Hak Cipta pada Penerbit ITB, 2009 Data katalog dalam terbitan NASUTION, Amrinsyah, Metode Matriks Kekakuan Analisis Struktur oleh Amrinsyah Nasution. -Bandung, Penerbit ITB, 2009
lOa, 670 h., 25 cm 624.171 1. Metode Matriks ISBN
2. Judul
978-979-1344-36-4
I si
Prakata 9a 1
Sistem struktur
1.1
Portal 1
1.2
Rangka 3
1.3
Bentuk Struktur Rangka 5
1
1.4
Bcban Luar 6
1.5
Analisis Beban 17
1.6
Spesifikasi Pembebanan pada Jembatan dan Jalan 21
1.7
Soal-soal 30
2
Portal Bidang
39
2.1
Enersi Regangan Akibat Momen Lentur dan Gaya Normal 39
2.2
Persamaan Diferensial Pcnentu Elemen Balok 43
2.3
Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 47
2.4
Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 51
2.5
Vektor Beban Ekivalen (P) 58
2.6
Solusi [K](X}
=
(P}
61
2.7
Gaya-gaya dalam Elemen 65
2.8
Diagram Gaya 66
2.9
Contoh Analisis Struktur Portal Bidang 68
2. J 0 Program Komputer Analisis Struktur Rangka Bidang 2.1 J
104
Program Komputer Portal Bidang 131
2.12 Soal-soal
141
3
Rangka Bidang
3.1
Bentuk Struktur Rangka Bidang 149
147
3.2
Beban Luar 150
3.3
Dcrajat Kebebasan Struktur 151
3.4
Matrik Kekakuan Elemen JS]m 153
3.5
Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 154
3.6
Matrik Kekakuan Struktur JK!s 157
3.7
Vektor Beban Ekivalen (P}
3.8
Solusi [Kl(X}
3.9
Gaya-gaya Dalam Elemen 161
=
( p)
160
161
3.10 Contoh Analisis Rangka Bidang
162
3.11 Program Komputer Analisis Struktur Rangka Bidang
184
lsi
Sa
.
. .. 3.12 Soal-soal 202
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
Struktur Kisi (Grid) 209 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 211 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 213 Matrik Kekakuan Struktur [K]s 217 Vektor Beban Ekivalen {P} 219 Solusi [K]{X} = {P} 222 Gaya-gaya Dalam Elemen 223 Contoh 224 Program Komputer Sistem Grid 238 Soal-soal 248
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10
Rangka Ruang 253 Sistem Struktur 258 Beban Luar 259 Derajat Kebebasan Strukur 259 Matrik Kekakuan Elemen [S]M 260 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 261 Matrik kekakuan Struktur [K], 264 Gaya-gaya Dalam Elemen 267 Contoh Analisis Rangka Ruang 269 Program Komputer Analisis Rangka Ruang 292 Soal-soal 305
6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
Portal Ruang 311 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 314 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 316 Vektor Beban Ekivalen {P} 333 Solusi [K} 5 {X} 5 = {P}s 338 Contoh Analisis Struktur 338 Program Komputer Sistem Portal Ruang 351 Soal-soal 364
7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
Struktur Lengkung (Arch) 369 Derajat Kebebasan dan Matrik Kekakuan Struktur 370 Koordinat Lokal dan Koordinat Struktur 373 Matrik Kekakuan Struktur 374 Solusi [K] 5 {X} 5 = {P} 375 Contoh 376 Program Komputer 380 Soal-soal 391
8 8.1
Kabel 397 Geometri Kurva Kabel 398
6a Amrinsyah Nasution, Metode Matriks Kekakuan Ana!isis Struktur
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12
Pengaruh Tegangan 400 Tegangan pada Kabel Jembatan Gantung 403 Bentuk Kurva Kabel 407 Penentuan Persamaan Geometri Kabel 410 Perakitan Matriks Kekakuan Struktur Kabel- Pendekatan Linear 410 Kekakuan Kabel Memilkul Beban Terdistribusi Merata 419 Analisis Kabel Non-Linear Orde Kedua (Second Order Analysis of Cables) 428 Model Bentang Pendek dengan Beban Merata 435 Bentang Besar dengan Beban Terpusat 435 Pipeline Bridge Structural System Kasim Marine Terminal 437 Soal-soal 438
Lampiran 439 Pustaka
667
lndeks 669
lsi
7a
Prakata
Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur merupakan metode fundamental kekakuan analisis struktur. Dengan kemajuan metodologi komputasi yang sangat pesat menggunakan perangkat lunak komputer, metode ini merupakan dasar-dasar analisis dalam mengembangkan metode matrik program komputer sistem struktur.
Bab 1 membahas secara umum sistem struktur yang dibedakan dari kegunaan struktur. seperti struktur jembatan. gedung, tangki, bendungan atau pesawat udara. Secara khusus penamaan ini dibedakan dari fungsi sistem menerima beban luar. Jembatan menerima beban lalu lintas, seperti rangkaian kereta api, mobil; sedangkan bangunan menerima beban dari kegiatan yang ada diatas bangunan, seperti beban ruang kelas, perpustakaan, perkantoran dan gudang. Bab 2 adalah bagian utama dari buku, menjelaskan sistem struktur yang menerima beban termasuk suatu sistem energi. Akibat beke1janya beban luar, konfigurasi sistem struktur berubah posisi terhadap dudukan awalnya. Ini berarti, karena akibat gaya luar teijadi kerja luar dan energi dalam struktur. Hukum Konservasi Ke1ja dan Energi yang merupakan konsep dasar yang digunakan pad a anal is is struktur. Penurunan persamaan diferensial penentu bagi teori Lendutan-Kecil balok lentur menjadi dasar penentuan hubungan antara deformasi dan gaya dalam analisis struktur dengan metoda kekakuan. Bab 3 sampai Bab 6 membahas analisis struktur sistem rangka bidang, struktur kisi (grid), rangka ruang dan portal ruang. Pada setiap bab diuraikan formulasi penyusunan matrik kekakuan. vektor beban sistem dan pengacaraannya untuk komputasi dcngan komputer. Bab 7 membahas sistem struktur lengkung (arch), formulasi matrik kekakuan sistem dan pemograman solusi si stem dalam bahasa C++. Bab 8 membahas si stem struktur kabel. salah satu konstruksi yang sedang berkembang saat ini untuk jembatan. Jenis jembatan yang menggunakan struktur kabel antara lain: jembatan gantung (suspension bridge), jembatan cancang (cable-staved bridge), atau kombinasi antara jembatan gantung dengan jembatan cancang. Tidak terbatas pada jcmbatan saja, struktur kabel juga banyak digunakan sebagai tali jangkar pada menara atau tenda. atap gantung, cable car, dan struktur lainnya. Buku ini digunakan di Institut Teknologi Bandung untuk mat
!si
9a
yang telah menjadi inspirasi dan memberikan bantuan dengan tugas-tugas kelas untuk menulis buku ini. Terima kasih saya kepada Tuti Sarah, Achmad Taufik di Penerbit ITB, yang dengan sabar dan telaten melakukan penyelesaian buku ini. Akhirnya, ucapan terima kasih saya sampaikan pada keluarga: Dini Chitrani Amrinsyah, istri saya; Natia Andrielli Amrinsyah, Arfino Tuinshi Nasution, putri dan putra saya, dan cucu saya Nawra Salma Fatima. Tanpa dorongan dan keberadaan mereka, tidaklah akan mungkin buku ini ada.
Bandung, Januari2009
Amrinsyah Nasution
/nstitut Teknologi Bandung
1Oa
Amrinsyah Nasution, Metode Matriks Kekakuan Ana/isis Struktur
1
Sistem Struktur
Secara umum sistem struktur dibedakan dari kegUiiaan struktur, seperti struktur jembatan, gedung, tangki, bendungan atau pesawat udara. Secara khusus penamaan ini dibedakan dari fungsi sistem menerima beban luar. Jembatan menerima beban lalu lintas, seperti rangkaian kereta api, mobil; sedangkan bangunan menerima beban dari kegiatan yang ada diatas bangunan, seperti beban ruang kelas, perpustakaan, perkantoran dan gudang. Dalam kajian analisis, sistem struktur dibedakan pada dua kategori dasar sistem, yaitu Struktur Kerangka (Portal) dan Struktur Kontinum. Sistem struktur kerangka merupakan rakitan beberapa elemen struktur. Umumnya terdiri dari elemen balok, kolom atau dinding geser membentuk kerangka yang disebut Portal. Sambungan antara elemen pembentuk sistem portal ini biasanya kaku/monolit, serta ukuran penampang elemen (lebar atau tinggi) kecil dibanding dengan bentang elemen. Sistem struktur yang tidak dapat dibedakan unsur elemennya, seperti pelat, cangkang, atau tangki dinamakan sistem struktur kontinum.
