TUGAS STATISTIKA DERET FOURIER
disusun oleh : Rizky Dwiyana Putri 21060115083021
PROGRAM STUDI DIII TEKNIK ELEKTRO DEPARTEMEN TEKNOLOGI INDUSTRI SEKOLAH VOKASI UNIVERSITAS DIPONEGORO 2017
1
Kata Pengantar Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah tentang Pemanfaatan Plastik Sebagai Barang Berguna ini dengan baik meskipun banyak kekurangan didalamnya. Dan juga kami berterima kasih pada Bapak Saiful Manan selaku Dosen mata kuliah Statistika yang telah memberikan tugas ini kepada saya. Saya sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai dampak yang ditimbulkan dari sampah, dan juga bagaimana membuat sampah menjadi barang yang berguna. Saya juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, saya berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah kami buat di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun. Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya laporan yang telah disusun ini dapat berguna bagi kami sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun dari Anda demi perbaikan makalah ini di waktu yang akan datang.
2
Daftar Isi
Cover................................................................................................................................i Kata Pengantar.................................................................................................................ii Daftar isi..........................................................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang...........................................................................................................1 1.2 Rumusan masalah.......................................................................................................1 1.3 Tujuan.........................................................................................................................1 BAB II KAJIAN TEORI.................................................................................................3 2.1 Cepat Rambat.............................................................................................................4 2.2 Gelombang.................................................................................................................4 2.3 Cepat Rambat Gelombang........................................................................................5 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Aplikasi Deret Fourier dalam bidang teknik............................................................7 3.2 Fungsi Periodik........................................................................................................9 3.3 Deret Fourier...........................................................................................................12 3.4 Syarat Dirichlet.......................................................................................................16 3.5 Fungsi Ganjil dan Genap........................................................................................17 3.6 Deret Fourier Jangkauan Setengah.........................................................................19 3.7 Deret Fourier Eksponensial....................................................................................22 3.8 Penerapan pada gelombang bunyi..........................................................................23 BAB IV PENUTUP
3
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Dalam permasalahan fisika, banyak gejala yang dipelajari terkait dengan dinamika yang berulang-ulang atau periodik, seperti getaran atau osilasi. Contoh yang paling sederhana adalah gerakan berulang gerak harmonik sederhana oleh pegas yang membentuk fungsi sinusoidal jika kita gambarkan hubungan antara posisi dengan waktu. Di lain pihak, kadang kita dihadapkan pula pada permasalahan yang terkait dengan struktur yang memiliki periodisitas, seperti contohnya perambatan cahaya ketika melalui medium berlapis-lapis yang memiliki struktur lapisan periodik. Secara umum, gejala atau struktur periodik yang diamati tidak memiliki bentuk sesederhana fungsi sinusoidal, bahkan seringkali tidak memiliki bentuk ungkapan analitik yang kita kenal. Untuk menangani permasalahan yang terkait dengan sistem periodik tersebut, maka kita dapat menggunakan uraian deret dengan fungsi-fungsi sinusoidal sebagai basisnya. Jika pada deret Taylor menjabarkan suatu fungsi berdasarkan deret pangkat, maka pada deret Fourier kita akan membahas perumusan yang kurang lebih sama tetapi diterapkan khusus pada fungsi-fungsi periodik yang secara umum tidak memiliki bentuk ungkapan analitik. Berdasarkan Latar belakang dan Identifikasi masalah diatas penelitian ini kami batasi masalahnya mengenai bagaimanakah persamaan fungsi gelombang sinusoidal pada rangkaian AC dalam Osiloskop dengan analisis deret Fourier. Adapun perumusan masalah dalam penelitian ini adalah seperti apakah persamaan fungsi gelombang sinusoidal pada rangkaian AC dengan menggunakan ekspansi deret Fourier.
1.2 Rumusan Masalah Fungsi gelombang sinusoidal arus AC dengan menggunakan deret Fourier. Pengaruh periode terhadap ekspansi deret Fourier. Fungsi Ganjil-Genap pada persamaan fungsi gelombang sinusoidal arus AC. 1.3 Tujuan
Fungsi gelombang sinusoidal arus AC dengan menggunakan deret Fourier. Pengaruh periode terhadap ekspansi deret Fourier, dan Fungsi Ganjil-Genap pada persamaan fungsi gelombang sinusoidal arus AC. Serta mengerti pengaplikasian deret fourier dalam kehidupan anak teknik. Untuk
mengetahui
4
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Cepat Rambat
Cepat Rambat adalah jarak yang ditempuh arah perpindahan energi tiap satuan waktu. Dalam hal ini cepat rambat yang digunakan untuk gelombang adalah cepat rambat gelombang yang jika pada seutas tali diberikan energi akan terlihat naik-turun yang tegak lurus terhadap perambatannya 2.2 Gelombang
Gelombang adalah sebarang gangguan dari kondisi kesetimbangan yang merambat dari satu daerah ke daerah yang lainnya. Gelombang merupakan proses merambatnya suatu getaran yang tidak disertai dengan perpindahan medium perantaranya, tetapi hanya memindahkan energi. Gelombang juga dapat disebut sebagai getaran yang merambat pada suatu medium. Pada gelombang yang merambat adalah gelombangnya, bukan zat medium perantaranya. Satu gelombang dapat dilihat panjangnya dengan menghitung jarak antara lembah dan bukit (gelombang tranversal) atau menhitung jarak antara satu rapatan dengan satu renggangan (gelombang longitudinal). Cepat rambat gelombang adalah jarak yang ditempuh oleh gelombang dalam waktu satu detik. Gerak gelombang dapat juga dipandang sebagai suatu perpindahan energi dan momentum dari satu titik di dalam ruang ke titik lain tanpa perpindahan materi. Pada gelombang mekanik, seperti gelombang pada tali atau gelombang bunyi di udara, energi dan momentum dipindahkan melalui gangguan dalam medium
2.3 Cepat Rambat Gelombang Cepat rambat gelombang didefinisikan sebagai perbandingan antara perpindahan (s) terhadap selang waktu (t) atau secara matematis dituliskan = . Ketika gelombang berpindah atau menempuh jarak sejauh satu panjang gelombang, maka waktu yang diperlukannya adalah periode gelombang itu sendiri, dan secara matematis dituliskan: = .
Karena periode merupakan kebalikan dari frekuensi, atau = 1 , maka periode (T) pada persamaan diatas dapat diganti oleh besaran frekuensi, sehingga cepat rambat gelombang merupakan perkalian panjang gelombang dengan frekuensinya,dan secara matematis persamaannya menjadi: = .
5
Deret fourier adalah suatu deret yang banyak digunakan dalam bidang rekayasa. Deret ini pertama sekali ditemukan oleh seorang ilmuwan Perancis Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Deret yang selanjutnya dikenal sebagai Deret Fourier ini merupakan deret dalam bentuk sinusoidal (sinus dan cosinus) yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik secara umum. Selain itu, deret ini sering dijadikan sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persamaan diferensial, baik persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial. Teori dasar dari deret Fourier cukup rumit. Meskipun demikian, aplikasinya sangat sederhana. Deret Fourier ini lebih umum dibandingkan dengan deret Taylor. Hal ini disebabkan karena dalam banyak permasalahan praktis yang terkait dengan fungsi periodik tak kontinu dapat diselesaikan dengan menggunakan deret ini dan tidak ditemukan pada Deret Taylor. Berikut ini akan dijelaskan menngenai beberapa fungsi yang terdapat dalam deret Fourier .
6
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Aplikasi Transformasi Fourier dalam Bidang Teknik Transformasi fourier menjadi alat analisis yang banyak dipergunakan di berbagai bidang. Pada pembahasan kali ini transformasi fourier dikaitkan dengan bidang pengolahan sinyal. Asal kata transformasi berarti mengubah sesuatu, begitu juga dengan transformasi fourier. Secara sederhananya transformasi fourier dipergunakan untuk mengubah dari kawasan waktu menjadi kawasan frekuensi. Mengapa perlu dilakukan pengubahan tersebut?. Pengubahan itu dimaksudkan untuk mempermudah analisis yang dilakukan. Dalam bidang pengolahan sinyal maka pengubahan tersebut dapat dilakukan terhadap sinyal maupun terhadap sistemnya. Transformasi fourier sinyal akan menghasilkan spektrum sinyal. Sedangkan transformasi fourier terhadap sistem akan menghasilkan tanggapan frekuensi sistem. Mengapa kita perlu mengubah sinyal dalam kawasan waktu menjadi sinyal dalam kawasan frekuensi?. Untuk mempermudah bayangkan, alat yang dasarnya transformasi fourier contohnya adalah spektrum analyzer. Spektrum analyzer adalah implementasi dari transformasi fourier cepat (fast fourier transform). Sedangkan alat ukur untuk menampilkan sinyal dalam kawasan waktu contohnya adalah osiloskop. Kita akan mudah menganalisis suatu sinyal sederhana misalkan x(t)=4 sint(100.pi.t). Dengan osisloskop kita dengan mudah menganalisis frekuensi dari sinyal tersebut dengan meliat waktu yang dibutuhkan untuk mencapai satu gelombang penuh maka akan didapati periode sinyal. Frekuensi didapatkan dengan rumusan f=1/T. Untuk amplitudenya juga dengan mudah dapat kita liat pada sumbu vertikal osisloskop tersebut. Sekarang bagaimana kalau mengamati sinyal yang lebih kompleks, contohnya sinyal suara manusia? JIka kita melihat output pada radio yang menuju loudspeaker maka disitu kita dapati sinyal suara dalam bentuk isyarat listrik. Akan sangat susah untuk menentukan frekuensi dan amplitudenya. Amplitude dan frekuensi menjadi penting untuk merancang aplikasi lainnya contohnya filter. Kita harus mengetahui spektrum sinyal untuk dapat merancang sebuah filter. Untuk itulah spektrum analyser digunakan. Pada spektrum analyzer kita lihat sumbu vertikalnya adalah magnitude yang bisa berbentuk linear maupun skala logaritmik sedangkan sumbu horisontalnya adalah frekuensi. jadi dengan mudah dapat ditentukan batasan frekuensi dan magnitude dari sebuah sinyal. Dasar transformasi fourier adalah penguraian sebuah sinyal menjadi komponen penyusunnya. Komponen penyusun sinyal yang komplek adalah sinus. Memang secara sengaja deret fourier mengurai sinyal kompleks menjadi sinyal sinus penyusunnya. Apabila transformasi forier diterapkan terhadap sebuah sistem maka akan didapatkan tanggapan frekuensi dari sistem tersebut. Analisis sistem dalam kawasan frekuensi sama halnya dengan analisis sinyal dalam kawasan frekuensi, membuat beberapa kemudahan. Apabila sistem adalah sistem yang kompleks ayng terdiri dari sistem-sistem kecil penyusunnya maka penyederhanaan untuk mendapatkan karakteristik sistem akan lebih mudah dalam transformasi fourier. Contoh jelasnya apabila diketuai tanggapan frekuensi sistem H1(jw) dan H2(j(w) yang di cascade maka dengan mudah gabungan dari sistem tersebuat adalah perkaliannya. Dalam kawasan waktu kita harus melakukan konvolusi untuk dua buah sistem yang dicascade.
