Circuite Electrice - Dumitru Irimia

CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE PRIVIND TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE 1.1. Circuite electrice. Clasificări. Ipoteze de calcul. Scheme electrice...................... 11 1.2. Câmp electric. Tensiune electrică. ....................................................................... 13 1.3. Curentul electric şi densitatea de curent............................................................... 15 1.4. Legea conducţiei electrice .................................................................................... 16 1.5. Teoremele lui Kirchhoff....................................................................................... 19 1.6. Legea transformării energiei în conductoare ........................................................ 21 1.7. Elemente ideale de circuit .................................................................................... 23 1.7.1. Elemente ideale dipolare . ....................................................................... 23 1.7.2. Elemente ideale cuadripolare ................................................................. 29 1.8. Elemente de topologie a circuitelor electrice ....................................................... 31

2. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU 2.1. Surse reale de tensiune şi de curent...................................................................... 34 2.2. Transfigurarea circuitelor electrice ...................................................................... 36 2.2.1. Transfigurarea circuitelor pasive ............................................................ 36 2.2.1.1. Transfigurarea serie. Teorema divizorului rezistiv de tensiune . 37 2.2.1.2. Transfigurarea paralel. Teorema divizorului rezistiv de curent . 38 2.2.1.3. Transfigurarea triunghi-stea, respectiv stea-triunghi ................. 39 2.2.2. Echivalenţa surselor reale ....................................................................... 40 2.2.3. Transfigurarea circuitelor active ............................................................. 41 2.2.3.1. Surse reale de tensiune conectate în serie .................................. 41 2.2.3.2. Surse reale de curent conectate în paralel .................................. 42 2.2.3.3. Surse reale de tensiune conectate în paralel .............................. 43 2.3. Calculul circuitelor de curent continuu ................................................................ 44 2.3.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff ............................................................ 44 2.3.2. Metoda curenţilor de contur .................................................................... 47 2.3.3. Metoda potenţialelor nodurilor ............................................................... 49 2.3.4. Metoda (teorema) superpoziţiei .............................................................. 52 2.3.5. Teoremele generatoarelor echivalente .................................................... 55 2.3.5.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thévenin).................................................................................... 55 2.3.5.2. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton) .... 59 2.4. Calculul circuitelor cu surse comandate .............................................................. 62 2.5. Teorema conservării puterilor .............................................................................. 65 2.6. Teorema transferului maxim de putere ................................................................ 69 2.7. Formularea matriceală a ecuaţiilor circuitelor de curent continuu ....................... 75 2.7.1. Matrice de incidenţă şi de apartenenţă………………………………....75

8

Cuprins 2.7.2. Forma matriceală a teoremelor lui Kirchhoff. ........................................ ..78 2.7.3. Forma matriceală a metodei curenţilor de contur. .................................. ..79 2.7.4. Forma matriceală a metodei potenţialelor nodurilor. .............................. ..80 PROBLEME (2). .............................................................................................. ..82

3. CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATE ÎN REGIM SINUSOIDAL 3.1. Mărimi sinusoidale şi reprezentările lor ............................................................... ..87 3.2. Circuitul RLC serie. Mărimi caracteristice .......................................................... ..92 3.3. Teoremele impedanţelor echivalente ................................................................... ..95 3.3.1. Conexiunea serie. Teorema divizorului de tensiune ............................... ..95 3.3.2. Conexiunea paralel. Teorema divizorului de curent ............................... ..96 3.3.3. Conexiuni mixte...................................................................................... ..98 3.3.4. Conexiunile în stea şi în triunghi ............................................................ 100 3.4. Metode şi teoreme de calcul al circuitelor electrice liniare .................................. 102 3.4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff ............................................................ 102 3.4.2. Metoda superpoziţiei............................................................................... 103 3.4.3. Metoda curenţilor de contur (ciclici sau de ochiuri) ............................... 104 3.4.4. Metoda potenţialelor nodurilor ............................................................... 107 3.4.5. Teoremele generatoarelor echivalente .................................................... 109 3.5. Circuite electrice cuplate magnetic ...................................................................... 112 3.5.1. Bobine cuplate magnetic ......................................................................... 112 3.5.2. Ecuaţiile circuitelor cuplate magnetic ..................................................... 114 3.5.3. Decuplarea bobinelor din laturile concurente într-un nod al reţelei ....... 116 3.6. Puterile în circuitele monofazate .......................................................................... 117 3.6.1. Puterea electromagnetică instantanee ..................................................... 117 3.6.2. Puterea activă .......................................................................................... 118 3.6.3. Puterea reactivă ....................................................................................... 119 3.6.4. Puterea aparentă ...................................................................................... 119 3.6.5. Puterea aparentă complexă ..................................................................... 120 3.7. Teoreme referitoare la puteri ................................................................................ 121 3.7.1. Teoremele conservării puterilor aparente complexe, active şi reactive ........ 121 3.7.2. Teorema transferului maxim de putere activă ........................................ 123 3.8. Factorul de putere................................................................................................. 125 3.9. Circuite electrice în regim de rezonanţă ............................................................... 126 3.9.1. Rezonanţa de tensiune ............................................................................ 127 3.9.2. Rezonanţa de curent ................................................................................ 129 3.9.3. Rezonanţa la circuitele cuplate magnetic ................................................ 131 3.10. Răspunsul în frecvenţă al circuitelor electrice ................................................... 135 3.10.1. Filtrul RC trece-jos ............................................................................... 137 3.10.2. Filtrul RC trece-sus ............................................................................... 138 3.10.3. Filtrul RLC trece-bandă ........................................................................ 139 3.10.4. Filtrul RLC opreşte – bandă.................................................................. 140 PROBLEME (3). .............................................................................................. 141

Cuprins

9

4. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE 4.1. Sisteme trifazate de mărimi sinusoidale ............................................................... 145 4.2. Conexiunile circuitelor trifazate ........................................................................... 146 4.3. Calculul circuitelor electrice trifazate .................................................................. 149 4.3.1. Receptoare trifazate conectate în stea, cu conductor de nul ................... 149 4.3.2. Receptoare trifazate conectate în triunghi............................................... 154 4.4. Puterile în circuitele trifazate ............................................................................... 156 4.5. Protecţia împotriva tensiunilor accidentale .......................................................... 158 4.5.1. Prize de pământ ....................................................................................... 158 4.5.2. Scheme de legare la pământ.................................................................... 159 4.5.2.1. Schema IT (neutrul izolat) ......................................................... 159 4.5.2.2. Scheme TN ................................................................................ 165 PROBLEME (4). .............................................................................................. 167

5. CIRCUITE ELECTRICE CUADRIPOLARE 5.1. Noţiuni introductive ............................................................................................. 170 5.2. Parametrii fundamentali ....................................................................................... 171 5.3. Parametrii impedanţă ........................................................................................... 174 5.4. Parametrii admitanţă ............................................................................................ 177 5.5. Parametrii hibrizi.................................................................................................. 181 5.6. Cuadripoli simetrici.............................................................................................. 185 5.7. Impedanţe de intrare............................................................................................. 186 5.7.1. Impedanţe caracteristice ......................................................................... 187 5.7.2. Impedanţe imagini .................................................................................. 188 5.8. Scheme echivalente ale cuadripolilor................................................................... 188 5.8.1. Schema echivalentă în T ......................................................................... 189 5.8.2. Schema echivalentă în Π......................................................................... 190 5.8.3. Schema în punte ...................................................................................... 192 5.8.4. Schema în T podit ................................................................................... 193 5.9. Interconectarea cuadripolilor ............................................................................... 195 5.9.1. Conectarea în lanţ (cascadă) ................................................................... 195 5.9.2. Conectarea în serie .................................................................................. 196 5.9.3. Conectarea în paralel .............................................................................. 197 5.9.4. Conectarea în serie – paralel ................................................................... 199 5.9.5. Conectarea în paralel – serie ................................................................... 201 5.10. Lanţuri de cuadripoli .......................................................................................... 202 5.11. Filtre electrice reactive ....................................................................................... 205 5.11.1. Filtrul trece – jos ................................................................................... 208 5.11.2. Filtrul trece – sus .................................................................................. 210 5.11.3. Filtrul trece – bandă .............................................................................. 212 5.11.4. Filtrul opreşte – bandă .......................................................................... 214 PROBLEME (5). .............................................................................................. 216

10

Cuprins

6. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL 6.1. Mărimi periodice nesinusoidale. Regimul deformant .......................................... 218 6.2. Valori efective şi coeficienţi caracteristici .......................................................... 223 6.3. Puterile în regim periodic nesinusoidal ................................................................ 226 6.4. Calculul circuitelor electrice liniare în regim periodic nesinusoidal .................... 228 6.5. Comportarea elementelor pasive ideale în regim nesinusoidal ............................ 229 PROBLEME (6). .............................................................................................. 235

7. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU 7.1. Componente tranzitorii şi permanente ................................................................. 240 7.2. Condiţii iniţiale .................................................................................................... 242 7.3. Analiza circuitelor liniare în regim tranzitoriu cu metoda directă ....................... 243 7.3.1. Circuitul RL serie ................................................................................... 243 7.3.1.1. Răspunsul circuitului la excitaţie constantă în timp .................. 243 7.3.1.2. Răspunsul circuitului la excitaţie sinusoidală în timp ............... 248 7.3.2. Circuitul RC serie ................................................................................... 250 7.3.2.1. Răspunsul circuitului la excitaţie constantă în timp .................. 250 7.3.2.2. Răspunsul circuitului la excitaţie sinusoidală în timp ............... 254 7.3.3. Circuitul RLC serie ................................................................................. 255 7.4. Analiza operaţională a circuitelor electrice liniare cu metoda transformatei Laplace.... 270 7.4.1. Transformata Laplace .............................................................................. 270 7.4.2. Teoremele transformatei Laplace ............................................................ 273 7.4.3. Teoremele lui Heaviside.......................................................................... 274 7.4.4. Forma operaţională a ecuaţiilor circuitelor electrice ............................... 275 7.4.5. Algoritm de aplicare a metodei transformatei Laplace ........................... 278 PROBLEME (7). ............................................................................................... 281

8. CIRCUITE ELECTRICE CU PARAMETRII REPARTIZAŢI 8.1. Parametrii lineici .................................................................................................. 285 8.2. Ecuaţiile telegrafiştilor ......................................................................................... 286 8.3. Linii electrice în regim sinusoidal ........................................................................ 287 8.4. Linii fără distorsiuni ............................................................................................. 293 8.5. Impedanţa de intrare............................................................................................. 294 8.6. Coeficientul de reflexie. Linie adaptată ............................................................... 295 PROBLEME (8). .............................................................................................. 302 BIBLIOGRAFIE............................................................................................... 303

11

1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE PRIVIND TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE 1.1. Circuite electrice. Clasificări. Ipoteze de calcul. Scheme electrice Ansamblul mediilor parcurse de curenţi electrici se numeşte circuit electric. Elementele constitutive ale acestuia, interconectate în diverse moduri, pot fi active sau pasive. Conversia diferitelor forme de energie în energie electromagnetică, cedată pe la borne, are loc în elementele active, numite şi surse. Acumulatoarele, generatoarele electrice ş.a. aparţin acestei categorii. Elementele de circuit pasive, în principal rezistoarele, bobinele şi condensatoarele, transformă energia electromagnetică primită pe la borne în alte forme de energie. În automatizări, electronică şi telecomunicaţii mărimile caracteristice surselor (tensiuni electromotoare şi curenţi generaţi) aplicate circuitelor electrice se numesc şi mărimi de excitaţie sau semnale; comportarea circuitelor se studiază observând semnalele de ieşire, numite şi răspunsuri. După caracterul variaţiei în timp a semnalelor generate sau procesate, circuitele electrice se clasifică în: circuite în regim staţionar sau de curent continuu şi circuite în regim variabil. În categoria a doua se încadrează sistemele electrice, de mare interes practic, care operează cu semnale periodice: sinusoidale (de curent alternativ) şi nesinusoidale. În funcţie de modificarea formei de variaţie în timp a mărimilor, circuitele pot fi în regimuri permanente şi regimuri tranzitorii. Se studiază regimuri permanente atât la circuitele de curent continuu, cât şi la cele de curent alternativ. Regimurile tranzitorii fac trecerea de la unele regimuri permanente la altele. Analiza circuitelor electrice constă în stabilirea şi rezolvarea ecuaţiilor care descriu funcţionarea acestora. Prin particularizarea legilor şi teoremelor din teoria câmpului electromagnetic se elaborează, în anumite condiţii de aproximare, metode specifice rezolvării circuitelor electrice. O ipoteză de calcul în teoria circuitelor electrice se referă la posibilitatea modelării componentelor fizice ale unui sistem electromagnetic prin elemente de circuit ideale, la care prevalează doar unul dintre parametri. Principalele elemente ideale introduse în studiul circuitelor electrice cu parametrii concentraţi sunt reprezentate în figura 1.1: rezistorul ideal (caracterizat prin rezistenţa R ), bobina ideală (caracterizată prin inductivitatea L ), condensatorul ideal (caracterizat prin capacitatea C ), sursa ideală de tensiune (caracterizată prin tensiunea electromotoare ue R ue ), sursa ideală de curent (caracterizată prin curentul de L scurtcircuit is ). is În studiul undelor C electromagnetice (în regim Fig. 1.1

12

Noţiuni introductive privind teoria circuitelor electrice - 1

sinusoidal) se stabileşte un criteriu  33  , pe baza căruia, un circuit poate fi tratat în aproximaţia parametrilor concentraţi dacă dimensiunea liniară cea mai mare a circuitului l  şi lungimea de undă minimă   , corespunzătoare frecvenţei maxime

 f  din circuit, satisfac inegalitatea

l   

vu , f

(1.1)

în care vu este viteza de propagare a undelor electromagnetice în mediul respectiv.

Observaţie: Dacă l şi  sunt mărimi comparabile (în cazul frecvenţelor înalte sau pentru linii electrice lungi) circuitele se consideră cu parametrii repartizaţi (distribuiţi).

Caracterul cvasistaţionar al desfăşurării proceselor într-un circuit electric presupune neglijarea curenţilor de deplasare (rezultaţi din variaţia în raport cu timpul a câmpului electric) peste tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor. Asumarea regimului cvasistaţionar depinde doar de frecvenţa semnalelor din circuit; ea este satisfăcătoare pentru numeroase aplicaţii, dacă este îndeplinită condiţia exprimată în relaţia (1.1). Caracterul filiform al conductoarelor unui circuit presupune repartizarea, practic uniformă , a curenţilor în secţiunile acestor conductoare. Realizarea acestei condiţii în regim variabil depinde de frecvenţa semnalelor şi de natura conductoarelor. De exemplu, notând cu a dimensiunea liniară minimă a secţiunii conductorului şi cu  adâncimea de pătrundere a undelor electromagnetice în mediul caracterizat de conductivitatea  şi permeabilitatea  , condiţia ca un conductor să poată fi considerat filiform în regimul sinusoidal de frecvenţă f se scrie sub forma  28  :

a   

1 .  f 

(1.2)

Clasificarea circuitelor electrice se poate face după mai multe criterii, dintre care unele au fost deja menţionate. Se disting circuite liniare, neliniare sau parametrice după cum parametrii elementelor de circuit ideale sunt constanţi, funcţii de mărimile de excitaţie (tensiuni, curenţi) sau funcţii de timp. După numărul bornelor de legătură cu exteriorul n  , circuitele pot fi: dipolare n  2  sau multipolare

n  2 .

Un caz particular, de mare importanţă practică, îl reprezintă circuitele

cuadripolare n  4  . Perechea de borne de acces, la care curenţii sunt egali şi de sensuri opuse, formează o poartă. Circuitele electrice în care sunt prezente surse de energie se numesc circuite active; în absenţa surselor, circuitele formate numai din elemente de circuit pasive se numesc circuite electrice pasive. Reprezentarea grafică, prin simboluri convenţionale, a componentelor de circuit şi a modului lor de interconectare constituie schema electrică a circuitului.

1.2 - Câmp electric. Tensiune electrică

13

Aceasta se realizează astfel încât ecuaţiile stabilite pe baza ei să descrie comportarea circuitului real la care se referă. În general, aceluiaşi circuit electric îi corespund scheme electrice distincte, pentru condiţii de funcţionare diferite. Pentru a facilita calculul, se obişnuieşte ca o schemă electrică sau o parte din aceasta să fie substituită cu o schemă echivalentă, mai simplă, astfel încât curenţii şi tensiunile în exteriorul acesteia să nu se modifice prin înlocuirea făcută.

1.2. Câmp electric. Tensiune electrică În cadrul teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice, câmpul electric este abordat ca un sistem fizic ce mijloceşte exercitarea acţiunilor ponderomotoare (forţe şi cupluri) între corpuri electrizate situate în regiunea din spaţiu unde el există. În general, intensitatea câmpului electric are expresia

E  E p  Es ,

(1.3)

în care E p reprezintă componenta potenţială şi se datorează sarcinilor electrice invariabile în timp, iar E s este componenta solenoidală, rezultată prin variaţia în timp a unui flux magnetic (fenomenul inducţiei electromagnetice). În interiorul surselor de energie, forţe de natură neelectrică (datorate unor neomogenităţi fizico-chimice) F neel . asigură deplasarea purtătorilor de sarcină electrică q şi determină, astfel, efecte conductive. Aceste forţe se echivalează cu acţiunea unui câmp electric, numit câmp electric imprimat şi definit de relaţia

Ei 

F neel . . q

(1.4)

În prezenţa simultană a unui câmp electric exterior E şi a celui imprimat E i , mişcarea ordonată a purtătorilor mobili de sarcină are loc sub acţiunea forţei rezultante





F  q E  Ei  0 .

E

A

(C)

dl

Et Fig. 1.2

B

(1.5)

Relaţia (1.5) exprimă de fapt condiţia de existenţă a stării electrocinetice, adică de stabilire a unor curenţi electrici în medii conductoare. Tensiunea electrică între două puncte A şi B , de-a lungul unei curbe C , se defineşte prin integrala de linie a câmpului electric între punctele respective (fig. 1.2)

14


u AB 

B

B

A C 

A C

 E  dl   E dl .

(1.6)

t

Sensul de efectuare a integralei, numit sens de referinţă, este precizat de elementul de linie dl sau de sensul de parcurgere a curbei C . Este evident faptul că la schimbarea sensului de integrare, respectiv a sensului elementului de linie dl , valoarea tensiunii rămâne neschimbată, modificându-se semnul ei

u BA 

A

B

B C 

A C

 E  dl    E dl   u

AB

.

(1.7)

Dacă integrala de linie a intensităţii câmpului electric se efectuează pe o curbă care trece prin dielectricul dintre bornele de acces ale unui circuit, tensiunea electrică se numeşte şi tensiune la borne ub  . În regim staţionar, caracterizat prin mărimi invariabile în timp, există numai componenta potenţială a câmpului electric; tensiunea între două puncte este independentă de curba de integrare ce le uneşte şi egală cu diferenţa potenţialelor electrice din punctele considerate: B

u AB  ub   E  dl  VA  VB .

(1.8)

A

Relaţia (1.8) scrisă în forma: B

VA  VB   E  dl

(1.9)

A

relevă faptul că potenţialul electric în punctul A se poate determina numai în raport cu potenţialul din punctul B , considerat ca potenţial de referinţă. Uzual, în circuitele electrice se alege un punct de referinţă (punct de masă) de potenţial nul, faţă de care se determină potenţialele celorlalte puncte. În regimul variabil al câmpului electric, datorită componentei solenoidale a acestuia, tensiunea electrică între două puncte depinde, în general, de curba de integrare şi nu mai este egală (doar) cu diferenţa de potenţiale dintre punctele respective. În domeniul frecvenţelor înalte sau în cazul curenţilor foarte intenşi, componenta solenoidală a câmpului electric nu poate fi neglijată. În regim variabil, se consideră că tensiunea la borne ub corespunde numai componentei potenţiale a câmpului electric şi este egală cu diferenţa de potenţial dintre bornele respective; curba în lungul căreia E s  dl  0 se numeşte curba (linia) tensiunii la borne.

1.3 – Curentul electric şi densitatea de curent

15

Prin definiţie, integrala de linie a câmpului electric imprimat, localizat într-o sursă situată între bornele A şi B ale curbei C , se numeşte tensiune imprimată sau tensiune electromotoare a sursei B

ui  u e 

 E  dl .

(1.10)

i

A C 

Tensiunea electromotoare de contur, definită prin integrala de linie a intensităţii câmpului electric în sens larg efectuată pe o curbă închisă

ue 

 E  E   dl i

,

(1.11)



are două componente: tensiunea electromotoare indusă

 E  dl

şi tensiunea



electromotoare imprimată

 E  dl . În regim staţionar, prima componentă este nulă i



datorită caracterului potenţial al câmpului electric E şi, în consecinţă, tensiunea electromotoare de contur este egală cu tensiunea electromotoare imprimată. În regim variabil, tensiunea electromotoare de contur este determinată şi de componenta solenoidală a câmpului electric E . Se precizează că unităţile de măsură pentru câmpul electric şi tensiunea electrică se numesc respectiv volt/metru [V/m] şi volt [V].

1.3. Curentul electric şi densitatea de curent Caracterizarea globală a stării electrocinetice a corpurilor se face cu ajutorul mărimii fizice scalare numită curent electric de conducţie i  . În SI unitatea de

măsură se numeşte amper  A şi este o unitate fundamentală. În cadrul teoriei macroscopice, curentul electric este o mărime fizică primitivă şi se introduce pe baza forţei exercitate de un câmp magnetic asupra unui conductor parcurs de curent (forţa lui Laplace). În interpretarea microscopică, curentul electric se defineşte ca mărime fizică derivată, egală cu sarcina purtătorilor mobili care străbat o suprafaţă considerată, în unitatea de timp:

i  lim

 t 0

Q dQ  .  t dt

(1.12)

Pentru caracterizarea locală a stării electrocinetice a corpurilor se utilizează o



mărime fizică vectorială, derivată, numită densitatea curentului de conducţie J , definită astfel încât fluxul ei printr-o suprafaţă oarecare S (fig.1.3) să fie egal cu curentul i :

16


i   J  ds   J ds cos  . S

(1.13)

S

Sensul curentului este determinat de sensul vectorului ds (sensul efectiv pozitiv este cel pentru care i   J  ds  0 ). S



i

ds J

i

S Fig. 1.3

Dacă se consideră J =const. în toate punctele suprafeţei S , normală la axa conductorului, relaţia (1.13) devine i  J S . Circuitele electrice la care densitatea de curent poate fi considerată ca fiind uniform repartizată în secţiunile conductoarelor se numesc circuite filiforme. Deoarece unitatea de măsură în S I a densităţii de curent – amper/metru pătrat  A / m2  - este prea mică pentru necesităţile practice, uzual se foloseşte multiplul ei  A / mm2  

1.4. Legea conducţiei electrice Această lege de material stabileşte dependenţa locală şi instantanee între densitatea curentului electric de conducţie J şi câmpul electric în sens larg E  E i (forma locală), respectiv între curentul electric i şi tensiunea electrică u în lungul unui conductor (forma integrală). a) Forma locală. Pentru mediile conductoare izotrope şi liniare, legea conducţiei electrice se exprimă sub forma:

J   E  Ei ,





(1.14)

E  Ei   J ,

(1.15)

respectiv în care intervin două constante de material: conductivitatea electrică  , a cărei unitate de măsură este siemens/metru S / m şi rezistivitatea electrică   1 /  , cu unitatea de măsură ohm.metru   m .





În absenţa oricărei acţiuni de natură neelectrică cu efect conductiv E i  0 , relaţiile (1.14) şi (1.15) devin

1.4 – Legea conducţiei electrice

17

J  E,

(1.16)

EJ.

(1.17)

respectiv

Din punctul de vedere al conducţiei electrice, se disting următoarele trei categorii de materiale: conductoare, semiconductoare şi electroizolante. Materialele conductoare se caracterizează prin rezistivitate electrică foarte





mică, de ordinul de mărime 108...107  m. Chiar dacă Fizica solidului oferă, pe baza conceptelor teoriei cuantice, modele adecvate proceselor fizice din materiale, nu trebuie totuşi neglijate, mai ales în electronică, rezultatele obţinute cu modelul microscopic al conducţiei electrice. Conductibilitatea de natură electronică, specifică metalelor şi aliajelor acestora (conductoare de ordinul I) este mai mare decât cea de natură ionică, specifică electroliţilor (conductoare de ordinul II). Rezistivitatea electrică a mediilor conductoare este influenţată de: conţinutul şi natura impurităţilor, solicitările mecanice şi termice, starea de agregare, factori ambientali. Peste o anumită valoare a temperaturii, numită temperatură Debye , rezistivitatea unui metal se aproximează prin funcţia liniară

  0 1     0  ,

(1.18)

în care  şi  0 sunt rezistivităţile la temperaturile  şi  0 , iar  este coeficientul termic al rezistivităţii. Pentru majoritatea metalelor şi aliajelor acestora coeficientul  este pozitiv şi, în consecinţă, rezistivitatea creşte cu temperatura (materiale PTCPositive Thermal Coefficient). La temperaturi foarte joase, situate sub anumite valori critice T  Tc r şi în









câmpuri magnetice nu prea intense H  H c r , rezistivitatea electrică se anulează brusc şi defineşte cazul conductoarelor perfecte (supraconductoarele). Posibilitatea măririi densităţii de curent, urmată de miniaturizarea circuitelor electrice, relevă importanţa practică a fenomenului de supraconductibilitate. Materialele semiconductoare au rezistivitatea electrică cuprinsă în intervalul de valori 10 5 ....10 8  m . Dependenţa rezistivităţii de temperatură este sensibil influenţată de natura şi numărul purtătorilor de sarcină (semiconductoare intrinseci şi extrinseci). Rezistivitatea materialelor electroizolante (dielectrici) are valori situate în domeniul 106 ....1016  m şi este influenţată de structura mediului, conţinutul şi natura impurităţilor, factori atmosferici (temperatură, umiditate, presiune). Electroizolantul perfect (dielectricul ideal) reprezintă un caz limită, idealizat şi corespunde situaţiei când rezistivitatea electrică a materialului tinde către infinit     .










18

b.) Forma integrală. Integrând relaţia (1.15) de-a lungul liniei medii de curent între bornele 1 şi 2 ale unei porţiuni neramificate de circuit filiform (fig. 1.4), se obţine:

 E  E  dl    J  dl . 2

2

(1.19)

i

1

2 i

1

Folosind definiţiile şi notaţiile promovate în paragraful 1.2, membrul stâng al relaţiei (1.19) se poate scrie sub forma:

 E  E  dl  u 2

J

ue

i

E

dl

1 i

12

 ue .

(1.20)

1

u12

Pentru membrul drept al relaţiei (1.19) rezultă succesiv

i  dl 1  J  dl  1  S dl  i 1 S  i R , 2

S Fig. 1.4

2

2

(1.21)

unde s-a ţinut seama de paralelismul vectorilor J şi

dl (implicat de caracterul filiform al conductorului) şi s-a introdus mărimea 2  dl , numită rezistenţă electrică, ce caracterizează comportarea globală a R  S 1 circuitului între bornele 1 şi 2. Unitatea de măsură în SI a rezistenţei se numeşte ohm  . Mărimea reciprocă, numită conductanţă G  1 / R  , are unitatea de

măsură siemens S  .

Ţinând seama de relaţiile stabilite, se obţine expresia:

u12  ue  R i ,

(1.22)

care constituie forma integrală a legii conducţiei, cu următorul enunţ: suma dintre tensiunea electrică în lungul porţiunii neramificate a unui circuit filiform şi tensiunea electromotoare a sursei ce acţionează în această porţiune de circuit, este egală cu produsul dintre rezistenţa electrică şi curent, numit cădere de tensiune. Cu precizările făcute în paragraful 1.2 în legătură cu regimul staţionar (vezi rel. 1.8), legea conducţiei se poate scrie şi sub forma

ub  ue  R i

(1.23)

În stabilirea relaţiei (1.23 ) tensiunea la borne ub are sensul identic cu cel al curentului i faţă de aceeaşi bornă [regula de la receptoare, fig. 1.5, a ]. Dacă se modifică sensul

1.5 – Teoremele lui Kirchhoff

de referinţă al tensiunii la borne, menţinând sensul curentului [regula de la generatoare, fig.1.5, b , legea conducţiei electrice se scrie sub forma:

i

i

R

R

 ub  ue  R i .

ub

ub

ue

ue

(1.24)

Prin particularizarea relaţiei (1.23) în cazul unei laturi pasive de circuit ue  0  , rezultă expresia

b

a

19

Fig. 1.5

ub  R i ,

(1.25)

care reprezintă legea lui Ohm.

1.5. Teoremele lui Kirchhoff Teoremele lui Kirchhoff sunt relaţii fundamentale pentru analiza circuitelor electrice, independente de modul de variaţie în timp a tensiunilor şi curenţilor. Ele sunt consecinţe ale legilor conservării sarcinii electrice şi inducţiei electromagnetice, stabilite în următoarele ipoteze simplificatoare: sarcina electrică este acumulată doar în condensatoare şi câmpul magnetic este localizat numai în bobine. Conform legii conservării sarcinii electrice, curentul de conducţie total care străbate o suprafaţă închisă  este egal cu derivata în raport cu timpul, luată cu semn schimbat, a sarcinii electrice

Q din domeniul mărginit de această suprafaţă i 

 . 

J ds  

dQ



dt

.

(1.26)

În regim cvasistaţionar, legea conservării sarcinii electrice aplicată pentru suprafaţa închisă  (fig. 1.6) care intersectează sistemul de conductoare filiforme concurente într-un nod şi nu trece prin dielectricul vreunui condensator, conduce la

i 





J  ds  0 ,

(1.27)

respectiv

 S1

J 1  ds 

 S2

J 2  ds 

 S3

J 3  ds 

 S4

J 4  ds  i1  i2  i3  i4  0 

(1.28)

20


S1

i1

În general, pentru incidente în nodul  , relaţia

ds

i

i4

k 

k

0,

k

laturi (1.29)

exprimă prima teoremă a lui Kirchhoff şi se enunţă astfel: suma algebrică a  curenţilor din laturile incidente într-un S2 nod este nulă. Se atribuie semnul (+) curenţilor care ies din nod şi semnul (-) S3 i2 i3 celor care intră. Legea inducţiei electromagnetice Fig.1.6 stabileşte că tensiunea electromotoare indusă de-a lungul unui contur închis Γ este egală cu derivata în raport cu timpul, luată cu semn schimbat, a fluxului magnetic prin orice suprafaţă SΓ mărginită de acest contur

S4



E  dl  

d S  dt



(1.30)

În figura 1.7 curbele (liniile) tensiunilor la borne sunt asociate curenţilor din laturi după regula de la receptoare. Integrala de linie a componentei potenţiale a intensităţii câmpului electric se efectuează pe conturul închis Γ, care urmăreşte curbele tensiunilor la bornele laturilor unei bucle de circuit. În ipoteza absenţei câmpului magnetic în afara elementelor de circuit, fluxul magnetic prin orice suprafaţă sprijinită de conturul Γ precizat anterior este nul şi relaţia (1.30) devine



E p  d l  V a  V b   V b  V c   V c  V d   V d  V a   0 , (1.31) respectiv

u b1  u b 2  u b3  u b4  0

R1

a

L1

i1

În general, pentru o buclă oarecare ν de circuit relaţia

b

ub1

i4



ue4

u e2

ub4

ub2

C4

R2

ub3 d

R3

C3 Fig.1.7

i3

(1.32)

i2 c

 u

k  

bk

0

(1.33)

reprezintă teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebrică a tensiunilor la bornele laturilor unui ochi (buclă) de circuit (reţea) este nulă. Tensiunile la borne ale căror sensuri de referinţă coincid cu sensul de integrare (sensul de parcurs al ochiului) sunt pozitive, iar cele de sens contrar sunt negative.

1.6 – Legea transformării energiei în conductoare

21

Ţinând seama de legea conducţiei electrice exprimată cu (1.23), relaţia (1.33) poate fi scrisă sub forma

 u

k  

ek



 R

k  

k

ik ,

(1.34, a)

care constituie un alt mod de prezentare a teoremei a doua a lui Kirchhoff, având următorul enunţ: suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor dintr-un ochi de reţea este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune din laturile ochiului. Se consideră pozitivi termenii u e k şi R k i k , dacă sensurile tensiunilor electromotoare, respectiv ale curenţilor coincid cu sensul convenţional de parcurgere a ochiului. Expresia (1.34, a) corespunde situaţiei în care în ochiul de reţea intervin doar tensiuni imprimate şi rezistoare. Cu un raţionament analog aceluia care a condus la stabilirea relaţiei (1.33), se poate obţine o formă nouă de prezentare a teoremei a doua a lui Kirchhoff. Aplicând legea inducţiei electromagnetice pe conturul închis realizat din suma curbelor tensiunilor la bornele elementelor de circuit din laturile unei bucle, se poate scrie relaţia

 u

k  

k

0 ,

(1.34, b)

care reprezintă forma extinsă a teoremei a doua a lui Kirchhoff. Potrivit relaţiei (1.34,b), suma algebrică a tensiunilor la bornelor elementelor de circuit din laturile unui ochi de reţea este nulă. Pentru însumarea algebrică a tensiunilor la borne se stabileşte, arbitrar, un sens de referinţă în ochi (buclă). 1.6. Legea transformării energiei în conductoare Experienţa demonstrează că într-un conductor aflat în stare de conducţie electrică are loc generare de căldură. Efectul electrocaloric determină pierderi pe liniile de transport al energiei electromagnetice şi contribuie la degradarea izolaţiei conductoarelor. Rezultatele experimentale şi consideraţiile teoretice, constituite în forma locală a legii, stabilesc că puterea (energia în unitatea de timp) transferată de câmpul electromagnetic unităţii de volum dintr-un conductor în stare electrocinetică este egală cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric şi densitatea curentului electric de conducţie

pEJ 

(1.35)

Unitatea de măsură pentru densitatea de volum a puterii electromagnetice p este watt/metru cub [W/m3]. Ţinând seama de legea conducţiei electrice (rel.1.15), expresia (1.35) se poate scrie sub forma:





p   J  Ei  J   J 2  Ei  J 

(1.36)

22

Noţiuni introductive privind teoria circuitelor electrice - 1 Termenul p J   J 2 este strict pozitiv şi reprezintă densitatea de volum a

puterii cedată ireversibil de câmpul electromagnetic conductorului parcurs de curent (efectul Joule). Cel de-al doilea termen, p G  E i  J , numit densitatea de putere corespunzătoare câmpului electric imprimat, poate fi pozitiv sau negativ, în funcţie de orientarea vectorilor implicaţi. Forma integrală. Puterea totală transmisă de câmpul electromagnetic în procesul de conducţie electrică se obţine integrând relaţia (1.35) pe tot volumul conductorului:

P   pd v 

(1.37)

v

În particular, pentru o porţiune dintr-un conductor filiform (fig.1.8) elementul de volum poate fi scris sub forma d v  d l  d s . Vectorii E , J , d l , d s sunt paraleli, astfel că relaţia (1.37) devine

P

v

 E  J   d l  d s   

1

2

J

dl

E ds dl

i

E  d l  J  d s  u 12 i 

(1.38)

s

Aşadar, forma integrală a legii arată că puterea totală P cedată de câmpul electromagnetic unei porţiuni de conductor filiform, în procesul conducţiei electrice, este egală cu produsul dintre tensiunea în lungul conductorului u12 şi curentul i. Considerând regimul staţionar, în care tensiunea în lungul conductorului u12 este egală cu tensiunea la borne ub (vezi paragr. 1.2) şi legea lui Ohm pentru o latură pasivă de circuit (rel.1.25), expresia (1.38) poate fi scrisă şi sub forma

i

dv

2

1

P  u b i  Ri  2

u b2 R



(1.39)

Fig. 1.8

Unitatea de măsură pentru putere se numeşte watt [W]. Energia cedată conductorului parcurs de curent într-un interval de timp  t  t 2  t 1 se exprimă sub forma

P

t2 t1

P dt 

(1.40)

1.7 – Elemente ideale de circuit

23

Unitatea de măsură pentru energie se numeşte joule [1J = 1Ws]. În electrotehnică se foloseşte frecvent kilowattora [1 kWh = 3,6 . 106J]. În cazul în care intervine şi un câmp electric imprimat, după integrarea relaţiei (1.36) sau asocierea formei integrale a legii conducţiei (rel.1.22) relaţiei (1.38), rezultă: (1.41) P  Ri 2  u e i  Primul termen, PJ  R i 2  0 , reprezintă puterea disipată sub formă de căldură pe rezistenţa R a conductorului parcurs de curentul i (efectul Joule). Al doilea termen, PG  u e i , se numeşte putere generată şi corespunde sursei de câmp electric imprimat. Dacă PG  0 (adică ue şi i au acelaşi sens), atunci sursa produce putere, respectiv energie electrică; dacă PG  0 (adică ue şi i au sensuri opuse), atunci sursa primeşte putere, respectiv energie (de exemplu, cazul unui acumulator care se încarcă).

1.7. Elemente ideale de circuit 1.7.1. Elemente ideale dipolare Rezistorul ideal este un element pasiv de circuit caracterizat prin parametrul numit rezistenţă electrică R. Relaţia dintre tensiunea şi curentul la bornele sale (ale căror sensuri de referinţă sunt asociate după regula de la receptoare) se determină admiţând următoarele  i ipoteze: - rezistorul este un mediu conductor în care are loc disiparea integrală a energiei electrice sub formă de căldură (efect Joule); - câmpurile electric şi magnetic în exteriorul u R său sunt nule; - nu conţine surse de câmp electric imprimat. Aplicând legea inducţiei electromagnetice (rel.1.30) pe conturul Γ (fig.1.9), legea conducţiei (rel.1.22) şi ţinând seama de ipotezele Fig. 1.9 simplificatoare formulate anterior, se obţin relaţiile



E  d l  u cond uc t or  u  

u c o n d u ct o r  R i ,

d s  dt

0

(1.42) (1.43)

din care rezultă ecuaţia caracteristică a rezistorului ideal sub una dintre următoarele forme: (1.44) u  uR  Ri sau

i  Gu  GuR 

(1.45)

24


Tensiunea la bornele rezistorului ideal, notată cu uR , se numeşte cădere de tensiune rezistivă. Pentru un rezistor ideal liniar, reprezentat simbolic în figura 1.10, a, relaţiile (1.44) şi (1.45) sunt de proporţionalitate între mărimile la borne (R = const., G = const.). Puterea primită pe la borne se poate scrie sub formele

p  u i  Ri 2 Gu 2  0 .

(1.46)

Se disting următoarele cazuri particulare: a) scurtcircuitul corespunde situaţiei când R = 0 (G → ∞), astfel încât u = 0 pentru orice i; b) întreruperea corespunde situaţiei când G = 0 (R → ∞), astfel încât i = 0 pentru orice u. În cazul particular al unui rezistor liniar variabil în timp, reprezentat simbolic în figura 1.10, b, în relaţiile (1.44) şi (1.45) intervin rezistenţa parametrică R (t), respectiv conductanţa parametrică G (t).

R

R t 

a

b

R i 

c

Fig. 1.10

Rezistenţa elementelor de circuit neliniare depinde de valorile tensiunii aplicate, respectiv ale curentului ce le străbate. Există un număr mare de rezistoare neliniare ale căror caracteristici tensiune-curent sunt dintre cele mai variate. Pentru rezistoarele neliniare controlate în tensiune (varistorul, dioda Zener, dioda tunel etc.), caracterizate prin variaţii relativ mici ale curentului corespunzătoare unor variaţii semnificative ale tensiunii la borne, ecuaţia caracteristică are forma

i  G  u u 

(1.47)

Pentru rezistoarele neliniare controlate în curent (ex.: dioda cu gaz), la care variaţiile relativ mici ale tensiunii la borne corespund unor variaţii în limite largi ale curentului, ecuaţia caracteristică are forma

u  R  i i 

(1.48)

Din categoria elementelor neliniare a căror rezistenţă variază sub acţiunea unei mărimi neelectrice fac parte: lampa cu incandescenţă, termistorul, fotorezistorul, fotodioda ş.a.. Simbolul unui rezistor neliniar este prezentat în figura 1.10, c. Bobina ideală este un element pasiv de circuit caracterizat prin parametrul inductivitate (inductanţă) L. În scopul definirii acestuia, se consideră bobina reprezentată în figura 1.11 având N spire filiforme parcurse de curentul i.

1.7 – Elemente ideale de circuit Curba Γ urmăreşte conturul conductorului şi se închide prin aer între bornele bobinei. Fluxul magnetic prin suprafaţa unei spire se numeşte flux fascicular. Fluxul care înlănţuie toate spirele bobinei constituie fluxul magnetic total

  S   B  d s  S

25

ds B

i



u

(1.49)

S Câmpul magnetic din exteriorul bobinei fiind nesemnificativ faţă de cel din Fig.1.11 interiorul acesteia, alegerea porţiunii de curbă dintre borne nu influenţează practic valoarea fluxului prin suprafaţa SΓ. Înlănţuirea magnetică a bobinei este egală cu suma fluxurilor fasciculare prin cele N spire N

    k  N 

(1.50)

k 1

În relaţia (1.50) Ф reprezintă valoarea medie a fluxului fascicular prin bobină şi corespunde situaţiei în care dispersia magnetică este neglijabilă. Inductivitatea proprie a bobinei este definită de relaţia

L



(1.51)

i

şi se măsoară în henry [H]. Relaţia dintre tensiunea şi curentul la bornele bobinei ideale (cu sensurile de referinţă asociate după regula de la receptoare) se stabileşte admiţând următoarele ipoteze simplificatoare: - curentul ce parcurge mediul conductor al bobinei produce câmp magnetic; - rezistenţa electrică a conductorului este nulă R L  0 şi, în consecinţă, nu are





loc degajare de căldură prin efect Joule; - câmpul electric din exteriorul bobinei este nul (capacitatea electrică între spirele bobinei este neglijabilă); - bobina nu conţine surse de câmp electric imprimat. Aplicând legea inducţiei electromagnetice (rel.1.30) pe curba Γ (fig.1.11) şi legea conducţiei (rel.1.22), în ipotezele enunţate, se obţin relaţiile



E  d l  u co n d u ct o r  u   u co n d u ct o r  R L i  0 ,

d dt

(1.52) (1.53)

26


din care rezultă ecuaţia de evoluţie a bobinei ideale:

u  uL 

d  dt

(1.54)

Tensiunea la bornele bobinei ideale se notează cu uL şi se numeşte cădere de tensiune inductivă. Precizare. Expresia tensiunii la bornele bobinei ideale, cuplată magnetic cu alte bobine parcurse de curenţi, se va stabili în paragraful 3.5.1.

În cazul particular al bobinei ideale liniare (L= const.), reprezentată simbolic în figura 1.12, a, ecuaţia (1.54) se poate scrie sub forma

uL  L

di , dt

(1.55)

care exprimă proporţionalitatea între tensiunea la bornele bobinei şi derivata în raport cu timpul a curentului. Este evident că în regim staţionar i = const., di/dt = 0, uL = 0 şi, în consecinţă, bobina ideală este echivalentă unui scurtcircuit. Prin integrarea corespunzătoare a relaţiei (1.55) pe intervalul (0, t), se obţine expresia

i

1 L



t 0

u L dt  i  0  ,

(1.56)

în care i (0) este curentul la momentul iniţial (t = 0). Puterea primită pe la borne este:

p  ui  i

d di d  Li 2  iL  dt d t d t  2

 d Wm   , dt 

(1.57)

în care s-a notat cu Wm energia câmpului magnetic din bobină.

L

a

L t 

L i 

b

c

Fig. 1.12

Pentru bobina liniară cu inductivitatea variabilă în timp L (t), reprezentată simbolic în figura 1.12, b, relaţiile (1.51) şi (1.54) conduc la o ecuaţie liniară parametrică:

u  Lt 

di d L t  i  dt dt

(1.58)


27

În cazul bobinei ideale neliniare, simbolizată în figura 1.12, c, inductivitatea depinde de curentul prin bobină L (i) şi relaţia (1.54) devine o ecuaţie diferenţială neliniară:

u

d d d i d di  d L i   d i    L i i    L i   i   dt di dt di dt  di  dt

Condensatorul ideal este un element pasiv de circuit caracterizat prin parametrul numit capacitate electrică C. Sistemul fizic este format din două armături conductoare, separate printr-un dielectric şi încărcate cu sarcini electrice egale şi de semne contrare (fig.1.13). Raportul pozitiv dintre sarcina electrică a uneia dintre armături şi tensiunea faţă de cealaltă armătură se numeşte capacitate electrică a condensatorului

C

i



ds Q

(1.59)



uc

u Q

Fig. 1.13

Q 0 u

(1.60)

Unitatea de măsură în SI este faradul [F]. Relaţia dintre mărimile la borne (tensiune, curent), cu sensurile de referinţă asociate după regula de la receptoare, se determină acceptând următoarele ipoteze: - rezistenţa armăturilor şi a firelor conductoare de legătură cu bornele de alimentare este nulă (R = 0); - curentul i nu produce câmp magnetic; - condensatorul nu conţine surse de câmp electric imprimat. Aplicând legea inducţiei electromagnetice (rel.1.30) pe curba Γ (fig.1.13) şi legea conducţiei electrice (rel.1.22) conductoarelor, în ipotezele admise, se obţin relaţiile



E  d l  u co n d u ct o r  u c  u  

d S  dt

0

(1.61)

u co nd u ct o r  R i  0 ,

(1.62)

u  uc 

(1.63)

din care rezultă Tensiunea la bornele condensatorului ideal, notată cu uc , se numeşte cădere de tensiune capacitivă. Aplicând legea conservării sarcinii electrice (rel.1.26) pe suprafaţa închisă Σ care trece prin dielectricul perfect dintre armături (fig.1.13), rezultă i    i şi cum

Q   Q , se obţine ecuaţia de evoluţie a condensatorului ideal:

28


i

dQ  dt

(1.64)

În cazul particular al condensatorului liniar (cu simbolul din figura 1.14, a), la care capacitatea este independentă de sarcina electrică, respectiv de diferenţa de potenţial (C = const.), relaţia (1.64) poate fi scrisă sub forma

i

duc d  Cu c   C , dt dt

(1.65)

care evidenţiază proporţionalitatea dintre curent şi derivata în raport cu timpul a tensiunii pe condensator. Este evident faptul că în regim staţionar Q = const., u = uc = const., i = 0 şi, ca urmare, condensatorul este echivalent cu o întrerupere a laturii de circuit pe care este situat. Prin integrarea corespunzătoare a relaţiei (1.65) în intervalul (0, t), se obţine căderea de tensiune capacitivă sub forma

uc 

1 C



t 0

i dt  uc  0  ,

(1.66)

în care uc (0) reprezintă tensiunea pe condensator la momentul t = 0. Puterea primită pe la borne este:

p  ui  uC

d u d  Cu 2   d t d t  2

 dW e   , dt 

(1.67)

în care s-a notat cu We energia câmpului electric dintre armăturile condensatorului.

C t 

C

a

b

C u 

c

Fig. 1.14

Pentru condensatorul liniar cu capacitatea variabilă în timp C (t), simbolizat în figura 1.14, b, relaţiile (1.60) şi (1.64) conduc la o ecuaţie liniară parametrică:

i  Ct 

du d C t  u  dt dt

(1.68)

În cazul condensatorului ideal neliniar, reprezentat simbolic în figura 1.14, c, capacitatea depinde de tensiunea la borne C (u) şi relaţia (1.64) devine o ecuaţie diferenţială neliniară:


i

29

dQ dQ du d  C  u u  d u   C  u   u d C  u   d u  (1.69)   dt du dt du dt  du  dt

Sursa ideală de tensiune (fig.1.15) este un element activ de circuit caracterizat prin tensiune imprimată, numită uzual tensiune electromotoare a sursei (rel.1.10). Curentul ce străbate sursa nu determină transformarea energiei prin efect electrocaloric (rezistenţa internă este nulă). Cu sensurile de referinţă ale tensiunii la borne u şi curentului i asociate după regula de la generatoare, se aplică legea conducţiei (rel.1.22) şi se obţine relaţia (1.70)  u  ue  Ri  0 ,

i

u

ue

Fig. 1.15

respectiv ecuaţia caracteristică

u  ue 

(1.71)

Tensiunea la bornele sursei ideale este egală cu tensiunea electromotoare (t.e.m.) a acesteia şi independentă de curentul debitat. Valoarea curentului este determinată de circuitul conectat la bornele sursei. Puterea cedată pe la borne este egală cu puterea generată:

p b  ui  u e i  p G 

(1.72)

Sursa ideală de curent (fig.1.16) este un element activ de circuit caracterizat prin curentul generat is, a cărui valoare este independentă de alte mărimi electrice din acelaşi circuit (1.73) i  is  Sensurile de referinţă ale mărimilor la borne (u, i) sunt asociate după regula de la generatoare (fig.1.16). Valoarea tensiunii este determinată de circuitul conectat la bornele sursei. Puterea cedată pe la borne este egală cu puterea generată: (1.74) p b  ui  ui s  p G 

i

is

u

Fig. 1.16

1.7.2. Elemente ideale cuadripolare Sursele ideale comandate sau controlate sunt elemente cuadripolare active de circuit în care mărimea caracteristică manifestată la poarta de ieşire (u2 sau i2) este dependentă de mărimea de comandă aplicată la poarta de intrare ( u1 sau i1). Pentru scrierea ecuaţiilor se adoptă la bornele de intrare regula de asociere a sensurilor de referinţă de la receptoare şi la bornele de ieşire regula de asociere a sensurilor de referinţă de la generatoare.


30

Dacă mărimile comandate sunt proporţionale cu mărimile de comandă sursele sunt liniare; în caz contrar, ele sunt neliniare. Se disting patru tipuri de surse comandate liniare:  sursă de tensiune comandată în tensiune (fig.1.17, a), ale cărei ecuaţii scrise în formă matriceală sunt

 i1   0 u    A  2  U

0   u1   , 0   i 2 

(1.75)

în care AU este factorul de amplificare în tensiune.  sursă de tensiune comandată în curent (fig.1.17, b), pentru care se pot scrie ecuaţiile

 u 1   0 0   i1  u      ,  2   r 0   i2 

(1.76)

în care r reprezintă rezistenţa de transfer.

i1

i2

i1  0

u2

u1

u1  0

u2

b

a i1  0

i1

i2 u2

u1

i2

i2

u1  0

c

u2

d Fig. 1.17

1.8 – Elemente de topologie a circuitelor electrice

31

 sursă de curent comandată în tensiune (fig.1.17,c) caracterizată de ecuaţiile  i1   0 0   u 1  i    u  , g 0 2    2  

(1.77)

în care g semnifică conductanţa de transfer.  sursă de curent comandată în curent (fig.1.17, d), ale cărei ecuaţii se pot scrie sub forma

 u1  0 i    A  2  I

0   i1  0   i 2

 , 

(1.78)

unde AI este factorul de amplificare în curent. Întrucât poarta de intrare constituie o întrerupere în cazul surselor comandate în tensiune ( i1 = 0, fig. 1.17, a şi c), respectiv un scurtcircuit în cazul surselor controlate în curent ( u1 = 0, fig.1.17, b şi d), schimbul de putere electromagnetică pe la bornele acestei porţi este inexistent.

1.8. Elemente de topologie a circuitelor electrice O porţiune mărginită şi neramificată de circuit electric, constituită din elemente conectate în serie (parcurse de acelaşi curent), se numeşte latură. Nodul este punctul de concurenţă a cel puţin trei laturi. Ochiul (bucla) reprezintă o succesiune de laturi care alcătuiesc un contur închis. Graful este o schemă simplificată a unui circuit electric în care laturile sunt reprezentate prin linii drepte (sau curbe), fără specificarea elementelor componente (fig.1.18, b). Graful se numeşte orientat dacă fiecărei laturi i se asociază un sens de referinţă (sensul curentului), reprezentat uzual cu ajutorul unei săgeţi (fig.1.18, c).

I4

R3 I6

I3

R6

I2 I1

R2

R1

R4

I5

a

R5

Ue

b Fig.1.18

c

32


Reţeaua este conexă (respectiv graful este conex) dacă oricare două noduri ale sale pot fi unite printr-o curbă ce trece numai prin laturi ale reţelei (grafului). Reţeaua neconexă (căreia i se asociază un graf neconex) este formată din mai multe reţele conexe, numite subreţele, fără legătură galvanică (izolate electric) între ele (cazul bobinelor cuplate magnetic între ele, aparţinând unor subreţele distincte sau al surselor comandate, cu porţile de intrare şi de ieşire în subreţele diferite). Laturile care unesc toate nodurile unui graf conex, astfel încât să nu formeze nici o buclă, se numesc ramuri şi alcătuiesc arborele grafului. Celelalte laturi, care nu aparţin arborelui, se numesc coarde. Subgraful constituit din coardele unui graf se numeşte coarbore şi este complementar arborelui considerat. Teorema lui Euler stabileşte că un graf conex cu N noduri şi L laturi are N – 1 ramuri şi L – (N - 1) coarde. Unui graf i se pot asocia mai mulţi arbori, având însă acelaşi număr de ramuri. În figura 1.19 s-au reprezentat (fără a epuiza toate posibilităţile) cu linii îngroşate laturile unor arbori ai grafului asociat schemei electrice din figura 1.18, a.

a

b

d

e

c

f

Fig.1.19

Un ochi este independent dacă cel puţin o latură îi aparţine exclusiv (celelalte laturi pot fi comune cu alte ochiuri ale reţelei). Stabilirea ochiurilor independente întrun circuit se face pornind de la un arbore al grafului, căruia i se adaugă, pe rând, câte o

1.8 – Elemente de topologie a circuitelor electrice

33

coardă; aşadar, fiecare ochi independent conţine o latură a coarborelui. Sistemul fundamental de ochiuri reprezintă totalitatea ochiurilor independente între ele, formate cu toate laturile grafului conex considerat; oricare alt ochi al grafului, care nu aparţine sistemului fundamental, nu este independent faţă de acesta. Într-o reţea conexă, numărul ochiurilor independente este egal cu numărul de coarde (1.79) O  L  N  1 Pentru un circuit format din S subreţele, numărul de ochiuri independente este

OLN S



(1.80)

Totalitatea laturilor intersectate de o suprafaţă închisă , care include cel puţin un nod al reţelei, formează un subgraf numit b a secţiune (fig.1.20, a). Prin Fig. Fig. 1.20 1.20 eliminarea laturilor intersectate, graful se descompune în două subgrafuri conexe. Este posibil ca una din părţile distincte rezultate în urma secţionării să se reducă la un nod (fig.1.20, b). O secţiune este independentă dacă cel puţin o latură a grafului conex îi aparţine exclusiv. Sistemul fundamental de secţiuni reprezintă mulţimea secţiunilor independente între ele, formate cu toate laturile grafului conex considerat. O posibilitate de stabilire a secţiunilor independente 2 ale unui graf conex constă 3 în intersectarea succesivă, 2 3 cu suprafeţe închise, a 1 fiecărei laturi a unui 1 arbore neramificat împreună cu laturi ale coarborelui (fig.1.21, a). În mod evident, numărul secţiunilor independente b a este egal cu numărul Fig. 1.21 Fig. 1.21 ramurilor, adică N – 1. O altă modalitate de realizare a secţiunilor independente presupune înconjurarea succesivă, cu suprafeţe închise, a N – 1 noduri, astfel încât fiecare secţiune să includă o latură care să fie numai a ei (fig.1.21, b). În cazul unui graf neconex, asociat unei scheme electrice formată din S subscheme independente, sistemul fundamental are N – S secţiuni independente.

34

2. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU Cicuitele electrice în regim staţionar, numite şi circuite de curent continuu (c.c.), se caracterizează prin mărimi de stare (tensiuni, curenţi) invariabile în timp. Pentru realizarea regimului staţionar este necesar ca mărimile de excitaţie (tensiunile electromotoare ale surselor de tensiune şi/sau curenţii injectaţi de sursele de curent) să fie constante în timp. Dintre elementele de circuit pasive, bobinele şi condensatoarele au comportări particulare: în condiţii staţionare de funcţionare, bobina ideală este echivalentă unui scurtcircuit u L  L  d i d t  0 şi condensatorul ideal este



echivalent cu o întrerupere

i  C  d u



c

d t  0  . Aşadar, prezenţa elementelor de

circuit reactive nu este relevantă în funcţionarea circuitelor de curent continuu. Rezistoarele sunt singurele elemente pasive care intervin în circuitele de curent continuu. Consideraţiile următoare se fac pentru circuite electrice liniare, filiforme şi cu parametri concentraţi. Mărimile constante în timp (tensiuni, potenţiale, curenţi) se notează cu majuscule.

2.1. Surse reale de tensiune şi de curent Sursa reală de tensiune se caracterizează prin tensiunea electromotoare Ue (rel. 1.10) şi rezistenţa internă r. Prin urmare, modelarea unei astfel de surse se face printr-o sursă ideală de tensiune înseriată cu un rezistor ideal (fig. 2.1). Sensul de referinţă al t.e.m. Ue este orientat dinspre borna de r r polaritate negativă înspre borna de polaritate pozitivă. Se precizează că simbolul din figura 2.1, b se utilizează şi în cazul surselor de Ue Ue tensiune variabilă în timp. În figura 2.2, a este reprezentată schema electrică a celui mai simplu circuit de curent b a continuu, format dintr-o sursă reală de tensiune şi un receptor de rezistenţă R. Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, se Fig. 2.1 obţine expresia tensiunii la bornele sursei:

Dependenţa U b  f

I Ue

I 

Ub Ue  r I 

(2.1)

este reprezentată grafic în figura 2.2, b. Cu

 R  r  relaţia (2.1) devine: Ub 

R 1 Ue  Ue  Rr 1 r R

(2.2)

2.1 - Surse reale de tensiune şi de curent I

Ub Ue

r Ub

35

s.ideală s. reală

R

Ue

I

b

a

Fig. 2.2

Se observă că tensiunea la bornele sursei este cu atât mai puţin dependentă de circuitul exterior (de R sau I), cu cât rezistenţa internă a sursei este mai mică faţă de rezistenţa receptorului (r << R); la limită, când r = 0, comportarea sursei este identică cu a sursei ideale şi Ub = Ue. Sursa reală de tensiune are două regimuri extreme de funcţionare: a) funcţionarea în gol se realizează prin deconectarea receptorului (R = ∞, I = 0). Particularizând relaţia (2.1) pentru I = 0, rezultă

Ub Ue 

(2.3)

b) funcţionarea în scurtcircuit se realizează prin unirea bornelor cu un conductor de rezistenţă nulă (R = 0). Curentul debitat de sursă are valoare maximă

I sc 

Ue r

(2.4)

şi se numeşte curent de scurtcircuit al sursei. Sursa reală de curent se caracterizează prin curentul de scurtcircuit Is şi conductanţa internă g. Modelarea unei astfel de surse se face printr-o conexiune paralel a unei surse ideale de curent şi a unui rezistor ideal (fig.2.3). Se consideră circuitul cu schema din figura 2.4, a, în care o sursă reală de curent debitează peste un Fig. 2.3 consumator de conductanţă G. Pe baza primei teoreme a lui Kirchhoff şi a legii lui Ohm se obţin relaţiile: (2.5) I  I s  gU b ;

IS

g

I  GU b ,

(2.6)

din care rezultă

I

G 1 Is  Is  Gg 1 g G

(2.7)

36

Circuite electrice de curent continuu- 2

I

I IS

IS

s.ideală s. reală

g

Ub

G

a

b

Ub

Fig. 2.4

Dependenţa I = f (Ub ) este reprezentată grafic în figura 2.4, b. Relaţia (2.7) evidenţiază următorul aspect: curentul I prin circuitul exterior este cu atât mai apropiat de valoarea curentului generat de sursă Is , cu cât raportul conductanţelor g/G este mai mic; la limită, pentru g = 0, comportarea sursei este identică cu a sursei ideale (I = Is). Regimurile extreme de funcţionare pentru o sursă reală de curent sunt: a) funcţionarea în gol, realizată prin deconectarea bornelor sursei de la circuitul exterior ( G = 0, I = 0 ). Tensiunea la bornele sursei Ub = Is / g poate atinge valori periculoase (conductanţa g foarte mică). b) funcţionarea în scurtcircuit, realizată prin legarea bornelor sursei cu un conductor de rezistenţă nulă (G = ∞). Curentul debitat de sursă în acest regim de funcţionare este egal cu cel stabilit de sursa ideală (I = Is ).

