Elementos de un vector y ejemplos Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un u n solo valor, es necesario definir las tres características mencionadas anteriormente:
Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector. Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector. Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.
Matemáticamente hablando, un vector no puede ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales, como sí es posible hacerlo h acerlo con las magnitudes escalares (como la temperatura o el tiempo).
Ejemplos La distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar determinada únicamente por sus velocidades velocidades.. Si éstas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podrá ser, entre otras posibilidades:
De 10 km, si los dos coches co ches llevan la misma dirección y mismo sentido. De 70 km, si salen en la misma dirección y sentidos contrarios. De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.
Como se puede ver, la distancia recorrida depende también de otras cualidades, además de la velocidad de los coches. Es necesario utilizar un vector, que además de describir su magnitud (en este caso la velocidad) defina su dirección y sentido.
Representación gráfica y notación Representación Representación gráfica
Representación gráfica de dos vectores deslizantes
Se representa como un segmento con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su largo representa la magnitud, su pendiente la dirección y la "punta de flecha" indica su sentido.
Notación En física las variables escalares se representan con una letra: a, x, x, p, p, etc., y los vectores con una flecha encima: , representándose también frecuentemente mediante letras en negrita: . Además de estas convenciones los vectores unitarios cuyo módulo es igual a uno son representados frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo
Componentes de un vector Las coordenadas o componentes del vector en un sistema de referencia pueden pue den escribirse entre paréntesis y separadas con comas: .
Si se desea expresar al vector como combinación de los vectores, se representará como:
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a x, a y, a z , se llaman componentes o coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como números reales. reales. En teoría de la relatividad los vectores suelen ser denotados en la notación abstracta de índice y los anteriores vectores se representarían mediante:
Vectores como combinación lineal Cualquier vector que se considere es siempre una combinación lineal de un número n de vectores unitarios perpendiculares entre sí, que forman la base la base del espacio vectorial en cuestión. Estos vectores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por
,
,
, si bien es también usual representarlos como ,
,
,
siendo el vector unitario según el eje de la x, el vector unitario en el eje de las y, y el de las z. En el espacio de dos dimensiones se toman dos de estos versores, que corresponden a los ejes de coordenadas adoptados.
en
Tipos de vectores Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u o rigen- fijado en ningún punto en particular. Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algún punto en particular. Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales módulos, direcciones y sentidos. Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actúan sobre una misma recta. Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-. Vectores unitarios: vectores de módulo igual a un o. (Véase vector unitario) Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección (también vectores anti - paralelos)
Operaciones con vectores Suma de vectores
Suma de vectores
Método del paralelogramo Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.
Método del triángulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a con tinuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos
Método analítico El resultado de la suma es:
ordenando los componentes:
Pongamos un ejemplo numérico:
el resultado:
agrupando términos:
esto es:
Resta de vectores Para restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V, esto es U - V = U + (V). Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. [1]
Producto por un escalar
Producto por un escalar Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico). Partiendo de un escalar y de un vector , el producto de por es , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:
si lo multiplicamos por el escalar n:
esto es:
Representando el vector como combinación lineal de los versores:
y multiplicándolo por un escalar n:
esto es:
Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos d el vector:
y multiplicamos el vector por 2,5:
esto es:
haciendo las operaciones:
Producto escalar
Producto escalar
Producto vectorial
Producto vectorial
Derivada de un vector Dado un vector que es función de una variable independiente
Podemos calcular la derivada de a respecto de t, para cada una de sus componentes, como si de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas: .
Para calcular esta derivación hay que tener en cuenta que los vectores son constantes en módulo, dirección, y sentido. Cuando se deriva sobre un sistema de referencia en movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:
Esta función representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que ésta es la trayectoria de una partícula y la función determina el vector de posición en función del tiempo. Si derivamos, tendremos:
Realizando la derivada:
La derivada de la posición respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos decir:
Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partícula es un vector paralelo a este, en el punto donde se encuentra la partícula en ese mismo momento. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración, como era fácil de suponer.
Otras operaciones Módulo resultante Dados dos vectores
y
, de módulos conocidos y que forman el ángulo θ entre sí, se
puede obtener el módulo
con la siguiente fórmula:
La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.
