Conti, Barsanti - Le olimpiadi della matematica (I edizione).pdf

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MICHELE BARSANTI TULLIOFRANZONI

LE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA iWffiffi ffiffi-ffiru$ ffiffiffiffi-ffi-ffiHqffi,ffiffiffi ffii$-',ffi, $*ffi+ffi,ffi ffi;

ZANICHELLI

LE OTIMPIADI DELLA MATEMATICA A CUrAdi FRANCOCONTI,MICHELEBARSANTI,TULLIOFRANZONI

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M A T E M A T I C A

EditoreS.pA , Bologna[9016] O 1994 Zanichelli Copyright elettronica' I dirittidi traduzione,dì memorizzazione e di adattamentototaleo parziale di riproduzione òon'qualsiasimezzo(compresii microfilme le copiefotostatiche) sono riservatiPertutti i Paesi a rrprodurre L editorepotràconcederea pagamentoI aulortzzazione una oorzionenon superiorea un decimodel presentevolume' vannoinoltralea: di riproduzione Le richieste ltalianaper i Dirittidì Fìiproduzrone Associazione deìleOpere a SiamPa(AroRos) Via delleÉrbe2 20121N4ilano tel. lo2) 86463091-fax (02)89010863

editoriale: Realizzazione - Coordinamento lreneEnriques redazionale: dei disegni:Normas.n.c.,Parma _ Érogettografico,riletturaàói testi,elaborazione ll testoè statocompostoin LATEXOda MicheleBarsanti al plotterda FrancoConticon librerieautocostruite i dú;é.i sono stati'realizzati Copertina: - Realizzazione: BobertoMarchetti Buzzi,1987 - lmmaginedi copertina: Studiofotografico dicembre1994 Primaedizione: Ristampa: c

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1996 1997 1998 1999

Rea|izzareunIibroèun'operazionecomp|essa,cherichiedenumerosicontro||i: tra essi' che si stabiliscono sul testo,sulleimmaginie sullerelazioni pubbticareun libro ;gf .iÉ.. che è praticamenre.impossibite i:;ó;;i;;; pr-ióOiértoti.Sàiemoquindigiati ai lettoriche vorrannosegnalarceli' o suggerimeitirelativia questolibrol'indirizzoa cui scrivereè: iter segnalazioni EditoreS.P.A. Zanichelli via lrnerio34 40126Bologna tel. (051)293269- fax (051)293322 [email protected]

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FRANCOCONTI edi

MICHELE BARSANTI TULLIOFRANZONI

LE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA PROBLXMI DALLE GARH ITALIAÌìNE

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convegnocli insegnanti di matematica ho sentito da una professoressaquesta

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o..o,."..r,r," fare dei corsidi sostegno :::ì:J: ::; pergli allievipiùbravi".Effetliramenre. "i1.í:..1j..1î*ll,"rrte..sisnificativa:. I'insIg.a,rr"*.i"ti.,"1ll,lli,il'i1,ff

scuola secondariatencle ad appiattirsi ."-f." pirì e anciie gii allievi piir rnotivati e capaci rischiano di esserefrenati daila maggior degli st'cienti clie nori è certo priva iarte cli intelligenza, ma che è. n3co dispostla pàgur" le conquiste i,riàlt.ttuuri con un po, di fatica' I libri scolastici dive'tario t";pr;;:ù massicci, nÌa sempre piir sim;i a rnanuali da addestramento' La stessarivoluzione in'formatica, in cui arreoàmoposto molta fiducia negli "anni ottanta" rischia di essere .oni.op.o.l.,cente: infatti. vectiamo affe.niarsi piJ l'informatica dei "pacchetti" già .o'r.rionitl che no' t,inror-uti.o clei ,,prograrnmini.,, come via per stimolare la creatività dei raeazzi. In questa situazione, occorre risalire la china. proponenclo agli allievi a'che problerni diversi da quelli della routine scolastica ."r"undo via via -'e..q,,esro ii ...r"r""re il 'urnero di coloro che possono gustare la bellezza " della matemuti.u. scopo rispo'de la raccolta di temi tratti da varie gare matematiche. che qui f."r"rriiu-o, curata con grande passionee competenza da À"fichele Barsanti, Franco cà*i i"iiio Fr.a.zoni. E il caso di sottolineare che si tratta cli gare matematiche " svolte in r,uriu'-.ori che la raccolta è anche la testimonianza di 'n'attlvlà i'tetlig"trì. à airin,eressata, forse poco nota negli ar'bienti ufficiali, che ha avuto negri anni più iecentr u'a rapida espansione. Il testo degli eserciziè premesso,in moclo che il lettore sia sfidato a cefcare cla sé le soluzioni' confrontandolepoi co'quelle che sono esposteneila secondaparte. La raccolta può essereutilizzata sia dailo studente a titolo personale, sia <1all'i'segnanteper 'n lavoro irr ciasseche sarà necessariamenteristretto ,r"l ,"-po, r'a che risulterà qualitativamente irrrportante' Deve esserechiaro. peraltro, che lo scopo non è quello di fbrmare dei ,,risolutori di problemini": c'è infatti il rischio se pe.cent.,aimènte assai.emoto 'ell'arnbiente italiano - di favorire il formarsi ai ";"h; figr,.u u. po' ma'iacare. diversa da queila del ver<.r cultore di matematica, che deve essere "" ii.,".., colto e aperto. p"..iò, nella utilizzazione iu classe' I'insegnante potrà utilmer,,t" ,pi"gu." all'allievo i .orrt.ril i"orici in cui gli esercizi possono esserecollocati' Infatti. moite lolte questi problemi so'o come p1.ti estremi di fili che vanno moito lontano. un'altra ttllizzazictne auspicabilecli questa raccolta è per le attività cli ,,club matematico,. clre vanno sorgendoqua e là e che sono la realizzaziorr"ai qu.i-,:.oi.l ai sosteg'o per i piibravi" a cui alludeva spiritosamente ì'insegnante citata. euesti ,,club,' furclno lanciati cla Bruno de Finetti, a Roma, più di venti ur.nì fu e sono un ottirno strumento sia per coltir,.are I'inclinazione alla 'ratemafica.dei giorrunipìt motivati, sia per stirnoÌare indirettar.ente

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ordrnaio.p". i"tri qriesti rnotivi.sideveauspicare it migriore

Giovanni Prodi

Presentazione di GiovanniProdi ..... V Sommario Int.oduzioneì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . 1î Problemi Aritmetica Cornbinatoria..... Algebra D i s e g u a g l i a n zael g e b r i c h e G e o m e t r i ap i a n a . G e o m e t r i sa o l i d a . D i s e g u a g l i a n zgee o m e t r i c h e . . . . Geometrianalitica. Probabilità Logica. R e l a z i o nf iì r n z i o n a l i . lrlatematizzazione.

Solrrzioni Aritmetica Combinatoria.... Algebra D i s e g u a g l i a n zael g e b r i c h e Geornetria piana. G e o m e t r i sa o l i d a . D i s e g u a g Ì i a n zg e o m e t r i c h e . . . . G e o m e t r i aa n a l i t i c a Probabilità Logica R e l a z i o n if u n z i o n a l i N{aternatizzazione. N,liscellanea.....

La partecipazioneitaliana alle Gare N,,Iatematiche di Roberúo Dvornicich Glossario Cronistoria

. . . . .I .....2 .....6 .. ..... 11 .... 16 ... ..1g ....2g .....3j .........33 ....36 ........3g .........1j ..........4,2

,...47 .. .. 4g .... ti1 .......73 ....g2 .....g6 ...1i6 ....I24 ..... ... 133 ...IJT ....... 146 .. ... .. . 14g . ..... . .. 150 .........lbb

.........163 . . .164

I n d i cue' u l i t i . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i.;.?. . . . . . . . .

Questa raccolta di quesiti matematici trae le sue motivazioni da molteplici aspetti: se da una parte vi è il desiderio di fornire uno strumento afinché i giovani, ,op.uit.,tto i più motivati, possanovalutare e affinare le proprie capacità matemaìiche, dall'aÌtra si intende fornire una testimonianza del lavoro r"àito dal gruppo che ha curato Ìo svolgimento delle Gare Àfatematiche ltaliane. N'fa vi è anche I'irspicio di f*"i; una palestra per i non addetti ai iavori e di riempire un vuoto nella bibli,cgrafia itaiiana sull,argomento. La raccolta consiste nei temi assegnatia Gare.Nlaiematiche ,regti anrri dal lggg al 1gg4; tali gare sono state curate da un'apposita commissione. nominata dall,Unione N,fatematica Italiana, di cui gli autori fanno parte. se Io scopo ufficiare di queste gare è queilo di selezionaregli studenti per la partecipazione alle Oiimpiadi Internazionali di N,Iatematica, non nascondiamo che il nostro pirì ambizioso progetto è quello di interessaremolti gio,rur-'i a una matematica più vivace, e forse più inserita nel mondo, di quanto uppuií auttu matematica scolastica.che spessoè noiosa e ripetitiva. Le gare che aúbiamo urgurrirruio. come appare dalla prese'te raccorta, si svorgono a diversi tlveili: un primo livelìo' che si svolge in contemporanea nelle singole scuole, è ,liviso i' clue parti: la gara junior per gii stuclenti del tiennio. che ha .iruttu." promozionale, e la gara senior che serve anche come serezioneper ra fase successiva: - una gara nazionale, che si svolge a Cesenatico, con Ia partecipazione cli circa 300 studenti: - uno stage a Cortona, di una settimana, alla fine del quaie viene selezionata la squadra partecipante alle Olimpiadi Internazionali. A partire dalì'anno 1994-95 è prevista urÌa gara intermedia fra quella di primo Ìivello e quella nazionale. che verrà effettuata "grosso modo,' neile varie province. Ii libro.si rivoÌge agli studenti e ai docenti della Scuola secondaria. tenendo conto che ormai si fa sempre pirì forte negli insegnanti ii proble-u ai e stimolare gli alunni pirì dotati e studiosi, ma anche a tutti coloro ""g.i.e che sono interÀsati a corìoscerei metodi di risoluzione di problemi matematici cli varia difficoltà e a misurare la propria i'ventiva matematica' indipendentemente dal fatto che tale discipiina sia più o meno vicina alla loro attività quotidiana. A nostro parere il lettore non deve sentirsi demoralizzato se non riuscirà a risolrrere molti dei problemi presentati; la cosa pirì importante è il piacere che dà anche la sola comprensione dello svolgimento e I'interesse provato: una persona interessata infatti migliorerà indubbiamente le proprie capacità. mentre uno studente anche bravo che norr provi, ove possibile, interesseper la disciplina ben difficilmente otterrà clei progressi. Non si deve credere che la capacità di rìsolvere questi (" ;t;i tiii; ai problenii coincicla necessariamentecon la capacità matematica: oltre ad aìt." ,roluàrioni, sarebbe in qual_ che modo come pensare che la capacità di correre con un buon tempo i duecento metri sia il necessariopresupposto per bìn figurare in una gara cii fondo. Il libro è suddiviso in più parti. Nella prima verìgoro proposti i probÌemi, mediamente in ordine di difficottà per ogni sezione;nàlla seconclapurt. uungoni presentate le soluzioni. I lettori potranno naturaìmente trovare soluzioni alternative a quelle proposte nel testo. anche usando tecniche diverse (ad esempio la geometria analitica). una terza parte (N{iscellanea)riporta 60 problemi di vario iipo e varia difficoÌtà che vengono proposti senza soluzione o talvoÌta con un cenno di soluzione, allo scopo cli iasciare al lettore il piacere

nozio4i scoprirla da solo. Chiltle il libro un glossario in cui vengono richiamate alcune nel glossario appaiono nel citati succintamente quesiti; i termitri i per affrontare ni 'tilì di stesura Nella testo, sia cìeiproblerni cùe delle soluzioni.in carattere \IAIUSCOLETTO' quella scegliendo rigore, quest'uitimo ubbiu-o spessopreferito rinunciare a un rnaggior che ci sembrava una presentazionepiù agile e -semplice' sono geCome il lettore potrà constatare i problemi assegnati uegli stage di Cortona nuovi fornire di nell'intento anche assegnati stati spesso e sono neralmente piU aifficiti una manca che notare potrà anche Si tenatiche. nuove o affrontare rnetorìi cli soluzione prima fonte la bibliografia.e ciò per d1e motivi: anzitutto perchéè molto difficile stabilire utile dei numerosi esercizinon originali presentatil in secondoluogo perché non riteniamo quarrto tipo, stesso dello libri altri consigliare a coloro che siano interessati Ia lettura di e pe,. esernpioquella clel pirì noto e amato libro cli clivulgazionematematica edito in Italia e successive 1950 Torino, la nraterriatica. cos'è CÀe ,-r"l -orr.io, R. Cor-rrani,H. Robbins. ristarnpe. nella L'indice analitico contiene poche paroie matetnatiche: esso cleve irrfatti servire, attraverso nostra intenzione, essenzialmentea ritrovare la collocazione dei vari esercizi le parole che piìr facilmente li iclentificano: in esso. pel snellezza.non si fa volutamente riferimento alle voci del glossarìo. pura comodità Un,osserl'azione: contiariamente all'uso italiano abbianio confuso per a una conformandoci tnisura. la loro con e anche grandezza gli enti geometrici con la loro angiosassone' letteratura nella traclizione consolidata senza I'apporto di tutti coloro che hanno euesto libro non sarebbe mai stato realizzato Bernardi' càllaborato alle Oiimpiadi di N'{atematicalci piace ricordare fra questi Claudio Scimemi, Benedett.r Prodi. Giovartni Roberto Dvornicich, N{arco Forti, Stefano N'{ortola. loro entusiasmo e il energie loro prestato le hanno Vinicio Viìlani e molti altri giovani. che all'iniziat iva,.

I curatori Pisa. novembre 1994

:IF

Problemi

ARIT1 GARAJUNIOR 92

Il qriadrato di un numero intero si dice quadrato perfetto. Se n è un quadrato perfetto, allora il minimo c1u:rdratoperfetto strettamente maggiole di n è: (A)n+1 ( D )n 2 + n

ARIT2

( C )n 2 + t

( B )n + 2 \ / i + 1 (E) "'+2n+L.

Dati due interi positivi n e ó, quale delle seguenti afferrnazioni è sempre verificata?

GARAJUNIOR 94

(A) (B) (C) (D) (E) ARIT3 GARAJUNIOR 90

Dati tre nnmeri a, b, e c. supponiamo che il rnassimo comun divisore fra essi sia 1. Allora: (A) (B) (C) (D) (E)

ABIT4 GABAJUNIOR92

vi è una coppia di numeri prirni tra loro il prodotto dei tre numeri è uguale al loro minimo comune multiplo fra i tle numeri non vi è alcuna coppia di numeri pari alrnenouno dei tre numeri è multiplo di tre le conclusioniprecedentisono tutte errate.

Due numeri naturali ,r e g sono taii che Ia loro somma pirì il loro proclotto dà un numero pari. rna non divisibile per 4. Si può concludereche: (A) (B) (C) (D) (tr)

ARIT5

Se a f ò è pari allora o' Ò è pari se a * b è pari allora a. ó è dispari s e a f b è d i s p a r ia l l o r aa . b è p a r i se a * b è dispari allora a' ò è dispari nessunadelle precedenti.

- 9 è divisibile per "1 " se r/g è Lrn nLrmerointero, allora è pari y è divisibile per 4, ma non per 8 "r + g può esseredispari alrneno uno dei numeri r e y è divisibile per 8.

Quariti sono gli interi n. compresitra 1 e 1300,tali che n2 f 1 sia divisibile per 13 ?

92 GARASENIOR

(A) 100 ARIT6

(B) 200

(C) 650

(D) 2

(E) nessuno.

Quale cifra occupa la 70" posizione dopo la virgoÌa nell'espressionedecimale di Il70 ?

GARASENIOR 94

(A) 1

ARIT7

(B) 2

(c) 3

(D) 4

(E) 5.

Per quanti valori clell'intero positivo n I'espressio""

GARASENOF9I

(-\) \r.ssuno

(B) 1

(c) 2

( D )- l

T#

(E) infiniti.

è un intero positivo?

Aritmetica

ARIT8 GABASENIOR 94

! ao: r99l t o":

p e rn ) 1 .

naz 1ll

Quale resto si ottiene dividendo o10eper 9 ? (A) 1 ARIT9 GARASENIOB92

(B) 3

GABASENIOR 91

GABAJUNIOR91

(c) 7

( E )e

(D) 8

Esattamente urro dei tre nLrmeriè divisibile per 3 u n o s o l ul r a i t r c n r r n r e rèi d i s p a r i esattamente 2 dei tre nurneri sono dispari nessunodei tre numeri è divisibile per 3 i numeri sono a due a due primi tra loro.

seguenti classi di numeri interi contiene alrneno un quadrato perfetto magQuale delle 'l giore di 1 (A) (B) (C) (D) (E)

ARIT12

(B) 6

Siano a. b. r: tre numeri interi positivi averiti rnassimo comun divisore 1 e tali che a2 +b2 lc2 sia un quadrato perfetto. Qi-raledelle seguenti affermazioni è sicuramente vera? (A) (B) (C) (D) (E)

A R I T1 1

(E) nessunodei precedenti.

Quanti interi si possono scegliereal massimo fra 2 e 20 (estremi inclusi) in modo che siano a 2 a 2 primi fra loro? (A) 11

ARIT1O

(D) 8

(C) 6

I i i i i

rrumeri che terrninano per 3 numeri che terminano per 26 numeri la cui somma delle cifre è 48 numeri forrnati da un numero pari di cifre tutte uguali a 9 numeri che terminano per 001.

Sapendoche 2100ha 31 cifre decimali, trovare quante cifre ha 5100

GARAJUNIOB 91

(A) 70 ARIT13

(B) 72

(c) 76

(D) 77

(E) 81.

L'equazione ,2 - A2 : o non ha soluzioni ir, y intere se o vale:

GARASENIOR 90

(A) 1001

ARIT14 GARA SENIOR 89

(B) 1002

(C) 1003

(D) 1004

(E) 1005.

Si consideri i1 numero (enorme) ,/l1: 33t ove compaiono ben cento 3. Per evitare ogni possibileambiguità. il simbolo aò' lo si intenda come (ob;'. La cifra delle unità

dirlè (A)0 ARIT15 GARASENIOR 89

(B)1

(c) 3

( D )7

( E )e

In una certa BAStrDI NUN4ERAZIONE è divisibile per 20 ò. il numero XYZ -YXZ (espressoin forrna decimale) qualunque siano le cifre X, Y, Z dí tale sistema di numerazione. Quale tra i seguenti numeri può essereil valore di b ? (A) 10

(B) 5

(c) 8

(D) 14

(E) 3

Probleni

ARIT16 GARASENiOB93

ARIT17 GARA SENIOB 94

ARIT18

Si costruisceuna tabella infinita di numeri nel modo seguerrte:la prima riga e la prima coionnasono formate dalla PROGRtrSSIONE ARII'\IETICA di ragione 3 a partire dal nurnero4. Per ogni A intero maggioredi 1, ia k-esimariga e la A-esinracolonna sono costituite da una progressione aritmetic:r di ragione 2k + l. Si dirnostri che un numero n appartiene alla tabella se e s o f os o 2 t t | | r r o r rè u l i n r o . Qual è il rnzrssimocornun divisore fra tutti i nurneri cleltipo m,.n. (rn! - rza).dove n e ?7ùsono interi e 1 ( rr ( m < 100 ? Dinrostrareche. per ogni intero r. il numero 12 +Sr * 16 non ò dir.isibileper 16g

GARA NMIONALE 9O

A R I T1 9 GARA NMIONALE 92

ARIT20

Per ogni numero naturale n sia n! : | . 2. 3 . . . n il proclotto cli tr-rttii numeri interi cla 1 a n. Si dimostri che per ogni n ) 3 esistonon interi positivi distinti dt. d,z,..... aL,, d i v i s o r ic l i n ! . t a l i c h e : n ! : d t I d z * . . . * c 1 , , .

GARA NAZIONALE 89

f ) i r e s e i ' e q u a z i o n e 1 2 + r y l y 2 : 2 a r n m e t t e s o l u z i o n i ( : r : , gc) o r r r e g e n t r a n i b i r:rzionali.

ARIT21

si clete.ni.ino i nunreri primi p tali che

coRloNA94

ARIT 22 GARA NAZIONALE 93

ARIT23

2p-r - r sia *' quaclratoperfetto. p

Trovare tutte le coppie p, q dl prirni (pcisitivi) tali clie 5ir2 - px + q abbia sgluzioni razionali clistinte. Determinare tutte le soluzioni intere deil'equazione ,g2-: 13 + 16.

GARANAZIONATE 94

ARIT24 GARANAZ]ONALE 92

ARIT25 GARA NAZIONALE 91

ARIT26 GARA NAZIONALE 91

ARIT27 GABASENIOR 90

ARIT28 CORTONA 88

ARIT29 c0R'rcNA 88

ARIT 30 C0FT0t!A 89

Siano n. b nunieri interi. Si diniostri che. se i/"+ allora a e ó sono entrambi cubi perfetti.

f6 è nrr numero razionale non nullo.

Dimostrare clte nessunnumero della forrna cL3 +3a2 *a,. con o rlumerointero positivo, è rrn quadrato perfetto. C n n s i d e r i a m o l e s o m n t e tdi ep lo + 1 + 4 + 9 + 1 6 . . . t n 2 . D i n r o s t r a r e c h e o g r r i n u n ì e r o intero positivo si può rappresentarerper una opportuna sceltadei segnle di rz.nel moj.o p r e c e d e n t (eP. e re s e m p i o3:: - 1 * 4 ; 8: *1 -,1 - g+ 16+25 *36-49+64). Sapendoche il numero intero di 6 cifre deciniali ABC D E F è rnultipìo di 7. dinrostrare che arrclreil nurnero BCDEFA è multiplo di 7. Scomporre il trumero naturale n in una somrna di numcri naturali il moclo che sia nrassinio il prodotto degli addencli. Determinarc tutte le soluzioniintere dell'equazione13 + 11:l: 93.

Dirrrostrareche. se .r. Ì/ sono dei nurneri razionali tali che t'5 + y5 : , ', è,il rluailrato cli un nrrnreroraziorrale. ,

2r2g2. allora

5

Aritmetica

ARIT3.I CORTONA 9O

ARIT32 CORTONA 91

Sia P(r) : 13 * r I I. Dimostrare che, per ogni numero naturale n ) 1, i numer i n . P ( n ) , f ( f ( n ) ) , . . . s o n oa d u e a d u e p r i m i t r a l o r o . Dimostrare che I'equaziope .) .) ') , ) o" + b" -f r:" * d, : abc + bcd + cda * d.ab ha infinite soluzioni intere.

ARIT 33

D i r n o s t r a r ec h e n e s s u n od e i n u m e r i 1 0 0 0 1 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 .1 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 1 . . . è p r i m o .

CORTONA 91

ARIT34

Provare clie. nel sistema di numerazione in base 9" tutti i termini della snccessione

GARA NAZIONALE 88

1 , 1 1 , 1 1 1,

1 1 . . . 1 1 n cifre

sono numeri "triangolari", cioè clel ,tn" 4i4

ARIT35

con ?7Ìintero.

Trovare tutti i numeri prirni p tali che p divida 2e f 1

coFfoNA9l

ARIT36 c0Fl0NA92

S i a c 1. c 2 , . . . . ( r r t .. . . u n a

s u c c e s s i o n ed e f i n i t a p e r r i c o r r e n z a nel rnodo seguente:

( - *,' I

r f

ì .

-

I ' n + l

L

-

_ 1 9 .| , ! n l

,

n > J

ove [r] indica la parte intera del nurnero r. N{ostrare che la successionec,, è formata da infiniti numeri pari e da infiniti numeri dispari. ARIT37 c0Fl0NA93

ARIT38 CORTONA94

ARIT39 NAZIONALE GARA 88

ARIT40 CORTONA 94

Dinrostrare che esistono infiniti valori di n per i qriaii lr,Dn] è una potenza di 2. (fa] indica la parte intera del nunìero n. cioè il massimointero minore o uguale di a). In un'isola vivono dei camaleonti capaci di assurneretre coiori diversi: giallo, verde e nero. A uri dato istarrteve ne sono 13 giaìli, 15 vercìie 17 neri. Quando due camaleortti di colore diverso si incontrano. essi assumono il terzo colore. E possibile che ad un certo mornento tutti i camaleonti abbiano lo stessocolore? Affrontare il problerna anche nel caso generale in cui si hanno, alf istante iniziale, a camaleonti gialli. ó verdi e c neri. Siano dati n (.n ) 3) numeri naturali non superiori a 100,e sia d il loro rnassimocomun divisore. Dimostrare che esistonotre fra questi numeri iÌ cui massirnocomun divisore è ancora uguale a d. Dimostrare che per ogni intero k esistono k intcri consecutivi ognrirìo divisibile pel url quadrato (maggioredi 1).

1 COMB GAFAJUNIOR92

Quanti sono i percorsi diversi che connettono due vertici opposti A. B di un paralielepipedo, formati da spigoli dello stessoe che pàssanollna e rlna sola volta per tutti i vertici?

(A) 1 (B) 3

( c )4 (D) 6 (E) 8. COMB2 GARASENIOR 91

Dire quai è il minimo numero n taie che il poligono regolare di n lati ha sei vertici che sono vertici di un esagono regolare e dieci vertici che sono vertici di un decagono regolare. (A) 10

COMB 3 GABAJUNIOF91

GABAJUNIOR90

GARASENIOR 94

GAFAJUNIOR93

(E) non c'è un tale n.

(B) 63

(Ci 3l

rD) 31

( E ) n e s s u n ad e l ì ep r e c e d e n t i .

(B) 16

(C) 22

(Dr 2-i

E ;rl

In quanti modi differenti si possonodispolre i rrrrnrclicla 1 a 6 in una sequenzaordinata a ! , a 2 , . . . , 4 6i n m o d o c h es i a b b i aa r 1 i r ' ) p e r ' , - 1 . 2 . . . . . 6? (A) 162

COMB 6

(D) 60

C o n s i d e r i a m oE r t t t c c l i . t i u t e r l l l p i a n c , .1 1 e ì lcl l r r a l i1 s o r r op a r a l l e ì et r a l o r o . Q u a n t i sono al massirnoi pr-urticli iuter:ezi',rre.' (A) 12

COMB 5

(C) 30

S i d i c a q u a n t i s o n o i s o t t o i n s i e m id i { 1 , 2 , 3 . 4 , 5 . 6 , 7 } t a l i c h e l a s o m m a d e i p r o p r i elernentisia nn numero dispari. (A) 6f

COMB 4

(B) 16

(B) 32

(C) 72e

(D) 6l

,E 120.

In un bersaglio la corona circolare più estelrra r';rle rrrr prrnto, Ia successivane vale due, Ie altre 4, 8. 16 punti ed infine il centro r-ale32 punti. In quanti modi si possono totalizzare 51 punti tirando 5 freccette? Si tenga plesente che non conta i'ordine con cui si tirano le freccettee che le freccetteche mancano il bersasliototalizzano0 ounti.

(A) 1 (B) 2

(c) 4 (D) 5 (E) 8

COMB 7 GARASENIOR 93

In un torneo di tennis, 8 persone decidono di giocare degli incontri di doppio (cioè due contro due) in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell'intero torneo?

(A) 1680 COMB8 GARAJUNIOF 94

COMB 9

GARAJUNIOR 90

GARASENIOR 90

(E) 64.

(B)10

(c) 11

(D)12

(E) 13

(B) 24

(c) 30

(D) 55

(E) 125.

NeÌle caselle di una scacchiera8 x 8 poniamo un granello di riso se la casellacorrisponde a una riga dispari, due granelli se la riga e la colonna sono una pari e l,altra dispari, tre granelli se la riga e la colonna sono entrambe pari. Quanti grarrelli in totale abbiamo posto sulla scacchiera? (A) e6

coMB11

(D) 210

Ricordiamo che drre triangoli sono uguali se hanno i tre lati di egual lunghezza (per esempioil triangolo di lati 2. 15. 14 è uguale al triangolo cli lati 2, 14. 1b). Dire quanti sono i triangoli distinti aventi i latì di lunghezzainterae perimetro uguale a 31. (A) 6

coMB 10

(C) 1260

Quanti dadi diversi possiamo ottenere colorando le facce cli un cubo di bianco o di nero?

(A) 7

GARAJUNJOR 90

(B) 126

(B) 112

(c) 128

(D) 144

(E) 160.

NeÌle caselle di una scacchieran x n. ove n è un numero pari, poniamo un granello di riso se la caselia corrisponde ad una riga dispari e ad una colonna dispari, 4 granelli se la riga e la coionna sono una pari e I'altra dispari e 7 granelli se la riga e la colonna sono entrambe pari. Quanti granelli contiene in media una casella della scacchiera?

(A) 5

(B) 3

(c) ,1

(D) el2

coMB 12

coMB 13

i l

i l

nl I|EFFH---nl nl

îIEEEE---nl n

Un insegnante di matematica dice ai suoi alunni che per aprire il lncclietto cìella sua bicicletta occorre azzeccaÍela giusta sequenza di 5 cifre e che tale sequenza è u1 numero multiplo di 3 della forma ABCBA (con A. B, C che rappresentano cifre non necessariamente distinte da 0 a 9 estremi inclusi). Qual è il minirno numero di terrtativi da effettuare per esserecerti {i poter "rubare" la bici al professore?

(A) e

GAEASENIOF91

liiii 1 2 3 4

(tr) dipende dal numero n.

GARASENIOR 93

,FEnn--_

(B) 33

(C) 34

(D) 333

(tr) 331.

Ad un torneo di poker partecipano n persone; il torneo è organizzato nel seguente rnodo: ogni sera 4 giocatori disputano un incontro e dopo 13 sere tutti hanno gìocato urÌa e una sola volta con tutti gli altri. Trovare n. (A) 13

(B) Zt

(C) 39

(D) I

(E) nessunade[e precedenri.

Probleni

coMB14 GAFASENIOR 93

In quale riga e in quale colonrra della tabella infinita rappresenta,taa fianco si trova il nuÍrero 1993 ? (A) (B) (C) (D) (tr)

coMB 15 GABASENIOF 89

Riga 100. colonna 93 riga 93. colorina 100 riga 63. colonna 40 riga 60, colonna 43 riga 63. colonna 80.

coMB16

coMB17 GARANAZIONALE 91

coMB18 CORTONA 94

coMB19 GARANAZIONATE 88

2

?

4

5

6

7

8

9

i1

t2

't Qnante sono le soluzioni dell'equazione4r * 5y 202 : r r e g aiti ' i ' . ' (A) 500

GARANAZIONALE 90

I

(B) 503

(C) 1275

(D) 1326

10 'l

IJ

15

,1

i000 con r. g. z interi non

(E) 2550.

Alcune palline sonoclistribuitein 2n*1 sacchetti. Supponiamoche.tolto un qualunque sacchetto,sia possibilesuddividerei rimaneriti in due gruppi di n sacchetti.irr modo che ciascun gruppo contenga lo stessorìLlnero complessivocìi palline. Dirnostrare che ogni sacchetto contiene lo stessonumero di palline. Si consideri una scacchiera8 x 8 con 1ecasellecolorate di due difTerenti colori. bianco e lrero. rìon corne nella usuale scaccirierra,rna rispettando coniunque la seguenteconclizione: ogrri colonna. così come ogni riga. clella scacchieracontiene quattro caselle bianche e quattro casellenere. Dimostrare che il nurnero rli coppie di caselle contigue bianche è uguale al nurnero di coppie cli caselie contigue nere. (Due caselle si clicono contigue se hanno un lato in conrune). Vi è urr gmppo di 28 persone tale clie. comunque se ne scelgano 4. due di essc si conoscono. I)imostr:rrc che rrel gruppo ci sono 10 persone ciascuna delle quali conosce alrnerioI persone. In un torneo cli pallacanestron squaclre51, 52. ....S,, disputarrourr girorieall'italiana (ogrrisqu:rdraincontra rura ed rina sola volta ciascunadelle altre), ed ogni incontro si corrcludecon la r,ittori:r cìi una ilelle duc sc|radre.Indicati rispettivamentecon ui e pi il rrurrrerd o e g l i i n c o n t r i v i n t i c p e r s i c l a l l as q u a d r aS ' ( 2 : 1 , 2 . . . . . n ) s i d i r n o s t r ic h e

, ' f+ , ' l - t ' ' - r , ' ? , - p i i + / ì + ' + p ? , coMB20

Un alfabeto consistedi 6 lettere, che sono codificatein Nlorsecome seguc:

CORTONA 91 a

a

a

a

Una c:ertaparola r.ienetrasmessasenzaintelcalare spazi fra le lcttere, vicne così ricevuta una successione di lirreee rli punti contelente complessivamente12 sirnboli. In quanti modi qucsta parola può essereletta?

coMB21 COBTONA 91

coMB22 CORTONA 88

Ad rur con\regnopartecipano 21 persone. Ciascrino clei partecipanti stringe la tnano a le strctte di mano? ciascrino degli altri. Quante sono state cornplessir''arnente Fra i 33 strrdenti di rrna classe 18 giocano al calcio. 17 giocano a basket e 4 non prlaticanoalcuno sport. Quanti sono gli studenti che giocanosia a calcio che a basket'/

c0MB23 CORTONA 92

S i a 4 1 , ( 1 2 ,. . . , . r n u n r i o r d i n a m e n t o c l e i n u m e r i 1 . 2 . che il prodotto ( a 1 - 1 ) ( o 2- 2 )

n con n. dispari. Si dirnostri

.(a,,- n)

ò un numero pari.

c0MB24

Dimostrarc

chc. fissato utì lntrìero positivo a, fra i rmnre.ri

:oRÍoNA92

ó n . . . . . ( r ?-

1)d

ve ne è uno che cÌifferisce al piri cli 1 r.lu .,r. nLlnlero intero. n

coMB25 :AAANAZ]ONALE 94

coMB26 :IFA NAZIONALE 93

coMB27 J::A NAZIONALE90

c0MB28 J]::

\ A Z I O N A L9 E2

c0MB29 -,:-l\iA91

3CMB 30 . - : : . , : : o N A L9E4

: ot,lB31 : -- . . :: ]

Si clirnostri che esiste urt intero À tale che per ogni n > Àr ò possibile sudclividere un quadrato in n cluadratini a due tr cìue disgiunti. (Due qriarìratini sono considerati cìisgiunli se lìolt hanno punti interui in comune). E clata urttr "scacchiera infinita". le cui righe e le cui colonrìe sono rrurlera,te con i nulleri positivi. In ogni casella della scacchiera si può coilocarc aì pirì u1 gettole (si hanno a disposizione infiniti gettorri). S o n o t l a t e d u e s t t c c e s s i o n i4 1 . a 2 . . . . e h . b 2 . . . . c l i n u m e r i i n t e r i p o s i t i v i . D i n r o s t r a r e che si possono clispolrc i gettoni sulla scacchiera il nrodo che r.i siano a1 gcttoni sulla printa riga. rr2 gettoni sulla secouda riga. . . .. b1 gettorri sLrllaprirrra colonna. b2 gettorri s u i l a s e c , , n d uc o l o n r r a .. . . Si corrsideri un cubo rli climensioni 3 x 3 x 3 folnrato quirrcli cla 27 cubetti unitari. Si clomanda qlrarlte sono le rettc dello spazio che pass:rno per esattarnerite 3 ccltri cli questi 27 cubetti e (luatìte sorro cluelìe che passano €'s:ìrrarnerìteper 2 cli tali centri.

Direrno che una retta intersecapropri:rrnerrtetrn c.ubose passaper un punto interno al cubo. Dato un cubo suclcli_ viso in 27 cubetti uguali comc in figura, si clica qual è il nllrìreromassimodi cubetti che una retta può intersecare proprtameltte.

\''i ò ulra,tavola circolare colì /2 posti erqrrispaziati.Gli n comrnensalihanno portato cliìsctlÌìo nti regaio: i regali \'€tlìgolrontessi in corrispotrtlenza clci posti. All,ilgresso i coutmensalisi disporrgortoirt ordirre casuale.ma qualcuno nota co1 ranimarico cli esseredestinatario clcl regaìo che lui stessoha portato. È possibile,qualunque sia la disptlsizioneiniziale, effèttuare una rotazione clci cornrncnsa.li (che rnantenga1'ordine reciproco) in nrodo che nessLutosi trovi cli fronte trl regalo cla lrri portato'/ Si considerirtna sctrccliiera10 x l0 e irr ogrri su:rcaselliisiano inclic:atiordinatamelte i tltt]lteri cla 1 a 100 incominciando diilla prima caselìairr :rlto a sinistra. andancioverso clestra fino a termiria,rc la prirn:r riga e poi proseguericlocon la seconclariga sernpretla sinistra a destra. fino ad arrir-arealla ccrrtesirria r:ascllain bassoa c'lestra.Suppc,niarno ora cii carnbiarei segni a ó0 di questi nnrueri con la condizioneche irr ogni r.igae in ogrri colonna ci siano tanti ntrmeri positivi quanti negati\.i. Si ciimostri che. clortotale carnbiarnento.la sornnracìi tutti i nunreli è zero. Srrun'isola vi'u-ono1000abitanti. ciascunocleiquali comunicale notizie iu suo possesscr ai suoi conoscentientro una giornata. La situazioneè tale che ogni notizia raggiunge priura o poi tutti gli abitanti. Si cliinostriche. se si conuuica rura notizia a g0 persole ()ppol'tllnarterttte scelte.quella notizia raggiurrgeràtutti gli abitanti entro 10 giorni.

10

Problemi

coMB 32

In una ta'"ola circolare ci sono 60 posti occupati da 30 uomini e clalle 30 rispettive rnogli. N{ostrare che esistono ahneno due signore che siedono alla stessadistanza dai rispettivi mariti.

GAFANAZIONALE 89

coMB 33 CORTONA 9O

COMB34 coRToNAeo

Siano dati 2n -l 3 punti nel piano, a tre a tre non allineati e a quattro è quattro non appartenenti a una stessacirconferenza. Dimostrare che esiste rtna circonferelza passanteper tre di essi e tale che racchiude nel suo interno z punti (lasciandonequindi n all'esterno). Ad una festa rressunodei ragazzi ha ballato con tutte Ie ragazze, nia ogni ragazza ha ballato con almeno un ragazzo. Dimostrare che csistono due ragazzi rft1, rrL2e due ragazze ft, fz ta,li che: 1) m1 ha ballato con /1 . rn2 ha balìato con f2; 2) m1 non ha ballato con f2, m2 non ha ballato con /1.

coMB35 CORTONA 89

coMB36 CORTONA 93

D i r n o s t r a r ec h e e s i s t eu n a c o l o r a z i o n ed e l l ' i n s i e m e{ 1 , 2 . . . . , 1 0 0 0 } c o n t r e c o l o r i t a l e che rressunaprogressionearitmetica di 15 termini sia monocromatica. Deternrinare il numero delle colonne del totocalcio che contengono tutti e tre i segni 1,X, 2.

ALG1

Q u a l è i l v a l o r ed i 2 5 / 2. 2 3 / 2 ?

GABAJUNIOR94

(ù

ALG2

(B) 2

rl2

(D) ztsi+

:I:

T

5 - 3,,e { B l i f f')

tA)2vO

r C r3

1 : l . q u a n r ov a l e1 2-

S er r (A) 11

(B)e

(C)7

(E) non si può deterrninare.

(Dl 2

3,

GARAJUNIOR93

ALG4


^ 1 . . 1 5 e / - - : ' 2 e r ) L . la. l l o r a . i .* - e r r g u a l ea

GARAJUNIOR92

ALG3

(C) 16

(D)2+z\/q

\ E ) L+ 4 J 1

Quale clellesegrientiespressionicoincidecon (y€;('ÓT) r

GARASENIOR 93

(A) rv2

ALG5 GARAJUNIOR9l

(B) 3svz

(D) u4E

(E) nessunadeile precedenri.

Dati tre numeri positivi a. b. c in PROGRESSIONE ARITNIETICA.quale tra Ie seguenti terne forma sicuramente una nuova progressionearitmetica? /al

/t -v'b ,C -,,ft . u4 + /V 1

(c)

1

t/bLy/c

1'

(E) -

c

ALG6

(C) 3v€'E

1

\/0

-Vr

(B) "C.

1 t/o-

ultt, vZ

(D)o2.b2.c2

r/b

1

i : - ' o o ,

Dire quante soluzioni reali ha I'equazione 2r2-3t+vB -

1.

GARASENIOR 91

(A) Nessuna

ALG7 GARASENIOR 90

(B) 1

(C) 2

(D) I

(E) infirite

Siano a, b. c numeri non nulli e si consideri I'equazione di 2" grado ar2 + br f c : 0. Si dica se la somma dei reciproci delle radici di tale equazioneè uguaÌe a

( A )b ;

( B -) :h

nn

i c );

ì

( D :) + i 1

_

1

t E ti * i

t

)

12

Probtemi

ALG8 cARAJUNroRgl

P e r q r r a n t iv a i o r i d e l p a r a m e t r oa l e e q u a z i o n1i 3 + a r l 2 : 0 almeno urra radice in comrtne? (A) (B) (C) (D) (E)

ALG9

e n3 -lrl2a:0

hanrrr.

Per infiniti valori cli a per un solo valole di cr per 2 valori di a per 3 r,alori di a le cpattro risposteprecedentisono errate.

Siano o, ó due numeri reali con a ) 0; se risulta

GARA JUNIOR 90 (

,

- . r "h

\-'/''

(-l

perogni r)0,

\ Vr'l

( A ) a 2 -b r - a

( B )b : - 1

allora

( D )ó : - o

(c)ó: +

(tr) l'identità non può esseresoddisfattaper nessunascelta di a, ó ALG10 GABA sEN,oP9d

Definiamo l'operazioneo nel noclo segrrente:se n. li sono due numeri reali positivi I i allola n oh: - + Si consideri'o le segr-renti asserzioni: t. . f)

I- o l1: , , r b

I II) rob:u,t,

III)

J ;*:;*

ab

Quali cli essesono vere p€rrogni valore positivo di a e di ù'? ( A ) S o l oI )

( B ) s o l oI I )

( C ) s c ' l oI I I )

( D ) s o l oI ) e I I )

( E ) s o l oI ) e I I I ) .

ALG11

S i c o n s i c l e r i nior r u m e r i1 0 - ! , 1 0 t . 1 0 + , . . . , 1 0 ? + # . e u a l è i ì p i ú p i c c o l ov a l o r ec l i n

cARASENroBe3

per cui moltiplicando

(A) 6 ALG12 cARAJUNroRe4

(B) 9

fra loro questi numeri il risultato è rnaggiore di un rniliardo?

(C) i0

(D) 13

( E ) n e s s u n od e i p r e c e d e n t i .

Si parte claun qualsiasiintero positivo. Se è pari 1osi divide per 2. Se inveceè dispari, gli si aggiungc7. Si considerail numero ottenuto e si itera il procedimentoall'infinito. Quale delle seguenti affermazioni è sbagliata? (A) Se si raggiunge3 si raggiungeanche 5 (B) se si raggiunge 5 si raggiunge anche 3 (Q) sc si raggiunge5 si raggiungearrr.heI (D) tutte le sequenzecontengonoalurenoun numero pari (E) prima o poi si raggiunge 1 o 3 o 7.

ALG13 GARASENIoFeI

N e l p i a n o c a r t e s i a n od, i r e q u a n t i s o n o i p u n t i P : soddisfanol'equazionef + y2 - lr l- 29 -l 4:0. (A) u

A L G1 4

(B) 1

(C) 2

(D) I

( r , g ) a c o o r d i n a t ei n t e r e r , g c h e

(E) infiniti.

Quanti sono i nurneri reali r > 0 che verificanoÌa condizione Vr + yE:

3 A : AS E N I O9R4

(A) Nessuno

(B) 1

(C) 2

(D) 5

(E) infiniti,

Í/i'l

13

Algebra

A L G1 5

Data l'equazioneirf

: (Vg)" , si dica quale delle seguenti affermazioni è corretta:

GABASENIOB92

(A) I'unica soÌuzioneè r : t/5 (B) ":3èunasoluzione (C) r : 2rA è una soìuzione (D) r : 3r/3 è una soluzione (E) I'equazioneè impossibile.

A L G1 6 GARASENIOF93

Per quanti vaìori del parametro reale a iì sistema

[ *'-a2:o t ( " - o ) ( s + a ): 6 ammette una e una sola soluzione? ( A ) N e s s u nv a l o r ed i a

ALG17

Sapendoche rf

(B) 1

(C) 2

(D) 4

(E) infiniti valori.

a : 30e 13 + g3 : 8100. qrtanto vale 12 + U2 7

GARAJUNIOR 94

(A) 480

(B) (15+ \nt2

(C) 420

(D) 880

(E) i dati forniti non consentonodi tro-u'arc ,' + !1".

ALG18

P e r q u a n t i v a l o r i d i a i l p o l i n o m i o( r - 1 ) ( r 2 - o 2 ) ( r 2 * o - 1 )

è c l i v i s i b i l ep e r 1 2 * r - 2 ?

GABASENIOR 90

(A) 1

A L G1 9 GARA SÉNIOB 93

(C) 3

(D) 5

(B) 28

(D) 36

(C) 30

D

(A) Nessuna

GARASENIOR 93

(C) 2

(D) 3

D

: r -2 ;

(E) infinite.

Per quanti valorl del piìrametro reale n I'equazione13 -6ar2 -(o'+ 3 radici reali in progressionearitmetica? (A) 1

ALG22

(B) 1

(C) 3

(B) 2

(D) 6

(E) infiniti.

Sapendo che

GARASENIOR 92

r,g)0,

. r 2 g * ,u11: 1 0 .

rA+r+ll:13.

dire quarrto vale 12 + y2. (A) 54

(B) 53

(C) 9

(D) non esistesoluzione

(E) esistonoalrnenodue soluzioni.

Quantovale

( E ) n o r rè d e l e r m i n a t a .

12r- 3l - f{+ Q t r a n t se o l u z i o nr ei a l ih a l ' e q u a z i o n e

GARASENIOB94

ALG21

(E) nessuno.

a , b , c s o n o i n t e r i p o s i t i v i t a l i c haeb c * o , b - F a c + b c - l a ,l b - t c , : 1 0 0 0 . lasommaa+b+c? (A) 27

ALG20

(B) 2

1).r:0

ammette

t4

Problemi

ALG23 GARAJUNToRs4

Supponiamoche ò sia un numero reale tale che b3: b+ 1. Dire quale delle seguenti uguaglianze non è verificata: ( A ) Ò n: b 2 + b ( B )b 6 : b 2 + t + 2 b ( C )ó 4 : b 3 + b 2 - I

(D)ó2+b+1:1+rl(b-r) ( E )b 1 + b 3 : b 2 + 1 . ALG24

Per ottenere la tesi "z è razionale" quaie fra le seguenti ipotesi si deve assumere?

89 GARA SENIOR

(A) r+12èrazionale (B) e r14 sono razionali (C) "t r + T e r - î sono irrazionali (D) rJ1 e rltE sono irrazionali . 1 ' 7 ( E ) . r ' ' e r ' s o n or a z i o n a l i . ALG25

S i a n oa , b e c t r e n u m e r i r e a l i t a l i c h e a * b + c : 0

GARAsENloBeo

di o4 + b4 'I

I

(B) ;

(A) ; "f

e a 2 + b 2+ c 2 : 1 . Q u a l è i l v a l o r e

c4 ?

( C )2

(D)3

(E) le clue equazioni non sono sufficienti a determinare il valore di a4 * b4 + c4. ALG26 GARAsENroFer

Sia {o1, a2, . . . ,or} una progressionearitmetica crescentedi n termini (cioèla differenza tra due termini consecutivi è una costante positiva). Si domanda per quali valori di n possiamo trovare 3 termini nella progressionela cui media aritmetica è uguale alla media aritmetica delf intera progressione.

"figli":inumerir*1e

#

Qualisonoidiscendenti

*f,2o1,.-^',,,

:iTffi::positivorhadue

ALG28 GARAsENloFe2

SiaP(r) :13 larz+br*cunpolinomiocontreradiciinteredistinte. che non esistonodue interi distinti m e n tali che P(m) : P(n) :3.

ALG29

Siano a,. ò, c tre numeri reali distinti e sia P(r)

cARANAzToNALEeo

Sapendo

Dimostrare

un polinomio a coefficienti reali.

che:

t) P(r) diviso per (:r - a) dà resto a: 2) P(r) diviso per (" - ó) dà resto b; 3) P(r) diviso per (, - ,) dà resto c, determinare iì polinomio che si ottiene come resto della divisione di P(r) per (r-a)(r-b)(r-c). ALG30

Siano a. b, c numeri reali. Si dimostri che il minimo fra i numeri (o - b)', (b - ,)',

GARANMIoNALEo2

(o -

,)'

è minore

o uguale

a

a 2+ b 2 + c 2

2 un polinomiodi 3" gradoa coefficientirazionali.Si dimostri ::111,,

il:Xl

;i;.;'rt;...ot.tdi

15

Algebra

ALG32 coRroNAe4

Sia rzs* a1r * a2r2 + ... + a2nt2' il polinomio ottenuto sviluppando (1 + r + :x2)". Calcolare: 1 ) o o - + (- . t zl . . . * a z , ; 2)ot+cts*...*azn-ti 3 ) a 6 o 1- d t a z I a 2 a s

ALG33

azn-ra2n.

Siano a1. ú2t ..., o, degli interi distinti. Dimostrare che iI polinomio P ( r ) : ( r - a 1 ) ( z- o r ) . . . ( r - a " ) - 1 è irriducibile, cioè non è il prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado minore.

ALG34

S i d e f i n i s c a n oi n u m e r i a r , a 2 , . , . , a n , . . . t r a m i t e l a f o r m u l a r i c o r r e n t e ar:1 t

Q n t. : 2 a n l J f 4 + 1 ,

ÍL:1, 2,'..

Dimostrare che a, è intero per ogni n. ALG35

Si dimostri che se e. y. z sono tre numeri tali che ú

- u

l+-a-

4 - J "u - + - : U 1*uz t+.r':

allora almeno due tra i numeri Í, a, Z sotro uguaii. ALG36

Provale che se P(r) è un polinomio a coefficientiinteri tale che P(0) e P(1) sono degli interi disparl allora P(r) non può avere radici intere.

DIS1 GARASENIOB90

Saperrdoche la disequazioner < c,"Jr-1 nella variabile r ha per soluzione un unico valore di r. si trovi il valore del parametro positivo a. (A) 1

DIS2 GARA SENIOF 89

(B) 2

(C) SlvO

(D) 10/3

Sia n rrn nLrmerorcale. Quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alla diseq u a z i o n e l 2 r - 3>15 ?

( A ) 1 6 - 4 r l> 1 0 ( C ) l t 0 r - 1 5 1> 2 5 ( E ) ( 2 2- 3 ) ' > 5 ( 2 r- 3 ) .

Drs 3 GABASENIOR 91

S i c o r s i c l e r i n oi c l u en u m e r i 7 : zioni è corretta?

( A )u ' < , ( C )r < a 1 1 2

(tr) v > r'r.

Dts4


( B )' / [ P - t n + s > 5 ( D ) < - 1 o p p u r re ) 4 "

l g ( 1 0 ) ' oe q : 2 ( 1 0 ) " .

(B) "<92
Dire quatecleiseg*entisiste'ri di c.quazio'ieq.ivale .

GARA SENIOR 89

r . r {r l : | l , : ' i t ' 'l ' t' ct 'rff r r yI
e u a l e c l e l l es e g u e n t ia f f e r m a _

{ l;i : I

t B )r * a + 1 r - a t < 2 , D ){ { ' , +a 2<<21 llr'-s2

( Ef)l v '
I lr'l lvl

DIS5 GARASENIOR 94

Siano a, b due numeri reali tali che a2 + b2 > a3 I ó3. Quale delle seguenti afferrnazioni è sicuramente vera? ( A )o + b > a 2 + t i z (B) almeno uno clei due nurreri è negativo (C) ahnerro uno dei due numeri è minore di 1 (D) entrambi i numerì sono conìpresitra *1 e 1 (E) nessrrnadelle precedenti.

Di seguagIianzeaIgebriche

Drs 6 CORTONA94

17

Si dirnostri la diseguaglianza > 8 ( r t - a - z ) ( y) z - r ) ( z + x - y )

( . r+ y ) ( e + z ) ( z * " )

per qualunquevalore reale positivo di r. g. z. DIS7 GARANMIONALE93

Siano a. b e c tre numeri reali, positivi e inferiori a 1. Si dirnostri clie vale la seguente diseguaglianza: a 2 + b ' 2I c 2 < a 2 b + b 2 " + c 2 a l I .

DIS8

D a t i n n u m e r ir e a l i a 1 .e 2 , . . . . a n ( n .) 1 ) s i d i r n o s t r ci h e

COHTONA 94

'-f

t

n - l

DIS9

/ , '

\ 2

n

f " , ì - \ - u' ? . ' 2 a r a t

\ /

I

\ l- I

'/

;--l

D i m o s t r a r ec h e .s e a < b < c ( d . s i h a

c0RroNA 90

(a+b*c+d)2>S(oc+bd).

Dts10

S i d i m o s t r i c h e p e r o g n i c o p p i ad i r e a l i p o s i t i v i r . y t a l i c h e r - l - g : 1 s i

ha

CORTONA 93

/

t\2

/

I\2

2s

{ r + r-/ l + l s * * l -) 2_ \ \" a) D I S1 1 c0Rt0NA89

Siano a, ó. c i lati cli un triangolo e o, J, 1 gli angoli opposti ad essi. Si dimostri chc, 'l--r h+,, s e4 < E v e r o i lt i c e v c r s a . ' o.allora"a;.

D I S1 2

S i a n o1 1, : r 2 .. . . . r , , c l e in u m e r ir e a l i p o s i t i v it a l i c h e

coRtoNA 93

Ir, ; - l

IL

n \ l ' ) rt,f L ) i t t t o s t r a r oc l r e ) : ' n , - .l V ", v\-Jt

: l. (n> 2).

1 GEOP GARAJUNIOR90

lJn esagonoregolare ha lo stessoperimetro di un triangolo equilatero. Qual è il rapporto tra I'area dell'esagonoe quella clel triangolo?

(A)1

GEOP 2

(B) 413

(c) 312

( D )v €

( E )2 .

La figura B si ottiene dalla figura A tramite:

GARA SÉNIOR 90

(A) (B) (C) (D) (tr)

GEOP 3 GARAJUNIOR90

la simmetria di centro P una rotazionedi centro Q la simmetria rispetto alla retta I una traslazione la simmetria rispetto ad una retta d e l p i a n o r r o n l r a c c i a t ai n f i g r r r a .

Un quadrato con i lati Ìunghi 20 cm ha un vertice nel centro di un quadrato con i lati iunghi 10 crn. Quanto vale l'area deila regione comune? (A) 20 crn2 (B) 25 cm2 (C) 100/3cm2 (D) 100cm2 (tr) i dati del problema non sono sufficienti per calcolare l'area.

4 GEOP GARA SENIOR 89

Urr trapezio ABCD circoscritto ad un cerchio di raggio 5 crn ha un'area cli 150 cmz Allora ia sornmadei lati oblicui AD e BC è. (A) (B) (C) (D) (E)

sempre30 cm 30 cm soitanto se il trapezio è isoscele 30 cm soìtanto se il trapezio è rettangolo è semprediversa da 30 cm non è determinabilein base ai dati forniti dal problema.

19

piana Geometria

G E O 5P JI ìA JUNIOR 93

Sapendo che AAy - +AC, che BB1 : IBC e che l'area del quadrilatero ABBtAl 45 cm2 trovare I'area del triangolo ABC. (A) (B) (C) (D) (E)

175cmz 135cm2 130cm2 1 2 5c r n z 1 0 0c m 2 . A

G E O 6P jrrA JuNloF 94

B

Nel trapezio ABCD la base minore CD è213 della base maggioreAB. Sapendoche l'area del triangoio ABD è 24 cnf . quanto r''aleI'area dell'intero trapezio? (A) (B) (C) (D) (E)

36 crn2 40 crn2 42 cm2 48 cm2 non è possibiledeterminareI'area del trapezio. B

A

G E O7 P J]:JSENOR90

Dato un quadrato ABCD di lato / siano 11 ed À" i punti medi cli BC e CD. deterrnini I'area della parte conruneai triangoli ABXI e BAIC.

(A) rl2o t2 (B)vtrl42I'z (c) \/5132t'z ( D ) 1 / 1 6r , ( E ) r l 1 0t 2 .

A

N l N

G E O8P j:::,_r,0R94

è

Si

l

Si considerii1 poligonointrecciatoin figura. La sornnra ugualea: (A) 90' (B) 180" (c) 360' (D) 150' (E)210".

:: :j

::..

:::j

Nella figura a fianco.ogni circonferenzapàssaper i centri delle altre due. Sapendoche la lurrghezzadel raggio delle circonferenzeè 1. qual è l'alea rlelìa figrrratratteggiata?

(A) (" - ytr)12 ( B )r 1 6 Q) nla (D) tB"l3 (E) vtr|4.

20

Problemi

GEOP 1O

Irr un trapezio ABCD sia t il punto cli incontro delle diagonali. Sapendo che I'area dei triangoÌi DEC. ABE è rispettivamenter. 37,trovare l'areradel trapezio.

GABASENIOR 91

( A )r + y + 2 l r a (B) 2(.r+ y) (.c)21j2 * ,z (D)r'+a+2Jt'+t

D

C

(E) i dati non perrnettonodi cleterminare l'area

GEOP 11 GARAJUNiOR9]

Disegnanro schematicamentc la faccia di Topolino prencìerrdoun cerchio di raggio unit,ario.drte punti clia.metralmente otrlpostiA. B. il punto C in nrodo cherAC : ClB e cltteserrricerr:hicli cliarnetro rispettivamente AC e C B. Quarrto valercomplessivarnentc Ì'area ck:llc.oreccliie cli Topolino?

@) nla (B)1

(c) ,/t (D) "vtrlz delle precedenti (E) nessuna

GEOP 12 GARASENIOR 93

La figura a fianco è cleiimitata da 6 archi ciascrrnocleiquali è 1/.1di una circonferenza di raggio 1. Ilctcrminarne I'alea. (A)5-r12 (B) a - ;r/tl

(cr)I (D) 3 + î/l (E) nessurra cìelleprececlerrti.


Nella figrrra a fia,ncoil cercliio grande ha centro in O e raggio 1. Quanto vale il raggio del cerchio piìr piccolo'/ (A) 1/.1 (B) 5/18

(c) 2.",5,'9 ( D )1 / 3 (E) nessuna dclle risposte prccecìerrtiì: corlett:r


Consiclerianro un triangolo rcttangolo aventei lati di lunghezza5, 12 e 13. Un cerchio di raggio 1 si rnuovc alf interno clcl triangolo in modo da toccare senìpre almeno uno dei srroi lati. Quanto è lr-rngoil percorsodescritto dal centro clel cerchio rlopo esserc tornato alla posizionedi partenza?

(A) 12 (B)13 (c) t4 (D) 15 (tr) 16

piana Geometria

GEOP 15 GARAJUNIOF94

Con riferimento alla figura. si sa che il raggio della circonferenza C r è l c c l i e l a distanza di 01 da t' è 3. Si puo deterrninareil raggio di C2? (A) (B) (C) (D) (tr)

GEOP 16 GARAJUNIOF91

21

No. i clati sono insufficienti no. i dati sono incorlpatibili sì. essovale 1/2 sì, essovale f/2 sì. essor'-aley6,/2.

Si costruiscautta circonfelernza inscritta in un triangolo ,1BC e siano L.1lÀ i punti cìi tangenzadei lati AB. BC. C,4. Quale delle seguenriafferrrazioniè sbagliatal' / A ì I triarigoli AL!{, BXIL, Cl,{lI

sono isosceli il triangolo LI,IN è acutangolo /r-l se il triangolo ABC ha un angolo cli 60o, allora anche il triangolo Zf,1f ha un angolo di 60' ( D ) alnreno clue tra i triangoli I.11À . ALI{ . B X.IL, C Ì{ X'I sono sirnili (trrle circonferenzecircoscritteai tt'iangoli -,lI-Y. B\IL. CÀ 11 passanoper uno stessopunto. /ll\

B GEOP 17 GABASENIOR 90

Dato un triangolo ,.lBC. presi due punti A' . B' sui lati BC e lC. sia K l'intersezione d i A A ' e B B ' . U n a e u n a s o l a d e l l e s e g u e n t ic o n c i i z i o nei q u i v a l ea richiedereche K stia sulla mediana uscentedal vertice C. Oual è? C (A) A'B' è parallelo ad AB ( B ) A A ' e B B ' b i s c c a n o g l i a n g o l ii n - - l e i n B

(c) A'K : B',K

( D ) A ' e B ' s o n oi p u n t i n - i e c d lii BC e di AC ( E ) 8 . 4 ' ,: A B ' . A GEOP 18 GARASENIOR 91

B

Date clue rette perpendicolaria. b. quale fra i seguentiè il htogo cìeipunti P tali che l a s o m m ad e l l e d i s t a n z er i i P r l a l l c r l r r r l. . t f ( , ò c o s t a n t e ?

22

Probleni

GEOP 19

In un piano si consideri un punto P equidistante da due rette parallele distinte ri, b asseflnate. Si tracci una retta r per P che interseca Ie rette a, b it A e B rispettivamente. AÌ variare della retta r il luogo geometrico dei punti C per i quali ,4BC è un triangolo equilateroè costituito da:

GARASENIOB94

(A) (B) (C) (D) (E)

GEOP 20 GARA SENIOB 89

una retta due rette una circonferenza un rettangolo una figura diversa da ttitte le precederiti.

Quali di queste curve costituisce il luogo dei punti che vedono il quadrato Q da un angolo di 45'? (A)

u (c)

I r-r) \7

n GEOP 21

Conoscerr
GARAJUNIOR93

1 . ti )+ E + 0 + D { l J )( , 1' B I ( " / h \

,

r

D)12

( c )3 6 0- .À - B - e - D ( D )3 6 r ) " - A + B - C - D (E) non è determinata.

GEOP 22 GARA SENIOB 90

Una cinghia è tesa tra due pulegge circolari di raggi rispettivamente 1 e 6 e con i centri che ciistanod. Quanto è lunga la cinghia. se d: îyO ?

(A) 10+ 7zr

(B) 24vtr (.C)tot/2 + ztr ( D ) 1 0* 1 e r 1 2 ( E )i a r .

piana Geometria


Se P è un punto interno ad un triangolo acutangoloABC tale che i tre triangolt APB, APC, BPC hanno la stessaarea. allora il punto P coincidecon: (A) (B) (C) (D) (E)


23

il BARTcENTRo l'oRTocENTRo I'rNcoNrno il crrRCocENTRo nessunodei precedenti.

Urra grande piazza presenta la pavimentazione mostrata in fipJura:i ccrchi sono cli colore scuro. Quale delle seguentilappresentaineglio la percentualedi area ricoperta dall:r zona scrua?

(.A)75% (B) 7e% (c) 83% (D) 87%

6,)sr%.


ABC è urt tri:rrigolo lettangolo irr B non isoscerle e D è l'ulteriore intersezioneclel cerchio c1idianretro BC co:nl'ipotenusa. Dire c1ualedelle seguenti afferrnazioni è falsa (DF è la tarrgenteal cerchio in D).

6 ) B F D :2 B A c (B) DF: FA (C) ,f bisecaI'zingoloBDA (D) ,f, bisecail segrnentoB-4 (E)

GEOP 26 GARA JUNIOR 92

GEOP 27 GARA JUNIOR 93

GEOP 28 GARANAZIONALE 89

Dato il triangolo isoscr:leABC. si scelgatur punto D sulla base AB. Sia E il punto di ACI talc clre CE : C D. St:B0 D : Zíf si cleterrninil'ampiezzarlell'angololDn.

Deterrninare tutti i triaugoli lctt angoìi c,orrlt' lurrghczzedei lati irì PIìOC;RESSIONE ARIT\IETICA.

Su una circonferenzaconsideriaruocinclrreprurti che chianriarrro.ordinatarnente.A, 11. B. C'. D. e :iir ,11 t'c1uirìistante da A e da B (vecli figura). Siano inoltre E erl F rispetti.,'arnentele intersezionicli ,11D con ,lC' e di lIC con BD. Si climostri che il qriadrilateroC'DtrF è ilscrir.ibile in una circonfèrenza.

24

Problemi

GEOP 29

Un triangolo ABC è tale che esiste un cerchio che passa per tutti i punti che dividorro ciascun lato deÌ triangolo in tre parti uguali. Provare che ABC è equilatero.

GABASENIOR 89

GEOP 30 coRloNA 94

GEOP 31 GABASENIOR 93

Dato un triangoÌo acutangoloABC siano Lr, V i piedi delle allezze uscenti dai vertici A e B. Dimostrare che l'assedi UIl passaper iÌ punto mecliodi AB.

Siano ,4C e BC due corde di una circonferenza aventi urr crstremoin comune. ,t11sia iÌ punto dell'arco ,4C (non contenente B) equidistante da A e da C e 112 sia il punto dell'arco BC (non contenenteA) equidistanteda B e da C. Se -É1e 1l sono le intersezioni del segmento i11,412con le due corde, si dimostri che il triarigolo CHK è isoscele.

