenucima odabiranja i ako se generisanje dbiraka posmatra kao rezultat procesa odabiranja i zadrške u uslovima brze konverzije i malog kvanta diskretizacije po nivou, tada se može, bez negatihnih posledica u pogledu tačnosti, prihvatiti idealizovana interpretacija procesa odabiranja (sl.4.b), gdje je, prema sl. 5, povoka odbiraka data sa f * (t ) = f (t )i (t )
(1.13) U determinističkim sistemima pretpostavlja se da su fizički signali kauzalni: nastaju u nekom trenutku koji se može usvojiti kao t = 0 . Dakle, u tom slučaju f (t ) = 0 , za t <0, pa se, s obzirom na (1.12), jednačina (1.13) može napisati u obliku
f (t ) = *
∞
∑ f (kT )δ (t − kT ) k = 0
(1.14) U razmatranju procesa diskretizacije kauzalnih signala rezultat (1.14) se dobija i kada se izostavi deo povorke i(t) za t<0. Stoga se, umesto (1.12), može usvojiti
i (t ) =
∞
∑ δ (t − kT )
k = 0
(1.15) Kompleksni lik povorke odbiraka se dobija iz (1.14) u obliku
F
*
∞
( s) = Ζ f * ( t ) = ∑ f ( kT )e − kTs k = 0
(1.16) Uočimo sa sračunavanje F * ( s) po prethodnoj formuli zahteva poznavanje signala f (t ) u vremenskom domenu, odnosno vrednosti tog signala f (kT ) u trenutcima odabiranja. U analizi i projektovanju sistema automatskog upravljanja često su od interesa postupci sračunavanja F ( s) na osnovu kompleksnog lika F ( s ) kontinualnog signala f (t ) . Takve postupke omogućuje teorema o konvoluciji u kompleksnom području. Primjena ove teoreme na jednačinu (1.13) dobija se *
F * ( s) = Ζ [ f (t )i(t ) ]
=
1
γ + j∞
∫ F ( p) I (s − p)dp
2π j γ − j∞
(1.17) gdje su F(s) i I(s) kompleksni likovi signala f (t ) i povorke jediničnih impulsa i(t). Za egzistenciju integrala (1.17) neophodno je da prava R e p=γ duž koje se vrši integracija u p-ravni razdvaja singularitete tipa polova podintegralnih funkcija F ( p ) i I (s – p). Kompleksni lik povorke jediničnih impulsa i(t) se dobija neposredno iz (1.15):
I ( s) =
∞
∑e
− kTs
=
k =0
1 1− e
e −Ts 〈1
−Ts
(1.18) Prethodni rezultat je dobijen sračunavanjem sume kao geometrijske progresije sa faktorom e −Ts . Pretpostavlja se da je moduo ovog faktora manji od 1, tj da je Re s>0. Ovaj uslov određuje oblast definisanosti Laplasove transformacije. Smenom (1.18) u (1.17) dobija se F ( s) = *
1
γ + j∞
∫
2π j γ − j∞
F ( p)
1 1 − e −T ( s − p )
dp
(1.19) Za sračuavanje konvolucionog integrala (1.19) neophodno je konsultovati sliku 6. Slika prikazuje p-ravan sa pravom Re p=y i polovima podintegralnih funkcija.
Sl. 6. Konture integracije u p- ravni
Polovi kompleksnog lika I ( s − p )
=
1 1− e
−T ( s − p )
(1.20) su koreni jednačine 1 − e −T ( s − p ) = 0
ili
e−
T (s− p)
= 1e2nπ
n = 0, ±1, ±2,...
(1.21) Rešenje ove jednačine određuje beskonačan broj polova kompleksnog lika I (s- p):
pn
= s + jn 2π = s + jnΩ, T
n = 0, ±1, ±2,...
(1.22) Koji se multipliciraju paralelno imaginarnoj osi p-ravni sas rastojanjem jΩ između dva susjedna pola, gdje je
Ω = 2π T
(1.23) kružna učestanost odabiranja.