Ángulo entre dos vectores
Angulo entre 2 vectores en un plano Para calcular el ángulo entre dos vectores se usa la siguiente fórmula:
El cual se puede generalizar a cualquier dimensión con excepción de los casos superiores A y B:
Cuando se trata algebraicamente en un espacio vectorial el ángulo entre dos vectores está dado por
Siendo
el producto interno definido dentro de dicho espacio vectorial
Hay que tener en cuenta que el ángulo que devuelve esta formula está comprendido entre 0º y 180º, no devuelve el signo del ángulo.
Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas. En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular , el campo magnético y todas las magnitudes que en su definición usan el producto vectorial son en realidad pseudovectores newtonianos. En teoría especial de la relatividad, por ejemplo, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadoras y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:
Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular , el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen
módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario
o también
denominado .
Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario
o también denominado . o también denominado
. Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:
Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:
Masa Temperatura Presión Densidad
Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:
Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.
Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.
Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.
Desc om pon iendo en un sis tema de ejes cartesianos a+b=(axi+ay j+ azk )+(bxi+by j+ bzk )=(ax+bx)i+(ay +by) j+(az+bz)k
Propiedades Conmutativa: a+b=b+a Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Elemento Neutro: a+0=a Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0
Vectores unitarios y com pon entes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como r esultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.
Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.
De ese modo,
Los escalares
,
y
se denominan componentes del vector y se representan por:
Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.
También puede representarse de la siguiente forma:
Suma y resta de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina re sultante.
Suma d e Vectores La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.
Procedimiento Gráfico Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, de l que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos
opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.
Mé tod o Al geb raic o para l a Sum a de v ecto res Dados tres vectores
La expresión correspondiente al vector suma
o bien
siendo, por tanto,
es:
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
Conmutativa a+b=b+a
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro o vector 0 a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 a' = -a
Produc to de un vector po r un escalar El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características : 1.- Tiene la misma dirección que v. 2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo. 3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo). Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada un a de las coordenadas del vector. Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vy j + vzk , el producto 3 · v = 3 · vxi + 3 · vy j + 3 · vzk. La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. Ejemplo :
Propiedades El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades: 1.- Conmutativa: k · v = v · k. 2.- Distributiva: k (v + u) = (k · v) + (k · u). 3.- Elemento Neutro: 1 · v = v. 4.- Elemento Simétrico: -1 · v = - v.
Produc to escalar de dos v ectores El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componen tes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:
r = rxi + ry j + rzk v = vxi + vy j + vzk teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :
i · i = j · j = k · k = 1 i · j = i · k = j · k = 0 el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:
r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula:
r · v = |r| · |v| · cos (r, v)
Propiedades Conmutativa : r · v = v · r Distributiva : r · ( v + u ) = r · v + r · u Asociativa : ( k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v ) siendo k escalar. Además: 1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0. 2.- Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0). 3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él. Ejemplo: Proyección ortogonal (rv) de r sobre v
rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · rv Ejemplo: Calcular el producto escalar de los vectores r =5 i - 3 j + 2 k y v = -2 i + j + 3 k. Hallar el ángulo que forman. Primero hallamos el producto escalar de los vectores :
r · v = 5 · (-2) + (-3) · 1 + 2 · 3 = -7 Ahora calculamos el angulo que forman; Sabemos que:
Como ya calculamos r · v, nos queda que hallar el producto de sus módulos para poder realizar el cociente:
|r| · |v| = 22.17. Entonces
Y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º.
Ap licación: áng ulo entre do s vecto res Producto escalar El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.
Propiedades:
You're Reading a Preview Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ángulo de los vectores a y b: Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial Con lo que deducimos que:
El cos dará siempre entre 0 y 1 El producto escalar varía como máximo entre el y0 El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares Si cos de a y b = 0 vectores perpendiculares. Si cos de a y b <> 0 vectores perpendiculares.
En este caso, , podemos sacar como conclusión que a = 0 ó b = 0, o bien que a y b son mutuamente perpendiculares.
Producto vectorial El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,
Se escribe
. Por tanto:
Donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b. Propiedades:
Módulo d e un vector Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional. Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