GEOP 32 GAFANAZIONALE 93

GEOP 33 CORTONA 94

GEOP 34 GAFANAZ1ONALE 94

GEOP 35 coRf0NA94

GEOP 36 GARANAZIONALE 9C

GEOP 37 CORTONA 94

,ffi Ml

p,

CtrlcolareI'area clella regione tratteggiata delimitata dai tre senricerchi cìi dianiefri AB. BC. AC sapendo che il segrnentoC H è hrngo v6, dorr. 11 è il punto del senricerchio cli dianretro AB Ia cui proiezione ortogonale snl diarnetrcr e(..

Dato rtrr triangolo acutangolo ABC sta P un punto interno aci esso. Si considerl iÌ triarrgolo A:B1C1 in cui 41. 81 e Cl sono le 3 proiezioni cli P srri lati. Si ripeta la costruzione.a partire dallo stessopunto P e da A1B1C1. ottenendo successivamente A2B2C2. AzIJsC:t, ... Si dintostri che esisteun valore di n per il quale A,B,C,. è simile acl ABú1. Si corrsicieriuna retta r eclrur triarrgolo ABC cbe giace in uno dei semipiani individuati da r'. Detti A' . B' , C' i puriti simnretrici di A. B. C lispetto ad r', si conducada A' Ìa parallela a BC. cla B' la parallela acl -'1Ce cla C' la parallela ad AB. Si dirnostri che (luestctre fettc piìssatìoper uno stessctltunto. Sia ABC trn triangolo rettangolo e siano A'B'C'i prrnti sirnrnetricidei vertici A. B. C rispetto ai lati opposti cleltriangokr. Sapendorrnicamentecheril triangolo ABC ha area S si può c,leterrninareI'area clel triangolo atBtCt ? E quarrto vale'/ Dato il triangolo ABC si considerinoiÌ prirrto P cli intersezionedella bisettrice dell'angolo in B con il lato AC e il purrto Q cli intersezioncclella bisettrice dell'angolo in A con il lato BC. Supponendochc la circonferenzaper P. Q, C passi anche per' Ì'incentrcrR di ABC e posto PQ : l, cleterninare la lunghezza degli altri lati deì triangolo PllQ. Sia dato un triangoi<-r ABC e si fissino i punti A' , B' , C' sui lati opposti ai vertici A. B. C rispettivanrenter, in modo che le rctte AA', BB'e CC'abbiano un punto irr conìune. Sia d il cliatnetrodel cerchiocircoscrittoal triangolo ABC, e sia S'/ l'area cli'ì triarrgoloA'Bt C' . Si dirnostli che d . S' : AB' . BC' . (,-A' .

25

piana Geometria

GEOP 38 JiiA NAZIONALE 93

GEOP 39 : : T A S E N I O9B4

Sia ABC un triangolo e P un punto de1piano. Chiamiamo P.q. PB. P6- le proiezioni ( l i P ì ' i . p o tl i t a u r o r te s r r i î r ' e a s s j d e l t r i a r r g u l o .S i d i r r r o s t l ic h r -i l t l i ; r r r g o l oP a P s P l è simiÌe al triangolo /BC. (Si consideriper seniplicità solo il caso in cui il punto P giace nell'angolo -11-aFr\18.essenclo^11-1 . -116 i punti necli cìei lati BC e '4C e 1/ il punto di intersezionedegli assi).

S u r u r a r e t t a s i f i s s i n on e l l ' o r d i n eq u a r t r o p u n t l A . B . C . D t a l i c h e B C : 2 . 4 8 CD: AC.

e

a) 'corda Corrslderatele circonferenzecìrehanno AC e BD come diametri. si dinrostri clie la conÌunebisecaAC. b) Si prenda ora unà qualunquecirconferenzapassanteper .1 e pcr C e una qualunqne cilconfelenzapassanteper B e pel D e si dimostli che nuovamentela loro colcla conrunebiseca,-1C',

G E O 4P0 j : i À s E N t O9R0

In un trizrngoloIBC si considelino i purrti A'. B' e C' rispetti','anrentesui lati AB. BC e -.lC tali che

,+,q': !.qn

BB,:

,!ru,

c,c,: !c:A

ove rr è un irrtero positir.o zìssegnato. a) Si deternrini il rapporto fra le aree dei triangoli At BtC'l

e ABC. b) Si dinrostrichei triangoliAtsC e A'B'C' hannolo ste-sso baricentro.

G E O4 P1 ]trIA SENIOR 92

GEOP42

Sia ABCD un cluadriÌatero in,sclitto in una circonferenza î. Dette rispettivamerite A'. B'. C'. D'le intersezioni di ^ con le bisettlici degli z,ngoli in A. B. C. D del. qrradrilatero assegnato. si dimostli c\e -l'B'C'D'è urr lettarrgolo. In qLrali casi A'B'C'D' è un cluaclrato? L a m e d e s i m z rc o s t r u z i o n e p r r ò e s s e r ea p p l i c a t a a . 1 ' B ' C ' D ' p e r o t t e r r e r en n r e t t a n g o l o Att BttCtt Dlt. e così r-ia. Si de-qcrir-anoi lettalsoli così ottenuti.

Dato un triangolo equilatero ^4BC clt lato 1. sia P un punt(r intcrno ad esso.

: CFTONA 94

a) Provare clie esiste un tliairgolo che ha lati di lLurgliezza PA. PB. PC. b) Detto G il bariccrtro di -1BC e. posto d : PG si dinrostri che l'area clel triangokr di lati PA. PB. PC è fr-urzionennicanreute di d. e trovarne l'espressione.

26

Problemi

GEOP 43

Sia I rrna circonferenzafissata e sia ABC un triangolo in essainscritto. Se A' . B' , C'sorro ìe intelsezioni clellebisettrici uscenti rispettivamente da A, B, C con f. si consicìeriil triangolo A'B'Ct.

GARANAZIONALE 91

tr) I triangoli A'B'C'così ottenuti al variare di ABC sono tuttl i possibili triangoli inscritti in | ? In caso corrtrario.quaii linritazioni debbono socldisfare? b) Dirnostrareche le bisettrici di ABC c'oincidonocon le altezzedi A'B'C'. GEOP 44 COBTONA 94

GEOP 45 CORTONA 94

GEOP 46 GARASENIOR 9]

quelle delle altezze Siarro o. b. c le lunghezze dei lati di urr triangolo e siano h,,,.h6 lrt.,. relative. Detta S I'area del triangolo. si clinrostri che esso è equilatero se e solo se 65:ohuibh., lr:h,,. Sia ABCDEFG un ettagono regolare inscritto iu una circorrferenzadi raggio 1. Si c a l c o l iA B . A C . A D . Asscgnato rtn petitagorro rcgolare e ttn pnrito P intelno :rd esso, si dirnostri che la solìuìra clt--llcclistanze cli P clai lati o dai loro prohingarnenti è irrdipendente dalla posizione cli P. Si dica inoltre se vale la stessa tesi per: a) ogni pcntagono convesso avente i 5 lati uguali. b) ogni pentagono convesso averrte i 5 angoli uguali, c) ogni pentagono convcsso.

GEOP 47 CORTONA 88

Dato un triangolo acutangoloABC siano XIr, lI2. ,413i punti medi dei lati, O il centro del cerchiocircoscritto di raggio ,R e p il raggio del cerchioinscritto. Si dimostri che OlIl+OlIz+Ox.I3:R*p.

GEOP 48

Sia ABC un triangolo equilateroe sla P un punto del cerchiocircoscritto appartenen-

CORTONA 93

te all'arco ,i;. Sio Q l'intersezionecìeÌsegrnento PC c'o1lato -.1R. Si dirnostrino le C seguenti uguagiianze: a)AP+BP:CP. '',

1

1

n ì - + _

,4P

BP

-

1 PQ

49 GEOP

ABC' D E ò tttt lrcnt:rgono legolale. Siir P un punto dcl ccrchio circoscritto apparterrrente

COBTONA 94

:rÌf iuccr .{8.

GEOP 50

Esistorro poligoni rcgolari (non clraclrati) con tutti i vcrtici con entrambe le coorcliriate interc'J

CORTONA 88

GEOP 51 CORTONA 88

GEOP52 c0RloNA89

GEOP 53 COBTONA 88

Diruoslrrrre che AP + BP + DP - CP + EP.

Siano clate drre cllissi uguali tangenti estenramentecon i quattro fuochi aliineati. Deterrnirrate il luogo descritto dai fuochi di urra delle due ellissi qr-randoquesto ruota serizastrisciareintonro all'altra (cla consiclerrare ferma). Irr rrn pentagonoconvessoABCDE l lati BC. CD. DE sono uguali. Inoltre ogni diagonale de1pent:rgonoè parallela ad un lato. Dimostrarc che ABCDE è un pentagono regolare. Trovare qnali sono i triangoli avcnti area assegnatatali che sia minima ia somrna clei duc lati di rninor lunghezza.

GEOP54 :CRTONA 88

piana Geometria

27

Siano A. B, C. D quattro vertici consecutivi di un poligono regolare di n lati. supponga che

Si

1

AB

1

1

AC

AD

- _ f _

e sI trovl n. GEOP55 :CRTONA 89

GEOP56 :lFÌoNA 92

G E O 5P7 , ::]-oNA92

G E O 5P8 , ,:-fNA 93

Siano assegnatitre punti I. rlf . l/. Si costruiscanoaltri tre punti A, B, C in modo tale che -L. 'll. lv*siano i vertici dei triangoli equilatericostruiti sui segmentiAB, BC , C A, esternamenteal triangolo ABC. Siano 1 e I due circonferenzedi raggi rispettivamenter. 2r. c.on 1 tangente internarnente a I nel punto P0. Si fa rotolare 1 lungo I senzastrisciare. Qual è il luogo descritto da Pn durante il movimento?

Siano dati 7 punti di un quadrato di lato 1. Sia,4 I'insiemecostituito dai 7 punti più i 4 vertici del quadrato. Si dimostri che esisteun triangolo i cui vertici stanrio in A e la cni area è minore o usuale a I116. Siario C1. C2 due circonferenzeesterneI'una all'altra. Detta ú la retta congiungentei centri di Ct e Cz, siano P1 e P2 i punti su f in figura. Condotte da Pr le tangenti ú1. sr a C:, e da P2 le tangenti t2, s2 a Cr, si dimostri che i due cerchi tangenti a 11. s1. C1 e a t2. s2, C2, interni rispettivamentea C1 e a C2, hanno 1o stessoraggio.

uz

1 GEOS GARAJUNIOB90

Una statua in bronzo. piena e alta 60 cm. viene fusa e clal rnetallo ottelìuto si ricar,'ano dellc copie in scaia.ciascunaalta 10 cru. Quante copie si possonoottenere? (A) 6

GEOS 2

(B) 36

(c) 60

(D) 216

(tr) 256.

AB e BC sonodrrcdiagonaliclellelaccer l i r r n c r r ,l o . Q r r a r t or r r i s r r rla' a r r g o l t,,q b C :

GARASENIOB92

(A) 90' (B) 120' (c) 60' (D)45'

L

(E) nessunaclelleprececientirisposteè colretta.

ffi

^(_)-) GEOS 3 GABASENIOR 89

Di rur parallelepipedoretto si conosconole rnisure a. ó e r: clellecliagonalidellefacce La diagonaledeÌ parallelepipecìo rllsttra f f ; i l

t A l

lu'+u'-f.'

U

2

( B ) /a', + b, +,:,

( c )JA +,2î2 +-A (D)

a+b+(:

(Iì ) non

4 GEOS GARAJUNIOR92

b clctcrminabilc.

Nello spaziosono assegnati7 punti. a tre a trc non allineati. connessia due a cluecorr dei segnienti. Qual è il rnassimo nlrmero cli segrnenti che possono essereintercettati da un piano che non passaper alcuno clei 7 punti'l

(A)6 (B) 1.1 (c) 12 (D)21 (tr) 28.

Geometria solida

GEOS 5 GARA SENìOR 90

29

Si consideriil solidoottenutotogliendoa un cuboil tetraedro di vcrtici ABCD (vedi figura).Il numerodi spigolidi questosolidoè: A /'=(A) 12 (B) 1,1 (c) 15 (D) 16 (E)18.

'ffr

l ' lI )

.

D GEOS 6 GARASENIOR 93

Tra i clisegnia fianco. incli-"irluaretutti quelli clie r a p p r c s c u l i ì r r o l o s l i l r r l r p rr piano di un cubo.

l-l

ry

(A) 2 (B) 1

(c) 1

t

e

( D ) 1 ,t

1

(E) 1,z ,

Ò . +. i)

;1

ry-

.f--r

5E-E

3-----_

G E O 7S ]qRASENIOR 91

Sezionandoun cubo con un piano si possonoottenerepoligoni di diverse forme: 1afigura a fianco nostra ad esempio come si possaottenere un esagonoregolare. Quale dei poligorii seguentinon si può ottenere come sezionepiana di un cubo?

,",N

G E O8S J::ISENOR94

z

W

W

Si corrsideriuna piramide retta avente come base un esagonolegolare di lato I e si condricaun piano passanteper il centro de.llabasee paralleloa una delle faccelaterali della pirarnide. Tale piano intersecala piramide lungo un quadrilatero. Il rapporto fra 1'areadi tale quadrilatero e l'area cli una clellefaccelaterali è

(A)1/2 (c) 514

(B)1 (D)v-5

(E) dipende dall'altezzadella piramide

E possibiÌecostruire un paralìelepipeclo che misura 72x94 x 300 cm utilizzanclomattonelle di 2 x 5 x 10 crrr'l

10 GEoS 89 GARANAZIONALE

11 GEOS GARANAZIONALE 93

12 GEOS 94 CORTONA

Dimostrare che, dato un tetraedro ABCD, esiste.ed è urrico.un punto P interno ad essotale che i 4 tetraedri aventi come base rispettivamente le 4 facce del tetraedro e come vertice il punto P hanno lo stessovolume. Sia C r-rncubo di lato 1 e 1o si ruoti di 60o intorno ad una sua diagonale ottenerido così un cubo C'. Si determini il volume del solido intersezionediC e C'. Dato un piano a'e una circonferenzaI su di essosia A un punto non appartenerrtea n e sia B la proiezione ortogonale di A su a'. Per ogni punto P della circonferenzaI sia ,4.fla proiezione ortogonaie di B sulla retta AP. Dirnostrare che il hrogo dei punti ,\1, al variare di P su l. è una circonferenza.

94 GARANAZIONALE

Si consideri un cubo di spigolo unitario e sia OP una sua diagonaie. Si deternrini ii valore minirno e il .''aloremassimo dell'area clella fiqura che risulta dalla intersezione fra il cubo e un piano passante per OP.

14 GEOS

Per qr-ralivalori di n esiste un poiiedro convessoavente n spigoli?

13 GEoS

GARANAZIONALE 91

15 GEOS CORTONA 94

16 GEOS 88 CORTONA

17 GEOS CORTONA 93

Dato un tetlaedro di volume 1. si consideriper ogni spigolo il piano passante per 1o spigolo stessoe paralleio allo spigolo opposto Si determini il voiume del solido limitato d e t e r t r i i t r a tdoa t a l i p i a n i . Dato un piano cr e due punti A, B fuori di essonello stessosemispazio,si considerino le sfere per A. B e tangenti ad o. Qual è il luogo dei punti di tangenza di tali sf'ere? Si dirnostri che il rapporto tra il raggio della sfera circoscritta e quello della sfera inscritta dì un qualunque tetraedro è sempremaggioreo uguale a 3'

88 GAFANAZIONALE

Dati quattro punti non complanari. è possibile proiettarli su un piano in modo che le loro proiezioni ortogonali siano i ','ertici di un parallelogramma? Eventttalmente. in quanti mocli?

19 GEOS

Si provi che ogni poliedro convessopossiedeuna faccia con nleno di sei lati.

18 GEOS

90 COFTONA

20 GEOS c0Ft0NA93

Dato un triangolo ABC st determini il luogo dei punti P dello spazio tali che i segmenti PA. PB, PC possanoesserei lati di un triangolo rettangolo.

DISG 1 jrcAJriNloR92

Su un foglio di carta quadrato di lato d si vuole disegnareun ottagono regolare di area massima. Quanto vale questa area?

,)

7

1a' rat ' 4

(c) +

t' R,) -8d '

\/'2

(D)2(,/i - la2

(E) rLessunadelle plecetienti.

DISG 2 : : ì A S E N I O8R9

Tra tutti i settori circolari aventi perimetro assegnatop. quelio che ha area massima ha un angolo al centro (in radianti) uquale a

(A)nlz ( B )2 (c) r/3 (D) ( t r )"p - 2 . DISG 3 ::IA NAZIONALE 92

DISG 4 J IIA NMIONALE90

DISG 5 : : TTONA94

DISG 6 - _qToNA94

Sia dato un quadrilatero convessodi area 1. Si dimostri che si possonotrovare 4 punti, sui lati o all'interno di esso, in modo che i triangoli aventi per vertici 3 di questi 4 punti abbiano tutti area maggioreo uguale a 1/,1. S i a n oa . ò . c l e m i s u r ed e i l a t i d i u n t r i a n g o l o . S a p e n d oc h e a f b t c : 1 . che a2 + b2 + c2 + 4abc < rl2.

climostrare

Dato un angoìo con\ressodelimitato dalle due semirette r. s sia P un punto interno ad esso. Si determini la retta (o le rette) che passano per P e che inciividua con r e s t1n triangolo di area minima.

Sia data una circonferenza1. Si deterrninino,per ogni fissato punto P interno a 1, il massimo ed i1 minimo valore della sornma delle lunghezze di clue corde fra loro ortogonali passantiper P.

:ARANMIONALE 88

Sia dato un pentagonoregolaredi lato 1. Individuare il miuimo numero r per cui è possibile ricoprire il pentagono con cinque cerchi di raggio r.

DISG 8

C o n s i d e r i a m oI ' e s p r e s s i o n e

DISG 7

SARA SENIOR 89

n v :-

o b +c-

b

c r+ b

"+"ove a. ó e c sono le misure dei lati di un triangolo. a) Dimostrare che, qualunque siano i valori di a. b e c,risulta 1 < Q <2 b) Dire se le costanti 1 e 2 sono le migliori possibiiit in caso contrario. trovare due costanti a e,4 tali che o ( Q S S in modo che il numero 3 - a sia il piú piccolo oossibile.

32

Problemi

DISG9 coRToNAe4

Siano a. ó, c le misure dei iati di iin triangolo e sia r il raggio del cerchio inscritto ad esso. Si dimostri che 36121 a2 +b2 + c2 . si dica altresì quando vaìe il segno di uguaglianza.

D|SG1O coRToNAeo

Siano a, b, c i lati di un triangolo e h,.. h6, h, Ie rispettive altezze. Dimostrare chc 2(h"+hr,*h,,) < utr("+b+c).

DfSG11 coRToNAeo

Sia assegnatoun angolo convessoABC ed un punto P ad essointerno. Deterrninare una retta ?' passanteper P ed intersecante AB in A..Ied AC in ly' in rnodo che risulti . 1 1 m a s s t m t )' _ - l - _ . ]1 r t\ r

DISG12 coRroNAss

Sia X rrn insienre di n prrnti del piano tali che coulutìque se ne prendano tre di essi il triangolo che li ha come vcrtici ha irlea al 1riùugrralea 1. Si ciimostri che tutti i punti cìi X sono contcnuti irr un triangolo di arca rninore o uguale a 4.

DISG13 coBToNAe2

Dato un diedro siano A e B due punti su facce diverse. Qr,ralè la spezzatadi lunghezza minima che unisce A corr B e ha un vertice sullo spigolo?

DfSG14 Dato un tetraedro con spigoli alÌa base di lunghezzaa, b. c e i tre spigoli rimanenti di GARANAZIoNATEB8 lunghezza .r, !J, z dimostrare che si ha r|_g*z1aib+c+3rj dove d indica la distanza tra il vertice opposto alla base e il baricentro della base stessa. DfSG15 coRroNAss

D a t i d u e s e g m e n tA i BeCD nonappartenentiaunostessopiano,siaPQilsegmento che congiunge i ioro punti medi. Si dimostri che AD+BC 2

>rq '

1 GEAN GARAJUNìOF 91

Nel piano cartesiano.i punti (r. g) clell'angolotratteggiato iri figura sono clescrittida qu:rli delle seguenti cìiseguagiianze'l

(A)1 0.s > 1 ( D )0 < ( . ' y - I ) l r < 1 ( s ) ( s - . x ) 2< 1 .

GEAN 2 GARASENIOB92

y .i 2*', L'insienredei puuti cleìpiarro (l'. y) che verificanoentrambe le diseguaghanze quaclranti nei interamente lJ>1-.rècontenuto (A)IeII

( B )I e I V (C) I. iI e IV

(D) I. II e III (tr) III e IV.

GEAN 3

L'area clella regione cli piano costitriita dai punti (r. y) che verificano la diseguaglianza

SAFASENIOR 91

l r l+ l r f y l < 2 v a l e {A}E

4 GEAN :ABASÉNIOR 94

l,i (er--:

(c., , 1 ! / l 3

n - ,. 31 2

I '-l

lEl 9

Si corrsideri nel piano cartesiano la figrira costitulta dai punti P di coordinate (z, g) tali che 1 er 1_I)2 > - l {r''
le'i+

e se ne calcoli l' area. Essa vale

(A) 2

GEAN 5 GARASENIOF92

(B) .1

(q 4yo

(D) 8

/ E l r r e s t r r n ad e ' l l en r e c e d e n t i

Clalcolare I'area delÌ'insiemedei punti del piano che verificano Ie disegrraglianzeseguentr:

1 " 2+ y ' + r y - r y l < 2

t ,

IlY

-r)2<2

GEAN 6

Una funzione y : .f (r) ha iÌ grafico seguente

GARASENIOR 90

Qual è il grafico della funzioneg(r) :1 (A)

l\l

î

* .f (-r) (B)

?

î

l/\

F T

GEAN 7 GAFASENIOR 94

Quale dei seguenti grafici rappresenta rneglio la funzione lJ: 13 * {

t

35

Geometria analitica

GEAN 8 GARASENIOR 92

Qualefra le seguentifigure costituiscel'insiemedei ptinti del piano tale che { l+, - r ) .r'

t ' í * v '1 +

GEAN 9

Qualefra (luestefirnziorriha il graficoin figura'/

GARASENIOF91

( A )y - . r ( . r ' f 1 ) ( . r + 2 1 ( B )Y : 2 r + 1 2 .r(r + 2) (\ru-,r-l[r+l)

(o ) ,q: l rl + l " r+ 2 1 -2 (E) 3/: r2(r r2)2. GEAN 1O GARASENIOR 93

Al variare del parametro reale a. si dica quante sono le tangenti comuni alle due c i r c o n f c r o r z ea v e n it e q u a z i o n i : r 2+ q 2 : 4 .

(r-r)'

*!/2 :|

.

( A ) 0 , 1 , 2 , 3 o p p u r e. l (B) 0, 2 oppure .1

(c) 2 (D) 2 oppure 4 (E) 0, 1 oppure2. GEAN11 CORTONA 88

Determinare il luogo geonretrico dei punti P tali che le tangenti condotte da P acl un'ellissedi se.rniassi a e ó siano tra ioro perpendicolari.

PROB 1 GABA JUNiòR 92

L'influenza dell'annosi può evitare aI g5% prendendoil vaccirroo. incÌipenclentemelte. aI 25% residencloin una sahtbrelocalità di campagna. Qrial è la probabilità cìi evitare l'influenza se si erssurneil vaccino e si risiede in canipagna'l

(A)1oo%

PROB 2 GAFAJUNIOR94

PROB 3

PROB 4

(B) 50%

(ts)I

(c) 60%

(c);

(D) 7o'/,

(D) compresatra

rB) ' , I3

1 3 t

(D) uraggioredi :'2

PROB 5

(E) rressurra rli queste.

(E) 80%

1 1 8 , 1

1 1 (E) cornpresatra - e 1

'

Abbiamo due dadi uguali. ciascuno ha una faccia rossa, clue facce gialle e tre facce blrr. Qual è la probabilità che lanciandoli insiemc si ottengzrnodue facce dello stesso colore?

( A ) N f i n o r e ,li

GARA SENIOR 89

(D) 70%

Tre frateili vanuo al carìpo sportivo per fare una partita cii calcio con aitri 1g arriici. Tenuto conto che la formazione delle sqrradre viene solteggiata. qual è la probabilità che i trc frirtelli giochino la partita nella stessasquatlra?

(A); GARAJUNIOR91

(C) 97.25%,

Lln lag:rzzo ha in tasca due gettoni telefonici e una lista cli numc.ri telefonici cli 5 :rrrrici. 3 ragazzi c 2 ragazze, senza sapere a chi corrispondorrc-r. Qual è la proba,bilità chc. telefonantlo a caso a due clei cinqne nurneri. il raga.zzoricsca a parlare corr ahnencr una clclle sue an'riche?

(A) ,10%

GARASENIOR 92

(B) 120%

(C) compres;r tra

1

1

t'' t

rtr) , , 12

Sappiamo che lanciancloclue dadi uguali la somma ottenuta ò un numero corlpreso fra, 2 e L2. rna tali risr-iltati non sono equiprobabili. In quanti rnocli è possibilerinumerare le facce dei ciue dadi con interi non negativi in mocio che Ia somma ottenuta in ogni lancio possaessereogni nuurero intero cornpresotra 0 e 11, ed ogni risuÌtato sia ugualmelte probabile (cioè con probabilità Il12)'l , ^ ' :

(4.) 11 lmposstblle

(B) (C) (D) (E)

in un modo in due rnodi irr tre mocli in quattro modi.

Probabilita'

PROB 6 GARASENIOR 91

PROB 7 3ABASENIOR 94

37

In una popolazione. 1 persona su 20 000 è affetta da una malattia rara. Il test diagnostico per accertarela presenzadella malattia ha una affidabilità clel 95% (cioè, irr meclia,5 r'olte su 100 il risuìtato del test è esattamentel'opposto di ciò che dovrebbt' essere).Se un tale si sottoponeal test e ii risultato indica cireha contratto la malattia. la probabilità che effettivamente sia arnmalato è:

(A) maggioredel 5il%

(B) circa

( D ) c i r c a1 %

. (L I crfca

I

1 000

.

-

H

(L ) Clfca c./c

1 2 0i ) o o

Un gioco è schematizzato nel seguentemodo: iniziaimente ci si trova nel vertice V di un cubo e ogni passo consistenello spostarsiin uno dei vertici adiacenti. con ugual probabilità per ognura delle tre clirezioni. Il gioco termina quando si arriva al vertice opposto V' oppure quando si ritorna al vertice di partenza L/. Non c'è limite al numero di mosseprirna di arrivare a 1" o a l''. Con quale probabilità il gioco termina in V/?

(A) 20% (B) 30% ( c ) 3 3 . 3 3 3 .%. (D) 40% (E) 5o%. PROB 8 :ARANAZIONALE 89

PROB 9 :AFANMIONALE 92

PROB 1O :3R-fONA 91

PROB 11 .JARA NAZIONALE 88

Se esce"testa" ottengo un gettone,se esce"croce" ne otterrgoclue. Vincerò il gioco se arriverò (non importa dopo quanti lanci) a possedereesattamente100 gettoni. Dire se la probabilità di vittoria è maggiore.uguale o minore di2l3. Urra giuria formata da 9 persone deve esprimere nn verdetto di colpevolezzao tnnocenza. Supponendoche non siano amncsse astensiorrie che ciascurrgiurato voti indipendentementee con probabilità Il2 per ciascunadelle due decisioni,si dica qual è la probabilità che al termine della votazione r-rndeternirrato giurato faccia parte della maggioranza. Nel caso di una ginria composta da n persone.si dica per quali valori di n la probabilità di far parte della maggioranzaè rnaggiorecli l12. rrgualea 1/2, minore di I12. (Nel caso in cui rz - 2Lrsia pari. si intende che un giur:a.toappartiene alla maggioranza se la sua posizioneha,ottenuto alnreno,k+ I voti). Si scelganoa caso 3 r'ertici cli un poligono regolare di 2rr-| 1 lati. Con quale probabilità il centro del poligono è interno al triangolo forrnato dai 3 vertici? Drre giocatori A e B fissano le seguenti regole: A lancia n rnonete e il suo avversario B ne lancia n -1-1. Vince ìa partita chì ottiene un rnaggiornumero cli "teste" e. in caso di pareggio.si assegnala vittoria ad A. Dire per quali valori di n, questo gioco è equo (cioè entrambì i giocatori hanno la stessaprobabilità di vincere).

:CRTONA 94

Si calcoli la probabilità che preso a caso un numero intero positivo e minore o uguale a 2530 essosia divisibile per 3 o per tl ma non per 5.

PROB13

Si scelgaun intero n a caso. Si deterniini:

PROB12

: SBfONA 91

1 ) la probabilità che la rappresentazionedecimaledi n2 termini per 1. 2 ) la probabilità che Ia rappresentazionedecimaledi n3 tennini per 11.

38

Probleni

PROB 14

Otto giocatori di tennis disputano un torneo a eliminazionediretta. Si estraggonoa sorte le qttattro coppie che disputeranno le prime partite. I vincitori giocherannole partite del secondoturno: il terzo turno è I'incontro fina1eche designa il prinio c. il secondoposto. Supponencloche il risultato delle gare sia senìp'fecolforme alla bravura dei terrriisti. la procedura indicata assegnacertarnente il primo prernio al tennista più bravo. rna non senìpre il sccondo prernio r-iene assegnatocorrettamente. Quai ò la probabilità che il giocatore che perde f incontro finale rneriti davvero il secondoprcmio?

CORTONA 91

PROB 15 c0RloNA89

PROB 16

In trtr sacchetto ci sono tre palline di colore diverso. Si conrpiono successiveestrazioni riniettcndo ogni volta nel sacchettola pallina estratta. Deterrninarele probabilità che si estraggarro.in n prove. palline di un solo colore.di due colori diversi o di tutti e tre i colori. Nel 1693 SarnuelPepys scriveva a Isaac Newton una lunga lettera nella quaie chiedeva qualc tlei segucntieventi era il piìi probablle: 1) ottc.neleahnerroun "6'' lanciando sei dadi. 2) ottenere almeno due "6" lancianclododici dadi. 3) ottenere alntenotre "6" lanciando diciotto dadi. Qual è la risposta?

PROB 17

Due antici si sono iscritti alla prima classedi un liceo. Tale liceo ha due sezioni.le cuiprimeclassihaunorispcttivamenteregstudenti.colìreucompresifra20e30. Sapcncloche la probabilità che i clue amici si trovino nella stessaclasseè esattamente 1/2 si dica quanti sono gli studenti delle due classi.

PR0B18

S i a P : ( r z , Ò )u n p u r r t o a s s e g n a t o a c a s o n e l q u a d r a t {oa- <1 determini la probabilità che le radici dell'equaziorre

1,-1
1. Si

72aar*ó:0 1) siano reali. 2) siano entrarnbepositive. PROB 19

Si scerlgono due punti a caso sul segmentoAB dividendolo in 3 segmenti. Qual è la probabilità clie con tali tre scgmentisi possacostruireun triarrgoloche li ha come lati?

PROB20

Si hanrto trc sbarre identiche. Da ciascuna cli essesi taglia ùn pezzo scegliendoa caso il pnnto di taglio. Qual è la probabilità che con i tre pt.zzi ottenuti si possa forrnare rin triangolo acutangolo'?

CORTONA 88

LOG1 GAFAJUNIOR94

Roberto scomrnetteche se Bearzot tomasse alla guida della Nazionale questa vincerebbe sempre. In quale dei seguenticasi Roberto perde certarlente la scommessa? (A) (B) (C) (D) (E)

LOG2 GARA SENIOR 89

Sia A uti insieilc di interi positivi. Utilizzando il fatto cÌre tra le seguenti cinque affermazioni una ed una sola è corrctta. determinarla. (A) (B) (C) (D) (tr)

LOG3 GARASENIOR 90

LOG4

GAFAJUNIOB93

ahrienoun rnaggiorenneè tifoso dell'Inter rressunmaggiorenneè tifoso de1I'Inter ahneno un maggiorenne nolì è tifoso dell'Inter alnieno un tifoso dell'Inter non è rrraggiorenne tutti i tifosi dell'Inter sono maggiorenni.

Alcuni matenratici hanno stucliato i rrumeri natrirali "speciali" (di cui ignoriamo la definizione)cd hanno dimostrato i teorernisotto eiencati. Uno di essiimpìica tutti g1i altri. Quale? (A) (B) (C) (D) (tr)

LOG5

Ogni elementodi A C rnultiplo di 3, di 4. di 5 e cli 6 ogni elementodi A è r r n q r r a d r a l op e r f e tl o p a r i ogni elementodi A è rmrltiplo di 4 ogni elementodi A E rnultiplo di 6 e di 8 ogni elementodi A C rnultiplo di 8 o di 12.

Tra i cornponenti di una certa famiglia si sa che "almetto un rnaschio non è tifbso dell'Inter" e che non è: r.ero che ''ahneno ttn tlaschio non è maggiorenne". Si può dedurre che in quella farniglia (A) (B) (C) (D) (E)

GARASENIOR 93

Bearzot non torna ad allenarela Nazionale Bearzot torna ad allenarela Nazionalee questa non perde mai Bearzot torna ad allenarela Nazionalee questa nort vince tutte le partite Bearzot non torna ad allenarela Nazionalee qlrestavince sempre Bearzot non torna ad allenarela Nazionalee questa non vince mai.

Ci sono infiniti nunreri dispari che non sono speciali ci sono infiniti nrrmeri dispari ed infiniti numeri pari che non sono speciali per ogni numero speciales c'è un numero naturale n non specialetale che n > s c'è solo un numero finito di numeri specialidispari un nllmero speciale non può ar.erepiù di 1000 cifre.

Se a e ó sono dr-renumeri interi positivi tali che 3a : 2b, quale cleileseguenticonclusioni è corretta'J (A)o+óèmultiplodi5 (B)a+bèdispari (C) o b è pari rna non è multiplo di 4 (D)ooppurebèdispari (E) nessunadelle risposte precedentiè corretta.

40

Probleni

LOG6

Si considerì la seguentefrase: "Tutte le volte che ho preso I'ombreilo non è piovuto". Quale delle seguenti è Ìa negazionedeÌ1afrase precedente'?

GARAJUNIOR93

(A) (B) (C) (D) (tr) LOG7 GARAJUNIOR92

Quando escocon l'ombrello piove tutti i giorni in criì escosenzaombrello piove almeno una volta souo uscito con l'ombrello ed è piovuto tirtti i giorni in cui non piove escocon I'ombrello tutti i giorni in ctii è piovuto sono uscito con l'ornltrello.

In trna classesono state formatc un:r squaclradi calcio c una di tennis. Quale c1eìlc seguenti affermazioni è sicuramente vera? (A) II miglior calciatoretla i tennisti è anclie il rniglior tennista tra i calciatori (B) i1 più giovane fra i calciatori che giocano a ternnisè anche il più giovanedei tennisti (C) se il piìr bravo dei giocatori non gioca a tennis. allora il pirì bravo cleitennisti non gioca a calcio (D) se il piìr gior-anedei giocatori non gioca a tennis. allora il pirì giovane dei tennisti rton gioca a calcio (E) nessuna delle precedenti affermazioni è r'era.

LOG8 GARANAZIONALE 94

Un giornalista clevefare un articolo su una classica isola cli furfanti e cavalieri. in cui ttttti gli abitanti o mentono senìpre (e sono furfanti) o dicono sernprela verità (e sono cavalieri)e tutti si conosconoreciprocanrente. Supponiamo che il giornalista intervisti una e una sola volta tutti eli abitanti ed ottenga nell'ordine le seguentirisposte: A 4.-

'sull' isola c'è almeno 1 firrfante" 'sull' isoÌa ci sono ahneno 2 fnrfanti"

':' Au. t : "sulf isola ci sorro ahneno n - 1 furfanti" An : "sull'isolaci sono n furfanti" Può il giornalista stabilire se suli'isolaci sono piir furfanti o piìr cavalicri? LOG9

LTrivi:iggiatore si trova a ttn crocevia da cui partono due strade una delle quali porta a ttna città. La regione è abit:rta da drre fatriglie: i rnembri di una fauriglia dicono senpre la verità. qrrelli dell'altra nrentonosempre. Al croceviail viaggiatoreincontra uno sconosciuto, gli fa una dornanda e. pur senza sapere a quale famiglia appartiene lo sconosciuto.la risposta che ottiene io inclirizzasicurameritesulla strada giusta per raggiungerela città. Qual è la cìomanda'l

LOG1O

Tre esploratori vengono catturàti. Il capo della tribrì che li ha catturati nrostra loro cinqrre cappelli (tre bianchi e due neri). dicendo: "Vi saranno posti sul capo tre di questi cappelli. Ognuno di voi potrà vedere i cappelli ciegli aitri mà non il proprio. Chi di voi indovinerà il colore clelproprio cappello avrà salr.ala vita. gli altri saranno giustiziati". Tre dei cinque cappelli vengorìopol posti sul capo degli esploratori. ll primo cìi essi dichiara: ''Il rnio cappello è rrero". "Anche il mio cappello è nero". Il secondodichiara snccessivamente: A questo punto il terzo dichiara: "Io colloscocon assolutacertezzail colore del micr c a p p e l l oE. s s o è . . . " . Di quale colore è il cappello e perché?

FUNZ 1 GARASEN]OR 92

-l Qrralefra le seguentifunzioni verifica f iclentità f (2:t t) - 2ll(;r)]'? ? ' l

t' A t . t , FUNZ 2 89 GARANAZ|ONALE

21 ) :

( B ') l o g r z

o

( C )2 - "

t2- 1

z

(D) -

2

(E)2".

Sia a un rìuÌnero leaie ed / la funzione cosí clefinita: ( .f\r,.n) -,r

flm.n-

1)+(1 -o)l'(nr - 1.n - 1)

I

sen ' i ,e d n s o n o interi positivi

J ffu.()):1 ì I f (r,.0): I

f(0. nr) :11

p e r o g n i r r ti t i t e r o P u s i itr o

Trovare i valoli cli a irr corrispondeuzadci quali si abbia l./(nz,n) < 1989 per ogni nt ed n. FUNZ 3 c0RloNA88

Detcrrrrinare le fuirzioni di una var-iabiieche sodclisfanoìa segucnte equazionefunzionale:

f ( r + a )- 2 f ( r - y ) + / ( . r ) - z Í ( a ): y - 2 . FUNZ 4 CORTONA 94

Si consideriunerfunzione I definita sugli irrteri positivi tale che:

f / ( 1 ): o 4fQn):2f(n)+! I l ( 2 n + 1 :) J Q n ) - T a) Si dinrostri clic /(rn) :0 per infiniti vaÌori di rn. b) Si dimostri che esisteq tale che /(q) : 1991.

FUNZ 5 CORTONA 92

Sia / urra funzione non identicamentenulla tale che per ogni coppia di mrmeri r, g si abbia

f qlP +7) : /(r) .f @). Si clinrostriche per ogni .r razionalesi ha f (r:) : o'". con o costantepositiva qualunque.

CORTONA 94

Si determinino tutte le funzionl / che verificanola condizione.f (* - f (A)) : | - î - U pcr ogrii coppia cli numeri reali r:, g.

FUNZ 7

Si trovino tutte le funzioni / tali che perrogni r ) 0 e ogni y si abbia

FUNZ 6

coRfoNA 90

FUNZ 8 CORTONA 89

f ( f l ) : s f ( . r )' Si trovino tutte 1efunzioni / tali che

-f (r + y) + f (x - y) 2f (l cosy per ogni ct-,ppiadi rrunrerir. g.

MAT1 GARAJUNIOR93

La marmeilata dietetica ha una percentualedi zuccheroche è la rnetà rispetto a quella clella marrriellata ordinaria. mentre la sua percentuale di frutta è il doppio di quella ordintrria. Sapendo che in entrarnbi i tipi di rrrarmellatagli ingredienti diversi da frutta e zucchero sono complessivameriteil 4%. qLralè la percentuaÌe di zucchero nella marnrellatadietetica?

($ 2r:% MAT2 GARAJUNIOF91

(B) 30%

(C:)32%

MAT3

MAT4

( c ) 7 7 . 5 % (D) 78%

Iri una città di confine si sa che la popolazione parla il tedesco o il francese e che 1170% della popolazione parÌa il tedesco rnentre 11607( parla il francese. Si dornanda qr,ralepercentuale della popolazione conosceentrambe ie lingue.

(A) 10%

GARAJUNIOR 90

( F , )3 6 %

Nel carnpionato di calcio delÌo scorso anno fra, i rigori concessiil 6U% è stato a far-orc deÌla squadra di casa e 1140% a favore della squadra ospite. Sappianrciche l'80% dei rigori clellasquadra di casaè stato realizzato, mentre solo il 75% dei rigori della squadra ospite è andato a segno. Qual è Ia percentuale complessivaclei rigori segnati? ( A ) N l i n o r ed e l 7 5 % (B) 777{ (E) maggioredell'80%

GARAJUNIOR90

( D ) 3 3 . 3 3 3. ..

(B) 30%

(c) 60%

(D) 65'4

( E ) i d a t i s o n oi n s u f f i c i e n t i

Drrrante ,1 anni c-onsecutivilI prezzo di un grammo d'oro subisce le variazioni percentuaii seguenti,non necessariamente in questo ordine: i5%. -3%. +2.5%.-1%. Cosa si pnò dire rlel prezzctdeli'oro alla fine del quadrierrnio? (A) Dipende clail'ordinema è sempremaggioredel prezzooriginario (B) I'ordine -3%, -ITa, +2,57a, *5% determina un prezzo finale maggiore di tutti gli altri (C) I'ordine +5%. +2.5%. -I%. -3% deterrnina un prezzo finale niaggiore di tutti gli altri (D) non dipende dall'ordine e il prezzo finale è aumentato del +3.5% (E) il prezzofinale è indipendentedall'ordine ma ia sua r,'ariazione è diversadal +3.5%.

MAT5 GABASENIOR 92

In un liceo. all'inizio dell'anno scolastico.si constata che il numero degli studenti è dinrinuito del 10% e che Ìa percentualedelle femmine è passatadal 50% al 55%. Il numero delle femmine nel liceo è (A) (B) (C) (D) (E)

aumentato dello 0.5% dirninuito dell'1% aumentato dell'1% diminuito dello 0.5% non si può risponcleresenzaconoscerequalche altro dato.

43

Matematizzazione

MAT6 GARASENIOR 93

Irr una classevi sono tre ragazzi per ogni due ragazze. Se I'età media dei ragazzi è 15 annie5nresiequelladelleragazzeè14annie7mesl,qualèl'etàmediadellaclasse'? (A) (B) (C) (D) (E)

MAT7 GARAJUNIOR93

14 anni e 11 mesi 15 anni 15 anni e 1 mese 15 anni e 2 mesi dipende dal numero di allievi della classe.

La svegliadi Paperino rimane indietro di 8 minuti ogni ora. Alle ore 22:00 Paperino, prima di andare a letto, regola la sveglia con il segnaie orario. Su quale ora dovrà puntare la sveglia. in modo da esseresvegliato il mattino successivoaÌle ore 8:30 ?

(A) e:5a MAT8 GARAJUNIOR93

(B) e:22

(C) 7:06

(D) 7:22

(E) non può farcela.

Una sveglia digitale ha un display' a 4 cifre. Quanti mirruti al giorno compare il numero 13 iri una qualsiasi configurazione, come ad esempio quelle rappresentate in figura?

(A) 104 (B)114 (c) 113 (D) 13 (E) 228. MAT9 GARASENIOR 91

MAT10 GARAJUNIOR93

Un treno fa la spola tra dr-recittà A e B che distano 20 km: di solito rispetta rigorosamente Ì'orario viaggiando a velocità costante. Un giorno, a metà strada tra A e B. viene fermato per tre minuti da un semaforo e riesce ugualmente ad arrivare in o r a r i o a u m e n t a n d od i i 0 k m / h l a v e i o c i t an e l l r a t t o r i m a n e n t e .S e a v e s s e p e r s oc i n q r r e minuti al semaforo, di quanto. invece, avrebbe dovuto aumentare la sua velocità di marcia per arrivare in orario?

(A) 15 kmih

(B) 20 km/h

(C) menodi 15 km/h (tr) più di 20 km/h.

(D) tra 15 e 20 km/h

Un tavolo circolare del diarnetro di un metro viene spostato, rnantenendolo parallelo al pavimento, dalla posizione A alla posizione B del corridoio indicato in figura, percorrendo la strada pirì breve possibile. Sapendo che la distanza tra i punti P e Q è di 3 metri. qual è la distanza in metri percorsà clal centro del tavolo?

(A) 6 ( B )a + z r

(c) 4 rD4 ) + ' 1 Ò z

(E) nessunadelle precedenti

M A T1 1 GARAJUNIOB94

Un locomotore, quando viaggia senzavagoni, raggiunge la velocità di 120 km/h. Quando traina 4 canozze. la sua velocità è di 90 km/h. Supponiamo che la velocità del Iocomotore quando traina dei vagoni diminuisca di una quantità proporzionale alla radice quadrata del numero dei vagoni. Quanti vagoni al pirì riesce a trainare quel locomotore? (A) 1i

(B) 12

(c) 15

(D) 63

(E) 11e.

M A T1 2 GARAJUNIOR93

di sezionecilindrica La stmttura rnetallicacli ula porta calcisticaè fatta cla un tubo quadrati misura piedi 2:1. larga piedi e 8 alta Qua'ti piede. I dcì cliametr' cli rnezzo lnetallica? struttura tlella estcrna la snperrficie

(A) (16+ ytr)n (B) l8r

(c)x,,,2

Q) I2vD.n (E) 'hr2' 1

2

MAT13 GARASENlOR94

in clirezioniopposte dal Su rrna pista circolarec1ilunghezzalkrrl clLreciclisti partorro urerttre il secorldo costante' tne,lesirnc,pr-urtoA. 11prinlo r:iclista l'iaggia con r,'elocità Sapendo che i velocità.zero' cla partenclo viaggia con nroto u[ifbrrnernente acceÌerato nuovantente volta la secontla per B e in volta prima clue cicllsti si incontrano per la del prirllo rnomento al primo ciclista dal percorso AB irr ..l, quanto r\ hrrrgoil tratto incontro'l

(A) l/2 ktn (B) (v-6- 1)/2 krn

G) vElz xn

(D) 2/3 kttt (E) norr si prrò cletcr-rnirtare.

M A T1 4 GARAJUNIOB94

n * l ì a f i g r t r aa s ì t r i s l t a ' T 1 er l a , l ii , l c l r i c i\ o l r g o n oi r r c t - r l l ai rtri u n a c o l o n t t ac o l l l el l l o s t r a r o qual è la somma a destr:r, figirra che il loro sviluppo è cluello inclicato rrella S:,-r,pent1o lncollate'l dei nurneri clie compaiono sulle faccc a o o o o o

(A)E (B) 10 (c) 12 ( D )1 3 (E) 1.1.

a a

a a

O

'

a a a a o

a

o

MAT15 92 GARASENIOR

a

a

su ulla r-ettacli appoggio Un quaclrato cii lato lrrit:rrio "rotola" conìe mostrato in figura una curva" il r.. In questo nro'n,irneritoil verticet A (segnato corr r in figura ) descrive r' retta sulla Quanto è lunga la movimento ha termine qrrancloil prirìto A ritorua cun'a clescrittada A'l

( A )r ( 1 +

2', E

(B)

;(1+

n a

( c )2 ( 1 + f o t (D) 2r

@)zJ1r.

l

45

Matematizzazione

MAT16

girare? Quali dei seguentitre rneccanismipossonoeffetti'namente

GARAJUNIOF92

r A l Gira soio il numero 1 (B) girano 1 e 2 (C) girano tutti e tre (E) gira solo iÌ nurnero 3. ( D ) nessuno

MAT17

S u l l a p o r t a a v e t r i d i u n f a r r r o s oi r r v c silg i r l o r r ' l r l i v i r t o( ( ) n r l ) r u (l,a s c r i t t a

GARAJUNIOR 92

VALIAYlT&VALiANT C o s a s i l e g g e c l a l Ì ' a l t r al ) ? u 1 r ' , l c l l ;lr. r t . r t t t t l

(A) (B) (C) lD) ini MAT18 GABAJUNIOR94

Cinque monete sono allineate come in figura. Facendo rotolare senza strisciare 1a rnoneta di sinistra A lungo le altre fino ad ottenere di nuovo cirrque nronete alÌineate. 'l quarrti giri ha fatto la moneta I

(A) (B) (C) (D) (E)

MAT19 CORTONA 93

TNYITV^?8II4VI1V TI4AIJAVISTNAIJAV TNAIJAVTSTI4AIJAV TNAILAVTSTI4AILAV TI4AILAVTETNAILAV

Un angolo giro mczzo giro 5/3 cli girc> 2 giri 1/3 di giro.

Cento città sono collegate dalle linee aeree ATI e Nferidiana. in ntodo che clue qualunque di essehanno sempre un volo non stop andata e ritoruo. Sapencloche non è possibile raggiungere Alghero da Cagliari utilizzanclo solo voli N{eric}iana,qualunque sia I'itinerario prescelto, si dirnostri che è possibile utilizzare sokr voli AT'I per andare da una qualunqne delle clue città all'aitra (Alghero e Cagliari sono tra le cento città considerate).

MAT20 c0RtoNA 88

MAT21 c0RfoNA 90

Un'isoÌa ha la forma di un poligono convessocon perirnetro di p km. Le acque territoriali si estendonofino ad una distanza di b km dalla costa. Qual è l'area A delle acqrie territoriali e quale la lunghezza I della curva che ìe delimita? Per un'isola non convessadi pari perimetro p le grandezzeA e I sono maggiori o mitroli del caso precedente,e perché? Quando Nfarco torna a casa dalla scuola, per raggiungere il proprio appartamento. situato al primo piano. deve affrontare una rampa di scale composta di 16 gradini. Acl ogni passo egli sale di uno o due gradirri indifferentemente. In quanti diversi possibili modi può compiere tale percorso? (Il percorso è individuato dai gradiniche \larco calpesta).

Soluzioni

ARIT1

La rispostaè (B). Dato un quadrato perfetto n : k2, il minirno quadrato perfetto maggiore : cli n sarà il qlacìrato cii Àr+ 1. che è il nrinimo intero maggiore di À;,e cioè k2 + 2k + |

n+2v6+I. ARIT2

La risposta è (C'). La sornnìadi clueinteri è dispari se e solo se i due interi sono uno pari e ì'altio clispari. 11 tal ctrsoil loro plocìotto è un nurnero pari. Le affermaziorri(A), (B) e (D) hiinrro invecei segucnticotitroesempi: ( A )a - 1 . b - l : ( B )o : 2 . b : 2 : ( D )a : r . b : 2 . Alla sollzione si perviele. in rnodo piìr sistematico.costruendole drre tabelline seguenti. cli ovviii, irtterpretazione.

ARIT3

Larispostaè(E).Basta.infatti,prendereadersempioa:2'í:,b:2'7.c:5'7per l.eclereche le pritnc .1 afferrnazioni proposte sono false'

ARIT4

La risposta è (B). \rerifichiamoanzitutto che i due nLturerir; e y sono etrtranrbipari: se entrtrrnbi disp:rri 1aloro somma sarebbepari e il prodotto dispari, mentre se fossero fosserr-r ruro pari e 1'altro clispari avrebbero sotnrlà dispari e prodotto pari. In ciascuno cli questi casi (.r'+ y) +.t:tv sarebbeclispariiri contrasto con I'ipotesi' Siccome :r e .r7ctebborìoesscle erntrambipari iì loro prodotto è divisibile per 4. drrnque la loro sornnianori rlevercsserlo.altrirnenti si sarebbenuovamentein contrasto con l'ipotesi. per '1 e I'altro no. g Questo irlplir:a chc esattanrelte uno tla i ntrnteri t e è divisibile Aflìnchè r'/.y sia inter.o occorre duilque che rr:sia multiplo di 4. rnentre g sia un rìulnero pari nou clivisibile per '1. Perta:nt'or f 31è pari. -- 2 si ottienc un controesempioalle asserzioni(A). (C). (E). 3i rioti che polenclo .t :4.31 rnentre la (D) è corttraddcttadalla prima ossen'azione'

ARIT5

( ó < liJ. L:r risposta è (B). Supponiamoche i1 numero n sia della fonna 134*ó, con 0 Si lia: t'2 rl=il3n;2L2b ll3rr)-r-òr+1 necessàfrae sufficienteaffirrchén2 +l sia divisibile per 13 è quinrli che b2t Conclizioner sia clivisibile per- liì. E fticile vedere che ciò accade solamente per b : 5. oppure prll b : 8. Di conseguenza,r.erificano la condizione richiesta solamente due nurneri fra 13 corrsecutivi.ovvero 200 rmmeri su 1300'

49

Aritmetica

ARIT6

La risposta è (B). In effetti 1/70 - 0.011285; e quiucli.poiche le cifrc deciniali successive alla prirna si rlpetorrocon periodo 6. la 70u cifra è uguale trlla quarta (70 -1è rrn multiplo di 6).

ARIT7

La risposta è (C). Osserviamointranzittttto che r-alela reÌaziorte: 5n*93_n - 17 -

-

t

t

Î

-

5E nl7

Perché questa espressionerisrilti urr intero positivo. occorre c basta che 58/(rz * 7) sia un intero positivo (dato cherrr è iutcro positivo), ossia che n + 7 sia divisore di 58. Dal tnotnentoclie gli rrnici clir.isoridi 58 rnaggiori di 7 sono 29 e 58. l'itttero tr ptti, assuurelc' esattarnentd e r r ev a l o r i . e c i o è n : 2 2 e n : 5 1 . ARIT8

La risposta è (E). Infatti si ha che cee - 99aes | 1. cla cui úrog

l00 rree f 1 : 1 0 0 ' ( 9 9 n e s+ 1 ) + t : 1 0 0 ' 9 f J r r g+s 1 0 1- 9 ' ( 1 1 0 0 o e+s f 1 ) + 2 .

Quindi il resto cercato è 2. ARIT9

L a r i s p o s t aè ( D ) . S i a ( r r . t r . 2 . . . . .n À r u r i n s i e r n et l i r m r n e r ic r o t n p r e st ri : i 2 e 2 0 , p r i m i t r a loro a 2 a 2. Consideriarnogli 8 nun'reriprinri: 2, 3. 5, 7. 11. 13. 17. 19 cornpresitra 2 e 20. A ciascunot cgli ay si puir associarel1n srlo divisole pritno fra i prcceprituo pttò cssere clenti (ne esistescrlpre almeno uno perchécL.,) 2). Siccorneperò nessr-tn plimi fra loro) cleveessere clrtc à clne a (poiché sorÌo numeri a7 associato a piìr di uuo dei n e c e r s s a r i a m e nf tt e( 8 . D ' a l t r a p a r t e . 1 os t e s s oi u s i e m ec l e ip r i r n i 2 . 3 , 5 . 7 . 1 1 , 1 : 1 .1 7 , 1 9 verifica le ipotesi lichieste c qrrinclik ò esattarrrenteugualc ad 8.

ARIT1O

La risposta è (B). Si notl che i quaclrati perfetti. quanclovcngotìo divisi lter 4. possono dare come resto solo 0 oppr-rrcl: quindi tre quadratl. per avereconìesotnttÌaul rlttaclrato. cleltbolo o esseretutti e tre multipli cli 4. o al più uno cii loro pttò nou esscremultipìo di .1. Dato però che si è supposto chero. ò. c rron abbiarnofattori pritni iu c:olntllre.Iirnau<' solo il caso in cui rtrto e rttio solo tìi e'ssiè disl-iari. r . t e r r r a( i . 2 . 2 ) P e r e s c l u c i e rteu t t e Ì t ' a l t r e . 1 a s s e r z i o nbi a s t a c o n s i c l e r a r cp.e r e - s c t t t p i ,l a e la tenra (2. 3. 6).

ARIT11

Larispostaè(E).TLrttiicpaclraticlcltipo(104+1)2:102À+2'10À*Iterminatrocon l e c i f r e0 0 1 .s c À ' > 2 : a c le s e r u p i1o0 0 1 2 : ( 1 0 0 0 + 1 ) ' : 1 0 0 2 0 0 1 . le altre possibilitt\: nessuucpr:lcirato Si poteva pervenire alla risposta anche escluclenclo p u ò t e n l i n a r c p € ) r3 ( l ' u l t i r n a c i f r a c l i o g n i q u : i d r a t o è 0 . 1 . 1 . 5 . 6 o p p u r e 9 ) , n é p u ò terminarerper 26 (sarebbeclivisibiieper 2" ma lron per -1). Se la sorritlà dtrllecifre ò 48, irr baseai CR1TERIDI DIvISIBILI'fAil nunìerosarebbedir-isibilcper 3. ma non per 9, tittncpc non può ess€rre essostessonn quadr:rto. Infine, se url nuntero ha 2A:cifre tutter ugr-ralia 9. essoè della fbrrla 102À'- 1 : (iQt')z - 1: ma riorr esistonoclue rrunteriitrteri consccutivi nraggiori cli I clie siano errtratnbi quaclr:iti cli nurnerl interi.

ARIT12

La risposta è (A). Se un rÌurneropositir.o,\ ha Arcifre e non ò nna potenza cli 10. si ha:

l o ÀI < \ - < l u t Nel nostro caso sì ha: 1o3o<2100<1031

10..

1<5100a19.t

Nloltiplicandonrernbroa nrernbro.si ottiene: 1 1 0 r ' + 2 e< 1 0 1 0 0 a 1gz+3 da cui 69 < .r < 71. Quincli .r : 7(1.

i loga'ritmi in base 10' Dato una soluzione aÌternativa può esserela seguente.che utilizza che il suo lo-garitmo è compreso tra 30 e 31 e quindi si ha: ;il" 2100ha 31 cifre. "; "6" ' I o g 5 1 0: 0 1 0 0 ' l o g 5 : 1 0 0 ' ( 1 - 1 o g 2 :) 1 0 0 1 0 0 ' ì o g 2

ARIT13

ARIT14

e 70, e questo significache 5100ha 70 cifre' Quincli log5100è cornpresotra 69 1:+'a e r-g sono o entrambi La rispostaè (B). Si osserviche.se r e g sonointeri. i numeri per 9) è pari, allora è anchedivisibile pari o entramti'dispari. Perciò. ," o :" (" + y)(r ha non l'equazione 1002 per a: 4 (entrambi i fattori d",rono esserepari). In conclusione soluzione. esiste; basta notare si osservi inoltre che per gli attri valori la soluzione effettivamente quadrati consecutivi: due di differenza come che ogni numero dispari è i-pru esprimibìle - 5022. Infine 1004: 502'2 : 5 0 3 2 1 0 0 5 : 5 0 1 ' , 5 0 2 2 ióór-: 5012 soot, ioo: - 2 s i t r o v ar : 2 5 2 ' a : 2 5 0 c h e f o r r r i s cuen a e q u i n d i p o n e n c l to* g : 5 0 2 ' t - y soluzione ancire nel caso (D). : 27 ha come cifra delle unità ii La risposta è (D) si noti intanto che il numero 33 unità 7, quando viene elevato al clelle rìumero 7. Inoltre ogni numero che ha come cifra che termina per 3' Infatti: decimale cubo fbrnisce un numero che ha una rappresentazione ( a . 1 0 t 7 ) 3 : ( t e r m i n i c o n p o t e n z ed i i 0 ) + 7 3 ' delle unità 3' se viene elevato Allo stessomodo, si osservache un nurnero che ha come cifra Ia sequenzadei numeri al cubo procluce,r. ,rtr]l.ro che ha come cifra delle unità 7. Quindi elementodi taie il centesimo e 7: con i,3', i3)t, .". termina alternativamentecon 3 e successioneterminerà quincli con 7'

ARIT15

ARIT16

(Xb2+Yb+z)-(b2Y+bx+z) L a r i s p o s t aè ( B ) . I l n u m e r ox Y z - Y X Z i n b a s eb s i g n i f i c a y ) . c i o è1 b 2 ò ) ( x poiché X eY sono arbitrari occorre che b2- b sia clivisibile per 20' Fra i numeri assegnati solo il 5 soddisfa tale ProPrietà. 1 non è primo' 2n _1_ Dirnostriamo ilnanzitutto che, se n compare nella tabella, allora 3À: forma * 1, quelli della della sono prima riga si osservafacilmente che i numeri della sono della i-esima riga della quelli ge"òrale e in seconda 5k+2,quelli della tetzaTkt3 ) 1. forma (2i + l)k + i con /t Ne segueche

+ 1) 2nr I : 2l(2i+ 1)4,+ il + t : (2,+ 1)(2À' viceversa. supponianroora è il prodotto di due numeri maggiori di 1 e quindi non è primo. : dove a e ó sono entrarnbi ab, I 2n icrivere ! possiamo che2nt 1 non sra primo. Allora Scriviamo dunque dispari' sono e b o anche dispari, rnaggioridi 1. inolfre, poiché 2n*1è A l l o r a : 1 ) ' ( r . , k > a :2i + 1, b 2k + L 2n*l^'

l

( 2 i + I ) ( 2 k + 1 )- 1 ) zÒ

,',

1\r.'r;

la tesi è dimostrata' si trova al k-esimo posto della riga i-esima della tabella e ARIT17

c e r t a m e n t ed i v i s i b i l ep e r ' 2 n)(^2 L ' e s p r e s s i o nm e , n ( m 4- n . a ): m n ( m * n ) ( m _ t"') i pari' è n o"rùé. se m ed n sono entrambi dispari' allora m * per 3' allora o ha'no lo É-aìitrtrrìr" .".nà pe, 3. poiché, se né m, né n so'o divisibili per 3) o hanno uno resto 1 e è divisibile wL-n (e allora stessoresto nella division" pur 3 l'altro resto 2 e in tal caso m f n è divisibile per 3' *r non è è divisibile anche per 5. ósserviamo infatti che, se r:5a Infine I'espressione p e r 5 (bastii d i v i s i o n e n e l l a 4 d i v i s i b i l ep e r 5 . a l l o r a : r 2 : 5 ( 5 a 2 + í a r ) . + r 2 h a r e s t o 1 o -n2 è divisibilc m2 a'llora uguale' s,i)ì S" r'n2en2 hanno resto controllarei casi r :ìJ

Aritmetica

51

per 5. Se hanno resto diverso.tn2 + n2 è divisibile per 5. Poiché 2. 3, 5 sono primi fra loro. I'espressione è sempreclivisibileper 30 :2 .3 . 5. D'altra parte ponendo rn : 2. rL:1 si ottiene esattarnenterm(ma - rtal :30 e qr-rindl 30 ò il massirlo comun dir.isore ceircato. ARIT18

S e 1 6 9 : 1 3 2d i v i d e 1 2 + l t r * 1 6 . a l l o r a 1 3 d e v e d i v i c l e r er - . 1 , i n f a t t i x2+51*

1 6 : ( . r- + ) 2+ 1 3 n

e 13 divide il prirlo mernbro e l'uÌtimo addendo. NIa allora 132 divide (, - J)2 e. sempre per Ia relazione prececlente.deve dividere anche 13:r. questo signiflcherebbeche 13 divide ,1. r in contrasto con il fatto che clir.ider AR|T19

Dimostrìamo per induzione che per ogni intelo n ) 3 esistonodegli interi d,2,cfi, ... d,n c h ed i v i d o r rno! c s o n ot a l i c h e| < c l 2 < d ì < " . I d , , e n! :1-|dz-]_ ú-1 . .Idn. I n f a t t i l a p r o p r i e t àè v e r a p e r n : 3 . i n q u a n t o 3 ! : 6 : | * 2 * 3 e gli interi 1, 2 e 3 cliviclono3!. Supponiamoche ltr ploprietà sia vera per rlrì certo n, si ha allora ( n + 1 ) !: ( n * 1 ) r z:! ( n + 1 ) + ( n + \ ) d z - r . . . + ( , + 7 ) d , :,

1 * n - F( n + 1 ) d 2+ . . . + ( n + 1 ) d , ., P o s t o c l u n q r r c d ' r : n . c l t ; : ( n * 1 ) dp; -e1r I : 3 , 4 , . . . . n - 1 1 , s i h a o v v i a r n e n t e c h e c i a s c u n di divide(n + 1)! e anche ( r r+ 1 ) !: | + d i + ' .

+ d,',,+7

c o n 1 < d z 1 . . . 1 d ' , , + t . I n b a s e a l p R l x c t p t o D I I N D U Z I O N Es i r i c a v a l a t e s i . AR|T2O

N{ostriarlo che non esistono interi p. q, r. s tali che p q2

2 p r 1 2 ' ,1." .c2

o

In caso contrario infatti 7,2t2 + prqs t 12rl'2: posto allora rt: (2)

P.s. 3 :

si a-'.rebbe: 2q'tt t Q e ^, :

si ricar-a: r-1.s

,r2 + o'l + ,)2 :2î2

Da questa relazione si cìeduce che o e .i rrotr possono csscre entrarnlri dispari e neppure r.rnopali e l'altro dispari. Rimane solo il caso chc i numeri rr. .l siano entrambi pari, rna in tal caso il primo mernbro de1la (2) risulterebbe nn rrrultipkr cli -1e affiché anclic iÌ secondo mernbro lo sia. anclie il nunrero i clcve essere pali. Duncl-re tutti e tre gli interi a, ú e 1 cler.orio essere pari: li si può climezzare e si ottcrrebbe che anclic lc loro metà (r'erificando ancora la (Z)) cievono essere tlrtte pari. Questo proccsso deve però tertninare e questo comportrr l'assurdo. StrCONDA SOI,UZIONtr Se si esplicita una delle due variabili rispetto all'altra si ottiene

-r + yft'- +Qu 2 Dunque 8 - 3r2 deve essere il quaclrato di rrn nunrero razionale, il che comporta che esistonodegli interi p, q. a per i quali (3)

8q2- 3p2: 62 '

52

Soluzioni

tlividcndo per un cventuale fattore conìLrne,si potrà conslcleraresolo il caso in cui p e:q sono prirni fra loro. Xlostriarnoche 1a (3) non ha soluziorriintere. - p2) + 2q2 : a2. il chc sigrrificache i nurrreri 2q2e a2 L'equaziorresi può scrivere3(2112 Ìrarino lo stessoresto ue1ladir.'isiotreper 3. NIa un cy.ratlrato ha sctnpreresto 0 o l nella clivisioneper'3 (veclicoNGRLItrNZe).dunque si cleveavcre q :3 h con à irrtero (il caso contrario 2q? ar.'rebberesto 2 lella clivisione per 3). quindi anche o, ò rrn tnultiplo di iì. Dalla (3) si cleclurrcbbeallora che 3p2 è un niultiplo di 9, cioè p è rtrultiplo cli il. in contrasto con il fatto che p c 11possolìo essere scelti prirrii tla loro. AR|T21

Chiararnontep rion prrò essere2. mentre p: 3 è urra sohrzionedel proltlema. pertanto si può sllpporre che p sia ull rr1,1rr€rro ciispari rnaggiore o ugtiale a 5. La condizione 'z,-t r : m2 si Dric)sc.ir.ere p

( z ' - - r ) l z ' - r 'l )' : l ) t t \ \ / \ I clric Èrttori del rru'rtrbrcisirristrosono numeri dispari consecutivi.quindi prinri fra loro. lÌno dci rltte'sar'àdivi,sibik'per p. e dunclrteI'trltro s:rràun cluaclratoperfetto. Poiché i quarìrati clisp:rrirlarurosernpreresto 1 nella clivisioneper 4 (si ha (2k + l)2 : ' 1 ( 4 2 + / i '+) 1 ) m e n t r e i n v c c e2 L , - I ( p t ' r p > 5 ) d à r e s t o 3 n e l l a c l i v i s i o n e p e r (4s c p > 5 il nurnt:roz? I clivisibilcper 4). cleveessercz* +l : n,2.rla cui 2? : (n + l)(ri. 1). Q u i n c l i . s i a n * 1 c h e n . - l s o t i o p o t e t t z e c l i 2 . e p o i c h é l a l o r o d i f l e r e r n zl a' 1è12i .c a p o s s i b i l i t tèì . 1 e r2 . c h e c l à2 + . : 8 . u s s i ap : 7 . , o _ 1

I,'na verifica diretta forniscc -;:9. sorto clttrtcltrep - 3 t' p : T. ARIT22

clrc è effettivaurentetrn quadrato. Le soluzioni

Le soluzioni dcll'ecluaziorte 5r'2 - pr + q :

0 sono razionali serc soìo se o :

un nlurero razionale. Inoltre o. se è razionale. cleve essere intero (se o :

IN

-.

/._ - '2th1 e t/ p, colì rn eo rù

71.

prirni fla loro. o2 :*

è i r r t e r os o l o s e n : 1 ) .

t1. " q u e s t o l'crrrcttdo rlrtttrlur-n : tn si t_rttietre

1ì - 2oq: p2 - tn) : 20q . (Jt- trt,')(1t Polché q deve csseroprinro. le possibilità cli scriverc20q conreproclotto di due intcri sono solo le segur:nti(:r rneno rlell'orcìine): .7 2011 511.4 2c1.10

a) c) e)

b) d) f)

10q 2 1q.5 q 20

Risolve'rrcloil sisterrn:r (J.t*nt.:rt

(

,

lP-ttL:o

si ottierre,:'+, 1 1 0 a- f -

a) .

c) e)

lrer cui i possibili vaÌori cli ?r solìo i seguenti:

'

. J

l

-' 2t t' + ' 2 Q*i.t

lr)

SqiI J-r

cl) 2q+i '!*n f ') 2

53

Aritmetica

I casi a) e d) si esch.rclono subito. poiché non clanno ralori interi. I casl c) ed f) darrno valori interi solo se a : 2. ed in questo caso si ottengorio i valori accettabili p : 7 e p : 11. Per qualto riglarda i casi b) ed e). osserviarnoche se q è c l i s p a r i n u m e r i 5 q - t I e q * 5 s o n o p a r i e d u n q u e n o n s o n o p r i m i . P e r t a r r t ol ' u n i c a p<-rssibilitàè di rrttovo Q : 2. che ridà i valori p : l7 e p : 7. C o n c l r i d e n c l ol c. c o p p i cc e r c a t es o n o ( p . c ù : ( 7 . 2 ) e ( y t . q ) : ( 1 t , 2 ) . SECONDASOLTiZIONE I l p r o c l o t t o c l e l lrea d i c id e l l a e q u a z i o n5er 2 - p . r + Q : 0

è

. eur 1àREGOLADEISEGNI f esse.se sono reali. sorropositive. Poiché q è prinio. le uniche coppie di raclici razionali 11\ lt \ p o s s o r o , ' s s c r c(t ', t / l i l n u r n c r a t o r ed c v c i r r f a t t i e s s ( ' r eu n d i t i s o r t t l i q c i l ) ( ; " ; denoniirratoreurr rìivisorecli 5). Se una clelieradici ò 1, si ha: 5-pf

a:0.

cioèp:c1-lit.

p o i c l r é s e q è d i s p a i - i q + ' 5 è p a r i e c l u n q r r e n o n p r i rI n ' uon, l c a p o s s i b i l i t à è q : Z e q u i n d i P:7. 1 Se invece una clelleraclici è si ha 1 -

rt 1'

= - = tq:0. t

i

c i o è p : 5 r 1i l

l

e . a r r a l o g a r n e r nat ep r i n r a .I ' u n i c a p o s s i b i l i t àè, q : 2 .

ARIT23

p:

11.

L'equtrzionesi pnò scrivele nella forma

(1) Q+a)(u-4):r'' S er : 0 s i h a n r r oi e d u e s o l u z i o nzi : 1 , g : - 4 . e s o l u z i o n (t x . A ' ) c o : n r f 0 . P o n i a m og - 4 : C o r r s i d e r i a ml o sostituerrdonella (i) si ottierre

A. da cui y14:

kf

8;

( 2 ) ( À+' 8 ; À:' . , 3 Sia d il massinro conìlrrr cìir.isorefr:r À'* 8 e À'. E chitrro chc se un intero clivicìeentrambi i nilrneri allora clivideE, per cui d può esseresoltanto 1.2.4 o 8. S i a d - 1 : a l l o r a À + 8 e À s o n op r i u r i t r a l o r o . i l l o r o p r o d o t t o è u n c u b o p e r c u i s o n o entrambi clei crrbi. \'Ia cluestoè impossibile perclié drre cubi diversi cla 0 la cui differenza è 8 non esistono,cornesi vede esaninariclola successione dei cubi: +1. *8, +27 ... S i a d : 8 , s i a v r i \ a l l o r aA : : S n r . A ' + 8 : 8 ( n r * 1 ) e q u i n d i l a ( 2 ) d i v i e n e . t ' ' t- l t l r n \ n l

lJ.

n e s e g u ec h e r è u n r n u l t i p l o d i . 1 .c i o è x : : 4 t e f 3 : r r r ( n i* 1 ) . Poiclré rn. a ltr * 1 sono primi tra loro. essi clevonoessereduc cubi diversi cla zero e con differenzaf, il che è ìrnpossibile. S u p p o r r i a moor a c i r es i a d : 2 . o p p u r ed : 4 . S i h a A : 2 m . k , l 8 : 2 r n +8:2(rnl4) c o n / 7 2d i s p a r is e d : 2 ' .A :: 4 r n . k * 8 : . l m * 8 : ' 1 ( m * 2 ) c o n m d i s p a r i s e d : 4 . N e l prinro caso zo è 4 volte un nurnero dispari. nel secondocaso 16 volte un rìunìero dispari. N{a errtrarnbi i casl sorio impossibill. perché nella fattorizzazicntecli tin cubo ogni nnmero prirno (e chrrrqueanche 2) deve comparire con urr esponentcniultiplo di 3. Corrchrdendo. k' rrnichesoluzioni intere sono (0, a) e (0. -'l)

ARIT24

P o r r i a m o , : î / d , A : y 6 . . 5 : ; r :+ ' g . p : : r 9 . a b b i a r n oa l l o r a : . s n: , r 3 + y 3 + 3 r ' 2 ; q_ l _3 . t u 2: a

+ b + 3sp .

(per ipotesi s * 0). poiché i numeri c. b, s sono razionali. ne seglleche anche p è rt-r,zionale Inoltre: a-b:r:i

-!t:t: (/- y)(t'-p)

-P : 0 solo se r : y : 0)' e quindi ancher - y è razionale (si noti che's2 in clutrnto ìo sono la loro sornma lazionali. g entrarnbi Po,ssiamoconcllclerc che :i: e sono e 1a loro differenza. Resta dulque cla dirnostrare che essi sono entrambi interi. Supponiamo. ad esempio. il che r : A non lo sia: .n,iè allora un primo p che dir.ide il clenomilatore n tna non non può essereintero' perché altrirnenti numeratore nr cii .r. \la allora il urtmelro :'# " rrella fattorizzaztone cli rr3a cornparirellbe il fattore primo p che non appare, invece' nella rì. îattorizz.aziortecli rn ARIT25

Scriviarno il ntrrnelo utJ+ 3o2 * n uella forrna ( 1 ) a ( ( o* t ) 2 + a ) , e osserviamoche il massimocomì-Ìnclivisoredei due fattori c e (n* 1)2+a è 1 (in quanto ( a t 1 ) 2| o : a . ( a + 3 ) + 1 ) . òrrnq.r. se l'espressionó1t1 íott" uu qr.radratoperfetto allora artche(a+1)2*o lo sarebbe' ma ciò è impossibile.visto che ( o + 1 ) 2< ( o * 1 ) 2 + o < ( a + 2 ) z .

ARIT26

Osscn,iatnoanzitutto che per ogrti m ) 1 si ha: ( m _ 1 ) 2_ r ' , t-2 ( r n + 1 ) 2i ( m - 1 2 ) ' - + . D''que il mrmero 4 si può ottenere come somnìa aiterna di quattro quadrati consecutivi partenclo c1aun intero qualunqle. Quindi. se si p1ò esprimere neì modo richiesto un ir,rrrr"ro h., anche il nurncro h +'1 si potrà esprirnerein tai nianicra. È d.rnq.," srrfficientecontroÌlareche i numeri 1. 2. 3. 4 sono esprimibili conrevuole la tesi. ma cltrcstoè immediato: 1:12.

ARIT27

2:

_ I ' 2_ 2 2- J 2 + 4 2 .

3:

-12+22.

+42 4 : 1 . 2 _ 2 2_ 3 ' 2

Scriviamo ABC DEF :

l l ) r' L ) I

e (1) BCDEFA:r0'at:t:, clovcr è la cifra A ntentre 17è i1 nunrero BCDEF' per ipotesi sappiano che 10r't: I ll - 74. pcr un certo A intero. Ricavando y ila quest'ltltirntr relaziortee sostituendonella (1). otterrianrr-': BCDEFA:

- 1 0 6 . r : f 7 0 k 1 1 : - ( l 0 u - 1 ) ; rt: 7 0 k .

Btrsta ora osserviìreche 106 - I è rriultiplo cli 7, in qnanto 1 0 6- 1 : ( 1 0 3+ 1 ) . ( 1 0 : -r 1 ) e 1 0 3+ 1 : 1 0 0 1: 7 . 1 . 1 3 : p e r t a n t o a n c h ei l n u n r e r oB C D E F A la tesi.

è multiplo cli 7. da trri

55

Aritmetica

ARIT28

Osserviamo che ogni scomposizionecon nrr acldendouguale a 1 non può ottenere il prodotto rnassimopossibiie (per n > 2). Infatti due adclendi1e o possonoesseresostituiti con un unico addendon* 1 > a.1. Analogamentesi verdeche ciascunaddendoa ) 5 può esseresostituito cou 2-l (a - 2). aurnentandoil prodotto. in quanto 2 (o - 2) > n per a)5. Poichésostituire-1con 2'f 2 non altera il prodotto. certamenteil prodotto rnassimosi può o t t e n e r e c o na d d e n c lui g u a l i a 2 o a 3 . S e n ) 6 c i s o n o v a r i m o d i d i s c r i v e r ei l n u m e r o n cornesornrnadi acldendiuguali a 2 o a 3. e precisamenteogni gnrppo 2+2+ 2 può essere s o s t i t u i t oc o r ìu n g r u p p o 3 * 3 . S i c c o m e3 . 3 > 2 . 2 . 2 i l p r o d o t t o n i a s s i m os i o t t i e n e scrivencloil nraggior nulnero possibiìedi addendi uguali a 3 e il resto (0. 1 o 2 addendi) uguali a 2.

ARIT29

L'equazionedata 13 * 113 : 93 equivalea It3 : U3- 13 : (y - r)(y, + x2 + ry) . Poiclié 11 è primo. il nr.imeroy - r dovrà assunere uno clei valori 1. 11. 112. 113. a) Se E -.r:1 si dovrà avere 11il : !J2+ 12 + ry: 3.r2+ 3:r * 1. Questa equazionenon può averesoluzioni intere in quànto l'ultirno membro clà resto 1 nella divisione per 3, m e n t r e f 1 3 : ( 9 + 2 ) Bd i v i s op e r 3 d à r e s t o 2 . b ) S e y - : r : 1 1 s i a v r à i n v e c ey : x + 1 1 . d a c u i 1 1 2: ' y 2 + . r 2 + r y : 3 x 2+ 3 ' 1 1 r * 1 1 2 . o p p u r er : - 1 1 . n e l p r i m o c a s os i a " ' r ày : 1 1 . n e l s e c o n c lyo: g . C i ò i m p l i c ar : 0 c ) S e 9 - r : l l 2 . d a g : r + 1 1 2s i o t t i e n e (1) II:

u 2+ 1 2 + x l l : 3 r 2 * 3 r . 1 1 2+ 1 1 4.

Si vede allora che.r è rnultiplo di 11. ma allora nella (1) si ar-rebbeil membro a destra divisibile per 112.mentre il primo nternbronon lo è. c l ) S e g - r : 1 1 3s i h a g : r * 1 1 3 .i l c h e s i g n i f i ca I : y 2 + r : 2+ r g : i ) : r 2+ 3 r ' 1 1 3+ 1 1 6 . non ha soluzioniin quanto il suo cliscrirninante9.116 - 12(116- i) Questa ec1-razione è rregativo. In conclusione1esole soluzionidell'equaziorìesono (0. 11) e (-11. 0). ARIT30

Posto ru : r.r,si ottiene

I,"*tJ'-2a2 I r5g5: as Pertanto 15 e .r15 sono le clueraclici de1polinomio (a coefficientirazionali) z2 -2a22+cts. Poiché r5 e y5 sono razionali il discriminante de1polinornio der-eessereil cpradrato di un numero razionale.cioè aj - eit: 12. cott r raziotrale.Se ne cìedrtce l-.:ry:1-ct

7z o1

/ r \2 \o2,/

croe la tesl. AR|T31

Si osservache P(n) :123 - n -l- 1ed n sono prinri tra loro. pcrchè il resto clelladivisione di P(n) per n è 1. A n a l o g a r n e n t c P ( P ( r: i( )n)3 - n + 1 ) i r - ( r r t t - n f 1 ) *1drìrestolnelladivisioneper n ; p e r t a n t o n e P ( P ( r i ) ) s o n op r i m i t r a l o r o . Così procedendo.ad esempioper induzione, si clinrostlache P(P( .P("))) dà resto 1 nella dir.isioneper rr,:pertanto rt e,P(P(. P(r))) sono primi tr:r loro,

.i!'J".,1?ll,!;" î.Ìl"lJ,L1l,:i".;:"iTiil,1ll".':i,ii,i$:A;1:T:iliì:r:9,'Èí+í ponendo À : P(n), e pertanto a essisi può applicareil risultato precedente. L'asserzionerisulta quindi compietarnentedimostrata.

ARIT32

Cotisidereremo solo le soluziorii coti

Si r-crificafaciÌrnenteche (1. 1' 1. 1) è una solrtziotrr:. equaziorìe es-qaclil'iel re r' : tl : 1; provel crntl che sorto irrfi nit e. Sost it rrc.nclone1l' , , . 2l b 2 a 2 : 2 o b t a 4 - b cioè ( u - 6 1 21 2 : a * b . Sirr ora À' rur ntrutero intero clualsiasi' Il

slstellÌa

f o - b - A la+ú:k2+2

tr'2 poiché +'('+2 e A2_ t;'12

? b:ry

intcrea :t:t-y soltiziotri Irascrrrl.x'c

illuzioni sorìo setnpre llllnterÌ pari. Pertanto ósistonci inlìtlitc rlr'lla forrrta . 11,.2 A.12

\\ ARIT33

'A'-

k2_

2

2

-r

intere della equazione tlata'

,

" ), \

I numeri irt clucstioncsorrorlell:rfbrna t) l r . : l 0 l h r l 0 l ( r ' + . . . + 1 0 ++ 1

À > 1 .

priuro P e r / . : I s i h a . r ' r: 1 0 4+ 1 : 7 3 ' 1 3 7 .che: non ò I)clL>Isiosserviche (l0r - l).r:p: 1)) f 1 0 l i Àf r ) - l 0 r À )+ ( 1 0 t À l O i ( r , + . .

llr.

+ ( 1 0 ,_ l ) =

( 1 0 2 ( k + t ,) t ) 1 t 0 2 i À +11 )l 1 .

1 0 1 { , ( . +_ t )l :

o rrgrr:rli u 192(A+1)t 1' cltel ì'l ntl Nc sc.gue r:he trrtti i tirttori pri[ri di.t/À] solto tnitiot'i :11:)' ha. ircl escÙrpio' 2(À'+ 1) < lnlÌlÌero rnino|e rli 11 (ill <1lrànt,lper À'> 1 si che rP txli è signifit--a il chc
ARIT34

scrir-c 10) si ha: Poilhé lella BASL,Dì NUIIIIIìAZIONE 9 (i1 cui 9 si i 1 . . . 1 1:

-.-

rr fl

:

11...10+1 \-,,.-

1 0x ( 1 1 . . . 1 1 ) + 1

\-.-

rr+L 'ihr

cifrt

per ticorrenza nel tngclo seguetrte il gelerico olctttltrtrl clclla sttccessigrlepriò essc'reilefilito ' l ' 7 1 1 -19 ' t ' , , * I

. 1 1: | "

ti:1. Notato alzitntto che la proprietà cla I)roYafevale perr

trlnrrlettia[roche sia

n r ( n r1 " 1 ) ,Ltl

)

pc1' nrì opPortuno itttcro tit > 0. Allora si Ìia: 9ni(rn -1 1) r /r+l

)

1

9 r n 2+ \ r n l 2

i 2) ( 3 n r* 1 ) ( 3 r r +

57

Aritmetica

cioè anchc irp11 è triangolare, precisanelìte il numero triangol:rrc tli indice 3rrr f

1.

S t r C ' O N D AS O L I . Z I O N t r Si può ossc.r\.are che. essenclo ' ,' .) 1-

| r Cl-(r2-...!r1"-ì "

Í 1 "- I g I

risulta 9 " - 1 'I

tt

Dalla lt'laziorre prc:ceclr:ntesi ha subito

(3"-1)(3',+1)

/r\ ,. r r r

^

Sicconrciì" ò rlispiiri (irr clr:rnto prockrtto cli rnrmeri rìispari) il nLrrnero3n - 1 è pari. cioò s i h : r 3 " - 7 - 2 n t c o n r n r Ì a t u r : ì l e o p p o r t u Ì r\ oe .. s e g r r c : 1+" l : 2 n t i 2 : 2 ( r n - 1 1). quirr

ò 'I'IIR,Z;\

r

SOLI ZiONF,

Un altro rnodo r1i risolr'errcil problcma consistencl ftrr verlcrc chc. pcr ogni n:-rtrrraler n. l,'qrrazinrrl ; r ' ( ]. r l ) : 9 u - 1 2 E h:r sohrziorriintererpositivc. Con facili trasfbrtnazioui.l'ec3r:rzione prcccdcntesi scrive: . 1 . r 21 1 . . f 1 : f . ) ".

( 2 . r- i - 1 ) 2 : ( 3 " ) ' .

clolr. sia 2;r I 1 che 3" sono nurneri positir.i: dtrll'ultima c.quazionescritta segucpcrttrnto 2 . r l 1 : l l " . c l i e . r i s o l t a r i s p e t t o i Ì . r . f b r n i s c cl a s o h r z i o n e ,

'

,)D r t

2

I I

P o i c l u l .c o r r r egri à n o t a t o . 3 " - 1 ò p z r r i .i Ì n u r u e r o . r ' òi n t e r o . c r r i òc : o m p k ' t al a c l i m o s t r a ziottc. Q t A R l ' AS O L L Z T O N t r ploprietà cleinurneri trianPcr la lisolrrzionerlell'esercizio è possibilesfirrtt:rle la segue.nte golari: "Se per lur nulrreronatriralt'l risulttr r'ìre51 | 1 ò il qrrarhatocli un uulncro dispali. allora/ ò rrnnumelo trianqolare". E s s e r r c l op.c r l a ( 1 ) . ò.r',,-|-9'- (:t")r. ìr:rst:rosservar-c c'hci3". in qrranto prodotto cli uuncri tlislrari. è'essostessoclisparl. AR|T35

Pcr il plc'c'or,o'r[]olìtì.\rA D t F i r R \ r A ' ls- i h à 2 t ' + I = 2 + I : , 1 ( r r r o r pl ) . - i3. per p solo se 3 è:dilisilrile per lr. cioè se 7..r da crri si cletlucechc.2r' f I e\divisil..'i1e l)'altra piìrtc. per 7r : 3 si ha che 3 cliviclc2:r + 7: 9. Dunclrc :J ir il solo plimo con la lrroplietà richicsttr.

ARIT36

un termine dispari, e viceProviamo che ogni terminc pari clella silccessione è seguito da versa. : 2k 1'3tn' con A' ) 1e m dispari Ne seguecn*l Sia c,, ptrri. allora c,r:2kn7. 2 ' 32*. . . crtA :34' 'rtt e quindi c,,'1*1 è dispari' c.rtt2:2k S i a o r a c , . d i s p a r i . s i a v r àc : , , : 2 k n t * I . c o n l i l ) 1 e m c l i s p a r i . 2 . 32nt + 1. . . .. tl21À': 3A'' ni { 1 e c,,1p è pari' cttr2 : 2k

ARIT37

Osser'iarn.

innanzitutto

A l l o r a ( | 7 1 ! :12 k _ 1 . 3 r n + 1 .

> k tali che basta clirnostrare ch.e per ogni k esistono À.' q con h

c h el q J î ) : 2 n . per ogni h. q cort Dirnostriamolo per assurclo:supponitr[to qr,rinclic]ie esista a tale che /r ) A:si atòia lq1/Í) I 2t'. avere Sia n il massimo iùter
(n +l)tE

> 2k+ I .

Si ha allortr anciie 2 r t r / 2< 2 k + r

( 2 n+ 2 ) r / 2 > 2 k + \+ 2 .

o\rverc)

l z r t ' , E ) < 2 k + r [, ( 2 ,+ \ J t ) > 2 k + r + 2 ' sia ]'intero r. dalle Poiché [(r + r)vD] - lrvo) può valere solamente 1 o 2 qualunqtte ottiene si + escluclere[(2n \vtr]:2k' precedeìrti.clovenclosi ,ìisegnagiianze

l z n t D . ) : 2 À + 11 ,

l ( 2 n +\ \ / t l : r r ; + r a r .

Ripetenclo lc.rstessoragionamento si ottiene in riltirna analisi : l. 2.... 1z''nt1) 2A+r 1 perr Questo però è assrtrdo.Poiché 2k*r _ 2,.n,t/2 : 2, (2k _ rrT risulterà certamertte maggiore cli 1 per r sufficientementegrancle' ARIT38

una terna cli intert I colori clei canaleonti acl 1n clato istante si possonoclescriveretramite quelli neri' e: verdi g quelli gialli, (t:,'g. z) ove.r intlica quarrti sono quelli ottenere' con ie reDobbiamo verificarese è possibile,partendo dalla terna (13. 15. 17), 4 5 ) ' ( 0 ' 0 ' ( 0 ' 4 5 ' 0 ) , ( ' 1 5 , 0 , 0 ) ' t e r n e g o l e c l e s c r i t t cu. n a c i e l k r il terzo colore' Poiché acl ogni incontro fra camaleonti di colore diverso questi assumono rimane 1' Ovvlarnente cli r-uioclei tre numerr aurnenta di 2 unità e gli altri dirninuiscono -l altro è riri "invariante" vi ma z c)'eicamaleonti' invariato il ntrrnero totale A : r: * y di r - g per 3' Infatti' che è utile per risolvere il probleilra: il resto r clella divisione (2, y) vengono per og.i incontro in cqi i cÀaleorrti carnbiano colore. i primi due numeri - L'y'l 2)' Nel ( r d a o a n c o r a 1 ) 2 , ' ! ( : r : c l a * 1) oppure r i n r p i a z z a t ic l a ( r ' - 7 , l l primocaso/-ynotìclambia,neglialtritluecasir;-gcambiadi3eclunqueiirestor' cìella clivisionc di :r:- y per 3 rirnane invariato' essasi per la terrra it iriut. (13. 15. 17) si ha r : 1, ttott potrà rnai accaclereche Siccorner r: (l' i n v e c e q u a l i s i 1 i a p e | l e ( 0 . 0 , ' 1 5 ) t r a s f o r m ii n r i n a t l e l l et e n r e r1 ì r . 0 . 0 ) . ( 0 , 4 5 . 0 ) . il ntrmero totale di caniaSi capisce allora corne si può affrontare il caso generale: se "stabile", in cui vi soncr r-rna situazione ottenere potrà si per aliora 3 leonti è tlivisi6ile per crii I'invariante r è diYicamaleo.ti r,li un solo colore, solo partendo da una situazione c abbiano tutti lo stesso sibile per 3. si noti che ciò irnplica clie i tre nutreri iniziali ct.b.

59

Aritmetica

r e s t on e l l a d i v i s i o n pe e r 3 ( s ea - b : 3 h e r r f b - l c : 3 k s i l i a a n c h ea c : 3 t . c o n h , k . f interi). E facile veclereche è effèttivarììentepossibile.partenclocla rrna configurazionecon la proprietà incllcata.r'aggiungerequella irr cui si hanno camalerontidi un solo colore (uno quaìunque dei tre). Acl e-qenipio. se si parte da (10.7. -1) per ottenere tutti camaleonti gialli si rrseràla seqllenzrì ( 1 0 . 7 . - 1 )+ ( 9 . 6 . 6 ) - t ( 1 1 . 5 . 5 ) - - . ( 1 3 . ' 1 . . 1 )- - . . . -

(21. 0. 0) .

ed in rnodo similc si verle che si possolìoott€-nerecarnaieontitntti r-erdio tutti neri. Se invece il nunrero totale Ài clei c:rnraleonti non è dir-isibile per lì allora I'invariante r a s s L r n ìter e rv a l o r i d i v c r s i i n c o r r i s p o t r c l e n zdai ( J U 0 ) , ( 0 . - \ ' . 0 ) . ( 0 , 0 , À I ) , i l c h c inizlale. raggiungereurìo stato significa che è possibile.quahrnqrresia la configurazic.ure "nìonocrornatico"rli urro solo dei tre coÌori. ABIT39

Si osservi innanzitutto clie è sernprepossibileridursi al caso in cui i riurneri clati siano soltanto quattfo. Inoltre si potrà supporre chc il loro rnassimocornun clivisoresia l; i cprozierriti fra tali nuineri e il loro \I.C.D. Sc infatti in caso contrario basta consiclerere fra questi ultimi si trovarìo tre rrumeri cc,rnla proplietà richiesta. anche i corrispouderrti nurneri originari verificanola proprietà. Siano clunque n. ó. c. r1 c1-rattronumeri (non superiori a 100) aventi tnassirnocomun divisore ugnale i,r 1. Supponiamo.per assurclo.che non si possa trovare tra di essi una terna con NLC.D. uguale a 1. Esisterebbeloallora quattro prinii clistinti pt, pz. p3, pa tali clrep1 è cllvisoredi c. t,. .'mrì Lroncli d. p2 è divisore di a. b. d nra non di c:.p3 è clivisore cli o. c, d ma rron di ú, pa è divisole di b. c. d ma non di o. Tali prirni sono distinti in quanto il \I.C.D. dl r-r.Ò,c. d ò 1. Ne seguirebbe {t > PIPzP'I

b 2 ptpzpt

c > l)1p3'[)a

rl ) p2p:,,1t t

sotìo però incompatibili corr il fatto che i .1 nrtmcri rtort supelitto Qrrestedisepluaglianze 100. Infatti il valore nrinirno che possonoassumerei nunreri pi è 2, 3. 5. 7 e quindi il rrraggiorecli ttrli nurneri cler.eesserealmetrotrgualea 105 : 3 5'7. ARIT40

n in nt.,du che sia divisibile per ,1, Dirnostreremoche. ilato l'intero À',ò possibilescc-glierc -lper per' 25. n *3 19 e così r.ia, prendencloi quarirati che n l sia divisibile pcr 9. n * 2 d e i p l i m i À 'r r r r r r r epl ir i r r r i . P o i c h é n : 8 r . e r i f i c a l a c o n d i z i o n e p e r k : 2 ( 8 è d i v i s i b i l e p e r . l e E + 1 p e r 9 )b a s t e r à rnostrarc comersi pass:rda rtrta sohrzioucper À a ttna per li:+ 1. Supporriamochrnquechensitrdir.islbileper.l,rr-1-1per9....n*ftsiatlivisibilcperil q u a c l r a t oc , l ell; - e s i m op r i m o p 1 . . h r d i c a n c l oc o n À i i l p r o c l o t t o 4 ' 9 ' 2 5 ' 4 9 ' . . . p f d e i quadrati dci prirni À nurrreri primi. è ovvio che si pxròsornnìarea r/ cpralunqnemultiplo di À' presen'anclole divisibilità volute. \Iostriarno che è possibile trovtrre un nurrero rn tale clren*A+1+rlÀ'siadir.isibileytcrf.oveconpsiinclica,brevernenteil(À'+1)-esimo primo pa.a1;nc scguirà la tesi perché già si sa che ??+ ?nÀr è dir.isibile per' 4, rt

n i 1 -F nrÀ' è divisibile per 9.

A , r r i . \ è r l i v i s i l , i lpce r 7 , f .

Consideriamo allo scopo i nLtrneri

A,:rt+k+1+if

.

i-0. 1.2....

e siarro 't'ie si.rispettir-amentei rc'sti delia divisiorrecli A1 per p2. l . s o n ot u t t i d i v e r S i n o t i c h e 0 < r ; . 1 p 2 e c h e i r e s t i r , a l v a r i a r ed i . l t r a 0 "p'si fra loro. cioò assumono, una e nntr sol:r volta. tutti i valori possibili. Infatti se fosse ri :r'j.cori0{i
60

Soluzioni

oerrchó (,7 l)' il che è trssurclp A r : { . 9 . 2 i t . - 1 9 . . . p f . . c p r i n d i; p 2d c ' x ' r e b b cel i v i c ì e r e .i i< p2. resti r'; i' ba qrrcsta ossen'aziorlesegrresubito che pet 0 < I' j < p'altncrio ttuo clei ttgrtalerazero.ALÌorailrnr'rnelc'-'l;:t'+k+ltlÀè:certallìerìteuitmultiploclip2'il ( l t ( ,( ( ' t t l l ) l i ' t a la ,litrto:ll;r/i('lle SECOND.\ SOI,L.ZIONtr problerna si setnplifica notÌsrif.rr,nclr clel rnonnrt-A c,lNE,sEDEL Rtrsro lzr soÌuzioue del tcvolnrente. prirtri fra loro, cìunIl:rsta infhtti os,s(.ryareclc i quaclrati tlei nrurreri primi cÌifl'ererrti sotro n clel sistenla di solttzione tttta esiste citiìto tcolcnra l,iase al in qtre. per ogtri fissato À.. colrgflrCrÌze ( rt- t) 1,,=-l I { ,, = I

I

l.,,

-A

l t t t , , , Il r t r r r o9 , t l 1 t r t , ,2 , li l

r 1 1 1 " ' ['7 ' i

-lurr talc ri fa sì che rr si:r clitisiltile lterr'1. tt I sia clivisibile per 9' rt f 2 sia C.lhiariurx-.rrte, p e r ' 7rf c l i v i s i b i l ep e r 2 5 . . . . . r r I À ' s i a d i v i s i i r i l e

d COMB1

Lii risposta è (D) Sc si parte da A si hanno tre possibilità: sceltaneuna e girrirti. diciarno. in C si harrno due possibilità poichó norr si lruò tornare in A. nia cpiaÌuncluedelle due si scelga.ac1esernpioverso D. le mossesLtccessirr: souo unir-ocarnentedetenlinate (non si può tornare indietro. non si 1tuò arrciaredilcttarnente.a lJ c dunqne bisogna per prÌtna cosa coruplettue1:rfaccia ACDE e poi. iir rnoclounico. la faccirr o p p o s t ijì.

A

E

COMB2

L:r rispost:r è (C). Intanto si osserva che è necessario che rr sia rrrultiplo sia cìi 6 che cli 10, Poi si cotitrolltr. facilmetrte chc il poligono re'golare di 30 lnti soddisfa i reqrrisiti.

COMB3

L:i rispostaò (A). Per àì\-ere s o n m a d i s p a r i u n s o t t o i n s i e r n ed i { 1 . 2 . 3 , 4 , 5 . 6 , 2 } deve contertertt tlllo oppllre tre nttrneri clispali. I sottoinsierni che contengono 11rìsolo prc.fissato lìllnloro clispziri sorto 8: pel cse'rnplocorr il rmrnero 1 si lianno i seguenti sottoinsiemì: {t};

{1

2}

{1 r}

{1

6}.

{1. 2

1}

{1. 2. 6}

{ 1 . " 1 .6 } ,

{1. 2, 4. 6}.

Perciò si hanlo 1.8:3? s o t t o i l s i e r l i c o r r n l s o l o n u n r e r . od i s p t r r i . A 1 1 os t e s s o n i o c l o , v i s o n r r 8 s o t t o i r t s i c n r it ' h e c o t r t e r t g o n ol a t e r n a < ì i c l i s p a l i 1 . 3 . 5 o p p r r r e 1 . 3 . 7 o p p l r r e I . 5 . 7 oppllrc 3. 5. 7. lrt couclttsionersi hatrtro 32 + 32 : 6-1sottoinsienti ar.enti solrìnìa dispari.

COMB4

La rispc.rstaè (C). Basta osser\-iìreche clolro avcr tracclato le.1 rt:tte parallcle. ìa quinta llrrò intelsecttre le ltrecetclentiil l purrti aÌ nrassitrro. la sesta interseclierr:ìle pre
COMB5

L : r r ' ì s p o s t aè ( A ) . i r r f a t t i s i h a n r r o l ì p o s s i b i l i t t ì p e r ( Ì 1 ( o r < 3 ) . a n c o r a 3 p e r a 2 f t 1 2< 4 . 1 u a o c c o r t e s c a l t r r r c i l r - : r l o r cc l i o 1 ) . 3 p c r c a ( a ; < 5 n à { t 2 ,f Q 1 . a 2 ) , c o s ì c o r n e p e r A a t u a s o l t a t t t o 2 l r r i s s i b i Ì i t à p e r . 1 i r ( n r < 6 n l a d 5 f e r . a 2 . r r . 3 . t . t , lc' ) 1 s o l a p o s s l b i l i t à p e r 1 1 6 : in totale31.2:1(J2 possibilitÀ.

COMB6

La risllosta è (C). Ogni nunrct'o tratrrrale allurìette uniì e Luìà sola sconrposizioler binarie. ( c i o è c o n s o l o p o t e n z e r l i 2 ) e c 1 u e l l ad i 5 1 è 1 + 2 + 1 6 _ ] _ 3 2 . S e d n n c l u eo g n i z o r r a d e , bersaglio è' c'ollrita trÌ piir rla una fi'ecc'ettal'urrica possibilità è r1rrcll:rprececlcute (e dunque una 1i'eccett:rcler.cmancare il bcrs:re-lio). Sttppotriatrro ora c'lre piìr fiecr'. 1,rr",,u,-,,,-ulpilr:la stessa zorra clel bersaglio. Da qlesta cotrfigttrazione si può r'isalirc rrcltura irr cui ogni zoirir clei bersaglio è colpita iil piìr da urra frcccetta sostittrcntlo clrte frec'ce'cle1làstessiì zoìra.-'olr rur:i solir fi'eccia nella zona irnurcclialantcnte sttperiorr'(acl t:senrpio sostitrrenclo clue fi'ecce nel qrrattro colì l1lìA nell'otto) e così ltrocedenclo sino alla fine.

freccepartendo Proceclendoa ritroso. si può dunque ottenereil punteggiodi 51 con cinque frecce,poste due con freccia una sostituendo e clalla sit'azione clescrittain precedenza le seguenti anche pertauto sono Vi del bersaglio. iriferiore nella zona intrnecliatarnente possibiiità:

1+1+1+16+32: 1+2+8+8f32: r+2+16+16+16. ln totale vi sono quindi 4 possibilità.

COMB7

/8\ : 28 rnodi possibili' La risposta è (D). La prina delÌetlue coppie può esseresceltaiu (;) giocàtóri restanti e quindi in Sceltala prima. ia seconclacoppia clovràesseresceltatra i 6 / 6-\ l'ordinedellecoppief incontrorisulta I I : 15 nroclipossibili.Poichéperò scanlrianclo \21 2 E .1 5 lo stesso,il rtumerodegliincontr

>ECONDS A O L Iz t o N t r

/ B\ : 70 rnodi possibili' Si vede I ,l giocatori di og'i parrita possonoesserescelti ttt (; ) partite clistinte (ogni giofacilnrente che con .l giocatori fissati si possono organizzare tre tre). Quindi il totale degli incontri è catore può esserein coppia.on ogn.trrodcgli altri 70'3: 210.

COMB8

COMB9

urr solo daclo con le facce tutte bianche ed uno La risposta è (B). trsistc eviclentenretlte 4 facce bianclie e clue nere si possono ottenere Con uera. una ,olo cor, 5 facce bialchc et'l adiacenti oppure opposte' Sitnmetricamente' irtfatti esse|e possono nere 2 cladi: le facce 5 e clne con "1. Irrfine esistono due cladi cot uno con nere. facce 6 corr clado un solo esiste in un vertice e I'altro 3 facce bianche e 3 nere: uno con le tre facce bianche concorrenti con due facce biancheoPPoste. di ogni lato ò minore della somLa risposta è (B). Poiché in un trialigolo la lr.rnghezza (o dei lati maggiori se iì tùaggiore lato clel lunghezza la ,na .leila lunghezza clegli altri 2. del perimetlo' e cioè terzo un aimeno è essa InòItre 15. triangolo è isoscele)nàn.,-rp".,, si ha: mìnore. lato cIeI lu'ghezza lil e questal.r'gh"rra .z 9 aimerro11. Detta p e r ; r :: 1 1 . 2 p o s s i b i l i t à :I : 9 . U : I 0 : p e r . r : 1 2 . 3 p o s s i b i l i t àl l: : 7 - y : 8 ' ! / : 9 " p e r . r : 1 3 . 5 p o s s i b i l i t tY\ : i t . y : 6 ' A : 7 ' A : 8 ' y : 9 : - 5'y:6'y:i'x:g' p e r : r : : 1 4 . 6 p o s s i b i l i tl àl :: 3 . a : 4 . A 8' p e rr : : 1 5 . E p o s s i b i l i t à ! ):: L . U : 2 " " ' 9 : Il mtmero totale di possibilità è dunque 24'

coMB10

liso in ogni casella' La risposta è (Cl). Il processoequivalea nlettere prirna un granellu di quindi nella rnetà pari. e righe alle poi un secondo g.onàllo nelle c'asellecorrispondenti pari' cioè ancora colonne alle corrisponclerrtl clelle caselle,infine un granello nelle caselie nella metà delle caselle. stato ilecessalioper Il numero cleiqranelli ritilizzati è dunque uguale a tluello che sarebbe : 128' mettere clue granelli di riso itr ciascunacasella'e cioè 2'64 Le casellecorrisponrnodo' seguente rrel soluzione alia può arrivarc si Alternativarnente. per la riga ,1 : possibilità (quattro 16 denti a righe clispari e colonne clispari sono 4 pari e colonna riga di caselle le sia 16 e quattro-per la colonna). Analogamente.sotlo pari e colonna riga di le caselle pari, sia dispari, sia le caselle cli iiga ,lispaii e colo''a

63

Combinatoria

pari. Il numero di graneili utilizzati è dunque 1 6 . 1 + 7 6 .2 + 1 6 . 2 + 1 6 .3 - 1 2 8. : C M B1 1

La risposta è (C). Per convincersenebasta ragionaresu urìa scacchiera2x2ín quanto in una scacchieragenerica quadrata di lato pari si ripete periodicarnente la stessasitnazione che compare nelÌa scacchierapiccola.

: CMB12

La risposta è (E). Il numero minimo di tentativi necessariper aprire il lucchetto coincide il nurneroABC B A con il ntrnrerodi combinazionipossibili. Per i CRITERIDI DI\TISIBILITA è divisibile per 3 se e solo se 2A + 28 + C è divisibiie pcr 3. Consideriamoprirna le c
: : r ' l B1 3

La risposta è (A). Ogni giocatore deve incontràre n - 1 giocatori e ogni sera in cui par-serate tecipa ne incontra 3. Questo ci dice che ogni giocatoredeve partecipareper 1;1 u se vuole incontrare g1ialtri n - I giocatori una e una sola.,'o1ta.Se il torneo dura 13 sere con,l parteciparrtiper sera. i "gettr-,nidi partecipazione"in totale sono.13.4 rrra d'aitra n -

parte i gettoni devono

"rr"r"

nf

dato che ognuno ne ottiene

n - 1 ci clice clie n : 13 3

13.1

=

|

L'uguaglianza

S E C O N D AS O L U Z I O N E E possibile contare in clue rnocli cliversi quante coppie si possono formare con gli n giocatori: dato che ogni sera giocano 4 pcrsone, si hanno (l) 13: cl'altra partc il numero totale cli coppie,

(:) \t/

n(n - 1) 2

: r J

rt(n - 1)

cluindi si ha l'equazione

L

o '

che ha come unica soluzione accettabile n : :ltiB14

-

: 6 coppie per sera e le sere sono

13.

La risposta è (C). Poiché nella prima riga c'è un numero, nella seconda riga ci sono clue numeri, nella terza tre numeri e così via, I'ultinio lrumero della riga n-esima è la somma (n * 1) Ne segue che. se rq è il nttmero di riga di 1993, dei nru'eri fia 1 e '. cioè ,, . . 1.

r(Lr:+ 1) "'*. -' 3 < 1 9 9< 2 2 Ì l

ì , -

I I

Risolvendo le disegLraglianzee tenendo conto che r è un numero intero. si Ìra z : 63. 63.6? Infine. poichè --- '2 : i953. il rrurnero1993 si tror,a al 4O-esimoposto della 63-esima riga. : 3 f , l B1 5

La risposta è (D) Dall'equazione4r f 5y -f 202 : 1000 decìuciamoche 4r deve essere multipio di 5 er59 deve esserernuitiplo di ,1,cioè :r deve esseredel tipo 5o e g dei tipo 4ú colì o e d interi non negativi. L'equazionesi riduce a 2 0 a I 2 0 ! J * 2 0 2 : 1 0 0 0.

64

Soluzioni

c10e

oiil*::50. Infatti..irr QuestahaconerìLrnìerototaleclisoluzioniL+2+"'-l-l-rl:5I'5212:1326. c à r r i s p o n c l e r vàat z : 5 0 s i h a u n a s o l as o h r z i o r l(eo : 0 . , 1 : 0 ) . s e : : 4 9 s i h a n n oi l u c a c u i c o r r i s p o n c l o r t5ol s o l l z i o l i ( ( 0 , 1 , . 1 9 )e ( 1 . 0 . . 1 9 ) )e c o s ìI ' i a f i n o a c l a r r i v a r ea : : 0 s o l u z i o n(i ( 0 , 5 0 . 0 ) . ( 1 . 1 9 . 0 ) . . ' . . ( 5 0 .0 . 0 ) ) .

coMB16

S i a r ; ( l : I . 2 . . . . . 2 n + 1 ) i l n u n l e r od i p a Ì l i n ec o n t e n r t t en e l i ' l - e s i r n soa c c h e t t u , - . r ; è e v i d e n t e m e n tn er t X : : Í t + î r 2+ . . . * . r 2 r + r i l n u m e r ot o t a i e c ì i p a l l i n e . P o i c h éX ; l ; ) . r , ) , r ì : p c r p a r i o g ni n l l m e r o u l l è ( x ( x r . , p e r l . a n c h e ogni nurreropari pari ciispari' o tutti tl1tti o ttrtmeri gli sorto dei r:1 ossia z.7. Oises.iarno ora che la proprietà dell'enunciatosi c'onselvase il riumcro di palline di ogni saccliettovicne aurnentatoo c'limituito. rnoltiplicato o diviso per lllla costante. Ponerirlo dnnclue

v ' r: l+ +

se .r è pari se .r è dispari.

ottcrìrarno una nuo\-a clistribuzione cìi palline (y; nel sac'chetto l-esimo) avellte la stessn Iterando qutrstcr proprietà rÌìa co1 1n nrlnìero di pallile ntinorc (sah.o ii caso -X:0). processo Lrn lullrero opportllno cli r-olte. si raggiurrge clunclue'la sitrrazioue in cui tutti i palline sacclÌetti corìtengolìo zero palline. Poiclié però trna cÌistriÌxrzione con urì numero di proprietà. la stessa con ciisposiziotle uguale i1 tutti i sacchetti può cìelivare solo cla una la tesi è dirnostrata.

coMB17

Colsiclcriarno la prilra c la seconcla riga e consideriarno le coppìe di ctrselle di taii righe trcliacenti verticalnrente.. Canccllancìo le coppie formate cla caselÌe di differente colore. si canccllalo tante casellc bialcire quante caselÌe nere e duttque per f ipotesi resta un ugnal llrnero cli caselle biarrchc e rÌer€.: di conseguenza r.i sotro tante coppie di caselle bianchrclella prima e della seconcla riga. adiacenti verticalttrente. rlttarrtc nere'

Arraiogo ragionarnento vale per la seconcla e la terza riga. la tetza e la qr-rarta, e cc-i: .n,iafiuo alla settirria e otta\"a rìga. Dr-urc1ue.courplessi\-alnente. vi sono tante coppic ri caselle bialchc acli:rcenti r.erticahnente qr-ralttecii caselle nere. La st{'ssa proPlicta vaÌ' eviclenteniente per le coppie adiacenti orizzontalmente.

coMB18

Possiamo forntularc l'ipotesi che nel gruppo ci sia rtn inclit'icluo (nolrinato A) chc colìos( melo di g clelle altr-e perrsoneclel gmppo (:rl massirro 8). S" così non fosse, infatti, og.l. appartenente al gruppo coroscerebbe almeno altre 9 persone e la tesi sarebbe subito ri mostrata. Escilcieldo A e le pcrsone conoscirrte da A restano quincli almeno 19 personc. . Con ragionanrento arralogo. possiamo supporre che in questo gruppo di rimtrnenti ci alneno un inclivicì1o (nolrinato B) che colrosce tneuo c1i 9 persoue. Se irlfatti così u' f6sse. vi sare|bero 19 pelsolt che conoscono almeuo 9 urembli del gruppo e la tesi sarebl di rruovo vei'ificata. Esc1lrìiat1o ora A. B e le persone conosciute cla alrtiencl uno cli loro: poiché si tolgono piìr 18 persone. ne restiìno almeno 10. -Consicleriano ortr A. B e clpc persorìe c1-ralsiasidel gn-rppo cli 10. Poichó A e' R ttt,r,

65

Combinatoria

conoscorìo. rré conoscono lc cluc ultirne persolìc. cpieste
coMB 19

Se ir; è il nunrero cli vittorie dcì1a squadra zl-esim:rer p, è il nLulrero di sconfitte, allora 1'; i lti - n - 1 r-appresenta il numero cli partite giocate cla ciascttna sqttadra; inoltre è c:hiaro chc la somm:r di tutte le vìttorie r.rguagliala somma di tutte le sconfitte. cioò risrrÌta

t ' l + ? ' 2+ '

frrn-PtiPt+...+1rir

Ne scgue

+ , ' i ) * ( p ?p+3 + . + p 7 , ) :

( i , i+ r ' j +

t , ' ?- p ? )+ ( , , r ' -p , + . . + ( , . '-i p , 2 , ' ) : ( , ' , + p z ) ( t , z- l t z )- + " ' *

( i , r - l - ? r r ) ( , '-rp r ) f

( r r - 1 ) ( i ' 1- 7 r 1 ) + ( r i

( i ' , ,* p , , ) ( r ' , ,

lt,):

1 ) ( r ' : p 2 )- r . . . + ( / r- 1 ) ( , ' ,-, T t " ) : * i ' , , -) ( 1 t *1 p r + ' . + p , , ) ): 0

l r - l ) ( ( t 1 - t " 2 o I ' u ì t ' l r e r r , 2 . i h a l i . t('sl

30MB20

Il nurrurrc.r dei nrodi corr cLrìsi può interpretare la parola è il nrrmerocli tutte 1epossibili partizioni rlei 12 sinrboli iu gnrppi,li unt-ro cli cluesirnboli adiacenti. con -1,, il irurnerocli tali partizioni (nell'esempio Seri siruboli rict'r'rrtisono /? inclicher-emo corrsiclertrto si ha rt - 12). I nrocli di leggerela lista cli n sirnboli si rlivirlorio in chie categorlt': o il prinro siurbolo è: urra lettera dell'alfabeto (lato. o essoè il plirlo carattere rli rurl htterra forrrratzrcla tltie: sirnboli. Nel plinro caso il nurìrerotlel rnocli di lcggereltr lista è esattarneuteuguale a quc'lloche si ha se'si scarttr il prirno simbolo (cioè si hirnno solo rr - 1 sinrboli) e cluincli è uguale ii 4 n,r

t.

Nel sr:condoc:rsoinvecc il nuncro dei nrodi con crii si prxì lcggerela lista è uguale a quelkr la prinra lettera (cioè i printi dr-resirniroli)c qr.rincliè /n z. clie si ottiene sc:artarrclo tipo Si<'corne ogni possilrileintcrpret:rzioneclellalista appartieneo al prirno o al secondc-r si tra (1) ,1,,: 4,

t I 4,, ,

L.r (1) costituiscerina folmula ricorrentetlaruite la cluale,noti,,l1 e 42. si possortocalcolare tutti gli ..1,,(in questo caso iriteressaArz). ( u n a l e t t e r a c l i u n s o l o s i n i b o l o )e c h e A 2 : 2 ( o u n a S i n o t i c : h eo v . , . i a n e r r tsei h a A r : 1 lettera cÌi drre simboli o duc lettcre di un solo sirnbolo). Dunque A , t : A , z - F , 4- 13 .

A +: l ; * : 1 2

:5.

A r , : A t * - ; 1 3: 3

Ap:2i33

I numeri 4,, sorroi Nii\IERI Di F-ltìoNACtcI.

c0MB21

Nunrt:r'iamoi lrartcciparrti da 1 a 2 1 . I l p r i r n o d i c s s i s t r i n g e ì a m a n o aa c i a s c u n od e i lestarrti 20. il sec'onclo stringe lii mano ai 19 clie non ha ancora incorrtrato. il terzo fart\ lo stcssocorÌ i rest:urti 1E e così ','ia. Iu conchisione le strctte di mano sono

2 0 . 2 1-

20+19+18+...+1:

t1n

Si osserviche. se si clispolgonole 21 personeai vertici di un poligotroregolaredi 21 lati. la risposta è clata clal nunrcro dei lati e delle diagonali del poligono. Siccomeogni vertice è corrnessocon 1 restanti 20 si harrno 20 . 2I connessioiri.ma ciascunacli esseè colrtata clue volte, perchè conrrettcleil vertice ,4 col vertice B equir,alea connettereil vertice B '2L : 270' col vertice A. Pcrtanto ìl numero di connessioni(o cli strette cli niano) è ; 20

coMB22

clegli studenti che lidicalclo co1 A il gluppo clegli stuclenti tron sporti\:i, cou B c1ue1lo ha: si giocalo calcio a1 che studenti giocano a basket e con C clleilo degli

# ( A u B u C ): 3 3 , # ( A ) : 4

# ( B \ : 1 7. # ( c ) : 1 8.

ovef (E) indicail rtumerocli elenentidelfinsiernc-E' stucienteué con B né con C si avrà trnche alcr.rno Siccónieil g.,rppoA non ha in comr-ure #(B u C): 3:l 4:29 ESCLl,rsioNo (r'ecli problerna COMB36)si avrà allora In base al pRrNCrt'Io Dr INCLLTSTONE

# ( B. C ) : :

# ( B )+ # ( C )- # ( B u C ) : 17+18-29:6.

Pertanto 6 studenti praticano entrambi gli sport.

coMB23

Dimostriamo che uno ahneno clei fattori del plodotto ( 1 ) ( a 1- 1 ) ( a 2- 2 ) ' ' ( o " - n ) è pari. Sicconren è disptrri. poniamo n.-2k * 1corr k intero e osserviamoche il rlostro p r o d o t t o h a 2 , (* 1 f a t t o r i . N I a t r a i n u m e r i I . 2 , : l ' . . . ' 2 k t 1 v e n e s o n oe s a t t a m e n t e L+ 1 dispari. e siccomear, (tr2.....an è un riordinarnentocleglistessi.anchefia i rtumeri o; v€ 1€ sara,nnoesattarnentek+ 1 clispari. Ciò significa che. se si consideranoi 2n numeri a 7 , a 2 ,. . . . o n . 1 . 2 . . . . , n . f r a d i e s s iv e n e s o n o2 ( k + 1 ) : n * 1 d i s p a r i ' pRtNcIpro DEI CASSETTIuno di Si..o-" il prodotto (1) contienesolo n fattori in base al quindi a'nt- tn è pari e dunque il essi cìeveesserecostit,tito do 2 nun'reri dispari Q,me m,. prodotto (1) è paii. S E C O N DS . \O L U Z T O N E . Il numero dei fattori del prodotto (1) è dispari mentre la sourma (or - 1) -l (oz -2) + "

1 (a" -n)

è ovviamente uguale a 0. che è un numero pari. \Ia la sornrna di un numcro dispari di rrnmeri clispari è cìispari. dunque uno almeno dei rntmeri Q,m ln, deve esscrcpari'

Combinatoria

coMB24

67

Colsicleriamo lna circonferenza di lunghezza unitari:r: partenclo cla un certo. punto O s e g n a n ì os u d i e s s ag l i e s t r e m id e g l i a r c h l d i l u n g h e z z aa . 2 a . . . . , ( t - 1 ) o . ( t r c o m o d o usare una circonferenza di lunghezza 1 perchè ai fini del problerna irr esame interessano solo le p:rrti frazionariedei nuneri. ad esempio2.5I2 e 0.512 stino del tutto equivalenti). Ora sudclivicliarno.sernpre a partire cla O. la circonferenza in n archi uguali, ciascuno di lunghezza l/ru. Se si riesce a dimostrare che urro degli archi adiacenti a O contiene tlno dei punti marcati. seguiràla tesi. Supponiarno,per assnrdo.che non sia così. Allora gìi n - 1 punti rrtarcati dovrebbero appartenere agli n - 2 arclii di lunghezza If n cbe non sono acliacenti al purito O; in base al pRtNcttptoDtrI CASSETTIlle seguirebbeche uno,di tali archi dovrebbe conteneredue h. NIa ailora uno dei due archi adiacenti a O clovrebbecontenereil punto (k h)a. corrtrariamente a quanto stlpposto. La figura illustra il ca,son : l0; in essasi lia ft : E. /r : 3.

coMB25

Osserviamo che se riusciamo a suddividere un quaclrato in n quaclratini allora riusciamo a sirddiviclerlo anche in n * 3, in quanto sostituendo un quadratino con 4 quadratini di lato metà ne abbiarno appunto aggiunti 3. Le figure che seguonoforniscono una soluzione per n : 6, 7. 8 e quindi. per ogni intero n > 6, la suddivisioneè possibile'

Si noti che la prirla delle tre figurc ci rnostra chc si può anche passareda una suddivisione con n qladratini acl una con n * 5. Quindi per risolvere il problema si può utilizzare il fatto che, essendo3 e 5 prirni fra loro. i numeri del tipo 3k + 5h, al variare di k, h tra i naturali. rappresentanotutti gli interi abbastanzagrancli.

coMB26

Descriviamo lna possibileprocedura che consentedi disporre i gettoni come richiesto: nella prima riga si clispt-xrganotr1 gettoni nei prini posti, cioè nelle prime a1 colonne. A questo punto eliminiamo clalla scacchieratutte le colonne corrispondenti ai valori bt : 1 e che si trovanci tra le prime a1. cioè quelle che hanno già un murero di gettoni uguale a quello clesiderato. Nella seconda riga dispctniarnotr2 gettoni nelle prirne o2 colontÌe rimaste: eliminiarno le colonne che clopo questo passaggiohanno raggiunto il nurnclo cli gettoni richiesto. e così via. Co1 questo sistemala riga il-esimaavrà il nurnelo desideratodi gettoni (cioè a7). e anche ogni colonna prirna o dopo verrà elirninata e cioè avrà raggittnto il nuntero corretto di gettoni. (Si osserviche ia prima colonnaviene completata in b1 passi.la secondadopo al più altri b2 passi,e così via).

A

68

Soluzioni

coMB27

I1iziiul11 :ì contare le rctte che passano per tre centri. in trc gmppi:

Iali rette si possclno snclrliviclere

(1)parallelc ircl rttto spigolo: (2) ptrrallclr: acl utra fàccia. tllà tìoÌl ad uno spigolo: (13)non parallele arl alctura faccia. Le rerttc parallele acl uno spigolo fissato sono 9 e. poicltó gli atrgoli htrturo tre clirczioni distirrte. le retttc r-lel plirno tipo sono 27. Le rette parallele a tua faccia ttra 1ìoll a 111ro syrigolo souo necessarianrentc parallele a una cliagontrle cli ttna faccia e clutrcprc solto 6 per ciascnna facci:r. per lrn totale di 18 (ci sono 3 facce a clue a clttcrttotr parallele). Le retttl uotr parallele acl alcutra faccia sono esattanrerìte le diagonali del cubo: esse lrttiscotlo a clue a clue i vertici opposti frzr loro e sono l. Il totale rìi qrreste rette è duncltte 27 + 18 + 'i : 'i9. Pe1 cont:1rc il riurnero clelle lette passanti esàttanÌentc per 2 centri. osserviamo innanzitlrtto chc ogli coppia di centri rÌistinti incliviclua 1a retta passallto per essi c tali ct.rppie

/ 2",;7 \

sorr,, (

:

)

27.26 ";:

35i. Ad esse doblliamo togliere le rettc clte p:rssauo per trc certtri'

glr..n,, è stata contata ttrnte volte quaute sono le coprpic clte si possorto ,i1nrdì,l.lo "1," f o i . r t r : r r ec o u i t l e c e l t r i . o s s i a 3 v o l t e . I l r i s u l t a t o è c l u r r c l r e3 5 1 - 1 9 . 3 : 2 0 - 1 .

coMB28

Srrpporrianro tÌi orierrtare la retta lungo uirzi direzioue e chiauiiarlrt C)1. C2. .. ' Ú'r i cubetti che la retta iuterscca proprianrcnte. nell'ordine dclla clireziorre scclta. L'ingrt:sso clella retta irÌ Ci. co-\ì corrre la sna usciîa dtr C1.. alr-iette iittt'a.,'r:rsourta delle facce clcl cubo (r:ventnllrlente attra\,crso uno spigolo o utr r-ertice). 11passaggitl cltrl culletto C; al c1ìrett6 C;*1. iutcce. avr'leue attt'aversu rÌnu (lei seripiali (tlue pel ogni clirczione) paralleli aile facc6 del cr-rboe che lo intersecarro irrternatnente. Poiché la lertta prtò intt:rsecare questi sci piani all'intcrno clel cubo in al piir 6 prrnti distirrti (:r tneno clte nc-rtigiaccia irr uno rìi tssi. rn:r in questo caso tìon interseca plopriamente nessllu cr-ibetto). il lltissagglo tlclla fcttà (la tur cubetto :rl successi.n'oprrò ar.r.enire nl pitì 6 r'olte. dando ttn tottrlc cìi al piiL 1 * 6 : 7 cubetti irrtersec:rti propriiullellte. D'erltrtr p:rrtc. il ulntc.ro di 7 si può raggiungcre rtel tnoclo seguente. Si prenda una letta passarrte irer clttt' punti A e B tiili clie: (1) J e .B gi:rcciono in cubetti cliagonalrnelrte opposti clel crlbo grantle: (2)la rett.a per A c B rion incontrti nessuniì delle rette che si ottengort,r ilttcrst'r'atltlo zt dr-rea clue i 6 piani sopr:r descritti. Osseryiamo clre la corrdizione (2) pr-ròeffettir.antente esserevcrificirttr itt qliatito. fissato A. l'insicrnc {ei printi B che non la soddisfano sta rrcll'ttniorte cii tln nulllero finito di piruu (quelli contenenti A e una retta di iritersezione fra r]ue clei si:i piani citati). Clon urra retta che r-erifica (1) e (2) si ar-ranno 6 interseziotii clistinte all'interno clei cubcr corr i 6 pi:rni e cluindi 6 passaggi "interni'' tra C; e C';+1.

coMB29

Le rot:rzioni dei posti occrrpati sono tante (lualrto i pctsti stessi. tt cioè:rr. Ogni cortnnt'nstrle occupa. in qr.iesterotazigrri. il posto del proprio regalo lllìa e llna sola volta. Affiriché per ogni rotaziont' alrne,'noun conrnlensale siecia clavanli al proprio regalc.rìl qnindi nercessario e sufficiente che pel ogni rotazionc ci sia rlno e ttn solo coutntelrsalcl che sitlcla clavanti al proprio regalo. C i ò s i g r r i f i c a c h e . s e i u d i c h i a r n o c o n o ( 1 ) . o ( . 2 ) , . . . . a ( r i ) Ì e p o s i z i o n i o c c t l p a t , ea l l ' i n i z i t r d a i r e g a Ì i p o r t a t i c l a l Ì e p e r s o n e c h e o c c u p a n o l e p o s i z i o n i 1 . 2 . . . . . r l t i s p c t t i l ' 6 1 1 t p 1 1 f lr€' . c l i f f c r e n z e o ( -t z) c l e v o n o p e r c o r r e l ' e . n l v a r i a r e t l i i d a l a r r . t t r t t i l n t r m e r i t l a 0 z r n - 1 (naturalmente morlr-rlon. olr\rero à tltello cli rnultipli di n)' Si clevcrquindi arrerc r

r

\-rotit ! r-1

r

t

ir-\'

l

L à:0

lt =ttln-l) l

',t..r,lrtl..r,

Combinatoria

69

rna si ha ariche: f,.rt i\ - it - \-orir z ' / L r-l

- \-

l:1

; - rt

i-1

e s s c n c loo( I ) . o ( 2 ) . . . . . a ( n ) r u Ì ap e r u ì L l t a z i o ndee g l ii n r _ l i c1i. 2 . . . . , n . Affirtchó sia possibiÌe.clturque.6i1epel ogni lotazione vi -siaurì colìlnìensalesetìuto di fronte al proprio regàlo occofre che sia nln- 1) -- () modulo n rna qllesto è cviclentenielltcpossil)ilese e solo se n è clispat'i(sc n è pari. un multiplcr dispari di nf 2 non può esseletln nrultiplo di n). D'altra partc. cffetti\-anlente . se n è dispari ecluguale a 2h - 1 con-sideriarrro la pernurtazittne o ( 1 ) : 1 . o ( 2 ' 1 - 3 . o ( . 3 ) : 5 . . . ., o ( h ) : 2 h - 1 . o ( h + 2 ' :11 .

o(h+l)-2.