U posmatranoj klasi signala f (t ) kompleksni lik F ( p) se dobija u vidu realne racionalne funkcije, tj. kao odnos dva polinoma P(p) i Q(p) sa realnim koeficijentima: F ( p) =
P ( p) Q ( p)
=
P( p) n
∏ ( p − p ) i
i =1
(1.24) Predpostavimo za sada da su polovi od F ( p) prosti i da ni jdan od polova nije u desnoj poluravni (Re p i ≤0), što je dovoljan uslov da postoji prava Re p=y koja razdvaja singularitete tipa polova podintegralnih funkcija F(p) i I(s – p) u (1.19), kao na sl. 6. Smenom (1.24) u (1.19) dobija se
F ( s) = *
γ + j∞
1
∫
2π j γ − j∞
P ( p)
1
∏ ( p − p )
1 − e −T ( s − p )
n
dp
i
i =1
(1.25) Pod navedenom pretpostavkom o mogućnosti razdvajanja polova podintegralnih funkcija konvolucioni integral (1.25) je moguće sračunati primjenom Caushyjeve teoreme o ostacima. Za to je najpre potrebno dopuniti pravu Re p=y polukrugom beskonačnog poluprečnika koji zajedno sa pravom Re p=y obrazuje konturu C, koja u pozitivnom smeru obuhvata celu levu poluravan p-ravni. Ako je stepen n polinoma Q(p) bar za 2 veći od stepena m polinoma P(p) (n>m+2), tada je integral duž pridodatog polukruga konture C
lim
R →∞
1 2π j
3π
2
P (Re jθ ) Re jθ
∫
π
2
Q(Re jθ )
1 1− e
−T ( s − Re jθ )
jd θ = 0
(1.26) jer je u limesu njegova podintegralna funkcija jednaka nuli. Dodavanjem člana (26) nulte vrednosti integralu (1.25) neće se promjeniti vrednost za F ( s) , ali se tada F ( s) može definisati inegralom po konturi C: *
F * ( s) =
1
P( p)
∫ ∏ ( p − p ) 1 − e
n 2π j Ñ C
i =1
i
1
−T ( s − p ) dp
*
(1.27) Po Caushyjevoj teoremi o ostacima, prethodni integral je jednak zbiru ostataka u polovima podintegralne funkcije koji se nalaze unutar konture C, a to su u posmatranom slučaju samo polovi kompleksno lika F ( s ) . Dakle, F ( s) = *
∑ Re s 1 − Fe ( p) n
−T ( s − p )
i =1
u polovima funkcije F(p)=
1 = ∑ P( pi ) −T ( s − p ) i =1 Q′( pi ) 1 − e n
i
(1.28) gdje su P ( pi ) = P( p) p = pi i Q′( pi ) =
dQ( p) dp
p = pi
(1.29) Do istog izraza (1.28) za F * ( s) se može doći i drukčijim rezonovanjem. Primjenom Hevisajdovog razvoja za F(p)=P(p)/Q(p) dobija se n P( pt ) p t f (t ) = Ζ e i h(t ) = ∑ ′ Q ( p ) Q ( p ) i = 1 i
−1 P ( p)
(1.30) pa je f (kT ) =
n
P ( pi )
∑ Q′( p )e i i =1
p kT
i
(1.31) Smenom (1.31) u (1.16) dobija se F ( s) = *
∞
∑∑ PQ′((pp ))e i n
p kT
i
k = 0 i =1
=
i
∞
= ∑ P( pi ) ∑ e−T ( s− p ) k i =1 Q′( pi ) k = 0 n
e− kTs
i
1 = ∑ P( pi ) −T ( s − p ) j =1 Q′( pi ) 1 − e n
i
e
− Ts
〈1
(1.32) Ako je stepen n polinoma u imeniocu samo za 1 veći od stepena m polinoma u brojiocu kompleksnog lika F(p) (n=m+1), tada, po prvoj graničnoj teoremi Laplaceove tansformacije, postoji granična vrijednost f (0+ ) = lim pF ( p) p →∞
(1.33) U ovom slučaju se, umjesto primjenom Caushyjeve teoreme o ostacima, kompleksni lik F * ( s ) lakše sračunava pomoću jednačina (1.30) – (1.32). Pored (1.16) i (1.28), moguće je izvesti i treći vid kompleksnog lika F ( s) povorke odabiraka. U tom cilju, sada dopunimo pravu Re p=y u p-ravni na sl. 6 polukrugom beskonačnog poluprečnika, koji zajedno sa pravom obrazuje konturu C ′ , koja u negativnom smjeru (smjeru kretanja kazaljke na časovniku) buhvata celu desnu poluravan p-ravni. Tada se integral (19) može napisati u obliku *
F ( s) = − *
1
∫
F ( p)
2π j Ñ 1 − e −T ( s − p ) C ′
dp − lim
R →∞
1
−π
2π j
2
F (Re jθ ) Re jθ
∫ 1 − e
π
−T ( s − Re jθ )
jd θ
2
(1.34) S obzirom da se u prvom članu na desnoj strani prethodnog izraza integracija vrši po konturi u negativnom smeru, taj član je jednak negativnom zbiru ostataka podintegralne funkcije u polovima funkcije koji se nalaze unutar te konture, a to su sada samo polovi (1.22) komplesnog lika (1.20). Dakle
−
1
F ( p )
∫ ′ 1 − e 2π j Ñ C
dp = − −T ( s − p )
F ( p)
∑ Re s 1 − e
−T ( s − p )
u polovim funkcije
1 1− e
−T ( s − p )
(1.35) Primjenom Lopitalovog pravila sračunava se ostatak u polu p n
= s +
jnΩ ,
kao
lim ( p − s − jnΩ)
p → s + jnΩ
F ( p)
1− e
−T ( s − p )
= 1 F ( s + jnΩ), T
n
1,±2,... =0, ±
(1.36) Ako postoji granična vrednost (1.33), drugi član na desnoj strani (1.34) ima vrednost
lim
R →∞
1 2π j
−π
∫
π
2
2
F (Re jθ ) Re jθ
1 − e−T ( s − Re
jθ
)
−π
1 2 1 jdθ = f (0 + )dθ = − f (0+ ) 2π π 2
∫ 2
(1.37) Smenjujuči najpre ostatke (1.36) u (1.35), pa zatim (1.35) i (1.37) u (1.34), izraz F * (s) se dobija u obliku
*
F ( s ) =
1
∞
1
∑ F ( s + jnΩ) + 2 f (0
T n =−∞
+
)
(1.38) Od interesa je uočiti da izraz (1.38) daje kompleksni lik povorke odbiraka kao svojevrsnu superpoziciju kompleksnih likova kontinualnog signala f (t ) koji se diskretizuje.Vid prikazivanja (1.38) F * ( s) se često koristi kao polazna osnova u projektovanju digitalnih filtara i u postupcima primene digitalne obrade signala u različitim područjima savremene inženjerske delatnosti.
