Cours Math Fonctions

‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺗﻘﻌﺮ ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ‪ --‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬ ‫‪1-1‬ﺗﻌــﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﻣﺤﺪب إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ‬

‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‬

‫‪ (C f‬ﻣﻘﻌﺮ إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ‬

‫ﻣﻘﻌﺮ‬

‫ﻣﺤﺪب‬ ‫‪ 2-1‬ﺗﻌـــﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘـــﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ I‬و ‪. x0 ∈ I‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻧﻘﻮل ان اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A x0 ; f ( x0‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬

‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬اذا ﺗﻐﻴﺮ ﺗﻘﻌﺮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ‪A‬‬

‫‪ 3-1‬ﺧـــﺎﺻﻴﺎت‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ اﻻﺷﺘــــــــﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫* إذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻓﺎن ) ‪ (C f‬ﻳﻜﻮن ﻣﺤﺪﺑﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫* إذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻓﺎن‬ ‫*‬

‫)‬

‫‪ (C f‬ﻳﻜﻮن ﻣﻘﻌﺮا ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫اذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﺗـﻨﻌﺪم ﻓﻲ ‪ x0‬ﻣﻦ اﻟــﻤﺠﺎل ‪ I‬وآﺎن ﻳـﻮﺟﺪ ‪ α ∈ *+‬ﺑﺤﻴﺚ إﺷﺎرة " ‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪[x0, x0 +α‬‬ ‫ﻣﺨﺎﻟـﻔﺔ ﻹﺷﺎرة " ‪ f‬ﻋﻠﻰ ] ‪ ]x0 −α,x0‬ﻓﺎن ) ) ‪ M 0 ( x 0 ; f ( x 0‬ﻧﻘـﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪(C f‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈــــــــﺔ ﻗﺪ ﻻ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ وﻳﻜﻮن ﻣﻊ ذﻟﻚ ﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻬﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪f ( x ) = x3 − 3 x 2 + x + 1‬‬

‫و‬

‫‪1 − 2x‬‬

‫‪2‬‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫‪x −x−2‬‬ ‫‪ -1‬أدرس ﺗﻘﻌﺮ ‪ C f‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪ 1‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬

‫‪ - 2‬أدرس ﺗﻘﻌﺮ ‪ C g‬و ﺣﺪد ﻧﻘﻂ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪Cg‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬـــــﺎﺋﻴﺔ‬ ‫‪ 1-2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫إذا ﺁﻟﺖ إﺣﺪى إﺣﺪاﺛــــﻴﺘﻲ ﻧﻘـﻄﺔ ﻣﻦ ‪ C‬ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ إﻟﻰ اﻟﻼﻧﻬﺎﻳﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن ‪ C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﻻﻧﻬﺎﺋﻴﺎ‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 2-2‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎرب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫أ‪ -‬اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫إذا آﺎن ∞‪ lim f ( x ) = ±‬أو ∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫‪x→ a−‬‬

‫‪x→ a+‬‬

‫ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪x = a‬‬

‫ﻣﻘﺎرب ل ‪Cf‬‬

‫‪2x + 1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪x −1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞‪ lim+ f ( x ) = +‬و ∞‪ lim− f ( x ) = −‬و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x = 1‬ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫‪x →1‬‬

‫‪x →1‬‬

‫ب‪ -‬اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫‪C‬‬ ‫ل‬ ‫ﻣﻘﺎرب‬ ‫‪y‬‬ ‫‪=b‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ذا‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻓﺎن‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪. f‬‬ ‫) (‬ ‫∞‪x→±‬‬

‫‪2x + 1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪x −1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ lim f ( x ) = 2‬و ‪lim f ( x ) = 2‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = 2‬ﻣﻘﺎرب‬ ‫أﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪2‬‬

‫ج‪ -‬اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﻞ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y =ax + b‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ Cf‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪lim ( f ( x) − (ax + b)) = 0‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫أو ‪lim ( f ( x) − (ax + b)) = 0‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫ﺧﺎ ﺻﻴﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y =ax + b‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ Cf‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ ‪ h‬ﺣﻴﺚ ﻳﻜﻮن‬ ‫) ‪ f ( x ) = ax + b + h ( x‬و ) ‪ lim h ( x ) = 0‬أو ‪( lim h ( x ) = 0‬‬ ‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪2‬‬

‫‪x − 3x + 1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪f ( x) = x − 2 −‬‬ ‫}‪∀x ∈ − {1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ lim‬وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x − 2‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ) ﺑﺠﻮار ∞‪( +‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x →+∞ x − 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ lim‬وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x − 2‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ) ﺑﺠﻮار ∞‪( −‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x →−∞ x − 1‬‬ ‫ﻓﻲ آﺜﻴﺮ ﻣﻦ اﻷﺣﻴﺎن ﻳﺼﻌﺐ آﺘﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) ‪ f ( x ) = ax + b + h ( x‬ﺣﻴﺚ ‪lim h ( x ) = 0‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﺗﻘﻨﻴﺔ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ‬

‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ) ‪ f ( x ) = ax + b + h ( x‬و ‪lim h ( x ) = 0‬‬

‫)‪f ( x‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪b 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= lim  a + + h ( x )  = a‬‬ ‫‪x→+∞ x‬‬ ‫‪x→+∞ ‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪  lim ( f ( x ) − ax ) = b ; lim‬ﻓﺎن ‪lim ( f ( x) − (ax + b)) = 0‬‬ ‫ﻋﻜﺴﻴﺎ إذا آﺎن ‪= a ‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪ x→+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬

‫‪( f ( x ) − ax ) = xlim‬‬ ‫و ‪(b + h ( x )) = b‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪lim‬‬

‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = ax + b‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ Cf‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪‬‬ ‫‪= a‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫‪‬‬ ‫; ‪( f ( x ) − ax ) = b‬‬ ‫‪ xlim‬‬ ‫∞‪→+‬‬ ‫‪‬‬

‫أو‬

‫‪‬‬ ‫‪= a‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫‪‬‬ ‫; ‪( f ( x ) − ax ) = b‬‬ ‫‪ xlim‬‬ ‫∞‪→−‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ دراﺳﺔ إﺷﺎرة ) )‪ ( f (x) – (ax + b‬ﺗﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ وﺿﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﻞ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪f ( x ) = 4 x2 + x − 2‬‬

‫ﺣﺪد اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﻞ ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬ﺛﻢ ﺑﺠﻮار ∞‪−‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -3 -2‬اﻻﺗﺠﺎهﺎت اﻟﻤﻘﺎرﺑﺔ‬ ‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫∞‪= ±‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫أ – إذا آﺎن ∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫اﻷراﺗﻴﺐ‪.‬‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫ب ‪ -‬إذا آﺎن ∞‪lim f ( x ) = ±‬‬ ‫اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫ج ‪ -‬إذا آﺎن ∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫إذا‬

‫آﺎن‬

‫ﻧﻘﻮل إن ) ‪(C f‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﻧﻘﻮل إن ) ‪(C f‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮر‬

‫و ∞‪lim f ( x) − ax = ±‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﻧﻘﻮل إن ) ‪ (C f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ‬

‫‪y= ax‬‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫‪ lim‬ﻧﻘﻮل إن ) ‪(C f‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪ y= ax‬آﺎﺗﺠﺎﻩ ﻣﻘﺎرب‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ﻣﺮآﺰ ﺛﻤﺎﺛﻞ – ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬ ‫‪ 1 -3‬ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬ ‫اذا آﺎن ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x = a‬آﻤﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬

‫) (‬

‫ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻰ أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (‬

‫‪ C f‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( Ω; i ; j‬ﺣﻴﺚ ) ‪Ω ( a;0‬‬

‫‪X = x − a‬‬ ‫هﻲ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) ‪ Y = f ( a + X ) = ϕ ( X‬ﺣﻴﺚ ‪ ϕ‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ و‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Y=y‬‬ ‫‪∀X ∈ Dϕ‬‬ ‫أي أن ) ‪ϕ ( − X ) = ϕ ( X‬‬ ‫أي ) ‪f ( a − X ) = f ( a + X‬‬

‫‪∀X ∈ Dϕ‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪ X = x − a‬ﻓﺎن ) ‪f ( 2a − x ) = f ( x‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ‪ ,‬ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪x = a‬‬

‫)‪f (2a − x) = f ( x‬‬

‫;‬

‫‪( 2a − x ) ∈ D f‬‬

‫ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ‪ f‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫‪ 2-3‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ‬ ‫اذا آﺎن ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ Ω ( a; b‬آﻤﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ‬

‫) (‬

‫ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻰ أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) (‬

‫‪ C f‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ‬

‫) ‪( Ω; i ; j‬‬

‫هﻲ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) ‪Y + b = f ( a + X‬‬ ‫أي ) ‪Y = f ( a + X ) − b = ϕ ( X‬‬

‫‪X = x − a‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ ϕ‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ و‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y = y − b‬‬

‫أي أن ) ‪ϕ ( − X ) = −ϕ ( X‬‬

‫‪∀X ∈ Dϕ‬‬

‫أي ‪f ( a − X ) − b = − f ( a + X ) + b‬‬ ‫أي ) ‪f ( a − X ) = 2b − f ( a + X‬‬

‫‪∀X ∈ Dϕ‬‬ ‫‪∀X ∈ Dϕ‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪ X = x − a‬ﻓﺎن ) ‪f ( 2a − x ) = 2b − f ( x‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺎ‪,‬ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫)‪f (2a − x) = 2b − f ( x‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫) ‪ Ω ( a; b‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫;‬

‫‪( 2a − x ) ∈ D f‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪4‬‬

‫‪f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 (1‬‬

‫‪x2 − 2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x −1‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ( D ) : x = 1‬ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫) ‪ Ω (1; 2‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬

‫‪ -4‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪورﻳﺔ‬ ‫‪ 1-4‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل أن ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ T‬ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﺑﺤﻴﺚ‬

‫‪x −T ∈ Df‬‬

‫) ‪f (x + T ) = f (x‬‬

‫; ‪x +T ∈ Df‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫اﻟﻌﺪد ‪ T‬ﻳﺴﻤﻰ دور اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬اﺻﻐﺮ دور ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﻳﺴﻤﻰ دور اﻟﺪاﻟﺔ‪f‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫* اﻟﺪاﻟﺘﺎن ‪ x → cos x‬و ‪ x → sin x‬دورﻳﺘﺎن و دورهﻤﺎ ‪2π‬‬ ‫* اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → tan x‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪π‬‬

‫‪2π‬‬ ‫* اﻟﺪاﻟﺘﺎن ‪ x → cos ax‬و ‪) x → sin ax‬ﺣﻴﺚ ‪ ( a ≠ 0‬دورﻳﺘﺎن و دورهﻤﺎ‬ ‫‪a‬‬

