UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO IV: CUARTO CICLO “A” Y “B” Hallar el orden y grado de cada una de las EDOs: I. Hallar el
// = = = = = = 3 33 1).
Solución:
Entonces: Entonces : Es de cuarto orden y de 1er grado
′′ = ′′ / =0 ′′
2).
3).
Solución
= = ⋯ =
⋯ = ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ = 0;0;4°4° ;; 5°5°
22 −− = 2′ ′ −− = = =0 ′ ′ ′ ′ =0 2 ′′ ′ ′′ 2=0 ∴ 3° ;2°2° // ′′ 4 2′=1 4 =12 = 12 12 4 [ ] = 12 12 4 = 33 = 12 12 34 12 12 4 312 12 4 4).
′′′
Solución:
5).
′′′
Solución:
Aplicamos la fórmula: fórmula:
32 2 314 4 4 = 1 322312 2 2 1 4 2 4 4 1 2 4 4 3 44 3 44 44 12 4 =16 36 =1636 622 8312 312 4 12 12 64 8 33 12 12 48 =16 12 6 48 =1612 3 2424 12 6 24 12 12 48 64 3 12 48 2424 15 15 12 24 6 12 56 18 60 48 66 1=0 ∴ 3 4 = − = − = − = =−− = 6).
Entonces: es de primer orden y grado no definido
44 − = 0 − = 4 − = 0 7).
′
′′
= − 4 ………….. [ ] = 4 = 4 − = − = − = 1=0 2 cos 1=0 cos −=2 − 1 coss = =− − − − = 0 ′′
8).
′
′′
′′
∴ 2
Entonces: Entonces : es de segundo orden y grado no definido
9). 10).
// // =0 // / −− 2=0 ′′′
′′′
′
′
′
II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución: 1).
= ; 12=2
Solución:
= 3 ; 12=2 = 3 ′=3 4 2 3 ′′=612 23 12=2 612 23 12 3=2 18 36 2 36 36 12 6 =0 18 10 6 =0 18 10 6 =0 18 610 =0 Reemplazando en
= ; 23 =0 = 23 =0 23 = 0………………1 = .2 3 =0 = − = − …………..2 2).
Solución:
--
--
Reemplazando (2) en (1)
23−− =0 =0 ⇒ 0=0 = /= ℝ =√ ; 3 =0 −= = = − = + Entonces
3).
Solución:
Reemplazando en:
3 =0 3 =0 = 0 + =0 ⇒ =0 =0 :=2 ∴ = − ; 3 4 12=0 4).
Solución:
− … = 3 4 12=0… =33 2 ∶ − 2 … =94−−4… =27 8 8 … , , , ∶ 27 8−128 39−4=0− 443 2− 2 : 8 =0 ≠0
5).
6).
7).
, = , , =ℎ ; =0 , =. −, , =. − =0 ==ln| 2ln||| 1 ; =4
Solución:
= = =
;
2|| 1 = ′ = 4|| 1 =|| =4||1|| 1 ⇒ = || 1 =4 ′ = 4 a)
b)
Reemplazando:
=4 y’ln y’4=4 4 ln4t4=4 || 4 ln 4 || =0 ; >0 8).
== ⁄2 √1 ; =
Solución:
Por regla de la cadena.
= = . = ⟹ = √ −− = √ −
= √ − ⟹ =1 √ − + ⟹ = + =1 …………………4 = 6
Reemplazando (4) en (3)
=6 ……………. . =6 = 0=0 ⟹==6 2⁄2 √1 6 = 6 = 1≤≤1 ⟹= 1;1 Reemplazando (1) en (s)
9).
= ; 4=0
Solución:
Derivando y = (c + sen(x))2 y' = 2 (c + Sen (x)) Cos x
… (1) … (2)
Reemplazando (2) en (3) (2 (c + sen (x)) Cos x)2 – 4y Cos2 (x) = 0 4 (c + sen (x))2 Cos2x – 4y Cos2 (x) = 0 4 y cos2 (x) – 4y cos2 (x)= 0 0=0 y
= (c + Sen(x))2 Si es solución -1 Sen (x) 1 x R Dominio
10). 11).
