A. Gutiérrez Borda
Departamento de Matemáticas Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica
Axioma del Supremo
1. Introducción Los números reales surgen de los huecos que dejan los racionales, y se pueden definir de varias maneras. Se atribuye a los pitagóricos la expresión “Todo es número”. La escuel a
Pitagórica fue la primera escuela matemática griega. Antes
de ellos se había acumulado una buena cantidad de conocimiento matemático debido a culturas tales como la egipcia y la babilónica; conocimientos con el que entra en contactos los griegos por medio de los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propio Pitágoras. Este contacto significa para la matemática de la época un enorme salto conceptual, debido a que de una matemática dedicada en lo esencial a la solución de problemas de tipo práctico, se traslada a una matemática interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, esto es una matemática teórica. A partir de Tales y Pitágoras, aparece un texto de importancia capital para la historia de la matemática: los Elementos de Euclides, esfuerzo totalitario de recolección del saber matemático acumulado hasta la época; dotado de un enorme sentido pedagógico que llevó desde su creación a separarlo en trece volúmenes. Pitágoras viene a ser el predecesor original de Leopold Kronecker, el matemático que afirmó que “ Dios creo los enteros, lo demás lo hizo el hombre”, hombre”, porque
cuando un pitagórico hablaba de número lo que tenía en mente específicamente era un numero racional. Elementos” de Euclides, definiciones como, “una Esto se puede ver en “ Los Elementos”
unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es llamada una”, otra como “un número es una pluralidad compuesta de unidades”.
Definiciones lo suficientemente restrictivas para separar el concepto de unidad del concepto mismo de número: una unidad no es un número, es el ente que constituye a los números. La visión pitagórica del número como la sustancia constitutiva del universo, condujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir la existencia de una 2
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
medida común para dos segmentos distintos cualesquiera. También se asigna a los pitagóricos el descubrimiento descubrimiento del teorema que lleva su nombre, nombre, lo cual, entre otras cosas, conduce a una importante proporción: el cuadrado construido sobre la diagonal de un cuadrado es el cuadrado original como 2 es a 1. Ahora bien, esta proporción trae como consecuencia inmediata una interrogante: ¿Cuál es la proporción que establece al comparar la diagonal del cuadrado y el lado del mismo? La respuesta demolió la convicción pitagórica de la conmensurabilidad de los segmentos: ambos segmentos resultaron ser inconmensurables, no era posible conseguir conseguir una medida común para ellos. De esta forma surge la primera noción de irracionalidad y desde entonces el concepto de número ha sufrido una considerable evolución histórica, estableciéndose distintos tipos de números que conforme son más evolucionados permiten resolver distintos tipos de problemas. Por ejemplo, algunos problemas problemas que se fueron sub subsanando sanando en el camino: camino: i)
El problema de contar, producto del cual se establecen los conocidos
axiomas de Peano (números naturales ). ii)
El problema de la resta (números enteros Z). En el conjunto de los números naturales la ecuación particular solo cuando
no siempre tiene solución (en
). Extendiendo de esta forma el conjunto de
los números naturales de manera que se puedan representar cantidades negativas. iii)
El problema de la división. En el conjunto de los números enteros la ecuación
solo tiene solución cuando
m es
múltiplo de n. se
introduce así un nuevo concepto, el número fraccionario. No todos los puntos de la recta representan representan números racionales; existen segmentos de medidas de un conjunto más amplio. Se atribuye a Pitágoras el notable descubrimiento de la inconmensurable de la diagonal del cuadrado de lado
3
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
uno. Si en Geometría no se consideran otros números que los naturales y los racionales, pronto se llegarían a varias contradicciones. Por otra parte, inmediatamente se ve que las ecuaciones del tipo carecen de raíces fraccionarias, pues si fuese
resultaría que es
absurdo; otro problema imposible en números racionales es por tanto, el de logaritmación. Existen, además, multitud de tipos de ecuaciones como, por ejemplo
, que no tiene solución en el campo racional. En resumen, la ampliación de los números racionales tiene su origen, al igual que la ampliación de los números enteros, en una necesidad teórica de solucionar problemas de ese tipo.
