ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas de Posiçã Posiçãoo e Dispersão
O que é Estatística?
Ciência que se preocupa preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais, sejam eles numéricos ou não, visando a tomada de decisões. Exemplos:
O que é Estatística?
Ciência que se preocupa preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais, sejam eles numéricos ou não, visando a tomada de decisões. Exemplos:
Divisões da Estatística
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística Estatística Descritiva
Estatística Indutiva
Tem por objetivo tirar conclusões sobre populações com base nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações. Busca obter resultados sobre as populações a partir das amostras, dizendo também qual a precisão desses resultados e com que probabilidade se pode confiar nas conclusões obtidas.
Estatística Descritiva
É o conjunto de métodos para organização, apresentação e descrição de dados representativos do comportamento de uma variável, onde se utilizam tabelas, gráficos e medidas que resumem a distribuição desta variável.
Conceitos Básicos
População: Refere-se a todos os indivíduos ou a todos os objetos do grupo de interesse. Amostra: é um conjunto de elementos extraídos da população.
Uma característica numérica estabelecida para toda a população é denominada PARÂMETRO As vezes não pode ser determinado Uma característica numérica estabelecida para uma amostra é denominada ESTIMADOR
Exemplo: Eleição para Governador de Minas Gerais.
Características de interesse: Qualitativas: resulta de uma classificação por tipos ou atributos. Quantitativas: seus valores são expressos em números e podem ser discretas ou contínuas.
Características Numéricas de uma Distribuição de Frequências
Medidas de Posição e Dispersão são muito importantes e servem para localizar as disstribuições e caracterizar sua variabilidade. Medidas de Posição ou Tendência Central: são usadas para indicar um valor que tende a representar melhor um conjunto de números. As mais usadas são: média, mediana e moda.
Média
A média aritmética é a forma mais conhecida da média. Sua fórmula genérica é:
Quando a média se refere à população, esta é representada pela letra grega m.
Exemplos
Calcular a média dos valores: 30, 50, 100 e 120 Calcular a nota média de um estudante que fez quatro provas e tirou 75, 65, 45 e 90
Média Ponderada
Quando as observações possuem importâncias diferentes, a fórmula de média aritmética não pode ser usada. Utiliza-se então a média ponderada, que considera os diferentes pesos das observações.
Fórmula Genérica
Exemplo
Considere que a média final dos alunos de Estatística é assim distribuída: Prova = 70% Lista de Exercícios = 15% Testes em sala = 15% Qual a média de um aluno que obteve 65 pontos na prova, 40 pontos na lista e 35 pontos nos testes em sala?
Outros tipos de média
Geométrica – usada para variações percentuais em sequência, como juros composto
. 2 . …
Harmônica – usada pra grandezas inversamente proporcionais como velocidade e tempo ℎ
1 =
Mediana (md)
Calculada com base na ordem dos valores que formam o conjunto de dados. Sua característica principal é dividir o conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais. Para calcular a mediana, é necessário ordenar os valores de forma crescente. A metade dos valores é a mediana.
Exemplo
Encontre a mediana do conjunto 3, 5, 7, 9 e 10. Em geral, a mediana ocupa a posição (n+1)/2. Quando o conjunto de dados for par, a mediana será a média dos valores centrais.
Exemplos
Determinar a mediana do conjunto: 11, 12, 14 e 17. Determinar a mediana do conjunto: 23, 25, 2, 7, 9, 18 e 4.
Comparação entre média e mediana
A escolha da média ou mediana como medida de posição depende de diversos fatores. A média é influenciada por cada valor do conjunto, inclusive os extremos.
Já a mediana é relativamente insensível aos valores extremos
Moda (mo)
Definimos moda de um conjunto de valores como o valor de máxima frequência. Pode-se ter mais de uma moda. Comparada com a média e a mediana, a moda é a menos útil das medidas para problemas estatísticos. Útil quando um ou um grupo de valores ocorrem com muito mais frequência que outros
Exemplo
Qual a moda do seguinte conjunto:
A={1; 25; 37; 49; 25; 33; 51; 27; 29; 13; 15}
Exercícios
Calcular a média, a mediana e a moda dos seguintes conjuntos:
A={1; 5; 8; 7; 3; 2; 1; 7; 4; 3; 3; 9; 6; 11; 1; 2; 3; 4; 5}
B={7; 7; 3; 5; 8; 3; 5; 5; 9; 18; 21; 14; 15; 5; 7; 6}
C={90; 87; 92; 81; 78; 85; 95; 80; 83; 86; 93 }
Medidas de dispersão
Servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. Indicam se os valores estão relativamente próximos uns dos outros ou separados. As mais utilizadas são: intervalo (ou amplitude), variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Todas elas tem na média o ponto de referência, menos o intervalo.
Intervalo ou Amplitude
Focaliza o maior e o menor valor no conjunto, ou seja, os valores extremos. Pode ser expresso de duas maneiras: 1) A diferença entre o maior e o menor valor. Este caso pode ser chamado também de amplitude (R); 2) O maior e o menor valor no grupo. Este método tende a ser mais informativo.
Exemplo
Considerando o conjunto de dados: 3, 7, 9, 10 e 23. Qual o intervalo do conjunto de dados? Pode-se dizer que a amplitude R é 233=20. Ou que o intervalo de valores vai de 3 a 23
Variância
É calculada com base nas diferenças entre cada elemento e a média de um conjunto de dados.
Desvio Padrão
É simplesmente a raiz quadrada positiva da variância.
Exemplo
Calcular a média, a variância e o desvio padrão do seguinte conjunto de dados: {15; 12; 10; 17; 16}
Coeficiente de Variação
É definido como o quociente entre o desvio padrão e a média, sendo frequentemente expresso em porcentagem:
Calcular o Coeficiente de Variação do exemplo anterior
Técnicas de Descrição Gráfica Variáveis Qualitativas
Diagrama de Barras e Diagrama Circular Exemplo: Dados a seguir apresentam a formação específica de graduação dos 135 candidatos a vagas em um curso de MBA. Formação Engenheiros Economistas Administradores Contadores Outros Total
Número de Pessoas Frequências % 38 28.1 30 22.2 35 25.9 15 11.1 17 12.7 135 100
Engenheiros Economistas Administradores Contadores Outros
Outros
Contadores
Administradores
Série1
Economistas
Engenheiros 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Técnicas de Descrição Gráfica Variáveis Quantitativas Discretas
Diagrama de Barras e Gráfico das Frequências Acumuladas Exemplo: Dados a seguir representam os valores da variável “número de defeitos por unidade”, obtidos a partir
de aparelhos retirados de uma linha de montagem. 2 4 2 1 2 3 1 0 5 1 0 1 1 2 0 1 3 0 1 2
Tabela de Distribuição de Frequências
0 1 2 3 4 5
′
4 7 5 2 1 1
0,20 0,35 0,25 0,10 0,05 0,05
Diagrama de Barras 8
7
6
5
4
3
2
1
0 0
1
2
3
4
5
Frequências e Frequências relativas acumuladas
0 1 2 3 4 5
4 11 16 18 19 20
′
0,20 0,55 0,80 0,90 0,95 1,00
Gráfico das frequências acumuladas 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
1
2
3
4
5
6
Para variáveis contínuas: as frequências são associadas a intervalos de variação da variável. Estes intervalos são chamados classe de frequências. Os gráficos utilizados são: Histograma Polígono de Frequências Polígono do Frequências Acumuladas
Exemplo
Amostra de 25 valores da variável diâmetro de peças produzidas por uma máquina, dado em milímetros:
xi 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9
f i 1 2 5 7 4 3 1 2 25
Fi 1 3 8 15 19 22 23 25
p'i 0.04 0.08 0.20 0.28 0.16 0.12 0.04 0.08 1.00
P'i 0.04 0.12 0.32 0.60 0.76 0.88 0.92 1.00
Histograma 8 7 6 5 4 3 2 1 0 21.15
21.25
21.35
21.45
21.55
21.65
21.75
21.85
21.95
22
Polígono de Frequências 8 7 6 5 4 3 2 1 0 21.15
21.25
21.35
21.45
21.55
21.65
21.75
21.85
21.95
22
