Analisa Struktur Metode Matriks

METODE MATRIX

DIKTAT KULIAH

ANALISA STRUKTUR METODE MATRIX FLEKSIBILITAS MATRIX KEKAKUAN KEKAKUAN SIPIL - ITATS

Ir . H. Kartono Hd

METODE MATRIX

DIKTAT KULIAH

ANALISA STRUKTUR METODE MATRIX FLEKSIBILITAS SIPIL - ITATS

Ref: 1. Ae!ander "#a$e%& ' Str()t(r Str( )t(raa Ana$%*% Ana$%*% ' +. A.,#a*  A.M. Ne*e/ Ir. 0 *ra MS"E ' Ana*%a Ana*%a Str(t(r ' 2. 3effr$P. La*4e ' Str()t(r Str( )t(raa Ana$%*% Ana$%*% ' 5. Ir. Soe6artono  Ir. Tedd$Boen Tedd$B oen ' Ana*%a Ana*%a Str(t(r Metode Matr*! ' 7. 0 **a8 **a8 0 eaer eaer & 3r ' Ana*%a Ana*%a Matr*! (nt( Str(t(r Ran9a '

Ir . H. Kartono Hd

AnalisaStruktururM ethodeMatriks

1

Terda6at #(4(n9an antara 4e4an 8o8en =  > den9an 6(taran %(d(t = d



d 1

$an* :  ;  1

.d

11

1

+ d*8ana  ; 4e4an 8o8ent  d



1

1

d d

A*4at  +



1

d*t*t* 1:

 1 ;

1

1

1

+ +

A*4at 

; St*ffne%% Inf(en)e "oef*)*ent ; 6(taran 6(taran %(d(t d*t*t* 1

11

+

11

.d

1

? 

1+

. d

+

d*t*t* +:

 + ;

+1

.d

1

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++

. d

+

D*t(*% daa8 4ent( 8atr*%:  

 ; 

1 +

11



1+

d

1

+1



++

d

+

D*t(*% daa84ent( (8(8 : 

D

; 

D

; F

-1

 

; 

D

----< Matr*%Kea(an r*%Kea(an =St*ffne%%Matr*!> =St*ffne%%Matr*!> -----< Matr*% Matr*% Fe%*4**ta% Fe%*4**ta% = Fe!*4**t$ Matr*!*! >

Matr*% Kea(an Kea(an ; I n er% Matr*%F e%*4* e%*4* *ta%

Ir.H.Kartono Hd

>

Ana*%a Str(t(r Met#ode Matr*%

+

 1 d+ d1 1

+

 +

d1 ;d

11

? d 1+

d+ ;d

+1

? d ++

d 11 ; ?

 1 d +1

d 11

-

d 1+ ;

 1 .L

-

d +1 ;

2 EI  + .L

 1 .L

d ++ ; ?

@ EI

@ EI  + .L 2 EI

+

1 d ++

d 1+ 1

+

 + +d 1 ;

+ ! = 1 > Per%a8aan = 1 > :

1 ! = + > Per%a8aan = 1 > :

+

1 ! = 1 > Per%a8aan = 1 > :

+ ! = + > Per%a8aan = 1 > :

?

d+ ;d

? d ++ ; +1

-

@ EI

d 1 ;

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-

d 1 ?  1 .L

-

2 EI  1 .L

?

@ EI

 + .L

----< Per%a8aan = 1 >

@ EI  + .L

----< Per%a8aan = + >

2 EI

@ EI  + .L

?

2 EI =?>  1 .L

-

@ EI +EI L -

2 EI + 1 . L @ EI

 1 .L

+ + .L

-

2 EI 5EI L

 1 ;

 1 .L

+ 1 .L

; ?

? d 1+ = 11

2 EI -

d+ ;

+d 1 ? d

+ 1 .L

?

d1 ;d

?

;

2 1 .L

;

 1 . L

@ EI

+ EI

d+  + . L @ EI + + . L 2 EI =?>

d 1 ?+d

; +  +;

 1 ;  +

+EI L

+EI L

 + .L

?

@ EI d 1 ?

5EI L

+ + . L 2EI

;

2 + .L

;

d1

+EI L

d1

5EI L

d+ d+

 + . L + EI

@ EI

d+

Sean(tn$a& 4*a 4e%arn$a 4e%arn$a d 8aa 4ent( Matr*%n$a :

D*t(*% daa84ent( Matr*% :

5EI L

-

1

dan d

 1 ;

SC;  +

+

; 1 rad*an&

5EI L

+EI L

+EI L

5EI L

---< Matr*% Keoo#an *ntern ee8en Ir.H.Kartono Hd

AnalisaStruktururM ethodeMatriks

2

"#( K*a 0an9 daa8 4((n$a :' Introd()tor$ Str()t(ra Anaa$%*% 0*t# Matr*! Met#od ' = ' Pen9antar A na*%a Str(t(r Den9an "ra Metode Matr*% *% ' > . 8en9e8(aan 8en9e8(aan 6enda6atn$a %e4a9a* %e4a9a* 4er*(t F 1 e+ S

e1 1

F +

;

+

5EI L

+EI L

+EI L

5EI L

EI L

;

5

+

+

5

D*a9ra8F a8F - e

Da%ar 6en$ee%a*an ana*%a ana *%a 8atr*% ea(ann$a ea(ann$a %e4a9a* %e4a9 a* 4er*(t : P



T

FC;SCAC

 X C -1

XC;KC P1

 KC ;  A C  S C

P+ !+

!1

P + ;F + ?F 2

e1

F AC;

e5 e2

F+

F1

P+

2

5

1

1







+



1

1



!

1

+

1

1



+



1

2



1

5





e

F2 AC F+

P 1 ; F 1

+

F5

NP ; 5 F - e D*a9ra8 P1

1

P F2

e+

T

;

P + ;F + ?F 2 S ; St*ffne%% Matr*! Ee8ent

S

5EI L

+EI L





+

1





+EI L

5EI L





1

+





+EI L





+

1

5EI L

; 



5EI 5EI L





+EI +EI L

T

AC

P 1 ; F 1

NP ; + P - ! D*a9ra8 F1

 P C

;

+EI L





1

+

X ; 3o*nt Rotat*on = P(taran an S(d(t a*4at 9a$a (ar > F ; Interna 3o*nt For)e% = ,a$a Daa8Pada 3o*nt > A ; Stat*) Matr*! = Matr*% Stat*a > A T ; Tran%6o%e Stat*) Matr*! = Tran%6o%e Matr*% Stat*a > e ; *nterna end rotat*on = P(taran an S(d(t a*4at 9a$a daa8 > P ; E!terna 3o*nt For)e% = ,a$a (ar 6ada  o*nt o*n t > Ir.H.Kartono Hd

Ref : Ir.Soepartono & Ir. Teddy Boen " Analisa Struktur Metode Matri"

Analisa Struktur Methode Matriks

H 1

d

+

H

1

d

S

+

;

+ D*a9ra8H- d

1

5

1

1

EI H



5EI L

+EI L

+EI L

5EI L

;

EI L

5

+

+

5

Da%ar6en$ee%a*an 6en$e e%a*an ana*%a 8atr*% ea(ann$a ea(ann$a %e4a9a* 4er*(t 4er*( t : P



 HC ;  S C  A C

DC -1

 D C ;  KC

Str(t(r Da%ar Da%ar $an9 d* ana*%a

T

KC;AC

  C

SC

AC

Mo8ent A#*r ;  HC -  FEM C

Str(t(r Da%ar $an9 d*ean9

1

1



1



1





+

Keta#(* Keta#(* Deraat aat K*ne8at*%n$a d

11

d

D d

1+

d

; 1

d

; 

+1

;



d ++

d

1

D

d

H

S

5+

+

H

; 

+

H

1

1

; 1

+

AC

;

1







1 +

1

1



2

d

5

S ; Matr*% Kea(an

D*a9ra8 H - d

d ; P(taran S(d(t a*4at 9a$a (ar



H ; ,a$a , a$a Daa8 Daa8 ter#ada6 T*t* T*t*  D*%r*t D*%r*t

+

 ; ,a$a (ar 6ada T*t* T*t* D*%r*t D*%r*t

+

 + ;H

+

?H

2

A ; Matr*% Stat*a

2

A

1

Ke%e*84an9an ,a$a

5EI L

+EI L





+

1





+EI L

5EI L





1

+





+EI L





+

1

5EI L





1

+

;

T

5

2

H H 1 ; 

2+

1

d



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51

d

; 1

H

H

;

1

d

H

AC

; 

21





5EI L





+EI L

;

+EI L

T

; Tran%6o%e Tran%6o %e Matr*% Stat*a

Ir.H.Kartono Hd

Analisa Struktur Methode Matriks

7

0**a8 0eaer 0eaer &3r daa84((n$a daa84 ((n$a :' Ana*%a Ana* %a Matr*% Matr*% (nt( S$tr(t(r Ran9a Ran9a ' 8en9e8(aan en9e8(aan 6enda6atn$a 6end a6atn$a %e4a9a* 4er*(t



!

EI

EI

A

"

B Da%ar Da%ar 6en$ee%a*an 6en$ee%a*an ana*%a 8atr*% Fe%*4** ata% %e4a9a* 4er*(t : 



1



1

EI

+

EI

A

"

B

Den9an 8en9*n9at ond*%* 9eo8etr*n$a&8a%*n9 8a%*n9 4ao d*ad*an 9ea9ar %eder#ana . = Str(t(r & $an9 %e8(a %e8(a terean9 terean9 & d*e6a%> d* e6a%> M

D

 ; 2 t8G

1

P

1

B

; 5 Ton

D

dan M

"

%e4a9a* red(ndant

Menent(an Matr*% Defor8a%* a*4at 4e4an  dan P :

+

.L D A

B

D f 11

+

f +1

2

P.L #

+5 EI

"

Defor8a%* a*4at 4e4an  dan P

P 1 .L

;

+

1@ EI

D

C ;

D

1

D

+

1@ EI Menent(an Matr*% Fe%*4**ta%

FC

"

B

f

11

f

f

+1

f

f 1+ 1 (n*t

f ++

EI

EI B

1+

;

Defor8a%* a*4at 8o8ent 1 (n*t d* B

Defor8a%* a*4at 8o8ent 1 (n*t d* "

+

+

EI

EI

A

+

1 (n*t

1 (n*t

A

;

1

1

f 11

;?

f +1

;?

M.L 2 EI M.L

1

?

++

M.L

+

2 EI

+

@ EI

" D

; F



C ; -  F C

-1

 D C

Ir.H.Kartono Hd

f 1+

;?

f ++

;?

M.L

+

@ EI M.L 2 EI

+

Ref:Aleander Ref:Aleander ha'es( Stru)turalAnalysis

Matriks $leksi%ilitas

Matr*% : Se(86(an 4*an9an r*e ata( o86e% $an9 $an9 d*%(%(n d* %(%(n 8en(r(t 4ar*% dan oo8 %e#*n99a 8e84ent( a aran = Arra$ > 6er%e9* 6anan9

1

; F ;D

1

+

*

F

2

1

0 +

+

,

1

+

*

+

-

2

1

2

+

.0

+

;Defe%* = Lend(tan> d* t*t* 1 %e4a9a* 1 a*4at 4e4an 0 d*t*t* + +

; oef*%*en 6en9ar(# fe%*4**ta% = fe!*4**t$ *nf(en)e *nf( en)e )oeff*%*ent > 6ada t*t* 1 %e4a9a* a*4at 4e4an d*t*t* d*t*t*  +

1+

+

1

1+

@

;

+

+

;Be4an d* t*t* +

1

; F

11

.0

1

? F

1+

.0

+

?F

+

; F

+1

.0

1

? F

++

.0

+

?F

2

; F

21

.0

1

? F

2+

.0

+

?F

12 +2 22

.0

2

.0

2

.0

2

itulis dala/ %entuk /atriks : 1 +

;

F

11

F

1+

F

+1

F

++

F

21

F

2+

F

2

Bent( (8(8 :

F

0

1

+2

0

+

F

22

0



C ;  F C  0C

12

ata(

D

1

D

+

D

2

;

2

F

11

F

1+

F

+1

F

++

F

21

F

2+

F

F

F

Bent( (8(8 :



1

+2



+

22



2

12

 D C ;FCC

"onto# : + A

∆,

,(

D*eta#(* : Bao %tat*% tertent( %e6ert* 9a84ar Pada ( (n9 4ao& 8ener*8a *8a 4e4an 9a$a  ert*a = 0

EI L

+

*(

∆*

1

A*4at 4e4an ter%e4(t. ter%e4(t. ( (n9 4ao aan 8en9aa8* 8en9aa8* defe%*

3aa4 : a. Bent( defor8a%* defor8a%* $an9 terad*

dan defe%*

+

> dan 8o8ent = 0

1

a*4at 4e4an ert*a  ert*a

a*4at 8o8ent.

D*tan$aan : H*t(n9 defor8a% defor8a%** $an9 terad* 6ada 4ao ter%e4(t ter%e4(t den9an 8etode Fe!*4**ta%. Fe!*4** ta%.

A 1

∆* 4. Men9#*t(n9 Fe!*4**ta% 1 (n*t A

F

11

F

+1

1 (n*t

A

F

1+

F

++

Ir.H.Kartono Ir.H.Kartono Hd

+

>

Ref:Aleander Ref:Aleander ha'es( Stru)tural Analysis




1 (n*t Men9#*t(n9 Fe!*4**ta% F

1I

A

11

/F

/F

1+

/F

+1

++

BaoKant*e BaoKant*e er AB

B L

L EI

B*dan9 Mo8ent EI

1  ; .L. +

+ L 2

L EI

;

MG

L + +EI

B

A

+ 0 2

L + +EI

;

L 2 2EI

+ L 2

F

11

; MG

; B

F

+1

; JG

B

F

1+

; MG

B

F

++

; JG

B

L 2 2EI

; L +EI

+

;

L +EI

+

;

L EI

1(n*t

B

EI

>;

L + +EI

JG B ;  ;

Bao Kon(9et

; .=

%e4a9a* 4e4an 6ada 4ao "on(9ated

L

B*dan9 Mo8ent EI

1 EI L +

Bao Kon(9et

JG

B

B

11

F

1+

0

1

1

F

+1

F

++

0

+

+

.

L +

L + ; +EI

L EI

;  ; L 2 EI L+ +EI

=

L EI

; . ; L +

2

F =

+

L EI

.L1; EI

;

1

MG

%e4a9a* 4e4an 6ada 4ao "on(9ated

L +EI L EI

+

0

1

0

+

1

;

L2 2 EI

0

1

?

L+ +EI

0

+

+

=

L+ +EI

0

1

#

L EI

0

+

"onto# 6er#*t(n9an +

Bao Kant*eer ter4(at dar* 4eton 4ert(an9 & ((ran 6ena86an9 4ao 27  5 )8 Panan9 4ao + 8. M(t( Beton ; fG

)

; +7M6a .Mod((% Ea%t*%*ta% Ea%t*%*ta% 4eton ; 5 fG

& )

MPa

Pada ( (n9 4ao 4 ao ter%e4(t terda6at 9a$a ter6(%at 6(%at + ton dan 8o8ent %e4e%ar %e4e%ar 2 t8 D*tan$aan : 4e%ar defe%* dan 6(taran %(d(t d*((n9 4ao ter%e4(t 3aa4 :

1

L2 2 EI L+ +EI

=

+

E I

4eton

0

1

0

+

+

; 5 +7 ; +2786a ; +279)8 +279)8 1 ; .&+7. &5 1+

BaoKant*er

Defe%* ;

Rota%* ;

L+ +EI L EI

1

+

;

2 ; L 2 EI

L+ +EI

0

2

0

1

1

?

+ ? L +EI

L EI

0

5

; &122 8

0

+

+

;

;

+

; +27 +27 ton8

+2 2.&122.E

++ +.&122.E

.+ ?

.+ ?

++ +.&122.E + &122.E

2

7+1 ton-8

.2;

+

+27 ton - 8 .2;

71 ton - 8 +27 ton - 8

+ +

; &2@ 8

; &2+ rad


Ref: Ae!ander "#ae%& Str()t(ra Ana$%*%

Matriks $leksi%ilitas itas



iketahui : Balok statis tertentu seperti 2a/ %ar + +

-(

∆-

+

5(

A

1I

0

∆5

,(

itanyakani : Hitun2 defor/asi yan2 yan2 ter'adi pada pada %alok %alok terse%ut terse%ut den2an / etode $lei%ilitas.

∆, B

0

+

3a4a% : a. Bentuk defor/asi yan2 ter'adi

∆*

*(

Bentuk Bentuk u/u/ :

6 ∆ 7 = 6 $ 7 6 + 7 F

11

F

1+

F

+1

F

++

F

+2

2

F

21

F

2+

F

22

F

5

F

15

F

+5

F

25

F

1 +

; A

∆-

F

F

12

15

+

,

+5

+

*

25

+

-

55

+

5

F

1

∆5 +

%. Men2hitun2 $lei%ilitas itas $

, unit -,

A

$ $

,,

$

5,

*,

*0 1I , 0.0 * 1I

0.0 *1I

0.0 1I 1I

$

-*

0 1I

$

,,

$

5,

-,

=

, .*0. *

=

*0 1I

*0 1I

*

* .*0 -

=

0.0

0.0

0 * . , 1I *

0 #

= 1I # , 1I * =

*

*0 1I

=

-

80 -1I

- 0* * 1I

=

, 0 *. * .0 * 1I -

, unit $

5*

*,

$

A

$

$

,*

$

$

**

= *0.

$

,*

=

$

5*

$

-*

, 1I

=

*0 1I

.0

=

**

*0 1I ,

= 0. 1I =

0 1I

=

0 1I

, .0 *

=

*0 1I

0 *1I

*

*

*0

0

1I Ir.H.Kartono Ir.H.KartonoH d

=

9 0 1I

Matr*% Fe%*4**ta%

Ref: A e!ander "#ae%& "#ae%& Str()t(ra Ana$%*%



1 (n*t

$ 22 A

$

len2kun2

$

,-

$

lurus

5-

$

*-

=

, 0 0* = .0. * 1I *1I

=

0* *1I

* .0 =

5-

$

--

$

*-

=

, 0.0 * 1I

,-

=

0* *1I

0 1I 90 -

0.0 *1I

$

1 (n*t

=

0-1I

0* = *1I 9 .0 -

$

=

5-

9 0 1I

f 25

A

$

$

,5

55

$

$

*5

$

-5

$

*5

0 1I

$ 0

-0

*

*

$

+

$ ;

2

$

5

$

,,

$

*,

$

-,

$

5,

0 1I

=

=

0 1I

, .0 * , 1I

= 0.

,5

=

=

0 1I

=

0* *1I

=

- 0 *1I

0 1I

.0 *

*

6 ∆ 7 = 6 $ 7 6 + 7

Bentuk u/ u/ :

1

, 1I

= 0.