7
Aplikasi transformasi fourier laiinya dalam bidang teknik dapat dilihat pada sistem CT Scanner. Peralatan CT Scanner terdiri atas tiga bagian yaitu sistem pemroses citra, sistem komputer dan sistem kontrol. Sistem pemroses citra merupakan bagian yang secara langsung berhadapan dengan obyek yang diamati (pasien). Bagian ini terdiri atas sumber sinar-x, sistem kontrol, detektor dan akusisi data. Sinar-x merupakan radiasi yang merambat lurus, tidak dipengaruhi oleh medan listrik dan medan magnet dan dapat mengakibatkan zat fosforesensi dapat berpendar. Sinar-x dapat menembus zat padat dengan daya tembus yang tinggi. Untuk mengetahui seberapa banyak sinar-x dipancarkan ke tubuh pasien, maka dalam peralatan ini juga dilengkapi sistem kontrol yang mendapat input dari komputer. Bagian keluaran dari sistem pemroses citra, adalah sekumpulan detektor yang dilengkapi sistem akusisi data. Detektor adalah alat untuk mengubah besaran fisik-dalam hal ini radiasi-menjadi besaran listrik. Detektor radiasi yang sering digunakan adalah detektor ionisasi gas. Jika tabung pada detektor ini ditembus oleh radiasi maka akan terjadi ionisasi. Hal ini akan menimbulkan arus listrik. Semakin besar interaksi radiasi, maka arus listrik yang timbul juga semakn besar. Detektor lain yang sering digunakan adalah detektor kristal zat padat. Susunan detektor yang dipasang tergantung pada tipe generasi CT Scanner. Tetapi dalam hal fungsi semua detektor adalah sama yaitu mengindentifikasi intensitas sina-x seletalh melewati obyek. Dengan membandingkan intensitas pada sumbernya, maka atenuasi yang diakibatkan oleh propagasi pada obyek dapat ditentukan. Dengan menggunakan sistem akusisi data maka data-data dari detektor dapat dimasukkan dalam komputer. Sistem akusisi data terdiri atas sistem pengkondisi sinyal dan interfacae (antarmuka ) analog ke komputer. Bagian komputer bertanggung jawab atas keseluruhan sistem CT Scanner, yaitu mengontrol sumber sinar-x, menyimpan data, dan mengkonstruksi gambar tomografi. Komputer terdiri atas processor, array processor, harddisk dan sistem input-output. Processor atau CPU (unit pemroses pusat) mempunyai fungsi untuk membaca dan menginterprestasikan instruksi, melakukak eksekusi, dan menyimpan hasil-hasil dalam memory. CPU yang digunakan mempunyai bus data 16,32 atau 64 bit. Tipe komputer yang digunakan bisa mikro komputer dan bisa mini komputer, namun harus memenuhi unjuk kerja dan kecepatan bai sistem CT Scanner. Harddisk mempunyai fungsi untuk menyimpan data dan software. CT Scanner pada umumnya dilengkapi dengan dua buah monitor dan keyboard. Masing-masing sebagai operator station dan viewer station dan keduanya mempunyai tugas yang berbeda. Operation Station mempunyai fungsi sebagai operator kontrol untuk mengontrol beberapa parameter scan seperti tegangan anoda, waktu scan dan besarnya arus filamen. Sedangkan viewer station mempunyai fungsi untuk memanipulasi sistem pemroses citra. Bagian ini mempunyai sistem kontrol yang dihubungkan dengan sistem keluaran seperti hard copy film, magnetic tape, dan paper print out. Dari bagian ini dapat dilakukan pekerjaan untuk mendiagnosa hasil scanning. Bagian terakhir dari CT Scanner adalah rekonstruksi. Banyak metode yang dapat digunakan untuk merekonstruksi gambar tomografi, mulai dari back projection sampai konvolusi. Metode back projection banyak digunakan dalam bidang kedokteran. Metode ini menggunakan pembagian pixel-pixel yang kecil dari suatu irisan melintang. Pixel didasarkan pada nilai absorbsi linier. Kemudian pixel-pixel ini disusun menjadi sebuah profil dan terbentuklah sebuah matrik.
8
Rekonstruksi dilakukan dengan jalan saling menambah antar elemen matrik. Untuk mendapatkan gambar rekonstruksi yang lebih baik, maka digunakan metode konvolusi. Proses rekonstruksi dari konvolusi dapat dinyatakan dalam bentuk matematik yaitu transformasi Fourier. Dengan menggunakan konvolusi dan transformasi Fourier, maka bayangan radiologi dapat dimanipulasi dan dikoreksi sehingga dihasilkan gambar yang lebih baik.
3.2 FUNGSI PERIODIK
Definisi 1: Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodic dengan periode T > 0, jika berlaku: f(x + T) = f(x) untuk samua x. catatan: (a) Jika T adalah periode terkecil, maka T disebut periode dasar, dan selang a < x < a + T , dimana a sebuah konstanta, disebut selang dasar fungsi periodik f(x). Untuk selanjutnya sebutan periode dimaksudkan bagi periode dasar ini. (b) Konstanta a pada selang dasar dapat dipilih sembarang, berharga nol atau negatif. Pilihan a = - T/2 sering digunakan untuk memberikan selang dasar yang simetris terhadap x = 0, yakni selang – T/2 < x < T/2. Contoh fungsi periodik yang paling sederhana adalah fungsi sin x dan cos x, karena:
sin (x 2π) = sin x
dan cos (x 2π) = cos x
Yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki periode T = 2π . Dalam hal ini x adalah variabel sudut dengan satuan radian atau derajad. Bila x bukan merupakan variabel sudut, maka x harus dikalikan dengan suatu faktor alih p, sehingga px=a berdimensi sudut. Jadi satuan p adalah: [ satuan p]
[radian] [Satuan x]
9
Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m), maka satuan p = rad/m. Dengan demikian pernyataan fungsi Sin dan Cos yang bersangkutan menjadi:
sin x sin px
; cos x cos px
Hubungan ini mengaitkan p dengan T melalui hubungan: p
2 T
Dengan pernyataan faktor alih ini, sifat periodik fungsi sin px dan cos px diberikan oleh hubungan: sin px sin p( x T );cos px cos p( x T ) Yang memperlihatkan bahwa sin px dan cos px adalah periodik dengan periode T. Khusus dalam hal T = 2π, maka p = 1. Salah satu contoh sederhana benda bermassa m yang digantungkan pada ujung sebuah pegas dengan tetapan pegas k.
k
titik kesetimbangan
Jika benda ditarik sejauh A dari kedudukan setimbangnya, kemudian dilepaskan, benda tersebut akan bergerak secara harmonik sederhana akibat adanya gaya pemulih yang arahnya selalu berlawanan dengan arah simpangan benda. Simpangan vertikal benda y(t) setiap saat t berubah- ubah dari kedudukan setimbangnya, menurut persamaan: y(t ) Acos(t 0 ) Besaran
A
dan
getaran, sedangkan
ω
berturut-turut
adalah
amplitudo
dan
frekuensi sudut
(t 0 ) adalah fase getaran, dengan 0 sebagai
fase awalnya, yang berdimensi sudut. Jika T adalah periode atau waktu getar (waktu yang diperlukan benda untuk melakukan satu kali getaran) yang diukur dalam satuan detik, maka 2 / T , bersatuan (rad/s). Dengan demikian ω merupakan faktor alih (p) yang membuat ωt berdimensi sudut .
10
3.3 DERET FOURIER
Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x) = f (x + T), maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut: f ( x)
a0 2
n x
(an cos
b
sin
n
n1
n x
)
L
L Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai koefisien- koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integaral:
a0 an bn
1
a T
f ( x)dx
L a a T 1
L
1a
L
n x
f ( x) cos L a
T
dx
n x
f ( x) sin L
dx
a
dengan T = periode dan L = ½ periode.
11
Contoh 1.
Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut :
1, x 0 f ( x) 0, 0 x Periodik dengan periode 2π sehingga f(x + 2π) = f(x) Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier. Pemecahan: Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f(x) di atas adalah T = 2π, dengan demikian L = ½ T = π, selang dasarnya –π < x < π, jadi a = - π. Di luar selang ini, f(x) didefinisikan sebagai perluasan selang dasar ke arah kiri dan kanan sumbu x, seperti terlihat pada Gambar 1. f(x) 1 x -4π -3π
-5π
-2π
π
-π
2π
3π
4π
5π
Gambar 1 Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut: a0
1
L 1
a0
0 f ( x)dx f ( x)dx (1)dx (0)dx a 0 0 0 1 dx ( x) 1
aT
1
1
n x
n x f ( x) cos dx 1 f ( x) cos dx an L a L L 0 1 0 1 a (1).cos nx.dx (0) cos nxdx cos nx.dx a T
n
a n
1
1 1 10 sin nx 0 sin 0 sin n 0 n n
12
bn
1
L
n x
a T
f ( x)sin
a
1
dx
L
1
n x
f ( x)sin L
dx
1 0 bn (1).sin nx.dx (0) sin nxdx sin nx.dx 0 1 1 1 1 0 cos 0 cos(n ) (1 (1)n ) bn cos nx n n n 2 / n , n ganjil bn 0, n genap
0
Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah: n x n x a0 bn sin , an 0 a n cos f ( x) 2 n1 L L 1 2 n x f ( x) sin 2 n 1 n
ganjil
1 1 f ( x) sin x 3 sin 3 x 5 sin 5 x L 1 2 1 1 f ( x) 2 sin x 3 sin 3 x 5 sin 5 x L 1 2 2
13
Koefisien-koefisien Fouriernya dapat dicari sebagai berikut: 1 aT a0 L f ( x)dx
a
1
a0
0
2 1 f ( x)dx 1 (1)dx (0)dx 10 0 1
12
1
dx ( x) 0 1 a T
f ( x) cos
1 an L an
n x L
a
1
n
sin nx
0
1
2
1 0
2 1 (1).cos n x.dx (0) 0 1 1
an
dx
1
f ( x) cos
n x
dx
1
1 cos n xdx cos n x.dx 0
sin n sin 0 0
n
n x 1 n x 1 a T dx f ( x)sin dx f ( x) sin bn L L 1 1 a 0 2
2 1 1 bn (1).sin nx.dx (0) sin nxdx sin n x.dx 0 0 1
1
1
cos n x
n 2 / n , bn 0 ,
bn
0
1
n
cos n cos 0 1
n
((1)
n
1)
n ganjil n genap
Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah: a0 2 f ( x) sin n x 2 n1 n
ganjil
f ( x)
1 2 sin x 2 sin 3 x 2 sin 5 x L 2 3 5
f ( x)
1 2 sin x 1 n 3 x 1 sin s 5 x L 2 3 5
14
3.4 SYARAT DIRICHLET
Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam deret Forier ditentukan oleh syarat Dirichlet berikut: Jika: (a) f(x) periodik dengan periode T (b) Bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam selang dasarnya; a < x < a + T, dan aT
(c)
f ( x) dx nilainya berhingga. a
Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai :
(1) f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan (2)
1 2
lim f ( x 0
) lim f ( x 0 )
di setiap titik ketakkontinuan x0
15
3.5 FUNGSI GANJIL DAN FUNGSI GENAP
Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah, jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)). Keduanya didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2. Sebuah fungsi f(x) adalah:
(a) genap, jika berlaku f(-x) = f(x) (b) ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x) untuk semua x dalam daerah definisi f(x). Sebagai contoh, fungsi x 2 dan cos x adalah fungsi genap, karena (-x) 2 = x 2 dan cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah fungsi ganjil, karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = - sin (x). Pada umumnya fungsi pangkat genap dari x seperti (x 2, x4, x6 , . . .) merupakan fungsi genap dan fungsi pangkat ganjil dari x seperti (x, x 3, x5, . . .) merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi di atas dapat dicari contoh-contoh lain dari kedua fungsi ini. Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a 0, an, dan bn dari fungsi periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusan berikut :
a 2 f ( x)dx L L
0
0
Jika f genap ( x)
2 L
n x
a L f ( x ) cos L dx b 0 n
0
n
Dalam hal ini dikatakan f(x) teruraikan dalam deret cosinus (bn = 0).
a 0 0
a
0
Jika f ganjil n ( x)
b 2 f ( x) sin n x dx L
n
L
0
L
16
Dalam hal ini, f(x) dikatakan teruraikan dalam deret sinus (an = 0). Seperti biasa L = ½ T = ½ periode.
Contoh 2.
