4 Metode Kekakuan Langsung KL3101 KELAS 01 SEMESER I 2013/2014
Pengantar
Pada metode kekakuan langsung, matriks kekakuan elemen. Matriks kekakuan dan vektor beban struktur dirakit dari komponen matriks kekakuan dan vektor beban masing-masing elemen pada derajat kebebasan yang sesuai.
1
Derajat Kebebasan Elemen
Setiap struktur balok/portal 2-D disusun oleh elem elemen en-e -ele leme men n an masi masin n -mas -masin in me memi mili liki ki 6 derajat kebebasan. d 5 d 6 d 4 d 2
d 5 d 1
d 6 4
d 3
d 2
d 1 d 3
Matriks Kekakuan Elemen EA L 0 0 k EA
0
12 EI
6 EI
3
L 4 EI
L
2
L
0
0
L 6 EI
L
0 0
0
12 EI 3
L 6 EI 2
L
2
0
L
0
L 2 EI
0 0
3
L 6 EI
0
2
L
12 EI 3
L 6 EI 2
L
6 EI 2 L 2 EI L
0
L 2
0
12 EI
0
EA
6 EI
L
EA
6 EI
2 L 4 EI
L
2
Gaya-gaya Ujung Elemen
Persamaan keseimbangan di tingkat elemen: f k
{ f } [k] {d } { f 0} f 2
f 1
d f 0
= vektor gaya-gaya ujung elemen = matriks kekakuan elemen = vektor perpindahan ujung elemen = vektor gaya ujung jepit akibat beban yang bekerja pada bentang elemen. f 5 f 2 f 1 f 6 f 4
f 3
f 5
f 6 f 4
f 3
Matriks Kekakuan Struktur
Matriks kekakuan struktur, [ K ], dirakit dari , , derajat kebebasannya sesuai. Contoh: A
B
D2
C
D1
D4
D3
matriks kekakuan [ K ] = (4 4)
3
Derajat kebebasan struktur
D2 A
D4
D1
B
D3
C
matriks kekakuan [ K ] = (4 4) d 2
Derajat kebebasan elemen AB
d 5 d 1
d 6
d 4
d 3
matriks kekakuan [k ] = (6 6) d 2
Derajat kebebasan elemen BC
5
d 1
d 6
d 4
d 3 matriks kekakuan [ k ] = (6 6)
matriks kekakuan struktur
k11 k 21 k31 k 41
k51 k61
K11 K 21 K K 31
K12
K13
K 22
K 23
K 24
K32
K 33
K 34
41
42
43
k16
k12
k13
k14
k15
k22
k23
k24
k25
k26
k32
k33
k34
k35
k36
42
43
44
45
k52
k53
k54
k55
k56
k62
k63
k64
k65
k66
k11 k 21 k31 k
K14
44
k16
k12
k13
k14
k15
k22
k23
k24
k25
k26
k32
k33
k34
k35
k36
k52
k53
k54
k55
k56
k62
k63
k64
k65
k66
46
matriks kekakuan elemen AB
k51 k61
matriks kekakuan elemen BC
4
matriks kekakuan struktur
0 0 0 0 K 0 0 0 0
k11 k 21 k31 k
k12
k13
k14
k15
k22
k23
k24
k25
k32
k33
k34
k35
k16
k26
k36
5
k51 k61
k52
k53
k54
k55
k56
k62
k63
k64
k65
k66
matriks kekakuan elemen AB
k11 k 21 k31 k k k51 k61
k16
k12
k13
k14
k15
k22
k23
k24
k25
k32
k33
k34
k35
k
k
k
k
k36 k
k52
k53
k54
k55
k56
k62
k63
k64
k65
k66
k26
matriks kekakuan elemen BC
Transformasi Koordinat
Pemetaan nomor derajat kebebasan elemen ke dilakukan apabila derajat kebebasan tersebut dinyatakan dalam koordinat yang sama. Sampai saat ini, perpindahan {d } dan gaya ujung { f } masih dinyatakan dalam koordinat lokal elemen. Sedangkan derajat kebebasan struktur dinyatakan dalam koordinat global. Oleh karena itu, perlu dilakukan transformasi untuk mengubah perpindahan dan gaya ujung dari koordinat lokal ke koordinat global, atau sebaliknya.