‫* اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ) x → tan ax‬ﺣﻴﺚ ‪ ( a ≠ 0‬دورﻳﺔ دورهﺎ‬

‫‪π‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﺣﺪد دورا ﻟﻠﺪوال ‪x → cos x − sin x‬‬ ‫‪ 2 -4‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬دور ‪ T‬ﻓﺎن‬

‫‪1‬‬ ‫و ‪ x → 3 − cos x‬و ‪ x → tan 3 x‬و ‪x → cos 2 x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∈ ‪∀x ∈ D f , ∀n‬‬

‫)‪f ( x + nT ) = f ( x‬‬

‫) ﻧﺒﻴﻦ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺑﺎﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ(‬ ‫‪ 3-4‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ دورﻳﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪ T‬و ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب ال ﻣﻌﻠﻢ‬

‫) (‬

‫) ‪( O; i ; j‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟــﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪ D f ∩ [ x0 + nT ; x0 + (n + 1)T‬هـﻮ ﺻﻮرة ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ [ ‪ D f ∩[x0, x0 +T‬ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻹزاﺣﺔ‬ ‫ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ nT ⋅ i‬ﺣﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴـﺒﻲ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪:‬‬ ‫ﻹﻧﺸﺎء ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ دورﻳﺔ ﻳﻜﻔﻲ إﻧﺸﺎﺋﻪ ﺟﺰﺋﻪ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﻧﻮع [ ‪I0 = D f ∩ [ x0 , x0 + T‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻹزاﺣﺔ ‪tTni‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫* داﻟﺔ ‪ x → cos x‬دورﻳﺔ ودورهﺎ ‪ 2π‬إذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪]−π ; π‬‬ ‫و ﺣﻴﺚ أن ‪x → cos x‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬

‫زوﺟﻴﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪[0; π‬‬ ‫‪( cos x ) ' = − sin x‬‬ ‫‪π‬‬

‫] ‪∀x ∈ [ 0; π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪cos x‬‬

‫داﻟﺔ ‪ x → sin x‬دورﻳﺔ ودورهﺎ ‪ 2π‬إذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫و ﺣﻴﺚ أن ‪x → sin x‬‬

‫ﻓﺮدﻳﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪[0; π‬‬ ‫‪( sin x ) ' = cos x‬‬

‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬

‫‪π‬‬

‫‪π‬‬

‫] ‪]−π ; π‬‬ ‫] ‪∀x ∈ [ 0; π‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪sin x‬‬

‫‪ −π π ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫** داﻟﺔ ‪ x → tan x‬ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪ −  2 + kπ / k ∈ ‬و دورﻳﺔ ودورهﺎ ‪ π‬إذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 2 ; 2 ‬‬ ‫‪ π‬‬ ‫و ﺣﻴﺚ أن ‪ x → tan x‬ﻓﺮدﻳﺔ زوﺟﻴﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 0; 2 ‬‬

‫‪( tan x ) ' = 1 + tan 2 x‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬

‫‪π‬‬

‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪tan x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ π‬‬ ‫‪∀x ∈ 0; ‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫ﺗﺼﻤﻴﻢ دراﺳﺔ داﻟﺔ‬ ‫ﻟﺪراﺳﺔ داﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻏﺎﻟﺐ اﻷﺣﻴﺎن ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫• ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺛﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪراﺳﺔ )ﺧﺎﺻﺔ إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬زوﺟﻴﺔ أو ﻓﺮدﻳﺔ أو دورﻳﺔ(‬ ‫• دراﺳﺔ اﻻﺗﺼﺎل و اﻻﺷﺘﻘﺎق و ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق و دراﺳﺔ إﺷﺎرﺗﻬﺎ‬ ‫• وﺿﻊ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬ ‫• دراﺳﺔ اﻟﻔﺮوع اﻻﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‬ ‫• دراﺳﺔ اﻟﺘﻘﻌﺮ ان آﺎن ذﻟﻚ ﺿﺮورﻳﺎ و ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻘﻂ اﻧﻌﻄﺎف إن وﺟﺪت‬ ‫• إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫أدرس وﻣﺜﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫‪1‬‬ ‫‪x−2‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪a) : f ( x ) = x − 3 +‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x +1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪c) : f ( x ) = cos x + cos 2 x‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ) ‪b) : f ( x‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ و ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‪:‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪( O; i ; j‬‬

‫‪f ( x) = x − 1 +‬‬

‫) (‬

‫‪ -1‬أ( ﺣﺪد ‪D f‬‬ ‫ب( ﺣﺪد‬

‫)‪(x‬‬

‫‪ lim‬و ) ‪lim f ( x‬‬

‫‪f‬‬

‫∞‪x → −‬‬

‫∞‪x→ +‬‬

‫ج( ﺣﺪد ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪ lim f ( x‬و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬ ‫‪x → 2+‬‬

‫‪ -2‬أ( ﺑﻴﻦ أن‬

‫)‪( x − 1)( x − 3‬‬ ‫‪( x − 2 )2‬‬

‫‪x → 2−‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫ب( أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬

‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (‬

‫‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪0‬‬

‫‪ -4‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫)‪ A ( 2;1‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬

‫‪ -5‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y = x − 1‬‬

‫‪ -6‬أﻧﺸﺊ ) ‪( C f‬‬

‫ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (‬

‫‪ C f‬ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬و ∞‪−‬‬

‫اﻟﺠﻮاب‬

‫‪1‬‬ ‫‪x−2‬‬

‫‪f ( x) = x −1 +‬‬

‫أ( ﻧﺤﺪد ‪D f‬‬ ‫}‪− {2‬‬ ‫ب( ﻧﺤﺪد‬

‫= ‪Df‬‬

‫)‪(x‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ lim‬و ) ‪lim f ( x‬‬

‫∞‪x → −‬‬

‫∞‪x→ +‬‬

‫‪1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫∞‪x→ +‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫ج( ﺣﺪد ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪ lim f ( x‬و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬ ‫‪lim x − 1 +‬‬

‫‪x → 2+‬‬

‫‪1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪x−2‬‬

‫= )‪(x‬‬

‫‪f‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪1‬‬ ‫و ∞‪= −‬‬ ‫‪x−2‬‬

‫‪lim x − 1 +‬‬

‫∞‪x→ −‬‬

‫= )‪(x‬‬

‫‪f‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→ −‬‬

‫‪x → 2−‬‬

‫‪lim x − 1 +‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪x→ 2‬‬

‫= )‪(x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ lim f‬و ∞ ‪= −‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x→ 2+‬‬

‫‪7‬‬

‫‪lim x − 1 +‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪x→ 2‬‬

‫= )‪(x‬‬

‫‪lim f‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪x→ 2‬‬

‫وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x = 2‬ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬ ‫‪ -2‬أ( ﻧﺒﻴﻦ أن‬

‫)‪( x − 1)( x − 3‬‬ ‫‪( x − 2 )2‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ }‪− {2‬‬

‫‪f ( x) = x −1 +‬‬

‫}‪− {2‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫)ﻷن ‪ f‬داﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ(‬

‫)‪( x − 2 )2 − 1 ( x − 3)( x − 1‬‬ ‫‪f '( x) = 1 −‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪( x − 2 )2 ( x − 2 )2‬‬ ‫‪( x − 2 )2‬‬ ‫‪1‬‬

‫}‪− {2‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫ب( ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬ ‫إﺷﺎرة ) ‪ f ' ( x‬هﻲ إﺷﺎرة‬

‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬

‫)‪( x − 3)( x − 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬

‫∞‪+‬‬

‫∞‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-1‬‬

‫∞‪−‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f '( x‬‬

‫‪f‬‬ ‫∞‪−‬‬

‫‪ -3‬ﻧﺤﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) (‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪ 0‬هﻲ ) ‪y = f ' ( 0 ) x + f ( 0‬‬ ‫‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻷﻓﺼﻮل ‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أي هﻲ ‪y = − x −‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -4‬ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A ( 2;1‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫}‪− {2‬‬

‫∈‪4− x‬‬

‫}‪− {2‬‬

‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪2− x‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ) ‪f ( 4 − x ) = 2 − f ( x‬‬

‫‪f (4 − x) = 3 − x +‬‬

‫) ‪(C f‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪= 3− x +‬‬ ‫‪2−x‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫إذن )‪ A ( 2;1‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪ -5‬ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y = x − 1‬‬

‫‪2 − f ( x) = 2 − x + 1 −‬‬

‫) ‪(C f‬‬ ‫ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬و ∞‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim f ( x ) − ( x − 1) = lim‬‬ ‫; ‪=0‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x→−∞ x − 2‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→+∞ x − 2‬‬ ‫إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x − 1‬ﻣﻘﺎرب ﻣﺎﺋﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﺑﺠﻮار ∞‪ +‬و ∞‪−‬‬

‫‪lim f ( x ) − ( x − 1) = lim‬‬

‫) (‬

‫‪ -6‬ﻧﻨﺸﺊ ) ‪( C f‬‬

‫‪8‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫‪1 − 2x‬‬

‫‪x2 − x − 2‬‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ‪ D f‬و ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪D f‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ) ‪ f ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬

‫‪ -3‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -4‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ‪ I  ;1‬آﻨﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‪.‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ I  ;1‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟـ ‪C f‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫د‪ -‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪I‬‬ ‫‪ -5‬أ‪ -‬أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‬ ‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬ ‫اﻟﺠﻮاب‬

‫‪1 − 2x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f ( x) = 1 +‬‬

‫‪x −x−2‬‬ ‫‪ -2‬ﻧﺤﺪد ‪ D f‬و ﻧﺤﺪد ﻧﻬﺎﻳﺎت ‪ f‬ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺪات ‪D f‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫∈‪x‬‬

‫‪9‬‬

‫‪f ( x) = 1 +‬‬

x ∈ D f ⇔ x 2 − x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1

x≠2

et

D f = ]−∞; −1[ ∪ ]−1;1[ ∪ ]1; +∞[ ‫إذن‬

x

1 − 2x

lim

±∞

2

x −x−2

= lim

−2 x

±∞

x

x

2

x

2

−

x

x

2

-1 0

+

lim f ( x ) = lim 1 + −

−2 1 − 2x = 0 ‫ ﻷن‬lim f ( x ) = lim 1 + 2 =1 ±∞ x x ±∞ x ±∞ x −x−2 lim 1 − 2 x = −3 lim x 2 − x − 2 = 0 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

= lim

x

−∞

x f ( x)

x

2

1 − 2x 2

x −x−2

2 0

-

x

2

x

2

x

lim f ( x ) = lim 1 + −

−1

x

−

−1

1 − 2x 2

−1

x −x−2

x

= +∞ ‫ و‬lim f ( x ) = lim 1 + x

+

−1

x

1 − 2x

= −∞ ‫وﻣﻨﻪ‬ x −x−2 lim x 2 − x − 2 = 0 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

+

lim 1 − 2 x = 3

x

+∞

+

= +∞ ‫ و‬lim f ( x ) = lim 1 + +

2

+

−1

2

−1

1 − 2x 2

x −x−2

= −∞ ‫وﻣﻨﻪ‬

D f ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬f ' ( x ) ‫ ﻧﺤﺪد‬-2

f '( x) =

f '( x) =

(1 − 2 x ) ' ( x 2 − x − 2 ) − ( x 2 − x − 2 ) ' (1 − 2 x )

(

)

(x

−∞ 1

−x−2

)

2

−2 x 2 − x − 2 − ( 2 x − 1)(1 − 2 x )

(x

2

−x−2

)

2

f '( x) =

−2 x 2 + 2 x + 4 + 4 x 2 − 4 x + 1

f '( x) =

2 x2 − 2 x + 5

(x (x

2

2

−x−2

∀x ∈ D f

x f '( x ) f

2

−x−2

)

)

2

2

f '( x) =

f ‫ ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات‬-3 2 x2 − 2 x + 5

(x

2

−x−2

)

2

2 x 2 − 2 x + 5 ‫ هﻲ إﺷﺎرة‬f ' ( x ) ‫إﺷﺎرة‬ ∆ = 4 − 40 = −36 ∀x ∈ 2 x 2 − 2 x + 5 0 ‫اذن‬ f ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬ -1

2

+

+

+∞

−∞

+

+∞

+∞

1

−∞ 1  2 

.‫ آﻨﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬I  ;1 ‫ ﻳﻘﺒﻞ‬C f ‫ ﻧﺒﻴﻦ أن‬-‫ أ‬-4

10

‫)‬

‫(‬

‫‪−2 ( 2 x − 1) x 2 − x + 7‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫‪−x−2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x‬‬

‫= ) ‪f '' ( x‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪ f " ( x‬ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫ب‪ -‬ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ I  ;1‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟـ ‪C f‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪∀x ∈ D f‬‬ ‫‪1− x ∈ Df‬‬

‫ﻣﻊ ﺗﻐﻴﻴﺮ اﻹﺷﺎرة إذن‬

‫‪1 − 2x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x −x−2‬‬

‫‪= 1−‬‬

‫‪1 − 2x‬‬ ‫‪x2 − x − 2‬‬

‫) ‪1 − 2 (1 − x‬‬ ‫‪− (1 − x ) − 2‬‬ ‫‪= 1−‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪(1 − x‬‬

‫‪1 − 2x‬‬ ‫‪x2 − x − 2‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫‪ C f‬ﻳﻘﺒﻞ ‪ I  ;1‬آﻨﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬

‫‪f (1 − x ) = 1 +‬‬

‫‪2 − f ( x) = 2 −1 −‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫إذن ) ‪ f (1 − x ) = 2 − f ( x‬وﻣﻨﻪ ‪ I  ;1‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟـ ‪C f‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫د‪ -‬ﻧﺤﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪I‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬هﻲ ‪y = f '    x −  + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أي ‪ y =  x −  + 1‬وﻣﻨﻪ ‪y = x +‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -5‬أ‪ -‬ﻧﺪرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ lim f ( x ) = 1‬وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = 1‬ﻣﻘﺎرب أﻓﻘﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬ ‫∞‪±‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ وﻣﻨﻪ ∞‪ lim f ( x ) = −‬و ∞‪ lim f ( x ) = +‬وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x = 2‬ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬ ‫‪2+‬‬

‫‪2−‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞‪ lim f ( x ) = −‬و ∞‪ lim f ( x ) = +‬وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x = −1‬ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬ ‫‪−1+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪−1−‬‬

‫‪x‬‬

‫ب‪ -‬ﻧﻨﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬

‫‪11‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬

‫‪1 + cos x‬‬ ‫‪1 − cos x‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ‪ D f‬و ) ‪lim f ( x‬‬

‫= ) ‪f (x‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪ -2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ و ﺣﺪد دورهﺎ‬ ‫ب ﺗﺄآﺪ أن ‪ f‬زوﺟﻴﺔ اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪ DE‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ دراﺳﺔ ‪f‬‬

‫‪DE‬‬

‫‪ -3‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪ -4‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬ ‫اﻟﺠﻮاب‬

‫‪1 + cos x‬‬ ‫‪1 − cos x‬‬

‫‪ -5‬ﻧﺤﺪد ‪ D f‬و ) ‪lim f ( x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫∈‪/k‬‬ ‫اذن‬

‫}‬

‫∈‪x‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x ∈ D f ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ 2kπ‬‬

‫∈ ‪− {2 k π / k‬‬

‫= ‪Df‬‬

‫‪ -6‬أ‪ -‬ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ و ﺣﺪد دورهﺎ‬

‫}‬

‫= ) ‪f (x‬‬

‫∈ ‪− {2 k π / k‬‬

‫∈ ‪x − 2π‬‬

‫‪1 + cos x‬‬ ‫)‪= f ( x‬‬ ‫‪1 − cos x‬‬

‫=‬

‫}‬

‫∈ ‪− {2 k π / k‬‬

‫) ‪1 + cos ( x + 2π‬‬ ‫) ‪1 − cos ( x + 2‬‬

‫}‬

‫∈ ‪2π + x‬‬

‫= ) ‪f ( x + 2π‬‬

‫∈ ‪− {2 k π / k‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫اذن ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ و ﺣﺪد دورهﺎ ‪2π‬‬

