&()&$#&( "D$#%&% +&"%D'") D"
%(%+&)&) D&M"()&'(%+
El análisis dimensional estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales.
Magnitudes Derivadas
☺
Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales; ejemplo: La energía, el momento de fuera, el calor ! el tra"ajo #poseen la misma fórmula dimensional$; el periodo periodo represe representa nta tiempo, tiempo, peso ! empuje empuje representan fuera, altura, radio ! distancia longitud, la gravedad aceleración, etc.
& ' (. a ' (.a.v ' e/t a ' v/t
Fórmula Dimensiona l )&* ' L+ )* ' L )v* ' L0 12 )a* ' L0 1+
3'4/t
)5* ' 0 12
6' 3/t
)6* ' 0 1+
7 ' m .a ' m .g ' m/v
)7* ' 8L0 1+ )*' 8L0 1+ )* ' 8L 1
= ' /
)=*'8L>+ 0 1+
9resión.
p ' 7/&
)p*'8L>2 0 1+
0ra"ajo. 0ra"ajo.
' 7.e
)*'8L+ 01+
?audal.
@ ' /t
)@* ' L 0 12
9otencia.
9 ' /t
)9*'8L+ 0 1
8ome 8oment nto o de 7uera
0 ' 7.e 7.e
)0*'8L+ 0 1+
Fórmula Magnitud Física 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 . 11 . 12 . 13 . 14 . 15 . 16 .
%rea. olumen. elocidad. &celeración elocidad angular. &celeración angular. 7uera. 9eso. ensidad. 9eso especi
Energía :
a ?inAtica. ! 9otencial: Bravitatoria Elástica
17 . 18 . 19
(mpulso. ?ant ?antid idad ad de movimiento 7recuencia.
20 9eriodo. 21 ?alor. . 22 ilatación . lineal. 23 ?apacidad . calorí
E?'2/+mv+
)E*'8L+ 0 1+
Ep ' m.g.-. Epe'2/+Cx+
)E*'8L+ 0 1+ )E*'8L+ 0 1+
( ' 7.t
)(*'8L0 12
? ' m .v
)?*'8L0 12
f ' n/t 0'+D L g
)f*'0 12
√
)0* ' 0
@' ?e.m.0
)@*'8L+ 0 1+
L ' LF 60
)L* ' L
Q G' △ T
)?*'8L+ 0 1+ 4>2
H ' @/m
)H*'L+ 0 1+
E ' =.s
)E*'8L0 >+
. -idrostático. 26 ?arga . elActrica. 27 . 28 . 29 .
?ampo elActrico. 9otencial elActrico. ?apacidad elActrica.
30 Jesistencia . elActrica.
Prof. Verónica Verónica E. Lloclla Morocho Lloclla Morocho
q ' (.t
)q*'(.0
E ' 7/q
)E*'8L0 >( >2
' /q ? ' q/v R
=
ρ L A
)* '8L+ 0 >( >2
)?*'8>2L>+ 0 I + ( )J*'8L+ 0 >( >+
"#$%#&'(") D&M"()&'(%+") Son Son expr expres esio ione ness ma mate temá máti tica cass en dond donde e aparecen una o más incó ncógnit nitas. Estas ecuaciones ecuaciones se diferencian diferencian de las alge"raica alge"raicass porque sólo operan en las magnitudes. Se resuelven utiliando las reglas "ásicas del álge"ra, menos la suma ! resta. 0am"iAn se les denomina como las relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son conocidas ! las otra otras, s, o no lo son, son, o tien tienen en dime dimens nsio ione ness desconocidas NOTACIÓN Ecuación Ecuación dimensión dimensión de ,%-: Se lee & Ejemplos: Kallar la fórmula dimensional de la velocidad ! la potencia.
