Math Bac Cours 10

‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ‬ ‫‪-I‬اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‪ ،‬و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪. v = AC‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﺿﻤﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪. C‬‬ ‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء هﻮ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪ AB ⋅ AC‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ‪u ⋅ v‬‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻤﺪد إﻟﻰ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -2‬ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‪ ،‬و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪. v = AC‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ v ≠ 0‬و‪ u ≠ 0‬ﻓﺎن ‪u ⋅ v = AB × AC × cos BAC‬‬ ‫‪u ⋅v = 0‬‬ ‫ﻓﺎن‬ ‫* إذا آﺎن ‪ u = 0‬أو ‪v = 0‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ u ≠ 0‬ﻓﺎن ' ‪u ⋅ v = AB ⋅ AC = AB ⋅ AC‬‬ ‫ﺣﻴﺚ'‪ C‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ C‬ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪u ⋅v‬‬ ‫* ‪AB 2 + AC 2 − BC 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ -3‬ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ و‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ‬

‫‪u = AB‬‬

‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ u ⋅ u‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟـ ‪ u‬و ﻳﻜﺘﺐ ‪u 2 = AB 2‬‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻮﺟﺐ ‪u 2‬‬

‫ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻨﻈﻢ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻧﻜﺘﺐ ‪u = u 2‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ و آﺘﺎﺑﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫* ‪u = u2‬‬ ‫*‬

‫إذا آﺎن‬

‫‪ v ≠ 0‬و‪u ≠ 0‬‬

‫‪ -4‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫∈ ‪∀α‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻓﺎن‬

‫) (‬

‫‪u ⋅ v = u v cos u ; v‬‬

‫‪∀ (u ,v ,w ) ∈V‬‬

‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎت هﺎﻣﺔ‬

‫‪u ⋅v = v ⋅ u‬‬ ‫*‬ ‫* ‪u ⋅ (v + w ) = u ⋅v + u ⋅w‬‬ ‫* ‪(v + w ) ⋅ u = v ⋅ u + w ⋅ u‬‬ ‫* ) ‪u ⋅ αv = αu ⋅v = α × (u ⋅v‬‬ ‫‪ -5‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪.V3‬‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪u ⋅v = 0‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ 0‬ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪V3‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫اﻟﻤﻜﻌﺐ ‪ ABCDEFGH‬اﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪a‬‬ ‫أﺣﺴﺐ ‪ AE.BG‬و ‪ AE.AG‬و ‪AG.EB‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻧﻜﺘﺐ‬

‫‪(u + v ) = u + v + 2u ⋅v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(u − v ) = u 2 + v 2 − 2u ⋅v‬‬ ‫‪(u + v )(u − v ) = u 2 − v 2‬‬

‫‪u ⊥v‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -II‬ﺻﻴــــــﻎ ﺗﺤﻠﻴﻠﻴـــــــــﺔ‬ ‫‪ -1‬اﻷﺳﺎس و اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪان اﻟﻤﻤﻨﻈﻤﺎن‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋـــــﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ V3‬و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‪.‬‬ ‫) ‪ (i ; j ;k‬أﺳﺎ س ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪V3‬‬

‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪k‬‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ‪.‬‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﺗﻌﺎﻣﺪ وﻣﻤﻨﻈﻢ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ‬

‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ و ‪i = j = k = 1‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬ ‫أ‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ‬

‫)‬

‫;‪u x‬و ) '‪ v ( x'; y'; z‬ﻓﺎن‬ ‫‪( y; z‬‬

‫' ‪u ⋅ v = xx '+ yy '+ zz‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻓﺎن‬

‫‪u ⋅i = x‬‬ ‫‪; u⋅j =y‬‬ ‫‪; u ⋅k = z‬‬ ‫ب‪ -‬اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ و ﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫*‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪ (o;i ; j ;k‬ﻓﺎن ‪u = x 2 + y 2 + z 2‬‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎﻧﺖ ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬و ) ‪ B ( xB ; yB ; z B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬ ‫ﻓﺎن‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫‪( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ A 1;1; 2‬و ‪2; − 2;0‬‬