2.2. Transfigurarea circuitelor electrice Două circuite cu acelaşi număr de borne, dar structuri diferite, sunt echivalente, dacă comportarea lor faţă de exterior este aceeaşi. Cu alte cuvinte, între bornele corespondente ale celor două circuite aceeaşi tensiune determină (este determinată de) acelaşi curent absorbit (injectat) prin bornele respective. Înlocuirea unui circuit cu altul, echivalent, se numeşte transfigurare electrică. Analiza circuitelor electrice poate fi simplificată prin folosirea corespunzătoare a transfigurărilor. 2.2.1. Transfigurarea circuitelor pasive Întotdeauna există posibilitatea determinării unui singur rezistor care să poată înlocui un circuit pasiv oarecare, dacă are aceeaşi comportare faţă de bornele de acces cu exteriorul. Rezistenţa lui se numeşte rezistenţă electrică echivalentă a circuitului pasiv şi se defineşte ca raportul dintre tensiunea la borne Ub şi curentul de alimentare I (fig.2.5)

Re 

Ub I



(2.8)

2.2 – Transfigurarea circuitelor electrice

37

I

I CIRCUIT

Ub

PASIV

Re

Ub

Fig.2.5

2.2.1.1. Transfigurarea serie. Teorema divizorului rezistiv de tensiune Două sau mai multe rezistoare sunt conectate în serie dacă au câte o bornă comună şi aparţin aceleiaşi laturi, neramificată, de circuit. Aplicând o tensiune grupării (conexiunii) serie rezultă, conform primei teoreme a lui Kirchhoff, acelaşi curent prin toate rezistoarele (fig.2.6, a). Prin circuitul (rezistorul) echivalent (fig.2.6, b) se stabileşte acelaşi curent, dacă i se aplică aceeaşi tensiune la borne ca şi grupării serie.

I

Ub

R1

R2

Rk

Rn

U1

U2

Uk

Un

I

Ub

Re b

a Fig.2.6

Cu teorema a doua a lui Kirchhoff şi legea lui Ohm se obţin relaţiile:

U b  U 1  U 2  ...  U k  ...  U n   R1  R 2  ...  R k  ...  R n  I (2.9)

U b  Re I 

(2.10)

Echivalenţa celor două circuite este realizată numai dacă n

R e  R 1  R 2  ...  R k  ...  R n   R k  k 1

(2.11)

38


Circuitul din figura 2.6, a constituie un divizor de tensiune pentru care tensiunile la bornele rezistoarelor sunt distribuite proporţional cu rezistenţele electrice ale acestora:

U k  Rk I  Rk

Ub Re



Rk

Ub 

n

R k 1

(2.12)

k

Relaţia (2.12) este cunoscută sub denumirea de teorema divizorului rezistiv de tensiune. 2.2.1.2. Transfigurarea paralel. Teorema divizorului rezistiv de curent Două sau mai multe rezistoare sunt conectate în paralel dacă au aceleaşi două borne comune. Tensiunea aplicată grupării (conexiunii) paralel este, conform teoremei a doua a lui Kirchhoff, aceeaşi pentru fiecare rezistor (fig.2.7, a)

I

I

Ub

I1

I2

Ik

In

R1

R2

Rk

Rn

Re

Ub

b

a Fig. 2.7

Cu prima teoremă a lui Kirchhoff, scrisă pentru unul dintre cele două noduri, şi legea lui Ohm rezultă:

I  I 1  I 2  ...  I k  ...  I n 



Ub R1



Ub R2

 ... 

Ub Rk

 ... 

Ub Rn



 1 1 1 1     ...   ...  Ub   R Rk R n   1 R2

(2.13)

Circuitul (rezistorul) din figura 2.7, b este echivalent circuitului din figura 2.7, a din punctul de vedere al comportării faţă de borne: acelaşi curent absorbit, la aceeaşi tensiune la borne


I

Ub Re



39

(2.14)

Echivalenţa circuitelor este realizată numai dacă n 1 1 1 1 1 1    ...   ...   R e R1 R 2 Rk Rn k  1 Rk

(2.15)

sau n

G e  G 1  G 2  ...  G k  ...  G n   G k 

(2.16)

k 1

Circuitul din figura 2.7, a reprezintă un divizor de curent pentru care, curenţii prin rezistoare sunt repartizaţi proporţional cu conductanţele acestora:

Ik 

Re Rk

I

Gk Ge

I

Gk

I

n

G

k 1

(2.17)

k

Relaţia (2.17) este cunoscută sub denumirea de teorema divizorului rezistiv de curent. 2.2.1.3. Transfigurarea triunghi – stea, respectiv stea – triunghi Conexiunea stea se caracterizează prin aceea că cele trei rezistoare converg întrun nod (fig.2.8, a) iar la conexiunea triunghi, între fiecare pereche de borne se află câte un rezistor (fig.2.8, b).

I1

I1

1

1

R1 R12

R31

R3

R2

I3

I2

I3

2

3

2

3

R23 b

a Fig. 2.8

I2

40


Conexiunile din figura 2.8 sunt echivalente dacă comportările lor faţă de exterior sunt identice: la aceleaşi tensiuni aplicate între bornele corespondente ale celor două circuite, curenţii din exterior I1, I2 şi I3 nu se modifică. Pentru aceasta este suficientă egalitatea rezistenţelor echivalente ale celor două grupări, calculate în raport cu perechile de borne 1 – 2, 2 – 3 şi 3 – 1:

 R 12  R 2 3  R 31   R1  R 2  R 12  R 2 3  R 31   R 2 3  R 31  R 12    R2  R3  R 12  R 2 3  R 31   R 31  R 12  R 2 3   R 3  R1  R 12  R 2 3  R 31 

(2.18)

La transfigurarea triunghi – stea, sistemul de ecuaţii (2.18) se rezolvă în raport cu R1, R2, R3 şi se obţin expresiile:

R1 

R 12  R 31 R 12  R 2 3  R 31

; R2 

R 2 3  R 12 R 12  R 2 3  R 31

; R3 

R 31  R 2 3 R 12  R 2 3  R 31

 (2.19)

În cazul transfigurării stea – triunghi, sistemul de ecuaţii (2.18) se rezolvă în raport cu R12 , R23 , R31 şi are soluţia:

R 12  R 1  R 2 

R1 R 2 R3

; R 23  R 2  R3 

R2 R3 R1

; R 31  R 3  R 1 

R 3 R1 R2

 (2.20)

Problema trasfigurării trebuie privită prin prisma avantajelor care apar la calculul unor scheme mai complexe. 2.2.2. Echivalenţa surselor reale Sursa reală de tensiune şi sursa reală de curent sunt echivalente dacă, la conectarea aceluiaşi receptor la bornele lor, curenţii şi tensiunile bornelor de acces nu se modifică. Aplicând teoremele lui Kirchhoff şi legea lui Ohm circuitelor din figura 2.9 se obţin relaţiile:

Ub Ue  r I ; Is I Ub    g g

(2.21)


41

I

I

r Ub

IS

Ub

g

Ue Fig.2.9

Identificând termenii celor două ecuaţii de funcţionare, rezultă condiţiile de echivalenţă a surselor reale sub următoarele forme:

Ue 

Is g

;r 

1 g

(2.22)

;g

1  r

(2.23)

sau

Is 

Ue r

Existenţa unei alternative în considerarea surselor de energie, ca surse de tensiune sau de curent, constituie un avantaj în rezolvarea circuitelor electrice.

2.2.3. Transfigurarea circuitelor active La alimentarea receptoarelor de curent continuu există situaţii când mai multe surse de energie se grupează în serie, paralel sau mixt, după necesităţi. În continuare se analizează numai acele grupări care prezintă interes practic. Pentru simplificare, se vor considera două surse reale şi rezultatele vor fi generalizate pentru un număr oarecare de surse. 2.2.3.1. Surse reale de tensiune conectate în serie Două surse reale de tensiune conectate în serie, adică parcurse de acelaşi curent (fig.2.10, a), pot fi înlocuite cu o sursă echivalentă (fig.2.10, b).

U e1

I

U e2

r1

Ue

r2

I

Ub

r

Ub b

a Fig. 2.10

42


Aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff (rel.1.34) celor două circuite conduce la relaţiile (2.24) U b  U e 1  U e 2  r1  r2 I ,





Ub Ue  r I 

(2.25)

Condiţiile de echivalenţă a celor două circuite se exprimă sub formele:

U e  U e 1  U e 2 ; r  r1  r2 

(2.26)

În general, pentru n surse înseriate, se obţine n

n

k 1

k 1

U e   U e k ; r   rk 

(2.27)

Prin transfigurarea mai multor surse reale de tensiune, conectate în serie, într-o sursă echivalentă se obţine o tensiune electromotoare mai mare decât oricare dintre tensiunile electromotoare ale surselor componente. 2.2.3.2. Surse reale de curent conectate în paralel Două surse reale de curent conectate în paralel, adică cu aceeaşi tensiune la borne (fig.2.11, a), pot fi înlocuite cu o sursă echivalentă (fig.2.11, b).

I

I I S1

g1

g2

I S2

Ub

IS

a

g

Ub

b Fig. 2.11

Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff şi a legii lui Ohm celor două circuite conduce la relaţiile

I  I s 1  I s 2   g 1  g 2 U b , I  I s  gU b 

(2.28)

Circuitele sunt echivalente dacă sunt satisfăcute relaţiile

I s  I s1  I s2 ; g  g 1  g 2 

(2.29)


43

În general, pentru n surse conectate în paralel, se obţine n

n

k 1

k 1

I s   I sk ; g   g k 

(2.30)

Prin transfigurarea mai multor surse reale de curent, conectate în paralel, într-o sursă echivalentă, se obţine un curent generat (injectat) mai mare decât oricare dintre curenţii surselor componente. 2.2.3.3. Surse reale de tensiune conectate în paralel Două surse reale de tensiune conectate în paralel, adică cu aceeaşi tensiune la borne (fig. 2.12, a), pot fi înlocuite cu o sursă reală de tensiune, echivalentă (fig.2.12, d).

I

I

r1

r2

U e1

U e2

Ub

U e1 r1

r1

U e2 r2

1

r2

1

Ub

b

a

I

I

U e1 U  e2 r1 r2

1 1

1 2

r r

Ub

r

Ub

Ue c

d Fig. 2.12

Determinarea parametrilor sursei echivalente se poate face astfel: - pe baza relaţiei (2.23), se transfigurează sursele reale de tensiune în surse reale de curent (fig.2.12, b); - se aplică relaţia (2.30) pentru determinarea parametrilor sursei reale de curent, echivalentă (fig.2.12, c);

44


- pe baza relaţiei (2.22), se înlocuieşte sursa reală de curent cu o sursă reală de tensiune, echivalentă, ai cărei parametri sunt:

 U e1 U e2 Ue    r r2 1  sau

Ue 

   

g 1 U e1  g 2 U e 2 g

r1 r2 1 ;r  r r1  r2

(2.31)

; g  g1  g2 

(2.32)

În general, ansamblul format din n surse reale de tensiune, conectate în paralel, poate fi echivalat cu o singură sursă, a cărei tensiune electromotoare şi rezistenţă internă se determină cu relaţiile:

Ue 

n

U ek

k 1

rk



1 r

n





U ek

k 1 n



k 1

rk ;r  1 rk

1 n



k 1

1 rk



(2.33)

2.3. Calculul circuitelor de curent continuu 2.3.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Într-un circuit conex cu N noduri şi L laturi se pot stabili N – 1 secţiuni (noduri) independente şi O = L – N + 1 ochiuri independente (vezi par.1.8). Pentru un asemenea circuit, conţinând rezistoare şi surse de tensiune independente, aplicarea teoremelor lui Kirchhoff conduce la formarea unui sistem de L ecuaţii independente cu L necunoscute (curenţii din laturi). Calculul circuitelor de curent continuu cu metoda teoremelor lui Kirchhoff se poate face după următorul algoritm:  se determină numărul nodurilor N, numărul laturilor L şi se calculează numărul ochiurilor independente O;  se aleg sensuri de referinţă pentru curenţii necunoscuţi din laturile circuitului;  pornind de la un arbore al grafului asociat circuitului electric, se stabilesc ochiurile independente şi fiecărei bucle i se asociază un sens de referinţă (de parcurgere);  se scriu, cu prima teoremă a lui Kirchhoff, N – 1 ecuaţii în nodurile independente şi, cu a doua teoremă, O = L – N + 1 ecuaţii pentru ochiurile independente;  se rezolvă sistemul format din (N - 1) + (L – N + 1) = L ecuaţii independente şi se determină curenţii din laturi;  validarea rezultatelor obţinute se poate face cu prima teoremă a lui Kirchhoff aplicată pentru cel de-al N – lea nod, cu a doua teoremă a lui Kirchhoff aplicată

2.3 – Calculul circuitelor de curent continuu 45 ochiurilor care nu sunt independente sau pe baza teoremei conservării puterilor (vezi par.2.6). Observaţie: Prezenţa în circuitele de c.c. a surselor de curent independente, având curenţii generaţi cunoscuţi şi tensiunile la borne necunoscute, impune aplicarea corespunzătoare a teoremelor lui Kirchhoff. Alegerea buclelor independente, astfel încât nici una din ele să nu treacă prin laturi cu surse de curent, permite reducerea numărului de ecuaţii cu numărul acestor surse de curent. După rezolvarea sistemului de ecuaţii şi calcularea curenţilor din laturi, se pot determina, cu teorema a doua a lui Kirchhoff, tensiunile la bornele surselor de curent.

Pentru circuitele de curent continuu liniare cu un număr mare de laturi, rezolvarea sistemului de ecuaţii stabilite prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff devine laborioasă. De aceea s-au dezvoltat metode alternative de rezolvare a circuitelor electrice, bazate însă tot pe teoremele lui Kirchhoff. Aplicaţia 2.1. Să se calculeze curenţii debitaţi de sursele de t.e.m. ale circuitului reprezentat în figura 2.13, a. Date numerice: U e 1  165 V , U e 2  195 V , R 1  5  , R 2  9  ,

R 3  R6  R7  20  , R 4  300  , R 5  60  , R 8  30  . Rezolvare. Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff circuitului din figura 2.13, a ar fi laborioasă datorită numărului mare de ecuaţii ce rezultă ( L = 8). Calculul poate fi simplificat astfel:

R8

a

R1 R4

R6

b

R7

R5

R2 R1

U e1

c

R ' ab

R' 1

b

R' bc

R1 I1

R' 2 I3 R' 3

U e2 U e1 c

c

U e2

b

R2

U e1

R5

c

R1

R' ca

R2

Rbc

Rca

a

a

b

Rab

R4

U e2

R3

U e1

R8

a

Fig. 2.13

R2 I2

U e2 d

46


- gruparea stea formată din R6 , R7 , R3 se transfigurează în gruparea triunghi alcătuită din Rab , Rbc , Rca (fig.2.13, b); cu relaţia (2.20) se determină Rab = Rbc = Rca = 60 Ω; - pe baza relaţiei (2.15) se calculează rezistenţele echivalente grupărilor paralel:

Rab  R8

Rbc  30  ; Rca  R 4 Rca  50  (fig.2.13, c);

R ab  20  ; Rbc  R5

- conexiunea triunghi compusă din R'a b , R'b c , R c' a se transfigurează în conexiunea stea formată din R 1' , R 2' , R 3' (fig.2.13, d); cu relaţia (2.19) se determină:

R1'  10  ; R 2'  6  ; R 3'  15  . Aplicând teoremele lui Kirchhoff circuitului echivalent din figura 2.13, d se obţin ecuaţiile:

  I1  I2  I3  0  ' '  R1  R1 I 1  R 3 I 3  U e 1  0  R  R' I  R' I  U  0 2 2 3 3 e2  2

 

 

din care rezultă curenţii prin surse

I 1  3 A şi I 2  5 A Aplicaţia 2.2. Pentru circuitul de c.c. cu schema din figura 2.14 să se calculeze curenţii din laturi (I1 , ... , I5 ) şi tensiunea la bornele sursei de curent (Us).

I2

a

I 3 2

10  2

I4

b

6

I1 2A

36 V

1

US

3

c I5

12 

d Fig. 2.14

Rezolvare. Curentul generat de sursa de curent fiind cunoscut (2 A), se aplică teorema întâi a lui Kirchhoff în trei noduri (a, b şi c) şi teorema a doua pe ochiurile (2) şi (3), ale căror laturi nu conţin sursa de curent. Sensurile de referinţă pentru curenţi şi bucle sunt specificate pe schema circuitului. Rezultă sistemul de ecuaţii:

2.3 – Calculul circuitelor de curent continuu

a  b  c 

47

 2  10 I 2  6 I 4  2 I 3  0  3  6 I 4  12 I 5  3 6  0

I2  I3  2 0  I1  I3  I4  0  I2  I4  I5 0

ale cărui soluţii sunt:

I 1  1 3 A ; I 2  1 A ; I 3  1A ; I 4  4 3 A ; I 5  7 3 A  Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe bucla (1) ce conţine sursa de curent, se obţine: 2 I 3  36  U s  0 sau U s  38 V . 2.3.2. Metoda curenţilor de contur Metoda de calcul bazată pe folosirea, ca necunoscute auxiliare, a curenţilor de contur (ciclici, de bucle) permite reducerea numărului de ecuaţii ce descriu funcţionarea circuitului la numărul ochiurilor (buclelor) independente. Curenţii ciclici, introduşi astfel încât să verifice prima teoremă a lui Kirchhoff, sunt curenţi fictivi asociaţi, fiecare, câte unui ochi al sistemului fundamental de ochiuri. Curentul dintr-o latură a circuitului (necunoscuta reală) este egal cu suma algebrică a curenţilor de contur din ochiurile independente, cărora le aparţine latura considerată:

k  1 , 2 ,   , L q  1 , 2 ,   ,0

I k   I q'

(2.34)

În această sumă, corespunzătoare buclelor ce conţin latura k, curenţii de contur

 I  se introduc cu semnul plus dacă sensurile lor de referinţă coincid cu sensul ' q

curentului din latură (Ik) şi cu semnul minus în caz contrar. În absenţa surselor de curent, se scriu 0 = L – N + 1 ecuaţii independente corespunzătoare celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff, în care curenţii de contur apar ca necunoscute. Forma generală a unei ecuaţii este dată de relaţia

R q q I q'   R p q I 'p  U e' q

(2.35)

p

în care intervin:  Rqq reprezintă rezistenţa proprie a ochiului q şi este egală cu suma rezistenţelor laturilor care formează acest ochi;  Rpq reprezintă rezistenţa reciprocă între ochiurile p şi q şi este egală cu suma algebrică a rezistenţelor laturilor comune celor două ochiuri, luate cu semnul plus sau minus, după cum curenţii ciclici I 'p şi I q' le parcurg în acelaşi sens sau în sens opus;

48


 U e' q este suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor de tensiune din laturile ochiului q, calculată în raport cu sensul de referinţă al curentului ciclic din acest ochi. Observaţie: În prezenţa surselor de curent, se recomandă alegerea ochiurilor independente astfel încât fiecare latură ce conţine un generator de curent să aparţină unui singur ochi independent; curentul de contur al acestuia este egal cu însuşi curentul injectat de sursa de curent (cunoscut). Ecuaţiile de forma (2.35) se scriu numai pentru ochiurile ai căror curenţi ciclici sunt necunoscuţi. Procedând astfel, numărul ecuaţiilor necesare pentru determinarea curenţilor ciclici se reduce corespunzător cu numărul surselor de curent. După stabilirea curenţilor din laturi în funcţie de curenţii de contur, se pot determina, pe baza teoremei a doua a lui Kirchhoff, tensiunile la bornele generatoarelor de curent. Utilizarea metodei curenţilor de contur este justificată la rezolvarea circuitelor (reţelelor) cu număr relativ mic de ochiuri independente faţă de numărul de laturi. Numărul necunoscutelor auxiliare (curenţii de bucle), mai mic decât cel al necunoscutelor reale (curenţii din laturi), constituie un avantaj al metodei.

U e2

I1 R1

U e1

I2

I3

I 1

R4 R3

I 3

I 2 I5

R2 I4

R5

Fig. 2.15

Aplicaţia 2.3. Să se rezolve circuitul reprezentat în figura 2.15 cu metoda curenţilor de contur. Date numerice:

U e1  20V , U e 2  70V , R1  10  , R 2  5  , R 3  30  ,

R 4  25  , R 5  10   Rezolvare. Circuitul are 3 noduri, 5 laturi şi 3 ochiuri fundamentale (independente) pentru care, aplicând metoda curenţilor de contur, se obţin ecuaţiile:

 R 1  R 3  I 1'  R 3 I 2'  U e 1  ' ' '   R I  R  R  R I  3 1 3 4 5 2  R4 I 3  0  R I '   R  R  I '  U 2 4 3 e2  4 2 Rezolvând sistemul de ecuaţii, rezultă valorile curenţilor de contur:

I 1'   1 A ; I 2'  2 A ; I 3'  4 A  Curenţii reali din laturi sunt:

I 1  I 1'   1 A ; I 2  I 3'  4 A ; I 3  I 1'  I 2'  1 A ; I 4   I 2'  I 3'  2 A ; I 5  I 2'  2 A 


49

Aplicaţia 2.4. Să se rezolve circuitul cu schema din figura 2.16 folosind metoda curenţilor de bucle.

6

I1

3

I4

6

I2

I3 4

24 V

I 1

5 ,5 A

5 ,5 A

12 V

I 2 Fig. 2.16

Rezolvare. Circuitul are N = 3 noduri, L = 5 laturi şi O = 3 ochiuri independente. Sursa ideală de curent 5,5 A aparţine numai unui singur ochi independent, al cărui curent ciclic este egal cu însuşi curentul generat de sursa de curent. Sistemul de ecuaţii scrise pentru celelalte două ochiuri independente ' '    6  4  I 1  4 I 2  4  5 , 5  24  ' '    4 I 1   4  3  6  I 2   4  3   5 ,5  12

are soluţiile

I 1'  2 A , I 2'  4 ,5 A  Curenţii din laturi se determină în funcţie de curenţii de contur:

I 1  I 1'  2 A , I 2  I 2'  4 ,5 A ; I 3  I 1'  I 2'  5 ,5  3 A ; I 4   I 2'  5 ,5  1 A  2.3.3. Metoda potenţialelor nodurilor Metoda constă în alegerea unei valori de referinţă nule pentru potenţialul unui nod şi folosirea potenţialelor celorlalte (N – 1) noduri ca necunoscute auxiliare. Pentru determinarea potenţialelor nodurilor se rezolvă sistemul de (N - 1) ecuaţii obţinute pe baza legii conducţiei electrice şi a primei teoreme a lui Kirchhoff. Se consideră o latură de circuit activă (fig.2.17) cuprinsă între nodurile j şi k, căreia i se aplică legea conducţiei (rel.1.22):

V j  Vk  U e j k  R j k I j k 

(2.36)

50


Exprimând curentul din relaţia (2.36) şi aplicând teorema întâi a lui Kirchhoff (rel.1.29) în nodul j, se obţine ecuaţia:

G   

jk

V

j



 Vk  U e j k  0 ,

(2.37)

j

care poate fi scrisă şi sub forma:

Vj

G   

jk

j

  G jk Vk   G jk U e jk  0 , j

 j

(2.38)

j  1 , 2 ,   , N  1  Termenii din relaţia (2.38) au următoarele semnificaţii: G j k - conductanţa proprie a nodului j, egală cu suma conductanţelor 

   j



  

laturilor incidente în acest nod; G j k V k - suma produselor dintre conductanţele laturilor incidente în nodul j

j



  

şi potenţialele celorlalte noduri cu care este legat direct nodul j; G j k U e j k - suma algebrică a curenţilor de scurtcircuit ai laturilor

j

concurente în nodul j (pozitivi, dacă sensurile lor sunt dinspre nodul considerat j spre celelalte noduri k şi negativi, în caz contrar). În situaţia în care o latură conţine o sursă ideală de curent, atunci curentul de scurtcircuit al laturii este însuşi curentul injectat de sursă. Evident, curentul de scurtcircuit pentru o latură pasivă este nul. Dacă latura cuprinsă între nodurile j şi k (fig.2.17)conţine numai sursa ideală de tensiune, atunci conductanţa acestei laturi şi curentul de scurtcircuit au valori nedeterminate. Particularizând relaţia (2.36) se obţine:

j

U e jk

R jk

U jk  V j  Vk Fig. 2.17

V j  Vk  U e j k  0

I jk

k

(2.39)

Dacă unul din cele două noduri este ales ca nod de referinţă, având potenţialul nul, atunci potenţialul celuilalt nod rezultă din relaţia (2.39):

V j  0  Vk  U e j k

sau

.

Vk  0  V j   U e j k Curentul printr-o asemenea latură, ce conţine doar o sursă ideală de tensiune, se determină aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în unul dintre nodurile j sau k.


51

Rezultă că în circuitele care conţin laturi numai cu surse ideale de tensiune independente, metoda potenţialelor nodurilor permite reducerea numărului de ecuaţii de forma (2.38) cu numărul acestor surse. Rezumând, metoda analizată constă în alegerea unui nod de referinţă, rezolvarea unui sistem format din (N - 1) ecuaţii independente în care intervin ca necunoscute auxiliare potenţialele celorlalte (N - 1) noduri şi, apoi, determinarea curenţilor pe baza legii conducţiei, aplicată corespunzător fiecărei laturi:



I j k  G j k V j  Vk  U e j k



,

jk

(2.40)

Aplicaţia 2.5. Folosind metoda potenţialelor nodurilor, să se determine curenţii din laturile circuitului cu schema din figura 2.18

R1

R2

a

I1

I2

I3 IS

R3

U e1

U e2

b

Fig. 2.18

Date numerice: U e 1  40 V , U e 2  10 V , I s  1 A , R1  R 3  20  , R 2  10   Rezolvare. Unul din cele două noduri ale circuitului se alege ca nod de referinţă, având potenţialul nul (Vb = 0). Potenţialul nodului a este soluţia ecuaţiei

G

1

 G 2  G 3 V a  G 1 U e 1  G 2 U e 2  I s  0

şi are valoarea V a  10 V  Curenţii din laturi rezultă din expresiile:

 U

  V  2 A ; I

I 1  G 1 U e 1  V a  1,5 A ; I 2  G2

e2

a

3

 G 3 V a  0 ,5 A 

Aplicaţia 2.6. Să se determine curenţii din laturile circuitului cu schema din figura 2.19 apelând la metoda potenţialelor nodurilor.

52

Circuite electrice de curent continuu- 2 Date numerice:

a

I R Ue

R

I1

R

b

U e  20 V , I s  4 A , R  4  

I2

d

I3

I5

I4

R

c

IS

R

Fig. 2.19

Rezolvare. Latura de circuit delimitată de nodurile a şi c conţine o sursă ideală de tensiune. Unul din cele două noduri trebuie ales ca nod de referinţă. Considerând Vc = 0, potenţialul nodului a devine Va =Ue. Necunoscutele auxiliare (potenţialele nodurilor b şi d)sunt soluţiile ecuaţiilor

 3 G  Vb  G  V d  G  U e  0    G  Vb  3 G  V d  G  U e  I s  0 şi pentru valorile numerice considerate rezultă Vb = 12 V şi Vd = 16 V. Se determină toţi curenţii, după cum urmează:

I 1  G U e  V b   2 A ;

I 4  G Vb  3 A ;

I 2  G U e  V d   1 A ;

I 5  G Vd  4 A ;

I 3  G V d  V b   1 A ;

I  I1  I2  3 A

2.3.4. Metoda (teorema) superpoziţiei Curentul stabilit într-o latură oarecare a unui circuit liniar, în care există mai multe surse, este egal cu suma algebrică a curenţilor produşi în acea latură prin acţiunea succesivă, în circuit, a fiecărei surse în parte, atunci când celelalte surse sunt pasivizate. Valabilitatea teoremei superpoziţiei este o consecinţă firească a caracterului liniar al ecuaţiilor corespunzătoare teoremelor lui Kirchhoff. Pornind de la acestea, curentul Ij dintr-o latură oarecare a unui circuit liniar cu l laturi active se poate scrie sub forma: l

I j   I jk

(2.41)

k 1

în care Ijk este curentul din latura j, stabilit de sursa situată pe latura k, acţionând singură în circuit. Suma algebrică din relaţia (2.41) se calculează în raport cu sensul de referinţă al curentului Ij din latura circuitului iniţial. Pasivizarea unei surse reale de tensiune se realizează prin anularea t.e.m. a acesteia şi reţinerea în circuit numai a rezistenţei interne (fig.2.20, a); în cazul sursei ideale de tensiune, r = 0 echivalează cu un scurtcircuit (fig.2.20, b). Pasivizarea unei


53

surse reale de curent se obţine prin anularea curentului generat şi păstrarea în circuit a conductanţei interne a sursei (fig.2.20, c); în cazul unei surse ideale de curent, g = 0 echivalează cu întreruperea laturii respective (fig.2.20, d).

a

Ue

b

r

Ue

Is

c

d

r

Is

g

g

Fig. 2.20

Metoda superpoziţiei este avantajoasă deoarece rezolvarea circuitelor în care sunt prezente simultan mai multe surse se reduce la calculul unor circuite mai simple, în care acţionează succesiv Ue numai câte o singură sursă. Numărul acestor circuite este egal cu numărul I1 I2 I3 surselor din circuitul iniţial. Aplicaţia 2.7. Folosind metoda superpoziţiei, R1 IS R2 R3 să se determine curenţii din laturile pasive ale circuitului cu schema din figura 2.21.

Fig.2.21

Date numerice:

U e  4 V ; I s  2 A ; R1  R 2  2  ; R 3  1  

Rezolvare. Schema circuitului din figura 2.22,a) a rezultat prin pasivizarea sursei ideale de curent şi păstrarea în circuit doar a sursei de tensiune.

54


Ue I 1

R1

I 1

I 3

I 2 R2

IS

R3 R1

a

I 2

I 3

R2

R3

b Fig.2.22

Cu teorema a doua a lui Kirchhoff şi teorema divizorului de curent se calculează:

I 1' 

R2  R3

R1R 2  R 2 R 3  R 3 R1 G2 I 2'  I 1'  0 , 5 A ; G2  G3 G3 I 3'  I 1'  1 A  G2  G3

U e  1, 5 A ;

Prin pasivizarea sursei de tensiune şi menţinerea sursei de curent, s-a obţinut schema circuitului din figura 2.22, b. Cu teorema divizorului rezistiv de curent se determină:

I 1"  I 3" 

G1 G1  G 2  G 3 G3 G1  G 2  G 3

I s  0 ,5 A ; I 2" 

G2 G1  G 2  G 3

I s  0 ,5 A ;

Is 1A.

Curenţii din laturile circuitului reprezentat în figura 2.21 se stabilesc pe baza relaţiei (2.41):

I 1   I 1'  I 1"   1 A ; I 2  I 2'  I 2"  1 A ; I 3  I 3'  I 3"  2 A 


55

2.3.5. Teoremele generatoarelor echivalente 2.3.5.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thévenin) Un circuit liniar activ poate fi echivalat, în raport cu două borne oarecare ale sale, A şi B (fig.2.23, a), cu o sursă reală de tensiune, numită şi generator echivalent Thévenin (fig.2.23, b), astfel încât tensiunea între borne UAB şi curentul IAB să nu se modifice.

A

A

I AB

I AB

CIRCUIT LINIAR

r

R

U AB

R

U AB

ACTIV

Ue B

a

B b Fig. 2.23

Schema din figura 2.23, b permite calculul curentului prin latura AB cu relaţia

I AB 

Ue rR

,

(2.42)

în care Ue şi r sunt parametrii generatorului echivalent Thévenin. Pentru determinarea acestora, se consideră două situaţii particulare. În cazul funcţionării în gol, realizat prin întreruperea laturii conectată între bornele de acces A şi B (fig.2.24, a), IAB = 0 şi

I AB  0

r

A

A r

U AB0

Ue

I ABSC

Ue

B

B b

a Fig. 2.24

56


U e  U A B 0 . În cazul funcţionării în scurtcircuit (fig.2.24, b) U A B  0

I AB sc 

Ue r

şi

, respectiv

r

Ue I AB sc



U AB 0 I AB s c



(2.43)

Există şi o altă modalitate de stabilire a rezistenţei interne a generatorului echivalent. Condiţia IAB = 0 se poate realiza şi dacă latura AB nu este întreruptă, dar între bornele A şi B se conectează generatorul ideal cu tensiunea electromotoare U A B 0 (fig.2.25, a). Aplicând teorema superpoziţiei curenţilor stabiliţi prin aceeaşi latură AB, se poate scrie relaţia (2.44) I A B  I 'A B  0 , unde curentul IAB este determinat de toate sursele interne ale circuitului activ când U A B 0 = 0 (fig.2.25, b), iar curentul I 'A B este stabilit de sursa exterioară cu tensiunea electromotoare U A B 0 , aplicată circuitului dipolar pasivizat (fig.2.25, c). Din schema circuitului reprezentată în figura 2.25, c rezultă în mod simplu expresia:

U AB 0

I 'A B  

R AB 0  R

,

(2.45)

în care R A B 0 este rezistenţa circuitului pasivizat, calculată în raport cu bornele A şi B.

A

A

I AB  0 CIRCUIT

U AB0

LINIAR ACTIV

A

I AB CIRCUIT

CIRCUIT

LINIAR

R

ACTIV

U AB0

LINIAR PASIVIZAT

R

R a

B

b

B

I AB

c

B

Fig. 2.25

Ţinând seama de relaţiile (2.42), (2.44) şi (2.45), pentru curentul IAB se obţine expresia


I AB 

U AB 0 R AB 0  R



Ue rR



57

(2.46)

Aşadar, generatorul echivalent Thévenin are tensiunea electromotoare egală cu tensiunea între bornele A şi B în regim de funcţionare în gol (latura AB întreruptă) şi rezistenţa internă egală cu rezistenţa echivalentă, în raport cu bornele A şi B, a circuitului pasivizat. Relaţia (2.46) este cunoscută sub denumirea de teorema generatorului echivalent de tensiune sau teorema lui Thévenin. Aplicaţia 2.8. Folosind teorema lui Thévenin, să se calculeze curentul I4 din circuitul a cărui schemă este reprezentată în figura 2.26. Date numerice: U e  15V , I s  5 A , R1  1  , R 3  R 4  2  , R 2  R 5  4  

I1

R4

B I3

I5

I4 A IS

R5

R3

Ue

R2 R1

C Fig. 2.26

Rezolvare. Schema corespunzătoare funcţionării în gol a circuitului (cu latura 4 întreruptă) este reprezentată în figura 2.27, a. Aplicând legea conducţiei electrice (rel.1.22) pe conturul marcat cu linie întreruptă, se obţine:

I

B

U AB0 A

A

B IS

R3

Ue R1

R2

R3

R5

R1

C

a Fig. 2.27

R5 C

b

58


U AB 0  R 5 I s  R1

Ue R1  R 3

 U e  10 V 

Rezistenţa echivalentă, faţă de bornele A şi B, a circuitului dipolar pasivizat (fig.2.27, b) este:

R1 R 3

R AB 0 

 R5 

R1  R 3

14  3

Cu relaţia (2.46) se determină I4 = 1,5 A. Aplicaţia 2.9. Pentru circuitul cu schema din figura 2.28, a, să se stabilească parametrii generatorului echivalent Thévenin în raport cu bornele a şi b (fig.2.28, b).

6

12 V

c

2

3

6A

24 V a

a

Rab0

4

U ab0 b

b

d

b

a Fig. 2.28

Rezolvare. Calculul tensiunii U a b 0 (fig.2.29, a): Nodul d este ales ca nod de referinţă (Vd = 0), iar potenţialul nodului c este soluţia ecuaţiei:

1 1 1     6 3 24

 1 1  V c  12  24  6  0 , 6 24 

adică V c   12 V . Aplicând legea conducţiei electrice pe conturul marcat cu linie întreruptă V c  V d  4 I  24  2 I  0 , rezultă I  2 A , de unde U a b 0  4 I  8 V 


6

24 V

2

c

6 a

c 2

59

a

I

12 V

6A

4

3

U ab0

3

b

d

4 d

a

Rab0

b

b

Fig. 2.29

Calculul rezistenţei echivalente, faţă de bornele a şi b, a circuitului pasivizat (fig.2.29, b):

 6  3   2 ; 4   4  4  4  4   2 

Rcd  6  3   6  3 R ab 0   2  2  

În concluzie, circuitul cu schema din figura 2.28, a poate fi echivalat, în raport cu bornele a şi b, cu un generator real de tensiune (fig.2.28, b), având t.e.m. egală cu 8V şi rezistenţa internă 2Ω. 2.3.5.2. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton) Un circuit liniar activ poate fi echivalat, în raport cu două borne oarecare ale sale, A şi B (fig.2.30, a), cu o sursă reală de curent, numită şi generator echivalent Norton (fig.2.30, b), astfel încât tensiunea între borne UAB şi curentul IAB să nu se modifice.

A

A

I AB

I AB

CIRCUIT LINIAR

U AB

ACTIV

G

IS

B

U AB

g

b

a Fig. 2.30

B

G

60


În schema echivalentă din figura 2.30, b se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff şi se obţine relaţia

 I s  g U A B  GU A B  0 , care se poate scrie şi sub forma

U AB 

Is

,

g G

(2.47)

în care Is şi g sunt parametrii generatorului echivalent Norton. Pentru determinarea acestora, se consideră două situaţii particulare. În cazul funcţionării în scurtcircuit (fig.2.31, a), se obţine I s  I A B s c , adică curentul generat (injectat) de generatorul echivalent Norton reprezintă tocmai curentul de scurtcircuit la bornele A şi B. În cazul funcţionării în gol (fig.2.31, b),

g  I s U AB 0  I AB s c U AB 0 

A

A

I AB SC

g

IS

U AB 0

g

IS

B

B a

b Fig. 2.31

Ţinând seama de relaţiile (2.23) şi (2.46) se deduce

g

1 1   G AB 0 r R AB 0

(2.48)

adică, conductanţa internă a generatorului Norton este egală cu conductanţa echivalentă, în raport cu bornele A şi B, a circuitului pasivizat. Relaţia

U AB 

I AB sc G AB 0  G



Is g G

(2.49)

este cunoscută sub denumirea de teorema generatorului echivalent de curent sau teorema lui Norton.


61

Aplicaţia 2.10. Pentru circuitul cu schema din figura 2.32, a să se determine parametrii generatorului echivalent Norton în raport cu bornele a şi b (fig.2.32, b).

a

a

6

30 V

10 

12 

c

50 V

6

3A

Gab 0

I ab sc

d

b a

b

b Fig. 2.32

Rezolvare. Se scurtcircuitează bornele a şi b şi se determină curentul I a b s c , rezolvând circuitul reprezentat în figura 2.33, a.

1A

30 V Vc  0

c

a

a

5A

12  2A

3A

6 d

10 

I ab sc

6

6

12 

50 V

10  6

1A

b a

5A

b

b Fig. 2.33

În acest scop se alege nodul c ca nod de referinţă (Vc = 0); nodurile a şi b sunt echipotenţiale (Va = Vb = 30 V), iar potenţialul nodului d este soluţia ecuaţiei

1 1 1 1 1     V d  30  30  0 , 6 6  6 12 6 

62


adică Vd = 24 V. Cu legea conducţiei electrice se stabilesc curenţii din laturi şi apoi se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul b, rezultând I a b s c  9 A  Pe baza schemei din figura 2.33, b se calculează rezistenţa, respectiv conductanţa circuitului pasivizat:

6  12   6  12  6  12   4  ;  6  4   10   10  10  10  10   5   R a b 0  5 ; G a b 0  1 5  0 ,2 S  În concluzie, circuitul cu schema din figura 2.32, a poate fi echivalat, în raport cu bornele a şi b, cu un generator real de curent (fig.2.32, b), având curentul injectat egal cu 9A şi conductanţa internă 0,2S. Observaţie: Dacă parametrii unui generator echivalent, de tensiune sau de curent, sunt cunoscuţi, atunci, pe baza relaţiilor (2.22) şi (2.23) se pot determina cu uşurinţă şi parametrii celuilalt generator echivalent. De exemplu, pornind de la rezultatele aplicaţiei anterioare I a b s c  9 A ; G a b 0  0 ,2 S se obţin parametrii generatorului echivalent Thévenin:





U a b 0  I a b s c G a b 0  9 0 ,2  45V şi R a b 0  1 G a b 0  5  2.4. Calculul circuitelor cu surse comandate Calculul circuitelor cu surse comandate se face, în principiu, cu aceleaşi metode ca şi în cazul circuitelor cu surse independente. Precizările suplimentare se referă la următoarele: - relaţiile de legătură (dependenţă) dintre mărimile comandate, caracteristice surselor (tensiuni electromotoare sau curenţi generaţi) şi mărimile de control (tensiuni sau curenţi) completează ecuaţiile stabilite cu teoremele lui Kirchhoff sau cu una dintre metodele alternative de analiză a circuitelor electrice; - în situaţia aplicării metodei curenţilor de contur sau a metodei potenţialelor nodurilor este necesară exprimarea mărimilor de control în funcţie de necunoscutele auxiliare folosite; - pasivizarea unei surse comandate, cu structură cuadripolară şi ecuaţie de funcţionare dată de una dintre relaţiile (1.75)...(1.78), nu are sens: anularea mărimii caracteristice manifestată la poarta de ieşire (u2 şi i2) implică anularea mărimii de control înseşi de la poarta de intrare (u1 sau i1). Mărimile de comandă pot fi exterioare circuitului cu surse comandate, având legi de variaţie cunoscute sau pot acţiona în interiorul aceluiaşi circuit cu sursele controlate, fiind necunoscute. Rezolvarea circuitelor în care se determină şi mărimile de comandă este exemplificată în aplicaţiile următoare. Aplicaţia 2.11. Circuitul cu schema din figura 2.34 conţine o sursă de curent comandată în curent. Să se determine curenţii din laturile circuitului şi tensiunea la bornele sursei de curent.

2.4 – Calculul circuitelor cu surse comandate

4

63

2

a

I0

2 I0

2

1

U0

24 V

2 4

I b Fig. 2.34

Rezolvare. Se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul a şi teorema a doua pe bucla (2). Rezultă sistemul de ecuaţii

 I  I 0  2I 0  0   2 I  4 I 0  24  2 I 0  0 cu soluţia: I 0  2 A ; I  6 A . Tensiunea U0 la bornele sursei de curent comandată în curent se calculează cu teorema a doua a lui Kirchhoff aplicată buclei (1):

2I  4  2I 0  U 0  0 şi are valoarea U0 = 28V. Aplicaţia 2.12. În circuitul de curent continuu având schema din figura 2.35 este prezentă o sursă de tensiune controlată în tensiune. Să se calculeze curenţii din laturi.

I0

18 V

a

I b

I1 U0 4

1

I2

3

c

Fig. 2.35

I3

U0

6


64

Rezolvare. Se aplică metoda potenţialelor nodurilor: considerând Vc = 0, potenţialele nodurilor a şi b devin: Va = U0 / 4 şi Vb = Va + 18 = U0 / 4 + 18. Tensiunea la bornele laturii bc ( însăşi mărimea de control U0 ) este egală cu diferenţa de potenţial dintre cele două noduri: Vb – Vc = U0 sau U0 / 4 + 18 = U0 , de unde U0 = 24 V. Cu legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff se determină curenţii din laturile circuitului:

I 2  U 0 3  8 A ; I 3  U 0 6  4 A ; I  I 2  I 3  12 A ; 18  1  I 1  U 0  0  I 1  6 A ; I 0  I 1  I  18 A  Aplicaţia 2.13. Circuitul cu schema din figura 2.36 conţine o sursă de curent comandată în tensiune. Se cer a curenţii din laturi, folosind metoda potenţialelor nodurilor. I

R1

3

U e1 I1 b

R2

R3

I4 R4

R5

I S  GU2 Fig. 2.36

U e 1  20 V , U e 6  80 V ,

d

U e6

I5

Date numerice:

I2

I6

c

U2

R1  R 2  R 3  4  , 1 R 4  R5  8  , G  S  8 Rezolvare. Alegând nodul c de referinţă (Vc = 0), rezultă V d   U e 6 . Sistemul de ecuaţii scrise pentru noduri, a şi b,

celelalte

două

 1 1 1  1 1 1   V a  Vb  U e6  U e1  0   R1 R2 R1   R 1 R 2 R 3     1 V   1  1  1  V  1 U  1 U  G U  0 e1 2  R a  R  b R e6 R R R 1 1 4 5 5 1    se completează cu relaţia de legătură între mărimea de control (U2) şi necunoscuta auxiliară (potenţialul nodului a):

U 2  Vd  Va  U e 6  Va  Pentru valorile numerice considerate, rezultă: Va = 40 V; Vb = 20 V. Cunoscând potenţialele nodurilor, se obţin curenţii din laturi:



I 1  V b V a  U e 1 I 4 V b



2.5 – Teorema conservării puterilor

R1  0 ; I 2 U 2



R 4  2 ,5 A ; I 5  U e 6  V b



R 2  10 A ; I 3  V a

65

R 3  10 A ;

R 5  7 ,5 A ; I 6  I 3  I 4  12 ,5 A ;

I s  GU 2  5 A  Aplicaţia 2.14. Circuitul cu schema din figura 2.37 conţine o sursă de tensiune comandată în curent. Să se calculeze curenţii din laturi. Date numerice:

I s  6 A , U e 1  32V ,

IS

I1

R1

I 1

R2

U e 2  18V , U e3  4 I 1  V  ,

I 2

R3

R4

I3

I2

R1  2  , R 2  1 ,

U e3  4 I 1

IS

R 3  4  , R 4  10  

U e1

I4

U e2

Fig. 2.37

Rezolvare: Folosind metoda curenţilor ciclici, rezultă sistemul de ecuaţii ' '    R1  R 2  R 3 I 1  R 3 I 2  R1 I s  U e 1 ,  ' '    R I  R  R I  U  4 I  3 1 3 4 2 e 1 2 

  şi necunoscuta

care se asociază cu relaţia de legătură între mărimea de comandă I 1 auxiliară (curentul ciclic I

' 1)

I 1  I 1'  I s  Pentru valorile numerice considerate, rezultă soluţia: I 1'  8 A ; I 2'  3 A . Curenţii din laturi sunt:

I 1  I 1'  I s  2 A ; I 2  I 1'  8 A ; I 3  I 1'  I 2'  5 A ; I 4  I 2'  3 A 2.5. Teorema conservării puterilor Se consideră o latură de circuit k, mărginită de nodurile  şi β. Relaţia corespunzătoare primei teoreme a lui Kirchhoff aplicată în nodul  (2.50) Ik 0



k 

66


se înmulţeşte cu potenţialul nodului respectiv (V) şi după însumarea expresiilor pentru toate nodurile circuitului (N) se obţine: N

 V  I

 1

k

k

0

(2.51)

În relaţia (2.51) curentul Ik intervine de două ori: cu semnul ”+” pentru nodul din care iese şi cu semnul ”-” pentru nodul în care intră. Suma dublă obţinută se reordonează după indicii k = 1, 2,..., L ai curenţilor din laturi şi se obţine

  V  V   I L

k 1

L

k

  U bk I k  0

(2.52)

k 1

Considerând aplicată tuturor laturilor aceeaşi regulă de asociere a sensurilor de referinţă pentru tensiuni şi curenţi, teorema conservării puterilor exprimată de relaţia (2.52) se enunţă astfel: suma algebrică a puterilor corespunzătoare tuturor laturilor unui circuit este nulă. Ţinând seama de legea conducţiei electrice U b k  U e k  R k I k aplicată laturii active de circuit din figura 2.38 şi de relaţia (2.52), se obţine o formă explicită a teoremei conservării puterilor L

 U ek I k 

k 1

L

R

k 1

k

I k2

(2.53)

potrivit căreia, suma algebrică a puterilor corespunzătoare tuturor surselor din laturile unui circuit este egală cu suma puterilor disipate în rezistoarele circuitului.



Ik

U ek

Rk



U bk Fig. 2.38

Bilanţul puterilor efectuat cu relaţia (2.53) poate fi folosit în scopul validării soluţiilor obţinute pentru curenţii din laturile circuitului. Aplicaţia 2.15. În circuitul de c.c. cu schema din figura 2.39 să se calculeze curenţii din laturi şi să se verifice conservarea puterilor.

2.5 – Teorema conservării puterilor

12 V

I1 4

a

67

I5

b

I4 24 V

6

36 V

I2

I3

3

c

2

Fig. 2.39

Rezolvare. Pentru aplicarea metodei potenţialelor nodurilor se consideră Va = 0 ; potenţialul nodului b devine Vb = 12 V, iar potenţialul nodului c este soluţia ecuaţiei

1 1 1 1 1 1      V c   V b   24   36  0 , 2 2 3 3 6 2 adică

Vc  6 V  Aplicând legea conducţiei electrice şi prima teoremă a lui Kirchhoff, rezultă:

I 2  V a  V c  36  3  10 A ; I 3  V c  V b  24  2  9 A ; I 4  V c  V a  6  1 A ; I 5  V b  V a  4  3 A ; I 1  I 5  I 3   6 A  Pentru verificarea bilanţului puterilor se calculează puterea surselor:

Pg   12  6  36  10  24  9  504 W şi puterea consumată în rezistoare:

Pc  3  10 2  2  9 2  6  1 2  4  3 2  504 W  Observaţie: Sursa parcursă de I1 = - 6 A consumă putere, iar celelalte surse, străbătute de curenţii I2 = 10 A şi I3 = 9 A, generează putere în circuit.

Aplicaţia 2.16. În circuitul cu schema din figura 2.40 sunt prezentate două surse de curent: una independentă şi cealaltă, comandată în curent. Să se determine curenţii din laturile circuitului, tensiunile la bornele surselor şi să se verifice conservarea puterilor.

68


3

a

5

I0 b

I1

4

I2

18 

3A

9

0 ,8 I 0

c

Fig. 2.40

Rezolvare. Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul a, se poate scrie

I 0  0 ,8 I 0  3  0 , de unde rezultă: I 0  15 A . Cu teorema divizorului de curent se determină:

I1 

1 18 1 1  18 9

 15  5 A ; I 2 

1 9 1 1  18 9

 15  10 A 

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff buclelor reprezentate în figura 2.41 a şi b, rezultă ecuaţiile şi soluţiile următoare:

5  15  1 8  5  U 0  4  12  0  U 0  213 V  U s  3  3  4  12  213  0  U s  17 4 V Pentru verificarea bilanţului puterilor se calculează puterea generată de surse:

Pg  U s  I s  U 0  0 ,8 I 0  17 4  3  213  12  307 8 W şi puterea consumată în rezistoarele circuitului:

Pc  3  3 2  4  12 2  5  15 2  18  5 2  9  10 2   27  576  1125  450  900  307 8 W 

2.6 – Teorema transferului maxim de putere

a 15 A

5

3

b

4

18 

U0

a

5A

4

69

3A

US

12 A

12 A

213V

c c

b

a Fig. 2.41

2.6. Teorema transferului maxim de putere Un circuit dipolar liniar activ este echivalent, în raport cu două borne oarecare ale sale, cu un generator real de tensiune, ai cărui parametri se stabilesc cu teorema lui Thévenin. Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff circuitului din figura 2.2, a, se obţine curentul

I

Ue Rr



(2.54)

Puterea generată de sursă este dată de relaţia

P

Pg  U e I 

Pmax

U e2 Rr

,

(2.55)

iar puterea transferată receptorului are expresia

P  U b I  RI  2

r

R

R U e2

 R  r 2



(2.56)

Funcţia P (R), continuă şi pozitivă, este reprezentată prin curba din figura 2.42. Randamentul transferului de putere de la sursă către receptor sau randamentul energetic al sursei, este: Fig. 2.42



P R   Pg R  r

(2.57)

70


Considerând cunoscuţi parametrii sursei din figura 2.2, a, se cere determinarea rezistenţei R pentru care puterea transmisă pe la bornele generatorului către receptor este maximă. Anulând derivata funcţiei P (R)

d P  R  r   2 R R  r  2 rR  Ue  U e2  0 , 4 3 dR  R r   Rr  2

se obţine

Rr

(2.58) Rezultatul obţinut permite următoarea formulare a teoremei transferului maxim de putere: o sursă reală de tensiune cedează putere maximă acelui receptor, a cărui rezistenţă este egală cu rezistenţa internă a sursei. Dacă este îndeplinită relaţia (2.58), numită şi condiţia de adaptare a receptorului la sursă, atunci puterea maximă este

Pm a x 

U e2 4r

,

(2.59)

iar randamentul corespunzător are valoarea   0 ,5 . Aplicaţia 2.17. Să se determine rezistenţa internă r a unei surse de t.e.m. Ue care, conectată la bornele A, B ale ansamblului de rezistoare reprezentat în figura 2.43, furnizează receptorului putere maximă.

A 4

2

15  3

r

10 

12  3

6

Ue

10 

B Fig. 2.43

Rezolvare. După transfigurări succesive (conexiuni paralel şi serie):

 10  10   5  ; 15   5   20  ; 3  6  3 6  3   2 ; 3  2  5 ; 20   5  20  5  20   4  ; 2   4   6  ; 12   6  12  6  12   4  ; 4   4   8  ,

10  10   10  10 6 5 6


71

rezultă R A B 0  8  . În acord cu teorema transferului maxim de putere, rezistenţa internă a sursei este r = 8Ω. Aplicaţia 2.18. În cazul circuitului cu schema din figura 2.44, să se determine rezistenţa R astfel încât puterea disipată pe ea să fie maximă şi valoarea acestei puteri.

54 

4A

30 

60 

c

d

a

10 

60 V

90 

R

b Fig. 2.44

Rezolvare. Soluţionarea problemei constă în stabilirea schemei echivalente Thévenin în raport cu bornele a, b şi aplicarea teoremei transferului maxim de putere.

54  270 

30  d 45 

c

10 

60 

90 

a

90 

R ab0

b Fig. 2.45

Schema circuitului pasivizat este reprezentată în figura 2.45. Conexiunea în stea (Y) a rezistoarelor de 30 Ω, 60 Ω şi 10 Ω se transfigurează în conexiune în triunghi (∆), ale cărei rezistenţe se calculează cu relaţia (2.20):

72


30  10 

30  10 10  6 0  45  ; 10  6 0   90  ; 60 30 30  6 0 30  6 0   270   10

Se determină, succesiv, următoarele rezistenţe echivalente:

270  54   270  54  270  54   45  ; 90  90   90  90  90  90   45  ; R a b 0  45 

 45   45   

Pentru calculul lui U a b 0

45  90

 45  90   30  

(fig.2.46) se utilizează, de exemplu, metoda

potenţialelor nodurilor. Considerând Vb = 0, potenţialul nodului d devine Vd = 60 V. Necunoscutele auxiliare Va şi Vc se obţin din sistemul de ecuaţii:

 1 1 1  1 1   V a     Vc   60  0   60 54   5 4 6 0 90     1  V   1  1  1   V  1  6 0  4  0   6 0 a  30 10 6 0  c 30 Cu Va = 40 V, rezultă U a b 0  V a  V b  40 V . Parametrii

generatorului

echivalent

de

tensiune

sunt:

U a b 0  40 V şi

R a b 0  30  .

54 

4A

30  d

60 V

c

10 

60 

a

90  b

Fig. 2.46

U ab0


73

Pentru transferul maxim al puterii, de la sursa echivalentă către receptor, este necesar ca R  R a b 0  30  ; conform relaţiei (2.59), valoarea acestei puteri este

Pm a x  U a2b 0

4 R  40 3 W .

Aplicaţia 2.19. Se consideră circuitul cu schema din figura 2.47.

2

3

A 5

3A 4

6 6

6V

2

1

B

Fig. 2.47

Să se determine: a) parametrii generatoarelor echivalente Thévenin şi Norton, în raport cu bornele A şi B; b) valoarea t.e.m. Ue a sursei şi sensul acesteia astfel încât, conectând sursa de tensiune între bornele A şi B, să primească puterea maximă furnizată de dipol; c) valoarea curentului injectat de sursa de curent Is şi sensul acestuia astfel încât, conectând sursa între bornele A şi B, să primească puterea maximă debitată de dipol. Rezolvare. A) Pentru calculul lui U A B 0 se aplică metoda curenţilor ciclici (fig.2.48, a):

' '    4  6  2 I 1 6 I 2  4 3  6  ' '    6 I 1   3  5  6  1 6 I 2  53  0 

Cu I 2'  4 3 A , rezultă U A B 0  6 

4  8V  3

Calculul lui R A B 0 se face pe baza schemei din figura 2.48, b, obţinută prin pasivizarea circuitului iniţial:

R A B 0    4  2  6     3  5  1   6   4  

74


2

3A

3A

3

I 1

6

RAB0

6

6

1

2

B

a Parametrii

4

6  U AB0

I 2

2

A

5

5

4

6V

3

A

1 b

Fig. 2.48

generatorului

echivalent

B

Thévenin

sunt:

U AB 0  8V

şi

R A B 0  4  ; parametrii generatorului echivalent Norton, determinaţi cu relaţia (2.23), sunt: I A B s c  2 A şi G A B 0  0 ,25 S . b) Conectând la bornele generatorului echivalent Thévenin o sursă ideală de tensiune Ue (fig.2.49, a), se stabileşte curentul

I

U AB 0  U e R AB 0



Puterea debitată de generator, egală cu cea primită de sursa ideală

P  U AB I  U e I  U e

U AB 0  U e R AB 0

este maximă când dP/dUe = 0. Rezultă U e  U A B 0

,

2  8 2  4V . Valoarea puterii

maxime transferate este

Pm a x 

U A2 B 0 4 R AB 0



82  4W  44

c) La bornele generatorului echivalent Norton se conectează o sursă ideală de curent Is (fig.2.49, b). Cum

U AB 

I AB s c  I s G AB 0

,

2.7 – Formularea matriceală a ecuaţiilor circuitelor de curent continuu

75

A I

RAB0

A

U AB

I

I ABSC  I

Ue I ABSC

U AB0

U AB

G AB0

IS

B

B

b

a Fig.2.49

puterea debitată de generator, egală cu puterea primită de sursa ideală, este:

P  U AB I  U AB I s 

I AB sc  I s G AB 0

Is 

Maximul puterii se obţine din dP/dIs = 0 pentru I s  I A B s c

2 1A

Valoarea puterii maxime transferate este

Pma x 

2 I AB sc

4 G AB 0



22  4W  4  0,25

2.7. Formularea matriceală a ecuaţiilor circuitelor de curent continuu Una dintre metodele de analiză asistată de calculator a circuitelor electrice se bazează pe formularea matriceală a ecuaţiilor circuitului. 2.7.1. Matrice de incidenţă şi de apartenenţă Se consideră un circuit de curent continuu cu L = 6 laturi şi N = 4 noduri, al cărui graf este reprezentat în figura 2.50. Numerotarea laturilor s-a făcut astfel încât cifrele 1, 2, 3 să corespundă ramurilor care formează arborele grafului, iar următoarele cifre - 4, 5, 6 – să fie asociate coardelor. Graful este orientat pentru că fiecărei laturi i se asociază un sens de referinţă (sensul curentului), reprezentat cu ajutorul unei săgeţi. Dacă pentru toate laturile grafului (circuitului) se consideră regula de asociere a sensurilor de referinţă de la receptoare, atunci sensurile tensiunilor la bornele laturilor coincid cu cele ale curenţilor din acestea.

