Les suites réelles
Copyright © Dhaouadi Nejib 2009 – 2010 http://www.sigmaths.co.cc
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 1
Suites Réelles Dans ce chapitre I désigne l’ensemble des entiers n ≥ n0
(n0 ∈ ℕ )
I. Rappels et compléments 1. Suite arithmétique Définition
Soit (un ) une suite réelle définie sur I. On dit que (un ) est une suite arithmétique s’il existe une constante réelle r telle que pour tout entier n de I, un + 1 − un = r . On dit dans ce cas que (un ) est une suite arithmétique de raison r Conséquences
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 Pour tout entier naturel n, un = u0 + nr . Pour tous entiers naturels p et q on a : u p = uq + ( p − q )r . Pour tous entiers naturels p et q tels que p ≤ q , on a : q− p+1 u p + u p + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + uq = (u p + uq ) 2
2. Suite géométrique Définition
Soit (un ) une suite réelle définie sur I. On dit que (un ) est une suite géométrique s’il existe une constante réelle q telle que pour tout entier n de I, un + 1 = qun . On dit dans ce cas que (un ) est une suite géométrique de raison q Conséquences
Soit (un ) une suite géométrique de raison non nul q et de premier terme u0 Pour tout entier naturel n, un = u0 q n . Pour tous entiers naturels n et m on a : un = um q n − m . Pour tous entiers naturels m et n tels que n ≤ m , on a : 1 − qm − n + 1 si q ≠ 1 u pp un + un + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + um = 1−q ( m − n + 1) u si q = 1 0
lim q n =
n → +∞
Dhaouadi Nejib
si q > 1 +∞ 1 q = 1 si si -1 < q < 1 0 n'existe pas si q ≤ −1 http://www.sigmaths.co.cc
Page : 2
Exercice 1
On considère la suite ( un ) définie par u1 = 1 et un + 1 =
nun + 4
. n+1 = n u n est une suite
1. Démontrer que la suite ( v n ) définie par v n
arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. 2. En déduire l’expression de vn en fonction de n, puis l’expression de un en fonction de n. Solution
1. vn + 1 − vn = (n + 1 )un + 1 − nun = nun + 4 − nun = 4 ⇒ (vn ) est une suite arithmétique de raison r=4 et de premier terme v1 = 1 ⋅ u1 = 1 2. ∀n ∈ ℕ* , vn = v1 + (n − 1 )r = 1 + 4 (n − 1 ) = 4 n − 3
et
un =
vn
=
n
4n − 3 . n
Exercice 2
Soit a > 1 et (un ) la suite définie par u0 = a et ∀n ∈ ℕ, un + 1 =
3un − 2 2un − 1
1. Montrer que pour tout entier naturel n, (un ) existe et vérifie un > 1 . 2. On définit la suite (vn ) sur
ℕ
par : vn =
1 un − 1
.
a) Montrer que (vn ) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Exprimer vn et puis un en fonction de n et a. Solution
1. On procède par récurrence • Pour n=0, on a u0 = a > 1 , vrai •
Soit n ∈
ℕ,
supposons que un existe et un > 1 et montrons que un + 1 existe
et un + 1 > 1 . un > 1 ⇒ 2un > 2 ⇒ 2un − 1 > 1 ⇒ 2un − 1 ≠ 0 ⇒ un + 1 existe un + 1 − 1 =
3un − 2 2un − 1
−
1=
3un − 2 − 2un + 1 2un − 1
=
un − 1 2un − 1
un > 1 donc 2un − 1 > 0 et un − 1 > 0 donc un + 1 − 1 > 0 d'où un + 1 > 1. 2. a) vn + 1 =
1 un + 1 − 1
=
2un − 1 un − 1
⇒ vn + 1
−
vn =
2un − 1 un − 1
−
1 un − 1
=
2(un − 1 ) un − 1
=
Ce qui prouve que (vn ) est une suite arithmétique de raison 2 Son premier terme v0 =
1
1
. u0 − 1 a − 1 1 2(a − 1)n + 1 b) vn = v0 + nr = + 2n = a −1 a−1 a −1 a + 2(a − 1 )n 1 +1 = +1 = un = vn 2(a − 1 )n + 1 2(a − 1 )n + 1
Dhaouadi Nejib
=
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 3
2
Exercice 3 (suite Arithmético-géométrique)
Soit (un ) la suite réelle définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ ℕ , u n+1 =
1 un − 3 2
Pour tout entier naturel n, on pose vn = un + 6 . 1. Montrer que (vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 2. Exprimer vn et puis un en fonction de n 2n
3. Calculer, en fonction de n, la somme S =
∑u
k
.