1.3.-Osobine kompleksnog lika povorke odbiraka Važno je da se uoče dve osobine kompleksnog lika F ( s) Prva: F ( s) je periodična funkcija periode jΩ. Ova osobina se dokazuje pomoću izraza (1.16). Zamenom s sa s + jmΩ u (1.16) dobija se, kada je m celobrojna konstanta, *
F * ( s + jmΩ) =
∞
∑ f (kT )e
*
− kT ( s + jmΩ )
k = 0
∞
= ∑ f ( kT )e − kTs k = 0
(1.39) jer je
e−
jmkT Ω
=e
− jmk 2π
=1
Dakle
F * ( s + jmΩ) = F * (s )
(1.40) kad je m celobrojna konstanta. Ako je poznata vrednost funkcije F * ( s) u nekoj tački s=s , u svim tačkama s = s + jmΩ funkcija F ( s) će imati tu istu vrednost, ako je m celobrojna konstanta. *
1
Druga osobina je posledica prve: ako kompleksni lik F * ( s) poseduje pol ili nulu u nekoj tački s=s , posedovaće polove odnosno nule i u svim tačkama s = s + jmΩ određena svim celobrojnim vrednostima m u opsegu -∞ do +∞. Ovu osobinu ilustruje slika 7. 1
Sl. 7. Multiplikacija spektra kritičnih učestanosti kompleksnog lika F *(s)
Unutar šrafirane oblasti, koja se naziva primarnim pojasom, na sl. 7 prikazan je pretpostavljeni spektar kritičnih učestanosti (polova i nula) koji karakteriše kompleksni lik F ( s ) signala f (t ) . Ako se ceo spektar od F(s) nalazi unutar rimarnog pojasa, tada će, prema pokaznoj osobini, spektar kompleksnog lika F ( s) sadržavati u celosti spektar od F ( s ) i beskonačno dodatnih spektara koji se dobijaju multiplikacijom osnovnog spektra od F(s) nagore i nadole u s-ravni sa korakom jΩ. Ovi dodatni komplementarni spektri u spektru od F * ( s ) leže unutar komplementarnih pojaseva, koji imaju iste širine jΩ kao i primarni pojas. Očigledno ovakav način formiranja spektra od F ( s ) je moguć ako se ceo spektar kritičnih učestanosti od F(s) nalazi unutar primarnogpojasa. Područje učestanosti ima važnu ulogu u frekvencijskim metodama analize i projektovanja digitalnih sistema uravljanja i u digitalnom procesiranju signala. *
*
1.4.Karakteristike frekvencijskog spektra povorke odbiraka Kad se vrši diskretizacija signal, od prvorazrednog značaja je sačuvati informaciju sadržanu u kontinualnom signalu koji se diskretizuje. Detaljnijom analizom izraza (1.38) može se videti način prenosa informacije u procesu odabiranja. Pri , Fourierova transformacija F ( jω ) povorke odabiraka se dobija smenom s = jω u (1.38): *
F ( jω ) =
1
*
∞
∑ F ( jω + jnΩ)
T n =−∞
(1.41) Komponenta u F
*
( jω )
za
n =0
F0* ( jω ) = F * ( jω ) n =0
= 1 F ( jω ) T
(1.42) prestavlja Fourierovu transformaciju kontinualnog signala f (t ) . Sve frekvencijske komponente signala f (t ) sadržane su u povorci odbiraka f * (t ) , tj. informacija koju sadrži signal f (t ) je celovito sačuvana u povorci odbiraka dobijenoj diskretizacijom tog signala. Na osnovu (1.41), frekvencijski spektar F
*
F ( jω )
=
1
∞
*
1
( jω )
povorke odbiraka se dobija kao
∞
∑ F ( jω + jnΩ) ≤ T ∑ F ( jω + jnΩ
T n =−∞
n=−∞
(1.43) Predhodna relacija pokazuje da, pored osnovne komponente F ( jω ) , spektar F ( jω ) sadrž više harmonike ili komplementarne komponente F ( jω + jnΩ) . Po redosledu n-ta komplementarna komponenta u F ( jω ) se dobija množenjem sa 1/T fundamentalne komponenete i njenim pomeranjem za nΩ u područje viših učestanosti. Idealni odabirač se u procesu odabiranja može tretirati kao harmonijski generator: u frekvencijskom spektru povorke odbiraka na njegovom izlazu svaki harmonik amplitude A i učestanosti ω ulaznog signala f (t ) je multipliciran u osnovi harmonik amplitude A/T i učestanosti ω i u beskonačno komplementarnih harmonika amplituda A/T i učestanosti ω + nΩ , n =±1,±2,±3,.... Harmonici povorke odbiraka u području niske učestanosti ω ≤ Ω 2 čuvaju celu informaciju sadržanu u kontinualnom signalu f (t ) . *
*
Sl. 8. Multiplikacija frekvencijskog spektra povorke odbiraka
Na vrhu slike je prikazan frekvencijski spektar kontinualnog signala f (t ) amplitude A, čiji frekvencijski spektar F ( j ) ima graničnu učestanost ω Kada granična 0. učestanost nije veća od polovine kružne učestanosti odabiranja, frekvencijski spektar povorke odbiraka se dobija u obliku kao na sl. 8 (b), dok u slučaju ω 0 〉 Ω 2 taj spektar ω
ima oblik prikazan na sl. 8 (c). Vidi se da je u prvom slučaju (ω 0
≤Ω
) 2
osnovni spektar
u celosti sačuvan unutar Nyquistovog područja učestanosti ω 0 ≤ Ω 2 u frekvencijskom spektru povorke odbiraka. Proces inverzan diskretizacije, tj. rekonstrukcija prvobitnog kontinualnog signala na osnovu njegove povorke odbiraka je moguć samo ako je ω 0 ≤ Ω 2 . Za to je dovoljno propustiti povorku odbiraka kroz idealni niskopropusni (NF) filtar, koji ima ravnu amplitudnu i linearnu faznu frekvencijsku karakteristiku (sl. 9) u Nyquistovom području učestanosti. ) F ( jω
Sl. 9. Frekvencijsk karakteristike idealnog niskopropusnog filtra
Odziv idealnog NF filtra na takvu pobudu bi bio signal f (t ) ,
ali vremenski zakašnjen za
T d .
Kada je ω 0 〉 Ω
f (t −T d )
2
po obliku isti kao
, osnovni i komplementarni
* spektri u F ( jω ) se međusobno preklapaju (sl.8 c) i tada osnovni spektar nije više verno sačuvan u frekvencijskom spektru povorke odbiraka. Tada se definitivno gubi informacija signala f (t ) i ne postoji teorijski postupak niti fizički uređaj kojim bi se mogao rekonstruisati prvobitni signal na osnovu njegove povorke odbiraka.
1.5. Teorema odabiranja Na osnovu prethodnih izlaganja može se zaključiti da postoji ograničenje u pogledu maksimalno dozvoljene periode odabiranja, odnosno minimalne brzne odabiranja, pri kojoj je moguće rekonstruisati signal na osnovu njegovih vrijednosti u trenutcima odabiranja. Međutim, sa tog stanovišta teoriski ne postoji ograničenje za gornju granicu brzine odabiranja, odnosno za smanjivanje periode odabiranja počev od teoriski dozvoljene maksimalne vrrednosti. Razume se, kada se perioda odabiranja drastično smanji, povorka odbiraka se, u stvari, svodi na kontinualan signal. Ipak, praktična ograničenja postoje. Pre svega, nije moguće fizički realizovati uređaj koji bi neograničeno brzo registrovao odbirke i vršio njihovu konverziju u brojne vrednosti. Zatim, ne postoji idealni proces odabiranja: odbirci posjeduju neko trajanje ε potrebno za njegovo registrovanje i konverziju, pa otuda perioda odabiranja ne može biti kraća od ε. Konačno, suviše mala perioda odabiranja znači vrlo široko Nyquistovo područije učestanostiω≤ π / T . Unutar tako velikog područija učestanosti može doći do izražaja ne modelirana dinamika analiziranog realnog sistema ili, kad je riječ o digitalnoj obradi signala, povećan uticaj superponiranog šuma na vrijednost odbiraka. * Frekvenciski spektar | F ( jω ) | na slici 3.16(c) pokazuje da povorka odbiraka vijerno čuva informaciju sadržanu u signalu f(t), ako je kružna učestanost odabiranja veća od dvostruke vrijednosti granične kružne učestanosti frekvencijskog spektra signala f(t). Ova konstatacija predstavlja , zapravo, teoremu odabiranja [11-15] čija precizna formulacija glasi: Ako kontinualan signal f(t) ne sadrži harmonike u područiju
učestanosti ω 0 rad ⁄ s , on se može kompletno okarakterisati vrednostima signala
1 ( 2π / ω 0 ) . Ova vrednost 2 periode odabiranja predstavlja teorijski maksimum. Međutim postoji više praktičnih razloga koji nalažu da se perioda odabiranja usvoji manjom od teorijski dopuštene maksimalne. Tako, na primjer, u digitalnom sistemu upravljanja relativno velika perioda odabiranja u odnosu na realnu dinamiku sistema negativno utiče na stabilnost sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi. Treba, takođe, imati u vidu da ne postoji fizički signal sa strogo određenom graničnom učestanosti frekvencijskog spektra, kao na sl. 3.16(a). Naime, svi fizički signali poseduju harmonike u širem područiju učestanosti. Istina, harmonici viših učestanosti su obično jako potisnuti, tako da se sa pravom u praksi može usvojiti ograničen frekvencijski spektar. Usled toga, kao i činjenice da ne postoji fizički ostvarljiv idealni NF filtar sa frekvencijskim karakteristikama kao na sl. 3.17 nikada praktično nije moguće verno rekonstruisati kontinualni signal f(t) na osnovu povorke njegovih vrednosti f (kT), k=0,1,2... mjerenim u trenutcima međusobno udaljenim za vrijeme T =
Obično se unapred zna koja perioda odabiranja najbolje odgovara posmatranoj klasi signala. Na primjer, za govorni signal se praktično usvaja da ima granicu frekvencijskog spektra pri f0 = 5kHz . Otuda, za govorni signal treba usvojiti T = 1 f 0 = 10−4 s . Dakle, sa 10 hiljada odbiraka u sekundi digitalizovani govorni signal 2 sadrži svu informaciju i karakteristike govora. U digitalnim sistemima automatskog upravljanja perioda odabiranja može biti znatno veća. Na primjer, signali temperature,
nivoa, protoka, pritiska i sl. dozvoljavaju periode odabiranja reda nekoliko desetina m s . Napomenimo da postoje i vrlo spori signali, kao na primjer seizmološki, gdje se u procesu diskretizacije može usvojiti perioda odabiranja reda desetina sekundi.
1.6.Kola zadrške U većini digitalnih sistema upravljanja viši harmonici u spektru povorke odbiraka moraju se ukloniti i dovoljno prigušiti pre dovođenja direktnog (digitalnog) signala na kontinualni deo sisitema. Naime, upravljačka promenljiva generiše u realnom vremenu kao rezultat obrade, po zadatom programu, povorke odbiraka signala greške i/ili nekih drugih promenljivih sistema. Otuda je i upravljačka promenljiva povorka odbiraka u vidu digitalnih reči. Razume se da signal takve prirode nije moguće dovesti neposredno na objekat upravljanja, koji u tipičnom slučaju (sl. 3.4) sadrži pojačavač snage ili naponsko/strujni konvertor, izvršni organ sa ili bez servomotora i proces upravljanja. Prema tome, neophodno je najpre upravljačku promenljivu u vidu povorke digitalnih signala konvertovati u kontinualni naponski signal. Čak i u slučaju kada bi upravljačka promenljiva bila u vidu impulsa (naponskih ili strujnih), ni takav signal se ne bi mogaodovesti neposredno na ulaz objekta upravljanja, jer tipični izvršni organi i servomotori zahtevaju kontinualnu pobudu. U svakom slučaju izlaz procesora se najpre dovodi na kolo zadrške koje ima dvojaku ulogu: da ukloni ili u potrebnoj meri priguši više harmonike u spektru diskretnog signala i da povorku digitalnih signala konvertuje u kontinualan signal.
Sl.3.18 Strukturni blok dijagram tipičnog digitalnog sistema upravljana
Na slici 3.18 je prikazan tipičan strukturni blok dijagram digitalnog sistema automatskog upravljanjasa jednim ulazom i jednim izlazom, koji predstavlja, zapravo, dijagram na slici 3.9 sa nešto izmenjenom notacijom. Na dijagramu (sl. 3.18) sa u *(t ) je označena povorka odbiraka upravljačke promenljive, a sa m(t ) odgovarajući kontinualan upravljački signal na izlazu kola zadrške. Podrazumeva se da je u procesu projektovanja sistema uvažavana teorema odabiranja, tj. da je kružna učestanost Ω odabiranja bar dva puta veća od granične učestanosti frekvencijskog spektra signala greške e(t ) . U tom slučaju idealna rekonstrukcija m(t) na osnovu u*(t) bi se postigla dovođenjem u*(t) na kolo zadrške sa frekvencijskim karakteristikama datim na sl. 3.17. Na žalost, takvo kolo zadrške tipa idealnog NF filtra nije moguće fizički ostvariti. Stoga se u ulozi kola zadrške koriste različita praktična rešenja, koja manje ili više aproksimiraju karakteristike idealnog NF filtra. Praktično kolo zadrške treba, dakle, da na osnovu povorke brojnih vrednosti u(0), u(T), u(2T), ..., u(kT), ... rekonstruiše signal m(t) koji čuva informaciju sadržanu u u*(t). Drugim rečima, od ovog kola se očekuje da u realnom vremenu proceni zakon promene
bilo koje celobrojno k ≥ 0 , na osnovu do signala m(t) u intervalu kT ≤ t < ( k + 1)T , za tada poznatih odbiraka , u (kT ) , u [ (k − 1)T ] , u ( k − 2 ) T , ..., u (T ) , u (0) u trenucima odabiranja kT , (k − 1)T , (k − 2)T , ..., T , 0 . Za procenu zakona promene signala m(t ) u intervalu kT ≤ t < (k + 1)T važno je najpre proceniti brzinu prema tog signala na početku posmatranog intervala u t = kT . Da se to pokaže, napišimo Taylorov red za procenjivanu funkciju m(t ) u intervalu između trenutaka odabiranja kT i (k + 1)T : mk (t ) = m( kT ) + m ( kT )( t − kT ) + ( 1)
m(
2)
( kT ) ( t − kT ) 2 + ..., 2!