‫ب‪ -‬ﻧﺘﺄآﺪ أن ‪ f‬زوﺟﻴﺔ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ DE‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ دراﺳﺔ ‪f‬‬

‫}‬

‫∈ ‪− {2 k π / k‬‬

‫‪1 + cos x‬‬ ‫)‪= f ( x‬‬ ‫‪1 − cos x‬‬ ‫‪ -7‬ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬

‫∈ ‪−x‬‬

‫=‬

‫}‬

‫∈ ‪− {2 k π / k‬‬

‫) ‪1 + cos ( − x‬‬ ‫) ‪1 − cos ( − x‬‬

‫= )‪f (−x‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬ ‫إذن ‪ f‬زوﺟﻴﺔ‬

‫‪DE‬‬

‫‪( − sin x )(1 − cos x ) − (1 + cos x ) sin x‬‬ ‫‪−2sin x‬‬ ‫=‬ ‫‪(1 − cos x )2‬‬ ‫‪(1 − cos x )2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫وﻣﻨﻪ ] ‪DE = ]0; π‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪f '( x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬

‫‪ -8‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬

‫‪12‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫] ‪∀x ∈ ]0; π‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬

‫‪1 − cos x‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‪:‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪( O; i ; j‬‬

‫) (‬

‫‪ -1‬أ( ﺣﺪد ‪D f‬‬ ‫ب( ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‬ ‫د( ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪2π‬‬ ‫ج( ﺑﻴﻦ ‪ lim f ( x ) = 0‬ﺛﻢ ﺣﺪد ) ‪ lim f ( x‬ﻣﻊ ﺗﺄوﻳﻞ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬ ‫‪x →π −‬‬

‫‪x →0 +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬أ( ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪1 + cos x‬‬ ‫ب( أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪ ]0; π‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬ ‫[ ‪∀x ∈ ]0; π‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫‪ -3‬أ( ﺣﺪد ﺗﻘﻌﺮ ) ‪( C f‬‬ ‫ب( أﻧﺸﺊ ) ‪( C f‬‬

‫اﻟﺠﻮاب‬

‫‪1 − cos x‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪sin x‬‬

‫‪ -2‬أ( ﻧﺤﺪد ‪D f‬‬

‫}‬

‫∈ ‪− {k π / k‬‬

‫= ‪Df‬‬

‫ب( ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫}‬

‫∈ ‪− {k π / k‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫‪:‬‬

‫}‬

‫∈ ‪− {k π / k‬‬

‫∈ ‪−x‬‬

‫‪1 − cos x‬‬ ‫‪1 − cos x‬‬ ‫=‪=−‬‬ ‫)‪= − f ( x‬‬ ‫‪− sin x‬‬ ‫‪sin x‬‬

‫=‬

‫) ‪1 − cos ( − x‬‬ ‫) ‪sin ( − x‬‬

‫= )‪f (−x‬‬

‫إذن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‬ ‫د( ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ f‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪2π‬‬

‫}‬

‫∈ ‪− {k π / k‬‬

‫}‬

‫∈ ‪x + 2π‬‬

‫) ‪1 − cos ( x + 2π‬‬

‫∈ ‪− {k π / k‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫‪1 − cos x‬‬ ‫)‪= f ( x‬‬ ‫) ‪sin ( x + 2π‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪ f‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪2π‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪ :‬ﺑﻤﺎ أن ‪ f‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪ 2π‬و ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ ﻓﺎن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪراﺳﺔ هﻲ [ ‪DE = ]0; π‬‬ ‫=‬

‫= ) ‪f ( x + 2π‬‬

‫ج( ﻧﺒﻴﻦ ‪ lim f ( x ) = 0‬ﺛﻢ ﻧﺤﺪد ) ‪ lim f ( x‬ﻣﻊ ﺗﺄوﻳﻞ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬ ‫‪x →0 +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪= 0× 2 = 0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x →π −‬‬

‫‪1 − cos x‬‬ ‫‪1 − cos x‬‬ ‫‪= lim x x‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪x →0 +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪1 − cos x‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪x →π −‬‬ ‫‪x→π − sin x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬أ( ﻧﺒﻴﻦ أن‬ ‫= ) ‪∀x ∈ ]0; π [ f ' ( x‬‬ ‫‪1 + cos x‬‬ ‫‪sin 2 x − (1 − cos x ) cos x 1 − cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f '( x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪sin 2 x‬‬ ‫‪1 − cos 2 x 1 + cos x‬‬ ‫ب( ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪ ]0; π‬و ﻧﻌﻄﻲ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ‬

‫‪ lim f ( x ) = lim‬وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪13‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪ x = π‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬ ‫[ ‪∀x ∈ ]0; π‬‬

‫)‪f '( x‬‬

‫‪0‬‬

‫[ ‪ ∀x ∈ ]0; π‬ﻷن ‪0‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪∀x ∈ ]0; π [ 1 + cos x‬‬

‫[ ‪]0; π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪0‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ -3‬أ( ﻧﺤﺪد ﺗﻘﻌﺮ ) ‪( C f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪1 + cos x‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫= ) ‪f '' ( x‬‬ ‫‪(1 + cos x )2‬‬

‫‪f‬‬

‫[ ‪∀x ∈ ]0; π‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫[ ‪∀x ∈ ]0; π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬

‫إذن ) (‬

‫‪ C f‬ﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ [ ‪ ]0; π‬و ﺣﻴﺚ ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ ﻓﺎن‬

‫) (‬

‫[ ‪ ]−π + 2kπ ; 2kπ‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪x‬‬ ‫) ‪f "( x‬‬

