FÍSICA I
Cinemática Dinámica 3.1 Cinemática. 3.2 MRU – MRUV 3.3 Movimiento compuesto I- Caí Caída da libr libree 3.4 Movimiento compuesto II- Movim Movimiento iento parabólico parabólico 3.5 Segunda ley de Newton. Dinámica Dinámi ca lineal. lineal. Dinámic Dinámicaa Circular.
1
I CICLO
CINEMÁTICA Cinemática rectilínea. En el presente estudio de la dinámica la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea. Posición: La trayectoria rectilínea de una partícula se define por medio de un solo eje de coordenadas.
Leonhard Euler fue un respetado matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía. Primera Ley de Newton: En la ausencia de fuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza que le obligue a cambiar dicho estado. Segunda Ley de Newton: La aceleración a de un cuerpo de masa m , es directamente proporcional a la fuerza neta F que actúa sobre el cuerpo e inversamente proporcional a su masa. a
2
F m
A partir del punto fijo O (Origen de coordenadas) se traza la coordenada de posición x para definir la ubicación de la partícula en cualquier instante dado. Desplazamiento: es el cambio en la posición de la partícula.
Para la cinemática lineal el desplazamiento de la partícula es ∆x . Velocidad. Si una partícula recorre una distancia ∆x en un intervalo de tiempo t su velocidad media durante este intervalo de tiempo es:
Si se toman intervalos de tiempo cada vez más pequeños la magnitud del desplazamiento se reduce cada vez más y se define lo que se conoce con el nombre de velocidad instantánea.
FÍSICA I
Aceleración media
Aceleración: Al conocerse la velocidad de una partícula en dos puntos de la trayectoria, se puede conocer su aceleración media.
v1
a
Z
V V 2 V 1 t t 2 t 1
r 1 v2 r 2
v=v´-v es la diferencia de velocidades durante
Aceleración instantánea Y
un intervalo de tiempo t. X
v=v´-v .
Lim 0
V t
dV dt
d dt
dr dt
2
d r dt
2
MRU – MRUV MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
La aceleración instantánea en un determinado instante t se obtiene al tomar valores de t cada vez más pequeños y valores de ∆ v correspondientes cada vez más pequeños.
Un movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria recorrida por el móvil es una recta. Cuando los espacios recorridos en intervalos de tiempo iguales son los mismos, decimos entonces que el movimiento es uniforme: e1 / t 1 = e2 / t2 = ....= en / tn = constante
Cuando el movimiento de la partícula es errático o variable su posición, velocidad y aceleración no se pueden describir mediante una sola función matemática continua a lo largo de una trayectoria, entonces se requiere de una serie de funciones para especificar el movimiento en diferentes intervalos. Se puede trazar una gráfica del movimiento que relacione dos de las variables x, v, a, t y a partir de aquí obtener otras gráficas que relacionen otro par de variables. En el espacio:
V
t1
módulo: velocidad numérica cuyas unidades son [v]= m/seg, km/h, etc. A esta magnitud se la denomina rapidez. punto de aplicación: punto de la trayectoria. dirección: tangente a la trayectoria en el punto estudiado. sentido: el mismo del movimiento.
Para pasar las unidades de km/h a m/s hay que dividir la velocidad por 3.6:
Velocidad media Z
Dicha constante representa el espacio recorrido en la unidad de tiempo y la denominamos velocidad . Ésta es una magnitud vectorial caracterizada por:
r 1 r t 2 t 1 t r 2
1 km/h = 1000 m / 3600 seg = 1/3.6 m/s
Dr
r1
Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniforme
t2 r 2 Y
IªLey: La velocidad es constante. v = cte.
X
3
I CICLO
2ª Ley: El espacio recorrido es proporcional al tiempo siendo la constante de proporcionalidad, la velocidad. e= v.t Ecuación General del MRU: Esta ecuación representa la posición de un móvil con movimiento rectilíneo uniforme a cualquier tiempo t y es particularmente útil para resolver problemas de encuentro de móviles. X(t) = Xo + v.t donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, x o es la posición a tiempo cero (posición inicial),v representa la velocidad. La diferencia X(t) - Xo representa el espacio recorrido por el móvil. Representación gráfica del MRU: Veremos a continuación que tipos de gráficos se obtienen al representar las leyes de este movimiento y la ecuación general: v(t) v = cte e = v.t espacio t e
tg = e/t = v t
X(t) Xo
b) Las posiciones de un móvil respecto del observador en función del tiempo son las siguientes: t 0 10 20 30 40 50 (seg) (t) 30 330 630 930 1230 1530 (m) 1) Representar gráficamente la tabla anterior. 2) Construir un gráfico de V(t) y calcular gráficamente el espacio recorrido. 3) Determinar gráfica y analíticamente la velocidad del móvil. MOVIMIENTO VARIADO Cuando los espacios recorridos por el móvil no son proporcionales a los tiempos, el movimiento es variado, es decir, la velocidad varía con el tiempo. Esta velocidad puede aumentar o disminuir. Podemos definir dos tipos de velocidad en este movimiento: Velocidad Media ( vm ): es la velocidad del móvil con la cual recorrería el mismo espacio en igual tiempo pero con movimiento rectilíneo uniforme. Supongamos que un automóvil recorre en la primera media hora 30 Km. y en los 15 minutos posteriores 20 Km. ¿Cuál será su velocidad media en km/h? La velocidad media queda definida por la siguiente ecuación: V m = (e1 +e2) / (t 1+t 2)
Xo* t Xo* Móvil alejándose el observador Xo Móvil acercándose al observador Ejercicio: a) Un automóvil viaja a una velocidad de 90 km/h. Representar gráficamente V(t), e(t) y X(t) a partir del instante en que pasa por el punto ubicado en el observador. 4
Antes de reemplazar los valores vamos a pasar los dos tiempos de minutos a horas: 60 min. 30 min. min. 15 min
1 hora x= 30 min.1h/60 min = 0.5 hs. 60 1 hora x= 15 min.1h/60 min= 0.25 h
FÍSICA I
Entonces t 1 = 0 . 5 h s . y t 2 = 0.25 h. Ahora reemplazamos: Vm = (e 1 +e2)/(t1+t 2) = (30 km + 20 km ) / (0.5 h + 0.25 h) = 50 km / 0.75 h = 66.67 km/h Velocidad Instantánea ( v i): es la velocidad real que tiene el móvil en un instante dado. V i = lim ( e / t) = de/dt t 0 donde dt = 1 seg. y de el espacio recorrido durante ese segundo. Veamos un ejemplo para clarificar este concepto. Supongamos que dejamos caer una pelota desde el extremo de una pendiente. La pelota va aumentando su velocidad a medida que desciende por el plano. Podemos determinar su velocidad en algún punto de la pendiente colocando una superficie plana horizontal en algún punto de la pendiente. La velocidad con la cual la pelota recorrerá dicho plano horizontal, es la misma velocidad que tenía en dicho punto de la pendiente: 1 2 3 5
En 1 la velocidad de la pelota es 0 En 2 la pelota está en movimiento En 3 la pelota va más rápido que en 2 En 4 la pelota va más rápido que en 3 En 5 la pelota se mueve horizontalmente con la misma velocidad instantánea que tenía en 4.
Si la velocidad aumenta en el transcurso del tiempo, el movimiento es acelerado; si en cambio disminuye, el movimiento es retardado. Aceleración Es un parámetro que representa la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. a = (v 2 – v1 ) / t Donde t representa el tiempo en el cual la velocidad cambió desde el valor v1 al valor v2 . Unidades de aceleración: Se obtienen al dividir las unidades de velocidad por la unidad de tiempo, [a] = [ v ] / [ t ] = (m/seg). / seg. = m/seg 2 Veamos un ejemplo: un automóvil que circula por una ruta a 100 km/h acelera hasta 130 km/h en 10 segundos. ¿Cuánto vale la aceleración? v1 = 100 km/h : 3.6 = 27.78 m/s v2 = 130 km/h : 3.6 = 36.11 m/s t = 10 seg. a = (36.11 m/s – 27.78 m/s) / 10 seg = 0.833 m/seg2 Esto significa que la velocidad aumentó en 0.833 m/s en cada segundo. Signos de la aceleración: La aceleración puede ser positiva o negativa según los valores de ambas velocidades,
Si v2 > v1 => a >0 (positiva) el movimiento es acelerado (va más rápido). Si v2 < v1 => a< 0 (negativa) el movimiento es retardado (está frenando).
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Es un movimiento en el cual las variaciones de velocidad son proporcionales a los tiempos en los cuales varía dicha velocidad, es decir, a tiempos iguales, la velocidad experimenta variaciones iguales.
Velocidad inicial (vo) Es la velocidad del móvil a tiempo t = 0, es decir, al inicio del movimiento.
Velocidad final ( vf ) 5
I CICLO
Es la velocidad a un instante t distinto de cero. V(t) = vo + a . t
v(t) Vf Vo
Si t = 8 seg, se obtiene la velocidad instantánea del móvil al finalizar el octavo segundo.