(1.44) gde su mk (t ) = m(t ) , za kT
≤ t < (k + 1)T
(1.45) i m (kT ) = ( 1)
dm(t ) dt
, m ( kT ) = ( 2)
t = kT
d 2 m(t ) dt 2
,... t = kT
(1.46) Međutim, signal m(t ) je nepoznat; poznate su samo njegove vrednosti na početku intervala i u trenucima odabiranja koji prethode trenutku t = kT , pa se i izvodi funkcije m(t ) mogu procenjivati jedino na osnovu tih vrednosti. Kada je T dovoljno malo tako da zadovoljava uslove teoreme odabiranja, prvi izvod od m(t ) u trenutku t = kT se može aproksimirati sa m( ) (kT ) = 1
1 T
{ m( kT ) − m ( k −1) T } .
(1.47) Na sličan način se procenjuju viši izvodi od m(t ) u trenucima odabiranja. Na primer, m ( kT ) = ( 2)
1
{m T
( 1)
( kT ) − m( 1) ( k − 1) T } .
(1.48) Zamenom prvih izvoda u (1.48) odgovarajućim izrazima tipa (1.47) dobija se m( ) (kT ) = 2
1 T 2
{ m(kT ) − 2m ( k − 1) T + m ( k − 2) T } .
(1.49) Očigledno, što je procenjivani izvod od m(t ) viši, to je potrebno pamtiti veći broj odbiraka koji prethode intervalu odbiranja u kome se procenjuje funkcija m(t ) . Preciznije, kada se procenjuje izvod m( n) (kT ), potrebno je pamtiti (n + 1) vrednosti signala. Otda u opštem slučaju kolo zadrške sadrži niz elemenata za pamćenje i čisto vremenske (transparentno) kašnjenje predhodnih odbiraka. Broj tih elemenata raste sa stepenom tačnosti koji se želi postići u procjenjivanju zakona promene (1.45). S tim u vezi treba imati u vidu da prisustvo većih kašnjenja unutar konture sistema sa povratnom spregom po pravilu smanjuje pretek stabilnosti tako da se pokušaji procene viši izvoda u kolu zadrške sa ciljem vernije procene signala m(t) suočavaju sa ozbiljnim problemom stabilizacije sistema. Šta više, kola zadrške koja koriste više izvode su kompleksnija i znatno skuplja. To su razlozi zbog kojih se u praksi koristi najčešće kolo zadrške nultog reda koje procjnjuje m(t) kao stepenasti signal čije su vrijednosti između sukcesivnih trenutaka odabiranja konstantne i jednako u odbircima u povorci u*(t). Izuzetno se primjenjuje kolo zadrške prvog reda, koje procjenjuje signal mk (t) u vidu segmenta kose prave, odnosno polinoma prvog reda, a na osnovu odbiraka u(kT) i u[(k-1)T].
1.7. Kolo zadrške nultog reda Već je pomunuto da kolo zadrške nultog reda na svom izlazu daje signal sa talasnim oblikom koji ima konstantne vrednosti između dva sukcesivna trenutka odabiranja, tj. gde su: mk ( t )
= u ( kT ) za kT ≤ t < ( k + 1) T pri svim k =0,1,2...
(1.50)
Sl.3.19 Način rada kola zadrške nultog reda: *
u ( t ) -ulazna povorka odbiraka, m(t) Kontinualni signal na izlazu
Sl.3.20 (a) Jedinična impulsna pobuda (b)Normalni impulsni odziv kola zadrške nultog reda.
Prema tome, ovo kolo konvertuje povorku u*(t) brojnih vrednosti odbiraka u analogni signal m(t) kao na sl. 3.19. Odziv ovog kola na jediničnu impulsnu pobudu u trenutku t =0 ima oblik prikazan na sl. 3.20. gde je g h 0 ( t )
− h ( t ) − h ( t − T ) .
(1.51) Pošto je ovo, po pretpostavci, normalan impulsni odziv (početni uslovi jednaki nuli), Laplaceova transformacija od g h0(t) je, po definiciji, funkcija prenosa kola zadrške nultog reda: Gh 0 ( s )
1 − e−Ts
= £ g h 0 ( t ) =
s
.
(1.52) Od interesa je proučiti frekvencijske karakteristike ovog kola. Smenom s=jω u (1.52) dobija se Gh 0 ( jω )
=T
=
1 − e− jω T jω
e jωT / 2 − e− jω T / 2 j 2 ( ω T / 2 )
e − jω T /2
sin ( ω T / 2 ) − jω T /2 sgn sin ( ω T / 2 ) . e ω T / 2
= (1.53)
Dakle, amplitudna frekvenciska karakteristika kola zadrške nultog reda je Gh 0 ( jω )
= T
sin ( ωT / 2 ) 2π sin ( πω / Ω ) = . ωT / 2 Ω πω / Ω
(1.54) Fazna frekvencijska karakteristika kola zadrške nultog reda se dobija iz (1.53) kao − jω T / 2 sgn sin ( ω T / 2 ) ili e− jπω / Ω sgn sin ( πω / Ω ) . Kad god se argument izraza e funkcija sin ( πω / Ω ) nalazi u pozitivnoj poluperiodi, njen doprinos u argumentu ovog izraza je -2kπ (k = 0,1,2,...), a kad se nalazi u negativnoj poluperiodi, gdje je s gn sin ( πω / Ω ) = −1 , taj doprinos je –(2k+1)π (k =0,1,2,...). Ovakvim rezonovanjem se zaključuje da je fazna frekvencijaska karakteristika data sa ∞ ω T Gh 0 ( jω ) = − − π k { h ( ω − k Ω ) − h ω − ( k + 1 ) Ω } 2 k = 0
∑
(1.55)
Sl.3.21 Frekvencijeske karakteristike kola zadrške nultog reda
Na slici 3.21 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda, koje pokazuju da se ovo kolo ponaša kao NF filter. Poređenjem sa idealnim NF filtrom se vidi da postoje karakteristična odstupanja. Za razliku od idealnog NF filtra, kolo zadrške nultog reda nema ravnu, već nagibnu amplitudnu frekvencisku karakteristiku u područiju učestanosni osnovnog spektra ω ≤ Ω / 2 . Otuda kolo zadrške nultog reda unosi slabljenja amplituda viših harmonika unutar osnovnog spektra povorke odbiraka.Pored toga, dok idealni NF filtar definitivno uklanja harmonike unutar svih komplementiranih spektara, kolo zadrške te harmonike propušta oslebljene.Pri tome nivo slabljenja se povećava za harmonike komplementarnih spektara viših područja učestanosti.Prema tome u analognom signalu na izlazu kola zadrške nultog reda sadržani su dijelom oslabljeni harmonici osnovnog spektra povorke odbiraka na ulazu i pridruženi zantno oslabljeni harmonici iz komplementarnih spektara povorke odbiraka.Ovo se može konstatovati I na osnovu sl.3.19, gdje su u talasnom obliku signala m(t) na izlazu kola zadrške nultog reda vide skokovite promjene usled prisustva viših harmonika.Slika 3.21, takođe pokazuje značaj izbora periode odabiranja T sa stanovišta filtarskih sposobnosti kola zadrške : što je T manje odnosno Ω veće, ove sposobnosti su efikasnije. U digitalnim sistemima automatskog upravljanja u ulozi kola zadrške nultog reda najčešće se koristi D/A konverttor.Kao što je u poglavlju 2.8.1 rečeno, ako je prihvatni registar unutar D/A konvertora dovoljne dužine , tako da prihvata bez odsijecanja sve digitalne vrijednosti odbiraka ulazne povorke u* (t ) , tada analogni signal na izlazu konvertora ostaje sa zatečenom konstantnom vrijednošću sve dok se ulazni digitalni signalne promjeni , tj.konvertor vrši funkciju kola zadrške nultog reda .Ako brojne vrijednosti većih odbiraka premašuju dužinu prihvatnog registra, dolazi do odsjecanja usled konačne dužine riječi I tada se D/A konvertor može predstaviti kao kolo zadrške nultog reda sa redno pridruženom nelinearnošću tipa zasićenja.
Kad je riječ o D/A konvertoru u ulozi kola zadrške nultog reda, treba imati u vidu svojstvo konvertora da može služiti kao množač digitalnih signala na ulazu sa naponom napajanja konvertora, pa je, u stvari, funkcija prenosa, D/A konvertora Gh 0 ( s )
=
M ( s ) U * ( s)
= K h
1 − e−Ts s
(1.56) Priroda koeficienata proporcijonalnosti K h je V/(brojna vrednost). Na primjer, za 8-bitni D/A konvertor čiji se izlazni napon može mijenjati od -10 V do +10 V ovaj koeficijent ima vrednost K h = 10/28 =0,0390625 V/(brojna vrednost). Na kraju treba napomenuti da kolo zadrške nultog reda na zadovoljavajući način obavlja zahtjevane funkcije u digitalnom sistemu automatskog upravljanja. Prisustvo viših harmonika u signalu na izlazu ovog kola ne prouzrokuje ozbiljnije probleme, jer kontinualni deo sistema sam posjeduje niskopropusni karakter ponašanja. Naime, objekat upravljanja djeluje kao NF filter, što u velikoj mjeri potiskuje prisustvo viših harmonika u kontinualnom delu zatvorene konture digitalnog sistema sa povratnom stegom.