‫(‬

‫‪B‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫(‬

‫)‬

‫و ‪C −1; −1; − 2‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ وﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫‪ -3‬ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪u.MA = k‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪M ( x; y; z‬‬

‫‪u.MA = k ⇔ ........ ⇔ ax + by + cz + d = 0‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪ u.MA = k‬هﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ ax + by + cz + d = 0‬ﺣﻴﺚ ‪ d‬ﻋﺪد‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ u ( 2; −1;1‬ﻣﺘﺠﻬﺔ و ) ‪ A (1; −1; 2‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪u.MA = −1‬‬ ‫‪ -III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (D1‬و )‪ (D2‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u 1‬و ‪ u 2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫‪( D1 ) ⊥ ( D 2 ) ⇔ u 1 ⋅ u 2 = 0‬‬

‫ب‪ -‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u 1‬و ‪ u 2‬و )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪u 3‬‬ ‫‪ u2 ⊥ u3‬و‬

‫‪( D ) ⊥ ( P ) ⇔ u1 ⊥ u 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ج‪ -‬ﻣﻼﺣﻈﺎت واﺻﻄﻼﺣﺎت‬ ‫* اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪.( P‬‬ ‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ‪ u‬ﺗﻜﻮن ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و ‪ v‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴــﺘﻮى )'‪ (P‬وآﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن )‪ (P‬و)'‪( P‬‬ ‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬ ‫‪2‬‬ ‫* إذا آﺎن ) ‪ ( A ; B ) ∈ ( P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن ‪u ⊥ AB‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪.‬م‪(O ; i ; j ; k ) .‬‬ ‫ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A(-1; 2 0‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫)‪ u(1;−1;1‬و )‪v(2;1;1‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪.‬م‪ (O ; i ; j ; k ) .‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫)‪ (P‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ ax-2y+z-2=0‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻪ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬

‫‪t ∈ IR‬‬

‫‪ x= 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y =1+ 3 t‬‬ ‫‪ z = − 2 + bt‬‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻮﺟﻬﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد‪ a‬و‪ b‬ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ) ‪(D )⊥(P‬‬ ‫د‪ -‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫ﺗﺬآﻴﺮ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ اذا و ﻓﻘﻂ اذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ‪.‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬و )'‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘــﻴﻦ ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫) ‪ (P')⊥(P‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪u ⊥v‬‬

‫‪ -2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪ .a‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫* اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪AM ⋅ u = 0‬‬ ‫* ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪ AM ⋅ u = 0‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ‬ ‫‪ .b‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫* آﻞ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ax + by + cz + d = 0‬‬ ‫* آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ ax + by + cz + d = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪ ( a; b ; c ) ≠ ( 0;0;0‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬

‫‪ x+y-2z+1=0‬‬ ‫‪(P) : 2x-y+3z+1=0‬‬ ‫‪(D): ‬‬ ‫‪ x-y+z-2=0‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (P‬وﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﻪ‪.‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A (2;0;3‬و )‪ n(1,2,1‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A' (2;0;3‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(D‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A (2;0;3‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪(P‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -3‬ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪AH‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ)‪ (P‬ﻧﻜﺘﺐ‬ ‫‪AB ⋅ u‬‬ ‫= ‪d ( A; ( P ) ) = AH‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ﺣﻴﺚ )‪ B ∈ (P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ)‪(P‬‬ ‫‪ -2‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ax + by + cz + d = 0‬‬

‫‪ax 0 + by 0 + cz 0 + d‬‬ ‫‪a2 + b 2 + c 2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎر ﻣﻦ )‪ B ( 2;1;3‬و ‪u 1; −1; 2‬‬ ‫ﺣﺪد‬