76


n1

4

1

I n2

n4

2

II

6

5

III

3 n3

Fig. 2.50

S-a ales un sistem de ochiuri (bucle) independente astfel încât fiecare ochi conţine o singură coardă. Pentru cele trei ochiuri, notate cu I, II şi III, sensurile de parcurgere sunt reprezentate cu linie întreruptă. Matricea A0 este, prin definiţie, matricea de incidenţă a laturilor în noduri:

A 0   ak 



(2.60)

Elementele matricii (coeficienţii de incidenţă) sunt definite astfel:  0  latura k nu este incidentă in nodul 



a k α    1  latura k intră in nodul 

  1  latura k iese din nodul  

Matricea A0 are numărul liniilor egal cu numărul nodurilor grafului N, respectiv numărul coloanelor egal cu numărul laturilor circuitului L. Matricea A, numită matrice de incidenţă redusă a laturilor în noduri, se obţine prin eliminarea unei linii a matricei A0. Nodul căruia îi corespunde linia suprimată se numeşte nod de referinţă. Cele două matrice ale grafului conex şi orientat din figura 2.50 au următoarele structuri:

n1  n 2  A0  n3   n4 

1

2

3

4

5

1

0

0

1

0 0  1  1 1   0 0

0 0 1

1 0 0 1 1 1

1 0 0

6

1

(2.61, a)


1

2

3

4

5

77

6

n1  1 0 0 1 1 0  A  n 2  0  1 0 1 0  1  n 3  0 0 1 0  1 1 

(2.61, b)

Matricea de apartenenţă (conexiune) a laturilor la ochiuri (bucle)

B   b k q 

(2.62)

are elementele (coeficienţi de apartenenţă) definite astfel:

bk q

 0  latura k nu apartine ochiului q    1  k  q sensurile laturii şi ochiului nu coincid .   1  k  q sensurile laturii şi ochiului coincid 

Matricea B are numărul liniilor egal cu numărul ochiurilor independente 0 şi numărul de coloane egal cu numărul laturilor circuitului L. Corespunzător grafului din figura 2.50, matricea B are următoarea structură:

1

2

3

4

5

I 1 B  II  0 III  1

1 1

0 1

1 0

0

1

0

0 0  0  1  1 0 

6 (2.63)

Pentru exprimarea matriceală a ecuaţiilor circuitelor electrice se definesc următorii vectori (matrice coloană):  vectorul tensiunilor la bornele laturilor t

U  U 1    U k    U L  ;

(2.64)

 vectorul curenţilor laturilor t

I   I 1    I k    I L  ;

(2.65)

 vectorul tensiunilor electromotoare ale surselor de tensiune independente t

U e  U e 1    U e k    U e L  ;

(2.66)

 vectorul curenţilor generaţi de sursele de curent independente t

I s   I s 1    I s k    I s L  ; unde indicele superior t indică operaţia de transpoziţie a matricei.

(2.67)

78

Circuite electrice de curent continuu- 2 2.7.2. Forma matriceală a teoremelor lui Kirchhoff Relaţia

 i

k  

k

 0 (1.29) reprezintă prima teoremă a lui Kirchhoff şi se referă

la curenţii din laturile incidente în nodul . Extinzând suma la curenţii din toate laturile L

circuitului, se poate scrie relaţia

a i k

k 1

k

 0 ,   1 , 2 ,   , N , unde coeficientul

a k  are semnificaţia precizată în paragraful anterior. Ţinând seama de modul în care au fost definite matricele de incidenţă a laturilor în noduri, A0 şi A, rezultă ecuaţia matriceală pentru ansamblul nodurilor

A0 I  0 ,

(2.68)

AI 0 ,

(2.69)

respectiv

pentru ( N – 1 ) noduri independente. Relaţia (2.69) reprezintă forma matriceală a primei teoreme a lui Kirchhoff. Teorema a doua a lui Kirchhoff, u b k  0 (rel. 1.33), se referă la tensiunile



k  

la bornele laturilor unui ochi de reţea electrică. Efectuând suma pentru toate laturile L

circuitului, se poate scrie relaţia

b

kq

u b k  0 , q  1 ,2 , ,0 , unde coeficientul b k q

k 1

are semnificaţia precizată în paragraful anterior. Ţinând seama de modul în care au fost definite elementele matricei B, rezultă ecuaţia

BU  0 ,

(2.70)

care constituie forma matriceală a teoremei a doua a lui Kirchhoff. Prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff în formă matriceală cazului din figura 2.50, se obţin ecuaţiile:

 I1 I 2  1 0 0 1 1 0    I3 A I   0 1 0 1 0 1    I4  0 0 1 0 1 1    I5   I 6

   I   1   I2   I   3  

I4 I4 I5

I5 I6  I6

  0  


79

U 1  U  2  U U 2 U 4   1 1 0 1 0 0   U 3   1    BU   0 1 1 0 0 1       U 2  U 3 U 6   0 U4  U  1 0 1 0 1 0    U 3  U 5  U5   1    U 6  Se constată că sistemul de ecuaţii format din relaţiile (2.69) şi (2.70) nu poate fi utilizat pentru rezolvarea circuitului, întrucât se obţin L ecuaţii independente cu 2L necunoscute (L curenţi şi L tensiuni). Pentru determinarea univocă a curenţilor din laturile circuitului, se consideră schema echivalentă corespunzătoare unei laturi de circuit complete (fig. 2.51), căreia i se aplică legea conducţiei electrice:

U  R  I  I s U e 

(2.71)

Pentru ansamblul laturilor circuitului se poate scrie ecuaţia matriceală (2.72) U  R I  Is Ue ,



IS



în care intervin matricea diagonală R, de ordin (L x L), a rezistenţelor laturilor circuitului şi vectorii U, I, Ue , Is , definiţi cu relaţiile

I R

U

(2.64)...(2.67). Multiplicând la stânga ecuaţia (2.72) cu matricea B şi ţinând seama de (2.70), se obţine expresia:

Ue

Fig. 2.51

B R I  BU e  B R I s 

(2.73)

Teoremele lui Kirchhoff pot fi prezentate într-o singură ecuaţie matriceală obţinută prin compactarea relaţiilor (2.69) şi (2.73) care operează cu aceeaşi necunoscută I:

0    A   B R  I   BU  B R I   e s    

(2.74)

Cunoscând rezistenţele laturilor, t.e.m. ale surselor de tensiune şi curenţii injectaţi de sursele de curent, se construiesc matricele A, B, R, Ue , Is şi se rezolvă ecuaţia (2.74) în raport cu vectorul curenţilor din laturi I. 2.7.3. Forma matriceală a metodei curenţilor de contur Notând cu



I '  I 1'   I k'   I 0'



t

(2.75)

80


vectorul curenţilor de contur asociaţi ochiurilor independente ( O = L – N + 1 ) şi folosind matricea de conexiune B, vectorul curenţilor din laturile unui circuit se exprimă cu relaţia I  Bt I'  (2.76) Cu precizarea că sensurile curenţilor ciclici I 1' , I 2' , I 3' coincid cu sensurile de parcurgere corespunzătoare ochiurilor I, II, III, pentru cazul din figura 2.50 relaţia (2.76) devine:

 1 0  1 1   0 1 Bt I'    1 0  0 0   0 1

1 0  I 1' 1  '  I2 0  '  I3 1   0

 I 1'  I 3'   I 1  I 2'   ' '   I2  I3     I 1'     I 3'  '   I 2

  I1     I2   I3    I4   I5     I 6

    I    

Din relaţiile (2.73) şi (2.76) se obţine ecuaţia matriceală a curenţilor de buclă sub forma (2.77) B R B t I '  BU e  B R I s  Cu notaţiile R '  B R B t pentru matricea rezistenţelor proprii ale ochiurilor,

U e'  B U e pentru vectorul tensiunilor electromotoare ale ochiurilor, în cazul circuitelor fără surse de curent relaţia (2.77) se poate scrie sub forma concisă

R ' I '  U e' 

(2.78)

Rezolvând ecuaţia (2.78) se obţine vectorul curenţilor de buclă (necunoscutele auxiliare) şi apoi, folosind relaţia (2.76), se determină vectorul curenţilor din laturile circuitului (necunoscutele reale). Uşurinţa cu care pot fi construite matricele R ' şi U e' este un avantaj al metodei. În literatura de specialitate [13, 33] se stabilesc reguli de construire a ecuaţiilor matriceale şi pentru cazul în care sunt prezente sursele de curent, pornind de la formarea ochiurilor independente din laturi ale arborelui şi câte o coardă, respectiv introducerea surselor de curent numai în coarborele grafului circuitului. 2.7.4. Forma matriceală a metodei potenţialelor nodurilor Metoda potenţialelor nodurilor, prezentată în paragraful 2.3.3, constă în alegerea unei valori de referinţă nule pentru potenţialul unui nod (VN = 0) şi folosirea

2.7 – Formularea matriceală a ecuaţiilor circuitelor de curent continuu potenţialelor celorlalte (N - 1) noduri ca necunoscute auxiliare: V1 , V2 , ... , VN Acestea se grupează într-un vector auxiliar (vectorul potenţialelor nodurilor):





V '  V1    V k    V N 1  t

81 – 1.

(2.79)

Relaţia de legătură dintre vectorul tensiunilor la bornele laturilor şi vectorul potenţialelor nodurilor U  At V ' (2.80) reprezintă forma matriceală a teoremei potenţialelor nodurilor. Pentru cazul din figura 2.50 se obţine:

 1 0  0 -1   0 0 At V '    1 1  1 0   0 1

0 0   V1 1    V2 0   V3 -1   1 

  V1  V 2     V3    V  V 2   1   V V 1 3    V 2  V 3

 U1  U   2  U3   U 4  U 5     U 6

     U     

Din relaţia (2.72) rezultă

I  GU  GU e  I s ,

(2.81)

unde G  R  1 reprezintă matricea pătrată a conductanţelor laturilor circuitului.

 R  1 R   1  , fiind singurul produs matriceal comutativ. Matricea nesingulară  d et R  0  admite inversă şi Observaţie: Matricea inversă R

1

are proprietatea R R

1

este matrice pătrată..

Înlocuind relaţia (2.80) în (2.81), multiplicând la stânga cu matricea A şi ţinând seama de formularea primei teoreme a lui Kirchhoff (rel. 2.69), se obţine expresia:

AG A t V '   A  G U e  I s  

(2.82)

Cu notaţiile G '  A G A t pentru matricea conductanţelor nodale, de ordin (N -



1) x (N - 1) şi I 's   A G U e  I s



pentru vectorul curenţilor de scurtcircuit

injectaţi în cele (N - 1) noduri de sursele situate pe laturile incidente în aceste noduri, relaţia (2.82) poate fi scrisă concis sub forma:

G ' V '  I 's 

(2.83)

Rezolvând această ecuaţie matriceală se obţine vectorul potenţialelor necunoscute V ' , apoi cu relaţia (2.80) se calculează vectorul tensiunilor la bornele laturilor U şi, în cele din urmă, se determină vectorul curenţilor din laturi I (rel. 2.81).

82


În forma matriceală prezentată, metoda nu poate fi aplicată la rezolvarea circuitelor care conţin laturi alcătuite numai din surse ideale independente de tensiune, pentru care R = 0 şi produsul GUe , semnificând curentul de scurtcircuit al sursei, este infinit. În literatura de specialitate [ 13, 35 ] se prezintă şi alte metode matriceale, cum ar fi metoda nodală modificată, care soluţionează astfel de situaţii. Se face precizarea că analiza nodală, care consideră fiecare element dipolar ideal de circuit ca şi o latură mărginită de două noduri, stă la baza numeroaselor programe de simulare pe calculator a circuitelor electrice. Versiunile şcoală ale programului SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis), larg răspândite în universităţi şi accesibile gratuit, calculează, pentru fiecare analiză în c.c. a unui circuit electric, valorile potenţialelor nodurilor circuitului. PROBLEME (2) P2.1. Să se calculeze rezistenţa echivalentă a circuitului reprezentat în figura 2.52, faţă de bornele de acces A şi B.

A

10 

5

4

RAB

B

7

3

4

7

3 Fig. 2.52

R: R A B  10   P2.2. Să se calculeze curentul injectat de sursa ideală de curent a circuitului reprezentat în figura 2.53, cunoscând puterea de 64 W disipată în rezistorul de 4 Ω.

5

2 7

IS 4

8 Fig. 2.53

R: I s  10 A 

Probleme P2.3. Pentru circuitul cu schema din figura 2.54 se cer: a) valorile curenţilor din laturi, utilizând metoda curenţilor de contur; b) verificarea conservării puterilor.

83

I1

I2

I3

10 V

2

0 ,4 

2

1

2 ,5 A

I4

Fig. 2.54

R:

a)

I 1  5 A ; I 2  4 A ; I 3  3,5 A ; I 4  1A ; b) Pg  Pc  67 ,5W  P2.4. Folosind metoda potenţialelor nodurilor, să se determine curenţii din laturile circuitului cu schema din figura 2.55. Să se efectueze bilanţul puterilor.

I1 a I 3 3 

I2 _ 12 V 

b I5 2 

c I6

I4

3

3

2

3A

d Fig. 2.55

R: I 1  6 A ; I 2  4 A ; I 3  2 A ; I 4  2 A ; I 5  0 ; I 6  3 A ; Pg  Pc  90 W 

18 V

I I1 4

I2

I0

4 I0

12 

Fig. 2.56

3

P2.5. Să se calculeze curenţii din laturile circuitului cu schema din figura 2.56 şi să se verifice conservarea puterilor.

84


U AB A I AB

4

R:

B

2

2

3A

6V

12 V

I 0  0,5 A ; I 1  1,5 A ; I 2  4 A ; I 4  2 A ; I  2 A ; Pg  Pc  60W 

P2.6. Se consideră circuitul cu schema din figura 2.57. a) Să se calculeze IAB şi UAB folosind teoremele lui Thévenin, respectiv Norton; b) Să se determine curentul IAB cu metoda superpoziţiei.

Fig. 2.57

R: a)

U AB 0  24V ; R AB 0  2  ; I AB  4 A ; I AB s c  12 A ; G AB 0  0,5 S ;U AB  16V .

b) I A B  1  2  1  4 A  P2.7. Pentru circuitul cu schema din figura 2.58, să se stabilească parametrii generatoarelor echivalente Thévenin şi Norton, în raport cu bornele A şi B.

3

R:

2

U AB 0  12V , R AB 0  2  ;

6

A 6

5

4

18 V

I AB s c  6 A , G AB 0  0,5 S 

48 V

B Fig. 2.58

P2.8. Pentru circuitul cu schema din figura 2.59 să se determine rezistenţa R, astfel încât puterea care i se transferă să fie maximă şi valoarea acestei puteri.

Probleme

85

6

3

R 6

12

90 V

Fig. 2.59

R: R  6  ; Pm a x  37 ,5W  P2.9. Se consideră circuitul reprezentat în figura 2.60. Să se determine curentul generat de sursa de curent Is, astfel încât puterea pe care o primeşte din circuit să fie maximă.

1

IS

1

1

1

1V

6V 1

1

1A

1

1V

Fig. 2.60

R: I s  1 A  P2.10. Se consideră circuitul cu schema din figura 2.61. Să se determine: a) valoarea t.e.m. Ue a sursei şi sensul acesteia astfel încât, prin conectarea sursei între bornele A şi B, să-i fie transferată puterea maximă furnizată de dipol; b) valoarea curentului injectat de sursa de curent Is şi sensul acestuia astfel încât, conectând sursa între bornele A şi B, să primească puterea maximă debitată de dipol.

86


60

12  20 

90 V

A 60

10 

20  B Fig. 2.61

R: a) U e  8 V ; b) I s  1 A  P.2.11. Să se calculeze curenţii din laturile circuitului cu schema din figura 2.62 şi să se verifice conservarea puterilor.

4

I1

32V

1

I3

I2 12

4

2

I0 I4

2

2 I0

Fig.2.62

R: I 1   20 ,5 A ; I 2  9 ,5 A ; I 3  30 A ; I 4  12 A ;

I 5  18 A ; I 0  30 A ; Pg e n  Pc o n s  8200 W 

I5

12V

8.3 – Teoremele impedanţelor echivalente

87

3. CIRCUITE ELECTRICE MONOFAZATE ÎN REGIM SINUSOIDAL 3.1. Mărimi sinusoidale şi reprezentările lor Variaţia sinusoidală în timp a unei tensiuni (sau curent) este ilustrată în figura 3.1 şi descrisă de relaţia (3.1) u  U m sin   t    , în care: u este valoarea instantanee (momentană) şi reprezintă valoarea mărimii la un moment oarecare; U m este amplitudinea

u

(valoarea maximă);  t   este faza şi constituie argumentul mărimii (funcţiei) sinusoidale,  este faza iniţială şi reprezintă valoarea fazei la momentul t  0 ;  este pulsaţia şi exprimă variaţia fazei în unitatea de timp. O mărime sinusoidală este o mărime periodică, adică

u  t   u  t  T   u  t  2T

0

Um t



2



Fig.3.1

 ...  u  t  nT  

Intervalul de timp minim după care valorile funcţiei periodice (sinusoidale) se repetă se numeşte perioadă  T  . Numărul de perioade în unitatea de timp este frecvenţa ( f ). Între perioadă, frecvenţă şi pulsaţie există relaţiile:

  2 f 

2  T

(3.2)

Defazajul dintre două mărimi sinusoidale cu aceeaşi pulsaţie se exprimă prin



diferenţa fazelor lor. Considerând mărimile sinusoidale u1  U 1m sin  t   1

u 2  U 2 m sin   t   2  , reprezentate în figura 3.2, defazajul dintre ele este:

    t   1     t   2    1   2 

 şi

(3.3)

Dependent de valorile acestui defazaj, intervin următoarele situaţii:

    1   2  0 , mărimea u 1 este defazată înaintea mărimii u 2 (fig. 3.2, a);

88

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3

    1   2  0 , mărimile u 1 şi u 2 sunt în fază sau sinfazice (fig. 3.2, b);     1   2  0 , mărimea u 1 este defazată în urma mărimii u 2 ;

  1   2  

 2

, mărimile u 1 şi u2 sunt în cuadratură (fig. 3.2, c);

    1   2    , mărimile u 1 şi u 2 sunt în opoziţie de fază (fig. 3.2, d).

u u1

2

1

u

u2



t

u2

t

1   2

a

u

u1

b

u1

u

u2

u2

u1

t

t

/2

c

d Fig. 3.2

Valoarea medie a mărimii sinusoidale este media aritmetică pe o perioadă (sau pe un multiplu de perioade) a valorilor momentane:

U med T 

1 T 1 T  0 u dt   0 U m sin   t    dt  0  T T

(3.4)

Fiind nulă, valoarea medie pe o perioadă nu este relevantă pentru mărimile sinusoidale. Valoarea medie pe o semiperioadă (alternanţa pozitivă) a mărimii sinusoidale este diferită de zero şi se calculează cu relaţia:

U med T

2



2U m 2    T2 2    T2 u dt  U m sin   t    dt   (3.5)   T  T  

Valoarea efectivă a unei mărimi periodice este, prin definiţie, rădăcina pătrată a mediei pe o perioadă a pătratelor valorilor momentane:

3.1 – Mărimi sinusoidale şi reprezentările lor

1T 2  u dt  T0

U 

89 (3.6)

În cazul mărimilor sinusoidale de forma (3.1), se obţine

U 

U 1 T 2 U m si n 2   t    d t  m   T 0 2

(3.7)

Deoarece în electrotehnică se măsoară şi se utilizează în calcule valorile efective ale tensiunilor şi curenţilor, mărimile sinusoidale se exprimă uzual în forma

u t  

2 U sin   t    ,

(3.8)

scrisă doar pentru tensiune. Mărimile sinusoidale se pot reprezenta în mai multe moduri. În cadrul reprezentării geometrice, unei mărimi sinusoidale de forma i  I m s i n   t    i se



asociază un vector, numit fazor OA  I m

 care se roteşte în jurul originii O a axelor

de coordonate, în sens trigonometric pozitiv, cu o viteză unghiulară constantă  . Unghiul pe care acest fazor îl face cu axa Ox (considerată axă de referinţă) este egal cu faza   t    a mărimii sinusoidale, în care  reprezintă faza iniţială, iar proiecţia fazorului pe o axă perpendiculară pe axa de referinţă  Oy  este egală cu valoarea momentană a mărimii, i (fig. 3.3, a). Fazorii asociaţi derivatei şi integralei aceleiaşi mărimi sinusoidale, reprezentaţi în figura 3.3, b, se obţin astfel:

i  I m sin  t   

y  A

 Im

 t 

y

Im O

 Im

 t 

 t  x  /2

x

 t 

 t 

Im  b

a Fig. 3.3

90


     I m s in   t     ; 2   Im Im    cos   t     sin   t       i dt     2   di   I m cos   t   dt



Aşadar, fazorii derivatei şi integralei unei mărimi sinusoidale sunt defazaţi înainte, respectiv în urmă cu  2 faţă de fazorul asociat mărimii considerate. Reprezentarea geometrică a mărimilor sinusoidale cu fazori rotitori, la care s-a făcut referire până aici, se numeşte şi reprezentare cinematică. Întrucât poziţia relativă a fazorilor corespunzători unor mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă este fixă, reprezentarea geometrică se poate simplifica considerând fazorii imobili, obţinându-se reprezentarea polară (fig. 3.4). Fără a mai trasa axele de coordonate, pentru construirea diagramei fazoriale se alege un fazor de referinţă (faza iniţială nulă) faţă de care se stabilesc, cu ajutorul defazajelor, orientările celorlalţi fazori. Deoarece raportul dintre amplitudine şi valoarea efectivă este constant, egal cu

2 , diagrama fazorială a valorilor efective (fig.

3.4, b) poate înlocui diagrama fazorială a amplitudinilor (fig.3.4, a). U Metoda de reprezentare geometrică a mărimilor sinusoidale Im are avantajul de a fi intuitivă şi este utilă în rezolvarea circuitelor cu I  structură simplă. În cazuri mai  complicate, diagramele fazoriale constituie construcţii grafice mai dificile. a b Reprezentarea în complex se realizează în două moduri: Fig. 3.4 a) Reprezentarea în complex nesimplificată. Se asociază fiecărei mărimi sinusoidale o mărime complexă, având modulul şi argumentul egale cu amplitudinea, respectiv faza mărimii sinusoidale (fig. 3.5, a):

Um

u  U m sin   t  



 u  U m e j   t   ,

(3.9)

unde e este baza logaritmilor naturali, iar j   1 reprezintă unitatea imaginară. Aplicând formula lui Euler mărimii complexe asociate, numită şi imagine complexă, se obţine:

u  U m cos   t  

  jU m sin   t    ,

3.1 – Mărimi sinusoidale şi reprezentările lor

91

din care rezultă că partea imaginară a reprezentării în complex nesimplificate este egală cu valoarea instantanee (momentană) a mărimii sinusoidale (3.10) u  t   m u   U m sin   t     La acest mod de reprezentare, imaginea complexă a derivatei, respectiv integralei în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale este egală cu derivata, respectiv integrala imaginii complexe, adică:

du  j  U m e j   t    j  u ; dt 1 1 U m e j   t    u  u dt  j j

(3.11, a) (3.11, b)

Aşadar, operaţiunilor de derivare şi integrare menţionate anterior le corespund în complex produsul şi, respectiv, câtul mărimii complexe asociate u prin factorul j  , la care unitatea imaginară j  e j  2 evidenţiază rotirea mărimii cu  2 (fig.3.5, a). b) Reprezentarea în complex simplificată. Este uzuală în Electrotehnică, modulul şi argumentul mărimii complexe asociate fiind acum valoarea efectivă şi, respectiv, faza iniţială a mărimii sinusoidale (fig. 3.5, b):

u  t   U m sin   t  





2 U sin   t  



 U  U e j   (3.12)

Pentru trecerea inversă, de la imaginea complexă la valoarea momentană a mărimii sinusoidale, se ţine seama de simplificările introduse, adică

u  t   m



2 U e jt

  m



2 U e j   t   

(3.13)

La acest mod de reprezentare, nu are sens noţiunea de derivată, respectiv integrală a imaginii complexe pentru că fazorul nu este o funcţie de timp. Imaginile complexe ale derivatei şi integralei se obţin prin asociere la expresiile derivatei şi integralei în forma:

j u

u

j

j U



j

 t 

/2

Fig. 3.5

U

 / 2 axa reală 1 U j

axa reală

1 u j a



b

92

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 

 

j   du   U e  2   j  U e j  j  U ; dt

 udt 

1



Ue

   j    2 



1 U e j  j

1 U j

(3.14, a)

(3.14, b)

În figura 3.5, b sunt reprezentaţi fazorii complecşi ai derivatei şi integralei.

3.2. Circuitul RLC serie. Mărimi caracteristice Se consideră un circuit dipolar (având două borne de legătură cu exteriorul) liniar şi pasiv, format din elemente ideale conectate în serie (fig. 3.6), la bornele căruia se aplică tensiunea sinusoidală

u b  U m sin  t 

2 U b sin  t .

(3.15)

Prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff pe conturul închis , se obţine:

ub  u R  u L  uC

uR

uL

uC

R

L

C

i ub



(3.16)

Ţinând seama de expresiile stabilite pentru tensiunile la bornele elementelor ideale (v.par.1.7), ecuaţia integro-diferenţială a circuitului RLC serie în regim sinusoidal are forma:



ub  R i  L

di 1   i dt  k  (3.17) dt C

Fig. 3.6

Dacă se cunosc parametrii elementelor de circuit şi tensiunea aplicată, atunci problema constă în determinarea curentului în regim permanent. Acesta fiind tot sinusoidal, cu aceeaşi frecvenţă ca şi a tensiunii la bornele circuitului, se poate scrie în forma: i  I m sin   t    , (3.18) în care I m 

2 I - amplitudinea curentului şi  - defazajul dintre tensiune şi curent

apar ca necunoscute. În scopul determinării lor, se introduce soluţia (3.18) în ecuaţia (3.17) şi se obţine expresia:

U m sin  t  R I m sin   t  



 1    L   I cos   t    , (3.19) C  m 

valabilă pentru orice valoare a lui t (în cazul considerat, cu variaţii sinusoidale ale tensiunii şi curentului, constanta k este nulă).

3.2 – Circuitul RLC serie. Mărimi caracteristice

93

Pentru valorile particulare t  0 şi t    , din ecuaţia (3.19) rezultă:

1 C

L  tg  

Im 

L  sau   arc tg

R

U m sin   1 L  C

1 C

R

Um  1  R2    L   C  

2



;

(3.20)

(3.21)

Prin definiţie, impedanţa circuitului este raportul amplitudinilor sau valorilor efective ale tensiunii la borne şi curentului

Z 

Um Im



Ub I

 

(3.22)

Pentru circuitul considerat, impedanţa

Z 

 1  R  L   C  

2

2

depinde numai de parametrii R , L , C şi de frecvenţă

(3.23)



 2  f  .Introducând

mărimile: X L   L (reactanţă inductivă), X C  1  C (reactanţă capacitivă) şi

X   L  1  C (reactanţa circuitului serie), relaţiile (3.20), (3.21) şi (3.23) se pot scrie şi sub forma:

tg  

X , R

Z 

Im 

Um Z

R2  X 2 

;

(3.24) (3.25)

Parametrii R , X şi Z din relaţia (3.25) pot reprezenta laturile unui triunghi dreptunghic, numit şi triunghiul impedanţei (fig. 3.7, a). Din punct de vedere al defazajului, se disting următoarele situaţii: - dacă X L  X C , respectiv X  0,   0 , circuitul are caracter inductiv şi curentul este defazat în urma tensiunii; - dacă X L  X C , respectiv X  0,   0 , circuitul are caracter rezistiv şi tensiunea şi curentul sunt în fază; - dacă X L  X C , respectiv X  0,   0 , circuitul are caracter capacitiv şi curentul este defazat înaintea tensiunii.

94


Mărimea reciprocă impedanţei, adică raportul între amplitudinile sau valorile efective ale curentului şi tensiunii la borne, se numeşte admitanţă

Im

Y 

Um

I 1   Ub Z



(3.26)

Unitatea de măsură a admitanţei se numeşte siemens [S]. Ţinând seama de relaţiile (3.25) şi (3.26), rezultă:

Y2 

1  2 R X2

R

R2 2

X2



2



R

X2 2

X2



2

 G2  B2 ,

(3.27)

unde

G 

R R  2 2 R  X Z

(3.28)

B 

X X  2 2 R  X Z

(3.29)

2

se numeşte conductanţă şi

Z

Y

X

2

se numeşte susceptanţă. Pe baza relaţiei (3.27) se poate construi triunghiul admitanţei, reprezentat în figura 3.7, b. Expresiile în complex simplificat ale tensiunii la borne (rel. 3.15) şi curentului (rel. 3.18) sunt:

B





R

G

a

b

U b  Ub ,

I  I e  j 

(3.30)

Ţinând seama de regulile de derivare şi integrare (par.3.1), ecuaţia diferenţială (3.17) se transformă în ecuaţie algebrică cu mărimi complexe:

Fig.3.7

U b  R I  j L I 

  1  I  R  j  L   I , j C  C    1

(3.31)

din care se poate deduce imaginea complexă a curentului şi apoi valoarea instantanee a acestuia. Raportul dintre expresiile în complex ale tensiunii la borne şi curentului se numeşte impedanţă complexă

Z 

Ub I



Ub Ie

 j



Ub I

e j  Z e j 

(3.32, a)


95

Modulul impedanţei complexe Z este egal cu impedanţa Z a circuitului şi argumentul ei este defazajul  . Se mai poate scrie:

Z  Z  cos   j sin    R  j X 

(3.32, b)

Admitanţa complexă este:

Y  sau

1  Y e  j , Z

(3.33, a)

Y  Y cos   jY sin  ,

(3.33, b)

Y  G  jB 

(3.33, c)

respectiv Deşi nu sunt imagini complexe ale unor mărimi cu variaţie sinusoidală în timp, impedanţa Z şi admitanţa Y pot fi reprezentate în planul complex (fig. 3.8, a şi b). De asemenea, pe baza ecuaţiei (3.31) se poate construi în planul complex o diagramă a tensiunilor, după ce s-a ales ca origine de fază curentul I (fig. 3.8, c).

1

jX

j

R

a

 jB





I

Ub  Z I



Z

j

j C

G

j

j L I



b

RI

I

c

Fig. 3.8

3.3. Teoremele impedanţelor echivalente 3.3.1. Conexiunea serie. Teorema divizorului de tensiune Se consideră n elemente dipolare, pasive şi necuplate magnetic, având impedanţele complexe Z k  k  1, 2,..., n  conectate în serie, adică parcurse de acelaşi curent (fig. 3.9, a). Circuitul echivalent este cel reprezentat în figura 3.9, b, în sensul că, la aceeaşi tensiune aplicată la borne, se stabileşte acelaşi curent.

96

I


Z1

Z2

Zk

Zn

U1

U2

Uk

Un

I

Ub

Ub

a

Ze

b Fig. 3.9

Pe baza teoremei a doua a lui Kirchhoff rezultă:

U b  U 1  U 2  ...  U n  Z 1 I  Z 2 I  ...  Z n I   Z 1  Z 2  ...  Z n  I , (3.34) respectiv

Ub  Ze I 

(3.35)


Z e  Z 1  Z 2  ...  Z n   Z k k 1

(3.36)

şi, prin separarea părţilor reală şi imaginară, se obţin: n

Re   Rk , k 1

n

Xe   Xk 

(3.37)

k 1

Aşadar, impedanţa complexă echivalentă a n elemente dipolare, pasive şi necuplate magnetic, conectate în serie, este egală cu suma impedanţelor complexe ale elementelor componente; rezistenţa echivalentă este egală cu suma aritmetică a rezistenţelor, iar reactanţa echivalentă este egală cu suma algebrică a reactanţelor. Observaţie. Este util să se precizeze că circuitul din figura 3.9, a constituie un divizor de tensiune pentru care, tensiunile la bornele elementelor circuitului sunt repartizate proporţional cu impedanţele complexe ale acestora:

Uk  Zk I  Zk

Ub Ze

 Ub

Zk n



 Zk

(3.38)

k 1

3.3.2. Conexiunea paralel. Teorema divizorului de curent Se consideră n elemente dipolare, pasive şi necuplate magnetic, având admitanţele complexe Y k  k  1, 2,..., n  conectate în paralel, adică cu aceeaşi tensiune la borne (fig. 3.10, a). Pe baza primei teoreme a lui Kirchhoff se obţine:


I  I 1  I 2  ...  I n   Y 1 U b  Y 2 U b  ...  Y n U b    Y 1  Y 2  ...  Y n U b

97

(3.39)



Circuitul din figura 3.10, b este echivalent cu cel din figura 3.10, a, din punct de vedere al comportării faţă de borne, adică acelaşi curent absorbit şi aceeaşi tensiune la borne: (3.40) I  Y eU b 

I

I I1

U

b

Y

1

I

Ik

I2

Y

2

Yk

n

Y

n

a

U

b

Y

e

b Fig. 3.10


Y e  Y 1  Y 2  ...  Y n   Y k ,

(3.41)

n 1 1 1 1 1    ...     k 1 Z k Ze Z1 Z 2 Zn

(3.42)

k 1

sau

Separând părţile reală şi imaginară în relaţia (3.41), rezultă conductanţa G e , respectiv susceptanţa echivalentă B e : n

Ge   Gk , k 1

n

Be   Bk  k 1

(3.43)

Deci, admitanţa complexă echivalentă a n elemente dipolare, pasive şi necuplate magnetic, conectate în paralel, este egală cu suma admitanţelor complexe ale elementelor componente; conductanţa echivalentă este egală cu suma aritmetică a conductanţelor, iar susceptanţa echivalentă este egală cu suma algebrică a susceptanţelor.

98


Observaţie. Este utilă precizarea că circuitul din figura 3.10, a reprezintă un divizor de curent pentru care, curenţii prin elementele circuitului sunt repartizaţi proporţional cu admitanţele complexe ale acestora:

Ik  I

Ze Zk

 I

Yk n

 Yk



(3.44)

k 1

3.3.3. Conexiuni mixte În cazul elementelor dipolare, pasive şi necuplate magnetic, conectate în serie şi în paralel, determinarea impedanţelor complexe echivalente se face ţinând seama de rezultatele stabilite în paragrafele 3.3.1 şi 3.3.2. Aplicaţia 3.1. Parametrii elementelor circuitelor reprezentate în figura 3.11 satisfac relaţia R  L C . Să se determine impedanţele echivalente în raport cu bornele de alimentare.

R

R

R

L

I

I C

L

C

R

Ub

Ub a

b

Fig. 3.11

Rezolvare. Se stabilesc următoarele expresii pentru impedanţele echivalente:

 L 1   j R  L  C  C  j L R j C     R , 1 R  j L   L 1 2 R R   j R  L  j C C  C   R

Z e1

1

2

corespunzătoare schemei circuitului reprezentat în figura 3.11, a, respectiv   1  L 1  R 2   j R  L   R  j L  R   j C  C  C    Z e2   , 1  1  R  j L  R  2R  j  L  j C  C   pentru schema din figura 3.11, b.

(3.45)

(3.46)


99

Deoarece între parametrii elementelor celor două circuite există relaţia R 2  L C , se obţine

Z e1  Z e 2  R , ceea ce relevă faptul că circuitele sunt de natură rezistivă faţă de bornele de alimentare. Aplicaţia 3.2. Circuitul reprezentat în figura 3.12, a funcţionează în regim sinusoidal. Să se determine relaţia de legătură dintre Z 1 şi Z 2 , astfel încât curentul I 3 să fie independent de impedanţa Z 3 .

I1

I2

U

1

jL

Z1

I3

Z2

b

j C

Z3

1 j C

a

jL

Z3

Z3

c

b Fig. 3.12

Rezolvare. Pornind de la expresia impedanţei echivalente în raport cu bornele de alimentare Ub Z2Z3 Ze   Z1  , I1 Z2 Z3 se obţine curentul total

I1  Ub

Z2  Z3

Z1Z 2  Z3 Z1  Z 2





(3.47)

Impedanţele Z 2 şi Z 3 , conectate în paralel, formează un divizor de curent, pentru care se aplică relaţia (3.44), rezultând:

I3  I1

Z2 Y3 Ub Y2  Y3 Z1Z 2  Z3 Z1  Z 2





I 3 este independent de Z 3 dacă

Z1  Z 2  0,

(3.48)

R1  R 2  0 şi X 1  X 2  0 .

(3.49)

respectiv

100


Pentru ca relaţia (3.49) să fie îndeplinită, este necesar ca R 1  R 2  0 şi reactanţele să corespundă unei bobine, respectiv unui condensator electric. Sunt posibile următoarele soluţii: Z 1  j  L şi Z 2  1 j  C (fig. 3.12, b) sau Z 1  1 j  C şi Z 2  j  L (fig . 3.12, c). 3.3.4. Conexiunile în stea şi în triunghi Se consideră două circuite formate, fiecare, din trei elemente dipolare, pasive şi necuplate magnetic, având impedanţele Z1 , Z2 , Z3 conectate în stea, respectiv impedanţele Z12 , Z23 , Z31 conectate în triunghi (fig. 3.13).

1

1

Z 31

Z1

Z 12

Z3

2

3 Z 23

Z2

2

3

Fig.3.13

Din echivalenţa la borne a celor două circuite se obţin relaţiile:

Z 1  Z 12 Z 31 Z 2  Z 23 Z 12 Z 3  Z 31 Z 23

Z Z

12

Z

 Z 23  Z 31  ,

12

 Z 23  Z 31  ,

12

 Z 23  Z 31 

(3.50)



corespunzătoare transfigurării triunghi  stea, respectiv

Z 12  Z 1  Z 2  Z 1 Z 2

Z3,

Z 23  Z 2  Z 3  Z 2 Z 3 Z 1 ,

(3.51)

Z 31  Z 3  Z 1  Z 3 Z 1 Z 2 , la transfigurarea stea  triunghi. În general, problema transfigurării trebuie privită prin prisma avantajelor care apar la calculul unor scheme mai complexe.

3.3 – Teoremele impedanţelor echivalente 101 Aplicaţia 3.3. Să se determine curenţii prin laturile active ale circuitului reprezentat în figura 3.14, a. U e 2   j 56 V , Date numerice: U e 1  28 V , Z 1  Z7  j ,

Z 2   0 ,25  j  , Z 3  Z 5  Z 6  Z 8   1  j  , Z 4   1  j  .

Z8

I1 a

Z1

Z6

Z4

b I2

Z7

U e1

Z5

Z3

U e2

Za

Z2 Zb

Z 36

a I1

Z1

Z

Z 73 

c b

Z

1

I3

Z1

Z

Zc

U e1

U e2 U e1

c

Z2

Z5

Z4

U e1

b

b I2

Z 67

Z2 Z1

c a

a

Z8

I1 a



U e2 

2

I2

Z2 3

U e2

c

c

b

d Fig.3.14

Rezolvare. Circuitul din figura 3.14, a se simplifică, prin transfigurări succesive, până la circuitul echivalent din figura 3.14, d, astfel: - se transfigurează impedanţele conectate în stea Z 3 , Z 6 , Z 7 într-o





conexiune echivalentă în triunghi, utilizând relaţia (3.51):

Z 36   j 2  , Z 67  Z 73   1  j   (fig. 3.14, b);

Z

8

trei

grupări,

de



câte

două

impedanţe

legate

în

paralel

Z 67 ; Z 4 Z 36 ; Z 5 Z 73 , se înlocuiesc cu impedanţele Z a  1  , Z b  2  , Z c  1  (fig. 3.14, c)

- se transfigurează conexiunea triunghi dintre bornele a, b şi c într-o conexiune stea, utilizând relaţia (3.50):

Z1  '

1 1 1 ' '  , Z 2   , Z 3   (fig. 3.14, d) 2 4 2

102


Pentru circuitul reprezentat în figura 3.14, d se determină curenţii prin laturile active: I 1  16 A şi I 2  40 e  j arctg 4 3 A .

3.4. Metode şi teoreme de calcul al circuitelor electrice liniare Rezolvarea circuitelor liniare în regim sinusoidal se realizează folosind reprezentarea în complex simplificată. Avantajul principal al acestei reprezentări simbolice constă în transformarea ecuaţiilor integro – diferenţiale cu coeficienţi constanţi, exprimate cu ajutorul valorilor momentane ale tensiunilor şi curenţilor, în ecuaţii algebrice liniare, cu mărimi complexe. Analogia formală între ecuaţiile circuitelor liniare de curent continuu şi ecuaţiile circuitelor liniare în regim sinusoidal, stabilite în absenţa cuplajelor magnetice şi scrise pe baza reprezentării în complex, permite extinderea teoremelor şi a metodelor de calcul prezentate în paragraful 2.3. Mărimile corespondente sunt:

U U ; I  I ; R  Z ; G Y ; V V  Algoritmul de rezolvare a circuitelor electrice liniare în regim sinusoidal cuprinde următoarele etape: - se determină imaginile complexe ale mărimilor caracteristice generatoarelor şi impedanţele complexe ce caracterizează elementele pasive ale laturilor; - se scriu, în formă complexă, ecuaţiile corespunzătoare metodei de calcul; - se rezolvă sistemul de ecuaţii, obţinându-se imaginile complexe ale mărimilor necunoscute (curenţi, tensiuni); - folosind corespondenţa inversă (complex  instantaneu), se determină valorile momentane ale mărimilor necunoscute. 3.4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Prima teoremă a lui Kirchhoff a fost dedusă în paragraful 1.5 pentru un regim variabil, cvasistaţionar (rel.1.29). În regim sinusoidal, asociind fiecărui curent imaginea sa complexă, se obţine relaţia (3.52) I k 0 ,



k 

denumită prima teoremă a lui Kirchhoff în formă complexă, cu următorul enunţ: suma algebrică a imaginilor complexe ale curenţilor dintr-un nod este egală cu zero. Teorema a doua a lui Kirchhoff în formă complexă, corespunzătoare expresiei (1.34,b) pentru un regim sinusoidal, exprimată cu relaţia (3.53) U k 0,



k  

are următorul enunţ: suma algebrică a imaginilor complexe ale tensiunilor la bornele elementelor de circuit din laturile unui ochi este egală cu zero.

3.4 – Metode şi teoreme de calcul ale circuitelor electrice liniare

103

Relaţia (3.53) este valabilă numai în cazul în care laturile circuitului nu sunt cuplate magnetic între ele. Expresia cea mai generală pentru teorema a doua a lui Kirchhoff va fi prezentată în paragraful 3.5.2. Toate aspectele relevate în paragrafele 1.5 şi 2.3.1. în legătură cu teoremele lui Kirchhoff şi aplicarea lor la rezolvarea circuitelor de curent continuu (semnele termenilor în sumele algebrice, alegerea buclelor independente, numărul total de ecuaţii etc.) sunt valabile şi pentru circuitele de curent alternativ. 3.4.2. Metoda superpoziţiei Curentul stabilit într-o latură oarecare a unui circuit liniar, în care există mai multe surse, este egal cu suma algebrică a curenţilor produşi în acea latură prin acţiunea succesivă, în circuit, a fiecărei surse în parte, atunci când celelalte surse sunt pasivizate. Pasivizarea surselor reale constă în anularea tensiunilor electromotoare ale surselor de tensiune şi reţinerea numai a impedanţelor lor interioare, respectiv în anularea curenţilor generatoarelor de curent prin întreruperea laturilor acestora şi păstrarea admitanţelor lor interioare. Aplicaţia 3.4. Să se determine curenţii prin laturile pasive ale circuitului cu schema din figura 3.15. Date numerice:

   u e  48 sin   t   V , i s  12 2 sin  t A , R 2  R 3  2  , 4   40 60 5 L1  m H , L2  m H , C 3  m F , f  50 H z .







ue i3

i1 is

L1

i2

R3

R2

C3

L2

Fig. 3.15.

Rezolvare. Dacă circuitul ar conţine numai sursa ideală de tensiune U e (fig .3.16, a), atunci s-ar stabili următorii curenţi prin laturile circuitului:

104


I 1  8 A ; I 2  j 4 A ; I 3  4 2  j  A  '

Ue I 1 j L1

'

'

I 3

I 2

R3

R2

1 j C 3

I1 Is

I 3

I 2

R3

R2

j L1

j L2

1 j L2 j C 3

b

a Fig. 3.16

Dacă în circuit ar acţiona numai sursa ideală de curent I s (fig. 3.16, b), atunci, prin aceleaşi laturi ale circuitului ar exista curenţii

I 1  4 1  j 2  A ; I 2  4 1  j  A ; I 3  4 1  j 3  A  "

"

"

Prin suprapunerea rezultatelor, se obţin imaginile complexe ale curenţilor reali din laturile pasive ' " I 1  I 1  I 1  4 3  j 2  A ;

I2 I2 I2 4 A ; '

"

I 3  I 3  I 3  4 1 j 2  A . '

"

Valorile momentane ale acestor curenţi sunt: 2  i1  4 26 sin   t  arctg  A ; 3 

i 2  4 2 sin  t A ; i 3  4 10 sin   t  arctg 2  A  3.4.3. Metoda curenţilor de contur (ciclici sau de ochiuri) Metoda constă în introducerea în scop de calcul a curenţilor ciclici – curenţi fictivi care se închid, fiecare, prin câte un ochi (buclă) fundamental (independentă). Folosirea metodei este avantajoasă deoarece numărul curenţilor de contur necunoscuţi este mai mic decât cel al curenţilor din laturi, O  L . Curentul dintr-o latură oarecare este egal cu suma algebrică a curenţilor de contur din ochiurile fundamentale cărora le aparţine latura considerată. În această sumă curenţii de contur se introduc cu semnul plus dacă sensurile lor de referinţă coincid cu


105

sensul curentului din latură şi cu semnul minus în caz contrar. Notând cu indicele prim curenţii de contur, intensitatea curentului dintr-o latură oarecare k se exprimă sub forma:

Ik 

  I  ' q

k  1, 2, ... , L ,

k

(3.54)

suma corespunzând ochiurilor fundamentale ce includ latura k . În absenţa surselor de curent, determinarea curenţilor de contur necunoscuţi se face prin rezolvarea sistemului de ecuaţii scrise cu teorema a doua a lui Kirchhoff:

U eq  Z q q I q   Z p q I '

'

p

' p

,

(3.55)

'

unde: U e q este suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale surselor de tensiune din laturile ochiului q , calculată în raport cu sensul de referinţă al curentului din acest ochi; Z qq reprezintă impedanţa proprie a ochiului q şi este egală cu suma impedanţelor complexe ale laturilor acestui ochi; în absenţa cuplajelor magnetice între laturi, Z p q reprezintă impedanţa de transfer între ochiuri şi este egală cu suma algebrică a impedanţelor complexe ale laturilor comune ochiurilor p şi q , luate cu '

'

semnul plus sau minus după cum curenţii ciclici I p şi I q le parcurg în acelaşi sens sau în sens opus. În prezenţa generatoarelor de curent se recomandă alegerea ochiurilor fundamentale astfel încât fiecare latură cu o asemenea sursă să aparţină unui singur ochi fundamental; curentul de contur al acestuia este egal cu însuşi curentul sursei (cunoscut). În mod firesc, curenţii de contur cunoscuţi determină căderi de tensiune cunoscute, iar ecuaţiile de forma (3.55) se vor extinde doar asupra ochiurilor ai căror curenţi ciclici sunt necunoscuţi. Aplicaţia 3.5. Să se determine curenţii prin laturile circuitului a cărui schemă este reprezentată în figura 3.17, a. Date numerice: u e1  100

R1  10  ,  L 2   L 4  5  ,

2 sin  t V , i s  20

   2 sin   t   2  

A,

1  10  .  C3

Rezolvare. Existând o sursă ideală de curent, ochiurile fundamentale se aleg ca în figura 3.17, b, astfel că I '3  I s . Ecuaţiile pentru celelalte ochiuri sunt: ' '    Z 1  Z 3  I 1  Z 3 I 2  U e1   ' ' ' Z I  Z  Z  Z I  Z I  0  3 4  2 2 3  3 1  2

(3.56)

106

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 Cu valorile numerice considerate se obţine soluţia

I 1  j 10 '

A ; I 2  10

A 

'

Curenţii din laturi – necunoscutele reale – se exprimă în funcţie de curenţii de contur pe baza următoarelor relaţii:

i1

R1

I1

i4 i3

I3

L4

C3

I4

Z1

I 1

i2

I2

Z3

L2

u e1

Z4

I 2

iS

I 3

Z2

U e1

b

a Fig. 3.17

I 1  I 1  j 10  10 e j  '

2

A;

I 2   I  I  10  1  j 2   10 ' 2

' 3

I 3  I 1  I 2  10  1  j   10 '

'

5 e j    arctg 2  A ;

2 e j

4

A;

I 4  I 2  10 A  '

Valorile momentane ale acestor curenţi sunt:

i 1  m





2 I 1 e j  t  10

   2 sin   t   2  

i 2  10 10 sin   t    arc tg 2 

   i 3  20 sin   t   4   i 4  10

2 sin  t

A

A;

A;

A;

IS


107

3.4.4. Metoda potenţialelor nodurilor Metoda se bazează pe teorema I a lui Kirchhoff, aplicată în cele (N – 1) noduri fundamentale ale reţelei. Potenţialul nodului N se alege ca U e jk referinţă, de valoare zero (legat la I jk Z jk pământ). Se introduc, ca j k necunoscute auxiliare, potenţialele celorlalte ( N – 1) noduri. Aplicând legea conducţiei U j k V j V k electrice pe latura de circuit reprezentată în figura 3.18 şi Fig. 3.18 teorema întâi a lui Kirchhoff în nodul j , rezultă relaţia:

 I

 j

jk

 Y  j

 Y  j

jk

jk

V

jk

 Y

j

U

jk

Vk

 Y  j

jk

   Y j

U e jk 

jk

U e jk  0

(3.57, a)

sau, rearanjând termenii,

VjY  j

 j

jk

Vk  Y  j

jk

U e jk  0 

(3.57,b)

j  1, 2, ... , N  1 Semnificaţiile unor termeni din relaţiile (3.57) sunt următoarele: Y j k - admitanţa proprie a nodului j , egală cu suma aritmetică a

   j

Y  j

admitanţelor laturilor incidente în acest nod; j k V k - suma produselor dintre admitanţele laturilor incidente în nodul j

şi potenţialele celorlalte noduri vecine cu nodul j ;

Y   

jk

U e j k este suma algebrică a curenţilor de scurtcircuit ai laturilor

j

concurente în nodul j (pozitivi, dacă sensurile lor sunt dinspre nodul considerat spre celelalte noduri şi negativi în cazul contrar). În situaţia în care o latură conţine o sursă ideală de curent, atunci curentul de scurtcircuit al laturii este însuşi curentul generat de sursa de curent. Evident, curentul de scurtcircuit pentru o latură pasivă este nul. Dacă latura cuprinsă între nodurile j şi k (fig.3.18) ar conţine numai sursa ideală de tensiune, atunci admitanţa proprie a acestei laturi, precum şi curentul de scurtcircuit, ar avea valori nedeterminate. Aplicând legea conducţiei electrice buclei realizate din această latură şi linia tensiunii la bornele ei se obţine: V j  V k  U e jk  0 . (3.58)

108

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 Dacă V j  0 (nodul de referinţă), din relaţia (3.58) se obţine V k   U e j k ,

respectiv, dacă V k  0 , rezultă V j   U e j k . Curentul printr-o asemenea latură, ce conţine doar o sursă ideală de tensiune, se determină aplicând forma complexă a primei teoreme a lui Kirchhoff în unul dintre nodurile j sau k . Metoda analizată presupune rezolvarea sistemului de ecuaţii de tipul (3.57, b) în raport cu potenţialele nodurilor (necunoscutele auxiliare), ţinând seama de toate precizările făcute mai sus. Aplicând legea conducţiei electrice pe bucla formată dintr-o latură activă şi linia tensiunii U j k  V j  V k la bornele ei (fig. 3.18), rezultă curentul I j k . Aplicaţia 3.6. Circuitul cu schema din figura 3.19 funcţionează în regim sinusoidal. Folosind metoda potenţialelor nodurilor, să se calculeze curenţii din laturile circuitului.

IC

IR

R

a

b

I2

I1 1 j C1

IL R

IS

Ue

j L

1 j C 2

c Fig.3.19

Date numerice: U e  12 V

1  1  C1

;Is 3 j

;

1  2  C2

A ; R  2

;  L  1

;



Rezolvare. Schema are N = 3 noduri, dintre care nodul c este de referinţă (adică i se atribuie un potenţial complex nul, V c  0 ). Pentru nodul a se poate scrie imediat

V a   U e , iar din ecuaţia explicită corespunzătoare nodului b   1 1 1 V b    R R j 1 j L   C 2 

   V  1  I  0 , s a  R  

3.4 – Metode şi teoreme de calcul ale circuitelor electrice liniare se deduce potenţialul

109

V b  21 j 3  V 

Pentru curenţii din laturi se obţin expresiile următoare:

I C  j  C 1 V a  j 12

A ;

1  V a V b   5  j 3 A ; R 1 IL  V b  2 3  j  A ; j L

IR 

I 1  I R  I C  5 j9 I2 

1 1 R j  C2

A ;

V b  1  j 2

A

3.4.5. Teoremele generatoarelor echivalente Un circuit de curent alternativ este echivalent în raport cu două borne oarecare ale sale, a şi b , cu un generator de tensiune sau un generator de curent. Circuitul dipolar activ necuplat magnetic cu exteriorul (fig. 3.20, a) şi generatoarele echivalente lui (fig. 3.20, b şi c) au între bornele a şi b aceeaşi tensiune U a b şi debitează acelaşi curent I a b . a) Teorema generatorului echivalent de tensiune, numită şi teorema ThéveninHelmholtz, relevă că un circuit dipolar activ este echivalent cu un generator de tensiune, având tensiunea electromotoare egală cu tensiunea între bornele a şi b ale dipolului la funcţionarea în gol U e  U a b o şi impedanţa interioară egală cu impedanţa echivalentă a dipolului pasivizat Z i  Z a b o , în raport cu aceleaşi borne. Din schema reprezentată în figura 3.20, b se obţine expresia curentului prin receptorul de impedanţă Z :

I ab 

U abo Z abo  Z



(3.59)

b) Teorema generatorului echivalent de curent, numită şi teorema lui Norton, relevă că un circuit dipolar activ este echivalent cu un generator de curent, având curentul generat egal cu însuşi curentul de scurtcircuit al bornelor dipolului I s  I a b s c şi admitanţa interioară egală cu admitanţa echivalentă a dipolului pasivizat Y i  Y a b o , în raport cu aceleaşi borne. Din schema reprezentată în figura 3.20, c se obţine expresia tensiunii la bornele receptorului, de admitanţă Y  1 Z :

U ab 

I ab s c Y abo  Y



(3.60)

110


a

a

a

I ab

I ab Z abo

CIRCUIT DIPOLAR U ab

Z

ACTIV

U ab

I ab

Z

Y abo U ab

I absc

U abo

Y

b b a

b c

b Fig.3.20

Din relaţiile (3.59) şi (3.60) se deduce expresia:

Z abo 

U abo I ab s c

,

(3.61)

adică impedanţa complexă a dipolului pasivizat, în raport cu bornele a şi b , este egală cu raportul dintre tensiunea în gol şi curentul de scurtcircuit pentru dipolul activ, determinate faţă de aceleaşi borne. Din prezentarea celor două teoreme ale generatoarelor echivalente rezultă următoarea consecinţă: o latură activă, constituită dintr-o conexiune serie a unei surse ideale de tensiune U e cu

a

a

Z Y I s  U eY

Ue

a

1 Z b

b

un element de impedanţă Z , necuplat magnetic cu exteriorul, este echivalentă cu o conexiune paralel, formată dintr-o sursă ideală de curent I s  U e Y şi un

element de admitanţă Y 1 Z , necuplat magnetic cu exteriorul (fig. 3.21). Aceste relaţii permit transfigurarea generatorului real de tensiune în generator real de curent şi invers. Aplicaţia 3.7. Considerând circuitul reprezentat în figura 3.22, a în regim sinusoidal, să se determine parametrii generatorului echivalent de tensiune în raport cu bornele a şi b ale impedanţei Z şi curentul debitat. Fig.3.21

Date

numerice:

R  5  ,  L  2 ,

U e  60 V ,

1  10  . C

Z 1  21 j   ,

Z  2 1 j 2   ,




111

Rezolvare. Aplicând teorema potenţialelor nodurilor schemei din figura 3.22, b V b  0 , se obţine tensiunea dintre bornele a şi b când circuitul funcţionează în



gol:

U a b o  V a  30  1  j  V  Circuitul pasivizat are următoarea impedanţă complexă echivalentă faţă de bornele a

şi b :

Z a b o  (3  j )   Generatorul de tensiune echivalent are parametrii: U e  U ab 0 ; Z i  Z ab 0 . Cu relaţia (3.59) se calculează curentul: I a b  6 A 

Z1

21  j 

a

a

I ab

Ue

R

j L

1

Z

j C

j L

j2 

 j10 

60 V j2 

b

a

5

U ab0

b

b

Fig.3.22

Aplicaţia 3.8. Considerând circuitul reprezentat în figura 3.23, a în regim sinusoidal, să se determine parametrii generatorului echivalent de curent în raport cu bornele a şi b . Date

numerice:

U e  24 V ;

R 1  ;

L2 ;

1 1  ;  C'

1 3 . C Rezolvare. Se scurtcircuitează bornele a şi b , iar din schema prezentată în figura 3.23, b se determină curentul de scurtcircuit: I ab s c  4  2  j  A 

1 S. 3 Generatorul echivalent de curent are parametrii: I s  I ab s c ; Y i  Y ab 0 .

Admitanţa în gol este: Y ab 0 

Cu relaţia (3.60) se calculează tensiunea U ab  6(3  j ) V

112

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 j

R

1  C

Ue

j L

2R

Ue

 j1

2R

2

a

a

1

1

j 2 I

2

absc

j C

b

b

a)

b) Fig.3.23

3.5. Circuite electrice cuplate magnetic 3.5.1. Bobine cuplate magnetic Bobinele cuplate magnetic pot fi conectate în serie, în paralel sau pot aparţine unor circuite distincte. Expresia tensiunii la bornele unei astfel de bobine este diferită de cea stabilită în absenţa cuplajului magnetic. În scopul determinării ei, se consideră

Fig.3.24

3.5 – Circuite electrice cuplate magnetic

113

cazul a două bobine cuplate magnetic, fără legătură galvanică între ele, având N 1 , respectiv N 2 spire, parcurse de curenţii i 1 , respectiv i 2 (fig. 3.24). Presupunând că numai bobina 1 este parcursă de curent

i

1

 0  , o parte din fluxul magnetic

fascicular propriu  11 străbate şi spirele bobinei 2 (fluxul util  21 ), restul închizându-se în jurul propriei înfăşurări (fluxul de dispersie  d 1 ). În mod analog, considerând bobina 2 alimentată de la o sursă de tensiune, curentul i 2  0 produce fluxul fascicular propriu  22 , din care o parte constituie fluxul util  12 ce străbate spirele bobinei 1. Dacă se consideră ambele bobine parcurse de curenţi, atunci fluxurile  12 şi  11 au acelaşi sens (fig. 3.24, a) şi cuplajul magnetic este pozitiv (adiţional). Schimbarea sensului curentului i 2 (fig. 3.24, b) sau a sensului de înfăşurare a bobinei 2 (fig. 3.24, c) determină un flux  12 în sens opus lui  11 şi, în consecinţă, un cuplaj magnetic negativ (în opoziţie). Fluxul magnetic total (înlănţuirea magnetică) al primei bobine se scrie sub forma

 1  N 1   11   12   L11 i1  L12 i 2 ,

(3.62)

în care inductivitatea proprie L 11 este pozitivă, iar inductivitatea reciprocă (mutuală)

L 12 este pozitivă sau negativă, după cum cuplajul este adiţional sau în opoziţie.

i1 i2

L1



i1 

L1

L12

L12





i2 L2

L2

a

b

Fig.3.25

În schemele electrice, pentru precizarea semnului inductivităţii reciproce, se marchează câte una din bornele bobinelor cuplate magnetic. Dacă curenţii au aceeaşi poziţie faţă de bornele marcate (intră sau ies), inductivitatea reciprocă este pozitivă (fig. 3.25, a), iar în caz contrar este negativă (fig. 3.25, b). Ţinând seama de expresia (3.62), tensiunea la bornele bobinei 1 devine:

u1 

d 1 dt

 L11

di1 dt

 L12

di 2 dt



(3.63)

114

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 3.5.2. Ecuaţiile circuitelor cuplate magnetic Datorită cuplajelor magnetice, ecuaţiile corespunzătoare teoremei a doua a lui Kirchhoff conţin termeni suplimentari. Pentru stabilirea acestora, în figura 3.26 este reprezentată o latură activă de circuit k , cuplată magnetic cu alte

ip

ik

Rk

uek

Lk

Ck

Lkp



Lp



uk Fig. 3.26

laturi. În valori instantanee, ecuaţia pentru această latură este: l di k di p 1   L kp   i k dt  L k p 1 Ck dt dt

u k  u e k  Rk i k 



pk

(3.64)



În regim sinusoidal, folosind reprezentarea în complex, ecuaţia (3.64) devine:

U k  U ek  R k I k 

1 I k  j  Lk I k   j  Lk p I p j Ck

p

,

(3.65)

respectiv

U k  U ek  Z k I k   Z k p I p

  

,

(3.66)

  este impedanţa complexă a laturii k , iar  reprezintă impedanţa complexă mutuală dintre laturile k şi p .