=R
=— √ ; √ −++ 1=0 = + ; =0
Solución:
= + …
c o s =0… :′= +−− + + = + = ++cos + : + + cos cos =0 :++ +
+ = 0
cos os=0 cosc
cos c o s =0
III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas. 1.
= ; , ∈ =sen 3 cos 3 =3cos 3 3sen 3 1 =9sen 3 9cos 3 2 9 1 =sen 3 cos 3 =9sen3 9cos3 9=9 99=0 =− − ; , ∈
………………..(1) ………………(2)
Entonces
2. 3.
x2 + y2 – c x = 0; c
R
Derivando: 2x + 2yy’ – c = 0
y 2x + 2yy’ – x = 0 x 2
x (2x + 2yy’) – (x2 – y2 ) 0 2x2 + 2xyy’ + x2 – y2 = 0
4. r = A ln | | + B …(1) A, B
2xyy’ + x2 – y2 = 0
R Derivando (1) r' =
A
+ B
… (2)
Derivando (2)
r" = A(-1-2) + 0 r" =
A
…(3)
2
A = -2r"
Reemplazando A en (2) r' =
r "
b;
r' = -r" + B B = r" + r'
Reemplazando A y B en (1) r = -2r" ln || + 2r" + r' r
5.
- r' + 2r" (ln || -1) = 0
= ; ,,∈ = =3 2 …1 : 3 2=…2 =62…3 : 6 2 =…4 =6…5 : Solución:
Derivamos:
Derivamos (1):
Derivamos (3):
6 =…6 6 2 = 62 6 = 2 =…7 3 2= 36 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = = =6 2 2 = 6 2 2 2 Remplazamos (6) en (4):
Remplazamos (6) y (7) en (2):
Remplazamos A, B y C en:
0= 6 2 6 2 =0 =− − , , ∈ − − … = 1°3 = − :− 2 2°3° ==− −− −48 : =− − … −− −− 2 … = = 4 … =− − 8 … { 2: 2=2− 2− 2 … 2=2− 2− 2 =− − − 2− 7.
;
S OL UC IÓ N:
′2=3 3 … 2 : 2 =2− 2− 8 … : =− − 8 − − 2 2 =2 2 8 =3− 3− … ′: 2=3− 3− − 3− 22 =3 2=0 ⇒ . . :
2 2=0 − − ; , , ∈ ; ∈ = − cos sen = s=en− cos sen −cos 1 2 −cos sen == −cos sen − cos sen 1 4 3 4 : = 2 2 =0 = − − − ; , , , ∈ ℝ − − ℎ − cosh = −cosh ℎ ′ == −− ℎ− cosh →1 =− 2 2− →2 − →3 ′ ′ =3 =6 2− →4 3 2′=12→5 ′ 3 ′2′′=24 →6 8.
...............(1)
……………(2)
Reemplazando
………………(3)
……….(4)
Reemplazando
La ecuación resultante es:
10.
Solución
(1)+ (2)
2(3)+(4)
-2(5)+(6)
4 4 =0 = − , , , ∈ − = − − cos2 cos =2 … …………. . 1 − − − − 4 = cos4 c o s 2 cos 2 2− cos 2 cos 4 = 4 … …………………. . 2 2 − − 8 = 8 c o s 2 4 c o s 2 4 c o s 2− cos 2− 10 = 8 ……………. . 3 2 − − − 2 2 2 −=16 c o s 10 cos 20 4−20 10 = cos16 ………………4 = − − , , , ∈ −ℎ = −ℎ − − − − = 2 2 = 12 − 12 − 12 12 − 11.
;
Solución
12.