1.1 Portal Gambar 1.1.1 menjelaskan sistem struktur portal. Balok menerus seperti pada Gambar 1.1. 1a merupakan konstruksi yang paling sederhana. Elemen balok terletak pada satu sumbu dan menerima beban luar transversal terhadap sumbu tersebut. Sistem struktur seperti pada Gambar 1.1.1 b disebut Portal Bidang. Semua unsur elemen struktur berada dalam bidang portal. Demikian juga halnya dengan beban luar yang bekerja. Struktur Grid seperti Gambar I. 1.1 c mempunyai unsur elemen pad a suatu bidang datar dan semua be ban !uar bekerja transversal pada bidang tersebut. Portal Ruang seperti pada Gambar l.l.ld merupakan pemodelan tipe struktur portal yang ideal bagi sistem struktur kerangka, karena pemodelannya adalah sistem struktur tiga dimensi, seperti layaknya konstruksi bangunan yang sesungguhnya .
. . ~ __llnnn
~
'"' """ , , , 1----·--------/\~-
.====l
AiJimlli
~
per!etakan sendi
~
perletakan rol
Gambar 1.1.1 a Si stem Struktur Ba!ok Menerus
Sistem Struktur
1
/
;•\
rol ~·
~%,_'*"*
sendi
jepit
Gambar 1.1.1 b Si stem struktur portal bidang
. v:- E.
~ ~----: .. ~W_j~
/u 111
m--_ :r 7Y/
1//
I
H_"/
.
;:!:/
g~ ~~.:7
~ -~- --~--~- - - -- p
rw
~'
Gambar 1.1.1c Sistem struktur "GRID"
2
Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur
Gambar 1.1.1 d Si stem struktur portal ruang
1.2 Rangka Sistem struktur rangka merupakan struktur kerangka yang dibuat dengan menyambungkan elemen struktur yang lurus dengan sambungan sendi dikedua ujungnya. p
Gambar 1.2.1 Bentuk sistem rangka paling sederhana
Geometrik rangka yang paling sederhana adalah elemen yang ujungnya mempunyai perletakan sendi dan rol (Gambar 1.2.1 ). Perletakan sendi dan rol pada elcmen merupakan kekangan minimum yang diperlukan bagi keseimbangan gaya akibat bekerjanya beban luar. Walaupun variasi beban yang bekerja pada sistem dapat berupa beban bentang dan beban di titik kumpul, anggapan bcban kerja rangka adalah beban yang selalu beke~ja di titik kumpul. , lni berarti beban bentang perlu di konversikan dulu dalam beban ke~ja terpusat ekivalen di Sistem Struktur
3
titik kumpul. Pada geometri rangka yang paling sederhana seperti Gambar 1.2.1, hanya ada satu derajat kebebasan, sehingga hanya ada satu arah beban yang dapat dikerjakan. Rangka dasar ini dapat dikembangkan menjadi rangka bidang dengan dua cara:
o
Penambahan elemen seperti Gambar 1.2.2a dengan tambahan perletakan rol pada ujung elemen tambahan; sehingga tetap terjaga syarat stabilitas sistem.
o
Menambah dua elemen yang saling berhubungan pada satu titik kumpul, hal mana stabilitas sistem tetap terjaga (Gambar 1.2.2b).
Gambar 1.2.2a Sistem rangka 1
sendi
Gambar 1.2.2b Sjstem rangka 2
4
Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Ana/isis Struktur
1.3 Bentuk Struktur Rangka Rangka Bidang
Secara skematik beberapa bentuk rangka bidang yang dirancang berdasarkan sifat beban kerja adalah: (Gambar 1.3.1.)
Gambar 1.3.1a Rangka atap
Pada rangka atap (Gambar 1.3 .I a), be ban yang bekerja se lain berat sendiri adalah be ban komponen atap (penutup atap, kaso-kaso, gordin) dan tekanan angin. Be ban hid up jembatan (Gambar 1.3 .I b) adalah berat kendaraan ; pada menara air, be rat air dan pada menarajaringan listrik (Gambar 1.3.1c) berupa berat kabel; sedangkan di menara komunikasi berupa beban antena.
_f\1\1\1\l\1\1\ Gam bar 1. 3.1 b Jembatan rang ka
Gambar 1.3.1 c Menara Sistem Struktur
5
Rangka Ruang Seperti bentuk portal ruang, rangka ruang merupakan susunan (Gambar 1.3.2.) unsur elemen batang pada sistem ruang, tetapi sambungan unsur elemen batang pada kedua ujungnya bersifat sendi, dan beban yang beke~ja merupakan beban ekivalen terpusat pada setiap titik kumpul.
1.4 Beban Luar Pada sistem struktur rangka, beban luar selalu dikonversikan menjadi beban ekivalen terpusat yang bekerja di titik-titik kumpul. Berat sendiri elemen yang bekerja merata sepanjang bentang diperhitungkan sebagai gaya terpusat ekivalen di kedua ujung elemen (Gambar 1.4.1 ). Juga seperti be ban me rata jembatan rangka pad a Gambar 1.4.2a, besarnya beban yang digunakan dalam analisis struktur dinyatakan oleh gaya/beban terpusat di titik-titik kumpul(Gambar 1.4.2b).
Gambar 1.3.2 Rangka Ruang
Dengan melakukan konversi bcban bentang menjadi gaya terpusat ekivalen di titik kumpul, pcmeriksaan kckuatan lentur elemen akibat beban bentang dilakukan secara terpisah.
Gambar 1.4.1a Beban merata pada bentang
Gambar 1.4.1 b Beban terpusat ekivalen
Gambar 1.4.2.a Beban merata pada bentang elemen
6 Amrinsyah Nasution. Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur
Gambar 1.4.2.b Beban ekivalen di titik kumpul
Analisis sistem rangka ruang yang tidak mungkin dikonversikan sebagai analisis ekivalen rangka bidang, seperti menara tegangan tinggi dengan beban kabel dalam ruang. beban titik ekivalen yang bekerja diperhitungkan dari kombinasi pemasangan kabcl pada titik per1emuan elemen. H,
Setiap kombinasi pemasangan kabel yang memberikan pengaruh beban maksimum pada rangka ruang harus dikaji dalam analisis. Klasifikasi beban pada sistem struktur dapat dijelaskan dari sifat pembebanannya. Klasifikasi beban tersebut antara lain : A.
Beban mati
Beban mati dihitung dari berat unsur struktur sendiri dan beban-beban tetap, seperti kclengkapan bangunan, genteng/ atap, barang-barang tidak bergerak, lemari. langit-langit dan lain-lain. B. Beban hidup
Beban hidup berupa bcban yang tidak tetap, seperti beban yang beke~a pada bangunan hunian. Beban Gambar 1.4.3 Rangka ruang dan beban terpusat
Sistem Struktur
7
hidup secara statistik ditetapkan di dalam peraturan sebagai beban mati. C. Beban dari lingkungan
Beban lingkungan yang bekerja pada sistem struktur merupakan efek dari alam. Angin, air hujan perubahan temperatur, gempa, penurunan tanah (settlement), dan tekanan air tanah merupakan jenis beban lingkungan yang harus diperhitungkan bekerja pada sistem struktur. kN 11 ············+············· 9
Alur ·alan kendaraan di lantai basemen, ata atau daerah terbuka Tabel 1.2 : Berat material ban unan No.
54
Keteran an
Tabel 1.3: Berat komponen ban unan No. Keteran an Adukan, per cm tebal : 1. - dari semen - dari k(3p[Jr, semen mE;:r(3h atau tras 2 .......... ,A.spal, teTillasu~bahan~~GihG!nmineral pE;:n(3111bah, .per Dinding pasangan bata merah - satu batu ~ !)E;:lE::f19ah batu Dinding pasangan bat(3~() : Berlubang : - tebal dinding 20 cm (HB 20) 4. - tebal dif1ding 1Qcm(HB 1QL Tanpa lubang : - tebal dinding 15 cm 5. - tebal dindin 10 cm
8 Amrinsyah Nasution, Metode Matrik Kekakuan Analisis Struktur
N/m
<::m tebal
210 170 140 4500 2500
6.
13.
an Langit-langit dan dinding (termasuk rusuk - rusuknya, tanpa penggantung langit-langit atau pengaku), terdiri dari : - semen asbes (etemit dan bahan lain sejenis), dengan tebal maksimum 4 mm - kac;CI.dengCII1tE!bal 3 - 5mm ................................... Lantai kayu sederhana dengan balok kayu, tanpa langit-langit dengan bentang maksimum 5 mdan untuk be~CII1 hicJIJPrnaksimum2QOO N/m' Penggantung langit-langit (dan kayu), dengan bentang maksimum 5 m dan je3rak s.k.s. minimum 0.80rn 2 Pe111Jl!Jp. a tap genti11g cjenge3n reng dan usuk/kC3!;() PE!E~ ~icjang CIICIP Pe11 ut up ala!; si rap cJE!n9e3n rE!ng dan. usuk/kas(),. per m ~icjang a tap penutup CIICipseng gel()rn~CII19(E3JLS~?!))tanpa gording Penutup lantai dan ubin semen portland, teraso dan beton, tanpa adukan, per C:rn tE!bal Semen asbes elomban
N/m
110
100
Tabel 1.4 : Beban hidu minimum No. Keteran an 1. La11tC1i cje3n tangga _r!JrnCih tinggal, kecuali ya11g cjisebutdalar:n ? Lantai dan tangga rumah tinggal sederhana dan gudang-gudang pel1lil1gyal1g _ b!J.kai11JI1l!Jk toko, pabrik CIICIIJ ~engk€!1 Lantai sekolah, ruang kuliah, kantor, toko, toserba, restoran hotel asrama dan rumah sakit ~e3ntai ruangoiCih re3ga Lante3i r!JCII1g_dansa Lantai dan balkon dalam dan ruang - ruang untuk perternuan yang lajn daripada yang disebut dalam a sampai drngan seperti mesjid, gereja, ruang pagelaran, ruang rapat, bioskop dan panggung penonton dengan tempat duduk tetap: .............,...............,. . Panggung penonton dengan tempat duduk tidak tetap atau untuk penonton yang bE!rcJiTi ..... TCin99CI· hordesta11gga_cje311 gang dariye3ng cji!;ebutcjaiCirn 3_ Ta11g9e3· h()rdes tangga cje3n gang dai1YCII19 cji!;E!but dalam 4, 5 , ~ cjan.T: .....·..c. . :............ +..L:::.a::::n.tai r!Je3ng pelengkap dCII1YCII1g disE!but cJCIICirn}. 4, 5, 6 dan 7 Lantai untuk pabrik, bengkel, gudang, perpustakaan, ruang arsip, toko buku, toko besi, niang alat-alat dan ruang mesin, harus direncanakan terhacJCIP bE!bCin hid!Jpyang cjitent!J~CII1 ter!>E!I1cJiri,dE!I19CII1 minimu_:m . :.· ·································!·················4 ...:... :·.0.: :. 1 Lantai gedung parkir bertingkat : 12. - untuk lantai bawah 8.0 4.0 ,............ + - !Jilluk. lante3iting~Cit Balkon-balkon yang menjorok bebas keluar harus direncanakan terhadap 13 '--_ _·___._-=b=-=e:..::b...:ca.:.cn-'-'hidup dan lantai ruang yang berbatasan, den an minimum 3.0
Sistem Struktur 9
D. Beban Angin
Beban angin bergantung pada kecepatan angm, bentuk bangunan, ketinggian dan lokasi bangunan, bidang permukaan dan kekakuan struktur. Dengan mengetahui kecepatan an gin V, gaya yang bekerja pada bangunan dapat ditetapkan dari persamaan 180
l
I
!!
p=0.0000473CD V
2
( 1- I)
160 140 120
..
100
Ql
C1l
E
hal mana: 2 tekanan proyeksi vertikal [kN/m ] p koefisien bentuk CD= kecepatan angin [km/jam] V =
60
Grafik 1.1 menunjukkan hubungan tekanan angin dengan 40 ketinggian. Tekanan yang bekerja pada struktur diperoleh / 20 dari perkalian C[) dengan tekanan angin. Ketentuan lengkap j __ -- __j ---perihal beban angin pada struktur dapat dibaca pada buku 0.5 1.0 1.5 2.0 kN/m' Pedoman Perencanaan Pembebanan untuk Rumah dan GedungSKBI- 1.3.53.1987, UDC: 624.042, Departemen Grafik 1.1 Korelasi tekanan angin dengan Pekerjaan Umum untuk nilai CD untuk berbagai profil dan ketinggian arah angin Beban angin dapat berupa gaya tiup maupun hisap pada permukaan bangunan. Koefisien tehisap : -0.40 kan atau hisap angin bergantung pada arah kerja angin. Pada atap yang miring, koefisien