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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS
MÉTODOS DE PESQUISA OPERACIONAL
Profª Drª Leoni
Pentiado Godoy
2 MÉTODOS DE PESQUISA OPERACIONAL PROGRAMA UNIDADE 1. PESQUISA OPERACIONAL 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Introdução Origem e natureza da PO A Pesquisa Operacional e sua Influência no Processo Decisório Conceito e Características da Pesquisa Operacional Objetivos da Pesquisa Operacional Enfoque Gerencial da PO Programação Linear - teoria Metodologia da Pesquisa Operacional
03 03 06 06 08 08 10 11
UNIDADE 2. PROGRAMAÇÃO LINEAR 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Introdução Método Gráfico Método Algébrico Simplex 1 Problema de Transporte ou Alocação Linear Problema de Designação
UNIDADE 3.
12 15 18 24 33
PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE, PERT - (Técnica de
Avaliação e Revisão de Projetos). CRITICAL PATH METHOD, COM - (Método do Caminho Crítico) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11
Introdução Construção da rede Termos PERT e CPM Características principais do PERT/CPM Conceitos básicos Representação gráfica Atividades Cuidados no traçado da rede Metodologia de utilização Exemplo 1 Cronograma PERT/CPM ANEXO 1 – Programação Linear - Lista de exercícios 1 ANEXO 2 – Lista de Exercícios de Transporte ANEXO 3 – Lista de Exercícios de Designações ANEXO 4 – Lista de exercícios de Programação Linear ANEXO 5 - Lista de exercícios PERT/CPM ANEXO 6 - Tabela de Áreas da Curva Normal
37 37 38 38 39 39 40 42 42 43 48 51 58 62 65 68 70
3 MÉTODOS DE PESQUISA OPERACIONAL
1. INTRODUÇÃO
1.1 Origem e natureza da PO Durante a Segunda Guerra Mundial foram convocados na Inglaterra um grupo de cientistas para estudarem problemas de estratégia e de tática associados com a defesa do país. O objetivo era decidir sobre a utilização mais eficaz de recursos militares limitados. A convocação deste grupo marcou a primeira atividade formal de Pesquisa Operacional, PO.
Os resultados positivos conseguidos pela equipe de PO inglesa motivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar de ser creditada à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagação deve-se principalmente à equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial. Ao resultado deste esforço de pesquisa, concluído em 1947, deu-se o nome de Método Simplex. Com o fim da guerra, a utilização de técnicas de Pesquisa Operacional atraiu o interesse de diversas outras áreas. A natureza dos problemas encontrados é bastante abrangente e complexa, exigindo, portanto uma abordagem que permita reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos. Tal algoritmo permitiu a resolução manual de diversos problemas de PO, especialmente aqueles de baixa complexidade. O segundo foi a proliferação dos microcomputadores e o rápido aumento em sua velocidade de processamento. A pesquisa operacional vem se constituindo num auxílio poderoso para os executivos que devem tomar suas decisões nos diferentes campos das atividades industriais, econômicas e militares. Sob o ponto de vista histórico o nome pesquisa operacional é relativamente novo e de origem militar, e foi usado, pela primeira vez, na Grã-Bretanha durante a Guerra.
4 O fato que marcou o surgimento da pesquisa operacional foi a formação de uma equipe de especialistas de diversas disciplinas, com treino científico para fins de estudar a melhor eficiência no uso de equipamentos de radar. Esta equipe foi chefiada pelo físico Blackett, e ficou conhecida como Circo de Blackett, e embora recebesse esse nome depreciativo foi altamente eficiente na tarefa que lhe foi confiada. Houve fatos anteriores, mas este marcou o início dos trabalhos das equipes de analistas operacionais que começaram a se expandir na GrãBretanha e após no Canadá, na Austrália e nos E.E.U.U. Para Andrade (2002) desde o seu nascimento, esse novo campo de análise de decisão caracterizou-se pelo uso de técnicas e métodos científicos qualitativos por equipes interdisciplinares, no esforço de determinar a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada das operações. O mesmo autor afirma que a PO deu origem a um novo enfoque – o enfoque sistêmico – dos problemas de tomada de decisão das empresas, indo além da especialidade. O especialista tem tendência natural de enquadrar todos os problemas nos limites de sua cultura, mesmo porque é nesse campo que ele se sente mais confortável. Outra característica importante na PO, que facilita muito o processo de análise de decisão, é a utilização de modelos. Com relação a aplicação para problemas de Administração, pode-se identificar as origens da pesquisa operacional em épocas anteriores a Primeira Revolução Industrial, mas foi certamente durante ela que começaram os problemas que esta disciplinas auxilia o desenvolvimento, devido a Revolução Industrial marcar o início da expansão industrial. À medida que expandiam as empresas diminuía cada vez mais a possibilidade de serem administradas por um único homem. Conseqüentemente, o dono da indústria começou a dividir seu trabalho, atribuindo parte deste as outras pessoas. Começaram a surgir, por exemplo, os gerentes de produção, os gerentes de venda, de pesquisa e de desenvolvimento. Com o crescimento industrial que se seguiu, tais funções foram, por sua vez, fracionadas. Por exemplo: a produção subdividiu-se, em alguns casos, em: compras, manutenção, transporte, controle de qualidade e programação. Novos mercados surgiram, novas fontes de matéria-prima foram descobertas, tornando as operações industriais geograficamente dispersas, exigindo a criação de novos centros de produção e escritórios de vendas, cada qual com administração própria.
5 Novos tipos de ciência aplicada desenvolveram-se para prestar auxílio a cada tipo novo de administração que aparecia, assim surgiram a Engenharia Química, a Engenharia Mecânica, a Engenharia Industrial, a Metodologia, a Micro-economia Industrial, a Psicologia e Sociologia Industrial e outras disciplinas de aplicação científica orientadas para a Administração. Um aspecto muito importante e negativo desta evolução foi que não se aplicou o conhecimento científico às novas funções de direção que iam surgindo na Administração. Até pouco tempo o dirigente vivia isolado com seus problemas e, para solucioná-los, usava apenas a sua capacidade de julgamento adquirida através da experiência. Entretanto exigia-se cada vez mais do dirigente, que passou a necessitar de ajuda de pessoas com mais experiência dos problemas que surgiam e com mais tempo para consultálos. Isto provocou o desaparecimento dos consultores de administração, cuja atividade no início não se baseava nem na ciência nem na pesquisa científica. Somente após o surgimento efetivo da pesquisa operacional, desenvolvida nas organizações militares a partir da2 Segunda Guerra Mundial é que tivemos o emprego da pesquisa científica para auxiliar o dirigente. Sabemos que em Administração, a tarefa de integrar as diferentes sub-funções para melhorar a eficiência aos interesses (interesse global da empresa) que constitui a função de direção ou função executiva. Para que esta função possa ser exercida, é necessário o estabelecimento de objetivos e medidas de avaliação do desempenho das unidades que lhe são subordinadas. É no estabelecimento destas medidas que a pesquisa operacional contribui valiosamente através de suas diversas técnicas. Em resumo, após uma década de crescimento vigoroso nas organizações militares, a pesquisa operacional continuou a crescer não só nesse meio, mas também nas organizações industriais, acadêmicas e governamentais. É, hoje, uma disciplina regular dos cursos ligados ao setor administrativo, econômico e industrial, tanto de graduação como de pós-graduação. A seguir procuraremos conceituar, definir objetivos, características e áreas de aplicação da pesquisa operacional.
6 1.2. A Pesquisa Operacional e sua Influência no Processo Decisório São várias as definições e conceitos de decisão, mas a que exprime bem a maneira da tomada de decisão na PO, diz que: “uma decisão é um curso de ação escolhido pela pessoa, como meio mais efetivo à sua disposição, para alcançar os objetivos pretendidos”, (ANDRADE, 2004) Em suma, uma decisão é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do instante em que o problema foi detectado, o que geralmente ocorre através da percepção de sintomas. Assim, que o processo se dá de acordo com a Figura 1.2.
Sintomas
Sintomas
Identificação do Problema
Processo de tomada de decisão
Figura 1.2 - O início do processo de tomada de decisão
As organizações se utilizam de treinamento para desenvolver suas equipes de modo a criar capacitação e mecanismos para que o processo transcorra com rapidez e naturalidade. O conceito de tomada de decisão como um processo gerencial explicita claramente a importância das atividades de preparação na tomada de decisão, (ANDRADE, 2004).
1.3. Conceito e Características da Pesquisa Operacional
Conceito: conjunto de técnicas e métodos aplicados por equipes multidisciplinares para se determinar a melhor utilização de recursos limitados e para programação otimizada das operações de uma empresa.
7 A PO baseia-se, principalmente, no método científico para tratar de seus problemas. A observação inicial e a formulação do problema estão entre os mais importantes passos da solução de um problema da PO. Podemos considerar a pesquisa operacional como: a) Aplicação do método científico por equipes interdisciplinares; b) Problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados (homemmáquina) com a finalidade de obter as soluções que melhor satisfaçam aos objetivos da organização, como um todo.
c) Assim, podemos enumerar as características da pesquisa operacional baseadas nesta definição: a) Orientação para sistemas (ou para sua direção). Esta orientação baseia-se no fato de que em sistemas organizados o comportamento de qualquer parte afeta todas as demais. Assim, os analistas em pesquisa operacional procuram avaliar o problema de todos os ângulos possíveis, a fim de darem uma solução favorável ao todo e não a um departamento específico. b) Emprego de equipes interdisciplinares. É necessário analisar e avaliar o problema segundo o maior número de pontos de vista possível. Eis a razão das equipes de pesquisa interdisciplinar. Como existem mais de cem disciplinas científicas, puras e aplicadas, é, evidentemente, impossível incorporá-las todas a cada projeto de pesquisa. Mesmo assim é aconselhável que o maior número possível de disciplinas estejam representado na equipe, e que o resultado seja analisado e criticado por um grande número de especialistas das disciplinas não representadas. c) Aplicação do método científico a problemas de controle. Uma vez construído o modelo, pode-se usá-lo para a determinação de valores para controle de variáveis que produzem o melhor desempenho do sistema.
8 1.4 Objetivos da Pesquisa Operacional
O objetivo da pesquisa operacional é a elaboração de uma estratégia dirigida a regulação dos resultados potenciais de operações futuras através da construção de modelos científicos da situação aplicada a particularidade mecanismo transformadores de valores, nos quais atuam homens, equipamentos e meios. Isto é, seu objetivo é resolver problemas de decisão nas áreas econômica, financeira, administrativa, da organização em geral, através de uma abordagem científica de tais problemas. Então a pesquisa operacional se propõe a determinar a solução ótima para um sistema através do método científico. A otimização é obter o melhor desempenho de um sistema dentro de dos critérios de: maximização (de lucros) e de minimização
(de custos e
tempo). Mas o objetivo da pesquisa operacional não é apenas produzir informações e sim melhorar o desempenho dos sistemas, logo, os resultados da pesquisas devem ser implantados para isso devem ser aceitos pelas pessoas da empresa. 3
Exemplo de um problema: Quando e quanto produzir de um determinado produto para
minimizar a custos de produção? 1.5 Enfoque Gerencial da PO A PO tem sido vista pelos pesquisadores sobre dois aspectos diferentes quanto a abordagem:
Enfoque Clássico: busca da solução ótima;
Enfoque atual: uso do modelo para identificação do problema certo.
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ENFOQUE CLÁSSICO DA PESQUISA OPERACIONAL IDENTIFICAÇÃO
EXPERIÊNCIA E INTUIÇÃO
DO PROBLEMA INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS
MODELAGEM E SOLUÇÃO
RESULTADO ÓTIMO
ACEITAR OU RECUSAR
Figura 1.5.1 – Enfoque clássico da PO
ENFOQUE ATUAL DA PO
IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA
INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS
Informações são relevantes?
Problema certo?
Figura 1.5.2 – Enfoque atual
MODELAGEM E SOLUÇÃO
EXPERIÊNCIA E INTUIÇÃO
RESULTADO ÓTIMO Novas percepções
ACEITAR OU RECUSAR
10 Fases de um estudo de Pesquisa Operacional:
Definição do Problema;
Construção do Modelo;
Solução do Modelo;
Validação do Modelo;
Implementação dos Resultados e,
Avaliação.
1.6 Programação Linear - teoria
Tem-se uma equação do primeiro grau ou linear para a qual, se deseja obter um resultado mínimo (Equação de custo) ou máximo (equação de lucro). O sistema está sujeito a uma série de restrições ou limitações (restrições das variáveis), que são representadas por equações lineares e cuja solução determinará o valor ótimo das variáveis do sistema, este valor determinará a situação de minimização de custos ou maximização de lucros. Exemplos de aplicações: -
Programa de produção – Simplex;
-
Distribuição de tarefas – Consignações;
-
Distribuição de mercadorias – transportes.
4
1.6.1. Teoria das Redes
Onde se estuda a programação das atividades de maneiras a minimizar tempo e custos. Entre seus métodos temos: PERT TEMPO, PERT CUSTO, CPM. Exemplos de aplicações: -
Engenharia civil;
-
Projetos industriais;
-
Elaboração de propostas orçamentárias;
-
Operações administrativas;
-
Vendas - Lançamento de produtos;
-
Operações militares;
-
Tarefas da vida comum.
Profa. Dra. Leoni Pentiado Godoy
11 1.7 Metodologia da Pesquisa Operacional
O método científico consiste numa organização particular do desenvolvimento das atividades que conduzem à resolução do problema formulado. Em pesquisa operacional esse método compreende as seguintes fases:
a) Definição ou postulado do problema
Deve ser muito precisa e destacar os objetivos procurados, as características fundamentais de interligação entre as diferentes variáveis existentes e as restrições que pesam sobre o sistema, através da influência de outros fatores. Quanto mais precisa esta definição, mais fáceis serão as etapas posteriores.
b) Estabelecimento de um modelo.
Estando bem definida as características do caso em estudo, deve-se construir uma representação formal dele, isto é, deve-se conseguir expressar, de forma, mais ou menos exata, a realidade através de um modelo. Modelo é a representação simbólica do problema, sendo geralmente um problema matemático.
c) Desenvolvimento analítico.
Dispondo-se do modelo, procura-se aplicar um método de resolução, geralmente matemático, que leva a solução ótima do sistema. Este desenvolvimento analítico consiste em trabalhar com as variáveis existentes no modelo de forma que alguma grandeza que expressa uma característica desejável do sistema (a medida da efetividade ou da utilidade) atinja valor ótimo (maximização ou minimização). Solução ótima - é aquela que maximiza (conforme o critério definido na postulação) a medida do desempenho no modelo, sujeita as condições e restrições nele representadas.
12 d) Obtenção de dados.
Sendo possível aplicar um desenvolvimento analítico se procura determinar o conjunto de dados necessários para se chegar a tal solução. Podem os dados previstos para resolução de o modelo ser ou não passíveis de obtenção, o que vai implicar numa reformulação dos passos anteriores, no caso negativo.
e) Comparação
Faz-se uma comparação dos resultados obtidos a partir do modelo, com a experiência que se tem sobre o que ocorre realmente no sistema. Isto é, a concordância entre o modelo e realidade deverá ser aferida (testada) e a solução avaliada. Deve-se comparar o desempenho da política ótima obtida com a política que ela irá substituir. Conforme os resultados, ou se retrocede as etapas anteriores refazendo o problema, no caso negativo, ou passa-se a fase da implantação da solução obtida, no caso satisfatório.
f) Implantação da solução ótima
É o processo de levar à prática a solução obtida através do modelo. Este processo exige o contínuo controle das etapas anteriores. 2. PROGRAMAÇÃO LINEAR
2.1 Introdução Identificar e modelar problemas de tomada de decisão sobre a alocação de recursos que podem ser resolvidos por PL. Resolver problemas de PL por meio da utilização do método gráfico, algoritmo Simplex e do programa Ms- Excel. Analisar a solução final obtida com o propósito de otimizar a alocação de recursos da empresa.
13 Os problemas de alocação de recurso dizem respeito à atribuição e distribuição de recursos entre as diversas tarefas ou atividades que devem ser realizadas. Na maioria das empresas os recursos disponíveis não são suficientes para que todas as atividades sejam executadas no nível mais elevado que se possa desejar. Portanto, o que se deseja encontrar é a melhor distribuição possível dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades, de modo a atingir um valor ótimo do objetivo estabelecido.
2.1.1 Conceito
A P.L. é definida como sendo um conjunto de técnicas matemáticas com as quais pode ser determinada uma solução ótima para problemas que apresentam várias soluções possíveis.
A P.L. indica um método iterativo que determina a melhor combinação de valores que as variáveis do modelo devem assumir a fim de otimizar a solução e cada variável obedecendo a certas restrições.
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2.1.2 Objetivos
A programação linear tem como objetivo otimizar uma solução onde: Z = C1X1 + C2X2 + . . . + CNXN N Z = JXJ J=1 É chamada de Função Objetivo, onde “C “ é o custo ou lucro unitário, isto é, o resultado de “Z “ nos fornece o valor da solução ótima (custo ou lucro global).
2.1.3 Conceituação As variáveis X1, X2,......, Xn 0 devem satisfazer as “M“ inequações, que restringem o modelo assim:
.
14 A11X11 + A12X12 +..........+ A1nX1n B1
A21X21 + A22X22 +.........+ A2nX2n
B2
A31X21 + A32X32 +.........+ A3nX3n
B3
........................................................................ Am1Xm1 + Am2Xm2 +..........+ AmnXmn Bm N AiJXJ Bi, J=1 Onde: Os coeficientes AiJ, podem assumir valor negativo, positivo ou nulo, onde estes caracterizam a quantidade de recursos "i", consumidos na atividade "j". Sendo as disponibilidades de recursos representadas por "Bi". E obviamente que, todas as variáveis de decisão Xj, são não negativas, isto é, Xj 0 para j = 1, 2, . . ., N
2.1.4
Para todos i = 1, 2, . . ., m.
Formulação do Modelo
Exemplo 1. Uma indústria produz dois produtos, (produto A e produto B). O produto A é produzido com um lucro de US$ 300,00 U.M. por unidade, e o produto B com um lucro de US$ 100,00 U.M. por unidade. O produto “A” requer 3 horas de fabricação, ocupa uma área de 3 m2/unidade no armazenamento e necessita uma hora de pintura. Já o produto B requer 2 horas de fabricação, ocupa 4m2 /unidade no armazenamento e não necessita de pintura. O tempo disponível para elaboração encontra-se limitado em 24 horas, o espaço para armazenagem em 36 m2 e a secção de pintura dispõe de 6 horas. Pergunta-se:
a) Quanto produzir da cada produto para atingir o lucro máximo? b) Qual esse lucro? c) Quais os setores que possuem folga de recursos?
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Exemplo 2. Uma fábrica produz dois produtos A e B. Cada um deve ser processado por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1 e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastamse 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina M2. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$ 80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$ 60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto a demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidades de A e B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições desse enunciado. 2.2 Método Gráfico
A seleção de uma combinação ótima é uma introdução ideal aos métodos de P.L.. Determinar a proporção de produção de cada produto quando os recursos de produção são limitados é um exemplo típico das aplicações da P.L., que mostram como utilizar recursos escassos para maximizar o lucro. Uma combinação de dois produtos tem como vantagem a simplicidade que permite colocar em questão os fatos básicos. Uma das tarefas difíceis da avaliação dos sistemas de produção é reconhecer qual a melhor maneira de atacar o problema. O conhecimento das exigências da P.L. que serão dadas a seguir deverá revelar se o problema está sujeito a esta forma de solução.
1º) O objetivo deve ser definido explicitamente; 2º) Deve-se dispor de cursos alternados de ação; 3º) Os recursos devem ser limitados; 4º) As varáveis devem ser linearmente relacionadas. E estes relacionamentos são expressos por inequações ou equações.
16
2.2.1 Teorema do ponto extremo O Teorema do Ponto Extremo determina que o valor ótimo da função objetivo ocorre em um dos pontos extremos da região viável. Um ponto extremo num espaço bidimensional é definido pela interseção de duas retas (equações) ou de uma reta com um eixo (havendo também duas equações), sendo assim as coordenadas de um ponto extremo são obtidas pela solução do sistema formado por essas duas equações.
Este teorema também afirma que uma única e finita solução ótima existem para um problema de PL. Existem três exceções, que são os casos de:
Soluções Múltiplas quando uma equação é proporcional a Z;
Soluções Ilimitadas ou indeterminadas (caso em que todas as inequações
( ) e a
função de Max);
Problemas sem solução não existem solução viável (incompatibilidade de restrições).
2.2.2 Etapas para Resolução do Método Gráfico
a) Construir o modelo original; b) Considerar as inequações como equações; c) Determinar dois pontos para cada equação; d) Representar cada equação num gráfico bidimensional; e) Determinar a área das soluções possíveis; f)
Obter o ponto ótimo;
g) Determinar os valores ótimos; h) Verificação e conclusão.
Como obter o ponto ótimo? O ponto ótimo é obtido através da reta da função Z para um valor arbitrário de Z, conforme o processo do item C, que mostrará a inclinação da reta de custo ou lucro, e o ponto ótimo será:
17 1. No caso de Max. O ponto ótimo será o ponto do polígono mais afastado da origem e por onde passará a reta de Max lucro. Esse ponto é obtido tirando-se paralelas da reta da função Z até encontrar o ponto do polígono mais afastado da origem. 2. No caso de Min. O ponto ótimo será o ponto do
polígono mais próximo da origem cortado pela
inclinação da reta da função de mínimo custo.
Exercícios, resolver pelo método gráfico. 1) Função objetivo Max Z = 4X1 + 5X2 Restrições: A) X1 + X2 4
B) X1 + X2 7 Com X1, X2 0
C) 8X1 + 4X2 = 32 2) Função objetivo Min Z = 7X1 + 2X2 Restrições: A) 2X1 + 4X2 12 D) 6X1 + 7X2
B) X1 5
42
C) 2X1 - 2X2 0 Com X1, X2 0
3) Função objetivo Max Z = X1 + 2X2 Restrições: A) X1 + X2 4
B) X1 + X2 6
Com X1, X2 0
4) Função objetivo Max Z = X1 + 2X2 Restrições: A) -X1 + X2 2
B) X1 + X2 4
com X1, X2 0
5) Função objetivo Max Z = 4X1 + 7X2 Restrições: A) -X1 + X2 2
B) 4X1 + 7X2 28
D) 3X1 + 7,5X2 15 6) Função objetivo
Com X1, X2 0
Max Z = 12X1 + 2X2
Restrições: A) - X1 + X2 2 D) 3X1 + 7,5X2 15
C) 2X1 - 3X2 0
B) 4X1 + 7X2 28
E) 5X1 + 4X2 20
C) 2X1 – 3X2 0
Com X1, X2 0
18 Condição: se trocarmos a função objetivo para Min Z = 2X1 + 4X2, o que altera na solução?
2.3 Método Algébrico Simplex
2.3.1 Fundamentação Teorema do ponto Extremo - O valor ótimo da função objetiva ocorre em um dos pontos extremos da região viável; - Um ponto extremo é definido pela interseção de duas equações (retas); - O sistema de "m" equações e "n" varáveis, quando n > m, tem um infinito número de soluções, se o sistema for compatível, porém terá um número finito de pontos extremos;
- Os pontos extremos podem ser determinados pelo teorema básico da P.L.– Centro de Tecnologia – UFSM. 2.3.2 Teorema Básico da P.L.
Num sistema de "m" equações e "n" varáveis, onde n > m, a solução na qual, no mínimo m-n variáveis tem valor zero, logo é um ponto extremo.
