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GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES REGIÓN CUADRANGULAR
Rombo
Es una una regiónplan regiónplana, a, que que está está limita limitada da por por un cuadri cuadrilát látero ero,, esta región puede ser convexa o no convexa.
Cálculo del Área:
ÁREA DE REGIONES (FÓRMULAS)
CUADRANGULARES
C
0 b
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
B S
c
a R
A
D
d
ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA
PROPIEDADES SOBRE ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 0
Cuadrado
C
.
0
.
C
Rectángulo
N B
B
S 2 S 3
S 1
P S
M S 4
D
A
Q
A
-87-
S 4
S 1
A
T
S 3
S 2
S 1.
3
2.
4
D
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MNPQ: ROMBOIDE
0
.
0 B
C S 1
S 1
S
S
S
S 2 S 2 A
D A
S
1
2 S
S
A
2 1
=
2
1
2)
2
-88-
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PROBLEMAS PROPUESTOS 06. Calcular el área del rectángulo ABCO, si EM= 3 y EO = 2
01. Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABFL y BCQR, exteriores al triángulo. Hallar el área de la región cuadrangular AFRC, siendo AR = 8 u 2
2
A) 16 u 2 D) 24 u
M
B
2
B) 18 u 2 E) 32 u
C) 20 u
C E
02. Calcular el área del romboide ABCD, si AC=15 A
O
A) 6 D) 12
B) 8 E) 15
C) 10
07. En un romboide ABCD siendo “O” punto de intersección de las diagonales, si las distancias de “O” a los lados son 2 u y 3 u respectivamente y m ABC=135. Calcular el área de la región ABCD A) 36 D) 72
B) 54 E) 108
03. En el gráfico: ( S2 = 9. Calcular Sx
C) 48
); AM = MB; CN= ND; S1 = 4;
B
2
B) 16
u
2
E) 24
u
A) 12
u
D) 20
u
2
u
2
2
2
A) a S x
C) 18
08. En una semicircunferencia de diámetro y centro se ubican los puntos P; Q y R. Calcular el área de la región limitada por el rombo PQRS tal que QS = 2(SO)=2a, (S )
C
M
2
2
C) 2a
2
D) 2a
N
2
B) a E) a
SM1
09. En un rombo ABCD en
S 2 A
M. Las diagonales del rombo intersectan a en N y Q respectivamente. si: NQ=5 u y m BAD=74. Calcular el área de la región limitada por el rombo 2 2 2 A) 284 u B) 216 u C) 324 u 2 2 D) 356 u E) 420 u
D
A) 13
B) 12
D) 15
E)
se ubica el punto medio
C) 16
04. Calcular el área de la región rectangular ABCD, si BP = 2 y PD = 1
10. En los lados de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos E y F respectivamente de modo que EB=FD=2 y EF= región cuadrada ABCD A) 25 B) 24 D) 36 E) 15
. Calcular el área de la C) 18
11. En un trapecio ABCD un rectángulo
A)
B) 2
D) 4
E) 2
AD=4BC, se inscribe
PQRS, tal que : Q
,R
“P” con “S” están ubicados en . Calcular la razón de áreas de las regiones limitadas por dichos cuadriláteros, si AQ=2QB A) 8/19 B) 7/16 C) 9/1 D) 2/3 E) 8/15
C)
12. Calcular Q/P, AE=EM=MD
05. En un triángulo ABC de incentro “I”, AB=2 u, BC=4 u y AC=3 u. Calcular el área de la región trapecial AMNC, sabiendo que M ; I MN y
,
ABCD:
B
romboide C
G
N
Q
A)
B)
D)
E)
y
P
C)
F
A
A) 2 D) 4/1
-89-
E
M
B) 3 E) 7/3
D
C) 5/3
y
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13. En un trapecio isósceles ABCD
17. En un romboide ABCD la semicircunferencia de diámetro pasa por “B” e interseca a en “P”. Si BP = 8 y PC = 2, calcular el área del romboide ABCD A) 16 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40
se traza
(H ). Calcular el área de la región trapecial ABCD, si AC = 6 u y BH = 2 u 2
B) 6
u
2
E) 12 u
2
A) 8
u
D) 8
u
2
2
C) 5
u
18. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD tal que AB = 6; BC = 5 y CD = 9. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita
14. En un cuadrilátero convexo, ABCD, M; N; Q y R son puntos medios de respectivamente, enla prolongación de se ubica el punto F y la suma de las áreas de las regiones 2 triangulares RMF y QNF es 10 m . Calcular el áreade la región cuadrangular ABCD 2 2 2 A) 40 m B) 36 m C) 20 m 2 2 D) 25 m E) 50 m 15. En un cuadrante AOB de radi o 2 en
punto “C” de modo que la longitud del segmento que
A) 3
B) 2
D)
E) 2
.
D) 2
E) 3
C) 3
20. Se tiene un rectángulo ABCD, desde “D” se traza , luego se traza perpendicular a la
C) 2
prolongación de . Si BF=6 y DE=4, calcular el área de la región cuadrangular ABCD A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 80
16. En la figura , r = 6, BC = 7 y CD=13. Calcular el área de la región cuadrangular ABCD B
B) 2
19. Una circunferencia es tangente a los lados de un rectángulo ABCD y además contiene a C, dicha circunferencia intersecta a en “M”. Calcular el área de la región cuadrangular ABMD, si AB = 9 u, AD = 8 u 2 2 2 A) 8 u B) 32 u C) 16 u 2 2 D) 40 u E) 24 u
se ubica el
une los puntos medios de es igual a Calcular el área de la región cuadrangular ACBO
A) 1
C
r
A
D
A) 140 D) 145
B) 168 E) 196
C) 136
TAREA 01. Sobre los lados de un cuadrado se construyen exteriormente triángulos equiláteros. Calcular el área del cuadrilátero que se forma al unir los vértices libres de los triángulos equiláteros, si el lado del cuadrado mide “b” 2
A) b ( 2
D) b (2+
+1) )
2
B) b (2 2
E) b (4+3
-1) C) 3b
03. La circunferencia inscrita en un ΔABC, recto en B, es tangente en P; Q y M a los lados , respectivamente. Luego se traza (H ), siendoAPHM un rombo. Calcular la relación entre las áreas de las regiones ABQM y QMC
2
A) 1:1 D) 4:3
)
B) 2:1 E) 5:2
C) 3:1
04. Calcular elárea del rombo ABCD, si AP= 9 y DP = 13
02. Se tiene dos circunferencias concéntricas de centro “O”. Se traza la cuerda que es tangente a la circunferencia menor, si los radios intersectan en N y M respectivamente OA = R y m AOB=120. Calcular el área de la región cuadrangular ANMB A)
B)
D)
E)
C)
-90-
A)
B) 24
D) 12
E) 8
C) 3
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05. Calcule el área de la región paralelográmica BCDK, si SK = KE = 2 y (T: punto de tangencia).
08. El área de la región correspondiente a un cuadrado es 100. En el cuadrado se inscribe un rectángulo, cuya diagonal mide 12. Calcular el área de la región rectangular A) 10 B) 24 C) 28 D) 30 E) 36 09. Calcular el área de la región correspondiente al cuadrado ABCD, si AD = DQ
A) 2(3+ D) 4(4 +
) )
B) 3(3+
)
E) 2(2+
)
C) 3
06. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 u, la región 2 cuadrangular ECGF es de área 4 u . EFGH es un cuadrado donde . según se muestra la figura. Si BN=NA, AM=MD, determinar EF. B
A) 4S D) 8S(2+
B) 5S )
C) 6
S
E) 12S
C
10. En la figura: “H” es ortocentro del ΔABC, AB = 8. Calcular el área de la región sombreada E
F
H
G
N
A
M
A)
B) 2
D) 4
E) 2
D
C) 3
07. En un cuadrante AOB de radio 2 en
se ubica el
A) 64 D) 32
punto “C” de modo que la longitud del segmento que une los puntos medios de es igual a Calcular el área de la región cuadrangular ACBO A) 3
B) 2
D)
E) 2
.
C) 2
-91-
B) 50 E) 24
C) 48
y
