CAP´ITULO 2
c as ti AXIOMAS DE INCIDENCIA a em Y ORDEN a t M . d e to En este cap cap´´ıtulo, comenzaremos dando los t´erminos erminos ep y relaciones primiti vas de la geome geometr tr´´ıa, y su cone conexi´ xi´ on por medio de los axiomas. A medida que se on , D que se desprenden de van presentando los axiomas, se deducen los teoremas ellos, como tambi tambi´´en en las definicio definiciones nes necesari necesarias as caracterizar zar los nuev nuevos os u para ia caracteri objetos. t i o q En la formulaci´on on que adelantaremos, asumiremos el manejo de la l´ ogica ogica n y de la teor teor´´ıa de conjuntos, aunque en algunos A puntos haremos hincapi´e en el proceso l´ogico ogico de las demostraciones. e d d a d i ´ s 2.1. 2. 1. EL ELEM EMEN ENTO TOS S GE GEOM er OMETRICOS v plano, espacio. n irecta, 1.1 T´erminos erminos primitivos: punto, U (p ertenencia), 1.2 Relacio Relaciones nes primitivas: primitivas: estar en (pertenenci a), estar entre, congruente. congruente. Estos t´erminos erminos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante enunciados tales como: El punto A est´a en la recta l. El punto B esta entre los puntos A y C en la recta l. 5
6
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN 1.3 Axiomas. Los axiomas se dividen en seis grupos a saber: Grupo I. Axiomas de incidencia. Grupo II. Axiomas de orden. Grupo III. Axiomas de congruencia. Grupo IV. Axiomas de continuidad. Grupo V. Axiomas de paralelismo. Grupo VI. Axiomas de ´area.
as 2.2. AXIOMAS DE INCIDENCIA ic a t I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un punto pasa al menos una recta. t em a I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos. M d e que no est´a en la I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio recta. to . Definici´ on 1. . Puntos colineales son aquellos que est´ ep an en una misma recta. , D recta, determinan un an en una misma I.4 Tres puntos distintos que no est´ plano y solo uno al cual pertenecen. Por dos ia puntos distintos pasa al menos un plano. o q u ti distintos no colineales. I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos punto n del espacio que no est´a en I.6 Dado un plano, existe por lo menos un A el plano. d e a d Definici´ on 2. . Puntos coplanares son si daquellos que est´an en un mismo plano. er en un plano, la recta est´a contenida en a n I.7 Si dos puntos de una recta est´ el plano. n iv I.8 Si dos planos diferentes se cortan, U su intersecci´on es una recta. Observaci´ on: el axioma I.8 establece que si dos planos tienen un punto en com´ u n, tienen un segundo punto en com´ un y en consecuencia, una recta com´ un. Notaci´on:
2.2. AXIOMAS DE INCIDENCIA
7
i) Para designar puntos, utilizaremos letras latinas may´ usculas. ←→
←→
ii) Para A, B puntos distintos, notaremos por AB o´ BA la recta a la cual pertenecen estos puntos, o tambi´ en por letras min´ usculas latinas. ←→
As´ı, por ejemplo, nos referiremos a la recta AB ´o a la recta l , (ver Figura 1.).
as A B c l ti a em Figura 1. a t M d e Teorema 1. . o Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersecci´ on p t es un solo punto. e , D u ia m t i o q n A d e l Figura d a d 2. si v er Demostracion. (Figura 2.). Sean ni l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducci´ on al absurdo). Supongamos que las rectas se cortan U el axioma I.1 por los puntos A y B pasa en dos puntos distintos A y B. Por una recta u´nica. Luego l y m son la misma recta. Contradicci´ on, ya que l y m son rectas diferentes.
