Definición de un vector en R2, R3 y su in+terpretación geométrica Un objeto en las matemáticas que posea magnitud así como dirección es la definición perfecta de un vector. Los elementos pertenecientes a Rn representan el vector. Diferentes valores de n representan diferentes vectores con diferente comportamiento. Por ejemplo, cuando n = 1, esto es, R1 = R representa una escala o un punto en el vector. R2 representa un vector de la forma (x1, x2), R3 representa un vector de la forma (x1, x2, x3). Existen dos propiedades importantes de los vectores R2: 1). Suma de los vectores R2: Si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p + q = (p1, p2) + (Q1, Q2) = (p1 + q1, p2 + q2). 2). Producto Escalar: Considere B? R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de la forma B (p1, p2) = (B p1, B p2). Vamos a considerar la interpretación geométrica de la Sumatoria de los vectores R2:
De la figura se puede concluir que si p = (p1, p2) y q = (q1, q2), entonces mediante la reasignación de la representación de p y q, la suma resulta ser (p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2). Esta regla se conoce como : “Suma del Paralelogramo”. Estos vectores R2 también pueden ser divididos en dos componentes los cuales son perpendiculares entre sí. Estos componentes son generados con respecto al sistema de coordenadas el cual pueden ser de múltiples dimensiones.
El vector componente está relacionado con el componente escalar b, de forma que:
= Vx i^ = Vy j^ Similar al vector R2, R3 también posee las propiedades: 1. Suma de vectores R3: Si p y q son dos vectores de la forma R3 entonces p + q = (p1, p2, p3) + (q1, q2, q3) = (p1 + q1, p2 + q2, q3 + p3). 2. Producto Escalar: Considere B? R y el vector P en R3, en este caso el producto escalar es de la forma B (p1, p2, p3) = (Bp1, Bp2, Bp3).
Otra propiedad importante de los vectores R2 y R3 es conocida como superposición. Esta es la combinación de la suma vectorial y la multiplicación escalar. De acuerdo con esta, si existen dos vectores A y B y los escalares a y b, entonces la superposición puede ser representada como:
aA + bB Uno puede encontrar el vector variable señalizado con un signo negativo. Este signo negativo indica dirección opuesta y no una magnitud negativa. Por lo tanto, un caso específico de la propiedad de la superposición es cuando a = 1 y b = −1. En este caso, obtenemos (1)A + (−1) B = aA - bB Por lo tanto, se conoce como sustracción. Estas propiedades de superposición y sustracción también pueden ser aplicadas a los vectores de R3. Veamos un ejemplo de R3.
Considere el vector R3
y un vectorR3
La suma y la resta de los vectores son bastante fáciles, por tanto observando la multiplicación de estos dos vectores, obtenemos
=
Campos escalares y vectoriales A pesar de ser utilizadas constantemente en el campo de la física, las cantidades escalares y vectoriales ocupan un lugar importante en las Matemáticas. En física, un campo escalar se utiliza para definir la energía potencial de una fuerza particular. También se utiliza para definir el campo gravitatorio en el tema de la teoría escalar de gravitación. En Matemáticas, el campo escalar también es conocido como “función del espacio”.
Un campo escalar es el responsable de asociar todas las posiciones dentro de un espacio determinado con un número real. Por ejemplo: Considere una sala de tres dimensiones en la cual hay un calentador y un aire acondicionado encendidos en distintos rincones. En un momento, en alguna parte del centro de la sala se puede encontrar una temperatura variante. Por tanto, cuando la posición cambia, la temperatura también cambia. Es decir, la temperatura T puede ser considerada como una función de x, y, z, es decir, T(x, y, z). Aquí T es el campo escalar. El valor del campo escalar es invariante independientemente de la rotación del sistema de coordenadas. Ahora, considere nuevamente la sala donde el aire fluye rápidamente en alguna parte y se mueve lentamente en otra parte. Este movimiento de aire se denomina velocidad. Por consiguiente, esta velocidad es también una función que puede ser escrita como v(x, y, z). Esta velocidad es diferente de la de la temperatura por el hecho de que la dirección está asociada con la velocidad y no con la temperatura. Entonces, la descripción del aire está dividida en dos partes: la rapidez y su dirección, por este motivo es considerado un campo vectorial. Las aplicaciones del campo vectorial incluyen la Transformada de Fourier, la Optimización, la teoría de juegos, el teorema mínimas, junto con algunas teorías importantes, como la teoría de grupos y la teoría de la representación. Inclusive, si son consideradas todas las aplicaciones de los campos vectoriales la lista puede extenderse ampliamente en longitud. Existen ciertas operaciones que pueden ser aplicadas en los campos vectoriales. 1) Integral de Línea: Se determina una integral de línea cuando el campo vectorial es integrado a lo largo de la curva.
Por ejemplo, considere una partícula en movimiento en el cual la fuerza que actúa a lo largo del campo gravitatorio es representada por un vector. Entonces la integral de línea del vector indica el trabajo realizado por la partícula para moverse a lo largo de la curva. Si V es el campo vectorial y Y representa la curva, la cual está para me trizada en [0, 1], entonces la integral de línea es representada como:
2) Divergencia: La divergencia de la función en tres dimensiones es definida como
3) Rotacional: Es una operación que produce un campo vectorial a partir de otro campo vectorial. Está definido específicamente para 3D.
Un campo escalar y uno vectorial difieren por la respuesta de las coordenadas a la transformación de las coordenadas. Una coordenada puede utilizarse para describir un vector, mientras que un escalar representa una coordenada. Consideremos un ejemplo de la búsqueda del gradiente del campo vectorial de la función:
Para una función de dos dimensiones, estamos obligados a omitir el tercer componente del vector de la fórmula anterior.
Por tanto, el vector gradiente de la función correspondiente es dado como f = (2x sin (5y), 5×2 cos (5y))
La geometría de las operaciones vectoriales Un vector está caracterizo completamente por su magnitud y su dirección. Por ejemplo: 20 km al sur. Aquí 20 kilómetros es la magnitud y se acompaña de la dirección, es decir, hacia el sur. También puede estar muy bien representado por un segmento de recta dirigido. Es por esta razón que un segmento de recta dirigido también puede ser llamado vector. Existe una gran cantidad de operaciones que pueden ser aplicadas sobre los vectores. La operación más comúnmente realizada en los vectores es la suma y multiplicación de vectores. Entre la variedad de operaciones, se incluyen la adición de dos vectores, la resta de dos vectores, el producto escalar y cruz de dos vectores, los cuales se pueden realizar en los vectores, el producto escalar y el cruz, guardan mayor importancia.
El producto interno o escalar de dos vectores cos
y
inclinado en un ángulo
es ab
.
En consecuencia,
.
=|
||
| cos
= ab cos
.
Estos productos escalares y de cruz también pueden interpretarse geométricamente: De acuerdo con esto, el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de cualquiera de los vectores y la proyección del otro en su dirección.
Sea
=
Por definición,
Donde a = |
B=|
,
.
=
y el ángulo BOA =
= ab cos
| = OA
| = OB
Desde B, dibujamos BL OA y desde A, dibujamos AM OB. Por tanto, OL = Proyección de OB en OA = Proyección de b en a = O Bcos 0 = b cos 0 OM = Proyección de OA en OB = Proyección de a en b = OA cos 0 = a cos 0 Ahora bien, a. b = abcos 0
= a (b cos 0) = OA (Proyección de OB en OA) = | | (Proyección de en la dirección de) Nuevamente. = ab cos = b(a cos) = OB (Proyección de OA en OB) = | | (Proyección de en la dirección de) Hay ciertas cosas que son dignas de mencionar en esta interpretación geométrica del producto escalar: 1). Proyección de en la dirección de = =. = a^. .
2). Proyección de en la dirección de = = = b^. . El producto vectorial de dos vectores y inclinado en un ángulo \ theta es un vector cuya magnitud es ab sin y la dirección es perpendicular al plano y . Al igual que el producto escalar, el producto vectorial también puede ser visto geométricamente como: Sea =, = | X | = ab sin = 2 (1/2 ab sin) = 2 áreas de triángulo ABD = área del paralelogramo ABCD cuyos lados adyacentes son y . Por tanto, x = es el vector área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son y . De hecho, x es el vector área de la cara del paralelogramo que mira hacia el observador en la figura.
Algunos de los puntos que requieren especial atención son: 1). El área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son representados por los vectores y es | x |. 2). El área del triángulo cuyos dos lados adyacentes están representados por los vectores y es ½ | x |
Operaciones Con Vectores Y Sus Propiedades En cálculo vectorial, un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la dirección, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de algunas fuerzas, como la magnética o gravitatoria la fuerza, a medida que cambia de punto a punto. Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden a los campos vectoriales de una manera natural. Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un camino, y bajo esta interpretación, la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Los campos vectoriales útil se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y curvatura (que representa la rotación de un flujo).