Então, tomando-se n-m variáveis como iguais a zero, a solução do sistema resultante para as "n" variáveis restantes será um ponto extremo. Esta solução é chamada
"SOLUÇÃO
BÁSICA".
O número de soluções básicas: n! m!(n - m)!
número de pontos extremos
Etapas Gerais: 1. Conversão das desigualdades em equações: a. Através das variáveis de folga; b. Obtenção das Soluções Básicas Viáveis (obtenção dos pontos extremos); c. Avaliação de cada solução básica viável quanto a otimidade.
2.3.3 Algoritmo Simplex. O algoritmo Simplex é um processo iterativo para determinar soluções básicas viáveis para um sistema de equações e testá-las quanto a otimidade.
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Envolve as seguintes etapas: a) Transformação das desigualdades em equações através das variáveis de folga (falta ou excesso). - inequações ( ) adiciona-se a variável de folga; - inequações ( ) subtrai-se a variável de folga.
b) Montagem do Quadro Simplex Os coeficientes da função objetiva (Cj), os coeficientes das variáveis nas equações (Aij) e os termos independentes (Bi) são então transferidas para uma tabela com o seguinte formato:
Cb
Cj
C1
C2
C3
..............
Cn
S
BASE
X1
X2
X3
..............
Xn
Bi
0
Xn+1
A11
A12
A13
..............
A1n
B1
0
Xn+2
A21
A22
A23
..............
A2n
B2
.............
............
...........
............
............
..............
...........
.........
0
Xn+m
Am1
Am2
Am3
..............
Amn
Bm
Zj
0
0
0
..............
0
Cj - Zj
C1
C2
C3
..............
Cn
Na coluna Cb os coeficientes Cj das variáveis básicas. (Nulos na Solução Básica Inicial) A linha
ZJ
m Zj = ( Cbi.Aij) i=1
c) Troca de Base Em cada iteração será determinada uma nova solução básica (outro ponto extremo). Para isso é necessário realizar a troca de base.
20 A escolha da variável que deve entrar na base é feita pela REGRA SIMPLEX 1. Regra Simplex 1. A seleção da Variável que entra na base depende dos valores de Cj - Zj.
Para Maximização A variável selecionada será aquela que apresentar o maior valor de Cj - Zj. Se todos os valores de Cj - Zj são = 0, a solução já é ótima.
Para Minimização A variável selecionada será aquela que apresentar o menor valor de Cj - Zj. Se todos os Cj - Zj = 0, a solução já é ótima.
A variável que sai da base é dada pela REGRA SIMPLEX 2.
Regra Simplex 2 A seleção da variável que deve deixar a base é feita pelo valor obtido pela divisão dos números da coluna solução (Bi) pelos coeficientes Aij na coluna da variável que entrar na base. Selecione a linha com a menor razão (ignore as razões com denominador zero ou negativo). A variável desta linha deve deixar a base. Esta regra é válida para Max. e Min.
Bi/Aij (tal que Ai,j seja maior do que zero)
d) Pivoteamento O processo de pivoteamento envolve a obtenção da matriz dos coeficientes das variáveis básicas como uma matriz identidade, visto que somente uma variável básica entra na tabela, a cada iteração. A matriz identidade é completada usando as operações de linha para obter coeficiente unitário na posição do elemento pivô, Aij, na linha que sai da base e coluna de entrada e coeficientes zeros nas demais posições da coluna pivô (coluna da variável que entrou na base).
ISTO É FEITO POR: Primeira Operação de Linha: - Para obter coeficiente unitário na posição pivô.
21 - Dividem-se os termos da linha pivô (linha da variável que deixou a base) pelo elemento pivô. - Registra-se a nova linha no novo quadro. A nova linha pivô é multiplicada a um número tal que somando ou subtraindo esta linha modificada a cada equação do quadro anterior obtenham-se ZEROS na coluna pivô. Isso é feito para cada linha que não seja pivô e cada equação resultante é registrada no novo quadro. Obtém-se, assim, a matriz dos coeficientes das variáveis básicas como matriz identidade. Na coluna solução tem-se os valores das variáveis básicas, sendo as variáveis não básicas nulas.( = 0).
e) Verificação da Otimidade A seguir calcula-se os novos coeficientes de : n Zj = ( Aij . Cbi) i=1 e após os Cj - Zj, para cada coluna. Para a Maximização, se todos os valores Cj - Zj 0 a solução é ótima, porém se existir algum Cj - Zj > 0, repete-se o processo desde a troca de base, isto é, calcula-se a próxima solução básica. Para minimização, será ótima quando todos os Cj - Zj 0.6
2.3.4 - Utilização das Variáveis Artificiais OCORRÊNCIA: a) Quando há inequação de sinal ( ) pois nesse caso teremos que colocar variável de folga negativa; b) Quando existir BI negativo e a inequação for do tipo ( ); c) Quando tiver uma equação perfeita.
Profa. Dra. Leoni Pentiado Godoy – Centro de Tecnologia – UFSM.
22 Método Algébrico Simplex quando aparecer variáveis artificiais 1º) Trabalha-se anulando as variáveis artificiais. 2º) Otimizar a max. ou min. ( função objetivo Z).
2.3.5 Casos Especiais - Método Algébrico Simplex
A - Exceções do Teorema do Ponto Extremo
Soluções não viáveis O problema de PL não terá solução viável quando as restrições são incompatíveis. No
algoritmo Simplex, isto é indicado por: - a linha Cj - Zj já está otimizada, isto é, todos os valores Cj - Zj 0, na maximização ou 0, na minimização, porém ainda existe variável artificial na base.
( não é possível
continuar pois não existe coluna pivô).
Soluções Múltiplas ou alternativas
A existência de valores Cj - Zj, igual a zero em colunas de variáveis não básicas significa que o problema tem outras soluções igualmente ótimas. Para obter a solução alternativa realiza-se uma nova iteração do algoritmo com a coluna pivô na posição da variável que tem Cj - Zj = 0 ( a qual vai entrar na base).7 1.
Soluções Ilimitadas Quando a função objetiva pode crescer infinitamente (polígono aberto), então a solução é ilimitada. No Algoritmo Simplex, é indicado pela seguinte situação.
2.
A solução ainda não é ótima, uma variável é selecionada para entrar na base e na coluna pivô, todos os valores dos coeficientes Aij são menor ou igual a zero ( 0), o que impede o cálculo da razão BI/AIS ,que determina a seleção da variável que sai da BASE, pela Regra Simplex 2.
Problemas degenerados A existência de um BI
= 0, em qualquer fase do Simplex, caracteriza uma
degenerescência, o que impede a continuação do cálculo. Para se contornar o problema
23 escolhe-se a linha BI = 0, para linha pivô na 1ª vez, e depois desconsidera-se a mesma nas próximas iterações como linha pivô, escolhendo-se para pivô, a linha de menor BI /AIS . EXEMPLOS:
Solução Múltipla ou Soluções Alternativas: MAX Z = X1 + 2X2 Restrições: X1
X2
4
X2
4
3
X1 + 2X2 9
X 1 , X2 0
Degeneração: MAX Z = 5X1 + 2X2 Restrições: X1 3
3 X1 + 4X2
9
X 1 , X2 0 8
2.4 PROBLEMA DE TRANSPORTE OU ALOCAÇÃO LINEAR
Introdução O modelo de transporte tem por objetivo minimizar o custo total de transporte necessário para abastecer “n” centros consumidores (destinos) a partir de “m” centros fornecedores (origem). Nomenclatura Utilizada m = número de origens ou fornecedores; n = número de destinos ou consumidores; i = um fornecedor qualquer, i = 1,2,3,...,m; j = um consumidor individual, j = 1,2,3,...,n; Pi = número de unidades que um fornecedor i dispõe – OFERTA; Dj = número de unidades que o consumidor j quer adquirir – DEMANDA; Cij = custo, unitário de transporte do fornecedor i ao consumidor j; Xij = número de unidades que devem ser transportadas do fornecedor i ao consumidor j; Matematicamente, o problema é definido da seguinte forma:
m n
Cij Xij i=1 j=1
24
Sujeito as restrições: Restrição de fornecimento na origem:
XiJ= ai
i = 1, 2, ....m
i=1
Restrição de necessidades do produto no destino: J = 1, 2,....,n
Xij = bj J=1
Profa. Dra. Leoni Pentiado Godoy – Centro de Tecnologia – UFSM.
m
n
ai = bj i=1
J=1
XiJ 0 , para todo i e J.
OBS. O problema deve ser equilibrado, somatório da oferta = ao somatório da demanda. Envolve problemas com um só tipo de unidade. Os coeficientes das variáveis são unitários São problemas de minimização.
Quadro de forma tabular do problema de transporte
25 Destinos
1
2
......
N OFERTA
Origem 1
C11
C12
.....
C1n
...... X11
ai
X12
2
X1n
C21
C22
.....
C2n
..... X21
a2
X22
X2n
.....
.....
.....
.....
.....
.... ......
.......
M
......
Cm1
Cm2
...... .....
Cmn am
Xm1
Xm2
......
Xmn am
DEMANDA
b1
b2
......
bn bn
OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL
1) Método do Custo Mínimo a) Localize no quadro de custos o menor Cij que não tenha oferta ou demanda nula; b) Coloque na célula correspondente do quadro de soluções a maior quantidade permitida pela oferta e demanda correspondente; c) Atualize os valores de oferta e demanda e volte ao item a. 2) Método Vogel a) Determinar para cada linha e cada coluna do quadro a diferença entre os dois menores custos; b) Procurar a linha ou coluna que possui a maior diferença e nesta linha ou coluna escolher a célula de menor custo; c) Nesta célula de menor custo colocar a maior quantidade possível permitida pela oferta e demanda correspondente; d) Repetir o processo a partir do item
“a “ até preencher as demais células,
desconsiderando as células já preenchidas para o cálculo das diferenças.
26 VERIFICAÇÃO DA OTIMIDADE DA SOLUÇÃO
Verificar se a solução é ótima aplicando o Método U-V ou Distribuição Modificada. MÉTODO U – V
A) Arbitrar Ui = 0 B) Encontrar para todas as células ocupadas os valores restantes dos Ui e Vj através de : Cij = Ui + Vj
C) Encontrar para todas as células vazias os valores: Qij = Cij - Ui - Vj .
D) Verificar se existe algum Qij < 0 - Se não existir, a solução é ótima; - Existindo Qij < 0, aplicar o MÉTODO DE ALPONDRAS. MÉTODO DE ALPONDRAS OU CIRCUITO DE ALPONDRAS
A) Na célula vazia que apresentar o Qij de maior valor negativo, iniciar o Circuito de Alpondras. Encontrar um circuito possível que, partindo dessa célula vazia, volte a esse ponto (essa célula), de maneira a só mudar de direção quando encontrar células ocupadas.
B) À célula inicial do circuito, atribuir o sinal (+) e atribuir alternadamente os sinais (+) e (-) em cada célula que mudar de direção\ (células ocupadas).
C) Escolher a menor consignação das células onde o sinal do circuito é negativo,(-)
D) Nas células do circuito somar ou subtrair, conforme forem os sinais (+) e (-), a menor consignação escolhida.
27
E) Verificar se existe Qij < 0; se não existir, a solução é ótima. - Interpretar.
F) Se existir Qij < 0, repetir o processo desde o início, até que não haja mais Qij < 0.
G) Se não existir Qij < 0, INTERPRETAR.
