DESPLA ZAM IENTO, VELO CIDAD Y ACEL ERA CIÓN Consideremos que la función vectorial r (t ) indica la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una curva en el plano o el espacio en un tiempo t . Esta posición la relacionamos con un punto x, y en el plano o x, y, z en el espacio donde las coordenadas x, y, z dependen, a su vez, del tiempo t , tal que x x(t ) , y y(t ) y z z (t ) de manera que la posición del cuerpo está dada por la función r (t ) x (t )i y (t ) j ˆ
En el plano
ˆ
r (t ) x (t )i y (t ) j z (t )k ˆ
ˆ
ˆ
En el espacio
Como sabemos, la velocidad promedio es la razón de cambio de posición del cuerpo en un intervalo de tiempo. Sea r el cambio de posición y t el intervalo de manera que r r t t r (t ) y P
r(t)
Velocidad promedio vm
Vector velocidad r
r(t)
sea más corto
r(t+ t)
t 0 ,
la velocidad
promedio se irá acercando al valor que tiene la velocidad en el instante t (velocidad instantánea).
x
t 0
t
Conforme hacemos que el intervalo de t
Q
Vector velocidad: v (t ) lim
r (t t ) r (t )
r (t t ) r (t )
t
, si existe el límite.
De la sección anterior vimos que la derivada de r (t ) es r ´(t ) lim
t 0
por lo tanto la velocidad es igual a la derivada de la función posición
r (t t ) r (t )
t
,
v (t ) r ´(t ) x´(t )i y´(t ) j ˆ
En el plano
ˆ
v (t ) r ´(t ) x´(t )i y´(t ) j z´(t )k En el espacio ˆ
ˆ
ˆ
En la figura podemos notar que el vector velocidad es tangente a la curva r (t ) en el punto P. La magnitud de v representa la rapidez con la que se mueve el objeto en el tiempo en el que está en la posición P. La velocidad es un vector mientras que la rapidez es un escalar.
De manera análoga que como lo hicimos con la velocidad, la aceleración es la razón de cambio de las velocidades con respecto del tiempo transcurrido. Sea v el cambio de velocidad en el intervalo
t
aceleración en el punto P está dada por a (t ) lim
tal que v v t t v (t ) , la v (t t ) v (t )
t
t 0
v´(t ) .
Definición de velocidad, aceleración y rapidez Sean x, y y z funciones derivables de t y r (t ) x (t )i y (t ) j la función posición en ˆ
ˆ
el plano o r (t ) x (t )i y (t ) j z (t )k en el espacio, definimos las funciones ˆ
Velocidad
Aceleración
Rapidez
ˆ
ˆ
v (t ) r ´(t ) x´(t )i y´(t ) j (plano) v (t ) r ´(t ) x´(t )i y´(t ) j z´(t )k (espacio) ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
a (t ) v´(t ) r ´´(t ) x´´(t )i y´´(t ) j (plano) a (t ) v´(t ) r ´´(t ) x´´(t )i y´´(t ) j z´´(t )k (espacio) v (t ) r ´(t ) v (t ) r ´(t )
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 2 x (t ) y (t )
ˆ
(plano)
2 2 2 x (t ) y (t ) + z (t )
(espacio) Caída Libre
Ejemplo 1
Hallar el vector velocidad y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva C del plano descrita por:
Solución:
Ejemplo 2
Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada
20
10
t 3 por la función r (t ) 2 3t i 2t 1 j 5t 2 k . 3
0
ˆ
ˆ
ˆ
5
Hallar velocidad, aceleración y rapidez para t 1,0,1,3 .
0
-5
-10 -5 0
Solución:
5
Velocidad:
v (t ) r´(t ) 3i t2 2 j 10tk ˆ
ˆ
ˆ
Aceleración: a (t ) v ´(t ) r ´´(t ) 2tj 10k ˆ
Rapidez: Ejercicios
v (t )
2
2
ˆ
2
3 t 2 2 10t
t 4 104t 2 13
1. Determine la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula con vector de posición 2. En los ejercicios 1 a 10, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el plano xy.
3. En los ejercicios 11 a 20, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar velocidad rapidez y aceleración del objeto.
Bibliografía - Ron Larson Bruce H Edwards. Cálculo ll. - M. C. Oscar Ruiz Chávez. Apuntes Cálculo lll. - Prof. Isabel Arratia Z. Cálculo lll.