Con esto surge la necesidad de ampliar el conjunto de los números a un conjunto numérico mayor con ayuda del cual se pueda expresar la longitud de cualquier segmento del eje numérico. El concepto de número real figura entre los conceptos matemáticos fundamentales, para la deducción de las propiedades principales, se usa usa mucho el famoso famoso axioma del supremo. supremo. Una propiedad de los números racionales e irracionales es que entre dos números racionales existen infinitos números irracionales y entre dos números
irracionales existen infinitos números racionales, es decir, y son densos en .
.
Los conjuntos , , , y , verifican,
En estas notas se hará ver la diferencia en
y . Hay tres resultados importantes,
el principio arquimediano, la existencia del máximo entero y la propiedad de la densidad de los racionales e irracionales sobre los reales, como consecuencia natural del axioma del supremo. El conjunto de los números racionales
cumple
con todos los axiomas de un cuerpo ordenado, entonces surge la pregunta; ¿Cuál
4
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
es la diferencia entre los números racionales y los números reales? La respuesta, lo encontrarás en estos apuntes.
2. Cotas Superiores e Inferiores de un Conjunto Definición 1. Sea i)
, ,
tal que
Se dice que S es es acotado superiormente, si existe
, . El número m se llama cota superior de de S . ii)
Se dice que S es es acotado inferiormente, si existe
, .
tal que
El número n se llama cota inferior de de S . iii)
Se dice que S es es acotado, si existe
|| , .
tal que
Es decir, un conjunto es acotado, si es acotado superiormente e inferiormente. Observación: Resulta evidente que si m es una cota superior de un conjunto S, también lo será cualquier otro número mayor que m. Si n es una cota inferior de un conjunto S, también lo será cualquier otro número menor que n.
Ejemplo 1. Sea el conjunto
-.
El conjunto A es acotado superiormente, una cota superior es 6, y el conjunto de las cotas superiores es
,. El conjunto no es acotado inferiormente, pues
no hay número menor al infinito. No hay cota superior
, ya que siempre existe tal que ( ) y
. El conjunto A no es acotado inferiormente pues dado un número real , una cota inferior sería n sería n – 1, 1, pero ( ) . Ejemplo 2. Sea el conjunto ,-. 5
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
Este conjunto es acotado superiormente, una cota superior es 4, y el conjunto de
,,. El conjunto B es acotado inferiormente, y una cota inferior es -2 y el conjunto de las cotas inferiores es --. Por lo tanto el
las cotas superiores es
conjunto B es acotado.
Ejemplo 3. Sea el conjunto
-,.
Una cota inferior de C es es -1, y como se observa no tiene necesariamente necesariamente que estar en C .
Ejemplo 4. El conjunto . Es acotado inferiormente, no es acotado superiormente.
Ejemplo 5. Sea el conjunto
} }.
El conjunto D es acotado. Pues tiene como cota inferior a 0 y como cota superior a
. Ejemplo 6. Sea el conjunto
* ( ) +.
El conjunto E es acotado. Tiene como cota superior digamos 4 y cota inferior digamos -2.
Ejemplo 7. Sea el conjunto
-,.
El conjunto F no es acotado; tiene sólo cota superior, pero no tiene cota inferior.
3. Máximo y Mínimos Definición 2. (Máximo y mínimo) mínimo). Sea i)
,
es el máximo del conjunto S, (), si se cumple que m es cota superior de S y y además .
Diremos que Es decir,
ii)
Diremos que es un mínimo del conjunto S, (), si se cumple que n es cota inferior de S y y además . 6
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
Es decir,
Observación: 1. El máxim máximoo de un conjunt conjunto, o, si existe existe es es únic único. o. 2. El mínim mínimoo de un conjunto, conjunto, si exi existe ste es es únic único. o.
Observación: Todo subconjunto no vacío de los números naturales tiene mínimo (esta propiedad se conoce como “principio de una buena ordenación de los números naturales” y es equ ivalente al “principio de inducción”
Ejemplo 8. Sea el conjunto . El conjunto de los números reales no tiene máximo ni mínimo; además,
no es
acotado.
Ejemplo 9. Sea el conjunto
* +.
El conjunto D no tiene máximo ni mínimo. Sin embargo el conjunto D es acotado.
Ejemplo 10. Sea el conjunto
〈〉.
El conjunto no tiene máximo, ya que el conjunto de todas las cotas superiores es,
,, , y vemos que ,, 〈〉 . Observación: La definición de máximo y mínimo nos dicen que el máximo de un conjunto es el mayor elemento del conjunto y que el mínimo de un conjunto es el menor elemento del conjunto.