‫) ‪ ( C f‬ﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ [‪]−π ;0‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪ f‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪ 2π‬ﻓﺎن ‪ C f‬ﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﺷﻜﻞ‬

‫ب(‬

‫‪x‬‬

‫∈‪k‬‬

‫ﻧﻨﺸﺊ ) ‪( C f‬‬

‫‪14‬‬

‫[ ‪]2 k π ; π + 2 k π‬‬

‫و ﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻟﻠﻌﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ‬ ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ و ﺣﻠﻮل‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫‪x ≤1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ f ( x ) = x − 1 − x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f ( x) = x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -1‬أ( أدرس اﺗﺼﺎل ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ 1‬و ‪-1‬‬ ‫ب( أدرس اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪1‬و ‪ -1‬و أول اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬ ‫‪ -2‬أ( أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪ ]−1;1‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪]−∞; −1[ ∪ ]1; +‬‬

‫ب( أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬ ‫‪ -3‬أدرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ ‪ C f‬ﺛﻢ اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟـ ‪ C f‬و ﻣﻘﺎرﺑﻪ‪.‬‬ ‫‪ -5‬أدرس ﺗﻘﻌﺮ ‪C f‬‬

‫‪ -6‬أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬ ‫اﻟﺠﻮاب‬

‫‪x ≤1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ f ( x ) = x − 1 − x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f ( x) = x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -4‬أ( ﻧﺪرس اﺗﺼﺎل ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ 1‬و ‪-1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+ 2‬‬ ‫‪ lim f ( x ) = lim x − 1 − x 2 = 1‬و ‪= 1‬‬ ‫‪x→1 2‬‬ ‫‪x→1−‬‬ ‫‪x→1−‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ )‪ lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1‬اذن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪1‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x→1‬‬

‫‪x →1+‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim x − 1 − x 2 = −1‬‬ ‫‪x→−1+‬‬

‫‪x→−1+‬‬

‫‪x→−1−‬‬

‫‪x →−1+‬‬

‫وﻣﻨﻪ )‪lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( −1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+ 2‬‬ ‫و ‪= −1‬‬ ‫‪x→−1 2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫اذن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪-1‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪x→−1‬‬

‫ب( ﻧﺪرس اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪1‬و ‪ -1‬و ﻧﺆول اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬

‫)‪f ( x ) − f (1‬‬

‫‪x − 1 − x2 − 1‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim 1 +‬‬ ‫‪x + 1 = lim 1 +‬‬ ‫∞‪x + 1 = +‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪x→1−‬‬ ‫‪x→1−‬‬ ‫‪x→1−‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪ f‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر‪ 1‬و ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+ 2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f ( x ) − f (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−x + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim + x + 1‬‬ ‫‪= lim +‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x→1+‬‬ ‫‪x→1+‬‬ ‫‪x→1+ 2‬‬ ‫‪x→1+ 2 2 x 2 + 1‬‬ ‫‪= lim‬‬

‫)‬

‫‪lim‬‬

‫‪x →1−‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ‪ 1‬و ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫‪2‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ ‪1‬‬

‫)‪f ( x ) − f (1‬‬

‫‪x − 1 − x2 + 1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim 1 −‬‬ ‫‪1 − x = lim 1 −‬‬ ‫∞‪1 − x = −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪1+ x‬‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪ f‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ ‪ -1‬و ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ ‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+ 2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f ( x ) − f ( −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim + x + 1‬‬ ‫‪= lim +‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫‪x→−1 2‬‬ ‫‪x→−1 2 2 x + 1‬‬ ‫‪= lim‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر‪ -1‬و ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻳﻘﺒﻞ ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪-1‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪ -5‬أ( ﻧﺤﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪ ]−1;1‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ) ‪ f ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪x‬‬

‫[‪∀x ∈ ]−1;1‬‬

‫‪f '( x) = 1 +‬‬

‫‪1 − x2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1 x2 + 1 − 2 x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪2 x +1‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ب( ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬ ‫‪1 − 2 x2‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫‪1 − x2‬‬

‫)‬

‫‪1 − x2 − x‬‬

‫‪1 − 2 x2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫=‬

‫‪x‬‬ ‫‪1 − x2‬‬

‫[∞‪∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫‪( 1 − x − x) 1 − x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f '( x) = 1 +‬‬

‫=‬

‫‪x‬‬ ‫‪1 − x2‬‬

‫[‪∀x ∈ ]−1;1‬‬

‫‪f '( x) = 1 +‬‬

‫إﺷﺎرة ) ‪ f ' ( x‬ﻋﻠﻰ [‪ ]−1;0‬هﻲ إﺷﺎرة ‪ 1 − 2x 2‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2; ‬‬ ‫‪∀x ∈  −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2 ‬‬

‫)‪f '( x‬‬

‫‪x +1‬‬

‫‪f '( x) ≤ 0‬‬

‫[∞‪ ∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +‬وﻣﻨﻪ ‪0‬‬

‫= )‪f '( x‬‬

‫‪2‬‬

‫[‪]−1;0‬‬

‫[‪x ∈ ]−1;0‬‬

‫‪f '( x) = 0 ⇔ x = −‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪0‬‬

‫[‪∀x ∈ ]−1;1‬‬

‫[‪∀x ∈ [ 0;1‬‬

‫)‪f '( x‬‬

‫‪0‬‬

‫[∞‪]−∞; −1[ ∪ ]1; +‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬

‫‪−‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∀x ∈  −1; −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f '( x‬‬

