DERIVADA DE UN VECTOR UNITARIO
Cada vector unitario de longitud constante, se calculará la velocidad de los vectores unitarios eˆ , eˆ eˆ dibujados del sistema fijo x y z y rotando juntos como un cuerpo rígido con una velocidad angular absoluta ω . 1
2,
3
De la ecuación (2.2), vemos que la velocidad de las puntas de los vectores unitarios, esto es, sus derivadas con respecto al tiempo son: •
eˆ1 = ω × eˆ1 ;
•
eˆ2 = ω × eˆ2 ;
•
eˆ3 = ω × eˆ3 -----------------(2.5)
*La derivada de un vector puede ser interpretada como la velocidad de la punta del vector cuando el otro extremo esta fijo. Si eˆ , eˆ eˆ forman un conjunto de vectores unitarios ortogonales 1
2,
3
ω = ω 1eˆ1
•
e1 =
eˆ1
eˆ2
eˆ3
ω 1
ω 2
ω 3
1
0
0
+ ω 2 eˆ2 + ω 3 eˆ3
= ω 3 eˆ2 − ω 2 eˆ3 ------------- (2.6)
•
e2 =
•
e3 =
eˆ1
eˆ2
eˆ3
ω 1
ω 2
ω 3
0
1
0
eˆ1
eˆ2
eˆ3
ω 1
ω 2
ω 3
0
0
1
= −[ω 3 eˆ1 − ω 1eˆ3 ] = ω 1eˆ3 − ω 3 eˆ1 -------------------- (2.7)
= ω 2 eˆ1 − ω 1eˆ2 ---------------------- (2.8)
Para el caso particular de vectores unitarios cartesianos eˆ1 = iˆ ;
eˆ2 = jˆ ;
iˆ, jˆ, k ˆ
ˆ eˆ3 = k
ˆ ω = ω x iˆ + ω y jˆ + ω z k
Así •
iˆ = ω z jˆ − ω y k ˆ •
jˆ = ω x k ˆ − ω z iˆ •
k ˆ = ω y iˆ − ω x jˆ
En cada caso las derivadas de los vectores unitarios se hallan en un plano perpendicular a el vector, en acuerdo con la definición de producto vectorial. Los términos relativo a/o con respecto a un sistema dado significan como son vistos por un observador fijo en ese sistema y moviéndose con él.
DERIVADA DE UN VECTOR
El cambio ΔA en el vector corresponde al cambio Δu en el escalar, así la derivada del vector A con respecto a el escalar u es definida por el límite. dA du
Δ A Δu →0 Δu
= lim
Fig.: derivada de un vector. Δ( A + B ) = Δ A + Δ B d ( A + B) du d du d du d du
( gA) =
=
dA du
dg du
( A ⋅ B) =
( A × B) =
+
dB du
A + g
dA du
dA du
⋅ B + A ⋅
dA du
dB du
× B + A ×
dB du
A = A1eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 •
•
•
•
•
•
•
A = A1 eˆ1 + A 2 eˆ2 + A3 eˆ3 + A1 eˆ1 + A2 eˆ 2 + A3 eˆ 3
La razón de cambio de un vector unitario es siempre perpendicular a ese vector unitario.
DERIVADAS DE UN VECTOR EN SISTEMAS ROTATORIOS
es un vector visto por un observador fijo en el sistema x y z y también por un observador sobre un sistema rotativo, definido por la triada eˆ1 , eˆ2, eˆ3 , el cual rota con una velocidad angular ω , relativa a x y z donde O es el origen a ambos sistemas. A
Fig.: vector a relativo a marcos de referencia fijos y rotativos.
El cambio absoluto de sistema rotativo es: •
•
•
A ,
•
escrito en términos de los vectores unitarios del •
•
•
A = A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 + A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3
---------------------- (1)
Donde la razón del cambio de A, visto por un observador en el sistema rotativo es: • • • ⎛ • ⎞ ⎜ A ⎟ = A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 ⎝ ⎠ r
------------ (2)
Ya que los vectores unitarios están fijos al sistema rotativo. Los otros tres términos de la ecuación (1) son: •
•
•
A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 = A1 ω × eˆ1 + A2 ω × eˆ2 + A3 ω × eˆ3
= ω × ( A1eˆ1 + A2 eˆ2 + A3eˆ3 ) = ω × A
--------------- (3)
De las ecuaciones (1), (2) y (3), se tiene que el cambio absoluto de A, puede expresarse en términos de sus valores relativos a un sistema rotativo.
•
⎛ • ⎞ ⎝ ⎠ r
A = ⎜ A ⎟ + ω × A ------------------
⎛ • ⎞ ⎜ A ⎟ → es la razón de cambio de ⎝ ⎠ r ω
(4)
A vista desde el sistema rotativo.
→ es la velocidad angular absoluta del sistema rotativo.
Generalizando (4) a cualquier sistema ⎛ • ⎞ ⎛ • ⎞ ⎜ A ⎟ = ⎜ A ⎟ + ω B A × A ⎝ ⎠ A ⎝ ⎠ B ω B A
→
es la razón de cambio de rotación del sistema B visto desde A. ⎛ • ⎞ ⎛ • ⎞ ⎜ A ⎟ = ⎜ A ⎟ + ω A B × A ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A
ω A B
(11)
= −ω B A
MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN UN SISTEMA DE COORDENADAS MOVILES
Ahora usaremos el resultado general de la ecuación (4) para obtener las ecuaciones para la velocidad y aceleración absoluta de una partícula P que está en movimiento relativo a un sistema de coordenadas móviles.
Fig.: vector de posición de un punto P relativo a un sistema fijo y a un sistema móvil.
Condiciones: P: partícula X Y Z → x y z →
sistema fijo en un marco de referencia inercial. sistema móvil (trasladándose y rotando con respecto al
sistema fijo) r:
vector de posición de P ⎫
⎬
R : vector de posición de O'⎭
Relativas a O en el sistema fijo
De la figura, el vector de posición absoluto es: r = R + ρ ------------- (2.9.1)
∴
ρ →
es el vector de posición de P, relativo a O’.
La velocidad absoluta es: •
•
•
v = r = R + ρ ------------------ (2.9.2)
Ambas derivadas de la derecha de la ecuación (2.9.2) son calculadas desde el punto de vista del observador fijo. •
ρ
es función de sus valores relativos al sistema móvil x y z es: ⎛ • ⎞ ρ = ⎜ ρ ⎟ + ω × ρ ⎝ ⎠ r •
------------- (2.9.3)
Donde: ω →
es la velocidad absoluta de rotación del sistema móvil.
Sustituyendo (2.9.3) en (2.9.2) ⎛ • ⎞ v = R + ⎜ ρ ⎟ + ω × ρ ----------------- (2.9.4) ⎝ ⎠ r •
Considérese el punto P’ coincidente con P en un instante de tiempo, pero fijo en el sistema x y z .
Se tiene que: •
es la velocidad absoluta de O’. ω × ρ → es la velocidad de P’ relativa a O’ vista por un observador NO ROTATIVO. R →
Entonces: •
R + ω × ρ →
⎛ ⎞ ⎜ ρ ⎟ → ⎝ ⎠ r •
representa la velocidad absoluta de P’, y
es la velocidad de P relativa a O’, vista por un observador rotando
con el sistema x y z . También se puede interpretar como la velocidad de P relativa a P’, vista por un observador NO ROTANTE.
ACELERACIÓN ABSOLUTA DE P
Se tiene: d ⎛ • ⎞ •• ⎜ R ⎟ = R dt ⎝ ⎠
De la ecuación (4)
--------------- (2.9.5)
d ⎡⎛ • ⎞ ⎤
⎛ •• ⎞ ⎛ • ⎞ ⎢⎜ ρ ⎟ ⎥ = ⎜ ρ ⎟ + ω × ⎜ ρ ⎟ ------------------- (2.9.6) dt ⎣⎝ ⎠ r ⎦ ⎝ ⎠ r ⎝ ⎠ r d dt
•
•
[ω × ρ ] = ω × ρ + ω × ρ ⎡⎛ • ⎞ ⎤ = ω × ρ + ω × ⎢⎜ ρ ⎟ + ω × ρ ⎥ ⎣⎝ ⎠ r ⎦ •
----------------------- (2.9.7)
• ⎛ • ⎞ = ω × ρ + ω × ⎜ ρ ⎟ + ω × (ω × ρ ) ⎝ ⎠ r
Sumando las ecuaciones (2.9.5), (2.9.6) y (2.9.7) se obtiene la aceleración absoluta. • ⎛ •• ⎞ ⎛ • ⎞ ⎛ • ⎞ a = R + ⎜ ρ ⎟ + ω × ⎜ ρ ⎟ + ω × ρ + ω × ⎜ ρ ⎟ + ω × (ω × ρ ) ⎝ ⎠ r ⎝ ⎠ r ⎝ ⎠ r ••
⎛ •• ⎞ ⎛ • ⎞ a = R + ω × ρ + ω × (ω × ρ ) + ⎜ ρ ⎟ + 2 ω × ⎜ ρ ⎟ ----------------- (2.9.8) ⎝ ⎠ r ⎝ ⎠ r ••
••
R →
•
es la aceleración absoluta de O’.
•
ω × ρ + ω × (ω × ρ ) →
representa la aceleración de P’ relativa a O’ vista
por un observador fijo. ⎛ •• ⎞ ⎜ ρ ⎟ → ⎝ ⎠ r
es la aceleración del punto P relativo al sistema
x y z ,
visto
por un observador móvil. (rotante) ⎛ • ⎞ ⎝ ⎠ r
2 ω × ⎜ ρ ⎟ →
es la ACELERACIÓN DE CORIOLIS y es debida a dos
fuentes. En la ecuación (2.9.6) es debida al cambio en la dirección de la velocidad de P en el sistema móvil y en la ecuación (2.9.7) el término representa la razón de cambio de la velocidad ω × ρ , debido al cambio de la magnitud o dirección del vector de posición ρ relativo al sistema en movimiento. •
a A = a B + ω × ρ + ω × (ω × ρ ) + 2 ω × v rel + a rel
(MERIAM)
