FISICA ELECTRONICA Tomo I
O. VON PAMEL
S. MARCHISIO
MODULO I MECANICA CUANTICA PARTE I : LAS EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
MECANICA CUANTICA PARTE I : LAS EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS INTRODUCCION Física Clásica y Física Cuántica EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS Radiación del cuerpo negro: un problema tecnológico La radiación del cuerpo negro y el cuanto de Planck Formulación de Rayleigh - Jeans Hipótesis de Planck El efecto fotoeléctrico Einstein y la interpretación del efecto fotoeléctrico La radiación electromagnética,... ¿onda o corpúsculo? El Efecto Compton Explicación de Compton Algo más a partir de Compton.....
Regularidades en los espectros atómicos El lenguaje de los espectros Las series espectrales del hidrógeno Las series espectrales: un enigma pendiente
INTRODUCCION FISICA ELECTRONICA
2
MODULO I
Física Clásica y Física Cuántica La Física Clásica nos muestra el universo como análogo a un inmenso mecanismo susceptible de ser descripto con absoluta precisión por la localización localización de sus partes en el espacio y su modificación en el decurso del tiempo, mecanismo cuya evolución, en principio puede ser prevista con rigurosa exactitud cuando se posee cierto número de datos acerca de su estado inicial. Louis De Broglie
¿ Qué implicancias tiene esta afirmación del célebre físico de nuestro siglo? Supongamos un sistema físico, por ejemplo, una partícula. En un instante de tiempo t=t o, se puede establecer el estado físico del sistema. Es así como, en el contexto de la Física Clásica, podemos decir que la partícula, en un instante determinado tiene asociado un estado caracterizado por los valores que asumen su velocidad, su momento lineal, su energía... Los valores vo, po, Eo, por ejemplo, asociados al to. , van a definir lo que llamamos el estado del sistema en ese instante. instante . Del mismo modo, si conocemos el estado inicial, asociado al instante to, la Física Clásica nos permite determinar con exactitud los valores asumidos por las variables de estado en un instante t 1 posterior, valores que se suceden con continuidad. Así, la partícula caracterizada caracterizada por (xo, po) en t=to y por (x1, p1) en t=t1, pasa por todos los valores intermedios de x y p entre to y t1. Esta posibilidad de previsión rigurosa de los fenómenos futuros a partir de los fenómenos actuales, posibilidad que implica que el porvenir está contenido en cierto modo en el presente y que no le añade nada, constituye lo que se ha dado en llamar el determinismo clásico. Hasta aproximadamente el año 1900, todos los fenómenos físicos que se estudiaban podían describirse dentro del marco de la Física Clásica. En particular, para la comprensión de las propiedades electrónicas de los materiales, las descripciones empleadas hasta entonces respondían a enfoques fenomenológicos basados en observaciones experimentales. Las Las leyes halladas en este campo de la Física fueron obtenidas a partir de magnitudes y de relaciones entre magnitudes de tipo macroscópicas. Ninguna hipótesis relativa a la estructura de la materia fue necesario realizar para formular las ecuaciones que describían dichos fenómenos. Esos resultados hallados empíricamente conservan su campo de aplicación, tal el caso de la ley de Ohm, las ecuaciones de Maxwell, cuando intervienen magnitudes tales como diferencias de potencial, intensidades de corriente, entre otras. Sin embargo, cuando se busca explicar fenómenos de de naturaleza microscópica, tales como interacciones de tipo electrón- sólido, por ejemplo, se ponen de manifiesto las limitaciones del enfoque clásico. Puesto que para la comprensión de la física de los electrones y de los dispositivos tecnológicos asociados debemos encarar el estudio de la O. VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
materia a partir de su estructura, el enfoque clásico se nos presenta insuficiente. Es en 1901, a raíz de un hallazgo de Planck, que se inicia un gran cambio en el campo de la Física. Esta es la época en la que eran objeto de estudio en las comunidades científicas, los fenómenos en los que las radiaciones electromagnéticas aparecían asociadas con la materia, tanto en mecanismos de emisión como de absorción; época en la que se buscaba, a través del estudio de la estructura de la materia, dar explicación a fenómenos experimentales que no podían ser descriptos a través de la Física Clásica. Podría afirmarse que existían, por entonces, una serie de problemas y experiencias conflictivas que desafiaban a la comunidad científica. Entre todos ellos, podemos destacar: la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton, los espectros de emisión y absorción de distintos gases El análisis y explicación de estas experiencias, las que involucran mecanismos en los que entran en juego tanto la radiación como la materia asociados a procesos de absorción o emisión, permitirá comprender el modo en que, en las primeras décadas de este siglo, se fuera generando un nuevo modo de pensamiento, origen de la Física Cuántica.
EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS Radiación del cuerpo negro: un problema tecnológico Este problema está vinculado a la medición óptica de temperaturas. A principios de siglo, cuano se necesitaba medir una temperatura, se empleaban métodos basados en la dilatometría , ya sea por el empleo de un termómetro , o la medición a través de la elongación por dilatación de una varilla o de un fleje metálico. Estos métodos se volvían problemáticos o imposibles a temperaturas elevadas, fundamentalmente debido a la pérdida de linealidad de la elongación de los metales con la temperatura. ∆l = l - lo =
α ∆T + β ∆T2 + .......
Un método alternativo, ( sólo válido, en ese entonces, para temperaturas elevadas), consistía en observar el color de la luz emitida por una sustancia u objeto que estuviera a alta temperatura. De la experiencia se conocia que cuando se observaba un objeto dentro de un horno, este objeto y las paredes internas del horno, iban adquiriendo, a temperaturas mayores a 450 oC , un color rosado que, a FISICA ELECTRONICA
4
MODULO I
medida que la temperatura subía, se convertía en rojizo, luego en rojo, posteriormente en amarillo, pasando al blanco amarillento y finalmente al blanco azulado. Este fenómeno permitía realizar una escala color - temperatura, lográndose por este método una medición aproximada de la tempratura. Al estudio del modelo físico - matemático de este fenómeno, para la comprensión de la correlación color - temperatura, se lo conoce como el estudio de la radiación del cuerpo negro.
La radiación del cuerpo negro y el cuanto de Planck El origen de la teoría de los cuantos se encuentra en las investigaciones hechas hacia 1900 por Max Planck sobre la teoría de la radiación del cuerpo negro. En la naturaleza no existen estrictamente cuerpos negros. Este concepto físico es una abstracción teórica construída como necesidad para el estudio de esos fenómenos asociados al comportamiento de los hornos. Tal como “ la partícula” y “ el rayo luminoso” , el cuerpo negro es, desde el punto de vista del estudio físico-matemático, una representación idealizada de determinados sistemas reales. Desde una perspectiva científica.., ¿qué es un cuerpo negro?
Para su definición resulta conveniente revisar algunos conceptos vinculados con la radiación del calor. Podemos caracterizar la intensidad de la radiación de calor mediante el flujo de energía medido en vatios. El flujo de energía emitido por la unidad de superficie del cuerpo emisor en todas direcciones, se denomina emitancia luminosa del cuerpo. Designamos esta magnitud con la letra U. La emitancia luminosa es una función de la temperatura. Puesto que la radiación se compone de ondas de diferentes frecuencias ω, si quisiéramos determinar el flujo de energía radiante emitido por un cuerpo a una determinada temperatura, UT , deberíamos conocer su poder emisivo (εω) a esa temperatura, para cada frecuencia, e integrarlo a lo largo de todo el espectro de frecuencias. ∞
Así, UT = ∫ 0 εωT d ω Por otra parte, si analizamos la absorción por un cuerpo del flujo de energía radiante provocado por ondas electromagnéticas, veremos que del total incidente, una parte es absorbida por el mismo. La relación entre la absorbida y la incidente es lo que se O. VON PAMEL
5
S. MARCHISIO
denomina capacidad de absorción del cuerpo, la cual es, al igual que el poder emisivo, una función de la temperatura y de la frecuencia de la radiación incidente. Por definición, la capacidad de absorción ( α), no puede ser mayor que la unidad. Para el cuerpo que absorbe completamente la radiación de todas las frecuencias que inciden sobre él, α ≡ 1. Este cuerpo se denomina cuerpo negro. Una cavidad provista de un pequeño orificio se comporta como un cuerpo negro. La radiación que penetra hacia el interior a través del orificio, antes de salir del mismo, sufre una reflexión repetida. Parte de la energía es absorbida en cada reflexión, como resultado de lo cual toda la radiación de cualquier frecuencia se absorbe en esa cavidad. Por esa misma razón, el interior de una habitación en un día soleado parece oscuro, al ser observado desde lejos a través de una ventana abierta Un horno se comporta como un cuerpo negro. Cualquier radiación que choque contra el pequeño orificio de un horno tiene prácticamente cero probabilidades de ser reflejada en la dirección inversa. Además la radiación en el interior del horno está en equilibrio para cada temperatura y cualquier radiación que proceda del orificio es característica del cuerpo negro a esa temperatura. Existe una relación entre el poder emisivo y la capacidad de absorción de cualquier cuerpo, fundamentada a través del concepto de equilibrio térmico: aquel cuerpo que emita más energía, deberá absorber más. Esta relación expresa una ley establecida por Kirchoff: La relación entre el poder emisivo y la capacidad de absorción no depende de la naturaleza del cuerpo, sino que para todos los cuerpos es una misma función universal de la frecuencia y de la temperatura .
ε (ω, T) / α (ω, T) = ƒ(ω, T) El poder emisivo y la capacidad de absorción pueden variar extraordinariamente al pasar de un cuerpo a otro; pero la relación entre ellos será igual para todos los cuerpos. Para el FISICA ELECTRONICA
6
MODULO I
cuerpo negro, α (ω, T) ≡ 1 por definición. Por consiguiente, de la relación anterior, se infiere que la función universal de Kirchoff ƒ(ω, T) representa el poder emisivo del cuerpo negro teórico. Si mantenemos las paredes de la cavidad ( o del horno), a cierta temperatura T, del orificio saldrá una radiación bastante cercana por su composición espectral a la del cuerpo negro teórico a esa misma temperatura. Al descomponer esa radiación en un espectro con ayuda de una red de difracción y medir la intensidad de las diferentes zonas del mismo en función de las longitudes de onda, puede determinarse experimentalmente el aspecto de la ƒ(ω, T) y de su equivalente ϕ(λ, T). (Recuérdese que λ y ω están relacionadas por la velocidad de la luz como λ = 2 π c/ ν). A partir de estos resultados se han determinado varias relaciones. Las distintas curvas se refieren a diferentes valores de la temperatura T del cuerpo negro: ♦ Es posible observar que el máximo del poder emisivo se desplaza hacia el lado de las ondas más cortas al aumentar la temperatura. Así, la longitud de onda a la cual se produce el máximo de las curvas, se desplaza hacia el azul a medida que se aumenta la temperatura del horno. Esto concuerda con la observación común que un horno caliente al blanco estará a mayor temperatura que uno al rojo. La ley experimental que describe este comportamiento fue hallada por Wien y expresa: Ley de Wien
λmáx. T = cte.
:
A partir de las curvas, se deriva también que:
2000 0K
ϕ(λ,T ).1010 W/m3
1790 0K
4
♦ el flujo de energía emitido por la unidad de superficie del cuerpo emisor en todas las direcciones dentro de la cavidad, o emitancia luminosa, (área bajo cada curva de la distribución espectral), aumenta fuertemente con la temperatura.
1600 0K
3 2 1 1 2,36
2
λ(µ m) 3 5 -1 0,59 ν.10 (s )
Se formuló entonces una segunda relación, la ley de Stefan Boltzmann, en un esfuerzo por describir estas curvas. Esta ley establece que la emitancia luminosa del cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta: 1,18
∞
Ley de Stefan-Boltzmann :
O. VON PAMEL
U ≡
∫ 0 ƒ(ω, T) d(ω)
7
= σ. T 4
S. MARCHISIO
Donde σ se denomina constante de Stefan - Boltzmann, cuyo valor experimental es 5,7. 10 -8 W / (m2.K4).
Formulación de Rayleigh - Jeans Las leyes de Stefan - Boltzmann y de Wien dan, sobre la composición de la radiación del cuerpo negro y sobre sus modificaciones en función de la temperatura, datos muy importantes que la experiencia ha verificado perfectamente, pero no fijan de un modo completo la forma de la ley de la repartición espectral. Inmediatamente resultó que no se podía avanzar no teniendo en cuenta más que consideraciones termodinámicas, y que , para determinar completamente la forma de la ley de composición espectral, había que introducir hipótesis sobre la manera cómo la materia emite y absorbe la radiación , y que había por lo tanto que aventurarse en el terreno de las hipótesis atómicas abandonando el terreno más sólido de la Termodinámica. Para ello se propusieron distintas relaciones, pero sólo una, la formulación de Rayleigh-Jeans, tenía base teórica. En base a un razonamiento clásico, se reconoció que la radiación proveniente del horno (cuerpo negro) era emitida por los átomos calientes de las paredes. En virtud de que se conocía que las cargas en oscilación en una antena o dipolo podrían emitir radiación electromagnética, esta hipótesis fue natural. En particular se pensó que los átomos podrían tratarse como dipolos oscilantes con diferentes frecuencias de oscilación. Al estudiar el equilibrio que se establece en un recinto isotermo como consecuencia de los intercambios de energía entre los osciladores y la radiación ambiente según los métodos del Electromagnetismo Clásico, se pudo hallar una ley de repartición espectral:
ƒ(ω, T) = cte. ω2 . < ε> ; siendo la cantidad < ε > la energía promedio del dipolo oscilante igual a KT y calculada mediante la expresión: ∞
∫ 0
<ε>=
∞
∫ 0
FISICA ELECTRONICA
ε. e- ε / KT d ε e-
ε / KT
d ε
8
MODULO I
ϕ ( λ,2000 K ) .10 W/m 0
11
. Tal como se puede observar en la figura, ésta concuerda satisfactoriamente con los datos experimentales sólo para longitudes de onda muy largas y diverge considerablemente del experimento para longitudes de onda cortas. La relación señala que la curva debería aumentar sin límite a medida que λ se hace más pequeña. Vimos, sin embargo, que la curva experimental alcanza un máximo en algún valor de λ y a continuación disminuye hacia cero a medida que λ disminuye.
3
formula de Rayleigh-Jeans
10 8 6 4 2 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
λµ m
Esta falla de la ley de Rayleigh - Jeans a longitudes de onda corta se denominó “ catástrofe ultravioleta” , en virtud de que la falla ocurre en las longitudes de onda ultravioletas y más cortas. La densidad total de la energía de la radiación del cuerpo negro obtenido en base a la ley de Rayleigh debería ser infinita a toda temperatura. Sin embargo, desde el punto de vista clásico, la deducción de la fórmula de Rayleigh - Jeans es irreprochable. Por esta razón, la divergencia de esta fórmula del experimento indica la existencia de regularidades incompatibles con las concepciones de la Física Clásica.
Hipótesis de Planck Uno de los físicos que estaba trabajando en la búsqueda de un marco teórico explicativo para la radiación del cuerpo negro fue Max Planck. Ya había desarrollado una relación empírica que describía con éxito la información experimental de la curva de la distribución espectral de la energía de la radiación del cuerpo negro. Exam inando los resultados de la ley de Rayleigh, Planck pudo advertir que la inexactitud procedía del papel demasiado importante que desempeñan en la imagen cásica de los intercambios de energía entre los osciladores atómicos y la radiación, los osciladores de alta frecuencia. Esto era lo que conducía al crecimiento monótono de la densidad espectral con la frecuencia, la llamada catástrofe ultravioleta. Con el objeto de restringir el papel de los osciladores de alta frecuencia, Planck introdujo en su descripción un elemento extraño a las concepciones clásicas. Postuló que la materia no puede emitir energía radiante más que por cantidades finitas (cuantos de energía) proporcionales a la frecuencia de la radiación. De este modo resulta: cuanto de energía
O. VON PAMEL
ε = h . νν 9
S. MARCHISIO
Si la radiación se emite en porciones ε, su energía deberá ser múltiplo de esa magnitud. La energía emitida por los osciladores atómicos como radiación electromagnética puede tomar entonces sólo ciertos valores permitidos: 0ε, 1ε , 2ε , 3ε , y así sucesivamente.
Genéricamente: εn = n. ε = n. h. ν ν ;
con n = 0, 1, 2, ....
A partir de los datos experimentales Planck calculó el factor de proporcionalidad, h, de valor 6.64. 10−34 J / s, conocido actualmente como constante de Planck. Poniendo en juego esta hipótesis de la cuantificación de la energía de los osciladores atómicos, Planck encontró una ley de repartición espectral de la radiación del cuerpo negro que reproduce la curva experimental.
ƒ(ω, T) = cte. ω2 . < ε> siendo la cantidad < ε > la energía promedio de los osciladores atómicos, ahora de un valor diferente del KT que resultaba en la fórmula de Rayleigh. A partir de esta hipótesis de cuantización de la energía de los osciladores, en el cálculo de la <ε> Planck reemplaza la expresión: ∞
∞
∫
ε. e- ε / KT d ε
0
<ε> =
∑0 n.εo por: <ε> =
∞
∫ 0
e-
ε / KT
e-
n.εo / KT
∞
∑0 εo e- n.εo /
d ε
KT
En estado de equilibrio, la distribución de las oscilaciones por valores de energía debe cumplir también con la ley de Boltzmann, pero en el cálculo de la < ε >, al considerar sólo los valores permitidos de las energías proporcionales a la frecuencia de la radiación (hipótesis de cuantización de Planck), la < ε > resulta ahora: h . ν ν
<ε> = e
h . ν ν / KT
ω ; con -
2π
1
(en vez del resultado de Rayleigh: Por lo que :
ƒ(ω, T) = cte. ω3. e
FISICA ELECTRONICA
10
νν =
<ε> = KT) h
h . ω / 2πKT
- 1
MODULO I
La fórmula final obtenida acuerda con las leyes termodinámicas de Stefan y del desplazamiento de Wien ya analizadas. Por el contrario, no coincide con la fórmula de Rayleigh nada más que para las frecuencias h. / débiles y las altas temperaturas. En este caso, puesto que el exponente e ω 2πKT se puede hacer aproximadamente igual a 1+ h.ω /2πKT, la < ε > que resulta de la hipótesis de cuantización de la energía de Planck se aproxima a KT. En ese rango, los intercambios energéticos entre materia y radiación ponen en juego un gran número de los pequeños granos de energía; todo sucede entonces sensiblemente como si estos intercambios se hiciesen de una manera continua por lo que los razonamientos clásicos conducen a rsultados bastante aproximados. Por el contrario, para altas frecuencias y bajas temperaturas, los intercambios de energías ponen en juego un reducido número de grandes granos de energía, por lo que las discrepancias con el razonamiento clásico se hacen evidentes. El trabajo de Planck sobre esta materia fue publicado en 1900. Fue bastante radical para la mayoría de los físicos de la época. En un intento por salvaguardar la naturaleza continua de la radiación de acuerdo con la teoría de las ondas electromagnéticas que se apoyaba sobre innumerables verificaciones, el mismo Planck sostuvo por un tiempo que la materia sería capaz de acumular de una manera continua una parte de la energía radiante que cayera sobre ella, pero no podía emitirla más que por cantidades finitas. Esto no pudo ser defendido por mucho tiempo. En 1905, Eintein mostró que el concepto cuántico de Planck podía ser aplicado a un fenómeno proveniente de un campo diferente de la Física, pero que involucraba la absorción de radiación electromagnética por la materia: el efecto fotoeléctrico.
El efecto fotoeléctrico Otro conjunto de resultados experimentales sin explicación en el comienzo de este siglo se relacionba con el efecto fotoeléctrico. Se denominó efecto fotoeléctrico a la emisión de electrones por una sustancia bajo la acción de la luz . Este efecto se observa de la siguiente
manera:
Luz Tubo de vidrio al vacio
•
Se vacía todo el aire de su interior y se conecta el tubo en serie con una batería y con un galvanómetro sensible, según se indica.
Placas
G
O. VON PAMEL
Se encierran dos electrodos metálicos en un tubo de vidrio, como se muestra en la figura.
11
S. MARCHISIO
Claro está, no fluirá corriente en el circuito en virtud de que las dos piezas de metal en el tubo no se tocan, por lo que el circuito está abierto. La resistencia de esta porción del circuito es infinita. Sin embargo, si se ilumina una de las superficies metálicas, llamada placa, con una luz de longitud de onda suficientemente corta, fluye una corriente estacionaria en el circuito. Obviamente, esta corriente está sustentada por los electrones emitidos por la placa bajo la acción de la luz, los que se desplazan a lo largo del tubo hacia el colector positivo, cerrando el circuito. Distintas observaciones experimentales de este fenómeno permiten establecer que: ♦ existe una determinada longitud de onda llamada longitud de onda crítica ( λ λc ) que es característica para cada metal . Unicamente longitudes de onda más cortas que la λc pueden causar este efecto. ♦ independientemente de lo débil que sea el haz de luz, para cualquier electrones son emitidos en el instante en que la luz alcanza λ c los λ< λ λ la placa. Sin embatgo, un haz muy intenso de luz, con λ>λc, hará que los electrones abandonen la placa únicamente después que ésta haya sido calentada al rojo. ♦ aunque el número de electrones emitidos por la placa (intensidad de la corriente) es proporcional a la intensidad del haz luminoso, las energías cinéticas de los electrones emitidos no dependen de la intensidad luminosa.
♦ la determinación experimental de la energía cinética máxima de los electrones emitidos (K), para una misma placa, bajo la acción de la luz de diferentes longitudes de onda (diferentes frecuencias), permite obtener una ley matemática que expresa:
K = A. ν ν − B siendo: A y B constantes y ν = c / λ , con c = velocidad de la luz E
m1
Cs
νu1 νu2
K
m2
m3
Na
νu3
φ1 φ2 FISICA ELECTRONICA
h ν
Si la misma experiencia se repite para disintos materiales de la placa, es posible obtener una familia de curvas de la energía en función de la frecuencia que resultan representaciones de rectas de idéntica pendiente y diferente ordenada al origen. Nótese la existencia de una frecuencia mínima o umbral ( νu). Esta se vincula con λc , siendo νu= c / λc De estos resultados 12
MODULO I
experimentales podemos inferir la característica esencial del efecto fotoeléctrico: La energía cinética de los electrones emitidos es únicamente función de la frecuencia de la radiación incidente y no depende de modo alguno de su intensidad.
Einstein y la interpretación del efecto fotoeléctrico La interpretación teórica del mecanismo que desemboca en la liberación de los llamados fotoelectrones no resultaba satisfactoria a partir de las concepciones clásicas. La teoría ondulatoria de la luz, apoyada sobre bases inquebrantables hacia 1900, conduce a considerar la energía radiante como repartida uniformemente en la onda luminosa. Un electrón golpeado por una onda luminosa recibe la energía radiante de un modo continuo, por lo que la cantidad de energía que recibe el electrón por segundo es proporcional a la intensidad de la onda incidente y no depende de la longitud de onda. Einstein tuvo en 1905 la idea notable de que las leyes del efecto fotoeléctrico indican la existencia de una estructura discontinua de la luz. Así generalizó los resultados de Planck a fin de obtener un modelo de la luz: ♦ Planck consideró que un oscilador podría variar su energía perdiendo o ganando cuantos de magnitud h ν , donde ν es la frecuencia natural del oscilador . ♦ Einstein postuló entonces que cuando un oscilador pierde un cuanto de energía h ν ν, el oscilador emite un pulso de luz o fotón que transporta una cantidad de energía h ν ν , siendo la frecuencia de la luz emitida la misma ν ν.
A partir de considerar a la luz como un haz de fotones donde cada fotón transporta un cuanto de energía, Einstein interpretó las leyes del efecto fotoeléctrico. Cuando la luz choca contra una superficie, los fotones chocan contra los electrones encerrados en el material. Si se requiere realizar un trabajo φ para arrancar un electrón del material, los cuantos de luz deben tener por lo menos esa cantidad de energía. La cantidad φ se denomina función trabajo del material. Esto explica el λc , la longitud de onda crítica (y la frecuencia umbral νu ) para la emisión de electrones, en forma bastante natural.
O. VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
Si los fotones tienen una energía tal que h ν > φ , entonces los fotones serán capaces de liberar electrones. de otra manera no fluirá corriente. Por lo tanto tenemos:
ννu = φ / h
o lo que es lo mismo: λc
= hc / φ
De este modo, la medición de la longitud de onda crítica debería permitirnos determinar la función trabajo del material. A cualquier longitud de onda λ<λc, (o frecuencia ν> νu) ,cada fotón tendrá suficiente energía para liberar un electrón . Esta energía adicional aparecerá como energía cinética del electrón emitido. Considerando únicamente los electrones emitidos con mayor rapidez (mayor energía cinética), tenemos que la energía del fotón incidente es igual al trabajo que debe realizar el electrón para liberarse del material, sumado a la energía cinética del electrón una vez emitido .
Esto es:
h ν ν
= φ + K
de donde podemos obtener la expresión teórica o ecuación fotoeléctrica de la energía cinética en función de la frecuencia de la luz incidente y así poder comparar con la ley conocida a partir de las experiencias. Así: ecuación fotoeléctrica teórica
K K
ley empírica
= h νν − φ = A νν − B
La comparación de estas dos expresiones muestra que son de forma idéntica . En efecto, por medición se sabe que la constante experimental A es exactamente igual a h , como se predice en la ecuación fotoeléctrica. Por lo tanto, la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico es un éxito completo.
La radiación electromagnética,... ¿onda o corpúsculo? Ni la teoría de la radiación del cuerpo negro de Planck ni la teoría fotoeléctrica de Einstein serían muy aceptables si se consideraran separadas. Cada una hace una suposición concerniente a los cuantos de energía radiante contraria a la forma en que se consideró en esa época el comportamiento de los objetos de laboratorio y la luz. El hecho de que en ambas teorías se haga uso de estos mismos conceptos, y la misma constante física para lograr explicaciones para dos fenómenos completamente diferentes, hace sospechar que estas teorías y los nuevos conceptos tienen validez. Desde esa época se han acumulado otras pruebas, y los físicos reconocen que la radiación electromagnética, cuano interactúa con la materia, se comporta como cuantos o fotones, con energía h ν . Esto, claro está, no invalida nuestras ideas anteriores concerniente a la forma en FISICA ELECTRONICA
14
MODULO I
que la luz se desplaza en el espacio, en virtud de que la naturaleza cuántica de la luz no es evidente excepto cuando choca con la materia. Su movimiento a través del espacio evidentemente es igual al de las ondas y puede describirse de mejor manera en términos de ondas. A partir de los cuantos de luz de Einstein es imposible describir la luz y la radiación electromagnética en la forma que describiríamos una casa o una silla. En el caso de la radiación electromagnética debemos conformarnos con describirla en términos de lo que ésta hace, en términos de su comportamiento. Sabemos que la luz sufre difracción e interferencia y, por lo tanto, aparece como una onda bajo las circunstancias en que estos fenómenos se ponen de manifiesto. Es decir, la radiación electromagnética puede describirse adecuadamente, por lo que se refiere a su movimiento a través del espacio en términos de onda. Sin embargo, cuando la radiación interactúa con la materia de manera tal que provoque una transferencia de energía de la materia a la radiación, o viceversa, se requiere una descripción en términos de cuantos de energía o de fotones. Una imagen puramente corpuscular de la radiación no permite definir una frecuencia, una longitud de onda, es decir, magnitudes relevantes en una descripción ondulatoria y cuyos valores pueden ser deducidos de los fenómenos de interferencia y difracción. Y es precisamente a través del uso de esas magnitudes que Einstein define la energía del fotón: εfotón = h. ν ν . La constante de Planck, por otra parte, aparece vinculando, a modo de puente, el aspecto ondulatorio de la luz ( ν ν), bien conocido después de Fresnel, y el corpuscular (εfotón, cuanto, corpúsculo), revelado por el descubrimiento del efecto fotoeléctrico. De todo esto concluimos que, conceptualmente: la radiación electromagnética se considera mejor como un medio diferente de transporte de energía, que posee propiedades peculiares. Estas propiedades son en parte las de las partículas cuánticas y en parte, los de ondas .
El Efecto Compton Las propiedades corpusculares de la luz se manifiestan con más claridad en un fenómeno asociado a la dispersión de la radiación que recibió el nombre de efecto Compton. Se sabe que, si una radiación golpea un cuerpo material, una parte de la energía de esta radiación es dispersada en todas direcciones en forma de radiación difusa. La teoría electromagnética interpreta esta dispersión diciendo que, bajo la influencia del campo eléctrico de la onda incidente, los O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
electrones contenidos en el cuerpo material, entran en vibración forzada y se convierten en fuentes de pequeñas ondas esféricas secundarias que dispersan así en todas las direcciones una parte de la energía aportada por la onda primaria. Según esta interpretación, la vibración dispersada bajo la acción de una onda primaria monocromática (de frecuencia νp), debe tener exactamente la misma frecuencia que esta onda primaria; por ende, lo esperable en este caso sería: νd = νp. Durante mucho tiempo, esta teoría, asentada sobre la base del comportamiento ondulatorio de la radiación, se mostró satisfactoria para la interpretación de las experiencias de dispersión realizadas. Un estudio más preciso de la dispersión de los rayos X por diversos materiales, realizado por Compton, puso de manifiesto en 1923, un efecto no observado anteriormente. Esto es:
haz incidente de rayos X
además de la dispersión sin cambio de frecuencia prevista por la teoría electromagnética, se produce otra dispersión de frecuencia menor, completamente imposible de prever por el razonamiento clásico.
grafito
φ rayos X dispersados
Esquema del experimento de Compton.
Explicación de Compton •
Esta figura muestra los resultados típicos de la dispersión encontrados por Compton.
• ϕ = 00 • • •• • • •• •• • • • • ϕ = 450 • • • • •• • • • • ϕ = 900 • • • • •• •• •• • • • • ϕ =1350 • • • •
El hecho esencial observado por Compton es que: la radiación dispersada de frecuencia menor a la de la incidente, tiene una frecuencia variable con el ángulo de dispersión, pero independiente de la naturaleza del material. λ (A0)
Compton y Debye interpretaron el fenómeno asimilando la dispersión con cambio de frecuencia a un choque FISICA ELECTRONICA
16
MODULO I
elástico entre un fotón incidente y un electrón contenido en la materia enlazado débilmente con los átomos. Su teoría se desarrolla apoyándose sobre los teoremas de la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento en la colisión. dispersado h/ λ´ incidente h/ λ
En el momento del choque hay cambios de energía y cantidad de movimiento entre el fotón y el electrón. Como la frecuencia del fotón es proporcional a su energía, hay disminución de la frecuencia (pérdida de energía del fotón) en el momento del choque.
P de los electrones
En la figura, esta radiación dispersada está caracterizada por una longitud de onda λ mayor que la de la incidente. Esta experiencia puso entonces en evidencia que: el fotón es pues un corpúsculo, al que no sólo se le puede caracterizar con un valor de energía, sino que además, como partícula, es capaz de transferir cantidad de movimiento.
Pero, ¿cuál es la cantidad de movimiento de esta partícula que,
como radiación, se desplaza a la velocidad de la luz c ?
Como partícula relativista:
ε = m.c2
energía
y cantidad de movimiento p = m.c
p = ε / c
Por otra parte: No debemos olvidar los atributos de partícula y de onda con que, a partir de Einstein caracterizamos a la radiación al interactuar con la materia. Recordemos que:
ε = h. νν
energía del fotón
p = ε / c
Puesto que, como vimos: Podemos calcular: cantidad de movimiento del fotón
o, lo que es lo mismo: O. VON PAMEL
p = h. ν ν/c
pfotón = h / λ 17
S. MARCHISIO
Veamos entonces cómo Compton planteó las ecuaciones a partir de las leyes de conservación de la energía y de la cantidad de movimiento para el sistema de las dos partículas antes y después del choque. • cantidad de movimiento :
antes
después
Según el eje x :
pax = h/λ
=
h/λ‘ cos θ + m.vx = pdx
y en el eje y :
pay = 0
=
h/λ‘ sen θ − m.vy = pdy
siendo λ‘ la longitud de onda después de la dispersión y m la masa del electrón. • energía
antes
después
Ea = h.c/λ
= h.c/λ‘ + m.vx2 + m.vy2 = Ed 2
Con estas ecuaciones se puede despejar λ‘ en función de θ :
λ‘ = λ + h . (1- cos θ) m.c
Obsérvese que en esta ecuación de Compton se predice que λ‘ = λ cuando θ = 0. Por otra parte, a medida que θ aumenta, la longitud de onda de la radiación dispersada también aumenta, tal como se observó en la experiencia, pudiéndose reproducir los valores experimentales. La interpretación de la otra porción de la radiación dispersada, aquélla cuya longitud de onda no cambia, es la siguiente. En el estudio precedente consideramos al electrón levemente ligado, esto es cierto para los electrones más externos de los átomos. No debemos olvidar a los electrones más cercanos al núcleo, para los cuales, la energía de la radiación encidente no es suficiente, por lo que dichos electrones no pueden ser dislocados del átomo y no pueden dar energía adicional. El fotón actúa entonces como si chocara contra un objeto masivo: el átomo como un todo. Si la ecuación de Compton se aplicara , la masa del electrón debería ser reemplazada por la masa del átomo, algo así como 20.000 veces mayor que la masa del electrón. Como resultado, λ‘ y λ son esencialmente idénticas para estos fotones dispersados. FISICA ELECTRONICA
18
MODULO I
Algo más a partir de Compton..... Un análisis más profundo de estos resultados nos lleva a considerar que: el efecto Compton plantea conceptualmente la necesidad de una interpretación probabilística de la mecánica Cuántica .
La experiencia realizada por Compton involucra a sistemas de electrones, no a electrones tomados aisladamente. No se puede predecir para qué lado será dispersado tal o cual electrón, pero sí se tiene una sistemática (ver las gráficas de la distribución de los electrones dispersados a distintos ángulos), cuando el número de electrones es grande. Por lo que: la teoría desarrollada por Compton y Debye no permite predecir cómo evoluciona un electrón, pero sí, cómo se comportan, en promedio, un número grande de electrones.
Regularidades en los espectros atómicos Además de la radiación del cuerpo negro y del efecto fotoeléctrico, las particularidades observadas en los espectros producidos por varios elementos químicos era otro fenómeno que requería explicación de parte de los físicos a comienzos del siglo XX. Un método experimental empleado frecuentemente a comienzos de siglo para analizar la composición de distintos elementos de la naturaleza consistía en examinar la luz emitida por los mismos en ciertas condiciones de excitación térmica o eléctrica. Lo que se buscaba era la obtención de espectros de emisión; para ello, se dispersaba dicha luz a través de un prisma.
El lenguaje de los espectros Un espectro se obtiene a partir de la siguiente disposición experimental.
lampara de descarga
prisma
pantalla
°
espectro gaseoso
diafragma
Podemos, por ejemplo, examinar la luz producida por el filamento caliente de un tubo incandescente. En ese caso el espectro aparecerá como una banda luminosa continua integrada por los colores del arco iris. A éste se lo denomina espectro continuo y es característico de la radiación emitida por un cuerpo sólido incandescente.
O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
También podemos obtener un espectro a partir de una muestra de hidrógeno gaseoso u otro gas a bajas presiones, confinado en un tubo de vidrio e inducido a emitir luz, por ejemplo, por calentamiento. Si examinamos dicha luz con un prisma, no observamos un espectro continuo, sino un espectro de emisión de líneas , conformado por unas pocas, separadas líneas de color. En este caso, la fuente no está emitiendo radiación de todas las longitudes de onda (colores), sino de ciertas y determinadas longitudes de onda. Más aún, si se investiga un tipo diferente de gas, por ejemplo, helio, se puede encontrar que el espectro de líneas es diferente. ♦ Cada tipo de gas tiene su propio y único espectro de líneas.
Cada patrón correspondiente a un gas determinado se constituía en su “ huella digital” . Esto permitió el inicio del desarrollo de una importante rama de la Física que se llama análisis espectral. A través de la determinación y comparación de espectros gaseosos fue posible durante mucho tiempo a los científicos identificar sustancias en la atmósfera y estudiar la composición de las estrellas. Asimismo el desarrollo de la espectroscopía experimental condujo al descubrimiento y clasificación de un número incalculable de líneas características para los distintos gases. En un principio, no era evidente que existieran regularidades empíricas en estos espectros y más aún, ningún avance satisfactorio se había realizado en el intento por encontrar un mecanismo físico con el cual explicar este comportamiento de los gases cuando eran sometidos a algún modo de excitación.
Las series espectrales del hidrógeno Sin embargo, el estudio de los espectros atómicos sirvió de llave para la comprensión de la estructura de los átomos. Ante todo, se advirtió que las líneas de los espectros atómicos no están en desorden, sino que se aúnan en grupos o series de líneas. Esto se observó más claramente en el espectro del átomo más simple, el hidrógeno. 6562.8 0A
4861.3 0A
En 1885 J. Balmer publicó un artículo titulado “ Nota relativa a las líneas espectrales del hidrógeno” . Había encontrado una relación empírica entre las longitudes de onda de la serie de líneas de emisión del hidrógeno en la región visible y ultravioleta cercana a través de la siguiente fórmula:
4340.5 0A
Hα
Hβ
Hγ Hδ
H∞
0
4101.7 A
λ = λ0
n2 n2 - 22
FISICA ELECTRONICA
Fórmula de Balmer
20
MODULO I
donde λ0 es una constante; n un número entero distinto para cada línea. En particular, n debía ser igual a 3 para la primera línea (roja); n = 4 para la segunda (verde); n = 5 para la tercera (azul); y n = 6 para la cuarta (violeta). Su éxito residió en el excelente acuerdo entre los valores calculados por su fórmula y medidas anteriores realizadas por Armstrong de las mismas cuatro longitudes de onda. Asimismo, asignó a n el valor 7 para otra hipotética línea. Predijo de este modo la longitud de onda de una línea perteneciente al espectro del hidrógeno existente en la región ultravioleta. Balmer también admitió la posibilidad de que existiesen otras series del hidrógeno hasta entonces desconocidas, y que las longitudes de onda de las líneas en ellas se obtuviesen reemplazando el 2 2, en el denominador de su ecuación por 1 2, 32, 42, y así sucesivamente. Si incluímos en la ecuación de Balmer todas estas consideraciones, y la expresamos en términos de la inversa de la longitud de onda, nos queda:
1 =R ( 1 - 1 ) m2 n2 λ
fórmula generalizada de Balmer
la que, para diferentes valores de m y de n fue corroborada experimentalmente, dando lugar a las llamadas series: de Lyman :
m = 1 ; n = 2, 3, 4, ...
de Pashen:
m = 3 ; n = 4, 5, 6 ,...
de Brackett :
m = 4 ; n = 5, 6, 7,....
de Pfund :
m = 5 ; n = 6, 7, 8, ...
En esta fórmula generalizada de Balmer para las series del hidrógeno, R es la denominada constante de Rydberg . Su valor, redondeado hasta las milésimas, a partir de una determinación experimental es: R = 109737,309 + 0,012 cm -1
Las series espectrales: un enigma pendiente Aunque la fórmula de Balmer no sirviese directamente para la descripción de los espectros de otros gases distintos del hidrógeno, inspiró fórmulas análogas y sirvió de base para vislumbrar algún orden en otros espectros, aún más complejos. La constante de Rydberg también estaba presente en O. VON PAMEL
21
S. MARCHISIO
estas nuevas fórmulas empíricas. Esto hacía cada vez más evidente la existencia de un mismo mecanismo físico básico detrás de la gran variedad de observaciones espectroscópicas. Había que descubrirlo para comprender el espectro de los gases en lugar de describirlos en términos de fórmulas experimentales. Sin embargo, para la solución del enigma había que reunir otros elementos y ahondar en el conocimiento de la estructura de la materia. Hacía falta un modelo de átomo.
FISICA ELECTRONICA
22
MODULO I
MODULO II MECANICA CUANTICA: LA ECUACION DE SCHROEDINGER
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
Contenidos HACIA EL CONOCIMIENTO DE LA ESTRUCTURA ATOMICA El átomo de Thomson La experiencia de Lenard El origen del átomo nuclear: Rutherford Limitaciones del modelo de Rutherford El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno Limitaciones del modelo de Bohr Hipótesis de De Broglie: el electrón como onda El experimento de Davisson - Germer La ecuación de Schroedinger A partir de la dualidad onda - corpúsculo del electrón
HACIA EL CONOCIMIENTO DE LA ESTRUCTURA ATOMICA FISICA ELECTRONICA
2
MODULO II
El átomo de Thomson Una de las cuestiones fundamentales sin respuesta aún en 1900 se relacionaba con la estructura de los átomos. La carga y la masa del electrón se conocieron en forma aproximada, así como también las masas de los diferentes átomos, juntamente con las estimaciones de los químicos del número de electrones de cada uno. En virtud de que las masas de los átomos son del orden de 10 3 veces mayores que la masa de los electrones en ellos, y como el átomo es eléctricamente neutro, en 1900 se creía que la mayor porción de la masa átomica llevaba una carga positiva. El modelo más ampliamente aceptado de estructura atómica en 1900 era el modelo de Thomson. En éste se consideraba el átomo prácticamente como un globo fluído positivamente cargado de un diámetro aproximado de 10 -10 m, en el que los electrones se hallaban embebidos. Se creía que la densidad de la esfera era razonablemente uniforme. Debido a esta mezcla íntima de carga positiva y negativa dentro del átomo, todas las porciones del átomo eran casi eléctricamente neutras. Cualquier modelo de átomo que se propusiera por entonces debía poder explicar los espectros atómicos. En base a su modelo, Thomson pudo dar cuenta de la emisión de luz por los átomos en base a suponer que, cualquier modo de excitación de los mismos debía imprimir movimiento a sus cargas constitutivas. Según la teoría de Maxwell, los electrones oscilando respecto de su posición de equilibrio dentro del globo fluído positivo produciría la emisión de radiación electromagnética. Sin embargo, ni este modelo ni otros que se propusieron por entonces podía explicar la emisión de luz en las frecuencias discretas y específicas de las series espectrales, tal como aparecen en la fórmula de Balmer del hidrógeno.
La experiencia de Lenard El modelo atómico de Thomson fue sometido a prueba seriamente por Lenard en 1903. Disparó un haz de electrones a través de una delgada hoja de metal y midió las propiedades de los electrones que podían atravesar una hoja. Según el modelo de Thomson, la situación podría describirse como se muestra en la figura. O. VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
hoja metalica
• • •
Las películas utilizadas por Lenard eran realmente varias capas de miles de átomos de espesor, y consecuentemente sus hojas eran en realidad más gruesas que la mostrada.
Puesto que según el modelo de Thomson, los átomos eran pequeñas electrones esferas de densidad prácticamente uniforme, Lenard esperaba que el haz de electrones perdiera gran cantidad de su energía a medida que pasara a través de la hoja. •
•
Su experimento mostró resultados bastantes diferentes. Podemos sintetizar el aporte de Lenard:
• la mayor parte de los electrones que eran disparados contra la
hoja pasaban en línea recta, sin ser desviados. De este modo concluyó que el modelo de Thomson del átomo era incorrecto.
• propuso en su lugar que el átomo consiste de agregados muy
pequeños de carga positiva y negativa. La porción mayoritaria del este modelo de átomo era espacio vacío ocupado por unos cuantos electrones que flotaban en él.
El origen del átomo nuclear: Rutherford Los experimentos como el desarrollado por Lenard, más bien rudimentarios, inspiraron a E. Rutherford y colaboradores para diseñar y llevar a cabo investigaciones más precisas. Las mediciones más completas de este tipo fueron llevadas a cabo por Geiger y Marsden en el laboratorio de Rutherford en 1911. Sus experimentos difirieron en varios aspectos del de Lenard. Utilizaron partículas α emitidas por varios materiales radiactivos en vez de electrones como partículas de bombardeo. Rutherford y sus colaboradores habían mostrado previamente que las partículas α son núcleos de helio de gran energía. Estas partículas, de una masa aproximadamente 2.000 veces mayor que la de los electrones, no deberían ser desviadas notablemente por colisiones con los electrones. Era esperable que su desvío o dispersión fuera debida a la acumulación de pequeñas dispersiones causadas por los sucesivos choques con los electrones. FISICA ELECTRONICA
4
MODULO II
Como blanco utilizaron una delgada hoja de oro. El oro tiene ventajas sobre otros materiales: se forja con facilidad en hojas muy delgadas. material radiactivo
haz de particulas
luz
ojo amplificador
θ
⊗ escudo de plomo
pantalla fluorescente
hoja de oro
diagrama del experimento de Geiger-Marsden
El emisor de partículas radiactivas α fue blindado con plomo, y sólo se permitía emerger una porción de las partículas α como un haz angosto. Este haz incidía sobre la hoja de metal. Como detector de las partículas α, se utilizó una pequeña pantalla fluorescente. Cuando una partícula α chocaba contra la pantalla, se producía un pulso de luz. (Esto es similar a la acción fluorescente de la pantalla de TV que produce luz cuando los electrones chocan contra él). Colocando la pantalla a diferentes ángulos con relación al haz directo, se podía contar con el número de partículas α dispersadas a diferentes ángulos. Los resultados de Geiger y Marsden confirmaron las mediciones llevadas a cabo por Lenard . Algunas de las partículas α eran reflectadas casi en línea recta hacia atrás, indicando que habían chocado de frente con un objeto masivo.
Particulas α
−• −• −•
+
Estos resultados indicaron claramente que: la mayor porción de la masa del átomo está bastante concentrada en una fracción muy pequeña del volumen del átomo.
−• −• −•
Por otra parte, investigaciones muy detalladas mostraron claramente que la elección del metal no afectaba la mayor dispersión de las partículas α. Este fue el origen del concepto moderno del átomo nuclear: átomo consistente de un núcleo de dimensiones del orden • el 14
≈10-
m de diámetro, que contiene casi toda la masa del átomo, excepto en lo que se refiere a la masa de sus electrones.