8
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
Teorema 2. Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano unico ´ que las contiene. Demostracion. (Figura 3.). Sean l y m dos rectas diferentes que se intersectan. Sea A el punto de intersecci´ on (Teorema 1). Por el axioma I.2 existen otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente de A en m. Luego A, B, C son no colineales ya que B no est´ a en la recta m y C no est´a en la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano u ´ nico. Por el axioma I.7 las rectas l y m est´an contenidas en ese plano. Este es el u ´ nico plano que contiene a ambas. Si existiera otro, A, B y C estar´ıan en ´el. Contradicci´ on con el axioma I.4.
c as a ti t em a M e B d m . o A e p t , D C u ia l o q Figura 3. ti n A d e a d Teorema 3. Si l es una recta y A un punto que no ´ i dpertenece a ella, existe un plano unico que contiene a la recta y al punto. rs v e nPor i el axioma I.2 la recta l tiene al menos Demostracion. (ver Figura 4.). dos puntos diferentes B y C . Por U el axioma I.4 los tres puntos no colineales A, B y C determinan un plano u ´nico. A est´a en ese plano y por el axioma I.7 la recta l est´a contenida en el plano. Este plano es u ´ nico, si no, los tres puntos A, B y C estar´ıan en otro plano. Contradicci´ on con el axioma I.4.
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
l
9
B
C A
as Figura 4. a t ic m e 2.3. AXIOMAS DE ORDEN a t M como se relacioIntuitivamente en Geometr´ıa, el orden establece la forma e esta relaci´on es nan tres puntos distintos pertenecientes a una misma recta, d la que hemos denominado dentro de las relaciones primitivas, “estar entre”. to . epy el punto C , entonces II.1 Si el punto B se encuentra entre el punto A recta y B se encuentra A, B y C son puntos diferentes de una misma D as´ı mismo entre C y A, (ver Figura 5.). ia , q u A B io C l n t A Figura d 5.e d a d i II.2 Dados dos puntos distintos A yrs C , existe al menos un punto B sobre e , (ver Figura 6.). AC tal que B est´a entre A y v C ni II.3 Dados dos puntos distintos A y C , existe al menos un punto D sobre U AC , tal que C est´a entre A y D, (ver Figura 7.) ←→
←→
II.4 Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos est´ a entre los otros dos.
10
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
A
B
C
l
Figura 6.
c as a ti Figura 7. t em a siM A est´a entre B y Observaci´ on: el axioma II.4, establece que por ejemplo, e C , entonces B no est´ a entre A y C y C no est´ a entre A d y B. . o p t Al conjunto formado Definici´ on 3 (Segmento). Sean A y B dos puntos. por A y B y todos los puntos entre A y B se le llama e segmento AB y se nota , D AB o ´ BA. A y B se llaman extremos del segmento y se dice ia que ellos determinan al segmento. Los puntos que est´ an entre A y B se q u llaman puntos interiores del segmento AB. Los dem´ as puntos de AB se llaman t io puntos exteriores. n En consecuencia : A AB = {A, B } ∪ {X/X es un punto d e que est´ a entre A y B}. Los puntos interiores a AB los denotamos d a d por IntAB; por tanto si IntAB = {X/X es un punto v er que est´ a entre A y B}. ni diremos que AB es un segmento nulo. Si A y B representan el mismo punto U II.5 Si X est´a entre D y C y D est´a entre A y C , entonces X est´a entre A A
C
D
l
←→
y C , (ver Figura 8.). Observaci´ on: de II.2 y II.5 se sigue que un segmento tiene infinitos puntos y lo propio para una recta.
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
A
D
11
X
C
l
Figura 8.
as Definici´ o n 5. Diremos que una figura es convexa si dados dos puntos cua c i t a contenido lesquiera de ella, el segmento determinado por estos puntos, est´ a en la figura. En caso de no cumplirse este enunciado, diremos que la figura es no convexa, (ver Figuras 9. y 10.). t em a Ejercicio 1. Si A ≡ B. Es AB convexo? M Ejercicio 2. Si A ≡ B. Es IntAB convexo? e Ejercicio 3. Demostrar que si A = B entonces AB es . d convexo. p t o e , D u ia A t i o q n B A d e Figura 9. Figura Convexa d a d Figura 10. Figura no convexa si Teorema 4. v er La intersecci´ on no vac´ıa de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. ni U Demostraci´ on. Sean A y B conjuntos convexos. Definici´ o n 4. Un conjunto no vac´ıo de puntos se denomina figura.
Sean X, Y ∈ A ∩ B, ya que A ∩ B = ∅. Probemos que XY ⊂ A ∩ B. En efecto, como X, Y ∈ A ∩ B entonces X, Y ∈ A y X, Y ∈ B. Como A es convexo por hip´otesis, entonces XY ⊂ A y similarmente, como B es convexo, entonces XY ⊂ B, luego XY ⊂ A ∩ B.