Ejemplo 11. Sea el conjunto
,-.
El conjunto N tiene como mínimo a -5 y como máximo a 4, que también se escribe:
() , () . 7
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
4. Supremo e Ínfimo de un Conjunto Sea i)
,
Si el conjunto S está acotado superiormente, llamamos supremo del conjunto S ,
() (), al mínimo (si existe) del conjunto de las cotas superiores dede S .
Es decir,
es llamado supremo de S, () (), si: a) p es cota superior de S , es decir b)
, Si y , entonces existe tal que .
ii) Si el conjunto S está acotado inferiormente, llamamos ínfimo del conjunto S ,
() (), al máximo (si existe) del conjunto de las cotas inferiores de S . Es decir,
es llamado ínfimo de S, () (), si: c) q es cota inferior de S , es decir d)
Si y , entonces existe tal que . Observación: El supremo de un conjunto es la menor cota superior y el ínfimo es la mayor cota inferior. Si el supremo o el ínfimo de un conjunto S pertenecen al conjunto, estos son llamados máximo máximo de S y mínimo de S, respectivamente.
Ejemplo 12. Sean los conjuntos,
- - , } }, *+ 〈〉 , * + Se verifican:
() (). () , () ().
a) Inf(M) = 0, b)
c) W es es acotado, pues tiene cota superior e inferior, W no no tiene máximo. 8
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
, siempre existirá tal que . En otras palabras, no existe tal que . Si
De igual forma W no no tiene mínimo. Además, d) e) f)
() () ( ) , pero A no tiene supremo. () () (), pero B no tiene supremo. () () .
5. Característica de intervalos Vamos a resumir todos los conceptos anteriores para el caso de intervalos. Sean
con , ver tabla1. Intervalos
, 〈 〉 , ,
mínimo
máximo
Ínfimo
supremo
a
b
A
b
No existe
No existe
A
b
a
No existe
A
b
No existe
b
A
b
No existe
b
No existe
b
No existe
b
no existe
No existe
No existe
No existe
A
No existe
No existe
A
No existe
a
Tabla 1. Características de intervalos
5. Propiedades del Supremo Aclaramos que, si el mínimo q de un conjunto S existe, existe, entonces el ínfimo a de S también existe y son iguales. Es decir
() (), ocurre porque, el mínimo de q es una cota inferior de S, y por la definición de ínfimo
.
Por otro lado, como q pertenece al conjunto, toda cota inferior debe ser menor que él, en particular el ínfimo a, es decir 9
Alberto Gutierrez B.
. Por lo tanto a = q. Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
Lo mismo se tiene para máximos y supremos.
Proposición 1 . Sean C y D dos conjuntos. Definimos, i) ii)
* + * +
Entonces a) b)
( ) () ()() () ( ) () () (), para ,.
Demostración. Para la parte a). Como un elemento de C + D se escribe como x + y, lo cual es menor que
() () (), pues () () y () (), por lo que se tiene que () () () es una cota superior del conjunto C + D. Entonces Entonces el supremo (). Por lo tanto se tiene la de C + D debe ser menor que ( ) () desigualdad
()() () (). (1) Por otro lado, se sabe que para todo , se tiene ( ) () (), es decir se tiene ( ) , lo que equivale a decir para todo se tiene que el número real ( ) , es cota superior de C . Entonces, se tiene que ()( ) , Pero como es para todo , entonces se tiene ( ) () (), (). O bien luego, ()( ) () ()() () () (2) Por tanto de (1) y (2) se cumpla la igualdad. Proposición 2. Si es un subconjunto no vacío de , se cumple que () () {)) . (), basta probar ii). En efecto: Demostración. Si () Dado cualquiera, no es cota superior de S, es decir, ( ), 10
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
O bien
, tal que . Por lo tanto, para todo existe tal que . Recíprocamente, si m es un número real tal que y suponemos que entonces tomando , por la hipótesis ii) concluimos que tal que ( ) , lo cual significa que (absurdo). Por lo tanto . Proposición 3 . Si , se cumple, () () {)) La demostración es similar a la proposición 2.
Ejemplo 16. Sea
} }. Muestre que () .
, entonces . Luego , y así es una cota superior del conjunto S. Por otro lado, dado , existe talque . Por lo tanto () . Además () .
