Redes de flujo y líneas de corriente El estudio del movimiento de los fluidos es, en general, un problema muy complejo. Las moléculas de un fluido, además de ejercer entre sí acciones mutuas de gran impo import rtan anci cia, a, pued pueden en tene tenerr dife difere rent ntes es velo veloci cida dade dess y esta estarr suje sujeta tass a dist distin inta tass aceleraciones. Por esta razón es necesario tener en cuenta conceptos adicionales al aplicar las leyes de la dinámica a los fluidos en movimiento. La dinámica de fluidos es una parte de la reología, definida como la ciencia dedicada al estudio de las deformaciones y flujos de la materia. Ésta se divide en dos ramas: la hidrodinámica y la aerodinámica. En este tema estudiaremos fluidos ideales, es decir, incompresibles y carentes de rozamiento interno o viscosidad.
El movimiento de un fluido está definido por un Ca Camp mpo o Ve Vect ctor oria iall de Veloci Velocidad dades es corres correspo pondi ndient entes es a las partí partícul culas as del del flujo flujo,, y un Camp Campo o Esca Escalar lar de de Presiones en función de la posición y el tiempo, correspondientes a los distintos puntos del mismo. En cada instante se puede definir en cada punto del espacio un vector velocidad que es el de la partícula fluida que pasa por él en ese momento. El conjunto de todos estos vectores constituyen el campo vectorial de velocidades. Se denomina Línea de Flujo a la trayectoria seguida por un elemento de un fluido móvil. En general, a lo largo de la línea de flujo, la velocidad del elemento varía tanto en magnitud como en dirección. Si todo elemento que pasa por un punto dado sigue la misma trayectoria que los elementos precedentes, se dice que el flujo es estacionario. En estado estacionario, la velocidad en cada punto del espacio no varía con el tiempo, si bien la velocidad de una parte determinada del fluido puede cambiar de un punto a otro.
Se define Línea de Corriente como aquélla curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la dirección de la velocidad del fluido en dicho punto. Cuando se trata de un flujo estacionario, las líneas de corriente coinciden con las de flujo.
Si se consideran todas las líneas de corriente que pasan por un contorno cerrado “c”, estas líneas encierran un volumen denominado Tubo de Corriente. De la definición de la línea de corriente se deduce que no pasa fluido a través de las paredes laterales de un tubo de corriente. Ecuación de Continuidad: En un tubo de corriente se cumple la ecuación de continuidad del movimiento en cualquier sección normal al tubo, siempre que la densidad sea constante, y dice que en cada sección “S” del mismo, el producto de su superficie por la velocidad del fluido en su interior es constante:
Ecuación General del Movimiento de un Fluido: Como demostramos en el tema anterior :
, siendo “ρ” la densidad del fluido, “f” la fuerza por unidad de masa y “P” la presión. En la estática de fluidos:
, y en la dinámica de fluidos, en cambio:
, siendo “a” la aceleración del sistema. A través de un complejo cálculo matemático, se llega a qué:
, expresión conocida como la Ecuación de Euler. No confundir con la otra ecuación de Euler de los números complejos. A partir de esta ecuación, si suponemos un régimen estacionario donde “v” es constante, donde el fluido es “no viscoso”, y el cual se ve perturbado únicamente por un campo gravitatorio, obtenemos que:
, siendo “V” el potencial gravitatorio:
; y finalmente:
Si sustituimos en la ecuación de Euler, multiplicamos todo escalarmente por “dl” y simplificamos, llegamos al Teorema de Bernoulli:
, que dice que a lo largo de una línea de corriente, la suma de la presión hidrostática, la cinética (debida a la velocidad) y la estática (debida a la altura) es constante. Aplicaciones del Teorema de Bernoulli:
Teorema de Torricelli: si a un recipiente que contiene un fluido se le abre un pequeño orificio, dado que las presiones son idénticas en la superficie y la velocidad de escape por el orificio es mucho mayor que la otra, haciéndola despreciable, se obtiene que la velocidad de escape es: Se llama Gasto o Caudal al producto de la sección por la velocidad del fluido en la misma.
CONSTRUCCION DE LA RED DE FLUJO CUADRADA Las redes de flujo son uno de los métodos más usados y aceptados para solucionar la ecuación [de Laplace. Sin embargo, antes de trazar esta red deben tenerse claro ciertos detalles:
· El dibujo de la sección transversal de la zona de flujo, debe estar claro y tiene que estar a una escala horizontal y vertical igual. · La superficie libre de agua y las condiciones de borde iniciales y finales para las funciones F y Y del sistema deben estar identificadas y ser geométricamente conocidas, además de otros datos pertinentes. ·
El suelo ha de ser homogéneo e isotrópico. (Caso contrario, véase la sección de anisotropía en dos dimensiones de este capítulo)
En la Figura 4.55, se muestran dos sistemas de f lujo en dos dimensiones en los cuales se desea dibujar la red de flujo. Las dos secciones transversales de flujo están claramente trazadas y tiene una misma escala vertical y horizontal adecuada. Las condiciones de borde inicial y final de la función potencial están identificadas con trazo segmentado, mientras que las condiciones de borde inicial y final de la función de flujo están resaltadas en trazo lleno.
Figura 4.55. Construcción de la red de flujo cuadrada. Condiciones de borde.
(a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.
Figura 4.56. Construcción de la red de flujo cuadrada. Ubicación de las líneas de flujo.
(a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.
Figura 4.57. Construcción de la red de flujo cuadrada. Líneas equipotenciales.
(a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.
Se elige un número entero del número de canales de flujo ( N F ), Casagrande recomienda que en muchos casos solo bastan entre 4 y 6 canales de flujo. La primera línea de flujo, será la condición de borde inicial de la función de flujo y la última línea será la condición de borde final de esta función. Entonces, se procede a dibujar líneas de flujo intermedias de tal manera que estén bien distribuidas en toda la región de flujo. En la Figura 4.56, se observa que la forma de estas líneas tiende de la condición de borde inicial a la final. Si el número de canales de flujo toma un valor mayor al sugerido, se tiene como resultado una red de flujo mas precisa, pero requiere un mayor esfuerzo ajustarla adecuadamente. Una vez dibujadas las líneas de flujo, se dibujan las líneas equipotenciales. La primera línea equipotencial, será la condición de borde inicial de la función potencial y la última será la condición final de esta función. En la Figura 4.57, se muestran las líneas equipotenciales en trazo segmentado, se observa también que la forma de estas líneas tiende de la condición de borde inicial a la final. Las líneas equipotenciales deben cortar a las líneas de flujo en ángulos rectos y tratar de formar en lo posible elementos cuadrados. Debido a que los valores de: D b y Ds de la ecuación [4.72] deben ser iguales, para dar validez a la ecuación [4.77] y poder determinar el caudal que circula en la red de flujo.
El dibujar la red de flujo en un método de ensayo y error, en ocasiones hace falta mas de un intento dibujar una red de flujo apropiada. Debe tenerse en cuenta que es muy improbable conseguir que absolutamente todos los elementos de la red sean cuadrados, especialmente en las condiciones de borde iniciales y finales del sistema. Sin embargo, el área sobrante de un elemento compensará al área faltante de otro. Para que una red de flujo se considere como apropiada, debe cumplir ciertas reglas básicas:
·
Las líneas de flujo no deben interceptarse.
·
Las líneas equipotenciales nunca deben interceptarse.
· Las líneas de flujo y equipotenciales deben interceptarse siempre en ángulos rectos. ·
Los elementos de la red de flujo en lo más posible deben ser cuadrados.
·
Ambas familias de líneas tienen que tener una curvatura suave.
En la Figura 4.58, se muestran algunos ejemplos de redes de flujo en sistemas de flujo en dos dimensiones.
Figura 4.58. Ejemplos de redes de flujo cuadradas (J. Badillo, 2000).
(a) Ataguía. (b) Presa de tierra. (c) Presa de concreto con mensuras.
