Généralités sur les fonctions 1ereS

Chapitre 1 :

Généralités sur les fonctions

I. Notions liées aux fonctions :

A.Définition, A. Définition, vocabulaire et notations : Définition D1 :

soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de .

Définir une fonction f sur l’ensemble D, c’est associer, à chaque chaque x de D, au plus un réel noté f(x). On dit que f(x) est l’image de x par f ou encore que x est un antécédent de f(x) par f.

NOTATIONS :

on note

f:

x f(x) on lit « f est la fonction fonction définie sur D, à valeurs dans

qui à tout réel x de D, associe associe le réel f(x) .»

Exemple : Soit f la fonction définie par f(x)=2x-3 pour tout réel x: Cet énoncé signifie que f: x 2x² – 3 On a ici f(2)=2 x 2² - 3 = 5 on peut donc dire que la fonction f associe le réel 5 au réel 2 ou encore que 2 a pour image 5 par f ou que 5 est l’image de 2 par f ; ou encore que 2 est un antécédent de 5 par f ou que 5 a pour antécédent 2 par f. 

 

un réel admet au plus une image par f. (c’est-à-dire (c’est-à-dire 0 ou 1 )



Un réel peut admettre 0, 1, 2, 3… antécédents voire une infinité.

Ici

5 admet deux antécédents : 2 et -2.

B. Ensemble de définition : Définition D2 : Soit f une fonction

L’ensemble des réels possédant possé dant une image par une fonction est appelé ensemble de définition de cette fonction. NOTATION : l’ensemble de définition d’une fonction f est généralement noté D f . Exemples : Soit f la fonction définie par f(x)=2x-3 : Comme on peut toujours multiplier un réel par deux puis ajouter – 3 au résultat obtenu alors tout réel admet une image par f donc l’ensemble de définition de f est . 

soit

g la fonction définie par g(x)= g(x) existe ssi 4-x² 0 ssi x² ssi x -2 ou x donc l’ensemble de définition de g est soit h la fonction définie par h(x)= h(x) existe ssi x² x²-9 0 ssi (x et x donc l’ensemble de définition de h est .



On détermine, par le calcul, l’ensemble de définition d’une fonction en se rappelant que : l’on ne divise pas par zéro  l’on et l’on prend toujours la racine carrée d’un  réel positif ou nul. nul.

. 

soit i la fonction définie par i(x)=

i(x) i(x) exis existe te ssi ssi x²x²-9 9 0 ssi ssi (x> (x> ou x donc l’ensemble de définition de i est

.

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





C. Courbe représentative d’une fonction : Définition D3 : Soit f une fonction d’ensemble de définition Df.

Un repère étant fixé, l’ensemble des points poin ts M de coordonnées (x ;f(x)), où x représentative (ou représentation graphique) de la est appelée courbe représentative la fonction fonction f.

On dit alors que y=f(x) est une équation cartésienne de cette courbe dans ce repère. NOTATION : On note généralement C f la courbe représentative de f. EXEMPLE : Soit f la fonction définie par f(x)= 3x-2 Sa courbe représentative Cf a pour pour équation équation y=3x-2 dans le repère R. 

Comme 2 appartient à Df et comme f(2)=4 Alors le point M de Cf d’abscisse 2 a pour ordonnée ordonnée 4 Soit N le point du plan de coordonnées (-1 ;-5) Comme -1 et comme f(xN )=f(-1)=-5=yN Alors N est un point de Cf.



DIRE QUE : « Cf a pour équation y=f(x) dans le repère R. » Cela signifie 2 choses choses :  Tout point M de Cf a pour coordonnées (x,f(x)) avec x MAIS AUSSI que : Tout point M du plan de d e coordonnées  (xM ;yM) avec et yM=f(xM) appartient à Cf

D.Comparaison D. Comparaison de fonctions : 1. Egalité de deux fonctions : Définition D4 : Soient f et g deux fonctions.

f et g sont deux fonctions égales





pour tout réel x, f(x)= = =g(x) donc f=g Soientt f et g les foncti fonctions ons défini définies es par f(x)= f(x)=  Soien

prouver que les deux conditions  ET  de D4 sont remplies.



f(x) existe ssi x+1 x+1 ssi x donc f est définie sur - {-1} et g est définie sur donc f et g ne sont pas égales égales POURTANT , pour tout réel x , =

et g(x)=x g(x)=x-1 -1





Soien Soientt f et g les foncti fonctions ons défini définies es par f(x)= f(x)=



Pour montrer que deux fonctions ne sont pas égales, il suffit donc de prouver que l’UNE de ces deux et g(x)=x g(x)=x-1 -1 conditions n’est pas vérifiée.

On a f(-1)=0 et g(-1)=-2 g(-1)=-2 Donc il existe un réel x (ici -1) pour lequel f(x) CONCLUSION : f et g ne sont pas égales même si elles ont même ensemble de définition.

2. Notations du type

:

Définition D5 : soient f et et g deux fonctions et I un intervalle inclus dans leur ensemble ensemble de définition Df et Dg.

La fonction f est inférieure ou égale à la fonction g sur l’intervalle I si et seulement si

pour tout réel x de I, on a

.

NOTATION : On note alors f g REMARQUE REMARQUE : On définirait définirait de façon analogue analogue

fg. f>g.

Définition D6 : Comparer deux fonctions f et g fg.

revient à

déterminer les intervalles où

EXEMPLES : Soient f et g les deux fonctions définies par f(x)=x²-1 et g(x)=-x²+3. Montrons que f > g sur ]-4 ;-2[ : Soit x appartenant à ]-4 ;-2[ Alors Alors x ]-4 ;-2[ donc -4 < x < -2 donc 4 < x² < 16 D’où 3 < x²-1 x²-1 < 15 et -16 < -x²< -4 soit -13 < -x²+3 < -1 Donc g(x)< -1 < 3 < f(x) ou encore f(x) > g(x) On a montré montré que : pour tout réel x de ]-4 ;-2[, f(x) > g(x) Donc f > g sur ]-4 ;-2[ Soient f et g les deux fonctions définies  par f(x)= f(x)= - x²-1 et g(x)=-x²+3. g(x)=-x²+3. Montrons que f < g sur : Soit x un réel, réel, on a f(x)- g(x) = -4 donc f(x) f(x) – g(x) <0 



Pour comparer deux fonctions, il faut donc démontrer une inégalité. Pour cela, on peut donc :  étudier le signe de f(x)-g(x) (avec au besoin un tableau de signes) OU comparer directement f(x) et g(x) grâce aux propriétés sur les inégalités. OU comparer f(x) et g(x) à un réel A pour





Donc fg sur ]-

Définition D7 :Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ayant respectivement pour courbe représentative Cf et Cg dans un repère. Etudier la position relative de Cf et Cg sur l’intervalle I revient à déterminer les intervalles où fg (s’il en existe). La courbe Cf est au-dessus au-dessus de la courbe Cg sur I ssi f>g sur I La courbe Cf est en-dessous de la courbe Cg sur I ssi f
 Cf est au-dessus de Cg sur ]-2 ;2[ car pour tout a de ]-2 ;2[, f(a)>g(a)

Etudier la position relative de deux courbes revient en fait à comparer les deux fonctions dont elles sont la représentation graphique. graphique.

Cf est en-dessous de Cg sur ]car pour tout a de ]-

,f(a)
E. Propriétés d’une fonction : 1. Eléments de symétrie d’une courbe : a. Etude de la parité : Définition D8 : Soit f une fonction dont l’ensemble de définition est D f.

f est paire

si et seulement si

pour tout réel x de Df, on a



-x



f(-

x)=f(x). f est impaire si et seulement si

pour tout réel x de Df, on a



-x



f(-x)= -

f(x). Etudier la parité de f revient à déterminer si elle est paire, impaire ou bien ni paire, ni impaire.





Donc -x appartenant à Df = =f(x)  f(-x)=

remplies en ayant au besoin au préalable déterminer son ensemble de définition.

Donc f est paire Soit g la fonction définie par g(x)= g(x g(x) exist xistee ssi ssi 9-x² 9-x² ssi ssi -3-x donc -x == - g (x )  g(-x)= 

Dg

Donc g est impaire  Soit h la fonction définie par h(x)= h(x) existe ssi x  Donc Dh= (intervalle non centré en 0) 1 Dh mais -1 n’appartient n’appartient pas à Dh  Donc h n’est ni paire, ni impaire.  Soit i la fonction définie par i(x)=2x-1  i(x) existe pour tout réel x Donc Di=  1 Di et -1 Di pourtant i(1)=1 et i(-1)=-3 Comme i(1) Comme -i(1) Donc i n’est ni paire, ni impaire.



Pour montrer qu’une fonction n’est ni paire, ni impaire, il suffit donc de prouver que l’UNE de ces deux conditions n’est pas vérifiée.

Propriété P1 :

* f est une fonction paire si et seulement si sa courbe Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal. * f est une fonction impaire si et seulement si sa courbe Cf est symétrique par rapport à l’origine dans un repère quelconque. Exemples : 

Soit f la fonction définie par f(x)=

On a vu précédemment que f est paire donc dans un repère orthogonal, sa courbe Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. (vérification graphique ci-contre) 

Soit g la fonction définie par g(x)=

pour x et g(-x)=

–x

donc si x Dg alors –x Dg donc g est impaire

 cette propriété permet de montrer qu’une courbe admet un axe ou un centre de symétrie.

donc sa courbe Cg est symétrique symétrique par rapport à l’origine l’orig ine du repère. (vérification graphique ci-contre)

Soit h la fonction définie par la courbe représentative ci-dessous :



Dans ce repère orthogonal, cette courbe







représentative ci-contre :

permettant d’affirmer qu’il y a symétrie.

des ordonnées car M(5,i(5)) appartient à Cf mais pas M’(-5,i(5)) M’( -5,i(5)) (en effet : i(5) vu que i(5)<100 et i(-5)>0) Donc i n’est ni paire, ni impaire.

b. Généralisation : Propriété P2 : f une fonction, D f son ensemble de définition, C f sa courbe dans un repère.

Cf admet le le po point I de co coordonnées (a (a,b) (a (a comme ce centre de symétrie rie si et seulement si x Df,  2a-x  Df ET  f(2a-x)+f(x)=2b (Proposition A) si et seulement si

h

 

a+h Df,



a-h

Df

ET



f(a-h)+f(a+h)=2b

(prop. B)

NOTATION : l’expression française « pour tout réel x » peut être remplacée par » signifiant « quelque soit x » l’expression mathématique « x ILLUSTRATION GRAPHIQUE : Proposition A :

Proposition B :

EXEMPLES : Soit f la fonction définie par f(x)=2(x-3)3+5  D’après la calculatrice, le point I de coordonnées (3 ;5) semble être centre de symétrie de la courbe de f. PROUVONS CE RESULTAT en montrant la proposition A: f(x) existe pour tout réel x donc donc Df=  Soit x appartenant à Df  Alors  x donc 6-x donc 6-x Df  f(2x3-x)+f(x)=2(6-x-3)3+5+2(x-3)3+5=2(3-x)3-2(3-x)3+10=2x5 CONCLUSION : le point I de coordonnées (3 ;5) est centre de symétrie de la courbe représentative de f.  Soit g la fonction définie par g(x)= 

 cette propriété permet de montrer qu’une courbe admet ou non un centre de symétrie. Elle donne, en fait, deux méthodes possibles : 

Celle utilisant la proposition A



Celle utilisant la proposition B







d’où g(5-h)+g(5+h)= g(5-h)+g(5+h)= 1-

= 2x1

a-h Df donc –h rempli cette condition).

CONCLUSION : 5+h Df, on a 5-h  Df ET f(5-h)+f(5+h)=2x1 h Donc I(5 ;1) est centre de symétrie de la courbe représentant g.

une Soit f une fonction fonction d’ensemble de définition Df et de courbe Propriété P3 : Soit f une représentative Cf dans un repère. Dans un repère orthogonal, Cf admet la droite d’équation x=a (a comme axe de symétrie x Df,  2a-x Df ET  f(2a-x)=f(x) si et seulement si h si et seulement si a+h Df,  a-h Df ET  f(a-h)=f(a+h) ILLUSTRATION GRAPHIQUE : Proposition A : Proposition B :

EXEMPLES : Soit f la fonction définie par f(x)=- 4x² + 4x +3 D’après la calculatrice, la droite D d’équation x=0,5 semble  être axe de symétrie de la courbe de f. PROUVONS CE RESULTAT en montrant la proposition B:  f(x) existe pour tout réel x Donc D f=  Soit x Df alors  x donc 1-x donc 1-x Df  f(1-x)= -4(1-x)²+4(1-x)+3= -4 +8x -4x²+4 -4x+3 = -4x²+4x+3= f(x) CONCLUSION : ET f(1-x)=f(x) x Df, 1-x  Df Donc dans un repère orthogonal, Cf admet la droite d’équation x=0,5 comme axe de symétrie -4  Soit g la fonction définie par g(x)=  D’après la calculatrice, la droite D d’équation x=2 semble être 



cette propriété permet de montrer qu’une courbe admet ou non un axe de symétrie. Elle donne, en fait, deux méthodes possibles : 

Celle utilisant la proposition A





f est périodique de période T (ou encore T-périodique)

si et seulement si

pour tout réel x appartenant à Df,  x+T appartient à Df ET  f(x+T)=f(x) EXEMPLE EXEMPLE : les fonctions fonctions sinus sinus et cosinus cosinus sont sont périodiqu périodiques es de période période 2 . Propriété P4: Soit T

. Soit f une fonction d’ensemble de définition Df et de courbe

représentative Cf dans un repère (O ;

.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :   

f est une fonction périodique x Df, k ,  x+kT Df ET  f(x+kT)=f(x) la courbe Cf est invariante par translation de vecteur T

(ou kT pour k

ILLUSTRATION GRAPHIQUE :

3. Sens de variation d’une fonction : Définition D10 : Soient f une fonction et I un intervalle ou une réunion d’intervalles inclus dans son ensemble de définition

* si et seulement si * si et seulement si

f est croissante sur l’intervalle l’intervalle I pour tous réels a et b de l’intervalle I, I, a
* si et seulement si

f est strictement croissante sur l’intervalle I pour tous réels a et b de l’intervalle I, I, a
*





Pour tous réels a et b négatifs, si a
Pour tous réels a et b négatifs, si af(b) Donc f est décroissante sur l’ensemble des réels négatifs.

Pour a et b deux réels quelconques, plusieurs cas de figures sont possibles :

ICI,

bf(a) donc f n’est pas croissante sur

. ICI,

CONCLUSION : f n’est ni croissante, c roissante, ni décroissante sur

b
.

.

EXEMPLES : 

Soit f la fonction définie par f(x)= a. Montrons Montrons que f est est stricte strictement ment décroissan décroissante te sur sur ]- ;0[ : Soient Soient a et b deux réels de l’intervalle ] - ;0[ tel tels que a0 Et a et b appartiennent appartiennent à l’intervalle ] - ;0[, ;0[, donc donc a<0, a<0, b<0 b<0 don doncc ab>0 D’où f(a)-f(b) f(a) -f(b) est le quotient de deux réels positifs donc f(a)f(b)>0 CONCLUSION : pour tous réels a et b de l’intervalle I, a
Pour montrer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle en utilisant la définition, il faut : bien définir les réels a, b montrer dans le cas général que si af(b)



Il existe d’autres méthodes pour étudier le sens de variation que l’utilisation de la définition, nous en verrons plusieurs cette année.



La méthode présentée au b. est





1ère méthode : Soient Soient a=1 et b=2 b=2 alors f(a)=1 f(a)=1 et f(b)=0,5 Conclusion : a et b sont deux réels de la réunion d’intervalles ] - ;0[ ]0 ] 0 ;+ [ on a a
Une fonction peut être ni croissante, ni décroissante sur un intervalle.



Mieux vaut utiliser le traceur de la calculatrice pour conjecturer les intervalles lors d’une étude du sens de variations d’une fonction.

Généralités sur les fonctions 1ereS

Recommend Documents