în care Z k  R k  j   L k 

Z k p  j  Lk p

p

1  Ck

Teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate laturile dintr-o buclă  devine:

  U ek    Z k I k   Z k p I p     

p

  

(3.67)

În relaţia (3.67) t.e.m. ale surselor, respectiv căderile de tensiune pe impedanţele proprii intervin cu semnul plus sau minus după cum sensurile lor sunt aceleaşi, sau sunt opuse, în raport cu sensul de referinţă ales pentru ochiul considerat. Căderile de tensiune Z k p I p corespunzătoare impedanţelor mutuale sunt pozitive dacă sensul de referinţă al ochiului ce conţine latura k şi sensul curentului prin această latură coincid, iar cuplajul este adiţional sau dacă sensul de referinţă e opus curentului prin latura k, iar cuplajul este în opoziţie; aceste căderi sunt negative în cazurile opuse celor de mai sus.

3.5 – Circuite electrice cuplate magnetic

115

Aplicaţia 3.9. Pentru circuitul cu schema din figura 3.27, să se scrie sistemul de ecuaţii corespunzător teoremelor lui Kirchhoff şi să se determine valorile momentane ale curenţilor.

 

R1  2  ;

 

 V ; u e 3  4 2 sin   t    V ; 4  30 10 10 4 F ; L2  mH ; L 3  L 23  mH ; C 1 

Date numerice: u e 1  16 sin   t 

R3  1 ;





f  50 Hz .



Rezolvare. Aplicând teoremele lui Kirchhoff rezultă: 0   I  I  I 1 2 3    1   I 1  j  L 2 I 2  j  L 23 I 3 U e 1   R1  j  C 1     U e 3   j  L 23  j  L 2  I 2   R 3  j  L 3  j  L 23  I 3 În ecuaţiile (3.68) se j L3 R1 înlocuiesc imaginile complexe ale t.e.m: U e1  8  1  j  V, 

U e 3   4 V,

 L 2  3  ,  L3   L 23  1  , 1  1  şi rezistenţele  C1 R1  2 R 3  2  . Soluţiile

4

j L2

U e1

sistemului de ecuaţii sunt: I 1  2 1  j   2 2 e j 4 A ;

I 2  2 1  j   2 2 e  j I 3  4 j  4 e j 2 A ,

I2

I1

reactanţele

 j

A;

(3.68)

I3

j L23

U e3



R3

1  C1 Fig. 3.27

din care se obţin valorile instantanee ale curenţilor:





   2 I 1 e j  t  4 sin   t   A ; 4         i 2  4 sin   t   A ; i 3  4 2 sin   t   4  2   

i 1  m

A 

Aplicaţia 3.10. Se consideră circuitul reprezentat în figura 3.28, care se află în regim sinusoidal. Se cer curenţii din laturile circuitului.

116

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 Date

numerice:

U e  30 V ,

I s  j6

R2  2  ,

R1  3  ,

A,

 L1   L 2  2  ,  j

1  C1

R2 I

I1

jL1 

Ue

 M  1 ,

jM

I1

R1

Rezolvare. Circuitul figura 3.28 are O  L  N  1  2 ochiuri fundamentale. Întrucât unul dintre curenţii de contur este egal cu însuşi curentul generat de sursa de curent (cunoscut), este Is din



jL2

IS

1  5 .  C1

IS

suficientă o singură ecuaţie, scrisă pentru ochiul fundamental al cărui curent

Fig. 3.28

ciclic, egal cu I 1 , este necunoscut:

  R1  j  L1  j 1   C1  Cu

valorile

numerice

din

  I 1   j  L1  j  M  I s  U e   

enunţ,

rezultă

I 1  6 1  j  A,

respectiv

I  I 1  I s  6 1 j 2  A . 3.5.3. Decuplarea bobinelor din laturile concurente într-un nod al reţelei Pentru circuitele electrice în care două sau mai multe bobine cuplate magnetic aparţin laturilor concurente într-un nod, se pot stabili scheme echivalente fără cuplaje magnetice între aceste bobine.

L1  L12

L1

L12



L12 U1



I1

a

L2

I2

U2 U1

Fig. 3.29

I1

I2 L2  L12 b

U2

3.6 – Puterile în circuitele monofazate

117

Se consideră situaţia, frecvent întâlnită în aplicaţii, în care două bobine sunt cuplate magnetic (fig.3.29, a). Forma complexă a ecuaţiilor, scrise cu teorema a doua a lui Kirchhoff, este

 U 1  j   L1  L 2  2 L12  I 1  j   L 2  L12  I 2 ;   U 2  j   L 2  L12  I 1  j  L 2 I 2 

(3.69)

Schema echivalentă reprezentată în figura 3.29, b, cu trei bobine necuplate magnetic conectate în stea, este construită pe baza aceluiaşi sistem de ecuaţii (3.69). Pentru scrierea directă a inductivităţilor bobinelor necuplate magnetic se formulează următoarea regulă: în fiecare din laturile ce conţin bobinele cuplate magnetic, având inductivităţile proprii L k şi L p , se introduce, suplimentar, inductivitatea mutuală  L k p , iar în a treia latură (neutră) se adaugă inductivitatea

 L k p ; primul semn corespunde cuplajului pozitiv realizat de curentul de contur al buclei ce conţine bobinele, iar cel de-al doilea semn este asociat cuplajului negativ. Dacă în laturile concurente într-un nod sunt mai multe bobine cuplate magnetic, atunci, fiecare cuplaj se transfigurează separat în modul stabilit anterior şi se obţine o schemă echivalentă cu bobine necuplate magnetic.

3.6. Puterile în circuitele monofazate 3.6.1. Puterea electromagnetică instantanee Produsul dintre valorile momentane ale tensiunii la borne şi curentului prin bornele unui circuit dipolar (fig. 3.30, a) reprezintă puterea electromagnetică instantanee sau momentană: (3.70) p  ub i  Considerând regimul sinusoidal, cu tensiunea u b 

i

2 U b sin  t şi curentul

2 I si n   t    , asociate după regula de la receptoare, puterea momentană

primită pe la borne este:

p  u b i  U b I co s   U b I co s  2  t    

(3.71)

Relaţia (3.71) şi reprezentarea grafică din figura 3.30, b evidenţiază faptul că puterea momentană variază periodic cu pulsaţia 2  în jurul componentei constante

U b I co s  . Existenţa intervalelor de timp în care puterea este negativă se datorează

prezenţei în circuit a bobinelor şi/sau condensatoarelor    0  . Energia acumulată în câmpul magnetic şi câmpul electric al acestor elemente de circuit este cedată parţial sursei. Puterea medie primită de circuit pe la borne este, însă, pozitivă.

118


p

ub

i ub

P  U b I cos 

i

t



a)

b) Fig. 3.30

3.6.2. Puterea activă Valoarea medie pe o perioadă a puterii electromagnetice instantanee se numeşte putere activă:

P 

1 T

T



p dt 

(3.72)

0

Ţinând seama de relaţia (3.72), în regim sinusoidal se obţine expresia

P  U b I co s  ,

(3.73)

adică tocmai componenta constantă a puterii instantanee. Pe baza relaţiilor (3.22), (3.26) şi din triunghiurile impedanţei, respectiv admitanţei (fig. 3.7), pentru un circuit dipolar pasiv se obţin şi alte forme de exprimare a puterii active primite pe la borne:

P  Z I 2 cos   R I 2  Y U b2 cos   GU b2 

(3.74)

Relaţia (3.74) evidenţiază faptul că puterea activă este consumată exclusiv în rezistoarele circuitului. Unitatea de măsură a puterii active se numeşte watt  W  ; se utilizează şi multiplii:

kilowatt

1GW  10

9



1 k W  10

3



W , megawatt

1 M W  10

6



W , gigawatt

W .

Integrala în funcţie de timp a puterii active este energia activă t

W   P dt 

(3.75)

0

Pentru aceasta se foloseşte unitatea de măsură numită wattsecundă





Joule [J]şi multiplul kilowattoră 1 kW h  3 ,6  10 W s . 6

 W s  sau

3.6 – Puterile în circuitele monofazate

119

3.6.3. Puterea reactivă Puterea reactivă în regim sinusoidal se introduce pe baza relaţiei de definiţie (3.76) Q  U b I si n 

şi se măsoară în volt amper reactiv  v a r . Pentru interpretarea puterii reactive, care nu are o semnificaţie fizică asemănătoare ca şi aceea a puterii active, se face o altă descompunere a puterii momentane (rel.3.73):

p  U b I cos   1  cos 2t   U b I si n  si n 2 t   P  1  cos 2  t   Q si n 2 t 

(3.77) Primul termen semnifică o putere de pulsaţie şi are valoarea medie egală cu puterea activă. Cel de-al doilea termen, cu variaţie sinusoidală şi valoare medie nulă pe o perioadă, se numeşte putere oscilantă. Se remarcă faptul că puterea reactivă reprezintă tocmai amplitudinea puterii care oscilează între sursă şi circuitul dipolar. Corespunzător relaţiilor (3.22), (3.26) şi figurii 3.7, pentru un circuit dipolar pasiv se obţin şi alte forme de exprimare a puterii reactive primite pe la borne:

Q  Z I 2 si n   X I 2  Y U b2 si n   BU b2 

(3.78)

Cu sensurile de referinţă ale curentului şi tensiunii la borne asociate după regula de la receptoare, puterea reactivă primită pe la borne de circuitul dipolar pasiv (fig. 3.30, a) este pozitivă când   0, X  0, B  0 (receptor inductiv), respectiv negativă când   0, X  0, B  0 (receptor capacitiv). Integrala în funcţie de timp a puterii reactive este energia reactivă t

W r   Q dt 

(3.79)

0

Pentru această mărime se foloseşte unitatea de măsură volt amper reactiv secundă  v a r s  şi multiplul kilovolt amper reactiv oră 1 k va r h  3,6 10 6 va r s .





3.6.4. Puterea aparentă Puterea aparentă se defineşte ca produsul valorilor efective ale tensiunii la borne şi curentului prin bornele circuitului dipolar

S  Ub I  Unitatea de măsură se numeşte volt amper

(3.80)

V A 

şi are multiplii:

kVA , MVA , GVA . Ţinând seama de relaţiile U b  Z I şi I  Y U b , puterea aparentă primită pe la bornele circuitului se exprimă şi în formele:

S  Z I 2  Y U b2 

(3.81)

120

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 În regim sinusoidal, între puterile activă, reactivă şi aparentă există relaţia

S 2  P2  Q2 ,

(3.82)

căreia îi corespunde triunghiul puterilor (fig. 3.31). Deşi nu are o semnificaţie energetică directă, puterea aparentă este o mărime de calcul importantă, ce caracterizează limitele de funcţionare, adică valorile maxime admisibile ale parametrilor maşinilor şi aparatelor electrice. 3.6.5. Puterea aparentă complexă

S

Q



P Fig. 3.31

O mărime avantajoasă pentru calculul puterilor activă, reactivă şi aparentă este puterea aparentă complexă, definită ca produsul dintre tensiunea complexă şi curentul complex conjugat 

S  UbI 

(3.83)

Ţinând seama de expresiile imaginilor complexe ale tensiunii şi curentului (rel.3.30), rezultă (3.84) S  U b I e j   S e j   S  c o s   j si n    P  j Q  Se observă că modulul puterii complexe este egal cu puterea aparentă şi argumentul ei este defazajul dintre tensiune şi curent. Puterea activă constituie partea reală, iar puterea reactivă este partea imaginară a puterii aparente complexe:

P  e  S  ,

Q  m  S  

(3.85)

Pentru un circuit dipolar pasiv, puterea aparentă complexă primită pe la borne poate fi scrisă şi în următoarele forme echivalente: 



S  U b I Z I I  Z I 2  RI 2  j X I 2 ; 







S  U b I  Y U b U b  Y U b2  GU b2  jBU b2 

(3.86)

Atunci când calculul conjugatei tensiunii este facil, se foloseşte puterea aparentă complexă conjugată, scrisă în forma: 



S  U b I  U b I e  j   Se  j  P  j Q , în care

 ,

P  e S



(3.87)

 

Q   m S



Pentru un circuit dipolar pasiv, puterea aparentă complexă conjugată poate fi exprimată şi astfel:

3.7 – Teoreme referitoare la puteri 













S  U b I  Z I I  Z I 2  RI 2  jX I 2 ; 

S  U b I  Y U b U b  Y U b2  GU b2  j BU b2 

jQ



P



 jQ

S

(3.88)

Puterea aparentă complexă este o mărime de calcul complexă, ale cărei proiecţii pe axele reală şi imaginară determină puterile activă şi reactivă (fig. 3.32). Pentru un circuit dipolar pasiv, la care asocierea sensurilor de referinţă ale tensiunii la borne şi curentului prin borne se face conform regulii de la receptoare, puterea aparentă complexă şi puterea aparentă complexă conjugată se reprezintă în semiplanul din dreapta al planului complex, deoarece puterea activă este strict pozitivă.

S j

121



Fig. 3.32

3.7. Teoreme referitoare la puteri 3.7.1. Teoremele conservării puterilor aparente complexe, active şi reactive Se consideră o latură oarecare k ce aparţine unui circuit electric izolat şi necuplat magnetic cu exteriorul (fig. 3.33). Prima teoremă a lui Kirchhoff este valabilă şi pentru conjugatele complexe ale curenţilor, astfel că: 

 Ik  0

(3.89)

k 

Se înmulţeşte această ecuaţie cu potenţialul complex al nodului  şi se însumează expresiile rezultate pentru toate cele n noduri ale reţelei. Se obţine: n



 V  Ik  0

 1

U ek



Zk

(3.90)

k 



În relaţia (3.90) curentul I k

Ik



intervine de două ori: cu semnul " " pentru nodul din care iese şi cu semnul " " pentru nodul în care intră. Se reordonează suma dublă obţinută după indicii k  1, 2,  , l ai curenţilor din laturi şi se obţine

U k  V  V  Fig. 3.33

  V  V   I k   U k I k  0 , l

k 1



l

k 1



(3.91)

122


respectiv l

 Sk  0

k 1

(3.92)

Exprimând puterea aparentă complexă pentru fiecare latură S k  Pk  j Q k şi separând în relaţia (3.92) părţile reale şi imaginare se obţine l

 Pk  0 ;

k 1

l

 Qk  0 

k 1

(3.93)

Relaţiile (3.92) şi (3.93) reprezintă o formă de prezentare a teoremelor de conservare a puterilor complexe, active şi reactive: suma puterilor aparente complexe ale tuturor laturilor circuitului izolat este egală cu zero; suma puterilor active, respectiv a puterilor reactive este nulă. Teorema conservării puterii aparente complexe se poate scrie şi sub altă formă. Pentru latura activă din figura 3.33 se exprimă U k  U e k  Z k I k şi relaţia (3.91) devine l



l

2  U ek I k   Z k I k ,

k 1

k 1

(3.94)

adică, suma puterilor complexe generate de sursele circuitului este egală cu suma puterilor complexe primite de impedanţele laturilor. Egalând părţile reale şi imaginare din relaţia (8.94) se obţin alte forme pentru teoremele de conservare a puterilor active şi reactive din circuit: l  l   e   U e k I k    R k I k2 ,  k 1  k 1

(3.95)

l  l    m   U e k I k    X k I k2   k 1  k 1

(3.96)

Aplicaţia 3.11. Să se determine curenţii prin laturile circuitului cu schema din figura 3.34 şi să verifice teoremele conservării puterilor active şi reactive.    Date numerice: u e 1  16 sin   t   V , u e 2  4 2 sin   t   V , R 1 , 4   10 10 m F , f  50 H z . L  M  mH , C  L i1 C i2   

i3 M

2R

3L ue1

R



ue 2 Fig. 3.34

Rezolvare. Bobinele cuplate magnetic se decuplează (v.par.3.5.3). Folosind una dintre metodele de calcul, se obţin imaginile complexe ale curenţilor din laturi:

3.7 – Teoreme referitoare la puteri

123

I 1  2 1  j   2 2 e j 4 ; I 2  j 4  4 e j 2 ; I 3  2 1  j   2 2 e  j 4  Puterea aparentă complexă dezvoltată de surse este   S  U e1 I 1  U e 2 I 2  32  j 16  Puterile activă şi reactivă primite de circuit sunt:



P  2 RI 12  R I 22  2 2 2



2

 4 2  32 W ,

1 2 I 1   M I 12    3L  M  I 32   8  8  16  16 var  C Teoremele conservării puterilor sunt verificate, întrucât au loc simultan relaţiile P  e S   32W , Q  m S   16 var  Q 

3.7.2. Teorema transferului maxim de putere activă Se consideră un generator de tensiune, cu t.e.m. complexă U e şi impedanţa interioară Z i  Ri  j X i , care alimentează un receptor de impedanţă arbitrară

Z  R  j X (fig. 3.35). Se urmăreşte stabilirea condiţiilor în care acest generator transferă pe la borne o putere activă maximă consumatorului pasiv. Aplicând forma complexă a teoremei a doua a lui Kirchhoff, se determină curentul

I 

Ue ZZi



Ue

 RR   j X  X  i



(3.97)

i

Puterea activă cedată pe la borne,

P  R I 2  U e2

R

 R  Ri    X  X i  2

I

Ue

U

Zi

Z

2

,

este o funcţie de două variabile: P R ,X . Condiţiile în care puterea activă transferată receptorului este maximă pot fi obţinute prin anularea derivatelor acesteia în raport cu X şi R . Presupunând, în primul rând, R constant, din  P  X  0 rezultă:

X  Xi  0 Fig. 3.35

(3.98)

(3.99)

124


şi expresia puterii active devine

R

P  U e2

 R  Ri



2



(3.100)

Considerând, în al doilea rând, R variabil în relaţia (3.100), din  P  R  0 rezultă:

R  Ri  0

(3.101)

Deci, puterea activă maximă transmisă pe la borne este:

Pma x 

U e2 4 Ri



(3.102)

Condiţiile (3.99) şi (3.101) pot fi reunite sub forma: 

Z  Zi ,

(3.103)

adică, impedanţa complexă a receptorului este egală cu conjugata impedanţei complexe interioare a generatorului. Adaptarea receptorului din punctul de vedere al puterii active maxime (rel.3.103) are aplicaţii în domeniul circuitelor electronice. Aplicaţia 3.12. Pentru circuitul a cărui schemă electrică este reprezentată în figura 3.36, să se determine: a) impedanţa receptorului conectat între bornele a şi b astfel încât puterea activă care i se M transferă să fie maximă; b) puterea activă maximă C C i1   a primită de receptor.

L

L

i3 

R

i2

M

L

Z

ue

Date numerice: u e  100 2 sin  t V ,

R  3,  L  2  ,  M  0,5  , 1  4 . C

b

Fig. 3.36

Rezolvare. a) Partea circuitului situată la stânga bornelor a şi b, în care bobinele cuplate magnetic se înlocuiesc cu bobine necuplate se echivalează cu un generator de tensiune, ai cărui parametri sunt:

U ab 0  U e

j   L  2M



 1  R  j  2 L   C  

 100 j V ;

3.8 – Factorul de putere

125

  1     R  j    L  2M    j  L  2M    C    1     Z ab0  j   L    3 j    C   1   R  j  2 L   C   Pe baza teoremei transferului maxim de putere activă (rel.3.103), impedanţa receptorului este   Z  Z i  Z ab 0   3  j   

b) Puterea activă maximă primită de receptor este: U ab2 0 100 2 2500 Pm a x    W 4 Ri 43 3

3.8. Factorul de putere Raportul dintre puterea activă şi puterea activă maximă, se numeşte factor de putere. Deoarece în regim sinusoidal puterea activă maximă este egală cu puterea aparentă, rezultă:

P P   Pma x S

K 

P P2  Q2



U I cos   cos   UI

(3.104)

Deci, factorul de putere este egal cu cosinusul unghiului de defazaj între U şi I. Pentru ca o instalaţie cu puterea aparentă dată să fie folosită eficient este necesar ca factorul de putere să fie cât mai aproape de unitate  co s   P S  . La putere activă şi tensiune la borne constante, creşterea factorului de putere determină micşorarea curentului I  P  U co s   şi implicit a pierderilor R I 2 . Aceasta rezultă şi din diagrama fazorială a tensiunii şi curentului pentru trei valori ale defazajului, respectiv ale factorului de putere (fig.3.37). Sunt evidente relaţiile:



 



P U I cos  U I' cos ' U I" cos " 

 

U I  I I Fig. 3.37

Factorul de putere este cu atât mai mare cu cât puterea reactivă este mai mică (rel. 3.104). Din cele prezentate rezultă necesitatea îmbunătăţirii (ameliorării) factorului de putere. Principalele măsuri luate în acest sens, prin reducerea (compensarea) puterii reactive, sunt: - limitarea funcţionării în gol a receptoarelor de putere reactivă (motoare de inducţie, transformatoare de sudare etc.); - folosirea condensatoarelor statice; - utilizarea compensatoarelor sincrone.

126


Aplicaţia 3.13. Se consideră un receptor inductiv de putere activă P , alimentat cu tensiunea la borne U . Să se stabilească expresia capacităţii condensatorului (presupus ideal) care, conectat în paralel cu receptorul, măreşte factorul de putere de la co s  la co s ' . Rezolvare. Prin introducerea condensatorului în circuit (fig .3.38, a), curentul prin consumator şi defazajul său faţă de tensiunea de la borne nu se schimbă, puterea activă consumată rămâne aceeaşi P  U I cos   U I ' cos  ' , dar se micşorează valoarea efectivă a curentului pe linia de transport I '  I şi defazajul dintre acesta şi tensiunea la borne  '   (fig. 3.38, b).

I

Ic C

I 

U



I

U

Ic

I

a

b Fig.3.38

Din schema electrică şi din diagrama fazorială rezultă relaţiile:

Ic 

U  U C , Xc

C 

I sin   I ' sin  ' P  tg   tg  '    U U 2

astfel că

I c  I sin   I ' sin  '

(3.105)

Dacă  '  0 , curentul pe linie şi pierderile prin efect Joule-Lenz devin minime. În această situaţie, din relaţia (3.105) se obţine

C 

I sin  P tg    U U 2

(3.106)

3.9. Circuite electrice în regim de rezonanţă Un circuit electric dipolar care conţine elemente reactive (bobine şi condensatoare) şi funcţionează în regim sinusoidal este la rezonanţă, dacă puterea reactivă primită pe la borne este nulă,

Q 0

(3.107)

3.9 – Circuite electrice în regim de rezonanţă

127

La rezonanţă, tensiunea aplicată şi curentul de alimentare sunt în fază întrucât   0 (v.rel. 3.76). Luând în considerare expresiile puterii reactive (rel. 3.78), condiţia de rezonanţă (rel. 8.107) se exprimă prin relaţiile:

Xe  0

(3.108),

B e  0,

respectiv

(3.109)

adică reactanţa echivalentă şi susceptanţa echivalentă faţă de bornele de alimentare ale circuitului sunt nule. Rezonanţa se poate realiza modificând cel puţin una dintre mărimile  , L sau C , respectiv prin introducerea în circuit a unor elemente reactive complementare (bobine, în cazul circuitelor capacitive şi condensatoare, în situaţia circuitelor inductive). Pentru ilustrarea fenomenului, se vor considera circuite dipolare simple, formate din elemente pasive ideale conectate în serie, respectiv în paralel, precum şi circuite cuplate magnetic. 3.9.1. Rezonanţa de tensiune Rezonanţa circuitului RLC serie (fig. 3.39, a) se manifestă atunci când reactanţa echivalentă a circuitului este nulă

Xe  L 

I

L

R

1  0 C

(3.110)

C

I0

j0 L I 0

j0 C

U U

R I0

I0

b

a Fig. 3.39

Din relaţia (3.110) rezultă formula lui Thomson pentru pulsaţia, respectiv frecvenţa de rezonanţă:

0 

1 , LC

f0 

1 2

LC



(3.111)

Valoarea comună a reactanţei inductive şi a reactanţei capacitive se numeşte impedanţă caracteristică

Z c  0 L 

1  0 C

L  C

(3.112)

128

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 La rezonanţă impedanţa echivalentă a circuitului serie este minimă Z e  R , iar

curentul din circuit I 0  U

R este maxim şi în fază cu tensiunea la borne.

Rezonanţa circuitului serie se numeşte şi rezonanţă de tensiune, datorită compensării reciproce a tensiunilor la bornele elementelor reactive ideale de circuit.

U L0  j  0 L I 0  j Z c I 0 , 1 U C0   j I 0   j Zc I 0 , 0 C U L0  U C 0  Z c I 0  U

Zc R

(3.113)



Dacă Z c  R , tensiunile menţionate anterior depăşesc valoarea tensiunii la bornele circuitului, putând fi periculoase pentru izolaţia bobinei, respectiv pentru dielectricul condensatorului. Pe de altă parte, un astfel de circuit poate fi utilizat pentru amplificarea tensiunilor mici, având frecvenţe egale cu cea de rezonanţă. Din aceste motive, raportul dintre tensiunea la bornele unui element reactiv şi tensiunea de alimentare defineşte factorul de supratensiune sau factorul de calitate al circuitului serie:

Q0 

U L0 U



U C0 U



0 L R



1 1  0 C R R

L  C

(3.114)

Mărimea inversă se numeşte factor de amortizare

a 

1  R Q0

C  L

(3.115)

Reprezentarea grafică a valorii relative a curentului, I

I 0 , în funcţie de

valoarea relativă a pulsaţiei,   0 , numită curbă de rezonanţă, este influenţată de mărimea factorului de calitate. Într-adevăr,

I  I0

unde  

U  1  R2    L   C  

2



R  U

1  1 1  Q 02       

2

,

(3.116)

 f  . 0 f0

În figura 3.40 sunt reprezentate curbe de rezonanţă, la U  ct. , pentru diferite valori ale factorului de calitate. Proprietatea circuitului de a realiza curenţi care variază pronunţat cu frecvenţa tensiunii aplicate se numeşte selectivitate.


129

I / I0

I / I0 1

1

Q0  0 ,5

1/ 2

2

5 0



1

1 1  2

0

Fig.3.40



Fig.3.41

Banda de trecere reprezintă intervalul de frecvenţe în care

I 1 (fig. 3.41).  Io 2

Limitele acestui interval se determină din relaţia

I  Io

1 1 1  Q (  )2 



2 0

1 2

(3.117)

Rezultă ecuaţia:



1



 

1   a, Q0

(3.118)

cu soluţiile reale şi pozitive 2

2

a a a a 1      1,  2     1  2 2 2 2

(3.119)

Banda de trecere a circuitului serie,

b  f 2  f 1    2  1  f 0  a f 0 

f0 Q0

,

(3.120)

este cu atât mai îngustă, deci circuitul este cu atât mai selectiv, cu cât factorul de calitate este mai mare şi frecvenţa de rezonanţă mai mică. 3.9.2. Rezonanţa de curent În figura 3.42, a este reprezentată schema unui circuit RLC paralel, a cărui admitanţă echivalentă în raport cu bornele de alimentare se scrie sub forma

130


Ye 

 1  1 1 1   j C   j  C   R j L R  L 

(3.121)

În conformitate cu relaţia (3.109), condiţia de rezonanţă este

1

Be 

0 L

 0 C  0 ,

(3.122)

de unde rezultă pulsaţia, respectiv frecvenţa de rezonanţă (formula lui Thomson):

1 , LC

0 

1

f0 

2

LC

I

U

R

(3.123)

I R0 I0

IC

IL

IR



I C0

C

L

U

I L0 a

b Fig. 3.42

Admitanţa echivalentă a circuitului Y e  G e 

U 1 şi curentul total I 0  au R R

valori minime, iar curenţii prin bobină şi condensator sunt în opoziţie de fază şi egali în modul (fig. 3.42, b)

I L0 

U j0 L

 j

I C 0  j  0 CU  j

R

0 L

I0 ,

 j

R

U

0 L

0 L

(3.124)

I0

Datorită compensării reciproce a curentului prin elementele reactive ideale de circuit, rezonanţa circuitului paralel se numeşte şi rezonanţă de curent. Se defineşte factorul de calitate al circuitului paralel la rezonanţă sau factorul de supracurent, raportul dintre curentul printr-un element reactiv şi curentul total.

Q'0 

I L0 I0



I C0 I0



R

0 L

 0 C R  R

C  L

(3.125)


131

Caracterizarea proprietăţii de selectivitate a circuitului derivaţie considerat se face pe baza curbei de rezonanţă I I 0  f    :

I  I0

2

 1  1 Q    ,   '2 0

unde  

I / I0 10

(3.126)

 f  . 0 f0

În figura 3.43 sunt reprezentate curbe de rezonanţă pentru diferite valori ale factorului de calitate Q 0' .

1 Q0  0 ,5

Trecerea prin minim a curentului relativ I I 0 , la rezonanţă, este cu

1

atât mai netă (selectivitate mărită), cu cât factorul de calitate Q 0' este mai



1 Fig.3.43

ridicat.

3.9.3. Rezonanţa la circuitele cuplate magnetic Se consideră circuitele cuplate magnetic din figura 3.44. În regim sinusoidal, exprimând mărimile în complex, se obţin ecuaţiile:

I1

C1

R1

R2

M 

U

I2



L1

L2

C2

Fig.3.44

U  Z1 I1 Z M I 2 ,

0  Z M I1 Z 2 I 2 ,

(3.127)

în care

 1 Z 1  R1  j   L1    C1 

  , 

 1 Z 2  R2  j   L2    C2 

  , 

Z M  j M 

132

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 Se rezolvă sistemul de ecuaţii (3.127) în raport cu I 1 şi I 2 şi se obţin expresiile

acestor mărimi:

I1 I2

Z2 Z1Z 2  Z

2 M

Z M Z1Z 2  Z M 2

U  U 

U 2 Z1 Z M

Z2

U Z M

Z1

Z2 ZM 2

 

Z1

U , Z e1 U e2 Z e2

(3.128)

,

în care s-au folosit notaţiile

Z e1  Z 1  Z M 2

Z 2 , Z e2  Z 2  Z M 2

Z 1 , U e2   U Z M

Z1 

Condiţia de rezonanţă, faţă de bornele de alimentare, presupune anularea reactanţei echivalente X e1 (v.rel.3.110):

 2 M 2   L2  1  C 2  1  L1   0 2  C1 R 22    L 2  1  C 2  Cu notaţiile:  0 1  1 circuit,  0 2  1

(3.129)

L1 C1 - pulsaţia de rezonanţă proprie a primului

L 2 C 2 - pulsaţia de rezonanţă proprie a celui de-al doilea circuit,

Q0 1   0 1 L1 R1 - factorul de calitate al primului circuit, Q0 2   0 2 L 2 factorul de calitate al circuitului al doilea, k  M

R2 -

L1 L 2 - factorul de cuplaj

magnetic, ecuaţia (3.129) devine:

   01    02   2        0   0  0 0   2 1 2  1   

k 2 Q 022   02   1  Q 022    0   2  

2

 0

(3.130)

Dacă cel de-al doilea circuit este fără pierderi, adică R 2  0  Q 0 2    , ecuaţia (3.130) obţine forma mai simplă: 1

   01    02  k 2  2         0.  0     0 2    0 1  0 2  1

(3.131)

În această situaţie, presupunând că ambele circuite au aceeaşi pulsaţie de rezonanţă proprie  0 1   0 2   0 , se determină următoarele soluţii ale ecuaţiei (3.131):


r 

0

1

1 k

,  r2 

0 1 k



133

(3.132)

La circuitul studiat, pulsaţiile de rezonanţă  r1 şi  r2 apar datorită cuplajului magnetic (pulsaţii de cuplaj). În condiţiile precizate, modulul impedanţei echivalente este:

Z e1 



 1 2 M 2 R    L1     C1  L 2  1  C 2  2 1

   0  k 2 2 2  1  Q01       0    02   0    0  

 0 L1 Q0 1

Rădăcinile reale şi pozitive ale ecuaţiei  Z e 1 pentru care impedanţa Z e 1 obţine valori extreme. După efectuarea calculelor rezultă: - impedanţa Z e 1 minimă

I1

(curentul

maxim) 2

1

I1

(curentul

k1 k 2 k 0

2

minim)

pentru

r 1

0

r  m  r . 1

3

(3.133)

   0 reprezintă pulsaţiile

pentru

- impedanţa Z e 1 maximă

2

      

I1

 m   r şi  m   r ; 1

2

   

m 3

r 2



Fig.3.45

2

În figura 3.45 sunt reprezentate curbele de variaţie a curentului I 1 , pentru diferite valori ale factorului de cuplaj k . Se observă că pentru k  0 rezonanţa este simplă pe măsură ce cuplajul devine mai strâns sunt mai îndepărtate.

k

2



r1

  r2   m 3   0

 şi

 k 1  k  0  , maximele curentului I 1

134


2R

R

L

C

Aplicaţia 3.14. Să se calculeze pulsaţia de rezonanţă pentru circuitul a cărui schemă este reprezentată în figura 3.46. Date numerice: R = 100 Ω , L = 20 mH , C = 1 µF. Rezolvare. Se calculează impedanţa echivalentă a circuitului în

Fig. 3.46

raport cu bornele de acces:

Z e  2R 

 R  j  L  j C R  j   L  1 C 

 

şi se impune condiţia de rezonanţă (rel.3.108). Din X e  m Z e  0 rezultă 2

1  R     5000 r a d s  LC  L 

0 

Aplicaţia 3.15. Să se determine valoarea capacităţii condensatorului pentru care, circuitul cu schema din figura 3.47, a devine rezonant. Date numerice: ω = 103 rad/s, R = 10 Ω, L1 = 8 mH, L2 = 24 mH, L3 = 16 mH, L12 = L23 = 8 mH, L31 = 4 mH.

I

R

C



L1

L12 L2

Ub

 L31

I Ub

L23  L3

R

L1

C

I 1

L2

I 2

L3

b

a Fig.3.47

Rezolvare. Pe baza regulii de decuplare a bobinelor din laturile concurente întrun nod al circuitului, prezentată în paragraful 3.5.3., se determină inductivităţile celor trei bobine necuplate magnetic:

3.10 – Răspunsul în frecvenţă al circuitelor electrice

135

L'1  L 1  L 12  L 2 3  L 31  4 m H ; L'2  L 2  L 12  L 2 3  L 31  12 m H ; L'3  L 3  L 12  L 2 3  L 31  12 m H  Se aplică metoda curenţilor de contur schemei electrice din figura 3.47, b:

  ' 1 '  j  L'1  j  L'2  I 1  j  L'2 I 2  U b   R  j C   ' ' '   j  L 2 I 1  j  L 2  j  L'3 I 2'  0  





Pentru valorile numerice considerate, se obţine impedanţa echivalentă faţă de bornele de alimentare:

Ze 

Ub I



Ub I

' 1

 1  10  j  10  3 10 C 

   

Impunând condiţia de rezonanţă (rel.3.108)

X e  10 

1 0 , 10 3 C

rezultă C = 100 µF.

3.10. Răspunsul în frecvenţă al circuitelor electrice Se consideră circuitul diport liniar pasiv reprezentat în figura 3.48. Semnalului de intrare x (t) (tensiune sau curent), aplicat la una din porţile circuitului, îi corespunde, la cealaltă poartă, semnalul de ieşire, care constituie răspunsul circuitului y (t) (tensiune sau curent). Pentru studiul variaţiei răspunsului cu frecvenţa (răspunsul în frecvenţă) al circuitelor electrice aflate în regim permanent sinusoidal, se defineşte mărimea complexă

Y  j  H  j    H    e j     (3.134) X  j 

x t 

CIRCUIT LINIAR

y t 

PASIV

numită funcţie de transfer. Fig. 3.48 După natura lui x (t) şi y (t), funcţiile de transfer pot fi: impedanţe, admitanţe, amplificări (atenuări) în tensiune şi, respectiv, în curent. În teoria semnalelor, variaţia unei mărimi complexe cu frecvenţa (pulsaţia) se poate ilustra în două feluri: - se reprezintă modulul H  j    H    şi faza a r g H  j       , ca funcţii de ω, în două grafice distincte; - se reprezintă în coordonate polare hodograful funcţiei complexe H  j   . Datorită ecartului mare de variaţie a frecvenţei (pulsaţiei) şi a modulului H (ω), se

136


obişnuieşte ca axa absciselor să fie etalonată în log10 ω , iar pe axa ordonatelor să se exprime în decibeli (dB) mărimea 20 log10 H (ω), realizându-se aşa-numitele diagrame Bode. În continuare se va urmări variaţia modulului funcţiei de transfer H (ω) pentru câteva circuite electrice simple, numite filtre electrice de frecvenţe. Acestea au structuri cuadripolare (v.fig.3.48) şi permit trecerea neatenuată a semnalelor aplicate la poarta de intrare, ale căror frecvenţe aparţin benzii de trecere, respectiv atenuează acele semnale ale căror frecvenţe sunt cuprinse în banda de atenuare sau de oprire. Frecvenţele (pulsaţiile) care delimitează benzile de trecere şi de oprire se numesc frecvenţe (pulsaţii) de tăiere [ ft ( ωt ) ] şi se calculează pentru o amplitudine a semnalului de ieşire de

2 ori mai mică decât amplitudinea semnalului de intrare.

H  

H  

1

1

0

t



0

t b

a

H  

H  

1

1

0



1

c

2



0

Fig. 3.49

2

1



d

În figura 3.49 este prezentată variaţia modulului funcţiei de transfer, calculat ca raport al valorilor efective ale tensiunii de ieşire Ue şi tensiunii de intrare U i H     U e U i , în funcţie de pulsaţie, pentru următoarele filtre ideale:






137



filtrul trece-jos (F.T.J.), la care sunt transmise neatenuate ( Ue = Ui ) semnalele cu banda de frecvenţe cuprinsă între zero şi o frecvenţă superioară (frecvenţa de tăiere) (fig.3.49, a); filtrul trece-sus (F.T.S.), la care sunt transmise neatenuate semnalele cu banda de frecvenţe cuprinsă între o frecvenţă inferioară, nenulă (frecvenţa de tăiere) şi o frecvenţă tinzând către infinit (fig.3.49, b); filtrul trece-bandă (F.T.B.), care permite trecerea neatenuată a semnalelor cu frecvenţe cuprinse în banda de trecere, mărginită de două frecvenţe finite şi diferite de zero (fig.3.49, c); filtrul opreşte-bandă (F.O.B.), care permite trecerea neatenuată a tuturor semnalelor, cu excepţia acelora, ale căror frecvenţe sunt cuprinse în banda de oprire, mărginită de două frecvenţe finite şi diferite de zero (fig.3.49, d).

  

3.10.1. Filtrul RC trece-jos Pentru circuitul din figura 3.50, a, în care rezistorul R şi condensatorul C formează un divizor de tensiune, expresia complexă a funcţiei de transfer este dată de relaţia:

H  j  

U e  j  U i  j 



1 j C 1   R  1 j C 1  j RC

(3.135)

Modulul funcţiei de transfer (atenuarea)

H  j   H   

Ue Ui



1 1   RC 

(3.136)

2

variază cu pulsaţia ca în figura 3.50, b.

R

H   1

Ui

C

Ue

1/ 2

0

a

t b



Fig. 3.50

Circuitul din figura 3.50, a este un filtru trece-jos, la care amplitudinea semnalelor de frecvenţă joasă nu este sensibil diminuată. Se observă că H  0   1 şi

138


H     0 . Pulsaţia (frecvenţa) la care amplitudinea semnalului de ieşire începe să scadă semnificativ se calculează din condiţia

 Ue  U  i

     t

1

1    t RC 

2



1 2

(3.137)

şi se obţine:

t 

1 1 , respectiv f t  . 2 R C RC

(3.138)

Banda de trecere pentru filtrul prezentat este cuprinsă în intervalul 0 , t  1 R C .





3.10.2. Filtrul RC trece-sus Expresia complexă a funcţiei de transfer corespunzătoare circuitului reprezentat în figura 3.51, a este dată de relaţia:

H  j  

U e  j  U i  j 



R j RC   R  1 j C 1  j RC

(3.139)

Modulul funcţiei

H  j   H   

Ue Ui



 RC 1   R C 

(3.140)

2

variază cu pulsaţia (frecvenţa) ca în figura 3.51, b.

H  

C

1 R

Ui

Ue

1/ 2

0

a Fig. 3.51

t b



Cu cât frecvenţa semnalului de intrare este mai mare, cu atât atenuarea introdusă de circuit este mai mică. Sunt evidente valorile H  0   0 şi H     1 . Pentru pulsaţia, respectiv frecvenţa de tăiere se obţin aceleaşi expresii ca şi pentru filtrul prezentat anterior (rel.3.138). Banda de trecere este cuprinsă în intervalul  t  1 RC , .






139

3.10.3. Filtrul RLC trece-bandă Pentru funcţia de transfer a circuitului RLC serie reprezentat în figura 3.52 a, se obţine expresia

H  j  

Ue



Ui

R  R  j   L  1 C 

(3.141)


H  

R R 2    L  1 C 

(3.142)

2

variază cu pulsaţia ca în figura 3.52, b. Sunt evidente valorile: H  0   0 şi

H   0 .

H  

L

C

Ui

R

1 1/ 2

Ue

1  0  2

0 a



b

Fig.3.52

Banda de trecere reprezintă intervalul de pulsaţii în care U e

Ui  1

2

Limitele acestui interval, pulsaţiile de tăiere, se determină din relaţia

R R 2    L  1 C 

2



1 2

(3.143)

şi sunt:

R 1    2L

2

 R  1 ,    LC  2L  (3.144)

R 2   2L

2

 R  1     LC  2L 

.

140

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 Relaţia de calcul pentru banda de trecere

B   2  1 

R 0  , L Q0

(3.145)

reprezintă pulsaţia de rezonanţă şi 0  1 LC Q0   0 L R  1  0 RC se numeşte factor de calitate al circuitului, este în

în

care

concordanţă cu expresia (3.120) stabilită în paragraful 3.9.1. 3.10.4. Filtrul RLC opreşte - bandă Pentru funcţia de transfer a circuitului RLC serie cu schema din figura 3.53, a, se obţine expresia

H  j  

U e  j  U i  j 



j L  1 C   R  j L  1 C 

(3.146)


H   

 L 1 C

R 2   L  1  C 

(3.147)

2

variază cu pulsaţia ca în figura 3.53, b. Se observă că H  0   1 , H     1 .

H  

R C Ui

L

Ue

1 1/ 2

0 a

Fig.3.53

1  0  2



b

Banda de oprire este mărginită de aceleaşi pulsaţii de tăiere  1 şi  2 , ca şi cele deduse în paragraful 3.10.3. (rel.3.144). Precizare. Prezentarea celor patru tipuri de filtre, capabile să funcţioneze selectiv faţă de frecvenţele semnalelor, s-a realizat în scopul promovării funcţiei de transfer. Indiferent de regimul în care funcţionează un circuit, funcţia definită cu relaţia (3.134) îşi păstrează semnificaţia.

Probleme Filtrele electrice de frecvenţe îşi găsesc utilizare în domeniile telecomunicaţiilor, electronicii industriale etc. Studiul filtrelor constituie una din cele mai importante aplicaţii ale teoriei cuadripolului electric. De aceea, în contextul potrivit (par.5.11), se vor aborda şi alte tipuri de filtre (cu elemente reactive, nedisipative şi adaptate).

141

L

R

C

Aplicaţia 3.16. Să se stabilească tipul filtrului cu schema din figura 3.54 şi să se calculeze pulsaţia de tăiere. Fig.3.54 Date numerice: R = 100 Ω , L = 10 mH , C = 2 µF. Rezolvare: Din expresia complexă a funcţiei de transfer corespunzătoare circuitului

H  j  

U e  j  U i  j 



R 1 j C

j L  R 1 j C



R , R 1   LC  j L



2



se stabileşte modulul funcţiei (atenuarea):

H   

R







R 1   LC    L  Se observă că H  0   1 şi H     0 , ceea ce caracterizează un filtru trece-jos. 2

2

2

2

Pulsaţia de tăiere se determină din condiţia

R



R 2 1   t2 LC

   L  2

2 t

LC

2

t

În urma rezolvării ecuaţiei bipătratice,

1  



   L 2

t

1  2

R 2, 2

pentru valorile numerice considerate rezultă

 t  1000 r ad s 

PROBLEME ( 3 ) P3.1. Să se determine valoarea rezistenţei R 3 a circuitului cu schema din figura 3.55, astfel încât curentul I 2 să fie defazat cu  2 în urma

I1

R1

jX 1 I2

R2

U

R3

tensiunii la borne U .

jX 2

Date numerice: R1  10  ,

R 2  5  , X 1  14  , X 2  25  . R: R 3  20  .

I3

Fig.3.55

142


P3.2. Puntea Heaviside reprezentată în figura 3.56 permite determinarea inductivităţii mutuale dintre două bobine. Să se exprime inductivitatea M în funcţie de ceilalţi parametri, presupuşi cunoscuţi, când curentul prin diagonala AB este nul (punte echilibrată).

A

R1  R 2



R3

R2

P3.3. Circuitul reprezentat în figura 3.57 funcţionează în regim sinusoidal. Să se determine: a) valorile efective ale curenţilor prin cele trei rezistoare; b) puterile activă şi reactivă consumate de întregul circuit.

L3

i AB

IN



L4 M

u

L 4 R 2  L 3 R1

R: M 

R1 R4



L5 Date u e  24 2 sin100 t V ,

B

L 

20



mH , C 

2500



numerice: R  4 , F .

Fig. 3.56

R: a) I 1  I 3  3 2 A , I 2  0 ; b) P  144 W , Q  0 .

ue

P3.4. La bornele circuitului reprezentat în figura 3.58 se aplică o tensiune sinusoidală, de frecvenţă variabilă. Cunoscând parametrii R , L 1 , L 2 şi C , să se determine inductivitatea reciprocă L 1 2 pentru care raportul

R

u

L

i1

i2

R

R

C

L i3

R

2C Fig.3.57

pulsaţiilor de rezonanţă de tensiune, respectiv de curent este egal cu 3.

L12 

C



L1

R: L12 

L2

Fig.3.58

C

2 3

2 L1 L 2 

P3.5. Circuitul reprezentat în figura 3.59 funcţionează în regim sinusoidal. Se cer: a)

Probleme

143

impedanţa echivalentă a circuitului pasivizat, calculată în raport cu bornele a şi b; b) puterea activă totală disipată în circuit prin efect Joule. Date numerice:

R  L 

1  5  , u e  20 2 cos  t  V  , i s  2 2 sin  t  A   C R

R

C

L

C

a

R

L

R

Ci

L

ue b

s

L C Fig.3.59

R: a) Z a b0  R  5 ; b) P  20 W  P3.6. Pentru circuitul reprezentat în figura 3.60 să se determine: a) impedanţa receptorului conectat între bornele a şi b astfel încât puterea activă care i se transferă să fie maximă; b) puterea activă primită de receptor în condiţiile punctului precedent.

R

ue

C1

L1

L2

C2

a

C3

L3 b

Fig.3.60

Z ab

144

Circuite electrice monofazate în regim sinusoidal - 3 Date numerice: u e  40 2 sin100  tV , R  2  , C 1 

C3 

2,5



mF , L1 

100



mH , L 2 

60



mH , L 3 

R: a) Z ab  8  1  j   ; b) Pma x  200 W .

80



10



mF , C 2 

2



mF ,

mH .

L1

R

a

R



i

P3.7. Circuitul cu schema din M L2 ue figura 3.61 funcţionează în regim is  sinusoidal. Să se determine parametrul elementului reactiv care trebuie conectat la bornele a şi b , pentru a b aduce curentul i în fază cu t.e.m. a Fig. 3.61. sursei de tensiune. Date numerice: u e  200 sin  t V , i s  2 cos  t A , R  75  , L1  L 2  2 H , M  1,5 H ,   100 rad s . R: C  32  F .

R

P3.8. Să se calculeze capacitatea condensatorului, astfel încât circuitul cu schema reprezentată în figura 3.62 să fie

C

L C Fig.3.62

R

rezonant. Date numerice: ω = 5 . 103 rad/s , R = 100 Ω , L = 20 mH R: C = 4 µF.

H 

1   1  

2

R 2C 2

2

R 2C 2

 

 1

2

 4 2 R 2 C 2

2

 9 2 R 2 C 2

Ue

C

P3.9. Pentru circuitul cu schema din figura 3.63, să se stabilească expresia complexă a funcţiei de transfer, modulul acesteia şi pulsaţia pentru care H (ω) are valoarea minimă. R:

H  j    1   2 R 2 C 2  j 2 RC

R

Ui

2

Fig.3.63

R 2 C 2  j 3 RC  ;

; H mi n  2 3

pentru   1 RC 

4. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE 4.1. Sisteme trifazate de mărimi sinusoidale Producerea, transportul, distribuţia şi utilizarea energiei electromagnetice se realizează aproape în exclusivitate cu sisteme trifazate. Acestea s-au impus faţă de sistemele monofazate datorită, în principal, următoarelor avantaje: realizarea economiei de material pentru liniile de transport; posibilitatea producerii câmpurilor magnetice învârtitoare care stau la baza funcţionării maşinilor de inducţie; obţinerea (în regim simetric) a unei puteri instantanee totale constante; posibilitatea de a dispune la utilizare de două tensiuni diferite. Un sistem trifazat este simetric dacă cele trei mărimi ale sale (tensiuni, curenţi) au aceeaşi frecvenţă, valorile efective (sau amplitudinile) egale şi defazajele dintre două mărimi succesive egale cu 2/3. Dacă una din aceste condiţii nu este îndeplinită, atunci sistemul trifazat de mărimi este nesimetric. Un sistem trifazat simetric de tensiuni se exprimă în valori instantanee prin relaţiile:

u1  2 U sin  t ; 2   u2  2 U sin   t   ;  3  2   u3  2 U sin   t  2  ,  3 

u u1

(4.1)

u3

u2

t

2 3

2 3

2 3 Fig. 4.1

146

Circuite electrice trifazate - 4

în care s-a considerat U 1  U 2  U 3  U 

um 2

.

Variaţiile în timp ale acestor mărimi se pot urmări în figura 4.1. Acelaşi sistem se exprimă prin mărimile:

U1 U

U 3 Im

U2 Ue

j

U3 Ue

U1

Re

; j

2 3

;

(4.2)

2  j 2 3

care, în planul complex se reprezintă prin trei fazori a căror sumă este nulă: U 1  U 2  U 3  0 (fig. 4.2). Referitor la circuitele de utilizare se deosebesc receptoare echilibrate, dacă impedanţele complexe (Z) ale celor trei faze sunt identice şi receptoare dezechilibrate, în caz contrar.

U2 Fig. 4.2

4.2. Conexiunile circuitelor trifazate Pentru reducerea numărului de conductoare ale unui sistem format din trei circuite monofazate distincte (3 x 2 = 6 conductoare) se folosesc conexiunile în stea şi în triunghi, atât în cazul generatoarelor cât şi al receptoarelor. Convenţional, fiecare fază are o bornă de intrare ("început") şi o bornă de ieşire ("sfârşit"). În figura 4.3 este exemplificată conexiunea în stea (Y) la un receptor şi un generator trifazat, la care

I1

U e1 U e2

0

U e3

1

U 12

I2

2

U 23

I3

3

I0 Fig.4.3

U1

U 31

U2

1 2 3

U3

U

0

4.2 – Conexiunile circuitelor trifazate

147

"sfârşiturile" sau "începuturile" fazelor se leagă împreună formând nulul sau neutrul consumatorului, respectiv al generatorului. Conductorul de nul stabileşte legătura între punctele neutre ale generatorului şi receptorului (punctele 0 şi 0' în exemplul considerat). Curenţii din conductoarele liniei (I1, I2, I3) se numesc curenţi de linie şi tensiunile dintre aceleaşi conductoare (U12, U23, U31) se numesc tensiuni de linie. Curenţii de fază (I1, I2, I3) şi tensiunile de fază (U1 , U2 , U3) sunt mărimi specifice fazelor receptoarelor. La conexiunea în stea curenţii de linie sunt şi curenţi de fază, iar între cele două grupuri de tensiuni sunt evidente relaţiile:

U 12  U 1  U 2 U 23  U 2  U 3

; ;

U 31  U 3  U 1

,

(4.3)

din care rezultă că suma imaginilor complexe ale tensiunilor de linie este întotdeauna nulă: (4.4) U 12  U 23  U 31  0  30 0

U 12

Dacă tensiunile de linie şi de fază formează sisteme trifazate simetrice de mărimi, din figura 4.4 rezultă următoarea relaţie:

U1 U 31

U3

U 12  2 U 1 cos 30 0  3 U 1

U2

sau

U 23

Ul  3 U f

,

(4.5)

adică valoarea efectivă a tensiunii de linie este de 3 ori mai mare decât valoarea efectivă a tensiunii de fază. În reţelele de distribuţie de joasă tensiune (J.T.), valorile acestor tensiuni (Ul / Uf) pot fi: 380/220 (50 Hz), 415/240 (50 Hz), 220/127 (50 şi 60 Hz) etc. Conform primei teoreme a lui Kirchhoff aplicată punctului neutru rezultă curentul din conductorul de nul: (4.6) I0  I1  I2  I3. Fig. 4.4

Fig. 4.4

Dacă tensiunile de fază formează un sistem simetric şi receptorul este echilibrat, curentul I0 se anulează şi, în această situaţie, conductorul de nul poate lipsi. În figura 4.5 este prezentată conexiunea în triunghi () la un receptor trifazat. Ea se realizează legând "sfârşitul" unei faze la "începutul" fazei următoare, fazele succedându-se într-o anumită ordine. Astfel rezultă numai trei conductoare de alimentare.

148


Conexiunea triunghi poate fi realizată şi la generatoarele trifazate. Tensiunile de linie sunt egale cu tensiunile de fază (U12, U23, U31), iar între curenţii de linie (I1, I2, I3) şi curenţii de fază (I12, I23, I31) există următoarele relaţii, obţinute în conformitate cu prima teoremă a lui Kirchhoff:

I 1  I 12  I 31 ; I 2  I 23  I 12 ; I 3  I 31  I 23

(4.7)

.

I1 I1

1

1

1

I 12

U 31

U 12 I2

I3

2

2

I2

3

3

U 23

I3

2

I 31 3

I 23

Fig. 4.5

Prin însumare rezultă relaţia:

30 0

I 12

I1

I 31

I2

I1  I2  I3  0

(4.8)

ce relevă faptul că suma imaginilor complexe ale curenţilor de linie este întotdeauna nulă. Din figura 4.6, în care sunt reprezentate sistemele trifazate simetrice ale curenţilor de linie şi de fază, rezultă următoarea relaţie:

I 1  2 I 12 cos 30 0  3 I 12

I 23 sau

I3 Fig. 4.6

Il  3 I f ,

(4.9)

4.3 – Calculul circuitelor electrice trifazate adică valoarea efectivă a curentului de linie este de efectivă a curentului de fază.

149

3 ori mai mare decât valoarea

4.3. Calculul circuitelor electrice trifazate Importanţa tehnică deosebită a circuitelor trifazate justifică elaborarea unor relaţii de calcul particulare. I1 Într-un număr mare de cazuri, U1 1 calculul acestor circuite presupune determinarea Z1 U 12 U 31 curenţilor prin fazele U2 I2 receptoarelor.

2

4.3.1. Receptoare trifazate conectate în stea, cu conductor de nul

Z2 U3

U 23 I3

3

În figura 4.7, a se consideră un receptor trifazat dezechilibrat

Z

1

 Z2  Z3



conectat în stea, alimentat de la o reţea cu conductor de nul (Z0), ale cărei tensiuni de linie (U12 , U23 , U31) şi tensiuni de fază (U10 , U20 , U30) formează sisteme simetrice de mărimi. U1 , U2 , U3 reprezintă tensiunile de fază ale receptorului, iar U  V 0'  V 0  Z 0 I 0 este diferenţa de potenţial dintre neutrul receptorului (0') şi neutrul sursei (0). Aplicând teoremele lui Kirchhoff şi legea lui Ohm circuitului cu schema din figura 4.7, a, se obţin relaţiile:

U 10 U 20 U 30

U

I0

0

Z3

Z0

a

U 12 0

U1

U 10

U U 31

U3

U2 0

U 30

U 20 b

U 23

Fig.4.7

U 1  U 10  U ;

U 2  U 20   U ; U 3  U 30  U ;

U  Z 0 I 0 

(4.10)

0

150


I 1  U 1Y 1; I 2  U 2 Y 2 ; I 3  U 3 Y 3 ; I 0  U Y 0 .

(4.11)

I1  I2  I3  I0  0 

(4.12)

Din relaţiile (4.10), (4.11) şi (4.12) se deduce expresia tensiunii stabilite între neutrul consumatorului şi cel al sursei:

U 

U 10 Y 1  U 20 Y 2  U 30 Y 3 Y1 Y 2 Y 3 Y0

(4.13)

Rezolvarea unui circuit trifazat în conexiune stea, cu conductor de nul, constă în determinarea tensiunii U (rel.4.13), a tensiunilor de fază ale receptorului (rel.4.10) şi a curenţilor acestuia (rel.4.11). Dacă impedanţa conductorului de nul este foarte mică ( Z 0  0 , respectiv

Y 0   ), din relaţia (4.13) rezultă U  0 , astfel că tensiunile de fază la receptor

sunt simetrice şi egale cu tensiunile de alimentare ( U 1  U 10 ;

U 3  U 30 ), chiar dacă receptorul este dezechilibrat

Z

1

U 2  U 20 ;



 Z 2  Z 3 . Aşadar,

receptoarele dezechilibrate în stea (de exemplu, instalaţiile de iluminat electric) trebuie alimentate de sisteme trifazate cu conductor de nul având Z 0  0 .Rolul acestuia constă în simetrizarea tensiunilor pe fazele receptorului trifazat dezechilibrat. Întreruperea conductorului de nul ( Z 0   , respectiv Y 0  0 ) conduce, conform relaţiilor (4.13) şi (4.10), la  U  0 şi U 1  U 2  U 3 (fig.4.7,b). Acest deranjament determină o repartiţie nesimetrică a tensiunilor pe fazele unui receptor dezechilibrat conectat în stea. De aceea, se interzice executarea unor legături uşor demontabile şi intercalarea de siguranţe pe conductorul de nul. În cazul circuitelor receptoare echilibrate ( Y 1  Y 2  Y 3  Y ) în stea (de exemplu, motoarele asincrone trifazate) tensiunea  U este nulă, indiferent de valoarea admitanţei conductorului de nul:

U 

U 10  U 20  U 30 Y 3Y  Y 0

 0,

(4.14)

deoarece tensiunile de fază ale sursei formează un sistem simetric de mărimi ( U 10  U 20  U 30  0 ). În concluzie, receptoarele echilibrate conectate în stea pot fi alimentate de la sisteme trifazate fără conductor de nul. Aplicaţia 4.1. Un receptor trifazat conectat în stea, având pe cele trei faze n1 , n2, n3 becuri identice grupate în paralel, este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni (fig.4.8, a). Să se determine tensiunile de fază la bornele receptorului în

4.3 – Calculul circuitelor electrice trifazate

151

următoarele situaţii distincte datorate conductorului de nul, care: a) are rezistenţa R0  0, b) este ideal (R0 = 0); c) este întrerupt (R0 = ). Se consideră becurile elemente de circuit liniare, ale căror rezistenţe sunt constante. Date numerice: n1 = 10, n2 = 15, n3 = 24, Ul = 380V, R0 = 1, U n bec  220 V ,

Pn bec  100 W . Rezolvare. Cunoscând puterea şi tensiunea nominală a becurilor, se calculează rezistenţa

lor

electrică

U n2 220 2 Rb    484  , Pb 100

respectiv

impedanţele

receptorului pe cele trei faze:

U1

1

n1

U2

2

U 10

n2

U 20

2

U3

3

U 30

1

3

n3

0

0

R0

I1

Z1

I2

Z2

I3

Z3

I0

Z0 b

a

U 30 j

U 10



U1

U 31 U 30 U

U 20

U 10 U 12 0

U 

 0 3

U 23 d

c Fig. 4.8

U 20  U 2

152


Z 1  1 Y 1  R1 

Rb

n1  48 ,4  ; Z 2  1 Y 2  R2 

Z 3  1 Y 3  R3 

Rb

n3  20 ,16  (fig.4.8, b).

Rb

n2  32 ,26  ;

Pentru determinarea tensiunilor de fază la receptor se folosesc relaţiile (4.10) şi (4.13). Calculul tensiunii U necesită exprimarea în complex a tensiunilor simetrice de alimentare U10 , U20 , U30 . Alegând, de exemplu, fazorul U10 ca în figura 4.8, c, se obţine:

U 10  220 V ;

 1 3    110  j190  V ; U 20  220e  j2 3  220   j  2 2     1 3    110  j190  V . U 30  220e j2 3  220   j  2 2  

a) Particularizând relaţia (4.13) pentru cazul în care conductorul de nul are rezistenţa R0 = 1 , se obţine U = (- 3,92 + j 3,2) V. Pe baza relaţiilor (4.10) se determină tensiunile:

U 1  U 10  U  223,9 2  j3, 2 ; U 2  U 20  U  106  j193, 2 ; U 3  U 30  U  106  j186 ,8 

U1 ~  223 ,94 V ; U2 ~  220 ,37 V ; U3 ~  214 ,7 8 V 

Se constată că tensiunile de fază la receptor nu formează un sistem simetric, dar abaterea faţă de tensiunea nominală este sub 5%. b) Dacă Z0 = R0 = 0 (Y0 = ), U (rel.4.13) rezultă nul şi tensiunile de fază la receptor sunt egale cu tensiunile de alimentare, formând un sistem simetric: U1 =U10 , U2 = U20 , U3 = U30 , U1 = U2 = U3 = 220 V (fig.4.8, d). c) În cazul întreruperii conductorului de nul (Z0 = R0 = , Y0 = 0) se obţine U' = ( - 43,2 + j 35,35) V, respectiv

U 1  U 10  U '  263 , 2  j35, 35 ; U 2  U 20  U '   66 ,8  j 225, 35 ;

U 1' ~  265 , 56 V ; ' ~ U 2  235 V ;

U 3  U 30  U '   66 ,8  j154,6 5 

U 3' ~  168 , 46 V 

'

'

'

Se observă că rezultă o nesimetrie pronunţată a tensiunilor de fază la receptor (fig.4.8, d); supratensiunea maximă procentuală care apare în acest caz este:




153

220  168 ,46  100  23,43%  220

Aplicaţia 4.2. Două receptoare trifazate dezechilibrate conectate în stea sunt alimentate cu un sistem de tensiuni de linie simetrice (fig.4.9). Să se determine tensiunea măsurată de voltmetrul V, presupus de impedanţă internă foarte mare. Date numerice: U l  220 V , R   L 

1  10   C

Rezolvare. Pe baza relaţiilor (4.10), (4.11) şi (4.13) se pot determina curenţii de fază la receptor într-o formă utilă pentru rezolvarea problemei. Spre exemplu, pentru curentul I1 se obţine expresia:

U

10







 U 20 Z 3  U 30  U 10 Z 2  U 10

I1 

Z2 Z3 Z0

Z1Z2 Z3 Z1Z2  Z2 Z3  Z3 Z1  Z0 Z2 Z3 Z0  Z1Z2 Z3 Z1Z2  Z2 Z3  Z3 Z1  Z0



U 12 Z 3  U 31 Z 2  U 10

1

I 1

I1 R

L

C

R

(4.15)

Ţinând seama de faptul că receptoarele trifazate cu conexiune stea sunt alimentate fără conductor de nul (Z0 = ), relaţia (4.15) devine

2 3



M V

I1 

L

C

U 12 Z 3  U 31 Z 2  Z1Z2  Z2 Z3  Z3 Z1

(4.16)

Sistemul simetric al tensiunilor de alimentare este:

N

Fig. 4.9

U 12  220 V ;

U 23  220 e j 2 3    110  j 190  V ; U 31  220 e

j 2 3

  110  j 190  V 

(4.17)

154

Circuite electrice trifazate - 4 Impedanţele celor două receptoare sunt:

Z 1  R  10  ; Z 2  j L  j 10  ; Z3   j

1   j 10  C

(4.18,a)

şi

Z '1  R  10  ; Z '2   j

1   j 10  ; C

Z '3  j L  j 10  

(4.18,b)

Înlocuindu-se relaţiile (4.17) şi (4.18,a), respectiv (4.18,b) în relaţia (4.16), se obţin curenţii:

I 1  19  j11  A , respectiv I 1    19  j11 '



A.

Se aplică forma integrală a legii conducţiei şi rezultă expresia complexă a tensiunii între nodurile M şi N (fig.4.9):

U M N  RI 1  RI 1  20 19  j11 V  '

Valoarea efectivă a tensiunii măsurate de voltmetru este UMN = 439 V. 4.3.2. Receptoare trifazate conectate în triunghi Se consideră un receptor trifazat dezechilibrat ( Z 12  Z 23  Z 31 ) conectat în triunghi (fig.4.10,a). a) Presupunând cunoscuţi curenţii de linie nesimetrici ( I 1 , I 2 , I 3 ), rezolvarea circuitului constă în determinarea curenţilor de fază ( I 12 , I 23 , I 31 ). Notând cu

I '12 , I '23 , I '31 .curenţii de fază în situaţia unui receptor echilibrat (impedanţe Z identice pe cele trei faze) se poate demonstra uşor:

I '12  I '23  I '31 





1 U  U 23  U 31  0 Z 12

(4.19)

deoarece tensiunile de linie, egale cu cele de fază, sunt simetrice. Introducând mărimea de calcul  I (fig.4.8,b) se obţin următoarele relaţii:


I 12  I '12   I ;I '23  I 23   I ;I '31  I 31   I

155 (4.20)

care, înmulţite cu Z 12 , Z 23 , respectiv Z31 şi adunate, conduc la expresia:

I 

Z 12 I '12  Z 23 I '23  Z 31 I '31  Z 12  Z 23  Z 31

I1

1

Z 12

U 12

U 23

I 12

I2

2

3

(4.21)

U 31

Z 31

I 23

I 31

Z 23

I3 a

I1

I 31

I 12 I 12 0  I 0 I 23

I 31

I3

I 23

I2 b Fig.4.10

Pe baza relaţiilor (4.20) şi (4.21) se determină curenţii de fază în funcţie de impedanţele receptorului şi curenţii de linie:

156


I 12 

Z 31 I 1  Z 23 I 2 Z 12  Z 23  Z 31

; I 23 

Z 12 I 2  Z 31 I 3 Z 12  Z 23  Z 31

; I 31 

Z 23 I 3  Z 12 I 1 (4.22) Z 12  Z 23  Z 31

Prin particularizarea acestor expresii pentru curenţi de linie simetrici şi receptor echilibrat, rezultă relaţiile:













I 12  I 1  I 2 3 ; I 23  I 2  I 3 3 ; I 31  I 3  I 1 3

(4.23)

şi diagrama fazorială din fig.4.6. b) Presupunând cunoscute tensiunile de linie, sunt evidente următoarele relaţii (fig.4.10,a):

I 12 

U 12 Z 12

; I 23 

U 23 Z 23

; I 31 

U 31 Z 31



(4.24)

4.4. Puterile în circuitele trifazate Puterea complexă (sau puterea aparentă complexă) a unui receptor trifazat se exprimă în funcţie de mărimile corespunzătoare celor trei faze conform relaţiei:

S  S 1  S 2  S 3  U 1 I 1  U 2 I 2  U 3 I 3  P  jQ *

*

*

(4.25)

Partea reală a puterii complexe este puterea activă:

P  e S  U 1 I 1 cos 1  U 2 I 2 cos 2  U 3 I 3 cos 3

,

(4.26)



(4.27)

iar partea imaginară a aceleeaşi expresii este puterea reactivă:

Q  mS  U 1 I 1 sin 1  U 2 I 2 sin 2  U 3 I 3 sin 3

În cazul unui consumator echilibrat, alimentat de la un sistem simetric de tensiuni, puterile devin: (4.28) S  3 U f I f ; P  3 U f I f cos  ; Q  3 U f I f sin  , iar dacă se introduc mărimile de linie, rezultă expresiile:

S  3 Ul Il

; P  3 U l I l cos  ; Q  3 U l I l sin 

,

(4.29)

valabile pentru ambele tipuri de conexiuni (stea şi triunghi). Aplicaţia 4.3. Se consideră receptorul trifazat dezechilibrat conectat în triunghi (fig.4.11) alimentat cu un sistem simetric de tensiuni. Să se determine: a) curenţii de fază şi de linie; b) puterile complexă, activă şi reactivă consumate de receptor. Date numerice: u12  200 2 sin  t V , R  10  ,

X L  X C  10 3  

4.4 – Puterile în circuitele trifazate Rezolvare. Impedanţele receptorului sunt

fazelor

I 11

Z 12  R  10  ;

I 12

   101  j 3 

; 

Z 23  R  j X L  10 1  j 3 Z 31  R  j X C

R

V ;

    100  j 100 3 

U 23  200 e j 2 3   100  j 100 3 U 31  200 e

j 2 3

R

I 22

Sistemul simetric al tensiunilor de alimentare se scrie, de exemplu, sub forma:

U 12  200

157

V; V 

I3 3

Curenţii de fază se calculează cu relaţiile (4.24):

R

 jX C

I 23 jX L

I 31

Fig. 4.11

U 12  20 A ; Z 12 U 23   10  10 e j  Z 23 U  31  10  10 e j  Z 31

I 12  I 23 I 31

A ; A 

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodurile schemei din figura 4.11, se obţin curenţii de linie:

I 1  I 12  I 31  30 A ; I 2  I 23  I 12  30  30 e j  I 3  I 31  I 23  0 

A ;

b) Puterea complexă a receptorului considerat se exprimă în funcţie de mărimile corespunzătoare fazelor şi este:

S  U 12 I 12  U 23 I 23  U 31 I 31  6000 VA *

*

*

Conform relaţiilor (4.26) şi (4.27), puterile activă şi reactivă consumate de receptor sunt:

P   e S  6000 W ; Q   m S   0 

158


4.5. Protecţia împotriva tensiunilor electrice accidentale 4.5.1. Prize de pământ Electrocutarea constituie un accident datorat curentului electric şi se produce prin: - atingerea directă a unei componente conductoare dintr-o instalaţie aflată sub tensiune; - atingerea indirectă a unui element conductor care, doar în urma unui defect sau datorită unor cauze accidentale, poate fi pus sub tensiune (tensiune de atingere, Ua). Legarea la pământ constituie unul din mijloacele principale de protecţie împotriva accidentelor prin electrocutare, în special în reţelele electrice de joasă tensiune (sub 1 kV). Protecţia constă în racordarea la instalaţia de legare la pământ a tuturor elementelor conductive care nu fac parte din circuitele curenţilor de lucru, dar care accidental ar putea intra sub tensiune, cum sunt: a) carcasele şi elementele de susţinere, metalice sau din beton armat, ale instalaţiilor şi echipamentelor electrice; b) părţile metalice ale panourilor şi pupitrelor de comandă şi de măsurare; c) îngrădirile de protecţie metalice, fixe sau mobile, dacă nu au legătură sigură în exploatare cu alte elemente legate la pământ; d) părţile metalice ale suporturilor liniilor aeriene pentru transportul şi distribuţia energiei electromagnetice, montate pe stâlpi metalici sau din beton armat; e) armăturile, ecranele şi învelişurile metalice ale tuturor cablurilor electrice, inclusiv ale celor cu înveliş exterior din PVC; f) construcţiile metalice de susţinere a cablurilor electrice (stelaje, poduri, console). Pentru legarea la pământ sunt prevăzute borne special destinate şi marcate. Priza de pământ reprezintă un sistem de conductoare care asigură stabilirea voită a unor contacte electrice între anumite puncte ale unei instalaţii şi pământ, în scopul asigurării protecţiei împotriva tensiunilor accidentale de atingere. Din punct de vedere constructiv prizele de pământ se clasifică în: 1) prize de pământ naturale, când elemente de construcţii destinate altor scopuri (construcţii metalice, armături ale construcţiilor din beton armat, coloane de adâncime ale sondelor, conducte metalice pentru fluide necombustibile) stabilesc legătura cu solul. Ele trebuie să asigure continuitatea electrică necesară, să fie rezistente la solicitări mecanice şi acţiuni chimice, să aibă stabilitate termică. 2) prize de pământ artificiale, realizate în mod special pentru stabilirea contactului cu pământul. Ele sunt formate din electrozi metalici (din ţeavă sau profil din oţel zincat), montaţi în pământ în poziţie verticală sau orizontală. O legislaţie tehnică vastă (normative, prescripţii, regulamente, standarde), care trebuie abordată cu atenţie şi seriozitate, cunoscută şi respectată, stabileşte condiţiile pe care le îndeplinesc cu necesitate instalaţiile şi mijloacele de protecţie împotriva electrocutărilor. 4.5.2. Scheme de legare la pământ

4.5 – Protecţia împotriva tensiunilor accidentale

159

Schemele de legare la pământ prevăzute în normativul I.72), „Normativ pentru proiectarea şi executarea instalaţiilor electrice cu tensiuni până la 1000 V c.a. şi 1500 V c.c.”, pot fi de trei feluri: IT, TN şi TT, în care simbolurile literale au următoarele semnificaţii: a) Prima literă se referă la situaţia reţelei de alimentare în raport cu pământul: I – nu există nici o legătură între punctul de nul al sursei şi pământ sau legarea la pământ se face printr-o impedanţă foarte mare; T – punctul neutru al sursei este legat direct la pământ. b) A doua literă se referă la mijloacele de legare la pământ a tuturor pieselor de metal accesibile ale utilajelor şi echipamentelor electrice, pentru protecţia contra şocurilor electrice: T – legarea nemijlocită a acestora la prize de pământ distincte din punct de vedere electric de eventuala priză de pământ a sursei; N – legarea la conductorul neutru (de nul). Alte litere se referă la dispunerea conductorului neutru N şi a conductorului de protecţie PE în schema TN: S – conductorul de protecţie şi cel neutru sunt separate; C – conductorul neutru are şi funcţia de protecţie, fiind numit conductor PEN. 4.5.2.1. Schema IT (neutrul izolat) În figura 4.12, a se prezintă un receptor trifazat alimentat de la un sistem simetric de tensiuni. Carcasa este legată la pământ printr-o priză a cărei rezistenţă electrică este R p . În cazul unui defect de izolaţie, între carcasă şi pământ apare o tensiune, sub acţiunea căreia se stabileşte un curent I h prin corpul omului (de rezistenţă R h ). Situaţiei din figura 4.12, a îi corespunde schema electrică reprezentată în figura 4.12, b. Se remarcă faptul că între faza 1 şi pământ sunt conectate în paralel trei rezistoare, a căror conductanţă echivalentă este:

1 1 1 1     Re Ri z Rp Rh

(4.30)

Aplicând cele două teoreme ale lui Kirchhoff circuitului din figura 4.12, b se scriu ecuaţiile:

 Re I 1  Ri z I 2  U 1  U 2 ;   Re I 1  Ri z I 3  U 1  U 3 ; I  I  I  0, 2 3  1

2)

(4.31)

Normativul I.7, elaborat de Institutul de Cercetări pentru Echipamente şi Tehnologii în Construcţii (ICECON S.A.) în anul 2002, este armonizat cu standardele europene, respectiv internaţionale şi constituie reglementarea tehnică de bază utilizată de agenţii economici de proiectare şi execuţie pentru instalaţiile electrice de joasă tensiune.

160


J .T . I 1

L1

I2 I3

L2

L3

carcasă

R iz R iz R iz

Ih

Rh

Ip Rp a)

R iz U1

U2

U3

I1 I p

Rp

Ih

Rh

R iz

I2

R iz

I3 b)

Fig.4.12

din care rezultă:

I1  Cum

suma

2U1  U 2  U 3 2 Re  Ri z

tensiunilor unui sistem U 1  U 2  U 3  0 , relaţia (4.32) devine:



trifazat

(4.32) simetric

este

nulă,


I1 

3U 1



2 Re  Ri z

161 (4.33)

Pentru faza 1 este evidentă relaţia:

Re I 1  Rh I h ,

(4.34)

astfel că, pentru valoarea curentului I h se obţine:

Ih 

Re Rh

I1 

Re



3U 1



R h 2Re  Ri z

3U 1  R h Ri z 2 Rh  Re

(4.35)

Ţinând seama de relaţiile (4.30) şi (4.35) rezultă expresia:

3U

Ih 

3 R h  Ri z 

R h Ri z





în care U este tensiunea de linie U 

,

(4.36)

Rp

3U 1 .

Dacă instalaţia nu este prevăzută cu priză de pământ

R

p

   , relaţia (4.36)

devine:

I h R p    

3U  3 R h  Ri z

(4.37)

Se remarcă valoarea subunitară a raportului:

Ih I h R p   

 1

1 R h  Ri z

R p  3 R h  Ri z

 1,

(4.38)



ceea ce înseamnă că întotdeauna curentul ce parcurge corpul omului, în contact nemijlocit cu carcasa legată la pământ, este mai mic în prezenţa prizei de pământ decât în absenţa acesteia. În general, rezistenţa prizei de pământ, de numai câţiva ohmi, este mult mai mică decât R h şi R i z , rezistenţa de izolaţie având valori de sute până la zeci de mii de ohmi. Din acest motiv R e ~  I 1 (fig.4.12, b), iar relaţia (4.33) se  R p (rel. 4.30), I p ~ scrie sub forma:

162


I1 ~ 

3U  2 R p  Ri z

(4.39)

Astfel, pentru tensiunea de atingere (dintre carcasă şi pământ) rezultă expresia:

Ua  Rp I1 

3 Rp 2 R p  Ri z

U

(4.40)

Această relaţie exprimă pe de o parte faptul că tensiunea de atingere se poate reduce prin micşorarea rezistenţei R p , iar pe de altă parte evidenţiază rolul pozitiv al rezistenţei de izolaţie R i z în limitarea acestei tensiuni. Rezistenţa prizei de pământ, care asigură o anumită valoare a tensiunii de atingere U a , se deduce din relaţia (4.40):

Ua

` Rp 

3 U  2U a

Ri z 

(4.41)

În cazul reţelelor cu neutrul izolat, prizele de pământ trebuie dimensionate astfel încât să asigure limitarea tensiunilor de atingere U a  24 V chiar şi în cazul în care





rezistenţele de izolaţie ale fazelor sunt mai mici. La instalaţiile electrice de joasă tensiune, rezistenţa prizei de pământ trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu 4 . În cazul când are loc un defect de izolaţie pe faze diferite, la două utilaje alimentate din aceeaşi reţea, adică se întâmplă o dublă punere la pământ ca în figura 4.13, numai legarea individuală la pământ a echipamentelor nu poate asigura protecţia acestora. Calea de închidere a curentului de defect este formată din cele două faze cu izolaţiile deteriorate şi prizele de pământ. Cu aproximaţie satisfăcătoare, curentul care se stabileşte prin circuit are valoarea:

I 

U , R p1  R p 2

(4.42)

iar tensiunile de atingere vor fi:

U a1 

R p1 R p1  R p 2

U,

U a2 

R p2 R p1  R p 2

U

(4.43)

Se constată că, indiferent de valorile rezistenţelor prizelor de pământ R p 1 şi

R p 2 , U a1  U a 2  U . Aşadar, chiar dacă pentru unul dintre utilaje tensiunea de atingere corespunzătoare este la limita admisibilă, totuşi, pentru celălalt utilaj tensiunea

4.5 – Protecţia împotriva tensiunilor accidentale de

atingere

are

o

valoare

periculoasă

(de

163

exemplu:

U  380 V ; U a1  24 V ; U a 2  356 V ! ). J .T .

I L1

L2 L3

I

R p2

R p1 Fig.4.13.

În majoritatea cazurilor, ambele tensiuni de atingere depăşesc limita admisă. Evitarea acestei situaţii se face prin legarea carcaselor celor două utilaje între ele, printr-un conductor de J .T . rc 1 rezistenţă rc foarte mică L (fig. 4.14). Luând în considerare şi rezistenţele conductoarelor de fază de la punctul de nul al sursei până în locul unde sunt conectate receptoarele, rc 1 şi rc 2 , rezultă schema

1

I

L2 L3

I rc 2 Ic rc R p1

din figura 4.15, pe baza căreia se determină curentul I sub forma:

Ip

R p2

Fig.4.14

I  rc 1  rc 2  Curentul care se închide prin pământ este:

U  R p1  R p 2 rc  R p 1  R p 2  rc

(4.44)

164

Ip 


rc R p1  R p 2  rc

I

r

c1

 rc 2

 R

rc

p1

U

Ip R p1

rc 2

U , (4.45)

rc

Ic

rc 1

I

 R p 2  rc    R p1  R p 2 rc

R p2

Fig.4.15

iar tensiunile de atingere corespunzătoare sunt date de relaţiile:

U a1  R p1 I p 

r

c1

 rc 2

 R

rc R p 1

p1

 R p 2  rc    R p 1  R p 2  rc

U  (4.46)

U a2  R p2 I p 

r

c1

 rc 2

 R

rc R p 2

p1

 R p 2  rc    R p 1  R p 2  rc

U

Dacă rc  R p1  R p 2 , atunci:

U a1  U a 2 

rc rc1  rc 2  rc

U

(4.47)

Se poate observa că valoarea suficient de redusă a rezistenţei rc a conductorului de legătură dintre cele două utilaje determină micşorarea fiecăreia dintre tensiunile de atingere. Rolul favorabil al acestei legături constă şi în aceea că un defect de tipul celui prezentat în figura 4.14 conduce la stabilirea unui curent I mare, capabil să determine deconectarea sectorului afectat. Spre exemplu, dacă considerăm rc1  rc 2  1  , rc  0 ,25  ,

R p1  R p 2  15  , pentru U  380 V rezultă:

U a1  U a 2  21V şi

I  16 9 A .


165

Efectul favorabil al legăturii rc în micşorarea tensiunii U a1  U a 2 este evidenţiat de relaţia (4.47). Această legătură, numită de egalizare a potenţialului, este importantă în diminuarea pericolului de accidentare. Din cele prezentate se poate preciza că, în cazul reţelelor cu neutrul izolat, protecţia împotriva atingerilor indirecte se realizează prin: a) legarea la pământ; b) controlul riguros şi periodic al rezistenţelor de izolaţie şi al rezistenţelor instalaţiilor de legare la pământ; c) reglajul corect al aparatelor de protecţie pentru deconectarea rapidă a sectorului defect în cazul unei duble puneri la pământ. 4.5.2.2. Scheme TN La reţelele de joasă tensiune cu neutrul legat la pământ, dirijarea curentului de defect al unei faze spre punctul de nul al sursei de alimentare se poate face printr-un conductor cu rezistenţă electrică mică, asigurându-se astfel o valoare ridicată a curentului şi deci, acţionarea protecţiei pe faza respectivă. Protecţia prin legare la conductorul neutru N se aplică pentru toate elementele conductive care pot fi atinse şi care nu fac parte în mod normal din circuitele curenţilor de lucru, dar care, în caz de defect, pot ajunge la o tensiune periculoasă. În figura 4.16 se prezintă o schemă T N , la J .T . care curentul de defect L1 trebuie să topească L2 fuzibilul celei mai apropiate siguranţe de L3 protecţie a echipaN mentului sau să determine I declanşarea întrerupătorului care scoate utilajul defect de sub tensiune. Protecţia prin legarea numai la conductorul neutru N are inconvenientul că, în Fig.4.16 anumite împrejurări, însăşi instalaţia de protecţie poate conduce la accidente. De exemplu, în cazul unui defect de izolaţie al unui conductor de fază, carcasele tuturor receptoarelor mono şi trifazate situate în aval de locul întreruperii conductorului neutru pot ajunge sub tensiunea de fază. O asemenea posibilitate poate apărea cu precădere la bornele tablourilor de distribuţie, la legăturile de îmbinare şi de ramificaţie de pe traseul reţelei etc. De aceea, părţile metalice ale instalaţiilor electrice care pot fi atinse şi care în mod normal nu sunt sub tensiune, se leagă la nulul sursei printr-un conductor de protecţie PE, diferit de

166


conductorul neutru N şi dimensionat pentru cel mai mare curent de defect care poate surveni. Conform normativului I.7, sistemul TN-S (5 conductoare), reprezentat în figura 4.17, este obligatoriu J .T . în cazul echipamentelor L1 mobile sau la care secţiunea L2 transversală a conductoarelor L 3 este mai mică de 10 mm2 N 2 pentru cupru şi 16 mm PE N pentru aluminiu. Pe traseul PE PE conductorului de protecţie N PE este interzisă executarea unor legături uşor demontabile şi intercalarea de siguranţe fuzibile sau Fig.4.17 aparate de comutaţie, prin a căror îndepărtare, respectiv funcţionare, s-ar putea întrerupe legătura de protecţie. De asemenea, se interzice racordarea conductorului de protecţie PE şi a conductorului neutru N la o bornă comună a receptorului. Fiecare utilaj sau echipament (inclusiv corpurile de iluminat) trebuie prevăzut cu două borne, dintre care una este în interiorul utilajului, în apropierea bornelor destinate conductoarelor de alimentare, iar a doua bornă e situată în exterior, pe carcasă. Pentru evitarea erorilor la montare, în cazul conductoarelor izolate şi al cablurilor se folosesc următoarele culori de marcare: - verde/galben, pentru conductoare de protecţie PE; - albastru deschis, pentru conductoare neutre N; - alte culori decât cele precizate (de exemplu roşu, albastru, maro), pentru conductoare de fază. Conductorul de protecţie PE poate fi folosit şi drept conductor neutru N, fiind numit conductor PEN. Acest conductor, caracteristic schemei TN-C reprezentată în figura 4.18, trebuie să satisfacă J .T . cerinţele ambelor sale funcţii. În L1 caz de neconcordanţă, are L2 prioritate funcţia PE. Schema L3 TN-C necesită legarea la pământ PEN N a conductorului PEN în anumite PE PE puncte, pe cât posibil N echidistante, pentru crearea unor căi suplimentare de trecere a curenţilor de defect. Schema TN-C este interzisă Fig.4.18 pentru toate circuitele cu


167

secţiunea conductorului de cupru mai mică de 10 mm (sau 16 mm pentru conductorul de aluminiu). Este interzisă, de asemenea, utilizarea schemei TN-C în cazul conductoarelor flexibile. 2

2

Schemele TN-C şi TN-S pot fi utilizate simultan în aceeaşi instalaţie. În realizarea schemei TN-C-S (fig.4.19), schema TN-C (4 conductoare) nu poate fi folosită niciodată în aval de Schemă TN  S Schemă TN  C J .T . schema TN-S (5 L1 conductoare). Punctul la L2 care conductorul PE se L3 separă din conductorul PEN N PEN este, în general, la PE N limita amonte a instalaţiei PE respective. N PE

Fig.4.19

PROBLEME (4) P4.1. Receptorul trifazat conectat în stea, reprezentat în figura 4.20, este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni. Să se determine tensiunile de fază la receptor în situaţia întreruperii conductorului de nul.

1

R

L

2

C 3

0 Fig. 4.20

0

168


1  10  . C

Date numerice: Ul = 380 V, R   L 

 197 V  R: U1 =380 V, U 2  U 3 ~ 1

2 3

R

L C

C

R

L

P4.2. Două receptoare trifazate dezechilibrate conectate în stea sunt alimentate cu un sistem de tensiuni de linie simetrice (fig.4.21). Să se determine curentul măsurat de ampermetrul A, presupus de impedanţă internă nulă. Date numerice: Ul = 380 V;

A

R  L

R0

1  10  ; C

R0 = 2  . R: I = 24,5 A.

Fig. 4.21

P4.3. Receptorul trifazat dezechilibrat conectat în triunghi, având schema reprezentată în figura 4.22, este 1 alimentat cu un sistem simetric de tensiuni. Să se calculeze I 12 valorile efective ale curenţilor de R 31 L fază.

C

R12 2

I 31

I 23

;

Date numerice: Ul = 380 V; R12 = R31 = 19 ;R23 = 22

L

R 23

1  11  C

R: I12 = I23 = I31 = 17,3 A. P4.4. Se consideră două receptoare echilibrate, unul în Fig. 4.22 conexiune stea şi celălalt în conexiune triunghi, alimentate de la aceeaşi sursă trifazată cu un sistem simetric de tensiuni (fig.4.23). Să se calculeze valorile efective ale curenţilor de linie. Date numerice: U l  200 3 V , Z    3  j 9   ,

3

Z Y   2  j 6  , Z l   2  j  3 

Probleme R: I1 = I2 = I3 = 40 A.

I1

Zl

Z

I2

Zl

I3

Zl

Z

ZY

ZY

ZY Z

Fig. 4.23

P4.5. Receptorul trifazat reprezentat în figura 4.24 este alimentat de la un generator ale cărui tensiuni de fază formează un sistem simetric de tensiuni. Să se calculeze valorile momentane ale curenţilor de fază. Date numerice:

U f  300 V , R  100  ,  L  300 

 M  200  ,

R:

1  100   C

i1

R

C

i2

R

L

i3

R

L Fig. 4.24

i 1  3si n   t   4  A ; i 2  3si n   t  11 12  A ; i 3  3si n   t  5  12  A 

 

M

169

5. CIRCUITE ELECTRICE CUADRIPOLARE 5.1. Noţiuni introductive Cuadripolul în sens general este un circuit electric care, fără a fi cuplat magnetic cu exteriorul, este în legătură cu acesta prin patru borne (poli) de acces, grupate în două porţi. Dacă pentru fiecare poartă curenţii sunt egali şi de sens opus, cuadripolul se numeşte diport (fig. 5.1). Un cuadripol poate fi liniar, parametric sau neliniar, după cum elementele de circuit care formează structura lui internă sunt liniare, parametrice sau neliniare. Un cuadripol poate fi activ sau pasiv, după cum în structura lui intervin sau nu surse de energie electromagnetică. Prezenţa exclusivă a rezistoarelor sau absenţa acestora în alcătuirea cuadripolilor pasivi, îi clasifică pe aceştia în disipativi sau nedisipativi. Fără a cunoaşte structura internă a cuadripolului, interacţiunea acestuia cu exteriorul este complet caracterizată, într-un regim permanent sinusoidal, de următoarele mărimi la borne: U 1 , I 1 , U 2 , I 2 . Relaţiile care stabilesc legătura între ele, în cazul unui cuadripol liniar şi pasiv, se numesc ecuaţiile cuadripolului. Acestea au forme explicite în care, două dintre mărimi se exprimă ca funcţii liniare şi omogene de două variabile independente ( U 1 şi I 1 , U 1 şi U 2 , I 1 şi I 2 etc.). Coeficienţii complecşi care intervin în aceste ecuaţii se numesc parametrii cuadripolari şi depind de structura internă a cuadripolului. În cazul alimentării directe, la poarta de intrare, formată din bornele 11’, sensurile de referinţă ale tensiunii şi curentului se asociază după regula de la receptoare, iar la poarta de ieşire, constituită din bornele 22’, asocierea sensurilor celor două mărimi se face după regula de la generatoare (fig. 5.1, a).

Fig. 5.1

Uneori este necesară scrierea ecuaţiilor cuadripolului inversat în raport cu schema de alimentare pe la bornele 11’. În schema din figura 5.1, b, corespunzând alimentării cuadripolului pe la bornele 22’, asocierea sensurilor tensiunii şi curentului se face după regula de la receptoare la poarta 2 – 2’, respectiv după regula de la generatoare la poarta 1 – 1’. La alimentarea inversă, convenim să notăm cele patru mărimi caracteristice cu indicele “prim”. Întrucât doar sensurile curenţilor sunt inversate, ecuaţiile cuadripolului alimentat pe la bornele 22’ se obţin din ecuaţiile

5.2 – Parametrii fundamentali

171

aceluiaşi cuadripol alimentat direct, pe la bornele 11’, modificând semnele curenţilor I 1 şi I 2 . Un cuadripol este reciproc dacă, aplicând la poarta de intrare o tensiune U e , curentul I 2 stabilit la poarta de ieşire prin scurtcircuitarea bornelor 22’ este egal cu '

curentul I 1 , stabilit prin scurtcircuitarea bornelor 11’ de aceeaşi sursă U e , conectată la poarta 2 – 2’.

I 2 I 1 '

(5.1)

Fig. 5.2

Aşadar, cuadripolii pot fi reciproci sau nereciproci, după cum verifică sau nu condiţia de reciprocitate. Un cuadripol pasiv este simetric dacă, prin schimbarea între ele a celor două porţi, tensiunile şi curenţii nu se modifică în exteriorul cuadripolului. În cele ce urmează ne vom referi numai la cuadripolii diporţi liniari, pasivi şi reciproci, în regim sinusoidal.

5.2. Parametrii fundamentali La alimentarea directă a cuadripolului, relaţiile liniare şi omogene dintre mărimile de intrare U 1 , I 1 şi mărimile de ieşire U 2 , I 2 , numite şi ecuaţiile









fundamentale, au forma generală:

 U 1  A 11 U 2  A 12 I 2   I 1  A 21 U 2  A 2 2 I 2 Coeficienţii



(5.2, a)

A 11 , A 12 , A 21 , A 2 2 se numesc parametrii fundamentali ai

cuadripolului. Sistemul de ecuaţii (5.2, a) poate fi scris matricial sub forma:

U 1   U 2  I    A  I  ,  1   2

(5.2, b)

Circuite electrice cuadripolare - 5

172

 A 11  A 21

unde  A   

A 12  este matricea parametrilor fundamentali. A 2 2 

Semnificaţiile fizice ale acestor parametri rezultă din regimurile particulare de funcţionare ale cuadripolilor, cu bornele 22’ în gol şi, respectiv, în scurtcircuit:

 U1  A 11   U  2

  reprezintă raportul de transformare al tensiunilor la   I 2 0 funcţionarea în gol [coeficient adimensional];

U1  A 12    I  2

  reprezintă impedanţa de transfer la funcţionarea  U 2 0 în scurtcircuit [ Ω ];

 I1  A 21   U  2

(5.3, a)

(5.3, b)

  reprezintă admitanţa de transfer la funcţionarea   I 2 0 în gol [ S ];

(5.3, c)

 I1   reprezintă raportul de transformare al curenţilor la  A 22    I  2  U 2 0 funcţionarea în scurtcircuit [ coeficient adimensional]. (5.3, d) Întrucât parametrii fundamentali reprezintă rapoarte dintre mărimi corespunzătoare celor două porţi, ei se mai numesc şi parametrii de transfer. Matricea parametrilor fundamentali (v.rel.5.2, b) se numeşte şi matrice de transfer. În scopuri practice este utilă exprimarea condiţiei de reciprocitate (rel.5.1) în funcţie de parametrii fundamentali. Se consideră cuadripolul alimentat pe la bornele 11’ de la o sursă cu t.e.m. sinusoidală U e şi cu poarta de ieşire în scurtcircuit

U

2

 0  ; din (5.2, a) rezultă:

 U1 I 2   A 12 

  Ue        A 12  U 2 0  U 2 0

(5.4)

Se alimentează cuadripolul pe la bornele 22’ de la aceeaşi sursă şi se scurtcircuitează bornele 11’. Sistemul de ecuaţii ' ' '   U 1  A 11 U 2  A 12 I 2  ' ' '    I 1  A 21 U 2  A 2 2 I 2

(5.5)

ce corespunde alimentării inverse a cuadripolului, se particularizează pentru ' ' U 2  U e , U 1  0 şi se obţine expresia

5.2 – Parametrii fundamentali

I1  '

A 11 A 2 2  A 12 A 21 A 12

Ue

173 (5.6)

Ţinând seama de relaţiile (5.1), (5.4) şi (5.6), rezultă condiţia de reciprocitate exprimată cu parametrii fundamentali: (5.7, a) A 11 A 2 2  A 12 A 21  1 sau

A 

A 11

A 12

A 21

A 22

 1

(5.7, b)

Aplicaţia 5.1. Un cuadripol diport pasiv, cu parametrii fundamentali cunoscuţi, este alimentat la poarta de intrare de o sursă cu tensiune electromotoare sinusoidală U e şi rezistenţă internă r. La poarta de ieşire este conectat un receptor cu impedanţa necunoscută (fig. 5.3). Să se determine puterea activă maximă primită de receptor.

 2 j4   j 2 

Date numerice: U e  20 V , r  2  ,  A   

Rezolvare. Pentru aplicarea teoremei transferului maxim de putere activă (v.par.3.7.2), circuitul situat în stânga bornelor 22’ se echivalează cu un generator Thévenin, ai cărui parametri U T h , Z T h se determină în





continuare. Fig.5.3

Pentru calculul impedanţei circuitului pasivizat în raport cu bornele 22’, se consideră schema din figura 5.4, a, cu alimentare dinspre bornele 22’. Ecuaţiile (5.5) pentru alimentarea inversă a cuadripolului diport pasiv ' ' '   U 1  2U 2  j 4 I 2  ' ' '    I 1  jU 2  2 I 2

se completează cu ecuaţia

U 1  r I 1  2I 1 '

'

'

şi din sistemul astfel rezultat se deduce impedanţa internă a generatorului Thévenin echivalent: '

Z Th 

U2 '

I2

 2 

174


Fig. 5.4





Pentru calculul t.e.m. a generatorului Thévenin echivalent U T h , se consideră

I

schema din figura 5.4, b, cu bornele 22’ în gol

2

 0  . Ecuaţiile (5.2, a) ale

cuadripolului devin

 U 1  2U 2   I 1  jU 2 şi se completează cu ecuaţia:

U 1  U e  r I 1  20  2 I 1  Rezultă U T h  U 2 

20  5  1  j   5 2 e  j 21  j 

4



Circuitul echivalent este reprezentat în figura 5.4, c. Pentru transferul maxim de putere activă este necesar ca

Z  Z Th  2  *

Puterea activă maximă disipată în receptor este:

Pm a x 

U T2h

4 e  Z 

5 

2 42



2

 6 ,25 W 

5.3. Parametrii impedanţă O altă formă a ecuaţiilor cuadripolilor liniari şi pasivi, care stabileşte legătura între tensiunile corespunzătoare celor două porţi şi curenţi, în condiţiile alimentării directe,

5.3 – Parametrii impedanţă

 U 1  Z 11 I 1  Z 12 I 2   U 2  Z 21 I 1  Z 2 2 I 2 introduce

mărimile

175

(5.8, a)

Z 11 , Z 12 , Z 21 , Z 2 2 , numite parametrii impedanţă ai

cuadripolului. Sistemul de ecuaţii (5.8, a) poate fi scris matricial sub forma:

U 1 U  2  Z 11  Z 21

unde  Z   

  I 1   Z  I  ,  2 

(5.8, b)

Z 12  este matricea parametrilor impedanţă ai cuadripolului. Pe Z 2 2 

baza celor prezentate în paragraful 5.1, ecuaţiile corespunzătoare alimentării cuadripolului pe la bornele 22’ au forma: ' ' '   U 1   Z 11 I 1  Z 12 I 2  ' ' ' .   U 2   Z 21 I 1  Z 2 2 I 2

I

(5.9)

Se consideră cuadripolul alimentat pe la poarta 1 – 1’ funcţionând în gol

2

 0  . Ecuaţiile (5.8, a) obţin forme particulare, din care rezultă parametrii: U1 Z 11    I  1



   Z 10 ,   I 2 0

(5.10, a)

în care Z 10 reprezintă impedanţa în gol, cu alimentare pe la bornele 11’;

U2 Z 21    I  1



 

în care Z t o



1

    Z to   I 2 0



1

,

(5.10, b)

reprezintă impedanţa de transfer în gol, cu alimentare pe la bornele 11’.

Se consideră cuadripolul alimentat pe la poarta 2 – 2’ funcţionând în gol I  0 . Din ecuaţiile (5.9) rezultă parametrii: ' 1





Z 12

 

în care Z t o

2

 U '1  '  I2 

     Z to  '  I 1 0



2

,

(5.10, c)

reprezintă impedanţa de transfer în gol, cu alimentare pe la bornele 22’;

176




Z 22

 U '2  '  I2 

    Z 20 ,  '  I 1 0

(5.10, d)

în care Z 2 0 reprezintă impedanţa în gol, cu alimentare pe la bornele 22’. Fiind definiţi în regimuri de funcţionare în gol la cele două porţi, parametrii impedanţă se numesc şi parametrii de gol ai cuadripolului. Pentru stabilirea condiţiei de reciprocitate a cuadripolului, exprimată în funcţie de parametrii impedanţă, se procedează astfel: rezolvând sistemul de ecuaţii (5.8, a) în raport cu U 1 şi I 1 se obţine:

  Z 11 Z 11 Z 2 2 U 2   Z 12  U 1   Z 21 Z 21     I  1 U  Z 22 I  1 Z 21 2 Z 21 2 

 I2   

(5.11)

Comparând aceste ecuaţii cu cele din (5.2, a), rezultă:

A 11  Z 11 Z 21 , A 12  Z 12  Z 11 Z 2 2

Z 21



(5.12, a)

A 21



(5.12, b)

A 21  1 Z 21 , A 2 2   Z 2 2 Z 21 respectiv

Z 11  A 11

A 21 , Z 12  A 12  A 11 A 2 2

Z 21  1 A 21 , Z 2 2   A 2 2

A 21

Se înlocuiesc parametrii fundamentali exprimaţi cu (5.12, a) în relaţia (5.7, a) şi condiţia de reciprocitate rezultă sub forma:

Z 2 1   Z 12  Aplicaţia 5.2. Se consideră circuitul cuadripolar cu schema din figura 5.5 funcţionând în regim sinusoidal. Să se determine parametrii impedanţă şi să se verifice condiţia de reciprocitate a cuadripolului.

(5.13)

Fig.5.5

5.4 – Parametrii admitanţă

177

Rezolvare. Se decuplează bobinele din laturile concurente într-un nod al circuitului şi se aplică metoda curenţilor ciclici schemei din figura 5.6.

Fig.5.6

Curenţii ciclici sunt I 1 , I , I 2 şi satisfac sistemul de ecuaţii:

 U 1   2  j2  I 1  j2I   O  j 2 I 1   j3  j  j2  I  j I 2  U   j I   1  j  j  I 2 2  După eliminarea din calcule a curentului I , sistemul de ecuaţii scris în forma

 U 1  2  1  j2 I 1  j I 2   U 2   j I 1   1  j 3 2 I 2 pune în evidenţă elementele matricei  Z  :

Z 11  2  1  j 2   ; Z 12  j  ; Z 21   j  ; Z 22    1  j3 2   

Întrucât este verificată relaţia (5.13) Z 12   Z 21  j  , cuadripolul este reciproc.

5.4. Parametrii admitanţă În condiţiile alimentării directe, o formă nouă a ecuaţiilor cuadripolilor liniari şi pasivi stabileşte legătura dintre curenţii corespunzători celor două porţi şi tensiuni

 I 1  Y 11 U 1  Y 12 U 2 (5.14, a) ,   I 2  Y 21 U 1  Y 2 2 U 2 punând în evidenţă coeficienţii Y 11 , Y 12 , Y 21 , Y 2 2 , numiţi parametrii admitanţă ai cuadripolului. Sistemul de ecuaţii (5.14, a) poate fi scris matricial sub forma:

178


I1 I  2

U 1     Y   U  ,   2

(5.14, b)

 Y 11 Y 12   este matricea parametrilor admitanţă ai cuadripolului.  Y 21 Y 2 2 

în care  Y   

Pe baza celor prezentate în paragraful 5.1, ecuaţiile corespunzătoare alimentării cuadripolului pe la bornele 22’ sunt: ' ' '    I 1  Y 11 U 1  Y 12 U 2  ' ' '     I 2  Y 21 U 1  Y 2 2 U 2

(5.15)

Elementele matricei admitanţă se determină din regimuri de funcţionare în scurtcircuit, considerându-se cuadripolul alimentat atât direct cât şi invers. Alimentând cuadripolul pe la poarta 1 – 1’ şi particularizând ecuaţiile (5.14, a) pentru U 2  0 , rezultă parametrii:

 I1 Y 11   U  1



   Y 1s ,  U 2 0

(5.16, a)

în care s-a notat cu Y 1 s admitanţa (de intrare) în scurtcircuit a cuadripolului alimentat pe la bornele 11’;

 I2 Y 21   U  1





în care Y t s



1

   Y t s  U 2 0



1

,

(5.16, b)

este admitanţa de transfer în scurtcircuit a cuadripolului alimentat pe la

bornele 11’. Alimentând cuadripolul pe la poarta 2 – 2’ şi scurtcircuitând bornele 11’ ' U 1  0 , din ecuaţiile (5.15) rezultă parametrii:





 I '1 Y 12    ' U2 

 în care

Y  ts

2

    Y t s  ' U 1 0



2

,

(5.16, c)

reprezintă admitanţa de transfer în scurtcircuit a cuadripolului

alimentat pe la bornele 22’;



Y 22

 I '2  ' U2 

    Y 2s ,  ' U 1 0

(5.16, d)

5.4 – Parametrii admitanţă

179

în care s-a notat cu Y 2 s admitanţa în scurtcircuit a cuadripolului alimentat pe la bornele 22’. Fiind definiţi în regimuri de funcţionare în scurtcircuit la porţile 1 – 1’ şi 2 – 2’, parametrii admitanţă se numesc şi parametrii de scurtcircuit ai cuadripolului. Pentru stabilirea condiţiei de reciprocitate a cuadripolului în funcţie de parametrii admitanţă, se rezolvă sistemul de ecuaţii (5.14, a) în raport cu U 1 , I 1 şi se obţine:

Y 22  1 U   U2 I2 1  Y 21 Y 21       I   Y  Y 11 Y 2 2  U  Y 11 I 2 2  1  12 Y 21  Y 21 

(5.17)


A 11   Y 2 2 Y 21 , A 12  1 Y 21 , A 21  Y 12  Y 11 Y 2 2 Y 21 , A 2 2  Y 11 Y 21  respectiv

Y 11  A 2 2 Y 21  1

A 12 , Y 12  A 21  A 11 A 2 2

A 12 , Y 2 2   A 11 A 12 

A 12 ,

(5.18, a)

(5.18, b)

Se înlocuiesc parametrii fundamentali exprimaţi cu (5.18, a) în relaţia (5.7, a) şi se obţine condiţia de reciprocitate sub forma:

Y 12   Y 21  (5.19)

Fig.5.7

Aplicaţia 5.3. Se consideră circuitul cuadripolar cu schema din figura 5.7 funcţionând în regim sinusoidal. Să se determine parametrii admitanţă şi să se verifice condiţia de reciprocitate a

cuadripolului. Rezolvare. Schema din figura 5.8, a corespunde situaţiei în care circuitul cuadripolar este alimentat pe la poarta 1 – 1’ şi bornele 22’ sunt scurtcircuitate. Din sistemul de ecuaţii

U 1   1  j I 1  j I 2   O   j I 1   1  j2  j I 2

180


rezultă, conform relaţiilor (5.16, a) şi (5.16, b), parametrii:

 I1 Y 11   U  1  I2 Y 21   U  1

 1 j   S,  3 U 2 0  j   S  U 2 0 3

În figura 5.8, b s-a reprezentat schema corespunzătoare alimentării inverse a cuadripolului, atunci când bornele 11’ sunt scurtcircuitate. Din sistemul de ecuaţii ' ' '  U 2   1  2 j  j I 2  j I 1  ' '   O   j I 2   1  j I 1

rezultă, conform relaţiilor (5.16, c) şi (5.16, d), parametrii:

 I '1 Y 12    ' U2   I '2 Y 22    ' U2 

 j   S,  ' 3 U 1 0  1 j   S  ' 3 U 1 0

Fig. 5.8

Se verifică condiţia de reciprocitate exprimată de relaţia (5.17):

Y 12   Y 2 1   j 3 S 

5.5. Parametrii hibrizi Parametrii hibrizi sunt folosiţi cu precădere în descrierea funcţionării unui număr important de dispozitive electronice. În continuare, se prezintă două forme noi ale

5.5 – Parametrii hibrizi

181

ecuaţiilor cuadripolilor liniari şi pasivi, scrise explicit în raport cu o mărime de la intrare şi o altă mărime de la ieşire. Sistemul de ecuaţii

 U 1  H 11 I 1  H 12 U 2 ,   I 2  H 21 I 1  H 2 2 U 2

(5.20)

care promovează parametrii hibrizi direcţi H 11 , H 12 , H 21 , H 2 2 , poate fi scris şi matricial în forma:

I1  U 1   I    H   U  ,  2   2

 H 11  H 21

în care  H   

(5.21)

H 12  este matricea parametrilor hibrizi direcţi. H 2 2 

Ecuaţiile corespunzătoare alimentării cuadripolului pe la poarta 2 – 2’ se obţin din (5.20): ' ' '   U 1   H 11 I 1  H 12 U 2  ' ' '    I 2   H 21 I 1  H 2 2 U 2



(5.22)



Considerând funcţionarea în scurtcircuit U 2  0 pentru cuadripolul alimentat direct, din ecuaţiile (5.20) se obţin parametrii:

U1 H 11    I  1



 I2 H 21    I  1

 în care

k  Is

1

 1   ;  Y 1 s U 2 0

(5.23, a)

    k I s 1 ,  U 2 0

(5.23, b)

reprezintă raportul de transformare al curenţilor în scurtcircuit cu

alimentare la poarta 1 – 1’. Particularizând ecuaţiile (5.22) pentru funcţionarea în gol

I

' 1

0



a

cuadripolului alimentat pe la bornele 22’, rezultă parametrii:



H 12

 U '1  ' U2 

    k U 0 2 ,  '  I 1 0

(5.23, c)

182




în care k U 0



2

reprezintă raportul de transformare al tensiunilor în gol cu alimentare

la poarta 2 – 2’;



H 22

 I '2  ' U2 

 1     ' Z 2 0  I 1 0

(5.23, d)

Pentru stabilirea condiţiei de reciprocitate a cuadripolului în funcţie de parametrii hibrizi direcţi, se rezolvă sistemul de ecuaţii (5.20) în raport cu U 1 , I 1 şi se obţine

  H 11 H 2 2  H  U 2  11 I 2  U 1   H 12  H 21  H 21      I   H 22 U  1 I 2 2  1 H 21 H 21 

(5.24)


A 11  H 12  H 11 H 2 2 A 21   H 2 2 respectiv

H 11  A 12 H 21  1

H 21 , A 12  H 11 H 21 ,

H 21 , A 2 2  1 H 21  A 2 2 , H 12  A 11  A 12  A 21

A 22 ,

A 2 2 , H 2 2   A 21 A 2 2 

(5.25, a)

(5.25, b)

Se înlocuiesc parametrii fundamentali exprimaţi cu (5.25, a) în relaţia (5.7, a) şi se obţine condiţia de reciprocitate sub forma:

H 2 1  H 12 

(5.26)

Sistemul de ecuaţii

 I 1  F 11 U 1  F 12 I 2 (5.27) ,   U 2  F 21 U 1  F 2 2 I 2 prin care sunt introduşi parametrii hibrizi inverşi F 11 , F 12 , F 21 , F 2 2 , poate fi scris şi matricial în forma:

I1 U  2

 F 11  F 21

în care  F   

 U 1    F   I  ,  2  

F 12  este matricea parametrilor hibrizi inverşi. F 2 2 

(5.28)

5.5 – Parametrii hibrizi

183

Ecuaţiile corespunzătoare alimentării cuadripolului pe la bornele 22’ se obţin din (5.27): ' ' '    I 1  F 11 U 1  F 12 I 2  ' ' '  U  F U  F I  2 1 2 2 2 2 1 



(5.29)



Cu bornele 22’ în gol I 2  0 şi cuadripolul alimentat pe la poarta de intrare 1 – 1’, din ecuaţiile (5.27) rezultă parametrii:

 I1 F 11   U  1



U2 F 21   U  1





în care s-a notat cu k U 0



1

 1   ;   I 2  0 Z 10

(5.30, a)

    k U 0 1 ,   I 2 0

(5.30, b)

raportul de transformare al tensiunilor în gol cu alimentare

pe la bornele 11’. ' Cu bornele 11’ scurtcircuitate U 1  0 şi cuadripolul alimentat pe la poarta 2





– 2’, din ecuaţiile (5.29) se obţin parametrii:



în care s-a notat cu

F 12

k  Is

2

 I '1   '    k I s 2 ,  I2  '  U 1 0

(5.30, c)

raportul de transformare al curenţilor în scurtcircuit cu

alimentare pe la poarta 2 – 2’;



F 22

 U '2  '  I2 

 1     ' Y 2 s U 1 0

(5.30, d)

Pentru stabilirea condiţiei de reciprocitate a cuadripolului în funcţie de parametrii hibrizi inverşi, se rezolvă sistemul de ecuaţii (5.27) în raport cu U 1 , I 1 şi se obţine:

F 22  1 U 1  F U 2  F I 2 21 21     I  F 11 U   F  F 11 F 2 2 1 2  12  F 21 F 21  

 I 2  



(5.31)

184

Circuite electrice cuadripolare - 5 Comparând aceste ecuaţii cu cele din (5.2, a) rezultă:

A 11  1 F 21 , A 12   F 2 2

F 21 , A 21  F 11 F 21 ,

A 2 2  F 12  F 11 F 2 2 F 21  respectiv

F 11  A 21 A 11 , F 12  A 2 2  A 12 A 21

A 11 ,

F 21  1 A 11 , F 2 2   A 2 2 A 11 

(5.32, a)

(5.32, b)

Se înlocuiesc parametrii fundamentali exprimaţi cu (5.32, a) în relaţia (5.7, a) şi se obţine condiţia de reciprocitate sub forma: (5.33) F 2 1  F 12  Aplicaţia 5.4. Cunoscând parametrii hibrizi direcţi, să se determine parametrii generatorului echivalent Thévenin U T h , Z T h în raport cu bornele de ieşire ale





circuitului cuadripolar, a cărui schemă este reprezentată în figura 5.9, a. Date numerice: U e  6 0 V , r  3  , H 11   1  j 4  ,

H 12  2 , H 2 1  4 , H 2 2    1  j  S 

Fig. 5.9

Rezolvare. Pentru calculul impedanţei circuitului pasivizat în raport cu bornele 22’, se consideră schema din figura 5.9, b, cu alimentare dinspre poarta 2 – 2’. Ecuaţiile (5.22) ale cuadripolului diport pasiv ' ' '   U 1    1  j 4  I 1  2U 2  ' ' '    I 2   4 I 1   1  j U 2

se completează cu ecuaţia

U 1  r I 1  3I 1 '

'

'

5.6 – Cuadripoli simetrici

185

şi din sistemul astfel rezultat se deduce impedanţa internă a generatorului echivalent Thévenin: '

Z Th 

U2 '

I2

 0 ,5  





Pentru calculul t.e.m. a generatorului echivalent Thévenin U T h , se consideră





schema din figura 5.9, c, cu bornele 22’ în gol I 2  0 . Ecuaţiile (5.20) devin:

 U 1   1  j4  I 1  2U 2   O  4 I 1   1  j U 2 şi se completează cu ecuaţia:

U 1  U e  r I 1  60  3 I 1  Rezultă U T h  U 2  15  1  j   15

2 e  j

a generatorului echivalent Thévenin este U T h  15

4

V . Valoarea efectivă a t.e.m.

2V .

5.6. Cuadripoli simetrici Rezolvând sistemul de ecuaţii (5.5) în raport cu U reciproc



A  1  se obţine

' ' '   U 2  A 2 2 U 1  A 12 I 1  ' ' '   I 2  A 21 U 1  A 11 I 1

' 2

'

şi I 2 , pentru un cuadripol

(5.34)

Cuadripolul este simetric dacă, prin inversarea porţilor de intrare şi de ieşire, comportarea lui faţă de exterior este aceeaşi. Cu alte cuvinte, funcţionarea cuadripolului simetric este descrisă de aceleaşi relaţii la alimentările directă şi inversă. Din sistemele de ecuaţii (5.2, a) şi (5.34), corespunzătoare celor două tipuri de alimentări, condiţia de simetrie rezultă sub forma:

A 2 2  A 11 

(5.35)

Pentru celelalte categorii de parametri, condiţia de simetrie se deduce din relaţiile (5.12), (5.18), (5.25, a), (5.32, a), (5.35) şi se exprimă sub formele:

Z 2 2   Z 11 ;

(5.36)

Y 2 2   Y 11 ;

(5.37)

H  1 , F  1 

(5.38)

186

Circuite electrice cuadripolare - 5 La un cuadripol reciproc şi simetric numai doi parametri sunt independenţi.

5.7. Impedanţe de intrare Se consideră un cuadripol alimentat direct (pe la bornele 11’), care funcţionează cu un receptor de impedanţă Z  U 2 I 2 , conectat la poarta de ieşire 2 – 2’ (fig.5.10,a). Impedanţa echivalentă a circuitului în raport cu bornele de intrare se numeşte impedanţă de intrare directă (primară).

Z i nt r1 

U1



I1

(5.39)

Ţinând seama de relaţia (5.2, a), rezultă

Z i nt r1 

A 11 U 2  A 12 I 2 A 21 U 2  A 2 2 I 2



A 11 Z  A 12 A 21 Z  A 2 2



(5.40)

În cazul alimentării inverse a cuadripolului, cu receptorul de impedanţă ' ' Z  U 1 I 1 conectat la poarta 1 – 1’ (fig. 5.10, b), impedanţa echivalentă determinată în raport cu bornele 22’ se numeşte impedanţă de intrare inversă (secundară) '

Z i nt r 2 

U2



'

I2

(5.41)

Ţinând seama de relaţia (5.34) se obţine expresia:

A 2 2 U 1  A 12 I 1 '

Z i nt r 2 

'

A 21 U  A 11 I ' 1

' 1



A 2 2 Z  A 12 A 21 Z  A 11



(5.42)

Fig. 5.10

5.7.1. Impedanţe caracteristice Impedanţa caracteristică (iterativă) directă Z c 1 este impedanţa de sarcină care, conectată între bornele 22’, determină în raport cu bornele 11’ o impedanţă de intrare directă Z i n t r 1 egală cu Z c 1 , adică


Z c1 

A 11 Z c 1  A 12 A 21 Z c 1  A 2 2



187

(5.43, a)

Relaţia (5.43, a) se poate scrie ca o ecuaţie de gradul al doilea în Z c 1

A 21 Z c 1   A 2 2  A 11 Z c 1  A 12  0 , 2

(5.43, b)

ale cărei soluţii sunt

Z c1 

A 11  A 2 2 2 A 21



 A 11  A 2 2   2A 21 

2

 A   12   A 21 

(5.44)

Impedanţa caracteristică (iterativă) inversă Z c 2 este impedanţa de sarcină care, conectată între bornele 11’, determină în raport cu bornele 22’ o impedanţă de intrare inversă Z i n t r 2 egală cu Z c 2 , adică

Z c2 

A 2 2 Z c 2  A 12 A 21 Z c 2  A 11



(5.45)

Relaţia (5.45), scrisă sub forma unei ecuaţii de gradul al doilea în Z c 2 , are soluţiile:

Z c2 

A 2 2  A 11 2 A 21



 A 2 2  A 11   2A 21 

2

 A   12   A 21 

(5.46)

Observaţie. În relaţiile (5.44), (5.46) se alege semnul (+) sau (-) astfel încât părţile reale ale impedanţelor caracteristice (rezistenţele electrice) să fie pozitive.

Impedanţele caracteristice (iterative) intervin în situaţia impusă de adaptarea unui generator, având impedanţa interioară Z i , cu un receptor de impedanţă Z, atunci când conectarea lor directă nu este posibilă. Intercalarea cuadripolului nu modifică condiţiile de adaptare dacă, impedanţa caracteristică directă Z c 1 a cuadripolului este egală cu impedanţa Z a receptorului

Z c1  Z

şi impedanţa caracteristică inversă Z c 2 este egală cu impedanţa interioară Z i a sursei

Z c2  Z i  5.7.2. Impedanţe imagini


188

Impedanţele imagini ale unui cuadripol formează o pereche de impedanţe Z i 1 şi

Z i 2 astfel încât, Z i 1 este impedanţa de intrare directă atunci când Z i 2 reprezintă impedanţa de sarcină conectată între bornele 22’, respectiv Z i 2 este impedanţa de intrare inversă atunci când Z i 1 constituie impedanţa de sarcină conectată între bornele 11’. Rezolvând sistemul de ecuaţii scrise pe baza relaţiilor (5.40) şi (5.42), în care

Z i n t r1  Z i 1 , dacă Z  Z i 2 şi Z i n t r 2  Z i 2 , dacă Z  Z i 1 , rezultă impedanţa imagine primară

Z i1  

A 11 A 12

(5.47)

A 21 A 2 2

şi impedanţa imagine secundară

Z i2  

A 2 2 A 12 A 21 A 11



(5.48)

Observaţie. În relaţiile (5.47) şi (5.48) se alege semnul (+) sau (-), astfel încât

 

 

e Z i 1  0 , e Z i 2  0 . Impedanţele imagini intervin în situaţia impusă de adaptarea unui receptor de impedanţă Z la un generator cu impedanţa interioară Z i ; în acest caz impedanţa imagine primară trebuie să fie egală cu impedanţa interioară a sursei

Z i1  Z i şi impedanţa imagine secundară trebuie să fie egală cu impedanţa receptorului

Z i2  Z i 

A

22

Particularizând relaţiile (5.44), (5.46)…(5.48) pentru un cuadripol simetric  A 11 , toate impedanţele caracteristice şi imagini au aceeaşi expresie de calcul:



Z c1  Z c 2  Z i1  Z i2  

A 12 A 21

(5.49)

5.8. Scheme echivalente ale cuadripolilor Schema echivalentă a unui cuadripol constă în reprezentarea grafică a structurii altui cuadripol, cu aceiaşi parametri ca şi ai cuadripolului dat, fără ca realizarea practică a acestei structuri să fie neapărat posibilă. Cum un cuadripol liniar, pasiv şi reciproc are trei parametri independenţi, schemele echivalente au în structurile lor cel puţin trei impedanţe complexe. 5.8.1. Schema echivalentă în T


189

Schema în T a cuadripolului conţine două impedanţe longitudinale Z 1 , Z 2 şi o impedanţă transversală Z 3 (fig. 5.11). Se aplică metoda curenţilor de contur celor două ochiuri independente ale schemei echivalente şi se obţin ecuaţiile Fig. 5.11

 U 1   Z 1  Z 3 I 1  Z 3 I 2 ,   U 2  Z 3 I 1   Z 2  Z 3 I 2 în care se identifică parametrii impedanţă introduşi cu relaţiile (5.8, a):

Z 11  Z 1  Z 3 , Z 21   Z 12  Z 3 , Z 2 2    Z 2  Z 3  

(5.50)

Din (5.50) se determină expresiile impedanţelor schemei echivalente în funcţie de elementele matricei impedanţă: (5.51) Z 1  Z 11  Z 12 , Z 2  Z 12  Z 2 2 , Z 3  Z 21   Z 12  Din relaţiile (5.12, a) şi (5.50) se deduc expresiile parametrilor de transfer în funcţie de impedanţele schemei echivalente:

A 11  1  Z 1 Z 3 , A 12  Z 1  Z 2  Z 1 Z 2 Z 3 , A 21  1 Z 3 , A 2 2  1  Z 2 Z 3 

A

Dacă

11

 A 22



(5.52)

cuadripolul este simetric , atunci şi schema echivalentă

este simetrică, respectiv Z 1  Z 2 . Aplicaţia 5.5. Se consideră circuitul cuadripolar diport cu schema din figura 5.12, funcţionând în regim sinusoidal. Se cer: a) schema echivalentă în T; b) relaţia dintre parametrii circuitului pentru ca U 2  0 , la o frecvenţă dată a tensiunii de alimentare U 1 . Fig. 5.12

Rezolvare. a) Eliminând cuplajele magnetice dintre bobine (v. par.3.5.3), rezultă schema echivalentă din figura 5.13, respectiv schema în T din figura 5.11, în care:

190


Z 1  Z 2  j   L1  M 1   1  C1  şi Z 3  j   L 2 2  M 2 2  M 1   2  C 2   b) Pentru anularea tensiunii U 2 este necesar ca Z 3  0 , adică

 L2 M 2   M1 2  2

 

 2     C2

sau

 2 C 2  L2  M 2  2 M 1   4  5.8.2. Schema echivalentă în Π Schema în Π a cuadripolului conţine două admitanţe transversale şi o admitanţă Y 1 ,Y 2

Fig. 5.13

longitudinală Y 3 (fig.5.14). Se aplică prima teoremă a lui Kirchhoff în nodurile schemei echivalente şi se obţin ecuaţiile Fig.5.14

 I 1  Y 1 U 1  Y 3 U 1  U 2    Y 1  Y 3 U 1  Y 3 U 2   I 2  Y 3  U 1  U 2   Y 2 U 2  Y 3 U 1   Y 2  Y 3 U 2 , în care se identifică parametrii admitanţă introduşi cu relaţiile (5.14, a):

Y 11  Y 1  Y 3 , Y 21   Y 12  Y 3 , Y 2 2   Y 2  Y 3  

(5.53)

Din (5.53) se obţin expresiile admitanţelor schemei echivalente în funcţie de elementele matricei admitanţă: Y 1  Y 11  Y 12 , Y 2  Y 12  Y 2 2 , Y 3  Y 21   Y 12  (5.54)


191

Din relaţiile (5.18, a) şi (5.53) se deduc expresiile parametrilor de transfer în funcţie de admitanţele schemei echivalente:

A 11  1  Y 2 Y 3 , A 12  1 Y 3 , A 21  Y 1  Y 2  Y 1 Y 2 Y 3 , A 2 2  1  Y 1 Y 3  Dacă cuadripolul este simetric

A

11

(5.55)

 A 2 2  , atunci şi schema echivalentă este

simetrică, respectiv Y 1  Y 2 . Aplicaţia 5.6. Se consideră cuadripolii pasivi în T şi Π reprezentaţi în figura 5.15, a şi b, pentru care se cunosc: R, L, C şi ω. Să se stabilească relaţiile între parametrii elementelor de circuit, respectiv între aceştia şi Fig. 5.15 pulsaţia ω astfel încât cei doi cuadripoli să fie echivalenţi. Rezolvare. Doi cuadripoli sunt echivalenţi şi se pot substitui unul celuilalt dacă au aceiaşi parametri (de transfer, impedanţă etc.). În conformitate cu relaţiile (5.52), parametrii de transfer ai cuadripolului cu schema în T sunt:

A 11  1  A 12  Z 1  Z 2 

Z1 Z3

Z1Z2 Z3

A 21  A 22  1 

1 j

R ; L

 1  R  1  2  LC 

 1   j ; C 

1 1  j ; Z3 L Z2 Z3

1

1 .  LC 2

Pe baza relaţiilor (5.55), parametrii de transfer ai cuadripolului cu schema în sunt:

A 11  1  *

Y2 Y3

1 j

1 ;  RC

Π

192


A 12  *

A 21  Y 1  Y 2  *

1 1  j ; Y3 C

Y 1Y 2 Y3

A 22  1  *



Y1 Y3

1 R

 1  1  2  LC 

1

 1   j ; L 

1 .  LC 2

Din A 11  A 11 , A 12  A 12 sau A 21  A 21 , rezultă: R 2  *

*

*

L şi   C

1 . LC

5.8.3. Schema în punte Schema în punte a cuadripolului (fig.5.16,b) este formată cu două impedanţe longitudinale Z 1 , Z 2 şi două impedanţe Z 3 , Z 4 conectate încrucişat ca în figura 5.16, a.

Fig. 5.16





Dacă poarta de ieşire 2 – 2’ este în gol I 2  0 , rezultă relaţiile

I1 

U1 Z1 Z3



U1 Z2 Z4

U 1

Z1 Z2 Z3 Z4

Z

1

Z3

 Z

2

 Z 4

şi

U2 Z3

U1 Z1  Z 3

Z2

U1 Z2 Z4

din care se obţin parametrii de transfer:

U 1

Z

Z3 Z 4  Z1Z 2 1

Z3

 Z

2

Z4



,

5.8 – Scheme echivalente ale cuadripolilor

 U1 A 11   U  2

  Z 1  Z 3  Z 2  Z 4  ;    Z3Z4 Z1Z2  I 2 0

 I1 A 21   U  2

(5.56)

 Z1 Z2Z3 Z4     Z Z  Z Z 3 4 1 2  I 2 0



193

(5.57)



Dacă bornele 22’ sunt scurtcircuitate U 2  0 , rezultă relaţiile

I1 

U1 Z 1Z 4 Z 2Z 3  Z1 Z4 Z2 Z3

U 1

Z

1

Z4

 Z

2

Z3



Z 1Z 4 Z 2  Z 3  Z 2 Z 3 Z 1  Z 4



şi

I2 I1

Z4 Z1 Z4

I1

Z2 Z2 Z3

U 1

Z 3Z 4  Z 1Z 2

Z 1Z 4 Z 2  Z 3  Z 2 Z 3 Z 1  Z 4

,

din care se obţin parametrii de transfer:

U1 A 12    I  2

 Z 1 Z 4 Z 2  Z 3   Z 2 Z 3 Z 1  Z 4    ;  Z3Z4 Z1Z2 U 2 0

(5.58)

 I1  Z 1  Z 4  Z 2  Z 3   A 22     I  Z3Z4 Z1Z2  2 U 2 0



(5.59)



Pentru schema în punte simetrică Z 1  Z 2 , Z 3  Z 4 , relaţiile (5.56)...(5.59) devin:

A 11  A 2 2 

Z3 Z1 Z3 Z1

; A 12 

2Z 1 Z 3 Z3 Z1

; A 21 

2  Z3 Z1

(5.60)

5.8.4. Schema în T podit Cuadripolul în T podit (fig. 5.17, a) poate fi adus la forma unui cuadripol echivalent în T obişnuit (fig. 5.17, b), prin transfigurarea triunghiului format din impedanţele Z 1 , Z 2 , Z 3 într-o stea echivalentă, conform relaţiilor (3.50) aplicate corespunzător în acest caz:

Z 12  Z 1 Z 2 Z 31  Z 3 Z 1

Z Z

1 1

 Z 2  Z 3  , Z 23  Z 2 Z 3

 Z 2  Z 3 

Fig. 5.17

Z

1

Z2 Z3



194


Pentru schema echivalentă din figura 5.17, b, expresiile celor trei impedanţe sunt:

Z 1T  Z 31 , Z 2T  Z 2 3 , Z 3T  Z 12  Z 0 

(5.61)

Aplicaţia 5.7. Cuadripolul diport cu schema din figura 5.18, a funcţionează în regim sinusoidal. Să se determine impedanţa de intrare primară Z i n t r 1 a acestui circuit.

Fig. 5.18

Date numerice: Z 1  j 5 , Z 2  10 , Z 3   j10  , Z 0  6  , Z  j 4  Rezolvare. În conformitate cu relaţiile de transfigurare a triunghiului într-o stea de impedanţe echivalentă, se obţin:

Z 12  2  1  j 2  , Z 2 3  4  1  j 2  , Z 31  2  2  j   Cu relaţiile (5.61) se determină:

Z 1T  2  2  j  , Z 2T  4  1  j 2  , Z 3T  4  1  j  

Parametrii de transfer se calculează cu relaţiile 5.52:

A 11  1  Z 1T

Z 3T   7  j  4 ;

A 12  Z 1T  Z 2T  Z 1T Z 2T

Z 3T   9  j 13  ;

A 21  1 Z 3T  1 4  1  j    1  j  8 S ;

A 2 2  1  Z 2T

Z 3T  1  j 3  2 

Pentru stabilirea impedanţei de intrare primară se aplică relaţia 5.40:

Z i nt r1 

A 11 Z  A 12 A 21 Z  A 2 2



 7  j  4 j 4  9  j13  2  4  j    1  j  4 j 8   1  j 3 2

5.9. Interconectarea cuadripolilor

5.9 – Interconectarea cuadripolilor

195

Pentru diferitele posibilităţi de interconectare a cuadripolilor, unul din cele cinci sisteme de ecuaţii prezentate cu ocazia introducerii parametrilor cuadripolari este cel mai avantajos. Pentru simplificarea prezentării, se consideră doi cuadripoli conectaţi în diferite moduri, se determină matricele parametrilor cuadripolilor echivalenţi şi rezultatele se generalizează pentru un număr oarecare de cuadripoli. Vom presupune că şi după interconectarea lor, cuadripolii rămân diporţi. 5.9.1. Conectarea în lanţ (cascadă) Doi cuadripoli sunt conectaţi în lanţ dacă bornele de ieşire ale unui cuadripol sunt legate cu bornele de intrare ale cuadripolului următor (fig. 5.19). Cu notaţiile din figura 5.19, ecuaţiile de forma (5.2, b) pentru cuadripolii componenţi sunt: Fig. 5.19

 

 U '1   U '2 '  '  A  '  I 1   I 2

  

 

 U "1   U "2 "  "  A  "  I 1   I 2

,

  

(5.62)

Întrucât mărimile de ieşire ale primului cuadripol sunt egale cu mărimile de ' ' " " intrare ale celui de-al doilea U 2  U 1 şi I 2  I 1 , pentru cuadripolul echivalent





(marcat cu linie întreruptă) rezultă:

  

 U '1   U "2   U "2  ' "  '   A  A   "    A   "    I 1   I 2   I 2 

(5.63)

Matricea de transfer a cuadripolului echivalent este egală cu produsul matricelor de transfer ale cuadripolilor componenţi:

 A 

 A '    A"     

(5.64, a)

Pentru n cuadripoli conectaţi în lanţ, se obţine în mod analog

 A    A  n

k 1

k

(5.64, b)

196


La efectuarea produsului matricelor, acestea trebuie să fie introduse în aceeaşi ordine în care se succed cuadripolii în cascadă (produsul matriceal nu este comutativ). 5.9.2. Conectarea în serie Prin acest mod de conectare, care constă în legarea în serie a porţilor de intrare, respectiv a celor de ieşire (fig.5.20), sunt îndeplinite condiţiile:

  I '1  '   I 2

  I "1  "   I 2

  

(5.65, a)

  U '1  '   U 2

  U "1  "   U 2

  

(5.65, b)

I1 I  2 şi

U 1 U  2

Prin însumarea ecuaţiilor cu parametrii impedanţă, corespunzătoare celor doi cuadripoli

 U '1  '  U 2

  I '1  '  Z    '   I 2  

 

Fig. 5.20

,

 U "1  "  U 2

  I 1"  "  Z    "  I 2  

 

(5.66)

relaţia (5.65, b) devine

U 1 U  2

  

  Z    Z   II '

"



1 2

 I1     Z   I     2

(5.67)

Matricea impedanţă a cuadripolului echivalent este egală cu suma matricelor similare ale cuadripolilor componenţi:

 Z 

Z '    Z "      

(5.68, a)


197

Pentru n cuadripoli conectaţi în serie, se obţine în mod analog

 Z     Z k  n

(5.68, b)

k 1

5.9.3. Conectarea în paralel Prin legarea în paralel a porţilor de intrare, respectiv a celor de ieşire (fig. 5.21) sunt satisfăcute condiţiile:

U 1 U  2

  U '1  '   U 2

  U "1  "   U 2

  

(5.69, a)

  I '1  '   I 2

  I "1  "   I 2

  

(5.69, b)

şi

I1 I  2

Fig. 5.21

Ecuaţiile cu parametrii admitanţă, corespunzătoare celor doi cuadripoli

 I '1  '  I 2

 U '1   '  Y   '     U 2 

 

 I "1  "  I 2

,

 U 1"   "  Y   "    U 2 

 

(5.70)

se însumează şi, ţinând seama de (5.69, a), relaţia (5.69, b) devine

I1 I  2

   Y   UU

 '  Y 

"



1 2

 U 1    Y   U     2

(5.71)

Matricea admitanţă a cuadripolului echivalent este egală cu suma matricelor similare ale cuadripolilor componenţi:

198


Y 

Y '   Y "      

(5.72, a)

Generalizând acest rezultat, pentru n cuadripoli conectaţi în paralel, se obţine în mod analog

 Y    Y k  n

(5.72, b)

k 1

Aplicaţia 5.8. În circuitul cuadripolar diport cu schema din figura 5.22 se cunosc R, C şi ω. Se cer: a) admitanţa Y 2 1 ; b) pulsaţia ω0 a tensiunii sinusoidale de alimentare u1 pentru care tensiunea de ieşire u2 devine nulă, atunci când la ieşire este conectată impedanţa de sarcină Z s . Rezolvare. a) Circuitul cuadripolar din figura 5.22 a rezultat prin conectarea în paralel a doi cuadripoli în T reprezentaţi în figura 5.23, a şi b, pentru care se calculează

Y

Y

" 21

' 21

Fig.5.22

 I '2  ' U1 

 I "2  " U1 

 1  j 2 RC   , 2 2 2  ' 4 R 1  4  R C U 2 0



  2 RC 2 1  j 2 RC    ,  " 1  4 2 R 2 C 2 U 2 0

Y 21  Y 21  Y 21  '



"

 1  4



R 2 C 2 1  j 2 RC   4 R 1  4 2 R 2 C 2 2



Fig.5.23




199

b) Din ecuaţiile:

 I 2  Y 21 U 1  Y 2 2 U 2  U 2  Z s I 2 se obţine relaţia

U2 

Y 21 1 Z s  Y 22

U 1.

Condiţia de anulare a tensiunii U 2 pentru o anumită pulsaţie ω0 este:

Y 21   0   0 . Folosind rezultatul de pe punctul a) rezultă:

0 

1  2 RC 5.9.4. Conectarea în serie - paralel O astfel de conexiune este reprezentată în figura 5.24 şi constă din legarea în serie a porţilor de intrare şi legarea în paralel a porţilor de ieşire.

Fig.5.24

Prin acest mod de conectare sunt satisfăcute egalităţile:

  

(5.73, a)

 U 1   U '1   U "1  I  '  "   2   I 2   I 2 

(5.73, b)

I1 U  2

  I '1  '   U 2

  I "1  "   U 2

şi

Ecuaţiile cu parametrii hibrizi direcţi, corespunzătoare celor doi cuadripoli

 I '1   U '1  '  '  H  '   I 2   U 2 

 

,

 I "1   U "1  "  "  H  "   I 2   U 2 

 

(5.74)

200


se însumează şi, ţinând seama de (5.73, a), relaţia (5.73, b) devine:

U 1  I   2 

  H    H   UI '

1

"



2

 I1     H   U     2

(5.75)

Matricea parametrilor hibrizi direcţi, numită şi matricea mixtă directă, a cuadripolului echivalent este egală cu suma matricelor similare ale cuadripolilor componenţi:

 H    H '    H "  

(5.76, a)

În general, pentru n cuadripoli conectaţi în serie – paralel, se obţine în mod analog

 H     H k  n

(5.76, b)

k 1

Aplicaţia 5.9. Cuadripolii în T şi П din figura 5.25 sunt conectaţi în serie – paralel. Să se determine matricea mixtă directă  H  a cuadripolului echivalent. Date numerice:

R L 

1  10  C

Rezolvare. În primul rând, se calculează parametrii fundamentali (de transfer) pentru cei doi cuadripoli. Astfel, pentru cuadripolul în T se determină, pe baza relaţiilor 5.52, următorii parametri de transfer: Fig. 5.25

A 11  1  j L R  1 '

A 12  j   L  1 C   L RC  10 ; '

A 21  1 R  1 10 ; A 2 2  1  j C R  1  j  '

'

Folosind relaţiile 5.55, pentru cuadripolul în П se calculează parametrii de transfer, după cum urmează:

A 11  1  jC R  1  j ; A 12  R  10 ; "

"

A 21  j  C  1  L   RC L  1 10 ; A 2 2  1  j R  L  1  j  "

Având aceiaşi parametri de transfer

'


A

' 11

201



 A 11 , A 12  A 12 , A 21  A 21 , A 2 2  A 2 2 , "

'

"

'

"

'

"

cei doi cuadripoli sunt echivalenţi. În conformitate cu relaţiile 5.25, b se stabilesc parametrii hibrizi direcţi:

H 11  H 11  5 1  j  ; H 12  H 12   1  j  2 ; '

"

'

"

H 21  H 21   1  j  2 ; H 2 2  H 2 2    1  j  20  '

"

'

"

Elementele matricii mixte directe a cuadripolului echivalent se calculează cu relaţia (5.76, a):

H 11  H 1  H 1  10  1  j  ; H 12  H 12  H 12  1  j ; '

"

'

"

H 21  H 21  H 21  1  j ; H 2 2  H 2 2  H 2 2    1  j  10  '

"

'

"

Matricea hibridă directă se poate scrie în forma:

 H    1  j  

10 1   1   1  10 

5.9.5. Conectarea în paralel – serie În figura 5.26 este ilustrată conexiunea paralel – serie a doi cuadripoli, care constă din legarea în paralel a porţilor de intrare şi înserierea porţilor de ieşire. Prin acest mod de conectare sunt îndeplinite condiţiile:

 U 1   U '1   U "1  I  '  "   2   I 2   I 2 

(5.77, a)

şi

I1 U  2

  I '1   I "1   '  "    U 2   U 2 

(5.77, b)

202


Fig. 5.26

Ecuaţiile cu parametrii hibrizi inverşi, corespunzătoare celor doi cuadripoli

 I '1  '  U 2

  U '1  '  F    '   I 2  

 

 I "1  "  U 2

,

  U "1  "  F    "   I 2  

 

(5.78)

se însumează şi, ţinând seama de (5.77, a), relaţia (5.77, b) devine

I1 U  2

  

  F    F   UI '

"



1

2

 U 1     F   I     2 

(5.79)

Matricea parametrilor hibrizi inverşi, numită şi matricea mixtă inversă a cuadripolului echivalent, este egală cu suma matricelor similare ale cuadripolilor componenţi:

 F    F '    F "  

(5.80)

În general, pentru n cuadripoli conectaţi în paralel-serie, se obţine în mod analog

 F     F k  n

(5.81)

k 1

5.10. Lanţuri de cuadripoli Liniile electrice lungi, utilizate pentru transmisia energiei electromagnetice, precum şi sistemele tehnice realizate pentru transmisia semnalelor în telecomunicaţii, pot fi modelate prin cuadripoli conectaţi în cascadă. Un lanţ de cuadripoli este omogen, dacă toţi cuadripolii componenţi sunt identici. Se consideră un lanţ omogen de cuadripoli liniari, pasivi, reciproci şi simetrici care funcţionează adaptat (fig.5.27): pentru fiecare cuadripol în parte, impedanţele de sarcină şi de intrare sunt egale cu impedanţa caracteristică

5.10 – Lanţuri de cuadripoli

U1 I1



U2 I2

 

Uk

 

Ik

U n1

Zc 

I n1

A 12 A 21



203

(5.82)

Fig. 5.27

Ţinând seama de relaţia (5.35), condiţia de reciprocitate (5.7, a) poate fi scrisă sub forma



A 11  A 12 A 21  A 11  2

A 12 A 2 1

 A

11





A 12 A 2 1  1 

(5.83)

În aceste condiţii, ecuaţiile (5.2, a) scrise pentru cuadripolul de ordinul k devin:

  A 12    U k  1 A 11  A 12 A 21  U k  A 11 U k  1  A 12 I k  1  U k  1  A 11   Z  (5.84)  c   I  A U A 12 A 21  A 11 21 k  1  A 2 2 I k  1  I k  1  A 21 Z c  A 2 2   I k  1  k

 

 

Din relaţiile (5.83) şi (5.84) se obţine expresia:

Uk U k 1



Ik I k 1

 A 11 

A 12 A 2 1 

 1 e c , A 11  A 12 A 21

(5.85)

în care mărimea complexă adimensională

 c  ln

Uk U k 1

 ln

Ik I k 1

(5.86)

se numeşte constantă de transfer caracteristică sau constantă de propagare. Relaţia (5.86) poate fi prezentată în forma explicită

 c  ln

Uk U k 1

 ln

Uke U k 1 e

j k j k  1

 ln

Uk U k 1

 j  k   k  1   a  jb ,

în care U k , U k  1 sunt valorile efective, iar  k ,  k  1 reprezintă fazele iniţiale ale tensiunilor sinusoidale la cele două porţi. Partea reală a constantei de propagare se numeşte constantă de atenuare

204


a  ln

Uk

,

U k 1

(5.87)

iar cea imaginară este constanta de fază

b   k   k 1 

(5.88)

Deşi este o mărime adimensională, constantei de atenuare i se asociază următoarele unităţi de măsură uzuale: neper [Np], bell [B] şi decibell [dB]. Factorul de atenuare de 1 Np corespunde, conform relaţiei (5.87), micşorării valorii efective (sau amplitudinii) a semnalului de e ori:

U k U k  1  e  2 ,7182  Din relaţia

a  2lg

Uk U k 1

B 

(5.89, a)

rezultă că a = 1 B corespunde diminuării amplitudinii semnalului de

Uk

U k  1  10 1

2



10 ori:

10 

Aceeaşi constantă de atenuare exprimată cu relaţia

a  20 l g

Uk U k 1

dB 

(5.89, b)

are valoarea de 1 dB la o micşorare a amplitudinii semnalului de 10 1 20  1,122 ori. Pentru lanţul de n cuadripoli caracterizat la începutul paragrafului, pe baza relaţiilor (5.82) şi (5.85), se poate scrie:

U1 U2



U2 U3

  

Un U n1

e



c



(5.90)

Înmulţind rapoartele din (5.90) se obţine

U1 U n1

e

n

c

 e n a  j b  

(5.91)

Pentru lanţul omogen de n cuadripoli liniari, pasivi, reciproci şi simetrici, funcţionând adaptat (închis pe impedanţa caracteristică Z c ), constantele de transfer, de atenuare şi de fază ale lanţului de cuadripoli sunt de n ori mai mari decât cele corespunzătoare unui cuadripol component:

  c

Rapoartele U k  1

L

5.11 – Filtre electrice reactive

 n  c ; a L  na ; b L  nb 

205 (5.92)

U k şi I k  1 I k deduse din relaţiile (5.84) sunt funcţii de

transfer (v.par. 3.10) ale cuadripolului de ordinul k, iar rapoartele U n  1

U 1 şi

I n  1 I 1 sunt funcţii de transfer ale lanţului de cuadripoli.

Z

c

Parametrii fundamentali se pot exprima în funcţie de parametrii caracteristici şi  c . Din relaţia (5.85) scrisă în formele:



c   e  A 11  A 12 A 21   c  A 11  A 12 A 21  e

se obţin expresiile



A 11  e şi



c



A 12 A 2 1  e Reţinând din (5.82) Z c 

e 

A 12

c



c

e

 

c

2  c h c

(5.93)



(5.94)

2  s h c 

A 21 şi luând în considerare relaţia (5.94),

pentru parametrii A 12 şi A 2 1 rezultă expresiile:

A 12  Z c s h c ; A 21 

1 s h c  Zc

(5.95)

În consecinţă, ecuaţiile (5.2, a) scrise pentru un cuadripol diport liniar, pasiv, reciproc şi simetric au forma:

 U 1  U 2 ch  c  Z c I 2 sh  c  U2   I  s h   I c h  1 2 c c  Zc  5.11. Filtre electrice reactive

(5.96)

Definirea filtrelor electrice şi clasificarea lor s-a făcut în paragraful 3.10 cu prilejul prezentării funcţiei de transfer, necesară la studiul răspunsului în frecvenţă al circuitelor electrice. Aplicând corespunzător teoria cuadripolului, se vor analiza filtrele pasive nedisipative (fără pierderi), simetrice şi adaptate, realizate din elemente reactive (bobine şi condensatoare). Se folosesc scheme cuadripolare în Г, T simetric şi П simetric, ultimele două tipuri rezultând prin conectarea în lanţ a doi cuadripoli în Г (fig.5.28).


206

Fig. 5.28

Ţinând seama de relaţiile (5.3, a...d), pentru filtrele simetrice în T şi П din figura 5.28 se obţin următoarele expresii ale parametrilor fundamentali:

 Z1  , A 2 1  2 (5.97, a) , A 12 T  2 Z 1  1  T  Z3 Z 3  Z3  2Z 1 Z1 2    (5.97, b) 1 , A 12   2 Z 1 , A 2 1   1 Z3 Z 3  Z 3 

A 11T  A 2 2 T  1 

A 11   A 2 2 

2Z 1

Este evident că cele două filtre au aceeaşi constantă de transfer

A 11T  A 11   c h  c  1 

2Z 1 Z3



Impedanţele caracteristice (iterative) ale cuadripolilor simetrici în T şi П se determină cu relaţiile (5.44), (5.46), (5.97, a), (5.97, b) şi se obţin expresiile:

Z cT 

 Z1   ,Z c  Z1 Z 3 1    Z 3  

Z1Z3  Z1 1 Z3

(5.98)

Se observă că Z c T  Z c   Z 1  Z 3 . Dacă produsul Z 1 Z 3  K 2 are o valoare reală constantă, independentă de frecvenţă, filtrele respective se numesc filtre de tip K. Acestea corespund cazului când Z 1   j X 1 şi Z 3   j X 3 . Parametrul fundamental A 11 exprimat cu relaţia (5.93) poate fi explicitat în forma:

A11  ch c  ch  a  jb   cha  cosb  j sha  sin b 

(5.99)


207

Cum filtrele analizate sunt construite din elemente pur reactive, relaţiile (5.52) şi (5. 55) evidenţiază parametrii A 11 , A 2 2 ca numere reale şi A 12 , A 2 1 ca numere pur imaginare. Cu această precizare, din relaţia (5.99) se obţine:

s h a  si n b  0

(5.100, a)

A11  cha  co s b 

(5.100, b)

şi Relaţia (5.100, a) implică sha = 0 sau sin b = 0. 1 0 Din condiţia sha = 0 rezultă a = 0 (atenuare nulă), ceea ce corespunde



benzii de trecere. Succesiv, se pot scrie relaţiile c ha  1 , A11  co s b ,

A11     1 sau  1  A11     1 ,

(5.101, a)

respectiv

X1

11 2

X3

 1 sau 1 

X1 X3

0

(5.101, b)

Pulsaţiile de tăiere se determină din condiţiile extreme:

A11      1

(5.102, a)

sau

X1 X3

 0 şi

X1 X3

 1.

(5.102, b)

Semnalele ale căror frecvenţe aparţin benzii de trecere sunt defazate la ieşire, faţă de intrare, iar constanta de fază se stabileşte cu relaţia (5.103, a) b  a r c co s A11    sau

 X1   b  a r c co s  1  2   X 3  

(5.103, b)

Impedanţa caracteristică a filtrului se determină cu relaţia (5.49) şi este un număr real

Zc 

A 12 A 21

 Z c  

(5.104)

Adaptarea filtrului pentru toate frecvenţele din banda de trecere este dificil de realizat, tocmai datorită variaţiei impedanţei caracteristice cu frecvenţa. Adaptarea ideală se realizează doar pentru o singură frecvenţă din banda de trecere. 2 0 În banda de oprire filtrul asigură o atenuare nenulă  a  0  , iar condiţia si n b  0 este realizată numai dacă b  0 sau b    , adică cos b   1 . Din relaţia (5.100, b) se obţine



208


A11   ch a 

(5.105)

Deoarece c ha  1 , se deduce că benzile de oprire ale filtrului corespund intervalelor de frecvenţe în care

A11     1 sau A11      1 ; A11     1 .

(5.106)

În intervalele de frecvenţe mărginite de soluţiile inecuaţiilor (5.106), atenuarea nu este nulă şi are expresia:

a  a r g ch A11  0

(5.107)

Nu prezintă interes adaptarea filtrului pentru semnalele ale căror frecvenţe sunt cuprinse în banda de oprire. Rezumând, filtrele reactive analizate pe baza schemelor în T şi П sunt reciproce şi simetrice; pentru determinarea frecvenţelor de tăiere, a benzilor de trecere sau de oprire ale filtrului, se stabileşte A11    cu relaţia (5.3, a) sau (5.97) şi se impune una dintre condiţiile (5.101, a), respectiv (5.101, b) sau (5.106), în funcţie de cerinţe. 5.11.1. Filtrul trece - jos În figura 5.29 sunt prezentate schema cuadripolară în Г a unui filtru de tip K şi schemele simetrice aferente în T şi П, duale între ele (vezi fig.5.28).

Fig. 5.29

Cele două impedanţe sunt Z 1  j L şi Z 3   j C , iar produsul lor este un număr real (pozitiv):

Z1Z3 

L  K 2  R 02  C

În scopul calculării pulsaţiilor de tăiere, se formează raportul 2

    ,   LC    0  X3   X1

unde  0  1

LC .

2

(5.108)


209

Se rezolvă ecuaţiile (5.102, b) şi se obţin pulsaţiile de tăiere (inferioară şi superioară): (5.109) i  0 , s  0  1 LC care delimitează banda (intervalul) de trecere. Pulsaţia inferioară fiind nulă, filtrul este de tipul trece – jos. Caracteristica de frecvenţă a atenuării se determină, în banda de oprire, cu relaţia (5.107):

a  a r g c h A11

   2   1  a r g c h 2 LC  1  a r g c h  2     0    



2



şi este prezentată în figura 5.30, a. Cu relaţia (5.103, b) se exprimă constanta de fază, în banda de trecere: 2       ; b  a r cco s 1  2 LC  a r cco s  1  2   0       



2



Fig. 5.30

variaţia b (ω) este ilustrată în figura 5.30, b. Evident, pentru    i  0 , b  0 şi pentru    s   0  1

LC , b   .

Pentru a face aprecieri în legătură cu adaptarea, se calculează cu relaţiile (5.98) impedanţele caracteristice şi se obţin expresiile 2

Z c T  Z c T  R0

    ,Z c  Zc  1      0 

R0     1  0   

2



(5.110)

210

Circuite electrice cuadripolare - 5 În banda de trecere, impedanţa Z c    este diferită pentru schemele în T şi П

(fig.

5.30,

c).

RT  R   R 0  defavorabilă: Z c T

Adaptarea

perfectă

se

obţine

pentru

 0,

când

L . În jurul pulsaţiei de tăiere  0 , adaptarea este cea mai C  0 (scurtcircuit) şi Z c    (gol).

5.11.2. Filtrul trece - sus În figura 5.31 sunt prezentate schema cuadripolară în Г a unui filtru de tip K şi schemele simetrice în T şi П, obţinute prin legarea în lanţ a doi cuadripoli în Г.

Fig. 5.31

Produsul impedanţelor Z 1   j  C şi Z 3  j L este un număr real (pozitiv):

Z1Z3 

L  K 2  R 02  C

Se calculează raportul

 0  1  ,  2   X 3  LC    X1

unde  0  1

2

(5.111)

LC şi din ecuaţiile (5.102, b) se determină pulsaţiile de tăiere ale

filtrului:

i  0  1

LC ,  s   

(5.112)

Pulsaţia superioară fiind infinită, filtrul este de tip trece – sus. Caracteristica de frecvenţă a constantei de atenuare se determină, în banda de oprire, cu relaţia (5.107)

a  a r g c h A11

  0  2   2    1   a r g c h  2  1   a r g c h  2         LC 


211

şi este prezentată în figura 5.32, a. Constanta de fază, exprimată cu relaţia (5.103, b) în banda de trecere

 2 b  a r cco s  1  2  LC 

2   0      ;   a r cco s  1  2       

este reprezentată grafic în figura 5.32, b. Pentru    i  1 LC , b    şi pentru    , b  0 .

Fig. 5.32

Impedanţa caracteristică, Z c    , diferită pentru schemele simetrice în T şi П, se calculează cu relaţiile (5.98) şi se obţin expresiile:

 0   , Z c   Z c   1      2

Z c T  Z c T  R0

R0   1   0    

2



(5.113)

În figura 5.32, c sunt reprezentate caracteristicile de frecvenţă pentru impedanţele caracteristice numai în banda de trecere. Adaptarea cea mai bună se realizează la frecvenţe foarte mari      , când

RT  R   R 0 

L . Adaptarea cea mai C

defavorabilă are loc în jurul pulsaţiei de tăiere

Fig. 5.33

212


 0 , când Z c  0 (scurtcircuit) şi Z c    (gol). T

5.11.3. Filtrul trece – bandă În figura 5.33 sunt prezentate schema cuadripolară în Г a unui filtru de tip K şi schemele simetrice în T şi П, obţinute prin legarea în cascadă a doi cuadripoli în Г. Cele două impedanţe sunt

 1 Z 1  j   L1    C1 

   

şi

Z3 

1  1 j   C3    L3 

   

.

Produsul lor poate fi scris sub forma

 

 L1  1  C 1 L1 1   0  Z1Z3     C 3  1  L3 C 3 1   0  1

3

 

2 2

,

(5.114)

unde

1 1 ,  023   L1 C 1 L3 C 3 1   0 sau L1 C 1  L 3 C 3  2

 02  1

Dacă  0 1   0 3

0

(5.115)

atunci produsul impedanţelor este un număr real pozitiv:

Z1Z3 

L1 C3

 R 02 

(5.116)

Se calculează raportul

 1    L1   X3   C1 X1

  C 3  1   L3 

 L1    2  2   1  0     1   L    2    02 3   

L1    0      L 3   0   şi se introduce în ecuaţiile (5.102, b).

 Din

X1 X3

 0 rezultă    0 .

2

(5.117)


 Din

X1 X3

 1 se obţin

2

         0 

 0   0 

L3 L1

213

, adică două ecuaţii

2

  L3       1  0 ,      L1   0   0 

L3      10 , L1   0 

ale căror soluţii reale, pozitive pulsaţiile de tăiere ale filtrului:

   i  0            s 0    

L3 4 L1

L 3  , 4 L 1  L 3  4 L 1 

1

L3 4 L1

sunt

1

(5.118) care satisfac relaţia

 i  s   02 

(5.119)

În figura 5.34 a, b şi c sunt prezentate caracteristicile de frecvenţă ale filtrului trece – bandă. Se calculează cu relaţiile (5.98) impedanţele caracteristice schemelor simetrice în T şi П, rezultând: 2

Z c T  Z c T  R0

Z c  Z c 

L1    0  1    , L 3   0   R0

1

 (5.120)

Adaptarea cea mai bună se obţine pentru pulsaţia  0 , situată în banda de trecere

Fig. 5.34

 S   0   i , când

L1    0     L 3   0  

2

RT  R   R0 

L1 C3



Această concluzie impune alegerea

corespunzătoare a elementelor de circuit ce formează filtrul (vezi rel.5.115).

214

Circuite electrice cuadripolare - 5 5.11.4. Filtrul opreşte – bandă

În figura 5.35 sunt prezentate schema cuadripolară în Г a unui filtru de tip K şi schemele simetrice în T şi П, obţinute prin legarea în lanţ a doi cuadripoli în Г. Produsul impedanţelor Z 1 

1  1 j   C1    L1 

   

  

şi Z 3  j   L 3 

1  C3

   

este un număr real (pozitiv)

Z1 Z3  numai dacă L 1 C 1  L 3 C 3 

1

 02

L3 C1

 K 2  R 02 ,

(5.121)

.

Calculele sunt asemănătoare cu cele efectuate în paragraful 5.11.3, conducând la expresii analitice şi reprezentări grafice ale caracteristicilor de frecvenţă: a (ω), b (ω) şi Zc (ω). Se precizează că un asemenea filtru poate fi obţinut prin conectarea în paralel a unui filtru trece – jos cu altul trece – sus, având benzile de oprire comune pe intervalul    i ,  s .





Aplicaţia 5.10. Să se determine banda de trecere a filtrului cu schema din figura 5.36. Să se reprezinte grafic A11  f    .

Fig. 5.36 Fig. 5.35

Rezolvare. Pentru filtrul simetric în T se calculează parametrul A 11 cu relaţia (5.3, a):


 U1 A 11   U  2

215

  L  1  C   L0 L 1   1  2    L0 L0  L0 C  I 2 0

În scopul determinării pulsaţiilor de tăiere şi a intervalului de trecere se impune condiţia (5.101, a):

11

L 1  2 1 L0  L0 C

Rezultă următoarele expresii pentru limitele intervalului de trecere:

i 

1 - pulsaţia inferioară; C  2 L0  L 

s 

1 - pulsaţia superioară. LC

Banda de trecere este formată din pulsaţiile care aparţin intervalului:

1   C  2 L0  L 

1  LC

În figura 5.37 este reprezentată grafic caracteristica de frecvenţă A11    .

Fig. 5.37

Aplicaţia 5.11. Pentru filtrul simetric de tipul opreşte – bandă, reprezentat în figura 5.38, să se calculeze limitele intervalelor de trecere, respectiv frecvenţele la care filtrul prezintă o atenuare infinită.

Date numerice: L = 2 mH, C = 2 µF, L’ = 1 mH, C’ = 1 µF. Rezolvare. Pentru filtrul simetric în П, calculul parametrului A 11 efectuat cu relaţia (5.55) conduce la expresia

A11  1 

 2 L' C   2 LC  1   2 L' C'  1  

Cu relaţia (5.101, a) se determină pulsaţiile (frecvenţele) de tăiere şi intervalele de trecere:

Fig. 5.38

216

Circuite electrice cuadripolare - 5 pentru A11  1 , rezultă   0 şi    ; pentru A11   1 , rezultă ecuaţia

bipătratică







2  2 L C  1  2 L' C'  1   2 L' C , sau (numeric)

4  10  18  4  6  10  9  2  1  0 cu soluţiile:

 1  1,38  10 4 r a d s  f 1  2 ,2 k H z  2  3,6  10 4 r a d s  f 2  5 ,7 3 k H z Deci benzile de trecere sunt formate din frecvenţe ce aparţin intervalelor f   0 2,2 k H z    5,7 3 k H z ,  . Banda de oprire cuprinde frecvenţe situate în intervalul (2,2 kHz ... 5,73 kHz). Frecvenţele la care atenuarea este infinită sunt acelea pentru care parametrul A11   , adică sunt frecvenţele de rezonanţă pentru circuitul serie LC, respectiv derivaţie L' C' :

3  4 

Fig. 5.39 1  1,58  10 4 r a d s  f 3  2 ,5 k H z  LC 1  3,16  10 4 r a d s  f 4  5 k H z  L' C'

În figura 5.39 este reprezentată grafic caracteristica de frecvenţă A11    .

PROBLEME (5) P.5.1. Se consideră circuitul cuadripolar cu schema din figura 5.40 funcţionând în regim sinusoidal. Să se determine parametrii impedanţă şi să se verifice condiţia de reciprocitate a cuadripolului.

Fig. 5.40

R: Z 11   4  j  ; Z 12  j  ; Z 12   j  ; Z 2 2  j 2  

Probleme

P.5.2. Se consideră cuadripolii pasivi în T şi П reprezentaţi în figura 5.41, a şi b, pentru care se cunosc: R, L, C şi ω. Să se stabilească relaţiile între parametrii elementelor de circuit, respectiv între aceştia şi pulsaţia ω astfel încât cei doi cuadripoli să fie echivalenţi.

Fig. 5.41

R: R 2  L C ;  2  1 LC  P.5.3. Se consideră circuitul cuadripolar reprezentat în figura 5.42, constituit din trei bobine identice, cuplate inductiv două câte două. Să se stabilească elementele schemelor echivalente în T şi П, dacă M  L 2  R:

Z 1  Z 2  Z 3  j L 6 ; Y1 Y 2 Y 3  2

Fig. 5.42

j L 

P.5.4. Să se determine elementele schemei echivalente în T pentru cuadripolul în punte simetrică reprezentat în figura 5.43.



R: Z 1  Z 2  Z a ; Z 3  Z b  Z a



2

P.5.5. Să se determine intervalele de trecere pentru filtrele simetrice, fără pierderi, reprezentate în figura 5.44. Fig. 5.43

Fig. 5.44

R:   0, 2

   1 2

217

LC  în cazurile a) şi b); LC ,   în cazurile c) şi d).

6. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL 6.1. Mărimi periodice nesinusoidale. Regimul deformant Orice funcţie periodică de timp care satisface condiţiile lui Dirichlet (este continuă şi monotonă pe porţiuni în intervalul de o perioadă) se poate descompune (dezvolta) în serie Fourier trigonometrică sub forma: 

f  t   C0   a n sin n  t  bn cos n  t  ,

(6.1)

n 1

în care C0 reprezintă componenta continuă, iar termenii de pulsaţie n sunt armonici de ordinul n (fundamentala corespunde lui n = 1 şi are pulsaţia  = 2  / T). Coeficienţii dezvoltării:

C0 

1 T f  t  dt T 0

,

(6.2)

an 

2 T f  t  sin n t dt T 0

, n  1,2 ,....

(6.3)

bn 

2 T f  t  cos n  t dt T 0

, n  1,2 ,....

(6.4)

rezultă din ortogonalitatea funcţiilor armonice de timp. Forma restrânsă a seriei Fourier, des întâlnită în electrotehnică, are expresia: 

f  t   C0   An sin n  t   n  ,

(6.5)

n 1

unde

An  an2  bn2

şi

 n  arctg

bn

an

(6.6)

sunt amplitudinea, respectiv faza iniţială a armonicii de ordinul n. Determinarea coeficienţilor seriei Fourier trigonometrice se poate face analitic, prin calculul integralelor din relaţiile (6.2), (6.3) şi (6.4) sau experimental, folosind analizoarele spectrale. Pentru funcţiile folosite în tehnică, seria Fourier se poate aproxima printr-un număr finit de termeni. Descompunerea unei mărimi periodice nesinusoidale într-o sumă de componente sinusoidale, cu amplitudini şi faze bine determinate (rel.6.5 şi 6.6), se numeşte analiză

6.1 - Mărimi periodice nesinusoidale. Regimul deformant

219

armonică. Rezultatele analizei sunt prezentate uzual într-o diagramă An  f 1  n  sub forma unui spectru discret, numit spectrul de frecvenţe al amplitudinilor şi o altă diagramă  n  f 2  n  , reprezentând spectrul de frecvenţe al fazelor. Se relevă faptul că descompunerea unui semnal periodic în serie Fourier se simplifică în anumite situaţii particulare: a) pentru semnalele simetrice, precum cele reprezentate în figura 6.1, care satisfac condiţia f  t   f  T  t  , seria Fourier conţine numai armonicele în cosinus (şi componenta continuă): 

f  t   C 0   b n co s n t 

(6.7)

n 1

-T

Fig. 6.1

b) în cazul semnalelor antisimetrice (fig.6.2), care îndeplinesc condiţia f  t    f  T  t  , seria Fourier are numai armonici în sinus: 

f  t    a n si n n t  n 1

Fig. 6.2

(6.8)

220

Circuite electrice liniare în regim periodic nesinusoidal - 6

 

c) la semnalele impare (fig.6.3) este îndeplinită condiţia f  t    f  t 

T   2 

şi în seria Fourier sunt prezente doar armonicile impare: 

f  t    A2 k  1 si n

  2k  1  t  

k 1

2k  1



(6.9)

Fig.6.3

 

d) semnalele pare îndeplinesc condiţia f  t   f  t 

T   şi în seria Fourier 2 

intervin numai armonicile pare (şi componenta continuă):

f  t   C 0   A2 k si n  2k t   2 k   

(6.10)

k 1

Regimurile de funcţionare ale circuitelor electrice în care curenţii şi/sau tensiunile sunt funcţii de timp periodice nesinusoidale, se numesc regimuri deformante. Acestea se stabilesc în circuite şi sisteme electrice cum sunt: lămpi cu descărcări în gaze, dispozitive de comutaţie cu contacte, motoare electrice cu colector, instalaţii de prelucrare a datelor, stimulatoare cardiace etc. Mărimile periodice nesinusoidale au o largă aplicaţie în domeniul telecomunicaţiilor, al automatizărilor unde semnalele folosite sunt, de obicei, nesinusoidale. În circuitele destinate producerii, transportului, distribuţiei şi utilizării energiei electromagnetice, poluarea armonică datorată elementelor neliniare de circuit (transformatoare saturate, instalaţii de redresare, cuptoare cu arc ş.a.) are consecinţe nedorite: pierderi suplimentare de energie, micşorarea factorului de putere, supratensiuni de rezonanţă armonică, erori în funcţionarea aparatelor analogice de măsură şi protecţie. Termenul consacrat de compatibilitate electromagnetică (CEM) se referă la încadrarea în limitele prevăzute prin norme şi standarde a perturbaţiilor introduse de un echipament electric. Datorită importanţei tehnice deosebite a acestei probleme, CEI (International Electrical Comission) coordonează la nivel internaţional standardizarea în domeniul electrotehnic, CISPR (Comité International Special des Perturbations

6.1 - Mărimi periodice nesinusoidale. Regimul deformant

221

Radioélectriques) se ocupă cu problemele CEM, iar CENELEC (Comité Européen de Normalisation Electrotechnique) realizează normele europene (EN). Standardele şi normele naţionale se armonizează cu cele elaborate de organismele internaţionale şi regionale (europene). Aplicaţia 6.1. Să se dezvolte în serie Fourier trigonometrică semnalul dreptunghiular reprezentat în figura 6.4.

Rezolvare. definită astfel:

Fig. 6.4

Funcţia

este

0 t 1  1, f t      1 , 1 t  2 Din figura 6.4 este evident că T = 2s şi, deci,   2 T    T   Întrucât f  t    f  t     f  T  t  , semnalul nu conţine armonici 2   pare şi nici armonici în cosinus. Coeficienţii seriei se calculează cu relaţiile (6.2), (6.3) şi (6.4), integrând pe porţiuni:

C0 

an 

2 T



T

0



1 T



T

0

f  t d t 

f  t  si n n t d t 

2 1 1 1  dt   1  dt   0 ;   1 2  0

2 2 1 1  si n n t d t   1  si n n t d t     1 2  0

1 1 1 co s n t  co s n t n n 0



2 1



1  co s n  1  n

1 2  1  cos n     1  cos n    n n

 4 , n im par 2  n  1   1    n ; n   0 , n par





222


bn 

2 T



T

0

f  t  co s n t d t  

2 2 1 1  co s n t d t   1  co s n t d t     1 2  0

1 1 1 si n n t  si n n t n n 0

2

0

1

Observând că An  a n şi  n  0 , seria Fourier a semnalului dreptunghiular considerat se scrie sub forma

f t 

4



si n  t 

4 4 si n 3  t  si n 5  t     3 5

sau

f t 

4





 2k  1 si n  2 k  1  t 1



k 1

Fig.6.5

Dacă funcţia se aproximează numai prin suma primilor trei termeni, se obţine curba f *  t  din figura 6.5. Aceasta este cu atât mai apropiată de forma dreptunghiulară, cu cât se consideră mai multe armonici. Spectrul de frecvenţe al amplitudinilor se obţine marcând pe axa orizontală pulsaţiile armonicilor, după care, se trasează segmente verticale egale cu amplitudinile armonicilor (fig.6.6).

Fig.6.6

6.2 – Valori efective şi coeficienţi caracteristici

223

6.2. Valori efective şi coeficienţi caracteristici Se consideră o tensiune periodică nesinusoidală dezvoltată în serie Fourier:

u  t   U 0   U m n si n  n t   n   U 0   



n 1

n 1

2 U n si n  n t   n  , (6.11)

în care U m n şi Un sunt amplitudinea, respectiv valoarea efectivă corespunzătoare armonicii de ordinul n. Ţinând seama de relaţia de definiţie a valorii efective a unei mărimi periodice (rel.3.6), se poate scrie

U2 

1 T



u 2  t d t 

T

0







U

n 1 k 1



1 T







T

0





T

0

  2 U  2  0  U 0 U m n si n  nt   n   n 1 

 U m k si n  n t   n si n  k  t   k   d t   

U 02 d t  2  U 0 U m n n 1

1

T

n 1 k 1

mn

1 T

T

0

1 T



T

0

si n  n t   n  d t 

U m n si n  n t   n  U m k si n  k  t   k  d t 

Termenul

1 T U m n si n  n t   n  U m k si n  k  t   k d t  T 0

(6.12)

224


 U mn U mk

1 2T



T

0

co s

  n  k t  

n



T

  k d t   co s 0

  n  k t  

0, nk   1 U m n U m k co s   n   k  ,  2

n





  k dt 

(6.13)

nk

reprezintă valoarea medie a produsului armonicilor de ordinul n şi k pe o perioadă a fundamentalei. În situaţia în care se mai consideră U m n  U m k şi  n   k , din relaţiile (6.12) şi (6.13) se obţine

1 U U  2 2

2 0



U

n 1

2 mn

sau

1 2

U  U 02 





n 1

n1

 U m2 n  U 02   U n2 

(6.14)

Aşadar, valoarea efectivă a unei tensiuni periodice nesinusoidale este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratului componentei continue şi a pătratelor valorilor efective ale armonicilor. Pentru un curent periodic nesinusoidal

i  t   I 0   I m k si n  k  t   k  , 

(6.15)

k 1

se deduce o expresie analoagă cu cea corespunzătoare tensiunii (rel.6.14):

I

I 02 

1 2





k 1



I 02   I k2 

I m2 k 

(6.16)

k 1

Precizare: în calculele efectuate s-a avut în vedere că valoarea medie a unei funcţii armonice pe o perioadă sau un multiplu întreg de perioade este nulă.

