BAB VIII FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA
Tujuan Pembelajaran
Fungsi gamma dan beta merupakan fungsi-fungsi istimewa yang sering muncul dalam pemecahan persamaan differensial, proses fisika, perpindahan panas, gesekan sumber bunyi, rambatan gelombang, potensial gaya, persamaan gelombang, mekanika kuantum dan lainnya. Fungsi gamma dan beta merupakan fungsi dalam bentuk pernyataan integral dan mudah untuk dipelajari. Kedua fungsi ini biasanya dibahas secara rinci dalam fungsi bilangan kompleks. Disini hanya dibahas secara definisi dan sifat-sifat sederhana yang dimiliki fungsi tersebut.
A. Fungsi Gamma
Fungsi gamma didefinisikan dalam bentuk: Γ(n)
x n 1 .e
0
x
dx
yang konvergen untuk n > 0. Hasil integral menyatakan bahwa Γ(n) dapat ditulis Γ(n) Γ(n)
(n 1)
(n 1) !. Secara recrussive fungsi gamma
n!
disebut juga fungsi factorial, yaitu perkalian berlanjut, dimana n =
1, 2, 3, …
Contoh:
Γ(6) Γ(5) Γ(3)
5! 1. 2 . 3. 4 . 5 4!
24
2!
2
Bentuk khusus untuk ( 12 )
120
12 Bentuk Γ(n) di atas, berlaku π (Lihat pembuktian). Bentuk Γ(n)
untuk n > 0. Bila n < 0, bentuk diatas dapat ditulis: Γ(n)
Γ(n 1) n
Contoh : Γ(
1 2
Γ
3 2
Γ
5 2
1 2
Γ(
)
1 2
Γ(
1) 1 2
1 2
Γ(
1) 5 2
3 2
Γ(
2 π
1 2
3 2
Γ(
)
Γ(
)
3 2 1 2
Γ(
)
5 2
5 2
3 2
1)
.
1 2
Γ( 12 ) 3 2
Γ( 12 )
) 3 2
.
1 2
5 2
.
3 2
8 15
1 2
.
Bukti: Γ(n 1)
x n .e
0
x
dx
Lim M
M n
Lim
x .e
M
x
n 0
M 0 M 0
x n .e
x
x n 1 .e
dx x
M
Lim 0 n x n 1 . e M
x
dx
0
nΓΓ(n jadi : Γ(n 1)
n (n)
n!
Contoh:
1.
x 3 .e
x
x 6 .e
2x
Γ(4) 3! 6
dx
0
2.
u 6 2
dx
0
e
0
u
du
u6 .e
1 27
2
0
π(7)
1.2.3.4.5.6
45
27
2.2.2.2.2.2.2
8
1
3. Γ( 12 )
x 2 .e
x
2 e
u
dx , misalkan x = u
0
2
du
0
Γ( 12 )
2
2 e
u
2
du
0
0
e -(u
4 0 0
2 e
2
v
2)
du . dv
v
2
dv
2
u
du
dx
1 2
. π
4 3
π
transformasikan
ke
koordinat
ρ sin θ; du dv
dan v
π
1 2
Γ( )
2
π
2
2
4
e .ρρdρρdθ 0
1 2 0
π
2
1 2
2
4
0 π
ρ, θ
dengan
u
ρ cos θ
ρ dp . dθ .
-
4.
poolar
0
ρ2
dθ 0
2
2θ
dθ
.e
π 0
Jadi : Γ( 12 )
π
π
1,772454
3,141593
Contoh dalam penyelesaian PD. Sebuah partikel yang berada di ujung pegas, ditarik menjauhi titik awal O oleh gaya yang berbanding terbalik dengan kecepatan sesaatnya dari titik O. Bila partikel itu dilepas, tentukan waktu untuk sampai ke titik O lagi. Jawab : Pada saat t = 0, misalkan partikel ditarik sejauh a pada sumbu x, pada x = a, dari titik asal x = 0. Menurut Hukum Newton m.
d2x
k
dt 2
x
dengan m = massa partikel dan k = konstanta pegas. Misalkan
dx dt
v , kecepatan partikel pada tiap saat, maka: d2x
dv
dt 2 dv m.v. dx
dt k
dv dx . dx dt
.m.v2
ln
C x k
Syarat batas :
v
t
0
x
a
0
C
0
dv dt
persamaanmenjadi
x
atau : 12 . m . v 2 1 2
v.
ln a k
C x k
k ln x
ln c
maka: 1 2
mv
2
ln
k
a x
2k a ln m x
v2
dx
v
2k . m
dt
ln
a
(persamaankecepatangerak)
x
selanjutnya didapatkan waktu untuk sampai ke titik awal 0 selama (x = a ke x = 0) 0
t a
m 2k
dx
.
ln
m 2k
a
1
0
ln a
a
2
x
dx
x
Misalkan: ln
t
a
ae u , persamaanmenjadi :
u atau x
x
1
m
a
2k
u 0
2
. e
u
du
a
m 2k
Jadi waktu untuk ke titik 0 adalah t
. Γ( 12 ) mπ
a
mπ
a
2k
2k
detik
Soal-soal :
1. Hitunglah! a.
b.
c.
d.
e.
( 6)
f.
(3)
g.
5 2
( ) ( 12 )
7 2
Γ( (
(3) . (2,5)
i.
8 3
6. ( ) 5 . ( 23 ) 2 . (8) ( 4,5)
j.
3 2
)
( 32 ) 3 2
h. Γ(
(5,5)
)
) . Γ( 32 )
( 72 ) (
1 2
)
(
3 2
)
(
5 2
)
2. Selesaikan! a.
x
4
.e
a.
2x
x . e
b. b.
x
3
.e
3
4 x 2
1
4
.e4x
ln x
0
dx
1
0
d. d.
dx
dx
c. x
dx
0
dx
0
c.
3
0
dx
0
1 x 2
x
x
2
.e
4x
x
m
.e
ax
n
dx
0
dx
0
e.
x
1 2
.e
2x
dx
0
3. Selesaikan!
B. Fungsi Beta
Fungsi beta dinyatakan dalam bentuk: 1
x m 1 (1 x) n 1 dx
B(m, n) 0
yang konvergen untuk m > 0 ; n > 0. Hubungan fungsi beta dengan gamma adalah B(m, n)
Γ(m) Γ(n) Γ(m
n)
Banyak masalah integral yang dapat diselesaikan dalam bentuk fungsi beta atau gamma. Bentuk-bentuk umum yang dapat diselesaikan dengan fungsi beta adalah: π
2
sin 2m 1θ cos2n 1θ dθ
1.
1 2
B(m, n)
0
Γ(m).Γ(n) 2 Γ(m
n)
valid untuk m > 0 dan n > 0 xp
2. 0
(1
1
x)
dx
Γ(p). Γ(1 p)
π sin
untuk 0
p 1
Contoh :
1. Buktikan B(m,n) = B(n,m), sifat simetris Bukti: 1
x m 1 (1
B(m, n)
x) n 1 dx
misalkan : x
(1
y)
0 1
y) m 1 . y n 1 dy
(1 0 1
y n 1 . (1
y) m 1 dy
0
B(n, m) Jadi : B(m, n)
B(n, m) π
2
2 sin 2m 1θ . cos2n 1θ dθ
1. Buktikan B(m, n)
0
Jawab: 2 sin θ
Misalkan x
1, θ
x
π
2
1
x m 1 . (1 x) n 1 dx ;
B(m, n)
0, θ
x
0
0 π
2
(sin 2θ) m 1 . (cos2θ) n 1 . 2 sinθ cosθ dθ
B(m, n) 0
π
B(m, n)
2
2 sin 2m 1θ cos2n 1θ dθ
(terbukti)
0
Γ(m) . Γ(n)
2. Buktikan B(m, n)
Γ(m
n)
,
untuk m
Jawab : Misal, u
2
x maka Γ(m)
u
m 1
0
2 x
2m 1
.e
x2
dx
0
Analogi: Γ(n)
2 y 2n 1 . e 0
y2
dy
.e
u
du
0 dan n
0
Jadi : Γ(m). Γ(n)
(x 2 y 2 )
x 2m 1 y 2n 1 e
4
dx dy
0 0
Transformasikan ke dalam koordinat poolar, didapat: π
Γ(m). Γ(n)
2
ρ 2(m
4
1) 1
ρ2
.e
. cos2m 1θ. sin 2n 1θ dp dθ
0 ρ 0 π
ρ
4
2(m n)
ρ2
.e
2
cos2m 1θ . sin 2n 1θ dθ
dp
0
0 π
2
n) . cos2m 1θ . sin 2n 1θ dθ
2 Γ(m
0
Γ(m). Γ(n)
Γ(m
n) . B(m, n)
Γ(m). Γ(n)
Jadi : B(m, n)
Γ(m
n)
Terbukti
Contoh Soal : 1
x 4 (1 x) 3 dx
1.
B (5,4)
Γ (5) . Γ (4)
4!. 3!
1
Γ (9)
8!
280
2u ;
dx
0 2
2. 0
1
2
x dx
2
x
u
2
4
2
1
0
u
du ,
1
4 2 u 2 . (1 u)
1 2
du
0
4 2 B(3, 12 )
4 2.
Γ(3) . Γ( 12 ) Γ(3, 12 )
4 2 . 2! π 5 2
. 32 . 12 . Γ
64 15
2
1 2
6,03398
misal : x
2 du
3. Hitung
z3
z .e
dz
0
Jawab : Misalkan Z
1 3
t
1 3
dz
t
2 3
dt
Jadi 1 3
I
t
2 3
1 3
t .e . t
dt
0 1 3
1 6
t
2 3
t
. e .dt
0 1 3
1 2
t
.e
t
dt
0 1 3
1 2
Γ
1 3
xp
4. Bila 0
π
0,59082
1
1 x
π
dx
sin pπ
, buktikan bahwaΓ(p). Γ(1 p)
π sin pπ
Jawab : Ambil : x 1 x x
y
y atau x 0
x
1 y
y
0
y
1
1
y p 1 (1
Integral menjadi:
y)
p
dy
B(p,1 p)
0
Γ(p). Γ(1 p) Γ(p 1 p) Γ(p). Γ(1 p) dy
5. Selesaikan 0
1 y
4
Jawab : 4 Misalkan y
x
4y 3 dy
dx
dy
dx 3
4x 4
Terbukti
Integral menjadi: 3 4
x
1 4
1 x 0
1 4
x
1 4
1 4
dx
. B( 14 ,1
(1 x) 1 dx
0 1 4
. B( 14 ,1
1 4
1 4
. Γ( 14 ) . Γ(1
1 4
.
) 1 4
)
Γ sin π4
π
2
4 2
6. Selesaikan
x
3
3
8 x dx
0
Jawab : Misalkan x3
3x 2 dx
8y
8 dy
dx
1
x
2y 3
x
2
y
0
x
0
y
2
Integral menjadi: 1
2y
1 3
2 3
8(1 y) . y
2 3
dy
0 1 8 3
1 3
1 3
y (1 y) dy 0
8 3 8 3
8 3
B ( 23 , 43 ) Γ( 23 ) . Γ( 43 ) Γ(2) Γ( 23 ) . Γ( 13
1)
1.1
8 1 3 3
. . Γ( 23 ) . Γ( 13 )
3,224
8 9
π
16π
sin π3
9 3
8 dy 6y
2
3
1 4
)
Soal-soal :
1. Hitunglah! 1
x 2 (1 x) dx
a. 0 1
b.
(1 - x) x
0
2
dx
e (4 0
2. Hitunglah! 4
a.
3
5
u 2 .(4 u) 2 du 0
3
b. 0
dx 3x - x 2
3. Hitunglah! a. π
2
sin 4 θ . cos4 θ dθ 0 π
2
cos6 θ dθ
b. 0 π
sin 5 θ dθ
c. 0 π
2
cos5θ . sin 2 θ dθ
d. 0 π
2
tan θ dθ
e. 0 π
f.
cot θ dθ 0
3
x 2 ) 2 dx
4. Buktikan bahwa: x dx
a. 0
1 x
6
π 3 3
2
π
y dy
b. 0
1 y
4
2 2
e 2x
c. -
(e 3x
1) 2
dx
2π 9 3
π 2
sin 2m 1θ . cos 2n 1θ dθ
5. Buktikan bahwa: 0
Γ(m) . Γ(n) 2 Γ(m
n)
; m, n
0