. . . . o ( 2 h- 1 ) : 2 l t - 1 : n :

si velifica facilrrrenteche le differenzeo(i) - l. al variare cli l. percolrono r:ffettirarnente t1tìae tttìa sola volta. modulo r?.tutti i nurneri co[rpresi tt'ir 0 e n - 1. Itr c'onclusiolìe.se n è pari. è sempre possibilc ruot.lre Ìa posizione ciei cornmensaliin nrocloche tìessuÌìosi trovi di fi'onte al proprio regalo: se invec€ìn ì: dispari. non è detto che clnestosia possibile'(dipende o\'\.ialnentedalla disposizionciniziale). COMB30

Cotisidcrianiodue scacchierecìellostessotipo 10 x 10 e nella prirna poniamo il nurnero0 su tutte ie caselleclellaprinra riga. il nunero 10 su tritte le ctrselleclellasecondariga. . . . . il trttrnero90 su tutte le caselledell'ultirna riga. rnentre rrellaseconclaponiarno il nuniero 1 su trrtte' le caselleclella prinr:r colonira. i1 nurnero 2 sti tutte le caselleclella seconda coioutia. . . .1.. I tÌrlrnero10 su tutte le caselledell'rrltirna colonna. Se canrbiamoi segrri clei rrumr:ri dcllc' caselledi cluestescacchieìrerrello stessomoclo in cui abbianro rnoclificato cluellaoriginari:r.è chiaro che 1a somma di tutti gli clementi di ciascunacli esseè n1lla. D"trltla parte. la scacchieraoriginaria risulta clalla sorrlla. elcmento per elemento. dei tiurtreli che figitrano itr esse: dunqne anche la sonìnla dei rturneri nella scacchiera data. dopo il cambiarnentodi segno.è uguale a 0. S E C O N D , \S O L L Z I O N E Nella c:rsella di riga r e coìonna j è indicato il nurnero a;r(10(l - 1) + 7). dor-e all r,ale 1o -1 in colrisponclenza clel segno associato alla casell:i (i l) Lc condizioni clate ci 10

, rl i c o n oc' l r c )

]L) r

\

. p e t u q l r iJ =

n,,:O

.

.

-

\

i-l

10

p,'rogrri

.i-1

i : 7 . 2 . . . . . 1 0 . N e s e g u ec h c 10

-

1 . 2 . . . . . l 0 c . ; r n a ì o g a r r l r ' r)r t r .( r , r : 0

l0

\ \...\..-/ ) J , , , -; ) l . j > o , , ) - U t.J-L

i=1

.i-l

e. anaÌogarnentc 10

10

f/ - r i "-

l t n :- f t ' t ;

'"''t

r..j:l

/-\" i-]

10

l r ./ f- "o' ,

)) :- u .

j:I

Questo pennette di concluclererchcr 10 f

, , r l t l l i-

/ _ ' , t " , " ,

i.L-r

-iL-

l' tt -'

10 i ) t 0 \ - r i _ 1' t )' rI tt ,J t - ' " / _ \ ,

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10 \;,

-n

L

i .j : r

_l

70

Soluzioni

COMB31

Consideriarnoil problema enunciandolo come rin probiema di cRant: abbiamo dunque un grafo connesso,di 1000 nocli. e vogliarno dimostrare che si possono scegliereopportunamente 90 nodi del grafo in nrodo che ogni altro nodo sia a distanza < 10 da alrneno uno cìi questi (ovvero esista un percorso di rami del grafo clie unisce il rrodo ad uno di questi, e che sia composto al più da 10 arclii). La prirna osservazioneè che si può sempre considerareil grafo come un albero (ovvero un grafo privo di maglie. cioè di percorsi chiusi). Se così non fosse,data una niaglia qualsiasi, si può eliminare u1ìoqualsiasi dei rami lasciando il grafo connesso. Si ripete l'operazione fintanto che restano rnaglie nel grafo: il grafo che rirnane è un grafo conlìessoe ad albero. compostodai rarni di queilo iniziale, a ctri ne sono stati tolti alcuni. Se dunque si riescea climostrare I'asserzioneper i grafi ad albero, la si dimostra a rnaggior rap;ioneper tutti i grafì connessi. Supponiamo dunque che il nostro grafo sia ad albero, e sia I il diametro dell'albero. cioè la rnassimadistanza tra due nodi del grafb. Se tale distanza è < 20. allora preridendoil nodo centrale (o uno dei due piìr centrali) di questo percorso. ogni altro nodo del grafo è a distanza < 10 da questo, altrimenti il diarnetro dell'albero risulterebbe superiore a L Se dunque è I < 20, il problema è dimostrato poiché ogni noclo clel grafo dista al più 10 da un nodo opportuno. Sia dunque I > 20. e consideriamo un percorso P de1grafo di lunghezza l. Togliamo tutti r nodi del grafo che lanno dal primo all'undicesimo nodo n di P (per uno qualsiasi dei due ordinamenti possibili), e togliamo oltre a questi anche quei nodi che sono collegati a questa prima parte cli P. senza passareper la seconda.e togliamo ovviamente anche i relativi rami. I1 grafo che resta è ancora ovviamente un grafo connessoe un albero, e tutti i nodi cancellati sono uniti a n. da un percorso di lunghezza < 10 (se così non fosseil grafo di partenza conterrebbeun percorsodi lunghezza> l). Se il grafo rimasto ha un percorso nìassimo di lunghezza < 20, il problema è risolto per quanto cletto in precedenza (e bastano 2 nodi opportunamente scelti affrnché ogni altro nodo abbia distanza < 10 da uno di essi). Altrimenti si continua con 1o stessoprocedimento. Se non ci si ferrna prima. dopo 89 volte. in ognuna clellequali si tolgono almeno 11 nodi, si tolgono almeno 89.11 : 979 nodi. Ne restano pertanto ai piìr 21: dunque 20 è Ia lunghezza massima possibile di ogni percorso. Esiste quindi un noclo da cui questi ultimi rintanenti hanno tutti distanza < 10, ed in definitiva ne esistono89 -| 1 : 90 tali che ogni altro nodo del grafo di partenza dista al più 10 da uno di essi. Contrariamente a quanto può sembrare dalla precedente spiegazione.il risultato dimostrato è il mieliore ottenibiie.

Consideriano infatti un "r'entaglio" formato da 90 "stecche" composte da. 11 nodi (e 10 rami) allineati. unite ad un "manico" composto da 10 rami (vedi figura). E evidente che per rispondere ai requisiti del problema occorre sceglierealmeno un nodo da ogni stecca. e quindi ne occorrono alnreno 90.

coMB32

Se fossepossibile sistemare le 30 coppie in modo che le signore siano a distanze tutte diessereesattamentei numeri 1, 2, ..., 30 stinte dai loro mariti. questedistanzedor.'rebbero dato che ie possibili distanze tra due persone in una tavola circolare con 60 posti sono appunto i rmrneri cla 1 a 30 (intendiamo per distanza fra due persone il numero minimo cìi Jq 30.3r personeche le separano,piìr uno). La sonìmadi tutte le distanzevale quindi >-: ; x=r

che è r-rnnumero dispari. D'altra parte. se numeriamo i 60 posti con i numeri da 1 a 60 e

71

Combinatoria

se indichiamo rispettivamente con mi e f i i posti occupati dai 30 uomini e dalle rispettive mogli, ciascuna delle distanze fra una coppia di coniugi ha la stessaparità di (mt + /.). 60 .l \' l. o" \ - r . , n' ', .' t] ' Jf .' ', -- \ - / L'i:1

-

60

61 ]

è un numero pari. mentre abbiarno visto che la sonrma

di tutte le distanze è dispari. Dunque non è possibilecollocarele coppie in modo che le distanze siano tutte diverse. SECONDA SOLUZIONE Se coloriamo i 60 posti alternativanrente di bianco e nero. si ha che 15 signore dovrebbero sedersiin posti di diversocoÌorerispetto a quello occupatoclal rnarito c le aitre 15 signore dovrebbero sedersiin sedie di colore uguale a quello del niarito.(Questo è dovuto al fàtto che se fosserotutte a clistanzedir.ersedovlebbero essercicoppie a distanza 1. 2, .... ;10). Dopo aver sistematole prime 15 coppie.rimarranno 15 sedienere (e 15 bianche)e quirrcli non sarà possibilesistemaretutte le lirrranenti 15 coppie su sediedi egual coloredato chc ogni nuova coppia o('cupa sempre un nurnero pari cli sedie. COMB33

Si considerinodue vertici corìsecutivi,4e B del bordo dell'invihippo convessodell'insieme di punti (f inviluppo convessodi un insiemeè Ia piìr piccola figura corrvessache Io contiene). Per ogni punto P dell'insierne.dir.ersodtr A e B. si considerila circonferenzaper A. B e P. TaIí 2n * 1 circonferenze esistono perché per ipotesi rìon vi sono 3 punti allineati, e sono tutte distinte perché non vi sono 4 punti sr.runa stessa circonfèrenza. La "prirna" circonferenza del fascio non contiene ali'interno alcun punto dell'insierne. la seconda ne contiene uno, la terza drre. .. . l'ultima contiere 2n purrti clell'lnsierne. Quindi vi è una di queste circonferenzeclÌe ne contiene esattamente n.

coMB34

Applichiarno iÌ pn.rncrpto DI INDIJZIONEal rrurrrerodeile ragazze. Supponiamo che ci siano solo 2 ragazze, f1 e /2. Esistorro allora un ragazzo m,1 che ha ballato con /1 e un ragazzo nr2 che ha ballato con /2. m1 non può d'altra parte aver bailato co:nf2, té rn2 può aver ballato con /1, altrimenti ci sarebbe un ragazzo che ha ballato con tutte Ie rag,azze. Supponiamo ora che il numero rL cli ragazze sia ) J. e che l'enunciato valga per un gnrppo cornposto da n - L ragazze. Toglianro ora una qualsiasi ragazza./ e consideriarnole rimancnti. Se riessun ragazzo ha balÌato con tutte le ragazze diverse da / scatta I'enunciato delf induzione.e quindi sl trovano drre ragazze/1 . /2 (divcrseda./) e due ragazzi m.1e m.2che verificano quanto richiesto. Resta dr-rnqueda dimostrare l'assertonel caso in cui esistaun ragazzotn1 che ha ballato con tutte Ie tagazze diverse da /. In tal caso ?7Ì1rìoo può aver ballato con /. altrimenti m1 avrebbeballato con tutte le ragazze.Esisteallora un ragazzom (f m1')che ha ballato con /. Poiché nessun ra"gàzzoh:r ballato con tutte Ie ragazze. esiste (almeno) una ragazza f1 (l /) che non ha ballato con rn. nr1 lìa certarìlenteballato con./1. poiché m1 ha ballato con tutte Ieragazze diverseda /. Può quirrdl scattare il principio di induzione e I'enunciato è dirnostrato nella sria genera-

Ìirà.

72

coMB35

Soluzioni

ARITNIETIC-\monocronraticap*ò proveniret-la3'3e85diversc Una si'gola pROGRESSIONE in 3 rnodl divcrsi colorazioni:infatti i 15 numeri ciellaprogressionepossonoesserecolorati può esserecoloratrr restanti tmmeri dei 985 (rna tutti dello stessocolore). nentre oglìurìo in moclo arlritrario. 1 a 1000 ('li ragione 1 Le pr6gressioniarttmetiche che si possonofornare con i llluneri c1a ragiorre2 sono 1000-2E' sono 1000-i1 (I'trltimo lìulÌìerocìer.eesserealnreno15), quelledi - 14'n' con n cht' q u e l l ec l i r a g i o n e3 s o n o 1 0 0 0- 1 1 . 3 . . . . . q u e l l ec l i r a g i o n c7 l s o n o 1 0 0 0 il nrassintovalore cli 71. raggir-rnge è dunque Il mrnero totale clelleprogressioniaritmetiche che si possonoforuare 71

71

\1 - - r l O u u -l l 1J 1 : j

I

I U 0 0; l

'

ll t,:1000

7l - LJ

/

7, .71 2

i : l

'496' 7 i ( 1 0 0 0- 7 ' 7 2 ) : 7 1' ( i 0 0 0- 5 0 1 ): 7 l

progressiolìi aritmetiche nlonoclo11numero lllassil'lìo cli colorazioli che presentano delle ' ? ''196 3e85' rnatichc è cluincli 71 Invecc il nurnero cli tutte le possibili coloraziorti 6 3lutl{). p"l.ìr! T1 -.196 3 3sìi-. ,rooo (71 ..196 < 314. essendo71 < 31 e 496 < 310), vi sono progressioni rnonocromaticlte' sicurarnente clelle colori.r,zioni che non clanno luogo a

coMB36

srroi elemc.ti. Dato 'n insierne A. i.clicliianìo coÌL #(A) il ntlnìero clei ESCLUSIONE) Dl INCLt.SIONE (detta PRINClPIO formr-rla la v,errificabile

È facilmente

# ( A . B ) : # ( A )+ # ( B ) # ( A u B ) . inrlichiamo quinrli coil ove con #(E) si inclica ii nurnero cli elementi dell'insierneE. Se corrispondente'si segno tln alnreno contengono che At, Az. A;r gli insiemi clellecolonne ha

# ( A r a A . v ): # ( l r ) + # ( A - x ) # ( h u A r ) ' c riapplicanrlo ripetutanente

la stessa formtrla. ricorclatrdo che

( A . B ) U c : ( A n c ) u ( B n c.) si ottierie

#(AtetArnA2) :

: #(lr nAr)+ #(Aù-#((il nA-x)u'"{2) - #(lr u Ar) + #(Az) #('{i) + #(Ar) ' # ( A r u A z \- # ( A x U . { 2 )+ # ( A r U A z U A . x )

il-nrtmero delle cololne che Nc segue clte il ntlrnelo clelle coloure cercato è pari a iJ volte che contcngotro tiue colonne clellc il nllnlel'o l'o1te 3 nteno prefissato conîengono ult segtìo scgni pr.efisstrtipiìr il Dumero di tutte le possibili colonne. ull segno prefissato ò a sua Si .sser'i poi che il nurncro clelle colonne chc corttengolìo clte non lo contengono: r1rrelle cli volt,a pari al nurnerro cli tlttc le colonne meno il nlrnìero è pari al uuruettr prefissati scgni cltte orralogarnerrte il nr.lnero ilelle colonnc che contengono li contengono. uou quelle che di tutie le colonne neno il nluÌtero cli 1l nunrcro cercato è clunque - 3 1 3- 3 . 2 1 r +l 3 . 3 . ( 3 t ' ,- 2 t 3 ) - 3 . ( 3 1 3 l t t t ) + 3 1 3

ALG1

La rispcrsta ò ( C ) . I n e f { e t t i .s i c c o r n ee ' ' . e e : a r ' + i / .s i [ u 2 r ] r 2. 2 . t / 2- 2 5 / 2 : : t / 2: 2 r

qLu z

L : r r i s p o s t aè ( A ) P e r i p o t e s i r )
0 e . r ' : 2- 1 : 2 r .

:

16.

P o i c l i é l ' n n i c : r r a c l i c ep o s i t i v a

1 è.r : I + r,/t.si ar-ràr' + ! : ZyD..

Si osserviche. scuza calcol:ire.r',si può ottenere.,gl,Jtrrr,,r.,.Ìa soluzioneosserr,.anclo che l \ 2 / la r / 1..-F- | : {r' } + . t r : 8 . d a c u i . e s s e r i c l o : r p o s i t isvioo.t t i e r r e l a r i s p o s t l . .,'/

\

A L\I

.'

.t)

\

[,a risposta ì: (C). Poichò r. , :

I

I -

-

d

.

)

.itr;re

J

..

,

/ ('-

r \2 l)

: . , ì -: 2 , \

"rlrrirr,li

1 ',

.t'

La risposta ò (A). Tenencloconto che r,hi:

{Ltl.+

.{Lt

J

v€:

2 r/2. si lra ( v 3)" :"

- ) . 7

-

/,','e' v , r

)

-

^r' 9 "

La risperst:rè:(C). Infatti y/f,-v7

1

I

vc+rc

t/ tt -l lr:

(rE+.,,Í,) 6,6+xZ\ ( vA + r,f,l(r6+ vf)(

-l

I

b - o

\/(: _ \/ o

(

"6

+ uG)

b

+ \fr) tnl t v6 + t/G,J(vIb Qrrestecluefrazioni sorrougrrali poictréper ipotesi b - o : r

b.

Si potcva pervenire alla conclusioneanche eschiclerrclo le altrc .1 possibilità: ad esenrpicr : a 1 . ( A ) . b : 2 . ( B ) . c l t : r i s p o s t c ( D ) , ( t r ) 3 s o n ot u t t e f n i s e . |rer ALG6

La risposta è (C). L'eqrrazionctlata è erluivale'nter a ricliiedere che rr2 - 3.r + v5 : 0: questrìè ttir'ecptaziorte rli seconrlograclocon tlrre radici reali (irrfatti il discrirninantevalc 9-lfl c h e è u r r n u n ì e f op o s i t i v o .c l a t oc l r r : 9 2 : 8 1 > ( 4 t / l ) , - 8 0 ) .

ALG7

L a r i s p o s t aè ( B ) . I n f a t t i s c . r ' 1 . r ' 2s o r ì ol e r a c l i c id e l l ' e c l u a z i o noer , 2 + Ò r : + c ' : 0 . s a p p i a m o _r.. ClìeJ'1 ' .rq:

ALG8

l'

, r'Clle J'1-r.t:

( | - - . .5 .l . 1d ( ' r l l l c o i t l l o t a r ',l r r ' 11

+

|

r.t-.r..:

l,

:l:2

.I t:tZ

(:.

-

La lisposta è (C). Ser;: è trtra ratìice conìulre. sottraendo rnembro a rnernblo lc due ecluaz i o r r ls i h a a r : * ' 2 : : r * 24. clacui IIt

rt\.r' ')1 - .1'

'2

.

S e . r :I 2 . s i h a u - I . h r t a l c a s o c i a s c u n a d e l l e e c l u a z i 6 l i c l i v e l t a . r l J + e :* 2 : 0 . n r r a c t t i s t r Ì t t z i c - r tìtrt "' r - - I + 2 . S e i n v e c e r : 2 . l a (1) è senrpreverificata e in qrrcstocaso si tler.e nvere lJ l- 2o + 2 : 0. cla cui a : -5.

ALG9

La risposta è (A)' infatti si ha \ -1.'/a

/

::IJ'

(rt-"''1 \ . / .. .t

_l'ir

1 -;-

ll

"'

1 ot

--

. ,' , b .

L

proposta e questa relazione è equivalente a queila ALG1O

La lisposta è (tr)' Infatti

r --l 1 . .l : A t n-E- 1" l'h="-u 1

1

T'_T - + -

( 10 b

a

b

I

ab

Q + 0

0+b

.b

D ' a l t r a p a r t c l a I I ) è f a l s a ' a d e s e m p i op e r n : ALG11

b:1'

piccolo intero n tale che La risposta è (B). Dobbiamo trovare il piìl l U + . l u u '. l p u .

. l 0 ! - # > l O e.

2 n - l 2 ) ( r r* 1 ) ,. Terrerrcloccltrtoc}re1+3+..'i(2tt+1):ry.ladisegrragliarrzaprecederrte ( n + r ) m )! 1 0 e .c i o è ( n + l ) ( n + 1 ) > - 9 0 e q u i v a l eo 1 g ( r r | 1 ) maggioredi 90 è 100: 102' si avrà'che n:9' Siccomeil pirì piccolo c1-raclrato ALG12

del procedirnento' ad un La risposta ò (C). Supponiarnocli aver raggiuuto' ler!-l,punto r' Se rt è dispari' di minore è certarneÙte lln nuntefo :i:. Se'r è pari, il terrnine ..r...rrit'o pari, è (x +7)12' 7 e'* essertdo il ternrine srccesslvoè r: * 7. e q'ello ancora successivo. uri termine co'tiene 1a s.equerrza se che. poiclréper r > 7 si ha-che(Lr+f 1Z < r. ne segue t*tte le corlseguenza di r; di rninore teÀiine ,r nìag€iioredi 7. allora contie.e anche un rninore o uguale a 7' sequenzeclevonocontenere iln temtine clispari Si harrnolc seguentipossillilità: . . . 1 . E . . 1 .2 , 1 . 8 . . . . . . 3 . 1 0 . 5 . 1 2 . 6 . 3 ,. . . ...ít. 72.6. 3. 10. 5" " .

ALG13

Jr

1 1 a+.

- 7 I

(A), ta (B) e la (D)' La (C) è invecefalsa D'.que I'asserzione(tr) è esatta. così come la consiclerate' ,i vecleclalla terza Successionetra quelle sopra "urr-re alla seguente: La risposta è (D). L'equazionedata è equivalente (t:' 2)2+(Y+1)2:l equlnr.Liunocleicluequaclratirlever.alerezeroel'altrol.Neseguechesihannosolol. seguenti soluzioni intere: -1) ' (t:2' ll: -2)' (":2' v:0) ' (r:1, a: _I). (t:3. u:

75

Algebra

ALG14

La risposta è (A). Infatti valgono sernprele seguentidiseguaglitrnze:

,Gs"6<ùF

per0<.r(1

t/r'>- Í/G > i 5

perr)1.

In ogni caso ii prirno menbro è rìaggiore del secorrdoirr cluanto uno dei due adden
La risposta è (D). Infatti è facile verificarechc

(3u6)'! - (.,,6)'t In eflettl si ha

(u6)'r - ((u6)')r - (3v€)'6 Si loti che a: : vtj ò ovyianrelte soluzione c'lel1'equazione. ma siccome nort è unica la non sono soluziotii dell'equazione, quindi risposta (A) è errata. Invece r - 3 e r -2tE anclie le risposte (B) e (C) sono sbagliate.

ALG16

La risposta è (B). Nel piarro cartesiano (r. 9) la prima equazione rappresenta 1e bisettrici ciei quattro qr-radranti e la seconda equazione rappresettta una coppia di lette di equazioni r - a. lJ: -ct.. L'intersezionc cli questi due ltloghi è forlnata da uno ed un solo pulto irt uÌr caso. quando le intersezioni del1e due coppie di rette coinciclono. cioè quando a : 0.

ALG17

La risposta è (A). Infatti dalla relazione : o r : ( r + y ) 3 : . r 3 + 9 3 i 3 x v ( . r+ ù : 8 1 0 0 + 3 1 1 13' 0 si ricava facilmentc'cherg - 210. Noto questo.si concltt
420 : 480 .

A L G1 8

pertanto ar m a ( r - 1 ) ( t * 2 ) , L a r i s p o s t aò ( C ) . I p o l i r r o u r i ox 2 + x - 2 s i f a t t o r i z z a : n e l rfl o -2 questo è per 2, :r e se e s
ALG19

La risposta è (B). Poiclié ( a + 1 ) ( b +1 ) ( c +1 ) : a b c l a b l a c t b c t a - t Ó + c + 1 , si avrà ( o + t ) ( b + 1 ) ( c+ 1 ) : 1 0 0 1: 7 ' 1 1 ' 1 3 Dato che 7. 11 e 13 sono prirni. non è possibilescolnporrer1001 in prodotto di fattoli maggiori di l che non siano detti numeri 7, 11, 13 presi in ordine arbitrario. P e r t a n t oa , b , c s o n o ( a r n e n od e l l ' o r d i n e6) , 1 0 , 1 2 e d u n q u ea - t b * c : 2 8 .

76

Soluzioni

ALG20

La risposta è (B). Corrsidcrianio ."'ari casi in morlo da poter eliminare i valoli assoluti tr) Sc' .r { -1. l'cquazione dattr cquit'ale a

( 3 - 2 r ' )- ( - . r - 1 ) : i r . r ' -1 0 7 ;.

e qlresta ha come urrica soluzione J :

che non trppartiene all'intcrvallo che stiatrtrr

esarrrinando. b) Se -1 a ,, a - ' 21 l'eqrraziorte equivale a 2 . r . :-) ( . . t+: 1 ) : 5 r

(3

che ha rtrclice"r: c I 5o .r' t

3

I

- 10

1. ,ol.,rione accettabilein quanto appartieneall'intervalloin esarne. L

i ' c r l r t a z i o t r er l i t e t r l a

I

(2.r:- 3) - (:r * 1) : 5.r;- 10 ,' : che ha solr.lziorìe

q ,)

Irr c'onclusione l'equazioneha un:r e u n a sola soluziorìe.coureperaltro risulta conferrnrato O , . lLr

clall'analisicleìgrafico clellefurrzioni

(

,,

) ol -

t

1 . , | lJ r

-

r

|,

1 r (l

9:t:-2.

î ,,1

t l

I

1

ALG21

La risposta è (A) Lfna soluzioneè :r: : 0, leraltrc tlue sotro le soluziorticlell'equazione tale polinoniio di seconclogracloha selnprc il r:2 - 6o,r - (n'+ 1) :0. Si r.eclesubito cl'rer raclici reali distinte e cli segnodiscorcle,dato che positivo e rltintli ha due rÌiscrirninante ii loro prodotto è -(c2 + 1) < 0. Quindi le tre soluzioni sono in progrcssionearitrnetica sere solo se la sornnra delle due radici del polinornio di seconrio graclo è rrulla, cioè se il coefficienteclelternrinein ;;rè nullo. e ciunquea : 0. In qrrestocasoie radici delì'eqtrazione d a t a s o n o- 1 . 0 . 1 .

ALG22

L a r i s p o s t aè ( A ) . P o s t o s : : r : * y e p : . r y l.s+p:13

t"P:'16

S I S T E N IS AI N Í \ I E T R I C I O s i r i c t r v ai l s e g u e t r t e

;

s rì p sono drtn<1ueÌe soÌuzioni dell'erluaziorrc 4,2-13À*'10-0. cia cui L._

13+/169-160

.)

Si deve avere pertanto

Ir*Y:8 l.ry:5

oppì-rre { r + y : r t

lru:ò

Il plimo sistemaporta aÌl'equazione ' ) ^ - -

_

x

)

!

ì

-

| I

e il secondo all'equazionc :."-ítz-F8:0. È facile veclere che la prima lia cliscriminante positivo (e quindi ha soluzioni accettabili). nìerìtre la seconclaha il discrirninante neg:rtivo (e quincli uon porta a soltiziorri accettabili). Ne segue

, : 2+ y 2 : ( r * y ) 2 - 2 x u : 8 2 - 2 . 5 : r : 4 . ALG23

La risposta è (E). Nloltiplicancloentranibi i rneuibri cìell'riguriglianza (1) Ò3:b+1 per ó si ottiene la (A). Elevanclo(1) al quaclratosi ottierie la (B). Ltr (C) si ricava direttamr.nte dal1a(A) e rlalla (1). Infine dalla (1) si deduceche b ò diverso cla 1r tnoltiplicando alloraiduernernbridi(p D e) r b - l s i h a c h e ( ò - 1 ) ( b 2 + b + 1 ) : ó e i l u n q u e i Ì p r i m < - r

::':"J,T::,:i,'llJiH; i:"óîl:":l'Ji:';T::a:'1;;iîT*l"I.;:":iilH,xT:*J,?f ( A ) e c l a l l a( 1 ) s i o t t i e n e ó : 0

ALG24

c h e n o n s o c l d i s f al ' e q u a z i o n e( 1 ) .

L a r i s p o s t aè ( E ) . S e r 1 2 e , r 7 s o n o r a z i o n a l i . l o s o n o p u r e r , 3 6 : r36

dnnque anchc :r : :

("t2)3 e rlls:

(r7)t'i

sarà razionale.

.1"ót

Pcr convincersi invece che le altre ipotesi sono inefficaci si osscrvi che per .r: :

,F VD -

]

2

l r a . r 2 + . r ' : f . i l c h c v a r r i f i c a l a ( A ) . P e r . r ' - v D s i h a p c . r i . t : 7 : 2 . . :t 4: re4q r - r i t r c l i a t t c h e la (B) non può portareralla tesi. In rrrocloanalogo. ponenclo :r : 2ir e ;r : 1 -f- r,4. si vede che anche le ipotesi (C) c (D) nolì consentonocli ricavarc la razionaiità cli r. ALG25

L a r i s p u sa t è ( B ) . I rr f a tt i

aa+ba +cJ

: u"'+b"'''7 'ru : h5,!,'i'*,r':''i,l

Ora (a.b* ac'tbc)2 -2abc(a*

o 2 b 2+ o 2 c 2+ b 2 r ' 2

ó* c) -

(a.b + ac * bc')2 . e a sua 'u'olta t 1,, , ,r r ) ,, err ttb* ac * bc: :rlt, + b + c)2- (o' + b2+ c\l : -;

si ottiene Sostituendo ,ta+bai_t:a:l

2.

l

1

,1

',)

l. rt2-fb2 lc2 : l. Si prrò osservareche se le relazionifbsserostate per esetnpioo*b-tr:: generale. che conoscendoil (tr); r.ero. in cioè non è la la risposta corretta sarebbestata valore cli o +h* c e cli ri2 +b2 + c2 si possadeterrninareil valore ar + b4 + "1.

78

Soluzioni

ALG26

Indichiarno con d la differenza fra un termine della progressionee il precedente. Se ar indica il primo termine. il genericotermine della progressioneè allora a6 : ur * (A'- 1) d. La metlia aritrnetica vale t

r

Ifou

t

1

t

.

tÌ /-L't

/r

n

1

i \ - t n r + { 4 . - 1 ) .. . d J :l "

A'- 1

, (/r-l) n\

1 ( ;, '\ , , . t t r - o

\

,

,

) -

. / n - 1 \ .n rÍn .\ \ ,- / )

L a r n e d i ad i t r e t e r r r r i ngi e n e r i cei , . e j . n 1 è d a t a d a o 1 -

/;+ ;+ l,

. ) t*1j questa sia uguale alla mecliadell'intera progressioneoccorre.ft. a

I I '

I

o z

\

\ I | ,l Affinché / - I sia uguale

t - r s s i a 2 . ( i - j - k3 t : 1 . ( n - l ) .

Se n è pari questa relazione ò impossibile perché il prirno termiue è pari nentre il secondo è dispari. Se invece n è dispari, è imrnediato verificare che la media clei due terrninl estremi (ad esempio)e del termine centrale coincidecon la rnedia dell'intera progressione. Quindi ogni numero dispari n verifica le condizioni richieste. SECONDASOLLTZIONE La media aritrnetica di n numeri è I'ascissadel baricentro di n masseuguali poste sulla retta reale in corrispondenza di tali numeri. Sc le masse sono messein posiziorri che fbrmano una progressionearitmetica e rr,è dispari il baricentro coincide con Ia posizione di una di esseed è ovvio che vi sono tre masse che hanno lo stessobaricentro (per esernpio, quelìa nel baricerrtrodell'intero sistetnapiù due equidistanti). Se invece n è pari il baricentro si trova a metà fra le due masse centrali e in questo caso questo punto non può essereil baricentro di tre masse del sistema. perché ne lascerebbe drre rla una parte (a distarrza rt, xz) e una dall'altra (a distarva"x:3)e si clo"'rebbeavere J:11:r2: rr. Se d rappresentala clistanzafra due masseconsecutive.i numeri .r1. x2, J'3 1 \ / sono dellaforma (n + = ld con n urì numero intero e quindi rtlr.z è multiplo intero di 2/ \ d rnentre 13 non lo è. ALG27

Osserviamo anzitutto che. qualunque sia r > 0. il figlio "rnaggiore" r: * 1 è sempre mags i o r e d i l . r n r . n l r ei l f i g l i o " t n i n o r e " - - - : - è : . e m p r em i n o r e d i l . 'r-t1 Se ora procediamo all'indietro nel processodi generazione.osserviarnoche ogni numero o o. .h" è ancora un nunìero razionale taie che il razionale positivo Ir ' b 1 t f " a fieliot di massimo tra rrumeratore e denominatore è strettamente diminuito (si intencle che ogni < 1è figlio di ; ancora è un numero razionale tale che il niassimo fra numeratore e clenornina-

frazione è ridotta ai minimi termini). Analogamente.ogni razionale0 <

:4..h" a -c tore è strettamentediminuito. Dunque, a partire da un qualunque nunìero razionale positivo, in un nutnero finito di passi all'indietro si perviene al numero 1. D'altra parte i figli di Lln numero razionale positivo sono entrambi nunreri razionali positivi. Si conch.rdeche i discendenti di 1 sono tutti e soli i razionali positivi cliversi da 1. SECONDASOLl]ZIONtr

o- ò b i se b > o. Si noti che il padre dei due figli di .r è esattamente

Chiamiamo "paclre" cle,l,rr,oreror : se a > ó o il nurner" -L

o - Q

razionale positivo e diverso da 1 it tt,,rrr"to

79

Algebra

r stesso,e inoltre r" I a ridotta ai mininii termini. anche la frazione corrispondenteal 0 padre lo è. Parterrdoda un r positir.oe cliversoda 1, 1l padre di:r è sempreun razionale tale che la somna del suo nunÌeratore e del suo clenominatoreè strettarnente rninore della stessasomnia caicolata per r stesso. Se. per assurdo. esistesserodei razionali positivi norr discendentida 1 si potrebbe consiclerale.fra tutti questi, uno di quelli che Ìra conte somnìa di numeratore e denominatore il vaiore minirno possibile: si noti che il padre di tale numero non può essereclisceudenteda 1 e avrebbe una sonìrna di numeratore e denominatore minore: questo crea l'assurdo. In conclusionei discendentidi 1 sono tutti i razionali positivi tranne ìl numero 1 stesso.Si osserr.iinoltre che è unica la sequenzache porta. da padre in padre. da un numero r al numero 1. proprio perchèla funzione "padre di ;r'' è ben definita. ALG28

S i a n o . r l < : r 2 < 1 3 i e r a d i c i d i P ( r ) . P e r i l r t r o R E \ I A D I R . U F F I NsIi h a a l l o r a P ( r ) : ( r - 1 1 ) ( r - . r 2 ) ( r -: t r ) . Si ossen'i che per ogni valore intero di r i tre fàttori souo inteli e tali che (r - rr) > (t - rz) > (z -.ra) . rna i divisoriinteri di P(n):3: S i c e r c a n od u e i n t e r i c l i s t i n t in . m p e r i q u a l i P ( ^ ) : 3 sono solo 1. -1. 3. -3 e quiridi P(r) può valere 3 soltanto nel caso in cui si abbia che , t :- . r 7 : 1 , r - r ' 2 : - 1 . r - . r 3 : - 3 , c i o è p e r a 1p i ù u n v a l o r ei n t e r o d i r .

ALG29

L e p r o p r i e t à 1 ) . 2 ) . 3 ) d i c o n oc h e P ( a ) : a , P ( L t ) : b . P ( c ) :

c. Porrendo

I'(.r) : QQ)@ - o)(r - b)(" - c) + /Ì(t) , dove R(r:) è il polinonrio cercato.si ha: À ( c ): 6 .

À ( b ): ò .

À ( a ): a .

I n o l t r e , R ( ; i:rr)z r 2 + r 1 j r + r 0 è u n p o l i n o n r i o d i g r a c l o m i n o r e o u g u a l e a d u e e s i v e d e f6cilrrrerite.a,desernpiorisolvendoil sistemadato dalle tre condizioni n(o) : a, R(b) : $, R(c) : c. che R(r) : r è I'unica solrtzione. ALG30

o l b t c: posto a : b -f L c - b - y. sinoti che r e y sono tturneri tror Si sr-rpponga negativi e.cheinoltre il rninimo dei tre numeri (o - b)2, (a - t:)2, (b - c)2 è ancheil minimcr tra r" e u-. ^2

L2

L'espression" 1 I{-l:

z

.,2

si trasformtt nella seguente:

( ó + . r ) +2 b 2 + ( b - a ) '

3b2 + 2bL - 2l,ty+ 12 + 92 - 2L'a r1 r rtt y :z

, '..) l.r - lj -l tt)' t h2 + r,, 2

'

si deducesubito la tesi, dato che il rninirnotra 12 e y2 è non Da qriestaultirria espressiorre superiore a ;r:y:inoltre si può osservareche la diseguaglianzasi ridrrcc ad ttna uguaglialza seesolose11:yab:0. ALG31

il polinornio può esserescritto nr:lltrfbrma Per il TEoRENIADI RI-TFFINI o , ( . :-r t , 2 ) ( r - u t ' ) ( r - i , 2 ) e dunqne i srroi coefficienti di primo e sccorulograclo soncr b - 4 ( t l t : + t t 2 y 2+ 1 r , 3 ) e c '- - a ( t f f u r : 1 y 2 ; . Per ipotesi b c r: sono razionali: siccorre b : raziontrle.

-u,t: . c, avrenÌo che anche il prodotto ur' ò

80

Soluzioni

ALG32

Irrcliclriamo con P(.r) ii polinomio (1 + ;r:+ :r2)" : ovvianrente: P(1) : P(

oo+ o1f oz+ "'I

Q2rt

* ( 1 2- " ' * Q 2 n

oo -or

1) :

. + u 2 , . x 2 ' 'R . isrilta.

all I a1r + a2r:2 +

allora nrernbroa mernbroquestcrelazionisi cledrrce e sottrtrenc-lo Sornrrrando r l q :l l l o + " ' F , ,

P(t) + P(-1)

3" + I

) -

2

, ' , : -

:

( . 1+1( r : l +" ' + ( t 2 r -:r' r y

=

t

il che consente di rispondere ai quesiti 1) e 2). Piìr cliffìcile. trlmeno in apparenza. ò rispondcrc al cluc'sito3)' i coelficienticlelle a c l esempicr Occorre osservareche. ncllo sviluppo (li (1 +:t:1.r2)". '),,_ ì '| o ln gellPral(potenzc i"0 e .r2" sono uguali. corne lo sono i c'oefficienti cli r' r ' . t - " . . . . 'r'2n-i. Ne segtrc che qrrelli cli ,i " 0l)O1 :

il2n-ILl2ù

(L1Q2:

0'iq'i+1 -

A2n-2Q2n-1

(12ù -i-.IQ2n

i

Pertanto nella somrna o 0 ( . 1 1-

{1y(.t.2 f

Q ' 2 Q ; j-

"'f

A2r,-2(L2r-1

( . 1 2 1 1| Q 2 n

:

che lia un nìrrtero pari cli terrrnini. gli adcÌencli eqrridist:urti ciagli estrerni si artnullano a coppie. Tale sortrm:r è ciuirrrli uguale :r 0.

ALG33

Slpponia,rrro. per assurclo. chi: esistano clue polinomi /(r)..q(.r) grar,lo nrirrore cli n t:rli che P(:r) : f (r)'o(t:). Si avrc'bbe allora (1)

P(u;) :

-1 :

a cocfficienti interi di

. f ( , o ; ). s ( e i ) .

1. opptrre' t: g(a;'): S i c c o r r r es i t r . / ( a ; ) c h e . g ( a ; ) s o n o i n t e r i . c l n l l a ( 1 ) s e g u e f \ o i ) : 7 -7 t: q(ei): : 0 . p o l i r r c i n r i oQ ( . t ) i l : g ( a t ) a l l o r a \ I a 1: in ogni caso /(n') + f(o,) g r e r c k r t n a g g i o r e o rtgualea è i l s r t o . . . . a t t e c l u i n d i o 2 . c l i s t i n t e o 1 , ha rr radici /(t)+g(.r) 2. Siccome perrò il grario di Q(r) è il massimo fra i gracli di /(r:) e di 9(r:). entrambi per ipotesi rrrinori di n. si perl'iene ad rrn assrtrdo. Il polinornio P(.r) pertanto è irriduclbile.

ALG34

Eleyalclcr aì clrrircfu'atola relaziole ( . ( I t , + r- 2 c t . , , ):2: a ] .

ertil - 2o,, -

J3o],3

| -si ottiene

+ t .

che ercluivale tr (1)

( 1 2 , , --t 4 e r r y 1 t t , , + 4 2 :,

t .

Allo stesso nroclo si vcclc (2)

1 l ] , _ 4 o , , a , ,r * a 2 , - , 1 - 1 .

s o t t r a e n c l oo r a l a ( 2 ) r l a l l a ( 1 ) s i l i c a v a a 2 r - 1 - o ? , , , - ' 1 4 , ' ( 4 , , 1 - 4 , , 1 ) : 0 . (3) \Ia

cioìl

( . / , , + 1 o n 1 ) ( o , , 1 1* e , , - t - 1 a , ,1 : 1 1 . chiararpente risulta o,r,1 1{r,,

0.yy+1 :

4Q,, -

Poicirt! {r1 -

{

o,,11 e dltnqr-re la (3) è r'erificata solautente st:

tlr, - 1.

1. o,2: -! la relazione prcceclente rnostra che tr-rtti gli a,, sono rrurneri interi.

81

Algebra

ALG35

\Ioltiplicando il primo memblo clell'equaziorp r ee r ( 1 * . r y ) ( 1 i y z ' ) ( I * : r : ) l'esplessicirre , 4 : ( . r- y ) ( I + y : ) ( 1 * : r ' ) t ( s - : ) ( 1 + . r g ) ( 1 * : r , ) + ( :

si ottiene

z ) ( 1 + t : t 1 ) ( 1 iy z ) .

Tale espressioneè rur polinornio di seconclograclo rispetto a ci:rscunasingola varialriÌt: x.ll . ..Acl esernpio.pel ogni fissatovalole c.lig e di :. -.1è un poiinorniocli secorrdograrli in .r. Se irr tale espressionesi pone .r : ll si ottiene .'1 : 0. r-lttncltcsc si consideraA cortte polinorl.io in r si ha chc A ò divisibile per (r:- y) (rtonrlt.\ DTRr-FFINI).Irr rrrodoarralogo per (y-;) e pcr (: .r:)(Lrastaeffetttr:rretrna sostituzioncciclica si vede.che,-l è clivi,sibiìe - r). d e l l el a r i : r b i l i :. r - . g . A - : . : : Pertanto si potr'à scrivele (1) I:(r''-y)(y-:)(.-.r)h ove K è un certo polinorlio in .r. .q. :. - . r ) s o n o c 1 is e c o r t d og r a c l o : R i s p e t t o a l l a v a r i a b i l e . r ' - s ih a c h e s i a . - 1c h e ( . r y ) ( . U- : ) ( : lle segue c'lie Ii lia graclo zero c dunque è rrla costante lispetto a .r. Allo stcssclrnodo si r.edcche 1{ ò costante sia lispetto a y cire rispetto a:. ll r-alole cli 1f si potrà ricar-are so,stituen.lo alcrrni r-alori uclla (1). Arl eserupio. ponenrlo ; r : 1 . u : - 7 . . : : 0 l a ( 1 ) c i i v i e n e2 : ' 2 I i e r l u i r r t ì i 1 { - 1 . Si ò così pro\-iìta la formrrla

l:

( . r-' a ) A - : ) ( : - r ) :

r l r r i i r d -i l :

ALG36

l l - o { s r ) l { sì e i r l r r t c r r o , l r rdn, ' i l t p r r t L t r r e.t,'.i ! 1 . : r ' , , i t r l i r l u l r o .

Supponiamo che il polinorrio P(r)

abbia nrta raclice r':rzionale .,:!.

tl

con p e q prirrri fra

Ioro. l+..'+au SiaP(r) :o.0.r't1 lu1.r" 1.Ì+on. PerleproprietirrlelleiìADICIR.AZIONALIDI t N I)ol,l\o\llo si sa che p deve cssere un divisore cli a,, (c c7un clivisore cli co). Siccomt: o, : P(0) è rìis1>ari.anchc p dovrà drurc|-leessere LrìrnLrrrìerodispali. D'altra palte il polinornio si prrò risclir-ete nel uroclo segrtcntt' P(r):

a { l ( r :- 1 ) " + r , r { . r- 1 ) "

t

1 . . . - r . r , r 1 ( . ?- i 1 ) * r ' . ,

o r r e i r l - t r t r e r i( ' r . ( : ' 2 . . . . . . r ?s ( , u o i t r t e l i e c , , : P ( . 7 ) . Sostitucnclo :, - l. nroltiplicando per q" c licorrlanclo che per lpotesi :r ò raclicc riel q p o l i 1 1 s 1 n 1sr i. o l I i e t r el ' r ' , ; r t a z i o t L r ' agjt

(l)" - r't(p -

cltr cui si cle
rl)"-trl+

p"'1" - q

+ c , , r ( P - q ) q " 7 I r ' , , r 1 ':' g

è u' n''rero

iute.o.

P-l - I e \ u r r a f i ' a z i o n e i r l i c l u c i Ì . r i l e .q u i n < ì i p - q :l e q soÌìo primi fra loro. Per q q l'osservazione precedente c'iò iniplica che c,, : P(1) ò clilisibile pel p - 17.Siccome anclie P(1) è clispari per ipotesi ne segrie chc attclie / - q è dispali. Essenclosiapchep-qclispari.il nunieroqèpaliedr-rnquenotrptròessereugltaleal. Pertanto P(.r') norr può ar-ete ra.lici ilrtere. \Iu

DIS1

Dts2

L a r i s p o s t a ò ( B ) . I n f a t t i . s e p o n i a r n ( . ) Q : 2 e d e l e v i a r n o a l q u a d r aper t o l ar c :l i s2e qtru apoi zlone. (/ - 2)' < 0. soclclisfattasolo otteniamo r'2< 4(r- 1) chc equivalea ha ne 2 per o' > non 5a soluzio'i' mentre facile veclere che per n,'a Z 1a cLiseq,-razione irrfinite. - 3l > 5 implica La risposta è (E). Infatti l2r 2

2.r:-3>5. se/>

t,

3 3 - 2 r > . 5 ' s e r
dunque .x > '1, dunquer(-1.

(o'u n"' ;fiHffi ;;;;;r1j:"i:1T "u?;'l:'iT:'i lTlîî: il là'i:i:í',:ffi ; i-o ';"'i;;""''a;"- n;+ s: vqn-rP: l2r 3l

pertanto la disequazioneciata e11ii,11ea.(D,l

ItX$1""jfi.';1il;;ffi;;; t:'< 3f2 uo*," ,,1-r',t., q.inclino. è ec'rivalcnte alla ,-^,-

À ^.'.'i.rqìr'nt

ì:1:,::Ji"'Efiiitllí";"ri,i"". rliseguaglianzaassegnata' DIS3 DIS4

DIS5

ò ( E ) . l n f a t t i . i r 3 : 1 0 3 ( i 0 1 0 ) .y La r-isposta

- 2 1 0 ( 1 0 1:01)g 2 ' 1 ( l o " ' ) c c | t i n c l iy ) t : 3 '

(c) non sono equivàlential siste[ia cli disequaziortt La rispostaè (B). Per vedcreche (A) e : l. y : O. Per escl'clereitivece (D) ed (E) si assuma dato, basta co'siclerareii .uro r. r:1..u:|12'Lafigurtrsegrrentenostraipurrticlelpiarr
Larisllostaeì(C).Infattiscfosseo)1'ó>l.siar.reblleti2ltt.'].|;2
( B ) a : 7 1 2b. : I 1 2 : ( D )o : - 2 . b : 0 .

83

DiseguagIianze algebriche

b+ c, y:

P o n e n d or :

c tI, c : . z :

u lb

l a d i s e g u a g l i a n zdai v i e n e

( o * ò + 2 c ) ( 2 a- r b - r r : ) ( a+ 2 b + c ) > E . ( 2 c ) ( 2 a ' ) ( 2 b: ' ) 6 4 . r L b c. .

(1)

si lia Per la DIStrCUAGLIANZA TR.\ LE \IEDItr aritmetica c pconrctt'ir:a a * b i 2c : o,-t b + c ; c ) 4í64. e analogamente 2a l_b+ c> 4lct2bc.

a + 2bi r > Jl(Lb\.

Nloltiplicandofra loro clucstetrc cliseguaglianze si ottiene la (1). La cliseguaglianzaccpivale alla scguelìte: (1)

a 2 ( l - t ) + ò 2 ( 1 - c ) + c 2 ( J -a ) < 1 .

che possiarnodimostlare geometricarnelrtenel seguelìtemodo. Corrsicìerlarnonello spazio tridinrensionaleil cubo (0. 1) x (0. 1) x (0. 1). All'intcrrro di t:rle culro consicieriamoi tre paraÌlclepipedi . ) P r : ( 0 . o ) x ( 0 .a ) x ( Ò 1 P 2 : Q . i ) x ( 0 .b ) x ( 0 .b ) P 3 : ( 0 .c ) x ( . a . 1 x) ( 0 . c ) che sono a duc a duc disgiunti. hanno volurni lispettir.amente riguali ai tre addendi clel plimo rnembro di (1) e clrindi lir -sommadei loro voinrni notr è sttpcliore a 1.

Un altro mocloper clinostrare la (1) è la seguente:fissitrnroi rrurnerlo e ó nell'intcrvallo si ottiene il rnassimodell'espressiorre 10.1]e celchiiìrnoper quali r.aloridl c. sernprein 10.11, ciel primo membro delltr (1). Si nota subito che rispetto alìa variabile c:tale espressione rapprcsental'equazionecli una paraboìa e quincìi il suo valore nrassitnosi ha per c : 0 oppure per c : 1. Consideriarnoseparatanrentel due casi. Sc c : 1 l'espressionevale o'(l - Ò)+ 1- a la quale a sr-ravolta rapprcsentauna ptrrabolarispetto all:r variabile a I u c n t r a n i b ii c a s i i l n r a s r . a l o r er n a s s i n r os i o t t i e n e p e r a : 0 o p p u r e p e r o : 1 . e il sr-ro sirno rion super:ì 1. Del tutto arralogoè il caso r':0: la diseguaglianzarisulta pertanto dirnostrata. DlSS

TRA LE \lEDItr aritmetlca e cpaclraticaagli nSi applichi la DISTCTIUAGLIANZA aI

t

42. ll3. o.1, . . .. Qrrl

(ar+oz)*a:+...lun ri-l

( o 1* c r ) z1 -0 . 3+ . . . + u ? ,

V

rt-I

Elevando al quadrato si ottierte / ' ,

\ 2

ff

o ,I

\

=

t t

/

(tt-1)'

= i

t,il - 2n1u. n-l

e da questa seguesr-rbitola cliseguagliiìnzàcercata

l numeri

84

Soluzioni

DlSg

\rerifichiamo anzitutto che la diseguaglianzaclata è irtvariatrte rispetto a una trtrslazirlue. I'er far qttt:sto poniamcr D:d+t.

R:b1_.r. C:c:lr.

-4-a*r,

.r'è rur nulnefo ciato (positivo o tregativo).otternetxlo

( A + B + c + D ) 2 s ( . - l Cr B D ) : (a+tt+c+d

: ) 8 ( n r + ( n + r ' l . r ' + . , 2+ h ( t + ( b * r 1 ) : r : + . r : 2

+4r')2

r : + d ) - ( o c * t x l ) - S r ( a+ h + c i , 1 ) - 1 6 r : 2

r l ) 2* 1 6 r ' 2f E r ( c * b I

(a*h*c+

( a + b + r ' I d ) 2 - S ( a r+' b d ) . Traslitrrrroora i quattro nrrntcri asscgrratidclla quantitir.r'- -Ò, in tttocloda ottenet'c 3:0.-;l<0eC'.D>0. il si rladuce in (A + C: + Df > 8.4C, che è chiarallìentc'n'era.essenclo l-a clisegrraglianza negativo. primo uernlrro positivo e il secottclo DIS1O

5tir ri .._.r' L

1- .

lt -

1 4

I

.

,

,

la tllsr.glla{llallzA

/ , \ ', l , ' [\ , - 1. r1' l r [\ ] r ru- l l > 2

r / r\

l t

t

l a

r

I r

''']

0 " + u ' t t n- + t ) \ I . t l a r . L r :i i o î r i c r r e - \I ) 2 /I

,

\al('

'#)'l("*)' i('.

l\' I l

!t/

'2

Poiché r'r7(

(.=)':(i)

1 . s i a v r à - > r 1xll

.

In clcfinitir.a

(,*! \

r )'*

(,.

;)'

l;)

2 L'rigiragliarrzasi 1iasolo pcr t : lt : I12. D I S1 1

Usrrfnicncloc,lelrtron.Ett.\ DtrI SENI.esserrdo sel o _ scn ,J _ sen^r seniJf setr^t b+r:. , lltìpllcaseno< sÌiìac:ìleo{ _ 2

\Ia scriii+serii :2 setif

.osi +

, cìunqucsertl l s e n ^ , ( 2 s e r r

:J*^, ,2

se ne

clechrce (1) seno(

iJl^t Sell -

l,-t. .J . -, c { ) t ì : c l t t ( ' , rl il " , l r t t t cr l t n I - ' ; r r 'r g o ,l , , .) ò c { , t t i u n e n l cr r r i r r o r e , ì0i 0 " . e ì ' i y r o l c : ri r < - ,

s i v e d c c h c i s e g n r e u t
Di seguaglianzealgebriche

85

Il viceversa inveceè falso.Si consideriad esempiourr triangolodi lati v6. 1.2 con angoli cli 60'. 30". !10':per essosi ha a : tE> +: Dunrlue11 tliarrgolocor urì + a

a

angolo ri di poco inferiore a 60''. un angolo,i cli poco superiole a 30u e i :90o ,'J-+-^. lt + r n< t t r a l a d i s c g r t a g l i a r r z 1a t r èfalsa. ,-urru"uo"rIANZA n

lts12

Per la \/T- ra.z :

TR-\ Ltr \ttrD; 1 . . . . . / 1 .s i p u ò s c r i v e r e r

1t '11

r

i r/l

.,r t -'z

verific:r

arnronica e geromertrica.applicata ai nurneli

.vtr ' ,; .

\/ - ' ,n+ clevando al clrzrclrato si ottiene

( 1 - . r " ).

(1)

Usando ora la diseguagliarrza fla la nerlia g;eometrica e la media aritrnetica. applicata ai r r r r n r e l|i . r , . i : l . . . . . r r . . i l i , a v a

(2)

V ' ( 1 . , ' 1 ) ( 1 - . r _ ' :)

i - , , r -I 1 t r . l - . , , r :l - I t t L ;

r - ' ,' : '

tx,c si è usrifì'uitodell'ipotesi /-

í-l

si ottienc il risultato.

1

n

Combinanclo(1) c:on(2) ccl erstraenclo la radrcc

GEOP 1

La risposta è (C). come si controlla cìividendoI'esagonoin 6 triangolini equilateri ognuno di lato 1/6 del perinretroconlunee dividendo il triangolo in 4 tliangolini,equilateriaventi lo stessolato.

GEOP2

La risposta è (A). La soluzionecorretta è la simrnetria di centro P.

GEOP3

La risposta è (B). Infatti la seguentefigura rnostra come può essercsuddivisoil quadrato piccolo in,1 parti uguali ciascunaa\,entearea 100/-1:25 cm2.

GEOP4

La risposta è (A). L':irea di un trapezio è uguale alla semisornmadelle basi per I'allezzaItr questo caso l'trltezzaè 10 cm e quindi la semisommadelle basi vale 150/10 : 15 cm. Tenenclo presente chc in un quacirilatero circoscritto ad un cerchio la somma dei lati opposti uguaglia la sornmadegli altri due lati opposti (consegucnza clelrBoRn\IA DELLA T.\NGENTE).si lra che la somma dei due lati obliqui del nostro trapezio vale 2.15 : 30 cm.

GEOP5

La risposia è (D) Il trìangolo A1B1C è simile al triangolo ABC e il rapporto dei tati corrisponclentiè 4/5. quincli il rapporto clelle loro aree è T6125. Tenuto conto che Ìa differenzadelle loro a.reeè 45 crn2. si ha sr.rbitoche urro ha area 80 cm2 e l'altro 125 cm2.

GEOP6

La rispostii è:(B). Se DI1 è I'altezzadel trapezio si Ìra

. ,, : Area(ABCDI DH : DH : )tta + c'D). f,tû*?û, l,+u S i c c o r n eA r e a ( , B C ) : 40 crn2.

+AB.DH

:2J

c n 2 , s i o t t i e n e c h e I ' a r e a d e l t r a p e z i or n i s u r a

:=ÒD I

piana Geometria

GE0P7

87

La risposta è (A). Basta osservareche il triangolo BIvIH è simile al triangolo BHA con u n r a p p o r t o d i s i m i l i t u d i n e d i l 1 2 d. a t o c h eB X I : ( 1 1 2 ) B A , e q u i n d i l ' a r e a d i B A , I H è 1/4 dell'area dí BHA cioè 1/5 dell'area di ABL'I . Siccomel'area del triangolo ABA,I è t 2 -P. n e s e g utec h t ì ' n l e al , l e l l ap a r t2e c o r n t n r O : e ; f a

F# l l N

t

G E O 8P

La risposta è (B). Si consideriil triangolo DNB. Per i1 rnonoxlA DELL'ANGoLoESTERNo si ha che A,n/11 : D * B. Analogamente. considerando il triangolo EHC, si ricava che AFI/ :0 + É. So,rr*u,rdo gli angoli interni del triangolo A11ltr si ottiene infine

: A+ tfin + AfrN: À+ É + C + D + È . 18oo Una soluzionealternativaè ottenibile considerandoi triangoli AKD, B,IE. CIIA, DNB. EHC. La somma dei ioro angoli è 5. 180o:in tale somma gli angoli in A, B. C. D. ,E sono contati due volte ed essa comprende anche gli angoli interni del pentagono 11K-ll-/N la c u i s o m m aè 3 . 1 8 0 " . I n c o n c l u s i o n2e. ( Î + E + e + D + É ) + : . 1 8 0 ": 5 . 1 8 0 " ,d a c u i la risposta. G E O 9P

La risposta è (A). Come evidenziatodalla figura sottostante.la regioneè ottenuta considerando tre settori circolari di ampiezza60". a cui si tolgono 3 triangoli equilateri cli lato l, per poi aggiungere il triangolo equilatero interno alla figura. L'area è pertanto data cla /; /; r Í vó .nì . - - . , v J

- 6

GEOP1O

-

r

2

2

La risposta è (A). Se a. b rappresentanole aree di CEB e DEA, si ira r t a: r i_b. dato che i due membri rappresentano aree di triangoli aventi base e altezza di ugual = d a t o c h e e n r r a m b i t a l i r a p p o r ri s o u o , , e , , o l iu : i ff. allora che a : b : r/ry e quindi l'area totaie è r * g +2Jrg. lunshezza. Inoltre

GE0P11

L a r i s p o s t a è ( B ) . S i a O i l c e n t r o d e l c e r c h i od i p a r t e r i z a di raggio unitario. L'area del semicerchiodi diametro ,,1C

. r (ue\'

*

" 2; [ ; l \ , /

+

Per ottenere I'area dell"'orecchio" sinistro occorre togliere la parte cire appartiene al quarto di cerchio AOC e non sta nel triangolo AOC. L'area di questa porzione è 11 1.1 ir 1 : Drrnque l'area di ciascun orecchio è j 4 2 ,. o l \ (n I I 2 ) 2 ' \l

L

Segue

88

GEOP12

Soluzioni

La risposta è (A) Aggiungenclo e toglienclo parti equivalenti. si Yede che la figura è porziorri equivalente a quella coniposta cìa clue quaclrati cli lato J2. actti sono tolte le cìue della dell'area l/4 a ugtrale ha area tratteggiata tratteggiate in figurzr. Ogni porzione I'areir inscritto' quadrato r.rn 1 Quindi raggio di cerchio flg,.,ra'-attenutatogliendoll 2'2 -2(, r i c h i l s vt a l e

)

: t-,

ffi [ \à/

13 GEOP

\

a

La risposta è (D). Con riferimento alla figura. detto r il raggio - r' i n c o g n i t oc l e ic e r c h i op i c c o l o .s i h a O C : I l 2 ' O D - I CD : ll2 + r. Per il teorerna di Pitagora. si avrà dunclue r)' :

l*it I

(1*r) . cioèr/ \l

2 r , 1 2:

r + r 2 ' c l ac u l

I

14 GEOP

La lisposta è (D) Il percorsoclescrittodal centro del cerchio risulta esserei1 triangolcr intenro al tri:rrrgolo clàto e avente i lati a distanza l cìal triangolo ilato. cotne indicato iu flgura: î

Ecco rtn rnocloper cletcrrninarei1 perimetro ciel triangolo A'B'C' ' Il punto A' sta sulla bisettriceclell'airgoloin A c questabisettriceintersecaBC in un pttnto lll che dista. diciarrro.:i: rla B e y d,aC. Per il ]nORElt..f DELLA BISETTRICE.si ha che :t:'.A: AB : AC e' s a p e n c l o c l r c . r * 9 : S . n e s e g u e c hr e: 1 2 l S e A - 1 3 1 5 .S e 1 1è l a p r o i e z i o n e o r t o g o n a Ì e : AB : IIB. cli A, srr AB. si ha che AH,1i èsimile a ABII e A' H : 1. Qriindi AH : A' H conto che B'ha clistanza1 clal lato BC. rre segue cioè Afi : 12.(5 ll2) :5. Ternenclo cheAt B' è lungo 12 - 1 - 5 : 6 e cioè la netà di AB. Anche il perirnetro cli A'B'C' sarà allora la rnetà clel perirnetro cltABC. essertdoquesti triangoÌi sitnili. SOLLIZIONE StrC]ONDA t.l1 1-rot1oalterlatiyo per ileterminare il valore del perimetro è basato sull'osservazionc che. se il raggio 6el cerchio è r'. il triangolo descritto dal centro del cerchio è sempre rin trialgolo-icttangolo simile a quello clato e ha un perirnetro p(r) che è una fhnziotre ìirrearelcint.aettipop(r):ArlB)rispettoalraggiode]cerclrio.Inoltreseilraggio è0ilpi:rimetroè12+13*5:30.mentreseilraggioècpellodelcerchioirrscrittcr al triangolo clato. il perinietrr-rvale 0 clato cire iti qnesto caso il cerchio irtterno non ha possibilità cli rruror.ersi.Calcoliamo il raggio clel cerchio inscritto' Tenelido couto che il perinretro 1-roltiplicilto per t:rle rzrggiodà il doppio dell'area si ha che questo raggio I'ale I ^.5'12. : 2 . I n c o n c l u s i o nl ae f u n z i o n e p ( r v) a l e0 p e r r : 2 e v a l e3 0 p e r 2 5+12+13 N e i " g . l e c h ep ( r ' ) : 3 0 - 1 5 r e q u i ' d i s e r : 1 s i t r o ' a p ( 1 ) : 1 5 ' r:0. L

piana Geometria

3 E o1 P5

89

La risposta ò (C). La massinraclistanzadi un punto della circonferenzaC1 da i,'è 4. nìerrtre la rnassintadistanza di un punto di C2 da lr è 2. Dunque C2 è trasformata in C1 dall'oltors.llr\ cli certro L/ e raglone 2. pertarrto i1 raggio di C2 è 1a metà del raggio cli C1 e valc 1,/2. T1

T2

Ljna soluzionealtcrnatir.apntò essereotte-.nutaosservandoche. se si inclicano con Z1 e Z2 i punti di tangenzacli C1 e C2 coll 1aserniretta.s.i triangoli 01 11l ' e ( ) 2 T 2 l s o n o s i r r r i l i . lndicando quindi cort r i1 raggio cercatosi Ììa O 1 T 1: O 2 T 2 : 6 1 1 ' , oz\; dacui\:r:3:

3EoP16

(2

.

r ) . o r , ' r ' e2r o r ' : i J r .r : i o èr : 1 . 1 2 .

L'affe'rrnaziorre errata è (D). Ad esempiose si considerarrn triangolti con angoli A. B, C rispettiviimenterli 90". 60". 30". si lra che i triangoli ALI\í. BIIL. CÀ11 sono isosceli con angolo al vertice cli 90". 60" e 30". merrtreInIÀ non è isosceleavenclogli angoli che valgono rispcttivamente Î : 1 8 0 " - - 1 5 " - 6 0 " . í i : 1 8 0 " - 6 0 " - 7 5 ' . Î : 1 8 0 "- 7 l t u - 4 i . f ' cioè75"..41ie " 60".

SECONDA SOLLIZIONE

Si poteva pervenirealla lisposta ancheper esclusione.Conre si è gia osser.,'ato. i triangoli AL!í. BXtL. CÀ"11 sono isosceliper i1 'rEoneltA pFTLLE'TANGENTT: il triangolo ZllÀ- è acutangoÌoperchèciascnnodegli archi ,1lÀ. f r. I'\1 è irrferiorea lrna serrricirconferenza. Dunque sia (A) clrc (B) solroverc.

Se i: 60''. pcr eserrrpio.allora l'angolo XÓI è c'ii120' (se O ò 1'r\('ENTROcleltriangolo) e clunqrtel'arrgolo alla <'irconferenra\ÍìI (che sottencle1clstessoarco) è cli 60". cioè l'afferrnazione(C) ò r'cra. Il cerchiopassànteper i punti -.1.À . Z passaarrclieper l'incentro O in cluantoil quadrilatero AIO-Y avendo clue angoli opposti retti è:inscrivibile in una circorrfercnza.Allo stessomodo. O appartieneai cerchi per C'. r11.N e B. L. lL Dunque a,nchela proprietà (E) è r'era.

90

Soluzioni

G E O 1P7

La rispostaè (A). Infatti se A'B' è parallelo acl AB, allora i due triangoli AA'B' e BB'A' sorro equivalenti e quindi. togliendo la parte comLuìeA'KB'. si ha che anche i triangoli A'KB e B'KA sono ecuil-alenti.

