MECÁNICA DE MATERIALES
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CAPITULO II ESFUERZOS AXIALES 2.1. DEFINICIÓN DE TENSIÓN. Consideremos un cuerpo seccionado, sometido a fuerzas externas P , P y a fuerzas internas ΔP actuantes en aéreas infinitesimales ΔA de tal manera que se encuentra en equilibrio estático (no (no se mueve) y en equilibrio elástico elástico (ya esta deformado). Debido Debido a las fuerzas exteriores aparecen en el interior del sólido fuerzas interiores, que se oponen a la acción de las exteriores y tratan de llevar al solido a la posición que tenia inicialmente de reposo. Para ponerlas de manifiesto seccionaremos al solido por la superficie A. Las dos partes en que ha quedado dividido el solido no estarían ahora en equilibrio. Para producir dicho equilibrio se tendría que restablecer las ac ciones de cada parte del solido ejercía sobre el otra. Estas acciones son las denominadas fuerza ineriores ΔP, Fuerzas que las partículas de un lado de la superficie A ejercían sobre las del otro lado.
Fig. 2.1. Esfuerzos externos e internos en un cuerpo seccionado .
La tensión de corte de la cara seccionada es por definición de la siguiente forma
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Y las tensiones de cizallamiento que actúan en la cara seccionada son por definición de la siguiente forma:
El primer índice de la tensión de cizallamiento indica el eje que es perpendicular a la cara donde
actúa la tensión y el segundo indica la dirección de la tensión :
5.2. COMPONENTES DEL ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO. De todas las tensiones que puede haber en un punto, se vera cómo, si seleccionamos seis ”a de ellas, a las que denominaremos “compon entes del estado de tensiones de un pu nto
partir de ellas se podrán conocer todas las demás. Sea O un punto del sólido cuyo “estado de tensiones” se quiere conocer. Aislemos entonces un elemento de volumen diferencial, en forma de paralelepípedo recto, con vértice en O , origen
de un sistema de coordenadas x, y i z, coincidentes con las aristas del
paralelepípedo. Al ir reduciendo las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndole semejante así mismo, en el límite, el paralelepípedo tiende al punto O y todas sus caras pasan por O, con los cuales se podrá considerar las tensiones sobre sus caras como las tensiones en el punto O. Consideremos un elemento infinitesimal de dimensiones Δx, Δy i Δz , con todas
las
tensiones que actúan sobre ese elemento, y ampliando el paralelepípedo, sobre las caras de dicho paralelepípedo habrá una tensión normal σ y una tensión cortante τ , si descomponemos esta a su vez en sus dos componentes sobre las direcciones de los ejes respectivos, entonces se tendrá tres tensiones sobre cada cara y por lo tanto 18 tensiones sobre el paralelepípedo completo.
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Fig. 2.2. Elemento infinitesimal solicitado triaxialmente.
5.3. NOMENCLATURA UTILIZADA. Para las tensiones normales
σₓ, el subíndice
“x” indica que esta tensión esta sobre una
superficie normal al eje X. Para las tensiones cortantes
τₓᵧ
el primer subíndice “x” indica que esta sobre una
superficie normal al eje X y el segundo subíndice “y” indica que lleva la dirección del eje
Y.
2.4. TENSIONES EN MIEMBROS CON CARGAS AXIALES. 2.4.1. CARGA AXIAL. Considere una barra sin peso y en equilibrio, sujeta a dos fuerzas F (tracción compresión) en sus extremidades.
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y
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Fig. 2.3 Barra solicitada axialmente
El área de la sección transversal en el punto donde se secciono la barra y A es la fuerza interna e igual a P es positiva (tracción) o negativa (compresión), luego la tensión normal es de la siguiente forma:
2.4.2. TENSIÓN MEDIA DE CIZALLAMIENTO (CORTE) Considere un cuerpo que está siendo arrastrado sobre otro cuerpo por una fuerza P.
Fig. 2.4. Cuerpo que está siendo cizallado
Si el cuerpo que está siendo arrastrado tiene un area A en la interface de contacto entre los cuerpos, la tensión media de cizallamiento es d e la siguiente forma:
m = 40
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La ecuación (3.5) es frecuentemente utilizada para dimensionar pines, tornillos, remaches etc. Que están siendo solicitados por esfuerzos cizallantes. Los cuerpos pueden ser cizallados de diferentes formas. Un cuerpo puede estar sometido a esfuerzos cizallantes simples cuando se muestra de la siguiente manera:
Fig. 2.5. Cuerpos sometidos a esfuerzos cizallantes simples.
Un remache que une dos cuerpos que están siendo traccionados y cizallados en la interface de la siguiente forma.
Fig. 2.6. Remaches con cizallamiento simple
Si el remache tiene una area A en la interface y a la fuerza cortante V y P, la tensión de cizallamiento media es:
m = = Un cuerpo puede estar sometido a un esfuerzo de cizallamiento (corte) doble cuando:
Fig. 2.7. Cuerpo sometido a un esfuerzo de cizallamiento doble.
El remache que une tres cuerpos que están siendo traccionados y cizallados en la interface entre cada cuerpo es de la siguiente forma:
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Fig. 2.8. Remache con cizallamiento doble.
Si el remache tiene una area A en la interface entre cada cuerpo, y a una fuerza cortante V y a P/2, la tensión de cizallamiento media es:
m = = Ej emplo 2.1. La barra que se muestra en la figura tiene una sección transversal de 10mm x 35mm, constantes a lo largo de su longitud. Determine las tensiones normales en los diferentes tramos de la barra para las cargas que se apliquen.
TRAMO AB:
TRAMO AB:
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TRAMO CD:
Ej emplo 2.2. Determinar las tensiones en los remaches localizados en A y B con diámetros d = 8 mm y la tensión en la barra BC para el conjunto mostrado en la siguiente figura.
Solución: Diagrama de cuerpo libre de la barra AB:
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ΣM A = 0,
R B.
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R B = 16,7 KN
=0
Σ F y = 0,
R B
Σ F x = 0,
+
=0
= 5 KN
= 13,4 KN
Remache A:
=√ =14,3 KN
=
⁄
= 142,2
MPa
Remache B:
=
= 332,2
MPa
Barra B C.
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=
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2.5.TENSIONES ADMISIBLES; FACTOR DE SEGURIDAD. Para garantizar la seguridad en una estructura, es necesario elegir una tensión admisible que restrinja a la carga aplicada, a una que sea menor que aquella que la estructura pueda soportar. Hay varios motivos para el uso de este factor de entre las cuales podemos mencionar algunas. -
Imprecisiones en el calculo
-
Imperfecciones originadas en los procesos de fabricación.
-
Variabilidad en las propiedades mecánicas de los materiales.
-
Degradación de los materiales, etc.
Una de las maneras de especificar la tensión admisible es definir el coeficiente de seguridad dada por:
Las tensiones de ruptura son determinadas experimentalmente, y el coeficiente de seguridad es seleccionado basado en el tipo de estructura y en sus aplicaciones.
Ejemplo 2.3. Determine el diámetro de la barra BC, si la tensión admisible σADM = 155 MPa. Se considera que la viga esta atornillada en A.
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Solución, Diagrama de cuerpo libre de la barra AB:
ΣM A = 0,
-R B .
R B = 15 Kn
Ejemplo 2.4. Dos vigas de madera son conectadas por una tuerca en B. Asumiendo que las conexiones en A, B, C y D ejercen solamente fuerzas verticales en las vigas. Determine el diámetro de de la tuerca en B y el diámetro exterior de sus volandas si la tensión admisible de la tuerca es σADM-TUERCA = 150 MPa y la tensión admisible en la madera es σADM-MADERA =
2 kN
28 MPa.
1,5 kN 2m 2m
1,5m
1,5m
2m C
3 kN 1,5m
1,5m
D
A
B
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Diagrama de cuerpo libre de la viga AB 1,5 kN
RC
RA
RB
Diagrama de cuerpo libre de la viga CD RB
2 kN
3 kN
Rc
RD
Tuerca en B:
Volanda
d e
6,4 mm
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Ejemplo 2.5. Determine la máxima fuerza F que debe ser aplicada en la estructura, si las áreas de las secciones transversales de las barras son de A = 5000 mm². Si la tensión admisible de tracción σ tracc = 14 kg/cm² y la tensión admisible a compresión es σ compr = 10,5 kg/cm²
E 9m
F
B
C
A
D
3m
3m RAy
9m RDy
NUDO E x FBE
45°
FCE
37°
y
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NUDO C FCE
x
FCB
45°
FCD
Y
Σ F y = 0,
F CD - F CE . sen45 = 0
Σ F x = 0,
F CB . - F CE . cos45 = 0
F CD = -4 F (compresión) F CB
= -4F
(compresión)
NUDO C FBE θ
B
x
FCB
45°
FBD
y Σ F x = 0,
-F FD . cos45 - F BC + . F BE . cos45 = 0
Σ F y = 0,
F BA + F BE . senθ = 0
F BD = 0
F BA
= -3F
(tracción)
NUDO A
FBA RAx
FAD
x
RAy
y Σ F x = 0,
R Ax + F AD = 0
Σ F y = 0,
R Ay + F BA = 0
F AD = 0
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F BA
= 3F
(tracción)
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Barra CE
σ adm-c = 10,5 =
Barra BE
σ adm-t = 14 =
Barra CD
σ adm-c = 10,5 = Barra CB
σ adm-c = 10,5 =
Barra BA
σ adm-t = 14 =
RESPUESTA. La máxima fuerza F = 9276 kg, pues cualquier fuerza mayor que esta produciría una tensión superior a la tensión admisible.
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