Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, transfe rt, filtres
I Quadripôle Quadripôle électrocinétique électrocinétique A) Définition Elément de circuit à quatre bornes : ve
ie
Quadripôle
i s
v s
générateur ie
Charge (récepteur)
i s
Bornes d’entrée
Bornes de sortie
Quadripôle passif : pas de source auxiliaire de puissance électrique. Quadripôle actif : présence d’une source auxiliaire de puissance. Le fonctionnement électrique du quadripôle est caractérisé par : ve , v s : tension d’entrée, de sortie du quadripôle ie , i s : courant d’entrée, de sortie du quadripôle Un quadrip quadripôle ôle est dit linéaire linéaire lorsqu’ lorsqu’il il est constit constitué ué unique uniquemen mentt de dipôle dipôless et éléments de circuit linéaires.
B) Exemples de quadripôles Transformateur :
(passif) R ie e(t )
ve
i s C
v s
R’
(passif)
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Montage à amplificateur opérationnel (A.O) R
ie
ve
+
v s
i s
(actif)
II Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire en ve v s
= V e e j = V s e j
ω .t
ie
ω .t
i s
= I e e j = I s e j
RSF(ω ) .
ω .t
ω .t
A) Fonction de transfert (Transmittance) Définition : H ( jω ) (fonction de transfert ) =
ou
ou
ou
v s ve i s ie V s I e I s V e
= =
V s V e
I s I e
(amplifica tion en tension )
(amplifica tion en courant)
(Transimpé dance)
(Transadmi ttance)
fonction d' entrée fonction de sortie Attention : H dépend du quadripôle et du reste du circuit. H ( jω ) = H ( jω ) e j arg( H ( jω )) = G (ω )e jϕ (ω ) G (ω ) : gain du quadripôle. ϕ (ω ) : avance de phase de la sortie sur l’entrée. On définit le gain en décibel : GdB (ω ) = 20 log10 (G (ω ))
III Diagramme de Bode A) Définition Consiste à tracer les graphes GdB et ϕ en fonction de log10 (ω / ω 0 ) , où ω 0 est soit −1 une pulsation caractéristique du circuit, soit ω 0 = 1rad.s . On peut aussi tracer en fonction de ω sur un papier millimétré en échelle logarithmique. (unité : décade).
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B) Exemple : circuit R,C et C , R Circuit R,C : R
ve
v s
C
= V e cos(ω .t + ϕ ) Charge : circuit ouvert ( i s = 0 ) Source : v e
H ( jω ) =
V s V e
=
Z C
1
H ( jω ) =
(diviseur de tension)
Z C + Z R
. On pose ω 0
1 + jRC ω 1 H ( jω ) = ω Donc 1 + j
=
1 RC
ω 0
1
G (ω ) =
2
ω 1 + ω 0
Ainsi,
ω ω 0
; ϕ (ω ) = − arctan
Diagramme de Bode : En basse fréquence ( ω << ω 0 ) : lim G (ω ) = 1 donc
ω 0
lim
ω log −∞ ω 0
GdB
=0
lim ϕ (ω ) = 0 donc
ω 0
lim
ω log −∞ ω 0
ϕ (ω )
. On a donc une asymptote horizontale en
=0
−∞.
. On a aussi une asymptote horizontale.
En haute fréquence ( ω >> ω 0 ) : G (ω ) ~
ω
+ ∞ ω
0
ω 0 =0 +∞ ω ω 0 lim GdB (ω ) − ( −20log ) = 0 +∞ ω Y X
Donc lim log(Gω ) − log ω
Soit
ω
On a une asymptote d’équation Y = −20 X (soit GdB (ω ) = −20 log lim ϕ (ω ) = −
ω
+∞
π
2
. On a donc une asymptote horizontale en
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres Electrocinétique
ω 0
) en
+∞.