Diketahui fungsi: f ( x) x 2 ,
1
1
2
2
x
Periodik dengan periode 1, sehingga f(x + 1) = f(x). Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier. Pemecahan : Fungsi f(x) = x 2 adalah suatu fungsi genap T = 1, sehingga L = ½ T = 1/2 , akan teruraikan dalam deret cosinus. bn = 0, a0 dan an dapat ditentukan sebagai berikut: a0
2 L
L
f ( x)dx
2
0
2
an
L
L
2 1/ 2 1 1/ 2 2 1 x dx 43 x3
n x f ( x) cos L dx
0
0
2 1
2
0
1/2
x 2 cos
0
4 1 1 3 8 6
n x dx L
1/2
a n 4 x 2 cos 2n xdx 0
2 1 1 an 4 x cos 2n x 2 x 2n (2n ) 2 1 2 an 4(2n ) cos n 1 (1)n a n 2 2 n
cos 2n x
2 (2n ) 2
1/ 2 sin 2n x 0
Dengan demikian uraian deret Fourier untuk f(x) = x 2 dengan selang dasar -½ < x < ½ adalah:
17
f ( x)
a0
an cos
n x
,
bn 0 1/ 2 n1 n 1 (1) f ( x) cos 2n x 2 2 12 n1 n 1 1 2 x 4 x 6 x f ( x) cos cos cos 2 1
f ( x)
12 1
12
2
os c 2 1
12 2 x 2
2
cos
1
4 x 2
2
cos
3
6 x
2
3
2
2
L
L
3.6 DERET FOURIER JANGKAUAN SETENGAH
Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya terdefinisikan dalam suatu selang positif; 0 < x < L. Oleh karena itu seringkali perlu untuk memperluasnya ke seluruh sumbu x, baik ke arah sumbu x positif maupun ke arah sumbu x negatif. Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan sebagai berikut:
(1) Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil – tidak genap (seperti pada contoh 1) dengan periode T = L; dan selang dasarnya
0
< x < L, dengan L sembarang positif.
(2) Selang dasar 0 < x < L diperluas ke selang negatif secara simetris terhadap sumbu x = 0 menjadi – L < x < L, dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2 L. Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluas fungsi f(x) sebagai fungsi genap f c(x) atau fungsi ganjil f s(x).
Contoh 3
Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah :
x, 0 x 1
f ( x)
1, 1 x 2
f(x)
Sket:
1 x 0
1
2
17
Nyatakan fungsi ini dalam: (a) deret Fourier fungsi cosinus (fungsi genap) (b) deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil) (c) deret Fourier fungsi cosinus – sinus (fungsi tidak genap – tidak ganjil). Pemecahan: (a) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier cosinus (fungsi genap) Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode
T = 2L = 4
(karena L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut: f c(x)
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0
1
2
3
4
5
6
Untuk fungsi genap ini b n = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut: 1 2 3 1 2 2 2 a0 f ( x)dx 2 xdx (1)dx 2 x x 1 2 L 0 0 1 0 1 2 2 L 2 2 n x n x n x n x a f ( x) cos dx x cos dx (1) cos dx (1) cos dx n 2 2 2 L 0 L 2 0 1 1 1 2 n x 4 2 2 n x n x a sin x sin cos n (n )2 2 2 1 n 2 n 0 4 n x a 1 cos n 2 (n ) 2 2 4 , a 4 , a2 a1 0, dst 3 2, a1 2 9 2 L
1
2
Maka diperoleh pernyataan deret Forier cosinus untuk f(x), sebagai berikut :
18
f ( x) f ( x)
a0 2 3
an cos n L x , n1
4 1
4
2
cos 1
bn
0
x 1 cos 2 x 1 cos 3 x 2
2
2
9
2
L
(b) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus (fungsi ganjil) Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} dengan periode T = 4 ( L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
f(x)
-6
-4
-5
-3
-2
1
-1 0
2
3
4
5
6
x
Untuk fungsi ganjil ini a 0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut: b n
2 L L
f ( x)sin 0
n x L
dx
2 2 1 n x n x dx (1)sin dx x sin 2 0 2 2 1
1
2
4 n x 2 cos n x cos cos 2 n (n ) 2 2 1 n 2 2 4n n x 0 b sin cos n n 2 2 1n 4(n 2) 4 6 1 b , b , b , b , dst 1 2 4 3 2 2 9 2 b
x
2
n x
Maka diperoleh pernyataan deret Fourier sinus untuk f(x), sebagai ber ikut:
n x a 0, a 0 0 n , L n1 4 2 x 1 2 x 4 6 3 x sin f ( x) sin L sin 2 2 9 2 2 2 f ( x)
b
n
sin
19
(c) Pernyataan deret Fourier sinus-cosinus (fungsi tidak ganjil-tidak genap) untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri dan ke kanan sumbu x dengan periode T=2 (L=1) seperti pada gambar berikut :
Koefisien-koefisien Fourier ao, an, dan bn dapat ditentukan sebagai berikut : 2 1 1 3 1 2 1 f ( x)dx 1 2 x ao L xdx (1) dx x 0 1 2 1 0 2 0 1 2 1 T n x 1 1 a f ( x) cos dx x cos n x dx (1) cos n xdx 1 0 L 0 L 1 1 1 1 1 2 x n sin n x n 2 cosn x sin n x n 0 1 1 1 1 1 T
n
n
cos n 1 2 n 2 2 n ganjil n 2 2 , 0 , n genap
bn
n
2
1 T f ( x)sin n x dx 1 1 x sin n x dx 2 (1)sin n xdx L 0 1 0 1
1 1 1 1 2 x n cos n x n 2 sin n x cosn x n 0 1 1 cos 2n n 1 n Sehingga pernyataan deretnya adalah :
20
3 4
f ( x)
1 ( n 2 2 cos n x) n n 1 n 1 2
sin n x
ganjil
3.7 DERET FOURIER EKSPONENSIAL
Pernyataan deret Fourier suatu fungsi periodik dapat pula dibangun dari fungsi eksponensial, dengan menggunakan hubungan Euler sbb : i n x
e
cos
L
n x
L
i sin n x ,
2
i
L
1
dengan menyisipkan : n x cos
L
n x
n x
e i L
e i L
dan
sin
2
n x L
n x
ei L
n x
e i L 2i
ke dalam pernyataan deret Fourier dari suatu fungsi periodik, sbb : f ( x)
a0 2
(an cos
n1
n x
b
sin
)
L
n
L
n x
didapat : f ( x)
n x n x n x n x i i L ei L e i L e L e b a n n i 2 2 n 1 n 1
a
0
2
f x
a0 2
f x
a0 2
n x
n x
an ibn i L an ibn i L e 2 e 2 n 1
n1
n 1
an ibn e i n L x 2
1
n
n x
an ibn e i L 2
Indeks jumlah n pada deret ke dua telah dinamakan ula ng dengan – n. Jika didefinisikan :
a ib / 2, , a0 / 2 a ib / 2, n
C n
n
n
n
n 0 n 0 n 0
21
3.8 PENERAPAN PADA GELOMBANG BUNYI
Jika sebuah gelombang bunyi yang merambat melalui udara sampai ketelinga kita dan kita mendengarnya, maka tekanan udara ditempat kita berada akan berubah-ubah terhadap waktu (akibat terjadi rapatan dan renggangan udara disebabkan rambatan gelombang bunyi yang merupakan gelombang longitudinal). Andaikan perubahan tekanan udara diatas dan dibawah tekanan atmosfir dilukiskan oleh suatu grafik pada gambar berikut ini :
Maka untuk menentukan harga frekuensi yang kita dengar, dapat dilakukan dengan cara menguaraikan fungsi p(t) kedalam deret Fourier. Periode (T) dari fungsi p(t) diatas
adalah
bunyi berulang 262 kali tiap detik. Sehingga L =
1
, yang berarti gelombang
262 1
T= 2
1 . 524
Dari gambar diatas jelas terlihat bahwa fungsi p(t) merupakan fungsi ganjil, maka koefisien-koefisien Fourier yang ada hanya b n saja (ao = 0, an = 0). bn ditentukan sebagai berikut :
2 L nt bn L p(t ) sin L dt
0
11048
1 524
2 (524) (1) sin 524t dt ( 1 0 1048 n 7 2 15 cos 1 cos n n 8 2 8
) sin 524 t dt
22
BAB IV PENUTUPAN
23