Pentru evaluarea abaterii mărimii periodice de la forma sinusoidală a fundamentalei, se defineşte factorul (coeficientul) de distorsiune, kd , egal cu raportul dintre reziduul deformant (valoarea efectivă a tuturor armonicilor superioare n > 1) şi valoarea efectivă a componentei alternative:

kd 

Ud U 2  U 02



U 2  U 02  U 12 U 2  U 02



U 22  U 32 .... U 12  U 22  U 32 ....



(6.17)

6.2 – Valori efective şi coeficienţi caracteristici

225

În electroenergetică o mărime periodică se consideră practic sinusoidală dacă factorul de distorsiune k d  5 % . În electronică se impun valori mult mai mici acestui coeficient, în funcţie de fidelitatea cerută. Factorul (coeficientul) de vârf, kv , este raportul dintre valoarea momentană maximă (amplitudinea) şi valoarea efectivă a mărimii periodice:

kv 

u ma x U



(6.18)

Factorul de formă, kf , este raportul dintre valoarea efectivă a mărimii şi valoarea medie pe o perioadă a modulului mărimii:

kf 

U U  t 0 T , U med 1 u  t  dt T t0

(6.19, a)

în care originea timpului, t0 , este aleasă la începutul alternanţei pozitive. În cazul mărimilor periodice alternative simetrice, pentru u  t    u  t  T 2  , factorul de formă se poate calcula cu relaţia:

kf 

U 2 T

t0 T 2



care

(6.19, b)

 u  t d t

t0

Pentru semnalele periodice reprezentate în figura 6.7, coeficienţii calculaţi cu relaţiile (6.18) şi (6.19) au valorile: a) k v 

2 ,k f 



2 2

~  1,11 pentru semnalul sinusoidal (fig.6.7, a);

Fig.6.7

b) k v  1 , k f  1 pentru semnalul dreptunghiular (fig.6.7, b);


226

c) k v 

3 ,k f 

2  1,15 pentru semnalul triunghiular (fig.6.7, c). 3

Aplicaţia 6.2. Se consideră semnalul periodic nesinusoidal reprezentat în figura 6.8. Să se calculeze valoarea efectivă a tensiunii. Rezolvare. Se aplică relaţia de definiţie pentru valoarea efectivă a unei tensiuni periodice (rel.3.6) şi, după identificarea perioadei T = 3s, se integrează pe porţiuni:

Fig.6.8

U

2 3 1 1 2 4 dt   2 2 dt   0  dt      0 1 2 3

1  16  4   3

20 ~  2 ,58 V  3

Aplicaţia 6.3. Să se calculeze valoarea efectivă şi coeficientul de distorsiune pentru tensiunea nesinusoidală exprimată cu relaţia:

u  t   30 2 si n t  40 2 si n 2  t V   Rezolvare. Se aplică relaţia de calcul (6.14) şi se obţine:

U

30 2  40 2 

900  16 00 

2500  50 V 

Pe baza relaţiei (6.17) se determină factorul de distorsiune:

kdu 

40 2 30  40 2

2



40  0 ,8  50

6.3. Puterile în regim periodic nesinusoidal Aplicând la bornele unui dipol receptor tensiunea periodică nesinusoidală

u  t   U 0   U m n si n  n  t   n   U 0   



n 1

n 1

se stabileşte curentul

2 U n si n  n  t   n  , (6.20)

6.3 – Puterile în regim periodic nesinusoidal 



k 1

k 1

i  t   I 0   I m k si n  k  t   k   I 0  

227

2 I k si n  k  t   k   (6.21)

Convenim să notăm defazajele între armonicile de acelaşi ordin ale tensiunii şi curentului cu

n n  n  Ca şi în regim sinusoidal, puterea activă primită pe la borne se defineşte ca media pe o perioadă a puterii momentane. Înlocuind expresiile (6.20) şi (6.21) în relaţia (3.72) se obţine:

P

 1 T 1 T 1 T u i d t  U I d t  I m k U 0  si n  k  t   k d t  0 0   T 0 T 0 T 0 k 1 

  U mn I 0 n 1







U

n 1 k 1

mn

I mk

1 T si n  n  t   n d t  T 0

1 T si n  n  t   n  si n  k  t   k d t  T 0

(6.22)

Termenii al doilea şi al treilea din relaţia (6.22) sunt nuli (v. Precizare par.6.2). Pentru evaluarea celui de al patrulea termen, se recomandă revederea calculelor efectuate în relaţia (6.13). Se constată că integrala este nulă pentru n  k şi egală cu

1 2

 co s   n   n   1

2

 co s  n pentru aceleaşi armonici ale tensiunii şi

curentului ( n = k). Ţinând seama de cele menţionate, relaţia (6.22) devine:

P U0 I0 

1   U m n I m n co s  n 2 n 1

sau

P U0 I0 



U

n 1

n

I n co s  n 

(6.23)

În regim nesinusoidal, puterea activă este egală cu suma puterilor active ale armonicilor de acelaşi ordin din tensiune şi curent, la care se adaugă termenul corespunzător componentelor continue. Puterea reactivă se defineşte prin analogie cu expresia ei din regim sinusoidal, în forma

228


Q 



U

n 1

n

I n si n  n 

(6.24)

Puterea aparentă se defineşte şi în regim nesinusoidal, prin produsul dintre valorile efective ale tensiunii aplicate şi curentului stabilit:

S U I 

(6.25)

Spre deosebire de regimul sinusoidal, în acest caz S 2  P 2  Q 2 , astfel că se introduce noţiunea de putere deformantă, definită prin relaţia

D

S 2  P2  Q2 

(6.26)

Unitatea de măsură a puterii deformante se numeşte volt-amper-deformant (vad). Factorul de putere se defineşte ca raportul dintre puterea activă şi puterea aparentă:



P  S

P P  Q2  D2 2



(6.27)

Prezenţa puterii deformante alături de puterea reactivă conduce, în regim periodic nesinusoidal, la micşorarea factorului de putere şi nemijlocit la pierderi suplimentare. Factorul de putere are o valoare subunitară    1  chiar dacă puterea reactivă este nulă ( Q = 0 ), dar tensiunea şi curentul sunt distorsionate D  0  . Numai dacă armonicile de acelaşi ordin ale tensiunii şi curentului sunt proporţionale şi în fază, adică

Un  RIn

, cos  n  0 , n  1,2,... ,

factorul de putere este unitar.

6.4. Calculul circuitelor electrice liniare în regim periodic nesinusoidal În cazul circuitelor electrice liniare, alimentate cu tensiuni periodice nesinusoidale de forma: 

u t   U 0   2U n sin n  t   n  ,

(6.28)

1

calculul curenţilor în regim permanent se bazează pe teorema superpoziţiei. Curentul rezultant se determină prin suprapunerea curenţilor pe care îi produce componenta continuă U0 , respectiv fiecare armonică în parte, dacă ar fi aplicate separat la bornele circuitului:

6.5 – Comportarea elementelor pasive ideale în regim nesinusoidal

229



i  t   I 0   2 I n sin n  t   n  n  

(6.29)

1

Cu alte cuvinte, analiza unui circuit aflat în regim periodic nesinusoidal se reduce la analiza unui circuit de curent continuu şi la analiza mai multor circuite aflate în regim sinusoidal. Metodele de calcul ale circuitelor prezentate la studiul regimului sinusoidal (v.par.3.4) se aplică şi în regim periodic nesinusoidal, pentru fiecare armonică n  1 în parte. În cazul unui circuit R, L, C serie, alimentat cu o tensiune nesinusoidală de forma (6.28), componenta continuă a curentului este nulă (I0 = 0) datorită prezenţei condensatorului, iar valorile efective ale armonicilor se calculează cu relaţia:

In 

Un  1   R 2   n L  nC  

2



(6.30)

Defazajul corespunzător fiecărei armonici rezultă din:

n L 

n  arc tg

1 n C

R



(6.31)

Ordinul armonicii pentru care circuitul este în rezonanţă rezultă din condiţia:

n L 

1 0 nC

(6.32)

6.5. Comportarea elementelor pasive ideale în regim nesinusoidal Alimentând cu o tensiune periodică nesinusoidală circuitul format din rezistorul de rezistenţă R (fig.6.9, a), curentul stabilit prin el are expresia:

i t 

 u t U0 U    2 n sin n  t   n   R R R 1 

 I 0   2 I n sin n  t   n  1

Factorul de distorsiune pentru curent, k d I , calculat cu relaţia:

(6.33)

230

Circuite electrice liniare în regim periodic nesinusoidal - 6 

kdI 

 U n2 R 2 2 

U

2 n

1

R

2





 U n2 2 

U





2 n

U

2 n

2

(6.34)



U U 2 1

1

2 n

2

este egal cu factorul de distorsiune al tensiunii k dU şi, deci, forma de variaţie a curentului este identică cu aceea a tensiunii (fig. 6.9, b). În cazul circuitului reprezentat în figura 6.10, a, ce conţine o bobină ideală (R = 0) şi a cărui tensiune de la borne nu are componenta continuă, din ecuaţia

Fig. 6.9

u L

di dt

(6.35)

se deduce expresia curentului:

i t 

 Un 1   u dt  2 sin  n  t   n       L n L 2 1

    2 I n sin  n  t   n     2 1 

Fig. 6.10

(6.36)


231

Relaţia (6.36) evidenţiază faptul că valorile efective ale armonicilor curentului devin tot mai mici pe măsură ce creşte ordinul armonicii, bobina ideală reducând distorsiunea curentului (fig. 6.10, b) Această concluzie rezultă şi din compararea factorilor de distorsiune pentru tensiune şi curent:

k dU 

U

2 n

; kdI 

2 

U U 2 1

 U  2  n  n L 

2

 U  1  n  n L 

2





2 n

2





 U n

2

n



2 

U   U n n 2 1

,

(6.37)

2

2

fiind evidentă relaţia dintre ei: k d I  k dU . Dacă circuitul este format dintr-un condensator ideal (fig. 6.11, a), atunci din ecuaţia:

u

1 i dt C

(6.38)

se deduce expresia curentului:

iC

du      2 n  CU n sin  n  t   n     dt 2 1      2 I n sin  n  t   n     2 1

(6.39)

Valorile efective ale armonicilor curentului devin tot mai mari pe măsură ce creşte ordinul armonicii, condensatorul ideal accentuând distorsiunea curentului (fig. 6.11, b). Factorul de distorsiune al curentului k d I calculat cu relaţia: Fig. 6.11 

kdI 

 n  C U n   n  C U  n

1

 nU 

2

n



2 



2

2

2 

U   n U n  2 1

2

(6.40) 2

232


este mai mare decât factorul de distorsiune al tensiunii k dU . Aplicaţia 6.4. La bornele circuitului reprezentat în figura 6.12 se aplică tensiunea periodică nesinusoidală

u  U0  2U1 si n  t  2U 3 sin 3 t V  . Să se determine: a) valorile momentane ale curenţilor iL , iC şi i ; b) valorile efective ale tensiunii la bornele circuitului U şi ale curenţilor IL , IC şi I; c) puterile activă, reactivă, aparentă şi deformantă. Date numerice: U0 = 60 V, U1 = 120 V, U 3  60 V , R   L 

1  3 . C

Rezolvare. a) În regim permanent nesinusoidal calculul se face separat pentru componenta continuă şi pentru fiecare armonică în parte. Întrucât componenta continuă a curentului nu trece prin condensator, sunt evidente relaţiile

I C 0  0 , respectiv I0  I L 0 

Curenţii prin laturile circuitului, corespunzători armonicii fundamentale sunt:

Fig. 6.12

I L1 

I C1 

U0  20 A  R

U1 120   20 1  j   20 2 e  j  4 R  j  L 3 1  j  U1 1 R j C



120  20 1  j   20 2 e j  4 3 1  j 

I 1  I L 1  I C1  40

A ;

A ;

A 

Datorită armonicii a 3-a a tensiunii de alimentare se stabilesc curenţii:


I L3 

U3 60   2 1  j 3  2 10 e  j arctg 3 R  j 3  L 3 1  j 3

I C3 

U3 R j



1

60  6 3  j   6 10 e j arctg 1 3 3 j

233

A ;

A ;

3 C

I 3  I L 3  I C 3  20 A  Pe baza relaţiei (3.13) se scriu valorile momentane şi prin însumarea corespunzătoare a curenţilor pe care i-ar stabili fiecare armonică a tensiunii aplicate, presupunând că ar acţiona separat, se obţin soluţiile:

  i L  20  28 ,28 2 sin   t    6 ,33 2 sin 3  t  arctg 3 A ;  4   iC  28 ,28 2 sin   t    19 2 sin 3  t  arctg 1 3 A ;  4 i  20  40 2 sin  t  20 2 sin 3  t A  b) Valorile efective ale tensiunii şi curenţilor se determină cu relaţiile (6.14) şi (6.16):

U  60 2  120 2  60 2  147V ; I L  20 2  28 ,28 2  6 ,33 2  35 ,2 A; I C  28 ,28 2  19 2  34 A; I  20 2  40 2  20 2  49 A c) Suma puterilor active, corespunzătoare fiecărei armonici se calculează cu relaţia (6.23):

P  U 0 I L 0  U 1 I L 1 cos  L 1  U 3 I L 3 cos  L 3  U 1 I C 1 cos  C 1  U 3 I C 3 cos  C 3

   60  20  120  20 2  cos     60  2 10  cos  arctg 3   4

1    120  20 2  cos    60  6 10  cos  arctg   7200 W   4  3

234

Circuite electrice liniare în regim periodic nesinusoidal - 6 Puterea reactivă se calculează cu relaţia (6.24):

Q  U 1 I L 1 sin  L 1  U 3 I L 3 sin  L 3  U 1 I C 1 sin  C 1  U 3 I C 3 sin  C 3 

   120  20 2  sin     60  2 10  sin  arctg 3   4

  120  20 2  sin    60  6 10  sin arctg 1 3  0   4 În conformitate cu relaţia (6.25), puterea aparentă este:

S  U I  147  49  7203 VA  Pentru puterea deformantă, definită pe baza relaţiei (6.26), se obţine valoarea:

D  S 2  P 2  Q 2  7203 2  7200 2  207 ,86 vad  Aplicaţia 6.5. Circuitul din figura 6.13 este alimentat cu tensiunea periodică nesinusoidală

u  t   u1 m sin  t  u3 m sin 3  t . Fiind cunoscute inductivitatea L şi frecvenţa f, să se determine capacităţile C1 şi C2 , astfel încât tensiunea u2 , de la bornele 22' , să conţină numai armonica fundamentală neatenuată. Date numerice: L= 0,12 H, f = 50 Hz. Rezolvare. Condiţia necesară pentru ca tensiunea de la bornele 22’să nu conţină armonica a 3-a este ca impedanţa longitudinală, corespunzătoare acestei armonici, să fie infinită:

Fig.6.13

Z3 

 1   j 3 L   j 3  C1    1   j  3 L  3  C1  

j

1  , 3  C2

Probleme

235

respectiv

3 L 

1 3  C1

 0 , C1 

1 9 2 L

 9 ,4  F 

Pentru ca fundamentala să nu fie atenuată, se impune ca impedanţa longitudinală corespunzătoare armonicii de ordinul întâi să fie nulă:

Z1 

 1   j  L j  C1    1   j  L   C1  

Din ultima relaţie rezultă : C2 

8 9 2 L

j

1 0   C2

 75  F 

PROBLEME (6) P6.1. Pe baza relaţiei de definiţie, să se determine valorile efective pentru semnalele periodice reprezentate în figura 6.14.

R: U = 1, 87 V (fig.6.14, a); U = 5 V (fig. 6.14, b). P6.2. La bornele circuitului cu schema din figura 6.15 se aplică tensiunea periodică nesinusoidală u1(t). Să se determine valorile momentană şi efectivă ale tensiunii la bornele bobinei.

Fig. 6.14

u 1  t   120 2 si n t  80 2 si n 2t V  ,

R  4  , L  4  ,

Date

1  8  C

numerice:

236


R: Fig.6.15

u 2  t   120 si n  t  3 4   160 si n  2t   4  V  ; U 2  100

2 V

P6.3. La bornele 11’ ale circuitului cu schema din figura 6.16 se aplică tensiunea periodică nesinusoidală u1 (t). Să se determine valorile momentană şi efectivă ale tensiunii u2 (t) la bornele 22’, precum şi coeficienţii de distorsiune pentru ambele tensiuni. Date numerice: u 1  t   100

R  10  ,  L  5 ,

   2 si n  t  50 si n  3 t    V  , 4  

1  15  ,  M  2   C

Fig.6.16

R: u 2  t   20 si n  t  3

4   15 2 si n  3t   2 V  ;

U 2  5 17 V ; k d U 1  0 ,333 ; k d U 2  0 ,6 86 

Probleme

237

P6.4. Circuitului cu schema din figura 6.17 i se aplică tensiunea periodică nesinusoidală u1 (t). Să se stabilească valoarea instantanee a tensiunii u2 (t), dacă între parametrii circuitului, la pulsaţiile ω şi 3 ω, există relaţiile:  L1  1 C 1 şi

3 L  1 3 C . Fig. 6.17

Date numerice: u 1  t   100 R: u 2  t   50

2 si n  t  50 2 si n 3t

V  

V  

2 si n 3t

P6.5. În circuitul cu schema din figura 6.18, aflat în regim periodic nesinusoidal,





t.e.m. a sursei este: u  t   U 1 2 sin  t  U 3 2 sin 3  t   . Să se calculeze valorile momentane ale curenţilor din laturile circuitului. Date numerice: U1 = 200 V, U3 = 100 V,R = 10,  L = 5,

1  20  , C

 = 600.

Fig. 6.18

 A ; i  8,95 2 sin  t  26 35'  2,77 2 sin  3 t  116 20'   A  ; i  4,47 2 sin  t  63 25'   4,16 2 sin 3  t  26 15'  A 

i  10 2 sin  t  5 2 sin  3 t  60

0

0

1

0

0

2

0

R:


238

P6.6. La bornele unui circuit R, L, C serie se aplică o tensiune nesinusoidală





ut   100 2 sint  30 2 sin 3t  300 V şi se stabileşte curentul:







it   10 2 sin t  530 8'  5 2 sin 3t  300

 A 

Se cer: a) rezistenţa, respectiv reactanţele inductivă şi capacitivă corespunzătoare fundamentalei; b) puterile activă, reactivă, aparentă şi deformantă. R:a) R  6  , X L  1  , X C  9  ;  1167 VA, D ~  400 vad  b) P  750 W , Q  800 var, S ~ P6.7. Se consideră circuitul cu schema din figura 6.19 aflat în regim periodic nesinusoidal.

Cunoscând

u t   2U 1 sin  t  2U 3 sin 3t  2U 5 sin 5 t ,

i

Fig.6.19

capacitatea C a condensatorului şi frecvenţa f corespunzătoare fundamentalei, să se calculeze inductivităţile celor două bobine, astfel încât: a) armonica fundamentală a curentului i să fie nulă. b) armonica a 5-a a tensiunii u (t) să se menţină neatenuată la bornele 22'. Date numerice: C = 50  F, f = 50 Hz.

R: a) L2 = 0,2 H; b) L1 = 8,45 mH. P6.8. Se consideră circuitul cu schema din figura 6.20 în regim periodic nesinusoidal. Să se determine: a) reactanţele capacitive astfel încât, armonica fundamentală a curentului i2 , respectiv armonica de ordinul trei a curentului i să fie nule; b) valorile momentane ale curenţilor i şi i2 în condiţiile de la punctul a. Date numerice:

u t   10 2 sint  80 2 sin3t  V  , R  10 , L1   M  10 ,

 L2  40 

Fig.6.20

Probleme R: a)

1 1  30  ,  330  ;  C1  C2



b) i  2 sin t  A  , i2  2 sin 3t  900

239

 A  .

P6.9. Se consideră circuitul cu schema din figura 6.21. Să se determine: a) valoarea instantanee a curentului i(t); b) puterea activă debitată de sursă. Date numerice: u e  t   30  180 si n  t   4   6 0 5 co s 3t  V  ,

R  10  , L  1 H , C  10 mF , L1  L 2  2M  1 5 H , f  50 H z 

Fig.6.21

R: a) i  t   2  6

2 si n  t  2 2 si n  3t    ar ct g 1 3   A  ;

b) P  6 6 0 W  P6.10. Să se stabilească structura impedanţei Z 1 din puntea de curent alternativ reprezentată în figura 6.22, astfel încât echilibrul punţii să nu fie afectat de forma periodică nesinusoidală a tensiunii sursei de alimentare. R: R1 C1 ; la echilibrul punţii Maxwell:

R1  R 2 R 4 C 1  L3

Fig.6.22

R 3 şi

R2 R4 

7. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU Regimul tranzitoriu de funcţionare al circuitelor electrice, în general de scurtă durată, apare la trecerea de la un regim permanent la altul. Procesele de comutaţie (conectarea sau deconectarea unor elemente de circuit, active sau pasive), avariile (întreruperi de conductoare, scurtcircuite), modificările bruşte ale valorilor parametrilor elementelor de circuit, trenurile de impulsuri etc. determină regimuri tranzitorii. Teoremele lui Kirchhoff, împreună cu relaţiile caracteristice dintre tensiuni şi curenţi pentru elementele de circuit, permit rezolvarea circuitelor electrice în orice regim de funcţionare. În conformitate cu relaţiile (1.55) şi (1.65), elementele reactive (bobinele şi condensatoarele) din circuit introduc în ecuaţii termeni ce conţin derivate în raport cu timpul,determinând astfel caracterul diferenţial al ecuaţiilor. Analiza circuitelor electrice în regim tranzitoriu se face în domeniul timp (metoda directă, a variabilelor de stare, a răspunsului tranzitoriu) sau în domeniul frecvenţă (metoda transformatei Laplace, a transformatei Fourier).

7.1. Componente tranzitorii şi permanente Se consideră un circuit electric liniar cu parametri concentraţi cunoscuţi. Comportarea acestuia în regim variabil este descrisă de un sistem de ecuaţii diferenţiale liniare, neomogene, cu coeficienţi constanţi, obţinute prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. Asupra acestui sistem se intervine astfel încât fiecare ecuaţie să conţină, cel mult, o singură derivată de ordinul întâi a unei funcţii necunoscute (tensiune sau curent) şi apoi, prin eliminări succesive, se ajunge la o singură ecuaţie diferenţială de ordinul n, egal cu numărul elementelor reactive din circuit. Soluţia completă a ecuaţiei diferenţiale are următoarea formă în raport cu funcţia necunoscută x (t): (7.1) x  t   x f  t   xl  t  Primul termen din relaţia (7.1), x f  t  , este o soluţie particulară a ecuaţiei

neomogene şi reprezintă componenta forţată sau soluţia de regim forţat, deoarece forma ei de variaţie în timp este impusă de termenul liber al ecuaţiei, corespunzător mărimilor de excitaţie (tensiuni electromotoare şi/sau curenţi generaţi). Componenta liberă (naturală), x l  t  , este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene, obţinută prin anularea termenului liber al ecuaţiei, adică prin pasivizarea surselor. În general, componenta liberă sau soluţia de regim liber se scrie sub forma unei sume de funcţii exponenţiale de timp multiplicate cu constante de integrare: n

x l  t    Ak e k 1

pk t



(7.2)

7.1 – Componente tranzitorii şi permanente

241

În relaţia (7.2) p k reprezintă rădăcinile ecuaţiei caracteristice asociate ecuaţiei diferenţiale, iar Ak sunt constante de integrare, în număr egal cu ordinul ecuaţiei şi a căror determinare se face pe baza condiţiilor iniţiale, impuse soluţiei complete (rel.7.1). Întrucât rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt numere reale negative sau numere complexe cu partea reală negativă, soluţia de regim liber tinde către zero când t   :

lim x l  t   0 

(7.3)

t 

Nefiind întreţinută de sursele de excitaţie ale circuitului, componenta liberă are, practic, o durată limitată, corespunzând intervalului de timp în care energia electromagnetică acumulată în câmpurile elementelor reactive este disipată, ireversibil, în rezistenţele circuitului. Regimul liber este amortizat şi se caracterizează prin constantele de timp definite cu relaţia:

k 

1 e  p k





(7.4)

 35  k , adică xtr  t .

Deoarece componenta liberă durează, practic, un timp egal cu fracţiuni de secundă, ea se mai numeşte şi componentă tranzitorie

Componenta permanentă sau soluţia de regim permanent este expresia soluţiei complete a ecuaţiei diferenţiale (rel.7.1), stabilită pentru t   :

x p  t   lim x  t  

(7.5)

t 

La circuitele uzuale, excitate pe durată suficient de mare prin mărimi constante sau periodice în timp, cu regim liber amortizat, componenta permanentă se confundă cu cea forţată. Deci, dintr-un alt punct de vedere, soluţia completă se poate scrie în forma

x  t   x p  t   xtr  t  

(7.6)

Regimul de funcţionare al unui circuit în care prevalează componenta permanentă în raport cu cea tranzitorie, se numeşte regim permanent. Orice regim permanent este precedat de un regim tranzitoriu în care există ambele componente ale soluţiei dată de relaţia (7.6).

7.2. Condiţii iniţiale Pentru determinarea constantelor de integrare care intervin, prin intermediul componentei libere, în soluţia completă a ecuaţiei diferenţiale se folosesc condiţiile

242 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 iniţiale din circuit. Acestea se referă la curenţii prin bobine şi tensiunile la bornele condensatoarelor. În paragraful 1.7 s-a arătat că, în cazul elementelor reactive ideale, liniare curentul printr-o bobină, respectiv tensiunea la bornele unui condensator se exprimă cu relaţiile (1.56) şi (1.66):

iL  t  

1 L



t 0

u L dt  iL  0  ; uC  t  

1 C



t 0

iC d t  u C  0  

Mărimile i L  0  şi u C  0  constituie condiţiile iniţiale ale circuitului şi se determină din regimul permanent ce precede declanşarea regimului tranzitoriu. Regimul permanent menţionat poate fi un regim staţionar (curent continuu) sau un regim periodic (sinusoidal sau nesinusoidal). Curentul printr-o bobină şi, respectiv, tensiunea pe condensator nu pot varia discontinuu, adică brusc şi îşi păstrează valorile şi în momentul imediat următor producerii regimului tranzitoriu. Teoremele condiţiilor iniţiale sau ecuaţiile de continuitate se exprimă sub formele

i L 0   i L 0   i L  0 

(7.7)

u C 0   u C 0   u C  0  ,

(7.8)

în care indicele minus (respectiv plus) se referă la momentul imediat anterior (respectiv posterior) declanşării regimului tranzitoriu. Admiţând contrariul, adică discontinuitatea mărimilor i L  t  şi u C  t  , în

d t (1.55) şi i C  C  d u C

conformitate cu relaţiile u L  L  d i L

d t (1.65) rezultă

valori infinite ale tensiunii la bornele bobinei şi curentului prin condensator, ceea ce fizic nu este posibil. Observaţii: a) Mărimile

i L  t  şi u C  t  care, conform teoremelor condiţiilor iniţiale,

au variaţii continue se numesc şi variabile de stare ale unui circuit electric; b) Este posibil ca în cazul unor comutaţii ideale relaţiile (7.7) şi (7.8) să nu fie respectate. În astfel de situaţii se folosesc forme mai generale ale teoremelor condiţiilor iniţiale care impun, în orice moment, continuitatea fluxului magnetic total al bobinelor dintr-un ochi  de reţea, respectiv continuitatea sarcinii electrice totale de pe armăturile condensatoarelor situate pe laturile concurente într-un nod  al circuitului

   0      0  ,

k   

k



k

k



 Q  0     Q  0  ,

k   

k



k

k



(7.9) (7.10)

7.3. Analiza circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu cu metoda directă.


243

Metoda directă (clasică, elementară) constă în integrarea ecuaţiilor diferenţiale obţinute prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. Datorită calculelor laborioase pe care le necesită, metoda se aplică circuitelor simple de ordinul I (cu un element reactiv) şi ordinul II (cu două elemente reactive). Se admite că regimul tranzitoriu este provocat de o comutaţie la momentul t 0  0 şi se analizează comportarea circuitului în intervalul temporal  0 ,   . Algoritmul pe baza căruia se determină răspunsul circuitului liniar la o excitaţie particulară (constantă sau sinusoidală în timp), presupune următoarele etape: - determinarea condiţiilor iniţiale din regimul permanent de funcţionare care precede declanşarea regimului tranzitoriu  t  0  ; - stabilirea ecuaţiei (ecuaţiilor) diferenţiale ce caracterizează circuitul după comutaţie; - determinarea componentei permanente (forţate), ca soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale neomogene; - determinarea componentei tranzitorii (libere), ca soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale omogene; - determinarea constantelor de integrare, pe baza teoremelor condiţiilor iniţiale. 7.3.1. Circuitul RL serie 7.3.1.1. Răspunsul circuitului la excitaţie constantă în timp a) Se consideră circuitul din figura 7.1. aflat în condiţii iniţiale nule, respectiv i 0  0 .

 

R

1 K

La

Ue

t0  0

întrerupătorul K este trecut brusc pe poziţia (1), declanşând un regim tranzitoriu. Ecuaţia circuitului, stabilită cu teorema a doua a lui Kirchhoff pentru t  0 , este:

i

2

momentul

L

L

di  Ri  U e dt

(7.11)

şi are soluţia completă de forma (7.1) sau (7.6). Tensiunea aplicată (mărimea de excitaţie) fiind constantă, componenta permanentă (forţată) a soluţiei este tot constantă Fig. 7.1

ip  i f  i 

Ue R



(7.12)

Componenta tranzitorie (liberă) este soluţia generală a ecuaţiei omogene:

L

d itr dt

 Ri t r  0 

(7.13)

244 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 Ecuaţia caracteristică p  R L  0 este de gradul întâi şi are rădăcina

p   R L ; cu soluţia ecuaţiei (7.13) de forma i t r  A1 e

R  t L

,

curentul din circuit are expresia

i  t   i p  it r 

Ue R

 A1 e

R  t L



(7.14)

Constanta de integrare se determină din relaţia (7.14), particularizată pentru t  0  şi ecuaţia de continuitate (7.7):

i 0   Cu A1   U e

Ue R

 A1  i  0    0 

R , curentul (rel.7.14) obţine forma finală it 

R  t Ue   1e L R 

   

(7.15)

şi constituie răspunsul complet al circuitului. Variaţia în timp a curentului prin bobină este reprezentată în figura 7.2, a.

u

i ip

Ue R

Ue

uR

i



uL





t

t

itr 

Ue R

b

a Fig.7.2

Conform relaţiei de definiţie (7.4), mărimea   L R  sec , se numeşte constanta de timp a circuitului RL. Se poate arăta cu uşurinţă că tangenta în origine la curba exponenţială a curentului intersectează asimptota orizontală la momentul t   .


245

Într-o altă interpretare, constanta de timp este durata în care componenta tranzitorie scade de e ori sau reprezintă 36,8% din valoarea ei iniţială. Din punct de vedere teoretic, componenta tranzitorie se anulează când t   . Practic, procesul tranzitoriu se consideră încheiat atunci când curentul din circuit diferă cu mai puţin de 5% faţă de curentul de regim permanent. Timpul t * corespunzător atingerii acestei situaţii rezultă astfel: t Ue    1 e  R 

*

 Ue ,   0,95  R  (7.16)

t *   ln

1  3  0,05

Regimul tranzitoriu se “stinge” după (3…5) constante de timp. Tensiunile la bornele bobinei ideale şi rezistorului, determinate pe baza relaţiei (7.15), t

uL  L

 di Ue e  , dt

t   u R  Ri  U e  1  e  

(7.17)

   

(7.18)

sunt reprezentate grafic în figura 7.2, b. Observaţie: Presupunând că în momentul anterior conectării circuitului la sursă

 t  0  curentul prin bobină avea valoarea nenulă i  0   i  0   0 , atunci, din teorema 



condiţiilor iniţiale (rel.7.7) rezultă constanta de integrare

A1  i  0   U e

R şi, prin

urmare, răspunsul complet al circuitului se obţine sub forma

Ue  it    i0  R  R Ue

  t e 

(7.19)

sau

i  t   i      i  0   i    e



t



,

(7.20)

în care s-a notat cu i    curentul de regim permanent stabilit după comutaţie. Relaţia (7.20) este valabilă şi pentru circuite cu mai multe surse şi rezistoare, dar numai cu o singură bobină. Într-o astfel de situaţie, constanta de timp se calculează cu relaţia



L , Re

(7.21)

246 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 în care Re este rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat, cu bobina decuplată, calculată pentru t  0 în raport cu bornele între care era conectată bobina. Cu alte cuvinte, Re este rezistenţa internă a generatorului echivalent Thévenin, pentru care sarcina o constituie însăşi bobina de inductivitate L.

b) După un timp suficient de lung pentru ca circuitul să funcţioneze în regim permanent, întrerupătorul K se comută brusc de pe poziţia (1) pe poziţia (2) (fig.7.1). Curentul care există în circuit în momentul premergător comutaţiei, i  0   i 0   U e R , este condiţia iniţială pentru regimul tranzitoriu care se va

 

desfăşura în absenţa sursei de excitaţie. Ecuaţia de funcţionare a circuitului devine

L

di  Ri  0 , dt

(7.22)

iar soluţia acesteia are numai componentă tranzitorie

i  i t r  A2 e

R  t L

 A2 e



t



,

(7.23)

deoarece i p  i     0 . Cu teorema condiţiilor iniţiale (rel.7.7) se determină constanta de integrare

i  0    A2  i  0    i  0  

Ue R

,

astfel că răspunsul natural al circuitului este

it 

Ue R

e



t





(7.24)

Folosind expresia curentului dată de relaţia (7.24), se determină tensiunile la bornele bobinei şi rezistorului: t

 di u L  L  U e e  , dt

u R  Ri  U e e



(7.25)

t





Reprezentările grafice ale celor trei mărimi sunt date în figura 7.3, a şi b.

(7.26)

7.3 – Analiza circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu cu metoda directă

247

u

i Ue / R

Ue

uR





t

t uL

Ue b

a Fig.7.3

Din punct de vedere energetic, se constată următoarele: - cu întrerupătorul K pe poziţia (1), în regimul permanent stabilit după stingerea regimului tranzitoriu, energia înmagazinată în câmpul magnetic al bobinei (vezi rel.1.57) este:

1 1  Ue W m  L i p2  L  2 2  R

2

   

(7.27)

- cu întrerupătorul K trecut pe poziţia (2), folosind relaţia (7.24), se calculează energia consumată pe rezistenţa circuitului pe durata integrală a desfăşurării regimului tranzitoriu: 

W R   Ri 0



2

 t d t   0

 Ue R   R

2

U   2t 1 U  e d t  e   L  e 2R 2  R  2

2

   

(7.28)

Bilanţul energetic al procesului evidenţiază transformarea integrală şi ireversibilă a energiei magnetice în căldură disipată pe rezistenţa circuitului. Aplicaţia 7.1. Circuitul cu schema din figura 7.4 funcţionează în regim permanent de c.c. cu întrerupătorul K deschis. La momentul t0 = 0 se închide întrerupătorul. Să se determine variaţia în timp a curentului prin bobină pentru t  0 . Date numerice:

U e  12V , R  4  , L  0 ,1 H 

K

R

i R

Ue L

Fig. 7.4

R

248 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 Rezolvare. Se vor aplica relaţiile (7.20) şi (7.21).  În regimul permanent ce precede comutaţia, curentul prin bobină este

i0 

Ue 2R



12  1,5 A  8

 În regimul permanent stabilit după stingerea regimului tranzitoriu, curentul prin bobină se determină cu teorema divizorului rezistiv de curent (rel.2.17): i 

1 R

Ue



2

1 1 R  R R R 2R

 Se calculează R e   R R   R 



1 12  1 A 2 6

R2 L 0 ,1 1  R  6  şi     s. 2R Re 6 60

 Cu relaţia (7.20) se obţine: i  t   1   1,5  1 e 6 0 t  1  0 ,5 e 6 0 t  A   7.3.1.2. Răspunsul circuitului la excitaţie sinusoidală în timp Cuplarea circuitului RL serie, în momentul t 0  0 , la o sursă având t.e.m. sinusoidală, determină apariţia unui regim tranzitoriu. Ecuaţia diferenţială a circuitului la t  0 ,

L

di  Ri  U m s i n   t    , dt

(7.29)

are soluţia generală i  t   i p  t   i t r  t  . Componenta permanentă a curentului are forma sinusoidală

i p  t   I m si n   t      ,

(7.30)

în care

Im 

Um Z



Um R 2  L 

2

şi   a r c t g

L

(vezi cap.3)

R

Impunând condiţia ca soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale

i  t   I m si n   t       A e



t



(7.31)


249

să verifice teorema condiţiilor iniţiale (rel.7.7)

i  0    I m si n       A  i  0    i  0   0 ,

rezultă expresia constantei de integrare

A   I m si n       Curentul prin bobină, adică răspunsul circuitului la excitaţia variabilă în timp, are forma:

i  t   I m si n   t       I m si n       e



t



(7.32)

şi este reprezentat grafic în figura 7.5.

u ,i u

ip

t

0

 

i

itr Fig.7.5

Relaţia (7.32) evidenţiază dependenţa pronunţată a curentului de momentul conectării. 1) Pentru cazul particular în care    , componenta tranzitorie a curentului este nulă şi circuitul trece direct în regim permanent, unde

i  t   I m si n  t  O asemenea cuplare la sursă este posibilă numai dacă este comandată electronic. 2) Pentru cazul în care      2k  1  2 , răspunsul circuitului rezultă sub forma:

250 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7



i  t    I m co s  t  e  t Dacă   L R  T şi t  T permanente, rezultă





(7.33)

2 , în care T este perioada componentei

i ma x ~   2Im  7.3.2. Circuitul RC serie 7.3.2.1. Răspunsul circuitului la excitaţie constantă în timp a)

u C 0



Se

consideră condensatorul în condiţii iniţiale nenule, adică  u C  0   0 ; trecerea întrerupătorului K pe poziţia (1) (fig.7.6) declanşează

un regim tranzitoriu, echivalând cu procesul de încărcare a condensatorului, în care i  C  d u C d t (rel. 1.65). Ecuaţia circuitului, stabilită cu teorema a doua a lui Kirchhoff pentru t 0,

RC

duC dt

 uC  U e ,

R

1

K

(7.34)

i

2

Ue

C

are soluţia completă de forma (7.1) sau (7.6). Tensiunea aplicată (mărimea de excitaţie) Ue fiind constantă în timp, componenta permanentă a soluţiei este de asemenea constantă

uC

Fig. 7.6

uC p  uC f  uC     U e 

(7.35)

Componenta tranzitorie este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene:

RC

duCtr

 uCtr  0 

dt

(7.36)

Ecuaţia

caracteristică de gradul întâi asociată ecuaţiei omogene, p  1 RC  0 , are rădăcina p   1 RC , astfel că soluţia ecuaţiei (7.36) este de forma:

u C t r  A1 e



t RC

 A1 e



t



,

în care s-a introdus, conform relaţiei (7.4), notaţia   RC pentru constanta de timp a circuitului RC.


251

Soluţia completă

uC  t   U e  Ae



t



(7.37)

se particularizează pentru t  0  şi din ecuaţia de continuitate (7.8)

u C  0    U e  A1  u C  0    u C  0   0 rezultă constanta de integrare

A1  u C  0   U e 

Revenind la relaţia (7.37), pentru tensiunea la bornele condensatorului se obţine expresia





uC  t   U e  uC 0   U e e



t



,

(7.38)

iar pentru curentul de încărcare a condensatorului rezultă

duC





t

 1 it  C  U e  uC 0  e   dt R

(7.39)

Variaţiile în raport cu timpul ale celor două mărimi sunt reprezentate în figura 7.7.

uC , i

Observaţie: Ţinând seama de relaţia (7.35), soluţia generală (rel.7.38) poate fi exprimată şi în forma

Ue

1 U e  uC 0  R uC 0 

uC







uC  t   uC     uC  0   uC    e

i



t 

,

(7.40)

t

în care valorile

u C    şi u C  0  corespund

regimului permanent stabilit după comutaţie, respectiv stării condensatorului premergătoare comutaţiei. Relaţia (7.40) este valabilă şi pentru un circuit ce conţine mai multe surse şi rezistoare, dar numai un singur condensator. Într-o astfel de situaţie, constanta de timp se determină cu relaţia Fig.7.7

  Re C ,

(7.41)

în care Re reprezintă rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat, cu condensatorul decuplat, calculată pentru t  0 în raport cu bornele între care era conectat condensatorul.

b) După un timp suficient de lung, pentru ca circuitul să funcţioneze în regim permanent, se comută brusc întrerupătorul K pe poziţia (2) (fig.7.6), ceea ce determină

252 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 un nou regim tranzitoriu, echivalând cu procesul de descărcare a condensatorului. Tensiunea pe condensator în momentul anterior comutaţiei, u C 0   u C  0   U e ,

 

este condiţia iniţială pentru regimul tranzitoriu care se va desfăşura în absenţa sursei de excitaţie. Analiza acestui regim conduce la stabilirea răspunsului natural al circuitului. Cu întrerupătorul K pe poziţia (2), pentru t  0 , ecuaţia de funcţionare a circuitului este

RC

duC dt

 uC  0 ,

(7.42)

iar soluţia acesteia are numai componentă tranzitorie

u C  u C t r  A2 e deoarece



1 t RC

 A2 e



t



(7.43)

uC p  uC     0 

Prin aplicarea teoremei condiţiilor iniţiale (rel.7.8)

u C  0    A2  u C  0    u C  0   U e

rezultă constanta de integrare A2  U e şi apoi se stabilesc expresiile tensiunii pe condensator (răspunsul natural al circuitului)

uC  t   U e e



t



(7.44)

şi curentul de descărcare a condensatorului

it  C

duC dt



Ue R

e



t





(7.45)

Dinamica acestui proces este evidenţiată de reprezentările grafice din figura 7.8.

uC , i Ue

Sub aspect energetic, se constată că energia acumulată în câmpul electric al condensatorului după stabilirea regimului permanent cu întrerupătorul K pe poziţia (1),

uC

 

i

Ue R Fig.7.8

We 

t

1 C U e2 , 2

(7.46)

se transformă în căldură disipată pe rezistenţa R pe toată durata regimului


253

tranzitoriu, declanşat de trecerea întrerupătorului K pe poziţia (2):

WR  

 0

2

 U e   2t  e d t  Ri  t  d t   R  0 R   2 2t U e     C U e2  e   0 2R 2 

2

(7.47)

Aplicaţia 7.2. Circuitul cu schema din figura 7.9 funcţionează în regim staţionar cu întrerupătorul K închis. La momentul t 0  0 se deschide întrerupătorul. Să se determine variaţia tensiunii pe condensator u C  t

3R

 pentru t  0 .

2R

R K

Ue

C uC

Fig. 7.9

Date numerice: U e  48 V , R  2  , C  40  F  Rezolvare. Se vor aplica relaţiile (7.40) şi (7.41).  În regimul permanent ce precede comutaţia, când întrerupătorul K scurtcircuitează rezistorul 2R, tensiunea pe condensator este

uC 0  

Ue 4R

 R  12 V 

 După stingerea regimului tranzitoriu, se stabileşte un nou regim permanent, în care tensiunea pe condensator devine uC    

Ue 6R

 3 R  24 V 


 Se calculează rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat în raport cu bornele 3R între care era conectat condensatorul R e  3 R 3 R   3 şi constanta de timp 2   R e C  3  40  10 6  12  10  5 s   Cu relaţia (7.40) se obţine: u C  t   24   12  24  e



12  10

10   t   12 2  e 12   5

t 5

  V    

7.3.2.2. Răspunsul circuitului la excitaţie sinusoidală în timp Cuplarea circuitului RC serie, în momentul t 0  0 , la o sursă având t.e.m. sinusoidală determină apariţia unui regim tranzitoriu. Ecuaţia diferenţială a circuitului la t  0 ,

RC

duC dt

 u C  U m si n   t    ,

(7.48)

are soluţia generală u C  t   u C p  t   u C t r  t  . Componenta permanentă a tensiunii pe condensator, defazată în urma curentului i p  t   I m si n  t      cu  2 radiani, are forma sinusoidală

   u C p  t   U C m si n   t       , 2  

(7.49)

în care

U Cm 

1 1  Im   C C

Um  1   R    C 

2



2



şi   a r ct g  



1  RC

  (vezi cap.3). 

Um

  RC  2  1

 

Admiţând conectarea circuitului în condiţii iniţiale nule, u C 0   u C  0   0 , se particularizează soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (7.48)


uC  t   U Cm

    si n   t        A e  2  

255

t

(7.50)

pentru momentul t  0  şi din ecuaţia de continuitate (7.8) se deduce expresia constantei de integrare

   A   U C m si n        U C m co s      2   Cu aceasta, tensiunea pe condensator (rel.7.50), adică răspunsul circuitului la excitaţia sinusoidală în timp, obţine forma

uC  t   U Cm

t         si n   t        c o s       e   2    

Curentul prin circuit calculat cu relaţia (1.65), i  C  d u C

(7.51)

d t , are expresia:

t    1 i  t   I m  si n   t       co s       e     RC  

(7.52)

Relaţiile (7.51) şi (7.52) evidenţiază un moment optim al cuplării când

     2 k  1  2 , cos       0 , componentele tranzitorii ale tensiunii la bornele condensatorului, respectiv curentului sunt nule şi, în consecinţă, regimul permanent se stabileşte instantaneu.



7.3.3. Circuitul RLC serie a) Se analizează răspunsul circuitului RLC serie (fig. 7.10) la excitaţie constantă U e  ct . , considerând condiţii iniţiale nule, adică



La

u C 0   0 ; i 0   0 

momentul

(7.53)

t0  0 ,

întrerupătorul K se închide brusc pe poziţia (1), declanşând un regim tranzitoriu. Ecuaţia de funcţionare a circuitului la t  0 este u R  u L  u C  U e (7.54, a)

R

1 K

L

C

i

2

Ue

sau Fig. 7.10


di  u C  U e  (7.54, b) dt Cu i  C  d u C d t (rel. 1.65), optând pentru tensiunea la bornele

Ri  L

condensatorului ca funcţie necunoscută, ecuaţia (7.54, b) devine:

d 2uC dt

2



Ue R duC 1  uC   L dt LC LC

(7.54, c)

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare, cu coeficienţi constanţi, de ordinul al doilea (rel.7.54, c) are forma

uC  t   uC p  t   uCtr  t  ,

(7.55)

în care componenta permanentă este soluţia particulară a ecuaţiei neomogene

uC p  t   uC     U e ,

(7.56)

iar componenta tranzitorie este soluţia generală a ecuaţiei omogene

d 2 uCtr dt

2

R duCtr 1  uC  0  L dt LC t r



(7.57)

Ecuaţia caracteristică asociată acesteia

p2 

R 1 p 0 L LC

(7.58)

are rădăcinile 2

 R  1    p 1,2      2   02      , LC  2L  R 1 ,  02  ,    2   02 . în care s-au folosit notaţiile:   2L LC R   2L

(7.59)

Componenta tranzitorie a tensiunii la bornele condensatorului are forma

u C t r  t   A1 e respectiv

u C t r  t   A1 e

p1t

p1t

 A2 e

p2t

 A2 t e

p2t

dacă p 1  p 2 ,

(7.60, a)

, dacă p 1  p 2 ,

(7.60, b)

unde A1 şi A 2 sunt constante de integrare care se determină din condiţiile iniţiale.


p

 Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt distincte

1

257

 p 2 , atunci

expresiile tensiunii pe condensator (rel. 7.55) şi curentului (rel. 1.65) devin:

u C  t   U e  A1 e i t  C

duC dt

 A2 e

p1t



 C p 1 A1 e

p1t

p2t

,

 p 2 A2 e

(7.61)



p2t

(7.62)

Se aplică teoremele condiţiilor iniţiale

u C  0    U e  A1  A2  u C  0    0

(7.63)

 duC   i  0    C   C  p 1 A1  p 2 A2   i  0    0  dt  t 0

(7.64)

şi se determină constantele de integrare:

A1 

p2 p1  p 2

U e , A2  

p1 p1  p 2

Ue 

(7.65)

Din relaţiile (7.61), (7.62) şi (7.65) rezultă:



 1 p t p t uC  t   U e  1  p1 e 2  p 2 e 1 p1  p 2 

i  t   CU e

p1 p 2 p1  p 2

e

p1t

e

p2t

  , 



(7.66)

(7.67)

 Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt identice  p 1  p 2     , atunci expresiile tensiunii pe condensator (rel.7.55) şi curentului (rel.1.65) devin:

u C  t   U e  A1 e  t  A2 t e  t ,

it  C

duC dt



 C A2    A1  t A2

 e

(7.68)  t



(7.69)

Se aplică teoremele condiţiilor iniţiale

u C  0    U e  A1  u C  0    0

(7.70)


 d uC   i  0    C   C  A2   A1   i  0    0  dt  t 0

(7.71)

şi se determină constantele de integrare:

A1   U e , A2    U e

(7.72)

Din relaţiile (7.68), (7.69) şi (7.72) rezultă:





u C  t   U e 1   1   t  e  t , i  t   C U e  2 t e  t 

Ue L

(7.73)

t e  t 

(7.74)

În funcţie de relaţiile dintre parametrii elementelor de circuit, se deosebesc următoarele cazuri: 10. Regimul aperiodic    0 sa u R  2 L C . În acest caz, rădăcinile





ecuaţiei caracteristice sunt reale, distincte şi negative, iar relaţiile (7.66) şi (7.67) devin:

   u C  t   U e  1  e  t  c h  t  s h  t   

it 

Ue

L

e  t s h  t 

   , 

(7.75)

(7.76)

Variaţiile aperiodice ale tensiunii la bornele condensatorului şi curentului sunt reprezentate în figura 7.11.


uC

i

Ue

im

tm

t

259

t b

a Fig.7.11

Timpul tm la care curentul atinge valoarea maximă se determină prin anularea derivatei

p1 p 2 di  t  p t p t  CU e p1 e 1 m  p 2 e 2 m  0 , dt p1  p 2





de unde, succesiv, rezultă

e

 p 1  p 2 t m



p2 p1

,e

2 t m



p2 p1

,tm 

p2 1 ln  2 p1

(7.77)

Din relaţia (7.67) se stabileşte pentru curentul maxim expresia:

im  i t m 

Ue

   L

e

p2tm



Ue

   L

e

p1t m



(7.78)

Observaţie: Spre deosebire de circuitul RC, unde curentul de încărcare a condensatorului (rel.7.39) poate atinge valori periculoase în momentul iniţial { dacă u C  0   0 şi rezistenţa R este mică }, în circuitul RLC prezenţa bobinei diminuează vârful de curent şi-l întârzie în timp.



20. Regimul aperiodic critic    0 sa u R  2



L C .

În acest caz, ecuaţia caracteristică are o rădăcină dublă negativă şi răspunsul complet al circuitului se obţine sub formele (7.73) şi (7.74). Rezultă curbe asemănătoare cu cele prezentate în figura 7.11, cu observaţia însă că în acest regim variaţiile sunt cele mai rapide.



30. Regimul oscilatoriu amortizat    0 sa u R  2



L C .

260 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 În acest caz rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt distincte, complexe şi conjugate: (7.79) p 1     j ; p 2     j , unde s-a notat cu  

 02   2 mărimea reală pozitivă, denumită pulsaţia

oscilaţiilor proprii (sau libere) amortizate ale circuitului, iar j   1 . Din relaţiile (7.66), (7.67) şi (7.79) se deduc expresiile tensiunii la bornele condensatorului

 0  t   uC  t   U e  1  e si n   t     ,   

(7.80)

în care t g     , si n    0 , co s     0 , respectiv curentului

it  Variaţiile u C  t

Ue

L

e  t s i n  t 

(7.81)

 şi i  t  sunt reprezentate calitativ în figura 7.12.

uC

i

U e  t e L

Ue

t

a

t

b Fig.7.12

b) În continuare, se analizează răspunsul natural al circuitului RLC serie stabilit în absenţa sursei de excitaţie. După un timp suficient de lung, pentru ca procesul de încărcare a condensatorului să poată fi considerat încheiat, întrerupătorul K se comută brusc, la momentul t 0  0 , de pe poziţia (1) pe poziţia (2) (fig.7.10). Tensiunea pe


 

261

condensator în momentul anterior comutaţiei, u C 0   u C  0   U e , este condiţia iniţială pentru noul regim tranzitoriu, care se va desfăşura în lipsa sursei de excitaţie. Ecuaţia diferenţială a circuitului, pentru t  0 , este

Ri  L Cu i   C  d u C

di  uC  dt

(7.82, a)

d t , în care semnul minus se datorează asocierii sensurilor

de referinţă ale tensiunii la bornele condensatorului şi curentului cu regula de la generatoare, ecuaţia (7.82, a) devine

d 2 uC dt În

uC p

2



R duC 1  uC  0 , L dt LC

(7.82, b)

absenţa

sursei, componenta permanentă a soluţiei este nulă,  u C     0 , iar componenta tranzitorie constituie însuşi răspunsul natural al

circuitului: u C  t   u C t r  t  . Întrucât ecuaţiile (7.82, b) şi (7.57) sunt identice,

rădăcinile ecuaţiei caracteristice (rel. 7.58 şi 7.59), respectiv forma soluţiei de regim liber (rel. 7.60, a şi b) stabilite în paragraful 7.3.3 pct.a) sunt valabile şi în acest caz. Pentru calculul tensiunii condensatorului şi al curentului se vor determina constantele de integrare pe baza noilor condiţii iniţiale.  Dacă rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt distincte p 1  p 2 , ţinând





seama de observaţiile anterioare, soluţia ecuaţiei (7.82, b) este de forma

u C  t   A1 e

p1t

 A2 e

p2t

,

astfel că pentru curentul circuitului se obţine



i  t    C p 1 A1 e

p1t

 p 2 A2 e

p2t

(7.83)



(7.84)

Aplicând teoremele condiţiilor iniţiale

u C  0    A1  A2  u C  0    U e

(7.85)

 duC   i  0     C    C  p 1 A1  p 2 A2   i  0    0 ,  dt  t 0

(7.86)

rezultă constantele de integrare


p2

A1  

p1  p 2

U e , A2 

p1 p1  p 2

Ue

(7.87)



(7.88)

şi relaţiile (7.83), (7.84) devin:

Ue

uC  t   i t 

p1  p 2

p

Ue

L  p1  p 2

1

e

p2t

e

 p2 e

p1t

e

p1t

p2t



 Dacă ecuaţia caracteristică are o rădăcină dublă

p

(7.89)

1

 p 2    , soluţia

ecuaţiei (7.82, b) este de forma

u C  t   A1 e  t  A2 t e  t ,

(7.90)

iar pentru curentul din circuit se obţine expresia

it   C

duC dt



  C A2    A1  t A2

 e

 t



(7.91)

Aplicând teoremele condiţiilor iniţiale

u C  0    A1  u C  0    U e

 duC i  0     C   dt rezultă constantele de integrare

(7.92)

    C  A2   A1   i  0    0 , t 0

(7.93)

A1  U e , A2   U e

(7.94)

u C  t   U e  1   t  e  t

(7.95)

şi relaţiile (7.90), (7.91) devin:

it 

Ue L

t e  t 

Răspunsul natural al circuitului RLC serie, sub forma u C  t

(7.96)



sau i  t  , poate

fi: aperiodic, aperiodic critic sau oscilatoriu amortizat, în funcţie de relaţiile dintre parametrii elementelor de circuit.

7.3 – Analiza circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu cu metoda directă 10. R  2

263

L . Rădăcinile distincte, reale şi negative, ale ecuaţiei caracteristice C

se introduc în relaţiile (7.88) şi (7.89), stabilindu-se următoarele expresii:

  u C  t   U e e  t  c h  t  s h   

it 

Ue

L

 t  

(7.97)

e  t s h  t 

(7.98)

Curba de variaţie a curentului are aceeaşi alură ca şi cea prezentată în figura 7.11, b. Curba de variaţie a tensiunii pe condensator u C  t  este redată în figura

uC

Ue

7.13.

R2

20.

L . C

Răspunsul

aperiodic critic al circuitului se obţine sub formele (7.95) şi (7.96).

t

30.

R2

L . C

Rădăcinile

distincte, complex conjugate ale ecuaţiei caracteristice se introduc în relaţiile (7.88) şi (7.89), obţinându-se următoarele expresii: Fig.7.13

uC  t   U e

it 

 0  t e si n   t    Ue

L



e  t s i n  t ,

în care  şi  au semnificaţiile precizate în contextul deducerii relaţiei (7.80).

(7.99)

(7.100)

264 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 Reprezentarea grafică din figura 7.14 evidenţiază oscilaţiile amortizate ale tensiunii la bornele condensatorului. Intervalul de uC timp între două treceri 0  t succesive prin zero sau între U e e două maxime succesive U  e constituie perioada oscilaţiilor libere amortizate (T). Deoarece pulsaţia

 0  2  T0

t

corespunzătoare oscilaţiilor libere neamortizate (pulsaţia Ue proprie de rezonanţă) este T întotdeauna mai mare decât pulsaţia   2 T , Fig.7.14 conform relaţiei  02   2   2 , rezultă că între perioadele celor două tipuri de oscilaţii există inegalitatea: T  T0 . Amortizarea oscilaţiilor este influenţată de factorul   R 2 L : cu cât rezistenţa circuitului este mai mare, cu atât mai redus este timpul de „stingere” a oscilaţiilor (vezi fig.7.14). O altă măsură a gradului de amortizare este raportul



uC  t 

uC  t  T





Ue

 0  t e si n   t   



 U e 0 e   t  T  s i n    t  T    



 eT

(7.101)

sau logaritmul natural al acestuia

d  ln    T 

R , L

(7.102)

numit decrementul logaritmic al amortizării. Mărimea a  d  se numeşte factor de amortizare, iar Q0  1 a este factorul de calitate al circuitului.


