CENTRO TECNOLÓGICO ESTADUAL PAROBÉ ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL PAROBÉ CURSO TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES
GEOMETRIA DESCRITIVA
Polígrafo elaborado pela Professora Carmen Moniz, Coordenadora do Componente Curricular.
Porto Alegre 2009
SUMÁRIO Carga Horária............................ Horária............................................ .............................. ............................ ........................... ............................. .................. .. 03 Competências............................ Competências........................................... ............................ .......................... ............................. .............................. ....................03 ......03 Habilidades............................. Habilidades........................................... ......................... .......................... ............................ ............................ ...........................03 ............03 Material........................ Material......................................... ............................... ........................... .......................... ............................ ............................... ...................03 ...03 Conteúdos Programáticos e Formas de Desenvolvimento..................................... Desenvolvimento.....................................04 04 ....................................... ......................... ......................... .......................... ........................... ........................... ......................05 .........05 Iniciação.......................... 1. Traçado de Linhas à Mão Livre................... Livre................................... .............................. .......................... ...................06 .......06 2. Letra Técnica..................................... Técnica.................................................. ......................... ............................... ............................... ..............06 ..06 Exercícios............................... Exercícios............................................. ......................... ........................... .................................. .............................08 ...........08 3. Selo............................. Selo............................................. .............................. .......................... ......................... .............................. ..........................13 .........13 Selo Utilizado no Componente Curricular................ Cur ricular............................. ........................... .......................14 .........14 4. Formatos e Margens.................................... Margens................................................. ............................ .......................... ....................14 .........14 5. Dobras............................... Dobras............................................. ........................... .......................... ............................ ........................... ....................14 ........14 6. Traçado com Instrumentos de Desenho............................ Desenho.......................................... ..........................1 ............16 6 7. Escala............................. Escala............................................ ............................ ......................... .............................. ............................. ...................17 ........17 8. Cotas........................... Cotas.......................................... ............................ ......................... ............................ .............................. .........................18 ...........18 9. Perspectiva................................ Perspectiva............................................ ......................... .......................... ........................... ............................19 ..............19 ....................................... .......................... ........................... .......................... ..........................21 ..............21 Geometria Descritiva.......................... 1. Sistemas de Projeção..................................... Projeção.................................................... ............................ ......................... .................22 .....22 2. Planos de Projeção............ Pro jeção......................... ........................... ........................... .......................... ......................... .....................23 .........23 3. Estudo do Ponto........................ Ponto.................................... ......................... ............................... ............................... .......................25 ..........25 Lay out para as folhas de exercício............................ exercício........................................ ......................... .....................28 ........28 4. Estudo da Reta........................ Reta..................................... ......................... ........................... ........................... ......................... ................29 ...29 Posições da Reta........................ Reta.................................... ......................... ......................... ......................... .......................... ...............30 ..30 Exercicios de Reta......................... Reta..................................... ........................ ......................... ........................... .........................31 ...........31 5. Estudo do Plano.......................... Plano........................................... .............................. ........................... ......................... ...................32 ........32 Posições do Plano........................... Plano........................................ ......................... ......................... ......................... ......................33 ..........33 Exercicios............................. Exercicios......................................... ......................... .......................... ................................. ................................ ..............34 ..34 6. Estudo do Solido........................ Solido...................................... .......................... .......................... ........................... ......................... ............37 37 Exercicios de Solido......................... Solido...................................... .......................... ........................... ......................... ....................38 .........38 Bibliografia............................ Bibliografia........................................ ............................ ............................... ............................. ........................... ...............44 ..44
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SUMÁRIO Carga Horária............................ Horária............................................ .............................. ............................ ........................... ............................. .................. .. 03 Competências............................ Competências........................................... ............................ .......................... ............................. .............................. ....................03 ......03 Habilidades............................. Habilidades........................................... ......................... .......................... ............................ ............................ ...........................03 ............03 Material........................ Material......................................... ............................... ........................... .......................... ............................ ............................... ...................03 ...03 Conteúdos Programáticos e Formas de Desenvolvimento..................................... Desenvolvimento.....................................04 04 ....................................... ......................... ......................... .......................... ........................... ........................... ......................05 .........05 Iniciação.......................... 