CFO / Matemática - Complemento Razões e Proporções W INTRODUÇÃO
a Quando escrevemos dois números na forma de , com b b ≠ 0 ; dizemos que temos uma razão entre eles. 3 Ao escrever estamos escrevendo a razão entre 3 e 2, 2 onde a parte de cima é chamada de antecedente e a de baixo de conseqüente. 2 4 6 8 , , e são chamadas de razões equi5 0 5 20 2 valentes porque representam o mesmo valor e é chamada de 5 forma irredutível porque é a forma mais simplificada possível de se escrever essa razão. As razões
À igualdade de duas razões equivalentes damos o nome de proporção. 2 4 Quando escrevemos estamos escrevendo uma = 5 0 proporção que lê-se: 2 está para 5 assim como 4 está para 10. O primeiro e o último termos são chamados de extremos da proporção (2 e 10 são os extremos). O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da proporção (5 e 4 são os meios). Ao último termo de uma proporção chamamos de quarta proporcional (no exemplo anterior 10 é a quarta proporcional) Quando o segundo e o terceiro termos são iguais chamamos de proporção contínua. 2 4 = é uma proporção contínua, e nesse caso o último 4 8 termo (8) é chamado de terceira proporcional.
W Propriedades das proporções 1. Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto 2 4 ⇔ 2 × 0 = 4 × 5 dos extremos: = 5 0 2. Uma proporção não se altera ao alternarmos os seus meios, ou os seus extremos: 2 4 2 5 0 4 5 0 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 5 0 4 0 5 2 2 4 Nesse caso, toda vez que trocarmos os termos teremos uma nova proporção. 3. Numa proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente: 2 4 2+4 6 2 4 4−2 2 = = = = = = e 5 0 5 + 0 5 5 0 0 − 5 5 Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um número proporcional às razões dadas. Chamamos de “Sequências Diretamente Proporcionais” àquelas sequências numéricas nas quais a razão formada pelos seus termos correspondentes é sempre constante.
e
Errata
Ex: as sequências {3, 6, 9, 12, 15} e {2, 4 , 6 , 8, 10} são diretamente proporcionais, porque quando escritas na forma de razão teremos sempre valores proporcionais 3 6 9 2 5 = = = = = constante 2 4 6 8 0 “Sequências Inversamente Proporcionais” são aquelas na qual o produto formado pelos termos correspondentes é constante. Ex: as seqüências {1, 2, 3, 5, 6} e {60, 30, 20, 12, 10} são inversamente proporcionais porque o produto formado pelos seus termos correspondentes é sempre o mesmo. Ou seja: 1×60 = 2×30 = 3×20 = 5×12 = 6 ×10 = constante
W Divisão em Partes Diretamente Proporcionais Ex: dividir o nº 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 360: A + B + C = 360 Representando essas divisões na forma de proporções: A B C = = 2 3 5 Usando a propriedade 3: A B C A + B + C 360 = = = = = 36 2 3 5 2+3+5 0 Ao resultado dessa divisão chamamos de constante de proporcionalidade. Para determinar os valores de A , B e C , vamos igualar cada um deles com a constante de proporcionalidade: A B = 36 ⇒ A = 36 × 2 = 72; = 36 ⇒ B = 36 × 3 = 08 ; 2 3 C = 36 ⇒ C = 36 × 5 = 80 5
W Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Ex: dividir o número 496 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 496: A B C = = 2 3 5 Usando a propriedade 3 após tirar o MMC. A B C A B C = = ⇒ = = ⇒ 5 0 6 2 3 5 30 30 30 A B C A + B + C 496 = = = = = 6 5 0 6 5 + 0 + 6 3
Igualando a constante com os valores obtidos depois do mmc, temos: A = 6 ⇒ A = 5 × 6 = 240 5 B = 6 ⇒ B = 0 × 6 = 60 0 C = 6 ⇒ C = 6 × 6 = 96 6
W Exercícios resolvidos 01) (Fundep/Aux. Adm./Fhemig/2002) Uma prova de matemática, a razão de número de questões que Talita acertou para o número total de questões foi de 5 para 7. Quantas questões Talita acertou sabendo-se que a prova era composta de 35 questões? a) 21 questões c) 25 questões b) 24 questões d) 28 questões
Resolução Vamos chamar de C as questões que ela acertou e de T ao total de questões, daí podemos fazer: C 5 = → veja que ao construir uma proporção deveT 7 mos conservar a ordem na qual os dados do problema foram fornecidos. Mas o número total de questões da prova é de 35. Substituir T por 35: C 5 C 5 35 × 5 = ⇒ = ⇒C= = 25 T 7 35 7 7 Alternativa C 02) (Vunesp/Escrit./Pref. Louveira/2007) No 1º semestre houve 3 avaliações de matemática, cada uma delas com quantidade diferente de questões. A tabela mostra a quantidade de questões que 3 determinados alunos acertaram em cada prova. Os valores são tais que os números de acertos foram proporcionais aos números de questões por prova. O número de questões que Luana acertou na 3ª prova foi Nº de questões por prova 40 8 16
Aluno Meire Fran Luana a) 8.
b) 9.
c) 10.
Nº de questões acertadas 25 5 x d) 11.
e) 12.
03) (Cesgranrio/Assistente/EPE/2007) Gabriel fez refresco misturando 100 ml de suco concentrado e 500 ml de água. Como o refresco ficou aguado, sua mãe resolveu acrescentar mais suco concentrado à mistura, até que a quantidade de suco correspondesse a 1/5 da quantidade de refresco. A mãe de Gabriel precisou acrescentar uma quantidade de suco: a) menor do que 20 ml. b) entre 20 ml e 30 ml. d) entre 40 ml e 50 ml. c) entre 30 ml e 40 ml. e) maior do que 50 ml.
Resolução No início temos 100 ml de suco e 500 ml de água, ou seja, temos 600 ml de refresco. Vamos indicar a quantidade de suco que a mãe acrescentou de x. Depois de adicionar x ml de suco, a razão entre o suco e o refresco passou a ser 1/5: 00 + x → veja que ao se aumentar a quantidade de = 600 + x 5 suco, a quantidade de refresco também aumenta. Vamos fazer os cálculos: 00 + x = ⇒ 5 × (00 + x ) = 600 + x ⇒ 600 + x 5 500 + 5x = 600 + x ⇒ 5x − x = 600 − 500 ⇒ 4 x = 00 ⇒ x =
00 ⇒ x = 25 ml 4 Alternativa B
“O euro, moeda oficial da União Européia, que existe como moeda e cédula desde 1º/1/2002, é adotado hoje, por 13 dos 27 Estados-membros. O último Estado-membro a adotar o euro foi a Eslovênia, em 1º/1/2007, que estabeleceu a conversão de 239,64 tolares - o tolar era a moeda até então oficial da Eslovênia - para cada euro” Tendo o texto por referência, julgue o item a seguir: 04) ( ) (UnB/Escrit./BB/2007 -Alterada) Considere que o alfa fosse a moeda oficial de um dos 13 Estados-membros que adotaram o Euro como moeda oficial. Considere, ainda, que 6 tolares equivaliam a 11 alfas no dia 1/1/2007. Nessa situação, nesse mesmo dia, um euro equivalia a mais de 450 alfas.
Resolução A proporção entre tolar e euro é a seguinte: t 239, 64 = e Vamos isolar t: t =
Resolução Como os valores são proporcionais aos números de ques25 5 x = = tões da prova, podemos escrever que: 40 8 6 Nesse caso, para encontrar o valor de x, basta igualar duas des5 x 80 ⇒ 8x = 6 × 5 ⇒ 8x = 80 ⇒ x = = 0 sas razões: = 8 6 8 Alternativa C
239, 64 × e
t 6 A proporção entre tolar e alfa é a seguinte: = a 6a Vamos isolar t: t = 6a 239, 64 × e e t= são iguais a t, podemos igualar as duas entre si para poder achar a relação entre euro e alfa: Como as expressões t =
239, 64 × e 6 × a e 6 e 6 = ⇒ = ⇒ = a x 239, 64 a 2.636, 04 Dividindo a segunda razão por 6, temos: e = a 439, 34
Vamos chamar a idade atual de Maria de M, sua idade há 10 anos de M – 10 e sua idade daqui a 2 anos de M + 2. Usaremos uma simbologia semelhante para Rita: R, R – 10 e R + 2.
