Analisis Ordenado Del I Al Viii

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMATICO IV: CUARTO CICLO “A” Y “B” Hallar  el orden y grado de cada una de las EDOs: I. Hallar el

//   =          =   =       =       =     =       3      33 1).

Solución:

Entonces: Entonces : Es de cuarto orden y de 1er grado

    ′′      = ′′    /   =0 ′′  

2).

3).

Solución

            =       =      ⋯  = 

 



    ⋯   =    ⋯  ⋯  =     ⋯ ⋯    ⋯   = 0;0;4°4° ;; 5°5° 

  22 −−     =    2′ ′ −−      =         =          =0  ′ ′    ′ ′  =0   2 ′′ ′   ′′      2=0 ∴   3°  ;2°2°    //  ′′  4 2′=1      4  =12   = 12 12    4      [ ] = 12 12    4   =   33          = 12 12  34 12 12   4   312 12  4  4).

′′′  

Solución:

5).

′′′  

Solución:

 Aplicamos la fórmula: fórmula:

  32   2   314   4  4    = 1  322312 2  2  1 4    2 4    4    1 2 4  4      3 44   3 44   44    12  4    =16 36 =1636  622 8312 312    4      12  12  64     8   33  12 12  48    =16 12 6 48 =1612   3   2424  12   6    24     12  12  48 64     3  12  48   2424      15 15 12 24    6  12  56  18  60 48   66 1=0 ∴ 3   4       = −        = −  = −           = =−−       =           6).

Entonces: es de primer orden y grado no definido

    44  − = 0       − =     4   − = 0 7).

′  

′′  

   = −  4  …………..   [   ] =    4       =   4             −          =                  −          =                  −       =           1=0 2   cos  1=0  cos −=2 −   1 coss  =    =− −  − − = 0 ′′  

8).

′  

′′  

′′  

∴     2    

Entonces: Entonces : es de segundo orden y grado no definido

9). 10).

//   //   =0 //    /   −− 2=0 ′′′  

′′′ 

′  

′  

′  

II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución: 1).

=      ;  12=2

Solución:

    =   3 ;  12=2     =   3 ′=3 4 2 3 ′′=612  23   12=2  612  23 12   3=2 18 36 2 36 36 12 6 =0 18 10 6 =0 18 10 6 =0 18 610 =0 Reemplazando en

  = ;  23 =0    =  23 =0 23 = 0………………1     =   .2  3   =0  = −  = − …………..2 2).

Solución:

--

--

Reemplazando (2) en (1)

23−−  =0 =0 ⇒ 0=0    =    /= ℝ =√  ;  3 =0  −=  =   = −   = + Entonces

3).

Solución:

Reemplazando en:

     3  =0    3   =0         = 0  +  =0 ⇒  =0     =0 :=2  ∴         = −  ;   3 4 12=0 4).

Solución:

  −  … =   3 4 12=0…   =33  2  ∶ − 2 …   =94−−4…  =27 8 8 … ,  , ,    ∶ 27 8−128 39−4=0− 443 2− 2 : 8 =0 ≠0

5).

6).

7).

, =  , , =ℎ ;   =0 , =. −, , =. −   =0  ==ln| 2ln||| 1 ;  =4

Solución:

 =    = = 

;

2|| 1 = ′ = 4|| 1 =||  =4||1|| 1 ⇒  = || 1  =4 ′ = 4 a)

b)

Reemplazando:

 =4  y’ln y’4=4 4 ln4t4=4 || 4 ln 4 || =0 ; >0 8).

  == ⁄2 √1   ; = 

Solución:

Por regla de la cadena.

 =  =  .  =  ⟹  = √ −− = √ − 

 = √ −  ⟹  =1 √ −   +         ⟹  = +    =1  …………………4 =   6 

Reemplazando (4) en (3)

  =6  ……………. .  =6  = 0=0    ⟹==6 2⁄2  √1  6 = 6  =  1≤≤1 ⟹= 1;1 Reemplazando (1) en (s)

9).

