c
P P
c
cc 1. PENDAHULUAN Masalah yang melibatkan getaran atau osilasi sering terjadi dalam fisika dan rekayasa. kamu dapat memikirkan contoh Kamu telah bertemu/melihat peristiwa garpu tala bergetar, bandul, berat badan yang melekat pada musim semi, Wates gelombang,gelombang suara, arus listrik bolak-balik, dll. Selain itu, ada lebih banyak contoh yang kamu akan temukan ketika kamu melanjutkan untuk mempelajari fisika.Beberapa dari mereka misalnya, konduksi panas, medan listrik dan magnet, cahaya tidak muncul dalam dasar kerja untuk memiliki sesuatu berosilasi tentang mereka, tapi akan berubah jika kamu lebih bekerja maju untuk melibatkan sinus dan cosinus yang digunakan dalam menggambarkan gerak harmonik sederhana dan gerak gelombang. Dalam bab I kita membahas penggunaan deret kuasa untuk perkiraan banyak masalah rumit fungsi.Di, seri disebut deret Fourier, yang istilah yang sinus dan cosinus, lebih berguna dari deret pangkat.Di kekuatan bab ini kita akan melihat bagaimana untuk menemukan dan menggunakan deret Fourier. Kemudian, dalam bab 13 (bagian 2 sampai 4), kita akan mempertimbangkan beberapa masalah fisika yang Fourier berusaha memecahkan ketika ia menemukan deret Fourier.
2. SEDERHANA HARMONISA GERAK DAN GERAK GELOMBANG; CATATAN FUNGSI Kami akan membutuhkan banyak notasi dan terminologi yang digunakan dalam membahas gerak harmonik sederhana dan gelombang gerak. Mari kita bahas dua topik singkat. Unsur P bergerak dengan kecepatan konstan berputar mengelilingi dengan jari-jari A. Pada waktu yang sama, unsure Q bergerak naik dan turun (bergerak bolak-balik) melalui garis lurus memotong RS di daerah koordinat P dan Q selalu sama. Jika [ adalah kecepatan anguler terhadap P dengan rad/sekon, dan (Gambar 2.1)
rc
ketika = 0,
kemudian beberapa waktu t (2.1)
= [À .
Pada koordinat terhadap Q (yang mana sama dengan koordinat terhadap P) adalah
(2.2)c
c cr g Ú p = g Ú [ .
Geraka mudur da maju d Q d Úebut Ñ c c . Dengan definisi, sebuah obyek yang melakukan gerak harmonic jika mengalami perpindahan dari keseimbangannya dapat ditulis
Ú [ atau [À atau A in ( À - ), tetapi dua fungsi ini berbeda dari
haya megubah mulaya; fugÚ
Ú [À
dapat d Úebut a c ]. Kamu dapat memikirkan
beberapa contoh fisik dari jenis getaran sederhana: sebuah bandul/buaian, garpu tala, nilai gerak naik-turun (gerak bolak-balik) pada akhir sebuah getaran. Pada koordinat dan dari unsure P pada gambar 2.1 adalah (2.3)c cr
[À , cr
Ú [ .
Apab la k ta bayagka P pada t t k mcrc cc dalam bilangan kompleks, kita dapat mengganti 2.3 dengan persamaan tunggal untuk menjelaskan gerak P: (2.4)c mcrc cc crc Ú [ Ú [ ccrc
c
Ini ering bernilai ketika menggunakan n tai bilangan k mplek untuk menjelakan gerak Q; kemudian kita mengetahui bahwa p ii ebenarnya Q ama dengan bagian bilangan imajiner dari m (atau dengan perbedaan k ndii permulaan bagian bilangan real m). ebagai nt h, keepatan Q di bagian imajiner m ( ) [ [ ( [
(2.5)
Pada bagian imajiner 2.5 adalah
[À , yang mana
in [ ) .
J dari 2.2.] J
Ini berguna untuk menggambarkan ebuah grafik atau di 2.2 dan 2.3 eperti fungi . Bilangan 2.2 mewakili beberapa fungi [ , [À , À -
apabila kita mengubah
awalnya dengan tepat. Pada angka A disebut À c À atau À c a . secara phisik itu adalah penggantian/jarak yang maksimum Q dari posisi keseimbangan nya. Periode gerak harmonik sederhana atau periode fungsi adalah waktu untuk melakukan getaran lengkap, yaitu adalah, 2ʌ/§ ( Lihat Gambar 2.2).
Kita bisa tulis kecepatan Q dari ( 2.5) sbb: (2.6)
= A§ cos § = B cos §
Di sini B adalah nilai maksimum kecepatan dan disebut kecepatan amplitudo Catatan bahwa kecepatan itu] mempunyai periode yang sama ketika penggantian/jarak itu]. Jika massa partikel Q adalah m, maka energy kinetic adalah:
energy kinetik =
(2.7)
² = ½ cB2 cos2 §.
Kita sedang mempertimbangkan suatu osilator harmonik diidealkan yang tidak hilangkan energi. Kemudian total energi ( kinetik + potensial) harus sebanding dengan nilai yang paling besar dari energy kinetic yaitu adalah ½ mB2. Sehingga kita dapat : ( 2.8)
Total energy = ½ cB2
Pesan bahwa energi adalah sebanding tegak lurus ( percepatan) amplitudo; kita akan menyimpulkan hasil ini yang kemudiannya ketika kita mendiskusikannya. Gelombang adalah contoh penting yang lain dari suatu peristiwa getaran. Gagasan matematik untuk gerak gelombang adalah bermanfaat dalam banyak bidang; sebagai contoh, kita memperbincangkan tentang gelombang air, gelombang suara, dan gelombang radio. Mari kita mempertimbangkan, sebagai contoh sederhana, gelombang air di mana bentuk permukaan air adalah ( dengan tidak realistic!) suatu kurva-sinus. Kemudian jika kita mengambil suatu foto (saat tertentu t= 0) tentang permukaan air, persamaan dari gambar-an ini yang dapat ditulis ( sehubungan dengan kampak sesuai).
(2.9)
y = A sin
Di mana x menghadirkan jarak horisontal dan Ȝ adalah jarak antara puncak gelombang. Pada umumnya Ȝ disebut panjang gelombang , tetapi mathematically itu] adalah bentuk kesamaan fungsi periode fungsi x. Sekarang mengira, kita mengambil foto lain ketika gelombang sudah bergerak maju dengan suatu jarak vt ( v adalah kecepatan gelombang dan t adalah waktunya antara gambar ). Gambar 2.3 pertunjukan dua foto melapiskan. Amati bahwa nilai y di titik x pada grafik memberi label t, adalah sama seperti nilai y di titik (x ± ʌȚ) pada grafik label t= 0. Jika ( 2.9) adalah persamaan gelombang pada t= 0, kemudian
(2.10)
y = A sin
( )
~adirkan gelombang pada waktu t. merupakan gelombang pada waktu t. kita bisa menafsirkan (2.10) dengan cara lain. Misalkan anda berdiri pada satu titik di dalam air tetap x pada (2.10)]. Dan mengamati gerakan naik turun air, yaitu, y di (2.10) sebagai fungsi t (untuk tetap x). Ini adalah gerak harmonik sederhana A Ȝ amplitudo dan periode / v, Anda melakukan sesuatu analog dengan ini ketika Anda berdiri diam dan mendengarkan suara (gelombang suara melewati telinga Anda dan Anda amati frekuensi mereka) atau saat Anda mendengarkan radio (gelombang radio penerima lulus dan itu bereaksi terhadap frekuensi). kita melihat bahwa dalam (2.10) sebagai fungsi periodik salah satu dari x (t tetap) atau t (x tetap); kedua interpretasi berguna. Itu tidak membuat perbedaan dalam matematika dasar, tetapi yang tertulis yang kami gunakan untuk variable.untuk independen menyederhanakan notasi kita biasanya akan menggunakan x sebagai variabel, tetapi jika masalah fisik panggilan untuk itu, Anda dapat mengganti x dengan t.