Ou seja, cada euro corresponde a 439,34 alfas. Resposta: Errado 05) (F. C. Chagas/Téc./ TRT/2003) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é a) 4 meses b) 4 meses e meio d) 5 meses e meio c) 5 meses e) 6 meses
Resolução
Vamos chamar a carência de C, a franquia de F e a idade do segurado de I. De acordo com o problema teremos: C → C é inversamente proporcional a F e diretamente proporcional a I. ×I F Igualar esses valores a uma constante de proporcionalidade que chamaremos de K. C =K ×I F Pelo enunciado sabemos que quando um segurado tem 20 anos e franquia de R$ 1.000,00, sua carência é de dois meses. Substituindo esses valores na proporção acima para encontrar o valor da constante: C 2 2 .000 2.000 K= = = = 2× = = 00 20 20 20 ×I × 20 F .000 .000 Agora vamos igualar a constante com a segunda situação onde temos um segurado de 60 anos e uma franquia de R$ 1.500,00: C C C =K⇒ = 00 ⇒ = 00 ⇒ 60 ×I × 60 F .500 .500 C=
Resolução
60 6.000 × 00 = = 4 meses .500 .500 Alternativa A
06) (Cesgranrio/Assistente/Pref. Manaus/2004) Há dez 4 anos, a razão entre as idades de Maria e Rita era . Daqui 3 a dois anos, será 0 . O número de anos correspondente à 9 soma das duas idades é: a) 26 b) 28 c) 34 d) 36 e) 38
Há 10 anos:
M − 0 4 = R − 0 3
Daqui há 2 anos:
M + 2 0 = R+2 9
Vamos multiplicar cruzado e construir duas equações: M − 0 4 = ⇒ 3M − 30 = 4R − 40 ⇒ R − 0 3 3M − 4R = −40 + 30 ⇒ 3M − 4R = −0 M + 2 0 = ⇒ 9M + 8 = 0R + 20 ⇒ R+2 9 9M − 0R = 20 − 8 ⇒ 9M − 0R = 2 Temos então o seguinte sistema de equações: 3M − 4R = −0 9M − 0R = 2 Multiplicar a1ª equação por (– 3) −9M + 2R = 30 9M − 0R = 2 Somando as duas equações, temos: 32 2R = 32 ⇒ R = ⇒ R = 6 2 Substituir o resultado encontrado na primeira equação: 3M − 4R = −0 ⇒ 3M − 4.6 = −0 ⇒ 54 = 8 3 A questão pede a soma das duas idades: 16 + 18 = 34 anos. 3M − 64 = −0 ⇒ 3M = 64 − 0 ⇒ M =
Alternativa C 07) (Fumarc/IPREM/2007) Na compra de um apartamento em sociedade, Letícia investiu R$ 48.000,00 e Gustavo, R$ 42.000,00. Depois de um certo tempo, venderam o imóvel por R$ 120.000,00. Então, a quantia que Gustavo recebeu após a venda foi de: a) R$ 64.000,00. c) R$ 56.000,00. b) R$ 58.000,00. d) R$ 52.000,00.
Resolução Nesse caso temos uma divisão em partes diretamente proporcionais porque quem investiu mais vai receber mais na hora da venda do apartamento. A soma das partes que os dois vão receber é igual ao valor total, daí podemos escrever: L + G = 120.000 Cada parte é proporcional ao valor investido: L G = 48.000 42.000
Sabemos que se somarmos antecedentes e conseqüentes ao mesmo tempo, o resultado será proporcional aos valores iniciais: L G L+G 20.000 2 4 = = = = = 48.000 42.000 48.000 + 42.000 90.000 9 3
Tirar o mmc dos denominadores e depois cancelá-los C J C J C J C + J 60 = = = = = = = = 32 2 3 2 3 2+3 5 3 2 6 6
Como queremos saber quanto Gustavo recebeu, faremos a igualdade: G 4 42.000 × 4 68.000 = ⇒G= = = 56.000 42.000 3 3 3
Para encontrar o valor recebido por Joana, igualar o valor correspondente a ela com a constante.
Alternativa C 08) (Fumarc/BHTRANS/2007) A soma de dois números naturais é 162. O maior está para 13 assim como o menor está para 5. Nessas condições, é incorreto afirmar que: a) o maior número é um número primo. b) a diferença entre os números é 72. c) os dois números são múltiplos de 3. d) o menor número é um múltiplo de 5.
Alternativa D
Resolução Vamos chamar esses números de A e B, e como a soma é 162, temos que: A + B = 162. Supondo que o maior deles seja A, daí podemos construir a proporção: A B = 3 5
J = 32 ⇒ J = 3 × 32 = 96 3
10) (Cesgranrio/Assistente/EPE/2007) Considere um segmento AB com 2 metros de comprimento. Deseja-se colocar um ponto C sobre esse segmento, em uma posição entre A e B, de tal forma que AB = AC Nessas condiAC BC ções, AC mede, em metros: a) ( 5 – 1)/2 b) ( 5 + 1)/2
d) 5 – 1
c) 2 5 – 2
e) 5 – 2
Resolução Temos a seguinte situação: A
Usando a propriedade 3:
Como estamos procurando o valor de AC, vamos chamá-lo de x. Com isso poderemos chamar BC de 2 – x
Igualando as duas razões à constante:
A
A = 9 ⇒ A = 3 × 9 = 7 3
C
x
2–x
B
2
B = 9 ⇒ B = 5 × 9 = 45 5
Então a proporção
Verificando as alternativas do exercício observamos que a diferença entre eles é 117 – 45 = 72 Alternativa B 09) (NCE/Adm./Infraero/2004) Flora tem uma pequena loja de produtos naturais e duas funcionárias, Joana e Carolina. No mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de R$ 160,00 entre as duas funcionárias, de forma que cada uma receberia um valor inversamente proporcional ao número de faltas naquele mês. Carolina faltou 3 vezes e Joana faltou 2. A quantia recebida por Joana, em reais, é igual a: a) 55 b) 64 d) 96 c) 80 e) 108
Resolução Fazer uma divisão em partes inversamente, sabendo que a soma das partes é igual a 160:
Como a divisão é inversamente proporcional:
B
2
A B A + B 62 = = = =9 3 5 3 + 5 8
C + J = 160
C
C J = 3 2
guinte forma:
AB AC = poderá ser escrita da seAC BC
2 x = x 2−x
Vamos multiplicar cruzado 2 x = ⇒ x 2 = 2 × (2 − x ) ⇒ x 2−x x 2 = 4 − 2 x ⇒ x 2 + 2 x − 4 = 0 ⇒ que é uma equação do segundo grau. ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 × × (−4) = 4 + 6 = 20 x=
−b ± ∆ −2 ± 20 −2 ± 22.5 = = = 2a 2 × 2
−2 ± 2 5 2 × (− ± 5 ) = = − ± 5 2 2 Como um segmento nunca é negativo, somente a raiz positiva será solução do problema: x = − + 5 = 5 − Alternativa D
Regra de Três
0 2.000 5 0 30.000 = × ⇒ = ⇒ x 3.000 20 x 60.000
W IntroduÇÃO Regra de três é um método para solucionar problemas que contém grandezas, sendo uma grandeza algo que pode ser medido, como, por exemplo, distância, tempo, número de pessoas etc. Quando o problema possui somente duas grandezas, dizemos que é uma regra de três simples e quando tiver três ou mais grandezas é uma regra de três composta. A primeira coisa que devemos fazer para resolver um problema de regra de três é verificar se as grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
W Grandezas diretamente proporcionais São aquelas que se comportam de maneiras iguais (à medida que uma grandeza aumenta a outra também aumenta).
W Grandezas inversamente proporcionais São aquelas que se comportam de maneiras inversas (à medida que uma grandeza aumenta a outra diminui). Ex: vinte funcionários de uma indústria produzem 2.000 peças em 10 dias de trabalho. Em quantos dias 15 funcionários com a mesma eficiência deverão produzir 3.000 peças do mesmo produto? Nesse caso temos uma regra de três composta, porque há três grandezas; número de peças, dias e número de funcionários. Inicialmente vamos colocar as grandezas uma sobre a outra representando as duas situações do problema, chamando a incógnita de x. Funcionários 20 15
Peças 2.000 3.000
dias 10 x
Para verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, escolher uma grandeza para servir de referência. Para ficar mais fácil, essa grandeza sempre será aquela que estamos procurando - nesse exemplo será o número de dias. Comparar essa grandeza com as outras, mas uma de cada vez, e quando estivermos comparando duas grandezas não vamos nos preocupar com a terceira grandeza. Comparar número de dias com quantidade de peças produzidas. Essas duas grandezas são diretamente proporcionais porque para se produzir mais peças são necessários mais dias (uma grandeza aumenta a outra também aumenta). Comparar agora o número de dias com a quantidade de funcionários. Essas grandezas são inversamente proporcionais porque quanto mais funcionários estiverem trabalhando gastarão menos dias para fazer um trabalho (quando uma grandeza aumenta a outra diminui). Construir uma proporção entre as grandezas colocando sempre a grandeza onde estiver a incógnita X de um lado e o produto das outras grandezas do outro lado. obs: Quando as grandezas forem inversamente proporcionais devemos invertê-las.
0 2.000 5 = × x 3.000 20
Observando a proporção ao lado vemos que o número de funcionários está invertida em relação à situação original.
0 3 60 = ⇒ 3x = 60 ⇒ x = = 20 dias x 6 3
W Exercícios Resolvidos 01) (UnB/Prof./SEED/PR/2003) Os 33 alunos formandos de uma escola estão organizando a sua festa de formatura e 9 desses estudantes ficaram encarregados de preparar os convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas e produziu 2.343 convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam igualmente eficientes, se todos os 33 formandos tivessem trabalhado na produção desses convites, o número de convites que teriam produzido nas mesmas 4 horas seria igual a a) 7.987. b) 8.591. d) 9.328. c) 8.737. e) 8.926.
Resolução Dados do exercício: Alunos Convites 9 2.343 33 x Veja que a quantidade de horas não está sendo colocada no problema porque ela não se altera. Essas grandezas são diretamente proporcionais porque quanto maior for o número de pessoas trabalhando maior será a quantidade de convites produzidos (uma grandeza aumenta então a outra também irá aumentar). Temos a seguinte proporção: 2.343 9 = ⇒ 9 x = 33 × 2.343 ⇒ x 33 x=
33 × 2.343 × 2.343 = = × 78 = 8.59 convites 9 3 Alternativa B
02) (FUNDEP/Téc./ALMG/2008) João e Antonio têm seus passos aferidos.O passo de Antônio mede 0,90 m e o de João, 1,10 m. Para ir de A até B, um deu 60 passos a mais que o outro. Nessas condições, é correto afirmar que a distância de A até B a) é menor que 260 m b) está entre 260 m e 280 m c) está entre 280 m e 300 m d) é maior que 300 m
Resolução Para resolver esse problema vamos indicar por x o número de passos que João deu e por x + 60 o número de passos que Antônio deu (como o passo de Antônio é menor, ele tem que dar mais passos). Temos: Tamanho 0,90 1,10
passos x + 60 x
Nesse caso as grandezas são inversamente proporcionais, porque quanto maior for o tamanho do passo, menos passos ele tem que dar para chegar a seu destino. Vamos inverter uma das grandezas: 0, 90 x = ⇒ ,0 x = 0, 90 × ( x + 60) ⇒ ,0 x + 60 ,0 x = 0, 90 x + 54 ⇒ ,0 x − 0, 90 x = 54 ⇒ 0, 20 x = 54 ⇒ x =
04) (Cesgranrio/Téc./BNDES/2004) O estoque de pó de café em um escritório é suficiente para seus 16 funcionários durante 62 dias. Depois de 12 dias, passam a trabalhar no escritório mais 4 funcionários. Passados mais 15 dias, 10 funcionários são transferidos para outro escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó de café? a) 23 b) 25 c) 30 d) 35 e) 50
Resolução
54 = 270 passos 0, 20
Acabamos de determinar a quantidade de passos que João deu, mas temos que determinar a distância percorrida por ele. Para isso, basta multiplicar o número de passos pelo tamanho de cada passo: 270 × 1,10 = 297 metros Alternativa C 03) (CFO/2004) Um cadete do CFO gasta 1h15min para dar 10 voltas na PAM (Pista de Aplicação Militar), com velocidade de 20 km/h. Reduzindo sua velocidade para 18 km/h para fazer o mesmo percurso, ele gastará a mais, o tempo de: a) 8min20s c) 10min b) 9min30s d) 12min15s
Resolução Construir a primeira situação do problema: Tempo (min) voltas velocidade 75 10 20
Situação inicial: Funcionários 16
Como se passaram 12 dias, a quantidade de café irá durar para 62 – 12 = 50 dias com a quantidade inicial de funcionários. Como o número de funcionários aumentou em mais quatro, temos na segunda situação 20 funcionários: Funcionários 16 20
voltas 10 10
velocidade 20 18
Como o nº de voltas é igual, estas não entrarão na resolução do exercício.
dias 50 x
Essas grandezas são inversamente proporcionais porque quanto mais funcionários houver, menos dias o café irá durar (uma grandeza aumenta e a outra diminui). Vamos inverter uma das grandezas: 50 20 800 = ⇒ 20 x = 800 ⇒ x = = 40 dias x 6 20
Veja que passamos o tempo para minutos para facilitar o cálculo. Segunda situação: Tempo (min) 75 x
dias 50
Então agora, o café irá durar mais 40 dias. Mas vão se passar mais 15 dias - o café irá durar por mais 40 – 15 = 25 dias, quando o número de funcionários irá diminuir de 10, daí teremos: Funcionários 20 10
As grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais porque à medida que a velocidade vai diminuindo o tempo que ele gastará para percorrer o mesmo percurso irá aumentar - temos que inverter uma das grandezas:
dias 25 x
As grandezas são inversamente proporcionais: 25 0 500 = ⇒ 0 x = 500 ⇒ x = = 50 dias x 20 0
75 8 .500 = ⇒ 8x = .500 ⇒ x = x 20 8
Alternativa E
Mas essa divisão não é exata. 1500 ÷ 18 = 83 e dá resto 6. Como dividimos por 18, podemos dizer que o resto é igual 6 a = de minutos, e para transformar em segundos, basta 8 3 multiplicar esse valor por 60:
05) (NCE/ANA/2002) Suponha que A, B, C, D sejam engrenagens acopladas, com 5, 30, 6 e 10 dentes, respectivamente. A
60 × 60 = = 20segundos 3 3
B
Ele irá gastar 83 minutos e 20 segundos. Mas a pergunta é quanto ele gastará a mais de tempo, deve-se diminuir o valor inicial ao resultado obtido: 83 min 20 seg – 75 min = 8 min 20 seg Alternativa A
C D
Se A faz 12 voltas por minuto, então o número de voltas por minuto para D é: a) 3 b) 4 c) 6
d) 12 e) 24
Resolução O número de voltas que uma engrenagem dá e o número de dentes que ela possui são grandezas inversamente proporcionas, porque quando estiverem acopladas cada volta que a engrenagem grande der vai fazer com que a engrenagem pequena dê um número maior de voltas. Relacionar as engrenagens duas a duas: Engrenagem A com a engrenagem B Dentes 5 30
Vamos multiplicar cruzado: 50 5 20 x = 50 ⇒ x = = da apostila. 20 2 7 5 . Com isso ficaram faltando da 2 2 apostila, que será feito por Ana, cuja capacidade de produção é de uma apostila em 3 horas (180 minutos). Então Paula digitou
Tempo 180
voltas 12 x
Como as grandezas são inversamente proporcionais, vamos inverter uma das grandezas: 2 30 60 = ⇒ 30 x = 60 ⇒ x = = 2 voltas x 5 30 Ou seja, enquanto a engrenagem A dá 5 voltas, a engrenagem B irá dar 2 voltas. Engrenagem B com engrenagem C: Dentes voltas 30 2 6 x As grandezas são as mesmas e continuam sendo inversamente proporcionais, daí temos: 2 6 60 = ⇒ 6 x = 60⇒ x = =0 voltas x 30 6
apostila 1 7 x 2 As grandezas continuam sendo diretamente proporcionais, porque são as mesmas da situação anterior. x=
7 × 80 , simplificando 180 e 12 por 12 obtemos; 2
x = 7 × 15 = 105 minutos Alternativa D 07) (Fumarc/BHTRANS/2007) Uma máquina funcionando 6 horas por dia conclui um trabalho de perfuração fazendo 60 furos por minuto durante 10 dias. Se essa máquina for programada para fazer 50 furos por minuto trabalhando 4 horas por dia, a tarefa de perfuração será concluída em: a) 12 dias. c) 18 dias. b) 14 dias. d) 20 dias
A engrenagem C irá dar 10 voltas.
Resolução
Engrenagem C com engrenagem D: Dentes voltas 6 10 10 x
Vamos representar o problema: Horas/dia 6 4
As grandezas também são inversamente proporcionais, daí temos: 0 0 60 = ⇒0 x = 60⇒ x = = 6 voltas x 6 6 Alternativa C 06) (CTSP/2006) Paula digita uma apostila em 2 horas, enquanto Ana o faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando nos primeiros 50 minutos; o tempo necessário para Ana terminar a digitação da apostila é: a) 120 minutos c) 95 minutos b) 90 minutos d) 105 minutos
Resolução Como elas trabalharam separadamente, deve-se primeiro determinar quanto do trabalho foi feito por Paula. Para fazer o cálculo, vamos trabalhar em minutos, usamos 120 minutos para indicar o tempo que Paula demoraria para fazer uma apostila: Tempo apostila 120 1 50 x Essas grandezas são diretamente proporcionais porque quanto menor for o tempo que ela digitar, menor será o número de páginas digitadas (quando uma grandeza diminui a outra também diminui).
furos/min dias 60 10 50 x
As grandezas horas/dia e dias são inversamente proporcionais porque quanto menos horas por dia a máquina trabalhar, mais dias irá gastar para fazer o serviço. As grandezas furos/min e dias também são inversamente proporcionais porque quanto menos furos a máquina fizer por minuto mais dias ela irá demorar. As grandezas horas/dia e furos/min devem ser invertidas 0 4 50 0 200 = × ⇒ = ⇒ 200 x = 3600 ⇒ x 6 60 x 360 x=
3600 = 8 dias 200 Alternativa C
08) (VUNESP/Escrevente/TJ/SP/2007) Numa editora, 8 digitadores, trabalhando 6 horas por dia, digitaram 3/5 de um determinado livro em 15 dias. Então, 2 desses digitadores foram deslocados para um outro serviço, e os restantes passaram a trabalhar apenas 5 horas por dia na digitação desse livro. Mantendo-se a mesma produtividade, para completar a digitação do referido livro, após o deslocamento dos 2 digitadores, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda a) 18 dias. b) 16 dias. d) 14 dias c) 15 dias. e) 12 dias.