‫[∞‪∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +‬‬

‫∞‪−‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪f '( x‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪-1‬‬

‫∞‪−‬‬

‫‪− 2‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ -6‬ﻧﺪرس اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ ﻟـ ‪ C f‬ﺛﻢ اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟـ ‪ C f‬و ﻣﻘﺎرﺑﻪ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞‪= +‬‬ ‫‪x+ 2‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x→+∞ 2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ lim f ( x ) − x = lim‬وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪= lim = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪x→±‬‬ ‫‪x→±∞ x + 1 x→±∞ x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Cf‬‬ ‫‪lim f ( x ) = lim‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪ C f‬ﻓﻮق ) ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ [∞‪ ]1; +‬و‬

‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫; ∞‪= −‬‬ ‫‪x+ 2‬‬ ‫‪x→−∞ 2‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim‬‬

‫[∞‪∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +‬‬

‫‪f ( x) −‬‬

‫‪ C f‬ﺗﺤﺖ ) ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ‬

‫[‪]−∞; −1‬‬

‫‪ -5‬ﻧﺪرس ﺗﻘﻌﺮ ‪C f‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 − x2‬‬ ‫‪−2 x‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( x + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪1 − x2‬‬

‫= ) ‪f '' ( x‬‬

‫=‬

‫‪1 − x2 +‬‬

‫‪1 − x2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1− x‬‬

‫[‪ ∀x ∈ ]−1;1‬وﻣﻨﻪ ‪ C f‬ﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ‬

‫= ) ‪f "( x‬‬

‫[∞‪ ∀x ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1; +‬وﻣﻨﻪ ‪:‬‬

‫‪16‬‬

‫[‪]−1;1‬‬

‫‪≺0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪−2 x‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪( x + 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ) ‪f '' ( x‬‬

‫) ‪f '' ( x‬‬

‫[∞‪ ∀x ∈ ]1; +‬أي ‪ C f‬ﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ‬

‫[‪ ∀x ∈ ]−∞; −1‬أي ‪ C f‬ﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ‬

‫[∞‪]1; +‬‬

‫[‪]−∞; −1‬‬

‫‪ -6‬ﻧﻨﺸﺊ ‪C f‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪cos x sin x‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ‪ D f‬ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫‪ -2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ 2π‬دور ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪f ( x + π ) = − f ( x‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫‪ -3‬أﺣﺴﺐ ) ‪f ' ( x‬‬ ‫‪ -4‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪[0; π ] ∩ D f‬‬

‫‪ -5‬أﻧﺸﺊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪[0; 2π ] ∩ D f‬‬

‫اﻟﺠﻮاب‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪cos x sin x‬‬

‫‪ -3‬ﻧﺤﺪد ‪D f‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ∈ ‪x‬‬

‫‪17‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

x ∈ D f ⇔ sin x ≠ 0

et cos x ≠ 0

 x ∈ D f ⇔  x ≠ kπ 

et

x ∈ Df ⇔ x ≠ k

π 2

x≠

π

 + kπ  2 

/k ∈

/k ∈

 π  − k / k ∈  ‫اذن‬  2  f ‫ دور ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬2π ‫ ﺑﻴﻦ أن‬-‫ أ‬-4

Df =

∀x ∈

 π  − k / k ∈   2 

 π − k / k ∈  2 1 1 f ( x + 2π ) = + sin ( x + 2π ) cos ( x + 2π )

  

x∈

= f ( x)

f ‫ دور ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬2π ‫إذن‬ f ( x + π ) = − f ( x ) ‫ ﻧﺒﻴﻦ أن‬-‫ب‬

∀x ∈ D f f (x +π ) =

∀x ∈ D f

1 1 1 1 + = + = − f ( x) sin ( x + π ) cos ( x + π ) − sin x − cos f ' ( x ) ‫ ﻧﺤﺴﺐ‬-3

f '( x) =

− cos x 2

sin x

+

sin x 2

cos x

=

3

3

sin x − cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x

=

 sin x − cos x ) 1 + ( sin x − cos x )(1 + cos x ⋅ sin x ) ( 

sin 2 x   2 

= sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 2 x ⋅ cos 2 x [0; π ] ∩ D f ‫ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﻧﺪرس ﺗﻐﻴﺮات‬-4 sin x − cos x ‫ هﻲ إﺷﺎرة‬f ' ( x ) ‫إﺷﺎرة‬

 π  π  x ∈  0;  ∪  ; π   2 2  x

0

f '( x)

f

-

sin x − cos x = 0 ⇔ x =

π 4

π

π

4 0

2

π

+

+

+∞

+∞ 2 2

[0; 2π ] ∩ D f

+∞

−∞

‫ ﻋﻠﻰ‬f ‫ ﻧﻨﺸﺊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ‬-5

C f ‫ ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬x = π ‫ وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬lim− f ( x ) = +∞ x →π

C f ‫ ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬x =

π 2

‫ وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬lim − f ( x ) = +∞ x→

π

2

;

lim + f ( x ) = −∞

x→

π

2

C f ‫ ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬x = 0 ‫ وﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬lim+ f ( x ) = +∞ x →0

 3π   3π  f ( x + π ) = − f ( x ) ‫ ﺣﻴﺚ‬π ;  ∪  ; 2π  ‫و ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺠﺰء اﻷﺧﺮ ﻋﻠﻰ‬  2   2 

18

 π  π   0; 2  ∪  2 ; π  ‫ ﻋﻠﻰ‬C f ‫ﻧﻨﺸﺊ‬

19