sinus dan cosinus adalah fungsi periodik; sinx sekali Anda telah ditarik dari x = 0 ke x = 2ʌ, sisa grafik dari x =- ke x =
hanya pengulangan di atas dan lebih dari grafik 0 sampai
2ʌ. Nomor 2ʌ adalah periode dosa x. Sebuah fungsi periodik tidak perlu menjadi sederhana atau sinus kosinus, tetapi mungkin akan ada semacam grafik yang rumit yang berulang (gambar 2.4). Interval pengulangan adalah periode. Sebagai contoh, jika kita jelaskan,getaran dari bandul detik, jangka waktunya adalah 2 detik Interval pengulangan adalah periode. Sebagai contoh, jika kita jelaskan getaran dari bandul detik. periode tersebut adalah 2 detik (waktu untuk satu osilasi lengkap back-dan-sebagainya). Kebalikan periode adalah frekuensi, jumlah osilasi per detik, untuk bandul detik, frekuensi adalah 1 / 2 per detik. Ketika annpuncers radio mengatakan, "beroperasi pada frekuensi 780 kilohertz," mereka berarti bahwa gelombang radio mencapai 780.000 Anda per detik, atau periode thatthe satu gelombang adalah (1 / 780, 000) sec. Menurut definisi, functionf (x) periodik jika f (x + p) = f (x) untuk setiap: p nomor periode. Periode dosa x adalah 2ʌ karena dosa (x +2 ʌ) = sin x; sama, periode sin 2ʌx adalah 1 sin 2ʌ (x = 1) = sin (2ʌx +2 ʌ) = sin 2ʌx dan periode sin (ʌx/l) adalah 2l sehingga (ʌ / ln) (x +2 l) = sin (ʌx / l). Secara umum, periode 2ʌx sinus / T = T. MASALA~, BAGIAN 2. Dalam masalah 1 sampai 6 menemukan amplitudo, periode, frekuensi, dan amplitudo kecepatan untuk gerak partikel yang jarak s dari asal adalah fungsi yang diberikan. 1.c S= 3 cos 5t
2.c S=2 sin(4t-1) 3.c S=1/2 cos (ʌt-8) 4.c S=5 sin (t-ʌ) 5.c S= 2 sin 3t cos 3t 6.c S= 3sin (2t+ʌ/8)+ 3sin (2t-ʌ/8)
PERMASALAHAN, Bagian ke 2 Pada soal 7-10 anda diberi sebuah fungsi kompleks z=f(t).Tunjukkan bahwa partikel yang koordinatnya (a) x= Re z,(b) y= Im z mengalami gerak harmonic sederhana,dan temukan amplitude,periode,frekuensi,kecepatan amplitude dari gerakan tersebut! 7. z= 5e it
8. z=2e ±k/2
9.z= 2e ixt
10. z=-4e k2t+3xi
11. Muatan q pada kapasitor a dalam sebuah rangkaian a-c sederhana berubah dengan waktu berdasarkan persamaan q= 3 sin (120ʌt+ʌ/4).Temuka ampitudo,periode,dan frekuensi dari osilasi ini.Dari pengertian,kuat arus dalam rangakaian saat t adalah I: dq/dt. Tunjukkan bahwa I sebagai fungsi sinus dari t, dan temukan amplitudo,periode,dan frekuensi. 12.Ulangi soal 11 : (a) jika q= Re 4e 30iʌt, (b) jika q= Im 4e 30iʌt
ș t x
m
13. Sebuah bandul sederhana dengan massa m ditahan,seperti pada gambar denga sebuah benang (massa diabaikan).Buktikan bahwa untuk osilasi-osilasi kecil (ș kecil),0 dan x adalah fungsi sinus dari waktu. Petunjuk: tulislah pertidaksamaan F=ma untuk m.Gunakan perkiraan sin ș =0 untuk ș kecil,dan buktikan bahwa V=A sin Ȧt adalah pemecahan dari persamaanmu.Tentukan A dan Ȧ! 14. Perpindahan x dari 2 bandul sederhana (lihat soal 13) adalah 4 sin (ʌt/4) .Mereka mulai bersama di x=0.Berapa lama ini akan terjadi sebelum mereka bersama lagi di x= 0? Petunjuk : Temukan periode dan gambarlah kedua gerakan tersebut. 15. Seperti soal 14, jarak x dari 2 bandul sederhana adalah x= -2 cos (t/2) dan 3 sin(t/3).Mereka tidak bersama saat t= 0.Buatlah gambar untuk menemukan kapan mereka pertama kali bersama. 16.Seperti soal 14,biarkan jarak menjadi 3 sin(t/¥2) dan sin t.Bandul-bandul tersebut mulai mulai bersama di x=0.Gambarlah untuk memperkirakan kapan mereka akan bersama lagi.Kamu bisa menggunakan kalkulator. 17. Buktikan persamaan (2.10) untuk sebuah gelombang dapat ditulis :
ó= A sin 2ʌ/Ȝ (x-vt)= A sin 2ʌ(x/ Ȝ ± 1/T) = A sin Ȧ (x/v - t) = A sin (2 ʌx/ Ȝ- 2ʌft) = A sin 2ʌ/T(x/v -t) X adalah panjang gelombang,f adalah frekuensi,v adalah kecepatan gelombang, T periode, dan Ȧ: 2ʌf disebut frekuensi anguler.Buktikan bahwa v = if. Pada soal 18-20,tentukan amplitude,periode,frekuensi,kecepatan gelombang,dan panjang gelombang dari gelombang tersebut.Gambarkan dalam sebuah fungsi x untuk setiap nilai t, dan sebuah fungsi t untuk setiap nilai x. 18. y= 2 sin 2/3 ʌ(x-3t) ; t = 0,t = ½; x=0,x=1 19. y=cos 2ʌ (x- ½ t), t=0,1,2 ; x =0, ½ ,1 20. y= 3 sin ʌ(x- ½t) ; t=0,1,2 ;z=0,1,2 21. Tulislah persamaan untuk sebuah gelombang dengan panjang gelombang 4,amplitude 20 dan kecepatan 6.(Lihat soal 17).Buatlah gambar dari y sebagai fungsi t untuk x= 0,1,2,3 dan y sebagai sebuah fungsi Dari x untuk t = 0,1/6,1/3, ½. jika gelombang ini merupakan bentuk sebuah tali panjang yang sedang terguncang bolak-balik di salah satu ujung eilotof menemukan partikel kecepatan dari para ropeas fungsi x dan t. (Perhatikan bahwa kecepatan ini telah mencatat hubungannya dengan kecepatan gelombang yang tingkat di mana puncak-puncak gelombang bergerak maju) 22.c Mengerjakan soal 21 untuk periode amplitude 6, gelombang 6, grafik 3,skes panjang gelombang sebagai suatu fungsi x ketika t = 0, 1, 2, 3, dan sebagai berfungsi utama ketika x = ½, 1, 3/2, 2. 23.c Menulis persamaan untuk gelombang suara sinusoidal I amplitudo dan frekuensi 440 hertz (1 hertz berarti 1 siklus per detik.). (Ambil kecepatan suara 350 m/sec) 24.c Kecepatan suara dalam air laut sekitar 1530 m/sec. Menulis persamaan untuk sebuah gelombang suara sinusoidal dalam Osean, I amplitudo dan frekuensi 1000 hertz. 25.c Menulis dan persamaan untuk gelombang radio sinusoidal amplitude 10 dan frekuensi 600 kilohertz. Petunjuk : kecepatan gelombang radio kecepatan cahaya = 3.10 m/sec.
^. APLIKASI DARI SERI FOURIER Kami telah mengatakan bahwa getaran garpu tala adalah contoh gerak harmonik sederhana. Ketika kita mendengar not yang dihasilkan, kita mengatakan bahwa sebuah gelombang suara telah lulus melalui udara dari garpu tala untuk pendengaran. Sebagai garpu tala bergetar adalah mendorong terhadap molekul udara, bergantian menciptakan tokoh daerah tekanan tinggi dan rendah. (gambar 3.1)
Jika kita mengukur tekanan sebagai fungsi dari x dan t dari garpu berjalan sebagai, kita menemukan bahwa tekanan adalah dari (2.1). Jika kita mengukur tekanan di mana kita sebagai fungsi t sebagai gelombang berlalu, kita menemukan bahwa tekanan adalah fungsi periodik dari t. gelombang suara adalah gelombang sinus murni frekuensi tertentu dalam bersamaan. Dalam gelombang suara dihasilkan, tekanan tidak akan menjadi fungsi sinus tunggal tetapi jumlah fungsi sinus serval. Jika kunci piano Anda tidak mendapatkan sejumlah nada (harmonisa) frekuensi 2, 3, 4, ..., kali frekuensi dasar. frekuensi yang lebih tinggi berarti periode pertengahan sortir. Jika sin n dan cos n
hubungan ke harmonik yang lebih tinggi.. Kombinasi yang fundamental dan
harmonik merupakan fungsi periodik rumit dengan periode fundamental (masalah 5). Mengingat fungsi rumit, kita bisa bertanya bagaimana untuk menuliskannya sebagai jumlah istilah sesuai dengan Mengingat fungsi yang rumit, kita bisa mengetahui bagaimana menulis itu sebagai jumlah dari istilah sesuai dengan berbagai harmonik. Secara umum mungkin memerlukan semua harmonisa, yang merupakan rangkaian tak terbatas. Istilah ini disebut deret Fourier. Memperluas fungsi dalam seri Fourier maka jumlah untuk memecahnya ke dalam berbagai harmonisa. Bahkan, proses ini kadang-kadang disebut analisis harmonik. Ada aplikasi untuk bidang lain selain suara. Gelombang radio, cahaya tampak, dan sinar X adalah contoh dari jenis gerak gelombang. Di mana "gelombang" sesuai dengan berbagai kekuatan medan listrik dan magnet. Tepat persamaan matematika yang sama berlaku bagi gelombang air dan gelombang suara. Kita kemudian bisa mengetahui frekuensi cahaya (ini berhubungan dengan warna) berada dalam Bearn cahaya yang diberikan dan dalam proporsi apapun. Untuk menemukan jawabannya, kami akan memperluas fungsi yang diberikan dengan menggambarkan gelombang dalam deret Fourier. Anda mungkin telah melihat kurva sinus digunakan untuk mewakili arus bolak-balik (AC) atau tegangan listrik. Ini adalah fungsi periodik, tapi begitu juga fungsi ditunjukkan pada Gambar 3.2. Semua ini mungkin merupakan sinyal (tegangan atau arus) yang harus diterapkan pada sebuah sirkuit listrik
. Gambar 3.2 Kemudian kita bisa mengetahui gambar frekuensi a-c. Dimana frekuensi tersebut membuat sebuah sinyal yang diberikan dalam suatu proporsi. Ketika sinyal listrik dilewatkan melalui jaringan (misalnya radio), beberapa harmonik bisa hilang. ~al ini disebabkan karena sebagian besar sinyal yang lewat dengan intensitas relatif. Untuk mengetahui keharmonikan dalam suatu sinyal yang diberikan, kami memperluas itu dalam serangkaian Fourier. Persyaratanmya adalah dengan memberikan koefisien besar sehingga bisa dinamakan sebagai harmonisa penting atau frekuensi. Sinus dan cosinus itu adalah fungsi periodik, tampaknya itu lebih mudah digunakan, daripada deret pangkat. Ada alasan lain yang penting, darimana koefisien dari deret pangkat diperoleh. Anda bisa melihatnya pada Bab 1 Bagian 12, dengan menemukan turunan berturutturut dari fungsi yang diperluas pada seri listrik.. Banyak fungsi periodik dalam prakteknya tidak terdiferensiasi ornot kontinyu (Gambar 3.2). Untungnya, seri Fourier (seperti deret pangkat) dapat mewakili fungsi terputus-putus atau fungsi grafik yang memiliki sudut. Namun pada penggunaan lain diperlukan kejelian untuk memanipulasi seri Fourier tersebut. Misalnya, biasanya anda tidak dapat membedakan istilah deret Fourier dengan istilah lain. (Untuk detail lebih lanjut, lihat referensi pada seri Fourier)
Fungsi f(x) pada interval (a,b) untuk rataan angka dari f(x). Gambar 4.1 (4.1)
Rataan f(x) pada (a,b) mendekati persamaan ( 1 ) ( ) .... ( 6 ) 6
Pendekatan akan menjadi lebih baik jika n makin besar. Misalkan selang antara x ,x ,«,adalah ǻx. Perkalian angka dan mendekati rataan ǻx. Pada persamaan (4.1) : (4.2)
Rataan f(x) pada (a,b) mendekati persamaan
Å
V º V º V V
Sekarang n ǻx = b ± a, panjang interval dimana rataan, no matter what n dan ǻx are Jika n ĺ dan ǻx ĺ 0, angka mendekati
f
©
f(x) dx dan mempunyai ©
(4.3)
Rataan f(x) pada (a,b) =
º
©}
Dalam aplikasi, sering terjadi rataan nilap pada sebuah kedudukan adalah nol/titik terendah. Sebagai contoh , rataan dari sin x di atas setiap bilangan dari periods adalah nol/titik terendah. Rataan nilai dari velocity dari suatu oscillator fungsi sederhana di atas setiap bilangan pada getaran adalah nol/titik terendah. Dalam hal seperti ini rataan kotak pada kedudukan yang mungkin dari bagian. Sebagai contoh, jika perubahan arus listrik mengalir melalui sebuah kabel adlah menggambarkan suatu kedudukan sin, kotak akar dari rataan atau tepatnya nilai dari arus, dan kamu akan mengukur dengan sebuah a-c ammeter. Dalam contoh dari oscillator fungsi sederhana, rataan energy kinetic (rataan dari
m v ) adalah
m waktu rataan dari v .
Sekarang kamu bisa menyajikan rataan nilai dari sin x pada sebuah periode
( say
± ʌ to ʌ ) dengan melihat lengkap pada persamaan (4.3) di dalam kotak dan menentukan nilainya. Di
sana
sebagai
casier
way
which
adalah
well
menimbang/mempertimbangkan grafik dari cos x dan sin .
harga
diketahui.
Dengan
GAMBAR GRAFIK 4.2 (Pada grafik 4.2) kamu dapat memungkinkan bahwa daerah kedua grafik tersebut sama dengan seperempat periode dari nol sampai , sampai .
(4.4)
(integral n 0 )
=
(4.5)
Tapi sin2nx +cos2nx =1
nx + =
(4.6)
Menggunakan (4.5)
(4.7)
Dengan menggunakan (4.3) perhatikan:
(4.8) nilai rata-rata dari = nilai rata-rata dari
Persamaan (4.5), nilai rata-rata dari sin2 nx sama dengan nilai rata-rata dari cos2 nx paada nilai rata-rata sin2nx + cos2n=1 adalah 1. Semua nilai rata-rata dari cos2nx atau sin2nx adalah ½. Permasalahan 4 1.c Perhatikan jika f(x) memiliki periode p, nilai rata-rata pada f sama dengan nilai interval yang panjangnya p
sama dengan 2 persamaan integral (a sampai p,dan p sampai a+p) dan
menggunakan variabel x=1 +p pada integral kedua.
jika = Didapatkan dengan menggunakan variabel
pada salah satu integralnya.
(b) gunakan metode yang sama untuk menyatakan rata-rata dari sin2 (nʌx/l) dan cos2 (nʌx/l) merupakan akhir sebuah periode. Pada masalah 3 sampai 12, nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan secara interval. Perhatikan persamaan (4.8) jika diperlukan. Jika nilai rata-rata sama dengan nol, boleh di selesaikan dari sketsa.
3. Ó
Ó
! !"#$
4. % "#$
5.
"#$
6. Ó "#$
7. &"#$ '
8. Ó " $
( '
'
9. !"#$) 10. *+Ó "#$! 11.Ó
12.
"#$
(
"#$ , (
13. menggunakan persamaan (4.3) dan persamaan yang sama untuk (4.5) sampai (4.7) bahwa . . - - /
Jika k(b-a) maka dikalikan ʌ.
~asil dari persoalan 13 untuk mengevaluasi integral tanpa di kalkulasi.
14. (a)
341
0 2 1
15. (a) 43 43
16. (a) 6 §
5. KOEFISIEN FOURIER
(b) 54 0 2 14
(b) 0 1 2
(b)
Kita akan megembangkan fungsi periodik pada persamaan sinus dan cosinus. Untuk
menyederhanakan rumus pertama, kita akan mulai dengan fungsi 2 dan fungsi dasar sin dan
cos sama dengan sin §dan §. Kemudian kita akan melihat bagaimana kita dapat
menggunakan rumus ± rumus tersebut ke periode differensial. Fungsi sin x dan cos xmemiliki periode , sehingga sin nx dengan cos nx untuk berbagai integral n sehingga sin n ( (
) = sin , diberikan fungsi f(x) pada periode maka,
(5.1)
*+Ó
/
*+Ó
/ Ó
1 *+Ó !
/1 Ó !
7
7
)= sin
dan mendapat rumus untuk koefisien an dan bn. ( alasan untuk menulis ½a0 istilah konstan sebagai akan jadi] cerah nanti ini mke rumus untuk koefisien lebih sederhana ingat tetapi kamu harus tidak melupakan ½ di seri ini ! kami menemukan rumus dari an dan bn di (5.1) kita membutuhkan integral berikut : (5.2)
bilai rata-rata nilai sin mx cos nx ( melalui periode) Ó *+Ó #
bilai rata-rata nilai sin mx sin nx ( melalui periode)
#$ @ $ Ó Ó C $ @ #$D #$ #
bilai rata-rata nilai cos mx sin cos nx ( melalui periode)
#$ @ $ *+Ó *+Ó C $ @ #$D $ #
kami telah menunjukkan bahwa nilai rata-rata sin2 nx dan cos2 nx adalah ½. integral di (5.2) bilai rata-rata dari 1 yang mana adalah 1. pertunjukan bahwa nilai rata-rata lain di (5.2) adalah nol, kami dapat menggunakan rumus trigonometri untuk produk seperti sin @ cos
dan kemudian
integrasikan. lebih mudah jalan menggunakan rumus untuk sinus dan kosinus bersifat exponen gabungan dalam kaitan dengan.lihat (7.1)] kami akan pertunjukan metode ini untuk satu integral.
(5.3)
Ó *+Ó
8 9:; 8 <9:; =
8 9:; 8 <9:; =
kami dapat lihat hasil tanpa sebenarnya mengalikan ini keluar. semua syarat-syarat di produk dari % >? , dimana bilangan bulat @ # ( kecuali cress-product syarat-syarat bila n=m, dan ini batal).
kami dapat menunjukan bahwa integral dari tiap sub istilah nol: (5.4)
% >?
8 9:; =A
8 9:; 8 <9:; =A
#
Karena % >? % >? *+Ó - (dimulai sin k #. Integral lain pada bulan mei mengevaluasi
dengan cara yang sama (masalah 12). kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan an dan bn di (5.1). menemukan a0, kami menemukan:
(5.5)
+ a2
B
*+Ó
7
/
*+Ó
Ó
7
Dengan (5.2), semua integral di sisi kanan (5.5) adalah nol kecuali yang pertama, karena mereka adalah integral dari mx cos nx dosa atau cos cos nx mx dengan n = 0 dan m0 (tat adalah , mn). maka kita miliki.