12
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
Observaci´ on: la uni´on de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo. Veamos un contraejemplo.
A
B
C
D
l
c as i Sean A, B, C , D cuatro puntos distintos sobre una recta l;a t tales que: AB ∩ CD = φ, (ver Figura 11.). t em B, C ∈ AB ∪ CD y BC ⊂ AB ∪ CD a Luego, AB ∪ CD es no convexo. M d e Definici´ on 6. Sea O un punto de la recta l, A, B otros . dos puntos diferentes los o puntos A y B est´ an de la misma. Si O no est´ a entre A y B, diremos que t ep y B diremos que los sobre l a un mismo lado del punto O. Si O est´ a entre A puntos A y B est´ an sobre la recta l en lados diferentes con respecto al punto D O, (ver Figura 12.). ia , o q u n tiB A O l A B O d e A l A B d a d O l si v er 12. Figura ni U Figura 11.
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
13
II.6 Axioma de separaci´on de la recta. Un punto O de una recta l divide a todos los dem´as puntos de ´esta en dos conjuntos no vac´ıos, de modo que dos puntos cualesquiera de l pertenecientes al mismo conjunto est´ a n a un mismo lado de O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos se encuentran en lados diferentes de O.
c as Ilustraci´on: (ver Figura 13.). a ti em lado de O. i) A, B est´an a un mismo lado de O. C, D est´an en un mismo a t ii) B, C est´an en lados diferentes de O. Lo propio para: A y C ; A y D; B M yD d e . que contiene a C iii) A y B pertenecen a un conjunto distinto al conjunto o y D. e p t , D A B O C u iaD l t i o q Figura 13. n A d e Definici´ on 7 (Semirrecta). Decimos que un punto O de una recta l, con d a la misma, determina la semirrecta juntamente con alg´ un otro punto A de d −→ sique est´ an del mismo lado que A con OA, que notaremos OA; los puntos r respecto a O se llaman puntos de la el punto O, origen de la v esemirrecta OA; semirrecta OA, (ver Figura 14.). i n U A O l
Figura 14.
14
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
En consecuencia: −→ OA = {X/X es un punto que est´ a entre O y A} ∪ {A} ∪ {X/A es un punto que est´ a entre O y X } Observaciones: El axioma II.6 nos permite, dada una recta l, O y A puntos distintos, establecer una partici´ on de la recta en tres conjuntos convexos y dis juntos as´ı: (ver Figura 15.)
c as −→ a }ti l = {O} ∪ OA ∪ {X/O est´ a entre A y X t em X O A l a M Figura 15. . d e p t o e A y B diremos que Si O, A, B son puntos de una recta y O est´a entre −→ −−→ , D 16.). OA y OB son semirrectas opuestas,(ver Figura → −−→ u ia −OA Ejercicio 1. Mostrar que si A − O − B entonces OB es no convexo. q o II.7 Axioma de separaci´on del plano. n ti A, divide los puntos de este plano Cada recta l contenida en un plano π d e no vac´ıos, de manera tal que que no le pertenecen, en dos conjuntos dos puntos cualesquiera A y A de conjuntos diferentes determinan un d d uan punto de la recta l, mientras que segmento AA , que contiene alg´ i un mismo conjunto determinan un dos puntos arbitrarios A y A sde segmento AA , dentro del cual v er no hay ning´un punto de l, (ver Figura 17.) ni U O B A ′
′
′′
′′
l
Figura 16.