=  ;  4=0

Solución:

Derivando y = (c + sen(x))2 y' = 2 (c + Sen (x)) Cos x

… (1) … (2)

Reemplazando (2) en (3) (2 (c + sen (x)) Cos x)2 – 4y Cos2 (x) = 0 4 (c + sen (x))2 Cos2x – 4y Cos2 (x) = 0 4 y cos2 (x) – 4y cos2 (x)= 0 0=0  y

= (c + Sen(x))2 Si es solución -1  Sen (x)  1 x  R  Dominio

10). 11).

=R

=— √  ;    √ −++ 1=0 = + ;  =0

Solución:

= + … 

        c o s   =0…   :′= +−− +  +  =    +   = ++cos     +       :     +       +  cos cos =0 :++  +

 + = 0

 cos os=0 cosc

cos  c     o s   =0

III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas. 1.

    =       ;  ,  ∈     =sen 3  cos 3        =3cos 3  3sen 3  1     =9sen 3  9cos 3  2  9 1     =sen 3  cos 3    =9sen3 9cos3  9=9 99=0 =− −   ; ,  ∈

………………..(1) ………………(2)

Entonces

2. 3.

x2 + y2 – c x = 0; c

R

Derivando: 2x + 2yy’ – c = 0

   y   2x + 2yy’ –  x    = 0    x   2

x (2x + 2yy’) – (x2 – y2 ) 0 2x2 + 2xyy’ + x2 – y2 = 0 

4. r = A ln | | + B …(1) A, B

2xyy’ + x2 – y2 = 0

R Derivando (1) r' =

 A

 

 + B

… (2)

Derivando (2)

r" = A(-1-2) + 0 r" =

 A

 

…(3)

2



A = -2r"

Reemplazando A en (2) r' =

  r "

 



b;

r' = -r" + B  B = r" + r'

Reemplazando A y B en (1) r = -2r" ln || + 2r" + r'  r

5.

- r' + 2r" (ln || -1) = 0

=   ; ,,∈ =    =3 2 …1    :  3 2=…2  =62…3    :  6 2 =…4   =6…5  : Solución:

Derivamos:

Derivamos (1):

Derivamos (3):

6  =…6  6 2 =  62 6  =  2   =…7  3 2=     36  2 2 =  2     =  2      =     2    =  2    = =      =6   2   2                   = 6   2   2   2     Remplazamos (6) en (4):

Remplazamos (6) y (7) en (2):

Remplazamos A, B y C en:

       0=  6   2      6  2  =0 =− −   , ,  ∈ − −   … = 1°3 = − :− 2 2°3°  ==− −− −48   : =− −  …  −− −− 2 …  = =  4  …     =−  − 8 …   { 2: 2=2− 2− 2 …  2=2− 2− 2  =− − − 2−  7.

 ;



 S OL UC IÓ N:

′2=3 3 … 2 : 2 =2− 2− 8 …  : =− − 8 − −  2  2 =2 2 8  =3− 3− …    ′: 2=3− 3− − 3−  22 =3 2=0 ⇒ . . :

  2  2=0 −  −   ; , ,  ∈ ;  ∈ = −  cos sen =  s=en−  cos sen −cos    1    2  −cos sen  ==  −cos sen −  cos sen         1   4  3     4      :  = 2    2 =0 = − −  −  ; , , ,  ∈ ℝ − −  ℎ − cosh = −cosh ℎ   ′ == −−   ℎ− cosh   →1   =−  2 2− →2  − →3 ′ ′ =3    =6 2− →4   3 2′=12→5  ′  3 ′2′′=24 →6 8.

...............(1)

……………(2)

Reemplazando

………………(3)

……….(4)

Reemplazando

La ecuación resultante es:

10.

Solución

(1)+ (2)

2(3)+(4)

-2(5)+(6)

    4 4 =0 =   −   , , ,  ∈    −  =   − − cos2 cos  =2     … …………. . 1   − − − −      4 = cos4   c o s       2   cos   2  2− cos 2 cos  4 = 4     … …………………. . 2  2 − −           8  = 8 c o s  2   4 c o s  2     4    c o s   2− cos 2−  10  = 8      ……………. . 3  2 − − −  2 2  2  −=16 c o s       10 cos   20  4−20 10  = cos16   ………………4 =  − −  , , ,  ∈ −ℎ =  −ℎ  −  −       − − =    2   2  =   12 −  12 −  12  12 − 11.

;

Solución

12.

;

Solución:

Derivamos:

 =    2 −ℎ  −ℎ 

−ℎ −ℎ  = 2 −ℎ   − ℎ −ℎ −ℎ  = 2  −ℎ  −ℎ : − ℎ =  2  −   ℎ = 2  = 2 −  2 −  −  2 −   −  −     − −    2     2   = 2 − 2 2− 2−  2 −    −  −     −  −   2   2     2   = 2 − 2 2 2− −2   − 4  4  2−  2      −  −  −2− 4 2 2  4 2  −  2 

 = 2 − 2  2− −   −4  4  2−  2     − − −2− 4  2 4   −  2   = 2 − 2  2− − [ [ 4−  4 ] 2−  22 ] 2− −  − [− [ 4  4 ]−  2 ] −  = 2 − [2  24 − −]2− 2 2   − −  − 2   2    −  [ 4 ] 2   = 2 [− [ 34 −]− −]  − −  3 1 −  [ 4 ] 2   = 2 − 34 −− − − 1 1  2  − 4−  = 2 − 3− 4 4 − − 1 3 22  4 

 = 2 7− 43−−4 1  = 2 7− 43−−41  = 2  74 −  34 −  14 −  14 …1

Sabemos que:

=   12 −  12 −  12 −  12 …2  =  94 −  54 −  14 −  14 …3   =2  274 −  54 −  24 − …4  =3  92 −  14 − …5    =6  272 −  12 − …6 25 6   2  2= 92 − …7   2   2 = 272 − …8 37 8

Restamos (1) y (2):

Derivamos a (3):

Sumamos (4) y (3):

Derivamos (5):

Realizamos lo siguiente

:

Derivamos (7):

Realizamos lo siguiente

:

    7 5 6=0 ∴ ó :     7 5 6=0   .:  =…  =     :  :  =1 :  =10, 0  : ⇒=0 ⇒=′ 0 :  =0 ;   =1 ⇒ =0 =;⟹=; =;⟹= =0; =; =……… 1  =…………2     =  ⟹   1 =0 =;  =;  =0; = ⟹=   , =   , ;  =  =  ………. . 1 

IV Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias de las curvas en el plano : 1. Todas las rectas con pendiente igual a 1.

2. Rectas con pendiente y la intersección con el eje y iguales

Derivando (1)

Reemplazando (2) en (1)

3. Rectas con pendiente y la intersección con el eje x iguales

Derivando (1)

Reemplazando (2) en (1)

 ……………2   – =  ⟹  =0

4. Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a k. Solución Sea y=Ax+B la familia de rectas

⟹=    =k  =Ak  =  =’  ⇒’  ∴=′′1    =0 Si y=0

Por condición

5. Circunferencias con el centro en el origen. 

SOLUCIÓN:

  =  ℎ    = :  ℎ   =0   2  ℎ 2   =0…1 ⇒ℎ    =0    : 1   ′  1′   =0 ⇒   +− =0   1    :       =0…2  = −− ⇒ = −− ⇒  = −− ⇒ = −−

    ℎ     = ⇒    ℎ=′      2 = : ℎ  ⇒2= ℎ ⇒ 2ℎℎ    =   2 ℎ =2′    ∶ 2  ´  ⇒  2   =2´   =2    1   ´    2:   ´ 2´    =0 ∴  ´ 2´1  ´ =0 =  

7. Circunferencias con centro sobre la recta origen.

 que pasen por el

SOLUCION

    =ℎ  = ; ℎ, ,  =;     2 =  ℎ2  ℎ  2   ℎ = Remplazando:

2′ℎℎ22 ℎ =0 ′ ℎ2 ℎ=0 ′ 2=ℎ   ℎ2′2=  2   ℎ= 2′ 2′  2    2    2   2′  =            2     2′   2′  =         2′     2′  2     2′    2′  =    2 ′  2    2′   2′  = 2  ′  2 =2 ′     =    ℎ     = ……….1 2    2 2  …… =02 Derivando

Remplazando

8.circunferencias con centro el punto arbitrario P(C,D) Y radio igual a r

Derivando (1)

Reemplazando (2) en (1)

      =         1  =  ……………….3 =    =  ……………..4

Derivando (2)

Reemplazando (2) en (3)

     1  =      1 =        =0 ⟹        =0

9. Parábolas con el eje paralelo al eje “y” y con la distancia del vértice al foco igual a “A” Ecuación de la parábola:

 ℎ =4  21=2 ℎ =4     =  0=2  12:     0=   :

………..(1)

……………(2)

11.Parábolas con el eje paralelo al eje X.

Solución La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X

2=4ℎ ′ = 4   =2→1  =0→2    ′    3 =0→3     ′  =   ′  3 =0     3 =0 ′  3 , =0 1  ∶  ℎ  = 2      = 2   = 2 1°   2 : =0 2°2    =0   =0   = ′2′′ Pero de (2)

Reemplazando en (3)

12. Hipérbolas equiláteras con centro en  SOLUCIÓN:

 :

: 2′′′ ′′  2′ 1= ´  ´  =: 2′′′ ′′  2′ 3´  =2′′ ′ ∴2  3´  =0 2 ∶  ℎ =      ∴2  3      : ´  =0 13). Circunferencias tangentes al eje

.

Solución:

||=       ℎ    =    ℎ ,  | |      ,   =  2   2 = 2 2=0 2=  222 1  =22 = 2   =  ′ 1 ⁄ 1 2  ′ = 1     =2 1−⁄} 2 1−⁄  =12 2 1−⁄ 2  2 1−⁄ En este caso:

 y la ecuación toma la forma siguiente

;

Sea

el centro; el radio será

Remplazamos

 = 12 2 1−⁄2  2 1−⁄     ==2………………1  ; ……..       =   ……………. . 2  =    =   =   2  = 2 …………… 3   =   2    =   2   =  2 ……………. 4  = 3 4 =   2       2=2    2 ⇒""  2  2=0

15. tangentes a la parábola

a y b satisfacen a(1)

Remplazamos … (3) en (2)

V. Determinar para que valores de

ordinarias tiene soluciones de la forma

  6=0 = =  = 1)

Derivando:

 ;

=

  cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales :

 =   6=0   6 =0  6 =0  3 2 =0 ∀= 3,2 2   5 2=0 = ′ =  ′ ′ =  ′′ = 2   5 2=0 2  5 2 =0 2  52=0 1212=0 =1 = 12 =2 Remplazando en la ecuación:

2)

Solución

Reemplazando en la ecuación original

VI Aplicando el método de las isoclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes: 1).

 =2

2).

 =

Solución: I)

Determinamos la ecuación de las isóclinas:

II)

Determinamos las isóclinas particulares:

 = →  =;  ;==,      = = ∴          =0 =0=1 →= →tan  → =0° =1 →=1 →tan  → =45° =1 =1 →=1 →tan  → =0° 1 35° =2→ =2=2 →=2 →tan  =63° 3 0′ →=2 →tan=2→ =116°33′   ;==0 ;=0 =0 → = 1) Si 2) Si 3) Si 4) Si 5) Si

III)

Analizamos los puntos máximos y mínimos:

IV)

Analizamos la concavidad y los puntos de inflexión:

 =<0 ó; >0 →   =0→  ó  =;  ==1    =1 →1=0 → =1 ∴          ó   =  1 →  < 1 ℎ  ℎ >  1  =;= = →     = =  = = =1 =1 =1 =1 ∴       ó  =;= ;   =  =          =1  =2  Derivamos

V)

Analizamos si una isóclina es o no una curva integral

Si remplazamos:

En

remplazamos

 Si

Pero

VI)

3). 4).

 es una curva integral

 es la ecuación de los puntos de inflexión

Analizamos la existencia y la unicidad

Solución

 =2, =2 ⟹ = =,   = 2=±√2   I

Ii isóclinas particulares

⟹±√2 ⟹tan=0ta=0n=1 ⟹±√2 1⟹ t=45° n=1 ⟹±√ 2 1⟹taan=135° =2 ⟹±√2 2⟹=63°30′ an=2 ⟹±√ 2 2⟹t=116°30′   ,, ==0 =0⟹2  =0⟹=√ 2  = √ 2  1. Si k=0 2. Si k=1

3. Si k=-1 4. Si k=2

5. Si k=-2

Iii los valores enteros (máximos y minimos)

Entonces los valores enteros están sobre

 =,

Iv concavidad y punto de inflex ion

 <0=0 ; >0 ;     =, ⟹  =  2   =44 2  =  = 2  = +−  = +− ⇒ =; ⇒;=  = ⇒  = ⇒= 1 1  ;  ≠1 Entonces

5). 6). 7).