(5.6)
1 2
a ( )J =
1 2
0 2
a0=
1
J =
0 , 2
a ( )
Diberikan f (x) yang akan diperluas dalam serangkaian Fourier, sekarang kita dapat mengevaluasi a 0 dengan menghitung integral dalam (5.6) Untuk menemukan a 1 , kalikan kedua sisi (5,1) dengan cos x dan lagi menemukan nilai rata-rata setiap istilah: (5.7)
1 2
f
a ( ) cos J =
0 1 2 2
f
+ a2
1 2
f
+ b1
1 2
f
cos J + a 1
1 2
f
cos 2 x dx
cos 2 cos + «««
sin cos J
+«««
Kali ini, oleh (5.2), semua persyaratan di sebelah kanan adalah nol kecuali 1 2
f
cos 2 x dx =
1 2
Penyelesaian untuk a 1 , kami telah a1 =
1
f
a ( ) cos x dx
Metode ini harus jelas sekarang, jadi kita berikutnya akan menemukan rumus umum untuk sebuah a . Kalikan kedua sisi (5,1) dengan nx cos dan menemukan nilai rata-rata. setiap istilah. (5.8)
1 2
f
a ( ) cos =
0 1 2 2
f
+a 2
1 2
+ b1
1 2
cos +a 1
f
f
cos cos
cos 2 cos J ..........
f
1 2
sin cos J ........
Dengan (5.2), semua persyaratan di sebelah kanan adalah nol kecuali satu. 1 2
Penyelesaian untuk a ,kita punya
f
cos 2 J
1 2
(5.9)
a r
1
f
a ( ) cos
Sekarang kita memiliki seri, tetapi masih ada beberapa pertanyaan yang kita harus mendapatkan jawaban. Kita menemukan, dan jika demikian, apakah kita menemukan dengan nilai dari f (x)? Anda akan menemukan, jika Anda mencoba, bahwa untuk sebagian besar nilai x seri dalam (5.12) tidak menanggapi salah satu tes untuk konvergensi yang kita bahas dalam bab 1.Apa adalah jumlah seri di x = 0 di mana f (x) melompat dari 0 ke 1? Anda dapat melihat dari seri (5.12) bahwa nilai pada x = 0 adalah ½, tapi apa hal ini harus dilakukan dengan f (x)? Pertanyaan ini tidak akan mudah bagi kita untuk menjawab untuk diri kita, tetapi mereka menjawab bagi kita untuk tujuan praktis paling oleh teory dari dirichelt:
Jika f (x) adalah periode 2ʌ periodik, dan jika antara-ʌ dan ʌ itu adalah nilai tunggal, memiliki jumlah maksimum dan nilai minimumterbatas, dan jumlah
terbatas diskontinuitas dan jika terbatas,
f a
maka seri Fourier (5.1) (dengan
koefisien diberikan (5.9) dan (5.10) menyatu ke titikf (x) pertengahan di mana f (x) kontinu, di seri Fourier melompat menyatu dengan titik tengah melompat (ini termasuk melompat yang terjadi pada ± ʌ untuk fungsi periodik). Untuk melihat apa artinya semua ini, kita harus mempertimbangkan beberapa fungsi.kita khusus telah membahas apa fungsi means.fungsi periodic f (x) adalah nilai tunggal jika hanya ada satu nilai dari f (x) untuk setiap f(x) contoh x. jika 2
2 M 1 , y bukan fungsi bernilai tunggal x,
kita pilih hanya y =+ 1 } 2 atau hanya y = } 1 } 2 Contoh fungsi dengan jumlah tak terbatas maxima dan minima adalah sin
1 , yang berosilasi jauh banyak timesas x 0.jika kita
membayangkan suatu fungsi yang dibangun dari sin( yang sin (
1 )dengan membuat f (x) = 1 untuk setiap x
1 1 )> 0, dan f (x) = -1 untuk setiap x, untuk setiap x yang sin( ) <0, fungsi ini akan
memiliki jumlah tak terbatas tidak kontinuitas .kamu bisa melihat bahwa fungsi yang paling Anda cenderung untuk bertemu dalam pekerjaan yang diterapkan tidak akan seperti ini, tetapi akan
memuaskan
mereka
1 Akhirnya, jika y = , kita menemukan
1 1 f} M 2f0 M 2 ln 0 M M
dirichelt
kondisi.
Jadi fungsi ini diperintah oleh kondisi.pada dirichelt sisi lain, jika f (x) =,
f
Jadi fungsi periodik yang
1
1
J
2f 0
J
4
0
1
maka
4
antara-ʌ dan ʌ dapat diperluas dalam seri Fourier. Dalam masalah
yang paling tidak diperlukan untuk menemukan nilai dari
f
Jika ƒ(x) dibatasi ( yaitu semua nilai yang terletak antar
M konstan positif), maka
l f (x)l dx. Mari kita lihat mengapa.
| ƒ ( x) | dx M dx = M 2ʌ Dan begitu juga terbatas , sehingga anda cukup benar bahwa fungsi anda sedang di pertimbangkan yang diatasi ( jika bukannya konvergensi integral). Gambar 6.1 adalah contoh fungsi yang memenuhi kondisi tesebut Dirichlet pada ( - ʌ,ʌ ).
Kita lihat, maka bukan bahwa tes deret Fourier untuk konvergensi seperti yang kita lakukan pada deret pangkat. Kita bukan memeriksa fungsi kita ingin perluas, jika memenuhi kondisi Dirichlet kita kemudian yakin bahwa deret Fourier. Ketika kita mendapatkannya, akan berkumpul untuk mata fungsi diperluas pada melompat dimana konvergensi titik tengah melompat. Kita sekarang dapat kebenaran bahwa seri(5.12) sebenarnya merupakan fungsi. Kami mulai dengan ( gambar 5.1) pada semua titik diantar titik nʌ.( kami telah mencatat bahwa pada nʌ di seri memberikan nilai ½ yang setengah arah antara 0 dan 1 sebagai teorema Dirichlet mengatakan ) . antara -ʌ dan ʌ yang memberikan ƒ (x) adalah single nilai ( satu nilai untuk setiap x) dibatasi antara ( +1 dan 0) memiliki jumlah terbatas maksimal dan minimal (satu dari masing- masing) dan jumlah terbatas diskontinuitas ( pada -ʌ , 0, dan ʌ) dan karena itu memenuhi kondisi Dirichlet. Theorema Dirichlet lalu meyakinkan kita bahwa seri (5.12) sebenarnya konvergensi untuk fungsi f(x) dalam gambar 5.1 pada semua titik kecuali x = nʌ. Itu menarik untuk melihat grafik jumlah dari sejumlah istilah dari seri Fourier. Gambar 6.2 menunujukan beberapa jumlah parsial yang berbeda dari seri dalam (5.12) untuk fungsi pada gambar 5.1 kita dapat melihat bahwa jumlah seri mendekati fungsi jauh dari melompat dan pergi melalui titik tengah melompat yang ³overshoot´ dikedua sisi . itu tidak hilang seperti kita menambahkan istilah semakin banyak seri. Itu hanya menjadi sempit dan sempit spike tinggi sebesar sekitar 9% dari lompat fakta disebut fenomena Gibbs. Kita harus mengatakan disini bahwa kebalikan teorema Dirichlet adalah tidak benar, jika fungsi gagal untuk memenuhi kondisi Dirichlet . hal itu mungkin masih dengan deret Fourier .
Fungsi periodic yang mana adalah sin ( 1/x ) pada (-ʌ,ʌ) merupakan contoh fungsi. Namun fungsi tersebut jarang bertemu dalam praktek. 11. untuk Cach dari periodik berfungsi utama dalam masalah 5,1-5,11, gunakan teorema Dirichlet untuk menemukan nilai yang seri Fourier menyatu pada x = 0,
ʌ / 2,
ʌ,
2ʌ.
12. sketsa grafik jumlah tiga hal dari setiap seri dalam masalah 5.1. 5.8 dan 5.11 dan membandingkan pendekatan ini dengan grafik dari f (x). petunjuk: sketsa setiap jangka waktu terpisah
(pada
sumbu
yang
sama)
dan
menambahkan
istilah
grafis.
7. KOMPLEKS BENTUK deret Fourier Ingat bahwa sinus cosinus nyata dan dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial kompleks dengan rumus
Ó
*+Ó
% >? % >? % >?