e ' t
[ e ] [ v ] = = L = L T − [ T ] T
1
9' [ W ] M L2 T −2 W − = = M L2 T 3 P= t [ t ] T Reglas importantes para la resolución de ecuaciones dimensionales: a. Los nm nmeros, áng ángulos, logaritmos ! func funcio ione ness trig trigo onomA nomAtr tric icas as no tiene ienen n dimens dimension iones es #son #son adimen adimensio sional nales$ es$,, pero pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad, unidad, es decir, decir, se reemp reempla laan an por la unidad siempre ! cuando en la formula física se encuentren como coe2 d. PRINC PRINCIPI IPIO O D D !OM !OMO" O"N NIDA IDAD D QRna Rna ecuac cuació ión n es dime dimens nsiional onalme ment nte e corre correcta cta u -omogA -omogAnea nea,, si las ma magni gnitud tudes es
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que forman todos los tArminos del primer ! segundo miem"ro son iguales entre sí Ejemplo: 9' @ TJ 1 S.0 )9* ' )@*' )J*' )S0*
?alcular los exponentes QV e QX )olución :
0' +D. Lx.g! 0' LV #L0>+$ X 0' LV. L X 0>+X 0' LVTX 0>+X
2F Gg T IGg T +Gg ' 2U Gg 8 T 8 T 8 '8 Si una expresión es correcta en una fórmula, se de"e cumplir que todos sus miem"ros de"en ser dimensionalmente -omogAneos. &sí: Si: x T ! T ' 5, entonces: [x] '[!] ' [] ' [5] e. 0odo exponente es una cantidad adimensional; es decir: &P&L(Y&8ZS Si
LF ' LVTX F 'VTX
[ ]
w
0 ' 0>+X
2 ' >+X
1
F 'V>
Y + Z =1 W
y+z
A= x
LF. 0 ' LVTX 0>+X
2 ' >+X
2
1
V'
, entonces: ""#&#&') ")$"+')
1
>
2
2
' X
2
2. Kalle QV en:
V T m
, sa"iendo que:
' velocidad, t' tiempo, m' masa. Solución: 2 )v* ' L0 >2 [X] = [ ] [ v ] t )t* ' 0 )m*' 8 −1
L T T
=
=
¿ -1
+. Kallar las dimensiones de W EP:
a 2. cos
R 2 L cos ,
donde a ' aceleración, J' radio, L' longitud Solución: a' L0>+ L' L, J'l R a ' W+. J #cos6 T L cos+ 6$
a +?3
"$. 8+ L 0> ?. 8 0> d$.L 0
. En la expresión: t'
Donde:
p t ' tiempo y , -allar )!* p'distancia
a$ L0>
a ' W+. J a + W ' R
"$. L 0>
?. L 0>
d.+
−1
T
I. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente -omogAnea, determinar la ecuación dimensional5' detra"ajo QE + E' )D 1 #log G $* C' constante v ' velocidad
√
a R
W'
√
L T L
W'
√ T −
W'
""#&#&') >'>$")') 2. (ndique la correspondencia correcta: a. elocidad # " $ 8L> ". ensidad # a $ L0>2 c. &celeración # d $ 8L+ 0> d. 9otencia#e $ 8L0>+ e. 7uera # c $ L0>+ f. tra"ajo +. dada la siguiente fórmula física determinar las dimensiones de: Donde: acosβ a' aceleración P' t
−2
2
W ' 0>2 . El periodo de un pAndulo que esta dado por:
2;. +<.g= donde:
0' periodo #tiempo$ l' longitud del pAndulo #L$ g' aceleración de la gravedad #a
a$ 8L0> 0
"$. 8+ L 0> #. M+3?3
d$.8L
M. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta determina las dimensiones de @ : Donde m' masa m t ' tiempo t'n k n' nmero
√
a$ 80>
"$. L 0>
?. 80
d$.8
−2
T
U. eterminar la ecuación dimensional de: m' masa &' super
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)X* ' 80> 8L0>2
3
E'
mv t 2 π rA
donde:
)X* ' 80>
d$. )V* ' 80 > )X* ' 8L0>2
[. Si el potencial elActrico #$ se de
2+. eterminar los valores que de"en tener V e X para que la siguiente formula sea correcta: 1
7'
lxg! ?ZS IM_
2π
1
onde: 7' frecuencia −2
2
a$ 8 L 0>+ I
"$. L 0>
−2
?. 80 I
d$.8
−3
I
−2
T
\. Si la siguiente expresión es dimensionalmente -omogAnea, determinar las ecuaciones dimensionales de Q9 ! Q@ m' masa 8' 9JV T @]Y donde: ]' fuera J' radio Y ' velocidad V' tiempo a$ )9* ' 8L>2 0>2 "$. )9* ' 8L0 ?. )9* ' 8L+ 0>2 )@* ' L>+ 0 8+L
)@* ' L0
d$ )9* ' 8L>2 0>2
)@* '
e$. )9* ' L>+ )@* ' 0>2
)@* ' L>2 0
^. Si la siguiente expresión es dimensionalmente -omogAnea, -allar las dimensiones de QE. donde X' nmero, c' longitud
2F.
E'
AX + B BY + C
a$ L
"$. L
+
?. L
d$. L
"$. L>2 0
?$. L0
e$. L>2 0>2
2
a$ )V* ' 8L0>2
1
a$
2
2
−1
?$.
3 4
2
M V T
"$. )V* ' 80>
"$.
1
−1
2
2
4
d$.