‫)) ‪d ( A ; ( P‬‬

‫(‬

‫)‬

‫و ) ‪ A ( x 0 ; y 0 ; z 0‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫= )) ‪d ( A ; ( P‬‬ ‫ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻟﺘﻜﻦ )‪A (1;2;0‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ A(1;-1;1‬و )‪ B(3;1;-1‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ 2x-3y+2z=0‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ‬ ‫‪ x = 3t‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬ ‫∈ ‪ x = − 2 − 3t t‬‬ ‫‪ z = 2 + 4t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫‪ -2‬أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ 3x+2y-z-5=0‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف ﺑـ‬ ‫‪x − 2 y + z − 3 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x− y−z+2=0‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (P‬اﻟﺬي ﻳﺘﻀﻤﻦ )‪ (D‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬ ‫‪ -IV‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ‬

‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫‪-1‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺮآﺰهﺎ وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫‪*+‬‬

‫∈ ‪ r‬و)‪ S(Ω;r‬اﻟﻔﻠﻜﺔ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ Ω(a;b;c‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (E‬و‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ)‪ M(x;y;z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء )‪(E‬‬ ‫)‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2 ⇔ ΩM=r ⇔ M ∈ S(Ω;r‬‬

‫‪4‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. o;i ; j ;k‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬ ‫‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2‬‬ ‫هﻲ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت و اﺻﻄﻼﺣﺎت‬ ‫* إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬ﻓﺎن ]‪ [A;B‬ﻗﻄﺮا ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ‬ ‫* ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻠﻜﺔ وﺣﻴﺪة أﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ ]‪ [A;B‬ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r =½ AB‬‬ ‫* ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ‪ x²+y²+z² +αx+βy+γz+δ=0‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬و‪δ‬‬ ‫أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫* اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(O; r‬ﺣﻴﺚ ‪ O‬أﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ ‪x²+y²+z²=r²‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ S(Ω;r‬ﻓﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬ ‫* اﻟﻜﺮة‬ ‫اﻟﻜﺮة )‪ B(Ω;r‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪M(x;y;z‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤r2‬‬ ‫‪ -2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺄﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ‬ ‫‪ S‬ﻓﻠﻜﺔ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬ ‫‪ [AMB] ⇔ M ∈ S‬زاوﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ أو ‪ M=A‬أو ‪AM ⋅ BM = 0 ⇔ M=B‬‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ‪ AM ⋅ BM = 0‬هﻲ ﻓﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اذا آﺎﻧﺖ )‪ A(xA;yA;zA‬و )‪ B(xB;yB;zB‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻓﺎن ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ أﺣﺪ اﻗﻄﺎرهﺎ ]‪[A;B‬‬ ‫‪(x -xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)+(z-zA)(z-zB)=0‬‬ ‫هﻲ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫)‬

‫ﻓﻲ‬

‫(‬

‫اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬

‫(‬

‫‪ ، O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ Ω(1;2;-1‬و )‪ A(2;1;2‬و )‪B(4;1;2‬‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪A‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ´‪ S‬اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ]‪[A;B‬‬ ‫‪ -3‬دراﺳﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪(1): x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪(1‬‬ ‫‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=a²+b²+c²-d‬‬ ‫‪⇔ M ∈E‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪Ω(a;b;c‬‬ ‫*‪ -‬إذا آﺎن ‪ a²+b²+c²-d <0‬ﻓﺎن‪E =Ø‬‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a²+b²+c²-d =0‬ﻓﺎن }‪ . E={Ω‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ﻣﻨﻌﺪم‬ ‫‪a²+b²+c²-d = r²‬‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a²+b²+c²-d >0‬ﻓﺎن )‪ E=S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0‬ﻓﻠﻜﺔ‬ ‫إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪a²+b²+c²-d ≥0‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪x²+y²+z²+4x-2y -6z+5=0‬‬ ‫ﺑﻴﻦ إن ‪ E‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬ ‫ﺣﻴﺚ )‪ A(2;0;-1‬و )‪B(-1;1;-1‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ‪2MA²+3MB²=16‬‬ ‫‪ – II‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮى و ﻓﻠﻜﺔ‬ ‫ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫ﻧﻀﻊ ‪d ( Ω; ( P ) ) = HΩ = d‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪d‬‬