% >?
persamaan pengganti jika kita (7.1) menjadi serangkaian Fourier seperti (5.12), kita mendapatkan serangkaian hal bentuk % >? and % >? . ini adalah bentuk af kompleks seri Fourier. kita juga
dapat menemukan bentuk kompleks secara langsung, ini sering casier daripada menemukan bentuk sinus-cosinus. kita kemudian bisa, jika ingin, bekerja kembali dengan cara lain dan (menggunakan Euler's formula, bab 2, (9,3)) mendapatkan formulir sinus-cosinus dari bentuk eksponensial. Contoh, misalkan kita kembangkan persamaan f(x) yang telah kita kerjakan sebelumnya yaitu (5.1) yang kita dapatka dari : Cn = ( 7.7)
=
(7.8)
C0 = Kemudian
% =? . 0 . dx +
8
=
=?
l0ʌ =
f(x) = F$$ G HIJK =
8
=
+
(
8
+
=
% =? . 1 . dx
(% =? - 1) =
(
8 E;
8
8 LE; 1
7)
=?
dengan n = ganjil dan 0 jika n 0
8 ME; N
7)
Ini menarik untuk diuj yang mana sama dengan bab sinus _ cosines yang telah kita pelajari sebelumnya. Kita data menggunakan rumus Euler untuk setiap eksponensial, tapi ini lebih mudah untuk mengklasifikasikan istilah seperti ini : (7.9)
f(x) =
+
= +
(
8 E; 8
1
+
8 LE; 8
1
( sin x + sin 3x + «. )
óang mana ini sama dengan (5.12)
+ ««)
Permasalahan seri 7. 1 sampai 11. Kembangkan persamaan persamaan yang sama pada permasalahan 5.1 ± 5.11 di bab Fourier dari eksponensial kompleks % =? pada interval (-ʌ , ʌ ) dan ujilah setiap
permasalahan ( dengan menggunakan rumus Euler ). Jawaban tersebut sama dengan yang terdapat di pembahasan 5 !
12.
Tunjukkan jika bilangan real f(x) aalah pengembangan eksponensial kompleks di bab berarti konjugasi komplek Fourier F$$ G % =? , kemudian G? = G, dimana G
dari Cn.
Jika f(x) = a0 +F$ O *+Ó + F$ P Ó = F$$ G % =? , menggunakan
13.
rumus Euler untuk menemukan ? dan /? yang berhubungan dengan G dan untuk
. Interval
menemukan G dan G? yang berhubungan dengan ? dan /? . Interval Yang Lain
Fungsi sin x dan cos x dan % =? mempunyai periode 2ʌ. Kita telah mengetahui (-ʌ , ʌ )
sebagaiinterval dasar dari panjang 2ʌ. Memberi f(x) pada (-ʌ , ʌ ) , pertama kita mempunyai urian tersebut dari interval ini dankemudian mengulangi uraian tersebut ke dalam interval ± interval (ʌ , 3ʌ ) (3ʌ , 5ʌ (-3ʌ , ʌ ), dan lain ± lain. Ada ( tak hingga ) beberapa interval ± interval yang lain dari panjang 2ʌ. Begitu pula dengan cos (nʌx/l) dan einʌx/l mempunyai periode 2l. Persamaan (5.1) dan (7.2) sekarang diganti dengan f(x) = a0/2 + a1 cos ʌx/l + a2 cos 2ʌx/l + « + b1 sin ʌx/l + b2 sin 2ʌx/l + « = a0/2 + Ȉ1(an cos nʌx/l + bn sin nʌx/l) f(x) = Ȉ- cn einʌx/l Kita telah menemukan nilai rata-rata periode dari semua fungsi yang kita perlukan di sini untuk mencari an, bn dan cn. Periode ini panjangnya 2l (-l sampai l), kemudian dalam mencari nilai rata-rata dari batas tersebut kita ganti 1/2ʌ -ʌʌ
dengan
1/2l -ll
Mengingat bahwa rata-rata kuadrat dari salah satu sin atau cos atas periode tersebut adalah ½ dan rata-rata dari einʌx/l. e-inʌx/l = 1 adalah 1. Maka rumus (5.9), (5.10) dan (7.6) untuk koefisien tersebut menjadi an = 1/l -ll f(x) cos nʌx/l dx, bn = 1/l -ll f(x) sin nʌx/l dx, cn = 1/2l -ll f(x) e-inʌx/l dx.
Untuk inerval utama (0, 2l) kita hanya perlu mengganti batas integral menjadi 0 sampai 2l. Dalam Teorema Dirichlet hanya perlu mengganti ʌ dengan l agar dapat diterapkan di sini. Contoh. 0, 0
{ 1, l
Nyatakan f(x) dalam eksponensial deret Fourier dengan periode 2l. fungsinya diberikan oleh rumus yang sama dengan (5.11) tetapi dalam interval yang berbeda]
F(x) 1
-2ccccccccccccccc ccccc
0
ccccccccccccccccc ccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccc
c
Gambar 8.3 Pertama kita buat sketsa grafik f(x) diulangi dengan periode 2l (gambar 8.3). dengan persamaan (8.3), kita temukan : Cn
= #.dy + > .% =?4> dx > >
= (8.4)
8 >
= Cn
=
<
E: 9
>
-
=
I 2l =
( 1- %
> = >
=
>
E:; 9
=?
Kemudian, (8.5 ) : f(x) =
=?
=?
%
=?
Permasalahan. Bagian 8.
>
=?
)
) = 0 ketika n@ #
( % =4> - % =4> +
( sin
-%
+ sin 1
1 >
1
% 1=?4> -
+ «. )
1
=?
dengan n ganjil
% 1=?4> + «..)
1 ± 8. Dalam banyak hal 5.1 ± 5.8 menjelasan tiap fungsi dengan rumus yang diberikan tapi paa interval ( -l , l ) , {óaitu menggantikan + ʌ dan
dengan
>
}. Kembangkanlah tiap fungsi dalamsinus dan cosines Fourier
dan di dalam eksponensial kompleks seri Fourier.
Penyelesaian untuk permasalahan 2 : f(x) = N >
«..) + ( sin
>
+ sin
>
1
+ sin
Penyelesaian untuk permasalahan 7 : f (x) = N >
9.
««) + ( sin
>
- sin
>
3
+
-
1
3
1
>
+ sin
(cos
N
+ sin
>
1 >
(cos
N >
>
«)
>
cos
'
1
+ sin
cos Q
>
1 >
«.)
1 >
N
+ cos
+ cos
N
Tulis sampai detail tentang turunan rumus (8.3)
10. (a) Buatlah setiap beberapa periode tentang fungsi f(x) dari periode 2ʌ yang sama dengan x pada
-ʌ < x <ʌ. Kembangkanlah f(x) dalam sin ± cosines
Fourier dan dalam eksponensial komplek seri Fourier. Jawab : f(x) = 2 (sin x -
sin 2x + sin 3x - sin 4x + «.. )
1
3
GAMBAR 9.2 Fungsi ganjil salah satunya seperti atau sin (gambar 9.2) dimana nilai dari ac dan ac c c ac c lainnya. Menurut definisi (9.2)
a c ccaca cr a c
Perhatikan bahwa bahkan kekuasaan bahkan, dan kekuatan aneh dari yang aneh, bahkan, ini adalah alasan untuk nama-nama. Anda harus memverifikasi (masalah 14) aturan berikut untuk perkalian dua fungsi: Sebuah fungsi genap, atau fungsi ganjil kali fungsi ganjil, memberikan fungsi genap, sebuah fungsi ganjil kali fungsi genap memberikan fungsi ganjil. Beberapa fungsi genap, ada yang ganjil, dan beberapa (misalnya, c adalah tidak keduanya. Namun, fungsi apapun dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi genap dan fungsi ganjil, seperti ini:
c crc [ac + ac +c [ac c cac Bagian pertama adalah genap dan bagian kedua adalah ganjil. Misalnya % %
%
% % *+Ó
Cosh x adalah genap dan bahkan Sinh x adalah ganjil.
Ó
Integral dari fungsi genap atau fungsi ganjil, lebih dari interval simetris seperti $ atau
R$ R, dapat disederhanakan. Lihatlah grafik sin x dan berpikir Ó c
ac c c c c c acc cc c
c c c cc
c c c c R$ R yang simetris tentang asal, seperti yang Anda lihat dari
grafik. ~al yang sama berlaku dari sembarang ganjil ac area ke kiri dan ke kanan
menghilangkan. Selanjutnya lihat grafik kosinus dan 54 *+Ó c c c S
c c 2 sampai 0 adalah sama sebagai daerah dari 0 sampai ʌ / 2. Kita bisa kemudian hanya mencari integral dari 0 ke ʌ / 2 dan kalikan dengan 2. Dalam integral, jika ac adalah genap, integral dari ac dari ±cto ke dua kali integral dari 0 sampai . Lalu kami memiliki (9.3)
>
D U %% > 0
>
Misalkan sekarang kita diberi fungsi pada interval#$ R. Jika kita ingin mewakili hal oleh deret Fourier pada periode R, kita harus memiliki ac didefinisikan 45 R$ #T juga. c c
-c
c
c -c
c
c
Contoh 9.3 Ada beberapa hal yang bisa kita lakukan. Kita bisa mendefinisikan itu menjadi nol (atau, memasukkan, hal lain) pada (-l, 0) dan selanjutnya seperti yang telah kita lakukan sebelumnya untuk menemukan baik secara eksponensial atau serangkaian sinus-cosinus periode. Namun, sering terjadi dalam praktek yang kita butuhkan (untuk alasan Fisika-lihat Bab 13) untuk mendapatkan fungsi genap (atau, dalam masalah yang berbeda, fungsi ganjil). Kami pertama sketsa fungsi yang diberikan pada (c ) (garis berat pada Gambar 9.3 dan 9.4). Lalu kami memperpanjang fungsi pada ( c ) akan menjadi genap atau ganjil seperti yang diperlukan. Untuk sketsa periode lebih, hanya ulangi sketsa (-l, l). (Jika grafik rumit, akan sangat membantu untuk melacaknya dengan jari satu tangan sementara anda gunakan tangan yang lain untuk menyalin persis apa yang Anda ~idupkan kertas kalkir. Putar terbalik untuk menghindari persimpangan tangan.) c
-c
c
c -c
c Contoh 9.4
c
c
Untuk fungsi genap atau fungsi ganjil, rumus koefisien untuk menyederhanakan danc . Pertama misalkan ac(x) adalah ganjil. Karena sin ( cc) adalah ganjil, ac(x) sin ( cc) bahkan dan ac(x) cos (nʌx / l) adalah ganjil. Maka adalah integral, selama suatu interval simetris ( c ), suatu fungsi ganjil, yaitu a (x) cos ( cc) ; Oleh karena itu nol. Tapi merupakan bagian integral dari fungsi genap selama suatu interval simetris dan Oleh karena itu dua kali integrale 0 sampai . Kita dapatkan:
c= Ó > >
(9.4)
If a (x) ganjil,
? >
c= 0 Kami mengatakan bahwa kami telah memperluas ac(x) dalam serangkaian sinus ( = 0 sehingga tidak ada istilah kosinus). Demikian pula, jika ac(x) bahkan, semua ¶s tersebut adalah nol, dan ¶s adalah integral dari fungsi genap. Kita dapatkan: c= *+Ó > >
(9.5)
If a (x) genap,
? >
c= 0 Kami mengatakan bahwa ac(x) diperluas dalam seri cosinus. Sekarang kamu telah mempelajari beberapa jenis yang berbeda dari sebuah deret fourier yang diberikan oleh fungsi f(x) pada interval (0,L) untuk menentukan jenis mana yang diinginkan dalam pemecahan kasus ±kasus dalam fisika, ada dua hal yang perlu diperhatikan yaitu: 1.c Periode, dari fungsi yang diberikan dapat menentukan berapa periodenya. 2.c Dengan periode yang sudah diketahui, kita dapat menentukan fungsi ganjil atau genap untuk penyelesaian kasus tersebut. Sekarang kita anggap f(x) pada (0,1). Kita dapat menemukan jenis deret sinus, cosinus atau eksponensial dari periode=1 (L=1/2). Deret eksponensialnya : F$$ ? V
=?
W ? %
=?
Pada periode =2 (L=1), didapat deret cosinus
ƒ(x)F$?X ? *+Ó $ ?X W /?X0
Dan mewakili fungsi genap. Bentuk yang lain, deret sinus mewakili fungsi ganjil. Sebelum periode diketahui, kamu hanya menyebutkan sebagai fungsi cosinus saja. Setelah mengenal periode, kamu bisa menyebutkan sebagai fungsi genap. Contoh:
1.c Y ù$ ù $ carilah:
a)c deret sinus Fourie b)c deret cosinus Fourier c)c Deret fourier (periode = 1) Peneyelesaian: a.c Batas yang diberikan fungsi 0 dan 1. Perpanjangan pada interval (-1,0) membentuk fungsi ganjil. Periode=2 (L=1). Teruskan fungsi dengan periode=2, didapat fungsi ganjil,?X 0 dan
/?X Ó Ó Z
?
=-
ù
*+Ó [ù = -
/ = ; / =
3
?
; /1 =
( cos
1
?
- 1)
; /3 = 0,.......
Jadi deret sinus Fouriernya adalah f ( Ó
\IJ
\IJ 1 1
\IJ N N
\IJ ' '
)
Deret Fourier sin untuk : f(x) : V
V V V V """" V
(b) Sketsa kedudukan dari perode 2 ( Gambar 9.6 )
Dimana l = 1, b 6 = 0, dan
f J
f J
f V V M
6 6
M
6 6
Selanjutnya deret Fourier cos untuk f(x) adalah ( V)
cos V cos V cos V """
(c) membuat bagan suatu kedudukan dalam (0,1) dan selanjutnya dengan periode 1 (Gambar 9.7). dimana 2l = 1, dan menjumpai c 6 seperti yang kita lakukan di bagian contoh 8. Seperti dalam contoh itu, eksponen barisan ini, dimana sin ± cos dari.
1
f
M
0
}2
f
M
21
} 2
0
1 } } 1 } ( }1) M M 2 2
M
c0M
a ( )
f
1
2
0
f(x) = =
M
1 2 1 2
e 1
0
1
2
} 2
}
2 sin 2
1 3
sin 6 3
? *+Ó # /?
4
Ø 0
6
}
1 3
} 6
....
... ,
?.:
Ó ? *+Ó
/? $/ #$/1 1 $/3 #
1 2
kita dapat merubah persamaan keduanya ?
?
menunjukkan.
] ? ^
ini adalah salah satu pilihan untuk menentukan nilai yang sangat berguna dengan meperhatikan sesuatu yang sama dan fungsi yang ganjil .Jika kamu diberikan satu fungsi di $ dengan
memperhatikan sebuah deret sin-cosinus (pada periode 2/) dan yang terjadi dengan E memperhatikan fungsi yang sama,melaksanakan bentuk itu /? = 0 dan kamu tidak dapat keluar
tanpa melakukan itu.Juga ?E dapat menuliskan dua kali bilangan integral dri 0 sampai 1 tepat
seperti di (9.5).Begitupun jika menggunakan fungsi yang ganjil,kamu dapat meggunkan (9.4).Pengenalan ini banyak diperoleh dari aljabar. SOAL KE 9 Fungsi di soal 1 - 3 keduanya tidak genap juga tidak ganjil .Tulis masing-masing jumlah dari jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil. 1.(a) % ?
2.(a) R [ [
3.(a) N 3
1
(b) %
(b)
(b)
Ó
%
*+Ó
4.Apa yang kamu ketahui tentang fungsi genap dan fungsi ganjil dengan membuktikan bagian yang pertama dari (5.2) Masing ±masing fungsi dri soal no 5-12 menggunakan lebih dari satu periode.Untuk masing masing fungsi,berikan bagan dan tentukan apakah ganjil atau genap.Ketika menggunakan (9.4) atau (9.5) untuk menambahkan di penyediaan deret fourier
$ ` ` #$D 5. _ $# ` ` $
$ ` ` #$D 6. _ $# ` ` answer : 0Ó 3
8. $ ` `
=
1
Ó
1 =
1
Ó
N =
72
23. Jika dawai biola dipetik (menarik kesamping dan melepaskannya), itu memungkinkan untuk menemukan formula a( ) untuk penggantian waktu t terhadap beberapa titik x akibat getaran dawai dari posisi kesetimbangan. Itu menunjukkan bahwa dalam menyelesaikan masalah ini kita membutuhkan penjabaran fungsi a( 0), yang memiliki grafik bentuk awal dari dawai, dalam deret fourier sinus. Temukan deret ini jika dawai dengan panjang ditarik dengan jarak yang kecil di pusatnya, seperti yang ditunjukkan. a( ,0)
ccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccc c 24. Jika, dalam masalah 23, dawai dihentikan di pusat a( 0) dan setengahnya dilepaskan, lalu fungsinya dijabarkan dalam deret sinus dtunjukkan disini. Temukan deretnya. Perhatian: catatan bahwa a( 0) = 0 untuk ½ < x < . a( 0)
c x
10. APLIKASI UNTUK BUNóI Kita telah mengatakan bahwa ketika gelombang bunyi melewati udara dan kita mendengarnya, tekanan udara dimana kita berada, berubah-ubah tiap waktu. Seandainya kelebihan tekanan di atas (dan dibawah) tekanan atmosfer dalam gelombang bunyi diberikan melalui grafik bentuk 10.1. (Kita tidak akan dirisaukan dengan unit-unit dari ; Walaupun demikian unit-unit dalam bentuk 10.1 akan menjadi dalam 10-6 atmospheres).
