3. CIRCUITE ELECTRICE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 3.1. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT 3.1.1. Elemente, definiŃii Circuitele electrice sunt alcătuite din surse şi receptoare de energie electrică, conectate între ele prin conductoare. După variaŃia în timp a mărimilor electrice, circuitele electrice pot fi: ▫ de curent continuu (notat uzual c.c. şi simbolizat —) şi ▫ de curent alternativ (notat uzual c.a.), dintre care cele mai utilizate sunt cele în regim sinusoidal (simbolizat ~), • monofazate (simbolizate 1~) şi • trifazate (simbolizate 3~). Elementele unui circuit sunt rezistoarele, bobinele şi condensatoarele, caracterizate de parametrii: rezistenŃă, inductanŃă şi capacitate. Circuitele electrice sunt liniare, dacă parametrii care caracterizează elementele de circuit nu depind de mărimile electrice (curenŃi, tensiuni) şi neliniare, dacă depind de aceste mărimi. Parametrii circuitelor pot fi concentraŃi sau distribuiŃi. În cele mai multe situaŃii parametrii pot fi consideraŃi concentraŃi. Se numeşte mărime sinusoidală (fig. 3.1) mărimea periodică a cărei variaŃie în timp este descrisă de o funcŃie sinusoidală de timp: a(t) Amax
ωt ωT
α
Fig. 3.1.
a = Amax sin(ωt + α) , unde: a – este valoarea instantanee a mărimii sinusoidale, Amax
– valoarea maximă sau amplitudinea mărimii sinusoidale,
ωt + α – faza mărimii sinusoidale măsurată în radiani, ω
– pulsaŃia mărimii sinusoidale şi
α
– faza iniŃială a mărimii sinusoidale măsurată în radiani. Faza iniŃială ia valori cuprinse în intervalul [–π/2, π/2], 35
(3.1)
Valoarea medie pe o perioadă a unei mărimi sinusoidale este nulă. Valoarea eficace a unei mărimi sinusoidale, A, este:
1 A= T
T
∫
2 Amax sin 2 (ωt + α) dt =
Amax
0
2
.
(3.2)
łinând seama de relaŃia (3.2), expresia (3.1) a mărimii sinusoidale devine: a = A 2 sin(ωt + α) ,
(3.3)
numită şi forma normală în sinus. Se numeşte defazaj diferenŃa între fazele a două mărimi sinusoidale. În cazul mărimilor sinusoidale de aceeaşi pulsaŃie defazajul este egal cu diferenŃa fazelor iniŃiale ale mărimilor respective luate în ordinea dată.
Fie mărimile sinusoidale a1 şi a2: a1 = A1 2 sin( ωt + α1 ) ; a 2 = A2 2 sin( ωt + α 2 ) .
Defazajul φ12 între mărimea a1 şi mărimea a2 va fi: φ12 = α1 – α2. În funcŃie de valorile lui φ12, cele două mărimi pot fi: ▫
în fază: φ12 = 0 (fig. 3.2 a);
▫
mărimea a1 defazată înaintea mărimii a2: φ12 > 0 (fig. 3.2 b);
▫
mărimea a1 defazată în urma mărimii a2: φ12 < 0 (fig. 3.2 c);
▫
în opoziŃie de fază: φ12 = ± π (fig. 3.2 d);
▫
în cuadratură: φ12 = ±
π (fig. 3.2 e). 2
a1
a1
a2
a2 ωt
ωt
α1 α2 φ12 = 0
α2 α1
φ12 > 0
b)
a) a1
a1
a2
a2 ωt
ωt
α2 α1
α1
φ12 < 0
α2 φ12 = π d)
c) 36
a1 a2 ωt α2 ϕ12 =
π 2
α1 e) Fig. 3.2.
3.1.2. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale Se observă că în cazul mărimilor sinusoidale de aceeaşi pulsaŃie (frecvenŃă) o mărime este complet caracterizată prin două valori scalare: valoarea eficace şi faza iniŃială. Un număr complex este caracterizat de asemenea prin două valori scalare: modulul şi argumentul său. Se poate deci asocia unei mărimi sinusoidale un număr complex care se numeşte imaginea în complex a mărimii sinusoidale respective: A = Ae jα .
a = A 2 sin(ωt + α)
(3.4)
Din relaŃia (3.4) se observă că modulul A al numărului complex A este egal cu valoarea eficace a mărimii sinusoidale a iar argumentul α al numărului complex este egal cu faza iniŃială a mărimii sinusoidale. În planul complex numărului complex A i se poate asocia un vector numit fazor care are modulul egal cu modulul numărului complex, originea în originea axelor, iar unghiul pe care-1 face cu axa reală egal cu argumentul numărului complex (fig. 3.3).
+j A
A sinα
+j
A1 + A2
α2
A1
A2
A α
A cosα
+1
α1
+1
Fig. 3.3.
Fig. 3.4.
CorespondenŃa în complex a operaŃiilor cu mărimi sinusoidale: a) Adunarea a două mărimi sinusoidale are drept corespondent în complex adunarea imaginilor în complex ale celor două mărimi: a1 + a2 (3.5) A1 + A 2 . În planul complex adunarea are drept corespondent însumarea vectorială a celor doi fazori (fig. 3.4). b) ÎnmulŃirea cu un scalar a mărimii sinusoidale are drept corespondent în complex înmulŃirea cu scalarul respectiv a imaginii în complex a mărimii sinusoidale: 37
λa (3.6) λA . În planul complex, înmulŃirea cu un scalar are drept corespondent creşterea modulului fazorului corespunzător de λ ori, iar în cazul λ < 0, şi rotirea fazorului cu unghiul π (fig. 3.5 a şi 3.5 b): +j +j
λA A
A
π λ>0
λ<0
α
α
+1
+1 a)
b)
λA Fig. 3.5.
c) Derivarea în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale are drept corespondent în complex înmulŃirea imaginii în complex a mărimii respective cu jω. Fie: da π = Aω 2 sin ωt + α + . a = A 2 sin(ωt + α) şi b = dt 2 Imaginea în complex va fi: π j α + 2
B = Aω e
= Aωe jα e
da dt
jω A .
j
π 2
= Ae jα ωj .
Deci: (3.7)
În planul complex derivarea mărimii sinusoidale are drept corespondent creşterea modulului π în sens trigonometric direct fazorului corespunzător de ω ori şi rotirea acestuia cu unghiul 2 (fig. 3.6). +j
+j jω A
A
π 2
A
α
α
−
+1
π 2
+1 A jω
Fig. 3.6.
Fig. 3.7.
d) Integrarea în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale are drept corespondent în complex împărŃirea imaginii în complex a mărimii respective cu jω. Fie: 38
∫
a = A 2 sin(ωt + α) şi c = adt =
π 2 sin ωt + α - . ω 2 A
Imaginea în complex va fi:
π
π
-j Ae jα A j α − A A 1 . C = e 2 = e jα e 2 = e jα π = j ω ω ω jω 2 e
Deci:
A . (3.8) jω În planul complex integrarea mărimii sinusoidale are drept corespondent micşorarea π în sensul trigonometric modulului fazorului corespunzător de ω ori şi rotirea acestuia cu unghiul 2 invers (fig. 3.7).
∫ adt
3.1.3. Caracterizarea circuitelor de curent alternativ
Dacă la bornele unui circuit dipolar liniar şi pasiv (fig. 3.8) se aplică o tensiune sinusoidală de pulsaŃie ω, intensitatea curentului absorbit de circuitul respectiv va fi de asemenea sinusoidală, având aceeaşi pulsaŃie ω. Fie tensiunea aplicată: ○
u ○
i
u = U 2 sin(ωt + β) ,
Circuit dipolar pasiv
(3.9)
unde U este valoarea eficace a tensiunii, iar β faza iniŃială. Atunci intensitatea curentului absorbit va fi de forma: i = I 2 sin(ωt + γ) ,
Fig. 3.8.
(3.10)
unde I este valoarea eficace a intensităŃii curentului, iar γ faza iniŃială. Circuitul respectiv poate fi caracterizat cu ajutorul a două mărimi. Există patru astfel de perechi de mărimi: a) impedanŃa şi defazajul, b) rezistenŃa şi reactanŃa, c) admitanŃa şi defazajul, d) conductanŃa şi susceptanŃa. ImpedanŃa Z a circuitului dipolar este, prin definiŃie, egală cu raportul valorilor eficace ale tensiunii aplicate şi intensităŃii curentului absorbit: Z=
U . I
(3.11)
Defazajul φ este defazajul dintre tensiunea aplicată şi intensitatea curentulul absorbit:
φ = β – γ.
(3.12)
Se defineşte rezistenŃa R a circuitului ca fiind egală cu:
R=
U cosϕ = Z cos ϕ ≥ 0 , I
(3.13)
Se defineşte reactanŃa X a circuitului:
X=
U sin ϕ = Z sin ϕ , I
care poate fi > 0, < 0 sau = 0. 39
(3.14)
ImpedanŃa, rezistenŃa şi reactanŃa au ca unitate de măsură în SI ohmul, simbol Ω. Se defineşte admitanŃa Y a circuitului ca fiind egală cu raportul valorilor eficace ale intensităŃii curentului absorbit şi tensiunii aplicate la bornele circuitului, deci egală cu inversul impedanŃei: Y=
I 1 = . U Z
(3.15)
Se defineşte conductanŃa G a circuitului ca fiind egală cu:
G=
I cos ϕ = Y cos ϕ ≥ 0 , U
(3.16)
Se defineşte susceptanŃa B a circuitului: B=
I sin ϕ = Y sin ϕ , U
(3.17)
care poate fi > 0, < 0 sau = 0. AdmitanŃa, conductanŃa şi susceptanŃa au ca unitate de măsură în SI siemensul, simbol S. Din relaŃiile (3.11) – (3.17) se observă că perechile de mărimi care caracterizează circuitul nu sunt independente. Se defineşte impedanŃa complexă a circuitului ca fiind egală cu raportul imaginilor în complex ale tensiunii aplicate şi intensităŃii curentului absorbit: Z=
U . I
(3.18)
Ştiind că: U = Ue jβ şi I = Ie jγ , impedanŃa Z va fi: Z=
U Ue jβ U j(β-γ) = jγ = e = Ze jϕ = Z cos ϕ + jZ sin ϕ = R + jX . I Ie I
(3.19)
3.1.4. Puteri în circuite de curent alternativ Se consideră circuitul din Fig. 3.8. Puterea absorbită pe la borne de circuitul respectiv
este: p = ui.
(3.20)
Expresia (3.20) este expresia puterii instantanee absorbite de circuitul respectiv pe la borne. Se consideră: u = U 2 sin ωt ,
(3.21)
i = I 2 sin(ωt − ϕ ) .
(3.22)
Introducând expresiile (3.21) şi (3.22) în relaŃia (3.20) se obŃine: p = U 2 sin ωt I 2 sin(ωt − ϕ ) = UI cos ϕ − UI cos( 2ωt − ϕ ) .
(3.23)
Se observă că puterea instantanee are o componentă constantă în timp şi o componentă cu o variaŃie armonică de pulsaŃie dublă faŃă de pulsaŃia tensiunii, respectiv intensităŃii curentului. În 40
Fig. 3.9 este reprezentată variaŃia în timp a tensiunii, curentului şi puterii instantanee pentru circuitul dipolar considerat. Valoarea medie pe o perioadă sau pe un număr întreg de perioade a puterii instantanee se numeşte putere activă, P, şi are expresia:
P = UI cosφ ≥ 0,
(3.24)
P = UI cosφ = RI2.
(3.25)
care se mai poate scrie:
Unitatea de măsură în SI a puterii instantanee şi a puterii active este wattul, simbol W. p u i
ωt
Fig. 3.9.
Puterea aparentă, S, a unui circuit dipolar este egală cu produsul valorilor eficace ale tensiunii aplicate şi intensităŃii curentului absorbit:
S = UI,
(3.26)
S = UI = ZI2.
(3.27)
care se mai poate scrie:
Puterea aparentă este indicată pe plăcuŃa de fabricaŃie a maşinilor şi aparatelor electrice. Puterea aparentă caracterizează dimensiunile unei maşini sau ale unui aparat pentru că U determină grosimea izolaŃiei iar I determină dimensiunile secŃiunii conductoarelor. Unitatea de măsură în SI a puterii aparente este voltamperul, simbol VA. Puterea reactivă, Q, a unui circuit dipolar este egală cu produsul dintre valorile eficace ale tensiunii aplicate, intensităŃii curentului absorbit şi sinusul unghiului de defazaj dintre tensiune şi intensitatea curentului:
Q = UI sinφ,
(3.28)
Q = UI sinφ =XI2,
(3.29)
care se mai poate scrie:
şi poate fi > 0, < 0, = 0. Considerând convenŃia de asociere a sensurilor de la receptoare, atunci când Q > 0 puterea reactivă este primită de circuitul dipolar iar când Q < 0, puterea reactivă este cedată de circuitul dipolar. Unitatea de măsură în SI a puterii reactive este voltamper reactiv, simbol VAr. 41
Se numeşte factor de putere, kp, raportul dintre puterea activă şi puterea aparentă:
kp =
P . S
(3.30)
În regim permanent sinusoidal, factorul de putere rezultă: kp = cosφ.
(3.31)
Se defineşte puterea aparentă complexă a unui circuit dipolar ca fiind egală cu produsul dintre imaginea în complex a tensiunii aplicate şi imaginea în complex a intensităŃii curentului, conjugată: S =U I , *
(3.32)
*
unde I este conjugatul numărului complex I . Ştiind că: U = Ue jβ şi I = Ie jγ , I = Ie -jγ , puterea aparentă complexă va fi: *
S = Ue jβ Ie -jγ = UIe j(β-γ) = Se jϕ = S cos ϕ + jS sin ϕ = P + jQ ,
(3.33)
care se mai poate scrie: S = U I = Z I I = Z I 2 = ( R + jX ) I 2 = RI 2 + jXI 2 = P + jQ . *
*
(3.34)
3.1.5. Rezolvarea unor circuite simple de c.a. Se vor considera circuite dipolare simple care conŃin elemente de circuit ideale (rezistoarele au numai rezistenŃă, bobinele au numai inductanŃă, condensatoarele au numai capacitate), liniare, cu parametrii concentraŃi. La bornele fiecărui circuit se aplică o tensiune sinusoidală u care are expresia:
u = U 2 sin(ωt + β) . Intensitatea curentului absorbit va avea expresia:
(3.35)
(3.36) i = I 2 sin(ωt + γ) . Se pune problema determinării valorii eficace I şi fazei iniŃiale γ ale intensităŃii curentului absorbit atunci cînd se cunosc tensiunea aplicată şi parametrii elementelor circuitului. Pentru determinarea intensităŃii curentului trebuie stabilită relaŃia de legătură între intensitate şi tensiune. În acest scop se aplică legea inducŃiei electromagnetice pe curba închisă Γ formată din conturul circuitului dipolar considerat şi linia tensiunii la borne (fig. 3.10, 3.12, 3.14). Prin rezolvarea ecuaŃiilor astfel stabilite se obŃine intensitatea curentului. ObservaŃie Rezolvarea ecuaŃiilor se poate face atât în instantaneu (utilizând valorile instantanee ale mărimilor sinusoidale) cât şi în complex (utilizând imaginile în complex ale mărimilor sinusoidale). a) Circuitul cu rezistor ideal (fig. 3.10) R ≠ 0 ; L = 0; C = 0 i • După aplicarea legii inducŃiei electromagnetice rezultă A○ ecuaŃia: u R u = Ri . (3.37) • Se obŃine: B○ u U 2 sin(ωt + β) i= = Γ Fig. 3.10. R R 42
Valoarea eficace I şi faza iniŃială γ ale intensităŃii curentului absorbit sunt: U I = ; γ = β; Z = R; φ = 0. R • Tensiunea la bornele rezistorului, uR = u, este în fază cu intensitatea i a curentului prin rezistor (fig. 3.11): •
u i
ωt β γ
Fig. 3.11.
φ=0 • Puteri: U2 ; Q = UI sin ϕ = 0 ; S = P. R Rezistorul ideal absoarbe numai energie activă. P = UI cos ϕ =
b) Circuitul cu bobină ideală (fig. 3.12) R = 0; L ≠ 0 ; C = 0
A○
• După aplicarea legii inducŃiei electromagnetice rezultă ecuaŃia: di (3.38) u=L . dt
i
u
L
• Se obŃine:
B○ Γ
1 i= u dt = L
∫
Fig. 3.12.
π U 2 sin(ωt + β - ) 2 . ωL
• Valoarea eficace I şi faza iniŃială γ ale intensităŃii curentului absorbit sunt: U π π ; γ = β - ; Z = ωL = XL (reactanŃă inductivă); φ = . I= ωL 2 2 π • Tensiunea la bornele bobinei ideale, uL = u, este defazată înainte cu faŃă de intensitatea 2 i a curentului prin bobină (fig. 3.13):
u i
ωt α ϕ=
π 2
β
43
Fig. 3.13.
• Puteri: P = UI cos ϕ = 0 ; Q = UI sin ϕ =
U2 ; S = Q. ωL
Bobina ideală absoarbe numai energie reactivă. c) Circuitul cu condensator ideal (fig. 3.14) R = 0; L = 0; C ≠ 0
A○
i
• După aplicarea legii inducŃiei electromagnetice şi a legii conservării sarcinii electrice rezultă ecuaŃia: 1 u = ∫ id t (3.39) C
Σ
u
C
B○
•
Γ
Se obŃine:
Fig. 3.14.
i=C
π du = CωU 2 sin ωt + β + . 2 dt
• Valoarea eficace I şi faza iniŃială γ ale intensităŃii curentului absorbit sunt: π 1 π I = ωCU ; γ = β + ; Z = = XC (reactanŃă capacitivă); φ = – . 2 ωC 2 • Tensiunea la bornele condensatorului ideal, uC = u, este defazată în urmă cu
π faŃă de 2
intensitatea i a curentului prin condensator (fig. 3.15): u i
ωt γ
Fig. 3.15.
β ϕ=−
π 2
• Puteri: P = UI cos ϕ = 0 ; Q = UI sin ϕ = −ωCU 2 ; S = |Q|. Condensatorul ideal „debitează” energie reactivă.
d) Circuitul serie R, L, C Se consideră circuitul dipolar (fig. 3.16), obŃinut prin înserierea unul rezistor ideal, a unei bobine ideale şi a unui condensator ideal (numit uzual circuitul serie R, L, C), la bornele căruia se aplică tensiunea sinusoidală u cu expresia dată de relaŃia (3.35) şi care absoarbe un curent de intensitate i cu expresia dată de relaŃia (3.36). Tensiunea la borne se poate scrie ca sumă a tensiunilor la bornele elementelor înseriate: u = u R + u L + uC , (3.40)
respectiv: u = Ri + L
di 1 + idt . dt C ∫ 44
(3.41)
°
R
i
uL
uR
u
C
L
uC
°
Γ Fig. 3.16
Pentru determinarea intensităŃii curentului trebuie rezolvată ecuaŃia integro-diferenŃială (3.41) a circuitului (sunt cunoscute tensiunea şi parametrii R, L şi C). Se introduc expresiile tensiunii şi curentului în relaŃia (3.41), care este valabilă la orice moment t. După alegerea a două valori pentru t şi în urma efectuării unor calcule simple se obŃin valoarea eficace I şi faza iniŃială γ ale curentului: U I= , (3.42) 2 1 R 2 + ωL − C ω 1 ωL − ωC . γ = β − arctg (3.43) R Defazajul φ dintre tensiune şi curent are expresia: 1 ωL − ω C ϕ = arctg (3.44) R şi depinde de valoarea diferenŃei dintre reactanŃa inductivă şi reactanŃa capacitivă. 1 ◊ Pentru ωL − > 0 circuitul are un caracter inductiv, tensiunea fiind defazată ωC înaintea curentului cu unghiul φ, 1 < 0 circuitul are un caracter capacitiv, tensiunea fiind ◊ pentru ωL − ωC defazată în urma curentului cu unghiul φ, 1 ◊ pentru ωL − = 0 circuitul este la rezonanŃă. ωC ImpedanŃa circuitului serie R, L, C este: 2
1 Z = R + ωL − . ωC 2
(3.45)
3.1.6. Teoreme utilizate la rezolvarea circuitelor de c.a. a) Pentru o latură receptoare pasivă, necuplată cu alte laturi (fig. 3.17), forma complexă a legii lui Ohm este:
U = ZI . I
(3.46)
Z
˚
˚
Fig. 3.17.
U 45
b) Teoremele lui Kirchhoff Pentru circuitele de c.a. teoremele lui Kirchhoff pot fi scrise atît în instantaneu cât şi în complex. Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă la intensităŃile curenŃilor şi se enunŃă astfel: Suma algebrică a intensităŃilor curenŃilor din laturile care se întîlnesc într-un nod M al unei reŃele este egală cu zero.
∑i
k
=0.
(3.47)
k∈M
În complex, suma se referă la imaginile în complex ale intensităŃilor curenŃilor:
∑I
k
= 0.
(3.48)
k∈M
Se consideră cu semnul "+" curenŃii care ies din nod şi cu semnul "–" cei care intră în nod. Se poate adopta şi convenŃia inversă. A doua teoremă a lui Kirchhoff se referă la tensiuni şi se enunŃă astfel: Suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor din laturile unul ochi p al unei reŃele este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune pe impedanŃele proprii ale laturilor ochiului la care se adună suma algebrică a tensiunilor determinate de cuplajele dintre bobinele aflate în laturile ochiului cu bobinele din restul reŃelei. Semnele termenilor din expresia teoremei a II-a rezultă în raport cu un sens de parcurgere a ochiului (se consideră cu semnul "+" t.e.m. care au acelaşi sens cu sensul de parcurgere a ochiului şi cu semnul "–" cele de sens contrar; se consideră pozitive căderile de tensiune pe impedanŃele prin care sensul curentului coincide cu sensul de parcurgere a ochiului şi negative dacă cele două sensuri sunt opuse). În complex, a doua teoremă a lui Kirchhoff are expresia: = Zk Ik + k∈( p )
∑U ∑ ek
k∈( p )
l
∑ j =1 j≠k
Z kj I j .
(3.49)
1 este impedanŃa proprie a laturii k iar Z kj = jωLkj este impedanŃa de unde: Z k = Rk + j ωLk − ωC k cuplaj dintre o bobină din latura k şi o bobină din latura j.
3.2. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV TRIFAZAT Circuitele de curent alternativ trifazat sunt utilizate atât în cazul producerii cât şi al transportului şi utilizării energiei electrice. Centralele electrice folosesc generatoare sincrone care sunt maşini electrice trifazate. Transportul energiei electrice prin linii electrice trifazate este mai economic decât transportul prin linii monofazate. Utilizarea sistemelor trifazate de curenŃi permite producerea câmpurilor magnetice învârtitoare care stau la baza funcŃionării motoarelor asincrone şi sincrone.
3.2.1. Sisteme trifazate simetrice Un sistem de trei mărimi sinusoidale care au aceeaşi amplitudine, aceeaşi pulsaŃie şi sunt defazate între ele cu acelaşi unghi formează un sistem trifazat simetric. Dacă mărimile sunt defazate astfel încât a doua mărime este defazată în urma primei mărimi cu 2 π/3 iar cea de-a treia în urma celei de-a doua cu 2 π/3 , sistemul este direct (sau de succesiune directă). Dacă mărimile sunt defazate astfel încât a doua mărime este defazată cu 2 π/3 înaintea primei mărimi iar cea de-a treia mărime cu 2 π/3 înaintea celei de-a doua, sistemul este invers (sau de succesiune inversă). Dacă unghiurile de defazaj sunt egale cu 0, sistemul este homopolar. 46
