PERHITUNGAN DENGAN METODA MATRIK KEKAKUAN
DASAR TEORI
Dalam menentukan momen pada struktur secara garis besar dapat dikelompokan menjadi dua yaitu dengan metoda kekakuan (stiffnes method) dan metode fleksibilitas (flexiblelity method), dari kedua metoda tersebut dapat digambarkna sebagai berikut :
S
S
D A Gambar 1
Dari gambar diatas terlihat bahwa pegas yang dibebani aksi A akan mengalami perpindahan D sebesar satu-satuan, sehingga dapat dihubungkan antara aksi A, perpindahan D, dan kekakuan pegas S yang merupakan nilai beban A yang dibutuhkan untuk menimbulkan perpindahan satu-satuan dan dapat dituliskan dalam persamaan persamaan berikut :
[A] = [S] [D] Bila kita menggunakan persamaan fleksibilitas
[D] = [F] [A]
Maka S merupakan kebalikan (invers) dari F (Fle ksibilitas) F = 1/S = S -1 S = 1/F = F-1
Tapi yang akan dibahas di sini adalah dengan menggunakan metode kekakuan menggunakan analisa matrik. Hal-hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan dalam metode Matrik Kekakuan : 1. Derajat ketidaktentuan kinematisharus ditentukan, yaitu konstruksi dimisalkan tertentu secara kinematis dengan menganggap semua titik ikat terjepit sempurna dan tidak mengalami pergeseran (translasi) maupun rotasi. 2. Pada setiap titik ikat terjadi deformasi sebesar satu satuan. Kemudian menentukan besarnya gaya yang menyebabkan menyebabkan deformasi sebesar satu satuan. satuan. 3. Untuk menentukan besar reaksiyang terjadi pada masing-masing elemen, digunakan persamaan keseimbangan pada pada setiap titik ikat.
LANGKAH-LANGKAH PERHITUNGAN : 1. Menentukan besarnya MOMEN pada Struktur akibat beban (ADL), yaitu merupakan aksi pada struktur terkekang yang selaras dengan perpindahan. Besarnya ADL pada suatu titik kumpul adalah merupakan penjumlahan FEM dari ujung-ujung batang pada titik kumpul tersebut. Besarnya FEM dapat dilihat pada lampiran 2. Kemudian menentukan gaya yang menimbulkan pergeseran (AD) yaitu merupakan aksi pada struktur semula yang selaras dengan perpindahan. 2. Menentukan momen pada struktur akibat deformasi (S) yaitu merupakan aksi pada struktur terkekang yang selaras dengan perpindahan yang tidak diketahui dan diakibatkan oleh satu Satuan perpindahan yang sama, dari parameter-parameter tersebut dapat ditentukan besarnya deformasi yang terjadi pada struktur akibat beban (D). Untuk memudahkan dalam pembentukan matrik kekakuan S dapat dilukiskan diagram kontruksi, beban dan reaksi yang terjadi. 3. Menentukan momen pada ujung2 elemen akibat deformasi (AMD), selanjutnya momen akhir pada ujung2 elemen (AM) dapat ditentukan. 4. Menentukan pula besarnya reaksi tumpuan akhir pada struktur (A s) dengan menentukan terlebih dahulu reaksi tumpuan pada struktur akibat beban (A SL) dan reaksi tumpuan pada struktur akibat deformasi (A SD).
Tapi yang akan dibahas di sini adalah dengan menggunakan metode kekakuan menggunakan analisa matrik. Hal-hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan dalam metode Matrik Kekakuan : 1. Derajat ketidaktentuan kinematisharus ditentukan, yaitu konstruksi dimisalkan tertentu secara kinematis dengan menganggap semua titik ikat terjepit sempurna dan tidak mengalami pergeseran (translasi) maupun rotasi. 2. Pada setiap titik ikat terjadi deformasi sebesar satu satuan. Kemudian menentukan besarnya gaya yang menyebabkan menyebabkan deformasi sebesar satu satuan. satuan. 3. Untuk menentukan besar reaksiyang terjadi pada masing-masing elemen, digunakan persamaan keseimbangan pada pada setiap titik ikat.