1. Traçado de Linhas à Mão Livre................... Livre................................... .............................. .......................... ...................06 .......06 2. Letra Técnica..................................... Técnica.................................................. ......................... ............................... ............................... ..............06 ..06 Exercícios............................... Exercícios............................................. ......................... ........................... .................................. .............................08 ...........08 3. Selo............................. Selo............................................. .............................. .......................... ......................... .............................. ..........................13 .........13 Selo Utilizado no Componente Curricular................ Cur ricular............................. ........................... .......................14 .........14 4. Formatos e Margens.................................... Margens................................................. ............................ .......................... ....................14 .........14 5. Dobras............................... Dobras............................................. ........................... .......................... ............................ ........................... ....................14 ........14 6. Traçado com Instrumentos de Desenho............................ Desenho.......................................... ..........................1 ............16 6 7. Escala............................. Escala............................................ ............................ ......................... .............................. ............................. ...................17 ........17 8. Cotas........................... Cotas.......................................... ............................ ......................... ............................ .............................. .........................18 ...........18 9. Perspectiva................................ Perspectiva............................................ ......................... .......................... ........................... ............................19 ..............19 ....................................... .......................... ........................... .......................... ..........................21 ..............21 Geometria Descritiva.......................... 1. Sistemas de Projeção..................................... Projeção.................................................... ............................ ......................... .................22 .....22 2. Planos de Projeção............ Pro jeção......................... ........................... ........................... .......................... ......................... .....................23 .........23 3. Estudo do Ponto........................ Ponto.................................... ......................... ............................... ............................... .......................25 ..........25 Lay out para as folhas de exercício............................ exercício........................................ ......................... .....................28 ........28 4. Estudo da Reta........................ Reta..................................... ......................... ........................... ........................... ......................... ................29 ...29 Posições da Reta........................ Reta.................................... ......................... ......................... ......................... .......................... ...............30 ..30 Exercicios de Reta......................... Reta..................................... ........................ ......................... ........................... .........................31 ...........31 5. Estudo do Plano.......................... Plano........................................... .............................. ........................... ......................... ...................32 ........32 Posições do Plano........................... Plano........................................ ......................... ......................... ......................... ......................33 ..........33 Exercicios............................. Exercicios......................................... ......................... .......................... ................................. ................................ ..............34 ..34 6. Estudo do Solido........................ Solido...................................... .......................... .......................... ........................... ......................... ............37 37 Exercicios de Solido......................... Solido...................................... .......................... ........................... ......................... ....................38 .........38 Bibliografia............................ Bibliografia........................................ ............................ ............................... ............................. ........................... ...............44 ..44
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CARGA HORÁRIA 5 horas-aula/semana – de 80 a 100 horas-aula/semestre
COMPETÊNCIAS
Interpretar as legislações e as normas técnicas pertinentes. Interpretar as convenções do desenho técnico. Aplicar normas, métodos, técnicas e procedimentos visando à qualidade do trabalho. Conhecer os entes geométricos (ponto, reta, figuras planas e sólidos) no espaço tridimensional. Conhecer a planificação do sistema espacial – épura - dos entes geométricos projetados nos planos ortogonais de projeção. Compreender a visualização tridimensional.
HABILIDADES
Desenvolver levantamentos, croquis e esquemas gráficos usando grafite e ferramentas computacionais, de acordo com as normas técnicas. Usar os instrumentos, ferramentas e tecnologia disponível apropriadamente para a execução de trabalhos. Observar as normas técnicas de desenho. Desenvolver a visualização espacial e planificada Aplicar adequadamente os conceitos e princípios da geometria descritiva. Utilizar adequadamente os instrumentos de desenho.
MATERIAL
Régua “T” ( 80 cm) ou paralela (conforme mesa)
Escalímetro (1:100; 1:50; 1:20). Esquadro de precisão 45° Esquadro de precisão 30°/60° Lapiseira 0,5 Fita adesiva Borracha Compasso 25 folhas de papel sulfite tamanho A3 com margem 2 folhas de papel manteiga formato A1 Material de limpeza (pano, “bigode”, benzina ou álcool,...) Material a ser adquirido no setor de cópias (polígrafo)
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CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS E FORMAS DE DESENVOLVIMENTO 1. Normas e exercícios de traçado à mão livre de linhas perpendiculares em folha sulfite A4. 2. Letra Técnica tipo bastão: normas e exercícios; Selo: utilização, dimensões, componentes e elaboração de selo utilizado na disciplina de Geometria Descritiva. 3. Normas de formatos A1, A2, A3, A4 e A5, margens e dobras utilizadas em trabalhos técnicos: exercício prático em papel manteiga. 4. Normas do traçado com instrumentos de de desenho e exercício de fixação em papel sulfite A3, com a utilização dos instrumentos de desenho. 5. Escala de ampliação, escala natural e escala de redução; utilização do escalímetro, exercícios de fixação no polígrafo e exercícios em folha A3 representando uma planta baixa simplificada em três escalas distintas, evidenciando espessura das paredes, aberturas (simplificadas) e cotas. 6. Perspectiva paralela cavaleira e isométrica; Exercícios de volumes cotados, representados nas duas perspectivas e exercício de planta baixa representada em perspectiva isométrica (iniciação ao esteriograma). 7. Sistemas de Projeção: Sistema Cônico e Sistema Cilíndrico (oblíquo e ortogonal); Planos de Projeção a partir do Sistema Mongeano: Plano Horizontal, Vertical e de Perfil; Sistema Espacial – TRIEDRO – e Planificação do Sistema Espacial – ÉPURA. Estudo do Ponto: Abscissa, afastamento e cota; Coordenadas Descritivas; Localização do ponto no triedro e na épura. 8. Exercícios de ponto. 9. Estudo da Reta: Projeções ortogonais de retas no triedro e na épura; Análise das projeções nos planos de projeção; Classificação das retas. 10. Exercícios de reta. 11. Estudo do plano: Projeções ortogonais de planos no triedro e na épura; Análise das projeções nos planos de projeção; Classificação dos planos. 12. Exercícios de plano. 13. Avaliação dos conteúdos abordados. abordado s. 14. Estudo dos sólidos: Substituição da projeção ortogonal no triedro (construída através de coordenadas descritivas) por representação em perspectiva isométrica a 30°, cotada, e respectiva representação em épura. 15. Exercícios de sólidos. 16. Avaliação dos conteúdos abordados. abordado s.