ω
+∞
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0, 001ω 0 0, 01ω 0
-2
-3
GdB
0 ,1ω 0
ω 0
0
-1
10ω 0
100ω 0
1
2
1000ω 0
3
-20
asymptotique réel - 2 0 d B / d é c a d e
-40
1
G (ω 0 ) =
ω 0 ω
log10
⇒ GdB (ω 0 ) = −3dB
2
ϕ (ω )
-3
-2
0
-1
1
2
3
ω 0 ω
log 10
asymptotique réel
− ϕ (ω 0 )
= − arctan1 = −
π
2
π
4
Circuit C , R : C ve
v s
R
Source : v e
= V e cos(ω .t + ϕ )
Charge : R∞ . H ( jω ) =
Z R Z R
=
+ Z C
R R +
1
=
jRC ω 1 + jRC ω
jC ω
ω
j
=
ω 0
1 + j
ω
, avec ω 0
=
1 RC
ω 0
ω
G (ω ) =
ω 0 2
ω 1 + ω 0
; ϕ (ω ) =
ω − arctan 2 ω 0
π
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En basse fréquence ( ω << ω 0 ) : G (ω ) ~ 0
ω ω 0
0
Donc lim GdB (ω ) − 20 log ω
= 0 ω
ω 0
On a une asymptote d’équation GdB (ω ) = 20 log lim ϕ (ω ) =
ω 0
ω 0
en
−∞.
ω
π
2
En haute fréquence ( ω >> ω 0 ) : G (ω ) ~
ω / ω 0
~ 1 . Donc lim G (ω ) = 1 ; →+∞
+∞ ω / ω + ∞
ω
0
lim GdB (ω ) = 0 →+∞
ω
lim ϕ (ω ) = 0
ω
+∞
GdB -2
-3
0
-1
1
2
ω 0 ω
3
log10
-20 e a d c é / d B 0 d 2
asymptotique réel
-40
Pour ϕ (ω ) , c’est le même que le précédent décalé de π / 2 vers le haut : ϕ (ω )
π
2
asymptotique réel
ω 0 ω
log10
-3
-2
-1
0
1
2
3
C) Diagramme de Bode asymptotique Définition du diagramme de Bode asymptotique : c’est la réunion des asymptotes haute fréquence et basse fréquence. (Le diagramme de Bode asymptotique est très proche du réel.) Remarque : on peut avoir plusieurs domaines de fréquences (haute fréquence, basse fréquence et intermédiaire). Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres Electrocinétique
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IV Filtres du 1er ordre A) Décomposition en série de Fourier Soit F de période T (pulsation ω =
2π T
). Alors, d’après le théorème de Fourier :
∞
∞
n =0
n=0
∃(a n ) n∈ , ∃(bn ) n∈ * , ∀t ∈ R , F (t ) = ∑ a n cos(ω .n.t ) + ∑ bn sin(ω .n.t ) N
N
On a : a 0 = F (t )
=
an
=
bn
2
t
t
∫ F (t ' ) cos(
T 0 2
ω .n.t ' ) dt '
t
∫ F (t ' ) sin(
T 0
ω .n.t ' ) dt '
Notation compacte : ∞
∑ C cos(
F (t ) =
ω .n.t
n
+ ϕ n )
( a0
= C 0 cos ϕ 0 )
n=0
Terme 0 : valeur moyenne Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier. Exemple : le son d’un instrument de musique F (t ) = C 1 cos(ω .t + ϕ 1 ) + fondamenta l
= hauteur de la note
∞
∑ C cos( n
n =1
ω .n.t
+ ϕ n )
harmonique s, donnent le "timbre" de la note
Si F n’est pas périodique, on a toujours une décomposition, appelée « transformée de Fourier » (mais éventuellement avec une intégrale au lieu de la somme) Exemple : décomposition spectrale de la lumière : ∞
F (t )
onde lumineuse en un point
= ∑ C n cos(ω .n.t + ϕ n ) n=0 composante s monochroma tiques de F ( t )
B) Théorème de superposition Un circuit linéaire correspond à la donnée d’équations (différentielles) linéaires. u R i(t ) e(t )
R u L
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e(t ) = u R
+ u L = Ri (t ) + L
di dt
e1 (t ) → i1 (t ) e2 (t ) → i2 (t ) e1 (t ) + e2 (t ) = Ri (t ) + L
di dt
⇔ i(t ) = i1 (t ) + i2 (t )