LANGKAH-LANGKAH PERHITUNGAN : 1. Menentukan besarnya MOMEN pada Struktur akibat beban (ADL), yaitu merupakan aksi pada struktur terkekang yang selaras dengan perpindahan. Besarnya ADL pada suatu titik kumpul adalah merupakan penjumlahan FEM dari ujung-ujung batang pada titik kumpul tersebut. Besarnya FEM dapat dilihat pada lampiran 2. Kemudian menentukan gaya yang menimbulkan pergeseran (AD) yaitu merupakan aksi pada struktur semula yang selaras dengan perpindahan. 2. Menentukan momen pada struktur akibat deformasi (S) yaitu merupakan aksi pada struktur terkekang yang selaras dengan perpindahan yang tidak diketahui dan diakibatkan oleh satu Satuan perpindahan yang sama, dari parameter-parameter tersebut dapat ditentukan besarnya deformasi yang terjadi pada struktur akibat beban (D). Untuk memudahkan dalam pembentukan matrik kekakuan S dapat dilukiskan diagram kontruksi, beban dan reaksi yang terjadi. 3. Menentukan momen pada ujung2 elemen akibat deformasi (AMD), selanjutnya momen akhir pada ujung2 elemen (AM) dapat ditentukan. 4. Menentukan pula besarnya reaksi tumpuan akhir pada struktur (A s) dengan menentukan terlebih dahulu reaksi tumpuan pada struktur akibat beban (A SL) dan reaksi tumpuan pada struktur akibat deformasi (A SD).
Cara penyusunan matrik akibat deformasi S, besarnya bentuk deformasi akibat beban dapat dilihat pada lampiran 2. Berikut ini contoh penyusunan matrik S 1. Portal tanpa goyangan
q t/m
EI
EI
EI
L
L Gambar 3.2
Menentukan AD
1
2
ADL = M12
A Gambar 3.3
M21
B
−
Pada potongan 1,yaitu jepit pada titik 1 dilepas jadi titik 1 dan titik 2 masih terjepit sehinnga akan terjadi rotasi sebesar S11=8EI/I dan pada titik 2 S12=2EI/L Pada potongan 2,yaitu pada titik 1 masih tetap terjepit ,sedangkan titik 2dilepas sehingga akan terjadi rotasi sebesar S21=2EI/L dan pada titik 2 S22=8EI/L Cara penulisan matrik S
S=
12 11 21 22
2EI/L S=8EI/L 2EI/L 8EI/L
2.Portal dengan goyangan
Menentukan
AD-ADL =
A dan A
2−21 12−1
Menentukan matrik kekakuan S 24EI/L
Potongan 2 2
Potongan 1
2
6EI/L
2
2
6EI/L
6EI/L
4EI/L
2EI/L
4EI/L
2
6EI/L
2EI/L
2
6EI/L
Potongan 3 2
6EI/L
4EI/L 4EI/L
2EI/L
Gambar 3.6
Pada portal dengan pergeseran langkah-langkah penyusunan matrik S seperti diatas tapi dengan memperhitungkan gaya penyebab translasi. 3
3
Pada potongan 1 : S11=12EI/L + 12EI/L karena ada dua kolom yang mengalami translasi 3
masing-masing 12 EI/L selain itu juga terjadi gaya penyebab rotasi sebesar S12=6 EI/L S13=6 EI/L
2
2
Pada potongan 2 : dengan melepas jepit di titik 1 akan terjadi gaya penyebab translasi sebesar 2
S21=6 EI/L dan rotasi pada titik 1 sebesar S22=8 EI/L dan pada titik 2 sebesar S23=2 EI/L
Pada potongan 3 : dengan melepas jepit pada titik 2 sehingga akan terjadi gaya penyebab 2
translasi sebesar S31=6 EI/L dan rotasi pada titik 1 sebesar S32=2EI/L dan pada titik 2 S33=8EI/L.
11 12 13 21 22 23 31 32 33 [ ] [ ] [] [] S=
=
+
*
24 6L 6L S = EI/L 6L6L 8L2L 2L8L [] = [] [ −]
(LANGKAH 3) Menentukan momen pada ujung2 elemen akibat deformasi (AMD),
selanjutnya momen akhir pada ujung2 elemen (AM) dapat ditentukan
[ ] [ ] [] [ ] =
*
+
Penyusunan matrik AMD dapat dilihat pada deformasi struktur akibat beban seperti pada gambar 3.6 Sesuai gambar tersebut ada 6 ujung batang dan 3 derajad kebebasan, jadi matrik AMD berordo 6 x 3
AMD =
AMD 11 AMD 21 AMD 31 AMD 41 AMD 51 AMD 61
AMD =
6EI/L 2 6EI/L 0 0 2 6EI/L 2 6EI/L
2
AMD 12 AMD 22 AMD 32 AMD 42 AMD 52 AMD 62
AMD 13 AMD 23 AMD 33 AMD 43 AMD 53 AMD 63
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 0 0
0 0 2EI/L 4EI/L 4EI/L 4EI/L
(LANGKAH 4) Menentukan pula besarnya reaksi tumpuan akhir pada struktur (A s) dengan menentukan terlebih dahulu reaksi tumpuan pada struktur akibat beban (A SL) dan reaksi tumpuan pada struktur akibat deformasi (A SD).
[AS] = [ASD]*[D]+[ASL]
3.2. CONTOH SOAL : 1. Suatu portal sederhana dengan perletakan jepit pada A dan B. panjang kolom dan balok sama seperti terlihat pada gambar dibawah
Penyelesaian : Menentukan FEM 2
2
-M21 = M12 = 1/12.q.l = 1/12.4.2 = 1.33333 tm Menentukan [A D – ADL] [AD – ADL] =
3333 −1.1.333333
Menentukan matrik kekakuan S Pot1
4EI/L
2EI/L
Pot 2. 4EI/L
4E/L
2EI/L
2EI/L
4EI/L
2EI/L
Gambar 3.8
Pada gambar 1 dapat ditentukan
S11=8EI/L
S12=2EI/L
Pada gambar 2 dapat ditentukan
S21= 2E/L
S22= 8E/L
Jadi S = EI/L
82 28
[AD] = [A DL] + [S]*[D]
12 12
=
()()()() L/EI −28
= L/EI
−28 −1.1.33333 3333
2222 −0.0.222222
Seperti pada soal L=2m dan hanya beban merata sebesar 4 t/m jadi disini hanya terjadi deformasi rotasi sebesar D1 = -0.44444/EI dan D2 = 0.44444/EI Menentukan momen akhir pada struktur Menentukan AMD dari gambar 1 dan 2
AMD = EI / L
AMA1 AM1A AM12 AM21 AM2B AMB2
=
2 0
0
4 0
0 1.33333tm
4
2
2
4
0
4
0
0
2
0
00 1.−1.333333 3333 00
+ EI
AML =
1
0
2
0
2
1
1
2
0
2
0
1
*1/EI
1.33333tm
4444 −0.0.444444
0.44444 0.88888 =
0.88889
0.88889 0.88889 0.44444
2. Portal dengan goyangan
Gambar 3.9
Penyelesaian Menentukan FEM 2
2
-M21= M12= 1/12 q l = 1/12 4 2 = 1.33333 tm Menentukan [AD – ADL] [AD – ADL] =
2 -1.33333 1.33333
Menentukan matrik kekakuan S
S = EI
1.1.355 1.415 1.145
D = 1/EI
-1
S = 1/EI
0. 4 762 −0. 1 429 −0. 1 429 1 429 0. 3 095 −0. 0 238 −0. −0.1429 −0.0238 0,3095
0. 4 762 −0. 1 429 −0. 1 429 2 1 429 0. 3 095 −0. 0 238 −0. −1. 3 3333 −0.1429 −0.0238 0,3095 1.33333 *
=
1/EI
0.−0.97524302 0.1586
Jadi pada titik 1 dan 2 terjadi translasi sebesar 0.9524/EI ke arah kanan dan dititik 1 juga terjadi rotasi sebesar -0.7302/EI serta dititik 2 terjadi rotasi se besar 0.1586/EI. Selanjutnya dapat dihitung momen akhir pada struktur dengan terlebih dahulu menentukan AMD dan A ML.
Menentukan AMD dan AML. AMD = EI 1.5
1
0
A ML =
0
1.5
2
0
0
0
2
1
1.33333 tm
0
1
2
-1.33333 tm
1.5
0
2
0
1.5
0
1
0
Perhitungan momen akhir AM =
0
EI
1.5
1
0
1.5
2
0
-0.7302
-0.0318 tm
0
2
1
0.1586
0.0315 tm
-1.33333
0
1
2
-1.7458 tm
0
1.5
0
2
1.7458 tm
0
1.5
0
1
1.5872 tm
0 1.33333
+
1/EI
0.9524
=
0.6984 tm
3. Portal dengan pergoyangan dan perletakan sendi
Suatu portal salah satu kolomnya jepit dan yang lainnya sendi dengan kekakuan seperti pada gambar dengan beban merata pada semua tingkat s ebesar q = 2 t/m.
Gambar 3.11
Penyelesaian : Menentukan FEM -FEM21 = FEM12 = - FEM32 = FEM23 = 1/12 q L
2 2
= 1/12 * 2 * 8 = 10.6667 TM 2
2
2
-FEM65 = FEM56 = - FEM54 = FEM45 = 1/12 q L + Pab / L 2
2
2
= 1/12 * 2 * 8 + 1 * 4 * 4 / 8 = 11.6667 tm
Gambar 3.12
[ AD – ADL ] =
23 −10.06667 −10. 6 667 −11.06667 11.60667 0
Pot 1 3
36*1.5EI/4 =0.8438
2
6*1.5EI/4 =0.5625
0.5625
3
72*1.5EI/4 =1.6875
0.5625
2
0.5625
0.5625
0.5625
0.5625
0.5625
0.5625
6*1.5EI/4 =0.5625
0.5625
0.5625
Pot 2 3
36*1.5EI/4 =0.8438
0.5625
2
6*1.5EI/4 =0.5625
3
36*1.5EI/4
0.5625
0.5625
0.5625 0.5625
=0.8438
Pot 7
0.75
6*1.5EI/4 4*1.5EI/4 = 1.5
= 0.5625
0.25
4EI/8 = 0.5 4*EI/8 = 0.5
4*1.5EI/4 = 1.5
2EI/8 = 0.25
0.75
Pot 8
0.75 6*1.5EI/4 = 0.5625 4*1.5EI/4 = 1.5 4*EI/8 = 0.5
0.25
4*1.5EI/4 = 1.5
0.75
Matrik kekakuan [S] S=
1.6875
-0.8438 -0.5625
-0.5625
-0.5625
0.0000 0.0000
0.0000 0.5625
0.5625
EI
-0.838
0.8438 0.5625
0.5625
0.5625
0.5625 0.5625
0.5625 0.0000
0.0000
-0.5625
0.5625 2.0000
0.2500
0.0000
0.7500 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000
0.5625
0.5625 0.2500
2.5000
0.2500
0.0000 0.7500
0.0000 0.0000
0.0000
0.5625
0.5625 0.0000
0.2500
2.0000
0.0000 0.0000
0.7500 0.0000
0.0000
0.0000
0.5625 0.7500
0.0000
0.0000
3.5000 0.2500
0.0000 0.0000
0.0000
0.0000
0.5625 0.0000
0.7500
0.0000
0.2500 4.0000
0.2500 0.7500
0.0000
0.0000
0.5625 0.0000
0.0000
0.7500
0.0000 0.2500
3.5000 0.0000
0.7500
0.5625
0.0000 0.0000
0.0000
0.0000
0.0000 0.7500
0.0000 1.5000
0.0000
0.5625
0.0000 0.0000
0.0000
0.0000
0.0000 0.0000
0.7500 0.0000
1.5000
-1*
[D] = [S] [AD-ADL] -1
Dengan operasi matrik invers maka [S] dapat di tentukan, sehingga D dapat dihitung, dan -1
dari hasil perkalian antara [S] dengan [A D-ADL] di dapat : Nxl = 28.3076/EI
nx2 = 47.955 / EI
Ө1 = 7.061
Ө2 = -2,6424/EI
Ө3 = 0.9916
Ө4 = -9.2485/EI
Ө5 = -3.9035
Ө6 = -2.2764/EI
Өb = -8.6619/EI
Өc = -9.4757/EI
Menentukan [AMD] Ada 10 batang dan 10 derajat kebebasan makamatrik [A MD] berorde 20x10
[AMD] = EI
0.
