Escola Secundária Antero de Quental
A GEOMETRIA DESCRITIVA
23-03-2011
Professor:
José Artur Cabral
Trabalho Realizado por:
Mariana Ivens Brandão
Índice - Introdução.. 2 - A Geometria.3 - A Geometria Descritiva.......4 Descritiva.......4 - A Importância da Geometria Descritiva5 - Gaspard Monge...6 - Sistemas de Projecção Ortogonal..7 Ortogonal..7 y
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Sistema de Dupla Projecção Ortogonal Ortogonal.7 .7 e 8 Sistema de Tripla Projecção Ortogonal8 Sistema de Múltipla Projecção Ortogonal.......8 o Método Europeu.9 Europeu.9 o Método Americano10
- Conclusão..11 Conclusão..11 - Bibliografia12 Bibliografia12
Introdução O Ensino da Geometria Descritiva, dentro dos cursos das Artes Visuais, tem o intuito de desenvolver a habilidade espacial dos alunos e, consequentemente, exercitar o hemisfério direito do cérebro. Mas, se pensarmos bem não é necessário ir para um curso de Artes Visuais para detectarmos a importância da Geometria Descritiva. Quando vamos ao cinema, quando vemos imagens na televisão, quando folheamos uma revista, ou um livro com gravuras, não nos preocupamos com a natureza das imagens que estamos a ver. As figuras são planas, planas, mas os objectos que se apresentam diante de de nós, têm na realidade três dimensões. Isto parece-nos tão natural que nem pensamos na relação entre a tridimensionalidade e a bidimensionalidade. Assim, a ideia da geometria descritiva é notável e elegante pela sua simplicidade simplicidade e neste trabalho irei falar de um po uco mais sobre a Geometria e a História que existe a volta desta ciência.
A Geometria O nome Geometria Geometria em grego significa significa medida da terra. (geos = terra; metron = medida) Os conhecimentos geométricos geométricos começaram a ser utilizados há muitos séculos antes de Cristo. Estes conhecimentos foram principalmente desenvolvidos por egípcios e gregos. A geometria foi criada para lidarmos e compreendermos formas da natureza e até do universo. universo. Esta é uma parte da matemática que nasceu das necessidades e das observações do Homem e lida com as propriedades do espaço. A ideia da geometria começou a ser utilizada no Egipto devido às cheias do rio Nilo que inundavam todos os campos de plantação destruindo completamente as cercas e alagando as plantações. Quando as águas voltavam ao seu normal, a população tinha que delimitar novamente as terras e aí começaram a utilizar técnicas baseando-se baseando-se em registos das cheias passadas , descobrindo várias propriedades propriedades da geometria. As provas mais antigas d o conhecimento da geometria no Egipto são as construções construções das pirâmides pirâmides e dos templos mas foram contudo os gregos que começaram a estudar a geometria usando um raciocínio lógico. Estes acreditavam que existiam cinco cinco corpos elementares, o fogo, o ar, a água, a terra e o cosmo e relacionavam esses cinco corpos elementares com cinco sólidos: o tetraedro ao fogo, o hexaedro à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao cosmo. Platão e os seus seguidores estudaram esses sólidos até à exaustão e permitiram que todos chegássemos e aprendêssemos aos conhecimentos de hoje. Dentro da geometria geometria existem três diferentes áreas, a Geometria Plana, a Geometria Geometria Espacial e a Geometria Geometria Descritiva, a qual irei falar mais aprofundadamente. aprofundadamente. A Geometria Geometria Plana é aquela que usamos para medir terras, para fazer as plantas de casas, prédios, prédios, monumentos, calcular distâncias distâncias e áreas. A Geometria Espacial é responsável pelo cálculo do volume de sólidos geométricos como prismas, pirâmides, cones, cilindros ou esferas e também pelos estudos das estruturas estruturas das figuras espaciais. espaciais . A Geometria Descritiva é responsável por representar formas tridimensionais (os sólidos) em planos bidimensionais.
A Geometria Descritiva A Geometria Descritiva surgiu no século XVIII e é um ramo da Matemática que tem como objectivo representar no plano as figuras do espaço, ou seja, representar representar objectos de três dimensões num plano bidimensional bidimensional . Esta ajuda-nos a perceber o que nos rodeia resolvendo resolvendo problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objecto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objecto representado. Gaspar Monge, criador da Geometria Descritiva, definiu-a como tendo " por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio auxílio da Geometria Ge ometria Plana, os problemas em que se consideram consideram as três dimensões ", não sendo esta mais do que um sistema de dupla projecção ortogonal. É preciso apenas esclarecer que Geometria Descritiva e Desenho Técnico não são a mesma coisa. A Geometria Descritiva é a ciência e o Desenho Técnico é a técnica, ou seja, à Geometria Descritiva cabe resolver os problemas de difícil visualização e perceber como o vamos aplicar, ao Desenho Técnico cabe aplicá-los e construir no papel aquilo que visualizamos visualizamos..
A Importância da Geometria Descritiva A geometria descritiva é muito importante do ponto de vista tecnológico. O esquema de Monge, usando a representação de sólidos em superfícies planas por meio de projecções que nos mostram as verdadeiras grandezas, grandezas, ( as projecções horizontais e frontais) facilita a visualização dos objectos no espaço. Por exemplo, se quisermos fazer um corte numa superfície metálica, é bem mais fácil respeitarmos o método ensinado por Monge Monge (Sistema de Dupla Projecção Ortogonal) do que tentarmos fazê-lo baseando-nos num simples desenho ou numa simples imagem que nos aparece na mente. Se nos basearmos no que apenas vemos, esse suposto corte irá ter com certeza erros, ao contrário do que iria acontecer se utilizássemos utilizássemos o método de M onge. Logo, através da geometria descritiva descritiva não existem erros, toda a informação que o emissor quer transmitir está no papel e quando o receptor vê a informação informação não lhe escapa nada, o que faz com que não haja desperdícios e que a indústria indústria se desenvolva desenvolva muito devido devido à construção rigorosa das máquinas.
Gaspard Monge Gaspard Monge, acima referido, nasceu em 1746 e faleceu em 1818 com 72 anos. Monge foi um grande grande matemático matemá tico que criou uma nova ciência, Método de Monge ou Sistema Sistema de Dupla Projecção Ortogonal , que se baseava na representação representação de formas tridimensionais tridimensionais em planos bidimensionais. bidimensionais. Esta descoberta só foi possível porque no final do século XVIII o Exército Francês já tinha métodos de cálculo para determinar determinar as melhores m elhores posições posições para escapar à s invasões inimigas inimigas mas esses cálculos eram muito complicados e é aí que entra Monge Monge . Ele inventou uma técnica bem mais simples para fazer a mesma coisa. Como estavam todos todos tão habituados a cálculos tão complicados complicados só vieram dar valor à invenção de Monge mais tarde. Após ter feito um mapa de manobras militares, foi convidado a ingressar na escola militar onde desenvolveu e aperfeiçoou a sua técnica para que nenhum inimigo conseguisse invadir o país. Ao perceberem o quão genial o novo método era, os militares mantiveram-no em segredo por 15 anos, ensinando-o apenas a futuros engenheiros engenheiros militares. militares. Em 1794, em plena Revolução Francesa, Monge finalmente divulgou a sua invenção em escolas civis de Paris, ocupando um lugar definitivo na História da Geometria Descritiva e, por conseguinte, no desenho técnico e na construção mecânica. Monge representou um verdadeiro achado pois pegou numa parede e num chão e transformou-os transformou -os em planos onde se passaram a projectar objectos de de infinitos tamanhos. tamanhos. Foi assim que a parede e o ch ão passaram a definir espaços que ficaram conhecidos como quadrantes e hoje em dia como diedros diedros .
Sistemas e Pr jecçã Ortogonal Os ste as e Pr ecçã Ortogona s são conjuntos e regras ue entifica no espaço um etermina o número e refere nciais e ue permitem a represent ação e um etermina o número e projecç e s. ¥
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odos os siste mas de projecç e s ortogonais tê m na sua constituição:
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Objecto;
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P ano de projecção; Centro de projecção situ a do no infinito; Rectas projectantes para e as entre sí e ortogonais aos plano de projecção.
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ão as diversas relaç e s entre este s elementos ue nos permitem dizer ue estamos perante um siste ma de dupla tripla ou múltipla projecção ortogonal.
Sistema e
pla Proje cção Ortogonal
á foi referido, Gaspar onge criou o istema de upla Projecção Ortogonal e e ste baseia se e m dois planos, um orizontal e outro vertical ue se intersectam no espaço na perpendicular. intersecção deste s dois planos denominados de Plano rontal de Projecção () e de Plano Horizontal de Projecção ( ) formam uma recta e no papel uma linha à ual, hoje em dia, se dá o nome de eixo x. Este s planos dividem o espaço em partes às uais denominamos de diedros, numera dos, no exemplo ue se segue, ao contrário do sentido do ponteiro do relógio. Como j
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Plano Frontal de Projecção
1º Diedro 2º Diedro
Eixo x
3º Diedro
Plano Horizontal de Projecção 4º Diedro
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Este método de representação facilita a execução dos traçados e faz com que estes sejam mais rigorosos rigorosos na resolução de problemas no espaço. Apesar disso, é mais difícil ver as imagens na nossa cabeça e por vezes pode-se revelar insuficiente apenas termos dois planos de projecção, mas no geral, é o sistema mais utilizado. Sistema de Trip a ro ecção Ortogona 1
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Após Monge ter sistematizado a Geometria Descritiva, Gino Loria desenvolveu desenvolveu um sistema que continha um terceiro plano de projecção, projecção , perpendicular aos planos horizontal e frontal ao qual chamou de Plano Lateral ( ) (um plano de perfil) para uma u ma melhor localização dos dos objectos no espaço . O Plano Lateral fornecerá uma terceira projecção do objecto.
Sistema de Mú tip a ro ecção Ortogona 2
2
4
2
3
Para além do sistema de dupla projecção e o de t ripla projecção, projecção, o que utilizamos mais é a projecção hexaédrica, com 6 planos de projecção. O Sistema de Múltipla Projecção Ortogonal consiste na adição de quatro planos de projecção aos frontal e horizontal horizontal que já conhecemos. O conjunto dos 6 planos de projecção envolvem o objecto por completo formando um paralelepipedo ou um cubo. Se pensarmos bem, conseguimos concluir que o máximo de projecções que podemos representar são 6 pois são as 6 diferentes posições que o desenhador pode estar em relação ao objecto. Estas projecções são em geral designadas por vistas e temos dois métodos de projecção dentro do Sistema de Múltipla Projecção Ortogonal, Método Europeu Europeu e Método Americano. A principa l diferença diferença entre os dois métod os de projecção é a relação entre o observador, o objecto e os planos de projecção.
Método E 5
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No étodo Europeu temos ue visualizar tudo ao contrário. Por exe mplo: uando estamos a repre sentar e falamos da vista da esquerda, temos na verdade de desenhá la do lado direito e quando falamos da face superior temos que desenhá la na parte inferior do papel e assim sucessivamente. Isto só acontece porque as resctas projectante s inter sectam o objecto e projectam-se no plano oposto ao do objecto. ssim as vistas de signam-se da seguinte maneira: 6
7
7
8
8
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a frontal representamos no centro; Vista de cim a re pre sentamos por baixo da vista front al; Vista da esquer da re prese nt amos do lado di reito da vista front al; Vista da direita re pre sentamos do la do e squer do da vista frontal; Vista de baixo represe ntamos por cima da vista front al; Vista poster ior re prese nt amos do lado di reito da vista da e squerda. Vist
Método Americano No Método Americano quando estamos a representar as faces dos objectos, representamo-las representamo-las tal como elas se encontram, ou seja, a vista da direita representa representa se na direita e a vista da esquerda na esquerda. Isto acontece porque as rectas projectantes têm origem no objecto e dirigem-se para o plano mais próximo. Assim, as nossas vistas designam-se como: - Vista de frente ou alçado representamos representamos no centro ; - Vista de cima ou planta superior representamos representamos em cima da vista de frente ; - Vista da esquerda ou perfil esquerdo representamos à esquerda da vista de frente; - Vista da direita ou perfil direito representamos representamos á direita da vista de frente; frente ; - Vista de baixo ou planta inferior representamos representamos em baixo da vista de frente ; - Vista de trás ou alçado posterior representamos na sequência da vista direita ou da esquerda. @
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Pelo que pudemos pudemos observar, a Geometria é uma ciência ciência que provém da Matemática, podendo dividir-se em três áreas das quais aprofundei a Geometria Descritiva, uma vez que é a disciplina que estou a estudar neste momento e porque é essencial para quem quer seguir Arquitectura, Engenharias Engenharias ou Design de Produtos. Este trabalho tem como principal objectivo objectivo e studar as origens da Geometria Descritiva e a importância desta nos nossos dias. Pretende também dar a conhecer a sua evolução e mostrar a base do seu raciocínio. Foi interessante interessante para mim realizá-lo pois permitiu-me aprofundar os meus conhecimentos sobre o que é e como surgiu a Geome tria o que me faz olhar de maneira diferente para esta ciência no geral.
ib io iogr graf afia ia
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Online: http://descritiva.no.sapo.pt/Monge.htm http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_3t.php http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_1t.php http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_descritiva http://www.algoso http://w ww.algosobre.com.br/m bre.com.br/matematica/geome atematica/geometria-plana.html tria-plana.html http://www.prof2000.pt/users/marinap/ccdi/tpfinal/geometria.htm http://ncvlemos.sites.uol.com.br/geometria.html http://orium.homelinux.org/univ/cgi/slides/16%20 http://orium.homelinux.org/univ /cgi/slides/16%20 -%20Projections1011a -%20Projections1011a.pdf .pdf http://prof-kelly-geo http://pr of-kelly-geometria-plana.blo metria-plana.blogspot.co gspot.com/2010/03/ m/2010/03/geometria-planageometria-planaintroducao.html http://pt.scribd. http://pt. scribd.com/doc/311 com/doc/31109129/ 09129/Sistema-da-Dupla-Projec Sistema-da-Dupla-Projeccao cao http://sandramat.blogs http://san dramat.blogspot.com/20 pot.com/2007/05/o 07/05/origemrigem-da-geom da-geometria.html etria.html Livros: SANTA RITA, José Fernando. Geometria Descritiva Editores, LDA.
A
A/B. Lisboa 2009: Texto