Resolução
Vamos inverter somente a grandeza “máquinas”
Na primeira situação temos: Digitadores horas/dia livro 8 6 3/5
dias 15
Na segunda situação teremos 2 digitadores a menos, ou seja, 6 digitadores e, para terminar o livro, ainda faltarão 2/5 do mesmo para fazer. A nossa montagem fica: Digitadores horas/dia livro 8 6 3/5 6 5 2/5
dias 15 x
Veja que pelo fato dos denominadores serem iguais não será necessário usá-los na hora dos cálculos. Simplificar o 6 do numerador com o 6 do denominador: 5 5 3 5 5 = × × ⇒ = ⇒ x = 6 dias (como os nux 8 2 x 6 meradores são iguais, podemos simplificá-los) Alternativa B 09) (F. C. Chagas/TRF/ES/2007) Em uma gráfica, foram impressos 1.200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5.000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas, a) 10 minutos e 40 segundos b) 24 minutos e 20 segundos c) 37 minutos e 30 segundos d) 42 minutos e 20 segundos e) 58 minutos e 30 segundos
Resolução Representando o problema:
2.400 x = 9.000 × 5.000 ⇒ x=
9.000 × 5.000 =56.250 segundos 2.400
Dividindo por 3.600:
As grandezas digitadores e dias são inversamente proporcionais porque quanto menos digitadores estiverem trabalhando, mais dias eles gastarão. As grandezas horas por dia e dias também são inversamente proporcionais porque quanto menos horas eles trabalharem por dia, mais dias irão gastar. A grandeza livro (quantidade digitada) e dias são diretamente proporcionais porque quanto menos trabalho eles tiverem, menos dias vão gastar. As grandezas digitadores e horas por dia devem ser invertidas: 5 6 5 3 = × × x 8 6 2
Panfletos 1.200 5.000
9.000 .200 2 = × ⇒ 9.000 = 2.400 ⇒ x 5.000 3 x 5.000
máquinas tempo ( segundos ) 3 9.000 2 x
Para passar de horas para segundos, basta multiplicar por 3.600 (2,5 × 3.600 = 9.000 seg). As grandezas panfletos e tempo são diretamente proporcionais porque, quanto mais panfletos tiverem que ser impressos, mais tempo vai demorar a impressão. As grandezas máquinas e tempo são inversamente proporcionais porque, quanto mais máquinas estiverem trabalhando, menos tempo elas gastarão para fazer a impressão.
56.250 : 3.600 = 15 horas e sobram 2.250 segundos. Dividindo o resto por 60: 2.250 : 60 = 37 minutos e sobram 30 segundos. Elas irão demorar 15 horas 37 minutos e 30 segundos Alternativa C 10) (F. C. Chagas/Téc./TRT/2003) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm todas a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em a) 7 horas e 15 minutos b) 7 horas e 30 minutos d) 8 horas e 20 minutos c) 7 horas e 45 minutos e) 8 horas e 40 minutos
Resolução Para indicar a eficiência das 18 primeiras máquinas, vamos usar 100%. A partir daí, podemos dizer que as outras 16 máquinas têm uma eficiência de 150% (50% a mais). Então temos: Máquinas 18 16
eficiência 100 150
horas 10 x
Vamos analisar as grandezas: As grandezas quantidades de máquinas e quantidade de horas são inversamente proporcionais, porque quanto mais máquinas estiveram trabalhando, menos tempo elas gastarão para fazer um serviço. As grandezas eficiência e tempo são inversamente proporcionais porque quanto maior a eficiência de uma máquina menos tempo ela irá gastar para fazer um determinado serviço. 0 6 50 = × ⇒ como as grandezas são inversamente prox 8 00 porcionais invertemos as duas na hora de resolver o problema. 0 6 50 0 8 3 = × ⇒ = × ⇒ x 8 00 x 9 2 0 24 = ⇒ 24 x = 80 ⇒ x 8 80 Para aaparte decimal do número em minutos x = transformar = 7, 5 hora s 24 basta multiplicá-lo por 60. 0,5 × 60 = 30 minutos. A resposta é 7 horas e 30 minutos. Alternativa B
Resolução
Porcentagem O que significa um por cento? Um por cento representa uma parte em cem partes, ou seja quando dizemos um por cento (1%) de duzentos significa que devemos pegar o número duzentos e dividi-lo por cem. O resultado representa 1% de duzentos (200:100=2), então 2 é 1% de duzentos. No caso de 2%, deve-se pegar duas partes, ou seja, 2% de 200 é 4. Para o cálculo de porcentagem pode-se fazer três tipos de conta:
W Usando fração Para isso deve-se escrever uma porcentagem na forma de fração: 20 2 1% = ; 12% = ; 120% = . 00 00 00 Calcular 24% de 420: 24 24 × 420 0.080 × 420 = = = 00, 80 00 00 00
W Usando regra de três A maneira mais usada para o cálculo de porcentagem é através de uma regra de três. Para isso deve-se sempre comparar um valor a uma porcentagem. Calcular 35% de 580 Não se pode esquecer que o “total” de alguma coisa será o nosso 100%. Nesse exemplo, o nosso 100% será 580: 580 x
100% 35%
Ou seja, colocar valor embaixo de valor e porcentagem embaixo de porcentagem. Multiplicar cruzado: 00 x = 580 × 35 ⇒ 00 x = 20300 ⇒ x =
20300 = 203 00
W Usando a representação decimal de uma porcentagem Por exemplo, ao dizer 10% significa que estamos dividindo 10 por 100, que dá como resultado 0,1. Calcular 10% de 1.200 0,1 × 1.200 = 120
W Exercícios resolvidos 01) (CESGRANRIO/Guarda Port./RO/2007) Em 2006, foram embarcadas, no Porto de Porto Velho, cerca de 19.760 toneladas de madeira a mais do que em 2005, totalizando 46.110 toneladas. Assim, em relação a 2005, o embarque de madeira aumentou aproximadamente x %. Pode-se concluir que x é igual a: a) 45 b) 58 d) 75 c) 65 e) 80
Se, em 2.006, foram embarcadas 19.760 toneladas a mais do que em 2.005, iremos determinar a quantidade de madeira embarcada em 2.005 fazendo a diferença: 46.110 – 19.760 = 26.350 toneladas Para o cálculo do aumento percentual deve-se considerar a quantidade embarcada em 2.005 como sendo o nosso 100%, daí calculamos a diferença percentual entre 2.005 e 2.006, fazendo: Toneladas 26.350 19.760
% 100 x
Multiplicando cruzado, temos: 26350 x = 00 × 9760 ⇒ x =
976000 = 75% 26350 Alternativa D
02) (F. C. Chagas/Soldado/MA/2006) Em dezembro de 2.005, a análise de uma amostra de água de um reservatório acusou um aumento de 18% de impurezas, em relação ao mês anterior. Em janeiro de 2.006, analisada outra amostra do mesmo reservatório, observou-se que houve uma redução de 5% de impurezas em relação às detectadas em dezembro. Relativamente ao mês de novembro, é correto afirmar que, em janeiro, as impurezas aumentaram em a) 13% b) 12,5% d) 12% c) 12,1% e) 11,8%
Resolução Considerar 100 como sendo a quantidade de impurezas no mês de novembro. No mês de dezembro, tivemos um aumento de 18% de impurezas: 8 × 00 = 8, dando um total de 100 + 18 = 118 impurezas. 00 No mês de janeiro houve uma redução de 5% em relação ao preço de dezembro: 5 × 8 = 5.9 00 Temos 118 – 5,9 = 112,1 impurezas De novembro a janeiro tivemos um aumento de 112,1 – 100 = 12,1 o que corresponde a 12,1% de 100 Alternativa C 03) (NCE/Adm. Finanças/Infraero/2004) João constatou que, no mês de dezembro, a venda de garrafas de água mineral em sua mercearia teve um aumento percentual de 14% com relação ao mês anterior. Sabendo que a mercearia de João vendeu 171 garrafas de água mineral em dezembro e que x representa o número de garrafas de água mineral vendidas em novembro, podemos afirmar que x é um número entre: a) 132 e 139 b) 139 e 146 d) 152 e 157 c) 146 e 152 e) 157 e 164
10
Resolução Em dezembro a venda foi de 171 garrafas, e essa quantidade representa 14% a mais do que em novembro. Pode-se dizer que 171 garrafas corresponde a 114% da quantidade vendida em novembro (para isso consideramos 100% a quantidade vendida em novembro). Deve-se resolver a seguinte regra de três: garrafas % 171 114 x 100 Multiplicando cruzado temos: 700 4 x = 00 × 7 ⇒ x = = 50 garrafas 4 Alternativa C 04) (NCE/ANTT/2005) Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar um desconto de, aproximadamente: a) 15% b) 19% d) 28% c) 23% e) 30%
Resolução Supor um preço inicial de R$ 100,00. Inicialmente o comerciante deu um aumento de 30%: 30 × 00 = 30 → o preço do produto passará a ser 00 de R$ 100,00 + R$ 30,00 = R$ 130,00 Para voltar ao preço original, deve-se retirar os R$ 30,00 de R$ 130,00, mas agora o nosso 100% será R$ 130,00. R$ % 130 100 30 x Multiplicando cruzado, temos: 3000 30 x = 00 × 30 ⇒ x = = 23% 30 Alternativa C 05) (Vunesp/Monitor/Pref. Louveira/2007) Em uma sala, 75% da área total está livre, isto é, sem móveis ou objetos, e nesse espaço será colocado um tapete de 2,4 m por 2,0 m, que ocupará 40% desse espaço livre. A área total de sala corresponde a a) 16m2 b) 14m2 c) 12m2 d) 10m2 e) 8m2 Resolução: Vamos determinar a área do tapete multiplicando suas duas medidas: A = 2,4 x 2,0 = 4,8m2 Esse valor corresponde a 40% da área livre. Calcular a área livre fazendo: Área % 4,8 40 x 100 Multiplicando cruzado, temos: 480 40 x = 00 × 4, 8 ⇒ x = = 2m 2 40
Mas a área livre corresponde a 75% da área total. Calcular a área total: Área % 12 75 x 100 Multiplicando cruzado, temos: 200 75x = 00 × 2 ⇒ x = = 6m 2 75 Alternativa A 06) (CTSP/2006) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 7.000,00, no cartão sairá por: a) R$ 7.700,00 c) R$ 13.000,00 b) R$ 10.010,00 d) R$ 11.000,00
Resolução
O preço à vista está com um desconto de 30%, ou seja, esse valor representa 70% do preço de tabela. Calcular o preço de tabela: R$ 7.000 x
% 70 100
Multiplicando cruzado temos: 700000 70 x = 00 × 7000 ⇒ x = = 0000 70 Ou seja R$ 10.000,00 é o preço de tabela, agora vamos determinar o acréscimo de 10% sobre esse preço: 0 × 0000 = 000 00 O preço no cartão será de R$ 10.000,00 + R$ 1.000,00 = R$ 11.000,00 Alternativa D 07) (Fundep/Aux. Adm./Fhemig/2007) Paulo comprou um aparelho de som e o revendeu com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Nesse caso, o lucro que Paulo obteve sobre o preço de compra é de a) 10% b) 20% c) 25% d) 40%
Resolução Como o lucro foi calculado sobre o preço de venda, vamos considerar esse preço de R$ 100,00, temos um lucro de: 20 × 00 = 20 00 Se o lucro foi de R$ 20,00, o preço de custo é dado pela expressão: Custo + lucro = venda → custo = venda – lucro = 100 – 20 = 80 O preço de custo dessa mercadoria foi de R$ 80,00. Para calcular o percentual de lucro em relação ao custo, considerar o custo como 100%, daí temos: R$ % 80 100 20 x Multiplicando cruzado, temos: 2000 80 x = 00 × 20 ⇒ x = = 25% 80 Alternativa C
11 08) (Cesgranrio/Téc./Petrobras/2008) Uma empresa tem, em sua tabela de preços de venda de produtos aos clientes, o valor sem desconto (cheio) para pagamento à vista de seus produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa deu aos clientes um desconto de 50% sobre o valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou a 40%. No mês de fevereiro, comparativamente a janeiro, houve, em relação aos preços, a) aumento de 20% b) aumento de 10% d) redução de 20% c) redução de 10% e) redução de 25%
Resolução Para resolver esta questão, vamos supor um produto cujo preço seja de R$ 100,00. Em janeiro foi dado um desconto de 50%:
50 × 00 = 50 00
Se o desconto foi de R$ 50,00, então ele deverá pagar R$ 100,00 – R$ 50,00 = R$ 50,00. Em fevereiro foi dado um desconto de 40%:
40 × 00 = 40 00
Se o desconto foi de R$ 40,00, então ele deverá pagar R$ 100,00 – R$ 40,00 = R$ 60,00 Vamos, agora, comparar os preços de janeiro e fevereiro. Como se quer saber qual o aumento que houve de janeiro para fevereiro, deve-se considerar o preço de janeiro como sendo 100%. Determinar a diferença entre os preços: R$ 60,00 – R$ 50,00 = R$ 10,00
Em que 40% delas são produtoras rurais: 40 × 4.000 = .600 00 Então 1.600 mulheres são produtoras rurais. Mas no problema foi dito que 40% dos habitantes dessa cidade são produtores rurais: 40 × 0.000 = 4.000 00 Temos então 4.000 produtores rurais, e 1.600 deles são mulheres. O número de homens que são produtores rurais é igual a: 4.000 – 1.600 = 2.400
Alternativa B
10) (F. C. Chagas/Téc./TRF/2006) Em agosto de 2.006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2.006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é a) 32,5% b) 30% d) 25% c) 27,5% e) 22,5%
Resolução Vamos supor que o salário de Josué seja de R$ 100,00, daí tem-se que ele pagava de aluguel:
Considerando o valor de janeiro como 100%, determinar qual a porcentagem que a diferença entre os preços representa através de uma regra de três: R$ % 50 100 10 x Multiplicando cruzado, temos: 000 50 x = 00 × 0 ⇒ x = = 20% 50
20 × 00 = 20 00 Mas o salário dele teve um aumento de 8% 8 × 00 = 8 00 O novo valor de seu salário é de R$ 100,00 + R$ 8,00 = R$ 108,00
Alternativa A 09) (ESAF/Téc./CGU/2008) Uma pequena cidade possui 10.000 habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a: a) 1750 b) 2400 d) 3600 c) 4000 e) 6000
Resolução
Mas o aluguel teve um aumento de 35% 35 × 20 = 7 00 Daí o novo valor do aluguel será de R$ 20,00 + R$ 7,00 = R$ 27,00. Determinar qual a porcentagem que o novo aluguel representa do novo salário: R$ 108 27
% 100 x
Nessa cidade 60% dos habitantes são do sexo masculino:
Multiplicando cruzado, temos:
60 × 0.000 = 6.000 00
08x = 00 × 27 ⇒ x =
Como o restante é do sexo feminino, temos: 10.000 – 6.000 = 4.000 mulheres
2700 = 25% 08 Alternativa D
12 11) (Fundep/Auxiliar/Fhemig/2002) Numa loja, o preço de um produto sofreu dois descontos consecutivos: o primeiro de 10% e o segundo de 18%. Qual a porcentagem equivalente se o desconto fosse feito de uma única vez? a) 11,82% b) 26,2% c) 18,8% d) 28%
Resolução Como neste exercício não foi dado o valor do produto, usar R$ 100,00 como referência.
Somar esse valor ao valor inicial: R$ 100,00 + R$ 20,00 = R$ 120,00 O segundo aumento irá incidir sobre esse novo valor. Calcular então, 10% de R$ 120,00: 0 × 20 = 2 00 Somando R$ 120,00 com o valor do aumento temos: R$ 120,00 + R$ 12,00 = R$ 132,00. Em relação a R$ 100,00 ele teve um aumento total de R$ 32,00 o que equivale a 32 %. Alternativa C
O primeiro desconto foi de 10%: 10% de 100 é igual a
0 × 00 = 0 00
Diminuir esse valor do valor inicial: R$ 100 – R$ 10 = R$ 90 O segundo desconto irá incidir sobre o valor que sobrou, ou seja, sobre R$ 90,00. 8 620 × 90 = = 6, 20 00 00 Descontar esse valor de R$ 90: R$ 90 – R$ 16,20 = R$ 73,80
Resolução
Após os dois descontos temos R$ 73,80, e para saber a porcentagem de desconto, (se ele fosse feito de uma única vez) basta subtrair R$ 73,80 do valor inicial: R$ 100,00 – R$ 73,80 = R$ 26,20 Como o nosso valor de referência foi de R$ 100, 00 , então R$ 26,20 irá corresponder a 26,20% desse valor Alternativa B 12) (UFG/Bibliotecário/2007) Paulo trabalha em uma empresa e obteve uma promoção que acarretou um aumento de 20% em seu salário. No mês seguinte, todos os funcionários da empresa obtiveram um aumento salarial de 10%. Assim, em relação ao salário antes da promoção, o aumento salarial que Paulo obteve foi de a) 20%. b) 30%. c) 32%. d) 40%.
Resolução Supor um valor para o salário de Paulo, no caso de porcentagem, o melhor valor é R$ 100,00. Inicialmente calcular 20% de R$ 100,00 20 × 00 = 20 00
13) (Fundep/Téc./Câm. Mun./2004) Antônio comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$ 500,00. Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. Então é correto afirmar que o valor de cada parcela foi a) R$ 254,50 b) R$ 254,90 c) R$ 255,00 d) R$ 260,00
Como não sabemos o valor da primeira parcela vamos chamá-la de x. A segunda parcela será o valor que falta para completar o pagamento depois de pagar a primeira parcela e podemos indicá-la por 500 – x, mas essa parcela será acrescida de 4% de juros, então devemos multiplicá-la por 1,04. 00 4 04 , 04 = 00% + 4% = 00 + 00 = 00 = , 04 . A segunda parcela será dada por 1,04 (500 – x). O enunciado diz que as parcelas devem ser iguais: x = , 04 × (500 − x ) ⇒ x = 520 − , 04 x ⇒ 520 x + , 04 x = 520 ⇒ 2, 04 x = 520 ⇒ x = = 254, 90 2, 04 Alternativa B
13 Desconto comercial simples (por fora)
Juros Podemos dizer que juro é o rendimento de uma aplicação financeira como no caso de uma caderneta de poupança, ou é o valor que você paga pelo empréstimo de um dinheiro como no caso de uma financeira. Temos dois tipos de juro: simples e composto.
W Juro Simples O sistema de juro simples é aquele em que o rendimento é calculado sobre o capital inicial. Para o cálculo de juro simples C ×i×t usamos a seguinte fórmula: J = 00 onde : C = capital ou nominal (o valor aplicado ou emprestado ) i = taxa de juro t = tempo de aplicação. Nessa fórmula, a taxa de juros e o tempo deverão estar na mesma unidade (se a taxa de juros for mensal o tempo tem que estar também em meses). Montante é o valor final da aplicação, ou seja : M=C+J
W Juro Composto O sistema de juro composto é calculado sobre o último montante, ou seja, ele é atualizado periodicamente. Quando trabalhamos com o sistema composto, calculamos o montante da aplicação através da fórmula: M = C×(1+i)n Onde n é o tempo da aplicação (número de períodos). Ao trabalhar com esta fórmula, a taxa ficará na sua forma unitária ou centesimal, ou seja, quando tivermos uma taxa de 2% devemos usar i = 0,02 (2 dividido por 100).
No caso do desconto comercial simples calculamos o valor presente ( atual ) multiplicando o valor nominal pelo fator ( 1– i × n). VA = N× (1–i × n) Em que o desconto é dado por: D = N – VA Ex: Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao mês. Calcule o valor do desconto. Solução: VA = N × ( − i.n ) = 20.500 × ( − 0, 02 × 2) = 20.500 × ( − 0, 04) = 20.500 × 0, 96 = 9.680 D = N − VA = 20.500 − 9.680 = 820 Desconto racional simples (por dentro) Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor Nominal pelo fator (1+ i×n) E o desconto é dado por: D = n – vA Ex: Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto racional simples de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
Resolução VA =
N ( + i × n )
VA =
20.500 20.500 = = 9.7, 54 ( + 0, 02.2) , 04
D = N − VA = 20.500 − 9.7, 54 = 788, 46
W DESCONTO Imagine que você tem um título que vence daqui a vários meses mas você está precisando do dinheiro desse título hoje. Você procura uma instituição financeira para descontar esse título. Essa instituição irá descontar o título, mas irá cobrar pelo serviço. O valor cobrado pela instituição é chamado de desconto. Vamos chamar o valor do título na data de seu vencimento de Valor Nominal ou Valor Futuro. O valor que você irá receber nessa operação é chamado de Valor Atual ou Valor Presente. O desconto será a diferença entre eles: D = N – VA Há duas modalidades de desconto: Desconto simples e Desconto composto. DESCONTO SIMPLES O desconto simples é aquele calculado usando-se o conceito de juro simples. Existem duas modalidades de desconto simples: comercial e racional. Vamos agora ver como calcular o valor atual nesses dois casos:
DESCONTO COMPOSTO No desconto composto também temos as duas modalidades, comercial e racional. A diferença é que agora devemos usar o fator de acumulação de capital ( 1 + i )n para fazer os cálculos. Desconto comercial composto (por fora) No caso do desconto comercial composto, calculamos o valor presente multiplicando o valor nominal pelo fator (1– i)n: VA = N ( − i )
n
Onde o desconto é dado por: D = n – vA Ex: Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
14 Solução: VA = N × ( − i)
n
VA = 20.500 × ( − 0, 02)2 = 20.500 × 0, 9604 = 9.688, 20 D = N − VA = 20.500 − 9.688, 20 = 8, 80 Desconto racional composto (por dentro) Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor nominal pelo fator de acumulação de capital (ou seja, estamos descapitalizando o valor futuro). N VA = ( + i)n E o desconto é dado por: D = n – vA Ex: Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
Resolução VA = VA =
N
Resolução Vamos inicialmente abater a entrada do valor total: 22.000,00 – 5.000,00 = 17.000,00 que é o valor que será financiado. O valor a prazo que o automóvel será vendido é de R$ 24.975,00, abatendo a entrada temos: R$ 24.975,00 – 5.000,00 = 19.975,00 O que nós dá um total de juros cobrados de 19.975,00 – 17.000,00 = 2.975,00 Aplicar a fórmula de juros simples sabendo que o prazo em que será efetuado o pagamento é de 5 meses: C ×i×t 7.000 × i × 5 ⇒ 2.975 = ⇒ 2.975 = 850 × i ⇒ 00 00 2.975 i= = 3, 5% ao mês 850 J=
( + i)n 20.500 ( + 0, 02)
2
=
20.500 = 9.703, 96 , 0404
Alternativa C
D = N − VA = 20.500 − 9.703, 96 = 796, 04 Resumindo: Valor Atual
Comercial (por fora)
Racional (por dentro)
Simples
VA = N × ( − i × n )
VA =
Composto
VA = N × ( − i)n
VA =
N ( + i × n ) N ( + i)n
O desconto bancário é o desconto Comercial (podendo ser simples ou composto) às vezes acrescido de “taxas bancárias”.
W Exercícios resolvidos 01) (Conesul/Carteiro/SP/2006) Aplicando-se R$ 650,00 durante quinze meses a uma taxa de juros simples de 1,75% ao mês, ao final do período o montante será, em reais, igual a a) 820,62. b) 815,75. d) 825,50. c) 810,87. e) 830,37.
Resolução Nesse exercício temos: C = 650,00; t = 15 meses e i = 1,75% ao mês. Aplicar a fórmula de juro simples: J=
02) (Fumarc/MGI/2004) Uma concessionária vende um automóvel por R$ 22.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 24.975,00, sendo R$ 5.000,00 de entrada e o restante daqui a 5 meses. Na venda a prazo, a taxa de juros simples mensal cobrada foi de: a) 2,5% c) 3,5% b) 3,0% d) 4,0%
C × i × t 650 × , 75 × 5 7.062, 50 = = = 70, 62 00 00 00
Como o montante é a soma do capital aplicado com os juros obtidos, temos que: M = 650,00 + 170,62 = 820,62
Alternativa A
03) (Vunesp/Oficial/MPE/SP/2006) Um certo capital foi aplicado a juro simples durante 8 meses, gerando um montante de R$ 9.600,00. Esse montante foi novamente aplicado por mais 4 meses, à mesma taxa de juro da aplicação anterior e gerou R$ 960,00 de juros. O capital inicialmente aplicado foi a) R$ 7.000,00. b) R$ 7.500,00. d) R$ 7.900,00. c) R$ 7.800,00. e) R$ 8.000,00.
Resolução Para resolver essa questão, fazer a parte final primeiro, em que temos: J = 960,00; t = 4 meses e C = 9.600,00 (o montante da aplicação anterior é o capital desta aplicação). Determinar a taxa usada através da fórmula de juro simples: C ×i×t 9600 × i × 4 J= ⇒ 960 = ⇒ 00 00 96000 96000 = 38400 × i ⇒ i = = 2, 5 38400 A taxa de juros usada foi de 2,5% ao mês Vamos calcular o montante inicial através da primeira aplicação onde temos: M = 9.600,00; t = 8 meses e i = 2,5% ao mês Substituir na fórmula do montante: C × 2, 5 × 8 M = C + J ⇒ 9600 = C + ⇒ 9600 = C + 0, 2C ⇒ 00 9600 9600 = , 2C ⇒ C = = 8.0000 , 2 Alternativa E
15 04) (Fumarc/BHTRANS/2007) Uma entidade assistencial dividiu a aplicação de R$ 100.000,00 em duas aplicações: a primeira parte rendeu juros de 8% ao ano e a segunda parte foi remunerada a uma taxa de 12% ao ano. Se, no prazo de um ano, os juros recebidos pelas aplicações foram iguais, o capital inicial referente à primeira e à segunda aplicação são, respectivamente, iguais a: a) R$ 40.000,00 e R$ 60.000,00. b) R$ 60.000,00 e R$ 40.000,00. c) R$ 70.000,00 e R$ 30.000,00. d) R$ 80.000,00 e R$ 20.000,00.
Resolução O capital de R$ 100.000,00 foi dividido em duas partes, mas como não sabemos se elas são iguais vamos chamar uma delas de x e a outra de 100.000 – x que representa o que sobrou da primeira aplicação. Quando a aplicação tem duração de 1 período não faz diferença usar juros simples ou composto, então usaremos juros simples. No exercício foi dito que os juros das duas aplicações são iguais, então vamos fazer: C × i × t C2 × i2 × t2 = 00 00 Cortando os denominadores e substituindo os valores do problema:
3C Então o restante é (o que falta para completar um inteiro), então temos: 0 3C Aplicação 3: C3 = ; i = 3% ao mês; t = 4 meses 0 (1 quadrimestre) O juro total, ou seja, das três aplicações juntas, foi de R$ 580,00. Vamos aplicar a fórmula de juro simples, sabendo que o juro foi obtido da soma das três aplicações: C × i × t C2 × i × t C3 × i × t J= + + 00 00 00 Substituindo os valores temos: C × × 2 C × 2 × 3 3C × 3 × 4 2C 6C 36C 580 = + + ⇒ 580 = + + 2.00 5.00 0.00 200 500 .000 O mmc de 200, 500 e 1.000 é 1.000 580.000 0C 2C 36C 2C 6C 36C = + + 580 = + + ⇒ .000 .000 .000 .000 200 500 .000 Cortando os denominadores e somando os numeradores, temos: 580.000 58C = 580.000 ⇒ C = = 0.000 58 Alternativa C
J1 = J 2 ou seja:
x × 8 × = (00000 − x ) × 2 × ⇒ 8x = 200000 − 2 x ⇒ 8x + 2 x = 200000 20 x = 200000 ⇒ x =
200000 = 60000 20
Ou seja, foi aplicado R$ 60.000,00 na primeira aplicação, e conseqüentemente R$ 40.000,00 na segunda aplicação. Alternativa B 05) (F. C. Chagas/Téc./TRT/2003) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao mês por um bimestre, à taxa de 2% ao mês por um 5 trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era a) R$ 5.800,00 b) R$ 8.300,00 d) R$ 10.200,00 c) R$ 10.000,00 e) R$ 10.800,00
Resolução O capital C foi dividido em três aplicações: C Aplicação 1: C = ; i = 1% ao mês; t = 2 meses 2 (1 bimestre) Aplicação 2: C2 =
C ; i = 2% ao mês; t = 3 meses 5 (1 trimestre)
Na terceira aplicação foi usado o restante. Para calcular o seu valor, primeiro determinar quanto já foi aplicado: C C 5C + 2C 7C + = = 2 5 0 0
06) (NCE/ANTT/2005) Você está pensando em contrair uma dívida em um banco que cobra 10% de juros mensal sobre o saldo devedor. Por exemplo, se você pegar R$100,00 emprestados, ao final de um mês estará devendo R$110,00. Se, ao final desse primeiro mês, você pagar apenas R$ 20,00 dos R$110,00, deverá, no mês seguinte, R$99,00 (os R$90,00 que ficou devendo mais os 10% de juros). Imagine que você resolva tomar emprestados R$500,00 e que seu plano seja pagar R$100,00 ao final do primeiro mês, R$100,00 ao final do segundo mês, R$100,00 ao final do terceiro mês e quitar a dívida no quarto mês. Nesse caso, você terá de pagar, no quarto mês, a seguinte quantia, em reais: a) 200,00 b) 265,45 d) 398,90 c) 367,95 e) 412,32
Resolução Valor emprestado: R$ 500,00 0 × 500 = 50 Juro do primeiro mês 00 Valor pago no primeiro mês: R$ 100,00 Saldo devedor do primeiro mês: R$ 500,00 + R$ 50,00 – R$ 100,00 = R$ 450,00 0 Juro do segundo mês × 450 = 45 00 Valor pago no segundo mês: R$ 100,00 Saldo devedor do segundo mês: R$ 450,00 + R$ 45,00 – R$ 100,00 = R$ 395,00 0 × 395 = 39, 50 Juro do terceiro mês: 00 Valor pago no terceiro mês: R$ 100,00 Saldo devedor do terceiro mês: R$ 395,00 + R$ 39,50 – R$ 100,00 = R$ 334,50 0 × 334, 50 = 33, 45 Juro do quarto mês: 00 Saldo devedor no quarto mês: R$ 334,50 + R$ 33,45 = R$ 367,95
Alternativa C
16 07) (Cesgranrio/Téc./PetrobrAs/2008) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada? a) 25% a.a. b) 16,67% a.a. d) 16,67% a.m. c) 25% a.m. e) 1,04% a.m.
Resolução
2 M e t = 2 anos 3 O montante de uma aplicação é a soma do capital mais os juros: M = C + J Neste exercício temos: C =
Então temos: 2 3M 2 M M M = M +J ⇒ − =J⇒J= 3 3 3 3 Mas J =
Resolução Para o cálculo do montante vamos usar a fórmula M = C ×(1 + i ) n, onde C = 10.000; n = 3 meses e i = 0,10 (devemos sempre dividir o valor por 100). M = C × ( + i ) n ⇒ 0.000 × ( + 0,0)3 ⇒ 0.000 × ,03 Em que: ,03 = ,0 × ,0 × ,0 = , 33
C ×i×t , então: 00
M C ×i×t 00 M 00 M 2 M = ⇒ = C ×i×2 ⇒ = ×i×2 ⇒ 3 00 3 3 3 00 M = 4 M × i ⇒ i =
09) (Fundep/Auxiliar/Fhemig/2002) Qual é o montante de um capital de R$10.000,00, aplicado a juros compostos, durante 3 meses, à taxa de 10% ao mês? a) R$ 13.310,00 b) R$ 13.200,00 c) R$ 12.100,00 d) R$ 13.000,00
Daí temos: M = 0.000 × ,03 = 0.000, 00 × , 33 = 3.30, 00 Alternativa A
00 M 00 = = 25% ao ano 4M 4 Alternativa A
08) (Fundep/Téc./Câm. Municipal/2004) Antônio comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$ 500,00. Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. Então é correto afirmar que o valor de cada parcela foi a) R$ 254,50 b) R$ 254,90 c) R$ 255,00 d) R$ 260,00
10) (Fundep/BDMG/2004) Pedro fez uma certa aplicação a juros compostos de 6% ao mês. No fim do primeiro trimestre de aplicação, o montante era de R$ 20.000,00. Nesse caso, o capital investido por Pedro foi de, aproximadamente a) R$ 16.400,00 b) R$ 16.792,00 c) R$ 16.989,00 d) R$ 17.012,00
Resolução
Resolução Neste caso não sabemos o valor de cada parcela, então chamaremos a primeira de x. A segunda parcela será a diferença entre o valor do aparelho menos o valor da primeira parcela, ou seja, 500 – x, mas esta parcela tem que ser acrescida de 4% de juros, então temos:
Nesse problema temos n = 3 meses, i = 0,06 ( 6% ao mês) e M = 20.000. Para descobrir o valor do capital aplicado vamos usar a fórmula do montante a juros compostos: M = C × ( + i ) n ⇒ 20.000 = C × ( + 0, 06)3 ⇒ 20.000 = C × , 063
500 – x + 4 . (500 – x ) = 500 – x + 0,04 ( 500 – x) = 00 500 – x + 20 – 0,04x = 520 – 1,04x
Calcular primeiro o valor de , 063 = , 06 × , 06 × , 06 = ,90
A primeira parcela vale x e a segunda 520 – 1,04x, mas como as duas parcelas têm que ser iguais, devemos igualá-las:
Substituindo na expressão anterior: 20000 = C × ,90 ⇒ C =
20000 = 6.792 ,90
520 − , 04 x = x ⇒ 520 = x + , 04 x ⇒ 520 = 2, 04 x ⇒ x =
Alternativa B
520 = 254, 90 2, 04 Alternativa B
17
Testes 01) (ACADEPOL/Esc./MG/2005) Numa delegacia de Belo Horizonte, dos 72 detentos são mulheres, destas já 3 6 foram condenadas. Pode-se afirmar que o percentual de mulheres detidas que não foram condenadas é, aproximadamente: a) 11% b) 16,7% c) 18%
d) 18,7% e) 5,5%
02) (ACADEPOL/Esc./MG/2005) Do total de policiais que servem certa região do estado de Minas Gerais, 30% são mulheres. Destas, 10% ingressaram na polícia na década de 90. Se o número de mulheres policiais que não ingressaram na década de 90 é 324, o total de policiais dessa região é: a) 680 b) 1.200 d) 1.000 c) 840 e) 730 03) (ACADEPOL/Esc./MG/2007) Três pessoas A, B, e C formaram uma empresa, tendo contribuído, respectivamente, com os capitais de R$10.000,00, R$13.000,00 e R$14.000,00. No final de um ano, a empresa lucrou o montante de R$111.000,00. Deste lucro, a terça parte foi utilizada para investimentos na própria empresa e o restante distribuído aos sócios A, B e C, em partes proporcionais aos seus capitais de participação na sociedade. Desta forma, pode-se concluir que o sócio B retirou: a) R$39.000,00 c) R$26.000,00 b) R$40.000,00 d) R$42.000,00 04) (ACADEPOL/Esc./MG/2007) Considere a tabela abaixo: Evolução das receitas do café industrializado Agosto/Novembro - 2004 MESES Agosto Setembro Outubro Novembro Total
VALOR (US$ milhões) 73,4 89,7 65,2 99,8 328,1
Dados fictícios.
Pode-se afirmar que a redução percentual da receita do mês de outubro para o mês de setembro foi de, aproximadamente: a) 27,31% c) 34,67% b) 37,58% d) 18,17%
05) (ACADEPOL/Esc./MG/2003) Em determinada ala de um presídio, há 100 detentos. Sabendo que 98% tem abaixo de 25 anos, o número de presidiários dessa faixa etária que precisam sair dessa ala para que o percentual citado caia para 96% é a) 1 b) 2 d) 48 c) 4 e) 50
06)(ACADEPOL/Perito/MG/2003) Um agiota foi detido e, em seu depoimento, disse que emprestava dinheiro a uma taxa de 20% ao mês. Sabendo que ele descontava os juros no momento do empréstimo, a taxa mensal efetivamente cobrada pelo agiota é de a) 20,5% b) 21% d) 25% c) 22,5% e) 30% 07) (acafe/Prof./Pref. Jaraguá do Sul/2007) O governo federal, ao efetuar a restituição de impostos, permite que os contribuintes consumam mais. O gasto de cada contribuinte torna-se receita para outros contribuintes que, por sua vez, fazem novos gastos. Cada contribuinte poupa 10% de suas receitas, gastando todo o resto. O valor global, em bilhões de reais, do consumo dos contribuintes a ser gerado por uma restituição de impostos de 40 bilhões de reais, é: a) 450. c) 360. b) 36. d) 180. 08) (acafe/SENAI/2006) Duas garotas realizam juntas, em 3 dias, um serviço de digitação. Se trabalhar sozinha, a primeira leva 2 dias e meio menos que a segunda para fazer o mesmo serviço. O tempo, em dias, que cada uma leva para fazer o serviço, é: a) 3 e 5,5 b) 5 e 7,5 d) 2 e 4,5 c) 4 e 6,5 e) 3,5 e 6 09) (acafe/SENAI/2006) Um senhor fez um testamento para dividir seu patrimônio de R$ 180.000,00 entre seus dois netos, um de 25 anos e outro de 5 anos. Calculando que o mais novo gastaria mais dinheiro para se formar, enquanto o mais velho já estava ganhando com seu trabalho, quis que a divisão fosse feita inversamente proporcional às suas idades. Como o avô morreu 5 anos após ter feito o testamento, o neto mais novo herdou, em reais, a quantia de: a) 120 mil b) 80 mil d) 90 mil c) 150 mil e) 135 mil 10) (ACAFE/FMP/2007) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos: em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 20% em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 20%. Em todo o período considerado, a variação foi de a) Não houve variação. c) 10%. b) - 2%. d) - 4%. 11) (ACAFE/FMP/2007) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar as paredes de uma sala de 8m de comprimento, 4m de largura e 3m de altura (desconsidere as janelas e portas) se gasta uma lata e mais uma parte da segunda lata. Qual a porcentagem de tinta que restou na segunda lata após o término do serviço? a) 56% b) 44% c) 50 % d) 25%
18 12) (ACAFE/FMP/2007) Uma pizzaria vende pizzas com preços proporcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio igual a 80% do raio da grande e a pizza pequena tiver como raio a metade do raio da média, pode-se afirmar: (considere π = 3,14). a) O preço da pizza média é o dobro da pizza pequena. b) O preço da pizza média é 64% do preço da pizza grande. c) Se a pizza grande custar R$ 20,00 a pizza média custará R$ 16,00. d) Se a pizza grande custar R$ 20,00 a pizza média custará R$ 8,00. 13) (ACAFE/CFO/2006) Em uma cidade existem dois cursos, A e B, que preparam alunos para o vestibular. Se A aprovou 108 de 720 alunos e B aprovou 99 de 550 alunos, está correto afirmar que a aprovação dos alunos do curso A é: a) igual ao do B. b) 3% superior ao do B. c) 3% inferior ao do B. d) 9% superior ao do B. e) 9% inferior ao do B. 14) (UERJ/2007) João abriu uma caderneta de poupança e, em 1º de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros, nesse ano, de 20%. Em 1º de janeiro de 2007, depositou mais R$ 1.000,00. Para que João tenha, nessa poupança, em 1º de janeiro de 2008, um montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros do segundo ano deve corresponder a: a) 12% b) 14% c) 16% d) 18% 15) (UFMG/2007) Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o número de mulheres que frequentam esse clube, após a promoção, teve um aumento de a) 76%. b) 81%. c) 85%. d) 90%.
Gabarito 01) A 06) D 11) A
02) B 07) C 12) B
03) C 08) B 13) C
04) A 09) E 14) B
05) E 10) D 15) D
Errata - Código 0089_02_10 - Matemática Gabarito Página 10, questão n° 01, item b → onde se lê “–14”, leia-se “–30”. Página 15, questão n° 08, item d → onde se lê “ 5 ”, 3 leia-se “ ”. 4 Página 17, questão n° 03, item e→ onde se lê “1,6”, leia-se “1,5”.
Página 21, questão n° 06, item c → onde se lê 2 32 , 4 leia-se 2 . 3 Página 21, questão n° 06, item d → onde se lê 2 6 , leia-se 9 6 . 5 Página 26, questão n° 02 → onde se lê 72 cm2, leia-se 128 cm2. Página 27, questão n° 07 → onde se lê “D”, leia-se “A”. Página 39, questão n° 02 → onde se lê “D”, leia-se “B”. Página 39, questão n° 13, item c → onde se lê “c) 6”, leia-se “c) 3”. Página 44, questão n° 01, item d → onde se lê “V = {( 15, 15 )}”, leia-se “V = {(15, 14)}”. Página 51, questão n° 02 → onde se lê “–10”, leia-se “–9”. Página 51, questão n° 05 → onde se lê “ ± 2 6 ”, leia-se 3 “ 2 2 ”. ± 3 Página 52, questão n° 09 → onde se lê “2”, leia-se “0”. 5x − ” Página 61, questão n° 04, item c → onde se lê “ y = , x +3 3 + 2 x leia-se “ y = ”. x − Página 64, questão n° 01, Aprendizagem e Fixação → onde se lê “A = 104”, leia-se “A = 5”. Página 68, questão n° 12 → onde se lê “S82 = 14.391”, leia-se “S82 = 14.442”. Página 69, questão n° 05, item a → onde se lê “57.122 livros”, leia-se “74.258 livros”. Página 69, questão n° 05, item b → onde se lê “3 dias”, leia-se “2 dias”. Página 74, item 6, completar a teoria “quando multiplicamos ou dividimos uma linha por um número, o determinante fica multiplicado ou dividido também por esse número”. Página 74, item 7, completar a teoria “quando multiplicamos ou dividimos uma coluna por um número, o determinante fica multiplicado ou dividido também por esse número”. Página 81, questão n° 03 → onde se lê “720”, leia-se “360”. Página 85, questão n° 02, onde se lê “x4 + 12x3 + 54x2 + 128x + 81”, leia-se “x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81”. Página 116, questão n° 05 → onde se lê “a = ”, leia-se 2 “a = ”. 4 Página 125, questão n° 09 → onde se lê “D”, leia-se “A”. Página 125, questão n° 10 → onde se lê “A”, leia-se “D”.
Estudo Real Edições - 0238_02_10
