PORTICOS MULTIPLES
139
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CAPITULO V
Problema Problema V.1
Subestructura Subestructurarr el pórtico pórtico múltiple múltiple de la la figura, figura, identifica identificarr el pórtico pórtico fundamental fundamental y el orden de formación. Figura V.1.1
Cable
1. Grado hiperestáti hiperestático co Estructura sin cable:
1GL 1GL
3A 3GL
2A
1GL
4A 3GL
2GL
5A
1A 0GL
2GL
2GL
1GL
PORTICOS MULTIPLES
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El grado hiperestático del pórtico múltiple es: GH PARCIAL 3 A GL 3(5) (1 1 3 1 2 3 2 2 1) 15 16 GH PARCIAL 1
Donde: GH TOTAL GH PARCIAL N RESORTES N CABLES GH TOTAL 1 0 1 GH TOTAL 0 (Pórtico Isostático)
2.Pórtico fundamental 1GL
1GL
Grado hiperestático Estructura sin cables: GH PARCIAL 3 A GL 3(1) (1 1 2) 3 4
1A
GH PARCIAL 1
Cable
Estructura completa: GH TOTAL GH PARCIAL N RESORTES N CABLES 1 0 1 2GL
(Pórtico Isostátic Isostático) o) GH TOTAL 0 (Pórtico
3.Subestructuración La Subestructuración es:
Pórtico complementario P1
Pórtico complementario P2
Pórtico complementario P3
Pórtico complementario P4 Pórtico fundamental
Todos los pórticos complementarios son Isostáticos, es decir, tiene grado Hiperestático igual a cero (GH =0), =0), el cual se puede determinar usando cualquier método, es recomendable el método de los Anillos.
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4.Orden de formación El orden de formación es: 1° Paso:
Cable
2° Paso:
Cable
3° Paso:
Cable
4º Paso:
Cable
141
PORTICOS MULTIPLES
142
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5° Paso:
Cable
Problema V.2
Subestructurar el pórtico de la figura, identificar el pórtico fundamental y el orden de formación. Figura V.2.1
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143
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1.Grado Hiperestático
1GL
5A 1GL
2GL
2GL
2GL
1GL
2A
1A
3A
1GL
4A 2GL
1GL
2GL
El grado hiperestático es (Método de los Anillos): GH 3 A GL GH 3(5) (1 2 1 2 2 1 1 1 2 2) GH 15 15 GH 0 (Pórtico Isostático)
2. Pórtico fundamental Grado Hiperestático GH 3 A GL GH 3(0) 0 GH 0 (Estructura Isostática) 0GL
3.Subestructuración La Subestructuración es:
Pórtico complementario P1
Pórtico fundamental
Pórtico complementario P2 Pórtico complementario P3
Pórtico complementario P4
PORTICOS MULTIPLES
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Todos los pórticos complementarios son Isostáticos, es decir, tiene grado Hiperestático igual a cero (GH =0), el cual se puede determinar usando cualquier método, es recomendable el método de los Anillos. 4.Orden de formación 1º Paso: 2º Paso:
3º Paso:
4º Paso:
5º Paso:
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Problema V.3
Para el pórtico múltiple de la figura determinar las reacciones de apoyo, funciones de fuerzas internas y los diagramas de Momento M, Cortante Q y Normal N. Figura V.3.1 50 KNm
35 KNm 7 KN/m 35 KNm
65 KN
m 3
70 KN 85 KN
m 4
m 3
2.5m
2.5m
m 2
2.5m
2.5m
2 GL
1. Grado Hiperestático
2 GL
1GL
2A
3A
1A
1GL
4A
1GL
1GL
2 GL
El grado hiperestático es (Método de los Anillos): GH 3 A GL GH 3(4) (1 1 1 2 2 2 2 1)
2 GL
PORTICOS MULTIPLES
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GH 12 12 GH 0 (Pórtico Isostático)
2. Subestructuración y geometría
Pórtico complementario P2 V 50 KNm
35 KNm H H
H
Pórtico fundamental P1