‫‪d=r‬‬

‫‪5‬‬

‫‪d≺r‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬و ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪(P‬‬ ‫ﻳﻜﻮن ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و ‪: S‬‬ ‫* داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ H‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ) ) ‪ r 2 − d 2 ( Ω; ( P‬اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))< r‬‬

‫* ﻧﻘﻄﺔ اذا آﺎن ‪ d(Ω;(P))= r‬ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻧﻘﻮل )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪H‬‬ ‫* اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))>r‬‬ ‫‪ -2‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻤﺎس ﻟﻔﻠﻜﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ ﻧﻘﻄﻬﺎ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬اذا آﺎن )‪ (P‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (ΩA‬ﻓﻲ ‪A‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬ ‫) ‪∀M∈(P‬‬ ‫‪ΩA ⋅ AM = 0‬‬ ‫⇔‬ ‫)‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ )‪ S(Ω;r‬ﻓﻲ ‪A‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬

‫(‬

‫‪ ، O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ‪ S1‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬

‫‪ x²+y²+z²-4x+2y-2z-3=0‬و ‪ S2‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω2‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ , 2‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي‬ ‫و )´‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪. 2x-y-2z-1=0‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪x-2y+z+1=0‬‬ ‫‪ -1‬ﺗﺄآﺪ أن )‪ (P‬و ‪ S1‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‪.‬‬ ‫‪ -2‬أدرس ﺗﻘﺎﻃﻊ )´‪ (P‬و ‪. S2‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S1‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪A(1;1; 3‬‬ ‫‪ --3‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻓﻠﻜﺔ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ)‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ (‬

‫ﻧﻀﻊ ‪d ( Ω; ( ∆ ) ) = HΩ = d‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪d‬‬

‫ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬

‫‪r‬‬

‫‪d≺r‬‬

‫‪d‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻳﺨﺘﺮق اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻔﻠﻜﺔ‪S‬‬ ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‪H‬‬

‫هﻮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪S : x²+y²+z²-2y +4z+4=0‬‬

‫∈‪t‬‬

‫‪ x = 1 + 2t‬‬ ‫‪( D1 ) :  y = 1 + t‬‬ ‫‪ z = −3 + t‬‬ ‫‪‬‬

‫∈‪t‬‬

‫‪ x = 3t‬‬ ‫‪( D 2 ) :  y = 2‬‬ ‫‪ z = −2 + t‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ S‬ﻣﻊ آﻞ ﻣﻦ )‪ (D1‬و )‪ (D2‬و )‪(D3‬‬

‫‪6‬‬

‫ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‬

‫∈‪t‬‬

‫‪−1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x = 2 + 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( D 3 ) :  y = + 3 t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z = −2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬

‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ A(1;0;1‬و )‪ B(0;0;1‬و )‪ C(0;-1;1‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ C‬واﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ )‪u(−1;2;1‬‬ ‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪ MA=MB=MC‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻪ‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (D‬ﻓﻲ ‪C‬‬ ‫‪ -3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﻤﺎرة ﻣﻦ ‪A‬و ‪ B‬و اﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟـ )‪ (D‬ﻓﻲ ‪C‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬

‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬

‫(‬

‫‪ O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ A(0;3;-5‬و )‪ B(0;7;-3‬و )‪C(1;5;-3‬‬

‫‪ -1‬أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(ABC‬‬ ‫‪ -2‬أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬ﺣﻴﺚ )‪ u(−1;2;1‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪ -3‬ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺤﺪد ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪x+y+z=0‬‬ ‫أ‪ -‬ﺗﺄآﺪ أن )‪(P‬و )‪ (ABC‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﻨﻘﻴﻢ )‪(D‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟـ )‪(D‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬اﻟﺘﻲ اﻟﻤﺤﺪدة ﺑـ ‪ x 2 + z 2 +10z +9=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y =0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪-4‬‬

‫أ‪ -‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻔﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻀﻤﻦ اﻟﺪاﺋﺮة )‪ (C‬و ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ إﻟﻰ )‪(ABC‬‬ ‫ب ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ S‬و )‪(AC‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ A(1;-1;1‬و )‪ B(3;1;-1‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ (D) 2x-3y+2z=0‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬

‫‪ x = 3t‬‬ ‫‪‬‬ ‫∈ ‪ x = −2 − 3t t‬‬ ‫‪ z = 2 + 4t‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫‪ -3‬أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬ ‫‪ -4‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪3x+2y-z-5=0‬‬ ‫و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف ﺑـ‬

‫‪x − 2 y + z − 3 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x− y−z+2=0‬‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (P‬اﻟﺬي ﻳﺘﻀﻤﻦ )‪ (D‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪.(P‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪5‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪x+y+z+1=0‬‬ ‫و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪2x-2y-5=0‬‬ ‫و )‪ (S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ‪x²+y²+z²-2x+4y+6z+11=0‬‬ ‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻣﺮآﺰهﺎ و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫‪ -2‬ﺗﺄآﺪ أن )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ )‪ A(0;1;2‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬ ‫‪ -4‬ﺗﺤﻘﻖ أن ) ‪ ( P ) ⊥ ( Q‬و أﻋﻂ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )´‪(D‬ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و)‪(Q‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪6‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪A(-2;3;4‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ (S) x+2y-2z+15=0‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻴﺘﺤﻘﻖ‬ ‫‪ x²+y²+z²-2x+6y+10z-26=0‬و )‪ (C‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬ ‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (P‬و )‪ (S‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة آﺒﺮى )'‪ (C‬و ﺣﺪدهﺎ‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻦ اﻟﻤﻤﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ (S‬و اﻟﻤﻮازﻳﻴﻦ ﻟـ )‪(P‬‬ ‫أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ )'‪ (S‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮة )‪(C‬‬

‫‪7‬‬

‫‪ x2 + y 2 − 2 x − 8 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z =0‬‬

‫اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬ ‫‪І‬־ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -1‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬

‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬ ‫»‬

‫رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ )‬

‫(‬

‫‪OK = k‬‬

‫‪OJ = j‬‬

‫‪ O ; i ; j ; k‬هﻮ رﺟﻞ ﺧﻴﺎﻟﻲ رأﺳﻪ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻗﺪﻣﺎﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬و ﻳﻨﻈﺮ‬

‫إﻟﻰ ‪I‬‬ ‫‪,‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ J‬إﻣﺎ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ» رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « أو ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎرﻩ ‪.‬‬

‫ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ (O ; i ; j ; k ) * :‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ إذا وﺟﺪت ‪ J‬ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر » رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ «‬ ‫* ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ إذا وﺟﺪت ‪ J‬ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ » رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ «‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬ ‫*‬ ‫)‬

‫‪ .‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬

‫‪ (O ; j ; i ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫)‬

‫‪ (O ; j ; k ; i‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫)‬

‫‪ (O ; i ; j ; − k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪1‬‬ ‫**‬ ‫‪A; AB; AD ; AE‬‬ ‫‪; B; BC ; BA; BF‬‬

‫)‬ ‫) ‪( E ; EA ; EF ; EH‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪,‬‬

‫(‬

‫‪OJ = j‬‬

‫‪OK = k‬‬

‫) ‪( A ; AD ; AB ; AE‬‬

‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺒﺎﺷﺮان‬ ‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮﻳﻦ‬

‫‪ -2‬اﻷﺳﺮة اﻟﻤﺒﺎﺷﺮة‬ ‫ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء ‪ , V3‬اذا وﺟﻬﻨﺎ ﺟﻤﻴﻊ أﺳﺎﺳﺎﺗﻪ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺳﺎس اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ ( i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮ ادا آﺎن‬

‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬م‪.‬م‪.‬م ‪.‬ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪O‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -3‬ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ k‬ﻣﺘﺠﻬﺔ واﺣﺪﻳﺔ و ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ , (P‬و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫‪ O ; i ; j‬م‪.‬م‪.‬م ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬

‫)‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪E‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ )‬ ‫اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮا‬

‫(‬

‫‪ O ; i ; j‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮا اذا آﺎن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬

‫* ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﺴﺘﻮ ى )‪ (P‬ﺑﺘﻮﺟﻴﻪ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫آﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻤﻮازﻳﺔ ﻟـ)‪ (P‬ﻟﻪ ﻧﻔﺲ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫*‬ ‫‪ – II‬اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪u = OA‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ V3‬و‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪v = OB‬‬ ‫اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻓﻲ هﺪا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ‪,‬هﻮ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪ u ∧ v‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻓﺎن ‪. u ∧ v = o‬‬ ‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬ ‫‪ u ∧ v‬هﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ‪:‬‬ ‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن‬ ‫‪ u ∧ v‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬ ‫‬‫ ) ‪ ( u ; v ; u ∧ v‬أﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪.‬‬‫‪v sin θ -‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ * ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫)‬

‫‪u ∧v = u‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬

‫‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫‪ AOB ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪i ∧i = j ∧ j = k ∧k =0‬‬ ‫‪k ∧i = j‬‬ ‫‪i ∧k =−j‬‬

‫‪j ∧k =i‬‬ ‫‪k ∧ j = −i‬‬

‫‪i ∧ j =k‬‬ ‫‪j ∧ i = −k‬‬

‫* إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ واﺣﺪﻳﺘﻴﻦ و ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﻴﻦ ﻓﺎن ) ‪ ( u ; v ; u ∧ v‬أﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪.‬‬

‫ﻧﺤﺴﺐ ‪ u ∧ v‬ﻋﻠﻤﺎ أن [ ‪θ ∈ ]0;π‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪(u; v ) = θ‬‬

‫‪u ⋅ v = −5‬‬

‫‪v =2‬‬

‫‪u =5‬‬

‫‪ -2‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫أ‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﺎن اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ AB ∧ AC‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪.(ABC‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬

‫‪HC = AC sin θ‬‬

‫‪AB ∧ AC = AB. AC.sin θ‬‬ ‫‪AB ∧ AC = AB × HC‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬هﻮ ﻧﺼﻒ ‪AB ∧ AC‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪ ABDC‬هﻲ ‪AB ∧ AC‬‬ ‫د‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻳﻜﻮن ‪ u ∧ v‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ أداو ﻓﻘﻂ آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﺒﺮهﺎن * ⇒ )ﺑﺪﻳﻬﻲ – اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ‪(-‬‬ ‫*⇐‬

‫‪9‬‬

‫‪ H , CAB ‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪u ∧v =0⇔ u ∧v‬‬ ‫‪⇒ u v sin θ = 0‬‬ ‫‪sin θ = 0‬‬ ‫‪sont liés‬‬

‫∨‬

‫‪uetv‬‬

‫‪v =0‬‬ ‫∨‬

‫∨‬

‫‪v =0‬‬

‫‪⇔ u =0‬‬ ‫∨‬

‫‪⇔u = 0‬‬

‫‪ A‬و‪ B‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ⇔ ‪AB ∧ AC = 0‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ج‪ -‬اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت)ﻧﻘﺒﻞ(‬

‫‪(u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w‬‬ ‫) ‪(α u ) ∧ v = α ( u ∧ v‬‬ ‫) ‪u ∧ v = − (v ∧ u‬‬

‫∈ ‪∀α‬‬

‫‪∀ ( u ; v ; w ) ∈ V33‬‬

‫‪u ∧u = 0∧u = u ∧0 = 0‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪.‬‬