1.8. Kolo zadrške prvog reda Ovo kolo vrši promjenu kontinualnog signala m(t) na svom izlazu između trenutaka odabiranja kT i (k+1) u vidu polinoma prvog reda (segmenta prave), a na osnovu vrijednosti odbiraka u(kT) i u ( k − 1) T na svom ulazu.Ovakav postupak ekstrapolacije odbiraka u kontinualan signal se možeizraziti pomoću prva dva člana Taylorovog reda (1.44) Dakle mk ( t )
= u ( kT ) + u1 ( kT ) ( t − kT ) , kT ≤ t < ( k + 1) T
(1.57) 1 Zamjenom prvog izvoda u ( ) ( kT ) procjenjenog na osnovu u ( kT ) I (1.47) dobija se : mk ( t )
= u ( kT ) + 1 { u ( kT ) − u ( k − 1) T } ( t − kT ) T
u ( k − 1) T sa
(1.58) Normalan impulsni odziv g h1 ( t ) se dobija pobudom kola sa jediničnim impulsom u trenutku t=0.Stoga se za k=0 iz (1.58) dobija:
m0 ( t )
(1.59)
= u ( 0 ) + 1 u ( 0 ) − u ( −T ) t , T
0 ≤ t < T
Pošto je jedinični impuls u ( 0 ) = 1 , a u ( −T ) = 0 , normalni impulsni odziv kola zadrške prvog reda u intervalu 0 ≤ t < T ima oblik : g h1 ( t )
= m0 ( t ) = 1 + t
T
(1.60) Odziv u intervalu m1 ( t )
T
≤t <
2T
se može dobiti postavljenjem k=1 u(1.58).Tako se dobija:
= u ( T ) + 1 u ( T ) − u ( 0 ) ( t − T ) T
(1.61) S obzirom das u u ( 0 ) =1 i u(T)=0, g k 1 ( t ) u intervalu g h1 ( t )
T
≤t <
2T
postaje :
= m1 ( t ) = 1 − t
T
(1.62) Normalni impulsni odziv g h1 ( t ) za k ≥ 1 .
t
≥
2T
je identički jednak nuli, jer je u ( kT ) = 0 za
Stoga i na osnovu (1.60) i (1.62) ovaj odziv ima oblik prikazan na slici 3.22.Analitički izraz za talasni oblik na slici 3.22, koji dakle , predstavlja normalni impulsni odziv g h1 ( t ) za svako t ≥ 0 , dobija se poznatim postupkom superponiranja, kao
g h ( t )
= 1 + t ÷h ( t ) − 2 1 + t − T ÷h ( t − T ) + 1 + t − 2T ÷ h ( t − 2T ) T T T
(1.63)
Sl.3.22. (a) Jedinična impulsna
Sl.3.23. Način rada kola zadrške prvog reda:
Pobuda. (b) Normalni impulsni
u * ( t ) - ulazna povorka odbiraka , m(t)-
Odziv kola zadrške prvog reda.
Kontinualan signal na izlazu.
Pa je funkcija prenosa kola zadrške nultog reda :
Gh1 ( s )
= M*( s) = £ g h1 ( t ) = Ts +2 1 ( 1 − e −Ts ) U ( s)
2
Ts
1.64) Na slici 3.23 je pokazano kako ovo kolo vrši ekstrapolaciju povorke odbiraka u kontinualan signal.Kao što se vidi ova ekstarpolacija nije bitno bolja u poređenju sa rezultatom rada kola zadrške nultog reda;štaviše , u pojedinim intervalima odabiranja ona je čak lošija.S druge strane , funkcija prenosa (1.64) pokazuje da kolo zadrške prvog reda sadrži veće integralno dejstvo, što u području viših učestanosti povećava grupno kašnjenje, odnosno nagib fazne frekvencije karakteristike-to smanjuje pretek faze I otuda negativno utiče na stabilnost dinamičkog sistema u povratnoj sprezi.Istine radi , treba reći da je pri maloj periodi odabiranja proces ekstrapolacije ovim kolom bolji nego kolom zadrške nultog reda, ali stabilizacija sistema u tom slučaju postaje još kritičnija.Ako se pri tome ima u vidu da kolo zadrške prvog reda zahtjeva bitno složeniju fizičku realizaciju jer, između ostalog mora da pamti dva prethodna odbirka umjesto jednog ,kao kod kola zadrške nultog reda, postaje razumljivo zašto se ovo kolo, kao uostalom i kola zadrške višeg reda, praktično ne koristi u projektovanju digitalnih sistema automatskog upravljanja.
