Axioma de Completez

Axioma de Completez

Si analizamos analiza mos cuidadosamente cuidadosa mente el conjunto

de los números racionales, raci onales, observamos observa mos

que satisface satisfac e las propiedades propiedad es básicas P-1 a P-6 de la sección 1.2. que gobiernan las operaciones de adición y multiplicación entre números reales y satisface las propiedades P-7 a P-9 de la sección 1.4. que gobiernan la relación de orden entre números reales. Sin embargo, dado que el conjunto de los números racionales son tan solo un subconjunto muy pequeño del conjunto de todos los números reales, debe existir por lo menos una  propiedad básica adicional que distinga los números racionales de los números reales. Esta propiedad es el axioma de completez que mencionaremos brevemente en esta sección. Para empezar, necesitamos introducir una t erminología erminología y notaciones adicionales. Definición 1.10.1. Sea

un conjunto no vacío de números reales. real es. Un número real

llama una cota superior de

Si

se

si

tiene cotas superiores, superior es, decimos que

Ejemplo 1.16. El intervalo interval o cerrado

;

es acotado acotad o superiormente. superior mente. es acotado acota do superiormente. superior mente. Algunas cotas

superiores de

son

;

;

mayor o igual que que

es cota superior super ior de este conjunto. conjunt o.

Ejemplo 1.17. El intervalo interval o abierto abiert o

. En general cualquier cualqui er número

es un conjunto acotado superior mente que

tiene las mismas cotas superiores que el intervalo inter valo cerrado Ejemplo 1.18. El conjunto

.

de todos los números reales no es acotado superiormente. superi ormente.

Dejamos como ejercicio para el lector, definir las nociones análogas de cota inferior de un conjunto no vacío de números reales y de conjunto acotado inferiormente. También le solicitamos que de ejemplos de estos conceptos. Definición 1.10.2. Sea

un conjunto no vacío de números reales real es acotado acotad o

superiormente. superior mente. Un número real siguientes propiedades: 1.

se llama extremo superior de

es una cota superior superi or de

2. Para toda cota superior superi or

de

, se tiene que

.

si cumple las

O  bservamos

que las condiciones i) y ii) expresan que

es la mínima cota superior de

. En la práctica nos referimos al extremo superior de un conjunto como el supremo, abreviado Sup. Notamos el supremo de El extremo inferior o ínfimo de

como

notado

.

se da de forma análoga.

Ejemplo 1.19. Si

entonces

y

Ejemplo 1.20. y

Si

entonces

y

y

Si

entonces

y

. .

Ejemplo 1.21. Si

entonces

Estamos listos para introducir la última propiedad básica o axioma que caracteriza al conjunto de los números reales. P-10 Axioma de completez. Todo conjunto superiormente, tiene supremo.

de números reales no vacío y acotado

Entre las principales consecuencias de este axioma podemos citar: y

Todo conjunto ínfimo.

de números reales no vacío y acotado inferiormente, tiene

y

El conjunto

de los números naturales no es acotado superiormente.

y

Propiedad Arquimediana de los números reales: Si

número real, entonces existe un entero positivo

tal que

y

es cualquier  .

La propiedad Arquimediana de los números reales tiene la siguiente in-ter-pre-ta-ción geométrica: Si tenemos dos segmentos de recta, uno tan largo como queramos de longitud y otro tan corto como queramos de longitud (ver la figura), tomando un número suficiente de veces el segmento pequeño, podemos cubrir el segmento largo.

(Existe

tal que

Utilizando la propiedad Arquimediana se puede demostrar con alguna dificultad y sin usar representaciones decimales, que el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales. A partir de este último resultado se puede deducir 

fácilmente que el conjunto de los números irracionales también es denso en el conjunto de los números reales. Para finalizar estas notas sobre el conjunto de los números reales presentaremos un ejemplo que nos muestra que los números racionales no satisfacen el axioma de completez. Ejemplo 1.22. Sea

Por definición vacío ya que Sin embargo superior de

es un subconjunto del conjunto de los números racionales, ,

y

es acotado superiormente en

no tiene un supremo en , sería

pero

es no

, por ejemplo por

. El número que podría ser el extremo .

y

.