ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR TEORIA-EJERCICICOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS
PRELIMINARES 1. Expresión general de un vector Todo vector del espacio de tres dimensiones se puede escribir en la forma siendo a x , a y , a z las componentes del vector y los vectores vectores unitarios dirigidos según los ejes coordenados x,y,z coordenados x,y,z . El módulo del vector viene dado por: (1)
2. Ángulos directores de un vector Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos que forma con los ejes coordenados x,y,z , según muestra la Fig 1.1. Los cosenos directores se pueden obtener sin más que observar que: (2) siendo el módulo del vector.De (1) y (2) se obtiene la relación entre los ángulos directores: (3)
3.Vector Unitario Vector unitario es aquel que puede tener cualquier dirección, pero su módulo es unidad . Para obtener un vector unitario a partir de un vector dado , basta dividir éste entre su módulo. El vector resultante tiene la misma dirección y sentido que el
vector dado.Si es el módulo del vector y llamamos al vector unitario buscado, tendremos: (4)
OPERACIONES CON VECTORES 4. Suma y diferencia de vectores El vector suma de un conjunto de vectores se obtiene sumando algebraicamente sus componentes,de acuerdo con la expresión:
5. Producto escalar de vectores Se define el producto escalar de dos vectores así: (5) En función de las componentes de ambos vectores la expresión (5) toma la forma: (6)
6. Proyección de un vector sobre otro La proyección de un vector sobre otro viene dada por la siguiente expresión:
que resulta ser otro vector como se desprende de la definición (5) y de la Fig 2.1.
7. Producto vectorial de vectores El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector vector , cuyaDIRECCIÓN es perpendicular al plano determinado por ambos vectores, deSENTIDO el que proporciona la regla del tornillo al girar el primer vector sobre el
segundo por el camino angular más corto y de MODULO el que resulta de la siguiente expresión: (7) Si expresamos los vectores en función de sus componentes, el vector resultante de la operación producto vectorial es:
(8) donde ahora el vector se obtiene en función de sus componentes. « El módulo del producto vectorial de dos vectores equivale al área del paralelogramo definido por ambos »
8. Producto mixto de tres vectores Sean los vectores . La expresión se conoce como producto mixto de dichos vectores. A partir de las expresiones (6) y (8), el producto mixto expresado en función de las componentes de los vectores es:
(9) « El producto mixto de tres vectores representa el volumen del paralelepípedo determinado por ellos » De lo anterior se deduce que si el producto mixto de tres vectores es nulo, los vectores son coplanarios .
9. Doble producto vectorial
Dados los vectores , llamaremos doble producto vectorial de los mismos a la expresión: (10)
10. Momento de un vector respecto re specto de un punto
Se define el momento de un vector punto O a un vector
respecto de un
que verifica la condición:
(11) Observar que se trata de un producto vectorial de dos vectores,por lo que si los puntos son O(xo ,yo ,z ) y A(x A ,y A ,z A ), ), o y el vector momento tiene la expresión:
o bien
si O(0,0,0). O(0,0,0).
11. Momento de un vector respecto de un eje Sea un vector cuyo momento respecto a un punto O es es el dado por la expresión (11) y sea E une une eje que pasa por el punto O , de de manera manera que sea un vector unitario que señala señala la dirección y sentido de E . El momento del vector respecto al eje E , M E , viene dado por la expresión: (12) Si los vectores de la fórmula anterior se expresan en función de sus componentes cartesianas, podremos escribir: (13)
12. Derivada de un vector Sea una función vectorial del escalar t . Si escribimos en función de sus componentes: y dado que los vectores unitarios son constantes (en módulo, dirección y sentido) tendremos que el vector derivada respecto del tiempo es: (14)
13. Derivadas de los productos escalar y vectorial de vectores
La derivada de un producto escalar de vectores sigue las reglas matemáticas de derivación del producto: De esta igualdad puede deducirse que el producto escalar de un vector de módu módull o constate por su derivada respecto del escalar t es nulo. En efecto: . Si aplicamos la regla de derivación del producto escalar en ambos miembros, siendo : P=Constante o bien c.q.d. La derivada respecto del escalar t de de un producto vectorial de vectores viene dada por: (15)
14. Integral de una función vectorial (Circulación y Flujo) De la misma forma que una función vectorial de la variable escalar t admite admite la función derivada, admite también la posibilidad de ser integrada, siempre en el caso que cumpla las condiciones de integrabilidad. La CIRCULACIÓN C del vector a lo largo de una curva cualquiera entre los puntos A y B se expresa así: y como
resulta finalmente:
(16) El Flujo de un vector a través de una superficie viene dado por la expresión: (17)
Aquí dS las proyecciones del x x , dS y y y dS z z representan elemento de superficie dS según según los planos yz , x z e e yz respectivamente. respectivamente. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dados los vectores
,
hallar sus módulos, su suma y los ángulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.
SOLUCIÓN
De aquí: =28°32'35" , , =118°13'49" y =86°7'31" .
2. El módulo de un vector es 18 y 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los números 2, -2 y -2 y 1. Hallar la suma el vector . Hallar también un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.
SOLUCIÓN Sea el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los números 2,-2 y -2 y 1, podremos escribir:
si
cos =2K, cos ß=-2K, cos =K (1). (1). Utilizando la fórmula (3) del resumen teórico resulta: 4K 2+4K 2+K 2=1 de =1 de donde 9K 2=1 y =1 y K=± K=± 1/3. 1/3. De las relaciones (1) se obtiene ( K=1/3): K=1/3): cos =2/3 ; cos =-2/3 ; cos =1/3 De la fórmula (2) del resumen teórico, despejando los valores de a x ,a y y a z y siendo =18,queda: Luego: de donde:
3. Dados los vectores =(3,-2,1) y de módulo 3 y contenido sobre la recta x-y=0 , hallar: a) Módulo de b)Producto escalar de y c) Angulo que forman. SOLUCIÓN a) Si el vector está situado sobre la recta x-y=0 recta x-y=0 quiere quiere decir que está dirigido sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano X Y . Esto indica que b z =0, =0, b x=±3.cos 45° y b y=±3.sen 45°. 45°. Por tanto el vector es: = El módulo de es: los valores positivos de b x y b y.
b)
=
. . Observar que se eligieron
c) Para calcular el ángulo que forman ambos vectores basta aplicar la relación (5) del resumen teórico: con lo que
4. Calcular el momento del vector =(2,-4,0) que pasa por el punto P punto P (-1,0,1) (-1,0,1) respecto al eje E que que pasa por P por P 1(2,3,1) y cuya dirección está determinada por el vector
SOLUCIÓN
Para hallar el momento respecto al eje E , M E = calcular:
,debemos
Pruebe el lector a obtener la expresión vectorial del momento. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dados los vectores =(2,-3,-3) y de módulo 12 y cosenos directores proporcionales a 2,-2 y 1, hallar: a) El módulo de b) El vector c) El producto escalar . d) El ángulo que forman entre sí. (10,-11,1) c) 28 d) 60,17° Solución a) b) = (10,-11,1) 2. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(2,-1,3), B(1,-2,3) y C(2,-1,2). Hallar el ángulo que forman los lados AB y AC.
Solución S=
;
=90 =90 ° (Re (Rectángulo ngulo en el vé rtice rtice A)
Dados los vector vectores: es: situado situado en una una recta recta que que pasan pasando do por 3. Dados el origen de coordenadas tiene los cosenos directores proporcionales a 0, 3 y 4 y módulo 10, y momento respecto al origen igual a ,y y situado en la recta de acción que pasa por el punto de coordenadas (2,1,2), calcular la resultante y el momento resultante respecto al origen.
Solución 4. Sabiendo que dos de los cosenos directores de cierto vector ,de módulo 6 son son cos = 1/2 y cos = 1/ 3 ,calcular las componentes de un vector , tal que
.
Solución (Sol (Sol uci ón no úni ca) 5. Dado el vector que actúa en el punto A(2,3,1) hallar: a) Su momento respecto al origen b) su momento respecto a los ejes de coordenadas coorde nadas c) su momento respecto a la línea que pasa por los puntos M(0,1,0) y N(2,1,1). Solución a) b) c)
6. Una torre está rematada por un tejado que puede considerarse una pirámide cuadrangular con las dimensiones mostradas en la Fig 3.1. Determinar el ángulo que forman dos de las caras laterales del tejado.Si el viento sopla constantemente con una velocidad ¿Que flujo atraviesa la cara A B C ? 82°49' 9" ; unidades de flujo Solución = 82°49' 7. Hallar el valor del ángulo formado por las dos caras del tejado de una torre hexagonal, cuyas dimensiones se expresan en la Fig 4.1.