A'

Corrdotta allora la retta per 1{ paralleia ad AB (Fig 1), dette,\1.À- le sue intersezioni con AC c BC e indicando con d la distanza fra le rette paralÌeleAB e A'B' . abbiarno 1 :XIK d: 2

Area(AKB'): AreaB ( KA'): ' ,

lf,\ 2

a

e dunque II K - KA'. cioò 1{ appartienea1larnedianartscenteda C. Viceversa. se À appartiene a tale nìecliana.si conduca da B' la parallela ad AB firro a i n c o n t r a r eB C i n A " ( F i g . 2 ) ; l a r e t t a A A " i n c o n t r a B B ' i t r u n p u n t o K ' c h e a p p a r t i e n e alla niediana (li ABC nscetrteda C, per la parte già provata. Dunque sia il punto K che 1l punto 1f' clel segmento BB' appartengono a tale rnediana e ciò è possibile solo se K : K t e q u i n d i A ' : A " , c i o è A ' B ' è p a r a l l e l oa c lA B . SECONDA SOLLTZIONE

Per risolvereI'eserciziosi poteva piìr semplicementeescluderele altre quattro possibilità. Ad esenipio(B) si può escluderein quanto 1i sarebbeI'incentro, il quale non appartiene. irr un triangolo generico.ad una rnediana.La condizione(D) poi è soddisfattasolo qtrando K ò il baricentro di ABC c clunqr.renon equivale all'asserto. Con altrettanto facili considerazionisi possonoescludereanche le condizioni (C) e (tr) D

G E O 1P8

La risposta è (C). Infatti. corne appare dalÌa figura. i punti del segmentoAB, ovc OA : OB. hanno costante la somma OK e delle clistanzedalle due rette a. b. in quanto PH: OB. PK : KB. quindi PH + PK - OIi + KB:

GEO1 P9

La risposta è (B). Sia C tlterzo vertice di un triangolo equilatero di base AB. Poichè P Il printo è il purrto rrreciiodi AB. si ha che PC ò perpendicoÌaread AB e PC : v4'pl. (in P senso orario attorno a di 90" quincli A una R.OTAZIONE cla effettuando C si ottiene poicné P e rapporto una o\IOTtrTIA di centro v€. oppure antiorario) e successivamente una rotazionedi 90o mauda una retta irr rina retta perpendicolaree una omotetia manda una retta in una retta parallela. al variare di A lungo la retta o il punto C descriverà(a seconda che la rotaziorie sia stata effettuata in senso orario o antiorario) una delle due rette perpenclicolari alle rette clate che distano t/5a ao P. dr-'r'ed è la distanza di P dalle rettc a e b.

A H

SECONDASOLUZiONE Consideriamola retta ft perpendicolarealle rette o. ó e passanteper P. Sla É1 la proiezione del punto C (terzo rrerticedi un triangolo equilatero di base AB) su h: sia poi D I'intersezionedi h con la retta o. I triangoli rettangoli P D A e C H P sonosimili in quanto CFI e retto e clunque HC:PD:PC:PA. ': : n4, drr,rq.," y-4 H C : v t r ' a . o v e d i n c l i c a l a d i s t a n z a c ì e l p r - r n t o P d a l l e r e t t e a s s e g n aI nt ea .l t r i t e r m i n i , la distanza del punto C da lt è cost,antee quindi C si tror-asu una delle due perpendicolari alie rette a e ó aventi r,listanza,/3.d rlu p. \riceversa.sia C rtn punto stt una di questerette: se si congiungeC con P e si manda la perpenclicolarea CP, dette A e B le intersezionicon ìe due rette assesnatea e ó. si vede. ripetendo la stessaargornentazione. che ABC è equilatero. Poiché PC è l'altezza d,eI trìangolo equilatero ABC

sr ha che

TE}ìZA SOLUZIONE Per fissare le idee cousiderian-ioil caso iilustrato neÌia figura sottostante e sia 11 la proiezione di C suÌÌa retta a (in figura II: Hr). Il quaclrilateroAHCP, avendo due angoli opposti retti, è inscrivibile in una circonferenza.Ne segue c'hePÈC : PîC:60", da cui AHP:30o. Pertanto É1 de."'estare su una delle due rette passantiper P e inciinate di 30" rispetto alle rette date. e dunque lia due sole posizioni possibili. H1 e H2. Poiché C si proietta su É1.deve stare su una deÌle rette'r'erticali passanti per H1 o H2. Viceversa, con lo stesso ragionamento. si vecle che se C è un punto di queste due rette allora il printo ,4 si può individuare come intersezioneclellacirconf'erenza per P. C. H . Il punto B è l'opposto di A rispetto a P e ABC è equilatero.

3EoP20

La risposta è (B), come si deducedaìla figura sottostanre

92

Soluzioni

GEOP21

è 360'. che la sornnraclegliangoli intertii di lrrr clrr:rclrilatero La rispostaè (A). RicorcLiarno Con riferirriento alla figura. si ha

À + É * É ' + F , - Ò + D + È, * î": 360' ' Inoltresi htr È r + È ' r : ; 1 6 0-" É .

îr+î":360" - F

In corrclusiorre

7 2 0- " A + f r + Ó + D + È r + È r + î r + F r : f

+ n + C + D + 7 2 0 -" E - F '

e q u i nÀ r l+i É + d + D : È + F . GEOp22

GEOp23

24 GEOP

Ltr risposra è (D). \Ianclantio la parallela cÌa B all:r tangclìte comurìe HH' c cletto C il puriio colì1n(' 1l raggio -rl1{. si vccle cite.il triangolo ABC: è rtlttangolo in C ecl ha Duttq.,e tale triangolo è isoscelc' Nc rpotelrrsl, lrari trl ciìreto A(' moltipiicato pcr f. si trova BAH:'15". ABH':135" c h e : 5 . f a t t o u t i l i z z a n c l ao l l o r ai l s e s u ec h e H H t subito la lunghezzadella cinghia.

Ln r.isposta è (A). Con lc not:rzioni in figula. i triangoli BCP e ACP hanno la stessa arctr. E-qsi haruro cluirque la stessa aìtezz:r. relativatnente alla base cortrune PC' trIa :rllorl alche i trianggÌi AÍ{C e BHC. avenclo le stes-qe alt<'zzt: clei prccecienti rel:rtir':rrnettte alla btrse conlunc 11C. hanno la stessa are:r' Ciò siglifica che ,411 : H 13.poichí: i clue sucldertti triangoli hanno Ia stessa ziltezza relzrtivaniente a queste duc trasi. D11c11e PC É l:r rne{iarra relativa al lato lB: in rnodo analogo AP c RP sono lc rnediane relative agli :iltri clire ltrti. e clunqltc P coincitle con i1 baricentrr).

La risposta è (tr). Considcriarnol'esagonoregolarecircoscritto al cerchio' Talere--sagontr p1ò fórnire rlra piastrt:llatura clella piazza e il rapporto tra l'areà dcl cerchio e quella rlsrrlta r lQ^,,tr) Non t\ difhciie corttrollare che qtiesto valore è compreso triì clerll'esag6rio 9/10c 91/100.

piana Geometria

Jó

GEOP25

nb,q,n falsa in quanto. in caso La risposta è (C). L'atrennazioneche DF biseca1'arrgolo^ -15" : corrtrario.sarebbenDp e quindi arrchel'angolo BAAvarrebbe.l5o, clatoche insiste ' ' ^ sullo stessr.r atcc,BD. \Ia cluestoò in contrasto con I'ipotesi che ABC non sia isoscele. Per contro. la (tr) ò vera per il leoRslta DEt-L.ET.\^-cFtNTl.La (D) è vera in quarrto il dunque triangcrloBDA è rettangolo (essenclo-BIJC insclitto in urra semicirconfererrza), il cerchiodi cerrtroF che passaper B e per D deve passareancheper A. In questo motlo di un angolo al abbiamo verificatoanchela (B). La (A) seguepoi cìalfatto che 1'arnpiezza centro ò il doppio deÌl'ampiezzacleli'angoloalla circonferenzache sottende lo stessoarco.

GEOP26

Si considerinolcr biserttrici C K e CI1 clei triangoli iscisceli ECD e ABC. Tali bisettrici formano un angolo pari a

r0B - n?n

n?n 2

S i t c c r n r el e l , i s e t t r i c i d i r r r rt r ì a n g o ì o

isoscele sono anche alil:zze. i segrnenti ED t: AB. rispettivalrente perpendic'ola4 a C1i e CH. fornrarro lo stesso angolo. . DCR l.2 3U'. -f)tttrunt' -|DE ) - - \ . ù \ ) S E ( ] O N D AS O L L ] Z I O N t r Ii triarrgokr C'DE è iso,scelecli base ED.

E A

Si Ìra

(1) tÙn:,sDc'- Ebc ( 2 ) A D C :' ,1 8 u - C i B

é 0 B - 2 5 " ): A E C * 2 u ".

si avrà anche Sicconre CDE è isoscele. r ; fr \ ' j

/

F D C : e ' i ' n : ( ' . 7 5- . t O t

c , p o i c h éC ' i B : n i a n r oA D E : 2 5 "

U ) e ( 3 ) r r e l i a( 1 ) o t t e C B A . s o s t i t u e r r c '(l o - A D E . d : r c r r iA D E : 1 2 " 3 0 / .

T E R Z AS O L L i Z I O N T Se il pnnto D giacesuÌ segrnentoHB (.ot'e11 è il piede dell'alclella tezza rclativa alla base ,48) e I)' è l'altra irrterseziorre t--ircorrfèrerrza di <'entro C e raggio CD con la base A,B. gli arctri corrisponclentiagli angoli al centro EC D' e DCB della srrtldetta circorrferenzasouo ugu:rli. poiché I'alrtezzzrCI1 è anclie rrrcdianae bisettrice. Pertanto l'angolo alla circonfèrenza D ' f r E è l a m i : t à c l e l l ' a n g o i oa l c e u t r u È Ò n ' c i o è r ' a l c 1 2 " 3 0 ' . In rnodo non clissiniilesi può r'edere che il ragionamcnto frtuziona anchese D gi:iceclall'altra parte rispetto aci 11.

E A

J-+

Soluzioni

ITCVY Z /

I)etta q la lapiione della progressione e indicata con / la iunghezza del cateto maggiore si cìcve avere

AC:l-q,

AB:1, BC:l*q.

Dal tcorema di Pitagora segue

(.t-q)'+P:(t+q)' da cui. semplificando 1 2: 4 1 q ,

I : 4q .

Dunque AC : 3q, AB : 4cl,BC : 5q. In conclusione,i triangoli cercati sono tutti e soli quelli simili al triangolo di lati 3, 4, 5. SECONDA SOLUZIONE Dette a,,ó. c le lunghezzedei segmentiin figura, si ha clie il raggio del cerchioinscritto è uguale ad a. D'altra parte, l'area ,9 del triangolo è uguale a

(l)

5:

I

-L ( c + b ) ( a- c 1

e anche (2) S:a(n+b-c). Se q è la ragione della progressione.si avrà 0+c-alb*q. da crri b: ottiene

tt* Q, c:

blr::alclq bt

q:

a * 2 q . S o s t i t u e n d o n e l l e f o r m u i e ( 1 ) e ( 2 ) e u g u a g l i a n c l o ,s i

1

^' ( 22a + q- ) ( 2 a + 2 q ) : a ( 3+a3 q ) , ( 2 a * q ) ( a+ s ) : 3 4 ( a + q ) . c t : e . D u n q u e A C : a + b : 3 q , A B : a + c : 4 e l ,B C : b * c : 5 r l . GEOP 28

Per ipotesi gli archi AAI e \I B sono uguali. Se ne deduceche gli angoli le U e XIDB sono uguali. Pertanto il segmento .EF è "visto" dai punti C e D sotto angoli uguali. Questo basta per c'onciudereche i punti C. D, E, F appartengonoa nna stessacirconferenza.

95

piana Geometria

29 GEOP

In base al lsoRnNtA DI TALETE i segmenti I H e LG sono paralleli alla base AB. l,'fa allora i-l quadrilatero IHGL è ut trapezio ed essendoper ipotesi inscritto in una circonferenza . e s e g u eA C : 3 ' I L - 3 ' H G : B C . I n e s s oè i s o s c e l eN modo arralogosi ottiene AB : BC. SECONDASOLUZIONtr I triangoli IHC e,,{BC sono simiii in quanto hanno I'angolo in C in comune e le coppie di lati adiacenti CI. CH e CA, CB in proporzione. Dunque Ia mediana CIl passa per il punto rnedio l[ di I H. Nfa il segmentoA ,41.essendoIa congiungente i punti medi di due corde parallele. passa per il centro O de1 cerchio ed è perpendicoiare a tali corde. Dunque C,4y'non solo è mediana del triangolo ABC. ma anche altezza. Ne segue imnrediatamente che ABC è isoscelesulla base AB (i triangoli AAIC e BLIC sono rettangoli con cateti r.rguali,dunque sono congruenti). Ripetendo i} ragionamentoper un'altra coppia i tre lati uguali. di lati ne segueche ABC ha necessariamente

'l

TERZASOLUZIONE Il centro O del cerchio giace sugli assi dei segmenti EF. HG.1.L. dr-rnqueanche sugli assi dei lati del triangolo. Il punto O dunque coincide con il circocentro del triangoìo ABC. Osserviamo ora che i triangoli isosceliO AB , O BC . OC A hanno lati obliqui uguali e che sono uguali i segmenti OE. OF, OG che esconodal vertice e trisecano ìa base. Tali elernenti individuano univocamente un triangolo isoscele:infatti, indicato con o 1l lato obliquo. con b il segmento O-E (con AE : : AB) e con îr ia semibasedel triangolo ,4O8. abbiamo o2_.2:h2_r{)t. \3/ la quale ha (at piír) un'unica soluzionepositiva. Ne segueche i trialrgoli O AB. O BC , OC A sono uguali.

QUARIA SOLLIZIONE Il problema si risolve agevolmente anche usando il calcolo vettoriale. Fissato un sistema di riferimento cartesianocon origine nel centro O del cerchio.siano A,l, individuano i vertici del triansolo. Si avrà allora o L n-

1

-

I

.a

.)

I

.t

b ,

F:

1 *

2 -

1 -

V i vettori che

2 -

5 o + 5 b , G : i b * r . ,

scrivendoallora Ie relazioni OE: OF : OG, si vede che i vettori i,1,7 modulo e formano fra di loro uguali prodotti scaiari.

hanno ugual

Soluzioni

GEOP 30

Il quaclrilatero ABL|'V è inscrittibile in una circonferenzache ha AB come diametro, in qrrarrtogli angoli AI; R e ,4lB solo letti. L'assecìellacorclat/l/ deve quirrdi passarc per il punto mercliodi AB.

GEOP31

Si chiarrrinoa c .?gli angoli che sottenclonolispettivamente gli archi ,iC e ib. il rnon.elt.q DELL',\NGoLOESTERNOal triangolo C H XIr, si ottiene

Applicanclo M1

c ù t ^ :, . t ' f t , u * . ì / r a ' ,:l ]' -z: z Ragicrrrarido in maniela, an:r,loga sul triangolo CKitI2. si otticne

a B 2 ' 2

CIiH-CII2K+lI2CB :

Qrrincli Cfrt; isoscele.

Cfrn

e di corrsegnenza1l triango\o CHK

ha clrre angoli uguali ecl i:

SECONDA SOLIÌZIO\tr Siarro o. 1i. 1 gli angoli alla <'irconferenzache sottendono gli archi îc . ln. .ln, ,ispettivanrerrte.Si condrrcala bisettrice CD dell'angoloAC B e sia E la sua intersezione +:. CîirE: { , , . s i c c o m er : r* r J * t - 180", si avrà 2 2 ' , 2 IIre E+CílrE:90". D r r n c l u el ' a n g o l oC : È x t r è r e t t o e c p r i n c iCi , E è bisettrice e alf,ezza del triangolctHC K. il quale pcrtanto è isoscele. c o n - À 1 1 r \ 1 2S.i h a 1 1 1Ò n : i

GEOP 32

Inrliclriamocon 7'.?'1.12 rispettivamentei raggi dei cerchi di cliametroAB, AC. CB. Per il rponnlre Dr Et.rcLrDE s i h a ( 2 1 1) Q r z ) : 3 . c i o è : (1)

rtr2

3 4

D'alt,rn parte (2)

11I

12:

7

L'area cercata è clata cla S:

s:;l(rr_

!Í' 2',

- r? - 13)e clunque.r-rsanclo (1) e (2):

3 4,"

,2)2-

Talc area ò chuiclue
@

A

C

B

ffi

A

C

B

+'*_

piana Geometria

GEOP 33

97

Poiché gli angoli AB1P e AClP sono retti. il cpr'rdrilateroAB1PC1 è inscrivibile in una circonfcrenza.e cirrnclueBlAP : Bte tP e Crip - CtÉtP (clato che essi insistono su uno stessoarco clellacirconfcrcnz:rsriddctta). A r r i r l o g a r r r e nst ei o t t i e n e C r f r p : C r î r P . s r E n : ,qte:rp, AÍ'P - AtErP, nt?p: 81AIP. P o s t oc l u t t q r rBcI A P : . r . P A C : : r ' . C : B P : g . P B A I : u t . A t C P : z . P C B r : z t . si ottiene:

CAn:r*.i:, .1ÉC:!/ta, ^ ; - , + : '' , \ B { : 1 : . L'L,ltlit : u

+.1:t

Se:,5::*zl BtCt,lt :.t

l

!J'

Riapplicanclo kr ste.ssoschenra plececlente si rictrr-a:

C z A z B z- z * y ' Cr,îrRr: rl t't .

A,.É,C'r:.r* :' BrlA, - I * :r' A ; 3 8 3 C 3 , : y + ! ).t B r G A r : z l . l

Ne segueche A3B3C;3è sinrile acl ABC. e'. piír irr generale.An' jBn*3C,,*3 è simile a . I , ,R , . C r , . GEOP34

Irrdichiamo con o. ó. r' le rette passaÌrti rispettivarnentepe'r A'. B', C' e parallele a BC. AC. AB. Le rette o. b o c a drre a due norì sollo paralleletra loro in qr-rantoparallele a i l a t i d i A B C : s i a P l a i n t e r s e z i o r rdei o e c : s i h a , | ' P C " : C B A : C'B'A'oppure A' FC' è supplenrentarecli C' É' ,,!'. Irr ogni casoP giace suìliLcirconfcrenzai circoscritta aclA'B'C'. Artalogalrerrte. si ragiona per 1eintersezionidi ri con b e di b con c.

Supporiianiodapprirna che ncssrrnaclcllcrette u. lt e c:contelìgadue vertici del triangolo A'B'C'. L'intersezionedi rr e b giace su ^, e sulla retta o. e non può essereA' per ipotesi. quindi coincidecon P. iÌ che ecluir-ale alla tesr. Supponiamo ora che uua retta. pr,r esempioa. passi pr.r un altro r.ertice del triangolo. per esempioC'. cioè P : C' . \,bgliamo dirnostrareclie ancirela retta ò passaper C/. La retta a. ìn rluesto caso. è la retta l'C'. cioè la sirnmctrica cli AC. ed è parailela a BC. Usando la simnretria rispettu a r si ottiene che la simmetrica di BC è parallela alla retta ,{fÌ. Questo significache la retta b è la sirnmetlica di BC. cioè coincide con B'C'.

98

Soluzioni

ntrng î(

Ovviirmente il triangolo A'BCt è ugrraleal triangolo ABC, quindi AtC' : AC e A'C'è parallelo a AC.

, , 4 Ne segue che la retta per B e per B', perpendicoÌarea AC per costruzione.è anche perperrdicolarea A'C', quindi su di essagiace l'altezza del triangolo A'B'C'relatir,a alla base A'C'. Se ,tI e A' sono ie intersezionidi queste rette con AC e con A,C, si ha À"8: BAI : XIB' e dunque l'altezza B'ÀI è pari a tre volte l'altezza BXI del triangolo originario. Come già osservatoA'C' : AC. te segueche l'area di AtBtCt è 3 volte I'area di ABC. GEOP 36

S i a n o 2 c , r2, 3 , 2 1 le misure degli angoii rispettivan-ientein A. B. C. Nella circonferenza p e r P , Q . C e R . la corda ,RP è lunga come la corda ÀQ, dato che sono viste da C sotto lo stessoangolo. B

A

C

L'arrgolo PfrQ misura2(a*p) poiché è supplementaredell'angoloin C. Da questo si ricava che gli arrgoli AFQ e nQf (cne sono uguali) valgono 7. Applicando il rooRElrA DELL'ANGOLOESTERNOai triangoli Bep e Ape si ottiene CQp : 0 + I e CFq : a + ^t. Sommandotutti gli angoli del quadrilatero PÀQC si ha 67 * 3ci 't 3li - 2tr , dunque

3 ( a+ 0 + 7 ) + 3 t : 3 I * 3 1: 2 n . z

da cui 1:I GEOP37

e q u e s t op e r m e t t ed i c o n c l u d e r ec h e P R :

RQ:

vEt o rl

Indicando con ,S l'area del triangolo ABC. e con ,94. ,9r e ,5c le aree rispettivamente ciei triangoli AC' B' , B A'C' e C B' A' , si ha che (1) d.S':d

(S-Sa-SB-Sc) .

Siarron. ó e c le lunghezzedei lati del triangolo: utilizzando la relazione,l:#, diviene

(2) d.s' :

abc

2S

, ( s - s a * s 6 - 5 c ):

abc

2 '

t1

5,r

S

56

^ 9

,9c.

S '

la (1)

99

piana Geometria

\

E possibilecalcolarel'area di un triangolo rloltiplicando il prodotto di due lati per il seno clcll'angolotra essicornpresoe dividendo il risultato per 2. quindi AB' .lC'

q . -

sel n

q - -

BC' .BA' sen ,J

2 q -

o..rse3 n 2

b . c s e nn

q-, :

CA'.CB'senl

'2

a.óseni' 2

Sostituendo queste espressiorrinella (2). facendo attenzione a far cornparire lo stesso ansolo in ciascurradelle frazioni. si ottiene rrr

1 -j, d.r

nhr'

(.

AB' . .1C'

BC' 'BA'

2

\'t

h,

*

a1 )t

. î'Rt\

a

,

0

ì /

t

-

L, a . A B ' . A C ' - b . B C ' . B A ' - c : ' C A ' ' C B ' ). ,(".tt.c-

:

Poichéo : B A' + C A' . b : AB' + C B' . c : AC' + BC' . sostituendonella (3) si ottiene

(4) O t':

(

A B , . C A ' . B C ' -r A C ' . B A ' -C) B ' \ 2

Osserviamoche fino a questopunto non abbiamo utilizzato f ipotesi che AA'. BB' e CC' abbiano un punto in comune. quincli la (4) può essereutilizzata per calcolare ,5' comunque siano fissati i punti A' . B' . C'. ciascunosu uno dei lati del triangolo. Per il reoRnNf A DI cE\A si ira che se le rette AA' . B B' e CC' hanno un punto in comune (in tal caso le tre rette sono dette ceviane).allora C A' BA,

BC'

.AB'

,1C,-' gagl

: t '

cioè ( 5 ) C A ' . B C ' . A B ' : B A ' . A C : '. C B ' Sostituendola (5) nella (4) si ottiene d.S' : AB' .CA' 'BC' : AC' .BA' .CB' . che è la tesi. GEOP 38 ii l II

I

I

& { tì !

L-_

Sia 11 il circocentrodel triangolo ABC. II quadrilatero PPcHPB è inscrittibile in una circonferenza.avendo i due angoli opposti in P6,.P6 retti, e PI1 è un diametro di tale circonferenza. Poichè il triangolo PHPA è rettangolo. ne segueche il punto PA appartiene alla predetta circonferenza e drinque I'angolo PBPgPs. che insiste sulla corda PBP,1 è uguale all'angolo puFp^ il quale è a sua volta uguale all'angolo ,qe B ael,triangolo cli partenza. in quanto PBP è parallelo ad AC e PPs è parallelo aCB. D u n q r r e l ' a n g o l o i n P c d i P a P B P g è u g u a l e a l l ' a n g o l o i n C d i A B C . A I I os t e s s o m o d o s i

100

Soluzioni

veclechc l'angolo iri P.a è ugrrale all'angolo in B e che'l'angolo in P_aè uguale all'angolci irr A. ll triarrgolo PaPBP6'ha clunquegli stessiangoli di ABC e quincli è acl essosinrile. Pcì

GEOP 39

Partt: a) Sia 1/K la corda conìuneai clue cerc'hie sia ,11il suo punto di intersezionecon la rett:r dt A. B. C. D. Siccornei triangoli AHC e BHD sottrtlettangoli. per il seconcloder TEORENIILII BLiCLITIE si Ìia Af,I. lIC :

HlI2 :

BtI .tID

.

chc si prrò r'iscrivcre:

( . A C- M C ' , )] .I C : ( B C ' , -M C ) . ( C D+ r r c ) e c l u r r q u ee s, s e n c,l4o9 : i ) . A 8 .

BC:2..48.

C:D:3.A8:

( : t .A B - t r c ' ) . \ r C : ( 2 . A B - t / c ) ( 3 , A B + t r C ) che eqr-rivale a

3. AB , }]C :6. AB . AB - .48. ]IC ciciè IIC :

3 ^.AB . '2

per cui 11 è il punto nrecliodi ,4C. SECONDA SOLI.TZIONE

P o n i a m oA B : 7 . r : B I I : p e r i p o t e s is i a v r à B C : 2 . C D : 3 . Per il secondo teorema di Etrclideapplicato al triangolo rettangolo B H D sí ha H ]I'2 : ;r . (5 - r). Per il teorerla cli Pitagora applicato successivamenre ai triangoli rettangoli ,4IrC.,4Hil . H\IC: ACz :9:

AH2 + HC2 :

AtI2 + lIC2 +2. lIH2 :

( 1 + . r ) 2 + ( 2 - r ) 2 + 2 t . ( . 5- r ) : 5 + 8 : r . d a c u ir : 1 1 2 . H,/t'

alt ,/ ll -----*-

8\ ,

\

K

/'

101

piana Geometria

TERZASOLLiZIONE Si prenda un sistema di riferinrento cartesiano a"'ente l'origine in C c asse coinciclente c o n l a r e t t a c h e c o n t i e n ei - 1p u n t i d a t i . P o s t o A B : I . s i a v r à a l l o r a A : ( - 3 ' 0 ) ' B :

( - 2 , 0 )c, : ( 0 , 0 )D. : ( 3 . 0 ) . Le equazionidei cerchi aventi diametro AC e BD souo / \'*

3\ ,/

2

g - s . -, : j .

, s, - _ 2 í t

l\2

/

lr_;)

a

\

croe

f+a2-r-6:0.

x2+!l2f3r:0.

Sottraendo membro a mernbrosi ha -k: + 6 : 0. cioè:r : intersezione.

-312. l'ascissadei punti di

Parte b) Inclichiamo nuovarnente con l/K 1a corda comurìe ai clue cerchi e con '1,1il punto di intersezionecon la rertta data. Sfruttanclo il TEOR.E\'ÍADELLE SECANTI,applicato alle circonferenzepassantiper A e C c per B t'D, sì ha che AXI'MC:

IIH'IIK

Ne segueche A,r\1.lIC

B\l

.

: BII .IID

IID:

IIH

IIK -

e la conciusionesi ottiene come nella parte a).

TJ\

A ,/'

1\c B\\

SECONDA SOLLIZIONtr Proccdenclo corne nella terza soluzione della parte a). si trovano le equazioni dei cerchi

per.4.CcB,D ., g 3\2 / , ttu -n )'- ;* u' (t-;l I -/ \

25 , t / { J ' -;)' + Q - b ) 2 : 4 +b" \

ove n, ó sono numeri arbitrari. Semplificarrdo:

. r 2+ ! J 2* 3 ; r : - 2 t t y : g

: r 2+ ! l ' - x - 2 b y

-6 - 0

e sottraenclo merlbro :r rnembro si ha l'equazione della retta passante per le due intersedi tale retta cott zioni: 4.r -2a@ - b) + 6 : 0' Ponendo 9 : 0' si ottiene l'interserzione -312. : l'asseclellcascisse:r

GEOP 40

Parte a) Si denotino con,9 e,9'le aree dei triangoli ABC e AtBtCt e si consideri il triangolo CC'B'; la sua base CBtè pari a (l - Lln,)CB e, per il TEORENTA Dr TALETE, Ìa sua altezza C'K è pari a (1/n) AH. ove AH è I'altezza del triangolo originario.

B

B

H

DunqueI'areadi CC'B'è egualealln(I-Iln)5. dei triangoliAA'C' , B B' At . Dunque

K C

Arralogaconclusione valeper ciascuno

,S': S - Area(CC'B')- Area(, A'C') - Area(BB'A') : "9- "1t - 11S . n n , cioè

s'

-

3/

l

I

5

1\

I

I

n \

n/

e con questo si risponde alla prima domanda. SECONDA SOI,I-IZIONE

;.trpossibi.te stiuttarela (4) del problemaGEOP37. la qualecon i simboliadottatiin questo problemasi legge:

d.s':(

AC'.CB' .BA'

+ AA' . B B ' , C C: ) ^

2

\

da cui

* ) ' + a b c( j ) 3 ed infine, semplificando l'espressioneprecedente, (,-;)'-

;:

(;)':

-;

('-;)

Parte b) Preso un riferimento cartesiano ortogonale. osserviamo che le coordinate del baricentro di un triangolo sono la rnedia aritmetica delle coordinate dei vertici. Dunque. posto A : ( r t , t / 1 ) .B : ( r z , y z ) , C : ( r e , 9 3 ) . a v r e m oc h e i l b a r i c e n t r od j A B C h a c o o r d i n a t e gi*y21rr1

(rt+.t:zlrt

\

3

'

z

)

D'altra parte le coordinate di A' sono ( \t'

*

t,-rt ,

. r / z- g r \ ur+-)

e analogamente le coordinate di B' e C' sono (

,z-r,

\"'+-'g

,r*gs-vz) n /

,

( r r ,* \

/1*ir3 -. ,lrr-rrl 'a3+/ "

t

103

Geometriapiana

Dunque il baricentro di A'B'C' ha coordinate

1 / 5['t+12+''3+

r /

.Ì2-Í'

J'2-.rlr.t3

-,"t\

- ) :

Íti.IZ-tÍZ

3

n

-Ys\

9 z - A t - f Y z - 4 2 + 9 1- )

5\vt+Y2+a3+

: - .Y = -r -+- Y . 2+43 iJ

e quindi coincidecon il baricentro di ABC. SECONDASOLUZIONtr È noto clie il baricentro di un triangolo divide le sue rnediane nel rapporto 2 a 1. Consideriamole mediane Ar11di ABC e At lI' di AtBtCt e dimostriamo che il loro punto di intersezioneK divide entrambi tali segmentinel rapporto 2 a 1. cioè (1) AK:2.KXI

, A'K:2'KXI'

Avremo così provato che K è il baricentro di entrambi i triangoli.

A 8 ' M B " C punto prendiamo B//, simrnetrico di B/ il BC lato che. se sul Allo scopo osserviamo rispetto a ,41.avremo che .t CB,, ::_CB e quindi it ,.1*.r-rto C'8" ad AC e quindi

èparallelo al lato AB. Per lo stessornotivo Btt At èparallelo

C,8,, : AA, in quanto AAtBttCt è un parallelogrammo. Allora il segmento ,\1'r'f1 (che congiunge i punti medi di B'C' e di B'8") è paralìelo a C'8" ( e quindi ad AB) e ha lunghezzapari alla metà di questo. In conclusione: r\1,\1/ è parallelo ad AA'. MXI| : (ll2)C'8" : (I|2)AA'. I triangoli AAt K e X,IÀ.1'K sono dunque simili e con rapporto di similitudine uguale a 2. Ne seguono 1econdizioni (1) e quindi la tesi. TERZASOLUZIONE \ FEF I N E( a d e s e m p i or r r r ap | o i e z i o n so r t o g o n a ì es u u n p i a Tramiteuna TR.\SFORNI-\ZION no oplror-tuno)il tliangolo ABC può esseretrasforrnatoin rin triangolo equilatero DEF:

104

Soluzioni

rr '-"' +i - rtt 2D't/-'t -'^--^-no \t-ttdltl L trasformati nei punti D'. E'. F'e. siccorne le trasformazioni affini lrlrlrlr nìàlìtengono i r:ipporti fr:r i segrnenti di una stessa retta. avremo che .

DD, ::DE t1

l

, EÍ],::

t

It

t

EF . FF, ::FD t1

.

Allo stessornocìoar-renrochc i barice.ntridei triarrgoli ABC. A'B'C'sa.ranno trasformati rrci rispettir-i balicentri ciei triangoli DEF. D'E'F'. \la i triangoll lttDD' . D'EE'. E ' F I ' - ' s o r r or i g u : r l i( p t ' Li l p r i n r o c l i t c r i r , , l i u g u a g l i a n z ae) d r r n q u cD ' F ' E ' ò e c l u i l a t e r o e Ira Ìo stes-sci iraricentro) cli DEF. circocentlo (e cluindi 1o,.tessci c)t.:_\RTASC)LUZrOl'Itr ll baricentro di un triarrgolocoincicìecon il cerrtrodi g,i'r'rr-ità cli tle pesi uguali posti nei veltici. Ponianrodunque 3 pesì r-igualinei puriti A' . B' . C' e divicliarnociascunodi essiirr gli n picrcolipesi posti in C': se n parti ugr-Ìali.Prcncliarrroacl esempioin consiclelazione spostianrourto di querstipe-sincl purrto C'e. i riruarrenti (n - 1)nc.l purrto A. il centro di g l a ri t i r r l i q r L c s l o : i : l c n r à L i r r r a r ri ron c o r ai r r l - ' . A l l o s l l s s u r r r ol ,o l ) r u c e d i a r ncoo r ri p c s i posti in A' c B''. abbiarnocosì ottenrlto rur sistemadi 3 pesi rlguali situati in A, B. C che h a l u s t H b s {(rr . t ì f1o d i . " r . ' i t à , l ^ ì . i - t , ' " ' . ' , , ' i g i r r a r i u .

A GEOP41

ll l)unto (-" ò rlreÌ prurto cìcll'iirr,u BiD

tale tla renclclc l',rrc,, CiB ugrÌale all'arco C'D e

r i r r n lp r u t o t a l c c h c A ' B : A ' D . anaìog:ìmclìte,4'è nell'arc,, nt'n Quincli A'e C'sono rliarnetrahnerrte opposti e. per lo stesso nrotivo anche B' e D' lo sono. Questo permette cli corrcluclerc che A', B'. C'. D' sono i vcltjci rli rrrr lettangolo e, che le cliagonali di talc rcttangolo sono perperìdicolari a quelle clel clraclrilatero rli partelÌza. Qucst,, rt'ttangolo ò un qrradr':rto sc c solo se /'C' è ortogorrale a B'D' e ciò a\'\riene esattalnente cltiando BD è ortogolale ac1-,1C. Dunqrie. i cluarlrilaterl ABC D che generano un clritrdrato sono
rettarrgoli.

B

A'! C

42 GEOP

Pcr ogni prrrrto P irrterno al trialgolo --IBC si ha P'4 ( f. in quanto P è interno al TRIANCIOLARtr cerchio cli centro A e'raggio f . inoltre. per la DlStrClU-\GLIA;,r..Z-{ applicata à i t r i a n g o l oP B C . s i h a 1 < P B + B C . d a 6 1 1 i : e g u c

P:t
105

piana Geometria

Per aflìontare i:r secotrclaparte plor-iarno prc'litninartnente il seglrente risulttrto; st. ARC ò un triarrgolo cli g,ttttcENTRo G e P è uu puntci del piano cui apparticrie allora si ha (1)

P,t2 + PR2 + PC) - G.{2 + GB'2 + (}C'2 +:lPG'2

Irrfatti. per il rconr-\t-\ I pA2 + pB2,-;c2

LrL.LL.\\IEDL\\.\.

+2P)I'j

si htr

.

ovu . t\ la lnnghezza di -.lR e -113è il printo ncclio cli questo lrito. Per la ge'neralizzzrziout' CG : 2GlI:i. si ar-r:i allcora cli detto teorcrìriì. esserulc., 2P lI: + PC':2 - :lPG2 r 2G )I:

+ C G2

drrrrque

1 , ( - + 3PG)+ 2G)Ii + C'G 2 . ,- 3 f ( , ' -- - - ^ ( l" . \ r ì- l l r - ì / ; -1('9 : i 2 .. ,) l , ) ( - -r 3PGr + :C11.' .

PA2+PB2+PC')

t

.

l

"

\I:i poi. nuo\-anrente pcl il teciretna clelìir tnt'cliatta: -

('\1,

t

lr2,,r-ll,i

,i,

e quirrrli P.4.2+ og't ', PC)

1(n' * 1,2- c,2,)- iJPG2 3' G_-12 _ ClB2+GC,2+:lpc2 .

A

M3

B

L a ( 1 ) è q r r i n r ì ic l i n r o s t l i i t a . Si effettLriora ltlìa rotazionc di 60" attorrro zr1r'crtice ,'l itr nroclocla porf are il vertice B in C. sia P1 la rruor-aposizioneclelllurto P. lÌ triangolo -'lP& è un triiirrgoìoeqnilatcro. i Allo stcssonioclo si eflèttuilo clcllerotazioni di 60" attoruo a B e a C. iuclividr-rando purrti 1).2e ,el c i triangoli eqrrilzrte|iBPP2. CPP3. Ciascuno clci triarrgoli PP2,1, PhB. PPlC è: corrgnteute:r1triangolc; ce'rcatodi lnti P A. P B. PC (ac1cscrrpìoP P1 : P-{ per costruzionee P1C': PB perc}róP1Cl è ottenuto claPB trarrrite una rotaziorre). JP1CP3BP2 ò i1 cioppiodcll'area dcl tlialgolo di palterrza.'si I'areiLclerll'csagono Sicc.orrre avrà che l'are'a5 cefc'ataè tale che

r * -j f

p t - p R : * p e : t !: ,j

e per qlianto visto rtella partc plecedcute si in'r:ì

L-

s'

4\/:l

#

:

t--

#,'

t r - p A 2 _ p B 2 _p c r )

,'- (Gt2+ GB2+ ctc) )- 3' t2)

| - : t ' t 2 t' _. . / ,

SECONDASOLUZiONtr Supponiarno.per fissarele idee. che il punto P sia interno al triangolo AGC.Indicando c o n d l ' a r r g o l o A G P .p e r i l r E o R E \ t A D r c . { R N o T a p p l i c a t o a i t r i a n g oG lipA.GpB,GpC si ha che AP2

1 2,t d2 + |/ - \|2 -cosu \/3 \ /3/

BP2

/ 1 \2 d.2+ ( ; l

CP2

/ 1 \ 2 - .2,1 d2+ cos{I'20"- ùt . (=i

\\,,),/

:

2d ^"o.1120'-Li).

VJ

Utilizzando la FOR\IUI--\ DI ERO\E t

_

- 2 ( a 1 - t b a+ c - 1 1l(o2 +b2 +rr),

(1) S:

è possibilecalcolareI'area S di un triangolo note le lunghezzedei lati a. b, c. Non avendo ancora dirlostrato che i segrnenti,4P. BP. CP possolìo fornrare un triangolo. non è possibilecalcolarne1'area.rna è possibilecalcolarel'espressionesotto raciicenella (1); il segnodi tale espressione fornirà la condizionedi esistenzacleltriangolo. PonencloAP : a. Bp:b.

cp:

c. u:

r I 2+ 1 , , , : 4

t

J

.i ottiene

s

(o.2+ b2+ rt)' : ed2 * 1)2: 9,,: a4

(u - t, cos d)2 :

bI

, r * 1 .."2. t r r ,-

u2 I r,2cos2 d - 2ul cos ri '',f3 2

s e-n i rJ ,l 2 -

t.2 3r.2 2 , 1 s c n 2 2 ù, - u t ' c o s i l * u r . V/ ;S s e r rù - ; " u t . \ , 4 c . s / s c t r ,. ., .t2d ,cos2ù-

r (--

r'

,

.,2

: "'

*

.

,,fS

.,,

r.,2

î.or2,9+ |

r u " ' d + u l c o s t / - , , r v € r " , ,ù -

u t ' tt ;t r ' cosusetìu 2

Svolgendole somme e ricordando che sen2 d + cos219: 1 si ottiene: ( 2 ) ( o ' + b ' r r : 2 ; 2- 2 ( o t + ò 1 + c ] )

:

g u 2 - 6 u 2 - 3 t , 2: 3 . ( u 2 - r , 2 )

z . ( a ,r-/ 1 -) " 0 . \

Quindi è possibileformare un triangolo di lati AP. BP. Cp:l.a (1) e la (2) permettono di calcolarne I'area ,9. ottenendo: q -

1-3d2

4vtr che non dipende da tl. Si nota inoìtre che quando il punto P a,ppartienealla circonièrenzacircoscritta ad ABC si ha d: quindi A:0. c i o è i l t r i a n g o l o d i l a t i A P . B P , C P è c l e g e n e r ee. u i n d i \ /ró; , abbiamo dimostrato anche che la somma di due corde che formano un angolo alla circonferenza di 120" è uguale alla lunghezza della corclache biseca tale angolo (confrontare col p r o b l e m aG E O P 4 8 ) .

107

piana Geometria

43 GEOP

Parte a) Siano a, 0, l g\i angoli in A. B. C del triangolo assegnato. Dette A/. B'. C'le intersezioni delle bisettrici in 14. B. C con Ia circonferenzacircosclitta f, per il rooRnlta Si AVTà DELL,ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA.

B,?C,

:t . l :r.

Siccoma e+B*î

B,A,C,: A,E,B,: ^r í\t tr ( b A :

a i J A,C,B, : - + 2 2

a1t Dt

Al

lì

2

'r

2

siricava:

T * A ó

z

r

r-^l a

z

,

T*iJ

2

Se ne deduceche gli angoli di At Bt Ct sono tutti acuti. Viceversa.ricavandoa,3,1dalìe relazioni precedenti,si vede che ogni triarrgoloacutattgolo è ottenibile nel modo anzidetto. Parte b) Detta 1{ I'intersezionedi AA' con B'C' si ha

t B ' u :| . B ' A :Ai' * 7 , retto. e B'AA'sono complementarre quindi lÈs'è clunquegli angoli lB'n Allo stessomodo si vede che CC' è perpendicolare ad AB e che BB' è perpendicolare ad AC. Dato r-rnqualunque triangolo acutangolo A'B'C'inscritto in l, essoproviene.tramite Ia costruzioneindicata nel testo. dall'unico trianqolo ABC che si ottiene dalla intersezione delle sue altezze con il cerchio I' '#,dunque ' Q

44 GEOP

Si tra. ad esempio,ht, :

: rt (i.i.:) ( 1 ) , , h r ,bl h *, c l r o \.{a. ricordando la DISEGUAGLIANZA FRA LE N{EDIE aritmetica e geornetrica, si ha

-L l l -a + - ó+ - cl \> o l 3 \ ó ,

b

c

1

vaiendo l'uguaglianza se e solo se

(2) Ciò prova che il primo membro di (1) è sempre maggiore o uguale a 6,9 e che I'identità si h a s e e s o l os e v a l e l a ( 2 ) . D'aitra parte cla (2) seguefacilmenteo,: b: c.

GEOP45

l1l ulÌ opportuuo PIANO C:O\IPLI.ISSO : : .r + i y i vertici di un ettagono regolare iriscritto nc.ll:r circonfcrerrza cli raggio 1 sorro clati c1a

tÀ:c,rs

'2;l.

'2;A

_--isr'tt t

_

A '- l ) . 1 . . . . . C

l

ll erviclentc. : zT,ti.k d:tlla situnrctritrrispctto all'assel'. chc.?À. iì c'onrlrlcsso conirrgatocÌe1nrrrnc.rocornplesso:. Nc segur:: ,,-) | -lB- : i:u t-i)

,)('. :

.6, ove 7 denota

,) : 1 1 -: ( : 1 1 : 1 ) ( : 1 ,r - . 1 ) : ( : o - : 1 ) ( : s - : 6 )

i, - i2, )

(.zo_zt)(t:)

, - ) , , t , 7 D ' : l : 1 ,- : ; i - - ( : o - : g ) ( : 9

:

(:o_:z)(:o

:5)

:t) : (:e - .23)(:6 ,t)

Si verific'aquinrìi che. dcfinenrlcr P ( t : ) : ( . r- ; 1 ) ( r ' - , : ) ( . r- : 3 ) ( . r - : 1 ) ( . -r :: 5 ) ( . r - : 6 ) , l'cslrressiole cla c:rlcolareè rrguale f Pt;a) : \rO(f). " D'altra piute. talc polirroruioè atiche c.l:rtocla 1 - 1 7

P ( . r : ): -

I-.rl

: 1 * . t + . r 2 + l r 3 + . r ' 1+ r i ' + . 1 6 .

i r r f r i t t i t a l c p o l i r t o m i o h a g r a d o 6 . h a c o r n e rl a d i c i : 1 . . 2 . . . . : 1 ; . t e r n r i n e u o t o u g u a l e a I er rltrinrli c:oirrciclecorr P(.r) per i1 t'ntlctIPlo DI TDENTII-A DEI poLINoNII. Si Ìra clunque P t l r - 7 . \ e : r . g r r o , l r r ' - {.R4 ( ' . . \ D : J ; Si tioti c:hc. t'ort ragiontrrnento clel tutto arralogt-rsi pro"a che per ogni poligono regolare cii 2ii * 1 lati ,{11-.11;1 2...,12,, iriscritto neìltr circorrfcrenza cli raggio 1 si ha ' 411 A 2 1411.4

GEOP46

A0,4,,: tttrr-t 1

Diutostri:rurola tersinel r:asoclelpentagonorcgc,rlare e nello stessotcmpo nrostriamoche il a) ha risposta trf{cltnatir-a.Se rur pentagolìoconvessoha 5lati di uguai lunghezza 1>urrto l. allortr.sr.'/r;. i : 1..... ir. rtrppresentanole distarrzedi un prrnto P iriterno al perrtagono ilai lati (o tl:ii loro proltttrgarlenti).si ha cirr:1caree A; r'ieitriarrgoli aventi vertici in P c lati coinciclertticoi lati tlel perìtagonohanno conre solnma 1'arcadeÌ pentagorÌo.e cluincli si ha: A r e a : A i f - . l z* - 1 , r - l -- { , + J ; : f i l , , * h z - l h ; 1 * h a - t h 5 ) z e qncsto dintostra clte la sotnrna dclÌe distanze è indipendente dal punto P consiclerato. \Iostri:lrrro ora cherarrcheril punto lt) lia risposta aflèrrriativa. Basta ossern'arc che se abbiarno un pcntagono colr\.esso at.entc tutti gli angoli uguali. trasl:lttckt oppottìnanìente le rette su cni giacciono i lati si può ottcnere un pentagono regolaret. (luesta operaziottc cli trasl:rzione altera la sornma deÌle distanze di uu punto intr,rrno ai lati per un:l costarrtt' e quirrdi. per la dimostrazione precedente. abbi:rmo che la tesi -u':ilearrclic nell'ipotcsi clie i1 poligono abbia angoli uguali. L:r prirna delle ciuc figure segrrenti mostra appunto come può esser-etrasfornìato un pentagolto avetlte i cinclue angoli uguali irr un pentagono regolare: ln seconda mostra che la tesi tron vale pcr tritti i pentagorri corrvessi.

109

piana Geometria

Per esempio. se a ptrrtirc cla un perìtagono rergolalealtcli:urro un solo lato (il lato,ED clella fignra). al -u'aliareclel prrnto P srrl segmento lC si htL che l:r somrna delle srre distanze dai ,1 lati AE. AB. BC. CD rirnane costante iu r-irtìr cli quello che ò stato dirrtostrato per i perrtagoni regolari (in qr.ranto rinane costallte l:r cllstanza cli P
c1iurÌ punto P clal lato ,'lrA:

si pnò scrivere come il

pRoDorro

PA1 ove - (P) inclica il versore perperndicolare trd ArAz scALARE 4t.f1 uscente cla P. La sonìma dellc clistanza cli P clai lati sar'Èrdttnclrte lr

S l P t : )/ - ' "r-. r P \ P , l , ;

l

e per un altro punto P/ iriterno . ,

i

Qr rr P t ,t -

.

\-

t

/ _ , t t l

al fatto cìre i r-ettori et (P) e 4 (P') Ìranno stessa ove l'ultirra uguagliiìnziì è dor.r-rttr direzione. \'erso e modulo. La quantità S(P) sar'àclunciueindipendentccla.P se i

/\ t1/ \

n r , - q J/ \ P r t /- Q Jl \Pt ' - l

-

\/-

1 t . e 1( P l , - p z , t : l l , t r 1

ii'

:PP'(..t+ó+,ì+.]+4t ove con { altbiarno brer.'ementedenotato il versore perpenclicolare al lato l;A;*r cla un clualunquc prulto P interno al pentagorto. Poiché PP'è

us{:(Ìnte

cl.ralunque. Ìa (1) è soddisfatta se e solo se

r - f1 e l 2 - , ; + , r

':-U.

ia qu:rlc ò dunquc corrclizionenecessaria e sufficiente'aflirrché S(P) sia inclipertclentecla P. Tale conclizione può leggersi anclie cliccnclo clie la spezzata costituita clai versori ,r.;, è chiusa. e ciò è certanrcnte vero se il pentagono ò ecpiangolo (il pentagono clei versori è regolare) o anchc dicerclo che (2)

l1+12ll.tn11-/.-tt

ove Ir sono i versori nella direzione dei lati del pentagono originario. La condizione (2) è certamcnte verificata se il pentagono è ecpilatero. nìentre è altrettanto chiaro che non è detto chc sia vera se il pentagono corìvcsso è qualsiasi.

L

114

Soluzioni :

GEOP 47

Per il rnoREN{A DI TALETE i segmenti L[2L,ft, llfiM1, A,IIluI2 sono paralleli ai lati del triangolo, quindi per similitudine si avrà 1 1 . - I l 2 A t 1 : '. o . 2^ 1 3 r 1' 1: r ; ó2.

. \ tA1 A I 2 :

1 ,,

.

M j a

I quadrilaterr AII2O]th, BI\"hOL'It. CXIIOIIz sono inscrittibili in quanto hanno, ciascuno, due angoli opposti retti. Per iì TBOREN{ADI ToLo\,fEo si ha allora: l l l '^ o R2 : ' - b, . O 2^ l j - " ^ c2. O . \ t : , , 1 = ' b R2 l ;cR : 2 '

'

1 - =1o ' O A l t , 2 l"- = c2' O A [ t . t l ) a . O A I 2- : b . O . \ I t . , 2 2

Se p indica ii semiperimetro del triangolo e r il raggio del cerchio inscritto, si avrà anche 1 1 1 + : b -. O ] '1 2 - , ) c .2O X I y . -p . r ': ; u 2 . O' I [ 1 2 Sommando le quattro relazioni precederiti si ottiene p . R + p . r : p . O l , h - f p . O l r I 2 - l p . O X , t s. e, semplificando per p. si ha la relazione cercata. GEOP 48

La prima identità seguedal TEORENTA DI ToLor\4Eo applicaro al quadrilatero APBC. Infatti si ha AP.BC+BP.CA:CP.AB. ed essendoAB : BC: CA seguela tesi. Per provare la seconda identità, si prolunghi il segmento AP e si prenda su di esso un punto D in modo che PD: PB. C

Il triangolo PBD è equiiatero: infatti nFl t supplementaredell'arigoloin C e quintli misura 120o;ne segueche BFD:60" e quindi PBD. essencloisoscelee con un angolc-r di 60o, è equilatero.

< a a t t l

Geometriapiana

I segmentiPQ e DB sono paralleli infatti, per il rnoRnrr'tADELL'ANGOLOESTERNO,si ACQ. Ma 4CQ : ABP. in quanto tali angoli insistonosullo stesso ha che fQl:60.+ * A B P : A B D . S e n e d e d u c ec h e i t r i a n g o l i A Q P e A B D a r c o . N e s e g u eP Q A : 6 0 " sono simili. da cui

DB PA

PA+ DP DA P A P A -

1

DP P A

-

-

Dividendo per PB (che è uguale a DB e a DP) si ha la tesi. GEOP4g

Indichiamo con I la lunghezza del lato dei pentagono regolare e con d qr-reÌladi una sua diagonale. Per il reoRpNrA DI ToLoN{Eo applicato ai quadrilater\ APBC e APBE si ha: (1) l'PC (2) t.PE

:

l'PA+d

PB. E

{'PA+I.PB.

rnentre per lo stesso teorema. applicato al quadrilatero AP B D, si ricava (3) d'PA+d'PB:l'PD. Sommandomembro a membro (t) e (2) e tenendoconto di (3) si ottiene il risriltato. GEOP 50

Sia P un poligono regolare di n lati con i vertici LIi : (ai. ó1) che hanno coordinate intere. Il poligono Q di vertici q, : (nai. nó,) ha centro in un punto O che ha coordinate intere. Tramite una traslazionesi potrà supporre che il punto O sia I'origine. Si supponga ailora di avere un poligono regolare P di n lati con vertici a coordinate intere e centro nell'origine: fissato n (cliverso da 4) si scelga un poligono P che ha tali caratteristichee lato minimo, siano P, : (.ri, A;) i suoi vertici. Posto Qt:(ri+t-Í.;, !J;1r-yi). i:7.

2....' 2-1

Q":@t-rn,

!J7-Un),

ii poligono Q di vertici Q; è regolare. ha gli n vertici con coordinate intere e ha centro rrell'oriqine. Se n > 6. i lati di Q sono strettamente minori dei iati di P e ciò porta a un assurdoin quanto si era supposto che P fosse il poligono di lato minimo. 01

02

-At), S e n : 5 , i l p o l i g o n o c h e h a v e r t i c i i n P l , P 2 . ' . . , P s e Q r , Q z , . ' . , Q r , o v e: (Q- t1, , è impossibile' è visto, si il come intere. che , è regolare.ha 10 lati e ha vertici a coordinate Se n : 3. una identica costmzione consentedi ottenere un poligono regolare di 6 lati con vertici a coorclinateintere: nra se questo fossepossibile ruotando i vertici di tale esagonodi 90" attorno al centro si otterrebbe un poligono regolaredi 12 lati con vertici a coordinate intere. il che è assurdo. Ciò concludeanche per n:6. Si conclude cluindi che i quadrati sono i soli poligoni regolari che possono avere i vertici a coordinate intere.

-ò-_

_

t12

Soluzioni

GEOP51

Irriziamo col climostr:rre la segrientt'"proprir.tà ottica dell'ellisse''. Per ogni punto P di rrrraellissedi frroclii Ft. Fz ì a l l t t ; r t ; r r r q c r r ti rer P I o l r r r aa r r g o ìri r g r r a lci o r ri s r . g r r r , ' nFt il P e f)P.

-//^'1, '/b r ' 1

F

h t

2

F,

Sia irrfatti ó la bisettricc c1iF1 PF, . sia f la sua pelpencìicolareirr P. Se I avesseuua rtlterioreintcrseziotreQ c'onl'cllissesi consicleriil sirnmetricoF/ di F2 rispetto a f : poiché i dire triangctli PF2Q. PF'Q hanno i tre lati uguali (la retta I è assedi FzF') essi sono rrgrralie cluindi QFf' : QFfr. i1 qirale pcr ipotcrsiè uguak: a nît. Ne segueche i punti Ft. P.l-' suttt.rallineati e tlrrirrdiper lzr DISECìITACILIANZA TRIANGOLAREsi avrebbe I-IQ + QFz - trtQ i QF' > hP rìrcntfe.esserrclo P t\Q + QFz:

"

+ PF' : F\P + PF2 .

si ha Q punti clell'ellisse.

Í'rP + PF2 .

Abbi:rnroc'osìpror.atocho là retta f ha lur unico punto in comunecon l'eliisse.quiridi ne è lii tiingente in P eclessaforma angoli uguali con le rette che congirrngonoP con i frrochi. Tornaltdo orrr irì problertrainiziale: la condizione che una cllisse ruoti srrll'altra senza strisciare fa sì che acl ogni istairte le cluc ellissi siano fra loro sirrrrrretriche r:ispctto alla retttii t:urgenteari esst'rrel Prrnto I rli rnugcnzaconìLtrìe.

Per la proprictr\ rlinrostratain preccclcnzasi h a 4T I:t : P"7'3

nîr;: riît

e per la sinunetria tali arrgolisono tutti ugrrali fra loro. C,liòsignifica chc F1 . T . F; sono allirreati: cl'altra parte fF j : T Fz e quindi il segrnento f 1Il trn hurghezzac:ostante(in cpr:rntoF Tt * T F2 : costatrte). Dunquc' Fj descrive urra circonferenza di centro -F1 e. arralrigantente,Ff descrive una circonfer-cnzacli centro Flr.

113

piana Geometria

GEOP52

Ovr-iarnelte il clraclrilaterc BCDE è un trapezio isoscc'le.li consiclerila circorifèrenza1 DC si avrà IIBD : DDCI in rlranto angoli a tale tràpezio. EssencìoED: circt-rscr.itta clre insistolg s1 àr'chiugrrali. D'altla parte DÉC : ^+Dn in^quanto alterni interni e pel e É n e q u i n c l ii l p u n t o A . c h e . n: E A n . n c o n c l n s i o i r rf À l o s t e s s cm r o t i r - ol b n : -,. I'ecìela corcla,ED sotto lo stessoangolo rli /1. appat'tierteaila cilccinf,'rerlla l.

,/- r

,4) ,,.*. .,

t. - | i-"1 .

'\

.

;

.

.

:

i .. :

,,-' -:

.

j

,

..,J

]

.:

.-.it ,

-

\

F

Ne seglc c5e lB : ED : DC' : (Il . alkr srt'sso rriorLr si vtrcle che anche il lato l-E 1a lrr,stessa |rlghezza. Pertanto il penttrgono. essenclo i:rlrtilatero e inscrir-ibile in tnia circonfi:r'enza. cì regolare.

53 GEOP

Dzrto rn triatigolo ABC (li lrzrsc.fissat:r lB e area assegtìata S si ha che il rninirrlo clclia sorilnra AC -r CB si reaÌizza quatrclo il triangolo è isosccle ercìi base ,'{8. Infatti I'aÌtezza è fissata e tlurrclttr il r-cltice C clcve variare su ll1ìil I'ettiì | llarailela ad AB. Preso allora il prurt6 sinrnetrico B/ di B lispetto a r si vi'tle sribito che 1>cr ogni i pluiti l. C, B'souo +C'B'ò minitna clttirtrclo pnrito C srt r la soÌlìlna ;lC +CB:,4,C TRI.\\CIOLARE). E chiir|o c'hc iil tal caso ii pltlìto C'i: allineati (1ter:la DÌSECIL'.\C;I.L.\NZ.\ cqriiclistante' da .{ e rla ll'. c rlrrincli rl:r R B'

c , r "\ , A

/h', / 2

/ l

^ :r \

/

\

\ b

B

A

b

0

b

Ci si ò qlincli riconclotti:ì cetcitre rÌci trizrngoli isosccli rli at'eir frss:rt;r e chc htrnno le ìunghezze clei clue lati obliqui uritritna. con l'ultetiore vitrcolo che tali lati clevono essere minori dclla base. Sia 2ó la lunghczza clella ltase e -sia lt f altezza del triangolo. ì':rr('a asseg-natavalc allora - )\ir[p ,77. \Ia ]12 : l(b2 + À2) ò S : l r . l r . r r r c i n t r el a g l i r u c l e z z ad a m i u i m i z z : r r c .è 2 1 senìpre nraggiore o ugtiiile tr 8b li : 8'5. irr (luarltc)

tÌ+h2_2bh:(1r_lr),>0. clov:11 segno di egu:rglianza si lia solo se b: /r . Pertzrrrto il r.alore lrinipo rli 112. cqninclidi 21. sì ha quanclo b - lt. cioè cltltrncloABC è isoscelc slllir |1se -'18 e retttrngolo iu IJ. C'iò è cortrpatiltile c'otr la licìriesta che AB sia iÌ lato naggiole. quindi il triangolo cli arca iìsseg1ìataS cherha ulittinra solntntì dei cÌrrc lati rrrinori èrìi triangolo lettangoÌo isoscerlelsl vedc subito che la b:rsc 2b vale 2rtE e l'altezztr r; /t Yale v ,).

GEOP54

lB. il che e) Il poligono non prrò essere urì cluaclrtrto pelché iu tal ctrstl si avrebhe '\D: poligono. del veÌ-ticc cltritito F un clunqr-tc ilcornfatibilc con la relaziole assegnàta. Sia consecrrtivo a D. La rerìazione 1

1

.18

AC

1

.1D

: i p r l i ' 5 1 ' if l p t r ' t r e ì l i t l u l l t Ì a

( 1 ) . 4 . C. A' D : A B . A D + A B ' A C .

114

Eoluzioni

D'altra parte il quadriiatero ABCF è inscrittibile in una circonferenza poiché i vertici appartengono ad un poligono regolare, ed applicando il reoRsl,tA Dr roLoN,{Eo a tale quadrilatero si ottiene AC.FB:

A

BC.AF + AB.FC .

B

Tenendoconto che BC : AB e che .FB : AD, FC * AC, in quanto diagonali omologhe del poligono, quest'ultima relazione si può scrivere nella forma AC.AD:

AB.AF + AB,AC .

che, confrontata con la (1). fornisceAD : AF. Pertanto ci sarannotra F e,,{ tanti vertici quanti ce ne sono fra D e A, quindi il poligorro ha 7 lati: è un ettagono. GEOP55

Supponiamodi aver già costruito la soluzione(vedi figura). Si osserviche, ruotando,4 cli 60" in senso antiorario attorno acì -L si ottiene Bl ruotando B di 60" in senso antiorario attorno a.4'1si ottiene C e ruotando quest'ultimo di 60" in sensoantiorario rispetto a,\ si ottiene A.

Poiché ia composizione cli due rotazioni di ampiezza a e /3 attorno a clue punti (anche distinti) è una rotazione di ampiezzan * 9. la composizione delle rotazioni preceàenti è una rotazionedi 60" + 60" + 60" : 180". ovvero una SI\,ÍNÍETRIA CENTRALB.Poiclié poi. come abbiamo visto, il punto A è fisso per tale movimento, ,4 stesso è il celtro di iale sirnmetria. Si consideri dunque un punto qualsiasi P e si applichi ad esso il rnovimento ottenuto cornponendole tre rotazioni precedenti.Il punto ottenuto ò il punto P/ simmetrico di P rispetto acl A, che non è quindi altro che il punto rnedio cìel segmento ppl. A questo punto è facile costruire anche i punti B e C. Ad esen'rpio.per comodità. si ruoti , di 60" in sensoantiorario attorno a a,[ e si ruoti il punto ottenuto di 60" in sensoantiorario attorno a,Ay'. Si raggiungein tal modo il simrnetricoL' di,L rispetto acl A.

piana Geometria

56 GEOP

115

Indichiamo co1 O il centro di f , con P la posizioneoccupata da Ps in un istante successivo. con O' il centro cli r in tale istante e con Z il punto di tangeriza fra i cerchi'

Poiché 1 rotola sénzastrisciare.l'arco 6f at I ha la medesimalnughezzadell'arco PT cli 1. Ciò significa,poichè 1edue circonferenzehanno raggio l'uria la metà dell'altra, che gli angoli ai centro relativi sono anch'essil'uno la metà rìell'altro: poÓf : rfÓ'f . 1'angoloPÓ7. angoio aila circonferenzasu 1 sottesodall'arco PZ, uguale Di conseguenza I Âr-

a n c l r ' e s .a o ; P O ' T . è r t g u a l ea P s O T . z ^ NIa PÒT : PttAT irnpiica che P e Ps sono allineati con O. ovvero che P percorre un diametro cti f. Poiclié poíOT è un cliametroc1i1. OFf A un angolo retto. e clunqueP è la proiezione di I sul diarnetro cli f . Se d11qr-iel ruottr unifbrmemente, P si nÌuove stt tale diametro di moto arrnonico. La proprietà studiata in questo problema è stata clescrittaper la prima volta da Copernico agli inizi del 1500. GEOP 57

Possianio supporre che A non contenga 3 punti allineati. altrirnenti avremmo un triangolo di area zero. Tracciamo una cliagonale deÌ quadrato: esso risulta diviso in due triangoli. Un punto clralsiasi dei 7 punti cla,tiè interno a uno dei due triangoli: congiungendo tale punto con i r.ertici clel triangolo a cui è interno questo risulta suddiviso in tre triangoli, ciascuno dei q u a l i l r a i v e l t i c ii r r , 4 . Ripeteltìo ]a costruzione per ogni punto P dei sette dati. si ha che ad ogni passoil numero dei triangoli in cui è sucldivisoil quadrato aumelìta di 2, quindi aÌla fine essoè suddiviso i:n212.7 -16 triangoli disgiunti. Poicliél'area totale è 1. almeno uno di questi triangoli ha area rninore o uguale a 1116.

GEOP 58

Utilizzariclo la similitucline fra i triangoli rettangoli hCO mo scrivere r Rz

e P1C2O2 (vedi figura)' possia-

2R1-r d'- Rt

ove si è indicato con r il raggio clel cerchio di centro C e con d la distanza tta P1 e P2. 2Rt,R' sirnmetricain Rr e À2. che è un'espressione Rica'arrclor si trova , -

,^

GEOS 1

La solttziotrer è 216. cioò 6r. inliitti il laplrolto trtr i vcilunricli cluesolicliin scàla è ugrìiìle al c'ttbork:i r:rpporti tra lc t:olrisllotìclelìtilrrnghezze.

GEOS2

La risposta è (C). Se tt'accianroancheil s€'grrÌento,.lCsi r-ccleimmecliatamerrtr: che ABC e)un triangolo r:cprilatt-ro: tutti i srroiangoli triisulairodurrque60''.

G E O3 S

^m

L a r i s p o s t a ò ( A ) . S e . r ' . i 7 . : s o t ì n lc' niisrrle clcgli spigoli clcl ptrrallek:pipeclo e d è la lurrghczzn clella clitrgonale'.si ha: ,l::.,.)