Espacio
Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
T X(t) 3
1ª Ley: la variación de velocidad es proporciona¡ al tiempo.
1 2 T
vf - v o = a.t
v = a . t
2ª Ley: el espacio recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo empleado en recorrerlo. e = v0 . t + ½ a . t 2
Ecuación General del MRUV Esta ecuación representa la posición de un móvil con movimiento rectilíneo uniformemente variado a cualquier tiempo t y es particularmente útil para resolver problemas de encuentro de móviles. x(t) = x 0 + v0 . t + ½ a . t 2 donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, x o es la posición a tiempo cero (posición inicial), v 0 representa la velocidad inicial y a la aceleración. La diferencia X(t) - Xo representa el espacio recorrido por el móvil. Representación Gráfica Veremos a continuación que tipos de gráficos se obtienen al representar la leyes de este movimiento y la ecuación general: v(t) 1 Vo
2 3 T
6
Referencias: 1- Movimiento acelerado con velocidad inicial 2- Movimiento acelerado sin velocidad inicial (a partir del reposo) 3- Movimiento retardado (obviamente con velocidad inicial) Ejercicio: a) Un automóvil parte del reposo desde el punto donde se encuentra el observador con una aceleración de 1.5 m/seg 2 . Representar gráficamente V(t) y X(t) para los primeros 15 segundos. b) Las velocidades de un móvil en función del tiempo son las siguientes: t (seg) (t) (m/s) 1)
0 10
10 15
20 20
30 25
40 30
50 35
Representar gráficamente la tabla anterior y determinar el espacio total recorrido y la aceleración, analítica y gráficamente. 2) Construir un gráfico de x(t) . 3) Determinar la velocidad instantánea del móvil en km/h a los 27 segundos. 4) Determinar su velocidad media.
FÍSICA I
MOVIMIENTO COMPUESTO. CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL Cuando dejamos caer un objeto (sin velocidad inicial) desde una determinada altura, éste lo hace libremente bajo la acción de la fuerza de gravedad. En este caso el movimiento se lo denomina caída libre. Si por el contrario, lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba o hacia abajo con una determinada velocidad inicial, el movimiento se denomina tiro vertical . Ambos movimientos son un caso particular del MRUV pues el móvil está sometido en el primer caso a una aceleración producida por la fuerza gravitatoria y en el segundo caso, a una desaceleración provocada por la misma fuerza (si se lanza hacia arriba) o una aceleración hacia abajo si se lo lanza en igual sentido. El valor de dicha aceleración-desaceleración se denomina aceleración de ¡a gravedad " g" siendo su valor 980.665 cm / seg2 a nivel del mar y 45º latitud .
Aplicando las condiciones especificadas más arriba, las ecuaciones se simplifican de la siguiente forma: Caída libre: v(t) = – g.t h(t) = h0 - ½ g t2 Tiro Vertical: v(t) = v0 – g.t h(t) = h0 + v 0.t - ½ g t 2 En las fórmulas anteriores, h 0 es la altura inicial desde la cual se deja caer o se lanza el objeto y h(t) es la altura que alcanza el móvil al tiempo t. Nótese que en las ecuaciones, el término que contiene a “g” es negativo. Esto se debe a que el eje de coordenadas para medir la posición vertical del objeto (altura) es positivo hacia arriba y la aceleración g es hacia abajo ( es decir, contraria a dicho eje: negativa). Nosotros utilizaremos como valor de g, 9.81 m/seg2
h(t) La definimos de esta manera pues su valor depende de la altura, la posición relativa al ecuador (debido a que la tierra no es perfectamente esférica) y otros factores como la rotación terrestre y la composición geológica del suelo. Así por ejemplo en la ciudad de Cambridge, Massachusetts, g=980.398 cm/seg2 (h=14m), y en Denver, Colorado, g=979.609 cm/seg2 (h= 1 638 m).
ho
g
ho o Caída libre
A partir de lo dicho anteriormente, podemos plantear las ecuaciones que rigen este movimiento, tomando en cuenta que: para la caída libre a = g con v0 =0 para el tiro vertical a = -g con vo >0 ó v0 < 0 según sea lanzado hacia arriba o hacia abajo Ecuaciones Generales movimientos:
válidas
para
ambos
h(t)
v(t) =0
g
0 Tiro Vertical desde el piso
Velocidad:
v(t) = v 0 – g.t
Altura:
h(t) = h0 + v0 .t - ½ g t
2
7
I CICLO
b)
Vo<0
ho Vo>0
Tiro Vertical con altura inicial En el caso de un tiro vertical cuando el objeto alcanza su altura máxima, se detiene (v(t) = 0) y comienza a caer en caída libre. Si el objeto fue lanzado desde el piso, debido a que la única fuerza que actúa, tanto en el ascenso como en el descenso es la fuerza gravitatoria a través de g, el tiempo que tarda en caer nuevamente al piso es el mismo tiempo empleado en alcanzar la altura máxima. Asimismo, la velocidad con que llega al piso es la misma con la que salió inicialmente desde éste pero negativa. Si el objeto es lanzado desde cierta altura, pueden presentarse dos casos:. a) El objeto se lanza hacia arriba: en este caso v0 es positiva. b) El objeto se lanza hacia abajo: entonces v0 es negativa. A partir de las ecuaciones generales vistas más arriba, pueden deducirse otras como por ejemplo:
MOVIMIENTO COMPUESTO. TIRO OBLICUO O MOVIMIENTO PARABOLICO Cuando un objeto es lanzado con un cierto ángulo respecto de la superficie horizontal del suelo, describe una trayectoria parabólica en la cual alcanza una altura máxima y luego cae al suelo. En este movimiento se combinan el MRU y el MRUV. El lanzamiento de una jabalina, la trayectoria de una bala de cañón son algunos ejemplos de este movimiento. El Tiro Oblicuo puede descomponerse en dos direcciones:
una dirección vertical a la que llamaremos “y” donde se aplican las ecuaciones del MRUV, más precisamente las del tiro vertical, pues está afectada por la aceleración gravitatoria. Una dirección horizontal a la que llamaremos “x” en la cual se aplican las ecuaciones del MRU pues no hay ninguna aceleración que afecte a esta dirección del movimiento.
tiempo empleado en alcanzar la altura máxima tm = v0 /g altura máxima alcanzada hm = h0 + ½ v 02 /g
Ejercicio: Desde el borde de una terraza de 45 m de altura se deja caer un objeto hasta la vereda. Calcular: a) ¿Cuánto tarda en llegar a la vereda y con que velocidad llega? 8
¿a qué altura se encuentra y cuál es su velocidad a los 2 segundos? c) ¿Qué altura máxima alcanzaría si se lanza desde la terraza hacia arriba con una velocidad de 25 m/s? d) ¿Cuánto tardaría en llegar a la vereda si se lanza a 10 m/s hacia abajo?
El dibujo anterior muestra la trayectoria parabólica de una bala de cañón bajo un tiro oblicuo. Veamos como descomponemos este movimiento en los dos ejes x e y:
V0y
Vo
FÍSICA I
Vox
x
Y(t)
En función de lo explicado hasta aquí, las ecuaciones para este movimiento quedan expresadas de la siguiente manera: Eje x:
vox vx (t) = vo . cos
vox x(t) = v o. cos
. t
hmax Eje y: x(t)
voy
vy(t) = v o . sen
– g . t
Alcance de un proyectil En la figura de la izquierda la flecha roja representa la velocidad inicial y el ángulo que forma la dirección de la velocidad con la superficie del suelo. El vector velocidad inicial se puede descomponer en ambos ejes x e y: la flecha azul representa la componente horizontal de la velocidad inicial (v0x ) y la flecha verde representa a la componente vertical de dicha velocidad (v 0y). Aplicando las funciones trigonométricas para la descomposición rectangular de vectores, podemos obtener los valores de ambas componentes: v0x = v0 . cos v0y = v0. sen tg = voy / v ox Si observan el dibujo de la derecha podrán ver que las flechas azules horizontales que representan la velocidad horizontal (v x) no varían durante toda la trayectoria, esto significa no cambia debido a que en esta dirección el tipo de movimiento es MRU (recordar que en este movimiento la velocidad es constante).
y (t) = y0 + v0 . sen . t - ½ g . t 2 En la altura máxima (h máx), se cumple que: v y (t) = vo sen - g . t = 0 y(t) = vo sen . t - ½ g t 2 = h máx . Xm = Vo cos . t = Xf / 2 Donde X m representa la distancia desde el punto de lanzamiento donde alcanza la altura máxima y X f representa el alcance, es decir, la distancia horizontal donde el objeto toca el piso. Ejercicio: Se lanza un objeto desde el piso con un ángulo de 37º y una velocidad de 35 m/s. Calcular: a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? b) ¿A qué distancia alcanza dicha altura? c) ¿En qué posición y con qué velocidad se encuentra a los 2 segundos? d) ¿Cuál es el alcance del objeto? e) ¿Cuál sería la altura máxima y a qué distancia caería nuevamente al piso si se lanza desde una plataforma de 8 m de altura?
En cambio, las flechas verticales que representan la componente vertical de la velocidad (v y), van cambiando: disminuyen hasta la altura máxima donde se anula y luego va en aumento pero hacia abajo hasta que toca el suelo. En este caso el movimiento corresponde a un tiro vertical. 9
I CICLO
Práctica Dirigida 01 1. la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación donde x se expresa en pies y t en segundos. Determinar a) el tiempo al cual la velocidad será cero, b)la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, c) la aceleración de la partícula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partícula desde t=4 s hasta t=6s. 2. El movimiento de una partícula está determinado por la ecuación x=a+bt 2, donde a=20 cm y b=4cm/s 2. a) determinar el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t 1=2s y t 2=5s. b) Hallar la velocidad media en este intervalo de tiempo. c) Hallar la velocidad instantánea en el instante t 1 =2s. 3. El movimiento de una partícula está dado por v=m+nt2 , donde m=10cm/s y n=2cm/s 2. a) Calcular la variación de la velocidad de la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t 1=2s y t 2 =5s. b) Calcular la aceleración media en este intervalo de tiempo. c) Calcular la aceleración instantánea en t 1=2s. 4. Un cuerpo se mueve sobre una recta estando dada su distancia al origen en un 2 instante cualquiera por la ecuación x=8t-3t , donde x se mide en cm y t en s. a) Calcular la velocidad media del cuerpo en el intervalo comprendido entre t=0 y t=1s y en el intervalo entre t=0 y t=4s. b) calcular la velocidad instantánea en los instantes t=1s y t=4s. c) Determinar la aceleración en los instantes t=1s y t=4s.
6. La aceleración de un punto es a=60t-36t2 pies/s2. Cuando t=0, x=0 y v=20 pies/s. Hallar la velocidad y la posición en función del tiempo. 7. Se dispara hacia arriba un misil de dos etapas desde el reposo con la aceleración que se indica. En 15 segundos la primera etapa A se consume y se enciende la segunda etapa B. Trace las gráficas v-t y s-t las cuales describen el movimiento de las dos etapas del misil durante el intervalo de tiempo 0 ≤t≤20s.
Figura 1. 8. Una partícula viaja a lo largo de una línea recta con la velocidad descrita por la gráfica. Trace la gráfica a-s.
Figura 2. 9. Se proporciona la gráfica a-s de un “jeep” que viaja a lo largo de una carretera recta de los 300 m de su movimiento. Trace la gráfica v-s. Cuando s=0 , v=0.
5. La aceleración de un punto es a=20t m/s2. Cuando t=0 x=40m y v=-10m/s. determinar la posición y la velocidad cuando t=3s. Figura 3. 10
FÍSICA I
10. Un camión viaja a lo largo de una línea recta con una velocidad descrita por la gráfica. Trace la gráfica a-s durante el intervalo de tiempo 0≤ s≤ 1500 pies .
de la gravedad). Supóngase que un misil despega del suelo y tiene una aceleración constante de 100g. Determinar el tiempo que demora en alcanzar una altura de 3000m. ¿A qué velocidad viaja cuando alcanza esa altura? 14. Supóngase que el misil del problema anterior despega desde el suelo y debido a que se vuelve más ligero conforme gasta combustible su aceleración está dada como una función del tiempo en segundos por:
Figura 4. 11. Un auto arranca del reposo y viaja a lo largo de una carretera recta con una velocidad descrita por la gráfica. Determine la distancia total recorrida hasta que el automóvil se detiene. Trace las gráficas s-t y a-t.
¿Cuál es la velocidad del misil en millas por hora 1 segundo después de haber despegado? 15. Un avión libera su paracaídas en el tiempo t=0. Su velocidad está dada como función del tiempo por:
En m/s. Determinar el valor de la aceleración en t=3s.
Figura 5. 12. La moto de nieve se desplaza por un sendero recto de acuerdo a la gráfica v-t. Trace las gráficas s-t y a-t durante el mismo intervalo de 50 s. Cuando t=0, s=0.
16. El mecanismo de freno que se utiliza para reducir el retroceso en ciertos tipos de cañones consiste esencialmente de un émbolo unido a un cañón que se mueve en un cilindro fijo lleno de aceite (Figura 7). Cuando el cañón retrocede con una velocidad inicial v 0, el émbolo se mueve y el aceite es forzado a través de los orificios del émbolo, provocando que este último y el cañón se desaceleren a una razón proporcional a su velocidad, esto es a=-kv . Exprese a) v en términos de t, b) x en términos de t, c) v en términos de x. Émbolo
Figura 6. 13. Los misiles diseñados como defensa contra los cohetes balísticos alcanzan aceleraciones superiores a 100g (Cien veces la aceleración
Aceite
Figura 7. 11
I CICLO
17. La aceleración de una partícula se define mediante la relación donde a y t se expresan en m/s2 y s respectivamente. Si x=0 y v=0 en t=0, determine la velocidad y la posición de la partícula cuando t=0.5s. 18. Un punto P parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 88pie/s después de recorrer 120 pies: Determine la aceleración de P. 19. constantes. Obtenga la velocidad de P para t=5s, a =2m, b=0,5 m/s y =1,2rad/s. 20. Si los componentes x y y de la velocidad de una partícula son v x =(32t) m/s y v y=8 m/s, determine la ecuación de la trayectoria y=f(x). x=0 y y=0 cuando t=0. 21. Una partícula se desplaza a lo largo de la trayectoria recta que se muestra en la figura 8. Si su posición a lo largo del eje x es x=(8t) m, donde t está en segundos, determine la rapidez cuando t=2s. 22. Se hace que una partícula viaje a lo largo de una trayectoria como la que se muestra en la figura 9. Si x=(4t 4)m, donde t está en segundos; determine la magnitud de la velocidad y aceleración de la partícula cuando t=0,5s.
Figura 9. 23. Una partícula viaja a lo largo de una trayectoria de línea recta y=0.5x. Si el componente x de la velocidad de la partícula es vx=(2t2) m/s, donde t está en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleración de la partícula cuando t=4s. Figura 10.
Figura 10. 24. Una partícula viaja a lo largo de una trayectoria parabólica y=0.25x 2. Si x = (2t 2 ) m, donde t está en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleración de la partícula cuando t=2s.
Figura 8.
Figura 11. 12
FÍSICA I
25. La posición de una partícula que se desliza hacia abajo por una trayectoria helicoidal la describe r=2Sen(2t)i+2Cost j-2t2 k pies; donde t está en segundos y los argumentos del seno y coseno están en radianes. Determine la velocidad y aceleración de la caja cuando t=2s. Figura 12.
31. Un punto se mueve sobre una trayectoria con un vector de posición dado por rOP=Sen2t i+3t j+e6tk, en metros, cuando t está en segundos, obtenga; a) La velocidad del punto en t=0. b) Su aceleración en t=π/2 s. 32. Determinar las leyes de velocidad y aceleración de la partícula cuyo vector de posición es r=2Sen3t i+2Cos3t j+8t k.
Figura 12. 26. La posición de una partícula es r=(3t 3-2t)i(4t 1/2+t) j+(3t2-2)k m, donde t está en segundos. Determine la magnitud de la velocidad y aceleración de la partícula cuando t=2s. 27. La velocidad de una partícula es v=3i+(62t jm/s. Donde t está en segundos. Si r=0 cuando t=0, determine el desplazamiento de la partícula durante el intervalo de tiempo t=1s a t=3s.
33. Una partícula se mueve de manera que su vector deposición viene dado por r=Cos ti +Sen t j siendo una constante. a) Demostrar que la velocidad v de la partícula es perpendicular a r. b) Demostrar que la aceleración a está dirigida hacia el origen y su módulo es proporcional a su distancia al mismo. c) Demostrar que rxc es un vector constante. 34. Después de parar el motor de una canoa, ésta adquiere una aceleración en sentido opuesto a la velocidad y directamente proporcional al cuadrado de ésta. Si el motor se para cuando v0=6m/s y la velocidad disminuye hasta 3 m/s en un tiempo de 15s; a) demostrar que la velocidad v en el instante t después de parar el motor está dada por 1
2
3
28. La ecuación v= 16t i+4t j+(5t+2)km/s da la velocidad de una partícula donde t está en segundos. Si la partícula está en el origen cuando t=0. 29. Una partícula viaja a lo largo de una trayectoria parabólica y=bx2 . Si su componente de velocidad a lo largo del eje y es v y=c t2 , determine las componentes x y y de la aceleración de la partícula. En este caso b y c son constantes. 30. La aceleración de un punto está dada por a p=6ti+12t2 j-4k m/s2 . En t=0, las condiciones iniciales son v P=2im/s y rOP=i+3 j+9k m. Encuentre el vector de posición de P en t=5.
v
1 v0
kt
b) Hallar el valor de k . c) Hallar la aceleración en el instante que se para el motor. d) Demostrar que la distancia recorrida en un 1 tiempo t es x ln(v 0 kt 1) k
e) Demostrar que la velocidad después de recorrer una distancia x es
v
v 0e . kx
35. La aceleración de un punto P en movimiento rectilíneo está dado por a=5t 2 m/s 2; con las condiciones iniciales v(t=0)=2m/s y x(t=0)=7m; hallar x(t).
13
I CICLO
36. La aceleración de una partícula en movimiento es proporcional a su velocidad según la siguiente relación a=-2v m/s 2; con las mismas condiciones iniciales que en el ejemplo anterior. Determinar x(t). 37. Sea a=-4x m/s2 Evaluar v 2(x) con las mismas condiciones que en el ejemplo anterior. 38. Una partícula tiene aceleración rectilínea a=12ti m/s 2; Se efectúan dos observaciones del movimiento de la partícula: su velocidad en t=1s es v=2i m/s y su posición en t=2s es x=3i m. a) Hallar el desplazamiento de la partícula en t=5 s, respecto al que tenía en t=0.
Figura 13. 43. Determine la rapidez del bloque A de la Figura 14 si el extremo B de la cuerda se jala hacia abajo con una rapidez de 6m/s.
39. Un punto P tiene una aceleración dada por la ecuación a=-5x 2 m/s2. Determine la velocidad del punto P en función de x ; si P está en 0,3m con v=0,6 m/s cuando t=0. 40. Suponiendo que las condiciones iniciales sean las mismas que en el problema anterior determinar x(t) para a=5v 2 41. Un punto Q tiene un vector aceleración a=4i-6t j+Sen 0,2t k . En t=0 el punto Q se encuentra en (1,3,-5) y tiene un vector velocidad 2i-7 j+3,4k. Determinar la velocidad de Q en t=3 s. El movimiento de un cuerpo que cae en un medio resistente partiendo del reposo está dado por la ecuación a=A-Bv donde A y B son constantes. Demostrar que la velocidad en cualquier instante t está dada por . v
A B
Figura 14. 44. Determine la rapidez del bloque A de la Figura 15 si el extremo B de la cuerda se jala hacia abajo con una rapidez de 1.5 m/s.
(1 e Bt )
42. Determine la rapidez del bloque D en la figura 13, si el extremo A de la cuerda se jala hacia abajo con una rapidez v A=3m/s. Figura 15.
14
FÍSICA I
45. Determine la rapidez del bloque A si el extremo F de la cuerda se jala hacia abajo con una rapidez v P =3m/s. Figura 16.
Práctica Dirigida 02 1. Un hombre jala horizontalmente un cajón de 300N de peso aplicando una fuerza constante de 20N. Determinar la aceleración con que se mueve la caja. Suponiendo que el movimiento es a partir del reposo y que no hay fuerzas de fricción determinar la distancia recorrida por el cajón al cabo de 2 s. 2. Un móvil de masa “m” se desplaza hacia abajo en un plano inclinado que hace 20 o con la horizontal. Determinar la aceleración del móvil si la pendiente carece de fricción.
Figura 16.
“Sólo los perdedores contemplan la posibilidad de la derrota antes de intentarlo”. Sergio Delgado
3. Un hombre tira de una caja con una fuerza de 90N que hace un ángulo de 30o con la horizontal. La caja tiene una masa de 20Kg y el coeficiente de fricción entre la caja y el piso es 0,5. Determinar a) La aceleración de la caja. b) Suponiendo que el movimiento se inició desde el reposo, determínese la velocidad cuando se ha recorrido 2m. c) Cuanto tiempo toma la caja en recorrer esta distancia? 4. Una caja de masa 100kg descansa sobre el suelo de un montacargas como se muestra en la figura 1. Determinar la fuerza que ejerce la caja sobre el piso si el montacargas: a) Arranca hacia arriba con una aceleración de 3m/s 2. b) Arranca hacia abajo con una aceleración de 2m/s2. 5. Una masa de 1Kg se mueve a lo largo de una recta de manera que su posición está dada por x=A-2t-3t2 +t3 . Hallar la magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo al finalizar el tercer segundo de movimiento. 6. Un cuerpo se desplaza por un plano inclinado que hace un ángulo de 60o con la horizontal. La ley de movimiento es x=3t2 . Hallar el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano. 15
I CICLO
7. Un atleta que tiene una masa de 70 kg se coloca sobre una balanza de resorte en un ascensor; cuánto marca la balanza si el ascensor: a.- Sube con velocidad constante. b.- Tiene aceleración hacia arriba de 5 m/s 2. c.- Tiene aceleración hacia debajo de 3,4 m/s2. d.- Cae libremente debido a que el cable se rompe. 8. En el sistema que se muestra en la figura, el malacate enrolla el cable con una aceleración constante de modo que el embalaje de 20 kg se mueve una distancia s=6m en 3s a partir del reposo. Determinar la tensión desarrollada por el cable. El coeficiente de fricción cinética entre el embalaje y el plano es k=0.3.
10. El trineo representado en la figura 3 se utiliza para el ensayo de pequeños cohetes propulsores de combustible sólido. La masa combinada del trineo y del cohete es de 1000kg. De las características del combustible se sabe que el empuje que proporciona el cohete durante el movimiento del trineo puede expresarse en la forma F=a+bt-ct 2, donde F se expresa en newton y t en segundos. Si el trineo parte del reposo cuando el empuje del cohete es 10kN, recorre 700m y alcanza una velocidad de 150m/s durante un recorrido de prueba de 10s, determinar los valores de a, b y c.
Figura 3. 11. Un resorte de rigidez k=500N/m está montado contra el bloque de 10kg. Si este se somete a la fuerza de 500N, determine su velocidad cuando s=0, el bloque está en reposo y el resorte no está comprimido. La superficie de contacto es lisa. Figura 4. Figura 1. 9. En el sistema que se muestra en la figura 2, el 2 motor M ejerce una fuerza F=(10t +100)N en el cable, donde t está en segundos. Determine la velocidad del embalaje de 25kg cuando t=4s. los coeficientes de fricción estática y cinética entre el embalaje y el plano es s =0.3 y k=0.25, respectivamente. En un inicio el embalaje está en reposo. Figura 4.
Figura 2
16
12. Al automóvil de 2Mg lo remolca un malacate. Si este ejerce una fuerza de T=(100s)N en el cable, donde s es el desplazamiento del automóvil en metros, determine la rapidez del automóvil cuando s=10m, a partir del punto de reposo. Ignore la resistencia a la rodadura por parte del automóvil. (Figura 5).
FÍSICA I
Figura 5. 13. El tren de 160000 kg de la figura 6 viaja con una rapidez de 80 km/h cuando comienza a subir la pendiente. Si la máquina ejerce una fuerza de tracción F de 1/20 del peso del tren y la resistencia al rodamiento FD es igual a 1/500 del peso del tren, determine la desaceleración. 14. El tren de 160000 kg parte del punto de reposo y comienza a subir la pendiente como se muestra en la figura. Si la máquina ejerce una fuerza de tracción F de 1/8 del peso del tren determine la rapidez cuando haya recorrido 1km pendiente arriba. Ignore la resistencia al rodamiento.
16. Una lancha de masa “m” se mueve en una laguna a la velocidad v0 . En el instante t=0 se apaga el motor. Si la fuerza de la resistencia del agua al movimiento de la lancha está dada por f=-kv , Hallar: a) la velocidad en función del tiempo. b) La velocidad en función de la posición. c) El camino total hasta la parada. 17. Un móvil de masa 5 Kg se mueve a una velocidad de 30 m/s. El móvil frena de manera que la velocidad disminuye hasta anularse de acuerdo con v=v 0-kt2 donde v0=30m/s y k=0,3 m/s 3 . Hallar la fuerza resultante que desacelera el móvil después de 5 s de freno. 18. Un móvil de 50Kg de masa acelera partiendo del reposo. Durante los primeros 10 segundos las fuerza resultante que actúa sobre él está dada por F=F0 -kt; donde F0=200N, k=10N/s y t es el tiempo en segundos recorrido después del arranque. Hallar la velocidad al cabo de 10 segundos.
Figura 6. 15. Si los bloques A y B de la figura 7 tienen 10kg y 6kg de masa respectivamente y se colocan sobre el plano inclinado y luego se sueltan, determine la fuerza desarrollada en el eslabón. Los coeficientes de fricción cinética entre los bloques y el plano inclinado son µA=0.1 y µ B=0.3. Ignore la masa del eslabón.
19. Para el problema anterior determine la posición al cabo de 10segundos. 20. Sobre una masa “m” se aplica una fuerza 2 F=bt ; siendo b una constante y F hace un ángulo con la horizontal. Hallar: a) La velocidad del cuerpo cuando éste se separa de la superficie. b) Distancia recorrida hasta ese instante. (Desprecie el rozamiento). 21. Determinar las ecuaciones diferenciales para una partícula P que se mueve en un medio viscoso en el que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad. Esta partícula describe una trayectoria parabólica e inicia su movimiento con una velocidad v i y con un ángulo de tiro .
Figura 7. 22. Utilizando las ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente determinar las componentes de la velocidad. 17
I CICLO
18