;
Solución:
Derivamos:
= 2 −ℎ −ℎ
−ℎ −ℎ = 2 −ℎ − ℎ −ℎ −ℎ = 2 −ℎ −ℎ : − ℎ = 2 − ℎ = 2 = 2 − 2 − − 2 − − − − − 2 2 = 2 − 2 2− 2− 2 − − − − − 2 2 2 = 2 − 2 2 2− −2 − 4 4 2− 2 − − −2− 4 2 2 4 2 − 2
= 2 − 2 2− − −4 4 2− 2 − − −2− 4 2 4 − 2 = 2 − 2 2− − [ [ 4− 4 ] 2− 22 ] 2− − − [− [ 4 4 ]− 2 ] − = 2 − [2 24 − −]2− 2 2 − − − 2 2 − [ 4 ] 2 = 2 [− [ 34 −]− −] − − 3 1 − [ 4 ] 2 = 2 − 34 −− − − 1 1 2 − 4− = 2 − 3− 4 4 − − 1 3 22 4
= 2 7− 43−−4 1 = 2 7− 43−−41 = 2 74 − 34 − 14 − 14 …1
Sabemos que:
= 12 − 12 − 12 − 12 …2 = 94 − 54 − 14 − 14 …3 =2 274 − 54 − 24 − …4 =3 92 − 14 − …5 =6 272 − 12 − …6 25 6 2 2= 92 − …7 2 2 = 272 − …8 37 8
Restamos (1) y (2):
Derivamos a (3):
Sumamos (4) y (3):
Derivamos (5):
Realizamos lo siguiente
:
Derivamos (7):
Realizamos lo siguiente
:
7 5 6=0 ∴ ó : 7 5 6=0 .: =… = : : =1 : =10, 0 : ⇒=0 ⇒=′ 0 : =0 ; =1 ⇒ =0 =;⟹=; =;⟹= =0; =; =……… 1 =…………2 = ⟹ 1 =0 =; =; =0; = ⟹= , = , ; = = ………. . 1
IV Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias de las curvas en el plano : 1. Todas las rectas con pendiente igual a 1.
2. Rectas con pendiente y la intersección con el eje y iguales
Derivando (1)
Reemplazando (2) en (1)
3. Rectas con pendiente y la intersección con el eje x iguales
Derivando (1)
Reemplazando (2) en (1)
……………2 – = ⟹ =0
4. Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a k. Solución Sea y=Ax+B la familia de rectas
⟹= =k =Ak = =’ ⇒’ ∴=′′1 =0 Si y=0
Por condición
5. Circunferencias con el centro en el origen.
SOLUCIÓN:
= ℎ = : ℎ =0 2 ℎ 2 =0…1 ⇒ℎ =0 : 1 ′ 1′ =0 ⇒ +− =0 1 : =0…2 = −− ⇒ = −− ⇒ = −− ⇒ = −−
ℎ = ⇒ ℎ=′ 2 = : ℎ ⇒2= ℎ ⇒ 2ℎℎ = 2 ℎ =2′ ∶ 2 ´ ⇒ 2 =2´ =2 1 ´ 2: ´ 2´ =0 ∴ ´ 2´1 ´ =0 =
7. Circunferencias con centro sobre la recta origen.
que pasen por el
SOLUCION
=ℎ = ; ℎ, , =; 2 = ℎ2 ℎ 2 ℎ = Remplazando:
2′ℎℎ22 ℎ =0 ′ ℎ2 ℎ=0 ′ 2=ℎ ℎ2′2= 2 ℎ= 2′ 2′ 2 2 2 2′ = 2 2′ 2′ = 2′ 2′ 2 2′ 2′ = 2 ′ 2 2′ 2′ = 2 ′ 2 =2 ′ = ℎ = ……….1 2 2 2 …… =02 Derivando
Remplazando
8.circunferencias con centro el punto arbitrario P(C,D) Y radio igual a r
Derivando (1)
Reemplazando (2) en (1)
= 1 = ……………….3 = = ……………..4
Derivando (2)
Reemplazando (2) en (3)
1 = 1 = =0 ⟹ =0
9. Parábolas con el eje paralelo al eje “y” y con la distancia del vértice al foco igual a “A” Ecuación de la parábola:
ℎ =4 21=2 ℎ =4 = 0=2 12: 0= :
………..(1)
……………(2)
11.Parábolas con el eje paralelo al eje X.