O. VON PAMEL
5
S. MARCHISIO
• el núcleo también contiene una carga positiva Ze, donde Z es el19 número atómico del elemento y e es la carga eléctrica, 1.60 x 10C. Dispersados a través de la región exterior del núcleo dentro de una esfera ≈ 10-10 m de diámetro, se encuentran los Z electrones del átomo. el radio del núcleo y el radio del átomo • puesto que la relación entre es aproximadamente 10- 5, la mayor porción del átomo es espacio vacío. Aunque estos argumentos cualitativos indicaron que deberíamos aceptar un modelo nuclear para el átomo, el conocimiento científico requiere algo más que conclusiones basadas exclusivamente en razonamientos cualitativos. La comunidad científica prefiere deferir la aceptación de un modelo hasta que pueda mostrarse que un estudio matemático del modelo conduce a una predicción cuantitativa de los resultados experim entales. Por esta razón, debía desarrollarse una teoría cuantitativa para dispersión de las partículas α por el átomo para poder comparar sus predicciones con los resultados experimentales ya conocidos. La teoría cuantitativa para esta situación fue proporcionada por primera vez por E.Rutherford, dando fuerza a su modelo.
Limitaciones del modelo de Rutherford En síntesis, el modelo atómico de Rutherford era un modelo planetario: el átomo estaba formado por un núcleo cargado positivamente rodeado por una nube de electrones orbitando a su alrededor en movimiento circular con velocidad constante.
v -e r
En el “ átomo planetario” la fuerza de atracción coulombiana es la que proporciona la fuerza centrípeta para ese movimiento. Por lo tanto, los electrones están acelerados.
+e
De acuerdo con la teoría electromagnética clásica, el electrón orbital debía por ello radiar continuamente, lo cual explicaba la emisión de luz por los átomos. Obviamente, esta emisión de luz no era discreta. Además, si la luz es emitida por el electrón en su movimiento periódico, el principio de conservación de la energía exige que la radiación emitida origine una disminución en la energía del electrón.
FISICA ELECTRONICA
6
MODULO II
En el modelo de Rutherford, la energía resultaba función del radio orbital. Por lo tanto, el electrón radiante se iría moviendo según una espiral hacia el núcleo y colapsaría. Este modelo es autodestructivo.
El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno Conociendo los éxitos y fracasos del modelo de Rutherford, Niels Bohr se dispuso a reconciliar la idea del átomo planetario con la evidencia experimental de su estabilidad y de las precisiones empíricas de Balmer acerca de los espectros gaseosos. Es así como para elaborar su modelo, presentado en 1913, tomó elementos del modelo de Rutherford e introdujo algunos conceptos cuánticos de Planck y Einstein. Por esa época, las primeras hipótesis cuánticas ya habían dado sus frutos en la explicación de la radiación del cuerpo negro y el efecto fotoeléctrico. El mayor éxito de Bohr fue da explicación al espectro de emisión del hidrógeno. Veamos las características básicas de su modelo a través de sus Postulados: • el átomo es un pequeño sistema solar con un núcleo en el
centro y electrones moviéndose alrededor del núcleo en órbitas bien definidas. El núcleo hace las veces de sol y los electrones, de los planetas. La interacción es coulombiana. Para el átomo de hidrógeno: F coul. = F cent. e2 = m.v2 4.π.ε0.r2 r
donde m es la masa del electrón; ε0 permisividad del vacío y e la carga eléctrica. La energía cinética del electrón puede escribirse a partir de ello como: energía cinética del e - :
m.v2 2
=
e2 8. .π. ε0. r.
• Las órbitas están cuantizadas o seleccionadas. Esto es, los
electrones pueden estar sólo en ciertas órbitas. Cada órbita permitida tiene una energía asociada a ella, de modo que a la órbita más externa le corresponde energía mayor. Los
O. VON PAMEL
7
S. MARCHISIO
electrones no radían energía ,- no emiten luz-, mientras se encuentran en esas órbitas estables. Llamemos a los radios de las órbitas estables de Bohr r 1, r2, etc. Un electrón que se mueve en tal órbita tiene tanto energía cinética como energía potencial eléctrica. e •
En una posición del electrón distante del núcleo en un valor r, podemos escribir:
h ν
energía potencial del e- : − e .V =
2
− e . 4. π. ε0. r
Por lo tanto la energía total del electrón cuando se encuentra en la órbita de radio r 4 se puede escribir como: Etotal = Ecinet. + Er4
=
Epot.
e2 e2 − 8. .π. ε0. r4 4. π. ε0. r4
Resolviendo, resulta: Er4
=
2 − e 8. .π. ε0. r4
Del mismo modo para una órbita r 5 resulta: Er5
=
2
− e 8. .π. ε0. r5
A medida que el electrón se acerca al núcleo, r disminuirá y la energía de los electrones también. • Los electrones pueden saltar desde una órbita permitida a
otra. Si el electrón lo hace desde una de menor energía a otra mayor, debe ganar una cantidad de energía,- absorber un cuanto de energía radiante,- igual a la diferencia de energía asociada en cada órbita. Si pasa de una energía mayor a otra de menor valor, el electrón debe perder la correspondiente cantidad de energía radiada como cuanto de luz.
De este modo, si consideramos una transición del electrón desde la órbita de radio r 5 a la de radio r4 podemos escribir: Er5 − Er4 FISICA ELECTRONICA
= 8
h. ν 5--4 MODULO II
siendo en este caso h. ν ν 5--4 igual al cuanto de energía emitido como radiación por el átomo de hidrógeno. Si reemplazamos por las expresiones ya presentadas nos queda: h. ν 5--4
2
=
e2 8. .π. ε0. r4
− e 8. .π. ε0. r5
+
e2 8. .π. ε0.
( 1/ r4
o lo que es lo mismo: h. ν 5--4
=
− 1/ r5 )
Esta relación se puede expresar en términos de la inversa de la longitud de onda. Para ello empleamos la relación ya vista: ν= c / λ y dividimos por el producto h.c. De este modo: 1/ λ5-4 =
e2 . ( 1/ r4 8. .π. ε0. h.c.
− 1/ r5 )
λ λ hallado a través del modelo teórico del átomo de Bohr Tenemos así una relación para la longitud de onda de la luz emitida en una transición o salto del electrón entre las órbitas n=5 y n =4, de radios r5 y r4 respectivamente, hallado a través del modelo teórico del átomo de Bohr. Es posible contrastarla con la información experimental. Si Bohr estuviera en lo cierto, la longitud de onda así calculada debería ser emitida por los átomos de hidrógeno. La información está en los espectros, en las determinaciones con base empírica de las líneas correspondientes al hidrógeno. Recordemos la fórmula de Balmer:
1 =R ( 1 - 1 ) λ
m
2
2
n
fórmula generalizada de Balmer
con m y n enteros, siendo m < n Existe sorprendente semejanza entre ambas. Bohr encontró que podía hacer coincidir su forma exactamente si se cumplía: m.vn.rn = n. h
selección de las órbitas
O. VON PAMEL
9
S. MARCHISIO
2π
por cuantización del momento angular del electrón
siendo: n un número entero diferente para cada órbita; vn la velocidad del electrón en la órbita; rn el radio correspondiente a n. Reemplazando rn y utilizando la expresión de la energía cinética del electrón para eliminar vn , se puede obtener en nuestra transición de la órbita 5 a la órbita 4: 1/ λ5-4 =
e4 . m 2 3 ε0. h .c.
. ( 1 − 1 ) 42 52
Esta expresión de la inversa de la longitud de onda correspondiente a la transición que venimos analizando, calculada a partir de la teoría de Bohr, coincide con la expresión experimental o fórmula de Balmer si hacemos m = 4 y n =5. El cálculo de la constante:
e4 . m
ε0.2 h3.c. concuerda dentro del error experimental con la constante de Rydberg ; representada por R en la fórmula de Balmer.
Limitaciones del modelo de Bohr La teoría del átomo de hidrógeno de Bohr es satisfactoria para obtener un modelo físico que conduzca a los resultados experimentales observados en el caso de la luz emitida por los átomos de hidrógeno. También es notable en tanto proporciona una base para el carácter cuántico de la luz. El fotón es emitido por el átomo cuando el electrón cae de una órbita a otra; es entonces un pulso de energía radiada. Sin embargo, la teoría tiene un gran inconveniente. Bohr no pudo proporcionar alguna razón para explicar la existencia de las órbitas estables y para la condición de selección de las mismas. Bohr encontró por prueba y error que la condición de cuantización del momento angular del electrón en unidades h. / 2π daba el resultado correcto.
FISICA ELECTRONICA
10
MODULO II
La condición es muy similar a la de un estudiante que conoce la respuesta a un problema y a continuación la obtiene por un método que no puede justificar. Nadie se siente muy feliz en esa situación.
Hipótesis de De Broglie: el electrón como onda El primer intento fructífero para justificar la relación encontrada por Bohr para la selección de las órbitas estables fue realizado por Louis De Broglie en 1923. Tenía sólo 31 años y ese trabajo constituyó su tesis doctoral. De Broglie introdujo la idea de que los electrones debían, al igual que la radiación electromagnética, poseer una propiedad de dualidad onda - partícula. En otras palabras, el sugirió, basándose en la reciprocidad general de las leyes físicas, la naturaleza ondulatoria de los electrones. Vinculó la longitud de onda λ de un electrón (onda) y el momento p de una partícula mediante la constante de Planck en una relación análoga a la del fotón:
λ De Broglie
=
h / m.v
Dado que h es un número muy pequeño, λ electrón de De Broglie es pequeña; por lo que las propiedades ondulatorias del electrón sólo se manifiestan en los niveles atómicos y subatómicos. En base a esta hipótesis, De Broglie razonó que: • dado que un electrón orbitando actúa como onda, su
λ tiene que estar relacionada con la circunferencia de su órbita.
• el electrón debía ser una onda que se interfiere a sí misma.
Sólo si la interferencia de la onda es constructiva (resonancia), puede la órbita electrónica mantenerse estable.
La órbita en este caso no es posible puesto que la onda interfiere en forma destructiva sobre sí misma .
O. VON PAMEL
11
S. MARCHISIO
Veamos lo que se obtiene de este razonamiento: La circunferencia de la órbita del electrón onda debe igualar exactamente λ De B ; 2.λ De B ; 3. λ De B ; etc. Si r es el radio de la órbita circular, la longitud de la circunferencia es 2. π.r. Podemos escribir por lo tanto: 2.π.r. = λ ; ó 2λ; ó 3λ ; etc.; en general: 2.π.r. = n. λ
; con n entero
Esto define sólo algunos posibles valores para el radio de la circunferencia. Asimismo, este análisis conduce a los valores permitidos de momento angular del electrón. En efecto: Puesto que λ = h / m.v , la circunferencia tiene valores: 2.π.r. = h / m.v ; ó 2 .h / m.v ; 3. h / m.v ; etc. por lo que a partir de la hipótesis de De Broglie el momento angular del electrón es: m.v.r = h. / 2π ; 2. h. / 2π ; 3. h. / 2π ; etc. En forma general:
m.v.r = n. h. / 2π
El experimento de Davisson - Germer La existencia de las ondas de De Broglie fue escasamente más atractivo que el simple enunciado de Bohr acerca de la existencia de las órbitas permitidas. Pero en 1927 se encontró una prueba experimental que favoreció la existencia de estas ondas y esta prueba fue de tal naturaleza que resultó concluyente. Davisson y Germer estaban investigando la dispersión de un haz de electrones por medio de un cristal de metal (níquel)
FISICA ELECTRONICA
12
MODULO II
V
fuente de electrones
cristal
θ
esquema del experimento de Davisson y Germer
φ
detector
La experiencia consistía en lo siguiente: A un haz de electrones se le da una energía conocida. Se acelera a los electrones a través de un diferencia de potencial V. Davisson y Germer efectuaron mediciones del número de electrones dispersados por el cristal de níquel sobre el que hacían incidir el haz. El resultado inesperado fue que los electrones se dispersaban en gran cantidad a determinados ángulos especiales y a otros no. Esto dio origen a nuevas experiencias empleando cristales adecuadamente orientados. Buscaban ver si era posible aplicar la ley de Bragg. Los resultados fueron contundentes: • la dispersión del haz de electrones por un cristal podía compararse a
los fenómenos de difracción e interferencia luminosa mediante una red.
• los electrones se reflejaban de la misma manera que debían ser
reflejadas las ondas de De Broglie; por lo tanto se concluyó que los electrones tienen propiedades ondulatorias.
Se pueden comparar los patrones de intensidad de los electrones al ser dispersados por un cristal (experiencia de Davisson- Germer) con los generados cuando una luz pasa a través de una rendija. x
Patrón de intensidad distancia para el fenómeno de interferncia.
onda
intensidad
x
y onda
Interferencia de ondas luminosas
O. VON PAMEL
13
intensidad
S. MARCHISIO
haz de electrones
x
Patrón de intensidad obtenido con electrones
intensidad
La ecuación de Schroedinger Desarrollando las ideas de De Broglie sobre las propiedades ondulatorias de la materia, E. Schroedinger obtuvo, en el año 1926 (antes de la experiencia de Davisson y Germer), su célebre ecuación. El comparó el movimiento de una micropartícula con una función compleja de la posición y el tiempo, a la cual denominó función de onda y designó como función ψ (psi). La función de onda caracteriza el estado de la micropartícula. La expresión para ψ se obtiene de la solución de la ecuación de Schroedinger, expresada como: 2 - h2 ∇ ψ + U ψ = i .h. ∂ψ 8π2m 2π ∂ t
ecuación de Schroedinger
aquí: m es la masa de la partícula; i la unidad imaginaria; ∇2 el operador de Laplace, el resultado de la acción del cual sobre cierta función, es la suma de las segundas derivadas parciales por las coordenadas. 2
∇
ψ = ∂2 ψ + ∂2 ψ + ∂2 ψ 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
con la letra U en la ecuación de Schroedinger se designa una función de las coordenadas y el tiempo, cuyo gradiente tomado con signo inverso define la fuerza que actúa sobre la partícula. En el caso que la función U no dependa directamente del tiempo, la misma tiene el sentido de energía potencial de la partícula.
FISICA ELECTRONICA
14
MODULO II
De la ecuación de Schroedinger se deriva que la forma de la función ψ está definida por la función U; o sea, por el carácter de las fuerzas que actúan sobre la partícula. La ecuación de Schroedinger es la ecuación fundamental de la mecánica cuántica no relativista. La misma no puede ser deducida de oreas relaciones. Debe ser considerada como el punto de partida fundamental, cuya justeza se demuestra por el hecho de que todas las consecuencias que se derivan de la misma concuerdan con los datos experimentales. ¿Cómo estableció Schroedinger su ecuación?
Partió de una analogía óptico-mecánica que consiste en la similitud de las ecuaciones que describen el recorrido de los rayos lumínicos y las ecuaciones que describen la trayectoria de las partículas en la mecánica analítica. En óptica, el recorrido de los rayos satisface el principio de Fermat; en mecánica, la forma de la trayectoria satisface el llamado principio de la acción mínima. ♦ Ecuación de Schroedinger cuando la función U es independiente del
tiempo
Si el campo de fuerzas en el cual se mueve una partícula es estacionario, la función U no depende explícitamente del tiempo y representa la energía potencial. En ese caso, la ecuación de Schroedinger se descompone en dos factores; uno de los cuales depende sólo de las coordenadas y el otro, sólo del tiempo:
ψ (x, y, z, t) = ψ ( x, y, z ). e -i.ω.t si consideramos la relación entre la energía E de la partícula y la frecuencia angular ω: E = h. ω / 2 π el factor dependiente del tiempo toma la forma:
e -i.ω.t = e-i(2 π E/h)t Por lo que podemos escribir: -i(2 π E/h)t
ψ (x, y, z, t) = ψ ( x, y, z ). e queda:
Si colocamos esta expresión en la ecuación de Schroedinger nos
- h2 . e-i(2 π E/h)t .∇2 ψ + U ψ . e-i(2 π E/h)t = i . h. (-i . 2 π E) e-i(2 π E/h)t ψ O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
. 8π2m
2π h
Simplificando la expresión nos queda la ecuación diferencial que define la función ψ : ecuación de Schroedinger para estados estacionarios
- h2 ∇2 ψ + U ψ = E ψ 8π2m
Esta última expresión frecuentemente toma la forma: 2
∇ ψ
de
la
ecuación
se
Schroedinger
= - 8π2m / h2 . ( E - U ). ψ
Revisemos los pasos generales de acceso que se siguen cuando se utiliza la ecuación de Schroedinger en la mecánica cuántica en un campo estacionario..
♦ Por tratarse de un campo estacionario, la energía de la partícula se mantiene constante. Sustituimos U por la energía potencial de la partícula en función de las coordenadas x, y, z, y se resuelve la ecuación para ψ . 2
♦ La intensidad de la onda se encuentra haciendo ψ . En los casos en que
ψ es un número complejo, la intensidad se calcula multiplicándola por su complejo conjugado. Interpretamos que la intensidad es proporcional al número de partículas que e encuentran en el punto en consideración. Si tenemos nada más una partícula en vez de un grupo o haz de partículas, la intensidad será proporcional al número de veces que encontramos la partícula en el punto dado si determinamos su posición en un gran número de observaciones independientes.
A partir de la dualidad onda - corpúsculo del electrón ¿cómo podemos representar al electrón con propiedades de partícula - onda? ⇒ Las propiedades de los electrones pueden ser descriptas en forma
general por la función de onda ψ ψ (psi), la cual, como vimos, es función del tiempo y del espacio. Tomemos, por ejemplo una función sencilla general, de tipo armónica.(Recordemos que cualquier otra forma de onda,
FISICA ELECTRONICA
16
MODULO II
puede ser descompuesta por Fourier en ondas armónicas de diferente frecuencia)
ψ = sen ( k.x - ω.t) siendo k = 2.π./ λ el número de onda y ω = 2.π. ν. la frecuencia angular ♦ Esta función de onda no es representación de ninguna onda o entidad física. Debe ser entendida solamente como una descripción matemática que nos permite analizar el comportamiento del electrón en forma conveniente . ⇒ La
dualidad onda -partícula puede ser comprendida mejor suponiendo que el electrón puede ser representado por una combinación de trenes de onda de diferentes frecuencias entre ω y ω + ∆ ω ; y diferentes números de onda entre k y k + ∆ k . Podemos estudiar esto, suponiendo al principio sólo dos ondas.
ψ 1 = sen ( k.x - ω.t) y ψ 2 = sen [ ( k + ∆ k).x - ( ω + ∆ ω) t] La superposición de ambas da como resultado una nueva función ψ :
ψ = ψ 1 + ψ 2 = 2.cos.(∆ ω .t - ∆ k. x ) . sen [ ( k + ∆ k).x - ( ω + ∆ ω) t] 2 2 2 2 Esta expresión describe una onda senoidal, de frecuencia intermedia entre ω y ω+ ∆ ω, con una amplitud levemente modulada por una función coseno. modulacin de la amplitud
onda
vg x vf
∆x paquete de ondas
De este modo podemos distinguir lo que se llama un “ paquete de onda” ⇒ Analicemos más detalladamente la superposición de ondas.
O. VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
♦ Supongamos que ω y k fueran idénticos para las dos ondas (equivale a ∆ω = ∆k = 0). En este caso, se obtiene un paquete de onda
infinitamente largo, una onda monocromática. Esto se correspondería con la imagen ondulatoria del electrón. No nos indica nada acerca del lugar donde se encuentra la partícula.
λ
v = vf
A x
♦ ∆ω y
∆k muy grandes. Esto nos llevaría a obtener paquetes de onda
pequeños. Si además consideramos un número grande de diferentes ondas en vez de dos, barriendo frecuencias entre ω y (ω + ∆ ω), se obtiene un único paquete de onda. El electrón quedaría así representado como partícula.
vg x
⇒ Debemos distinguir diferentes velocidades ♦ La velocidad de la onda material (de De Broglie) es la llamada velocidad
de la onda o “velocidad de fase” v. Como hemos visto la onda material es una onda monocromática (o un “ chorro de partículas” de igual velocidad, cuya frecuencia, longitud de onda, momento o energía pueden ser determinados con exactitud).La ubicación de las partículas, sin embargo, está indeterminada, puesto que se extiende entre - ∞ y +∞ .
♦ Mencionamos también que una partícula puede ser entendida como
compuesta de un grupo de ondas o “ paquete de ondas” . Cada onda individual tiene una frecuencia levemente diferente entre los valores ω y (ω + ∆ ω). En forma apropiada , a la velocidad de una partícula se la llama “velocidad de grupo” vg . La envolvente propaga con la velocidad de grupo; es la velocidad de la partícula en movimiento. La ubicación de
FISICA ELECTRONICA
18
MODULO II
una partícula puede ser conocida en forma precisa, mientras, su frecuencia no. ♦ Esto nos conduce al Principio de incertidumbre de Heisemberg
A partir de De Broglie, la aceptación de esta descripción de las partículas atómicas nos lleva a aceptar este principio asombroso implícito en ella, que es además un hecho de la Mecánica Cuántica: Si el momento de una partícula se conoce con precisión, entonces su posición es desconocida. Si la posición de una partícula se conoce con precisión, entonces su momento es desconocido. Se puede expresar simbólicamente: ( ∆ px ) . ( ∆ x ) ≥ h / 2π De esta relación inferimos que la posición y el momento de una partícula única no se pueden conocer simultáneamente con exactitud. En base al mismo razonamiento podemos llegar a una segunda relación de incertidumbre que implica a la energía de una partícula y al tiempo en el cual obtuvo esa energía. Se expresa como: ( ∆ E ) . ( ∆ t ) ≥ h / 2π Si el concepto de onda de De Broglie de las partículas es cierto, entonces, las relaciones de incertidumbre son ciertas. En último análisis, éstas son consideraciones experimentales, no teóricas. En realidad no se ha podido hasta la fecha imaginar un experimento que contradiga el principio de incertidumbre. El análisis experimental revela que esta incertidumbre surge básicamente debido a la naturaleza ondulatoria de los fotones y de la materia: la incertidumbre de la medida de p, -lo mismo que de la medida de x- , en la expresión ( ∆ px ) . ( ∆ x ) ≥ h / 2π no es debida a un descuido del observador o a un deficiente equipo experimental ; se trata de algo inherente a la
naturaleza de los fenómenos.
O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
Esto mismo puede decirse en relación con el par de propiedades energía y tiempo. Como consecuencia de ello, a partir de Heisemberg se vio la necesidad de abandonar el concepto clásico de órbita. Por otra parte se demostró que , en un experimento ilustrativo de las características ondulatorias de la luz era imposible , observar sus propiedades corpusculares; y viceversa. Además, la Física Cuántica incorpora un resultado nuevo y muy importante en lo experimental: En el contexto de la Física Cuántica toda observación modifica lo observado. En particular, si queremos observar un árbol o un edificio, se requiere que éstos estén iluminados, para lo cual es necesario contar con un extraordinariamente grande número de fotones; pero este hecho no provoca alteración apreciable en lo observado. En cambio, en el orden microscópico, con el objeto de observar una partícula, ésta debe ser golpeada por un fotón de alta energía. Es necesario en este caso considerar que el momento de la partícula debe cambiar durante el proceso de observación. Se puede verificar que aún el experimento mejor elaborado no puede violar la relación de incertidumbre de Heisemberg. Es por ello, que en nuestro recorrido hacia la búsqueda del conocimiento en el mundo microscópico de la materia, nuestra capacidad para conocer el estado exacto de una partícula está limitado por las relaciones de incertidumbre, insospechadas en el contexto de la Física Clásica, e incluidas en el marco de la Física Cuántica.
FISICA ELECTRONICA
20
MODULO II
MODULO III MECÁNICA CUÁNTICA PARTE III Modelos de potencial Objetivos:
A través del desarrollo del presente módulo se pretenden lograr tres objetivos fundamentales : 1º- introducir modelos de potencial simples que ilustren los principales fenómenos que se presentan en la Mecánica Cuántica. 2º- mostrar cómo se calcula mediante la ecuación de Schroedinger 3º- generar capacidad de modelar y de interpretar modelos
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
Modelos de potencial. Un método de análisis a partir del cálculo de la función de onda Como hemos visto en el marco del trabajo de Schroedinger, la función de onda ψ no tiene interpretación física real, debiendo ser entendida como una descripción matemática que nos permite analizar el comportamiento de los electrones en los átomos de una manera conveniente. Desde un punto de vista práctico, podemos considerar entonces a ψ como una magnitud intermedia cuyo conocimiento nos permitirá calcular algunas otras magnitudes, reales éstas, que sí tienen una interpretación física, aunque de orden estadístico. Por otra parte, la forma de dicha función quedará definida por la forma de la función potencial U que se considere. Para conocer esas magnitudes y resolver así problemas que involucren comportamientos cuánticos de la materia, es necesario plantear la representación de la función potencial más aproximada a la situación concreta en estudio. Es decir, se requiere trabajar con modelos de potencial representados matemáticamente por la función U de la ecuación de Schroedinger, que contendrá la información característica en cada caso. Es así como a través de una selección adecuada de la función potencial podremos modelar el átomo, una barra de metal, la unión de dos metales, un sólido cristalino, el efecto de un campo eléctrico sobre un material, etc. Asimismo, y de acuerdo con la situación a modelar, los potenciales a considerar serán diferentes. Según su tipo, éstos pueden ser expresados en coordenadas cartesianas ortogonales, en coordenadas radiales, etc. A modo de ejemplo, si queremos modelar un átomo, podemos suponer en principio al electrón encerrado en una caja de potencial cuadrada; un modelo mejor resultaría de considerar un potencial central del tipo - e2 /r , aunque este tipo de potencial hace más dificultosa la resolución de la ecuación de Schroedinger. A lo largo de este módulo nos proponemos analizar sólo potenciales simples; éstos, no obstante, con menor o mayor aproximación, modelarán situaciones que se nos presentan habitualmente en el estudio de los materiales. De todos los casos propuestos, resolveremos con detalle aquéllos que consideramos más formativos para los objetivos de este curso; de los restantes, desarrollaremos el modelo y expondremos las soluciones y los principales resultados que de ellas se desprenden. Concretamente estudiaremos cartesiano, crecientes en complejidad, FÍSICA ELECTRÓNICA
2
distintos
potenciales
de
MODULO III
tipo
desde: • la casilla de potencial unidimensional hasta : • el potencial periódico de un cristal para finalizar estudiando: • el potencial central de tipo electrostático, o lo que es lo mismo, la representación del átomo de hidrógeno.
Resolución de la ecuación de Schrodinger para un electrón en una casilla de potencial unidimensional La resolución de la ecuación de Schrodinger en problemas atómicos y moleculares es muy dificultosa, y se escapa de los alcances de este curso. ∂2Ψ
∂2Ψ
∂2Ψ
- 8 π2m ------- + ------- + ------- = ----------- ( E -U ) h2 ∂2x ∂ 2y ∂2z
ψ
♠ Sin embargo, para comprender el carácter de los resultados del estudio mecánico cuántico del átomo, que se realizará mas adelante , vale la pena examinar la resolución de la ecuación de Schrodinger en un caso simple. ♠ Resolvamos primero un modelo imaginario llamado casilla de potencial. En este modelo imaginaremos el átomo como si fuera un cubo, en el cual se encuentran encerrados los electrones. Este sería un caso en el que la función potencial ha de ser expresada en términos de tres dimensiones, las que se corresponderían con tres aristas perpendiculares entre sí del cubo considerado. Puesto que en la representación aproximada del átomo aislado no consideramos una dirección privilegiada para la función potencial, podemos encarar su resolución a partir de considerar un modelo unidimensional. ♠ Así, resolveremos primeramente la ecuación para un potencial unidimensional. En este modelo, el electrón puede moverse solamente en una dirección, por ejemplo, en el eje x, en el intervalo definido por las cotas (x=0; x = a ). (ver figura)
O. VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
E (x) U=
∞ ≈
casilla de potencial unidimensional
≈
.
x x=0
x=a
En los límites del intervalo, la energía potencial U del electrón es constante y por comodidad, la tomaremos igual a cero. Fuera de los límites del intervalo, la energía potencial se vuelve infinitamente grande, esto significa que el electrón no puede salir del intervalo 0 < x < a. Si partimos de la expresión original de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, para este caso concreto la ecuación toma la forma: -h2 ∂2ψ -------- ------ = E ψ 8π2m ∂2x Para la resolución de esta ecuación es necesario hallar la función Ψ y un valor tal de la energía E del electrón que satisfaga la ecuación. Por otra parte, puesto que el electrón sólo puede estar dentro del intervalo, se puede escribir: ∞
0
∫ ψ = ∫ ψ 2
-∞
2
a
=0 y
a
∫ ψ 2 = 1 0
expresión que da la probabilidad igual a 1 de estancia del electrón en el interior de la casilla. Esto fija las condiciones de contorno para la función de onda ψ : Ψ( x < 0 ) = Ψ( 0 ) =Ψ( a ) = Ψ( x > a ) = 0 Las funciones que satisfacen las condiciones señaladas son:
ψ n = A sen donde n = 1,2,3...... y
n π x a A = cte.
El valor n = 0 está excluido pues implicaría Ψ2 = 0 en la casilla, o sea, la ausencia del electrón. FÍSICA ELECTRÓNICA
4
MODULO III
Sustituyendo Ψ por su valor en la ecuación de Schrodinger se pueden hallar los valores de la energía E: n2h2 En = ---------- donde n = 1 , 2 , 3 , ....... 8ma2 Habiendo obtenido los valores de Ψn y de En hemos resuelto la ecuación de Schroedinger para la casilla de potencial unidimensional. Sólo falta hallar la constante A. Para ello recordemos que: a
0
∫ Ψ 2 δx = 1
_____ de donde, reemplazando se obtiene A = √ 2/a
Resulta importante reflexionar acerca de estos resultados .
♠ Ante todo debemos señalar la gran diferencia entre las imágenes cuántica y clásica del problema.
Imagen cuántica
Imagen clásica
♦ La energía asume determinados valores discretos
♦ La energía asume cualquier valor
E = n2 16
En = n E1 con n ≠ 0 h2 E1 = ------8ma2
9
n =3
4
n =2
1
n =1
0
O. VON PAMEL
E
n=4
La energía asume valores continuos.
n =0
5
S. MARCHISIO
ψ n (x)
ψ 3 2
ψ (x)
ψ 3
ψ 2 = cte. ψ 2 2
ψ = cte.
ψ 2
ψ 12 ψ 1 a
0
x
♦ La probabilidad de encontrar a la partícula varía en el intervalo
♦ La probabilidad de encontrar a la partícula es igual en todo el intervalo
Representaciones de la función de onda y de la probabilidad según las imágenes cuántica (izquierda) y clásica (derecha)
Casilla de potencial tridimensional De la solución de la ecuación de Schroedinger obtenida para la casilla de potencial unidimensional se hace comprensible la existencia de un conjunto discreto de niveles energéticos del electrón en el átomo. Con el fin de aclarar otras particularidades de la estructura electrónica es conveniente estudiar el movimiento de los electrones en una casilla de potencial tridimensional. En este problema el electrón esta confinado en un cubo de arista a, el origen de coordenadas se fija en uno de los ángulos del cubo.
z a
a
La energía potencial de la partícula en el interior de la casilla es constante.( por simplicidad igual a cero). Fuera de ella posee una magnitud infinitamente grande.
y
a x FÍSICA ELECTRÓNICA
6
MODULO III
Por esto último, el electrón no puede salir de la casilla bajo ninguna circunstancia. Como en el problema anterior, tenemos en este caso una situación imaginaria; sin embargo existe un fenómeno real que en cierta medida responde a las condiciones impuestas: esto es el movimiento de los electrones en un pedazo de metal. Estos se mueven en todas direcciones pero no salen fuera de los límites del pedazo. Por eso, este modelo se utiliza en le teoría del estado metálico. En el caso dado, es necesario hallar la solución de la ecuación de Schroedinger en tres dimensiones. El método que se emplea frecuentemente durante la resolución de problemas semejantes es el siguiente: • Se analiza la ecuación, y se prueba dividirla en partes, cada una de las cuales encierra sólo una de las tres coordenadas. Si esto se logra entonces el problema se simplifica en gran manera. En nuestro caso vemos si esto es posible. Así consideramos: U (x,y,z) = U (x) + U (y) + U (z) E (x,y,z) = E (x) + E (y) + E (z) Supongamos que podemos en nuestro caso representar : Ψ (x,y,z) = X (x) . Y (y) . Z (z) Sustituyendo en la ecuación de Schroedinger ésta puede expresarse como suma de tres ecuaciones idénticas para cada una de las variables del tipo : ∂2X - 8π2m ------ = ----------- E (x) - U (x) X h2 ∂x2 De esta forma, la división efectuada nos redujo el problema tridimensional a tres de una dimensión que nos es conocido. Por lo tanto : nx π x nyπ y nzπ z X (x) = Ax sen ---------- ; Y (y) = Ay sen ---------- ; Z (z) = Az sen ---------. a a a con : nx =1,2,.. ; ny = 1,2.. , nz = 1,2,.. y además
O. VON PAMEL
E = E (x) + E (y) + E (z) = ( nx2 + ny2 +nz2 ) . 7
h2 . 8ma2
S. MARCHISIO
⇒ A partir de lo obtenido podemos puntualizar : ♠ El paso de un problema unidimensional a uno tridimensional provoca la aparición de tres números ( nx , ny , nz ) de valores enteros en la expresión de la función de ondas. ♠ Así en la casilla de potencial unidimensional, el electrón sólo tiene un grado de libertad, en el potencial tridimensional, tres, pues el movimiento es posible en las direcciones de cada una de las tres coordenadas x , y, z. Si además es capaz de girar sobre su eje entonces aparece el cuarto grado de libertad, etc. ♠ Si a una misma energía responden varios estados distintos, los que son caracterizados por distintas funciones de ondas, entonces se dice que el nivel energético dado es degenerado.
nx= 1 ny= 2 nz= 1 nx= 2 ny= 1 nz= 1 nx = 1 ny= 1 nz= 2
Dependiendo del número de estados, la degeneración puede ser doble, triple, etc. ♠ El análisis mecánico - cuántico de los distintos casos del movimiento de los electrones en una zona limitada del espacio (p.ej. un átomo, una molécula) muestra que la función de ondas de la partícula siempre contiene parámetros sin dimensiones, los cuales pueden tomar una serie de valores enteros. ♠ Estos parámetros se llaman números cuánticos. ♠ La cantidad de números cuánticos contenidos en la solución es igual al número de grados de libertad de la partícula. ♠ Se llama número de grados de libertad al número de componentes independientes del movimiento de la partícula.
Escalón de potencial Supondremos al electrón propagándose en el sentido positivo de la coordenada x, encontrándose con una barrera de potencial Vo ( alto de la barrera ), que es mayor que la energía total E del electrón, pero de un valor finito. La figura siguiente representa esta situación.
FÍSICA ELECTRÓNICA
8
MODULO III
V(x)
Para resolver este caso tenemos que escribir las dos ecuaciones (para las regiones I y II), que resultan de la expresión de la ecuación de Schroedinger..
Vo E I
II
En la región ( I ) , V = 0 por lo tanto la ecuación de Schroedinger se reduce a la ecuación del electrón libre : ∂2ψ 2m -------- + ------- Eψ = 0 ∂x2 ´h2
.
y en la región ( II ) : ∂2ψ 2m -------- + ------- ( E - Vo )ψ =0 ´h2 ∂x2 Las soluciones a estas ecuaciones son: (I)
ψ I = A ei α x + B e-i α x
donde : α = √ 2mE / ´h2 y
( II ) ψ II = C eβ x + D e- β x
donde : β = √ 2m / ´h2 ( E - Vo) Definiendo nuevos parámetros : γ = iβ = √ 2m / ´h2 ( Vo - E ) , con lo que resulta β = γ / i , podemos hacer :
ψ II = C eγ x + D e - γ x Aplicando condiciones de contorno encontramos :
O. VON PAMEL
9
S. MARCHISIO
• si x → ∞ entonces ψ II → 0 lo que implica que debe ser C = 0 • si x = 0
entonces ψ I (x=0) ≡ ψ II (x=0)
por lo que A + B = D
También debe ser ( ∂ψ I / ∂x )x=o ≡ (∂ψ II / ∂x)x=o reemplazando:
A iα + B iα = -γ D
de donde obtenemos : A = D/2 ( 1+ i γ / α ) y
B = D/2 ( 1 - i γ / α )
con D amplitud de la onda electrónica en la región II . En la figura se observa la penetración de la barrera de potencial por los electrones. V(x)
Vo
♦ Este modelo es ilustrativo de lo que ocurre en el borde de un material.
e - γ x
ψ
+
I
II
En efecto , cuando los electrones van del seno del material hacia su superficie, al llegar a ella, mantienen su estado de movimiento. En ese instante el material gana una carga equivalente positiva, y los electrones se ven atraídos por la acción de esta fuerza atractiva. Al cabo de un cierto recorrido invierten su sentido de movimiento y retornan al seno del material.
V(x)
Vo
e - γ x
ψ
+
0
I a
FÍSICA ELECTRÓNICA
II x
10
Obsérvese que, en promedio, los electrones se encuentran más afuera del material que los iones de la red, generándose así un campo eléctrico en la superficie del material, por lo que un modelo de potencial más realista de los bordes del material sería el de la figura.
MODULO III
Por otro lado obsérvese que al intentar poner en contacto dos materiales estas colas de electrones en las superficies generan repulsión electrostática evitando la adhesión.
Efecto túnel. Consideremos ahora que la barra de potencial posee un espesor a, muy delgado, menor que la penetración de los electrones en la barrera. V(x)
Si del otro lado de ella (región III) existen estados cuánticos libres, los electrones podrán atravesarla
Vo
I 0
0
← II
III
a
x
Este fenómeno se denomina efecto túnel.
Electrones en un pozo de potencial finito. Consideremos ahora no ya una barrera de potencial, sino una región con dos barreras finitas a cada lado de ella. En la figura se grafica ψ 3 es decir ψ para n =3
V(x)
Vo
e - γ x
ψ 3
+
I
II
0
O. VON PAMEL
III a
11
x
S. MARCHISIO
En función de la distancia 0 – a podremos representar modelos distintos , si esta distancia es del orden del las dimensiones del átomo, este modelo representará una aproximación al modelo de éste, si la distancia 0 –a es muchos órdenes de magnitud mayor que la del átomo, tendremos el modelo de un material con sus dos bordes. Si estudiáramos cualquiera de estos modelos en tres dimensiones, los resultados serían equivalentes a estudiar tres veces el problema en una dimensión.
Electrones en un pozo de potencial asimétrico Este potencial se aproxima al que ve un átomo al acercarse a otro para constituir una molécula. V(x) V= ∞
- γ x
ψ 3
Vo
e
+
I 0
II
III a
x
Escalón de potencial con un campo eléctrico aplicado a uno de sus lados.
V(x)
Vo
ψ 3
Vo + E.(x - a ) +
I 0
II a
FÍSICA ELECTRÓNICA
Con este potencial se puede modelizar el borde de un material al que se le aplica un campo eléctrico en uno de sus extremos. (Por ejemplo lo que sucede entre placas de un capacitor con dieléctrico de aire)
x
12
MODULO III
Escalón de potencial con un campo eléctrico intenso aplicado a uno de sus lados. Emisión por campo intenso.. Este potencial se emplea para explicar la emisión de electrones desde la superficie de un electrodo en presencia de un campo eléctrico muy intenso.
V(x) Vo +E (x-a ) con E
Obsérvese que un electrón puede llegar a cruzar a través de la barrera de potencial por efecto túnel
>>1
Vo
ψ 3 ← II
I 0
III
a
x
Transmisión y reflexión de electrones a través de un escalón de potencial Supongamos un haz de partículas con energía cinética E que se mueve en dirección de un escalón de potencial V 0. Analicemos el caso : E > Vo Clásicamente el haz, al encontrar el escalón lo debería cruzar en uno u otro sentido variando solo su energía cinética, pero cuánticamente ocurre algo radicalmente distinto: parte del haz lo atraviesa, y parte de éste se refleja. V(x) E
haz incidente haz transmitido I T R haz reflejado
V(x) haz transmitido haz incidente T I E R haz reflejado Vo
Vo haz transmitido
I 0
I
II a
0
x
II a
x
La condición de contorno viene dada en ambos casos por : O. VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
I = T + R ( en x = a ) Obsérvese que clásicamente no debería haber onda reflejada. Esto es equivalente a lo que se presenta para una onda electromagnética, en una línea de transmisión frente a un cambio de la impedancia de ésta. ( en este caso el cambio de potencial es equivalente al cambio de impedancia). Para ondas electromagnéticas en el rango de la luz visible esto equivaldría al cambio de índice de refracción del medio. ♦ En este caso el haz de partículas se comporta como una onda (Recordar la dualidad partícula onda ).
Reflexión de electrones frente a una barrera de potencial . Si la barrera es infinita. V(x) V= ∞
En este caso I = R
• •
≈
I R
• • •
E V0 =0 0
x
Obsérvese que en esta reflexión no se producirá un cambio de fase. Si en cambio encontramos un pozo de potencial finito en el camino, se producirá un cambio de fase.
Este surge de considerar en el cálculo de Schroedinger el potencial -V en la región II.
V(x) Vo = ∞ I haz incidente R haz reflejado
E
0 x I
II
III -V
0
FÍSICA ELECTRÓNICA
14
a
MODULO III
El electrón en el potencial de una molécula diatómica. Consideremos los casos : 1- E1 < Vo Si el ancho de la barrera de altura Vo es tal que no se produce efecto túnel , entonces los electrones de energía E 1 funcionarán cada uno como electrones ligados al respectivo núcleo. (ver figura) V Vs = ∞
2- E2 > Vo
E2
En este caso el electrón prácticamente no verá la barrera de altura Vo y se moverá a lo largo de toda la molécula. (ver figura)
Vo
E1 .
E1 x nucleos
El electrón en el potencial periódico de un cristal Estudiaremos el caso para E < Vo.
V Vo E II
I
II
I
II
.
x -b
0
a
b
Es evidente que este caso es una simplificación del potencial real que existe en un cristal. Como simplificación, ésta no tiene en cuenta, fundamentalmente el potencial real de los átomos (que depende de 1/r) ni el solapamiento de los potenciales de los átomos individuales.
O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
V Potencial superficial
Un modelo mejor es el de Muffin que se puede observar en la figura, aunque sigue siendo unidimensional.
• .
•
•
•
•
x
nucleos
Retornando nuestro modelo simplificado vemos que podemos escribir la ecuación de Schroedinger para las regiones I y II de la siguiente forma : (I)
∂2ψ 2m ------ + ------ E ψ = 0 ∂x2 ´h2
( II )
∂2ψ 2m ------ + ------ ( E - Vo ) ψ = 0 ∂x2 ´h2
para abreviar escribiremos, como en problemas anteriores:
α2 = 2m / ´h2 E y
γ 2 = 2m / ´h2 ( Vo - E)
La resolución simultánea de estas ecuaciones es dificultosa. Bloch mostró que la solución para este tipo de ecuaciones tiene la forma:
ψ (x) = u(x) . ei kx En la ecuación de Bloch, u(x) es una función periódica, la cual posee la periodicidad de la red en el sentido de las x. No posee una amplitud constante en el sentido x, cambiando periódicamente ( Amplitud modulada). Obviamente es distinta para cualquier otra dirección de la red.
calculando
∂2ψ ∂2u ∂u ------ = ( ------- + ------- 2ik - k2u ) e i k x ∂x2 ∂x2 ∂x
y remplazando en las ecuaciones para las zonas I y II obtenemos:
FÍSICA ELECTRÓNICA
16
MODULO III
(I)
∂2u ∂u ------- + 2ik ----- - ( k2 - α2 ) u = 0 ∂x2 ∂x
( II )
∂2u ∂u ------- + 2ik ----- - ( k2 + γ 2 ) u = 0 ∂x2 ∂x
estas ecuaciones son conocidas y sus soluciones son :
( I ) uI = e - i k x ( A e i α x + B e - i α x ) ( II ) uII = e - i k x ( C e - γ x + D e γ x ) A , B , C , D pueden determinarse a partir de las siguientes condiciones de continuidad y periodicidad (en a+b ) :
uI (x=0) = uII (x=0) ∂uI / ∂x
x=0
uI (x=a) = uII (x= -b)
= ∂uII / ∂x
x=0
∂uI / ∂x
= ∂uII / ∂x
x= a
x=-b
Reemplazando nos queda : A +B = C+ D
A ( iα - ik ) + B ( -iα - ik ) = C ( - γ - ik ) + D ( γ - ik ) A e( i α - i k ) a + B e( - i α - i k ) a = C e( i k + γ ) b + D e( i k - γ ) b A i(α - k)e i a ( α - k ) -B i(α + k)e - ia ( α + k ) = = -C (β + ik)e ( i k + γ ) b + D (β - ik)e ( i k - γ ) b Por lo tanto hemos resuelto el problema. En este caso, sin embargo, el conocimiento de ψ ψ no es lo que reviste mayor importancia. En cambio, es de sumo interés determinar una condición para la existencia de las soluciones de la ecuación de Schroedinger en las regiones I y II. Esta condición limitará los posibles niveles de energía E n . Para hallarlos bastará emplear el último sistema de cuatro ecuaciones. Recordemos que para que en este sistema existan soluciones basta con estudiar su determinante. O. VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
Planteando el determinante e igualándolo a cero, y empleando las ecuaciones de Euler se llega a: γ 2 - α2 --------- sinh(γ b) sin(α a) + cosh(γ b) cos(α a) = cos k(a + b) 2αγ Para simplificar la discusión supondremos que: b es pequeño; Vo es grande y el producto Vo. b., denominado poder de la barrera de potencial, permanece finito. Como es posible observar en la representación del modelo simplificado, Vo.b. es el área de la barrera de potencial. Si Vo es muy grande, entonces E se puede considerar que es pequeño respecto de Vo y por lo tanto obtenemos : γ = √ 2m / ´h2 . √ Vo multiplicando por b obtenemos : γ b = √ 2m / ´h2 . √ (Vo b) b como , Vo.b debe ser finito y b pequeño; por lo tanto :
cosh( γ b ) ≈ 1
0 , entonces γ b debe ser muy
y
sinh( γ b ) ≈ γ b
Por otra parte, podemos despreciar α2 comparado con γ 2 y b comparado con a. Reemplazando en nuestra ecuación nos queda : m
/ α ´h2 Vo b sin αa + cos αa = cos ka
Si llamamos: P = m Vo b / ´h 2
FÍSICA ELECTRÓNICA
18
MODULO III
Finalmente obtenemos : P . sin αa / αa + cos αa = cos ka Esta es la relación deseada que provee las soluciones permitidas de la ecuación de Schroedinger, puesto que sólo algunos valores de αa son posibles debiéndose cumplir cos(ka) ≤ 1. Esta condición se aprecia en la figura: P. sinαa / αa + cosαa
∃ solucion ∃ solucion -4π
-3 π
-2π
-1 π
6 5 4 3 2 1
π
2π 3π
4π
αa
0 -1 -2
Si recordamos que E se relaciona con α, siendo:
α2 =2m / ´h2 E ,
podemos concluir que sólo algunos valores de E están definidos. El análisis de estos resultados nos permite arribar a la siguiente conclusión: como αa es función de la energía, la limitación de estos valores de αa significa que un electrón que se mueve en un potencial variable periódico, puede ocupar sólo ciertas zonas de energía permitida.