‫أﺣﺴﺐ‬

‫‪( i + 2k ) ∧ j‬‬

‫‪i ∧3j‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪; a ∧ b = c ∧ d‬‬

‫‪( i + j − 2k ) ∧ k‬‬

‫) ‪( 2i − j ) ∧ ( 3i + 4 j‬‬

‫‪a∧c =b ∧d‬‬

‫ﺑﻴﻦ إن ‪ a − d‬و ‪ b − c‬ﻣﺴﻨﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬ ‫‪ -3‬اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻓﻲ م‪.‬م‪.‬م ﻣﺒﺎﺷﺮ‪.‬‬ ‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫)‬

‫) ‪u ( x; y; z‬‬

‫)' ‪v ( x '; y '; z‬‬

‫(‬

‫( )‬

‫‪u ∧ v = xi + yj + zk ∧ x ' i + y ' j + z ' k‬‬

‫‪= ( yz '− zy ') i + ( zx '− xz ') j + ( xy '− yx ') k‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬و ) ‪ u ( x; y; z‬و )' ‪ v ( x(; y '; z‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن‬ ‫ﻣﻦ‪V3‬‬

‫إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ‪ u ∧ v‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺳﺎس ) ‪ ( i ; j ; k‬هﻮ )‪ (X;Y;Z‬ﺣﻴﺚ‬

‫' ‪Z = xy '− yx‬‬

‫' ‪X = yz '− zy‬‬

‫' ‪Y = zx '− xz‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪v ( −2; −1;1‬‬

‫ﺣﺪد ‪u ∧ v‬‬ ‫‪ – III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬

‫) ‪u (1; 2;0‬‬

‫)‪A (1; 2;1‬‬

‫) ‪B ( 0; −3; 2‬‬

‫أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ )‪(ABC‬‬

‫‪10‬‬

‫)‪C (1; 2;1‬‬

‫‪ -1‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺮف ﺑﺜﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬ ‫‪M ∈ ( ABC ) ⇔ AB ∧ AC ⋅ AM‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(ABC‬‬

‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ A(1;2;3‬و )‪ B(1;-1;1‬و )‪C(2;1;2‬‬ ‫‪ -2‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬ ‫‪(P) : ax+by+cz+d=0‬‬ ‫‪(P´) : a´x+b´y+c´z+d´=0‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ n ( a; b; c‬ﻣﻨﻈﻤﻤﻴﺔ ﻟـ )‪ (P‬و )' ‪ n ' ( a '; b '; c‬ﻣﻨﻈﻤﻤﻴﺔ ﻟـ )´‪(P‬‬

‫* اذا آﺎن )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ' ‪n ∧ n‬‬ ‫* اذا آﺎن ‪ n ∧ n ' ≠ 0‬ﻓﺎن )‪ (P‬و)´‪ (P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ' ‪n ∧ n‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ (P): x+2y-2z+3=0‬و ‪(P´): 4x-4y+2z-5=0‬‬

‫‪ -3‬ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ M , u‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و‪ H‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ)‪(D‬‬ ‫‪AM ∧ u = AH + HM ∧ u = HM ∧ u‬‬ ‫‪AHetu‬‬ ‫‪liés‬‬

‫)‬

‫‪= HM . u‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪AM ∧ u = HM ∧ u = HM . u sin‬‬ ‫‪AM ∧ u‬‬ ‫‪u‬‬

‫= ‪HM‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ M , u‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬هﻲ‬

‫‪AM ∧ u‬‬ ‫‪u‬‬

‫= )) ‪d ( M ; ( D‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫)‪A(3;2;-1‬‬

‫∈‪t‬‬

‫‪ x = 2−t‬‬ ‫‪( D ) :  y = 2t‬‬ ‫‪ z = 1+ t‬‬ ‫‪‬‬

‫? = ) ) ‪d ( A; ( D‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪A(1;2;1‬و )‪ B(-2;1;3‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي‬ ‫‪ x − 2y + z − 3 = 0‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 x + 3 y − z − 1 = 0‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ‪ OA ∧ OB‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(OAB‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ))‪d(A;(D‬‬ ‫‪ -3‬أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪(S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ A‬و ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬

‫‪11‬‬