() 1
1 - 524
1 - 1048
-1
Bentuk 10.1
0
1
7 8
1 1048
- 78
1 524
1 262
-1
dalam detik
Biarkan kita bertanya frekuensi-frekuensi apa yang kita peroleh ketik kita mendengarkan bunyi ini. Untuk mengetahuinya, kita menjabarkan () dalam deret fourier. Periode dari () adalah
1 262
; itu merupakan, gelombang bunyi yang menglanginya 262 kali per detik. Kita telah menyebu periode 2l dalam rumus kita, jadi disini =
1 524
. Fungsi-fungsi yang telah kita sebut sin ( )
disini menjadi sin 524 . Kita dapat menghemat beberapa pekerjaan melalui pengamatan bahwa
() adalah sebuah fungsi bebas; maka hanya ada bentuk sin dalam deret fourier dan kita hanya butuh menghitung . Menggunakan (9.4), kita harus (10.1) bn
1 / 524
f
= 2(524) = 1048
0
1 / 1048
f
0
( ) sin 524
( ) sin 524 -
cos 2 } 1 = 1048 } 524 =
2 15 } cos 2 8
7 8
(1048)
7 cos } cos 2 8 524 1
7 cos . 8
1 / 524
f
1 / 1048
sin 524
Dari sini kita dapat memperhitungkan nilai dari bn untuk beberapa nilai n yang pertama: (10.2)
Kemudian mempunyai
kita
(10.3) "
\IJN 3( (
3
7
\IJ N 3
1 \IJN 3
\IJN 31 1
\IJN 3N N
1 \IJN 3' '
Kita dapat memahami hanya dengan melihat koefisien yang merupakan kedua bentuk penting. Bentuk pertama yang sesuai yang menjadi dasar dengan frekuensi getaran 262 perdetik (ini mendekati c tengah pada piano). Tetapi itu lebih rendah pada nada yang pertama (harmoni kedua) yang cocok ke bentuk kedua dengan frekuensi nada 524 getaran perdetik (mendekati c tinggi). ~armoni keenam (mendekati n=6) dan juga untuk harmoni n=10,14,18,22, dan 26 yang keseluruhannya lebih menonjol (yang mana itu mempunyai koefisien yang lebih besar) daripada dasarnya,kita dapat mengelompokkan tentang makna relatif dari bermacam-macam frekuensi. Kembali ke diskusi osilasi harmoni sederhana,kita menunjukkan bahwa energi rata-rata sebanding dengan amplitudo kecepatan. Itu dapat di timbulkan dari intensitas gelombang bunyi (energi rata-rata yang termapat dari kesatuan wilayah yang dapat kamu dengar perdetik) adalah sebanding dengan rata-rata kuadrat dari kelebihan tekanan.Kemudian untuk sinuscidal macammacam tekanan A sin 2ʌft, intensitas dasarnya adalah A2. Di deret fourier untuk p(t),macammacam intensitas harmoni menjadi dasar dari koefisien fourier yang sesuai/cocok (intensitas kasar yang sesuai ke nada yang lebih keras/bising tidak tepat karena kedengaran kepekaan frekuensinya tidak sama. Intensitas relatif dari harmoni dapat di contohkan sbb: N= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,... Intensitas relative = 1 225
Q
0
N
25
3Q
0
,
9 ...
Dari sini kita dapat melihat bahwa prinsip harmoni kedua dengan frekuensi 524 (C tinggi).
MASALAH, BAGIAN 10 Di masalah 1 ke 3, graf yang menggurati mewakili satu periode dari desakan kelebihan p (t) pada satu gelombang suara. Temukan selaras penting dan intensitas relatif mereka. Di masalah 4 ke 10, sket memperlihatkan beberapa contoh praktis dengan sinyal elektrik (tegangan listrik atau arus). Di masing-masing kasus kita mau mengetahui harmonik isi suatu
sinyal, yang apa frekuensi ini berisi dan di apa proporsi. Untuk menemukan ini, perluas masingmasing funstion pada satu deret fourier sesuai. Asumsikan di masing-masing kasus itu bagian dari graf yang diperlihatkan adalah repeared enampuluh times per kedua. Keluaran dari satu sederhana d c generator; bentuk dari kurva adalah nilai mutlak dari satu fungsi sinus. Biar tegangan listrik maksimum menjadi 100 v Dikoreksi separuh gelombang; kurva adalah satu sinus funstion untuk semi siklus dan nol untuk setengah yang lain. Biar arus maksimum menjadi 5 amp. Tringular lambaikan; graf terdiri dari dua garis lurus siapa penyamaan kamu harus tulis! tegangan listrik maksimum dari 100v terjadi pada tengah dari siklus.
7. Gigi gergaji
8.Gigi gergaji diperbaiki
l(t)
l(t)
10
10
0 120
60
t
120
9. Gelombang persegi
60
t
10. Fungsi periodik jalan
V(t)
100
0
100
120
6
11. TEOREMA VARSEVAL
t
0
120
60
t
Sekarang kita akan menemukan relasi antara rata ± rata kuadrat (atau kuadrat mutlak) dari f(x) dan koefisien dalam deret fourier untuk f(x), dengan asumsi bahwa -xʌ |f(x)|2 dx adalah terbatas. ~asilnya adalah dikenal sebagai teorema varseval atau hubungan kelengkapan. Anda harus memahami bahwa titik pada teorema tidak untuk mendapatkan rata ± rata dari kuadrat yang diberikan f(x)dengan menggunakan seri fouriernya. diberikan f(x),maka mudah mendapatkan kuadrat rata ± rata hanya dengan melakukan integrasi] titik eorema ini adalah untuk menunjukan hubungan antara rata ± rata dari kuadrat f(x) dan koefisien fourier. Kita dapat memperoleh suatu bentuk teorema parseval dari satu ekspansi berbagai fourier yang telah kita buat marilah kita menggunakan persamaan(5.1). f(x) = 1/2ao + Ȉ1an cos nx + Ȉ1 bn sin nx
(11.1)c
kita kuadratkan f(x) dan rata ± rata kuadrat lebih (-ʌ,ʌ): rata ±rata f(x)]2 adalah 1/2ʌ ʌ-ʌf(x)]2 dx.
(11.2)c
Ketika kita kuadratkan f(x), kita mendapatkan banyak hal. untuk menghindari penulisan sejumlah besar angka dari mereka , mempertimbangkan tipe istilah terdapat dalam f(x)] kuadrat dan apa yang rata ± ratadari perbedaan jenis pada bilangan tersebut. Pertama, diantara kuadrat ± kuadrat pada bilangan individu dalam f(x). Menggunakan fakta bahwa rata ±rata dari kuadrat sinus dan kosinus periode adalah ½, kita memiliki: (11.3)
c
rata ± rata (1/2ao)2
adalah
(1/2ao)2
rata ± rata (an cos nx)2
adalah
a2n . ½
rata ± rata (bn.sin nx)
adalah
b2n . 1/2
Maka, ada croos-product dari bentuk ± bentuk 2.1/2a0an cos nx, 2.1/2a0bn sin nx, dan 2anbm cos nx sin mx dimana m0 (n kita tulis dalam faktor kosinus dan m dalam faktor sinus dari setiap batas sinus harus dikalikan dengan setiap batas kosinus. Kemudian
ada
syarat
hasil
silang
dari
bentuk
1 1 2. a o a n cos nx, 2. a o b n sin nx, dan 2 2
2.a n b m cos nx sin mx dengan m Ø n (kita menulis m dalam factor cosinus dan m dalam factor sinus karena setiap syarat sinus harus dikalikan dengan setiap syarat cosinus). Pada (5.2) syarat nilai rata-rata dari semua tipe adalah o 1 2 (11,4) Rata-rata dari a ( x ) (titik yang berlebih) = a o 2
2
1 M 2 2 1
1 M 2 2 1
Ini adalah satu dari bentuk teorema parseval. Anda bias dengan mudah membuktikan (masalah 1) bahwa teorema parseval tidak berubah jika f (x) mempunyai titik 21 sebagai pengganti 2 dan hasil kuadratnya adalah rata-rata melebihi titik dari panjang 21. Anda juga bisa membuktikan
(masalah 3) bahwa jika f (x) ditulis sebagai sebuah rangkaian exponential fourier yang kompleks dan jika dalam penjumlahan, termasuk kemungkinan bahwa f (x) itu sendiri mungkin komplek, kemudian kamu menemukan : Rata ± rata dari a ( ) (titik yang berlebih) = 2
M
6
2
}M
Teorema parseval¶s kadang-kadang disebut dengan kelengkapan hubungan. Dalam suatu masalah yang menggambarkan sebuah pemberian gelombang suara seperti sejumlah keselarasan, andai kata kita telah meninggalkan salah satu dari rangkaian keselarasan itu terlihat masuk akal secara fisik dan itu bisa dibuktikan secara matematik, bahwa dengan satu atau lebih keselarasan yang keliru, kita tidak akan mampu untuk menggambarkan gelombang suara yang mengisi keselarasan yang hilang. Kita mengatakan bahwa pasangan dari fungsi sin nx, cos nx adalah sebuah pasangan yang lengkap dari fungsi diatas sedikit waktu jeda dari panjang 2 ; bahwa ada fungsi (memnuhi kondisi Dirichlet) yang bisa dikembangkan dalam sebuah rangkaian fourier yang mempunyai syarat ketetapan waktu sin nx dan cos nx. Jika kita mengeluarkan / menghilangkan beberapa dari nilai n, kita akan memiliki sebuah fungsi dasar yang tidak lengkap dan tidak bisa menggunakannya untuk mengembangkan beberapa fungus yang diberikan, sebagai contoh, andai kata Anda membuat sebuah kesalahan dalam menemukan titiknya (itu adalah nilai dari 1) dari fungsi yang anda berikan dan dicoba untuk menggunakan kumpulan dari fungsi yang diberikan dari titik 2 . Anda akan mendapatkan sebuah jawaban yang salah karena anda menggunakan sebuah kumpulan fungsi yang tidak lengkap (dengan sin x, sin 3 x, ««., massanya yang hilang). Jika rangkaian fourier anda salah karena kumpulan dari fungsi dasar yang Anda gunakan tidak lengkap. Dan kemudian hasilnya, Anda dapatkan dari teorema parseval (11,4) or (11,5) akan salah juga. Sebaliknya, jika (11,14) dan (11,5) benar dari semua f (x), kemudian kumpulan dasar dari fungsi digunakan dalam kumpulan yang lengkap. Ini sebabnya mengapa teorema Parsenal¶s sering disebut kelengkapan hubungan. Mari kita mencari beberapa contoh dari makna fisik dan penggunaan teorema Parseval¶s Contoh 1 dalam bab 10 mengatakan bahwa intensitas (energi persentimeter kuadrat perdetik) dari sebuah gelombang suara adalah sebanding dengan nilai rata-rata dari kuadrat tekanan yang berlebih. Jika secara sederhana kita menulis (10,3) dengan angka pengganti dari numeric, kita punya. M
(11.6) P(t) =
sin 2 a. 1
Untuk kasus ini, teorema Parveval¶s mengatakan bahwa : (11.7) Rata-rata dari
M
M 2 . 2
1
1 M 2 M
rata ± rata dari 2 sin 2 2a
1
Sekarang intensitas atau energi (per cm2/detik) dari gelombang bunyi adalah proporsional menyamai rata-rata dari ()]2, dan energi yang berhubungan dengan harmonik ke-n adalah proporsional menyamai rata-rata dari 2 sin2 2 a Dengan demikian, teori parseval mengatakan
bahwa energi total dari gelombang bunyi menyamai jumlah dari energi-energi yang berhubungan dengan berbagai jenis harmonik. Contoh 2. Gunakan teori parseval untuk menemukan jumlah dari deret tak hingga. Dari permasalahan 8.15 kita memperoleh: Fungsi a(x) dari periode 2 yang menyamai x di (-1,1) (
=-
c
-
c c
c c 12
c
12
c 13
c c
c 13
c
c)
Temukan rata-rata dari a( )]2 di (-1,1). 1 Rata-rata dari a( )] = 2 2
1
2 f c= 1
Melalui teori parseval (11.5), ini menyamai 1 = 3
1
| cn |2 = 2 (1+1+
1 4
1 3 1 1 ]-1 = . 2 3 3
| cn |2, jadi kita mempunyai
+ 14 + 19 + 19 + «) =
2 2
1
2. 1
Lalu kita mendapat jumlah dari deret ini M
1+ + +« = 1 4
1 9
1
2
2
1 1 = . = 2 2 3 6
MASALA~- MASALA~, BAGIAN 11 1.c Buktikan (11.4) untuk fungsi dari periode 2 óng dijabarkan dalam deret sinus-cosinus. 2.c Buktikan bahwa jika a( ) =
M
}M
cn einx, lalu nilai rata-rata dari a( )]2 adalah
M
}M
cn c-n.