En efecto. Para
6. Axioma del Supremo Se ha visto hay conjuntos acotados superiormente que no tiene máximo. En estos casos como ejemplo para el conjunto
, el candidato a ser máximo
es 2, pero que no pertenece al conjunto. Sin embargo nuestra intuición nos dice que todo conjunto acotado superiormente posee supremo. De hecho, la única forma que un conjunto no posea supremo parece ser, que no sea acotado. Sin embargo esta intuición no se puede deducir de las propiedades de los números reales, por lo tanto se tiene que agregar como axioma.
Axioma del Supremo . Sea 11
Alberto Gutierrez B.
, , Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
S acotado acotado superiormente, S tiene supremo.
El axioma del supremo, junto con los axiomas de la adición, la multiplicación y orden, permite caracterizar de forma única el conjunto de los números reales. El axioma del supremo también se conoce como axioma de completitud de continuidad, porque garantiza que los números reales “llenan” la recta. Además
Ejemplo 13. Sea el conjunto * +
nos permite distinguir entre y , porque no satisface el axioma del supremo.
Vemos que el conjunto F está acotado superiormente en
supremo puesto que
√ no es racional.
, pero no tiene
Se puede demostrar que todo conjunto no vacío acotado superiormente posee ínfimo. En este caso, basta verificar que
Teorema 1.
() ()() ().
con . Si S es acotado inferiormente, entonces posee
ínfimo.
*+ , ahora si p es cota inferior de S , de donde , es decir , luego, es
Demostración. Sea, entonces
cota superior de F . Por el axioma del supremo, F tiene tiene supremo, es decir, existe
tal que () () y () () Observación: No es cierta la propiedad si se cambia cambia supremo por máximo. En efecto el conjunto conjunto no tiene máximo, peri si supremo.
El axioma del supremo caracteriza a IR como un cuerpo ordenado y completo.
7. Aplicaciones del Axioma de Supremo Tres resultados trascendentales que son consecuencia inmediata de este axioma. Estos son el principio arquimediano, la l a existencia del máximo entero y la 12
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
densidad de los números racionales. Para estudiar algunas aplicaciones del supremo, vamos definir la parte entera de un número real positivo.
7.1.
Existencia del Máximo Entero
Definición 3. (Parte entera) . La parte entera de un número real
, se define
*+. Lo cual está bien definido, pues el conjunto S es es acotado superiormente por x, y además . Por lo tanto, como el supremo del conjunto
por el axioma del supremo, el conjunto S posee posee supremo. Este supremo se denota por
⟦⟧ y se llama el cajón inferior de de x o parte entera de x.
⟦⟧ . (), el número Ahora veamos que ⟦⟧ es un número natural. Como ⟦ ⟧ () real ⟦ ⟧ , no puede una cota superior de S . Por lo tanto, debe existir un elemento en S talque, ⟦ ⟧ . Por otra parte, como ⟦ ⟧ es una cota superior de S se tiene que ⟦⟧. Veamos que es una cota superior de S. Esto lo tendremos si todo natural que sea mayor estricto que , no pertenece a S. Si , se deduce que . Pero sabemos que, ⟦ ⟧ , con esto tenemos, ⟦ ⟧ ⟦⟧. Por lo tanto, es el mayor que el supremo de S y entonces . Con esto se concluye que es una cota superior de S . como , se afirma que es un máximo entero y por tanto es igual a ⟦⟧. Ejemplo 14. La parte entera del número real 2,5 es 2. Es decir
Consecuencia importante de este último es que
⟦⟧ ⟦⟧ . Otra forma de utilizar el axioma del supremo es para deducir propiedades
acerca de .
Teorema 2. Los números naturales no son acotadas superiormente.
13
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
Demostración. Se probará por contradicción. Supongamos que superiormente, esto implicaría por el axioma del supremo que
es acotada
posee supremo,
el cual llamaremos q. Para este supremo se tendría que,
⟦⟧ ⟦⟧ , donde ⟦⟧ .
Esto es una contradicción con q que es cota superior de .
7.2. Principio Arquimediano
Teorema 3. (Propiedad ( Propiedad Arquimediana) . El conjunto es arquimediano. Es decir, para todo número real
.