Solución I.

II.

Isoclinas Particulares

=0⇒∝=0 =0⇒y=x⇒ ∝    =1⇒∄ =2⇒∝=63°26′ =2⇒=3⇒   ∝ =1⇒∝=135°    =1⇒y=x⇒   ∝ =2⇒y=x⇒∝=2⇒∝=116°33′

1. Si: 2. Si: 3. Si: 4. Si: 5. Si:

III.

Los valores extremos (Máximos y mínimos)

 ;==0 ⇒;=0   =0

IV.

= ⇒    =  =; ⇒ <0 ó  >0   =0   ó   =; ⇒ =       = 2 2⇒  =0 ⇒= = < >  =;= ⇒= 11     = −+  = +− Concavidad y puntos de inflexion

Entonces la ecuación de los puntos de inflexión es Las concavidades de las corvas integrales: Es hacia abajo cuando

Es hacia arriba cuando V.

Analizar si una isóclina es o no una curva integral

Si reemplazamos

 en

  1   = 1 1    1  = −+ = ⇒=  =0           á  í En

VI.

 reemplazamos k=0

Analizar la existencia y unicidad

 =;    ⇒;=  ;    =  2   = −+  = −+

8).

9).

Solución: I)

Determinamos la ecuación de las isóclinas:

 = −+ →  =;  ;= −+ =,      −+ = 1= 1 = 11 ∴     II)

Determinamos las isóclinas particulares:

=0=1 →=2 →=1 →tan→tan=0=1→ →=0°=45° =1 =1 →= →tan  → =0° 1 35° =2→ =2=2 →=23 →tan  =63° 3 0′ →=21 →tan=2→ =116°33′   ;==0 ;=0 1 1  =0 → 1=0 → =1 6) Si 7) Si 8) Si 9) Si

10) Si

III)

IV)

Analizamos los puntos máximos y mínimos:

 =<0 ó; >0 →   =0→  ó  =;   =1 1    1  1  = 1 1     1  1  = 1  1 

Analizamos la concavidad y los puntos de inflexión:

Derivamos

1   1  = 11 1   1  = 1     1 →0=0=0 ∴          ó   0 →  <0           ℎ     ℎ   >0  =;= = 11→     =−++ +−  =++  == +  = =0 11 ,         =0 ∴       =;1  ;=11 21  1→  =  1 V)

Analizamos si una isóclina es o no una curva integral

Si remplazamos:

En

Pero

VI)

10).

VII.

es el punto de inflexión

Analizamos la existencia y la unicidad

 =cos

Resuélvase cada una de las siguientes EDOs. de variables separables:

 =0 1=  =0          :         =0 ∫ ∫  = −    =0     =0 =0 ∫∫= 3  2 = 2 3 =6 1)

;



SOLUCIÓN:

;

2)

Integrando:

1 1  =0   1  1       1 =0   11  1 =0 ∫∫11  1 =  2 | 1|2=   12 222 =0 4)

Solución

5)



SOLUCIÓN:

 1 11         12  121  =0         1  =  1   22    22  1 = 1    1  22  1  1  1 =0 ∫:  22  1 ∫1 =   1 12 | 22| 12 | 1|= 12 | 22 1| =  22 1| =2 |22  1=− ∴ 22 1− =0

 = −+   ; =  =   ; ;  =    ;=   ; ;  =  ;=     ; ;  =    ∴M;=    ℎé → = →=    =     x== 1  11= 1  1 =  6).

Solución:

 Analizamos si es homogénea

 La ecuación diferencial es homogénea:

Sea

11   =0 ∫ 11 ∫  =∫0    ∫⏟  11  ||=  1  1 ∫  1 =∫  1 1   1        =   1  1  11= 1    1       1 C   C   1=           1=         =1 =1… 1   =1 =0…2 =1…3  11=0 =0 3=0 =0 ∴=1  =1  1  =        111       1  1  1 0 =   1  1  11    ∫  11 1 =∫ 11 

Integramos:

Trabajamos :

Trabajamos con fracciones parciales:

Remplazamos (1) y (3) en (2):

Remplazamos en:

 ∫  1 1  ∫ 11 =∫  1 12 ∫ 211 1 ∫  1  1  34  12 ∫ 21 1    ∫ ∫ 1 2  1  34  1  34 12 | 1|  12 ∫  3   1  4 = 12 | 1|  12 ( 134)   134  = 12 | 1|  √ 33 2√ 3 23 √ 3     1 ∫⏟  1   || = 3 12 | 1|  √ 33 2√ 3 2√  || = 3 3  12 | 1|  √ 33 2√ 3 2√  3 || =

Remplazamos:

8)

+  = ++ 

SOLUCIÓN:

      : 2=0 231=0 →=2  →=   2; 1: =1 =

9)

   = 23   2 = 12     23      221 223= 2231 = ∴ 242 37= 4114211937 =0 119= 119= 41111942 3711 =0 9  37 4 1219  119 42 119  3711   =0 9 9 9 4 1219 42 37.9119  379=0 ∫4 1219 42 37.911∫9  379=   785  37=  756198747=2 36  2x  2y =0 ……..(1)

Derivando:

Remplazando:

………..(2)

Remplazando (1)en (2) se obtiene:

11)

Solución

= =  =     2x   2   =0 Sea

Reemplazando

  2    21 =0   2   21   =0  2  2   21 =0    21  =0 4 ∫  ∫  21  = 4 | | 2||  4 − = 4||2|| −− =4 ; = ⇒2|| =4 12)

1  =

1 1  1   =0 = 1 ;  = ′  =  1 1 1 =   1 =     =  1     1  =0 ∫:  ∫  2√ 5123 == 5 5 √                  :  2√ 55  23 √ 5 = 

SOLUCIÓN:

=√  2√ 55+ 23  5  √  −   √   =   = √ +√     √      ∴ √    =0 VIII. Resuélvase las siguientes EDOs mediante un cambio de variable: 1).

 = = → =1  =  1  1=  = 1   1 = 1 =0 ∫  1 ∫=∫0 ∫ 1 ∫= 11 = ∫ 1   ∫ 1  1 =  ∫ 1  =

Solución: Sea

′  

′  

Remplazando:

    ∫  ∫  = ∫  ∫= ∫cotcot = cot= ∴cot=   =0  2      =  2 ,  =    =  , = 2 ,   ,   ,= 2 , ,=    ,=   2 , ,=    ∴    ℎ  2  =0 =   =  2   =0    2 1   =0  1  2=0  2 1 =0 4)

M no es homogéneo ;N no es homogeneo

Desarrollando la ecuación:

Remplazando en la ecuación:

De donde:

Integrando:

∫ 2 ∫ 1 = 3  2 2=  6= 32122 22 21 =0 6)

Solución

¿Es homogénea?

=22   ⟹;  =22  ⟹;=22  ; =22  ; =22  ∴ no es homogénea =221 ⟹;  =221 ⟹;= 221 ∴ no es homogénea  7)

    =0    =  ; =  ; = ;  =     =  1   1 =    = 1  

SOLUCIÓN:

10)

  =    1 y 3=2 2=    :  2=   =  2   :   23= 1=  =  1  1=   : :  1 =0  1 = ∫∫  1=                      : −   12= − ∴3 1= 

SOLUCIÓN:

;

11)

= +

   =                 =                      =    =  

 =0    =   =  , =   , , =  ,=   , ,= ∴   ℎ  =    = =           =    1√1 =      =1 1    = 1√1   ∫ 1√1   ∫  =   1  1||=    1  1||=  ;

M es homogéneo , N es homogéneo

Convirtiendo en variables separables :

Remplazando en la ecuación:

Integrando se obtiene: