Amortización Una Una de las las aplica aplicacio cione nes s más más impor importan tantes tes de las las anual anualid idade ades s en las las operaciones de negocios está representada por el pago de deudas que devengan intereses.
Cuando una deuda se liquida en una serie de pagos periódicos de igual valor y si se paga el interés que se adeuda al momento que se efectúan los pagos, también se estará liquidando una parte del capital inicial. A medida que la deuda se va pagando, se reducirá el interés sobre el saldo insoluto.
Conocimientos previos Rita ompa desea tener en !" a#os $%"","""."". $%"","""."". &i invierte en un fondo que le da de intereses el !'( anual con capitali)ación capitali)ación mensual, *cuánto tiene que estar depositando mensualmente para lograr su ob+etivo en !" a#os
Cap-tulos
!. Amorti)ación de una deuda '. ablas de amorti)ación %. /ondos de amorti)ación 0. ablas de fondos de amorti)ación
Capítulo I. Amortización de una deuda Amorti)ación es el método por el cual se va liquidando una deuda en pagos parciales. 1l importe de cada pago sirve para solventar los intereses. 2a amorti)ación es una de las aplicaciones más importantes de las anualidades. 2as deudas se amorti)an con pagos periódicos iguales. &e 3acen depósitos periódicos iguales en un fondo de amorti)ación que genera intereses para amorti)ar una deuda futura. ara encontrar cada una de las variables o incógnitas, se utili)a la fórmula del valor actual de los diversos tipos de anualidades. 4eneralmente, se calcula con base en el valor actual de las anualidades ordinarias. 1n la amorti)ación se demuestra que5 !. 1l capital va disminuyendo conforme se van dando los pagos 3asta su liquidación total. '. Al ir reduciéndose el capital, los intereses también van descendiendo. %. 2a amorti)ación del capital va aumentando conforme pasan los periodos, al ir disminuyendo 6en la misma proporción6 los intereses. 0. &i se quieren conocer las amorti)aciones de los diferentes periodos, basta multiplicar la primera amorti)ación por la ra)ón5
n
( 1 + i ) , donde n
es el número de periodos que faltan para llegar a la amorti)ación del periodo correspondiente. 7. 2a suma de las amorti)aciones será igual al valor actual o capital inicial del préstamo.
Al obtener un préstamo o crédito en efectivo, en bienes o servicios, se contrae una deuda que puede liquidarse con un solo pago al 8nal del pla)o o mediante abonos periódicos cuyo importe y frecuencia pueden ser variables o constantes, por lo que se dice que el préstamo se amorti)a.
2a palabra amorti)ación proviene del lat-n 9mortis: ;dar muerte<. &imboli)a ir dando muerte al capital prestado en forma paulatina. 1n matemáticas 8nancieras, amorti)ar signi8ca pagar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales u abonos, los que pueden ser iguales en valor o variables, efectuados a intervalos de tiempo generalmente. Amortización puede defnirse como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda y sus intereses por medio de una serie de pagos o abonos al acreedor Cada pago u abono efectuado se divide en dos partes5 en primer lugar, se pagan los intereses adeudados al momento en que se efectúa el pago y el resto se aplica a disminuir el capital o saldo insoluto de capital. Nomenclatura
Determinación del importe del pago periódico para amortizar una deuda
&e calcula mediante la utili)ación de la fórmula para el valor presente de una anualidad simple, cierta, ordinaria y se considera una amorti)ación de capital a base de pagos e intervalos de tiempo iguales.
&e conoce el capital inicial que se adeuda, la tasa de interés nominal o periodo de capitali)ación, la frecuencia de conversión y el pla)o de tiempo o número de periodos de capitali)ación5
Capítulo II. Tablas de amortización
ablas de amorti)ación ara su mayor comprensión, las amorti)aciones pueden representarse en una matri) donde5 2as columnas representan lo siguiente5 !. 2a primera muestra los periodos ;n<. '. 2a segunda da el importe de la renta o pago ;R<. %. 2a tercera indica los intereses ;=< y resulta de multiplicar el saldo insoluto ;&=< anterior por la tasa de interés del periodo ;i<. 0. 2a cuarta se#ala la amorti)ación ;A< del periodo y resulta de restar al pago del periodo ;R< los intereses del mismo ;=<. 7. 2a quinta revela la amorti)ación acumulada ;AA<, consecuencia de la suma de la amorti)ación acumulada ;AA< del periodo anterior más la amorti)ación ;A< del periodo en estudio.
>. 2a se?ta e?presa el saldo insoluto de la deuda, que se obtiene al 3acer alguno de estos procedimientos5 Restar al capital inicial ;C< la amorti)ación acumulada ;AA< 3asta ese periodo. Restar el saldo insoluto del periodo anterior ;&=< la amorti)ación del periodo ;A<.
Tablas de amortización para pagos periódicos Una tabla o cuadro de amorti)ación e?presa la variación en el tiempo y en cada periodo de los saldos insolutos de capital, las amorti)aciones a capital, los intereses causados o generados, etcétera. Una tabla de amorti)ación debe contener cuando menos lo siguiente.
ambién, en caso de que e?ista un bien de por medio como garant-a, e?isten derec3os del acreedor sobre ese bien en un !""( al principio de la operación y van disminuyendo conforme se va pagando el capital adeudado, pero, por otra parte, irán aumentando los llamados derec3os adquiridos por el deudor conforme va saldando su deuda. ara construir una tabla, se parte del saldo inicial de capital el que se multiplica por la tasa efectiva por periodo para obtener el monto de intereses en ese periodo. 1sta cantidad se deduce del importe del pago periódico ya calculado y se obtiene la amorti)ación de capital para ese periodo, cuyo nuevo saldo insoluto se obtendrá al deducir esta última cantidad del saldo insoluto anterior. Como la tasa es constante y los pagos periódicos iguales, se sigue este procedimiento 3asta amorti)ar totalmente la deuda inicial. 1+ercicio !. Una deuda de $!"","""."" se debe liquidar en > pagos mensuales a una tasa del '0( convertible mensualmente.
a< @btener el valor del pago igual mensual. b< 1laborar su tabla de amorti)ación. c< =nterpretar resultados.
&olución
Fórmula para calcular el saldo insoluto de capital los derechos porcentuales del acreedor sobre un bien a determinada fecha
y
&iendo p el número de periodos transcurridos a la fec3a del cálculo.
Fórmula para calcular la cantidad amortizada de capital y los derechos porcentuales del deudor sobre un bien a una fecha determinada.
&iendo p el número de periodos transcurridos a la fec3a del cálculo.
Fórmula para calcular el inters contenido en el pago en un periodo determinado
&iendo p el número del periodo determinado.
1+ercicio '. el e+ercicio !, calcular los derec3os del acreedor sobre un bien y los derec3os adquiridos del deudor5 a< Al tercer mes b< Al quinto mes c< Calcular los intereses contenidos en el mes % y en el mes 7.
!as tablas de amortización a línea recta
1ste sistema para amorti)ar deudas se caracteri)a porque la parte que se amorti)a del capital permanece constante. or lo tanto, el pago periódico irá disminuyendo progresivamente y cada abono será siempre menor que el anterior. Bomenclatura5.
Fórmulas para calcular el saldo insoluto en cual"uier periodo y la li"uidación
otal de la deuda en ese periodo5
Fórmula para calcular el capital amortizado en cual"uier periodo
Fórmula para calcular el monto de intereses totales.
Capítulo III. Fondos de amortización 1s el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos, para liquidar una deuda. Asimismo, funciona para a3orrar o recuperar el valor 3istórico de un activo. 1sto se reali)a invirtiendo una serie de pagos iguales, en periodos iguales, durante el lapso de vida útil del bien, con la 8nalidad de acumular un monto disponible en efectivo para volver a comprar el sustitutivo del activo al término de su uso. 1sta práctica es muy útil 8nancieramente, aun cuando, al llegar al 8n de su vida útil, la cantidad acumulada no llegue a cubrir el costo del bien. 1n este rubro, se utili)an las fórmulas del monto o valor futuro de las diferentes anualidades, generalmente, la del monto de anualidades ordinarias.
1s el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos, para liquidar una deuda. Asimismo, funciona para a3orrar o recuperar el valor 3istórico de un activo. 1sto se reali)a invirtiendo una serie de pagos iguales, en periodos iguales, durante el lapso de vida útil del bien, con la 8nalidad de acumular un monto disponible en efectivo para volver a comprar el sustitutivo del activo al término de su uso. 1sta práctica es muy útil 8nancieramente, aun cuando, al llegar al 8n de su vida útil, la cantidad acumulada no llegue a cubrir el costo del bien.
1n este rubro, se utili)an las fórmulas del monto o valor futuro de las diferentes anualidades, generalmente, la del monto de anualidades ordinarias5
#onto acumulado al $nal del periodo ara el calcular el monto al 8nal del periodo se utili)a la fórmula5
1+emplo ! Una empresa desea reunir, al 8nal de '' trimestres, cierta cantidad para comprar equipo nuevo. &i 3ace depósitos trimestrales de $!,"""."" con una tasa de interés del !'.D'( con capitali)ación trimestral, *cuánto reunirá al 8nal de los > meses
%aldo al $nal de un periodo &i se quiere encontrar el saldo al 8nal de cierto periodo de pago. &e calcula con la fórmula del monto de las anualidades ordinarias, tomando en cuenta, en n, los depósitos o rentas que se 3an efectuado 3asta ese momento.
1+emplo ' *Cuál será el depósito anual para acumular, al cabo de > a#os, un monto de $'0","""."", si dic3as rentas obtienen un rendimiento de ( anual ;2os $'0","""."" representan el valor de un activo adquirido 3oy, que se pretende reempla)ar al 8nal de su vida útil, que es de > a#os<.
Bota5 &i se quiere encontrar el saldo al 8nal de cierto periodo de pago, se calcula con la fórmula del monto de las anualidades ordinarias, tomando en cuenta, en n, los depósitos o rentas que se 3an efectuado 3asta ese momento.
1+emplo % el e+ercicio ', *cual será, el saldo 8nal del cuarto periodo
1l saldo al 8nal del cuarto periodo es de $!0D,7'".7>.
Capítulo I&. Tablas de fondos de amortización
1n este método se utili)a, al igual que en la amorti)ación, una matri), en donde las columnas se conforman as-5 !. 2a primera e?presa los periodos ;n<. '. 2a segunda, los pagos o rentas ;R<. %. 2a tercera, los intereses ;=< del periodo y resulta de multiplicar el saldo 8nal ;E< del periodo anterior por la tasa de interés ;i<. 0. 2a cuarta, la cantidad que se acumula al fondo ;CA< y se calcula sumando la renta ;R< más los intereses ;=< del periodo.
7. 2a quinta, el saldo 8nal ;E<, resultado de la suma del saldo 8nal ;E< del periodo anterior más la cantidad que se acumula ;CA< al fondo del periodo.
>. 2a se?ta es el porcenta+e de acumulación del fondo. 2os renglones muestran las operaciones de cada uno de los periodos. =lustremos lo anterior con el e+ercicio siguiente. 1+emplo !. *Cuál será el depósito anual para acumular, al cabo de > a#os, un monto de $'0","""."", si dic3as rentas obtienen un rendimiento de ( anual ;2os $'0","""."" representan el valor de un activo adquirido 3oy, que se pretende reempla)ar al 8nal de su vida útil, que es de > a#os<.
&i anali)amos la tabla, observamos lo siguiente5 •
• •
2as rentas sirven para aumentar la inversión que, al 8nali)ar los periodos de pago, se utili)a para liquidar la deuda o sustituir el activo al e?pirar su vida útil. 2os intereses se agregan a la inversión. &i se quiere encontrar el saldo al 8nal de cierto periodo de pago, se calcula con la fórmula del monto de las anualidades ordinarias, tomando en cuenta, en n, los depósitos o rentas que se 3an efectuado 3asta ese momento.
or e+emplo, el saldo 8nal al cuarto periodo es5 esarrollo
1+emplo '. 2a vida útil de un equipo industrial de 41C1&A, que acaba de ser adquirido por una compa#-a, es de 7 a#os. Con el 8n de reempla)arlo, al 8nal de ese tiempo, la empresa establece un fondo de amorti)ación y efectuará depósitos anuales en una cuenta bancaria que paga el F.>(. &i se estima que el equipo costará $0',D0" dólares, *cuál será el valor del depósito Construye una tabla del fondo.
