Autovalores repetidos y autovalores complejos
Juan Manuel Rivas Castillo Matrices no diagonalizables
Consideremos las siguientes matrices:
Ambas tienes autovalores repetidos iguales a 3, pero existe una diferencia entre la matriz A y la matriz B, pues la matriz A tiene un solo autovector independiente mientras que A tiene dos autovectores independientes. Contemplemos Contemplemos el hecho de que la matriz B es ya diagonal. En resumen, resumen, para la matriz matriz A no puedo formar una matriz de autovecto autovectores res linealmente independientes que permitan diagonalizar la matriz, mientras que para la matriz B tengo un conjunto de vectores en que facilitan la tarea de encontrar vectores linealmente independientes.
Una matriz que tiene autovalores de multiplicidad 1 mayor a 1 pero que tiene autovectores independientes correspondientes a estos autovalores se le llama una matriz no diagonalizable o matriz defectuosa. De esta parte se puede concluir que una matriz es diagonalizable si ya es diagonal.
Recordemos que para llegar a una matriz diagonal realizamos la siguiente transformación , esta transformación permite llegar a una matriz del
tipo
para el caso de la matriz defectuosa se puede diagonalizar esta
cuando se llega a una matriz casi diaoganal, es decir, Consideremos nuevamente la matriz que tiene un solo autovector
cuyos autovalores son 3 y 3 y
para llegar a la forma casi diagonal
empleamos el autovector generalizado, como que .
1
.
, entonces se cumple
La multiplicidad es la geométrica, es decir, la dimensión del espacio de autovectores generado por un autovalor.
La
regla del vector generalizado se cumple por inspección, inspección, es decir, si ya se tiene el primer autovector, el segundo se construye a partir de hacer , tal como sigue:
A partir de este resultado se tiene que
Entonces ahora con estos dos autovectores es posible encontrar una matriz casi diagonal:
=
Trabajemos ahora con una matriz de 3x3
El polinomio característico de esta matriz es r = r 3 - 8r2 + 21r -18, mientras que las raíces de este polinomio son: 3 con multiplicidad doble y 2. El autivector para el autovalor 2 es:
, mientras que para el autovalor 3 es
, para encontrar el tercer autovector empleamos la regla del autovector
generalizado, como sigue:
Mediante inspección tomamos el vector
Entonces:
Resolviendo
ecuaciones en diferencia no diagonalizables
Resolvamos el siguiente sistema:
La
solución del sistema es como sigue:
Sabemos que
+
, entonces:
Autovalores y autovectores complejos Hasta
ahora habíamos trabajado con matrices cuadradas que tenían k reales autovalores. Adicionalmente, habíamos visto que las matrices son diagonalizables si tenía k distintos autovalores, o si cada autovalor de multiplicdiad j tenía j autovectores linealmente independientes. Ahora veamos que pasa cuando los autovalores son números complejos. Como los autovalores son las raíces del polinomio característico, los autovalores complejos ocurren cuando el det(A-rI), tiene raíces complejas. Si vemos una matriz de 2x2 de autovalores complejos, tenemos que tener en cuenta que estos siempre vienen en pares y que son distintos, es decir, no tenemos que preocuparnos por los autovectores generalizados. generalizad os. Una matriz de 3x3 debe tener por lo menos un autovalor real. Es solo con las matrices de 4x4 que sure la posibilidad de repetir autovalores complejos. Veamos el siguiente ejemplo:
El polinomio característico es p(r)= r 2-2r+10
Las
raíces de este polinomio son: 1+3i, 1-3i
Entonces los autovectores surgen de resolver:
Tenemos que
, entonces
y para el autovalor de 1-3i, se
tiene que el autovector asociado es
Entonces la matriz P de autovectores es
, y la matriz diagonal es:
Para resolver la ecuación de diferencia anterior apliquemos el siguiente teroma:
Sea A una matriz de 2x2 con autovalores complejos y su correspondientes autovectores complejos , podemos escribir los autovalores en coordenadas polares como r*(cos U*+ i sin U*), donde:
y
, entonces la solución general de la ecuación en
diferencia diferencia es: es :
U
U
Nota: recordemos que los autovectores eran : descomponen en su parte real e imaginaria como: sistema sería:
, los cuales se
. La solución final del
Procesos
de Markov
Veamos el siguiente ejemplo: Consideremos una población bajo estudio que puede estar empleada o desempleada, consideremos dos periodos de tiempo y supongamos que una persona empleada tiene un 90% de probabilidad de estarlo en un segundo periodo y una persona desempleada tiene un 40% de probabilidad de estar empleada en el siguiente periodo, la dinámica correspondiente es:
Al ser una matriz de Markov uno de sus autovalores es el 1 y el otro autovalores es 0.5, los autovectores respectivos son: 4,1 y 1,-1. Entonces el resultado es:
Entonces la solución de largo plazo del proceso de Markov tiende a
y como
estos resultados deben ser probabilidades las que deben sumar uno, supongamos que es el reciproco de la suma de los autovectores se tiene el siguiente resultado
Esta es la solución de largo plazo en la cual se tiende a un 20% de desempleo y un 80% de empleo. Veamos el siguiente ejemplo: Supongamos que las familias americanas son clasificadas en urbanas, suburbanas y rurales. Cada año el 20% de las familias urbanas se mudan a los suburbios y el 5% se mudan a áreas rurales, el 2% de las familias que viven en áreas suburbanas se mudan a áreas urbanas y el 8% a áreas rurales; el 10% de las familias rurales se mudan a áreas urbanas y el 20% a áreas suburbanas. Los datos de este problema conducen al siguiente sistema de Markov:
Los
autovalores de esta matriz son: 1, 0.7 y 0.65, tomamos los autovalores y presentamos la solución general del sistema:
Esta es la solución general del sistema, pues los otros autovalores al ser menor a 1 cuando n tienda a infinito se vuelven cero, si normalizamos el vector a partir de asumir que es la reciproca de los componentes tendremos la siguiente conclusión:
En el largo plazo el 13% de la población vivirá en zonas urbanas y el 67% en zonas suburbanas y el 20% restante en zonas rurales.
Matrices simétricas Las
matrices simétricas se emplean de manera intensa en el análisis económico y lo importante de estas matrices es que mantienen propiedades que son deseables, como que solo tienen autovalores que son reales y que siempre cuentan con autovectores independientes que permiten la diagonalización de la matriz y que son ortogonales entre sí.
Finalmente, empleando los autovalores también es posible definir matrices: A es positiva definida si y solo si todos los autovalores de A son >0 A es positiva semidefinida si y solo si todos los autovalores de A son >=0 A es negativa definida si y solo si todos los autovalores de A son <0 A es negativa semidefinida si y solo si todos los autovalores de A son <=0 A es indefinida si y solo si los autovalores de A son positivos y negativos