55

$

,*

$

**

$

-*

$

5*

$

,-

$

$

*-

$

--

$

5-

,5

+

*5

+

-5

+

55

+

2

5

∆*

* -

∆-

5

∆5

80 -

1

+

∆,

,

= , 1I

*0

*

9 0  - * 0 *

*0

*

*0 0 * 0

*

;

9 0 0* * 00* *

80 -1I *0 * 1I 9 0 1I - 0* * 1I

0

0

- 0 *1I 0 1I 0* *1I 0 1I

*

*

- 0 *

0 *

9 0 1I 0* *1I 0-1I 0* *1I

*0 * 1I *0 1I 0 * *1I 0 1I

+

,

+

*

+

-

+

5

*

Ir.H.Kartono Hd

+

,

+

*

+

-

+

5

Ref: Aleander ha'es( Stru)tural Analysis

Matriks $leksi%ilitas tas

1

1le/ent and stru)tures for)es and defor/ation Atas )ara yan2 terdahulu dala/ a/ pe/%entukan Matriks $leksi%ilitas( Aleander Aleander hayes dala/ %ukunya Strutural Analalysis( /ereko/ endasikan endasikan )ara alternati
∆-

-(

+ +

5(

∆,

,(

∆5

A

B 1I

0

! , ( δ ,

0

! * ( δ *

Stru)tures for)es and displa)e/ent +

! - ( δ -

*(

∆*

! 5 ( δ 5 1le/ent for)es and displa)e/ent

0

0

δi δ '

1le/ent ; $lei%ility Matri ! i ( δ i

f ii =

0 d, = -1I 0

f i' =

0 d* = 1I 0

f 'i =

0 d* = 1I 0

f '' =

0 d, = -1I 0

, f ' i

f ii

0 -1I

δi

d

,

=

0 1I

δ ' , 1I

0 1I

!, !*

0 -1I

δ 7 = 6f

Bentuk Bentuk u/u/ = 6 ,

0 f i' *

)

=

7 6!7

0 -1I

0 1I



d

δ*

0 1I

0 -1I



, *



δ-





0 -1I

0 1I

δ5





0 1I

0 -1I

,

* ,



=

f ' '

0 1I

6f ) 7 = )o/posite ele/ent;flei%ility /atri

δ,

, d

!, !*

f i' f ''

! ' ( δ *

0

d*

f ii f 'i

=

= 0 1I

* ,

 

, *

 

 

* ,

 

, *

, 1I

Ir.H.Kartono Hd

!, !* !!5



11

$or)e Transfor/ation Matri

!

,

B ,,

B ,*

B , - B ,5

!

*

B *,

B **

B *-

B *5

4 , 4 * 4 4 5

=

!

-

B -,

B -*

B --

B -5

!

5

B 5,

B 5*

B 5-

B 55

Bentuk >/u/ : 6!7 = 6B76+7 6B7 adalah $or)e Transfor/ation Matri T ransfor/atio ransfor/ationn of 6 f

)

7 into 6$7

Transfor/asi dari %entuk 6 f

)

7 ke %entuk 6 $7

ersa/aan : ?aya ala/ = ?aya 0uar

,@* 6 +

,

+

*

+

-

+

5

∆,

δ,

∆*

δ* = ,@ * 6 !

7

,

∆2

! * ! - ! 5 7

δ-

∆5 ,@* 6+7 6+7

T

T

δ5

6 ∆ 7 = ,@* 6!7

6 ∆ 7 = 6!7

T

6+7

T

6f ) 7 6 ! 7 T

6 δ 7

;;;

;;;;

6! 7 T

6 ∆ 7 = 6+7

T

= 6B7

6 δ 7 = 6f ) 7 6!7 T

6+7 T

6B7 T 6f ) 76B76+7

6 ∆ 7 = 6B7 T 6f ) 76B76+7 6 ∆ 7 = 6 $7$7 6 +7+7 T

6$7 6+7 = 6B7 6$7 = 6B7

6f ) 7 6B7 6+7 T

6f ) 7 6B7

Ir.H.Kartono Hd


Matriks $leksi%ilitas itas ontoh : +

+

∆-

-(

A

+

∆5

5(

3a4a% : a. Bentuk defor/asi yan2 ter'adi

= ,unit

Bentuk u/u/ :

B

1I

0

,

iketahui : Balok statis tertentu seperti 2a/ %ar itanyakan : Hitun2 defor/asi yan2 ter'adi pada %alok terse%ut den2an /etode $lei%ilitas. litas.

0

+ A

∆,

B

1I

0

,(

!

,,

= ; *0

!

*,

A

= ; 0

!

= ; 0

-,

0 -1I 0 1I

!

5,

6 f ) 7 =

=

0 1I 0 -1I

0

+

*













0 -1I

0 1I





0 1I

0 -1I

B

1I

0

6 ∆ 7 = 6 $ 7 6 + 7

0

;

;*0

1+

0 = 1I

* ,

 

, *

 

 

* ,

 

, *

= ,unit

;

;,

!

,*

=;,

!

**

= ; ,

!

+ A

-

-*

!

5*

=,

= ,unit B

1I

0

= ; ,

0

;

;0

!

,-

=;0

!

*-

= 

+ A

!

--

= 

5

= ,unit

5-

,

B ,,

B ,*

B , - B ,5

!

*

B *,

B **

B *- B *5

4 , 4 * 4 4 5

=

!

-

B -,

B -*

B -- B -5

!

5

B 5,

B 5*

B 5- B 55

=

B

1I

0

!

!

0

;

;,

!

,5

=; ,

!

*5

= ;,

!

-5

=

!

55

= 

Ir.H.Kartono Hd

Ref: Aleander Aleander ha'es( Stru)tural Analysis


6B7 =

6 f) 7 6 B 7 =

=

0 1I

;*0

; ,

;0

;,

;*0

; 0

;0



; 0

; ,



;,

; ,

; ,

;,

;,

; 0

;,





; 0









;,





; ,

;,





0 1I

* ,

 

, *

 

 

* ,

 

, *

6B7 T =

;*0

; ,

;0

;,

; 0

; ,



;,

; 0

;,







;,





12

*.;*0C#,.;0C#.;0C#.C

*.;,C#,.;,C#  C#C

*.;0C#C#C#C

*.;,C#,.;,C#C# C

,.;*0C#*.;0C#.;0C#.C

,.;,C#*.;,C#  C#C

,.;0C#C#C#C

,.;,C#*.;,C#C# C

.;*0C#.;0C#*.;0C#.C

.;,C#.;,C# *.;,C#,.;,C

.;0C#C#C#C

.;,C#.;,C#*.C#,.C

.;*0C#.;0C#,.;0C#.C

.;,C#.;,C# ,.;,C#*.;,C

.;0C#C#C#C

.;,C#.;,C#,.C#*.C

6f  7 6 B 7

=

0 1I

; 90

; -

; *0

;-

; 50

; -

;0

;-

; *0

;-





; 0

;-








15

$lei%ility Matri  Matriks $leksi%ilitasC = 6 $ 7

6$7=6B7

T

;*0

; 0

;0



; 90

; -

; *0

;-

; ,

; ,

;,

;,

; 50

; -

; 0

;-

; *0

;-





; 0

;-





*

#,0

; 0







; ,

;,





C#50

*

C#*0

*

C#C

#90C#50C#*0C#0C 6$7=

0 1I

#90

*

C#C#C#C

#90C#50C#C#C

6$7=

2 5

= , 1I

#-C#-C#-C#-C

#*0C#0C#C#C

#-0C#C# C#C

#*0

#-C#-C#C#C

#*0C#C#C#C

*

# ,*0 # ,*0

# 90 # -0

-

-

# -0

# D0

*

# 0

*

0C#-0C#C# C #-C#-C#C# C

C#C#C#C

#-0C#C#C#C #-C#-C#C#C

# 0 , 1I

= # 90

C#C#C

-

# D0

*

*

*

C#0

# *0

-

# -0

# -0

*

# 0

*

80 -

-

*0

*

*0

9 0  - * 0 *

9 0 0* * 00* *

*

*0 *

0 * 0

- 0 *

*

0 0* * 0

6 ∆ 7 = 6 $ 7 6 + 7

Bent uk u/ u/ :

+

, 1I

#50

*

# ,*0

*

0C#-0C# -0C#C

-

# ,0

1

0 1I

6f  76 B 7 =

80 -

-

*0

*

*0

9 0  - * 0 *

*

*0 0 * 0

*

9 0 0* * 00* *

*

- 0 * 0 0 * 0

+

,

+

*

+

-

*

+

5

=

80 -

-

1

=

*0

*

+

=

9 0 

-

2

0 *

*

5

=

+

,

#

+

,

#

+ +

*0

*

*0

,

#

0 *

,

#

0

+

*

#

9 0 

+

*

#

0* *

*

+ +

-

+

-

#

- 0 *

+

-

#

0

-

*

#

0 -

*

#

0* *

*

+

-

#

0 *

+

-

#

0

Ir.H.Kartono Hd

+

5

+

5

+

5

+

5

*

Ref: Aleander ha'es( Stru)tural Analysis ysis


,9

1le/ent and stru)tures f or)es and defor/ defor/ ation +

∆,

,(

A

B

1I *0

0 +

R

*(

∆,

,(

Stru)tures for)es and displa)e/ent R

∆* ! * ( δ

! , ( δ ,

∆-

! 5 ( δ 5

! - ( δ -

*

-(

1le/ent for)es and displa)e/ent

, >EIT

1le/ent ; $ lei%ility lei%ility Matri ! * = 0*

! , = 

! - = 0*

-

δi

! 5 = 

-

f ii f 'i

=

δ '

δ, =

δ*

f i' f ''

0 1I

* ,

*0 1I

* ,

, *

!

,

!

*

!

,

!

*

!

-

, >EIT ;,

δ-

;

=

δ5 ! , = ;,

! * = ; * -

* -

! - = ;

;, 6f ) 7 =

, -

5

5 * * 5

o/posite ele/ent;flei%ility lity / atri

;

! * = ;

, *

0 1I

! 5 = 

, >EIT

! , = 

!

=

! - = ; , -

! 5 = ;,

0 1I

* ,

 

, *

 

 

5 *

 

* 5

Ir.H.Kartono Hd

!

-

!

5


Matriks $leksi%ilitas itas * , 0 1I

6f ) 7 =



 

, *

  6B7 =

 

5 *

 

* 5

0 1I

6 f) 7 6 B 7 =

, *

 

 

5 *

 

* 5

*0 -

 6$7=6B7

T

6 f ) 7 6 B 7 =

T

6 f ) 7 6 B 7 =

6$7

=

0 951I

*

*0 -

; * -

; , -

*0 -

; * -

; , -





;,





; , -

; , -

; ,

; -

; - 0

; *5 0

; - 0

95

; *F

; *5 0

*F



; *

;*



8 0 * =

95

*0

; ,

- 0 951I

; , 

0 1I

=

0 1I

*0

; ,

*0 -





; * -



*5 0

; ,

; * -



;,



; ,

0 951I

6B7 T =

; , -



*0 -

 6$7=6B7

; * -



 

; , -

; * -

* 0 -

* ,



; ,

*0 -

,

; -

; , 0

; 8 0

; , 0

,8

D

;80

D

* 0 -

; 8 -

5 0 -

;

8 0 -

; 8 -

5 0 -

;

*0

; 8

; ,

50

; F

; *

80

; 8

;,

50

; 5

;,5

F -

5 -

,8

0 ,81I



; * -

; * -



; , -

; , -

; ,

* 0 -

;

8 -

;

, -

5 0 -

;

F -

;

* -

8 0 -

; 8 -

; , -

5 0 -

; 5 -

; ,5 -

; , * -

;

; , ;

,5 -

8 0 * =

*0 -

; , 0

; 8 0

; , 0

,8

D

;80

D

Ir.H.Kartono Hd

,8



∆,

6 ∆ 7 = 6 $ 7 6 +7

∆*

0 ,81I

=

∆-

∆,

0 ,81I

=

∆ * ,∆ ∆* ∆-

*

6# 8 0

7 6 +

*

 

=

;, 0 ; 80

0 ,81I

=

4

=

;

a a

,,

= # ,8

,*

= ; D

;,

*

= ;

-

=

# D

; 80

#D

# ,8

4

,

R

*

R

-

* -

*

6# 8 0

0 ,81I

 80

∆, =

0 ,81I

 80

8;

*

*

 +

 + 9 D

,

,

,

4

0 ,

= ; D

*

*

5 D

+

=

-

**

= # ,8

F* ; 9 ,8D

, *5-

= ;

,

R

*

=

R

-

=

, D , D

1I

 50  +

,

C=

 *0  +

,

C=

50

, D

= 5 D * D

4

*0 0+ 0+

,

,

,

,

-

-

0

,

4

*

0C #  ; 80 

,

4

; 95 0

C #  ; 80  R

+

;, 0 ; 80

#,8 ; D ; D # ,8 ;,8 0

, *5-

= ;

,

#,8 ; D ; D # ,8

6 7 =

R R

C # ;, 0  R

+

,

*,

7 # 6 ;,0 ;,0 ; 80 7

C # ;, 0 

*

,

a

4

7 6 +

R R

= ,8  ,8 ; D D = *5-

 # D 0 ; ,55 0 C

∆, =

0

4

a

 ; ,8 0 # F* 0 C

, *5-

0 ,81I

∆ , = ,81I

,

;, 0 ; 80

#,8 # D # D # ,8

= ;

-

∆,

# ,8

#,8 # D # D # ,8

#

#,8 # D # D # ,8

Kofaktor /atriks  :

R R

; , 0

R R

;, 0 ; 80

#,8 # D # D # ,8

Men2hitun2 deter/inan :

*

; 8 0

=

-

-

R R

; , 0

7 # 6 ;,0 ;,0 ; 80 7 ,

;,

R R

*

8 0

,F

C * D

+

-

=

, ,*

,

+ ,0 1I

0C -

=

8 8,

+

,

0

-

1I




6!7=6B76+7



; ,

*0 -

; * -

; , -

!-

*0 -

; * -

; , -

!5





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!

!*

6!7=6B76+7=

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!

,

=

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; * -

; , -

*0 -

; * -

; , -





;,

!

+

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5

,

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,

=

; ,* *F

!

5

;  *F

=

0+ ,

G A =

; # ! * = !

+ ,

-

G B = =

#

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,

0+

0+ 0+

0+

; ,* *F

6+

7

;0

!

,

=

; ,* *F

0+ ,

!

*

=

#

8 *F

0+ ,

!

-

=

#

8 *F

0+ ,

!

5

=

;  *F

0+ ,

0+ , # +

,

 *0

;

 *F

0+ ,

 *F

0+ ,

=

* *F

+ ,

0+ ,

#+

,

0

-0

#

=

F *F

+ ,

# F *F

,

,

-0 ; ,* *F

,

# 80

0+ ,

;

,

#80

, *F

=

,

0+ ,

*0

;

* *F

5 D * D

GB

0+ ,

5 D * D

6 +7 =

,

; ,* 0

4

B

0

!

;  *F

1I GA

4



; ,

*0 -

!5

; ,* *F

6B7 =



,



,

!*

6!7=

,8

+ ,

Ir.H.Kartono Hd

Ref: Aleander hayes " Stru)tural Analysis" Analysis"

ro%le/s Eo ,9.,5 a2e -

* kE

"

,D



1 = *  , I = , ,



kE@/ / /

* 5

D

EI

EI EI

Selesaikan Selesaikan den2an / atriks fleksi%ilitas

5M

EI

A

B M

3a4a% : ,. Struktur di'adikan struktur statis tertentu 0

1

&

!

1

1I

!

EI

! -

5

1I *

1I

1I

! R +& R2 &

,

+

2

*. Menentukan Matriks o/posite 1le/ ent $leksi%ilitas tas

δi δ ' δ, δ* δδ5 δ9 δ

f ii f

=

f 'i f

=

!

''

! '

5  1I 8  1I

=

=

i'

5  1I

i

*, ,*

! !

*

*, ,*

!

-

!

5

*, ,*

!

9

!

,

=

=

=



, - 1I

5* *5

!

,

!

*

, - 1I

85 58

!

-

!

5

, - 1I

5* *5

!

9

!



*. Menentukan Matriks $ leksi%ilitas litas o/posite 1le/ ent

f )

=

, - 1I

5 *    

* 5    

  8 5  

  5 8  

    5 *

!

9

!



1I

    * 5


Ref: Aleander hayes " Stru)tural Analysis" Analysis"

ro%le/s Eo ,9.,5 a2e -

* kE

"

,D



1 = *  , I = , ,



kE@/ / /

* 5

D

EI

EI EI

Selesaikan Selesaikan den2an / atriks fleksi%ilitas

5M

EI

A

B M

3a4a% : ,. Struktur di'adikan struktur statis tertentu 0

1

&

!

1

1I

!

EI

! -

5

1I *

1I

1I

! R +& R2 &

,

+

2

*. Menentukan Matriks o/posite 1le/ ent $leksi%ilitas tas

δi δ ' δ, δ* δδ5 δ9 δ

=

=

f ii f

i'

!

f 'i f

''

! '

5  1I 8  1I

=

=

5  1I

i

*, ,*

! !

*

*, ,*

!

-

!

5

*, ,*

!

9

!

,

=

=

=



, - 1I

5* *5

!

,

!

*

, - 1I

85 58

!

-

!

5

, - 1I

5* *5

!

9

!



*. Menentukan Matriks $ leksi%ilitas litas o/posite 1le/ ent

f )

=

, - 1I

5 *    

* 5    

  8 5  

  5 8  

    5 *

!

9

!



1I

    * 5


Ref:Aleander hayes " Stru)tural Analysis"

ro%le/ s Eo ,9.,5 a2e-

*

5. Menentukan Matriks Transfor/er ?aya 6 B 7 ; $or)e T ransfor/er Matriks 0

1

&

! 5 =

! - =

1

5M

! * =

! 9 =

;

!  =

! , =;5 ;5

B B

8M

;5

,, *,

=;5  B =  B

-, 5,

=  B =  B

;5 ;

;5

;

,

= = 

! 5 = ;5

! - =;5

;5

9,

! * =;5

! 9 = ;5

;

!  =

! , = , , unit 2aya

B B

8M

,* **

=  B = ;5  B

=;5  B =;5  B 5*

-*

9* *

=; 5 =

#8 #

#8

! 5 =

! - = #8

;

! * = #8

#

! 9 =

5M

!