Solución La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X
2=4ℎ ′ = 4 =2→1 =0→2 ′ 3 =0→3 ′ = ′ 3 =0 3 =0 ′ 3 , =0 1 ∶ ℎ = 2 = 2 = 2 1° 2 : =0 2°2 =0 =0 = ′2′′ Pero de (2)
Reemplazando en (3)
12. Hipérbolas equiláteras con centro en SOLUCIÓN:
:
: 2′′′ ′′ 2′ 1= ´ ´ =: 2′′′ ′′ 2′ 3´ =2′′ ′ ∴2 3´ =0 2 ∶ ℎ = ∴2 3 : ´ =0 13). Circunferencias tangentes al eje
.
Solución:
||= ℎ = ℎ , | | , = 2 2 = 2 2=0 2= 222 1 =22 = 2 = ′ 1 ⁄ 1 2 ′ = 1 =2 1−⁄} 2 1−⁄ =12 2 1−⁄ 2 2 1−⁄ En este caso:
y la ecuación toma la forma siguiente
;
Sea
el centro; el radio será
Remplazamos
= 12 2 1−⁄2 2 1−⁄ ==2………………1 ; …….. = ……………. . 2 = = = 2 = 2 …………… 3 = 2 = 2 = 2 ……………. 4 = 3 4 = 2 2=2 2 ⇒"" 2 2=0
15. tangentes a la parábola
a y b satisfacen a(1)
Remplazamos … (3) en (2)
V. Determinar para que valores de
ordinarias tiene soluciones de la forma
6=0 = = = 1)
Derivando:
;
=
cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales :
= 6=0 6 =0 6 =0 3 2 =0 ∀= 3,2 2 5 2=0 = ′ = ′ ′ = ′′ = 2 5 2=0 2 5 2 =0 2 52=0 1212=0 =1 = 12 =2 Remplazando en la ecuación:
2)
Solución
Reemplazando en la ecuación original
VI Aplicando el método de las isoclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes: 1).
=2
2).
=
Solución: I)
Determinamos la ecuación de las isóclinas:
II)
Determinamos las isóclinas particulares:
= → =; ;==, = = ∴ =0 =0=1 →= →tan → =0° =1 →=1 →tan → =45° =1 =1 →=1 →tan → =0° 1 35° =2→ =2=2 →=2 →tan =63° 3 0′ →=2 →tan=2→ =116°33′ ;==0 ;=0 =0 → = 1) Si 2) Si 3) Si 4) Si 5) Si
III)
Analizamos los puntos máximos y mínimos:
IV)
Analizamos la concavidad y los puntos de inflexión:
=<0 ó; >0 → =0→ ó =; ==1 =1 →1=0 → =1 ∴ ó = 1 → < 1 ℎ ℎ > 1 =;= = → = = = = =1 =1 =1 =1 ∴ ó =;= ; = = =1 =2 Derivamos
V)
Analizamos si una isóclina es o no una curva integral
Si remplazamos:
En
remplazamos
Si
Pero
VI)
3). 4).
es una curva integral
es la ecuación de los puntos de inflexión
Analizamos la existencia y la unicidad
Solución
=2, =2 ⟹ = =, = 2=±√2 I
Ii isóclinas particulares
⟹±√2 ⟹tan=0ta=0n=1 ⟹±√2 1⟹ t=45° n=1 ⟹±√ 2 1⟹taan=135° =2 ⟹±√2 2⟹=63°30′ an=2 ⟹±√ 2 2⟹t=116°30′ ,, ==0 =0⟹2 =0⟹=√ 2 = √ 2 1. Si k=0 2. Si k=1
3. Si k=-1 4. Si k=2
5. Si k=-2
Iii los valores enteros (máximos y minimos)
Entonces los valores enteros están sobre
=,
Iv concavidad y punto de inflex ion
<0=0 ; >0 ; =, ⟹ = 2 =44 2 = = 2 = +− = +− ⇒ =; ⇒;= = ⇒ = ⇒= 1 1 ; ≠1 Entonces
5). 6). 7).
Solución I.
II.
Isoclinas Particulares
=0⇒∝=0 =0⇒y=x⇒ ∝ =1⇒∄ =2⇒∝=63°26′ =2⇒=3⇒ ∝ =1⇒∝=135° =1⇒y=x⇒ ∝ =2⇒y=x⇒∝=2⇒∝=116°33′
1. Si: 2. Si: 3. Si: 4. Si: 5. Si:
III.
Los valores extremos (Máximos y mínimos)
;==0 ⇒;=0 =0
IV.
= ⇒ = =; ⇒ <0 ó >0 =0 ó =; ⇒ = = 2 2⇒ =0 ⇒= = < > =;= ⇒= 11 = −+ = +− Concavidad y puntos de inflexion
Entonces la ecuación de los puntos de inflexión es Las concavidades de las corvas integrales: Es hacia abajo cuando
Es hacia arriba cuando V.
Analizar si una isóclina es o no una curva integral
Si reemplazamos
en
1 = 1 1 1 = −+ = ⇒= =0 á í En
VI.
reemplazamos k=0
Analizar la existencia y unicidad
=; ⇒;= ; = 2 = −+ = −+
8).
9).
Solución: I)
Determinamos la ecuación de las isóclinas:
= −+ → =; ;= −+ =, −+ = 1= 1 = 11 ∴ II)
Determinamos las isóclinas particulares:
=0=1 →=2 →=1 →tan→tan=0=1→ →=0°=45° =1 =1 →= →tan → =0° 1 35° =2→ =2=2 →=23 →tan =63° 3 0′ →=21 →tan=2→ =116°33′ ;==0 ;=0 1 1 =0 → 1=0 → =1 6) Si 7) Si 8) Si 9) Si
10) Si
III)
IV)
Analizamos los puntos máximos y mínimos:
=<0 ó; >0 → =0→ ó =; =1 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1
Analizamos la concavidad y los puntos de inflexión:
Derivamos
1 1 = 11 1 1 = 1 1 →0=0=0 ∴ ó 0 → <0 ℎ ℎ >0 =;= = 11→ =−++ +− =++ == + = =0 11 , =0 ∴ =;1 ;=11 21 1→ = 1 V)
Analizamos si una isóclina es o no una curva integral
Si remplazamos:
En
Pero
VI)
10).
VII.
es el punto de inflexión
Analizamos la existencia y la unicidad
=cos
Resuélvase cada una de las siguientes EDOs. de variables separables:
=0 1= =0 : =0 ∫ ∫ = − =0 =0 =0 ∫∫= 3 2 = 2 3 =6 1)
;
SOLUCIÓN:
;
2)
Integrando:
1 1 =0 1 1 1 =0 11 1 =0 ∫∫11 1 = 2 | 1|2= 12 222 =0 4)
Solución
5)
SOLUCIÓN:
1 11 12 121 =0 1 = 1 22 22 1 = 1 1 22 1 1 1 =0 ∫: 22 1 ∫1 = 1 12 | 22| 12 | 1|= 12 | 22 1| = 22 1| =2 |22 1=− ∴ 22 1− =0
= −+ ; = = ; ; = ;= ; ; = ;= ; ; = ∴M;= ℎé → = →= = x== 1 11= 1 1 = 6).
Solución:
Analizamos si es homogénea
La ecuación diferencial es homogénea:
Sea
11 =0 ∫ 11 ∫ =∫0 ∫⏟ 11 ||= 1 1 ∫ 1 =∫ 1 1 1 = 1 1 11= 1 1 1 C C 1= 1= =1 =1… 1 =1 =0…2 =1…3 11=0 =0 3=0 =0 ∴=1 =1 1 = 111 1 1 1 0 = 1 1 11 ∫ 11 1 =∫ 11
Integramos:
Trabajamos :
Trabajamos con fracciones parciales:
Remplazamos (1) y (3) en (2):
Remplazamos en:
∫ 1 1 ∫ 11 =∫ 1 12 ∫ 211 1 ∫ 1 1 34 12 ∫ 21 1 ∫ ∫ 1 2 1 34 1 34 12 | 1| 12 ∫ 3 1 4 = 12 | 1| 12 ( 134) 134 = 12 | 1| √ 33 2√ 3 23 √ 3 1 ∫⏟ 1 || = 3 12 | 1| √ 33 2√ 3 2√ || = 3 3 12 | 1| √ 33 2√ 3 2√ 3 || =
Remplazamos:
8)
+ = ++
SOLUCIÓN:
: 2=0 231=0 →=2 →= 2; 1: =1 =
9)
= 23 2 = 12 23 221 223= 2231 = ∴ 242 37= 4114211937 =0 119= 119= 41111942 3711 =0 9 37 4 1219 119 42 119 3711 =0 9 9 9 4 1219 42 37.9119 379=0 ∫4 1219 42 37.911∫9 379= 785 37= 756198747=2 36 2x 2y =0 ……..(1)
Derivando:
Remplazando:
………..(2)
Remplazando (1)en (2) se obtiene:
11)
Solución
= = = 2x 2 =0 Sea
Reemplazando
2 21 =0 2 21 =0 2 2 21 =0 21 =0 4 ∫ ∫ 21 = 4 | | 2|| 4 − = 4||2|| −− =4 ; = ⇒2|| =4 12)
1 =
1 1 1 =0 = 1 ; = ′ = 1 1 1 = 1 = = 1 1 =0 ∫: ∫ 2√ 5123 == 5 5 √ : 2√ 55 23 √ 5 =
SOLUCIÓN:
=√ 2√ 55+ 23 5 √ − √ = = √ +√ √ ∴ √ =0 VIII. Resuélvase las siguientes EDOs mediante un cambio de variable: 1).
= = → =1 = 1 1= = 1 1 = 1 =0 ∫ 1 ∫=∫0 ∫ 1 ∫= 11 = ∫ 1 ∫ 1 1 = ∫ 1 =
Solución: Sea
′
′
Remplazando:
∫ ∫ = ∫ ∫= ∫cotcot = cot= ∴cot= =0 2 = 2 , = = , = 2 , , ,= 2 , ,= ,= 2 , ,= ∴ ℎ 2 =0 = = 2 =0 2 1 =0 1 2=0 2 1 =0 4)
M no es homogéneo ;N no es homogeneo
Desarrollando la ecuación:
Remplazando en la ecuación:
De donde:
Integrando:
∫ 2 ∫ 1 = 3 2 2= 6= 32122 22 21 =0 6)
Solución
¿Es homogénea?
=22 ⟹; =22 ⟹;=22 ; =22 ; =22 ∴ no es homogénea =221 ⟹; =221 ⟹;= 221 ∴ no es homogénea 7)
=0 = ; = ; = ; = = 1 1 = = 1
SOLUCIÓN:
10)
= 1 y 3=2 2= : 2= = 2 : 23= 1= = 1 1= : : 1 =0 1 = ∫∫ 1= : − 12= − ∴3 1=
SOLUCIÓN:
;
11)
= +
= = = =
=0 = = , = , , = ,= , ,= ∴ ℎ = = = = 1√1 = =1 1 = 1√1 ∫ 1√1 ∫ = 1 1||= 1 1||= ;
M es homogéneo , N es homogéneo
Convirtiendo en variables separables :
Remplazando en la ecuación:
Integrando se obtiene: