Deret Fourier - awal

Deret Fourier  pada abad 18 digunakan sebagai solusi dasar dari persamaan gelombang klasik. Deret Fourier sendiri penjumlahan deret sinus dan cosinus yang bernilai konvergen. Deret fourier dapat mendiskripsikan suatu fungsi yang tida kontinyu di semua titik dan atau fungsi yang tidak dapat diturunkan. Deret Fourier dapat menggambarkan fungsi masukan yang periodik seperti pada vibrasi, hamburan cahaya karena difraksi dan transmisi masukan sinyal elektronik. Syarat suatu fungsi supaya dapat dirubah ke dalam deret Fourier harus mengikuti aturan Dirichlet, yaitu : 1. Fungsi tersebut harus periodik 2. Harus bernilai tunggal dan kontinyu, kecuali bilangan tertentu dari fungsi diskontinyu 3. Harus memiliki sebuah bilangan bernilai maksimum dan minimum dengan satu periode 4. Integral dalam satu periode harus konvergen Contoh grafik deret Fourier seperti pada Gambar 1.

Gambar 1 Fungsi yang menggambarkan deret Fourier  Bentuk umum dari deret Fourier seperti pada Persamaan 1.

   ∞            −  =

0

2

+

=1

+

... (1)

Fungsi f(t) bernilai konvergen dalam interval [ -L,L] fungsi periodik dasar pada n=1, kemudian mempunyai nilai harmonik dengan frekuensi kelipatan integer. Konstanta , dapat dicari dengan persamaan 2,3 dan 4. 0, 0

=

1

... (2)

  −      −    =

=

1

... (3)

1

... (4)

Secara umum nilai koefisien tersebut dapat dicari dengan interval [ τ, τ+2L] dengan t sembarang bilangan real dan 2L adalah periode dari fungsi. Contoh soal 1. Tentukan deret Fourier dari fungsi

   −≤    ={

Jawab :

0, ,

<

0

<0 <

   −       −    −               −    −                        − −           −      −    −                  −   −  −          ∞ −  −     −          =

0

=

dan =

1

maka

=

0

1

+

=

1

0

=

1

=

=

0

2

0

1

+

=

1

0

=

=

1

sin

+

cos

0

2

1

=

1

=

cos

1

2

0

1

=

1

2

0

+

=

0

=

1

cos

+

sin (

)

0

2

cos

=

=

1

0

+1

Dengan demikian deret Fourier yang didapatkan adalah =

4

1

+

1

2

=1

cos

+

1

+1

sin

1