Exemplo 1. Problema Equilibrado. Um fazendeiro possui quatro granjas A, B, C e D que produzem diariamente 50.000, 50.000, 60.000, e 30.000 litros de leite, respectivamente. Vende toda a produção em três cidades I, II e III, que necessitam de 70.000, 70.000 e 50.000 litros de leite diariamente. O custo de transporte por litro está na tabela abaixo: CIDADE I
CIDADE II
CIDADE III
GRANJA
A
10
15
12
GRANJA
B
15
10
16
GRANJA
C
12
16
10
GRANJA
D
13
18
16
Formular o modelo de transporte para determinar o programa que torna mínimo o custo total de transporte entre as quatro granjas e as três cidades. Resolução: Seja XiJ ( i = A, B, C e D;
J = I, II e III) a quantidade a ser transportada da granja "i "para a
cidade "j". O modelo de transporte será: Min Z = 10 XAI + 15 XAII +12 XAII I+15 XBI +10 XBII +16 XBIII +12 XCI +16 XCI I+ 10 XCI II+13 XDI +18 XDI I+16 XDIII Sujeito a: Oferta: XAI + XAII + XAII I XBI + XBII +XBIII XCI + XCI I+XCI II
= 50.000 = 50.000 = 60.000
28 XDI + XDI I + XDIII
= 30.000
Demanda XAI + XBI + XCI XDI
= 70.000
XAI I + XBII+ XCII + XDI I
= 70.000
XAI II + XBIII + XCIII XDIII
= 50.000
e XiJ 0 para i = A, B, C, D e J = I, II, III. OBS.: A oferta total de 190.000 litros de leite é igual a demanda total de 190.000 litros de leite. O problema é equilibrado. CASOS ESPECIAIS DO PROBLEMA DE TRANSPORTE
a) Problemas desequilibrados Quando a somatória da oferta é diferente da somatória da demanda .
a.1. Somatória da Oferta maior que a somatória da Demanda.
Cria-se um consumidor fictício para consumir a produção em excesso, com custos bem mais altos que os demais, aplicam-se os métodos normais de resolução.
a.2. Somatório da Demanda maior do que o somatório da Oferta. Cria-se uma fábrica fictícia para produzir o que falta para atender à demanda, custos altos como no item a.1.
b) Impossibilidade de relacionar um dado fornecedor a um dado consumidor ou viceversa.
Coloca-se um custo muito alto na célula correspondente para evitar que a célula seja ocupada.
c) Soluções Alternativas ou Múltiplas
29 Há soluções alternativas quando houver em alguma(s) célula(s) da Solução Ótima um valor Qij = 0. Cada solução alternativa é obtida pela aplicação do Circuito de Alpondras, partindo o Circuito da célula que tiver o Qij = 0. Ver exemplo 1.
d) Problemas de Maximização Os problemas de maximização podem também ser resolvidos pelo algorítmico dado, invertendo-se as decisões. Pode-se usar extremamente as regras de minimização caso se transforme a matriz original numa matriz tal que, minimizada, corresponda ao máximo da primeira. Essa transformação pode ser feita da seguinte maneira: - Escolhe-se o valor de lucro mais alto da tabela e dele se subtrai os demais termos da tabela de lucro, constituindo, assim, uma nova matriz.
e) Degeneração ou Degenerescência Em qualquer fase da resolução de um problema de transporte, o número de células ocupadas deve ser igual a (m + n) – 1. Quando o número de células ocupadas é menor que (m + n ) - 1, ocorre uma degeneração, o que impossibilita o cálculo dos Ui e Vj do método U-V, em alguma(s) célula(s). A degeneração poderá ser resolvida em qualquer estágio da solução, da seguinte maneira: a) Coloca-se uma quantidade infinitésima em uma célula apropriada; b) A atribuição é feita pela inspeção e não influencia os totais de linha e coluna, porque é uma quantidade muito pequena; b) Quando a solução ótima é obtida, é igualado a zero.
OBSERVAÇÕES: 1) Existem casos em que se tem de adicionar mais de um 2) A degeneração pode aparecer em uma solução inicial ou em qualquer solução subseqüente; 3) é tão pequeno que não tem efeito algum quando adicionado ou subtraído de qualquer número inteiro positivo.
30 Exemplo 2. Problema Desequilibrado. Existe, no Rio Grande do Sul, quatro Cooperativas, localizadas em lugares estratégicos, para receber sacas de arroz de três lugares onde há grandes plantações. O lugar "A " colhe 200.000 sacas, o lugar "B", 180.000 sacas, e o lugar "C", 200.000 sacas. A capacidade de cada Cooperativa é a seguinte: Cooperativa 1 = 100.000 sacas; Cooperativa 2 = 200.000 sacas; Cooperativa 3 = 150.000 sacas; Cooperativa 4 = 180.000 sacas. As sacas de arroz são transportadas por caminhões dos lugares de plantio até as Cooperativas sendo os custos de transporte dados na tabela abaixo.
Determine a programação de maneira que o custo de transporte seja mínimo. n m
C1
C2
C3
c4
LA
17
15
13
12
LB
16
15
26
25
LC
15
14
15
17
Exemplo 3. Problema de Maximização. Uma empresa de transporte recebe cargas de quatro fábricas de móveis localizadas em Bento Gonçalves para descarregar em Porto Alegre. O lucro por unidade de produto transportado é dado na tabela abaixo.
Fábricas
Vendedor 1
Vendedor 2
Vendedor 3
Fa
40
60
80
Fb
30
50
70
Fc
20
40
60
Fd
30
40
25
31 As unidades a serem transportadas são: Fa; 40 unidades, Fb; 30 unidades, Fc; 20 unidades e Fd; 25 unidades. Os vendedores necessitam de V1; 40 unidades, V2; 50 unidades e V3; 25 unidades. Determine: a) Quantidade a ser transportada das fábricas para os vendedores. b) Lucro total que a transportadora recebe pelo carregamento. c) O número de soluções ótimas que o problema possui. d) Apresente mais duas soluções.
Exemplo 4. Problema degenerado Os custos de transporte dos depósitos até os armazéns são dados da tabela abaixo: Depósitos
Armazém 1
Armazém 2
Armazém 3
D1
15
20
20
D2
20
18
16
D3
25
17
20
Os depósitos devem entregar mensalmente as seguintes unidades para os armazéns: D1 = 50 unidades; D2 = 30 unidades e D3 = 20 unidades. Os armazéns devem receber mensalmente as quantidades: Ar1 = 50 unidades; Ar2 = 20 unidades e Ar3 = 20 unidades.
2.5 PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO
2.5.1 Introdução Se no modelo de transporte forem introduzidas as restrições: a) Número de origens = número de destinos (m = n); b) Capacidade de cada origem = 1 (ai = 1 para todo i); c) Demanda de cada destino = 1(bj = 1 para todo j), obter-se-á o modelo de designação que tem o seguinte aspecto:
32
m Xij = 1 , i=1
n n MIN Z = Cij Xij , i=1 j=1
n Xij = 1 j=1
sujeito a:
i = 1,2,..,m
e
j=1,2,..n
Xij 0 ( i = 1,2,..., m) e ( j = 1, 2,.., n) Uma origem i abastecerá um único destino J, de modo que as últimas restrições do modelo, sejam equivalentes a: Xij = 1, se a origem i for designada para abastecer o destino J; Xij = 0, caso contrário. O problema consiste em determinar como as designações devem ser feitas de modo a minimizar o custo total. Como a capacidade de cada origem e a demanda de cada destino é unitário, o algoritmo da designação será baseado apenas na seguinte matriz:
Destinos
1
2
.......
m
C11 C21 ..... Cn1
C12 C22 ..... Cn2
........ ........ ....... .......
C1m C2m ...... Cnm
Origens 1 2 ..... n
Os problemas de designações ocorrem quando se tem
de distribuir uma determinada
quantidade de itens (homens, máquinas, etc.) em uma quantidade de igual localização (tarefas, locais, etc.) A solução é ótima quando é possível fazer a correspondência de cada item com um local, sem repetir.
33 RESOLUÇÃO
MÉTODO HÚNGARO OU DE FLOOD (Minimização)
a) Subtrair o menor elemento de cada linha dos elementos restantes desta mesma linha;
b) Subtrair o menor elemento de cada coluna dos elementos restantes desta mesma coluna; (a ordem destas duas primeiras etapas pode ser invertida. c) Verificar a otimidade. – testar a otimalidade da designação – traçando um número mínimo de retas que cubram todos os zeros da tabela. Se o número de retas for igual ao número de linhas ou colunas, a solução encontrada é a ótima. As retas traçadas horizontal ou verticalmente, não sendo permitida reta em diagonal.
d) Quando a solução ótima não é alcançada, escolhe-se o menor custo não cobertos pelas retas e soma-se este mesmo valor aos valores das células que estão na intersecção das retas. Os valores de custos riscados uma única vez permanecem inalterados.
e) Verificar novamente a otimidade - Se a solução não for ótima repetir o traçado de retas (item d). Repetir o item (d) até encontrar a solução ótima. Se a solução for ótima – escolhese os zeros na tabela, obedecendo as restrições em que apenas uma correspondência será atribuída para cada origem.
Exemplo1. Problema Equilibrado Quatro construções diferentes A, B, C e D devem ser levantadas em um Campus Universitário por quatro empreiteiras I, II, III e IV. Como todas as empreiteiras contribuem muito para o fundo dos alunos, cada uma delas deve construir um edifício. Cada empreiteira fez suas propostas no tocante as quatro construções que aparecem na tabela abaixo em U$.
34 EI
EII
EIII
EIV
CA
480
480
500
440
CB
560
600
600
680
cC
960
940
900
850
cD
420
440
540
460
O problema consiste em determinar qual construção designar a cada empreiteira para que o custo da obtenção dos quatro edifícios permaneça mínimo.
CASOS ESPECIAIS
A) Problemas Desequilibrados - quando o número de origens for diferente do número de destinos, criam-se origens ou destinos fictícios para equilibrar com custos ou tempos nulos. B) Soluções Múltiplas ou Soluções Alternativas - quando é possível estabelecer mais de uma correspondência entre origens e destinos. C) Problema de Maximização – é considerado um caso especial. Transforma-se a tabela de maximização para minimização conforme o caso de transporte, utilizando a regra de Min Z = MAX (-Z). Exemplo 2 - problema desequilibrado e soluções múltiplas. Uma fábrica possui quatro locais (L1, L2, L3, L4) para receber três máquinas novas (A,B,C). O lugar quatro não é permitido para a máquina A, por restrições físicas. O custo de manuseio de materiais em u.m. por hora, envolvendo cada máquina com as respectivas posições, é dado a seguir:
L1
L2
L3
L4
Ma
50
10
30
x
Mb
30
10
40
30
Mc
30
30
40
20
35 Sabe-se que não existe nenhum fluxo de material entre as novas máquinas. O objetivo é designar as novas máquinas aos locais disponíveis de modo a minimizar o custo total de manuseio de materiais. Exemplo 3 - problema de maximização.
Um departamento didático necessita designar professores para 5 disciplinas. Existem 5 professores que tem capacidade para lecionar qualquer uma delas, porém possuem diferentes graus de eficiência, avaliados por experiências anteriores e titulação do professor. O quadro abaixo mostra esses graus. sabendo-se ainda que o professor D não deve ser indicado para a disciplina 5, por questões particulares, determine a relação
professor - disciplina, que
maximize a eficiência do ensino das referidas disciplinas.
D I S C I P L I N A S 1
2
3
4
5
A
5
10
8
6
6
B
5
6
7
4
8
C
9
5
6
5
5
D
6
8
5
4
X
E
4
10
7
6
7
Exemplo 2 - problema desequilibrado e soluções múltiplas.
Uma fábrica possui quatro locais (L1, L2, L3, L4) para receber três máquinas novas (A,B,C). O lugar quatro não é permitido para a máquina A, por restrições físicas. O custo de manuseio de materiais por hora, envolvendo cada máquina com as respectivas posições, é dado a seguir: 3. REDE PERT/CPM
3.1 Introdução O sistema PERT (Program Evaluation and Review Tecnique), que segundo a ABNT, foi o termo inicialmente empregado para caracterizar o tempo probabilístico como atributo de cálculo, foi desenvolvido pela empresa Booz-Allen and Hamilton, para a Marinha dos Estados Unidos no programa Polaris, onde cerca de 10.000 empresas (entre contratantes e subcontratantes)
36 tinham que ser coordenadas e necessitavam se comunicar numa mesma linguagem. O método reduziu de cinco para três anos a duração do projeto. O sistema CPM (Critical Path Method), que, segundo a ABNT, foi o termo inicialmente empregado por caracterizar o tempo determinístico como atributo de cálculo, foi desenvolvido pela DUPONT e UNIVAC, na mesma época do PERT ( 1957/1958). A diferença entre os dois é que no PERT predominam os chamados esquemas probabilísticos e no CPM os esquemas determinísticos, não havendo maiores vantagens práticas em considerá-los como dois sistemas diferentes. Hoje em dia, tais sistemas se encontram integrados sob a denominação PERT/CPM.
3.2 Construção da rede
O Modelo PERT/CPM é um conjunto de processos e técnicas para planejamento, programação e controle de um empreendimento ou operação, tendo como característica fundamental a indicação, dentre as várias seqüências operacionais, aquela que possui duração máxima, além de permitir a indicação de graus de prioridade relativos, demonstrando distribuição de recursos e interdependência entre as várias ações necessárias ao desenvolvimento do projeto. A seguir apresenta-se termos e conceitos fundamentais para a construção da rede PERT/CPM.
3.3 Termos PERT e CPM
PERT - PROGRAM EVALUATION AND REVIEW (Técnicas de Avaliação e Revisão de Projetos). CPM - CRITICAL PATH METHOD (Método do Caminho Crítico). PERT – O tempo de duração das atividades é estimado – probabilístico. CPM – O tempo de duração das atividades é determinado – determinístico.
Rede PERT/CPM é usado para estabelecer o plano mais adequado para um projeto e acompanhar o seu andamento eficientemente, quando se conhece a duração de todas as atividades envolvidas. Setas são usadas para representar cada atividade do plano, formando uma rede que evidencia o sequenciamento das atividades e suas relações de subordinação. A
37 partir de tal diagrama, torna-se possível analisar os tempos de maneira conjunta, identificar as atividades críticas e discutir meios para melhorar o plano e ganhar tempo. 3.4 Características principais do PERT/CPM
A) Abordagem de um projeto de um ponto de vista sistêmico:
Fornece uma visão de totalidade do projeto (devido a necessidade de se estabelecer a interdependência entre as várias ações necessárias ao desenvolvimento do projeto);
Ressalta as entradas (diretrizes de recursos), o processo (o desenvolvimento das ações de acordo com as relações de correspondência entre elas) e as saídas (resultado final desejado);
Conduz à montagem de um esquema feedbacck, através do estabelecimento de um sistema de comunicações, que abasteça e permita à administração decidir, em função dos dados e informações que convergem de diversos setores, sobre o andamento do projeto.
B) Dá ênfase aos objetivos C) Visa à otimização da chamada regra dos 5 Ps (política, performance, prazo, preço e perigo).
D) É uma ferramenta interdisciplinar e de comunicação. E) Estabelece claramente as relações entre clientes e fornecedores (internos e externos).
3.5 Conceitos Básicos PROJETO - Conjunto de ações e processos envolvendo recursos humanos, matéria-prima, materiais financeiros, entre outros, organizados para a realização de um objetivo. REDE – É a representação gráfica de um programa no qual se apresenta um seqüência lógica do planejamento com as suas interdependências, e é composta de eventos e atividades. ATIVIDADES – É a execução real de uma tarefa, consome tempo e recursos. As atividades são representadas por setas de linha contínua. Toda seta inicia-se em um nó ou "evento",
38 denominado evento-início de atividade, e termina em outro, chamado de evento-fim de atividade. EVENTO - Um evento é um marco no tempo, um ponto de controle que indica o início ou o fim de uma ou mais atividades. É importante observar que ele não significa a execução de uma tarefa; portanto não consome tempo ou recursos. Para fins de identificação e referência, cada evento é identificado por um número inteiro, envolto por um pequeno círculo. 3.6 Representação Gráfica
ATIVIDADE
EVENTO
Representação da Rede - Método Americano.
i
Aij
j
i - evento inicial da atividade Aij j - evento final da atividade Aij
O encadeamento das setas indica a seqüência cronológica das atividades. 3.7 Atividades:
3.7.1 Atividade Fantasma ou Fictícia
São as atividades que não tem execução real, a duração é nula e auxiliam o traçado da rede, permitindo uma representação correta da rede. São utilizadas em atividades em paralelo para permitir a representação correta. a) Permite a representação de certas dependências entre as atividades na rede, sem alterar a ordem tecnológica. Representação:
a)
39
CORRETA
INCORRETA
Entre dois eventos sucessivos só pode existir uma única atividade. b) Supondo que os trechos abaixo pertençam a uma mesma rede
A
1
1
B
3
5
A D
3
6
C 2
Observe que a atividade B(3,5) dependa da atividade A (1,3), que a atividade D(3,6) dependa da atividade A(1,3) e C(2,3), para obtermos a representação correta, introduzimos uma atividade fictícia:
A
B
3
1
5 C
4
D
3.7.2 Atividades Precedentes – são as que incidem para dentro de um evento inicial. - A atividade A precede a atividade B. 3.7.3 Atividades Sucessoras – são as que incidem para fora de um evento final. - A atividade D sucede a atividade C. 3.7.4 Atividade de Espera – são atividades que embora não representam execução real, consomem tempo.
Ex.: Secagem de uma laje.
40
3.7.5 Atividades em série – são realizadas uma após a outra são dependentes, sem a realização da atividade A (1,2) não poderá iniciar a atividade B (2,3). A
B
1
2
C
3
4
3.7.6 Atividades em paralelo – são as atividades que podem ser realizadas simultaneamente.
2 A B
1
3 C
4
3.8 Cuidados no traçado da rede
Pode-se construir a rede a partir de um evento da esquerda para a direita. Cada atividade vai ter um evento inicial e um evento final. Do evento inicial partem todas as atividades iniciais da rede e no evento final insere nele todas as atividades finais do projeto. A rede vai possuir um único evento inicial e único evento final. Cuidados: a) Não permitir circuitos. b) Entre eventos sucessivos só pode existir uma única atividade. c) A rede PERT/CPM, tem um único evento inicial e um único evento final. d) A ordem de numeração dos eventos é ordem crescente do evento inicial ao final da rede. e) O número do evento - início de uma atividade deve ser sempre menor que o número do evento-fim.
3.9 Metodologia de Utilização
3.9.1 - Fase do Planejamento: Determinação das atividades que compreendem o projeto
41 a - Atividades a serem executadas; b - Ordem tecnológica; c - Duração das atividades. 3.9.2 - Fase do traçado da rede: Relacionar as atividades, suas dependências e suas durações.
3.9.3 - Fase do cálculo da rede: a - Determinação do tempo de execução do projeto; b - Determinação dos tempos operacionais das atividades; c - Determinação das folgas; d - Determinação do caminho critico.
3. 10 EXEMPLO 1
Atividades para organizar uma conferência. Para o programa de atividades, determinar: a) Rede PERT/CPM. b) Caminho critico.
Atividade
Simb
Atividade
Atividade
Duração
Precedente
Sucessora
(dias)
Escolher a cidade
A
-
B,C
1,0
Escolher o auditório
B
A
G,F
3,5
Escolher patrocinadores
C
A
G,F
2,0
Programar conferências
D
-
E
4,0
Recolher conferencistas
E
D
J,H
6,0
Remeter convites
F
B,C
I
10,0
Preparar local e divulgar
G
B,C
H
10,0
Preparar material
H
E,G
K
2,0
Selecionar participantes
I
F
K
3,0
Transporte conferencistas
J
E
K
5,0
Recepção conferencistas
K
H,I,J
-
1,5
42
E
J
3
4
D
A
1
2
B
6
H
7
G F
9
K
10
I 8
C 5 CÃLCULOS
3.10.1 CÁLCULOS DA REDE a) Datas: A data mais cedo de um evento é o tempo necessário para que o evento seja atingido, considerando que não haja atrasos imprevistos nas atividades que o precedem. Ao evento inicial atribui-se o valor zero (0) e para os demais eventos usamos a fórmula:
DCj = Max (DCi + Dij) Onde: DC = data mais cedo i = evento inicial da atividade j = evento final da atividade Dij = duração da atividade A data mais tarde de um evento é a data limite, restrições de um evento para que um evento seja otimizado. É a última data que o evento será concluído, e é dado por:
DTi = Min (DTj - Dij) Este cálculo é realizado no sentido inverso da rede – do evento final da rede para o evento inicial. b) Os Tempos Operacionais das Atividades:
43 O tempo de início mais cedo (TIC) de uma atividade é o valor correspondente a data mais cedo do evento inicial da referida atividade.
TICij = Dci O tempo de término mais cedo (TTC) de uma atividade é a soma da data mais cedo do evento inicial da referida atividade mais a duração da atividade.
TTCij = TICij + Dij ou TTCij = DCi + Dij O tempo de término mais tarde (TTT) de uma atividade é a valor correspondente a data mais tarde do evento final da referida atividade.
TTTij = DTj
O tempo de início mais tarde (TIT) de uma atividade é a data mais tarde do evento final da referida atividade menos a duração da atividade.
TIT ij = TTTij – Dij ou
TITij = DTij – Dij
c) As folgas Folga do evento (FE) é o intervalo de tempo existente entre a data mais cedo e a data mais tarde FEi = DTi – DCi Folga total de uma atividade (FT) é o tempo máximo que o início de uma atividade pode ser retardado sem que altere o tempo total de execução do projeto.
FTij = TTTij - TICij – Dij ou FTij = DTj - DCi – Dij Folga livrre de uma atividade (FL) é o tempo que o início de uma atividade pode ser retardada sem interferir no início de qualquer atividade sucessora.
FLij = DCj - DCi – Dij Para o exemplo 1, calcular os tempos operacionais e as folgas das atividades.
44 SIMB.
DUR.
TICij
TTCij
TITij
TTTij
FTij
FLij
A
1,0
0,0
1,0
0,0
1,0
0,0
0,0
B
3,5
1,0
4,5
1,0
4,5
0,0
0,0
C
2,0
1,0
3,0
2,5
4,5
1,5
0,0
D
4,0
0,0
4,0
2,5
6,5
2,5
0,0
E
6,0
4,0
10,0
6,5
12,5
2,5
0,0
F
10,0
4,5
14,5
4,5
14,5
0,0
0,0
G
10,0
4,5
14,5
5,5
15,5
1,0
0,0
H
2,0
14,5
16,5
15,5
17,5
1,0
1,0
I
2,0
14,5
17,5
14,5
17,5
0,0
0,0
J
5,0
10,0
15,0
12,5
17,5
2,5
2,5
K
1,5
17,5
16,0
17,5
19,0
0,0
0,0
d) Caminho Critico (CC) É todo o caminho de maior duração em um projeto. Nesse caminho os eventos e atividades são críticas. As folgas dessas atividades críticas são nulas. A data mais cedo - do evento final define a duração do projeto e a duração do caminho crítico. Não existem folgas nos eventos do caminho crítico e folga de atividades, portanto qualquer atraso em uma de suas atividades pode acarretar um atraso de mesmo valor na atividade. Desta forma justifica-se a determinação do CC da rede, onde se exerce mais controle e concentração de recursos para evitar atrasos ou até mesmo acelerarmos um projeto.
3.10.2 CÁLCULOS PROBABILÍSTICOS No CPM admite-se que a estimativa de duração seja feita com uma precisão aceitável, correspondendo este valor à duração mais provável e, portanto, com um grau de incerteza desprezível, correspondendo ao chamado esquema determinístico. Mas para o sistema PERT considera-se difícil uma precisão aceitável para a duração de uma atividade, adotando-se, mais de uma estimativa de tempo para cada atividade que nos permita deduzir a probabilidade de ocorrência de datas, corresponde ao chamado esquema probabilístico. a) Tempo esperado de execução de uma atividade (te) São dadas três estimativas de tempo para a duração de cada atividade. As quais seguem aproximadamente a distribuição BETA de probabilidades. Estas são :
45 TEMPO OTIMISTA (a ) É o menor tempo no qual à atividade pode ser executada, considerando que ocorra nas melhores condições possíveis. TEMTO MAIS PROVÃVEL (m) É o tempo normal e usual de ocorrência da atividade (médio ou regular). TEMPO PESSIMISTA (b) É o maior tempo no qual a atividade pode ser executada considerando que ocorra as piores condições possíveis.
Uma hipótese que se faz é a de que os tempos de atividades são distribuídos segundo uma distribuição beta, onde a estimativa “mais provável”, (m) é a moda e a distribuição pode ser inclinada para direita, para a esquerda ou centrada, dependendo da relação entre a, m, e b.
Pela distribuição BETA têm-se:
a + 4m + b te = 6
Onde a variância é dada por:
b-a
2
Vx = 6
A Variância total de um projeto é a soma das variâncias do caminho crítico,
representada por: ( T2).
T² = ²* OBS.: Mede a variabilidade das estimativas. Quanto menor as variâncias mais precisas serão as estimativas.
b) Tempo total esperado do projeto (Te) É o somat6rio dos tempos esperados das atividades do Caminho Critico (*)
46
Te = te*
c) Desvio padrão total do projeto
É a raiz quadrada da variância total do projeto.
PROBABILIDADE DE REALIZAÇÃO DE UM EVENTO NUMA DATA PRÉ-FIXADA Usa-se a Distribuição Normal. Calcula-se o fator de probabilidade K. Entrando com K em uma tabela da distribuição.
K=
T-T T
normal reduzida teremos a probabilidade procurada.
NOTA: Se houver mais de um caminho com a maior duração toma-se aquele que tiver MAIOR VARIÂNCIA. 3.11 CRONOGRAMA PERT/CPM Devem ser consideradas as datas brutas das atividades, pois, os tempos de duração das atividades são considerados como datas líquidas, onde os domingos e feriados não são computados.
Folga total da atividade Primeira chance de realizar a atividade (TTC) Última chance de realizar a atividade Caminho crítico da Atividade
47
Exemplo 2. Determinar : a) Rede PERT/CPM. b) Caminho Crítico. c) Desvio Padrão total do projeto . d) Probabilidade de ocorrência de 50 T 49.
te (horas)
t²
D
10
0,12
-
E
4
0,44
C
-
E,F
5
0,22
D
A
I
11
0,18
E
B,C
G,H
6
0,10
F
C
G,H
7
0,75
G
E,F
J
9
0,62
H
E,F
K
11
,080
I
D
M
15
1,00
J
G
L
13
1,45
K
H
L
14
0,90
L
J,K
-
12
0,42
M
I
-
12
0,13
ATV.
ATV. PREC.
A
-
B
ATV. SUC.
BIBLIOGRAFIA ANDRADE, Eduardo L. Introdução a Pesquisa Operacional. Ed. LTC. Rio de Janeiro – 2004. BELCHIOR, P. G. O. Técnicas de Avaliação e Revisão de Projetos. Tecnoprint Gráfica S. A. São Paulo. 1974.
48
BOITEUX, Colbert D. PERT/CPM/ROY e outras técnicas de Programação e Livros Controle Técnicos e Científicos. RJ, 1985. BRONSON, Richard. Pesquisa Operacional. Editora . McGraw-Hill,1978. CUKIERMAN, Zigmundo S. O Modelo PERT CPM aplicado a projetos. Ed. Qualitymark. RJ,1993. ELLENRIEDER, Alberto. Programação Linear. Editora Almeida, 1993. EPPEN, G. D. e GOULD, F.J. Introductory Management Science. University of Chicago. Prentice-Hall. New Jersey. 1994. FITZSMMONS, A. J e FITZSMMONS M. J. Administração de serviços. 2ª Edição. Porto Alegre. 2005. MIRSHAWKA, Victor. Pesquisa Operacional. Vol. I. Livraria Nobel S. A.., 1979. MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: Curso Introdutório.Thomson, 2007. PUCCINI, Abelardo. Introdução a Programação Linear. Editora Técnica S.A.,1975. SHAMBLIN, James e G.T. Stevens Jr. Pesquisa Operacional - Uma Abordagem Básica. Editora Atlas S.A.,1979.
49
ANEXOS ANEXOS 1 PROGRAMAÇÃO LINEAR - LISTA DE EXERCÍCIOS 1
1. Um fabricante produz dois tipos de liga (liga tipo A e liga tipo B), a partir de três tipos de matéria-prima: cobre, zinco e chumbo. A tabela mostra as composições das ligas, seus preços e as limitações na disponibilidade da matéria-prima. Atividades Itens Cobre Zinco Chumbo Preço Unitário
Liga A
Liga B
2 1 1 $ 30
Matéria-prima disponível
1 2 3 $ 50
16 11 15
O fabricante deseja maximizar a receita bruta. Formule como programação linear.
2. Uma pequena empresa fabrica dois produtos P1 e P2, que passa por três Deptos. de fabricação conforme mostram as tabelas abaixo. Considerando que a produção é vendida em sua totalidade, com lucro unitário para P1 de 10 dólares e de P2 15 dólares. Determine:
a) Quanto fabricar de cada produto para se fazer o melhor uso possível das instalações produtivas? b) Quais os Deptos que possuem folga de tempo de fabricação? c) Qual o lucro máximo encontrado?
Tabela 1- Exigências de tipo de fabricação para se produzir uma unidade do produto por Depto. PRODUTOS P1 P2
TEMPO DE FABRICAÇÃO EM HORAS DEPTO. A DEPTO. B DEPTO. C 2 1 4 2 2 2
50
Tabela 2 - Limites de capacidade de fabricação
DEPTOS. DEPTO. A DEPTO. B DEPTO. C
HOMENS/ HORA/SEMANA DISPONÍVEL 160 120 280
3. Uma loja de equipamentos de som vende os equipamentos com descontos, está planejando uma liquidação especial. A loja tem 400 m2 de espaço disponível para expor as ofertas da semana: um receptor modelo X e uma série de alto-falantes modelo Y. Cada receptor custa $100 no atacado, necessita de 2m2 de espaço, e será vendido por $150. O custo de um par de alto-falantes no atacado é $50; o par necessita de 4 m2 para ser exposto, e será vendido a $ 70. O orçamento para estocar os equipamentos é de $ 8.000. O potencial de vendas para o receptor é de no máximo 60 unidades; entretanto o preço dos alto-falantes parece atrair uma demanda ilimitada. O gerente da loja, desejando obter o maior lucro possível, precisa decidir quantos receptores e quantos alto-falantes devem comprar e estocar.
4. Uma pequena fábrica produz dois tipos de peças para máquinas agrícolas. A fábrica compra unidades fundidas, que são torneadas, furadas e retificadas. Os dados relativos a produção estão na tabela:
Peça A
Peça B
Capacidade de Torneamento
25 unid./hora
ou
40 unid./hora
Capacidade de Furação
28 unid./hora
ou
35 unid./hora
Capacidade de Retificação
35 unid./hora
ou
25 unid./hora
As unidades para A e B custam U$ 20 e 30 cada. O preço de venda é de U$ 60 e U$ 70 respectivamente. As três máquinas tem custos operacionais de U$ 200 ,U$140 e U$175 por hora, respectivamente. Determinar quantas unidades devem ser produzidas de cada peça, a fim de maximizar o lucro, determine também as folgas existentes nas máquinas utilizadas.
51 5.Um agricultor pode produzir bois para abate e ovelhas para lã. A produção de um boi por ano requer a existência de um rebanho bovino que ocupa 11 has de pastagens e que exige uma hora de trabalho por dia. A produção de uma tonelada de lã por ano requer a existência de um rebanho ovino que ocupa 60 has de pastagens e que exige duas horas de trabalho por dia. O produtor prevê lucros de $8 por boi e $12 por tonelada de lã. Seus recursos produtivos são limitados a 500 has. de pastagens e, dado que seus dois filhos o auxiliam no trabalho, dispõe de 24 horas de trabalho diárias. O produtor desejaria seguir um plano que maximizasse seus lucros totais, sabendo quantos bois e quantas toneladas de lã deverão produzir por ano.
6. As especificações para construção de uma estrada determinam uma espessura de revestimento de 12 a 48 cm. O revestimento pode ser feito com concreto e/ou asfalto. As especificações também requerem uma resistência final de no mínimo 9 cm de concreto. Sabe-se que 3 cm de asfalto equivalem a resistência de um cm de concreto. Sabe-se também que cada cm de espessura custa 1000 u.m. e 350 u.m. para concreto e asfalto, respectivamente. Se o objetivo é minimizar: a) Quais as espessuras de asfalto e concreto a adotar?
7. Uma refinaria fabrica dois tipos de gasolina (1 e 2) a partir de dois tipos de petróleo bruto (A e B). Os custos dos preços de vendas e requisitos para fabricar a gasolina são:
Petróleo A B
Máx.Quant.Disp. Custo Unit. Gasol. Mín. % "A"requerida Preço de Venda 100 200
6 dólares 3 dólares
1 2
60 30
8dól./unid. 5dól./unid.
Montar o modelo matemático do problema proposto.
8. A empresa Dalai-Lama deseja planejar a produção de incensos. Os incensos requerem dois tipos de recursos: mão-de-obra e materiais. A empresa fabrica três tipos de incenso, cada qual com diferentes necessidades de mão-de-obra e materiais, conforme tabela abaixo:
52
Mão-de-obra (horas por unidade) Materiais (g/unidade produzida) Lucro ($ / unidade)
A 7 4 4
MODELOS B 3 4 2
C 6 5 3
A disponibilidade de materiais é de 200 g/dia. A mão-de-obra disponível por dia é de 150 horas. Formule um problema de programação linear para determinar quanto deve ser produzido de cada tipo de incenso, tal que o lucro total seja maximizado.
9. Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2 $ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. PRODUTO P1 P2 Disponib. de recursos/mês
Recurso R1/unid 2 4 100
Recurso R2/unid 3 2 90
Recurso R3/unid 5 3 120
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.
10. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra R$ 300,00 por alqueire por ano. P(Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 Kg/Alq) e irrigação (100.000L. de água/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 400,00 por alqueire por ano.
53 S (Plantio de soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 Kg por alqueire de adubos e 200.000 L. de água/ Alq. Para irrigação por ano. Disponibilidade de recurso por ano: 12.750.000 L de água. 14.000 kg de adubo 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverão ser destinados a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão.
11. Certo fabricante de combustível para avião vende dois tipos de combustível, A e B. O combustível do tipo A possui 25% de gasolina tipo 1, 25% de gasolina tipo 2 e 50% de gasolina tipo 3. O combustível do tipo B tem 50% de gasolina tipo 2 e 50% de gasolina tipo 3. Há disponível para a produção de 500 galões-hora de gasolina tipo 1 e 200 galões -hora da gasolina tipo 2 e tipo 3. Os custos são de $30 por galão do tipo 1, $60 por galão do tipo 2 e $50 por galão tipo-3. O preço de venda do combustível tipo A é de $75 por galão e do tipo B é de $90 por galão. a) Quanto se deve produzir de cada combustível para maximizar o lucro?
12. A fábrica de aço DKS tem duas instalações A e B, cada uma produzindo dois tipos de aço CA-50 e CA-60. Nenhuma das instalações pode funcionar mais do que 18 horas por dia. Na instalação A leva-se duas horas para produzir uma tonelada do aço CA-50 e 1 hora para produzir uma tonelada do aço CA-60. Na instalação B, leva-se uma hora para produzir uma tonelada do aço CA-50 e três horas para cada tonelada do aço CA-60. A usina tem que produzir diariamente pelo menos 14 toneladas do CA-50, e 16 toneladas do aço CA-60. Na instalação A, o custo por tonelada do aço CA-50 é de U$ 3500 e de U$ 3000 para o aço CA-60. Na instalação B, o custo por tonelada é de U$ 2500 para qualquer tipo de aço. Como deve ser organizada a produção para que o custo da quantidade necessária de cada tipo de aço seja o menor possível?
13. Uma refinaria produz gasolina e óleo combustível. Sua matéria-prima é o petróleo, que pode ser adquirido em três países diferentes, A, B e C. A partir de um barril de petróleo do País A, que custa U$ 30.000 a refinaria obtém 20 litros de gasolina e 40 kg de óleo combustível. A partir de um barril de petróleo do País B, que custa U$ 28.000 a refinaria obtém l7 litros de
54 gasolina e 43 kg de óleo combustível. A partir de um barril de petróleo do País C, que custa U$ 34.000 a refinaria obtém 25 litros de gasolina e 35 kg de óleo combustível. A gerência da refinaria assinou contrato para a entrega de pelo menos 200.000 litros de gasolina e pelo menos 380.000 Kg de óleo combustível por semana, nos próximos dois meses. Por problemas de transporte e armazenamento fica limitada em 70.000 barris a quantidade a ser comprada semanalmente. Que quantidade de barris deve ser adquirida de cada País de modo que a refinaria possa cumprir seus contratos com o menor custo possível?
14. Vamos nos propor a constituir uma alimentação para gado. Esta alimentação deve conter obrigatoriamente quatro componentes nutritivos: A, B, C e D. A indústria alimentícia produz dois tipos de alimentos, M e N que contém os componentes exigidos. O Kg de alimento M contém: 100g de A, 100g de C e 200g de D, enquanto o alimento N contém: 100g de B, 200g de C e 100g de D. Um animal deve consumir no mínimo diariamente: 0,4Kg de A; 0,6Kg de B; 2 Kg de C e 1,7Kg de D. O alimento M custa U$ 100/Kg e o N 400/kg. Qual deverá ser a quantidade de M e N utilizada diariamente da maneira a satisfazer alimentação exigida dentro de um custo mínimo?
15. O nutricionista do Hospital está preparando um Milk-shake especial como tratamento para pacientes da pediatria que se recuperam de cirurgia. O nutricionista quer garantir que o nível de colesterol não irá exceder 175 unidades e que o nível de gordura saturada não irá exceder 150 unidades. O conteúdo de proteínas na refeição deveria ser de pelo menos 200 unidades, e as calorias deveriam exceder 100 unidades. O nutricionista selecionou 3 possíveis ingredientes: um pudim à base de ovos (quindim), sorvete e um xarope caramelado. Uma unidade de pudim custa 15 centavos e contribui com 50 unidades de colesterol sem gordura, 70 unidades de proteínas e 30 calorias. Uma unidade de sorvete custa 25 centavos e contribui com 150 unidades de colesterol, 100 unidades de gordura, 10 de proteína e 80 calorias. Uma unidade do xarope custa 10 centavos e contribui com 90 unidades de colesterol, 50 de gordura, não possui proteínas, e 200 calorias. Quantas unidades de cada ingrediente devem ser incluídas no Milkshake se desejamos minimizar o custo?
16. Um fazendeiro deve decidir qual a quantidade de vários tipos de grão que deve comprar de forma que sua criação receba o mínimo requerido dos nutrientes abaixo relacionados, ao menor custo possível. As informações são as seguintes:
55 Nutrientes
Uma unidade monetária de
Quantidade Mínima do nutriente
Nutriente 1
Grão 1 4
Grão 2 5
Grão 3 6
Grão 4 3
1.000
Nutriente 2
2
1
0
3
850
Nutriente 3
1
2
3
1
700
Nutriente 4
2
3
1
2
1.320
Nutriente 5
0
2
1
1
550
Custo/ u.m.
0,35
0,42
0,45
0,37
Formule o problema de programação linear para determinar a mistura de grãos que minimiza os custos.
56 ANEXOS 2 LISTA DE EXERCÍCIOS DE TRANSPORTE 1. Uma vinícola do sul de Santa Catarina possui três fábricas e três armazéns nos quais os vinhos são envelhecidos. Como as fábricas e os armazéns estão localizados em diferentes locais do estado, a empresa deseja saber quantos tonéis de vinho deve enviar de cada fábrica para cada armazém de forma a minimizar o seu custo de transporte. As capacidades das fábricas e dos armazéns (em número de tonéis), bem como custos de transporte por tonel, estão explicitados na tabela a seguir. Armazéns
Fábricas
F1 F2 F3
Capacidade dos armazéns
A1 20 10 12
A2 16 10 18
A3 24 8 10
200
400
300
Capacidade das fábricas 300 500 200
2. Considerando o esquema que mostra as estradas existentes entre as fábricas e os consumidores de um determinado produto, as capacidades de produção, os pedidos e os custos unitários. Determine o melhor esquema de distribuição para minimizar os custos. A fábrica A pode trabalhar em horário-extra aumentando sua capacidade em 10.000 unidades, porém com custos dobrados.
20.000 21.000
Fabrica A
5/Unid.
6/Unid. 18.000
Consumidor 3
Consumidor 1
12/Unid
2/Unid. 7/Unid
Fábrica C
6/Unid
34.500 Consumidor 2
35.000
12.800 Fábrica B 10/Unid.
57
3. Uma determinada empresa de transporte terrestre compra ovos nas granjas A, B, C para vendê-los nas cidades 1, 2 e 3. São dados:
a) Preço da dúzia de ovos (u.m.) Granja A: 40
b) Disponibilidade de ovos (dúzia)
Cidade 1: 80
Granja A: 40
Granja B: 50
Cidade 2: 100
Granja B: 30
Granja C: 60
Cidade 3: 120
Granja C: 20
c) Consumo nas cidades (dúzias): Cidade 1: 30 Cidade 2: 40 Cidade 3: 20
Custo de Transporte ( u.m./dúzia)
CIDADES GRANJAS 1
2
3
A
10
8
9
B
12
6
5
C
2
X
4
Não existe estrada ligando a granja C a cidade 2. Quanto a empresa deve transportar de cada granja para cada cidade para maximizar o lucro total? Qual o lucro máximo?
4. Quatro vendedores de gasolina, A, B, C e D necessitam respectivamente de 50.000, 40.000, 60.000 e 40.000 litros mensalmente. É possível receber gasolina de três locais I, II, e III que dispõe respectivamente de 80.000, 100.000 e 50.000 litros. O lucro de envio de 1.000 litros, são dados na tabela abaixo:
58 Locais Vendedores
I
II
III
A
70
50
80
B
60
80
50
C
60
60
80
D
60
70
60
Determinar as quantidades de gasolinas que devem ser enviadas de cada localidade para cada vendedor, de tal forma que as necessidades sejam satisfatórias e o lucro seja máximo.
5. Um grupo empresarial composto por duas fábricas A e B produzem determinados produtos nas condições abaixo. Abastece 3 consumidores que necessitam em um determinado período de 220, 250 e 200 unidades do produto, respectivamente, C1, C2 e C3. Os custos de transporte, custos de produção e capacidade de cada fábrica, para esse período são dados abaixo:
Fábricas
Custo
Unitário
Capacidade
de
Custo Adicional
Capacidade
de Produção
Produção
p/hora extra
Hora Extra
A
30
300
10
130
B
35
200
10
100
CONSUMIDORES Fábrica
C1
C2
C3
Fáb. A
17
22
20
Fáb. B
15
10
12
a) Determinar qual deverá ser o destino da produção de cada fábrica com o objetivo de minimizar os custos totais envolvidos. b) O custo total mínimo. c) Quantas soluções ótimas tem o problema? Justifique sua resposta.
59
6. Uma empresa decidiu produzir 3 novos produtos devido a 5 de suas filiais estarem com a capacidade de produção ociosa. O custo unitário de fabricação do 1º produto será de R$ 26.00, R$ 28.00, R$ 24.00, R$ 30,00 e R$ 27.00, nas filiais 1, 2, 3, 4, e 5 respectivamente. O custo do 2º produto será de R$ 29.00, R$ 33.00, R$ 28.00, R$ 32.00 e R$ 31.00 nas filiais 1, 2, 3, 4, e 5 respectivamente. O custo do terceiro produto será de R$ 49,00, R$ 43,00 e R$ 39,00 nas filiais 1, 2, e 3, respectivamente, sendo que as filiais 4 e 5 não possuem equipamentos para produção destes produtos. O departamento de vendas indicou que 300, 200, e 400 unidades dos produtos 1, 2 e 3 devem ser produzidos diariamente. As filiais 1, 2, 3, 4 e 5 tem capacidade ociosa correspondente a 200, 400, 200, 500 e 300 unidades diárias. A direção deseja saber como distribuir a fabricação dos novos produtos nas diversas filiais, de maneira a minimizar o custo total da produção.
60 ANEXOS 3
LISTA DE EXERCÍCIOS DE DESIGNAÇÕES
1.
Quatro locais L1,
L2,
L3,
L4 exigem certa peça sobressalente. As quatro peças
sobressalentes estão estocadas em quatro armazéns diferentes. Se a quilometragem entre os armazéns e os locais for a que aparece no quadro seguinte, determine o programa de expedição de quilometragem mínima. LOCAIS Consumidor 1
Consumidor 2
Consumidor 3
Consumirdor 4
Armazém 1
230
200
210
240
Armazém 2
190
210
200
200
Armazém 3
200
180
240
220
Armazém 4
220
180
210
230
2. O diretor de uma empresa precisa enviar 4 gerentes para 4 lojas localizadas em cidades vizinhas. A seleção será realizada através da eficiência obtida pelos vendedores em cada cidade. O diretor atribuía a nota conforme as vendas realizadas por cada um deles, conforme tabela abaixo.
A B C D
C1 8 7 6 5
C2 9 7 8 5
C3 7 8 5 6
C4 5 3 7 8
Se o objetivo é maximizar as vendas,qual a cidade atribuída a cada vendedor? 3. Uma companhia de transporte tem cinco caminhões disponíveis localizados nas cidades A, B, C, D e E. Necessita-se de um caminhão nas cidades 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A quilometragem entre as cidades aparece na tabela abaixo. Qual a designação dos caminhões que minimiza a quilometragem percorrida? Apresente todas as alternativas.
61 CAMINHÕES DAS CIDADES A B C D E
C1 20 15 18 8 12
C2 15 32 15 24 20
PARA AS CIDADES C3 C4 26 40 46 26 2 12 12 22 18 10
C5 32 28 6 22 22
C6 12 20 14 20 15
4. Certo gerente esta diante do problema de ter que designar quatro métodos novos para três instituições produtoras. A designação dos novos métodos aumentara os lucros conforme as quantidades mostradas. Se apenas um método puder ser atribuído a cada instituição produtora, determine a atribuição ótima. Lucros em U$ (000 omitidos).
INSTITUIÇÃO PRODUTORA MÉTODO 1 12 10 11,5 13
A B C D
2 9 11 10 12
3 13,5 12,5 10 10,5
5. Uma empresa de construção civil tem possibilidade de executar 4 obras num determinado período, para o qual tem disponível 5 grupos de trabalho. Os custos por m², de cada obra para cada grupo são:
Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Grupo E
Obra 1 15,000 16.000 18.000 15.000 20.000
Obra 2 17.000 16.000 20.000 16.000 15.000
Obra 3 12.000 14.000 15.000 15.000 19.000
Obra 4 16.000 18.000 16.000 18.000 14.000
Custo por metro quadrado (R$/m²) A dimensão de cada obra, bem como o preço a ser cobrado pela empresa pelo m² construído são dados na tabela.
62
Obra 1
Obra 2
Obra 3
Obra 4
Dimensão(m²)
100
200
150
180
Preço de venda R$ /m²
25.000
27.000
20.000
28.000
Sabendo-se que o grupo C não pode ser designado para obra 4, por haver desentendimentos entre as partes, determinar qual grupo deverá executar cada obra a fim de que a empresa maximize seus lucros por m²? Qual o lucro total máximo obtido pela venda das 4 obras?
6. Uma indústria possui fábricas em 4 cidades diferentes. Os produtos fabricados são entregues em 4 locais. Baseando-se na tabela de distâncias entre as cidades e os locais, determine: A) A designação que torna a distância mínima. B) A distância mínima percorrida. C) Quantas soluções têm o problema? Justifique. TABELA EM KM.
Fa Fb Fc Fd
L1 150 150 150 350
L2 300 350 200 250
L3 350 300 250 300
L4 300 250 350 150
63
ANEXO 4 - Lista de exercícios – Programação Linear 1. Uma indústria produz três produtos A, B, e C em 4 operações: Estamparia, Montagem, Solda e Pintura. O tempo de processamento em horas, requerido por unidade de produto, nas 4 secções são: Secções
Produto A
Produto B
Produto C
Estamparia Montagem Solda Pintura
10 15 8 10
10 10 5 8
10 5 3 8
Capacidades mínimas mensais 60.000 horas 60.000 horas 40.000 horas 80.000 horas
Os produtos A, B e C custam respectivamente R$ 10,00; R$ 30,00 e R$ 20,00 por unidade respectivamente. a) Quanto deve ser produzido mensalmente de cada produto para minimizar o custo de produção? b) Quais as secções que não apresentam folga de recurso? Apresente essas folgas.
2. A firma Rápida tem como diretores dois Engenheiros, Carlos e Matias, os quais, têm métodos bastante diferentes para resolverem problemas. A firma produz, parafusos, porcas e arruelas. O lucro dos parafusos é de R$ 3,00 por unidade; porcas de R$ 2,00 e arruelas e R$ 2,50. A primeira vista, parece que o mais lógico seja produzir tão somente parafusos, a firma sofre certas restrições na produção, o que torna mais proveitoso produzir uma linha mais variada. Recursos Horas de MO. Máquina A Máquina B
Parafusos 6 2 2
Porcas 2 0 2
Arruelas 2 1 2
Quantidade Disponível 12 2 4
Carlos e Matias têm discutido sobre as quantidades ideais a serem produzidas. Carlos estimou que um parafusos e quatro porcas é o que deveria ser produzido. Matias não quis acreditar, e quer saber: a) Se a solução de Carlos é a melhor? Se não qual seria? b) Quantas horas ociosas têm a máquina A?
64
3. Dos muitos produtos produzidos pela empresa Flecha S.A, apenas os produtos P1, P2, P3 e P4 passam pelas secções S1, S2, S3 e S4. As unidades de produtos por hora e o lucro em R$ são dados da tabela 1.
Tabela 1. PRODUTO P1 P2 P3 P4
S1 0,5 1,0 1,0 0,5
S2 2,0 1,0 1,0 1,0
SECÇÕES S3 0,5 0,5 1,0 1,0
S4 3,0 1,0 2,0 3,0
Lucro/Unitário R$ 8,00 R$ 9,00 R$ 7,00 R$ 6,00
As capacidades disponíveis em horas nas secções e as necessidades mínimas de vendas dos produtos são:
Tabela 2. SECÇÕES S1 S2 S3 S4
CAPACIDADE HORAS 1.800 2.800 3.000 6.000
P1 P2 P3 P4
VENDAS MÍNIMAS 100 600 500 400
Determina: a) A quantidade dos produtos P1, P2, P3 e P4 que devem ser produzidos para que o lucro seja máximo e qual esse lucro máximo? b) Quais as secções que possuem folga e qual essa folga?
4. Uma fábrica pode produzir sapatos feminino, infantis e masculinos. A produção de uma dezena de pares de calçados femininos requer 2 horas de serviço de montagem e 8 horas de serviço no setor de acabamento. A produção de uma dezena de pares de calçados infantis requer uma hora de serviço no setor de montagem e 6 horas de serviço no setor de acabamento. A produção de uma dezena de pares de calçados masculinos requer 2 horas de serviço no setor de montagem e 4 horas de serviço no setor de acabamento. Os ganhos líquidos por dezena de pares são de: R$10,00; R$ 8,00 e R$ 10,00, para os calçados feminino, infantis e masculinos, respectivamente. Em cada turno de trabalho a fábrica dispõe de 300 horas de serviço no setor de montagem e 720 horas de serviço no setor de acabamento. No setor de empacotamento a capacidade é de 320 dezenas de pares de calçados, englobando os três tipos. Determine o plano de produção que maximiza os ganhos líquidos totais.
65
5. Uma empresa fabrica 3 produtos P1, P2, e P3 a partir de 3 materiais M1, M2 e M3. Os 3 produtos usam os materiais de acordo com a seguinte tabela: Produto
M1
M2
M3
P1
2
0
3
P2
3
2
2
P3
0
5
4
As disponibilidades dos 3 materiais são: M1 =16; M2 = 25; M3 = 18. Enquanto que os lucros unitários são R$13,00; R$22,00 e R$18,00; para P1, P2 e P3, respectivamente. O departamento de vendas informa que a venda máxima para o produto P2 será de 8 unidades, e que a venda do produto P1 mais o dobro da venda do produto P2 deverá atingir no mínimo 8 unidades. Determinar: a) Quais os produtos que devem ser produzidos e em que quantidades para que o lucro seja máximo? b) Quais os materiais que estão sendo adquirido em excesso de acordo com a solução ótima? Especifique o excesso de cada recurso. 6. A Procloro S. A precisa produzir exatamente 10.000 de uma mistura especial no decorrer de um mês. Esta mistura consiste dos ingredientes A, B e C que custam respectivamente, R$ 8.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 11.000,00 por tonelada. Sabe-se ainda que a mistura deve ter não mais que 3.000 toneladas de A e ao menos 1.500 toneladas e 2.000 toneladas respectivamente de B e C. Quantas toneladas dos ingredientes A, B e C devem ser usados para obter a produção de 10.000 toneladas com o menor custo possível?
66
ANEXO 5 LISTA DE EXERCÍCIOS PERT/CPM 1. Dado o programa de atividades, determine: a) Montar a rede PERT/CPM. b) Qual é o caminho crítico? c) Qual a atividade que possui o maior grau de certeza na estimativa de seu tempo? d) Quais as atividades que podem sofrer atraso sem interferir no tempo total do projeto? e) Probabilidade de ocorrência de 50 T.
ATV. A B C D E F G H I J K L M
ATV. PREC _ _ A B,C C E,F E,F D G H J,K I
ATV.SUCESS. D E E,F I G,H G,H J K M L L -
te (dias) 10 4 5 11 6 7 9 11 15 13 14 12 12
2. Para o programa de atividades, determinar: a) A rede PERT/CPM. b) O caminho crítico. c) Qual o tempo total da execução do projeto? d) Qual o desvio padrão total do projeto? ATIV. A B C D E F G H I J K L M N
ATIV. PREC. A,B B C C E,F D I,H,G G J K L,M
ATIV. SUCESS. D D,E F,G I H H J,K J J L M N N -
te 3 2 5 7 8 12 10 12 6 5 4 8 7 10
² 0,12 0,23 0,23 0,50 1,20 1,53 0,18 2,61 3,00 0,55 0,65 1,25 2,00 0,35
² 0,12 0,44 O,22 0,18 0,10 0,75 0,62 0,80 1,00 1,45 0,90 0,42 0,13
67
3. Para o programa de atividades, determinar: a) Rede PERT/CPM b) Folga dos eventos c) As atividades cujo mínimo atraso, influenciará em atraso do tempo total do projeto.
ATIV A B C D E F G H I J K L M N
ATIV.PREC. A B A A D,E F,C,N I,G,H I,G,H I,G,H K A
ATIV.SUCES. B,D,E,N C I G G I J,K,L J,K,L J,K,L M I
te 10 20 30 15 10 25 22 12 15 8 20 26 18 10
² 1,0 0,5 0,6 1,0 0,8 1,4 0,2 0,4 0,6 1,0 0,5 1,0 0,8 0,7
4. Para o programa de atividades, determinar: a) Rede PERT/CPM b) Atividades que poderão sofrer atraso sem influenciar no tempo total de execução do projeto. Justifique sua reposta. c) O caminho crítico. ATIV. A B C D E F G H I J K L
ATIV.PREC. H H A,B,G D I,F E E E J
ATIV.SUCESS. C C F I,J,K G C A,B G L -
DURAÇÃO 2 1 7 2 5 2 4 3 4 9 10 6
68
ANEXO 6 - Tabela de Áreas da Curva Normal Frações da área total da curva normal entre a média e qualquer ponto da linha de base dado em desviopadrão. (Fonte: Modelo PERT-CPM – Sistemática de sua aplicação à Administração de Projetos, de Moysés Jocob Lilenbaum). Z
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0,0
0000
0040
0080
0120
0160
0199
0239
0279
0319
0359
0,1
0398
0438
0478
0517
0557
0596
0636
0675
0714
0753
0,2
0793
0832
0871
0910
0948
0987
1.026
1.064
1.103
1.141
0,3
1.179
1.217
1.255
1.293
1.331
1.368
1.406
1.443
1.480
1.517
0,4
1.554
1.591
1.628
1.664
1.700
1.736
1.772
1.808
1.844
1.879
0,5
1.915
1.950
1.985
2.019
2.059
2.088
2.123
2.157
2.190
2.224
0,6
2.257
2.291
2.324
2.357
2.389
2.422
2.454
2.486
2.517
2.549
0,7
2.580
2.611
2.642
2.673
2.703
2.734
2.764
2.794
2.823
2.852
0,8
2.884
2.910
2.939
2.967
2.995
3.023
3.051
3.078
3.106
3.133
0,9
3.159
3.186
3.212
3.238
3.264
3.289
3.315
3.340
3.365
3.389
1,0
3.413
3.438
3.461
3.485
3.508
3.531
3.554
3.577
3.599
3.621
1,1
3.643
3.665
3.686
3.708
3.729
3.749
3.770
3.790
3.810
3.830
1,2
3.849
3.869
3.888
3.907
3.925
3.944
3.962
3.980
3.997
4.015
1,3
4.032
4.049
4.066
4.082
4.099
4.115
4.131
4.147
4.162
4.177
1,4
4.192
4.207
4.222
4.236
4.251
4.265
4.279
4.292
4.306
4.319
1,5
4.332
4.345
4.357
4.370
4.382
4.394
4.406
4.418
4.429
4.441
1,6
4.452
4463
4.474
4.484
4.495
4.505
4.515
4.525
4.535
4.545
1,7
4.554
4.564
4.573
4.582
4.591
4.599
4.608
4.616
4.625
4.633
1,8
4.641
4.649
4.656
4.664
4.671
4.678
4.686
4.693
4.699
4.706
1,9
4.713
4.719
4.726
4.732
4.738
4.744
4.750
4.756
4.761
4.767
2,0
4.772
4.778
4.783
4.788
4.793
4.798
4.803
4.808
4.812
4.817
2,1
4.821
4.826
4.830
4.834
4.838
4.842
4.846
4.850
4.854
4.857
2,2
4.861
4.864
4.868
4.871
4.875
4.878
4.881
4.884
4.887
4.890
2,3
4.893
4.896
4.898
4.901
4.904
4.906
4.909
4.911
4.913
4.916
2,4
4.918
4.920
4.922
4.925
4.927
4.929
4.931
4.932
4.934
4.936
2,5
4.938
4.940
4.941
4.943
4.945
4.946
4.948
4.949
4.951
4.952
2,6
4.953
4.955
4956
4.957
4.959
4.960
4.961
4.962
4.963
4.964
2,7
4.965
4.966
4.967
4.968
4.969
4.970
4.971
4.972
4.973
4.974
2,8
4.974
4.975
4.976
4.977
4.977
4.978
4.979
4.979
4.980
4.981
2,9
4.981
4.982
4.982
4.983
4.984
4.984
4.985
4.985
4.986
4.986
3,0
4.986
4.986
4.987
4.987
4.988
4.988
4.988
4.989
4.989
4.990