Fuera de estas zonas o ¨bandas¨ , se encuentran entonces zonas de energía prohibida. ♠ De la figura se obtiene que para valores crecientes de αa las zonas o bandas de energía prohibida se vuelven mas pequeñas.
O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
Como el tamaño de la bandas de energía permitidas y prohibidas varían según varíe P. Se presentan 4 casos de interés. Considerando los valores de V 0b ( fuerza del potencial barrera ) y su proporcionalidad con p, tenemos:
♦
V0b grande ⇒ p grande ⇒ las bandas permitidas se estrechan.
♦
Vob pequeño
♦
V0b→0 ⇒ P→0 ⇒ cos αa = cos ka ⇒ α=k , por lo tanto obtenemos: E=´h2k 2 /2m energía de los electrones libres.
♦
V0b →∞ ⇒ P→∞ ⇒ (sin αa)/ αa →0 lo cual es solo posible si αa = nπ π2 ´h2 2 2 2 2 o , α = n π /a lo que lleva a : E = -----------. n2 pozo de potencial 2ma2 con barrera infinita.
⇒ p chico ⇒ las bandas permitidas se agrandan
El electrón en un potencial central de tipo electrostático. El átomo de hidrógeno. Explicación mecánico-cuántica. Es el más simple de los átomos, pues tiene solamente un electrón que se mueve en el campo del núcleo. y
En este caso la función de la energía potencial U en la ecuación de Schroedinger , toma la forma :
θ ϕ
e2 U(r) = − -----r
x Por
lo tanto debemos escribir la ecuación de Schroedinger en coordenadas polares, lo que hace que su solución sea un problema matemático más complicado.
z x = r sen θ cos ϕ y = r sen θ cos ϕ z = r cos θ
FÍSICA ELECTRÓNICA
20
MODULO III
Señalaremos en este caso solamente las principales características de esta solución y examinemos su sentido físico. En este tipo de problemas, para describir el movimiento del electrón, es cómodo hacer coincidir el origen del sistema de coordenadas polares con el núcleo del átomo. Si en el sistema rectangular (cartesiano) de coordenadas, la posición de la partícula esta dada por las coordenadas x, y, z , en el sistema polar ella se determina por la magnitud del radio vector r (distancia del centro ) y por los ángulos θ ( ángulo de latitud ) y ϕ ( ángulo de longitud ). En la figura anterior se ve en qué forma las coordenadas polares están relacionadas con las rectangulares. Habíamos visto que en una casilla (cuadrada) de potencial tridimensional, la función de onda Ψ podía expresarse como producto de funciones de cada una de las variables. Por lo tanto la función Ψ debe representarse en forma de producto de tres funciones cada una de las cuales contiene solamente una variable: Ψ(r, θ , ϕ ) = R ( r ) . Θ ( θ ) . Φ ( ϕ ) La expresión R(r) se denomina parte radial de la función de onda , y el producto Θ ( θ ) . Φ ( ϕ ) parte angular. La presencia de tres grados de libertad conduce a que en la solución aparezcan tres magnitudes que pueden tomar sólo números enteros, tres números cuánticos; ellos se representan por las letras n , l , m . Estas magnitudes entran en las expresiones de las componentes tanto radial como angular de la función de ondas. En el caso más general el resultado de la solución de la ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno se puede expresar como tres funciones de las coordenadas radial y angulares de la siguiente forma:
R ( r ) = F1 ( n, l ) Θ ( θ ) = F2 ( l, m ) Φ ( ϕ ) = F3 ( m ) O. VON PAMEL
21
S. MARCHISIO
donde los números cuánticos n, l , m pueden tomar los siguientes valores : n = 1, 2, 3, 4, ................., ∞ l = 0, 1, 2, 3, ................., ( n - 1) m = 0, ± 1, ± 2, ± 3 , .........., ± l Como veremos más adelante, los números cuánticos n, l, m caracterizan al movimiento del electrón no sólo en el átomo de hidrógeno, sino también en cualquier otro átomo. De acuerdo a los posibles valores de los números cuánticos se determinan los distintos estados electrónicos en el átomo. ♦ Para caracterizar el estado de los electrones en los átomos se utilizan las siguientes designaciones:
esquema:
n se representa por cifras l con letras minúsculas en correspondencia con el l .......................0
1
2
l .......................s
p
d
⇓
3
4
5
f
g
h
♦ Las primeras cuatro letras coinciden con las designaciones de las series espectrales ♦ Estas surgen de las transiciones de los electrones correspondan a determinados valores del numero cuántico l.
que
♦ Las dos ultimas letras son tomadas por estar en el alfabeto después que la f. ♦ De esta forma, la escritura 1s debe entenderse como la representación del electrón que tiene n = 1 , l = 0 , la escritura 2p como la representación del electrón que tiene n = 2 ; l = 2 , etc. ♦ El numero de electrones en el átomo con valores dados n, l se da con el índice en la parte superior. Así la escritura 2s2 muestra que en el átomo hay dos electrones con n = 2 ; l = 0 Retomemos las expresiones resultantes de la solución de la ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno en el caso más general. En particular, en la expresión de la función R, se ve que los números cuánticos n, l entran en la misma. Por eso ellos determinan la función de la distribución radial de la probabilidad de estancia del electrón en el átomo. FÍSICA ELECTRÓNICA
22
MODULO III
Las gráficas de estas funciones para el átomo de hidrógeno se muestran en las siguientes figuras: 4πr 2 R2(r) n=1 l=0
♦ En el eje de las coordenadas están situados los valores de R2 ( r ), multiplicados por 4πr2. ♦ Las magnitudes dadas caracterizan la probabilidad de estancia del electrón en una fina capa esférica de radio r , esta probabilidad es 2 2 proporcional a 4πr R (r)dr donde dr es el espesor de la capa.
2s n = 2 l=0
1s 2p n = 2 l=1
0
2
4 r (A0) 3s
n=3 l=0
3p
n= 3 l=1
n= 3 l=2 8 10 12 14 r ( A0) 3d
0
2 4
6
Distribución radial de la probabilidad de estancia del electrón para distintos estados del átomo de hidrógeno.
De la figura se deduce que a diferencia de la teoría de Bohr♠ Somerfeld , de acuerdo con la cual el electrón se mueve por órbitas predeterminadas, la mecánica cuántica nos muestra que el electrón puede encontrarse en cualquier parte del átomo. Sin embargo, la probabilidad de su estancia en distintas zonas del espacio no es igual, de esta forma, si pudiéramos observar el electrón en el átomo veríamos que se encuentra más frecuentemente en unas zonas que en otras. ♠ Por eso a las representaciones modernas les corresponde el concepto de la nube electrónica, cuya densidad en distintos puntos está determinada por la magnitud Ψ . 2
♠ Por eso en la literatura científica en vez de utilizar el término órbita, ahora se utiliza el termino orbital, correspondiendo a cada orbital una determinada función de ondas Ψ. Es posible representar las nubes electrónicas para los distintos estados de los electrones.
O. VON PAMEL
23
S. MARCHISIO
♠ Las figuras representan la forma de las superficies que limitan el espacio, en el cual esta encerrada gran parte de la nube electrónica (≈90%). Nótese que La forma de estas superficies se determina por la componente angular de la función de ondas: Θ ( θ ). Φ ( ϕ ) .
z
z
1s
2pz x
x
y
y
z
z 2py
2px x
x
y y z
z
3d z2
3d x2 - y2 x
x
y
y
z
z
3d x z
x
y
FÍSICA ELECTRÓNICA
z 3d x y
3d y z
x
y
x
y
24
MODULO III
MÓDULO IV
ÁTOMOS, MOLÉCULAS, MICROSÓLIDOS
OBJETIVOS : A partir de conocimientos elementales de la Mecánica Cuántica, en el presente módulo nos proponemos discutir un modelo de la materia basado en consideraciones energéticas. No es objeto de este módulo brindar una teoría muy elaborada del tema, sino introducirnos en un modelo que nos será de utilidad a la hora de querer interpretar el funcionamiento físico de dispositivos electrónicos. Para elaborar este modelo de materia partiremos de estudiar su componente mas simple, es decir el átomo, a partir de él veremos como se construye una molécula, y a partir de ésta construiremos el sólido.
O.Von Pamel
1
S. Marchisio
El átomo FISICA ELECTRONICA
2
MODULO IV
Números cuánticos de los electrones en los átomos. Los números cuánticos caracterizan el movimiento de los electrones no solo en los átomos de hidrogeno sino también en cualquier otro átomo. Estas características son muy importantes para la comprensión de las propiedades de las sustancias y la naturaleza del enlace químico. Por ello debemos examinar más detalladamente su sentido: ♠ Los números cuánticos n, l, m, determinan las particularidades geométricas de la nube electrónica. ♠ Ellos también están enlazados con las características físicas del movimiento del electrón. ♠ La energía del electrón en el átomo de hidrógeno sólo depende de la magnitud n ; la resolución de la ecuación de Schroedinger da la relación : m e e4 E = − ½ --------n2 ´h2 En vista de que n determina la principal característica del electrón en el átomo de hidrógeno, o sea, su energía, recibió el nombre de número cuántico principal. ♠ El número cuántico l se llama número cuántico orbital, él determina la magnitud del momento orbital de la cantidad de movimiento del electrón L , es decir : _______ L = ´h √ l ( l + 1 ) Como sabemos el momento de la cantidad de movimiento es un ♠ vector, su dirección se determina por el número cuántico m, en otras palabras m caracteriza la disposición del orbital en el espacio. La dirección del vector puede ser dada por la magnitud de la proyección sobre cualquier eje, por ejemplo, en el eje z. La proyección del momento orbital de la cantidad de movimiento se determina por la relación: Lz = ´h m ♠ m se llama número cuántico magnético ya que de el depende la proyección del momento magnético orbital del electrón. Los números cuánticos n, l, m, que figuran en la ecuación de ♠ Schroedinger para el átomo de hidrógeno, no determinan con plenitud el movimiento de los electrones en los átomos. O.Von Pamel
3
S. Marchisio
El estudio de espectros y otras investigaciones mostraron que hay que añadir a estas características otras más. Surge de la experimentación que el electrón tiene un cuarto grado de libertad; brevemente se puede decir que el electrón gira alrededor de su eje. Este movimiento se llama spin. ♠ El spin es una propiedad fundamental del electrón, como su carga y su masa, experimentalmente se demuestra que la proyección del momento propio de la cantidad de movimiento del electrón sólo puede tener dos valores: + ½ ´h y - ½ ´h Los signos ‘ + ‘ y ‘ -- ‘ corresponden a diferentes direcciones de giro del electrón. Se denomina s, al número cuántico de spin, el que sólo puede ♠ tener dos valores + ½ y - ½ ♠ El spin puede ser tomado en cuenta en la expresión para la función de ondas introduciendo un factor. ♠ Los cuatro números cuánticos n, l, m, s, caracterizan completamente el movimiento del electrón en el átomo. Por cuanto la energía ♠ del electrón en el átomo de hidrógeno se determina con la magnitud n y no depende de los restantes números cuánticos, evidentemente, el electrón puede tener varios estados con una misma energía, estos estados se denominan degenerados.
l = 1 ------- m = +1
-------- s
-------- s = +1/2
n = 2 --------- l = 0 ------- m = 0
-------- s = +1/2 -------- s
l = 1 ------- m = --1
= −1/2
-------- s = +1/2 -------- s
= −1/2
= −1/2
La degeneración desaparece con la acción de un campo eléctrico o magnético exterior que actúe sobre el electrón en el átomo. Un electrón en un estado de un mismo n, pero de diferentes l, m, ó s, interacciona de distintos modos con el campo exterior. Como resultado, las energías de esos estados se vuelven desiguales. Con esto se explica la desintegración de las líneas espectrales cuando se introduce una fuente de radiación en el campo magnético o eléctrico (efectos Stark y Zeeman). ♠ Todo lo que fue dicho sobre el átomo de hidrógeno es aplicable completamente a otros sistemas monoeléctricos análogos, como ser : He+, Li2+ , etc. FISICA ELECTRONICA
4
MODULO IV
La energía del electrón en estos casos se expresa como : me e4 z2 E = − ½ ------------n2 ´h2
Átomos polielectrónicos Análisis mecánico-cuántico de los átomos polielectrónicos.
♦ Los niveles energéticos y la distribución de la densidad electrónica en los átomos polielectrónicos, en principio, pueden ser calculados teóricamente por los métodos de la mecánica cuántica. Sin embargo , se encuentran dificultades matemáticas muy grandes, pues en tales cálculos es necesario resolver la ecuación de Schroedinger para muchas partículas. En ese caso ella tiene la forma : 8π2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ 8π2m e2z ∑ ( ------ + ----- + ----- )+ ------- ( ----- − Uk )Ψ + ----- E Ψ = 0 k=1 ∂x2k ∂y2k ∂z2k h2 rk h2 k=n
Aquí la suma se extiende a todos los electrones que hay en el átomo.
rk es la distancia del k-ésimo electrón al núcleo. Uk considera la energía de repulsión de los electrones entre sí. Esta es igual a la suma e2 / rki tomada desde i = 1 hasta i = n donde rki es la distancia entre los electrones k e i . ♦
La resolución exacta a este problema aún no se ha hallado; sin embargo, se han elaborado métodos aproximados.
Análisis cualitativo de los átomos polielectrónicos:
O.Von Pamel
5
S. Marchisio
Como en el átomo de hidrogeno, en los átomos polielectrónicos el ♠ estado de cada electrón se determina por los valores de los cuatro números cuánticos n, l, m, s. Estos números pueden tomar los mismos valores que en el átomo de hidrógeno. . - energía ------ f ------ d ------- s ------- p ------ d ------- s ------ p ------ d ------s
Por esto la energía de los electrones en los átomos polielectrónicos se determina por los valores de los dos números cuánticos n, y l .
------ p ------ s
♠ En los átomos polielectrónicos el electrón se mueve no sólo en el campo del núcleo, sino también en el campo de los otros electrones, esto conlleva a que las energías de los electrones que poseen igual n pero distintas l sean diferentes.
------p
Además la energía crece tanto con el aumento de n como de l .
------ s
Esto último puede apreciarse en la figura.
------s n=1
2
3
4
5
6
Principio de exclusión de Pauli. ♠ El estado de los electrones en los átomos polielectrónicos siempre responde a la ley mecánico-cuántica formulada por Pauli : En cualquier sistema molecular o atómico no puede haber dos electrones que tengan los cuatro números cuánticos iguales. El Principio (prohibición ) de Pauli limita el número de electrones en el átomo que poseen un valor determinado n. En la tabla de la página siguiente se muestran los estados posibles ♠ que pueden ocupar los electrones para los valores de n : 0, 1, 2. FISICA ELECTRONICA
6
MODULO IV
Se puede hallar que para n = 3 el número máximo de electrones es 18, para n = 4, es 32 , etc. Números cuánticos para los distintos estados de e n
1
l
0
0
m
0
0
s
2
3 1
0
0 +/- 1
0
1 0
2 +/- 1
0
+/- 1
+/- 2
+ 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2
símbolos de los orbitales
1s
2s
2
2
2px
2py
2pz
3s
3px
3py
3pz 3dx2
3dxz
3dyz
3dxy
+ 1/2 - 1/2 3dx2-y2
número máximo de electrones con un valor
6
2
6
10
dado de l número máximo de electrones con un valor
2
18
8
dado de n
En general podemos decir que : el número máximo de electrones ♠ en el átomo que pueden poseer el valor dado n es igual a 2n2 ( n ≠0 ). ♦ Al conjunto electrónico con igual n se lo denomina capa. ♦ La periodicidad de las propiedades químicas y físicas de los elementos está condicionada por el llenado paulatino de capas electrónicas. En la estructura de cada capa siguiente se repiten las particularidades de la capa anterior, esto permite confeccionar la tabla periódica de los elementos.
Moléculas. Explicación mecánico-cuántica del enlace covalente. Antes de pasar a la exposición de los resultados del análisis mecánico-cuántico de las moléculas, es necesario conocer la dependencia entre la energía potencial de la molécula y la distancia entre átomos.
Energía potencial entre moléculas.
O.Von Pamel
7
S. Marchisio
Analicemos dos átomos cuyos núcleos se hallan a una distancia r uno del otro. Veamos cómo cambia la energía potencial del sistema si cambia r.
E
Es cómodo considerar la energía potencial igual a cero para el estado en 0 r que los átomos se encuentran a una distancia infinitamente grande uno del otro. Esta situación corresponde a la no existencia de interacción entre ellos. núcleo 1
núcleo 2
Si los átomos son capaces de unirse en una molécula, durante la disminución de la distancia entre ellos empiezan a actuar fuerzas de atracción y la energía potencial del sistema disminuye. Esta disminución continúa hasta cierta distancia r0 . Durante la siguiente disminución de r la energía potencial comienza a crecer debido a las fuerzas de repulsión, las que tienen una magnitud considerable a distancias pequeñas entre los átomos.
E , eV
3 2 1 0
r,
0
A
-1 -2 Zona de atracción -3 -4 -5 r0
La dependencia de la energía potencial con respecto a r es una curva que presenta un mínimo. En la figura se representa la curva de energía potencial correspondiente a la molécula de hidrógeno.
Analicemos ahora la curva de energía potencial para dos átomos que no pueden unirse en molécula . En este caso, para todos los valores de r, prevalecen las fuerzas de repulsión provenientes de las envolturas electrónicas.
FISICA ELECTRONICA
8
MODULO IV
La curva de energía potencial tiene la forma representada en la figura y se observa que con la disminución de r la curva asciende, sin presentar mínimos.
E
0
r
Las curvas analizadas de la energía potencial para las moléculas ♠ son una descripción formal de la suma de los cambios energéticos, los cuales tienen lugar en los átomos cuando disminuye la distancia entre núcleos. ♠ Si la molécula se encuentra en un estado no excitado, entonces su energía es mínima. Por esto en una molécula no excitada los núcleos se encuentran a una distancia equilibrada r0. ♠ Está claro también que el mínimo de la curva de la energía potencial corresponde a la energía de ruptura del enlace de la molécula Eenl, tomada con el signo contrario, pues, esta magnitud representa la energía que es necesario gastar para separar los átomos que componen la molécula y llevarlos fuera de los límites de interacción. ( teóricamente a una distancia infinitamente grande uno del otro)
Resultados del análisis mecánico - cuántico de la molécula de hidrógeno según Heitler y London.
electrón 1 ° r12
electrón2
°
ra1
r b2 ra2
Si representamos las distancias entre las partículas, como está hecho en la figura, entonces la expresión para la energía potencial se escribe de
rb1 Rab
+
+
la siguiente forma :
O.Von Pamel
En la molécula de hidrógeno hay dos electrones, que se mueven en el campo de dos núcleos .
9
S. Marchisio
e2 e2 e2 e2 e2 e2 U = ------ + ------ − ------ − ------ − ----− -- ----Rab r12 ra1 ra2 rb2 rb1 ♠ Durante la construcción de la función de ondas de los electrones de la molécula de hidrógeno, Heitler y London tomaron por base la función de ondas del electrón en el átomo de hidrógeno en un estado normal, el estado 1s .
átomo 1
átomo 2
ψ 1
ψ 2
Heitler y London supusieron que para la unión de dos átomos de ♠ hidrógeno, la función de onda resultante podría ser la combinación simétrica o la antisimétrica de la funciones de onda de los átomos individuales. Los resultados de realizar dichas combinaciones se representan a continuación: Se obtienen dos curvas Ψa y Ψs respectivamente.
ψ s = ψ 1 + ψ 2
ψ a = ψ 1 -ψ 2
ψ s 2
ψ a2
A partir de ellas se calculan Ψa2 y Ψs2 . ♠ Los resultados del cálculo de la energía de los electrones en la molécula de H2 se representan a continuación :
FISICA ELECTRONICA
10
MODULO IV
E , eV
1- curva experimental. 4 3 2 1
2- cálculo con la ayuda de la función de ondas simétrica.
3 2
0
0 -1 -2 -3
r ,A
3- cálculo con la ayuda de la función de ondas antisimétrica.
1
-4 -5 0 0,6
1,8 2,4
3,2 3,8 4,2
En la figura se muestra la distribución de la densidad electrónica en ♠ un sistema compuesto por dos núcleos y dos electrones, calculada con la ayuda de las funciones de onda .
simétrica
antisimétrica
Recordemos que la densidad de la nube electrónica se determina por el cuadrado de la función de ondas Las zonas de mayor densidad de la nube electrónica están hechas en la figura, más oscuras. Así pues, cuando funciones de onda simétricas se suman, ♠ entonces la densidad de la nube electrónica entre los núcleos aumenta; en este caso se dice que las nubes electrónicas (más exactamente , las funciones de onda ) recubren una a la otra. La cobertura de nubes electrónicas no se puede considerar como una simple superposición de una nube electrónica de un átomo aislado sobre la nube electrónica de otro átomo aislado.
O.Von Pamel
11
S. Marchisio
Ψs2 = Ψ1+ Ψ22 ≥ Ψ12 + Ψ22 Durante la formación del enlace químico o covalente es como si las nubes electrónicas se estirasen una al encuentro de la otra. ♠ En el caso de la función de ondas antisimétrica, la densidad de la nube electrónica entre los átomos cae hasta cero: los electrones se repelen del espacio de los núcleos y el enlace quím ico no surge. ♠ Las nubes electrónicas de los átomos de hidrógeno pueden tener igual o diferente orientación mutua de los spines de los electrones : spines antiparalelos ⇒
los átomos se unen en molécula
spines paralelos
los átomos se repelen
⇒
Distintos tipos de enlaces entre moléculas Cabe mencionarse que aparte del enlace covalente existen otros tipos de enlaces entre moléculas. Si bien no es objeto de este curso hacer un análisis de ellos, los mencionamos: ♠ Enlace covalente ♠ Enlace metálico ♠ Enlace iónico ♠ Enlace de van der Walls ♠ Enlace puente de hidrógeno
Comparación de los diagramas energéticos del átomo aislado y de la molécula. ♠ Al estudiar la conformación de los átomos se vio que el electrón en el átomo sólo puede ocupar estados (que quedan determinados por los números cuánticos n , l , m , s ) cuyos números cuánticos asuman valores enteros, en general. ♠ Para cada uno de estos estados del electrón, está asociado un determinado valor de la energía, aún cuando existan a menudo varios estados con la misma energía. FISICA ELECTRONICA
12
MODULO IV
Así pues , emplearemos diagramas de niveles energéticos que ♠ describen los estados que puede tener un electr ón en un átomo.
Energía total del electrón
0
Ionización Estados ligados ( E = - E 1 / n 2 ) 18 e
continuo discreto
n=3 ( d ) l=2
8e
n=2 ( p ) l= 1
≈
≈
- E1
2e
n=1 ( S ) l=0
♠ Los diversos estados corresponden a capas que sólo pueden acomodar a un número particular de electrones. El principio que conduce a esta limitación del número es, según vimos, el Principio de exclusión de Pauli. ♠ Los niveles de energía de un átomo aislado no coinciden con los del átomo en la molécula, o más aún, en un sólido. En la figura se representan, arriba- los diagramas energéticos de dos átomos de hidrógeno aislados, y abajo-, los mismos, cuando constituyen una molécula. E
E
r
E3
E2
Energía potencial
E1 E
E
r
E
r E¨3 E3 E´3 E2 E1
O.Von Pamel
13
S. Marchisio
En realidad se ha empleado en esta representación una imagen o aproximación semiclásica del átomo, la cual, si bien no es estricta, resulta conveniente a los fines de “ visualizar” el fenómeno que estamos analizando. Al estar los átomos fijos a muy corta distancia uno del otro, la ♠ atracción que cada núcleo ejerce sobre sus electrones se ve perturbada por la acción del núcleo vecino. ♠ Esto se manifiesta en un desdoblamiento que tiene lugar principalmente en la última capa ocupada cumpliendo así con el Principio de exclusión de Pauli. Esto es así pues en esta capa los electrones de los átomos constituyen un único sistema, lo que no ocurre con las capas anteriores. ♠ En la figura se puede observar que los niveles internos E1 , E2 , prácticamente no se han desdoblado debido a que los electrones que los ocupan no interaccionan entre sí. El nivel E3 se ha desdoblado en dos nuevos niveles E´ 3 y E’’ 3 , uno ♠ mayor y otro menor que el nivel original.
¿Cómo interpretar esta imagen semiclásica?
E
r
♠ El eje horizontal de la figura carece de significado; sin embargo, a fin de una mayor visualización de la estructura atómica, resulta útil asignarle una representación física. Esta puede ser, dentro de un átomo, la distancia electrón-núcleo.
E1
y
r1
x
r
A la distancia para la cual la función de ♠ onda se hace máxima, (esto ocurre en los llamados radios de Bohr), la podemos considerar como el radio más probable de la órbita del electrón. ♠ En la figura se puede ver en qué forma se hace la conversión :
donde se interceptan los niveles de energía con el potencial se ubican las órbitas clásicas de Bohr. ♠ En el diagrama de la figura el nivel 1 corresponde a la mínima energía que puede tener el electrón en átomo. En el átomo de hidrógeno es -13,58 eV. (Recordar, sin embargo, las limitaciones del modelo de Bohr).
FISICA ELECTRONICA
14
MODULO IV
La abscisa ± r1 representa el radio clásico de Bohr para esa ♠ energía. Para esta energía el electrón presentará máxima probabilidad de encontrarse a la distancia r 1 del núcleo. r1
E r
♠ En la figura se aprecia la aproximación semiclásica para una molécula.
y
x
♠ Con los recaudos ya expuestos acerca de esta tipo de representación, analicemos haciendo uso de ella, qué ocurre con los niveles de energía del átomo aislado y con los desdoblamientos vistos al constituirse la molécula, cuando se constituye un sólido.
Sólidos Diagramas de energía en un sólido Si analizamos un sólido debemos generalizar nuestro estudio para una cantidad muy grande de átomos . ♠ Si todos los átomos se encontraran muy separados unos de otros, los estados permitidos de este sistema de N átomos, coincidirán con los de un átomo aislado N veces ( N sistemas independientes ). Si a continuación imaginamos que los átomos se aproximan unos ♠ con otros hasta constituir el sólido, los electrones que ocupan los niveles de energía exterior comenzarán a interactuar entre sí (mientras que los interiores permanecen sin darse cuenta de los otros átomos).
O.Von Pamel
15
S. Marchisio
E rs
ra
r
E4
E3
Sus órbitas se alterarán notablemente, de forma tal que puedan llegar a intercambiar posiciones de un átomo al siguiente, con lo que los estados resultantes contendrán movimientos orbitales a través de todo el sólido.
E2
E1
Los resultados de esta interacción se pueden ver en la figura : vacío
E
•
cristal
núcleos
•
•
r
•
•
•
banda de energía permitida E3 E2 E1
• Se puede demostrar que las energías externas de este ♠ desdoblamiento no varían. Por lo que debemos aceptar que : ♠ En un sólido de 1cm 3 existen 1023 niveles discretos de energía entre los niveles E´4 y E¨4 . ♠ Una cantidad tan grande de niveles discretos determina que podamos considerar estas zonas como bandas continuas de valores de energía permitidos.
FISICA ELECTRONICA
16
MODULO IV
Definimos :
♠
⇒ Banda de valencia a la última capa que se encuentra totalmente ocupada. ⇒ Banda de conducción a la mas baja de las bandas vacías o parcialmente ocupadas. ⇒ Banda prohibida (en caso de existir) a la región comprendida entre las bandas de conducción y de valencia.
Es necesario subrayar que las bandas son de energías permitidas ♠ y ellas pueden estar ocupadas por electrones o no. En cambio una banda prohibida siempre esta vacía. ♠ Como vemos la cantidad de desdoblamientos depende de la cantidad de átomos.
2p
6N
2s
2N
1s
2N
átomo aislado
2 átomos que interactúan
3 átomos que interactúan
sistema formado por N átomos
♠ La cantidad de desdoblamientos también depende de las distancias interatómicas. ♠ En la figura se representan los niveles energéticos de en un sólido en función de supuestas separaciones atómicas caracterizadas por r, (distancia at-at ) Para interpretar el diagrama vamos a suponer que formamos el sólido aproximando gradualmente los átomos que lo constituyen, hasta alcanzar la distancia interatómica real r0. Ésta obviamente será diferente para materiales con distintas características estructurales. O.Von Pamel
17
S. Marchisio
Analizamos en especial la última capa n ( donde se manifiesta la interacción ) con las subcapas l correspondientes . E (eV)
r0
r4
r3 r2
r1
r (A0)
0
Ec
l= 1 capa n última capa l=0
Eg Ev
l = n -2 penúltima capa l=0
Si la separación entre átomos es grande ( r1 ) no existe, como ♠ vimos, interacción entre los electrones y por consiguiente no hay desdoblamiento de los niveles l ni existencia de bandas. Podríamos considerar en este caso que estamos frente a la presencia de un gas. ♦ A medida que los átomos se van acercando (por ej. a una distancia r2 ) existe desdoblamiento de niveles y aparecen dos bandas de energía separadas por una zona vacía de estados permitidos. La magnitud r2 no representa aún, en este ejemplo la distancia interatómica correspondiente a un sólido, por lo que necesitamos acercar aún más los átomos para constituirlo. ♦ Para distancias menores ( entre r3 y r4 ) el desdoblamiento es tal que la separación entre el mínimo valor de la energía correspondiente a l=1 y el máximo para l =0 es muy pequeña, quedando constituida (a los fines prácticos) una única banda que contendrá la suma total de los electrones que ocupaban las dos bandas anteriores. Para un valor de r fijo comprendido en el intervalo ( r3 , r4 ), el ♦ diagrama de energías será en este caso el siguiente . FISICA ELECTRONICA
18
MODULO IV
estados
E (eV)
r0
0
r (A ) vacios
4p 4s
ocupados 3s
En la figura se nota la no existencia aparente de zonas prohibidas intermedias. Estamos en este caso en presencia de un conductor . Para distancias interatómicas menores que r3 , la configuración de ♦ bandas genera nuevamente la banda prohibida. En este caso, los electrones (que estaban en su totalidad contenidos en esa banda única ), seguirán la ley de la mínima energía, por la cual, irán primero ocupando los estados permitidos de la banda inferior quedando la superior completamente llena, completamente vacía, o incompleta dependiendo ello de la configuración electrónica de los átomos que constituyen el sólido. Por otro lado, la zona energética prohibida que se genera no es igual a diferentes distancias interatómicas. Para comparativamente mayores distancias interatómicas (las más próximas a la banda única), el diagrama energético es el que corresponde a un semiconductor.
E (eV)
Eg
Si los átomos están aún más próximos entre sí vemos que el ancho de
la zona prohibida es mayor.
Para un sólido en el que el ancho de la banda se presenta comparativamente mayor, el diagrama será el de la figura.
E (eV)
Eg
Estamos en presencia en este caso de un aislante Dada su estructura electrónica y el Eg , la banda de conducción de un aislante se encuentra vacía aún a altas
O.Von Pamel
19
S. Marchisio
temperaturas. ♠ La mayor parte de los materiales que estudiaremos en el curso son sólidos semiconductores. Dentro se ellos, veremos los que tienen estructura del tipo carbono: Si , Ge. En la figura podemos observar los niveles energéticos en función de las distancias interatómicas para este tipo de materiales, marcando con r0 la distancia interatómica real. E
C
AsGa Si Ge
r
Nótese además el ancho de la banda energética prohibida E g .
Para tener un orden de magnitud de E g , estos son : Eg (carbono) = 5,5 eV aislador (casi perfecto ) Eg (arseniuro de galio) = 1,5 eV semiconductor Eg ( silicio ) = 1,1 eV semiconductor Eg (germanio) = 0,7 eV semiconductor Eg ( cobre ) = 0,0 eV conductor Nota : ♦ Obsérvese que si se aumenta la temperatura del material la red se dilatará aumentando la Ancho de la banda prohibida (eV) distancia interatómica, 1.6 por lo tanto, de la figura 1,42 anterior surge que el Eg 1.5 del material debiera 1.4 disminuir con la 1.3 temperatura. 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
1,12
Las gráficas ilustran este hecho .
0,66
0
200
400
FISICA ELECTRONICA
600
800 T( 0K)
20
MODULO IV
♠ Nota : Puede notarse, analizando la estructura de bandas del cobre que se representa en la figura, el solapamiento de las bandas 4s y 3d para la distancia interatómica real r 0. E
r0
0
r 4p 4s
3s
El hecho de que exista solapamiento de bandas no implica que haya electrones que ocupan estados energéticos indefinidos. En el caso específico del cobre, el número de electrones en la banda correspondiente al nivel 4 es N; mientras que el número de estados permitidos es 32 N ( N número de átomos del sólido ). Estos electrones ubicados en el 4s, pueden moverse libremente en tantos estados permitidos que el cobre será así un buen conductor.
O.Von Pamel
21
S. Marchisio
MODULO V MATERIA CONDENSADA SÓLIDOS Y LÍQUIDOS
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
FISICA ELECTRONICA
2
MODULO V
Estructura de la sustancia
Estados de agregación de la materia En función de la distancia entre las partículas y de las fuerzas de interacción entre ellas, la sustancia puede encontrarse en los estados: sólido, liquido, gaseoso, plasma . ♠ A una temperatura suficientemente baja, la sustancia se encuentra en estado sólido.
dpp
Tp
O O O O O O O O O O U>K
Las distancias entre partículas ( dpp ) son del orden de la dimensión de las partículas( Tp ). La energía potencial media ( U ) es mayor que su energía cinética media ( K ).
las partículas que componen los cristales es muy limitado.
El movimiento de
Las fuerzas que actúan sobre ellas las mantienen cerca de las posiciones de equilibrio, por eso la probabilidad de permanencia de las partículas en estos lugares es máxima. Con esta circunstancia está relacionada la propiedad de los cuerpos sólidos de forma y volumen propios, y la gran resistencia a la dislocación. ♠
Como resultado de la fusión de los sólidos se forman los líquidos . dpp
o o o o
Dpp
Tp
o o o o o
O. VON PAMEL
U ≅ K
3
La sustancia líquida se diferencia de la sólida en que no todas las partículas están distribuidas a distancias del mismo orden del tamaño de ellas, como en los sólidos. Una parte de las moléculas se encuentran a distancias considerablemente mayores.
S. MARCHISIO
En este estado la energía potencial media es aproximadamente igual a la energía cinética media. Los estados líquido y sólido con frecuencia se unen bajo el nombre común de estado condensado. Como resultado de la evaporación (ebullición) el líquido pasa al ♠ estado gaseoso. Tp
O
O
Dpp
O
En este estado, las partículas se encuentran a distancias que considerablemente sobrepasan sus dimensiones . Por eso las fuerzas de interacción entre ellas son muy pequeñas, lo que se traduce en que puedan
K >> U
desplazarse libremente.
La energía cinética media de las partículas de un gas es mucho mayor que la energía potencial media de las mismas. Si en la sustancia sólida todas las partículas constituyen un agregado entero, y en el líquido una gran cantidad de agregados voluminosos y resistentes, en los gases pueden encontrarse solo partículas, compuestas de 2 - 5 moléculas, y su número, con frecuencia es comparativamente pequeño. ♠ A estos estados de agregación debemos agregar un cuarto estado denominado plasma .
Θ ⊕ Θ ⊕ Θ⊕
⊕Θ
Este estado, el más abundante en la naturaleza, presenta propiedades distintas a las de los anteriores.
Θ ⊕
⊕Θ
En él, la materia que lo constituye está formada por iones positivos y negativos, de forma tal que, tomado globalmente es neutro, pero si lo consideramos localmente, no lo es.
Θ⊕ Temperatura
FISICA ELECTRONICA
4
de
MODULO V
la
sustancia Resulta interesante a fin de aclarar ideas ver qué se entiende por temperatura en cada uno de los estados anteriormente descriptos : ♠
Temperatura de un sólido: La temperatura en un sólido es la energía interna de éste.
Básicamente viene dada por la energía interna (de vibración) de las moléculas que lo componen. ♠
Temperatura de un gas:
En un gas monoatómico la temperatura está dada por la energía cinética media de traslación, que es 3/2 kT. En un gas poliatómico habrá que tener también en cuenta las energías de vibración y de rotación (sumando ½ kT por grado de libertad que se agregue ) Pej. : para una molécula diatómica será 5/2 kT. Para gases reales influye la compresibilidad. En este caso, al reducirse las distancias moleculares aparecerán potenciales entre las moléculas. Por ese motivo hay que considerar las correcciones hechas por Van der Walls en cuanto al volumen molecular . ♠
Temperatura de un líquido
Al ser el líquido un estado intermedio entre un gas y un sólido, hay que considerarlo como a un gas muy comprimido, donde la interacción molecular adquiere la máxima relevancia . ♠
Temperatura de un plasma:
En un plasma podemos llegar a tener iones positivos, negativos y electrones. Consideramos dos situaciones: a- Plasma no colisional: Esencialmente puede estar formado por iones positivos, negativos y electrones que colisionen poco entre sí. La diferencia de masas entre iones y electrones se traduce en una diferencia en las energías cinéticas de ambos. Tenemos que considerar entonces que coexisten dos temperaturas: la electrónica Te y la iónica Ti dadas ambas por las energías cinéticas medias de los electrones y de los iones respectivamente. Esto es así bajo el supuesto que la masa de los iones positivos y negativos es parecida, de lo contrario podrían llegar a aparecer tres temperaturas: Te , Ti+ , Ti- . b- Plasma colisional : O. VON PAMEL
5
S. MARCHISIO
Predominan las colisiones entre partículas por lo que las energías cinéticas de electrones y de iones se igualan en el tiempo. Esta igualación se traduce en una unificación de la temperatura media del plasma, la que se denomina temperatura del plasma Tp.
Estado condensado. Para facilitar el estudio de este estado vamos a considerar a los líquidos y los sólidos según la siguiente subdivisión: estado condensado Sólidos Amorfos
Cristalinos
Líquidos Vidrios
Amorfos
Cristalinos
Sólidos. Sólidos cristalinos. La propiedad fundamental de los sólidos cristalinos (cristales) es la regularidad de la distribución de los átomos en ellos, constituyendo lo que se llama una red cristalina. Ésta está compuesta por una unidad básica ( celda de la red) que se repite a lo largo de ella. Es por ello que para el análisis de la estructura de un cristal basta estudiar esta celda unitaria considerando que todas las propiedades se repiten de una celda a la otra. de:
Las redes cristalinas se subdividen en varios tipos, en dependencia el tipo de partículas que la forman el tipo de enlace entre ellas
♦ Cristales covalentes: FISICA ELECTRONICA
6
MODULO V
En ellos los átomos están ligados entre sí por enlaces direccionales localizados. (electrones de valencia en orbitales p ). La red cristalina está determinada por la orientación y la naturaleza de estos enlaces direccionales. En la figura se representa la red cristalina del diamante. Cada esfera representa un núcleo de carbono y cada barra un par de electrones de enlace localizado. Debido a su estructura electrónica rígida los cristales covalentes tienen varias características microscópicas comunes: • son extremadamente duros y difíciles de deformar; • son malos conductores de la electricidad puesto que no hay electrones libres que transporten carga; • son malos conductores del calor puesto que no hay electrones libres que transporten energía de un lugar a otro; • muchos de ellos son transparentes debido a que la diferencia Eg entre bandas es mayor que las energías fotónicas del espectro visible. ♦ Cristales iónicos
Consisten en un arreglo regular de iones positivos y negativos resultantes de la transferencia de uno o más electrones de una clase de átomo a otro. En las figuras se representan las redes cristalinas del NaCl y del
CsCl respectivamente.
O. VON PAMEL
7
S. MARCHISIO
Los iones se disponen de tal modo que se produce una configuración estable bajo sus interacciones electrónicas mutuas.
Estos cristales : • son duros, frágiles y tienen alto punto de fusión debido a las fuerzas electrostáticas relativamente fuerte entre iones; • son malos conductores de la electricidad, pero a altas temperaturas, los iones pueden adquirir una cierta movilidad que se traduce en una mejor conductibilidad eléctrica; • son malos conductores del calor al carecer de electrones libres; • algunos absorben fuertemente radiación infrarroja.
♦ cristales metálicos
Son cristales cuyos elementos tienen energías de ionización relativamente pequeñas y cuyos átomos tienen unos pocos electrones débilmente ligados que son fácilmente puestos en libertad usando la energía que se libera al formarse el cristal. De este modo los metales tienen una red regular compuesta de iones positivos esféricamente simétricos que se forman cuando los electrones más externos quedan en libertad. Dentro de esta estructura hay un gas electrónico formado por los electrones libres, los que son responsables de la unión. Estos se mueven más o menos libremente dentro de la red cristalina y por lo tanto no están localizados. Estos cristales : • son maleables debido a la simetría del enlace;
FISICA ELECTRONICA
8
MODULO V
• son excelentes conductores eléctricos por la presencia de electrones libres; • son excelentes conductores térmicos debido a los electrones libres; • son opacos y tienen un alto coeficiente de reflexión electromagnética. ♦ Cristales moleculares
Están hechos de sustancias cuyas moléculas no son polares . En estas moléculas todos los electrones están apareados de tal modo que no se pueden formar enlaces covalentes entre átomos de dos moléculas diferentes. En este tipo de cristales las moléculas conservan su individualidad, están ligadas entre sí por las mismas fuerzas intermoleculares que existen entre las partículas de un gas o de un líquido: las fuerzas de van der Walls. Éstas son muy débiles y corresponden aproximadamente a las fuerzas entre dos dipolos. Las fuerzas de van der Walls provienen de la interacción de estos dipolos eléctricos instantáneos si bien en promedio estas moléculas no tienen un momento dipolar eléctrico instantáneo. Algunos ejemplos de cristales moleculares son : CH 4 , Cl2 , CO2 , los gases nobles, etc .. Estos cristales : • son muy compresibles y deformables con punto de fusión muy bajo; • no son conductores eléctricos; • no son conductores del calor.
♦ Cristales con enlace de hidrógeno
Estrechamente relacionados con los cristales iónicos están los sólidos con enlace de hidrógeno, que se caracterizan por tener moléculas fuertemente polarizadas con uno o mas átomos de hidrógeno tales como el H2O y el HF. O. VON PAMEL
9
S. MARCHISIO
Los iones positivos de hidrógeno, debido a que son relativamente pequeños, pueden atraer el extremo negativo de otras molécula formando cadenas como: (H+ F− ) ( H+ F− ) ( H+ F− ) ........ Esto es particularmente interesante en el caso del hielo en el cual las moléculas tienen el arreglo tetraédrico que se muestra en la figura. Esta estructura relativamente abierta del hielo explica el mayor volumen que el hielo tiene en comparación con el agua en la fase líquida.
♦ Cristales con más de un tipo de enlace
Algunos sólidos son combinación de varios tipos de enlaces.
Un ejemplo de ello es el grafito que consiste en capas de átomos de carbono dispuestas en forma de hexágono. En este caso los átomos de cada capa están ligados entre sí por enlaces covalentes localizados y no localizados. Los electrones de los enlaces no localizados están en libertad de moverse paralelamente a las capas, lo que explica la conductibilidad eléctrica paralela a las capas de grafito y la no conductividad en dirección perpendicular a ellas. FISICA ELECTRONICA
10
MODULO V
Estas capas están unidas entre sí por fuerzas débiles de van der Walls, lo que explica la naturaleza escamosa y resbaladiza del grafito. Esta caracteriza lo hace útil como lubricante.
Sistemas cristalinos Como dijimos, un cristal es una estructura que para su estudio puede ser reducida a una unidad mínima denominada celda. Si bien existen 14 tipos de celdas o cristales, las que resultan de mayor interés para el estudio de los semiconductores presentan estructuras reducibles a una red cúbica. Éstas son:
a - cúbica b - cúbica centrado en las caras c - cúbica centrado en el cuerpo
A continuación se presentan los principales sistemas cristalinos que están en la naturaleza. En éstos hay 14 tipos distintos de cristales comprendidos en 7 sistemas.
O. VON PAMEL
11
S. MARCHISIO
FISICA ELECTRONICA
12
MODULO V
Planos cristalinos. A continuación se presentan los principales planos cristalinos para un sistema cúbico. Los planos cristalinos se identifican mediante la representación en coordenadas cartesianas del vector unitario normal al plano en cuestión. x
x
( 1,0,1 )
( 0,0,1 ) y
y z
z
x
x
( 0,1,0 )
( 0,1,1 )
y
y z
x
z ( 1,0,0 ) y z
x
( 1,1,1 )
y z
x
Cabe destacar que existen determinadas propiedades que sólo se presentan sobre determinados planos cristalinos. Un ejemplo de ello lo constituye la superconducción en materiales cerámicos.