0.
0.5
0.25
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.25
0.5
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.5
0.25
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.25
0.5
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.5
0.25
0
0.
0.
0.
0.
0.
0
0.
0.25
0.5
0.
0
0
0.
0.
0.
0.
0.
0
0.5
0.25
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.25
0.5
0.
0.
0.5625 0.
0
0.
0.
0.75
0
0.
0
0
0.5625 0.
0.
0.
0.
1.5
0.
0.
0.
0.
-0.5625 0.5625
0.75
0.
0.
1.5
0.
0.
0.
0.
-0.5625 0.5625
1.5
0
0.
0.75
0.
0.
0.
0.
0.5625 0.
0
0.
0.
0.
0.75
0.
1.5
0.
0.5625 0.
0.
0
0
0.
1.5
0.
0.75
0.
-0.5625 0.5625
0.
0.75
0.
0.
1.50
0
0.
0.
-0.5625 0.5625
0.
1.5
0.
0.
0.75
0.
0
0
0.5625 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.75
0
1.5
0.5625 0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.5
0.
0.75
-0.5625 0.5625
0.
0.
0.75
0.
0.
1.5
0.
0.
0.
0
1.5
0
0.
0.75
0.
0.
-0.5625 0.5625
Menentukan momen akhir pada struktur
[ ] = [ ] + [ ]∗[] −10. 10.66667667 1221 2332 10. 6 667 −10. 6 667 4554 11. 6 667 −11. 6 667 56 11. 6 667 −11.60667 654 [ ] 00 441 00 514 00 552 00 625 00 663 0 36 =
=
[ ]
6.−13.4756 7 532 9.−10.5934 8 315 6.−15.0666 9 306 9.−13.1459 7 808 8.2.90867 503 −8. 1 168 −6.0.407620 3.3.52714 146 4.0.106040 5.8.43017 808 10.8318
4.Portal dengan kolom miring Dalam pengerjaan kolom miring ada dua cara yaitu dengan memisalkan displacement sebesar satu satuan tegak lurus dengan kolom miring dan cara lainnya adalah dengan memisalkan displacement sebesar satu satuan searah sumbu x global atau tegak lurus dengan kolom tegak. P=3T
2 E1
0.75L=3m
EI
2 E1
L=4m Gambar 3.14
0.75L=3m
H = 4m
Cara 1 P sin
∝
0
0
0
0
Gambar3.15
[ AD – ADL ] =
2.004 P
P sin α
MENENTUKAN MATRIK [S] Pot 1 3
12EI(2a)/L
12EI/R
2
6EI(2a)/L
6EI(2a)/L
6EI/R 2
6EI/R
3
12EI/R
12EI(2a)/L 6EI/R
2
6EI/R
b 2
2 1/2
Panjang kolom miring (R) = (3 + 4 ) = 5 Sin α = 4/5 = 0.8 cos α = 3/5 = 0.6 α
Tg α = b/a b=a tg α Sin α = b/1 = b = 0.8 α
a Cos α = a/1 = a = 0.6
∆=1
12EI/R
3
3
12EI(2a) /L
α
12EI(2a)cosα/L
12EI(2a) /L
3
α
3
3
12EI/R
12EI(2a)cosα/L
3
6EI/L
2
6EI/R
4EI/L
4EI/R
2EI/L
2EI/R
6EI/L
pot 3 Gambar 3.16
Menentukanmatrik [S]
