Pr of. M ilton ilton Dias D ias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas
Exercício Resolvido 11.1: O sistema da Figura 1 consiste de uma massa m fixa na extremidade A extremidade A do do quadro AOB, AOB, sem massa. O quadro é pivotado em O e excitado pelo movimento harmônico imposto à extremidade C da mola fixa em B. B. Utilizando o deslocamento angular da haste, (t ), ), como coordenada, determine as expressões da frequência natural e da razão de amortecimento do sistema.
A m
yC (t )= A )= A0cos( cos(w t t )
C
a q
c
k b
O
B Figura 1. Solução: A Figura 2 ilustra o DCL do sistema. Para traçar este diagrama foi considerado que yC > bsenq senq . Derivando-se o deslocamento imposto yC obtém-se, facilmente, a velocidade do ponto C. A força F k B do quadro AOB, AOB, k, aplicada no ponto B do neste caso, vale:
A m
yC
C
(a)
g q a
k F k k B bsenq senq
b q bcosq cosq
O y O x O
Figura 11.2 – DCL. DCL.
Equação de movimento:
(b)
Rearranjando a eq.(b) obtém-se:
(c)
Considerando pequenos deslocamentos angulares e agrupando os termos da eq.(c), obtém-se que:
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(d)
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Lembrando que o momento de inércia da massa m em relação a O vale I O = ma2 e substituindo a expressão do deslocamento imposto yC e de sua derivada na eq.(d), obtém a seguinte equação de movimento:
(e)
A equação homogênea associada tem a forma:
Ou
(f)
sendo
(g)
Há duas formas de se obter a frequência natural e o fator de amortecimento do sistema. A primeira – muito mais trabalhosa – consiste em montar o polinômio característico que tem a seguinte forma genérica: (h)
Resolvendo o polinômio da eq.(h), obtêm-se duas raízes (autovalores) que, para o caso de sistemas subamortecidos, aparecem em pares complexo conjugado do tipo: (i)
Através da comparação das raízes do polinômio dado pela eq.(h) com a forma geral dos autovalores descritos pela eq.(i), obtêm-se os dois parâmetros modais solicitados do sistema, que são: frequência natural ( ) e fator de amortecimento ( ). A segunda forma de se obter estes parâmetros é escrever a equação de movimento na forma modal, isto é, em função dos parâmetros modais. Nesta forma, a equação de movimento torna-se: (j)
Note que para escrever a equação de movimento na forma modal basta fazer o termo que multiplica a aceleração (angular, neste caso) igual à unidade. Assim, dividindo-se ambos os lados da eq.(g) por meq tem-se que: (k)
Comparando as eqs.(j) e (k) e substituindo os valores de massa, amortecimento e rigidez equivalentes obtém-se que a frequência natural vale:
e que o fator de amortecimento pode ser escrito na forma:
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Exercício Proposto 11.1: Uma partícula de massa m p = 50g deve ser fixada ao longo do comprimento de um corpo delgado com um comprimento de l = 25cm, massa m = 200g, e momento de inércia em relação ao seu centro de gravidade de I G = 9.10-3 kg m2. O conjunto é suspenso a partir de um pino de suporte ligado a uma extremidade do corpo. O centro de gravidade do corpo está localizado a uma distância a = 15 cm a partir do pino de suporte. O conjunto deve ser ajustado de tal modo que o mesmo tenha um período de oscilação de 1,25s. Determinar a posição ao longo do corpo onde a partícula deve ser colocada. Resposta:
Para ajustar o período de oscilação do sistema em 1,25s, a partícula pode ser colocada a 16,9cm ou 21,9cm a partir do pino de suporte.
Exercício Proposto 11.2: O sistema ilustrado na Figura 1 é composto de uma barra homogênea – pivotada em O, de comprimento l e massa m2 – e de uma massa concentrada m1 posicionada na extremidade superior da barra. Duas molas e um amortecedor são fixados à barra, as primeiras posicionadas a uma distância a e o último, a uma distância b, ambos medidos a partir do ponto O. Considerando que o sistema tem sua posição de equilíbrio estático quando a barra está na posição vertical, obtenha os parâmetros modais do sistema.
A
m1
q l,m2
k 1
k 2 c3
a
b
O Figura 1 Respostas:
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Exercício Proposto 11.3: Obtenha as expressões da frequência natural e do fator de amortecimento do sistema ilustrado na Figura 1. A equação de movimento deve ser obtida utilizando o deslocamento vertical, y(t ), da massa m2 como coordenada. O sistema encontra-se na posição de equilíbrio estático. Desprezar o atrito entre o corpo m1 e a superfície horizontal.
k
F (t ) m1
I O r 1 O r 2
m 2
y (t ) c
Figura 1 Respostas:
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