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5
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Iniciação
1. TRAÇADO DE LINHAS À MÃO LIVRE O traçado à mão livre deve seguir as ordens: 1. Da esquerda para a direita 2. De cima para baixo A linha pode ser: 1. Cheia – linha propriamente dita. 2. Tracejada – projeção de uma linha. 3. Traço-ponto – eixo de simetria. 4. Curva. As linhas paralelas devem obedecer a espaçamentos regulares e em desenho arquitetônico são traçadas usualmente: 1. Na horizontal 2. Na vertical 3. Inclinadas (30°, 45° e 60°)
2. LETRA TÉCNICA O tipo bastão é recomendado pelas normas brasileiras de desenho técnico “NB 8”.
Ele pode ser do tipo vertical, onde as hastes são representadas a 90°, ou do tipo inclinado, onde as hastes são representadas a 75°.
Proporções: 1. Escolher a altura (pauta) da letra 2. Dividir a pauta (h) em três partes iguais e acrescentar 1/3 para baixo. 3. O corpo das letras minúsculas ocupa 2/3 da pauta. As hastes superiores e inferiores ocupam devidamente 1/3 para cima e 1/3 para baixo. Hastes superiores Letras minúsculas
Hastes inferiores
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Espaçamentos: 1. Entre letras: de 1/7 até 2/7 da pauta “h”. 2. Entre palavras: 4/7 da pauta “h” . Observações: 1. O espaçamento correto deve ser ótico e não mecânico. Acima temos apenas uma noção para iniciar os espaçamentos. 2. O estilo, a altura, a verticalidade ou inclinação e a espessuras dos traços devem ser uniformes, garantindo condições de um bom letreiro. 3. Todos os trabalhos técnicos feitos em Desenho Técnico Básico, em Geometria Descritiva, em Desenho Arquitetônico e outros devem ser escritos com letras e algarismos técnicos. 4. Toda escrita deve estar apoiada nas linhas guias, garantindo sua regularidade. Estas linhas devem ser traçadas com pouca expressão e não precisam ser apagadas.
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Exercícios: 1. Escrever com letra técnica, conforme as normas de traçado à mão livre, proporções e espaçamentos, as letras e os algarismos que seguem: 2. Desenhar cada letra, o número de vezes que for possível fazer no espaço ao lado.
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3. SELO
O selo ou legenda é utilizado nos trabalhos técnicos para uniformizar as informações que constam na prancha, organizando todo o conjunto de plantas. O selo identifica cada prancha. A altura do selo varia conforme necessidade; A largura e de 17,5cm ou 18,5cm, dependendo do formato utilizado. O selo ocupa o espaço da 1ª dobra, localizado junto à margem direita, no canto inferior da folha. No selo feito à mão livre a escrita e os algarismos devem ser com letra técnica, com a utilização de linhas guias para manter a uniformização.
Deve possuir os seguintes itens, ficando a critério do escritório o acréscimo ou supressão de alguns: 1. Título do projeto (casa residencial, edifício comercial,...). 2. Endereço da obra. 3. Marca e nome da construtora. 4. Proprietário (nome e espaço para assinatura) 5. Projeto (nome do responsável técnico, assinatura e nº do CREA). 6. Execução (nome do responsável técnico, assinatura e nº do CREA). 7. Assunto (desenhos que constam na prancha: fachada, planta baixa,...). 8. Data. 9. Escala. 10. Desenho (1º nome do desenhista). 11. Nº da prancha (geralmente no canto direito inferior, como se fosse a página). Observação: Para os trabalhos desenvolvidos em Desenho Técnico Básico no curso de Edificações usaremos selo com 6 cm de altura com as seguintes informações: CENTRO TECNOLÓGICO ESTADUAL PAROBÉ Componente Curricular: GEOMETRIA DESCRITIVA Assunto: ....................... Turma: ..........; Professor: .......................... Data: ............; Aluno: .......................................; Visto: .......... Logotipo do aluno no canto superior esquerdo. Nº da prancha no canto inferior direito.
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Exercício: Desenhar um selo para o componente com caixas de 1 cm, medindo 17,5 X 6,0, contendo todas as informações necessárias.
CENTRO TECNOLÓGICO ESTADUAL PAROBÉ TURMA DATA
1
CURSO TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES COMPON. CURR. GEOMETRIA DESCRITIVA ALUNO FULANO DE TAL ASSUNTO TRAÇADO COM INSTRUMENTOS
3,0
2
1
1
VISTO
12,5
1
2,0
17,5
4. FORMATOS E MARGENS A associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) normalizou os formatos das folhas de desenho criando a série “A”. Estes formatos têm origem na folha A0 que mede 84,10cm por 118,90cm que é igual a 1m². Dividindo-se a folha A0 no meio, obtemos duas folhas A1 e assim sucessivamente. As margens também são normalizadas. formato A0 A1 A2 A3 A4 A5
dimensões em mm 841 X 1189 594 X 841 420 X 594 297 X 420 210 X 297 148 X 210
margem esquerda 25 25 25 25 25 -
demais margens 10 10 7 7 7 -
legenda 175 175 178 178 178 -
5. DOBRAS Como o formato A4 corresponde ao tamanho de arquivo, os demais formatos devem ser dobrados a partir dele. O procedimento para dobrar o papel, planta ou prancha segue este modelo, sempre permanecendo o selo para frente, conforme o esquema:
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Efetua-se o dobramento a partir do lado direito em dobras verticais de 185 mm.
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6. TRAÇADO COM INSTRUMENTOS DE DESENHO Todo traçado com instrumentos de desenho deve ser feito com folha previamente fixada na mesa, de acordo com a régua “T” ou paralela, e seguir as ordens: 1. Da esquerda para a direita – sobre régua “T” ou paralela. 2. Debaixo para cima – apoiado em um esquadro, que por sua vez, estará apoiado na régua “T” ou paralela.
O uso das linhas no desenho arquitetônico: Traço fino cheio cotas, azulejos, pisos, aberturas. Traço cheio grosso linhas visíveis e de contorno. Traço-ponto fino eixo de simetria. Traço-ponto grosso cortes ou seções.
O uso das cores no desenho arquitetônico: Preto ou azul existente. Amarelo a demolir (reforma). Vermelho a construir. Verde concreto, estrutura.
Exercício: 1. Em uma folha de papel sulfite A3 (prancha 1) fazer 10 repartições. Utilizando as técnicas de traçado com instrumentos, traçar linhas paralelas com espaçamento de 0,5cm e os seguintes ângulos: Linha cheia, 0 graus; Linha cheia, 90 graus; Linha cheia, 45 graus; Linha cheia, 30 graus; Linha cheia, 60 graus; Linhas cheias cruzadas, 0 e 90 graus; Linhas cheias cruzadas, 45 e 135 graus; Linhas cheias, curvas, com um mesmo vértice; selo Linhas tracejadas, 0 graus; Linhas traço-ponto, 90 graus.
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7. ESCALA Escala é a relação constante existente entre as dimensões de um desenho e as dimensões reais do desenho que ele representa. A Escala de Ampliação é utilizada quando se deseja desenhar objetos de pequenas dimensões. Nesta escala duas unidades de desenho são representadas por uma unidade do objeto (esc. 2:1). Ex: Instrumentos científicos, pequenas peças,... A Escala Natural é utilizada para representar os objetos no tamanho real. A unidade do desenho é igual à unidade do objeto (esc. 1:1). O desenho é feito em verdadeira grandeza (VG). Ex: Trabalhos de entalhe, letreiros, modelos,... A Escala de Redução é utilizada quando se deseja desenhar objetos de grandes dimensões. Nesta escala o desenho é invariavelmente menor do que o objeto desenhado em escalas variadas como: 1:20, 1:50, 1:100, etc. Ex: Plantas de arquitetura, topografia, estruturas, máquinas,... Escala 1 - unidade constante 100 - nº de vezes que foi dividido o metro (dividindo-se o metro em 100 partes iguais, temos cada parte medindo 1cm. Trata-se da régua comum).
Escala 1 50
- unidade constante - nº de vezes que foi dividido o metro (dividindo-se o metro por 50 partes iguais, temos cada parte medindo 2cm. Trata-se de um desenho maior do que o anterior).
Escala 1 20
- unidade constante - nº de vezes que foi dividido o metro (dividindo-se o metro em 20 partes iguais teremos um desenho ainda maior do que o anterior).
Exercícios: 1. Representar nas escalas 1:100, 1:50 e 1:20 três retas medindo: o 2,0m 1,30m 0,50m 1,80m 0,25m
2. Desenhar retas conforme metragem e escala indicadas: 7,95m na escala 1:100 3,40m na escala 1:50 46m na escala 1:500
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8. COTAS Chamamos de cotas as medidas de um objeto desenhado em perspectiva ou as medidas de uma planta arquitetônica desenhada em planta baixa ou corte. Um desenho cotado é aquele que contempla todas as suas medidas, estando ele em escala ou não. Para que se faça uma correta leitura das cotas é necessário obedecer a algumas regras gerais: 1. As linhas de cota devem correr paralelamente com a aresta do desenho que queremos dar a medida. 2. Estas linhas de cota devem ter início e fim exatamente nas mesmas dimensões do desenho, feito através de um pequeno traço (aproveitandose a perspectiva do desenho). 3. Além do início e término da linha de cota conforme desenho, deve-se ainda enfatizar o tamanho desta linha em outra direção, com um traço pequeno e mais expressivo. 4. A medida deve ser escrita entre linhas guias, sem a inicial m de metro, ou cm de centímetros e sempre sobre a linha de cota.
As cotas oblíquas devem acompanhar as linhas de cotas e estas devem ser paralelas à
Cotas horizontais As cotas verticais devem acompanhar a linha de cota, como se o observador estivesse à direita do desenho.