Théorème de superposition : pour calculer la réponse à e(t ) = e1 (t ) + e2 (t ) , il suffit de sommer les réponses à chacune des excitations prises individuellement (valable non seulement pour des sommes, mais aussi pour des combinaisons linéaires). Conséquence : pour e(t ) , excitation périodique ou non, la série/transformée de Fourier donne e(t ) =
∞
∑ E cos( n
ω .n.t
+ ϕ n )
n =0
On trouve alors la réponse i n (t ) , pour chaque n, à E n cos(ω .n.t + ϕ n ) . Dans ce cas, I n
=
E n R + jnω L
, soit i n (t ) = I n cos(ω .n.t + arg( I n ))
Donc i n (t ) =
∞
∑ I
n
cos(ω .n.t + arg( I n ))
n=0
C) Définition et classification d’un filtre Un filtre est un quadripôle linéaire. Bande passante du filtre : G max − 3dB} BP = ω , G (ω ) ≥ max = {ω , GdB (ω ) ≥ GdB 2 Un filtre est dit : Passe-bas si la bande passante est de la forme [ 0; ω 1 ] . Passe-haut si la bande passante est de la forme [ω 1 ;+∞[ . Passe-bande si la bande passante est de la forme [ω 1 ; ω 2 ] Coupe-bande si la bande passante est de la forme [ 0; ω 1 ] ∪ [ω 2 ;+∞[ Pour un quadripôle linéaire, H ( jω ) = degré
P ( jω ) Q ( jω )
, où P et Q sont des polynômes de
≤n
; n désigne alors l’ordre du filtre. Exemple : passe-bas v e (t ) =
∞
∑ C cos( n
n=0
G (nω ) =
ω .n.t
+ ϕ n )
; v s (t ) =
∞
∑ C '
n
cos(ω .n.t + ϕ ' n )
n =0
C ' n C n
Pour ω << ω 1 , C ’n et C n sont comparables (les basses fréquences sont transmises) Pour ω >> ω 1 , C ' n << C n (les hautes fréquences sont atténuées) Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres Electrocinétique
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D) Filtres passe-haut : R, L et C , R 1) Fonction de transfert C ve
v s
R
Charge : sortie ouverte. jω / ω 0 jRC ω H ( jω ) = = , avec ω 0 1 + jRC ω 1 + jω / ω 0
=
1 RC
.
R v s
ve
Charge : sortie ouverte. jω / ω 0 jω L / R = H ( jω ) = , avec ω 0 1 + jω L / R 1 + jω / ω 0
=
R L
On a donc un filtre du premier ordre. 0
GdB -3dB
Bande passante
2) Application Touche AC de l’oscilloscope : E
La touche AC est un filtre passe-haut v e (t ) = E +
∞
∑ C cos( n
ω .n.t
+ ϕ n )
n =1
↑ ↓
=
v s (t ) = 0 +
ve ∞
∑ C cos( n
ω .n.t
+ ϕ n ) = ve (t ) − E
n =1
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres Electrocinétique
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3) Comportement pseudo dérivateur Si ω << ω 0 : jω / ω 0 ω H ( jω ) = ~ j ω 0 1 + jω / ω 0 ou V s
= j
ω V e
soit v s (t ) =
ω 0
1 dve dt
ω 0
(en RSF(ω ))
Pour une fonction périodique quelconque : ∞ 2π ve (t ) = C n cos(ω .n.t + ϕ n ) ( ω = ) T n =0
∑
Donc
v s (t ) =
∑
n tq nω <<ω 0
1 d (C n cos(ω .n.t + ϕ n )) dt
ω 0
+
1 d (C n cos(ω .n.t + ϕ n ))
∑
dt
autres ω 0
Si la plupart des composantes de Fourier de ve sont dans le domaine atténué ( 1 dve (t ) nω << ω 0 ), alors v s (t ) ≈ dt ω 0
E) Filtres passe-bas 1) Fonction de transfert En sortie ouverte : R
ve
H ( jω ) =
ve
H ( jω ) =
v s C
1 1 + jRC ω
=
1 1 + jω / ω 0
, avec ω 0
=
1 RC
.
v s
R
R R + jω L
=
1 1 + jω / ω 0
, avec ω 0
Pulsation de coupure : 1 H ( jω ) =
2
ω 1 + ω 0
. H ( jω ) max
=
R L
.
= 1 . H ( jω ) =
1 2
⇔ ω = ω 0
On a donc un filtre passe-bas, de bande passante [ 0; ω 0 ]
Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres Electrocinétique
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2) Application : redressement T =
ve(t )
2π ω
t
<< ω
On utilise un filtre passe-bas ω 0 ∞
+ ∑ C n cos(ω .n.t + ϕ n )
v e (t ) = C 0
n =1
↓≈
↓ v s (t ) = C 0
+
0
( H (0) = 1 )
3) Comportement pseudo-intégrateur En RSF(ω ) , pour ω >> ω 0 : 1
H ( jω ) ~
jω / ω 0
=
Donc V s
~
ω 0 V e
jω
ω 0
jω t
∫
. Donc v s (t ) = ω 0 v e (t ' ) dt ' t 0
Pour un signal périodique ( T = v e (t ) =
∞
∑ C cos( n
ω .n.t
+ ϕ n )
2π ω
( C 0
) de moyenne nulle :
= 0)
n =1
avec ω >> ω 0 , v s (t ) =
∞
t
∑ ∫ C cos( ω 0
n =1
t
+
ω .n.t ' ϕ n ) dt '
n
t 0
= ω 0 ∫ ve (t ' )dt ' t 0
F) Exemple de filtre du 2nd ordre Filtre LC , R : C L ve
H ( jω ) =
v s
R
R R + jω L +
1 jω C
=
R
R + j ω L −
ω C
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1
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Etude du diagramme de Bode :
>> R
En basse fréquence, Z C
et Z C
C'est-à-dire RC ω << 1 ⇔ ω << H ( jω ) ~
R 1
1 RC
>>
= ω 1
Z L et
1 Cω
>> Lω ⇔ ω << ω 0 =
1 LC
ω
~ j
ω 1
jC ω Donc GdB (ω ) ~ 20 log
ω ω 1
.
Donc GdB (ω ) a une asymptote d’équation GdB
En haute fréquence, Z L De même, avec ω 2
=
R L
>> R
et Z L
et ω 0
=
>>
1 LC
= 20 log
ω ω 1
Z C
, H ( jω ) ~
Donc GdB (ω ) a une asymptote d’équation GdB
R jω L
~
= −20 log
1 jω / ω 2 ω
ω 2
Comparaison des pulsations : 1 R 2 ω 1ω 2
=
×
RC L
Donc log10 ω 0 ω 1 / ω 2
=
1
=
×
= ω 0
log 10 ω 1
L
RC R
+ log10 ω 2 2
=
2
L 2
R LC
=
L2ω 02 R
2
= Q2
> 1, ω 2 < ω 0 < ω 1 Si Q < 1, ω 1 < ω 0 < ω 2 Cas Q >> 1 : Si Q
GdB ω 2
ω 0
ω 1
ω
(échelle logarithmique
ω
< ω 2 et ω << ω 0
d e a c é d / B d 0 2
- 2 0 d B / d é c a d e
ω
> ω 1 et ω >> ω 0
Le gain est maximum quand ω = ω 0 , G (ω 0 ) = 1 . On a un filtre passe bande (très sélectif : la bande est très petite)
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Cas Q < 1 : GdB ω 1
ω 0
ω 2 ω
-3dB
(échelle logarithmique
d e a c é d / B d 0 2
- 2 0 d B / d é c a d e
pour les fréquences intermédiaires : GdB Bande passante
≈0
≈ [ω 1 ; ω 2 ]
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