Aplicación de La Integral Doble en Coordenadas Polares

Aplicación de la Integral Doble en Coordenadas Polares I.

INTRODUCCIÓN

Las aplicaciones de las integrales dobles en coordenadas polares son varias, se sabe !e parte del "is"o principio !e las coordenadas cartesianas solo !e a#ora !tili$are"os coordenadas polares por lo tanto se !tili$aran las "is"as ec!aciones !e #a% !e pasarlas a coordenadas polares.&'(

II.

D)*ARROLLO D) D)L CO CONT)NIDO

*i desea"os integrar

doble

f   +!nción de+inida dentro de !na región R, general"ente lo #ara"os eval!ando la integral

∬ f  ( ( x , y ) dA

 sobre la región de integración !e de+inira"os !tili$ando los "-todos !e #e"os visto antes

en coordenadas rectang!lares. Un proble"a !e p!ede presentarse seria si se deseara trabaar con ciertas +ig!ras circ!lares /p.e. crc!los, paraboloides, elipsoides, etc.0, la de+inición de s! región de integración se v!elve algo co"plicada. Una +or"a en la !e nos +acilita"os el trabao es el trabaar para coordenadas polares, dado !e estas se adec!an de "eor  "anera a las +or"as circ!lares.&1(  A. Pasos a seguir 

Los pasos generales !e se deben conocer para la resol!ción de las integrales dobles en coordenadas polares son2 '. Para"etri$ación de las +!nciones en coordenadas polares. 1. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 5. Resolver la integrar con los l"ites anterior"ente encontrados.  B. Método de parametrización parametrización A con conti tin!a n!ació ciónn se presen presentan tan las ec!ac ec!acion iones es "4s "4s !sadas !sadas para para la para"e para"etri tri$ac $ación ión de coo coorde rdenad nadas as cartes cartesian ianas as en coordenadas polares2 2

2

r = x + y  x =rcosθ

 y =rsinθ

2

2

senθ =

cos θ

2

=

1 −sen 2 θ 2

1 + cos2 θ 2

C. Cálculo de Áreas Para el c4lc!lo de 4reas se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites #allados % el di+erencial de 6rea.  D. Cálculo de Volumen Para el c4lc!lo del vol!"en se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la restricción !e se tiene para el c4lc!lo del vol!"en.  E. Cálculo de Masa Para el c4lc!lo de "asa se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la densidad "!ltiplicado por el di+erencial de 6rea.  F. Cálculo de Momento de Masa Para el c4lc!lo de "o"ento de "asa se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la densidad "!ltiplicado por la variable 7 para el "o"ento % por el di+erencial de 6rea. G. Cálculo de Momento de Inercia Para el c4lc!lo de "o"ento de "asa se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo. 1. Resolve"os la integral doble con los l"ites a la densidad "!ltiplicado por la variable di+erencial de 6rea.  H. Cálculo de Centro de Graedad  Para el c4lc!lo de centro de gravedad se reco"ienda el sig!iente procedi"iento2 '. 3allar los l"ites de integración para el radio % el 4ng!lo.

 x

2

 para el "o"ento % por el

1. Calc!la"os la "asa. 5. 3alla"os el "o"ento de "asa con respecto a 7 e %. 8. Dividi"os el "o"ento de "asa para la "asa respectiva"ente para 7 e %.

III. CONCLU*ION)* De todos los aspectos observados nos #e"os dado c!enta !e "ediante el !so del "-todo de resol!ción de proble"as con +ig!ras circ!lares por el "-todo de la doble integral en coordenadas polares se +acilita "!c#o el c4lc!lo. *e parte del "is"o concepto de las integrales dobles en coordenadas cartesianas solo !e aplica"os los conceptos de nor"a % 4ng!lo para lograr !e se +acilite la resol!ción de proble"as con +or"as circ!lares. R)9)R)NCIA*

&'(. Ing. Leticia C#4ve$. An4lisis :ate"4tico II. 1;'8. &1( Ug"edialab. 1;'5. >???.?i=i"ate"atica.org>inde7.p#p@ titleIntegralesBdoblesBenBcoordenadasBpolares &5( Leit#old ta edición eercicio 8 p4g. '558 &8( Leit#old ta edición eercicio 5 p4g. '551 &( Dobles integrales en coordenadas polares. 1;'1. &Online(. Available2 #ttp2>>???."onogra+ias.co">trabaosEpd+>calc!loEareaElongit!dEplanoEpolar>calc!loEareaElongit!dEplanoE  polar.pd+  &( Universidad de TALCA. Integrales dobles en Coordenadas polares. &Online(. Available2 " #ttp2>>dspace.!talca.cl>bitstrea">'F;>1;G'>'>Calc!loII.pd+  &G( C4lc!lo II, H!an Pablo Prieto % :a!ricio argas. 1;;J. )ercicio 8 pag J &J( Dobles integrales en coordenadas polares. 1;'1. &Online(. Available2 #ttp2>>vidaenelespirit!.co">cvv>.8BIntegralesBenBCoordenadasBPolares.pd+  &F( Leit#old G"a edición. )ercicio ' p4g. ';8 Capt!lo KIII &';( Leit#old G"a edición. )ercicio J p4g. ';F Capt!lo KIII &''( Proble"as % eercicios de An4lisis :ate"4tico. D):IDOIC3. )ercicio 1'. p4g. 15 &'1( Leit#old ta edición. )ercicio 1 p4g. '551 Capt!lo KIII

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