Tunjukkan melalui masalah 7.12 bahwa untuk a( ) yang nyata, ini menjadi (11.5). 3.c Jika a( ) adalah kompleks, kita biasanya menginginkan rata-rata dari nilai mutlak a( ). Ingat kembali bahwa |c a( )|2 = a( ) a ( ) , dimana a ( ) merupakan kompleks konjugat dari a( ). Tunjukkan bahwa jika kompleks a( )=
cn ein xl, lalu gunakakan (11.5).
4.c Jika sebuah arus I mengalir melalui hambatan R, energi panas yang hilang setiap detik adalah nilai rata-rata dari RI2. Biarka periodic (bukan sinusoidal) arus I(t) dijabarkan dalam deret fourier I(t) =
cn 120in t. Beri pengertian secara fisika untuk teori Parseval dalam masalah
ini. Gunakan teori Parseval dan hasil dari masalah- masalah yang ditunjukkan untuk menemukan jumlah dari deret dalam masalah 5 sampai 9. 5.c Deret 1+ M
6.c Deret
M1
1 1 + +«, gunakan masalah 9.6. 32 52 1 , gunakan masalah 9.9. 4
M
7.c Deret
1 , gunakan masalah 5.8. 2
8. deret Fb?c=> M1
9.deret ini
1
?a
N
$ menggunakan masalah 9.10
d, menggunakan masalah 5.11
1N
10. teori parseval menyatakan bahwa apabila dua fungsi memperluas deret fourier e ? *+Ó
e /? Ó $
$
E
e E *+Ó
e /?E $
$
Kemudian rata-rata nilainya a c c E
c
$
3
$
F$ ? ?E
F$ /? /?E c c
12. MACAM-MACAM PERMASALA~AN 1. perpindahan (dari kesembangan) sebuah partikel melaksanakan gerak suara sederhana mungkin salah dari + f §+ f Ó §
g tergantung pilihan kita dari waktu
aslinya. Tunjukan bahwa rata-rata energi kinetik sebuah massa partikel m (waktu gerak lagi) adalah sama untuk dua formula (seperti itu seharusnya terjadi sejak keduanya di buat dalam gerakan fisik yang sama). Temukan nilai rata-rata energi kinetik dari keadaan Ó § dengan dua cara:
g
a. dengan pilihan batas integrasi (mungkin seperti masalah 4.1) kemudian sebuah perubahan penurunan variabel integral untuk keadaan Ó §.
b. dengan perluasan Ó §
(5.2) untuk menulis rata-rata.
g dengan rumus penjumlahan trigonometri dan menggunakan
2. simbol x] berarti bilangan bulat kurang dari atau sama dengan x (sebagai contoh 3] = 3, 2.1]
= 2, -4.5] = -5. Luas ] ^ di suatu deret fungsi eksponen Fourier untuk periode 1.
Petunjuk : sekatsa fungsi. Jawaban :
=
0d
8
8 < E;
8 E;
8 aE;
72
3. kami telah mengatakan bahwa deret Fourier dapat menggambarkan terputusnya fungsi walaupun tidak terdapat rangkaian daya. Mungkin kamu haran mengapa kita tidak dapat deret
pengganti daya untuk Ó *+Ó (yang mana untuk semua kumpulan x) di dalam sebuah
deret Fourier dan mengumpulkaan syarat-syarat m diperoleh sebuar rangkaian daya untuk
memutuskan sebuah fungsi. Sebagai contoh apa yang terjadi seandainya kita mencoba ini, pertimbangkan rangkaian di masalah 9.5. tunjukkan bahwa koefisien dari x, seandainya terkumpul, bentuk sebuah rangkaian berbeda, dengan cara yang sama, koefisien dari x3 bentuk sebuah deret berbeda dan seharusnya. 4. diagram tersebut menunjukkan sebuah ³pengendoran´ gerak bolak-balik. Beban q di kapasitor dirangkai sampai ke api tabung neon dan pemberhentian kapasitor (kita mulai yang seketika itu juga). Kemudian lingkaran terulang sendiri lagi dan lagi
a.c Beban q di kapasitor cukup berbeda persamaan:
Dimana R adalah resistansi, C adalah kapasitas, dan V adalah konstanta d-c tegangan, seperti yang terlihat dalam diagram. Tunjukan bahwa jika q=0 ketika t=0, kemudian di waktu selanjutnya (satu putaran sebelum tabung neon terbakat) X Gh % jk i
(b) misalkan tabung neon terbakar pada t= RC. Gambarkan q sebagai fungsi t untuk beberapa putaran/siklus. (c) jabarkan periode q dibagian(b) sesuai dalam deret fourier.
5.c mempertimbangkan kurva Ó . Tunjukkan bahwa nilai rata-rata a cmelalui lengkungan kurva ketiga adalah 2 kali nilai rata-rata yang melalui akhir lengkungan tersebut.
6.c % =l on $ . Jabarkan acdalam deret fourier eksponensial kompleks dari periode 2ʌ. (asumsi § @ bilangan bulat).
7.c Diberikan [ [ on $ , jabarkan a(x) sesuai dalam deret fourier dari periode 2ʌ.
8.c Tentukan dengan cara termudah untuk mendapatkan nilai rata-rata dari a.c 1 ! Ó
b.c ! ) *+Ó
*+Ó ! on (-5,5)
m *+Ó on (-ʌ,ʌ)
Petunjuk : kamu harus dapat mengerjakan soal di atas dalam pikiranmu
$ # ` ` D 9.c Diberikan _ $ ` `
a.c Gambarkan grafik paling tidak tiga periode dari fungsi yang di tampilkan oleh deret sinus untuk a(x). Tanpa menemukan deret apapun, jawab pertanyaan berikut:
b.c Untuk apakah nilai sin dalam x=1? ; x=2? ; x=0? ; x=-1? c.c Jika fungsi yang diberikan adalah kontinyu dengan periode 2 dan kemudian
ditampilkan kembali oleh oksponensial deret kompleks F$? , berapa nilai dari
F$?X$[? [ ?
10.ca. Gambarkan paling tidak 3 periode dari fungsi grafik yang kemudian di tampilkan kembali oleh deret cos untuk f(x) dalam masalah 9. b. gambarkan paling tidak 3 periode dari grafik deret Fourier eksponensial periode 2 untuk dalam masalah 9. c. untuk apakah nilai cos dalam x=0?, x=1?, x=2?, x=-2? d. untuk apakah nilai deret eksponensial dalam x=0?, x=1?, x=3/2?, x=-2? 11.cTentukan 3 deret Fourier di soal 9 dan 10! 12.cApa yang akan di bentuk dari frekuensi gelombang bunyi yang tampak seperti yang ditunjukkan oleh " F$?X
13.cA. Telah di beri
no\ ' ?
?1
?
#$ $ tentukan deret sin pada periode 2ʌ untuk f(x).
B. Gunakan hasil anda dalam mengevaluasi F S .
14.cA. Tentukan deret fourier pada periode 2 untuk #$
b. gunakan hasil anda untuk mengevaluasi F 4 3