k=n
Solution
1 1 1 1 un − 3 + 6 = un + 3 = (un + 6 ) = vn 2 2 2 2 1 Donc (vn ) est une suite géométrique de raison q = et de premier terme 2 v0 = u0 + 6 = 7 . 1. vn + 1 = un + 1 + 6 =
n
2. vn = v0 q =
1 7 2
2n
3. S =
n
et
2n
∑ u = ∑ (v k
k=n
Donc
un = vn − 6 =
k
k=n
S=
1 7 2
n
−
6
2n
−
6) =
∑v
k
−
6 ( 2n − n + 1 ) =
k=n
n n +1 1 1 14 1 − 2 2
−
1 1− 2 vn
2n − n + 1
1 1− 2
−
6 (n + 1 )
6(n + 1)
3. Convergence et divergence d’une suite Définition
Soit (un ) une suite réelle définie sur I. On dit que (un ) est convergente (ou encore admet une limite finie) s’il existe un réel l vérifiant : Pour tout réel ε > 0 , il existe p ∈ ℕ tel que pour tout entier n ∈ I , n ≥ p ⇒ un − l < ε Autrement dit, tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Parfois on dit, tout intervalle ouvert de centre l contient presque tous les termes de la suite. Remarques
Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente (admet une limite infinie ou n’admet pas de limite) Si une suite (un ) admet une limite finie l alors cette limite est unique et on note dans ce cas lim un = l ou tout simplement lim un = l n → +∞
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 4
Exemple
Soit la suite (un ) définie sur ℕ par : un =
2n − 5 . n+1
Montrons que (un ) converge vers 2. -------------------------------------------------------Soit ε > 0 , montrons qu’il existe un entier naturel p tel que pour tout entier naturel n, n ≥ p ⇒ un − 2 < ε 2n − 5 2n − 5 − 2n − 2 7 7 7 − 2 = = < ε ⇔ n+1 > ⇔ n > −1 n+1 n+1 n +1 ε ε
un − 2 =
7 ε
Il suffit alors de choisir p = E ou p=1 si
7 ε
−
−
1 + 1 si
7 ε
−
1 > 0 ( E désigne la partie entière)
7 ε
1 < 0 et pour le dire en un seul mot p = sup 1, E
Ainsi on a : n ≥ p >
7 ε
−
7
1⇒
n+1
< ε
⇒ un
−
−
1 + 1 .
2 <ε
Définition On
dit qu’une suite (un ) tend vers +∞ et on note lim un = +∞ si pour tout
réel A > 0 , il existe p ∈
ℕ
, tel que pour tout entier n ∈ I , n ≥ p ⇒ un > A .
Autrement dit, tout intervalle de la forme A, ] +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. On dit qu’une suite (un ) tend vers −∞ et on note lim un = −∞ si pour tout réel A < 0 , il existe p ∈
ℕ
, tel que pour tout entier n ∈ I , n ≥ p ⇒ un < A .
Autrement dit, tout intervalle de la forme ]−∞ , A[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. Exemple
Soit (un ) la suite définie sur
ℕ par
: un = 2n2 − 1
Montrons que lim un = +∞ . ------------------------------------------------------------------------Soit A > 0 , montrons qu’il existe un entier p tel que pour tout entier n ∈ I , n ≥ p ⇒ un > A . un > A ⇔ 2n2 − 1 > A ⇔ 2n2 > A + 1 ⇔ n2 >
A + 1 ⇔ n > 2
A+1 car n ∈ ℕ . 2
A + 1 + 1 . 2 4. Opérations sur les suites convergentes il suffit alors de choisir p = E
Comme pour les fonctions, on peut définir les opérations usuelles sur les suites. Soient (un ) et (vn ) sont deux suites définies sur I. Pour tout entier n ∈ I , on a :
( u + v )n
=
Dhaouadi Nejib
un + vn . http://www.sigmaths.co.cc
Page : 5
( λ u )n
∀λ ∈ ℝ ,
( uv )n
=
= λ×
un .