! , = #8 , unit2aya

B B

,*-

= #8  B = #8  B

-5-

= #8  B =  B

9-

= =

8M


=

ro%le/s E o ,9.,5 a2e a2e -

Ref:Aleander hay es " Stru)tural Analysis" Analysis"

B

;5     

=

f

B

$

T

B

f

=

B

)

#8 #8 #8   

;5       ;5 ;5 ;5 ;5  #8 #8 # 8   

T

B

5 *    

, - 1I

=

)

=

 ;5 ;5 ;5 ;5 

* 5    

  8 5  

  5 8  

    5 *

=

    * 5

;5     

;5       ;5 ;5 ;5 ;5  #8 #8 #8   

*,

 ;5 ;5 ;5 ;5 

#8 #8 #8   

=

;, ; 8    

, - 1I

;8 ; , ; 58 ; 58 ; , ;8

;, ;8    

, - 1I

# 58 # 58 # 5 # -*  

=

;8 ; , ; 58 ; 58 ;, ;8

, - 1I

# 58 # 58 # 5 # -*  

# 5 # -* ; ,D* # -* # 9,* ; 9F ; ,D* ; 9F #,*8

6 ∆ 7 # 6 $ 7 6 R 7 =  6 ∆ 7 = ; 6 $ 7 6 R 7 ;,

6R7=;6$7

∆, ∆* ∆-

∆,

=

∆ * ,∆ ∆* ∆-

-

=

# 5 # -* ; ,D* # -* # 9,* ; 9F ; ,D* ; 9F #,*8

, - 1I

=

6 ∆ 7

, - 1I

6# 5 7 6 +

4 R R

,

, * -

R R

7 # 6 # -* ; ,D* 7

* -

=  

= ;

, - 1I

# -* ; ,D*

4

# # 9,* ; 9F ; 9F # ,*8

,

R R

* -

;, R R R

* -

= ;

# 9,* ; 9F ; 9F # ,*8

# -* ; ,D*

4

,

5

Men2hitun2 deter/inan :

# 9,* ; 9F ; 9F # ,*8

=  9,*  ,*8 C ;  9F  9F C = -*-985

Ir.H.Kartono Hd

ro%le/s Eo ,9.,5 a2e -

Ref:Aleander hayes " Stru)tural Analysis"

**

Menentukan Menentukan %esar ele/en kofaktor /aktriks  1le/en Matriks  C A ,, = # ,*8 A ,* = ; J ; 9F  = # 9F A ,- = ; J ; 9F  = # 9F A *, = # 9,* # ,*8 # 9F # 9F # 9,*

67=

R R

=;

* -

, -*-985

67=

T

# ,*8 # 9F # 9F # 9,* # -* ; ,D*

# ,*8 # 9F # 9F # 9,*

6 * 7

, J ,*8  -* C ;  9F  ,D* C  * C E -*-985

R * =; =;

 ,5D ; ,,9D* C  * C = -*-985

;

; D-* -*-985

 * C = # 5-5 E

, J 9F  -*C ;  9,*  ,D* C * C k2 -*-985

R -=;

,  ,85-* ; D8-5 C  * C = -*-985

=;

;

; FD8F* -*-985

 * C = # 5D-F E

6!7=6B76+7 !, !*

;5     

!!5 !9 !

 ;5 ;5 ;5 ;5 

#8 #8 #8   

# * # 5-5 # 5D-F

! , = ; 5.* 5.* #  # 8 . 5D-F = ; 595 E;/



1 = *  ,

*

kE@/

! * = #  ; 5.5-5 5.5-5 # 8.5D-F 8.5D-F = # ***8 ***8 E;/ ! - = #  ; 5.5-5 5.5-5 # 8.5D-F 8.5D-F = # ***8 ***8 E;/ ! 5 = #  ; 5.5-5 #  ! 9 = #  ; 5.5-5 # 



I = , ,

/ /

5

, ,

=

= ; ,F*, ,F*, E;/

=

, ,

= ; ,F*, E;/

!  = 

∆,

, - 1I

=

∆,

=

, - 1I

6# 5 7 6 +

,

7 # 6 # -* ; ,D* 7

 5  * C #  -*  5-5C # ,D*  5D-F C =

R R

* -

=

, - 1I

6# 5 7 6 *

5

5D8*5 ,., -  *.,

# 5-5 # 5D-F

7 # 6 # -* ; ,D* 7



= F(8- //

Ir.H.Kartono r.H.Kartono Hd

/ 5

Ref:Aleander hayes " Stru)tural Analysis" Analysis"

ro%le/s Eo ,9.,5 a2e a2e -

*-

Menentukan reaksi perletakan perletakan dan 2a/ %ar %idan2 (M(E

!

!

- = # ***8 E;/

5

= ; ,F*, E;/

= * E

!

G  = ; ***8 ; ,F*, 8

!

*

!

A

= ; 5D-F E

G  = #***8 # ,F*, 8

= ; 5D-F E

= # 5D-F E

= # ***8 E;/

!

, = ; 595 E;/

H A = G

9 = ; ,F*, E;/

***8 # 595 5

 =

H B =

= ,9D E

G

B

,F*, 5

= # 5D-F E

Ir.H.Kartono Hd

= 5-5 E

Ref : A.?hali & A.M.Ee
Matri $leksi%ilitas itas



A

1I

0

iketahui : Balok AB den2an kedua u'un2 nya ter'epit( / eneri/a 2aya terpusat 



1I

B *0

itanyakan: itanyakan: en2an / etode Matriks $lei%ilitas ( hitun2 %esar Mo/ ent dan Reaksi perletakkan yan2 ter'adi 3a4a% :

;



A

*5



L ,

L *

  ,,

Struktur statis tak tentu. en2an /en2in2at kondisi 2eo/etrinya( struktur di'adikan 2ela2ar sederhana. sederhana. ipilih M A (M  se%a2ai Redundant den2an /en22anti tu/puan A dan  yan2 se/ula 'epit / en'adi sendi sendi .

;

 *, G 

G A

?

ersa/aan Ko/pati%ilitas :

f *,

f ,, L ,

?

+

=

 *, # f *, .L , # f ** .L

+

=

Bentuk >/u/ Matriks $leksi%ilitas : 67#6$76L7=

f **

f ,*

 ,, # f ,, .L , # f ,* .L

;,

6L7=;6$7

L *

6  7



Σ M  =  ;;;; # G  ,,

 *,

G  = ,  -

*  G A = -

*..0 - 1I

Bidan2 /o/ent 1I

50 = -

L ,

, *

L , =

Bidan2 /o/ent

-0 # 0 9..0 * G A = D 1I

Σ M A =  ;;;; ; G

M B = # G

*..0 -

-0 # *0 -

90 = G  =

se%a2ai %e%an pada %alokkon'u2et

5..0 D 1I

.-0 ; .*0 =  G A = *  .-0 # .0 =   G  = ,  A

A

* .0= -

.0 = #

. *..0

 ,, = #

90 -0

. 0

 *, = ;

50 -0

. 0

*



;

 

*

1I *

1I

,, *,

0 * 1I

. - 0 =

- 1I

=

*..0 -

9.0 D.1I

*

= #

5.0 D.1I

*

= ;

*

# 9.0 D1I ; 5.0 D 1I

*

=

Ir.H.Kartono Hd

.0 D1I

*

# 9 ; 5

Ref : A.? hali & A.M.Ee
Matri $leksi%ilitas tas

f ,,

*9

f *,

, unit

-0 *1I

L * = , . , . -0 = * 1I L * G A = ;

,

f ,, = ;

1I

GA

Bidan2 Bidan2 / o/ent 1I

* . -0 - *1I

=;

0 1I

0 1I

G


G  = #

, . -0 *1I -

0 *1I

=#

0 *1I

f *, = #

f **

f ,*

, unit L -

G A = ;

, 1I

f ,* = ;

G  A G  


Bidan2 /o/ent 1I

-0 *1I

L - = , . , . -0 = * 1I

G  =# f ** = #

, . -0 - *1I

=;

0 *1I

=#

0 1I

0 *1I

* . -0 *1I 0 1I

Menyusun Menyusun Matriks iks $leksi%ilitas :

$

;

f

,,

f

,*

f

*,

f

**

=

;0 1I #0 * 1I

;0 * 1I #0 1I

= 0 *1I

;*

;,

# ,

#*

Ir.H.Kartono Hd

Matri $leksi%ilitas tas ;,

Menentukan In
*

Menentukan deter/inan : 0 *1I

0 * 1I

=

;*

;,

# ,

#*

-0 * 1I

J  ; * .# * C ;  ; , .# , C  = ;

=

Me/%entuk /atriks 6  7 ( yakni /atrik %aru den2an ele/ennya adalah kofaktor /atriks 6 $ 7 A

,,

= #  # * C = #*

A

,*

= ;  # , C = ; ,

A

*,

= ;  ; , C = # ,

A

**

= #  ; * C = ; *

Matriks

Transpose Matriks

;, ;-

$

;,

6L7=;6$7

L L

,

=;

; *..0 *F 0

T



6  7

*

=

*1I -0

#,

;,

;*

#*

#,

;,

;*

; *1I -0

=;

#*

#*

#,

;,

;*

 ; * . # 9 C #  #, . ; 5 C

.0 D1I

*

# *..0 *F 0

=

;,.#9C#;*.;5C

*



#*

;,

#,

;*

;

# 9 ; 5

*

#  = # -

# ,* .0 *F #  .0 *F

=

# 5 .0 D # * .0 D



A

1I

L

,

=

5 .0 D

L

0



1I

B

*

= * .0 D

*0

Hasil Akhir Ir.H.Kartono Ir.H.Kartono Hd

Ma tri $leksi%ilitas as

 ton

9 ton 

A ,(9/

5(9/

1I

1I

B

L ,

9 ton

 ton  *,

 -,

 ,,

G 

f ,,

f *,



L -

G

f ,*

= 9 ton

Struktur statis tak tentu. en2an /en2in2at kondisi 2eo/etrinya( struktur di'adikan 2ela2ar sederhana. sederhana. ipilih M A (G B (M  se%a2ai Redundant den2an /en22anti tu/puan A dan  yan2 se/ula 'epit / en'adi sendi ( serta /en2hilan2kan tu/puan B. ersa/aan Ko/ pati%ilitas itas :

, unit f **

;

f -,

*

itanyakan: itanyakan: en2an / etode Matriks $lei%ilitas ( hitun2 %esar Mo/ent dan Reaksi perletakkan yan2 ter'adi 3a4a% :

;

9 ton

L *

G A



-/

/

 ton

A

iketahui iketahui : Balok AB den2an den2an kedua u'un2nya ter'epit( /eneri/a 2aya terpusat  =  ton (  ,

1

*F



?

f -*

, unit

 ,, # f ,, .L , # f ,* .L

+

# f ,- .L - = 

 *, # f *, .L , # f ** .L

+

# f *- .L - = 

 -, # f -, .L , # f -* .L

+

# f -- .L - = 

Bentuk >/u/ Matriks $leksi%ilitas : f *-

67#6$76L7=

f --

f ,-

 ton

Σ M  =  ;;;; # G Σ M A =  ;;;; ; G

1  *,

G 

G A

D( t/

,,(5 t/

.,(9 = # (5.,(9 = # D( ton /eter



.- = # 5(.- = # ,-(8 ton /eter

M B = # G

A

. ; .5(9 = # (5. ; .5(9 = #,,(5 ton /eter L , = L * = L - =

,-(8 1I

L 5 = L 9 =

L G A =

L ,

*

L

-

8D(-99 1I Bidan2 /o/ent 1I Kontrol :

L

L

9

.,9 # 9.,* # .,(9 = 

A

Bidan2 Bidan2 /o/ ent

D( 1I



M  = # G M 1 = # G

,-(8 t/

,,(5 1I

.,9 ; .,-(9 ; 9.- = 

G  = # 5( ton

 -,

 ,,

A

6  7

G A = # (5 ton

9 ton



;,

6L7=;6$7

, unit

L

5

L  =



G  =

DD(,D9 1I

, * , * , * , * , * , *

. D( 1I . D( 1I ,,(5 . 1I ,,(5 . 1I ,-(8 . 1I ,-(8 . 1I

. ,(9 = . 5(9 = . 5(9 = . = . = .- =

F(* 1I *,( 1I *9(9 1I -5(* 1I 5,(5 1I *(F 1I ,9(F9 1I

3u/lah L =


L total

=

, *

. D( 1I

. ,(9 #

, .  5(9 #  C *

. D( # ,-(8

1I

,-(8 # , . 1I *

- =

,9(F9 1I

.

Ir.H.Kartono Hd

 NKC

Men2hitun2 

ΣM



,,

= 

(

*,

dan 

#G 

A

-,

F(* 1I

.  ,-( 9 #

; -5(* 1I

.-#

. ,9 ;

G

A

;G

= 



F(* 1I

. ,9 #

=

# ,,55(,*9 ,91I

-,

=

;

G

Kontrol :

M

B

= #

F5(5F9 1I

Menyusun Matriks efor/asi 6  7 :

A

F(* 1I

. ;



.#





,,

=#

5,(5 1I

=#

F5(5F9 1I

* .,(9 C # -

.

# -5(* 1I G

* . C ; -

, .C; -

.-#

*9(9 1I

* 5(9 C ; -

.D#

*(F 1I

.

, . 5(9 C -

.D# * . -C -

=

,,,F(,*9 1I

F5(5F9 1I

=#

*,

*,( 1I

, .,(9 C ; -

# ,,,F(,*9 ,91I

=

A



ΣM

*8


*,( 1I

.  ,(9 #

, . C ; -

5,(5 1I

.#

=#

F(*F9 1I

, . 5(9 C # * .C; -

*9(9 1I *(F 1I

* . 5(9 C -

.  ,(9 # , .-C -

.  ,* #

=

,,55(,*9 1I

F(*F9 1I

# G

=

F5(5F9 1I

#

 5(9 #

, -

.,(9 C ;



F(*F9 1I

= ,9(F9 1I

*,( 1I



 NKC

*9(9 1I

* .5(9 C ; -



, -

.5(9 C =

-F(9F9 1I



,,



*,



-,

=

# -F(9F9 1I # F5.5F9 1I ; F(*F9 1I

# -F(9F9 =

, 1I

# F5(5F9 F5(5F9 ; F(*F9


# -F(9F9 1I


f *,

f -,

f ,,

9

* 9

, unit M B = ; -(

F/

8/

, *

G A = ;

8 ,9

1I


Bidan2 Bidan2 /o/ent 1I

f ,*

.

f -, = #

,*( 1I

, unit L 8

= ;

8(5 1I 5(8 1I



A




* -

f ** = ;

9 1I

G  = ;

, -

f *-

f ,* = ;

f --

f ,-

=;

F(9 1I

=;

*(9 1I

#

, .D. *

.D

, -

* -

f -- = #



Bidan2 Bidan2 / o/ent 1I


G





8(,

#

1I ,5(5 1I

.

= 8/

-

5(8 1I 1I

91I

, -

;

=

1I 1I

.D

,5(5 1I

F(9 1I

F(9 1I

=;

*(9 1I

.

F(9 1I

=;

9 1I

9 1I

*(9 M   B = ;

.

1I

= ;

A

= ,9 # D

*(9 1I

G   = ;

, 1I

**(9

1I

f *- = ;

L D

0 #% -

9 1I

. , . ,9 =

, *

G  A = ;

= F/

-

F(9 1I

F(9 1I

.

= ,9 # 

*(9 1I

= ;

, unit

G

.

;

0 #a -

, . -

-( 1I

=

1I

1I

G A = ;

L D =

*,(

. , . ,9 =

, *



, .. *

#

#

1I

G G

.

M   B = ; *(9 Bidan2 /o/ent 1I

,*( 1I

=;

1I

f -* = # , 1I

*F 1I

; ,5(5

f ,, = ;

f -*

,5(5 1I

=;

,5(5 1I

L 8 = f **

.

*F 1I

. ,9 =

*F 1I

F G  = ; ,9

G

; -(

. -(

M  B =

-( 1I

GA

L F =

f *, = ;

;C Bidan2 Bidan2 / o/ent L F

- . = 9

;

M B =

*D

f ,- = ;

,9 1I

, .. *

# #

*(5 1I

* 91I

=

, -

;



,*( 1I

,*( 1I Ir.H.Kartono Hd

Matri $leksi%ilitas itas

-

Menyusun Matriks $leksi%ilitas :

$

;

f

,,

f

,*

f

f

*,

f

**

f

*-

f

-,

f

-*

f

--

; 5(8 1I ; ,5(5 1I # ,*( 1I

,-

;

; ,5(5 1I ;9 1I # *(9 1I

, 1I

Menentukan deter/inan :

, 1I

=

; 5(8

; ,5( 5

; ,*( 

; ,5(5

;9

; *(9

# ,*( 

# *( 9

#9

, 1I

; 5( 8

; ,5( 5

; ,*( 

; ,5( 5

;9

; *(9

# ,*(

# *( 9

#9

;,

Menentukan In
=

; ,*( 1I ; *(9 1I #9 1I

6 ; 5(8 J  ;9.#9 C ;  ; *(9.#*(9 C  # ,5(5 J  ; ,5(5 .# 9 C ;  ; *(9 .# ,*( C ; ,*( J  ; ,5(5.#*(9 C ;  ; 9.#,*( C 7

# *D,( ,  # ,*,9 ; 98-(* ; -5(* C = 1I 1I Me/%entuk /atriks 6  7 ( yakni /atrik %aru den2an ele/ennya adalah kofaktor /atriks 6 $ 7 =

A

,,

= # J  ; 9. #9 C ;  ; *(9.# *(9 C  = ; ,8(F9

A

,*

= ; J  ; ,5(5 . # 9 C ;  ; *(9 *(9 . #,*( C  = # 5(9

A

,-

= # J  ; ,5(5 . # *(9 C ;  ; 9.#,*( C  = # *F

A

*,

= ; J  ; ,5(5. #9 C ;  ; ,*( ,*( . # *(9 C  = # 5(9

A

**

= # J  ; 5(8 . #9 C ;  ; ,*( . # ,*( C  = ; ,9(*5

A

*-

= ; J  ; 5(8 . #*(9 C ;  ; ,5(5. # ,*( C  = ; ,D(55

A

-,

= # J  ; ,5(5. ; *(9 C ;  ; ,*( . ; 9 C  = ; *F

A

-*

= ; J  ; 5(8 . ; ; *(9 C ;  ; ,*( . ; ,5(5 C  = # ,D(55

A

--

= # J  ; 5(8. ; 9 C ;  ; ,5(5 . ; ,5(5 C  = # ,,(5

Matriks

Transpose Matriks

;





; ,8( F9

# 5( 9

# *F

# 5(9

; ,9(*5

; ,D(55

; *F

# ,D( 55

# ,,(5

; ,8( F9

# 5(9

; *F

# 5(9

; ,9(*5

# ,D(55

# *F

; ,D( 55

# ,,( 5

T =

Ir.H.Kartono KartonoH d

Ref : A.? hali & A.M.Ee
Matri $leksi%ilitas litas ;,

Menyusun In
;,

;,

6L7=;6$7

1I *D,(

;

$

6  7

;

=

; ,8( F9

# 5( 9

; *F

# 5( 9

; ,9( *5

# ,D( 55

# *F

; ,D( 55

# ,,( 5

1I *D,(

; ,8( F9

# 5(9

; *F

# 5(9

; ,9( *5

# ,D( 55

# *F

; ,D( 55

# ,,( 5

-,

# -F(9F9 , 1I

# F5(5F9 ; F(*F9

 ; ,8(F9 .# -F(9F9 C #  # 5(9 . # F5(5F9 C #  ; *F . ; F(*F9 C ;, *D,(

=

 # 5(9 .# -F(9F9 C #  ; ,9(*5 . # F5(5F9 C #  # ,D(55.; F(*F9 C  # *F .# -F(9F9 -F(9F9 C #  ; ,D(55 . # F5(5F9 C #  # ,,(5 . ; F(*F9 C  ton

