Aplikasi Deret Fourier (FS) 1.
Deret Fourier
Menurut Fourier setiap fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai jumlah fungsi sinus sinus dan cosinus yang tak berhingga berhingga jumlahnya jumlahnya dan dihubungkan dihubungkan secara harmonis. harmonis. Maka, karena respons paksaan terhadap setiap bentuk sinusoida/cosinusoida dapat ditentukan dengan mudah dengan konsep fasor, maka respons dari rangkaian linier terhadap fungsi pemaksa periodik yang umum bisa didapat dengan mensuperposisikan respons-respons parsial. Pernyataan sebuah fungsi periodik dapat diwakili dengan fungsi sinus dan fungsi fungsi cosinu cosinuss yang yang banyak banyaknya nya tak berhin berhingga gga dapat dapat dipero diperoleh leh dengan dengan meninj meninjau au sebuah contoh sederhana. Mula-mula kita anggap ada sebuah fungsi cosinus yang mempunyai frekuensi radian ω0 , !"t# $ % cos ω0t dengan
$ % πf 0
ω0
T
% π
! =
f 0
=
ω 0
dan perioda Meskipun & biasanya tidak diberi indeks nol, tapi yang dimaksud adalah perioda dari frekuensi dasar. 'armonik dari bentuk sinus ini mempunyai frekuensi n ω0, dengan ω0 adalah adalah frekuen frekuensi si dasar dan n $ !,%,(, !,%,(, )
. Frekuens Frekuensii harmoni harmonik k pertama pertama adalah adalah
frekuensi dasar atau fundamental. *elanjutnya kita pilih tegangan harmonik ke tiga + (a"t# $ cos (ω0t !"t# yang fundamental, harmonik ke tiga (a"t# dan jumlah kedua gelombang ini diperlihatkan sebagai fungsi waktu dalam gambar !a. Perlu diperhatikan jumlahan kedua gelombang tersebut adalah periodik dengan perioda & $ % π/ω0, atau sama dengan perioda gelombang fundamentalnya.
2.
Aplikasi Deret Fourier
*alah *alah satu aplika aplikasi si dari dari deret deret fourier fourier adalah adalah pada pada pemisah pemisahan an perpad perpaduan uan gelo gelomb mban ang. g. *uat *uatu u gelo gelomb mban ang g yang yang berg berger erak ak pada pada satu satu medi medium um buka bukan n hany hanyaa gelombang yang berupa gelombang tunggal namun merupakan perpaduan dari banyak gelombang. engan menggunakan deret fourier maka perpaduan dari banyak panjang gelo gelomb mban ang g
ini ini
dapa dapatt
dipi dipisa sahk hkan an
kem kembali bali
menj menjad adii
gelo gelomb mban angg-ge gelo lomb mban ang g
penyusunnya. Misalka Misalkan n saja saja pada pada gelomb gelombang ang radio. radio. elomb elombang ang radio radio FM mempun mempunya yaii frekue frekuensi nsi Mh sampai sampai dengan dengan !0 Mh. Mh. &api api yang yang menimb menimbulk ulkan an pertany pertanyaan aan adala adalah h kena kenapa pa kita kita dapa dapatt mend menden enga gark rkan an suara suara peny penyia iarr radio radiony nyaa pada padaha hall bata batass
pendengaran manusia hanya %0 ' sampai dengan %0.000 ' saja. 1ni dapat dijawab karena gelombang radio tersebut hanya sebagai pembawa. 2ang nantinya pada radio penerima gelombang datang tersebut akan dipecah kembali yang salah satunya berupa gelombang suara yang dapat kita dengarkan.
Pada gambar diatas disajikan dua bentuk gelombang yang mempunyai bentuk yang sangat berbeda. 3amun pada gambar kiri itu merupakan gelombang perpaduan dari banyak sekali gelombang. *edangkan pada gambar kanan merupakan bentuk bentuk gelombang yang menyusun gambar kiri tadi. ambar kiri dapat di pecah menjadi gambar kanan dengan bantuan deret fourier. 'al ini pula yang berlaku pada frekuensi radio yang telah disinggung sebelumnya.
4ntuk fungsi f"t# periodic dengan interal "-t,t# bukan "-5,5#. Perubahan sederhana pada ariable dapat digunakan untuk mentransformasikan interal integrasi dari "-5,5# ke "-t,t# dengan 1
t$
Tπ
1
dt $
dTπ
T
selesaikan t6, maka di peroleh t6$
π ∞
1
Maka di perolehlah f"7# $
2
a0 8
∑ an cos
n= 1
( )+ ∑ '
nπ t T
∞
'
bn sin (
n= 1
nπ t T
Maka di dapatlah bentuk gelombang menjadi seperti berikut
*ecara umum deret Fourier dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini
engan masing-masing koefisien adalah
)
9ontoh soal :ita langsung saja ke contohnya. :ita ingin menjabarkan sebuah fungsi periodik dalam bentuk sinus dan cosinus. 4ntuk memudahkan perhitungan kita mulai dengan fungsi yang memiliki periode %5 seperti di bawah ini
Pertama kita cari nilai dari a0 terlebih dahulu
;
*etelah a0 diketahui kita cari nilai dari an
4ntuk sembarang n bilangan bulat
3ilai bn dapat kita cari dengan perhitungan seperti dibawah ini
3ilai dari cosn0$! 4ntuk n bilangan genap n$ %, <, =, ) kita dapatkan
tetapi jika n bilangan ganjil n$!, (, ;, ) kita akan mendapatkan
*ehingga
>tau kita juga dapat menuliskan dengan bentuk seperti ini
4ntuk n$ !, %, (, <, ;, )
?
@adi jelas bahwa bn hanya memiliki nilai tidak nol ketika n sama dengan bilangan ganjil. ari perhitungan di atas kita dapat menuliskan
engan n$ !, (, ;, )..
Aalu apa artinya deretan fungsi di atas :ita simulasikan fungsi di atas. &ak perlu dengan program yang susah, cukup dengan e7cel saja sudah dapat dilakukan. :ita lihat gambar berikut ini
B
@adi fungsi periodik yang ada pada awal pembahasan tadi dapat diuraikan kedalam bentuk sinus dan cosinus. &erlihat bahwa semakin besar n maka tampak gerigi pada puncak gelombang semakin banyak. @ika nilai n semakin kecil maka gerigi tersebut akan tampak sangat halus sehingga gambar akan membentuk gelombang periodik seperti pada awal pembahasan sebelumnya.