un × vn
u 1 1 u Si (vn ) est une suite à termes non nuls alors : = et = n . vn v n vn v n Théorème 1
Soient (un ) et (vn ) sont deux suites définies sur I. Si (un ) et (vn ) sont convergentes alors : les suites u + v, λu (λ ∈
ℝ ),
uv et u sont convergentes.
Si en plus (vn ) est une suite a termes non nuls et lim vn ≠ 0 alors les suites u 1 et sont convergentes et on a : v v lim(u + v )n = lim un + lim vn . lim( λu)n = λ × lim un . lim(uv )n = lim un × lim vn . lim un = lim un 1 1 lim = . v n lim un lim un u lim = . lim vn v n Exercice
Déterminer la limite éventuelle de la suite (un ) dans chacun des cas suivants 2 − 3n + n2 a) un = 2 n +n+1
b) un =
4n2 + 1 − 2n
c) un =
( −3)
n
( −3)
n
−
1
+
1
Solution
2 − 3n + n2 = a) lim un = lim 2 n +n+1
3 2 − + 1 2 n n lim 1 1 n2 1 + + 2 n n n2
2
b) lim un = lim 4n + 1 − 2n = lim
c) lim un = lim
n
֏
−
1 3
( −3)
n
( −3 )
n
−
1
+
1
1− =
lim 1+
4n2 + 1 − 4n2
3 2 − + 1 2 n n 1 1 lim 1 + + 2 n n lim
=
=
2
1
( −3 )
1 = 1 1
=
2
0
4n + 1 + 2n n
n
=
1
( −3)
1
lim
4n + 1 + 2n
=
n
1 1 − − 3 lim n 1 1 + − 3
n
est une suite géométrique de raison −
=
1 car la suite
1 appartenant 3
à l'intervalle ]−1, 1[ donc sa limite égale à 0.
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 6
Théorème 2
Soit (un ) une suite réelle et a fini ou infini. lim un = a ⇔ lim u2n = lim u2n + 1 = a Démonstration
Supposons dans la suite que a est fini Montrons que lim un = a ⇒ lim u2n = lim u2n + 1 = a Soit ε > 0 , lim un = a ⇒ il il existe p
∈ ℕ
tel que
∀n ∈
I , n ≥ p ⇒ un
−
a
< ε
Et puisqu’on a pour tout n ∈ I, 2n+1 ≥ 2n ≥ n alors :
u2n − a < ε d’où les suites ( u2n ) et ( u2n + 1 ) sont convergentes et u a − < ε 2n + 1
n≥ p⇒
lim u2n = lim u2n + 1 = a Réciproquement Soit ε > 0 , lim u2n = a ⇒ il il existe p1 et lim u2n + 1 = a ⇒ il il existe p2
∈ ℕ
∈ ℕ
tel que n ≥ p1 ⇒ u2n
tel que n ≥ p2 ⇒ u2 n + 1
−
a
−
a
< ε
< ε
Posons p = sup(2 p1 , 2 p2 + 1 ). Soit m ∈ I , deux cas peuvent se présenter • m = 2n m ≥ p ⇒ n ≥ p1 ⇒ u2n − a = um − a < ε •
m = 2n + 1 m ≥ p ⇒ n ≥ p2 ⇒ u2n + 1 − a = um − a < ε
Dans le cas où a est infini, la démonstration se fait presque de la même façon. Exercice
Etudier la convergence de la suite (un ) dans chacun des cas suivants : a) un = ( −1)
n
b) un =
( −1) n
n
c) un =
1 π cos n n 2
Solution
u2n = 1 lim u2n = 1 a) et u2n + 1 = −1 lim u2n + 1 = −1 lim u2n ≠ lim u2n + 1 ⇒ la suite (un ) n’a pas de limite donc elle est divergente. 1 u = 2 n lim u2n = 0 n ⇒ b) et comme les deux suites ( u2n ) et ( u2 n + 1 ) lim u = 0 − 1 2n + 1 u2n + 1 = n convergent vers la même limite 0 donc la suite ( un ) converge vers 0. 1 1 π cos (2 n + 1 ) = 0 cos ( nπ ) et wn = u2n + 1 = 2n 2n + 1 2 −1 1 1 1 cos ( 2nπ ) = cos ( (2 n + 1 )π ) = = et yn = v2n + 1 = 4n 4n 2 ( 2n + 1) 4n + 2
c) Posons vn = u2n = xn = v2n
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 7
Il est évident que chacune des suites ( xn ) et ( y n ) converge vers 0, donc la suite ( vn ) converge vers 0. Les suites ( vn ) et ( wn ) convergent vers 0, donc la suite ( un ) converge vers 0.
5. Suites bornées et convergence Théorème 3
Toute suite convergente est bornée. Démonstration
Soit ( un ) une suite réelle qui converge vers un réel l. lim un = l donc il existe un entier naturel p tel que, n ∈ I et n ≥ p ⇒ un − l < 1 Autrement dit, ∀n ≥ p, un ∈ ]l − 1, l + 1[ . On pose m = inf {l − 1, un0 , un0 + 1 , ..., up − 1 et M = sup {l + 1, un0 , un0 + 1 , ..., up − 1 } Soit n ∈ I . Si n ≥ p
m ≤ l − 1 < un < l + 1 ≤ M
alors
Si n0 ≤ n < p alors
un ∈ {un0 , un0 + 1 , ...., up − 1 } donc m ≤ un ≤ M
Remarque
Une suite bornée n’est pas nécessairement convergente. n
Exemple : un = ( −1)
II. Limites et ordre Théorème 4
Soit ( un ) une suite réelle qui converge vers un réel l. S’il existe p ∈ I tel que, pour tout entier n ≥ p, un ≥ 0 (resp un ≤ 0) alors l ≥ 0 (resp l ≤ 0) Démonstration
Supposons que l < 0 . On a lim un = l donc pour ε =
−l
2
>
0 , il existe q ∈ ℕ tel que pour tout n ∈ I,
n ≥ q ⇒ un − l < ε . l l −l < un − l < ⇒< un < < 0 ce qui est impossible si on 2 2 2 2 choisit n ≥ sup( p, q) . On appliquant ce résultat à la suite −u , on montre que si un ≤ 0 à partir d’un un − l <
−l
⇔
certain rang alors l ≤ 0 .
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 8
un > 0 à partir d'un certain rang ⇒
l > 0.
On peut avoir un > 0 pour tout n ∈ I et l = 0 . Exemple : un =
1 . n
Conséquences
Soient ( un ) et ( vn ) deux suites réelles qui convergent respectivement vers deux réels l et l ' . Si on a un ≤ vn à partir d’un certain rang alors l ≤ l ' Soit ( un ) une suite réelle qui converge vers un réel l et a et b deux réels. Si un ∈ [ a, b] à partir d’un certain rang alors l ∈ [ a, b] Ce résultat n’est pas toujours vrai si on remplace l’intervalle fermé [ a, b] par l’intervalle ouvert ]a, b[
un < vn à partir d'un certain rang
⇒ l
<
l'.
On peut avoir un < vn pour tout n ∈ I et l = l ' . Exemple : un =
1
n+2
et vn =
1
n+1
Théorème 5 (théorème des gendarmes) Soient ( un ) , ( vn ) et ( wn ) trois suites réelles définies sur I et l un réel.
Il existe p ∈ ℕ tel que pour tout entier n
Si on a :
lim un
Alors
=
≥
p, un ≤ wn ≤ vn
lim vn = l
lim wn = l
Démonstration Pour tout n ∈ I posons xn = wn − un
et yn = vn − un
On a : ∀n ∈ I, 0 ≤ xn ≤ yn Soit ε > 0 . La suite ( yn ) est convergente et lim yn = l − l = 0 ⇒ Il existe p ∈ ∀n ∈
ℕ
tel que
I, n ≥ p ⇒ yn = yn < ε .