En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensión euclidiana se puede representar como un vector de función con valores que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformación al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales se discuten a menudo sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, sino también tener sentido en otros subconjuntos tales como superficies , donde se asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector de la tangente ). De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se ven como el espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero pueden tener una estructura más compleja a escalas mayores. En este contexto, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del fibrado tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo de tensores Definicion Los campos vectoriales sobre subconjuntos del espacio euclidiano Dado un subconjunto S de Rn, un campo de vectores se representa mediante un vector de función con valores de v:s→Rn en la norma coordenadas cartesianas ( x 1 , …, x n ). Si S es un conjunto abierto , entonces V es una función continua , siempre que cada componente de la V es continua, y más en general, V es C k campo vectorial si cada componente V es k veces continuamente diferenciable. Un campo vectorial se puede visualizar como una n -dimensional del espacio con un n dimensiones vectores adjunta a cada punto. Dadas dos C k vectores campos V , W definido en S y un verdadero valor C k -función f definida sobre S, las dos operaciones de multiplicación y suma de vectores escalares
definir el módulo de C k campos de vectores en el anillo de C k -funciones. Saludos y suerte prof lauro soto
Descomposición de Vectores en Tres Dimensiones La técnica de bifurcación de un vector en sus componentes en las tres dimensiones es denominada descomposición de vectores en tres dimensiones. Estos componentes actúan en sus respectivas direcciones. El componente-Xes el componente en el eje X, y el componente-Y es el componente a lo largo del eje Y, y el componente-Z es el componente en el eje z. La noción de suma vectorial y la descomposición del vector están ligadas una con la otra. De acuerdo con la ley del triángulo del vector, “Si dos lados de un triángulo son representados por dos vectores continuos y , entonces el tercer lado del triángulo que está en la dirección opuesta es el resultante de los dos vectores”. Inversamente, puede afirmarse que un vector puede ser representado como la suma de otros dos vectores. O más en general, podemos concluir que un vector puede ser considerado como el equivalente de la sumatoria de dos vectores. Esta idea fue la base de la descomposición de vectores. Por encima se muestran los fundamentos de los vectores del sistema de coordenadas Cartesiano. Estos son vectores perpendiculares entre sí, cada uno en una dirección de los tres espacios dimensionales.
Sea construya el ángulo , y con el eje x, y e z respectivamente. =
Entonces podemos escribir, Px = P cos (0x ) → cos (0x) = Px/ P = A Py = P cos (0y ) → cos (0y) = Py/ P = B
Pz = P cos (0z ) → cos (0y) = Pz/ P = C =
+
+
O, P = Px+ Py+ Pz Con la ayuda de la geometría plana se puede demostrar que, P2 = Px2 + Py2 + Pz2 O,
P= Esto es igual a la magnitud de P. cos (0x), cos (0y) y cos (0y) nos dan la dirección P en el espacio,por lo cual estas se conocen como cosenos de dirección. P. cos2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = [Px/ P]2 + [Py/ P]2 + [Pz/ P]2
= Px2+ Py2+ Pz2/ P2 = P2 / P2 =1 cos2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = 1 A2 + B2 + C2 = 1 Un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda, Escriba los cosenos direccionales de = 2i - 3j - k Sea = ax + ay + az ax = 2 ay = −3 az = −1
Y conocemos que, a =
=
=
Por tanto, cos (0x) = ax/ a = 2/ cos (0y) = ay/ a = −3/ cos (0y) = az/ a = −1/ El vector de descomposición es un concepto fundamental por dos razones. Primeramente, nos ayuda a determinar la consecuencia de alguna cantidad física en una dirección determinada y en segundo lugar, constituye la base del análisis algebraico de un vector debido a que nos ayuda en la representación de un vector en términos de tres vectores que actúan en los tres ejes de un sistema de coordenadas Cartesianas.
De manera similar un vector también puede ser descompuesto en dos dimensiones,lo que se denomina descomposición planar. Saludos y suerte prof lauro soto
Ecuaciones de rectas y planos Un vector es una cantidad que tiene tanto dirección como magnitud. Como una recta tiene magnitud en la forma de su longitud y su dirección, es decir, que tiene un punto de partida y un punto de llegada, puede ser representada en forma de vector. La ecuación vectorial de una recta se escribe con la ayuda de dos componentes: un vector de posición y un vector de dirección. El vector posición habla acerca de la longitud y la orientación de la recta mientras que el vector dirección habla de su dirección. Ecuación de la recta: La ecuación general de una recta en su forma vectorial es r=a + λ (b -a), donde a y b son los vectores posición de los puntos A y B unidos por la recta. Ecuación de la recta en forma paramétrica: Cualquier recta paralela a un vector distinto de cero se define por (a, b, c) y que pase por un punto (x0,y0,z0) tiene su ecuación en forma paramétrica de la siguiente manerax=x0+at y=y0+bt z=z0+ct Estas ecuaciones pueden ayudarnos a encontrar una recta que pase por un punto dado y que sea paralela a un vector dado, como se explica en el ejemplo 1. Ejemplo 1:Encuentre la recta que pasa por el punto (1,−3, 2) y que es paralela al vector v= (4, 2,−5). Solución: x=x0+at → x= 1+4t y=y0+bt → y= −3+2t z=z0+ct → z= 2–5t
Además, si necesitamos encontrar una recta que pase por dos puntos, podemos primero encontrar el vector paralelo a esa recta y buscar la recta que pase través de cualquiera de los dos puntos dados como se explica en el ejemplo 2. Ejemplo 2: Encuentra la recta que pasa por (2,3,4) y (4,3,6). Solución: El vector desplazamiento, v, a través de los puntos dados puede ser escrito como v= (4–2, 3–3, 6–4) Esto es, v=(2, 0, 2)
Ahora bien, para encontrar una recta paralela a este vector, podemos observar las ecuaciones descritas anteriormentex = 2+2t y= 3+0t z= 4+2t.
Ecuación del plano: Considere un punto P0 (x0,y0,z0) que yace sobre el plano. Además, sea el punto P(x, y, z) cualquier punto en el plano y sea el vector (a, b, c) perpendicular al plano. Sea y vectores posiciónde P0 y P, respectivamente. Entonces el vector -r yacerá en el plano dado y cualquier recta en el plano será perpendicular a . Entonces, ∙ ( - )=0.Esta es la ecuación vectorial del plano. Ahora, vamos a trabajar con algunos ejemplos para ver las ecuaciones de los planos dados en condiciones dadas. Ejemplo 3: Encontrar la ecuación del plano que pasa a través de P (3,2,5), Q (2, −3,1) y R (1,3, −5). Solución: Para encontrar la ecuación del plano, primero debemos encontrar los vectores que yacen en el plano. Los dos vectores que definitivamente se encuentran en el plano son PQ y QR PQ= (−1,−2,−4) y
QR= (−1,6,−4)
Entonces estos vectores estarán en el plano. El producto vectorial de estos dos vectores será ortogonal a ambos vectores y por lo tanto, al plano. n = PQ x OR
Ahora, la ecuación del plano puede encontrarse utilizando cualquier punto de los tres puntos dados. Consideremosel punto P (3,2,5), entonces, La ecuación del plano es 32 (x- 3) −8 (y-5). En la simplificación, producirá 32x-8y = 56. Esta ecuación puede ser verificada para otros puntos en el plano también.
Aplicaciones Físicas y Geométricas El vector es un tema que posee sus aplicaciones esenciales tanto en la física como en las Matemáticas.
El vector forma la base del cálculo vectorial en Matemáticas y ademáses un concepto importante en Física. Aplicación de los Vectores en Física Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante: Si la fuerza F1 , F2 ,F3 y así sucesivamente hasta Fn actúa sobre una partícula, entonces la fuerza resultante actuando en la partícula es F = F1+F2+F3+ … + Fn . Aquí, el módulo de F será de la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula. Trabajo: Si una partícula se desplaza desdeel punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza , entonces el trabajo W realizado por elvector fuerza F está dado por W = F . AB , lo cual es igual a |F| AB cos ( ), donde es el ángulo entre y , lo que a su vez es equivalente a (magnitud de la fuerza) x (desplazamiento en la dirección de la fuerza). Velocidad relativa: Si las velocidades de las partículas A y B son y , respectivamente, entonces la velocidad de B respecto a A es - y la velocidad de A respecto a B es - . Rapidez: Aunque la velocidad es en sí misma una cantidad escalar, esta es una aplicación física del vector ya que representa el valor absoluto de un vector, el cual es el vectorvelocidad. Dado un vector velocidad, la rapidez puede ser calculada mediante el cálculo del valor absoluto del mismo como | |. Esto puede escribirse con mayor precisión como, s = | d/ t | Aquí, d es la cantidad de desplazamiento y t es la diferencia de tiempo desde cuando la partícula se encontraba en la posición final hasta cuando la partícula se encontraba en la posición inicial. Velocidad: El vector velocidad representa la razón de variación del movimiento de una partícula de una posición a otra. La fórmula para calcular la velocidad de una partícula es, v = d / t. Podemos observar que es la misma fórmula para la rapidez de una partícula, excepto por el hecho de que aquí no se determina el valor absoluto de la solución. Además de estas aplicaciones físicas, un vector o un espacio vectorial puedentambién tener aplicaciones geométricas: Recta: Asuma que un vector se encuentra paralelo a otro vector, digamos . Entonces la ecuación de la recta que representaría una sola recta sería = k . Aquí k es una cantidad escalar.
Una ecuación vectorial que represente esta recta sería, r = a + k(b - a) El valor de k puede variar hasta . Esta variación en el valor de k, mueve el punto P de una posición a otra, por ejemplo, cuando k = 0, entonces P = A. Plano: De la misma forma, también puede definirseuna ecuación vectorial para un plano. Suponga un vector que yace sobre el plano, sea este vector .Entonces la ecuación que representa este vector es = r - a.
Sea el vector que yace normal al plano, entonces se puede afirmar que, (r - a). n = 0. Por lo tanto, la ecuación vectorial que representa tal plano sería, r.n = a.n . También esto puede escribirse como, r.n = . Aquí es un término constante.