L ,

; D,(-8F9 =

L *

;, *D,(

# *(-F,

; ,--*(*5F9

=

; *-D(D89

L -

A

( M

dan G

B

# 5(9D # (DD

L * = 5(9D t/

A

. ; 5(9D ; .5(9 # M

 G A # M

Σ M B =  ;G

Tin'au %atan2 B 



B

L - = (DD t/ L , = *(-F, ton

Σ G=   G

# G

A

B

#G



A

, Opers .* = D G

# M 

# M

B

 G A ; D G #DG A

D Opers .- = D G

A

# 5(8,F Kontrol : G pers. , = . 5(8,F

A

# G



B

#G



= ,,

B

=

G A # G  = 8(*D ;;; pers . ton

1I

= ; 9(5F

A

= # F*(*95

M A = 5(9D t/ G A = # 5(8,F ton

G A = 5(8,F 5 (8,F ton ,(9/

= 8(*D 

9 ton M B = *(8F t/ B



A

= # FF(, 

# G

=

= -(DD ;;;;; pers . *

= -(DD 

,9 G pers . - = G

B

= -,(98D

B

-/

/

=  # 9 = ,,

G A # *(-F, , Opers . , =  G

5(9/

= -,(98D ;;;;; pers. I

.D # (DD # 9. ; M

D G  # M Tin'au

1 1I

1I



Σ M B =  G

Tin'au %atan2 AB :

B



A

,(9/

Men)ari %esar G

9 ton

= 8(*D

5(9/

1 1I

M  = (DD t/ G B = *(-F, ton G  = -(8,* ton /

G  = #-(8,* ton

# G B # G  = 5(8,F # *(-F, # -(8,* = ,,  NkC #M

B

= -,(98D

M B = # *(8F t/ Ir.H.Kartono Hd

-/

Matr*% Fe%*4**ta%

Ref : A.,#a*  A.M.Ne *e/ I r. 0*ra 0*ra MS"E ' Ana*%a Str(t(r'

-*

TABEL LENDUTAN DAN PUTARAN SUDUT 9 ∆, = -85 A

θA

, 5

∆*

∆, , 5

0

, 5

0

, 5

0

θA

, 5

∆*

∆, , 5

0

, 5

0

θ A = # !0 *51I

-

0 ∆, = 581I

-

θA = # , 5

0

θ B = ; !0 *51I

-

∆* =

,,0 F8

θB = ;

0 ,1I

∆* =

,,0 F81I

-

B

θB

∆*

!0 1I

0

 A

,D ∆* = *58

B

θB

∆*

5

!0 1I

0 ,1I

*

*

0

 A

θA

, 5

∆, , 5

0

, 5

0

0

A

∆,

∆*

∆-

F0 F81I

θB

*

*,0 θA = # -851I

∆, =

θA

-

∆- = , 5

0

B

θB

∆-

∆*

D0 ∆, = F81I

*

∆- =

B

-

θB = ;

; *,M0 -851I

∆* = ;

;

-

*

,90 -851I

*

M0 ,1I

*

,9M0 -851I

M , 5

, 5

0

θ A = A

, 5

0

∆,

∆*

∆-

, 5

0

M0 θA = ; 1I

0

∆, =

θB

; DM0 *91I

B

0

, 5

0

, 5

0

, 5

0

*

M0 ∆* = ; -*1I

-M0 ∆- = ; *91I

M , 5

θ B = # M0 -1I

θA = 

*

θB = # Ir.H.Kartono Hd

M0 51I

*

5

Ref Ref : A. ,#a*  A.M.Ne A.M.Ne *e/ Ir. 0*ra 0*ra MS"E ' Ana*%a Str(t(r'

Matr*% Fe%*4**ta%

--

M0 θ B = # -1I

M0 θ A = ; 1I M A

θA

, 5

∆-

∆* , 5

0

, 5

0

B

θB

∆,

∆, = , 5

0

;

*

*,M0 -851I

0

θB = #

M A

θ A =

, 5

0

-M0

, 5

0

∆, , 5

0

θB

, 5

M0 51I

*

∆ - = ; *91I

B

∆*

*

M0

∆ * = ; ,1I

θA = 

∆-

*

,9M0

∆ - = ; -851I

DM0

*

∆ , = ; *91I

M0

∆ * = ; -*1I

0

Ir.H.Kartono Hd

*

Ref : A.,#a* A. ,#a*  A.M.Ne*e/ A.M.Ne* e/ Ir. 0*ra MS"E ' Ana*%a Str(t(r'

Matr*% Fe%*4* Fe%*4**ta% *ta%

-5

D*eta#(* a#(* : Bao 8ener*8a 8ener*8a 4e4an %e6ert* 9a84ar "

B

A L

D*tan$aan : Be%ar Rea%* 6eretaan dan 8o8en 8o8en $an9 terad*

L

3aa4 : Str(t(r ter8a%( %etat*% ta tent( 4erdera 4erdera at +=d(a> 

Str(t(r d*ad*an %tat*% tertent( den9an 8en9#*an9an t(86(an B dan " & %erta 8en99ant*ann$a 8en99ant*ann$a den9an Red(ndant 4er(6a 

1



+

1

dan 

+

Be%ar Defe%* $an9 terad* : D

D

+

1

L

L

5

7..=+L> ;? 25 EI

D 1 ;?

5

7 L +5 EI

Be%ar P(taran S(d(t $an9 terad* : .=+L> ; +5 EI

D +; -

f 11



1

f +1

Pada t*t* B d*4er* 9a$a 

; 1 (n*t

f 1+

f ++

2

+

; 1 (n*t

P=+L> ; 5EI

2

f 11 ; -

P=+L> ;? 1@EI

+

f +1 ; ?

f 1+ ; -

M=+L> ; 1@EI

;?

f ++ ; ?

M=+L> ;? 2EI

+

2

1.=L> 5 EI

;

+

1.=5L 1@ EI

>

+

; - 1.=5L 1@ EI ;?

D

1

? f

11

. 1 ? f

1+



+

; 

D

+

? f

+1

. 1 ? f

++



+

; 

+

L @EI

L 5EI

+

>

1.=+L> 2EI

L 5EI +L 2EI

Bent( (8(8 daa8 8atr*% DC ? FCC ;  -1

-

2

; 1 (n*t

Per%a8aan Ko86at*4**ta% :

C ; - FC

2

1 ; 1 (n*t eata%

Pada t*t* M d*4er* 8o8en  %eara# %eara#  ar(8  a8 

L 2EI

-

DC

Ir.H.Kartono Hd

+

Ref : A.,#a*  A.M.Ne* e/ Ir. 0*ra MS"E ' Ana*%a Str(t(r'

Matr*% Fe%*4**ta%

f 11 FC

f 1+

;

; f +1

D DC

f ++

D

; -

+1

2

L 5EI

+

L 2 EI

L 5EI

-

+

+L 2EI

? 7L

2



L +5 EI

Menent(andeter8*nan

?1@

?@L

L +5 EI

;

2

- @L

+

- 5L

L +5 EI

;

5

7L +5 EI

11

;

L @EI

-

-9

+

- 5L @L @L

- @L

;

L +5 EI

=- 5L

?1@

? @L

- @L

- 5L

+

2

- L

.1@> - =- @L.@L> ;

@ EI

1@

Menet(an ee8en 8atr*%4ar(  " C A

11

; ? = ? 1@ > ; ? 1@ / A

1+

; - = ? @L > ; - @ L

A

+1

; - = - @ L > ; ? @ L / A

++

; ? = - 5 L

+

- @L

?1@ "C;

- 5L

? @L

-1

FC

 

1 +

; ;

; ?

@EI L

@EI L

+

> ; - 5 L

1@

"C

+

@L

1@

- 5L

@L

- 5L

-1

+

DC

+

2

- @L

;

C ; - FC

2

- @L

T

+

L +5 EI

? 7L

2

? 2+L  = ?

+

-

? +L

+

L

1

2+ ; ? L ; ? L +



+

; ? L+ +

+

  1 ; ? L 15

+

"

B

A



L  !0 

1 !0 * 15 Ir.H.Kartono Hd

Ref : 3effre$ P. La*4e Str()t(ra Ana$%*%

Matr*! Fe!*4**ta%

2

 Ton8G

R A ; &1 L EI

EI

RA

EI

R 1

EI

R+

1 L 5

R 1 ; &+7 L L

R2

1 L 5

1 L 5

RB

1 L 5

R + ; &+21@ &+21@ L L R 2 ; &+7 L R B ; &1  L

? &125L

? &1L

? &1172 L

- &1172 L

- &1712L

- &55L

8a%

X ; & 1 L

X ; & 125 L

M

1

;M

2

+

- &@7L

+

+

; ? &5+. L

- &1L

- &125L

+

- &@7L

M

=? >

3(8a# ; 1 L

? &1712L

M

8a%

+

; ? &++. &++. L

X ; & 1172 L

+

;- &1712 &1712 L.&+7.L ? &7. = &+7L >

M + ; ? &125 L.&+7.L - &7. = &+7L >

+

+

; - &@7 L +

- &@7 L +

+

; - &555 L

M

8a%

; ? &1 L.&1L - &7..=&1 L >

M

; ? &125 L.&125.L - &7..=&125 L >

+

8a%

- &@7. L

M

; ? &1172 L.&1172.L - &7..=&1172 L >

+

8a%

- &555. L

+

; ? &5+. L

+

+

+

; ? &++ L

; ? &++ L

Ir.H.Kartono Hd

+

Ref : Ir Supartono & Ir Teddy Boen Analisa Struktur Struktur Metode Matri

Matri $leksi%ilitas litas 

*

= 5T 

 , = -T

1I

,

A 0

*

-

iketahui : Balok AB pan'an2 5 0 / eneri/a %e%an 

= *T

-

0

(  * dan 

-

itanyakan : efleksi  penurunan C yan2 ter'adi di titik , ( * dan - den2an / etode Matriks $lesi%ilitas.

B

0

,

-8

0

3a4a% : Menentukan Matriks $leksi%ilitas

I>EIT

,

*

5

-0 5 1I

*0 5 1I

L

G

A

=

50 # 0 F0 * 81I

Be%an asli dihilan2kan dan tepat dititik , di%erikan 2aya terpusat se%esar , unit

-

, 5

,0 5 1I

Bidan2 Bidan2 Mo/ent 1I L

,

50 # -0 -

= 90

-

F0 -

=

G

B

=

90 81I

,

=

*

se%a2ai %e%an pada %alok kon'u2et , 50 * G G

$ $

$

,,

-,

*,

=

A

=

B

$

=

F0 81I

*

,,

$

=

90 81I

*

*,

90 81I

*

-,

=

$

=

- 0 * 1I

F0 50

-0 * 1I

=

90 50

-0 * 1I

-0 5 1I

=

0 -0 * 5 1I

0 ;

*

F0 81I

*

90 81I

*

, 0 0 = 81I -

-

=

-

-0 51I

;

*0 *

*0 5 1I

, 90 *0 = 51I

-

*0

;

0 *

,0 5 1I

, 90 0 = 81I

-

0

,0 -1I

-

;

,0 *51I

-

;

,9 ; 5C0 ,*1I

-

=

,9 ; ,C0 *51I

-

=

I>EIT

,

, *

G

*

-

0 1I

0 * 1I

0 * 1I

L

A

$

Be%an asli dihilan2kan dan tepat dititik * di%erikan 2aya terpusat se%esar , unit

*

G

$ ,*

$

**

, *

Bidan2 Bidan2 Mo/ent 1I , 50 0 L *= * 1I

B

G

A

G

B

$

,*

=

$

**

=

-*

=

-*

$

se%a2ai %e%an pada %alok kon'u2et

=

, *0 * 1I

*

=

, *0 * 1I

*

0* 1I

0 ;

0* *0 ; 1I 0* 1I

0 ;

=

*0 1I

=

0 * 1I

=

0 * 1I

*

0 0 * *1I *0 0 * 1I 0 0 * *1I

;

, 0 = , *0 -

=

, 0 = -

-

,* ; ,C0 ,*1I  ; *C0 -1I

-

,* ; ,C0 ,*1I

=

=

-

,,0 ,*1I

-

-

-0 51I -

,,0 ,*1I

=

Ir.H.Kartono r.H.KartonoHd

=

,,0 ,*1I

=

F0 ,*1I

-

-

Ref :Ir Supartono & Ir Teddy Boen Analisa sa Strukt Strukturur Metode Matri

Matri $leksi%ilitas

I>EIT

,

*

-D

Be%an asli dihilan2kan dan tepat dititik , di%erikan 2aya terpusat se%esar , unit

-

, 5

5 -0 5 1I

*0 5 1I

,0 5 1I

Bidan2 Mo/ent 1I L L

50 # -0 -

G A = 90

se%a2ai %e%an pada %alok %alok kon'u2 et

F0 -

=

50 # 0 -

= 90

*

F0 81I

G B =

-

*

$ ,-

$

$

*-

--

$

6 7= 6$ 76L 7

$

=

90 81I

*

,-

90 81I

*

**

= =

--

F0 81I

$ ,,

$

,*

$

,-

$ *,

$

**

$

*-

$ -,

$

-*

$

--

=

- 0 * 1I

=

90 81I

*

F0 81I

*

90 50

-0 * 1I

G B =

F0 50

-0 * 1I

=

*

;

0 *

,0 5 1I

, 90 0 = 81I

-

0

;

*0 *

*0 5 1I

, *0 -

-

*0

0 -0 * 5 1I

0 ;

-0 51I

-

F0 ,*1I

-

-0 51I

-

,,0 ,*1I

-

F0 ,*1I

-0 51I

-

=

-0 51I

,0 *51I

-

;

,0 -1I

-

;

,9 ; ,C0 *51I

-

=

,9 ; 5C0 ,*1I

-

=

=

F0 ,*1I

=

,,0 ,*1I

-

-

D -

,,0 ,*1I -

90 51I

=

, 0 0 = 81I -

,,0 ,*1I -

,,0 ,*1I

=

-0 5 1I1I

G A =

*

Matriks $leksi%ilitas :

6$7=

, 50 *

=

-

81I

$

-

-

=

0,*1I

,,

F

,,

D

,,

F

,,

D

5

6L7=

*

 , 6 7= 6$76L 7 =

 *  -

D =

0,*1I

,,

F

-

,,

D

,,

5

F

,,

D

*

D-C # ,,5C # F*C =

0,*1I

89 0= ,*1I

,,-C # D5C # ,,*C F-C # ,,5C # D*C

 , =

890 ,*1I

-

 * =

D,0 ,*1I

-

 - =

8-0 ,*1I

-

D, 8-

Ir.H.Kartono Hd

-

-

Ref: +ilia/ ia/ +eantukStruktururR an2ka"

Metode Matriks $leksi%ilitas litas



! = * t@/ 

= 9 Ton

,

*1I

A



*

= - Ton

1I

B

8M

5M

iketahui : Balok /enerus den2an den2an %e%an seperti 2a/ %ar itanyakan : Besar Mo/ent Akhir Balok den2an /etode Matriks $leksi%ilitas tas

1I



5M

-M

5



-M

3a4a% : L

L

,

L

,

*1I

L

*

1I

A

1I

B

 

! = * t@/ 



,

,

en2an /en2in2at kondisi 2eo/etrinya( 2eo/etrinya( /asin2 / asin2 asin2 %alok ok di'adikan 2ela2ar sederhana .  Struktur ( yan2 se/ula terkekan2 ( dilepasC M% dan M) se%a2ai redundant

*

 

= 9 Ton



*

*

= - Ton

efor/asi aki%at %e%an ! dan  A

B

8M

5M



5M

-M



-M

f *,

f ,, , unit

, unit

efor/asi aki%at /o/ent , unit di B

1I

*1I A

1I

B

 f **

f ,*



, unit

, unit

A

efor/asi aki%at /o/ent , unit di 

1I

1I

*1I B





Menentukan Matriks efor/asi efor/asi aki%at %e%an %e%an ! dan  :  ,

 *

6

!.0 , -

=

#

*5  - 1I C

 , .0 * *

=

#

, 1I

7 =

 ,  *

=

.0 * * = , 1I

 * .0 - * , 1I

#,D85 58 1I # ,*85 , 1I

=

=

9.8 , 1I

, ,* 1I

9.8 , 1I

*

#

-. , 1I

*

#

-

#*.8 58 1I

*

=

#,*5 581I

#

-* , 1I

=

#,D85 581I

=

#-* ,1I

#

,8 , 1I

=

#5*8 ,1I

=

#,*85 581I

# 5D # -*,

Ir.H.Kartono Hd

Ref:+ilia/ Ref:+ilia/ +eantukStruktur >ntukStrukturRan2ka"

MetodeM atriks$leksi%ilitas

5,

Menentukan Matriks $leksi%ilitas f ,,

=

M.0 , -  *1I C

f *,

=

M.0 *  1I

=

f ,*

=

M.0 *  1I

=

f **

=

M.0 *

,. 8 ,. 8

- 1I

;,

6L7 = ; 6 $ 7

#

- 1I # *5 1I  1I

= f

,. 8

=

,*

=

- 1I

 1I

#8  1I

- 1I

f *,

-  *1I C

# *5

=

 1I

M.0 -

f

,. 8

#

#8

=

 1I

,. 8

=

=

 1I

#

f ,, 6$7

M.0 * - 1I

#

,.  - 1I

# *8

=

- 1I

 1I

#8 =

#8 # *8  1I  1I

**

# ,5

=

, - 1I

# ,*

#5

# 5

# ,5

6  7 ;,

Men)ari In
# ,*

, - 1I

=

#5 =

# 5

# ,5

, - 1I

# ,9* - 1I

 ,* . ,5 ; 5 . 5 C =

Menyusun /atriks %aru 6  7 : A ,, = # ,5

A

= ; 5

,*

# ,5

;5

67= A *, = ; 5

A

**

;,

In
;,

6L7 = ; 6 $ 7

6  7 =

;, 8 L * = ; , 8

L , =

; -1I ,9*

= # ,*

, 6 7 

=

# ,5

67

; 5 # ,*

T

=

;5

# -1I ,9*

, ,* 1I

; 5 # ,*

# ,5

T

# ,5

;5

; 5

# ,*

=

;5

; 5 # ,*

 ,5.5D C #  ; 5.-*,C

# 5D

;, = 8

# -*,

# 9 =

 ; 5 .5D C #  ,* .-*,C

. 9 = ; D(-, TM . ,88 = ; -(F TM 

! = * t@/ 

*1I

A

,

= 9 Ton



1I

= - Ton

1I

B M B = ; D(-, TM

*

 M





= ; -(F TM Ir.H.Kartono Hd

;, 8

# ,88

Ref:+ilia/ Ref:+ilia/ +eantukStruktur Ran2ka"

MetodeM atriks$leksi%ilitasas 

! = - t@/

,

= 5 Ton

1I

A

iketahui : Balok / enerus den2an %e%an seperti 2a/ %ar

1I

B

8M

L

5M

L

,



5M

L

,

1I

itanyakan : Besar Mo/ent Akhir Balok den2an /etode Matriks $leksi%ilitas tas

*

1I

A

5*

3a4a% : 

B

en2an /en2in2at kondisi 2eo/etrinya( /asin2 /asin2 %alok di'adikan 2ela2ar sederhana .  Struktur ( yan2 se/ ula terkekan2 terkekan2 ( dilepasC dilepasC M B dan M se%a2ai redundant 



! = - t@/ 

,



,

= 5 Ton



Menentukan Matriks efor/asi aki%at %e%an ! dan  :

*

!.0 , -

 , = A

B



*5 1I # 5 1I

=

efor/asi aki%at %e%an ! dan 

6

f ,,

7 =

*

*

#, 1I

=

# 8 1I

=

5.8 , 1I

#9

,

=

1I

# , 1I

#,

Menentukan Matriks $leksi%ilitas itas

B



f ,,

=

f *,

=

f ,*

=

f **

= #

efor/asi aki%at /o/ent , unit di B f ,* , unit

f **

1I

1I B efor/asi aki%at /o/ent , unit di 

 *

5.8 , 1I

#

# 8 1I

= #

-

f *,

1I

1I

A

=

, 1I  ,

, 1I

#

# -.8 *5 1I

, unit

, unit

A

#

 , .0 * *

 * =

.0 * * = , 1I



M.0 , # - 1I M.0 *  1I M.0 *  1I M.0 * - 1I

M.0 * - 1I = =

=

,. 8  1I ,. 8  1I ,. 8 - 1I

,. 8 - 1I

= = =

=

#

,. 8 - 1I

#5 - 1I #5 - 1I #8 - 1I Ir.H.Kartono Hd

=

# , - 1I

Ref:+ilia/ Ref:+ilia/ +eantukStruktur >ntukStruktur Ran2ka"

Metode M atriks $leksi%ilitasas

f ,, 6$ 7

f

# , -1I - 1I

,*

=

= f *, ;,

6L7 = ; 6 $ 7

f

#5 =

#5 #8 - 1I - 1I

**

5-

5 - 1I

#5

#,

#,

#*

6  7 ;,

Men)ari In
#5

5 - 1I

=

#, =

#,

#*

5 - 1I

# *8 - 1I

5.*;,.,C=

Menyusun /atriks %aru 6  7 : A ,, = # *

A

= ; ,

,*

#*

;,

67= A *, = ; ,

A

**

;,

In
;,

6L7 = ; 6 $ 7

6  7 =

; ,* F ; ,* L * = F

L , =

= # 5

; -1I *8

, 6 7 

=

#*

; ,

T

=

; ,

# -1I *8

, 1I

; , # 5

#*

;,

;,

#5

67

#5

T

# *

;,

; ,

#5

=

 * .9 C #  ; , . ,C

#9

; ,* = F

#,

#D =

 ; , .9 C #  5 . , C

; ,* F

. D = ; ,9(5-TM ,9(5-TM . ;, = # ,(F, TM  ! = - t@/ 

= 5 Ton M



=# ,(F, TM

1I

1I

A

,

B



M B = ; ,9(5- TM


;,

Ref:+ilia/ Ref:+ilia/ +eantukStruktur >ntukStrukturRan2ka"

MetodeM atriks$leksi%ilitas $leksi%ilitas P ; 5 Ton

 ; 2 t8G

EI

A

B 

1

See%a*an See%a*an den9an 8etode Matr*!*! F e%*4* e%*4* *ta% Ref : 0**a8 0eaer 0eaer 3r

EI

M



5M



+



+

2

EI

B

A

"

5M

EI

3aa4 : "

1

D

 ; 2 t8G

+

Menent(an Menent( an Matr*% Defor8a%* a*4at a* 4at 4e4an  dan P :  .L 1 2 = ? +5 EI

D1 ; ?

Den9an 8en9*n9at ond*%* 9eo8etr*n$a& 8a%*n9 8a%*n9 4ao d*ad*an 9ea9ar %eder#ana %eder#ana .= Str(t(r & $an9 %e8(a %e8(a terean9 terean9 & d*e6a%> d* e6a%> M A & M B dan M %e4a9a* red(ndant "

D

.L 1 2

D+ ;

D2 ; P

1

D

; 5 Ton

?

2. +5 EI

P.a.4= L

+

@.EI.L

+5 EI P.a.4= L

?

+

@.EI.L

2

?4>

"

B

?a>

? @5 EI

D+

1 (n*t

f 21

D2

EI

EI "

B

A

Defor8a%* a*4at 8o8ent 1 (n*t d* A f 1+

f ++ 1 (n*t

f +2

f +1

;

f 21

; 

f 1+

;

?

f ++ ;

?

EI

B

A



f +2

f 22

f 12

1 (n*t

f 12 EI B Defor8a%* a*4at 8o8ent 1 (n*t d* "

M.L + @ EI

f +2 ; ?

Defor8a%* a*4at 8o8ent 1 (n*t d* B

EI

2 EI



? 1@

2 EI

1. 

5

;

2 EI

@ EI

?

? 

EI



;

M.L 1 1.  ; ? @ EI @ EI M.L 1

1

;

? 1@ EI

;

@ EI

1 (n*t

EI

A

M.L 1

? @5

?  EI

;

M.L +

?

5 2 EI

= ?

= ?

2 EI ;

5.5.5=  ? 5 > @. EI .

5.5.5=  ? 5> @. EI .

+

Menent(an Matr*% Fe%*4* Fe%*4* *ta% M.L 1 1.  f 11 ; ; 2 EI 2 EI

f +1

?

?

;

Defor8a%* a*4at 4e4an  dan P

f 11

2

; ? 2. +5 EI

+

D1 C ;

? @5 EI

;

2

D A

55

1. @ EI

1.

1.

?

2 EI

2 EI ;

?

=

?

1@ 2 EI

5 2 EI

;

f 2+ ;

?

f 22 ;

?

M.L +

;

?

2 EI

; ?

;

?

1. 2 EI

5 2 EI

@ EI

@ EI M.L +

1.

; ?

 2 EI

Ir.H.Kartono Hd

;

?  EI

;

? 1@ EI

Ref:+ilia/ a/ +ea ntukStruktur ntukStrukturRan2ka"

Metode Matriks $leksi%ilitas

FC

;

? 2EI 2 EI

f 11

f

1+

f 12

f +1

f

++

f +2

f 2+

f 22

f 21

;

?5

? 

?5 ? 1@ 2 EI 2 EI 2EI

?5



?

?5 2EI

2 EI C ; -  F C

-1

1 2 EI

;

?5



?5

? 1@

?5



?5

?

 D C -1

Men)ar* In er% Matr*% :  F C

D;

59



1 2 EI

? 

?5

?5

? 1@ ? 5





?5

1 2 EI

;

? +7@ EI

 ?  =1@. - 5 . 5 > - 5 = 5. - 5 . > ?  = 5 . 5 - 1@. >  ;

?

Men$(%(n 8atr*% 4ar(  " C : A 11 ; ? = 1@. 1@. - 5.5 > ; ? 11+

A

A +1 ; - = 5. -  . 5 > ; - 2+

A

A 21 ; ? = 5.5 - .5 > ; ? 1@

A

? 1 1+ - 2+ "C;

; - = 5. - 5. > ; - 2+

A

++

; ? = . - . > ; ? @ 5

A

2+

; - = .5 - 5. > ; - 2+

A

1+

? 1@

- 2+

? @5

- @5

? 1@

- 2+

? 11+

T

;

? 1 1+ -1

In er% Matr*% *% :  F C

C ; -  F C

-1

;

1 D

T

" C

 D C

EI +7@

;

? 1 1+ - 2+ C;

- EI +7@

- 2+

? @5

22

- 2+

; ? = .1@ - 5.5 > ; ? 11+

? 1@

- 2+

? @5

- 2+

? 1@

- 2+

? 11+

- 2+

; ? = 5.5 - .1@ > ; ? 1@ ; - = .5 - 5 . > ; - 2+

+2

? 1 1+ "C

12

? 1@

- 2+

? @5

- 2+

? 1@

- 2+

? 11+ ? @5

? 1@ 1

- 2+

? 

EI ? 1@

- 2+

? 11+

? 1@

= ? 11+ . ? @5> @5> ? = - 2+ . ?  > ? = ? 1@ . ? 1@ > ;

-1 +7@

- 1

= - 2+ . ? @5 > ? = ? @5 . ?  > ? = - 2+. ? 1@ >

;

- 1

= ? 1@ . ? @5 > ? = - 2+ . ?  > ? = ? 11+ . ? 1@ >

-1 P ; 5 Ton

 ; 2 t8G

" EI

A

M

A

; - 1 t8

EI

B

M

B

; - 1 t8

M

"

; - 1 t8 Ir.H.Kartono Hd

Ref :+ilia/ +eantukStruktur >ntukStruktur Ran2ka "

MetodeM atriks$leksi%ilitasas

5

 = 5 ton B * 1I A -/

1I

Selesaikan den2an Matriks $leksi%ilitas

-/



-/

L

 = 5 ton

L

-

L

* 1I

L

,

L

3a4a% : *

L

,

-

*

A

Struktur dipisahkan -/

1I

Menentukan Matriks efor/asi 6  7 efleksi HoriPontal : -/



-/

efleksi HoriPontal  

;,* t/

efleksi HoriPontal   

 = 5 ton



-



* 1I



,



*

,

C AB = 

,

C B = 

efleksi HoriPontal  

,

=

,

-

efleksi Gertikal

*

A -/

1I

  * C AB = ;

. ,* . -  - # . - C =* ;

, *

* 1I

59 1I

-

  * C B) =  efleksi Gertikal  -/

-/



=;

*

Rotasi  utaran Sudut C   - C AB = ;

, *

. ,* * 1I

. -=;

D 1I

  - C B) = ;  Rotasi  utaran sudut sudut C 

=;

-

Matriks efor/asi  67=

, 1I

; 59 ;D

Ir.H.Kartono Hd

D 1I

59 1I

Ref :+ilia/ a/ +eantukStruktur rukturRan2ka"

Metode Matriks $leksi%ilitas

5F

efleksi dan Rotasi aki%at %e%an ,  satu C unit f

, unit

en'elasan 2a/%ar

,,B

C

, unit

f ,,

, unit

f

.

1I

f -,

,,

A

f

/

-,B

=;

C

Rotasi : f

, unit

* 1I

, unit

f -*

f

**AB

C

, *

=#

f ,*

, unit

=

f ,*  ABC

=

f ,*  BC

= ,*

- 1I

.  .   . *C = # -

*1I

efleksi Gertikal kal f

-/

#

f /

-*AB

= **

f -* BC Rotasi : f

= -*

f ,- ABC f ,-B

en'elasan 2a/%ar

C

efleksi HoriPontal : f f *-AB , unit

* 1I #

f *f --

f ,-

C

, unit

f --

f ,-

#, -/

#

#,

*-

f --AB

C

=#.

f --B

C

=#-.

, *1I , 1I

Rotasi : f

/ 

5(9 1I

Ir.H.Kartono Hd

5(9 * 1I

=;

, . -=# *1I f *- BC = 

efleksi Gertikal : f

f *-

=

,-

=#.

D 1I

=#

. ,(9 = ;

, 1I

=;-.

D 1I

* 1I



, unit

- 1I

=#

.  . =#

, *

=#

C

D * 1I

=

f ** BC

f **

, unit

D * 1I =;

-,

efleksi HoriPontal : f

f **

#

=

f -, ABC =  , . - . -=; * 1I

, unit

f ,*

f *,  BC

;-



f -*

=

*,

;

D 1I

=#

f *,  ABC

efleksi Gertikal : f

1I

en'elasan 2a/%ar

D 1I ,,

f *,

* 1I

=

efleksi HoriPontal f

f *, f -,

. -

, *

=#

f ,, ABC -  . -*C = # -

D 1I

=#

D 1I

1I =# 1I =#

--

=#

 1I

Menyusun Matriks $leksi%ilitas litas :

6$7

=

f ,,

f ,*

f ,-

f *,

f **

f *-

f -,

f -*

f --

#D , 1I

=

 

# -

; 5(9

#D

; 5( 9 =

, * 1I

=

 DF* ; 98-* C =

, * 1I

#

# ,8

eter/inan

6 ,# ,8 J  F*.,*C ;  ,8.,8C ;  ; D J  . ,8 C ;  F* . ; D C  7 = * 1I

# ,8

#D

;,

Menentukan In
=

58

Ref : +ilia/ +eantukStruktur >ntukStrukturRan2ka"

Metode Matriks $leksi%ilitas litas

# F*

;D

# ,8



# F*

;D

# ,8

Matriks 6  7

# ,*

# ,* -888 * 1I

1le/en Matriks %aru 6  7 : A ,, = # JF*.,* C ;  ,8.,8 C  = # 95 A ,* = ; J .,* C ;  ,8.; D C  = ; ,*

# ,8

# ,8

, * 1I

=

;D

;D







=

# 95

; ,*

# 58

; ,*

# ,-9

; -*5

# 58

; -*5

# ,*D

# 95

; ,*

# 58

; ,*

# ,-9

; -*5

# 58

; -*5

# ,*D

,D55 1I

A ,* = # J .,8 C ;  F*.; D C  = # 58 A *, = ; J .,* C ;  ; D .,8 C  = ; ,* A ** = # J ,8.,* C ;  ; D.; D C  = # ,-9 A *- = ; J ,8.,8 C ;  . D C  = ; -*5 A -, = # J  .,8 C ;  ; D .F*C  = # 58

T

Tranpose Matriks 6  7

A -* = ; J ,8 .,8 C ;  ; D . C  = ; -*5 A -- = # J ,8 .F* C ;   . C  = # ,*D

L , 6 L 7 = ; 6 $ 7 ;, 6  7 L *

=

; 1I ,D55

L -

# 95

; ,*

# 58

; ,*

# ,-9

; -*5

# 58

; -*5

# ,*D

=

; (F9

 , 1I

; 59

# ,(*9

=

; ,(9

;D

 = 5 ton

L L

* 1I A J ,; ,* . ; 59 C #  58 . ; D C  = ; (F9 ton ,D55 L * =; J , # ,-9 . ; 59 C #  ; -*5 . ; D C  = # ,(*9 ,(*9 ton ,D55 L - =; J, ; -*5 . ; 59 C #  ,*D . ; D C  = ; ,(9 t/ ,D55

L

,

L *

= ,(*9 ton

= (F9 ton

= ,(9 t/ -

L

*

= ,(*9 ton

,

= (F9 ton

L 1I

L , =;

 Ir.H.Kartono Hd

-

= ,(9 t/

Ref :+ilia/ a/ +eantukStruktur Ran2ka "

Metode Matriks$leksi%ilitas

 = 5 ton

M A = ; -(F9 t/

H A = (F9 ton

5D

B * 1I

 M B = ; ,(9 t/

G A = *(-F9 ton

1I M  = # (F9 t/ H  = (F9 ton -/

-/

G  = ,(*9 ton

#*(-F9 ton G  = # ,(*9 ton

 = 5 ton

#

G A = # 5 ; ,(*9 = # *(-F9 ton H A = # (F9 ton

; ; ,(*9 ton

H  = ; (F9 ton M  = # (F9 .- ; ,(9 = # (F9 t/

#

M A = # *(-F9 .  # (F9 . - ; 5 . - ; (F9 = -(F9 t/

Bidan2  # (F9 ton -/

-/

M  = # ,(*9 .- ; -(F9 = # ,(,*9 t/

M A = ; -(F9 t/ ;

M  = ; ,(9 t/

; #

;

M  = # ,(,*9 t/

Bidan2 M -/

#

M  = ; (F9 t/

-/

; (F9 ton ;

; Bidan2 E ; ,(*9 ton

Ir.H.Kartono Hd

METODE MATRIX

DIKTAT KULIAH

ANALISA STRUKTUR METODE MATRIX KEKAKUAN SIPIL - ITATS

Ref: 1. "#( K*a 0 an9 ' Matr*! Met#od Of Str()t(ra Ana$%*% Ana$%*% ' +. Ir. Soe6artono  Ir. Tedd$Boen Tedd$B oen ' Ana*%a Ana*%a Str(t(r Metode Matr*! '

Ir . H. Kartono Hd

Ref : "#( K*a 0an9 Matr*! Met#od of Str()t(ra (ra An a$%*% a$%*%

Matr*! Kea(an P ; 5 Ton

 ; 2 t8G

EI

A

9

See%a*an den9an Metode Matr*% Kea(an Ref : "#( K*a 0an9

EI

B

M

5M

"

5M

3aa4 : D*ean9 P ; 5 Ton

 ; 2 t8G

Men9#*t(n9 4e%ar F*!ed End Mo8ent

EI

; A

#

M

B

#

EI

; 5M

5M

"

Tu/puan 3epit

P

P

1

!

EI

M FB"

;-

M F"B

;?

P  ; F

F

2

e5

+

e2

1 +

F

AC



$ ,*-5

,

1   

*

 1 1 

;



e

5

= =

.2. 

+

.2. 

+

1 

#

=

- 1@ t8

=

? 1@ t8

.5. 

=

- 5 t8

.5. 

=

? 5 t8

,*

,

1 

*

 1

Keta#(* 3(8a# Mo8ent daa8 d* ((n9 4ao ; 5 = NF ; N(84er of Interna End Mo8ent ; 5>

-

 1

P+

5

 

AC

F1

=

1 1+ # 1 1+ ; 1 

;

1

D*a9ra8F - e

P1

1 .P.L 

+

=

P + ; F + ?F 2 Den9an de8**an & 8atr*% Stat*  A C ;

1

F

;?

+

+

Keta#(* Ket*da Tent(an K*ne8at*%n$a ; + = NP ; N(84er of Po%%*4e Po%%*4e 3o*nt Rotat*on ; + > = De9ree De9ree of Freedo8 *n rotat*on ; + >

e

M FBA

1 ..L 1+ 1 ..L 1+ 1 .P.L 

Dar* d*a9ra8 = P - ! > &= F - e > dan d*a9ra8 Ke%e*84an9an & d*da6at :

EI

!

1

e

;-

+

D*a9ra8 P - !

F

M FAB

F+

F2

T

;

P1 ;-

F  ; - = - 1@ > ; ? 1@ t8

P+ ;-

F  ; - = ? 1@ - 5 > ; - 1+ t8

D*a9ra8Ke%e*84an9an

0

,

 PC;

,

? 1@

*

- 1+

Ir.H.Kartono Hd

Ref : "#( K*a 0an9 Matr*! Met#od of Str()t(ra Ana$%*%

Matr*! Kea(an

9,

Menent(an Matr* Keoo#an Keoo#an Intern ee8en = St*ffne%% Matr*! > ;  S C

SC ; EI

5 

+ 





+ 

5 













5  + 

+  5 

+ 1   1 +   EI 5

;

  + 1   1 +

Menent(an Matr** Kea(an Kea(an Str(t(r = E!terna St*ffne%%Matr*! > ;  K C T

KC;ACSCAC



e

T

SCAC

;

EI 5

,*

+ 1  

,

1 

1 +  

*

 1

  + 1

-

 1

  1 +

5

 

;

$ $ ,*-5

 ,

 KC ;  A C

T

SCA C

1  

EI 5

; *

 11 



$

+

1

*

1

+



+



1

5

,

+

1

*

1

+

-



+

5



1

 , *

,

-

EI 5

, *

 , *

 EI 5

;

,

+

1

*

1

5

-1

Menent(an In er% Matr*%  K C Deter8*nan

D;

EI 5

+

1 ;

1

5

EI = +. 5 - 1 . 1 >  ; ? 5

 EI 5

Ee8en Matr*% *% 4ar(  " C : A 11 ; ? 5

A 1+ ; - 1

A +1 ; - 1

A ++ ; ? + ?5

-1

Matr*% 4ar(  " C ;

Tran%6o%e Matr*%  " C -1

?+

T

?5

-1

-1

?+

;

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

 KC

-1

; 1 D

T

"C

5  EI

=

 -1

XC;KC

PC

?5

-1

-1

?+



 ?5

5  EI

;

0)

-1

-1

0)

 ? 1@

?+

- 1+

;

? @

5  EI

- 5 $

$

T

FC;SCAC

 X C

=

9*



0)



1I 5

? 1@ +

1

1

+



+



1



0)

? 11+ ? @

5  EI

-5

1 

; - 5

-5 

- 

=

-  

- 5

- 5 

Mo8ent A#*r ;  F C ? FEM M A" ; ? 1@ - 1@ ;  1 1 

M BA ; -

? 1@5 ; ? 

; ? 17&52 t8

M B" ; -

 -5 ; 

1 ; - 17&52 t8 1 

M "B ; -

5 ?5;? 

; - 1&1 t8 1+  P

 ; 2 t8G

EI

A

M

BA

; - 17&52 TM

1

; 5 Ton

M

"B

;? 1&1 TM TM

EI

B

M

B"

; - 17&52 TM

"

Ir.H.Kartono Hd

Ref :Ir.S(6artono  Ir.Tedd$ Boen A na*%a Str(t(r Metode Mar*%


 ; 2 t8G

EI

A

9-

See%a*an den9an 8etode Matr*% Kea(an Ref : Ir.F.X S(6artono  Ir. Tedd$ Boen

EI

B

M

5M

"

5M

3aa4 : EI

EI B

A

" Keta#(* d(( %tr(t(r da%ar $an9 d*ean9

EI D

EI D

1

+

Keta#(* Ket*da Tent(an K*ne8at*%n$a ; +

P ; 5 Ton

 ; 2 t8G

EI

; A

#

M

H d

d

1

d H

5M

+

#

EI

; B

F*!ed End Mo8ent = FEM >

H

;-

M FBA

;?

M FB"

;-

M F"B

;?

1 ..L 1+ 1 ..L 1+ 1 .P.L 

5

1 .P.L 

1 .2.  1+ + ; # 1 .2.  1+ ; ; 1 .5.  

+

;

;

; #

1 

.5. 

+

=

- 1@ t8

=

? 1@ t8

+

- 5 t8

= =

2

d

+

H

1

"

5M

M FAB

5

2

D*a9ra8 H- d  + H+

H 1

 1

H 2 D*a9ra8 Ke%e*84an9an  1 ; - 1@ EI



1

EI 

 + ; ? 1@ - 5 ; ? 1+

+

,a$a E* aent  d* t*t* t*t*  d*%r*t %e#(4(n9 %e#(4(n9 an adan$aend(tan D Ir.H.Kartono Hd

? 5 t8

Ref :Ir.S(6artono  Ir.Tedd$ Ir.Tedd$ Boen Ana*%a Str(t(r Metode Mar*%

Matr*! Kea(an

95

Menent(an Matr*% Defor8a%*  A C d 11 ; 1

d 11 ; 1 d +1 ; 

d 21 ;  d 51 ; 

d +1 ; 

d 21 ;  d 51 ; 

D 1 ; 1 %at(an Pada t*t* A d*4er*an D

1

Matr*% Defor8a%* Defor8a%* AC A C ;

; 1 %at(an d 2+ ; 1

d 1+ ;  d ++ ; 1

d 1+ ;  d 5+ ; 

d ++ ; 1 Pada t*t* B d*4er*an D

SC ; EI

SCAC;

+

+ 





+ 

5 













5  + 

+  5 

T

; 1 1 

+ 1   1 +  

EI 5

;

  + 1   1 +

+ 1  

1



1 +  



1

EI 5

;   + 1



1

  1 +





1    KC;AC

1    Tran%6o%e A C

; 1 %at(an

5 

EI 5

T

d 2+ ; 1 d 5+ ; 

D + ; 1 %at(an

EI 5

SCAC;  1 1 

+

1

1

+



+



1

+

1

1

+



+



1

=

EI 5

+

1

1

5

-1

Menent(an In er% Matr*%  K C Deter8*nan D;

EI 5

+

1 ;

1

5

EI = +. 5 - 1 . 1 >  ; ? 5

 EI 5

Ir.H.Kartono Hd

1





1



1





Ref :Ir.S(6artono  Ir.Tedd$ Boen Ana*%a Str(t(r Metode Mar*%

Matr*! Kea(an

99

Ee8en Matr*% Matr*% 4ar(  "C "C : A

11

; ? 5

A

1+

; - 1

A

+1

;-1

A

++

; ? +

?5

Matr*% 4ar(  "C ;

KC

-1

; 1 D

"C

-1

DC;KC

C

-1

T

Tran%6o%e Matr*%  " C

T

=

=

5  EI

5  EI

-1

?+

?5

-1

-1

?+

?5

-1

- 1@ =

-1

?+

+

1

? 1+

?5

-1

-1

?+

;

- @

5  EI

? 5

- 1@

EI

HC;SCACDC

; 5

1

- 11+

+



+



1

- @

5  EI

1 

= ? 5

?5 

?5

=

?  

?  ? 5

? 5 

Mo8ent A#*r ;  H C - FEM M

A"

; - 1@ - = - 1@ > ; 

M

BA

;?

5 - = ? 1@ > ; 

; - 17&52 t8

1 1 

M

B"

;?

 -= -5 >; 

; ? 17&52 t8

M

"B

;?

- =5? 5 > ; 

; ? 1&1 t8

1 1  1+  P

 ; 2 t8G

1I

A

M

BA

; - 17&52 TM

1

; 5 Ton

M

"B

;? 1&1 TM

1I

B

M

B"

; - 17&52 TM

 Ir.H.Kartono Hd

Ref : "#( K*a 0an9 0an9 Matr*! Met#od o f Str()t(ra Ana$%*%


 ; 2 t8G

EI

A

9

See%a*an den9an Metode Matr*% Kea(an Ref : "#( K*a 0an9

EI

B

M

5M

"

5M

3aa4 : P ; 5 Ton

 ; 2 t8G

Men9#*t(n9 4e%ar F*!ed End Mo8ent

EI

; A

#

M

B

#

EI

; 5M

5M

"

M FAB

;-

M FBA

;?

M FB"

;-

M F"B

;?

1 ..L 1+ 1 ..L 1+ 1 .P.L 

!

P ;F

F

1

AC

2

e

+

e

1

F

= =

#

1 

.2. 

+

.2. 

+

=

- 1@ t8

=

? 1@ t8

.5. 

=

- 5 t8

.5. 

=

? 5 t8

?F 2

+

Den9an de8**an & 8atr*% Stat*  A C ;

$ ,*-5

 e

=

1 1+ # 1 1+ ; 1 

;

1

Keta#(* Ket*da Tent(an K*ne8at*%n$a ; 1 = NP ; N(84er of Po%%*4e 3o*nt Rotat*on ; 1> = De9ree of Freedo8 Freedo8 *n rotat*on ; 1 >

e

=

Dar* d*a9ra8 = P - ! > &= F - e > dan d*a9ra8 Ke%e*84an9an & d*da6at :

EI

D*a9ra8 P - !

F

+

1 .P.L 

P EI

+

2

+

F

 1 1 

,

;

5



e

5

,



*

1

-

1

5



D*a9ra8 F - e AC

Keta#(* 3(8a# Mo8ent daa8 d* ((n9 4ao ; 5 = NF ; N(84er of Interna Interna End Mo8ent ; 5>

T

,

;

P F+ P ; -

F  ; - = ? 1@ - 5 > ; - 1+ t8

F2 D*a9ra8Ke%e*84an9an

0

,

 PC;

,

- 1+

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

9F

Menent(an Matr* Keoo#an Keoo#an Intern ee8en = St*ffne%% Matr*! > ;  S C

SC ; EI

5 

+ 





+ 

5 













5  + 

+  5 

+ 1   1 +   EI 5

;

  + 1   1 +

Menent(an Matr** Kea(an Kea(an Str(t(r = E!terna St*ffne%%Matr*! > ;  K C

T




e

T

SCAC

EI 5

;

,

+ 1  

,



1 +  

*

1

  + 1

-

1

  1 +

5



 ,

 KC ; A C

SCA C

T

;

$ ,*-5  ,  1 1 

EI 5

,

,

1

*

+

-

+

5

1

,

1

*

+

-

+

5

1

 ,



;

EI 5

,

5

-1

Menent(an In er% Matr*%  K C Deter8*nan :

EI 5

;

$



$

D;

EI 5

5

; EI

Matr*% 4ar(  " C ; EI  1 C Tran%6o%e Matr*%  " C

T

; EI  1 C

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

 KC

-1

; 1 D

T

 "C

=

1 EI





?1

0

XC;KC

-1

PC

;

1 EI



 ?1

T

 X C

;

,

 ,

EI 5

,



$

FC;SCAC

98

*



- 1+

;

0)

1 EI

- 1+

,

1

+

5

1

-2

0)



+

-

0)

$

-@

1 EI

;

- 1+

-@ -2

Mo8ent A#*r ;  F C ? FEM M A" ; - 2 - 1@ ; - 1 t8 M BA ; - @ ? 1@1@ ; ? 1 t8 M B" ; - @ - 5 ; - 1 t8 M "B ; - 2 ? 5 ; ? 1 t8 M  ; 2 t8G

BA

; - 1 t8

P

1

; 5 Ton

EI

A M

AB

; - 1 t8

M

"B

; - 1 t8

EI

B

M

B"

; - 1 t8

"

Ir.H.Kartono Hd

Ref :Ir.S(6artono  Ir.Tedd$ Boen A na*%a Str(t(r Metode Mar*% Mar*%


 ; 2 t8G

EI

A

9D

See%a*an den9an 8etode Matr*% Kea(an Ref : Ir.F.X S(6artono  Ir. Tedd$ Boen

EI

B

M

5M

"

5M

3aa4 : EI

EI B

A

" Keta#(* Keta#(* d(( %tr(t(r da%ar da%ar $an9 d*e d* ean9 an9

EI

EI D

Keta#(* Keta#(* Ket*da Tent(an Tent(an K*ne8at*%n$a K* ne8at*%n$a ; 1

P ; 5 Ton

 ; 2 t8G

EI

; A

#

M

H d

d

1

d H

5M

+

#

EI

; B

F*!ed End Mo8ent = FEM >

H

5

;-

M FBA

;?

M FB"

;-

M F"B

;?

1 ..L 1+ 1 ..L 1+ 1 .P.L  1 .P.L 

1 .2.  1+ + ; # 1 .2.  1+ 1 .5.  ; ; 

+

;

;

; #

1 

+

=

- 1@ t8

=

? 1@ t8

+

d H

.5. 

5

2

D*a9ra8 H - d  H +

H2 D*a9ra8Ke%e*84an9an

 ; ? 1@- 5 ; ? 1+

EI

EI

- 5 t8

=

2

+

1

"

5M

M FAB

  C ; ? 1+

 ,a$a E* aent  d* t*t* d*%r*t %e#(4(n9an adan$a end(tan D Ir.H.Kartono Hd

=

? 5 t8


Matr*! Kea(an



Menent(an Matr*% Defor8a%*  A C

 d 2+ ; 1

d 1+ ;  d 5+ ; 

d ++ ; 1

1

d 2+ ; 1 d 5+ ; 

D ; 1 %at %at(a (ann

Pada t*t* B d*4er*an D

1

Matr*% Defor8a%* Defor8a%* AC A C ;

d 1+ ;  d ++ ; 1



; 1 %at(an T

Tran%6o%e  A C

SC ; EI

5 

+ 





+ 

5 













5  + 

+  5 

+ 1  

;

  + 1

1



1 +   SCAC;

1 +  

EI 5

  1 +

+ 1  

EI 5

;

1

  + 1   1 +

;

+

EI 5

1

+



1

1 KC;AC

T

SCAC;

+

EI 5

1 1

+

=

EI 5

5

=

EI

1

1

-1

Menent(an In er% Matr*%  K C Deter8*nan

D;

EI

1

; ? EI

Ir.H.Kartono Hd

1 1


Matr*! Kea(an

Ee8en Matr*% *% 4ar(  " C :

Matr*% 4ar(  " C ;

?1

T


KC

-1

; 1 D

DC;KC

T

"C

-1

C

?1

;

=

1 EI

?1

=

1 EI

?1

? 1+

1 EI

;

? 1+

?2

1 HC;SCACDC

;

?@

+

EI 5

1 EI

+

? 1+

= ?@ ?2

1 Mo8ent A#*r ;  H C - FEM M A" ; ? 2 - = - 1@ > ; 1 M BA ; ? @ - = ? 1@ > ; - 1 t8 M B" ; ? @ - = - 5 > ; ? 1 t8 M "B ; ? 2 - = ? 5 > ; - 1 t8

M  ; 2 t8G

BA

; - 1 t8

P

1

; 5 Ton

EI

A M

AB

; - 1 t8

M

; - 1 t8

"B

EI

B

M

B"

; - 1 t8

"

Ir.H.Kartono Hd

,

Ref : "#( K*a 0an9 Matr*! Met#od of Str()t(ra Str()t(ra A na$%*%

Matr*! Kea(an

 = 5 ton

*

B * 1I A -/

1I

-/

-/

 3a4a% :

B A

F*!ed End Mo8ent = FEM>

#

;

Selesaikan kan den2an / etode /atriks kekakuan

M FAB ; - .5.@1 ; - 2 t8  M FBA ; ? .5.@1 ; ? 2 t8 

 O

,

;O

A O

*

Dar* d*a9ra8 = P-! > &= F-e > dan d*a9ra8 Ke%e*84an9an & d*da6at :  =$

E = ,

6A7

 E= Eu/ %er of ossi%le 3ointRotation = , C  e2ree of $reedo/ in rotation ion = , C

e,

# $



6A7 $*

$-

T

=

, ,

ee5

ia2ra/ ia2ra/ $ ; e

-

=6 , , 7

 e*

$,

*

 $5

E$ = 5  E$ = Eu/%er of Internal 1nd 1nd Mo/ ent = 5C

 $$*

 =;

Σ $  = ;  # - C = ; - t/ 67=6;-7

ia2ra/ a/ Kesei/%an2an Kesei/%an2an

Eote : 67=6A76$7 6  7 = 1ternal 'oint for)e  ?aya luar pada 'oint C 6 A 7 = Matriks Statik 6 $ 7 = Internal 'oint for)e  ?aya dala/ pada 'oint C

 = 'oint rotation  putaran sudut pada pada 'oint aki%at aki%at 2aya luar luar C e = internal end end rotation  putaran putaran sudut aki%at 2aya dala/ a/ C $  = Mo/ent ri/er Ir.H.Kartono Hd

Ref : "#( K*a 0an9 Matr*! Met#od of Str()t(ra Str()t(ra A na$%*%

Matr*! Kea(an

Matrik J S  ( /atriks kekokohan intern ele/en

5  * 1IC 

*  * 1IC 





*  * 1IC 

5  * 1IC 









5  1I C -

*  1I C -





*  1I C -

5  1I C -

6S7 =

*1I -

=

*

,





,

*









*

,





,

*

Matriks 6 K 7( /atriks kekokohan struktur

6K7=6A7

6S7

T

6S7 6A7

T = * 1I -

6 A7

*

,





,

*









*

,





,

*

,



*

, * 1I -

=

,

* ,



,

6K7=6A7

T

6S76A7

*

=

* 1I -

6  , , 7

*

=

* 1I -

5

=

8 1I -

,

67= 6K7

6 K 7

6 O7 =

6 O7

;,

=

8 1I

6 O7 = 6 K 7

;,

67

8 1I

;-

=

;D 8 1I

Ir.H.Kartono r.H.KartonoH d

-


Matr*! Kea(an

5

Menentukan Matriks J $ ( /atriks 2aya dala/ ele/en struktur

,

,

6$7=6S7

6A 7

T

* 1I -

6 O7 =

* *

; (F9

* ;D 8 1I

=

*

;5

,

,

; ,(9

=

; ,(9 ; (F9

Menentukan /o/ent akhir Mo/ent akhir akhir = 6 $ 7 # Mo/ent pri/er /er M AB =  ; (F9 C #  ; - C = ; -(F9 t/ M BA =  ; ,(9 C #  # - C = # ,(9 t/ M B =  ; ,(9 C #   C = ; ,(9 t/ M B =  ; (F9 C #   C = ; (F9 t/

 = 5 ton # -(F9 t/ H A = (F9 ton ; ,(9 t/ G A = *(-F9 ton

M AB = ; -(F9 t /

M AB = ; ,(9 t/

# ,(9 t/

M B = ; ,(9 t/

G A = G B = G  = G H A =

# -(F9 # 5.- ; ,(9  ; -(F9 # 5.- # ,(9 

= # *(-F9 t on = # ,(*9 ton

= # ,(*9 ton B ,(9 # (F9 -

M B = # (F9 t/

# ,(9 t/ H  = (F9 ton

= # (F9 ton

G  = ,(*9 ton

H A = # (F9 ton

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

P ; 5 ton

9

B + EI A 28

EI

28

See%a*an den9an 8etode 8atr*% ea(an

"

28

3aa4: 3aa4: ter8a%( ter8a%( 6orta ta 4er9o$an9 4er9o$an9 B + EI A

Str(t(r da%ar $an9 d* ean9 ean9 28

EI

28

"

28

B

Ket*da tent(an *ne8at*% ; 1

+ EI A

D 28 EI

" B + EI

;

A

F*!ed End Mo8ent = FEM > :

? 28

EI

M FAB ; - .5.@1 ; - 2 t8  M FBA ; ? .5.@1 ; ? 2 t8 

28

"

28

B + EI A

,a$a e* aent  d* t*t*  d*%r*t $an9 $an9 ore%6ond*n9 den9an end(tan D :

 28

EI

 ; ? 2 t8

" Ir.H.Kartono r.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

d ,, = 

B

A

i titik diskrit B di%erikan lendutan  d -, = ,

1I

= , unit

d ,, =  d *, = , d -, = , d 5, = 

,

d *, = ,



d 5, = 

 , , 

Matriks efor/asi 6A7 =



T

6A7

,,

=

H * H ,

ia2ra/ H;d

H -

H 5

Matrik J S  ( / atriks kekokohan kekokohan intern ele/en e/en

6S7 =

5  * 1IC 

*  * 1IC 





*  * 1IC 

5  * 1IC 









5  1I C -





*  1I C -

*  1I C 5  1I C -

Matriks 6 K 7( / atriks kekokohan struktur

6A7

T

6 S 7 =

=

T

6K7=6A7

,,

* 1I -

*1I -

*

,





,

*









*

,





,

*

6S7 6A7

*

,





,

*





= 



*

,





,

*

* 1I -

, * * ,

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

T

6K7=6A7

6S76A7

6L7=6K7

6K7

=

* 1I -

, * * ,

6 7

;,

=

 , , 

;,

67=6K7

67=

8 1I

8 1I

= * 1I

=

5

-

F

8 1I -

6L7

#-

=

#D 8 1I

Menentukan Matriks J H ( /atriks 2aya dala/ ele/en struktur *

,





,

# (F9

 *

6 H7= 6S7

Menentukan / o/ ent akhir

6A 7 6  7 =

*1I -

,

*





,





*

,

,





,

*



#D 8 1I

=

*

#5

# ,(9

=

,

# ,(9 # (F9

Mo/ ent akhir = 6 H 7 ; Mo/ ent pri/ er

M AB =  # (F9 C ;  ; - C = # -(F9 t/ M BA =  # ,(9 C ;  # - C = ; ,(9 t/ M B =  # ,(9 C ;   C = # ,(9 t/ M B =  # (F9 C ;   C = # (F9 t/

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

 = 5 ton

M A = ; -(F9 t/

H A = (F9 ton

8

B * 1I

 M B = ; ,(9 t/

G A = *(-F9 ton

1I M  = # (F9 t/ H  = (F9 ton -/

-/

G  = ,(*9 ton

#*(-F9 ton

# -(F9 # 5.- ; ,(9  ; -(F9 # 5.- # ,(9 G B =  G  = G B = # ,(*9 ton G A =

 = 5 ton

#

; ; ,(*9 ton #

Bidan2 

; ,(9 ; (F9 H A = # (F9 ton H  =

# (F9 ton

M A = ; -(F9 t/ ;

M  = ; ,(9 t/

; #

;

M  = # ,(,*9 t/

# -/

M  = ; (F9 t/

-/ Bidan2 M

; (F9 ton

;

; Bidan2 E ; ,(*9 ton

Ir.H.Kartono Hd

= # *(-F9 ton = # ,(*9 ton

= ; (F9 ton


Matr*! Kea(an

D

P ; 5 ton

 ; + t8G

1 A

B

+ EI

+ EI

See%a*an den9an 8etode Matr*! Kea(an Ref : "#( K*a 0an9

"

EI 58 D 58

8

+8

P1

A

P+ !

!1

B

+

"

Dar* N-P D*a9ra8& N-F D*a9ra8 dan Ke%e*84an9an Mo8ent & d*da6at Matr*! Stat*a : 111 AC;

D

1

NP ; + N - P D*a9ra8

 

F1

1 

F7

1 

F+

"

F@

F2

AC

T

;  

F5

1   1 D

NP ; @ N - F D*a9ra8 P1 F7 F+

F2

P 1 ; F + ? F 2 ? F 7 Men9#*t(n9 4e%ar F

o

P+

F@

P + ; F @

:

 ; + t8G M F AB ; M

M

FAB

8

FBA

M FBA

;?

1 .L . L 1+

+

.L1

+

1+

; - .+.1

+

1+

;?

.+.1 1+

; - 1&@ t8 +

; ? 1&@ t8

Ir.H.Kartono Hd

Ref : "#( K*a 0an9 Matr*! Met#od of Str()t(ra Str()t(ra Ana$%*%

Matr*! Kea(an

Men9#*t(n9 4e%arFEM = F*!ed End End Mo8ent > :

M

FBD

; M

FB"

; -

M

F"B

; ?

P

1

;-

F

o

; - = ? 1&@ - 1& 1& ?  > ; - & t8

P

+

;-

F

o

; -

FDB

P ; 5 ton M M

M

FB"

58

F"B

+8

F

;  +

P.a.4 +

L

L

@+ 5.+.5 @

+

P.4.a

;?

+

+

5.5.+

;-

= ? 2&7@ >

; - 1& t8 +

; ? 2&7@ t8

+

; - 2&7@ t8 - & PC; - 2&7@

5 = + EI >  + = + EI > 

+ = + EI >  5 = + EI > 









 

SC ;

















+ = EI > 5 5 = EI > 5 







5 = EI > 5 + = EI > 5 







 5 = + EI > @ + = + EI > @

 + = + EI > @ 5 = + EI > @

Menent(an Matr** Kea(an Kea(an Str(t(r = E!terna St*ffne%% Matr*! Matr*! > ;  K C T


 ,*

e

SCAC

T

;

EI @

@

2









2

@













@

2









2

@















5









5



  KC ;  A C

SCA C

T

;

$

,*-5

111 1

,

2



1 

*

@



-

@



5

2



EI @

;   1 

7



5

 1

@

5



, *

,

2



*

@



 , *

 EI @

, *

 

1 



$



$

-

@



5

2



7

 5

@

5

;

EI @

,

+ 5

*

5 

 Ir.H.Kartono r.H.KartonoHd

Ref : "#( K*a 0an9 0an9 Matr*! Met#od of Str()t(ra Ana$%*%

Matr*! Kea(an -1

Menent(an In er% Matr*%  K C

EI @

D;

Deter8*nan

Ee8en Matr*% 4ar(  " C :

+ 5 5

EI ;  = +. +. - 5.5 5.5 > ; ? +5 EI @



A 11 ; ? 

A 1+ ; - 5

A +1 ; - 5

A ++ ; ? +

? - 5 Matr*% 4ar(  " C ;

T


; 1 D

T

"C

=

1 +5 EI

-1

PC;

1 +5 EI

, *

FC;SCAC

 X C ;

EI @

-5

-5

? + 

-

0)



?

-5

- &

-5

? +

- 2&7@

$ 

T

?



 XC;KC

-5

-5

? +



 -1

? ;

- 5 ? +

KC

F,

;

, *

2

0) - +&2

1 EI

$

- 1&5

0) - 1&1



@





@

1 EI



0)

- +&2 - +&2

;

- +&2

- 1&5 5

Mo8ent Mo8ent A#*r ;  F C ? F

2

- 1&1



7 

5

- 5&17

@ 5



- 2&7@

o  ; + t8G

M

B"

M

; - &2 t8

P; 5 ton

; - 7&2 t8

B"

M AB ; - 1&@ - 1&1 1&1 ; - 11&7 t8 M BA ; ? 1&@ - +&2 ; ? &2 t8 M BD ;  - +&2 +&2 ; - +&2 t8 M DB ;  - 1&1 1&1 ; - 1&1 t8 M B" ; - 1& - 5&17 ; - 7&2 t8

+EI

+EI M

AB

M

; - 11&7t8

BD

; - +&2 t8

EI M

DB

; ? 1&1 t8

M "B ; ? 2&7@ - 2&7@ ; 

Ir.H.Kartono Hd

Ref:"#( K*a 0an9&Stat*)a$ Indeter8*nate nate Str()t(re%

Matr*! Kea(an

H A ; &2 ton

M B" ; - 7&2

 ; + t8G

P ; 5 ton +EI

+EI

H " ; &71 ton

M BD ; - +&2 t8

M AB ; - 11&7t8 JA

Men)ar* 4e%ar rea%* 6eretaan dan 8o8ent a6an9an

t8

M B" ; - &2 t8

+

T*na( 4atan9 AB

1I M DB ; ? 1&1 t8

J A ;

H D ; & t

+

- &2 ; &57ton

 1 +

- 11&7 ? .+.

JD

? &57 ton

1 +

?11&7 ? .+.

J B1 ;

+

? &2 ; &77 ton



#C

? +&2+ ton

=? >

J ; 1@ ton ; . ; 1@ ton = OK>

=? >

T*na( 4atan9 B"

=->

=->

- 1&@ ton

#C

? 7&2 ? 5.+

J B+ ;

- &77 ton ? & ton

; ? +&2+ ton

@ - 7&2 ? 5.5

J " ;

; ? 1&@ton

@ J ; 5 ton ; P ; 5 ton = OK>

B*dan9 D J D ; J B ; J

- 11&7 t8

? J

B1

; &77 ? +&2+ ; & ton

B+

- &2 t8 ;C

; C

- 7&2 t8

#C

M Ma! 6ada 4atan9 4atan9 AB terad* 6ada t*t* D

; C ;C

#C

- +&2 t8

JA 

? 2&2@ t8

? @ t8

! ; M

#C

? 1&1 t8

Ma!

; 

; 5&++7 8 dar* t*t* A ara# eanan

; ? &57 .5&++7 - 11&7 11&7 -

. + . 5&++7 5&++7

1 +

+

; ? @ t8

M Ma! 6ada 4atan9 B" :

B*dan9 M

M Ma! ; ? 1&@ 1&@ . + ; ? 2&2@t8 2&2@t8

H B ;

- &2 ton ;C

&57 +

;

X

+&2 ? 1&1 5

; & ton

#C

? &71 ton

H D ; H

=->

- & ton

B

; & ton

H " ;

.& 15

; &71 ton

H A ;

@.& 15

; &2 ton

B*dan9 N

Ir.H.Kartono Ir.H.KartonoH d

F-


Matr*! Kea(an Kea(an

P ; 5 ton

 ; + t8G

1 A

B

+ EI

+ EI

"

EI 58

See%a*an den9an 8etode Matr*! Kea(an Ref : Ir. S(6artono  Tedd$ Boen

D 8

58

3aa4: Den9an 8en9a8at* 4ent( %tr(t(r dan 6e84e4anann$a& 8aa6orta ter8a%( ter8a%( 6orta ta 4er9o$an9

+8 D*ean9

Str(t(r da%ar $an9 d*ean9 D*ean9

D+

D1

Ket*da tent(an *ne8at*% *ne8at*% ; + H+ d7

d1 d+ H1

H 2

d5

H 7

H@ d@

d2

H5

D*a9ra8H - d  H

1

H

@



+

+

H

H 2

7

D*a9ra8Ke%e*84an9an Mo8ent Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

T

Menent(an Matr*! Stat*a  A C dan Tran%6o%e Matr*! Stat*a  A C 1 (n*t d

11

;

d d

A

+1

F5

71

D*ean9

; 1 d

; 1

B d d

21

d 11 ;  d +1 ; 1 d 21 ; 1

; 

@1

"

; 1 ;

51

D

 

d 51 d 71

;

d @1

;

1 

;1

1  AC

;  

D* t*t* d*%r*t B d*4er*an end(tan D

; 1 (n*t 1 1 (n*t

d

1+

; 

d d

A

++

7+

B

; 

; 

d

d

2+

5+

d

; 

; 1

@+

"

d 1+ ;  d ++ ; 

1 

d 2+ ;  d 5+ ; 

 1

d 7+ d @+

D*ean9

; ;1

;

111 T

AC

; 1

D D* t*t* d*%r*t " d*4er*an end(tan D

+

; 1 (n*t D*ean9

-

?

-

?

-

"

? D Ara# FEM

Men9#*t(n9 4e%ar FEM :  ; + t8G

M

M

FAB

8

FBA

M F AB ; -

.L .L1

M FBA

.L1

;?

+

1+

1+

+

;-

+.1

+

; - 1&@ t8

;?

.+.

1 1+

+

; ? 1&@ t8

1+



Matr*! Kea(an

M

FBD

; M

M

FB"

; -

M

M

FB"

58

F"B

M

F"B

; ?

+8

; 

FDB

P ; 5 ton

F9

+

P.a.4 L

+

@

P.4.a L

+

5.5.+

;+

+

5.+.5

;?

+

; - 1& t8

+

@

; ? 2&7@ t8

+

D*ean9





1

+



1

;

FEM FEM

; = ? 1&@ 1&@ - 1& 1& ?  > ; ? &  t8



+

;

FEM FEM

;

= ? 2&7@ &7@ >

; ? 2&7@ &7@ t8 ? & C; ? 2&7@

,a$a e* e* aent  d* t*t* t*t*  d*%r*t $an9 $an9 ore%6ond*n9 den9an end(tan D 5 = + EI >  + = + EI > 

+ = + EI >  5 = + EI > 









 

SC ;

















+ = EI > 5 5 = EI > 5 







5 = EI > 5 + = EI > 5 







 5 = + EI > @ + = + EI > @

 + = + EI > @ 5 = + EI > @

Menent(an Matr** Kea(an Kea(an Str(t(r = E!terna St*ffne%% Matr*! > ;  K C KC;AC

T

SCAC

 SC  A C

KC;AC

T

 SC  A C

;

;

EI @

@

2









2

@













@

2









2

@















5









5



111 1

EI @

2



@



@



2





5

5



 

2



1 

@



@



2



1 



5

 1

5



1 

;  

;

EI @

EI @

+ 5 5 



Matr*! Kea(an

-1

Menent(an Menent(an In er% Matr*%  K C

+ 5

EI @

D;

Deter8*nan

Ee8en Matr*% 4ar(  " C :

5

EI ;  = +. +. - 5.5 > ; ? +5 EI @



A

11

; ? 

A

1+

; - 5

A

+1

; - 5

A

++

; ? +

? - 5 Matr*% 4ar(  " C ;

T


-1

; 1 D

DC ;  K C

"C

-1

 HC ;  S C  A

T

=

1 +5 EI

1 +5 EI

 PC ;

C D C ;

EI @

?

-5

-5

? +

?

-5

? &

-5

? +

? 2&7@

2



@



@





5

5



-5

-5

? +

? +&2

1 EI

? 1&5

?1&1 ? +&2 1 EI



2

;

? ;

- 5 ? +

KC

F

? +&2

;

? +&2

? 1&5 ? 1&1 ? 5&17 ? 2&7@

Mo8ent A#*r ;  H C - FEM  ; + t8G

M

AB

; ? 1&1 - = - 1&@ 1&@ > ; ? 11&7 t8

M

BA

; ? +&2 - = ? 1&@ 1&@ > ; - &2 t8

M

BD

; ? +&2 -  ; ? +&2 t8

M

DB

; ? 1&1 -  ; ? 1&1 t8

M

B"

; ? 5&17 - = - 1& > ; ? 7&2 t8

M

"B

; ? 2&7@ - = ? 2&7@ > ; 

M

B"

M

; - &2 t8

+EI

+EI M

AB

P; 5 ton

; - 7&2 t8

B"

M

; - 11&7t8

BD

; - +&2 t8

EI M

DB

; ? 1&1 t8


Matr*! Kea(an

H A ; &2 ton

M B" ; - 7&2

 ; + t8G

P ; 5 ton +EI

+EI

H " ; &71 ton

M BD ; - +&2 t8

M AB ; - 11&7t8 JA

Men)ar* 4e%ar rea%* 6eretaan dan 8o8ent a6an9an

t8

M B" ; - &2 t8



T*na( 4atan9 AB

1I M DB ; ? 1&1 t8

J A ;

H D ; & t

+

- &2 ; &57ton

 1 +

- 11&7 ? .+.

JD

? &57 ton

1 +

?11&7 ? .+.

J B1 ;

+

? &2 ; &77 ton



#C

? +&2+ ton

=? >

J ; 1@ ton ; . ; 1@ ton = OK>

=? >

T*na( 4atan9 B"

=->

=->

- 1&@ ton

#C

? 7&2 ? 5.+

J B+ ;

- &77 ton ? & ton

; ? +&2+ ton

@ - 7&2 ? 5.5

J " ;

; ? 1&@ ton

@ J ; 5 ton ; P ; 5 ton = OK>

B*dan9 D J D ; J B ; J

- 11&7 t8

? J

B1

; &77 ? +&2+ ; & ton

B+

- &2 t8 ;C

; C

- 7&2 t8

#C

M Ma! 6ada 4atan9 4atan9 AB terad* 6ada t*t* D

; C ;C

#C

- +&2 t8

JA 

? 2&2@ t8

? @ t8

! ; M

#C

? 1&1 t8

Ma!

; 

; 5&++7 8 dar* t*t* A ara# eanan

; ? &57 .5&++7 - 11&7 11&7 -

. + . 5&++7 5&++7

1 +

+

; ? @ t8

M Ma! 6ada 4atan9 B" :

B*dan9 M

M Ma! ; ? 1&@ 1&@ . + ; ? 2&2@t8 2&2@t8

H B ;

- &2 ton ;C

&57 +

;

X

+&2 ? 1&1 5

; & ton

#C

? &71 ton

H D ; H

=->

- & ton

B

; & ton

H " ;

.& 15

; &71 ton

H A ;

@.& 15

; &2 ton

B*dan9 N



Matr*! Kea(an

Selesaikan Selesaikan den2an den2an T he efle)tion Stiffness Matri Methode /etode /atriks kekakuan C Ref: hu Kia +an2

! = * ton @ / B

F8

 * 1I 5/

1I

1I

3a4a% :

A

Ter/asuk ortal tak %er2oyan2



8/

Men2hitun2 $1M  /o/ent pri/er C

;

#

M $B

=;

M $B

=#

!.0,

*

,* !.0, ,*

M $AB = M

= ; .*. ,8

*

= ; ,(F t/

,*

*

= M

$BA

.*. 8,

=#

*

,*

$

= M

$

= # ,(F t/

= 

ari dia2ra/  ; C ( $;e C dan dia2ra/ Kesei/%an2an ( didapat :  , O

,

O

*

, =$

*

# $ -

 * =$

5

# $ 9

 * ,

*

-

5

9



,



,

,







*







,

,





A

6A 7

B

=

ia2ra/  ; O  E= * Eu/%er of ossi%le 3ointRotation = * C  e2ree of $reedo/ in rotation on = * C

ee*

e* e,

6A7 e9

$,

*

,





*

,



-

,



5



,

9



,







$9 $5 e

$

ia2ra/ $ ; e

T



,

e

$-

$*

$

=

E$ =   E$ = Eu/%er of Internal ernal 1nd Mo/ent =  C

 *

 , $$* ia2ra/ Kesei/%an2an

$9 $5

 , =;

Σ $  = ;  ; ,(F C = # ,(F

* =;

Σ $  = ;  # ,(FC ,(FC = ; ,(F ,(F

0



67=

,

,

# ,(F

*

; ,(F

ia2ra/ Kesei/%an2an

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

FD

Matrik J S  ( /atriks kekokohan intern ele/en

5  1IC 5

*  1IC 5



*  1IC 5

5  1IC 5









5  *1I C 8

*  *1I C 8









* * 1I C 8

5  *1I C 8













*  1I C 5









5  1I C 5 *  1I C 5

 6S7 =



Matriks 6 K 7( /atriks kekokohan struktur

6S7

6A7

=

*

,









,

*













*

,









,

*













*









,

T

6S76A7

;,

-

,

,

5



9









,

,













,

*













*

,









,

*













*

,









,

*

1I *



$





,



,



*



,



*

,

,

*

1I *



,

,



,



*

*







,



,



*



*

,

,

*



*



,



= *

6 O7 = 6 K 7

*



,

6K7=6A7

,

1I *

=

$

$

,

T

6 S 7 6A 7 e



=

5  1I C 5

e

1I *

* 

6 K7 = 6 A7

$

T





e

$





=

1I *



5

,

,

5

6 7 ;,

Menentukan 6 K 7



= 1I *

5

, =

,

5

1I J  5 . 5C ;  , . , C  = *

1I

,9 *



Matr*! Kea(an

8

Menentukan Menentukan 1le/en Matriks %aru 6  7 : A ,, = # 5

A ,* = ; ,

A *, = ; ,

A ** = # 5

#5

;,

;,

#5

67=

T

67

=

#5

;,

;,

#5

67=6K7

;,

6  7 =

#5

*

6$7=6S7

6A 7

6 O7 =

Men2hitun2 Men2hitun2 Mo/ent Akhir = 6 $ 7 # 6 $

;,

# ,(F =

, 9 1I

;,

$

T

0

0



#5

; ,(F

# F(,,

, 1I

; F(,,



$

0

# -(9

,



*



*

,

,

*



*

; F(,,



,

; -(9

1I



#F(,,

0 

, 1I

# F(,, ; F(,,

# -(9 =

; -(9

7:

M AB = # -(9 #  = # -(9 t/ M BA = # F(,, #  = # F(,, t/ M B = # -(9 #  ; ,(F C = ; F(,, F(,, t/ M B = ; -(9 #  # ,(F ,(F C = # F(,, t/ M B = ; F(,, #  = ; F(,, t/ M B = ; ; -(9 #  = ; -(9 t/



Matr*! Kea(an

M B = ; F(,, t/

8,

M B = ; F(,, t/

! = * t@/

1



M BA = ; F(,, t/

M  = ; F(,, t/

M AB = # -(9 t/

M  = # -(9 t/ H  = *(F ton

H A = *(F ton G A = 8 ton

G  = 8 ton

# 8 ton # ; ; 8 ton ; #

; *(F ton

# *(F ton

Bidan2 

; F(,, t/

; F(,, t/ ;

; F(,, t/

;

;

; F(,, t/ ;

# # 8(8D t/

# # -(9 - (9 t/

# Bidan2 M

# -(9 t/

; *(F ton

; *(F ton ;

; 8 ton

; 8 ton

;

; 8 ton

;

Bidan2 E

; 8 ton Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

Selesaikan kan den2an / etode /atriks kekakuan

! = * t@/

B

8*

"

*1I

5/

1I

1I

D

A 8/

3a4a%: Karena %entuk struktur dan siste/ pe/%e%anannya pe/%e%anannya si/etri ( /aka portal ter/asuk portal tak %er2oyan2

"

B

Struktur dasar yan2 dikekan2 dikekan2 A

D

B

"

 ,

 * Ketidak tentuan tentuan kine/atis = *

D

A

"

B ;

#

D

A

Men2hitun2 $1M M $B

=;

!.0,

*

M $B

= # !.0,

*

,*

M $AB = M

,*

$BA

= M

=;

.*.,8

*

= ; ,(F t/

=#

.*. 8,

*

= # ,(F t/

,*

$

,*

= M

$

= 

?aya ek4i
; B

" L *

L , = ; ,(F L * = # ,(F ,(F

L ,

6L7=

; ,(F # ,(F

A

D

Ir.H.Kartono Hd

Ref :Ir.S(6artono  Ir.Tedd$ Ir.Tedd$ Boen Ana*%a Str(t(rM etode Mar*% *%

Matr*! Kea(an

d

-,

=,

d

5,

= d

, unit d

*,

-*

d

d

i titik diskrit  di%erikan lendutan 

=

,

,

= , unit

d ,, =  d *, = , d -, = , d 5, =  d 9, =  d , = 

=

, unit

=

**

9,

=,

d ,, = 

d

8-

d

=

5*

d

=,

d

d ,* = 

=,

i titik diskrit  di%erikan lendutan 

*

=

 , ,   

Matriks efor/asi 6A7 =

d5

H -

H 9

d* d,

d9 d

   , , 

ia2ra/ H;d H 

H ,

= , unit

d ,* =  d ** =  d -* =  d 5* = , d 9* = , d * = 

H 5

dH *

*

9*

6A7

T

=

,, ,,

Matrik J S  ( /atriks kekokohanintern ele/en

6S7 = 1I

5 5

* 5









*

,









* 5

5 5









,

*





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*

,

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

*  *C 8 5  *C 8

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

5  *C 8 *  *C 8

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



,

*

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*

,

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



* 5 5 5





5 5 * 5









,

*

=

1I *

Ir.H.Kartono onoH d


Matr*! Kea(an

85

Matriks 6 K 7( /atriks kekokohan struktur T

6K7=6A7

6A7

T

1I *

,, ,,

6 S 7 =

T

6K7=6A7

= 1I

6S76A7

*

,









,

*













*

,





6 7

= 1I

*

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,

*













*

,









,

*

 , ,   

,**, ,**,

*

6L7=6K7

6S76A7

;,

67=6K7

   , , 

= 1I

*

,**, ,**,

5 , , 5

6L 7

;,

Menentukan 6K7

eter/inan :

1I

5 , , 5

= 1I  5.5 ; ,., C =

1I

,9 *

Me/%entuk / atrik 6 7 ( / atriks %aru den2an den2an ele/entnya adalah adalah kofaktor Matriks 6K7

T

6 K 7

;,

=

* ,9 1I

,*

A

**

*,

= ; ,  A

= ;, = # 5

5 ;, ;, 5

Matriks 6  7 =

Matriks 6  7

A ,, = #5  A

5 ;, ;, 5

( adalah ad'oint /atriks 6 K 7 = 5 ;, ;, 5

; F(,, 67=

* ,9 1I

5 ;, ;, 5

; ,(F # ,(F

,

= 1I

# F(,,

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

89

Menentukan Menentukan Matriks J H ( /atriks 2 aya dala/ dala/ ele/en struktur

6 H7 = 6 S 7

1I *

6A 7 6  7 =

*

,









 

,

*







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, 



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*

,

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,

*





 ,









*

,

 ,









,

*

 

, 

6H7=

 *  ,

# F(,,

; F(,, ; F(,,

* , , *

, 1I

; -(9

*  1I *

; F(,, , 

, 1I

= # F(,,

; -(9 # -(9 # F(,, # -(9

Menentukan Menentukan / o/ent akhir Mo/ent akhir = 6 H 7 ; Mo/ent pri/er

M

AB

= ; -(9 ;   C

= ; -(9 t/

M

BA

= ; F(,, ;   C

= ; F(,, t/

M

B

= ; -(9 ;  ; ,(F ,(F C = # F(,, t/

M

B

= # -(9 ;  # ,(F C = ; F(,, t/

M

B

= # F(,, ;  C

= # F(,, t/

M

B

= # -(9 ;   C

= # -(9 t/

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

M B = ; F(,, t/

8

M B = ; F(,, t/

! = * t@/

1



M BA = ; F(,, t/

M  = ; F(,, t/

M AB = # -(9 t/

M  = # -(9 t/ H  = *(F ton

H A = *(F ton G A = 8 ton

G  = 8 ton

# 8 ton # ; ; 8 ton ; #

; *(F ton

# *(F ton

Bidan2 

; F(,, t/

; F(,, t/ ;

; F(,, t/

;

;

; F(,, t/ ;

# # 8(8D t/

# # -(9 - (9 t/

# Bidan2 M

# -(9 t/

; *(F ton

; *(F ton ;

; 8 ton

; 8 ton

;

; 8 ton

;

Bidan2 E

; 8 ton Ir.H.Kartono Hd

Ref : "#( K*a 0an9 Matr*! Met#od of Str()t(ra Str()t(ra An a$%*% a$%*%

Matr*! Kea(an

H ; + ton

"

B

See%a*an den9an T#e Defe)t*on St*ffne%% Matr*! Met#ode =8etode 8atr*% ea(an > Ref: "#( K*a 0an9

+EI 58

EI

EI

8F

3aa4 : F*!ed End Mo8ent = FEM>

8

A

D P1 X

X

M FB" ;  2

P2

1

X

+

M F"B ; 

P+

Dar* d*a9ra8= P-! > &= F-e > dan d*a9ra8 Ke%e*84an9an & d*da6at : D*a9ra8 P - X = NP ; 2 N(84er of Po%%*4e Po%%*4e 3o*nt Rotat*on ; 2 > = De9ree De9ree of Freedo8 *n rotat*on ; 2 >

P1 ;F

+

? F 2

P+ ;F

5

? F 7

P 2 ;-=H

F2

e2 e+

H 1 e+ e1

H + e7

e@

AC

;





*







1

1

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-

- 1

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

= NF ; N(84er of Interna Interna End Mo8ent ; @ >

- 1 5



,

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-

,

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- 1

*

1

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- 1

-

1

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

5

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9

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1

- 1





- 1

F7 

F5 D*a9ra8 Ke%e*84an9an

0



F  ; 

P+ ;-

F  ; 

P 2 ; -P

o

; - +

- 1 - 1 5

5

5 5

;

P+

P1 ;-





NF ; @

D*a9ra8 Ke%e*84an9an

9

1

D*a9ra8F - e

F+

5

1

5

T

-

1 F 5 @



e

F2

*

F 7 ? F @ 5

-

,

F1

P1

,

$

F@

AC

F 1 ? F + 5

>; -

+

1 F - 1 F7 5 + 5



F7 F5

? H

1 F 5 1

;F+

1

PC;

5 5

,

,



*



-

- +

Ir.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

88

Matr*  S  & 8atr*% eoo#an *ntern ee8en $

SC ; EI

5 5

+ 5





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+

1

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+ 5

5 5

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1

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1

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+ = +>  5 = +> 

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5 = +>  + = +> 

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1

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



5 5 + 5









1

+

Matr*%  K C& 8atr*% eoo#an eoo#an %tr(t(r $

EI +

;

KC ;  A C

T

 S C A C

e

+

1

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



e



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SC

T

AC

EI +

;

T

-1

 X C ;  KC

D

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1

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1

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

*

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5

- 1 5

- 1 - 1 5

EI +

;

EI +

5 5

1

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5

2

5

1@

2

2

2

2

;

2 5 2 5

-

+



+

1

2 5 2 5

-



+





+

2 5



1

-

1

5



;

EI +



5

1

2 5

1

5

2 5

2 5

2 5

2 5



; EI 

2 5

-1

1@

2 5





,

PC

Menent(an  K C

= EI 

;

*

+



SCAC

,

1

$

KC;AC

e

EI  ? 1@  = 1@ . 2> - 2.2 >  - 5  = 5 . 2 > - = 2. 2 >  ? 2  = 5 . 2 > - = 1@. 2 >  ; @2EI 




1@

5

2

5

1@

2

2

2

2


Matr*! Kea(an

Menent(an Ee8en Matr*% *% 4ar(  " C :

8D

? 2 - 2 - 2@

A 11 ; ? = [email protected] 2.2 > ; ? 22 A 1+ ; - = 5.2 - 2.2 > ; - 2

- 2 ? 2 - 2@

Matr*%  "C ;

A 12 ; ? = 5.2 - [email protected] > ; - 2@2@ A +1 ; - = 5.2 - 2.2> ; - 2

- 2@ - 2@ ?+5

A ++ ; ? = [email protected] 2.2 2.2 > ; ? 2 A +2 ; - = [email protected] 5.2 5.2 > ; - 2@

? 2 - 2 - 2@

A 21 ; ? = 5.2 - 2.1@ > ; - 2@ A 2+ ; - = [email protected] - 2.5 > ; - 2@

T

Matr*%  "C

;

- 2 ? 2 - 2@ - 2@2@ - 2@ ?+5

A 22 ; ? = [email protected]@ - 5.5 > ; ? +5

 K C

-1

? 2 - 2 - 2@

1 @2EI

;

- 2 ? 2 - 2@ - 2@2@ - 2@ ?+5



-1

 !C ;  KC

1 @2EI

 P C ;

FC; SC

A C

 X C ;



? 2 - 2 - 2@



- 2 ? 2 - 2@2@



- 2@ - 2@ ?+5

- +

$

T

0

EI +

? 11&52 ;

1 @2 EI

$



2 5

+



2 5

+

1

1

+



+



1

? 11&52 - @&1



1

0

0

- ++&@ 

0

- 1&15 ? 11&52



1 @2 EI

? 11&52

? 1&15 =

? 1&15

 2 5 2 5

Men9#*t(n9 Mo8ent Mo8ent A#*r ;  F C ?  F

- @&1

- 1&15 - ++.@



C:

M AB ; - ++&@ ?  ; - ++&@ t8 M BA ; - 1&15 ?  ; - 1&15 t8 M "D ; ? 1&15 ?  ; ? 1&15 t8 M D" ; ? 1&15 ?  ; ? 1&15 t8 M DB ; - 1&15 ?  ; - 1&15 t8 M BD ; - ++&@ ?  ; - ++&@ t8



Matr*! Kea(an

M

B"

; ? 1&15 t8

M

"B

; - 1&15 t8

Men9#*t(n9 Rea%* Rea%* Peretaan dan Mo8ent La6an9an

H ; + ton M M

BA

M

AB

; - 1&15 t8

"D

1I

; ? 1&15 t8

D

T*na( 4atan9 B": M

; ? ++&@ t8

H A ; 1 ton

H

"

; 

--< ? J D

B

.? 1&15 ? 1&15 ; 

; 1 ton

J B ; - 5&+ ton M

J D ; ? 5&+ ton

J A ; - 5&+ton

M

; ? ++&@ t8

D"

B

; 

---< - J

"

. . ? 1&15 ? 11&15

Kontro : ----< J

;C

; J " ; ? 5&+ ton

J; B

? J

; - 5&+ ? 5&+ ;  =OK>

"

- 5&+ton  #C

T*na( oo8AB :

= ?>

H A ; B*dan9 D

? 1 ton

? 1 ton

M

B"

; ? 1&15 t8

=->

BA

AB

M

"D

B

B*dan9 M

M

D"



C

; ? 1 ton



C

A

? H

; - 1&15 t8

"

= ?>

; - ++&@ t8

1&15? ++&@ 5

Kontro : H ;  ----< -< H ; + -1 - 1 ;  =OK>

; ? 1&15 t8

=->

M

; - 1&15 t8

;C

= ?>

M

"B

; ? 1 ton

T*na( oo8 "D: H D ;

M

1&15? ++&@ 5

; ;

A

@&1 EI

ton - 8

@&1 EI

ton - 8

2

B

; ? ++&@ t8

2

" D

- + ton

B

- 1 ton

- 1 ton

"

φ

φB φA

;C

- 5&+ ton

- 5&+ ton

11&52 EI 11&52 = EI 11&52 = EI 11&52 = EI

;

H ; + ton

=->

;C

D

φ

Ro4a#an Ban9(n

B*dan9 N


ton - 8

+

ton - 8

+

ton - 8

+

ton - 8

+

Matr*! Kea(an

H ; + ton


"

B +EI

58

EI

EI

8

A

D See%a*an den9an 8etode 8atr*% ea(an

3aa4: Den9an 8en9a8at* 4ent( %tr(t(r dan 6e84e4anann$a& 6e84e4an ann$a& 8aa 6orta 6o rta ter8a%( 6orta 4er9o$an9

Str(t(r da%ar $an9 d* ean9 ean9

D1 D +

D+

Ket*da tent(an tent(an *ne8at*% ; 2

-

?

F*!ed End Mo8ent = FEM> M FB" ;  M F"B ; 

,a$a e*aent  d* t*t* d*%r*t $an9 ore%6ond*n9 e%6ond*n9 den9an end(tan D .

L , L *

L  1 ; ? +  + ;   2 ; 

D,

Ref :Ir.S(6artono  Ir.Tedd$ Boen A na*%a Str(t(r Metode Mar*% Mar*%

Matr*! Kea(an

D* t*t* d*%r*t B d*4er*an end(tan D

1

; 1 (n*t ;

1 5

d +1 ;

1 5

d ,

,

d

1 (n*t

21

;

+1

;

d

d

;

51

D*

d

1 5

71

;

1 5

11

d 21 ;  d 51 ; 

1 d 11 ; 5

d

, unit

d

++

2+

d

@1

; 1 5

d 71

; 1

d @1

; 1

5 5

;1 d

5+

;

;1

d 1+ ; 

D* t*t* d*%r*t B d*4er*an end(tan D d 22 ; 

d

7+

;

d 1+ ;  d ++ ; 1 d 2+ ; 1

d

@+

;

d 5+ d 7+

;

d @+

;

+

;

; 1 (n*t

1 (n*t

d +2 ; 

d 52 ; 1

d 7 2 ;1 d @2 ; 

d 12 ; 

D* t*t* d*%r*t " d*4er*a d*4 er*ann end(tan D

2

d 12 ;  d +2 ;  d 22 ;  d 52 ; 1 d 72 d @2

;1 ;

, 5   , 5 1 

; 1 (n*t

H 5

 1 

Matr*% Defor8a%* AC ;

H -

H *

  1 H 9

, 5  1 ,   5

H 

H ,

D*a9ra8 H-d

AC

T

;

1 5

1 5



 1 1     1 1 



1 5

1 5


Matr*! Kea(an

D-

Matr*  S  & 8atr*% eoo#an *ntern ee8en

SC ; EI

5 5

+ 5









+

1









+ 5

5 5









1

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





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

+

1

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

+ = +>  5 = +> 





5 = +>  + = +> 

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



1

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





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



+

1

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



+ 5 5 5





5 5 + 5









1

+

Matr*%  K C& 8atr*% eoo#an %tr(t(r

1 5

AC

T

 S C ;

1 5



1 5

 1 1  

EI +

  1 1

KC;AC

T

; EI

SCAC

T

KC;AC

1 5



2 5

2 5

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1

+

+

EI +

;

SCAC

+

1

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





1

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



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1

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

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

1

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



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1

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





1

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 1

2 5

2 5

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1

+

+

1 5 1 

1   1 1 5  1

Deter8*nan :

EI 

2

2

2

2

1@

5

2

5

1@

2 5

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2 5

2 5

1

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1 5  

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EI +

;

2 5

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+

1+ 1@

2 5

2 5

2 5

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2 5

1

5

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EI 

2

2

2

2

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5

2

5

1@

1   5

EI 75 ; @2 EI 

; EI ?2 = [email protected]@ [email protected]@ - 5.5 > - 2 = 2.1@ - 5.2 5.2 > ? 2 = 2.5 2.5 - [email protected] >  ; 

Ir.H.Kartono r.H.Kartono Hd


Matr*! Kea(an

D5

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Analisa Struktur Metode Matriks

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