Solución = 88 88 ° 2" Para resolver estos ejercicios deberás establecer unos ejes de coordenadas adecuados y hallar el vector normal (asociado) a dos de los planos que forman el tejado
8. a) Hallar el valor de la expresión
b) Halla el o los
vectores unitarios que formando un ángulo de 45° con el vector dé un producto vectorial que esté contenido er en el plano OXY .(1 OX Y contr contr ol 97-98) 97-98) 9. Dados los puntos del espacio A(-1,0,3),B(2,3,1) y y el área del triángulo definido por C(3,1,0), hallar ellos. 10. Calcular el momento del vector =(2,-4,0) que pasa por (-1,0,1) (-1,0,1) respecto al eje E que el punto P que pasa por P 1(2,3,1) y cuya dirección está determinada por el vector .
11. Hallar un vector ,tal que sea perpendicular al =(2,1,3) y su producto vectorial por =(1,0,1) resulte el vector . 12. Los vértices de un paralelogramo son los puntos A(0,2,3), B(0,1,-1), C(0,-2,-3) y D(0,-1,1). Calcular: a) El ángulo que forman los vectores y . b) El área del paralelogramo que determinan c) El momento de respecto del vértice C d) El producto escalar . y que sea paralelo a la 13. Hallar un vector de módulo 3 y suma de los vectores =(1,2,1), =(2,-1,1) y =(1,-1,2). 14. Sean A(-1,0,1),B(1,1,3),C(-2,1,-1) y D(2,5,1) cuatro puntos del espacio. a) Determinar el ángulo formado por los vectores y b) Determinar un vector unitario que sea perpendicular a y esté contenido en plano X Y . 15. Si y ,calcular:
16. Si 17. Integrar el vector Se sabe que en t=10 s , vectorial de integración?. 18. Dados los vectores
calcular: para obtener el vector . ¿Cuál es la constante y
,hallar el
valor de la integral: 19. Calcular el momento respecto del eje Z del del vector 2,-1) que está aplicado en el punto A(-4,2,-1).
20. Descomponer un vector
=(3,-
dirigido según y módulo unidades según las direcciones de los vectores
. Obsérvese que estos vectores n o son son . unitarios y entre sus ángulos se 21. Un vector tiene de módulo 6 y verifican las relaciones . Si está aplicado en el punto A(-1,0,2) determinar su momento respecto al eje que pasa por B(1,-2,2) y C(2,-3,3). er Control Contr ol 94-95 94-95 (1 ) 22. Un vector de módulo 5 está está situado en el plano YZ(Y>0, Z>0) y forma un ángulo de 37° con 37° con el eje OZ. Hallar la relación entre bx y cz para que los vectores er y sean coplanarios.(1 ) Contr Contr ol 94-95 94-95 23. El vector tiene por origen el punto P(-1,0,1).Entre sus componentes se verifica que wx=3wy y wz=0 y =0 y su proyección sobre el vector es . Hallar y su momento respecto er al punto A(1,2,2).(1 ) Control Contr ol 94-95 94-95 24. Descomponer el vector en dos componentes, paralela y perpendicular, respectivamente al vector . 25. Los vértices de un tetraedro son los puntos A(0,0,1), B(3,0,3), C(2,3,1) y D(1,1,2). Determinar el ángulo formado: a) Por las caras ABC y BCD; b) Por los lados AB y AC c) Por el lado BC y la cara ADC. 26. Demostrar la igualdad .Indicación: Elegir en la dirección OX(+), cont conten enid ido o en en el el plan plano o XY, y arbitrariamente. 27. Determinar el ángulo formado por dos diagonales cualquiera de un cubo.Sugerencia : Tomar un cubo de lado genérico -a- , trazar dos de sus diagonales y a partir de las coordenadas de sus orígenes y extremos obtener las componentes de los vectores a que dan lugar. Solución =70,52°
28. Al vector
queremos sumarlo el donde para que sea ortogonal al
Hallar el valor de Solución =1 29. Un vector viene dado por . El vector módulo y su primera componente vx=7 . =7 . Hallar condición que sea perpendicular a .
. . tiene por con la
Solución 30. Los vectores , y tienen el mismo origen. Determ Determinar inar el valor valor de de para para que los los tres tres vecto vectores res tengan tengan sus sus extremos sobre la misma recta. Solución =0 31. Calcular la circulación del vector entre los puntos del plano O(0,0) y y P(1,1) a a través de los siguientes caminos: a) Siguiendo la curva y=x 2 b) Siguiendo el eje OX entre el origen y el punto A(1,0) y de éste en línea recta al P(1,1) . Solución a) C=9 b) C=3,5 a lo largo 32. Calcular la circulación del vector de la curva xy=1 curva xy=1 entre entre los puntos del plano A(1,1) y el correspondiente a la curva de abscisa x=4 abscisa x=4..
