Deret Fourier, Transformasi Fourier dan DFT A. Deret Fourier Deret fourier adalah deret yang digunakan dalam bidang rekayasa. Deret ini pertama kali ditemukan oleh seorang ilmuan perancis Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Deret yang selanjutnya dikenal sebagai deret fourier ini merupakan deret dalam bentuk sinusoidal (sinus dan cosinus) yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik secara umum. Selain itu, deret ini juga sering dijadikan sebagai alat bantu dalam menyelasaikan persamaan diferensial, baik persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial. Teori dasar deret fourier cukup rumit. Meskipun demikian, aplikasinya cukup sederhana. a. Fungsi Periodik Suatu fungsi dikatakan periodic ketika setiap x berlaku , dimana T merupakan konstanta positif. Nilai terkecil T dinamakan periode terkecil atau disingkat periode f(x). *)
Fungsi
sinx
*) Periode fungsi *) Periode
mempunyai periode ,.. sama dengan sinx. atau
karena
fungsi
dimana n adalah bilangan bulat positif adalah
adalah
*) Suatu konstanta memiliki periode suatu bilanan poositif Contoh lain dari fungsi periodic adalah gambar sebagai berikut:
b. Deret fourier
Misalkan f(x) didefinisikan pada selang (-L,L) dan di luar selang ini oleh f(x+2L)=f(x) yaitu diandaikan bahwa f(x) mempunyai periode 2L. Deret Fourier atau uraian Fourier yang bersesuaian dengan f(x) ditentukan oleh:
Disini koefisien Fourier an dan bn adalah
c. Aplikasi deret Fourier Salah satu aplikasi dari deret fourier adalah pada pemisahan perpaduan gelombang. Suatu gelombang yang bergerak pada satu medium bukan hanya gelombang yang berupa gelombang tunggal namun merupakan perpaduan dari banyak gelombang. Dengan menggunakan deret fourier maka perpaduan dari banyak panjang gelombang ini dapat dipisahkan kembali menjadi gelombang-gelombang penyusunnya. Misalkan saja pada gelombang radio. Gelombang radio FM mempunyai frekuensi 88 Mhz sampai dengan 108 Mhz. Tapi yang menimbulkan pertanyaan adalah kenapa kita dapat mendengarkan suara penyiar radionya padahal batas pendengaran manusia hanya 20 Hz sampai dengan 20.000 Hz saja?. Ini dapat dijawab karena gelombang radio tersebut hanya sebagai pembawa. Yang nantinya pada radio penerima gelombang datang tersebut akan dipecah kembali yang salah satunya berupa gelombang suara yang dapat kita dengarkan.
Pada gambar diatas disajikan dua bentuk gelombang yang mempunyai bentuk yang sangat berbeda. Namun pada gambar kiri itu merupakan gelombang perpaduan dari banyak sekali gelombang. Sedangkan pada gambar kanan merupakan bentuk-bentuk gelombang yang menyusun gambar kiri tadi. Gambar kiri dapat di pecah menjadi gambar kanan dengan bantuan deret fourier. Hal ini pula yang berlaku pada frekuensi radio yang telah disinggung sebelumnya.
B. Transformasi Fourier Selain adanya deret fourier, juga dikenal adanya transformasi fourier (Fourier Transform-FT). Joseph Fourier mengemukakan bahwa sebuah fungsi periodik dapat direpresentasikan dengan mengkombinasikan penjumlahan tak hingga dari fungsi sinus dan cosinus. Representasi fungsi inilah yang kemudian dikenal sebagai Deret Fourier. Beberapa tahun setelah penemuan ini, deret fourier dikembangkan menjadi bentuk yang lebih umum sehingga dapat diterapkan pada fungsi yang non-periodik, bentuk yang lebih umum ini yang kemudian dikenal sebagai Transformasi Fourier (FT). Sejak penemuan ini, transformasi fourier menjadi metoda yang sangat cocok untuk menganalisis fungsi atau sinyal, karena transformasi fourier dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke domain frekuensi. Biasanya sebuah fungsi digambarkan dalam domain waktu. Artinya yang diukur dari fungsi tersebut adalah waktu. Dengan kata lain, jika kita gambarkan fungsi tersebut pada sumbu simetri, maka sumbu x (sebagai variabel bebas) mewakili waktu, dan sumbu y (sebagai variabel tak bebas) mewakili nilai pada waktu t tertentu, atau nilai amplitudo-nya. Jika kita menggambar fungsi dalam domain waktu, maka kita akan memperoleh representasi waktu-amplitudo fungsi tersebut. Pada aplikasinya, representasi ini tidak selalu merupakan representasi terbaik. Pada banyak kasus, informasi khusus tersembunyi pada nilai frekuensinya. Spektrum frekuensi dari sebuah fungsi memperlihatkan frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut. Transformasi Fourier (Fourier Transform atau FT) dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke dalam domain frekuensi. Jika kita menerapkan FT pada sebuah fungsi dalam domain waktu, maka kita akan mendapatkan repesentasi frekuensi-amplitudo fungsi tersebut. Dengan transformasi fourier, sebuah fungsi dapat digambarkan dalam sumbu x yang menunjukkan spektrum frekuensi dan sumbu y menunjukkan amplitudo. Gambar FT menunjukkan berapa banyak frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut. Berikut ini adalah contoh dua buah fungsi stasioner periodik, yang tergabungkan (y1 + y2 = y) beserta gambar FT-nya:
Seringkali, informasi yang tidak dapat dilihat pada domain waktu, dapat dilihat pada domain frekuensi. Sebagai contoh dalam bidang medis dikenal sinyal ECG (ElectroCardioGraphy), yaitu catatan grafik aktivitas elektrik jantung. Bentuk khusus ECG orang yang sehat, dikenal betul oleh seorang ahli jantung. Sebuah penyimpangan yang berarti dari bentuk tersebut biasanya dianggap sebagai gejala adanya penyakit. Namun gejala adanya penyakit tidak selalu terlihat jelas pada sinyal ECG dalam domain waktu, terkadang penyakit dapat didiagnosa lebih mudah jika sinyal dianalisis dalam domain frekuensi. Pada ECG dapat memanfaatkan transformasi fourier tergantung yang diinginkan. Seperti telah disinggung sebelumnya bahwa tidak selalu suatu gejala kejanggalan pembacaan catatan grafik aktifitas elektrik jantung dapat teramati dengan baik dalam domain waktu. Sehingga diperlukan domain lain yang sesuai dan dapat memberikan informasi yang lebih akurat kepada pembaca. Domain lain yang dapat digunakan adalah domain frekuensi. Dan sebaliknya tidak semua gejala kejanggalan juga dapat dibaca pada domain ini. Sehingga antara doain waktu dan domain frekuensi akan saling melengkapi, tergantung dengan kebutuhan. Hal tersebut merupakan contoh sederhana dari kegunaan domain frekuensi. Transformasi fourier bersifat reversibel, yaitu suatu fungsi dapat ditransformasi ke dalam domain frekuensi (yang memuat informasi frekuensi amplitudo), dan di inversikan lagi ke domain waktu (yang memuat informasi waktu-amplitudo). Namun, kedua informasi tersebut tidak bisa didapatkan secara bersamaan. Representasi fungsi dalam domain frekuensi tidak memuat informasi waktu, demikian pula sebaliknya. Untuk fungsi-fungsi yang stasioner, yaitu fungsi yang nilai frekuensinya tidak berubah-ubah secara kontinu, informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan tidak diperlukan, karena di seluruh interval waktu, nilai komponen frekuensinya konstan. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
Suatu sinyal sering ditulis dengan huruf kecil dan transformasi fourier atau spektrumnya dengan huruf besar. Hubungan antara sinyal dan spektrumnya sering dituliskan dengan f(x) <–> F(w), dengan sinyal di sisi kiri dan spektrumnya di sisi kanan. Transformasi Fourier memiliki beberapa sifat yang menarik dan memudahkan untuk mengerti kenapa spektra dari sinyal tertentu punya bentuk tertentu, yaitu: 1. Linearity : f(x)+g) <--> F(w)+G(w) a*f(x) <--> a*F(w) artinya jika ada penambahan/pengurangan dua sinyal maka spektranya ditambahkan/dikurangkan juga dan jika amplitudo sinyalnya dinaikkan/diturunkan maka spektrumnya pun dinaikkan/diturunkan. 2. Scaling: f(a*x) <--> (1/a) * F(w/a) artinya jika dibuat fungsi yang lebih lebar dalam arah x maka spektrumnya akan menjadi lebih kecil dalam arah x dan ampiltudonya pun akan berubah. 3. Time Shifting : f(x-x0) <--> (exp(-i*w*x0)) * F(w) jika waktu digeser maka terjadi penggandaan Transformasi Fourier dengan eksponensial nilai imajiner, dengan demikian pergeseran waktu dalam amplitudo spektrum tidak terlihat perbedaannya yang terlihat hanya dalam phase. 4. Frequency Shifting (exp(-i*w0*x))*f(x)<-->F(w-w0) merupakan pasangan rangkap dari time shifting 5. Duality or Symmetry Jika f(x) <--> F(w) maka F(x) <--> f(-w) misalnya karena factor ini spektrum pulsa rectangular adalah fungsi sin dan pada saat yang sama spektrum fungsi sin adalah pulsa rectangular juga. 6. Symmetry Rules • Transformasi Fourier sinyal real dan genap adalah real dan genap juga (misal symetikal sinyal maka yang dicerminkan adalah sekitar sumbu y) • Transformasi Fourier sinyal real dan ganjil adalah real dan ganjil juga (ganjil mengartikan ketidaksimetrisan, dicerminkan disekitar titik pusat sumbu) • Transformasi Fourier sinyal real memiliki bagial real genap dan bagian imajiner ganjil serta amplitudo yang selalu simetris. • Transformasi Fourier sinyal imajiner murni adalah simetris ,tapi Transformasi Fourier sinyal kompleks tidak selalu simetris.