[S] = E1
0.−0.46221 −0.1.821 −0.0.521 −0.21 0.5 1.8
[AD] = [A DL] + [S] * [D]
-1
[S ] = 1/E1
2.0.32604 0. 2 155 0. 2 155 155 0. 6 217 −0. 1 475 0.2155 −0.1475 0.6217 -1
[D] = [S] * [AD-ADL]
1/E1
6EI/L α
6EI/L
5. 6 6496 [D] = 0.0.55172 172
6EIcosα/L
α
2
6EI/R
6EIcosα/L
6EI/L
4EI/L
2
6EI/R
4EI/R
2EI/L
2EI/R
6EI/L
pot 3
6EI/L 6EIcosα/L
α
α
2
6EI/L
6EIcosα/L
6EI/R
Gambar 3.16
Menentukan matrik [S]
[S] = E1
0.−0.46221 −0.1.821 −0.0.521 −0.21 0.5 1.8
[AD] = [A DL] + [S] * [D]
[D] = 5.0.0.6556496 172 172 1/E1
MENENTUKAN [AMD]
-1
[S ] = 1/E1
2.0.32604 0. 2 155 0. 2 155 155 0. 6 217 −0. 1 475 0.2155 −0.1475 0.6217 -1
[D] = [S] * [AD-ADL]
[AMD] = EI
Cara 2
0.0.2244 −0. 4 5 −0.0.2445 0.24
0.0.48 1.0.05 00
00 0.1.50 0.0.84
11 1221 22
=
1.1.57665 734 −1. 7 734 −1.1.77734734 1.5665
Pot 1 12 I(2a)/L 12EIb/R
6EI(2a)/L
6EI(2a)/L 6EIb/R
6 Ib/R 12EIb/R 12EI(2a)/L 2
6EIb/R
6EIb/R
Δ=1 Panjang kolom miring (R) = (3 2 42)1/2 = 5
Sin
= 4/5 = 0.8
cos
= 3/5 = 0.6
tg = 4/3 = 1.3333
tg
= 1/a
a = 1/tg
b
sin
= 1/b
b = 1/sin
= 1/0. 8 = 1.25
cos
= a/b
a = b cos
= 1.2 x 0.6 = 0.75
a
{12EIb/R3}/sin
(12EI(2A)/L3)/tgα
α 3
12EIb/R
3
12EI(2a)/L
12EI 2a L3
3
{12EIb/R }/sin
α
3
{12EI(2a)/L )/tgα
α 12EIb/R3
2
6EI/L
6EI/R2
2EI/L
4EI L 4EI/L
4EI/R 6EI/L2
2EI/R
2
6EI/R
6EI/L
{6EI/L2}/tgα
{6EI/R }/sinὰ
{6EI/L2}/tgα
2
6EI/L
6EI/L 6EI/R
4EI/R 4EI/L
2EI/L
2EI/R
6EI/L
6EI/L 2
{6EI/L }/tgα
{6EI/L2}/tgα
{6EI/R }/sinὰ 2
6EI/L
6EI/R
S = EI
0, 7 219 −0, 2 625 −0, 2 625 −0,−0.226255 1, 8 0, 5 625 0,5 1,8
-1
S = 1/EI
1,0.51106 0, 1 724 0. 1 724 724 0. 6 217 −0. 1 475 0.1724 −0.1475 0.6217
[AD] = [A DL] + [S]*[D] -1
[D] = [S] * [AD-ADL]
D = 1/EI
2. 4 1,0.51106 0, 1 724 0. 1 724 724 0. 6 217 −0. 1 475 0 0.1724 −0.1475 0.6217 0 *
=
1/EI
4.0.55318 172 0.5172
MENENTUKAN [AMD]
[AMD] = EI
0.0.3300 0.0.48 00 −0. 5 625 1. 0 0. 5 −0.0.530625 0.05 1.0.08 0.30 0 0.4
11 1221 22
=
1.1.57664 733 −1. 7 733 −1.1.77733733 1.5664
PORTAL DENGAN PANJANG KOLOM TIDAK SAMA 3t
1
2 t/m
2 t/m
3
Menentukan FEM 2
-FEM 21 = FEM 12 = -FEM 43= FEM 34 = -FEM 54 = FEM 45 = 1/12 qL = 10,667 Tm
Gambar 3.19
Menentukan [AD-ADL] [AD-ADL]
=
2 3 -10.6667 10.6667 -10.6667 0 10.6667