Donc pour n ∈ I et n ≥ p on a : 0 ≤ xn ≤ y n < ε On a alors : ∀ε > 0 il existe p ∈ I tel que ∀n ∈ I , n ≥ p ⇒ xn < ε Donc la suite ( xn ) converge vers 0 Et puisqu’on a wn = xn + un pour tout n ∈ I alors la suite ( wn ) est convergente (comme somme de deux suites convergentes) et lim wn = l .
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 9
Conséquence
Soient ( un ) et ( vn ) deux suites réelles définies sur I. un ≤ vn à partir d'un certain rang et lim vn = 0
lim un = 0
Exemple 1
cos n n
Soit ( un ) la suite réelle définie sur ℕ * par : un = Montrer que lim un = 0 .
------------------------------------cos n cos n 1 * ∀n ∈ ℕ , un = = ≤ car pour tout réel x, n n n
* ∀n ∈ ℕ , un On a : lim 1 = 0 n
≤
1 n
cos x ≤ 1
donc lim un = 0 .
Exemple 2
Soit ( un ) la suite réelle définie sur ℕ par : un =
n − sin n 2n + ( −1 )n
Etudions la convergence de cette suite. ------------------------------------Pour tout entier naturel n supérieur à 1 on a : −1 ≤ − sin n ≤ 1 ⇒ 0 ≤ n − 1 ≤ n − sin n ≤ n + 1 Pour tout entier naturel n supérieur à 1 on a : −1 ≤ ( −1)
n
≤
n
1 ⇒ 0 < 2n − 1 ≤ 2n + ( −1) ≤ 2n + 1
⇒
Ainsi pour n ≥
1 1 1 ≤ ≤ 2n + 1 2n + ( −1)n 2n − 1
0 ≤ n − 1 ≤ n − sin n ≤ n + 1 1 1 1 1 on a: ≤ ≤ 0< 2n + 1 2n + ( −1) n 2n − 1
En multipliant ces deux encadrements, membre à membre on trouve n−1 n+1 ≤ un ≤ 2n + 1 2n − 1 1 1 1− 1+ n−1 n = 1 et lim n + 1 = lim n = 1 = lim En plus lim 1 1 2n + 1 2 2n − 1 2 2+ 2− n n Donc d’après le théorème des gendarmes on peut conclure que la suite ( un ) est convergente et lim un =
1 . 2
Exemple 3 n
Soit ( un ) la suite réelle définie sur ℕ par : un = *
n
∑ 2 k 1n + k =
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 10
Etudions la convergence de cette suite. -------------------------------Pour tout entier naturel n non nul et pour tout entier k ∈ {1, 2, ..., n} on a : n2 + 1 ≤ n2 + k ≤ n2 + n ⇔
1
1
≤
≤
1
⇔
n
≤
n
≤
n
n2 + n n2 + k n2 + 1 n2 + n n2 + k n2 + 1 n n n n n2 n2 ≤ un ≤ ⇔ 2 ≤ un ≤ 2 Donc (somme des n 2 2 + + + + n n n 1 n n n 1 k =1 k =1 encadrements membre à membre) j’espère que c’est clair ! Il semble que les extrémités du dernier encadrement ont la même limite, vérifions alors ça. n2 n2 n2 1 1 = lim = lim = 1 et lim 2 = lim = 1 lim 2 1 1 1 n +n n +1 2 1+ 1+ 2 n 1 + n n n
∑
∑
n2 n2 * ∀n ∈ ℕ , n2 + n ≤ un ≤ n2 + 1 On a alors 2 n2 lim n = lim 2 = 1 n2 + n n +1 Donc d’après le théorème des gendarmes la suite ( un ) est convergente et lim un = 1 Théorème 6
Soient ( un ) et ( vn ) deux suites réelles définies sur I. S'il existe q ∈ ℕ , tel que ∀n ∈ I et n ≥ q, un ≤ vn et