( 1,1,0 ) y z
O. VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
Super-redes En la actualidad las modernas técnicas de fabricación de cristales permiten obtener cristales formados de modo tal que a continuación de una capa cristalina de una especie se superpone otra de una especie diferente y así sucesivamente. Estas técnicas permiten alterar la estructura energética del cristal a lo largo del mismo, alterando asimismo sus propiedades eléctricas y ópticas. De esta forma se pueden fabricar microlentes y/o microespejos, dentro de algunos dispositivos. Un ejemplo de aplicación tecnológica de super-red lo constituyen las fibras ópticas no lineales. O
O
O
O
⊗
⊗
⊗
⊗
O
O
O
O
O
O
O
O
⊗
⊗
⊗
⊗
O
O
O
O
O
O
O
O
⊗
⊗
⊗
⊗
O
O
O
O
O
O
O
O
⊗
⊗
⊗
⊗
O
O
O
O
Sólidos amorfos. Las sustancias amorfas se diferencian de las cristalinas por la isotropía (no hay direcciones privilegiadas en su interior). Son distinguibles de las cristalinas debido a que su transición del estado sólido al líquido no va acompañada de cambios bruscos de propiedades. V sustancia cristalina sólido
V
líquido fusión
sustancia amorfa
sólido líquido reblandecimiento
T T
En un sólido amorfo existe entre las temperaturas T a y T b una zona de reblandecimiento. Entre esas temperaturas el material evoluciona paulatinamente ablandándose cada vez más desde un sólido rígido a un FISICA ELECTRONICA
14
MODULO V
líquido. En esta zona operan las máquinas inyectoras de plástico, goma, cera, etc. No profundizaremos más sobre el tema por no ser ello objeto de este curso.
Líquidos. Es un estado intermedio entre el sólido y el gaseoso. A elevadas temperaturas las propiedades del líquido se acercan a las del gas no perfecto y a bajas temperaturas a las de la sustancia sólida. Un liquido se puede explicar representando su estructura como la acumulación de agregados ultramicroscópicos significativamente deformados, o bien en forma de una malla estructural continua, en la cual los elementos de orden estructural están limitados por los vecinos más cercanos. La primera suposición significa que un gran numero de islotes cristalinos están divididos por zonas de partículas de desordenada disposición. La segunda suposición lleva a la representación casi cristalina del líquido en la cual el orden del cristal se va perdiendo capa a capa. Es difícil decir qué punto de vista es preferible. Lo importante es que en el líquido existe un orden determinado, el que es tanto más superior cuanto más se acerca el líquido al punto de fusión.
Líquidos cristalinos. Estos líquidos se diferencian de los corrientes por su anisotropía. Ésta se revela de manera más notable en sus propiedades ópticas . Estos líquidos cristalinos se observan en muchos compuestos orgánicos de grandes moléculas, generalmente de forma alargada. En un líquido corriente la orientación y disposición de las moléculas son completamente arbitrarias. En otras palabras, en el movimiento térmico las moléculas del líquido efectúan movimientos caóticos tanto de traslación como de rotación.
O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
En un cristal líquido considerado como un todo las moléculas están dispuestas desordenadamente en el espacio, sin embargo su orientación mutua es ordenada. La orientación ordenada de las moléculas c onduce a la anisotropía. Generalmente los cristales líquidos no son monocristales sino un agregado policristalino compuesto de gran cantidad de cristales líquidos en forma de gotitas, orientados entre sí de distinta manera. Ο→
∅→ Ο ↓
∅ ↓
↑ Ο
↑ ∅ Ο
←Ο
∅
líquido amorfo
← ∅
líquido cristalino
Los cristales líquidos en general parecen líquidos turbios. Esto es debido a la dispersión desordenada de la luz en los límites entre las distintas gotitas. Con ayuda de un intenso campo eléctrico o magnético, en algunos caso se puede conseguir que todas las gotitas adquieran la misma orientación. De esta forma se obtiene un cristal líquido casi transparente.
E
Cabe destacar que muchos líquidos cristalinos que son anisótropos, antes de solidificarse y convertirse en cristales, atraviesan por una breve fase isótropa. Distintos tipos de cristales Líquidos. FISICA ELECTRONICA
16
MODULO V
De acuerdo con el ordenamiento o disposición presentado inicialmente por sus moléculas, los cristales líquidos evidencian tres clases diferentes de mesofases: nemática, esmética y colestérica. Esto se ilustra en la siguiente figura. Grados de libertad de las macromoléculas de los distintas cristales líquidos
nemático
esmético
colestérico
Cristales líquidos Esméticos : La orientación natural de sus dipolos en ausencia de campo eléctrico los hace ferroeléctricos. A partir de esta propiedad sus principales aplicaciones son : Direccionamiento de luz láser Memorias termo-ópticas de imágenes Radiografía ultrasónica Cristales líquidos Colestéricos : Son las sustancias mas ópticamente activas que se conocen pues rotan el plano de la luz polarizada entre 20º/mm de espesor hasta 18000º/mm de espesor ( 50 vueltas/mm ). También varían su estructura con la temperatura, por lo cual al ser iluminados con luz blanca la reflejan selectivamente, formándose distintos colores al variar la temperatura. El orden de reflexión es : ( T< 0,5ºC ) temperatura baja ( 0,5ºC ) ↓
temperatura alta ( 50ºC ) ( T> 50ºC )
→ → → → → → →
incoloro rojo amarillo verde azul violeta incoloro
Este proceso es reversible, por lo que es posible emplearlos para medir temperaturas superficiales. O. VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
De la misma forma su estructura varía con la presión, los campos eléctricos, los magnéticos y los agentes químicos . Al igual que con la temperatura, al ser iluminados con luz blanca, en todos los casos la reflejan selectivamente, formándose los distintos colores al variar la presión, los campos eléctricos, los magnéticos y los agentes químicos. Esta propiedad permite fabricar distintos tipos de sensores. Cristales líquidos nemáticos : Sus moléculas tienen la forma de filamentos. Cuando son puestas entre dos placas paralelas se pueden conseguir tres formas de orientación de las moléculas : Homeotrópica : orientación perpendicular a las placas Homogénea : las placas
de
las
moléculas
orientación de las moléculas paralela a
Torsionada o giratoria : en una placa la orientación de las moléculas es paralela a esta y en la otra perpendicular. En este caso la orientación de las moléculas gira 90º de una placa a otra. Las propiedades ópticas de estos cristales son alteradas fuertemente por campos eléctricos, magnéticos y fuerzas mecánicas. Debido a su simetría cristalina se comportan como cristales uniaxiales cuyo eje óptico es paralelo a la dirección de alineación de las moléculas. Son birrefringentes (su birrefringencia es siempre positiva) y la constante dieléctrica, la susceptibilidad magnética y la resistividad son anisótropas. Estas propiedades permiten la fabricación de deflectores y moduladores magneto-ópticos. Una de las aplicaciones más difundidas es su empleo en la fabricación de visualizadores o displays de cristal líquido (LCD).
♠ Visualizadores ( Displays) FISICA ELECTRONICA
18
MODULO V
En particular para visualizadores se emplean cristales nemáticos. En la figura siguiente se muestran los tres modos de visualización de un LCD:
LCD
LCD
LCD
Trasmisivo
Reflectivo
Transflectivo
A su vez existen tres modos o técnicas de operación de un LCD: Modo de dispersión nemática. Modo nemático giratorio o de efecto de campo Modo anfitrión invitado En la tabla siguiente se comparan los tres métodos : Técnica empleada
Ventajas
Inconvenientes
Dispersión nemática
sencillez de construcción no necesita polarizadores
mayor conductividad mayor consumo vida mas corta
Nemática Giratoria
bajas tensiones de trabajo baja conductividad bajo consumo
elevado tiempo de respuesta necesidad de polarizadores
Anfitrión invitado
posibilidad de colores mayor brillo mayor ángulo visual menor distorsión por paralaje
bajo contraste mayor tensión de operación
Display reflectivo con cristal nemático en modo torsionado
O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
Este display se construye mediante el empleo de determinados cristales líquidos que tienen la propiedad de rotar el plano de polarización de la luz en 90 grados y perder esta propiedad cuando se les aplica un determinado campo eléctrico. Este efecto se logra a través de la aplicación de una tensión V entre sus bordes. El esquema de un display es el siguiente : En el recipiente (transparente ) que contiene al cristal líquido se dibujan los caracteres con una tinta transparente y se conectan al circuito de polarización.
♠ Modo de funcionamiento
Aparte del cristal líquido con el correspondiente circuito de polarización el display cuenta con el siguiente arreglo de elementos : polarizador cristal líquido
polarizador
espejo
Analicemos en los esquemas la marcha de los rayos de luz con y sin polarización del cristal liquido
FISICA ELECTRONICA
20
MODULO V
♦ sin polarización polarizador cristal líquido
polarizador
espejo
Cuando el cristal líquido no se encuentra polarizado la luz entra sin polarización y sale polarizada. ♦con polarización polarizador cristal líquido
polarizador
espejo
Cuando el cristal líquido se polariza, al perder su propiedad de rotación de la luz, ésta no puede atravesar el segundo filtro polarizador siendo absorbida por éste. La ausencia de luz hará aparecer el número deseado. Obsérvese que el tono grisáceo de los displays se debe a que siempre se pierde al menos el 50 % de la luz en uno de los filtros polarizadores. Visualizadores en modo anfitrión-invitado Dispersas entre las moléculas del cristal líquido (anfitrionas) se encuentran las moléculas de un tinte dicroico ( invitadas ). O. VON PAMEL
21
S. MARCHISIO
Sin polarización ambas permanecen paralelas al plano de los electrodos transparentes; las moléculas anfitrionas absorben parte del espectro dando aspecto coloreado al display. Con tensión aplicada las moléculas se encuentran perpendiculares al plano y la luz atraviesa el display sin ser modificada; por lo tanto el display se vera claro. De este modo en este display se verán números o caracteres brillantes sobre fondo coloreado .
Líquidos amorfos. Estos líquidos se diferencian de los cristalinos por su isotropía (no tienen direcciones privilegiadas en su seno). Esto se debe a que las moléculas en su interior, debido al efecto térmico efectúa movimientos caóticos tanto de traslación como de rotación. No es objeto de este curso profundizar en este tema.
Vidrios. Un vidrio es un material formado por enfriamiento del estado líquido normal. En ese proceso sufre un cambio no discontinuo tal como la cristalización haciéndose más rígido debido a un aumento de la viscosidad . Se asume normalmente que un líquido se convierte en vidrio cuando su viscosidad es superior a 10 3 poises. Consideramos por lo tanto que un vidrio es un cuerpo sólido con un denso empaquetamiento de átomos. Estos se caracterizan por no mantener entre sí las distancias regulares y ordenadas que mantienen los cristales.
FISICA ELECTRONICA
22
MODULO V
La formación de vidrios es una consecuencia de una cristalización impedida. Es por eso que en la gran mayoría de los casos se obtienen a partir de un proceso de fundido y muy rara vez por condensación de vapores. Cuando algunos silicatos se funden y se enfrían bruscamente, no cristalizan sino que solidifican en forma de vidrio y estos vidrios de silicato son de gran utilidad práctica. Vidrios con estructuras reticulares, los que en general son muy difíciles de dilucidar, los forman no sólo el SiO2 y los silicatos, sino también otros óxidos como el B 2O3 , GeO2 , P2O5 , As2O3 , y As2O5 . Tales vidrios al calentar no funden a una determinada temperatura sino que se ablandan gradualmente y pasan después al estado líquido. Por calefacción prolongada en el punto de reblandecimiento (templado) puede en ocasiones pasar al estado cristalino. Otros sistemas se reblandecen formando vidrios tales como el KNO 3 (con un 30 - 47% de Ca(NO 3)2 ). Lo mismo ocurre con algunos compuestos asociados por enlaces de hidrógeno tales como el ácido fosfórico y sulfúrico concentrados, glicerina y otros alcoholes. Aunque la palabra vidrio se puede asociar a silicatos, cerámicos y materiales no metálicos relacionados con ellos, se ha descubierto que el enfriamiento muy rápido ( 10 6 grados/seg ) de ciertas aleaciones fundidas, da lugar a materiales metálicos que son rígidos y tienen estructuras moleculares cuasi-líquidas . Estos vidrios metálicos tienen una fuerza excepcional, resistencia a la corrosión y fácil magnetización. En general, los vidrios son más ricos en energía que los correspondientes compuestos cristalinos, lo que quiere decir que son más inestables, y que pueden pasar al cristal al per der exceso de energía.
Polímeros Se llaman polímeros a los cuerpos cuyas moléculas están formadas por un gran número de grupos que se repiten, llamados unidades monómeras . Los grupos que se hallan en los extremos de la molécula, llamados grupos finales, se diferencian por su estructura de las unidades monómeras fundamentales. El número de unidades monómeras que hay en una molécula recibe el nombre de grado de polimerización. Los polímeros se dividen en lineales y tridimensionales: Polietileno H H H H H H H
O. VON PAMEL
23
S. MARCHISIO ... -C-C-C-C-C-C-C...
H H H H H H H
* En los lineales cada unidad monómera está unida solamente a dos unidades monómeras vecinas. Son solubles, forman disoluciones verdaderas y pueden existir en estado líquido.
* En los tridimensionales aparecen enlaces transversales de manera que constituyen una red espacial. No son fusibles ni solubles; solamente se pueden hinchar en un disolvente, absorbiendo una cantidad limitada del mismo, pero conservando, en lo fundamental, las propiedades del sólido.
FISICA ELECTRONICA
24
H
Poliestireno H H H
H
-----C----C----C----C----C-----
H
C
H
C
H
CH CH CH CH
CH CH CH CH CH
CH
MODULO V
MÓDULO VI MATERIA CONDENSADA EFECTO DE LAS IMPUREZAS EN LOS SÓLIDOS Objetivos: Estudiar cómo se alteran sustancialmente las propiedades de un material mediante el agregado de impurezas. En particular, el interés del estudio es la modificación de las propiedades ópticas y eléctricas.
O.VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
Imperfecciones de las redes cristalinas FISICA ELECTRONICA
2
MODULO VI
Las redes cristalinas no son perfectas. Las imperfecciones de la red tienen un efecto muy importante en las propiedades: • mecánicas (elasticidad) • eléctricas • ópticas
Podemos diferenciar algunas imperfecciones típicas. Éstas son: • vacante
• átomo intersticial
dejada por un átomo que falta
generada por un átomo que sobra
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
• Impureza sustitucional
átomo de otra especie que reemplaza a otro de la red
• Impureza intersticial
átomo de otra especie que ocupa un intersticio de la red
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
⊗ O
O
⊗
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
• dislocación de arista
O.VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
Esta imperfección se puede ver como si desde el tope de la red se hubiese empujado una capa extra de átomos hasta medio camino.
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
Aleaciones: Una aleación se forma cuando a un material base se le hacen agregados de otros materiales llamados aleantes. Tiene como fin obtener una sustancia que posea determinadas propiedades diferentes de las que poseen sus componentes aisladamente. Estas propiedades dotan a cada aleación de una utilidad específica, por lo general vinculada a mayor resistencia a la corrosión, maleabilidad, etc. En general el término aleación se emplea para los compuestos metálicos, aunque en la actualidad también se ha extendido esta denominación a combinaciones de compuestos no metálicos. Las aleaciones pueden ser del tipo sustitucional o intersticial. En el presente curso hablaremos de los efectos de los materiales aleantes cuando estos están en una proporción respecto al material base mayor al 1/1000. Si la proporción es menor, los llamaremos impurezas y hablaremos de sus efectos.
Efectos de las impurezas en las redes cristalinas.
FISICA ELECTRONICA
4
MODULO VI
Introducción Las impurezas, aún en pequeñas cantidades, tienen un efecto importante sobre las propiedades mecánicas, eléctricas y ópticas de los materiales. Como vimos, estas impurezas pueden ser intersticiales o sustitucionales. Podemos caracterizarlas de la siguiente manera: ♦ sustitucionales: se trata del reemplazo de un átomo de la red por
otro átomo extraño al cristal que destruye el orden de la estructura periódica. La distribución de impurezas en el material resulta aleatoria. ♦ intersticiales: se trata del agregado de un átomo extraño a la red
que se ubica en los espacios que quedan entre los átomos de ésta. Mediante el agregado de este tipo de impurezas también se destruye el orden de la estructura periódica, pero además se pueden generar compuestos que no podrían existir en situaciones de equilibrio. Actualmente con la comprensión del efecto de las impurezas sobre los materiales se han desarrollado métodos para impurificar materiales puros y obtener así, de éstos, nuevas propiedades. Esto no quita que en muchos casos sea imposible fabricar materiales sin impurezas indeseables. Un caso de especial interés para este curso es el estudio del efecto de las impurezas de tipo sustitucional en los semiconductores. También tocaremos brevemente el tema del efecto de las impurezas en conductores y aisladores.
Impurezas en semiconductores
O O O O O
O O O O O
O O O O O O ⊗ O O O O O O O O
semiconductores a estudiar.
O.VON PAMEL
En gran parte de las aplicaciones prácticas se requieren semiconductores en los que se haya realizado la sustitución de átomos de la red por átomos de impurezas en pequeñas cantidades.( un átomo en 10 6 a 109 ). Debido al gran desarrollo tecnológico que históricamente se ha alcanzado en torno al germanio y el silicio, los emplearemos como ejemplo de los principales
5
S. MARCHISIO
De todos modos cabe destacar que existen otros materiales semiconductores que rápidamente los van desplazando en la actualidad; tal es el caso del AsGa .
I IIB 5
6
VB
C
N
10,81
12,01
14,00
13
14
15
26,98
28,08
30,97
31
32
33
Ga
Si
P
Ge
As
69,72
72,59
74,92
49
50
51
In
Sn
Sb
114,82
118,69
121,75
81
82
83
Ti 2 0 4 ,3 7
I II B
IV B
VB
7
B Al
IVB
Pb
Bi
207,19
208,98
B
C
N
Al
Si
P
Ga
Ge
As
In
Sn
Sb
Ti
Pb
Bi
Dado su configuración electrónica, tanto el silicio como el germanio tienen cuatro (4) electrones de valencia no completando niveles p. Esto puede observarse en el extracto de la tabla periódica. En la figura se representa la estructura del cristal . Estructura diamantina de un cristal.
Para : C, Si y Ge a = 5,56 , 5,13 y 5,66 0 A respectivamente
Vemos que cada átomo tiende a compartir uno de sus cuatro electrones de valencia con cada uno de los átomos vecinos de los cuales toma también un electrón en proceso análogo. FISICA ELECTRONICA
6
MODULO VI
Esta disposición de pares de electrones compartidos es lo que denominamos enlace covalente. Debido a que el diagrama en el espacio es algo complejo, resulta conveniente, - como simplificación desde el punto de vista gráfico -, una representación en el plano.
. +4
+4
+4
+4
+4
+4
.
+4
+4
En el análisis no debe olvidarse, sin embargo, que los fenómenos ocurren en el espacio.
+4
Efectos de las impurezas donantes. Sustituimos algunos átomos del semiconductor puro por otros que presentan un electrón de valencia en exceso, pero que por lo demás, son aproximadamente iguales al átomo semiconductor puro.
IIIB 5
B
IV B 6
C
V B 7
N
10,81
12,01
14,00
13
14
15
Al
Si
P
26,98
28,08
31
32
33
Ge
As
72,59
74,92
49
50
In
Sn
Sb
114,82
1 1 8 ,6 9
121,75
51
81
82
Ti
Pb
B i
2 0 7 ,1 9
208,98
2 0 4 ,3 7
Observamos además en la figura, que aquellos elementos de la tabla periódica que guardan en todos los aspectos mayor semejanza con los átomos de SI y Ge son el fósforo (P) y el arsénico (As). La impureza encajará sin dificultad en la estructura covalente quedando un electrón sobrante.
30,97
G a 69,72
En nuestro caso concreto de semiconductores de Si o Ge (grupo IV de la tabla periódica), los átomos de impurezas corresponden al grupo V.
83
Éste queda sin cumplir función alguna en los enlaces que mantienen la unidad del cristal y realiza movimientos orbitales alrededor de la impureza. O.VON PAMEL
7
S. MARCHISIO
Las impurezas de este tipo, átomos pentavalentes que suministran al cristal electrones que pueden ser liberados fácilmente, (con energías menores a 0,1 eV) son las impurezas donantes. . +4
+4
El semiconductor así constituido es de tipo n porque conduce la corriente principalmente mediante electrones de conducción cargados negativamente.
+4 Θ
. +4
+4
+5
+4
+4
En este caso semiconductor tipo n, electrones de conducción son portadores mayoritarios corriente.
+4
de los los de
Efecto de las impurezas aceptantes. Nuevamente consideremos el semiconductor puro.
IIIB 5
B
IV B 6
C
7
N
10,81
12,01
1 4 ,0 0 15
13
14
Al
Si
P
26,98
28,08
30,97
31
32
33
G a
G e
A s
72,59
74,92
69,72 49
50
51
In
Sn
Sb
1 1 4 ,8 2
1 1 8 ,6 9
1 2 1 ,7 5
81
82
Ti
Pb
204,37
2 0 7 ,1 9
Sustituyamos alguno de sus átomos por otros de características similares, pero que presentan un electrón de valencia en defecto.
V B
Los átomos que pueden constituirse en impurezas debido a su similitud con los de Si o Ge son el aluminio (Al), el galio (Ga), y el indio (In). Estos pertenecen al grupo III de la tabla periódica.
83
B i 2 0 8 ,9 8
Cuando uno de los átomos no completa su estructura de enlaces con los átomos vecinos, se crea una falta o vacante de electrones, llamada hueco que tiene asociada una carga positiva. Esto es así debido a que es la falta de algo negativo.
FISICA ELECTRONICA
8
MODULO VI
Como las fuerzas de enlace en un cristal covalente son muy intensas, el hueco es muy atractivo para los electrones que constituyen los demás enlaces en el cristal. En consecuencia, uno de los electrones ligados podrá saltar a la vacante, creando a su vez una nueva que a su vez será atractiva para los demás electrones de valencia. Las impurezas de este tipo, - átomos trivalentes -, se llaman aceptantes y como añaden huecos al material hacen al semiconductor de tipo p.
. +4
+4
+4
⊕
.
!
+4
+3
+4
+4
+4
+4
En este caso la circulación de corriente se explica por desplazamiento de los huecos o faltantes de electrones, que se constituyen en portadores mayoritarios para el material tipo p.
Nota
La descripción que acabamos de hacer del movimiento de los electrones y los huecos responde al llamado modelo de enlaces. Esta es una simplificación que emplea una imagen clásica. En este modelo el hueco está localizado en una longitud de pocos A , esencialmente en las dimensiones del átomo. 0
Si aplicamos el principio de incertidumbre de Heisemberg, vemos que a la temperatura ambiente ( T = 300° K ), la partícula, tratada como gas ideal, tendrá: energía cinética media por grado de libertad = ½ kT ½ m v2 = 3 / 2 kT
debido a lo cual:
de lo cual resulta que a temperatura ambiente: v = 10 7 cm / seg. Si por sencillez suponemos que el movimiento aleatorio de una partícula sitúa su energía con aproximadamente la misma probabilidad en cualquier valor del intervalo comprendido entre un tercio y el triple de su valor medio, entonces vale: ∆P ≈ m v h 0 luego, por el principio de incertidumbre : ∆r ≈ ------ ≈ 60 A mv Como la separación entre átomos de la red cristalina es de 2 a 2,5A0, se deduce que la localización del hueco en una esfera de R = 60 A 0 (∆r), se extiende sobre unos 7000 átomos. Por lo tanto, la noción de hueco O.VON PAMEL
9
S. MARCHISIO
que salta entre átomos vecinos, en su movimiento aleatorio, carece de significado físico. Deducimos que el modelo presentado solo nos sirve para tener presentes los resultados principales referentes a los electrones de conducción y a los huecos, pero no como representaciones precisas de su dinámica.
Modificación de la estructura de bandas debida a las impurezas sustitucionales. El diagrama de bandas de energía de un material semiconductor puro se altera por el agregado de impurezas.
Energía de los electrones banda de conducción
Es necesario ubicar en él los estados de energía permitidos de los átomos donantes y aceptantes, según sean los materiales tipo n o p respectivamente.
Eg ≈ 1eV banda de valencia
Agregado de impurezas donantes. Si en un cristal muy puro de un semiconductor, - silicio o germanio-, se añade una impureza donante se producen los siguientes cambios en su estructura electrónica: ♦ la impureza deja los estados energéticos permitidos y prohibidos del
semiconductor puro esencialmente intactos e inalterados.
♦ por cada impureza añadida aparece un nuevo estado electrónico.
FISICA ELECTRONICA
10
MODULO VI
Ec
•
•
•
•
El electrón sobrante del átomo donante no se encuentra en libertad de deambular por el cristal sino que realiza movimientos similares a los de los electrones en sus órbitas atómicas alrededor de la impureza sin constituir un enlace en la red. ♦
Energía de los electrones banda de conducción
•
•
Ed Eg
banda de valencia
El estado energético correspondiente (Ed) no coincide por lo tanto ni con la banda de valencia ni con la de conducción. Este estado energético se encuentra en la banda prohibida próximo al fondo de la banda de conducción (E c). El nivel del donante E d se encuentra aproximadamente a: 0,01 eV para el germanio 0,04 eV para el silicio por debajo de Ec . !
Nota :
No es contradicción aceptar que dentro de la banda prohibida existan estados permitidos. La banda prohibida es del semiconductor, mientras que los estados permitidos son de las impurezas. (próximas al 00 K) el nuevo estado se encuentra ocupado por el electrón adicional procedente de la impureza. ♦ A temperaturas muy bajas
Agregado de impurezas aceptantes De manera similar, se pueden incorporar a un cristal puro impurezas controladas de valencia tres (3) que producen, en el diagrama de bandas, cambios similares a los vistos anteriormente. Podemos sintetizar: ♦ Las bandas del semiconductor quedan esencialmente inalteradas. ♦ Por cada impureza añadida aparece un nuevo estado electrónico.
O.VON PAMEL
11
S. MARCHISIO
Energía de los electrones banda de conducción
♦ La ubicación del estado
electrónico en el diagrama de bandas del semiconductor puro es próxima al tope de la banda de valencia (Ev) y dentro de la banda prohibida.
Eg
Ea Ev
. banda de valencia
♦ La diferencia entre el nivel aceptante (Ea) y Ev es:
0,01 para el germanio 0,05 para el silicio por arriba de la banda de valencia El nuevo estado se encuentra vacío a temperaturas muy bajas, pero puede ser ocupado por un electrón excitado térmicamente desde la banda de valencia. En este caso el electrón excitado al nivel aceptante deja atrás huecos en la banda de valencia. ♦
!
Nota :
En las figuras siguientes se grafican los niveles energéticos de distintas impurezas del Si. En ellas, los niveles por arriba del centro del Gap o banda energética prohibida, se miden desde la base de la banda de conducción hacia abajo. Son niveles donantes a menos que se los indique con una A. Los niveles por abajo del centro del Gap se miden desde el tope de la banda de valencia hacia arriba. Son niveles aceptantes a menos que se los indique con una D. Niveles energéticos de impurezas en Si a 300 0K Li Sb
P As Bi Te Ti C Mg Se Cr Ta Cs Ba S Mn Ag Cd Pt Si .069 .14 .21
.11A
. 14
.033 .039 .045 .054 .25 .25A .25 .4 .41 .43 donantes 1,12 eV
Centro del gap .42
ace ptantes
.35D .17
FISICA ELECTRONICA
.2A .3 .32
12
.26
.25A .43 .36A .45A .34A .53 . .5 .5 .48 .55 .36 .49D .45D .33D .3 .3D .19D
MODULO VI
Niveles energéticos de impurezas en Si a 300 0K .11A
.22 .31A .28 .27
.17
.25 .25A
.26 .25
.3
.16 .14 .38A
.35A .33 .36A .
1,12 eV
donantes
.55A .54A .53A .49
Centro del gap .42
.4
.34D .33D .5D .5D
.53
.37
.51
.4
.34D .37 .41
.51 .4
aceptantes .3 .34 .072 .16
.35D
.35 .17 .26 .29D
.23 .30D .25D
.24 .35D .27 .31D
.045 .067
B Al Ga In Tl Pd Na Be Zn Au Co V Ni Mo Mg Zr Ge Cu K Sn W Pb O Fe
Bandas de impurezas. Cuando la concentración de impurezas es muy grande (Ni >10 18)y los niveles donantes (o aceptantes) interaccionan entre sí, el principio de exclusión de Pauli provoca el desdoblamiento de niveles generando una banda permitida de impurezas dentro de la banda prohibida del cristal. Las siguientes figuras representan los modelos en este caso. Energía de los electrones banda de conducción banda de las impurezas donantes
Energía de los electrones Ec
banda de conducción
Ec
banda de las impurezas aceptantes .
Ev
Ev
banda de valencia
banda de valencia
Prácticamente la banda de impurezas se puede hacer crecer hasta el punto de hacer desaparecer la banda prohibida. De esto ultimo surge que la banda de impurezas se puede hacer crecer paulatinamente a lo largo del semiconductor hasta convertirlo en un conductor , permitiendo que la union conductoer semiconductor se realice en forma continua. Ambas situaciones se observan en la figura siguiente:
O.VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
En ergía de los electrones banda de conducción . Ec Eg
E g = 0
. Ev banda de valencia
Impurezas indeseables. En muchos procesos de fabricación de cristales es imposible evitar que el material puro no incorpore impurezas indeseables. Las impurezas indeseables agregaran niveles energéticos al material, algunos de los cuales, - los que se encuentran dentro de la banda prohibida -, alteraran las propiedades eléctricas y ópticas del material. Un ejemplo típico indeseable de impurificación es el que se produce durante el proceso de fabricación del monocristal silicio al incorporar oxígeno como impureza. La impureza oxígeno genera niveles de impureza aproximadamente en la mitad de la banda prohibida.
Energía de los electrones banda de conducción
Estos niveles de impurezas indeseables limitan las transiciones electrónicas de una a otra banda.
niveles de impurezas
banda de valencia
!
Nota:
Las imperfecciones cristalográficas de la red (dislocaciones, etc) generan, del mismo modo que las impurezas indeseables, niveles energéticos dentro de la banda prohibida. Puesto que éstos alteraran las propiedades del material, se busca que estas imperfecciones sean las menores posibles. !
Nota:
FISICA ELECTRONICA
14
MODULO VI
Se pude considerar a la superficie del material como una discontinuidad de la red cristalina. En consecuencia, sobre ésta existirán enlaces incompletos que darán lugar a la aparición de gran número de estados cuánticos. Es decir esto causará que en la superficie del material exista un mayor número de estados cuánticos que en su interior. Es esperable por ello que las propiedades en la superficie del material sean distintas a las de su interior. Más adelante analizaremos este tema con mayor profundidad.
Impurezas en conductores. Como es previsible, las impurezas no existen sólo asociadas a los semiconductores. Las impurezas en un conductor generarán niveles energéticos que caerán necesariamente dentro de la banda continua conducción-valencia de éste. Sus efectos serán la alteración de las propiedades eléctricas y magnéticas del material puro. En la figura siguiente se observa la resistividad de tres muestras de sodio con impurezas diferentes. Obsérvese que se puede escribir: ρ = ρi + ρt ,
Ésta es la llamada regla de Mathiessen, donde: ρi (resistividad residual) es la
resistividad del metal debido a las impurezas. Ésta resulta independiente de la temperatura, aunque varía de una muestra a otra.
ρ (Resistividad) en Ω.m -2
2.10
1.10
ρt es la resistividad debida a
-2
las vibraciones térmicas, por lo cual aumenta con la temperatura. 10
0
20 T ( K)
Metalizaciones O.VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
Las metalizaciones que se emplean en los circuitos integrados constituyen un ejemplo de material que es frecuentemente objeto de impurificación. La metalización en integrados se realiza tanto para hacer contactos al semiconductor como para transportar la corriente de un dispositivo a otro del circuito integrado, formando las denominadas pistas conductoras. Las metalizaciones ocupan alrededor del 60% del área de un chip y por lo tanto tienen una influencia esencial en todos los aspectos relacionados con la reducción del tamaño de los chips. Del mismo modo, la mayor parte de los fallos detectados en los circuitos integrados se debe a las metalizaciones. Para mejorar las prestaciones de éstas, los metales empleados se impurifican para mejorar sus propiedades, estas impurificaciones dependen del uso y del problema a resolver. ♠ Materiales para contactos óhmicos
Los contactos de tipo óhmico son aquellos contactos metalsemiconductor que presentan la menor resistencia posible al paso de corriente. Sin embargo lo reducido de los modernos componentes hace que la resistencia de contacto no sea tan despreciable. El material inicialmente usado para contactos fue el aluminio, pero este material presenta el problema que se disuelve parcialmente en el silicio con el que entra en contacto produciendo efectos muy adversos: cortocircuitos. Estos problemas se pueden paliar en parte si en vez de depositar aluminio puro se deposita una aleación sobresaturada de Si(2%) con lo que se evita el efecto anterior. ♠ Materiales para pistas conductoras
La corriente que circula por las pistas conductoras de un circuito integrado es baja. Sin embargo, debido a su pequeña sección transversal, la densidad de la misma puede alcanzar valores de hasta 10 6 amperios/cm 2. Un problema muy grande que destruye muchas pistas conductoras es la electromigración. Este efecto se produce cuando la densidad de corriente es tan elevada que un número relativamente grande de átomos es desplazado de su posición de equilibrio por choques con los electrones que transportan la corriente. FISICA ELECTRONICA
16
MODULO VI
Como consecuencia de este proceso, hay lugares que quedan desprovistos de átomos del material conductor produciéndose un circuito abierto que impide la posterior circulación de corriente. Estos átomos desplazados pueden acumularse en otras zonas de la pista conductora, la que aumenta de tamaño pudiendo llegar a contactar una línea conductora cercana con lo que se produce un cortocircuito. Las líneas de interconexión fabricadas con aluminio del tipo Si(2%)Al son bastante sensibles a los fenómenos de electromigración. Sin embargo la adición de pequeñas cantidades de cobre mejora mucho las propiedades frente a este problema. Esto es debido, al parecer, a que los átomos de cobre se colocan en las juntas de grano de los policristales del material conductor evitando la difusión de átomos a lo largo de la pista conductora.
Impurezas en aisladores. En la banda prohibida de un material, sea cristalino o no, aparecen niveles debido a imperfecciones de diverso tipo, tales como dislocaciones, átomos de impurezas extraños, átomos del material en exceso o defecto, estructuras en forma de mosaico, etc. Tengamos en cuenta que estos niveles en un aislador son muy pocos y por lo tanto no alteran la posición energética del nivel de Fermi, el cual se encuentra aproximadamente en el centro de la banda prohibida. Estos niveles en cuanto a sus efectos son totalmente equivalentes a los de impurezas; por este motivo hablaremos indistintamente de ambos. Estos niveles aparecen distribuidos en todo el Gap, obviamente, algunos más cerca de la banda de conducción y otros más cerca de la banda de valencia, según sea su origen. En particular, los niveles provenientes de dislocaciones dislocaciones y otros defectos de la red aparecerán cerca de la banda de conducción. En general en los aisladores podemos encontrarnos con dos tipos de niveles: los indeseables y los que pueden ser incorporadas a éstos para obtener propiedades específicas. Existen diferencias en el origen y la ubicación energética de estos niveles en el aislador según sea el tipo de enlace molecular y/o su estructura cristalina, a saber: iónicos las imperfecciones de la red provienen del ♦ En cristales iónicos exceso o defecto de iones y/o electrones. Podemos citar, por ejemplo: átomos intersticiales, impurezas de valencia en exceso o defecto, etc.
O.VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
amorfos, en general, los niveles indeseables que ♦ En materiales amorfos,
suelen ser producto del proceso de fabricación del material, comprenden una larga variedad de defectos que han sido ya enumerados. En general, éstos generan niveles en la banda prohibida cercanos a la banda de conducción, hasta 1eV por debajo de ella. Energía de los electrones banda de conducción
≈1eV 1eV
Eg ≈ 5 eV
Estos niveles son equivalentes a los niveles de impurezas de un semiconductor tipo n, excepto que se encuentran en menor cantidad A temperatura ambiente unos pocos electrones de impurezas se encuentran en la banda de conducción pudiendo desplazarse por todo el material. Éstos son los causantes del campo interno de los dieléctricos así como de su calentamiento al operar en alta frecuencia. Se puede decir que son en gran medida determinantes del proceso de ruptura dieléctrica.
banda de valencia
!
Nota:
En los componentes electrónicos, el SiO 2 es usado como aislador. Durante el proceso de fabricación de estos dispositivos es inevitable la aparición de impurezas en el óxido, óxido, - iones de K+ y P + -, como así cargas positivas y negativas atrapadas en el óxido, las cuales afectan el funcionamiento de los dispositivos. Un tratamiento más extenso del tema se realizará más adelante. !
Nota:
En algunos cristales preciosos las impurezas son responsables del color de la gema. Por ejemplo, el corindón puro (Al 2O3) debería ser transparente, pero el rubí (que es Al 2O3 con algunas impurezas de cromo) es de color rojo. Esto es debido a una fuerte absorción de la región verde del espectro por los átomos de cromo.
FISICA ELECTRONICA
18
MODULO VI
Energía de los electrones banda de conducción ≈1eV
≈1eV
banda de conducción
♦ En alguno de ellos se introducen impurezas que logran que el salto de los electrones de una banda a la otra se realice a través de determinados niveles específicos que hacen a la aplicación.
Éste es el caso de un láser, un cristal de centelleo. Este último se esquematiza en la figura.
Partículas en el sólido cristalino. Existen partículas de singular importancia dentro del sólido cristalino que intervienen en muchos de los procesos físicos internos. Estas partículas están caracterizadas por la cuantificación de la energía por lo que su naturaleza es cuántica. grupos:
Como una alternativa de clasificación podemos dividirlas en dos Las que poseen carga y las que no. ♦ Las partículas que transportan carga son:
el electrón de conducción el electrón de valencia el hueco Si bien parecería que nos referirnos al electrón con distintos nombres, hay que tener en cuenta que éste, al estar sometido a la interacción con la red, reacciona en forma distinta frente a una misma acción externa. Empleando las leyes de la dinámica es fácil corroborar esta afirmación. Si:
F m = - -- - - - - - a
Entonces, frente a la aplicación de una misma fuerza F , a será distinta según en qué banda se encuentre o qué carga tenga:
O.VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
masa
carga
me m* c m*v mh
− e −e − e
electrón libre electrón de conducción electrón de valencia hueco
con : me < m*c < m*v =mh
+e
⇒ actuarán como partículas de distinta masa y/o carga
A éstas las analizaremos en profundidad más adelante. ♦ Las partículas no cargadas que transportan energía-momento son:
el fotón el fonón el plasmón interacción fotón fotón
electromagnética
asociada a
energía
momento
emisión por decaimiento electrónico
E = h ν
p = h ν /c
E = h ν
p = h ν /v con v << c
fonón fonón
mecánica
vibración vibración de la red
plasmón
mecánica
vibración vibración colectiva de electrones o huecos
E = h ν
Analicemos la variedad de estas últimas: ♣ Fotón.
Es la partícula asociada a una radiación electromagnética. Su energía
E = h ν está determinada por la frecuencia de la radiación.
Su momento
p = h ν / c es muy débil.
Su masa
m = E / c2 es despreciable dentro del sólido. (c: velocidad de la luz )
Los fotones transportan energía de un lugar a otro del cristal. Un fotón nace, por ejemplo, cuando un electrón y un hueco se constituyen en un FISICA ELECTRONICA
20
MODULO VI
enlace o se recombinan transportando recombinan transportando la energía que el electrón perdió al caer en ese pozo de potencial. El fotón muere cuando impacta sobre un electrón cediéndole energía suficiente para separarse del separarse del hueco, rompiendo el enlace. ♣ Fonón
El fonón es la partícula asociada a una vibración mecánica de la estructura cristalina. La onda de vibración mecánica se propaga y su energía esta cuantificada y asociada a la frecuencia de vibración. La energía de esta onda puede variar dentro de amplios límites, por lo cual la frecuencia asociada abarca un espectro amplio de posibilidades. Existen así así fonones sónicos y ópticos, ópticos, según que la frecuencia varíe desde valores audibles, hasta valores correspondientes a las frecuencias lumínicas. De todos modos cualesquiera sea su frecuencia, la vibración es mecánica y no de carácter electromagnético, electromagnético , vibrando la estructura cristalina . La energía
E = h ν (como partícula cuántica )
El momento p = h ν / v = h / λ , toda onda que que viaja a la velocidad v .
siendo
λ = v / ν ,como en
Para una misma frecuencia, - o misma energía-, se observa que el momento del fonón es muy superior al al del fotón, ya ya que v << c, por lo cual resulta : λfonón << λfotón
y el momento
pfonón >> pfotón.
El concepto de temperatura esta íntimamente ligado a la existencia de fonones. Su número aumenta al aumentar la temperatura. Al chocar un fonón contra un electrón que forma un enlace le transfiere no sólo energía sino también cantidad de movimiento. De esta forma libera al electrón dejando un hueco . Si se unen un electrón y un hueco reconstruyendo un enlace, la energía que se desprende determina nuevos f onones. ♣ Plasmón
El plasmón es la partícula asociada a una vibración mecánica colectiva de los electrones o los huecos. La onda de energía mecánica se propaga en el gas de electrones o de huecos. O.VON PAMEL
21
S. MARCHISIO
Su energía esta cuantizada y puede hallarse una frecuencia asociada a ella. Para que un plasmón pueda propagarse, es necesario que la densidad de portadores sea muy grande debido a que la energía pasa de uno a otro por interacción entre ellos. El plasmón es de mayor importancia práctica en los metales donde el número de portadores es del orden de 10 23 electrones / cm 3. Las frecuencias del plasmón en los metales es del orden de las del rango lumínico, pero no debe olvidarse que la naturaleza de la vibración es mecánica.
Efecto de las impurezas en los sólidos amorfos Mediante el agregado de impurezas es posible alterar sustancialmente el comportamiento eléctrico y/o óptico de un material dado; de esta forma un polímero supuestamente aislador puede ser convertido en un conductor o en un semiconductor. No es objetivo de este curso tratar con profundidad todos los posibles efectos de las impurezas en todos los materiales, ni detallar todos los mecanismos físicos por los cuales se produce la conducción eléctrica en éstos. Veamos los casos que consideramos más formativos. Efecto de las impurezas en los polímeros Como sabemos, los polímeros son materiales aislantes, es decir no conducen la corriente eléctrica, y de hecho, tienen aplicaciones como aislantes de cables. A partir del descubrimiento en 1973 que el polímero plilitiancil (SN) es conductor se ha comenzado una intensa investigación en polímeros conductores. Varias son las formas de convertir el material aislante en conductor. Una de ellas es similar a como se convierte el silicio que en estado puro a temperatura ambiente es aislante, en semiconductor, mediante el agregado de pequeñas cantidades de impurezas. Polímeros conductores. Una primera posibilidad de convertir el polímero en conductor consiste en doparlo con átomos o moléculas donadoras de electrones. (dopaje tipo N ).
FISICA ELECTRONICA
22
MODULO VI
En 1977 se descubrió que un polímero muy típico como el poliacetileno aumentaba tremendamente su conductividad eléctrica mediante el agregado de pequeñas cantidades de elementos tales como el iodo, bromo, litio y pentafloruro de arsénico (AsF). La figura muestra cómo la conductividad eléctrica del poliacetileno se puede aumentar hasta en ocho órdenes de magnitud. Otros muchos polímeros conductores han sintetizados desde 1979, destacándose entre ellos el tetrafloruro de polipirriol y varios poliparafetilenos dopados con AsF o metales alcalinos. log σ
+2
(CH(ASF2)x)n
0
La conductividad eléctrica de estos materiales en función de la temperatura se representa en la figura.
( CHIx)n
(CHBrx)n -2
-4
-6 5%
molar 15%
10%
Tc = 0,3 K 10
6
10
5
Grafito +AsF5
El polímero con mayor conductividad eléctrica que se ha desarrollado es el SNBr. Su conductividad se ubica tan sólo dos órdenes de magnitud por debajo del cobre.
(SNb0,4)x Fe
(SN)x 10
4
Si
10 3 10
2
10 10
n-Ge {CH(AsF 6 )0,1}4 {(PPP) (AsF6 )0,4 }4
1
0
En el contacto metalpolímero éste actúa como un semiconductor.
KCP {(PPS)(AsF6)1,45}4 {PPV(AsF5)}4 50
100
150
200
250
300
350
0
T ( K)
Efecto de las impurezas en los vidrios. O.VON PAMEL
23
S. MARCHISIO
El agregado de impurezas a los vidrios altera sus propiedades. Podemos caracterizar algunas de estas modificaciones: Propiedades mecánicas: se puede disminuir la temperatura de reblandecimiento. Los vidrios de cuarzo ( SG ) {silicon glass} presentan fluidez a temperaturas muy altas.
•
Los vidrios tipos fosfosilicatos (PSG) conteniendo una proporción de fósforo entre el 6 y 8% son excelentes aislantes. Éstos permiten obtener, una vez depositados, superficies totalmente planas a temperaturas de 10000C a 11000C. Cuando no es posible alcanzar dichas temperaturas se emplean los vidrios borofosforosilicatos (BPSG) que adquieren fluidez a 8000C. Esta disminución del punto de fluidez permite el uso de estos últimos como recubrimiento de los chips electrónicos al final del proceso. Propiedades ópticas: se pueden modificar las propiedades ópticas de varias formas. Las estudiaremos según el material resultante tenga propiedades ópticas lineales o no lineales.