Pórtico complementario P3 7 KN/m
H H
V J H J J 65 KN
H
35 KNm
V H
G
H J
m 5 . 1
K
V J
θ
F
θ
70 KN 85 KN m 4
m 3 m 2
H A
A
B
V A
H B
H C
D
C V B
2.5m
V C
2.5m
E V D
2.5m
Calculamos las longitudes: FH 5 2 3 2 34 5.831m 2 2 KJ JH 1.5 2.5 8.5 2.915m
Calculamos el ángulo θ: tgθ θ
3
θ tg 1 0.6
5 30.964º
3. Reacciones de apoyo 3.1. Pórtico complementario P3: M H 0
M G 0
V E (5) V D ( 2.5) 85(5) 7(7)(3.5) 35 35 0 5V E 2.5V D 596.5 ...............................(1) (Lado derecho de la articulación G)
5.5 V E ( 2.5) 85(3.5) 7(5.5) 0 2 V E 161.350 [KN] Remplazando en la ecuación (1): V D 84.100 [KN]
V E
2.5m
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F V 0 V H V D V E 0 V H (84.100) 161.35 0 V H 77.250 [KN]
F H 0
H H 85 7(7) 0 H H 134 [KN]
3.2. Pórtico complementario P2: M J 0
M H 0
V C (2.5) H C (5.5) V H (2.5) H H (1.5) 70(2.5) 50 0 V C (2.5) H C (5.5) (77.250)(2.5) (134)(1.5) 70(2.5) 50 0 2.5V C 5.5 H C 169.125 .................................(1) (Lado inferior de la articulación H) H C (7) 70(4) 0 H C 40 [KN]
Remplazando en la ecuación (1): V C 155.65 [KN]
F V 0 V J (77.250) (155.65) 0 V J 78.4 [KN]
F H 0
H J 134 70 (40) 0 H J 164 [KN]
3.3. Pórtico fundamental P1: M A 0
M J 0
V B (2.5) H J (5.5) V J (2.5) 65(5.5) 0 V B (2.5) 164(5.5) 78.4(2.5) 65(5.5) 0 V B 139.4 [KN] (Lado inferior de la articulación J) H B (5.5) 0 H B 0 [KN]
F V 0 V A V J V B 0 V A 78.4 (139.4) 0
F H 0
V A 217.8 [KN] H A H J H B 65 0 H A 164 0 65 0 H A 99 [KN]
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4. Funciones de fuerzas internas 4.1. Pórtico fundamental P1: Figura V.3.2 V J 78.4 KN
65 KN
H J 164 KN J
m 5 . 1
K
θ
m 4
x H A 99 KN
x
B
A
V A 217.8 KN
V B 139.4 KN
2.5m 4.1.1. Tramo A-K.Origen de x el punto A. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x 99 x Q x
dM x
99 Q x 99
dx N x 217.8
Evaluando: x m
M x KNm
0
0.000
4
-396.000
4.1.2. Tramo K-J.Origen de x el punto K. Signos: +M +Q +N
Analizaremos el tramo en la siguiente figura: Calculamos la suma de fuerzas y momentos hasta el punto K: J FV K 217.8 KN M K x xSenθ FH K 99 KN FH K K θ
FV K
xCosθ
M K 99(4) 396 KNm
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Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x M K FV K ( xCosθ ) FH K ( xSenθ ) M x 396 ( 217.8Cosθ ) x (99Senθ ) x M x 396 135.826 x Q x
dM x
135.826 Q x 135.826 dx Para determinar la ecuación de la Normal y otra forma para determinar la ecuación de la Cortante en una viga inclinada, realizaremos el siguiente análisis: La Normal en el punto x es, de acuerdo a los signos asumidos: N x N H N V FH x Donde:
θ
Q H
N H θ
N V
FV x QV
θ
N H FH x Cosθ N V FV x Senθ
Remplazando se tiene la ecuación de la Normal: N x FH x Cosθ FV x Senθ
La Cortante en el punto x es, de acuerdo a los signos asumidos: Q x Q H QV Donde: Q H FH x Senθ QV FV x Cosθ
Remplazando se tiene la ecuación de la Cortante: Q x FH x Senθ FV x Cosθ
Se asume como sentidos positivos: FH x y FV x , siendo estos sentidos los que se asumen
para nuestra deducción de las ecuaciones, como están e n la figura. Para nuestro problema: FH x 99
FV x 217.8 Remplazando se tiene las ecuaciones: N x (99)Cosθ ( 217.8) Senθ N x 196.950 Q x (99) Senθ (217.8)Cosθ Q x 135.826
Las ecuaciones de las Cortantes en ambos casos son iguales, por lo tanto se pueden emplear cualquier método para determinarlas.
Evaluando: x m
M x KNm
0
-396.000
2.915
-0.003
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4.1.3. Tramo B-J.Origen de x el punto B. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x 0 Q x
dM x
dx N x 139.4
0 Q x 0
4.2. Pórtico complementario P2: Figura V.3.3
50 KNm
V H 77.25 KN H H H 134 KN
H J 164 KN J V J 78.4 KN
x θ
θ n e S x
xCosθ
70 KN
x m 3
x H C 40 KN C V C 155.65 KN
4.2.1. Tramo J-H.Origen de x el punto C. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x 78.4( xCosθ ) 164( xSenθ ) M x 17.151 x Q x
dM x dx
17.151 Q x 17.151
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Para la ecuación de la Normal se tiene: N x FH x Cosθ FV x Senθ
La ecuación fue desarrollada para el pórtico fundamental P1.
Para nuestro problema: FH x 164
FV x 78.4 Remplazando: N x (164)Cosθ (78.4) Senθ N x 180.965
Evaluando: x m
M x KNm
0
0.000
2.915
-50.003
4.2.2. Tramo C-H.Origen de x el punto C. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x 40 x 70( x 3) Q x
dM x
dx N x 155.65
x 3
( 40 70 x 3 ) Q x 40 70 x3
Evaluando: x m
M x KNm
Q x KN
0
0
-40
3
120
-40 30
7
0
30
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4.3. Pórtico complementario P3: Figura V.3.4 V H 77.25 KN H H 134 KN
7 KN/m
35 KNm
H θ
x
n e S x
35 KNm
θ
G
xCosθ
θ
F
85 KN
x
x
m 2
x D
E
V D 84.1 KN
V E 161.35 KN
4.3.1. Tramo H-G.Origen de x el punto H. Signos: +N +Q +M
Las ecuaciones de fuerzas internas son:
xSenθ 2
M x 77.25( xCosθ ) 134( xSenθ ) 35 7( xSenθ ) 2 M x 35 2.702 x 0.926 x
Q x
dM x
2.702 1.853 x Q x 2.702 1.853 x dx Para determinar la ecuación de la Normal y otro método para determinar la ecuación Cortante en una viga inclinada, realizaremos el siguiente análisis: Q H
La Normal en el punto x es, de acuerdo a los signos asumidos: N x N H N V Donde:
N H θ
FH x N V
FV x
N H FH x Cosθ N V FV x Senθ
θ
QV
θ
La ecuación de la Normal es, remplazando: N x FH x Cosθ FV x Senθ
La Cortante en el punto x es, de acuerdo a los signos asumidos: Q x Q H QV
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Donde:
Q H FH x Senθ QV FV x Cosθ
La ecuación de la Cortante es:
Q x FH x Senθ FV x Cosθ
Se asume como sentidos positivos: FH x y FV x , siendo estos sentidos los que se asumen
para nuestra deducción de las ecuaciones, como están e n la figura. Para nuestro problema: FH x 134 7 xSenθ
FV x 77.25 Remplazando se tiene las ecuaciones: N x (134 7 xSenθ )Cosθ (77.25) Senθ N x 154.649 3.088 x Q x (134 7 xSenθ ) Senθ (77.25)Cosθ Q x 2.702 1.853 x
Las ecuaciones de las Cortantes en ambos casos son iguales, por lo tanto se pueden emplear cualquier método para determinarlas.
Evaluando: x m
M x KNm
Q x KN
N x KN
0
-35
2.702
-154.649
1.458
-33.029
2.915
-34.993
-2.700
-145.646
4.3.2. Tramo E-F.Origen de x el punto E. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son: x M x 7 x 3.5 x 2 M x 3.5 x 2 2 Q x
dM
(7 x) 7 x Q x 7 x
dx N x 161.35
Evaluando: x m
M x KNm
Q x KN
0
0
0
2
-14
14
4
-56
28
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4.3.3. Tramo D-G.Origen de x el punto D. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas: M x 85( x 2) x 2 Q x
dM x
dx N x 84.1
Evaluando:
85 x 2 Q x 85 x 2
x m
M x KNm
Q x KN
0
0
0
2
0
0 85
5.5
297.500
85
4.3.4. Tramo F-G.Origen de x el punto F. Signos: +M
+Q
+N
Analizamos el tramo en la siguiente figura: 7KN/m Calculamos las sumatorias de fuerzas y momentos hasta el punto F: G FV F 161.35 KN xSenθ
x θ xCosθ
F
FH F
FH F 7( 4) 28 KN M F 7(4)(2) 56 KNm
M F FV F
Las ecuaciones de fuerzas internas son:
xSenθ 2
M x M F FV F ( xCosθ ) FH F ( xSenθ ) 7( xSenθ ) 2 2 M x 56 (161.35 Cosθ ) x (28 Senθ ) x 3.5( Senθ ) x
M x 56 123.951 x 0.926 x 2 Q x
dM x
(123.951 1.853 x) 123.951 1.853 x Q x 123.951 1.853 x dx Para determinar la ecuación de la Normal y otro método para determinar la ecuación de la Cortante en una viga inclinada, realizaremos el siguiente análisis: Q H
La Normal en el punto x es, de acuerdo a los signos asumidos: N x N H N V Donde:
N H θ
FH x
N H FH x Cosθ
N V
FV x
N V FV x Senθ
θ
QV
θ
La ecuación de la Normal es, remplazando: N x FH x Cosθ FV x Senθ
PORTICOS MULTIPLES
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La Cortante en el punto x es, de acuerdo a los signos asumidos: Q x Q H QV Donde: Q H FH x Senθ QV FV x Cosθ
La ecuación de la Cortante es:
Q x FH x Senθ FV x Cosθ
Se asume como sentidos positivos: FH x y FV x , siendo estos sentidos los que se asumen
para nuestra deducción de las ecuaciones, como están en la figura. Para nuestro problema: FH x 28 7( xSenθ )
FV x 161.35 Remplazando se tiene las ecuaciones: N x ( 28 7 xSenθ )Cosθ (161.35) Senθ N x 107.024 3.088 x Q x (28 7 xSenθ ) Senθ (161.35)Cosθ Q x 123.950 1.853 x
Las ecuaciones de las Cortantes en ambos casos son iguales, por lo tanto se pueden emplear cualquier método para determinarlas. Evaluando: x m
M x KNm
Q x KN
N x KN
0
-56
-123.951
-107.024
1.458
122.752
2.915
297.505
-118.549
-116.027
5. Diagramas 5.1. Diagrama de Momento flector – 50.003 – 35 – 33.029 – 34.993
– 396
+297.500
+297.5
– 396
– 56 – 56
+120
– 14
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5.2. Diagrama de Cortante – 17.151 +2.702
– 118.549 – 2.7
– 17.151 0 3 +
– 123.951
+135.826 +28
– 99 4 8 +
+135.826 +14 0 4 –
– 99
5.3. Diagrama de Normal
– 180.965 – 154.649
– 196.95 – 180.965
– 145.646 – 116.027
– 196.95 – 107.024 – 217.8
4 . 9 3 1 +
– 217.8
5 6 . 5 5 1 +
– 161.35 1 . 4 8 +
– 161.35
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Problema V.4
Para el pórtico múltiple de la figura determinar las reacciones de apoyo, funciones de fuerzas internas y los diagramas de Momento M, Normal N y Cortante Q. Figura V.4.1
45KN 15KN/m
50KN
m 3
40 KNm m 3
m 1
4m
3m
2m
3m
1. Grado hiperestático
2A 2GL 1GL
1A 1GL 1GL
1GL
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El grado Hiperestático es (Método de los Anillos): GH 3 A GL GH 3(2) (1 2 1 1 1) 6 6 GH 0 (Pórtico Isostático)
2. Subestructuración y geometría 50KN
45KN
G
m 3
H 15KN/m
Pórtico complementario P2 C
V C
V C F
E C m 3
40 KNm
Pórtico fundamental P1 A H A
H D D
M A
m 1
B
H B
θ
V D
3m V B
4m
3m
Calculamos la longitud de la viga inclinada: 2 2 DH 3 7 7.616m DH 7.616m Calculamos el ángulo de inclinación θ: 7 1 7 66.801º tgθ θ tg 3 3 θ 66.801º
3. Reacciones de apoyo 3.1. Pórtico complementario P2:
M D 0 V C (5) 50(7) 45(2) 15(7)(3.5) 0 V C 21.5 [KN]
F V 0 21.5 45 V D 0 V D 23.5 [KN]
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F H 0 H D 15(7) 50 0 H D 55 [KN]
3.2. Pórtico fundamental P1:
M B 0 H A (1) M A 21.5(3) 40 35( 4) 0 H A M A 115.5 ........................(1)
M F 0
(Lado izquierdo de la articulación F)
H A (3) M A 21.5(3) 0 3 H A M A 64.5 ........................(2) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
H A M A 115.5 3 H A M A 64.5 Resolviendo: H A 45 [KN] M A 70.5 [KNm]
F V 0 21.5 V B 0 V B 21.5 [KN]
F H 0
45 35 H B 0 H B 10 [KN] 4. Funciones de fuerzas internas 4.1. Pórtico fundamental P1: Figura V.4.2
35 KN
V C 21.5 KN
E C
m 3
40 KNm
x H A 45 KN
m 1
F
M A 70.5 KNm A
x H B 10 KN B
4m
3m
V B 21.5 KN
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4.1.1. Tramo A-E.Origen de x el punto A. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x M A H A x 70.5 (45) x
Evaluando:
M x 70.5 45 x Q x
dM x dx
x m
M x KNm
0
-70.5
3
64.5
45 Q x 45
N x 0
4.1.2. Tramo E-F.Origen de x el punto E. Signos: +Q +N
+M
Analizaremos el tramo en la siguiente figura: E
FH E M E FV E
V C 21.5 KN
Calculamos la suma de fuerzas y momentos hasta el punto E. FV E 0
C
x
FH E 45 35 10 KN M E 70.5 (45)(3) 64.5 KNm
x
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x M E 21.5( x 4) x 4 (64.5) 21.5( x 4) M x 64.5 21.5( x 4) Q x
dM x dx
x 4
x 4
21.5 x 4 Q x 21.5 x 4
N x FH E (10) 10 N x 10
Evaluando: x m
M x KNm
Q x KN
0
64.5
0
4
64.5
0 -21.5
7
0
-21.5
4.1.3. Tramo B-F.Origen de x el punto B. Signos: +M +Q +N
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Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x H B x 10 x M x 10 x Q x
Evaluando:
dM x
10 Q x 10 dx N x V B 21.5 N x 21.5
x m
M x KNm
0
0
4
40
4.2. Pórtico complementario P2: Figura V.4.3
5m 50KN
G
m 3
45KN
H 15KN/m
x C V C 21.5 KN
x H D 55 KN D
xSenθ
θ xCosθ
V D 23.5 KN
3m 4.2.1. Tramo C-G.Origen de x el punto C. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x 0 Q x
dM
0 Q x 0 dx N x V C 21.5 N x 21.5 4.2.2. Tramo G-H.Origen de x el punto G. Signos: +Q +N
+M
PORTICOS MULTIPLES FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
Analizaremos el tramo en la siguiente figura:
FH G FV G
Calculamos la suma de fuerzas y momentos hasta el punto G: FV G 21.5 KN
45 KN
G
M G x
FH G 50 KN M G 0 KNm
x
Las ecuaciones de fuerzas internas son: M x FV G x 45( x 3) x 3 M x 21.5 x 45( x 3) Q x
dM x dx
x 3
21.5 45 x 3 Q x 21.5 45 x 3
N x FH G 50 N x 50
Evaluando: x m
M x KNm
Q x KN
0
0
21.5
3
64.5
21.5 -23.5
8
-53
-23.5
4.2.3. Tramo D-H.Origen de x el punto D. Signos: +M +Q +N
Las ecuaciones de fuerzas internas son:
xSenθ 2
M x 23.5( xCosθ ) 55( xSenθ ) 15( xSenθ ) M x 41.296 x 6.336 x 2 Q x
dM
41.296 12.672 x Q x 41.296 12.672 x dx Para la ecuación de la Normal se tiene la siguiente ecuación: N x FH x Cosθ FV x Senθ
La ecuación fue desarrollada en el problema V.3 (Para el pórtico fundamental P1). Para nuestro problema:
FV x 23.5 FH x 55 15( xSenθ ) Remplazando en la ecuación: N x 55 15 xSenθ Cosθ ( 23.5) Senθ N x 43.265 5.431 x
Evaluando:
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x m
M x KNm
Q x KN
N x KN
0
0
-41.296
-43.265
3.808
-65.378
7.616
53
55.214
-1.903
5. Diagramas 5.1. Diagrama de Momento flector – 53 +53 +64.5
5 . 4 6 +
0 4 +
– 65.378 +64.5
+64.5
– 70.5
5.2. Diagrama de Cortante +21.5
+21.5
+55.214
– 21.5
– 21.5
+45
– 21.5
– 21.5
+10 +45
– 41.296
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5.3. Diagrama de Normal – 50 – 1.903
– 21.5
– 21.5 – 21.5 +10
5 6 2 . 3 4 –
– 21.5
“Nada puede realizar el hombre sino es por medio del sacrificio” Pio Baroja