ANALISIS DE FLUJO DE REDES Las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimiar situaciones !inculadas a las redes de transporte" redes de comunicaci#n" sistema de !uelos de los aeropuertos" aeropuertos" rutas de na!e$aci#n na!e$aci#n de los cruceros" estaciones de %om% %om%eo eo &ue &ue tran transp spor ortan tan flui fluido doss a tra! tra!és és de tu%e tu%er'a r'as" s" ruta rutass entre entre ciudades" redes de conductos ( todas a&uellas situaciones &ue puedan representarse mediante una red donde los nodos representan las estaciones o las ciudades" los arcos los caminos" las l'neas aéreas" los ca%les" las tu%er'as ( el flujo lo representan los camiones" mensajes ( fluidos &ue pasan por la red) *on el o%jeti!o de encontrar la ruta más corta si es una red de caminos o en!iar el má+imo fluido si es una red de tu%er'as) *uando se trata de encontrar el camino más corto entre un ori$en ( un destino" la técnica" al$oritmo o el modelo adecuado es el de la ruta más corta, aun&ue e+isten otros modelos de redes como el ár%ol de e+pansi#n m'nima" flujo má+imo ( flujo de costo m'nimo cada uno a%arca un pro%lema en particular)
-ODELOS DE RED Los modelos de redes son aplica%les a una e+tensa !ariedad de pro%lemas de deci decisi si#n #n"" los los cual cuales es pued pueden en ser ser mode modela lado doss como como pro pro%le lema mass de optimiaci#n de redes &ue pueden ser eficiente ( efecti!amente resueltos) Al$unos de estos pro%lemas de decisi#n son realmente pro%lemas f'sicos" tales como el transporte transporte o flujo de %ienes materiales) materiales) Sin em%ar$o" em%ar$o" muc.os pro%lemas de redes son más &ue una representaci#n a%stracta de procesos o acti!idades" tales como el camino cr'tico en las acti!idades entre las redes de un pro( pro(ec ecto to $ere $erenc ncia ial) l) La fami famili liaa de rede redess de los los pro% pro%le lema mass de optimiaci#n inclu(e los si$uientes prototipos de modelos/ 0ro%lemas de asi$naci#n" camino cr'tico" flujo má+imo" camino más corto" transporte ( cost costo o m'nimo m'nimo de fluj flujos os)) Los Los pro% pro%lem lemas as son son esta%l esta%leci ecido doss fáci fácilme lment ntee mediante el uso de arcos de redes ( de los nodos) Los pro%lemas de optimiaci#n de redes se pueden representar en términos $enerales a tra!és de uno de estos cuatro modelos/ -odelo de minimiaci#n de redes 10ro%lema del ár%ol de m'nima e+pansi#n2) -odelo de la ruta más corta) -odelo del flujo má+imo) -odelo del flujo del costo m'nimo)
NO3A*I4N 5 3ER-INOLO67A DE RED Red/ Una red consiste en un conjunto de puntos ( un conjunto de l'neas &ue unen ciertos pares de puntos) Los puntos se llaman nodos 1o !értices2) Las l'neas se llaman arcos 1o li$aduras" aristas o ramas2)
A T
D O
B
Nodo Arco
C
E
Los arcos se eti&uetan para dar nom%res a los nodos en sus puntos terminales" por ejemplo" A8 es el arco entre los nodos A 5 8) En un pro%lema de pro$ramaci#n lineal" las redes pueden representar un conjunto de estaciones" campos petrol'feros" almacenes" fa%ricas" sucursales" ciudades" interconectadas entre s' a tra!és de caminos" conductos" tu%er'as &ue permiten fluir productos para la comercialiaci#n o la distri%uci#n) fi 8) Arcos Diri$idos/ Se dice &ue un arco es diri$ido cuando el arco tiene flujo en una direcci#n 1como en una calle de un sentido2) La direcci#n se indica a$re$ando una ca%ea de flec.a al final de la l'nea &ue representa el arco)
A
B
Fi$ura 9) Representaci#n de un Arco Diri$ido Al eti&uetar un arco diri$ido con el nom%re de los nodos &ue une" siempre se coloca primero al nodo de donde !iene ( después el nodo a donde !a" esto es" un arco diri$ido del nodo A al nodo 8 de%e eti&uetarse como A8 ( no como 8A) Otra -anera es A Arcos No Diri$idos/ Si el flujo a tra!és de un arco se permite en am%as direcciones 1como una tu%er'a &ue se puede usar para %om%ear fluido en am%as direcciones2" se dice &ue es un arco no diri$ido) A
B
Fi$ura :) Representaci#n de un Arco No Diri$ido
3am%ién se les llama li$adura) Aun&ue se permita &ue el flujo a tra!és de un arco no diri$ido ocurra en cual&uier direcci#n" se supone &ue ese flujo será en una direcci#n" en la seleccionada" ( no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas) 3ra(ectoria/ Una tra(ectoria entre dos nodos es una sucesi#n de arcos distintos &ue conectan estos nodos) 0or ejemplo" una de las tra(ectorias &ue conectan los nodos O ( 3 en lafi$ura; es la sucesi#n de arcos O8<8D< D3 1O 8D32" ( !ice!ersa) A
T
D O
B
C
E
Fi$ura ;) Representaci#n de una 3ra(ectoria
*uando al$unos o todos los arcos de una red son arcos diri$idos" se .ace la distinci#n entre tra(ectorias diri$idas ( tra(ectorias no diri$idas) 3ra(ectoria Diri$ida/ Una tra(ectoria diri$ida del nodo i al nodo j" es una sucesi#n de arcos cu(a direcci#n 1si la tienen2 es .acia el nodo j" de manera &ue el flujo del nodo i al nodo j" a tra!és de esta tra(ectoria es facti%le) 3ra(ectoria No Diri$ida/ Una tra(ectoria no diri$ida del nodo i al nodo j es una sucesi#n de arcos cu(a direcci#n 1si la tienen2 pueden ser .acia o desde el nodo j) *on frecuencia al$una tra(ectoria no diri$ida tendrá al$unos arcos diri$idos .acia el nodo j ( otros desde él 1es decir" .acia el nodo i2) *iclo/ Un ciclo es una tra(ectoria &ue comiena ( termina en el mismo nodo) En la red no diri$ida &ue se muestra en la fi$ura = e+isten muc.os ciclos" OA
A
T
D O
B
E
C
Fi$ura =) Representaci#n de un *iclo
Red *one+a/ Una red cone+a es una red en la &ue cada par de nodos está conectado) Se dice &ue dos nodos están conectados si la red contiene al menos una tra(ectoria no diri$ida entre ellos) Se de%e resaltar &ue no es necesario &ue la tra(ectoria sea diri$ida aun cuando la red sea diri$ida >r%ol de E+pansi#n/ es una red cone+a para los n nodos" &ue contiene ciclos no diri$idos) 3odo ár%ol de e+pansi#n tiene justo n<; arcos" (a &ue este es el n?mero m'nimo de arcos necesarios para tener una red cone+a ( el má+imo n?mero posi%le para &ue no .a(a ciclos no diri$idos) A
D
C
B
Fi$ura @
E
A
D
C
B
E
Fi$ura La fi$ura @ representa una red cone+a" la fi$ura muestra los cinco nodos de la red cone+a de la fi$ura @" a.ora la fi$ura B muestra el proceso para .acer crecer un ár%ol colocando una rama a la !e" .asta o%tener un ár%ol de e+pansi#n) En cada etapa del proceso se tienen !arias alternati!as para el nue!o arco" por lo &ue la fi$ura B muestra solo una de las muc.as formas de construir un ár%ol de e+pansi#n) A
D
A
C
B
C
E
B
Paso 1
A
A
C
D
C
E
Paso 3
E
Paso 2
D
B
D
B
E
Paso 4
Fi$ura B *apacidad de Arco/ Es la cantidad má+ima de flujo 1&uiás infinito2 &ue puede circular en un arco diri$ido)
Nodo Fuente/ 1o nodo de ori$en2 tiene la propiedad de &ue el flujo &ue sale del nodo e+cede al flujo &ue entra a él) Nodo Demanda/ 1o nodo destino2 es el caso contrario al nodo fuente" donde el flujo &ue lle$a e+cede al &ue sale de él) Nodo de 3ras%ordo/ 1o nodo intermedio2 satisface la conser!aci#n del flujo" es decir" el flujo &ue entra es i$ual al &ue sale)
REDES DIRI6IDAS 5 NO DIRI6IDAS Red Diri$ida/ Es una red &ue tiene solo arcos diri$idos A
D
C
B
E
Fi$ura C) Representaci#n de una Red Diri$ida
En una red diri$ida" un ciclo puede ser diri$ido o no diri$ido" se$?n si la tra(ectoria en cuesti#n es diri$ida o no diri$ida) 1*omo una tra(ectoria diri$ida tam%ién es no diri$ida" un ciclo diri$ido es un ciclo no diri$ido" pero en $eneral el in!erso no es cierto)2 0or ejemplo en la fi$ura C DE
A
D
C
B
E
Fi$ura ;) Representaci#n de una Red No Diri$ida