, !.lt r-.a

'2 ,,) l-'.) -2

..2

I

(ta ( lll \l

')

t

-,2

,)

,t- + !l-

-,,

l l(;r\-a r/- :

u) + tt2 + c:) f

4 GEOS

Ltt risl.rosta ìr (C). Dato clic il piano noÌl passa per nessulLorlei 7 purrti. ne lascia lìecessariatttetrte À' tla trtra pal'tc e 7 - À' clall':rltra. erì intcrcetta rgindi prccisamente i segmenti clìc cotuìettono ciitscuno rlci prirrri À' prrrrti con ciascuno clei limanerrti 7 li' e cioè esattalrL€'rìtcl''(7 - A) scÒ..lÌlettti.Poichó À' prrò r-ariare r-ia(l a 7 (c per sirnmt-tria si priò supporre 0 < À ' < l J ) . i l r . a l o r e l u a s s i l t Ì o s i c t t t i e r r ep c r À ' : 3 . Per veclere'se esistc senìpre rur iri:rno clie lascia À' punti da uua l)Ììrtc c 7 - À dall'altr:r. si ragioni coltte scglle: r-i è solo tlll lrunrero finito tli rette clic ptìssano per alrnelo due clei pttnti assergnati(al piri 21). Prenclencloallora un piano che non è 1rara1le1o a nessuna cli t:rli rettc e sltostatrclokrparallelanente a se stesso. è chiaro c'he i ptrnti pàsseranno:ìttriìvetso i ì l r i a r r or t t r oa l l ; rr , , l t a .

GEOS 5

La risposta è (B). Irrfatti il solirlo che si ottiene conserva 11 dci 12 spigoli clel r:ubo. nrerrtre 2 cìei 6 spigoli clel tttlaerlro (prccrisamelte,:lB e CD) sono c'orrnrrrisia al cubo che al rlrovo s o l i c l o . n n o ( l o s p i g o l o B C ) n o r r f a r à p a r t c . c l c lr m o v o s o l i c l o e g l i a l t r i ( , 4 C : . A D . B D ) s o n o nuovi. Iì totalr: rlcgli spigoii ò pcrt:rtrto 1,1.

'N H

t17

Geometria solida

GEOS6

L:r lisposta è (D). L'Lrnico rlisegno chc norr rappre-selìtalo sr-iluppo di un cubo è il cluinto. clato che prcsenttì urr clraclrato che incontra trrtti gli altri 5 qrradrati, rnentre in ogni sviluppo cli ulì crrbo clue facce opposte 1ìorì possolto ar-ere pttnti ln coltrutle. Si può poi nro,ctrare f:rcilnente che trrtti gli altri I disegni lapprc.sc-ntanolo sviluppo di rrn cr-rbo.

7 GEOS

La risposta è (B). Le se-'.uerrtifigr-rlc uro,strarìo coÌle seziouattdo il cubo con un piattcr o p p o r t u r r o s i p o s - s o r root t e r ì e r ei p o l i l o r i ( A ) . ( C ' ) . ( D ) . ( E ) .

IÌ poligono {B) irn-ece lon si pnò otterÌeìe cotue seziorte piatla rli nrr cr.rbo:irrfatti i lati di ogrri sezione piana giacciono al lriir irr iì clirezioui clistinte (le direzioni parallele ail'intersezione clel pi:irro con citi si taglia il c'ubo corr .3 piani paralk'li alle facceclelcrrbo stesso). nìerìtrc il poligorro (B) ha i lati in-1 clilczioni ciislinte.

GEOS 8

l,a risposta ò (C). La sczione della pilamide col passarrte pcl il piano pa,ri'rllelcialla faccia IBIcentro O dclla b:rse è iì tr':rpczio CFGH (r'etli figirra) . Si consicleri la sezi,rne clelltr piranridc co] piano cìre passiì per l'asse clclla pit'anride e pel i pnrrti rrrt-.cli 11. 5 de'gli spigoli DE e AB. Sia infìner P il punto meclio clel segrnento GI1. SiccorrrePO ò pnrallelo rr l.''S e RO -

1RS. si otr,\

l l t r l e h è l a n r i s r t r ar l e l l ' a Ì t e z z a '^ l , st : 1 / r'. della faccia latelalc. Poiché PO congiutrge i purtti nrecii di Ctr e cìi GH. esso è l':rltezzt-iclcl trapezir.t PO -

i r r c l r r c s t i o n e .S l h a p o i F i ' - 2 e C I H -

( i r r r l u a r r t o\ P :

.\U,

-

I

i -I'R).

In conchrsiole' Arca(ClFGfl) :

I t r * 1lrn : l r

e cluincli Area(CFGI1) _ (:") Area(-{Bl')

.l-

I 1r,l: \2 /

GEOS 9

No. Infàtti ogrìllnrì delle facce clclle mattorielle ha Luì'arca nrultipla cli 5. mentrr: il parallelepipeckr htr urra faccia 72 x 91. la ctti area non è clivisiltile pelr 5.

1O GEOS

Sia P rrrr punto interno al te.tlueclro. e consiclelianro i chre tetlaeclri '|RC.'P e ABDP. Qrresti ltannr.r rrgual r.ohunc sc c solo st le clistanzt' tìi P rispettiva,tlente cltrllc facc'e ,'lBC t: ABD sorro irn.erstriÌrcnt€rproporzionali allc aree rlelle clue lìrcce stessc. Qnirrdi il ltroblenra si sposta ncl tlovalr. tilì l)ulìto all'interrro cìi un tc'trae'choclie ablrizr prcfissati rapporti rlcllc' clistanze con i rluattro pitLni clelle.facce clel tetraerlro stesso. Tcue'trcloprresenteclie i pLtnti all'irrtcnto del tctracrllo clir: hanno tur cì:rto rapporto clelle clistartzc cla dtle pitrni rlati giacc.iono s1i utl piano. il prrnto P inrò es,seretletertninato courc itttelsezione cii il cli cluesti piali contcnenti 3 spigoli clerltetr':rt:rìro.

118

Soluzioni

SECONDASOLUZIONE II punto P è pure determinabile come intersezione dei 4 piani paralleli alle facce del tetraedro, aventi distanze dalle facce pari a 1/4 delle altezze corrispondenti. II punto P risulta essereil baricentro del tetraedro. GE0S11

Si consideriil piano perpendicolarealla diagonaleper I,'. l.f,' passanteper il suo printo medio. TaÌe piano taglia il cubo lungo un esagonoregolare. L'esagono vierre trasfornìato in sé da una rotazione di 60" attorno aI,VV e quindi f intersezionerichiestacontienei vertici V, W e I'esagono. Detto -FIil centro dell'csagono,ia piramide ABHV contenuta nel primo cubo viene trasformata nella piramide BCIIV che quindi è contenuta sia nel primo che nel secondocubo. D'altra parte il triangolo BCV appartienea una faccia di C/ e qr-rinditutti i punti della piramide BLCV sono esterni a questafaccia e quindi non appartengonoa C/. Ripetendo il ragionamento per gli altri lati dell'esagono e per il vertice Ll'. si vede allora che f intersezionerichiesta è costituita da una doppia piramide che ha vertici tn V. W' e base nell'esagono. Il lato clell'esagonoè pari a {. \/Z .

a,rnou" la sua area è + '1

/;

V J

"€

I'altezzadi ciascuna piramicle

, pertanto il volume richiesto vale

2

.. . 13 r t r s í ; 3 2

l . v r : -

Allo stessorisuÌtato si perviene osservandoche la piramide BLCV ha volurne 1

1

'f

1 ,)

t

1 t

1 -

11

e che I'intersezionerichiestaè ottenuta dal cubo togliendo 6 piramicli di questo tipo (una per ciascunospigolo uscenteda l'' o il ). Quindi il volume è 1

t

GEOS 12

h

,

_

r

- _ ') 1

oî I

Per fissarele idee sripponiamo che B sia esterno alla circonferenza. Il punto ,41appartiene alla sfera di cìiarnetro AB tn quanto i'angolo Aíi a retto. Inoltre. per il secondo dei TEOR.ENÍI DI EUCLIDtr.si ha AX'I . AP : AB2, cioè il prodotto -4i./ . AP è costante.il che implica, per il rnoREt\tA DELLA SECANTEE DtrLLA TANGENTE,che P e .41sono Ìe intersezionidelÌa retta AP con una sfera fissata (che passa per la circonferenzaf). I1 punto 11 appartiene quindi alla intersezione fra due sfere: ia sfera di diametro AB e la sfera passanteper f tale che i segmenti di tangente dal punto A abbiano lunghezza AB; dunque ,tI sta su una circonferenza. Viceversa, ogni punto della circonferenza intersezionedelle due sfere anzidette verifica Ie condizioni del problema A

119

Geonetriasolida

SECONDASOLUZIONE I punti P e A,I si corrispondonoin una INVERSIONEper raggi vettori reciproci rispetto a una sfera di centro A e raggio AB. Poiché | è esternaa tale sfera (o al piú ha I'unico punto B in comune. quando A giace sul cilindro retto di sezionel). I'immagine di f è una circonferenza. GEO1 S3

Un piano passanteper la diagonaleOP taglia facceoppostedei cubo lungo rette parallele. durrqrrela flgura intersezioneè in ogni caso un parallelogramntaOAPB dove A e B sono su spigoli opposti del cubo.

L'area ,9 di tale parallelogramrnaè data allora da S : OP .AH : u1-l4

.

ove 11 è iÌ piede della perpendicolarecondotta da A ad OP: dunque il minimo ed il massimo di S si hanno in corrispondenza del rninimo e del ruassimo valore di AH. Supponiarnoche A sia un punto dello spigolo CD. La minima distanza fra le due rette sghembe O P e C D si ha quando il segmentocongiungenteè perpendicolare ad entrambe. Si vede facilmenteche tale segmentoè qtiello che congiungei punti medi K e I'I diOP e di CD.Infatti il triangolo OXIP è isoscelee dunque la sua mediara LIK è anchealtezza, cioè K,41 è perpendicolaread OP. d'attla parte anche DI{C è isoscelee. per lo stesso motivo. Kll è perpendicolarea CD. Dunque la sezionepassanteper ,11è quella di area minima e il r.alore di tale area è

S': OP'lIK :

/;

\/'J

Vb

2

2

Per trovare la sezionedi area rnassirnaproiettiamo ortogonalrnente lo spigolo CD su un piano perpendicolarealla diagonaleOP. acl esempiosu un piano passanteper O, ottenendo il segrnentoC' D' . Chiaramente in tale proiezione 11 si proietta su O e il punto ,4 s u u n p u n t o A ' t a l e c h eA ' O : A H ( O H , A A ' è u n r e t t a n g o l o ) . I l m i n i m o e i l r n a s s i m o dell'area S si lianno in corrispondenzadeÌ miuirno e del uassimo di A'O: è ovvio che il niinimo si trova quando A'O è perpendicolarea C'D' (vedi Ìa secondafigura) e si ritrova la situazione descritta in precedenza. 11rnassimo in'n'ecesi avrà quando A' coìncide con C'o con D', e dunque quando A coincidecon C o corr D. In tal casoavrenìoche Afl è il segmento che congiunge un -,'erticedella base con iÌ baricerttro di una piramide regolare a base triangolare con lato della base pari alla diagonale delle facce del cubo; dunque

AH :';

) , n Ù

+

t/r. e quirrdiS" : ,/2.

L

SECONDA SOLUZIONtr Si può determinare esplicitarnente la lunghezza r del segrnento All. Se f denota la lunghezza del segmento AC. si ha

OA2:I+t2

AP2:1+(1-f)2

e dunque

oP : J5: \î + t'z-r, + \,4TO - tl' -*

I

120

Soluzioni

ria crri i + (i - t')t - .r' : 3 + ( r + f - l,2) - 2vE\/T + tl - 12 cioè -. Zr LyZÎ

) t'l

1:

,;

i l ( L - r 1 2- r : 2 ) .

1 + 1 2+ 2 t :

. r : : . { H , : : 1 / 2 - -/ ' 1 1 . :J

( }< / < I

1

Si vcclersubito che il rninimo della funzione 12 - 1 -l 1 pt:r' 0 < 1 < 1 si htr per I , e il rnassimoper I : 0 o 1 : 1. I valoli deil'area corrispondentiscin
SOLL]ZIO\E

Inclichiarrrocou r . .i. l. I verrsoriidentificati dagli spigoli clel crrbo che esconoda O. Si ha che A r e a ( O A P B ): 1 O . 4 A O U ) \ia O,4: ( i +t k).OB: rlcÌ segmento 1C'. -letrcrt,lu c , ) r ) t ol l r e i

(.1 + (t-/) j-

16'. I

j:

A' :_ I A À: J. k A À:0siottiene

oA ôB:

t:*(f

k ) o v c l d e . n o t : rc.o l r ì ( ' i np r e c e c l e n z laa, l u n q h e z z a -

ì.

1 )j _ t i

e cluindi

AO R a : 1 + ( t - 1 ) 2 + / 2 . u< 1 <1 lO.4 d a c u i s e g r r esr u b i t o c l l c i l r n i n i n r o c l c l l ' a l c a s i h a p e r ' 1 -

14 GEOS

q., ', À

-"''i piranrirle i , , , , , , ì , 1che " , ì htr rl tci tcornc Ìraserun poligoncr t' Lr ,S t t a lao Ú l i rp , t r r ; r g 3 i t ,ot ,nguale 6.. l:r , . . . . i111;iooilyrc p o l i c r l l o l a t i l u l n r a u n c o n n s p i g o l i . '2

lt

rti A::

1 ,,il rlass[no pcl l:1.

.

si ottiene urt polieclrcr Se À > .ì. "piegando" la lrasecli clettapir:rrnidelungo una cliagorrale. cott 2Àr-1-1 spigoli. Non è:invecepossibilecostruire rur poliecìrocon 7 spigoli. Infa,tti tale' polierlro rlovrebbe ar.ere':rhleno,'t vcrtici (con .1r,crtici si ottierreun tetrtrecho.clurhu r-ispigoli).ma a.ciasc'un r.crtice rleblrorrocorrfluirealrneuo 3 spigoli: sic:corrre' ogni spigolo corrnettedue r-r:rtic'i.il nìur-ìerot-lcglispigoli clclr, cssclt' maggir)fe o rrguale a S

> i. i hi conclusionesi possonocostnrire policclri con ogni nullcro rr di spigoli corr rt ) 6. e' rL* 7.

Geometria solida

15 GEOS

121

Sia ABCD il tetraedro assegnato.Per ogni coppia di s n i q o l i crppostiAC e BD. BC e AD. AB c CD i piani condotti sono tra loro paralleii: quindi il solldo da essi delirnitato ò rrn parallclepipedoAB'CD'BCt'DA' (r-edifigura).

C

'

B

I lati cleìtetrae(lro sorrole rliagorralitiel paltrllclcpiperclo. Il tetracch'ooriginario si ottiene dal parirllelcpipedorinruovencloue i quiittro tetracclri,lBDC'. ,1C'DB'. ABCD'. ABDA' i quali h:rnno trrtti 1o stcssor-ohrrner. avcncloconre basc la metà cli urta clellelacce del palallelepipedoe iclentictraltezzttlelatir-a. Peltarito tali cprattlo tetraedri hanno r.olurne par'ì a I ,/fJ.ove l; incliciiil r.ohrrneclel parallelepipccio. S i a r . r ' :cì l i r n c l r et ' : 1 + + ] 1 , ' c l a c r r i l - : 3 . (i 16 GEOS

I)etta 5la sfer:rpassantepcr ipunti .1. B e tangente a1piano o. si indichi con 7 il punto preserìtiìrcdue casi. rli tturgenza.Corrclottala retta r per A e B si posst-rno C i i s o a ) : l a r e t t a ; , r r o r re \p a r a l l e l aa l p i a n o n . Inrlicertoallora con P il pturto tli interseziclnefra r e a. si osscrvi che P è distinto da f cd è estorrroaìla sfera 5. Per il rsontr\tA DELL-A. sECr.\\'rFtE DELL.\'I'ANGENTEsi trvrtLPII - P-i PB c clurrquef appartieue ad r-rnacircorrferenzadi centlo P e raggio \/ P,.\ .PB. \'iceversa.ogni pr-rntoI cli ttrle circonferenzaè urr punto cli tangcnzadi rrna sferache p.ìssapcr A. B. T e che ha centro nel punto di intersezionefra il piano perpendicolare ilrì ,'{B nel ,sllopluÌto rnr:dio e la perpendicolare acl o irr f. Durrqne il hiogo cercato ìr rrrracirccirrferenza che htr cerrtroirr P e raggio ncclio lrropolzionalc fra PA a PB.

\-,q

\j

l ! -

C l a s ol r ) : l a l c t t a r ' ò p a l a l l e - l aa l p i a r r o o . hr cpcsto caso il piano ,? perpenclicolale aì segruerrto -'lB nel sno purrto nieclio è perpenrlicolart: ii o c qrrirrcli contierrrcoltre al c€.1ltrodella sfèra anc'he il pruito rli tirngenzrr T. \tic'er-elsa.ogrri prrnto della retta irrterseziont fra i piani rr e ,J è lur pllrÌto di tangenza con II ccntlo r,1itale sfera si può o di una sf'era che piìssiì per i punti as-se€lniìti--1.B e per I irrciividrrtrrc intelsecando la perpenrlicolale acl o irr f croÌ piano 1rr:r'penclicolarea A7- ne1 sl1tl punto rrrerlio. Durrcpre in rluesto caso il luogo cercato ò rl:rto clalla retta intcrsezione fi'a il piano o c il pi:rno i pclpcuclicolare ac1-'lB nel suo pnuto nreclio.

GEOS 17

Siano R e r i raggi dellc sfere circoscritte e inscritte nel tetraeclrc.riìssegrìato 7. Si consideri il tclrac'ciro che lia lrer vertici i -l prrnti,che sorro i bariccrrtli dell facce di f. Questo tetràe(lro 7' ò sinrilc a f .

D lt

r l r r i r r , l ir ' . r g g i , , . .

ó

, un la]rporto

a

to sfela S' circosclitta iì tale tctraedro ha

\ [ a , q i r e ' s t :al " e r a h a l a g g i , n r a g g i o r c d i r l r r t l l a i r r s c l i t t a n c l t e l r a e , l r o

122

Soluzioni

originario I. irrfatti se si conducono i piani tangenti a S' e paralleli alle facce di ? (e con la giacitura che sta rispetto al centro di S/ ciallastessaparte del piano corrispondente)si delimita ovviamenteurr tetraedro simile a f. Siccome lìessrlno cli taÌi piani può tagliare internamente 7 (la sfera ,9' passa per punti clellefaccedi f). il tetraedro così costruito è simile a 7. nra con rapporto di similitudine maggiore o uguale a 1: qr-rindila sna sfera inscritta ha raggio maggiore o uguale della sfera inscritta in I e pcrtanto * - r. ,) La relazionedi eguaglianza-siha se e solo se la sferacircoscritta a I' coincidecon la sfera inscritta in 7. cioè se gli incentri di ciascunafaccia coincidonocon il baricentro. dunque se le faccesono eqriilateree quincìi il tetraedro è regolare. GEO1 S8

Detti A. B. C. D i quattro punti assegnati.siano ]I e lI' i punti medi dei segmentiAC e BD. lI e J['sono distinti: infatti in caso contrario. AC e BD sarebberocomplanari. Detta I la rctta per ,11.,\1' si consideriuu qualunque piano cr perpendicolarea l: siano poi ,4'. B' , C' , D' le proiezioniortogonali dei quattro punti dati su questo piano.

Tali proiezioni sono distinte, infatti se due tra i punti dati appartenesseroa una stessa retta perpendicolarea o. tale retta dovrebbeo coinciderecon I o esseread essaparallela: in errtrarnbi i casi se ne dedurrebbe che i quattro punti A, B. C, D sono complanari. Per il rgoR.tr\,IADi rALtrTE. il punto di incontro dei segmentj.A'Ct e B'D'biseca tali segmenti: pertanto i purrti proiezionesono i vertici di un parallelogramma. Se invece di considerarei punti nredi dei segmentiAC . B D si prendonoin considerazione i punti medi (li AB. CD oppure di AD, BC e si ripete Ìa costruzioneirrdicata. si possonoottenere altre due soluzioniclel problema in esame.

19 GEoS

Si indichì con -F il rrurtiero di facce del poliedro. con S ii numero degli spigoli e con V quello clei vertici. Per la FORNILiLA Dl EULEROsi ha (1) F-S:_V:2. Siccorneda ogni vertice escorìoahneno tre spigoli e ogni spigolo connette due vertici si q

d e v ea v e r eI' a ì- .

L

.

/

'

c i o èt ' f -; S '.l c h e .

,,

sostituita n e l l a( 1 ) . f o r n i s c e

.1

F -:S >2, ù tq

lt

dacui25<6F-12. |<0

f.6

\{a. se ft. fz. .... f r.-to it ,tu-..o di lati clelleF faccedel poligono.si ha chiaramente ft * f2+ ... + fr : 25. perchéogni spigoloè comunea due e soloa due facce.dunque

fr+f2t"

+ft

9q r

il che implica che uno almeno dei numeri ./, è inferiore a 6

123

Geometria solida

GEoS20

Supponiamo che PA sia f ipotenusa di urr triangolo rettangolo di cateti PB e PC. Si dovrà avereP A2 : P 82 + PC2 . Consideriamoil punto medio A1 del lato BC e sia A2 un prtnto sul prolungamentodi AA1 tale che AAt * 4142. Si noti che iÌ poligono ABA2C è un paraìleìogranrnra. Indichiamo con a. ó. c le lunghezzedei lati del triangolo opposti ai vertici A. B. C e sia rrt la lunghezzadella mediana AA1. Applicando il rpoRnlIA DELLA \IEDIANA al triangolo PBC si ha P A 2 : P B 2-

P C 2 : 2 . P A -?* '( 2

da cui -_2

( 1 ) P A 2- 2 P A l : i

2

N,{adal TEoRtrNIA DI CARNOT applicatoai triangoliP AA2 e P A7A2si ricava: P A 2 : e A l + 4 r n 2- 1 . P A 2 . m c o s t l. P A ? : e A ? r + n f- 2 ' P A z ' m c o s d . ove ú: ricava

PÀ2A. \Ioltiplicanclola secondarelazioneper 2 e sottraendolaalla prirna si

PA2-2 PAl:2m2-PA\ e. tenerido conto della (1): -.2 / ..2 \ P A' | : 2 m 2 - : ' 2 = { 2 n t 2- : ' , 2 )/ - a 2 : b 2 - c 2 - n 2 . \ ove si è nuovamente usato il teorenla della mediana. Se b2 * c2 - a2 è maggiore o uguale a 0, il prrnto P deve appartenere alla sfera di centro A2 e raggio !fr+;r-Zp Argomentando a ritroso è facile verificare che ogni punto P di tale sfera verifica le ipotesi del problerna. La condizione b2 + c2 - a2 ) 0 equivale a imporre che I'angolo A non sia ottuso. In modo analogo si ragiona supponendo che PB oppure PC siano le ipotenuse del triangolo rettangolo da costruire. In conclusione. se ,4BC è acutangolo il luogo cercato consiste di tre sfere con centro nei punti 42. Bz, Cz costmiti in modo che ABAzC. ABC82. AC2BC siano dei paralielogrammi.

-V. - a2 lF +a-p. I raggi di tali sfere sono rispettivamente, Jb\é lFlp Se ABC è rettangolo. ta,li sferesi riducono a due. più un punto (il quarto vertice del rettangolo che ha i catetl come lati). Se poi ABC è ottlrsangolo.il luogo cercatoè costituito dalle sole due sferecorrispondentiagli angoli acuti. In figura è rappresentatoil caso del triangolo rettangolo.

DISG 1

Ltr rispostaè (D ). I1 cliarne.tlo dr'1celchio irrsc'r'itto all'otttrgono trott può superarc clrre:Ìlo clcl crcrchioilscritto al <1rzrcùato. e cioò d. Dunclre l'ottagorro rnassiruosi otterrtì r'itaglianclotla1 quaclrato -1angoli irr rnocìoche si abbitr 11rìottiìgorìo regolare che ha lo stessor:crcbioinscritto. Dctta ,r la lrrnghezzarlel cateto cleltriarigoioisosc:ekr r1atagliar-r-ia.si cìevea\rre r'/l tl 2t c l'arc,:rr-ohrtas:rriì d2 -2.r2 :,12

DISG2

('

L i r l i s p o s t aò ( B ) . S i n n oy i ì r a g g i ot l e l s c t t o r c c i l c o l a r ee . r ' l ' a r r g o l o , acl e n t r or l e l s e t t o r c : s i l r a a l l o r : i c h e i l p e r i r - r c t r ov t r l e 2 u ì y L : .n r e n t r el ' a r e a r r r i s u r ' " Posto: :.rll. + p r o b l e r n aè ' t r o v a l e i l n r a s s i n r o c l+i s o t t o l a c o n d i z i o n e2-y - r : : costalrte.

il

Il trtassinroclcl pxrclotto rli clue nrìnrcli avcntì -sollrÌnaasstgnata -.i ha cluanclocpt:sti trttnrericoinc'irklro.rlurrclueil rlassinrodi 2g. : corr29-F: : co-stant(' 2u - z. si ha qrranclct O v v i n n t e t t t ei r r t a l c a s os a r à r n a s s i n r oa n c Ì ì e î: allor:r r: : 2. DISG 3

lrrt,

.). Da2y:::;rr7

si r'lc:ar-tr

S i a r r ol . B . ( ' . D i - 1 r - e r t i c id e l q u : r d r i l a t e r o .S e t u t t i i t r i a r r g o l iA B C . A B D , A C D . BCD harrnoarea n()n irrferiorea 1/-1il problerriaò risolto: in casocontrario, se uno rli essi (per cscmpio ABC) a\.ess€Ì area < 1/-1.allora 1l triangolo courplementareADC ar-rebbe iìr'ea> 3i.1. In qlrestocaso basttrplcndelc la quaterntrA. C. D. P dove P è il barice.ntlcr clt'l triarrgolo AC'D. e osserrvarc chc ì tle tliangoli ACP. ADP. CDP hanuo tutti area u g t t a l ea 1 / 3 d r : l l ' a r r :ral i . { C D c < l r r i r r rul ìi i ì g g i o Ì ( . r llì/ 1 .

P1

Urra solrrziole alterrrratir-asi ottiene considelarrcio i l prtnti ncdi clcl clratlrilatero origirrario. .P1. Pz. Ptt. P1. {r r)Ss€r\-andoche essi forrnano un palallclograÌnma di nrea 1/2: pertalrto oglrurìo rlei triangoli P1P2P3. P1P2P1. P1P3P1 P2PjP1 ha area esattaulcntc rrguale a 11'1. DISG4

Per 1a I)lSl'lC]t-i,\C;LIAliZ,\ TIìIANGOL-{RE. si htr che ogni lato non,srìpcfiì 1/2. Porrìa,no u : 712 -.r. lt - 1 2 lJ. ( : 1.2 - :. Sonrnranrlo nrernbro ir rnernbro si ha chc .r * y I ::.: Il2. Pertanto. sostitrrerì(lo ie tsplessioni di a. b. r'rrella cliscgrraglia,nzadatiì r r e . ìt c s t o s i o t t i e r r e : o2+b2+c2+4rthc:

geometriche Diseguaglianze

/r-

,,')'

t -

\2

. ( l - , *) (\ tr

125

(!

-')'*,

5 ( r i y + . ) ' - 2 ( . .! r u + : ) - 4 : r u : J T DISG 5

-',)

\2 1 2

(r \t

4 . rg : 1

,)

lt

t;

z\ ) :

1

t

Sia Q il sirutnetricocli O rispetto a P e si considcri iì paralleloÉgarnmir O,.\QR. ie cui cliagonaliovviatnetitesi intersccanoin P. La rettà ,.lB c\ querllacercatà. quclla cioè che rcude tniniura l'area tlel triangolo formato cla r. s e cla una retta pass:rnteper P. lnf:rtti se si consicict'a tttt'altra retta per P. srrpporrianìoper fissarcle idee che essatagli i tìrrelati OA e RQ dei pat'allelog-r'anìrìliì nei prrrrti R e C: e.sia,9 la sua intersezionecon s. S i h a : A r e a ( O Í ? . 9 :) A r c a ( O , , t B )+ A r e a ( P S B ) - A r e a ( P . { . R ) . NIa i triaugoli PAR e PBC sono nguali. avenclorispettiv:rnrenteun lato e rutti gli angoli r.rgualie cluirrcli Area(PSB) - Area(P.4À) : Area(CSB) > 0 . Allo sttrssorttorlosi t agiott:rse la lctta per P incontra i lati ,1Q e O B del parailclogramnìa.

O

DISG6

B

S i : n o ( ) t ' r ' i l c e r r t l o e i l l a g g i o d e l l a c i l c o n f e . r e n z a^ , . Tlact'iirtt, rlue cortle, oltogotrali ,48 e CD p:rssanti per: P. siarro rispcttir-trrrrente l. ,1,rI lot'o punti rncrìi. La sornrrra ,9 cìelk: hurghezze delle c,orclesi scr.ive corrre

- Uy:+ S : AB + CD : 2 (\ V't2 '

v;r - CL1-:) /

ccl elevarrdo al clra<.lratcr

\r

t(2,:t rr/'\/-c)\-r- 2

1 2( o J I 2

Ossclr-iarnoc'ire. 0,112+O-\-2 : OP2 il c|raleìra un r.alorcfissato. Allor:i seguefaciÌnrentc che i ttitrssitrric nrinitui c1i5' sono in corrispondcnzaclei rnassirnic minirni della quantità

o11.ol..

Liì I)lStrCLrA(ìLl.A\2.\ TIì,\ LE \ltrIltE aritntetica e geornetr.icafornisc'e

OP' clovel'uguagliiinza.clriirrcliil rnassimodi 5'. si ha se f),\1 : O-\-. cioò -sele cluc corciesono s i t r r t r r c t r i c hrei s p e t t o a O P . I n t a l c a s os i i r a S :

l\i,'2 -'ll-. l

si ha certiìtlÌetìte sc ttrto tlt:i fattori ò zero. il che inplica di;rrrretlo c i r r l , r l t ; r s os i l r ; r, \ ' - l l , . - I , t Oezl

DISG 7

I l r n i r r i r n oc l i O i l I . O r V

a

che rrua clelle clue corcle è un

St-.clue vertici clel pctitagorìo iìppàrtengono allo stesso cerchicr il raggio r cleve r.alere al rnininro 1/2. \lostriamo clie è possibilc ottene.rc Lui r-a,lorepiìr piccolo cli 2 coir rlei cerclii che contengono ciasc'rrnorrn solo verticc.

1?9

Sciuz'oni

Poichè uno almeno dei cerchi deve contenere il centro. il diametro dei cinque cerchi deve essere maggiore o uguale alla distanza fra il centro del pentagonoe i vertici. Inoltre. la configurazione ottenuta disponendo 5 cerchi in modo che i loro diametri occupino esattamente i ciuque segmenti congiungenti il centro con i vertici costituisceun ricoprimento del pentagono: pertanto il minimo raggio possibile uguaglia la metà della distanza tra il centro e i vertici: tale raggio è dato da r' - - - - : _

-----*\/ 10- 2\/5

DISG8

a)

+ sen'to"

Nlostriamo che Q < 2. Per la DISEGUAGLIANZA TRIANGOLARE.possiamosupporre

a1b1c<1

o ,I b . Q u e s t o c o m p o r t a c h e

. < 1. D'altraparte:

0 + h

.

a

b

a

* - <

bIc

a+c-

A - 1

. *

a+b

a +o

Sommando }e diseguaglianzeottenute si ha appunto Q < 2. Nlostriamo che Q > 1. Anche senzasfruttare la diseguaglianzatriangolare. basta notare che o- >-

c 0 b * a +b l c a +b +c+o* 6* .:t'

b) Osserviamoinnarrzituttoche Ia maggiorazioneQ < 2 norr è migliorabile.cotnemostra il caso del triangolo isoscelecon b : c : 1 e a arbitrariamente piccolo:

n - o v -

.I

2

l

o + l

2\ o r l

o + l

Il caso del triangolo equilatero (a : b : c) fornisce Q : 312 Iniziamo co1 provare che per ogni triangolo isoscelesi ha Q > 312 S e a : ó o t t e n i a m o 2

a

t r - _ L _

'

a*c

c 2a

che si può scrivere nella forma

Q :

2a

c+a

o+"-

2.

* t1

Tenendopresenteche .r -l- j > Z p.. ogni r positivo. ne segue cheQ > 312. Vediamo ora che per qual,-inquetriangolo di lati a, b. c. si lia Q > 312, consiclerandoil o triarrgoloisosceleche ha 1u11 Í, ,.e mostrandoche per tale triangolo la quantità *, Q è minore o uguale di quella í.igir.uíiu. Per il triangolo originario si ha ^ a t r -. - _ - _ : Y l

r

btc

b

a+c

c

a-tb

mentre per il triangolo isosceleanzidetto risulta a-lb t-\ -q v ) - L -

Î 0+t) ^z * c

-

c

o+b

127

Diseguaglianzegeometriche

Vogliamo dimostrare che Q1 > Q2. cioè r\ 'r '\ l : - b+c

a-rb b ,, a+c--alb+2c'

Tale diseguaglianza è inlariante per omotetia, dunque potremo arbitrariamente fissare alcuni elementi del triangolo, ad esempio potremo studiare solo il caso in cui il perintctro P:a+ò+cèugualeadl. Per provare la diseguaglianza(1) riscriviamola nel modo seguente: b-alc o*b-c - b-c o+c b+c b+r-

-

orc\ "+"

vale a dire (ricordando che a -f b + c: I b+r-

I

. -

I o*1ta2r-

"-r----

n l 2 o - 2 b + 2 c- o * ó + 2 c \ r-\,/-b+2c o+b-2c)

1). t- '

( a + b + 2 c ) ( a+ b + 2 c ) > , 1 ( b + c ) ( a * c ) . ( a + c ) 2 + ( b + c ) 2+ 2 ( a + c ) ( b * " ) > 4 ( ó + c ) ( o + c ) . La diseguaglianza(1) è dunque equivalente alla ( ( a + c ) - ( b + . ) ) t : ( a * ó ) 2> 0 . Ìa quale è ovvianiente verificata. Osserviamo che nella dimostrazione di Q > 3f2 non si è fatto alcun uso della diseguaglianza triangolare: pertanto tale diseguaglianzaè vera qualunque siano i numeri positivi a, b. c (vedi anche il problema DISG9). DISG9

Siano a, b. c le lunghezze dei lati del triangolo, p il suo semiperimetro, ,5 la sua area e r ii raggio del cerchio inscritto. FRA LE NÍEDIEquadratica e aritmetica si ha Dalla DISEGUAGLIANZA

(1)(4{.9)''' r*y:? D'altra parte. utilizzando Ia diseguaglianza fra media aritmetica e geometrica si può scrivere (2\ P -tP-o)* ' Ú

(P-b)+(P-c) Q U

> M,

inoltre. per la FoRN{ULADI ERoNE, l'ultimo membro clelÌa (2) è uguale ^ (+)t" \ v / , q u a ì e e q u i v a l e a r. si avrà aliora R i c o r d a n d oo r a c h e S : p ' W,la ! (3) p2 > 2712 Dalle diseguaglianze(t) e (3) seguesubito allora a2 +b2 + c2 > 3612,cioè il risultato. Si noti che il segnodi eguaglianzanella (2) e nella (1) si ha se e solo se o : b: c, cioè sc il triangolo è equilatero.

128

Soluzioni

DISG1O

Consicleriarno un qualsiasitriangolo di area ,'1e perirnetlo 2p. Per la F-OIì.\iLII,ADI ERONF] s i h a , 4 2: p ( , p - a ) ( p - ó ) ( p - c ) . i \ I a p e r l a D T S E G u A c ; L r - \ NTR,\ Z . \ Ltr NIEDTEgeometrica e arittnetica: ( p - o ) ( p - ò ) ( p- . )

. (

p-tr+p-blp-r:

)'

: (;)'

|) t,\2

r - i o è- l -< - - . tt./? a-

v

Per diniostrare

d o v e l ' r r q r r a q ì i a r r zvaa l , - ' s o l op e l i r r . i a n g o l i e q r r i l a r . r i .

.J

la diseguagliarrza -o' -l

) l hn :

clata. esprirnianro

lt,. -

J,t.

le alte:zze irr furizione cìei lati c dell'arca:

. ) l -''

Il pri'ro ,ui.r,,rou.ttontir.*,,ugrio,rrJè cl.rrque ugrlate a I 1\ /t l --l t-..---l r / Ù \" e. applicarrcloqltanto cletto. essoè rlinore o uguale a I I L \ : - - ( , r - h - c "\ /l' -t - ; - - l ,/ b 3/3 \,, Basterà ora osser'\'are che. pcr la diseguaglianzatrà le medie armonica e aritmetica. si ha /1

I

1\

\ r r l l t 1 , l ( - -- - ' ì < -9 . b c:/ \a pcr otternere la diseguaglianza cercatà. Essa vale in senso stretto per ogni triangolo iton ecluiltrtero. rÌlcntre vale I'uguaglianza per i triangoli ecl-rilateri.

DISG 11

Considerianto urÌa I\\'ERSIO\E per raggi r-ettori leciproci di cerrtro P rispetto a un cerclrio clie. per fissare le idee. stlpJ)orremo interlo all'trngolo SÉC e cli raggio À.

Tranrite tale irn'ersioueìe rette AB e BC vengolìotrasfornratein due circonferenze1t. îz passarrtiper P. I'ulteriore intersezionedi taÌi circonferenzeò l'irnniagiiteB' rìel r.erticeB. dunqrreB. B' e P sono allirreati. L'imniaginc di una retta per P tramite f inversioneè la retta stessa.ciunquel'inversione trasfornrar"l1nell'intersezioneJ1' dclla retta lfJ con 1a prinra circonfcrenza(dir.ersada P) e A rrelfintersezione,\r/ cleìlaletta stesstrcon la seconclacirconfereuza. P o i c h é P f , I . P l l ' : P N . P , \ - ' : - R 2 : c o s t a l ì t e .c e r c a r e ' i l r n a s s i r n o, t i * prV F; eqrrivaleà cercareil rnassirriodi P.11' + P-\i'. Il problema è quincÌi ricondotto al seguente: clate due circouferenzechersi intefsecarìoin P e B' tlor.ale la retta pr:r P tale che.

129

Di seguagIianzegeometriche

se r'l,f' e À" sono lc ulteriori iritersezioni clclla letta t:on le circonf'erenze. la lunghczza cìi ,11/,V' sia nrassittra. Qriesto problctna si risoìr.'c facilntenter sr: si tieue presente cher il triarigolo B'l'\/'Ai'lrtr c-'Irìclo\irERtr\zA). Dunque tutti i angoli fissati (per il TItoRE\tA DtrLL'A\c;oLO.\LL,\ sono sirnili fra loro. qualurrclue sia ltr prosizititreclcila retta pr-'r P. Pe'r triangoli B'lI'N' rendele mtrssima la base.11',Y'cli tale tliangolo b:lsterà clunque rcrtde'r'ernassima 1'altezza relativa. il che si retrlizza quando tale altezza coincirlerccn B'P. Dnnque,'11'À" dete csse're pcrpcndicolare a B'P c. tonrando al problern:r originario. il massinro rli ^ rlrando l1I

-1-

^

si ha

è perpendicolare a PB.

S E C O N D AS O I , LZ I O N E Il problerna si può risolr-ere anche senza ricorrere all'invcrsiorte trel tnorìo seguente. Si tlacci la circonferelìza pàssante per r11. -\' e B e si inclichi cott D la sua interseziotic corr il prolungamento di PB. Si der.e rendere nrassima 1a grandczzti:

1 \tP

I \P

]IP+JP \IP..\P

-\1À BP.PD

DEI-I-EDL-tr('ORDFl.per il quale ,'l1P'A'P l\ell'ultirno passaggiosi è r-rsatoil TEORE\1--\ BP,PD.

in cluanto BP è costante. Al variare clella retta # - XIED e pelP si ott.cngonotliangoli '1/J, trrtti sirnili frtr loro. in qttauto '11Î, clallaposiziorredi tale rctta. È evitÌentc tali angoli lon clipenclono N lf l : À Fl. clunclner ,l1J rron carnbia effettuanclouna siniilitudirre. qrrindi si può fissareia tlre il lapport,t |, lunghezza rlel segmento,l1fr e fzrr r-tuiare P str esso. A qttesto punto è ovvio clte il ,11N '# rapporto è nrassino qnancÌoPD è niinimo. cioè quantlo PD è perpendicolarea Bisc.rgnaquirrrli nrassinrizzar.

11Àt. Il plol.rlemaè quincli risolto clallaperpendicolarea BP per P 12 DISG

Siccorriei triangoli che hauno vertice neripunti di X sorroiri numelo finito. r'i sar'àun triarrgoloclre l'raarea nr:issima.hrrìicliiatro talertriangolo con ABC e conduciarnocla ogni sncrvertic'eÌa parallcla a1lato o1)l)osto.Si ottiene cosí tur triangolo AtIJtC:tche ha i purrti '{BC corlc punti rneclirlei lati. è sirnilc al triangolo ABC e ha area ptrri a quattro volte l':rre:adi quest'ultirno.clunclic talt' att:a vale al piir '1. P,i\

A' Dirnostriirno che tutti i punti tli X sono contentrtiin A'B'C'. Se pel assurdo urio dei punti P cli X fosse estento a A'B'C' . almeno uno dei vertici giacerr.bbein rrn senripiano.irrdividutrtodlal l:rto opposto, diverso cla qriello su cui giace D

130

Soluzioni

Supponiamoche tale vertice sia A'. Ne segueche la distanza rli P da BC è maggiore della distanza di A da BC. Dunque il triangolo P BC ha la stessabase del triangolo ABC , ma allezza maggiore. Quindi la suii area sarà maggioredell'areadi ABC. in contrastocon I'ipotesi cheABC fosseil triangolo di area massirna.Pertanto non esistonopunti di X esterni al triangolo A' B'C' . da cui la tesi. DISG 13

Detti a e 3 i due semipiani che costituisconoil diedro. supponiamoche A appartengaad nr e B appartenga a 3. La spezzatarichiesta consistenecessariamentedi soli due segmenti AP e P B . con P che appartieneallo spigolo s (ogni spezzatadel tipo ABQ P , con P e Q appartenenti a s è piú lunga, come si vede usando la DISEGUAGLIANZA TRIANGOLARE). Sia d/ il seruipianoopposto a J e si considerila rotazione che porta il seniipianoci su ,6'; tale rotazione manda il punto I in un pr.rntoA' di J' e. per ogni punto P di r, il segmento AP nel segnìentoA'P di cgual lunghezza. Dunque rendere minima Ia lunghezza AP + PB equivale a minimizzare A'P + PB. il che ovviamente avviene (sempreper la diseguaglianzatriangolare) quando A', P e B sono allineati. La spezzatacercataè quindi quella di vertici A. P0. B , ove Pe è I'intersezionedello spigolo l c o n i l s e g u t e n t oB . - l ' .

DfSG14

Siano A, B. C i vertici della base del tetraedro. G il eanrcENTRo del triangolo ABC e infine V il quarto vertice del tetraedro stesso. Applicando. con le notazioni indicate in figura, la DISEGUAGLIANZA TRIANGOLAREai triangoli AGV. BGV e CGV si ottengono le relazioni

r < A G + d . u < B G + d ,z < C G + d . da cr-ri.sommando membro a rnenrbro. segue

r+y+r
ha N[a, come vedremo subito, per ogni punto P interno al triangolo si (1) PA+PI)+PC
(2) PA+PB
perimetro di quest'ul-

AB+BC+AC>AB+PB+PA. da cui seguesubito la relazionecercata' Scrivendotale relazioneanche per i Ìati AC e C B: PA+PC
2 P A+ 2 P B + 2 P C< 2 A B+ 2 B C+ 2 A C , cia cui. cliviclenclotutti i terrnini per 2. si ottiene il risr'rltato I'oluto' SECONDA SOI,LÌZIONE

fB, Usando la notazione vettoriale. siano 'r . a , Z' i tre vettori \7A. provare che

l i l + l l l + 1 7 l < l ; u- - G - : - , 1

trZ. Si tratta di

-i,rt7ri+l'.

(si veda il problema GEOP37). A tale scopo,posto 3D1:U- z.

3D2:z

e. di conseguenza. 7:S + Dz- Dz,

\J:S -t Dt-

Dt '

z:S * Dt-

Dz '

di r, 9, z tutto una volta sostituite, nella relazionecla pror,are.le precedentiespressioni si riduce alla verifica della relazione

l s + n z - D 3 l + l s+ D s - D tl + l s + D t - D z l < 3 l t r | + 3 l D z+l 3 l D a+l 3 ls I , sonìlna di piìr vettori è che è una conseguenzaimmecliata del fatto che il modulo della moduli' corrispondenti dei minore o uguale della somma

132

sotuzioni

DISG 15

Si rrandi per,'{ la parallela a PQ e sia -E la sua intersezionecon la retta pcr B c per e. Si ha-'!E :2PQ. in quartto il scgrnentoPQ congiungei punti meclicli cluelati cieììriarigoìo ABE' I triarrgoli nCQ EDQ sono uguali o""n.lu rispettir.aruenteeguali t'angolo iii f/ I e i l a t i C Q . Q D e B Q . Q E . N e s e g u eB C : D E .

I'Ia allora, per la DISECìUAC;LIANZ-\ TRIANGOLARE applicata al triangolo ,.1DÀ. si ricava

2PQ:AE
GEAN1

L1 risposta ò (A). Le altre cliscguaglianze individuarro ilvt'ce gli insierni seguenti:

-+J

x

vÎ

GEAN2

La rist-rostaè (Cl). corrre si decltrceclalle segrtcrrtì hp,urt'

,) ,,f

lt > 4-.r

a <'l.t''

GEAN3

{,,:

, t l - r

La risposta ò (A). Il valore as-qoltrtoìn di un nulrero a è dato da (a

se o)0

t-,

,. ultl

A<1e-*empiol - 3l : 3. 2l : 2. Si noti che non è corretto affermareche la] è il numero "senzai1 st:grio".irtfatti l- a rron è r-rguale acl a. perchè acl esernpiop€r t1: -2 abbiamo j-al-2ftt' proposta ì.r]+ l'-y] ( 2 r,a aflrontata separancioi quattro Ciò prernessg.1ariisegtraglianza casi a) .r')0. l*9>0. b) .r)0.

.riy<0.

c) r'<0. (l) r(0.

.r'*9>tl. .t+.y<0.

134

Soluzioni

La diseguaglianzadivierrc 2r -f y < 2 nelcaso a). g > -2 nel caso b), u ( 2 nel caso c). 2 r * U > - 2 n e i c a s od ) . E f a c i l oa l l o r a i r r c l i v i c l r r airsco l t o i n s i e r r rri l e l p i a n o c h e r a p p r e s e n r a n io quattro casi.

VK

La regione irrclir.icluatirdrrlla diseguagliarrza ò rluiutli cosrituita cla uir palalieloglarunr:r di -2) e la sua area vale 8. vertici (-2, 2), (0. 2), (2. -2).(0

GEAN4

La risposta è (A). La prinia diseguaglianza( 2 r * A ) 2 ) f è , , . e r i f i c a t sa e 2 r * y { * 2 o s e 2 . r+ A 2 2 . L a s e c o r r d a. r. 2 < l . s e - 1 ( r ( l e l a t e r z a y 2 ( 4 . s e - 2 < t 1 < 2 . Nei tre casi ì: facile individtrare sli insienrirappresentati

Le tre diseguaglianze individuano quindi l'insieme indicato nell'ultima figura sopra a destra e la sua area è la somma delle aree dei due triangoli tratteggiati e vale 2.

GEAN5

La secondacondizione equivale a ,-rD1y1r+vA. Se rg > 0, Iryl : Íy e dunque la prima condizioneequivale a 12 + y2 < 2.per cui fornisce i punti che appartengonoaÌ cerchio di equazione x2 + .!J2< 2 del I e III quaclrante: tali punti verificanoautomaticamentela secondacondizione. per rll < 0.invece. la prima condizionedir.iene(.r -f y)2 < 2. cioè

-"-"81y1*r+\/t. L'insieme descritto dalle due diseguaglianzeconsistedunque di due quarti di cerchio e di due triangoli rettangoli isosceÌi. La sua area è allora r.,

.5 n v -

2

"

.v 6 L

2

- r - L )

-

135

Geometriaanalitica

GEAN6

La risposta è (B). Infatti il grafico della funzione./(-r)

Il grafico della funzione -/(-z)

è

è allora

e la figura (B) si ottiene sornrnatrdouna costarìteal glafico prececletrte. GEAN7

La risposta è (D). Infatti, se r si avvicina a 0. allora 1/r3 tende ad aumentarein valore assoluto. e se r è molto grande anche 13 lo è. quindi la funzione tende ad aumentare sia per r che si avvicina a 0. sia perur sempre più grande. In termini pirì precisi si ha lim y(t):-x. linr 9(rl:-:c. Iim aQ): *x. lim !l\r): -x. Queslo.unito f,-- x / - - lÈ .c-0 .r-0' al fatto che la funzione è positiva per raìori positivi della r e negativa per valori negativi della r, basta per escluderegli altri 4 graficl.

GEAN8

La risposta è (D). La diseguaglianza12 +A2 < l rappresentail luogo dei punti all'interno o sul bordo de1cerchio di centro (0, 0) e raggio 2. L'altra diseguaglianza4y - rl > r è sempre verificata se r ( 0 mentre. nel semipiano ove rr > 0. è equivalente alla seguente: (4a - ù' ) 12 cioè SaQa - r) > 0. A sua volta, quest'ultima diseguaglianzaequivale a richiedere che g e A - xl2 debbano essereconcordi e quindi! ove g/ > 0, si deve avere A > rl2 mentre, se y < 0. è sempre soddisfatta 1a condizioney < rl2 (dato che stiamo analizzandoil caso r > 0). Questo ci permette di concludereche la figura (D) rappresentaI'insieme delle soluzioni deiìe diseguaglianzedate.

GEAN9

La risposta è (E). Le altre quattro funzioni hanno i segr-rentigrafici approssimativi:

136

Soluzioni

GEAN10

La risposta è (A) La prima deÌle due equazioni rappresentala circonfererrzadi centro l'origine e raggio 2. la secondarappresentala genericacirconferenzadi ccntro (a. 0) e raggio 1. Le 5 figure che seguono mostrano i vari casi possibili, in cui le tangenti cornuni sono rispettivamente0. 1. 2, 3. 4.

@ G GEAN11

Sianor:ocost,A:b sernl.01t12r leEQUAZIONIPAR.\XÍETRICIHEclell'ellissr:osin (ro. .qo)un punto del h.rogocercato. Lina generica retta per (r,c,. go) ha eqrrazione ll-llo: n t ( r - 1 6 ) . c e r c a n d o l e i n t e r s e z i o n i c o n I ' e l l i s s es i o t t i e n e Ò s c n 1 - l J g : r n . ( a c o s l - . r s ) e se si indica con r 1a tangente trigonornetrica dell'angolo tl2 si ottiene l'equazione ,r 1 - 12 = tno i -, + gt) b ;?; r f l'l+r-

tnlt)

cioè ('ys -

- ma)r2 -2br rtt.t:s1

-l (.us- n'r:rs- rna) :

g .

Irnporrendo la condizione di tangenza. si ottiene:

^

7

- b'2 l l J n m . r n ) 2 + r t t 2 n 2= o

equazionedi secondogrado in nr che der.eaverele radici con prodotto uguale a -1 (affinchè le due tangenti siano perpendicolari).Riscritta 1'ecluazione nel nrocloseguente - ab32: 0 , , 2 1 . a-2 r ' 3 ) + 2 m . r 1 1 y 1 1 +

.

si vede sr.rbitoche il proclotto delle radici è

e dunque cleveessere,à+Aà: i + b2. cioè (.r0. yo) sta sulla circonferenzache ha centro e raggio \/i7-:1F rrll corrtroclell'elìisse \riceversa è facile vedere. effettuando in senso inverso gii stessi passaggi,che ogni puntcr di tale cerchio ha 1etangeriti aÌl'ellissetra loro perpendicolari.

PROB1

La risposta e\ (tr). In effetti la probabilità richiesta è 96.257('cotne si può controllarerirr baseal seguenteragiouantento:"ìncampagrra100 vims ogni .100rcstano inattivi (clatoclie e 2E5 dei 300 rirnanenti sono nerrtralizzatidal vaccino ;) (c|e Ìra una azione al 95%). D,uque solo 15 r.irus su 400 svolgonola loro attività siii carnpagnoli yaccinati. e qlÌesto clir r-inaprobabilità del 3.7ó% che qrresti si anlrnalino. Ia probabilità cli arnmalarsiè

PROB2

La risposttrè (D). Calcoliarnola probabilità dell'eventoopposto. ossiache il ragazzonon riesca a parllre con lresstllìiìclelle srre an'riche. Allora egli cleve usare entrarnbi i gettoni per telefìr1are ai ragazzl. Ci sono 3 probal:tilità str 5 che questo a\'\'ellga usartdo il primo 2 possibilitàsu -1nsanclo1l secondo€iettone.Pertanto questa gettorrce. se ciìr è ar-r-enuto. probabilità è

r,

|

1rì

, , , l r l r r q t t cr l t t e l l ; cr t ' r r a l a i ' I -

:, -

PROB3

La risposta è (D) flhlantiamo Anclrea. Brrno e Carlo i tre fratelli. Qualunque sia la a crri viene assegnatoAncirea.Bmno ha 10 possibilità su 21 cli appartenerealla s
1 0 9 3 ' ' - 2 1 ? o- 1 l tale valore è cotnpreso tn" PROB4

* " 1

ai averefacce La risposta è (C). La probabilità tli avereuna faccia ros-sasu un claclot, ]. tl

rosscsu errtranrlrii clatliè i i(; : l. -ftto stessonoclo la probabilitàcli averedr-refaccc 3u ti I 2 .2 r r-_^ ,,_. 3 gialleè;;:ieOuelladitrr.ereduefaccel,triè[

J

;:i.

1 f.\. Duncluelaprobabilitàdi

avere due faccedeilo stessocolore è 1

1

1

1

'

3 6 r 1 ; t t ' PROB5

1

7 1 8

[ , a s o h r z i o n eè ( t r ) . I q l l a t t r o m o d i p o s s i b i l is t , u oi s e g r r e n t i :

( 0 0 0 1 1 1 ) (. 0 2 1 6 E 1 0 )

( 0 0 0 2 2 2 ) .( o 1 1 5 E e )

( o o o 3 3 3 ) .( 0 1 2 6 7 t )

( o o o 6 6 6 ) . ( 0 1 2 3 . 15 )

lrrfiitti lt, possi[ili coppie di facce sono 36 e i punteggi ottenibili devono essere12 (gli ilter.i c6tlpresi fi'a 0 e 1i). quinrli ogni punteggio der-epoter essereottenì,ltoin 36/12:3

138

Soluzioni

modi differenti. Per capire come costruire queste soluzioni. si pensi che per poter ottenere il purrteggio 0 in tre rnodi diversi è necessarioavere degli zero in ambedue i dadi, e precisamente devono essercitre ''zero" in un dado e uno ''zero" nell' altro. Le cifre che rtempiono le altre tre facce del dado contenente tre zeri devono esseretutte uguali fra loro, infatti se in r-rnadi tali facce figura il numero r, tale numero non può cornparire in una faccia clell'altrodado (in caso contrario uscirebbepiú di tre volte). ma allora per uscireesattamentein tre nodi diversi è necessarioche compaia in tutte e tre le rimanenti facce. A questo punto si analizzano le poche configurazioni ammissibili e si trovano 1e quattro soÌuzionidescritte. PROB 6

La rispostaè (B). Su 20 000 persoÌre,medianiente0,95 risultano positive ed effettivamente ammalate. mentre 0.05x19999 risultano positive benché non ammalate. In conciusione tra le persone che hanno avuto rln risultato del test positivo. quelle effettivamente amtnalate risultano:

0,95 0 . 9 5 + 0 . 0 5x 1 9 9 9 9 e tale rapporto è approssimati'n.amente 1/1000. PROB7

La risposta è (D). Osserviarnoinnanzitr-rttoche la probabilità che la passeggiatanon terrnini mai è zero: infatti, mnovendosicla qualsiasivertice diversoda V e V/. la probabilità di terminare il gioco al passo successir.o è 1/3 e quella di continuare è 2/3. Dunque ta probabilità che la passeggiatanon sia terminata dopo n passi è (213)"-t, cioè tende a zero pet' n che tende all'infinito. Sia pertanto t.' la probabilità di arrivare in 1," e di couseguerva l. - r' la probabilità di arrivare nel vertice V. Dopo.la prima rnossasi arriva a uno dei verticl indicati con ,4 nella figura e per ragioni di simmetria non è importante saperein quale dei tre ci troviamo. Alla secondamossa,con probabilità 1/3 ritorniamo in I,". mentre con probabilità213 arriviamo in uno dei vertici indicati con B in figura. Per la simmetria della struttura che stiamo considerando,la probabilità cli arrirare in I,r' quando siamo in B è esattamente uguale alla probabilità di arrivare in I,/ quando siarno in A. In conchrsioneabbianio la seguenterelazione ó

r:-213\7-r) da cui t: : 215.

PROB 8

Sia r, la probabilità di possedereesattamerìten gettoni dopo un nurnero imprecisatodi l a n c i d e l l a m o n e t a . S i h a c h e r r : 7 1 2 € . i f 2: 1 1 2 + r 1 l 2 : 3 1 1 . I n g e n e r a l es i h a rr: r , r - y f 2 + r n 2 f 2 . d a t o c h e s i p o s s o n oo t t e n e r ee s a t t a m e n t en g e t t o n i o , a v e n d o n e r z - 1 . s e e s c e" t e s t a " ,o p p u r e )a v e n d o n e n - 2 , s e e s c e" c r o c e " . C o n s i d e r i a m o l a s u c c e s s i o n e delle differenzeconsecutivlt An : xrL-xn-r. Si ha che gn : *.U,r-tf 2 y, * Í2_ Ít : Il4, " quindi y": ell2)'. Questo permette di ricavareuna formula per Ín: 1

n

/

r \ ?

1

2

j-2

\\

z l

2 ' 4

1 - ', t\ - / - 1 -\ 1 - l Al cresceredi n questa espressionesi ar.r.icina indefinitivarnente a 2/3, e l'espressionecli y, ci dice che alternativamenter, risulta inferiore o superiorea213, e precisamentese n è pari. si ha che r,, > 2f 3 e se n è dispari si ha r, < 213. Il problernariguarda 1100,e quindi risulta r11,o) 2f 3. Alla soluzione si può pervenire anche col ragionamento seguente.

quanto la probabilità La probabilità r,, di ottenere esattamenten gettoni U t - =i,in di non ottenere 2 gettoni coincide con quella di ottenerne esattamente n 1 rnoltiplicata per la probabilità che nell'ultimo lancio si ottenga "croce". OIu, I'analisi della succes'2 cou yalore J1 : :'2 mostra che essaè rttta alternativarnenteminore e maggioredí213, e quindi si ha per ogni n: successione

siole clefirritaper ricorrenza: rrrì :1-'"'ît

r2n,-7

2 - :

.T2r,.)

z i

.)

Dunque rrco ) 2f 3. pROBg

Fissiarno un giurato A. Egti si troverà a far parte della rnaggioranza se almeno 4 degli '1 8 giurati rimanenti avranrìo votato come lui. Detta z 1a probabilità che esattameute giurati abbiano yotato come lui. abbiamo. per simrnetria, che la probabilità che piú cli 4 è uguale alla probabilità che meno di 4 giurati abbiano votato abbiano votato Ti_"-l"i . come lut. e ctoe , probabilità che A faccia parte della maggioranza è Pertanto la

1 r 1-r -"'- - + 2 2 2 l

-

-

-

Calcoliamo:r. Poichè ogni giurato ha 2 scelte.si danno 28 :256 possibilità di votazione. Di essedobbiamo considerarequelle per cui esattarnente zl persone votano "innocente" e 4 "coipevole". e ciò pnò avverrirein tanti modi quanti sono i modi di sceglierele 4 persone le'1 restanti), cioè in (;) che votano "innocente" (e di conseguenza

:70

modi'

La probabilità cercata è dunque

1 1 7 0 1 6 3 ,- t 256: 256 Il discorso precedentesi generalizzafacilmente a tutti i casi in cui n è dispari, cioè n I è pari, dando una probabilità I

r

1

t+t"'

n - l

\ d o v e I :/ l]1r,-ry/

Se invecen:2k è pari. A si troverà a far parte della maggioranzase almeno ft dei 2k 1 perfettamente giurati restanti avranno votato come lui. I,[a in questo caso la situazione è simmetrica, perchè A non si tror,'erànella maggioranza se almeno k giurati avranno votato diversarnenteda lui. L a p r o h a b i l i t aè d u n q u ee s a t t a m e n t ei / 2 PROB1O

Un triangolo contiene il centro del suo cerchio circoscritto se e solo se è acutangolo' Contianio quanti sono i triangoli ottusangoli che si possono costrtlire con i vertici nei 2n * I plnti assegnati. Sripponiamo che i vertici A. B. C di un tale triangolo siano disposti i1 senso antiorario e che AB sia il lato maggiore. Allora il vertice A può essere unó qualunque dei 2n -l I vertici del poligono e i vertici B e C si possono sceglierefra tltti i vertici del poligono che appartengono a una e una sola delle semicirconferenzein cui la circonferenzacircoscritta viene.suddivisa dal diametro passanteper A. Tali vertici /n\ sceltepossibitidei vertici B eC. Inconclusione sono esattarnenten equindi vi sono (, ) si hanno

( 2 n+ 1 ) ( ; )

140

Soluzioni

/2n f l\ triangoli ottusangoli. Siccometre ',.ertici clel poligono si possono s c e g u e r e u Ì 3 ) \ rnodi clir-ersi.la probabilità che r-rntriangolo che ha tali vertici sia ottrisangolo. e rlrirrcli non corrterngail centro è

( z n+ t ) ( i ) (t"r*')

( 2 n+ 1 ) ' n . ( n- 1 ) 3 . 2 ( 2 r t - rI ) . ( 2 n ). ( 2 n- 1 \ . 2

3 ( n- 1 ) 2 ( 2 n- 1 )

La probabilità che il triarigolo contengai] cerìtro sarà data clal cornplenlentare: -

PROB11

3(n-1) 2 r 2 n- I )

n-|l 2 \ 2 r -t l t '

Sia p la probabilità che. dopo n larrcidi entrarrrbii giocatori. A abbia ottenuto un maggior nunrero di ''teste": per evidenti ragioni di sininietria p ràppresentaarichela probabilità che,clopon lanci di entrarnbi.la sorte abbia far.oritoB. Per 1aregolaclellasorurna.l'evento "Dopo rt lanci sia di A che di B rrno dei duc lisulta vincitore" lia probabilità p f p : 2p: pert:urto la probabilità che i1 gioco sia pari dopo n lanci di entrambi i gi
p ( E r ) + p ( E: zr + ) ]lr-

zp):

1

i

il gioco risulta cquo qrralunqrresia il numero n. PROB12

Irrtanto si osservi che 2520 è divisibile sia per 3. sia per 4. sia per 5. Gli interi fra 1 er 2520 che sono divisibili per 3 sorio 2520/3:8,10. quelli clivisibili per ,1 sono 630, rria di clrrcsticlreìll divisibili sia pe'r 3 che pcr .1. cioè divisibili per 3 . 4 : 72 sono 210 e sono già stati contati. Dutrqnt' gli interi fino zi 2520 chc sono divisibili per 3 o per 4 sono 8.10+630-210:1260. Da questi irrteri occorretoglierequelli divisibili per 5. Essi sono o muitipli cli 3.5 : 15 (in rìunìero
5 sorro168+ i26 - 42:252.

Pertanto la probabilità che urr nlrnlero preso a caso fra 1 e 2520 sia multiplo di ll o cli ,1 r r a ì r u l rn r r r l t i p ì ,dri 5 è 1260- 252

lu0ò

2520

2i20

A^\/

Si noti che. per fare meno calcoli. si poter.a trovare quarrti sono glì interi con le caratteristiche desideratetra 1 e 60 e poi moltiplicare il risr-rltatoper 2520i60:42. PROB13

Il nurnero n2 termina con 1 se e sc-rlose n termina con 1 o con 9. Pertanto fra 10 interi consecutiviesattanrente2 hanno la proprietà richiesta. dunque 1a probabilità che prendendoun intcro a caso la rappresentazioneclecinraledi rr2 terrnini con 1 è 1/5. V-erifichiamoora in quali casi n3 termina c<-rn 1l: se n: 100m f r. or.e0 ( r < 100 allora n 3 : 1 0 6 n r 3* 3 . 1 0 4 r n 2 r+ l l . l 0 2 n i r 2 + r r l .

141

Probabilita'

hanno 00 come trltime ilue cifie decimali.pertarrto I prirni tre fattori di questaespressione le lltine clr-recifre clecirnali di ri3 sono le stessedi riJ. quindi basterà prendere in consicìerazionei rrurtreritninori di 100. Si vede facilmenteche r3 terrnina corr 1 se e solo se r termina con 1. clunquele sole possibilità per r sono 1 . 1 1 , 2 1 . 3 1 . " 1 1 ,5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 1 . I cubi cli questi nutneri termirtano rispettil'arnente con 1 , 3 1 . 6 1 , I 1 , 2 1 . 5 1 . 8 I . 1 1 .I 1 . 7 I . D11q1e solo 71 ha il cubo che terrnina con 11 e quincii la pr-obaltilitàrichiesta è 1/1tttt. dato che crgnicento nunreri cotlsecutivisolo tlno terttliti:rcorr 71. 14 PROB

I1cìichialrocorr C il tennista piir bravo. che dunque vincerà il tornco qualurtquesiano gli accoppiarlenti iniziali. e con V il vicecampiotie.cioè il giocatoreclte è piìr bravo cli tutti g l i a l r r i e c c { ' î t ì l A lioì c ; r r n p i o r r c . Se capittr che C e V si trovino a giocarel'uuo coritro l'altro al primo o al secondoturno. V sarà eliuiirrato e cluindi il secondo llrentio sarà assegnatoingiristarnente. Calcoliarlo l:i probabilità dl questo e'r.ento:al prirno turno V può giocare contro 7 possibili avversari, clunquecorr probabilità 1/7 giocherà contro il campirlne. r'enendocosì eliminato. Co1 probairilità 6/7 il giocatore \r passeràil tnrno. perché è piú brai'o det per il turno sttccessivo.uno rirlanelti: in qrresto secondocaso a'n.ràtre a\-\-ersarip<-rssibili cltriclualièc 2 /6\ /1\ Pertantolaprobabilit:ìcheVsiaelirninatoalsecondoturn [ ;o èI t - l : -7. l n c o l \7/ \3/ cllsione la probabilità che V non arrivi a disputare la fiuale è inaspettatalnente eìevata:

1 2 3 7 ' 7 - 7 -

-

!

-

-

-

-

13'/c

È anche per questo motivo che nei tornei ad elirninazionediretta gli incontri vengono stabiliti norr estraencioa sorte gli sfidanti dali'insiemecli tutti i giocatori, nta in urodo che: quelli piir Ìrravi (le "teste cli serie") si incontrino tra di loro soìo nelle fasi finali clel torrrero. 15 PROB

Poiclié 1c successiveestrazioni si possonoritenere inrlipentlenti. la probabilità che in rr " Poiche i colori prove esca.clei tre possibili, senìprelo stessocolore ò ovr.iamctite (l ) -sonotre. la probabilità pr di ottetìereselllpre1o stessocolore èr p'

I /1\" 3 (.,} :3,r ù , / \

Ltr proba|ilità che in una estrazioneescauna pallina di uno fra due colori fissati (ad esempio giallo e r.ercie)è eviclentenr"r,t" ]. La probabilità che in n estrazioni escanosoltanto /2\ "o Trrttavia clttestauon è attcora la probabilità richiepalline cli questi clue colori è ( : ) \ r,/ sta: infatti si vuole che escanoentrambi i colori. Pcrtanto O" (3)" 1.n" rappresentala \ r,/ /rt"' (che ò la prohahilità probabiÌità che i colori siano giallo e vercle)occorretogliere t (;) che iu n estrazioniescanosoÌo il giallo o solo il verde). PoichéÌe coppie di colori sono tre, la probabilità di avere paliine di due coÌori diversi è

P 2 - o '

l(3)"- \ : /

2 ' ,-' 2 _ ) . |/ 1_ \ |" ' l| : '

I

3"

142

Soluzioni

La proba,bilità p3 che si estraggano palline di tutti e tre i colori si calcola facilmente usufruendodella relazionep1 + pz * pt: 7: si ha 1

a n L

L

- L

o

er,-I

' J

- 1

o/,

-

I

'ln-I

PROB16

Calcoiiamola probabilitàdi ottenereesattamenteun "6" lanciandosei dadi. La probabilità di ottenereun "6" e cinquerisultati di'"'ersida ;!6:'in un ordineprefissatoè l 5 5 5 5 5 r /5\' 6 6 6 6 6 6:6\6/ ma vi sono6 : {/ 6. \I possibili"collocazioni" per l'uscitadel "6" e dunquela probabilità \r/ cercataè /6\ lr\ /r\5 l " l t ; l l ; l \r/

\b/

\b/

Ailo stesso modo si vede che la probabilità di ottenere esattamente k "6" lanciando sei dadi è /6\/1\k/5\6-a l . l l = l l - l \k/ \6/ \6/

A : 0 . 1 . 2 . . . . 6 .

La probabilità di veder uscire À "6" lanciando n dadi è ,

, k

l n \ l r" \ { , 1 { o,/ ; l

, -,

/D\ { ; l

n-L

\ o,/

\/f ,/ \

k : 0 ,1 , 2 . . . . r - t .

C N CC d E t t a D I S T R I B T - Z i O N EB i N O ] \ fI A L t r . La probabilità di ottenere almeno un "6" con sei dadi è il complementare della probabilità di ottenere zero "6": 2,.o ,616

r' - f o l l , 1 )( : \ - 0 6 6 i \o/\o/ \,., Con 6m dadi si ottiene che la probabilità richiesta è - - 1

, -

,

z , r À

, - , 6 , q - l '

-1 _r - r o , ,1ì 1 )l : l ?.\k/\oz \o./ 'k=0

Calcolando.con m : 2 e m: 3. si ottiene che la probabilità di averealmeno due "6" con dodici dadi è circa 0.619.mentre quella di avere almeno tre "6" con diciotto dadi è circa 0,597. PROB 17

Siano A e B i due amici. X Ìa classecon r studenti e Y la ciassecon E studenti. La probabilità che A vengaiscritto nella classeX è -+, mentre, sapendoche A è iscritto ' t !

n - a1 .. : x + A _r PertantoIa probabilitàchei due amici sianoentrambinella classeX è

in X, la probabilitàche ancheB vengaiscritto in X è

r(r - 1)

(r+y)(r+a-I)

143

Probabilita'

Analogamente. la probabilità che essi vengano iscritti entrambi in Y è data da P'{ :

u ( v- r ) (r+v)(r+y-r)

In concllsione la probabilità che A e B frequentino la stessaclasseè Px *pv.e si ha l'equazione

duurltte

r(r-1)+y(y-1) (r+E)(r+y-1) ossia

2 ( . f + a ' - ( , r + s ) ): ( r + a ) 2* ( . r* a ) , x2+a2-2ry-(r+x):3. (l)

(.r-yt2:r) g.

Si cercanole sofiizioniintere dell'equazione(1) compresefra 20 e 30. II numero r*g deve essereun quadrato perfetto. ma il solo quadrato compreso fra 40 e 60 è 49, si ottiene così (supponendo:t:> g)l !r-lu:49 \r-y:7 dacuir:28.A:2I. Pertanto ie due classihanno 2L e 28 studenti. 18 PROB

Supponiamoche la probabilità che un punto P. assegnatoa caso nel quadrato l-t, 1] x quadrato dipenda unicamente dall'area della 1-f , 11, caclain unaìegione assegnatadi tale cli realtà delle ladici di ir2 + at I b : 0 La condizione essa. ad proporzionale iegiorlóe sia e A:a2-4b>0. n2

Dunque deve essereb <

cioè il punto P deve

i.

giaceresotto la parabola di equazione,:

+

1 . 2 u 2 dell'areadelrettangolo è <ó< i 5 ì "favorer.ole"per avereradici reali -1 ( a < 1.0 < 6 a - I1, si ar-ràche I'area della regione

P o i c h è l ' a r e a d e l s e t t o r e p a r a b o l i c- 7 o1a

è l .2r

1 I Z l

/ (f \

-

t3 ;. b

r. ì,,.._ ,-r._, S ì c c o m e r a r e a d e l l ' i r r t o r oq u a d r a t o è 4 . l a p r o b a b i l i t à d i

1 0

,. .

t.)

- 0.51. t Affinché le radici siano entrambe positive, per la REGOLADEI SEGNi,occorre e basta che sia a < 0 (oltre ad essereA > 0).quindi la probabilità che l'equazioneabbia radici ' I 13-0.27. c n î r a m b e p o s l l l v e e2.1 Snpponiamo che il segmentoAB abbia lunghezzaunitaria. Se a, b. c sono le lunghezze clei segmenti in cLti A.B è sudclivisodai due punti presi a caso. a. b. c saranno 1elunghezze a r - e r er a d i c ir e a l i è

PROB 19

2\ í t : 3 /

< 1

dei lati di un triangolt-rse e solo se ( 1 ) a
b
c1al b.

L e ( 1 ) e q r r i v a l g o r ì oa (2) 0<-

I

.

1

1

l . t ( '2 ^

,

r ' 1 ^',2

infattisornrnarrdonaentrambiirnembriclia 1 , c i o èb + c > r r,. i ) Analogamenteper le altre rìiseguaglianze. Sianoora.ir e y le cìistarrze tia A dei cluepunti si:eìtia casosrrls€'glrì('rÌto ^18. Le corrrlizioli (2) si scrivono:

(3)

' t1

(3') :r', ,

1 9-.r<

z

l

( ;

1

:t-!l<

^*X---> A+ +!+

1

'a--A-l

t

,îl

',2:)

1

%v',

t

7 i x -t --L--+

Nel piano cartesiano(.r. y) Ie regioni indir-iduate ( ; ) e d a ( 3 ' ) s o n oq u e l l et r a t t e g g i a t ei n f i g u r a ( t e n r r t oc o n t o c h e 0 < . r ' . y < l ) . 9o La probabilitiì che. preso un punto a caso nel rluadrato [0. 1] x 10. 1], ie sue ct.rorciinate ;r:. I individuino due pttnti sri AB che verificano le concliziorriclel problerna è clunque il ra"pportofra l'area cleila regione "amnrissibilc."(quella tratteggiata) e l'area clell'intero quadrato. Si veclcsubito che tale ràpporto è p: ; PROB20

I risrrltati possibiÌiclell'esperirnento sono costituiti <ìatenre cli rmrneri (t:. y. z) c()r\r.. !.!.z scelti a caso e urtifortnerttentefra 0 e d. or.e r1è la lunghezza cli ciascuna sb:rrr.a. Consicìeriamo(.r. g. z) conie le coorclinatecli un punto c1iun cubo cli spigolo r/. La prc.,b:rlrilità clte il ptrnto (t'. tL.z) giacciain rrna clataregionecÌerl crrboè ugrraleal rapporto fia il r.olurrredi qriesta regione.e il volurne clel cubo. Deterrniliiarnoqtral è la regione del cubo che genela esperirnerrti"favoler-oli".cioè corr t:, lJ. z che sono le lungliezzecli un triangolo acutangolo. In rtrrtriangolo acutangolo,pcl il TEoRtr\{A DI CARNOT.il quadrato di ogni lato è nrilore o trgutilcalla sotrtntadei qrradrati degli :rÌtri due ltrti. Pertanto i punfi (t:. y. z) che clanncr hiogo a risrrltati "far.orevoli" verificano le clisegriagliarrze ( 1 ) , i 2+ ! r 2 >

,2 +;2 > y2

"2

y 2+ . 2 > f

L'eclrraziotie ,2 + u2: :2 caratterizzai purrti che liernnoclistanzatlrrll'origincuglaÌe alltr clistanzatlall'asse:. cioèri prurti di un cono che ha vertice rrell'origirrce assecoirrciderrtc c o n l ' z r s s c: , ( r ' t ' r ì i1 ns e < . r i r r rf li ag r u ' i r ) . t z

/G----------I prrnti cìre verificano la rliscquazione :rl + ll- < :2 -.aLatirroirrvcce i prurti interni a tale: cotìo. S e s i c o n s i d e l as o l o I a l , o r z i o n e i r r t e r r r aaÌ cubo. il r'olume di questa r-egione(un quarto cli cono) è t

-.t2 1

=iTrl-'d:-

:l

^ u

12

145

Probabilita'

Analogamente. le diseguaglianze f + z2 < A2 e g2 + 22 < r:2 iclentificano dei quarti di cono con asse coinciclente rispettivamente. con l'asse g e l'asse rr (r,edi ia terza figura). Si noti che tali trc quarti di cono sorìo a due a clne clisgiLuiti e clie le diseguagliarrze (1) sono verificate dai punti clcl cubo che norr sono interni a nessurìo di tali coni. Il voltrntc della regione "far-orer.ole'' (la regione dei punti clel cubo che sono esterni a tre coni) ò '1 -.1.t u / l u

- - l rlrrirrrli d" -

t

d"-

-

e la probabilità ricliiesta vale così

if(J3

d:J

I

-

1 - i i

- (.r.211-,,

LOG1

La risposta è (C). Roberto sconnìette che la nazionalevincerebbesempre, a patto che Bearzot ne tornasse alla guida. Affinchè Roberto perda la scolnnìessaè dunque sufficiente che Bearzot ritorni alla guida della nazionale e che questa non vinca sempl'e,cioè che perda o pareggi alnrenouna volta. La risposta esatta è dunqr-rela (C).

LOG2

La rispostaè (C). Infatti se fossesoddisfattauna qualsiasidelle altre qnattro affermazioni. allora automaticanienteanche Ia (C) risulterebbesoddisfatta. coritrariamenteall'ipotesi che una sola di esseè correrra.

LOG3

La rispostaè (C). Basta osser\-are che ia secondaipotesi equivalea dire che "tutti i maschi sono maggiorenni".e quindi. sapendodalla prin'racondizioneche "esisteun rnaschionon tifoso dell'Inter". possiamodeclurreche ''esisteurr maschio maggiorenne"e "non tifoso dell'Inter".

LOG4

Il teorema piii forte risulta essere(E). che afferrnache i numeri specialisono tutti minori 4i 10tot-toe quindi in particoiare esiste solo un nunìero fìnito di numeri speciali. Da quest'ultimo fatto seguonoilnmediatamentegli enunciati A. B. C e D.

LOG5

L a r i s p o s t aè ( A ) . D a l l a r e l a z i o n e3 a : 2 b s e g u ec h e a d e r . ee s s e r ep a r i . d i c i a m oa : 2 r t e d i c o n s e g u e n z a b : 3 n .e q u i n d i a l b : 2 n l 3 n : 5 n . P e r r e n d e r sci o n t oc h e l e a l t r e t r e conclusionisorìoerra,tebasta considerareo :4. b:6.

LOG6

La risposta è (C). Negarela frasesignificadire "Non tutte le volte che ho presoI'onrbrello non è piovuto" ovvero "C'è stata ahleno una volta che ho preso I'ombrello ed in cui è piovuto", che ovviamenteè una perifrasi di (C).

LOG7

La risposta è (B). Se supponiamo che Giovanni sia il piìr giovanecalciatore che gioca a tennis, ogni tennista piír giovane di Giovanni non gioca a calcio. altrimenti sarebbe un calciatore tennista piú giovane di Giovanni. Si noti che (A). (C), (D) sono facilmente f al s i f ci ab il i i n o p p o r t r rrre c o n f g i r r r a z i orri .

LOG8

Si può affermare che sull'isola ci sono tanti furfarrti quanti cavalieli (quindi n è necessariamente parl). L'affermazione di A1 non può esserefatta da un furfante (perché sarebbe vera) dunque ,41 è un cavalieree quindi ,4,, (che ha rnentito) è un furfante. Se n ) 2. analogamente. I'affermaziotredi 42 non può esserefatta da un furfante (perciré sarebbe vera) e dunque anche,42 è un cavaliere.e dunque A,-r è un furfante perché ha mentito (quindi n non puo essere3). Procedendo analogamente.si vede che finchè lz < ! I'affermazione di A7, non può essere fatta da un furfante. perché sarebbeautomaticanrèntelera: pertanto A7. è un cavalierc e quindi A,-n è un furfante. Ora se n è pari questo porta a concludereche vi sono tanti cavalieri quanti firrfanti. Se. invece. n fosse dispari. si avrebbe un assurdo: infatti 4 t , . . . , A . - r s o n o c a v a l i e r i ,A r , , A n . - t , . . . . A r i l s o n o f u r f a n t i e A 4 1 n o n p u ò e s s e r en ó cavaliere(perchéavrebbe mentito). né furfante (perchéavrebbe detto la verità). SECONDASOLUZIONE Il numero dei furfanti è uguale a quello dei cavalieri. Infatti ,4,, afferma che tutti sono furfanti e quindi non puó essereun cavaliere. Di conseguenzaA1 dice la verità ed è cosí

Logica

147

rrn cavaliere. È poi chiaro che se m ) i e Ar,rè un cavaliere.allora anche A; è un cavaliere mentre se A; fosse r1n furfante. anche A, sarebbe urr furfante. Si tratta cosí di trovare quel numero m tale che 41. ...,A,,, solo cavalierimentre A,r'+1.....Ar sono furfanti' Dalliaffermazione (vera) di A.,, segueche ci sono almeno m furfanti: dall'affermazione (falsa) di Ar,+1 segue che non ci sono m * 1 furfanti: cioè i furfanti sono esattamente nl . hl definitiva. abbiamo rn cavalieri ed rn furfanti. per cui n : 2m'. LOG9

chiedendogli"Se voi foste dell'altra famiglia quale stracla Basta far nentire lo sconoscir-rto mi indicheresteper raggiungereiì r'illaggio?" il contrario deìla Qualulque sia la famiglia di appartenerizaclellosconosciutola lisposta è verità. N{a vi sono anche soluzioni più rafhnate. ad esempìo i1 viaggiatore può indicare ttua ''Se r.i dornandassise questa strada porta in città, cosa nii clelle111estratlere chiedere rispondereste?"Il mentitore è costretto a mentire sulla propria risposta. che è essastess:: una menzogna!

LOG1O

Il primo esploratore non può aver visto in capo agli altri compagni due cappelÌi neri. altrinenti il s1o cappello non avrebbe potltto essere che bianco. In seguito a questo ragionamento. il secondoesploratore sa dunque che lui stessoe il terzo ron possono avere in testa entrarnbi un cappello nero: se avessedunque visto un cappello nero in testa a, terzo. avrebbe avuto la certezzadi indossareun cappello bianco' Così non è. dlnque egli ha visto in capo al terzo esploratoreun cappello bianco.

FUNZ1

L a r i s p o s t aè ( E ) . I n f a t t i s i h a 1 2 t * r - 2 ( 2 ' ) 2 .

FUNZ2

Si veclefacihncntcche ./(nr. in) : (1- rr)"' e qr.rindi.se si vuole che ./ sia linritata. si cleve a v e r e] 1 - o ] < 1 . h r o l t l e s i t r o r " aa n c h cc h e / ( 1 . r i ) : . r " ì ( 1 - o ) , e q l r o s t oc o r n p o r t ac h e CIl < 1 C)uindi uua condizione'necessaria per verificarel:r diseguagliarizavolirta è che a sia un nlrnìeroconìpresofra 0 e 1. \ecliamo che tale condizioneèrin rcaltà sufficiente: basta ragiortarepcr INDI--ZIONE rispetto a n ed osserr:are che se per ogrri rn iltero positir',' s i h a l . / ( n r . n ) i< 1 9 8 9a l l o r a r - a l ea n c l i e] . / ( r n . nr 1 ) ( 1 9 8 9 o* 1 9 E 9 ( 1- o ) < 1 9 8 9 .

FUNZ3

Sostituerrdn o c l l ' e r l u a z i o r ìre : 9 : 0 s i o t t i e n e - 2 f ( 0 ) : - 2 . c l ac u i . / ( 0 ) : 1 . Ponendo ;r:: 0, lJ : t r: usando l'inforrnazionc gitì otteriuta si lic:n'it (1) f(t)+2.f(-t):3-1: sostituencloor:ì .r' : 0 i. u : -1 si ha

( 2 ) 2 f ( t ) + f ( 1 ): 3 * r . \Ioltiplicando per 2l'cqutrzione (2) e sottrtrendola mc.mbro a rneurlrro:rlla (1) si otticne facilnrerrte f (t) : | + t. Vice."ersa è imnrecliato verificarc chc la funzionc /(1) : 1-r1 r'erifìc'al'equazionc frinzionale.

FUNZ4

P o i c l rfé( r ) - 0 c / ( 2 n ) : 2 . f ( n ) + 1 . s i a v r à. / ( 2 ): 1 . / ( l ) : 2 . f ( 2 ) +1 - 3 . / ( 8 ) : 2f (4) + 1:7. e irr generalc per INDI-'ZIONE è fncileverificare chc . f( 2 " ) - 2 " - 7

nal opìì|,

Si avrà aliora:

, f( 2 "+ r ) : 2 " - 2 . ' t f ( 2 "+ 2 ) : f ( 2 ( 2 " - + t ) ) : 2 i (f 2 " - r+ i ) + I : 2 ( 2 "

Z )+ 1 : 2 ' '- 3 .

e in generale

f ( . 2 +" k ) : 2 " - A . - 1 .

A':1. 2.

atr

1

R i s u l t e r àa l l o r a / ( 2 " - 1 ) : 0 p e r o g n i n . .i l c l i e p r o v a l a p a r t c t r ) . Poic'héi valori assturtidtrlla funzione f (n). :rl crescerecli rr da 2n 'àrt'+r 1. sonocostitliti cla tritti i nunreri in ordinc cìecrescente da 2" - 1 a 0. t\ or.r'io che f assurne.e irrfìnite volte. ogni plefissatonllmero non negatir"o.da cui seguela parte b). hr particolaresi ar.rà 1 9 9 1- ' 2 t r_ 5 , 1 : . f ( 2 r 1 * 5 3 ) : / ( 2 1 0 1 ) .

149

lunzionali Relazioni

FUNZ5

Piìr in generale.per ogni intero n si ottiene allo

: l/(r)]'

Ponendo t: : lJ, si lta f6/2r) stessornodo

( 1 ) f (t'tn '): l /('')1 " P o n e r t c l oi n q u e s t ' u l t i l l ì . Ì r l : P 2 . : t : 1 .

o v e p è r - t ni n t e r o ' s i a v r à

l ' 2 ) f ( P ): l / t t ) l u ' : ( t P ' ./(1) : costalìte. 4 ,rn lnlmcro razionale. Ponenclo uell'equazione (1) n Sia ora r:

cotr .r :

,

f @l: FUNZO

q2 e t:

-r)s r h a q

, Q t . u '

lf (a )l

t \r/.1

Pottettclo .f :

c o n t oc l e l i a( 2 ) s i o t t i e n ef ( : t ) : , t " . e teuenclo

0 e ir :

uell'ec|-razioue

l(0)

f(r-.f(a))-r-.r-u. s i o t t i e n c / ( 0 ) : 1 - / ( i f ) - 0 . d a c L r il ( 0 ) :

1 2

t'o a y - { )e . r ' - I P,rttetru clo l..i

/ ( i ): r ( ' * ; - ; ) : 1 - 1 - : : : - , 1per ogni I l'ec1ua1 r-isolve D'altrzrtrarte'è inrmccliatoverificareche la funzione/(l) : i ziorie funziortale in qttànto / f t . ,- f ( t t t \ : f | . r \ FUNZ7

PrtStt-, / :

.i"u. colì

.r' :

1 \ -; r l t ) : ,

r, :

1

- f/ r - tt + a\ ) : l - r - y . \

cO:T alll e. :i

-

/

ottiener imrnediata

nrentey:1o8, I e sostituencìo

nell'eciuazioric : )clog/ ' . f( t ) : 1 o g . , 1 . 1 ' ( a o\-e c e Lill:ì costallte.

furrziorrcclellafbnna clogl' qualunquesia il nrulero c' verifical'ec1ua-

Ì.,1[.:rt,JiloBni FUNZB

Porlendo'ell'eqttaziotle data 'r':0'

'U: l' si rica'a

( l ) / ( t ) + f ( . - t ) : 2 l ( 0 )c o s/ . Con .r : ] + t c t1:]

si ha iuvecc

(2) f(t+r)+/(f):0. r l e . t r c c o l r; r .:

L ",

:f

+t .l ottie*e

( 3 ) . ff t + r ) + . / ( - r ): 2 f' \ (' i2 )t . o .(\ *2 * , /) S o m r n : r r r c l(o1 ) a ( 2 ) e s o t t r a e n ( l ol a ( 3 ) . p o s t o r t :

/tO\.b:

f (;)

"

r i c o r c l a n d oc h e

,,u, 11 + tl : sen ú. si ricava / \2 . f ( t ' ) :a c o s l * b s e n 1 . D'altrzr par.telsando le formr-rledi somnra è faciìe verificare che tutte le funzioni di questo assegtlata. qualunclrersiano i vtrlori di n e di Ò.1'eqr.razione tipci sgdrlisfzrno.

MAT1

La risposta è (C). Detta r la percentuaìedl zuccheronella marrnellatadietetica (e quindi 96 - z la corrispondentepercentualedi frr-rtta).poiché la marmellata normale ha il doppio di zuccheroe Ìa metà di frutta. si avrà Q 6 - r " 2 r - l " " ,2 : 9 6 .

d a c u ix : 3 2 .

MAT2

La risposta è (D). Su 100 rigori. 60 sono assegnatialla squadra di casa e 40 alla squadra e s t e r n a .D e i p r i n i i 6 0 . t ' 8 0 % , o s s i a *

1t . , t ,

U O : 4 8 . v a n n o a s e g n oe i r e s t a n t i 1 2 n o . D e i

secondi 40. I 75%. cioè 30. vanno a segnoe 10 no. In totale varrno in rete 48 * 30 : 78 rigori ogni 100.

MAT3

La risposta è (B) Se À è il numero di abitanti e r il numero di quelli che parlano entrambe Ie lingue. si ha che cluelli che parlano il tedesco sono (60/100)A-, quelli che parlalo il francesesono (70/100)À e À risulta essereii nr.rmerodi quelli che parlano tedesco più cluelli clie parlano francese meno quelli che parlano entrambe le lingue, in quanto sarebberocontati due ."olte. In definitiva

t : cioè;r:

60 ._ - 70

*ì

-' too'\

( 3 0 / 1 0 0 ) , \ , e q u i n d i i b i l i n g u i s o n oi l 3 0 % d e l l a p o p o i a z i o n e .

MAT4

La rispostaè (E). Infattillprezzo finale clell'oroè dato dal prodotto del prezzoiniziale per i vari rapporti con cui cambia ogni anno. e quindi è inessenziale I'ordine in cui compaiono tali rapporti. Per la precisione.1l prezzofinale uguaglia il prezzo iniziale noltiplicato per 1 . 0 5x 0 , 9 7x 1 , 0 2 5x 0 , 9 9: 1 . 0 3 3 . < 1 . 0 3 5 . Si osserviche si può escludereche il prodotto sia uguale a 1035/1000anche per semplici rnotivi aritmetici (ad esempio.1035 non è rnultiplo di 11).

MAT5

La rispostaè (B). Se Àr è il numero totale degli studenti dell'annoprecedente,nel corrente anno scolasticosi hanno f

- ]9-v 100

: 9-a 10

studenti. I1 numero delle lèmmine dell'anno

-\i5 9.1\ 999^, -\'/" , p r e c e d e t r t " O t . q r r c l l o d e l l ' a r rcr o r or si ror l 0 0 - : l ' - f : 2 0 0 ] : - \ ' : t l t - - / e d u n O u e la percentualedeile fernmineè calata dell'1%. MAT6

La risposta è (C). Considerandogli aÌÌievi a gruppi di 5 (2 tagazzee 3 ragazzi).il numero totaie di allievi sarà 5n or,-en è il nuinero dei gruppi. La sornma delle età di tutti í ragazzi s a r à ( e s p r e s sian m e s i ) : 3 n ( 1 5 ' 1 2 + 5 ) . m e r ì t r eq u e l l ad i t u t t e l e r a g a z z es a r à2 n ( 1 4 ' 1 2 + 7 ) . L'età media dell'intera classesarà allora

( 3 . 1 5+ 2 . L . \ ) 1. 2+ ( 3. 5 + 2 . 7 ) 5 cioè 15 anni e 1 mese.

73.12+29 75.12+5 5 5

151

Matematizzazione

MAT7

La risposta è (C) Paperino vuole dormire 10 ore e mezza e la sua sveglia perde otto rninuti ogni ora. quindi perderà 10,5 x 8 : 84 minuti durante le 10 ore e mezza. Tenuto conto di questo, quando la sveglia di Paperino indicherà le 7:06 I'ora reale sarà appunto le 8:30.

MAT8

La risposta è (C). il numero 13 compareall'inizio delle 4 cifre del display per 60 minuti al giorno, compare alla fine una volta ogni ora quindi 24 minuti al giorno e cotnpare al centro 30 minuti, dato che il numero 1 compare a1 secondoposto quando è l'una di notte, le 11 di mattina e le nove di sera e in corrispondenzadi ognuna di queste possibilità il 3 al terzo posto rimane per 10 minuti. In conclusioneil tredici compare60+24+30-1 - 113 rninuti, tenendo conto che la configurazione13:13 risulta contata due volte con il procedimento descritto.

MAT9

La risposta è (B) Indichiamo con r la velocità di nrarcia normale del treno espressa in knr/h. Di norma il ternpo impiegato rrel percorso fra A e B è 20lu ore. Quando il semaforoferma il treno per 3 minuti (pari a 7120 di ora), la secondaparte del percorso viene ctimpiuta a velocità r'f 10 km/h. dunque 10-L1 10 _20 r r ' +lU 20 i' r' Questa equazioneequivale a ,'2 + 10i'- 2000 : 0, che ha come sola soluzionepositiva -5 a f251- 2000 - -5 + 45 : ,10. Dunque la velocità normale del treno è 40 km/h. Per arrivare in orario qr-randoil semaforo ferrna il treno per 5 minr.rti Qlf2 ù ora) dovrà allora essere 1 12

1 0 1 0 1 0 l{J r .r

ove r denota I'incrementotli velocità. Da questa relazionesi ricava allora r : 20 km/h. MAT1O

La risposta è (D) Nella figura seguenteè riportato il percorsodel centro del tavolo: è formato da tre segrnenti rettilinei e cla due quarti di cerchio di raggio mezzo metro. La lunghezzatotale in metri di tale percorsomisura 1

1

1

.

r

t + 3 + t + 2 . 0 r : 4 - 11

MAT11

La risposta è (D). Per ipotesi la velocità del locorrrotorecon n vagoni agganciatiè pari a 120 - ky/f kmlh. Sappiamo che con ,1 vagoni la velocità massimaè 90 km/h, dunque I20 - k\/1: 90. da cui À : 15. Siccome120 : 15 '8 : 15r,/64,se si agganciano64 vagoni il locornotorenon ce la farà proprio a muovelsi. Al piú duttqlre quel locomotore potrà trascinare63 carrozze(rna moito Ìentamentel).

MAT12

La risposta è (C). La stmttura metallica si può sviluppare in un tubo cilindrico corne in figura e quindi 1'areadella superficievale la circonferenzadella base per l'altezza del cilindro.

I

152

Soluzioni

MAT13

La risposta è (R). Se i chre ciclisti irnpiegano un tempo T per ilcontrarsi la seconda volta (e cioè pcl fare uu giro cornplerto cli pista). nell'istante.r:f essi avrarÌno pei'corso rina disîanza lisltettir.aniente rrguale a J e .l' kni. Al ùronrento clel lolo printo ittcorttlo essi cler.'orro:ìv('r'percorso corrrpierssivanlenter.rnadistanza ttgttalc a 1 knr. cioè

' ) - l f V D l=

cla cui .i

(esscnclo.r'> 0)

S t r C O N D AS O I , U Z I O N ] l La legge olalia clcl prinio ciclista è s1 : i'1. quella rlel seconclo è s2: jal2. dove r ecl ct sono rispettivarnente la r,elociti\ del prirno ciclista e l'acceler:rzione del secnrido. Poiché essi si irrcorrtrarro in J clopo aver effettr.rato utt giro cornpÌeto. si avr'à I . 1--tt'l':t'T

2

d ; r t ' r t if - | I , ' . c i t , i , t ' 2 r '.2 Il prirno irrcontro in R trvvieuecluanclol:r sorrrrrraclelledisttrnzc percofscÌè uguale :rlla lunghezza<ìellalrista. cioò :r 1: 1 , , - r l t ' * t ' /- 1 . 2 e s o s t i t u e r r < sl oi r i c a r - t (r , ' 1 ) 2+ i ' 1 : 1 . c ' i o ès l * . s t - 1 : 0 .

d a c u i s 1 : 6 f c - t 11 Z

MAT14

La risposta è: (B). La faccia incollata tlel clado superiore(\ l. poiclié è opposta nl 6. Le le f:rcceoppostc:r fircce.irrcoìlate ricl rlaclr r:cntralcsc)no2 e 5. pcrcfròsi tlcvono es<:hr
MAT15

clal punto:l rrelsuo rnor.'incntoè:ovviamerttelorrntrtcr La r-ispostzr è:(A). 11Ìrrogclcle-*c'ritto dagli arc'hicli ccrchio rk'1lascguerrtefigrtr:r:

r: clunque la lurrghezztr tlella c'rtrr.trrlcsclitta tlir I è 1 .)-

-+

, a i t

MAT16

f

t,2="/2,-(,*f) fr^r

|

\

-

/

. r12rlerrti risprettivanente. La risposta ìr (B). Duc iugranaggi contigrii À t , R . : , c ' o n r 1 1 dL . fr:i il nurncro cli giri compiuti nello stesso rllotano in versi ol)posti cr)n urì rapporto ; intcrvalkr cli tcrrrpo.

153

Matematizzazione

Affinchè il rnecanismo possa girare è dunque necessarit.rche il nuntero delle nrotc sia pari (trltrirnenti. considerauclo ad c.se.nrpicri -qottorneccanisr.ni inferiore c superiore. Ie ruote esterne dovrebbero girare concorclcmente ecl in,r't'rso opposto). \Ia rluesta condizione è si ottiene fra i rurmeri di giri compirrti ;f da ingranaggl anche nt-ruloltig,rri. inrlipelrlentr:mrutc dal pelcorso scclto per c'alcolarlo. anc'he sufficitutc.

perchè: il niedesinro rtrpporto

MAT17

La risposta è (B). Dall'aÌtra piirte della porta si avrà una sernplice inversione clella destra con la sinistra. quincii k: lettere si leggeranno in ordine inverso e V. A, I, T restano invariate. nrentre 1,. N. & cìivengono rispcttivamente J. h.sE(come si può r.erificare copiando l:r scritta su un foglio c guardanclolo cotrtrohice dolro averlo girato).

MAT18

Sia P iì prrnto della prinr:r nroneta che è inizialrnerrrte:i contatto cou la serconcla.Siccorne ia moneta, Lrrota scnza strisciare irrtorno alla secorrda. se iÌ srto ccntro ruota cli trn arrgolo o ii prurto P ruota. rispetto a talc r:errtlc'r.rli rur ulteriore angolo r:r. CourpÌessivarnente clunclue Ia rnoneta ruota cli un arrgolo uguale a 24.

f I

11ccntro della prima ntoneta rtrota cli 120'' fiuo a cluirurìoessa r-iertt'à corltatto con la terza lìolìeta. Durrcpe. rlurante cluesta ftrst'. 1:r rnolìeta ha ruottrto in tutto cli 2.10". I1 centro della tuoneta mota poi di 60o fiiro n portarsi a contatto con la quarta nroneta (seconda f i g u r a s o t t o s t a n t c ) . I n t o t a l e . p e r r l 1 a . s i h a u n t r r o t a z i o t ì e d i 2 , 1 0 "+ 2 ' 6 0 " : 3 6 0 " . Il percorso r--Ìreltr rtroneta dcvc uÌtcliormente c.ffettuare è: sirritnetrico a1 precedettte. Perttrnto al tcrrnine la nroneta ha rr-rotato cli 2 aneoÌi siro.

MAT19

Sappiamo anzitutto cherAlghcro e Cagliari sono collegate du un volo ATL E cl'trltra parte cr.idt:nte che ogni città ò collegata colì r.r1ìr-olo ATI a Alghero o a Claglitrri (o arl entrarulte). altrinrcnti salcbbe pos-sibilelaggiunge.re.Alghero ci:r Cagliari iitilizzartclcr solo voli Xlcrirliana. Cousiclcriamo ora cluc
154

Soluzioni

Si consideri il grafo in cui i nodi sono le città considerate e i rami sono i voli N'feridiana. Arnmettendo che due città non siano collegate contemporaneamenteda un volo ATI e r-rn volo N'Ieridiana.i1 grafo complementare è quello i cui rami sono i voli ATI. MAT20

Nel caso di un polìgono convessoP. il luogo dei punti esterni a P e a distanza Ó da P è costituito da tanti segmenti rettilinei quanti sono i lati di P e che formano con essi dei rettangoli di altezza Ò: tali segmenti si raccordano fra loro con archi di cerchio di raggio ó e ceutro nei vertici clel poligono. L'arnpiezzao, cli tali archi di cerchio è ovr.iamentesupplenientareall'ampiezza31 degli angoli corrispondenticli P (Figura 2). cioè per ogni vertice V1 si ha r: t:7T - 3i.

DuncpreI'ampiezzacornpicssivadi tali archì di cerchioè uguale a . r 1t . r 2 - f . . . - f { \ , : 7 1 v - ( J r + , 3 2i . . .

+ i 3 " ): n î - ( r t - 2 ) r : 2 r

(si ricordi che la sonrmadegli angoli interni di un poligono convessodi n lati è (n * 2)zr). Ne segueche il perinietro del luogo consideratoè L: p-l2rb. rnentrel'area dell "striscia" .orr.pi"ru fra le coste clell'isolae il confineclelleacque territoriali misrtra A: b ' P I rh2. Nel caso di un poligorìo non convesso,a parità di perimetro. sia Z che A diminuiscono; infatti per ogni angolo concavo rispetto al cornputo precedentebisogna togliere i segmenti è rrraggioredell'arco cli lunghezzaó che AB e BC (Figr-rra3), la cui lunghezzacornplessiva si guadagna negli altri vertici. Analogamerrte per l'area: si deve togliere ii quadrilatero VABC che ha area nraggiore di f MAT21

. che è qr-rantosi guadagna negli altri vertici.

Inclichiamo con A; il numero ,11p"lo.ri differenti che permettono iì Nfarco cli raggiungere l'l-esinio gradino. Si osservichc Nlarco pLròraggiungerel'l-esimo gradino o direttaniente dall'(l - 1)-esimo o con un balzo di due gradini dall'(z - 2)-esirno. In altre parole.sc indichiamocon A; il numero cleipossibilipercorsiper arrivareall'i-esimo gradino Ai:Ai

z|_Ai-t (r>3) .

Si ha poi evidentetlente'

Ar:1 dei Nultnnl DI FIBONACCI. A, è proprio la snccessione e quindi la successione Si ottiene facilmenteAs : 3. A+ : 5. As : 8. . . .. fino ad avere Arc :2584. Si ossen'i che lo schemadel rasionanìento è esattamente lo stessoadottato nella soluziorie 20. del oroblema COMB

Risolvere un buon problema di matematica è il piìr delle r.olte una sfida e raramente si perviene aÌla soluzione senza uno sforzo intellettuale, anche irttenso. Ci è sembrato opportuno suggerire. al termine di questa raccolta di gare nratematiche. r,rnbanco di prova e di stimolo per i lettori. Quelli che seguonosono 60 problemi di vari argomeuti e di vario livello cli difficoltà, in e ordine sparso.Di essinon forniremo ia soluzione.lasciancloal lettore la sodclisfazione il piacere cll scopriria da solo: qr.ialchesuggerinlento (raccliiuso entro parcntesi quadra) lo potrà aiutare. i\la attenzionel Fra i problemi proposti ve ne sono alcuni semplici. altri piuttosto impegnativi. In particolare due di essi sono veramente clifficili: provcngono dalle Olimpiadi Internazionalidi Nlatematica. Perchénon conclucierequesta prenìessaproponendoun 61-esimoproblema: quali sono?

MISC1

Uno scoiattolo dice a un altro: "se rni dai una noce ne avrenìo lo stessonumero". L'altro risponcìe''seinvecemi dai tu una noce, io ne a','ròil doppio delle tr.re".Quante noci possiedonoin tutto i due scoiattoli? fDetti r e g il numero di noci che i due scoiattoli hanuo accrtrnrtlatoltasterà scrivere le ciue equazioni che traducono le inforniaziotii date e risolvere il siste'nia. \Ia del problerna si può trovare anche una soluzione più rapicla e furba. . . ]

MISC2

Nella cerimonia di inaugurazione dei rnonclialidi calcio di Los Angclcs vi era uu gruppo di figuranti che ha percorsoparte clel canìpo in forrnazione. All'inizio
MISC3

Se ABCD è un quadrato e ABE un triangolo equilatercr con .E interno a1 qr-tadrato.si trovi la misura dell'angcrlo DEC:.

MISC4

Si tror-i il rnassirnocoillurì divisore di tutti i numeri interi di 6 cifi'e costituiti ripetendcl un nunrero di 3 cifre, cornead esempio123123 o 496196.

MISC5

Si trovi la somuradi tutti i numeri di tre cifre formati soltanto tla cifie cÌispari.

Mrsc 6

Un triangolo equilateroha lati di lunghezza{v€. Ut punto P ittterno ad essodista 1 da un lato e 7/3 da un altro lato. Trovare la distanza di P dal terzo lato. .. lla somrna,clelleciistanzecli un punto iuterno P clai lati notr dipende da P. ]

156

Miscellanea

Mtsc7

Siano a. b. c tre numeri reali tali che a2 +b2 +c2 :1,. Determinare il r-ninimor,.alore diaó*bcIco. l(a+ó+c)2-...1

MISC 8

I - n l r a t t o r el r a l e r r L o t rp. u s l l l i ( , t jr o l t r t t ti a g { i o e l r , ' ò , l i l ! r ' m l n a ! , g i o rdei r l r r e l l c anteriori. Si c'orrstataclie le nrote anteriori effettuanoogni chilonretrocirca 31-1giri in pirì rispetto alle posteriori. Qual è approssin'ratir-arnerrte il raggiodelleruote posteriori?

MISC 9

Vi sono trc illustri poÌitici A. B. C. A cliceclie B rnente. B rlice che C rriente.C clice A e B nrentono. Chi nrcnte c chi clicela r-eritàl ch<-.

Mtsc10

LÌn escursionista ptrrte all'alba da rur lifugio e raggiuuge entro il tramolìto la vetta cli un nìonte percorrenclo urìo stfetto seltiero. Egli ogrii tanto si fernrar pel riposarsi e rifocill:irsi. e colrìilnque l:i lapidità cìeila -*uacscursione è rnolto r.arla. ciipendendo clalle asperità clel percorso. L'cscrirsionista bivaccir in cina al nontc e all'alba del giorno successir.-o inizia la cliscesaa1 rifugio. percorrenclo lo stcsso sentiero. Dimostrare che lungo il percolso r-i è un pruito in cui l'escurslorrista è passato in salita ed in clisccsa alla stessa ola. ''scloppi" l'escursiorrista: Lrno sale. l'àltro scende... si der-ono incontrarel] lSi

Mtsc11

Su una circonferenza si indir-i
\r,

,./.)

\'.-

---l

n=2,N=2

n=4,N=8

n=5,tV=16

[Dalla analisi dei casi palticolari consiclelati rrella figura sembrerebbe di potc.r dedurre clre Ài : 2tt-1. \Ia la folrrnila -si.rir-ela elrata per ogrri n suc( essi\.o. La forrnula t) c o r r e t t aò - \ : , , * ^ , ' e s e ' r p i o p. € r / r : 6 si ha.\':31 e norr ('j)* (" r \ : 3 2 c o n t e c i s i s a l c ìr h e a s p F t i ì t i l l

Mrsc12

Mtsc13

rla nrolto lontano un carnpanileil cui tetto è a fornia Guarclarrclo di pirarnideregolarea basequadrata si r.ecleuna sola facciadi tale pirarnide:essaappare all'osserr-atore sotto fomra di un triangolo equilatero. Supporrenclo chc il lato di base sia 5 rn. qrranto r-alc I'area cornDlessir.a del tettol

2.3

3 .l

1 J.i

j*l

l*i

l*1

L a s u t n n r ar l e i p l i r r r i l i {I termini clellase'rie

_ 1+ _ + 1_

A

1 T (n*1)(n*2)

'l è a/ó. dor.e o e Ò sono iriter-i positivi pliuri fra loro. Quanto lale a -r ó

lSi ossen.iche ( r i r l ) 1 r r + 2 )

Mtsc14

I I I _ I

n+ 2

Due parabolesi intersecanoirr -1punti e lianno glì che i -1pruiti di intersczionestarì1rosu un cerchio.

ortogonali fra loro. Dinostrare

157

Miscellanea

Mlsc15

il triarrgolo ABC è isoscelee i quattro Nella fignra a fianc<.r segrrrentiC^B BE ED e DA sono uguali. Quanto valer l'angolo EAD'l

Mrsc16

Se Lrn rrurnerclpositivr-r,V r,iene rappresentato in base 9 essoha tre cifre. EsprimencÌcr Àr in base 6 csso ha àrìcora tre cifre. ma scritte in orcìine inverso. Dinrostrare che la cifra di rnezzoè 5. -l .] fll rrunrerol è uguale a 8la * 9b c. ma anclie a 36c * 6b + n. Dtrnqtie 3b :

Mrsc17

Siano o eró due iriteri positivi tali che aó+ 1 sia un divisore cli a2 +ó2. Si clirnostriche .r2 + b: ';." ;1 quaclratodi un intero rrl,+1

Mtsc18

Dirrrostrareche se le tli:igonali del quirdrilaterocolìvessoABC'D sono perpendicolari e À- ò il loro punto cli incontro allora lc proiezioni di E sui iati appartengonoa una stcss:rcircclnfclenza.

Mtsc19

Ad una festa cla bailo cui partecipano 9 rnaschi e 9 fernmine 1:i padrona di casa consegna ir ci:rsctlrro un biglietto con un lnrrnero dir.erso fr:r 1c 18. Per sé sceglie il numero 1. Ad urr (:erto punto ci si rerrde conto che. per tutte le rrorre coppie' clte stanno ballando. la sornnra delle r:ifìe clell'rromo e della clonna è sempre un quadrato. Qual è il numero dcl partuer della parlrorra di casal allora 2 non può l S i o s s e r , , ' ic l i c 1 6 . 1 7 . 1 8 r Ì o u p o s s o n o a c c o p p i a r s i c h e a 9 . 8 . 7 , a r c r . r p p i a r s ci i i e a i - 1 . . . ]

Mtsc20

li Dirrrostrare l l p , , l i r t o r r r il,',t . r 1: r t , , . r "- r t , , - 1 . r " | - . . . - f l t . r t o o l t a r ' o e f t i c i c l tinteri. che sc P(2) t' P(3) sono clispari allola l'erquazione P(r) : 0 tron ha radici intere.

Mrsc21

Sia 5'ruia sfera cli raggio 1. P tur plurto su di essae siatroPA. PB. PC tre corde di egnal lurrghezzac'lteformtrno a due a clue lo stessoangolo o. Calcolare. in funzione di n, la lungliezz:arll tali corric. rir.Ìriedeqlralchecotìoscenzadi trigonometria.] lLa soìuzioneclcll'cscrc'izio

Mrsc22

ABC è un tri:rngolo isoscelcsrrllabase AB. Posto A : ABIAC si provi che 1tz cosofcosil+cosl:1+k - 2 ' rlove r,i. ,i. 1 sorrogli angoli in A. B . C ,

Mtsc23

Dinrcrstrareche il numero .)f n,rrr si può rappresentare uella forma o + Jb co:na. b razionali.

Mtsc24

Sia 5 un irrsienrefinito r,li punti nello spazio tridimensionale. Siano S". Sr, S, gli irisienii forrn:rti cìalleproiezioni ortogonaii dei purrti di S sui piani y:. :r'. r'!l rispettil.arrrerrte.Dirrostrarc che lf (S)]' < #(5.,)#(Sr)#(.5,). ove f (A) clenotail numercr di c-kllenti dclf iusierrrefirrito .,1.

Mlsc25

Sia .l(r) una funzioue scnìpre dir.ersada zero tale che .f (.x - y): .t'. ù rcalc. Dimostrare cher/(3) : 1.

f (r)f (.A)per ogni

158

Miscellanea

Mrsc26

L ' e q u a z i o n ea r 2 + b x + c : 0 h a 1 1 c o m e r a d i c er e a l e ,I ' e q u a z i o r i e- a r l + Ò . rf c : 0 ha 12 corne radice reale. Supponiarno che a e c siano diversi cla zero. Si dirnostri che o ) ì ' e c l u a z i o nìer ' + b r i c : 0 h a u n a r a d i c e1 3 c h e è c o m p r e s af r a : r . 1e 1 2 . z

Mtsc27

Un triangolo eqr.rilateroha i vertici su tre rette parallele. Le distanze fra Ie due rette "esterne" e la terza retta souo 5 e 3. Quanto vale l'area del triangolo? fSi consideriil cerchiocircoscritto al triangolo - BCr siano A e B i vertici che stanno sulle rette "esterne''e sia P I'intersezione.diversa da C. di tale cerchio con Ia retta 60o, si applichi al triangolo APB iI "metliana". Osservato che AFC : CFg: T E O R E N ID . \I C A R \ O T . I

Mtsc28

Siano ;r1.12. . .. .;r:, dei numeri positivi tali che I

11

.;-

Ít

\lJ

/

t\t-

(n'-r)'

l ' , ' ' -r , / l a _ \

r, : 1. Sì rlimostri che 1

t1

fra rne
2s M'sc

Îí; ::1..'jJ1,,1'ìT:iivr::"1'""ilì:": b:ffi,1T1,xÍf "",::: mente. le sue intersezionicon i lati ,4.B e C D. Si dimostri K e r. I'. 1{ si intersecano chei cerchipassantiper B. ,111. (oLtre clie in 1{) in un punto P c}re appartiene a una delle d i a g o r i r l di e l q u a d r a t o . [Si congiungaP con K e si consicierinogli algoli nPX e BPII'.. l

Mrsc 30

Siano a e b due interi positivi tali che o * ó : 30 030. Dimostrare chc il prodotto a ' ò non è divisibile per 30030. lSi provi che in tal caso il quadrato di uno dei nunreri o o b sarebbe divisibile per . . + +I:: fr d^Llt *u ^r l . . : - - ; - - : ld e l n u r p e r o3 0 0 3 0 . c h e , LULtt 30 030. quindi tale nurnero conterrebbe1 l/rrlrrr . . ^ , - , - + , , + + : (l t: l. ò. + t r:l ,r ,t + I .: -utl!, t ut Lr

I . ]

Mtsc31

Qual è iì parallelogranìrnadi assegnataarea S per il quale è rninima la sornrna clelle cliagonali? del risultato del problema G E o P5 4 . 1 lSi usufrr.risca

Mtsc32

Dinrostrareche le sole terne di numeri reali (4,ó.c) per le qlrali l'equazione13 -ar2 + b r - c : 0 l i a c o m er a d i c i a . b . c s o n o( - 1 . - 1 . 1 ) e ( 4 . 0 . 0 ) c o n a q u a l u n q u e . lSi Lrsiil TEORENIADI RUFFINI:si affronti anche il problema piìr diflicile cli trovarc t r r t t e l e t c r n e ( u . ó . c ) p e r c u i i ' e q u a z i o n e1 3 + a r 2 + b r + c : 0 h a r a c l i c ia . h . c . l

Mtsc33

Si clinrostriche in ogni poliedro vi sono due faccecon 1o stessorìLimerodi lati

Mtsc34

Urr cavo elettrico è costituito da una guaina che racchiude6 fili cii rame isolati fi'a di loro. Si connettonoa casoa dr-rea due i sei fili che esconoda ciascuuaestrernità. Qual è la probabilità clie i sei fili siano tutti collegati fra lorol' lSi osservicl'rela soluzionenon dipende da come i fili sono collegati a una tlelle estlc'nrità.1

159

Micaallanea

Mrsc35

U1'automobile ha inizialmente il serbatoio vuoto e deve percorrere un circuito circolare in senso antiorario. Per percorrere la pista è necessariauna certa quantità di carburante che è divisa in tre parti non necessariamenteuguali. Dimostrare che. comunque si dispongano sul circuito i tre rifornimenti. esistesempre un punto partendo dal qriale l'automobile riescea completareil percorso. trova carburante suflSi osservi che esistecertamente almeno un rifornimento in ctti si in tale rifolnimento ladunare Pensando di àciente per raggiungerequello successivo. . . successivo. rifornimento cìuello del sia il suo carburante che ]

Mtsc36

Sia X urr insieme di 10 mrmeri compresi fra 1 e 100. Dimostrare che esistono 2 sottoinsiemi di X i cul elementi hanno la stessasomlna. al più 1024. fCi sorro 2t0 : !024 sottoinsiemi possibili di X e quindi le somme sono 1 0 0 0 . . . 1 ... + 91 < ma ciascunadi essenon può superare100 + 99 +

Mtsc37

. iS i a n o, 4 1 ,A 2 , . . . . A t o d e i s o t t o i n s i e mdi i { 1 , 2 , . . . , 1 0 } c o n 3 e l e m e n t ci i a s c u n oD in due elernenti almeno questi hanno che sottoinsiemi due di rnostrare che vi solo comulte. / 1': 0 \ I : 45 sottoinsiemidi 2 elementie ciascun,4r contiene3 di essi. Siccome 'fCi sorro I \ ' l

I

. .] 3 x 16 > 45. risufruendodeì PRINCIPIODEI CASSETTI.

Mtsc38

Dato un triangolo rettangolo ABC sia AH l'alfezza relativa all'ipotemrsa. Si dirnostri clre la somrna clei raggi dei cerchi inscritti h ABII . ACH. e ABC è uguale alla lurrghezza delrl'altezza AH . e si ricorcli che I'area di lSi usufprisca della similitudine fra i tre triangoli rettangoli in triangolo è uguale al raggio cleÌcerchio inscritto rnoltiplicato per il semiperimetro.]

Mtsc39

Detelrninare la lunghezza rlinirra di un laccio attraverso cui sia possibile far passare un tetraedro regolare di 20 cm di lato. de] tetraedro, questo [Secolsideriamo un qualsiasi piano parallelo a due spigoli opposti iltcrseca iì tetraedro in un rettangolo di perimetro uguale al doppio clello spigolo deÌ tetraedlo.]

Mtsc40

Sia P un plnto del cerchio circoscritto al quadrato di vertici ABC D appartenente :ril'arco AB. Si dimostri che

PA+ PC

PD

PB+PD

PC

usando il rnORBrvtADI TOLONIEO.] lSi proceda come nel problema GEOP49

Mtsc41

Un barcaiolo risale la corrente di un fiume, remando con forza costante. Nel passare sotto un ponte perde il proprio berretto. trgli se ne al'vede però solamente dopo mezz'ora. Gira aliora la barca. continua a remare con la medesima forza e ritrova il proprio berretto 1 km oltre il ponte. Q u a l è l a r - e l u c i t àd c l l a c o r r e n t e ? è la stessa sia [Si osservi che la velocità relativa della barca rispetto alla corrente quando questa risaÌe che quauclo ridiscende la corrente stessa.]

Mrsc42

Supponiamoche nel piano siano assegnati2n punti, a tre a tre non allineati. di cui n colorati in rosso. gli altri n in nero. Dimostrare che è possibile unire ogni pnnto rosso ad u1 punto lero in modo che. tra gli n segmenti ottenuti, nessuna coppia abbia url punto in comune. c]te uniscono ogni punto [Basta dinrostrare che fra tutte ìe configurazioni di n segmenti io.ro o ogni punto nero quella (o quelle) che rendono minima la somma delle h-rnghezze dei segrnenlidcve soddisfarela tesi.]

160

Miscellanea

Mtsc43

Determirrarele funzioni / tali che .f (rA) : (/(") - t) f (U) - r.2 + | . [Si inizi col cleterminare /(1).]

Mtsc44

La clistanzacli un punto P da uri segnìentoAB è. per clefinizione.la rnininra distanza fra P e un punto cli AB. Siano AB e CD due segmenti che non si intersecano. Ìlon appartenenti aila stessaretta. Si descrivail luogo dei punti clel piano equidistanti da essi. [Il luogo ric]riestoè costituito. nel casopiir generale.da cluesemirette.da cluearchi cli parabola e da un segrnento.]

Mrsc45

Si cliniostrictre [Z + y€]" ò dispari per ogni intero positivo n. dove lal indica la parte intera del lluntero rt. f s i a n oa , : ( Z + l 3 ) " . h , : (Z - 16) ". si verifichi chc a,, * Ò,,è pari.]

Mtsc46

Due specchipiatri for-manoun angolo diedro di 30". Lin laggio di luce inciclesu uno di essi: si pror.'iche. qualunque sia l:r sua direzione. essonon effettuerà piir di 6 riflessioni sugli specchi. [Seo è l'angolo formato dal raggio con la normaie iiÌlo speccliiosu cui incide. si verifichi che dopo sei riflessionitale angolo è:r 1o.l

Mtsc47

Si determinirnotutti i polinorni P(r) di grado dispari tali cherP(r'?)+P(r)P(r+1) : g. lSi ricordi che uit polinomio di grado dispari ha alrnenouna radice realee che il numero di radici cli un polirronrioè finito. Se :r è una radice del polinomio assegnato,allora a n c h e: r 2 e ( r - 1 ) 2 s o n o r a d i c i .. . ]

Mtsc48

Qrranti interri di rr cifre folmati dalle sole cifre 1.2.3 corrterrgonoalmeno una volta ciascuna delle tre cifre'l 36.] lVcdi problernaCOMB

Mtsc49

D i r n o s t r a r , ' c l r r . l r c r o g n i triangolo. detti p il scmiperinretroe r. À i raggi dei cerchi i n - c r i l t o e c i r c o : c r i t t o . s i lia p ) :vERr. n b'' r'' l' ) l

rlcol (-ll Clle ff r :

-

,tp

clovea. ó. c sono le lunghezzedei lati.]

Mtsc50

ln quante regioni viene suddivisa una srrperficiesferica da n cerchi massimi. tali clie nessunaterntr di essi passi ppr ìtÌto stessopunto? iSeA" è il numero di regiorriin cui la superficieè clivisaclarr cerchinrassimi.si consideri un ulteriore cerchioniassimo:cluestoviene diviso in 2n archi. ciascrinodei qr-ralidivicle una delle regioni preesistentiin 2 regioni distinte. cìunqneAz+t : A,, + 2.. . .)

Mtsc51

Si dirrrostriche Ì'equazione12 + y2 :3(22 11,2) non ha soluzioniintere positive. fSuppostoche esistattodeÌlesoluzioni.sia (.r1.Ut.zt,u,t) cluellacon il rninimo r.alorecli r; verificato che 11 e !1 sorìodir.'isibiliper 3. si costruisceallora una nuor..asoluzione ( r z , y z , z z . u , ,C z )o n1 2 : . r t 1 3 .A z : a t 3 , . . .

Mtsc52

Sia ABC un triangolo di lati a. ó, c e sia fr il raggiodel cerchiocircoscritto. Provarecire ABC è actttangolo.rettangolo o ottusangolose e solo se. rispettivarnente.l'espressione cÌ + b2 * c2 -- 8À2 è positir.a. nulla o negativa. [Se a2 + b2 + c2 8R2 > 0. detto c il lato piìi lungo. si provi che a2 +b2 > c2: per vedereil viceversasi Lrsiil TtroRE\IA DELLA \rtrDIAN.\.]

M|sc53Datiquattrointeriol.(12.0.3'aadirnostrareclìeillìllll]ero ( r z a- a 3 ) 1 n 1 -r t 2 ) ( n -1 o r ) ( a s- a z ) ( o s- r r l ) ( a 2- r r ' t ) è dir.isibileper 12. due pari. oppurc clr-redispari. ve ne solìo lTra i quattro lr111reri\:e ne sono cert:ìÌrìelrte per 3" ' ] clivisione nella resto anche due chi: haruroio stesso

Mrsc54

quadrato Se :r1.9 scrrrortttmeri razionali e t:j + !/" :2l2112 ' si rlilnostri che L .t:u è il di un ntrntero razionale. r5y5:45,...] simlnetrico :ri'+ !15:2tt2 fSi poriga .t:tt a, ottenerldo il sisterna

Mtsc55

Si:i ,'lBC un triangolo isoscelecii base AB. Si deterrnini il luogo dei punti P lnterni al triansokr tali che la cllstlnza dalla base sia nre
Mtsc56

Sia l,' ii volurnc.cli un polie.cirocircoscritto a una sfèra cli raggio R: rnostrare che la sua superficietotale v:rÌeS : +.

Mrsc57

Si <ìevecostrttire ttn ponte di lunghezztrI cou un celtc, uullrero di campate di egual lungliezzache poggianoslr piloni. Sapendoche il costo di ogni pilone ò P e che quello i C12 1or-"I è la lunghczz:r della carnpata) si trovi la configurazione cli
s8 Mrsc

Diruostrarc che tra n i 1 irrteri positivi rninori o uguali a 2n. r'e ne sono 2 primi fra l u to . coppia di nulneri consecutivi.] [Si verifictric[e rra gli l * I nurtrerivi è una

Mtsc59

Sia P 11 pturto interno ad rur triangolo cli lati a. b. c. Dette rr. rr. ir' le distanze dai cti- )'1S. ove S è l'area del triangolo' vertici ABC si climostri che atilbt'f parallelogramtrri costruiti su ,48. AP e AC ' clei fSi verifichi che la somma clelie aree costruito su BCI e su tln se€lmentoparallelo parallelogranrma ,4p è ug1,aleail'area di riri di P da AC e AB si ha br I cy { au. le distanze g sono se r, che decluc:r a APr sc ne Sonimando tre cli queste cliscguaglianze.' . ]

Mrsc60

Dati 6 punti 1eì piano si dinrostri clie il rapporto fra la ntassirnae la ilrinima clistanza fra essi è maggiore o uguale a y'3. dei punti siatroallineati. In casocontrario [Si cgnsicle.ri.-p"..otr.itùitrre. il casoin cui tre purrti clati, 3 purtti che forrnarroun triangolo si clirlostri che vi solo certarnelte tra i sei c () n n r I a r r g o l on r a g . g i o rdei t 2 0 " . . . l

Nel 1967I'Italia partecipò per la prima volta alle Otimpiadi Internazionaiidi ÀIatematica quella indimentie io, giovane stuclenteliceate,ebbi la fortuna di essereinvitato: molto di assiemeagli ho organizzato' infatti. 1987-88. Dat oggi. ancor mi rimane cabile esperienza Olimpiadi' delle preparatoria fase la tutta arnici. àitri pocliissimi a libro e diquesto a*tori questa iniziativa a Dopo 'n periodo di tentÀnnamenti, I'Italia partecipa in modo stabile partire dal 1989 a (6 studenti) dalia metà degli anni Ottanta e con una squadra completa piazzassero si ragazzi nostri dei due che Da allora abbiamo avuto anche la soddisfazione cotra i primissirni. gr.radagnandouna medaglia d'oro. Lo sforzo mio e dei miei colleghi, pochi di rilievo di risultati di raggiungimento al solamente munque, non è stato dilicato pagine, lo scopo stucienti eccezionahnentedotati (e fortunati) . Come testimoniano queste più ambizioso è quello di coinvolgere urìa grande quantità di studenti e docenti in una atti'ità nuova e stimolante, al di fuori dell"insegnamentotradizionale della matematica' una Alcuni argomenti, come I'aritmetica e la combinatoria. sono stati per molti ragazzi è ma in Italia tr-adizione grande pur vanta lna vera scoperta: e ia stessageometria, che e suggestività' linfa nuova og$i nìeno coltivata. ha ritrovato iscritti .tr con non poco orgoglio che possianìo arìnunciare che nell'anno 1994-95 sono primo del (150000 studenti 350000 circa primo livello di Nlatematiche alle nostre Gare superiore)' l , i e n n i oe 2 0 00 0 0 r l e l t l i e r r n i od e l l a s c u o l a5 e c o l ì d a r i a provare anche Spero che niolti cli loro. come già è avvenuto negli scorsi anni' possano proprio di poche è che verità da clilettanti il gusto clella scoperta e della ricerca della deile organizzare in Italia può oggi avere professio'i. Avrói molto da dire sul senso che a paesi. mi limito altri in almeno già detto, stato è Gare di N,Iatematica.ma poichè tutto problemi nìatematici di libro un a nell'introduzione Szegò riportare le parole scritteàa G. (Éungarian Problem Books. N athematical Association of America): ,,Non dobbiamo climenticare che la soluzione di ogni problema degno d'interesse rapiuttosto il ramente ci si presenta in modo facile e senza del lavoro anche duroi essa è un giovane mai Perchè mesi' risultato cieglisforzi intellettuali di giorni o di settiniane o di sta prospiegazione La supremo? dovrebbe aier voglia {i cirneltarsi in rrno sforzo così che nell'atteggiamento termini in altri valori, babilrnente nella adesione istintiva a certi materiale' vantaggio del sopra d.i al spirituale pone lo sforzo intellettuale e la conquista crescita il raggiungimento di questo "status" può solo essereil lisultato di una capillare accelerare è difficile politica dell'istruzionel della e scolastico I'amtiente tutto cult'rale di pirì questa tendenza solo con prot vedimenti governativi o anche con una applicazione ai trasmettere nel può consistere invece intensa alla matematica. Il rtTezzopiù efficiente uno segue che soddisfazione di giovani la bellezza del lavoro intellettuale e il sentimento questo libro possa sforzo merrtale coronato da successo. È giustificata la speranza che nella giusta passo decisivo un rappresenti e questo aspetto esseredi aiuto proprio sotto direzione".

Roberto Dvornicich Tearn Leader della Squadra Italiana alle Olirnpiadi lnternazionali di Nfatematica

BARICENTRO DIUNTRIANGOLO

E il puntti iti crtticottcorrono le nreclitrnecli un triarigolo. Il baricentro divicle ogni niediana in duo parti. di crri qrrella che'ha r1rìestrenlo nel vertice è cloppia deli'altra. Il baricerrtro è il cerrtro di grzrvità rli tre ilasse rrgrraìi poste ai vertici del triangolo ctl è ariche il ccntro cli gravità clc'll'intero triangolo perìsato conìe unA laruina onìogenciì di spcssore uniforme. Il baricentro è il pLurto clerlpiarro per il cluale la sonrma clei quaclrati tlelle distanze daj vertici e\ mìniua.

BASEDI NUMERAZIONE

Aclottartclo la notazione posizionale nclla scrittrrra clegli intr:ri. Ìa base di numcraziole Ò ì: il ttttrrrero di sirnboli (le cifle) che si hanno :r clislrosizione. Ogni nllrÌìero interrr si sc.rive alìola conte rtn polirroutio in ó i cui c'oefficienti sono appulto le cifre clel nrnrrero. Acl eserrlpio. rtella ustrale scrittura decirnale. b:rsata suile cifre 0. 1. 2. .... 8" 9 il nutnc.ro 123 indica I 102 + 2' i0 + 3. lo stesso rìllnìelo. in base binaria. dor.e si aclottano solo le cifre t l e i . s i s c r i r - c1' 1 1 1 0 1 .o \ ' \ ' e r o 1 ' 2 6 + 1 . 2 ; + L . 2 4 + 1 . 2 i 1+ 0 . 2 2 + 1 . 2 + 1 . L t r . e c en e l Ì a b a s e c s a d e c i m a l e Ò 1 6 .c h e a d o t t a l c c i f r e 0 . 1 . 2 . . . . . A . B . C . D . E . F . p a r t i c o Ì a r m e n t e conoscitttil da chi usa il lingriaggio rrracchina t.lei calcolatori. il nrrrnero precletto si scrive 78. cioò Tttu:* B chc eclulr-ale.in scrittr.rra deciniale. a 7 16* 11.

BINOMIO DINEWTON

È lu fornnila che esprirne la pottnza n-esima cli un binonrio: (n -t It)'' :

(;)".(l),"',,*('J)" rt-212 rt

* ( , ,1 1 ) n r ,' "* ( " ) r "

-f

clie si può scrivelc irr folrria piìr concisa ncl mocio sc.guente (tr* ù)"

: à ( l l , , "L 1 , k

I nurneri ( ; ) ( î )

/ri\ | | sono cletti cor:fficienti bìnorniali e sono clati cla \n/

irl t. . \ (r L t t-- Ll ) . \1, .rnr-- t2) ). . ..\ .' nt n -- hf .: +- Il )) /r,\ _ À"(À, 1) (À-2)...3.2.1

\,r/

-

_

rll

1

À'!(n-l;')l 1

ove con /r! si itrdica il fattoria.ledell'intero non negatirrt h. Per calcolare i coeffìcienti binorniali si pr-tòricorr.er-eal triangolo di Tartaglia. riportato tr fianco. in cr.riogni riga ha corne prirno er ultimo nunìero 1. e ogni 1ìLtrnero diverso cla questi è Ia somma dei due numeri della rigti superioreirnrlccliatanrenteadiacenti.

1 2

1

i 3 3 1 1 4 6 . 11 1 5 1 0 1 05 1

CIBCOCENTRO E il celttro O dcl cer-chiocircosclitto al triangolo. Il circocentroè iÌ punto cl'incontroclegli DIUNTRIANGOLO irssiclei la,ti. Se 11 è l'ortocentro cìeltriarrgoloe,11 è il baricentro. i tre punti O. H t: lI sorroallineati e 2 OM - 11111.Inoltre la sornrnacìei vettori O,q. On. òó è uguale al vettore OU tl, B. C sono i vertici clel tliangolo). Se S èrl'area clel triatrgolo e a. Ò.c le Qtt' t r r i s u r pr [ r , il a t i . - i l r a Ít : rlove H è il riiggio della circonferenzacircoscritta: inoltre {n. rt l x ' si lra r' ' ]1.: . ol'e l t\ ii r:rggioclelcerchio irrscritto e p ii semiperimctrodel triangolo. -ln

COEFFICIENTE \redi Binornio di Nelvton. BINOMIALE COMBINAZIONE

CONGRUENZA

t}rc U1a colrbinazione {i k oggertti scclti fra n (A' < rz) è un sottoinsierne (non orclinat.o) À' possibiii di corrtiele tr' fra n ogge.tti clistinti assegnati. Il numero delle coulbinazioni Nelr'ton) (r'ercli di Bitiomio elenrenti scclti lra n è: dato clal coeffìciente binomiale /r\

rI

\t/

l , ' ! r ,-, À ' t l

rri e clue interi a i: ó. si dic'e che a è congnto a b rnoduio rrl l)ati 11 lulttero latlralc (a : b mscl r2. colÌ r11ÌrìtÌotaziolìe clor-rrtaa Gauss) se rl e b danno lo stesso resto (cornpleso tra 0 e pr - 1) clrriinrlo \.(,ugono rlivisi per rn. cioè se esiste un nllilìero irrtero A tale che À . r r r . c l r u r c l r t en tr d i v i c l e a - b . L a c o n g r u e l t z a r i s p e t t o a t t n m o c l u l o f i s s a t o m , è a -h: una relaziorte t1i ecprivalcrtztr. valgono cioè lc seguertti proprietà: o, = n (mod rn) (proprictà riflessiva): sc o = ó (tlod nr) allora b: n (niod nl) (proprietà simrnetrica): se o: ò (rr ocl rn) e ó: c (nrod ni) allola o = r: (niocl rn) (proplietà transitiva). InoÌtre. lc c.ongr"uenzerispetto a Llno stesso rnodulo possolìo essere sonìmate. sottrattc o rrroltiplicate. cioè. se e, = o' (rnod rn) e b = b' (rlocl nt)' si ha: a + b: at 1l1t (rnotl rrz): u - b : a ' - h ' ( r r t o c ìr n ) : a . b : o ' ' b ' ( m o d n r) . \ra,le,infine. se il modrrlo rir è un nLtlnero prirno, un'estensiorte della leggtl di aritrullamento clel prociottci: (rnod nr) oppure Ò= 0 (rnod m)' ( m o r . lr r r ) s c e s o l o s e a : 0 o.b:0

CRITERIDI DIVISIBILITA'

a) Iitr 1Ì1trìero irrtoro ir clir,isibile per clr-rese è piiri. cioè sc e solo se la sna espressionc tlccinrtrlc tt:rtrtina cc)rl 111ìadelle cifre 0. 2. 4" ii' E: per 3; b) ò
DISEGUAGLIANZA S e 4 1 , 4 2 . DICAUCHY

.. (t.,,.bt, b't. . '.. Òn sono dei rlrmeri reali si ha

( r r 1 b*1 c r 2 b 2 - 1 " ' + r t , . L t<, (, o ) 2? + n 7 + " + o i , ) ( b Ì + t ' : i +

f t'i)

: ((.1r,quaÌunquc e il segnodi eglaglianzasi ha se e solo se csisteuna costanter: ttlÌe che br s i ar : I . 2 . . . . . r t . della loro DISEGUAGLIANZA Ogni lato cli 1rr triangolo è minore clella sorruna de'gli altri dr.rced è m:rggiore e suffinecessario è TRIANGOLARE cliffer-e1za.Affirrché tre seglnenti possano csserelati di un triangolo due, altri cierrteche ciascunocli essisia rninore della sonuna degli Dati due nurneri o. li (reali o cornplessi)si ha

l l o- l b l < l n + ól ll n l + l t l . DISEGUAGLIANZE Dati rr rttrtneri positivt oi. c2 FRALEMEDIE r l t I t l . ) + " I t l t l . l -

t?

c,,. la ioro \lEDlA ARI'I\IETICA e

Ia JoTo MtrDIA GEON'TETRICAè G:

fn1.or_...s,.

Ia IoTo IVIEDIA AR\TONICA è n

-1+

-

Al

+1

. . . + -1 (trn

A2

e la loro N,ÍEDIA QUADRATTCA è

n -

a!+al-r...+al

Q u a l u n q u es i a n o i n u m e r i e r , a 2 . . . . , a n s i h a H < G < A < Q e il segno di uguaglianza. in ciascuna delle tre diseguaglianze,si ha se e solo se gli n numeri sono tutti uguali fra loro. Ad esempio,per due numeri positivi o, Ò si ha 2ab o I b -

orh 2

-

e il segnodi egualesi ha se e solo se a: b . Ne segue,in particolare, che il prodotto di due numeri aventi somma fissata è massimo quando sono uguali (C < A) e che la somma di due numeri che hanno prodotto fissato è minima quando sono uguari, DISPOSIZIONE

Una disposizionedi À oggetti scelti fra n è un ordinamento di un sottoinsierneche contiene k fta n oggetti distinti assegnati(À I n) Il numero di tutte le disposizionipossibili di A oggetti scelti fra n è n . ( n - 1 ). ( " - 2 ) . . .( n - ( k + r ) ) : n l l ( n - k ) ! Si ha inveceuna disposizionecon ripetizione se si ammette che gli oggetti prescelti possano noll esseredistinti (cioè ciascuno di essi può comparire nella disposizione fino a À volte). Il numero delle disposizioni con ripetizione di k oggetti scelti fra n è nÀ',in questo caso lpuò anchesuperaren. Ad esempio.al Totocalcio.presi gÌi elementi 1. X. 2. ]e disposizioni con ripetizione di 13 di taÌi elementi formano le possibili coionne della schedina. Il numero di colonnediverseche si possonogiocareè 313- Ib94323.

DISTANZA FRADUE Date due rette sghembe vi è un unico segmento che ha gli estremi su cli esseed è perpelRETTE SGHEMBE dicolare ad entrambe; essoè il piìr bíeve fra i segmenti óhe congiungono un punto di una retta con un punto dell'altra e la sua lunghezzaè la distanza fra le due rette. DISTRIBUZIONE Permette di calcolare la probabilità che un el,ento si verifichi esattamente A volte in n BINOMIALE prove indipendenti, sapendo che la probabilità che essosi verifichi in una prova è p. Si ha /-\ P , t k )= ( i ' ) p ^ . ( t - p 1 ' ' - r t ' \kiAd esempio.]a probabilità di ottenere esattamente2 volte il numero tre in b lanci di un dado con 6 facce è

P5Q\:

(;)

(à)'

('-à)'"':'o# ffi-0,,a

167

Glossario

EQUAZIONI PARAMETRICHE

Pernettono di determinare le coordinate dei punti appartenenti a Llna curva nel piano o nello spazio al variare di un nurnero reale ú (detto parametro) che r.aria in un intervallo (limitato o illimitato). Alcuni esempi sono i seguenti: : acost ! x l'u:bsenl'

(r-

rcort

\ ,:

, sen/

l::u/

(r:*o

- ( . r ' 1- . r o ) t

- ( s 1- s s ' \ t \ u: uo [:-ze-(:1

:n)f

II primo esempiodescrive.al','ariare del parametro / nell'intervaiìo [0.2r], un'ellissedi semiassi o e ó coincidenti con gli assi cartesiani. Il secondo descrive. al r'ariare di f fra i numeri reali. un'elica cilindrica che si "avr.olge" attorno a un cilindro infinito di raggio r e che avanza, ad ogni giro. di un passo 2n: . Il terzo descrir.einfine la retta nello spazio passanteper i punti di coordinate (;ro, go, .zs)e (r1 , !Jr, zt). EXCENTRI DIUNTRIANGOLO

Sono i centri delle tre circonferenzeexinscritte, cioè delle circonferenzetangenti a un lato del triangolo e ai prolurrgamenti clegli aìtri due. Ciascrino degli excentri è il punto di incontro tra la bisettrice di un angolo del triangolo e le bisettrici dei due angoli esterni relativi agli altri due vertici. GIi excentri e i'incentro di un triangolo formano un sistemaortocentrico.cioè ciascunodi questi quattro punti è I'ortocentro dei triangolo forrnato dagli altri tre. Viceversa i vertici di un triangolo e il suo ortocentro sono excentri e incentro del triangolo che ha vertici nei piedi delle altezze. Se r,,. r'6.rc sono i raggi delle circonferenzeexinscritte e r quella della circonferenzainscritta si ha

1 - l * 1 . 1 , T

fn

fl,

f,.

se poi .R è il raggio della circonferenza circoscritta si ha r',, * 16 t r, - r : 4R. L'area 5. del triarrgoloè data da,5: \/F"rîr.r.Inoltre. se a è la lunghezzadel lato cui è tangente la circonferenzaexinscritta di raggio ro e p è il semiperimetro.si ha S: (p- o)r". FORMULA DI ERONE

Detti a, ó. c i lati cli un triangolo qualsiasi o : a l|1Í z " golo. I'area ,5 del triarigolo vale

il senriperimetro tli tale trian-

s:m. Sostituendoal posto di p I'espressioncin funzione dei lati, si ha 1

( a* ó *

,t

c ) ( b + r : -a ) ( o . - r c - b l ( n i b c )

d a c u i . s f r u t t a n d oi l p r o d o t t o n o t e v o l e( X + ) ' ) ( X - Y ) : l

s

X2 -Y2, si ottiene

_

; / ( ( ó * c ) 2 - o , ) ( o ,- ( b - r ) ' ) ì 1 (.2bc- (a2 - b2 - c2))(2bc -l (o' - b2 - c2)) -1

e infine. con sernplici passaggialgebrici, ^ " DI FORMULA EULERO

l t/ (", + b2 + c2)2- 2(.aa+ b+ + c+) 4

In ogni poliedro convessose F è il numero delle facce, S i1 numero degli spigoli e V il numero dei vertici si ho F - S-rV:2 .

168

Glossario

FORMULE DI ADDIZIONE

Permettono e ii:

di trovare le funzioni circoÌari dell'arco o * iJ conoscerrdo qrielle clegli archi r:r

sen(ri * ,J) : sen a cos .J + sen iJ cos G . cos(o * .J) : co" n cos ,'J- sell o sen 13 . tan (1 + tan ,.J ' t a n ( a - | i' J ) : ' l-tà.natànJ

FORMULE DI BISEZIONE

Esprimono ie funzioni circolari dell'arco o/2 note qr.relledell'arco o. Suppouenclocire sia Q(o(;r'.siha o

s e n t - V/fi FORMULE DI DUPLICAZIONE

-."*t

o

/i+.-r"

LT

.

z

C O S - : 1 ' V

r A' n" -2 :

2

c',rrs,r

/î

Vl-cosn

Esprimono le frrnzioni cilcolari cle:lÌ'arco2cr uote ie funzioni circolari dcll'arco a: sen 2,1 :

2 sen o cos 0

cos 2o : cos2 o

sen2 .lr ii -l

2tano

-

t a l ì 2 / r :

r l : ; - A ;

r

L

FORMULE PABAMETRICHE

;T rl.ri.ai.J*=*ltn 2

tatr-tr

-li '2

Esprimono le fiuizioni circolari delÌ'alco o in firnzione della tangente trigonornetrica dell'arco r.r/2.sc./ : tarr si ha: I s c l l . r -

2t l J z . r

( o s / r : T

t

l

1-f t _ t T,

l a l l r ì : 1 r

iT

2t

J

t ,

t

l n o t

1 A ' n ).

Le forrurrle pararnetriche ('onseÌrtono cli risoiverc le equazi.-rni trigonornetriche serìr. cos.r. tiìrì .r' ,senzairrtlodurre radicali.

FORMULE SIMMETRICHE

lineari iri

Le ladici ar. o2. .. .. o,, clcl poliriornio 1 P ( . r : ): o o r f n+ o 1 ; r ' " + . . .

+d,,-1.rf

os

(ao*0)

s o n o c o r r e l a t e a i c o e f f i c i e n t ia 9 . r r 1 . . . . . a , , c l a l l ef o r n r u l e ( 1 1t ( ì 2 1 " { r 1 r r 2*

] 0n--

( l 1 a l 2 ( 1 3t

'

1on :

" + alrÌ-2or?-1or, -

(ltrt2rt4 +

c r L c l 2 "' 0 n :

Qt) o1o,,+ ...-f on

...*

o1o3 f

"' , (t0

-9 rl0

,

ll"

( - 1t )ì ', .' ;

Usrrfì'uendocli tali forumle. dette anche formrrle di Viète. è far:ile ottenere i coeffìcienti di uri polinorriiodi grado n che ha n radici assegtiate. GRAFI

U r r q l a f o C ò r r n i r r s i e r r rf ior r i t od i o g g . t t i ( d r -tri n , r d id e l g r r r f u )u. q n i c o p p i ar l c i q r r a l ip u ò o rrelro esserepensata collegata acl altri. Tali connessionisi ciriarrranoarchl o rarni del grafo. Un sottografo <1elgrafo G è un grafo che h:r g1i stessi nodi di G e per rami alcrtni dei rarni di G. possibilepassare Un grafo G è coruresso sc. quali che sianocluesuoi nocii rr. n'. è comunqr.re c1an a /?' con un percorsoche segrrai ranri cli G. Un grafb connessoG si dice un albero (o grafb ad albero) se ò pril'o c1irnaglier.Lina niaglia di r.rrrgrafo è un carnmino chc. partendo

169

Glossario

cla un noclo n. torna a n seguendo i rami del grafo e passando cla rrodi tr-rtti distinti tra loro e da rr. Se G è un grafo. il suo complenrentare è un grafo clie lia gli stessi nocli cli G, ed è talc c'lie clne nocll clralsiasi sono collcgati da rrn rarno sc. e solo se. Irolr erano coilegati cla ttn rarlo in (/. Un prirno risultato sui grafi è ii ,qeguente:se un grafo non è cotrnessoil suo complcnrerrtarclo ìr (r'cdi problema COMB31 ). La noziorrecli g-rafo1inò essereulteriormente zrrricchita. ftn grafb colorato è rin grafo in col,rri (glafi a due. tle...colori). cui i ran'risolro perìsatidi rliffere,rrti i' grafo grirf,, rur Lrn urit ntatc; irr cui si pt-nsa che i ranii coìlegano cìr-renocli secondo una chiatnati frecce). clirezione(irr tal caso i rami so1ìt)l.rsuahllente INCENTRO DIUNTRIANGOLO

E il centro dei cerchlo inscritto al triangolo. Esso è il punto di incontro clellebisettrici intenre clel triangolo. Sc fi è il raggio clel celchio circosclitto e r quello del cerchio irrscritto si ha ,R2- d2 :2.Rr'. cìoved è la distanza fra l'irrcentroc il circocentro. Se p è il serrriperirnetro del triangolo la sria area S è cÌatacla S-:1r' r.

INVERSIONE

Sia clatonel piano un ptrnto O. L'inr.ersione(o trasformazioneper ràggi vetturi reciproci) rispettoaunacirconfclenzaidicentroOeraggiolassor'iaaognipuntoPdelpiano distinto da O il punto P' tale che: 1 ) P e Pt appartÉrlrgorroalla stcssa seurirctta di origine O: 2) OP .OP' : r'2. La figrrra a lato inclica la costruzionedcl pr-urtoP' a partirer da P. Sia I urio dei punti cli intersezionedeÌla perpendicolare irr P a OP c:ctrt ìi P/ è.f intclserziouecli OP con la t:ìngentea i irr P. Irifàtti dtrlla sirnilituclirredei triangoli OPT'e OTP' > e s . L(r)cP : t ' : r : ( ) P ' . r ' i , ì '1 1 \ t . 1 ) p ' : p ' 2 . Nel ciiso in cui il punto P. arrziché esscre irtterno a i. è esterno, la c'ostruzione è in'n'ersa allzr prec:eclerrte(il punto 7 si ottiene coÌle lrna delle intersezioni di 1 con la circonfererrza di dlametro OP). L'inversione è un'applicazione birrniroca del piano (a cui sia tolto il punto O) in sé. tale apltlicazionc è lnr-olutoria (cioè. se al punto P corrisponcle P'. allora a P'corrisponde P) c l r a p t ' r ' p r r r r t i f ì : tsri r t t i e ' : o l ii p u n t i d i . . Urra proprìettì fondamerrtale ck-.lfinversionc è che essa trasfoltla (nel loro complersso) rette e circonfcx'nzc in rt:tte e circonlèrenze. Piìt precisanretrte: (a) le rette passanti per O verrtgotrotrasforrnate in sé: (b)lc rctte non passarrti per O vengono trasfornrate in circcinferenze passanti pel O (e r.icevelsa): (c) le circonferenze notì passanti per O vengorro trasfonrtate in circonferenze non passanti pcr O. In rnodo slmile si defilrisce l'inversione nello spaziu r-ispetto ir tttra sfera S. cli centro O e r a r o i o / .' (r "n" n' - ì { , n i r c , l tl tr a r [ o r r r r a z i o t cr cl r t , t r r a t r , ul an l ) ì l n t ( )P i t r r t n p r t r r l oP ' d t ' l l a s e r r r i r et at l ' - " "

OIt h trrocloche OP'OP'

: r'2. E facile allora verificareche:

(a) i piani passantiper O vengonotrasforrnati in só: (b)i piarri non passantiper O vengonotrasforrrratiin sfere'passantiper O (e viceversa); (c) le sferenon passantiper O vcngono trasforrnatein sfereuon passantiper O. ISOMETRIA

Un'isornetria (clel pi:ino. clellospazio. cleliasfèra... ) è un'applicazionebiunivoca 'r: (del pizrnoclello spazio. ciella sfera. . . ) in sé. che conserr.ale distanzc'fra i punti. ossia tale che, dctti P e P' due punti e p(P). p(P') le loro imrriaginimediante p. e irrdicatacon d(P. Q) la clistanzafra due purrti P. Q risulti d ( e ( P ) . e ( P ' ) ) : d ( P . P ' ). identica. sono: le traslazioni. Le isonietriedel piano. oltre ovviamentealla trasfonna.zione le rotazioui. lersirnrnetrierispetto a una lertta c lerglissosintrnetric.ovvero le simmetrie

170

Glossario

rispetto a una retta seguiteda una traslazionelungo la direzionedella retta stessa. Le traslazionie le rotazioni sono isometriedirette, che conservanocioè l'orientazionedelle figure. rlentre le simrnetrie e le glissosimmetrie cambiano I'orientazione delle figure. NUMERI COMPLESSI

Un numero complessopuò esseredefinito corne un'espressionedella forma a * ió dove a eòsonotrumerirealieIè"qualcosa''cherisolr'eI'equazione12+1:0(ovviamente prir''a cii soluziotii irr campo reale) e che viene detta unità immaginaria. L'insieme dei ttttrneri corrrplessisi indica con C e in tale insierne si definiscono le operazioni di somma e prodotto nel rnocloseguente: k q + i b t ) + ( o : + r ó 2 ): ( a t + a z ' )+ i ( h + b 2 ) i ( a r + z ó r ). f u z + i b 2 ): ( a 1 c t 2- b ú z ) - r i ( a t b z - t b 1 a 2 ). Per taii operazionivalgonotutte le proprietà algebrichedi cui godonoi numeri reaii. Dato il rrutrrerocomplessoz: al ló. a è detta parte reale di z e ò parte immaginaria di z. Un numerc)complessocon la parte reale n : 0 è detto numero irnmaginario mentre il numero complessoo* 1.0 è identificato con il numero reale a. 11numero complessoa-ió è detto complesso c o n i u g a t od i : e c lè i n d i c a t oc o n 7 . S i h a c h e 2 . 7 : a ' 2* ó 2 : i l r i s u l t a t oè q u i n d i u n n u m e r or e a l ep o s t i r r oo n u l l o ( s o l oq u a n d o . z : 0 ) c h e v i e n e i n d i c a t o c o n l z l 2 . Se ; I 0. il nurnerocornplesso;f a a.tto reciprococli z e indicato con z-1; essoè infatti ).l' ' : l. t a l ec Ì r e : . : _ l

NUMERI DIFIBONACCI

Sono i termiui delia successionedefinita per mezzo della segr-rente formula di ricorrenza: ( a , t : I t ^ ( ctt:I : ,,, l' ";

3. -1,...

en-'2 It:

1l

I rmrneri di Fibonacci sono dunclue 1. 1. 2, 3. 5, 8, 13.21.31. 55. ... Per la successiorredegli a,, r,algono Ie seguenti proprietà: 0 1 ! r t 2* a 3 - 1 "- ' I a , - a n + 2- 1 , a t * t 1 ;+ 4 5 + " ' i a 2 r , 7 - a 2 n . a2I aa* a6* "'* c t 2 n : c t 2 n y -1 I . a , r- a 2 f a r - a t l . . . f (-1)"+1an : c r l + c t | + a 4 + . . . ' t n 7 ,: e n ' e n t r .

(-1)"+trÌ,-1 * 1.

È possibile cìeterniinare il terrnine generale della successione definita per ncorrenza:

(\*)"-('+)' \

-

/

\

rt VD

'

/

che è detta Formula di Binet. Il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi tende

--

\,8-t

alla scziorreaurea I OMOTETIA

2

Un'omotetia uel piano di centro O e di ragione À è la trasformazione del piano che ha O come punto fisso (cioè I'immagine di O coincide con O stesso)e che al generico punto P associail punto P'che appartiene alla semirettaOP (di origine O) ed è tale che OP': k.OP . Tale trasformazioneè una particolare similitudine. ovvero d(P', Q') : k.d(P, Q), se P' e Q' sono le immagini di P e Q.

_

171

Glossario

tÌn:r ontotlriri. , ouLc tutte le siniilitudini. conserva dunque la fbrma delle figure. illa Iìe un fattore À'. trasfolrrrr L ttLr'r'seconclo le onotetie di ragione k < 0: esse sono Ìe omotetie di ragione lorrsiclelare anche Si 1to-.orto -L ,.egrrite ilalla sin-rmetria rispetto al centro O.

ORTOCENTRO DIUNTRIANGOLO

tle a\îezze. I tre vertici del tliangolo e I'ortocentro fornano È il pnlto c1iincontro c'leller r-rrrsisterna ortocentric.o. nel senso che ciascrtrto cli clriesti quattro punti è: l'ortocentro clel tr.iangglo fortnato clngli altri tle. I1 punto sinìInctlico dell'ortocentro cìi un triangolo rispetto a un lato giace srrl cerchio circoscritto iil triangokl.

PERMUTAZIONE

U1a perrnutazione cli n oggctti clistitrti è rrrr circlinarttetrtoilt se'rltietrztrclegli stessi. Ad e s e m p i o( 1 . 2 . 3 ) . ( 3 . 1 . 2 ) . ( 3 . 2 . 1 ) . s o n o p c l ' t t t t t t i t z i o ct rl ie it ì r t r r r e |1i . 2 . 3 . ' '3'2'1 -I)'(n-2) l l r r n r r r e r oc l i t u t t t l e p e l r n r r t a z i o r r ip o s s i b i l i c l i r r o g g e t t i è d a t o c l a n ( r r Talc nunrelo viclt: chitrnrato fattr-rliak'tli ri e irrclic'atocorl rrl. Per clcfinizione 0l :1.

Fissato 1ri sistclra

p ( c o sr / * I s e n r l )

clie ò cletta forrna trigonclmetrica clel rlunrero courpl,'sst, :. La ralrpresentaziorre clella sorrrrna tra rmmeri cornplessi nel pitrno cli Gauss corrisponcle aÌIa sc)1t111trii r-ettori cori la regola c1t:lparallelograrnma. La rappresentaziout: del prorlotto è ottenibile ttsatrdo 1:rfbrma trigonornetrir:a: se :1 : p1 (sen d 1 f I cos ù 1) e z2 : p2 (sen Ú2 * r cos riz) si ha che l ) t ' p . ) ' ( ( c o s r i l c o s ù 2 - s e n d l s e l l r t 2 ) + l ( c o s d 1s e r r ' ù ) 2 * s e n r cl l o s d 2 ) ) ' l ) 1 l ) , 2 ' ( c o s ( r ] 1* r l u) + r i s c n( d 1 + r J z ) ) .

.r'.,2

ploclotto dei niocluli dei Quirt{i il rrrotlulo tlcl proclotto cli t-lue ntuneri cotlplessi ò r.rgualc al (a rtreno di rnultipli argonretrti degli alla sotnma fìLt.tor.ie i'argotnento dcl prodotto è,.lrguirle quincli imrrlaginabile è per nunero complesso: un giro). La nroitiplicaziorìc {eli'angolo rotoonìotetia. è ttna trasfbrniazione in sé: tale' piatio di G:nrss del trasformaziont: conìe luta cioè u1a rgtazione cli un:rngolo ptrri a d : arg: in senso arttiot-ario seguita da rtn'ollrotetia rli r:rgionc l: . Pcr cluarrtr., r'igrrarrlir la rirpprc'sentazione delle raclici n-esirne tli un trurnero cotnplesso. basta osse'r'r'are<'lte.sel: : p(cos il * i sen r/). i rrr-uneri -

/

-\ / ' 2 1 , ' t; ù

t r 1 : \ / t r( " , , r ( 1 " \ n \

r,l\r

/2k;

l-,.,'" (? \ /

n

)). //

l ' ' : l l 1 .. . . . n

I

Dnrrrlue ogrri nunrelo complesso non ntrllo ]ra n radici n-esimc solo tali c[c. u,i :;. clist iirt er. 1. le raclic'i n-esinre clcll'unità sono riìppreserrtabili con rìei punti Nel caso in cui:: <ìi un ri-gorro regol:rre. irrscritto nella c'ircoirfererrzadi raggio 1e ai r-ertici corrispgrrclenti currtro O e avcnte un vertice ncl puirto (1, 0).

TEOREMA Se 7r è 1n Ìrurììero plirno e rron è divisore clel nurnero intelo a. allora uP-I = 1 (nrod p). PICCOLO <'ioè:ltr (7r- 1)-esirna potenza cli rl. clivisa per p. clà resto 1. DIFERMAT DEI PRINCIPIO CASSETTI

1 blocchi r-i del'e esscre almeno Se si lipar-tisce un insicrrre cli ahuenc.rn oggt'tti in n ptrroler. se si mettotro 7 camicie iri 6 Irr altre 11 |lor.co c,hc ccintieuc pirì c1i uu oggetto. 2 canritie. trotttr-'rrà allltt'lto cassetti. rtrro di clttcsti ()rresto senrplice ltrinciltio. trtile nr'11'trffrorttalcproblenti di courbinatoria, è noto anchc corrre prlncipio clella pict:ion:ria (pigeon hole).

172

Glossario

PHlNClPlO Dl IDENTITA' DEIPOLINOMI

Si consicleriun polinorriioa coefficientireali nella indeterminataX. ov'u'ero una espressionc formale e . r , X "1 , n r - 1 ) f ' - l + . . . + a 1 X + a p Al polinourio è a,ssociata in modo uaturale una funzione polinomiale.più precisamentela fitnziorrcP(r) che alla variabile reale .r' associail numero reale P I . r 1 - ( r , , J -' "n , , r L "

*ur.!'l nt)

Il principio rli iclerrtitàdci polinorni asserisceche cluepoÌinoni P(x) : o.r-Y+ " o,,-1-x" t +... * arr *acr (-.

t Q ( x ) : b , , X "+ Ò , , - r x " +

' * i r r x + ó o.

le cui funzioni polinorniali coinciclono.sorro r-rguali.o."'r.ero 'll :

ln. ..

Q,

:

btù .

A,

l:

brr,-I

ai

:

Òf ,

610:

ó0

Pcr :rsselireche P(X) coincic.le con Q(X) basta verificàìrechc i r.alori assurrtida P(r) e cla Q(rr) sono gli stessiper airnenon * 1r'akrri distinti cli.r'(supponendon ) nr.). Il principio cli iclentità rlei polinorni è r'alido anche irr carnpo cornplessoecl è r'alido ancher se le incieterniirratesono cìue o piìr. PRlNClPlO Dl INCLUSIONE-

ESCLUSIoNE

Se A e B souo cìrteittsierni. è facile r-erifìcarela fornmla

# é u B ) : # ( . A )+ # ( B ) - # ( A n B ) : infatti cotttare plirrra gli erlementidi A e poi clrelli cti B è come contare gli elementi cli Al B. coti la rlifft'r'euzache gli elernenticli A n B vengonocontati clue r-olte. Nel casoin crri gli insiemi siano tre. .4. B e C. applic:rndoclue\.olte la folmultr precedente s i u tt i e r r e

#(4. B'JC) +

# ( A ) + # ( B ) + # ( C ) - # ( A n B ) - # ( n n C ) - # ( C :n , + 1 a #(A. B.C) .

Piir in gcnerale,dati rr itrsietli J1. A2..... A,,, il numero degli etlernentidella loro rrrrione ì: pari alla sornnìa degli elernenti c'liognuuo di essi meno i numeri degli elenrenti delle loro intersezionidrre a
S p e s s op e r c ì i t n o s t r a r ci :l i r e t t a t u e n t u e n a p r o p r i e t àc l e in u m e r i n r ì t u r à l i( 1 . 2 . . . ) s i a p p l i c a il principio rli induziorre.il cui enunciato è il seguente. Sia P una proprietà dei nruneri uaturali. Supponiatlo che (tr) la proprietà P -,'alg:lper il rmncro 1: (b) piirterrclodall'ipott-rsic:hela proprietà P vnlga per uìl rìunlero naturale /t..si riesca a most,rareche essar-ale anche per h + 1. Sotto tali ipotesi. allora. la proprietà P è verificata da ogni tìurneronaturale n,. V-ediarnocorne esenìpionna dirnostrazioneclel fatto cire n3 - n è clivisibileper 6 quahrnque sia il rrunero natrrralen. (u) lil - I - U, che è or viarnerrterlivisibilc per 6. (b) Supponen,lc,che h3 - h. sia divisibile per 6. si ira ( h + l ) r i- ( h . + 1 )

tt.3 + 3 h . 2+ 3 À + t * h

-t:

h : 3 - h + 3 h ( h + 1 ). Si osservache 3À(li f 1) è certarnenteclivisibileper 3. rna ancheper 2. essendoh(h + 1) il

173

Glossario

prodotto di clue rrurnericonsecutir.i,di cui uno è certarnentepari. Dunque. supponenclo lf - h divisibile per 6. auche (ft.+ t)3 - (1,+ 1) risulta dil'isibilc per 6. Il principio di induzione perrrìettcallola di concludereche, per ogni n. n3 - n è multiplo di 6. Il principio cli incluzionepuò essereassunto c:omeassiomanella presentazionedci mrmcri naturali. o. a volte. è ecluir.alente ad alcuni di essi. Ovviamente il principio cl'iricluzionepuò anche esseleutilizzato per dimostrare che una proprietà P è verificata da ogni nunÌero naturale nraggiore o nguale a un fissato zr,i1. sostituerrcloalla (a) la t a ' . ; l a p t ' p t i r ' î à P l a l g a p c r i l t r t t t r r l t ,r' r , , . PROBABILITA'

Se un espcrimcntoha n possibili risultati e ull certo everrto E si rt:alizzain À

P(E\:L. ft.

Li questa definizionesi presupporredi saperechc fra i risult:iti dell'esperimentonon ve ne siano di "prevllegiati" rispetto agli altri. cioè che essisiano equiprobabili:la clefinizioneè quindi tautologica. îrttavia in moiti casi concreti I'ipotesi che i risultati siano equiprobabili signifìctrsemplicernente clie "non si hanno infcrrrnazionial riguardo". Ad esempiose si l a n c i an n d a c l o .i s e i r i s u l t a t i c h e s i p o s s o n oo t t e n e r es o n o 1 . 2 . 3 . - 1 .l l . 6 e s a r e b b et r o p p o cliflicile. se non inrpossibile. avere informazioni sullo stato fisico del
o

, Ia

: e così \'ia. ; l Ben piìr cornplessaò la sitrrazionequancloil numero rìei possibili lisultati dell'esperimerito e) infinito. Basti rlrri ul senrpìice esempio: se si prende a crasoLrn nurnero :r nerl|intervallo lo. ó] ò ragionevolesripporre cire la proì.labilitàche l appartcnga alla metà destra dcll'intervallo sia uguah a quella che r appartengaalla rrietà sinistra: piir in generale.se: A è:un sottoinsiene dcìf inte'rvallodi hurghezza(misrrra) /. la probabilità cire il trurnero .rr appartenga acl A è ugrrale al rapporto fra le nrisure rli ,4 e clell'intero interr.allo. cioè I probabilità cleil'evento"esceun numero clispari" U

n-, PHODOTTO SCALARE

Dati drre r.ettori I e i. il loro orclclottoscalale è defiriito come il.coso

ltl

ove r.rè l'arrgolo(Ìonrpresotra i cluel'ettori. ed l7 . I r 1sonc,le lrrnghezzedei cluevettori. Se i e i su,ruchrcvettori irr un piano dotato di un sistema di riferimento monomctrico ortogonaleche hirrinocomporrenti(,.r, gr) e (rir2.y2) rispetto a talc sistemadi riferirnerrto. il valore clel loro prodotto scalarerè pari a îrx2 + !Jr112. Se ì7 e i .o,ro verttoridelìo spazio. e s1lessoè fissato un sistema cli riferimento monometrico ortogonalerispetto al quale i r.ettori hanno componenti (.tt. !/t.:r) e (;r:2.tJ't,zz),il valorcr clel loro prodotto scalareè dato cla r1r2 i lltAz * ztzz. PROGRESSIONE U r r a s u c c e s s i o ndci n u n r e r ia t , 0 2 . . . . . u r t . . . . è d e t t a p r o g r e s s i o naer i t m e t i c as e l a t l i f l e ARITMETICA renza tra clueterrnirii consecutiviciellasuccessione è una costanted (detta ragione della progressione).tr possibileclefinireper ricorrenzauna progressiouearitmetica nel scguentc modo: ( at

--

Q

t"; - o,,1td 1) 'd. La sonrma,9.y L'esprcssicrnegenerale tlel tcrrninc'n-esirtro è qtrindi en : o,+ (n può dei primi N tcrrnini cli una progrerssiorrearitrnr-'tica esscre calcolata con la seguetrte

174

Glossario

relazione:

_\' ,c, ., , -_ \ - , , . - o , l_.,,

't'-.

,.-

2 o - F( - Y- 1 ) . d

2

r - l

QUADRILATERO

crcLrc0

E un quadriiatero IBCD teorema di Tolorneo:

inscrivibile in una circonferenza.Per tali quadrilateri r.ale il

AC . BD : .48 .CD * AD .BC' . Per i quadrilateri ciclici vale una forlnrìa analoga iì qr-relladi Erone per i triangoli: se a. b. c. rl sonole luugliezzecleilati e p è il serniperirnetro.si ha clie Ì'alea S clelcluadrilatero è clata da S : r / ( p - a ) ( p - h ) ( p- c : ) ( p- d ) RADICIRAZIONALI S e P ( r ) : e ( j . Í n1 4 1 ; r ' " - 1 + ' + ( 1, , y i (- l - a , ,è u n p o l i n o n i i oa c o e f f i c i e n ti in t e r i e r : p l a D E I P O L I N O M I è una srraradice raziorralc.cioè una soluzionedell'eclrrazione P(r.) : 0 con 7r.q interi, che supporrerìo lrrinii fia loro. allora: 1 ) q è u n d i v i s o r cd i a s : 2 ) p è n n d i r . i s o r ed i r r , , : 3 ) p - m q è u n c l i v i s o r ec i i P ( n r ) p e r o g n i i u t e r o r r r . h i p a r t i c o l a l ep - q è u n d i r . ' i s o r d ei i r o l r l e r n aA L G 3 6 a P(1) (vecìp ) p I e è un clir.isord ei P(-1). Soprattutto la regoìa2) è estremanerìteutile cprandosi cercanosoluzioniintere cli polilorni "tlonici". cioè con ús - l; irr tal caso infatti tali sohrzioni.se esìstono.vAnlo cercate tra i clivisoridel termine noto d,,. REGOLADEI SEGNI

Il numero di soìuziorripositir-e(contate con la loro rnolteplicità) clell'equazione a cocflcienti reali non nulli tLr.T" a rÌ,,-1.-rtt 1*

+ r / o ( c o nn s I 0 )

è uguale al rmmero clei canrblarnenti di -segno clegli elernenti della snccessione Q,n,(7rì-1. .... o1. {111 o clif{erisce cla esso (irr rneno) per un ntnnero pari. I1 nunrero delle soluziorri negative (contate con la loro nrolte;rìicità) clella stessa equazione è dato invece c l a i c a n r b i a r n e n t id i s e g n o d e l l a s u c c e s s i o n eo , t . - o r _ r . e r t 2 . . . . . ( - 1 ) ' , - t n r , ( - l ) " r i 6 c r diflèrisce da esso (in rneno) pcr Llrì nllrrero pali..Qrre.sta regola. detta anche regola di Cat'tesio. permette di dcternrirrare il numero clellc soluzioni cli segno positilo rìi un'er1uazione cli seconclo graclo. avente il discrimintrnte positir.o o rniìlo. contando il nurnero delle r.ariaziorri cli segno dei coefficienti clell'ecluazioncstessa.

ROTAZIONE

Urra rotazione clel piatro è una isornetria ; del piarro che irbbia un unlco purrto fisso O che si dirà il centro clella rotazione; (P si clice rÌn plrrìto fisso di una trasforrnaziorre 17se 11(P\: P1 Se 'p è ttna rotazionc cleì piano di centro O. clata una semiretta s cli origine O. f immagine rnediante p cli.sè altcora una senrilctta,s'di origiue O. e l'angolo orielltato n non dipencle cla s. ma solanetrte dal1a rotaziorÌc i: .ì è cletto ampiezza clella lotazione g. La rotazione cli anrpiczza ir si clice anchc siurnletria centrale cli centro O. Si consideli trtr sistenra cli assi ciìrtesiani ortogonali cli origine O: siano (r. y) le coorclirrate cli urt generico ptllrto P c (.r'. y/) le coordinate clell'irnmagine cli P per la rotazione di c ì e n t r o O e a n r p i e - z z ao : i l l e g a n e t r a ( . r . g ) e ( , r ' . g ' ) è e s p r e s s od o | ,r' :.r

c o s o - g s e r ìo

I y' :.,,sero* rcos(ì Urra rotaziotre clello spazio è un'isometria ; clello spazio a\-eltte uua retta r corne insierne dei pr-rnti fissi: ,p tfa-sforura allora in sé ogni piano ; perpendicoìare a /'. e ristrertta a talc piano ,p è una rotazione (clel piano) di anrpiezza rr non dipendente cla ;.

175

Glossario

SISTEMA SIMMETBICO

Le sohrzionir'. u dei sisteuta t . { T f f - r ,

1t'v:a sono le raclici dell'ecluazionez2 - a: -1-b. come seg-uefaciirnente dal teorelna di Ruffini. l'arrgoloal centro è il doppio di ogni trngoloalla circonferenzache Iit ogni circonferc.rrza. TEOREMA arco. Conseguenzedi cpesto teorenta sono le 'seguenti: insiste sul rncclesinro DELL'ANGOLOALLA CIRCONFERENZAa) tr.rtti gli angoli alla circonferenzache irrsistotrosr-tllostcssoarco sotìo ugrtali: sono uguali. b) angoli aila circonferenzachc insistorto str archi r.rgr.rali TEOREMA DELL'ANGOLO ESTERNO

Iu un triarrgoÌoogtri angolo esternoè la sortrmadei cltreangoli interni non acliacenti.

TEOREMADELLA La bisettricc irrtelnn cli rrn triarrgolo clir-icleil lato opposto in palti proporzionali ai due Il prorlotto di cluelzLtldi un triangolo è rrgualeal quadrato della l:rti che l:r corrrprenciono. BISETTRICE Lrisettricccleil'arigoloda essi folrnato pirì il procìottoclei segmentiche essadetermina sr-ll t€l ztt lal o.

In ogni triangolo ì1 quaclratodi urr lato è rrgualealla sonrua dei qLradratidcgli altri due Dl TEOBEMA ciininlitri clel cloppictprorlotto di questi per il cosenoclell'angolotra essi colnpreso. CARNOT (ODELCOSENO) Sc o. b.r:rsorìoi lati e rr è l'trngolocourplesofia i lrrti ó e r: si ha r , . 2: b 2+ r ' 2- ) ó c c o s o Per.o : ;r/2. cioò in un triangolo rettangolo. il teoreuradi Cirrnot si ridrrceaÌ teoretnacli Pitzrgolrr. Dl TEOBEMA CEVA

Clondttttcrlaì r-erticicli rrn triangolo tre scnriletteclte'si intersecauoitr un purrto ilterno al triangol6 e chc i1c'oltratro i lati oppnsti acl l. B. C nei punti A' . B' . C' rispettivatnente. si ha B.l' ,I'C

('g', .l(" B'A C'B

dtre corcle AB e CD, esse si TEOREMADELLE Corrdotte cla un punto '\-I inttrno acl rtna cit'conferrenza CII : lIB. tali che All : llD: dir-idonofirrrnarrrloqnrittro segrtre-trti DUECORDE Dl TEOREIIA EULERO

11 ogni qrurclrilaterola s
che ogni polinornio (o di d'Aleubelt) as-serisce cìell'algebr:a Il teorernafcxtrlanrentale TEOREMA FONDAMENTALE ( ì , , , : "+ Q , , , 1 : t ' - t + " - f ( t 1 : +: ( t t ) DELL,ALGEBRA a coefficietrticonrplessiamrnctte in carrrpocoutplessoLurrìl.ltttetocli raclici (contate con lzr ptrò essercscritto conreprociotto 1o16nioltcplicità) ltar-iirl ò il suo graclo:di conscguertza gr:rrlo. prirrlo fattoli cli cli n DELLA TEOREMA MEDIANA

Il cloppir-rcle,'lqtradrato cli trna tnecliarracii uti triangolo è rrguale :rlla somrna dei quadrati rneno la metà clel quadrato cìclterzo lato. dci drrc lati chc la cornplenclorro

Dl TEOREMA NEPERO

cone la tangerlte lati sta alla loro cìiffcre'rrza Irr ogrri triangolo la sonrnraclcilernisure cli clr-re clegÌi:rrrgoliopposti a cprestilati sta alla tangente della tliggrrorrretricadelia sertrisonrrn:r lolo senricliflèretrz:t.

a drrc a clueprirni fra lolo. allora il sistenladi cottgmenze -ss116 TEOBEMACINESESc tlcgli ilteri 21. /22,, . .. /?1DELRESTO l ' - o À ( r n o t Ìn r ) . r : : 0 t ( r n o dn l ) . r ' : a 2 ( m o c ln 2 ) . . . siano i nLrncri interi a1.o2. .... 41..La soltrzioneè:unica. rnodtrlo ha soluzione.qualr.urque

176

Glossario

il;rrodotto cli tutti gli n;. Per esernpio.se si sa che nn 1ìulneror è clisparie ha resto 3 n e l l ac l i v i s i o n p ee r 5 ( c i o è . r - 1 i m o c l2 ) e . r : 3 ( m o d 5 ) ) a l k - r r ac l e v ee s s e r e : r : 1 3 . n r o d u l o2 . í t : 1 0 . c i o è . r:: 1 3 i 1 0 A , c o lni ' i u t e l o . Il teorertnacinese clel resto è antichissimo (\'secolo a.C'.). ura ira tror..atoimportanti applicaziorrinel lecerrtecalcolo digitale (trasformata di Fourier. convoluzioni). TEOREMADI BUFFINI

L , n p o l i n o r n i oP ( r ' ) : o 0 . r Ì ' f ú 1 ; r " - 1 | . . . - . 1 - a , , _ 1f . 1a , , è d i l - i s i b i l ep e r l r n b i n o r r r i o( r - o ) se e solo se o è raclicedi P(r). S e P ( . r ) h a r a d i c i c r 1 . . ì 2 . . . . . o . * r i s p e t t i r a r n e n t ed i m o i t c p l i c i t à A r , À ' 2 .. . . . À " , c o n À i i À z + " ' + À " - r z a l i o r a P ( r ) s i p u ò s c o r n p o r r ei n f a t t o r i l i r r e a r i : P ( . . ) : n o ( r - ( Ì 1 ) À(';' r - , r r ) À ' ' . . . ( . r ,- o " ) À '

TEOREMA DELLA Conclotte cla urì prlnto P esterno a una circonfercnzauna scnriretta PA tangente alla SECANTE E DELLA c'irconferetrza rre'ipuuto '4 e unn sccanteche intersecala circonferenzarrei purrti B e C si TANGENTE J r ac h e P B : P . 4 : P , l : P C . TEOREMADELLE Condotte tla un ptnto esterno P a r-uracirconferenzarlue secarrtiche incontrano la cirSECANTf c o n f e r e n z ar i s p e t t i v a r n e r r ti cn A . B e i n C . D . s i h a c h e P D : P B - P A : P C . TEOREMA DEI SENI

In ogni tliangolo i lati sono proporzionali ai seni clegliangoli opposti. Con l'usuale notazione dcgli elernenticli un triarrgolosi ha a seno

b

(

sen.J

: _ _ tp sen1

cloverÀ è il r:rggio rleì cerchio circoscritto al triangolo. TEOREMADI STEWART

In rttt triangolo qnahurrlre. se 1) è un purìto clcl lato .18 e AP ha

1 , .P B :

u. CP:

& r .s i

b 2 t r+ a 2 t , : r : ( u , 2* u r , )

B c SePèi1 p,nto Îll;:i';'i#:L:,[i:]1iliiìi.1,il.::iì'i::.::ff:ilì,TT:lT.ill TE0REMADI TALETE

TEOREMA DELLE TANGENTI

Drte trasr.ersalio c ó che incontrano tre rette partillele ri. r'2. 13 rispettivanente iri Ar, -42. A3 e: 81. Bz. Rs cletertrrinanoquattro segnlenti A1.42. A2A3. e: 8182. BzBt, tali che AtAz

AzA,t

BtB,t

BzB,t'

Da un pturto P esterno :i urra circorrfcrenzircìi centro O possorroesserccondotte drie e cluesole rette tarìgerìtialla circonferenza(in,{ e B rispettivarnentc).\algorio le segr.renti pt'oprir'ti: tr) PA: PB: b) la sernirettaPO ò bisr.trliceriell arrgolo-1FB: c) la retta PO è l'assecìcllacorclalB.

TEOREMA Dl T0L0ME0

In utt quadrilatero inscrivibile irr urra circonfclenzail prodotto clellecliagonaliè uguaÌe alla sontriraclci proclotti clei lati opposti. Piìr in generale.in ogni cpadrilatero ABCD si ha: AC . BD < AB . CD + AD . BC .

TEOREMI Dl EUCLIDE

1) In un triangolo rcttangolo il cpradratocostnrito srì un cateto è equivalentcal rettangolo che ha per lati l'ipotenusae la proiezionedel cateto sull'ipotenusa. 2) In rur triangolo rettaugolo il cluaclratocostnrito suil'altezza relativa all'ipotcnusa è eqtrivalettteal rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Glosserio

TRASFORMAZIONEÈ rrna applicazioneiriunivoca 'p del piano in sé tale che: AFFINE (a) g trasfbrnìà segntentiin segmr:nti: (b)se c|re segtnentiallincati hanno hurghezzaa e Ó e le loro inrrnagini (che sono alrcora or.r.iamentescgnrentiallineatl) Ìtanno lungliezzan' e ó'. si htr O.'

Q

h

h

l

Cotrsegricuza cli rlranto clctto è che una tlasforuraziotre affìne trasforma rette in rette . c le irnrnagini di clr-rerettc paraliele sono dttc rettc paralleÌe. Ne. segue eviclentemcnte :uiche clie f inunagiuc mecli:rnte nua trasforttt:rzione affine cii nn invece Ìe irnmagini lrarallclogramma è ancolA un p:rrallelogranrma. Non riecessari:rmente st-rttt-r allcola drte rette pelpcnclicolali rleclialte rlra tr:rsformirzionc affìnc cli due rette perpcrrdicolari. Inoltre. l'irnnragirrc mecliante rrna trasforruaziorte affinc di ttna figura cli area S è r-rna figrrra cli arca 4.9. dor.e A'è nna costante riorr rmlla (arrche lcgativa se si considerano ar€le 6rie1t:itc) che dipencle scilo clalla trasforrnaziorìe r/ e non cl:rlla figlrra considerata. S e i l p i r r r r uì ' r l o t a t , , , l i r r r r s i s î , ' r r r a4 i l i i n l i l y l e r r r r() i r t l F s i ; l l l o .r ' s i i n , l i c a n o c o r r l r . r l ) l o coorclinate di 1rr generi<'opurìto. e con (.r'. y') le coordinate delia slla i[ìnÌagine, csistono sei costanti reali (c\-erìttralntente nrtlle:) a. b. r:. d. ir. i'. tali che

: a . r* b y I ,'

\ 11t c:'r:I thl

+-u .. T I .

per ogllr .l'. I .

rlort rld -- lx, : k I () ò la costante' di cui si è dctto in precerìertza.

Come si è cìetto nella hitrocluzione. si ò preferito raggruppal'e i problerni delle gare per argomenti e. all'interno di questi. ordinarli "grossonrodo" per clilTicoltàcrescente. In questa maniera però si è completamenteperso I'ordine cronologico. Riteniamcr opportlno ricostruire in queste pagine la esatta costituzione.atìno dopo anno, delle varie gare, intendendo con questo favorire chi volesse rendersi conto concretamente cli corne esseerano strutturate. Si tenga conto che nel libro appaiono. oltre a tutti i problemi assegnati nelle gare di prinro liveilo dal 1989 al 1994 e nella gara rrazionale dal 1988 al 1994, di cui ricostruiamo qui la cronistoria. anche trna selezionedegli esercizi assegnati negli stage cli Cortona e qualclie altro esercizio di complernento. I1 riferirnento ai problemi è fatto trarnite una sigla che ne identifica I'argornento e un nunìero progressivo.come nelle sezioniProblerni e Soluzioni.

GARAJUNIOH 1990

GEOS1.GEOPl. CON{B4.CO\T89. GEOP3.\IAT3. ARIT3. CO\{BlO' \IAT1. AI,G9

1991

NTAT2.GEAN1. G E O P 1 1 .P R O B 4 .A L G 8 . C O \ { B 3 . A R I T 1 2 . A L G 5 . A R i T 1 l GtrOPI6

1992

ARIT1. \'IAT17.DISG3.ALG2. CO\IB1. \IAT16. PROB1.LOG7.GEOS4.ARIT.I. GEOP2

1993

NIAT7.GtrOP2i NIAT1.ALG3. \IAT1O.NÍAT12.LOG5.CO\I86. GtrOP5.LOG6. GtrOP27

1994

ALG1. ARIT2. GtrOP6. GtrOP15.CO\IBS. NÍAT18.PR,OB2.LOG1. GtrOPS. ALGT2A . L G 1 7 .A L G 2 3 \iAT11. N,IAT14.

GARASENIOR 1989

PROB5. LOG2. ARIT14. DiS2. GEOPI. GEOP2O.ALG24. DISG2. CONTB15. DISG8 GEOS3.DIS4.ARIT15.GEOP2g.

1990

DIS1.GtrOP2.GtrOP7.GEAN6.ALG7. CONÍB11.GEOP22.LOG3. GEOP17.ARIT13.ALG18.GtrOS5.ALG25.ARIT27.GEOP4O

1991

ALG6. GEANg.ALG13.GtrOP1E.\IAT9. GEAN3.CONIB13.GEOP24.GEOPli). PROB6.CONIB2.GtrOS7.DIS3.ARITIO.ALG26.GtrOP46

1992

GtrAN2. NIATls. NIAT5. GtrOS2.GEOPl3. PROB3. AR,IT5.GEAN8. ALG15 FUNZ1.ARITg. GEOP25.GtrAN5.GEOP41.ALG28

180

Cronistoria

1993

ALG.1.GtrAN1O.\{AT6. LOG.I. \IAT8. ALG11, CO\ÍB12. ALG16. GtrOP23. C O \ I B 1 4 .G E O P 1 2C . O \ f 8 7 . A L G 2 1 .G E O S 6A . L G 1 9 .G E O P 3 1A. R I T 1 6

1994

GEAN4. ALG2O. DIS5. GEA\7. GEOP14.ARIT6. ARIT7. GEOPg. NIATI3. GEOP19.ALG1.1.CONIB5.GEOSS.ALG10.ARITE.PROB7.GEOP3g.ARIT17

GAHANAZIONALE 1988

PROBl]. CO\IB19.DISG7.ARITi].1.GEOS1S. DISGl-1.ARIT39

1989

ARIT2O.CO\IB32.GEOSlO.GEOP2E.PROBE.FT]NZ2

1990

CO\IB27,GEOP36.ALG29.DISG.1. ARIT18.CO\{R16

1991

GEOP43.ARIT2ii.ARIT26.COIIB17.GEOS11.ALG27

1992

COTIR2E. DISG3.ARIT19.PROBg"ALG3O.ARIT2.l

1993

GF]OP32. ARIT22.C]O\IB26.GEOP3E.DIS7.GtrOS11

1994

COIIB25.ARIT23.LOGS.GtrOP34.GEOS13.CO\IB3t)

q.t-:-.

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A Abitanti cli un'isola 9.40.70.1,17 Albero 70 Alfabeto8.65 B Barca 159 c tz i u t r e3 . 5 . ; 0 . ; 6 B a s e, l i t r t t r r t a Bersaglio6.61 C Carnaleonti(che'cambiano colore) 5,58 Carnpanile156 Carburante 159 di) 106.123^158 Canrot (tc'oreura Cavo elerttrico15E Centro di gravità 78,10,1 Cer,a(teorernadi) 99 Ciclist,i.11.152 C'ingiiin (tcsa fia due lnlegge) 22.92 Città di confine 42.150 Classecli un liceo 38.1.12 Clo
Equazioni parametriche 136 E r o n e ( f o r r m r l ad i ) 1 0 6 , 1 2 7 . 1 2 8 Escursionista156 Esploratori -10,147 E t t a g o n o2 6 . 1 0 8 (teoremi di) 96.100.118 Er-rclicìe Ei.rlero (forrnula tli) 122 F Facce cli un poliedro cotìvesso30'122 Fattoriale 19 Íaftorizzaztone di uu polinornio 13,15.75.80 Fern'rat(piccolo teorema di) 57 F e s t ad a b a l l o 1 0 . 7 1 . 1 5 7 Fibonacci (numeri di) 65 G Gettorri teleforrici36,137 Giuria 37.139 Grafo 70 I Inflr.renza36.137 Ingranaggi 45.152 Inversione(per raggi vettori reciproci) 119.128 privato'15,153 Inr-erstigatore -16.15:1 Isola - (r:on 1000 abitanti) 9.70 - (di fìrrfanti e cavalieri) 40.147

D Dacli - (con faccecli tre colori) 36,137 - (corrfacce ruodificate)36,137 - (cliversi. che si ottengotto col
L Laccio 159 L a n c i r l i n t o n e t c3 7 , 1 3 8 . 1 4 0 Leggeoraria 152 Lirnite 135 Linee aeree.15.153 L r - , c o r n o t o r e , 11. 5 31 , Logarltmo 50 Lrrr:chetto7.63 Luogo geometricrr - (cloi prrtiti che ltatttto sonlma costante da cìrre rctte perpendicolari)2 l.9t) - (dei purrti che vedonouna erliissc sotto ttrt angolcr retto) 35.136 - (dci punti che vedotro un qutrdril:rtcro sotto llrl angolo cli ,15")22.91 - (dei punti di tangcnza clclle sferc'che ptrssatttr p c r c l u cp u r r t i f i s s a t i )3 0 . 1 2 1 - (rìeriterzi vcrtici cli r-tntlizitrgolrlr:cpilatelo clrt' lia tltte vertici su clttt'rettc paralic'le)22.90

E Ellissc 2it.1i)8 E l l i s s i c h e r o t o l n t t o2 6 . 1 1 2

Nf \lalmelltrttr dietetica -12.150 clir-isore \iassinio cronìLtn

182

Indice

- ( d e in u m e r im . n . ( ^ n - n a ) ) a . 5 0 - (di n mrmeri < i00) 5.59 \leccanisrni 45,152 \ I e d i a a r i t r n e t i c a8 3 , 1 0 7 , 1 2 5 . 1 2 7 . 1 2 8 . 1 5 8 \Iedia armonica 85.158 \ I e c l i a g e o m e t r i c a8 3 . 8 5 . 1 0 7 . 1 2 5 . 1 2 8 \Ieclia quadratica 83.127 \letodo di discesa51 \Iondiali cli calcio 155 Xlonete che rotolano 15.153 N N a z i o n a l ec l i c a l c i o3 9 . 1 4 6 Neu,to' Isaac 3g Numeri - (razionali) 14,77 - ("speciali'') 39.1,16 - (triarrgolari) 5,57 O Olimpiadi Internaziolali IX.i55.163 Orrrotetia8.g,g0 Operaziorieo 12,74 P P a l l i n e i n s a c c h e t t i8 . 3 6 . 6 4 . 1 , 1 1 Parabole 156 Parte iritera di ru numero 5,ó8 Partita cli calcio 36.137 Pavirnentazionedi ttna piazza 23.92 P e n t a g o n o2 6 , 3 1 . 1 0 8 . 1 1 1 . 1 2 5 Pepvs Samuel38 Percorsi (che connettono due vertici di un parall e l e p i p e d o6 ) .37.116,138 Piano complesso108 Pioggia 40.146 Pista circolare,1,1.152 Poligono intrecciato 19.87 l'oligono regolarecon vertici a coordinate intere 26.111 Politici che mentolo 156 Porite 161 P o tt a c a l c i silc a l l . l i I P r e z z od e l Ì ' o r o1 2 , 1 5 0 Princioi6 - clelcassetti66,67,159 - di identità dei polinomi 109 - di irrclusiole-esclusione 66.72 - di ind'zione b1.71.1,18 Prodotto scalare95.109 Proclotto vettoriale 120 P r o g r e s s i o n ea r i t r n e t i c a - 1 . 1 0 . 1 1 . 1 3 . 1 4 . 2 3 . 7 2 . 7 6 . 7g.g4 a ()uaclrato - (da sudclividerein quadr:rtini) 9.-17 - (che rotola) ,14.Ió2

R R a d i c i i n t e r e4 . 8 , 1 5 . 5 2 . 9 0 . 1 5 7 Radici razionali 4.52.81 R a n - r p ad i s c a l e , 1 6 , 1 5 4 Regola dei segni 53 Rigori ,12,150 Riflessionedella luce 160 Riordinamento 9.66 Rotazione90.114 Rriffini (teorema di) 79.81.158

Scacchiera 7.8.10.62.63.64.69 - (infinita) 9,67 Scoiattoli 155 binaria 61 scompc.rsizione Settore circoìare (di perimetro assegnatoe area masstma)31.12-1 S e z i o n id i u n c u b o 2 9 . 3 0 , 1 1 7 . 1 1 9 Sirnnietriacentrale 11.1 Sistemasimmetrico 76 Statua cli bronzo 28.f 16 Strette di nano 8.65 Svegìia - (che rimane indietro) '13.151 - ( d i g i t a l e )4 3 . 1 5 1 T Talete (teoreniadi) 95.110 Tar.'olacircolare - ( c o n t ? c o m m e n s a l i )9 . 6 8 - (con 30 uomini e 30 donne) 10,70 Teorema - c i n e s ed e l r e s t o 6 0 - dei seni 84 - cìellabisettrice 88 - clellamediana 105,123.160 - dell'angoloalla circonf'erenza107.129 - dell'angoloesterno87.96,98.111 - d e l l es e c a n t 1 i 01,118.129 - clelletangenti 86.89.93 Test diagnostico37.138 fifosi 39.1.19 T o l o n e o ( t e o r e m ad i ) 1 1 0 . 1 1 1 . 1 1 4 , 1 5 9 Torneo di pallacanestro8.65 Torneo di poker 7.63 Torneo di tennis 7.38.62,141 Topolino (area delle orecchiedi) 20,87 T o t o c a l c i o1 0 , 7 2 Trattore 156 y, \'alore assoluto 133 Versore109 V e t t o r e9 5 . 1 0 9 . 1 2 0 . 1 3 1

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Queslo volume,sprovvistodel talloncÌnoa fronte (o opportunaè da considerarsr mente punzonatoo allrimenticontrassegnato), copia di SAGGIO-CA|\,4PlONE GRATUITO,fuori commercio(ven. s e n l ed a d t a e a l t r l a t t i d i d i s p o s l z i o n ve e t a t r :a r t . 1 7 l . d . a . ) E l . V . A (. D . P R .2 6 - 1 0 - 1 9 7 2n.. 6 3 3 , a r t .2 , l e t t .d ) . E s e n t ed a b o l a d i a c c o m p a g n a m e n(tD o . P . R6. - 1 0 - 1 9 7 8n . 6 2 7 , a r t . 4 , n . 6 ) .

LE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA Pii'i: ] idù fl1d." $.itrÌ I fl)t$.ii.l- F- iii,{}'il [i: f l',iixÉ". Pht4.1,E a curadi FRANCOCONTI e di MICHELEBARSANTIe TULLIOFRANZONI

partecipano ognianno,dal 1959, Internazionali di Matematica AlleOlimpiadi di tuttoil mondo. studenti dellescuolesecondarie un numero coinvolgono italiani i seiconcorrenti Le gareperselezionare si spiega, QuestoSuccesso e di insegnanti. di studenti Sempre crescente la qualità con anche incontro, di e dell'occasione sportivo al di là dellospirito di sfida matematica è campo In essi,la chevengonoproposti. dei problemi allaricercadi verità intellettuale, è fontedi divertimento e, soprattutto, da conquistare. difficili e di dimostrazioni dellegareitaliane, I curatori, chesonofragli organizzatori piùbelli,suddividendoli in questolibro280frai problemi hannoraccolto nei casipiùimpegnativi, Anche per perargomento crescente. difficoltà e familiari. prediligono I'usodi strumenti le soluzioni suggerite

q O L I I V P I A D IE L L AM A T E I V A T I C A t s B N8 8 - 0 8 - 0 9 0 1 6 - 7

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In anni successivl, n caso di evenìualecambiamentoprezzo cons!ltare il calalogo dell'editore

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