265

În situaţia idealizată, când rezistenţa circuitului este nulă, rezultă   0 ,

   2 ,   0  1

L C . Particularizând relaţiile (7.99) şi (7.100) se obţine

răspunsul circuitului sub forma

   u C  t   U e si n   0 t   2   it 

Ue

0 L

si n  0 t ,

în care oscilaţiile tensiunii la bornele condensatorului şi ale curentului sunt sinusoidale, neamortizate. Din punct de vedere energetic, în această situaţie particulară oscilaţiile sunt întreţinute de transferul periodic de energie între cele două elemente reactive. În realitate, prezenţa unei rezistenţe electrice în circuit determină disiparea treptată a energiei şi, în consecinţă, amortizarea oscilaţiilor. Aplicaţia 7.3. În circuitul cu schema din figura 7.15, a, aflat în regim permanent de c.c., întrerupătorul K se închide la momentul t 0  0 . a) Să se determine variaţiile în timp ale mărimilor u C şi i L , respectiv energia disipată în rezistoare pe durata regimului tranzitoriu; b) Să se indice sursa acestei energii şi să se verifice bilanţul energetic al circuitului. Date numerice: I s  10 A , R  2  , L  16 0 m H , C  40 m F .

R C

iRe

uC

Is

iL

R

K

iL

L

R 2

uC

C iC

a

b Fig. 7.15

L


t 0

Rezolvare. a) Curentul prin bobină şi tensiunea la bornele condensatorului la

i L  0    I s  10 A ; u C  0    R I s  20 V

constituie condiţiile iniţiale ale circuitului. La momentul t 0  0 se scurtcircuitează sursa de curent, astfel că în circuitul reprezentat în figura 7.15, b, în care cele două rezistoare conectate în paralel s-au înlocuit cu un rezistor echivalent, se stabileşte un regim tranzitoriu. Aplicând teoremele lui Kirchhoff pentru t  0 , se pot scrie ecuaţiile:

i Re  i L  iC  0 , unde i C   C

duC dt

(semnul minus se datorează asocierii sensurilor pentru u C şi i C

conform convenţiei de la generatoare);

uC 

R iR  0 2 e

uC  L

;

diL dt

0

Sistemul format din cele trei ecuaţii se reduce la o singură ecuaţie diferenţială de ordinul doi:

d 2 iL dt 2



2 diL 1  iL  0 , RC d t LC

sau, numeric,

d 2 iL dt

2

 25

diL dt



6 25 iL  0  4

Ecuaţia caracteristică asociată

p 2  25 p 

6 25 0 4

are o rădăcină dublă negativă:

p1  p 2  

25   12 ,5  2

Soluţia de regim tranzitoriu este de forma:

i L  t   A1 e

p1t

 A2 t e

p2t

,


267

în care intervin constantele de integrare A1 şi A 2 . Pentru determinarea lor, se exprimă tensiunea pe condensator

uC  t    L

diL  t  dt



  L p 1 A1 e

p1t

 A2 e

p2t

 p 2 A2 t e

p2t



şi se aplică teoremele condiţiilor iniţiale:

 i L  0    A1  i L  0    10  3  u C  0     16 0  10   12 ,5  A1  A2   u C  0    20 Cu A1  10 şi A2  0 , răspunsul natural al circuitului este:

i L  t   10 e 12 ,5 t  A  ; u C  t   20 e 12 ,5 t V   Pentru curentul stabilit prin rezistenţa echivalentă se obţine expresia

iRe  

uC  t    20 e  12 , 5 t  A  , R 2

care este necesară la calculul energiei disipate în rezistoare:

WRe  

 0

 R 2 i R e  t  d t   400 e  2 5 t d t  16 J  0 2

b) Sursa energiei W R e o constituie energia acumulată în câmpul electric al condensatorului şi în câmpul magnetic al bobinei. Ecuaţia de bilanţ se scrie sub forma:

We  0    W m  0    W R e

unde

1 W e  0    C u C2  0    8 J , 2 Wm  0  

1 2 L i L 0   8 J  2

Aplicaţia 7.4. Se consideră circuitul cu schema din figura 7.16 funcţionând în regim staţionar cu întrerupătorul K pe poziţia (1). La momentul t 0  0 întrerupătorul se comută brusc pe poziţia (2). Să se determine variaţiile curentului i 1  t

u C 4  t  , pentru t  0 .

 şi tensiunii

268 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 Date numerice: U e  180 V , R1  R 2  5  , R 3  10  ,

L1  0 , 2 H , L 2  0 ,4 H , C 4  7 50  F , C 5  250  F 

R1

R2

L1

L2 i3

1

i1

2 K

R3

Ue uC4

C4

C5

Fig. 7.16

Rezolvare. Condiţiile iniţiale ale circuitului la t  0 sunt:

i1  0  

Ue R1  R 3

 12 A , u C 5  0    R 3 i1  0    120 V , u C 4  0    0 

După trecerea întrerupătorului K pe poziţia (2), comportarea circuitului este descrisă de sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare, stabilite cu teoremele lui Kirchhoff:

 di   R 1  R 2 i 1   L 1  L 2  1  u C 4  U e ; dt  u  u  R i ;  C4 C5 3 3  du  i1   C 4  C 5  C 4  i3   dt Prin eliminări succesive, acest sistem se reduce la o singură ecuaţie diferenţială neomogenă, de ordinul doi:

C

4

 C5

 L

2

1  L2

sau, numeric,

 dd t i

1 2

   C 4  C 5 

 R

1

 R2  

L1  L 2  d i 1  R1  R 2   1  R 3  d t  R3

 U  i1  e  R3 


6  10

4

d 2 i1 dt

2

 7  10  2

d i1 dt

269

 2i 1  18 

Soluţia generală a ecuaţiei este de forma

i 1  t   i 1 p  t   i 1t r  t  , unde componenta permanentă are valoarea

i1 p  i1    

Ue R1  R 2  R 3

 9A ,

iar componenta tranzitorie reprezintă soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene, a cărei ecuaţie caracteristică asociată

6  10  4 p 2  7  10  2 p  2  0 are rădăcinile reale, distincte şi negative:

p1  

200 şi p 2   50 3

Regimul liber al circuitului fiind aperiodic, componenta tranzitorie are forma

i 1t r  t   A1 e

p1t

 A2 e

p2t

 A1 e



20 0 t 3

 A2 e  5 0 t ,

iar răspunsul complet al circuitului este

i 1  t   9  A1 e



200 t 3

 A2 e  5 0 t ,

unde A1 şi A 2 sunt constante de integrare.

Pentru tensiunea u C 4  t  rezultă expresia:

u C 4  t   90  30 A1 e



20 0 t 3

 20 A2 e  50 t 

Aplicând relaţiile de continuitate (7.9) şi (7.10), se obţin ecuaţiile

   L1  L 2 i 1  0    L1 i 1  0    C u 0   C u 0   C u 0  ,  5 C5  5 C5   4 C4 

270 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 din care se determină A1  4 şi A2   9 . Înlocuind constantele stabilite anterior, se obţine soluţia generală:

i1  t   9  4 e



20 0 t 3

 9e  50 t

u C 4  t   90  36 0 e

20 0  t 3

A

 180 e  50 t

Observaţie: Pentru mărimile calculate, i 1  t

V  

 şi u C  t  , rezultă discontinuităţi finite, 4

în momentul comutaţiei ideale considerate.

7.4. Analiza operaţională a circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu cu metoda transformatei Laplace Transformarea Laplace realizează corespondenţa biunivocă dintre o funcţie imagine, de variabilă complexă s şi o funcţie original, de variabilă reală t (timpul). Prin asocierea transformatelor Laplace mărimilor variabile în timp care intervin în ecuaţiile ce descriu funcţionarea circuitelor electrice (tensiuni, curenţi), rezultă ecuaţii mai simple, algebrice, cu funcţii imagini. Strategia urmărită pentru rezolvarea circuitelor aflate în regim tranzitoriu, cu metoda transformatei Laplace este asemănătoare cu aceea folosită în studiul circuitelor de curent alternativ în regim permanent, cu ajutorul reprezentării în complex. 7.4.1. Transformata Laplace O funcţie original f (t) admite o transformată Laplace directă, unilaterală, sub forma

F  s  L

 f  t  

 0

f  t  e  st dt ,

(7.103)

unde F (s) este funcţia imagine de variabilă complexă s    j  . Transformata definită cu relaţia (7.103) este posibilă, respectiv funcţia F (s) există, numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii: - pentru t  0 , funcţia f (t) este netedă pe porţiuni, adică este mărginită şi admite, în domeniul de definiţie, un număr finit de discontinuităţi de speţa întâi, respectiv de intervale de monotonie; - cum e j  t  1 pentru orice valoare a lui t, integrala (7.103) este convergentă când



 0

f  t  e  t  

pentru orice    C , unde  C se numeşte abscisă de convergenţă.

(7.104)


271

În figura 7.17 se evidenţiază domeniul de existenţă a funcţiei F (s), care corespunde oricărei valori a variabilei s a cărei parte reală îndeplineşte condiţia: e s     C .

j

Se menţionează faptul că semnalele întâlnite uzual în electrotehnică satisfac criteriul C 0  0 de convergenţă (7.104) şi admit transformate Laplace. Pentru funcţia complexă Fig. 7.17 F (s) există o transformată Laplace inversă exprimată, într-o formă generală, de integrala:

f  t  L

1

 F  s    21 j  

 0  j 0

j

F  s  e st d s , cu  0   C , (7.105)

numită şi formula lui Mellin – Fourier. Aplicaţia 7.5. Să se determine transformatele Laplace pentru următoarele funcţii: a) Funcţia treaptă unitate, definită cu relaţia

0 1

 t  

pent r u t  0 pent r u t  0

(7.106)

şi reprezentată în figura 7.18, a:

L

  t   

 0

 1 1 1  e  st dt   e  st   0 s s

b) Funcţia treaptă unitate retardată, definită cu relaţia

0 1

 t    

pent r u t   pent r u t  

(7.107)

şi reprezentată în figura 7.18, b:

L

  t     



1  e  st dt  

1  st  1  s e  e   s s

c) Funcţia impuls ideal (Dirac), reprezentată în figura 7.18, c, care o singularitate în t  0 , fiind nulă în restul intervalului, adică


 0 p e nt r u t  0    t     p e nt r u t  0  0 p e nt r u t  0 

(7.108)

Imaginea acestei funcţii este

L

  t   

 t 

 t   

1

1

 0

  t  e  st dt  e 0  1 

 t 



t

t

t c

b

a

Fig. 7.18

Între mulţimea funcţiilor original

F  s 

 f  t   şi mulţimea imaginilor lor Laplace

există o corespondenţă biunivocă. În tabelul 7.1 sunt prezentate câteva funcţii de timp întâlnite frecvent în studiul circuitelor electrice şi imaginile lor. Tabelul 7.1 Nr.crt.

f  t  L

1

 F  s 

1.

C

2.

e t

3.

t e t

4.

si n  t

F  s  L

C s 1 s  1  s   2

 s 2 s 2 s 2 2

5.

co s  t

 f  t 

7.4 – Analiza operaţională a circuitelor electrice liniare 6.

si n   t  



7.

co s   t  



8.

e  t s i n  t

9.

e  t c o s  t

10.

s h at

273

 c o s   s si n  s2 2 s c o s    si n  s2 2   s   2   2 s   s   2   2 a s  a2 s 2 s  a2 2

11.

c h at

7.4.2. Teoremele transformatei Laplace Principalele proprietăţi ale transformatei Laplace sunt prezentate, fără demonstraţii, sub forma unor teoreme.  Teorema liniarităţii

L

 a  f  t   b  g  t    a  L  f  t    b  L  g  t    a F  s   bG  s  (7.109)

 Teorema derivării d f t L   dt

   sL  

 f  t  f  0   sF  s   f  0 ,

(7.110, a)

unde f  0  este valoarea funcţiei de timp la momentul iniţial. În cazul transformatei derivatei de ordinul n, se obţine relaţia: n  d f t L  n   dt

   s n F   

 s   s n 1 f  0   s n  2

f

1

 0   s0

f

 n 1

 0 

(7.110, b)

 Teorema integrării L



t 0



1 f  t  dt  L s

 f  t 

F s   s

(7.111)


 Teorema retardării (întârzierii) L

 f  t     e

 s

L

 f  t  e

 s

F s 

(7.112)

 Teorema deplasării sau teorema translaţiei variabilei complexe

e

L

f  t   F  s  a  

 at

(7.113)

 Teorema asemănării L

 f  a  t    1a F  as   

(7.114)



 Teoremele valorilor limită (iniţială şi finală)

lim f  t   f  0    lim s F  s  

(7.115)

lim f  t   f     lim s F  s  

(7.116)

t 0

s 

t 

s 0

 Teorema convoluţiei (Borel) L

1

F  s   F1  s   F2  s   f  t    0 f 1   t

 f2  t  d 

  f 2   f 1  t   d   t

0

unde f  t

 este produsul de convoluţie al funcţiilor

(7.117)

f 1  t  şi f 2  t 

f  t   f 1  t  f 2  t   f 2  t  f 1  t 

(7.118)

7.4.3. Teoremele lui Heaviside În situaţiile de interes ingineresc, stabilirea funcţiei original corespunzătoare unei imagini Laplace date se face fie pe baza unor tabele de corespondenţă, asemănătoare tab.7.1, apelând, dacă este necesar, la unele teoreme ale transformatei Laplace, fie utilizând formule de inversiune. Teoremele lui Heaviside permit determinarea funcţiei original atunci când imaginea Laplace corespunzătoare se prezintă sub forma unui raport de două polinoame

F s 

P s  , Q s 

unde gradul numitorului este mai mare decât gradul numărătorului.

(7.119)

7.4 – Analiza operaţională a circuitelor electrice liniare

275

Rădăcinile polinomului de la numitor, egalat cu zero (poli pentru fracţia raţională) pot fi reale sau complexe, distincte sau multiple. Dacă numitorul are rădăcini reale, distincte şi nenule (poli simpli pentru fracţie)

Q  s k   0 , s k  0 , k  1 , 2 ,  , n ,

atunci funcţia original corespunzătoare se exprimă prin relaţia

f  t  L

1

  P s    n P  sk  sk t e ,    ' Q s Q s   k  1     k  

(7.120)

care constituie prima teoremă a lui Heaviside. Dacă numitorul are o rădăcină nulă (pol în origine pentru fracţie) şi (n – 1) rădăcini reale, distincte şi nenule

Q  s   s  G  s  , G  s k   0 , s k  0 , k  1 , 2 , , n  1 ,

atunci

f  t  L

1

  P s    P  0  n 1 P  s k  s t  e k   '   s G s    G  0  k 1 s k  G  s k 

(7.121)

reprezintă a doua teoremă a lui Heaviside. În afara celor două cazuri prezentate, întâlnite frecvent în aplicaţii, literatura de specialitate consemnează şi forme mai complete ale teoremelor de inversiune ale lui Heaviside [18]. 7.4.4. Forma operaţională a ecuaţiilor circuitelor electrice Prin aplicarea teoremelor liniarităţii, derivării şi integrării prezentate în paragraful 7.4.2., se deduc relaţiile dintre imaginile Laplace ale tensiunilor la bornele elementelor pasive ideale de circuit şi ale curenţilor prin acestea. I s  i t 

R U R s 

u R t 

R

a) Rezistorul ideal (fig. 7.19, a). Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei rezistorului liniar u R  t   R  i  t  (rel. 1.44), se obţine relaţia

UR s  RI s ,

a

b Fig. 7.19

(7.122)

căreia îi corespunde schema operaţională din figura 7.19, b.

276 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 b) Bobina ideală (fig. 7.20, a). În cazul bobinei liniare aflată în condiţii iniţiale diferite de zero i  0   0 , transformarea Laplace se aplică relaţiei (1.56)

it 

1 L

şi se obţine expresia:

0

u L  t d t  i  0 

1 i0  UL s  , sL s

(7.123, a)

U L  s   s L I  s   Li 0 

(7.123, b)

I s  respectiv



t

În relaţia (7.123, b) intervin imaginile tensiunii U  s  , curentului I  s  ,

impedanţa operaţională a bobinei ideale Z L  s   s L şi tensiunea operaţională

  0   L  i  0  a unei surse

Li0 

a

b

Laplace

uC  t  

sL

L U L s 

u L t 

c) Condensatorul ideal (fig. 7.21, a). În cazul condensatorului liniar încărcat iniţial cu sarcina se Q 0   C  uC  0   0 , aplică transformarea ecuaţiei (1.66)

I s 

i t 

ideale de tensiune, având sensul curentului. Acestei relaţii îi corespunde modelul operaţional din figura 7.20, b.

Fig. 7.20

1 C

şi se obţine expresia:

UC s 

 i  t d t  u  0  t

0

C

uC 0  1 I s   sC s

(7.124)

În relaţia (7.124) intervin imaginile tensiunii şi curentului, impedanţa operaţională a condensatorului ideal Z C  s   1 sC şi tensiunea operaţională

u C  0  s a unei surse ideale de tensiune, având sensul invers curentului de încărcare

a condensatorului. Acestei relaţii îi corespunde schema operaţională din figura 7.21, b.


1 sC

C U c s 

u c t 

În schemele operaţionale ale elementelor de circuit reactive se remarcă existenţa surselor de tensiune electromotoare echivalente condiţiilor iniţiale nenule. Referindu-ne la circuitul RLC serie, cu bobina şi condensatorul în condiţii iniţiale diferite de zero, după aplicarea transformării Laplace tuturor termenilor ecuaţiei

I s 

i t 

a

uc 0  s

b Fig. 7.21

ub  Ri  L (rel.3.17) se obţine expresia operaţională

U b  s   R I  s   s L I  s   Li 0   respectiv

277

di 1  dt C

 id t

uC 0  1 I s  , (7.125, a) sC s

uC 0 

 1  (7.125, b)   R  sL   I  s   Z  s I  s  , s sC   în care Z  s   R  s L  1 sC este impedanţa operaţională a circuitului. U b  s   Li0  

Relaţiei (7.125, a) îi corespunde schema operaţională reprezentată în figura 7.22. Imaginea curentului I  s  rezultă din relaţia (7.125, b) sub forma

I s 

R

Li 0 

sL

1 sC

uc 0  s

U b s 

Fig. 7.22

I s 

Ub s  Zs 



Li0  

uC 0 

Zs 

s

,

(7.126)

în care ultimul termen reprezintă contribuţia surselor echivalente care ţin seama de condiţiile iniţiale referitoare la elementele reactive. Într-un caz mai general, se consideră circuitul reprezentat în figura 3.26, în care latura activă k este cuplată

278 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 magnetic cu alte l laturi. Aplicând transformarea Laplace relaţiei (3.64) se obţine ecuaţia operaţională

U k  s   U ek  s  

uC 0  s

l

 k  0   Z k  s  I k  s  

 Z  s  I  s (7.127) 

în care s-au folosit notaţiile

p 1 pk

p



Z k  s   Rk  s Lk  1 s C k

operaţională proprie a laturii k,

kp

pentru impedanţa

Z k p  s   s L k p corespunzătoare impedanţei

operaţionale mutuale (de cuplaj magnetic) dintre laturile k şi p, respectiv l

 k  0   Lk i k  0  

L 

p 1 pk

kp

i p  0  pentru fluxul magnetic total, în momentul



iniţial, al bobinei situată pe latura k. Observaţie: Se constată existenţa unei analogii formale între impedanţa operaţională a unui circuit RLC serie în regim tranzitoriu Z  s   R  s L  1 s C şi impedanţa complexă

a aceluiaşi circuit în regim permanent sinusoidal Z  R  j L  1 j  C  s  j  . În cazul în care se consideră condiţii iniţiale nule, ecuaţiile operaţionale ale circuitelor electrice sunt formal analoage cu ecuaţiile în complex corespunzătoare regimului sinusoidal. Metodele şi teoremele folosite la calculul circuitelor de curent alternativ (vezi par. 3.4) pot fi extinse în cazul circuitelor abordate prin metoda operaţională; condiţiile iniţiale nenule se regăsesc în tensiunile operaţionale echivalente lor.

7.4.5. Algoritm de aplicare a metodei transformatei Laplace Aplicarea metodei transformatei Laplace la studiul regimului tranzitoriu al circuitelor electrice necesită parcurgerea următoarelor etape: - determinarea condiţiilor iniţiale din regimul permanent de funcţionare, care precede declanşarea regimului tranzitoriu  t  0  ; - formarea schemei echivalente operaţionale a circuitului, corespunzătoare momentului t  0  ; ea conţine imaginile Laplace ale tensiunilor electromotoare şi curenţilor generaţi de surse, impedanţele operaţionale ale elementelor pasive de circuit şi sursele echivalente condiţiilor iniţiale; - aplicarea celei mai potrivite metode de rezolvare a circuitului operaţional (metoda teoremelor lui Kirchhoff, a curenţilor de buclă, a potenţialelor la noduri etc.) şi soluţionarea sistemului de ecuaţii în raport cu imaginile Laplace ale funcţiilor necunoscute (curenţi sau potenţiale); - determinarea funcţiilor original necunoscute pe baza unei metode de inversiune. Aplicaţia 7.6. Circuitul cu schema din figura 7.23, a funcţionează în regim staţionar cu întrerupătorul K închis. La momentul t 0  0 acesta se deschide brusc. Să se determine variaţia curentului prin bobină în regimul tranzitoriu produs. Date numerice: U e  120 V , R1  R 2  5  , R 3  R 4  2 ,5  , L  10 m H 


I 3 s 

R1

R1

R2

I 2 s 

I 1 s 

i3

i2

i1

R3

R2

Ue s

ue

279

R3

sL

L

K

R4

Li2 0 

a

R4

b

Fig.7.23

Rezolvare. În regimul permanent care precede comutaţia, rezistorul R4 este scurtcircuitat şi valoarea curentului prin bobină este

i2  0   U e

R

1



 R 2  R1 R 2 R 31  6 A 

Schema operaţională la t  0 este reprezentată în figura 7.23, b. Sursa echivalentă condiţiei iniţiale pentru bobină este

  0   L i 2  0   6  10  2 W b  Cu teoremele lui Kirchhoff sub formă operaţională se scriu ecuaţiile:

Ue   Li2  0   R1 I 1  s    R 2  s L  I 2  s   s  Ue    R1 I 1  s    R 3  R 4  I 3  s   s   I2  s  I3  s  I1  s  0  Rezolvând acest sistem de ecuaţii în raport cu I 2  s  se obţine expresia: I2 s  sau, numeric,



i 2  0 s  U e  R3  R4

s s  R 2 L 1  R 1

 R  R  R  L  R  R  R  R  R  L  1

1

3

1

4

1

3

4

1

3

4

1


6 s  6 000  s  s  7 50 

I2 s 

Pentru determinarea funcţiei original se aplică a doua teoremă a lui Heaviside (rel. 7.121) şi se obţine următoarea valoare momentană a curentului:

i 2  t   8  2 e 7 50 t

 A 

Aplicaţia 7.7. Circuitul reprezentat în figura 7.24, a se află în regim permanent de c.c. cu întrerupătorul K deschis. La momentul t 0  0 se închide întrerupătorul. Să se determine variaţia în timp a tensiunii pe condensator, pentru t  0 . Date numerice: U e 1  120 V , U e 2  30 V , R  100  , C  100  F

K

R

R U e1

U e2

C

uc

R U e1 s

a

V s 

R

uC 0  s 1 sC

R

R

U e2 s b

Fig. 7.24

Rezolvare. În regimul permanent al circuitului, respectiv pentru t  0 , tensiunea pe condensator este

uC 0  

U e1 2R

R

U e1 2

 60V 

În figura 7.24, b este reprezentată schema operaţională a circuitului, pentru t  0 , în care este prezentă sursa de tensiune echivalentă condiţiei iniţiale pentru

condensator u C  0  s .

Se aplică metoda potenţialelor la noduri sub formă operaţională şi rezultă ecuaţia:

 3 V  s   s C  R

 U e1  U e 2 1 u C  0   sC  0   s R s 

Soluţia ecuaţiei este însăşi tensiunea la bornele condensatorului:

UC  s V  s 





u C  0  s  U e 1  U e 2 R 1 C 1



s s  3 R 1 C 1



Probleme sau, numeric,

UC s 

281

6 0 s  9000  s  s  300 

Originalul corespunzător se determină cu cea de-a doua teoremă a lui Heaviside (rel. 7.121):



u C  t   30 1  e  300 t

 V  

PROBLEME (7)

i1

R1

i3

R2

Ue

P.7.1. Circuitul cu schema din figura 7.25, având întrerupătorul K închis, funcţionează în regim permanent de c.c. La momentul t 0  0 întreru-

R3

pătorul se deschide. Să se stabilească expresia de regim tranzitoriu pentru curentul i3 (t).

i2

K

R4

L Fig. 7.25

Date numerice: U e  30 V , R1  R 2  5  , R 3  R 4  2 ,5  , L  10 m H  R: i 3  t   2  0 , 25 e 7 50 t P. 7.2. Circuitul cu schema din figura 7.26 funcţionează în regim permanent de c.c. cu întrerupătorul K deschis. Să se determine variaţia în timp a curentului i (t) în regimul tranzitoriu declanşat de închiderea bruscă a întrerupătorului.

 A i

R R

R

C

R

Ue

Fig. 7.26

Date numerice: U e  6 0 V , R  10  , C  1  F 

K

282 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 2

1  10 5 t R: i  t   3  e 3 3

A

R

K

i

P. 7.3. În circuitul cu schema din figura 7.27 întrerupătorul K se închide la momentul t 0  0 . Să se

R

IS

R

determine curentul i (t) în regimul tranzitoriu creat. Date numerice:

L

I s  2 A , R  4  , L  0 ,1 H 

R: i  t   1  e  80 t

 A

Fig. 7.27

P. 7.4. Circuitul cu schema din figura 7.28 funcţionează în regim staţionar cu întrerupătorul K deschis. Să R se determine expresiile L curenţilor prin laturile i1 i2 circuitului în regimul i tranzitoriu declanşat de R1 R2 închiderea, la t 0  0 , a K U e

întrerupătorului. Date numerice:

C1

U e  10V , R  6  , R1  10  ,

L2

R2  4  , L  2 H , C1  100  F , L 2  1 H  R: i  t  



Fig. 7.28

1 5  2 e  3t 3 i 2  t   e 4t  A 

  A  , i  t    0 ,4 e 1

 10 3 t

 A,

P. 7.5. În circuitul reprezentat în figura 7.29 aflat în regim permanent de c.c., la momentul t 0  0 are loc comutaţia bruscă a întrerupătorului K de pe poziţia (1) pe poziţia (2). Să se determine variaţia în timp a curentului prin bobină pentru t  0 . R: i L  t   4 e 10 t

 A 

Probleme

283

6 K

1 12

2

iL

8

4

8A

0 ,4 H

Fig. 7.29

P. 7.6. În cazul circuitului cu schema din figura 7.30, să se determine variaţia în timp a curentului i (t) în regimul tranzitoriu care succede închiderii întrerupătorului K. Regimul anterior comutaţiei era staţionar. Date numerice:

U e 1  15V , U e 2  5V , R  2  ,

U e1

U e2

r

L

R

i

r

L

r  1 , L  5 m H  R: i  t   4  e 10

3

t

 A 

K Fig. 7.30

P. 7.7. Circuitul cu schema din figura 7.31 funcţionează în regim staţionar cu întrerupătorul K închis. Să se determine variaţiile în timp ale tensiunilor la bornele condensatoarelor, în regimul uC 2 tranzitoriu creat după deschiderea, la C2 R2 K t 0  0 , a întrerupătorului. Date numerice:

U e  60V , R1  R 3  40  , R 2  10  ,

C1  6  F , C 2  4  F  R:

u C 1  t   40 e  2500t  V  ; u C 2  t   60  40 e  2500t  V  

Ue uC1

C1 Fig. 7.31

R1

R3

284 Circuite electrice liniare în regim tranzitoriu - 7 P. 7.8. Circuitul cu schema din figura 7.32 funcţionează în regim permanent de c.c. cu întrerupătorul K pe poziţia (1). La momentul t 0  0 acesta se trece brusc pe poziţia (2). Să se determine variaţiile în timp ale tensiunii la bornele condensatorului uC (t) şi curentului prin bobină iL (t), pentru t ≥ 0. Date numerice: U e 1  40 V , U e 2  6 0 V , R1  400  ,

R 2  1100  , L  0 , 2 H , C  2 ,5  F 





24  5 0 0 0 t e  8 e  15 0 0 t  V  ; 7 6 i L  t   0 , 04  e  5 0 0 0 t  e  15 0 0 t  A  . 17 5

R: u C  t   44 





R

1

R2

2

iL

K

Ue

R

1

uc

R1

L

C

Ue

2

Fig. 7.32

P.7.9. Circuitul cu schema din figura 7.33 funcţionează în regim staţionar cu întrerupătorul K deschis. Considerând că acesta se închide la momentul t 0  0 , să se determine variaţia în raport cu timpul a tensiunii la bornele condensatorului, pentru t ≥ 0. 10   R: u C  t   4  9  e 3  

4

t

   V   

4

2

12

3

K

48 V uc

50  F Fig. 7.33

12 V

8.3 – Linii electrice în regim sinusoidal

285

8. CIRCUITE ELECTRICE CU PARAMETRII REPARTIZAŢI În capitolele anterioare s-au prezentat circuitele electrice cu parametrii concentraţi, adică circuitele care se echivalează cu scheme formate din elemente de circuit ideale. În anumite situaţii această aproximaţie nu este însă valabilă. În cazul liniilor electrice lungi utilizate pentru distribuţia energiei electromagnetice la frecvenţe joase (50 sau 60 Hz), precum şi în telecomunicaţii, în domeniul frecvenţelor audio şi TV, parametrii au o repartiţie distribuită. La circuitele cu parametrii repartizaţi tensiunea şi curentul variază în lungul liniei. Datorită rezistenţei nenule a conductoarelor şi câmpului magnetic determinat de curenţii prin conductoare, apare o cădere de tensiune rezistivă şi o cădere de tensiune inductivă; aşadar, tensiunea dintre conductoare nu este constantă de-a lungul liniei. Datorită câmpului electric variabil dintre conductoare, între ele apare un curent electric de deplasare care, împreună cu cel de dispersie (de scăpări, de pierderi) stabilit între conductoare prin dielectricul imperfect, conduce la modificarea curentului în lungul liniei.

8.1. Parametrii lineici Se consideră cazul unei linii electrice bifilare, de lungime l, formată din două conductoare paralele orientate după direcţia longitudinală a axei Ox (fig.8.1). Pentru a caracteriza linia se definesc următorii parametrii i i dx lineici: i2 i1 x i - rezistenţa lineică

u1

u

u

x

u dx x

u2

R '  lim

 x 0

R d R     x d x  m

 , 

unde  R reprezintă rezistenţa electrică totală a celor două conductoare pe un tronson de lungime  x ; - inductivitatea lineică

dx l Fig.8.1

L'  l i m

 x 0

L d L  H   x d x  m

 , 

unde  L este inductivitatea sistemului format din cele două conductoare pe un tronson de lungime  x ; - capacitatea lineică

C '  lim

 x 0

C d C  x d x

F m,  

286

Circuite electrice cu parametrii repartizaţi - 8

unde  C este capacitatea sistemului format din cele două conductoare pe o porţiune de lungime  x ; - conductanţa lineică (perditanţa)

G '  lim

 x 0

G d G  x d x

S  m,  

unde  G este conductanţa dielectricului real dintre cele două conductoare pe o porţiune de lungime  x . Linia este omogenă, dacă parametrii lineici sunt constanţi în lungul ei (independenţi de x).

8.2. Ecuaţiile telegrafiştilor Pentru stabilirea ecuaţiilor diferenţiale satisfăcute de tensiune şi curent, se consideră un tronson elementar de lungime d x , cuprins între două plane transversale Ldx Rdx infinitezimal apropiate, având parametrii R ' d x , L' d x , C ' d x şi G ' d x . În figura Cdx Gdx 8.2 este reprezentată schema electrică cu parametrii concentraţi corespunzătoare porţiunii de linie cu lungimea d x (fig.8.1). Fig.8.2

Se pot scrie relaţiile:

  u i u   u  d x   R ' d x i  L' d x x t     i u i   i  d x   G ' d x u  C ' d x , x t   din care rezultă

u i  R ' i  L' x t i u   G' u  C '  x t 

(8.1) (8.2)

Relaţiile (8.1) şi (8.2) formează un sistem de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul întâi, având soluţiile u  x ,t  şi i  x ,t  ; ele sunt cunoscute şi sub denumirea de ecuaţiile telegrafiştilor.


287

Derivând ecuaţia (8.1) în raport cu x şi ecuaţia (8.2) în raport cu t se obţin



2  2u ' i '  i  R  L  x2 x  xt

(8.3)



 2i u  2u  G'  C'  t x t t 2

(8.4)

Înlocuind derivatele curentului care apar în relaţia (8.3) cu expresiile date de relaţiile (8.2) şi (8.4), se obţine

 2u ' '  2u u L C  R ' C '  L' G '  R' G' u  2 2 x t t

(8.5)

2  2i i ' '  i  L C  R ' C '  L' G '  R' G' i  2 2 x t t

(8.6)





Similar rezultă





Ecuaţiile (8.5) şi (8.6) se mai numesc şi ecuaţiile diferenţiale de ordinul doi ale telegrafiştilor. Se relevă faptul că soluţiile acestor ecuaţii, u  x ,t  şi i  x ,t  , care descriu propagarea undelor de tensiune şi de curent în lungul liniei, nu sunt independente, deoarece între ele există relaţiile de legătură exprimate de ecuaţiile (8.1) şi (8.2).

8.3. Linii electrice în regim sinusoidal Dacă tensiunea şi curentul pe linie sunt funcţii sinusoidale de timp, cu aceeaşi frecvenţă, se foloseşte reprezentarea în complex simplificată (v.par. 3.1) şi ecuaţiile de ordinul întâi ale telegrafiştilor devin:





(8.7, a)



(8.7, b)

dU  R '  j  L' I ; dx dI   G'  j C' U  dx 



Ecuaţiile de ordinul al doilea ale liniilor electrice lungi obţin forma

d 2U 2  U ; 2 dx

(8.8, a)

d2I 2  I , 2 dx

(8.8, b)

în care intervine constanta de propagare a liniei



R

'





 j L' G '  jC '    j  

(8.9)

288

Circuite electrice cu parametrii repartizaţi - 8 Partea reală  

 se numeşte constantă de atenuare şi se măsoară în Np/m, iar

partea imaginară    este constanta de fază şi se măsoară în rad/s. Soluţia generală a ecuaţiei (8.8, a) este

U  A1 e

 x

 A2 e

x

,

(8.10)

în care A 1 şi A 2 sunt constante de integrare ce se determină din condiţiile la limită (la capetele liniei). Din (8.7, a) şi (8.10) rezultă expresia curentului

I 





 1 dU  x x   ' A1 e  A2 e  ' ' R  j  L d x R  j L '

(8.11)

Definind impedanţa caracteristică (complexă) a liniei electrice

Zc 

R '  j  L'





 G'  j C '



R '  j  L' j  Zc e c , ' ' G  j C

(8.12, a)

cu modulul şi argumentul

G' R'  1  C '  L' şi  c  arctg , R' G' 2 1 2 ' '  LC

R '   2 L' 2 G' 2  2 C ' 2 2

Zc 

4

(8.12, b)

soluţia generală corespunzătoare curentului (rel.14.11) devine:

I





1  x x A1 e  A2 e  Zc

(8.13)

Soluţiile generale ale ecuaţiilor telegrafiştilor în regim sinusoidal (rel.8.10 şi 8.13) se compun din doi termeni, care reprezintă expresiile în complex ale unor unde. j j Într-adevăr, notând constantele complexe cu A 1  A1 e 1 şi A 2  A2 e 2 , soluţiile pentru tensiune şi curent se pot scrie sub forma: j   x  1



j   x 1 c



U  A1 e  x  e

I

A1 Zc

e  x e





 A2 e  x  e



A2 Zc

e x e



j  x  2





j  x 2 c

(8.14)



(8.15)


289

Pentru determinarea valorilor momentane ale acestor mărimi (expresiile în domeniul timp ale tensiunii şi curentului în lungul liniei) se ţine seama de relaţia (3.13) şi rezultă:

u  x ,t   m 

2 A1 e

 x





2 U e j t 

 si n   t   x   1   2 A 2 e  x  si n   t   x   2  ,





i  x ,t   m 2 I e j  t  A  2 1 e  x  si n   t   x   1   c Zc  2

A2 Zc



(8.16)

(8.17)

e  x  si n   t   x   2   c  

Fiecare soluţie în parte reprezintă suma dintre o funcţie sinusoidală, de argument

x  v  x   t v 

 t

 corespunzătoare undei directe, şi     corespunzătoare undei inverse, unde v    . 

alta,

de

argument

Undele directe (incidente), având expresiile

 u d  x , t   2 A1 e  x si n   t   x   1   A1  x  si n   t   x   1   c  ,  i d  x, t   2 Z e c  se propagă în sensul creşterii coordonatei x , adică de la începutul spre sfârşitul liniei. Undele inverse (reflectate), cu expresiile

 u i  x , t   2 A2 e  x s i n   t   x   2   A2  x    i x , t   2 e si n   t   x   2   c  , i  Zc  se propagă în sensul micşorării coordonatei x , adică de la sfârşitul liniei spre începutul acesteia. Amplitudinile undelor scad exponenţial în sensul în care ele se propagă (unde atenuate). În figura 8.3 este reprezentată o undă directă de tensiune.

290


ud x ,t 

2 A1 e  x v x



vdt

Fig.8.3

Din condiţia:





si n   t   x   1   si n  t    x      1 ,

verificată numai pentru    2  , se obţine lungimea de undă (perioada spaţială în direcţia Ox) în forma



2





2



v T v 

v  f

(8.18)

În studiul liniilor electrice lungi prezintă interes stabilirea expresiilor constantelor de atenuare şi de fază în funcţie de parametrii lineici şi de frecvenţă. Referitor la constanta de propagare se poate scrie

 2     j   2   R '  j  L'

 G

'



 j  C' ,

respectiv

 2   2  j 2     R ' G '   2 L' C '   j  L' G '  R ' C '   Identificând părţile reală şi imaginară se obţin relaţiile

 2   2  R ' G '   2 L' C ' 2      L' G '  R ' C ' 

(8.19) (8.20)


291

care, ridicate la pătrat şi adunate, conduc la expresia



2

 2

  R 2

respectiv

 2  2 

R

'2

'2

  2 L'

  2 L'

G

2

2

G

'2

'2

 2 C '

 2 C '

2

,



2

(8.21)

Ţinând seama de relaţiile (8.19) şi (8.21), constantele de atenuare şi de fază rezultă sub forma:



1  ' '  R G   2 L' C '    2 

R



1    2 L' C '  R ' G '   2 

R

'2

  2 L'

2

G

'2

  2 L'

2

G

'2

 2 C '

2

'2

 2 C '

2

R

În cazul particular, idealizat, al unei linii fără pierderi

'

  , (8.22)   

(8.23)



 0 ,G '  0 , din

relaţiile (8.22) şi (8.23) rezultă   0 şi   

L' C ' , ceea ce înseamnă că undele   1 de tensiune şi de curent se propagă neatenuat, cu o viteză v   L' C ' independentă de frecvenţă. În acest caz, impedanţa caracteristică (rel. 8.12, a) are valoarea Z c 

L' C '  Z c   .

La frecvenţe foarte înalte, când sunt îndeplinite condiţiile  L'  R ' ,

 C '  G ' , respectiv  2 L' C '  R ' G ' , din relaţiile (8.22), (8.23) şi (8.12, b)  rezultă  ~

R' G' 2 ,  ~ 

L' C ' şi Z c ~ 

L' C ' . Se observă că o linie de

transmisiune care lucrează în domeniul frecvenţelor înalte are practic aceeaşi impedanţă caracteristică şi aceeaşi constantă de fază ca şi o linie fără pierderi, dar introduce o atenuare   0 . Soluţiile generale ale ecuaţiilor liniilor electrice lungi în regim sinusoidal pot fi precizate în funcţie de mărimile (tensiuni, curenţi) de la capetele liniei. Dacă se presupun cunoscute tensiunea U 1 şi curentul I 1 de la începutul liniei, se particularizează relaţiile (8.10) şi (8.13) pentru x  0

U 1  A1  A 2 şi se obţin constantele

A1 

; I1 

U 1 Z c I 1 2

, A2 

1  A1  A 2 Zc U 1 Z c I 1 2

 

(8.24)

292

Circuite electrice cu parametrii repartizaţi - 8 Corespunzător, relaţiile (8.10) şi (8.13) devin

 U  U 1 ch  x  Z c I 1 sh  x ;   I   U 1 sh  x  I ch  x  1  Zc 

(8.25)

Dacă se consideră cunoscute mărimile de la sfârşitul liniei

U

2

, I 2  , se

particularizează relaţiile (8.10) şi (8.13) pentru x  l

U 2  A1 e

 l

 A2 e

l

; I2 



1  l l A1 e  A 2 e Zc



şi se obţin constantele

A1 

U 2 Z c I 2 l U Z c I 2 l e , A2  2 e 2 2



(8.26)

Corespunzător, relaţiile (8.10) şi (8.13) devin

 U  U 2 ch   l  x   Z c I 2 sh   l  x  ;   I  U 2 sh   l  x   I ch   l  x   2  Zc 

(8.27)

Dacă în ecuaţiile stabilite se introduce schimbarea de coordonată x '  l  x , cu originea la capătul liniei şi cu sensul pozitiv orientat spre începutul liniei, relaţiile (8.25) şi (8.27) devin









 U  U 1 ch  l  x '  Z c I 1 sh  l  x ' ;   I   U 1 sh  l  x '  I ch  l  x '  1  Zc 

(8.28)

 U  U 2 ch  x '  Z c I 2 sh  x ' ;   I  U 2 sh  x '  I ch  x '  2  Zc 

(8.29)









şi

Relaţiile între mărimile de la capetele liniei (fig.8.4), numite ecuaţiile cuadripolare (de diport) ale liniilor electrice, se obţin prin introducerea lui x  l în relaţia (8.25), respectiv a lui x '  l în relaţia (8.29):

8.4 – Linii fără distorsiuni

I1

293

I2

Z

U1

C

,



U2 x

x 0 x

xl

x  l

x  0 Fig.8.4

şi

 U 2  U 1 ch  l  Z c I 1 sh  l ;   I   U 1 sh  l  I ch  l  1  2 Zc 

(8.30)

 U 1  U 2 ch  l  Z c I 2 sh  l ;   I  U 2 sh  l  I ch  l  2  1 Zc 

(8.31)

8.4. Linii fără distorsiuni În general, dependenţa de frecvenţă a constantelor de atenuare (rel.8.22) şi de fază (rel.8.23) determină atenuarea diferită şi propagarea cu viteze diferite pentru armonicile unor unde nesinusoidale, respectiv ale unor semnale. Modificarea amplitudinilor şi fazelor componentelor ce se propagă pe linie conduce la distorsionarea (deformarea) semnalelor. Rezultă că realizarea unor linii fără distorsiuni este posibilă dacă  şi  (deci şi v    ) sunt independente de frecvenţă. Dacă parametrii lineici satisfac relaţia:

R ' L'  G' C' numită şi condiţia lui Heaviside, atunci linia este fără distorsiuni. Plecând de la expresia constantei de propagare (rel.8.9) se obţine

(8.32)


294

R

   j  

'

 G

 j  L'

'

 R'  L C  '  j    R '  L  '



L' C '

C'  j L'

L' C ' 

 j C' 

'

 R'  '  j   L

 G'   '  j   C

R' G'  j 

L' C '

   

,

de unde rezultă:

  e  

R ' G ' şi   m   

L' C '



(8.33)

Ţinând seama de relaţiile (8.12, a) şi (8.32), impedanţa caracteristică a liniei fără distorsiuni este Z c 

R' G' 

L' C '  Z c 

Se observă că pentru viteza de propagare v     1

L' C ' şi impedanţa

caracteristică Z c rezultă aceleaşi expresii (independente de frecvenţă) ca şi în cazul

liniei fără pierderi. Constanta de atenuare    nenulă, dar independentă de frecvenţă, face ca toate armonicile semnalului aplicat să fie atenuate în aceeaşi măsură. Ca urmare, semnalele transmise pe o astfel de linie nu sunt distorsionate. În mod obişnuit parametrii lineici ai liniilor de transmisiune sunt în relaţia

R ' G '  L' C '  Pentru realizarea condiţiei lui Heaviside (rel.8.32) se măreşte artificial inductivitatea lineică prin intercalarea, în lungul liniei, a unor bobine corespunzător alese (bobine Pupin).

8.5. Impedanţa de intrare Impedanţa de intrare a liniei Z 1i U 1 / I 1 , determinată pentru o anumită impedanţă de sarcină Z 2 U 2 / I 2 conectată la sfârşitul liniei,rezultă prin împărţirea ecuaţiilor cuadripolare din relaţia (8.31):

Z 1i 

Z 2 ch l  Z c sh l Z 2  Z c th l U 1 U 2 ch l  Z c I 2 sh l  Zc Zc . I 1 I ch  l  U 2 sh l Z c ch l  Z 2 sh l Z c  Z 2 th l 2 Zc

(8.34)

Pentru o linie în gol Z 2   , respectiv în scurtcircuit Z 2  0  la sfârşitul ei, expresia impedanţei de intrare (rel. 8.34) devine

U  Z 10   1   Z c cth l ,  I 1  I 2 0

(8.35)

8.6 – Coeficientul de reflexie. Linie adaptată

U  Z 1sc   1   Z c th l .  I 1 U 2  0

295 (8.36)

Referindu-ne la relaţiile (8.35) şi (8.36), se poate deci scrie:

Z 10 Z 1sc  Z

2 c

şi

Z 1sc  th 2  l . Z 10

(8.37)

Admiţând cunoscute impedanţele în gol şi în scurtcircuit, relaţiile (8.37) permit determinarea parametrilor caracteristici ai liniei, Z c şi  .





Un caz particular îl reprezintă linia fără pierderi R'  0 ,G'  0 , pentru care

Z c  L' / C' Z c R ,   0 ,    L' C' ,   j   j 2 /  . Folosind relaţiile cunoscute chjx  cos x , shjx  j sin x expresia impedanţei de intrare (rel. 8.34) se scrie sub forma :

Z 1i  Z c

Z 2 cos  l  j Z c sin  l Z cos 2 l /    j Z c sin 2 l /    Zc 2 Z c cos  l  j Z 2 sin  l Z c cos 2 l /    j Z 2 sin 2 l /  

(8.38)

Dacă lungimea liniei fără pierderi este l  k . / 2 , atunci Z 1i  Z 2 . Dacă

l  2k  1 / 4 , atunci Z 1i  Z c / Z 2 şi linia inversează impedanţele. De exemplu, 2

o impedanţă capacitivă a receptorului determină o impedanţă de intrare inductivă şi reciproc. 8.6. Coeficientul de reflexie. Linie adaptată Folosind soluţiile generale ale tensiunii şi curentului (rel.8.10 şi 8.13), expresiile constantelor A1 şi A2 (rel.14.26) şi ţinând seama de faptul că unda directă corespunde termenului care conţine factorul e 8.3), se poate scrie

U

 x

, iar unda inversă factorul e

x

(v.par.

U 2  Z c I 2  l  x  U 2  Z c I 2   l  x  e  e  U d U i 2 2

U  Z c I 2  l  x  U 2  Z c I 2  l  x  I 2 e  e  Id  Ii 2Z c 2Zc

(8.39)

Coeficientul de reflexie se defineşte ca raportul dintre expresiile complexe ale tensiunii inverse (reflectate) U 2 i şi tensiunii directe (incidente), la capătul liniei x  l  :

296


kr 

U 2i U  i U 2d U d

xl



Z2  Zc . Z2  Zc

(8.40,a)

Acelaşi coeficient de reflexie poate fi definit prin raportul, luat cu semn schimbat, dintre imaginile complexe ale curentului invers (reflectat) şi curentului direct (incident), la capătul liniei x  l  :

kr  

I 2i I  i I 2d Id

x l



Z 2 Z c Z 2 Z c

(8.40, b)

Coeficientul de reflexie depinde de impedanţa receptorului şi obţine valori particulare în următoarele situaţii: 1. pentru o linie în scurtcircuit la sfârşitul ei Z 2  0  , coeficientul de reflexie este k r  1 , adică tensiunea inversă este egală şi opusă tensiunii directe

U 2i  U 2 d şi, prin compunere, U 2  U 2 d  U 2i  0 , iar curentul invers este egal cu cel direct I 2i  I 2 d şi, prin urmare, I 2  I 2 d  I 2i  2 I 2 d . 2. pentru o linie în gol la sfârşitul ei Z 2   , coeficientul de reflexie este k r   1 , adică tensiunea inversă este egală cu cea directă U 2i  U 2 d şi, prin compunere, U 2  U 2 d  U 2i  2U 2 d , iar curentul invers este egal şi opus curentului direct I 2i   I 2 d , astfel că I 2  I 2 d  I 2i  0 . 3. pentru o linie adaptată, la care Z 2  Z c , rezultă coeficientul de reflexie k r  0 , ceea ce înseamnă că nu există unde inverse U 2i  0 , I 2i  0  şi transmisia semnalelor pe linie este optimă. Întrucât impedanţa receptorului Z 2 poate lua orice valoare, condiţia de adaptare

a liniei nu este în general îndeplinită Z 2  Z c  . In aceste condiţii este posibil ca într-o secţiune a liniei, prin interferenţa undelor directă şi inversă, de tensiune sau de curent, amplitudinea mărimii rezultante să fie mai mare decât la începutul liniei. Problema adaptării unei linii date la o impedanţă cunoscută se soluţionează în practică prin diferite procedee. Două dintre acestea sunt descrise în continuare [34]. Se presupune, pentru simplitate, linia fără pierderi   0 ,  j   j 2  , Z c  Z c   .





a) Se prelungeşte linia de impedanţă caracteristică Z c cu un tronson de lungime  4 '

şi impedanţă caracteristică Z c ; acesta, înseriat cu receptorul de impedanţă Z 2 (fig.8.5), trebuie să prezinte o impedanţă de intrare (v.rel.8.38) egală cu Z c pentru realizarea condiţiei de adaptare a liniei iniţiale:


Z 2 ct g  2 l    j Z c '

Zi Z

' c

Z c ct g  2 l    j Z 2 '

Z 2 ct g  2  j Z c '

Z

' c

Z c ct g  2  j Z 2 '

'

Z2 Zc 

Z c

(8.41)

'2



Zc

Z2

Zc /4

Pentru impedanţa caracteristică a tronsonului de adaptare se obţine expresia:

Zc 

297

 Z c 

Zi Zc

Fig. 8.5



Z2



Admiţând şi tronsonul de lungime  4 fără pierderi Z c  Z c'   , rezultă '

din relaţia (8.41) că receptorul trebuie să fie pur rezistiv. Adaptarea realizată prin acest procedeu corespunde numai pentru o anumită frecvenţă a semnalului transmis    v f .

x

Y c 

Y c 

Y i Y c

Z2

Y c  y

Z 2  0

b) La o distanţă x de receptor, se conectează în paralel o linie suplimentară de lungime y, având ieşirea în scurtcircuit (fig.8.6). Se presupune că ambele linii sunt fără pierderi şi au aceeaşi impedanţă caracteristică Z c  Z c   . Prin particularizarea relaţiei (8.38) se obţin impedanţele de intrare în punctul de derivaţie:

Fig. 8.6

Z 1i  Z c

Z 2  j Z c t g  2 x  

Z c  j Z 2 t g  2 x  

,


298

ce corespunde tronsonului de lungime x al liniei iniţiale funcţionând cu impedanţa de sarcină Z 2 şi

Z 1i  Z c '

j Z c t g  2 y   Zc

 j Z c t g  2 y   ,

corespunzătoare liniei de adaptare cu lungimea y, funcţionând în scurtcircuit ' Z 2  0 . Datorită conectării în paralel a acestor impedanţe echivalente, condiţia de





adaptare este impusă sub forma

Y c  Y 1i  Y 1i  Y c '

Z c  j Z 2 t g  2 x  

Z 2  j Z c t g  2 x  

 j Y c ct g  2 y   ,

din care se obţine, succesiv,

 t g  2 x   ct g  2 y    Z 2  Z c  Z c ,   t g  2 x   t g  2 y    Z 2 Z 2  Z c  respectiv

2   t g  2 x    Z 2 Z c  2 2    t g  2 y    Z 2 Z c  Z 2  Z c 

(8.42)

Necunoscutele x şi y rezultă prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (8.42). Deoarece   v f , adaptarea obţinută şi prin acest procedeu corespunde numai pentru o anumită frecvenţă. Aplicaţia 8.1. O sursă cu t.e.m. U e şi impedanţa internă z alimentează o linie electrică lungă, fără pierderi, cu impedanţa caracteristică Z c , constanta de fază    v şi lungimea l , care funcţionează în gol (fig. 8.7). Să se determine lungimea l ' a unei linii echivalente, cu aceiaşi parametrii I1 1 I2 0 caracteristici şi impedanţă de intrare ca şi în 2 cazul liniei reale, presupunând alimentarea ei Ue de la o sursă ideală cu t.e.m. U e .

U1

z 1

ZC ,  l Fig.8.7

U2

Date numerice: l = 100 km, f = 50 Hz,

z  j 300  , Z c  400  , 2

v  3  10 8 m s Rezolvare. Particularizând sistemul de ecuaţii (8.31) pentru I 2  0 (linie în gol) şi U 1  U e  z I 1 (v. fig. 8.7), se

8.6 – Coeficientul de reflexie. Linie adaptată obţin relaţiile:

U1

I1 

299

U e ch l ; z ch l  sh l Zc U e sh l

Z c ch l  z sh l



Impedanţele de intrare ale liniei reale Z 1i şi celei echivalente Z 1 i e c h i v sunt:

Z 1i 

Ue I1



Z c ch  l  z sh  l sh  l

Z 1i e c h i v 

U1 I1

 Z c c th l  z ;

 Z c c th l ' 

Ţinând seama de faptul că liniile (reală şi echivalentă) sunt fără pierderi, din condiţia ca cele două impedanţe de intrare să fie egale rezultă:

Z c ct g  l '  Z c ct g  l  j z  Pentru satisfacerea condiţiei anterioare este necesar ca impedanţa z să corespundă unui element reactiv (bobină sau condensator). Cu z  j x se obţine ecuaţia trigonometrică

ct g  l '  ct g  l 

x , Zc

a cărei soluţie este

l' 

 x  a r c c t g  ct g  l      Z c   1

Pentru valorile numerice considerate, rezultă lungimea liniei echivalente l  108 k m . '

Aplicaţia 8.2. La bornele unei surse, având t.e.m. U e şi impedanţa internă z , sunt conectate două linii electrice lungi, fără pierderi, având aceeaşi impedanţă caracteristică Z c , dar lungimi diferite: l ' şi l " (fig. 8.8). Să se determine impedanţele '

"

de intrare ale celor două linii, Z i şi Z i , respectiv tensiunile la bornele receptoarelor '

"

de impedanţe Z 2 şi Z 2 .


300

Date numerice. U e  8  1  j   V , z   50  j 100     ,

Z c  Z 2  Z 2  100  , l '   2 m , l "   8 m '

"

Ue

Z



2

 U2

ZC , 

U

U

z

ZC , 

U



2

Z



2

I

l 

l Fig.8.8

Rezolvare. Impedanţele de intrare ale celor două linii electrice lungi se determină cu relaţia (8.34), particularizată pentru linii fără pierderi şi receptor rezistiv:

Z i  Zc

Z 2  j Z c t g  2 l  

Z c  j Z 2 t g  2 l  



Se calculează astfel:

Z  Zc ' i

Z i  Zc "

Z 2'  j Z c t g  Z c  j Z 2' t g 

 Z 2'  100  

Z 2"  j Z c t g  4 Z c  j Z 2" t g  4

 Z c  100  

Curentul stabilit prin sursă (v.fig. 8.9) este:

I

Ue z  Z i ec hiv

 8  10  2 A ,

unde

Zi Zi '

Z i ec hiv 

"

Zi Zi '

"

 50  


301

Tensiunea la bornele sursei se calculează cu relaţia

U  Z i echiv  I  4 V  Pentru calculul tensiunilor la bornele receptoarelor se foloseşte relaţia (8.30), exprimată pentru linii fără pierderi:

 2   2  U 2  U 1 co s  l   j Z c I 1 si n  l       

I

Ue

Se obţine astfel:

U U  U c o s   j Z c ' si n    U   4  4 e j  , Zi ' 2

Z iechiv .

U

z

respectiv

u '2  t   4 2 si n   t  

 V  Fig.8.9

şi

U 2  U co s "

 4

 j Zc

2 U   1  j U  U e  j  si n  " 4 2 Zi

respectiv

u "2  t   4

4

 4ej

4

,

   2 si n   t    V   4  

Aplicaţia 8.3. Pentru obţinerea unui coeficient de reflexie nul pe linia fără pierderi, de impedanţă caracteristică Zc , la distanţa x de receptorul cu impedanţa Z2 , se conectează în paralel un segment de linie în scurtcircuit, de lungime y (fig. 8.6). a) Să se determine valorile minime raportate la lungimea de undă x  şi

y  ; b) să se calculeze aceleaşi mărimi raportate ca şi la pct. a), dacă segmentul de linie în derivaţie, cu lungimea y , este în gol. Date numerice: Z c  300  ; Z 2  400   Rezolvare. a) Pentru valorile numerice considerate, sistemul de ecuaţii (8.42) devine:

 t g 2  2 x    4 3  2  t g  2 y    12

şi are soluţia:

x



 0 ,136 ,

y



 0 ,205 

302


b) Faţă de cele prezentate în paragraful 8.6 pct. b), se modifică numai impedanţa ' de intrare a liniei de adaptare cu lungimea y , funcţionând în gol Z 2   :



Z 1i  '

Zc

j  t g  2 y  





Din condiţia de adaptare scrisă sub forma

Y i  Y c  Y 1i  Y 1i  Y c '

Z c  j Z 2 t g  2 x  

Z 2  j Z c t g  2 x  

 j Y c t g  2 y  

se obţine, succesiv,

 ct g  2 x   t g 2 y     Z c  Z 2  Z 2 ,   t g  2 x   t g 2 y     Z c  Z 2  Z c respectiv

2   t g  2 x    Z 2 Z c  2   t g  2  y    Z c  Z 2



2

Z2Zc



Pentru datele numerice considerate, sistemul de ecuaţii devine

 t g 2  2 x    4 3  2  t g  2 y    1 12 şi are soluţia:

x



 0 ,136 ,

y



 0 ,0 44 

PROBLEME (8) P. 8.1. La începutul unei linii lungi monofazate, fără pierderi, de lungime egală cu un multiplu impar de sfert de lungime de undă, se aplică o tensiune sinusoidală. Să se calculeze tensiunea la capătul liniei, când ieşirea acesteia este în gol. R: U 2   . P. 8.2. O sursă de înaltă frecvenţă, cu rezistenţa internă r, alimentează o linie electrică lungă, fără pierderi, cu impedanţa caracteristică Zc şi lungimea egală cu un multiplu impar de sfert de lungime de undă. Cunoscând viteza v de propagare a undelor pe linie, să se determine parametrii lineici L' şi C ' , corespunzători unui transfer maxim de putere către receptorul cu rezistenţa R . R: L'  R r v ; C '  1 v R r 

Circuite Electrice - Dumitru Irimia

Recommend Documents