7. Teorema Konvolusi
Konvolusi adalah operasi antara dua fungsi yang terdefinisi sebagai integral, yang bisa dijelaskan sebagai berikut: Ambil 2 fungsi misal dua fungsi rectangle f1(x) dan f2(x). Jadikan salah satu fungsi pada posisi tetap.Lalu cerminkan fungsi yang kedua disekitar sumbu y. Kemudian geser fungsi kedua itu melewati suatu nilai u dimana u berasal dari -µsampai µ. Fungsi hasil dari konvolusi f1 dan f2 adalah g(u) dimana u adalah parameter. Untuk u tertentu, kalikan lalu geser dan cerminkan satu sama lain antara f1 dengan f2. Kemudian hitung area di bawah hasilnya dengan mengintegralkannya. Area ini adalah nilai g(u) untuk u tersebut. Untuk hasil yang menyeluruh langkah tadi perlu dilakukan pada setiap u. Sebagai contoh, terdapat dua fungsi rectangular yang dimulai saat u = -µ, g(u) adalah 0 karena dua tersebut tidak overlap dan perkaliannya akan menghasilkan nol fungsi dengan nol area. Ketika u bergerak ke kanan, g(u) akan terus tetap 0 sampai akhirnya dua fungsi rectangular tadi mulai bertampalan. Kemudian semakin bergerak ke kanan maka senakin besar area yang akan terbentuk sampai akhirnya mencapai nilai maksimum, jadi nilai g(u) semakin membesar. Lalu kedua fungsi rectangular itu semakin kurang bertampalan pada saat salah satunya bergerak semakin kekanan sehingga nilai g(u) akan berkurang dan berkurang lagi. Akhirnya g(u) mencapai nol lagi dan tetap sampai +µ. Hasil g(u) tersebut merupakan suatu fungsi segitiga.
Prosedur menemukan Discrete Transform dan Fourier Transform a. Rumus menemukan Fourier Transform
Euler: =
b. Rumus menemukan Diskret Transform
Discrete Fourier Transform Transformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah model transformasi fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT didefinisikan dengan :
N
F (k ) = ∑ f (n).e − j 2πknT / N n =1
DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak digunakan dalam pengolahan sinyal digital. Contoh : Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut : f(t)
0
1
2
t
3
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah : k=0
3
3
n =0
n =0
F (0) = ∑ f ( n).e − jn 0 = ∑ f ( n)
= 1 +1 + 1 + 1 = 4 3
F (1) = ∑ f ( n).e − j 2πn / 4 = k=1
n =0
3
∑ f (n).e
−0.5 jn π
=0
n =0
k=2 k=3
3
3
n =0 3
n =0 3
− j 4n / 4 = ∑ f (n).e − jnπ = 0 F ( 2) = ∑ f ( n).e
F (3) =
∑ f (n).e
− j 6 nn / 4
n =0
= ∑ f (n).e − j1.5 nπ = 0 n =0
Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimal setengah kali periode dari nilai fungsinya. Contoh : Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut : f(t)
2 1 0
1
2
3
0
1
2
3
t
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah : 7
7
n =0
n =0
F ( k ) = ∑ f ( n).e − j 2πnk / 8 = ∑ f ( n).e − jπnk / 8 Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah : k 0 1
F(k) 12 0
2 3 4 5 6 7
-2 – 2j 0 0 0 -2 + 2j 0
Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur real dan imaginer. Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur real dan imaginer sebagai berikut : k 0 1 2 3 4 5 6 7
Real{F(k)} 12 0 -2 0 0 0 -2 0
Im{F(k)} 0 0 -2 0 0 0 2 0
Dan dapat digambarkan sebagai berikut :
Bagian Real Bagian Imaginer Gambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :
( Re { f (k )}) 2 + ( Im{ f (k )}) 2
Magnitude :
F (k ) =
Phase :
Arg { F (k )} =
Im{ F ( k )} Re { F ( k )}
Magnitude Phase Gambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah: k
F(k)
K
F(k)
0 1 2 3 4 5 6 7
12 0 -2 – 2j 0 0 0 -2 + 2j 0
8 9 10 11 12 13 14 15
12 0 -2 – 2j 0 0 0 -2 + 2j 0
Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang mengakibatkan terjadinya periodik. Ini sebagai akibat dari adanya unsur radial 2 dalam bentuk transformasi fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2 periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform).