5
Transformasi Koordinat
Mengubah vektor perpindahan {d } dan gaya ujung an berorientasi ada koordinat lokal elemen menjadi vektor {d G } dan { f G } yang berorientasi pada koordinat global (struktur), atau sebaliknya. d G5 d G6
d 5 d 6 d 4 d 2
transformasi
d 1
d G4
d G2 d G1
d 3
d G3
yG
y d G2 d 2
x d 1
d G1
d d
xG
cos d sin
d 2 dG1 sin d G 2 cos d 3 d G 3 Sudut adalah sudut yang diukur dari sumbu x G ke sumbu x , atau dari d G 1 ke d 1.
6
Matriks Transformasi
d T d G f T f G cos sin 0 T 0 0 0
sin
0
0
0
0
cos 0
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
cos
sin
0
0
sin
cos
0
0
0
0
0 1 0
Transformasi Matriks Kekakuan
G
G
G
f k d T fG k T dG f G T
1
k T
d G
T
kG T k T
7
Vektor Beban
Vektor beban join { F } ditentukan dari beban luar yang sesuai dengan vektor perpindahan struktur { D}. Vektor gaya ujung jepit { F 0} disusun dengan menjumlahkan { F 0}i sumbangan dari masing-masing elemen.
Gaya ujung jepit akibat beban pada elemen dimasukkan ke dalam vektor beban elemen { f 0}. { f 0} kemudian ditransformasikan ke koordinat global menjadi { f 0G}. Elemen dari { f 0G} yang sesuai dengan derajat kebebasan struktur dimasukkan ke dalam vektor beban { F 0}i .
Tabel Insidens
Menyajikan hubungan antara derajat kebebasan kebebasan struktur. Nomor Nomor derajat kebebasan elemen, d Gi elemen 1 2 3 4 5 6 1
0
0
0
1
0
2
2
1
0
2
5
0
7
3
…
…
…
nomor derajat kebebasan struktur yang sesuai, Di.
8
Tabel Insidens
Contoh: Nomor elemen
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
1
0
2
2
1
0
2
5
0
7
Elemen 1
Nomor derajat kebebasan elemen, d Gi
d , d , d tidak digunakan sebagai derajat kebebasan struktur. d G 4 = D1, d G 6 = D2.
Elemen 2
d G 2 dan d G 5 tidak digunakan sebagai derajat kebebasan struktur. d G 1 = D1, dG3 = D2, d G 4 = D5, d G 5 = D7.
Implikasi terhadap Matriks Kekakuan Nomor e emen
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
1
0
2
2
1
0
2
5
0
7
[ K ]1, matriks kekakuan struktur sumbangan elemen 1
Nomor derajat kebebasan elemen, d Gi
K = k , K = k K ij lainnya = 0.
, K = k
, K = k
[ K ]2, matriks kekakuan struktur sumbangan elemen 2
K 11 = kG 11, K 12 = kG 13, K 15 = kG 14, K 17 = kG 16 K 21 = kG 31, K 22 = kG 33, K 25 = kG 34, K 27 = kG 36 dst.
9
Implikasi terhadap Vektor Beban Nomor e emen
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
1
0
2
2
1
0
2
5
0
7
{ F o}1, vektor beban sumbangan elemen 1
Nomor derajat kebebasan elemen, d Gi
= oG 4, o2 = F oi lainnya = 0. o1
oG 6
{ F o}2, vektor beban sumbangan elemen 2
F o1 = f oG 1, F o2 = f oG 3, F o5 = f oG 4, F o7 = f oG 6 F oi lainnya = 0.
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Persiapan
, Tentukan derajat kebebasan masing-masing elemen dalam koordinat lokal {d }i dan koordinat global {d G }i . Kemudian tentukan besarnya i , sudut antara sumbu global dengan sumbu lokal. Susun tabel insidens.
10
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Matriks kekakuan elemen, [k]i dan [kG ]i
untuk masing-masing elemen. Transformasi matriks kekakuan elemen ke koordinat global
[kG ]i = [T ]i T [k]i [T ]i
Perakitan matriks kekakuan struktur, [ K ]
Susun matriks kekakuan struktur sumbangan dari masingmasing elemen [ K ]i . Gabungkan (jumlahkan) [ K ]i dari setiap elemen menjadi matriks kekakuan struktur [ K ].
[ K ] = [ K ]1 + [ K ]2 + [ K ]3 + ...