, existe un número natural , tal que
Demostración. La prueba lo haremos por contradicción. Es decir, supongamos que no cumple tal propiedad, entonces existiría un real positivo x tal que el conjunto
*+ sería acotado por 1, siendo no vacío,
tendría supremo q. Pero entonces sería una cota superior para los naturales, lo cual contradice el teorema anterior.
} }, } } . Si suponemos que esto no es cierto, es decir que existe tal que . Por la propiedad arquimediana, existe tal que , lo cual equivale a . Que es una contradicción.
Ejemplo 15. Sea el conjunto
Observación: El último teorema puede interpretarse como: sumar una cantidad suficientemente grande de veces x consigo mismo da origen a un real que es mayor que 1, sin importar que tan pequeño sea x. Y además el valor de 1 puede cambiarse por cualquier real positivo.
7.3. Densidad de los racionales Teorema 4. Los racionales son densos en los reales. 14
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
Esto significa que dados dos números reales a y b con número racional r tal tal que
.
, entonces existe un
Demostración. i) Si a y b son racionales raci onales se puede escoger
.
ii) Si algunos de ellos no es racional ocurren dos situaciones:
con b no racional, entonces se puede escoger ⟦⟧. Pues sabemos que ⟦⟧ . Si b es racional, entonces podemos escoger ⟦⟧ , pues en este caso tenemos ⟦⟧ . 2) Si con b no racional, podemos definir , con y ⟦⟧ Se demuestra que r satisface satisface la propiedad estableciendo las siguientes relaciones: ( se obtiene de ); , entonces (b no es racional). 1) Si
Otra aplicación es ocupar el axioma del supremo como constructor de números. Utilizamos los resultados anteriores para definir la raíz cuadrada de un número.
Problema 1. (Raíz cuadrada de un número). Obtener un número
.
tal que
* +. Ya vimos que A es acotado superiormente por , además A es no vacío pues . Por el axioma del supremo tenemos que Sea el conjunto
A posee supremo.
Demostraremos que no puede ocurrir que
, ni tampoco que
: Probemos que si , entonces existe tal que ( )
Parte 1: No puede ocurrir que
En efecto
( ) () 15
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
Si se escoge , tal que
() Se habrá probado la propiedad (). Luego ( ) , lo cual implica que ( ) . Lo cual contradice que p es cota superior, ya que . Por tanto no puede ser que . Parte 2. No puede ocurrir que . Se prueba que existe una cota superior de A menor que p, lo cual nos daría una contradicción pues p no sería la menor cota superior de A. esto se puede hacer realizando un razonamiento similar al anterior llegando a
() y ( ) , lo cual implica que ( )es una cota superior de A menor que p. Finamente podemos concluir concluir que . que
Por lo tanto podemos definir la raíz cuadrada de 2, como
* +. √ Ahora veremos que √ ( ), es decir que √ . Problema 2. √ Demostración. Supongamos que √ , entonces se tendría que √ con y la fracción es irreductible ( a y b no tienen factores enteros comunes). Entonces necesariamente necesariamente a o b es impar, si no tendrían 2 como factor común.
Luego √ equivales a . / (por la definición definici ón de raíz cuadrada). Entonces , lo cual implica que es par, luego a es par.
, entonces , el cual es impar, lo cual no puede ser. Entonces si a es par, lo podemos escribir , con . Luego , entonces y así es par, lo cual no puede ser. Por Por tanto √ . En efecto si a fuese impar
16
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
Axioma del Supremo
Lo anterior permite definir y generalizar la raíz cuadrada de un número real positivo y también la raíz n-ésima de un un número real positivo. positivo.
Definición 4. (Extensiones) (Extensiones) . La raíz cuadrada cuadrada de un número número real positivo a, es
* +. √ Definición 5. La raíz n-ésima de número real positivo es
√ * + Observación:
El axioma del supremo hace la diferencia entre y .
8. Números Irracionales Las siguientes propiedades quedan propuestas propuestas como ejercicios.
Proposición 2
entonces .
Si y b
Proposición 3 Si
, , entonces .
Proposición 4.
entonces . Proposición 5
. Demostración. Se sabe por el teorema ( ) que
, . Con esto definimos,
√ ( ), que por la propiedad anterior pertenece a I (conjunto de los racionales). Observación:
17
es el conjunto de los irracionales
Alberto Gutierrez B.
Departamento de Matemáticas - UNSLG