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Exercício: 1. Em folha de papel sulfite A3 (prancha 2) represente um lavabo de 1,20m x 1,55m nas escalas 1/10, 1/20 e 1/50 com os seguintes dados: Lavatório de 0,60m x 0,40m, vaso sanitário de 0,40m x 0,60m, janela centralizada medindo 0,80 x 0,60 x 1,50 em parede de 25 cm e porta de 0,70m. As demais paredes devem ser de 15 cm. Os equipamentos devem ter 20 cm de afastamento da parede e entre eles o afastamento deve ser de 15 cm.
PLANTA BAIXA ESC. 1/50
PLANTA BAIXA ESC. 1/20
PLANTA BAIXA
selo
ESC. 1/10
9. PERSPECTIVA As perspectivas podem ser CÔNICAS, com ponto de fuga e representação bem próxima da realidade, ou CILÍNDRICAS, também chamadas de PARALELAS, sem ponto de fuga e com as visuais de profundidade paralelas entre si. As PERSPECTIVAS CILÍNDRICAS apesar de não corresponderem a realidade, são muito utilizadas em esboços, croquis e desenhos rápidos, por sua facilidade de execução. Estudaremos noções básicas de dois tipos: Cavaleira e Isom étrica. PERSPECTIVA PARALELA CAVALEIRA
LT
LT = linha de terra Linhas // (paralelas) a LT = projetadas em VG Linhas (perpendiculares) a LT= proj. em VG Linhas a 45° (profundidade) = redução de 50
Esta perspectiva e geralmente utilizada com ângulo de 45 °, mas também pode ser desenhada com outros ângulos: 19
cavaleira a 45 ° – redução de 50% cavaleira a 30 ° – redução de 1/3 do tamanho real cavaleira a 60 ° – redução de 2/3 do tamanho real
PERSPECTIVA PARALELA ISOMÉTRICA
LT = linha de terra Linhas // (paralelas) a LT = não ha Linhas (perpendiculares) a LT= VG Linhas a 30° (nos dois sentidos) = VG LT
Esta perspectiva e mais utilizada a 30 °, mas também pode ser construída a 45 ° ou ainda a 60°, sendo que estas fogem bastante da realidade.
Exercício: Em folha de papel sulfite A3 (prancha 3) represente: 1. Um cubo e uma escada cotados, de 300 x 300 cm, em perspectiva cavaleira e em perspectiva isométrica; 2. O lavabo da prancha 2 em perspectiva isométrica na escala 1/20
5, 8
PERSPECTIVA CAVALEIRA ESC. 1/100
ESTERIOGRAMA ESC. 1/20 PERSPECTIVA ISOMETRICA ESC. 1/100
5, 6
selo
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Geometria Descritiva
1. SISTEMAS DE PROJEÇÃO Geometria Descritiva e a ciência que estuda as figuras do espaço no plano; Um objeto que existe em 3D será representado no plano de projeção em 2D, através de linhas projetantes. A projeção de um objeto e ’ sua representação gráfica no plano de projeção. observador objeto linha projetante projeção plano de projeção
Os sistemas de projeção podem ser:
a) Cônico ou Central O centro de projeção fica a uma distancia finita; As linhas projetantes são divergentes; A projeção é deformada em relação ao objeto. b) Cilíndrico Obliquo O centro de projeção fica no infinito; As linhas projetantes são paralelas entre si e formam ângulo menor que 90 ° em relação ao plano de projeção; A projeção não é deformada. c) Cilíndrico Ortogonal O centro de projeção esta no infinito; As linhas de projeção são paralelas entre si e formam em ângulo de 90 ° em relação ao plano de projeção; A projeção não é deformada. Este é o sistema de projeção utilizado pelo método mongeano em geometria descritiva. a)
b)
c)
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2. PLANOS DE PROJEÇÃO Geometria Descritiva é uma ciência que estuda os métodos de representação das figuras espaciais sobre um plano. Surgiu no século XVII a partir dos estudos de Gaspard Monge1 resolvendo muitos problemas de construção de vistas ortogonais, obtenção de verdadeiras grandezas de cada face de um objeto e construções de protótipos de objetos representados, dando grande impulso à indústria. O método de Monge consiste na interseção de dois planos: plano horizontal e plano vertical; onde são representadas as projeções ortogonais dos objetos, através de suas coordenadas descritivas. PV SUPERIOR SISTEMA ESPACIAL II DIEDRO
I DIEDRO LT
PH POSTERIOR PH ANTERIOR III DIEDRO
IV DIEDRO PV INFERIOR
Gaspard Monge desenvolveu seus estudos a partir da representação em perspectiva dos 4 quadrantes. Os elementos fundamentais do Método de Monge são os planos horizontais e verticais (PH e PV), perpendiculares entre si. Eles são considerados infinitos e dividem o espaço em 4 regiões denominadas: primeiro, segundo, terceiro e quarto diedro. Assim qualquer ponto no espaço pode ter sua representação neste sistema.
z
PP
1° TRIEDRO
PV y PH
Neste polígrafo estudaremos apenas o 1 ° diedro, que é formado pelo PHA e PVS. Acrescentamos a este conjunto, mais um plano de projeção: o plano de perfil ou plano auxiliar, formando assim o 1 ° triedro, inserido nos eixos x, y e z.
1 Gaspard
Monge (1746 – 1818) foi um sábio desenhista e matemático francês, fundador da escola politécnica francesa, criador da geometria descritiva e grande teórico da geometria analítica. Gaspard Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que representava apenas a planta, a elevação e o perfil. Este interesse em estudar esta técnica resultou de impulso patriótico que visou tirar a Franca da dependência da indústria estrangeira. 22
x
PP
REBATENDO O SISTEMA A geometria descritiva consiste em representar no plano as figuras do espaço. Para tanto, giramos o PH para baixo e o PP para trás, abrindo o triedro que ainda esta sendo observado em perspectiva.
PV
PH pode ser chamado de PV pode ser chamado de PP pode ser chamado de LT pode ser chamada de
π1 π2 π3 π1π2
PH
π2
π3 SISTEMA PLANIFICADO Os planos de projeção são visualizados ortogonalmente ao observador, vemos cada plano absolutamente de frente para ele.
π1
REBATIMENTO
ÉPURA Sistema planificado propriamente dito. Não possui mais as linhas limítrofes do sistema espacial, configurando planos infinitos.
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3. ESTUDO DO PONTO Um ponto é representado no Sistema Mogeano através de suas projeções, definidas pelas coordenadas descritivas, nos planos de projeção. PLANO HORIZONTAL............................PH............ π1 PLANO VERTICAL.................................PV............. π2 PLANO DE PERFIL OU AUXILIAR.........PP............. π3 OU π0
Abscissa - Distância do ponto a um lugar de referencia marcado aleatoriamente sobre a linha de terra ( π1 π2). Valores marcados a direita deste são positivos e valores marcados a esquerda deste são negativos. A abscissa marca o ponto de referencia no espaço, a profundidade, e corresponde a 1ª coordenada descritiva do ponto estudado. Afastamento – Dis tância do Plano Vertical π2, projetada no Plano Horizontal π1. O afastamento é uma distância lateral e corresponde a 2ª coordenada descritiva do ponto estudado. Cota – Distância do ponto ao Plano Horizontal π1, projetada no Plano Vertical π2. A cota é uma relação de altura e corresponde a 3 ª e ultima coordenada descritiva do ponto estudado. Ponto P: (x; y; z)
nome do ponto
abscissa
afastamento
cota
z
p’’
p’’’
p’’
p’’
AFASTAMENTO
P y
p’ ABSCISSA X
p’ 24
Exercicios: Um ponto pode estar localizado em diferentes posições no triedro: 1. O ponto está no espaço quando possui afastamento e cota, independente de sua coordenada de abscissa. Ex: A ( 1 ; 2 ; 3 )
2. O ponto está no plano horizontal quando possui afastamento diferente de zero e cota igual a zero (não tem altura), independente de sua coordenada de abscissa. Ex: B ( 1 ; 3 ; 0 )
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3. O ponto está no plano vertical quando possui afastamento igual a zero (não tem afastamento) e cota diferente de zero, independente de sua coordenada de abscissa. Ex: A ( 1 ; 0 ; 3 )
4. O ponto está na linha de terra quando não possui afastamento e nem cota, independente de sua coordenada de abscissa. Ex: A ( 2 ; 0 ; 0 )
26
Exercícios de ponto Represente no triedro e em épura e localize os pontos abaixo: 1. Ponto A ( 3 ; 2 ; 3 ) 2. Ponto B ( 2 ; 1 ; 3 ) 3. Ponto C ( 1 ; 3 ; 2 ) 4. Ponto D ( 0 ; 3 ; 1 ) 5. Ponto E ( 3 ; 3 ; 1 ) 6. Ponto F ( 0 ; 1 ; 3 ) 7. Ponto G ( 3 ; 2 ; 0 ) 8. Ponto H ( 1 ; 3 ; 0 ) 9. Ponto I ( 2 ; 2 ; 0 ) 10. Ponto J ( 0 ; 3 ; 0 ) 11. Ponto K ( 3 ; 3 ; 0 ) 12. Ponto L ( 0 ; 1 ; 0 ) 13. Ponto M ( 3 ; 0 ; 2 ) 14. Ponto N ( 1 ; 0 ; 3 ) 15. Ponto O ( 2 ; 0 ; 2 ) 16. Ponto P ( 0 ; 0 ; 3 ) 17. Ponto Q ( 1 ; 0 ; 1 ) 18. Ponto R ( 0 ; 0 ; 1 ) 19. Ponto S ( 3 ; 0 ; 0 ) 20. Ponto T ( 1 ; 0 ; 0 ) 21. Ponto U ( 2 ; 0 ; 0 ) 22. Ponto V ( 0 ; 0 ; 0 ) 23. Ponto W ( 0,5 ; 3 ; 1,5 ) 24. Ponto X ( 0 ; 2,5 ; 0 ) 25. Ponto Y ( 1,5 ; 0 ; 0,5 ) 26. Ponto Z ( 0,5 ; 0 ; 0 )
Layout para as folhas de exercícios: 1
6
6
5
5 5
5
5 5
27
4. ESTUDO DA RETA Uma reta projeta todos os seus pontos no plano de projeção. C
D
B
Reta AD
A
Linhas projetantes d’ Projeção a’d’ da reta AD
c’ b’ a’
Projeções de uma reta sobre um plano: E A D
a’e’.
C B
VERDADEIRA GRANDEZA (VG): A reta está paralela ao plano de projeção, tem sua projeção de igual tamanho. Ex: A reta AE tem sua projeção no plano horizontal
e’ d’ c’
a’=b’
PROJEÇÃO ACUMULADA (PA): A reta está perpendicular ao plano de projeção, seus pontos são coincidentes, ou seja, se projetam no mesmo local. Ex: A reta AB tem projeção acumulada a’e’ no plano
horizontal de projeção. PROJEÇÃO REDUZIDA (PR): A reta está obliqua ao plano de projeção. Ex: A reta AC e a reta AD tem suas projeções em a’c’ e a’d’, respectivamente.
Análise das projeções de uma reta: A reta possui uma projeção em cada plano de projeção: Projeção no Plano Horizontal; Projeção no Plano Vertical; Projeção no Plano de Perfil. Para a análise das projeções, devem ser observadas as seguintes relações: 1. Reta e projeção estão // (paralelas) entre si................. VG 2. Reta e projeção estão I (perpendiculares) entre si...... PA 3. Reta e projeção estão (obliquas) entre si................... PR
28
Posições da reta: RETA VERTICAL
RETA DE TOPO π3
π2
π3 π2
π1
abscissas afastamentos cotas
π1 π1 π2 π3
RETA PARALELA A LINHA DE TERRA OU RETA FRONTO HORIZONTAL
abscissas afastamentos cotas
π1 π2 π3
RETA HORIZONTAL OU RETA DE NIVEL
π3 π2
π3 π2
π1
abscissas afastamentos cotas
π1 π1 π2 π3
RETA DE PERFIL
abscissas afastamentos cotas
π1 π2 π3
RETA FRONTAL π3
π2
abscissas afastamentos cotas
π3 π2
π1
π1 π2 π3
abscissas afastamentos cotas
π1
π1 π2 π3
RETA QUALQUER π3 π2
π1
abscissas afastamentos cotas
π1 π2 π3
29
Exercícios de reta Represente no triedro e em épura, classifique e analise as projeções das seguintes retas: 1. Reta AB: A ( 2 ; 3 ; 4 ) B(2;4;2) 2. Reta CD: C ( 0 ; 3 ; 2 ) D(3;3;2) 3. Reta EF: E ( 1,0 ; 2,5 ; 3,5 ) F ( 1,0 ; 2,5 ; 0,0) 4. Reta GH: G ( 2 ; 1 ; 3 ) H(2;2;3) 5. Reta IJ: I ( 1 ; 1 ; 3 ) J(3;3;3) 6. Reta KL: K ( 0 ; 3 ; 1 ) L(3;3;3) 7. Reta MN: M ( 0,5 ; 1,0 ;1,5 ) N ( 3,0 ; 3,5 ; 4,0 ) 8. Reta OP: O ( 1 ; 2 ; 3 ) P(1;2;4) 9. Reta QR: Q ( 1 ; 2 ; 3 ) R(1;4;1) 10. Reta ST: S ( 1 ; 1 ; 3 ) T(3;4;3) 11. Reta UV: U ( 1,0 ; 3,0 ; 1,5 ) V ( 3,0 ; 3,0 ; 3,0 ) 12. Reta WX: W ( 1 ; 1 ; 2 ) X(3;4;1) 13. Reta YZ: Y ( 1 ; 3 ; 4 ) Z(1;3;1) 14. Reta BC: B ( 1 ; 2 ; 3 ) C(4;3;2) 15. Reta DE: D ( 1 ; 1 ; 3 ) E(4;3;1) 16. Reta FG: F ( 3 ; 4 ; 2 ) G(3;3;2) 17. Reta HI: H ( 0 ; 0 ; 4 ) I(4;4;4) 18. Reta JK: J ( 0 ; 0 ; 0 ) K(4;0;3)
30
5. ESTUDO DO PLANO A projeção ortogonal de um plano é obtida através da projeção dos pontos
essenciais que formam este plano. Se o plano estudado for um retângulo, seus vértices serão projetados nos três planos de projeção; Se o plano estudado for um pentágono, seus cinco vértices serão projetados nos respectivos planos de projeção. Obtem-se as projeções ligando os pontos projetados em cada plano respectivamente. z
y
X
Análise das projeções de um plano: As projeções de um plano sobre os planos de projeção devem ser analisadas assim como nas projeções de reta: Projeção no Plano Horizontal; Projeção no Plano Vertical; Projeção no Plano de Perfil. Para a análise das projeções, devem ser observadas as seguintes relações: 4. Plano e projeção estão // (paralelas) entre si................. VG 5. Plano e projeção estão I (perpendiculares) entre si...... PA 6. Plano e projeção estão (obliquas) entre si................... PR
31
Posições do plano: PLANO DE PERFIL
PLANO FRONTAL
π3 π2
π3 π2
π1
π1
π1 π2 π3
π1 π2 π3
PLANO HORIZONTAL
PLANO VERTICAL
π3 π2
π3 π2
π1
π1
π1 π2 π3
π1 π2 π3
PLANO PARALELO A LINHA DE TERRA
PLANO DE TOPO
π3 π2
π3 π2
π1
π1
π1 π2 π3
π1 π2 π3
PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
PLANO QUALQUER
π3 π2
π3 π2
π1 π1 π2 π3
π1 π1 π2 π3
32
Exercícios de plano Represente no triedro e em épura, classifique e analise as projeções dos seguintes planos: 1. O retângulo ABCD:
ponto
absc
afast
cota
A B C D
1 3 3 1
1 1 3 3
3 3 3 3
ponto
absc
afast
cota
A B C D
1 1 1 1
2 4 4 2
4 4 2 2
ponto
absc
afast
cota
A B C D
4 4 1 1
1 4 4 1
4 4 2 2
ponto
absc
afast
cota
A B C
1,0 3,0 2,0
1,5 1,5 3,0
2,0 2,0 2,0
ponto
absc
afast
cota
A B C D
0,5 3,5 3,5 0,5
0,0 0,0 3,0 3,0
3,0 3,0 0,0 0,0
ponto
absc
afast
cota
A B C D
1 1 3 3
0 0 3 3
1 3 3 1
2. O retângulo ABCD:
3. O retângulo ABCD:
4. O triângulo ABCD:
5. O retângulo ABCD:
6. O retângulo ABCD:
33
7. A fachada da casa ABCDE: ponto
absc
afast
cota
A B C D E
1 2 2 2 2
1 1 2,5 4 4
2 3 4 3 1
8. A estrela formada pelos dois triângulos ABC e DEF: ponto
absc
afast
cota
A B C D E F
2,5 1,5 3,5 1,5 3,5 2,5
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
3,0 1,5 1,5 2,5 2,5 1,0
9. A fachada da casa ABCD com telhado EFGH e janela GHIJ: ponto
absc
afast
cota
A B C D E F G H I J
4,0 1,0 1,0 4,0 4,0 1,0 3,0 2,0 3,0 2,0
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
2,5 2,5 1,0 1,0 3,5 3,5 2,0 2,0 1,5 1,5
ponto
absc
afast
cota
A B C D E F G H I J K I
0 0 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1
2 3 3 4 4 3 3 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
10. A cruz ABCDEFGHIJKL:
34
11. A letra “G” formada pelos pontos ABCDEFGHIJKLMN: ponto
absc
afast
cota
A B C D E F G H I J K L M N
3,0 3,0 1,0 1,0 3,0 3,0 2,5 2,5 1,5 1,5 2,5 2,5 2,0 2,0
2,0 3,5 3,5 0,5 0,5 1,5 1,5 1,0 1,0 3,0 3,0 2,5 2,5 2,0
2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5
12. O telhado de uma água, com dois ângulos diferentes, formado pelos pontos ABCDEFG: ponto
absc
afast
cota
A B C D E F G
3,0 1,5 1,5 0,0 0,0 3,0 3,0
3,5 3,5 2,5 2,5 0,5 0,5 2,5
1,5 1,5 2,5 2,5 3,5 3,5 2,5
13. A fachada de uma igreja formada pelos pontos ABCDEFG: ponto
absc
afast
cota
A B C D E F G
0,5 3,0 3,0 2,5 2,0 2,0 0,5
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0
1,0 1,0 2,5 3,0 2,5 2,0 2,0
35
6. ESTUDO DO SÓLIDO Os sólidos podem ser representados assim como os pontos, as retas e os planos, ou seja, através das coordenadas descritivas dos pontos que formam a figura. Assim teremos: 1. Visualização espacial no triedro em perspectiva cavaleira. 2. Planificação do sistema em épura evidenciando as vistas ortogonais. PV -Vista frontal -Altura X largura -Fachada principal
PP -Vista lateral -Altura X profundidade -Fachada secundaria
z
y
X
PH -Vista superior -Largura X profundidade -Planta de cobertura
Podemos representar os sólidos, sem prejuízo de compreensão, em perspectiva isométrica a 30 °. O sólido agora deve ser cotado e não mais serão
confirmadas suas coordenadas descritivas. As vistas ortogonais serão igualmente demonstradas na épura. Vista superior Projetada no PH (π1)
Vista de perfil Projetada no PP ( π3)
vista frontal projetada no PV (π2) 36
Exercícios de sólido 1. Represente no polígrafo, a m ão livre, a perspectiva e a épura dos seguintes sólidos: a) Um cubo de aresta 3 cm. b) Uma barraca de 1m x 2m, com 1,5 de altura. c) Uma rampa de 1m de largura, 3m de comprimento e 2m de altura. d) Uma caixa de 8 cm de largura, 15cm de comprimento e 4cm de altura. 2. Represente os croquis abaixo em perspectiva isométrica cotada e em épura: a)
b)
37
c)
d)
e)
38
f)
g)
h)
39
i)
j)
40
k)
l)
41
m)
n)
42