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Penyusunan vektor beban, { F } dan { F o}
. Susun vektor gaya ujung jepit { f 0}i akibat beban luar untuk masing-masing elemen Transformasi { f 0}i ke koordinat global menjadi { f 0G }i . Susun vektor gaya ujung jepit sumbangan dari masing-masing elemen, { F 0}i . 0
0
.
{ F o} = {F o}1 + {F o}2 + {F o}3 + ...
11
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Persamaan keseimbangan struktur = – o untuk memperoleh nilai vektor perpindahan struktur { D}.
Vektor perpindahan elemen, {d G }i dan {d }i
Masukkan nilai perpindahan yang sesuai dari { D} ke vektor perpindahan elemen {dG }i . Transformasi {dG }i ke koordinat lokal menjadi {d }i .
aya-gaya u ung e emen,
i
Hitung gaya-gaya ujung elemen menggunakan persamaan keseimbangan elemen:
{ f }i = [k]i {d }i + { f o}i
Contoh 1
Tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam di ujung elemen pada struktur seperti tergambar. Perhitungkan semua perpindahan, termasuk perpindahan aksial. Diketahui: E = 200 GPa, A = 80 mm2, I = 60 × 106 mm4. 25 kN/m C
B
60 kN
A 1.5 m
1.5 m
3m
12
D2
Derajat kebebasan struktur:
D1
D3
Elemen 1:
Elemen 2:
d G5 d G6
d 5 d 6 d 4
d 2 d G4
d 6
d 1
3
d 2
d G3
d G1
d 3
d G2 d G1
cos 1 = 0.6 sin 1 = 0.8
d G2
d 1
d G3
d 5 d 4
d G5 d G6 d G4
cos 2 = 1 sin 2 = 0
Matriks kekakuan elemen 0 0 0 0 3.2 3.2 0 1.152 2.88 0 1.152 2.88 2.88 9.6 0 4.8 2.88 0 k 1 1000 0 0 3.2 0 0 3.2 0 0 1.152 2.88 1.152 2.88 2.88 4.8 0 9.6 2.88 0
5.33 0
k 2
0
0
5.33
0
5.33
8
0
5.33
5.33
0
0
5.33
0
8
0 0 5.33 0 5.33 8 8 8 0
0
8
1000 8 16 0
13
Matriks transformasi
0.6 0.8 0 0.8 0.6 0 0 1 0 T 1 0 0 0 0 0
0
0
0
1 0 0 T 2 0
0 0 0 0 0 0 0.6 0.8 0 0 0.8 0.6 0 0 0 0 1
0 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Matriks kekakuan elemen dalam koordinat global 0.983 2.304 1.8893 0.983 2.304 1.8893 0.983 2.4627 1.728 0.983 2.4627 1.728 1.728 9.6 2.304 4.8 1.728 2.304 k G 1 1000 1.8893 0.983 2.304 1.8893 0.983 2.304 0.983 2.4627 1.728 0.983 2.4627 1.728 1.728 4.8 2.304 9.6 1.728 2.304
Tabel insidens Nomor elemen
Nomor derajat kebebasan elemen, d Gi 1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
1
2
3
2
1
2
3
0
0
0
Matriks kekakuan struktur 1.8893 0.983 2.304 5.33 0 K K 1 K 2 0.983 2.4627 1.728 0 5.33 . . .
0
8 1000
7.2226 0.983 2.304 0.983 7.7961 6.272 1000 2.304 6.272 25.6
14
f 06
Vektor beban 0 F 0 0
f 03
60 kN
f 05
30
24 T
37.5 24 18 37.5
f 02
37.5 f 0 1 0 30 37.5
f0G 1 T 1 f 0 1
F0 F0 1 F 0 2
f 05
f 02
0
f 03
f 06
25 kN/m
f 0 2
0 37.5 18.75 0 37.5 18.75
f0G 2 f 0 2
24 0 24 18 37.5 55.5 37.5 18.75 18.75
Persamaan keseimbangan struktur
7.2226 0.983 2.304 D1 0 24 0.983 7.7961 6.272 1000 D 0 55.5 2 2.304 6.272 25.6 D3 0 18.75
0 0 0 0 0 0 d G 1 D1 0.0038 D2 0.0099 D3 0.0028
dG 2
0 0
0 d 1 T 1 d G 1 0.0056 0.0089 0.0028
D1 0.0038 D2 0.0099 D 0.0028 3
D1 0.0038 D 0.0099 2 D3 0.0028 d 2 0 0 0 0 0
0
15
Gaya-gaya ujung elemen 17.9871 48.3676 76.6818 f 1 k 1 d 1 f 0 1 17.9871 11.6324 15.1561 15.16 kN-m 60 kN
17.99 kN
f 2 k 2 d2 f 0 2
15.16 kN-m 25 kN/m 20.10 kN
75.11 kN-m 20.10 kN
11.63 kN .
76.68 kN-m
20.0982 7.4102 15.1561 20.0982 67.5898 75.1132
.
48.37 kN
17.99 kN
Elemen Rangka Batang
Dalam koordinat lokal, elemen rangka batang hanya masing-masing ujungnya. d 2 d 1
d 2
d
16
Elemen Rangka Batang
Dalam koordinat global, setiap elemen memiliki dua dera at kebebasan di masin -masin u un n a. d G4 d G2
d G3
d G4
d G1
d G3
d G2 d G1
Matriks Kekakuan dan Matriks Transformasi EA
k L EA L
T
0
EA
EA 1 1 L EA L 1 1 L
0
cos
sin
17
Transformasi
Hubungan antara besaran dalam koordinat lokal den an besaran dalam koordinat lobal teta sama seperti sebelumnya.
d T d G f T f G T G
Metode Kekakuan Langsung: Rangka Batang
Tentukan derajat kebebasan struktur, { D} dalam koordinat lokal {d } dan koordinat global {d G }. Kemudian tentukan besarnya , sudut antara sumbu global dengan sumbu lokal. Susun tabel insidens.
transformasi [T ]i pada masing-masing elemen.
18
Metode Kekakuan Langsung: Rangka Batang
Transformasi matriks kekakuan elemen ke koordinat lobal k = T T k T Susun matriks kekakuan struktur sumbangan dari masing-masing elemen [ K ]i . Gabungkan (jumlahkan) [ K ]i dari setiap elemen menjadi matriks kekakuan struktur [ K ].
Selesaikan persamaan keseimbangan [ K ]{ D}={ F } untuk memperoleh nilai vektor perpindahan { D}.
Metode Kekakuan Langsung: Rangka Batang
Masukkan nilai perpindahan yang sesuai dari { D} ke . Transformasi {d G }i ke koordinat lokal menjadi {d }i . Hitung gaya ujung elemen menggunakan persamaan keseimbangan elemen: { f }i = [k]i {d }i .
19
Contoh 2
Tentukan gaya-gaya batang pada struktur rangka batang seperti tergambar. 60 kN Diketahui: E = 200 GPa, A = 80 mm2. C
B
4m
A 3m
3m
D2
Derajat kebebasan struktur:
D1 C
B
A
Elemen 1:
d G4
d 2
d G3
d 1
cos 1 = 0.6 sin 1 = 0.8
d G2 d G1
Elemen 2:
d 1 d G2 d G1
d 2 d G4 d G3
cos 2 = 1 sin 2 = 0
20
Matriks kekakuan elemen 5.33 5.33 1000 5.33 5.33
3.2 3.2 1000 3.2 3.2
k 2
k 1
Matriks transformasi
T 1
0.6
0
G
0
0
0.6
0
T 1
0.8
1
0
0
0
0 0 1 0
Matriks kekakuan elemen dalam koordinat global 1152 1536 2048 1536 2048 1 1152 1536 1152 1536 1536 2048 1536 2048 1152 1536
0.8
Tabel insidens
5333.3 0 0 0 0 5333.3 0 5333.3 0 0 0 0 0 5333.3 0
1536
G 2
0
d Gi
Nomor elemen
1
2
3
4
1
0
0
1
2
2
1
2
0
0
Matriks kekakuan struktur 1152 1 536 5333.3 0 0 1536 2048 0 6485.3 1536 1536 2048
K K 1 K 2
Vektor beban 0 60
F
21
Persamaan keseimbangan struktur 6485.3 1536 D1 0 1536 2048 D 60 2
Vektor perpindahan elemen 0 0 0 0 d G 1 D1 0.0084 D2 0.0356
d 1 T 1 d G 1
0.0234
D1 0.0084 D2 0.0356
d G 2
D1 0.0084 D 0.0356 2 0 0 0 0
d 2 T 2 d G 2
.
0
Gaya-gaya ujung elemen 75 75
f 1 k 1 d 1
75 kN
45 45
f 2 k 2 d 2 45 kN
45 kN
75 kN
22
