Amrinsyah-Analisis Struktur Metode matriks Kekakuan - Amrinsyah Nasution.pdf

Metoda Matriks Kekakuan Analisis Struktur

Amrinsyah Nasution

Penerbit

ITB

Hak Cipta pada Penerbit ITB, 2009 Data katalog dalam terbitan NASUTION, Amrinsyah, Metode Matriks Kekakuan Analisis Struktur oleh Amrinsyah Nasution. -Bandung, Penerbit ITB, 2009

lOa, 670 h., 25 cm 624.171 1. Metode Matriks ISBN

2. Judul

978-979-1344-36-4

I si

Prakata 9a 1

Sistem struktur

1.1

Portal 1

1.2

Rangka 3

1.3

Bentuk Struktur Rangka 5

1

1.4

Bcban Luar 6

1.5

Analisis Beban 17

1.6

Spesifikasi Pembebanan pada Jembatan dan Jalan 21

1.7

Soal-soal 30

2

Portal Bidang

39

2.1

Enersi Regangan Akibat Momen Lentur dan Gaya Normal 39

2.2

Persamaan Diferensial Pcnentu Elemen Balok 43

2.3

Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 47

2.4

Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 51

2.5

Vektor Beban Ekivalen (P) 58

2.6

Solusi [K](X}

=

(P}

61

2.7

Gaya-gaya dalam Elemen 65

2.8

Diagram Gaya 66

2.9

Contoh Analisis Struktur Portal Bidang 68

2. J 0 Program Komputer Analisis Struktur Rangka Bidang 2.1 J

104

Program Komputer Portal Bidang 131

2.12 Soal-soal

141

3

Rangka Bidang

3.1

Bentuk Struktur Rangka Bidang 149

147

3.2

Beban Luar 150

3.3

Dcrajat Kebebasan Struktur 151

3.4

Matrik Kekakuan Elemen JS]m 153

3.5

Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 154

3.6

Matrik Kekakuan Struktur JK!s 157

3.7

Vektor Beban Ekivalen (P}

3.8

Solusi [Kl(X}

3.9

Gaya-gaya Dalam Elemen 161

=

( p)

160

161

3.10 Contoh Analisis Rangka Bidang

162

3.11 Program Komputer Analisis Struktur Rangka Bidang

184

lsi

Sa

.

. .. 3.12 Soal-soal 202

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Struktur Kisi (Grid) 209 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 211 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 213 Matrik Kekakuan Struktur [K]s 217 Vektor Beban Ekivalen {P} 219 Solusi [K]{X} = {P} 222 Gaya-gaya Dalam Elemen 223 Contoh 224 Program Komputer Sistem Grid 238 Soal-soal 248

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

Rangka Ruang 253 Sistem Struktur 258 Beban Luar 259 Derajat Kebebasan Strukur 259 Matrik Kekakuan Elemen [S]M 260 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 261 Matrik kekakuan Struktur [K], 264 Gaya-gaya Dalam Elemen 267 Contoh Analisis Rangka Ruang 269 Program Komputer Analisis Rangka Ruang 292 Soal-soal 305

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Portal Ruang 311 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 314 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 316 Vektor Beban Ekivalen {P} 333 Solusi [K} 5 {X} 5 = {P}s 338 Contoh Analisis Struktur 338 Program Komputer Sistem Portal Ruang 351 Soal-soal 364

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Struktur Lengkung (Arch) 369 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 370 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 373 Matrik Kekakuan Struktur 374 Solusi [K] 5 {X} 5 = {P} 375 Contoh 376 Program Komputer 380 Soal-soal 391

8 8.1

Kabel 397 Geometri Kurva Kabel 398

6a Amrinsyah Nasution, Metode Matriks Kekakuan Ana!isis Struktur

8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12

Pengaruh Tegangan 400 Tegangan pada Kabel Jembatan Gantung 403 Bentuk Kurva Kabel 407 Penentuan Persamaan Geometri Kabel 410 Perakitan Matriks Kekakuan Struktur Kabel- Pendekatan Linear 410 Kekakuan Kabel Memilkul Beban Terdistribusi Merata 419 Analisis Kabel Non-Linear Orde Kedua (Second Order Analysis of Cables) 428 Model Bentang Pendek dengan Beban Merata 435 Bentang Besar dengan Beban Terpusat 435 Pipeline Bridge Structural System Kasim Marine Terminal 437 Soal-soal 438

Lampiran 439 Pustaka

667

lndeks 669

lsi

7a

Prakata

Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur merupakan metode fundamental kekakuan analisis struktur. Dengan kemajuan metodologi komputasi yang sangat pesat menggunakan perangkat lunak komputer, metode ini merupakan dasar-dasar analisis dalam mengembangkan metode matrik program komputer sistem struktur.

Bab 1 membahas secara umum sistem struktur yang dibedakan dari kegunaan struktur. seperti struktur jembatan. gedung, tangki, bendungan atau pesawat udara. Secara khusus penamaan ini dibedakan dari fungsi sistem menerima beban luar. Jembatan menerima beban lalu lintas, seperti rangkaian kereta api, mobil; sedangkan bangunan menerima beban dari kegiatan yang ada diatas bangunan, seperti beban ruang kelas, perpustakaan, perkantoran dan gudang. Bab 2 adalah bagian utama dari buku, menjelaskan sistem struktur yang menerima beban termasuk suatu sistem energi. Akibat beke1janya beban luar, konfigurasi sistem struktur berubah posisi terhadap dudukan awalnya. Ini berarti, karena akibat gaya luar teijadi kerja luar dan energi dalam struktur. Hukum Konservasi Ke1ja dan Energi yang merupakan konsep dasar yang digunakan pad a anal is is struktur. Penurunan persamaan diferensial penentu bagi teori Lendutan-Kecil balok lentur menjadi dasar penentuan hubungan antara deformasi dan gaya dalam analisis struktur dengan metoda kekakuan. Bab 3 sampai Bab 6 membahas analisis struktur sistem rangka bidang, struktur kisi (grid), rangka ruang dan portal ruang. Pada setiap bab diuraikan formulasi penyusunan matrik kekakuan. vektor beban sistem dan pengacaraannya untuk komputasi dcngan komputer. Bab 7 membahas sistem struktur lengkung (arch), formulasi matrik kekakuan sistem dan pemograman solusi si stem dalam bahasa C++. Bab 8 membahas si stem struktur kabel. salah satu konstruksi yang sedang berkembang saat ini untuk jembatan. Jenis jembatan yang menggunakan struktur kabel antara lain: jembatan gantung (suspension bridge), jembatan cancang (cable-staved bridge), atau kombinasi antara jembatan gantung dengan jembatan cancang. Tidak terbatas pada jcmbatan saja, struktur kabel juga banyak digunakan sebagai tali jangkar pada menara atau tenda. atap gantung, cable car, dan struktur lainnya. Buku ini digunakan di Institut Teknologi Bandung untuk mat
!si

9a

yang telah menjadi inspirasi dan memberikan bantuan dengan tugas-tugas kelas untuk menulis buku ini. Terima kasih saya kepada Tuti Sarah, Achmad Taufik di Penerbit ITB, yang dengan sabar dan telaten melakukan penyelesaian buku ini. Akhirnya, ucapan terima kasih saya sampaikan pada keluarga: Dini Chitrani Amrinsyah, istri saya; Natia Andrielli Amrinsyah, Arfino Tuinshi Nasution, putri dan putra saya, dan cucu saya Nawra Salma Fatima. Tanpa dorongan dan keberadaan mereka, tidaklah akan mungkin buku ini ada.

Bandung, Januari2009

Amrinsyah Nasution

/nstitut Teknologi Bandung

1Oa

Amrinsyah Nasution, Metode Matriks Kekakuan Ana/isis Struktur

1

Sistem Struktur

Secara umum sistem struktur dibedakan dari kegUiiaan struktur, seperti struktur jembatan, gedung, tangki, bendungan atau pesawat udara. Secara khusus penamaan ini dibedakan dari fungsi sistem menerima beban luar. Jembatan menerima beban lalu lintas, seperti rangkaian kereta api, mobil; sedangkan bangunan menerima beban dari kegiatan yang ada diatas bangunan, seperti beban ruang kelas, perpustakaan, perkantoran dan gudang. Dalam kajian analisis, sistem struktur dibedakan pada dua kategori dasar sistem, yaitu Struktur Kerangka (Portal) dan Struktur Kontinum. Sistem struktur kerangka merupakan rakitan beberapa elemen struktur. Umumnya terdiri dari elemen balok, kolom atau dinding geser membentuk kerangka yang disebut Portal. Sambungan antara elemen pembentuk sistem portal ini biasanya kaku/monolit, serta ukuran penampang elemen (lebar atau tinggi) kecil dibanding dengan bentang elemen. Sistem struktur yang tidak dapat dibedakan unsur elemennya, seperti pelat, cangkang, atau tangki dinamakan sistem struktur kontinum.

1.1 Portal Gambar 1.1.1 menjelaskan sistem struktur portal. Balok menerus seperti pada Gambar 1.1. 1a merupakan konstruksi yang paling sederhana. Elemen balok terletak pada satu sumbu dan menerima beban luar transversal terhadap sumbu tersebut. Sistem struktur seperti pada Gambar 1.1.1 b disebut Portal Bidang. Semua unsur elemen struktur berada dalam bidang portal. Demikian juga halnya dengan beban luar yang bekerja. Struktur Grid seperti Gambar I. 1.1 c mempunyai unsur elemen pad a suatu bidang datar dan semua be ban !uar bekerja transversal pada bidang tersebut. Portal Ruang seperti pada Gambar l.l.ld merupakan pemodelan tipe struktur portal yang ideal bagi sistem struktur kerangka, karena pemodelannya adalah sistem struktur tiga dimensi, seperti layaknya konstruksi bangunan yang sesungguhnya .

. . ~ __llnnn

~

'"' """ , , , 1----·--------/\~-

.====l

AiJimlli

~

per!etakan sendi

~

perletakan rol

Gambar 1.1.1 a Si stem Struktur Ba!ok Menerus

Sistem Struktur

1

/

;•\

rol ~·

~%,_'*"*

sendi

jepit

Gambar 1.1.1 b Si stem struktur portal bidang

. v:- E.

~ ~----: .. ~W_j~

/u 111

m--_ :r 7Y/

1//

I

H_"/

.

;:!:/

g~ ~~.:7

~ -~- --~--~- - - -- p

rw

~'

Gambar 1.1.1c Sistem struktur "GRID"

2

Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Gambar 1.1.1 d Si stem struktur portal ruang

1.2 Rangka Sistem struktur rangka merupakan struktur kerangka yang dibuat dengan menyambungkan elemen struktur yang lurus dengan sambungan sendi dikedua ujungnya. p

Gambar 1.2.1 Bentuk sistem rangka paling sederhana

Geometrik rangka yang paling sederhana adalah elemen yang ujungnya mempunyai perletakan sendi dan rol (Gambar 1.2.1 ). Perletakan sendi dan rol pada elcmen merupakan kekangan minimum yang diperlukan bagi keseimbangan gaya akibat bekerjanya beban luar. Walaupun variasi beban yang bekerja pada sistem dapat berupa beban bentang dan beban di titik kumpul, anggapan bcban kerja rangka adalah beban yang selalu beke~ja di titik kumpul. , lni berarti beban bentang perlu di konversikan dulu dalam beban ke~ja terpusat ekivalen di Sistem Struktur

3

titik kumpul. Pada geometri rangka yang paling sederhana seperti Gambar 1.2.1, hanya ada satu derajat kebebasan, sehingga hanya ada satu arah beban yang dapat dikerjakan. Rangka dasar ini dapat dikembangkan menjadi rangka bidang dengan dua cara:

o

Penambahan elemen seperti Gambar 1.2.2a dengan tambahan perletakan rol pada ujung elemen tambahan; sehingga tetap terjaga syarat stabilitas sistem.

o

Menambah dua elemen yang saling berhubungan pada satu titik kumpul, hal mana stabilitas sistem tetap terjaga (Gambar 1.2.2b).

Gambar 1.2.2a Sistem rangka 1

sendi

Gambar 1.2.2b Sjstem rangka 2

4

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

1.3 Bentuk Struktur Rangka Rangka Bidang

Secara skematik beberapa bentuk rangka bidang yang dirancang berdasarkan sifat beban kerja adalah: (Gambar 1.3.1.)

Gambar 1.3.1a Rangka atap

Pada rangka atap (Gambar 1.3 .I a), be ban yang bekerja se lain berat sendiri adalah be ban komponen atap (penutup atap, kaso-kaso, gordin) dan tekanan angin. Be ban hid up jembatan (Gambar 1.3 .I b) adalah berat kendaraan ; pada menara air, be rat air dan pada menarajaringan listrik (Gambar 1.3.1c) berupa berat kabel; sedangkan di menara komunikasi berupa beban antena.

_f\1\1\1\l\1\1\ Gam bar 1. 3.1 b Jembatan rang ka

Gambar 1.3.1 c Menara Sistem Struktur

5

Rangka Ruang Seperti bentuk portal ruang, rangka ruang merupakan susunan (Gambar 1.3.2.) unsur elemen batang pada sistem ruang, tetapi sambungan unsur elemen batang pada kedua ujungnya bersifat sendi, dan beban yang beke~ja merupakan beban ekivalen terpusat pada setiap titik kumpul.

1.4 Beban Luar Pada sistem struktur rangka, beban luar selalu dikonversikan menjadi beban ekivalen terpusat yang bekerja di titik-titik kumpul. Berat sendiri elemen yang bekerja merata sepanjang bentang diperhitungkan sebagai gaya terpusat ekivalen di kedua ujung elemen (Gambar 1.4.1 ). Juga seperti be ban me rata jembatan rangka pad a Gambar 1.4.2a, besarnya beban yang digunakan dalam analisis struktur dinyatakan oleh gaya/beban terpusat di titik-titik kumpul(Gambar 1.4.2b).

Gambar 1.3.2 Rangka Ruang

Dengan melakukan konversi bcban bentang menjadi gaya terpusat ekivalen di titik kumpul, pcmeriksaan kckuatan lentur elemen akibat beban bentang dilakukan secara terpisah.

Gambar 1.4.1a Beban merata pada bentang

Gambar 1.4.1 b Beban terpusat ekivalen

Gambar 1.4.2.a Beban merata pada bentang elemen

6 Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Gambar 1.4.2.b Beban ekivalen di titik kumpul

Analisis sistem rangka ruang yang tidak mungkin dikonversikan sebagai analisis ekivalen rangka bidang, seperti menara tegangan tinggi dengan beban kabel dalam ruang. beban titik ekivalen yang bekerja diperhitungkan dari kombinasi pemasangan kabcl pada titik per1emuan elemen. H,

Setiap kombinasi pemasangan kabel yang memberikan pengaruh beban maksimum pada rangka ruang harus dikaji dalam analisis. Klasifikasi beban pada sistem struktur dapat dijelaskan dari sifat pembebanannya. Klasifikasi beban tersebut antara lain : A.

Beban mati

Beban mati dihitung dari berat unsur struktur sendiri dan beban-beban tetap, seperti kclengkapan bangunan, genteng/ atap, barang-barang tidak bergerak, lemari. langit-langit dan lain-lain. B. Beban hidup

Beban hidup berupa bcban yang tidak tetap, seperti beban yang beke~a pada bangunan hunian. Beban Gambar 1.4.3 Rangka ruang dan beban terpusat

Sistem Struktur

7

hidup secara statistik ditetapkan di dalam peraturan sebagai beban mati. C. Beban dari lingkungan

Beban lingkungan yang bekerja pada sistem struktur merupakan efek dari alam. Angin, air hujan perubahan temperatur, gempa, penurunan tanah (settlement), dan tekanan air tanah merupakan jenis beban lingkungan yang harus diperhitungkan bekerja pada sistem struktur. kN 11 ············+············· 9

~antai par~iT~E::r:lcJG!raan penu111pang .... RuangpE;:T~Gif1to~an

Alur ·alan kendaraan di lantai basemen, ata atau daerah terbuka Tabel 1.2 : Berat material ban unan No.

54

Keteran an

Tabel 1.3: Berat komponen ban unan No. Keteran an Adukan, per cm tebal : 1. - dari semen - dari k(3p[Jr, semen mE;:r(3h atau tras 2 .......... ,A.spal, teTillasu~bahan~~GihG!nmineral pE;:n(3111bah, .per Dinding pasangan bata merah - satu batu ~ !)E;:lE::f19ah batu Dinding pasangan bat(3~() : Berlubang : - tebal dinding 20 cm (HB 20) 4. - tebal dif1ding 1Qcm(HB 1QL Tanpa lubang : - tebal dinding 15 cm 5. - tebal dindin 10 cm

8 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

N/m

<::m tebal

210 170 140 4500 2500

6.

13.

an Langit-langit dan dinding (termasuk rusuk - rusuknya, tanpa penggantung langit-langit atau pengaku), terdiri dari : - semen asbes (etemit dan bahan lain sejenis), dengan tebal maksimum 4 mm - kac;CI.dengCII1tE!bal 3 - 5mm ................................... Lantai kayu sederhana dengan balok kayu, tanpa langit-langit dengan bentang maksimum 5 mdan untuk be~CII1 hicJIJPrnaksimum2QOO N/m' Penggantung langit-langit (dan kayu), dengan bentang maksimum 5 m dan je3rak s.k.s. minimum 0.80rn 2 Pe111Jl!Jp. a tap genti11g cjenge3n reng dan usuk/kC3!;() PE!E~ ~icjang CIICIP Pe11 ut up ala!; si rap cJE!n9e3n rE!ng dan. usuk/kas(),. per m ~icjang a tap penutup CIICipseng gel()rn~CII19(E3JLS~?!))tanpa gording Penutup lantai dan ubin semen portland, teraso dan beton, tanpa adukan, per C:rn tE!bal Semen asbes elomban

N/m

110

100

Tabel 1.4 : Beban hidu minimum No. Keteran an 1. La11tC1i cje3n tangga _r!JrnCih tinggal, kecuali ya11g cjisebutdalar:n ? Lantai dan tangga rumah tinggal sederhana dan gudang-gudang pel1lil1gyal1g _ b!J.kai11JI1l!Jk toko, pabrik CIICIIJ ~engk€!1 Lantai sekolah, ruang kuliah, kantor, toko, toserba, restoran hotel asrama dan rumah sakit ~e3ntai ruangoiCih re3ga Lante3i r!JCII1g_dansa Lantai dan balkon dalam dan ruang - ruang untuk perternuan yang lajn daripada yang disebut dalam a sampai drngan seperti mesjid, gereja, ruang pagelaran, ruang rapat, bioskop dan panggung penonton dengan tempat duduk tetap: .............,...............,. . Panggung penonton dengan tempat duduk tidak tetap atau untuk penonton yang bE!rcJiTi ..... TCin99CI· hordesta11gga_cje311 gang dariye3ng cji!;ebutcjaiCirn 3_ Ta11g9e3· h()rdes tangga cje3n gang dai1YCII19 cji!;E!but dalam 4, 5 , ~ cjan.T: .....·..c. . :............ +..L:::.a::::n.tai r!Je3ng pelengkap dCII1YCII1g disE!but cJCIICirn}. 4, 5, 6 dan 7 Lantai untuk pabrik, bengkel, gudang, perpustakaan, ruang arsip, toko buku, toko besi, niang alat-alat dan ruang mesin, harus direncanakan terhacJCIP bE!bCin hid!Jpyang cjitent!J~CII1 ter!>E!I1cJiri,dE!I19CII1 minimu_:m . :.· ·································!·················4 ...:... :·.0.: :. 1 Lantai gedung parkir bertingkat : 12. - untuk lantai bawah 8.0 4.0 ,............ + - !Jilluk. lante3iting~Cit Balkon-balkon yang menjorok bebas keluar harus direncanakan terhadap 13 '--_ _·___._-=b=-=e:..::b...:ca.:.cn-'-'hidup dan lantai ruang yang berbatasan, den an minimum 3.0

Sistem Struktur 9

D. Beban Angin

Beban angin bergantung pada kecepatan angm, bentuk bangunan, ketinggian dan lokasi bangunan, bidang permukaan dan kekakuan struktur. Dengan mengetahui kecepatan an gin V, gaya yang bekerja pada bangunan dapat ditetapkan dari persamaan 180

l

I

!!

p=0.0000473CD V

2

( 1- I)

160 140 120

..

100

Ql

C1l

E

hal mana: 2 tekanan proyeksi vertikal [kN/m ] p koefisien bentuk CD= kecepatan angin [km/jam] V =

60

Grafik 1.1 menunjukkan hubungan tekanan angin dengan 40 ketinggian. Tekanan yang bekerja pada struktur diperoleh / 20 dari perkalian C[) dengan tekanan angin. Ketentuan lengkap j __ -- __j ---perihal beban angin pada struktur dapat dibaca pada buku 0.5 1.0 1.5 2.0 kN/m' Pedoman Perencanaan Pembebanan untuk Rumah dan GedungSKBI- 1.3.53.1987, UDC: 624.042, Departemen Grafik 1.1 Korelasi tekanan angin dengan Pekerjaan Umum untuk nilai CD untuk berbagai profil dan ketinggian arah angin Beban angin dapat berupa gaya tiup maupun hisap pada permukaan bangunan. Koefisien tehisap : -0.40 kan atau hisap angin bergantung pada arah kerja angin. Pada atap yang miring, koefisien

_r__ _

c-

tipu dipihak angin adalah 0.02a- 0.4 bila kemiringan atap a < 65° dan 0.9 bagi kemiringan atap antara 65°
Gambar 1.4.4: Koefisien angin tiup dan isap pada atap miring

E. Beban tekanan tanah dan tekanan air tanah

Struktur yang berada didalam tanah harus kuat menahan beban samping/lateral tekanan tanah dan tekanan hidrostatik air tanah. Umunmya tekanan tanah diperhitungan sesuai dengan kedalaman bagian str•1ktur yang ditinjau. Pada dinding reservoir dalarn Gambar 1.4.5, dikedalaman h, tckanan tanah yang bekcrja adalah (Yumah* Ka* h), halmana Ka adalah koefisien tekanan tanah aktif. Ka bergantung pada sifat tanah yang disebut sudut geser ~ dalam dan kohesi tanah c. Untukjenis tanah pasir: Ka =

1-sin~

.

I +Sill~

,

. sedangkan bag1 tanah lempung Ka = 2c.


(Ytanah

reservoir

* Ka* h)

(a) tekanan hidrostatik keatas

(b) tekanan samping akibat tanah

(c) tekanan hidrostatik

(d) tekanan samping akibat q

Gambar 1.4.5 : Beban lateral dinding reservoir akibat tekanan tanah, tekanan hidrostatik dan beban diatas tanah

F. Beban gempa

Efek perusak dari gempa pada bangunan sudah dikenal sejak dahulu kala. Indonesia termasuk daerah dengan tingkat risiko gempa yang cukup tinggi, sebab wilayah Indonesia bcrada di antara empat sistem tektonik aktif. Sering tct:jadi gempa dengan magnitude 7 atau lebih pada skala Richter. Pada gempa magnitude 7, tet:jadi kerusakan berat struktur bangunan. Bangunan lcpas dari fondasinya. tanah merengkah dan pecahnya pipa-pipa bawah tanah. Peta wilayah gempa Indonesia sepetii pada Gambar 1.4.6. Beban Gempa Nominal Statik Ekuivalen

Struktur bangunan gedung beraturan dapat direncanakan terhadap pembebanan Gempa Nominal dalam arah masing-masing sumbu utama denah struktur tersebut. berupa beban Gempa Nominal statik ekuivalen. Bagi kategori gedung memiliki Faktor Keutamaan 1 menurut Tabel I. beban geser dasar nominal statik ekuivalen V yang terjadi di tingkat dasar dapat dihitung menurut persamaan :

Sistem Struktur

11

00'

I~ 0'

102'

HL'

--'---~ - - -

10~

0

- ---

,.

\l\lilayah

CD c=J

Wilayah@ ~

0 10g

W11ayah@ ~

015g

Wilayah@) ~ ,_

025g

®

0 30g

Wilayah IG"

020g

W11ayah@ ITJil] ~

1

·----~-

1

----~

~~-~--.~~-10~0

1!0'

---

1'1'

-,------~--

11~··

11~·

·--

.,,

I

,_,

Gambar 1.4.6 Zona gempa di Indonesia

V

--

~--

-------,-

______L..L__ ____ J..:..:::.____J....Ji~.-~~~-~~ 0

1J.J'

(Sumber Tim Zonasi SKSNI.2002)

.s__!_w R

140"

(I- 2)

t

untuk suatu arah sumbu utama denah struktur. R adalah faktor reduksi gempa. C 1 adalah nilai Faktor Respons Gempa yang didapat dari spektrum respons Gempa Rencana menurut Gambar I A. 7 untuk waktu getar alami fundamental T 1• Tabel 1.5 Faktor Keutamaan I untuk berbagai kategori gedung atau bangunan

Kategori gedung atau bangunan

Gedung umum seperti untuk penghunian, perniagaan dan perkantoran Monumen dan bangunan nonumental Gedung penting pasca !:iempa seperti rumah sakit, instalasi air bersih, pembangkit tenaga listrik, pusat penyelamatan dalam keadaan darurat, fasilitas radio dan televisi. Gedung untuk menyimpan bahan berbahaya seperti gas, produk minyak bumi, asam, bahan beracun. Cerobon_g, taflgki di atas menara.

12 Amrinsyah Nasution. Metr;de Matrik Kekekuan Analisis Struktur

Faktor Keutamaan I 1 1 1.5 1.5 1,25

~---------··-----··-----------~------------·---

(a) Respons Spektrum Gempa Rencana Wilayah Gempa 1

1

--~

0

0.5

1.0

2.0

1.5

_ _ _ _____j

2.5

3.0

Perioda T [detik]

L ~----~--·-----·

.--

(a) Respons Spektrum Gempa Rencana Wilayah Gempa 2

0.60 _______

r_____

--r

0.50

~.-----

-

1--1

0.40

1

----

J-

u 0.30. 0>

0.10+--I - - --+-----------1-----_j

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Perioda T [detik]

Sistem Struktur

13

(c) Respons Spektrum Gempa Rencana Wilayah Gempa 3 --

0.80

- --- -

-

-- -

---- T -

0.70

I

0.60

----.. 0) .......u

-----

1

+ --

--- -

-

- ----

--- ,

0.50 . 040

r

t

;

,__�1

\

'

' I

-

�, --

0.30 0.20

/

tanah sedang

"' ... --- ...

...

'i" _ J ___ _

0.10!

I 0.5

0

1.0

-

-

:

tana� keras

- ------

.... ..._

- -- - -------- _ J_- - -1.5

- --

2.0

3.0

2.5

Perioda

(d) Respons Spektrum Gempa Rencana Wilayah Gempa 4 0.90

II

0.80

T

[detik]

-

0.70 0.60 0.50 . 0)....... u 040 0.30 0.20'

I

-

0.10; 0

0.5

I

I

1.0

i

1.5

2.0

14


3.0

2.5

Perioda

T

[detik]

(e) Respons Spektrum Gempa Rencana Wilayah Gempa 5 -

- -�----

+ - -----

0.1 0.5

0

1.0

1.5

I

2.5

2.0

3.0

Perioda T [detik]

I

-

-S��ktrum Gempa R�nc;��

-

- ---- --

(f) Respons

Wilayah Gempa 6 1.00 0.90 0.80 0.70

§

..-...

0.60 0.50 0.40

t I

0.30 0.20!_

j

- - o.1o -- - - - !

0

-

-

1

- -

05

Gambar 1.4.7 Respons spektrum gempa rencana

Sistem Struktur

15

W, ditetapkan sebagai jumlah dari beban-beban berikut ini: I. 2. 3. 4.

Beban mati total dari struktur bangunan gedung; Bila digunakan dinding partisi pada perencanaan lantai maka harus diperhitungkan tambahan beban sebesar 0.5 kPa; Pada gudang-gudang dan tempat-tempat penyimpanan barang maka sekurang-kurangnya 25% dari beban hidup rencana harus diperhitungkan; Beban tetap total dari seluruh peralatan dalam struktur bangunan gedung harus diperhitungkan.

Beban geser dasar nominal V harus dibagikan sepanjang tinggi struktur bangunan gedung menjadi beban-beban Gempa Nominal statik ekuivalen F, yang menangkap pada pusat massa lantai tingkat ke-i menurut persamaan:

V

FI

(I- 3)

di mana W, adalah berat lantai tingkat ke-i, Z; adalah ketinggian lantai tingkat ke-i diukur dari taraf penjepitan lateral, sedangkan n adalah nomor lantai tingkat paling atas. Apabila rasio antara tinggi struktur bangunan gedung dan ukuran denahnya dalam arah pembebanan gempa sama dengan atau melebihi 3, maka 0.1 V harus dianggap sebagai beban horisontal terpusat yang menangkap pada pusat massa lantai tingkat paling atas, sedangkan 0.9 V sisanya harus dibagikan sepanjang tinggi struktur bangunan gedung menjadi bebanbeban Gempa Nominal statik ekuivalen. Waktu getar alami fundamental struktur bangunan gedung beraturan dalam arah masmgmasing sumbu utama ditentukan dengan rumus Rayleigh sebagai berikut:

n

Iw·d~ I I Tl

6.3

i =1 n

(I- 4)

gLFidi i=l

ha! mana W, , F, , berturut-turut adalah adalah berat lantai tingkat ke-i, beban gempa statik ekui-valen di lantai i, dan d, simpangan horisontal lantai tingkat ke-i akibat beban F, yang dinyatakan dalam mm dan 'g' adalah percepatan gravitasi yang ditetapkan sebesar 9.810 mm/det 2 •

16

Amrinsyah Nasution, Metode 'Matrik Keka~ari A'ha!isis Struktur

1.5 Analisis Beban Berdasarkan Tata Cara Perhitungan Struktur Seton Untuk Bangunan Gedung (SNI-03-28472002), maka struktur dan komponen struktur harus direncanakan hingga semua penampang mempunyai kuat rencana minimum yang sama dengan kuat perlu, yang dihitung berdasarkan kombinasi pembebanan : •

U = 1.2DL + 1.6LL

•

U = 0.75 (1.2DL + 1.6LL + 1.6W)

•

U = 0.9DL + 1.3 LL

•

U = 1.05 (DL + LR ± E) atau U = 0.9 (DL ± E)

. - + 1000111 -+7.00111 -+400111

250

7 @7250

Gambar 1.5.1 Portal ruang dan denah bangunan bertingkat

Sistem Struktur

17

d i mana: DL = Beban mati LL

=

Beban hidup

W= Beban angin E= Beban gempa Untuk bangunan struktur baja, beban rcncana layanan dihitung dari kombinasi pembebanan : Tabel 1.6 Kombinasi Beban

Kondisi Pembebanan

Normal Masa Penggunaan

w H WP

Faktor Peningkatan egangan lzin

Kombinasi Beban

1.00 1.30 1.30

D+L D + L + (W atau E atau H atau WP) 0.75[0+ LR ± WJ

-- Bchan an!!,m Tekanan tanah = Tekanan air tanah ~

=

Kaj ian be ban untuk bangunan bet on bertulang : a. Pelat Lantai.

Bila tebal pelat 120 mm, beban hidup adalah:

=

2.50 kNim

2

•

besarnya beban terfaktor yang bekerja

qud = l.2qn 1~ + l.6q 11 = [1.2 * 0.12 * 24 + 1.6 * 2.5]kN I m = 7.456 kNim 2

2

b. Balok Lantai.

Luas tributari pembebanan untuk perhitungan beban balok Bila masing masing pcnampang balok : bentang CD = 3501650 mm 2501400 mm 2• maka perhitungan bcban pada balok ada1ah:

2

,

bentang 5 - 6 - 7 =

a. bentang /, 1 dan /, 2 = 6.50 m: q LlLpclai = 0.12 * 21 * 3.25 = 9.36 kN I m qLLpclal = 2.5 * 3.25 = 8.125 kN I m Kedua beban berupa beban segitiga. Dalam analisis, beban segitiga dickivalenkan dengan beban seragam merata. Perhitungan heban ckivalen seragam ditetapkan dari pcnyamaan pcrsamaan 1endutan maksimum antara beban segi tiga dengan heban ekiva1en merata seragam.

18


ekivalen

ekivalen

QDLpelat + QLLpol"

Ej

!#ilillillillliA11 !!I !! I! I! I!

~

I

Gambar 1.5.2 Pola Beban pada Balok

Jika lendutan akibat beban seragan merata/uniform:

5

8 beban-uniform = - - * q maks 384

ekivaleng4

8beban-segtiga _ _I_ * qsegitiga -120 El maks ekivalen _ 0 64 * q

-

·

' dan lendutan akibat be ban segitiga

El

e4

5 qekivaleng4 maka - - * 384 El

1

=-- * 120

g4

q segi-tiga

,

sehingga

El

qsegi-tiga

q~1ivalen =

0.64 * 9.36 kN/m = 5.99 kN/m.

q~~\alen =

0.64 * 8.125 kN/m = 5.20 kN/m.

Bagi perhitungan beban ekivalen trapesium ke beban merata l = ly = 8.0 m ;

Gambar 1.5.3

Qtrapesium

dan

Qek1va1en

untuk pembebanan balok

Sistem Struktur

19

b behan~trapesnrm = _5_ q trapcsiurn [(!2 rnaks El . 384

_5_ * q

ck1valcn ;..J.

(

384

-

= _)_

_

* ~trapeslllrn

El

384

El

ckl\alen _ q -

[f-' - 0.8a J * t

0 8 2 ]2 1 k . a ,na a

[t2 _0. 8a

f' 7

2

2

•

sehmgga

qtrapcSilllll

qlll

[se- 0.8(3.25Y I * 9 ..)'"'6 kN/m = 7.05 kN/m s·l

q'1''1'"'te" = ..

[se- 0 ·88.j(3 ·25YI * 8.125 kN/m = 6.12 kN/m

"'""le"=

' ~ q Dlbalok 251

1

110

' ' "'" -q " Illbdlok

--

0 ·-) I-* 0 · 40 * 24 kN/ 111- 2 ·49 kN/ 111. 0 . 3-) * 0 . 65 * '4 kN/ ll1 -- )- . 46 kN/ m . -

8eban tcrfaktor yang beket:ja pada sistem portal : a.

b en tang CD · :

q nil

= I • 2 * (2 * q D1 =

b·

bClltang 5 - 6 - 7 :

pclat

650 + q 3511 DLbalok ) + I • 6 * 2 * q

1.2* (2 * 7.05 + 5.46) + 1.6*2*6.12 - I •2 * (2 * qlJlpelat

esrr

quD-

=

400

+qlllbalok

)

+

1.1 pclat

=

I • 6 * 2 * qLLpclat

1.2* (2 * 5.99 + 2.49) + 1.6*2*5.20

' --

6500

--- ------

111111 -- - - -

=

-------

Gam bar 1 .5.4 Be ban portal

20

43.04 kN/m.

Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

34.00 kN/111.

-

1.6 Spesifikasi Pembebanan pada Jembatan dan Jalan 1.6.1 Aksi dan Beban Tetap Berat Sendiri Berat sendiri dari bangunan adalah berat dari bagian tersebut dan elemen-elemen struktural lain yang dipikulnya. Berat sendiri adalah berat bahan dan bagian jembatan yang merupakan elemen struktural, ditambah dengan elemen nonstruktural yang dianggap tetap. Tabel 111.1 merupakan daftar satuan berat dan kepadatan massa unsur. Tabel1.7 Satuan berat dan kepadatan massa bagi berat sendiri No

Jenis Sahan

Kepadatan massa [kg/m

3

Serat/Satuan Volume [kN/m

]

1.

Seton aspal

2200

22.0

2.

Seton

2500

25.0

3.

Seton Pratekan

2600

26.0

4.

Seton Sertulang

2600

26.0

5.

Saja

7850

77.0

3

]

(Sumber: RSNI T-02-2005, Standard Pembebanan untuk Jembatan, Departemen Pekerjaan Umum )

Tabel 1.8 Faktor beban untuk berat sendiri Faktor Sebar. Jangka waktu

Tetap

Bahan

KMs

KMsu

s Siasa

Terkurangi

Baja, Alumunium

1.0

1.1

0.9

Seton pracetak

1.0

1.2

0.85

Seton dicor ditempat

1.0

1.3

0.75

Kayu

1.0

1.4

0.7

(Sumber. RSNI T-02-2005, Standard Pembebanan untuk Jembatan, Departemen Pekerjaan Umum )

Beban matt tambahan Beban mati tambahan adalah berat seluruh bahan yang membentuk suatu beban pada _iembatan yang merupakan elemen nonstruktural, dan mungkin besarnya berubah selama umur jembatan. Tabel 1.9 merupakan faktor beban untuk beban mati tambahan. Tabel 1.9 Faktor beban untuk beban mati tambahan Faktor Seban Jangka waktu KMA :

Tetap

KMAU

s Biasa

Terkurangi

Keadaan umum

1.0

2.0

0.7

Keadaan khusus

1.0

1.4

0.8

Catatan (1) Faktor be ban day a lay an 1.3 digunakan untuk be rat utilitas

- Standard Pembebanan untuk .lembatan. (Sumber RSNI f-02-201b. Departemcn Pekerjaan Umum) Sistem Struktur

21

Sebagai contoh be ban jembatan dengan dimensi elemen seperti pada Gambar 1.6.1

22265 Cable-Stayed

Cable-Stayed

asphalt pavmg 80 mm slab thickness = 250 mm

slab thtckness = 250 mm

Transverse Beam 800/1600 mm2; interval5 m.

lt1ain Beam 1600/2500

Main Beam 1600/2500

Gambar 1.6.1 : Penampang elemen jembatan 2

a. Balok utama : 1600/2500 mm b. Tebal dek = 250 mm 2 c. Balok melintang interval 5 m : 800/1600 mm DLmain-beam =

2.5* 1.6*25.00 kN/m

DLtransverse -beam =

=

I 00.00 kN/m;

0.8* 1.6*25.00 kN/m

=

DLslab

32.00 kN/m;

=

0.25*25 kN/m

2

2. 70 kN/m

2

DLasphalt =

=

6.25 kN/m

2

.

1.6.2 Beban Lalu Lintas.

Beban lalu lintas untuk perencanaan jembatan terdiri dari beban lajur "D" dan beban truk "T". Beban lajur "D" bekerja pada seluruh lebar jalur kendaraan dan menimbulkan pengaruh pada jembatan yang ekivalen dengan suatu iring-iringan kendaraan yang sebenamya. Jumlah total beban lajur "D" yang bekerja

tergant~mg

pada lebar jalur kendaraan itu sendiri.

Secara umum beban "D" akan menentukan dalam perhitungan yang mempunyai bentang mulai sedang sampai panjang, sedangkan beban "T" digunakan untuk bentang pendek dan lantai kendaraan.

Beban terbagi rata (BTR) mempunyai intensitas q kPa, dimana besarnya q tergantung pada pan-jang total yang dibebani L seperti berikut :

L

~

30 m

q

L > 30m : q

9.0 kPa =

9.0 ( 0.5+

1

~J

kPa

dengan pengertian : q adalah intensitas beban terbagi rata (BTR) dalam arah memanjangjembatan. L adalah panjang total jembatan yang dibebani (meter). Hubungan ini bisa dilihat dalam Gambar 4.

22


11)

I

""'

'•

·'

.-

...

f...._l

~ ......

-

~

C.•' .,,

Gambar 1.6.2 Beban "0" : BTR vs panjang yang dibebani P~mjang

yang dibebani L adalah panjang total BTR yang beketja padajembatan. BTR harus

J :pecah menjadi panjang-panjang te:1entu untuk mendapatkan pengaruh maksimum pada

_icmbatan menerus atau bangunan khusus. Dalam hal ini L adalahjumlah dari masing-masing i~:t!Jj;mg

beban-beban yang dipecah.

Beban garis (BGT) dcngan intensitas p kN/m harus ditempatkan tcgak lurus terhadap arah laiu lintas pada jembatan. Besar11ya intcnsitas p adalah 49,0 kN/m. Untuk mendapatkan momen lcntur negatif maksimum pada jcmbatan menerus, BGT kedua yang idcntik harus Jitempatkan pada posisi dalam arah mclintangjcmbatan pada bentang lainnya. Beban Rencana Kendaraan

Beban truk

··r·

adalah satu kendaraan berat dengan 3 as yang ditempatkan pada beberapa

pc>sisi dalam lajur lalu lintas rcncana. Tiap as terdiri dari dua bidang kontak pembebanan ) ang dimaksud sebagai simulasi pengaruh roda kendaraan bcrat. Hanya satu truk ditcrapkan pcrlajur lalu lintas rencana.

Sistem Struktur

23

Beban lajur

Beban lajur jembatan adalah beban lajur "D" dan beban truk "T". Beban lajur "D" bekerja selebar jembatan. Total beban lajur "D" berdasarkan lebar lajur. Beban truk "T" adalah beban kendaraan berat dengan tiga tendom roda pada posisi yang memberikan beban maksimum pada lantai kendaraan. Setiap tandom mempunyai dua bidang kontak yang merupakan bidang kontak beban roda dengan lantai/dek. Hanya beban satu truk digunakan bagi penentuan beban lajur. Tabel1.10 Faktor beban "T" Jangka waktu Transien

[---~"' :.<:

~

·f

Faktor Beban

KTT"

I

KTTU

1.o

1

1.8

(•- 9 ) -

22& ~

12~ kN

+-":te"" :f-Q,r;t.~ rOm.!>IIN ------------------------·---------1 1101

-

-;14.

*

-;ft;

* ;[ "

=+-a'-'· ~01'3.! k>o i:-011u~N .ott- loh ----------------------------------

Gambar 1.6.3 Posisi beban kendaraan pada dek

Distribusi lateral beban "D" a.

Beban Jalur "D"

Beban lajur "D" terdiri dari beban tersebar merata (BTR) yang digabung dengan beban garis (BGT). Beban terbagi rata (BGT) mempunyai intensitas q kPa :

LS:30m

q=9.0kPa

L > 30m

q = 9.0 ( 0.5+

I~J

kPa


Panjang yang dibebani L adalah panjang total BTR yang bekerja pada jembatan. Jembatan

cable slayed ini mempunyai panjang bentang tengah L = 300 m, maka besar q

=

4.95 kPa.

Faktor beban untuk beban lajur "D" : Tabel 1.11 Faktor beban beban lajur "D" Jangka waktu

Faktor Beban

Km" Transien

1.o

I Kmu 1

1.8

22265

Transverse Beam 800/1600 mm2; interval 5 m.

Main Beam 1600/2500

Main Beam 1600/2500

a. Beban lajur "D" pada posisi sisi dek

22265

Transverse Beam 800/1600 mm2; intervalS m.

Main Beam 1600/2500

Main Beam 1600/2500

b. Beban lajur "D" pada posisi tengah dek

Gambar 1.6.4 Distribusi beban tersebar merata (UDL) Beban Garis

Beban garis BGT

sebesar p

49.0 kN/m bekerja tegak lurus terhadap gans lalu lintas

jembatan.

Sistem Struktur 25

Pembebanan truk "T"

Be ban "T" digunakan hagi pembcbanan lantai dan bentang pcndek jemhatan, scdangkan struktur jcmhatan coh!e stayed adalah struktur hentang panjang schingga analisis struktur ini tidak mempcrhitungkan heban T tetapi cukup mempcrhitungkan heban '"D". Pencmpatan beban truk '"T" pada lantai scbagai berikut :

22265

-r-

12000

-5000

p

- l-

Transverse Bcan1 800/1600 rnrn2: interval 5 rn

Main Beam 1600/2500

Main Beam 1600/2500

a. Beban garis "KEL" pada posisi sisi dek

22265 -

2500

---

- 12000

Main Beam 1600/2500

-

Main Beam 1600/2500

b. Beban garis KEL pada posisi tengah dek

Gambar 1.6.5 Distribusi beban garis (KEL)

26

2500


+-

"?i kh

:f-011B...

EO .. ,' ••

------------------------------.----t

**

.,.-

~,. .Fn11u

2.

-4- .. z~ ~h Fn112.~... ~h ----------------------------------

Gambar 1.6.6 Posisi Beban Truk 'T' pada dek

Be ban lajur dari beban "T" : [I+ 0.3). *T , hat mana 0.3 adalah faktor DLA Batasan lzin Beban Dinamik (Dynamic Load Allowance - DLA)

Bagi batasan izin beban dinamik untuk beban bergerak

mengacu kepada Peraturan

Perencanaan Teknik Jembatan, Departemen Pekerjaan Umum (2005).

Faktor DLA untuk

be ban jalur dari be ban "T" adalah 0.3. Gaya Rem

Efek rem dan percepatan pada lalu lintas ditetapkan sebagai gaya yang beke1ja arah memanjang,

>ang

bekerja di pennukaan jalan. Gambar 1.6.7 menunjukkan hubungan panjang dan gaya rem.

Besarnya gaya tidak tergantung pada lebar struktur. Gaya rem tidak boleh digunakan tanpa beban lalu lintas vertikal bersangkutan. Adapun faktor beban untuk gaya rem dapat dilihat pada Tabel 1.12. Berdasarkan Gambar 1.6.8 besar gaya rem yang direncanakan untuk jembatan cable stayed ini adalah sebesar 500 kN di distribusikan sepanjang bentang jembatan yang besar beban setiap lajurnya 500 kN /( 40 titik perletakan be ban)= 12.50 kN

Sistem Struktur

27

--l

600 T - - - - - - - - - - - 550 500 450

z

400

::=- 350 E

~

300

"'~

250

"'

200 150 100

50 ' 0

-l~-------r--• 0

20

40

60

100

80

120

140

160

180

200

Panjang (m)

Gambar 1.6.7 Hubungan gaya rem dengan panjang jembatan

Gambar 1.6.8 Distribusi gaya rem pada dek

Tabel1.12 Faktor beban untuk gaya rem Jangka waktu

Faktor Beban KTs"

Transient

1.0

I

l

KTsu

1.8

Beban Pejalan Kaki

Unsur jalan yang menerima beban pejalan kaki dinyatakan dalam satuan luas. Gambar 1.6.9 menlll~jukkan

hubungan intensitas beban peja1an kaki dan satuan 1uas, dari Gambar tersebut

digunakan beban peja1an kaki sebesar 4 kPa dalam analisis struktur jembatan cable stayed. Tabel 1.13 menunjukkan koefisien beban yang dipakai dalam perhitungan beban pejalan kaki.

28

Amrinsyah NDsution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Tabel 1.13 F aktor be ban untuk pejalan kaki F aktor Beban

u

Jangka Waktu

s KTr

Kss

Transien

1.0

2.0

6 I

I

I

I

Pe alan kaki yang berdiri sendiri dan bangunan atas je~batan

-----~---t~---

I

Pejalan kaki yang dipasang pad a I bangunan ~tas jembatan I

I

___ .J ____ ____ l ____ -~ __ _l _____ ~- _L________.,.___ ______, I

0 0

20

40

60

80

- --l------ .. 100 120

Luas beban (m2) Gambar 1.6.9 Beban pejalan kaki

Hcb~ul pc'.l~l bn i-;~1i-;i

p~ilb

,kk

+ Gambar 1.6.1 0 Distribusi be ban pejalan kaki pad a dek

1.6.3 Beban Aksi Lingkungan

Beban aksi lingkungan yang dimasukkan dalam analisis jembatan cable stayed meliputi 3 macam beban, antara lain : Pengaruh Suhu

Efek suhu pada jembatan dan bahan untuk analisis ditetapkan seperti pada Tabel 1.14 dan Ta bel 1.15. Pad a Tabel 1.16 menunj ukkan faktor be ban untuk pengaruh suhu . Sistem Struktur

29

Tabel 1.14 Suhu nominal rerata pada jembatan Suhu

Tipe struktur

Rerata minimum (1)

Rerata maksimum

Pelat beton diatas balok atau bok beton

15° c

40°C

Lantai beton diatas gelagar, box atau rangka baja

15° c

40°

c 45° c

15° c Lantai pelat baja diatas gelagar, box atau rangka baja Catatan (1) : Temperatur jembatan rata-rata minimum bisa dikurangi 5° C untuk lokasi yang terletak pada ketinggian lebih besar dari 500 m diatas permukaan laut. (Sumber: RSNI 1-02-2005. Standard Pcmbcbanan untuk .lcmbatan, Departemen Pekeqaan Umum )

Tabel 1.15 Sifat efek suhu pada bahan Bahan Baja Beton: fc'< 30 MPa fc'> 30 MPa Alumunium

....

Koef. muai suhu

Modulus Elastisitas [MPa)

12 x 10-o per °C

200,000

10 X 10-6 per °C 6 0 11 X 10- per (; 24 x 10-o per °C

25,000 34,000 70,000

(Sumber: RSNI T-02-2005. Standard Pcmbebanan untuk Jcmhatan. Dcpartemcn Pekcrjaan Umum )

Tabel 1.16 Faktor beban untuk pengaruh suhu Faktor Beban Jangka Waktu KET Transien

KETU

s

1.0

Biasa 1.2

I Terkurangi I 0.8

1.7 Soai-Soal I.

Konfigurasi portal ruang seperti terGambar terdiri dari elemen pelat, balok anak, balok induk, kuda-kuda dan gording. Bahan unsur elemen bangunan adalah beton bagi pelat, balok dan kolom, dan baja untuk kerangka atap. Dimensi pelat = 120 mm, balok induk B 1 = 300/550, balok pinggir 8 2 = balok anak B 3 = 250/450, dan profil kuda-kuda baja I 250. 125.6.9, sedangkan gording merupakan profil ganda C 150*50*20*3.2. Dimensi kolom lantai I dan 2 berupa profil H 300.300.9.11, dan bagi kolom diatasnya H 200.200.9.11. Berat penutup atap =55 kg/m 2 , beban hidup lantai = 250 kg/m 2.

Pertanyaan : 1.1 Lakukan perhitungan beban pada setiap elemen portal : a. Pelat b. Balok Anak c. Balok Induk d. Kolom


(a) Konfigurasi Portal Ruang dengan Unsur Elemen

82

(b) Denah Lantai akibat berat sendiri (DL), beban tetap (PL) dan beban hidup (LL).

1.2 Lakukan analisis kombinasi beban:

Sistem Struktur

31

a.

Sistem Struktur unsur Beton : Kondisi Pembebanan

Kombinasi Beban


b.

1.2DL + 1.6LL 1 .2DL + 1.6LL + 1.6(H +WP) 0. 75{1.2DL +1.6[DL + W]} 0.9DL + 1.3 W 1.05(DL + LLR ± E) 0.9(DL ±E)

Faktor Peningkatan Tegangan lzin 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Sistem Struktur unsur Baja: Kondisi Pembebanan

Kombinasi Beban


DL + LL DL +LL + (W atau E atau H atau WP)

Faktor Peningkatan Teganqan lzin 1.00 1.30

1.3 Gambar pola pembebanan pada setiap unsur struktur. 2.

Untuk menghitung beban gempa ekivalen pada pylon seperti pada Gambar, maka beban rencana gempa ditetapkan dari beban ekivalen statik yang dinyatakan dengan persamaan:

TnJ

C.! =RxW 1

(

k

N)

hal mana: T EQ = C = R = I = WT =

Vb = gaya geser total (kN) Koefisien dasar geser = 0.1 Faktor reduksi = 4 Faktor kepentingan = 1.2 berat total nominaljembatan (berat sendiri + beban tetap) (kN)

Persamaan distribusi be ban gempa pada pylon adalah sebagai berikut :

F = w,.h; xVb ' L,w,.h, hal mana: w;

=

berat struktur pada tingkat ke-i

h;

=

tinggi struktur pada tingkat ke-i

Sedangkan untuk distribusi beban gempa pada dek digunakan persamaan berikut ini

FJek

C. I

= wdek x R

(kN) dengan

Wctck =

berat satu pias dek (kN)


0 0 0 0

0 0 0 '.!)

Potongan, bobot dan massa pylon Distribusi beban seismik pada pylon dan dek : Dengan I = 1.2 ; Cv = 0. I ; R = 4, 1 0 1 3 vb =T EQ = ~ x wT = · : 1. *442921.25=8217.27 kN Distribusi beban seismik pada pylon dan dek : m,

Wi

hi

Wi *hi

8

21009.06

107 98

2268558.30

7

17996.59

100.10

1801458.66

6

25141.60

93.78

2357779.25

5

27728.09

8665

2402639 00

4

34873.10

79.51

2772760.18

3

37459.59

72.38

2711325.12

2

36415.61

65.24

2375754.40

1

52215.37

31.79

1659926.61

Pertanyaan :

2.1 Hitung besarnya bobot total pylon L:Wi [kN]. 2.2 Hitung L:Wi*zi [kN]. 2.3 Tetapkan beban gempa ekivalen Fi [kN] pada setiap massa pylon.

Sistem Struktur

33

3.

Jelaskan cara distribusi pembebanan pad a elemen balok seperti Gambar berikut dari sistem struktur :

Pa

0

L .. ~~

J

l'b

J

~~~----

CL

=;::;=:s ----1----- j ---

p

~ ~~~:-~0~ [j--- /- ·--tJ

n 'no- ?~~--~~-8=:5 T ]N-m/n]

i

4.

Portal dengan konfigurasi berikut ini :

Elemcn: 2 batang I dan 3 : 400/400 mrn batang 2

: 40011250 rnm

Berat volume bahan : Yh

=

2

24 kN/rn

3

Be ban yang bekerja : be ban segitiga q kN/m dan beban H horizontal di 3 seperti pada garnbar. Besar bcban q = 52 kN/rn dan

H = 0.1 *(0.5*/2. 3 *q) kN

16 m

Catatan :

fEM

=

0.0521 qL 2

4

I

Pertanyaan : 4.1 Hitung beban sendiri struktur. 4.2 Gambar diagram beban berat scndiri struktur.

5.

jep::;..:it'------15 m----~">'

Dinding JS bata ditempatkan diatas pclat !antai. Berat sendiri dinding

=

2.50 kN/m

2

•

Pcrtanyaan : 5.1 Hitung berat dinding yang beket:ja pada pelat lantai? 5.2 Apakah beban dinding pada pelat merupakan beban garis merata atau beban satuan luas?

34

Arnrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

kolom 300/300

6.

kolorn 300/300

Panel lantai seperti Gambar adalah pelat lantai dua arah, hal mana beban yang beker:ja pada lantai diteruskan kepada balok-balok panel. Pola pembebanan pada balok mengikuti pola garis leleh pelat. Pada arah panjang, beban balok berupa beban trapesium. dan arah pendek be ban segitiga. Arah panjang panel /, = 7.50 m. arah pendek l, = 6.25 m. Ukuran balok 400/600, tebal lantai 150 mm dan beban hidup = 250 kg/m.

Pertanyaan : 6.1 Hitung berat sendiri balok qr~~lok . 6.2 Hitung berat sendiri pelat qf~lat . 6.3 Hitung beban balok arah panjang akibat berat sendiri q~tok + berat pelat qDLpelat

+ beban hidup qLLpelat

=

qfgt~\L) .

Sistem Struktur

35

@

7.

Ekivalensi beban segitiga yang bekerja pada balok berupa beban terbagi rata diperoleh

q

( DL +Ll) pelat

.••.

~----milllln i .~ ~

t@illliifffin~vrOOb~ ,~~-~---~ 1

-_ -

1

= 35 kN/m

i

!~t-'

L _

ekivalen

___ __

+

_

q

~

Dlbalok

ek1valen

=23 kN/m

qoLbalok

I

~

U+ rrrn +IDlillf+trTIIIIITIIIT}liiiV q- DLpelat

-qllpelat

. .

.

~=~1,f1IT[11Uilli + ~JF~LLU ~u~ j~i~ l-~-~7 .50 m- --~---l-------7 .50 m---_l dari rumusan lendutan maksimum balok : bbeban~segitiga = bbeban~ekivalen~merata 5: ~ 1 * qsegitiga *jA d 5: _ _2_ * qmerata,l' 4 I1a I man a ubeban~segitigaEl an °beban ekivalen me rata - 384 El 120 Tentukan beban ekivalen merata q pada balok.

36 Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

8.

Seperti pada soal 7, ekivalensi beban trapesium yang bekerja pada balok berupa beban

r-a

1-----

--·~--

l

ekivalen

ekivalen

qDLpelat + qLlpelat

Qoe>

Hf/ 1[ 11]1~ 11 \ l \, lJLJllJ l

i

Llllll

F----··u~ i :

LLUll tll _L L_ 1

Ul J I

terbagi rata diperoleh dari rumusan lendutan maksimum balok : bbeban_trapesium

ha I mana

d an

= bbeban_ekivalen_merata

bbeban trapesium -

5 = [-768 * -f 4

s::: _ ) Ubeban ekivalen mcrata~ 384

*q

111crata

2

2

3

a •f a •f - -- -32 12

a

4

]

+ -16 * qtrapesium

*14

El

Tentukan beban ekivalen merata q pada balok. Sistem Struktur

37

9.

Pelat canopy seperti Gambar adalah pelat dengan tebal 100 mm. Se lain beke1ja berat 2 sendiri. beketja beban hidup = 1.0 kN/m • Akibat beban bagian pelat yang menghubungi ko!om mengalami momen puntir (tarsi) lllptlntir·

Hitunglah berapa mpunt 1r sepanjang bagian pelat yang terpuntir.

I 0. Tentukanlah reaksi perletakan dari sstem struktur cantilever seperti gambar. Gambar diagram gaya-gaya dalam dari sistem struktur.

200 kN

2 30 kN --~ 1_ lSm-//! I

7

~) _ ____ ]2.s

11\

13 i

~ 8m i ; I ,__ __ --'

1

I

•

I

I

1

I

/

' 65 " /

\_

38

___ __j


2

Portal Bidang

Sistem struktur yang menerima beban termasuk suatu sistem energi. Pada kondisi tidak adanya beban, konfigurasi

sistem mempunyai bentuk yang spesifik sesuai sistem. Apabila

menerima beban, konfigurasi ini berubah posisi terhadap dudukan awalnya. Ini berarti, karena akibat gaya luar terjadi

kerja luar dan energi dalam

struktur.

\lengabaikan kehilangan akibat gesekan, dan faktor pengaruh lainnya, kerja luar haruslah seimbang dengan energi dalam. Keadaan ini disebut Hukum Konservasi Kerja dan Energi yang merupakan konsep dasar analisis struktur.

2.1

Enersi Regangan Akibat Momen Lentur dan Gaya Normal

Teori mengenai balok lurus didasarkan atas anggapan bahwa regangan serat memanjang balok pada tiap-tiap penampang adalah terbagi rata secara linear. Anggapan ini disimpulkan dalam azas Navier

:

"penampang melintang yang datar tetap datar, setelah menerima

Dl:'ban" Bila ditinjau penampang sembarang seperti Gambar 2. I .I berikut:

L......

.

Gambar 2.1.1 Parameter Penampang Balok dengan Gaya Oa!am

, 11 adalah sumbu�sUJnbu inersia utama yang melalui titik berat pemmpang melmtang ba ok. Dengan dA luas satuan penampang, maka

(2 -1) .\

A

A

Portal Bidang

39

M sebagai vektor momen terletak pada penampang melintang, diuraikan dalam komponen Mc;, dan M,1 pada sunibu ~ dan YJ. Tegangan di titik (~,YJ) ditentukan oleh persamaan linear:

a= a~+ b YJ + c

(2 - 2)

Koefisien a, b, dan c dalam persamaan ditentukan dari persamaan keseimbangan

M~= faY]dA

;M 11

=-fa~dA

A

(2- 3)

;N= fa.dA

A

A

Mengisikan persamaan tegangan pada (2 - 3), berarti :

M~= J(a~+bY]+c)lldA A

=

{

\,

f (a~)lldA + f \bYJ 2 pA + f cY]dA' A

A

M~;=

f

2

bY] dA =

sehingga mengingat persamaan (2 - I) :

A

bl~;.

A

M

-M

N

11 , dan c = Besaran b = _I; . Hal serupa a = - I~; 1,1 A

Dengan demikian persamaan tegangan pada penampang yang dinyatakan dalam besaran momen dan gaya : -M"~

M~ll

N

(2- 4)

a=--+--+1" I~ A

N adalah gaya normal, lc;, 111 merupakan momen inersia penampang terhadap sumbu

~

dan ll·

Memperhatikan batang tarik pada Gambar 2.1.2 dengan luas penampang A, perpanJangan e, maka besamya gaya dalam N dinyatakan sebagai : EA N =e(2- 5) L dengan E adalah modulus elastisitas bahan, L panjang awal batang. Kerja dalam U penampang : U = fNde=f EA ede= EAe2

L Menurut hukum Hooke : a

2L =

(2- 6a) L,A

EE, sehingga energ1 regangan

elemen dengan panjang ds dan luas penampang dA : 2 2 2 L1U = EdA (de)2 = EdA * a ds = a dAds 2 6 2ds 2ds E2 2E ( - b)

T e

. ..1

dNds ads mengingat de=--=--. Akibat lentur dan gaya normal, EdA E Gambar 2.1.2 Batang Tarik

energi regangan balok :

40 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

L

1 2 U =-Jds Jcr dA 2E

0

=-JJL[

- Mn~

1

2E

A

OA

In

M~YJ N +--+-

h

A

s

]2 dAds (2- 7)

1 L [M2~2 M2YJ2 N2l =-ff - I-2 + I~2 +-jdAds A2 11

2E

0A

11

~

2 2 2 11 M1 L[M U=-J -~ + +N-] ds 2E

0

I~

In

(2- 8)

A

Bila momen penampang yang bekerja hanya terhadap sumbu balok lentur pada sistem portal (Gainbar 2.1.3), ini berarti:

~'

seperti umumnya elemen

Y]

Gambar 2.1.3 Momen Lentur M paC:a Penampang Balok L

N = 0; M 11 = 0; M~ =-M, I~ = I, seh:21gga U =

M 2 cis

J

lEI

(2- 9)

0

\llemperhatikan perubahan bentuk elemen balok pada saat terjadi lenturan, kelengkungan balok dan perubahan posisi garis netral digambarkan pada Gambar 2.1.4.a dan 2.1.4.b. Padajarak v dari garis netral, efek rPvgangan terjadi akibat perubahan panjang antara titik e-f (Gambar 2.1.4.b). Jarak e- f = vd8, sehingga regangan: Ey

vd8 vd8 v = - = - =dx pd8 p

(2 - I 0)

p adalah jari-jari kelengkungan terhadap grxis netra:. Portal Bidang

41

y,v

f

p .......... ., ...........................................................

r·············~······································································

~~~~~------------------~----~----------------~~~~r-----X,U

M

M

Gambar 2.1.4.a Jari-jari Kelengkungan p Balok Lentur

Regangan

merupakan parameter yangjuga menyatakan sifat bahan. Tegangan lentur yang ~ Mv 0 terjadi pada jarak v dari garis netral adalah 0 v = - - dan regangannya adalah Ev = _v I E Ev

~Mv

Dengan demikian:

(2 - 11)

Ev = - -

El

Menyamakan persamaan (2 - I 0) dengan (2 - 11) : v

~Mv

I

~M

p

El

p

El

- = - - , sehingga- = - -

(2 - 12)

I

Sccara matcmati k ja ri-jari kclcngkungan d inyatakan scbagai :

p~ [

)'l

d2y/ /dx2 + ( ~~

Y,

(2 - 13)

1 x dan y adalah koordinat titik pada garis keleng-kungan. Nilai persamaan disebelah kanan tanda sama dengan adalah positip, dengan pengertian terjadinya kelengkungan seperti lenturan balok dalam Gambar 2.1.4.a. Dalam analisis struktur, putaran sudut yang ter-jadi cukup kecil dibandingkan dengan bcntang balok, schingga nilai snkn ( kan dasar fundamental

42

teor~

~~

r

dapat diabai-kan, Anggapan inilah yang mcmpa-

Lendutmz-Kecil.

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kr::~kakuan Ana/isis Struktur

\ knyamakan (2-12) dengan (2-13), jiperoleh: d~\ -M ----j,.:El

(2-14)

L ntuk tinjauan setiap penampang pada bak,k. nilai M bervariasi terhadap bentang, schingga momen dinyatakan dalam fungsi jarak M = M(x). 1ni beratii persamaan (:2- 14) mengambil bentuk: d 2y d.'\

2

- M(x)

(2-15)

El

Persamaan(2 - 15) merupakan pcrnyataan dasar teori Lendutan-Kecil yang digunakan dalam analisis struktur. Bagi turunan petiama clan kedua persamaan, akan diperoleh d3y = dy \- M(x)l d.'\ 3 dxl El

(2 -16)

a

d

Gambar 2.1 A.b Segmen Balok di Posisi Lentur

(2 - 17)

Untuk nilai El konstan sepanjang bentang: cl\'

- V(x)

d.'\3

El

d-+y

q(x)

d.'\4

El

(2 - 18)

(2 - 19)

V(x) adalah gaya geser clan q(x) beban tranversal yang bckerja pada segmcn. 2.2 Persamaan Diferensial Penentu Elemen Balok

Penurunan persamaan diferensial penentu bagi teori Lendutan-Kecil balok lentur menjadi dasar penentuan hubungan antara deformasi clan gaya dalam analisis struktur dengan mctoda kckakuan . .I ika dikaji elcmen balok dengan konfigurasi be ban seperti pad a Gambar 2.2.1, ma-

Portal Bidang

43

ka bentuk garis elastis balok y = y(x) ditetapkan dari parameter perpindahan dan rotasi posisJ tertentu balok. Dengan demikian: y(O) = oi; y' (0) =
(2- 20)

y(£) = oj; y'(e) =
8; dan a, maka momen lentur M(x) pada setiap penampang dinyatakan sebagai

y

• I I I I

()i

y

Qi

Qj

Gambar 2.2.1 Parameter deformasi elemen balok akibat beban

(2- 22)

J

di mana Pq = q(x)dx dan a jarak Pq dari ujung i. lntegrasi persamaan ini menghasilkan :

Ix[d2y} dx 2

x

1 x=EII{-M;+Q;x-HPq(x-a)}dx (2- 23)

2

_

HPq (x-aY 2EI

1ntegrasi persamaan(2 -23) memberikan: 2

x[dy} M' x +Q- 'x- - HPq x= Jx{
f

44

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

~ Mix2 Qix3 HPq ( )3 : =<\ +
(2 - 24)

Dengan memasukkan syarat batas y'(£) =
(2 - 25)

\1 1 r2 Q 1 e3 Pq 3 - - --=-8 +0- +m€--b 2EI 6EI J I 't'l 6EI Persamaan ini memberikan solusi bagi Mi dan Qi 4EI 2El 6EI 6EI Pq 2 \ti = -e-
(2 - 26a)

2

6EI 6EI 12EI 12EI Pqb (€ + 2a) Q =-

(2- 26b)

Lntuk mendapatkan Mi dan Qi sebagai fungsi deformasi dan beban, digunakan persamaan statika dasar. Hasilnya adalah : 2EI

4EI

6EI

6EI

Pq

2

(2- 27a)

\1- =-
I

(2-27b) Lntuk balok dengan kedua ujung terkekang penuh, oi = oj =
(2- 28a)

2

Pqb (€ + 2a) Q = FEQ = ---'--------:::--

'

,

(2- 28b)

e3

Pq

I

2

(2- 29a)

\t = FEM =-a b J

-'

Q_~ = FEQ.i =

e2

2 Pqa (€ + 2b)

e3

(2- 29b)

Hubungan gaya aksial N dan Ni, dengan deformasi aksial yang terjadi adalah: N/ N/ Nie N/ = - - - dan~-1 = - - + - 1 AE AE ' AE AE

~-

(2- 30)

Portal Bidang

45

Persamaan(2-27), (2-28),(2-29) dan(2-30) merupakan dasar penyusunan matrik kekakuan elemen balok lentur yang menerima gaya-gaya ujung dan beban tranversal q(x) seperti pada persamaan [2-31 ]. Secara umum persamaan(2-27) dan(2-30) menyatakan hubungan antara besaran gaya dan perubahan posisi balok. Menggantikan suku-suku fungsi beban dengan pernyataan umum FEM, FEQ dan FET bagi kedua ujung balok terkekang penuh, di-peroleh persamaan (Gambar 2.2.2) : y & I I I I

q(x)

_;r. . . . . I

'((jl,.M,

XT

~---------------------+:

Gambar 2.2.2 Parameter gaya,

perpi~dahan/rotasi dan beban balok lentur

Apabila gaya yang bekerja pada balok hanya gaya-gaya ujung Mi, Ni, Qi, dan Mi, Ni, Qi yang dinyatakan berturut-turut sebagai F 1, F2 , F3 , dan F4 , F5 , F6 , serta parameter perpindahan/rotasi ujung balok cpi,l'.i,8i,
tI

'

,, .F.

'6!,:::-- ----·· -~.~~;-···--- ---·---"fS·~:e;---··, Gambar 1.3.3 ldentifikasi Parameter Gaya dan Deformasi Ujung

46


EA

12El

0

EA

0

0

6EI

0

0

0

2EI

e2

e

Q.I

p

_ _g_ab 2

M.

e2

0

6EI

I

N. I

0.

2EI

e

12EI

q

~. I

e2

EA

0

2 P b (e + 2a)

6EI

0

e

e

0

0

4El

EA

0

e

e2

0

XT --T

0

0

12EI

6EI

-

6EI

0

U-xT)

J

T

E

Q.

Pa (C+2b) q

M.

J

2

e2

(2-31)

I

N.

l

J

4EI p

e

')

e-

_g_a 2 b

e2

\lenggunakan persamaan(2- 31 ), hubungan gaya Fi dan L1i seperti persamaan (2- 32). EA {

0

0

0

EA

0

fJ

0 0 EA f

0 0

12EI

6EI

;;3

;;2

6EI

4EI

e2 0

0

0 0 EA

12EI

e

6EI

;;2

6EI

2EI

;;2

e

0

0

12EI

6EI

(2- 32a)

fJ

12EI

6EI

;;2

e2

6EI

2EI fJ

0 0

e

;;2

6EI

4EI

e2

fJ

[sJn, {AL = {F}m \latrik [sl, didetinisikan sebagai MATRIK KEKAKUAN

atau

(2-32b) ELEMEN. Vektor{A}m dan

{FL

berturut-turut menyatakan derajat kebebasan elemen dan gaya ekivalen ujung.

2.3 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur :\pabila ditinjau Portal Bidang sebagai sistem struktur, maka konsep geometri portal bidang adalah kontigurasi dari elemen-elemen lurus dirangkai bersama secara monolit. Bentuk yang paling sederhana adalah elemen balok tunggal dengan perletakan cukup mencegah kerunPoria/ Bidang

47

tuhan. Perletakan sendi dan rol pada elemen sederhana merupakan jumlah minimum perletakan untuk menjaga keseimbangan hila batang dibebani. Pada portal bidang, perpindahan terjadi dalam bidang. ldentifikasi perpindahan/perubahan pada sistem akibat beban luar dinyatakan dengan perpindahan translasi dan rotasi titik-titik kumpul. Contoh portal bidang seperti pada Gambar 2.3.1 Titik kumpul; 1, 2, 3 dan 4 berturut-turut adalah perletakan jepit, rol, jepit dan sendi. Tidak terjadi baik perpindahan translasi maupun rotasi di titik I dan 3, mengingat sifat perletakan jepit. Titik kumpul 2 dapat "lari" arah horizontal dan berotasi. Karenanya ada dua kebebasan bergerak titik 2 yang didefinisikan sebagai kebebasan derajat dua. Bagi titik 4, tidak mungkin terjadi perpindahan horizontal maupun vertikal; hanya rotasi, sehingga dinyatakan titik 4 mempunyi satu derajat kebebasan. Bagi titik-titik kumpul lainnya, setiap titik dapat berpindah arah dan berotasi. Dengan demikian, derajat kebebasan struktur NX = 2 +I+ 3 * 9 = 30 . Derajat kebebasan struktur ini dapat dihitung berdasarkan rumus : NX=3NJ-3NFJ-2NPJ- NR

(2 - 33)

di mana NJ NFJ NPJ NR

= =

= =

jumlah total titik kumpul, termasuk perletakan jumlah titik yang sifatnya JEPIT jumlah titik yang sifatnya SEND! jumlah titik yang sifatnya ROL

Dengan derajat kebebasan, perpindahan garis elastis yang menyatakan perubahan posisi sistem struktur dapat dihitung. Gambar 2.3.2 memperlihatkan perubahan posisi sistem secara skematik. Derajat kebebasan titik dinyatakan dengan vektor Xi . Arab vektor positip seperti terGambar. Seperti juga halnya dengan elemen, terjadinya perubahan posisi titik kumpul berakibat oleh bekerjanya gaya. Apabila setiap vektor perpindahan/rotasi titik kumpul diakibatkan oleh vektor gaya ekivalen yang bekerja di titik kumpul tersebut, maka kedua vektor tersebut berpasangan. Gambar 2.3.3 menyatakan vektor gaya ekivalen yang mengakibatkan terjadinya perpindahan/rotasi titik.


r:j31

13

------~------~

12 . .

G]

GJJ 8

El

@]

9

10

®J

11

~

5

§

7 6

@J

@]

2 Gambar 2.3.1

3 Portal Bidang

4

x26

y

X2s _(... !1.?.\.~~: ·

.... ............... . X3o

Xs

2 Gambar 2.3.2

3

4

Garis elastis dan vektor perpindahan/rotasi titik kumpul

Portal Bidang

49

Gambar 2.3.3 Vektor gaya ekivalen titik kumpul

Hubungan antara vektor perpindahan/rotasi dengan vektor beban ekivalen adalah : PI p2

p3 p4

XI

Kll

Kl2

K~:,

Kl4

K21

Kn

K23

K24

.K2i

K23o

x2

K31

Kn

K,3

K34

.K3J

Kno

x3 x4

.Kii

K13o

(2- 35) P,

atau

KlJ

KJ2

K, .1-

Ki4

K,.~

K,Jo

X.~

{r} = [K]{x}

Matrik [K]didefiniskan sebagai Matrik Kekakuan Struktur. Unsur matrik K,i merupakan hasi! rakitan unsur-unsur matrik elemen yang ujungnya terkait menyusun titik kumpul.

50


2.4 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur Pcrakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] mcmer!ukan proses transfonnasi koordinat. Pacta pe:-akitan unsur [KJ di titik kumpul 8, sistem koordinat elemen batang 6 dan 7 yang menyatakan hubungan [S] 111 (i\}m=(F} 111 harus ditransformasikan ke daiam sistem koordinat ~truktur/global. Gambar 2.4.1 menunjukkan sistem koordinat struktur/global bagi elemen pL)rtal.

@]

12.------.13

2 Gambar 2.4.1 Sistem Koordinat Globai/Struktur

Posisi koordinat clemen/lokal terhadap koordinat struktur/global untuk elemen batang 6 dan 7 s.;perti pada Gambar 2.4.2. y

I y

\ t. 2 , h

X14, P14

Xn, Pn--4 ,,, 4' F,

X1s, P1s

:'is, Fs

[7j

1'.3, F3 (d)

ir , ,

F,

f\.5, F6

(c)

---------------···>X Gambar 2.4.2

Konfigurasi Elemen Portal, Besaran Gaya dar.

Pe~pindahanEiemen

pada Sistem Lokal

Portal Bidang

51

y

y"' X2, P2

X1,P1~

X

X3, P3

t.1, F1

(b)

(a)

Gambar 2.4.3 Transformasi [S]m{t.}m = {F}m ke [k]m{X}m = {P}m

Dengan sudut e yang dibentuk elemen batang 6 terhadap absis X, besaran gaya ujung elemen LF 1 F2 F3 F4 F5 F6 j dinyatakan denganLP1 P2 P3 P4 P5 P6 j melalui transfarmasi kaardinat (Gambar 2.4.3) :

Fl

case

sine

0

0

0

0

Fz

-sine

case

0

0

0

0

F3 F4 Fs F6

0

0

I

0

0

0

0

0

0

case

sine

0

0

0

0

-sine

case

0

0

0

0

0

0

atau

{F} = [T]{P]m.

Juga

perpindahan

PI Pz p3 p4 Ps p6

111

Lx~ Xz X 1 X 4 X 5

elemen L,...I ,... 2 ,... 3 ,... 4 UJUng X 6 j melalui transfarmasi kaardinat.

~I

case

sine

0

0

0

0

XI

~2

-sine

case

0

0

0

0

Xz

~3

0

0

0

0

0

~4

0

0

~5

0

0

~6

0

0

atau {M

52

(2- 36)

,... 5

x3 0 case sine 0 x4 0 -sine case 0 Xs 0 0 0 x6

= [T] {X}


,... 6

J

dinyatakan

dengan

(2- 3 7)

\latrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat dari sistem koordinat elemen kedalam sistem kordinat global/struktur' \1engisikan ketentuan kedua persamaan ini kedalam persamaan (2- 32)

akan diperoleh matrik kekakuan elemen yang ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut :

Portal Bidang

53

CD 0

CD 0

FA

--L

CD 0 6EI L

6Fl

()

0)

LA

'-

L

0 C0

0

4El

L'

-L

0

()

()

()

LA

6FI

6EI

?El

L'

L

-1.2

eo sO

!JEI

2FI

-sm8

-L

0

0

- L,--

'-'

6Ei

L-'

L'

L

12El

0

()

12El

0

'2

L'

Q)

@

L

12EI

0

FA

--

0

()

0

0

12EI

6LI

'-'

L'

6[]

0

-

sine

eo sO

0

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

cos8 -sinU

0

()

0

0

0

0

0

r, "r 0

0

0

0

si nO eo sO 0

4EI

-sinA

0

X,

1

1x 1,

l

SJllfi

eo sA

0

0

0

()

()

0

0

0

I

0

0

0

0

eo se

0

0

0

- sin8

()

0

0

0

~ lr~~ 1 0

sin El

cos8 0

() " ]i'IP.' 0

( 2- 38 )

P,

I

JlP

1,

L

L'

Mengalikan persamaan (2- 38) dengan matrik invers

[T]-

1

:1] [SJT][X}=[T] [Tj[P} [TJ-'[s IT][x} = {P} 1

eo se

x, i x, I

1

(2- 39)

Dapat dibuktikan matrik invers

~ c~s ~

[T]-

1

juga mcrupakan matrik transpose

-sin8

0

0

0

0

sm t1

cos 8

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

cos 8

-sine

0

0

0

0

sinO

cos 8

0

0

0

0

0

0

rTr 0~

[T]- [s ][T]{x} =[Tt Is !T][x} 1=fpl fTF:Sj[TlfX t J [ l J

[TY:

(2- 40)

1

sehingga

'H

)

54 Arnrinsyah Nasution, Metode Matnk Kekakuan Analisis Struktur

(2- 41)

Perkal ian matrik [ T] T [S ][ T] merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjad i matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur. Dinamakan basil perkalian sebagai matrik kekakuan elcmen [k] 111

[T]T[S][T]. Hasil perkalian unsur ketiga matrik merupakan

=

unsur matrik [k]," seper1i dijelaskan pada tabel 2.1. lndeks dalam kotak persegi I, 2, 3, 4, 5, 6 menyatakan besaran arah positip gaya dan perpindahan kcdua ujung elemen dalam sistem koord inat strukturl global. \ latrik kekakuan elemen [k ] 111 menjadi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [K]. Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur di titik kumpul 8, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan elemen [k]m dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemen. Untuk elemen 6 indeks unsur elemen 4, 5, dan 6 sama dengan indeks derajat kebebasan 13, 14, dan : 5: sedangkan bagi elemen 7 indeks unsur elemen I, 2, dan sama dengan indeks derajat kebebasan struktur 13, 14. dan 16. Pesamaan (2 - 42) mcnjelaskan posisi indeks elemen Jengan indeks struktur di titik kumpul 8. Dapat diamati di persamaan (2- 42), indeks derajat kebebasan elemen terhadap sistem sumbu lokal sclalu sama bagi setiap elemen balok, yaitu I, .::. 3. 4. 5, dan 6 , ha! mana sumbu x elemen selalu pada arah bentang balok. lndeks derajat ~ebebasan elemen pada sistem koordinat struktur atau global, disesuaikan dengan urutan penomoran derajat kebebasan sistem struktur yang dibentuk oleh unsur-unsur elemen ~truktur. ldentifikasi derajat kebebasan ini dinyatakan dari derajat kebebasan t[tik-titik kumpul yang merakit sistem.

m

[D h\ 12u -co-,-uI

[D

m ["-\n

!I]

,

-"111-o· I

----::;-co:.H L-

~_-

EA

12FI \

· - + -~ l:.1nOcosl1 L LJ ;

'

!

lcU

(ll~J

-------;:;-:.1118

i

~lnLku:-,0 )

Fo\

-\

L

,

LJ hb_l ----::;-:-.1nH

,.

()F[

' L .\

(J]-J

--

,

(Jl:.]

,-

L-

Of-. I -

L

L:.A

,

12EI . .,

L

13 I::Tl\

-

L

-

L3 ;

l:::.inlko:::.U

L'

-

<1EI

,.

------::;-ro:-.0

2[1

-

L

(JE[

L

E\ o !:!cl o -:,ln-H+--co:.-o

l

r1r1

LJ

hl:.l

------::;-:.int-1 ~_-

- , cu:.-o

-----::;-ro:-1:! L-

-co:.~o._ -~s1n-B

hl-.1

-------;:;- ~illll ~_-

,

(Jl/

[•

------::;-:.inO

l~LI

L

LJ (J(:l si nO

L

()[]

I; )

I [,\_ . --~~n-o

~~~~

t-

L 41:1

-

!I]

- !:~~ + ~~~~ kinOco~o

-------;;-:.lnH L-

-~~..,inO

12EI

m

0

L

(,FJ

m

,,

1~1

I

FA

[I]

0

L,\

-

[}]

1\

-

(1 ~ 1 cu~o L-

4LI

-

L

Tabel 2.1 Matrik kekakuan elemen [k]m pacla sistem koordinat struktur/global

Portal Bidang

55

.& & .ffi& ~ M QJ [D [2J

~

~

~

+- indeks derajat kcbebasan struktur

-

indeks derajat kcbebasan elemen

(2 - 42a)

& M. M &~.M..[1

J

[41

indeks dcrajat kebebasan struktur

+-indeks derajat kebebasan clemen

(2- 42b)

£T, &LiJ

ksJ

k61

Berdasarkan persamaan (2 - 42) unsur K;1 bagi derajat kebebasan di titik kumpul 8 adalah :

=(k~4 +k{,}KI414 =(k~s +k;JKI515 =(k~6 +kj3) Kl314 = (k~4 + k;,} Kl315 = (k~4 + kj,} Kl413 = Kl314; KI513 = Kl315·

K1313

Nilai ini merupakan unsur dari matrik struktur [K], sehingga persamaan (2- 35) menjadi:

56


-~-"~-~-,,

~--~-~-~~··~·~~~··-~·--·,-

~

&rK,

~

,.

~

~

&

r

K12

Ktt3

Ktt4

Ktts

Kn

Kn

K2u

K214

K21s

Kno

x2

Kut

Kuc

Ktm=(k~ 4 + ki 1) Ktm=(k~4 +kit)~

Kmo

X13

81Kt4t

Kt42

Kut4=(k~4

~IKtst

K1s2

Ktst3

~IK,ot

K3o2

K3ot3

~

+ki 1 )

Ktm=(k~ 5

l Ktst4=(k~4 K;ot4

K uol

+ki2)

Kt4ts=(k~ 4

+kit)

Ktm=(kX 6 + k~ 4 )

Kts3o

K1o1s

K3o3o

+kiJ

X1

l (I

p1

p2

Pu (2-43)

X14

pl4

Xts

Pts

X3o

P3o

\. Unsur matrik k.~ dihitung menggunakan persamaan pada Tabel 2.1, dengan struktur. Dengan mengisikan unsur-unsur matrik

K;J

dari rakitan unsur matrik

8elemen

sesuai posisi elemen terhadap absis -X koordinat

I k~, terbentuk persamaan Iin ear simultan dengan variabel

X;. Jika persamaan ini diselesaikan untuk memperoleh vektor {X}, maka perlu ditetapkan vektor beban {P} terlebih dahulu. Vektor {P} menyatakan besaran be ban titik kumpul ekivalen titik kumpul yang bebas. Besarnya unsur vektor {P} sa ma dengan besarnya be ban ekivalen di titik kumpul kondisi titik kumpul terkekang penuh, akan tetapi berlawanan arah.

Portal Bidang 57

2.5 Vektor Beban Ekivalen {P}

y

Fos

Pos Po
Ym

\

Fo2

Gaya kondisi terkekang penuh pada sistem koordinat struktur/global

(a) Pola pembebanan elemen dan gaya kondisi terkekang penuh

Gambar 2.5.1 Transformasi gaya kondisi terkekang

Memperhatikan Gambar 2.5.l.a besamya gaya-gaya ujung kondisi terkekang penuh sama dengan menghitung FEM, FEQ, dan FEN kedua ujung balok dalam sistem koordinat elemen/lokal. Dengan sudut 8 yang dibentuk elemen batang i terhadap absis X, besaran gaya ujung elemen

lP

P02 P03 P04 P 05 P06

01

J

dinyatakan

dengan

lF

01

F02 F03 F04 F05 F06 _j

melalui

transformasi koordinat (Gambar 2.5.l.b):

Fol F02 Fm Fo4 Fos Fo6

cos8

sin 8

0

0

0

0

-sin8

eo se

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

cos8

sin8

0

0

0

0

-sin 8

cos8

0

0

0

0

0

0

Pol P02 Pm Po4 Pos Po6

(2- 44)

{F 0 L = [T]{P 0 L. Mengalikan kedua suku dengan matrik invers [Tr 1 dan mengingat 1 matrik invers [Tr = [T]\ maka:

atau

58


Po1

eo se

-sine

0

0

0

0

Fo1

Po2

sine

eo se

0

0

0

0

F02

P03

0

0

Po4

0

0

0

eo se

-sine

0

Fo4

Pos

0

0

0

sine

eo se

0

Fos

Po6

0

0

0

0

0

atau {P0 }m =

0

0

0

F03 (2- 45)

Fo6

[T f {Fo }m

Dengan menetapkan vektor {P0 }111 bagi setiap elemen berdasarkan konfigurasi beban luar yang bekerja, unsur vektor {P 0 }111 digunakan mendapatkan matrik gaya ekivalen {P} sistem si.ruktur. Apabila ditetapkan {P}E sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban luar yang bekerja ditengah bentang, dan matrik gaya {P} 1 sebagai akibat bekerjanya beban luar di titik kumpul, maka : {P}={P}E+{PL (2-46)

"

Menjelaskan penyusunan matrik {P}, ditinjau perakitan gaya titik kumpul ekivalen di titik kumpul 8 pada contoh portal. Elemen batang 6 dibebani beban segituga, titik kumpul 8 menerima gaya W1 dan momen M 1, sedangkan elemen 7 dibebani gaya terpusat W 5 • Posisi dan besaran gaya seperti pada gambar 2.5.3.a. Gambar 2.5.3.b dan d menunjukkan vektor gaya-gaya ujung akibat beban luar pada kondisi elemen terkekang penuh, 2

6 qL6 6 6 qL6 Fol =-W;F02 =0;Fo3 =-3Pada elemen 6 :

(2-47a)

Y 2 L q L 6. F6 -O·F6 -~ F6 - __

04 -

30 '

05 -

' 06 -

6

2

7 Wsab 7 7 Wsb Fol =- L ;Fol =0;Fo4 =-L7

Pada elemen 7 :

7

(2-47b)

2

6 Wsa b 6 6 Wsa Fo4 = ; Fos = 0; Fo6 = - L7 L7 Pada masing-masing ujung elemen 6 dan 7 yang bertemu di titik 8, besaran gaya UJUng ekivalen dalam sistem koordinat struktur adalah :

{

P04 P05 Po6

1 rc~se sme

=

6

L

0

-sine cose

(2- 48a)

0

Portal Bidang

59

y

+

y (a) Konfigurasi beban luar

pi

01~pl02-----~ ~ p'

8

I

03

G1 L:J

P

1

06

(g)

(e)

P,,} P.,,

t

P.,,

= 7

l

Gambar 2.5.3 Beban dan vektor gaya

cos 8 sin 8

-sin8 cos 8

0

0

(2- 48b)

Dengan demikian besarnya gaya bagi keseimbangan di titik kumpul adalah (gambar 2.5.3.t):

/P.,,~ r= {p""} P.,, + i P.,, P.,,, , l P.,,

RP,,l RP, RP,, j

t 60

(2- 49) 7

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

Besarnya vektor gaya di titik kumpul 8 diperoleh dari kondisi tanpa kekangan yang merupakan nilai persamaan [11 - 42] dengan tanda yang berlawanan, beserta besaran gaya luar dititik kumpul :

J: P,P,, ,,P,,

{RP,,) { W, cos 131 = - RP, . + - W,sin l3 RP" M, j

(2 _SO)

Perakitan matrik beban {P} bagi semua titik kumpul lainnya dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat pembebanan setiap elemen yang membentuk titik kumpul. 2.6 Solusi [K]{X} = {P} Setelah memperoleh unsur matrik [K] dan matrik {P}, langkah selanjutnya adalah mendapatkan solusi persamaan [K]{X} = {P} untuk matrik {X), hat mana unsur matrik {X} :1dalah besarnya perpindahan/rotasi setiap titik kumpul. Terdapat beberapa cara penyelesaian persamaan linear simultan. Mctoda Dekomposisi LU atau Cholesky banyak digunakan mendapatkan unsur [K]{X} = {P}. Akan dibahas cara DEKOMPOSISI LU sebagai saiah satu prosedur solusi. Metoda Dekomposisi LU

Dari pembuktian matematika, jika suatu matrik [K] bukanlah singular sifatnya (ada penyelesaian yang unik): K11

K12

K13

Kin

K21

K22

K23

K2n

K31

K32

K33

K3n

maka matrik dapat diuraikan sebagai perkalian dua matrik

·,·iangular [L] dan [U]. [L] discbut matrik triangular bawah yang elemen mempunyai nilai satu pada diagonal dan nilai 0 diatas diagonal, seperti 0

0

.....

ull

matriknya

llin

0

[u ]=

0

0

(2- 51)

Ll nn

Portal Bidang

61

[U] disebut matrik triangulasi atas dengan nilai elemen dibawah diagonal sama dengan 0. Dengan demikian: [K]=[L][U]

(2-52)

dan bila persamaan linear yang simultan dinyatakan dalam matrik [K]{X} ={P}, maka mengisikan matrik [K] dengan [L] [U] diperoleh [L][U]{X} ={P}

(2- 53)

Berarti terdapat dua sistem : [L]{z} = {P} untuk mencari {z}, dan [U]{X} = {z} untuk memperoleh {X}. Algoritma proses Dekomposisi LU adalah : 1. Mendapatkan matrik [L] dan [U] 2. Menyelesaikan [L]{z} = {b} 3. Menyelesaikan [U]{x} = {z} Proses ini mempunyai syarat telah memasukkan prosedur pivotal (poros). Cara dekomposisi ini memungkinkan untuk nilai {P} yang berbeda-beda, cukup dilakukan satu kali penguraikan matrik [K] ke [L][U]. Ha! ini sering dijumpai dalam analisis struktur, ha! mana sistem struktur tidak berubah konfigurasinya (memberikan unsur matrik [K] yang sama) akan tetapi pola pembebanan berubah-ubah. Sebagai contoh, ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan 3XI + 2X2 -

5X, = 8

SX1 - 2X2 + 3X3 = 5 XI + 4X2 - 2X3 = 9 Dalam bentuk matrik :

Dari persamaan awal, terlihat perlu dilakukan proses pivotal untuk koefisien X 1

sj{xll Jsl l~ - ~:I= l~I l3

62

2 2 4

}

diubah susunannya menjadi

2


Karena proses dekomposisi LU pada matrik [K], cukup ditulis

Proses pertama ialah menghilangkan elemen dibawah K 11 menjadi no!. Secara umum, pengali diperoleh dari

m lk

K

=-'k Kkk

2 l=_ } m 21 = K21 k -I K 11 K 2 1 baru = K 21

Kn

baru

K23 baru

= K 22

=_I_

5

(pengali yang harus disimpan sebagai unsur elemen

I

!21

dari [L])

I

K 11 = I - - (5) = I - I = 0 5 5 I 1 K 12 = 4 2) = 4 + 0.4

- -

-

5

5 (-

I

1

= 4.4

= K23 -5 K13 = -25 (3) = -2-0.6 = -2.6

1= 3 } K3 1 3 m 31 = - - =- (pengali yang harus disimpan sebagai k=l K 11 5

h1 )

3 3 K·' 1haru =K11 -5(KJ=3-5(5)=0

K)2 baru = K12 - ~ 5 K12 = 2 - ~ 5 (- 2) = 2 + 12 = 3 .2 3 3 9 = K, - - K , = -5 - - (3) = -5 - - = -6.8 .>351.' 5 5

5 -2 Susunan baru [K] : 0 4.4

r0

3.2

3 -2.6

j

-6.8

Dari susunan unsur, tidak ada perubahan pivotal untuk meneruskan proses triangulasi. Portal Bidang

63

i=3 } k=2

· K 32 3.2 8 m 32 = = - = - (pengali yang disimpan sebagi b2) K 22 4.4 11

8 K32 haru = K32- m22K22 = 3.2 -~~ (4.4) = 0 8 8x2.6 K33haru = -6.8-- (- 2.6)= -6.8 + - - = -4.9091 11 11 sehingga:

ll~ ~.~ -~.61 o

3.2

menjadi

-6.8

I~ ~.~ -~.61 lo

o

=

[u]

-4.9091

sedangkan [L] ialah

l

01 010 =(L]

l 0.2 0.6

0.7273

I

Dekomposisi [K] = [L][U]

~~

2 -4

l3

2

l

~2l=l0~2 °

3 -2.6

lo.6

-4.9091

-sJ

o.7273

Penyelesaian dari persamaan menjadi : (a) [L] {z} = {P}

~0~2 ~ ~l J:~1=glmemberikanJ;~1=J 7~4 l ,j lo.6

0.7273

(b) [L]{X}

=

lzJ

1z 3 J

1-5.382J

{z}

1

1

1

s0

-2 4.4

3 -2.6

o

o

-4.9091

l

lsJ

11X x2 ) = 1 x3

Dari langkah (a), vektor

8 7.4

\ memberikan tx x2 = 10.180) -0.99

-5.382

{b} dapat

x3

mempunyai nilai yang berbeda, sehingga vektor

sebagai vektor antara mendapatkan nilai vektor {X} persamaan [K]{X}= {P} bagi berbagai nilai vektor

64

1.096

{z}

menjadi fasilitator penyelesaian

{P}.


Metoda dekomposisi LU banyak dipakai dalam pemograman solusi analtsts sistem yang baku, yang unsur matrik [K] tetap, tetapi unsur vektor {P}yang terkait dengan pengaruh luar terhadap sistem mempunyai beberapa variasi.

2. 7 Gaya-Gaya Dalam Elemen Hasil solusi {X} digunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam ujung elemen dan reaksi perletakan. Unsur matrik {X} merupakan data bagi perhitungan. Apabila ditinjau elemen 6 pada Gambar 2.7.1, maka kedua ujung elemen yang mempunyai derajat kebebasan yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah :

iliilllfriliifr~ 2

& ~

& &

3

4

5

indeks derajat kebebasan struktur

6 - indeks derajat kebebasan elemen

6 xl =X4

p6 l

pl

k26

6 x2 =Xs

Pf

p2

k36

X~ =X 6

p6 3

p3

kll

kl2

kl3

kl4

kts

kl6

k2l

kn

k23

k24

k25

k3l

k32

k33

k34

k35

(2- 54)

k4l

k42

k43

k44

k45

k46

x 64 =

x 13

p6 4

p4

&[D

kst

ks2

ks3

ks4

kss

ks6

6 Xs = X14

p? )

Ps

~@]

k6l

k62

k63

k64

k65

k66

6 Lx6 = Xts

p6 6

p6

4

6

\1enye!esaikan persamaan (2- 54) menghasilkan {P}6. Dengan hubungan rF1

I

eo se

-sine

0

0

0

0

pl

F2

sine

eo se

0

0

0

0

p2

F3

0

0

0

0

0

eo se

-sine

0

p4

0

0

0

sine

eo se

0

Ps

lf4Fs

l

0

0

0

p3 (2- 55)

0 0 0 0 0 p6 6 F6 6 besarnya gaya dalam rencana elemen pada kedua ujung adalah : Portal Bidang

65

M

N'-'

F,

FE~

Q;_,

F,

FEQ,

M5-K N,_;

F,

FEM

Q,_;

F;

FEQ J

F"

FEM J

M,_;

F,

6

+

-:?)N,_;

X-:-

8~ Q,_;

'

(2- 56)

FETJ

6

Gambar 2.7.1 Gaya-gaya Ujung Elemen

2.8 Diagram Gaya Hasil analisis yang telah diuraikan diatas digunakan untuk desain beton bertulang sebagai gaya dalam rencana penampang. Untuk mengetahui

b~sarnya

gaya dalam penampang elemen

kritis bagi perencanaan, maka diagram M, N, dan L elemen

diperlukan. Gambar 2.8

merupakan contoh diagram gaya dalam M, N, dan L pada sistem struktur portal.

7

2

3

Gambar 2.8a Diagram gaya lintang

7

A2

... 3

Gambar 2.8b Diagram momen

66


4

12~==

8[

13

···~="110

~-,.,-

1

11 2

~

4

3

Gambar 2.8c Diagram gaya aksial

:Jengan mcmperoleh diagram gaya-gaya dalam sistem struktur untuk setiap bentang unsur .:kmcn struktur, dapat dilakukan percncanaan atau desain elemen. Bagi sistem struktur kons~~uksi beton, rencana penulangan penampang kolom dilakukan berdasarkan kombinasi gaya ::1\am momen lcntur dan gaya normal; sedangkan untuk elemen lentur seperti balok, desain ~.J\c.ngan berdasarkan tanggap elcmen menerima momen negatif (tumpuan) atau momen ::'ositif (lapangan). Bagi konstruksi baja, pemeriksaan tegangan kerja pada profil penampang ~ t!akukan terhadap tegangan izin bahan yang berlaku dalam peraturan. \:Jaris elastis sistem struktur pada Gambar 2.8d diperoleh dari persamaan

{X}=[K]- 1{P}.

:Jeformasi maksimum yang te~jadi diperiksa terhadap ketentuan batas simpangan izin yang :'cdaku. Pemcr!ksaan ini merupakan bagian dari penentuan sifat kekakuan sistem struktuL 3

---1oi

----~11

I

I

..7

6

\

I

?7{~::: 3

Gambar 2.8d Diagram garis elastis struktur

.;;istem struktur memenuhi syarc>~ kekuatan dan kekakuan bila terpenuhi tegangan kerja pada :->enampang elemen kurang dari tcgangan izin bahan. dan lcndutan sistem lebih kecil d.ari ') arat yang berlaku.

Portal Bidang

67

2.9 Contoh Analisis Struktur Portal Bidang Untuk analisis si stem struktur Portal Bidang seperti pada gambar 2.9.1, data sifat penampang 5 dan bentang dijelaskan beserta gambar. Ditetapkan modulus elastisitas bahan Eb = 2.1 * 10 kg/cm 2 . Beban distribusi merata yang bekerja pada struktur qLL = 2.5 ton/m'. Derajat kebebasan struktur seperti pada gambar 2.9.2

hm

6 n

Ill ill

l:'rn

15m

Gambar 2.9.1 Geometri sistem struktur dan pembebanan

Derajat Kebebasan Struktur (DOF) = 3NJ. 3NF . 2NS. NR = 3 *10- 3'3

= 30-9 = 21

Gambar 2.9.2 lndeks derajat kebebc:san struktur

68


Prosedur analisis (1) Merakit matrix kekakuan elemen lokal [S]m Elemen 1 :

I 3 4 11 =-*75*100 =0.0625m 12 !1

=~10 2

2

+14

A 1 =0.75m

Fs,~s

75 cm

0100~

=17.205m

2

/Xm

~.

F4,tl4

F6, L'.6

E1 =Eb=2.1*10 5 kg/cm 2 6

= 2.1 *I 0 ton/m 2

Ym 'F2, tl2

Gambar 2.9.3a Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 1

~

e

F3. tl3

F1, tl1

\ lendapatkan matriks kekakuan elemen lokal [S]m:

8 0 0 [s]"' = 0

8 0 0 0 0 8 EA

-

L 0 0 EA L

0

0

8 (E;}

0

0

0

12EI

6EI

L3 6EI

L2 4EI

L2

L

0

0

12EI

6EI

L3 6EI

L2 2EI

L2

L

EA L 0 0

EA L 0 0

0

0

12EI

6EI

L3 6EI

L2 2EI

L2

L

0

0

---

12EI

6EI

L3 6EI

L2 4EI

L2

L

= 91545 ton/m 3

( 12 EI/.e ) 1 309 2 (6 EI/e ) 1 2660 (4Ei/.e) 1 = 30515 (2 Ell f.), = 15258

ton/m ton ton-m ton-m Portal Bidang

69

0

oO 0

91545

0

0

-91545

0

0

309

2660

0

-309

2660

0

2660

30515

0

-2669

15258

-91545

0

0

91545

0

0

-309

-2660

0

309

-2660

0

2660

15258

0

-2660

30515

0

oG)

0 0

Elemen 2:

Xm

I 4 12 =-*75*100 3 =0.0625m 12 P = .J.-2-5_+_6_4 = 19.434 m

75 cm

2

2

A 2 = 0.75 m

E 2 =2.1 *10 6 ton/m

2

(E; )2

166950 ton/m

(12 Ell e'h 2 (6Ell£ )2 (4 EIU )2 (2 Ell f ) 2

1876 8848 55650 27825

ton/m ton ton-m ton-m

0

0 [sL-

70

=

Gambar 2.9.3b Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 2

oo

166950

0

0

-166950

0

0

1876

8848

0

-1876

8848

0

8848

55650

0

-8848

27825

-16694

0

0

166950

0

0

-1876

-8848

0

1876

-8848

0

8848

27825

0

-8848

55650

0 0

oG)

Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Anaftsis Struktur

0

0

Xm

Elemen 3:

t Fs,l'.s~

L = _!__ * 75 * 75 1 = 0.026367 m 4 ' 12

F4, 1'.4

( = 2 m; A,= 0.75 * 0.75 = 0.5625 m 2

Fe, l'.e

E 1 = 2.1 *I 0 6 ton I m 2 75 cm

D75om

= 590625 ton/m

0

75/75

(12 El/ e3 ) 3 = 83057 ton/m (6 Ell 1: 2)3 = 83057 ton (4 El/ 1: h = 110742 ton-m (2Ell£) 3 = 55371ton-m F1, 1'.1

Gambar 2.9.3c Penomoran derajat kebebasan lokal clcmen 3

0

CD [s ]1

=

0

0

0

0

or)

590625

0

0

-590625

0

0

83057

83057

0

-83057

83057

0

83057

110742

0

-83057

-590625

0

0

590625

0

5537~ ~

0

-83047

- 83057

0

83047

-83057

0

83057

55371

0

-83057

110742

Elemen 4:

0

j

0

0 75 cm

1

14 =_!_*75*150 =0.210938 m 12 L4 =5.5m A 4 =0.75*1.5=1.125m 6

E4 =2.1*10 ton/m

2

2

4

Ym 150 cm

!

2

F

,t.

2

t T

Fs, l'.s y0 1

F1,1'.1---E

a

~- - - - '

75/150

__.

-

vf7\

Xm

A F4,1'.4 e. '-'6 Gambar 2.9.3d Penomoran derajat kebebasan lokal

F 3,

( E; )

=

A

'-'3

429545 ton/m; (12 Ell 1: 3 ) 4

=

F

31950 ton/m; (6 Ell e2 ) 4 = 87862 ton;

4

(4 Ell t ) 4

=

322159 ton- m; (2 EIIL) 4 = 161080 ton m

Portal Bidang

71

[s ]4

=

0

0

0

0

0

0

429545

0

0

-429545

0

0

0

31950

87862

0

-31950

87862

0

87862

322159

0

-87862

161080

-429545

0

0

429545

0

0

0

-31950

-87862

0

31950

-87862

0

87862

161080

0

-87862

322159

0 0

0 0 0 0

Elemen 5: 1

Is=-* 75 * 100 3 = 0.210938 m 12

4

,...----

es =~4.5 2 +6 2

=1.205m

As =0.75*1.5=1.125m E s = 2.1 *I 0 6 ton I m

( E~)s

=

t-

2

2

3 15000 ton/m

( 12 Ell e3 ) 5 = 12600 ton/m (6 Ell e2 ) 5 = 47250 ton (4 Ell e )5 = 236250 ton-m (2 EIU )5 = 118125 ton-m

[s]s =

0

0

0

0

Gambar 2.9.3e Penomoran den~;jat kebebasan lokal elemen 5

0

0

315000

0

0

-315000

0

0

0

12600

47250

0

-12600

47250

0

47250

236250

0

-47250

118125

-315000

0

0

315000

0

0

0

-12600

-47250

0

12600

-47250

0

47250

118125

0

-47250

236250


0

0 0 0 0 0

Elemen 6: I 16 =-*75*150 3 =0.210938m 4 12 6 = 5.5 m

75cm

e

A 6 =0.75*1.5=1.125m 6

E 6 =2.1 *10 ton/m

2

150 cm

2

[E; )6

429545 ton/m

(12 EI/e 3 ) 6 2 (6 EI/e )6 (4 El/e ) 6 (2 Ell e)6

31950 ton/m 87862 ton 322159 ton-m 161080 ton-m

0 [s]6

=

Gambar 2.9.3f Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 6

0

0

0

0

429545

0

0

-429545

0

0

0

31950

87862

0

-31950

87862

0

87862

322159

0

-87862

161080

-429545

0

0

429545

0

0

0

-31950

-87862

0

31950

87862

0

87862

161080

0

-87862

322159

CD

0 0 0 0 0

Elemen 7: !" =_!._*75*150 3 =0.210938 m 4 12 ,------

1

2

2

L7 =-v4,5 +6 =7.5m A 7 =0.75*1.5=1.125m 2 6

E7 = 2.1 *I 0 ton I m 2

( ECA )

=

3 15000 ton/m

7

(12El/e 3) 7 = 12600 ton/m (6 El/e 2 )7 = 47250 ton (4E!IJ1)7 = 236250 ton-m =118125ton-m (2 Ell Jl h

Gambar 2.9.3g Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 7

Portal Bidang

73

[s]7

=

315000

0

0

-315000

0

0

0

12600

47250

0

-12600

47250

0

47250

236250

0

-47250

118125

-315000

0

0

315000

0

0

0

-12600

-47250

0

12600

-47250

0

47250

118125

0

-47250

236250

Elemen 8: I 75 cm 13 =-*75*150 3 =0.210938m 4 ~-~

12 =5.5m

f8

150 cm

A 8 =0.75*1.5=1.125m

E 8 =2.1 *10 6 ton/m

2

2

(E; l

429545 ton/m

(12 Ell fi ')s 2 (6 El/e )s (4 EIU )s (2 EIU )8

31950 ton/m 87862 ton 322159 ton-m 161 080 ton-m

Gambar 2.9.3h Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 8

Unsur [S]s sama dengan unsur [S]I,:

[s]s

74

=

0

0

0

0

0

0

429545

0

0

-429545

0

0

0

31950

87862

0

-31950

87862

0

87862

322159

0

-87862

161080

429545

0

0

429545

0

0

0

-31950

-87862

0

31950

-87862

0

87862

161080

0

-87862

322159

Amrinsyah ~~asution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

0

0 0

0 8

Elemen 9:

I 4 19 =-*75*150 3 =0.210938m

12

£ 9 =7.5m A 9 =!.125m 2 E 9 =2.1*10 6 ton/m 2

(E:}

= 315000 ton/m

(12 EIU 3)9 = 12600 ton/m 2 (6 EIU ) 9 = 47250ton = 236250 ton-m (4 EIU )9 = 118125 ton-m (2 Ell € )9 Gambar 2.9.3i Penomoran derajat kebebasan lokal elemen 9

Perhitungan unsur-unsur [S] 9 sama dengan perhitungan untuk unsur [S]? :

0 [s]9 =

0

0

0

0

0

Ol0

315000

0

0

-315000

0

0

12600

47250

0

-12600

47250

0

47250

236250

0

-47250

118125

-315000

0

0

315000

0

0

0

-12600

-47250

0

12600

-47250

0

47250

118125

0

-47250

236250

0 0 0 0

8

(2) Menghitung matris kekakuan elemen lklm terhadap sumbu struktur

lndeks [P*j, x*j] menunjukkan nomor derajat kebebasan elemen pada koordinat struktur dan indeks [P\, X\] merupakan penomoran derajat kebebasan sistem struktur pada kedua ujung elemen. Berdasarkan indeks ini, matrik kekakuan struktur [K]s dirakit dari unsur matrik elemen yang terkait. Matrik kekakuan elemen [k]m terhadap sumbu sistem struktur diperoleh dari persamaan [k] 111 = [T]mT[S]m[T]m ha! mana:

Portal Bidang

75

p·, = P\.,,

x·2:::

sn+1

p·J = P\+2,

x·3 = X"n+2

Gambar 2.10 lndeks derajat kebebasan DOF elemen dan struktur pada elemen m

cosy 111

()

()

()

()

cosy m

()

()

0

0

0

0

I

0

0

()

0

0

0

COS

sin y 111

0

0

0

()

-Sill

Ym

0

0

0

0

0

Sill

[T 1m

=

y 111

EA L 0 0

[sL =

El\ L

0 0

0

12El

6EI

,} 6EI

L2 4EI

L2

L

0

12EI L'" 6EI ')

Ym Ym

L

I

0 0

0

0

12EI L'" 6El ') L~

EA

()

L

6EI ')

()

L~

2EI L

COS

0

EA

0

L~

76

ym

Sll1

0

0

12EI

J6EI ') L~

6EI L2 2EI L 0

6EI L 4EI

L


-sm Ym

0

0

0

0

cosy 111

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

-smy 111

0

0

0

0

Ym Sll1 Ym

cosy 111

0

0

0

0

0

0

cosy 111 Sll1

[T ]Jl

=

ym

COS

Penomoran derajat kebebasan struktur : P.s = P's, x·s =X' a

Elemen (1) ·r

=

arc tan 1.4

cos Y1

=

0.581

sin Y1

=

0. 814

'I

[T ]I

=

54.462°

=

P.s = P'g,

x·s = x',

0.581

0.814

0

0

0

0

-0.814

0.581

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

0.581

0.814

0

0

0

0

-0.814

0.581

0

0

0

0

0

0 Gambar 2.1 Oa lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 1

Hasii perkalian: 2

[k ]I

=

3

6

5

4

-2165

31132

43152

-2165

-31132

-43152

43152

60725

1546

-43152

-60725

1546 0

-2165

1546

30515

2165

-1546

15258 0

-31132

-43152

2165

31132

43152

2165 7

-43152

-60725

-1546

43152

60725

-1546 8

-2165

1546

15258

2165

-1546

30515 9

0

0

0

7

8

0

9

Portal Bidang

77

Elemen 2:

P.s = P' "· = xs14

x*"

8 0 v, =arc tan - = 57.995 '" 5 cos Ye = 0.530 s1n 'V) = 0. 848 '0.848

()

0

0

0

-0.848

0.530

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

()

0

0.530

0.848

0

0

0

0

-0.848

0.530

0

0

0

0

=

p"4

p·, = R,,

x·, = o

Gambar 2.10b lndeks derajat kebebasan elemen ; indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 2 2

5

3

-1

48245

74190

-7503

-48245

-74190

-7503

0

74190

120581

4690

-74190

-120581

4690

0

-7503

4690

55650

7503

-4690

27825

0

-48245

- 74190

7503

48245

74190

7503

13

-74190

-120581

-4690

74190

120581

-4690 14

-7503

4690

27825

7503

-4690

55650 15

0

0

13

0

15

14

15 p·,

x'2

Elemcn 3: 0

1

0

0

0

()

1

()

0

0

0

0

()

()

I

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

()

-1

0

()

0

0

()

0

()

-

y,

'·'

= 90°

cos y 3 =0 Sill

[T), =

y, = 1

-'

P'

= Ps

21 ,

= P',o, = Xs2D

rh_

x·1 = K'21

0

75/75

[k L = [Tl.i2 [s b [T],2 Gambar 2.1 Oc lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 3

78

= P 5 1],

x·4 = X"1~'

0

0

=[Tr[s),[T), I

[kh

= P',. = X51S r-T----r

0.530

[T)2 =

[k),

p·6 x·6


p'J = R,,,

x·J = o

e>e', • 5

X c =X 19

2

[kh =

3

4

5

6

83057

0

-83057

-83057

0

-83057

0

0

590625

0

0

-590625

0

0

-83957

0

110742

83057

0

55371

0

-83057

0

83057

83057

0

83057 19

0

-590625

0

0

590625

0 20

-83057

0

55371

83057

0

11742 21

0

0

0

19

20

21

Elemen 4: Y4 = Oo

cos y4 =I sin y 4 = 0

[T ]4 = [I]

Gambar 2.1 Od lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 4

2

[k ]4 =

5

4

6

429545

0

0

-429545

0

0 1

0

31950

87862

0

-31450

87862 2

0

87862

322159

0

-87862

161080 3

-429545

0

0

429545

0

0 4

0

-31950

-87862

0

31950

-87862 5

0

87862

161080

0

-87862

322159 6

2

3

Elemen 5:

r5 =arc tan

3

= 126.869°

cos y 5 = 0.8 sin y 5 = -0.6

[k ]5 = [T ]J [S]5 [T ls

[T]5 =

4

5

6

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

Portal Bidang

19

P.s = P\,

x"s =X\ p·4 = P\, x·, = x',

p'2 = P 5 s,

x·, =x',

p·, = P',,

x·, = x', p"3 = P'g,

x·3= x'g

Gambar 2.10e lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 5

[k]5 =

121464

-145152

-37800

-12464

145152

-37800 7

145152

206136

-28350

145152

-206136

-28350 8

-37800

-28350

236250

37800

28350

I 18125 9

121464

145152

37800

121464

-145152

37800 4

1455152

-206136

28350

-145152

206136

28350 5

-37800

-28350

118125

37800

28350

236250 6

7

YG = 00

9

8

Elemen 6:

=

[T]c, = [1]

6

5

4

p", = P's, x·3 = x'8

p"6 = p',,

x,-x',

p", = P',,

cos y,, =I

sin y 6

6

5

.j

3

2

x·, = x',

75/150

12

r

p*4::;:: ps10,

x·, =X\o

0 p 2 = p 9, X.2 = X5 g

=P 1'1, x·s::;: xs,,

p*5

5

Gambar 2.10f lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 6

(k 1= [Tns l[Tl = [1][s 1[1] = [s]

80 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

2

[k]6

=

3

5

4

6

429545

0

0

-429545

0

0

7

0

31950

87862

0

-31950

87862

8

0

87862

322159

0

-87862

161080

9

-429545

0

0

429545

0

0

10

0

-31950

87862

0

31950

-87862

11

0

87862

161080

0

-87862

322159

12

ll

12

7

8

10

9

P·s= P\. x's= X\

y 7 =arc tan = 126.869°

cos y 7 = 0.8 Stn

Y7

p·, = P',, x·, = x',

= -0.6

Elemen 7:

[Th

-0.6 0.8 0 -0.8 -0.6 0 1 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 -0.6 0.8 - 0.8 -0.6 0 0

0 0 0 0 0

P.2 = P's,

X.2

=X's

P.1 = P',, ~__.____.

X.1

=X\

Gambar 2.1 Og lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 7 2

[kh

=

121464 -145152 -37800 -121464 145152 -37800 13

-145152 206136 -28350 145152 -206136 -28350 14

3

-37800 -28350 236250 37800 28350 118125 15

6

5

4

-121464 145152 37800 121464 -145152 37800 10

145152 -20636 28350 -145152 206136 28350 11

-37800 -28350 I 18125 37800 28350 236250

13 14 15 JO

11 12

12

Porta! Bidang

81

E!emen 8: p", = P',,,

(--:\ \_J

x" 3 =X',,

Ys = Oo

~"r

r--~- - X s - = X , s rp:,=P:,s, S X,= X 1s

p*, =P 13, x·, =x',, 5

cos y 8 =I

. ' P.s = P, 1s,

sin y 8 = 0

75/150

P 2 = P 14,

[T]8 =[1]

p" = P' 17 ,

x·,5 = x',,

x·, =X',,

Gambar 2.10h lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 8

[k

1= [T1(S l[Tl = [1][s 1[1] = [s] 2

[kh =

3

5

4

6

429545

0

0

-429545

0

0 13

0

31950

87862

0

-31950

87862 14

0

87862

322159

0

87862

161080 15

-429545

0

0

429545

0

0 16

0

-31950

-87862

0

31950

-87862 17

0

87862

161080

0

87862

322159.J 18

l

13

14

15

16

17

18

Elemen 9 : p", = P',, x·, = x',

y9 =arc tan = 126.869°

p", = P\,

x·, =X',

cos y 9 = 0.8 sin y = -0.6 [k], = IT];(s ], [T],

[T]

82

9

=

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

-0.6

0.8

0

0

0

0

-0.8

-0.6

0

0

0

0

0

0

p·, = P',o, x·, = X',o

~+-_,__•

p·, = P',g, x·, = x',g

p", = P',, x·, = x',,

Gambar 2.1 Oi lndeks derajat kebebasan elemen & indeks posisi derajat kebebasan struktur pada elemen 9


2

121464 -145152 -37800 [k1 = -121464 145152 -37800

-145152 206136 -28350 145152 -206136 -28350

19

20

-37800 -28350 236250 37800 28350 118125

5

-1

3

-12464 145152 37800 1221464 -145152 37800

21

145152 -206136 28350 -145152 206136 28350

16

17

6

-37800 -28350 118125 37800 28350 236250

19 20 21 16 17 18

18

l- nsur e1emen [k ln merupakan unsur elemen matrik kekakuan struktur [K ]s K,,

KI2

KI3

K,4 . . . . K,.i .

K21

K22

K23

K24 . . . . K2.i .

K221

K31

K32

K33

K34 . . . . K3j .

K221

K, J

K2 J

K121

:,-1 = Ll'\.-

Kj3

K j4 . . . . K .i.i .

· Kj2I

Portal Bidang

83

(3) Merakit matrik kekakuan struktur [K]s (persamaan 2- 43) 1<1

12

1:-

'"

IS

16

17

"

"

2\J

21

-12
Ill

[K]s =

11

12

L 84


I~i~~~;~ll ;R I 21

10 00

~

><

€>

~_:

'J ><

~~ ><

0::0

>'

0::~

;;;

9 ~

X

~ X

~ ><

X

!Cl

(4) Penentuan gaya-gaya ujung elemen kondisi terkekang penuh Umum: Xm


p"5

{P}m = [T]~1 {FEF}m p· I

p• 2

p· 1

p·

Ym

'

p",

p; p·6

0 0 Ym -sinym 0 0 0 sin Ym COS Ym 0 0 I 0 0 0 0 0 COS Ym -sin y m 0 0 0 -sinym COS Ym 0 0 0 0 0 0 COS

0 0 0 0 0

FEN 1 FEY2 FEM 1 FEN, FEY, FEM,

p'2

Elemen 1 :

/1

= 17.20 m; y 1 = 54.462° = 2.5*0,75*1 = 1.875 t/m; qLL = 0 = 1.2 qoL + 1.6qu. = 1.2* 1.875= 2.25 t/m = 2.25*sin 54.462°=1.831 t/m = 2.25*cos 54.462°=1.308 t/m

CjDl.

qu qll,

q"'

0

0

-19.355 0 {P }1 = [T]I T {F }1 =

-32.259 0 0

7

-19.355 8 FEN1 =FEN 4 =1.831*17.20= 15.750ton; I 12

32.259 9

)

FEM, = -FEM 6= - * 1.308* 17.20- = 32.259 ton-m .

17zoq FEY2 =

*(17.20-x)z

fo y(17.20-xr

(3x+17.20-x)dx =11.250ton -15.750 -11.250

17.20

FEYs

=I 0

2

qym·\ 17.20

{x+3(17.20-x)}dx=l1.250ton;{F} 1 =-{FE} 1 +{P}~odal

-32.259 -15.750 -11.250 32.259

Portal Bidang

87

Elemen 2: lz = 9.43 m; y2 = 57.99° = 2.5*0,75* I = 1.875 t/m; qLL = 0 = 1.2 qDL + J.6qLL = 1.2 * 1.875= 2.25 tfm = 2.25*sin 57.995°=1.908 t/m 1 ~~t~s 57.995°=1.1925 t/m 12

+

FENz = qux . lz = 1.908*0.5*9.43 = 9 ton; FEN 4 = 9 ton = 8.844 ton-m; FEM 6 = - 8.844 ton-m FEY 2 = 0.5*quy lz =0.5* 1.1925* 9.43 = 5.625 ton FEV 5 = 5.625 ton

-9

0

-5.625 {F}2 = -{FE}2 + {P}~odal =

-8.844

-9

-10.613 {P}2 = (T]/ {F}2

=

0 0

-8.844 0

0

13

-5.625

-10.613 14

8.844

8.844 15

E!emen 3: /3 = 2 m ; Y3 = 90° qDL = 2.5*0.75*0.75 = 1.40625 tfm, qLL = 0 qu = 1.2 qDL + J.6qLL=J.6875 t/m qux = 1.6875. sin 90 = 1.6875 t/m; quy = 0 FEN 1 = qux . /3/2 = I ,6875*2/2 = 1.6875 ton FEN 4 =1.6875 ton-m FEM3 = 0 FEV 2 = 0 FEM6= 0 FEVs = 0

-1.6875

0

0 {F}3 = -{FE}3 + {P}~odal =

-1.6875

0

{PL =[T]/{F}; =

-1.6875 0 0

88

0 0

0

0

0

19

-1.6875 20

J


0

21

Elemen 4: /4 = 5.5 m; "(4 = 0° qDL = 2.5*0.75*1.5 = 2.8125 t/m; qLL = 2.5 t/m qu = 1.2 qDL + 1.6qLL =1.2*.2.8125 + 1.6*2.5=7.375 t/m

FEN 1 = 0; FEN4 = 0 FEM 3 =qu* 1/112 =7,375*5.5 2/12 = 18.591 ton-m; FEM 6 = -18,591 ton-m FEV 2 =qu*0.5* / 4 = 0.5*.7.375*5.5 = 20.281 ton; FEVs = 20.281 ton

0

0

-20.281

{F}4

= -{FE}4 + {P}~odal =

-18.591

0

2

-18,591

3

0 4

-20.281

-20,281

5

18.951

18,591

6

Elemen 5: 7.5 m Ditetapkan beban ekivalen beban guna memudahkan penentuan besaran gayagaya ujung batang kondisi terkekang.

{P}4 = (T1 T{F}4 =

-20,281

4.5m

I~

/5 =

FEN4

J_LUJJJJ)JJ ~

36.869°'-y/ : / / /

/ /

Be ban hid up :4.5 q LL = 7.5 q LL,;

I I I

: I

/ /

4.5 4.5 qLL' =-qLL =-*2.5=1.5t/m. 7.5 7.5

/~

Beban tetap: q 0 L =2.5*0.75*1.5=2.8125 t/m.

y5 = 126.869°

qu = 1.2 *qDL + 1.6* qLL' = 1.2 * 2.8125 + 1.6* 1.5 = 5.775 ton /m Arah beban memiliki tanda yang sama. qu, = qu* cos 36.8199 = 5.775 *cos 36.869 = 4.620 t/m FEV2 quy = qu*sin 36.8199 = 5.775*sin 36.869 = 3.465 t/m FEN 1 = 0.5*/5 qux = 0.5*7.5*4.620 = 17.325 ton; FEN4 = 17.325 ton; FEM 3 = quy/ 12/12 =3.465*7.5 2112 = 16.242 ton-m; FEM6 = -16.242 ton-m; FEY 5 = -qu 0.5 15 = -0.5*3.465*7.5 = -12.994 ton; FEY 2 = -12.994 ton

FEN1

Portal Bidang

SS

-17.325

0

12.994

{F}s = -{FE}s + {P}~odal =

-21.656 8

16.242 - 17.325

7

{P}s =[T)/{F}s =

16.242 9 0

4

12.994

-21.656 5

-16.242

-16.242 6

Elemen 6: Perhitungan bagi elemen 6 serupa dengan elemen 4: 0

0

-20.281

{F}6 = -{FE}6 + {P}~odal =

-20.281 8

-18.591 0

7

; {P}6 = [T)6T {F}6 =

-18.591 9 0

10

-20.281

-20.281 11

18.951

18.591 12

Elemen 7: Perhitungan bagi elemen 7 serupa dengan elemen 5: -17.325

{F}7 = -{FE}7 + {P}~odal =

0

13

12.994

-21.656 14

16.242

16.242 15

- 17.325 ; {P} 7 = [T)/ {F} 7 =

0

10

12.994

-21.656 11

-16.242

-16.242 12

Elemen 8: Perhitungan bagi elemen 8 serupa dengan elemen 4 : 0

0

-20.281

{F}s = -{FE}s + {P}~odal =

90

-18.591 0

13

-20.281 14

{P} 8 = [T]s T { f} 8 =

-18.591 15 0

16

-20.281

-20.281 17

18.951

18.591 18


Elemen 9: Perhitungan bagi elemen 9 serupa dengan e1emen 5 : -17.325

0

12.994

.F(9 = -{FE}9 + {P}~odal

16.242 =

-17.325

19

-21.656 20

{P}9 = [T]9 T {F}9

=

16.242 21 0

16

12.994

-21.656 17

-16.242

-16.242 18

(5) Merakit vektor beban ekivalen {P}s

Dengan memperhatikan posisi derajat kebebasan struktur pada setiap elemen, dapat jirakit beban ekivalen titik-titik kumpul dari distribusi beban-beban ujung elemen terkait titik 1-.umpul. 0 -20.281 -18.591 0+0 -20.281- 21.656 18.591 -16.242 0+0+0 -21.656-20.281-19.359 16.242 -18.591 + 32.265 0+0

:PL =

-20.281-21.656 18.591 -16.242 0+0+0 -10.612-21.656-20.281 8.844 + 16.242 -18.591 0+0 -20.281- 21.656 18.591-16.242 0+0 - 1.688- 21.656 0 + 16.242

1 2 (6) Penyelesaian [K] 5 {X}s {P}s -20.281 Dengan menggunakan cara DE-18.591 3 KOMPOSISI atau eliminasi 0 4 GAUSS dapat ditetapkan vektor -41.938 5 deformasi struktur {X}s dari 2.349 6 persamaan simultan linear : 0 7 0

-61.293

=

8

29.910 9 0

10

-41.938 11 2.349 12 0

13

-52.551 14 6.495 15 0

16

-4 L938 17 2.349 18

0

19

l-23.344 20 16.242 21

Portal Bidang

91

g :;;

X

·~

"' -;;,

~ ~ - =r .;.·

"'

-

~ :;:: ~

~

"'

,."' -;;,,,

x x x x x x x x x

X

;;.,

~ ,."' "':r. -

,...: 'I

~

x x x x x x x

x

X'

~

~

:;;

~

"1; ~

~.

;::;

~

X:

~ ~ ~

'I

"'

---·-8··-·-·-·--:]__ _ (/)

=

- =~ - = - 92 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Penyelesaian [K] 5 {X}s={P}s menghasilkan perpindahan [m] dan rotasi [rad] titik-titik kumpul sebagai berikut :

-0.024444 -0.072522

2

0.007452

3

-0.024444

4

-0.032169

5

0.006991

6

0.007824

7

-0.007771

8

0.003007

9

0.007625 10

{x}s

=

0.000016 1 I 0

12

0.003850 13 -0.002529 14 -0.000106 15 0.003645 16 0.000558 17 0.000543 18 0.001905 19 -0.000213 20 -0.000846 21 Dengan nilai vektor {X}s dapat digambar garis elastis struktur.

Portal Bidang

93

(0

.Jlo.

Garis elastis sistem struktur, diagram gaya normal N, gaya lintang L, dan momen lentur M

:t>

3.....

@

::;)

en

'<

V~~/-

tll

::::r

ztll

en

s.6' ::;)

~

0

g.

x 1 = -0.024444 X 2= X 3 ::::

-0.0725:2':: ->0.00"1452

-

''

'

\

',\,@

:· .t"'- 0.024444 X = - 0.032169 5 X :-: +0.006991

',,

' '~'-);;;+~ @~Q~ ~

6

;,

"' "'

\

Q)

Cl>

)::,.

/; /,'

:::3

',,

I

~

/

c~- 0.000016 ~

'~ '

/,

\

\ \

I;,

®

~

x16:

+0.003645

' ~- ~~~~~~~-- x17 ~ +0.000558 X = ~x1s = +0.000543 13 x14 =-

/,'

Cl>

"'

'

J

:::3

2' -...

I

;,

'

x 8 =- 0.007771 x 9 = +0.003007

~;,

t:::

2

(f\ ;, " " ""

// ; / 1/

11

x 1::? = +0.00

824 I

~

(/)

x.

~,

~ ~

~ iii'

x10 " -:-0.007525

x1s

0.002529

= +0.000106

~ Gambar 2.11 Garis elastis sistem struktur struktur

'',,@ '

\ \

',

X19

= +0.001905

~ X2o= -0.000213

~~ =-0 000846 /

(7) Menentukan gaya-gaya dalam ujung elemen Elemen 1 :

· x.

X'1

=

{x}l =

0

0

0

0

0

0

0

0

0.00782

7

0

{tl}, =[T], {x}, =

-0.001778

-0.00077 8 0.00301

-0.01088

9

0.00301

Xm

�

F.

Fs

Fs

{FL ={FE}1 +[S]I{L'lL

Elemen 2:

0

{x}, = 0

163.075

178.826

11.252

11.373

22.625

74.871

107.136

-163.074

-147.324

11.252

-11.373

-0.121

-32.265

120.796

88.531

32.265 =

15.751

+

j

· x s =X',.

0

' : =

15.751

1

0

0

0

o

o lo

0.00385

13

-0.00253

14

{tlL =[Tt{x}, = -

1

.

l

I

o� o � .J

'

-0.00461

-0.00016 15 ,

-1.06 . I 0

'

I J

Portal Bidang

95

Xm

/

F4 9

17.520

26.520

5.623

7.702

13.325

quy

Fs Ym

8.841

{F }, ={FE},+ [s ],{t.}, =

9

+

37.803

=

-17.520

46.644 -8.520

5.623

-7.702

-2.079

-8.841

38.854

26.013

F, E1emen 3: x·2

x·,

0

0

0

0

0

0

0.00191

19

=X520

=X521

x·3

{x}, =

=X519

Xm

t

Fs

+TE' F6

-0.00021 20 -0.00085 21

0

0

0 0

{t.}, =[T],{x}, =

0 -0.00021

Y3 =90°

F2 Ym.-

-0.00191 x·3

{F}, ={FE}, +[S},{t.}, =

1.6875

124.031

125.719

0

88.040

88.040

111.573

111.573

-124.031

-122.344

0

-88.040

-88.040

0

64.507

64.507

0

+

1.6875

._,

i

96

F,

-0.00085

=o

'

.

'

~

......... 4

)·{il!J.~

"'"

'

Amrinsyah Nasution, Metode Mat~ik Kekakuan Ana!isis Struktur

E!emen 4: -0.02444 1

0

r

x·s=X's~

x·,=x',-+G-l_Hr-1~-----~-----9 X 2- X

-0.07252 2

x·.=x-. {x}. =

0.00745

3

-0.02444 4 -0.03217 5

2

0.00699 -0.02444

6

Ym

-0.07252

{L1 L = [T]. {xL =

0.00745 -0.02444

F1

~t!---&-....&.......0~----..&.......ll~or+---1~

-0.03217

IFz

0.00699

{F} 4= {FE}4+ [s]4 {L1}4

Xm

0

0

0

20.28125

-20.44779

-0.16654

-19.18310

0.59209

0

0

20.28125

20.44779

40.72904

l-18.591

-93.27969

- 111.87069

18.591 =

+

0

0,00782 {x},

x· 2 =X'a

=

7

-0.01091

-0,00777 8

-0.00159

o,oo301 9 -0,02444 4

l-

0,03217 5 0,00699 6

{L1}s = [TUx},

0.00301 =

-0.01107 0.03885 0.00699

Ym Portal Bidang

91

17.325

51.66

68.985

-12.99375

-37.1448

-50.13855

-374.36175

-390.60375

- 51.66

-34.335

-12.99375

37.1448

24.15105

16.242

95.77575

112.01775

-16.242

{F}5 = {FE}5 + [S] 5 {L1} 5 =

17.325

+

Elemen 6:

x·, =X'y

x.=x·,r .. -te:-:·tJio'.!r-:-;----®-6____ _ g

X 4=X

10

{x}c, X 2- X

9

x·s=X'"

=

0.00782

7

-0.00777

8

0.0030 I

9

0.00763

10

0.00016 -2.5.10

Ym

0.00782 -0.00777 0.00301 0.00763 0.00016 -2.5.10-' 0

81.61364

81.61364

20.28125

15.67997

35.96122

18.591

Elemen 7:

{x}7 =

-81.61364

-81.61364

20.28125

-15.67997

4.60! 28

-18.591

-199.326

-217.91712

0,00385

13

-0,00253

14

-1,06.10-" 15 0,00763

I0

-0,00016 - 2,65 . 10

98

304.15699

0

11 7

12


11 7

12

-4,33.10~'

{~},

=[T],{x}, =

1,56.10 ' 1,06 .10~' -4,56.10 ' - 6,11. I o-' -2,65 .I 0 '

Ym

{F}, ={FE},+ [S ],{~}, =

17.325

72.828

90.153

-12.99375

52.329

39.93539

189.9893

173.74730

-72.828

-55.503

-12.99375

-52.3291

65.32289

16.242

202.47924

218.72124

-16.242 -17.325

+

Elemen 8: x· 3=X\s x·,=X 5 13

~:. 0.00385

{X}g

®

S

X ,oX

s 00

x·,=x', 13

-0.00253 14 1.06 *I 0~~ 15 =

5

r

x·6=X 1s~.

0.00385 -0.00253 1.06 * 1o-~

0.00364

16

0.00364

0.00056

17

0.00056

0.00054

18

0.00054 Portal Bidang

99

Ym qu

F,--&i

Xm

F2

{F}8 = {FE}8 + [s)8 {~} 8 =

0

90.20454

90.2054

20.281256

-60.59253

-40.31128

-218.65816

-200.06716

-90.20454

-90.20455

60.59253

80.87378

-114.60077

-133.19177

18.591

+

0 20.28125 -18.591

J

Elemen 9: 19

-1.314* .10-J

-0.00021 20

-1.402 * 1o-J

0.00191

x·. =X'1s

{x}. =

-0.00085 21

{x}," = [RL {xL =

-8.5*10-" -1.736 * 1o-

1

17

-3.248*10-

1

18

5.4 *! 0 -·

0.00364

16

0.00056 0.00054

x·2 =X'2o

17.325

132.93

150.255

-12.99375

8.6121

-4.38165

-49.8015

-66.0435

-132.93

-115.605

-12.99375

-8.6121

-21.60585

16.242

114.3922

130.63425

-16.242 17.325

+


Diagram gaya normal N, gaya lintang L, dan momen lentur M

Perjanj ian tanda .

146.819 ton 55.065 ton

(-) . gaya tekan (+) · gay a tarik

117.209 ton

87.931 ton

123.876ton

~

dJ

§:

127.251 ton - ¥ 7 " 7

ll:J

§: ::J .(Q

...... 0 ......

Gambar 2. I 2a Diagram gaya normal N

..... 0 N )>

3 ....

s·

24.338 ton

en

'< tll

::r

ztll

(/';

s.a· :J

~

Perjanjian tanda:

0 ~

(+)1

~ ~

1-)

~

"'t:::" "':::J"

tll

tll

)::.

:::J

tll

~ iii' (/)

40.00 I ton

2

"'"

-...... @> 80.563 ton

2' -.,

lVc:-:;J 87.931 ton Gambar 2.12b Diagram gaya lintang L

111.547 t-m

.A11111111 ~7

~.,.__t-m1\.303.083 t-m

,0/; Perjanjian tanda : ( _) : M negat1f (D) (+):

Mposit1f

(o)

132.093 t-m

dJ

~

64.496 t-m

CO

~

111.366 t-JTI

::s

CQ

... 0

w

Gambar 2.12c Diagram momen M

L

L.!.J

I

2.10 Program Komputer Anal is is Struktur Rangka Bidang Sub-bab ini menjelaskan bagan alir dan program sumber di dalam bahasa tingkat tinggi komputer PASCAL. Pengguna dianggap sudah memahami bahasa Turbo Pascal. Dengan bagan al ir/algoritma pemrosesan yang d irancang dari prosedur anal is is, program sumber komputer dapat disusun dalam enam kategori utama pernyataan : a.

Pernyataan bagi arsip~fi/e dan record yang akan diproses oleh komputer.

b.

Pernyataan untuk data diluar arsip, seperti untuk membuat judul yang diperlukan dalam doku mentasi.

c.

Pernyataan memindahkan data pada satu lokasi memori ke lokasi memori lainnya dalam memori utama komputer.

d.

Pernyataan melakukan prcses aritmatik yang disimpan dalam memori utama.

e.

Pernyataan logika: proses unit, pilihan (perbandingan) dan iterasi.

f.

Pernyataan membaca data dari memori dampingan (disket, hard disk) ke memori utama atau menuliskan data dari memori utama ke memori dampingan.

Secara umum Deklarasi Program Bahasa Turbo Pascal adalah

{Judul Program dan penjelasan variabel} Dek/arasi : Label Const Type Var Procedure begin

hadan sub-program; end:

Function: begin

hadan sub-program; end;

begin program utama end. Pemahaman lebih jauh dalam t;ecnograman dapat cibaca dalam buku-buku komputer.


------------------------------------------------------·---·-" Deklarasi Program

Jl

-

:::). Q)

( ))

Q Q) ::J

(Q

..... 0 (11

Deklarasi judul program

PROGRAM PORTAL_BIDANG;

Deklarasi tipe matriks M66 : Matriks 6 x 6

TYPE M66

Deklarasi konstanta MAX EL Jumlah elemen maksimum MAX_ND Jumlah nodal maksimum MAX P Jumlah derajat kebebasan maksimum MAX MT Jumlah tipe material maksimum MAX BB Jumlah tipe beban maksimum Deklarasi variabel a. Variabel data struktur JUDUL Judul Data Struktur NNODAL Jumlah titik nodal NMATERIAL Jumlah tipe material NELEMEN Jumlah elemen struktur NBEBAN Jumlah tipe beban X,Y Koordinat titik nodal FX,FY,MZ Beban titik nodal; RX,RY,RR Kode kekakangan titik nodal JJ,JK Nomor nodal i dan j elemen struktur MAT Tipe material elemen struktur BE BAN Tipe beban elemen struktur E,A, IX Sifat penampang elemen struktur QLX,QLY Beban elemen struktur b. Variabel analisis struktur NP Jumlah derajat kebebasan struktur PX,PY,PR Penomoran kebebasan struktur KK Matriks kekakuan global struktur pp Matriks gaya nodal global struktur XX Matriks perpindahan global struktur c. Variabel bantu NAMA_FILE Nama file input/output FINP,FOUT Variabel file input/output

CONST MAX_EL MAX ND MAX_P MAX_MT MAX BB

ARRAY [1 .. 6,1 .. 6] OF REAL;

=

25; 25;

=

75;

15; = 15; =

VAR JUDUL : STRING[80]; NNODAL,NMATERIAL,NELEMEN,NBEBAN : INTEGER; X,Y,FX,FY,MZ : ARRAY [1 .. MAX_ND] OF REAL; RX,RY,RR : ARRAY [1 .. MAX_ND] OF INTEGER; JJ,JK,MAT: ARRAY [l..MAX_EL] OF INTEGER; BEBAN : ARRAY [1 .. MAX_BB] OF INTEGER; E,A,IX,QLX,QLY : ARRAY [1 .. MAX_MT] OF REAL;

NP : INTEGER; PX,PY,PR : ARRAY [1 .. MAX_ND] OF INTEGER; KK : ARRAY [1 .. MAX_P,1 .. MAX_P] OF REAL; PP,XX : ARRAY [1 .. MAX_P] OF REAL;

NAMA_FILE FINP,FOUT

STRING[15]; TEXT;

~~

1

Subprogram Pembacaan Input Data Dek larasi

)>

3 :::J [/)

'<

Ill

~

KR I'~?

:::J:

z Ill

judu~

subprogcca:c:

P~OC2DURE

variabel llari a be 1 i:erasi_ L7urn~ah joint tcrke!
~ekla~asi

N,J

INPUT_DATA;

VAR I,NR,'\JF,KJ

INTEGER;

Input Date.

I = 1 to MAX._JN

/_.._

[/)

s.6"

3agE:.n al i

1:"

SIJbprogranl

pe::JJa.caa~l

data

= 0

= 0

BEGIN

o0 0

0

FOR I:=l TO 10 DO

::::J

~

0 Q C1l

~ ~

BEGIN ~L~~~~

.

Baca

NNodal

>..

X

Clli

"""

Ol

""" Ol

c:

:::l )::, :::l Ol

~ Cii ~

RX [I I : = 0;

/

!

•

Baca X(l)

Y(l)

I

..

:= 0;

FX[I: FY[II

: =·

0;

:=

0;

MZ [I I

: = 0;

READLK(FINP,JUDUL); READLN(FINP,NNODAL); FOR I:=l TO NNODAL DO READLN(FIN2,X[I],Y[II)

Baca NJ

2

""" <:: -...

:= 0;

END;

J B..lC
RY~:]

RR[ll

RX(NJ) RY(NJ) RR(NJ) -------,-----

t-------

READL'\J(FINP,NR); FOR I:=l TO NR DO BEGIN READ I FINP, NJ); REA~~NIFINP,RX[NJI

,RY[NJ] ,RR[NJI)

B<>ca

.

NMateroal

NBeb::m

END;

:

READLN(FINP,NMATERIAL,NBEBAN)

I= 1 to NMatenal

_,

FOR I:=l TO ~MATERIAL DO READLN(FINP,E[I],A[I],IX[I] I; FOR I:=l TO NBEB.Z\N DO READLN(FINP,QLX[I] ,QLY[I] I; READLN(FINP,NELEMENI; FOR I:=l TO NELEMEN DO EEADLN(FINP,JC:~I] ,JK[I] ,MAT[I] ,BEBAN[I] I; READLN(FINP,NFI; FOR I:=l TO NF DO BEGIN READ(FINP,NJI; READLN(FINP,FX[NJ] ,FY[NJ] ,MZ[NJ] I; 2ND; END;

/".., -

_____ _

Baca QLX(I) OL Y(l)

1--__t_ __ _

Baca NEiemen I

_ _ _y__ I = 1 to NEiemen

"

~

---~,/'

----•-

Baca JJ(I), JK(I),

~'_ _MAT(I) L()Ai)(l)__

~r)---

__j

I

___ __t___

Baca NF

- __'f____ __

I= 1 to NF

-----'---------

dJ

~

ClJ

Q QJ ~

'---

Baca NJ

--~-

•

Baca FX(NJ), FY(NJ) MZ(NJ)

.:J;--

(Q

..... 0

"""

Selesa'

I

_j

c;l col )>

3 :::l (J)

Subprograrn Perhitungan DOF Struktur 0eKlarasi judul subprogram

PROCEDURE DOF;

Deklarasi variabel - : Variabel iterasi

VAR

Bag an alir subp:-ogram perhi tu~_an DOF struktur

B2GIN NP :- 0;

I

'< ill

uo~ _

z

I

::r-

_jj

,---'"----

ill

1

(J)

NP "'0

I----,--

s.c.;·

l=l_t_oy_~~')-..1

:::l

$;:

'

/

-

I

oQ

0

0..

~ ~

~ :>;::>;:-

FOR I:=1 BEGIN PX[II PY[II PR[II END;

TO NNODAL DO : = 0; : = 0; : = 0;

,J}--

Q)

INTEGER;

<~-=~ --

•

--va-

//__.,.

---<.:::_R;,

= NP+1 PX_ll_l__~

c:

---~'

Q)

:::; ):,.

:::; Q)

~

. !.

FOR I:=1 TO NNODAL DO BEGIN IF RX[II=O THEN BEGIN NP := NP + 1; PX[I I := NP IF RY[II=O THEN BEGIN NP := NP + 1; PY[II := NP IF RR[II=O THEN BEGIN NP := NP + 1; PR[II := NP END;

END; END; END;

iii" (/)

2:;.;,-

"

2"

J

"""'

(:;

_j

/,-.~ ~Nodal"',.. -----

--"-

Tul,-,

I PX(I) PY:IJ PRiiJ

r-

.

~

,/

WRITELN(FOUT,JUDUL); WRITELN(FOUT); 1\JRITELN ( FOUT, 'JUMLAH KEBEBASAN STRUKTUR = ' , NP) ; WRITELN(FOUT,' NJ PX PY PR'); FOR I:=1 TO NNODAL DO I•JRITELN ( FOUT, I: 3, PX [I I : 4, PY [I I :4, PR [I I :4) ; WRITELN(FOUT); END;

Subprograrn Perhitungan Matriks Kekakuan Global Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel I,J,K : Variabel iterasi NJ,NK Nomor nodal i dan j elemen struktur

Bagan alir subprogram transpose matrik

;-c-

NMAT p

DX,DY,L CX,CY EAL, EILl, EIL2,EIL3 KM KS R TEMP

Jenis material elemen struktur Nomor derajat kebebasan elemen struktur Panjang elemen struktur Cosinus dan sinus sudut elemen struklur Komponen matriks kekakuan elemen struktur Matriks kekakuan elemen lokal Matriks kekakuan elemen global Matriks rotasi Variabel penyimpan matriks semen tar a

----~11

~npos~

<

~=1to6

_ __ 1 _

--

~to6

r-

"

/~

~

___/r-1 '"'

_y_

I

LMP(IJ) = A(IJ)

0 ----~1 ~}--~-~---·

__ __j

~-J

~~:

------r - - > - -, ~(IJ)=TEMP~J I~ l -.

/

J

= 1 to

6

~

_____ ___y_

~

OJ

§:

::J

(Q

..... 0

(0

REAL;

T

-~

/-

<...,

dJ

PROCEDURE KEKAKUAN~GLOBAL; VAR I, J, K : INTEGER; NJ,NK,NMAT : INTEGER; P :ARRAY [1 .. 6] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL,EILl,EIL2,EIL3 KM,KS,R,TEMP : M66;

-

-

~~---- ___ j :::T:- - - - - - ---'f: ____ Selesa1

\

PROCEDURE TRANSPOSE(VAR A M66); VAR TEMP : M66; I,J : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO TEMP[I,J] A[I, J]; FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO A[I,J] TEMP[J,I]; END;

..... .....

Baga:-1 cl i : :- S'Jbprograrr, perkcl i

0

r.:at_::-_i_ks

P?cOCC:DliRE

~1ULT:::

PLY I A, B

IV::S6

VAR C

i

;vr66 I ;

VAR T , ,J, K IEGlN

Mult1ply(M B Cl

}>

3-; :::J

?OR::=~ ~0 6 DO FOR J: FOR ::=~ 70 6 DO FOR J: "OR K:=: 70 6 00 C'I,J] END;

T

(fJ

'<

I- 1 to 6

ill

::r

z

.T

ill (fJ

J = 1 to 6

s

~_,.,.

0

:::J

~

C(l Jl = 0

it

T

~ ~

T

~ 5;

1 = 1 to 6

0

' I_

--

T.

:>c-

c: C\)

.,._

y ____ -

J = 1 to6

::0

'><4-----

h

::0 C\)

T

~ Cii

K = 1 to 6

..-

S2

;::l

~

C(l J) = Cil Ji +All Ki'B(K,J)

:;

T

,~-

!

r

. I I L__ II

~.

Selesa ~---

1

~"J'''EGER;

=

1 1'0 6 DO C [I, J] 1 TO fl DO

:=

0;

:= C[I,J]+A[I,K]'B[K,J];

Bagan alir subprogram perhitungan matriks kekakuan global []

~ekak_uan Global

jJ

___l__

~=1toNP >--~ I

<

___t_

J=1to~,

-- L~_j

!

I

I

t=-=~

_i_~. ~ ~toNEie~~_ _ _ _ __j ______ _

I

NJ = JJ(I). NK = JK(I); NMAT = MAT(I) I P(1) = PX(NJ); P(2) = PY(NJ); P(3) = PR(NJ) P(4) = PX(NK). P(5) = PY(NK). P(6) = PR(NK) DX = X(NK) • X(NJ). DY = Y(NK) · Y(NJ) I L = (DX2 + DY2) 112 CX = DXIL CY = DYIL EAL = E(NMAT)"A(NMAT)IL EIL1 = E(NMAT)"IX(NMAT)IL EIL2 = E(NMAT)"IX(NMAT)I(L "L) EIL3 = E(NMAT)"IX(NMAT)I(L "L "L) ----

~~~-··-,

_ _i_

~~--·

-

CJ=11o~-- ·----r-

t

K=1t~

/

~--r-·_/

dJ ~

CO

~ ::J

CQ

~ ~

~

'-I

KM(J.K) =

L_____

I

==!J

o

R(J.~) = 0

t- '

~--_j

I :

i

BEGIN FOR I:=l TO NP DO FOR J:=l TO NP DO KK[I,J] FOR I:=l TO NELEMEN DO BEGIN NJ := JJ[I]; NK : = JK [I]; NMAT := MAT[I]; P[l] := PX[NJ]; P [ 2 l : = PY I NJ l ; P[3] := PR[NJ]; P[4] := PX[NK]; P [ 5] : = PY [ NK] ; P[6] := PR[NK]; DX := X[NK] - X[NJ]; DY := Y[NK] - Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DYI; CX := DX/L; CY := DY/L; EAL := E[NMAT]*A[NMAT]/L; EILl := E[NMAT]*IX[NMAT]/L; EIL2 : = E [NMAT] *IX [NMAT] I ( L*L) ; EIL3 := E[NMAT]*IX[NMAT]/(L*L*L);

I

.

FOR J:=l TO 6 DO FOR K:=l TO 6 DO BEGIN KM[J,K] . - 0; R[J,K] = 0; END;

:=

0;

..... .....

KM[1,1] KM[2,2] KM[2, 5] KM[3,2] KM[3,5] KM[4,1] KM[5, 2] KM[ 5, 5] KM[6,2] KM[6,5]

N 1) = EAL

~

4t::: -EAL

::: 12"EIL3

= 6"EIL2 = KMt2 31 2)::: 6"EIL2 3t = 4'EIL1 KM(3 21 KM{3.61 = 2'EIL 1 KMi4 11 = -EAL ::: EAL KMtS 2) = -12'EIL3 = -6'EIL2 KMtS 51=- KM(5 2) ::: KMi5,3t

3

KMt2 51=- KMt2 2t

"""' :::J

=

(f)

'<

Ill

::r

'l

z

KM16 2) = 6'EIL2 KM(6,5) = KM(6 2J

= 2'EIL 1 = 4'EIL 1

Ill (f)

s.0

R11.11 = CX. R 11,21 = CY

= -CY

R(2

:::J

R [1, R [2, R [3, R[4, R[ 5, R[ 6,

Rt2 2) = CX Rt,J 3) = 1

41 = CX R(4 5) = CY R(S 4) = -CY Ri5 5) = CX. Ri6,61 = 1

~

0 25-

11

~ ~

i![ _

~

~------

I I

Mclt•ply(K~~ ;~~p~Ll -~--

_T':?

"" c:

""

'~~~-,

0=--~ -~-0- ~

):,.

::J

(l)

2

""t:: "'

END;

~~~~ . ~------·~ -~~J:::(KI"' _g::-> ,_, I lldak I,

KK!PiJI,P(K)I =KK(P(J) P(K)) + KS1J.K) r~--

-•Y·

~:-----

~-

~---~~ I

>t)

''-'

R [ 1. 2] R [2, 2]

:= CY; := CX;

R[4,5] R [ 5, 5]

:= CY; := CX;

KS [J, K];

c~

~

c;;;·

:= CX; :=-CY; : = 1; := CX; :=-CY; : = 1.

FOR J:=1 TO 6 DO FOR K:=1 TO 6 DO IF P[J]*P[K]<>O THEN KK[P[J],P[K]] KK [ P [ J] , P [ K ] ] +

(l)

::J

1I 1] 3] 4] 4] 6]

MULTIPLY(KM,R,TEMP); TRANSPOSE(R); MULTIPLY(R,TEMP,KS);

(l)

(/)

KM[1,4] : =-EAL; := EAL; KM[2,3] := 6*EIL2; := 12*EIL3; KM[2, 6] := KM[2,3]; :=-KM[2,2]; KM[3,3] := 4*EIL1; := 6*EIL2; KM[3,6] := 2*EIL1; :=-KM[3,2]; KM[4,4] := EAL; :=-EAL; KM[5,3] :=-6*EIL2; :=-12*EIL3; KM[5,6] := KM[5,3]; :=-KM[5,2]; KM[6,3] := 2*EIL1; := 6*EIL2; KM[6,6] := 4*EIL1; :=-KM[6,2];

-:~

'-../

I

WRITELN(FOUT, 'MATRIKS KEKAKUAN GLOBAL STRUKTUR: '); FOR J:=l TO NP DO BEGIN FOR K:=l TO NP DO WRITE(FOUT,KK[J,K] :10:0); WRITELN ( FOUT) ; END; WRITELN(FOUT); END;

8 /~

--

•-

--

~-1=1toNP~> ___ ,.____ _

C_J=1to~01

-

_____]'_

Tulis

--

-

l~--------r KK(I::'~---_J

~ ~j

I I

Q:-------~ 0---~~____y___ ~

('--

-

-,

S<=~_e~_/

Subprogr&a :PerhH:ungan Matriks Gaya Nodal

dJ

~

OJ

§: :::J

I

(Q

..... .....

w

I

I

Deklarasi judul subprogram. Deklarasi variabel I,J,K Variabel iterasi NJ,NK Nomor nodal i dan j elemen struktur NMAT Jenis material elemen struktur p Nomor derajat kebebasan elemen struktur DX,DY,L Panjang elemen struktur CX,CY Cosinus dan sinus sudut elemen struktur F Matriks gaya nodal lokal PF Matriks gaya nodal global R Matriks rotasi

PROCEDURE GAYA NODAL; VAR I,J,K : INTEGER; NJ,NK : INTEGER; p : ARRAY [1.. 6 J OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY : REAL; F,PF : ARRAY [ 1. . 6 J OF REAL; R : M66;

-

Bagan alir subprogram transpose matriks

~r(A~ . ______y______~

~1to6=>-

l

~~' !

,._____/

PROCEDURE TRANSPOSE(VAR A M66); VAR TEMP : M66; I,J : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO TEMP[I,J] A[I, J]; FOR I:=l TO 6 DO FOR J:=l TO 6 DO A[I,J] . TEMP[J,I]; END;

.-

11

l~~~~~~ 0------_j

0-----.-"

~~--, -~~~~

I

<-J-E __l __ _

----' '_ A( I J) = TEMP(.J.I)_J

I

~--_j ~-----j

L___________________________________________~--------------------------------------~

................................-------------------Bagan allr subprogram perhitungan matriks gaya nodal

l___~a;~-Nodal

__

BEGIN FOR I:=l TO NNODAL DO BEGIN PP [ PX [I] ] . ~ FX [I] ; PP [ PY [I] ] . ~ FY [I] ; PP [PR [I] ] . ~ MZ [I] ; END; FOR I:=l TO NELEMEN DO BEGIN IF (QLX[BEBAN[I] ]<>0) or (QLY[BEBAN[I] ]<>0) THEN BEGIN NJ := JJ[I]; NK := JK[I]; P [ 1] . ~ PX [NJ]; P[2] .~ PY[NJ]; P [ 3 ] . ~ PR [ NJ] ; P[4] .~ PX[NK]; P [ 5] . ~ PY [ NK] ; P [ 6 ] . ~ PR [ NK] ; DX := X[NK] ~ X[NJ]; DY := Y[NK] ~ Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DY); CX .~ DX/L; CY := DY/L; F [ 1] F [2] F [3] F [4] F [ 5] F [ 6]

.

. . .

. .

~

~

~

~

~

~

* QLX[BEBAN[I]] * L; * QLY[BEBAN[I]] * L· * L*L; ~1 !12 * QLY[BEBAN[I]] * L· ~0.5 * QLX[BEBAN[I] I * L· ~0.5 * QLY[BEBAN[I]] 1/12 * QL Y [BE BAN [I ] ] * L*L;

~0.5

~0.5

FOR J: =1 TO 6 DO FOR K:=1 TO 6 DO R[J,K]

.

~

0;

R [1, 1]

-~~1~i1,2)~cv, --~ R(2,1) ~ -CY, R(2,2) ~ CX, R(3,3) ~ 1 I R(4,4) ~ CX: R(4,5) ~ CY I

1 1

I

RiSAl ~ -cY: RiS,S) =ex Ri6~

:.:::

R [1, 2] CX; R [2, 1] :=-CY; R [3, 3] . - 1· R[4, 4] . - CX; R[5,4] :=-CY; R[6,6] . - 1;

. - CY; R[2,2]

. - CX;

R[4, 5] R[5,5]

. - CY; . - CX;

-,---~-

1

~----'--1

1 1

TRANSPOSE (R);

Transpos~~

21 PF(J) ~ 0

-

i

__j

I

!

I

<-:·('=> l I

11

~(J) ~ PF(J) + R(J,K)'F(K) L___

I

I

t =-- lj -~

I

~

~

I

I ~· I : PP(J) ~ PP(J) + PF(J)

t1dak

,

I 1

I

~~ ~}----

r

0

~_))---------~~-·<)

cb

FOR J:=1 TO 6 DO BEGIN PF[J] .- 0; FOR K:=1 TO 6 DO PF[J] END; FOR J:=1 TO 6 DO IF P[J]<>O THEN PP[P[J]] END; END;

.- PF[J]

+ R[J,K]*F[K];

.- PP[P[J]] + PF[J];

0

<~4~__>---1 t

c-Tulis• PP(I)

WRITELN(FOUT, 'MATRIKS GAYA NODAL :. ) ; FOR I:=l TO NP DO WRITELN(FOUT, 'P[',I:3, '] = ',PP[I] :10:3); WRITELN(FOUT); END;

I

I

I I _j

q I I

(

:! Selesai

)

Subprogram Perhitungan Solusi Deformasi Deklarasi judul subprogram

PROCEDURE SOLUSI;

Deklarasi variabel I : Variabel iterasi N : Jumlah persamaan

VAR I,N

:

INTEGER;

..... ..... 00 )>

3....,

s·

(fl

Bagan alic- s1;bprogram faktorisasi matriks

j_

Faktor

//r---

-

T

,

,,____:_=2to~:_

,~--t

'<

/~----

___ _

J1=J1

ru

:::J"

zOJ

··-

Jh1

(fl

s;. 0

:::J

~

0Q

'------

SUM= KK(I Jl 11 = 1-1

~ ~

I SUM= SUM-

KK(~~~

~

~ Q) ~

<::::

K1I,Jl =SUM

Q)

::J

h

::J Q)

~

c:;;·

--·~ SUM= KKIJ J\

(/)

2 ~

2" ...,

-TEMP; SUM=

KK1J Jl =SUM I -- _j

PROCEDURE FAKTOR; VAR J,Jl,I,Il,K : INTEGER; SUM,TEMP : REAL; BEGIN FOR J:=2 '":'0 N DO BEGIN Jl := J-l; IF(Jl<>l) THEN FOR I:=2 TO Jl DO BEGIN SUM := KK[I] [J]; Il := I-1; FOR K:=l TO Il DO SUM := SUMKK[K] [I] *KK[K] [J]; KK [I] [ J] : = SUM; END; SUM : = KK [ J] [ J] ; FOR K:=l TO Jl DO BEGIN TEMP : = KK[K] [J] /KK[K] [K]; SUM:= SUM-TEMP*KK[K] [J]; KK[K] [J] := TEMP; END; KK [ J] [ ,J J : = SUM; END; END;

Bagan alir s:1bprogram substitusi PROCEDURE SUBSTITUSI; VAR INTEGER; I, Kl, K, I1, K2 SUM : REAL; BEGIN FOR I:=l TON DO BEGIN SUT1 : = XX [ I ] ; Kl : = I -1; IF(I<>l) THEN FOR K:=l TO Kl DO SUM.- SUM-KK[K] [I] XX [I j . - SUM; END; FOR I : = 1 TO N DO XX [I ] . - XX [I ] I KK [ I 1 [ I 1 ;

Subsl1tus1

<

__

,_____

I= 1 toN

>.-

i __'!___ __

SUM= XX(I) K1 = 1-1

-'-

l.:r-1 ye /

_____1___ __ "'

<~ _K = 1to_i<1_)~ t:da~

~

---

~-

--I

SUM= SUM- KK(K I) XX(K) i

- _________!1___

----

XX(I) =SUM

! _)

<~-·-~ I = 1 to N

~1__/

[ !

..... ..... CD

II

>4--------

----•

XX(I) = XX(I)IKK(I I) ----

j

I I

__ j

* XX[K];

~

H

~I

13tfl 11

13tfl 0 Cl

z 0

._

z

H

--~

._

~~:::0

--E-<

c-rx:c-r

11

tfl

+X:+-~11

0 Q

H

c-1

Z

H

11

I

"

Z

Z

1\

11

V

"H

11 :>: E-<~~5;~~

0

p:::;

"

0

~ ~ H ~

;;] Q

c-1<:.9

11

E-<

WN:8

~

zw

w

.. Pl c-1 H

Q

Z w

-~

-----~~

--- - - - -

~~~---

- - - - - --l

I

·~~LJ

0----

xX

I I

13 L_"', I

•--~

120

~---

-g, _____

"'

I

L__j

_j


_)

Subprogram Perhitungan Solusi Deformasi Deklarasi judul subprogram

PROCEDURE SOLUSI;

Deklarasi variabel I : variabel iterasi N : Jumlah persamaan Bagan alir subprogram perhitungan solusi deformasi

VAR

11

Solusi

I I

I= 1 to NP

N = NP

c~ktor

IT

11

Solusi 11

'"tJ

0

~

et

OJ

~

~I I ~

N

..a..

(

Selesai

)

I, N : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO NP DO XX[I] := PP[I]; N := NP; FAKTOR; SUBSTITUSI; WRITELN(FOUT, 'SOLUSI PERPINDAHAN STRUKTUR :'); FOR I:=l TO NP DO WRITELN(FOUT, 'X[' ,I:3, '] = ',XX[I] :10:6); WRITELN ( FOUT) ; END;

..... N N )>

3....,

s·

(j)

'<

tll

::J""

z tll (j)

5.

6" ::J

~

0

?5-

~

~

~ :>;Ill :>;-

Subprogram Perhitungan Gaya Elemen Struktur Deklarasi judul suoprogram Deklarasi variabel I,J,K Varjabel ~terasi NJ,NK Nornor nodal i dan j e=effien s::r;.;kt'"r NMAT Jer1~s material ele~en struktur p Nomor derajat keoebasan elemen struktur DX,OY,L Panjang elemen slruktur CX,CY Cosir1us dan sinus sudut elemen struktur EAL,EIL1, EIL2,EIL3 Kor:,ponen matriks ke:Zakuan elemen struktur ~acriks deformasi elc~en global XS XM Ma::riks deformasi ele~en lokal FM Matriks gaya elemen lokal KM Matriks kekakuan elemen lokal R Matriks rotasi Matriks gaya nodal lokal F

I PROCEDURE

GAYA~ELEMEN;

VAR I,J,K : INTEGER; NJ,NK,NMAT : INTEGER; P : ARRAY [1 .. 6] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL,EILl,EIL2,EIL3 XS,XM,FM: ARRAY [1 .. 6] OF REAL; KM,R : M66; F :ARRAY [1 .. 6] OF REAL;

<::::

Ill

::J )::. ::J

Ill

~

c;;· (/)

2

:>;-

c: ""'

Bagan alir subprogram perhitungan gaya elemen struktur

BEGIN FOR I:=1 TO NELEMEN DO BEGIN NJ := JJ[I]; NK := JK[I]; NMAT := MAT[I]; P[l] := PX[N,J]; P[2] := PY[NJ]; P[3] := PR[NJ]; P [ 4] : = PX [ NK] ; P [ 5 ] : = PY [ NK I ; P[6] := PR[NK]; OX := X[NK] - X[NJ]; DY := Y[NK] - Y[NJ]; L : = SQRT (DX*DX+DY*DY); CX := DX/L; CY := DY/L; EAL := E[NMAT]*A[NMAT]/L; EIL1 := E[NMAT]*IX[NMAT]/L;

REAL;

-~~~:Eiem~

EIL2 EIL3

r•

"'---

--

NJ o JJ(I), NK o JK(I), NMAT o MAT(I) P(1) o PX(NJ) P(2) o PY(NJ), P(3) o PR(NJ) P(4) 0 PX(NK), P(5) 0 PY(NK) P(6) 0 PR(NK) I OX o X(NK)- X(NJ) DY o Y(NK)- Y(NJ) L = (0X2 + DY2)12 CX = OX/L, CY = DY/l EAL o E(NMAT)'A(NMAT)/L Ell 1 = E(NMAT)"IX(NMAT)/L EIL2 o E(NMAT)'IX(NMAT)/(L'L) EIL3 o E(NMAT)"IX(NMAT)/(L 'L 'L)

~1to6)! ~~ o o____ ,

R(J

I I

~----_j

c}___ I

- - ---

: I !

dJ ~

'~KM(5,5)

0 - KM(5,2), KM(5,6) ° KM(5,3) KM(6,2) = e·EIL2, KM(6.3) = 2~Eil1 KM(6,5) ~-: KM(6,2) KM(6 6) 0 4'EIL 1_

i

::l

I

§: ~

1\)

w

l I

I

'I

I

I

OJ

__ _j_______ _

KM(1,1) oEAL,KM(1,4) 0 ·EAL KM(2,2) 0 12'EIL3, KM(2,3) 0 6'EIL2 KM(2,5) o- KM(2,2) KM(2,6) o KM(2,3) KM(3,2) o 6'EIL2 KM(3,3) o 4'EIL1 KM(3 5) 0 - KM(3,2), KM(3 6) 0 2'EIL 1 KM(4,1) 0 -EAL. KM(4,4) 0 EAL KM(5,2) = ~12"Eil3, KM(5,3) = -6*EIL2

1

R(1 1) o ex R(1 2) o ey_-~~ R(2,1) = -cv. R(2.2l =ex. R(3,3l = 1

1

~" • R(4.41 o

ex

R(4,51 o ev ex. R(6 6) o 1

L___"__"!'~_"__:CY R(5 5) o

FOR J:=l TO 6 DO FOR K:=l TO 6 DO BEGIN KMIJ,K] := 0; RIJ,K] := 0; END; KMI1,1] KM[2,2] KMI2, 5] K~l3,2]

KMI3,5] KMI4,1] KMI5,2] KM[5, 5] KM[6,2] KMI6, 5]

~~-l •-

KM(/K)~

:= E[NMAT]*IX[NMAT]/IL*L); := E[NMAT]*IX[NMAT]/(L*L*L);

j

R 11,1] R [2, 1] RI 3, 3] R [4, 4] R [ 5, 4] RI 6, 6]

KM[1,4] :=-EAL; := EAL; KMI2,3] := 6*EIL2; := 12*EIL3; KM[2,6] := KM[2,3]; :=-KM[2,2]; KM[3,3] := 4*EILl; := 6*EIL2; KM[3, 6] := 2*EIL1; :=-KM[3,2]; KM[4,4] := EAL; :=-EAL; KMI5,3] :~-6*EIL2; :=-12*EIL3; KM IS, 6] := KMI5, 3]; :=-KMI5,2]; KMI6,3] := 2*EIL1; := 6*EIL2; KM[6, 6] := 4*EIL1; :=-KMI6,2]; := CX; :=-CY; : = 1; := CX; :=-CY; := 1-

R [1, 2] Rl2, 2]

:= CY; := CX;

R [4, 5] RI 5, 5]

:= CY; := CX;

.....

~

N

~

FOR J:=l TO 6 DO IF P[J]<>D THEN XS[J]

~~~

)>

3...., ::::r (J)

-/~ P(J)= 0 .----._.

lya------<..._

'<

x~~~

Q)

:::J"

z

Q) (J)

J

···~

..-~

tldak1

'

[-;;si~-~

= XX(P(JJI I

T

: _____ --.c;J•

s.a·

+

I !

(jr----~ -~~___j

::J

I

0~~to_;_y----,

~

0

~~XM(~)~ o-J

iS

~ ~

-·

<

!

I

r···-~

___ L__~

s

K= 1

to6

~--,-~-

~ (\)

c:

I

I I

• XM(J) = XM(J) + R(J K)"XS(K)

:>;-

!

;:------~ !

j

'!

(\)

::l

h

::l

0-~

(\)

~

_L~

c;;·

J =1

(/)

to

6 -~·/.>+-------~~]

·r·

2

1

~

.

~

~

2" .....

~~~>---1 ...l

FM(J) = FM(J) + KM(J K).XM(K)

I I

.J .J

~)---l

!'!' ~)

:= XX[P[J]] ELSE XS[J]

FOR J:=l TO 6 DO BEGIN XM[J] := 0; FOR K:=l TO 6 DO XM[J] END; FOR J:=l TO 6 DO BEGIN FM [J] : = 0; FOR K:=l TO 6 DO FM[J] END;

:= XM[J]

+

:= 0·

R[J,K]*XS[K];

:= FM[J] + KM[J,K]*XM[K];

~

F [ 1] F[2] F [3] F[4] F [ 5] F [ 6]

-------- ____y____

F(1) = 0 s•QLX(Beba~ F(2) = o s·m Y(Beban(l) • L i F(3) = 1/12.0LY(Beban(I)"L•L : F(4) = 0 s•QLX(Beban(l) • L : F(5) = 0 s·QLY(Beban(l) • L : 'F(6) = -1/12.QLY(Beban(I)"L•L I

~_y~~

* ____J

FM(J) = FM(J) + F(J) I__ _ _ _

,

:

' , FM [ J ] : 1 0 : 3 ) ; WRITELN(FOUT); END; END;

I i

IJ_/-··---1

-~L

J=1to~-~T-/ L __ i Tul1s ,

/

!

___ I

IL~--~M;J)_

----J

I

r---j __

:

~------~

6J

~

Ill

~ ::l

..... 1'1.) (1'1

r-s;;!~ --

''----

-

: = FM [ J] + F [ J] ;

WRITELN(FOUT, 'GAYA DALAM ELEMEN KE-' ,I); FOR J:=1 TO 6 DO WRITELN(FOUT, 'FM[',J:3, ']

J=1t~6-~1

--~~---~

:=

FOR J: = 1 TO 6 DO FM [ J]

'---------~-----

~

0.5 * QLX[BEBAN[I]] * L; 0.5 * QLY[BEBAN[I]] * L; := 1/12 * QLY[BEBAN[I]] * L*L; := 0.5 * QLX[BEBAN[I]] * L; := 0.5 * QLY[BEBAN[I]] * L; := -1/12 * QLY[BEBAN[I]] * L*L; :=

.....

~ )>

1

1

Program Utama Bagan alir program utama

3 ::::l

Mula1

(f)

'<

ru

..

:::r-

z ru

BEGIN ':!RITE( 'NAHA FILE DATA : 'I; READLN(NAHA_FILEI; ASS~C~N ( FINP, NKJVIA_FILE I ; RESET I FINP I ; \·!RITE( 'FILE OUTPUT : 'I; READLNINAHA_FILEI; ASSIGNIFOUT,NAMA_FILEI; RE\vRITE(?OUT);

Buka File Data

(f)

s.c;·

.

::::l B~ka

~

F11e Hasll

0Q

.

(])

~ ~

Input Data

.

iri'

DOF

""

(l)

""c:

.

(l)

::J

Kekakuan Global

h

::J

(l)

~

;;;·

(/)

~

2" ...,

·-

~-~

Gaya Nodal ------

..

_

Solus1

V

Gaya Elemen

____ y

Selesa1

INPUT_DATA; DOF; KEKAKUAN~GLOBAL;

GAYA NODAL; SOLUS1; GAYA __ ELEMEN; CLOSE I F'OUT I ; END .

Penyusunan data input program komputer bagi contoh soal

~,_,~"~(I I_} I ; I"~- !} I '~"'I !. ~,"\! I ~'"~ I. I I f }

1 '

i i

-""'

File Data PENYELESAIAN SOAL PORTAL BIDANG [SATUAN DALAM TON-M] 10 0 0 15 0 0 30 20 0 5.5 20 10 14 15.5 14 20 8 25.5 8 30 2 3 1 1 1 1 1 1 2 l 1 1 3 l 3 5 2.1E6 0.5625 0. 0263671875 2.1E6 0.75 0.0625 2.1E6 1.1250 0.2109375 1.83090031 1.307785936 1. 907996184 1.192497615 1.6875 0 7.375 0 4.62 -3.465

NNODAL

XII),

y (I)

NR N,J,

RX(NJ),

RY (NJ:, RR(NJ)

NMAT, NBEBAN E I I),

A I I),

IX I I)

QLX(I) ,QLY(I)

I

NELEMEN

9

1 6 2 8 3 10 4 5 6 5 6 7 7 8 8 9 10 9 0

JUDUL

2 2 1 3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 4

,JJ I I ) , JK (I), MAT(I), BEBAN(I)

5 4 5

NF

~

Portal Bidang

127

Arsip Hasil PENYELESAIAN SOAL PORTAL BIDANG [SATUAN DALAM TON-M] JUMLAH KEBEBASAN STRUKTUR NJ PX py PR 0 1 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 1 2 3 4 5 5 6 7 6 8 9 7 10 11 12 8 13 14 15 9 16 17 18 10 19 20 21

=

21

MATRIKS GAYA NODAL P[ 1] 0.000 P[ 2] -20.281 P[ 3] -18.591 p [ 4] 0.000 P[ 5] -41.938 2.349 P[ 6] p [ 7] 0.000 p [ 8] -61.293 p [ 9] 29.910 p [ 10] 0.000 -41.938 P[ 11] P[ 12] 2.349 P[ 13] 0.000 p [ 14] -52.551 P[ 15] 6.495 P[ 16] 0.000 P[ 17] -41.938 P[ 18] 2.349 P[ 19] 0.000 P[ 20] -23.344 P[ 21] 16.242

128


Matrik Kekakuan Global Struktur: (KJ

~-------------~ I~ Ill

I~

m

Gambar 2.13 Pola pembebanan struktur

Gambar 2.14 Deformasi sistem struktur

130 Amrinsyah Nasutioil, fvletode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

2.11

Program Komputer Portal Bidang

Program komputer portal bidang yang lengkap dirancang berdasarkan bagan alir yang dikembangkan oleh William Weaver, Jr. dan James M. Gere, pengarang Matrix Analysis of Framed Structure (Second Edition, D. Van Nostrand, 1980). Mahasiswa SI dan S2 merancang program sebagai bagian dari tu gas kelas Analisa Struktur IV, Metoda Elemen Hingga, Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil Jan Lingkungan, !TB. Membuat kode program analisis struktur untuk portal bidang.

Program yang digunakan adal_ah Tubo Pascal for Windows vi .5 Dalam program ini dibuat.flle:file pembantu (*.inc) yang dipanggil dengan procedure pada program utama. Adapunfi/e~fi/e yang diperlukan di dalam program ini adalah: ; . mainJJro.pas : merupakan badan program utama 2. sdata. inc : berisi prosedur input data 3. ldatapb. inc : berisi input data dan pengkombinasian be ban titik -L loadpb. inc : berisi prosedur ekivalensi beban titik 5. stifj'ph. inc : berisi perakitan matrik kekakuan 6. hanfac. inc : berisi prosedur faktorisasi matrik -. hansol.inc : berisi penyelesaian vektor 8. resu!ph.inc : berisi penulisan hasil perhitungan Sedangkan untuk input dan outputnya diletakkan pada file text(* .txt), yaitu: · . clt _struk. txt : berisi input data struktur ~ clt load.txt : berisi input pembebanan :. report.lxt : berisi laporan input beserta hasil perhitungan. Berdasarkan bagan alir yang telah diberikan, maka kode program secara keseluruhan dapat Jisusun. Kode program lengkap dapat dilihat pada halaman berikut.

Portal Bidang

131

Source code dari program utama disimpan pada file main_pro.pas program analisis_portal_bidang; uses wincrt; type matrik reall matrik real2 matrik intl

array [1 .. 50] of real; array [1 .. 40, 1 .. 40] of real; array [1 .. 50] of integer;

VAR M,N,NJ,NR,NRJ,NLJ,NLM NDJ,ND,MD, I,LN NBI,NB,Nl,JR,JE Jl,J2,J3,Kl,K2,K3 E,SCMl,SCM2,SCM3,SCM4 XCL,YCL,SUM,TEMP dt,ld,out

hasil, input K,J,IR,IC,Il, I2,Item X,Y JJ,JK,JRL,IM,ID AX,EL,ZI,CY,CX SFF,SMS AC,AJ,AE,DJ,DF LML AML AMD,AM, AR

{$I {$I {$I {$I {$I {$I {$I

shortint; shortint; shortint; shortint; real; real; text; text; integer; matrik_reall; matrik_intl; ma tr ik__ reall; matrik_real2; matrik_reall; matrik_intl; matrik_real2; matrik_reall;

sdatapb. inc) stiffpb.inc) banfac.inc) ldatapb.inc) loadpb. inc) ban sol. inc J resulpb.inc)

BEGIN clrscr; assign (out, 'report.txt'); rewrite(out); input_data; susun_matrik_kekakuan; faktorisasi_rnatrik; load_data; beban_ekiv_joint; kombinasi_beban_joint; solusi_vektor_x; result; close (out); writeln ('Program telah selesai dieksekusi'); writeln ('Hasilnya dapat dilihat pada file report.txt'); END.


Source code dari file stiffpb.inc procedure susun_rnatrik __ kekakuan; 3egin

(Kekakuan Elemen} for J:o1 toN do Begin

for K:o1 to NB do SFFIJ,K] :o 0.0; End; (Mengubah Matrik Kekakuan Titik Kumpul} for I:o1 to M do Begin

SCM1 SCM2 SCM3 SCM4

E *AX [ I ] I EL [ I ] ; 4 . 0 * E * Z I I I] I EL [I] ; 1.5'SCM21EL[I]; 2*SCM3/EL[I];

SCM1*CX[I]*CXII] + SCM4*CYII] •CYII]; SMS [ 1. l] SMS[l,2] .- (SCM1 - SCM4) 'CXII] 'CY[I]; SMS[1,3] -SCM3'CY[I]; SMS I 1. 4] . - -SMS [ 1, 1]; S~!S [ 1. 5] . - - SMS [ 1 , 2 ] ; SMS [ 1, 3]; SMS I 1. 6] SCM1*CY[I]'CY[I] + SCM4*CX[I]*CX[I]; SMSI2,2] SMSI2,3] .- SCM3*CX[I]; -SMS [ 1, 2]; SMSI2,4] SMS[2,5] -SMS 12, 2]; SMSI2,6] SMS[2, 3]; SMS[3,3] . - SCM2; SMS[3,4] . - - SMS I 1 , 3 l ; -SMS 12, 3]; SMS [ 3, 5] SMS[3,6] SCM2/2.0; SMS [ 4, 4] . - SMS I 1, 1] ; SMS [ 4, 5] . - SMS I 1, 2] ; Sl1S [ 4, 6] SMS [ 3, 4] ; SMS[2,2]; SMS [·5, 5] SMS [ 5, 6] . - SMS [ 3, 5] ; SMS [ 6, 6] . - SCN2; IN[ 1] IN[2] IN[3] IM[4] IM[5] IM[6]

3'JJ[I] 3*JJII] 3'JJII]; 3*JK[I]3 * JK [I] 3*JKII];

2; 1;

2; 1;

for J:o1 to MD do Begin Il:oiN[J]; if (JRL[I1] IC) then Begin Item :o IR; IR . - IC; IC

Item;

End; IC : o IC - IR + 1; SFF[IR,IC] SFF[IR,IC]

+ SNS[J,K];

End; End; End;

Portal Bidang

133

.End; End; End;

Source code dari file banfac.inc procedure faktorisasi_matrik; Begin if ISFF[l,ll1 then Begin for I:o2 to J1 do Begin I1:oi-1; if II1>oJ21 then Begin SUM:oSFF[I,J-I+11; for K:oJ2 to I1 do SUM:oSUM-SFF[K,I-K+11"SFFIK,J-K+11; SFFII,J-I+11 :oSUM; End; End; End; SUM : SFF I J' 1 I ; for K:~J2 to J1 do Begin TEMP: SFF I K' J- K+ 1 I I '3FF I K' 1 I ; SUM:oSUM- TEMP*SFFIK,J-K+11; SFFIK,J-K+11 TEMP; End; SFFIJ,11 :o SUM; End; 0

0

End;

Source code dari file bansol.inc procedure solusi_vektor_x; Begin for I:o1 toN do Begin J :o I-NB+1; if II
I

N-Il + l;

I+NB-1; if J>N then J:oN;

J


SUM :~ DF[I]; K2 :~ I+l; i f K2<~J then

Begin for K:~K2 to J do SUM :~ SUM-SFF[I,K-I+l] 'DF[K]; DF [I] : ~ SUM End; End;

Source code dari file resu/pb.inc result;

;~ocedure

3egin (Perpindahan Titik Kumpul} J:~N+l;

for

K:~1

to ND do

Begin JE if

ND- K + 1; then

:~

JRL[JE]~o.o

begin J:~J-1;

DJ[JE]

DF [J];

DJ[JE]

0.0;

end else

Begin End; End;

writeln writeln

(out); (out,'

Perpindahan Titik Kurnpul');

writeln (out,' Titik for J:~1 to NJ do

DJ1

DJ3');

DJ2

Begin writeln

(out,

DJ [ 3 'J- 2 I

J:3,'

: 10,

DJ[3'J-1] :10,'

'

DJ[3'J] :101;

End; (Aksi Ujung Elemen} writeln (out);

writeln (out,' Aksi Ujung Elemen'); writeln for

I:~1

(out,'

Elemen

AMl

AM2

AM3

AM4

AMS

AM6' I;

to M do

Begin J1:~3'JJ[I]-2;

J2:~3'JJ[I]-1;

J3:~3'JJ[I];

K1: ~3*JK[I] -2; K2: ~3 'JK [I] -1; K3: ~3'JK [I]; SCM1 E*AX[I] /EL[I]; SCM2 4.0'E'ZI[I]/EL[I]; SCM3 1.5'SCM2/EL[I]; SCM4 2.0*SCM3/EL[I]; AMD [ 1] SCt11' I (DJ [J1] -DJ [K1]) •ex [I I + (DJ [J2] -DJ [K2]) 'CY [I] I; l\MD[2] SCM4'(-(DJ[Jl]-DJ[K1]1'CY[I] + (D,T[J2]-DJ[K2]1'CX[I]I AMD[3] .- SCM3•(-(DJ[J1]-DJ[K1])'CY[I] t (DJ[J2]-DJ[K2])'CX[I]) ··::=•iDJ[J3]+0.5'DJ[K3]1; AMD I 4 I . - -AMD I 1 I ; AMDISJ :~ -AMDI2J; AMDI6] :~ SCM3*(-(DJ[J1]-DJIK1])'CYII] + IDJIJ2]-DJ[K2])*CXII]I .. ·= ' I 0 . 5 'DJ I J 3 I + CJ I K'l I ) ; for J:~1 to MD do

+ S013*(DJ[J3]+DJ[K3]1; +

+

Begin AMIJ] :~ AMLIJ,I] + Al1DIJ]; End; i f JRL[J1]~1 then AR I J1] : ~AR [ J1] +CX [I] 'AMD [ 1] ·CY [I] 'AMD [ 2] ; i f JRL[J2]~1 then ARIJ2]: ~ARIJ2] +CYII] 'AHDI1J +CXII] 'AMDI2]; i f JRL[J3]~1 then ARIJ3] :~ARIJ3]+AMDI3]; i f JRL[K1]~1 then AR I Kl I : ~AR I K1 I +CX I I] 'AMD I 4] -CY I I] 'AMD I 5 I ; i f JRL[K2]~1 then AR[K2] :~AR[K2] tCY[I] *AMDI4] +CX[I] 'AMD[S]; i:E JRL[Y3]=l then ARIK3] :~AR[K3]+AMD[6]; '"ritc'ln (out, 1:4, AM[1] :10:2, Al1[2] :10:2, t\M[l] :10:2, t\11[4] :10:2,

AM[S] :10:2,

: l 0: 2 I ; End;

Portal Bidang

135

{Perhitungan Reaksi Peletakan) writeln (out); writeln (out,' Reaksi Peletakan'); writeln (out,' Titik Kumpul for J:~1 to NJ do

Joint

AR1

AR2

AR3');

Begin Jl:~3*J-2;

J2:~3*J-1;

J3:~3*J;

N1 :~ JRL[J1) + JRL[J2) + JRL[J3); if N1<>0 then writeln (out,J:25,AR[J1) :9:2,AR[J2) :8:2,AR[J3) :8:2); End; End;

Source code dari file /oadpb.inc procedure beban_ekiv_joint; Begin

if NLJ<>O then Begin for I:~1 to M do Begin

if LML[I)<>O then Begin

3*JJ[I) - 2; J1 3*JJ[I) - 1; J2 J3 3*JJ[I); K1 .- 3'JK[I) - 2; K2 .- 3*JK[I] - 1; K3 3 *JK [I]; AE[J1) :~ AE[J1) AE[J2) AE[J2) AE[J3) AE[J3) AE[K1) AE[K1) AE[K2) AE[K2) AE[K3) AE[K3) -

CX[I) *AML[1, CY[I) *AML[l. AML[3, I); CX[I) *AML[4, CY [I) 'AML [ 4, AML [ 6, I) ;

I) + CY [I) *AML [ 2, I) ; I) - CX[I) *AML[2, I); I) + CY[I) *AML[5, I); I) - CX[I) *AML[5, I);

End; End; End; End;

Source code dari file ldatapb.inc procedure kombinasi_beban_joint;

Begin for

J:~1

to ND do

Begin JR:~ID[J);

AC[JR)

:~

AJ[J)

+ AE[J);

End; End; procedure load_data; Begin

{Parameter Bebanl writeln (out); writeln (out,' Jumlah Pembebanan'); wri teln (out, • NLJ NLM') ; assign (ld, 'dt_load.txt'); reset ( ld) ; readln ( ld) ; readln (ld, NLJ, NLM); writeln (out, NLJ:3, NLM:6); writeln (out);

136


for J:=1 to ND do Begin AJ[J] 0· AE[J] .- 0· AR[J] .- 0; End; {Beban Titik Kumpul} if {NLJ<>O) then Begin writeln (out,' Beban di Titik Kumpul'); writeln (out,' Titik kumpul AJl AJ2 AJ3'); readln ild); for J:=1 to NLJ do Begin readln (ld,K,AJ[3*K-2] ,AJ[3*K-1] ,AJ[3"K]); writeln (out, K:6, AJ[3*K-2] :13:2, AJ[3*K-1] :11:2, AJ[3*K] :12:2); End; writeln lout); {Beban Bentang} if INLM>O) then Begin for J:=1 to do Begin for K:=1 to M do AML[J,K] 0· LML[J] .- 0; End; writeln (out,' Gaya Ujung Elemen Terkekang Penuh Akibat Beban Bentang'); writeln (out, Elemen AML1 AML2 AML3 AML4 AML5 readln (ld) ; for J:=1 to NLM do Begin read (ld, I,AML[1, I] ,AML[2, I] ,AML[3, I] ,AML[4, I] ,AML[5, I] ,AML[6, I]); write (out, I:4, AML[l,I]:12:2, AML[2,I]:11:2, AML[3,I]:ll:2); writeln (out, AML[4,I]:11:2, AML[5,I]:12:2, AML[6,I]:11:2); LML [I] 1; End; End; End; close lld) ; :Oc.d;

Source code dari file sdatapb.inc ;~~cedure

input_data;

c:O~IN

(Identifikasi Struktur} ~riteln

(out,' Struktur nomor 3 Portal Bidang'); writeln (out, Jurnlah sistem pembebanan ~ 1'); -----------------------------'); 'Nriteln (out, writeln (out, Parameter Struktur'); ~riteln (out, M N NJ NRJ E' I; assign ldt, 'dt_struk.txt'); reset (dt); :-eadln (dt); readln (dt, M,K,NJ,NR,NRJ,E);

{Parameter Struktur} '= 3;

:JDJ

:m : = NDJ*NJ; .d

:::

ND-NR;

~riteln

(out,M:3, ·,;riteln (out);

N:5,

NJ:S,

NRJ:7,

E:15:2);

. Koordinat Ti tik Kumpul} ·,,Titeln (out,' Koordinat Titik Kumpul');

Portal Bidang

1 ~i7

writeln (out,' Titik X Y' I; readln I dt I ; for k:=1 to NJ do Begin read1n (dt,J, X[J], Y[J] I; writeln lout,J:3, X[J] :10:3, Y[J] :8:31; End; writeln (out); {Informasi Elemen} writeln (out,' Informasi Elemen'); writeln (out,' Elemen JJ JK AX ZI EL MD := 2*NDJ; readln I dt I ; for J:=1 to M do Begin readln (dt, I, JJ[I], JK[I], AX[I], ZI [I]); NBI .- NDJ*(abs(JK[I]-JJ[I] )+1); if INBI >NB) then NB:=NBI; XCL := X[JK[I]] - X[JJ[I]]; YCL := Y[JK[I]] - Y[JJ[I]]; EL[I] sqrt(XCL*XCL + YCL*YCL); CX[I] := XCL/EL[I]; CY [I] : = YCL I EL [I] ; write (out,I:4, JJ[I] :9, JK[I] :9, AX[I] :9:3, ZI[I] :9:3); writeln (out,EL[I] :10:3, CX[I] :10:3, CY[I] :10:3); End; writeln(out); {Kekangan titik kumpul} writeln lout,' Kekangan Titik' I; writeln (out,' Titik JRl JR2 JR3' I: readln Idt I ; for J:=l to ND do begin JRL[J] 0; {Inisialisai larik kekangan} end;

for J:=l to NRJ do Begin readln (dt,K, JRL[3*K-2], JRL[3*K-l], JRL[3*K] I; writeln (out,K:3, JRL[3*K-2] :9, JRL[3*K-l] :8, JRL[3*K] :8); End; {Indeks Perpindahan Titik Kumpul} N1 := 0; {Inisialisasi} for J := 1 to ND do Begin N1 := N1 + JRL[J]; if JRL[J] > 0 then ID[J] N + Nl else ID[J] J - N1; End; close(dt); END;


ex

CY' I;

Jika program dieksekusi maka hasilnya adalah :

Contoh: File input: dt struk.txt ~~cameterStruktur

70000000

5

2

3 4

0.02 0.02 0.02

0.003 0.003 0.003

1

1

1

1

1

0

7

4

~:ordinatTitikKumpu1

0. 0

0. 0

3. 0 9. 0

4. 0 5. 0

11.0 1.0 =:·.:'oMember I E1emen) 1 2 2

3 :-:~

'
dt load.txt ~Dan

1

-=oan joint 0.0 100.0 ~ban ben tang 0.0

-100.0 200.0 120.0

0.0 -150.0 100.0

0.0

120.0

-100.0

Portal Bidang

139

File output report.txt Struktur nomor 3 Portal Bidang Jumlah sistem pembebanan = 1 Parameter Struktur

M

N

NJ

3

7

4

NRJ

E

2

70000000.00

Koordinat Titik Kumpul

Titik

y

X

0.000 3.000 9.000 11.000

1 2 4

0.000 4.000 5.000 .000

Informasi Elemen

E1emen

JJ

1 2 3

1

AX 0.020 0.020 0.020

2

4

3

Kekangan Titik Titik JR1 1 4

JK 2

1

ZI 0.003 0.003 0.003

EL 5.000 6.083 4.472

ex 0.600 0.986 0.447

CY 0.800 0.164 -0.894

JR3 1

JR2 1

Jumlah Pembebanan NLJ NLM 2 1

Beban di Titik Kumpul Titik kumpul AJ1 0. 00 2 3 100.00

AJ2 -100.00 200.00

AJ3 0.00 -150.00

Gaya Ujung Elemen Terkekang Penuh Akibat Beban Bentang Elemen AML1 AML2 AML3 AML4 AML5 0.00 120.00 100.00 0.00 120.00 Perpindahan Titik Kumpul DJ1 DJ2 Titik O.OOOE+OO O.OOOE+OO 1 7.368E-03 -5.192E-03 2 6.410E-03 3.421E-03 O.OOOE+OO O.OOOE+OO Aksi Ujung Elemen El em en AM1 AM2 -74.81 294.90 -108.46 -110.58 -60.37 42.70

AML6 -100.00

DJ3 O.OOOE+OO -1.335E-04 -2.685E-04 -2.302E-03

AM3 542.86 -331.65 190.97

AM4 74.81 108.46 60.37

AM5 -54.90 110.58 -42.70

AM6 331.65 -340.97 -0.00

Reaksi Peletakan

Titik Kumpul

Joint

4

AR1 -184.81 -11.19

AR2 45.10 -73.10

AR3 442.86 0.00


2.12

Soai-Soal

1. Turunkan matriks kekakuan [K]s untuk balok di bawah ini : F2. ~2

F1

F5. ~5

~=-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. T.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-= F,&~

~,

F3.

~3

21

F4.

~4

I

//2

//2

Bandingkan dengan [K]s bila degree of freedom (DOF) nya ditambah di tengah bentang sehingga menjadi 9 DOF ?

F,

A, ~;3·-~3mI

F5. ~5

2-1-- - - -

/2

Fa. ~s

Le~~'- -,-- - F~ A~:;.. A, F,

~F6.~6 I<

//2

>I

Sistem struktur bidang sepet1i berikut menerima beban luar seperti tergambar.

2 kN/m

2 kN/m

A

D

4m

14 m

4m

E = 20000 MPa

Portal Bidang

141

Pertanyaan : a. b. c. d. e. f.

Tentukan DOF sistem struktur Rakit matriks kekakuan struktur [K]s Rakit vektor gaya {P}s dengan kombinasi beban 1.4 DL dan 1.2 DL + 1.6 LL. Tentukan perpindahan sistem struktur {X}s Tentukan gaya-gaya dalam sistem struktur Gambar garis elastis struktur dan diagram gaya-gaya dalam

3.

Diketahui suatu sistem struktur portal bidang penampung air seperti tergambar, i\

a.

D

b.

c. d.

41

e. f. u ,.

1..

4.

"

c

B

6m

•\•

Tentukan DOF sistem struktur. Rakit matriks kekakuan elemen [S]m & [k]rn Rakit [K]s Rakit vektor gaya {P}sjika air yang membebani dalam keadaan penuh Tentukan perpindahan si stem struktur (X }s Tentukan gaya-gaya dalam sistem struktur Gambar garis elastis struktur dan diagram gaya-gaya dalam

•I

6m

Diketahui sistcm portal bidang seperti gambar mempunyai parameter sebagai berikut: E = 200000 MPa. Protil elemen : 1WF 350.350.12.9. Apabila te1:jadi se/1/ement pada titik E sebesar 50 cm, tentukan dan gambar bidang gaya-gaya dalam struktur? WLL

= 1QQ kg/cm

E'

20

rn

50 cm

~-t-15 m 11>1


::>.

Tentukan dari sistem gabungan struktur berikut ini : a. b. c.

200/350

c

D

4m

d. Sm

e. f.

Tentukan DOF sistem struktur Rakit matriks kekakuan struktur [K]s Rakit vektor gaya {P}s dengan kombinasi beban 1.4 DL dan 1.2 DL + 1.6 LL. Tentukan perpindahan sistem struktur {X }s Tentukan gaya-gaya dalam sistem struktur Gambar bidang elastis struktur dan diagram gaya-gaya dalam 20000 MPa

Ebcton =

7m

A

Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. b. Tentukan matriks kekakuan lokal [S]. matriks transformasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen I & 2. c. Rakit matriks kekakuan global struktur [K]s d. Rakit matriks gay a nodal struktur [ P} s . e. Hitung solusi perpindahan struktur dari huhungan [P)s = [K]s [X} f. Hitung kemhali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: [P}L. g. Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi h. Gambarkan bidang gaya dalam struktur. 15 ton

Elemen CD: Et At

2 x 10'> kg/m 2 = 0.25 nY~ 4 = 5.208 x 1o·' m

=

It Elemen ell : 2 E2 = 2 x IOto kg/m A2 12

=2.5xlo·'~n 2

=

5.208 x 1o· 7 m 4

L

20 ton/m 4m

sendi

~

Portal Bidang

143

7. Balok diatas tiga tumpuan seperti gambar berikut menerima beban merata q = 12 N/m. q

= 12 kN/m

sendi

jepit

z

Dimensi balok adalah 300/550 [satuan mm]. Modulus elastisitas E = 20,000 MPa, angka Poisson

1.> =

0.25.

Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. b. c. d. e. f. g. h. 8.

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S], matriks transformasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen. Rakit matriks kekakuan global struktur [K]s Rakit matriks gaya nodal struktur {P}s. Hitung solusi perpindahan struktur dari hubungan {P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: {Ph. Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur. Pada diagram struktur dibawah ini, simpangan maksimum yang diperkenankan 5" = (1 0500 I 360) mm. 7

8

H

450/1000

5500 450/1000 kolom bawah ~-3oQi35o

4500 mm

___ _

12500 mm


\1odulus elastisitas E = 20,000 MPa, angka Poisson u = 0.25. , Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. b. c. 9.

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam si stem koord in at global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S], matriks transformasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada si stem global struktur [k] untuk elemen. Tentukan berapa nilai gaya luar H akibat perpindahan yang terjadi. Portal dengan konfigurasi beban vertikal berikut ini : 3.5 t/m

3.5m

4

300/300

300/850

5

6

300/650

7

5m 300/300

450/450

450/450

3

2

3m

E .1han

=

2. I

X

Sm

5m

I o·' kg/cm)

P~rtanyaan ..1.

.., ~.

• _

'

: Berapa derajat kebebasan struktur? Hitung sifat-sifat penampang elemen Rakit matrik kekakuan elemen [S] Jabarkan matrik transformasi [Th Rakit matrik kekakuan clemen [k] 111 Rakit matrik kekakuan struktur [K ]s Jabarkan vektor beban {P}s Hitung solusi perpindahan struktur dari hubungan {P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: {P)E. Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur. 111

Portal Bidang

145

I 0. Portal bidang dengan beban q" dan P11 seperti tergambar. Balok I dan 2 dengan ukuran 250/350, dan balok 3 dan 4 ukuran 250/500. Semua perletakan ada!ah jepit. Modulus Elastisitas bahan Ea= 20,000.00 MPa.

r

- ------5.5 m------- - - - - - - 1

r

3.6 m I

I

----7.60 m - - - - - - - -

Pertanyaan : a. Berapa derajat kebebasan struktur? Gambar pasangan gaya/defonnasinya pada sistem. b. Hitung sifat-sifat penampang elemen. c. Tetapkan matrik kekakuan elemen [S] 1, [Sb sampai [S]4. d. Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k) 1, [k)I, sampai [k] 4 • e. Rakit matrik kekakuan struktur [K], f. Tentukan vektor beban {P} g. Hitung [K]s{X}s = {P}s untuk mendapatkan deformasi (X}sh. Gambar garis elastis struktur. 1. Turunkan persamaan bidang momen, lintang dan normal setiap elemen. J. Gambar diagram gaya-gaya dalam. k. Bila lendutan izin horizontal = 12 mm, apakah sistem struktur memenuhi syarat kekakuan? 11. Bila elemen balok seperti tergambar mempunyai tiga derajat kebebasan turunkan matrik kekakuan [S]m elemen.

__ ._x, u E, I, I, A


~:, ~ 2 ,

dan

~1 ,

3

Rangka Bidang

Sistem struktur Rangka Bidang merupakan struktur kerangka yang dibuat dengan menyambungkan elemen struktur yang lurus dengan sambungan sendi dikedua ujungnya. Geometri rangka yang paling seder-hana adalah elemen yang ujungnya mempunyai :-erletakan sendi dan rol (Gambar 3 .I). Perletakan sendi dan rol pad a elemen merupakan . . ekang-an minimum yang diperlukan p ::'agi keseimbangan gaya akibat bekerJn:a beban luar. \\alaupun variasi beban yang bekerja :>Jda sistem dapat berupa beban ben:Jng dan beban di titik kumpul, .:nggapan beban ket:ja dalam analisis -angka adalah bcban yang se/alu be._er~ja di titik kumpul. lni berarti beban ~entang perlu di konversikandulu hlam heban kerja terpusat ekivalen di : tik kumpul. Pada geometri rangka -.illg

paling

sederhana

sendi Gambar 3.1 Bentuk sistem rangka paling sederhana

seperti

Jam bar 3 .I, hanya ad a sa tu derajat kebebasan, sehingga hanya ad a sa tu arah be ban yang ..::q}at dike~jakan. :ZJngka dasar ini dapat dikembangkan menjadi rangka bidang dengan dua cara: :;enambahan elemen seperti Gambar 3 .2a dengan tambahan perletakan rol pad a ujung elemen :::mhahan; sehingga tetap te~jaga syarat stabilitas sistem. '·knambah dua elemen yang saling berhubungan pada satu titik kumpul, hal mana stabilitas - ,tem tetap tet:jaga (Gambar 3.2b). '\.edua konsep yang dijela:skan dapat digunakan dalam merancang sistem struktur rangka - ,Jang. Konfigurasi sistem rangka bidang yang umum adalah susunan satuan segi-tiga = emen seperti Gambar 3.2b. ~lengan bentuk dasar rangka yang mempunyai satu elemen, dua titik kumpul dan tiga gaya ·::Jh.si. dipenuhi hubungan:

JE

=

2*JTK- JR

(3 - I)

-.1! mana: :::_ =

jumlah total elemen

~K

= jumlah total titik kumpul, tennasuk yang mcnjadi perletakan

Rangka Bidang

147

JR = jumlah total gaya reaksi lndikasi terpenuhinya stabilitas sistem rangka berdasarkan persamaan (3 -I) adalah : JE :::: 2 * JTK- JR

(3 - 2)

Gambar 3.2a Sistem rangka 1 sambungan sendi

elemen tambahan c:

(1J

.c:

(1J

.0

E

.l!l

c: Q)

E Q) Q)

Gar.~bar

3.2b Sistem rangka 2


3.1 Bentuk Struktur Rangka Bidang Secara skematik beberapa bentuk rangka bidang yang dirancang berdasarkan sifat beban kerja adalah: (Gambar 3.l.la)

Gambar 3.1.1a

Rangka atap

Pada rangka atap (Gambar 3 .I. I a), beban yang bekerja se lain berat sendiri adalah be ban '~•mponen atap, seperti penutup atap, kaso-kaso, gordin dan tekanan angin. Be ban hid up pad a menara jaringan listrik (Gambar 3 .I. I b) berupa berat kabel; sedangkan di -:1enara komunikasi berupa beban antena; pada menara air, berat air. Bagi jembatan (Gambar :. l . I b) adalah be rat kendaraan dan pejalan kaki.

Gambar 3.1. '! b Menara Rangka Bidang

149

Gambar 3.1.1 c Jembatan Rangka

3.2. Beban Luar Pada sistem struktur rangka, beban luar SELALU dikonversikan menjadi beban ekivalen terpusat yang bekerja di titik-titik kumpul. Berat sendiri elemen yang bekeija merata sepanjang bentang diperhitungkan sebagai gaya terpusat ekivalen di kedua ujung elemen (Gambar 3.2.1). Juga seperti beban meratajembatan rangka pada Gambar 3.2.la, besarnya beban yang digunakan dalam analisis struktur dinyatakan oleh gaya/beban terpusat di titiktitik kumpul (Gambar 3.2.1 b). Dengan melakukan konversi beban bentang menjadi gaya terpusat ekivalen di titik kumpul, pemeriksaan kekuatan lentur elemen akibat beban bentang dilakukan secara terpisah.

Gambar 3.2.1 a Beban me rata pad a bentang

Gambar 3.2.1 b Be ban terpusat ekivalen

Gambar 3.2.2a Beban merata pada bentang elemen

D 150 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Anafisis Struktur

Gambar 3.2.2b Beban ekivalen di titik kumpul

3.3 Derajat Kebebasan Struktur : :-retjat kcbebasan sistim struktur rangka bidang ditandai dengan jumlah den~jat kebebasan ~.k kumpul bebas. Mengingat sifat sambungan berupa sendi disetiap titik kumpul tanpa __.Jnya kckangan. maka rotasi titik tidak mcmberikan pengaruh terhadap tanggap e!cmen - Jak menimbulkan gaya dalam). Hanya gerakan translasi titik kumpul yang merupakan ~;:r-~ljat kebebasan. Gerakan translasi ini umumnya diuraikan dalam komponen koordinat ~Jl1HI. Dcngan sifat tumpuan sendi atau rol pada sistem struktur. jumlah total derajat · "l~chasan rangka bidang dapat ditetapkan dari : '. \

=

2*JTK- 2*NS -NR

.: l m ana : '.\ = jumlah : K = jumlah ·." jumlah ·• R = jumlah

(3 - 3)

dcrajat kebcbasan struktur total titik kumpul. termasuk yang menjadi perletakan total perletakan sendi total pcrletakan rol

• .:,la contoh rangka bidang scpcrti Gambar 3.3.1 a. terdapat 19 clemen, 11 titik kumpul _:::ngan dua titik kumpul scbagai perletakan sendi. Dcngan adanya dua komponen translasi di
h:j [XJ

=

{PJ

(3 - 4a)

Rangka Bidang

151

6

Gambar 3.3.1 a Penomoran elemen dan titik kumpul

7~-':~·9···········L~:,::.'.'.........L~~3: .'.' L.~:::.:s....... .........~· · · · ·. .

/.... .............

... :

. . . .-·

••. X2 .P 2

/

· · ·. .t__./·

.........·~· · · . .

•••

x,,P,

•••••••

X,,P, /

~

\ .... ..../

/ . .-;"~· · · · ·. .

•.• Xc,P6 / x

~

,p

\ •••• ..../

.........~·;·.......

•• X8 .Pe .: Xs.Ps

.f./:'

\.·.

,...................... :L..., .............. :~ .............. ~L......,................ 3

2

3

Lx,P,,

3

4

Gambar 3.3.1 b Jumlah derajat kebebasan rangka

. x,p,

\ ..•••

111 . .............. :

5 6

Matrik I K[ menyatakan gabungan unsur kekakuan elemen yang membentuk si stem struktur. Disebut matrik kekakuan struktur. Vektor {X} menyatakan derajat kebebasan sistem struktur yang berpasangan dengan vektor gaya ekivalen {P}. Pad a si stem struktur rangka seperti Gambar 3.3. I. persamaan (3 -4) dalam tampi Ian penuh :

Untuk merakit matrik [K] terlebih dahulu ditinjau derajat kebebasan unsur elemen batang.


3.4 Matrik Kekakuan Elemen [S]M \ lengingat clemen batang rangka hanya memberi tanggap tarik a tau tekan saja, m aka bagi ~uatu elemen yang menerima gay a aksial N (Gambar 3 .4.1). berlaku rum us l looke

c a N EA s = - = - = - - a tau N = - - e

E

I

(3 - 5)

t

EA

Meninjau

elemen

batang dalam

sistem

koordinat

elemen

1

(Gambar 3.4.2), maka dengan bekerjanya gaya F?, Fi di kedua

L, A

ujung elemen. hubungan perpindahan gaya adalah :

T r·······

EA

I

f

EA

EA

,

~ 2 dengan

kedua

--~~---~,

e j_

' 1; ~-······~

EA

~1

~

(3- 6)

--~~+-~2 (: (

Dengan mengganti indcks derajat kebebasan elemen dan menambah vektor gaya scrta perpindahan arah komponen koordinat y (Gambar 2.4.3b), hubungan gaya dan perpindahan dinyatakan sebagai :

N 3ambar 3.4.1 Elemen tarik

EA

0 EA (

0

0 0 0 0

EA (:

0 EA f

0

0

L'. I

Fl

0

~2

F,

~,

F,

~~

F4

0 0

atau[sl,{~L ={FL

(3- 7)

X X

7

y

k

F1, l'l1

Gambar 3.4.2a Gaya aksial elemen batang pada sistem koordinat lokal/elemen

Gambar 3.4.2b Gaya ujung elemen batang pada sistem koordinat lokal/elemen

Rangka Bidang

153

3.5 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur Sama seperti halnya pada analisis p011al, pcrakitan matrik [KJ dari matrik elemcn [S] memerlukan proses transformasi koordinat. Mcngambil contoh jembatan rangka pada Gambar 3.3.1. maka untuk perakitan unsur [K] di titik kumpul 8. sistcm koordinat elemcn batang 8, 9. 16 dan 17 yang menyatakan hubungan [S]{C.}=[F} harus ditransfonnasikan ke dalam sistem koordinat strukturlglobal. Gambar 3.5.1 menunjukkan sistcm koordinat elemen terhadap sistem koordinat struktur/global bagi elemen yang bertemu di titik kumpul 8. Derajat kebebasan struktur pada titik kumpul 8 dinyatakan dengan XII dan xl2 yang berpasangan dengan gaya ekivalen P 11 dan P 12 • 1-lubungan antara vektor perpindahan dan gaya ini dinyatakan dengan pcrakitan unsur kekakuan elemcn yang mcmbentuk titik kumpul 8. y

y

t

y

@

~

t

@

YJv~\

-X

X

~------------------------------------~x

Gambar 3.5.2 Konfigurasi elemen di titik kumpul 8

Jika ditinjau secara umum posisi elemen dengan sudut 0 terhadap koordinat struktur/global (Gambar 3.5 .2a). maka mcngubah de raj at kebebasan elemen

Lx,

koordinat struktur menjadi

t'

t-.2

l~'

6-1

cos8

sin 8

0

6, 6, L\,

J berorientasi

X, X, X,j (Gambar 3.5.2b) adalah: 0

XI

cos8

0

0

0

0

cosG

sin8

x, x,

0

0

-sin 8

cos8

x"

sinG

LL1,

atau {6.} = [T]{X}


(3- 8)

y

�------� X

Derajat kebebasan elemen terhadap koordinat batang

Gambar 3.5.2a

y

y

P,, X,

�-------. Gambar 3.5.2b

F !""

1

'

)·

F r: I

!

=

r l

Derajat kebebasan elemen terhadap koordinat struktur

sin 0

0

0

cos 0

()

()

0

0

cos 8

sin 8

()

0

sin 8

cos 0

cos e -Sill

0

X

r r· P,

atau {F}

=

[T]{ P].

(3- 9)

P,

'.Lnrik [T] didefinisikan scbagai matrik transformasi koordinat. •.:.:ngisikan ketentuan kedua persamaan (3-8) dan (3 - 9 ) ke dalam persamaan (3-7):

Rangka Bidang

155

CD @ @

CD Q

@

EA

EA

0

0 f

G

0

0

EA

0

0

0

(

0

EA

G

l'l'

0

rFI

~r'

112

I

Fo -'

L13

0

(

0

l

lL1c~

Fe~

0

akan diperoleh matrik kekakuan elemcn [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut : EA

-

()

!

0

! ()

()

FA

-·

LA

·--

-

()

()

()

F;\

()

sin()

()

()

-sin 0

cosO

()

0

0

I ()

cosH

()

()

cos()

sin 0

()

()

-sin 0

cos()

cosO

sin 0

0

()

-sin ll

cosO

()

()

()

()

cos()

()

()

- sin 0

XI

xl x4

sin 0 cosO

l

I'I

p,

j4 1', p

()

()

(3 - I 0)

Dalamnotasi matrik: [S]m [T]m(X}m

=

[T]m(P}m

Mengalikan persamaan (2- I 0) dengan matrik invers

[T]

1 :

[Tj -I [S )[T){X} =[Tj· 1[T){P} [T) [S)[Tj(X}= (P}

(3- 11)

1

Dapat dibuktikan matrik invers

(T]T

=

sehingga

JT]·

1

juga merupakan matrik transpose

eo se

-sine

0

0

sine

eo se

0

0

0

0

eo sO -sinG

0

0

sinG

['r]'[sfr]{x}={P} (s ](T] adalah

(3-12)

eo se

[·rJ' [s ][r ]{x} = [T ]- 1 [s ][T]{x}

Perkalian [Tr

[Tr:

(3- 13)

matrik n*n, dengan n mcrupakan der~at kebebasan elemen yang

ditinj{ILI terhadap si stem Kioordln~t global/struktur rangka. Disebut [T kekakuan elemen terhadap, ,;;istem: sumbu struktur.


J' [s ][T] = [ k] m,

matrik

3.6 Matrik Kekakuan Struktur [K]s :Jcrl-.alian matrik ·1~!trik

[T]T[s][T] mcrupakan

transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi

kckakuan elemen pada sistem koordinat struktur. Dinamakan hasil perkalian sebagai

"atrik kckakuan elemen [k]m

=

[T]T[S][T].

Hasil pcrkalian unsur ketiga matrik mcrupakan

.:hur matrik lkJm- seperti dijclaskan pada Tabel3.6.1. lndeks dalam kotak persegi I, 2, 3, 4,

·:cnyatakan besaran arah positif gaya dan perpindahan kedua ujung elemen dalam sistem · •,1rdinat strukturlglobal.

.

y

-.,..X p 3' 3

. -- . ----- ---- ..,. X

x2.~ Gambar 3.6.1 Perpindahan dan gaya ekivalen elemen terhadap sistem koordinat struktur/global

ITl

ITl

~

cos 2 8

sinG cosG

~ EA sin8 cos8 [k]!ll = @] L - cos 2 e

@]

- sinEl cos8

. ')8

Sll1 ~

- sin8 cos8 . 2o

-Sill

@] -

')

cos~o

-sine cos8 2

@] - sin8 cos8 . ') 8 - sm·· (3-14)

cos El

sine cos8

sin8 cosO

Sll1 ~

. ')8

Tabel 3.6.1 Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

Rangka Bidang

157

Matrik kekakuan elemen [k ] 11, menjadi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [K]. Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur di titik kumpul 8 pada contoh rangka jembatan, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan e lemen [k] dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditctapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemcn. Untuk elcmen 8 dan 16 indeks unsur elcmcn 3 dan 4 sama dengan indeks derajat kebebasan I I dan 12; scdangkan bagi clemen 9 dan 17 indeks unsur elcmcn I, 2, dan sama dengan indeks dcrc~jat kebebasan struktur 11 dan 12 (Gambar 3.5.1). Persamaan (3-15) mcnjclaskan posisi indeks elemcn dengan indcks struktur di titik kumpul. 111

6 888 6 [kt, =

[~]

~ 0

8 D 8 [4]

[2]

0 D

[4]

kll

kl2

kl3

kl4

k21

kn

k23

k24

+ - - - indeks derajat kebebasan struktur + - - - indeks derajat kebebasan elemen

(3 - 15a) k31

kl2

k 33

k.l4

k41

k42

k43

k44

lndeks derajat kebebasan elemen bagi setiap elemen selalu sama. disesuaikan dengan pcngambilan sistem koordinal elemen.

A 8

[k]17-

8 8

&8

[2]

0 D [4]

[1]

kll

kl2

kl3

kl4

0

k21

k22

k2.1

k21

8 D 8 [4]

indeks derajat kebebasan struktur indeks derajat kebebasan elemen

(3-15b) k31

k,2

k\3

k,4

k41

k42

k43

k-14


~~ - - - - indeksderajat kebebasan struktur

6 6 [1]

0

[2] ~

kll

kl2

kll

kl4

& 0

k21

k22

k23

k 24

6

[2]

k,l

k,2

k ,,

k,4

~ ~

k41

k12

kn

k41

6 [kl =

~

(3 - 15c)

&&

8 8 [1]

8 [1] 0 [1-.l = 6 6 [3] 6 ~

- - - - indeks derajat kebebasan elemen

kll

0k, [!J k, k,,

k,

~

- - - - indeks derajat kebebasan struktur - - - - indeks derajat kebebasan elemen

k,.

k,,

k,. (3- 15d)

k,,

k"

k,.

k,.

k"'

k.,

k.,

k ••

Berdasarkan persamaan (3-15) unsur K;1 bagi derajat kebebasan di titik kumpul 8 adalah : t·

(kll> k[) k8 k9 \ -,, + 'tt + "+ 'tt} Kt2-t2 17 11 = (k--'"' + k-12}\ K t2-tt = Ktt-t2·

1'\.tt-tt = L'

1'\.;t-12

(k[(J kl7 k8 k9 ) 41 + 'n + 44 + 'n ;

=

'-.ilai ini mcrupakan unsur dcri matrik struktur [K]. sehingga persamaan (2-4) menjadi: •\

b. K, 2

K,

K,,,

K,_,o

K,_n

K,_,2

JL K,.,6

K,,

Kn K33

10 K,,_w

12_

K,2-1o

K

11-11

K 12-11

-=

(f.. i",,

-=-

1 "

~ "I" + "~ 11

(k q + k I' I,

Kn_,,

JJ

lli 17

1' < ~:·

KlG-11

+ k ') )

K,,_,2

k l-l + ""I' )

K,2-12

''

f-

~

11

q

=-

H

,.q . , I'

I!

k I<> + k I, .,

I

k

~

l-l

I

I

kn .,

)

K1110

X,

r P,

' x,

'P,

x3 x,

P, P,

K,,.3

K,,,7

x,

P,

K12-13

K,2-17

x,

P,

Kn-·1

x,

Pn

x"

Ki7-17

lx,

:::I

K1313

K,6-16

K,.2,

li

Rangka Bidang

159

3. 7 Vektor Be ban Ekivalen {P} X

Fo3 y

Fo4

(a) Pola pembebanan bentang pada elemen dan gaya ujung

(b) Gaya ujung ekivalen pada sistem koordinat struktur/global

Gambar 3.7.1 Gaya ujung elemen

Mempcrhatikan Gambar 3.7.1a. besarnya gaya-gaya ujung untuk menghitung gaya ekiva1en di titik kumpu1 di1akukan dcngan prosedur sebagai berikut : Beban bentang dinyatakan sebagai reaksi dua sendi pada kedua ujung e1emen LF01 F02 F03 F04 j. Dengan sudut 0 yang dibentuk e1emen batang i terhadap absis X. besaran gaya ujung elemen LP01 P02 P03 Pn4 dinyatakan dcngan LF01 F02 F03 F04 melalui transfonnasi koordinat (Gambar 3. 7.1 b) :

J

l~ll

eo sO

sinG

0

0

PoJ

Fo2

-sine

eo se

0

0

Po2

sine

POJ

Fo3

0

0

eo se

Fo-1

0

0

-sin El

atau {F0 } Ill

= [T]{P0 }

matrik invers [Tr'

=

111

.

[TJ maka : -sine

Po2

sine

eo se

Po3 P(q

0

0

()

0

11 } ,

Po-1

Mcngalikan kedua suku dengan matrik invcrs [Tr' dan mengingat . . ___

eo sO

{P

(3 - 16)

1 •

PoJ

atau

eo sO

J

0

FoJ

0

Fo2

eo se

-sine

FOJ

sinG

eo se

F(q

() ()

(3- 17)

= [T]'{Fo},

Dengan menetapkan vektor { P0 } 111 bagi setiap clemen berdasarkan konfigurasi bcban luar yang beke~ja. unsur vektor { P0 } , digunakan mendapatkan matrik gaya ckivalen [ P} si stem struktur. Apabila ditetapkan [P}E sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban iuar yang beke1ja ditengah ben tang. dan matrik gaya ( P} .1 sebagai akibat bekcrjanya be ban luar di titik kumpul. maka: {P}={P}E+{PL (3-18) 160 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Gambar 3.7.2 Gaya ekiva\en terpusat di titik kumpul 8

Scbagai pcnjelasan mendapatkan gaya ekivalen titik kumpul, ditinjau titik kumpul 8 bertemunya elcmen 16, 17, 8. dan 9 (Gambar 2.8.2). Unsur {P}, terdiri dari gaya yang

L

d iperolch akibat berat sendiri (be ban ben tang) masing-masing elemen, sedangkan unsur {P ciipcroleh dari beban terpusat di titik kumpul 8, seperti beban yang disalurkan oleh gelegar melintang akibat beban bergerakjalan.

3.8 Solusi [k]{x} = {p} ...;eperti dcngan pcnyelesaian persamaan I KI{X} = {P} untuk matrik {X} pada portaL ;'en:elesaian persamaan linear simultan [KI{XJ = {P} rangka dapat mcnggunakan metode jekomposisi LU atau Cholesky menyelesaikan parameter defonnasi {X}.

3.9 Gaya-gaya dalam elemen ~lasil solusi (X l digunakanuntuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam ujung clemen dan

-;::Jksi perlctakan. Unsur matrik (X) merupakan data bagi pcrhitungan. Apabila ditinjau ~:..:men 8 pada Gambar 3.8.1. maka kedua ujung clcmen yang mempunyai dcrajat kebcbasan . ke lJC basan stru k·tur acIa Ia I1 : Lxc 1 Xc 2 xc 1 Xc -1 jT = LX"s1 Xs· 2 X"s 11 : Jng sama cj engan cl crapt .\

'

11

cJ

EA Fl

:J;::ngan hubungan

F2

L 0

F3

EA

F-l

L 0

0 0 0 ()

EA L 0

EA L

0

0 0 0

~~i'\2

lA'

(3 - 19)

L',.j

0

Rangka Bidang

161

Gambar 3.9.1

dan

Korelasi vektor perpindahan elemen 8 dengan derajat kebebasan struktur

,;\,I

cos8

-sine

0

xeI = xsI

,0,0

sin8

cos8

0

X~= X~

,;\,)

0

0

cos8

0

0

sin8

,0,4

8

-SL 1xe

3

=

11

cos8 J X~= X~::

maka besarnya gaya aksial elemen adalah : EA EA

m~

L ()

EA

0

0

0 ()

I ()

()

L

EA

-

() ()

L

0

()

eo sO

-si nO

()

()

si nO

costl

0

()

0

0

0

0

eo sO si nO

(3- 20)

xs

-si nO eo sO

0

8

r-x:

X~= X~ e

(3 - 21)

S

X, =XII x~ =

x;,

X

3.10 Contoh Analisis Rangka Bidang Sebagai contoh bagi anal is is struktur rangka. dari konfigurasi rangka bidang menara atr tergambar, ditetapkan data elemen struktur seperti pada Gambar 3.9.1 berikut. a. Profil baja yang digunakan semuanya sama yaitu profil rangkap L 60.60.5. b. Diameter tangki 3 meter dengan tcbal dinding pelat baja ~ 3 mm. c. Beban struktur seperti tcrgambar. d. Modulus elastisitas baja e. E, = 2.1 * 10(' kg/cm 2 . 162 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

Di lakukan perhitungan untuk hal-hal sebagai berikut : 1. Penentuan luas penampang protil dan bentang clemen. Penentuan derajat kebebasan struktur. .3. Merakit matriks kekakuan (S)m setiap elemen terhadap sumbu lokal/elemen -L Merakit matriks kekakuan [k]m setiap elemen terhadap sumbu global ). Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m. 6. Merakit vektor beban luar struktur (P}s dan beban-beban titik kumpul struktur. Meyelesaikan persamaan matriks [K]s *~X ~={PL untuk mendapatkan perpindahan titik8.

titik kumpul. Menggambarkan garis elastis struktur (perpindahan titik-titik kumpul terhadap pos1s1

9.

semula). Memeriksa lendutan yang

te~jadi

terhadap syarat maksimum peraturan yaitu lendutan izin

= bentang/360 = 22 mm. : 0. Menyelesaikan besarnya gaya-gaya dalam setiap elemen. : 1. Memeriksa tegangan yang bekcrja pada penampang elemen ( Cher a) setiap elernen 1

terhadap syarat tegangan izin Clmax = 1400 kg/cm

2

.

3.10.1 Penentuan luas penampang profil dan bentang elemen

Dengan menggunakan protil baja = 2*5.82 = 11.64 cm 2 •

JL60.60.5 untuk seluruh struktur, maka luas penampang A

Gaya ekivalen dititik, penomoran titik kumpul dan elemen: 3entang elemen :

Ekmcn I, 2, 5, 6. 12 : I= 4.0 m: Elemen 3, 4. 9. 10 =

I -*3.0= 1.5m: 2

Elemen 7, 11, 13 = JL5 2 +4 2 =4.272m 3.10.2 Penentuan Derajat Kebebasan (DOF) Struktur

\tenghitung derajat kebebasan struktur DOF rangka bidang: DOF= 2NJ- 2NS ~ NR: Jada contoh NJ= 8: NS = 2: NR = 0, sehingga DOF = 2.8-2.2 -0 = 12. Secara visual derajat -.-:bebasan ini dapat ditetapkan dari 2*6 derajat kebcbasan titik kumpul yang bebas, hal mana :.-ada masing-masing titik kumpul bebas terdapat dua derajat kebebasan. Vektor yang ·1enyatakan pasangan demjat kebebasan struktur dan gaya ekivalen titik kumpul seperti pada ~am bar 3.1 0.2 : Rangka Bidang

163

2.5m

["

WR/4

I

:

_L 1111

0.1 WR

•

3

WR/4

5

8

0

2.8m

0

0

4m

Gambar 3.9.1 Rangka bidang illenara air, gaya luar terpusat, penomoran elemen dan titik kumpul

Tabel 3.1 0.1 Sifat-sifat El em en

Ben tang

I

a!e::~en A

L

[m]

[m]

0

si nO

eo sO

EA

--*10

.

1 f-------+---1-.-_2___ --o:0-o-u-s-~-t---.-1-._o_J ___g_o-:-:,--:----1----t---':::.;-_- - ---1 06 .3

o.oo11s4

4.0

go'·

3.. 4

o.oo11s•J

1.5

o'

4..5

0.001164

1.5

0'

0. 16

5 .. 6

0.001164

4.0

90

0.06

6 .. 7

.00ll64

4.D

90

0.06

0. 001164 0.001164

4. 21 4.n

110. 56' 69.44'

0. 06

f------+--2:_;·.:..;R_ _ I 0 . 0 'Jl16 •l 10 R.6 ___-Lo.oous4

l. 5

0'

0 . 16

1.s

o'

!------+--:.:.:..·8:____+ LR

f-----+---!----1~1---+---2-'_~_4

12

8 .. 4

o o

o.s1

o.1s

0.06

o.1s -~o-_~o~0-11-6~4~+--4-.2-7~ +-~6~9-_~4~4'c,-L----f--~-+--~o-_-o~s-_, 0.00116,_;

f---1_-,--f---r-'-_-'4:.__--i--o-_-o!ill s <1

4.0 4 . 2'

11

90'

0.06

o . ss-

o . o6

L----~--~~-L--~--L---


P6,X6

P4,X4

0

P3,X3

Ps,Xs

0

4

3

Ps,Xs

P7,X7 5

0

0 P12,X12

P2,X2

Pw,Xw

0

P1,X1

Pg,Xg

0

Gambar 3.10.2 lndeks derajat i<.ebebasan DOF struktur

3.10.3 Matrik kckakuan ]S]m elemcn

:1ubungan gaya ekivalen kedua ujung elemen dengan derajat kebebasan dinyatakan dengan ·:atrik kekakuan elemen. X

FI

F.-

EA L 0

F~

EA

F-1

L 0

.:::au ( F} 111

EA

0

L 0

0

EA

0

L 0

0

= [ S] 111

{

0

[1.1

()

;\2

0 0

[1.,_, [1.4

y

\F'''

i\ )m Gamtar 3:10.3 lndeks derajat kebebasan DOF elemen

Rangka Bidang

165

EA

-

Matrik kekakuan elemen

[s ]

L 0

=

111

EA L 0

0 0 0 0

EA L 0

EA L 0

0 0 0 0

bagi setiap data elemen seperti pad a Tabel 3 .I 0.1 dapat dirakit sebagai berikut : 0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

0

0

0

0

0

8

[S]1=I0 *

0.163

0

-0.163

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

0

0

8

[Sb=l0 *

l

0 0611

0 8 lS],=I0 * . -0.0611 0

8

[S]=I0 * 7

.ll

s

0

0 0

-0.0572

0

0.0572

0 0

0

0

0

0

0

0

0.163

0

0 0.163

0

0

0

r

0 0572 0

0 -0.0572 0 0

-0.0572

0

0.0572

0

0

0

I

~

0 -0.0572

00572

,=J08* 0 [ ]I, -0.0572 .

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

0

0

0 -0.163

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

0

0

r

0 0572 0

-0.0572 0

8

[SJ1o=IO *

~

0 -0.0611 0 0611

0

8

r

0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

0

0 -0.0572 0 0 0 0.0572 0

0

0 -0.163

0 163

0 -0.163

0 0

0 0.163

0

0

0

0.0611 8

[S]12=I0 *

~~

0

0 0.0572

~I

0

0 8 [S] 6 =10 * -0.0611

[Sh=l 0 *

ol

0.163

r

0

0

0 -0.163

-0.0611

8

0 0572 0

0.163

[S] =10 8 *

0.0611

0 -0.0572

r

[S] 9 = I 0 8 *

0

0

8

[S]2=10 *

[S]4=10 *

~

0 -0.0611 0 0

0.0611

166 Amrinsyah Nasution, Metode Metrik 1\ekakuan Ana!isis Struktur

~ ~1

~

0 -0.0611 0 0

0

0.0611

0

0.0611

0

0

0

0

0

0

0

\1eninjau derajat kebasan elemen terhadap sistem koordinat struktur, diperoleh hubungan: X

Gambar 3.10.4 Tranformasi indeks derajat kebebasan DOF elemen terhadap sistem sumbu struktur/global

Fl

eo se

sine

0

0

PI

Fo

-sine

eo se

0

0

F,

0

()

cos8

sin8

F-l

0

0

-si nO

cos El

p2 p3 p4

-"I

cos El

sine

0

()

XI

-"0-

sin El

cos El

0

0

_.._,

0

0

eo se

sine

-"4

0

0

-sine

eo se

x2 x3 x4

atau {F}m = [T] 111 {PLn

atau {L1L1 =[T]m{XL1

Jcngan mengkaji persamaan [S]m{L'.},n = (F}"' yaitu dengan mengganti ".:,n=[T]m (X}mdan {F}m=[T]m (P)mdiperoleh: 1 ': [T]m {X}m = [T]m (P}m. Dikalikan kedua suku dengan invers [Tr m: 1 1 -:-(,n [S]m [T]m {X}m = [Tr m[T]m (P}m dan mengingat [Tr m= [T]"', diperoleh: •.. (X}m = {P} 11 , ; hal mana [k] 111 = [T]m [S]m [T] 11 , disebut matriks kckakuan elemen terhadap - .;nbu global/struktur.

cos8 i

~sin

8

0

-

0

0

cos8

_,Lj

0

0

sin 8

cos8

sin 0

cosO

0

EA L 0

EA

-

L 0

EA

0 0 0 0

L

0

EA

-

L 0

0 0 0 0

cos8 sin 8

sin 8

0

0

cos8

0

0

0

0

cos 8

sin 8

0

0

~sin

8

cos8

F?angka Bidang

167

CD

0

2

cos e

[kL,

EA

0

sin8cos8

sin8cosG

sin

2

2

sine cos e

-sin

2

-sine cos e

-sinGcos8

e

2

-sin8cos8

-cos 0

0

2

-cos e

0

-sin

2

e

cos e

-sin8cos0

sin8cos8

sin G

2

CD 0 0 0

Tabel 3.1 0.2 Parameter unsur matrik [k]m EJm

No. Ujung

L

[m]

(J

si nO

EA* 10' L

cos()

EA . ;

_sln-

0

EA

EA

cos'tl

L

L

-

sin"O *

L cos" (l

1

1 -

2

4. 0

90°

1

2

2 -

3

4.0

90°

1

3

3- 4

1.5

0'

0

4

4 -

',

1. 5

0'

I)

5

')- 6

4.0

90

1

0

0.061

I).

0611

0

0

G

6 -

4.0

90

l

0

0.061

0.0611

0

0

7

7- 8

4.772

l10.'J6

0.94

0.35

0.05/

D.OS02

0.00"11

-0.0188

8

1 - 8

4.272

69.44'

0.91

0.3S

0.057

0.0502

0.0071

O.Olfl8

9

2 -

8

l.'l

0

10

8 -

6

1.5

11

2 - 4

4.272

12

8 - 4

!, . 0

13

6- 4

4.27:?

7

0

0.061

0.0611

0

0

0

0. 611

0.0611

()

0

0.163

0

0.1630

0

0. 163

0

0.1630

0

1

0

1

IJ.163

0

0.1630

0

0

1

0.163

0

0.1630

0

69.44

0.94

0.35

(). 05'1

0.0507

0.007"t

(). 01 88

90

1

0

0.061

0. 06E

()

0

1ltJ.56

0.94

0.35

0.0~7

0.0502

0.007i

-0.0188

Matriks kekakuan [k ]m setiap elemcn : 0

0

c

0

0

0.0611

()

-0.0611

0

0

0

0

()

0.0611

[k]J = lk]c =[k]s =[kl, = [k]12 =!Ox*

0 -0.0611 0.163

0

-0.163

0

0

0

0

0.1630

0

()

0.163 0

~· ~I

168 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Anali~is Struktur

0.0071 [!-..)- =[k]u =10 8 *

1-..J~ =rkltt = 10 *

-0.0188

-0.0071

0.0188

0.0188

0.0572

0.0188

-0.0572

-0.0071

0.0188

0.0071

-0.0188

0.0188

-0.0572

-0.0188

0.0572

0.0071

0.0188

-0.0071

-0.0188

0.0188

0.0572

-0.0188

-0.0572

-0.0071

-0.0188

0.0071

0.0188

-0.0188

-0.0572

0.0188

0.0572

8

3.10.4 Perakitan Matrik Kekakuan Struktur {K]s Titik kumpul 2 :

(i)

0

0 f..): =!Ox*

.J'. =l 0 8 *

=I Ox*

&

0

0

0

0

&

0

CD

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

&

A &

cM63

06

-~63

0

& 11 0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

-1

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

&

[k]c =I Ox*

&

g

0

11 '·

&

6

~

(i)

0

0.0071

0.0188

-0.0071

0.0188

0.0572

-0.0188

-0.01881 -0.0572

-0.0071

-0.0188

0.0071

O.OIRR I

0.0188

-0.0572

0.0188

0.0572

0

0

Rangka Bidang

169

P3,X3

----+

t---0.;;

0..

4 3 ;__ _...4_ _ _ _ __.,._ _ __. P1,X7

3

0

Gambar 3.10.5 lndeks derajat kebebasan DOF struktur

K11 K12 K21 K22

2

Kn 1 +K11 +K11'J+K11

11

K,/ + Kl_/ t Kl29 ·+Kill I 9 11 2 1 K.J, +K21 +K21 +K21 I K11 + K2} + Kn9 + K2211

10 8 eo++ o + 0.163 + o.oo71)

10 8 (0.1701)

1ox eo + o + o + o.o 188)

1ox (0.0 188)

10 (0 + 0 + 0 + 0.0188)

10 8 (0.0188)

10 8 (0.611 + 0.0611 + 0 + 0.572)

10 8 (0.1794)

8

Titik kumpul 3 :

[k]c =I Ox*

~ 0

&

6

&

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

()

0

-0.0611

0

0.0611

[kb =!Ox*

6

11 b 8

0

0

0

0

0.163

0

-0.163

0-1

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

~j


10 8 8 10 I0 8 !OR

10 8 (0.163)

(0 + 0.163) (0+0) (0 + 0) (0.611 + 0)

0 0 IOR(0.0611)

Titik kumpul 4 :

6&

11 0

0

-0.163

0

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

0

0.163 [k)c =10

8

*

6

&

0

0

0

-0.163

0

0

0

0

0

0

-0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

0.163

0 [kh =I 0

8

*

6 11 0

& 0

1 L

kl = 10 8 * _ll

0.0071

o.oY88

0.0188 0.0071

0.0572 -0.0188

-0.0188

-0.0572

0.0071

0.0188

0.0188

-0.0572

0.0188

0.0572

~ 0

11 *

.. l = I 08 *

-.,,

&

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

6

8

0

0

0.0071

-0.0188

-0.0071

0.0188

-0.0188

0.0572

0.0188

-0.0572

-0.0071

0.0188

0.0071

-0.0188

0.0188

-0.0572

-0.0188

0.0572

i~

k 3 _' + k 11 ~ + k,, 11

"'

k;/ + kl/ + k,~

11

',

k~ 1 3 + k 21 + k 13

11

k~/ + k2/ ~ k~4

11

'

0

~ 0

~ 0

_,

6

0

0

0 -k]lc=l0 8

-o.oC6>71 -o.ffi88

4

f

k,/' =10 8 (0.163 + 0.163 '0.0071 + 0 + 0.0071) =!OR *(0.3402)

+ k,~ + k4, + k~~

12

12 12

3

8

+ k,/ =10 (0 + 0 + 0.0188 + 0- 0.0188)

=0

+ k~/'=10 (0 + 0 + 0.0188

=

8

+

k~~

13

=

8

I 0 (0 + 0

I

+

0- 0.0188)

0 8

0.0572 + 0.061 I + 0.0572) -I 0 *(0.1755)

Rangka Bidang

171

Titik kumpul 5 :

[k ]4 =I 0

8

6

ffi !A &

~

~

!A &

0)

0

0

0

0)

0

0

0

0.163

0

-0.163

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0.1630

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

*

0.163 0 4

Kn Kn Kx7 Kss

[k]s=l0

8

*

k~~ + k,~'

!Ox (0 + 0.163)

IOX(0.163)

k~/ + k,/ 4 5 k4~ + kt~ 4 k44 + k4/

I Ox (0 + 0)

0

8

10 (0+0)

0

!Ox (0.611 + 0)

I Ox (0.061 I)

Titik kumpul 6 :

~ 0

6

&

&

0,

0

0

0)

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

I0

0

0

0

Lo

-0.0611

0

0.0611

~ 0)

[k],~Jo' J~ .

[k]t,=l0

8

*

8

*

*

0

0

0

0

0.0611

0

-0.0611

0

0

0

0

0

-0.0611

0

0.0611

£

0)

0

0.0071

-0.0188

-0.0071

0.0188

0.0188

0.0572

0.0188

-0.0572

0.0071

0.0188

0.0071

-0.0188

-0.0572

-0.0188

0.0572

~

g

CD

0

6 0

~ 0

()

-0.163

o'

0

0

0

0

0

0.1630

0

()

0

0

0.163

~ 0

~ 0

0.163

0

172

8

0

~

0.0188

[k]to =10

fk],=l0

~

0

~ 0


0

8 k 1/+ k~/' + k 3 ~ 10 + k 11 13 = 10 (0 + 0 + 0.163 + 0.0071) k 1/ +k 3/+k 34 10 +k 12 11 = 10 8 (0+0+0-0.0188)

5

6

k2t +k43 +kl,

10

+k2t

13

:f...J- =!Ox*

0

~

&

0

0

0.0071

~0.0188

~0.0188

0.0572

0.0188

~0.0572

~0.0071

0.0188

0.0071

~0.0188

0.0188

~0.0572

~0.0188

0.0572

~

0.0071

8

I Ox *( -0.0 188) I Ox*( -0.0 188)

= 10 (0+0+0-0.0188)

0.0188

8 I = 10 * 'J'

=

8

Titik kumpul 8:

CD

= 10 8 *(0.1701)

&

CD

0

0.0071

0.0188

~0.0071

~0.0188

0.0188

0.0572

~0.0188

~

0.0071

~0.0188

0.0071

0.0188

0.0188

~0.0572

0.0188

0.0572

0

0 0.0572

& 11 21 8 0

CD '

~0.163

0

0

0

0

0

0

0.1630

0

0

0

0

0

&

£1

CD

0

0.163

I

~6]

~ 0

b

&

11 6

8

0

C0

0

0

0

0

0

0

0.0611

0

~0.0611

0

0

0

~0.0611

0

0.0611

0

~0.163

0

0

0

0

~0.163

0

0.1630

0

0

0

0

0

0

'

0

0

=1 ox*

. =1 ox*

0

0.163

7

k33 + k33

8

+ kn + k 11 10 + k 11 12 9

[kJ,~Io" .r~ lo = =

8

10 (0.0071+ 0.0071 + 0.163 + 0.163 + 0) I 0 8 *(0.3402)

10

k,/ +k,/+k,/+kt, +kt2 12 = 10 8 (-0.0188+0.188+0+0+0)=0 9 k 1/ I k 1, 8 +k4o +k 21 10 +k 21 12 = 10 8 (-0.()188+0.188-+ 0 +0 +0)=0 k4/-'- k4 / + ku'' + k22 10 + k22 12 = I 0 8 (0.0572 + 0.0572 + 0 + 0.0611) = I 0 8 *(0.1755) Rangka Bidang

173

Dengan penyusunan unsur matrik kekakuan struktur berdasarkan derajat kebebasan pada setiap titik kumpul, disusun unsur matrik kekakuan lengkap [K]s sebagai bcrikut: Kll

Kl;

Kl7

K1s

KIIJ

KilO

KIll

Kll2

K21

K,;

K 21

K 2s

K2,,

K21o

K211

K212

KJI

Kn

K 11

K 1s

K;0

KJIO

KJII

K;12

Kll

K4,

K 11

K4s

K49

K41o

Km

K412

K,l

K"

K, 7

K, 8

K,,,

K
K 511

Ks12

K(JII

Kh12

K111

K 112

K()~

K"l

Kc,;

K(J(J

Kr,7

K11

Kn

K 74

K7,

Kn

K1s

K~l

Kx;

Ks4

Kw,

Kg 7

Kss

Ks9

Ks1o

KSII

Ks12

K
K');

K94

Kc,,

K%

K,J7

KIJIO

K,JII

K012

K"s

K99

KIOI

KIIJ2

KI(JJ

K 1o4

Kll,,

KI06

KI(J7

KI08

KIOIJ

KIOIIJ

KIOII

KIOI2

Kill

Kll2

KIIJ

Kill

Kl"

K11c,

Kill

K11s

KII'J

KIIIO

KIll

K111:

Kl21

K

K 121

Kl2"1

K12,

KI2(J

Kl27

K 12s

Kl29

KI211J

122

K

1211

K 1212

Memasukkan nilai K11 pada setiap komponen unsur matrik, diperoleh :

0 170 I

0 0 I 88

0"0188

111794

(I

0

0

--0 O
-0 0071

--0 OISX

-OOIXX

-00572

(I

0

0

()

0

0

0

()

-0 0071

- ll 0 lXX

()

0

0

()

-0 1(>3

()

-00611

-00188

-00)72

0

0

0

0

()

0

0

-0 1(,"1

()

()

0

0

0

(I

0

0 Ohll

0

(I

0

0

0

0

0

0

()

0"3102

0

11 I (,1

0

-- () 0071

0"0188

0

0

0 17)5

0

0

-00572

0

-00(>1

0

-" 1J I 1>3

0

11

0

0

0

0

()

0 (I(> II

()

-0 0611

11

(I

()

0 0 163

-0 11>3

() 0 I (,1

0

()

(I

188

0

-00071

0"0188

(I

0" 1701

--00188

-0163

0

0

0

IJ 0 I XX

-00572

- 0 061 I

- 0 0 I 88

0 1Nl

0

()

-0 163

0

(I

0

0

()

0" 11>3

0

0 "14112

()

0

0

()

(I

()

0

11

()

0 1755

- () ()(J

11

3.10.5 Vrktor Beban {P}s

Mencntukan be ban terpusat ek ivalen {P) s d ilakukan dengan mengh itung pengaruh kemungkinan bcban luar maksimum yang bekctja pada sistem struktur. Mcncntukan bobot total tangki dcngan Yair= I ton/m', dimcnsi tangki 3*3

2 111 ,

volume air= 3 2 *2.5 = 22.50 ton= 22500 kg

Berat sendiri tanki : Tebal pclat 3 mm, sehingga berat persatuan luas = 23.52 kg/m 2 . Bobot tangki : o

pelat bawah = 3 2 * 23.52

=

212 kg

w pelat dinding = 4* 3 * 2.8* 23.52 Total bobot tangki

=

212+ 790

=

=

790 kg

1002 kg

17 4 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Pdat penutup tcbal 2 mm mempunyai berat = 15.69 kg/m 2 • l3obot pclat penutup = 3 2 * 15.69 = 141 kg WR = 0.5*(22500+1002+141) ton= IIS22 kg. sehingga : 0.1 WR = 1182 kg: 0.25W = 2955 kg: 0.5WR= 5911 kg Perhitungan gaya terpusat ckivalen

Vcktor (Pls dengan mengabaikan berat sendiri rangka mcrupakan bcban cki\alen dari beban air, bcban berat sendiri bak. dan beban ckivalen gempa.

PI p2

P, p-! 3rn

rp1 I 1 SP,

Pr,

Ps

P"

P, P<, p7 Px PC) P111 PII pl2

I

0.0 00 ± 1182 - 2955 0.0 - 5911 0.0 - 2955 0.0 0.0 0.0 0.0

kg kg kg kg

.)

p,

7

Rangka Bidang

175

3.1 0.6 Menyelesaikan persamaan [K]s *{X}s={P}s

Dcngan menyatakan hubungan dcrajat kcbebasan struktur terhadap gaya tcrpusat ckivalen sebagai persamaan linear simultan [K]s* [X}s={P}s lJ 171J I

(J

!1 (J I XS

(Jin-1

0 OtJ71

1J 01 SX

- 0 01 XX

-0 U502

lJI SS -0 UCJII

0 IIJ)

,. _

1 u~

0 01 XX

0 01 XX

0 0502

I I0 0

11 ~2 i

163

- (J

2'>551

()O(JII

-{I(J(lll

() 0071

() ](J)

() _\ ...1()2

-()J(J)

(J

lhl5

I (JJ

- {J

(J

0 Otl7i

IJ Ill XR

0 I XX

-0 05(12

(J

0 0188

sx

- () 05(12

() 11

'I

- 5CJ 11

.\.I,

.\,

OOrJII 0 1701

11071

0 01

\, 0 DIJII

163

0 (J611

- 0

: () 11

-0 I6J

0 OCJII

-IJ Ill SS

0 0 lXX ()

172~

\In

(! ](J_I

lC<~

J..J-02

(J

-0 fJ61 I

(J

l(l 15

.\.11 :

()

0

.\I'

(J

u

diperoleh besarnya perpindahan translasi titik-titik kumpul. Beberapa cara mendapatkan vektor [X) s (translasi titik-titik kumpul) antara lain ada!ah mencari matrik invers [Kr 1s a tau dengan cara dekomposisi LU melalui proses el im inasi d itetapkan unsur vektor [X} s· Dengan bantuan perangkat lunak komputer 'Microsoft Excel" untuk mencari matrik invers [K Is d iperoleh : --0 ]Ql(J() 71 -1-')(1(12 71 4'-)0()2 -U I CJlhh 0 OIXS 73 :'\I 'il "lh."-t 1oo I

r

~()\102

() jl) ~()()

,,

(J j()}(16

1.1 8'J9()()

19 3220:->

13 XiJl)()h

-0 01 RK

'I'

73 -t9()1J2

jl1 12208

() l(J:;

I '-J 32208

- () ](J_l

() [i)3(lh

11 H9066

l93220R

! X,

73

I'· X,,

,_

-= l () ~

(J

*

.\\ :

I'·

. x", 1

11)(}112

I tJ 12208

.'1 1J-t I lJ8

-t X:'()23h

7'}. -l'IIJ1J2

10 122()8

-(} ji):l()()

-(I h0-1()8

](I

461:"

() I '-J3D(l 'I

~11! X1ci

sehingga

I

0 I <1~

.S 7' I (J- 1 ~ I hRSh(J I

I 63

73 4'-JUU2 0 ll I 88

() 0188 0:'\72

0

(l(ljj

-43 245

()Ill SS

73

lh3

73 -FJOU2

Ol1

-" 7S

() 0:'72

lJ I 88 (l

-(I

401102

(JIJ(J]J

- \l 061 I

- () 19366"

() 1701

I 1 R096h

-0 0188

(!()

-2 89

-1-i)(J()2

11

() ]()_)

!14

-0

]'-!3()(,'\

j(l(l

!0

0 lh3

13 B'-J')66

()

!lo"

0 3402

()()

() 17.:;.;:.

lOO

-91 237 =I WX

*

-93 2-'7

Xg

-I

X9

90 - 9c!

X

n

0 ]h;

l402

0

XI

X;

11 :"

I'-) 32208 (J

(l

x2 x, x-1 x5 Xr,

1\)(J

() 17:"5

() llJ_)(>()';

70 422:'14

--() ](J3

l'-J 3220R

73 49002

OUhll

I'-) 122(18

-0 ll9·thS

(! 201JX(J()

() 0:"72

Jml

!13 -35

Vektor ini merupakan perpindahan /translasi titik-titik kumpul guna mendapatkan gans elastis struktur. 176 Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

3.10.7 Garis Elastis Struktur Rangka

Dari unsur matrik (X}s digambarkan garis elastis sistem struktur rangka akibat beban yang Unsur matrik merupakan translasi titik-titik kumpul dalam satuan [m]. Gambar ~.I 0.6a mcrupakan konfigurasi struktur akibat kombinasi beban vertikal dan beban horizontal arah positif(gaya gempa ekivalen positil). h~kc1~ja.

P3

=r:_ _._. _. :·:'1'_'____._. _.

= 1182 kg

i 3 . ·. .'

/

I

~··

' / / / /

\

84

I

\,

-43

\~

245

\1

-')I

\,

237

.\(,

- ')3

=

10-8

*

\\x

-I

\q

')()

\1!1

- ')4

\11

83

\le

-35

_p·_" ] ' ' ' 5.

'

'

· ..

' '

' '

'

\

'

'

m!

Gambar 3.1 0.6a Garis elastis si stem struktur beban gempa positif

.lika kombinasi beban luar yang ditinjau untuk gempa ekivalen negatif, diperoleh garis elastis si stem struktur seperti gambar 3.1 06b. Dari gambaran kedua garis elastis, penmJauan ~truktur harus dilakukan pada kemungkinan pembcbanan yang membcrikan tanggap struktur maksimal.

Rangka Bidang

171

XI

-90

x,

- 9-f

x~

-245

x.j

-142

,

x, Xi,

=I() -R

x7

*

ml 2

Xx

-91

x9

-84

X

-43

,

,

,

,

,

,

,

,

,

'

'

'

'

'

'

'

'

I

1 .'

X12

is

· . ·-t-··-··-··-··'-··-x"71 ~~·~:r,-:··-··-··-··-··-·· '

l- 35

XI]

'

,

1- S3

XII

\

'

'

'

'

I

~0:~6 I

'

Gambar 3.1 0.6b Garis elastis si stem struktur beban gempa negatif

3 .10.8 Gaya Dalam Eiemen

Setelah memperoleh vcktor {XL, maka gaya-gaya dalam batang (berupa gaya aksial) dihitung dari derajat kebebasan scbagai berikut : L/\

()

I. ()

() ()

L ()

atau

()

cosO

I.

];\ --

Fi\ ()

li\

()

()

lrX;-xs I k ~

FI

eo sO

()

x:, = x(

F,

()

eo sO

-si nO

X\ =X~,

F~

()

()

:;inO

cosO

1 [s] [1] Jx !/ Ill

()

()

()

.

()

-si nO

()

I. ()

si nO

Ill

~~111

-

()

J X4

1

1 - l ,1I 111


=X~

xs,

t .

c

e__ ~-=--=--=-e-=--=-=-=--=--=-=

F3 ___

X' =X 5 4

.

~

n

,

,'

,'\,.

J \\

\\

\\ \\

· ···•x' 3--x" m ''\ \ \..:) G \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \>

Gambar 3.1 0. 7 Korelasi vektor perpindahan elemen dengan derajat

kebebasan struktur

i-, r.:lasi vcktor perpindahan clemen dengan derajat kebebasan struktur scpcrti pada Gambar _ '1.!. harus d itinjau dari kesamaan indeks derajat kebebasan struktur dengan de raj at ~ ::"'cbasan elemen terhadap koordinat struktur. ::;;-:1itungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah: =~~en

1 : EA/L = 0.0611; sin 8

= 1;

cos 8 = ()

0.0611

0

-.0611

0

0

1

0

0

0

2566

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

-.0611

0

0.0611

0

0

0

0

I

84

-2566

0

0

0

0

0

0

-I

0

-42

0

I)

=~:en 2: EA/L

10'

= 0.0611; sin tl

=I; cos

e=o

0.0611

()

-.0611

0

0

I

()

0

84

2994

()

()

()

0

-I

0

0

0

-42

0

-.0611

0

0.0611

0

()

0

0

I

245

-2994

0

0

()

()

()

0

-I

0

-91

()

Rangka Bidang

179

Elemen 3 : EA/L

10'

= 0; cos 0 = 1

0.163

0

-0.163

0

1

0

0

0

245

1304

0

0

0

0

0

1

0

0

-91

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

1

0

237

-1304

0

0

0

0

0

0

0

-93

0

Elemen 4: EA/L

10'

=0 163; sin 8

= 0.163; sin 0 = 0;

cos 8 = 1

0.163

0

-0.163

0

0

0

237

0

0

0

0

1

0

0

-93

0

-0.163

0

0.163

0

1

0

237

0

0

0

0

0

()

-142

0

Elemen 5 : EA/L = 0.0611; sin 8 = 1; cos 8

10:1

0.0611

0

-.06 I 1

0

0

0

-.06 I 1

0

0

0

=0 0

0

90

2994

0

0

0

-93

0

0.061l

0

0

1

237

-2994

0

0

-1

0

-142

0

0

0

5682

Elemen 6: EA/L = 0.0611; 3in 0 = 1; cos 8 = 0

10'

0.0611

()

-.0611

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

-.0611

0

0.0611

G

0

0

0

90

-5682

()

0

0

0

0

0

-1

-93

0

Elemen 7 : EA/L

10'

= 0.0572;

sin 0

0.0572 0

0 0

-.0572 0

-.0572

o

o.o5n

0

()

0

= 0 94; ccs 0 = 0.35 ~' ~0.35 0.94 -O.J4

r _J ~j ~

0

0

3544

-C.35

0 0

0

0

0

o

o.94

0.94

83

-3544

')

-0.35

-0.35

-35

0


=emen 8 : EAIL = 0.0572; sin 8 =0.94; 1o'

0

-.0572

0

-0.35

0.94

0

0

0

220

0

0

0

0

-0.94

-0.35

0

0

0

0

-.0572

0

0.0572

0

0

0

0.94

0.94

83

-220

0

0

0

0

0

0

-0.35

-0.35

-35

0

EAIL = 0.0611; sine = 1; cos

o= o

0.163

0

-0.163

0

I

0

0

0

84

163

0

0

0

0

0

I

0

0

-42

0

-0.163

0

0.163

0

0

o·

I

0

83

-163

0

0

0

0

0

0

0

-35

0

:::km en I 0 : EA/L = 0.061 L sine = 1: cos e

1o'

0.163

0

-0.163

0

0

0

-0.163

0

0.163

0

0

0

Ekm en I I : EA/L = 0.0572: sin

1o'

0.35

=

0.0572

=emen 9: 1o'

cos 0

~--

=

o

I

0

0

0

83

-1141

0

I

0

0

-35

0

0

0

I

0

90

1141

0 I 0

0

0

-93

0

o=

0.94; cos e = 0.35

0.0572

0

-0.0572 0

0.35

0.94

0

0

84

0

0

0

0

-0.94

0.35

0

0

-42

~21

-0.0572 0

0.0572

0

0

0

0.35

0.94

237

321

0

0

0

0

0

-0.94

0.35

-93

0

0

1C?angka Bidang

1 J

181

Elemen 12 : EA/L = 0.0611: sin 8 = 0; cos 0

10'

0.0611

0

-.0611

0

0

0

0

0

0

-I

-.0611

()

0.061 1

0

0

0

0

0

I

=

0

0

83

3544

0

0

()

-35

0

0

0

0

1

237

-354

0

()

-I

0

-93

0

Elemen 13 : EA/I,= 0.0572: sin 0 =0.94: cos 8 = 0.35

10

1

0.0572

0

-0.0572

0

0.35

0.94

0

0

90

2943

0

0

0

0

-0.94

0.35

0

0

-93

0

-0.0572

0

0.0572

()

0

0

0.35

0.94

237

-2943

0

()

0

0

0

0

-0.94

0.35

-93

()

2955 kg

5911 kg

F2

2955 kg

8

':c'?4

F F.

l F} = Fg

566 kg

F,

Fs

F12

F,

;c·

F. F

F., F F

FG

Gambar 3.10.8a Besaran gaya dalam elemen bc:tang kombinasi beban 1

182 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan J.nalisis Struktur

0 2 J 'J4 kq l)(; R:: kg 3'J44 kq

F.

F·. F,

Fw

I tekan) kg (tekan) )04 i
lo3 1: 41

r·

3'>4cl 2'143

kg kg kg kq kg kq

( tekan) l~dlik)

( :__t:'kr1ll)

ltarikl ( Lckan)

I t.:•l;anl I Lar·ik) (t
ltekan)

Tinjauan keseimbangan gaya di titik kumpul 3, misalnya : 2955 kg

1182kg

l

e +---F 3 = 1304kg 2955 kgr

Terdapat beda 39 kg perhitungan arah keseimbangan gaya vertikal dan beda 122 kg arah keseimbangan gaya horizontal. lni akibat perhitungan gaya dalam F 2 dan F3 dengan pembulatan perhitungan simpangan vektor X. Hasil perhitungan vektor {F} dengan nilai numerik {X} beberapa angka dibelakang koma kondisi beban I ( tanda- gaya tekan):

5

F1 F, FJ

Fs

{F}

=

F, Fs Fe F1 F3

F,, Fto F11

F1~

FL,

5682 kg (tekanl 2994 kg (tekanl 1304 kg (tarikl 0 2994 kg (tekanl 2566 kg ( tarikl 220 kg (tekan) 3544 kg ( tarikl -1141 kg (tekan) 163 kg (tekan) 2943kg (tarikl 3544 kg I tekan) --321 kg (tekan)

Gambar 3.1 O.Sb Besaran gaya dalam elemen batang kombinasi be ban 2

Rangka Bidang

183

3.11 Program Komputer Analisis Struktur Rangka Bidang Bagan alir dan program sumber di dalam bahasa tingkat tinggi komputer PASCAL bagi analisis struktur rangka bidang dikembangkan untuk membcri pemahaman bagaimana analisis dilakukan dengan bantuan pro:.;rwnming Pengguna clianggap suclah memahami bahasa Turbo Pascal. Dengan bagan alirlalgoritma pemroscsan yang clirancang clari prosedur analisis. program sumber komputer dapat disusun dalam enam kategori utama pernyataan : a. Pernyataan hagi arsip/fl/c dan record yang akan diproses oleh komputer. b. Pernyataan untuk data diluar arsip. seperti untuk membuat judul yang diperlukan dalam dokumentasi. c. Pernyataan memindahkan data pacla satu lokasi mcmori ke lokasi memori lainnya dalam mcmori utama komputer. d. Pernyataan melakukan proses aritmatik yang disimpan clalam memori utama. e. Pernyataan logika: proses urut, pilihan (perbandingan) clan iterasi. f Pernyataan memhaca data clari memori clampingan (disk et, hard disk) ke memori uta ma atau menuliskan data clari memori utama ke memori dampingan. Secara umum Deklarasi Program Bahasa Turbo Pascal adalah : (Judul Program clan penjelasan variabcl} Deklara.\·i : Label Const Type Var Procedure begin badan sub-program; end; Function; begin btu/an sub-program; end; begin program utama end. Pemahaman lebih jauh clalam pemograman dapat dihaca clalam buku-buku komputer.


Deklarasi Program De%larasi judul program Deklarasi tipe matriks M44 : Matriks 4 x 4 Dek~arasi

::tJ

Ol

::J

(Q

"" g:

Ol

tiJ

~ ...l>.

00 U'l

~onstauta

MAX EL Jurdah elemen maksimum MAX ND Jurdah nodal maksimum NAX_P Jurr.lah derajat kebebasac1 ma%simurr, NAX MT Jumlah tipe material rnaks:mum Deklarasi variabel a. Variabel data struktur JUDUL Judul Data Struktur NNODAL Jumlah titik nodal NiviATEF::;:AL Jumlah tipe mate~ia~ NELEMEN Jumlah elemen struktur X,Y Koordinat titik nodal FX,FY Beban titik nodal; RX,RY Kode kekakangan citik nodal JJ,JK Nomor nodal i dan j elemen struktur MAT ~ipe ma~erial elemen struktur E,A S~fat penarnpang elemen struktur b. Variabel analisis struktur NP : ~umlah derajat kebebasan struktur PX,PY Penornoran kebebasan struktur KK Matriks kekakuan global struktur pp Matriks gaya nodal global slruktur XX Matriks perpindahan global struktur c. Variabel bantu NAJV'~ FILE Nama file input/output FINP,FOUT Variabel file input/output

PPOGRAM R"~GKA BIDANG; ?YPE '144 =ARRAY [1 .. 4,1 .. 4] OF REAL; CONST l"AX EL = 25; fJ;AX ND 25; HAX P = 75; MAX_MT 15; VAR ~UDUL: STRING[80]; NNODAL, NMXI'ERIAL, NELE:viEN : INTEGER; X,Y,FX,FY: .Z',RRAY [l .. :viAX_ND] OF REAL; RX,RY,JJ,JK,T1AT : ARRAY [1 .. MAX_EL] OF INTEGER; E,A: ARRAY [l .. MAX_MT] OF REAL;

NP : INTEGER; PX,PY : ARRAY[l .. MAX_ND] OF INTEGER; KK : ARRAY [ 1. . MAX_P, l .. MAX_P] OF REAL; PP,XX: ARRAY[l .. MAX P] OF REAL;

NAMA_FILE FINP,FOUT

STRING [ 15] ; TEXT;

...... ee

0)

}>

3 ..... :::J

(/)

'<

(I)

::J

z

(I) (/)

Subprogram Pembacaan Input Data Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel I :Var~abel iterasi NR :Jumlah joint terkekang NF :Jumlah nodal dibebani beban titik nodal NJ : Norwr joint Bagan alir subprogram pembacaan data j' ~- -- -1-np-u! Data---: 1

s.a· :::J

~

~

!

0 ~

.

~

y

PROCEDURE INPUT~DATA; VAR I,NR,NF,NJ INTEGER;

BEGIN FOR I:=l BEGIN RX[I] RY[I] FX [I] !'Y [I I END;

TO

MAX~ND

:= ·= := :=

0; 0; 0; 0;

DO

Baca

~

Judu'

~

READLN(!'INP,JUDULI; READLN(FINP,NNODALI; FOR I:=l TO NNODAL DO READLN(FINP,X[I] ,Y[I] I; READLN(FINP,NRI; FOR I:=l TO NR DO BEGIN READ(FINP,NJI; READLN(FINP,RX[NJ] ,RY[NJ] I; END; READLN(FINP,NMATERIALI;

Sac a

... ~~1

"'

N"Jodal

QJ

"'

i

t::

QJ

::J

h

.

I

::J

QJ

~

v;·

·'

~

---s~·~-;----7

2

"'

c: ...,

i

~----'------... I " 1 to'~" "" '------,-----''/~

"'

•

Baca L_

__

~

B'"

I

RX(NJ) RYI~

!

I

~·-~~~-

/

Baca

FOR I:=l TO NMATERIAL DO READLN(FINP,E[I],A[I]); READLN(FINP,NELEMEN); FOR 1:=1 TO NELEMEN DO READLN(FINP,JJ[I] ,JK[I] ,MAT[I]); READLN ( FINP, NF) ; FOR I:=l TO NF DO BEGIN READ(FINP,NJ); READLN(FINP,FX[NJ] ,FY[NJ]); END; END;

V

I ::: 1 to NMatenal

.,

____ - - Baca E(l), A( I)

~

J_---'

___t _

Baca NEiemen

----,------1 _y_ ___

I=

1~o NEiemen>--,----- -_y______

~

Baca JJ(I) JK(I) MAT(I) --~----

J

•

<})----

Baca NF

-----'1__

1 = 1 to NF

~

--

/

__ _ _ /

--

1

::0 Q) :::J

(Q

!

____1___~----1'

Baca

----~

:>;-

Q)

CO

§: :::J

(Q

~

00

......

--; Baca

FX(NJ) FY(N~ 1--~+

CD-__L__

Selesai

/

..... 00 00 )>

3 ::::l (/)

'<

Subprograrn Perhitungan DOF Struktur Deklarasi judul subprogram Dek:arasi variabel

I

: Variabel iterasi

BagaL alir subprogram per hi tungan DOF scr '.lktur

tll

:-JP

::T

ztll

DOF

s.6'

NP = 0

.

::::l

~

1 = 1 to

0Q

<1l

I

c

0

:::0

~

1£' ;s;-

I= 1 t:J

Q)

;s;c:

OJ

::J

NP~~~

~

----c:::::::..-

c;;;·

2

::>;-

'·

PXili=NP

.

ya--

FOR ::=1 TO NNODAL DO BEGIN PXI=l := 0; PY[I] : = 0; END; FOR 1:=1 TO NNODI'\L DO BEGIN IF Rx:=J=O THEN BEGcN NP := NP + 1; PXII] IF RY[I]=O THEN BEGIN NP := NP + l; PY[~J END;

:= NP

END;

N?

END;

{ OUTPUT DOF STRUKTUR I FOUT, JUDUL I ; v.JRITELN I FOUT I ; \•JRITELN I POUT, 'JUMLAH Kl::BEBASAN STRUK?UR 1,\]P.I?E:"N I POUT, ' f~J ?X PY' I ; FOR I:=l TO NNODAL DO WP.ITELN I FOUT, I : 3, PX I l] : 4 , PY I I] : 4 I ; lr!P.ITELN I FOUT I ; END; ~Ji\ITELN

-< .RY1II

.

N? = NP--:;:-1-

(;:

""

.

--ya--,--

::J

(/)

0;

~~Noda:

~

~

Q)

:=

,-~-

(/)

):,

PROCEDURE DOF; VAR I : INTFG:':R; BEGIN

--- -

...:

~

J --

', NPI;

_,_

"~I::. 1 to NNodal ~ ___ / -

-

__.__ TU liS

I, PX:Ii PY1I'!

-

J

~~~

...

-~,-

Subprogram Perhitungan Matriks Kekakuan Global Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel I , J, K Variabel iterasi t-:0, NK Nomor ~odal i dan j elemen struktur NMAT Jenis material elemen struktur p Nomor derajat kebebasan elemen struktur DX,DY,L: Panjang elemen struktur CX,CY Cosinus dan sinus sudut elemen struktur EAL Komponen matriks kekakuan elemen struktur KM Matriks kekakuan elemen lokal KS Matriks kekakuan elemen global R Matriks rotasi TEP!P Variabel penyimpan matriks sementara Bagan alir subprogram transpose matriks ,-~

-----------,-

L_T~~=(A)

_L

,_.

/ ~-1:~~

PROCEDURE KEKAKUAN_GLOBAL; VAR I, J, K : H'TEGER; NJ,NK,NMAT : I~TEGER; P : ARRAY [1 .. 4] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL : REAL; KPI,KS,R,TEPIP : M44;

PROCEDURE TRANSPOSE(VAR A M44); VAR TEMP M44; I,J : INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO TEMP[I,J] A[I ,J];

FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO A[I,J] TEMP [J, I]; END;

.t____

p

J1=A(I Jl

y----- -

~ ~

::0

("

'--~T

Ol

:::J

~ Ol OJ

§: :::J tQ

..... 00 CD

Jo1
:

.>-

--~~~ :EMPrJ 11

!

---,,--

·~

6------1

::__~e~!~_-,----_J

-"

c.o 0

)>

3.....

IJ_M_U~Iply(A~-;:~~~ L__

I

i

~o-4--

:::J

(/)

'< Ol :::r

<......

T

z

Ol (/)

s.

6" :::J

~

~

~

"

C(IJ)

h

::J

~

=a

I

·:;!)-----

I

(.

"

1=1to4

! /

<.."-.

_ ____I___.

J = 1 to 4 -

-

-......_~

_/

I

c;;·

/~L_

(/)

.. ......_ K

2:>:2 ..,

I

.,

s:::

QJ

/

.

I

QJ

::J

)-.If--,

~

it ~ ~

:>:QJ :>:-

'-..._

J=1to4 I

0

s

M44); M44; VAR C PROCEDURE MULTIPLY(A,B VAR I,J,K INTEGER; BEGIN FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO C[I,J] := 0· FOR I:=l TO 4 DO FOR J:=l TO 4 DO FOR K:=l TO 4 DO C[I,J] := C[I,J] + A[I,K]*B[K,J]; END;

Bagan alir subprogram perkalian matriks

= 1 to 4

. C(I.J) = C(l J) + A(I.K)"B(K.J) __ _j

"f Q> I

cP~----

"

Selesa1

-·

__ j ' !

........................................................................................

-.------·""~

Bagan al1r subprogram perhitungan matriks kekakuan global Kekakuar Global !

!

/

~~

- __t__

-- ' "

(__ '-~~.':__/ _ ('

____.___

Jo1toN~> KK.I J1 = 0

~r---

J}l

~

--

BEGIN FOR I:=l 70 NP DO FOR J:=l TO NP DO KK[I,J] FOR I:=l TO NELEMEN DO BEGIN N,} := JJ[I]; NK : = JK [I]; NMAT := MAT[I]; P[l] := PX[NJ]; P[2] := PY[NJ]; P[3] := PX[NK]; P[4] := PY[NK]; OX := X[NK] - X[NJ]; DY := Y[NK] - Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DY); CX := DX/L; CY := DY/L; EAL : = E [ NMA T] *A~ N~1AT] I L;

:= 0;

FOR J:=l TO 4 DO FOR K:=l TO 4 DO BEGIN KM[J,K] . - 0; 0; R[J,K] END; i

<. Jo1c!~~1to4 >--~-.

t_

:<) (\)

:J

~ (\) llJ

~ :J

..... .....

(0

-~

KM [ l , 1 ] : = EAL ; KM [ 3 , l ] : = - EAL ;

KM[1,3] KM[3, 3]

:=-EAL; : = EAL;

. -

i

-~~-t_· KM(J K) = 0 I RIJ K) = 0

I

----,

!

I

-·-'

~·· t

(1)-.------

--~L____

- --

1) = Eil,L KM(1 ,3J = -EAL

1J__=____:_EAL, KM(3 31 = EA_.!:-__ i

L__------------!,------------_1_--------------------------'

.....

(0

N Ri1 1)

~

3 ....,

:::J (/)

l

'< Ill :::r

= CY =CX

Rt43tc-C}----

'

~

I-

1

--

(/)

1

L"-

6

---•

';

1

---~--~-

0

iS-

~---

~

""

"":::;

-- __!c,J_ _ _ _ _ KK1P(JI P(K)l ;:;KK!PiJI PtK):.,. KSiJ

I

__ ________.,!,

1

h

®---------

:::; (l)

cl'>------

~

c;;·

~r}

(/)

2 ""2"...,

I

KJ

__j

c:

(l)

CY; CX; CY; CX;

FOR J:=1 TO 4 DO FOR K:=1 TO 4 DO IF P[J]*P[K]<>O T;-;EN KK[P[J],P[Kj] KK[P[J] ,P[K]] + KS[J,K]; END;

TEMP KSI , _L_j

~

(l)

:= := := :=

~~--'--

:::J

~ ~

R [ 1, 2] R [2, 2] R [3, 4] R[4,4]

MULTIPLY(KM,R,TEMP); TRANSPOSE (R); MULTIPLY(R,TEMP,KS);

--'l

Transpose1R1

1

s.

:= CX; :=-CY; : = CX; :=-CY;

Multiply!KM,R '

1_"-----

z Ill

R [ l, 1] R [ 2, 1] RI 3, 3 l 2 [4 '3 J

=ex

R(2 1, = -CY Rl33)::oCX

~~:1~ ~ '-----

______y_ __ c

1

to NP

----,

"

__/').l

I T~i,IS KKrl J\

'

(;__>--------

~~;--

'----

-)

_j

Wl'liTELN ( FOUT, 'YIATRIKS KEKAKUAN GLOBAL STRUKTUR : ' ) ; FOR I:=l TO NP DO BEGIN FOR J:=1 TO NP DO WRITE(FOUT,KK[I,J] :10:0); \'JR ITEI,N ( FOUT) ; END; t:JRITELN (FOUT); END;

Subprogram Perhitungan Matriks Gaya Nodal Deklarasi :!udul subprooram Deklarasi variabel Variabel iterasi Bagan alir SJbprogram perhitungan matriks gaya nodal

-

---: '

~Gaya Nodal___j_l -

__'f_

"'

I = 1 to NNodal

'f_ _ _

PP(PX(I) = FX(I) PP(PY(I) FY(I)

;r.. -

---r----=

I 1

cTr-------" -~~ I= 1 to NP

-,-

//

I

y Tu lis PP(I)

I

)J Q)

:::J

(Q

~ Q)

CO

~ :::J

(Q

.....

w

(,)

-

t-

_T_Selesa1

-, )

PROCEDURE GAYA NODAL; VAR I :NTEGER; BEGIN FOR I:=l TO NKODAL DO BEGIN PP [ PX [I] ] : = FX [I] ; PP [ PY [I] ] : = FY [I] ; END; WRITELN(FOUT, 'MATRIKS GAYA NODAL: 'I; FOR I:=l TO NP DO ',~RITELN(FOUT,'P[',I:3,'] ' , PP [:;: J : 1 0: 3 I ; lJJRI'l'ELN ( FOUT I ; END;

..... CD

-'="

)>

3...., :::l (/)

'<

Subprograrn Perhitungan Solusi Deformasi De~larasi

judul subprogram Deklarasi variabel I : Variabel iterasi Bagan alir subprogram faktorisasi matriks

ru

r! '

:::;

z ru

Fak.tor

(/)

:::l

!

s.6"

~---------'-----Jl=,J-1

*

Jh

0 15-

1=2toJ1

~

____l _ _

~

I

~

<

~ ~

~-

,ol\011

-~

QJ

~

c:

=

QJ

:::

> -

S~~~KIK I)'KK(K ~

'

®-----J

h

_L __ _

:::

QJ

= SUI\fl

Kii,J)

~ iii

cL--------

(/)

2

-----)

--

~

~

2 ..,

i

SUM= r..K1I J1 11ol1

~

SUM= KK(J Ji

L___

T

~~i~L~~

c;

·-·

KK(J J) =SUM

--

&------

.._______ •

-

,

Selesa1 _________;

\ _ __

INTEGER); PROCEDURE SOLUSIIN VAR I INTEGER; PROCEDURE FAKTOR; VAR J,Jl,I,Il,K : INTEGER; SUM,TEMP : REAL; BEGIN FOR J:=2 TO N DO BEGIN Jl := J-1; IF(Jl<>l) THEN FOR I:=2 TO Jl DO B2GIN SUM : = KK [I ] [ J] ; Il := I-1; FOR K:=l TO Il DO KK[K] [I] *KK[K] [J]; KK [ I ] [ J J : = SUM; END; SUM := KK[J] [J}; FOR K:=l TO Jl DO BEGIN TEMP := KK[K] [J} /KK[K] [K]; SUM := SUM-TEMP*KK[K} [J]; KK[K] [J] :=TEMP; END; KK [ ,J ] [ J J : = SUM ; END; END;

SUM

SUM-

..,.-~--

Bagae1 ali:: subprogram substi:::usi Subst1tus1

'

~-

1::::1toN -~

~~__/

!

____y_ SUM K1

o

XX(I)

o

1~1

I" 1 Y'

_ ____y_ __

K:::: 1 to K1

todak

_ _ y~

SUM

o

SUM~

KK(K I).XX(K)

-T

:>;Y-

----.,:~·

•--XX(I)

o

SUM

'r)---'

1::::1to-~~-

___/

:::0 QJ ::J

~ QJ OJ

§: ::J

..... tO (Jlii

--11.

XX(I) ---

I ~___j>o

~-

XX(I)/KK(II)--~

------

cl·

---~

PROCEDURE SUBSTITUSI; VAR I,Kl,K,Il,K2 INTEGER; SUM : REAL; BEGIN FOR I:=l TON DO BEGIN SUM := XX[I]; Kl : = I -1; IF(I<>l) TJIEN SUM-KK[K] [I] FOR K:=l TO Kl DO SUM XX[K;; XX [I] : = SUM; END; FOR I:=l TON DO XX[I] := XX[I] /KK[I] [I];

~I en }>

3

~

:J

(f)

'<

Ill

::r

z

Ill

FOR Il:=l TON DO BEGIN I:=N-Il+l; SUM := XXIII;

(f)

s.0 ::J

~

I= 1 toN

K2

0

~~~ ~~~;(11)

~ ~

K2 = 1+1

X

"'" c: "'"

Y' _.._ __

lll

K = K2

::J

h

::J

__

lll

c;;·

!

_j

I• N

lll

~

I+l;

THEN FOR K:=K2 TON DO SUM:= SUH-KK[II[KI*XX[K]; XX [ I I : = SUM; END; END;

•

~

:=

~F(I<>N)

toN>--·:

__..

SUM =SUM. KK(I.K)"XX(K)

!

I

~

D---

~ 2 ""'

.}.

XX( II =SUM , -----,------1

1}----------

"----------------~/

---• Sele~~---------------------_L_____________________________________________________j

Bagan alir

s~bprogram

perhitungan solusi deformasi

BEG~N

FOR I:=l TO NP DO XX[I] := PP[I]; ?AKTOR; SUBSTITUSI; WRITELN ( FOUT, 'SOLUSI PERPINDAHAN STRUKTUR : ' I ; FOR I:=l TO NP DO WRI'I'ELN(?OU7,'X[',I:3, ''; ',XX [I] :10:61; WRITEL!\ ( FOUT I ; END;

c--• F-aktor

! Sul·StiLSI

-

~.

I:: 1 IO NP

2\ ::0 Q) ::J

(Q

""

Q)

OJ

§: ::J

(Q

..... (0

.......

L __ ' Selesa1 )_'_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ j __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___J

~I

00 )>

3...., :::::

(f)

'<

ru

:::y

z

ru (f)

s. i3

:::::

$:

(1)

0

~

~

s

~

~ ~

ru

~

c::

(l)

:::l

h

:::l

~

iii iii

Subprogram Perhitungan Gaya Elemen Struktur Deklarasi judul subprogram Deklarasi variabel Gaya Elemen I ,J K Variabe:;._ iterasi NJ,NK Nomor nodal i dan ~-~- elemen struktur <"-~~0 NEiemen '0MAT Jenis material elemen struktur NJ = JJ(I). NK = JK(I) NMAT = MAT(I) P(1) = PX(NJ) P(2) = PY(NJ) p Nomor derajat P(3) = PX(NK). P(4) = PY(NK) OX= X(NK) · X(NJ), DY = Y(NK)- Y(NJ\ kebebasan elemen L =(OX-+ OY-Ystruktur CX = DX/L CY = DY/L EAL = E(NMATrA{NMAT)/l DX,DY,;_, Panjang elemen struktur = 1 to 4 CX,CY Cosinus dan sinus -T sudut elemen struktur EA~ Komponen matriks •K = 1 to 4 ~e~akcan elemen struktur Mat:~iks deforrr,asi elemen XS ,----'global KM(J,K) = 0 R(J K) = 0 XM Matriks deformasi elemen lokal FM Matriks gaya elemen (~· lokal KM Matriks kekakuan elemen lokal ~-K-M(11J = EAL~M~3J~--:-EAL KM(3 1) ·o= -EAL. KM(3 3) = EAL R Matriks rotasi I

I

--~~-------

1

--T

t" -------

--~---

(/)

2 ~

2...,

PROCEDuRE GAYA ELEMEN; VAR I,J,K : INTEGER; NJ,NK,NMAT : INTEGER; P : ARRAY 11 .. 4] OF INTEGER; DX,DY,L,CX,CY,EAL : REAL; XS,XM,FM : ARRAY 11 .. 4] OF REAL; KM,R : M44; BEGIN FOR I:=1 TO NELEMEN DO BEGIN NJ := JJ[I]; NK := JKII]; l\!1AT := MATII]; P[l] := PXINJ]; Pl2] := PYINJ]; PI 3 l : = PX INK] ; PI 4] : = PY INK I ; OX := X[NK] ~ XINJ]; DY := Y[NK] ~ Y[NJ]; L := SQRT(DX*DX+DY*DY); CX := DX/L; CY := DY/L; EAL : = E [Nl1AT] *A INMAT] /L; FOR J:=1 TO 4 DO FOR K:=1 TO 4 DO Kl1[K,J] FOR J:=1 TO 4 DO FOR K:=l TO 4 DO R[K,J] KM [ 1 , 1] : = EAL ; K!1 [ 1 , 3 ] : = ~ EAL ; KH I 3 , 1] : = ~ EAL ; KM [ 3 , 3 ] : = EAL ; R [ ~ , 1 ] : = CX ; R [ 1 , 2 ] : = CY ; Rl2,1] :=~CY; R[2,2] := CX; R I 3 , 3 ] : = CX; R [ 3 , 4 ] : = CY; R[4,3] :=~CY; Rl4,4] := CX;

Bagan alir subprogram perhitungan gaya elemen struktur

---- y - - - - !"111) CX, R(1,2) CY i R(2,1) = -CY, R(2.2) = CX : R(3.3) = CX R(3 4} = CY R(4.3) = -CY. R(4 4) = CX

=

=

------=-r

<~~~

~

0; 0;

·-:__>-t,dak-,

•

FOR cT:=l TO 4 DO

_ _ _y______ _

XS(J) = XX(P(J))

I

XS(J) = 0

I

'-~--' ~-

~

'~

~_)

IF P[J]<>O THEN XSIJ]

:= XX[P[J]]

ELSE XS[J]

:= 0;

Penyusunan data input program komputer bagi contoh soal

·...·

W/2 2.8m

2.5m

0.1 w

..

0

Gambar 3.11.1

4m

Konfigurasi sistem struktur menara

Rangka Bidang

199

File Data ANALISIS RANGKA BA TANG BIDANC [KG-M] 8 0

0

0

4

JUDUL NNODAL X I I I, Y(II

0 8 1.5 8 8 3 4

3 3

0 1.5 4 2 1 1 1 7 1 1 1 21000000000 0.001164 13 1 2 1 1 2 3 3 4 1 4 1 5 5 6 1 7 1 6 7 8 1 1 1 8 2 8 1 1 8 6 1 2 4 8 4 1 1 4 6 3 -2955 1182 3 -5911 4 0 -2955 5 0

NR NJ, RX(NJI, RY (N,J) NMAT E I I I , Alii NELEMEN JJ (I), JKIII, MAT(II, BE BAN I I I

;\IF N,J' FX (NJ), FY(NJI

Arsip Hasil ANALISIS RANGKA BATANG BIDANG [SATUAN DALAM KG-M] JUMLAH KEBEBASAN STRUKTUR = 12 NJ PX py 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 3 5 7 9 0

11

0 2 4 6 8 10 0 12

,,-.


..------------------------------------------~-~~~"'~ Matriks Kekakuan Global Struktur : 17001441 1881175 0 0

-705441 -188117S

1881175 0 17238467 0 0 16296000 0 -6111000 -188:175 -16296000 -5016467 0

0 -705441 -6111000 -1881175 0 -16296000 0 6111000 0 34002881

0 0 0 0 0 0

0 -16296000 0 0 0 -705441 0 1881175 0 0 0 0

0 0 0 0

-16296000 0

0 0 0 0 0 0

0

0

-1881175 -5016467 0 0

0 -16296000 16143934 0 0 16296000 0 0 1881175 0 0 -5016467 0

-6111000

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 -16296000 0 0 0 0 1881175 -5016467

0 0

0

6111000

17001441 0 -6111000 -1881175 0 -16296000 0 0

0 0 0 0 0

0

-705441 :881175

-6111000 -1881175 -16296000 17238467 0 0 34002881 0 0

0 0 0 0 0

-6111000 0 0 0 0 0

16143934

MATRIKS GAVA NODAL PI PI PI PI PI PI PI PI PI

11 3J 2J 4J

51 6J 7J 8] 9]

p! 10 J PI 11 J

P[ 12]

0,000 1:82,000 0,000 -2955.000 0.000 -5911.000 0.000 -2955.000 0.000 0.000 0.000 0.000

SOLUSI PERPINDAHAN STRUKTUR I X[ XI XI X I X

X[

X[ X I X I X X

1]

2] 3l 4] 5] 6]

7] 8] 9]

I 10] I 11]

X [ 12]

0.000847 -0.000421 0.002472 -0.000905 0.002400 -0.000927 0.002400 -0.001420 0.000902 -0.000937 0.000838

-0.000351

GAYA

DAL.~

FM[ Fl1 I

2]

H![

3]

Fl1[

4]

ELEMEN KE-1

2573.429 0.000 -2S73.429 0.000

1]

GAYA DALAM ELEMEN KE-2 FM[ Fl1 I FM[ FM I

11 2I 31 4I

2955.000 0 . 00 0 -2955.000 0. 000

GAYA DALAM ELEMEN KE-3 Fl1[ Fl1[ Fl1[ Fl1[

1] 2] 3] 41

~

1182.000 0.000 -1182.000 0.000

CAYA DALAM ELEMEN KE-4 FM I FM I Fl1 I Fl1[

1I 2I 3I 41

-0 . 0 0 0 0. 000 0. 000 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-5 H![

11

~

2955.000

FM [ H![

FM [

0.000 -2955.000 0.000

2] 3] 4]

GAYA DALAM ELEMEN KE-6 FM I Fl1 [

2]

H![

3]

Fl1 I

4I

1]

~

57 2 5 . 4 2 9 0.000 -5725.429 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-7 Fl1 I Fl1 I FM[ Fl1[

1] 2I 31 4]

3563.993 0.000 -3563.993 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-8 Fl1[ Fl1[ Fl1[ Fl1[

11 21 3] 4]

197.656 0.000 -197.656 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-9 FM [ FM [ FM [

1] 2]

3]

143.089 0.000 -143.089

FM [

4]

0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-10 FM [ FM [ FM[ Fl1 I

1]

2]

~

3]

4]

-10 3 8 . 911 0. 000 1038.911 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-11 FM[ FM I FMi

1] 2] 3]

~

-407.518 0. 000 407.518

Fl1 [

4]

~

0 . 000

GAYA DALAM ELEMEN KE-12 FM[ FM[ FM[ Fl1[

1] 2] 3]

4]

~

3522.141 0.000 -3522.141 0.000

GAYA DALAM ELEMEN KE-13 Fl1[ Fl1 I Fl1[ Fl1 I

1] 2] 3] 4]

2958.820 0. 000 -2958.820 0. 000

Rangka Bidang

201

3.12 Soal - Soal Soal1 I. Rangka bidang dengan konfigurasi berikut ini : Dimensi elemen batang I dan 2 berupa profil lingkaran dengan ukuran sebagai berikut :

65cm t = 7 cm

32

Modulus Elastisitas Bahan E, 2.1 xI 06 kg/cm 2

=

Beban yang bekerja : q t!m tegak lurus elemen I dan beban 0.4q tegak lurus elemen 2 dengan arah seperti tergambar (beban angin).

PERT ANY AAN : a. Berapa derajat kebebasan struktur ? b. H itung besarnya parameter penampang elemen : A= luas dan I = momen inersia dan bentang elemcn I, dan 2. c. Susun matrik kekakuan elemen I dan 2 terhadap koordinat strukturlglobal: [k] 1 & [kb d. Rakit matrik kekakuan struktur berdasarkan derajat kebebasan struktur : [K L e. Apabila terjadi perpindahan maksimum di titik kumpul 2 sebagai berikut: I. perpindahan arah horizontal X 1 = 7 cm 3. perpindahan arah vet1ikal X 2 = 2 cm dengan arah scperti tergambar.

f.

H itung berapa gay a ekivalen P 1, P2, dan P_; pad a titik 2 dari persamaan [K Dcngan memperoleh nilai {P}, maka tetapkan nilai beban luar q.

1{x} = {P}

Catatan: Dalam mclakukan pcrhitungan. SUJXJ_>a dipcrhatikan perjanjian tanda arah positip pcrpindahan tnaupun gaya-ga) a.

202


Soal2 20 kN 3000 mm

I l

3000 mm

2

3000 mm

3000 mm

Dimensi elemen rangka bidang scperti tergambar adalah pipa baja diameter luar 150 mm dan tcbal 1.5 mm. Modulus elastisitas baja E, = 200000 MPa. Dengan beban scpcrti tergambar, diperoleh perpindahan titik kumpul sebagai: Perpindahan titik kumpullm] :itik

1 2

3 1\

5 6

Ul 0,0000 0,0000 -4,274E-04 2,382E-03 3,235E-03 3,450E-03

Per1anyaan : ..1. Tentukan dari persamaan

U2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

(S]

111

U3

0,0000 0,0000 -5,230E-03 1,831E-06 -2,809E-03 -7,765E-03

u3

1

p

u1

{;~} 111 = {F} 111 gaya-gaya dalam batang.

b. Gambar diagram gaya setiap elemen.

Soal3 Sistem rangka tergantung pada pendel 3. Pcnampang elemen rangka adalah profil I 300.300.16.23 ditahan pada bagian atas oleh baja tulangan D 25 mm bersifat elemen batang tarik/tekan (sendi di 2 diluar batang 1, 2). Perletakan sendi di 2 dan 3. Be ban yang beke~ja adalah beban segitiga q = 255 kN/m. Modulus Elastisitas bahan Ea= 200,000.00 MPa.

Rangka Bidang

203

rT/ I

Pcrtanyaan : a. lkrapa dcrajat kcbcbasan struktur '1 Clambar pasangan gay a/ ddormasi n:;. a pad a si stem. b. Hitung sil~tt- sil~tt pcnampang ckmen : I. A. c. Tetapkan matrik kckakuan ckmen [SJ 1 • JSb dan

1: /1

JSJ,. d. Tctapkan matrik kekakuan ckmcn terhadap koordinat struktur [kJ 1 .[kb dan Jkh. c. Rakit matrik kckakuan struktur JKL f. Tcntukan n:ktor bchan (Pi g. llitung JKJ,(Xi, = (P), untuk mendapatkan dcformasi (Xi,. h. Clamhar garis clastis struktur. i. Turunkan pcrsamaan g.aya normal sctiap elcmcn. I· Gamhar diagram gaya dalam. k. Bila simpangan horizontal izin = 15 mm. apakah si stem struktur rncmcnuhi syarat kckakuan ')

2'

Soal4 Rangka 8idang dengan konfigurasi berikut ini: bentang 2-3

=6 m

Dimensi elemen batang I , 2 dan 3 berupa protil baja I : A = 710 cm 2 dan batang 4, S : A= 350 cm 2 . Modulus Elastisitas Bahan 2 E, = 2.1 xI 0(' kg/cm Beban bekerja : q t/m tegak lurus elemen dan beban 0.4q tegak lurus elemen 2 dengan arah seperti tergambar (beban angin). Besar beban q = I .2 ton/m Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut :

sendi

+------------------------------. 15

a. b. c.

204

Ill

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S]. matriks transformasi [Tl, dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen. Rakit matriks kckakuan global struktur [K ]s


d. e. f. g. h.

Rakit matriks gaya nodal struktur {P)s. Hitung solusi perpindahan struktur dari hubungan (P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elcmen I & 2: (Ph. Gamharkan bcntuk struktur setelah berdcformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur.

Soal5 P= 100 kN

100 kN 100 kN 100 kN

16m I I

- '

8@10 m---

Gunakan program komputer untuk menghitung perpindahan titik-titik kumpul, reaksi perletakan dan gaya-gaya dalam rangka jembatan diatas. Luas semua pcnampang batang atas .:lan bawah = 45* I O' mm 2 • batang diagonal= 22.50 * I O' mm 2. Modulus elastisitas semua batang E = 200.000 MPa.

SoaiG

Soal7

100 kN

100 kN

100 kN

100 kN

I

lOO kN

I

4 1 - - - - 5 *_ _ _....:;6, __ ! I

16 rn

16 rn

j 2

3 -----2Ci_iJ10

-2(1il I 0 rn-

rn----

\ lana dari dua sistcm struktur rangka seperti gambar yang optimal bila dikaj i dari tanggap t..ekuatan elemen. E = 200.000 MPa dan A= 30* I 0' mm 2 •

Soal8 -\nalisis matrik kekakuan rangka bidang untuk pembcbanan luar seperti gambar menghasildeformasi [mm] :

~an

_ X1

x2 x,

X-1

x) J1 = L 1.25

1.95

-2.55

-0.45

0.25

Jr

Tentukan gaya-gaya dalam elemen yang terkait dengan perpindahan titik kumpul. Juga, 1itung beban ekivalen titik kumpul yang menyebabkan te1:jadinya deformasi. Rangka Bidang

205

EA

=

12,000 kg X2, P2

X1,

X4, P4 5

P1-~----~~--..X3,

P3

--l I

16 m I

~--------~~--------~L-~Xs,Ps

11

Soal9 ===-------_

y.. ~1o

kfi/'1'1.3

]

;:,~I

Dimensi elemen batang sistem rangka lengkung adalah protil pipa D 300*3.5 untuk batang atas dan bawah, dan pipa D 200*3.0 untuk batang tegak dan diagonal. Modulus Elastisitas Bahan Es = 200,000 MPa. Selain dari berat sendiri elemen, bekerja beban air dari tanki penampungan seperti tergambar. Lakukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan dengan urutan sebagai berikut : a. b. c. d. e. f. g. h.

Gambarkan penomoran titik kumpul (joint) dan penomoran kebebasan struktur dalam sistem koordinat global struktur. Tentukan matriks kekakuan lokal [S], matriks transfonnasi [T], dan matriks kekakuan elemen pada sistem global struktur [k] untuk elemen. Rakit matriks kekakuan global struktur [K]s Rakit matriks gay a nodal struktur ( P} s . 1-litung solusi perpindahan struktur dari hubungan {P}s = [K]s {X} Hitung kembali gaya-gaya dalam untuk elemen I & 2: {Ph. Gambarkan bentuk struktur setelah berdefonnasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur.

206


Soal10 20 kN 20 kN

20 kN

r C) I (_)

~I I

-~-----'"'---c:'-'=-~----'G""~---~f--""~--=---=;;: -

a.

----

-

--r -

---- -

__ --.J

Rangka atap

b. Profil batang alas dan bawah

c. Profii batang diagonal dan tegak

0 cnampang

elemen rangka atap terdiri dari susunan helai papan seperti pada gambar. \ lodulus Elastisitas Bahan Es = I 0,000 MP a. Se lain dari be rat sendiri elemen, bekerja C'cban terpusat vertikal dan horizontal di titik kumpul 7, 8, dan 9. !_akukan analisis untuk struktur di atas dengan menggunakan metoda matriks kekakuan ~cngan urutan scbagai berikut : Pcrtanyaan : ,:,_ Berapa derajat kebebasan struktur? Gambar pasangan gaya/ deformasinya pada sistem. ~ 1-litung sifat-sifat penampang elemen: A. Tetapkan matrik kekakuan elemen [S] 1 sampai [S] 15 • j Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k] 1 sampai [k ]1,. ~- Rakit matrik kekakuan struktur [K]s .-

Tentukan vektor be ban { P}

_ -

H itung [K ]s (X }s = { P L untuk mendapatkan def(xmasi (X }s. Gambar garis elastis struktur. Turunkan persamaan gaya normal setiap elemen. Gambar diagram gaya dalam. Bila simpangan vertikal = 40 mm, apakah sistem struktur memcnuhi syarat kekakuan?

~-

Rangka Bidang

207

4

Sruktur Kisi (Grid)

Sistem struktur Kisi atau Grid merupakan gahungan elemen-elemen yang terletak dalam satu hidang dengan hehan yang hekerja tegak lurus pada hidang tersehut. Beban inilah yang membcdakan sistem struktur kisi dengan portal hidang, hal mana pada portal hidang heban luar yang bekerja terletak dalam bidang portal itu sendiri. Geometri grid berupa kerangka balok. Pcnyederhanaan sistem struktur ba!ok dengan pelat seperti Gambar 4.1 a menjadi si stem struktur kisi (grid) dinyatakan dari be ban pelat yang diterima halok Dengan demikian unsur struktur kontinum pelat merupakan beban luar. Semua unsur elemen grid dan titik petiemuan herada dalam bidang yang sama, dan unsur elemen batang betiemu rigid pada titik kumpul.

~··.

. .

a. Sistem balok dan pelat sebidang

b. Beban dan sistem struktur kisi (grid)

Gambar 4.1 Sistem struktur kisi (grid)

Tanggap struktur terhadap behan dinyatakan oleh gaya-gaya dalam seperti Gambar 4.2. Elemen grid adalah elemen balok dengan tamhahan torsi 1momen puntir), di samping momen lentur. Gaya dalam di ujung A adalah momen puntir F 1, momen kntur F2, dan gaya geser F,. Defonnasi yang berhubungan dengan ketiga gaya ini adalah puntir _\. 1, rotasi L'l 2 • dan perpindahan L'l,. Hal serupa pada uj ung B, deformasi yang berhubungan dengan ketiga gaya-gaya F 1, F2 F3 adalah puntir L'l.J, rotasi l<. dan perpindahan L'lc,. Sebagaimana didefinisikan, matrik kekakuan elemen mendefinisikan hubungan antara keenam gaya dalam dengan deformasi. Hubungan ini dinyatakan sebagai

Fl.

"'I

Ym

Gambar 4.2 ldentifikasi gaya/deformasi ujung elemen grid

Grid

209

Fl

~I

F2

~2

F3 E~

=

~3

[s

~4

Fs

~5

F6

~6

atau [s]{~} = {F}

(4- I)

hal mana

~I GI,

e 0 0

[s] =

~2

~3

~5

~6

0

0

0

0

2Eiy

6EI y

e

el

4EI,

e

6EIY

---

el

6EI)

12EI,

e2

p3

---

0 0

6EI ji2

12EIY

---

e''

--------------------------------

GI, ji

0 0

0

2Eiy

e 6EI 1 p2

0 0

12EI,

---

r'

GI,

e 0 0

0

(4- 2)

0

4EIY

6EIY

(!

el

6EI,

12EIY

[2

t'

Pengaruh lentur pada elemen grid tidak dipengaruhi oleh peri laku puntir, dan setiap unsur dapat secara bersamaan ditetapkan. Vektor l F2, ~2 ],[

F3, ~3 ],[ Fs, ~5 ], dan [ F6, ~ 6 ] adalah akibat pe-

G.l I

ngaruh lentur di kedua ujung elemen. Hubungan antar vektor ini seperti pada elemen balok. Kolom pertama dari pcrsamaan (4- 2), yang merupakan pengaruh puntir dapat dijelaskan dari mode kompatibilitas seperii pada Gambar 4.3. Bila satu satuan puntir ~ 1 dikerjakan pada ujung A, dan ujung B dikekang, maka terdapat torsi atau momen puntir pada kedua ujung.

Gambar 4.3 Mode kompatibilitas 1 grid


d6 T(x) (T(x) F*€ . - = - - atau 6 = = - - , sehmgga dx GJ GJ GJ

f-0

untuk 6 = 6 1 = I : GJ S 11 = - yang merupakan momen puntir (torsi) di A. Untuk menjamin keseimbangan,

e

GJ haruslah di ujung B besaran momen puntir S 41 = - . . Hal serupa bagi kolom ke empat, f GJ dengan mode kompatibilitas 4, diberikannya satu satuan puntir 6 4 = I, S 44 = - . , dan

t

GJ S14=--. \'1atrik

e [s] d idefinisikan

sebagai Matrik Kekakuan Elemen. Vektor {A} dan

{F}

berturut-turut

menyatakan derajat kebebasan elemen dan gaya ekivalen ujung.

4.1 Derajat Kebebasan Dan Matrik Kekakuan Struktur Apabila ditinjau Grid sebagai sistem struktur, maka konsep geometri bidang adalah konfigurasi dari elemen-elemen lurus dirangkai bersama secara monolit, seperti halnya dengan portal bidang, tetapi dengan beban luar yang bekerja tegak lurus pada bidang. ldentifikasi perpindahan/perubahan pada sistem akibat beban luar dinyatakan dengan perpindahan translasi normal terhadap bidang dan rotasi titik-titik kumpul. Contoh sistem ~rid seperti pada Gambar 4.1.1 Titik kumpul I, 2, 11, 12 adalah perletakan jepit, titik 3, 4, 7, 10 berupa sendi. Tidak ter:jadi baik perpindahan translasi maupun rotasi di 1, 2. 11, 12. mengingat si fat perletakan jepit. Titik kumpul 3, 4, 7, I 0 dapat berotasi. Karenanya ada dua derajat kebebasan. Bagi titik-titik kumpul lainnya, setiap titik dapat bertranslasi dan bcrotasi. Dengan demikian, derajat kebebasan strukur NX = 2 * 4 + 3 * 4 = 20. Derajat kebebasan struktur ini dapat dihitung berdasarkan rumus :

'\!X= 3NJ- 3NFJ- NPJ

( 4 - 3)

hal mana '\J '\FJ '\PJ

= jumlah total titik kumpul, termasuk perletakan = jumlah titik yang sifatnya JEPIT = jumlah titik yang sifatnya SEND!

Perpindahan garis elastis yang menyatakan perubahan posisi sistem struktur dapat dihitung. Gambar 4.1.2 memperlihatkan perubahan posisi sistem secara skematik. Derajat kebebasan titik dinyatakan dcngan vektor X, . Arah vektor positif seperti terGambar. Sepe1ii juga halnya dengan elemen, te1:jadinya perubahan posisi titik kumpul berakibat oleh heke1janya gaya . .\pabila setiap vektor perpindahan/rotasi titik kumpul diakibatkan oleh vcktor gaya ekivalen

Grid

211

yang bekerja di titik kumpul terse but, maka kedua vcktor terse but berpasangan. Gambar 2.3 .3 mcnyatakan vektor gaya ckivalen yang mengakibatkan te1:jadinya perpindahan/rotasi titik.

X

Gam bar 4.1.1 Si stem Struktur Kisi ( Grid) /

/

-

b1dan~

_,.-··-··--··-··-

:\- Y

·,, \

/

/

/

i

i

i

X

/

\

/

p

./

'

i : I

/./

/

X,

/

/

/

/

P,

·-··-. ----··-··-··-··-··-

b. Vektor gaya ekivalen titik kumpul

a. Garis elastis dan vektor perpindahan/rotasi titik kumpul

Gambar 4.1.2 Garis elastis, vektor deformasi dan gaya ekivalen

Hubungan antara vektor perpindahan/rotasi dengan vektor bcban ekivalen adalah : I' I r2

11

K 12

Ku

21

Koo

K21

K 24

P, p4

ll

K:z

K,,

K14

Kll

K i2

Kj;

K i4

K;j

K 21JI

K ~n2

K 201

K 204

K2o;

Kl4

KilO

XI

K2i

K 210

.K,I

K21o

x, x, x4

.KI.i

a tau I' I

P2o

Matrik

[K] d idefin iskan

K;>o

K

{r}=[K]{x}

X;

X;o

sebagai MUrik Kekakuan Struktur.

Unsur matrik Ku merupakan hasil rakitan unsur-unsur matrik elemen yang ujungnya terkait menyusun titik kumpul. 212 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

4.2 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur Pcrakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memcrlukan proses transfonnasi koordinat. Pada :'crakitan unsur [K] di titik kumpul 6, sistem koordinat elemcn batang 2. 4. 5. dan 6 yang ··:cnyatakan hubungan [S] (L',)={F) harus ditransformasikan ke dalam sistem koordinat struk:Jr global (Gambar 4.2.1 ).

Gambar 4.2.1 Nomor elemen struktur grid

p,,5isi koordinat elemen/lokal terhadap koordinat struktur/global untuk elemen batang 4 '"'perti pada Gambar 4.2.2 z.Z

Gambar 4.2.2 Transformasi [S]{C.} = {F} ke [k]m{X}m = {P}m

:Jengan sudut e yang dibentuk elemen batang 4 terhadap absis x. besaran gaya ujung elemen _F F2 F1 F4 F, F,,j dinyatakan denganlP P2 P1 P4 P, P,,j melalui transformasi koordinat 1

· Gambar 4.2.3 ). Vektor t-, 3 • X 3 , dan t-, 6 , X 6 tidak terpengaruh akibat perubahan putaran -udut e. sehingga transformasi gaya kepada sumbu sistem struktur menjadi

Fl r

r, -

cose

sin 8

0

0

0

0

PI

sinG

cos8

0

0

0

0

p2

Fi

0

0

I

0

0

0

p"

F.j

0

0

0

cos8

sin 8

0

p.j

F,

0

0

0

-sine

cose

0

Ps

F,,

0

0

0

0

0

atau {F}

=

]{P]

( 4 - 5)

p6 Grid

213

perpindahan

Juga

Lx~

x2 x,

r r

X4

x, x"J

elemen

ujung

L~~ ~2 ~, ~4 ~5 ~6 J

sine

0

0

0

0

L\2

-sine

cose

0

0

0

0

,;'\:1

0

0

0

0

0

0

0

0

cose

sine

0

L\5

0

0

0

-sine

cose

0

,;'\6

0

0

0

0

0

=

dengan

melalui transformasi koordinat.

cose

atau {!\}

dinyatakan

x, 1 x2 x:1 x. X-

(4- 6)

r

x:

[T]{X}

Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat dari sistem koordinat elemen kedalam sistem kordinat globallstruktur. Mcngisikan ketentuan kedua persamaan ini kedalam persamaan ( 4 - I )

[s]{L\}={F} akan diperoleh matrik kekakuan elemen yang ditinjau dari sistem koordinat globallstruktur sebagai berikut :


........................................----------~----------~ CD

Gl,

0

0

4El,

_ 6El,

6EI,

-7

0

G 0

GI,

@

6EI,

0

t'

t'

eo se

12EI,

6EI

_ 12EI,

-si nO

0 0

_ I2EI, 11

t'

0

6El,

r'

2EI,

0

2El,

0

0

-~

0

0

0

@

0 G 0

CD 0

0 0

,,

--~-,

Gl,

0 0

0

0

4El,

6El,

6EI,

12EI,

t'

11

I

0

case

0

0

,,

0

sin8

0

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

cose -sinG

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin{-) case 0

0 0

I

XI

cosO

x, x, x.

-sine

sin8 case

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

case

X;

0

0

0

-sine

case

Xr,

0

0

0

0

0

0

0 sine

P, 1 P,

0

,,p" )

a tau

P-

0

I

p:

(4- 7)

(s ](T]{x} = (T]{P} [T]-

Mengalikan persamaan (4- 7) dengan matrik invers

1 :

(T]- (s ](T]{x} =(T]- (T]{P} (T]- [s ](T]{x} = {P} 1

1

(4- 8)

1

Matrik invers

[Tr =I

[T]-

1

juga merupakan matrik transpose

cos e

-sine

0

0

0

0

sine

cos e

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cos e sine

-sine

0

cos e

0

0

0

0

0

0

[Tr:

.

sehmgga

[T]-I [s ][T]{x} = [Tr[s ][T]{x} [Tr [s ][T]{x} = {P}

Gtid

215

z,Z

Perkalian

.

IT]

0

[k]m

j}J �

IT]

[I] 216

IT]

4EI Gl 2 2 --' cos 8+--'sin 8 [ f. 4EI ) (GI -' ---' sin8cos8

(

t

6EI --'sinS £

? 2EI . 2 Gl --' cos-8+-sm e £ e -

(GI

t

--' +

2EI ) --' sin8cos8

t

6El, . - -·sinS 2 [

Am rinsyah Nasution,

0

(GI,

e

e

6EI,

e3

6EI ---' (2 cos8

e

J

12EI,

.

2EI, . 2 Gl, 2 ---cos 8+--· sin 8 [ f! 6EI --' cos8 2 £

Tabel 4.2.1

. O Sin

6EI -' cos8 2 c

fi'

2EI, (GI, - --+--· sin8cos8

t

t

_

Gl, . 2 12EI 2 --sin 8+--cos e

e

kan unsur matrik [k]111, seperti dijelaskan pada tabel 4.2. I. lndeks dalam kotak persegi I, 2, 3, 4, 5, 6 menyatakan besaran arah positip gaya dan perpindahan kedua ujung elemen dalam sistem koordinat struktur/global .

0

4El,). sin8cos8

6EI, . --·sinS {2

---· sm8 6EI, . {2

12EI,

{

�

2EI . 2 Gl 2 --'cos 8+-sin 8 e f.

2EI,) . (GI, - --+--· sin8cos8

€

e

6EI - 'sinS 2

t

(GI,

t

6EI,

--·

2 e

f.

4EI,). sin0cos8

e

--- --·

. sm8

- --· sinS

2EI ) (GI ' sin8cos8 - --'+-£ e

6EI,

2EI, . 2 Gl, 2 ---cos 8+--· sin 8

e

6EI,

.

(GI

e

c-

4EI,

-' --·

e

6EI, --cos8 2 [

e

12EI, e

J

-

sin8cos8

4EI, Gl 2 2 --'sin 8+--· cos 8

e

6EI, cos8 2

e

t

.

2 [

· --- sinS ?

? 4EI, ? Gl --' cos-e+--· sin-e

f.

[I]

IT]

Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

transformasi

[T]T[s][T]. Hasil perkalian unsur ketiga matrik merupa

.... X

-----·

[T]T[S][T] merupakan

matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur. Dinamakan hasil perkalian sebagai matrik kekakuan elemen [k]111 =

X6.P6 �Xs . P s ��x4,P.4 ...

matrik

12EI,

e'

6EI

( 'sinS 2

6EI

( ' cos 2

O

4.3 Matrik Kekakuan Struktur [K]s

Matrik kekakuan elemen [k ]m menj adi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [ K ] . Meninjau penyusunan unsur matrik kekakuan struktur d i titik kumpul 8, maka prosedur menggabungkan indeks unsur kekakuan elemen [k]m dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks deraj at kebebasan elemen. Untuk elemen 6 indeks unsur elemen 4, 5, dan 6 sama dengan indeks derajat kebebasan 1 3 , 1 4, dan 1 5 ; sedangkan bagi elemen 7 indeks unsur elemen I, 2, dan sama dengan indeks deraj at kebebasan struktur 1 3, 1 4, dan 1 6. Pesamaan [ 1 3 7] menjelaskan posisi indeks elemen dengan indeks struktur di titik kumpul 8. -

i

- -· -···-· -· -X-Y .b1dang .

.......

... . ...

' /./'

/4

i i

,.� ,.,. / I .

.

..

...... ...

.

. ... .

.... ....

.. '··,,., ...

....

..

X.

.

......

...... ....

·.\

. '·.,

\

i

J

/1

X1,

\

//

.

,

.,

,

.

,

.

'· ,..,.., -·--��---·--··-··-··-··-..-··- - . �/..,. / _

!A !A � � &� --- indeks derajat kebebasan struktur

[1] 0 QJ kll k12 ku �[I] k21 k22 k23 �0 k 1 k, k ] k [ ]2 = �0 k 1 k 2 k ] �0 k41 k42 k43 �0 k,61l k,2 k53h 62 3 �0

� kl4 k24 k34 k44 k,4 k64

� kl\ k25 k]j k4, k,, k65

0 --- indeks derajat kebebasan elemen klh k26 k ,6 K = kekangan k46 k,6 k66

& & 6 b. &&--- indeks derajat kebebasan struktu r

[kL

=

[1] kll 6[1] k 6.0 21 &0 k31 �0 k41 �0 k,l �0 k61

0 k12 k22 k32 k42 k,2 kh2

QJ kll k23 k33 k 43 k53 kr,]

� k14 k24 k34 k44 k,4 k h4

� kl\ k25 k, k45 k,, k6,

� kl(> k26 k36 k46 k,6 k66

--- indeks derajat kebebasan elemen

Grid

217

& 6 �& ��

[i] 0 0 k �[I] ,, k12 kl3 &0 k21 k22 k &0 k11 k12 k]] LJ1. 0 k41 k42 k41 �0 k51 k52 k51 &0 k61 k62 k6] 21

[k]5 =

� k,4 k24 k14 k44 k54 k64

� k,s k 25 k15 k45 kss k65

� kl6 k26 k16 k46 k56 k66

& 6 � � &�

[k]7

=

[i] 0 0 �[I] kll kl2 kl3 &0 k21 k22 k2.1 &0 kll k12 k" &0 k41 k42 k4] �0 ks1 ks2 k51 �0 k61 k(,2 k6] ,L1

� kl4 k24 k14 k44 k54 k(>4

� k15 k25 k3 5 k45 kss k65

� kl6 k26 k36 k46 k56 k66

+--+---


+--+---


Berdasarkan persamaan ( 4 - 4) unsur K;1 bagi derajat kebebasan d i titik kumpul 6 adalah : K66 = k �6 + k �6 + k i l + k i K67 = k i2 + k i K6s = k i, + k J, Kn = k � 2 + k i

( J ( ( J K78 = (k �, + k i, ) Kss = (k �3 + k ;3 ) K76 = K67; Ks6 = K6s· Unsur

matrik

}

J

(

k 'IJ

d i h itung

menggunakan

persamaan pad a Tabel 4.3 I dengan 8elemen sesuai posi s i e lemen terhadap absi s -X koordi nat struktur. Dengan mengis i kan unsur-unsur matrik K;1 dari .

rakitan unsur matri k I

k�,

,

terbentuk persamaan

l i near simu ltan dengan variabel X; J i ka persamaan .

i n i d i selesaikan untuk mempero leh vektor {X},

maka perlu d itetapkan vektor be ban { P} terlebih dah u l u . Vektor {P} menyatakan besaran beban titik kumpu l ekivalen TITI K KUMPUL yang bebas. Besarnya unsu r vektor {P} sama dengan besarnya beban ekivalen di titik kumpu l kondisi titik kumpu l terkekang penuh, akan tetapi berlawanan arah. U nsur matrik struktur [K], setel ah d i l akukan proses perakitan setiap unsur matrik e lemen :

21 8

Amrinsyah Nasution ,


&. &.

£

&

&

�

K 12o

XI

PI

K21 K22

K26

K27

K28

K22o

Xz

P2

x

p6

IKII K 12

K 16

K"1 K"2

.

K11 Kn Ks1 Ksz K2o1

K2o2

K66= (k�'6 + k466 + k\ll + kll7 ) K7<>=(ki2 + kiz} Ks6 K2o6

Ki7

K 1s

K67=(ki2 + kiz) K6s=(ki3 + k �J

K

Kn=(k;2 + kiz} Kn=(k�3 + kiJ

K12o

k;J Kss=(k�3 + kU

Kszo

I Ks7=(k�3

+

Kzo7

Kzos

6

,2o

Kzozo

x7

p7 l's

Xs

P2 o

Xzo

4.4 Vektor Beban Ekivalen {P} z]

z

X

(a) Pola pembebanan elemen dan gaya kondisi terkekang

Gambar 4.4.1

(b) Ga ya kondisi terkekang penuh pad a

Transformasi gaya kondisi terkekang

\1emperhati kan Gambar 4.4. l .a besarnya gaya-gaya uj ung kond isi terkekang pen u h sama Jengan menghitung FET. FEM, dan FEQ. kedua uj ung balok dalam sistem koord inat clemen/loka l . Dengan sudut 8 yang d i bentuk elemen batang i terhadap absis X. besaran gaya ujung e lemen

l P01 P02 P0, P04 P05 P06J

d inyatakan dengan

me l a l u i transformasi koord inat ( Gambar 4.4. 1 b) :

l F01 F02 F0, F04 F05 F06J Grid

219

(4 - 9

FFoO2I FFoo,4 FFoos6

oPo2 PPoos4 {FoL, =[T]{P0}, Po6 P

cose

sine

0

0

0

0

- sine

cose

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

cose

sin e

0

0

0

0

-si n e

cos 8

0

0

0

0

0

0

1

P 03

(4- 9)

atau

1 Menga l i kan kedua suku dengan matrik invers [Tr , mengingat matrik tnvers [Trl maka :

oPo2 Po4 P l

cose

- sine

0

0

0

0

sine

cose

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

cose

- si n e

0

P os

0

0

0

sine

cose

0

P o6

0

0

0

0

0

Pm

Dengan menetapkan vektor yan g bekerja, unsur vektor

FF0ol2 FFoo4, FFoo6s

atau

{PaL,

=[Tr

{FoL,

[T] r ,

(4 - I 0)

{ P L, bagi setiap elemen berdasarkan kontigurasi beban l uar {P0} d igunakan mendapatkan matrik gaya ekivalen { P } sistem

0

m

struktur. Apabila ditetapkan ( P h sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban l uar yang bekerj a ditengah bentang, dan matrik gaya { P }J sebagai akibat bekerj anya be ban l uar di titik kumpul, maka : + 1 E

{P}

{P} {P} =

Menjelaskan penyusunan matri k { P } , d it i njau perakitan gaya titik kump u l ekivalen d i titik kumpu l 6 . Elemen batang 2 d i bebani beban P terpusat, titik kumpu l 6 menerima gaya F�4,F�,,F�6, sedangkan e l emen 4 d i bebani beban merata q1, dari element 5 beban merata trapesium, dan dari e lernen 7 beban l uar torsi t [satuan gaya/bentang). Posisi dan besaran gaya seperti pada Gambar 4.4.2, menunj ukkan vektor gaya-gaya uj ung akibat beban l uar pada kond isi elemen terkekang penuh. Pada masing-masing uj ung elernen 2, 4, 5 dan 7 yang berternu di titik 6, besaran gaya uj ung ekivalen dalarn sistem koord inat struktur adalah :

{P0P054l l P o6

220

2

cose

- sine

= - sine

cose

0

0

Oj{F0F054l {P054ll F0(, 4 P

0

I

2

0

P 06

cose

- si ne

= - sine

cose

0

0

Amrinsyah Nasurion, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

(4 - I I a)

r'll P05 P o6

=

�

c se

- sin8

- sm8

cos8

5

0

0

or l l , rl 0 I

Fos Fo6 )-

4 Fo 3

P02 Po,

4 F o6

4 F o1

Gambar 4.4.2

=

�

c se

- si n8

- s1118

cos8

0

7

0

or l , 0 I

Fo2 Fo,

7

F os

(4 - l l b)

7

7

F o6

7

Fo4

Ps

Vektor gaya ujung kondisi terkekang

Dengan dem i kian besarnya gaya bagi kesei mbangan d i titik kumpul 6 (Gambar 4.4.3) : (4 - 1 2)

Besarnya vektor gaya d i titik kumpul 6 d iperoleh dari kondisi tanpa kekangan yang merupakan n ilai persamaan (4 - 1 2) dengan tanda yang berlawanan, beserta besaran gaya luar d ititik kumpul : (4 - 1 3 )

Grid 2 2 1

Gambar 4.4.3

Beban dan vektor gaya

Perakitan matrik beban { P } bagi semua titik kump u l lainnya dapat d i l akukan dengan memperhatikan sifat pembebanan setiap e l emen yang membentuk titik kump u l .

4.5 S o l u s i [K]{X} = {P} Setelah memperoleh unsur matrik [K] dan matrik { P } , l angkah se lanjutnya adalah mendapatkan so lusi persamaan [KI{X} {P} untuk matrik { X } , hal mana unsur matrik { X } adalah besarnya perpindahan/rotasi setiap titik kump u l . M etoda Dekomposisi L U atau Cholesky banyak d igunakan mendapatkan unsur [K]{X} = {P}. =

222

Amrinsyah Nasurion, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

4.6 Gaya-Gaya Dalam Elemen Has i l sol u si ( X } digunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam uj ung e l emen dan reaksi perletakan . U nsur matri k { X } merupakan data bagi perhitungan. Apab i l a ditinjau e l emen 4 pada Gambar 4.6. 1 , maka kedua uj ung elemen yang mempunyai derajat kebebasan yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah :

Gambar 4. 6. 1

�CO

80 &0 &CD

b0 .&0

l ndeks derajat kebebasan struktur dan elemen

� �&& 6 � [1]

kll

0 [3] � k l2

k l3

k l4

� [6] k l5

k l(

k2 3

k 24

k 25

k 26

)

k 21

k 22

k ,,

k 32

k 33

k ,4

k ,s

k 36

k4 1

k 42

k 43

k 44

k 45

k 46

k sl

k 52

k53

k54

k55

k 56

k 61

k 62

k 63

k 64

k 65

k 66

X � = X,

xi= x4 4 X 3 =X5

X � =X6 x� = X 7

X � =X8

4 pI

p� 4 p3 4 p4 4 p5 4 p6

P, p4 Ps Pc,

(4 - 1 4)

p7 Ps 4

M enyelesaikan persamaan (4- 1 4) menghasi l kan { P}6 . Dengan h ubungan

Grid

223

Fl F2 F3 F4 Fs F6 4

eo se

- sine

0

0

0

0

PI

sine

eose

0

0

0

0

p2 p3 p4

0

0

I

0

0

0

eose

- sine

0

0

0

0

sine

eo se

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(4 - 1 5 )

Ps

p6 4

besarnya gaya d al am rencana e lemen pada kedua uj ung ada l ah :

FET; Fl FEQ; F2 FEM; F, + FET F4 FEQ Fs F6 4 FEM 4

Ts-6 Ms-6 Os-6 Tr,-s M6-s 06-5 4

ql

(4 - 1 6)

.I

F4

.I

J

Gambar 4.6 . 2

Gaya-gaya Ujung Elemen

4.7 Contoh D i ketahui struktur grid seperti gambar di bawah i n i . Parameter dan sifat unsur : E = 20000 M pa; u = 0.25

1-

1

,

,__""________ ,_18000 - ,,--, --

-+-1 'l

-

'

0 0 0 ,.._

g

0 0

I

L_

-7200-

Gambar 4.7. 1

224

----'---,---1 J

Geomertri sistem struktur kisi (grid)

Amrinsyah Nasurion , Metode Matrik Kekakuan Anafisis Struktur

-5000 -

_j

I g

0

_j

_

Pembebanan struktur sebagai berikut :

jepit

Gambar 4.7.2

Pembebanan struktur kisi (grid)

Anal isis g rid u ntuk s istem stru ktur dilaku kan melal u i p roses : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

8.

9.

1 0. 1 1. 1 2. 1 3. 1 4.

M enentukan parameter penampang/analisis penampang Menetapkan derajat kebebasan struktur Mengh itung matriks kekakuan struktur e lemen [S] m M enjabarkan matriks kekakuan elemen [k] 111 terhadap sumbu struktur M erakit matriks kekakuan struktur [k]s M enjabarkan vektor beban e l emen { F o } m M erakit vektor beban bentang e l emen { P } m M enyusun vektor beban titik kump u l Merakit vektor beban struktur {P}s M enyelesaikan persamaan [ K]s{ X }s = {P}, M enyelesaikan vektor { X } m dari setiap elemen M engh itung { L'. } 111 M enetapkan gaya-gaya dal am uj ung elemen M enggambar d iagram gaya-gaya dalam

Proses analisis d i atas d ikerj akan untuk tiap-tiap elemen.

Grid 225

Derajat Kebebasan Struktur R4

(2)

Gambar 4.7.3 Elemen

lndeks derajat kebebasan struktur

1

b

3 50

h

mm

600

mm

20000 MPa

E A

1

3

--

2 1 0000 101 82 , 3 4

a lpha

mm' mm

45 0, 25

u

8000 6 , 300E+09

mm'

4

5 , 4 5 4 E+09 mm

5 , 04 N /mm 4 5000 N /mm

( be r a t s endiril ( beban s e g i t i ga )

-4,285E+09

4,285E+09

[SL

[TJ1

226

4,950E+10

-7291666,7

2,4749E+10

7,292E-:-06

-7,292E+06

l,432E+03

-7291666,7

-1432' 2186

2,475E+10

-7,292E+06

4,950E+10

7291666,67

7 I 292E+06

-1,432E+03

7,292E+06

1,432E+03

4,285E+09

-4,285E+09

0

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000


[T]Tl

[k],

Elemen

0,707

-0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

-0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,707

0,707

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

3,927E+10

®

-2,769E+10

@

6,315E+06

1,642E+10

G)

-1,778E+10

CV

-6,315E+06

-2,769E+10

2,796E+10

-5,156E+06

-1,778E+10

9,161E+09

5,156E+06

6,315E+06

-5,156E+06

1,432E+03

6,315E+06

-5,156E+06 -1,432E+03

6,315E+06

3,927E+10

-2,769E+10 -6,315E+06

1,642E+10

-1,778E+10 9,161E+09

-5,156E+06 -2,769E+10

2,796E+10

5,156E+06

-6,315E+06

5,156E+06

-1,432E+03

5,156E+06

1,432E+03

E

2 0000 MP a 2 1 0000 rrun"

A

4 8 14 , 33

L alpha

J q�

T

-6,315E+06

@

® @ G) CV

G)

2

3 50 600

\'

G)

-1,778E+10

b h

G I

@

- 80

rrun rrun

rrun

0, 25 8000 6 , 3 00E+09

rrun'

' 5,4 5 4 E + 0 9 rrun 5 , 04 N/rrun 1 0000 N-m/m

(berat s endi r i ) ( beban t o rs i )

-9,063E+09

9, 063E+09

[S],

[T],

[T]Ta

1,047E+ll

-32617427

5,2344E+l0

3§262E+07

-3 I 262E+07

1, 355E+04

-32617427

-13550,136

5,234E+l0

-3,262E+07

1,047E+ll

32617427,1

3,262E+07

-1,35SE+04

3,262E+07

1,355Ev04

9,063E+09

-9,063E+09

0,174

0,866

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,866

0,174

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,174

0,866

0,000

0,000

0,000

0,000

-0,866

0,174

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,174

-0,866

0,000

0,000

0,000

0,000

0,866

0,174

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,174

-0,866

o,oco

0,000

0,000

0,000

0,866

0,174

0,000

o,oco

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

Grid 227

®

[k],

®

7,879E+10

-1,438E+10

-1,438E+10

9,954E+09

0

-5,664E+06 -9,235E+09

®

-9,235E+09

-2,825E+07

-5,219E+09

5,664E+06

2,825E+07

-5,664E+06

1,35SE+04

2,825E+07

-5,664E+06 -1.355E+04

-9,235E+09

2,825E+07

7,879E+10

-1.438E+10

-9,235E+09

-5,219E+09 -5,664E+06 -1.438E+10

9,954E+09

5,664E+06

-1,3SSE+04 -2,825E+07

5,664E+06

1,355E+04

5,664E+06

3

4 0 0 mm 9 0 0 mm

b h

2 0 0 0 0 MP a ' 3 6 0 0 0 0 mm 7 72 5 , 28 mm

E A L

alpha

-2,825E+07

Q) ®

' 2 , 43 0E + l 0 mm ' 1 , 3 84E + l 0 mm

=

I

=

J

® ® ® @

8 , 64 N / mm . 3 5 0 0 0 N / mm .

qs q,

( be r a t sendiri ) ( beban mera t a l

-21 0 , 25

V

G

8000

[S],

[T],

(T]T 3

[k],

228

®

3,898E+10

3,898E+10

-2,825E+07

Elemen

®

2,825E+07

1"�33E+10

0

0

-14333693628

0

0

0

2,516E+11

-48860589,81

0

1,25821E+ll

4,886E+07 -12649.52721

0

-4,886E+07

1,265E+04

0

-48860589,81

-1,433E+10

0

0

1,433E+10

0

0

1. 258E+ll

-4,886E+07

2,516E+ll

48860589,81

0

4,886E+07

-1.265E+04

4,886E+07

1,265E+04

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0, 934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1. 000

1,249E+10

Q)

-5,906E-02

Q)

-5,906E-02

2,193E+ll

1,302E-05

®

1,302E-05

CD

-1,249E+10

-4,562E+07 -3,488E-02

0

®

1,097E+ll

4,562E+07

-3,488E-02 -1,302E-05

-4,562E+07

1,265E+04

1,302E-05

-4,562E+07 -1,265E+04

-1,2491!:+10 -3,488E-02

1,302E-05

1. 249E+10

-5,906E-02 -1,302E-05

-3,488E-02

1, 097E+ll

-4,562E+07

-5,906E-02

2,193E+ll

4,562E+07

-1. 302E-05

4,562E+07

-1.265E+04 -1,302E-05

4,562E+07

1,265E+04


0

® ® CD 0

®

4

Elemen

b

400

mm

h

900

mm

E

20000

A

3 6 0000

L

0 , 25

V

G

8000

I

2 , 4 3 0E + 1 0 1 , 3 84E+10

J Pt

' mm

5 2 1 0 , 0 5 mm -2 1

a l pha

qs

MP a

MP a

' mm mm'

8 , 6 4 N / mm

=

2,1251!:+10

[S],

( be r a t sendiri ) (beban terpu s a t )

200000N

0

0 -107424629

1,865631!:+11

1,0741!:+08

4,1241!:+04

-107424629

-41237,47161

1,0741!:+08

2,1251!:+10 0

0

0

2,1251!:+10

0

1,8661!:+11

-1,0741!:+08

0

3,7311!:+11

107424629

1,0741!:+08

4,1241!:+04

1,0741!:+08

[T] •

[k],

-4,1241!:+04

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000 0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

G)

1,000

-5' 1721!:-02

-2,8641!:-05

1,6261!:+11

1,003E+08

0,000

[T]T,

0

-21253511590

0 3,7311!:+11

G)

@

@

@

1,852E+l0

G

-8,7 571!:-02

-8,7 571!:-02

3,2521!:+11

2,8641!:-05

-1,0031!:+08

4,1241!:+04

2,8641!:-05

-1,0031!:+08 -4,124E+04

-1,852E+10 -5, 1721!:-02

2,864E-05

1,852E+10

-8,757E-02 -2,864E-05

2,8641!:-05

-1,8521!:+10

-1,0031!:+08 -5, 1721!:-02

-5, 172E-02

1,626E+11

-1,003E+08 -8, 757E-02

3, 252E+11

1,003E+08

-2,8641!:-05

1,003E+08

-4,124E+04 -2,864E-05

1,003E+08

4,124E+04

Elemen5

b

400

mm

h

900

mm

E

20000

A

360000

L

6 2 5 1,20

alpha V

MP a

G

mm

J

mm '

I

q, q,

G) @ C0 ® (2)

®

-2 1 0 , 25 8 0 0 0 MPa ' 2, 4 3 0 E + 1 0 mm ' 1 , 3 8 4 E + 1 0 mm 8 , 6 4 N/mm 2 5 0 0 0 N / mm

(be r a t s endi r i ) ( beban mera t a )

Grid 229

1, 771E+10

-17713687521

0 3,110E+11

[Sls

7,462E+07

-74620890,69 2,387E+04

[Tls

[T]Ts

7,462E+07

-74620890,69

-23874,09286

0

0

1. 771E+10

0

1,771E+l0

1,5549E+11

0

1. 555E+ll

-7,462E+07

3,llOE+ll

74620890,69

0

7,462E+07

-2,387E+04

7,462E+07

2,387E+04

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1. 000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,934

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

@

[k],

1,544E+10

-7, 298E-02

1,989E-05

-1,544E+10 -4,310E-02 -1. 989E-05

®

@

@

-7,298E-02

2,710E+11

-6,966E+07

-4,310E-02

1. 355E+ll

6,966E+07

1. 989E-05

-6,966E+07

2,387E+04

1,989E-05

-6,966E+07 -2,387E+04

0

1,989E-05

1,544E+10

-7,298E-02

-1,989E-05

-4,310E-02

1. 355E+11

-6,966E+07

-7, 298E-02

2, 710E+ll

6,966E<-07

-1,989E-05

6,966E+07

-2,387E+04 -1,989E-05

6,966E+07

2,387E+04

-1, 544E+10 -4,310E-02

L

0


®

0 ®

® (@

®

Pera kitan matriks keka k u a n struktur

0,

[K] s

=

I

1 ,249E+10 -5,906E-02 -1,249E+10 -3,488E-02 -1,302E-05 O.OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO

&

-5,906E-02 2,193E+1 1 -3,488E-02 1 ,097E+1 1 4,562E+07 O,OOOE+OO O.OOOE+OO O.OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO

&

&

&

&

-1 ,249E+10 -3,488E-02 7,028E+10 -2 769E+10 -6,315E+06 -1,852E+10 -5,172E-02 -2,864E-05 O,OOOE+OO O.OOOE+OO

-3,488E-02 ,097E+1 1 -2,769E+10 5,725E+1 1 -4,952E+07 -5,172E-02 1,626E+1 1 1,003E+08 O,OOOE+OO O.OOOE+OO

-1 ,302E-05 4,562E+07 -6,315E+06 -4.952E+07 5,532E+04 2.864E-05 ,003E+08 -4,124E+04 O.OOOE+OO O,OOOE+OO

O,OOOE+OO O,OOOE+OO -1,852E+10 -5.172E-02 2,864E-05 1.128E+11 -1,438E+10 -2,825E+07 -1,544E+10 -4,310E-02

11

&

11

&

1

-1

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO -5, 172E-02 ,626E+1 1 -1 ,003E+08 -1,438E+10 6,062E+11 3,629E+D7 -4,310E-02 1.355E+1 1 1

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO -2,864E-05 1,003E+08 -4,124E+04 -2,825E+07 3,629E+07 7,866E+04 1,989E-05 -6.966E+07

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO -1,544E+10 -4,310E-02 1,989E-05 1,544E+10 -7,298E-02

&

O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO O,OOOE+OO -4,310E-02 1,355E+11 -6,966E+07 -7.298E-02 2,710E+1 1

invers matriks keka kuan stru ktu r

&

[K] s

:;)I

Q.

.::J,

N w ..

=

I

I

1,042E-10 -6,128E-12 2.412E-1 1 4,399E-13 2.841E-08 1,092E-1 1 2.754E-12 2,041 E-08 1,092E-1 1 3,869E-12

&

-6,128E-12 1,146E-11 -6,128E-12 -9.192E-13 -3,096E-08 -7,191E-12 -3,151E-12 -1.915E-08 -7,191E-12 -3,346E-12

2,412E-11 -6,128E-12 2,412E-11 4,399E-13 2,841E-08 1,092E-11 2,754E-12 2,041 E-08 1,092E-11 3,869E-12

4,399E-13 -9.192E-13 4,399E-13 3,217E-12 -3.315E-09 -2.306E-12 -6,037E-13 -7.927E-09 -2.306E-12 -1.736E-12

2,841E-08 -3,096E-08 2,841E-08 -3.315E-09 1,568E-04 4,012E-08 1,660E-08 1,1 1 1E-04 4,012E-08 2,026E-08

1,092E-1 1 -7,191E-12 1,092E-1 1 -2,306E-12 4,012E-08 2,385E-1 1 3,835E-12 3,764E-08 2,385E-1 1 7,756E-12

11

2,754E-12 -3,151E-12 2,754E-12 -6,037E-13 1.660E-08 3,835E-12 3,997E-12 9,370E-09 3.835E-12 4,100E-13

&

2,041E-08 -1,915E-08 2,041E-08 -7,927E-09 1,1 1 1E-04 3,764E-08 9,370E-09 1,1 15E-04 3,764E-08 2,397E-08

&

1,092E-11 -7,191E-12 1,092E-1 1 -2,306E-12 4,012E-08 2,385E-1 1 3,835E-12 3,764E-08 8,862E-1 1 7,756E-12

&

3,869E-12 -3,346E-12 3,869E-12 -1,736E-12 2,026E-08 7,756E-12 4,100E-13 2,397E-08 7,756E-12 9,646E-12

2 3 4 5 6

1:

10

2 3 4 5 6

1 1:0

Perakitan vektor beban struktur Gaya Dal am U j ung Aki ba t B e r a t Send i r i

[F)

=

=

=

O , OOOE+OO

1 , 2 63E+12 -1 , 031E+12

2 , 566E+04 O , OOOE+OO

=

1 , 1 46E+08 O , OOOE+OO

=

[P)

1 , 146E+08 -1 , 263E+12

1 , 4 58E+12

1 , 031E+12

2 , 566E+04

1 , 146E+08

1 , 146E+08

Gaya D a l am U j ung Akibat Beban Luar

Vektor Beban t r an s f o rm a s i

R R

3

R

4

5

P

O , OOOE+OO

2 , 4 07E + 07

1 , 2 6 1 E + 07

- 9 , 73 5 E + 0 6

R

O , OOOE+OO

1 , 916E+07

1 , 2 13E+04

R

O , OOOE+OO

1 , 2 1 3 E+ 0 4

R

9 , 73 5 E + 0 6

O , OOOE +OO

2 , 2 5 4 E + 07

6

1 , 213E+04

O , OOOE+OO

1 , 2 13E+04

8

O , OOOE+OO

[P)

2 , 4 07 E + 0 7

Gaya Dal a'm U j ung Akibat Beban Luar

[P)

2

-4 , 250E+06

7

Vek t o r Beban P t r an s f ormas i

O , OOOE+OO

O , OOOE+OO

4 , 6 4 1 E- 0 2

- 4 , 2 97 E + 0 7

- 1 , 74 1 E + 1 1

-1 , 625E+11

1

3 , 3 3 7E + 0 4

1 , 3 52E+08

1 , 3 52E+08

R

- 4 , 6 4 1 E- 0 2

4

O , OOOE+OO

[P)

O , OOOE+OO

[P)

3

4 , 2 97E + 07

1 , 74 1 E + l l

1 , 6 2 5E + 1 1

3 , 3 37E+04

1 , 3 52E+08

1 , 352E+08

Gaya Da l am U j ung Ak i b a t Beban Luar

Vek t o r Beban P t r an s f ormasi

O , OOOE+OO

O , OOOE+OO

3 , 993E- 0 5

- 1 , 9 5 4 E + 07

- 1 , 3 03E+08

- 1 , 3 98E+08

2 , 2 51E+04 O , OOOE+OO

[P)

5 , 2 10E+08 O , OOOE+OO

[P)

4

2

3

5

3

4

- 3 , 993E- 0 5

5

5 , 2 1 0E + 0 8

6

1 , 9 5 4 E + 07

1 , 3 03E+08

1 , 398E+08

7

2 , 2 51E+04

5 , 2 1 0E + 0 8

5 , 2 10 E + 0 8

8

Berat Sendiri

=

[P)

4 , 3 5 5E + 07

Gaya Dal am U j ung Akibat

[F)

P

- 1 , 4 58E+12

Gaya D a l am Ujung Akibat Berat Send i r i

[F)

t r an s f orma s i

O , OOOE+OO

Gaya Da l am U j ung Aki ba t B e r a t Send i r i

[F)

Vektor Beban

- 4 , 3 5 S E + 07

Gaya Da l am U j ung Ak i b a t B e r a t Send i r i

[F)

Gaya Da l am U j un g Akibat Beban Luar

Gaya Dal am Uj ung Akibat Beban Luar

Vektor Beban tran s f o rmas i

P

O , OOOE+OO

O , OOOE+OO

2 , 1 71E- 0 2

6

- 2 , 8 1 4 E+07

- 8 , 1 4 1E + 1 0

-7 , 6 0 3 E + 1 0

7

2 , 701E+04

7 , 8 1 4 E + 07

7 , 8 17E+07

2 , 8 1 4 E + 07

8 , 1 4 1E + 1 0

- 2 , l 71E- 0 2

2 , 701E+04

7 , 8 1 4 E + 07

7 , 8 17 E + 0 7

O , OOOE+OO

[P)

O , OOOE+OO


[P)

s

7 , 603E+10

8 9

10 R

Pera kitan vektor beban struktur Gaya da l am u j ung a k i ba t berat send i r i

[F]

::

O , OOOE+OO

1,263E+12

R

- 1 , 4 5 8£ + 1 2

-1,031E+12

R

1,146E+08

R

2 , 5 6 6£ + 0 4 O , OOOE+OO

1 , 1 4 6£+ 0 8

[P]

O , OOOE+OO

4 , 3 5 5£ + 07

1 , 4 5 8£+ 1 2

2 , 5 6 6£ + 0 4

1 , 1 4 6£ + 0 8

[pl

1

Gaya da l am u j ung a k i b a t

::

- 1 , 2 6 3£+ 1 2

3

1 , 0 3 1£ + 1 2

4

1 , 1 4 6£ + 0 8

5

Vek t o r beban

beban l u a r

t r ans f orma s i

P

0 , 0 0 0£+ 0 0

2 , 4 07£+07

1 , 2 6 1£ + 0 7

R

- 9 , 73 5£ + 0 6

O , OOOE+OO

1 , 9 1 6£+07

R

1 , 2 1 3£ + 0 4

O , OOOE+OO

1 , 2 1 3£+ 0 4

R

O , OOOE+OO

[P]

2 , 4 07£+ 07

[P]

2

- 4 , 2 5 0£+ 0 6

6

9 , 7 3 5£ + 0 6

0 , 0 0 0£+ 0 0

2 , 2 5 4£ + 0 7

7

1 ' 2 1 3 £+ 0 4

O , OOOE+OO

1 , 2 1 3£+04

8

Gaya d a l am u j ung a k i ba t

Gaya d a l am u j ung a k i b a t beban l ua r

Vek tor beban P

trans f orma s i

4 , 6 4 1£ - 0 2

0 , 0 0 0£+ 0 0

O , OOOE+OO

- 4 , 2 97£+07

- 1 , 74 1£+ 1 1

- 1 ' 6 2 5£+ 1 1

2

3 , 3 3 7£+ 0 4

1 , 3 5 2£+ 0 8

1 , 3 5 2£+ 0 8

R

[P]

[P]

3

- 4 , 6 4 1£ - 0 2

3

1 , 7 4 1£+ 1 1

1 , 6 2 5£+ 1 1

4

3 , 3 3 7£+ 0 4

1 , 3 5 2£+ 0 8

1 , 3 5 2£+ 0 8

5

O , OOOE+OO

Gaya da l am u j ung akibat beban luar

Vek t o r beban P tran s f orma s i

0 , 0 0 0£ + 0 0

O , O O OE+OO

3 , 993£ - 0 5

3

- 1 , 954£+07

- 1 , 3 0 3£+ 0 8

- 1 , 3 9 8£+ 0 8

4

2 , 2 5 1£+ 0 4 O , O O OE + O O

5 , 2 1 0£+ 0 8

[P]

0 , 0 0 0£+ 0 0

[P]

4

5,2 1 0£ + 0 8

5

- 3 ' 993£ - 0 5

6

1 , 9 5 4£ + 0 7

1 , 3 0 3 £+ 0 8

1 , 3 9 8£+ 0 8

7

2 , 2 5 1£+04

5 , 2 1 0£ + 0 8

5 , 2 1 0£+ 0 8

8

Gaya dalam u j ung akibat

Gaya d a 1 am u j ung akibat

berat send i r i

Vek t o r beban P

beban 1 uar

t r ans f orma s i

[F]

1

4 , 2 97£+07

O , O O OE+OO

Gaya d a l am u j ung a k i b a t berat sendiri

[F]

P

O , O O OE + O O

b e r a t sendiri

[F]

Vek tor beban trans f o rmas i

- 4 , 3 5 5£ + 07

Gaya d a l am u j ung aki bat berat s e nd i r i

[F]

Gaya da l am u j ung a k i b a t beban l u a r

0 , 0 0 0£+ 0 0

O , OOOE+OO

2 , 1 7 1 £- 0 2

- 2 , 8 1 4£ + 0 7

6

- 8 , 1 4 1£+ 1 0

- 7' 6 0 3 £+ 1 0 ' 7 , 81 7E+ 07

7

- 2 ' 1 7 1 £- 0 2

9

2 , 7 0 1£ + 0 4 O , O O OE+ O O

[P]

7 , 8 1 4£ + 0 7 O , OOOE+OO

[P ]

s

8

2 , 8 1 4£+07

8 , 1 4 1£+ 1 0

7 , 6 0 3 £+ 1 0

10

2 , 701£+04

7 , 8 1 4£+07

7 , 8 1 7£+ 07

R

Grid 233

Vektor Beban Ekivalen {P}s

(P}

s

4,641E-02

1

-1,625E+ll

2

-1,263 E+l2

3

1,1 9 3 E +l2

4

7,7 0 8 E + 0 8

5

-4,25 0E+06

6

- 7,587E +l0

7

5, 992E+OR

8 9

-2,171E-02

10

7, 6 0 3 E + l 0

Vektor perpindahan

2

3

4

6 - ,l2REl -2

2,4l�E-1J

' l'}';)E-13

�,

-9'

146El - l .�,

' 3:1%-13

-9,192£-13

2' �41£-08

-3' 096£-08

6 -l,

19�£u

9

10

-l,"l46E-l2

9l�E-O R

L0'J2E-lL

�LE-11 J,2l'E12

,', �4lE-OR

8

-3,315£-09

-9 J - HSE0 l,S6RE-04

2 - ,306£U -

-6,037£-13

-'.927£·09 4,0UEO -R

4,Ol�E-OR

.<,026EO -R

-� , l')lE

"

2,-54£-12

l.092E-ll

J,H35E-l2

3, 9�-E1 -2

9,3-oE-09

3,H]�E-12

-l.9l5E·OR

92'£0 -9

l,lllF> 04

],764£-0R

9,370£-09

L,llSE-04

3 .. 64£-08

7 - ,J91EU -

2,301)£-12

4,0L'E-CIR

2,3«51:.-ll

3' �35£-12

3,764£-0R

3

>,756E-l2

�,

2,B"7E-OR

3, 1 � lE-12

�.754£U -

-3,346EU ·

6,03�£U -

026£-0?

1 OOE-1 J

',-s&E-12

2,3:.-,E-OH

9,646E-l2

Solusi persamaan ini menghasilkan nilai vektor perpindahan {X} 5,277E+OO --l,OSBE+Ol

�,277E+00 -3,9'::l8E+OO

[X]

l,SJDE+OS

s

3, H40E+Dl 1,445E<+Ol 1,215E+OS J,840E+01

2, 427E+01

234

2 4 5 6 8 9 10


x,

4, 611E-02

X-'

-1,625E+ll

X3

-1, 26JE+] 2

x,

1, 193E+12

Xc

7,708E+OH

x,

-4,250E+06

Xo

-"1,587E+l0

x,

5,99�E+08

X9

-2, 171E-02

x,

7, 6 0 3 E+ 10

Perpindahan ujung elemen sumbu struktur

{X)_

Perpindahan ujung elemen sumbu lokal

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

5,277E+00

UJ,

3,038E-01

Gaya-ga ya dalam ujung elemen 2.078+12

R 2.BOE+OB

{f-<'}1 4.99E+ll

-7,369E+OO 1,530E+05

1,530E+05

0, OOOE+OO

0,OOOE+OO 0,OOOE+OO 0,OOOE+OO

{X)'

3,8408+01

2 "07E+12 -2.58E+ll

0,OOOE+OO

{ ,\) �

6.438+08

O,OOOE+OO

6.14E+ll

1,9198+01

1,445E+Ol

-3,0758+01

-2.80E+ll

1,215E+05

1,215E+05

-6.438+08

5,277E+OO

4,9268+00

-3,058E+01

-2,854E+Ol

5,277E+OO

4.95E+08

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

{X)'

{"'J

4,926E+OO

{F)j

-3, 69SE+OO

-2.59E+l2

1, 530E+05

1, 530E+05

-2.24E+08

5,277E+OO

6.14E+ll

-3,958E+OO

2.09E+12

{X}�

3,840E+01

2.75E+08

{F}4

{ i\}4

-6.14E+ll

1,445E+Ol

-8.99E+ll

1,215E+05

7.67E+08

-3.36E-01

3,840E+Ol

3,58SE+Ol

1,445E+Ol

1,3498+01

1.18E+l2

1,215E+OS

1,21SE+OS

-1.24E+08

3,840E+Ol

R

7.418-01

-3,958E+00

1,530E+05

(X)�

R

{P),

Ul,

3,58SE+Ol

{F);

-5.27E-05-0

2,427E+Ol

2,266E+Ol

4.58E-05-0

10

0,OOOE+OO

0,OOOE+OO

2.80E+08

R

Diagram gaya dalam dan garis elastis sistem

Berdasarkan has i l perhitungan yang d i peroleh dari vektor gaya dalam dan derajat kebebasan struktur dapat digambar bidang gaya dalam momen, geser, dan aksial, serta pol a garis elastis ( defonnasi) pad a si stem bangunan. Besaran gaya dalam digambarkan bagi setiap ben tang, untuk d i gunakan sebagai data input desain penampang.

Grid :235

G a m ba r 4.7.4a

G a m ba r 4.7.4b

Diagram Momen Lentur

Diagram Gaya Lintang


G a m ba r 4.7.4c

Diagram Tarsi

Gambar 4.7Ad Garis Elastis

Grid 237

4.8

P rogram Kom puter S istem Grid

Program komputer sistem struktur grid yang lengkap dirancang berdasarkan bagan alir yang dikembangkan oleh Wi lliam Weaver, Jr. dan James M. Gere, pengarang Mulrix Anu/ysis of" Frwned S!rue/ure (Second Edilion, D. Vun Noslrund,

/980).

Membuat kode pro g ra m a na!isa struktur u ntu k s i stem grid.

Program yang d i gunakan ada lah Tubo Pascal for Windows v 1 . 5 Dalam program i n i d ibuatfile�jile pembantu ( * . i nc) yang d i panggi l dengan proc edur e pada program utama. Adapun.file�file yang d i perl ukan di dalam program i n i adalah : : merupakan badan program utama I. mainJJro.pas : berisi prosedur input data 2. sdatag inc : berisi input data dan pengkombinasian beban titik 3. ldataginc 4. /oadg. inc : berisi prosedur ekivalensi beban titik : beri si perakitan matri k kekakuan 5 . stiff'ginc 6. banfac. inc : berisi prosedur fakorisasi matrik : beris i penyelesaian vektor 7. bansol. inc : berisi pen u l i san basi l perh itungan 8. resulg. inc Sedangkan untuk input dan outputnya d i l etakkan pada til e text ( * .txt), yaitu : I. dt struk. txl : berisi input data struktur : berisi input pembebanan 2 . dt load.txl : berisi laporan input beserta bas i l perhitungan. 3 . reporl.lxt Berdasarkan bagan a l i r yang te lah d i beri kan, maka kode program secara kesel u ruhan dapat d isusun. Kode program lengkap dapat d i l ihat pada halaman berikut.


Source code

dari program utama, d i simpan pada file main_pro.pas

p rogram ANALISIS_GRID; uses w i nc r t; type rn a t r i k_reall ma t r ik_real2 m a t r i k i n tl

a r r ay [1 . . 5 0 ] of r e a l ; a r r a y [ 1 . . 4 0 , 1 . . 4 0 ] o f real; a r r ay [1 . . 50] o f in teger;

VAR M,N,NJ,NR,NRJ,NLJ,NLM NDJ , ND,MD,I,LN NBI , NB, Nl, JR , JE Jl,J2 , J3,Kl,K2,K3 E,G,SCM1, SCM2,SCM3 , SCM4: XCL , YCL,SUM,TEMP dt,ld,out has i l K , J,IR,IC, Il,I2 , I tem X,Y JJ,JK,JRL , IM,ID EL,XI,YI,CY,CX SFF , SMS AC,AJ,AE , DJ , DF LML AML AMD,AM, AR

{$I ($I ($I ($I ($I {$I {$I

shortint; sho r t i n t; shor t in t; shor t in t; r e a l; r e a l; text; text; i n t eger; ma t r i k_rea ll; m a t r ik_in tl; m a t r ik_reall; ma t r i k_rea l2; m a t r ik_reall; m a t rik_in tl; ma t r ik_real2; ma t r i k_reall;

sdatag . i nc) s t if fg . inc} banfac . inc} lda tag . inc} loadg . i nc } banso l . i nc} resu l g . i nc}

BEGIN c l rscr; a s s ign (out, ' r epo r t . tx t'}; r ew r i t e (out}; input_data; s usun_ma t r ik_kekakuan; faktorisas i _ma t r ik; load data· beban_ekiv_j o int; komb i n a s i _beban_jo int; s o l u s i_vekto r_x; resu l t;

END .

c l o s e lout}; w r i t e l n ('Program t e l ah s e l e s a i dieksekus i'); w r i t e l n 1 'Has i lnya dapat d i l ihat pada f i l e repo r t . tx t ' };

Grid 239

Source code

dari

file s tiffg.inc

p rocedure susun_ma t r i k_kekakuan; Begin (Kekakuan Elemen} for J:�1 to N do Begin f or K:�1 to N B do SFFIJ, K]:� 0. 0; End; (Mengubah M a t r i k Kekakuan T i t i k Kumpul } f or I:�1 to M do Begin SCM1 SCM2 SCM3 SCM4

G*XIII]/ELII]; 4.0*E*YIIII/ELII]; 1.5*SCM2/ELIIJ; .- 2*SCM3/ELIII;

SMSI1, 1]:�SCM1*CXII]*CXII]+SCM2*CYII]*CYIIJ; SMSI1, 2] :�SCM1*CXII]*CYII]-SCM2*CXII]*CYIIJ; SMSI1, 3]:�SCM3*CYIIJ; SMSI1, 4] :�-SCM1*CXIII*CXII]+0.5*SCM2*CYII]*CYIII; SMSI1,5] :�-SCM1*CXIII*CYII]-0.5*SCM2*CXII]*CYIIJ; SMSI2, 21 : �SCM1*CYII]*CYII] +SCM2*CXI I I *CXII I ;

SMSI1, 6] :�-SCM3*CYIII; SMS I 2, 4 l :� SMSI1 , 5 l

;

SMSI2, 3I :�-SCM3*CXIII; SMSI2, 6I:� SCM3*CXII l

;

SMSI2, 5]:�-SCM1*CYII]*CYII]+0.5*SCM2*CXII]*CXIIJ;

SMSI3, 31 :�SCM4;

SMSI 3, 4I: � SMSI1,3I;

SMSI3, 5]:�SMSI2,3I; SMSI 3, 6]:�-SCM4;

SMSI4, 5 l :�SMSI1, 2I;

SMSI 4,4]:�SMSI1 ,11 ; SMSI4, 6]:�-SMSI1, 3];

SMSI 5, 6 l :�-SMSI2, 3]; SMSI6 , 6]:�SMSI 3, 3I;

SMSI 5 , 5]:�SMSI2 ,2I;

IMI11 :�3*JJIII-2;

IMI2]:�3*JJII]-1;

IMI31 :�3*JJII];

IMI4]:�3*JKII]-2;

IMISI :�3*JKII]-1;

IMI6]:�3*JKII];

for J:�1 to MD do

Begin Il :� IMIJ];

i f (JRLII1] <� 0) then Begin f o r K:�J to MD do Begin I2

: � IMIKI;

i f (JRLII21 Begin IR

<� 0)

t h en

:� IDIll];

IC :� IDII21;

i f (IR>IC) Begin

then

Item :� IR; IR

IC;

IC

Item;

End; IC

:

�

IC - IR + 1;

SFFIIR, ICI

SFFIIR,IC] + SMSIJ, K];

End;

End; End; End;

End; End;


Source code

dari

file banfac.inc

procedure f a k t o r i s a s i_matrik; Begin if (SFF[1,1]<=DI then Begin write l n ('Ma t r i k kekakuan tidak pos i t if de f i n i t i f' I; h a l t (1); end; for J:=2 t o N do Beg i n J1 := J- 1; J2 : = J -N B +1; if J2<1 then J2:=1; if J 1<> 1 then Begin f or I:=2 to J1 do Beg i n Il:= I - 1; if (I1> =J21 then Be g i n SUM:= SFF[ I,J - I + 1]; for K:=J2 to I1 do SUM:=SUM-SFF[K,I-K +1]*SFF[K , J -K+1]; SFF[I,J-I+1]: = SUM; End; End; End; SUM := SFF[J , 1]; f o r K:=J2 to J1 do Begin TEMP: = S F F[K,J -K+1] / SFF[K , 1]; SUM:=SUM - TEMP*SFF[K,J-K+1] ; TEMP; S FF[K,J-K+ 1] End; SFF [J , 1] := SUM; End; End;

Source code

dari

file bansol.inc

procedure s o lusi_vektor_x; Begin f or I:=l to N do Beg i n J := I -NB+1; i f (I<=NB) then J: = 1; SUM : = AC[ I] ; K1 := I-1; if (J<=K1) then Begin for K:=J to K1 do SUM := SUM - SFF[K,I-K +1] *DF[K] ; End; DF[I] SUM; End; for I:=1 t o N do DF [ I] : = DF[I] I SFF[I,1] ; f o r I1:=1 t o N do Begin N-I2.. + 1; I I +N B -1; J if J>N then J:=N; SUM := DF[I]; K2 := I +l; if K 2 < = J then Begin f or K:=K2 t o J do

Grid 241

SUM := SUM-SFF[I,K-I +1] *DF[K] ; DF [I] : = SUM End; End; End;

Source code

dari file res u/g.inc

procedure resu l t; Begin {Perpindahan T i t i k Kumpu1} J:=N+1; for K:=1 to NO do Begin JE : = ND - K + 1· i f JRL[JE] =O . O then begin J : =J-1; DJ[JE] := DF[J] ; end else Begin 0 . 0; DJ[JE] End; End; w r i t e l n {out); w r i t e l n (out , ' Perpindahan T i t i k Kump u l' I; w r i t e l n (out , ' T i t i k DJ1 DJ2 f o r J:= 1 to NJ do Begin DJ I 3*J- 2 I : 1 0 , ' w r i t e l n (out, J:3 , ' End;

DJ3'

I;

DJI3 * J - 1 I

:

10 ,'

DJ I 3*J I

:

10

I;

{Aksi U j ung Elemen} w r i t e ln (out); w r i t e l n (ou t , ' A k s i U j ung Elemen' I; AMS AM6' I; Al14 Al13 w r i t e l n (out,' E l emen AM 1 AM2 for I:=1 to M do Begin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l] +DJ [Kl] I 'CY[I] + 10 . 5 'DJ[J2] +DJ[K2] I*CX[I] I -.SCM3* (D.J[J3] DJ [K3 I I; for J : =1 to MD do Begin AM[.J] : = ANL[J , I] + AMD[J] ; End; if JRL[J1] = 1 then AR [J1] :=AR [ J 1] +CX[I] 'AND[1] -CY[I] *AMD[2]; if JRL[J2] = 1 then AR[J2] :=AR[J2 ] +CY[I] *AND[ 1] +CX[I] 'AMD[2 ] ; if JRL[J3] =1 then AR[J3] : =AR[J3] +At1D[3] ; i f JRLIKl] =1 then ARIKl] : =AR[K 1] +CX[I] *At10[4] -CY[I] *At1D[5] ; i f JRL[K2 ] =1 then AR[K2] : =AR [ K2]+CY[I] *At1D[4] +CX[I] *At1D[5]; i f JRL[K3] =1 then AR [K3] : =AR[K3]+ At1D[6] ; '"ri t e 1 n I out, I:4, AN I 1 I : 1 0 : 2 , At1I2 I :1 0 : 2 , M1[3 I : 1 0 : 2 , ANI4 I : 1 0 :2 , At116] : 1 0 : 2); End;

242

Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

At1I5 I : 1 0 : 2 ,

{Perhi tungan Reaksi P e l e t a ka n } w r i t el n (out); w r i t e l n ( out, ' Reaks i P e l e takan' I; AR2 w r i teln (out,' T i t i k Kumpu l ARl Joint f or J:�l t o NJ d o Begin Jl:�3*J-2; J2:�3*J-l; J3:� 3*J; Nl :� JRL[Jl] + JRL[J 2 ] + JRL[J3]; i f Nl<>O then w r i teln ( out,J:25,AR[Jl] :9:2,AR[J2]: 8:2,AR[J3] :8:2); End;

AR 3 ' );

End;

Source code

dari file /oadg.inc

proc edure beban_ekiv_ j o i n t; Begin i f NLJ<>O then Begin for I:=l to M do Be g i n i f LML[I]<>O then Beg i n Jl:� 3*JJ[I]-2; J2:� 3*JJ[I]-l; J3:� 3*JJ[I] Kl:� 3*JK[I] - 2 ; K2:� 3 *JK[I] - 1 ; K3:� 3*JK[I] AE[Jl] :� AE[Jl]-CX[I] *AML[l, I]+CY[I] *AML[2, I] ; AE[J2] :� AE[J2]-CY[ I] *AML[l , I]-CX[I]*AML[2 , I]; AE[J 3 ] :� AE[J3] -AML[ 3 , I ] ; AE[Kl]:� AE[Kl] -CX[I]*AML[4, I] +CY[I] *AML[S, I] ; AE[K2] :� AE[K 2] -CY[I]*AML[4,I]-CX[I]*AML[5,I]; AE[K 3]:� AE[K3]-AML[6,I]; End; End; End; End;

Source code

dari file ldatag.inc

procedure kornbinasi_beban_j o i nt; Begin f or J:�l to ND do Begin JR :� ID[J]; AC[JR] :� AJ[J] + AE[J]; End; Snd;

procedure load_data; Beg i n {Parameter Beban} w r i teln ( ou t); w r iteln (ou t,' Jumlah Pembebanan'); w r i t e l n ( out,' NLJ NLM' ); ass ign ( ld, ' dt_l oad . tx t'); reset ( ld); readln ( ld); readln ( ld, NLJ, NLM); w r i teln ( ou t , NLJ:3, NLM :6);

Grid 243

writeln

(out);

for J:=1 to ND do Begin

AJ[J] AE[J] AR[J]

0; 0; 0;

End; (Beban Titik Kumpul) if

(NLJ<>O) then

Begin writeln

(out,' Beban di Titik Kumpul' I;

writeln

(out,' Titik kumpul

AJl

AJ3'

AJ2

readln (ldl; for J:=1 to NLJ do Begin readln writeln End; writeln

I;

(ld,K,AJ[J*K-2] ,AJ [ J*K -1] ,AJ[3*K] I; (out, K:6, AJ[J*K-2] :13:2, AJ[3*K-l] :11:2, AJ[3*K ] :12:2);

(out);

(Beban Bentang) if

(NLM>O I then

Begin for J:=1 to

do

Begin for K:=1 to M do AML[J ,K] 0; LML[J] : = 0; End; writeln

(out,' Gaya Ujung Elemen Terkekang Penuh Akibat Beban Bentang' I;

writeln

(out,'

AML1

Elemen

AML2

AML3

AML4

AML6' I; readln

(ldl;

for J:=1

to NLM do

Begin read

(ld, I,AML[1, I],AML[2,I],AML[3,I] ,AML[4,I] ,AML[5,I] ,AML[6,I]);

write

(out, I:4, AML[1,I]:12:2, AML[2,I]:11:2, AML[3,I]:11:2);

writeln

(out, AML[4,I]:11:2, AML[5,I] :12:2, AML[6,I] :11:2);

dari file

sdatag.inc

LML[I] : = 1; End; End; End; closelld);

End;

Source code procedure

input�data;

BEGIN (Identifikasi Struktur) Struktur nomor 3 GRID' I;

Writeln

(out, '

writeln

(out, ' Jumlah sistem pembebanan

writeln

(out,'

-----------------------------

writeln

(out, '

Parameter Struktur');

(out, '

M

WRITELN assign reset

N

NJ

NR

NRJ

�

)

1'):

E

'

;

G ' I;

(dt,'dt_struk.txt' I; (dt);

readln (dt); readln

(dt, M,N,NJ,NR,NRJ,E,G);

{Parameter Struktur}

NDJ := 3; ND := NDJ'NJ; N := ND-NR; writeln (ou t ,M:3, N:5, NJ:5, NRJ:7, E:15:2, G:15:2);


AML5

w r i t e l n (ou t ) ; { Koordinat T i t i k Kumpul } w r i t e l n (out, ' Koordinat T i t i k Kumpul ' ) ; w r i t e l n (out, ' T i t i k X Y' ) ; readln ( dt ) ; f or k:=1 to NJ do Beg i n readln (dt,J, X[J], Y[J] ) ; w r i t e l n (out,J:3, X [ J]:10:3, Y[J]: 8 : 3 ) ; End; w r i t e l n (ou t ) ; { In f o rmas i E l emen } w r i t e l n (ou t , ' In f orma s i E l emen ' ) ; EL XI YI w r i t e l n (out, ' E l emen JJ JK MD : = 2*NDJ ; readln ( dt ) ; f or J:=1 to M do Beg i n readln (dt, I, JJ[I], JK[I], XI[I], YI [I] ) ; NBI := NDJ* (abs (JK[I]-JJ[I] ) +1 ) ; i f (NBI > N B ) then NB:=NBI; XeL : = X[JK[I]] - X[JJ[I]]; YeL : = Y [JK[ I ] ] - Y[JJ[I] ]; EL [ I] : = s q r t (Xe L *XeL + YeL*Ye L ) ; e x[I] : = XCL I E L[I]; eY[I] := YCL / EL[I ] ; w r i t e (out, I:4, JJ[I] : 9, JK[I] : 9 , XI[I ] : 9 : 3, YI[I]:9: 3 ) ; w r i t e l n (out,EL[I]:10:3, CX[ I] :10:3, CY [I] :10: 3 ) ; End; w r i t e ln (out ) ;

ex

ey • ) ;

(Kekangan t i t i k kumpul } w r i t e l n (ou t , ' Kekangan T i t ik ' ) ; JR3' ) ; w r i t e l n (out,' T i t i k JR1 JR2 readln ( d t ) ; f o r J:=1 to ND do begi n { I n i s i a l i s a i l a r i k kekangan } 0; JRL[J] end ; f o r J:=1 to NRJ do Beg i n readln (dt,K, JRL[3 * K-2], JRL[3 * K- 1], JRL[3*K] ) ; w r i t e l n (out,K:3, JRL[3 ' K- 2 ] :9, JRL[ 3 ' K-1] : R , JRL [ 3 * K] : 8 ) ; End ; {Indeks Perpi ndahan T i t i k Kumpu l } { In i s i a 1 i s as i } N 1 : = 0; f o r J : = 1 t o N D do Begin N1 : = N1 + JRL[J] ; i f JRL[J] > 0 then N + N1 ID[J] else ID[J] J - N1; End; c l os e ( dt ) ; O:ND ;

Grid 24 5

J i ka program dieksekusi maka hasilnya adalah :

Contoh : File input:

dt struk.txt

Parame t e r S t ruktur ( Jm l e l emen,DOF,j m l j o i nt , j m l reaks i tumpuan, j m l tumpuan,E,G ) 5 3 4 2 200000000 80000000 Koordina t T i t ikKumpul ( N o Koord T i t i k Kumpul, Koord x, Koord y ) 1 0.0 0.0 5. 0 0.0 9 . 0 5. 0 I n f oMember ( N o E l emen, No U j ung E l emen j, No U j ung E l emem k, Ix, I y ) 1 1 2 0 . 002 0 . 0 03 0 . 003 0 . 002 2 3 KekanganTumpuan ( N o K o o r d T i t i k Kumpul, 1=Terkekang O=Tidak terkekang ) 1 1 1 1 2 0 0

dt load.txt 2

Beban

2

0.0

Beban j o i n t

200 . 0 0.0

50 . 0 0.0

( T i t i k , T , P z , My )

1 00 . 0 3 Beban bentang

246

0

( Jo i n t , Bentang)

( E l emen , FETi , FE Q i , FEM i , FETj , FE Q j , FEMj )

Amrinsy

File output

report.txt

S t ruktur nornor 3 GRID Jumlah s i stem p embebanan Paramet er S t ruktur H N NJ NR NRJ 3 2

:::

1

E 200000000 . 00

G 80000000 . 00

Koord i n a t T i t i k Kump u l T it ik X Y 1 0 . 000 0 . 000 5 . 000 0 . 000 5 . 000 9 . 000 Informas i E l emen E l emen JJ 1 2 Kekangan T i t i k JR1 Titik 1 1 0 2

JK 2 3

YI 0 . 003 0 . 003

XI 0 . 0 02 0 . 002

EL . 000 .403

ex

1 . 000 0 . 6 25

CY 0 . 000 0 . 7 81

JR3 1

JR2 1 0

Jumlah Pembebanan �JLJ NLM 2 0 Beban di T i t i k Kumpu 1 A,Jl 7 i t i k kumpu1 0 . 00 2 100 . 00

AJ2 200 . 00 0 . 00

AJ3 50 . 00 0 . 00

?erp indahan T i t i k Kumpul DJ1 DJ2 �i tc i k O . OOOE+OO 1 O . OOOE +OO 4 . 16 7 E - 04 2 3 . 12 5E - 0 3 1 . 848E - 0 3 5 . 3 3 7E- 0 3

DJ3 O . OOOE+OO O . OOOE+OO 1 . 66 3 E - 0 2

.::,k s i U j ung E l emen AM2 :::: l emen AM1 - 100 . 00 0 . 00 - 1 5 9 3 . 41 -62 . 4 7 ?.eak s i P e l e t akan � i t ik Kumpu1

Joint

AM3 -0 . 0 0 124 . 2 3

AR1 - 100 . 00 0 . 00

AM4 100 . 00 62 . 4 7

AR2 0 . 00 0 . 00

AM5 60 . 00 - 3 366 . 56

AM6 0 . 00 - 1 24 . 2 3

AR3 - 0 . 00 124 . 2 3

Grid 247

4.9

Soal - Soal

Soa l 1

� I

/

I \

I

/

)

2 Pel at tebal 1 5 0 mm didukung oleh sistem grid balok ukuran 2 5 0/5 5 0 mm • B ahan elemen ' ada lah beton dengan berat volume Ybcton 24 kN/m . Angka Poisson u 0.25, dan mod u l us e lastisitas Eb = 20.000 M Pa. Ukuran panj ang c lemcn balok seperti tergambar. =

=

PERT A N Y AAN : a. b. c.

d. e. f.

g. h. 1.

J.

k.

Berapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ dcfonnasi nya pada sistem . H itung sifat - sifat pcnampang clemen : I , J , G , dan A. Tetapkan matrik kekakuan e l emen [S],. Tetapkan matrik kekakuan e lemen terhadap koordinat struktur [k];. Rakit matrik kekakuan struktur [ K ] s Tentukan vektor beban { P } H itung [K]s ( X } s = { P} s untuk mendapatkan defonnasi ( X } s. Gam bar garis elastis struktur. Tentukan gaya gaya dalam e l emen. Gam bar d iagram gaya dalam. B i la simpangan horizontal izin O;Lm = - 1 5 mm. apakah sistem struktur memen u h i syarat kckakuan ?


Soal 2 24060

''85

'I I

12

l� 8 0

Pier jembatan

0

seperti tergambar dapat di modelkan sebagai sistem grid. Beban yang bekerja adalah P 1 25 0 kN. Dimensi penampang seperti di gambar potongan [ dalam mm]. Modulus E lastisitas bahan Eh 20,000.00 MPa. (beton), dan angka Poisson u = 0 . 2 5 . Pertanjaan : a. Bcrapa derajat kebebasan struktur ') Gambar pasangan gaya/ deformasi nya pada sistem. b. H itung sifat - sitat penampang elemen : I, J, G, dan =

=

A. 0 0 0 CJJ

c. Tetapkan matrik kekakuan elemen [ Sl i· d. Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k],. e. Rakit matrik kekakuan struktur [K]s f. Tentukan vektor beban { P l s a H itung [K l s ( X } s { P } s untuk mendapatkan ,. deformasi {X } s. =

h. 1.

J.

Gambar garis elastis struktur. Tentukan gaya gaya dalam e lemen. Gambar d i agram gaya dalam.

Soal 3

Apab i l a lendutan maksimum uj ung j em batan d i pi ku l s i stem ?

=

305 mm, berapa beban

P yang dapat

Soal 4

Apab i l a l endutan d i noc!al 1 1 e l emen 1 3

= -

elemen 1 4

d imasing m a s i n g nodal ?

=

=+

1 5 0 m m , di nodal 1 2

=

-

1 5 0 m m , dan rotasi ujung

0 . 0 1 2 rad . , berapa beban ekivalen

P yang dapat d i p i ku l

Grid 249

Soa l 5

9 (sendi)

1 (sendi)

·.

-

'-

___ 1_1 (sen9Jl__

8@ 1 0

m

13 (sem:J iL

__

-.J

.

I

16

__ '" 1', \\\

,

j

m

Rangka portal xrid seper1i gambar merupakan konstruksi atap mezzanine beton tebal 1 00 2 mm. B eban h id u p yang bekerj a adalah beban air h uj an = 1 5 kN/m . D imensi kerangka adalah pipa baj a D 250*40. Gunakan program komputer untuk mengh itung perpi ndahan titik titik kumpul, reaksi perle takan dan gaya gaya dalam rangka jembatan diatas . Modulus elastisitas semua batang E = 200,000 M Pa, angka Poisson u = 0.30.

Soal 6

Terdapat 1 1 segmen l urus balok l engkung seperti gambar, seh ingga dapat d ikaj i sebagai sistem grid. Profi l penampang e l emen adalah p i pa D 2 5 0 .40, E hn.1a = 200,000 M Pa, u 0.30. Perletakan merupakan jepit sempurna. =

Pertanjaan : a. Berapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ defonnasi nya pada sistem. b. H itung sifat - si fat penampang: elemen : I, J, G, dan A . c . Tetapkan matri k kekakuan elcmen [ S ];. d . Tetapkan matrik kekakuan ekmen terhadap koordinat struktur [k]i. e. Rakit matrik kekakuan struktur [K]s f. Tentukan vektor be ban { P } s g. H itung [K] s { X ) s = { P} s untuk mendapatkan deformasi { X } s.

250 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

q, ,

SOAL 7

=

2.75 kN/m'

3.5 m

Lakukan ana l isis struktur grid dari beton bert u l ang dengan beban pelat seperti tergam bar. 2 Data : D imensi balok grid bentang 2 - 5 - 4 : 250/550 m m ; d imensi balok grid bentang I - 5 2 - 3 : 450/700 mm . Tebal pel at beton yang menj ad i bagian dari grid = 1 3 0 m m . Eb = 20000 M Pa. Semua perletakan grid terkekang penuh. Lakukan proses analisis dengan u rutan :

a. H itung beban pel at qpe l at dan beban h idup b. c. d.

e. f.

g. h. 1.

q11 yang bekerj a pada balok grid ( keempat sud ut pe I at bebas ). Lengkapi penomoran titik kumpul dan penomoran derajat kebebasan struktur dalam sistem koord inat globa l . Tentukan matriks kekakuan lokal (S]111 , m atriks transformasi [T], dan matriks kekakuan e lemen [k]m pada s i stem global struktur. Rakit matriks kekakuan g loba l struktur [K]s Rakit matriks gaya nodal struktur { P} s . H itung solusi perpindahan struktur dari hubungan { P } s = [K]s { X } H itung kembal i gaya-gaya dalam e lemen { Ph . Gambarkan bentuk struktur setelah berdeformasi Gambarkan bidang gaya dalam struktur.

Soal 8

2 Parameter s istem : E = 200* I 0 6 kN/m ; G = 80* I 0 6 kN/m 2 ; lx = 2 * I o-3 m 4 dan 4 I , = J = I * I o-3 m . Analisis matrik kekakuan grid untuk pembebanan luar seperti gam bar menghasi l kan deformasi [mm] di titik titik kumpul : B [ 5047E-03 ,

? [ 4 5 1 6E- 03 ,

A,

C,

D,

1 1 1 6 E- 0 3 ,

3 3 2 2 E- 0 2 ]

2 3 2 0E- 03 ,

9 2 5 6 E- 0 2 ]

dan G

:

[0, 0, 0]

( p e r l e t akan j ep i t )

Gritl 251

1 65 kN

a. b.

55 kN

('5)

G(6,8)

Gambar garis e lastis sistem struktu r. Tentukan gaya-gaya dalam elemen yang terkait dengan perpindahan titik kumpu l . Soal 10

Soal 9

3 m

I

J

Pertanyaan : a. Berapa deraj at kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ deformasi nya pada s istem. b. H itung s i fat - s i fat penampang elemen : A, I" J, dan G. c. Tetapkan matrik kekakuan e lemen [S lm· d. Tetapkan matrik kekakuan e l emen terhadap koordinat struktur [ k l m · e . Rakit matrik kekakuan struktur [ K ] 5; Tentukan vektor beban { P } , f. H itung [K]5 { X } s = ( P } s untuk mendapatkan defonnasi { X } s. g. Turunkan persamaan gaya normal set iap elemen, dan gambar d i agram gaya dalam. D i mensi elemen s i stem grid profil 2 [ ] 2 5 0 * 1 20*3 .2 . Modulus Elastisitas Bahan Es = 200 ,000 M Pa,

u

=0 . 3 0 . Selain dari berat sendiri elemen, bekerj a variasi beban luar scperti tergambar.


5

Ran g ka Ruang

Transformasi Koordi nat Ruang Vektor yang menyatakan gaya, perp i ndahan, dan unsur e l emen pada si stem struktur ruang dapat mempunyai orientasi semharang d idalam ruang. Setiap vektor dalam ruang dapat d inyatakan dengan komponen ortogonal dalam s istem koordinat Kartesian ruang. Walaupun pem i l i h an sumbu dapat sembarang, tetap i pada ana l is i s s i stem struktur terd
z

z,

X

Gambar 5.1 Dua sistem koordinat orthogonal ruang

0 I 0 x,

Y , y, Gambar 5.2a Rotasi

81

dan reposisi vektor

( 5 - l a)

[Px.Pv. Pz] Rangka Ruang

253

z, z,

b. Rotasi 8 2 terhadap sumbu z 1 • S u mbu z 1 merupakan SUI11bU baru akibat rotasi 8 1 · K oord in at [ Xm,y2 ,z2 ] menyatakan posisi baru . Sumbu z1 sama dengan sumbu z2.

Y .y, y,

z,

X m . Sumbu z 1

c . Rotasi 8 3 terhadap sumbu

meru pakan SUI11bU barU akibat rotasi 8 1 · Koord inat [xm ,y2 ,z2 ] menyatakan pos i s i baru. Sumbu z1 sama dengan sumbu z2.

y,

H u bungan komponen vektor

l

Gambar 5.2c Rotasi

OJl

Ym

82

dan reposisi vektor [Pxm. P2,P,,]

l P,m P,m P,m J terhadap lPx Py Pz f melal u i proses i n i menj adi 0

s i n 8, cos 8 3

254

J

cos 82

sin 82

- s i n 82

cos 8 2

0

0

cos 8 1

0

sin 8 1

0

0

I

0

I

- si n 8 1

0

cos 8 1

Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

J

1� Px Py Pz

atau

(5 - 2)

Hat serupa bagi perpindahan :

H r � ym � Zill ..

r

l'

T

}

0 os e, sin 8 2 O os 9, 0 si" 9 0 l x X y atau 0 I 0 cos 80 sin 8 J - sin 8 2 cos 8 2 - si 1 81 0 cos 8 1 x 7 0 0 - sin 8J cos 8 J o

� �

(5 - 3 )

y

X

G a m ba r 5 . 3

Komponen perpindahan ruang

Transfonnasi pada ruang digunakan untuk menetapkan hubungan unsur elemen struktur [ ] ruang antara sistem sumbu lokal dengan sistem sumbu struktur (global). Dalam ana lisis si stem struktur rangka dan p011al ruang, matrik transformasi ruang T J merupakan bagian dari proses transformasi gaya dan perpindahan dari satu sistem koordinat orthogonal lokal (sumbu e lemen) kepada sistem koordinat orthogonal global (struktur). Dengan hukum transformasi koordinat ini, kekakuan elemen, beban l uar. dan gaya-gaya dalam unsur-unsur elemen struktur d irakit menj adi unsur matrik kekakuan struktur, beban ekivalen dan gaya gaya ujung elemen. Persamaan dua rotasi 8 1 dan 8 2 dinyatakan dari posisi elemcn seperti pada Gambar 5 .4 . Dengan koordinat [ X,Y,Z] sebagai koordinat global (struktur) yang pusat sumbunya sama dengan pusat sumbu koordinat lokal, maka komponen panjang elemen dapat dinyatakan sebagai [X"'' Ym, Zm] . Koordinat ini berupa koordinat titik 8, dan A 8 1 = X",; 828 = Y m ; dan 8 1 82 = Zm . Rangka Ruang

255

y y

s/

X

X

z

Gambar 5.4

Dengan demik ian :

AB2 = Jx�, I

=

+

Z�, , dan bentang e lernen I d inyatakan dari

, �'' . + Y,�,' + Z

'\jI X �',

[ T}; dinyatakan scbagai

Rotasi 0 1 dan 0 2 da lam matrik 8 , 13 _,

=

sin e,

A B,

E lemen pada koordinat ruang

=

z l ll

� X � , + z �,

: ( 5 - 4a )

( 5 - 4h) dan sin 0 -,

=

BB, r

cos 8' = --

AB, r

c

=

=

y

"'

---;=

'

_

,

�X�, + Z�, +

83

( 5 - 4d )

�=""==""== - '

, 'JI X �,

+ Y,�,

Z�,

Persamaan ( 5 - 4 ) i n i mcru pakan pcrsamaan kom ponen bentang I elcmen. Rotasi

( 5 - --1-c )

� X �, + Y,�, + Z�, ,

U lllll lll

b i la jarak [X l ll• Ylll, zll , ] merupakan

mcnyatakan oricntasi dari pcnampang e lemcn, y a itu posisi pcnampang tcrhadap

sumbu utama. Rotas i i n i bukan merupakan fungsi bcntang. melainkan pcrputaran pcnampang terhadap vcktor normal penampang.

S .i ll ()

256

·'

=

�

z I'

,

,

p

+ z-p

y-


(5 - 5 )

y

Ym

Bagi penampang bulat_ rotasi 9, tidak dapat d ide-finisikan, akan tetapi i11engingat geometri penampang bulat mempunya i oroientasi sa m a setiap arah, 0, dapat dihilangkan. Hal khusus untuk elemen vertikal, perubahan posisi dapat dilakukan dengan dua cara. Pada Gambar 5 .6a elemen yang direbahkan dalam bidang [X,Z] dirubah posisinya menjadi elemen vertikal dengan pertama kali mela kukan rotasi e 2 90°, yang ke m u d i an rotas i e, . Rotasi 8 1 0 tidak d iperlukan, sebab penampang =

=

sudah bcrorientasi pada sumbu norm a l lokal.

Gambar 5.5.

Xm

y

y_,

X

/

Rotasi pcrtama

Rotasi terhadap sumbu

8 2 • kemudian 83 : 8 1 0 =

Gambar 5.6

Z

b. Rotasi pcrtama

8 2 • kemudian 83 : 8 1 0 =

Rotasi elemen ke posisi vertikal

Prosedur alternatif seperti pada Gambar 5 .6b, menyatakan posisi akhir vertikal elemen dari posisi rebah di lakukan dengan memutar elcmen pada [X,Z] dengan rotasi 91 , kemud ian ditegakkan dengan rotasi 8 2 90 ° ; sedangkan e, 0. Dapat disimpulkan untuk merubah posisi elemen ke posisi ver1ikal, dua prosedur rotasi yang berbeda, menghasil kan kedudukan akhir yang sama. Menyelesaikan matrik transfomasi =

=

Rangka Ruang

257

J

l

o cos e, sin 8 2 cos e ) sin e, - sin 82 cos 8 2 - sin e ) cos e, 0 o 0

(5 - 6)

bagi elemen rangka ruang rotasi 81 = 0, mengingat orientasi sumbu utama penampang dalam bidang normal terhadap sumbu aksial elemen.

l �l� I � l 0

[T , ] ]

[T 1

0

=

cos8, sin 82 . - si 82 cos82

�

0

iO l 0 .

I

cosO

0

- si n 8 1

0

0

cos O, cosO, sin 82 s;o O, cos O, - cos81 sin 82 cose2 - sin el sin e2 cos el - sin 81 0

j

I

- S�J9 , cosel

j

(5 - 7a)

Bagi elemen tegak, hanya terdapat rotasi 82 , dan 81 = 0 sehingga, sin e2 cos e2

(5 - 7b)

0

5.1 Sistem Stru ktu r

Sistem struktur portal rangka mempunyai konfigurasi susunan elemen batang dalam ruang; dengan sambungan atau titik pertemuan uj ung berperilaku sendi. Setiap batang berputar kaku dan berpindah akibat tiga pcrpindahan orthogonal .di kedua uj ung. Sebagaimana rangka portal, rangka ruang yang sitat sambungannya sendi hanya dapat menyalurkan gaya aksial. Dengan dem ikian, deformasi aksial perpendekun utau perpunjungun - merupakan satu satunya defonnasi yang te�jadi pada elemen. Translasi titik kumpu l yang terjadi akibat deformasi aksia1 j uga merupakan satu satunya derajat kebebasan elemn. Perputaran uj ung batang relatif terhadap titik kumpul 258

l'•

____.+

� ··i'· I·

p

I' t

---. +< �r---:�' ' , { ···.,)_ �_:_·/ 7�:

____.,_1·

I

I,

-

.. ...

·

,

....

.. .

I

j _.-·- "'· I '• , / ._ . ..._ � ·::.. .-..:.:..,.,::;:.... I ! '·""�·-···'"' r >'· ' ": .w . ..• : -·-- · -· IF ·.;;J. � ·- !'; , • I l · ..· ' • _. : -:· · . ' - - · �. .. ·� J\ . 7ffi• .

�.IF

.. ·

.

..

..

..

-

'

Gambar 5. 1 . 1 S i stcm utuh struktur rangka

Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

bukan besaran 'independent ' , sebab besar-an dan arahnya ditetapkan dari trans-lasi. Mengingat perputaran ujung batang perputaran 'kaku ' relatif terhadap titik kumpul tidak mempengaruhi gaya dalam, maka tidak perlu parameter ini di perhitungkan. 5.2 Beba n Luar

Sama seperti pada sistem struktur rangka bidang, beban l uar se/alu dikonversikan menjadi beban ekiva len terpusat yang bekerja di titik - titik kumpul . Berat sendiri elemen yang bekerja merata sepanjang bentang (gambar 5 .7a) diperhitungkan sebagai gaya terpusat ekivalen di kedua ujung di titik-titik kumpul (gambar 5 .7b). Dengan melakukan konversi beban bentang menjadi gaya terpusat ekivalen di titik kumpul, pemeriksaan kekuatan lentur elemen akibat beban bentang dilakukan secara terpisah.

a . Beban bentang G a m ba r 5.2. 1

b. Beban terpusat ekivalen

Pembebanan struktur rangka

5.3 Derajat Kebebasan Struktur

Derajat kebebasan sistim struktur rangka ruang ditandai dengan juml ah derajat kebebasan titik kumpul bebas. Mengingat sifat sambungan berupa sendi disetiap titik kumpul tanpa adanya kekangan, maka rotasi titik tidak memberikan pengaruh terhadap tanggap elemen (tidak menimbulkan gaya dalam). Hanya gerakan translasi titik kumpul yang merupakan derajat kebebasan. Gerakan translasi ini umumnya diuraikan dalam komponen koordinat utama. Dengan sifat tumpuan sendi atau rol pada sistem struktur, jum lah total derajat kebebasan rangka bidang dapat ditetapkan dari : N X = 3 * JTK - 3 *N S - 2NR1 - N R2 (5 8) di mana : N X = jumlah derajat kebebasan struktur JTK jumlah total titik kumpu l, termasuk yang menj ad i perletakan NS jum lah total perletakan sendi N R 1 jumlah total perletakan rol tipe I N R2 jumlah total perletakan rol tipe 2. -

=

=

=

=

Rangka Ruang

259

Gambar 5.3.1 Derajat kebebasan struktur

Kl l

K12

Ku

K1

K2 J

K 2·12

4

K3

K 2-12

Kn

Kn

K2

K 31

K ]2

K � :;

K,

K 2 J

K

K 1 2 1 K 122

J3

K 123

K

K 1-12

J

4

K 21

K ll

KI

4

J

J4

Kl2

4

K

JJ

KI2 J

Pacla contoh rangka biclang seperti gambar 5 .8. terclapat 1 9 elemen, 1 1 titik kumpu l dengan clua titik kumpul sebagai perletakan sencli. Dengan aclanya clua komponen translasi di setiap titik kumpul bebas. maka clerajat kebcbasan struktur ( DOF) : DOF = (3 *8) - (3*4) = 24 - 1 2 = 1 2. Derajat kebebasan struktur 1 11 1 cligambarkan berpasangan clengan gaya ekivalen titik kumpul sebagai vektor arah positif [X,. P,] . Yang harus cliselesaikan pacla analisis struktur metocle matrik kekakuan adalah menclapatkan perpinclahan translasi clari pcrsamaan l inear simultan clari hubungan gaya ekivalen {P} s clengan {X}s : (5 9a) [K]s{X}s = {P} s �

XI

x2

X3 X4

p.), p4

(5 9b) �

p. J

K -12 J

K l 2 -1 2

PI

1' 2

xl2

rl 2

Matrik [K]s menyatakan gabungan unsur kekakuan elemen yang membentuk sistem struktur. Disebut matrik kekakuan struktur. Vektor {X} s menyatakan clerajat kebebasan sistem struktur yang berpasangan clengan vektor gaya ekivalen {P}s. Pacla sistem struktur rangka seperti gambar 5 .3 . 1 , persamaan (5 9a) clalam tampi lan penuh seperti ( 5 9b ). �

�

5.4 Matri k Keka kuan Elemen [S]M

Dengan menetapkan incleks clerajat kebebasan elemen pacla ruang clan menambah vektor gaya serta perpinclahan arah komponen koorclinat y clan z (gambar 5 .3 .2b), hubungan gaya dan pcrpinclahan clinyatakan sebagai pacla persamaan (5- I 0). Gaya gaya ujung F2, F1, F5, dan F6 aclalah fiktif. N i lai gaya ini selalu 0, walaupun terclapat enam trans'asi ujung batang. Bentuk persamaan [S]111 clalam persamaan (5 I 0) untuk me fasilitasi proses tranformasi koorclinat lokal ke koorclinat struktur, cl isamping memastikan ni lai fiktif F2, F3, F5• dan F6 berni lai 0. �


y

y

z

z

Gambar 5.3.2a Gaya aksial elemen

X

0 f 0 0 0 0 EA 0 e 0 0 0 0

5.5

0 0 0 0 0 0

EA e

0 0 EA e

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

�I �2 �3 �4 �5 �6

Gambar 5.3.2b Gaya uj u ng elemen batang

pada sistem koordinat lokal/elemen

batang pada sistem koordinat lokal/elemen

EA

X

Fl F2 F3 atau [sL, { L, = {F L, � F Fs F6 4

(5 - 1 0)

Koordinat Lokal Dan Koordi nat Struktu r

Perakitan matrik [K] dari matrik elemen [ Sl m memerlukan proses transformasi koordinat. Mengambi l contoh rangka ruang pada gambar 5 .5 . 1 , maka untuk perakitan unsur [K] di titik kumpul 6, sistem koordinat e lemen batang 3, 4, 6. 1 3, 1 4 dan 1 8 yang menyatakan hubungan [S] { M = { F } harus d itransformasikan kedalam sistem koordinat struktur/global. Gambar 5 . 5 .2 menunjukkan sistem koordinat elemen terhadap sistem koordinat struktur/global bagi elemen yang bertemu di titik kumpul 6. Derajat kebebasan struktur pada titik kumpul 6 dinyatakan dengan X l o, X I I dan x l 2 yang berpasangan dengan gaya ekivalen P 1 0, P 1 1 dan P 1 2 . Hubungan antara vektor perpindahan dan gaya ini dinyatakan dengan perakitan unsur kekakuan e lemen yang membentuk titik kumpul 8.

z

Gambar 5.5.1 Penomoran elemen & titik kumpul

Rangka Ruang

261

J ika ditinjau secara umum posisi elemen dengan berturut-turut berotasi 8 1 , 82, dan 8, , maka terhadap koordinat struktur/global (gambar 5 . 5 .2a), maka merubah derajat kebebasan elemen L L X, L'll L'l2 L'l] L'l4 L'l, ll6J berorientasi koordinat struktur menj ad i X I X , X]

[

{llt, = [:],

(gambar 5.5.2b) adalah : L H ubungan vektor F1

[ [T0l ]{r}

{F}m = [T ], O

....

..,

...

. ··

y

··

\. :

.•• •••••·• B2

·-i_

... ..X. .. ....

......: ::::--� · :.. ...

· z:: · "

z

X

.... . .. .., . . ..

.

. ..

· . ··

···

· ···

. ..

\...

. � . · ·· ... · · · · B2 1

,.··

Zm'

· · ·· · · · ·

Gambar 5 . 5 . 2 . b Gaya ujung elemen koordinat struktur

cos 8 1 cos 82 sin 82 sin 81 cos 8, (5 - 1 2) - cos 8 1 sin 82 cos 82 - sin 8 1 sin 82 I cos 81 - sin 81 Pada titik kumpul yang dibentuk o leh elemen 2, 4, 6, 1 3, 1 4, dan 1 8 sepetti pada gambar 5 .5 .3 , akan diperoleh enam pasang hubungan deformasi dan gaya ujung dalam sistem koordinat elemen dengan sistem koord in at struktur, yaitu :

0

xm----1 •

y

I

I

z

•

(5 - 1 1 b)

Gambar 5 . 5.2.a Gaya ujung dan rotasi e , , o, posisi elemen terhadap koordinat struktur

=

T

p6 J

(5 - l l a)

m

z

l [T],

[;1Jx },

y �

y

z

x. xJT

/ ,I

Gambar 5.5.3

@

.x

[[T0]1 [Tl1 l { } {F } = [ [T ), 0 l { } m 0 [T l

{L\} =

'

I

Ill

@ .2 I

X

m

Posisi koordinat elemen dan struktur di tit1k kumpul 6

dan

0

Ill

m

X

p

Ill

m

m = 2, 4, 6, 1 3, 1 4 dan 1 8.


(5 - 1 3a)

(5 - 1 3 b)

Pe1j u m lahan deformasi dan gaya-gaya uj ung e l emen d i titik 6 d i da lam sistem koord i nat struktur haruslah memenuhi syarat kom pat i b i l itas dengan pasangan deformasi dan gaya ekivalen titik kumpu l yang sesuai dengan deraj at kebebasan struktut di titik 6 . Mengisi kan ketentuan kedua persamaan ( 5 - 1 1 ) kedalam persamaan ( 5 - I 0)

G) G G) 8 G 0

0 0(] EA

0 0 0 0 0 0

0 e 0 0 0 0 EA 0 e 0 0 0 0

:

G CV 0 EA

0 0 0 0 0 0

- -

fJ

0 0 EA

-

e

0 0

0 0 0 [ 1 0 [T l 0 0 0

[:

l m {X }m

_ -

[

� l {r L,

[T ) , 0 [ l

( 5 - 1 4a)

atau

[sL [TL {xL = [TL {rL ha

I

mana

['r)

"'

=

[

( 5 - 1 4b)

;l

[T ] , 0 t l

Men gal i kan persamaan ( 5 - 1 4b) dengan matrik invers

(5 - 1 5)

[T ],1 :

[T t,1 [sL [T L {X } [TLl [T L { p L [T t,1 [sL [T L {X} = { p L =

Karena matrik transfonnasi di buktikan matrik invers .

se I1 mgga Perkal ian

(5 - 1 6)

[TL

terkait dengan si stem koord inat orthogonal, dapat

[T t1 j uga merupakan

matrik transpose

[T ]�, :

[TLI [sL [TL, {x L = [Ttl [sL [TL {x L [T ],� [s ]Jr L {x L {r L =

[T ].:Js] J r L adalah ,

( 5 - 1 7)

matrik n * n, hak mana n merupakan derajat kebebasan elemen

yang d itinjau terhadap si stem koord inat globa l/struktur rangka. D i sebut matrik kekakuan e lemen terhadap s i stem sumbu struktur.

[T J,:, [s L [Tln = [k L ,

Rangka Ruang

263

[I]

m

s_,,::

cos 8 1 sa 0 2 cos 92 �

82

- cos 0 1 stn 9 2 cos 0 2

tl[ COS L.. 9 2 cos 0 1 S i n e 2 co

[k lrn

--=-

EA "' I

cos 0 1 sn1 82 cos� 0 2 2 2 - cos

01 cos

- cos e 1 s m o2 cos e 2 COS 8 [ S i ll 82

02

Tabel 5 . 5 . 1

111�02 s1n e1 sm n2 c o s e 2 0

- S I !l - 8 2 - Slll 9 [ Sill 02 cos 8 2

rn

sm 01

0

�1n

[I]

0

82

COS 0 1 Slll 0 2

e 2 cos 02 0

s 1 n � e 1 c o s .. o

�

\

- s m 8 1 cos 0 1 cos - e 2 s m O s 1 n 02 cos 82 � Sill- 8 [

02

- cos B 1 sn1 0 2 cos H 2

- cos 0 1 S 1 n 02 costl2 - Si n {

cos 0 1

[]]

[]]

0

cos� EI 1 cos- o2

02

0

�os._ 8 2

- sm 0 1 S l n 82 cos H 2 cos 0 1 s m 8 2 cos 0 2

cos- o l cos- 8 2

02

cos 0 1 S i n 0 2 cos H 2

Sill 0 1 S i Jl ()I COS 02

sm 8 1 cos 0 1 cos e 2

0

- cos 0 1 su1 02 cos"' 0 2 S i l l 0 :. 1 11 82 COS 0 2 � Sill .. fl[

02

s m e 1 cos 0 1 cos H 2 Sill 8 [ S i l l 0 [ eo:, 8 2 2 cos

e1

02

Matrik kekakuan elemen [k]m pada sistem koordinat struktur/global

5.6 Matri k Kekakuan Struktur [K]s

Perkal ian matrik [T J,:, [s}TL merupakan transformasi matrik kekakuan e l emen [S]m menjadi matri k kekakuan e lemen pada s i stem koord i nat struktur. D inamakan has i l perkal ian sebagai

matrik kekakuan elemen [k ]m = [T J:Js}T], . Hasil perk a! ian unsur ketiga matrik merupakan unsur matrik [k] 111 , seperti d ij e l askan pada tabel 5 . 5 . 1 . l ndeks dalam kotak persegi I , 2, 3 , 4, menyatakan besaran arah positi p gaya dan perpindahan kedua uj ung e l emen dalam s i stem koord inat struktur/globa l . M atrik kekakuan e l emen [k] m menj adi bagian dari penyusunan unsur matrik kekakuan struktur [ K ] . Meninj au penyusunan unsur matrik kekakuan struktur di titik kumpu l 6 pada contoh, maka prosedu r menggabungkan i ndeks unsur kekakuan e lemen [k] m dengan sebutan derajat kebebasan struktur haruslah ditetapkan dari posisi indeks derajat kebebasan elemen. U ntuk e l emen 2, 4, 6, 1 3 , 1 4, dan 1 8 dengan i ndeks derajat kebebasan 1 , 2, dan 3 e l emen sama dengan indeks derajat kebebasan struktur I 0, 1 1 dan 1 2 . Persamaan (5 - 1 8) menj e l askan posisi indeks e lemen dengan indeks struktur d i titik kumpu l . Xm Xm..._ _ / Xm__. - - -1

\

5

y •

z a.

berajat kebebasan struktur

G a m ba r 5 . 6 . 1

/ ..

/

3

--. X

Xm /�

12

' xm

b. Derajat kebebasan struktur di titik kumpul 6

Perpindahan dan gaya ekivalen elemen terhadap sistem koordinat struktur/global

264 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana!isis Struktur

[k h

=

[ k ]1 3

[]

/;1. [1] b [2] &0 &0 &ITJ &[6]

=

k Ig =

/;1. QJ 80 &0 80 &ITJ &[6] & [i] 8� &0 &0 &ITJ &[6]

/;1. 8 11. & & & 0 0 0 @] [6] [i] k

k

l l

k

k

21

k

k

31

k

k

k

61

k

32

k

42

ks

i

k

22

k

41

ks

k

l2

k

2

k

62

k

l3

k

23

k

43

k

53

25

64

45

k

26 36

k

(5 - ! Sa)

46

kss

ks

k

k

65

+-- indeks derajat kebebasan elemen

l6

k

35

k

44 54

k

63

k

34

k

l5

k

24

k

33

k

l4

+-- indeks derajat kebebasan struktur

6

66

&, & 8 8 8 & [6] 0 0 0 @] [i] k

k

k

l l

k

21

k k

k

k

41

ks

22

k3

31

k

61

2

42

ks

1

k

l2

2

62

k k k

l3

23 33 43

ks k

3

63

k

k

l4

k k

24 34

k

44

ks k

4

64

l5

k k

25 35

k

45

k

k k

26

36

k

k

21

k3 k

1

41

ks k

k

l l

i

61

l2

k k k

22 32 42

ks k

2

62

k k

k k

l3

23 33 43

ks k

3

63

k

l4

k

k

k k

24 34

k

44

ks k

4

64

k

l5

k

6

66

k

k

k3

k k k

35 45 55 65

+-- indeks derajat kebebasan struktu r +-- indeks deraJat kebebasan elemen

l6

k,�)

(5 - ! Sb)

46

ks

& 8 11. 8 & b. [i] 0 0 0 @] [6] k

struktur


l6

kss 65

+-- indeks derajat kebebasan

k

26

( 5 - ! Se)

46

ks k

6

6

66

Rangka Ruang

265

[k ] , 4

[]

k 6

[]

k 4

=

=

=

& [i] b0 i1. 12l 8 [4_l &[}] &@] & [i] 80 i1. 12l &� &[}] &@] & [iJ 80 & &� &[}] &@l

& L21 i1. b. & 8 [iJ 0 12] � [}] @] k

k k k

l l

31

l2

k

21

k

22 32

k

41

ks k

k

42

ks

i

k

61

2

62

k

k k k

l3

23 33 43

k5

3

"63

k

l4

k k

k4

k

k

k

k

�)

35

k

26

36

k

45

ks

k

k

65

6

66

& 8 i1. & & & [i]

k

k k

l l

21 31

k

41

ks k

�

12]

k

k

k

i

61

l2 22

k3 k

2

42

ks

2

"62

k

k

l3

23 33

k

43

"s "-

3

63

�

k

l4

k

24

[}]

@]

k

k

k

l5 25

k34

k

k

k

44

35 45

k

k

36

k

k

k

k6

56 6

& 8 & & & & [1] k

k k k

l l

21 31 41

ks k

6

i

l

0

12]

k

k

k

k

l2 22 32

k4 ks k

2

2

62

k

k k k k

l3

23 33 43 53 63

[lJ

[}]

@]

k

k

k

k

k

l4 24

34

k

44

k

k

l5 25

35

k

45

k

k

36

k

( 5 - 1 8 f)

46

ks

k

k

k

6

66

Unsur K,1 bagi derajat kebebasan di titik kumpul 6 adalah : c 11 1 1 - k K 1010 k c= 2 + k 21 3c + k c1 Kc + k c1 42 + k 2c' 2 + k c" 2 1 1 + k 1 1 + k 1 s1 + k 1 41 + k "1 1 + k 41 1 ' K 1 1 1 1 K l2 1 c = k , + k + k � + k �� + k , + k �, K 1 o 1 1 = K 1 1 1 o ; K I O i c K 1 2 1 o ; K l l 1 2 = K l 2 1 1

( (;

�:

�

�

}. }

(

strukt u r

+-- indeks deraja\ kebebasan elemen

26

kss 65

+-- indeks deraJat kebebasan

l6

k s4 64

( 5 - ! Se)

46

k

65

struktur


26

k--

64

+-- indeks derajat kebebasan

l6

" s4

))

( 5 - 1 8d)

46

kss

64

struktur


l6

k

4

54

l5

kr

24 34

k

k

+-- indeks deraJat kebebasan

��

)·

,

N i lai 1 11 1 merupakan unsur dari matri k struktur [ K], yang mengam b i l bentuk seperti persamaan ( 5 - 9b) :


&&&&

& &. &.

K11 -

K12

K13

K14

.Kij.

K2 1

K22

K2 3

K24

.K2j.

K3 1

K32

K33

K3 4

. K3 . . .I

( 5 -19) x. .I

p. .I

Seperti dengan penyelesaian persamaan [KJ5{X}s {P}s untuk matrik {X}s pada portal, penyelesaian persamaan linear simultan [KJ5{X}s {P}s rangka dapat menggunakan metode dekomposisi LU atau Cholesky menyelesaikan menyelesaikan parameter deformasi {X}5. =

5.7 Gaya-Gaya Dalam Elemen

Ha si1 solusi {X} s digunakan untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya dalam ujung elemen dan reaksi perletakan. Unsur matrik [X} merupakan data bagi perhitungan. Apabila ditinjau elemen 13 pada gambar 5 .6.2, maka kedua unjung elemen yang mempunyai derajat kebebasan yang sama dengan derajat kebebasan struktur adalah: Lx"l xc2 X", RI R2 RJT LxsiO XSI I xsl2 RI R2 R, J. RI R2 R, adalah kondisi perletakan. =

1>/� ' X,=X" R2 ..

R3

.

•

R

,

:1\

e

\j

•·.

••

·.,

e

_

•

s

'•,,

X X' � , \ /1(( : = �X t '-jX �

e

x�

\.,(f)

s

i

. . "' :: :

: ::

•• •• ••••• ••• •

I -

.... ..

.

.. .

5

•.

..

········ ·

••••• ••••• • •• •

(--3�'\

�

•

...

..

..

\ .;

...

-- --

... (1, /)

.•

••••

..

6

: )

••'(0 __

.

. .. s

x,

14\ :� )

z

Gambar 5.6.2

Korelasi vektor perpindahan elemen

13

dengan derajat kebebasan struktur

Rangka Ruang

267

Fl EA F�FF-J EA F6

0 0 0 0 0 0

(

0 0

Dengan hubungan

dan

)

0 0

(�

X � = X�0 11 1 x " = X II 11 2 - s 114113 = [[:]3 [�dl 3 xcR 3I = 0x 1 2 R2 = 0 116 R, = 0

0 0 0 0 0 0

j' '

L'- s

EA , 118o ( EA 11-113 rA: 0 0 {

{

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

( 5 - 20 )

(5 - 2 1 )

0

FF"l EA FF3 EA Fs EA For, EA Fr�F:-

EA EA

maka besarnya gaya aksial clemen adalah : {

0 0

.J

0 0

F6

f

0 0 0. 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Elemen 1 8 :

(

0 0

F,

X

0 0

c

t

0 0

e

c

0 0

EA EA 0 0

r

(

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x cI = XIs() x e2 = XII x c3 x sl " [ [ :] [�d l 3 R I = 0 R2 = 0 R3 = 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

xeI - x s1 0 x 2 = X II [LT}, [IolJ x xex c -- xxs1s2 X ': = X � = xs

S

=

c

s

3 �

�

)

xe

6

( 5 - 22)

-

�

.)

(J

_f ,>1 �, � ;' �:· /


(5 - 23 )

E lemen 1 4 : fI

EA

F2 F, F4 F5 F(J 1 -l

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0

0

t

0

f

0

Hal scrupa, elemen 4 : EA

[ F, F,

l�:

F, F6

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

f

(

EA

0

0

0

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0 EA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

{

0 4

EA

f

0

e

(

[[:1

x eI

[;lt

[[ :], [;l, l

x e2

x s1 0

= xll S

x .1e - x s1 2

( 5 - 24)

x e-t x s7 x "5 - x �X e

x (,

= x Sq 1 4

X I = XS x e2 - x s1 1 x e' - x s1 2 R4 = 0 R5 0 R6 = 0 e

10

(5 - 2 5 )

=

-l

5.8 Contoh Analisis Rangka Ruang

Contoh anal is is struktur rangka ruang berupa menara tcrgambar. Ditetapkan data elemen struktur scbagai berikut : Pro fi l baja yang digunakan profi l rangkap L 5 0 . 5 0 . 5 . untuk batang horizontal dan vertikal, tunggal L 5 0 . 5 0 . 5 untuk batang diagonal. Tebal pclat beton 2 0 0 mm. Modulus elastisitas baja Es = 2 . 1 * I 0(' kg/cm 2 . Di lakukan pcrhitungan untuk hal-hal sebagai berikut : I . Penentuan l uas penampang profi l dan ben tang elemen. 2 . Penentuan den1_jat kebebasan struktur. 3 . Merakit matriks kekakuan (S)m setiap ele men tcrhadap sumbu lokal/elemen. Gambar 5.8.1

Struktur rangka ruang

Rangka Ruang

269

Xw,P ·,,

x,.,p.,

4.

M erakit matriks kekakuan [k]111 setiap e lemen terhadap sumbu global

5.

Meraki t matriks kekakuan struktur kesel u ru han [K]s dari matrik kekakuan e l emen

x,,p,

6.

[k ]m

.

Merakit vektor be ban luar struktur t P ls dan beban-beban titik kumpul struktur.

7.

y

z)_x

Gambar 5.8.2

Meyel esaikan persamaan matriks [ K]s* � X � = { P } , untuk mendapatkan perpindahan titik-titik kumpu l .

8.

2

Menggambarkan garis elasti s struktur (perp i ndahan titik-tit i k kump u l terhadap po-

sisi sem u l a). 9. M emeriksa lendutan yang terjadi terhadap syarat maks i m u m peraturan yaitu lendutan izin = bentang/3 60. 8. M enyel esaikan besarnya gaya-gaya dalam setiap e l emen. Derajat kebebasan struktur

9. M emeriksa tegangan yang bekerj a pad a penampang e l emen ( O'k eqa) . seti ap elemen terhadap 2 = syarat tegangan izin 0'111ax 1 400 kg/cm .

y

y

z

270

G a m ba r 5.8.3

. . . . . . .. . . . ...

:

.

.......

....... ···

·

£:

. Putaran su®) transformasi ruang .

Amrinsyah Nasution , Metode Mc;trik Kekakuan Ana/isis Struktur

X

Xm Gam bar 5.8.4

Template

Enam derajat kebebasan batang rangka ruang

perangkat l unak MATHLAB digunakan untuk analisis.

Parameter Bata n g Bata n g 1 : E

:

=

200000 M Pa, 83 1

L I :=

�(

)

:

=

-

45°

2 2 I Oo0 + I OO ct + 3500

tw I := 5 tfl := 5 h I := 50 b I

:=

A I := 2 [ ( tw l · h l )

3 L l = 3 .775 x 1 0

50 +

[ ( b l - tw l ) · tfl ] ] ;

A I = 950

Matriks kekakuan lokal : EA! Ll (I

S I :=

()

-( E A ! ) Ll

()

()

ll

(I

() (I

() (I

() ll

() (I () ()

-( L A ! ) Ll

() 0

EA! Ll

() ()

(I ()

() ()

() () () (l

08

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0

4 5.03 3 x 1 0

() 0 () ()

0

SI =

0

0 0 -5.033 X

4 -5.033 X 1 0 0 0

CD®

4 10 0 0

0

4 5 .03 3 x 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0/

Ylatriks transformasi [Th T I : =

Rangka Ruang 271

T8 1 := Tc i · Tb i · Ta l Tc l

()

:=

()

()

8b l := -atan ()

0.265 -0 . 927 -0 . 265 0.656 0.375 -0.656 0 . 707 0 . 707 0

Tl =

Tb l

cos (oc 1 ) sin(Oc l ) --sin ( flc l ) cos ( Oc I )

()

()

()

()

0 0

0 0

0

(

)

8c l := Odeg

cos (8b l ) sin(Ob l ) - sin(Ob 1 ) cos (8b 1 )

:=

()

()

()

()

cos (Oa l ) 0 sin(Oa l )

Kl := T l1 · S l · T I

m

:

[k]1

=

8a I := -45deg

K1

0

�

0

3 532x 1 03 - 1 .236x 1 04 - 3 532x 1 03 -3 532x 1 03 I 236x 1 04 4 .j .J - 1 .236 x l (l 4 327x I O I 236 x 1 04 1 . 236x 1 0 -.J .327x 1 04 4 -J 532 1 03 1 .236x 1 04 J )32 I 03 3 S32 x 103 - 1 .236x 1 0 3 -3 5)2 1 03 I 236x IO.J ) 532 1 03 3 . 532 x I 0 - 1 .236 x 1 04 4 -4.327x I O.J - 1 .236 x 1 04 - I 236x 104 4 327x I O.J I 236x 1 0 X

X

X

X

3.532x I 03 - I 236x 1 04 -3.532x 1 03 -3.532x

10]

1 .236x 104

3.532x i (? -l -1 .236x 1 0 -3.532 x i t? -3 532

J

L2 := booJ + 1 ooJ) + 3soo2 h2

A2

272

:= :=

50 b2

( tw2 · h2)

:=

+

X

I

1 .236x 1 04 3 532 1 0]

Bata n g 2

tw2 := 5 tf2 := 5

0

-sin (Oa l ) 0 cos (Oa l )

0 0 0 0 0 0 () 0 . 265 -0 . 927 -0 . 265 0 . 656 0 . 375 -0.656 0.707 0 . 707 0

"""""

Kl =

0

Ta l

0 0

Matriks kekakuan elemen batang 1

QJ

3 .5 �I + 1

50 [(b2 - tw2) · tf2] A2 = 475


X

R u m u s matriks kekakuan lokal :

F A2 L2 ()

() 0

--

S2 :=

()

-( F A2) L2 ()

()

()

() 0 ()

()

()

(

()

()

()

()

()

()

()

0

()

Tc2 :=

n+

atan

=

T2 : 8b2 := -atan

()

()

()

() ()

()

( �))

cos ( Oc2) sin(8c2) ( ) -sin(Oc2) cos (Oc2)

T82 : = Tc2 · Tb2 · Ta2

-0.704

0.67

-0.235

0.3 1 6

0

-0.949

()

=

()

()

()

() ()

0

()

()

M atriks kekakuan e l e m e n [k]2

1

K2 := T2 - S2- T2

[2]

()

0

0 0

=

-9 50-l x I 03 - 1 1 09 x 1 04 -2. 7 1 6 x I 03 -3. 1 6X x 1 03

() () ()

0

()

() ()

()

()

()

()

() ()

()

() ()

2.0 1 4 x 1 04 ()

()

0 ()

0

8c2

1

()

() ()

()

3.5

::

00

0

-2.0 1 4 x 1 04 0 0

:=

()

()

Odeg

cos ( Oa2) Ta2 : =

()

-sin(Oa2)

()

,,,. (8,2)

()

()

cos ( Oa2)

J

.

0

-0 . 636 -0 . 742 -0.2 1 2

=

-0.704 0.3 1 6

0.6 7 ()

-0.235 -0.949

K 2 terhadap sumbu sistem struktur :

0 X

1\.2

�

-2.01 4 x 1 04 0 () () 0 0

( �9 + )

0

' 9 504 x 1 03 2 7 1 6x l (f 9.504 x I (? I 1 09 x 1 04 ) 1 68 I 03 2. 7 1 6 x 1 03 3. 1 6X x I 03 905 1 67 3 3 1 4 7 x 1 0 -9 50-l x I 0 --2.7 1 6 x 1 03

� 1 4 7 x 1 03

()

cos (8b2) sin( Ob2) Tb2 := -sin( Ob2) cos (8b2) () 0

-0.636 -0 . 74 2 -0.2 1 2

T2

S2 =

() ()

l'·A2 L2

()

2.0 1 4 x 1 04 0

() ()

()

M atriks transformasi [Th O a2 :=

0

-( E A2) () () 1 .2

CD

0

0

-R. 1 4 7 x 1 03 -9.50-l x 1 03 -2 7 1 6 x 1 03 -9 50-l x I (? - I 1 09 x 1 04 -3 1 68 I (? X

-2 7 1 6 X I (? -3. 1 68 x I (? -905. 1 67 X 1 47 x 1 03 9.50-l x I (? 2 . 7 1 6 x 1 03 -3. 1 6 8 x 1 03 9 504x I 03 I 1 09x 1 04 3 . 1 68x I (? --905. 1 6 7 2 . 7 1 6 x I 03 3 1 68 x I 03 905. 1 67

Rangka Ruang 273

Bata n g 3 : L3 := L l

tw3 h3

:= :=

5

tf3 := 5

50

b3 : = 5 0

A3 := [ ( tw3 · h3 ) + [ ( b3 - tw3) · tf3] ] 2

A 3 = 950

0

M atri ks kekakuan e l e m e n :

F i\ 3 u

S3 :=

()

()

0 -( F i\ 3 ) u ()

()

()

0 () ()

0

(I ()

�·( F i\3 ) L3

0 0

0 0 E i\ 3

() 0 0 ()

()

() ()

() () 0 ()

L3

4 5 . 03 3 x 1 0

S3

0 0

()

()

=

8 b3 := -atan

8a3 := -( 90 + 45) deg

Tc3 :=

()

0

()

()

cos (oc3) sin ( Oc3) -sin ( O c3 ) cos (Oc3)

Th3

:=

274

0

0

0

0 0

0

0 0

4 5 .033 X 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

3.5 1 + 1

() -0.265 -0 927 -0.265 () () () () -0 656 () 375 -0 656 () () 0 () () -(1 707 0 707 -0 265 ·-0 927 -0 265 () 0 () -0 656 0 375 -0 656 () () () ( ) -(!707) () () ()707 ()

()

��

0 0

1

)

-sin(Oh3) cos (tlo3) 0

0J)

4 10 0

0

cos (Oh3) sin(Oo3)

T83 : = Tc3· Tb3 · Ta3

T3 =

(�

0

0 0 -5.033 X

4 -5.033 X 1 0 0 0

()

M atriks transformasi [Th = T3 :

�

(J

Oc3

J


:=

Odeg

cos (Oa3)

Ta3 : =

0 -sin

(Oa3)

0

sin(Oa3)

()

cos (8a3)

()

M atriks kekakuan e l e m e n [k], = K3 terhadap sumbu sistem struktur :

1 K J� : = r.) . s .)· � r.)

[2]

I

3 532x I (? 1 . 236x

.j [ (l

0

0

236x 1 04

4.327x 1 04

3 532x 1 03

1 . 236x 1 04 -3.532x I(? - \ .236x 1 04

K3 =

L4 : = tw4 h4

�(

:= :=

+ 4oo J ) +

2 1 000

-

4 327x 1 04 I

236x 1 04

lA

+ [ ( b4 - tw4) · tf4]

() 0

()

() 0

()

() ()

-( E i\4 )

() (I

lA ()

) () 0 0

-( E A 4 )

lA

()

8a4 := 0 . 5n

+

atan

L4 ()

0

X

()

0

()

0

=

S4 =

OJ

T4 : 8 b4 : = -atan

()

cos (Oc.J) sin(Oc.J) -sin(Gc4) cos (Hc4)

0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 1 .757x 1 0

0 0

4 1 .7 5 7 x 1 0

()

cos ( G b4) sin( llb.J)

Tb.J : = -sin(Ob4) cos ( Ob.J) ()

4 0 0 - 1 .757x 1 0 0 0

4 - 1 . 75 7 x 1 0 0 0

( �) ()

80

80

0

0

(I

0

()

( �)

Tc4· Tb4 · Ta4

()

E i\4

M atriks transformasi [T]4

0

J 532 1 c?

A4 = 475

(I 0 (l

()

(

()

Tc.J :=

1 04

b4 := 50

50

E A4

:=

i .236x

2 35oo

M atriks kekakuan e l e m e n :

184

X

tf4 : = 5

5

A4 := ( tw4· h4)

S4 :=

0

.j 3 532x l l? -3.532x 1 03 - 1 .236x I O -3 532 X I 03 1 . 236x 1 04 -- 1 . 236x 1 04 -4 327x 1 04 - I 236x 1 04 3 532x 1 03 -3.532x 1 (13 - I 236x 1 04 _l 532 1 03 ' -J 532 X 1 03 3 532x 1 03 1 . 236 x 1 04 3.532x l (f

- 1 .236x 1 04 -4. 327x 1 04 - 1 .236x 1 04 I 236x 1 04 -3. 5 3 2 x 1 03 - 1 236x 1 04 -J 532 X 1 03 3 532x I 03

Batang 4 :

0

0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

8c4 : = Odeg () (I

Ta4 :=

cos (Oa.J) 0

-sin(Oa.J)

()

()

sin(Ha4) ()

cos (Oa.J)

Rangka Ruang 275

T4 =

() () -0 1 85 -0 647 0.74 0 () -0 1 57 () 762 () 628 () 0 -0.243 () 0 -0. 97 () (I 0 0 - 0 1 85 -0.647 () 74 () 0 -0 1 57 0. 762 () 628 () () () -0.97 (I 0 -0 243 ()

M atriks kekakuan elemen [k]� = K4 terhadap sumbu s istem struktur : K4 := T

l · S4· T4 QJ

600.53

1<.4 =

3 2 1 02 x 1 0 -2.402 X I 03 -600 53

0

2. 102 x I 03 3 7.356x 1 0 3 -8.407x 1 0 3 -2 1 02 x 1 0 -7.356x 1 03

0

0

-2 402 x 1 03 -600.53 3 -P 407 x 1 0 -2. 1 02 x 1 c? 3 9 :'J08 x 1 03 2.402 X 1 0 2402 x I 03 600 53

0

0

-2 . 1 02 x 1 ()3 2 402 x 1 03 -7. 356x 1 03 8 407 x 1 03 3 8 407 x I 0 -9.608x I 03 2. 1 02 x 1 03 -2.402 x 1 03

3 3 8.407x 1 03 2 1 02 x I 0 7.356x 1 0 -8.407x 1 03 -2. 1 02 x 1 03 3 8 407 x 1 03 --9 6118 x 1 03 -2 402 x 1 03 -8 407 x 1 03 9 60X x 1 03 2 41J 2 x 1 0 Bata ng 5 :

L5 := L l tw5 := 5 h5

:=

50

tf5 := 5 b5 := 50

AS := [ ( tw5 · h5 )

+

[ ( b5 - tw5 )
AS = 95�

M atriks kekakuan elemen :

:1 0 ('j

-( EA 5) E /\ 5 () () () LS L5 0 () 0 () () () I) () () S5 := () (1 1 E· A5 -( E /\ 5 ) Cl 0 L5 L5 () 0 () () 0 () 0 0 () 0 () ()

276

(:)

4 5.033 x 1 0

ss =

QR)

0

0 0 -5.033 X

�

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 5 . 03 3 x 1 0

0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

0 0

�-� -5.C3 3 x ! 0 0 0 0 ()


M atriks trans formasi : 8a5

( l 3 5) deg

:=

8b5 := -atan

T85 := Tc5 · Tb5 · Ta5 0

0

Tc5 :=

0

Tb5

:=

(� ) 3.5

1 + 1

cos (Ob5) sin (Ub5) -sin ( Ob5) cos ( Ob5) 0

cos (Oc5) sin(8c5) -sin ( Oc5 ) cos (tlc5)

0

0

-0.265 -0 927

0

0 I

:

8c5

Ta5 : = ()

0.265

0.375

0 656

Cl

-0 707

0

Cl

()

()

Cl

-sin

() s i n ( tla5)

()

0

Cl

()

- 0 265 -0 9 2 7

0

- 0 656

0.375

0

-0.707

()

()

()

( Ela5) (I

0

Cl

-0 656

0

Odeg

cos (Oa5)

-0 707 T5 =

:=

0

()

�

65

0 656

()

cos ( 8a5)

I

-0 707

)

M atriks kekakuan elemen [k], = K5 terhadap sumbu s istem struktur : K5

:=

T

T5 · S5- T5

QJ

0

�

[I]

0

4 1 . 236x 1 0

-3 5 3 2 X

3 10

3 �3 5 3 2 x 1 0

4 - 1 236x 1 0

3 3 532x 1 0

I (}

4 4.327x 1 0

4 - 1 236x 1 0

4 - 1 .236x 1 0

4 -4. 3 2 7 x 1 0

4 1 . 236x 1 0

J (?

4 - 1 .236x 1 0

3 3.532x 1 0

3 3.532x 1 0

4 I 236x 1 0

3 -3 5 3 2 X 1 0

3

4 - I 236x 1 0

3 3 532x I 0

3 3 532 x 1 0

4 I 236x 1 0

-3 . 5 3 2 x

4 - 1 .236x 1 0

4 --U 2 7 x 1 0

4 1 . 236x 1 0

4 327 x

3 3 532 x 111

4 I 236x 1 11

1 . 236x -3 . 5 3 2 x

K5 =

0

3 3 532x 1 0

-J

532 X 1 0

I

4 236x 1 0

-3.532x

le?

-J

3 532 X 1 0

4 10

4 - \ .236x 1 0

le?

4 - 1 .236x 1 0

J

532 X

103

Batang 6 : L6 : = L2 tw6 := 5 tf6 := 5 h6 A6 A6

:= := =

50

b6

50

( tw6- h 6 ) + [ ( b6 - tw6) · t f6]

4 75

Rangka Ruang 277


EA6 -( E A6) (J ( ) L.6 L6 0 () 0 0 0 0 () 0 S6 :� EA6 -( E A6) () () L6 L6 0 0 () 0 0 0 0 0

---

Tc6 :�

T86

T6

�

0

0

:=

+ atan

( �)

0

0 0 0 0 S6 =

0 0

8 b6 := -atan

cos (Oc6) sin (Oc6) -sin (Oc6) cos (Oc6)

(jfi)

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 2 .0 1 4 x 1 0

0 0

4 0 0 -2.0 1 4 x 1 0 0 0

4 -2.0 1 4 x 1 0 0 0

0 0 0 0

0

0

4 2 .0 1 4 x 1 0

M atriks transformasi : 8a6 := 0 . 5n:

@2)

0

( ) ()

(

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

3.5

-./ 1 +

1

)

8c6 := Odeg

cos (Ob6) sin(Ob6) Tb6 : = -sin( Ob6) cos (Ob6) 0

0

Tc6 · Tb6 Ta6 ·

Cl () -0. 355 -0 927 0 1 1 8 0 () -0 XX () 375 0.293 () () () -0. 3 1 6 0 -0 949 () () () 0 0 -0.355 -0 927 0 I 1 8 0 () -0.8X 0 375 0 293 0 () 0 0 -0. 3 1 6 () -0.949

cos (Oa6)

:J

Ta6 :=

-sin (Oa6)

M atriks kekakuan elemen [k ]6 = K6 terhadap sumbu si stem struktur : K6 = T6 T · S6 · T6

QJ

K6

�

84 7 l)l)X

278

0

0

0

0

0

-2 544 x 1 03 -6.63 7 x I 03 847. 998 3 1 04 -2 2 1 2 x I 03 -6.63 7 x 1 0 - J . 73 1 1 04 2 2 ! 2 x 1 03 I 73 1 -847 998 -2 2 1 2 x I 03 282.666 X.J 7. 998 2.2 1 2 x 1 03 -282.666 1 -2.544x 1 03 -6 637x l (f 847.99S 2 .54-lx 1 03 6 fJ37x 1 03 -847. 998 -6 637x 1 03 - J . 7 J I X 1 04 2.2 1 2 x I (? 6 63 7 x 1 03 I 73 1 X l(l -2 2 1 2 x 1 03 2.544 x 1 03 6 637 x 1 03

6 637 x 1 03

-847 998

X

2.2 1 2 x

X

le?

-n2.666

-8.J7 l)'J8

1 -2 2 1 2 x 1 1r

()

282.666


0

0

sin (Oa6) ()

cos (Oa6)

Batang 7 :

tt7 := 5

L7 : = L l tw7 : = 5 h7

50

:=

A7

b7

:=

50

( ( tw 7 · h 7 ) + [ ( b7 - tw7) · tt7] ] 2

:=

A7

950

=

M atriks kekakuan clcmen :

E· A7 1 .7 0 S7 :�

0

0 0

-( Fi\7 )

() () () 0

() 0

-( E i\7) 0 () l.7 () (I 0

11 ( )

11

L7

E

S7

() () () ( )

M atriks transformasi :

:= 4 5deg

8 a7

0

Tc7 : =

T8 7

0

:=

8b7

()

:=

cos (tk7) sin (Oc7) -sin(Hc7) cos (Oc7)

:=

T

i · S7· T7 [2]

K7 �

0

(

Tb7

n�

Matriks kekakuan clemen [kh K7

-atan

0

Tc7· Tb7·Ta7

G::0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 5 . 03 3 x 1 0

0 0

0 () 0 ()

0 ()

0

4 5 .033 x 1 0

0 0

i\7 l.7

@:])

0

0 ()

=

3.5

�1 +

:�

1

=

4 -5.03 3 x 1 0 0 0

)

8c7

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

:=

cos (Ob7) sin(Ob7) 0 -sin(Ob7) cos (Ob7) 0 ()

4 0 0 -5.03 3 x 1 0 0 0

0

Odeg 0

cos (Oa7) Ta7 : =

() () 0 265 -0 927 () 265 () () () 0 656 0 375 0.656 11 () () -0 707 0 0.707 () () 0 () 265 -0 927 0.265 0 () () 656 () 3 75 0 656 0 0 () -0 707 0 () 707 11 0

{)

-sin (Oa7)

0

sin(lla7) {)

cos (Ga7)

K7 terhadap sumbu s i stcm struktur :

0

4 3 5 32 x 1 03 - 1 .236x 1 0 3 532x 1 03 - 1 .236x 1 04 4 327x 1 04 ·- 1 236x 1 04 3 532x 1 03 - I 236x 1 04 3 . .532x J(? 4 -3.532x 1 03 I 236x 1 0 -3 532x 1 03 4 --1 327x 1 04 I 23Ax 1 04 I 236x 1 0

0

�

0

4 -3.532 x 1 03 1 .236x 1 0 -3.532x I 03 1 .236x 1 04 4 327x 1 04 1 .236 x 1 04 3 1 .236x 1 04 -3.532x 1 03 -J 53 2 I 0 3 532x 1 03 - 1 .236x 1 04 3 532 x 1 03 -

X

327x 1 04 - I 236x 1 04 3 1 . 236x 1 04 -3 5 3 2x 1 03 3 .532 x l (rl - 1 .236x 1 04 3. 532 x 1 03 -J 532 X 1 0 - 1 .236x 1 04

4

Rangka Ruang 279

Bata n g 8

LS : = L4 tfS

:=

A S : = ( tw8 · h 8 )

5 hS := 5 0 bS : = 5 0

+

AS = 475

[ ( b8 - tw8 ) · tf8 ]

0

M atriks kekakuan :

-( E A R ) () () 8 () () () () () () 0 () 0 () () () LAX -( F A 8 ) () 0 () 0 LX I.R () 1 1 0 () 0 () () () lJ () 0 () EAR 1. 8

sx

:=

() 0

( �)

4 1 . 75 7 x 1 0

--1.

S8 =

M atriks transformas i : 8a8

:=

T88

:=

Tc8 :=

atan

8b8 := -atan

Tc8· Tb8· TaS

()

()

0

cos ( Oc8) sin(Hc8)

0 -sin( Oc8) cos ( Oc8)

( � :·: 1 )

(f:0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 1 . 75 7 x 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

8c8 : = 0 deg

Tb8 := -si n(Ob8) cos (8b8) ()

0

0 () 0.09 1 -(1927 0.363 () () 0 225 () 375 () 899 0 () -0 97 () () 24 3 () 0 0 TX = () 0.09 1 -0 927 () 363 0 (I 0 0.225 (I 375 0 X99 () () () () -0 97 () 0.243 0

()

0

Ta8 : =

M atriks kekakuan elemen [k ]8 = KS terhadap sumbu si stem struktur : T KS := TS · SS · T8

QJ

145 02 - 1 . 4X K8 =

X

1 03

5XO 079 - 1 45.02 J .48

X

1 03

-580.079 280

0

- 1 .4X x 1 03 J.51

X

1 04

0

580 079 -5.9 1 9 x 1 03

-5. 9 1 9 x 1 03 2.32 x 1 03 1 .48 X I o3 - 1 .5 1

X

IIJ3

-580 079

48 1 03 X

- 1 . 5 1 x l 04

5 . 9 1 9 x 1 03

-580 079

5. 9 1 9 x 1 03

-2 32 x i 03

- 1 45 02 I

-2.32 x 1 03

J . 48

X

0

1 45 02

-580 079

1 04 5 9 1 9 x 1 03

5.9 1 9 x 1 03

0

0

-1

- 1 .48 x 1 c? 580 079 48 x 1 03 1 . 5 1 X 1 04 -5. 9 1 9 x 1 03

580 079

&:!)

4 0 0 - 1 . 75 7 x 1 0 0 0

4 - 1 . 75 7 x 1 0 0 0

cos ( Ob8) sin(Ob8)

0

-5 9 1 9 x 1 03 2. 32x 1 03


[

""

( o,s) 0 sin(Oa8) 0 0

-sin( fla8)

()

cos (Oa8)

Bata n g 9 :

L9

:=

2000 tw9 := 5 tf9 :=

A9 := j ( t11 9 · h 9 l

+

S

h9 := 50 b9 A9

[ ( b9 - tlv9l · lliJ I I 2

:=

=

50

950

Matriks kekakuan : () ()

E· i\ 9 L9 ()

S9

:=

-( E

L9 ()

0 0

()

0

-( E· f\9 )

0

0

E· i\9

()

()

0

()

()

0

0

0

(ifj)

0

00

4 0 0 9.5 X 1 0 0 0 0

-9. 5 x

4 10 0 0

0

0 0

0 0

0

0 0

0

0

0

L9

0 0

0

0

0

0 0

L9 ()

0

0

() 0

;\9)

S9 =

4 10 0 0 0 0 0 0 0 0

4 10 0 0 0 0 0 0 0 0

9.5 X

-9. 5 X

()

M atriks transformasi :

Oa9 := Odeg

Tc9 :=

T09

:=

()

()

cos (Oc9)

s i n (Oc9)

0 -si n ( lk9)

cos (Oc9)

0

cos ( Ob9)

Tb9 : =

s i n ( O b9)

-si n ( O b9) cos ( Ob9) ()

0

cos (Oa9)

0

()

Ta9 :=

()

()

sin ( Oa9) 0

-si n (Oa9) () cos ( Oa9)

Tc9 · Tb9 · Ta9

Matriks kckakuan elemen [k],;

TLJ =

Oc9 : = Odeg

Ob9 := Odeg

I (I (I I ) (I l l I () 0 () 1 1 () (J I () () ( ) () I) () I ( ) ( ) () () () 0 I () 0 0 0 0 0 I

=

K9 terhadap sumbu s i stcm struktur : K9

QJ 9.5

X

0[2]

4 10 0 0

� -9. 5 X

:=

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 10 0 0

9.5 X

S9 · T9

4 10 0 0

0 0

-9. 5 X

r

��

0 K9 =

T9

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

Rangka Ruang 281

Bata n g 1 0 : L I O := 3 000 tw l 0 : = 5

tfl 0 : = 5 h I 0 : = 5 0 b I 0 : = 5 0

A I O : = [ ( tw i CJ. h i O) + [( b l 0 - tw l 0) - tfl 0] ] 2

A l 0 = 95 0


E· A I O

() ()

-( E· A I O)

()

0 ()

()

()

() ()

1.10

S I O :=

()

-( E· A I O) LIO ()

() ()

1. 1 0

6.333 X

0 0

()

0 ()

0 00 0

() ()

E·A I O LIO

() ()

()

() ()

SIO=

0 ()

0 0 -6.333 X

0 ()

08

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 6.33 3 x 1 0

0 0

4 -6. 3 3 3 X 1 0 0 0

() ()

()

4 10

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

Matriks transformasi : 8a I 0 := -90deg

8b l 0 := Odeg ()

0

8c l 0 := Odeg

cos {Ob i O) sin{Ob i O) 0

Tc i O := 0 cos ( Oc 1 o) sin( Oc I o) ()

Tb i O := -si n (Ob i O) cos (Ob I 0)

-si n ( Oc I 0) cos (Oc I o)

()

0

()

cos (fla i O) Ta i O :=

()

-sin(Oa i O)

(}

()

sin(Oa i O) cos (ea 1 o)

T8 1 0 := Tc i O · Tb i O · Ta i O

0 ()

1 () I () 0 () () () () 0 0

() I TIO =

() () ()

K I O := T I O

r

0 () () () () () 0 -1

() () () () ()

I

()

I

()

()

()

()

--3 X78 x KIO=

0 0 1 0- 1 2

3.X78x

11

0

() 0

282

Matriks kekakuan e l emen [k] 1 0 = K I 0 terhadap sumbu s i stem struktur :

S I O· T I O

0 1

1 0- 2 0

-3 87X x

6

11 1 0- -

0 .j 333 x I U

3.X7X x

(I

1 1 0-- 2

-fd 3 3 x

1 04

0

()

()

3 . 87 8 x

() lJ

-3 R ? X x

1 0-

12

()

0

0

l (f

12

()

0

3.X78x

()

1 0-

12

-6 3 3 3 x 1 114 -3 X 7 X x

1 0-

12

() 6 3 3 3 x 1 0-l


()

Batang 11 :

LI

I

hI I

:=

bI I

50

tfl I

tw I I : = 5

2000

:=

:=

:=

5

50

A l l : = [ (tw l l · h l l ) + [ ( b l l - tw l l ) · tfl l ] ] 2

A l l = 950

M atriks kekakuan : E· A I I

Ll l

() ()

()

() ()

Ll l

() ()

()

-( E· A I I )

S I I :=

-( F A l l )

Ll l

E· A I I ()

() ()

0 0

-9.5 X

4 10

0

0 0

0

0

0

0

0

0 0

0

0 0

-9.5 X

0 ()

()

4 10

0

SI ! =

() ()

Ll l

() ()

()

9.5 X

0 ()

()

() ()

()

() () () ()

()

0 ()

0 00 0 08 4 10

0 0

9.5 X

4 10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M atriks trans formasi : 8a I l

:=

Je l l :=

T8 1 1

:=

8b l l := Odeg

80deg

I

0

0

()

()

cos (Oc i l) sin(Oc l l) -s i n( Oc l l) cos (Oc l l)

8c l

Th l l

:=

Tl l

r

=

()

() I

()

-I I

1

:

Ta l l :=

cos O a l l

(

)

(

)

()

-sin O a l l

()

()

sin(Oa l l) ()

cos ( Oa I I )

tcrhadap sumbu sistem struktur :

S I I·TI I

9.5 x 1 (1�

Kll

()

cos (Ob l l) sin(Oh l l) - s i n ( O h l l ) cos (Oh l l)

Tc l l · T b l l · Ta l l

M atriks kekakuan clemen [k] 1 1 = K 1 Kl l

:=

l := Odeg

I)

1 63 X

0 - 1 1 63 x 1 0- l l I)

I I () I ()-

()

()

-9.5 x i 04 0 1 1 63 x l ()- l l (I () () - 11 1 63 X 1 0 11 ()

I

-I

-9 5 x 1 04 () 1 63 X 95

X

()

1 63 x

I If

4 Io

I0

0 0 11

0

0

II

()

(I

I

-I

1 6 3 x l ll- l l () ()

1 63 X

()

I ( )-

11

(I

Rangka Ruang 283

Bata n g 1 2 :

L l 2 := 3000 tw l 2 : = 5

t fl 2 := 5 b l 2 := 50

h l 2 := 50

A l 2 := [ ( tw l 2· h l 2) + [ ( b l 2 - tw 1 2) · tfl 2] ] 2

A 1 2 = 950

M atriks kekakuan : [. ;\ 1 2

-( F i\ 1 2) () () () () L l2 L12 () () () () () () () () () () () () S l 2 := - ( F i\ 1 2) () () E i\ 1 2 () () Ll2 L12 () () () () () () () () () () () ()

4 6.33 3 x 1 0

Sl2=

0 0 -6.333 X

8

4 10 0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

4 6.333 X 1 0

0 0

4 -6. 3 3 3 x 1 0 0 0 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

M atriks transformasi : ea 1 2 := 90deg

Tc l 2 :=

T8 1 2

:=

()

()

8b l 2

:=

Odeg

()

0

8c l 2

:=

Odeg

cos (Ob 1 2) sin(O b 1 2)

cos (Oc 1 2) sin (tlc 1 2) -sin (Oc 1 2) cos (Oc 1 2)

Th l 2 := -sin(Ob 1 2) cos (Ob 1 2) ()

0

Tc l 2 Tb i 2· Ta 1 2

:J

cos ( Oa 1 2) Ta 1 2 :=

M atriks kekakuan elemen [k] 1 2 = K 1 2 terhadap sumbu s i stcm struktur :

Kl2=

0 ()

0

3.878 x 1 0- 1 2

0

() ()

()

0

3 878 x 1 0- 1 2 ()

6.333 x ()

1 04

0 ()

0 -3.S78 x ()

1 0- 1 2 0 0 0 () 0

-3.878 x

()

1 0- 1 2

-6 333 x 1 04 3 878 x

()

10- 1 2


0

-sin (Oa 1 2)

() ()

sin (Oa 1 2) ()

cos (Oa 1 2)

Batang 1 3 :

2 ! b l 3 : = 5 0 L l 3 : = ,j 2000

tw 1 3 := 5 h 1 3 : = 5 0

2

+ 3000

: = ( tw l 3 · h l 3 ) + [ ( b l 3 - tw l 3 ) · tfl 3 ]

AI

A l 3 = 47 5 t fl 3 := 5

M atriks kckakuan : FAI3

-( L A I 3 ) Cl

L\3

s 1 3 :=

()

()

(

M atriks transformas i : -

0.5rr

+ atan ()

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

() ( )

8b 1 3 : = Odeg 0

Tc l 3 := () cos ( Oc 1 3 ) s in( O c 1 3) 0 -sin(Oc 1 3) cos (Oc 1 3)

Tb l 3 :=

4

2.63 5 x 1 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

8c 1 3 := Odeg

:�

cos (Ob 1 3) sin(Gb 1 3) () -sin(Ob 1 3) cos (Ob 1 3) 0

0 0 -2.63 5 x 1 04 0 0

-2.63 5 x 1 04 0 0

0 0

() ()

( �))

Sl3 =

0

() ( )

I.13

()

(I ()

()

()

E- A I 3

ll

0

O

() ()

()

O O

()

8a 1 3 : =

()

()

-( F· A \ 3 ) L13

00

I. 1 3

() ()

0

O

O

4 2.63 5 x 1 0

0

Ta l 3 : =

cos (Oa 1 3) () sin (Oa l 3)

()

0

-sin{Oa 1 3) () cos (Oa 1 3)

T8 l 3 : = Tc i 3 · Tb i 3 · Ta l 3

-0. 5 5 5 0 -0.832

()

0

() 8 3 2 113

=

() ()

0

0 -0 5 5 5

() () ()

QJ

() ()

0

0

() ()

0 0

() ()

-0 5 5 5

(]

0.832

0 -0 5 5 5

()

()

()

()

-0 8 32

()

0

Matriks kekak uan clemen [k] 1 3 = K 1 3 terhadap sumbu si stem struktur :

0

0

0

3 8. 1 07 x 1 03 () 1 .2 1 6 X 1 04 -8. 1 07 x 1 0 () - 1 .2 1 6x 1 04 0 0 0 0 () ()

Kl3 =

1 .2 1 6 X 1 04 0 1 .82 4 x 1 04 - 1 . 2 1 6 x 1 04 () - 1 .82 4 x 1 04 3 3 1 0 7 x 1 0 0 - 1 .2 1 6 x 1 04 8. 1 07 x 1 0 0 1 .2 1 6x 1 04 0 0 () 0 0 0

- 1 .2 1 6 x 1 04 0 - 1 .82 4 x 1 04

1 .2 1 6x 1 04 0 1 .82 4 X 1 04 Rangka Ruang 285

M atrik kekakuan struktur untuk

1 2 derajat kebebasan s istem struktur [K]s =

dari matrik kekakuan elemen [k ]m yang terkait dengan t i t i k kumpul : L[k ] i Xt1,P11 X10,P10

2 G a m ba r 5.8.5

286

Derajat kebebasan struktur


KG merupakan perakitan

-------��"''

I

"

h.\

'·

k\

" 'l

,.

I

h. I �

'-\ , -.1, ,

• :;. ,

h. I �

'-

,.-,

,, ,.,

', ,

' ·l , f. I�

KG =

1 .068 · 1 05

1

"' i , 1,1\

k' ,

2

-4 .338 1 0 3

,, , ,

h_ � ' ' '"

�

3

h. I ;

h. I',

h. I •,,

h. : \

h.l ] ,

l . l l , . h. \ .

, ' ', , h_ l ·,

', , h.'. ,

'-''1 ,

, . , , , ,,\

"'\ , h_l ,,

f I� I

"'\-

&

�

1

0

"·

h. I \

I

0

, ,,

"- ', . h.l :; ,

,_

�--

h . l l, ,

"'

'-'l

h. I 'L \

I

1-.. l i,

5

7

6

-236.507

-9.5· 1 04

0

0

" -, ,

1 1

, "\ h. l '. , h.t, , 1 1 ', ' I < ,

"-� \ . L

"' ', kl\

& & &

�

4

h.<;

''\ ,

0

0

0

11

10

9

8

0

0

-3.878 · 1 Q - 1 2

- 4 338· 1 03

6.946 · 1 04

9 .6 1 1 - 1 03

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

-236.507

9 .6 1 1 · 1 03

7.009 · 1 04

0

0

0

0

0

0

-3 878· 1 Q- 1 2

0

-6.333·104 - 1 . 2 1 6 · 1 04

3

-9.5-104

0

0

1 .072 · 1 05

1 .446 1 04

1 . 329 1 04

0

0

3.878 1 Q- 1 2

-8. 1 07 · 1 03

0

4

0

0

0

1 . 44 6 · 1 04

5.062 · 1 04

3.955· 1 03

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

1 .329 1 04

3.955 1 03

9. 472 · 1 04

3.878· 1 Q- 1 2

0

-6.333 · 1 04

- 1 . 2 1 6· 1 04

- 1 .824 · 1 04

6

0

0

0

0

0

3.878· 1 Q- 1 2

9.853 · 1 04

1 .236 1 04

-3.532 1 03

0

1 . 1 63· 1 Q- 1 1

7

0

0

0

0

0

0

1 .236 1 04

4. 327· 104

- 1 .236·104

-9. 5- 1 04

0

0

0

0

8

0

0

0

3.878· 1 Q-12

0

-6.333· 1 04

-3.532 · 1 03

- 1 .236·104

6.687 1 04

1 . 1 63 · 1 Q- 1 1

0

0

9

0

0

-3.878· 1 Q- 1 2

-8. 1 07 · 1 0 3

0

- 1 .2 1 6 · 1 04

-9.5 · 1 04

0

1 . 1 63 · 1 Q- 1 1

1 .092 · 1 0 5

-5.726 · 1 03

1 .484 · 1 04

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-5.726· 1 0 3

6.058 1 04

- 1 . 4 57·104

11

-3.878 1 Q- 1 2

0

-6.333· 1 04

- 1 .2 1 6· 1 04

0

- 1 .824·104

1 . 1 63· 1 Q- 1 1

0

0

1 .484 · 1 04

- 1 . 457·104

8.539 · 1 04

,_

Rangka Ruang 287

5.8.1

Matri k Beban Elemen

Tebal pe lat - 200 qd

24 · 0 .2

:=

Beban h idup = qI

:=

qtot q2

:=

mm.

qd

=

4.8

O. l * beban mat i . qtot

:=

4.8

+

0 .48

qtot

kN 2 m

=

5 .2 8

kN 2 m

qtot

Berat sendiri batang d iabaikan.

G a m ba r 5 . 8 . 1

Ekivalen gaya terpusat pada tititk kumpul

Gaya l uar terpusat ekivalen pada elemen I , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7, 8, dan

() () Fl

:=

0 0 ()

()

13 :

0 0 P I := T IT F I

0 1' 1 = () 0 ()


Batang 1 0 :

Batang 9 :

0 -2.6�

()

-

F9 :=

b 6 3)

X

+ Jo

()

()

P9

:= T9

T

P9

F9

-2.64 ! 03 (I

=

PlO T\OT F\0 PlO= 00 F\0:= 00 -5 28x -5 28 103 0 0

()

:=

0 4 -2 6 x I 03 ()

Batang 1 2 :

0

\ I :�

103

-5.2S x

103

Batang 1 1 :

F

0

()

I)

-2.64 x

()

w'

()

()

:=

F 12

I)

-2 64 !03 (I

Vekor beban {P}s

=

0 -5.28 1 0 () P\2 \ 2T � \ 2 P\2 = T 0 -5.28 103 0 :=

0 -5.28 x

0 ()

10-

1

-5.28 x

0

PG

1'90 + P\23 P9 1 + 1'1 24 1'92 + I' 125 P93 + PI 00 1''! + P I 01 4 1'95 + 1'102 PG := Pi \ + 1'!03 0 PI I 1 + PI04 1'1 1 2 + PI05 1'1 13 + 1' 1 20 I'l l� + 1'1 21 PJ \ 5 + PI22

0 0

0

1

-7.92 · 1 03

2

0

3

0

4

-7.92 · 1 03

PG = 5

0

6

0

7

-7.92 · 1 03

8

0

9

0

10

-7.92 · 1 03

11

0

Satuan beban [N-mm] untuk momen, dan [N] untuk gaya. Dari persamaan K G * [X } s = PG, d i h itung vektor { X } s= 21 = K - 1 * PG d ipero leh : -0.075

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.2 1 3

0 1 78

-O. I 'J7

-0. 1 34

OJ36

-0 .336

-0. 1 70

0.342

-0. 1 58

1 1

j

T

-0 248

Rangka Ruang 289

Gaya -gaya dalam batang [N] : Batang 1

0

0

XI

()

Ll (J

FD I : =

S I ( T I ·X I ) FD I =

,\ I

L\ 2

Batang 3 : ()

0

"' ' "' � "' s ·'

f[)J

:= S3· ( T3· X3)

FD3

=

0

t.c,

FD5

=

SS ( T 5 · X5) FD5

0

8 . 60 3 x 1 0'

0

3 8.603 x 1 0

8.542

X

0

�\ s

0

:=

S7 ( T7 X7)

FD7 =

X4 :=

0

0

86. 6 1 5

0

0

"' '

FD4 := S4 · 1 T4· X4)

FD4 =

() -86.6 1 5

"'4

0

1� 5

0

Batang 6 :

X6 :=

()

86 059

0

0

'

FD6 := S6·( T6· X6 )

Li 9

FD6 =

0 -86 059

10

0

()

()

0 3 8.62 8 x 1 0

-2 .209> 1 0

t. l

l

-i

0 X8 :=

0

"' o

t.s

0

Batang 4 :

0

Batang 9 :

"' �

40 . 9 1 4

()

0

c\ 1 1

"' 3

"- I

3 -8.62 8 x 1 0

0

.\ 2

FD2 := S2· (T2· X2) FD2 =

()

()

Batang 8 :

0

�\ 1 0

"' o

0

0

"'7

:� �D

X2 : =

()

·" 2

() =

0

X9 :=

' 8 .402 x 1 a

-

0

()

Batang 7 :

X7 :=

0

0

3 -8. 542 X 1 0

()

X5 :=

I \

I I

40 .9 1 4

0

0 0

Batang 5 : ()

I

-

0 X3 :=

�

�840 x I a'

Batang 2 :

0

0 FD := S8·(T8· X8) Ll ()

"' I

FD8 =

0 I 07.382 0 0

Batang 1 0 : Ll J

(I

2 .209 '

3 -2 263x 1 0 0

(\

FD9 := S9·( T9· X9) FD9 =

07.382

X I O := lo

F D I O := S I O · iT I O · X I O ) FD I O =

'

n

()

290 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

() .1 2 263x 1 0 () ()

Batang 1 1 :

-2.263 1 rr 0 0

'

X

X I I :=

FDI I

=

Batang 1 2 :

2 .263

X

()

X l 2 :=

1 0:1

()

Batang 1 3 :

X l 3 :=

-2. 1 95 x 1 0:1 0 0 2 1 95x 1 0' 0 0

F D I I := S I I ( T I I X I I )

-� s

-96.239 0 0 96.239 0 0

5 . 8 . 2 Diagram Gaya Dalam

�

.. •

·

\

\\(:3) \

I

Gambar 5.8.2

Diagram gaya dalam (�) gay a tarik batang (-) gaya tekan batang

Rangka Ruang 291

5.9 P rogram Komputer Ana lisis Ra n g ka Ruang

Program komputer sistem struktur P01tal Ruang dirancang berdasarkan bagan alir yang di kembangkan oleh William Weaver, Jr. & James M . Gerc . penulis buku Afutrix A nalysis of Framed Stmcture (,)'econd Edition, D. Van Nostrund, 1 980). Runcangan program dikem bangkan oleh mahasiswa S1 kelas Anal isa Struktur IV, dan mahasiswa S2 kelas Metoda E lemen H ingga, Program Studi Tekn ik Sipil ITB. Membuat kode p rogram a na lisa stru ktu r untuk rangka ruang.

Program yang digunakan adalah Turbo Pascal for Windows v 1 .5 Dalam program ini dibuat /lle:fi/e pembantu ( * .inc) yang dipanggil dengan procedure pada program utama. Adapunfile:file yang diperlukan di dalam program ini adalah: : merupakan bad an program uta m a 1 . main_JJro,pas 2. sdutarr. inc : berisi prosedur input data 3 . ldatarr. inc : berisi input data dan pengkombinasian be ban titik 4. stijjiT. inc : berisi perakitan matrik kekakuan 5 . hanfac. inc : berisi prosedur fakorisasi matrik : berisi penyelesaian vektor 6 . hansol. inc 7. resulrr. inc : berisi penul isan basil perhitungan Sedangkan untuk input dan outputnya diletakkan pada ji/e text ( *.txt), yaitu: I . datarr. txt : berisi input data struktur dan pembebanan 2. report. txt : berisi laporan input beserta hasil perhitungan.

Berdasarkan bagan alir yang tclah diberikan. maka kode program secara keseluruhan dapat disusun. Kode program lengk

dari program utama, disi mpan pada fi le main_ pro.pas

p rogram ANAL I S I S_RANGKA_RUANG ; u s e s w i nc r t ; c on s t days

I ' M i n ggu ' , ' S e n i n ' , ' S e l as a ' , ' Rabu ' , ' Kami s ' ,

:

a rray

[0. .6]

of

s t r i ng [ 9 ] =

' Jumat ' , ' S abtu ' ) ;

type ma t r i k rea l l ma t r i k re a l 2

ar ray

[1 . . 3 0 ]

ar ray

[ 1 . . 30, 1 . . 30]

matri k i n t l

a r ray

[1 . .30]

o f r ea l ; of

o f real ;

i n t e ge r ;

VAR M , N , NJ , NR , NRJ , NL,T , NLM N DJ , ND , MD , I , LN N B I , NB , N l , JR , JE Jl , J2 , J3 , J4 , J S , J6 , Kl , K2 , K3 S C M 1 A , S CM 1 B , SCM2 Y , SCM 3 Y , S C M 4 Y E , X CL , YCL , ZCL , SUM , TEMP , SCM , G , CX Z d t , l d , ou t has i l

s ho r t i n t ; s ho r t � n t ; s ho r t � n t ; s h or t i n t ; r ea l ; rea l ; :

text ; t ex t ;


K , J , 1 R , 1 C , 1 1 , 1 2 , I 3 , I t em

, TA

X , Y , Z , AC , AJ , AE , DJ , DF , XI , Y I J J , JK , JRL , I M , I D SFF , SM S , AML

ma t r i k_::-e a l l ; m a t: r i k_re a l 2 ;

LML

ma t r l k l n t l ;

AX , EL , Z 1 , CY , CX , C Z

AMD , AM ,

m a t r i k __ r e a l l ;

AR

i np u t _d a t a , a r s i p_da r a ,

: cha r ;

a l pha a r s i p_has i l

: s tring ; : wo r d ;

thn , b l n , t g l , dow

:sr ', $ 1 · $1 ;sr i$1 f $I

: i nteger ; ma t r i k_r e a l l ; ma t r i k_ i n t l ;

s d a t a r r . i nc } s t i f f rr . inc } bcm f a c . i n c } l da t a r r . i nc } han s o l . i n c } resulrr . i nc }

3 E G ::: N c l rsc r ; w r i t. e l n wr i t e l n writeln v n i t e ln wr i t e l n wri teln wri teln

( ' + +++�++++ t +++++++++++++++++++++++ � +++++++++++++++++++ +++ ' ) ;

r, I I, I r, I

( ' + + + + + � � + + + + + + + + + • ·+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ' ) ; ( ' ( d ays [ dow ] , ' ,

( M em i l i h I n p u t D a t a ) ( ' P i l i han Masukan da t a : ( '

wri teln

( ' i np u t _d a t a

,I;

' , t g l : O , ' \ ' , b l n : O , ' \ ' , thn : O I ;

wri teln ; wr i t e l n wriLeln

I 'I; I 'I ; I 'I;

PROGRAJ"' KO�lPUTER UNTUK RANGKA RUANG

l.

Manua l

( s a t u p e r s a tu ) ' I ;

2 . Da r i Ar s i p

f i le ' ) ;

, I ;

: = readkey ;

wri t e l n ; whi l e n o t

( ( i nput_da t a = ' l ' ) o r ( i np u t __cla t a = ' 2 ' 1 1

do

Begin w r i t e l n ( ' P i l i han anda s a l ah ' ) ; w r i t e l n ( ' S i l ahkan m asukan p i l i h s n y s ng bena r : ' I ; r e ad l n ( i np u t_da t a ) ; wri teln ;

End ; i f l np1J t�_da t a = ' 1 ' then Bey in wri tel n I ' An d a m em Ll ih m asukkan data s c•c:ara manu a l ' I ; E nd ; i f i np ut_d a t a = ' 2 '

then

Beg i n w r i t e l n ( ' Nama a r s i p tel'tpa t d a t a d i s : mp a n ( : ecigkap dengan cok s t e n s i d a t / tx t ) reacl l n

( ars i p_cla t a ) ;

a s s i gn ( d t , a r s i p_da t a ) ;

' I ;

reset ( d t ) ; End ; wri tel n ; wr i t e

( ' Nama Ars i p tempat has i l d i s i�pan

' I ;

r e a d l n ( ar s i p_has i l l ; '"J r i t e l n ; a s s i gn ( ou t , a r s i p_ha s i l I ; rewr i t e l ou t ) ; { T ul i s Judul

di A r s i p }

Rangka Ruang

293

wri teln

( ou t , ' + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ' ) ;

wr i t e l n wr i t e l n

( ou t , ' ( ou t , '

writeln writeln

( ou t , ' ( ou t , ' + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ' ) ;

wr i t e l n

( ou t ,

writeln

( ou t , days [ dow ] , ' ,

I I I

HAS I L ANAL I S I S STRUKTUR RANGKA RUANG

' ) ;

I '); I '); I ');

' , t g l : 0, ' \ ' , b l n : O , ' \ ' , thn : O ) ;

{ Pro s edur i n t i Program } writeln ; sdata4 ; sti ff4 ; f a k t o r i s a s i _ma t r i k ; ldata4 ; s o l us i_vek t o r_x ; resul t4 ; { Se l es a i } i f i nput_da t a = ' 2 ' then c l o s e ( d t ) ; c l o s e ( ou t ) ; wr i t e l n ( ' Program t e l ah s e l e s a i d i e k s e ku s i ' ) ; writeln

( ' H a s i l nya dap a t d i l i h a t pada

wr i t e

( ' TERIMA KAS I H ' ) ;

file

' , a r s i p_ha s i l ) ;

readkey ;

END .

Source code

dari file sdatarr. inc

Procedu r e s d a t a 4 ; Begin { Judu l Out pu t } { Parame t e r S t ruktu r } wr i t e l n wr i t e l n

( ou t , ' ( ou t , '

PARAMETER STRUKTUR ' ) ; M N NJ NR

NRJ

E' ) ;

w r i. t e l n ; if

i nput_da t a � ' l ' Begin wr i t e l n wr i t e l n write wri te wri t e wri te

t h en

( ' ( ' ( ' ( '

S a t uan Parame t e r S t ru k t u r ' ) ; Juml ah e l emen

(NJ) :

Juml ah t i t i k p e l e takan

( ' ( ' ( '

write

(M) :

Jum l ah t i t i k kump u l Jumlah re ak s i p e l e t akan

( NR,J ) : ( NR ) :

Modu l u s E l a s t i s i t a s

(E) :

End ; if

NDJ

i nput_d a t a = ' 2 ' Begin

then

'

) ;

kN -me t e r ' ) ;

readln r e a d ln

(M) ; ( NJ ) ;

readln read l n

( NR,T ) ; ( NR ) ;

r e ad l n

(E) ;

readln

( d t ) ; re a d l n ( dt ) ; readl n ( d t ) ; read l n ( d t ) ; readl n ( d t ) ; read l n ( d t ) ;

readln End ;

( dt ,

:=

3;

ND

M , NJ , NR )m J , E ) ;

: � NDJ * NJ ;

N

: �

wr i t e l n ( ou t , M : 2 , N : S , NJ : 6 , { Ko o r d i n a t T i t i k Kumpu l } w r i t e l n ( ou t ) ; wri teln wri teln

( ou t , ' ( ou t , '

ND - NR ; NR : 6 ,

NRJ : 7 ,

E : l7 : 2 ) ;

KOORDINAT T l T I K KUMPUL ' ) ; Titik

X

y

wri t e l n ; i f i np u t_da t a = ' l ' the n wr i t e l n ( ' Koord i n a t t i t i k kumpul if

); ' ) ; ' ) ; '); '

:

i nput_da t a = ' 2 '

' ) ;

then


z' ) ;

Beg i n re adl n

( dt ) ;

readln

( dt ) ;

readln

( dt ) ;

c a s e i npu t_da ta o f ' l ' B eg i n wr i t e ( ' Koordinat t i t i k ' ) ; z' 'J, '

' ,J, '

End ; for J : � l

to NJ do

Beg i n

' 2 ' Encl ; writeln End ;

readln

(X[J] ,

End ; r e ad l n

( dt ,

( ou t ,

J:7,

Y [J] ,

J ,

dan

Z [J ] ) ;

X [J] ,

X [ ,J ] : 1 3 : 2 ,

be r t u ru t - t u r u t X ' , J , ' , Y ' , J ,

Y [J] ,

Z [J] ) ;

Y [J] : 1 1 : 2 ,

Z [J] : 11 : 2 ) ;

( I n f o rmas i E l emen ) writeln

( ou t ) ;

wr i t e l n

( ou t ,

I NFORMAS I

writeln

( ou t , '

E l emen

wr i t e l n ; i f i npu t_da t a � ' l '

ELEMEN ' ) ; JK

EL

AX

JJ

ex

cz ' ) ;

CY

then

w'r i t e l n ( ' I n f ormas i E l emen ' ) ; i f i npu t_da t a � ' 2 ' then Beg i n readln

(dt) ;

reacl l n

( dt ) ;

read l n

( dt ) ;

End ; MD : � 2 * NDJ ; NB : � f o r I : � l t o M do

0;

Begin c a s e i npu t_d a t a o f B egin

' 1 '

wr i t e

( ' ( '

wr i t e End ; '2 ' Encl ;

re ad l n

U j ung - u j ung e l emen

' , I, '

Luas penampang e l emen

( cl t ,

I,

JJ [ I ] ,

,JK [ I ] ,

(i-j )

' , I, '

' I ; ' ) ;

r e ad l n

( JJ [ I ] ,

readln

( AX [ I ] ) ;

JK [ I ] ) ;

AX [ I ] ) ;

NBI : � NDJ * ( ABS ( JK [ I ] - JJ [ I ] ) + 1 ) ; i f N B I >NB t hen NB : �NBI ; XCL . - X [ JK [ I ] ] - X [ JJ [ I ] ] ; YCL : � Y [ JK [ I ] ] - Y [ JJ [ I ] ] ; ZCL : � Z [ ,JK [ I ] ] - Z [ J J [ I ] ] ; E L [ I ] . - s q r t ( XC L * XCL + YCL * YC L + Z C L * ZCL ) ; CX [ I ] CY [ I ] CZ [ I ]

. - XCL / EL [ I ] ; . - YCL / E L [ I ] ; . - ZCL / EL [ I ] ;

writeln

( ou t , I : 4 ,

,JJ [ I ] : 9 , ,JK [ I ] : 7 , CZ [ I ] : 9 : 2 ) ;

AX [ I ] : 7 : 2 ,

EL [ I ] : 8 : 2 ,

CX [ I ] : 9 : 2 ,

CY [ I ] : 9 : 2 ,

Encl ; ( Kekangan T i t i k Kumpu l } wr i t e l n ( ou t ) ; wri teln wr i t e l n

K EKANG!'N T I T I K KUMPUL ' ) ; TITIK JRl JR2 JR3 ' I ;

( ou t , ( ou t ,

wr i t e l n ;

i f i npu t_da t a � ' l ' Beg i n

then

writeln

( '

Kekakangan t i t i k kurnp u l ' ) ;

writeln

( '

Ke t : JRL l , JRL2 , dan JRL3 , t e rhadap t rans l a s i ' ) ;

wri teln

( '

arah s urnb:1

End ; if

i npu t_da t a � ' 2 '

x,

y,

dc1n

rna s i ng - rna s i ng ada l ah kekangan z,

pad a k o o r d i n a t g l oba l ' ) ;

then

Rangka Ruang

295

Begin read l n End ; for I : = 1

( dt ) ;

readln

( dt ) ;

readln ( dt ) ;

to ND do

JEL [ I ] : = 0 ; f o r 1 : = 1 t o NEJ do Begin c a s e i np u t _d a t a o f Beqin ' 1 ' I ' No . wri t e

I ' JRL 1 ,

wri te

T i t i k Kumpul JRL2 ,

JRL3

JRL [ 3 * K ] ) ;

'2'

End ; readln

End ; w r i t e l n ( ou t , End ;

K:4,

i dt ,

K,

JRL [ ] * K - 2 ] ,

JRL [ 3 * K - 2 ] : 9 ,

' I ; readln

' ) ;

readln

JRL [ 3 * K - l ] ,

J EL [ 3 * K - 1 ] : 6 ,

(K) ; ( JR L [ 3 * K - 2 ] ,

JRL [ 3 * K ] ) ;

,JRL [ 3 * K ] : 6 ) ;

( l ndeks Perp i ndahan T i t i k Kumpu l } N1 : = 0 ; f o r J : = 1 t o ND do Beqin Nl : =N l +-JRL [ J J ; i f J R L [ J ] > O then I D [ J ] : =N + N 1 e l s e I D [ J ] : = J- N 1 ; End ; End ;

Source code dari

Pro cedure s t � f f 4 ;

file

s tiffrr.inc

Beqin

( In i s i a l i sas i } for J : = 1 Beg i n

t o N do

for K : = l

t o N B do

S F F [ ,T , K j

:= 0. 0;

End ; ( Kekakuan E l emen } f o r I : = 1 to M do B eg i n SCM

. - E * AX [ I ] / E L [ I ] ;

S MS [ l , l ] SMS [ 1 , 2 ]

. - S CM * CX [ I ] * CX f i ] ; . ·- S CM * CX [ I J * C Y [ I ] ;

S MS [ l , 3 ] SMS [ 1 , 1 I

.-

SMS I 2 , 3 ] S MS I 2 , 4 ]

. - SCM * C Y I I J * C Z [ l ] ; . - SMS [ 1 , 5 ] ;

SMS [ 2 , 5 ]

.-

-SMS [ 2 , 2 ] ; - SM S [ 2 , 3 ] ;

..-

S CM * C Z [ I ] * C Z [ I ] ;

....-

- SMS I 3 , 3 ] ; sns 1 1 , 1 1 :

SMS [ 1 , 5 ] S MS [ l , 6 ] SI1S [ 2 , 2 ]

-

SMS [ 2 , 6 ] SMS [ 3 , 3 ] SMS I 3 , 4 ] S MS [ 3 , 5 ] SMS [ 3 , 6 ] S MS [ 4 , 4 ] SM S [ 4 , 5 ] S MS [ 4 , 6 ] SMS ! S , S ]

S �IS [ 'J , 6 J SH S I 6 , 6 j

S CM * CX [ I I * C Z [ I ] ; - Sl1S [ 1 , 1 ] ;

. - - SM S [ 1 . 2 ] ; . - - SM S [ l , 3 ] ; . - S CM * CY [ I j * CY I I J ;

.

-SMS [ 1 , 3 I ; -SMS [ 2 , 3 ] ;

SMS [ 1 , 2 J ;

Sl1S [ 1 , 3 ] ; SHS [ 2 , 2 ] ; . - SMS I 2 , 3 ] ; . - SMS [ 3 , 3 1 ;

296 Amrinsyah N asution , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

JRL [ 3 * K - l ] ,

{ Uhah Ke Ma t r i ks K0kaua n T i t i k Kumpu l } I M [ l ] . - 3 * JJ [ I ] � 2 ; . �

I l1 [ 2 ] 1 1� [ 3 ]

. �

3 * ,T J [ I ] ; 3 * JK [ I ] � 2 ; 3 * ,JK [ I ] � l ;

. �

IM [ 4 ]

. �

IM [ 5 ]

.

H1 [ 6 ]

3 * JK [ I ]

--

for J : = l B eg i n Il

�

3 * ,JJ [ I ]

1 ;

;

lo �D do :=

I M [ ,J ] ;

i f I JRL [ I l ] Begin

<=

0)

then

f o r K : = J t o MD do Begin I2

:=

if

( JRL [ l 2 ]

IM [ K ] ;

<=

0)

then

Beg i n IR

:=

IC

: = ID [ l2 ] ; ( I R> I C ) then

if

ID [ I l ] ;

Begin I tem

: = IR;

IR

. ..

IC;

IC

:=

I t em ;

E nd ; IC : = IC � SFF [ I R , I C ]

IR

+

.-

S FF [ I E , I C ]

1; +

SMS [ J , K ] ;

En d ; End ; End ; End ; End ; End;

Source code

dari file /datarr. inc

Procedure l da t a 4 ; Beg i n { Pa rame t e r hehan } wri t e l n ( ou t ) ; w r i t e l n ( ou t , ' PAFAMETER B E BAN ' ) ; NLM ' ) ; wr i t e l n ( ou t , ' NLJ writeln ; if

i nput_d a t a = ' l '

B eg i n wri teln w r i te wr i t e

( '

then

Par ame t e r Behan ' ) ;

I ' Jumlah B e n t ang Yang Di hehani

I '

Jum l ah T i t i k Yang D i hehani

End ; i f i np u t_da t a = ' 2 ' then Begin r e a d l n ( d t ) ; r e ad l n ( d t ) ; readln End ; wri teln

( dt ,

NLJ ,

' I ; ' ) ;

r e a d ln l t�LJ ) ; read l n I NLM ) ;

r e ad l n ( dt ) ;

NLM ) ;

( ou t , NLJ : 3 , NLM : l 0 ) ;

i f NLJ< > O

then

Begi n { Beban T i t i k Kumpul ) writeln wri teln

( ou t ) ; ( ou t , '

BE BAN T I T I K KUMPUL ' ) ;

wri teln

( out , '

T i t i k_Kumpul

AJl

AJ2

AJ 3 ' ) ;

Rangka Ruang

297

w r i te.in ; i f i np u t_data= ' 1 ' then w r i t e l n ( ' Beban T i t i k Kumpu1 ' I ; if

i np u t _ d a t a = ' 2 '

then

Begin

readln ( dt l ; End ; for J : = 1 Begin

read1n ( dt ) ;

r e a d 1 n ( dt ) ;

to NLJ d o

c a s e i nput_data o f Begin ' 1 ' w r i te ( ' T i t i k Kumpu1 write

( '

read1n End ;

( AJ [ 3 * K - 2 ] , AJ [ 3 * K- 1 ] , AJ [ 3 * K ]

readln

( dt ,

'2 ' End ; wri te1n End ;

( ou t ,

Beban Arah X ,

K ,

Y,

AJ [ 3 * K - 2 ] ,

K : 7 , AJ [ 3 * K - 2 ] : 1 6 : 2 ,

dan Z

' I ; readln

(K) ;

' ) ;

I;

AJ [ 3 * K - 1 ] ,

AJ [ 3 * K - 1 ] : 9 : 2 ,

AJ [ 3 * K ] ) ; AJ [ 3 * K ] : 9 : 2 ) ;

( Beban B e n t ang } i f NLH < > O Begin

then

( I n i s i a l i s a i LHL d a n AHL } for I : =1

to N do

f o r J : = 1 t o 6 do AHL [ J , I ] . - 0 . 0 ; LHL [ I ] : = 0 ; ( ou t ) ;

wr i te l n

wri te1n

( ou t , '

writeln

( ou t ,

GAYA UJUNG ELEHEN TERKEKANG PENUH A K I BAT B E BAN B ENTANG ' I ; ANL2 AHL4 ANL5 AHL3 E l emen AML1

wr i t e l n ; i f i npu t _d a t a = ' 1 ' wri teln if

( '

then

AHL 6 ' I ;

Gaya U j ung E 1 emen Terkekang Penuh A k i b a t Beban Ben t ang ' ) ;

i nput_da ta= ' 2 '

then

Beg i n readln ( dt ) ; End ; for J : = 1 Beg i n

read1n ( d t ) ;

read l n ( d t ) ;

to NLH do

c a s e i nput_d a t a o f Beg i n ' 1 ' wr i t e

( '

E 1 emen no .

' ) ;

readl n ( I ) ;

w r i te ( ' Gaya aks i a l pada ma s i ng - ma s i ng u j un g i dan j : r e a d l n ( AHL [ l , I ] , AHL [ 4 , I ] ) ; wr i t e ( ' Gay a l i n t an g arah s umbu 2 p a d a u j un g i dan j : r e a d l n ( AHL [ 2 , I ] , AHL [ 5 , I ] ) ; write

read l n End ; ' 2 '

read l n

( ' Gay a l i n tang arah s umbu 3 pad a u j un g i dan j : ( AH L [ 3 , I ] , AHL [ 6 , I ] ) ; ( dt ,

End ; wri t e l n

I,

AML [ 5 , I ] ,

AML [ l , I ] ,

ANL [ 6 , I ] I ; AML [ 2 , I ] ,

ANL [ 3 , I ] ,

' I ;

' I ;

, I ;

AML [ 4 , I ] ,

( ou t , I : 4 , ANL [ 1 , I ] : 1 1 : 2 , AI1L [ 2 , I ] : 9 : 2 , AML [ 3 , I ] : 9 : 2 , ANL [ 4 , I ] : 9 : 2 , AML [ 5 , I ] : 9 : 2 , ANL [ 6 , I ] : 9 : 2 I ; LHL [ I ] . - 1 ; End ; End ; ( B eban Ekiva l en T i t i k Kumpu l } I f NLM < > O then


Beg i n for I : = 1 Beg i n

t o M do

I f LML [ I ] < > O then Beg i n CXZ : = SQRT ( CX [ I ] * CX [ I ] J 1 : = 3 * JJ [ I ] - 2 ;

+ CZ [ I ] * CZ [ I ] ) ;

J 2 : = 3 * JJ [ I ] - 1 ;

J 3 : = 3 * JJ [ I ] ;

K l : = 3 * JK [ I ] - 2 ; J 1 : = 3 * JK [ I ] - 1 ; I f ( CX Z > = O . O O l ) then

K 3 : = 3 * JK [ I ] ;

Beg i n AE [Jl ]

.

- AE + - AE - AE

AE [ ,J 2 ]

.

AE [ J 3 ]

.

AE [ Kl ]

.

AE [ K2 ]

. -

AE [ K 3 ]

[Jl ]

- CX [ I ] *AML [ l , I ]

( CX [ I ] * CY [ I ] *AML [ 2 , I ] +C Z [ I ] *AML [ 3 , I ] ) / CXZ ; [ J 2 ] - CY [ I ] *AML [ l , I ] - C X Z * AML [ 2 , I ] ;

[ J 3 ] - C Z [ I ] * AML [ l , I ] + ( CY [ I ] * C Z [ I ] * AM L [ 2 , I ] - CX [ I ] *AML [ 3 , I ] ) / C X Z ; - AE [ K l ] - CX [ I ] *AML [ 4 , I ] + ( CX [ I ] * CY [ I ] *AML [ S , I ] + C Z [ I ] *AML [ 6 , I ] ) / CXZ ; AE [ K2 ] - CY [ I ] *AML [ 4 , I ] - AE [ K3 ] - C Z [ I ] *AML [ 4 , I ] - CX [ I ] *AML [ 6 , I ] ) / CX Z ;

.

- C X Z * AML [ S , I ] ; + ( CY [ I ] * C Z [ I ] *AML [ S , I ]

End ; .

AE [ ,J 3 ]

- AE [ J l ] . - AE [ J 2 ] . AE [ J 3 ]

AE [ K l ]

. -

AE [ J 1 ] AE [ J 2 ]

AE [ K2 ]

.

AE [ K3 ]

.

AE [ K l ] - AE [ K 2 ] - AE [ K3 ]

CY [ I ] * AML [ 2 , I ] ; CY [ I ] * AML [ 1 , I ] ; - AML [ 3 , I ] ; + CY [ I ] *AML [ S , I ] ;

+

-

- CY [ I ] *AML [ 4 , I ] ;

-

AML [ 6 , I ] ;

End ; End ; End ; End ; ( Komb i n a s i Beban T i t i k Kumpu l } for J : = 1 Beg i n JR

t o ND do :=

AC [ J R ]

ID [ J ] ; : = AJ [ J ] +AE [ J ] ;

End ; End ;

Source code pro cedure

dari file banfac.inc

f a k t o r i s a s i _ma t r i k ;

Be� g i n if

( SF F [ l , l ] < = D )

then

Beg i n c1rscr; wr i t e l n

( ' �a t r i k kekakuan t i da k p o s i t i f de f i n i t i f ' ) ;

hal t ( l ) ; end ; for J : = 2 Beg i n ,J 1

to N do : = J-1 ;

J2 : = J-NB+ l ; i f J 2 < 1 then J 2 : = 1 ; i f J l < > l then Beg i n for I : =2 to J1 do Beg i n I l : =I- 1 ; if

( I l > =J2 )

then

Rangka Ruang

299

Begin SUM : = S FF [ I , J - I + l ] ; f o r K : = J 2 to I l do S UM : = S UM- S F F [ K , I - K + l ] * S F F [ K , J - K + l ] ; S F F [ l , J - I + l ] : = SUM ; End ; End ; End ; SU11 :

=

SFF [ J , 1 ] ;

for K : =J2

to

Jl

do

Beg i n TEMP : =

SFF [ K , J - K + l ] / S F F [ K , l ] ;

SUM : = SUM - TEM P * S F F [ K , J - K + l ] ; SFF [ K , J-K+ l ]

: = TEMP ;

End ; if

( SUM< = O . O )

B eg i n writeln

then ( '

wr i t e l n ( ' ha l t

Ma t r i k s Kekakuan T i da k Po s i t i f De f i n i t i f ' ' ) ; ========================================= ' ) ;

(1) ;

End ; S FF [ J , l ]

: = SUM ;

End ; End ;

dari file banso/.inc

Source code

p r ocedure s o l u s i _v e k t o r_x ; Beg i n for I : = l

to N do

Begin J : = I -NB + l ; i f ( I < =NB ) then J : = l ; SUM Kl if

: = AC [ I ] ; := I-1; ( ,J < = K l )

then

Beg i n for K : =J to Kl do SUM : = SUM - S FF [ K , I - K + l ] * DF [ K ] ; End ; DF [ I ]

: =

S UM ;

End ; for I : = l

t o N do

: = D F [ I ] I SFF [ I , 1 ] ;

DF [ I ]

for I l : = l

t o N do

Begin I

: = N-Il + l ;

J : = I +N B - 1 ; i f J > N then J : =N ; SUM : = DF [ I ] ; K2 : = I + l ; i f K 2 < = J then Begi n f o r K : = K 2 to J d o SUM : = SUM - S FF [ I , K - I + l ] * DF [ K ] ; DF [ I ]

: = SUM

End ; End ; End ;

300 Amrinsyah N asution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

dari file res ultrr.inc

Source code

procedure r e s u l t 4 ; Begin { Pe r p i ndahan T i t i k Kumpu l ) J : =N + 1 ; for K : = 1

to ND do

Begin JE

:= ND -

if

K +

1;

JRL [ J E ] = O . O

then

beg i n J : =J- 1 ; : = DF [ J ] ;

DJ [ JE ] end else Beg L n DJ [ J E ]

. -

0. 0;

End ; End ; wr i te l n

( ou t ) ;

wri teln

( ou t , '

PERPINDAHAN T I T I K KUMPUL ' ) ;

writeln

( ou t , '

Titik

for J : = 1

nn

to NJ do

Beg in writeln

( ou t ,

DJ 3 ' I ;

DJ 2

DJ [ 3 * J - 1 ] : 1 0 ,

DJ [ 3 * J - 2 ] : 1 0 , '

J:3, '

'

DJ [ 3 * J ] : 1 0 ) ; End ; ( Ak s i

U j ung E l emen }

wr i t e l n

( ou t ) ;

wr i t e l n

( ou t , '

AKS I UJUNG ELEMEN THD KOORD LOKAL ' ) ;

writeln

( ou t , '

E l emen

for

1 : �1

AM1

AM2

AM4

AM3

AM6 ' I ;

AMS

to M do

Begin J 1 : = 3 * JJ [ I ] - 2 ;

J 2 : = 3 * JJ [ I ] - 1 ;

J 3 : = 3 * JJ [ I ] ;

K l : = 3 * JK [ I ] - 2 ;

K 2 : � 3 * JK I I ] - 1 ;

K 3 : = 3 * JK I I J ;

SCM

:=

E * AX I I ] / EL [ I ] ;

AMD i l ]

.-

S C M * ( ( DJ [ J l ] - DJ [ K l ] ) * CX I I J

+

( DJ I J 2 ] -DJ I K2 ] ) * CY [ I ] )

+

( DJ I J 3 ] -

DJ [ K 3 ] * C Z I I ] ) ; AMD I 4 ]

.-

- AMD [ 1 ] ;

AMD I 2 ]

.-

0

0;

AMD I 3 ]

. -

0.0;

AMD I 5 ]

.-

0.0;

AMD [ 6 ]

.-

0. 0;

for J : = l

.

to MD do

Begin AM [ J ]

: = AML I J , I ]

+ AMD [ J ] ;

End ; i f JRL [ J 1 ] = 1 if

JRL I J 2 ] � 1

then AR [ J 1 ] : =AR [ J 1 ] + CX [ I ] * AMD [ 1 ] ; then AR I J2 ] : =AR I J 2 ] + CY I I ] * AMD I 1 J ;

i f JRL I J 3 ] = 1

then AR I J 3 ] : =AR [ J 3 ] +C Z [ I ] *AMD I 1 J ;

i f JRL I K 1 ] = 1

then AR I K 1 ] : =AR [ K l ] + CX I I ] *AMD [ 4 ] ;

i f JRL [ K2 ] = 1

then AR I K 2 ] : = AR I K2 ] + CY [ I ] *AMD I 4 ] ;

i f J�L [ K 3 ] = 1

then AR [ K 3 ] : = AR I K3 ] + C Z [ I ] *AMD [ 4 ] ;

writeln AM [ S ] : 1 0 : 2 ,

( ou t ,

I:4,

AM [ 1 ] : 1 0 : 2 ,

AM [ 2 ] : 1 0 : 2 ,

AM [ 3 ] : 1 0 : 2 ,

AM I 4 J : 1 0 : 2 ,

AM [ 6 ] : 1 0 : 2 ) ;

End ; ( Pe rh i tungan Reaks i writeln

P e l e takan }

( ou t ) ; PELETAKAN ' I ;

writeln

( ou t , '

REAK S I

writeln

( ou t , '

T i t i k Kump u l

for J : = l

Joint

AR1

AR2

AR3 ' I ;

to NJ do

Rangka Ruang

301

Begin J l : = 3 *J-2 ; J2 : = 3 * J - 1 ; J3 : = 3 * J ; N l : = J RL [ J l ] + JRL [ J 2 ] + JRL [ J 3 ] ; i f N l < > O then wri t e l n

( ou t , J : 2 5 , AR [ J l ] : 9 : 2 , AR [ J 2 ] : 8 : 2 , AR [ J 3 ] : 8 : 2 1 ;

End ; End ;


3(4 , 8 ,0]

2(8,0,0]

Gambar 5.9.1

1 (0,0,0]

Contoh struktur rangka ruang

datarr. txt DATA UNTUK ANAL I S I S STRUKTUR RANGKA RUANG ( s a tuan kN-me t e r ) PARAMETER STRUKTUR Jml_E l emen 3

Jml_Tt k_Kumpul. 4

KOORD I NAT T I T I K KUHPUL X

Titik

Jml_Reak s i _ Pe l e takan 9

1

0.0

y 0.0

0.0

2 3 4

8.0 4 . 0

0.0 8.0

0.0 0.0

4 . 0

4 . 0

6.0

INFORHA S I ELEHEN E l emen U j ung_i Uj u ng_j 1 1 4 2 3

2 3

J m l _Pe l e t a kan 3

z

Luas_penampang 100

4

100

4

100

302 Amrinsyah N asution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

E 2000 . 00

KEKANGAN TITIK KUMPUL Titik

T rans

1

1

2

1

3

1

JUMLAH

11

T rans

sbX

=

terkekang,

sbY

Trans

1

0

=

bebas)

sbZ

1

1

PEMBEBANAN

Beban_Titik_Kumpu1

Beban_ Pada_Bentang

1

0

BEBAN TITIK KUMPUL Titik_kurnpu1

Gaya_ arahX

4 GAYA

Gaya_ arahY

Gaya_ _ arahZ

-200

-200

120

UJUNG ELEMEN T ERKEKANG

E lemen

i

FET

PENUH AKIBAT BEBAN BENTANG THD KOORD

FEM i

FEQ_i

FET _j

FEM_j

LOKAL

FEQ_j

File input: result.txt ******************************************************************

HASIL

ANALISIS

STRUKTUR

SISTEM

R ANGKA R U ANG

**********k*******************************************************

R abu,

9

\ 3 \2 0 05

PARAM E T E R STRUKT UR M

N

3

3

NJ

NR

4

9

E

NRJ

2000.00

3

KO ORDINAT TITIK KUMPUL X

Titik 1

y

z

0.00

0.00

0.00 0.00

2

8.00

0.00

3

4. 00

8.00

0.00

4

4.00

4.00

6.00

INFORMASI

ELEMEN

E1emen

JJ

AX

JK

1

1

EL

ex

4 1 00.00

8 .2 5

0.49 -0.49

2

2

4 1 00.00

8.25

3

3

4 100.00

7 . 21

0.00

CY

cz

0.49

0.73

0.49

0.73

-0.55

0.83

KEKANGAN TITIK KUMPUL TITIK

JR 1

,

1

JR 2

1

1

1

1

JR3 1

2

1

3

PARAMETER BEBAN NLJ

NLM

1

0

BEBAN

TITIK KUMPUL

Titik_Kumpul

AJ2

AJ1

4

1 20.00

-200.00

AJ3 -200.00

P E R PIND AHAN TITIK KUMPUL Titik

DJl

DJ2

DJ3

1

O.OE+OOOO

0.0E+0000

O.OE+OOOO

2

U.UE+OOOO

O.OE+OOOO

O.OE+OUOO

Rangka Ruang

303

3

O . OE+OOOO

O . OE+OOOO

O . OE+OOOO

4

l . lE-0002

- 9 . 3E-0003

-3 . 6E-0003

AKS I UJUNG ELEMF:N THD KOORD LOKAL AM3 AM2 AM1 E l emen 0 . 00 0 . 00 - 1 4 . 82 1 0 . 00 0 . 00 2 3 2 . 57 2 0 . 00

3 REAK S I

-142 . 37

0 . 00

AM4

AM S

1 4 . 82 -232 . 57

0 . 00 0 . 00

AM6 0 . 00 0 . 00

142 . 37

0 . 00

0 . 00

PELETAKAN

T i t i k Kumpu1

Joint 1 3 4

O . OE+OOOO

-7 . 19 O . OE+OOOO

-10 . 78 O . OE+OOOO

1 . 1E-0002

-9 . 3E-0003

-3 . 6E-0003

AK S I UJUNG E:,EMEN THD KOORD LOKAL AJ13 AM 1 AM2 E 1 emen 0 . 00 - 1 4 . 82 0 . 00 1 0 . 00 0 . 00 2 3 2 . 57 2 0 . 00 0 . 00 -142 . 37 3 REAK S I PELETAKAN T i t i k Kump u 1

Joint 1

AR3

AR2

AR1 -7 . 19

AM6

1 4 . 82

ANS 0 . 00

- 2 3 2 . 57

0 . 00

0 . 00 0 . 00

142 . 37

0 . 00

0 . 00

A/14

AR 1

AR2

AR3

-7 . 19

-7 . 1 9

-10 . 78

304 Amrinsyah N asution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

5. 1 0

Soal - Soal

Soal 1

Diketahui suatu sistem struktur rangka ruang seperti tergambar di bawah ini : z

perletakan sendi

9m

8m

X Eckmcn = 200,000 M Pa; Apenam pang elemcn

I

=

4000 cm 2 ;

Penampang kaki

2-3, 2-4 = 2000 c m2

Pertanyaan : a. Berapa derajat kebebasan struktur ? b. H itung sifat-sifat penampang elemen Rakit matrik KEKAKUAN elemen [S]m c. d. Jabarkan matrik transformasi [T]1 e. Rakit matrik kekakuan elemen [k]m f. Rakit matrik kekakuan struktur [ K]s g. Jabarkan vektor beban { P} h . Selesaikan [ K] {X ] = { P } untuk mempero leh deformasi dalam ruang. I. Gambarkan gari s elastis elemen ruang. Turunkan persamaan gaya-gaya dalam sepanjang bentang elemen . .l · k. Gambarkan diagram gaya-gaya dalam scpanjang bentang. Rangka Ruang

305

Soal 2

Rangka ruang dengan 3 elemen batang menerima beban terpusat seperti pada gambar. Dirnensi elemen 0800 mm. Bahan elemen adalah beton dengan berat volume Ybeton 24 kN/m ' . Angka Poisson u = 0.25, dan modulus elastisitas Eb 20,000 M Pa. Ukuran panjang elemen dicari dari posisi/koordinat titik kurnpul. =

=

PERTANYAAN :

3500 kN 420 kN

Z[mm]

1 I

/ ( 0,0.0l ) __ I!

/

;�,

CD

� 1 (227 37,19847,0

3 (

11

�

698 01.197 08,0)

a. Berapa derajat kebebasan struktur ? �! (5 4�:::!mmJ Gambar pasangan gaya/defonnasinya pada sistem. b. H itung sifat - si tat penampang elemen : A. c. Tetapkan matrik kekakuan elcmen [S], . d . Tctapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k ]i. e . Rakit matrik kekakuan struktur [K]s f. Tentukan vektor beban { P J g. H itung [KL{ X L { P L untuk mendapatkan deforrnasi { X } s. h. Gambar garis elastis struktur. Tentukan gaya gaya dalam e lemen. Gambar d iagram gaya dalam . J. k. Bila simpangan horizontal izin 8;1;11 1 . 6 5 mm, apakah sistem struktur mernenuhi syarat kekakuan ? =

l.

= -

-t

Soal 3

seperti pada gambar merupakan sistem rangka ruang. Dirnensi penampang elemen : a. Batang vertikal utarna L 3 5 0 * 3 50* 1 1 . b. Batang horizontal utama L 3 5 0 * 3 5 0 * 1 1 . c. Batang d iagonal L 2 5 0 *2 5 0 *9 Modulus Elastisitas bahan Eb = 20,000.00 M Pa. (beton), dan angka Poisson u = 0 . 3 0 . Pertanyaan : a. Tetapkan nornor join/ dan nomor clernen . b. Berapa dcrajat kebebasan stnrktur ? Garnbar gaya/ deformasi nya pada sistern. c. H itung sifat-si fat penampang elcmen : A . d. Tetapkan rnatrik kekakuan elcmen [S],. c . Tetapkan matrik kekakuatl elemcn terhadap stru ktur [ k ],. f. Rakit matrik kckakuan struktur [K],

I

To wer


�-++--?>!

E

l!)

@)

IN

_J I

g. Tentukan vektor beban ( P ] s h . H itung [K]s { X )s = { P } s untuk mendapatkan deformasi { X } ,. Gambar garis elastis struktur. J . Tentukan gaya-gaya dalam c lemen. k. Gambar diagram gaya dalam. 1.

Soal 4

Tower seperti tergambar merupakan si stem rangka ruang dengan 1 4 elemen batang. 8 titik kumpul

perletakan send i ) dan

1 2 derajat kebebasan . D i mensi

(4

penampang e lemen : a.

Batang vert i kal p i pa D 3 5 0 * 1 1 .

b.

Batang h orizontal pipa D 500* 1 I .

Modulus E lastis itas bahan Eb = 20,000.00 M Pa. ( beton),

dan angka Poisson Pertanyaan : a.

b. c.

d. e. f.

g. h. 1.

J.

k.

u

= 0.30.

250 k N

Tetapkan nomor joint dan nomor elemen; H i tung s i tatsifat penampang elemen : A . Tetapkan matrik kekakuan elemen [S],. Tetapkan matri k kekakuan elemen koord inat struktur [k];. R ak i t mat r i k kekakuan struktur [ K l s Tentukan vektor beban { P L H itung [ KJ,( X ) , { P L untuk mendapatkan deformasi { X } ,. Gambar garis elast i s struktur. Tentukan gaya gaya dalam elemen . G ambar d i agram gaya dalam. A pakah s i m pangan horizontal struktur meleb i h i ketentuan s i m pangan maks i m u m h.'360 ? B i la tegangan izin bahan 0,n n = 240 M Pa, apakah penampang batang utama memen u h i syarat kekuatan ? =

Soal 6

Soal 5 z

y

y

�X

Rangka Ruang

307

Rangka ruang sepcrti gambar soal 5 dan 6 merupakan konstruksi atap mezzanine. Beban hid up yang bekerja adalah beban mcrata q = I 0 kN/m. Dimensi kerangka adalah pipa baja D

250*40.

Gunakan program komputer untuk mengh itung pcrpindahan titik titik kumpul, rcaksi perle takan dan gaya gaya dalam rangka ruang diatas. Modulus elastisitas semua batang E = 2 00,000 M Pa. angka Poisson u = 0 . 3 0 . Apakah gaya dalam elemen 5 dan 6 pada kedua soal ini sama besarnya ? Mana sistem yang optimal dari dua tipe ini ? Soal 7

�

Rangka ruang Schwed/er dome seperti gambar menerima gaya gravitasi. Dimensi batang sama semua D 400* 1 9. E = 2 00,000 M Pa. angka Poisson u = 0.30.

Pertanjaan : Tetapkan nomor joint dan nomor e lemcn. H itung sifat - sitat penampang elemen : A. b. Tetapkan matrik kekakuan elemcn [S],. d . Tetapkan matrik kekakuan elemen tcrhadap koordinat struktur [k];. Rakit matrik kekakuan struktur [K]s f. Tentukan vektor be ban { P } s H itung [K]s { X } s { P} s untuk mendapatkan g. defonnasi ( X }s. h . Gambar garis elastis struktur. Tentukan gaya gaya dalam elemen. Gambar d iagram gaya dalam. J. a.

1 65 kN

I

--

---

--,

-

.. X (m]

c.

e.

=

1.

Soal 8

Dcngan bcban horizontal seperti tergambar, buktikan sistem struktur 'kinematic instability · apabila komponen reaks i hori zontal membentuk sudut dengan batang 1 -2 , 1 -3 , dan 2 - 3 . Soal 9

Suatu menara dengan tinggi 1 6 meter d isimulasikan menerima sebuah beban lateral pada puncak menara sebesar 2 0 kN ketika menara berada dalam posisi vertikal. Anggota struktur utama berasal dari bahan baj a dengan l uas penampang 9500 111111 :'. sedangkan kabel baja mem i liki d iameter 1 .3 mm. ( Ehu;u=2 00000 M pa) lakukanlah perhitungan untuk hal - hal berikut : a. Tentukan derajat kebebasan struktur b. Mcrakit matriks kekakuan [S]m setiap elemen terhadap sumbu lokal 308 Amrinsyah N asution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

cl . c.

e.

f.

Merakit matriks kekakuan [k],, setiap c lemen terhadap sumbu global Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [KL dari [k]n,. Merakit vektor be ban l uar struktur [ P J dengan mengabaikan berat scndiri si stem st ru k tu r. s

Menyelcsaikan persamaan matriks [K], * { X } = [ P ]

g. h. 1.

s

untuk mendapatkan perp i ndahan t itik-t i t i k

kum p u l . Menggambarkan garis elast i k struktur M enyelesaikan perh itungan besarnya gaya-gaya dalam setiap e!emen . U langi analisis d i atas dengan mengh i l angkan batang-batang dengan gaya aksial

=

0

pada s i stem

struktur, periksa apakah has i l yang d i peroleh mem i l i ki perbedaan dengan anal i s i s sebelumnya.

4.0 m

,,, 2.5 m

Soal 1 0

J ika diketahui suatu menara transm isi listrik mcncrima beban-beban l uar scperti tergambar diatas, maka lakukanlah pcrh itungan dengan langkah-langkah berikut : a. Tentukan derajat kebcbasan struktur b. Merakit matriks kekakuan [S] m setiap e lemen terhadap sumbu lokal Merakit matriks kekakuan [kJn, setiap elemen terhadap sumbu global d . Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [KL dari [k l m · Merakit vcktor be ban l uar struktur { P J baik be rat sendiri maupun be ban luar si stem struktur. f. Menyclcsaikan persamaan matriks [K],* { X } = { P } s untuk mendapatkan perpindahan titiktitik kumpul. g . Menggambarkan garis elastik struktur h . Menyelesaikan perhitungan besarnya gaya-gaya dalam SPtiap elemen. Periksa keseimbangan di tiap-tiap titik kumpul. Bandingkan dengan progrmn anal isa struktur rangka ruang yang terdapat dalam buku ini, J. beri komentar. c.

e.

s

1.

Rangka Ruang

309

Plan view

30 view

Sifat penampang : Luas pen am pang elemen I 0, l l , I 2, 1 3 , 1 8, 1 9, A = 2 in 2 Luas penampang e lemen l sampai dengan 9, elemen 1 4, 1 5 , 1 6, 1 7, A2 2 Modulus elastisitas bahan E,,cc/ 3 0000 kips/in 1

=

k.

=

4

in 2

Selesaikan solusi [K]s• { X ) ( P} s struktur rangka ruang dengan pem bebanan tarikan kabel yang masih utuh di dua t!tik pertemuan.

3 1 0 Amri n syah Nasution, Metode Mat1ik Kekakuan Analisis Struktur

s =

6

Portal Ruang

Portal ruang merupakan gabungan elemen-elemen yang tcrletak dalam ruang. Geometri portal ruang bcrupa kcrangka balok dan kolom, d i l iar unsur elemen kontinum peiat. Penyederhanaan sistem struktur pottal ruang dengan pelat sebagai beban yang bekerja dismping beban h idup, sepett i Gambar 6 . 1 b merupakan idealisasi dari konstruksi yang sesungguhnya. Elemen portal ruang bertemu rigid pada titik kumpul, dan setiap titik pertemuan yang tidak terkekang akan bertranslasi dan berotasi dalam ruang.

a . Struktur bangunan

b. ldealisasi sistem portal ruang bangunan Gambar 6.1

Portal Ruang

Tanggap struktur terhadap beban dinya:akan oleh gaya-gaya dalam seperti Gambar 6 . 2 . Elemen portal ruang adalah elemen balok. Pasangan gaya dan deformasi d i uj ung i adal ah tiga translasi � 1 . 1'\2. �,, ber1-;asangan dengan gaya aksiai F 1 • gaya geser F 2 • dan F1. Portal Ruang 3 1 1

Deformasi yang berhubungan dengan ketiga gaya lentur d an puntir F 4 , F 5, F 6 , ada l ah 114, 115, 116. H a l serupa pada uj ung j, translasi yang berhubungan dengan ketiga gaya-gaya F 7 , F 8 , F 9 ada-lah 117 , 118 , dan perpindahan 119 . Rotasi 1110, 11 1 " dan 11 1 2 berpasangan dengan gaya puntir F 10 , lentur F 1 1 . dan F 1 2 Sebagaimana d idefin i si kan, matrik kekakuan e l emen mendefi n i s i kan hubungan antara kedua bel as gaya dalam dengan deformasi. H ubungan i n i d inya-takan sebagai

Fl F2 F,

F4 Fs F6 F7 Fs Fq

FIO Fi t Fl 2

=

11 1 11 2 11, 114 11 5 11 6 [s], 117 11 8 119 11 1 0 11 1 1 11 1 2

ata u

{ F L,

=

Gambar 6.2 ldentiftkasi gaya/deformasi ujung

Xm

elemen balok ruang

[s], {�}, Gambar 6.3a Sub-elemen 1 portal ruang

X,,

S i stem penomoran seperti pada gambar 6 . 2 mengacu pada pasangan gaya dalam

F1

sampai dengan F 1 2 dengan defonnasi 1112• Susunan gaya-gaya uj ung dan deformasi ini d itetapkan sebagai s i stem referensi menetapkan matrik kekakuan [S] 111• � � sampai

Gambar 6.2b Sub-elemen 2 portal ruang

Xm

Sub-elemen I portal ruang serupa dengan s i stem struktur grid, hal mana pada setiap uj ung ada tiga pasang gaya dan deformasi : puntir, lentur dan geser. Sesuai penomoran derajat kebebasan e lemen ;·uang, m atrik kekakuan e l emen i n i adalah :

31 2 Amrinsyah Nasutio n , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

0

GI,

0

,

=

0

0

@

0 _

GI,

e

0

0

0

Bagi sub-elemen

0

[s],

® 2-

0

0

®

-

0 0

v

e 6Ei v

I 1

6Eiv

_

(

fl ]

6Eiv e"

_

6Ei v

Y

-

(

_

-

1 2 EI e)

__ )

- - - - - - - - - - - - - - - -

0 0

0

1 2Ei v

0

2EI,

2EI e 6EI I(

0

__

0

y

�

0

0

e

GI,

0 c

-

@

G l ·' -

0

e

1 2EI

--

@

I

- - - - - - - - - - - - - - -

@

CD

0 4 Ei

e

0

[s].,

0

e

t

0 4 Ei v e 6EI e"

__

Y

0 6EI e" 1 2EI

( 6 - 2 a)

__

Y

e

y

2 berupa balok :

CD

0

0

EA X e

0 EA, e 0 0

® 0

0

1 2E I 7

6Ei z

0

6E J z £2

4EJz e

0

0

0

EA, e

0

0

J 2 EJ z

0

6E J z e2

0

i

EA, e 6EI7 e2

0

e

2 EJ z e

0

-

EA X e 1 2Ei z £3 6Ei z e2

--

0 ('

® 0

6E J z e2 2Ei z e 0

(6 - 2 b)

6Ei z e2 4 EJ z e

Portal Ruang 31 3

Menggabungkan (6 -2a) dan (6 - 2b), diperoleh matrik kekakuan total elemen :

0

0

[sL

=

0 0 0

0 0 0

0

@ @ @)

8 0

0

0 0

(I

12ll

0

'

1 2 1: 1

'

0

0 Cl,

r

el l' I

2

6 1·: 1 z

(,u

7

I eEl 0

7

I

'

0 6E17

0

: 0 : : L\ , : I (J(-�:J z : 0 1

r

6 Ei

()

�

y

z

7

'

0

{" 0 2 Ei

y

2

1

2tlz

6EI7 1

@ 6Ll

I

I I I I I I I

@ @

z

0

4 1- l z

0

12

,

0

13

I "

6E! y

0

6FI7

0

7

0

0

1:.·\ ,

0

1 2 1': 1 z r -'

0 0 0

2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - ------------- - - - - 4 - - - - - - - � - - ---------- ---- - - - - - - - - - - - -

L·\ '

0

-7 :

r'

I I

:

0

0

I I I I I I I I

Cl ! "'

0

'

: : I

I()

11

'

11

I-

2LI z

I I I

11

0 6U, '

0

r-

0

() ()

6 1 ·: 1 z

(6 - 3)

6 . 1 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Stru ktu r

Serupa dengan portal bidang, identifikasi perpindahan/perubahan pada sistem akibat beban l uar dinyatakan dengan perpindahan tiga translasi normal dan tiga rotasi titik-titik kumpul. Contoh sistem portal ruang scperti pada Gambar 6. 1 . 1 .

4

3

2 G a m ba r 6 . 1 . 1 .

Portal ruang dengan beban trapezoidal pada

3 1 4 Amrinsyah Nasutio n , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Titik kumpul I , 2, 3 , 4 adalah perletakan jepit. Tidak terj ad i baik perpi ndahan translasi maupun rotasi di keempat titik kumpul, mengingat sifat perletakan j epit. Titik kumpul 5 , 6, 7 , 8 dapat berotasi dan bertranslasi dalam ruang. Dengan dem ikian, deraj at kebebasan strukur N X = 6 * 8 - 6 * 4 24 . Derajat kebebasan struktur ini dapat d i h itung berdasarkan rumus : =

NX

=

(6 - 4 )

6 N J - 6 N FJ - 3 N PJ - 2 N R 1 - N R 2

hal mana NJ N FJ N PJ NR1 N R2

=

j u m lah total titik kumpu l , termasuk perletakan titik yang sifatnya jepit titik yang sifatnya sendi titik yang s i fatnya rol tipe- 1 titik yang sifatnya ro l t i pe - 2

= j u m lah = j u m lah = j um lah = j u m lah

Perpindahan garis e l astis yang menyatakan perubahan pos i s i sistem struktur dapat dih itung. Gambar 6. 1 .2 memperl ihatkan perubahan posi s i sistem secara skematik. Deraj at kebebasan titik d inyatakan dengan vektor Xi . A rah vektor positif seperti tergiunbar. Seperti j uga hal nya dengan c lemen, tetjad inya perubahan posisi titik kumpu l ber akibat o lch beke�janya gaya. Apab i la setiap vektor perpindahan/rotasi titik kumpu l d iakibatkan o leh vektor gaya ekiva len yang bekerj a di titik kumpul tersebut, maka kedua vektor tersebut berpasangan. Perpasangan i n i terkait dengan dcrajat kcbebasan struktur.

garis clastis

G a m b a r 6 . 1 .2

X,s, P1

-

6

X,s P1

rf

Garis elastis, vektor deformasi dan gaya ekivalen

X

Hubungan antara vektor perpindahan/rotasi dengan vektor beban ekivalen adalah :

Portal Ruang 31 5

pI p2 p)

K11 K zl K,l

K 12 K u K l 4 K :!2 K 2 3 K 24 K :;:! K , > K J4 K J•.,

p4

. K ij . K zj .K > i

K uo K z,o K 2'0

XI Xz X>

x4

pj

K ;l

K J.>, K j4

K ii

k j 30

XJ

P2o

K 201 K zoz K 20.1 K zo4

K 2oj

K 2020

X Jo

a tau

{P} = [K){x}

(6 - 5 )

[

M atrik K) d idefin iskan sebagai Matrik Kekakuan Struktur. U nsur matrik K;1 merupakan has i l rak itan unsur-unsur matrik e l emen yang uj ungnya terkait menyusun titik kumpu l .

6 . 2 Koord inat Lokal dan Koordinat Struktur Perakitan matrik [ K] dari m atri k e l emen [S] memerlukan proses transformasi koord inat. Pada perakitan unsur [K] di titik kumpul 5, Gambar 6 . 2 . 1 , s i stem koord inat elemen batang 2, 5 , dan 6 yang menyatakan h ubungan [ S ] { 1<. } = { F } harus d itransformas ikan kedalam si stem koord inat struktur/globa l .

Gamba r 6 . 2 . 1

Transformasi [S]{I'l}

=

{F} k e [k]m{X}m

=

{P}m

Secara umum posi s i koord inat eiemen/lokal terhadap koord inat struktur/global untuk e l emen batang m seperti pada Gambar 6.2. 1 .

31 6


Dengan sudut 8 1 , 8 2 dan 8 3 yang d i bentuk e lemen batang m terhadap absis dan terhadap rotasi penampang, besaran gaya LF, F2 F, F4 F, F6 F7 F8 F9

X, bidang X-Z, F10 F1 1 F, 2 J d i

LP, P2 P1 P4 P, P6 P7 P8 P9 P1 0 P1 1 P, 2 j mel a l u i transformasi koordinat. P, p2 P, p4 0 0 PS [T ], 0 0 p6 0 [T l 0 (6 - 6) atau { F } 111 = [T]111 { P } m 0 0 [T ], 0 p7 0 0 0 [T ), ps p9 PlO P, , PI :!

nyatakan dengan

F, F2 F, F4 Fs F6 F7 Fs F9 FI O F, , F, :

:=

LL1, l12 l1 3 l14 L1, l16 l1 7 l1 8 l19 l1 1 0 L1 1 1 L1, 2 j d inyatakan Lx , X :! X , x . X, x6 x 7 x 8 X') x,o x , , x , 2 J mel a l u i transformasi koord inat :

J uga perpindahan uj ung elemen dengan

L1 , L1 2 L1, L1 . L1 s L16 L17 L1 g L19 L1 1 0 L1 , , L1 12

x, X: X, x" (T )1 0 0 0 x, x 6 0 0 [T ), 0 0 0 [T l 0 x 7 0 0 0 [T l x s x9 x ,o x,, X I :!

atau

{ L1 } 111 = [T]m ( X } m

(6 - 7 )

M atrik [T] m d idefinisikan sebagai m atrik transformasi koord inat dari s i stem koord inat e lemen kedalam s i stem kord i nat global/struktur. Komponen matrik [Th dalam [T] 111 seperti persamaan (5 - 6). Mengisikan ketentuan kedua persamaan i n i kedalam persamaan (6 - I ) Portal Ruang 3 1 7

[s L {� }, = {F }, , akan d iperoleh

matrik kekakuan e lemen yang ditinj au dari si stem koord inat

global/struktur sebagai berikut : , I I I

:

� I I I I I I I I I I I

l2E1 1

(, Ef 1

, 31 2 1:1 � -]

•

EA

Gl ,

:

I I I I

I

1 2 EI

11

\

11

, -2 2I 1 I I I I ------------------------------�-----------------------------· EA EA , , 0 () () 0 () 0 () () () ()

� :

(,[J

(> f. l /

*

[T] m ( X } m = [T] m { P } m ·

1

12EI 1

'

J

1 2 EI ,

L

6 [1 �

(> f:: l

'

I lt::-:1 /

I I I I

I I I

(> C l \

1 2 EI 1 I

2EI �

,

c,r.t ,

J

2

Gl,

2-

'

(,[[ �

-]

�

12FI I

6 [1 1 '

J Gl

'

HI

(, [ [ � 2-

11

2

,

6 [1 /

.t E I 1

2

atau [S] m [T] m { X } m = [T] m { P } m

(6 - 8)

Menga l i kan persamaan (6 - 8) dengan matrik i nvers

[T ];,'

[Tl,' [sL [TL {x L, = [Tt,' [TL {P} m [Tt,' [sL [Tl, {xL, = {P}, Matr i k invers

(6 - 9 )

[T t,' j uga merupakan m atrik transpose [T],:, , seh ingga

[T),;,' [sL [Tl, {x }, = [Tl"r [sl, [TL {x }, = { P }m Perkal ian matrik

[T],� [sL [T L merupakan transfonnasi

matrik kekakuan e lemen [S] 11, menj ad i

matri k kekakuan e lemen pada sistem koord inat struktur. Dinamakan has i l perkal ian sebagai matr i k kekakuan e lemen [k] 111

= [T f,, [sl, [T l, .

Has i l perkal ian unsur ketiga matrik merupa

kan unsur m atrik [k]111, sepert i d ijelaskan pada Tabel 6.2. 1 .

3 1 8 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

[k ]m

di

=

0 0 0 0 0

�

0 0 @ @ @)

0

kll k 21 kll k 41 k ,l k61 k 71 k 81 k 91 k iOI kill k l21

0 G) k l2 k 22 k ,2 k 42 k ,2 k 62 k 72 k 82 k 92 k l02 k l l2 k l22

k ll k 23 k _n k 43 k ,] k 63 k 73 k 83 k 93 k iOJ k i iJ k l23

0

k l4 k 24 k 34 k 44 k ,4 k 64 k 74 k 84 k 94 k l04 k l l4 k l24

G) 0 0 kl, k 2S k JS k 4S k" k 6S k 7S k 8S k 9S k iOS k i iS k i2S


k l7 k 27 k 37 k 47 k ,7 k 67 k 77 k 87 k 97 k 107 k l l7 km

0

kl8 k 28 k 38 k 48 k S8 k 68 k 78 k 88 k 98 k l08 k l l8 k l 28

®


@

@

k i lO k 210 k liO k 410 k SIO k 6 10 k 7 10 k 810 k 910 k iOIO k i i iO k l 210

kill k 21 1 klll k 41 1 kSI I k 61 1 k71 1 k 81 1 k 91 1 k l012 killI k l2 1 1

@)

k l l2 k 212 km k 4 12 k \ 12 k 612 k 71 2 k 812 k 912 k l012 k l l l2 k l212 ( 6 - 1 0)

mana :

EA * cos2 8 cos2 8 + 1 2 EI y * (- sin 8 cos83 + cos8 sin 8 cos83 ) 2 1 2 e3 1 1 2 ll e 12 + EI3 _z * (- cos8 1 sin 82 cos83 - sin 8 1 sin 83 ) 2 e 1 2 EI � EA k 2 1 = � * cos8 1 sin8 2 cos8 2 - T * cos8 2 sin8 3 X- sin8 1 cos8 3 + cos8 1 sin8 2 cos8 3 ) 1 2 EI � + � * cos8 2 cos8 3 X- cos8 1 sin8 2 cos8 3 - sin8 1 sin8 3 ) k 1 2 = k2 1

k

=

x

__

__

__

k3 1 = EA x *sin 8 1 cos8 cos2 8 2 1 2El 3 * (- sin 8 1 cos83 cos8 1 sin 82 sin 83 Xcos 81 cos 83 +sin 8 1 sin 8 2 sin 83} € 12El * (- sin8 sin 8 cos83 +cos8 sin 83 X-cos8 sin8 cos83 -sin8 sin83 +� 1 2 1 ) 1 1 2 e

__

+

Y

+

kn = k3 1

Portal Ruang

319

6E 1 k 4 1 = - P/ * (- cos8 1 sin 8 2 cos83 - sin 8 1 sin e3 X- sin 8 1 cos83 + cos81 sin 82 sin 83 ) + 6 z * (- cos 8 1 sin 82 cos 83 - sin 8 1 sin 83 X- sin 8 1 cos 83 + cos 8 1 sin 82 sin 83 ) kl 4 = k4 1 6E 1 k5 1 = - f / * (cos8 2 cos83 X- sin 8 1 cos83 - cos8 1 sin 8 2 sin 83 ) - 6 z * (cos 82 sin 83 X- cos 8 1 sin 82 cos 83 - sin 8 1 sin 83 ) k 15 = k51 6E 1 k 6 1 = - (1/ * (- sin 8 1 sin 8 2 cos e3 + cos8 1 sin 83 X- sin 81 cos83 + cos81 sin 82 sin 83 ) - 6E21 z * (cos82 sin 8_.,.) X- cos81 sin 82 cos8_.,.) - sin 81 sin 8_.,.) ) f k 1 6 = k61 6E 1 k 7 1 = - P/ * (- sin 8 1 sin 8 2 cos 83 + cos 8 1 sin 83 X- sin 8 1 cos83 + cos8 1 sin 8 2 sin 83 ) + 6 z * (- cos 8 1 sin 82 cos 83 - sin 8 1 sin 83 Xcos 81 cos e3 + sin 8 1 sin 82 sin 83 )

��

��

��

kl 7 = k7 1 6E 1 k 8 1 = - -i- * (cos8 2 cos83 X- sin 8 1 cos83 + cos8 1 sin 8 2 sin 83 ) e 6E - �z * (cos8 2 sin 83 X- cos8 1 sin 8 2 cos83 - sin 8 1 sin 8J e k 1 s = k8 1 6E 1 2 . 6E 1 z * cos 2 82 sm. 83 cos83 k 9 1 = 7y * cos 82 sm 83 cose3 - 7 kl 9 = k91 6EI ( f 1 cos83 + sin 81 sin 8 2 sin 83 ) 2 cos83 ) \cos8 k 1 0 1 = - p/ * \cos8 - 6 z * (cos 8 2 sin e J(- sin 8 1 sin 82 cos 83 + cos 8 1 sin 83 )

(

)

(

��

k1 10 = k101


)

k1 1 1 =

��y * (cos82 cos83 )(- sin 8 1 cos83 + cos81 sin 82 sin 83 ) - 6 ��z * (cos8 2 sin 83 )(- cos8 1 sin 82 cos83 - sin 8 1 sin 83 ) -

6

kl.l l = kl l.l 6El k 1 2 1 = - --f * (- sin 8 1 sin 8 2 cos8 3 + cos8 1 sin 83 )(- sin 8 1 cos83 + cos8 1 sin 82 sin 83 ) t 6E + �z * (- cos8 1 sin 82 cos83 - sin 8 1 sin 83 )(cos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 8 2 sin 83 ) e

(

(

kl . l 2 = kl 2. 1 12 El z 2 8 + 1 2 El y * cos2 8 sm. 2 8 + � E . A x * cos 2 82 cos 2 83 s 2 k 22 = -e- m 2 � 3 12 E A x k rJ = ' (sin 8 1 sin 82 cos 82 )- f:IJ y * (cos 8 2 sin 83 )(cos 8 1 cos 83 + sin 8 1 sin 82 sin 83 ) + 1 2 l z * (cos 8 2 cos 83 )(- sin 8 1 sin 82 cos 83 + cos 8 1 sin 83 )

)

f�

k32 = k 23 6El { k 24 e/ * \cos8 2 sin 83 )(- cos8 1 sin 8 2 cos8 3 - sin 8 1 sin 83 ) + 6 z * (cos 8 2 cos 8 3 )(- sin 8 1 cos 83 + cos 8 1 sin 8 2 sin 8 3 ) k24 = k 42 6 y * cos 2 8 2 sin 83 cos 83 - 6 z * cos 2 8 2 sin 8 3 cos 83 k2 5 k 25 = k 52 6El k26 = ---f * (cos 82 sin 83 )(- sin 8 1 sin 8 2 cos 83 + cos 8 1 sin 8J =

=

��

�� (

) �� (

)

)

6E�z * (cos8 2 cos8 )(cos8 1 cos8 + sin 8 1 sin 8 2 sin 8 ) 3 3 3 e k26 = k 62 +

Portal Ruang 321

12 y E + sin 8 � cos 8 * (cos ) 81 2 2 �1 * (cos 82 sin 83 )(- sin 8 1 cos 83 + cos 8 1 sin 82 sin 83) k 27 = - 12 �1 z * (cos82 cos83)(- cos8 1 sin 82 cos83 - sin 8 1 sin 83) X

e

k 2 7 = k 72 12 E lz * ( cos 2 8 cos2 83 ) EA-sin x 2 82 - 12 Ei-3y * ( cos 2 82 sin 2 83 ) -er 2 2k 8 = e k 2 8 = k 82 EA x (sin 8 1 sin 82 cos82)+ 12':1Y * (cos82 sin 83)(cos81 cos83 +sin 8 1 sin 82 sin 83) 29 = k � f f - 1 2�1 z * (cos82 cos83)(-sin 8 1 sin 82 cos83 + cos8 1 sin 83) k 29 k92 6EI k 21 0 = 7 * (cos82 sin e3)(- cos e ) sin 82 cos83 -sin e l sin e3) + 6;�z * (cos82 cose3)(- sin e l cos83 + cose l sin 82 sin e3) k 21 0 = k l02 6Ei 2 . ) 6Ei 2 . cos83 ) k 21 1 = 7y * ( cos e2 sm83 cos83 - yz * ( cos e2 sm83 k 21 1 = k l l2 6EI * (cos 82 sin 83 )(- sin e sin 82 cos 83 + cos e sin 83) 7 212 l l k = + 6 ��z * (cos82 coseJ(cose l cose3 + sin e t sin 82 sin e3) k 2 1 2 = k l 22 EA x ( sin 2 8 1 cos 2 82 ) + 12 Ei y * (cos8 1 cose3 +sin e l sin 82 sin 83 ) 2 f f� -

e

-

=

__

322

Amrinsyah Nasution.

� -

Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

��

6 y * (cos81 sin 8 2 cos83 - sin 8 1 sin 83Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 8 2 sin 8J + 6 ��z * (- sin 81 sin 82 cos83 + cos8 1 sin 8J(- sin 8 1 cos 83 + cos 8 1 sin 8 2 sin 83) k 3 4 k 43 6E .> * (cos82 cos8--Xcos8 1 cos8 , + +sin 0 1 sin 8 1 sin 8 , ) k,5 c- 6E� z * (cos 81 sin 8, )(- sin 81 sin e2 cos 8, + cos 81 sin 8, )

k3 4 =

=

=

-

_,

_,

_,

e-

-

_,

-

_,

_,

_,

6EI k,.) 6 - 2 Y * (- sin 81 sin 8 -1 cos8, + cos8 1 sin 8,.) Xcos8 1 cos8 .), + sin 8 1 sin 8 -1 sin El� ) f + 6 ��z * (- sin 81 sin 8 2 cos 83 + cos 81 sin 83 )(cos 01 cos 83 + sin 8 1 sin 82 sin 8J =

.)

.)

k 3 6 = k 63 1 2 Eiy ( -7 * - sin 81 cos83 + cos81 sin 8 2 sin 83 XcosO I cos83 + sin 81 sin 8 2 cos83 ) 12 + €�� z * (- sin 81 sin 82 cos 83 + cos 81 sin 83 X- cos 8 1 sin 8 2 cos o3 - sin 81 sin 83)

k .)� 7 k 7 3 . . 02 0 2 ) EAx (. - (Stn 8 1 =

S i ll

COS

12 Ei z ( . . - -, - * - sm 81 sm o , cos 8, + cos o1 sm. 8, ) -? (' k 39 k 93 -'

-

J

.)

=

Portal Ruang 323

6 k 3 1 0 = - E�y * (-cos8 1 sin 82 cos83 - sin 8 1 sin 83 Xcos81 cos83 + sin 81 sin 82 sin eJ + 6 E�z * (- sin e 1 sin 82 cos83 + cos81 sin 83)(- sin 81 cos83 + cos 81 sin 82 sin 83) k 3 1 0 = k 1 03 6 k 3 1 1 = - E�y * (cos82 cos83Xcos 8 1 cos83 + sin8 1 sin82 sine3 ) - 6 E�z * (cos82 sin 83)(- sin 81 sin 82 cos83 + cos8 1 sin 83) k 3 1 1 = k1 1 3 6 k 3 1 2 = - E�y * (- sin 81 sin 82 cose3 + cos81 sin e3 Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin e2 sin e3 ) + 6 E�z * (- sin 8 1 sin 82 cos83 + cos8 1 sin 83 )(cos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 82 sin eJ k 3 1 2 = k1 23 e

e

e

e

e

e

1

4 E * (cos82 sin83 X-sin8 1 cos83 +cos8 1 sin 82 sin 83 ) +Glx -� P -* (cos81 sin82 cos82 ) =

k 45 k 54

k 4 6 = k 64 6E 1 k 47 = e 2Y * (-cose 1 sin82 cos83 - sin81 sine3X- sin 8 1 cos83 + cos8 1 sine2 sin 83) - 6 E2I z *(- cos 8 1 sin 82 cos 83 - sin 8 1 sin 83 X-sin e l cos 83 +cos 8 1 sin 82 sin 83) c _ _ _

324 Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

6E I k4 8 = e 2 Y_ * (cos82 sin 83 X-cos8 1 sin 82 cos83 -sin 8 1 sin 83) - 6E21 z * (cos8 2 cos03X- sin8 1 cos83 + cos8 1 sin82 sin83) e k48 = k 84 6E k49 = e�y * (-cos8 1 sin 82 cos83 - sin 8 1 sin 83Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 82 sin 83) - 6E21 z * (-sin 0 1 sin 02 cos83 + cos8 1 sin 03X- sin 0 1 cos83 + cos8 1 sin 0 2 sin 03) e k49 k 94 2El -f * (cos82 sin 03X- cos8 1 sin 02 cos83 - sin 0 1 sin 03) 1 k4 - 2 �1 Z * (cos82 sin 83X-sin 8 1 cos83 + cos8 1 sin 82 sin 83)+ G> * (cos8 1 sin8 2 cos8J k4 1 0 k l04 2El y k 4 1 1 p *(cos 8 2 cos8 3 X- cos8 1 sin 82 cos 83 - sin 8 1 sin 83) - 2 �1 z *(cos 8 2 sin 83 X- sin 8 1 cos 83 +cos 8 1 sin 8 2 sin 83 )+ G> *(cos 8 1 sin 8 2 cos82 ) k4 1 1 = k 1 1 4 _ __

=

o =

=

=

k

� ( ( 2EI

412

=

-

XX

* - sin 8 sin 8 cos 8 + cos 8 s i n 8 2 1 3 1 3

2 El e

cos 8 s i n 8 cos8 - s i n 0 sin 8 1 2 1 3 3

z * - si n 8 cos 8 + cos 8 sin 0 sin 8 cos 8 cos 8 + sin 8 sin 8 sin 8 2 2 1 3 1 3 1 1 3

J

)

+

G: ( x *

. sin 8 cos 8 cos 1 1

k4 12 = k l 24 2 81 sin 4 E 2 2 l 2 2 4 l EI x k ss y * ( cos 82 cos 83 ) +--;-* ( cos 82 sin 83 ) + G 4 El k 56 -f * (cos82 cos83X-sin 0 1 sin 02 cos83 + cos8 1 sin 83) - 4�1 Z * (cos 82 sin 83Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 82 sin 83)+ G> * (sin 8 1 sin 82 cos 82 ) k5 6 = k 65 , = -fi=

fi

2

e

2

)

-

Portal Ruang 325

6EI k5 7 == --2y- * (cos82 cos83 X- sin 81 cos83 + cos81 sin 8 2 sin 83 ) ( + 6E�z * (cos8 2 cos83 X- cos81 sin 8 2 cos8 3 - sin 81 sin 83 ) �: -

k 5 7 == k 7 5 6Ei 2 2 k5 8 == - 7y * ( cos 82 sin 83 cos83 ) + 6EI2 z * ( cos e2 sin 83 cos83 ) f k 5 8 == k 8 5 6EI k 5 9 == ----f- * (cos 82 cos 83 Xcos 81 cos 83 + sin 81 sin 82 sin 83 ) f + 6E�z * (cos82 sin 83 X- sin 81 sin 8 2 cos83 + cos81 sin 8 J f

k 5 9 == k 9 5

21 1 k5 1 0 = ( Y * (- sin o1 sin 0 2 cos03 + cos01 sin o3X- cos01 sin 8 2 cos03 - sin 01 sin eJ 1 + 2 1� z * (- sin o 1 coso3 + cos01 sin o 2 sin o3 Xcos0 1 cos03 + sin 01 sin 0 2 sin e:J+

(j> * ( sin 01 cos01 cos 2 0 2 )

k 5 1 0 == k l 05 2 Ei y ( 2 2 Ei z ( 2 . 2 ) Glx sin 2 82 2 ) k5 1 1 == r * cos 8 2 cos 83 + --1:, - * cos 82 sm 83 + f k 5 1 1 == k l l 5 2 EI ks I - == ( Y * (cos 82 cos O� X- sin 81 sin 8, cos 8�.) + cos 01 sin 8�.) ) 2 - Eif z * (cos 8;- sin 8�.) Xcos 81 cos 8�.) + sin 81 sin 8; sin 8�.) ) + Glxf * (sin 81 sin 8, cos 8 , ) ---

,

I

_ _ '

_

--

'

.)

-

-

,·

-

4EI * {\cos8 cos8 + sin 81 sin 82 sin 83 ) 2 +� 1 3 6EI k 67 == 2 Y * (- sin 81 sin 8 2 cos83 + cos81 sin 83 X- sin 81 cos83 + cos 81 sin 82 sin 83 ) ( - 6E�z * (- costl1 sin 82 cos83 - sin 81 sin e3 Xcos81 cos83 + sin 81 sin 82 sin 83 +) ( _ _

_


�

k 67 = k 76 6EI k 68 = ---f- * (cose 2 sin e3)* (- sin e l sin e 2 cose3 + cose l sin e3) t 6E - �z * (cose 2 cose3)* (cose 1 cose3 + sin e 1 sin e2 sin e3) f

k 68 = k 86 6E k 69 = �y * (- sin e 1 sin e 2 cose 3 + cose 1 sin e 3 Xcose 1 cose 3 + sin e 1 sin e 2 sin e 3 ) ( 6E - � * (- sin e 1 sin e 2 cose3 + cose 1 sin e 3 Xcose 1 cose 3 + sin e 1 sin e 2 sin e3 +) { k 69 = k 96 6E I k 6 1 0 = 2 Y * (- cose 1 sin e 2 cose3 - sin e1 sin e3)* (- sin e 1 cose3 + cose1 sin e 2 sin e3) c - 6E�z * (- cose 1 sin e cose3 - sin e 1 sin e3 )* (- sin e 1 cose3 + cose sin e sin e3 +) 2 1 2 ( k 6 1 0 = k 1 06 2 EI k 6 1 1 = --f * (cos 82 cos 83 X- sin 8 1 sin e 2 cos 83 + cos 8 1 sin 83) 2 1 - � z * (cos82 sin 83 Xcose 1 cos 83 + sin 8 1 sin 82 sin 83 )+ G> * (sin e 1 sin 82 cos82 ) k 6 1 1 = k l l6 z

_ _ _

2 El y \2 G l ( 2 2 �) ( * sin e sin e� } + � * sin 8 1 cos e, sin e, cos8� + cos81 k 6 1 �' = -l .) .) f � f

Portal Ruang 327

)

)(

1 2 EI f { EA x_ * \cos81 k 78 = __ sin 82 cose 2 - � * \cos8 2 sin 8.,.) - sin 8 1 cos8.,.) + cos81 sin 8 2 sin 83 f (!.)

� (

+ 6E�z * - cose1 sin e 2 cose3 - sin e 1 sin e3 Xcose 1 cose 3 + sin e 1 sin e 2 sin e 3 e k 7 1 2 = k l 27

)

)

2 1 2 EI y ( 2 1 2EI y ( 2 2e 2 e +-cos e cos * sin k 88 = E A x sine e7� + -e * cos 3 2 2 3 3 e c3 12 l k 89 E x s in e 1 sin e2 cose - y * cos8 2 sin e3 cos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 82 sin e /' 12 l z + * cos82 cose - sin 8 1 sin 82 cos8 3 + cos8 1 sin e k 89 = k 98 =

328

�( /'� (

J � ( J(

)

)(

J


J

)

6Ei ( y * - cos8 1 sin 8 2 cos83 - sin 8 1 sin 8 3 Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 82 sin 83 ) e2 - 6 E2l z * (- sin 8 1 sin 8 2 cos83 + cos8 1 sin 83 X- sin 8 1 cos83 + cos8 1 sin 8 2 sin 8 3 ) e k 8 1 0 k l 08 6 y * cos2 8 2 sin 83 cos83 + 6 z * cos2 82 sin8 3 cos83 k8 1 1 =

k8 1 0 =

�� (

=

-

) �� (

)

k8l l = kl l8 6 EI { k 8 1 2 = ___2 Y_ * \cos82 sin 8 3 X- sin 8 1 sin 82 cos8 3 + cos8 1 sin 83 ) e 6 E 1 z * (cos8 cos8 Xcos8 cos8 + sin 8 sin 8 sin 8 +) 2 3 1 3 1 2 3 e2 k 8 1 2 = k l 28 1 2 Ei 2 k 99 E Af sin 2 8 1 cos 2 82 ) + 3 y * (cos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 82 sin 83 ) f 2EI ( . 1 + � * - sm 8 1 sin 8 2 cos83 + cos8 1 sm. 83 ) 2 p.) 6E ( k 9 1 0 = y * - cos8 1 sin 82 cos83 - sin 8 1 sin 83 Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 8 2 sin 83 ) f 6 E - �z * (- sin 8 1 sin 82 cos 8 3 + cos 8 1 sin 83 X- sin 8 1 cos 83 + cos 8 1 sin 82 sin 83 ) e k 91 0 = k l 09 6EI { k 9 1 1 = __2 Y_ * \cos8 2 sin 8 3 Xcos 8 1 cos 83 + sin 8 1 sin 8 2 sin 83 ) e + 6 E2l z * (cos8 2 sin 8 3 X- sin 8 1 sin 8 2 cos83 + cose 1 sin 83 ) e k9 1 1 = k l l9 6EI k 9 1 2 ---f * (- sin e 1 sin 82 cos83 + cos8 1 sin 8 3 Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 8 2 sin 83 ) _

=

X

(

�

=

€

+ 6 E�z * (- sin 8 1 sin 8 2 cos83 + cos8 1 sin 8 3 Xcos8 1 cos83 + sin 8 1 sin 8 2 sin 83 ) e k 9 1 2 = k l 29

Portal Ruang 329

k(

0( ]

k lOI I k

1012

�

1 + 4 z * (- sin 8 1 cos83 + cos81 sin 8 2 sin 83) 2 4 E i y (COS8 COS83 )(- COS8 Sin. 8 COS83 - Sin. 8] Sin. 83 ) + G l x cos8 1 sin 02 cos82 2 ] 2 f {; 4 + z * (cos8 2 sin 83)(- sin 81 cos83 + cos8 , sin 8 2 sin 83) = k 1 ; 10

=

-, -

�1

4E:y

=

*

(

• - sin 0

Ci l X sin e

2

sin 0

1

cos e

I

cos

2 2

cos o

3

() 2

+ cos 0

1

sin o

3

)(

- cos 0

1

sin G

2

cos e

3

- si n 0

1

sin o

3

)

+ ----------�----�

kl012 = kl210 2 G lx sin 8 2 Ei y 2 2 2 2 4 El . 4 z k ] I J I -f- * COS 8 2 COS 83 + -f-,- * COS 8 2 Sill 83 + f 4 y * (cos8 2 cos83 X- sin 81 sin 82 cos83 + cos8 1 sin 8J+ G * (sin 8 1 sin 82 cos82 ) k 1 1 12 = - 4 El z * (cos 8') sin 8� Xcos 8 1 cos 8� + sin 8 1 sin 8 2 sin 8�) =

E/

)

(

-

(

U nsur matrik k

8 1 , 82

dan

�

.)

(

.)

>

.)

d i h itung meng-gunakan persamaan pada Tabel 6 . 2 . 1 , dengan perh itungan

El:; sesuai posisi elemen menurut persamaan (5

unsur-unsur matr i k K,1 dari rakitan unsur mat-rik I

dengan variabe ! X; .

330

)

-

4), (5 - 5 ) . Dengan mengisikan

k� , terbentuk persamaan l inear s i m u l tan


x, 8

x,

x, ,

x2

R 1o

Gambar 6.2.2 Perakitan unsur matrik

[K]

x ,. 6

e l emen 2 . 5. 6


indeks derajat kebebasan elemen

8

[�� & A � 6 � & � 6 �

QJ & 0 & 0 & � 6 � ] & � [k s & 0 =

��

& 0 � �

� Q2] � @_]

QJ

0

0

�

� � 0

�

0

�

k l l k l 2 k l 3 k l4 k l 5 k l6 k l 7 k l 8 k l 9 k i lO k 2 1 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26 k 27 k 28 k 29 k 2 10 k , l k 32 k ,3 k ,.j k 3 5 k ,6 k , 7 k 38 k 39 k 3 10 k .j J k 42 k 4 3 k 44 k 45 k 46 k 47 k 48 k 49 k 4 10 k s J k 52 k 53 k 54 k ss k 56 k 57 k ss k ;9 k 510 k 6 1 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66 k 67 k (,g k 69 k 610 k 7 1 k 72 k 73 k 74 k 75 k 76 k 77 k 78 k 79 k 710 k s J k 82 k 83 k 84 k ss k 86 k s7 k gg k 89 k 810 k 9 1 k n k 9 3 k 94 k 95 k 96 k 97 k 98 k 99 k 9 10 k iOI k l 02 k l03 k l04 k l05 k l06 k l0 7 k l 08 k l09 k iOIO k i l l k l l2 k l l 3 k l l4 k l l 5 k l l6 k l l 7 k l l8 k l l 9 k i i iO k l 2 1 k m k m k l24 k l2 5 k l 26 k m k l 28 k l29 k l210

8 & Q2J

@_]

ki l l kl l2 k2 1 1 k2 1 2 k 3 1 1 k3 1 2 k 4 1 1 k 412 k5 1 1 km k 61 1 k 612 k7 1 1 k7 1 2 k 8 1 1 k 812 k 9 1 1 k 91 2 k iOI I k l01 12 k i l l I k l l l2 k 1 2 1 1 k l212 (6 - ! 0a)

Portal Ruang 331


LA � A �


·& &

0 & QJ & [4] A �

[] k

[i]

& [!_] & b� �

6 =

& 0 & �

� [_1_1] � @]

&

[] k

2

0

[i] "

''

kl2

kn

QJ

kl3

A&& � & � 8 &

k l4

kl

�

�

0

kl8

k l9

" 1 1o

[11]

@]

kl l2

ki l l

25

k 26

k 9 2

k2 1 0

k2 1 1

k2 1 2

5 k 4s

"n

k 28

k 36

k3 7

k 38

k 39

k3 1 0

k3 1 1

k3 1 2

k 46

k 47

k

k 49

k4 1 0

k41 1

k4 1 2

k ss

k s6

k s7

" ss

" s9

ks1o

k

k

k6

k 66

k 67

k

68

k 69

k6 1 0

k61 1

k

k 76

kn

k 78

k 79

k7 0 1

k7 1 1

k7 1 2

ks 1 1

k

k 24

k

k 33

k 34

k3

k4 1

k

k 43

k 44

ks 1

k s2

k 4 5 k 64

42

kl7

kl6

5

k 23

k3 1

� [2]

�

k 32

k2 1

48

k6 1

k 62

k 3 5 k 63

k71

k

n

k 73

k 74

k7

kg !

k g2

k g3

k g4

"ss

k g6

k g7

k gg

k g9

kg

k9 1

k 92

k 93

k 94

k9

k 96

k 97

k 98

k 99

k9 1 0

k91 1

k9 1 2

k101

k l 02

k l 03

k l 04

" 1 0s

kl01 12

ki l l

kl l2

kl l3

kl l4

kl l 5 kl2 5

k l 22

kl 2 1

k l23

L&&&

[i] & 0 & [3] .& [4] & � � & [!_] = .6 & � & 0 & � & [_1_1] & @]

[4]

k l 24

5 5

5

k l 07

k l () g

k l 09

k1010

k10 1 1

kl l7

k1 1s

kl l 9

k1 1 10

"

k l 26

k l 27

k

k l 29

kl210

kl 2 1 1

l28

[4]

�

k l4

kl

k 23

k 24

k

k3 1

"n

kl3

k21

k 32

k 33

k 34

k3

k4 1

k 42

k 43

k 44

k4

k

�

kl6

[2]

kl 7

�

kl212

kl8

kl9

k

k

ki l l

k212 k3 1 2

29

"21o

k36

k37

k 38

k 39

k3 1 0

kJ I

5

k 46

k 47

k 48

k 49

k4 1 0

k41 1

k4 1 2

k

25 5

28

k 4 5 k 64

"ss

"s6

k s7

k ss

k 9 s

"s10

k 63

k6

k 66

k 67

k 68

k 69

k

k7 1

k

n

k 73

k 74

k7

k 76

"n

k 78

k 79

k7 1

kg !

k g2

k g3

k g4

k g6

k g7

k gg

k g9

k

k 96

k 97

k 98

k 99

k l 06

k l 07

k l 08

kl l7

kl l8

k l 27

k l28

5 5

"ss k9 kl

kl l2

k1 1o

k s3

k 94

@]

k21 1

k 26

s2

k 93

812

"n

5

k 62

k 92

-

kl l l2

[_1_1]

�

0

k61

k9 1

(6 l Ob)

& & & A � � � 8 &

QJ

"si

''''

612


0

kl2

l 06

kl l6

k

512


[i]

kl l

I()

s1 1

5

k101

k l 02

k

l 03

k l 04

ki l l

k

l l2

kl l3

kl l4

""s

kl l 6

kl21

k l 22

k l 23

k l 24

k i2S

k

05

l26

I

s1 1

"s12

k6 1 1

k612

0

k71 1

k712

810

kg l l

k8 1 2

k9 1 0

k9 1 1

k9 1 2

kl 9 0

k1010

k101 1

kl01 12

kl l9

k i l l ()

k

k l 29

kl210

k1 2 1 1

610

I I l l

kl l l 2 kl212

(6 - I Oc)

Berdasarkan persamaan (6 - I 0) unsur Ki1 bagi deraj at kebebasan di titik kumpul 6 adalah 2 5 2 5 5 5 K 77 k 77 + k 61 1 + k 77 K 8S (k 88 + k 622 + k 88 K 99 � k 99 + k 63 3 + k 99 K I 0 I 0 (k I 0 I 0 + k 644 + k I 0 I 0 -

(

")

·

�

)

·

(

")

)

)

�

·

2 5 5 6 K i l l I � (k i l l I + k 6ss + k l l l l . K 1 2 1 2 � (k 1 2 1 2 + k 66 + k 21 2 1 2 , K 78 � K g 7 - K 79

�

K 97 , K 7 1 0

)

·

�

K I 07 , K ij

�

K ji

Unsur matrik struktur [K], setelah d i lakukan proses perakitan setiap unsur matrik e lemen

332


Kn

Kn = '

()

x,

2

k n + '- 1 1 + k 77 K xx = "i

" 88

+

6 k 22

+

P,

K no

2 k 88

Xx

6 2 5 k 99 + "- J3 + k 99

(6 - 1 1 ) J i ka persamaan i n i d i se l esaikan untuk mempero leh vektor { X } , maka perlu ditetapkan vektor beban { P } terlebih dah u l u . Vektor { P } menyatakan besaran beban titik kumpul ekivalen titik kumpu l yang bebas. Besarnya unsur vektor { P } sama dengan besarnya beban ekivalen di titik kumpul kond i s i titik kumpul terkekang penuh, akan tetapi berlawanan arah. 6.3 Vektor Beban Ekivalen {P}

Besarnya gaya-gaya uj ung kondi s i terkekang penuh sama dengan mengh itung FET, dan

F EN

kedua uj ung balok dalam sistem koord inat e lemen/lokal .

Besaran gaya uj ung e lemen dengan

LF0 1

LP01

P02 P03 P04 P0, P06 P07 P0 8 P09 P10 P1 1 P1 2

F02 F03 F04 F0, F06 F07 F0 8 F09 F10 F1 1 Ym

a. Beban luar sub-elemen 1

F1 2

J

Ym

J

F EM, F EQ,

d inyata-kan

melalui transformasi koord i nat. Fos

b. Beban luar sub-elemen 2 G a m b a r 6 . 3 . 1 Beban luar portal ruang

Portal Ruang

333

Guna lebih mempermudah perhitung-an, elemen dibagi dalam dua sub-elemen dengan pol a beban bentang seperti gambar 6.3 . 1 . Pada gambar 6.3 . 1 a, be ban bentang qy bekerja dalam bidang X111 y11, sedangkan beban bentang pada sub-elemen 2 berupa beban qz dan puntir tx. Beban bentang normal pada sumbu X111 tidak memerlukan orientasi sumbu. Dengan demikian,

..0 1

F 02 F 03

1 o4

F 05 F 06

F 07 Fo s F 09 FI O Fl l

=(t

0

0

0

[T]m

[T]m

0

0

0

jJ

P O! p 02 P 03 p 04 Po s P 06

atau

{ F0 }, =

[T ]m 0

0

0

[T ]m

0

0

0

[T ]m

0

0

P 07

0

0

0

P 08 P 09 P lO P

I I

p l2

Fl 2

Menga l ikan kedua suku dengan m atrik i n vers :

[T ] m 0 0 0

0

[T ]m 0

0

0

0

0

0

[T] m 0

dan mengingat matrik i nvers

0

[T]m 0 0 0

[T ] m

334

-I

Amrinsyah Nasution,

-I

[T]m

0

0

0

0

0

0

T

[T] m

Metoae Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

maka :

0

[T ]m

{Po L (6 - 1 2)

P pO I p02 03 P0 p4 p05 06 p 07 p 08 p 09 Pl O PI I p l2

[T lm 0 0 0 ] 0 [T m 0 0 ] [ Tm 0 0 0 [ 0 T ]m 0 0

111

r

FO I F02 F03 F0 4 F05 F06

F0 7 F08

(6 - 1 3 )

F0 9 FI O Fl l F1 2

Dengan menctapkan vektor { P0 } 111 bagi setiap elemen berdasarkan konfigurasi beban luar yang bekerja, unsur vektor { P0 } 111 digunakan mendapatkan matrik gaya ekivalen [ P} sistem struktur. Apabila ditetapkan { P } E sebagai matrik gaya ekivalen berdasarkan beban luar yang bekerja d itengah bentang, dan matrik gaya { P } .1 scbagai akibat bekerjanya beban luar di titik kumpul, maka : {P } = {P } + {PL (6 - 1 4 ) E Menjelaskan penyusunan matrik ( P } , d itinjau perakitan gaya titik kumpul ekivalen di titik kumpul 6 pada contoh portal. Elemen batang 5 dibebani beban trapesium qy , elemen 6 dibebani beban segitiga. Posisi dan besaran gaya seperti pada Gambar 6.3 .2a. Gambar 6.3 .2b menunjukkan vektor gaya-gaya uj ung akibat beban luar pada kondisi elemen terkekang penuh. ' ) Pad a elemen 5 : (F1�1 , F0'2 , F0� , Fr� , F0� , F1� * 0 Pad a elemen 6 : (F1:'1 , F�� , F1:;, , F�; , F1;� , F1� ) 7c 0 Pada masing-masing uj ung elemen 5, 6 dan 2 yang bertemu d i titik 6, besaran gaya ujung ekivalen dalam sistem koordinat struktur adalah :

Portal Ruang

335

2

(a) . Konfigurasi beban luar dan gaya ujung elemen

2 2 F o2___. Fo F'o 6

W

q,

2

(b) Gaya ujung elemen dan gaya ekivalen titik kumpul

G a m ba r 6.3.2

336

Beban dan vektor gaya


PO I

po2

Po "

Po 7

Pos pl2

5

P02 Po ;

Po 4 Pos

Po 9

pl2 6

= [[T;� [:d = [[T; : [ rl

FO I

Fo2

Fo ,

(6 - ! Sa)

Fo 7

Fos Fl 2

5

FO I

PO I

Fo6

Po6

Fo2

Fo 7

Fos

Po2

dan

Fl 2 6

Po 7

Pos

pl 2 2

= [[T; :J: l [

FO I

Fo2

Fo6

(6 - I Sb)

Fo1 Fos

Fl 2 2

Dengan demikian besarnya gaya bagi keseimbangan di titik kumpul 6 adalah :

R P7 R P8 R P9 R PI O R PI I R PI 2 RP 7

r l I �

\

PO I p02 P03 p02 P06 P + 04 + P0 7 Po s Po s P09 pl 2 6 pl 2 6 RP 7

RP

RP

R l'

,0

R I'

!I

R PI

2

PO I

RP 8 =

RP 9 R PI R PI

R l'l

PO ! P02 P06 P0 7 Po s pl 2 2

O I

2

+

P0 2 P 03

(6 - 1 6)

(6 - 1 7)

P 04

Po s

p06 titik kumpul 6

Besarnya vektor gaya di titik kumpul 6 diperoleh dari kondisi tanpa kekangan yang merupakan n i lai persamaan ( 6 - 1 6) dengan tanda yang berlawanan, beserta be saran gaya luar dititik kumpu l 6. Portal Ruang

337

Perakitan matrik beban ( P } bagi semua titik kumpu l lainnya dapat di lakukan dengan memperhatikan sifat pembebanan setiap elemen yang membentuk titik kumpul, 6.4 Solusi [K]5{X}s = {P}s

Seperti sistem struktur terdahulu yang sudah dij elaskan, setelah memperoleh unsur matrik [Kls dan matrik {P}s, langkah selanjutnya adalah mendapatkan solusi persamaan [Kls{X}s = {P}s untuk matrik {X}s, hal mana u nsur matrik {X}s adalah besarnya perpindahan/rotasi setiap titik kumpul . Beberapa cara penyelesaian persamaan linear simu ltan : Metoda Dekomposisi LU atau Cholesky banyak digunakan mendapatkan unsur [Kls{X}s = {P}5• 6.5 Contoh Analisis Stru ktur

Diberikan sebuah contoh analisis struktur portal ruang dengan beban gravitasi. Analisis di lakkan pada sistem struktur yang lengkap (pelat, balok, dan kolom) seperti Gambar 6 . 5 . 1 lengkap dengan dimensinya. Satuan yang akan digunakan adalah kN (kilo Newton), meter. dan yang setara dengan itu. Parameter bahan : Modulus elastisitas (E) 2 0.000 M Pa 2 x 1 0 7 kPa 0.25 Angka Poisson (u) 2400 kg/m ' 24 kN/m ' Ybeton =

•

=

•

•

_

=

Parameter balo k

Dimensi balok Luas penampang Momen inersia I, Momen i nersia le

Momen puntir I, (.!)

= 200 = 0.2

0.06

�

_!_ * 0.3 * 0 .2 3 12

�., * O . .:.-'J * O · -', , ·'

3 00 X 300 0.3 X 0.3 12

_!_ * 0.3 * 0.3 3 12

-

� * 0.3 * 0.32 3

m4

=

0.0002

=

0.006

0.09

_!_ * 0.3 * 0.3 3

Momen inersia le

m2

0.00045

12

Dimensi kolom Luas penampang Momen inersia /,

338

X

3 00 0.3

= _!_0 . 2 * 0.33

Pa rameter kolom

M omen puntir l, (.!)

X

=

m4

111

4

m2

0.000675

m4

0.000675

m4

0.009 m4


elemen kontinum pelat

q

3.5 m

3m 4m Gambar 6.5.1 Model struktur gabungan portal dan elemen kontinum

Parameter perh itu n g a n u nt u k pelat

Tcbal pelat Berat send iri pelat Pa rameter beban

Besar beban merata (q)

1 20 m m 24

*

0 . 1 2 kN/m '

= 300 kg/m 2

=

=

0. 1 2 m 2 . 8 8 kN/m

3 kN/m

2

2

S i stem Struktur Ruang

Pada anal isis sistem portal ruang, analisis d i laku kan pada unsur balok dan kolom saj a . Beban pada pelat termasuk berat send iri d ijadikan beban luar pada balok yang berbentuk /rapezoida/ (segitiga atau trapesium) scsuai dengan pola gari s leleh. Dengan dem ikian. bcban total yang bckcrj a pada balok berupa beban dari pelat d itambah berat balok sendiri. Perh itu n g a n B e b a n Trapes i u m d a n Segitiga p a d a B a l o k

Perh itungan beban pada balok d imaksudkan untuk mem pero leh gaya-gaya jepit uj ung pada balok aki bat beban l uar. Balok B1 mempunyai bentang

L1

=

4 . 0 m, dan balok B2 3 .0 m. Pada

ba lok B1 beke1:ja be ban trapesi u m dengan be ban puncak q 1 , dan pada balok B2 bekerja be ban

segitiga dengan puneak q2.

Beban luar pada pel at = 3 .00 kN/m 2 Portal Ruang

339

berat sendiri pelat beban total Be ban balok q1 dan

= 2 . 8 8 kN/m2

2

= 5 . 8 8 kN/m

q2 akibat be ban dari pel at :

q, = 0*5* L 2*q11 = 8.82 kN/m = 8 . 8 2 kN/m q2 = L3 *q o

Berat send iri balok = Ahalok *24 kN/m3 = 1 .44 kN/m

L2 = 3,0 m

Gambar 6 . 5.2

Luas tributari penentuan beban pada balok dari pelat

Gambar 6.5.3

Beban trapezoidal pada balok

Input data stru ktu ra l

340


Balok dibagi menjadi beberapa elemen yang lebi h kecil. Balok B 1 dibagi menjadi 4 bagian, dan balok B2 3 bagian . Tiap-tiap bagian mempunyai panjang 1 .0 meter. Gambar 6.5. 4 menunjukkan pemodelan struktur yang telah dibagi menjadi beberapa elemen. lndeks dalam tanda kurung menunj ukkan i ndeks elemen batang, sedangkan i ndeks biasa menunjukkan indeks titik kumpul. z

( 1 5)

5

( 1 6)

y

( 7)

3

(1)

15

8

16

(8)

9 (2)

4

--------��--� X Gambar 6.5.4 Pemodelan untuk input data komputer

Data-data struktural yang akan dij adikan input program komputer bagi analisis struktur ruang adalah : Jumlah elemen kolom = 4 = 14 Jumlah elemen balok Total elemen (M) 18 J umlah titik kumpul (NJ) = 1 8 Koordinat titik kumpul dan kekangan dimasukkan langsung ke dalam program komputer. I nput data selengkapnya juga akan disimpan pada file hasil analisis. =

Input data beban

Pada sistem struktur contoh, tidak terdapat beban titik kumpul. Beban bentang adalah beban merata pada balok (segitiga dan trapesium). Oleh karena itu, input beban yang diperlukan adalah gaya-gaya ujung jepit akibat beban tersebut. Gaya-gaya jepit yang timbul akibat beban berupa momen dan gaya lintang saja. Gaya-gaya uj ung yang dihitung adalah bagi segmen balok. Contoh perhitungan memperoleh gaya-gaya jepit unsur elemen balok (5). M

omen jepit pada ujungj dan k adalah: M I

M.

k

= - ( q b L2 12 _

q b L2 12

+

+ q30i L2 )

qp 20

-

�

=

- ( 1 . 44 * 1 .0 2 12

1 . 44 * 1 .02 12

+

+

5 .88 * 1 .0 2 ) = - . 3 1 N 0 6k m 30 5.88 * 1 . 0 ' . = 0 4 1 4 kNm 20

----

Portal Ruang

?.41

G aya geser pada ujungj dan k adalah :

R . -_ q " L + 3 q , L __I .44 * 1 .0 + 3 * 5.88 * 1 .0 = J 2 20 2 20 L + 7 q , L = 1 . 44 * 1 .0 7 * 5.88 * 1 .0 q 1R = -' + k 2 20 2 20 ---

--

1 .602 kN 2 . 778 kN q, -

�•8 82 5.88 �

1.5

q" = I .44 kN/rn

Gambar 6 . 5 . 5

L

=

1 .0

m

Momen ga y a geser jepit pad a elemen balok

Dengan cara yan g sama dapat d i l akukan untuk elemen-elemcn pada balok 1 dan 2. Has i l nya d i berikan dalam bentuk tabe l di bawah i n i :

......

..:..:: 0 "" c::::

No. ckmcn 5

-0. 3 1 6

.\1

0. 4 1 4

.\ fk

1 . 602

R

2 . 77X

6

-0.7X5

0.834

4 . 560

4. 965

7

-(l . X 3 4

0 . 7X 5

4 . 96 5

4.560 1 . 602

Rk

8

-0.4 1 4

0.3 1 6

2 . 778

"' ..:..::

9

-0.3 1 6

0.4 1 4

1 . 602

2. 7 7 X

1 1

"' ::0

-0. 763

0 . 763

4.395

4.395

13

-0.4 1 4

0.3 1 6

2 . 77X

1 .602

Gaya-gaya j epit lain, yaitu momen terhadap sumbu z. puntir dan lainnya sama dengan Eksekusi program mcmberikan has i l sebagai berikut :

342


0.

S i s t ern Po r t a l Ruang - Beban Gravi t a s i ************************************************************

HAS I L ANAL I S I S PORTAL RUANG

<<<

o l eh

>>>

: Iwal / 1 50 9 9 0 6 4 ************************************************************

P a r ame t e r S t ruktur : Juml ah e l emen Juml ah t i t i k kump u l

(M) :

Jum l ah kekangan t i t i k Juml ah t i t i k kumpul terkekang

Modu l u s g e s e r K o o r d i n a t T i t i k Kumpul y X

Titik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

24 4

(N) :

84

(E) : (G) :

20000000 . 000000 7692307 . 692308

z

0 . 00 4 . 00

0 . 00 0 . 00

0 . 00

0 . 00 4 . 00

3 . 00 3 . 00

0 . 00

0 . 00

0 . 00

3 . 50

0 . 00

3 . 50

0 . 00 0 . 00

3 . 50 3 . 50

0 1 1 2

3 3 3 3

1 . OD

2 . 3 . 4 . 0.

00 00 00 00

13

4 . 00 0 . 00 4 . 00

14

0 . 00

15

1 . 00

16

2 . 00

17 18

I n f ormas i

18

( NR ) : ( NRJ ) :

De ra j a t kebebasan Modu l u s e l as t i s i t a s

. . . .

0 . 00 0 . 00

00 00 00 00

. . . .

50 50 50 50

2 . 00

3 . 50

3 . 00 3 . 00

3 . 50 3 . 50

3 . 00 3 . 00

3 . 50

3 . 00 4 . 00

3 . 00

3 . 50

E l emen / B a t ang

18

(NJ) :

3 . 50

:

JJ 1

JK 5

AX

XI

YI

ZI

0 . 0900

0 . 00270

0 . 00068

0 . 00068

2 3 4 5

2 3 4

9 14

0 . 0900 0 . 0900

0 . 00270 0 . 00270

0 . 00068 0 . 00068

0 . 00068 0 . 00068

18 6

0 . 0900 0 . 0600

0 . 00270 0 . 00180

0 . 00068 0 . 0004 5

0 . 00068 0 . 00020

6 7

6

7 8

0 . 0600 0 . 0600

0 . 00180 0 . 00180

0 . 00045 0 . 00045

0 . 00020

8

8

0 . 00045

0 . 00020

5

0 . 0600 0 . 0600

0 . 00180

9

9 10

0 . 00180

0 . 00045

0 . 00020

0 . 0600 0 . 0600

0 . 00180 0 . 00 1 8 0

0 . 00045 0 . 00045

0 . 00020 0 . 00020

0 . 0600 0 . 0600

0 . 0 0 1 80 0 . 00180

0 . 00045 0 . 0004 5

0 . 00020 0 . 00020

0 . 0600 0 . 0600 0 . 0600

0 . 00 1 8 0 0 . 00 1 80 0 . 00180

0 . 00045 0 . 00045

0 . 00020 0 . 00020

0 . 00045

0 . 00020

0 . 0600

0 . 00180 0 . 00180

0 . 00045 0 . 00045

0 . 00020 0 . 00020

E l emen 1

10 11 12 13

5 7

9

11

10 11

12 13

12 13 14

14 18 15

14 15 16

15

16

17 18

16 17

17 18

0 . 0600

0 . 00020

Portal Ruang

343

Kekangan T i t i k Kumpul

:

Ti t i k

JRL [ 1 ]

JRL [ 2 ]

,JRL [ 3 ]

JRL [ 6 ]

1

1

1

1

2

1

1 1

1 1

1 1

1

3

1 1

1 1

JRL [ 4 ] 1

,TRL [ 5 ]

1

4

1

1

1

1

1

1

1

Parama t er Beban Jum l ah pembebanan t i t i k

( NLJ ) :

0

Juml a h pembebanan ba t ang

( NLM ) :

14

Beban T i t i k

:

- - t i dak ada beban t i t i k - Beban B a t ang B a t ang

:

AML1

AML2

AHL7

AML8

AML3 AML9

AML4 AML 1 0

AML5 AML 1 1

AML6 AML 1 2

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

1 . 6020 2 . 77 8 0

0 . 0000

-0 . 3160 0 . 4140

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

4 . 5600 4 . 96 5 0

0 . 0000 0 . 0000

- 0 . 7850

0 . 0000

0 . 83 4 0

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

4 . 96 5 0 4 . 5600

0 . 0000 0 . 0000

- 0 . 8340 0 . 7850

0 . 0000

8

0 . 0000

0 . 0000

2 . 7780

0 . 0000

-0 . 4140

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

1 . 6020 1 . 6020

0 . 0000 0 . 0000

0 . 3160

0 . 0000

9

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

2 . 7780

0 . 0000

10

0 . 0000 0 . 0000

1 . 6020

0 . 0000 0 . 0000

2 . 77 8 0

ll

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

12 13

0 . 0000 0 . 0000

14

0 . 0000

15

5

0 . 0000 6 7

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 4140 -0. 3160

4 . 3950

0 . 0000 0 . 0000

0 . 4140 -0 . 7630

4 . 3950 4 . 3950

0 . 0000

0 . 7630

0 . 0000

-0 . 7630

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 7630 -0 . 4140

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

4 . 3950 2 . 7780

0 . 0000 0 . 0000

1 . 6020 2 . 77 8 0

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

1 . 6020 1 . 6020 2 . 7780

0 . 0000

0 . 0000

-0. 3160

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 3160

0 . 0000

- 0 . 4140

0 . 0000 0 . 0000

-0. 3160

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 4140 - 0 . 7850

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 3160

16

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

4 . 5600

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

4 . 9650 4 . 9650

0 . 0000

17

0 . 0000

0 . 83 4 0 - 0 . 8340

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

4 . 5600 2 . 77 8 0

0 . 0000 0 . 0000

-0. 4140

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

1 . 6020

0 . 0000

0 . 3 1 60

0 . 0000

18

0 . 7850

0 . 0000

�--=======--==�===�===========�===========�==�======================== <<<

HAS I L PER H I TUNGAN > > >

P e rp i ndahan T i t i k Kumpu1 Titik 1

DJ 1

DJ2

D,J3

DJ4

D,J 5

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

2 3

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

4 5

0 . 00000 0 . 00001

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 - 0 . 00004

0 . 00000 -0 . 00024

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00055

0 . 00000

6 7

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

-0 . 00024 - 0 . 00024

0 . 00078

0 . 00000

-0 . 00082 - 0 . 00126

0 . 00000

0 . 00000

8 9

0 . 00000 - 0 . 00001

0 . 00000 0 . 00000

-0 . 00082 - 0 . 00004

-0 . 00024

-0 . 00078

-0 . 00024

- 0 . 00055

0 . 00000 0 . 00000

10 11

0 . 00001 - 0 . 00001

0 . 00000 0 . 00000

-0 . 00035

- 0 . 00023 -0 . 00023

0 . 00055 - 0 . 00055

0 . 00000

- 0 . 0003 5

12

0 . 00001

0 . 00000

- 0 . 00 0 3 5

0 . 00023

0 . 00055

0 . 00000

344


DJ6 0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000

- 0 . 00001

0 . 00000

- 0 . 00035

0 . 00000

- 0 . 00004 - 0 . 00082

0 . 00055

15

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00023 0 . 00024 0 . 00024

-0 . 00055

0 . 00001 0 . 00000

0 . 00078

0 . 00000 0 . 00000

16 17 18

0 . 00000 0 . 00000 -0 . 00001

0 . 00000 0 . 00000

-0 . 00126 - 0 . 00082

0 . 00024 0 . 00024

0 . 00000 - 0 . 0 0 0 "1 8

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000

- 0 . 00004

0 . 00024

-0 . 00055

0 . 00000

13 14

Gaya U j ung Ba t ang AML 1 E l emen

AML2

AML3

AML4

AML5

AML6

AML 8

AML 9

AML 1 0

AML 1 1

AHL 1 2

22 . 6800

1 . 6055

- 3 . 63 02

0 . 0000

4 . 2219

1 . 8 6 87

-22 . 6800

- 1 . 60SS

l . 6055

3 . 6302

0 . 0000

3 . 7506

3 . 6 3 02

0 . 0000

8 . 4839 -4 . 2219

AML7 1

1 . 8687

2

22 . 6800

- 1 . 6055 -1 . 6055

-3 . 6302 -3 . 6 3 02

0 . 0000

-8 . 4839

3 . 7506

3

-22 . 6800 22 . 6800

0 . 0000

4 . 2219

-1 . 8687

4

-22 . 6800 22 . 6800

1 . 6055 - 1 . 6055

3 . 6 3 02 3 . 6302

0 . 0000 0 . 0000

8 . 4839 - 4 . 2219

-3 . 7506 -1 . 8687

5

-22 . 6800 3 . 63 02

1 . 6055 0 . 0000

-3 . 6 3 02 1 3 . 9050

0 . 0000 0 . 0000

-8. 4839 -8. 4839

-3 . 7506 0 . 0000

-3 . 6 3 02

0 . 0000

- 9 . 5250

0 . 0000

-3 . 7211

3 . 6302

0 . 0000

9 . 52 5 0

0 . 0000

3 . 7211

0 . 0000 0 . 0000

- 3 . 6 3 02

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

-8. 6371

3 . 6302

8 . 6371

0 . 0000 0 . 0000

- 3 . 6 3 02

0 . 0000 0 . 0000

9 . 52 50 -9 . 5250

-3 . 72 1 1

0 . 0000

0 . 0000

1 3 . 9 050

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

3. 7211 8 . 4839

0 . 0000 0 . 0000

6 7 8

3 . 63 02 -3 . 6 3 02

9

1 . 6055 -1 . 6055

0 . 0000 0 . 0000

8 . 7750 -4 . 3950

0 . 0000 0 . 0000

-3 . 7506 -3 . 3244

0 . 0000 0 . 0000

10

1 . 6055 -1 . 6055

0 . 0000 0 . 0000

8 . 7"/ S O -4 . 3950

0 . 0000 0 . 0000

-3 . 7506 -3 . 3244

0 . 0000 0 . 0000

11

1 . 6055 -1 . 6055

0 . 0000 0 . 0000

4 . 3 950 4 . 3 950

0 . 0000 0 . 0000

3 . 3244 -3 . 3244

0 . 0000 0 . 0000

12

1 . 6055 -1 . 6055

0 . 0000 0 . 0000

4 . 3950 4 . 3 950

0 . 0000 0 . 0000

3 . 3244 -3 . 3244

0 . 0000 0 . 0000

1 . 6055

0 . 0000

- 4 . 3 9 50

0 . 0000

3 . 3244

0 . 0000

-1 . 6055

0 . 0000

8 . 7750

0 . 0000

3 . 7506

0 . 0000

1 . 6055

0 . 0000

- 4 . 3 950

3 . 3244

0 . 0000

-1 . 6055

0 . 0000

8 . 7750

0 . 0000 0 . 0000

3 . 7506

0 . 0000

3 . 6 3 02 - 3 . 6 3 02

0 . 0000 0 . 0000

l3 . 9050

0 . 0000 0 . 0000

-8. 4839 -3 . 72 1 1

0 . 0000 0 . 0000

16

3 . 6302

0 . 0000 0 . 0000

9 . 52 5 0 0 . 0000

0 . 0000

3 . 72 1 1

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

-8. 6371

0 . 0000

17

-3 . 6 3 02 3 . 6 3 02

8 . 6371 -3 . 7211

0 . 0000 0 . 0000

3 . 7211 8 . 4839

0 . 0000 0 . 0000

13 14 15

18

- 3 . 6 3 02 3 . 6 3 02 -3 . 6302

R e a k s i Tumpuan Titik 1 2 3 4

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

- 9 . 5250

o . o ci o o 9 . 52 5 0

- 9 . 5250 13 . 9050

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

:

A R1

AR2

AR3

AR4

AR5

AR6

3 . 6302 -3 . 6 3 02

1 . 6055 1 . 6055

22 . 6800 22 . 6800

- 1 . 8 6 8 "1 -1 . 8687

4 . 2219 -4 . 2219

0 . 0000 0 . 0000

3 . 6 3 02

-1 . 6055

22 . 6800

1 . 8687

-1 . 6055

22 . 6 800

1 . 8687

4 . 2219 -4 . 2219

0 . 0000

- 3 . 63 02

0 . 0000

Portal Ruang

345

z

3.6302 kN

i

�

�

3.9050 kN

� �-84839 kNm 5

y

r� 6� �

-9.5250 kN

721 1 kNm

-3.6302 k

Gamba r 6.5.6

3.6302

Gaya dalam ujung batang pada elemen/batang 5

kN

[

1 3 .9050

(-)

(a) Gaya normal terhapa sumbu x

8.4839

kN

(b) Ga y a lintang terhadap sumbu

kN-m

� c:::::::z;jj

3 . 72 1 1

(c) Momen terhadap sumbu y

Gambar 6 . 5 . 7

346

kN-m

Diagram gaya dalam pada elemen/batang 5


z

Perpindahan titik kumpul dan reaksi tumpuan yang d i hasil kan adalah besaran terhadap sumbu struktur (global), sedangkan gaya dalam uj ung-ujung batang merupakan besaran yang d i h itung terhadap sumbu batang ( lokal). Seperti pada Gambar 6.5 .6, besaran yang tertera adalah gaya dalam pada uj ung batang 5. Sedangkan untuk balok Bl yang terd iri dari 4 e lemen ( elcmen 5 sampai elemen 6), j uga dapat d iGambarkan d i agram gaya da lam utamanya, yaitu gaya normal pada arah sumbu x, gaya l intang pada arah sumbu z, dan momen terhadap sumbu y. 3.6302

8.6371 Gambar 6.5.8 Diagram ga y a dalam pada balok B 1

G a m ba r 6.5.9

D iagram momen struktur portal ruang

Portal Ruang

347

Kaj ian portal ruang akibat beban lateral scperti pada Gambar 6.5 . 1 0, d ipilih beban lateral arah sumbu dan bekerja pada titik kumpul pada uj ung-uj ung kolom . Ditetapkan besarnya masing-masing gaya 2. 1 2 4 kN, 1 0% dari berat total struktur pada lantai yang ditinjau. Beban ini dibagi kc 4 titik kumpul,seh ingga tiap titik rnengalami gaya F, sebesar 0.86 4 kN . x

z

Fx = 2. 124 kN

/

/ -----

G a m bar 6 . 5. 1 0 Perp i ndahan T i t i k Kumpul

Titik

Pembebanan lateral pada struktur

DJ1

DJ2

DJ3

DJ4

DJ5

DJ6

1 2

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

3

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

4 5

0 . 00000 0 . 00094

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000

0 . 00022

0 . 00000

6 7

0 . 00094 0 . 00094

0 . 00000 0 . 00000

- 0 . 00008 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

- 0 . 00003 -0 . 00011

0 . 00000

8 9

0 . 00094 0 . 00094

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00008 0 . 00000

0 . 00000

- 0 . 00003

0 . 00000

0 . 00022

0 . 00000 0 . 00000

10 11

0 . 00094 0 . 00094

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00022 0 . 00022

0 . 00000

12

0 . 00094

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00022

0 . 00000

13

0 . 00094

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00022

0 . 00000

14 15 16 17

0 . 00094 0 . 00094

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00022

0 . 00000

0 . 00000

- 0 . 00008

0 . 00000

-0 . 00003

0 . 00000

0 . 00094

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00094

0 . 00000

0 . 00008

0 . 00000 0 . 00000

- 0 . 00011 - 0 . 00003

0 . 00000 0 . 00000

0 . 00094

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00000

0 . 00022

0 . 00000

18

Gay a U j ung B a t ang E l emen AML 1 AML7 1 -1 . 4434 2

348

0 . 00000

0 . 00000

AML2 AML8 0 . 0000

AML3

AML4

AML5

AML6

AM L 9 2 . 1240

AML 1 0 0 . 0000

AM L 1 1 -4 . 5472

AML 1 2 0 . 0000

1 . 4434

0 . 0000

-2 . 1240

0 . 0000

0 . 0000

2 . 1240

0 . 0000

-2 . 8868 -4 . 5472

0 . 0000

1 . 4434

-1 . 4434

0 . 0000

-2 . 1240

0 . 0000

-2 . 8868

0 . 0000


0 . 0000

�

3

-1 . 4434

0 . 0000

2 . 1240

0 . 0000

-4 . 5472

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

-2 . 1 2 4 0

-4 . 5472

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

5

-1 . 4434 0 . 0000

0 . 0000

- 2 . U40 -1 . 4434

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

-2 . 8 8 6 8

4

1 . 4434 1 . 4434

0 . 0000

-2 . 8868 2 . 8868

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

1 . 4434

0 . 0000

-1 . 4434

6

0 . 0000

- 1 . 4434

0 . 0000 0 . 0000

1 . 4434

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

1 . 4434 - 1 . 44 3 4

0 . 0000

2 . 8868 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

2 . 1240

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

7

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

1 . 4434

8

-1 . 4434

0 . 0000

1 . 4434 0 . 0000

0 . 0000

9

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

10

1 . 4434 -1 . 4434

0 . 0000

0 . 0000

11

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

12

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

13

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

14

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000 -1 . 4434 1 . 4434

0 . 0000

0 . 0000

15

0 . 0000 0 . 0000

2 . 8868 -1 . 4434

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

- 1 . 4434

1 . 4434

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

1 . 4434 -1 . 4434

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000

1 . 4434

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

-1 . 4434

0 . 0000

- 1 . 4434

0 . 0000

1 . 4434

0 . 0000

2 . 8868

0 . 0000

16 17 18

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 ?.eak s i Turnpuan AR1

:

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 1 . 4434

0 . 0000

0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000

AR2

AR3

AR4

AR5

AR6

0 . 0000

-1 . 44 3 4

0 . 0000

-4 . 5472

0 . 0000

3

-2 . 1240 -2 . 1240 - 2 . 12 4 0

0 . 0000 0 . 0000

1 . 4434 - 1 . 4434

0 . 0000 0 . 0000

-4 . 54 7 2 -4 . 5472

0 . 0000 0 . 0000

4

-2 . 1240

0 . 0000

1 . 4434

0 . 0000

-4 . 5472

0 . 0000

7itik 1 2

Perpindahan maksimum akibat beban lateraL gaya geser serta momen yang d ipikul oleh kolom merupakan besaran untuk memeriksa kekakuan dan kekuatan struktur. Untuk kolom 1, gaya-gaya dalam uj ung yang dipero leh adalahseperti Gambar 6.5 . 1 1 . Mengkaj i satu bidang portal b idang y = 0, dapat d iGambarkan diagram gaya dalam dari portal bidang tersebut Gambar 6 . 5 . 1 2 .

Portal Ruang

349

0.00 -13.0929

k

2 2334 �

� 7389

m Y , Y

�

1 1 127 � �9560 � 13 0929tj Z � m � 5953 � - 1 .2384

f

o oo

G a m ba r 6 . 5. 1 1

Gaya dalam ujung pada kolom 1

(-)

2 9664

(a) diagram momen

(b) d1agram l1ntang + 1UL4

13 0929

---, .. Gamba r 6 . 5 . 1 2

350

(+ )

(+ )

(c) d1agram normal

j 4 2671

... ..

Diagram gaya dalam portal bidang y = 0


8 8671

(+)

6.6

Program Kom puter Stru ktu r Portal Ruang

Program komputer sistem stru ktur Portal Ruang dirancang berdasarkan bagan alir yang di kembangkan olch William Weaver, Jr. dan .l ames M . G ere, pcngarang Matrix Analysis u(Framed Structure (Second Edit ion. D. Van Nos/rand, I 980).

program d ikembangkab oleh mahasiswa S kelas Anal isa Struktur IV, dan mahasisv>a S2 kclas Metoda Elemen H ingga, Program Studi Tekn ik Sipii iTB. Baga n

Rancangan

1

Alir :

G a m ba r 6 . 5 . 1 .

Bagan alir proses analisis struktur portal ruang

Portal Ruang

351

Kode prog ra m a n a l i s a strukt u r portal ruang.

Program yang digunakan adalah Turbo Pascal for Windows v 1 . 5 Dalam program ini d ibuat fi/e�ji/e pcmbantu ( * .inc) yang dipangg i l dengan procedure pacla program utama. Adapun jile:file yang diperlukan d i clalam program ini adalah: I . main_JJro.pas merupakan baclan program utama 2. sdatapr. inc berisi prosedur input data 3 . ldatapr. inc berisi input data dan pengkombinasian beban berisi pcrakitan matrik kekakuan 4. stiffjJr. inc : berisi proscclur faktorisasi matri k 6 . han(ac. inc : berisi penyelesaian vektor 7. hansol. inc 8 . resulpr. inc : berisi penulisan hasil perhitungan Sedangkan untuk input clan outputnya diletakkan pada fi le text ( * .txt). yaitu: berisi input data struktur dan pembebanan 1 . datapr. txt 2. report. lxf : berisi laporan input bcserta hasil pcrhitungan.

Bcrclasarkan bagan alir yang telah diberikan, maka kodc program sccar·a keselmuhan clapat d isusun. Kode program lengkap dapat d i l i hat pacla halaman bcrikut. So urce code p t o g l um

AN/\ ! , J S l ..._.., 1 ne r l ;

uses

dari program utama, d isimpa n pada file main_pro.pas

S_.f'OR'l'i\L_kUr\W� ;

consl dcJ.'/�

[ Cl

.61

of

Jumut ·

' S e> n

Ln '

s L 1 J ng [ 9 1 =

( ' H i ng g u ·

' S cJb l u ' ) ;

' S 0 l a sa '

' P ctbu '

l
lJ'PC m
mu t r i k

a r r d'/

=-

mu l n k _ r eu l L

inLI

[ l .

SO]

of

u n uy

[ l . . W, 1 .

c.U_Tcty

[ l . . SOj

.

of

r eu l ; 30j

of

rea l ;

i n L C Q C' r ;

VAR t1, N , NJ , �JR

NRJ , lJLJ

NDJ , ND, HD, tJB l ' NH, Nl

I

.:-o h o r t i n t ;

NLH

I , LN .JH ' JC

sho r L i n t ; shocL i n t ;

J 1 , J � . J 3 , J 4 , J S , J 6 , K l , K�

K�

SCMll\, Sf'H ] H , SCI-12 \ , SC'H W SCH1 Y , S t-_'ML/.

F-: , XC ! , ,

:-.h o r t i n t ;

SCMJ Z , SC'M 4 t:

L C l , , SlfH , T ' E H P , SCH , (;, CX:� X P S , Y P S , Z PS , COSJ,, S l NA , S (J , l ['( ; , YPC; , X F- , Y P , Z l�

d t , ld , o u l

rea l ;

text ;

h u. s i l

L C' x l ;

K , J , I I-< , IC , J l , i / , Ll , I l crn , U\ Y,Z

J J , J K , JI
J J)

ma l r i k_ r e u 1 l ;

S FF , SMS , S M , SMR'l

AC , Jl.J , 1\E , LJJ

Dl" , X L ,

LML

l\l1L

t n l e g c r· ; m u l r lk_r euJ l ;

m u t r i k_ J n l l ;

,"'J< , E L , 'I l , C Y , e x , c z

mo l r i k_ r ed l ) ;

£I

mu t r

1 /. ;

m ct t r i k_t eu l l ;

hP

1-< P. , R l -� , R l l i npu t_d a l a

i_ k_rcu l 1 ; l ;

i k_r c a

mo l r l k_ i n l mo t r

i'-.l'1D , /\M ,

,

u r s j p_d d l d ,

R 2 l , P 2 2 , k :2 3 , R 3 l , Id 2 , I-< 3 _� u l phu

u r s i p_hus .:i l

t hn , b l n , L g l , dow

I SI ( �' I ( SI ISI {SI I $T

rea l ; rcu J ;

YCL ,

ma l t t k_1 cu l l ;

: e h a. r ;

: s l r i ng ;

: wo r d ;

s d u L cJ p c . i n c } s l i f r p j . i nc ) bun f u c . i nc }

i ne l l1 C )

lddtupr . bun _c.., o

l

J

rcsu l pr . .:i nc }

352

Amrinsyah Nasutio n , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

f�f< l; l N (_;c t D a l c

( t h n , b l n , t g l , d o·.v ) ;

c l r set ; 1 Lc l n 1

+ + + + + + + ++ + + + + + � + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + '

(

TU l\

I

Le l n

( ·

1 teln

( ·

i tc 1 n

( '

'NL i t_ e l n

( ' + + + + + + + + + ++ + + + + + + t-+ -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + · ) ; ( '

IA't

i teln

tc l n

I-'RUG klJ1

· ,

! d
UN

KuHFUTl�P

·

LgJ : 0 , '

POT.;L RUP..W;

�r i tcl n

l n pu L

llala l

( ' [' I l i h � n M a s u � a n

y.,·t- 1 L e l n

HunuuJ

da tu :

( S � L U pc:r Sclt U l . } ; flu c i .\1 ." l p f 1 l (' ·

)

( ·

i lrln

' l ; · ) ;

, Lhn : 0 ) ;

, b ln : O ,

Wl l t C l n ; { t'1eml l t h

. ) ;

· J ;

(

I ,

i lc l n ; :1h 1 l e n o l Beg i n

( ( J n p u l _ d a t u = ' l ' ) o r ( i n p u l _d u l o = ' )

...T i t e l n ( ' P J l J h o n a n d a s a l uh ' l ; cea d l n ( l n p u t _d
p l l i h :-on '/s:-19

bcno c :

n ;

y.,· 1 i t c l

1 f L n p u L_d � L o = HC'Q l rl

then

l

·:n l L e l n ( ' i\ndu rncm 1 l t h

if

do

•

'" t- i tc l n ( ' S i l u h k a n m o s u k a n

f<.nd ;

} J

i n p u t_du L a = ' )

mu:-. u k ku n d o l,l

c-, e c u r

munuul ' ) ;

then

Keg 1 n l l c ; n ( ' N UJnd

cHsip

( c n � i p_d � t a ) ;

n�adln

tempul d a L u

ri l � i mp a n ( l e n g k u p dcng a n

ckslensi

d u t : t xl ) :

' ) ;

a s s i g n ( d t , a n- l p_d a l a ) ; rese t ! d t ) ; ·

...T i t e l n ;

( ' NcJ Jna

1tc

Ars i p

tcmpc1t

hu:-, i l

d i .s i mp a n

r c ad l n ( a r s i p_ h a s i l ) ;

' J ;

wr i t c l n ; re•:n

( o u l , a n. ; i p_ha s l l ) ; te ( o u l ) ;

wr i tc 1 n

Nn Le l n

I ' I I

( o u t , ' + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +-+ + + + + + + + + + + + + + + + + ' ( oul ,

i Le l n

(ouL,

1 Leln

lout, '

'dl

i tc l n Le l n

w r i tc l n

( O
1!.\S l L ,0J1\L I S T S STRUl\TUF 1-'(J'l'/-...! ,

klllJ-JG

+ + + + + + + + + + + + + + � + + - + + -+ � + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + '

( ou t , ·

· , t g l : (J , '

( o u L , d u y � [ do w ] ,

{ P ro�cdur

i nL 1

, bl n : () ,

)

;

1'1;

' ) ;

) ;

, L h n : (J ) ;

l� rog r c:un )

i tcl n;

s d u t u '> ;

st i rr s ;

f o K t o r J sa s i

mu t r i k ·

l d cJ t � 'l ; s o l u : -. j _veK t o t _x ; r·c·.c.,u l l 'J ; { S c l cs u i } 1 f

1 n p u l_dat.u-= ' 2 ·

t he n c l o s e

( d ': ) ;

c l o::-:.e ( o u t ) ;

Loloh

wr i t e l n

( '

w r i Lc l n

( '

1:/ L J t e

( ' TL P H1A

ENU .

Source code Pr ocedu t e

s c l e � ct i

duput

!H' ) ;

d i c k s c k u ::--:. 1 ' ) ;

d i l i hu t

p u d ct

f t lc

r c u d K e _,: ;

I p_h0.S i 1 ) ;

dari file sdatapr.inc

s d u t o 'J ;

Heg i n ( [ ' u l cJrnctC't Le I n J te 1 n i f

:� L n1 k l u c )

( oul , ' ! oul , .

l ' t\PlJ·1E'l'[::F

STPUK'J'Ui-i

11

NJ

i n p u t_du L u = ' l '

N

then

NF

)

;

NFU

I;

c· l ;

Portal Ruang

353

Beg i n Parameter S t r u k t u r ' ) ;

writeln write

I ' Jumlah Elemen ( '

Jumlah T i t i k I<:umpul

write

( '

Jumlah Tumpuo.n / Pe 1 e l a k a n

write

( ' ( '

Jumluh Reaks i

wr i te

write write

' ) ;

(M)

rectdl n ( M ) ; r e ad 1 n ( NJ ) ;

( NR )

' ) ; ' ) ; ' ) ;

Modu l u s E l a.s t i s i tas

(E)

' ) ;

r ect d l n ( E ) ;

Modu l u s Geser

(G)

' ) ;

read l n ( G J ;

( '

( NJ ) ( NRJ )

Pelatctkcin

rcad l n ( NRJ ) ; readln ( N R ) ;

End ; if

input_data= · 2 '

then

Beg i n read l n

( d t ) ; rc a d l n ( d t ) ; read l n ( d t l ; r ead l n ( d t ) ; r ead l n ( d t ) ; reud l n ( d t ) ;

readln

(dl,

M , NJ , NR , N RJ , f , G ) ;

End ; NDJ

: ::::

6;

wri t e l n

NO

: = NDJ * NJ;

( ou t ,

M:2,

{ Koord i n a t T i l 1. k wr i t e l n

( ou t ) ;

writcln

(out , '

wri teln

( ou t , '

if

N : "J ,

N

:

=

NO -

NJ : 6 ,

NR ;

NR : 6 ,

N RJ : 7 ,

E : l7 : 2 ,

G:lS:/) ;

Kumpu l }

!<:OOR D I NAT T I T I K KUMPUL ' ) ; 'I' i t i k

input_duta= ' l '

X

y

then

z' I ;

Beg 1 n wr i t c l n ; writeln

Koord i na t T i t 1 k Kumpul ' ) ;

( '

End ; if

i nput_dcttct= ' 2 '

then

Beg i n r ect d l n

( dt ) ;

read l n

( dl ) ;

rea d l n

(dt) ;

End ; for J : = l

t o NJ do

Beg i n input_data o f

'1 ·

Bcg 1 n w r i te

' Koord i na t t i t i k ' , J , ' dan Z ' , J , ' ' l ;

readln

be r t u r u t - tu r u t X ' , J , ' ,

y· ,J,

1 ,

( X [ J ] . Y [J ] . Z [J ] ) ;

End ; ' 2 '

Y [J ] ,

readln

(dl,

J,

XIJI ,

(out,

J ; '/ ,

X [ J ] ; LL 2 ,

End ; writeln

Z [J J I ;

Y[J] ; l L 2,

Z [J] ; l L 2 ) ;

End ; ( I n f ormasl

Elemen}

wr i t e l n

( ou l ) ;

wr i te l n

( ou t , ' (out , '

wr i t e l n if

IN FORMAS I

f
J::lemen

JJ

i n p u t_dcilU= ' l '

( X l = I<: o n s t a. n t a Tors i ,

AX.

JK

XI

YI

J) ' l ; IA' I ;

ZI

then

Beg i n w r i te l n ; writeln

( '

I n f ormusi

E l eme n ' ) ;

End ; if

input_dala= ' 2 '

then

Beg i n r ea d l n

(dt) ;

End ; MD for

2 * NDJ ;

NB

rcadln

: =

(dl) ;

read l n

(dl) ;

0;

1 : = 1 t o M do

Beg i n

case ' l '

i nput_data o f Beg i n writeln

( '

write

E l emen

( '

reudln write

( '

readln

(

write

· ) ;

i dan j

Luas

' ) ;

Pena.mpung

( AX. [ I ] ) ;

write read l n

' ) ;

' , I, '

U j u n g - u j ung

( JJ [ I ] , JK [ I ] ) ;

1

I n e r .s i a

tors i J ,

Momen

lXI l i I , Y I [ I ] , Z I [ T ] 1 ;

ly,

dan

I:c:

' ) ;

Apakah a d a r o t a s i pada sumbu u t ama

( '

penampa n g ? ( y / n ) rectdln

Iners i a

· ) ;

( a lphct ) ;

c a s e u l pha o f 'Y'

lA; =1 ;

' n' , 'N' else

Il\ : = 0 ;

'y'

beg i n writeln

( '

!'i l i ha n ' 1 n d a s J l a h ! ' ) ;

writeln

( '

S i lahkan � l angl ' ) ;

rcad l n ; hult (1 1 ; end ; End ; En d ;

354

Amrinsyah Nasution, Metode Matni( Kekakuan Ana/isis Struktur

' 2'

reudln

(dt,

I,

JJ [ I [ ,

JK[IJ ,

AX [ I I ,

Xl[IJ ,

YI [ I ] ,

ZI[IJ ,

titik p

' ) ;

IA) ;

End ; NlJJ' ( ABS ( JK [ l ] - JJ [ I J ) + l ) ;

NBI

i f N B l > N B then NH : � N B I ; XCL

X [ JK [ I I ]

X [ JJ [ I J I ;

YC!,

Y [ JK [ I ] ]

- Y [ JJ [ I J ] ;

ZCL EL [ I ]

Z I JK I I I I - Z I J J I I I I ; s q r t ( XC T, * XCL + Y C L * Y C L

ZCL / cL [ l l ;

CZ [ l [ CXZ

S!JR'I' ( CX [ I [ ' CX [ l ]

j f

+ ZCL * ZCL ) ;

XCL/EL 1 I J ; YC L / E L [ ! I ;

ex 1 I 1 CY [ I !

( I A< > O )

+ CZ [ I [ ' CZ [ l ] ) ;

Then

Beg i n case '

inpu t_data o f

'

1

IJeg i n write

'

{XP, YP, ZP) ;

End ;

'

2

Masukkan k o o r d j nat

( ·

rcad l n reud l n

(dt,

I , XP , Y P , Z P ) ;

End ; X P - X [ JJ [ I ] ) ;

XPS Y PS

Y P- Y [ J J [ I ) ) ;

ZPS

Z P - Z [ JJ [ I ) ) ;

End ; i f CXZ

<0 001

then

Beg j n R l 2 [ I ) ; =CY [ I ) ; Rl3 [ I ) ; =0 . 0 ; i f

( I A< > O )

Rn [ I ) ; = - C Y [ I ) ;

RL2 [ I ) ; =0 . 0 ;

R33 [ I ) ; = 1 . 0 ;

R2 3 [ I ) ; = 0 . 0 ;

R l l [ I ) ; =0 . 0 ;

R3 l [ I ) ; =0 . 0 ;

R32 [ I ) ; =0 . 0 ;

then

Beg i n SQ

: � SQRT ( X P S * X P S + Z PS * Z PS ) ;

COSA: ::: - X P S *CY [ I j / S Q ;

S I NA : = Z P S / S Q ; R 2 l [ I ) ; = - CY [ l ) ' C O S J\ ;

R 2 3 [ I ) ; = S I NA ;

R 3 l [ I ) ; =CY [ I ] ' S I NA ;

R 3 3 I I I ; =COSA;

End ; End e l se Beg i n

R l l [ l ) ; =C X [ I I ;

R l 2 [ I ) ; = CY [ l ] ;

R 2 l 1 I 1 , =CX 1 r 1 •cv 1 I 1 ; cx z ;

R2.3 [ J ] ; = - CY [ I I ' CZ [ l ] / C X Z ;

R l 3 [ I ) ; =CZ [ l ] ;

en 1 1 1 , = cxz ;

R 3 l [ I ] ; = -C Z [ I ) / C X Z ;

R32 [ I ) ; =0 . 0 ;

R 3 3 [ I ] ; =CX [ l ) / C X Z ; if

( T A< > O )

then

Beg i n YPG

: =

ZPG SQ

:= :=

R 2 1 [ I ] * X PS

+

R 3 l [ I ] * X PS

+ R J 2 [ I ] * Y PS

R 2 2 [ l ] * Y PS

+ R23 [ 1 ] *ZPS; +

R33 [ I ] *ZPS;

s q r t ( Y PG * Y P G + Z PG * Z PG ) ;

COSA : = Y PG , SQ ;

S I NA : = Z P G / S Q ;

H2 1 [ I ]

( - CX [ I ] * CY [ I ] *COSA

R22 I [ I R23 [ I )

cxz ·COSA;

CZ [ I ] * S I NA ) / CX Z ;

( -CY [ I ) 'C Z [ l ) 'COSA + CX [ I ) • S I NA ) / C X Z ;

R3l [ I )

( CX [ l ) ' CY [ I ) ' S INA

R32 [ I ]

-CXZ * S I NA ;

R33 [ I ]

( CY [ I ] * CZ [ I ] * S lNA + CX [ l ] * C O S A ) / C X Z ;

CZ [ I ) 'COSA ) / C X Z ;

End ; End ; End ; { Kekangan T l t i k Kumpu l } writeln

(out) ;

writeln

( ou t , '

KEKANGAN T I T I K KUMPUL ' ) ;

writeln

( ou t , '

TITIK

if

input_data= ' l '

JRl

JR2

JR4

JR)

JRS

then

JR6 ' I ;

Beg i n wr i t c l n ; writeln

( '

Kekangan T i t i k Kumpul ' ) ;

End;

if

i n pu t_ddtcl= ' 2 '

then

Deg j n read l n

( dt ) ;

read 1 n

(dt) ;

recld l n ( d t ) ;

End ; for

I : =l

J RL [ I ) for

;=

t o NU do 0;

1 : = 1 t o NRJ do

Beg i n case

'1'

input_dala o f Beg i n w r i te

( '

No .

wr i te

( '

l
'I' i t i k Kumpul

' ) ;

readln ( K ) ;

Mah Sumbu X ,

Y,

dan

Z

' ) ;

Portal Ruang

355

rcctd l n

( JRL [ 6 k K - S ] , J R I , [ 6 k J<: - 4 ] , JH L [ 6 � 1< - J ] ) ;

·t� r i t e

( '

reud l n

( J RL [ 6 * 1\ - /. ] , J P Ld 6 * K - l ] , ,J R L [ 6 � 1< ] ) ;

Kekangan

Rotusi

Lhd

Sumbu X ,

Y,

dc1n Z

· ) ;

End ; ' ) '

reu d l n

{dt,

K , J R L [ 6 "' K - ':l ] , JR L [ fl * K - 4 ] , J RL [ 6 ' K - � ] , JR L [ 6 * K < I ] ,

J R L [ o ' K - 1 [ , JR L [ o ' K j I ;

Fnd ;

wr i te

{ o u l , l\ : 4 , JR L [ h '" K - 5 ] : 9 , J RL [ 6 * K - ·1 J : h , J R J , [ 6 * 1\ - 3 ] : 6 ) ;

·.-..r l t e l n

{ o u t , J R 1 . [ 6 "' 1< - 2 ] : 6 , J RL [ 6 * 1\

End ; { Indeks

1 ] : 6 , J H L [ il * K j : h ) ;

Per· p i nduhc1n T i t l k Kumpu \ }

N ! : =0; for J : = l

L O NO d o

Beg i n N l : = N l + ,J R J . [ ,J ] ;

1 f JRL [ J j > O then

e l se

l D [ J ] : =N+Nl

I D [ J I : =J - Nl ;

End ; End ;

Source code

dari file

loadpr.inc

Beg i n

Bebu n l

{ P u r umeter w r· i t e l n :.rr t

( ou t ) ;

( O IJ t , '

Le 1 n

( O '.Jl , '

•,.,rr i t e l n if

Pl\Rlll>1t:'r F R

HI-'HAN '

NLJ

NLH ' ) ;

i nput_datu = ' l '

then

Beg1 n i Lel n ; P u r u me t e r

writeln ( '

Jumlah 'l'l t i k

wr i te

( ·

J u m l ah

r:nd ; i[

Beban ' ) ;

wr i te

i n p u t_du l u = ' 2 '

Yung Dibebani

Bcnt c..�ng

Yung

)

;

1

e c1 d l n ( NLJ ) ;

read l n ( NI ,M ) ;

' ) ;

U J bc b a n i

then

Beg i n rcudln ( dt ) ;

ccad 1 n ( d t ) ;

r c ad l n

HI,J ,

(dt,

Cnd ; w r- l t C l n if

r eudln ( d l ) ;

NLH ) ;

( ou t , NLJ : 3 , N LM : l 0 ) ;

NLJ<>O

then

Dcg i n ! Rebctn T i t i k

Kumpu l }

wr i t c l n

( ou t ) ;

wr i lcln

( ou t , '

m-:1-t"'-.N ' I ' I T I K

wr i l e l n

(ou t , '

Titik

if

i nput_dut c..� = ' l '

J{li}1 PUL ' ) ;

AJ 1

AJ3

AJ2

AJ4

1\J'�

AJ 6 ' I ;

then

Beg i n

'"'!

i te l n ; Bcban '!' 1 L i k Kumpu l ' ) ;

',vr· i t e 1 n if

i n p u t _ d a t c..� = ' 2 '

then

Beg i n r eud ln ( d L ) ; r cud 1 n ( d t ) ; r·eadl n ( d t ) ;

End ;

for

J : -::: J

Beg 1 n

Lo

cuse

NLJ

do

i n put_dutu o f

' l'

Hcg i n ( ·

w r i te write

'

�

T i t i k Kumpul I3ebun Te r pu s ct t ll.rah X ,

( '

write

( '

Hebun

Momcn

thd

End ;

'

read l n

�b

X,

Y, Y,

· ) ; re<1d i n ( K ) ; dctn Z ' ) ; reud l n ( AJ [ 6 * K - � ] , AJ [ 6 * K - 4 ] , AJ [ 6 * K - J J ) ; ' ) ; r c d d l n ( AJ [ 6 " K - 7 ] , i\J [ 6 * K - 1 J , AJ [ 6 " K ] ) ; dan z

{ d t , K , AJ [ 6 ' K - " i , AJ [ o ' K - 4 ] , AJ [ 6 ' K - l ] , AJ [ 6 ' K- 2 ] , AJ [ 6 • K - l ] , AJ [ 6 ' K ] I ;

End ; i lc

( o u t , K : 4 , AJ [ 6 * K - ':J ] : l (J : ) , AJ [ 6 "" K - ,1 ] : 1 0 : / , AJ [ fi * K - j ] : l 0 : 2 ) ;

wr i l c l n J-. nd ; { Gebun if

{ ou t , AJ [ 6 ' K - 2 1 ' 1 0 ' 2 , AJ 1 6 ' 1< - 1 1 ' 1 0 ' J , AJ [ 6 ' K ] ' l O o 7 ) ;

He n t u n g }

NLH < > ()

then

Rcg i n { I nisj ul isal for

I:=l for

LtJIL

to

N do

J : =l

to

dcln 1\ML } 1 7

do

i>Jv!L [ J , I ] : = 0 . 0 ; LML [ I ] o = O ; tl

( o ut ) ;

V.'r i tcl n

( ou t , ·

GAY1\

wr i te l n

( ou t ,

E l cmen

wri t e l n

( OU l ,

V.T l t C ]

356

UJUNG

J--., 1 , Ft-J:EN 'Tl
AJvtL2

AMLJ

At1L 4

AML':J

AML 6 ' ) ;

AML7

AMl.8

AML9

AML l O

AML l l

AML 1 2 ' I ;


i nput_dcttct= ' l '

i f

then

Regi n wr 1 L c l n ; Guyu

wr i te l n

UJung

f<.l crnon 'l'crkckang P e n u h Ak i bu t

Hcban

Bcntung ' ) ;

End ; i f

t n pul_dat a = ' 2 '

then

Beg i n

r c d d l n ( d l ) ; r c ad l n ( d l ) ; reud l n ( d t ) ; r c
to

J : ::: l

NLH do

Flcg l n i n p u l _d a t a o f

C d ::;C

' 1 '

Beg 1 n

\.'.'l

' I ; r e> a d l n ( l ) ; I ' 1-:l cmcn no C uya ct k ,'-, l c.l. l pad a ma s i n g - m u :-.. i ng I ' r e a d 1 n ( I".J.1T' I 1 ' T I ' AH L [ 7 ' 1 1 ) i wr i te I ' (;ay a l l n t a n g u r u h sL.mbu /. pad a rc a d l n I ,\ML 1 2 , I I , A11l. I 8 , T I I ; pad a wt -i te I ' c;aya l i n t ung c1ruh sumbu l tC

U ] U ll g

\

dan

j

uj ung

i

don

J

U J Ung

i

dan

j

'

uj ung

i

dan

j

' I ;

pad a

u ] ung

i

dan

J

' I ;

pdd d

u j ung

i

dan

J

' I ;

wr 1 L c

( A.H\ , [ 3 ,

r eudJ n

wr i le

reddl n

I]

, r\J1L [ 9 , 1 ] ) ;

Momen

I '

tors1

pad a mas i ng -m u s l n g

I AML I 4 , I ] , AJ.1L [ 1 1J , I ] I ;

Lcrhadap H ome n I ' I .'\ML I s ' 1 I ' ;\ML I 1 1 ' I I I ; t e r hudup Homen w r i lc , . read l n I ;\ML [ 6 ' I I ' AML I L' ' I I I ; wr i t e

s umbu

) ;

rcctdl n

End ;

s u mbu

/.

Beg i n

' 2 '

reud] n read1n End ;

E nd ;

wr i te l n

( d t , I , AMI , [ l , I ] , i\ML [ 2 , I ] , i\Ml, [ 3 , l ] , Al1L [ 1 , I ] , AML [ 5 , I ] , AML [ 6 , I ] ) ; I d t , N1L I i , I I , AML 1 8 , l I , AML I 9 , I I , AML I 1 0 , I I , AML I 1 1 , I I , AML I 1 / , I I I ;

{ ou t ,

I : S , AMl. [ l , I ] : 1 3 : 2 , AML [ 2 , I ] : 1 0 : 2 , AMJ , [ '3 , I ] : 1 0 : 2 , AML [ 4 , I ] : 1 0 : AMT, I '> , r I , 1 0 , 7 , AMl, [ h , I I , 1 0 , 2 I ; ( ou t , AHL [ "l , I ] : 1 8 : 2 , AML [ 8 , 1 ] : 1 0 : 2 , l\l1L [ 9 , 1 ] : 1 0 : 7 , AML [ l 0 , I ] : 1 0 : 2 , AML I 1 1 , I I , l 0 , 2 , AML 1 1 2 , I I ; 1 (] ; 2 I ;

wr i L c l n

End ;

2,

end ; { Bebun if

El<: 1 va l e n T i t i k

KumpuJ

Lhcn

NLM<>O

J

Beg i n for

I:=l

lo

H do

Beg i n i f

t hen

L.HL [ 1 ] < > 0

Beg i n

L >l l l ] ; = 6 ' JJ I I ] - 'i ; I M [ L ] ; = I l1 1 1 1 + 1 ; l t1 1 6 1 ; = l H i l ] + 'i ; IM [ '/ ] : = 6 * J K [ l ] - 5 ; J H [ rl ] : :::: 1 1•1 [ '1 ] + 1 ;

1 11 1 l l ; = I H I 1 ] + 2 ;

Hl l 4 1 ; = I M i l ] + l ;

IM I 'i ] ; = I M I 1 ] + 4 ;

I M [ 9 ] : = 1 1'1 [ 7 ] + /. ;

I M [ 1 0 ] : = I M [ 'l j + ) ;

I H [ l l ] : ::: J M [ 7 ] + 4 ;

l l-1 [ 1 ) ] : = I M [ 7 ] + 'l ; for

,J : = 1

Lo 4

do

Beg i n

J1 : =3 � J - 2 ; 1 1 ; = JM I J l ] ;

J2 : = 3 * J - l ;

AE I I 2 1 ;\E I T 3 1

AF I Tl J

End;

J3 : = 3 * J ;

l 2 ; = 1H I J 2 ] ;

AC I I l l AE I U l

AE I I l l

L l ; = IM ] J3 1 ;

R l l I I ] 'AH! . I J 1 , I I

R 2 1 I I I + N1L I J 2 ' [ I

R l l [ i i 'AHL I J 1 , I I

R2 3 I T I + AML I J7 ' I I

R 1 7 I r l • rJ1L I J 1 , I ]

R 2 2 I I I + AI1L I J / ' I I

- F l l I 1 I ' AHL I J 1 ' I ] ; R 12 I I I ' .'V1L I J l ' I I ; R 1 ] I I I ' lJ·JL I J l ' I I ;

End ; End;

Fnd ; F.nd ; { Komb i na s i for J : = 1

Beban

to

·r i t i k

Kumpu l }

ND do

Beg i n

J R ; =ID I J ] ; AJ I J ] + AE I J ] ;

AC I J R I End ; End ;

{ Ko m b i n u s i for

J : ::: l

lo

Beban

T i l ik

NO do

Kumpul

l

Beg i n

JR ; = I D I J I ;

AC [ J R ]

AJ [ J ] + AE [ J ] ;

End; End ;

Source code Procedure

dari file s tiffpr. inc

st i f f S ;

Beg i n

{ I n i s i u l i sus i }

for

J : =l

to

N do

Beg i n for

K : =l

t o NB

SFl [ J , K ]

:=

do

0.0;

End ;

Portal Ruang

357

{ Kekakuan for

I : =l

F:lemen} t o M do

Beg i n SCM1l\

E ' AX I I I / EL l I I ;

SCM ] B

G ' X J I I I / EL I I I ;

SCM2Y

4 . 0 • E ' Y I I I I / EL I I I ;

SCM3Y

SCM4 Y

0 ' SCM3 Y / EL I I I ;

SCM2Z

SCM3Z

. S • SCM2 Z / EL I I I ;

SCM4Z

1 . 5 • SCM2 Y I EL [ I I ; . 0 * F. * Z l [ I 1 / EL [ I 1 ;

SM [ 1 1 1 ]

. 0 'SCM3 Z / EL I I I ;

SCMlA; SCM4 Z ;

SM I 1 , 7 I

SM I 2 , 2 1 SM I 2 , 8 1

-SCM4 Z ;

S M I 2 , 12 I

SM I 3 , 3 I

SCM4 Y ;

5!1 I 3 , 5 I

SM I 3 , 9 I SM [ 4 1 4 ] SMI 5 . 5 I SM I 5 , 1 1 I S MI 6 , 8 I

SM [ 7 , 7 ]

o

;

SM [ H I 1 2 1

:

I

- SCM4 Y ;

SM[ 3

SM[ S, 9 1

SM I 4 , 1 0 1

=

: =

; o

SM I 6 , 6 1

SM I 9 , 9 1 SM I 1 0 , 1 0 1

-SCM3 Z ; SCM3 y ;

- S CM l B ;

SCM2 Z ;

;o

SM I 8 , 8 1

SM I 1 2 , 1 2 I

; = SCM2 Y ;

for J : = l t o 1 1

;o

: = SCM3 Y ;

SMI 6 , 12 I

-SCM3 Z ;

: = SCMl A ;

SM[ 9 I 111 SMI 11 , 11 I

SCM3 Z ; ; o SCM3 Z ;

, o - SCM3 Y ; 1 1 1 : = - SCM3 y ;

SC'M l B ; SCM2 Y ; SCM2 Y / 2 . 0 ;

;o

-SCMl A ;

SM I 2 , 6 1

SCM2Z / 2 . 0 ; SCM4 Z ; SCM4 Y ; SCM l B ;

;o

SCH2 Z ;

do

Beg i n for K : =J + l

to

12

do

SM I K , J I ; o SM I J , K I ; End ; for K : = l

to 4

do

Beg i n K l ; o 3 ' K- 2 ;

K2 ; o 3 ' K - l ;

KJ ; o 3 ' K ;

for J : = l t o 1 2 do Beg i n SMRT [ J � K l ]

SM [ J 1 Kl 1 * R l l [ I ]

+

SMR"r i J , K 2 ]

SM [ J 1 K l ] * R l 2 [ I ]

+ SM [ J 1 K2 j * R 2 L [ I ]

SM [ J � K2 ] * R 2 l [ I ]

+ SM [ J � K3 ] * R 3 2 [ I ] ;

SMF"r i J , K 3 ]

SM I J , K 1 1 ' R l 3 1 I I

SM I J , Kl i ' R 2 3 1 I I

+ SM I J , K3 1 ' R 3 3 1 J ] ;

+

+

S M [ J , K3 ] * R 3 1 [ I ] ;

End ; End ; for J : =l

to

4

do

Begin J1 : = 3 * J - 2 ; f o r K : =J l

J 2 : =3*J- l ; to

J3 : = 3 * J ;

1 2 do

Beg i n R 1 l [ I ] *SMR'r [ J l i K ]

SMS [ J 1 , K l

+

R 2 l [ I ] * SMRT [ J 2 , K ]

SMS [ J 2 , 1<: ]

R l 2 [ 1 ] * SMRT [ J l 1 K ]

+ R 2 2 [ I 1 * S MWr [ J 2 , K ]

SMS [ J 3 , K ]

R l J I I I ' SMR"r i J l , K I

+ R 2 3 [ J I ' SHR'l' [ J 2 , K I

+ R 3 1 [ I ] * SMRT [ J 3 � K J ; +

+

R 3 2 [ I ] *SMRT [ J3 1 K ] ; R J J [ I I ' SMR"r [ J .l , K I ;

End ; End ; { Ubah Ke Ma t r i k s Kekukuun T i t i k Kumpu l } l l1 [ 1 1 ; o 6 ' JJ I I I - 5 ;

IM [ 2 ] ; o 6 ' JJ [ I I - 4 ;

I M I 3 1 ; o 6 ' JJ [ I I - 3 ;

I M I 4 1 ; o 6 ' JJ [ I I - 2 ;

I M I 5 1 ; o 6 ' JJ [ l l - l ;

IM [ 6 1 ; o 6 ' JJ [ I I ;

l M I 7 1 ; o 6 ' JK I I ] - 5 ;

IM I B I ; = 6 ' JK I I I - 4 ;

I M I 9 1 ; o 6 ' JK I I ] - J ;

lM i l O I ; o 6 ' JK I I ] - 2 ;

IM I I l ] ; o 6 • JK I I I - 1 ;

l M I 1 2 I ; = h ' JK I I ] ;

for J : = l

l o MD do

Beg i n

l1 if

;=

IMIJ ] ;

( JR L [ I l ]

< :::::

0)

then

Beg i n for

K : =J t o MD do

Beg i n I2

;=

if

( cJ R. L [ l 2 ]

IMIKI ;

Beg i n

<=

0)

IR

; =

ID [ Il ] ;

IC

;o

I D I I2 ] ;

if

( IR>IC)

then

then

Beg i n I t em

:=

IR;

IR

IC;

IC

I t em;

End ; IC

:=

IC

-

S FF [ I R 1 I C 1

IR +

1;

S F F [ I R ' IC l

+ SMS [ J I K 1 ;

End ; End ; End ; End ; End ; End ;

358


Source code dari file banfac.inc pr ocedure fakto risasi�matrik; Beg :in if

(SFF[l, 1]<=0.0)

then

Regin clrscr; writcln

('

writeln

(

·

l;

Matrik kekakuan tidak positif definit1f! 'l;

·

rcadln; ha1tlll; end; for

J:=!.

Lo N do

Begin J1

;= J-1;

J2

:= J-NB+l;

if J2<1 then if

J2:=1;

J1<>1 then

Begin for I:=2 to

Jl do

Degin Il;=I-1; if

(Il>=J2l then

Begin SUM:=SFF[I,J-I+l]; for

K:=J2 to

I1 do

SUM :=SUM-SFF[K, T-K+l] *SfF[K J-K+l] ; SFF l I I J-I +1] :=SUM; End; End; End; SUM

;= SFF I J, 1];

for

K :=J2 to

J l do

Begin TEMP:= SFF[K,J-K+l]/SFF[K,l]; SUM:::::SUM - TEMP"SFF[K,J-K+l); SFF[K,J-K+l]

:= TD1P;

End; if

(SUM<::::O Ol

then

Beg1n writeln

(

writeln

('

Matriks J
·

·

)

;

==========================================');

hall ill; End; SFF[ J ,1]

:= SUM;

End; End;

Source code dari file bansol.inc procedure so1usi_vcktor_x; Begin for

I := 1 to N do

Begin J

:= I�NB+l;

if

(I<=NB)

SUM

then J:=l;

;= AC[l] ;

K1

:= J�l;

if

(J<=K1l

then

Beg1.n for K:= J to K1 do SUM := SUM

- SFF[K,I-K+1]*DF[K];

End; DF[I]

SUM;

End; for 1:=1 to N do DF[I] for

:= DF[I]/SFF[I,1];

11:=1 t o N do

Begin l

N -Tl

J

I+NB-];

+ } ;

i f J>N then SUM

J:=N;

;= OF[I] ;

K2 := I+1; if

K2<=J then

Hegi n for

K: =K2 to

SUM OF[ I]

J do

SUM -SFF[I,K-1+1] *DF[K]; ; = SUM

End; End; End;

Portal Ruang

359

Source code dari {7le resulpr. inc Procedure

re.s u l L 5 ;

Hcgin

l Perp i nduhdn 'I' i t i k Kumpu 1 }

J : =N + l ;

f o r J\ : ::: 1

L o ND do

Beg i n JE

: = NO -

K

1;

+

then

i f J R IJ [ J E ] = O . begin

i

,] : =J -1 DJ [ J E I

OF [J I ;

DJ I J C I

0 . 0;

end else Beg .i n End ; End ; w r i te l n

{ ou t ) ;

wr i t e l n

{out , '

wr 1 L c l n

( ou l , ·

for

J:=l

PERPI NDM!li.N T I T I K KUMPUL ' ) ;

'r i L i k

to NJ

Beg i n wr·i t e wr i l e l n

DJl

nJ3

DJ/.

I\JS

DJ4

do

DJ6 · I ;

( ou t , J : 4 , DJ [ 6 *J- '5 J : 1 0 : 1 , D,J f 6 * J -4 1 : 1 0 : 4 , IJJ [ 6 * J - 3 ] : 1 0 : 4 ) ; ( ou t , DJ [ 6 * J - :2 ] : 1 0 : 1 , DJ [ 6 * J - l ] : 1 0 : 4 , DJ [ h * J ] : 1 0 : 1 ) ;

End ; { l\ k s i

U j u n g - u j ung

wr i t e l n

ELcmen }

{out ) ;

wr i U ? l n

( ou l , '

AKS T

wr i t c l n

(out , '

E l emen

writel n

{ ou t , ·

for

T : =l

ELEMFN THD 1"\00RD !.010\L ' ) ;

UJUNG

Af11

lo M do

M /.

Jo.J-13

T\M4

AMS

l-Jv!H

AH9

!J11 0

AM l l

l\M6

I

) ;

AM12 · I ;

Beg l n SMRT I J , K I I

SM [ J , K l ] * R l l [ f ]

+

SM [ J , K.2 ] * k 2 l [ I ]

+

.SH [ J , K 3 j * R J 1 [ I ] ;

SM [ J , Kl ] * R 1 2 [ I ]

+

SM [ J, K 2 } * R 2 2 [ I ]

+

SH [ J, K 3 ] * R l 2 [ I ] ;

SMRT I J , K3 1

SM [ J , K l ] "' R 1 3 [ I ]

+ SH [ J , l\ 1 ] * R 2 '"3 [ 1 ]

+

SM [ J , K J ] * R 3 3 [ I ] ;

SMR'J' I J, KL I

I M I / 1 o = 6 ' JJ I I I - ·1 ;

lM i l J o o 6 ' J J [ I I - 5 ; l M i l J o = 6 ' JJ i l l - 3 ;

1 M I 4 J o = 6 ' JJ I I I - " ;

J M I 5 1 o = 6 ' JJ I I ] - l ;

I M I 6 1 o = 6 ' .JJ [ I ] ;

I M I 7 1 o = 6 'JK I I I - 5 ; IM I 9 1 o = 6 'J K I I l - l ;

111 I 8 I ' = 6 'JK I I I -4 ;

I M i l l l o o 6 ' JK [ I I - l ;

IH I D I o = 6 ' J K I I ] ;

I M [ l O I o = 6 ' JK I T I - 2 ;

f o r J : = l t o MD d o B e g _i n

lJ1D I J I , = 0 . 0 ;

f o r K : = l t o MD d o

Hcgin J l ; o iM [ K I ; AHD [ J ] : =l\l.JD [ J ] -t-SMR'l' [ J , K] * DJ [ I 1 ] ; End ; AM [ J ] : =AfvlL [ J , J ] +M1D [ J ] ; End ; writeln w r i te l n

{ o u l , I o 4 , AM i l l o l 7 o 2 , AM I 2 1 o l 0 o 2 , N� I l l o l 0 o 7 , AM I 4 ] o l 0 o 2 , AM I ' I o 1 0 o 2 , AJq [ 6 1 o l 0 o 2 1 ; { ou t , AM J 'i l o l 6 , 2 , AM I 8 1 o l 0 o 2 , AM I 9 ] o l 0 o 2 , AM [ l 0 1 o l 0 o 2 , AM [ l l l o l 0 o 2 , AM [ l 2 1 o l 0 o 2 1 ;

for J : = l

to 4

do

Beg in J l o = 3 'J- 2 ;

J2 o = 3 ' J - l ;

[ ] o o J M I Jl l ;

> f JRL I I l l = l

i f J RL I I 2 1 = l End ;

J] o = ] ' J ;

I 2 o = ! M [ J2 1 ;

I3 o o J M [ J l l ;

then AR I I l l o =AR I J l j + R l l [ I I 'AMll [ J l i + R2 l l l l 'AMD I J 2 1 + R 3 1 1 I ] 'AMD [ J 3 ] ; then AR I J 2 1 o oAR [ I 2 ] + R l 2 1 I I 'AMD I J l i + R 2 ? j i ] 'AMD [ J 2 ] + R l 2 l l l ' i\MD I C l l ;

i [ J RL i l l l = l then AR [ I' l l o =AR I I 3 1 + R l 3 J I I ' AMU [ J l i + R 2 3 1 I ] 'AMD I J 2 j + R 3 3 [ I I 'AMD [ J 3 1 ;

End ; { Rc a k s i

Pcletakun}

wr i te 1 n

( ou l ) ;

wr i L e l n

( ou t , '

REAKSJ

wr i L e l n

(out , ·

Titik

for J : = l

PEL ETAKJ"\N" ' ARl

AR2

to NJ d o

l\E]

AR4

AR�

AR6 ' I ;

Beg i n J1 : = 6 * J - 5 ;

J2 : = 6 "' J - 4 ;

J3 : = 6 * J - 3 ;

J 4 : = 6 "' J - 2 ;

J � : = 6 "' J- l ;

J6 : = 6 * J ;

N 1 : =JRL [ J l ] + J R L [ J/. ] + J R L [ J J ] + J R L [ J4 ] +JRL [ .J S J + J R L [ J 6 ] ; i f Nl<>O wr· i t c l n

Lhen { ou t , J o 4 , AR I J l j o l 0 o 2 , AR I J 2 j ' l 0 o 2 , AR [ J3 1 o l 0 o 2 , AR I J 4 ] o l 0 o 2 , AR [ J 5 1 o 1 0 o 2 , M [ J 6 ] o l 0 o 2 1 ;

Fnd ; End ;

360

Amrinsyah Nasutio n , Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

J i ka program d ieksekusi maka hasilnya adalah : 11MffiM+)t-i:�¥•tit1i'"i'dii"Gd•l6etZ�1;W1':;

',,� :tit;:�;

P R O G R A M K O MP U T E R U H T U K A HA L I S I S P O R T A L RUAHG DEHGAH HA T R I K S K E K A K U A H E L H1E H DAH S T R U K T U R

7\3\2 005

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

P i l i h a n masukan

data

Senin , 1.

Manual

( s atu per satu)

Dari arsip

2.

Hama a r s i p t e m p a t d a t a d i s i mp a n

( fi l e )

( le n g k a p d e n g a n e k s t e n s i d a t / t x t )

r e su l t . t x t

Hama a r s i p t e mp a t h a s i l p er h i t ungan a k a n d i s i m p a n

Hat.-iks

I np u t d a t a s t r u k t u r k e k ak u a n

OK OK

F a k t o r i s a s i ma t r i k s I np u t beban S o lusi u e k t o r p e r p i n d a h a n P e n y i mp a n a n d a t a

OK OK OK OK

Analisis

S t r u k t u r T el a h H a s i l p e r hi t un g a n d a p a t

T et·ima Kas i h .

Telah S e l e s a i dilihat pada a r s i p

datapr . txt

result .txt

_w


datapr. txt DATA UNTUK ANAL I S I S STRUKTUR PORTAL RUANG (sa tuan kN-meter) PARAMETER STRUKTUR Jml_Ttk_Kump u l Jml E l emen 5 6

Jml Reaksi Pe l e t a kan 24

Jml Peletakan 4

E 2000 . 00

G 300 . 0

KOORDINAT TITIK KUM PUL z Titik y X 0.0 1 0.0 0.0 0.0 4.0 0.0 2 0.0 0.0 3.0 0.0 4.0 3.0 2.0 0.0 0.0 2.0 0.0 .0 I NFORMAS I ELEMEN E lemen U j ung_i U j ung_j 1

5

5 4

Luas_penampang 100 100 100 100 so

KEKANGAN T I T I K KUI1PUL ( 1 = terkekang, 0 T i t i k Trans -sbX Trans -sbY Trans·-sbz 1 1 1 1

J 80 80 80 80 80

bebas) R o t -sbX 1

Iy 50 50 50 50 75

Iz 30 30 30 30 30

Rot -sbY 1

lA 0 0

0

R o t -sbZ 1

Portal Ruang 361

JUMLAH PEMBEBANAN Beban_T i t i k_Kumpul Beban_Pada_Bentang 2 1 BEBAN TITIK KUMPUL T i t i k_kumpu l Gaya_arahX 5 0 0

Gaya_arahY -200 200

Gaya_arahZ 0 0

Putaran�X 0 0

Putaran Y 0

Putaran z 0 0

GAYA UJUNG ELE!1EN TERKEKANG PENUH AKIBAT BEBAN BENTANG THD KOORD LOKAL FEN - i E l emen FEQ2_i FEQ3_i FET-i FE!12 i FEM3 i FEN _j FEQ2_j FEQ3_j FET_j FE!12 _j FEM3 _j 0 20 0 -20 0 0 0 20 20 0 0 0

Ket : J = Iner s i a Tars i Iy M omen Iner s i a thd sumbu 2 Iz = Momen Iners i a thd sumbu 3 = IA parameter putaran penampang terhadap s umbu utama ada putaran pada penampang 1 0 : t i dak ada putaran

{ surnbu 1 )

t rans l a s i Trans s umbu " sb* FEN Gaya Aks i a l kondi s i terkekang penuh FEQ 2 / 3 � Gaya l i ntang pada arah sumbu 2 / 3 penampang kond i s i terkekang penuh Momen j ep i t terhadap s umbu 2 / 3 penampang . F EM 2 / 3 FET Tars i . = menyatakan u j ung - u j ung e l ernen i n deks i dan

File output report. txt * �****** �****** * * ************************************************* BASIL ANALISIS STRUKTUR SISTE!1 PORTAL RUANG ****************************************************************** Senin, 7 \ 3 \ 2 0 05 PARAMETER STRUKTUR N NJ M NRJ NR E G 5 12 6 4 24 2000 . 00 300 . 00 KOORDINAT TITIK KUMPUL Titik X 1 0 . 00 4 . 00 0 . 00 4 4 . 00 0 . 00 . 00 INFORMASI ELEMEN E l emen JJ AX JK 1 1 5 100 . 00 6 100 . 00 100 . 0 0 4 100 . 00 5 50 . 00

K EKANGAN TITIK KUMPUL TITIK JR1 JR3 JR2 1 1 1

z

y

0 . 00 0 . 00 3 . 00 3 . 00 0 . 00 0 . 00 (XI 80 80 80 80 80

JR4 1

0 . 00 0 . 00 0 . 00 0 . 00 2 . 00 2 . 00 Konstanta Tars i, J ) XI YI ZI . 00 50 . 00 3 0 . 00 . 00 50 . 00 3 0 . 00 . 00 50 . 00 3 0 . 00 . 00 5 0 . 00 3 0 . 00 . 00 75 . 0 0 3 0 . 00

JR5 1

IA 0 0 0 0 0

JR6

3 4

362


PARAMETER BEBAN NLJ

NLM

2

1

BEBAN T I TIK KUMPUL AJ1

AJ2

AJ3

AJ4

AJ5

AJ6

5

0 . 00

-200 . 00

0 . 00

0 . 00

0 . 00

0 . 00

6

0 . 00

200 . 00

0 . 00

0 . 00

0 . 00

0 . 00

Ti tik

GAYA UJUNG

ELEMEN TERKEKANG

E l emen

PENUH AKIBAT BEBAN BENTANG

AMLl

AML2

AML3

AML4

AML5

AML6

AML7

AML8

AML9

AML 1 0

AML l l

AML 1 2

0 . 08

2 0 . 00

0 . 00

0 . 00

-20 . 00

0 . 00

0 . 00

2 0 . 00

0 . 00

0 . 00

2 0 . 00

0 . 00

PERPINDAHAN T I T I K KUMPUL DJ1

DJ2

DJ3

DJ4

DJ5

DJ6

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

2

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

3

0 . 0000

0 .0 0 0 0

. 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

4

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

0 . 0000

5

- 0 . 0008

- 0 . 0046

-0 . 0022

0 . 0027

-0 . 0008

0 . 0019

6

- 0 . 0008

0 . 0046

0 . 0022

- 0 .0 0 2 7

- 0 . 0008

0 . 0019

Titik 1

AKS I UJUNG ELEMEN THD KOORD LOKAL

E lemen

AM1

AM2

AM3

AM4

AM5

AM6

AM7

AM8

AM9

AM 1 0

AM l l

AM 1 2

2 0 .6 8

93 . 05

109 . 67

-16 . 08

-188 . 33

127 . 40

-20 . 68

-93 . 05

-109 . 67

16 . 08

-250 . 3 6

213 . 95

20 . 68

-9 . 53

-16 . 62

16 . 08

6 4 . 26

-77 . 77

- 2 0 .6 8

9 . 53

16 . 62

-16 . 08

2 . 22

8 . 78

20.68

93 . 05

109 . 67

-16 . 08

-188 . 33

127 . 40

-20 . 68

-93 . 05

-109 . 67

1 6 . 08

-250 .36

213 . 95

20 . 68

- 9 . 53

-16 . 62

16 . 08

64 . 26

-77 . 77

-20 . 68

9 . 53

16 . 62

-16 . 08

2 . 22

8 . 78

0 . 00

0 . 94

-33 . 24

3 2 .1 6

46 . 48

- 6 9 .0 0

-0 . 00

39 . 06

33 . 24

-32 . 16

86 . 48

-38 . 13

REAKSI PELETAKAN Titik 1

4

AR1

AR2

AR3

AR4

AR5

AR6

-109 . 67

9 3 .0 5

2 0 . 68

-127 . 40

- 188 . 33

-16 . 08

16 . 62

- 9 . 53

2 0 . 68

77 . 77

64 . 26

16 . 08

-109 . 67

34.41

88 . 90

-127 . 40

-91 . 09

-165 . 62

1 6 . 62

-22 . 49

3 . 54

77 . 77

22 . 27

62 . 39

Portal Ruang

363

6.7

Soal - Soal

Soa l 1 z

M1

perletakan jepit

=

1 2 ton-m

�------�--� Y

9m

8m

X

Balok kanti lever dalam ruang mcnerima beban luar seperti tergambar : 2 2 Ee lcmc11 = 2. 1 x I 0 (J k· g/ cm ; A = 4 000 cm ; I = 4 000 0 0 cm 4 untu k semua ara I 1 Gcleme11 = 0 . 44 Eelettten ; J = 1 4 0000 cm· untuk semua arah.

1.

Pertanyaan : a. Bcrapa derajat kebebasan struktur ? b. 1-l itung sifat-sifat penampang elemen c. Rakit matrik K E K A K U A N elemen [S]m d. Jabarkan matrik transfonnasi [Th e. Rakit matrik kekakuan elemen [k]m f. Rakit matrik kekakuan struktur [K]s g. Jabarkan vektor began { P } s h . Selesaikan [ K ]s { X } s = { P } s untuk memperoleh deformasi dalam ruang. Gunakan metoda dekomposisi LU dalam penyelesaian matrik. Tidak boleh menggunakan bantuan paket program dalam kalku lator. Gambarkan garis elastis elemen ruang. 1. J . Turunkan persamaan gaya-gaya dalam sepanjang bcntang elemen k. Gambarkan d iagram gaya-gaya daiam sepanjang bcntang. 364 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Soal 2 P, = 840 k N

(0, 6.5,0) 2 3 (6.5,3.25 0)

Portal ruang scpcrti gam har menerima began horizontal Px

=

840 kN.

Dimensi elemen 0800 111 111 . Bahan elemen adalah beton dengan berat volume Ybeton = 24 kN/m :; . Angka Poisson u = 0 . 2 5 , dan modulus elastisitas Eb = 20.000 M Pa. U kuran panjang elemen d icari dari posisi/koord inat titik kumpul . PERT ANY AAN : a.

b. c.

d. e. f.

g. h. 1.

J.

k.

Berapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/ defonnasinya pada sistem. H itung sit�1t - sitat penampang elemen : A, 1,, ly, J , I, G . Tetapkan matrik kekakuan elemen [Sk Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordinat struktur [k J,. Rakit matrik kekakuan struktur [K ]s Tcntukan vektor began { P} Hitung [K],( X )s = { P ls untuk mendapatkan deformasi [ X } s. Gambar garis elastis struktur. Tcntukan gaya gaya dalam elcmen. Gambar diagram gaya dalam. Bi la simpangan horizontal izin b;L"' - 1 .65 mm. apakah sistem struktur memenuhi syarat kekakuan ? =

Soal 3 d a n Soal 4

Portal ruang seperti gambar soal 3 dan 4 merupakan konstruksi atap mezzanine. Beban hidup yang beke�ja adalah began merata q = I 0 kN/m. Dimensi clemen portal adalah pipa baja D 2 5 0*40.

Gunakan program komputer untuk menghitung perpindahan titik titik kumpul, reaksi perle takan dan gaya gaya dalam rangka ruang d iatas. Modulus elastisitas semua batang E 200,000 M Pa, angka Poisson v = 0.30. Apakah gaya dalam elemen 3 dan 4 pada kedua soal ini sama besarnya ? Mana sistem yang optimal dari dua tipc ini '? =

Rangka Ruang

365

z

z

.!

I I

I

2

--

Gambar soal 3

Gambar soal 4

Soal 5

Rak buku seperti gambar dapat d ianggap portal ruang. Semua ele111en yang dipakai adalah L 5 0 * 5 0 * 2 . Modulus elastisitas bahan E = 200,000 M Pa. Angka Poisson v = 0.30. B i la began buku = 8 kN/n/, apakah lendutan yang terjadi melebihi lendutan izin balok = I 0 mm ? Jawab pertanyaan melalui prosedur perh itungan :

a. Bcrapa derajat kebebasan struktur ? Gambar pasangan gaya/dcfonnasinya pada sistem. b. H itung sifat- sifat penampang elemen : A I,, I), J, I, G. c . Tetapkan matrik kekakuan elemen [S];. d. Tetapkan matrik kekakuan elemen terhadap koordi nat struktur [k],. e. Rakit matrik kekakuan struktur [K ]s f. Tentukan vektor began { P } s. g. H itung [ KJs ( X } s = { P } s mendapatkan defonnasi { X ),. h. Gambar garis elastis struktur. i. Tentukan gaya gaya dalam elemen. j . Gambar d iagram gaya dalam .

2

Soal 6

Apabila translasi atap horizontal su111bu uta111a = 1 5 111111, rak kedua = 1 1 .20 111111, dan rak pertama = 4 . 8 mm pada sistem struktur soal 5, berapa besarnya gaya l intang dan momen elemen vertikal ?


Soal 7

Pin saklar tuts komputer seperti gambar dapat diang gap berupa portal ruang. Diameter penampang 7 mm. Modulus elastisitas bahan E = 200,000 M Pa. Angka Poisson v = 0.30.

Untuk dapat elemen 3 -4 kembali pada posisi semula, setelah diangkat beban q, direncanakan lendutan tidak melebihi 2 mm. Pertanyaan : Berapa beban merata2 q mak simum yang diperlukan untuk mencapai lendutan mm ?

Soal 8

Dudukan dongrak seperti d igambar dapat dianggap sebagai portal ruangd3i la elemen berupa profi l hollow buj ur sangkar ukuran 40*40*2, � modulus clastisitas bahan E = 200,000 M Pa, angka Poisson v = 0.30, began vertikal yang beke�ja P = 3 0 kN, lakukan anal isis sistem dengan prosedur sebagai berikut : a. Berapa derajat kebebasan struktur ? b. H itung sifat-sifat penampang elemen R akit matrik K EKAKUAN elemen [S]m c. d. .labarkan matrik transformasi [Th e. Rakit matrik kekakuan elemen [k]m f. Rakit matrik kekakuan struktur [ K]s g. Jabarkan vektor began { P } , h . Selesaikan [KL { X } s = { P} s untuk memperoleh deformasi dalam ruang. Gunakan metoda dekomposisi L U dalam penyelesaian matrik. Tidak boleh menggur:akan bantuan paket program dalam kalkulator. 1. Gambarkan garis elastis elemen ruang. J . Turunkan persamaan gaya-gaya dalam sepanjang bentang elemen k. Gambarkan d iagram gaya-gaya dalam sepanjang bentang. 0 M " Q

Soal 9

Apakah terdapat gaya dalam pada elemen horizontal yang menghubungkan ke empat dudukan seperti gambar soal 8 ? .l ika,ya uraikan si fat gaya da lam tcrscbut dan hitung besarannya. �

Rangka Ruang

367

Soal 1 0

Portal ruang mezzanine sepetii gambar mempunyai koordinat titik kumpul sebagai berikut : T i t: i k

X

y

z

kumpul

m

m

m

1

3 . 00

6 . 00

6 . 00

2

6 . 00

3 . 00

6 . 00

3

3 . 00

0

6 . 00

4

0

3 . 00

6 . 00

5

0

6 . 00

0

6

0

0

0

7

6 . 00

0

0

Profi t elemen adalah W F 300* 1 75 *9* I I . Modulus elastisitas Es 200,000 M Pa, angka Poisson v = 0.30. Akibat began liar translasi dan rotasi titik kumpul sebagai berikut : =

6 Titik

Ul

U2

U3

Rl

R2

R3

kumpul

mm

mm

mm

Radi ans

Rad i an s

Rad i ans

1

0 . 778887

0 . 878090

-0 . 608892

0 . 000133

0 . 000094

0 . 000022

2

0 . 878090

0 . 778887

-0 . 608892

- 0 . 000094

- 0 . 000133

- 0 . 000022

3

0 . 778887

0 . 878169

-0 . 605319

-0 . 000071

0 . 000094

- 0 . 000022

4

0 . 878169

0 . 778887

-0. 605319

- 0 . 000094

0 . 000071

0 . 000022

Pertanyaan : a. Susun matrik struktur [K]s * [X }s { P } s b. Dengan data perpi ndahan titik kumpul pada tabel, tetapkan { P } s. Berapa began terbagi rata maksimum yang d iterima balok 9, I 0, 1 1 , dan 1 2 ? c. =


7

Stru ktu r Leng ku ng (Arch)

Sistem struktur lengkung atau arch didcfinisikan scbagai batang yang melengkung sede mikian rupa sehingga sebagian besar transfer beban bentang disalurkan pada perletakan melalui gaya tekan aksial pada pelengkung. Sistem ini terbuat dari segmen-segmen elemen batang membentuk lengkungan.

Gambar 7 . 1

. Sistem Struktur Lengkung

Tanggap struktur terhadap beban pada batang lengkung d inyatakan olch gaya-gaya dalam seperti pada Gambar 7 . 2 . Gaya dalam pada uj ung I adalah gaya normal H 1 , gaya l intang V 1 • dan momen M Dcformasi yang berhubungan dengan ketiga gaya i n i adalah translasi horizontal translasi vertikal dan rotasi e Ha I serupa pada uj ung 2 , deformasi yang berhubungan dengan ketiga gaya-gaya H2• V 2. M2 adalah translasi horizontal u2, translasi vertikal v2, dan rotasi 82 1 •

ll l '

Vh

I ·

'

'

'

''

' '

''

'

'

'

I I

, , �0 \) I '

G a m bar 7.2.

',

I I �

Gaya ujung lengkung

Struktur Lengkung

369

Matrik kekakuan elemen mendefinisikan hubungan antara keenam gaya dengan deformasi. H ubungan ini d inyatakan sebagai : HI

Ll

VI

VI

MI Hl v2

M2

=

[k]

l

el

Ll 2 v2 82

atau

[S] m { M m=

{F}m

(7

-

I)

Matrik [S]m didefinisikan sebagai matrik kekakuan elemen. Vektor { 11 } m dan ( F ) m berturut turut menyatakan dcrajat kebebasan elemcn dan gaya ekivalen uj ung. 7.1 Derajat Kebebasan Dan M atri k Kekakuan Stru ktu r

Dalam menganal isa struktur lengkung dengan metode matrik, sistem lengkung dibagi menj adi beberapa elemen lengkung yang tergabung pada titik kumpul atau node. U ntuk menerangkan hubungan antar elemen yang tergabung pada satu node, pada node yang bersangkutan diberikan sejumlah derajat kebebasan atau degree qf freedom (DOF) yang searah dengan gaya dan perpindahan. DOF dari sebuah sistem d idefinisikan sebagai jum lah gaya atau perpindahan yang independen yang d igunakan untuk analisis. Derajat kebebasan dapat d ibedakan atas dua DOF yaitu derajat kebebasan kinematis (kinematics degree offi·eedom) dan dcrajat kebebasan absolut (absolute degree of'ji-eedom). Kinematics degree offi·eedom adalah DOF yang terdapat pada elemen yang mempunyai perletakan memadai yang dapat menccgah terjadinya rigid body motion pada elemen, DOF ini sering j uga dinamakan DOF relatif. DOF absolut (absolute degree ofji·eedom) yaitu DOF yang tidak mempunyai perletakan sehingga elemen b isa mengalami rigid body motion. Selanj utnya DOF relatif akan digunakan untuk menurunkan matriks tleksibil itas dan DOF absolut digunakan untuk matriks kekakuan dalam menganal isa struktur. Gaya { F} m dan perpindahan (L\}m dihubungkan oleh koefisien tleksibilitas t�j yang d idefinisikan sebagai berikut: ti1 adalah perpindahan pada DOF i yang terkait dengan gaya pada DOF i akibat gaya satu satuan yang d iberikan pada DOF j . Matrik tleksibil itas pada elemen lengkung d itulis sebagai berikut:.

370


R 11. 1 ' R1 ( 1 - costl) R ( . 1 ) R' (uu - 8s t. n 0 + s t n 20) -s 2f-: A (-) -4EI 2El 4EA 20 + sll 0 + R . , R' ' R R . 1 111 ) ( ( -stn2EA o-2EI 1 - cosO)4EA 20 - s11 2O) 4EI' (20 - s . 20 R' R' - cosO) . 11 -(1 - -(O El - s1 fl) El L"

· '

·

+-

. R' - smO) --(0 El R' -cosO) -(1 El �El

El

5

2

''

(a) DOF relatif Gam bar 7 . 1 . 1

''

'

(7 - 2)

"

(b) DOF absolut DOF pada elemen lengkung

Hubungan antara gaya-gaya dalam dan perpindahan elemen adalah matrik kekakuan elemen yang terdiri atas koetisien-kocfisicn i, j sej um lah DOF elemcn. Koefisien stiffness , k,1 d idetinisikan sebagai gaya yang d iperlukan pada DOF i yang terkait dengan perpindahan pada DOF i untuk mempertahankan keseimbangan struktur akibat perpindahan satu satuan p2da DOF j dan perpindahan pada DOF lain sama dengan nol. Dengan menginverskan matrik fleksibilitas elemen diatas maka akan diperoleh matrik kekakuan relatif karena matrik fleksibilitas d iturunkan berdasarkan DOF relatif. Sedangkan matrik kekakuan yang d igunakan untuk menganal isa struktur adalah matr!k kekakuan berdasarkan DOF absol ut. U ntuk itu perlu d i lakukan transformasi matrik kekakuan relati f menj ad i matrik kekakuan absol ut J ika { F } dan {tl} adalah gaya-gaya dan perpindahan yang terkait dengan DOF absolut seria { S ) dan { u j adalah gaya-gaya dan perpindahan yang terkait DOF relatit� selanj utnya dapat d itulis dalam persamaan berikut : {F} (,. , = [ V I 6x3 {Shxt [ V J 3x6 {�} 6 x l

{u}J, J

=

{F}

[ kr] {u}

=

T

Struktur Lengkung

(7 - 3 ) ( 7 - 4) (7 - 5) 371

sehingga d i peroleh : {F} = [ V ] [k,.J [ V] T {Ll}

(7 - 6)

{F} = [k] {Ll}

dan n ilai matriks kekakuan absolut [ K] adalah : [ k[6, 6 = [V )6,J [ k,.bxJ [ V (1Jx6 (7 - 7) Matriks [ V ] yang merupakan matriks transfonnasi gaya yang terkait dengan DOF relatif ke gaya yang terkait dengan DOF absolut. Dengan menerapkan persamaan statika terhadap gaya- gaya diatas, maka d iperoleh hubungan antara gaya-gaya S dan P sebagai berikut : F4 = S 1 (7 - S a) ( 7 - S b) Fs = S2 Fil = S, (7 - Se) F = -S cos e - s2 sin e (7 - Sd) F3 = R( l -cos 8)* S 1 - R sin 8*S2 -S, (7 - Sf) I

I

F(,

'

'

' '

'

' ,

'

'

'

'

, '

I

,

V: '

'

,

I I "

G ambar 4 .a G aya yang terk ait DOF relatif

'

'

'

'

,

'

'

'

'

'

, ',

V: '

'

I ' I "

G ambar 4 . b G aya yang terk ait DOF absolut

Dalam bentuk matriks, hubungan tersebut ditul is :

372

I


F;

Fo F

"'

- sin fJ - cos (} - cos (} sin fJ R(l - cos fJ) - Rsill fJ

F4

I

Fs

0

F;,

0

0 0 -1 0 0

0

0

I

{ F }= [ V ] {S}

rJ

(7 - 9)

So s,

1-lubungan antara vektor perpindahall/rotasi dengan vektor beban ekivalen adalah : I' I

1'2 PJ 1'4

pI

1'20

K11

K lc

K ll

K1 4

"K "K

Kcl

K 22

K 21

K2

K,,

K J2

K :n

K ,"

K 11

K ""

K

K 2o1

K 202

�

XI

K 110

ii 2i

K 21o

.K 3 J

K 2.10

x2 x, x

4

( 7 - 1 0) J-

iJ

K i4

Ki .i

K : oJ

K 2o

K 2oj

4

K i >o

K

X

I

X ;o

atau {P } = [K ]{X } Matrik [K] d idcfiniskan sebagai Matrik Kekakuan Struktur. U nsur matrik K,1 merupakall hasil rakitan unsur-ullsur matrik elemell yang ujungllya terkait menyusun titik kumpul. 7.2 Koordi nat Lokal d a n Koordi nat Stru ktu r

Pcrakitan matrik [ K ] dari matrik elemen [ S ] memerlukall proses transformasi koordillat. kedalam sistem koordi nat struktur/global . U lltuk trallsformasi gaya dari koordillat global ke koordinat lokal diperlukan matriks trallsformasi [T] yaitu : { F }= [T] { P} F;

cos y"

F,

S i ll Ya

0

0

0

0

cos y"

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

F"

0

0

0

F5

0

0

0

0

0

0

Fo

F6

S i ll Yu

cos y" sill r" - s m r" cos y" 0

0

0 0

�

Po P,

p4

(7 - 1 1 )

PS

�'

Struktur Lengkung

373

hal mana Ya dan Yb adalah sudut yang dibentuk antara sumbu global X dengan sumbu lokal x berlawanan arah jarum jam pada titik A dan B. Karena gaya dan perpindahan sa ling terkait maka persamaan ( 7 - 1 1 ) dapat d iubah sebagai berikut: { P} = {T}

1

( 7 - 1 2)

{ F} m

(7 - 1 3 )

{ M m = { T} {X}

dimana

adalah gaya dan perpindahan global dan { F } 11, { M m adalah gaya dan perpindahan ujung batang elemen lokal Hubungan antara gaya dan pcrpindahan lokal adalah : {P}, {X}

{ F } m = [ S i m {M m

( 7 - 1 4)

T {P} = [T] [ S i m i T I {X}

(7 - 1 5 )

Menggunakan persamaan (7 - 1 4) dan ( 7 - 1 3 ) d isubstitusikan ke persamaan (7 - 1 2) diperolch :

(7 - 1 6)

{P} = [ k ] m {X}

seh ingga transformasi matriks kekakuan dari koord inat lokal ke koordinat global adalah :

(7 - 1 7)

7.3. Matri k Keka kuan Stru ktu r

Matriks kekakuan elemen men jadi bagian dari penyusunan matriks kekakuan struktur [ K ] . Prosedur penggabungan unsur matriks kekakuan elemen menjad i matriks kekakuan struktur mcnggunakan posisi indeks derajat kebcbasan.elemen.

Gambar 7 . 4 . 1 Segmen pada struktur lengkung

Sebagai contoh di tinjau titik kumpul 3 yang terdiri dari clemen 2 dan 3 . 374


M atrik kekakuan elemen 2,

� £� 6�� [2] [J [4_] D � [k ] 2

=

kll

k l2

ku

k l�

k21

k 22

k 2l

k 2�

kll

k l2

k ,J

k ]�

k�l

kl

; k2 5 k 35

kl, ( k 2< · k y,

k �2

k �J

k ��

k <5

k �,,

k;l

k 52

k 53

k s•

k jj

k "'

k ,d

k ,,2

k ,,]

k ,,�

k ,,j

k ,,,,

---

i ndeks den�jat k.:bcbasan struktur

---

indeks der<�jat kcbcbasan elemen

---

indcks den�jat kebebasan struktur

---

i n d.:ks den�jat kcbcbasan elcmcn

Matrik kekakuan elemen 3

6 �� £�8 � [2] D [4_] D � [k ]]

=

9

kl l

k l2

k 21

k 22

} k 23

k ,l

k l2

k ll

kl

k l.

kl

k l (,

k 2�

' k 25

k 2,,

k l�

k ]j

k ],,

k. l

k �2

k �J

k �·

k •s

k �,,

k51

k 52

k j]

k j.

k 55

k ;,,

k ,, l

k ,,2

k ,,]

k ,,�

k ,,j

k ,,,,

U nsur K;1 bagi derajat kebebasan d i titik kumpul 3 adalah :

7.4 Sol usi [K]s {X}s= {P}s

Setelah memperoleh unsur matriks kekakuan struktur [ Kl s dan matriks gaya struktur ( P } , maka persamaan simultan [ K),(X) ,={P}, dapat d iselesaikan. Terdapat beberapa cara penyelesaian persamaan linear simultan, salah satu cara yang akan d igunakan adalah Metode Gauss-Jordan. Dari penjelasan diatas, langkah- langkah analisa struktur lengkung dengan metode matrik. dapat d isimpulkan sebagai berikut:

Struktur Lengkung

375

I . Bentuk matriks fleksibilitas [f]3,3 , matriks kekakuan relatif [ krhx3 berdasarkan DOF relatif. 2 . Bentuk matriks kekakuan elemen [ S I 6,6 dan vektor beban { F } dalam koordi nat lokal. [SI = [ V I [ kr] [ V I

3.

3.

r

Rotasikan ke koordinat global [ k ]m = [T] T [ S ]m[T] { P } m = [ T] r { F } m Rakit matriks kekakuan struktural [ K], dan beban struktural { P}s kemudian terapkan persamaan [ KI , [ X], = {P } s

Selesaikan persamaan untuk mengh itung perpindahan nodal {X}s U ntuk menyelesaikan perpindahan ini akan digunakan metode Gauss Jordan 5 . Tentukan perpindahan elemen dalam koordinat lokal {u}

4.

6.

{u}= [ T I {X}s

H itung gaya-gaya ujung elemen { F } = [ K] , { u } + { F }

7.5 Contoh Diketahui

struktur

pelengkung

seperti

beri k ut

seperti

Gambar

7.6. 1 .

S udut

pelengkung elemen 8 = 0 . 2 6 1 8 radian.

I . Matrik tleksibil itas elemen

Karena sudut elemen diambil sama, maka matrik tleksibil itas semua elemen sama yaitu : 1

-5 . 95E-05

-2 . 04E-05

1

- 2 . 0 4 E- 0 5

2 . 34E-04

1 . 2 0E - 0 4

3

Matrik kekakuan relatif (})

5 . 8 2 E+ 0 5

7 . 5 8E+04

- 4 . 8 5 E+ 0 4

376

3

7 . 7 6E-06

- 5 . 9 5E-05

2.

2

6 . 07E-04

Q)

2 . 34E-04

Q)

-7 . 5 8E+04

4 . 8 5E + 0 4

- 1 . 9 3 E+ 0 4

3 . 7 7 E+ 0 4

1 . 6 5 E+ 0 4

-1 . 93E+04


2

1 2 3

3.

M atrik kekakuan absolut

G)

Q)

®

@

Q)

®

5 . 82E+05

-7 . 5 8E+04

-4 . 85E+04

- 5 . 82E+05

-7 . 7 5E+04

5 . 19E+04

-7 . 58E+04

1 . 6 5E+04

1 . 9 3 E+ 0 4

7 . 7 5E+04

3 . 68E+03

6 . 05E+03

-4 . 85E+04

1 . 9 3 E+ 0 4

3 . 7 7 E+ 0 4

5 . 19E+04

-6 . 05E+03

1 . 2 3E+04

-5 . 82E+05

7 . 7 5E+04

5 . 1 9 E+ 0 4

5 . 82E+05

7 . 58E+04

-4 . 85E+04

-7 . 7 5E+04

3 . 68E+03

-6 . 05E+03

7 . 58E+04

1 . 65E+04

- 1 . 9 3 E+ 0 4

5 . 19E+04

6 . 05E+03

1 . 2 3 E+04

- 4 . 8 5 E+ 0 4

- 1 . 9 3 E+ 0 4

3 . 77E+04

1

2

3

4 5

6

l 78kN R=

15 m 60° = 1 .04 7 2 radian E = 2 x l 08 kN/m 2 4 4 1 I = .64* 1 0- m 2 1 1 2 A = . 9 * 0- m 4 P = 1 7 8 kN

Ol

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

',

'

'

'

'

'

'

'

'

�

'

/

'

V

/

/

/

/

/

/

/

/

�

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

=

/

/

G ambar 7 . 6. 1 Stru ktur lengk ung dengan perletakan jepit-jepit

Struktur Lengkung

377

*

Elemen

CD

*

I

0

®

®

®

5 . 06E+05

2 . 07E+05

- 5 . 17E+04

-5 . 06E+05

-2 . 07E+05

4 . 19E+04

2 . 07E+05

9 . 2 3 E+ 0 4

-7 . 58E+03

-2 . 07E+05

- 9 . 2 3 E+ 0 4

3 . 12E+04

- 5 . 17E+04

-7 . 58E+03

3 . 7 7 E+ 0 4

5 . 17E+04

7 . 58E+03

1 . 2 3 E+ 0 4

-5 . 06E+05

-2 . 07E+05

5 . 17E+04

5 . 06E+05

2 . 07E+05

-4 . 19E+04

-2 . 07E+05

- 9 . 2 3 E+ 0 4

7 . 5 8E+03

2 . 07E+05

9 . 2 3 E+ 0 4

-3 . 12E+04

4 . 19E+04

3 . 12E+04

1 . 2 3 E+ 0 4

-4 . 19E+04

-3 . 12E+04

3 . 7 7 E+ 0 4

1

2 3

4

5

6

Elemen 2 1

*

®

2

3

5

4

6

1

5 . 82E+05

7 . 57E+04

-5 . 19E+04

-5 . 82E+05

-7 . 57E+04

4 . 85E+04

7 . 57E+04

1 . 6 5E+04

6 . 05E+03

-7 . 57E+04

- 1 . 65E+04

1 . 9 3 E+ 0 4

-5 . 19E+04

6 . 05E+03

3 . 77E+04

5 . 1 9 E+ 0 4

- 6 . 05E+03

1 . 2 3 E+ 0 4

- 5 . 82E+05

- 7 . 5 7 E+ 0 4

5 . 19E+04

5 . 82E+05

7 . 57E+04

-4 . 85E+04

-7 . 57E+04

- 1 . 65E+04

- 6 . 05E+03

7 . 57E+04

1 . 65E+04

- 1 . 9 3 E+ 0 4

5

4 . 85E+04

1 . 93E+04

1 . 2 3 E+ 0 4

-4 . 85E+04

- 1 . 9 3 E+ 0 4

3 . 77E+04

6

Elemen 3 1

2

3

5

4

2 3

4

6

5 . 82E+05

-7 . 57E+04

-4 . 85E+04

-5 . 82E+05

7 . 57E+04

5 . 19E+04

1

- 7 . 57E+04

1 . 6 5E+04

1 . 93E+04

7 . 57E+04

- 1 . 6 5E+04

6 . 0 5 E+ 0 3

-4 . 85E+04

1 . 9 3 E+ 0 4

3 . 77E+04

4 . 85E+04

- 1 . 9 3 E+ 0 4

1 . 2 3 E+ 0 4

2

-5 . 82E+05

7 . 57E+04

4 . 85E+04

5 . 82E+05

-7 . 57E+04

- 5 . 19E+04

4

7 . 57E+04

- 1 . 65E+04

- 1 . 9 3 E+ 0 4

-7 . 57E+04

1 . 6 5 E+ 0 4

- 6 . 05E+03

5 . 19E+04

6 . 05E+03

1 . 2 3 E+ 0 4

-5 . 19E+04

-6 . 05E+03

3 . 77E+04

5

378


3

6

Matrik kekakuan elemen global * Elemen 4

4.

@

G)

@

®

®

5 . 06E+05

-2 . 07E+05

-4 . 19E+04

- 5 . 0 6 E+ 0 5

2 . 0 7 E+ 0 5

5 . 1 7 E+ 0 4

-2 . 07E+05

9 . 2 3 E+ 0 4

3 . 1 2 E+ 0 4

2 . 07E+05

- 9 . 2 3 E+ 0 4

-7 . 58E+03

- 4 . 1 9 E+ 0 4

3 . 1 2 E+ 0 4

3 . 7 7 E+ 0 4

4 . 19E+04

-3 . 12E+04

1 . 2 3 E+ 0 4

- 5 . 06E+05

2 . 07E+05

4 . 1 9 E+ 0 4

5 . 0 6 E+ 0 5

-2 . 07E+05

- 5 . 1 7 E+ 0 4

2 . 07E+05

- 9 . 2 3 E+ 0 4

- 3 . 1 2 E+ 0 4

-2 . 07E+05

9 . 23E+04

7 . 5 8E+03

5 . 17E+04

-7 . 5 8E+03

1 . 2 3 E+ 0 4

- 5 . 1 7 E+ 0 4

7 . 5 8E+03

3 . 77E+04

5 . Matrik kekakuan struktur [TI

0

0

G

ITl

IT]

[2]

�

0

1

2 3

4

5

6

1 . 09E+06

2 . 83E+05

- 9 . 3 8 E + 04 -5 . 8 2 E + 05 - 7 . 57 E + 04 4 . 8 5 E + 0 4

O . OOE+OO

0 . OOE+OO

O . OOE+OO

1

2 . 83E+ 05

1 . 0 9 E + 05

- 2 . 51E+04 -7 . 57 E + 04 - 1 . 65E+ 04 1 . 93E+04

O . OOE+OO

O . OOE+OO

O . OOE+OO

2

O . OOE+OO

O . OOE+OO

O . OOE+OO

3

5 . 1 9 E + 04

4

- 9 . 3 8 E + 0 4 - 2 . 51 E + 04 7 . 54E+ 04

5 . 1 9 E+ 04

- 6 . 05E+03 1 . 2 3 E + 04

-5 . 8 2 E +05 -7 . 5 7 E + 0 4 5 . 19 E + 04

1 . 16 E + 0 6

5 . 0 9 E-10

- 9 . 71E+ 04 -5 . 8 2 E + 0 5 7 . 5 7 E + 04

- 7 . 57 E + 04 -1 . 6 5 E + 04 - 6 . 05E+03 4 . 95E-10

3 . 3 0 E + 04

- 1 . 8 9 E -1 0 7 . 5 7 E + 0 4

-1 . 65E+ 04 6 . 05E+03

5 6

4 . 85E+04

1 . 93E + 04

1 . 2 3 E + 04

- 9 . 7 1 E + 04 -1 . 8 2 E-10 7 . 54 E + 04

4 . 85E+04

- 1 . 93E+04 1 . 2 3 E + 0 4

O . OOE+OO

O . OOE+OO

O . OOE+OO

-5 . 8 2 E + 05 7 . 5 7 E + 04

1 . 09E+06

- 2 . 83E+05 - 9 . 3 8 E + 0 4 7

O . OOE+OO

O . OOE+OO

O . OOE+OO

7 . 5 7 E + 04

-1 . 65E+04 -1 . 93E+ 04 - 2 . 83E+05 1 . 0 9 E+ 05

2 . 51E+04

O . OOE+OO

5 . 19 E+ 04

6 . 0 5 E + 03

1 . 2 3 E + 04

- 9 . 3 8 E + 0 4 2 . 51E+ 04

O . OOE+OO

5 . 19 E+ 04

4 . 85E+ 04

7 . 54 E + 0 4

8

!I

5 . Vektor Beban { P}s dan Solusi [ K ] s {X}s= {P}s p

X

0

- 1 . 12E-03

0

8 . 9 3 E- 0 4

0

- 1 . 92E-03

0

9 . 5 5E - 1 9

1

2 3

-178

- 1 . 0 3 E- 0 2

4

0

-3 . 97E- 18

6

0

1 . 12E-03

0

8 . 93E-04

7

0

1 . 92E-03

9

5

8

Struktur Lengkung

379

Perpindahan dan gaya dalam elemen E l ernen l

e l ernen

Perpi ndahan e l ernen

s t ruktur

l okal

Perpi ndahan

Gaya da l arn e l ernen

E l ernen 2 Perpi ndahan e l ernen


s t ruktur

l okal

Gay a da l arn e l ernen

O . O OE+ O O

O . O OE+OO

-3 . 05E+02

- 1 . 1 2 E- 0 3

-8 . 48E-04

- 3 . 1 3 E+ 0 2

O . O OE+ O O

O . O OE+ O O

7 . 3 1E+Ol

8 . 93E-04

l . l SE-03

- 8 . 2 5E+ O O

O . O OE+OO

O . OOE+OO

7 . 47E+Ol

-1 . 92E-03

- 1 . 92E-03

- 5 . 3 5E+Ol

- 1 . 12E-03

- 8 . 4 8E-04

3 . 1 3 E+ 0 2

9 . 5 5E-19

1 . 09E-06

3 . 00E+02

8 . 9 3 E- 0 4

l . l SE-03

8 . 22E+OO

- 1 . 03E-02

- 1 . 03E-02

8 . 90E+Ol

- 1 . 92E-03

-1 . 92E-03

5 . 3 5E+Ol

-3 . 97E-18

- 3 . 9 7 E- 1 8

- 1 . 3 9E+02

E l ernen 4

E l ernen 3 Perpindahan e l ernen


s t ruktur

lokal

Gay a da l arn

Perpindahan

e l ernen

e l ernen


s t ruk tur

lokal

Gaya da l arn e l ernen

9 . 5 5E-19

- 1 . 09E- 0 6

- 3 . 00E+02

1 . 1 2 E- 0 3

8 . 4 8E-04

- 3 . 1 3 E+02

- 1 . 0 3 E- 0 2

- 1 . 0 3 E- 0 2

8 . 90E+Ol

8 . 9 3 E- 0 4

l . l SE-03

8 . 2 2 E+ O O

-3 . 97E-18

- 3 . 9 7 E- 1 8

1 . 3 9 E+ 0 2

1 . 92E-03

1 . 92E-03

- 5 . 3 5 E+ O l

1 . 1 2 E- 0 3

8 . 48E-04

3 . 1 3 E+ 0 2

O . OOE+OO

O . OOE+OO

3 . 0 5E+02

8 . 9 3 E- 0 4

l . l S E- 0 3

- 8 . 2 5E+OO

O . O O E+ O O

O . OOE+OO

7 . 3 1E+Ol

1 . 92E-03

1 . 92E-03

5 . 3 5 E+ O l

O . O O E+ O O

O . OOE+OO

-7 . 47E+Ol

7.6

Program Komputer

Dengan menggunakan program komputer m aka langkah-langkah diatas dapat d i lakukan dengan lebih mudah dan cepat. Untuk keperluan tersebut maka dibuat program komputer untuk struktur lengkung dengan menggunakan bahasa program C++. Pada program ini dibuat data input pada file bcrekstensi *txt. Setelah eksekusi program, hasil program dapat ditulis kedalam bentuk fi/e. Source Program # i n c l u d e < i os t r e am> # i n c l ude < s t d i o . h> # i n c l ud e < s t d l i b . h> # i nc l ude < s t r i ng . h> # i nc l ud e # i nc l ud e < f s t ream . h> # i nc l ude < c o n i o . h>

int

i , j , l,m,n;

c on s t i n t N = 7 5 , ND = 2 5 , EL= 2 5 , MT = l 5 ; i n t NDOF , PX [ ND ] , PY [ ND ] , PR [ ND ] , NNODE , NMAT , NE L , NLOAD , NF , NR , NM , MAT [ MT ] ;

380

Amrinsyah Nasution , Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

i n t JJ [ N ] , JK [ N ] , LOAD [ EL ] , RX [ ND ] , RY [ ND ] , RR [ ND ] ; i n t NJ , NK , P [ 6 ] , NL , NJF [ ND ] , NRJ [ ND ] , JRL , MDX [ ND ] , MDY [ ND ] , MDR [ ND ] ; doub l e DX , DY , DX l , DY l , L , QLX , QLY , TR [ 6 ] [ 6 ] , JD [ ND ] [ 3 ] ; doubl e angl e , R , E [ MT ] , A [ MT ] , I [ MT ] , theta , X [ ND ] , Y [ ND ] ; doub l e QX [ EL ] , QY [ EL ] , FX [ ND ] , FY [ ND ] , MZ [ ND ] , RG [ ND] , AR J [ ND ] [ 3 ] ; doub l e ubq [ EL ] [ 3 ] , FEFq [ EL ] [ 6 ] , FEFp [ EL ] [ 6 ] , FF [ EL ] [ 6 ] , PF [ N ] ; doub l e KK [ N ] [ N ] , PP [ N ] , UU [ N ] , A l , f ac t , U [ EL ] [ 6 ] , u [ EL ] [ 6 ] , F [ EL ] [ 6 ] , FG [ EL ] [ 6 ] ; doub l e f l l [ MT ] , f l 2 [ MT ] , f 1 3 [ MT ] , f 2 2 [ MT ] , f 2 3 [ MT ] , f 3 3 [ MT ] ; doub l e a [ MT ] , kl l [ MT ] , k1 2 [ MT ] , k 1 3 [ MT ] , k2 2 [ MT ] , k2 3 [ MT ] , k3 3 [ MT ] ; doub l e f [ MT ] [ 3 ] [ 3 ] , k [ MT ] [ 3 ] [ 3 ] , K [ EL ] [ 6 ] [ 6 ] , KG [ E L ] [ 6 ] [ 6 ] , KP [ N ] [ N+ l ] ; doub l e Aab [ 6 ] [ 3 ] , TransAab [ 3 ] [ 6 ] , T [ EL ] [ 6 ] [ 6 ] , TransT [ EL ] [ 6 ] [ 6 ] ; doub l e f i [ EL ] , GammaA [ EL ] , GammaB [ EL ] ; v o i d input ( ) ; vo i d d i sp_input ( ) ; v o i d d i sp_output ( ) ; i n t ma i n

( )

c ou t< < "

PROGRAM FOR CURVED MEMBER ANALYS I S

co ut < < " \ n = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

" ; " < < end l ;

i np ut ( ) ; d i sp_input ( ) ; cou t < < " \ n Proces s i ng d a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . " <
l l - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 menghi t ung d o f 1 1-----------------------------------------------------------------------------NDOF= O ; f o r ( i = O ; i
PX [ i ] =NDOF ; } PY [ i ] =NDOF ; }

i f ( RR [ i ] = = 0 ) { NDOF=NDOF + l ; PR [ i ] =NDOF ; } c o u t < < " \ n T o t a l DOF = " <
%2d

%2d

PR %2d

" < < endl ; % 2 d \ n " , ( i + l ) , PX [ i ] , PY [ i ] , PR [ i ] )

; }

l l-----------------------------------------------------------------------------1 1 mengh i tung m a t r i x f l eks i b i l i tas dan ma t r i ks kekakuan r e l a t i f 1 1 - ----------------------------------------------------------------------------the t a = ang l e i NEL ;

f or ( i = O ; i < NMAT ; i + + ) { f l l [ i ] = R I ( 4 * E [ i ] * A [ i ] ) * ( 2 * the t a + s i n ( 2 * the t a ) ) +p ow ( R , 3 ) 1 ( 4 * E [ i ] * I [ i ] ) * ( 6 * theta 8 * s i n ( th et a ) + s i n ( 2 * the t a ) ) ;

f 1 2 [ i ] = R I ( 2 * E [ i ] * A [ i ] ) * s i n ( thet a ) * s i n ( the t a ) - p ow ( R , 3 ) 1 ( 2 * E [ i ] * I [ i ] ) * ( 1 co s ( the t a ) ) * ( l - co s ( thet a ) ) ; f 1 3 [ i ] = - R * R ! ( E [ i ] * I [ i ] ) * ( theta - s i n ( theta ) ) ; f 2 2 [ i ] = R I ( 4 * E [ i ] * A [ i ] ) * ( 2 * theta - s i n ( 2 * thet a ) ) +p ow ( R , 3 ) 1 ( 4 * E [ i ] * I [ i ] ) * ( 2 * theta s i n ( 2 * the t a ) ) ; f 2 3 [ i ] = R * R I ( E [ i ] * I [ i ] ) * ( 1 - c os ( the ta ) ) ; f 3 3 [ i ] = R I ( E [ i ] * I [ i ] ) * the t a ; a [ i ] =- f13 [ i ] * f 1 3 [ i ] * f22 [ i ] + 2 * f 1 2 [ i ] * f1 3 [ i ] * f23 [ i ] - f l l [ i ] * f2 3 [ i ] * f23 [ i ] f12 [ i l * f12 [ i l * f3 3 [ i l +f1 1 [ i l * f22 [ i l * f3 3 [ i l ; kl l [ i l = ( - f 2 3 [ i ] * f 2 3 [ i l + f 2 2 [ i ] * f 3 3 [ i l ) I a [ i l ; k12 [ i ] = ( f1 3 [ i ] * f2 3 [ i ] - f 1 2 [ i ] * f33 [ i ] ) la [ i ] ; k13 [ i l = ( - f1 3 [ i l * f2 2 [ i l + f 1 2 [ i l * f 2 3 [ i l ) I a [ i l ; k2 2 [ i ] = ( - f 1 3 [ i ] * f 1 3 [ i ] + f 1 1 [ i ] * f 3 3 [ i ] ) I a [ i ] ; k2 3 [ i l = I f 1 2 [ i l * f 1 3 [ i l - f 1 1 [ i l * f 2 3 [ i l ) I a [ i l ;

Struktur Lengkung

381

k3 3 [ i ] = ( - f 1 2 [ i ] * f 1 2 [ i ] + f 1 1 [ i ] * f 2 2 [ i ] ) I a [ i ] ; c o u t < < " \ n Proc e s s i ng f l ex i b i l i ty m a t r i x . . . . " < < en d l ; c o u t < < " \ n Pro c e s s in g r e l a t ive s t i f n e s s m a t r i x . . . " <
I n i s i a l i sasi for

( i = O ; i < NMAT ; i + + ) { f or ( j = O ; j < 3 ; j + + ) { f or ( l = 0 ; 1 < 3 ; l + + ) { f [i] [ j ] [1]=0;

/I

k[i] [ j l [1] =0; } i s i m a t r i x f [ i ] [ j ] dan k [ i ] [ j ]

f or ( i = O ; i < NMAT ; i + + ) {

f [ i ] [ 2 ] [ 0 ] =f13 [ i ] ; k [ i ] [ 0 ] [ 0 ] =k l l [ i ] ; k [ i ] [ 0 ] [ 2 ] =k13 [ i ] ;

f [ i ] [ 0 ] [ l ] = f12 [ i ] ; f [ i ] [ 1 ] [ 1 ] =f22 [ i ] ; f [ i ] [ 2 ] [ 1 ] =f23 [ i ] ; k [ i ] [ 0 ] [ 1 ] =k12 [ i ] ; k [ i ] [ 2 ] [ 0 ] =k 1 3 [ i ] ;

k [ i ] [ 1 ] [ 2 ] =k2 3 [ i ] ;

k [ i ] [ 2 ] [ 1 ] =k23 [ i ] ;

f [ i ] [ 0 ] [ O ] = fll [ i ] ; f [ i ] [ 1 ] [ 0 ] =f12 [ i ] ;

f [ i ] [ 0 ] [ 2 ] = f13 [ i ] ; f [ i ] [ 1 ] [ 2 ] = f2 3 [ i ] ; f [ i ] [ 2 ] [ 2 ] =f33 [ i ] ; k [ i ] [ 1 ] [ 0 ] =k12 [ i ] ; k [ i ] [ 1 ] [ l ] = k2 2 [ i ] ; k [ i ] [ 2 ] [ 2 ] = k3 3 [ i ] ;

1 *-----------------------------------------------------------------------------M a t r i k s kekakuan curved member - - - - - - - - - - ·· - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - * 1 co ut < < " \ n Pro c e s s i ng abs o l u t e s i t f f n e s s m a t r i x . . . " < < en d l ; / / ma t r i x t r ans f ormas i gaya Aab f or ( i = O ; i < 6 ; i + + ) {

f or ( j = O ; j < 3 ; j + + ) { A ab [ i ] [ j l = 0 ; } } Aab [ O ] [ 0 ] = - c o s ( the t a ) ; Aab [ O ] [ 1 ] = - s i n ( the t a ) ; Aab [ 1 ] [ O ] = s in ( the t a ) ; Aab [ 1 ] [ 1 ] = - c o s ( th e ta ) ; Aab [ 2 ] [ 0 ] = R * ( 1 - cos ( thet a ) ) ; Aab [ 2 ] [ 1 ] = - R * s i n ( the t a ) ; A ab [ 3 l [ 0 l = 1 ; Aab [ 4 l [ 1 ] = 1 ; A ab [ 5 l [ 2 l = 1 ;

Aab [ 2 ] [ 2 ] =

-1 ;

/ / Transpose ma t r i ks Aab for ( j = O ; j < 3 ; j + + ) {

TransAab [ j ] [ i ] =Aab [ i ] [ j ] ; } }

f or ( i = O ; i < 6 ; i + + ) {

/ / Abs o l u te S t i f f n e s s f or ( i = O ; i
f or ( j = O ; j < 6 ; j + + ) { f or ( l = O ; l < 6 ; 1 + + ) { K [ i ] [ j ] [ 1 ] =0 ; } } } f or ( i = O ; i
] [ l ] [ m ] * TransAab [ m ] [ n ] ; } } } } }

1 *-----------------------------------------------------------------------------M a t r i k s kekakuan g l obal ----------------------------------------------------------------------------* 1 c o u t < < " \ n Proc e s s i n g s t ructural s t i f f n e s s ma t r i x . . . " < < endl ; I I M a t r i ks tran s f orma s i T f o r ( i = O ; i
382

Amrinsyah N asution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

c ou t < < f i [ i ] < < endl ; GammaA [ i ] = f i [ i ] + theta / 2 ; GammaB [ i ] = f i [ i ] - theta / 2 ;

/ / sudu t t rans f orma s i

T [ i ] [ 0 ] [ O ] = c o s ( GammaA [ i ] T [ i ] [ 1 ] [ 0 ] = - s i n ( GammaA [ i T [ i ] [ 3 ] [ 3 ] = c os ( GammaB [ i ] T [ i ] [ 4 ] [ 3 ] = - s i n ( G ammaB [ i

) ; T [ i ] [ 0 ] [ 1 ] = s i n ( GammaA [ i ] ) ; ] ) ; T [ i ] [ 1 ] [ 1 ] = c o s ( GammaA [ i ] ) ; ) ; T [ i ] [ 3 ] [ 4 ] = s in ( GammaB [ i ] ) ; ] ) ; T [ i ] [ 4 ] [ 4 ] = c o s ( GammaB [ i ] ) ;

T [ i ] [ 2 ] [ 2 ] =1 ; T [ i ] [ 5 ] [ 5 ] = 1 ; } / / Tr an s p o s e T f o r ( i = O ; i
f or ( j = O ; j < 6 ; j + + ) { for ( 1 = 0 ; 1 < 6 ; 1 + + ) { TransT [ i ] [ 1 ] [ j ] = T [ i ] [ j l [ 1 ]

1 1 M a t r i k s k ekakuan e l emen g l obal

;

lll

f o r ( i = O ; i
f or ( l = 0 ; 1 < 6 ; 1 + + ) { f o r ( m= O ; m< 6 ; m+ + ) { f o r ( n= O ; n < 6 ; n+ + ) { KG [ i ] [ j ] [ n ] + =TransT [ i ] [ j ] [ l ] * K [ i ] [ 1 ] [ m ] * T [ i ] [ m ] [ n ] ; } } } } }

1 1 Ma t r i ks kekakuan s t ruktur g l oba l f o r ( i = O ; i
/ / inisial isasi

KK [ i ] [ j ] = O ; } } f o r ( i = O ; i
P [ 1 ] = PY [ NJ ] ; P [ 4 ] = PY [ NK ] ;

P [ 2 ] = PR [ NJ ] ; P [ 5 ] = P R [ NK ] ;

for ( j = O ; j < 6 ; j + + ) { for ( l = 0 ; 1 < 6 ; 1 + + ) { if(

P [ j ] *P [ l ] ! =O ) { KK [ ( P [ j ] - 1 ) ] [ ( P [ l ] - 1 ) ] = KK [ ( P [ j ] - 1 ) ] [ ( P [ l ] - l ) ] +KG [ i ] [ j ] [ 1 ] ; } } }

1 *----------------------------------------------------------------------------Menghi tung reak s i dan gaya da l am ---------------------------------------------------------------------------* ! co u t < < " \ n Proc e s s i n g e l ement c ou t < < end l ;

f o rces and d i s p l acement . . . . . " < < endl ;

/ / F i xed end f o rces a k i ba t beban merata q f o r ( i = O ; i
for

f or ( j = O ; j < 6 ; j + + ) { FEFq [ i ] [ j ] = 0 ; } } ( i = O ; i
i f ( ( QX [ NL ] ! = 0 ) 1 1 ( QY [ NL ] ! = 0 ) ) { DX= ( X [ i + 1 ] - X [ i ] ) ; DX1 = DX * DX ; DX = sqrt ( DX1 ) ; DY= ( Y [ i ] - Y [ i + i ] ) ; D Y 1 = DY * DY ; D Y = s qr t ( DY 1 ) ; L= s q r t ( DX 1 +DY1 ) ; QLX=QX [ NL ] * R * the t a / L * c os ( f i [ i ] ) + QY [ NL ] * R * th e ta / L * s i n ( f i [ i ] ) ; QLY = - QX [ NL ] * R * thet a / L * s i n ( f i [ i ] ) +QY [ N L ] * R * the ta / L * c o s ( f i [ i ] ) ; FEFq [ i ] [ 0 ] = 0 . 5 * QLX * L ; FEFq [ i ] [ 3 ] = FEFq [ i ] [ 0 ] ; FEFq [ i ] [ 1 ] = 0 . 5 * QLY * L ; FEFq [ i ] [ 4 ] = FEFq [ i ] [ 1 ] ; FEFq [ i ] [ 2 ] = 1 ! 1 2 * Q LY * L * L ; FEFq [ i ] [ 5 ] = - FEFq [ i ] [ 2 ] ; } }

c o u t < < " \ n F i xed end f orces a k i b a t q " < < endl ; f o r ( i = O ; i
Struktur Lengkun:;;

383

printf ( " c ou t <
% 1 0 . S e " , FEFq [ i ] [ j ] ) ; } f o rces g l obal

" <
i f I ( QX [ NL ] ! = 0 ) 1 1 ( QY [ N L ] ! = 0 ) ) { f or ( j = O ; j < 6 ; j + + ) { for ( 1 = 0 ; 1 < 6 ; 1 + + ) { TR [ j ] [ 1 ] = 0 ; } }

TR [ O ] [ 0 ] = c o s ( f i [ i ] ) ; TR [ O ] [ 1 ] = - s in ( f i [ i ] ) ; TR [ 3 ] [ 3 ] = TR [ 0 ] [ 0 ] ; TR [ 3 ] [ 4 ] = TR [ 0 ] [ 1 ] ; TR [ 1 ] [ 0 ] = s i n I f i [ i ] ) ; TR [ 1 ] [ 1 ] =COS ( f i [ i ] ) ; TR [ 4 ] [ 3 ] = TR [ 1 ] [ 0 ] ; TR [ 4 ] [ 4 ] =TR [ 1 ] [ 1 ] ; TR [ 2 ] [ 2 ] = 1 ; TR [ 5 ] [ 5 ] = 1 ;

for ( 1 = 0 ; 1 < 6 ; 1 + + ) { FF [ i ] [ j ] + = TR [ j ] [ l ] * FEF q [ i ] [ 1 ] ; } % 1 0 . 5 e " , FF [ i ] [ j ] ) ; print f ( " f or ( j = O ; j < 6 ; j + + ) {

} c out< < endl ; }

/ / gaya e l emen g l obal

}

c ou t < < endl ;

f or ( i = O ; i
P [ 2 ] = PR [ NJ ] ; P [ S ] = PR [ NK ] ;

f or ( j = O ; j < 6 ; j + + ) { if ( P [ j ] 1 =0) { PF [ P [ j ] - 1 ] = PF [ P [ j ] - 1 ] + FF [ i ] [ j ] ; } } }

/ / Merak i t Gaya s t ruktural c ou t < < " \ n Gaya s t ruktural gl obal f or l i = O ; i
{ P } " < < endl ;

i f ( PX [ i ] ! = O ) { P P [ PX [ i ] - 1 ] = FX [ i ] ; i f ( PY [ i ] ! = O ) { PP [ PY [ i ] - 1 ] = F Y [ i ] ; } i f ( PR [ i ] ! = 0 ) { P P [ PR [ i ] - 1 ] =M Z [ i ] ; f or l j = O ; j
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

/ / Ma t r i ks KS yg d i t i ngkatkan f o r l i = O ; i
f o r l j = O ; j
384

} }} } )


*!

/ / perpi ndahan s t ruk tural dan g l oba l f or ( i = O ; i
e l emen

UU [ i ] = K P ( i ] [ NDOF ] ; c o u t <
{ JD [ i ] [ j ] = 0 ; } } } f o r ( i = O ; i
}

P ( 2 ] = PR [ NJ ] ; P [ 5 ] = PR [ NK ] ;

U [ i ] [ j ] =O ; } } } / 1 perpi ndahan l ok a l e l emen f or ( i = O ; i
) } }

1 *----------------------------------------------------------------------------gaya-gaya da l am e l emen ----------------------------------------------------------------------------* 1 f or ( i = O ; i
MDX [ i ] = JRL ; } MDY [ i ] =JRL ; }

MDR [ i ] = JRL ; } JRL=JRL + 1 ; f o r ( i = O ; i < JRL ; i + + ) { RG [ i ] = O ; } f o r ( i = O ; i
Struktur Lengkung

385

if (P[j ] !=O) { RG [ P [ j ] - 1 ] =RG [ P [ j ] - 1 ] + FG [ i ] [ j ] ; } } } f or ( i = O ; i
f or ( i = O ; i
P [ 2 ] =MDR [ i ] ;

f or ( j = O ; j < 3 ; j + + ) { i f ( P [ j ] ! =0 ) { ARJ [ i ] [ j ] = RG [ P [ j ] - 1 ] ; } } } f or ( i = O ; i
Program sukses di

cout< < " \ n d i sp_output ( ) ;

Has i l eksekus i d i l i h a t p acta a r s i p has i l " <
ekseku s i

! ! " ;

getch ( ) ; sys t em ( " PAUS E " ) ; r e turn 0 ; } I I = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! I vo i d input ( ) { char F i l ename [ 3 0 ] c o u t< < " \ n Masukkan nama ars i p data c in > > F i l ename ; i f s tream i np ; i np . open ( F i l ename ) ; i f ( ! i np ) { c o u t < < " \ n F i l e ' " < < F i l ename < < " c o u t < < " \ n Program d i he n t i kan .

t i dak ada . " ;

"

·

getch ( ) ; exi t ( 0 ) ; } c o u t < < " \ n Membaca i nput data char endl [ 8 0 ] ; f o r ( i = O ; i
. . . . . . . " ;

RX [ i ] = O ; RY [ i ] = O ; RR [ i ] = O ; FX [ i ] = O ; FY [ i ] = O ; MZ [ i ] = O ; i np . ge t l i n e ( en d l , s i z eo f ( endl ) ) ; i np . ge t l i ne ( endl , s i z eo f ( endl ) ) ; i np . ge t l i n e ( en d l , s i z eo f ( endl ) ) ; i np > > ang l e ; inp > >R ; i np . ge t l i n e ( endl , s i z e o f ( endl ) ) ; inp . i gnore ( 1 0 ) ; i np > > NNODE ; inp . ge t l i ne ( endl , s i z e o f ( en dl ) ) ; inp . ge t l i n e ( en d l , s i z e o f ( endl ) ) ; f o r ( i = O ; i > X [ i ] ; i np > > Y [ i ] ; i np . ge t l i ne ( endl , s i z e o f ( endl ) ) ; } i np . i gnore ( l O ) ; i np > > NR ; i np . ge t l ine ( endl , s i z e o f ( endl ) ) ; f o r ( i = O ; i
i np > >NRJ [ i ] ; i np > > RX [ NRJ [ i ] - l ] ; inp> >RY [ NRJ [ i ] - 1 ] ; i np > > RR [ NRJ [ i ] l ] ; i np . ge t l i ne ( endl , s i z eo f ( en d l ) ) ; } i np . ge t l ine ( endl , s i z e o f ( endl ) ) ; i np . ge t l i n e ( en d l , s i z e o f ( en d l ) ) ; inp>>NMAT ; i np>>NLOAD ; i np . ge t l i n e ( endl , s i z e o f ( endl ) ) ; f or ( i = O ; i > E [ i ] ; i np>>A [ i ] ; i np > > I [ i ] ; i np . ge t l i ne ( endl , s i z eo f ( endl ) ) ;

386


f o r ( i � O ; i >QX [ i ] ; i np>>QY [ i ] ; i np . ge t l ine ( endl , s i ze o f ( endl ) ) ; i np . ge t l ine ( endl , s i z e o f ( endl ) ) ; inp . i gnore ( l O ) ; inp>>NEL ; inp . ge t l i ne ( endl , s i zeo f ( endl ) ) ; f or ( i � O ; i > JJ [ i ] ; i np> > JK [ i ] ; inp> >MAT [ i ] ; i np > > LOAD [ i ] ; i np . ge t l i ne ( endl , s i zeo f ( endl ) ) ; } inp . ge t l in e ( endl , s i zeo f ( endl ) ) ; inp . i gnore ( l O ) ; i np> >NF ; i np . ge t l i n e ( endl , s i z e o f ( endl ) ) ; f o r ( i � O ; i >NJF [ i ] ; i np>>FX [ NJF [ i ] - l ] ; inp>>FY [ NJF [ i ] - l ] ; i np > >MZ [ NJF [ i ] 1 ] ; inp . ge t l i n e ( endl , s i zeo f ( endl ) ) ; } i np . c l o s e ( ) ;

1 / - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ----------- - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - v o i d d i sp_input ( ) { c o u t < < endl ; c o ut < < " \ n DATA DARI ARS I P DATA " ; c o u t < < " \ n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � " <
Jumlah nodal

print f ( "

Jumlah e l emen

%2d \ n " , NNODE ) ;

p r i nt f ( " p r i nt f ( "

theta Jumlah t i t i k terkekang

% 2 d \ n " , NE L ) ; % 1 0 . 5 f radi a n \ n " , ( angl e /NEL ) ) ;

% 2 d \ n " , NR ) ; Restraint \ n " ) ; p r i n t f ( " \ nJ o i n t f o r ( i � O ; i
\n" ) ;

%10 . 5f %10 . 5f print f ( " % 2 d p r i n t f ( " \ n Sec t i on property \ n " ) ; A print f ( " E f o r ( i � O ; i
\n" , ( i+ l ) , X [ i ] , Y [ i ] ) ; I

p r i n t f ( " % 2 d % 1 0 . 5 e kN/m2 % 1 0 . 5e m2 % 1 0 . 5 e m4 printf ( "

\n" ) ; \n" , ( i+ l ) , E [ i ] , A [ i ] , I [ i ] ) ;

\ n E l ement Loads \ n " ) ;

p r i n t f ( " Uni f orm l oad \ n " ) ; f or ( i � O ; i
printf ( " Joint FX f o r ( i � O ; i
\ n " , ( i + l ) , QX [ i ] , QY [ i ] ) ;

\n" ) ; FY

MZ %10 . 5f

\n" ) ;

\ n " , ( i + l ) , FX [ i ] , FY [ i ] , MZ [ i ] ) ;

Readi ng comp l e t e

! " <
Push enter b u t t on to c on t i nue

co ut< < "

! ! ! " < < endl ;

getch ( ) ; } v o i d d i sp_outpu t ( ) { char F i l e0ut [ 3 0 ] ; c o u t < < " \ n Enter Output F i l e Name

: " ;

c in > > F i l eOu t ; F I LE * ou t ; o u t � f open ( F i l eOut , " w " ) ; Output Program \ n " ) ; f p r i nt f ( ou t , " f p r i nt f ( ou t , " � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " ELEMENT S TI FFNESS OF CURVED MEMBER \ n " ) ; created by : F i t r i a Dew i \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " f p r i n t f ( ou t , " � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , "

Radi u s o f Curved member

f p r i nt f ( ou t , "

T o t a l Angle

% 1 0 . 5 f m\n" , R ) ; � % 1 0 . 5 f rad i a n \ n " , angl e ) ;

Struktur Lengkung

387

f p r in t f ( ou t , "

T o t a l node number

f p r i n t f ( ou t , "

T o t a l e l ement

f p r in t f ( ou t , "

the t a

% 2 d \ n " , NNODE ) ; % 2 d \ n " , NEL ) ; % 1 0 . 5 f rad i an \ n " , ( an g l e /NEL ) ) ;

f p r i nt f ( ou t , " \ n S ec t i on p ro p e r ty \ n " ) ; f pr i n t f ( ou t , " NM E

I

A

\n" ) ;

f or ( i = O ; i
\n" , ( i +l ) , E [ i ] , A [ i ] , I [ i ] ) ;

\n" ) ;

f o r ( i = O ; i
py

\n" ) ;

PX

f or ( i = O ; i
% 1 0 . 5e kN % 1 0 . 5e 1 ] , FY [ NJF [ i ] - 1 ] , MZ [ NJF [ i ] - 1 ] ) ; } Res tr a i n t \ n " ) ; f p ri n t f ( ou t , " \ n J o i n t f o r ( i = O ; i
%2d

%2d

f pr i n t f ( ou t , " \ n E l ement Prope r t i e s " ) f p r i n t f ( ou t , " \ n E l i - end j - end { %2d

KN

\n" ) ;

% 1 0 . 5e

KNm \ n " , ( NJF [ i ] ) , FX [ NJ F [ i ] -

% 2 d \ n " , ( i + 1 ) , RX [ i ] , RY [ i ] , RR [ i ] ) ;

f p r i n t f ( ou t , " \ n Node Coord i na t e s \ n " ) ; f o r ( i = O ; i
f o r ( i = O ; i
MZ

NM

\n" , ( i + l ) , X [ i ] , Y [ i ] ) ; NL\n " )

;

\ n " , ( i + 1 ) , J J [ i ] , JK [ i ] , MAT [ i ] , LOAD [ i ] ) ; f pr i n t f ( ou t , " \n Curved member f l e x i b i l i ty ma t r i x \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f o r ( i = O ; i
%2d

%2d

f l e k s i b i l i tas mater i a l

%2d

%2d\n " , ( i + 1 ) ) ;

( j =O ; j <3 ; j ++ ) { f or ( l = 0 ; 1 < 3 ; 1 + + ) {

f p r i n t f ( ou t , " f p r i n t f ( ou t , " \ n " ) ; }

%

1 5 . 5e " , f [ i ] [ j ] [ l ] ) ;

f pr i n t f ( ou t , " \ n " ) ; } fp r i n t f ( ou t , " \ n " ) ;

f pr i n t f ( ou t , " \ n Curved member r e l a t i v e s t i f fne s s ma t r i x \ n " ) ; f p r i nt f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f o r ( i = O ; i < NMAT ; i + + ) {

f p r i n t f ( ou t , " Ma t r i k s S t i f fness r e l a t i f m a t e r i a l % 2 d \ n " , ( i + 1 ) ) ; for ( j = O ; j < 3 ; j + + ) { f or ( l = 0 ; 1 < 3 ; 1 + + ) { % 1 5 . 5e " , k [ i ] [ j ] [ l ] ) ; f p ri n t f ( ou t , " f p r i n t f ( ou t , " \ n " ) ; } fp r i n t f ( o u t , " \ n " ) ; }

f p r i n t f ( ou t , " \ n Curved member abs o l u t e s t i fness m a t r i x l oc a l e l ement \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f o r ( i = O ; i
f p r i nt f ( ou t , " \ n Cu rved member abs o l u te s t i f f n e s s m a t r i x g l ob a l o r i en t a t i on \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f or ( i = O ; i
f p r i n t f ( ou t , " M a t r i ks kekakuan g l ob a l e l emen ke - % 2 d \ n " , ( i + l ) ) ;

for

( j = O ; j <6 ; j + + ) { f or ( l = 0 ; 1 < 6 ; 1 + + ) { f p r i nt f ( out , "

%

1 5 . S e " , KG [ i ] [ j ] [ 1 ] ) ;

f p r i n t f ( ou t , " \ n " ) ; }

388


%2d

f p r i n t f ( ou t , " \ n Curved member S t ru c t u r a l s t i fn e s s ma t r i x g l oba l \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f or ( i = O ; i
( j = O ; j
f p r i n t f ( ou t , "

} f pr i n t f ( ou t , " \ n " ) ; } f p r i n t f ( ou t , " \ n J o i n t d i s p l acement \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; R3 \ n " ) ; Ul f p r i n t f ( ou t , " Jo i n t U2 f or ( i = O ; i
" , JD [ i ] [ j ] )

;

}

f p r i n t f ( ou t , " \ n Perpi ndahan e l emen s t ruktur \ n " ) fpr i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " e l Ul U2 U3 U4 US f or ( i = O ; i
%

U6 \ n " ) ;

l O . Se " , U [ i ] [ j ] ) ;

} fpr i n t f ( ou t , " \ n " ) ; } f p r i n t f ( ou t , " \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " \ n Perp i ndahan e l emen l ok a l \ n " ) ; fpr i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " e l Ul U2 U3 U4 US

U6\n" ) ;

f o r ( i = O ; i
( ou t , " \ n " ) ; } ( ou t , " \ n " ) ; " \ n Gaya da l am e l emen \ n " ) ; " ================================================ \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " e l Fl F2 F3 F4 FS f o r ( i = O ; i
F6\n " )

( j =O ; j < 3 ; j + + ) { f p r i n t f ( ou t , "

%

1 0 . 5e " , F [ i ] [ j ] ) ;

( j =3 ; j <6 ; j ++ ) { f p r i n t f ( ou t , "

}

%

1 0 . 5e " , ( -F [ i ] [ j ] ) ) ;

} f p r i n t f ( ou t , " \ n " ) ; } fpr i n t f ( ou t , " \ n End reac t i on \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \ n " ) ; f p r i n t f ( ou t , " j o i n t H V M \n" ) ; f o r ( i = O ; i
% 1 0 . 5 e " , ARJ [ NRJ [ i ] - l ] [ j ] ) ; } f p r i n t f ( ou t , " fp ri n t f ( ou t , " \ n " ) ; }

fp r i n t f ( ou t , " \ n " ) ; c o u t < < " \ n End o f Program . . . .

" < < endl ;

f c l o s e ( ou t ) ;

Struktur Lengkung

389

Input

F i l e program S t i f f n e s s untuk e l emen

l engkung

R

Ang l e 1 . 0472

15 : 5

NNode

coordinates 0

-7 . 5

1 . 4985

-3 . 8823 0

2 . 0092

3 . 8823

1 . 4985 0

7 . 5 :2

NR 1

1

1

1

NM

1

1

1

5

NQL

1

1

2e8

1 . 2 9e-2

0

0 : 4

NEL 1

2

1

1

2

3

1

1

3

4

1

1

4

5

1

1 : 1

NF 0

3

1 . 64e-4

-178

0

Gaya dalam elemen dan reaksi perletakan yang diperoleh dari running program adalah sebagai berikut : Joint

di s pl acement

================================================

Joint

R3

U2

U1

1

O . OOOOOe+OO

O . OOOOOe+OO

O . O O O O Oe+OO

2

- 1 . 1 1 7 5 4e - 0 3

8 . 92874e-04

- 1 . 92418e-03

3

9 . 54791e-19

- 1 . 0 3 477e-02

-3 . 9 6 819e-18

4

1 . 1 1 7 5 4e - 0 3

8 . 92 874e-04

1 . 9 2 4 1 8e-03

5

O . O O O O Oe+OO

O . OOOOOe+OO

O . O O O O Oe+OO

Gaya da l am e l emen el 1. 2. 3. 4.

F2 7 . 3 1 2 8 7e + Ol - 8 . 24842 e + O O 8 . 9 0316e+01 8 . 2157 7e + 0 0

Fl

- 3 . 046 6 2 e + 0 2 -3 . 1 3 2 08e+02 - 3 . 0 04 0 0 e + 0 2 - 3 . 13208e+02

F3 7 . 4 6 7 3 6e + Ol -5 . 35158e+Ol 1 . 3 85 9 2 e + 0 2 -5 . 35158e+Ol

F4 -3 . 1 3 2 0 8 e + 0 2 - 3 . 0 04 0 0 e + 0 2 - 3 . 1 3 2 0 8e + 0 2 - 3 . 046 6 2 e+ 0 2

-8 -8 8 -7

FS . 2157 7 e + O O . 9 0 3 1 6 e+ Ol . 24842 e + O O . 3 1 2 8 7 e+ Ol

End reac t i on j oint

H

V

M

1.

3 . 0 0 4 1 0e+02

8 . 90000e+01

-7 . 4673 6e+01

5.

-3 . 00410e+02

8 . 90000e+01

7 . 4 6 7 3 6e + 0 1

390


F6 -5 . 35158e+Ol 1 . 3 85 9 2 e + 0 2 -5 . 35158e+Ol 7 . 4 6 7 3 6e + 01

Ga a Aksial 89.032

Geser

M omen

7.7 Soal - Soal Soal 1

10

kN penampang

00 3 0 300 30

8 kN

m

Lakukan analisis perhitungan gaya-gaya dalam dan reaksi perletakan pada sistem struktur diatas dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Berikan penomoran titik kumpul dan el.emen struktur. b. Tentukan derajat kebebasan struktur relatif dan absolut Struktur Lengkung

391

c. Merakit matriks kekakuan [S]m setiap elemen terhadap sumbu lokal d . M erakit matriks kekakuan [k]m setiap elemen terhadap sumbu global e. M erakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari [k]m. f. Merakit vektor be ban luar struktur { P }s g. Menyelesaikan persamaan matriks [K]s * { X } = { P } s untuk mendapatkan perpindahan titik-titik kumpul. h. Menggambarkan garis elastik struktur M enyelesaikan perhitungan besarnya g�ya-gaya dalam setiap elemen dan reaksi per1. letakan. Menggambarkan bidang-bidang gaya dalam elemen. J.

Soal 2

Dengan metoda matriks kekakuan, tentukan besarnya gaya vertikal P ( dengan mengabaikan berat send iri), agar nilai reaksi arah horisontal pada perletakan A menjadi nol . Kemudian gambarkan bidang gaya dalam yang terj adi. (catatan : lakukan analisis seperti pada SOAL I ). p

L

2 m

35 m

_j

Soal 3

Suatu struktur jembatan d imodelkan seperti gambar diatas. Lakukan analisis penentuan gaya gaya dalam dan reaksi perletakan dengan langkah-langkah pengerj aan seperti pada soal I (berat sendiri d imasukkan). ppa 0 800' 1 5 mm

1 6@5=80 m

392


Soal 4

Pigura gerbang masuk seperti gambar merupakan gabungan sistem struktur portal bidang dan lengkung. Ada 5 segmen lengkun g yang memberikan matrik kekakuan 5 elemen lengkung. Pada titik kumpul 4 dan 9, elemen kekakuan struktur merupakan rakitan unsur elemen lengkung dan pottal. B ila penampang elemen segi-empat/balok 350/ 1 000 mm 2 , unsur beton bertulang; Eb = 20,000 M Pa, v = 0.25, lakukan analisis sistem dengan prosedur sebagai

berikut :

q ;

40 kN/m

rrnrrn r r r r r r r IJJJllU J [-J -l f

4

3

t

__ _ _

5

7

6

8

m

--- -----� 15

9

�4 m JI m

10

- -�----_2J

a. Berikan penomoran elemen struktur. b. Tentukan derajat kebebasan struktur relatif dan absolut c. Merakit matri ks kekakuan [ S] 111 setiap elemen terhadap sumbu lokal d. Merakit matriks kekakuan [ k]m setiap elemen terhadap sumbu global e. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [ K]s dari [ k] m · f. Merakit vektor beban luar struktur {P}s g . Menyelesaikan persamaan matriks [ K ls * { X } = { P }s untuk mendapatkan perpi ndahan titik-titik kumpu I.

h. Menggambarkan garis elasti k struktur. 1. Menyelesaikan perhitungan besarnya gaya-gaya dalam setiap elemen dan reaksi perletakan. J . Menggambarkan bidang-bidang gaya dalam elemen. Soal 5 60kN

60kN

60kN

60kN

30kN

'

''

''

''

R = 20 m

(!)

'

''

''

''

'

'

''

,

''

'

9'

_/_/'""'

E

= 90° = 3 . 1 4 1 6 radian =

2 x l 0' kN/m 2

30kN

c

I = 1 .64x l o-' m' A= 1 .29 x I o·' 1112

S i stem struktur dua pelengkungan

Struktur Lengkung

393

Sistem struktur pelengkung dua bentang dengan perletakan sendi-rol-sendi dengan parameter struktur dan pembebanan seperti pada gambar. Sistem pelengkung i n i dibagi menjad i 8 e lemen lengkung dan 9 node seperti pada gambar.

A

H

('

Diskretisasi struktur pelengkung

Dengan menggunakan program komputer pada bagian 7.7,file data soal adalah : I nput F i l e program S t i f fness untuk e l emen l engkung Ang l e

R 20

3 . 14 1 6 NNode

:9 coordinates -14 . 1421 0 - 7 . 6 53 6 7 4 . 33 55 0

5 . 8579

7 . 65367

4 . 3 3 55

14 . 1421 2 0 . 6303

0

2 8 . 2 84 3 5 . 9377

5 . 8579 4 . 3355

42 . 4261

0

4 . 3 3 55

NR 1

1

:3 0 1

5 9

0 1

1 1

NQL 1 1 . 2 9e- 2

NM

1

2e8 0

5

6 7 8

6 7

9 8 NF 1 0 3 4 5 6 7

1 . 6 4 e- 4

0

NEL 2 1 2 3 4 3 5 4

2

0 0

0 0 0 0 0 0

8

0

9

0

394

1 1

:8 1 1 1

1 1

1

1

1 1 1

1 1 1 1 :9

-30 -60 -60 -60 -60

-60 -60 -60 -3 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Amrinsyah N a sution,


Eksekusi program komputer dengan data d iatas untuk memperoleh hasil analisis struktur, berupa deformasi, gaya dalam dan reaksi perletakan. Joint d i s p l a c ement Joint 1 3 4 5 7 8

U1 O . OOOOOe+OO - 7 . 3319 6 e - 03 -4 . 2 1 0 94e-03 -3 . 1 8 818e-03 1 . 840 5 7 e - 0 5 3 . 2 0 7 3 5 e - 03 4 . 2 2 7 83e-03 7 . 34 5 7 9 e-03 O . OOOOOe+OO

U2 O . OOOOOe+OO 5 . 7 8434e-03 - 1 . 2 8 811e- 0 2 - 7 . 3 7 5 96e-03 O . OOOOOe+OO - 7 . 3 5 023e-03 -1 . 2 84 8 2 e - 0 2 5 . 8 0464 e - 03 O . OOOOOe +OO

R3 5 . 246 9 2 e-03 - 2 . 16 5 9 9 e-03 - 1 . 1 8451e-03 1 . 7 76 9 0e-03 2 . 3 2 9 03e-06 - 1 . 7 7421e-03 1 . 18396e-03 2 . 1633 7 e - 03 - 5 . 2 5 033e-03

Gaya dalam e l ernen

�===============================================

el 1 .

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Fl -1 . 57494e+02 -1 . 33 5 3 0 e + 0 2 -1 . 31664e+ 0 2 - 1 . 5 56 7 5 e + 0 2 - 1 . 5 5 9 86 e + 0 2 - 1 . 3 2 7 14 e + 0 2 -1 . 31664e + 0 2 - 1 . 564 9 l e + 0 2

F2 2 . 8 7 0 80e+01 2 . 16 8 3 8 e + 01 2 . 8 933 8 e + 01 3 . 17 7 7 3 e + 01 3 . 0 2 1 8 2 e + 01 2 . 36 5 3 7 e + 01 3 . 10661e+01 3 . 3 7 46 8 e+Ol

F3 -1 . 1 5 9 21e-13 2 . 0 04 9 6 e + 0 1 5 . 73 7 6 7 e +Ol 3 . 63737 e + 01 3 . 0163 0e+Ol 3 . 63 5 7 4e + 01 5 . 7366 0 e + 01 2 . 0 042 8 e + 01

F4 - 1 . 564 9 1 e + 0 2 - 1 . 31664 e + 0 2 - 1 . 32 714e+ 0 2 -1 . 5 5 9 86 e + 0 2 -1 . 5 56 7 6 e + 0 2 - 1 . 31664e+ 0 2 - 1 . 33 5 3 0 e + 0 2 -1 . 5 7493e+ 0 2

F5 -3 . 3 7 4 7 7 e + 01 - 3 . 10666 e + 01 - 2 . 36 5 43e+ 0 1 -3 . 02161e+01 -3 . 17 7 53 e + 01 - 2 . 8 9345 e + 01 - 2 . 16843e+Ol -2 . 87087e+01

F6 2 . 0 0496e+Ol 5 . 73767 e + 01 3 . 63737 e + 01 3 . 01630e+Ol 3 . 63574e+Ol 5 . 7366 0 e + 01 2 . 0042 8 e + 01 6 . 1 8 9 4 9 e-15

E n d reac t i on

j oint 1. 5. 9.

H

1 . 31664 e + 0 2 O . OOOOOe+OO -1 . 31664e + 0 2

V

1 . 21066 e + 0 2 2 . 3 7 86 8 e + 0 2 1 . 21066 e + 0 2

M O . OOOOOe+OO O . OOOOOe+OO O . OOOOOe+OO

Aksial

Struktur Lengkung

395

Geser 28.933

M omen

Soal 6

I

I

I

'- l

I '-

300 300 mrn

· -·

60

- -·- - ----- --------

m

1 I

- - --- - ---�

Balok lengkung bentang 60 111 111eneri111a beban hidup 50 kN/m pada setengah bentang. Pena111pang balok di tengah bentang 300/300 111111 2 dan di tu111puan 300/550 111111 2 . Diskrit/seg111en balok i-j dapat dinyatakan dengan balok seragam te�-;;",1""' rerata dari tinggi balok di i dan j. Lakukan analisis blok lengkung untuk mendapatkan lendutan dan gaya-gaya dalam.

396


8

Kabel

Salah satu konstruksi yang sedang berkembang saat ini adalah struktur kabel, terutama untuk jembatan. Jenis jembatan yang menggunakan struktur kabcl antara lain: jembatan gantung (sU.\fJension bridge), jembatan cancang (cahle-stayed bridge), a tau kombinasi antara jembatan gantung dcngan jembatan cancang. Tidak terbatas pada jembatan saja. struktur kabel juga banyak digunakan sebagai tal i jangkar pada menara atau tenda, atap gantung, cah/e car dan struktur lainnya. Beberapa keuntungan pemakaian kabel sebagai komponcn struktural adalah: relatif ringan dan dapat digulung atau dibentuk sedemikian rupa sehingga mudah untuk diangkut/d ipindahkan dan d ipasang; dapat d ifabrikasi di pabrik; biaya instalasi yang relatif rendah; dapat disesuaikan dcngan beban dengan perubahan geometri kabcl.

G a m bar 8 . 1

Jembatan Cancang (Cable-Stayed Bridge)

di

Batam

Bcntuk atau geomctri kabcl adalah faktor mcndasar untuk analisis struktur kabc l . Cicomctri kabel harus telah ditentukan terlebih dahulu untuk digunakan bagi anal isis matrik kekekauan elemen. Data posisi nodal atau titik tinjauan pada kond isi awal menjad i data yang pcnting untuk kabel yang menahan berat sendiri yang bersit�1t inextensible. Cieometri kabel yang didapat disebut kurva catenary.

Kabel 397

Gambar 8.2

Jembatan Barito di Kalimantan Selatan (Suspension Bridge)

8 . 1 Geometri Kurva Kabel

Geometri kurva kabel merupakan ha! yang y mendasar bagi analisis. Analisis kabel dilakukan B dengan anggapan be ban 'in plane ' dengan kabel. Geometri kurva kabel dalam ruang lebih sulit dan kompleks. Apabila kurva lengkung yang mutus antara titik A dan titik B seperti pada Gambar 8.3, A .,.. dan sumbu x dan y d itetapkan sedem ikian rupa seh ingga persamaan kurva dinyatakan sebagai : �----4-----�---+ x 0 (8- 1 ) y = f (x) Gambar 8 . 3 Segmen kurva maka sekurang-kurangnya f(x) memil iki dua turunan kontinu. Garis tagensial terhadap kurva mempunyai kem iringan (slope) : / (x) ___

dy

dy

dx

Xs

=

pada setiap titik kabel dengan sudut kemiringan 8 dari sumbu absis - x terhadap garis tangen yang d itetapkan dengan : = t a () (8-2) d>:

n

Sudut 8 adalah suatu fungsi posisi. Panjang lengkung s sepanjang kurva d idefi n isikan dari (8-J a) hubungan diferensial : (ds)2 = (dx) 2 + (dy)2 atau

(dsdx J2 + (dyJ2 dx =

398

1


(8-J b )

Orientasi untuk kurva ditetakan dalam penger1ian sepanjang panjang lengkung bertambah. Maka dapat dilakukan integrasi persamaan diatas untuk s sebagai fungsi x. Seandainya s = 0 di A dan s meningkat sebagai mana kurva menuju kearah B, maka: <=

l.H�lT [ ( )2]�

(8-4)

d,

Dengan demikian total par�jang lengkung L kurva: cfy

r.H

L=

J

1 +d\

(8-5)

dx

,\(/

Dengan memperoleh pan.Jang lengkung L, persamaan kurva dapat secara parametrik dinyatakan dalam bentuk

x

=x ( s

)

dan

y

=y ( s

).

Juga sudut kemiringan 8

=

8(s) dapat

ditetapkan dari: dv dv ds tan {) = __:___ = ___:_X dx ds dx

alazt dengan

dx ds

=

(8-6) cosO;

dy ds

=sin 0

Perubahan sudut kemiringan terhadap panjang lengkung di cari dari diferensiasi persamaan

( ) -

diatas :

d 2 dO d dy d2y dx -(tanO)=sec 0-=- - = 0 xd� d s ds d< d<" ds

atau dO , -=cos·' ds

d 2v dY2

(8-7)

o-·

_

Persamaan diatas menyatakan Mengingat: cosO=

+

de

l

adalah

=±

1

.J1 + tan2 ()

,

dari kurva. maka persamaan diatas mer�jadi :

d2y o

(d; J r

+-

_

sec()

dr-

J., [ K

-

1

curvature

=+

1 =+ _

(8-8)

/(

'

curvature

- p

-

dan p radius

curvature.

Perjanjian tanda bergantung pada konvensi tanda yang dipilih bagi curvature

Kabel

399

8.2 Pengaruh Tegangan

Untuk analisis, terlebih dahulu perlu ditetapkan koordinat tangen dan koordinat normal dari kurva. Pada satu titik di kurva, arah tangen terhadap kurva adalah arah peningkatan panjang lengkung yang disebut arah tangensial, dan satu satuan vektornya : e, dalam arah tersebut. Arah 9 0° berlawanan jarum jam dari arah tangensial adalah arah normal, dan satu satuan vektornya dinyatakan dalam e,. Karena sudut singgung 8 adalah antara absis - x dengan arah tangensial, vektor e1 dan e11 dapat ditulis dalam komponen kartesian : e, = cos Bi + sin Bj , e, = - sin Bi + cos Bj Bila diselesaikan untuk i dan j : i = cosBe1 - sin Ben ; j = sin Be1 + cos een ; Koordinat 'intrinsic ' normal dan tangensial juga hal yang mendasar dalam analisis gerakan partikel pada kurva. Fonnulasi dari persamaan kesetimbangan untuk kabel yang menerima beban terdistribusi diturunkan sebagai berikut. Bila panjang lengkung kurva kabel L ditopang di dua titik A dan B, dan dibebani be ban terdistribusi q q ) + qyj yang merupakan be ban per satuan panjang dalam bidang, maka dari diagram badan bebas, reaksi ujung merupakan gaya tarik TA dan T dalam arah yang ditentukan oleh sudut kemiring-an 81\ dan 88 dari tangen terhadap kurva di kedua titik tersebut. Terdapat em pat parameter yang tidak diketahui : TA, T 8, 8A, dan 8B dan hanya ada tiga persamaan kesetimbangan non-trivial. Oleh karenanya, perlu ketetapan tambahan untuk ketiga persamaan dalam mendapatkan ke empat parameter. Dengan anggapan 'inextensibility ' : kabel tetap tidak berubah dalam panjang pad a kond isi pembebanan, di kaj i hubungan antara perubahan bentuk kabel dan perubahan tarik sepanjang kabel. Distribusi gaya sebagai beban luar beker:ja pada garis poros, yang dapat berupa gaya q(s) per satuan panjang lengkung, atau pasangan gaya q(x) dan q(y) per satuan panjang - absis x dan ord inat y. y =

8

Ts

G a m ba r 8.4 Diagram badan bebas kabel

400

Amrinsyah Nasution,


Pada badan bebas segmen panjang L'ls seperti Gambar 8.5 terdapat tiga gaya yang bekerja pada segmen, yaitu gaya tarik T = T(s) arah tangensial negatif di ujung [x(s), y(s)], gaya tarik T(s+L'ls) = T + L'lT arah tangensial positif di ujung (x+ L'lx, y+L'ly), dan resultante q(s)L'ls dari distribusi gaya. Distribusi gaya q(s) dinyatakan dalam satu satuan panjang lengkung. Dengan menetapkan sudut kemiringan 8(s) di (x,y) dan [8 + .'18 ] di (x+ L'lx, y+ L'ly), dan komponen distribusi beban q(s) = q,(s)i + qy(s)j, maka persamaan kesetimbangan gaya adalah : y

t qt.s

Y + t. y I

y (s)

l'.s

I

�

-

T

. · -

�:·, -

·

-

'

.

"

/

/

/

;/I 0 I

/ //

>

x

X

+

t.x

G a m ba r 8 . 5 Diagram badan bebas segmen kabel

L R, = (r + t1 r ) cos ( (:) + L1 B ) T cos 0 + Cfxl1s = 0 = L1 T cos ( (:) + 6 B) � T sin Bsin !1 (:) + T cos Bcos ( 1\B L R, = (r + 6 T ) sin ( e + t1 B) � T sin 8 + cl , !1 1 = 0 �

�

)

I + I

q , L1s = 0

= ��T sin ( (:) + L1 B) + T cos 8sin M J + T sin Bcos ( 6 8 � ) + q , L1.1 = 0

( 8-9 a) (8-9 b)

Membagi kedua persamaan diatas dengan L'ls dan limit L'ls � 0, bera1ti L'lT dan L'lq menuju 0. Didapat :

I.

1 111

68 � 0

1 = , --

sin [1 (:} [1 (:}

I

I.

� cos 6 B =0 110 [1(:} � 0 1 111

Dengan perkal ian dan pembagian suku kedua dan suku ketiga persamaan tersebut dengan .'18 sebclum menyatakan limitnya, diperoleh : dT 0 7' . 0 dO (8- 1 Oa) - cos � s1n - + q, ( s ) 0 dl'

ds

=

Kabel 401

dT . dO - s m 0 + T cos 0- + q, ( s) = 0 d1·

ds·

(8- 1 Ob)

·

sebagai persamaan d iferensial penentu kesetimbangan arah x dan arah y. Dalam bentuk yang lebih kompak : � ( T cos O) + q< (s) = O (8- l l a) ds � ( T sin O) + q, (s) = O .

d�

(8- l l b)

Derajat perubahan gaya tarik kabel Tcos8 dan Tsin8 dengan panjang lengkung komponen tarik kabel arah sumbu x dan arah sumbu y adalah negatif arah beban yang bekerja per satuan panjang lengkung dalam arah tersebut. Menggunakan koordinat intrinsic persamaat1 , di tetapkan penyelesaian dT dengan d�

mengal ikan persamaan arah x dengan cos8, dan persamaan arah y dengan sin8, yang keduanya di jumlahkan, diperoleh : dT (8- 1 2a) + q ,. cos O + qv sin 0 = 0 ·

·

ds q, cos B + q, sin (} adalah komponen q arah tangensial. Dari persamaan vektor satuan,

q1 = q.e, = q, cos 0 + q1 sin 0

(8- 1 2b)

dan

(8- 1 2c) adalah komponen normal dan tangensial beban d istribusi di setiap titik. Dengan demikian. persamaan untuk dT dapat ditu l is : q " = q.e" = -q, sin 0 + q1 cos O

ds

dT + q1 (s) = O ds

(8- 1 3)

Hal serupa memperoleh curvature dO : ds

dO T - + q11 (s) = 0 ds

(8- 1 4 )

Dari persamaan diatas dapat d isimpulkan tegangan mengubah �esarannya sepanjang kurva. hanya bila beke�ja beban tangensial pada kurva. Apabi la beban q sebagai fungsi posisi variabel x - bukan panjang lengkung - maka proses integrasi dan batas diproses terhadap x . Persamaan kesetimbangan bagi variabel ini menjadi : d (8- 1 5a) - ( T cos O) + q, (x) = 0 dx � ( T sin O) + q, (x) = 0 dt

402

.

Amrinsyah Nasution,

(8- 1 5b) Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

Terdapat dua bilangan yang tidak diketahui T dan 8 dari persamaan diatas. Syarat-syarat batas bukanlah untuk T dan 8, tetapi : y = f( x ) : YA = f( x,� ) , Yi! = f( xli ) dan dv __:_ = tan 0 dt

Terdapat tiga persamaan dan hanya dua syarat batas, sehingga merupakan penyelesaian statika tak tentu. Syarat ketiga untuk penyelesaian adalah syarat bentang L dari kabel harus konstan, hal mana kabel y = f(x) harus memenuhi persamaan : L

=

·'Jli [ ( ' ) 2]h I+

XA

d

_Z dt

dx

(8- 1 6)

8.3 Tegangan pada Kabel Jembatan Gantung

Pada jembatan gantung pada Gambar 8.6a, berat dek jembatan W disalurkan oleh gantungan vertikal ke kabel panjangnya L. Kedua ujung kabel menjalurkan gaya pada menara fondasi. Kedua ujung pada posisi yang sama tinggi. Bobot dek dianggap terdistribusi merata sepanjang bentang horizontal 1 . Analisis yang dilakukan adalah menetapkan gaya kabel dan sag maksimum kabel. D istribusi beban pada kabel konstan w = W/1 ve11ikal. Berat sendiri kabel diabaikan. Keseragaman beban dan kondisi simetri perletakan kond isi kesetimbangan sifatnya simetri, dengan posisi terendah dengan tangcn horizontal di bentang tengah. Diagram badan bebas seperti pada Gambar 8.6b, dengan sag f dan perletakan di x = ± 112 , y f. Distribusi beban dinyatakan dalam satu satuan panjang bentang, yaitu : q, = 0, q, = -w.

,. I

A menara

--- ----- -

-· -

I

(

I dek

=

� I

B

enac.

i\ \

I

a.

Jembatan gantung

Kabel 403

.. --�_;_

L

1/2

I

b.

Dari persamaan

� ( T cos o)

Diagram badan bebas kabel

G a m bar 8.6 Kabel jembatan gantung

+ q,

( x ) = o , setelah di lakukan integrasi : Tcos O

=

H

H adalah konstanta integrasi, yang menunjukkan gaya tarik dalam kabel pada titik trendah di titik 0 , sebab gaya tarik di posisi ini sama dengan komponen horizontal T cos8. Menyclesaikan persamaan diatas untuk T(x) : T ( x ) = H sec ( x ) yang bila disubsitusikan ke persamaan � ( T si n O) + q , (s) = O : � ( H tan O) - w = O Jx d1· 2 Karena tan o Jv berartr . J y2 = d¥

= ---"--- ,

· .

__ d¥

·

_

w

H

yang merupakan persamaan diferensial kurva kabel . Integrasi persamaan diatas dengan : Jy o di x 0, diperoleh persamaan parabola sebagai bcntuk kurva : . = d¥

v

=

=

(8 - 1 7 )

Konstanta H dan parameter yang ekivalen merupakan variabcl bagi bentuk kurva. S'ag f mcrupakan sa lah satu parameter yang menetapkan bentuk kurva. Hubungan antara f dan H adalah : r rrr (8- 1 8) •

1

11-

( )2

=w 2

=

sH

Untuk mencari H, digunakan persamaan d ibawah ini. sitat panjang kurva yang tidak mulur

-'fli [ (ddx J2]xdx

(inextensihility) L =

404

I+

.r i

_Z

Amrinsyah Nasution,


(8- 1 9) wx

Dengan mengguna k n su bt .1 tus1 L

=

arc sinh( 2 /-{ f

-

·

\1'1 1H

)

H

-

cosh- u du 'l

wdY m aka -H = cosh u du · ( ) f (I + cosh 211) x du

s inh 11 ,

arc s1 1h H

� =

arc s1 1 1( ) x du L J ( ) H [u + sinh u x cosh u]arc sinl =� w

x

Yl'

()

I H + -smh - ��u 2 2u w

,

wl

�

w

()

,,. , l fl

.

_

x

o

11

I

�

L

0

)

w

= H f arcsinh \( � 2H + � 2H l w

\ 2H ) '- Jh- \ [I/� lH

(8-20)

Persamaan diatas menetapkan n i lai H dari diselesaikan sebagai berikut :

H

L f

-;

[

l

( 2 H ) + 2H( l I + ( 2H ) l w J2 l w J- I ( w )

arc sinh

�1' �

1 1 ' \1 "

(

-, L -=-= I+ 2H + 2H fi

Karena

sag

)1'(/'

ar

}

dan L. Sccara numerik persamaan 1 11 1

cs i n h 2 H

( 8-2 1 )

-

f berhubungan dengan H mcnurut persamaan

n i lai sag f atau perband ingan

[

2 "h

w, /,

-, L ( 4 fl2 7 = 1 + \�)

-� dari

sag f

4 f \ 1 arc sinh ( 4 l) + (\�) x \T)

1

.

=

!_)2

� 2 (2

H\

=

Wf ,

SH

dapat dicari

terhadap bentang 1 :

(8-22)

Kabet 405

Bila bentang dan panjang lengkung kurva pada orde yang sama, sag f kecil. N i lai

� akan

keci l dibandingkan I , sehingga suku persamaan disebelah tanda tangan persamaan diatas yang dinyatakan dalan fungsi deret ekspansi

[

4 2 2] 1 ( 4/ ) 1 ( 4/ ) ( 4/ ) I + - - 1 +- - -- - + 2 4 l) . (e _!_ 4 arc smh 2 1_ = 1 - ( 4/ ) + ( 4/ ) + 4 40 {J ( Menggabaikan suku keempat orde keempat : 2 2L � I + _!_ ( 4 / ) 3 ) . Karenanya, untuk perbandingan fyang kecil : }i )] 4/ [ ( e

e

6

r

8

e

e

e

r

_

(!

- =

f

2H -(4/j-t =-[

dan w

- -

sag

L -1

6

-

e

( 8-23 )

6x

(8-24)

( -L - 1 )]-}i

(8-2 5 )

e

) ( (i ) = ( dyl -j ( 4 l -1]1< sec eii = [ l + tan-1 eli ] - 1 + ( H ) = 1 + f) [ 2 [

Gaya tarik kabel TA dan TB pada perletakan : -

dx: x�r i 2

w

= tan 88 = He

Yc

=

x

w

-

2

2H

W

0

I/ le

12

2T 2H 2 ��H:� rr � [r :J\r � r 4n ' [ ,f:rr � [u�r r

( 8-26)

Gaya tarik maksimum : � = - sec Oli w

w

�

+

406

Amrinsyah Nasutio n ,

Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

( 8 -2 7 )

Dari rumusan diatas, beberapa hat khusus dapat diselesaikan. Bila diketahui bentang I kabel dan beban luar yang beke1ja, berapa tegangan kabcl maksimum yang di izinkan. dan berapa sekurang-kurangnya bentang kabel untuk memikul beban. Dari persamaan diatas, dapat dicari perbandingan sag f yang di izinkan, dan kemud ian dihitung panjang kabcl perlu dari persamaan : 2L 1- =

atau

[ (4fl2] (4/Y1 I+

r

-

) + �)

x arc

•

s1nh

(4fl 1

--

)

( 8-28)

8.4 Bentu k Kurva Kabel y ..

I

�.

() , ( ' .:rA

f·

.

!

'

I

l

qy(x) =

G a m ba r 8 . 7

, '

�

�

TA = T � . ) o ,

y = f(x)

-w

.o j ' -- '

/ 2

f

.

.I .

I I 1

f•

I

r

•

/ 2

X

Keseimbangan gaya badan bebas kabel

Bila beke1ja bcrat sendiri kabcl kabcl dengan posisi setara dudukan. akan ditentukan bcntuk kabel pada kondisi kesetimbangan. Dari diagram badan bebas, berat sendiri kabel dinyatakan sebagai beban terdistribusi q, ( x ) = -w = W /L, berupa be ban satu satuan panjang lengkung s. Para le I dengan persamaan : T (s) = H sec O(s)

Persamaan � ( T s in O) + q., ( x) = O menjadi _c{_ ( H tan O) - w = O · d\ dl' J i ka diselesaikan : H tan f) = + V ( 8-29) Bila diukur panjang lengkug s dari titik terendah 0 kurva. dengan peningkatan s sama dengan peningkatan x, maka konstanta intcgrasi V = 0. Dengan dem ikian, H'S

dv

ws = tan (} = H cb:

---=-

Kabe/ 407

I3agi i ntegrasi persamaan d iatas, d igunakan �0_ = cos o dan ' 2 1 + tan 0 = sec (} ,

dx -- = cos (} = ds

dr c/.1

--

.

=

..

sin 0

-

1

-�1 + tan 2 tJ

= tan (} c o s 0

ds

,

rf

(}

x=

·

'

·

11

( 8- _) 0 )

/ !I

cc -------c

1+

l\1".1' -]2 H"

\I( -j , .--Y, 1-1

I +

If

lt'

' 1 rs IH

l' =

11

l

=

1

-

'S \ -

- If . - - a rc S I Il I 1

�

K aren a

\ I "S /

S i ll

Dari tabel i n tcgra s i , dengan x = y 0 d i s . 1 LI' 11 -d1 - cl l '-"ll · --- = s t n h 1 1 , -- = cos 1 11 c 1 u cl t ]1 Cr II

dr = s i n (} . d1

- IJ H;

·

·

H

ds = -

( lt \ :ti C " Illl; -11

I

w

.

cosh 1 1 1

--cosh 11

(l

\I"S

l ]2 . //{ lI = -; 1rs

1 + --

-Y:

If

ds

\I "

1-f

{ l l C '-' l l l l l

1 U' cosh arcs i. ll h (� l-f

jJ

0 sebaga i syarat. su bst i t u s i

I

l( \\ \ \I l! .

(I

-I

( ll

s i n h 11 d11

}/ = - cosh 11'

(

11

l

l'"c""11 ) (I

( \\ \ /1

( 8-3 I

l

( 8 -3 2 )

f

x dan y mcrupakan parametrik pcrsam aan k u rva . K arena s merupakan fu ngsi dari x. d ar i

l \L\' )

pcrsamaan d i atas. bcntuk persamaan y

J

l'

=

•

--}-f-- f cosh -H l

-

11 ·

yang cl i sebut kun a

-I

l f

- jl

408

H

1!'

( -)

11·1 cosh -

\ 2 //

persamaan k u rva :

( 8- _) 3 )

catenw�r.

Kond i s i k urva yang l cwat t i t i k f=

= f� x ) dari

A dan

B j uga bcrga ntung pada

sag

1 - I l

f


f terhadap konstanta 1 1 : ( 8 -3 -l i

l j

Konstanta 1 1 d i tetapkan dari syarat

11'1 ,r( . � = slnh ?. H ?. !! atau dengan wL

'incxtcnsih i!ity

·

�

kabe l . Bagi s = L/2. h i la

l ( ( j]

w w . � = smh 2 11 ?. If

� .

=

f:

-va i t u

L

= {

d i atas :

3.1_ 2 1-f I'

1 t' l

:-::::

L

,

IV

?. H

. � smh

cosh (�I � 1 l

j

l 21-1 )

L

a tau

( 4 /j I

-·

�(!_L .I) �_!_(�I= 2 I) ( ) lrf

21

-�

2 !-I

� l

D i sc lcsaikan u n t u k ras i o

3

. persa maan penentuan konstanta

41 2

1

sag L

d i pero l e h

:

4{ � � 2 . l ( JJ'/ 6

Pc rsamaan i n i sctara den gan persamaan ras 1 o

parabo l a scta ra dengan k u n a =

atau dac; P'"amaan w

catcnun·

sag

bagi ra sio

sog

-1

:

�

�

( 8-3 6 ) (8-37)

f yang kec i l .

H sebaga i m a n a d i h i t u n g dari persa maan �

11 :

f sebc l u m nya. yang be rart i pcrsamaan

( �-1}�_1_(2 l 21-1 )� = �4H"�· l( L 1) : = � 8jL �;: [ 4/r � [ [�-I) rl,

Tcgangan m i n i m u m t a r i k

2 / 2H fco sh � I 1vl l 211 )

ya n g c u k u p kcc i l :

4 /f

( f) + ( ) ( / ) 6 �;�

4 sinh --'- --;- -.,---'4

sog

pendekatan ekspa n s i deret dapat d i gu nakan d a l am ked ua pcrsamaan

dcngan m c ngaba i ka n s u k u �

(8-35a) ( 8- 3 5 b )

�

f

112 :

W :

Persamaan d iatas d i se l esa i ka n scc a ra n u me r i k . Bagi pe rba n d i n gan

i_ << I ,

x =

f-1

( 8-3 8 )

6x

memberikan n i l a i y a n g berbeda bagi n i la i / ,

( 8-3 9 )

L. f. d a n W y a n g sama . Kabel 409

8.5 Penentuan Persamaan Geometri Kabel Pada penye lesaian t ugas akh i r i n i persamaan h u b u n gan variabe l -variabcl yang ada meng

(

gunakan persamaan beri kut:

" 2 !-lo . Lfo L ,, = -- Si n I1 -Gfo

2Ho

J

( 8-4 0 )

denga n menggu nakan persamaan d ia tas d apat d i tentukan h u b u n ga n antara panj ang lcngkung kabel (S). tegangan hor izontal i n i s i a l ( 1-10). berat scnd i ri (q0). dan panj ang bcntang

dengan menggu n ka n persamaan d i atas d apat d i tentukan h u b u ngan antara

(L) .

( 8 -4 1 )

sag

(f) yang

mcrupakan y maksi mum . tcgangan horizontal i n i s i a l ( 1-1 0 ) . dan berat send i r i ( q0 ) . Dari pcrsamaan i n i dapa t d i tentukan bcnt u k k u rva kabel clan pos i s i nod a l-noda l t i nj auan dalam

koord i nat x clan y.

Dengan menggunakan kcd ua persamaan d iatas d a pat d i keta h u i bcntuk ku rva kabe l dengan

data-data yang sesu a i . Bentuk k u rva k abe l bergantung dari banyak variabel d i atas. JJa m u n b i asam a scmua v a r i a b e l telah d i kcta h u i kec u a l i untuk tcQa n ga n horizontal i n i s i a l dan ..

.

�

'-

su!!. '

d i m ana h a nya salah satu yang d i kcta h u i . dan yang satu nya lagi d i tentukan dcngan

mcnggu nakan persamaan d i atas. l-l a l i n i ya n g d i laku kan dalam pcncntuan kondisi geometrik

awa l u ntuk a n a l i s i s kabel pada tugas a kh i r i n i .

8.6 Perakitan Matriks Kekakuan Stru ktur Kabel - Pendekatan L i near 8 . 6 . 1 . Penentuan Keka k u a n Kabel yang M e m i k u l Beban Terpusat

Gambar 8 . 8 mcn u nj u kkan suatu clcmcn kabel bcbas dalam b i dang 2 d i me n s i yang d i t i nj au.

,

dengan a ra h gaya dan perp i ndahan pada 2 a ra h sumbu utama yaitu sumbu ..:---• Px1

/J.x1

x

cla n z.

z

G a m ba r 8.8

Arah gaya dan perpindahan elemen kabel bebas dalam bidang 2 dimensi

41 0 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

H u bunga n gaya dan perpindahan yang tc1:j a d i pada suatu elemen kabcl d i pc l ajari dengan

m e l a k u kan

pembagian

pen i njauan

gaya-pcrp i ndahan

menjadi

2

bag ian, yakn i

gaya

pcrp i ndahan yang tedadi hanya pada a ra h z dan gaya-pcrpi ndahan yang te1:jad i h a nya pada

arah

x.

Pen i nj auan sepert i i n i akan memudahka n penca rian fa ktor kekakuan yang merupakan

h u b u n ga n dari gaya dan pcrp i ndahan tersebut. Tinjauan dalam arah z

Pen i njauan pad a arah-z d i lakukan dengan me mode I kan sua tu e l emen kabe l yang me m i I i k i

panj ang a w a l (scbc l u m berdcforma s i ) sebesar S0, hanya mcncrima gaya dan berge rak dalam

arah z d i satu uj u n gnya . Permodela n nya d it unj ukkan pada Gambar 8 . 9 . v1

'

,

, ,, '

,

-

y = f(x)

L

'

',,'

s

�

,,

0

',

..............

r

'

Zo '

'

,

,

,

,

I

!

L

� :

I I I

'

dz H2

'

z

i

'

Elemen kabel dibebani gaya terpusat dan bergerak dalam arah z pada

Gambar 8.9

salah satu ujung

Dari persamaan tegangan pada kabel d apat d i keta h u i panjang h.abe l sete lah menerima

gaya/tegan ga n : T

=

EA � - �0 S0

(

r

�

=

�.,

(

1

+ _I__ I

EA )

Denga n persamaan kcse t i m bangan gaya, d i dapat rcaksi perletakan sbb: Y1 = P,

( 8-42 )

T egangan yang te1:j a d i pada kabel a d a l ah T

=

JH I :

+

v, '

=

JH ' :

+

I) :

=

J 1-(

+

I) : Kabel 41 1

( 8-43 ) Dari h u b u n gan geometri dcnga n gaya-gaya ya n g ada, d i pcro l eh h u b u n gan P dcngan s

=

( . j

s" I + T EA

�Xo2 +

/

dan

L :

snll + E: j=rn2 +z2 . S

=

:: 2

S u bstitusi

( 8-44 ) Pcrsamaan i n i mcnunj u kkan h u b u ngan P/ dengan

L

dari pemodclan sepcrt i pada Gambar 8 . 4 .

K arcna pada u m u m nya P / ( gaya l uar) dapat d i pero l c h dengan perh i t u ngan atas bcban yang

beket:j a atau d i keta h u i , n i l a i

41 2

z

akan d icari dengan cara trial & error. A kan d i gunakan

Amri nsyah N asution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

z

pendckatan dcngan fa ktor kekakuan . Faktor kckakuan yang d i maksudkan adalah berapa besar

perubahan gaya

P, ( d P ) u n t u k mcrubah besarnya z ( dz). F a ktor kekakuan terse but mcrupakan t u runan pertama Pz terhadap z dari pcrsamaan ( 8-44 ) :

J;, - ( _- '" - )� 1 l

K � '�: � � Plotting

+ ·' o

�

( 8-4 5 )

-

persamaan ( 8-44 ) mcngga mbarkan h u bunga n

sch i ngga menga m b i l koncl i s i batas h u b ungan

P,

=

0

.

z

=

Pz

clan z yang mendckati l i near,

z11 dapat d itentukan fa ktor kckakuan untuk

Pz clan z d i semua t i t i k . Dcngan dem i k i a n , faktor kckakuan dari clengan gaya Pz ada l a h :

bcrgerak arah

z

elemen kabel yang

( 8-46 )

M a k a penentuan d z d i l a k u kan dengan cara : df'_ = /\.· c d::

_ -

· •

d l)z

=

K/ • d z

Denga n syarat bat as dz

=

_!':__ K_

•

Pz 0 =

.

z

=

z0• m a ka d P z =

P z, m aka dz d apat d itentu kan dcngan :

( 8-4 7 )

Vengan perp i ndahan d z i n i clapat d itentukan besarnya gaya tari k pacla kabe l .

Kabel 41 3

Tinjauan dalam arah x

Pen i nj a uan pad a arah-x d i l a k u ka n dengan memode l ka n sua tu e l emen kabe l yang me m i I i k i

panj a n g awal (sebe l u m berdeform a s i ) scbesar S0, hanya menerima gaya dan bergerak d a l a m

arah

z

d i satu uj u ngnya. Pennodelan nya d i tu nj u kkan p a d a Gamba r 8 . 1 0 . v,

s

zo

So \\\ Xo Gam bar 8 . 1 0

±��J!t- ----1� v2

px

E lemen kabel yang terbebani gay a terpusat dan bergerak dalam arah x pada salah satu ujung

Dari persamaan tcga ngan pada kabcl d apat d i keta h u i panj a n g kabel sctclah mener11na

gaya/teganga n :

T

=

EA

- (S-So):

(1 +_I_)

So

S = So

( 8-4 8 )

EA

Dengan persamaan keset i m bangan gaya. d i dapat rcak s i perl etakan sbb:

V� - V� -V-

I) * \

X

.e o -

B i la T adalah tegangan res u lta ntc yang tcj a d i pada kabe l yang mcmpunyai komponen

komponen tegangan 1 1 1 • V 1 , dan H_,, V2• clan perletakan :

414

dengan memperhatikan persamaan rea b i


, = �I

Tegangan yang te1j a d i pada kabc l ada l a h : T

=

T= T

�If

2

+ I ·2

= �I .

2 + p2

( r, �� r -t- P/ ,� I

I

2

.

·2 + p 2 _,

� r

( 8-49)

Dari h u b u n ga n geometri dengan gaya-gaya yang ada, d i pc ro l e h h u bunga n P , dengan x :

S = So So

(

' +

( J 1 +T EA

2_ I

M)

�

dan

�x'

' eo'

"""'' ; ' " s ; ka n T

� r, /l x J2 '"

+ I

(8-50) Persamaan i n i mcn u nj u kkan h u b u n gan 1\ dengan x d a r i pemodelan y a n g d i t u nj u k kan pada

Gambar 8 . 1 0. K arena pada u m u m nya P, ( gaya l ua r) d apat d i pe roleh dengan per h i tunga n atas

beban yang beke1j a atau d i keta h u i . n i la i x akan d i cari dengan cara trial & l:'rror. Faktor kckakuan yang d i maksudkan d i s i ni ada l a h bcrapa bcsar pcruba han gaya P, ( d PJ u n t u k

merubah besarnya x ( d x ) .

Kabel 41 5

Faktor kekak uan terse b u t mcrupakan t u runan pcrtama P, terhadap x dari pcrsa maan ( 8-5 0 ) : ( 8-5 1 )

!'lolling

persa maan ( 8- 5 0 ) mengga m barkan h u b u n gan 1\ clan x yang mcndekati l i near.

Persa maan tcrsebut cl iasu m s i ka n l i near. M e n ga m b i l kond i s i batas saat P,

=

0

.

x

=

x0 clapat

d itentukan faktor keka k u an u n t u k h u b u n ga n P, clan x cli semua t i t i k . Dengan clcm i k i a n . t�1ktor keka kuan cl a ri e lemen kabc l yang bergerak arah x clcngan gaya P, acl a l a h :

(8-5 2 )

Penentuan clx d i laku kan clengan cara : elf' , = K . d P, x

�

·

-

dx

-

-

K

, .

cl X

Dcngan syarat batas P,

dx

=

J:,_ K,

·

=

0.x

=

xo. maka ci P,

=

P, clan dx clapat d itentukan dcnga n :

( 8- 5 3 )

d a r i perpi ndahan dx i n i dapat d itentukan besarnya gaya tarik pada kabc l .

8 . 6 . 2 Matriks Kekakuan Elemen Kabel Perge rakan dz atau d x pada uj u n g e lemen yang satu bergantung pacl a gaya yang bcke1:ja cl an

j u ga pe rgerakan uj u n g e l emen yang l a i n nya . Pergerakan satu uj u n g e lemen kc bawah ( cl z 1 ). dengan pergerakan uj u n g elemen l a i n ke bawah (dz2) menghas i l kan perp indahan ara h z yang me mpenga ru h i pcrpanj angan e l emen tersebut merupakan se l i s i h dari dz1 clan d z2 •

41 6 Amrinsyah Nasutio n , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

rP,, , ,,,

Gambar 8.1 1

Oerajat segmen kebebasan kabel

Dengan dem i k i an . e l e men bebas seperti pada Gambar 8 . 1 1 mem i l i k i h u bu n gan arah

sebaga i ber i k u t : P/1

=

=

P/c

K / ( d z 1 -dz2): P/1 = K/ dz1

K/ ( cl z:> - d z 1 ) : f\:>

=

�

- K/ clz1

z.

K / dz:>

+ K, clz2

Dalam bentuk matriks: ['_

( 8-54 )

-I

/'_

U n t u k arah x hal serupa berlaku. seh i n gga dapat d i keta h u i suatu e l emen bebas scpert i pada

G a m ba r 8 . 1 1 me m i l i k i h u b u n ga n arah x. sebaga i bcr i k u t : 1\ 1

f\ 2

=

=

K , ( d x 1 -dx2): 1\ 1

K, (dx2-dx 1 ) : P , 2

=

=

K, d x 1

�

K, dx2

- K , d x 1 + K, dx 2

Da l a m b c n t u k matriks: p"

=Il

K � �K,

Penggabu ngan kcdua matriks akan d i pe ro l eh sebuah matri ks

( 8-5 5 )

4x4

yang mcngG a m ba rkan

h u b u nga n perge rakan dengan gaya pada suatu clemen dcngan matriks merupakan matriks t�1ktor kckakuan . M at r i ks tcrscbut ada l a h :

4x4

tcrscbut

Kabel 4 1 7

r r, P� ,

p_ ,

K,

0

-K,

0

0

K_

0

-K_

d:: ,

-K,

0

K,

0

eh,

0

-K_

0

K_

dz ,

-

EA H �" nla

denga n :

K, �

So

5o

n

K, �

dx1 -

( 8- 5 6 )

-

�: 1 - r ;:: ' 1 [ r

( 8- 5 7 )

Catatan : A ra h pergerakan/sumbu yang d i gunakan meru pakan sumbu global u n t u k c l cmcn yang d i t i nj a u .

8.6.3 Gaya Tarik Tiap Elemen

G aya tari k t i a p e lemcn d i kctah u i setelah pergerakan uj u ng-uj u n g c l cmcn d i kctah u i yaitu d :-.: 1 •

d x2, d z 1 , d z2 . G aya tarik yang d i a l a m i o l ch c lemen kabel d apat d iGambarkan sepcr1 i pada Gambar 8 . 1 2 .

V, meru pakan gaya pada uj ung e lemen yang d ia k i batkan olch pcrp i nd a ha n dz

1 1; mcrupakan gaya pada uj u n g e l emcn yang d i a k i batkan oleh perp i ndahan dz V , meru pakan gaya pada uj u n g cl em en yang d ia k i batkan o lch pcrp i ndahan dx

H , merupakan gaya pada uj ung e l emen yang d i a k i batkan o leh perp i ndahan dx Dari gam b ar d apat d i l i hat gaya tari k yang d ia l a m i elcmen kabc l adalah

T=

\j 11 c + 1 1

I(

1

)2 + ( 1 c + 1 · . )2 1

H , meru pakan gaya horizontal a k i bat perp i ndahan ara h z, m a k a besarnya dapat d i nyatakan

dalam P yaitu : /'

x H' = P = P : -

+ d\0- -

dr1

::. .: + d=2 - d :: l () x1 1

( 8-5 8 )

V , mcrupakan gaya vert i k a l a k i bat perp i ndahan a rah x. m a ka besarnya dapat d i nyatakan d a l am P,, yaitu V, =

z0 + dz 2 - dz 1 p .:_ = Px x x d\1 Xo + cl\2

41 8


-

( 8- 5 9 )

Hz

Hx

Vz

� Vx

•

� So

::-... s

N

dx _.

. . . .. I

X

Gambar 8 . 1 2

E lemen yang mengalami perpindahan dx dan dz

denga n : V, = 1\ : l a m bang yang d igunakan pad a penurunan cl iatas H,

=

P, : l a m ba n g yang d i gu nakan pada pcn urunan d i atas

Besar gaya t a r i k e l e men kabcl j uga dapat d i nyatakan dalam bcntuk ( 8-60 )

T=

8 . 7 . Kekakuan Kabel Mem i k u l Beban Terd istribusi Merata

8 . 7 . 1 Keka k u a n kabel memikul beban terd istri busi merata d a lam ara h z

Pcnentuan h u b u n ga n b da r gaya tcrd istri busi merata ct dn gan pe rp i ndahan yang terj a d i

d i lakuka n pemod e l a n e l emcn kabcl seperti pacta G a m b a r 8 . 1 3 . Pcmoclelan i n i a k a n d i gunakan kcmucl i a n untuk menentukan besar gaya tarik pacla kabe l .

Oari persamaan tcgangan pacla kabel d apat d i kcta h u i panjang kabcl sctc lah menerima

gaya/tcgan gan : T=

EA S0

(S-S0); S

=

So

( 1 + .!__ l l t-A )

( 8-6 1 )

Kabel 41 9

----- --

G a m bar 8 . 1 3

- - - -.! I

Xo - --

---

- ,,

, So -

-

-

-T

-

8 �

-,

--

-

-

- --

'

I Zo ! i '

Elemen dengan gaya merata dan bergerak ara h

z

I

z

di salah satu ujung nya

Dengan persamaan keseti m ba n ga n gaya, d id a pat reak s i perletakan :

VI

-

q z S o ,· 1-1 I

-

H 2 - Cf- . -

-

" Xo

''O

') �z

-

Tegangan yang terjadi pada kabel dari gaya-gaya yang ada

Tega n gan tarik pada kabel a k i bat gaya m erata m e m i l ik i besar yang berbeda d i t i a p t i t i k . llal

i n i d i karenakan kcberadaan gaya m erata terscbut menyebabkan gaya dalam vert i k a l yang

te1:jad i pada kabel berbeda. n a m u n gaya h o rizontal pada kabc l se l a l u tetap. Beri k u t i n i ada l ah gaya tarik pada uj u n g-uj un g e l em e n .

( 8-62 )

T2

=

��2 2 +(-i� +q/;J = �fl;c2 +(-q/\o +Cf:·\'u )2

= H

( 8-63 )

420 Amri nsyah Nasutio n , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

U n t u k m e mpermudah a na l i s is. setiap elemen d ia n ggap mem i l i k i besar tegangan yang sama

besar. Semcntara u n t u k t uj uan a n a l i s i s yang kon servat i f. m a ka besar gaya tarik yang

d igunakan adalah gaya tarik T 1 •

( J

Dari h u b u n ga n geometri dengan gaya-gaya yang a d a d i pe ro l e h : ('

('

_ '' '' u

1

1 +� . EA

T

+ q:So

I+

EA

q ' So =

dan ·'" - 'lj� -'o + ::

( ) �

2.::

so

EA * r==== '

So

2 EAz

1

+ l ;�}

� .., z _

2z

�xo" + ::: "

2

[� 1 · [ jEJ)'

q , = -s · 0 s . 0

(

X0 I+ -

.

+

'

X 11

-

1

�( )' + .., -Z

.

'1

X1

l

( 8-64)

Persamaan i n i menunj u kkan h u bu n gan q1 denga n z dari pemod e l a n pada G a m bar 8 . 1 3 .

K arena pada u m u m nya q7 ( gaya l uar) dapat d i peroleh dengan perh itungan atas beban yang

bckct:j a atau d i keta h u i , n i la i z akan d icari dengan cara

trial

& error. Pcnye lcsa i a n d i lakukan

dengan pcndekatan dengan faktor kekakuan . Faktor kekakuan d id e fi n i s i kan sebaga i berapa besar pcru bahan gaya q1 (dq,) untuk meruba h besarnya z (dz).

Faktor kekakuan tersebut merupakan t u runan pertama qz terhadap z dari persamaan ( 8-64 ): KI

=

dqc d::

!'lolling

=

EA �

1

1

.., ,.() . + (7 -)"" '"'

� c.

( 8-65 )

pcrsamaan ( 8-64) mcngga m ba rkan h u b unga n q 1 dan z yang mendekati l i n ear. untuk

itu persamaan tcrscbut d iasu m s i ka n l i near. Seh i n gga, dengan menga m b i l kond i s i batas yaitu

Kabel 421

pada saat q, = 0 . z

=

z0 dapat d itentu kan faktor kekak u a n u n t u k h u bu ngan q1 dan z d i semua

t i t i k . Dengan dem i k i an . t�1 ktor kekakuan dari elemcn kabel yang bergerak arah z dengan gaya q/ ada l a h :

( 8-66)

( 8-6 7 )

Seh i n gga. d z dapat d i tentukan dengan cara : dq d::

c

=

1\ _ ;

-

dq-

_

=

K-_

·

d::

Denga n syarat batas q1

=

dz = L K

0.z

=

z0• maka dq1

( 8-6 8 ) =

q1• dan dz dapat d i tentukan dcnga n :

dari pcrp i ndahan dz i n i d apat d i tcntukan besarnya gaya t a r i k pada kabc l .

422 Amrinsyah Nasution,


( 8 .69 )

8 . 7 . 2 . Keka kuan kabel memikul beban terd istri busi merata d a la m a ra h x

Penentuan h u bungan besar gaya terd i str i b u s i merata dalam a rah-x dengan perp i ndahan yang

te�jad i d i lakukan pemodc lan elemen kabe l sepert i pada Gamba r 8 . 1 4 . Pemodelan i n i akan d igunakan kemud i a n u n t u k menentuka n besar gaya tarik pada kabe l .

Dari pcrsamaan t egangan pada kabel dapat d i ketah u i pan_1ang kabe l setc l a h menerima

gaya/teganga n : T

=

E� (S-So); S = So S0

�)

(1 + � EA

( 8 . 70 )

Denga n persamaan keset i m bangan gaya. d i dapat reaksi perletakan sbb: 1-1 1

= q, So

V I = V c = q , S11 _:_1_1_ 2x

'\:( - · . " '\

· .

Zo

I !

'\

'\ So'\

qo

•

'\ s '\

'\

A

X

G a m ba r 8 . 1 4

Elemen memikul gaya merata dan bergera k arah x d i salah satu ujung nya

Tegangan yang terjadi pada kabel dari gaya-gaya yang ada

Tegangan tari k pada kabe l a k i ba t gaya mcrata mem i l i k i besar yang berbeda d i t i a p t i t i k . l-la l

i n i d i ka renakan kcberadaan gay a me rata terseb u t meny ebabkan gay a d a lam horizontal yang

tcr:jad i pada kabel be rbeda. nam u n gaya vert i kal pada kabel tctap . Berikut i n i ada1ah gaya tarik pada uj u n g-uj u n g c lcmc n .

1

+

l( ' J .:: ( 1

2x

2

( 8-7 1 )

Kabel 423

q , s" _:��_

( 8- 7 2 )

2x

U n t u k mempcrmudah a n a l i s is, setiap e l emen d i an gga p m em i l i k i besar tegangan yang sama bcsar. Semcnta ra u n t u k t uj uan ana I i s is yang konservati L m aka besar gaya tarik yang d igu nakan adalah gaya tarik T 1 .

( r J· ,·

Da r i h u b u n gan geometri dengan gaya-gaya yang ada : � + ::: S = S0 1 + - S = \jx0EA

So ( 1 + � l = )x02 + l

EA )

1+ q , S-o 1 +EA

( 2x J.' ::: 2

:

su bst i t u s i T

Zo

=

q, S 0

( 2x )

I + Zo l.'

�z0 2 + x 2 ,c;.,·o

( 8-73 ) Persamaan i n i m e n u nj u kkan h u b u n gan lh dcngan x dari pcmodclan yang d i t u nj u kkan pada

G a m ba r 8 . 1 4 . K a rcna pada u m u m nya q , ( gaya l uar) dapat d i peroleh dcngan perh i t u n gan ata�

bcban yang bckc1:j a atau d i kcta h u i . n i l a i x akan d i cari dengan cara trio/ & error. Faktor

kekakuan yang d i maksudkan d i s i n i ada lah bcrapa bcsar pcrubahan gay a lh (dqJ u n t u k merubah besarnya x ( d x ) .

F aktor kckakuan terscb u t mcrupakan t u runan pcrtama q , terhadap x d a r i persamaan ( 8-7 3 ) :

424 Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur

( 8 - 74 )

Plotting persamaan ( 8- 73 ) mengG a m barkan h ub u ngan (h dan x yang mendekati l i near.

Dengan kon d i s i batas saat q,

=

0.x

=

x 0 dapat d i tcntukan fa ktor kekakuan u n t u k h u b unga n (h

dan x d i semua t i t i k . Dengan dem i k i a n . faktor kckakuan dari elemen kabe l yang bergcrak

t/1�

arah x dcngan gaya q , ada l a h :

K' =

8 x 2 �:: 2 + .r 2 2zo2 + (2 xo )2 - o o o ' --s; So �(2xo )2 + zo2 �Xo 2 + ::o 2 c)o ( "/( '� · ) 2 + _ 2 ) <'

...\ ( )

( 8-7 5 )

-o

(8-76)

Pcncntuan dx dapat d i lakukan dengan cara : dif , ilY

Dengan syarat batas q ,

d x = !b.... K,

=0,x

=

x0• m a ka dq,

=

=

K : diJ , = f.: , · eh

(8-7 7 )

\

q,. dan d x dapa t d i tentuka n denga n :

( 8-79)

Dari pcrp i ndahan dx i n i d apat d i te n t u kan besarnya gaya t ar i k pada kabc l .

8 . 7 . 3 . P e n y u s u n a n Matriks Keka kuan Elemen Kabel

Perge rakan d z atau dx pada uj u n g e lemen yang satu berga ntung pada gaya yang bcket:j a dan

j uga pcrgerakan uj u n g e l emen yang l a i n ny a . Pcrgcra kan satu uj u n g c l emen ke bawah ( d z J ).

Kabel 425

dengan pergerakan ujung elemen lain ke bawah ( dz2) menghasi lkan perpindahan arah z yang mempengaruhi perpanjangan elemen tersebut merupakan selisih clari d z 1 clan dz2 . Oleh karena itu. dapat d i ketahui suatu elemen bebas seperti pada Gambar 8 . 1 4 mem i l i k i hubungan arah z . sebagai berikut: Pzt = Kz ( cl z t -d z2); P 1 = Kz dz 1 Kz d z2 Pz2 = K z ( d z2 -d z 1 ); Pz2 - K z d z t + K 7 d z2 Bentuk matri ks: ,

�

=

(8-80)

Untuk arah x hal serupa berlaku. seh ingga clapat d i ketahui suatu elemen bcbas seperti pacla Gambar 8 . 1 4 mem i l iki hubungan arah x. sebagai berikut: P, 1 = K , ( cl x 1 -clx2); P,1 = K, dx1 � K , dx2 P,2 = K , ( cl xrcl x 1 ); P,2 = - K, dx1 + K , dx2 Bentuk matriks:

( 8-8 1 )

Penggabungan keclua matriks akan diperolch sebuah matriks 4 x 4 yang mcngGambarkan hubungan pcrgerakan dengan gaya pada suatu elemcn dcngan matriks 4 x 4 terscbut merupakan matriks faktor kckakuan. Matriks tcrsebut aclalah: !', [

K,

0

�K,

0

0

0

� K -_

!', 2

�K ,

K_-

pcl

f'_ o

0

0

� K_-

K.\ 0

0

K-

clengan: K

\

=

r,

d::l

( 8-82)

dY1

l

dzo-

2 2EA [ zo + �Xo l _ J ] dan \) c 2 ') S0 \j/ ( -Xo 'o ) 2 + ::0

(8-83a i

2£.4 [ x112 + 2z0' - ] ] ( 8 - 83 b i 2 s/ So �(2zo ) + Xo 2 Arah pergcrakan/sumbu yang d igunakan mcrupakan sumbu global untuk elemen yang clitinjau. K

/.

=

8.7.4. Gaya Tarik Tiap Elemen 426

Amrinsyah Nasution , Mefade Matrik Kekakuan Analisis Struktur

G aya tarik t i a p c l cmcn dapat d i keta h u i setclah pergerakan uj u n g-uj u ng e lemen te rah d i keta h u i

y a i t u d x 1 • d x _:> . d z 1 • dz_:>. G aya tarik y a n g d i a l a m i o l e h elemen kabe l dapat d i G a m barkan sepert i pada G a m ba r 8 . 1 5 .

Zo

z

dz ' dx

Xo X

G a m ba r 8 . 1 5

-

'

Gaya tarik pada elemen yang mengalami perpindahan dx dan dz

V/ mcrupakan gaya pada uj ung e lemen yang d i a k i batkan oleh perp i ncl
H / merupakan gaya pacl a uj ung e l emcn yang cl i a k i batkan o lch perpi nclahan dz

V, mcrupakan gaya pacl a uj u n g e l emcn yang d i a k i batkan o l ch pcrp i ndahan d x

H , mcrupakan gaya pada uj ung e lemen yang d i a k i batkan o le h perp i ndahan dx Dari G a m ba r. gaya tarik yang cl i a l a m i elemen kabel ada l ah

( 8- 8 4 )

clengan : Vc = ifc x S11 : H, = q , x S11 :

H/ merupakan gaya h o ri zontal a k i bat pcrpi ndahan arah z maka bcsarnya dapat d i nyatakan

dalam Cf: · S0 • ya i t u H = /

,, x0 + c[y , - cLY1 c x Cf- · ·' o - - if- · ·' o ! -- 2 - . _1 - - o + ·v1_

!(-

( 8 -8 5 )

,1- )

V , merupa kan gaya vert i ka l a k i bat perp i n dahan arah x maka besarnya clapat d i n vatakan

dalam q, · S0 • yaitu '

V.=

:: " ::o + d:: , - d:: l if, · So - - CJ , . ,,o --"---�-'----c2x 2 ( x1 1 + 1LY2 - dx1

)

( 8-86)

Besar gaya t a r i k elemen kabel j u ga dapat d i nyatakan dalam bentuk T=

Kabel 427

( 8-8 7 )

8 . 8 Anal isis Kabel Non-Linear O rde Kedua ( Second Order Analysis of Cables) Pcndekatan metoda e lcmen ana l i s i s kabcl non- l i near d i lakuka n pada pcrp i ndahan nodal

clcnga n menggunakan kctetapan bcri k u t i n i : 1.

2. 3.

Setiap clemen kabe l bers i f�1t

I i n ear

clastis clan tetap beracla dalam keadaan tarik

scpanjang pcmbcbanan yang cl i tc r i m a nya. ba i k pacla saat awal h i n gga masa layannya.

Pada c l emen kabcl bekc1:j a beban mc rata scpanjang kabe1 terse but dan beban terpu s�it

be kc1:j a hanya pada nod al -nodal pada t i a p e 1cmen kabel ba i k nodal tcnga h atau nodal UJ ung.

Efek lcntur dari kabel sanga t kec i l seh i n gga d i a ba i ka n .

Fonn u l a s i Lugrangian d i gu n akan d a 1 a m anal i s i s . Pada Ga mbar 8 . 1 6 titik tcngah da1'i clcmcn kabel d i nyatakan " 0 " clan

s

adalah koord i na t dari t i t i k t i njauan dari koord i nat

--

o .. d i u k u r

scpanjang panj a n g l e n g k u n g e l emen tersebut. I; a d a 1 a h koord i nat tak berd i me n s i sepanjang

e 1 e m e n yang bcsarnya adalah 2 s/S. h a 1 ma n a S adalah panjang 1engkung total clemen kabe l . K oord i na t natural d a r i 5 nod a l ya n g ada sama dcnga n ( - I : -0 .5 0

(i)

:

0 : 0.5

..,... x

:

I ).

' y

Gambar 8 . 1 6

S istem Koordinat u ntuk Elemen Kabel

F u n gs i perp i ndahan dari ka bel d i nyatakan dalam persamaan : \\ = a() + a l dcngan

w

s /

+ a2

s-

+ a,

s

( 8 -8 8 ) + a 4 l, adalah perp i ndahan elemen kabcl clan a0 sampai a 1 ad alah koefi s i e n perp i ndahan. ,J

��

y�

Dengan menunj u kan fu ngsi pc rp i ndahan dalam bcntuk perpi ndahan nodal pada 5 lokasi.

cl i dapat k a n :


( 8- 89 ) denga n N 1 sampai dengan N , sebaga i ber i k u t : 1\r

2 "3 _ " "2 I - - c., - - c., - - c,

I

6

6 -

\T

1

I

0

-

V :.

j

\T )

1

"

t: 8 ;:: 2 = - - c, + - -,

4

3 -

- c2 = I - )�

=

I

t:

- - (., 6 -

3 -

+ 4 '='c 4

3 -

+ - �� 2

(8-90 a )

3 -

4 3 8 + - (.,t: -

( 8-9 0 b )

t:-l - (.,

3 -

3 �

( 8-90c)

( 8-90d)

2 t: 3 2 v-l 2 - - (t: + - c, + - �

I

6

( 8-90e)

3 -

3 -

�

Dengan cara yang sama, perp i ndahan pada t i t i k t i nj auan dalam b i da n g 2 d i me n s i dapa t j u ga

d i t u l iskan dalam fungsi pcrp i ndahan : (r)

=

[N] [ r, )

dcnga n : { r }

[N ]

=

[�'

=

( 8 -9 1 )

[u v] 1 0

N,

N,

0

0

N1

N,

0

0

N1

N4

0

0

N1

N,

0

( 8-92 )

Dengan menggunakan konsep e l e mcn isoparametrik cl i m ana fu n s i pcrp i ndahan adalah sama

dengan fu ngsi ben t u k geo m etric, koord i nat general clapat d i deskri p s i k a n scbaga i :

( 8-93)

denga n [ x ) adalah koord i na t dari t i t i k t i nj auan cla l am system x dan y, dan ( x, } d i be r i kan dalam koord inat noda l :

( 8-94)

8.8.1 a.

Kesetimba ngan Reg a n g a n elemen kabel

Kabel 429

Panj a n g lcngkung dari kabe l d a pa t d i nyatakan dalam ben t u k :

�d x c + dy '

dSo =

dan panj a n g baru yang t e l a h berde forma s i dalam b idang dapat d i ekspresi kan sebaga i : dS

�( d x + du ) c + ( dy + d v ) c

=

Besar regan gan

baru, E=

dS - dSo dS0

a

dcngan

c

dapat d i tentuka n scbaga i perbedaan dari panjang ya ng l a m a dengan yang

= .J I + 2 a + b f r� J '

[ C]

[N " ]

T [ C] fC] f r� J [N '] [N '] � [ N ] 2 �[N ] r r· 1 l 11

b

=

( 8-95 )

I

dS

-

rx 1 1 11

I

=

S" ds

M e n gaba i kan orde ke l i m a pe rsamaan. d idapatkan b a ab a 3a c b b e 5 a 4 E = a+-----+-+ ---2 2 2 2 4 8 8

( 8-96 )

--

b.

H u b u n g a n tegangan d a n reg a n g a n

Sesuai dengan asu m s i yang d i paka i , tega n gan akh i r dari sebuah kabel elcmen sama dengan

j u m l ah tegangan d a ri tegangan a wa l . tegangan a k i ba t bcban dan tega ngan a k i ba t peru bahan tem pera t u re . 0

=

E

E

+

00 -

E

a

i'i t

( 8 -97 )

h a l mana E mcrupakan mod u l u s c l astis Y o u n g.

i'i t variasi I bcda tcm peratur. c.

00

tegangan awa l ,

a

koefi s i e n tempcrat u r. d a n

Kese imbangan tota l - h u bu ng a n keka ku a n secant

1-l u k u m energi da pat d i apl i ka s i kan u n t u k mcndapatkan h ub u ngan kckak uan secant dari

c lemen kabc l . Encrgi rega ngan U dapat d i tu l i skan sebaga i ber i k u t :

EA J "

U = - _ £�ds 2 s

( 8-98 !

dengan A adalah luas penampang dari e l cmen kabel . Gaya kabel l ua r yang tcrj a d i .

W.

dari sebuah e lemen kabel dapat d ickspresika n scbaga i :


( 8-99 )

clcnga n [ q ] acla l ah be ban mcrata cl i sepanjang panj an g lcngk u n g clan [ Fe ) aclalah be ban terpusat pad a noel a I .

Dcngan menggunakan h u k u m energi pote n s i a L pengh i l anganclari variasi pc1iama cla r i f'ungsi

energ i membcri kan koncl i s i e ku i l i br i u m sebaga i :

(8- 1 00)

clenga n { Fe ) ada l a h bcban l uar cl a l am bentuk vector. E kspres i ekspl i s it untuk i ntegral pcrsamaan cl iatas clapat d i nyatakan sebaga i :

( +�-� - �2� +�+ ��- �i-�)

8 a

8Es 8 ( 1� ; 1 l

8 ( 1� , I }

clcnga n mensubtitusi ke 3 persamaan cl iatas ke keaclaan eku i l i b r i u m yang cl i dasarkan pada

h u k u m encrgi pote n s i a l yang d i berikan pada persamaan cl i atasnya. m a ka persamaan

e k u i l i b r i u m d i cla pat kan sebaga i :

.f

EA

.\

c: s .

[(

J

[

J

h h 3a2 Sa' 3 a2 1 I 1 - a - - + - - - 1x1 + 1 - a + - - - 1 r 1

2

2

2

1

J

2

2

\

1

1,

[C J I ds -

f [NJ .\

I

11 Gj I1 ds - 1\ Fe1J = 0 ( 8- 1 0 1 )

Dari persa maan eku i l i brium cl i atas. cl apat cl i l i ha t balm·a kekakuan c l emen kabc l t i dak hanya

h c rga n t u n g pacla koncl i s i geometri awa l . namun j u ga dari clef'ormasi atau perp i n d ahan . l n i m e n u nj u kan permasalahan geomtcri non l i near yang t i p i ka l .

d.

Form u la kes e i m bangan incremental - form u la kekakuan ta ngen

Ketika menggunakan p roseclur t i pe N evv to n - Raphson u n t u k mcndapatkan so l u s i non l i ncar,

m atriks kekakuan tangent mcnghubu ngkan

scbuah gaya

i nc remental

dcngan sebuah

pcrp i ndahan i n c remental d i perl u k a n . M at r i k s kekakuan tange n t i n i clapat d i pe ro leh clari

Kabel 431

variasi kcdua dari fu ngsi en e rg i poten s i a l tota l . Dengan mcndcfe re n s i a s i term perta ma d a lam

[l

persa maan d i atas. d i dapatkan :

,,

o Il

=

, f --

El\

,') c s

()(

s • 1

. I

1 (I)j

1

,

- a

b

3a2

3ab

5a ' J .

--++-") ") ") ") ...... .....

.....

......

1T 1x I I'I J

1r ] · , 1 ,

b J1 , l 3a 2 - 1 1 + 1 - a +") ") I I' I .._

......

I- ( ] d s

= o ( Fe )

dcngan mcnsu bsti t u s i persamaan eku i I i bri u m k e pcrsamaan cl iatas a kan d idapatka n :

E A JJt� + c , f"� )! C ] ( x 1 , , ) { x ,, , ) 1 [ CJ' + ( F, + c, F1 )lC] { x , , 1 ) ( x , , / !C] 1 + ( F, + cJ1 ) [C] [ x , , , ) [ r, , 1 ) 1 [ C]' + ( 1 -� - ) [ C ] ( 1; , 1 ) [ 1; , / I C l' + l �.cJ C] ' Es

= [ Fe )

}ds

dcngan mengkespre s i ka n persamaan d iatas kcd a l a m koord i nat cw·t·e/incar. matriks kckakuan

tangc n untuk scbuah c l emen kabel d i dapatkan sebaga i :

[K ] ,

1

-

E A S I' ,d f·', + c, 1 : ) [ C_' j l1 x' , , 1 1 1 X 1 , 1 1I T [ C' j ' + ( F, + E,. F ) ! C'J- ,I x1' , 1 1) 1I X' 1 , 1 1I ' l l' ] ' 2

:

1 1

· .

'

.j

I

Sctiap term dalam matriks kckakuan tan gcn h a rus d i h i tung dengan i n tcgrasi n u m e r i k dengan

skema i n tcgrasi G a u ss-Lcgendre. U nt u k scbuah kabcl e l cmen 2 d i m c n s i . ! Kc] 1 adalah sebuah

matriks [ I 0 x 1 OJ dengan 2 d c raj a t kebcbasan t ra n s l a s i di t iap kc l i ma nodal nya . Koefi s icn Fi adalah sebaga i bcri k u t :

I 2 29 4 3 2 15 , 2 , 9 2 , 1 · 1 = 1 - 2 a - b + 4a + 4ab - 8a - - a b + - b + - a - - ab + 7 a b - - a 2 4 4 2 2 _

' 1·.

=

-I

+

" 3 15 . .1a + - b - - a 2 2 5

1 1

I

19

3

7

15 '

F' = l - 2 a - h + 4a + - ab - - a - .1 a b + - b + - a - - a b + - a b - - a 2

I·� = - I + 3 a

3 I F,, = 1 - a + - a · - - b 2 2

2

2

;

"

2

4

2

4

I

4

2

•

432 Amrinsyah Nasution . Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

2

;

4

( 8- 1 02 a J ( 8 - 1 02 h J ( 8- 1 02 c )

( 8- 1 02d )

( 8 - 1 02e J

( 8- 1 02f)

Matriks kckakuan tangen menga n d u n g variabel

<::.

N i l a i dari

<:

bcrga ntung pada komponcn

tegangan tarik horizontal kabe l yang d i sebabkan o lch bcban tota l yang beker:j a d i bawah li!\'1!1 pembebanan sebc l u m nya. lokasi rela t i f dari noda uj u ng. berat scnd i r i . dan bcban d i stribusi

sepanjang elcmcn kabe l . yang d i tunj u kan pada Gambar 8. 1 7 . Bcrdasarkan P . K hrisna. Cohle

Su.\pi!ndi!d Roofi ( M cG ra\v- 1-l i l l .

E=

1-1

-

EA

I

+

l r�s

l2

� + sh (� - ex)

L

New York. l 9 7 8 ) d i dapatkan pcrsam aan : dcngan :

�=

qL

-

2H

: ex

=

sh

� [ f3(c /L)l s h ( (l) .

+ r)

dan S0 adalah panjang l engkung i n i s i a l dari ele men kabel sebe l u m beban d i ap l ikasikan. L adalah bentang horizontal dan H adalah komponen tar i k horizontal dalam kabe l sepert i tcrl i hat pada Gambar 8 . 1 7 . T

V

Gambar 8 . 1 7

Dari

term

L

Elernen kabel dengan titi k i nterpolasi

kcd u a dalam persamaan keset i m bangan. d i da patkan beban nodal e k i \ a l en

i n c remental scbaga i :

{� r, J = fJNf ( �q ) ds + ( .\ F, )

( 8 - 1 03 )

H u bungan increml!ntal antara gaya nodal kabcl clan perp i ndahan d i lxm ah koord i nat global

cl i nyatakan sebaga i :

( 8- 1 04 )

Matriks kcka kuan tange n t yang tclah cl icleskri ps i ka n bcrs i fat kompl cks dan untuk kabel

clengan bcntang bcsar yang menga n d u n g banyak nod a dan membuat perh itu ngan tidak e fi s i e n . U n t u k m c n i n gkatkan e fi s icnsi perh itu ngan dan u n t u k menghi ndari kcticlak j e l asan. sebuah

tc k n i k kondcnsasi stat i s dapat d i gunakan sebe l u m mcnyusun matriks kckakuan tangen

elemcn mcnj acl i matriks kekakuan global . M e mpcrt i mbangkan j u m l ah j o i n elemen kabcl Kabe!

433

denga n 2 nodal uj ung yaitu I atau 5 dan kedua nodal i t u d i bcri nomor d i atas d apat d i tu l i s scbaga i :

1

clan j , pctsamaan

( 8 - 1 05 ) M e ngkondensasi persamaan d iatas pada deraj at kebebasan nodal dalam e lemen ( 2 3 A )

d idapatkan

[KJ- [K ,214J K 2,J 1 [K,c,_, J L,_,1 {t. r, }1_,, 1 1 = {/-.P, t,11 - [K ,214 JK 2,J 1 {!�.Pc,_, } 1

,1

a tau d a l am bcntuk terkondensa s i , d idapatka n :

lK' j {M 4, 1 {c.. P ' } IJ ( -1- , -1- J

11

l j(

J

=

'

e 11

(8- 1 06)

(4,1 J

Menyusun matriks kekakuan tange n dari t i ap e lemen kabel menj a d i matriks kekakuan gl obal

dan l a l u persamaan n on l i near d ise lesa i kan dengan prosed u r itera s i i nc rementaL pcrpi ndahall

i n c remental pada noda uj u ng i dan j d ar i tiap e l emen kabel d i h i tu n g. Dari perp i ndahan noda l

nod a l i n i , perp i ndahan i n c remental p a d a nodal d a l am 2, 3 , dan 4 dapa t cl itcntukan se baga i bcrikut:

A na l i s i s e l emcn kabcl clengan c a ra

(8- 1 07 )

second-order analysis

menj a d i sederhana clan m uclah

untuk menggunakan program com puter. E lemen kabel d i ana l i s i s seperti e lcmen batang u m u m

denga n 2 noda l .

434 Am rinsyah Nasutio n , Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur

8.9 Model bentang pendek dengan beban merata Struk t u r kabel bentang 8 meter seperti p ada Gambar 8 . 1 8 mem i l i k i berat sen d i ri go = 2 5 0 . 2 kN/m. mod u l us c l ast i s i tas E = 1 . 7 * 1 0 M Pa. 1 uas penampang A = 6 7 . 4 m m •

tegangan horizontal awal l l 0 = 1 0 k N . Be ban l uar yang beketj a be ban m e rata sehesar 0.3 k N / m .

(�

////�A//;;;;

"""b

'

L=8000

--

·

' """""

.......

Gambar 8. 1 8

_

--

_

.

mm

E

t�

-

I

.,!.

sag f

-

_

_

....

--

-

-

-

-

:-4 /,7'/

� ,_ ,-

/B - ��/

Model bentang kecil be ban me rata

Struktur kabel d i model kan menj a d i satu e l emen. s e h i ngga j um l ah nodal sebanyak 5 nodal . Bentang horizontal antar nodal menj ad i 2 m .

Sag Sag

awa l akh i r

F i na l

8. 1 0

t en g a h ben t ang t engah

ben t a ng

Hori zontal

T en s i on

( mm )

( mm )

( kN )

C++

(2nd - Order Analys i s )

P r o g r am

s ama d e n g a n

1 6 0 , 0 8 5 mm

koordinat =

awal

226 . 32766 16 . 61556

GT

Linear

S TRUDL

Mode l

160 . 085

160 . 085

210 . 769 1 8 . 9 5 97

Jurna l

217 . 8623 -

160 . 085

210 . 617

19 . 0090

Ben ta ng besar dengan be ban terpusat

Kabel dengan hentang 3 05 meter seperti pada Gambar 8 . 1 9 dengan herat send i ri q0 =

0 . 045 k N/m . SaR f tengah i n i s i a l adalah 3 0 . 5 meter. l uas pcnampang kabe l A = 5 5 0 5 2 m m • dan mod u l us c l asti si tas E = 1 . 3 x 1 0 M Pa. Kabe \ menerima beban terpusat sebesar f =3 5 . 6 kN pada 1 2 2 m dari pcr\ etakan A. d i namakan dengan nodal · c .

Kabcl d i modei kan menj ad i 2 c l emen. E lemcn perta111a c l emen AC dan e l emcn kedua

c \ emen C B . Dcngan 2 e l emcn. j u m l ah nodal untuk pemodel�m sehanyak 9 nod a l .

N odal A berada pada absis x = 1 5 2 . 5 m . sementara nodal C pada abs i s x = - 3 0 . 5 m

dan koord i nat B pada 1 5 2 . 5 111 . Bentang horizontal antur nodal pada c l emen AC

adalah 3 0 . 5 m . sedangkan pada e l em e n C B = 4 5 . 7 5 111 .

Kabei

435

program C++ yang

J\nal i s i s d i lak u k an dengan 3 cara m enggunakan GT S T R U D L

berdasarkan pada 2nd- Order A nalysis, dan menggunakan penurunan rum u s yang

telah d i l akukan scbe l umnya dengan Excel.

L=305 m

-

- -t �-

__, -

--

i 0 M

-

1 22 m

1-

- -

F

sag f

- ..!.. - -

-i

G a m ba r 8 . 1 9 Model bentang hesar dengan heban terpusat Kasu:; 2 {dglC+ + )

25

:

20 15 10

-102 5

52 5 '

0 ------ 4

-25

47 5

1 47 5

H a s i l anal i s i s d en ga n Program C++ P r o g r am C + +

Lendu t an pada t i t i k c

(m)

H o r i z on t a l Pre t en s i on

( kN )

GT

L inear

STRUDL

Mo d e l

4 , 677409

6 , 01426

0 , 497873

5 , 6H

90 , 19856

88, 19653

3557 , 14

89 , 639=

( 2n d - Order An a l ys i s )


J u r n a ::_

8. 1 1 Pipeline bridge structural system Kas im Marine Terminal Petro c h i n a bcrcncana mengirim gas a l am bcrtekanan d ari p u l au M atoa S a l awi ke Kasim M ar i n e Termi n al di Papua B arat . Untuk i t u d i pcrl ukan sambun gan p i pa yang akan m e l a l u i selat yang memi sahkan. Salah satu altcrnati f yang d i lakukan ada l ah menghubungkannya dengan m en ggunakan j em batan gantung. Jem batan gantung yang d i perlukan akan membentang scpanj an g 2 . 2 k i lometer d engan beban yang berasal dari berat scn d i r i . p i pa. tekanan a l i ran gas. an gi n d an s e i s m i c . Struktur kabel y a n g d i gunakan berd iameter 3 0 0 m m y a n g tcrd i ri d a r i strand-strand

dan sctiap strand tcrdi r i dari wire-H·ire. Luas c l cmcn k abel A

=

mcmi l i k i mod ulus c l asti sitas E = 1 95 000 M Pa.

706 8 5 . 7 111111� . K abel 1

Pc111bebanan k abel d i bagi menj a d i 2 untuk penyederhanaan. yaitu: bcrat sen d i ri sebesar 5 . 6 kN/m mcrata d i scpanj an g bentang. d an beban l ayan sebcsar 44 . 8 3 kN scbagai bcban tcrpusat t i ap 20 meter k abcl . Pcrm o d c l an kabcl dan beban dapat d i l i hat pada Gambar 8 . 2 0 .

P=44.83

a . S i stem jembatan kabel untuk pipa G a m ba r 8 . 20

kN @

20 m

b . Model kabel Sistem jembatan kabel pipa

Jembatan kabel do111 odelkan dalam 2 8 e l em e n dcngan pembagian : a.

2 7 e l em e n mempunyai bentang horizontal antar n odal 2 0 m, schi ngga bentang hori zontal

masing-mas i ng clemen

menj ad i

80 m .

Scmentara elemcn ke-2 8

Kabel

437

mempunyai bentan g horizontal antar nodal elemen ke-28 menj a d i b.

40 m .

10

m , seh i ngga ben tang hori zontal

Dengan 2 8 e l emen, j um l ah nodal untuk m a s i n g-masing e l emen 5 , m aka j um l ah

4 x Jumlah Elemen + 1 4 x 2 8 + 1 1 1 3 nodal . Koordi nat untuk nodal 1 d i m u l a i dari - 1 1 00 m , kem u d i an bertambah 2 0 m untuk nodal selanj utnya_ h i n gga nodal 1 09, sch i n gga koord i nat nodal ke 1 09 adalah + 1 060 m . Nodal 1 1 0 d i m u i ai pada abs i s x = + 1 070 m sehi n gga nodal akh i r 1 1 3 akan menempati abs i s x = + 1 1 00 m . Dengan I 1 3 nodal dan 2 nodal mcrupakan tum puan. maka banyaknya deRree ot .fi'eedom struktur kabel = ( 1 1 3 x 2 ) - ( 2 x 2 ) = 222 DOF . nodal total adalah

=

=

P r o g r am C + + Koo r d i n a t

awa l

t en g ah b e n t an g

Koord i n a t a kh i r F i na l

Hor i zo n t a l

8 . 1 2 Soal-soal

t engah ben t an g T en s i on

(m)

( 2n d - Order An a l ys i s )

(m)

-115 . 86 0

( kN )

-110 . 00

4117 9 . 00 5

GT STRUDL

-89 . 303 -115 . 962 4 0 9 1 3 . 7 9 ":

H as i I a n a l i s i s dengan program komputcr

Soal 1

La kukan verifi kasi a n a l i s i s kasus 8 .9 sampai den gan 8 . 1 0 .

Soa! 2

Kabel tegangan t i n ggi d i pasang antara d u a menara. Koord i nat d u d u kan kabel pada men
sepeiii tergambar. D iameter kabel kabe l .

=

200 m m . q a d a l a h beban gra v i tasi yang beket:j a pac�

Pertanyaan :

H itung besamya ga-

ya d i pe rletakan ka be l pada menara .

438 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuar. Anelisis Struktur

Amrinsyah-Analisis Struktur Metode matriks Kekakuan - Amrinsyah Nasution.pdf

Recommend Documents