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
15
A
l A”
π
A’
as Figura 17. a t ic m e Observaciones: a t Q M . d e l p t o B e , D A ia π o q u ti Figura 18. n A d e d a i) Dados: AB ⊂ π , Q ∈π , Q entonces el axioma II.7 nos permite ∈AB, d i definir dos conjuntos no vac´ıos que denominaremos semiplanos y que s r notaremos as´ı: (ver Figura 18. v e ) ni semiplano de borde AB y que conπ o AB /Q y que leeremos: tiene al punto Q. U ←→
←→
←→
←→
←→
AB : Q
π
←→
←→
o AB /¬Q y que leeremos: semiplano de borde AB y que no AB Q contiene al punto Q y se le llama semiplano opuesto al semiplano ←→
:¬
π
←→
AB :Q
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
16
ii) Con las condiciones establecidas en i), el axioma II.7 nos permite establecer una partici´ on del plano en tres conjuntos convexos y dis juntos as´ı:
π
π =π
π Ejercicio 1. Mostrar que π Ejercicio 2. Mostrar que π ←→
←→
AB : Q
π =AB /Q ∪ AB ∪ AB ¬Q ←→
∪ AB ∪
←→
AB : ¬Q ←→
AB : Q
o
←→
←→
es convexo. es no convexo. ∪
π
as Teorema 5. t ic a en dicha Si P es un punto sobre una recta l y Q es un punto que no est´ −→ a recta, entonces la semirrecta P Q est´ a contenida en π : Q. t em a Q M P l . d e p t o P’ e , D T u ia q Figura 19. o n ti A Demostraci´ on. (Ver Figura 19.). Por el d eTeorema 3.,−→sea π el plano deter minado por l y Q y sea T un punto de la semirrecta P Q distinto de Q. a d. Claramente T es un punto del plano π si d : Q. Veamos que T est´a en el semiplano π er supongamos que T est´a en el semiplano Razonando por reducci´ on al absurdo: π : ¬Q. Por consiguiente el segmento iv T Q intecepta la recta l en un punto P , luego P est´a entre T y Q (Axioma de separaci´on del plano) y como n U adem´as T est´a en la recta P Q, entonces las rectas P Q y T Q coinciden y por ←→
AB : Q
←→
AB : ¬Q
l
l
l
′
′
←→
←→
←→
lo tanto, P y P son el mismo punto; de lo cual se sigue que P est´a entre T y −→ Q, o sea que T no est´ a en la semirrecta P Q en contradicci´ on con el supuesto inicial. Lo anterior nos permite concluir que T est´a en el semiplano l : Q como se quer´ıa demostrar. ′
π
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
17
II.8 Axioma de separaci´on del espacio.
π
Todo plano divide a los dem´as puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no vac´ıos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y B de conjuntos diferentes, determinan un segmento AB dentro del cual hay alg´ un punto del plano , mientras que dos puntos cualesquiera A y A de un mismo conjunto, determinan un segmento AA dentro del cual no hay puntos comunes con el plano .
π
′
′
π s ca
ti Observaciones: a t em semiespacios. i) Los conjuntos definidos por el axioma II.8 se denominan ena tres conjuntos ii) El axioma II.8 establece una partici´on del espacio M convexos y disjuntos. d e Definici´ o n 8. (Angulo). El conjunto formado por . dos semirrectas que p t o ´ angulo. Si las dos tienen el mismo origen, incluyendo este punto, se llama semirrectas coinciden, entonces el angulo ´ que determinan se llama nulo. Si e , D se llama llano. las dos semirrectas son semirrectas opuestas, el angulo ´ ia AOB convexo? Explique. Ejercicio 1. Sea AOB no nulo y no llano. Es u q −→ −−→ o t ientonces el a´ngulo que forman Notaci´ on: si OA y OB son dos semirrectas, n Figura 20.): se denotar´ a por cualquiera de los s´ımbolos, (Ver A d e B d a d si O v er A ni UFigura 20.
AOB
o BOA; ´
∡AOB
o ´
−→ −−→ OB) ´ o
∡BOA; ∡(OA,
−−→ −→ OA)
∡(OB,
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
18
−→ −−→ OA y OB se denominan lados del ´angulo. O se denomina v´ertice del a´ngulo. El siguiente teorema es consecuencia del Teorema 4, se deja como ejercicio. Teorema 6. Un angulo ´ no-nulo y no-llano divide al plano en dos regiones de tal manera que en una y s´ olo una de las regiones es convexa. La regi´ on que posee esta propiedad se llama interior del ´ on se llama exterior angulo y la otra regi´ del ´ angulo, (ver Figura 21.).
c as ti B a t em a AOB Interior del a´ ngulo M d e O A π to . ep Figura 21. , D u ia Observaciones: o q i) El interior de AOB lo notaremos: Int( n AOB). ti π . ii) Int(AOB) = OA /B ∩ OB /A =π A d e origen en el v´ertice de un angulo ´ Corolario 1. La semirrecta que tiene su a d de dicho ´ angulo, est´ acontenida no nulo y no llano y un punto en el interior en el interior del angulo. ´ (ver Figura s22.) i d −→ Demostraci´ on: sea D ∈ Int(AOB). est´a con v er Veamos que la semirrecta −OD ni tenida en Int(AOB). Est´a claro por la hip´otesis que D es un punto del semiplano π y tam U bi´en es un punto del semiplano π .
←→
←→
←→
←→
OA : B
OB : A
←→
OA : B
←→
OB A −−→ Por el Teorema 5 la semirrecta OD est´a contenida en −−→ ; esto es OD est´a contenida en lnt(AOB). :
π
←→
OB : A
π
←→
OA : B
y tambi´en en
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
19
B
D A
as Figura 22. a t ic t em Teorema 7. a Dado un angulo ´ BAC (no-nulo y no llano), los puntos interiores del seg M mento BC est´ an en el interior de dicho angulo. ´ . d e Demostraci´ on. (ver Figura 23.). Supongamos que D o es un punto interior t a CB. Vamos a demostrar que D es un punto interior ep al a´ngulo BAC . , D u ia C D t i o q n B A A Figura 23. d e d a d De la hip´otesis tenemos que D est´ sia entre B y C ; por lo tanto, estos dos puntos est´ an en lados distintos respecto er a D y en consecuencia C ∈ BD. Afir iv puesto que BD ⊂BC y BC ∩ AC = mamos que BD ∩ AC = φ, en efecto, n lo afirmado. {C } y como C ∈ BD, queda sustentado U Por tanto: BD ⊂π (1) O
←→
←→
←→
←→
←→
AC : B
←→
De la hip´otesis tambi´en se infiere que B ∈ DC y afirmamos que DC ∩ AB= ←→
←→
←→
φ, en efecto, puesto que DC ⊂BC y BC ∩ AB= {B }; pero B ∈ DC . En
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
20
consecuencia: DC ⊂
π
←→
AB : C
(2)
π
De (1) y (2) podemos concluir que D ∈
←→
AB : C
∩
π
←→
AC : B
pertenece al interior del a´ngulo BAC .
esto es: D
Teorema 8. Sea BAC un angulo ´ no nulo y no llano; D un punto interior a dicho angulo. ´ Si F es un punto tal que A est´ a entre F y C , entonces los puntos B y F est´ an en el mismo semiplano determinado por la recta AD.
c as a ti t em a B M d e D . p t o C e F , D A ia G Figura 24. u t i o q n A a en demostrar que el segDemostraci´ on. (Ver Figura 24.). Esta consistir´ e Dividiremos la prueba en tres d AD. mento BF no tiene puntos en la recta en puntos, a saber: d a d si estar en el segmento F B. i) Veremos que el punto A no puede v er −→ ii) Veremos que ning´ un punto de ni F B est´a en la semirrecta −AD. → Ude F B est´−−a→en la semirrecta −AG, iii) Veremos que ning´ un punto siendo G
←→
←→
un punto en la semirrecta opuesta a AD.
La prueba de estas tres partes permite afirmar que F B no corta a la recta ←→
AD y por tanto, que los puntos F y B est´an en un mismo semiplano respecto
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
21
←→
de la recta AD. Para probar i) comencemos por afirmar que la hip´ otesis del enunciado garantiza que A es un punto distinto de B y F . Razonando por reducci´ on al absurdo, supongamos que A es un punto en el ←→
←→
←→
interior de F B. Puesto que F se tom´o en la recta AC , las rectas AC y F B tienen en com´ un los puntos A y F y por tanto dichas rectas coinciden (A-
c as a ti em la semirrecta Para probar las partes ii) y iii) se debe tener en cuenta que t a AD est´a contenida en el interior del a´ngulo BAC , (Corolario) y por tanto, Msemiplano π . est´a contenida en el semiplano π como tambi´en en el . d e Para probar ii) afirmamos que los puntos F y C est´ o an en semiplanos o t puestos respecto a la recta AB, ya que A est´a entre ep F y C y estos puntos π no est´ an en AB. Seg´ un lo anterior, F est´a en el semiplano y por el D −−→ , el semiplano π . Por Teorema 5, es claro que la semirrecta BF est´a en a −−→ ui otra parte, ya se afirm´ o que la semirrecta AD qest´ a en el semiplano π . Siendo disjuntos los semiplanos π y π n t io −−→ y siendo B = A, se sigue que ning´ un punto de F B est´a en la semirrecta AD. A end e consideraci´on que las semirrectas Para demostrar la parte iii) tomamos −−→ −→ a d opuestos respecto opuestas AD, AG est´an en semiplanos a la recta AC y −−→ −→ como AD est´a en el semiplano π i d , entonces AG est´a en el semiplano s r π . Por otra parte, como F est´ v ea en AC y B es−−un→ punto que no est´a en ni la semirrecta F B est´a en el semiplano AC , por el Teorema 5, se sigue que yπ y siendo B = A, π . Siendo disjuntos los semiplanos π U −→ ←→
xioma I.1), de donde se concluye que el punto B est´a en la recta AC , lo cual lleva a la contradicci´on con la hip´otesis de que el a´ngulo BAC es no nulo y no llano. En esta forma queda demostrada la parte i).
→
←→
←→
AB : C
AC : B
←→
←→
←→
AB :
¬C
←→
AB :
¬C
←→
AB : C
←→
AB :
←→
¬C
AB : C
←→
←→
AC : B
←→
←→
AC :
←→
¬B
←→
←→
AC : B
AC :
←→
¬B
AC : B
se concluye que el segmento F B no tiene puntos en la semirrecta AG.
´ no nulo y no llano; D un punto en el Corolario 2. Sea BAC un angulo interior de dicho angulo. ´ Si F es un punto tal que A esta entre F y C , −→ entonces AB ⊂ IntF AD.
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
22
Teorema 9 (Teorema de la barra transversal). Si D es un punto que est´ a en el interior de BAC (no nulo y no llano), −−→ entonces AD intersecta a BC .
c as D a ti em C a t F A M G Figura 25. . d e p t o −→ e opuesta a la semirDemostraci´ on. (ver Figura 25.).Sea AG la semirrecta D −−→ , recta AD. −→ −→ u ia que −AD Razonando por reducci´ on al absurdo. Supongamos ∩ BC = φ, o q ∩ BC = φ. En consecuenpor el Teorema 7. y el Corolorario 1. AG ti separaci´on del plano, B y C cia AD ∩BC = φ o sea que por el Axioma de n est´an en el mismo semiplano con respecto aA la recta AD . Tomemos F ∈ AC d e∩ AD= φ por el Teorema 8; esto tal que A est´a entre F y C , por tanto F B es, F y B est´an en el mismo semiplano respecto a la recta AD, concluy´endose d por tanto que F y C est´an en el mismo i d a semiplano respecto a AD; esto es rs F y C . contradictorio puesto que A est´a entre −−→ Afirmamos las t´esis AD ∩ BC = φ. iv e n U B
←→
←→
←→
←→
←→
←→
2.4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CAP´IT. 2.
2.4.
23
Ejercicios y Problemas del Cap´ıt. 2.
1. Con este ejercicio se demuestra que un segmento es una figura convexa. Si los puntos C y D pertenecen al segmento AB, entonces todos los puntos del segmento CD est´an en el segmento AB ( CD ⊂ AB). 2. Si el punto C esta entre los puntos A y B, todos los puntos del segmento AC est´an en el segmento AB.
c as a ti 4. Si el punto C esta entre los puntos A y B, cada punto del segmento m te CB o en AB, esta o bien en el segmento AC o bien en el segmento a ambos. M a intercepta el 5. Si A,B,C no est´ a n en la misma recta y si una recta e d interior de dos de los tres segmentos AB,BC,AC , entonces la recta a . no intercepta el tercero. p t o −→ −−→ → e coincide con −OA. 6. Si M es un punto de OA, demostrar que OM , D 7. Si es un punto del semiplano , demostrar que coincide con Q ia . o q u 8. Demostrar que si un plano y una recta tsei cortan y el plano no contiene npunto. la recta, entonces se cortan en un solo A 9. Demostrar que la recta es una figura d e convexa. a d recta tienen un n´umero infinito de 10. Demostrar que un segmento y una puntos. si d r recta contenida en el plano α. De11. Sea α un plano cualquiera, l euna ivun punto en el plano α que no est´a en la mostrar que existe al menos n recta l. U 3. Si el punto C esta entre los puntos A y B, ning´ un punto del segmento AC distinto de C esta en el segmento CB.
l:P
l:P
12. Demostrar el corolario 2. 13. Demostrar el Teorema 6.
l:Q