5
,[
2. En la siguiente fórmula física: 9G'mgp'potencia, m'masa, Donde: aceleración, -' altura. #$u% magnitud representa &' a$ Longitud d$.%rea
"$.0iempo
g'
?$.8asa
2I. En la siguiente formula física: E' &+ T ]9 Donde: E' energía, ' velocidad, p' presión Determinar (ue magnitud representa
A B "$.olumen ?$.ensidad
d$.8asa
X
22. Sa"iendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, encontrar )V* e )!*, si además se sa"e que: m' masa, v' velocidad, t' tiempo, a' aceleración ! &' área. V& T
−1
2M. El periodo en un periodo químico > físico viene dad por la siguiente relación:
>2
d$.L
T , g' aceleración
de la gravedad, l' longitud
a$ 9otencia
Sa"iendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, se pide encontrar la formula dimensional de X; si además se sa"e que: 8' masa, t' tiempo, a' aceleración, 5' tra"ajo m a ' ty a$ L0>2
)X* '
R + T ¿ 0'
¿
2 π ¿
g'
¿
!allar )*+
aceleración gravedad.
3
a$
2
3 4
"$.
2 4
de
la
?$.
5
d$.
3
2U. La siguiente formula es dimensionalmente correcta ! -omogAnea:
' !.a
?$. )V* ' 80 >+
J'radio,
donde:
E'&+T]+T?9 Donde:
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E' energía, ' velocidad angular, v'velocidad lineal, p' presión
Kallar:
a$ 8L0>2
BC ) A * "$. 8 L
?$.L
d$.80 e$ +
&()&$#&( "D$#%&% +&"%D'") D"
2.
>A#&#% D" FB)&#%
La siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, determinar las dimensiones de Q. onde: ( ' intensidad de corriente ! E ' espacio recorrido, 9 ' constante numArica. (E9RP9 ' RP9 -1 -1
L I
a$ 8L +.
"$
-1
LI
LI
c$
MI
d$
e$
Si la ecuación indicada es -omogAnea NUI + NUP = PERU
onde: R ' tiempo; P ' masa; ( ' longitud. eterminar la dimensión de )>"$* -1
a$ -2
-1
LM T
LMT
"$
-1
L M T
c$
-1
-1
-2
L M T
d$
e$
-2
L MT
.
En la siguiente expresión dimensionalmente correcta: E'Gmx! onde: G'nmero, m'masa, 'velocidad, E'energía. Kallar #VTX$ a$ + "$ 2 c$ d$ F
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I.
Encontrar la formula dimensional de la velocidad angular )* si:
! )*' t
6'
onde: t' tiempo, `' ángulo girado Cta: 0>2 M.
m v
a'2
a$ 7uera "$ tiempo d$ longitud
"'
3
La interacción entre dos cargas #q2 ! q+$ viene dada por:
q1 q 7' G
r
a 8L 0 ( \.
"$ 8 L 0 ( c$8 /+ >+ >2
>/+
L+80+
"$ L02
c$ L0+
0secIM_'LVa!8LogV, donde:
0'tiempo, l'longitud Donde: g'aceleración de la gravedad. ?alcular QV e QX
a'aceleración,
a$
2
Ep'mgDonde : m' masa, g' aceleración de la gravedad, -' altura a$ L80>2 "$ 8L+ 0 >+ c$ 8L0 d$ 80
angular,
22. Kallar #VTX$, si la fuera centrípeta esta dad por la siguiente expresión dimensionalmente correcta:
7cp' mVr X Donde : m' masa, 'velocidad, r' radio Jpta: VTX' 2
α
mostrada sea dimensionalmente correcta, donde ' aceleración angular; r ' radio; !; g ' aceleración de la gravedad.
4
2
2
4
4
5
d$
4
3
2 . 4
aV 9'
Donde: f' v'volumen
+,
se- 30 .
fuera,
5'tra"ajo,
a$ 8>/+L+ 0 "$ 8/+L>+ 0>2
a'aceleración,
c$8>/+L+ 0>2
2\. En la siguiente fórmula física: Gx+ ' &d T ]p + se sa"e que: G ' 7uera/Longitud; x ' distancia; d ' longitud ! p ' cantidad de movimiento. Kalle la magnitud que representa el producto &]. a$ 8asa
2+. eterminar la medida de para que la expresión
2
pAndulo,
2[. En la siguiente ecuación, -alla las dimensiones de 9:
2F. En la siguiente ecuación determina la dimensión de V:
"$
2 3
c$
del
−1
1
Kallar:
d,d2,d+'aceleración Donde: 'velocidad angular Jpta: 0 >/+
L'longitud,
0'+O.lx.g!
( L 0
Jpta: 8L0 > ( >2
2
e$ 2
2U. El periodo de un pAndulo que esta dado por:
Encuentra la formula dimensional de la intensidad de campo elActrico #E$ que es de
V+d2'SenF_#dTd+ ¿
d$ L80>+
*; será
2M. Kállese la suma de los exponentes VTXTY para que la ecuación que mostramos sea dimensionalmente correcta.
+ >2
"#er$a E' cargae% & ctr'ca ^.
e$ masa
)" Entonces las dimensiones de: ) I*
Donde: 0'tiempo, 8'masa "$ + "$ 2 c$ d$ F
2
2
onde: 7' fuera, r' radio, Kallar )G* >I +
e$ IM_
2I. Si la ecuación indicada es -omogAnea: E97 T 7? ' (S9 0al que: 7'fuera, ?' velocidad, p' potencia
a$
−2
3
d$[_
e$ 2
a'+
−1
[.
c$ M_
abos T +dias
2
Si la siguiente ecuación: m>2/v+'Cga" , dimensionalmente correcta, -alla los valores de Qa ! Q", donde: m'masa, 'velocidad, G'nmero, 'densidad, g' aceleración de la gravedad
"'
"$ UF_
2. @ue dimensión tiene la siguiente suma:
2
onde: m' masa, v' velocidad a$ 8L+ 0 >+ "$ L02 c$ L0+ d$ L80>+ U.
a$ F_
En la siguiente formula , -allar )Ec*: Ec'
r Tg( ¿ g cos ( log X ¿ π
"$ 0iempo
c$ elocidad
d$ aceleración
2^. En la siguiente fórmula física, calcular )G*.
]+ ' @+ T \GP
onde: ] ' &celeración angular, P ' nmero. a) LT -1
b) LT-2
c) T-1
d) T0
e) T-4
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M - S =
+F. Kallar las dimensiones de Y?, si la ecuación es dimensionalmente -omogAnea. onde: m ' masa, v ' velocidad, 7 ' fuera, 9 ' cantidad de movimiento.
onde: V ' 7uera X ' elocidad.
m vc
Z2 + FP =
a) M2 T -2
a) MLT
-1/2
2
-5/2
-2
b) L T
c) L T
-3/2
-2
d) L T
5/2
e) M
-1/2
T
X2
+2. Kallar las dimensiones de
= LT
2
b) L2T 3
c) L3T -2
¿
√ a etag 45 / =W
+\. En la siguiente fórmula física calcular )X*.
d) L2T -2
(
. = a/ + 0
e) L-1 T-3
++. 9ara que la ecuación siguiente dimensionalmente correcta, -allar QV Vt2' #Vt+TGecosF_$#2>G
+[. La siguiente expresión es dimensionalmente correcta -allar las dimensiones de QW
-2
Z + XL
a) LT -1
c) LT d) MT e) MT-1
onde: 'tra"ajo, a'aceleración, e' distancia. Cta: ]' 8L+ 0>+
3
X -Y
3
b) M5 T-1
.?osec IM_ T M en:
X G+Y
sea
1 /2
onde:
Y
)
onde: a ' aceleración. E ' Empuje -idrostático. a) ML-1 T 2
b) M -1L2T 2
d) M -1 L-1
e) M -1L-1T 2
c) M -1 L-1T
02 ! t+'tiempo, e'distancia, G'constante
Cta: L0>2
+^. La
α
+. Kallar , si ' densidad, g ' aceleración de la gravedad, & ' área, - ' altura, m ' masa, v ' velocidad.
%&A' α T&53# = (3 c 5 )!"30# + ( 2 *4 ) !"$0# a$ 2
"$ +
c$
d$ I
4 se- 30 /
2
v¿
¿ 2
*R0 t
¿
Donde : G' nmero, 2+ ' velocidades, J'radio, K'altura, t' tiempo Cta: 0 >I +M. Encontrar las dimensiones &, ] ! ?. 9ara que la ecuación mostrada sea dimensionalmente correcta. α
onde: - ' altura, ' volumen, a ' aceleración, ' aceleración angular. A+
'
, ÷ A + aα -1
=
a) L; L4 ; L-1
b) L2 ;L-3;L
d) L3 ; L-3 ; L
e) L; L-3 ; L4
+U. En la siguiente fórmula física. ?alcular )S*
p'+x.Log
1 t+!Y7
es
dimensionalmente correcta. Kallar QV, QX, QY onde: p' presión, 'densidad, t' tiempo, 7' fuera Cta: V'8L>2 0>I X'L+ 0>+ Y' L>+ F. Rna unidad de cantidad de movimiento en el Sistema (nternacional #S($ es:
e$ M
+I. La ecuación dada es dimensionalmente correcta -allar las dimensiones de S:
v 1 /2 ¿ 1 Log G T #n ' v
expresión
c) L; L-4; L2
a$ Gg m+ s+
"$ Cg m s+
d$ Cg m+ s
e$ Cg m+ s>
c$ Cg m s>2
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'3//e"4"c56bd4c!)/d!c/72800$8$/A9a:6"6 "-%6)e9"6!9a:
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