BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THEO TỪNG DẠNG DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THEO TỪNG DẠNG DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức 1 1 a2  2 P=   2 1  a 2 1  a 1  a3 a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x 2  y 2  xy Tính giá trị biểu thức : P = xy - 1



 



Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =

x-y xy

Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 Bài 4: Cho biểu thức P = 15 x  11  3 x  2  2 x  3 x 3 x  2 x  3 1- x a) Tìm các giá trị của x sao cho P = b) Chứng minh P ≤

1 2

2 3

Bài 5: Cho biểu thức 3a  9a  3 a 1 a 2   P= a a 2 a  2 1 a a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức P=

a 4 a -4  a 4 a -4 8 16 1-  a a2

a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. Bài 7: Cho biểu thức  a 1   1 2   :   P =     a  1 a  a   a  1 a  1 a) Rút gọn P. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9

1

MATHVN.COM | www.MATHVN.com b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2 c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0. Bài 8: Cho biểu thức  4 x 8x   x  1 2   :  P =    x  2 x 4x x2 x a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức  y - xy   x y x  y  P=  x :    x  y   xy  y xy  x xy   a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3 Bài 10: Cho biểu thức P=

 x  1 x - 1 x 2  4x  1  x  2007       x 1 x 1 x x 2  1  

a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Bài 11: Rút gọn P. 



2 2 2 2 4 2 2 P =  a  a  b  a  a  b  : 4 a  a b

 a  a 2  b2 

a  a 2  b 2 

b2

Với | a | >| b | > 0 Bài 12: Cho biểu thức  x 2   1  x 2 x 2  .   P =    2  x 1 x 2 x 1     

a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 2x 5 x 1 x  10 P=   x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 14: Chứng minh giá trị của biểu thức P = x  3 2  3 .6 7  4 3  x 4

9  4

5 .

2 

5 

x

Không phụ thuộc vào biến số x. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9

2


Bài 15: Cho biểu thức x2  x x2  P=  x 

x 1

x 

x  x 1 x 1

Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . Bài 16: Cho biểu thức 2 P= x 

x

x 2x  x 2(x  1)   x 1 x x 1

a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để biểu thức Q =

2 x nhận giá trị là số nguyên. P

Cho biểu thức  2x x  x  x x  x  x 1 x   P =   x  1  2x  x  1 2 x  1 x x 1  a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó. Bài 17:

Bài 18:

Rút gọn biểu thức 3 5 3 5 P=  10  3  5 10  3  5 Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A =

4 7  4 7

b) B =

4  10  2 5  4  10  2 5

c) C = 4  15  4  15  2 3  5 Bài 20: Tính giá trị biểu thức P=

Bài 21:

x  24  7 2 x  1  x  4  3 2 x  1 1 Với ≤ x ≤ 5. 2 Chứng minh rằng:

2 3  5  13  48 6 2 là một số nguyên. Bài 22: Chứng minh đẳng thức: P=

www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9

3

MATHVN.COM | www.MATHVN.com 3 3 1 1 2 2  1 3 3 1 1 1 1 2 2 Bài 23: Cho x = 3 5 2  7  3 5 2  7 Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x 1  xy 1  xy Bài 24:  Cho E = xy xy Tính giá trị của E biết: x= y= Bài 25: Bài 26: P=

4  8. 2  2  2 . 2  2  2 3 8  2 12  20 3 18  2 27  45

20072 2007 2   Tính P = 1  2007 20082 2008 Rút gọn biểu thức sau: 1 + 1 5

1 1 + ... + 5 9 2001  2005

Tính giá rẹi của biểu thức: Bài 27: 3 P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng x = 33 2 2 3 32 2 y = 3 17  12 2  3 17  12 2 Bài 28:

 a 1  a 1 1    4 a  a  Cho biểu thức A =   a 1 a 1 a  



a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4  15 Bài 29: Cho biểu thức A=

x  4 x  1  x  4 x  1  1   1    x 1 x 2  4 x  1

a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 30: Cho biểu thức P=

1 1 x 1 x  1 x



1 1 x 1 x  1 x



1 1 x

a) Rút gọn P. b) So sánh P với

2 . 2


4

Bài 31:

MATHVN.COM | www.MATHVN.com Cho biểu thức P=

1



3



2

x 1 x x 1 x  x 1

a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. Bài 32:

Cho biểu thức 2 a 9 a  3 2 a 1   P= a 5 a 6 a 2 3 a a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. Cho biểu thức Bài 33: x 2 x 1 x   P= xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 34: Cho biểu thức x 2 x 1 x   P= xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 35: Cho biểu thức  1 1  2 1    P =  y  x  y x  x

1 : y 

x3  y x  x y  y 3 xy 3  x 3 y

a) Rút gọn P. b) Cho xy = 16. Tìm Min P.


5


DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT. Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab. P = a b

Tính giá trị của biểu thức: 2

a b

2

Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x +2y = 5xy Tính giá trị biểu thức E = x  y x y

Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức: yz xz xy M= 2  2  2 x y z 3 3 3 Bài 4: Cho a + b + c = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:  

a  b 

b  c 

c a

P = 1  1  1   Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 . Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007 xy x3 y3 x y   2 Bài 8: Cho   1 và . Tính 3  3 a b ab a b Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức P=

1 1 1   b 2  c 2  a 2 a 2  c 2  b 2 a 2 b 2  c 2

x4 y 4 1   Bài 10: Cho ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: a b ab a) bx2 = ay2;


6

MATHVN.COM | www.MATHVN.com y x 2 b) 1004  1004  a b ( a  b)1004 Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: 2008

2008

1 1 1 =1   1  x  xy 1  y  yz 1  z  xz

Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: P=

a2 b2 c2   (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a ) (c  b)(c  a )

Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều. Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì: bc cb ab 2 2 2      (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a

Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng:

1 1 1 1 abc     p  a p  b p  c p p( p  a )( p  b)( p  c)

Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : a b 2(ab  2)  3  2 2 b 1 a 1 a b  3 x y z a b c Bài 18: Cho    1 và    0 a b c x y z 3

x2 y 2 z2 Tính giá trị biểu thức A = 2  2  2 a b c a b c   0 Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và bc ca ab a b c   Tính giá trị của P = 2 2 (b  c ) (c  a) ( a  c) 2

Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0. Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd Chứng minh: c = d. Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2. Tính giá trị biểu thức: A =

x y x y

Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy.


7

MATHVN.COM | www.MATHVN.com Tính giá trị của phân thức A =

2 xy  6 x  xy  y 2 2

Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. ax 2  by 2  cz 2 P= bc ( y  z )2  ac( x  z ) 2  ab( x  y ) 2

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008. Tính giá trị biểu thức: P= Bài 27:

x3 y3 z3   ( x  y )( x  z ) ( y  x)( y  z ) ( z  y )( z  x) x  y  z  1  Cho  x 2  y 2  z 2  1 x3  y 3  z 3  1 

Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 . Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức: P=

a



2

 (b  c )2 (a  b  c ) ( a  b  c) ( a  c) 2  b 2



2

2



2 2

Bài 29: Cho biểu thức P = (b + c – a ) – 4b2c2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0. Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:  xy  y  z  3   yz  y  z  8  zx  x  z  15 

Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z. Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:  x 2  y 2  z 2  1  3  x  y 3  z 3  1

Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2 3 6 84 2 3 4 x y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x y

Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =

Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2. a) So sánh a và b + c. b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0 www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9

8

MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2) Tính A = 3 20  14 2  3 20  14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện x 12 + x 22  10. c  0

Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: 

c  a   ab  bc  2ac 2

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm. Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai  x1  x 2  5

nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 

3 3  x1  x 2  35

Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm nếu

2b c  4 a a

Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x 12 - x 22 =

5 9

Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9

9

MATHVN.COM | www.MATHVN.com S=

1 1  3 3 x1 x 2

Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: A=

3 x12  5 x1 x 2  3 x 22 4 x1 x 23  4 x13 x 2

Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. 2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 6. 3) Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 < x2. Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 1 1   a b 2

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0. Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22  10. 3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR: a2 + b2 là một hợp số.


10


DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 . Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 5 3 x 8  x 9 1 Bài 10: Bài 11: Bài 12:

2x 7x  2 1 3x  x  2 3x  5x  2 4x 2 x2 +  12  x  2 2 2

2

Bài 13: Bài 14:

Bài 15:

2

x 2 x2  4  x  2 0 20    5   48 2 x 1  x 1   x 1  3x 7x  2  4 a) 2 x  3x  1 x  x  1 x 2  10 x  15 4x  2 b) 2 x  6 x  15 x  12 x  15 x 2  3x  5 x 2  5 x  5 1 c) 2   2 4 x  4x  5 x  6x  5 2 81x a) x2 +  40 x  9 2


11

MATHVN.COM | www.MATHVN.com b) x2 +

2

x  15 x  12 2

Bài 16:

2

x 1  x 1  40 a)      9  x   x 2 2

2

x 2  x 2 5 x2  4 b)  0     2 x2 1  x 1   x 1  8 x 8 x c) x. x   15 x 1  x 1  2

Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22:



x 1 x +   = 8( Đề thi HSG V1 2004)  x  x  1  5 x  1  3x  2 2

3

x 1  3 7  x  2

x  2 x 1  x  2 x 1  2

3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 7 x  7  2 a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 x 2 48 x  2  10  3 x 3

4 0 x

a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3  1 ( Đề thi HSG 1998) x 5 

x  14

3 3 x 5 x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) x4  4  5x  0 ( Đề thi HSG V2 2003) x2  2

a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x  3 b) 3 x 3  8 = 2x2 - 6x + 4 c) 2  x 

4 2 x 3

2


12

MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 35: Bài 36:

3

3

x 1  x  2  3 x  3  0

Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình khi m = 5. b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm. Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0. Bài 40: x2 + 9x + 20 = 2 3x  10 Bài 41: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1 Bài 42: x2 + x  2006 =2006

DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1) Với a, b > 0 thì

ab  ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2

Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: 2 (a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (ax + by) .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab  cd  a  c b  d  Bài 4) CM bất đẳng thức: a2  b2  c2  d 2 

a  c 2  b  d 2

Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2

Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì: 1 1 1 1   ...   n 1 n  2 2n 2

Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b  2. Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2) 4 CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  ;0 khi biễu diễn trên trục số.  3



Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a2 + 3b2  5. Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1. CM: a2 + 4b2 

1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003). 5

Bài 11) Chứng minh:

2 2 2 2 2 2 2 2 2



1 3

(Đề thi HSG 2001).

Bài 12) Chứng minh: www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9

13

MATHVN.COM | www.MATHVN.com a) (a  b )( x  y )  (ax + by)2 b) 0  x  2  4  x  2 2

2

2

2

Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm: Bài 14) Cho S  1 

1



1

2

a b c 3    bc ca ab 2

1

 ... 

100

3

.

CMR: S không là số tự nhiên. 1 1 4 . Dấu bằng xảy ra khi nào?   x y x y abc . b) Tam giác ABC có chu vi P  2 1 1 1 1 1 1    2    Cm: pa pb pc a b c

Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR:

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? x

Bài 16) a) CM x > 1 ta có:

2

x 1

a2 b2  b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: P  b 1 a 1

Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 1 1 1 Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì      9 . a

b

c

Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005). Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b  10. Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. CMR:

8  a2  b2  8 . 3

Dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:

1 1 2   3 a b ab

Bài 24) CMR nếu: a) 1  a  5 thì 3 a  1  4 5  a  10 b) a + b  0; b  1  0; a  b  2 thì a  1  b  1  2 2 Bài 25) Cho biểu thức P  CMR: 0  P 

3 4

3

x  x  x 1



1 4

3

x  x  x 1



4 5

4

3

x  x  x  x2  x  1

32 với x  1 . 9


14

MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và

a a ak  1.Cmr :  b b bk

b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: a b c   < 2. bc ca ab

Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. 1 1 Chứng minh rằng: 1  1    9 a 



b

(Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:  x y x2 y2  2  4  3   2 y x  y x

DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y. 1  1  Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P =  1  2   1  2  x y 

2  x  x  1





2

Bài 3) Cho P =

x2  1

. Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.

Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =

x2  x 1 x2  x  1

Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2  x Bài 9) Tìm GTLN của P =

x y z   với x, y, z > 0. y z x

Bài 10) Tìm GTLN của P = ( x  1990)2  ( x  1991)2 Bài 11) Cho M = a  3  4 a  1  a  15  8 a  1 a) Tìm điều kiện của a để M được xác định. b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng. Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1    2 . Tìm GTNN của P = x.y.z. 1 x 1 y 1 z

Bài 13) Tìm GTNN của P =

2 1  1 x x

Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 2y. Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2. www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9

15

MATHVN.COM | www.MATHVN.com Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức P=

1 2 + + 4xy 2 x y xy 2

x2  x  1 với x bất kỳ. x2  1 Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2 A= 2 2 x y xy

Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P =

2

 1 1 Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y   x  y  1 Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy 1  1 Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  1   1    x  y 

2

Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4. 2

 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y   y  x 

2

Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2

2

1 1 1 E =  a     b     c   a b c 









2



Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: P = a3 + b3 Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1. Tìm GTNN của P =

1 1  a 1 b 1

Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =

x2  y2 x y

Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của P = 8(x4 + y4) +

1 xy

Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1 Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1 Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =

x 2  2 x  2000 x2


16

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THEO TỪNG DẠNG DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Recommend Documents