•
♠ Materiales lineales - Guías de
ondas
El fenómeno de guiar luz a través de un camino no necesariamente recto es conocido hace mas de 100 años y se realiza a través de las guías de ondas. Éstas pueden ser monodimensionales, fibras ópticas o planares. La figura presenta el comportamiento de una fibra óptica, en donde se observa cómo la luz, mediante reflexiones interiores, es guiada en dirección de la fibra.
Indice de refracción 1.49 1.48
Indice de refracción
1.47 .
1.46 .
1.45 60
30
0
30
60
radio de la fibra ( micrones)
radio de la fibra
En su centro, ésta puede presentar un perfil de índice de forma cuadrada que impide que la luz escape. FISICA ELECTRONICA
24
MODULO VI
A partir de la Óptica Geométrica recordamos ♦ los rayos de luz que se propaguen por el interior de una fibra, al incidir sobre una de sus paredes, se reflejarán y/o refractarán según se muestra en el recuadro: n2 sen θ2 = n 1 sen θ1
n1 > n 2
θ1
por lo tanto: sen θ2 = n 1 /n 2 sen θ1
si n 1 > n 2
θ2
siempre habrá refracción si n2 > n 1 habrá refracción sólo para θ2 < θc , donde θc = arc sen n 1 /n2
n2 n1 < n 2
θi
θr
para θi > θc la luz no puede pasar al medio 1, reflejándose en su totalidad.
θc n2
Por lo tanto podemos concluir que dentro de una fibra sólo se propagaran los rayos que incidan con 90 ≥ θi > θc , puesto que los otros, al cabo de un número dado de reflexiones, habrán desaparecido. Esto es porque en cada reflexión también tenemos una refracción que se lleva parte de la intensidad del rayo fuera de la fibra. ♦ Por otra parte es fácil ver que si la fibra se curva, se producirán perdidas por refracción como se observa en la figura:
1
α β
2
como por causa de la curva de radio r : α < β ; si α = θc → β > θc el rayo se refractará en parte según la ley de Snell r
Es fácil ver que cuanto mayor sea r menor será la pérdida por refracción en la fibra óptica. A partir de la Óptica Física recordamos
O.VON PAMEL
25
S. MARCHISIO
♦ para que un rayo de luz de longitud de onda λ pueda propagarse a través de una rendija de diámetro D, debe ser: λ ≤ D
λ
α
D
D.sen α
♦ si el rayo de luz incide según un ángulo α con respecto al eje de la rendija, verá una rendija de diámetro D´ = D.sen α, por lo tanto ahora sólo se podrán propagar longitudes de onda λ tales que λ ≤ D.sen α .
Si la fibra es suficientemente delgada ∼ 1µ de diámetro, solo hay una posibilidad de camino para la luz (colineal con el eje de la fibra) y recibe el nombre de monomodo. La longitud de onda en este ejemplo es de 1 µ = 1000 nm, corresponde al infrarrojo cercano. Recordemos que el visible comprende el intervalo 400 - 800 nm. Para fibras de mayor diámetro los caminos de transmisión aumentan y las fibras reciben el nombre de multimodo. De la óptica cuántica recordemos que: La luz a lo largo de su trayecto pierde intensidad debido a los fenómenos de absorción y dispersión. El parámetro que mide esta perdida es el decibelio dB o decibelio por km dB/km. Un dB es definido como: dB = 10 log I/I0, donde Io es la intensidad que incide en la fibra y I la que sale por el otro extremo. En cuanto a los materiales, actualmente se comercializan: Sílice (SiO2) y los vidrios tipo ¨fluorizanatos¨ ( floruro de metales pesados ). Estos últimos nacen de mezclas tipo ZrF 4-BaF2-LaF3-AlF3-NaF. El corazón de la fibra es obtenido mediante el dopaje con un óxido de boro. La evolución de la atenuación para diferentes vidrios y fibras a lo largo de la historia ha mejorado 108 veces hasta la actualidad, lo cual permite mandar señales luminosas o información en la luz a mas de 100 km sin necesidad de repetidoras. FISICA ELECTRONICA
26
MODULO VI
Materiales tales como Al2S3 o GeO2 presentan mínimos de atenuación en la región de 2 µ → 5µ en donde se colocaran las futuras ventanas ópticas en las comunicaciones. Fibras planares, son aquellas que guían la luz a lo largo de su superficie. La figura muestra una representación esquemática de este tipo de fibras. Su aplicación esta dirigida actualmente hacia la óptica integrada tanto en dispositivos activos como pasivos. Los materiales usados en esta aplicación son cuarzo, Sílice, LiNbO3 y BSO .
n + ∆n
sustrato
Para guiar la luz a través de una pequeña capa delgada cerca de la superficie debe producirse un pequeño aumento del índice de refracción en esa zona. Esto se consigue bien con implantación iónica (He, O,etc.) o mediante tratamientos químicos . En la actualidad se han empezado a usar en guía de ondas planares , materiales semiconductores con estructura de pozo cuántico o super red.
♠ Materiales no lineales :
Son aquellos en los cuales la respuesta del sólido a la luz presenta un comportamiento super lineal. El comportamiento no lineal más conocido es el efecto de inversión de población que da lugar a la emisión láser. Los materiales utilizados como láseres los podemos dividir en materiales dieléctricos o aisladores y semiconductores. La tabla de la página siguiente muestra los láseres sintonizables de matriz dieléctrica, que, como se puede ver, combinan la impureza que emite la radiación con la matriz que los contiene. Con ellos se consigue emisión láser desde el visible hasta infrarrojo (5µ ) . Es importante comentar el uso de los microláseres.
el
Un microláser es una fibra óptica de diámetro 1-2µ (monomodo) que contiene la impureza que emite la radiación luminosa. O.VON PAMEL
27
S. MARCHISIO
Material Ti:saphire CO:M gF CO:KznF Co:KznF Co:KM gF Co:Zn F NiMgF NiKMgF Ni:MgO Ni:CAM GAR Ce:YLF Ce:LaF SM :CaF Ho:YAG Ho:YLF Ho:BaYF Alexandrite Emerald Emerald Cr:ZnW O Cr:ZnW O Cr:GSAG Cr:GGG Cr:LLGG Cr:YSGG Cr:YGG Cr:GSGG Cr:GSGG Cr:GSGG Cr:KZnF V:MgF V:CsCaF Cr:SrAlF 5
rango de operacion 660-986 1520-2280 1650-2280 1700-2260 1600-1740
708.5 745
658-720 729-809 980-1090 735-820
742-842 766-820 785-865 1070-1150 1240-1340 1825-1020
FISICA ELECTRONICA
teperatura de trabajo RT 80K 80K
Estos microláseres pueden ser puestos en marcha con pequeñísimas potencias de bombeo y, se estiman de gran utilidad en las comunicaciones ópticas.
77K 77K 77K 77K >80K 80K <210K 77K 77K RT RT
Los materiales empleados son fibras de sílice con iones de tierras raras y monocristales de LiNbO3 impurificados con Nd.
RT 77K RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT 80K RT
28
MODULO VI
Módulo VII
Los cristales en interacción con el medio ambiente. Parte 1: En estado de equilibrio
Objetivos : Estudiar el comportamiento de los cristales frente al agregado de energía externa de distinto tipo: Energía térmica Energía radiativa Energía mecánica
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
Efectos del agregado de energía exterior al cristal FISICA ELECTRONICA
2
MODULO VII
La cesión de energía exterior al material puede ser debida a diferentes orígenes. Cualquiera sea la forma en que se la provea, el efecto principal sobre la estructura del cristal es la rotura de enlaces. Esto da lugar a la aparición de tantos pares electrón-hueco como enlaces rotos (cargas liberadas) sin que afecte la neutralidad eléctrica del cristal en su conjunto.
Interpretación del incremento de la energía de los huecos y los electrones según el modelo de bandas. Los diagramas de bandas representados en la figura indican energía de los electrones. Cuando se incrementa la energía de un electrón, éste va a una posición superior en el diagrama de bandas.
Energía de los electrones
Ec energía potencial del electrón energía potencial del hueco
Cuando decimos que se incrementa la energía del hueco, lo que esto significa, es que se incrementa la energía de los electrones ligados (de valencia), o lo que es lo mismo, éstos toman posiciones más altas en el diagrama de bandas.
Ev
Energía de los electrones • Energía cinética del Ec electrón
.
Entonces, el incremento de energía de un hueco, se representa por un hueco que se mueve hacia abajo en la banda de valencia. Ev
Es importante que consideremos por último, que el nivel más bajo en la banda de conducción determina la energía del electrón de conducción cuando está en reposo, es decir, su energía potencial; por lo que Ec es el nivel que marca la energía potencial del electrón. En forma análoga, el extremo superior de la banda de valencia Ev representa la energía potencial de un hueco. Energía cinética del ° hueco
O. VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
Si un electrón posee una energía superior al nivel Ec o un hueco posee una energía inferior al nivel electrónico E v, éstos poseen energías cinéticas determinadas por la diferencia entre sus niveles de energías y el extremo de la banda respectivo. Las formas debido a las cuales se les transfiere suficiente energía desde el exterior a los electrones para que se liberen de sus enlaces, e incluso adquieran energía cinética son variadas. Sin embargo, hay dos efectos de gran interés. Ellos son: La cesión de energía térmica, que se manifiesta en el material con ♦ una modificación de su estado térmico. ♦ La cesión de energía luminosa, -de diferentes longitudes de onda-, o efecto producido por radiación electromagnética.
!
Nota :
Estudiar los efectos térmicos significa estudiar cómo se comporta el material a una temperatura dada. No debe confundirse esta idea con el flujo de energía, -llamado calor-, el cual, entregado o cedido por lo que genéricamente podemos llamar sistema, y fuera de los llamados puntos correspondientes a los cambios de estado (sólido, líquido, gas), hace que la temperatura del sistema varíe. En los sólidos, la temperatura es una medida de la energía interna del material. Cuando hablamos de la temperatura en un cristal, ésta es la energía de vibración de los átomos alrededor de sus posiciones de equilibrio. Los mecanismos por los cuales se suministra energía al sólido pueden ser de distinta índole:
!
• Radiación • Conducción • Convección • Calentamiento Joule • Calentamiento por pérdidas dieléctricas a alta frecuencia. • Etc. Nota :
Cuando hablamos de estudiar los efectos de la radiación electromagnética sobre el material, haremos una abstracción teórica, FISICA ELECTRONICA
4
MODULO VII
suponiendo que estamos en una situación en la cual ésta no es capaz de modificar la temperatura del material. De no ser así, estaríamos en presencia del caso anterior.
Efectos térmicos sobre el cristal. Podemos suponer un cristal a temperaturas muy bajas, próximas al
0
0 K.
Sabemos por Termodinámica, que en estas condiciones, la energía promedio de los átomos de la red es mínima.
Energía de los electrones
Los electrones tienden a ocupar, de todos los estados disponibles, aquéllos que tienen mínima energía sin violar el principio de exclusión de Pauli. Así es como los electrones irán tomando aquel estado que corresponda a la menor energía de los que están disponibles.
Ei
A 0 0 K estarán ocupados todos los niveles energéticos permitidos hasta el nivel E 1, quedando vacíos todos los estados permitidos por encima de éste. A temperatura ambiente, la energía promedio de los átomos de la red aumenta. Energía
Éstos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Lo mismo ocurre con los electrones de los enlaces en equilibrio térmico con el cristal.
Estados Estados parcialmente ocupados
En este caso, la ocupación de los estados electrónicos no se efectúa en forma tan ordenada como la vista anteriormente, existiendo niveles energéticos por encima de E1, que pueden permanecer por momentos ocupados.
1,3 eV a 300 0K
Ei
Estados ocupados
T ≅ 0 T > 0 conductor
Es útil considerar la temperatura como un agente externo que introduce una incertidumbre en la energía de cada electrón. O. VON PAMEL
5
S. MARCHISIO
Sin embargo ningún electrón puede violar el principio de exclusión de Pauli y el incremento o disminución de energía puede ocurrir sólo si el estado que el electrón asume se halla originalmente vacío. Esto determina que haya una franja de niveles de energía (para T>00K) que parte del tiempo estén ocupados y parte vacíos. Se puede hallar en promedio el ancho de esta franja de energías para cada temperatura, encontrándose que a T = 300 0K, su valor es 1,3eV.
En un semiconductor, -en el que Eg es en algunos casos bastante menor al electrón voltio-, una variación de la energía de 1,3eV genera en la banda de conducción, -vacía a 0 0K-, un cierto número de portadores.
Energía
Ei
En cambio en caso de un aislante, -con Eg ≥ 2 eV-, el efecto energético de la temperatura no es suficiente para generar portadores en la banda de conducción. AsGa
Si
Ge
En el caso de los conductores, el efecto de la temperatura los hace que los electrones puedan trasladarse a niveles más altos de energía, que estaban vacíos a 0 0K. metal.
En algunos casos puede incluso lograrse extraer electrones del
♠ Efecto termoiónico Emisión de electrones en los metales por efecto térmico Para liberar un electrón de un cuerpo, es decir, para que el electrón sea emitido por la superficie, éste debe tener: • una cantidad de energía suficiente para vencer las fuerzas superficiales que lo ligan al cuerpo. • una velocidad dirigida hacia el exterior.
La agitación térmica da a los electrones movimientos de vibración aleatorios. Para la emisión es necesario considerar sólo aquellos electrones de alta energía cuyas velocidades tengan componente normal a la superficie FISICA ELECTRONICA
6
MODULO VII
dirigidas hacia el exterior; de ahí, que sólo haya algunos electrones en esas condiciones. La cantidad de energía que un electrón debe poseer para que escape de la superficie es E b.
Energía vacío
metal
energía de un electrón en reposo en el vacío E0v
vacío
W Eb = E0v − E0m E1 x energía de un electrón en reposo en el metal E0m
expresa:
Ésta depende del material y del estado de la superficie. La energía suplementaria por sobre la más alta a 00K, (E1 en la figura), que hay que proveer para la emisión, es la llamada trabajo de extracción o función trabajo del material W . Normalmente se
W = E b − E1 siendo
Eb : energía barrera E1 : energía más alta de los electrones a 00K.
La corriente de emisión para una dada superficie unidad, a una determinada temperatura, puede expresarse según la ecuación: I = Ao S T2 e− e W / kT donde suele llamarse b0 =
eW
/ k
e : carga del electrón S : área de la superficie emisora T: temperatura absoluta k : constante de Boltzmann W: función trabajo h : constante de Planck
4 π m e k 2 siendo A0 = -------------h3
Esta ecuación es la llamada de Dusman-Richardson. Con ella puede predecirse la corriente de emisión de todo metal de propiedades conocidas a la temperatura T. Ésta sirve para proyectar dispositivos de emisión termoelectrónica e indica también el límite de corriente impuesto en su funcionamiento. La tabla siguiente muestra los valores de las constantes de emisión para distintos materiales. O. VON PAMEL
7
S. MARCHISIO
Valores de las constantes de emisión para algunos metales Material Carbono Cesio Molibdeno Níquel Platino Tantalio Torio Tungsteno
A0 x104 amp/m2 /grado2 60,2 16,2 60,2 26,8 32,0 60,2 60,2 60,2
b0 54500 21000 49900 32100 61700 47600 39400 52400
Ew eV 4,70 1,81 4,30 5,00 5,32 4,10 3,40 4,52
Punto de fusión 0K .............. 301 2895 1725 2047 3123 2118 3655
Debido a la dependencia entre la temperatura y la corriente emisión, las válvulas electrónicas deben funcionar en un margen temperaturas relativamente limitado, correspondiendo el límite inferior temperaturas a la temperatura que da emisión suficiente y el superior determinado por la temperatura de fusión del material.
de de de es
En la figura se observa la variación de la densidad de emisión en función de la temperatura para el tungsteno en su margen normal de trabajo.
Emisión ( A/ cm2 ) 2,0
1,5
De todo lo anterior podemos deducir que las condiciones que deben reunir los materiales adecuados para funcionar como emisores electrónicos son:
1,0
• conductores de baja función trabajo
0,5
• estabilidad mecánica a altas temperaturas.
0 2400
2500
2600 0
2700
Los materiales de empleo más frecuente en la construcción de cátodos o emisores de válvulas electrónicas se especifican en la tabla siguiente. En ella aparecen sólo los datos más relevantes. Temperatura
FISICA ELECTRONICA
K
8
MODULO VII
Características de los materiales para cátodos usuales A0 x 104
Material
Tungsteno Tungsteno toriado Revestidos de oxidos
b0
Ew eV
60,20 52400 3,00 30500 0,01 11600
Concentración de semiconductores
4,52 2,60 1,00
Rendimiento de emisión mA/Vatio 4 a 20 50 a 100 100 a 10000
electrones
y
Temperatura de trabajo 0 K 2500 a 2600 1900 a 2000 1000 a 1200
huecos
en
• Semiconductores intrínsecos Según hemos visto, se denominan semiconductores intrínsecos a los semiconductores totalmente puros. En éstos, por cada electrón excitado que pasa a la banda de conducción queda un hueco en la banda de valencia. Dicho de otra forma, la concentración n de electrones es igual a la concentración de huecos p . Llamamos a ésta concentración intrínseca del semiconductor ni, pudiendo expresarse que: p = n = ni.
n≥
1019 1018 17 10 1016 1015 1014 1013 1012 11 10 1010 109 108
O. VON PAMEL
portadores /cm3 para el Silicio a 0K entre : T=100 0C y 0 0C ∆n ≅ 1000
1200 900 700 600 500 450 400 350 320 290 265 250
9
De acuerdo a lo ya analizado, la concentración intrínseca es una función de la energía vibracional de la red o temperatura. Por otro lado, ni es función de la energía requerida para romper un enlace, es decir, de Eg. Ambas dependencias fueron corroboradas en forma experimental para distintos semiconductores, concluyéndose S. MARCHISIO
que: ♦ Para un dado semiconductor, n i aumenta rápidamente con el aumento de la temperatura. ♦ Para una dada temperatura n i disminuye bruscamente con el aumento de Eg.
Mediante un análisis minucioso podemos hallar la expresión cuantitativa entre ambas dependencias. ni ∝ e −Ea / kT
Ésta es:
donde Ea la energía de activación aproximadamente igual a
Eg
/ 2
Podemos observar en la figura siguiente cómo se hacen manifiestas estas dependencias. Si quisiéramos dar forma numérica a la proporcionalidad que expresamos sería necesario recurrir a la función de distribución de Fermi Dirac, (ver Anexo)-, con lo que se puede deducir:
-3 ni (cm )
10 18 10 17 10 16 10 15 GaAs
Si
Ge
ni = 2 ( 2 π m k T / h2 ) 3/2 ,
10 14 Eg = 1,4 eV
1,1
0,7
para Eg >> kT
10 13 10 12 10
donde :
11
10 10
0,5
!
1 ,0
1,5
2,0
2 ,5
3,0 3,5 1000 / T( 0 K)
m masa del electrón h la constante de Plank k la constante de Boltzman
Nota :
Debido a que kT a temperatura ambiente es de 8,6. 10-5 eV, (kT<< Eg ), la dependencia de n i con la temperatura proviene del término exponencial. Esta concentración es el resultado del equilibrio dinámico entre pares de electrón y hueco que se crean incesantemente y otros tantos que se recombinan. FISICA ELECTRONICA
10
MODULO VII
Semiconductores extrínsecos Tipo n Según vimos en los semiconductores extrínsecos tipo n, los donantes suministran niveles de energía que están representados como niveles localizados en la banda prohibida. La diferencia de energía entre E g y Ed corresponde a la energía de ionización del electrón adicional del donante, el cual, al ganar esta energía, pasa a la banda de conducción. Esto ocurre para los donantes a temperaturas más bajas que en el caso del semiconductor intrínseco. Aproximadamente a 50 0K prácticamente todos los átomos de impurezas están ionizados con lo que se alcanza lo que se llama ionización completa. Podemos afirmar que dada esta condición, la concentración de electrones n = Nd donde Nd es la concentración de impurezas donantes del cristal. A partir de la temperatura para la cual se produce la ionización completa, Nd es independiente de ella. Podemos ver en la figura la dependencia con la temperatura de la concentración de portadores en un semiconductor extrínseco tipo n. n ( c m -3 ) 3.10
Según la figura vemos que a bajas temperaturas, (región 1), la concentración de electrones n proviene de las impurezas donantes.
Silicio tipo N
16
2.1016 n 1.1016 ni 0 0
100
200 300
400 500 600 T (0K )
pendiente, de la energía de ionización E d.
700
La posición de la curva depende de la concentración de donantes, y su
Una vez ionizados todos los donantes se considera la región 2, donde la concentración de portadores no cambia básicamente. Finalmente a temperaturas más elevadas (región 3) se produce la excitación a través de la banda prohibida. La pendiente en esta región es igual a la de los semiconductores intrínsecos, o sea: Eg / 2k . O. VON PAMEL
11
S. MARCHISIO
La temperatura a la cual la cantidad n = Nd recibe el nombre de temperatura intrínseca. Ésta marca el límite en el cual se pierden las características extrínsecas del material. La siguiente gráfica permite comparar la evolución de n con la temperatura para distintos semiconductores extrínsecos. -3
n (cm )
Silicio y Germanio tipos N
16
3.10
16
2.10
n
Si
16
1.10
Ge
ni
En ella se observan las concentraciones de portadores con la temperatura del Si dopado con arsénico (1,15 e16 átomos/cm 3 ) y del Ge dopado con arsénico ( 7,5.e15 3 atomos/cm ).
0 0
100 200 300 400 500 600 700 T( 0K)
Tipo p. Si analizamos lo que ocurre en el caso en que los átomos de impurezas son aceptantes, las condiciones son similares. Vimos ya que el semiconductor tipo p tiene niveles de impurezas aceptantes dentro de la banda prohibida cerca de la banda de valencia y la magnitud de la energía de ionización de los huecos es del mismo orden que la de los donantes. Si revemos el diagrama de la figura anterior, la concentración de huecos a temperaturas bajas será la que corresponde a las impurezas aceptantes, por lo que: p = Na A temperaturas intermedias (región 2), la concentración de impurezas se hace independiente de la temperatura, puesto que estamos en zona de ionización completa. A temperaturas más altas (región 3), la concentración de portadores, respecto a la temperatura, coincide con la del semiconductor intrínseco. En general tanto impurezas donantes como aceptantes están presentes simultáneamente, por lo que la concentración de los correspondientes portadores mayoritarios va a estar dadas por: n = Nd − Na si Nd > Na FISICA ELECTRONICA
12
MODULO VII
p = Na − Nd si Na > Nd Por último puede adelantarse que la concentración de portadores y su variación con la temperatura resultan elementos de suma importancia en el análisis de la conductividad de un dado material. Veremos esa dependencia en detalle en el estudio del movimiento de portadores. ( Fenómeno de conducción)
Ocupación de los estados electrónicos En los capítulos previos hemos visto que los electrones pueden tener distintos niveles de energía. Para cada nivel de energía existe un número de estados cuánticos que pueden ser llenados por electrones. Estos estados cuánticos pueden estar ocupados o no. Vamos a analizar ahora qué es lo que determina la probabilidad que un estado energético dado esté ocupado o no por un electrón. Dado que las partículas con las que tratamos son de origen cuántico, no se puede describir el fenómeno mediante el empleo de una estadística clásica como es la de Maxwell-Boltzman. (Ver Anexo) En estos casos debemos emplear las estadísticas cuánticas desarrolladas para describirlas. Éstas son las de Bose-Einstein, que se emplea para describir partículas de spin entero, y la de Fermi-Dirac que se emplea para el caso de las partículas que poseen spin semientero. Como nos interesa estudiar la probabilidad de ocupación de estados por electrones (spin ½ ) aplicaremos los resultados de la estadística de Fermi-Dirac. Función de distribución de Fermi-Dirac. La distribución de energías de los electrones en un sólido está determinado por las leyes de la estadística de Fermi-Dirac. Su principal resultado nos da la probabilidad de que un estado electrónico de energía E esté ocupado por un electrón, siendo:
O. VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
1 f ( E ) = -----------------------
1 + e ( E − Ef ) / k T
E : nivel de energía considerado k : constante de Boltzman T : temperatura absoluta Ef : Nivel de Fermi
Para nuestro propósito es importante notar que el nivel de Fermi es la energía a la cual la probabilidad de ocupación de un estado energético por un electrón es exactamente igual a ½ para cualquier temperatura, según se desprende de la función de distribución f ( E ) . Ésta se representa en la figura para el caso de un semiconductor intrínseco.
E
En la parte izquierda de la misma mostramos la probabilidad de ocupación de estados de los electrones como una función de la energía de los estados.
½
1
Ec Ef
•
•
Ev
°
°
En la banda de conducción hay gran número de estados. Sin embargo, la probabilidad de ocupación de estados por los electrones es pequeña, por esto habrá muy pocos electrones en la banda de conducción
f(E)
Por otro lado hay también gran número de estados en la banda de valencia. Muchos de ellos están ocupados por electrones, por lo que la probabilidad de ocupación de estados es aproximadamente la unidad. Vemos además (a la derecha de la figura) que habrá muy pocos estados electrónicos no ocupados, es decir pocos huecos en la banda de valencia. La función de distribución de Fermi-Dirac es simétrica alrededor del nivel de Fermi Ef . De esta forma si el número de estados energéticos en la banda de valencia y conducción es el mismo, y si el número de electrones en la banda de valencia es el mismo también, el nivel de Fermi debe estar localizado en el medio de la banda denominada prohibida. En realidad la ubicación es algo por debajo del medio debido a que el hueco tiene una masa mayor que el electrón de conducción. Esto es lo que ocurre en un semiconductor intrínseco. Generalmente en el caso de un intrínseco nos referimos al nivel de Fermi como nivel de Fermi intrínseco simbolizándolo como Ei. FISICA ELECTRONICA
14
MODULO VII
En un semiconductor tipo n, la concentración de electrones en la banda de conducción es mayor que en el caso del intrínseco.
E
••••• Ef
½
1
f(E)
E
•
°°°°°
Ef
Sin embargo, ya que la densidad de estados de energía en la banda de conducción es la misma que en el caso de intrínseco, podemos deducir que en un semiconductor tipo n, el nivel de Fermi, y con él, la función de distribución de Fermi-Dirac completa, estará corrida hacia arriba en el dibujo de bandas de energía. Por otro lado en un semiconductor tipo p tanto el nivel de Fermi como la función de distribución se verán corridos hacia abajo.
Para energías del orden de algunos kT por encima del nivel de Fermi (Ef ) , (por ejemplo : Ef + 3kT), la distribución de Fermi-Dirac puede aproximarse mediante la simple fórmula : ½
1 f(E)
f (E)= e−(E − Ef )/ kT
para E > Ef .
Si contemplamos el caso de energías algunos kT por debajo del nivel de Fermi , podemos aproximar f (E) por : f (E)= 1 − e−( Ef − E ) / kT
!
para E < Ef .
Nota 1.
Estas expresiones aproximadas podrían haberse deducido a partir del empleo de la estadística de Boltzman. Por lo que podemos afirmar que la estadística de Boltzman provee una buena aproximación de la de Fermi -Dirac para energías de algunos kT alejados de Ef . !
Nota 2
O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
Si Nc es la densidad de estados efectivos en el borde inferior de la banda de conducción, el número de electrones que ocupa esos estados a una temperatura T se puede calcular como Ec
N ( Ec ) = ∫ Nc f (E) δE 0
!
Nota 3
De la misma forma que f (E) indica la probabilidad de que un estado cuántico esté ocupado por un electrón, podemos analizar 1 − f (E) que representara la probabilidad que un estado cuántico no este ocupado por un electrón. Esto, en la banda de valencia, significa que un estado cuántico esté ocupado por un hueco. En forma matemática se puede expresar esta probabilidad como: 1 1 − f (E) = ---------------------1 + e ( Ef − E ) / kT Esta situación queda claramente evidenciada en la figura donde se ha superpuesto, esquemáticamente, la función f sobre los niveles que constituyen los límites de las bandas de conducción, prohibida y de valencia.
cantidad de electrones libres
Ec cantidad de huecos
E f cantidad de electrones ligados
Ev
Comparando las funciones f (E) y 1 − f (E) se llega a la conclusión de que ambas pueden expresarse por una sola curva, como se hizo en la figura anterior. Por ello en un semiconductor intrínseco, -con igual número de electrones libres que de huecos-, el nivel de Fermi debe encontrase situado muy próximo al medio del salto de energía. FISICA ELECTRONICA
16
MODULO VII
!
Nota 4
La energía de Fermi (Ef ) puede ser considerada como el equivalente al centro de masa energético entre los electrones y los huecos. Así bastará poder describir el movimiento de uno de ellos para obtener automáticamente el del otro. Variación de la posición energética del nivel de Fermi con la temperatura En los semiconductores extrínsecos hemos visto que: A bajas temperaturas el nivel de Fermi se encuentra situado entre los niveles de impurezas y la respectiva banda. (De conducción para los N y de valencia para los P) . Recordemos además que para temperaturas mayores que la temperatura del semiconductor que denominamos intrínseco, básicamente desaparecen las diferencias entre materiales extrínsecos e intrínsecos, comportándose todos como si fueran intrínsecos. Por lo tanto a altas temperaturas el nivel de Fermi del extrínseco debiera ser el mismo que el del intrínseco. Por lo que podemos concluir que: A medida que aumente la temperatura, el nivel de Fermi del extrínseco se moverá desde su posición inicial hasta alcanzar el nivel correspondiente al intrínseco. E Ec EF Ei
En la figura se esquematiza esta variación para un material N, en la que por simplicidad se ha omitido la disminución que sufre Eg con el aumento de la temperatura
T
En la figura se grafica cómo varia el nivel de Fermi para materiales N y P con la temperatura para distintas concentraciones de impurezas.
O. VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
N i = 1 0 12
E F - E i ( e V )
0 ,6 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 -0,2 -0,4 -0,6
N i = 1 016
N i = 1 0 18 Ec
N Ei P Ev
150
300
450
600
T(0K )
NOTA : convención de dibujo para las gráficas De ahora en más, cuando se dibujan niveles de Fermi y niveles de impureza, a menos que se indique explícitamente lo contrario, la posición relativa de éstos será la correspondiente a bajas temperaturas.
Semiconductores en equilibrio con el medio ambiente Concentración de electrones y de huecos. Sobre la base de la Mecánica Cuántica se puede determinar el número de estados energéticos de las bandas de valencia y de conducción por centímetro cúbico Nv y Nc respectivamente. A éstos se los llama densidad efectiva de estados en las bandas de valencia y conducción y ambos son proporcionales a T 3/2 . Los valores para el Ge, Si, AsGa, y SiO 2 se pueden observar en la siguiente tabla. FISICA ELECTRONICA
18
MODULO VII
peso atómico o molecular átomos/cm3 o moleculas/cm3 estructura del cristal
Ge 72,60
Si 28,09
AsGa 114,63
SiO 2 60,08
4,42 x 10 22
5 x 10 22
2,21 x10 22
2,3 x10 22
Diamantina 8 átomos por celda unitaria
Diamantina 8 átomos por celda unitaria
Zinc-Blenda 8 átomos por celda unitaria
Red aleatoria tetragonal de SiO 4 50% coovalente 50% iónica
cte. de la red cristalina (A 0) densidad (g / cm3) salto de energía (E g) (eV)
5,56
5,44
5,65
------------
5,32
2,33
5,32
2,27
1,67
1,11
1,40
8
1,44 x 10 19
2,08 x 10 19
7 x 1018
------------
6 x 10 18
1,04 x 10 17
4,7 x 10 17
--------------
densidad efectiva de estados
banda de cond. N c ( cm 3 ) banda de val. N v ( cm -3 )
Por otro lado vimos que se puede evaluar la probabilidad de ocupación de estos estados cuánticos por electrones a partir de la función de distribución f(E). Con estos elementos podemos calcular las concentraciones de electrones y huecos dentro del semiconductor. El producto Nc..f (E)E=Ec representará la concentración de electrones n en la banda de conducción. Por lo que:
n = Nc e − ( Ec − Ef ) / kT
Análogamente se puede evaluar la concentración de huecos p en la banda de valencia, siendo: p = Nv e − ( Ef − Ev ) / kT Estas ecuaciones, en concordancia con lo expresado en la sección ♦ previa, muestran que: • cuando el nivel de Fermi se encuentra próximo al borde de la banda de conducción E c, la concentración de electrones aumenta y decrece la de huecos. • Cuando Ef esta próximo al borde de la banda de valencia E v , la concentración de electrones decrece y la de huecos aumenta. O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
A partir de estas mismas ecuaciones pueden obtenerse las concentraciones de electrones y huecos en función de la concentración intrínseca, y el nivel de Fermi intrínseco, siendo: n = ni e ( Ef − Ei ) / kT p = ni e ( Ei − Ef ) / kT donde :
Ei = ½ ( Ec + Ev ) + ½ kT ln ( Nv / Nc )
El nivel de Fermi intrínseco está de esta forma ubicado en las proximidades de la mitad de la banda prohibida, desplazada solamente por un término que es normalmente de pequeño valor. Debido a esto, para muchos propósitos, vamos a aproximar considerando que el nivel de Fermi intrínseco esta en el medio o en la mitad de la banda prohibida.
Condición de equilibrio térmico. A partir de las expresiones que nos dan las concentraciones de electrones y huecos se hace evidente que su producto es independiente del nivel de Fermi. Concluimos entonces que el producto n.p es independiente del tipo de semiconductor, así como de la concentración de huecos y electrones individualmente. p.n = ni2 = Nc Nv e − Eg / kT En el equilibrio térmico, la generación y recombinación de pares electrón hueco se hallan balanceados y el producto n.p = n i2 se mantiene constante aun cuando los portadores no sean los mismos en dos instantes diferentes. De esa forma podemos emplear la constancia del producto n.p como un criterio de equilibrio en semiconductores. Se puede corroborar, de la observación de la ecuación de equilibrio, la dependencia exponencial de la concentración de portadores del intrínseco con la temperatura, tal cual lo habíamos visto como un resultado experimental. Es importante notar sin embargo, que la real dependencia con la temperatura es algo más fuerte debido a que N c y Nv varían como vimos con T3/2.
FISICA ELECTRONICA
20
MODULO VII
Efectos radiativos sobre el cristal Rotura de enlaces por radiación electromagnética. Para entender el comportamiento de los electrones en la estructura de la materia frente a la incidencia de radiación electromagnética, es necesario considerar la luz (visible o no) como paquetes cuantizados de energía. Estos fotones poseen, como hemos visto, una energía: Efoton = h ν = h c / λ . La absorción de la luz puede interpretarse ahora como un proceso de colisión Al incidir la luz sobre un sólido, los fotones chocan con los electrones de los enlaces y son absorbidos por éstos. Sin embargo, como la energía se conserva durante el proceso, la energía inicial del electrón de enlace (Ei ) sumada a la energía del fotón incidente, debe ser igual a la energía final del electrón. Esta condición puede sintetizarse como:
Efinal = Einicial + h c / λ .
Sin embargo no todas las transiciones electrónicas son posibles, puesto que las energías E i y Ef deben ser compatibles con el espectro electrónico y el principio de exclusión. Por lo tanto: • Ei debe ser la energía de un estado en una banda permitida y ocupada inicialmente por un electrón. • Ef debe ser la energía de un estado en una banda permitida e inicialmente vacío.
estados vacíos
Ef
El proceso de absorción de radiación electromagnética se ilustra en la figura para un semiconductor puro a 0 0K.
•
Podemos considerar este proceso desde un ángulo un poco distinto.
hc/ λ E
Fermi
estados Ei ocupados
•
O. VON PAMEL
+ fotón
=
°
Para que la radiación de longitud de onda λ pueda ser absorbida por un determinado sólido 21
S. MARCHISIO
es necesario que haya: un estado Ef permitido y vacío , y un estado Ei permitido y ocupado , y que la diferencia Ef - Ei sea igual a la energía del fotón incidente. Si analizamos en especial que ocurre para los distintos diagramas de bandas ya vistos, podemos concluir que : 0
estados vacios a 0 K
Eg1 Ef
Ef hc / λ
Eg2 Ei
en el caso de los ♦ metales , cualquiera sea el valor de λ siempre podemos encontrar Ei y Ef que satisfacen la condición necesaria.
♦ En el caso de los semiconductores y aislantes, Eg1 > Eg2 > hc / λ para valores de la longitud de 0 estados ocupados a 0 K onda tales que la energía del fotón es menor que el ancho de la banda prohibida Eg , la condición requerida no puede ser satisfecha.
Una determinada radiación podrá ser absorbida en el semiconductor o en el aislante si: h c / λ ≥ Eg .
Respuesta espectral El valor λc correspondiente al signo igual de la fórmula anterior determina la longitud de onda de corte o umbral de longitud de onda larga: λc = h c / Eg = 1,24 / Eg ( eV) ( µm )
Que obviamente dependerá de cada material. En el Ge
→ Eg = 0,67 eV
→ λc = 1,73 µm
En el Si
→ Eg = 1,1 eV
→ λc = 1,13 µm
En el
AsGa
→ Eg = 1,3 eV
→ λc = 0,903 µm
En el
PGa
→ Eg = 1,8 eV
→ λc = 0,700 µm
Las curvas de sensibilidad espectral para el Si y el Ge se dibujan en la figura siguiente:
FISICA ELECTRONICA
22
MODULO VII
respuesta relativa (%) 100 visible
Estas curvas de sensibilidad son de forma similar a las de los metales.
infrarrojo
75
Obsérvese que el límite de longitud de onda larga es ligeramente superior a 25 los valores de λc calculados debido a las 0 de 0.5 0.9 1.13 1.7 λ(µm) excitaciones impurezas. Conforme la longitud de onda disminuye ( λ < λc , o , f > f c ), aumenta la respuesta y alcanza el máximo. 50
Un aspecto interesante que hace a la radiación electromagnética sobre los conductores es la fotoemisión. Fotoemisión en conductores. Debemos considerar a este efecto en forma similar al visto como emisión termoiónica , ya que en ambos casos se logra liberar electrones mediante el agregado de energía exterior. (excitación)
E
metal
K X
W
En este caso debemos tener presente lo ya visto en el efecto fotoeléctrico.
Si el cuanto de energía transportado es igual o mayor que la función trabajo de una superficie, entonces el fotón puede incidir sobre un átomo de dicha superficie y producir la emisión de un electrón. El fotón es absorbido si su energía era mayor que la función trabajo. El exceso de energía aparece en forma de energía cinética del electrón emitido. Esto puede sintetizarse como: h ν = e W + ½ m v2 Esta ecuación dice que la energía del fotón incidente se transfiere al electrón en dos formas, una, ew, para vencer la función de trabajo y otra, como energía cinética que adquiere el electrón después de la emisión.
O. VON PAMEL
23
S. MARCHISIO
Cada fotón no produce la emisión de un electrón, sino que muchos fotones son reflejados por la superficie. Como eW tiene un valor determinado para cada superficie, se deduce que hay un valor mínimo de energía del fotón. O sea, una frecuencia limite ν0 (umbral de frecuencia fotoeléctrica), por debajo dela cual no hay emisión. Así : ν0 = e W / h y para radiación excitadora de esta frecuencia la corriente de emisión se hace cero. construcción de un tubo fotoelectrónico típico
Esto proporciona un método de medida de las funciones trabajo de diversos materiales, midiendo el umbral de frecuencia fotoelectrónica. Se pueden obtener valores concordantes con los termoiónicos en superficies muy limpias.
Luz
Las sustancias de baja función trabajo son las mejores para cátodos fotoelectrónicos:
Así, el cesio, el potasio, el rubidio, el sodio, el litio, combinados con capas de oxígeno o hidrógeno, permiten elegir las frecuencias de trabajo, o las longitudes de onda, a
Cátodo Anodo
lo largo de todo el espectro visible.
Concentración adicional de electrones y huecos en un semiconductor por excitación luminosa. El análisis de la variación de la concentración de portadores en este caso puede sintetizarse a partir de la figura. En ella se muestra el diagrama de energías de un semiconductor con impurezas aceptantes y donantes. Si esta muestra se ilumina con fotones de suficiente energía, son posibles las transiciones siguientes:
FISICA ELECTRONICA
24
MODULO VII
Puede crearse un par electrón-hueco por un fotón de alta energía lo • que se denomina excitación intrínseca • Un fotón puede excitar un electrón donante a la banda de banda de conduccion conducción. nivel donante
ED
EA
nivel aceptante
banda de valencia
!
Un fotón puede excitar un • electrón de valencia a un estado aceptante. Las dos últimas transiciones se denominan transiciones de impurezas. El aumento en la concentración de portadores es debido principalmente a la excitación extrínseca.
Nota : Obsérvese que estos casos en menor medida también son posibles:
b a n d a d e c o n du c c i on
Ed
En la figura se agregó un nivel de impurezas en el centro de la banda E i.
Ei
Observe que las transiciones que comienzan en E a suponen que este estado este ocupado y E d y Ei vacíos.
Ea
Suposición análoga transición Ei, Ed
ba nd a d e v a l e n c i a
para
la
Las transiciones que comienzan en la banda de valencia y terminan en Ei y Ed suponen que estos están vacíos.
!
Nota
En todos los casos analizados se debe cumplir que las reglas de selección cuánticas permitan las transiciones entre estos estados. ( Las
O. VON PAMEL
25
S. MARCHISIO
condiciones anteriores son necesarias y con esta ultima se convierten en suficientes) !
Nota
Observe que lo dicho para semiconductores es extrapolable a aislantes si uno toma las precauciones del caso (inexistencia de estados aceptantes, y Eg mayor) !
Nota :
A las transiciones intrínsecas también se las denominan efecto termoiónico interno o efecto fotoiónico interno. Según el origen de la transición sea térmico o lumínico. !
Nota : Comparemos los distintos efectos:
Fenomenos Fenomen os term termicos icos efecto termoionico conductores prod pr oduc ucee emis em isio ion n de el elec ectr tron ones es se pro produc ducee p por or abs absorc orcion ion de en energ ergia ia interna se pr prod oduc ucee a al altas tas te temp mper eratu aturas ras de dell material e f e c t o f o toe to e l e ctr triico interno semiconductores produce tra nsiciones electronicas banda a banda se pro produc ducee por por abs absorc orcion ion de en energ ergia ia interna se produce a aislantes
temperaturas mayores que Eg
efecto produce
temperatura ambiente foto toeelectr triico interno transiciones electronicas banda a banda absorcion de fotones de energia mayor a Eg temperatura ambiente fotoelectrico interno transiciones electronicas banda a banda a bsorcion de fotones de energia mayor a Eg
se produ ce por
FISICA ELECTRONICA
Fenomenos Fenomen os radiati radiativos vos fotoelectrico emis em isio ion n de el elec ectr tron ones es absorcion de fotones
26
MODULO VII
Recordemos que una fuerza de tipo mecánica aplicada sobre un Efectos de las fuerzas mecánicas material produce en éste una deformación. En el rango elástico del material la deformación de éste (en el sentido de la fuerza) es proporcional a la fuerza aplicada: F = k . ∆x donde : ∆x es la deformación que sufre el material Por lo tanto en lo que sigue hablar de fuerzas o de deformaciones deform aciones será equivalente
Piezoelectricidad El efecto piezoeléctrico fue observado por primera vez por Pierre Jacques Cune, quien al aplicar un peso (deformación) a un cristal de cuarzo detectó una carga eléctrica proporcional en su superficie . Es decir en sus caras surgen cargas eléctricas distintas. Al invertir la deformación se invierte el signo de las cargas. Un año después se demostró el fenómeno contrario: al aplicar una tensión eléctrica al cristal se obtiene un desplazamiento (deformación) proporcional a ésta.
Además : al invertir la polaridad de la tensión aplicada se cambia el sentido del desplazamiento de ésta.
O. VON PAMEL
27
S. MARCHISIO
No toda la materia presenta el fenómeno de piezoelectricidad, sólo los cristales que poseen simetría atómica presentan esta propiedad, pues son susceptibles de sufrir un desequilibrio eléctrico.
Z
El efecto piezoeléctrico se produce a lo largo de los ejes eléctricos del cristal X1 , X 2 , X 3, perpendiculares a su eje óptico.
Z X3 X1
El efecto piezoeléctrico se observa en cristales de: cuarzo, turmalita, sal de Rochelle, titanato de
X2
bario, blenda de zinc, entre otros. Explicación cuántica
Cuando deformamos un material, variamos las distancias interatómicas (las reducimos con una compresión y las aumentamos con un estiramiento). El efecto piezoeléctrico se produce en dieléctricos (aisladores), en estos una deformación traerá aparejada una variación de las bandas energéticas como se observa en la figura: E
∆r
r
Ec EF
Si se deforma el material en toda su extensión en forma homogénea, solo se producirá una variación de Eg. Pero si la deformación no es homogénea o si se realiza en solo una parte del material, aparecerá entre distintos puntos del material una variación de las energías EC y Ev, la que traerá aparejada la aparición de una tensión microscópica ∆V
Ev
∆V
FISICA ELECTRONICA
28
MODULO VII
Cristales de cuarzo Los cristales de mayor uso son los cristales de cuarzo (SiO2) . Estos se cortan en laminas o placas de distintas formas y tamaños para darles propiedades determinadas. Al cortar un cristal de cuarzo en bruto siguiendo distintos ángulos según los ejes, se puede obtener una gran variedad de placas con diferentes propiedades de frecuencia y temperatura. Ciertas placas obtenidas con este procedimiento se denominan placas normales y se clasifican en dos grupos X e Y. La dimensión del espesor de las placas del grupo X es normal al eje X (eje eléctrico) del cristal en bruto del cual se obtuvieron. En cambio en el grupo Y la dimensión del espesor es paralela al eje Y (eje mecánico). La denominación de las placas normales es: AT, BT, CT, etc. La frecuencia de resonancia de los cristales depende de las dimensiones de la placa, en combinación con el modo de vibración. El margen de frecuencias de resonancia que se puede obtener es amplio, va desde 400 Hz a 125 m hz. A mayor tamaño de placa menor frecuencia de resonancia. En cuanto al limite superior de frecuencias que se puede obtener, queda limitado por el tamaño más chico que se pueda ser manejado sin que se rompa durante su funcionamiento. Los modos de vibración del cuarzo son: el Flexor, el transversal y el longitudinal. Flexor
El modo flexor consiste en un movimiento de curvatura o en un arqueo.
Longitudinal
O. VON PAMEL
El longitudinal es un movimiento a lo largo de la extensión de la placa partiendo del centro.
29
S. MARCHISIO
El transversal, que es el más complejo, consiste en el desplazamiento de dos planos paralelos de la placa en sentidos opuestos, conservando estos su paralelismo. paralelism o. Transversal
Todos los tipos de vibración se pueden producir en un modo fundamental o en uno armónico. Para cada modo de vibración se pueden trabajar unas frecuencias solamente: Modo flexor Modo longitudinal Modo transversal
0,4 40 100
a a a
100 KHz 15000 KHz 125000 KHz
Una de las características más importantes del cuarzo es su perfecto acoplamiento mecánico que posibilita su uso en circuitos ELECTRONICOS. Los cristales poseen dos frecuencias de resonancia: una en serie y otra en paralelo. L1
C1
R
La frecuencia de resonancia en serie depende de los valores de la autoinducción distribuida (L1 ) y de la capacidad distribuida ( C 1 )
La frecuencia resonante en paralelo, depende de los factores ya mencionados y de la capacidad paralela (C0). C0
La impedancia que presenta el cristal depende del tipo de resonancia: es mínima para la resonancia serie y máxima para la resonancia paralelo.
Fabricación de laminas de cristal de cuarzo Existen dos tipos de cristales de cuarzo: naturales y sintéticos. El cuarzo natural se presenta en vetas y geodas (m asas minerales huecas tapizadas de cristales). El cuarzo sintético se obtiene a partir del crecimiento de cristales, generalmente posee mejor estructura que los naturales, y es el que se emplea en electrónica. FISICA ELECTRONICA
30
MODULO VII
El cristal en bruto deberá ser cortado en laminas. Para ello primero se sitúa el eje óptico (z) de este y se talla una cara paralela a dicho eje, luego se determina el eje eléctrico (x) mediante rayos x. A continuación se deduce el eje mecánico (y) pues se conoce que es perpendicular a los ejes X,Z. Una vez conocidos los ejes el cristal se corta en secciones, que luego se cortan en hojas delgadas a lo largo del eje Z , de modo que la longitud de la hoja que de paralela al eje X o Y . Las hojas se cortan en pequeños cuadros llamados hojas en blanco , y se pulen hasta hallar las dimensiones deseadas mediante un proceso de esmerilado de precisión.
Después de haber sido limpiadas y verificadas, l as hojas en blanco Se graban con una solución química y se les aplica un punto de soldadura de plata en las dos caras opuestas para colocar los terminales conductores. A continuación los Cristal conductores se sueldan en los contactos de plata. Luego el Metalizacion cristal pasa por una calibración de frecuencia y se coloca en un soporte que en general consiste Capsula en un tubo de vidrio cerrado al vacío o en un recipiente metálico Base cerrado herméticamente.
Terminales
El cristal ya montado pasa por una verificación final de frecuencia y se deja envejecer durante un corto periodo de tiempo, pasado el cual queda listo para su empleo en circuitos ELECTRONICOS. Al resultar imposible fabricar cristales totalmente libres de impurezas, la frecuencia de resonancia varia con el tiempo. El proceso de envejecimiento se emplea para determinar la calidad de los cristales, puesto que los cristales deficientes varían de frecuencia mas rápidamente. Aplicaciones del efecto piezoeléctrico Las principales aplicaciones de este efecto son: ♦ Los osciladores de cristal empleados en circuitos ♦ La producción de ultrasonido ♦Transductores (acelerómetros, de fuerzas, de deformaciones, etc.) O. VON PAMEL
31
S. MARCHISIO
MÓDULO VIII La materia en interacción con el medio ambiente Parte 2 : bajo condiciones de no equilibrio
Objetivos :
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
La materia fuera del estado de equilibrio FISICA ELECTRONICA
2
MODULO VIII
Si bien por comodidad analizaremos los semiconductores bajo condiciones de no equilibrio, los principales resultados son aplicables tanto a aislantes como a conductores teniendo en cuenta el apropiado ancho de la banda prohibida.
Semiconductores bajo condiciones de no equilibrio Introducción : En capítulos anteriores analizamos el proceso de generación de pares electrón-hueco en distintos materiales debido a su interacción con el medio ( térmica y luminosa ). Vimos específicamente el aumento de la concentración de portadores debido al agregado de energía radiante. Opuesto al proceso de generación descripto, existe un proceso de recombinación de pares. Éste tiene lugar cuando un electrón de conducción pierde su energía de ionización y cae al nivel del hueco. En el equilibrio, la velocidad de generación (número de enlaces rotos por unidad de volumen y unidad de tiempo) y la velocidad de recombinación de pares se hallan balanceadas. El producto n.p = ni2 se mantiene constante. El equilibrio así logrado, siendo un equilibrio dinámico, es sólo de concentración de portadores, y es constante a pesar que la generación y recombinación continúan incesantemente . Existen, sin embargo, medios para variar esas concentraciones en el semiconductor, resultando en estos casos el producto n.p diferente de n i2. (ya sea incrementando la generación por sobre la recombinación o viceversa ) En este capítulo nos interesa analizar la respuesta de los semiconductores frente a este tipo de perturbaciones. El comportamiento de muchos de los elementos semiconductores queda caracterizado por su tendencia de retorno al equilibrio que se manifiesta por : • la recombinación de portadores , o • la generación de pares O. VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
según sea el tipo de perturbación. Para la descripción del retorno al equilibrio se necesitan examinar ciertas magnitudes: • tiempo de vida de portadores • longitud de difusión • velocidad de recombinación
El proceso a causa del cual se pierde la condición de equilibrio en el semiconductor es el de inyección de portadores. Éste puede adoptar diferentes formas : • iluminación • polarización adecuada de un contacto metálico puntual • fuente de corriente • etc.,
Inyección ( salida del equilibrio ) Si consideramos situaciones de no equilibrio en la cual se viola la condición : n . p = ni2 podemos distinguir dos tipos de desviaciones : cuando n . p > ni2 ♦ hablamos de inyección de portadores en exceso.
© Luz
Una forma de proveer estos portadores se representa en la figura.
material tipo p E
−
♦ cuando n . p < n i2 nos referimos a la extracción de portadores del semiconductor .
+
Niveles de inyección . Podemos hablar de distintos niveles de inyección; esto es: FISICA ELECTRONICA
4
MODULO VIII
• Inyección de bajo nivel • Inyección de alto nivel
Para un dado semiconductor, es posible alcanzar uno u otro nivel de inyección. Conceptualmente, la diferencia entre ambos está relacionada con la magnitud de las correspondientes concentraciones de impurezas en juego. Podemos analizar el significado de lo dicho a través del análisis de lo representado en la figura siguiente. En ésta se considera el caso de un semiconductor de silicio tipo n, pero el análisis es aplicable también a un semiconductor tipo p.
nno
Concentración de portadores n n nn 18 10 pn
1016 10
14
10
12
pn
ni
1010
pno
10
8
10
6
Nd para
Concentración de donantes Nd =1016cm-3 Para el Si a temperatura ambiente ( T ≈ 300 0K ) la concentración intrínseca es : ni = 1010 cm-3 por lo que en condiciones de equilibrio es: el Si n . p = ni2 = 1020 cm-6
0 a T = 300 K
nno , pno concentraciones de electrones y huecos respectivamente en un semiconductor tipo n en equilibrio.
104 2
10 equilibrio inyección inyección bajo alto nivel nivel
nn , pn concentraciones de electrones y huecos en un semiconductor tipo n fuera del equilibrio.
Inyección de bajo nivel Consideremos el caso en el que, de alguna forma, - por ejemplo, iluminando el material -, podamos introducir en el material semiconductor portadores en exceso de ambos tipos en iguales concentraciones, de modo tal de mantener la neutralidad de la carga espacial. Podemos suponer que creamos 10 12 pares electrón-hueco / cm 3 . Esto implica que aumentamos la concentración de electrones y de huecos en 1012 cada una; por lo tanto, si pn0 = 104 , y si nn0 = 1016 , entonces : pn = pn0 + 1012 = 104 + 1012 ≅ 1012 huecos / cm 3 nn = nn0 + 1012 = 1016 + 1012 ≅ 1016 electrones / cm 3 O. VON PAMEL
5
S. MARCHISIO
De esta forma, mientras la magnitud del cambio en la concentración de electrones es la misma que la correspondiente a los huecos: • el cambio relativo en la concentración de electrones, - portadores mayoritarios -, es despreciable, y • el cambio relativo en la concentración de huecos, - portadores minoritarios -, es significativo.
Esta condición, en la que la concentración de portadores en exceso (∆n) es despreciable en comparación con la concentración de dopaje (Nd=1016 cm-3 ), - o lo que es lo mismo ∆n = ∆p << Nd -, corresponde a inyección de bajo nivel . Inyección de alto nivel . En este caso la concentración de portadores inyectados en exceso es comparable (o mayor) que la concentración de iones donantes. En este caso: ∆n = ∆p ≥ N d . De aquí que el cambio relativo en la concentración de portadores mayoritarios sea significativo. Por ej. : si ∆n = 1016 , entonces : pn = pn0 + 1016 = 104 + 1016 ≅ 1 . 1016 nn= nn0 + 1016 = 1016 + 1016 = 2 . 1016 Este tipo de inyección afecta la conductividad del material base . La inyección de alto nivel es importante en la operación de algunos dispositivos semiconductores. A lo largo de este capítulo y mientras no se aclare lo contrario a lo largo de este curso, nos ocuparemos solamente de casos de retorno al equilibrio en bajos niveles de inyección.
Retorno al equilibrio Cuando las concentraciones de portadores se alejan de sus valores de equilibrio, éstas tratarán de alguna forma de retornar a sus valores anteriores. Se pueden distinguir distintos casos:
FISICA ELECTRONICA
6
MODULO VIII
En el caso que ocurra inyección de portadores, ( n . p > ni2 ), el ♦ retorno al equilibrio es a través de la recombinación de los minoritarios inyectados con los mayoritarios. En el caso de extracción de portadores , ( n . p < n i2 ), el retorno ♦ al equilibrio es a través del proceso de generación de pares electrón hueco. Se pueden analizar distintos casos en los que se provocan desequilibrios de concentraciones en el material semiconductor. En éstos se ponen de manifiesto las distintas magnitudes o parámetros que intervienen en la descripción del proceso de retorno al equilibrio. Decaimiento de portadores inyectados - Tiempo de vida Imaginemos una situación experimental en la cual un trozo de semiconductor homogéneo tipo n es iluminado uniformemente. En estas condiciones podemos considerar diferentes casos. En particular suponemos: que la luz es de frecuencia suficiente como para crear pares electrón • hueco en todo el material, que es • luz absorbida uniformemente absorbida uniformemente en todo el volumen de la muestra, x Concentración de portadores minoritar ios
pl
• y que no hay recombinación superficial
τp.G l p n0 x
Durante la iluminación, - a la que suponemos de corta duración -, se habrán creado un cierto número de pares electrón-hueco y este número estará en exceso sobre el característico del equilibrio térmico a la temperatura de la muestra. Al cabo de este proceso las dos concentraciones de portadores se habrán incrementado en cantidades iguales. En la figura anterior se representó el incremento de la concentración de minoritarios debido a la incidencia de luz, el cual, en las condiciones del experimento ha alcanzado el valor p l.
O. VON PAMEL
7
S. MARCHISIO
Al suspenderse la acción de la luz los portadores en exceso se irán recombinando por pares hasta restablecer el equilibrio. Este proceso no es inmediato. Los portadores tienen una cierta vida media antes de recombinarse y un tiempo durante el cual el portador existe antes de recombinarse. pn(t)- pn0 pL - pn0 1.0
0.8
τp = 10 ( unidades arbitrarias )
0.6 0.4 0.2 0
1.0 0.1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t ( unidades arbitrarias )
Así, la concentración de minoritarios decae a medida que transcurre el tiempo. Se asocia entonces un tiempo de vida τp, definido operativamente como el tiempo durante el cual la concentración de portadores minoritarios en exceso decae en 1 / e de su magnitud. La figura anterior muestra la evolución temporal descripta para distintos valores de τp. La expresión que representa la ley de variación encontrada para el decaimiento de la concentración de portadores es : pn( t ) = pn0 + ( pl − pn0 ) e -t / τp
Decaimiento espacial de la concentración de portadores - Longitud de difusión Imaginemos ahora una nueva experiencia empleando un pulso luminoso de corta duración sobre la barra uniforme. Suponemos además que la luz es de una frecuencia tal que su acción sólo afecta en forma superficial al material. Ésta nos permitirá conocer otra característica de la distribución de los minoritarios inyectados.
FISICA ELECTRONICA
8
MODULO VIII
luz incidente no penetrante
→ → →
x Concentración de portadores minoritarios pn (x) pn (0) Fp Fn pn0 x
En vez de iluminar la totalidad de la muestra, lo hacemos sólo en un extremo, de tal forma que la absorción se produce en una capa muy delgada.
Una vez más, después del pulso, hay generación de pares electrónhueco, pero ahora sólo en el extremo donde la luz es absorbida. En las condiciones de baja inyección que estamos considerando no se lleva al sistema muy lejos del equilibrio en ningún punto y los portadores inyectados comparten el movimiento aleatorio (térmico) de la red, al igual que todos los portadores. Aún cuando el movimiento es totalmente aleatorio, habrá más partículas que se alejen del extremo que recibió el pulso de luz respecto de las que provienen del resto de la muestra, debido a que en ese lugar hay inicialmente mayor concentración de portadores. Ocurre así el proceso de difusión que provoca un flujo que depende de la diferencia o gradiente de concentraciones de las partículas. Asociada a este proceso , podemos definir la longitud de difusión (Lp) como el trecho medio recorrido por los portadores antes de recombinarse. Esta longitud es normalmente del orden de 10 -2 cm . p n (x) - p n0 p n (o) - p n0 1.0 0.8
Lp = 100 (unidades arbitrarias )
0.6 0.4
Obsérvese que en este caso hay difusión tanto de mayoritarios como de minoritarios y ambas en igual dirección lo cual genera corrientes opuestas .
10
En la figura se grafica la forma en que decae la concentración 0 de portadores 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x (unidades arbitrarias ) minoritarios inyectados en exceso en función de x, tomando como parámetro la longitud de difusión . 0.2
1
O. VON PAMEL
9
S. MARCHISIO
ley:
Podemos expresar matemáticamente esta dependencia mediante la pn(x) = pn0 + ( pn (0) − pn0 ) e -x / Lp
siendo: pn (0) el valor de la concentración de minoritarios en x = 0 !
Nota : Puede verse la analogía entre las expresiones que dan :
la distribución de minoritarios inyectados en función de x en régimen ♦ permanente (para diferentes Lp ) ♦ el decaimiento de la concentración de minoritarios inyectados en función del tiempo en régimen transitorio ( para distintos τp )
En ambos casos hay una modificación de minoritarios : En el primer ♦ ésta se da en un punto dado del espacio y puede observarse su penetración (régimen estacionario) En el segundo ♦ la modificación se da en un instante de tiempo (régimen temporal ) Con el aumento de x, o con el paso del tiempo se alcanza la concentración de minoritarios en equilibrio. Los parámetros a tener en cuenta son respectivamente Lp y τp. Obviamente ambos conceptos esta íntimamente relacionados.
Efectos de la recombinación superficial . Consideremos ahora una muestra de material semiconductor homogéneo tipo n iluminada uniformemente como en el primer caso analizado, pero ahora sin suspender la iluminación.
luz absorbida uniformemente
↓↓↓↓↓↓↓ x Concentración de los portadores minoritarios pn(x)
Fp Fn
pl
τp Gl pn0 x
FISICA ELECTRONICA
10
Suponemos además que la velocidad de recombinación de los MODULO VIII
portadores inyectados se encuentra incrementada hacia un lado de la muestra como se observa en la figura . Debido a la velocidad de recombinación mayor correspondiente a la superficie x = 0 , la concentración de los portadores minoritarios en exceso será menor en este plano que en el cuerpo del semiconductor . Resulta de esto que los portadores mayoritarios y minoritarios difundirán creando un flujo de cargas hacia la superficie donde se recombinarán. Debido a que los electrones y huecos se recombinan de a pares (uno a uno) , el flujo de huecos hacia la superficie será igual al flujo de electrones. Es por ello que no habrá flujo de corriente neto. Para describir la distribución espacial de los portadores minoritarios inyectados necesitamos considerar diferentes valores para la magnitud velocidad de recombinación en el extremo de la muestra. Si esta fuera próxima a cero, estaríamos en realidad en un caso que da como resultado una concentración de portadores en exceso constante (en régimen permanente) para toda la muestra . Por lo tanto no estaríamos en el caso considerado, es decir mayor recombinación en un extremo. Si la velocidad de recombinación fuera suficientemente elevada (matemáticamente tendiente a infinito), la distribución de los portadores minoritarios en exceso va a variar según sea el valor de la longitud de difusión Lp siendo de todos modos siempre nula en x = 0 y con tendencia creciente, - en forma más o menos lenta según Lp -, hacia el valor que corresponde a la máxima concentración de minoritarios agregados al semiconductor. Recordemos que en esta experiencia no se suspende la iluminación que da la concentración pl
p n (x) - p n0 p L - p n0 Lp = 1 (unidades arbitrarias ) 1 .0 0.8
10
0 .6 0 .4 0.2 0
100 10
20
30
40
50
60
70
80
90
x ( u n i da d es a r bi tr a r ia s )
100
Este análisis puede sintetizarse en la representación de la figura .
Puede encontrarse también la ley que expresa la concentración de minoritarios a lo largo de la muestra, obteniéndose :
O. VON PAMEL
11
S. MARCHISIO
pn (x) = pl − ( pl − pn0 ) e -x / Lp
Cinética del proceso de recombinación . En la sección anterior hemos visto el retorno al equilibrio de la distribución de portadores minoritarios en casos de inyección, analizada para x crecientes o al paso del tiempo. Este retorno al equilibrio depende de un parámetro que caracteriza el proceso de recombinación : 1 / τp . _______ Obsérvese que Lp = √ Dp . τp con Dp : difusividad de huecos. Si, como vimos, el τp representa el tiempo de vida medio en que los portadores en exceso ( p n - pn0 ) permanecen sin recombinarse, la velocidad de retorno al equilibrio, - número de recombinaciones netas por unidad de tiempo ( U ) -, luego de la perturbación, va a depender inversamente de τp y directamente de la cantidad de minoritarios inyectados (p n - pn0 ). Matemáticamente :
U = ( pn - pn0 ) . 1 / τp .
Conviene mencionar aquí que τp depende de ciertos factores físicos tales como la estructura del material y el dopaje. Más adelante vamos a analizar las distintas formas de recombinación, con distinto τp, que tienen lugar debido a estos factores físicos. !
Nota : Hablamos de recombinaciones netas en el sentido siguiente :
♦ Cuando consideramos el total de las recombinaciones tenemos que tener en cuenta:
Las recombinaciones de los portadores generados térmicamente • que corresponden a la condición de equilibrio. Las recombinación de los portadores que fueron generados por • algún otro mecanismo (inyección ), por ejemplo, la luz. En el retorno al equilibrio nos va a interesar analizar las recombinaciones de los portadores generados por sobre los correspondientes al equilibrio térmico; es decir, evaluadas las recombinaciones correspondientes a la generación térmica en equilibrio, las FISICA ELECTRONICA
12
MODULO VIII
vamos a restar del total de las recombinaciones para obtener aquéllas que llamamos netas o de portadores en exceso. Como vimos, la condición de equilibrio ( n.p = n i2 ) proviene de considerar que la velocidad de generación térmica es igual a la de recombinación de los portadores generados térmicamente. En símbolos podemos expresar : G ter = R ter
( en equilibrio )
Debido a esto, para evaluar la velocidad asociada a las recombinaciones netas, debemos considerar: Rtotal − G ter = U Para simplificar la notación, en lo siguiente vamos a considerar que: •
R representa la velocidad del total de las recombinaciones y
•
U la velocidad de recombinación neta o de los pares en exceso.
Distintos casos de recombinación Recombinación banda a banda
Ec
•
•
G
Ev
°
Cuando se recombinan directamente electrones que se encuentran en la banda de conducción con huecos en la banda de valencia hablamos de recombinación banda a banda.
U
Podemos esquematizarla mediante la figura .
°
En este tipo de recombinación el electrón debe perder energía del orden de Eg. Este proceso lleva asociada la emisión de luz o calor. Como vimos, los pares electrón hueco generados por distintos mecanismos no se recombinan instantáneamente. En este caso la velocidad de recombinación dependerá de la concentración de los portadores (mayoritarios y minoritarios). Esto es debido a que para que sea posible la recombinación en estas condiciones, un electrón de conducción debe encontrar un hueco y O. VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
este proceso tendrá lugar con una frecuencia que dependerá del número en que estén presentes unos y otros. Podemos escribir : R = k . nn. pn ≈ k . nn0 . pn
( k constante de proporcionalidad )
En bajos niveles de inyección : n n ≈ nn0 La velocidad de generación térmica en equilibrio (o de recombinación de los portadores generados térmicamente), será proporcional a las concentraciones en equilibrio. Es decir : G = k . nn0 . pn0 Expresando la velocidad de recombinación neta como: U = ( pn - pn0 ) / τp . Como además: Tenemos
U=R-G R - G = k nn0 ( pn - pn0 ) = ( pn - pno ) / τp = U
De donde obtenemos :
τp = 1 / k .nn0
Esto nos indica que el tiempo de vida de los portadores minoritarios en exceso es inversamente proporcional a la concentración de los mayoritarios. Al analizar la expresión recordar que estamos considerando una muestra de material semiconductor tipo n. !
Nota :
Esta forma de recombinación es característica del arseniuro de galio. En el germanio y el silicio este proceso carece de relevancia. Esto se debe a que durante el proceso de preparación de la muestra se introducen impurezas indeseables de oxígeno que hace que el tiempo de vida varíe notablemente debido a la forma de preparación de ésta. Si bien en forma teórica τp sólo depende de n n0 , en la práctica se ve que son importantes tanto la estructura de bandas como las imperfecciones e impurezas, cuyas concentraciones variarán con el método de preparación de la muestra. Consideremos ahora el proceso de recombinación-generación que tiene lugar debido a la acción de tales imperfecciones. Recombinación - Generación a través de centros intermedios.
FISICA ELECTRONICA
14
MODULO VIII
Descripción del mecanismo. Como hemos visto, las imperfecciones dentro del semiconductor pueden modificar la perfecta periodicidad de la estructura cristalina, y como resultado de ello, introducir niveles de energía dentro de la banda prohibida, además de los ya vistos niveles de im purezas donantes y aceptantes. Estos niveles de energía actúan como lugares de paso en la transición de electrones y huecos de una banda a la otra. Debido a que la probabilidad de transición depende del tamaño del salto, las imperfecciones pueden hacer tales transiciones más probables y consecuentemente, pueden ejercer una influencia muy marcada en la disminución del tiempo de vida de los portadores en exceso .
•
Los principales saltos debido a los centros intermedios se esquematizan en la figura.
• •
•
d
a
•
•
° a 1
2 a : antes
d
a
° d
a
3 d: después
d 4
En particular se representa el estado del centro de recombinación antes y después de cada proceso.
Las flechas indican la transición electrónica. centro.
1- es la captura de un electrón de la banda de conducción por un
2- es el proceso inverso, la emisión del electrón desde el centro a la banda de conducción. 3- es la captura de un hueco de la banda de valencia por un centro; (puede ser descripto también como la transición de un electrón desde un centro a la banda de valencia). 4- es la emisión de un hueco desde un centro a la banda de valencia, también descripto como la transición de un electrón de la banda de valencia a un centro, dejando atrás un hueco en la banda de valencia .
Interpretación del tiempo de vida τp en este caso
O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
Podemos hacer una evaluación aproximada del τp en este caso manejando las variables físicas del material que entran en juego. Vimos que la existencia de numerosos centros de recombinación influye en la disminución del tiempo de vida de los portadores. De ahí que, por ejemplo, para que el retorno al equilibrio ocurra en un tiempo pequeño ( τp pequeño), los portadores en exceso deberán encontrar en su recorrido un número importante de centros de recombinación que además posean una cualidad (área de captura) importante. Esta cualidad representa la mayor o menor posibilidad de atracción del centro de recombinación sobre el portador. Además de estas consideraciones acerca de los centros de recombinación, influye en la magnitud τp la velocidad del portador. Si la velocidad térmica que alcanza en su deambular por la red es mayor, el tiempo de vida antes de recombinarse disminuye. Esto nos permite aventurar una expresión de τp que coincide con la encontrada a partir de un análisis más detallado. Resulta así :
1 τp = -----------σp vt Nt
siendo : • σp : el área de captura o la medida de cuán cerca debe llegar el portador para se capturado. • vt : velocidad térmica de los portadores a temperatura ambiente. • Nt : concentración de centros de recombinación.
El centro es el lugar donde se recombinan el electrón y el hueco. Nótese que el tiempo de vida hallado en este caso es independiente de la concentración de electrones. Esto es debido precisamente a que hay una gran abundancia de ellos en el material tipo n, siendo su concentración mucho mayor que la concentración de huecos. Es por ello que podemos considerar que la probabilidad de que un electrón se acerque al centro es mayor que la probabilidad de que lo haga un hueco. Así, si bien un hueco es capturado por un centro intermedio, el electrón será inmediatamente capturado por el mismo centro. La velocidad de recombinación va a depender, por lo dicho, fundamentalmente de la velocidad de captura del minoritario.
FISICA ELECTRONICA
16
MODULO VIII
Efectos de otro tipo de imperfecciones Trampas Existe aún otro efecto que se manifiesta con un tiempo aparente de vida mucho más largo que el descripto.
•
Ec
Et
Ello se debe a imperfecciones llamadas trampas que luz o calor no actúan de la forma Ev ° descripta anteriormente, sino que permiten que el electrón (portador generado en exceso ) en el material p regrese a la banda de conducción antes de recombinarse con el hueco. Er
De esta forma el electrón puede pasar un tiempo considerable ligado a las trampas (Et en la figura) antes de encontrar un centro de recombinación (Er). En este caso, aunque el tiempo total de vida del electrón puede ser de varios minutos, solamente una pequeña fracción de ese tiempo transcurre en la banda de conducción. La diferencia entre las trampas y los centros de recombinación se basa en al alta probabilidad de que los electrones evadan las trampas y pasen a la banda de conducción comparado con la baja probabilidad de que los electrones se recombinen con el hueco. En general existen procesos análogos para los huecos.
Luminiscencia : Fluorescencia y fosforescencia La recombinación de un electrón con un hueco produce luz, a este fenómeno se lo denomina luminiscencia. Desde un punto de vista descriptivo, podemos decir que si el proceso que transcurre entre la creación de un par electrón-hueco y la recombinación del electrón con ese u otro hueco es menor a 10 -3seg., estamos frente a un fenómeno de fluorescencia.
O. VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
Del mismo modo, si el tiempo que transcurre para dicho proceso es mayor que 10-13 seg. diremos que estamos frente a un fenómeno de fosforescencia . Obsérvese que las sustancias fluorescentes, por el tiempo considerado, no presentarán estados trampa en la banda prohibida. Las fosforescentes esencialmente contendrán impurezas tipo trampa. Los compuestos del fósforo se caracterizan por este tipo de estados de ahí el nombre de fosforescentes. Según sea la diferencia energética entre Er y E v , será el color de la luz que emita la sustancia fosforescente. Estados metaestables Existe un tipo de estados de impurezas donde al caer el electrón no puede seguir cayendo hacia la banda de valencia, pero en el que puede permanecer largo tiempo. Se trata de estados metaestables. En el estado metaestable se tiene el mismo momento angular l que en la banda de valencia por lo tanto no pude haber transición al no cumplirse que ∆l = ± 1 (condición necesaria para que exista transición electrónica). Cuando por la cercanía de uno de estos estados, - ocupado ya por un electrón -, pasa un fotón cuya energía sea igual a la diferencia de energías entre el estado metaestable y E v , entonces el electrón decae a E v y el fotón emitido (de igual energía al incidente) tiene la misma dirección que el incidente. El proceso presenta tres etapas : electrón Ec Em
•
•
foton incidente foton emitido
Ev
°
°
°
1
2
3
1- ionización del
2caída del electrón en el estado metaestable 3- el fotón incidente permite el decaimiento
Efecto láser Este efecto se logra en materiales que presentan estados metaestables. Consta de tres procesos :
FISICA ELECTRONICA
18
MODULO VIII
1- inyección de electrones a la banda de conducción por algún mecanismo, por ejemplo mediante luz; 2- inversión de la población: los electrones decaen al estado metaestable quedando fuera del equilibrio. 3- emisión de luz coherente: gran cantidad de electrones decae . emitiendo luz monocromática coherente . Para lograr un haz, se refuerza este efecto a lo largo de un eje en el que en un extremo se coloca un espejo y en el otro un semi espejo. ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
.
. . .
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
. . .
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Cristal con estados metaestables encerrado entre un espejo y un semiespejo. El cristal se excita mediante el agregado de luz exterior Al desexcitarse emite fotones en cualquier dirección. Unos pocos en la dirección del eje óptico espejo-semiespejo , los que . se reflejan sobre este eje. Estos estimulan la emisión en la . dirección del eje óptico reforzan do la intensidad de luz en la dirección del eje óptico. Este proceso se repite continuamente. En un momento dado el haz se hace tan intenso que se lo ve surgir por el semiespejo.
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Un fotón que incida a lo largo del eje óptico provocará la emisión de fotones cuya dirección coincidirá con este eje. Al llegar a un extremo, supongamos el del espejo, el haz se reflejará sobre si mismo y volverá a recorrer el cristal a lo largo del eje mientras sigue incrementando fotones . Al llegar al otro extremo, parte se reflejará y continuará el proceso, y parte saldrá como haz láser.
O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
Cristales centelladores.
banda de conducción estados de impurezas
banda de valencia
En estos cristales hay niveles de impurezas que presentan la característica de que el electrón decae a través de varios saltos entre ellos. Si están energéticamente equiespaciados , la absorción de un fotón de alta energía se traduce en la emisión de varios de energía menor .
Esto permite que un fotón en el rango x, no visible, pueda ser visto indirectamente a través de estas emisiones que se producen en cada salto. Obsérvese que se produce una amplificación del número de fotones absorbido.
Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor Hasta aquí hemos introducido las ideas que fundamentan la dinámica del movimiento de huecos y electrones de conducción en un semiconductor.
FISICA ELECTRONICA
20
MODULO VIII
Vimos en el capítulo anterior el arrastre ( en respuesta a un campo eléctrico ) y completaremos en Éste con la difusión ( resultado natural del movimiento térmico aleatorio cuando no es uniforme la concentración en el espacio ) y recombinación (intento de volver a las concentraciones de equilibrio por ambos tipos de portadores). De hecho, todos estos procesos representan la respuesta del semiconductor cuando se perturba su estado de equilibrio por medios exteriores. Nos interesa ahora conocer cual es la expresión del flujo de cargas en el semiconductor . Si bien ya contamos con algunos resultados importantes de los distintos procesos, en forma separada, éstos se dan, muchas veces, en forma simultánea. Consideramos al semiconductor en dos estados diferentes a saber : • en equilibrio • fuera del equilibrio ( caso de inyección )
Caso del semiconductor en equilibrio ( n . p = n i2 ) Para poder dar la expresión del flujo de portadores en este caso, conociendo los distintos procesos dinámicos, debemos dar una definición. Llamamos flujo F de cualquier especie al número de entes de esa especie que atraviesan la unidad de área en la unidad de tiempo . Se hace evidente a partir de lo expresado que un proceso que tiene lugar en el semiconductor aportará directamente al flujo de portadores si provee un desplazamiento neto por unidad de tiempo . En el caso de un semiconductor en equilibrio los distintos procesos a considerar son : generación de pares por efecto térmico: el efecto fundamental de ♦ la generación sobre el semiconductor es suministrar portadores (despreciando la transferencia de impulso). La generación en sí misma no provee un desplazamiento de cargas en una dirección determinada por lo que no aporta al flujo de portadores en el semiconductor. Recombinación de pares : este caso es opuesto al anterior en ♦ cuanto al efecto que produce sobre al concentración de portadores, pero similar al anterior en cuanto tampoco genera en sí un desplazamiento neto de cargas . O. VON PAMEL
21
S. MARCHISIO
Este proceso por lo tanto no aporta al flujo de portadores en el semiconductor . Difusión: en un semiconductor donde por alguna causa (debido a ♦ los procesos de generación y recombinación o a su estructura), la concentración de portadores no es uniforme. Las cargas, realizando movimientos aleatorios, se desplazan en el sentido de las concentraciones decrecientes. La difusión por tanto sí aporta al flujo que estamos considerando siendo éste proporcional al gradiente de concentraciones . Arrastre ( acción del campo eléctrico ): vimos en el capítulo ♦ anterior cómo un campo eléctrico genera desplazamiento de portadores de uno u otro signo en el semiconductor . El flujo de electrones y huecos resulta proporcional al campo . Como tienen cargas de signos opuestos se mueven en sentido contrario , pero también conducen la corriente en el mismo sentido. si consideramos simultáneamente los dos procesos que proveen al ♠ flujo en el semiconductor, éste será la suma de las componentes de arrastre y difusión . Podemos escribir la densidad de corriente de huecos : ( J p ) como : Jp = q µp p E − q Dp ∂p ∂x y la de electrones :
arrastre
Jn = q µn n E
difusión
+ q Dn ∂n ∂x
Obsérvese que los términos de arrastre en las dos ecuaciones • tienen el mismo signo algebraico porque el campo eléctrico origina corrientes de igual sentido con las partículas cargadas con signos opuestos. En cambio los términos de difusión tienen signos algebraicos • opuestos porque un gradiente dado de concentración haría que los dos tipos de partículas se difundieran en el mismo sentido y por lo tanto transportarían corrientes eléctricas en sentidos opuestos debido a los signos opuestos de las cargas. En el caso de equilibrio que estamos considerando tanto J n como Jp • son idénticamente nulas pues se compensan los términos de arrastre y difusión .
FISICA ELECTRONICA
22
MODULO VIII
Caso del semiconductor en condiciones de inyección en bajo nivel . Vimos que en un semiconductor pueden crearse portadores en exceso, tanto huecos como electrones de conducción por distintos métodos. Las características dinámicas principales de estos portadores en exceso es que son arrastrados por un campo eléctrico, que se difunden alejándose de las regiones de concentración elevada y que desaparecen por recombinación. En este caso también podemos escribir ecuaciones similares a las vistas en el caso de equilibrio, que dan el flujo de cargas en el semiconductor considerando ahora las concentraciones de equilibrio más las generada en exceso donde figuran n y p .
!
Nota :
En el caso del semiconductor fuera de equilibrio la recombinación provee una variación de concentración por unidad de tiempo (velocidad de recombinación neta) y una distribución de portadores no constante en algunos casos a lo largo del eje x. El flujo de portadores que se origina debido a este hecho se produce mediante el mecanismo de difusión . La recombinación en sí misma no provee flujo de portadores en el semiconductor. Los portadores inyectados difunden debido a que existe recombinación que hace disminuir las concentraciones de huecos y electrones; es decir, provee gradiente de concentraciones.
El efecto Thompson en metales y semiconductores . Este efecto es interesante para ilustrar lo anteriormente expuesto. ♦
En metales
O. VON PAMEL
23
S. MARCHISIO
Supongamos una barra metálica que se calienta en forma no uniforme, según se ve en la figura .
distribución de portadores
metal portadores generados térmicament e
fuente de
calor difusión de portadores
Obsérvese la distribución de portadores en exceso así como la corriente de difusión. En la tercer representación en la figura se mantiene la inyección térmica , mientras que en la siguiente, ésta cesa y se produce el retorno al equilibrio.
desaparición del proceso
.
distribución de portadores generados térmicamente
campo externo
♦
arrastre difusión
El efecto Thompson se produce cuando al de inyección . fenómeno térmica le agregamos el arrastre de portadores por parte del campo eléctrico. El campo eléctrico aplicado dará origen a la aparición de una fem. entre los extremos de la barra.
difusión
En semiconductores
FISICA ELECTRONICA
24
MODULO VIII
El proceso será similar excepto que tendremos dos tipos de portadores. Puede observarse en la figura la aparición de la fem.
semiconductor fuente de
calor
banda de conducción creación
de pares
cam po eléctrico externo
−
+
cam po eléctrico externo
− +
O. VON PAMEL
25
S. MARCHISIO
MÓDULO IX El proceso de conducción eléctrica 1ra parte : Conducción eléctrica objetivos:
En el presente módulo se pretende lograr tres objetivos fundamentales : 1º- introducir un modelo de conducción eléctrica en sólidos. 2º- extender este modelo a gases y líquidos 3º- ver ejemplos donde el modelo no rige
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
Contenidos del módulo
El proceso de conducción Introducción : Perturbaciones del movimiento de los electrones en la red Mása eficaz: Centros de dispersión ( o desviación )
Movimiento térmico Movimiento por campo eléctrico Velocidad de arrastre . Movilidad
El proceso de conducción según el diagrama de bandas EXTENSIÓN DEL MODELO A CONDUCTORES Y AISLADORES. Conductores. Aisladores. Validez del modelo
Conducción eléctrica en gases Conducción eléctrica en líquidos Resistividad
Resistividad de un semiconductor Variación de la resistividad con la temperatura Variación de la resistividad con la iluminación Corriente fotoconductiva y resistencia ( L D R )
Difusión Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor Conducción eléctrica en campos magnéticos : Efecto Hall Superconductividad .
Modelo de la molécula de dos electrones:
Alta inyección
Efectos de altas corrientes en los semiconductores
FÍSICA ELECTRÓNICA
2
MÓDULO IX
El proceso de conducción
Introducción : Una de las propiedades que distinguen a un sólido de otro es su posibilidad o no de conducir una corriente eléctr ica. Recordemos que la intensidad de corriente representa la carga transportada por unidad de tiempo a través de una superficie normal a ella (debe existir entonces un desplazamiento neto de cargas en una dirección determinada ). La intensidad dependerá : de
• del número de cargas que puedan moverse libremente y • la velocidad con que lo hagan
Debido a esto , para hablar de intensidad de corriente es necesario que haya cargas ( electrones o huecos ) que puedan alcanzar niveles de energía cinética que estén disponibles. Por ultimo , es importante tener en cuenta que las intensidades son el resultado de los movimientos de muchísimás cargas individuales y no la componente originada por el movimiento de una cualquiera . Vamos a analizar por separado cuales son los posibles cambios en el estado de movimiento de los portadores en el cristal , así como quienes los generan con el objeto de posibilitar la comprensión de su dinámica.
Perturbaciones del movimiento de los electrones en la red Mása eficaz: Podemos describir el comportamiento electrónico del sólido en función de los portadores de corriente tratados como partículas Su movimiento en este caso no es el espacio libre , sino circunscripto al cristal . En el , los átomos de la red forman una serie de valles y montañas que impiden el movimiento libre de los portadores de corriente. O. VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
Las partículas cargadas interaccionan con la red y sus movimientos se verán afectados por la influencia de esta ultima.
Potencial a
W
Distancia
Por esta razón , al ser tratados como partículas dentro del cristal , se les asocia un valor de mása que difiere del de la carga libre .
A esta mása se la llama : mása eficaz ( m* ) En estas condiciones , todos los efectos de los potenciales de la red periódica regular se hallan incluidos por completo en el parámetro m* . La mása eficaz del electrón ( m e* ) es menor que la del hueco ( m h*). De acuerdo a lo dicho puede interpretarse el porque : Para ello recordemos que los huecos deben moverse a nivel de los potenciales de la red , mientras los electrones lo hacen por sobre estos . ( Banda de conducción ) Centros de dispersión ( o desviación ) De acuerdo al ítem. anterior , a partir de considerar el concepto de mása eficaz , se independiza el movimiento de los portadores de los efectos del potencial periódico regular de la red. Los centros de dispersión ( blancos de choque ) que se presentan en la trayectoria del electrón pueden ser de dos clases : a - Imperfecciones locales y transitorias producidas por las vibraciones elásticas de los átomos del cristal. b - Impurezas de átomos extraños al cristal que destruyen el orden de la red periódica. Pasaremos a analizarlas con más detalle : ♣ Vibraciones elásticas: A temperaturas normales , las desviaciones o dispersiones más importantes se deben a deformaciones del cristal asociadas a vibraciones térmicas.
FÍSICA ELECTRÓNICA
4
MÓDULO IX
potencial periodico regular
Potencial a a´
potencial alterado por vibraciones termicas
Los átomos se hallan más separados o más concentrados en una región de lo que lo están en la red periódica ideal.
Estas variaciones alteraran el potencial eléctrico en las proximidades de dichas regiones , y estas diferencias de potencial representan campos eléctricos aplicados sobre ellas que alteran la dirección y magnitud de la velocidad y de la cantidad de movimiento de la partícula cargada. ♣ Dispersión por las impurezas: El efecto de las impurezas donantes o aceptante ionizadas puede hacerse importante según sean la temperatura y su concentración. Las impurezas de uno u otro signo desviaran a los portadores por atracción o repulsión según su signo con una eficacia que dependerá de la dirección inicial del movimiento de la partícula móvil respecto a la fija. Nota: Desde luego , ambas formás de dispersión pueden combinarse , cuando por ejemplo , se produzca una compresión vibratoria en una región del cristal que contenga un átomo de impureza cargado.
Movimiento térmico Los átomos el cristal y los electrones de conducción están siempre en movimiento térmico aleatorio. Los átomos vibran alrededor de sus posiciones medias en la red cristalina y los electrones se mueven muy rápidamente en todas direcciones sufriendo númerosos choques aleatorios con los átomos vibrantes. En estas condiciones : Los electrones no transportan globalmente corriente alguna en ninguna dirección , porque , por termino medio , se mueven tanto en una dirección como en otra. O. VON PAMEL
5
S. MARCHISIO
• 5 6•
•
2
• 1 7
Puede sintetizarse lo dicho mediante la observación de la figura en la que se representa en forma sencilla el tipo de movimiento térmico aleatorio de un electrón.
3•
• 4 •
Movimiento por campo eléctrico Cuando se aplica un campo eléctrico, la distribución de potenciales de la red se modifica, según se ve en la figura.
El campo eléctrico se ejerce de igual manera sobre todos los portadores de un tipo dado presentando una tendencia estacionaria a moverse en la dirección de la fuerza del campo.
Potencial a
W
.
.. . Distancia Potencial campo electrico F1
Hay sin embargo una condición adicional que aparece debido a la índole cuántica del electrón: el cambio de velocidad sólo se produce si tal cambio no implica un cambio de banda.
F2 F3
Al incrementar su velocidad el electrón también cambia su energía.
F4
Es decir, un electrón no puede ser acelerado de la primera a la segunda banda , ni de la segunda a la tercera , en general el electrón no puede cruzar ninguna discontinuidad de energía . x -a
x
x+a
x
El proceso de aceleración es además compatible con el principio de exclusión de Pauli, es decir un electrón cambia su velocidad siempre y cuando el estado que el electrón tenga que asum ir este desocupado. Si esto no sucede el proceso de aceleración se detiene. FÍSICA ELECTRÓNICA
6
MÓDULO IX
Es evidente que en una banda totalmente ocupada no puede ocurrir ningún proceso de aceleración , ya que los electrones en el tope de la banda no pueden ser acelerados ( porque cualquier aceleración los desplazaría a la banda siguiente ), estos electrones impiden que otros sean acelerados al estado que ellos ocupan y así sucesivamente hasta alcanzar por fin los electrones en el fondo de la banda. Al mismo tiempo que el electrón se acelera ocurren otros procesos completamente independientes : el electrón choca con barreras que encuentra en su camino , tales como impurezas , imperfecciones , la superficie del cristal , la falta de orden de los átomos del cristal debida a oscilaciones térmicas , etc. .(dispersiones ya analizadas ). Velocidad de arrastre . Movilidad De acuerdo a lo visto en el ítem. anterior , aparece, una componente adicional de la velocidad, por sobre el movimiento térmico o el proveniente de las dispersiones.
• 5 6•
2
• • 1 7
3
• movimiento termico aleatorio
• 4 E
•
•
•
•
•
•
•
7
6
5
4
3
2
1arrastre del E
• 5
Esta velocidad adicional, llamada velocidad de arrastre , vd , tendrá una dirección opuesta al campo eléctrico para los electrones e igual ala del campo para los huecos. Se encuentra que la fuerza resultante crece con esta velocidad promedio, como en las fuerzas de origen viscoso.
2•
6•
•7
• 1 3•
• 4 movimiento combinado del electron en el campo E
La velocidad de arrastre, por lo tanto será proporcional a la intensidad del campo aplicado. vd = µ E
A este factor de proporcionalidad se lo llama movilidad µ y sus unidades son : cm 2 / volt.seg.
O. VON PAMEL
7
S. MARCHISIO
Las movilidades de los portadores pueden expresarse en termino de sus cargas y másas eficaces. Para su valor también es importante el tiempo entre colisiones sucesivas de los portadores. Podemos escribir : vd = ( q . tcol / m* ) . E = µ E siendo:
q = carga tcol = tiempo entre colisiones m* = mása eficaz E = campo eléctrico µ = movilidad
Nota: El resultado que aparece en la expresión obtenida para vd proviene de un análisis en el que se supone que el tiempo entre colisiones es independiente del campo eléctrico. Esto es cierto , si la velocidad vd es pequeña comparada con las velocidades térmicas de los portadores ( del orden de 10 7 cm/seg. para el silicio a temperatura ambiente ). Cuando el valor de vd se hace comparable al de las velocidades térmicas ,su dependencia respecto del campo eléctrico se aleja un poco de la simple relación de proporcionalidad a la vista . La variación de v d con el campo eléctrico puede interpretarse a partir de la observación de la figura.
vd ( cm/seg )
10 x106 8 6
En ella se representan los resultados experimentales de vd vs. E.
4 2 0 0
0.4
0.8
1.2
1.6
2 x 104
Puede observarse que cuando el campo se hace suficientemente importante se alcanza una velocidad limite superior que deja de depender del valor del cam po. E (V/cm )
Otra conclusión que puede extraerse de las curvas concierne al valor de la movilidad µ, en ella se ve claramente la diferencia entre el valor de las movilidades de los huecos y de los electrones.
FÍSICA ELECTRÓNICA
8
MÓDULO IX
Nota: ( diodo gunn ) Un dispositivo que aprovecha la existencia de una velocidad limite superior para la velocidad de los electrones es el mal llamado diodo gunn, puesto que es una simple barra de material semiconductor n muy dopado. En las gráficas observar el principio funcionamiento
semiconductor N
R
V
podemos de su
Si
cerramos la llave, el terminal negativo de la batería inyectará electrones en el extremo de la barra.
Los electrones inyectados en la barra , se acelerarán en virtud del campo eléctrico aplicado.
E
V(x)
x
Enseguida alcanzaran la velocidad limite y comenzaran a moverse con v = cte. , por lo que se formara un frente de electrones que se moverá a lo largo de la barra con velocidad constante.
E
V(x)
x
Por detrás de este frente se irán acumulando electrones con v = cte. , esta acumulación de cargas apantallará primeramente el campo que ven las cargas que son inyectadas por el terminal negativo de la batería.
O. VON PAMEL
E
V(x)
x
9
S. MARCHISIO
Este apantallamiento se incrementara por la adición de cargas a este paquete así formado hasta hacer desaparecer el campo detrás de el. Por lo tanto cesará la inyección de cargas . Ahora en la barra sólo tenemos un paquete de cargas que se desplaza a velocidad cte.
E
V(x)
Cuando el paquete llegue al otro extremo de la barra , el campo se restablecerá y recomenzará el proceso. x
Finalmente, sobre la resistencia se verán pasar una serie de pulsos de corriente que se repetirán con un periodo: τ = l /v donde :
l : longitud de la barra v : velocidad limite de los electrones en el material
El proceso de conducción según el diagrama de bandas Específicamente vamos a analizar en detalle , la representación del proceso de conducción, tomando como ejemplo un material semiconductor homogéneo tipo n. En la figura puede observarse una muestra de semiconductor tipo n sin polarización.
semiconductor n
energia de los electrones banda de conduccion Ef banda de valencia energia de los huecos
En esta figura siguiente se ve la misma muestra de material con una polarización de +2 volt. aplicados a uno de sus terminales. En ella se
FÍSICA ELECTRÓNICA
10
MÓDULO IX
pueden observar además las correspondientes bandas de energía en función de la posición a lo largo de la muestra. Los electrones en la banda de conducción se +2V acelerarán debido al campo aplicado. Ee
∆U
Eh
potencial.
Debido a que en este proceso la energía total de los electrones no cambia significativamente, el aumento de energía cinética traerá como compensación una disminución de la energía
Este hecho se hace evidente en la ultima figura donde vemos que el electrón se aleja hacia arriba (ganando energía cinética) del borde inferior de la banda de conducción E c que representa como ya analizáramos la energía potencial del electrón. Cuando el electrón sufre una colisión (en promedio al haber recorrido una longitud de colisión) pierde parte de su energía cinética y la transfie transfiere re a la red del del semico semicondu nducto ctor. r. Este Este es el proceso proceso de conver conversió siónn de la energía cinética en calor. (este fenómeno se conoce como efecto joule) A continuación, luego de que el electrón perdió total o parcialmente su energía energía cinética, cinética, vuelve vuelve a acelerarse acelerarse repitiendo repitiendo el proceso. proceso. Ésta es la forma en que puede esquematizarse la conducción en el diagrama de bandas. En este análisis consideramos un semiconductor homogéneo, es decir, aquél que posee una concentración de impurezas uniforme. Por esta razón, en las figuras anteriores hemos indicado el nivel de Fermi conservando la misma distancia respecto a la banda banda de conducción a lo largo de toda la muestra. Nota:
O. VON PAMEL
11
S. MARCHISIO
+ 2V
semiconductor semiconductor P
Ee
∆U Eh
Obsérves e que para un semiconductor tipo p ocurrirá lo mismo si cambiamos electrones en la banda de conducción por huecos en la banda de valencia.
En este caso la corriente de huecos tendrá la dirección de la corriente convencional. EXTENSIÓN DEL MODELO MO DELO A CONDUCTORES Y AISLADORES. Obsérvese que este modelo puede ser extendido con facilidad a conductores y aisladores, mediante el cambio de E g y del número de portadores de carga N del material en cuestión. Recordando que: Ncond > Nsc.ext > Nsc.int >> Naisl.
y que:
Egaisl > Egsc > Egcond = 0
Conductores. En este caso un N es muy elevado y Eg = 0 Estas caracteristicas del material, hacen que un campo muy pequeño inicie la conducción. En la teoría clásica Ee este campo se considera igual a cero, pero a la luz de este modelo vemos que para que se ∆U produzca el efecto joule debemos tener un campo acelerador a la vez que colisiones con la red por lo cual este modelo se ajusta a la realidad y por lo tanto es aplicable. +V
conductor
Aisladores. grande.
En este caso N es muy pequeño respecto de los anteriores y Eg es
FÍSICA ELECTRÓNICA
12
MÓDULO IX
+V
aislador
Ee
∆U
Por lo tanto el fenómeno de circulación de corriente será despreciable, pero sí se harán visibles dos fenómenos colaterales observados por la Física Clásica.
Si colocamos entre las placas de un capacitor plano los Eh electrones de las impurezas ionizadas se desplazarán hacia el extremo lindante con la placa positiva creándose así un campo eléctrico eléctr ico interno de sentido opuesto al aplicado. Si aplicamos un campo eléctrico variable en el tiempo, los electrones en cada semiciclo de este se desplazarán en contra de la dirección del campo aplicado, colisionando según el modelo propuesto y cediendo por lo tanto energía a la red cristalina fenómeno que conocemos como calentamiento dieléctrico a altas
diagrama del hemiciclo positivo positivo Ee
Ea
frecuencias. Validez del modelo
Al ser éste un modelo muy sencillo, (su sencillez lo hace muy potente ), su empleo puede ser generalizado para explicar la conducción eléctrica, no sólo en materiales sólidos como hemos visto sino también en gases y en líquidos. Para esto recordemos recordem os el modelo que hemos realizado. Éste consta de ideas fundamentales : * 1- un agente externo genera portadores de carga libres * 2- un campo externo acelera estos portadores *3- luego de haber recorrido una cierta distancia estos portadores colisionan con otras partículas cediendo toda o parte de su energía cinética * 4- estas otras partículas ganan la energía que los portadores de carga pierden incrementando su energía propia
O. VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
* 5- el incremento de energía propia se traduce en un aumento de temperatura y / o energía cinética de estas últimas.
Resumiendo para los sólidos : age agente extern terno o conduct uctor semiconductor n semiconductor p ais aislador
temp. ambien iente luz temp. ambiente luz temp. ambiente luz temp. am ambiente luz
portad rtado or de carga e
colisiona con
efecto
ion de la red
e
ion de la red
h
ion de la red
e
ion de la red
aumento temp.red aumento temp. red aumento temp. red aumento temp. red
Conducción eléctrica en gases Los gases están formados por átomos y moléculas eléctricamente neutros, y en condiciones normales se comportan como aisladores . Al ionizarlos, es decir, al quitar electrones a los átomos y/o moléculas que forman el gas, se convierten en conductores de la electricidad. En esta situación los átomos ( o moléculas ) del gas se transforman en iones positivos . Por otra parte los iones negativos se forman en los gases al ligar átomos o moléculas neutras con electrones libres. Se denomina trabajo de ionización Wi al trabajo realizado en contra de las fuerzas de ligadura entre un electrón y las demás partículas del átomo ( o la molécula ). Este trabajo Wi depende de la naturaleza química del gas y del estado de energía del electrón en el átomo o molécula . Al aumentar la ionización , es decir el número de electrones arrancados del átomo , aumenta el valor de Wi . Wi . El agente ionizante por excelencia de los gases es la radiación cósmica, en un gas monoatómico generara dos dos tipos de portadores de cargas : portadores de carga negativos : mása :
e, me
portadores de carga positivos : átomos parcialmente ionizados mása : ma >>> m e
FÍSICA ELECTRÓNICA
14
MÓDULO IX
Aplicado un mismo campo eléctrico E , como a = F / m tendremos entonces: 1- todos los electrones se moverán en la misma dirección y por lo tanto no colisionarán entre si. 2- ídem para los iones. 3- dada la diferencia de mása la velocidad de los electrones será mucho mayor que la de los iones ⇒ ídem con las energías cinéticas⇒ cinéticas⇒ para este tipo de gas ( dado dado que Ec = 3/2 kT ) habrá dos temperaturas de partículas distintas T e >>Ti 4- al cabo de una trayectoria libre media los electrones en promedio colisionarán con los iones. 5- esto hará que aumente T i a expensas de T e .Se observara un aumento de la temperatura y presión del gas. Si el fenómeno colisional fuera muy grande prodríamos llegar a obtener un plasma termalizado en el cual Ti = Te = Tp ( temperatura del plasma). En este momento podríamos completar la tabla hecha para materiales sólidos de la siguiente manera: gas
radiacion cosmica
e iones +
e-ion
aumento temp. y presion gas
En gases no monoatómicos , en alguna situación , podrían llegar a aparecer también iones negativos (que se forman cuando un átomo neutro captura un electrón), por lo que podríamos llegar a tener tres tipos de portadores ,que en plasmás no colisionales podrían llegar a dar existencia a tres temperaturas distintas. Para plasmas colisionales valdría el resultado anterior .
Conducción eléctrica en líquidos En un liquido polar polar como el agua la conducción eléctrica dependerá de la cantidad de iones (aniones y cationes) que se formen por disociación de sales , ácidos o bases que estén presentes en ella (las que podemos suponer como impurezas ) estos iones serán los portadores de carga . En este caso los dipolos del solvente haría de agente externo ionizante.
O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
Otra vez se presenta un fenómeno de conducción eléctrica con cargas de ambos signos, pero, a diferencia de los gases ambos son masivos y de masas parecidas. En su movimiento estos iones colisionaran con las moléculas de agua y con los iones de signo opuesto, el efecto será un aumento de la temperatura del liquido. Completando ahora la tabla para estos casos liquido polar
dipolos
iones + iones -
colisiones entre las distintas moleculas
aumento temp.liquido
Resistividad La densidad de corriente J que fluye a través del material se expresa o define por el producto del número de electrones por unidad de volumen que pueden ser acelerados ( n ) , la carga del electrón ( q ) y la velocidad media v d. Por lo cual podemos escribir : n q2 tcol J = n q vd = n q µ E = ------------ . F m* La resistividad ρ ( resistencia por unidad de longitud de un cristal, cuya sección transversal es la unidad de área ) viene dada por el cociente entre el campo eléctrico E y la densidad de corriente J , es decir : 1 m* ρ = --------- = ------------nqµ q2 tcol n Resistividad de un semiconductor En el caso de un semiconductor los portadores de corriente pueden ser mayoritariamente electrones o huecos . Analizaremos en especial cada tipo de semiconductor desde el punto de vista de su resistividad. a- tipo n
FÍSICA ELECTRÓNICA
16
MÓDULO IX
En este caso , los portadores mayoritarios de corriente son electrones de conducción . La expresión particular de la resistividad es inmediata a partir de la general ya vista , por lo que : 1 ρ = ------------q µn n b- tipo p En forma análoga para el semiconductor tipo p : 1 ρ = -------------q µn n Por ultimo como en los semiconductores hay dos clases de portadores con movilidades diferentes y a veces con diferentes concentraciones , la formula se generaliza de la forma : 1 ρ = ------------------q ( µn n + µp p ) Es menester recordar que aunque ambos portadores se desplacen en sentidos opuestos conducen corrientes en el mismo sentido. Debemos recordar además que, para evaluar la concentración de portadores debemos basarnos en las ecuaciones ya vistas : n = ND - NA si ND > NA P = NA - ND si NA > ND
Nota: En la figura siguiente se grafica la correlación entre el número de impurezas y la resistividad ρ , para un semiconductor de silicio impurificado con fósforo y boro ( dopado n y p ) a temperatura ambiente.
O. VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
N Densidad de dopantes (cm -3)
1021 1020 Boro
1019 1018 1017 1016
Fosforo
1015 1014 1013 1012
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 Resistividad ( Ω / cm )
ρ
Variación de la resistividad de los materiales con la temperatura Cuando deducimos el valor de ρ , ( resistividad ) en una muestra del material , la expresamos en función del número de portadores que pueden ser acelerados (n ) y del tiempo entre colisiones ( tcol ) llegando a: m* ρ = --------------q2 tcol n Esta es una de las fórmulas más importantes de la física del sólido. Nos dice que la resistividad de una sustancia determinada es inversamente proporcional al número de electrones que puede ser acelerado ,así como , al tiempo entre colisiones Tcol . En otras palabras : si se duplica el número de electrones que pueden ser acelerados , o el lapso transcurrido entre dos colisiones consecutivas , la resistencia se reduce a la mitad. Basándonos en ella , se puede ahora discutir las propiedades eléctricas de los distintos materiales .
FÍSICA ELECTRÓNICA
18
MÓDULO IX
Las cantidades que varían de cristal a cristal son n y t col y , ambas , además, varían con la temperatura. Estudiemos pues separadamente el efecto de ambas variaciones. 1- Influencia de la variación de Tcol con la temperatura sobre la resistividad. El tiempo entre colisiones consecutivas depende de varios factores y esta relacionado con el número de centros de dispersión ( blancos de choque ) que se presentan en la trayectoria del electrón . A temperaturas muy bajas átomos se ¨congelan¨ .
los movimientos vibratorios de los
Por lo tanto , el lapso entre colisiones a temperaturas muy bajas depende críticamente de la perfección de la estructura cristalina y de las impurezas que tenga el cristal. El efecto de las colisiones producidas por las vibraciones elásticas cambia notablemente con la temperatura A la temperatura ambiente ( ∼ 300 ºK ) , las vibraciones atómicas constituyen en al mayoría de los casos , los centros de dispersión más abundantes e importantes. 1-a metales Conviene destacar que si el número n de la formula de resistividad fuera independiente de la temperatura , la resistividad de todos los cristales debería decrecer a medida que la temperatura decrece, pues: Si T decrece : * Las vibraciones atómicas del cristal disminuyen . * Hay por lo tanto menos centros de dispersión. * Los electrones encuentran menos blancos c on los cuales chocar y el lapso entre colisiones sucesivas se hace mayor, y * Al aumentar T col , la resistividad decrece. Este argumento sólo se aplica a los metales , en cuyo caso es valida la suposición de que n es casi independiente de la temperatura . 1-b semiconductores O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
En los demás casos ya vimos que la variación de n con la temperatura es tan importante que anula el efecto descripto arriba y produce un aumento (en muchos casos muy grande ) de la resistividad a medida que T crece.
2- Influencia de la variación de la concentración de portadores n con la temperatura 2-a metales En este caso n es casi independiente de la temperatura por lo tanto si T crece , entonces t col disminuye , por lo tanto ρ crece al crecer T. 2-b semiconductores ( termistores ) 2-b-1 extrínsecos Según hemos visto la concentración de portadores n en el caso de un semiconductor extrínseco tiene una dependencia con la temperatura que puede visualizarse a través de la figura.( trazo lleno ) n (cm -3 )
Silicio tipo N
3 . 1 0 16
2 . 1 0 16
1
2
3 n
1 . 1 0 16 ni 0 0
100
200 300
400 500 600 T (0K )
perfecto .
700
En esta distinguimos tres zonas ( para n ) , en donde a altas y bajas temperaturas ( zonas 1 y 3 ) se incrementa con ella según las leyes ya analizadas y en otra ( zona 2 ) n se mantiene prácticamente constante. Vemos que a 0 ºK , la ausencia de portadores libres hace del semiconductor un aislante
Cuando la temperatura crece , los electrones de los átomos de dopaje consiguen la suficiente energía como para llegar a la banda de conducción y por lo tanto aumenta la conductividad σ del material ( 50 ºK ). De 50 a 500 ºK , la σ disminuye porque las movilidades disminuyen. A partir de los 500 ºK , el aumento brusco se debe al paso de operación extrínseca a intrínseca de del semiconductor. FÍSICA ELECTRÓNICA
20
MÓDULO IX
La figura muestra la variación de conductividad con al temperatura del silicio tipo P con NA = 1015 atom/cm3.
conductividad (mu/m) 50 40 .
30 20 .
10
temp 200
400
600
ºK
La figura es para un dado semiconductor , para otro semiconductor y distinto dopaje sólo se modifican las escalas y no la forma de la curva .
Si una resistencia esta construida con un semiconductor extrínseco , en cierto rango de trabajo , al variar la temperatura , la conductividad disminuye y por lo tanto su resistividad aumenta , a estos termistores se los denomina PTC. (coef. de temp. pos. ) 2-b-2 Intrínsecos La dependencia de n i con la temperatura puede observarse también en la figura siguiente. De ella podemos deducir que si el termistor emplea un semiconductor intrínseco, la conductividad aumenta, la resistencia disminuye por lo que estos se denominan NTC. ( coef. negativo.)
conductividad (mu/m) 50 40 .
30 20 .
10
temp 200
400
600
ºK
Variación de la resistividad de los materiales con la iluminación Si se irradia un semiconductor aumenta su conductividad. Este efecto fotoconductivo se explica de la siguiente forma : la conductividad de un material es proporcional a la concentración de portadores de carga presentes. Como vimos la energía radiante suministrada al semiconductor rompe los enlaces covalentes , y se crea un exceso de pares electrón hueco respecto a los generados térmicamente. O. VON PAMEL
21
S. MARCHISIO
Estos portadores de corriente en exceso disminuyen la resistencia del material y , por lo tanto , tal dispositivo se denomina fotorresistencia o fotoconductor. Para una variación de la intensidad de la luz de 100 lúmenes / pie cuadrado , la resistencia de un fotoconductor comercial puede variar varios kilohms.
Corriente fotoconductiva y resistencia ( L D R ) Los portadores generados por fotoexcitacion se moverán bajo la influencia de un campo aplicado.
foton ✼
←Θ ⊕→
Si no se recombinan , llegaran a los contactos V óhmicos en los extremos de la barra semiconductora , constituyendo entonces la corriente del dispositivo. Esta corriente puede calcularse si se conoce la velocidad a la que se generan los portadores por la luz y el tiempo de vida media τ de esos portadores. Si se expone el semiconductor a una iluminación L se librea un número de electrones por segundo N que depende de la iluminación y de las dimensiones del material , siendo : N = η l d L donde : η : cte. que depende de la longitud de onda de la longitud de onda de la radiación lumínica recibida. L : iluminación d : distancia entre electrodos l : longitud de la muestra Si se aplica entre electrodos una tensión V los electrones se desplazarán con una velocidad v proporcional al campo E . v = µ E = µ V/d La constante de movilidad µ vimos que se llama movilidad.
FÍSICA ELECTRÓNICA
22
MÓDULO IX
No todos los electrones llegan al electrodo positivo , si no , sólo aquellos que han sido liberados a una distancia del cátodo inferior a v.τ , siendo τ la vida media de un electrón libre .
d ≤ τ v
Θ
Θ
✼
✼
⊕ d
⊕
La fracción de los electrones que continuara la corriente será :
≤ τ v v . τ / d
y la fotocorriente y medida se obtiene a partir de : i = N q v τ / d = η q µ τ l L V / d donde q : carga eléctrica del electrón. Por lo tanto la resistencia R causada por la luz vale : η q µ τ l R = V / i = ------------- L-1 d El tiempo de vida τ generalmente no es constante sino que depende de la longitud de onda λ y de la iluminación L τ = τo ( λ ) L - β a:
La relación ente R y L podrá expresarse con bastante aproximación R = A L - α De las ecuaciones anteriores resulta que : η q µ τ0 l A = --------------d
Para obtener una LDR sensible es necesario que A sea lo más bajo posible. Esto se logra eligiendo un sulfuro de cadmio con altos valores de : η , µ , τ0 así como aumentando la relación l / d tanto como sea posible.
O. VON PAMEL
23
S. MARCHISIO
material fotoconductor
ventana capsula metalica sustrato ceramico terminales
″
semiconductor de CdS , vista interior
Esto se logra usando una larga y estrecha tira de material doblando varias veces para que cubra poca superficie.. Esta disposición se completa dando a los electrodos forma de peines con las puntas intercaladas.
Estos fotoconductores disipan sin problemás 300 mW y pueden diseñarse para manejar sin problemás varios vatios. Existen otros tipos de dispositivos fotoconductores para aplicaciones especificas :
ultravioleta R e s p u e s t a
4000 visible 7000
infrarrojo
100
r e l a t i v a
%
80
ZnS
CdS
60
PbS 0
Si
PbTe 90 K
CdSe
40 20
PbSe
Ge 0
GaAs
InSb 5 k
λ
0 3000
5000
10.000
20.000
50.0000
100.000
La celda de sulfuro de plomo ( SPb ) presenta un pico en la curva de sensibilidad a 2.9 µm y por lo tanto se usa para detección infrarroja , o en medidas de absorción infrarrojas. La célula de Selenio es sensible en todo el espectro visible , especialmente en el azul.
Difusión Si suponemos una muestra del material en la cual la concentración de impurezas no es uniforme , los electrones se difundirán bajo la influencia del gradiente de concentración. FÍSICA ELECTRÓNICA
24
MÓDULO IX
L a s z o n a s m a s o s c u r a s c or e s p o n d e n a u n a m a y o r c o n c e n t r a c i o n d e e l e c t r on e s .
ID
Aparece entonces una corriente neta de Difusión proporcional a las diferencias de concentraciones. A la constante de proporcionalidad se la llama difusividad o coeficiente de Difusión D .
El valor de este coeficiente fue hallado por Einstein en función de la movilidad siendo : KT D = -------- µ q Como existen dos movilidades distintas también se deducen difusividades distintas: KT D = -------- µp para el caso de los huecos q KT D = -------- µn para el caso de los electrones q
Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor Hasta aquí hemos introducido las ideas que fundamentan la dinámica del movimiento de huecos y electrones de conducción en un semiconductor. Vimos en este capítulo el arrastre (movimiento en respuesta a un campo eléctrico ) que completa con la difusión ( resultado natural del movimiento térmico aleatorio cuando no es uniforme la concentración en el espacio ) y recombinación, tratadas en el capítulo anterior (intento de volver a las concentraciones de equilibrio por ambos tipos de portadores). De hecho, todos estos procesos representan la respuesta del semiconductor cuando se perturba su estado de equilibrio por medios exteriores.
O. VON PAMEL
25
S. MARCHISIO
Nos interesa ahora conocer cual es la expresión del flujo de cargas en el semiconductor . Si bien ya contamos con algunos resultados importantes de los distintos procesos, en forma separada, éstos se dan, muchas veces, en forma simultánea. Consideramos al semiconductor en dos estados diferentes a saber : • en equilibrio • fuera del equilibrio ( caso de inyección )
Caso del semiconductor en equilibrio ( n . p = n i2 ) Para poder dar la expresión del flujo de portadores en este caso, conociendo los distintos procesos dinámicos, debemos dar una definición. Llamamos flujo F de cualquier especie al número de entes de esa especie que atraviesan la unidad de área en la unidad de tiempo . Se hace evidente a partir de lo expresado que un proceso que tiene lugar en el semiconductor aportará directamente al flujo de portadores si provee un desplazamiento neto por unidad de tiempo . En el caso de un semiconductor en equilibrio los distintos procesos a considerar son : generación de pares por efecto térmico: el efecto fundamental de ♦ la generación sobre el semiconductor es suministrar portadores (despreciando la transferencia de impulso). La generación en sí misma no provee un desplazamiento de cargas en una dirección determinada por lo que no aporta al flujo de portadores en el semiconductor. Recombinación de pares : este caso es opuesto al anterior en ♦ cuanto al efecto que produce sobre al concentración de portadores, pero similar al anterior en cuanto tampoco genera en sí un desplazamiento neto de cargas . Este proceso por lo tanto no aporta al flujo de portadores en el semiconductor . Difusión: en un semiconductor donde por alguna causa (debido a ♦ los procesos de generación y recombinación o a su estructura), la concentración de portadores no es uniforme. Las cargas, realizando FÍSICA ELECTRÓNICA
26
MÓDULO IX
movimientos aleatorios, se desplazan en el sentido de las concentraciones decrecientes. La difusión por tanto sí aporta al flujo que estamos considerando siendo éste proporcional al gradiente de concentraciones . Arrastre ( acción del campo eléctrico ): vimos cómo un campo ♦ eléctrico genera desplazamiento de portadores de uno u otro signo en el semiconductor . El flujo de electrones y huecos resulta proporcional al campo .Como tienen cargas de signos opuestos se mueven en sentido contrario , pero también conducen la corriente en el mismo sentido. si consideramos simultáneamente los dos procesos que proveen al ♠ flujo en el semiconductor, éste será la suma de las componentes de arrastre y difusión . Podemos escribir la densidad de corriente de huecos : ( J p ) como : Jp = q µp p E − q Dp ∂p ∂x y la de electrones :
arrastre
Jn = q µn n E
difusión
+ q Dn ∂n ∂x
Obsérvese que los términos de arrastre en las dos ecuaciones • tienen el mismo signo algebraico porque el campo eléctrico origina corrientes de igual sentido con las partículas cargadas con signos opuestos. En cambio los términos de difusión tienen signos algebraicos • opuestos porque un gradiente dado de concentración haría que los dos tipos de partículas se difundieran en el mismo sentido y por lo tanto transportarían corrientes eléctricas en sentidos opuestos debido a los signos opuestos de las cargas. En el caso de equilibrio que estamos considerando tanto J n como Jp • son idénticamente nulas pues se compensan los términos de arrastre y difusión .
Caso del semiconductor en condiciones de inyección en bajo nivel Vimos que en un semiconductor pueden crearse portadores en exceso, tanto huecos como electrones de conducción por distintos métodos. Las características dinámicas principales de estos portadores en exceso es que son arrastrados por un campo eléctrico, que se difunden alejándose O. VON PAMEL
27
S. MARCHISIO
de las regiones de concentración elevada y que desaparecen por recombinación. En este caso también podemos escribir ecuaciones similares a las vistas en el caso de equilibrio, que dan el flujo de cargas en el semiconductor considerando ahora las concentraciones de equilibrio más las generada en exceso donde figuran n y p . !
Nota :
En el caso del semiconductor fuera de equilibrio la recombinación provee una variación de concentración por unidad de tiempo (velocidad de recombinación neta) y una distribución de portadores no constante en algunos casos a lo largo del eje x. El flujo de portadores que se origina debido a este hecho se produce mediante el mecanismo de difusión . La recombinación en sí misma no provee flujo de portadores en el semiconductor. Los portadores inyectados difunden debido a que existe recombinación que hace disminuir las concentraciones de huecos y electrones; es decir, provee gradiente de concentraciones.
El efecto Thompson en metales y semiconductores . Este efecto es interesante para ilustrar lo anteriormente expuesto. ♦
En metales
FÍSICA ELECTRÓNICA
28
MÓDULO IX
Supongamos una barra metálica que se calienta en forma no uniforme, según se ve en la figura .
distribución de portadores
Obsérvese la distribución de portadores en exceso así como la corriente de difusión.
metal portadores generados térmicamente
fuente de
En la tercer representación en la figura se mantiene la inyección térmica , mientras que en la siguiente, ésta cesa y se produce el retorno al equilibrio.
calor difusión de portadores
desaparición del proceso
.
distribución de portadores generados térmicamente
.
El efecto Thompson se produce cuando al fenómeno de inyección térmica le agregamos el arrastre de portadores por parte del campo eléctrico. El campo eléctrico aplicado dará origen a la aparición de una fem. entre los extremos de la barra.
campo externo
arrastre difusión
difusión
♦
En semiconductores
El proceso será similar excepto que tendremos dos tipos de portadores. Puede observarse en la figura siguiente la aparición de la fem.
O. VON PAMEL
29
S. MARCHISIO
semiconductor fuente de
calor
banda de conducción creación
de pares
cam po eléctrico externo
−
+
cam po eléctrico externo
− +
Conducción eléctrica en campos magnéticos : Efecto Hall El movimiento de los portadores de carga adquiere nuevas características en presencia de un campo magnético. En el estudio de estas características, se emplea un filamento de un sólido al que se aplica un campo E en sentido longitudinal y un campo H perpendicular a E. Como consecuencia se produce en el filamento un voltaje en dirección perpendicular a las de E y H . Este voltaje se llama voltaje hall y es un efecto de suma utilidad en la física de los semiconductores , porque permite estudiar directamente la concentración de los portadores de carga y su tipo de signo . Analicemos el efecto hall según la geometría de la siguiente figura. FÍSICA ELECTRÓNICA
30
MÓDULO IX
En ausencia del campo magnético los electrones se mueven en una dirección x opuesta a la dirección de E y se produce una densidad de corriente Jx. Efecto Hall en un semiconductor intrinseco y
La fuerza f sobre el electrón es igual a:
E
z
fx = q Ex
H
x
Ez
Si sólo se aplica el campo magnético H en la dirección de z , la fuerza magnética sobre un electrón estará dirigida en la dirección y , y será igual a:
Ey
Hz
fm = - 1/c v x H
Efecto Hall en distintos materiales
donde :
y
fmy = -1/c vx. Hz
E
z
Esta fuerza empujara a los electrones ( cargas negativas ) en la dirección de la superficie inferior del filamento.Como consecuencia se formara un campo eléctrico Ey que cancelara el efecto del campo magnético.
H x Semiconductor intrinseco Ey
Hz Semiconductor tipo N
- --
vx Hz Jx Hz Ey = ---------- = --------c nqc
-- ----
Semiconductor tipo P
La medida de este campo eléctrico Ey nos da la concentración de electrones n.
+++ +++ +++ Conductor
El campo eléctrico será negativo cuando los portadores de cargas estén constituidos por huecos ( semiconductores tipo p) .
--- - --- ---
El campo eléctrico es mucho mayor en los semiconductores que en los metales , debido a que en estos últimos n es mucho mayor . Al medir simultáneamente el efecto Hall y la conductividad eléctrica se obtiene el valor de la m ovilidad µH , denominada movilidad Hall, ya que: Jx Hz 1 Fy . σ = ---------- . µqn = ----- Jx Hz µH nec c
Superconductividad . O. VON PAMEL
31
S. MARCHISIO
La superconductividad es un fenómeno caracterizado esencialmente por la ausencia de resistencia al paso de la corriente eléctrica. Así pues un superconductor puede dejar pasar cantidades importantes de corriente, incluso a través de una sección muy estrecha sin sufrir perdidas por calentamiento. Del mismo modo , si se induce una corriente en un anillo superconductor la corriente puede circular indefinidamente por el anillo sin ninguna atenuación. Este estado de superconducción lo presentan solamente algunos materiales cuando son enfriados a temperaturas muy bajas. Sin embargo , no es esta la única propiedad que se observa en los materiales superconductores . Otra propiedad muy característica es la repeler los campos magnéticos inducidos en las proximidades del material superconductor. Este fenómeno se pone de manifiesto por la experiencia de levitación magnética o efecto Meissner , que consiste en la suspención o flotación en el aire de un imán cuando se sitúa encima de una muestra superconductora. En la actualidad existen dos modelos que se emplean para explicar este fenómeno . Nos limitaremos a presentar uno de ellos , por simplicidad el que más se aproxima a los modelos empleados en este curso.
Modelo de la molécula de dos electrones: Este modelo supone que por debajo de una temperatura critica que denominaremos de superconducción Ts los iones están fijos en sus posiciones de equilibrio ( sin vibrar alrededor de ella ).
En la figura se observa un corte plano de una red cristalina en la cual todos los iones se encuentran inmóviles en sus posiciones de equilibrio.
FÍSICA ELECTRÓNICA
32
MÓDULO IX
Cuando un electrón de conducción ( móvil a lo largo de la red , y por lo tanto alejado del núcleo del ion ), se acerca a ella , la atracción electrostática entre este y los iones , hará que la red se deforme.
e•
Los iones más próximos al electrón saldrán de su posición de equilibrio acercándose a este.
•
A medida que el electrón avanza, avanza con el la deformación , la cual tiene la forma aproximada de dos troncos de pirámide unidas en su base menor.
•
Si aparece otro electrón en la misma dirección , vera que la red deformada forma una especie de cono . •
Esto hace que este electrón siga la misma trayectoria que el anterior. Obsérvese la siguiente figura.
•
•
•
Por lo tanto la configuración de fuerzas de la red sobre los electrones hace parecer como si estos se atrajeran constituyendo una molécula , que se desplaza por la red.
Obviamente esta molécula sólo puede existir dentro de la red cristalina cuando esta a temperaturas menores a Ts. Al estar formada por dos electrones de spin ±½ , su espín (suma algebraica de ambos será 0 o 1. Por lo tanto al ser de spin entero , esta molécula no responderá no a la estadística cuántica de Fermi-Dirac y si lo hará a la estadística cuántica de Bose-Einstein. Por lo tanto para ella no regirá el principio de exclusión de Pauli. O. VON PAMEL
33
S. MARCHISIO
Por lo tanto todas las moléculas de dos electrones que se formen podrán tener la misma energía ( como los fotones ) , si esto ocurre se pude demostrar que cualquier perdida de energía por colisión contra la red es despreciable. Es decir podemos suponer que se mueven sin colisionar con la red por lo que su resistividad será igual a cero.
Alta inyección Efectos de altas corrientes en los semiconductores En altos niveles de corriente, la concentración de portadores inyectados puede exceder por mucho la concentración de dopaje del material ( p ej.: pn >> ND ). En este caso para que se mantenga la neutralidad de carga en el material , la concentración de electrones y de huecos debe igualarse. Por lo tanto la concentración de mayoritarios también se incrementara cuando los portadores minoritarios se incrementen . Esta condición se conoce como modulación de la conductividad del semiconductor. En la situación de modulación de la conductividad , el semiconductor , aparece como si estuviera más fuertemente ¨dopado¨ cuando el nivel de inyección se incrementa. Recordemos que cuanto más dopamos un material este se vuelve más conductor , es decir su resistividad disminuye. (vease la figura siguiente) A altos niveles de corriente, una significativa carga espacial estará presente en todo el material.
FÍSICA ELECTRÓNICA
34
MÓDULO IX
Más adelante veremos que esta ultima hará desaparecer las diferencias entre regiones neutras y regiones de carga espacial .
N Densidad de dopantes (cm -3)
1021 1020 Boro
1019 1018 1017 1016 1015
Fosforo
1014 1013 1012 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 Resistividad ( Ω / cm )
ρ
Nota : Un fenómeno similar ocurrirá durante la descarga de arco en un gas.
O. VON PAMEL
35
S. MARCHISIO
MÓDULO IX El proceso de conducción eléctrica 1ra parte : Conducción eléctrica objetivos:
En el presente módulo se pretende lograr tres objetivos fundamentales : 1º- introducir un modelo de conducción eléctrica en sólidos. 2º- extender este modelo a gases y líquidos 3º- ver ejemplos donde el modelo no rige
O. VON PAMEL
1
S. MARCHISIO
Contenidos del módulo
El proceso de conducción Introducción : Perturbaciones del movimiento de los electrones en la red Mása eficaz: Centros de dispersión ( o desviación )
Movimiento térmico Movimiento por campo eléctrico Velocidad de arrastre . Movilidad
El proceso de conducción según el diagrama de bandas EXTENSIÓN DEL MODELO A CONDUCTORES Y AISLADORES. Conductores. Aisladores. Validez del modelo
Conducción eléctrica en gases Conducción eléctrica en líquidos Resistividad
Resistividad de un semiconductor Variación de la resistividad con la temperatura Variación de la resistividad con la iluminación Corriente fotoconductiva y resistencia ( L D R )
Difusión Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor Conducción eléctrica en campos magnéticos : Efecto Hall Superconductividad .
Modelo de la molécula de dos electrones:
Alta inyección
Efectos de altas corrientes en los semiconductores
FÍSICA ELECTRÓNICA
2
MÓDULO IX
El proceso de conducción
Introducción : Una de las propiedades que distinguen a un sólido de otro es su posibilidad o no de conducir una corriente eléctr ica. Recordemos que la intensidad de corriente representa la carga transportada por unidad de tiempo a través de una superficie normal a ella (debe existir entonces un desplazamiento neto de cargas en una dirección determinada ). La intensidad dependerá : de
• del número de cargas que puedan moverse libremente y • la velocidad con que lo hagan
Debido a esto , para hablar de intensidad de corriente es necesario que haya cargas ( electrones o huecos ) que puedan alcanzar niveles de energía cinética que estén disponibles. Por ultimo , es importante tener en cuenta que las intensidades son el resultado de los movimientos de muchísimás cargas individuales y no la componente originada por el movimiento de una cualquiera . Vamos a analizar por separado cuales son los posibles cambios en el estado de movimiento de los portadores en el cristal , así como quienes los generan con el objeto de posibilitar la comprensión de su dinámica.
Perturbaciones del movimiento de los electrones en la red Mása eficaz: Podemos describir el comportamiento electrónico del sólido en función de los portadores de corriente tratados como partículas Su movimiento en este caso no es el espacio libre , sino circunscripto al cristal . En el , los átomos de la red forman una serie de valles y montañas que impiden el movimiento libre de los portadores de corriente. O. VON PAMEL
3
S. MARCHISIO
Las partículas cargadas interaccionan con la red y sus movimientos se verán afectados por la influencia de esta ultima.
Potencial a
W
Distancia
Por esta razón , al ser tratados como partículas dentro del cristal , se les asocia un valor de mása que difiere del de la carga libre .
A esta mása se la llama : mása eficaz ( m* ) En estas condiciones , todos los efectos de los potenciales de la red periódica regular se hallan incluidos por completo en el parámetro m* . La mása eficaz del electrón ( m e* ) es menor que la del hueco ( m h*). De acuerdo a lo dicho puede interpretarse el porque : Para ello recordemos que los huecos deben moverse a nivel de los potenciales de la red , mientras los electrones lo hacen por sobre estos . ( Banda de conducción ) Centros de dispersión ( o desviación ) De acuerdo al ítem. anterior , a partir de considerar el concepto de mása eficaz , se independiza el movimiento de los portadores de los efectos del potencial periódico regular de la red. Los centros de dispersión ( blancos de choque ) que se presentan en la trayectoria del electrón pueden ser de dos clases : a - Imperfecciones locales y transitorias producidas por las vibraciones elásticas de los átomos del cristal. b - Impurezas de átomos extraños al cristal que destruyen el orden de la red periódica. Pasaremos a analizarlas con más detalle : ♣ Vibraciones elásticas: A temperaturas normales , las desviaciones o dispersiones más importantes se deben a deformaciones del cristal asociadas a vibraciones térmicas.
FÍSICA ELECTRÓNICA
4
MÓDULO IX
potencial periodico regular
Potencial a a´
potencial alterado por vibraciones termicas
Los átomos se hallan más separados o más concentrados en una región de lo que lo están en la red periódica ideal.
Estas variaciones alteraran el potencial eléctrico en las proximidades de dichas regiones , y estas diferencias de potencial representan campos eléctricos aplicados sobre ellas que alteran la dirección y magnitud de la velocidad y de la cantidad de movimiento de la partícula cargada. ♣ Dispersión por las impurezas: El efecto de las impurezas donantes o aceptante ionizadas puede hacerse importante según sean la temperatura y su concentración. Las impurezas de uno u otro signo desviaran a los portadores por atracción o repulsión según su signo con una eficacia que dependerá de la dirección inicial del movimiento de la partícula móvil respecto a la fija. Nota: Desde luego , ambas formás de dispersión pueden combinarse , cuando por ejemplo , se produzca una compresión vibratoria en una región del cristal que contenga un átomo de impureza cargado.
Movimiento térmico Los átomos el cristal y los electrones de conducción están siempre en movimiento térmico aleatorio. Los átomos vibran alrededor de sus posiciones medias en la red cristalina y los electrones se mueven muy rápidamente en todas direcciones sufriendo númerosos choques aleatorios con los átomos vibrantes. En estas condiciones : Los electrones no transportan globalmente corriente alguna en ninguna dirección , porque , por termino medio , se mueven tanto en una dirección como en otra. O. VON PAMEL
5
S. MARCHISIO
• 5 6•
•
2
• 1 7
Puede sintetizarse lo dicho mediante la observación de la figura en la que se representa en forma sencilla el tipo de movimiento térmico aleatorio de un electrón.
3•
• 4 •
Movimiento por campo eléctrico Cuando se aplica un campo eléctrico, la distribución de potenciales de la red se modifica, según se ve en la figura.
El campo eléctrico se ejerce de igual manera sobre todos los portadores de un tipo dado presentando una tendencia estacionaria a moverse en la dirección de la fuerza del campo.
Potencial a
W
.
.. . Distancia Potencial campo electrico F1
Hay sin embargo una condición adicional que aparece debido a la índole cuántica del electrón: el cambio de velocidad sólo se produce si tal cambio no implica un cambio de banda.
F2 F3
Al incrementar su velocidad el electrón también cambia su energía.
F4
Es decir, un electrón no puede ser acelerado de la primera a la segunda banda , ni de la segunda a la tercera , en general el electrón no puede cruzar ninguna discontinuidad de energía . x -a
x
x+a
x
El proceso de aceleración es además compatible con el principio de exclusión de Pauli, es decir un electrón cambia su velocidad siempre y cuando el estado que el electrón tenga que asum ir este desocupado. Si esto no sucede el proceso de aceleración se detiene. FÍSICA ELECTRÓNICA
6
MÓDULO IX
Es evidente que en una banda totalmente ocupada no puede ocurrir ningún proceso de aceleración , ya que los electrones en el tope de la banda no pueden ser acelerados ( porque cualquier aceleración los desplazaría a la banda siguiente ), estos electrones impiden que otros sean acelerados al estado que ellos ocupan y así sucesivamente hasta alcanzar por fin los electrones en el fondo de la banda. Al mismo tiempo que el electrón se acelera ocurren otros procesos completamente independientes : el electrón choca con barreras que encuentra en su camino , tales como impurezas , imperfecciones , la superficie del cristal , la falta de orden de los átomos del cristal debida a oscilaciones térmicas , etc. .(dispersiones ya analizadas ). Velocidad de arrastre . Movilidad De acuerdo a lo visto en el ítem. anterior , aparece, una componente adicional de la velocidad, por sobre el movimiento térmico o el proveniente de las dispersiones.
• 5 6•
2
• • 1 7
3
• movimiento termico aleatorio
• 4 E
•
•
•
•
•
•
•
7
6
5
4
3
2
1arrastre del E
• 5
Esta velocidad adicional, llamada velocidad de arrastre , vd , tendrá una dirección opuesta al campo eléctrico para los electrones e igual ala del campo para los huecos. Se encuentra que la fuerza resultante crece con esta velocidad promedio, como en las fuerzas de origen viscoso.
2•
6•
•7
• 1 3•
• 4 movimiento combinado del electron en el campo E
La velocidad de arrastre, por lo tanto será proporcional a la intensidad del campo aplicado. vd = µ E
A este factor de proporcionalidad se lo llama movilidad µ y sus unidades son : cm 2 / volt.seg.
O. VON PAMEL
7
S. MARCHISIO
Las movilidades de los portadores pueden expresarse en termino de sus cargas y másas eficaces. Para su valor también es importante el tiempo entre colisiones sucesivas de los portadores. Podemos escribir : vd = ( q . tcol / m* ) . E = µ E siendo:
q = carga tcol = tiempo entre colisiones m* = mása eficaz E = campo eléctrico µ = movilidad
Nota: El resultado que aparece en la expresión obtenida para vd proviene de un análisis en el que se supone que el tiempo entre colisiones es independiente del campo eléctrico. Esto es cierto , si la velocidad vd es pequeña comparada con las velocidades térmicas de los portadores ( del orden de 10 7 cm/seg. para el silicio a temperatura ambiente ). Cuando el valor de vd se hace comparable al de las velocidades térmicas ,su dependencia respecto del campo eléctrico se aleja un poco de la simple relación de proporcionalidad a la vista . La variación de v d con el campo eléctrico puede interpretarse a partir de la observación de la figura.
vd ( cm/seg )
10 x106 8 6
En ella se representan los resultados experimentales de vd vs. E.
4 2 0 0
0.4
0.8
1.2
1.6
2 x 104
Puede observarse que cuando el campo se hace suficientemente importante se alcanza una velocidad limite superior que deja de depender del valor del cam po. E (V/cm )
Otra conclusión que puede extraerse de las curvas concierne al valor de la movilidad µ, en ella se ve claramente la diferencia entre el valor de las movilidades de los huecos y de los electrones.
FÍSICA ELECTRÓNICA
8
MÓDULO IX
Nota: ( diodo gunn ) Un dispositivo que aprovecha la existencia de una velocidad limite superior para la velocidad de los electrones es el mal llamado diodo gunn, puesto que es una simple barra de material semiconductor n muy dopado. En las gráficas observar el principio funcionamiento
semiconductor N
R
V
podemos de su
Si
cerramos la llave, el terminal negativo de la batería inyectará electrones en el extremo de la barra.
Los electrones inyectados en la barra , se acelerarán en virtud del campo eléctrico aplicado.
E
V(x)
x
Enseguida alcanzaran la velocidad limite y comenzaran a moverse con v = cte. , por lo que se formara un frente de electrones que se moverá a lo largo de la barra con velocidad constante.
E
V(x)
x
Por detrás de este frente se irán acumulando electrones con v = cte. , esta acumulación de cargas apantallará primeramente el campo que ven las cargas que son inyectadas por el terminal negativo de la batería.
O. VON PAMEL
E
V(x)
x
9
S. MARCHISIO
Este apantallamiento se incrementara por la adición de cargas a este paquete así formado hasta hacer desaparecer el campo detrás de el. Por lo tanto cesará la inyección de cargas . Ahora en la barra sólo tenemos un paquete de cargas que se desplaza a velocidad cte.
E
V(x)
Cuando el paquete llegue al otro extremo de la barra , el campo se restablecerá y recomenzará el proceso. x
Finalmente, sobre la resistencia se verán pasar una serie de pulsos de corriente que se repetirán con un periodo: τ = l /v donde :
l : longitud de la barra v : velocidad limite de los electrones en el material
El proceso de conducción según el diagrama de bandas Específicamente vamos a analizar en detalle , la representación del proceso de conducción, tomando como ejemplo un material semiconductor homogéneo tipo n. En la figura puede observarse una muestra de semiconductor tipo n sin polarización.
semiconductor n
energia de los electrones banda de conduccion Ef banda de valencia energia de los huecos
En esta figura siguiente se ve la misma muestra de material con una polarización de +2 volt. aplicados a uno de sus terminales. En ella se
FÍSICA ELECTRÓNICA
10
MÓDULO IX
pueden observar además las correspondientes bandas de energía en función de la posición a lo largo de la muestra. Los electrones en la banda de conducción se +2V acelerarán debido al campo aplicado. Ee
∆U
Eh
potencial.
Debido a que en este proceso la energía total de los electrones no cambia significativamente, el aumento de energía cinética traerá como compensación una disminución de la energía
Este hecho se hace evidente en la ultima figura donde vemos que el electrón se aleja hacia arriba (ganando energía cinética) del borde inferior de la banda de conducción E c que representa como ya analizáramos la energía potencial del electrón. Cuando el electrón sufre una colisión (en promedio al haber recorrido una longitud de colisión) pierde parte de su energía cinética y la transfiere a la red del semiconductor. Este es el proceso de conversión de la energía cinética en calor. (este fenómeno se conoce como efecto joule) A continuación, luego de que el electrón perdió total o parcialmente su energía cinética, vuelve a acelerarse repitiendo el proceso. Ésta es la forma en que puede esquematizarse la conducción en el diagrama de bandas. En este análisis consideramos un semiconductor homogéneo, es decir, aquél que posee una concentración de impurezas uniforme. Por esta razón, en las figuras anteriores hemos indicado el nivel de Fermi conservando la misma distancia respecto a la banda de conducción a lo largo de toda la muestra. Nota:
O. VON PAMEL
11
S. MARCHISIO
+ 2V
semiconductor P
Ee
∆U Eh
Obsérves e que para un semiconductor tipo p ocurrirá lo mismo si cambiamos electrones en la banda de conducción por huecos en la banda de valencia.
En este caso la corriente de huecos tendrá la dirección de la corriente convencional. EXTENSIÓN DEL MODELO A CONDUCTORES Y AISLADORES. Obsérvese que este modelo puede ser extendido con facilidad a conductores y aisladores, mediante el cambio de E g y del número de portadores de carga N del material en cuestión. Recordando que: Ncond > Nsc.ext > Nsc.int >> Naisl.
y que:
Egaisl > Egsc > Egcond = 0
Conductores. En este caso un N es muy elevado y Eg = 0 Estas caracteristicas del material, hacen que un campo muy pequeño inicie la conducción. En la teoría clásica Ee este campo se considera igual a cero, pero a la luz de este modelo vemos que para que se ∆U produzca el efecto joule debemos tener un campo acelerador a la vez que colisiones con la red por lo cual este modelo se ajusta a la realidad y por lo tanto es aplicable. +V
conductor
Aisladores. grande.
En este caso N es muy pequeño respecto de los anteriores y Eg es
FÍSICA ELECTRÓNICA
12
MÓDULO IX
+V
aislador
Ee
∆U
Por lo tanto el fenómeno de circulación de corriente será despreciable, pero sí se harán visibles dos fenómenos colaterales observados por la Física Clásica.
Si colocamos entre las placas de un capacitor plano los Eh electrones de las impurezas ionizadas se desplazarán hacia el extremo lindante con la placa positiva creándose así un campo eléctrico interno de sentido opuesto al aplicado. Si aplicamos un campo eléctrico variable en el tiempo, los electrones en cada semiciclo de este se desplazarán en contra de la dirección del campo aplicado, colisionando según el modelo propuesto y cediendo por lo tanto energía a la red cristalina fenómeno que conocemos como calentamiento dieléctrico a altas
diagrama del hemiciclo positivo Ee
Ea
frecuencias. Validez del modelo
Al ser éste un modelo muy sencillo, (su sencillez lo hace muy potente ), su empleo puede ser generalizado para explicar la conducción eléctrica, no sólo en materiales sólidos como hemos visto sino también en gases y en líquidos. Para esto recordemos el modelo que hemos realizado. Éste consta de ideas fundamentales : * 1- un agente externo genera portadores de carga libres * 2- un campo externo acelera estos portadores *3- luego de haber recorrido una cierta distancia estos portadores colisionan con otras partículas cediendo toda o parte de su energía cinética * 4- estas otras partículas ganan la energía que los portadores de carga pierden incrementando su energía propia
O. VON PAMEL
13
S. MARCHISIO
* 5- el incremento de energía propia se traduce en un aumento de temperatura y / o energía cinética de estas últimas.
Resumiendo para los sólidos : agente externo conductor semiconductor n semiconductor p aislador
temp. ambiente luz temp. ambiente luz temp. ambiente luz temp. ambiente luz
portador de carga e
colisiona con
efecto
ion de la red
e
ion de la red
h
ion de la red
e
ion de la red
aumento temp.red aumento temp. red aumento temp. red aumento temp. red
Conducción eléctrica en gases Los gases están formados por átomos y moléculas eléctricamente neutros, y en condiciones normales se comportan como aisladores . Al ionizarlos, es decir, al quitar electrones a los átomos y/o moléculas que forman el gas, se convierten en conductores de la electricidad. En esta situación los átomos ( o moléculas ) del gas se transforman en iones positivos . Por otra parte los iones negativos se forman en los gases al ligar átomos o moléculas neutras con electrones libres. Se denomina trabajo de ionización Wi al trabajo realizado en contra de las fuerzas de ligadura entre un electrón y las demás partículas del átomo ( o la molécula ). Este trabajo Wi depende de la naturaleza química del gas y del estado de energía del electrón en el átomo o molécula . Al aumentar la ionización , es decir el número de electrones arrancados del átomo , aumenta el valor de Wi . El agente ionizante por excelencia de los gases es la radiación cósmica, en un gas monoatómico generara dos tipos de portadores de cargas : portadores de carga negativos : mása :
e, me
portadores de carga positivos : átomos parcialmente ionizados mása : ma >>> me
FÍSICA ELECTRÓNICA
14
MÓDULO IX
Aplicado un mismo campo eléctrico E , como a = F / m tendremos entonces: 1- todos los electrones se moverán en la misma dirección y por lo tanto no colisionarán entre si. 2- ídem para los iones. 3- dada la diferencia de mása la velocidad de los electrones será mucho mayor que la de los iones ⇒ ídem con las energías cinéticas⇒ para este tipo de gas ( dado que Ec = 3/2 kT ) habrá dos temperaturas de partículas distintas T e >>Ti 4- al cabo de una trayectoria libre media los electrones en promedio colisionarán con los iones. 5- esto hará que aumente T i a expensas de T e .Se observara un aumento de la temperatura y presión del gas. Si el fenómeno colisional fuera muy grande prodríamos llegar a obtener un plasma termalizado en el cual Ti = Te = Tp ( temperatura del plasma). En este momento podríamos completar la tabla hecha para materiales sólidos de la siguiente manera: gas
radiacion cosmica
e iones +
e-ion
aumento temp. y presion gas
En gases no monoatómicos , en alguna situación , podrían llegar a aparecer también iones negativos (que se forman cuando un átomo neutro captura un electrón), por lo que podríamos llegar a tener tres tipos de portadores ,que en plasmás no colisionales podrían llegar a dar existencia a tres temperaturas distintas. Para plasmas colisionales valdría el resultado anterior .
Conducción eléctrica en líquidos En un liquido polar como el agua la conducción eléctrica dependerá de la cantidad de iones (aniones y cationes) que se formen por disociación de sales , ácidos o bases que estén presentes en ella (las que podemos suponer como impurezas ) estos iones serán los portadores de carga . En este caso los dipolos del solvente haría de agente externo ionizante.
O. VON PAMEL
15
S. MARCHISIO
Otra vez se presenta un fenómeno de conducción eléctrica con cargas de ambos signos, pero, a diferencia de los gases ambos son masivos y de masas parecidas. En su movimiento estos iones colisionaran con las moléculas de agua y con los iones de signo opuesto, el efecto será un aumento de la temperatura del liquido. Completando ahora la tabla para estos casos liquido polar
dipolos
iones + iones -
colisiones entre las distintas moleculas
aumento temp.liquido
Resistividad La densidad de corriente J que fluye a través del material se expresa o define por el producto del número de electrones por unidad de volumen que pueden ser acelerados ( n ) , la carga del electrón ( q ) y la velocidad media v d. Por lo cual podemos escribir : n q2 tcol J = n q vd = n q µ E = ------------ . F m* La resistividad ρ ( resistencia por unidad de longitud de un cristal, cuya sección transversal es la unidad de área ) viene dada por el cociente entre el campo eléctrico E y la densidad de corriente J , es decir : 1 m* ρ = --------- = ------------nqµ q2 tcol n Resistividad de un semiconductor En el caso de un semiconductor los portadores de corriente pueden ser mayoritariamente electrones o huecos . Analizaremos en especial cada tipo de semiconductor desde el punto de vista de su resistividad. a- tipo n
FÍSICA ELECTRÓNICA
16
MÓDULO IX
En este caso , los portadores mayoritarios de corriente son electrones de conducción . La expresión particular de la resistividad es inmediata a partir de la general ya vista , por lo que : 1 ρ = ------------q µn n b- tipo p En forma análoga para el semiconductor tipo p : 1 ρ = -------------q µn n Por ultimo como en los semiconductores hay dos clases de portadores con movilidades diferentes y a veces con diferentes concentraciones , la formula se generaliza de la forma : 1 ρ = ------------------q ( µn n + µp p ) Es menester recordar que aunque ambos portadores se desplacen en sentidos opuestos conducen corrientes en el mismo sentido. Debemos recordar además que, para evaluar la concentración de portadores debemos basarnos en las ecuaciones ya vistas : n = ND - NA si ND > NA P = NA - ND si NA > ND
Nota: En la figura siguiente se grafica la correlación entre el número de impurezas y la resistividad ρ , para un semiconductor de silicio impurificado con fósforo y boro ( dopado n y p ) a temperatura ambiente.
O. VON PAMEL
17
S. MARCHISIO
N Densidad de dopantes (cm -3)
1021 1020 Boro
1019 1018 1017 1016
Fosforo
1015 1014 1013 1012
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 Resistividad ( Ω / cm )
ρ
Variación de la resistividad de los materiales con la temperatura Cuando deducimos el valor de ρ , ( resistividad ) en una muestra del material , la expresamos en función del número de portadores que pueden ser acelerados (n ) y del tiempo entre colisiones ( tcol ) llegando a: m* ρ = --------------q2 tcol n Esta es una de las fórmulas más importantes de la física del sólido. Nos dice que la resistividad de una sustancia determinada es inversamente proporcional al número de electrones que puede ser acelerado ,así como , al tiempo entre colisiones Tcol . En otras palabras : si se duplica el número de electrones que pueden ser acelerados , o el lapso transcurrido entre dos colisiones consecutivas , la resistencia se reduce a la mitad. Basándonos en ella , se puede ahora discutir las propiedades eléctricas de los distintos materiales .
FÍSICA ELECTRÓNICA
18
MÓDULO IX
Las cantidades que varían de cristal a cristal son n y t col y , ambas , además, varían con la temperatura. Estudiemos pues separadamente el efecto de ambas variaciones. 1- Influencia de la variación de Tcol con la temperatura sobre la resistividad. El tiempo entre colisiones consecutivas depende de varios factores y esta relacionado con el número de centros de dispersión ( blancos de choque ) que se presentan en la trayectoria del electrón . A temperaturas muy bajas átomos se ¨congelan¨ .
los movimientos vibratorios de los
Por lo tanto , el lapso entre colisiones a temperaturas muy bajas depende críticamente de la perfección de la estructura cristalina y de las impurezas que tenga el cristal. El efecto de las colisiones producidas por las vibraciones elásticas cambia notablemente con la temperatura A la temperatura ambiente ( ∼ 300 ºK ) , las vibraciones atómicas constituyen en al mayoría de los casos , los centros de dispersión más abundantes e importantes. 1-a metales Conviene destacar que si el número n de la formula de resistividad fuera independiente de la temperatura , la resistividad de todos los cristales debería decrecer a medida que la temperatura decrece, pues: Si T decrece : * Las vibraciones atómicas del cristal disminuyen . * Hay por lo tanto menos centros de dispersión. * Los electrones encuentran menos blancos c on los cuales chocar y el lapso entre colisiones sucesivas se hace mayor, y * Al aumentar T col , la resistividad decrece. Este argumento sólo se aplica a los metales , en cuyo caso es valida la suposición de que n es casi independiente de la temperatura . 1-b semiconductores O. VON PAMEL
19
S. MARCHISIO
En los demás casos ya vimos que la variación de n con la temperatura es tan importante que anula el efecto descripto arriba y produce un aumento (en muchos casos muy grande ) de la resistividad a medida que T crece.
2- Influencia de la variación de la concentración de portadores n con la temperatura 2-a metales En este caso n es casi independiente de la temperatura por lo tanto si T crece , entonces t col disminuye , por lo tanto ρ crece al crecer T. 2-b semiconductores ( termistores ) 2-b-1 extrínsecos Según hemos visto la concentración de portadores n en el caso de un semiconductor extrínseco tiene una dependencia con la temperatura que puede visualizarse a través de la figura.( trazo lleno ) n (cm -3 )
Silicio tipo N
3 . 1 0 16
2 . 1 0 16
1
2
3 n
1 . 1 0 16 ni 0 0
100
200 300
400 500 600 T (0K )
perfecto .
700
En esta distinguimos tres zonas ( para n ) , en donde a altas y bajas temperaturas ( zonas 1 y 3 ) se incrementa con ella según las leyes ya analizadas y en otra ( zona 2 ) n se mantiene prácticamente constante. Vemos que a 0 ºK , la ausencia de portadores libres hace del semiconductor un aislante
Cuando la temperatura crece , los electrones de los átomos de dopaje consiguen la suficiente energía como para llegar a la banda de conducción y por lo tanto aumenta la conductividad σ del material ( 50 ºK ). De 50 a 500 ºK , la σ disminuye porque las movilidades disminuyen. A partir de los 500 ºK , el aumento brusco se debe al paso de operación extrínseca a intrínseca de del semiconductor. FÍSICA ELECTRÓNICA
20
MÓDULO IX
La figura muestra la variación de conductividad con al temperatura del silicio tipo P con NA = 1015 atom/cm3.
conductividad (mu/m) 50 40 .
30 20 .
10
temp 200
400
600
ºK
La figura es para un dado semiconductor , para otro semiconductor y distinto dopaje sólo se modifican las escalas y no la forma de la curva .
Si una resistencia esta construida con un semiconductor extrínseco , en cierto rango de trabajo , al variar la temperatura , la conductividad disminuye y por lo tanto su resistividad aumenta , a estos termistores se los denomina PTC. (coef. de temp. pos. ) 2-b-2 Intrínsecos La dependencia de n i con la temperatura puede observarse también en la figura siguiente. De ella podemos deducir que si el termistor emplea un semiconductor intrínseco, la conductividad aumenta, la resistencia disminuye por lo que estos se denominan NTC. ( coef. negativo.)
conductividad (mu/m) 50 40 .
30 20 .
10
temp 200
400
600
ºK
Variación de la resistividad de los materiales con la iluminación Si se irradia un semiconductor aumenta su conductividad. Este efecto fotoconductivo se explica de la siguiente forma : la conductividad de un material es proporcional a la concentración de portadores de carga presentes. Como vimos la energía radiante suministrada al semiconductor rompe los enlaces covalentes , y se crea un exceso de pares electrón hueco respecto a los generados térmicamente. O. VON PAMEL
21
S. MARCHISIO
Estos portadores de corriente en exceso disminuyen la resistencia del material y , por lo tanto , tal dispositivo se denomina fotorresistencia o fotoconductor. Para una variación de la intensidad de la luz de 100 lúmenes / pie cuadrado , la resistencia de un fotoconductor comercial puede variar varios kilohms.
Corriente fotoconductiva y resistencia ( L D R ) Los portadores generados por fotoexcitacion se moverán bajo la influencia de un campo aplicado.
foton ✼
←Θ ⊕→
Si no se recombinan , llegaran a los contactos V óhmicos en los extremos de la barra semiconductora , constituyendo entonces la corriente del dispositivo. Esta corriente puede calcularse si se conoce la velocidad a la que se generan los portadores por la luz y el tiempo de vida media τ de esos portadores. Si se expone el semiconductor a una iluminación L se librea un número de electrones por segundo N que depende de la iluminación y de las dimensiones del material , siendo : N = η l d L donde : η : cte. que depende de la longitud de onda de la longitud de onda de la radiación lumínica recibida. L : iluminación d : distancia entre electrodos l : longitud de la muestra Si se aplica entre electrodos una tensión V los electrones se desplazarán con una velocidad v proporcional al campo E . v = µ E = µ V/d La constante de movilidad µ vimos que se llama movilidad.
FÍSICA ELECTRÓNICA
22
MÓDULO IX
No todos los electrones llegan al electrodo positivo , si no , sólo aquellos que han sido liberados a una distancia del cátodo inferior a v.τ , siendo τ la vida media de un electrón libre .
d ≤ τ v
Θ
Θ
✼
✼
⊕ d
⊕
La fracción de los electrones que continuara la corriente será :
≤ τ v v . τ / d
y la fotocorriente y medida se obtiene a partir de : i = N q v τ / d = η q µ τ l L V / d donde q : carga eléctrica del electrón. Por lo tanto la resistencia R causada por la luz vale : η q µ τ l R = V / i = ------------- L-1 d El tiempo de vida τ generalmente no es constante sino que depende de la longitud de onda λ y de la iluminación L τ = τo ( λ ) L - β a:
La relación ente R y L podrá expresarse con bastante aproximación R = A L - α De las ecuaciones anteriores resulta que : η q µ τ0 l A = --------------d
Para obtener una LDR sensible es necesario que A sea lo más bajo posible. Esto se logra eligiendo un sulfuro de cadmio con altos valores de : η , µ , τ0 así como aumentando la relación l / d tanto como sea posible.
O. VON PAMEL
23
S. MARCHISIO
material fotoconductor
ventana capsula metalica sustrato ceramico terminales
″
semiconductor de CdS , vista interior
Esto se logra usando una larga y estrecha tira de material doblando varias veces para que cubra poca superficie.. Esta disposición se completa dando a los electrodos forma de peines con las puntas intercaladas.
Estos fotoconductores disipan sin problemás 300 mW y pueden diseñarse para manejar sin problemás varios vatios. Existen otros tipos de dispositivos fotoconductores para aplicaciones especificas :
ultravioleta R e s p u e s t a
4000 visible 7000
infrarrojo
100
r e l a t i v a
%
80
ZnS
CdS
60
PbS 0
Si
PbTe 90 K
CdSe
40 20
PbSe
Ge 0
GaAs
InSb 5 k
λ
0 3000
5000
10.000
20.000
50.0000
100.000
La celda de sulfuro de plomo ( SPb ) presenta un pico en la curva de sensibilidad a 2.9 µm y por lo tanto se usa para detección infrarroja , o en medidas de absorción infrarrojas. La célula de Selenio es sensible en todo el espectro visible , especialmente en el azul.
Difusión Si suponemos una muestra del material en la cual la concentración de impurezas no es uniforme , los electrones se difundirán bajo la influencia del gradiente de concentración. FÍSICA ELECTRÓNICA
24
MÓDULO IX
L a s z o n a s m a s o s c u r a s c or e s p o n d e n a u n a m a y o r c o n c e n t r a c i o n d e e l e c t r on e s .
ID
Aparece entonces una corriente neta de Difusión proporcional a las diferencias de concentraciones. A la constante de proporcionalidad se la llama difusividad o coeficiente de Difusión D .
El valor de este coeficiente fue hallado por Einstein en función de la movilidad siendo : KT D = -------- µ q Como existen dos movilidades distintas también se deducen difusividades distintas: KT D = -------- µp para el caso de los huecos q KT D = -------- µn para el caso de los electrones q
Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor Hasta aquí hemos introducido las ideas que fundamentan la dinámica del movimiento de huecos y electrones de conducción en un semiconductor. Vimos en este capítulo el arrastre (movimiento en respuesta a un campo eléctrico ) que completa con la difusión ( resultado natural del movimiento térmico aleatorio cuando no es uniforme la concentración en el espacio ) y recombinación, tratadas en el capítulo anterior (intento de volver a las concentraciones de equilibrio por ambos tipos de portadores). De hecho, todos estos procesos representan la respuesta del semiconductor cuando se perturba su estado de equilibrio por medios exteriores.
O. VON PAMEL
25
S. MARCHISIO
Nos interesa ahora conocer cual es la expresión del flujo de cargas en el semiconductor . Si bien ya contamos con algunos resultados importantes de los distintos procesos, en forma separada, éstos se dan, muchas veces, en forma simultánea. Consideramos al semiconductor en dos estados diferentes a saber : • en equilibrio • fuera del equilibrio ( caso de inyección )
Caso del semiconductor en equilibrio ( n . p = n i2 ) Para poder dar la expresión del flujo de portadores en este caso, conociendo los distintos procesos dinámicos, debemos dar una definición. Llamamos flujo F de cualquier especie al número de entes de esa especie que atraviesan la unidad de área en la unidad de tiempo . Se hace evidente a partir de lo expresado que un proceso que tiene lugar en el semiconductor aportará directamente al flujo de portadores si provee un desplazamiento neto por unidad de tiempo . En el caso de un semiconductor en equilibrio los distintos procesos a considerar son : generación de pares por efecto térmico: el efecto fundamental de ♦ la generación sobre el semiconductor es suministrar portadores (despreciando la transferencia de impulso). La generación en sí misma no provee un desplazamiento de cargas en una dirección determinada por lo que no aporta al flujo de portadores en el semiconductor. Recombinación de pares : este caso es opuesto al anterior en ♦ cuanto al efecto que produce sobre al concentración de portadores, pero similar al anterior en cuanto tampoco genera en sí un desplazamiento neto de cargas . Este proceso por lo tanto no aporta al flujo de portadores en el semiconductor . Difusión: en un semiconductor donde por alguna causa (debido a ♦ los procesos de generación y recombinación o a su estructura), la concentración de portadores no es uniforme. Las cargas, realizando FÍSICA ELECTRÓNICA
26
MÓDULO IX
movimientos aleatorios, se desplazan en el sentido de las concentraciones decrecientes. La difusión por tanto sí aporta al flujo que estamos considerando siendo éste proporcional al gradiente de concentraciones . Arrastre ( acción del campo eléctrico ): vimos cómo un campo ♦ eléctrico genera desplazamiento de portadores de uno u otro signo en el semiconductor . El flujo de electrones y huecos resulta proporcional al campo .Como tienen cargas de signos opuestos se mueven en sentido contrario , pero también conducen la corriente en el mismo sentido. si consideramos simultáneamente los dos procesos que proveen al ♠ flujo en el semiconductor, éste será la suma de las componentes de arrastre y difusión . Podemos escribir la densidad de corriente de huecos : ( J p ) como : Jp = q µp p E − q Dp ∂p ∂x y la de electrones :
arrastre
Jn = q µn n E
difusión
+ q Dn ∂n ∂x
Obsérvese que los términos de arrastre en las dos ecuaciones • tienen el mismo signo algebraico porque el campo eléctrico origina corrientes de igual sentido con las partículas cargadas con signos opuestos. En cambio los términos de difusión tienen signos algebraicos • opuestos porque un gradiente dado de concentración haría que los dos tipos de partículas se difundieran en el mismo sentido y por lo tanto transportarían corrientes eléctricas en sentidos opuestos debido a los signos opuestos de las cargas. En el caso de equilibrio que estamos considerando tanto J n como Jp • son idénticamente nulas pues se compensan los términos de arrastre y difusión .
Caso del semiconductor en condiciones de inyección en bajo nivel Vimos que en un semiconductor pueden crearse portadores en exceso, tanto huecos como electrones de conducción por distintos métodos. Las características dinámicas principales de estos portadores en exceso es que son arrastrados por un campo eléctrico, que se difunden alejándose O. VON PAMEL
27
S. MARCHISIO
de las regiones de concentración elevada y que desaparecen por recombinación. En este caso también podemos escribir ecuaciones similares a las vistas en el caso de equilibrio, que dan el flujo de cargas en el semiconductor considerando ahora las concentraciones de equilibrio más las generada en exceso donde figuran n y p . !
Nota :
En el caso del semiconductor fuera de equilibrio la recombinación provee una variación de concentración por unidad de tiempo (velocidad de recombinación neta) y una distribución de portadores no constante en algunos casos a lo largo del eje x. El flujo de portadores que se origina debido a este hecho se produce mediante el mecanismo de difusión . La recombinación en sí misma no provee flujo de portadores en el semiconductor. Los portadores inyectados difunden debido a que existe recombinación que hace disminuir las concentraciones de huecos y electrones; es decir, provee gradiente de concentraciones.
El efecto Thompson en metales y semiconductores . Este efecto es interesante para ilustrar lo anteriormente expuesto. ♦
En metales
FÍSICA ELECTRÓNICA
28
MÓDULO IX
Supongamos una barra metálica que se calienta en forma no uniforme, según se ve en la figura .
distribución de portadores
Obsérvese la distribución de portadores en exceso así como la corriente de difusión.
metal portadores generados térmicamente
fuente de
En la tercer representación en la figura se mantiene la inyección térmica , mientras que en la siguiente, ésta cesa y se produce el retorno al equilibrio.
calor difusión de portadores
desaparición del proceso
.
distribución de portadores generados térmicamente
.
El efecto Thompson se produce cuando al fenómeno de inyección térmica le agregamos el arrastre de portadores por parte del campo eléctrico. El campo eléctrico aplicado dará origen a la aparición de una fem. entre los extremos de la barra.
campo externo
arrastre difusión
difusión
♦
En semiconductores
El proceso será similar excepto que tendremos dos tipos de portadores. Puede observarse en la figura siguiente la aparición de la fem.
O. VON PAMEL
29
S. MARCHISIO
semiconductor fuente de
calor
banda de conducción creación
de pares
cam po eléctrico externo
−
+
cam po eléctrico externo
− +
Conducción eléctrica en campos magnéticos : Efecto Hall El movimiento de los portadores de carga adquiere nuevas características en presencia de un campo magnético. En el estudio de estas características, se emplea un filamento de un sólido al que se aplica un campo E en sentido longitudinal y un campo H perpendicular a E. Como consecuencia se produce en el filamento un voltaje en dirección perpendicular a las de E y H . Este voltaje se llama voltaje hall y es un efecto de suma utilidad en la física de los semiconductores , porque permite estudiar directamente la concentración de los portadores de carga y su tipo de signo . Analicemos el efecto hall según la geometría de la siguiente figura. FÍSICA ELECTRÓNICA
30
MÓDULO IX
En ausencia del campo magnético los electrones se mueven en una dirección x opuesta a la dirección de E y se produce una densidad de corriente Jx. Efecto Hall en un semiconductor intrinseco y
La fuerza f sobre el electrón es igual a:
E
z
fx = q Ex
H
x
Ez
Si sólo se aplica el campo magnético H en la dirección de z , la fuerza magnética sobre un electrón estará dirigida en la dirección y , y será igual a:
Ey
Hz
fm = - 1/c v x H
Efecto Hall en distintos materiales
donde :
y
fmy = -1/c vx. Hz
E
z
Esta fuerza empujara a los electrones ( cargas negativas ) en la dirección de la superficie inferior del filamento.Como consecuencia se formara un campo eléctrico Ey que cancelara el efecto del campo magnético.
H x Semiconductor intrinseco Ey
Hz Semiconductor tipo N
- --
vx Hz Jx Hz Ey = ---------- = --------c nqc
-- ----
Semiconductor tipo P
La medida de este campo eléctrico Ey nos da la concentración de electrones n.
+++ +++ +++ Conductor
El campo eléctrico será negativo cuando los portadores de cargas estén constituidos por huecos ( semiconductores tipo p) .
--- - --- ---
El campo eléctrico es mucho mayor en los semiconductores que en los metales , debido a que en estos últimos n es mucho mayor . Al medir simultáneamente el efecto Hall y la conductividad eléctrica se obtiene el valor de la m ovilidad µH , denominada movilidad Hall, ya que: Jx Hz 1 Fy . σ = ---------- . µqn = ----- Jx Hz µH nec c
Superconductividad . O. VON PAMEL
31
S. MARCHISIO
La superconductividad es un fenómeno caracterizado esencialmente por la ausencia de resistencia al paso de la corriente eléctrica. Así pues un superconductor puede dejar pasar cantidades importantes de corriente, incluso a través de una sección muy estrecha sin sufrir perdidas por calentamiento. Del mismo modo , si se induce una corriente en un anillo superconductor la corriente puede circular indefinidamente por el anillo sin ninguna atenuación. Este estado de superconducción lo presentan solamente algunos materiales cuando son enfriados a temperaturas muy bajas. Sin embargo , no es esta la única propiedad que se observa en los materiales superconductores . Otra propiedad muy característica es la repeler los campos magnéticos inducidos en las proximidades del material superconductor. Este fenómeno se pone de manifiesto por la experiencia de levitación magnética o efecto Meissner , que consiste en la suspención o flotación en el aire de un imán cuando se sitúa encima de una muestra superconductora. En la actualidad existen dos modelos que se emplean para explicar este fenómeno . Nos limitaremos a presentar uno de ellos , por simplicidad el que más se aproxima a los modelos empleados en este curso.
Modelo de la molécula de dos electrones: Este modelo supone que por debajo de una temperatura critica que denominaremos de superconducción Ts los iones están fijos en sus posiciones de equilibrio ( sin vibrar alrededor de ella ).
En la figura se observa un corte plano de una red cristalina en la cual todos los iones se encuentran inmóviles en sus posiciones de equilibrio.
FÍSICA ELECTRÓNICA
32
MÓDULO IX
Cuando un electrón de conducción ( móvil a lo largo de la red , y por lo tanto alejado del núcleo del ion ), se acerca a ella , la atracción electrostática entre este y los iones , hará que la red se deforme.
e•
Los iones más próximos al electrón saldrán de su posición de equilibrio acercándose a este.
•
A medida que el electrón avanza, avanza con el la deformación , la cual tiene la forma aproximada de dos troncos de pirámide unidas en su base menor.
•
Si aparece otro electrón en la misma dirección , vera que la red deformada forma una especie de cono . •
Esto hace que este electrón siga la misma trayectoria que el anterior. Obsérvese la siguiente figura.
•
•
•
Por lo tanto la configuración de fuerzas de la red sobre los electrones hace parecer como si estos se atrajeran constituyendo una molécula , que se desplaza por la red.
Obviamente esta molécula sólo puede existir dentro de la red cristalina cuando esta a temperaturas menores a Ts. Al estar formada por dos electrones de spin ±½ , su espín (suma algebraica de ambos será 0 o 1. Por lo tanto al ser de spin entero , esta molécula no responderá no a la estadística cuántica de Fermi-Dirac y si lo hará a la estadística cuántica de Bose-Einstein. Por lo tanto para ella no regirá el principio de exclusión de Pauli. O. VON PAMEL
33
S. MARCHISIO
Por lo tanto todas las moléculas de dos electrones que se formen podrán tener la misma energía ( como los fotones ) , si esto ocurre se pude demostrar que cualquier perdida de energía por colisión contra la red es despreciable. Es decir podemos suponer que se mueven sin colisionar con la red por lo que su resistividad será igual a cero.
Alta inyección Efectos de altas corrientes en los semiconductores En altos niveles de corriente, la concentración de portadores inyectados puede exceder por mucho la concentración de dopaje del material ( p ej.: pn >> ND ). En este caso para que se mantenga la neutralidad de carga en el material , la concentración de electrones y de huecos debe igualarse. Por lo tanto la concentración de mayoritarios también se incrementara cuando los portadores minoritarios se incrementen . Esta condición se conoce como modulación de la conductividad del semiconductor. En la situación de modulación de la conductividad , el semiconductor , aparece como si estuviera más fuertemente ¨dopado¨ cuando el nivel de inyección se incrementa. Recordemos que cuanto más dopamos un material este se vuelve más conductor , es decir su resistividad disminuye. (vease la figura siguiente) A altos niveles de corriente, una significativa carga espacial estará presente en todo el material.
FÍSICA ELECTRÓNICA
34
MÓDULO IX
Más adelante veremos que esta ultima hará desaparecer las diferencias entre regiones neutras y regiones de carga espacial .
N Densidad de dopantes (cm -3)
1021 1020 Boro
1019 1018 1017 1016 1015
Fosforo
1014 1013 1012 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 Resistividad ( Ω / cm )
ρ
Nota : Un fenómeno similar ocurrirá durante la descarga de arco en un gas.
O. VON PAMEL
35
S. MARCHISIO
APÉNDICE I FÍSICA ESTADÍSTICA
O. Von Pamel
1
S.Marchisio
Contenidos del Módulo Elementos de Física Estadística Introducción
Probabilidad del estado de un sistema Valores medios de las magnitudes físicas
Estadística Clásica
Ley de equiparación de la energía por grados de libertad Distribución de Maxwell-Boltzmann
Estadísticas Cuánticas
Generalidades Estadística de Bose-Einstein Estadística de Fermi-Dirac
Fisica Electronica
2
Apendice I
Elementos de Física Estadística Introducción ♠ Se llama Física Estadística a la parte de la Física que estudia las propiedades macroscópicas de los sistemas basándose en los conceptos cinético-moleculares y en los métodos de la Estadística Matemática.
La Física Estadística estudia los sistemas que se encuentran en estado de equilibrio o próximos a él. El objeto de la Física Estadística es hacer el análisis del comportamiento y de las propiedades de estos sistemas basándose en determinadas hipótesis acerca de su estructura atómica. En la Física Estadística se suponen conocidas las propiedades y ♠ leyes del movimiento propio de los átomos, moléculas y partículas elementales que se estudian en la Mecánica Cuántica. En muchos casos el estado de un sistema arbitrario constituido por n partículas con s grados de libertad puede ser descripto por la Mecánica Clásica mediante n.s coordenadas generalizadas y n.s momentos generalizados , es decir se dan 2.n.s variables independientes. El espacio cuyos ejes coordenados son las 2ns coordenadas y momentos generalizados se denomina espacio de las fases o espacio físico . El comportamiento de los sistemas formados por un gran número de ♠ partículas es descripto por leyes Estadísticas que se diferencian de las leyes que se emplean para describir a cada una de las partículas que componen el sistema macroscópico. El comportamiento de una partícula aislada, como por ejemplo, su trayectoria, resulta ser irrelevante cuando se define el sistema Estadísticamente. Por esta razón, el estudio de las propiedades de un sistema se reduce a buscar los valores medios de las magnitudes físicas que caracterizan el estado de dicho sistema en conjunto. Una diferencia esencial entre los sistemas que se describen Estadísticamente y los sistemas para cuya descripción son suficientes las leyes de la Mecánica es que el comportamiento y las propiedades de los primeros son independientes en alto grado de su estado inicial. La relación que existe entre las leyes que describen el movimiento ♠ de las partículas aisladas, - llamadas leyes dinámicas -, y las leyes Estadísticas, se pone de manifiesto en el hecho de que las propiedades de todo sistema macroscópico, estudiado estadísticamente, varían O. Von Pamel
3
S.Marchisio
considerablemente en dependencia de las leyes de movimiento de las partículas por separado.
Probabilidad del estado de un sistema ♠ Cada uno de los diversos estados que puede presentar un sistema tiene una cierta probabilidad de producirse.
La probabilidad wi de un estado i se define como el límite de la razón de tiempo ti durante el cual el sistema se encuentra en ese estado, al tiempo total T de observación del sistema, cuando T aumenta indefinidamente. Así podemos escribir: wi = lim ti T→∞ T Si una magnitud física determinada M es función unívoca del estado y toma el valor Mi , quiere decir que el sistema se encuentra en el estado i . La probabilidad del estado i-ésimo de un sistema coincide con la ♠ probabilidad de que la magnitud física M tome un valor Mi. Si N es el número total de mediciones de la magnitud M y Ni es el número de mediciones en virtud de la cual se ha hallado que M tiene el valor Mi, resulta que: wi = lim Ni N→∞ N Cuando el estado del sistema varía continuamente, hay que ♠ referirse, no al valor de Mi, sino a un intervalo de valores de esta magnitud. La probabilidad d w(M) de que la magnitud M tenga un valor que se encuentre en el intervalo entre M y M + d M será: d w(M) = lim d tM T→∞
T
donde d tM es el tiempo durante el cual el sistema se encuentra en los estados correspondientes a los valores de M comprendidos entre M y M + d M ; los valores de d tM y de d w(M) son proporcionales al intervalo d M. Es decir : d w(M) = f (M) d M siendo f (M) la densidad de distribución de las probabilidades.
Fisica Electronica
4
probabilidad o
función
Apendice I
de
♠
Las condiciones de normalización de las probabilidades de un
estado pueden evaluarse de la siguiente forma: ♦ cuando los estados son discretos :
Σi wi = 1
♦ cuando el estado varia continuamente :
∫ ∫ d w(M) = ∫ ∫ f (M) d M = 1
Valores medios de las magnitudes físicas El valor estadístico medio de la magnitud M se designa por M y se determina de la manera siguiente: •
si M varía en forma discreta M = Σi m wi
•
si M varía en forma continua: M = ∫ ∫ M d w(M) = ∫ ∫ M f (M ) d M ,
donde la suma y la integración, en cada caso, se extiende a todos los estados posibles del sistema
Estadística clásica Ley de equiparación de la energía por grados de libertad En un sistema que se describa por las Estadística Clásica, cuyo estado se caracterice por ser de equilibrio termodinámico, a cada grado de libertad de una partícula le corresponde una misma energía igual a ½ K.T, siendo k la contante de Boltzman y T la temperatura absoluta. Todos los grados de libertad de un sistema definido por la Mecánica Clásica son iguales energéticamente. Esta es la esencia de al ley de la equiparación de la energía por grado de libertad.
Esta ley tiene un campo de aplicación limitado y deja de ser válida si el sistema se define cuánticamente.
Distribución de Maxwell-Boltzmann
O. Von Pamel
5
S.Marchisio
La ley o distribución de Maxwell-Boltzmann establece la distribución de las moléculas de un gas, por coordenadas y velocidades, en presencia de un campo de fuerzas potenciales arbitrarias. Las fórmulas de esta distribución que más se utilizan son: 2 Ep -1 ( v + ---------- ) vp2 m 2
d nv = 4.n0 e √π vp2
donde :
vp :
v2 d v
es la velocidad más probable de las moléculas
d nv :
el número de moléculas por unidad de volumen del gas en las proximidades del punto (x, y, z), cuyas velocidades están comprendidas entre v y v + ∆v. Ep(x,y,z): la energía potencial de las moléculas en el punto del campo de fuerzas exterior que se considera n0 : el número de moléculas por unidad de volumen del gas en el punto en que E p =0
- px2+py2+pz2 d w =
.
e 1 3/2 (2π mkT)
2mkT
- Ep(x,y,z)
dpx dpy dpz . const e
d E(p)
dx dy dz d E(x,y,z)
distribución de Maxwell siendo :
kT
distribución de Boltzmann
d w :
la probabilidad de que las coordenadas y las proyecciones de los momentos de la molécula se encuentren en el elemento de volumen del espacio fásico d Γ = d x d y d z d px d py d pz y Ep(x,y,z) la energía potencial de la molécula en el campo de fuerzas exterior.
De esta forma la distribución de Maxwell-Boltzman se puede ♠ considerar como una función de distribución que representa el producto de las probabilidades de dos sucesos independientes, a saber: ♦ de la probabilidad de un valor dado del impulso de la molécula (d w(p) )
Fisica Electronica
6
Apendice I
♦ de la probabilidad de una posición dada de dicha molécula en el espacio ( d w(x,y,z) ) ♠
Obsérvese que: la energía total es E = Ec + Ep y
Ec = ( px2+py2+pz2)/2m
Podemos reescribir la última ecuación como:
-E d w =
const. e (2π mkT)3/2
kT
dΓ
Estadísticas cuánticas Generalidades Se llama Estadística cuántica a la teoría que describe a los sistemas ♠ constituidos por un número de partículas bastante grande para las que rigen las leyes cuánticas. El estado de un sistema mecánico - cuántico arbitrario que tenga s grados de libertad, se puede considerar en la llamada aproximación cuasiclásica, de forma análoga a como se hace en la Mecánica Clásica. Pero en este caso se impone una limitación a los posibles estados del sistema, a saber: A cada estado cuántico de s grados de libertad le corresponde una celda en su espacio fásico cuyo volumen es ´hs. Esto último está de acuerdo con el Principio de Incertidumbre de Heisemberg.
La variación del estado del sistema puede tener únicamente carácter discreto, es decir: el sistema salta de unas celdas del volumen fásico a otras. En la aproximación cuasiclásica el paso a la celda fásica contigua corresponde a una variación muy pequeña de las propiedades del sistema. De este modo se puede considera que dichas propiedades varían en forma continua. O. Von Pamel
7
S.Marchisio
La distribución de las partículas por las celdas del espacio fásico de seis dimensiones (z , y , z, px , py , pz ) caracteriza un microestado determinado del sistema . La Estadística Cuántica tiene por objeto buscar las funciones de ♠ distribución de los sistemas de partículas en el espacio de fase . Una diferencia esencial entre las Estadísticas cuánticas y la clásica es la observación consecuente, por parte de las primeras, del principio de la indistinguibilidad de las partículas idénticas.
Cuando se resuelven problemas de distribución de partículas idénticas en un espacio de fase, en la Estadística Cuántica carece de sentido plantearse cual de estas partículas se encuentra en una celda dada de dicho espacio. El único problema que se plantea es el de hallar el número de partículas que hay en una celda dada. El microestado de un sistema no varía si las partículas cambian de sitio entre sí dentro de una misma celda fásica o entre celdas diferentes.
Estadística de Bose-Einstein Esta Estadística se emplea para describir sistemas de partículas de ♠ spin entero o bosones (por ejemplo: Fotones , pares de Cooper y algunos núcleos) Se cumple en los sistemas definidos por funciones de onda simétricas. Para hallar la función de distribución correspondiente a la Estadística ♠ de Bose Einstein, se divide todo el volumen fásico en pequeños elementos ∆Γ ΓI , en cada uno de los cuales hay ∆gi estados con energías que van desde Ei hasta Ei + ∆Ei . Si en un elemento dado de volumen de fase ∆Γ ΓI hay ∆Ni partículas, éstas se pueden distribuir de todas las maneras posibles entre los ∆gi estados de energía Ei. ∆gi = ∆Γ ΓI / ´h2
El número de estados es:
La probabilidad termodinámica de distribución de las partículas por estados en el espacio fásico permite hallar la distribución más probable siempre y cuando:
Fisica Electronica
8
Apendice I
se conserven: la energía total del sistema y el número total de partículas
E = Σ ∆Ni .Ei N = Σ ∆Ni
En lugar del número de partículas ∆Ni ( Ei ) que hay en el intervalo de energías ∆Ei , se determina, por regla general, la densidad de población de los estados que tienen una energía dada; es decir, el número de partículas ni que hay en un estado, el cual recibe le nombre de función de distribución de Bose-Einstein .
1 ∆N ( Ei ) n i = ------------------- = ------------------------∆ gi Ei - µ
e
siendo :
kT
- 1
µ el potencial químico referido a una partícula , y k la constante de Boltzman
El subíndice i se omite algunas veces ya que esta función de distribución es válida para cualquiera de los elementos del volumen fásico.
Estadística de Fermi-Dirac Esta Estadística se emplea para describir sistemas de partículas de ♠ spin semientero o fermiones, tal el caso de electrones, protones, neutrones, etc.; es decir partículas para las que vale el principio de exclusión de Pauli. En estos sistemas, en un estado cuántico, no puede haber más de una partícula. La resolución del problema de encontrar la distribución más ♠ probable de las partículas por estados cuánticos con la condición de que: se conserven: la energía total del sistema y el número total de partículas
O. Von Pamel
9
S.Marchisio
conduce a la función distribución de Fermi-Dirac: ∆N ( Ei ) 1 n i = ------------------- = ------------------------∆ gi Ei - µ
e
kT
+ 1
donde los símbolos empleados tienen la misma significación que en la Estadística de Bose-Einstein.
♦ NOTA 1:
Las funciones de distribución de las Estadísticas clásica y cuánticas se pueden escribir de una sola forma:
ni
1 = -------------------------
e
Ei - µ kT
+ δ
donde : δ = 0 y µ = 0 δ = -1 δ = +1 n
Bose-Einstein Maxwell-boltzmann
para la de Maxwell-Boltzmann para la de Bose-Einstein para la de Fermi-Dirac
en la figura se muestra la forma de la función distribución para las tres Estadísticas.
Fermi-Dirac 1
0
E 2kT
♦ NOTA 2:
En Física es común denominar a la función de distribución, cualquiera sea la estadística considerada, con f(E). Por lo tanto : Fisica Electronica
10
Apendice I