lim un = +∞
alors lim vn = +∞ S'il existe q ∈ ℕ , tel que ∀n ∈ I et n ≥ q, un ≤ vn et
lim vn = −∞
alors lim un = −∞
Démonstration Soit A >
0 , montrons qu’il existe un entier naturel m tel que ∀n ∈ I , n ≥ m ⇒ vn > A . On a lim un = +∞ ⇒ il existe p ∈
ℕ,
tel que ∀n ∈ I, n ≥ p ⇒ un > A
Posons m=sup(p,q) et soit n ∈ I . n ≥ m ⇒ vn ≥ un > A Donc lim vn = +∞ . Pour
n ≥ q on a − vn ≤ −un en plus lim( −vn ) = +∞ ⇒ lim( −un ) = +∞
Donc lim un = −∞ Exercice
1) Démontrer que ∀n ∈ ℕ* ,
Dhaouadi Nejib
n+1−
n <
1 2 n
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 11
1
2) En déduire que lim 1 +
1
+
2
+
3
... +
1
= +∞
n
Solution
n+1−
1) On a
n+1> n⇔ Donc
n+1 >
∀n ∈ ℕ
*
n+1−n
n =
,
n+1+ n ⇔
n+1−
∀k ∈ {1, 2, ...., n}
2) On a :
n
n+1+ n <
1
=
n+1+
n
n >2 n ⇔
1
1
<
n+1+
n
2 n
1 2 n
k+1 −
k<
1 2 k
Faisant la somme membre à membre n
∑
n
k+1−
k <
k =1
(
∑2 k=1
2 − 1) +
(
3−
1
ou encore
k
2) + ( 4 −
3 ) + .... + ( n + 1 −
Ce qui donne après simplification D’où
1
1+
+
2
alors lim 1 +
.... + 1 2
+
1
>
n .... +
n+1−1<
n) <
1 1 + 2
1
+
1
+
2 1 1
.... +
2 2 1 + .... + 2 n
1 2 n
2 n + 1 − 2 et puisqu’on a lim( 2 n + 1 − 2 ) = +∞ 1
n
= +∞ .
III. Suites de type vn=f(un) Théorème 7
Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert J de centre a et ( un ) une suite à valeurs dans J. Si ( un ) converge vers a et f continue en a alors alors la suite f (un ) converge vers f(a) Démonstration
Soit ε > 0 . Montrons qu’il existe p ∈ ℕ tel que ∀n ∈ I, n ≥ p ⇒ f (un ) − f (a ) < ε On a : f continue en a ⇒ il existe α > 0 tel que ∀x ∈ J,
x − a < α ⇒ f ( x) − f (a ) < ε
( un ) converge vers a donc il existe p ∈ ℕ tel que ∀n ∈ I, n
≥
p ⇒ un − a < α
Donc pour n ∈ I et n ≥ p on a un ∈ J et un − a < α ce qui permet d’écrire
f (un ) − f (a ) < ε
Dhaouadi Nejib
cqfd
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 12
Exercice
Soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel non nul n
1 . Déterminer lim un n
par : un = n2 1 − cos2
Solution
1 − cos x = f ( x) si x x2 Considérons la fonction f définie sur ℝ par : f ( 0 ) = 1 2 1 Il est évident que un = f pour tout entier naturel n non nul. n Puisque lim f( x) = x → 0
En plus lim
≠
0
1 (Résultat de cours) alors f est continue en 0 2
1 = 0 donc la suite ( un ) converge vers f(0)=1. n
Théorème 8
Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert J de centre l sauf peut être en l et ( un ) une suite à valeurs dans J \ {l} . Si lim un = l et lim f ( x ) = L ( L ∈ x → l
lim ( f ( un ) ) = L .
ℝ ) alors
Démonstration
Soit ε > 0 , montrons qu’il existe p ∈ ∀n ∈
I,
(n ≥
ℕ
tel que
p ⇒ f (un ) − L < ε ) . On a lim f ( x ) = L donc x → l
il existe α > 0 tel que ∀ x ∈ J, 0 < x − l < α ⇒ f ( x ) − L < ε Puisque lim un = l donc il existe p ∈
ℕ
tel que ∀n ∈ I,
(n ≥
(1)
p ⇒ un − l < α )
Alors pour n ≥ p on a un − l < α et on a aussi par hypothèse un ∈ J \ {l} Ce qui permet d’écrire 0 < un − l < α pour n ≥ p . Et d’après (1), (1), on obtient f (un ) − L < ε . En conclusion ∀ε >
0, il existe p ∈ ℕ tel que ∀ n ∈ I,
(n ≥
p ⇒ f (un ) − L < ε )
D’où lim f ( un ) = L Remarque Le théorème précédent reste valable si l ou L est infinie
Conséquence
Si f est une fonction telle que lim f ( x ) = l alors lim f ( n ) = l x → +∞
Dhaouadi Nejib
n → +∞
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 13
Exemples
lim 3x 2 − x + 1 = lim 3 x2 = +∞ ⇒ lim 3n2 − n + 1 = +∞
x → +∞
x → +∞
x2 − x + 1 x2 n2 − n + 1 lim = lim 2 = 1 ⇒ lim 2 = 1 x → +∞ x 2 + x + 1 x → +∞ x n → +∞ n + n + 1 1 sin 1 x = lim sin X = 1 ⇒ lim n sin 1 = 1 . lim x sin = lim n x → +∞ X → +∞ n → +∞ 1 X x x → +∞ x
IV. Convergence des suites monotones Théorème 9(Admis) (utile pour justifier la convergence)
Si ( un ) est une suite croissante et majorée alors elle est convergente et elle converge vers un réel l vérifiant un ≤ l à partir d’un certain rang. Si ( un ) est une suite décroissante et minorée est convergente et elle converge vers un réel l vérifiant un ≥ l à partir d’un certain rang. Théorème 10
Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞ Toute suite décroissante et non minorée tend vers −∞ Démonstration Soit A >
0 , montrons que un > A à partir d’un certain rang.
( un ) n'est pas majorée donc il existe p ∈ ℕ tel que up Or la suite ( un ) est croissante donc pour tout entier
>
A
n ∈ I, n ≥ p ⇒ un ≥ up > A Soit A <
0 , montrons que un < A à partir d’un certain rang.
( un ) n'est pas minorée donc il existe p ∈ ℕ tel que up < A Or la suite ( un ) est décroissante ∀n ∈ I, n ≥ p ⇒ un ≤ up < A Théorème 11 (utile pour le calcul de la limite si elle existe)
Soit f une fonction continue sur un intervalle J et ( un ) une suite à valeurs dans J qui converge vers un réel l. Si un + 1 = f (un ) et l ∈ J alors f(l)=l Démonstration
On a lim un + 1 = lim un = l Et comme f est continue en l alors lim f (un ) = lim un + 1 = f (l ) Donc d’après l’unicité de la limite on a f(l)=l.
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 14
Exercice
Soit la suite ( un ) définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ ℕ , un + 1 =
2 + un .
1) Montrer que pour tout entier naturel n, 1 ≤ un ≤ 2 . 2) Montrer que la suite ( un ) est croissante 3) En déduire que ( un ) est convergente et calculer sa limite. Solution
1) On procède par récurrence Pour n=0 , l’encadrement est vrai car u0 = 1 ∈ [1, 2] . Hérédité : Soit n ∈
ℕ tel
que 1 ≤ un ≤ 2 et montrons que 1 ≤ un + 1 ≤ 2 .
1 ≤ un ≤ 2 ⇔ 3 ≤ 2 + un ≤ 4 ⇔ 2) un + 1 − un =
2 + un − un =
3 ≤
2 + un ≤
2 + un − un2 2 + un + un
Et d’après 1) 1 ≤ un ≤ 2 ⇒ un − 2 ≤ 0,
−
=
(un
4 = 2 ⇒ 1 ≤ un + 1 ≤ 2 −
2 ) ( −un − 1)
2 + un + un un − 1 < 0 et
2 + un + un > 0
Ce qui prouve bien que un + 1 − un ≥ 0 et la suite ( un ) est croissante. 3) La suite ( un ) est croissante et majorée (par 2) donc elle est convergente
un + 1 = f (un ) où f : x ֏ 2 + x ( un ) converge vers l f continue sur [ −2, +∞[ et en particulier sur [1,2] ∀n ∈ ℕ , un ∈ [1, 2] donc l ∈ [1, 2] Donc f (l ) = l f (l ) = l ⇔
2 + l = l ⇔ l2 = 2 + l et l ≥ 0 ⇔ l2 − l − 2 = 0 et l ≥ 0
la solution positive de l’équation l 2 − l − 2 = 0 est 2 donc lim un = 2 .
IV. Suites adjacentes Définition
On dit que ( un ) et ( vn ) sont adjacentes si les trois conditions suivantes sont vérifiées : Pour tout entier n ∈ I, un ≤ vn
( un ) croissante et ( vn ) décroissante
lim(vn − un ) = 0
Théorème
Si deux suites réelles sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 15
Démonstration
( un ) est croissante donc un
≤
0
un et un ≤ vn pour tout n ≥ n0 (n ∈ I )
Donc ∀n ∈ I, un0 ≤ vn c.-à-d. ( vn ) est minorée par un0 Et puisque ( vn ) est minorée et décroissante alors elle est convergente
( vn ) est décroissante donc vn
≤
vn0 et un ≤ vn pour tout n ≥ n0 (n ∈ I )
Donc ∀n ∈ I, un ≤ vn0 c.-à-d. ( un ) est majorée par vn0 Et puisque ( un ) est croissante et majorée alors elle est convergente En plus on a lim(vn − un ) = 0 donc lim un = lim vn Exercice
On considère les suites ( un ) et ( vn ) définies par :
u0 = 12 ∀n ∈ ℕ , un + 1
=
v0 = 1 ∀n ∈ ℕ , vn + 1
et
un + 2vn
3 1) Pour tout n ∈ ℕ on pose wn = un − vn .
=
un + 3vn 4
a) Montrer que ( wn ) est une suite géométrique b) En déduire que pour tout entier n ∈ ℕ , un ≥ vn . 2) Montrer que ( un ) et ( vn ) sont adjacentes et qu’elles convergent vers la même limite l . 3) Pour tout n ∈
ℕ
on pose tn = 3un + 8vn
a) Montrer que ( t n ) est une suite constante. b) En déduire la valeur de l. Solution
1) a) wn
+1
=
un
+1
−
vn
+1
=
un
+
2vn
−
un
+
3
3vn
=
4u n + 8vn − 3u n − 9vn
4
12
Donc ( wn ) est une suite géométrique de raison n
b) ∀n ∈ ℕ , wn = w0 q =
1 11 2
=
un
−
vn
=
12
1 12
1 et de premier terme w0 12
wn =
11
n
≥
0 donc un ≥ vn .
2) •
un + 1 − un = suite
•
un + 2vn 3
−
un =
−2un +
2vn
3
= −
2 2 ( un − vn ) = − wn ≤ 0 donc la 3 3
( un ) est décroissante.
vn + 1 − vn =
un + 3vn 4
−
vn =
un − vn 4
=
1 1 ( un − vn ) = wn ≥ 0 donc la suite ( vn ) 4 4
est croissante. •
( wn ) est une suite géométrique de raison
Dhaouadi Nejib
1 ∈ ]−1, 1[ donc lim wn 12
=
lim(un
http://www.sigmaths.co.cc
−
vn )
Page : 16
=
0.
∀n ∈ ℕ , vn ≤ un (vn ) croissante et (un ) décroissante lim(u − v ) = 0 n n
donc
( un ) et ( vn ) sont adjacentes.
Ces deux suites sont adjacentes donc elles convergent vers la même limite l 3) a) tn + 1 = 3un + 1 + 8vn + 1 = un + 2vn + 2 (un + 3vn ) = 3un + 8vn = tn Donc ( t n ) est une suite constante. b) ( t n ) est constante donc ∀n ∈ ℕ , tn = 3un + 8 vn = t0 = 3u0 + 8v0 = 44 . Par passage à la limite on trouve 11l = 44 donc l =
44 = 4. 11
Ce cours que j’ai conçu est destiné aux élèves des classes terminales section mathématique conformément aux programmes officiels Tunisien. Vos suggestions et vos remarques m’intéresse beaucoup et seront les bienvenus sur mon email
[email protected]
Copyright © Dhaouadi Nejib 2009 – 2010 http://www.sigmaths.co.cc
Dhaouadi Nejib
http://www.sigmaths.co.cc
Page : 17
